{"paper":{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nCenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu\nobniżek cena nart zmniejszyła się o\nA. 44%\nB. 50%\nC. 56%\nD. 60%\nCenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o A. 44%, B. 50%","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWersja\narkusza\nA\nWersja\narkusza\nB\nModelowanie matematyczne\nWykonanie obliczeń procentowych\n(III.1.d)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(9 + 4\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie przez sprzężenie (racjonalizacja mianownika)\n\nMianownik zawiera różnicę z pierwiastkiem: \\(\\sqrt{5} - 2\\). Aby go pozbyć, mnożymy licznik i mianownik przez **sprzężenie**, czyli \\(\\sqrt{5} + 2\\).\n\n\\[\n\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2} = \\frac{(\\sqrt{5}+2) \\cdot (\\sqrt{5}+2)}{(\\sqrt{5}-2) \\cdot (\\sqrt{5}+2)}\n\\]\n\n**Mianownik** - korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów \\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\\):\n\n\\[\n(\\sqrt{5}-2)(\\sqrt{5}+2) = (\\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1\n\\]\n\n**Licznik** - korzystamy ze wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):\n\n\\[\n(\\sqrt{5}+2)^2 = (\\sqrt{5})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\\sqrt{5}\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\n\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2} = \\frac{9 + 4\\sqrt{5}}{1} = \\boxed{9 + 4\\sqrt{5}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie przybliżonej wartości\n\nSprawdzamy numerycznie: \\(\\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\).\n\n**Lewa strona:**\n\\[\n\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2} \\approx \\frac{2{,}236 + 2}{2{,}236 - 2} = \\frac{4{,}236}{0{,}236} \\approx 17{,}95\n\\]\n\n**Sprawdzamy każdą odpowiedź:**\n\n| Odp. | Wartość przybliżona |\n| A: \\(1\\) | \\(1\\) |\n| B: \\(-1\\) | \\(-1\\) |\n| C: \\(7 + 4\\sqrt{5}\\) | \\(7 + 4 \\cdot 2{,}236 \\approx 7 + 8{,}944 \\approx 15{,}94\\) |\n| **D: \\(9 + 4\\sqrt{5}\\)** | \\(9 + 4 \\cdot 2{,}236 \\approx 9 + 8{,}944 \\approx \\mathbf{17{,}94}\\) ✓ |\n\nTylko odpowiedź D pasuje do wyniku \\(\\approx 17{,}95\\). Potwierdzenie jest zgodne z Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[\na^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\n\\]\nUżyliśmy tego do uproszczenia mianownika: \\((\\sqrt{5}-2)(\\sqrt{5}+2) = 5 - 4 = 1\\).\n\n\\[\n(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\n\\]\nUżyliśmy tego do rozwinięcia licznika: \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 9 + 4\\sqrt{5}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[\n(\\sqrt{a})^2 = a \\quad \\text{dla } a \\geq 0\n\\]\nKluczowe przy obliczaniu \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(1\\) | Uczeń \"skraca\" \\(\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2}\\) przez \\(\\sqrt{5}\\) lub myśli, że ułamek = 1, bo licznik i mianownik są \"podobne\". Skracanie jest tu niedopuszczalne - to suma, nie iloczyn! |\n| B: \\(-1\\) | Uczeń oblicza \\((\\sqrt{5}+2) - (\\sqrt{5}-2) \\cdot \\text{coś}\\) albo odejmuje zamiast dzielić. |\n| C: \\(7 + 4\\sqrt{5}\\) | Uczeń poprawnie stosuje metodę sprzężenia, ale w liczniku liczy \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 5 + 4\\sqrt{5} + 2 = 7 + 4\\sqrt{5}\\) - pomyłka: \\(2^2 = 2\\) zamiast \\(2^2 = 4\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno \"skracać\" \\(\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2}\\) przez odejmowanie lub wyciąganie \\(\\sqrt{5}\\) - licznik i mianownik to sumy, nie iloczyny. Skracanie działa tylko przy mnożeniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((a+b)^2\\) pamiętaj o środkowym wyrazie \\(2ab\\). Bardzo częsty błąd: \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 5 + 4\\) (pominięcie \\(4\\sqrt{5}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2^2 = 4\\), nie \\(2\\). Dlatego w liczniku dostajemy \\(5 + 4\\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\\sqrt{5}\\), a nie \\(7 + 4\\sqrt{5}\\). To właśnie różnica między odpowiedzią C a D!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Usuwanie niewymierności przez sprzężenie\nMnożymy licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{5}+2\\) (sprzężenie mianownika):\n\\[\\dfrac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}-2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{5}+2}{\\sqrt{5}+2} = \\dfrac{(\\sqrt{5}+2)^2}{(\\sqrt{5})^2 - 2^2} = \\dfrac{5 + 4\\sqrt{5} + 4}{5-4} = \\dfrac{9+4\\sqrt{5}}{1} = 9+4\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna\n\\(\\sqrt{5}\\approx 2{,}236\\).\nL \\(= \\dfrac{2{,}236+2}{2{,}236-2} \\approx \\dfrac{4{,}236}{0{,}236} \\approx 17{,}94\\).\nP (odp. D) \\(= 9 + 4\\cdot 2{,}236 \\approx 9 + 8{,}944 \\approx 17{,}94\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\)** - to byłoby, gdyby licznik równał się mianownikowi (nie jest tak).\n- **B. \\(-1\\)** - zły znak.\n- **C. \\(7+4\\sqrt{5}\\)** - błąd w kwadracie: \\((\\sqrt{5}+2)^2 = 5+4\\sqrt{5}+4 = 9+4\\sqrt{5}\\), a nie \\(7+4\\sqrt{5}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\\), \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba \n\n4\n3\n3\n1 16\n8\n\n\n\njest równa\nA.\n8\n\nB.\n4\n\nC. 2\nD. 4\nLiczba pierwiastek trzeciego stopnia z -8 razy 16 do potęgi 3/4 jest równa A. -8, B. -4, C. 2, D. 4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZastosowanie praw działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych, obliczenie\npotęgi o wykładniku wymiernym (II.1.g)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = 1\\) i \\(x = -4\\)\n\n## Sposób 1 - Rozpad na dwa przypadki\n\nZ definicji wartości bezwzględnej: \\(|W| = 5\\) oznacza, że \\(W = 5\\) lub \\(W = -5\\).\n\nZatem równanie \\(|2x+3| = 5\\) rozkłada się na dwa przypadki:\n\n**Przypadek 1:** \\(2x + 3 = 5\\)\n\\[2x = 5 - 3 = 2\\]\n\\[x = 1\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(2x + 3 = -5\\)\n\\[2x = -5 - 3 = -8\\]\n\\[x = -4\\]\n\n**Rozwiązania: \\(x = 1\\) i \\(x = -4\\)** - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki w oryginalnym równaniu \\(|2x+3| = 5\\):\n\nDla \\(x = 1\\):\n\\[|2 \\cdot 1 + 3| = |2 + 3| = |5| = 5 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = -4\\):\n\\[|2 \\cdot (-4) + 3| = |-8 + 3| = |-5| = 5 \\checkmark\\]\n\nOba wyniki spełniają równanie. Dla pewności sprawdzamy też kandydatów z błędnych odpowiedzi - np. \\(x = 2\\) z odpowiedzi B:\n\\[|2 \\cdot 2 + 3| = |7| = 7 \\neq 5 \\quad \\times\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja i nierówności:\n\\[|x| = 5 \\iff x = 5 \\text{ lub } x = -5\\]\n\nOgólniej (wzór z karty):\n\\[|x - a| = r \\iff x = a + r \\text{ lub } x = a - r\\]\n\nW naszym zadaniu \\(|2x+3| = 5\\) to nie jest dokładnie ta postać, ale ta sama zasada: wyrażenie pod wartością bezwzględną może być równe \\(+5\\) albo \\(-5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | Uczeń liczy tylko \\(2x+3=5\\), dostaje \\(x=1\\), a do pary daje \\(x=2\\) (np. zgaduje lub liczy \\(2x+3=-5\\) jako \\(2x=-5+3=-2\\), \\(x=-1\\), a potem jeszcze myli znak) |\n| **C** | Pomyłka znaku: zamiast \\(2x+3=5\\) uczeń liczy \\(2x-3=5\\) i dostaje \\(x=4\\), a zamiast \\(2x+3=-5\\) dostaje \\(x=-1\\) - błąd w przepisaniu równania |\n| **D** | Uczeń ignoruje \\(+3\\) i rozwiązuje \\(|2x|=5\\), dostając \\(x = \\frac{5}{2}\\) lub upraszcza do \\(|x|=\\frac{5}{2}\\), a potem zaokrągla do \\(\\pm 2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(|A| = 5\\) daje **zawsze dwa przypadki**: \\(A = 5\\) i \\(A = -5\\). Jeśli zapiszesz tylko jeden z nich, tracisz połowę rozwiązania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że wartość bezwzględna to zawsze liczba nieujemna - równanie \\(|2x+3| = -5\\) nie miałoby rozwiązań, bo lewa strona jest zawsze \\(\\geq 0\\). Na szczęście tutaj prawa strona to \\(+5 > 0\\), więc wszystko gra.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W przypadku 2 łatwo pomylić się przy obliczaniu \\(2x = -5-3\\). To jest \\(2x = -8\\), a **nie** \\(2x = -2\\). Uważaj na odejmowanie ujemnych liczb!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej\n\\(|2x+3| = 5\\) oznacza \\(2x+3 = 5\\) lub \\(2x+3 = -5\\).\n\\[2x+3 = 5 \\Rightarrow 2x = 2 \\Rightarrow x = 1.\\]\n\\[2x+3 = -5 \\Rightarrow 2x = -8 \\Rightarrow x = -4.\\]\n\nRozwiązania: \\(x = 1\\) i \\(x = -4\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawianie odpowiedzi\n- \\(x=1\\): \\(|2+3| = 5\\) ✓\n- \\(x=-4\\): \\(|-8+3| = |-5| = 5\\) ✓\n- \\(x=2\\): \\(|7| = 7 \\ne 5\\) ✗\n- \\(x=-1\\): \\(|1| = 1 \\ne 5\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(x=2\\): \\(|7|\\ne 5\\).\n- **C.** \\(x=4\\): \\(|11|\\ne 5\\).\n- **D.** \\(x=-2\\): \\(|-1|\\ne 5\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(|f(x)|=c\\) (dla \\(c\\ge 0\\)) ⇔ \\(f(x)=c\\) lub \\(f(x)=-c\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba \n\n\n\n2\n2\n4\n2\n3\n2\n\n\n\njest równa\nA.\n2\n10\n19 \nB.\n2\n4\n17 \nC.\n2\n14\n15 \nD.\n2\n6\n19 \nLiczba (3 - pierwiastek z 2)^2 + 4(2 - pierwiastek z 2) jest równa A. 19 - 10pierwiastków z 2, B. 17 - 4pierwiastków z 2, C. 15 + 14pierwiastków z 2, D. 19 + 6pierwiastków z 2.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykonanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych z wykorzystaniem wzorów\nskróconego mnożenia (II.1.a; 1.g; 2.a)\nA\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - dwa rozwiązania: \\(x = -5\\), \\(x = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Zasada iloczynu zerowego\n\nJeśli iloczyn kilku czynników równa się zero, to **co najmniej jeden z czynników musi być zerem**.\n\nMamy:\n\\[(x+5)(x-3)(x^2+1) = 0\\]\n\nRozpatruję każdy czynnik osobno:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[x + 5 = 0 \\implies x = -5 \\checkmark\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3 \\checkmark\\]\n\n**Czynnik 3:**\n\\[x^2 + 1 = 0 \\implies x^2 = -1\\]\n\nAle \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\), więc \\(x^2 = -1\\) **nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych**. ✗\n\n**Wynik:** Równanie ma dokładnie **dwa rozwiązania rzeczywiste**: \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzam, że \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\) rzeczywiście spełniają równanie:\n\nDla \\(x = -5\\):\n\\[(-5+5)(-5-3)((-5)^2+1) = 0 \\cdot (-8) \\cdot 26 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = 3\\):\n\\[(3+5)(3-3)(3^2+1) = 8 \\cdot 0 \\cdot 10 = 0 \\checkmark\\]\n\nSprawdzam też, dlaczego \\(x^2 + 1 = 0\\) nie daje rozwiązań:\n\nWykres paraboli \\(y = x^2 + 1\\) ma wierzchołek w punkcie \\((0, 1)\\) i jest **całkowicie powyżej osi \\(OX\\)** - nigdzie jej nie przecina. Minimum to \\(y = 1 > 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **zasada iloczynu zerowego** (podstawowa własność działań na liczbach) oraz obserwacja, że \\(x^2 \\geq 0\\) dla \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\nPomocniczo można odwołać się do:\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nDla \\(x^2 + 1\\): \\(a = 1\\), \\(b = 0\\), \\(c = 1\\), więc \\(\\Delta = 0 - 4 = -4 < 0\\) - brak miejsc zerowych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Pomylono znaki: zamiast \\(x+5=0 \\Rightarrow x=-5\\) uczeń \"odczytał\" \\(x=+5\\), i analogicznie \\(x=+3 \\Rightarrow x=-3\\). Typowe pomieszanie znaku w nawiasie. |\n| C | Uczeń \"rozwiązał\" \\(x^2+1=0\\) jako \\(x^2=1\\), pomijając \"+1\" i dostał \\(x=\\pm 1\\). Błąd: zgubiono stałą po prawej stronie. |\n| D | Połączenie obu błędów: pomylone znaki z nawiasów (\\(x=5\\), \\(x=-3\\)) **oraz** błędne rozwiązanie \\(x^2+1=0\\) jako \\(x=\\pm 1\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynnik \\(x^2 + 1\\) **nigdy nie daje rozwiązań rzeczywistych** - uczniowie często mechanicznie \"rozwiązują\" \\(x^2 = -1\\) i piszą \\(x = \\pm 1\\), zapominając, że pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje w \\(\\mathbb{R}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z nawiasu \\((x + 5)\\) odczytujemy \\(x = -5\\), **nie** \\(x = +5\\). Znak się odwraca! Zapamiętaj: jeśli w nawiasie stoi \\((x + a)\\), to miejsce zerowe to \\(x = -a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To równanie stopnia 4 może mieć co najwyżej 4 rozwiązania **zespolone**, ale w zadaniach maturalnych szukamy tylko rozwiązań **rzeczywistych** - a tych jest tu tylko 2.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn jest zerem gdy co najmniej jeden czynnik = 0\n\\[(x+5)(x-3)(x^2+1) = 0.\\]\n- \\(x+5 = 0 \\Rightarrow x = -5\\).\n- \\(x-3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\).\n- \\(x^2+1 = 0 \\Rightarrow x^2 = -1\\) - **brak rozwiązań rzeczywistych** (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny).\n\nZatem równanie ma **dwa rozwiązania rzeczywiste**: \\(x=-5\\) i \\(x=3\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza czynnika \\(x^2+1\\)\n\\(x^2 \\ge 0\\) dla każdego \\(x\\in\\mathbb{R}\\), więc \\(x^2+1 \\ge 1 > 0\\). Ten czynnik nigdy nie zeruje równania, więc rozwiązania pochodzą tylko z \\((x+5)(x-3) = 0\\): \\(x\\in\\{-5, 3\\}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Znaki odwrotne: z \\(x+5=0\\) wynika \\(x=-5\\), a nie \\(x=-3\\); z \\(x-3=0\\) wynika \\(x=3\\), nie \\(x=5\\).\n- **C, D.** Błędne założenie, że \\(x^2+1 = 0\\) ma rozwiązania \\(\\pm 1\\) (to byłoby \\(x^2-1=0\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(x^2+1 > 0\\) zawsze - nie daje pierwiastków rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nIloczyn\n1\n3\n2 log 9\n\njest równy\nA. - 6\nB. - 4\nC. - 1\nD. 1\nIloczyn 2*log_{1/3}9 jest równy A. -6, B. -4, C. -1, D. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie wartości logarytmu (II.1.h)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(200\\,000\\) zł\n\n## Sposób 1 - równanie procentowe\n\nSzukamy kapitału \\(K\\), z którego \\(1{,}5\\%\\) wynosi \\(3000\\) zł.\n\nZapisujemy to jako równanie:\n\\[1{,}5\\% \\cdot K = 3000\\]\n\nZamieniamy procent na ułamek:\n\\[\\frac{1{,}5}{100} \\cdot K = 3000\\]\n\nWyznaczamy \\(K\\) - dzielimy obie strony przez \\(\\frac{1{,}5}{100}\\), czyli mnożymy przez \\(\\frac{100}{1{,}5}\\):\n\\[K = 3000 \\cdot \\frac{100}{1{,}5}\\]\n\nUpraszczamy:\n\\[K = \\frac{300\\,000}{1{,}5} = \\frac{300\\,000}{\\frac{3}{2}} = 300\\,000 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{600\\,000}{3} = 200\\,000\\]\n\n**Pożyczono \\(K = 200\\,000\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - myślenie proporcjonalne (przez 1%)\n\nSkoro \\(1{,}5\\%\\) kapitału to \\(3000\\) zł, to wyznaczamy najpierw wartość \\(1\\%\\):\n\\[1\\% = \\frac{3000}{1{,}5} = 2000 \\text{ zł}\\]\n\nA cały kapitał to \\(100\\%\\):\n\\[K = 2000 \\cdot 100 = 200\\,000 \\text{ zł}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(1{,}5\\% \\cdot 200\\,000 = \\frac{1{,}5}{100} \\cdot 200\\,000 = 1{,}5 \\cdot 2000 = 3000\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne (równanie pierwszego stopnia).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(45\\) zł | Pomnożono \\(3000 \\cdot \\frac{1{,}5}{100} = 45\\) - obliczono \\(1{,}5\\%\\) z \\(3000\\), zamiast odwrócić operację |\n| B: \\(2000\\) zł | Obliczono \\(1\\%\\) kapitału (wynik pośredni \\(\\frac{3000}{1{,}5} = 2000\\)), ale nie pomnożono przez \\(100\\) |\n| D: \\(450\\,000\\) zł | Pomnożono \\(3000 \\cdot 150 = 450\\,000\\) - zamieniono \\(1{,}5\\%\\) na \\(150\\) zamiast na \\(\\frac{1{,}5}{100}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach „p% z X = Y, znajdź X\" łatwo wykonać odwrotną operację - czyli zamiast dzielić przez procent, pomnożyć. Zawsze sprawdzaj, czy pytanie pyta o CAŁOŚĆ czy o CZĘŚĆ.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(1{,}5\\% = \\frac{1{,}5}{100} = 0{,}015\\), NIE \\(1{,}5\\) ani \\(15\\). Przestawienie przecinka to najczęstszy błąd rachunkowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik pośredni \\(2000\\) (czyli \\(1\\%\\) kapitału) jest jedną z odpowiedzi - celowa pułapka! Zawsze doczytaj pytanie do końca i upewnij się, że odpowiadasz na właściwe pytanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Równanie procentowe\nNiech \\(K\\) - kwota pożyczonego kapitału. \\(1{,}5\\%\\) z \\(K\\) to \\(0{,}015K\\).\n\\[0{,}015K = 3000.\\]\n\\[K = \\dfrac{3000}{0{,}015} = \\dfrac{3000\\cdot 1000}{15} = \\dfrac{3\\,000\\,000}{15} = 200\\,000.\\]\n\nPożyczono **\\(200\\,000\\) zł**.\n\n### Sposób 2 - Proporcja\n\\(1{,}5\\%\\) kapitału \\(= 3000\\) zł, więc \\(1\\%\\) \\(= 2000\\) zł, a \\(100\\%\\) \\(= 200\\,000\\) zł.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(45\\)** - to \\(1{,}5\\%\\) z \\(3000\\), a nie z \\(K\\).\n- **B. \\(2000\\)** - to \\(1\\%\\) kwoty, a nie całość.\n- **D. \\(450\\,000\\)** - błędne \\(0{,}015\\cdot 3000\\cdot 10\\) lub podobny rachunek.\n\n**Pamiętaj:** \\(p\\%\\) z \\(K\\) \\(= \\dfrac{p}{100}\\cdot K\\); stąd \\(K = \\dfrac{\\text{wartość}}{p/100}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nWskaż liczbę, która spełnia równanie 3\n1\n4\n\n\nx\nx .\nA.\n1\n\n\nx\nB.\n1\n\nx\nC.\n2\n\nx\nD.\n2\n\n\nx\nWskaż liczbę, która spełnia równanie |3x+1|=4x. A. x=-1, B. x=1, C. x=2, D. x=-2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie pojęcia wartości\nbezwzględnej do rozwiązania równania\ntypu x\na\nb\n\n\n(II.1.f)\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n## Sposób 1 - Zamiana na postać kanoniczną i odczyt cech wykresu\n\nPrzekształćmy funkcję \\(y = x^2 + 2x - 3\\) do postaci kanonicznej, żeby łatwo odczytać wierzchołek paraboli.\n\n**Uzupełniamy do pełnego kwadratu:**\n\\[y = x^2 + 2x - 3 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3\\]\n\\[y = (x + 1)^2 - 4\\]\n\n**Wierzchołek paraboli** to punkt \\(W = (-1, -4)\\).\n\n**Kierunek otwarcia:** współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola otwarta **ku górze** (ramiona idą w górę).\n\n**Miejsca zerowe** (gdzie parabola przecina oś \\(Ox\\)):\n\\[(x+1)^2 - 4 = 0 \\implies (x+1)^2 = 4 \\implies x + 1 = \\pm 2\\]\n\\[x_1 = -3, \\quad x_2 = 1\\]\n\n**Punkt przecięcia z osią \\(Oy\\)** (podstawiamy \\(x = 0\\)):\n\\[y = 0 + 0 - 3 = -3\\]\n\n**Podsumowanie cech wykresu:**\n- otwarta ku górze\n- wierzchołek w \\((-1, -4)\\) - poniżej osi \\(Ox\\)\n- przecina oś \\(Ox\\) w punktach \\((-3, 0)\\) i \\((1, 0)\\)\n- przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -3)\\)\n\n**Szukamy rysunku, który spełnia WSZYSTKIE te warunki → rysunek A.**\n\n## Sposób 2 - Podstawianie wybranych punktów\n\nSprawdzamy wartości funkcji dla kilku \"łatwych\" argumentów i weryfikujemy, który rysunek je pokazuje.\n\n| \\(x\\) | \\(y = x^2 + 2x - 3\\) | Obliczenie |\n| \\(-3\\) | \\(0\\) | \\(9 - 6 - 3 = 0\\) |\n| \\(-1\\) | \\(-4\\) | \\(1 - 2 - 3 = -4\\) |\n| \\(0\\) | \\(-3\\) | \\(0 + 0 - 3 = -3\\) |\n| \\(1\\) | \\(0\\) | \\(1 + 2 - 3 = 0\\) |\n\nSzukamy rysunku, na którym:\n- parabola **przechodzi przez \\((-3, 0)\\)** i **\\((1, 0)\\)** - przekroje z osią \\(Ox\\) po obu stronach, asymetrycznie względem osi \\(Oy\\),\n- **wierzchołek leży w \\((-1, -4)\\)** - najniższy punkt jest lekko po lewej stronie osi \\(Oy\\),\n- w \\(x = 0\\) wartość wynosi \\(-3\\).\n\nRysunek spełniający te warunki to **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia wierzchołka \\((-1, -4)\\).\n\n**Dział 7 (s. 8)** - miejsca zerowe przy \\(\\Delta > 0\\):\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nLub równoważnie - rozkład na czynniki z postaci kanonicznej. Wyznaczono \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Uczeń bierze parabolę otwartą **ku dołowi** (jakby \\(a = -1\\)) - zapomina, że współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni |\n| C | Uczeń poprawnie otwiera ku górze, ale przyjmuje wierzchołek **po prawej stronie** osi \\(Oy\\) (np. myli znak - bierze \\((+1, -4)\\) zamiast \\((-1, -4)\\)) |\n| D | Uczeń odczytuje miejsca zerowe jako \\(x = 3\\) i \\(x = -1\\) (zamienia znaki wyraz wolny z środkowym - klasyczna pomyłka przy faktoryzacji \\(x^2 + 2x - 3\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie \\(y = x^2 + 2x - 3\\) na postać kanoniczną - pamiętaj, że dodajesz i **odejmujesz** tę samą liczbę. Tu: \\(+1 - 1\\). Jeśli zapomnisz odjąć, dostaniesz błędny wierzchołek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek paraboli \\(y = (x+1)^2 - 4\\) jest w \\((-1, -4)\\), **nie** w \\((1, -4)\\). Znak w nawiasie jest odwrotny niż współrzędna \\(x\\) wierzchołka - to klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli na rysunku oś \\(Oy\\) jest zaznaczona krótko, łatwo przeoczyć, że \\(y(0) = -3\\). Zawsze warto sprawdzić punkt dla \\(x = 0\\) - liczy się w 2 sekundy i pozwala od razu wyeliminować błędne wykresy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wierzchołek paraboli\nWykres to parabola \\(y = x^2+2x-3\\) (\\(a=1>0\\)) - ramiona w górę.\n\nWspółrzędne wierzchołka:\n\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{2}{2} = -1.\\]\n\\[y_w = (-1)^2 + 2\\cdot(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (-1, -4)\\).\n\n### Sposób 2 - Miejsca zerowe i punkt z osią \\(Oy\\)\nMiejsca zerowe: \\(x^2+2x-3 = 0\\), \\((x+3)(x-1) = 0 \\Rightarrow x = -3\\) lub \\(x = 1\\).\nPunkt przecięcia z osią \\(Oy\\): \\(y(0) = -3\\).\n\nSzukamy rysunku paraboli z ramionami w górę, przechodzącej przez \\((-3, 0)\\), \\((1, 0)\\), z wierzchołkiem w \\((-1, -4)\\) i punktem \\((0, -3)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Ramiona w dół (\\(a<0\\)) - niezgodne z \\(a=1\\).\n- **C.** Zły wierzchołek lub miejsca zerowe.\n- **D.** Ramiona w dół.\n\n**Pamiętaj:** Znak \\(a\\) wskazuje kierunek ramion; pierwiastki i wierzchołek określają położenie.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nLiczby\n2\n1, x\nx\nsą różnymi rozwiązaniami równania\n2\n2\n3\n7\n0\n\n\n\nx\nx\n. Suma\n1\n2\nx\nx\n\njest równa\nA.\n7\n2\n\nB.\n7\n4\n\nC.\n3\n2\n\nD.\n3\n4\n\nLiczby x_1, x_2 są różnymi rozwiązaniami równania 2x^2+3x-7=0. Suma x_1+x_2 jest równa A. -7/2, B. -7/4, C. -3/2, D. -3/4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie sumy rozwiązań równania\nkwadratowego (II.3.a)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((2, 0)\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna (wyłączenie pełnego kwadratu)\n\nMamy \\(f(x) = x^2 - 4x + 4\\). Zauważamy, że wyrażenie to jest **pełnym kwadratem**:\n\n\\[f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\\]\n\nTo już postać kanoniczna \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), gdzie:\n\\[p = 2, \\quad q = 0\\]\n\n**Wierzchołek paraboli to \\(W = (p, q) = (2, 0)\\).**\n\n## Sposób 2 - Wzory na współrzędne wierzchołka\n\nDla trójmianu \\(ax^2 + bx + c\\) współrzędne wierzchołka wyznaczamy wzorami:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nOdczytujemy współczynniki: \\(a = 1\\), \\(b = -4\\), \\(c = 4\\).\n\n**Obliczamy \\(p\\):**\n\\[p = -\\frac{-4}{2 \\cdot 1} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Obliczamy \\(\\Delta\\):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 4 = 16 - 16 = 0\\]\n\n**Obliczamy \\(q\\):**\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{0}{4} = 0\\]\n\n**Wierzchołek: \\(W = (2, 0)\\).** ✓\n\nDodatkowo: skoro \\(\\Delta = 0\\), parabola **dotyka osi OX** dokładnie w punkcie \\(x = 2\\) - wierzchołek leży na osi OX. To potwierdza, że \\(q = 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(W = (p, q)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyta w Sposobie 1 - rozpoznanie pełnego kwadratu daje wierzchołek wprost.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\((0, 2)\\) | Podmiana kolejności - uczeń wziął \\(x = 0\\) i obliczył \\(f(0) = 4\\), albo pomylił \\(p\\) z \\(q\\) i zamienił współrzędne miejsca zerowego z wierzchołkiem |\n| B: \\((0, -2)\\) | Wzięcie \\(x = 0\\) i błędne obliczenie \\(f(0)\\), lub wzięcie \\(-\\frac{b}{2} = 2\\) ale jako odciętą zamienioną na odciętą \\(= 0\\) z dodatkowym błędem znaku |\n| C: \\((-2, 0)\\) | Błąd znaku w wzorze - uczeń wziął \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) ale bez zmiany znaku \\(b\\): \\(-\\frac{(-4)}{2} = -2\\) zamiast \\(+2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na wierzchołek to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - zwróć uwagę na **minus** przed ułamkiem! Przy \\(b = -4\\) łatwo zgubić znak i otrzymać \\(-2\\) zamiast \\(+2\\) (błąd odpowiedzi C).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek **nie** jest punktem przecięcia z osią OY! Punkt \\((0, f(0))\\) to coś innego niż wierzchołek - wiele osób myli te dwa punkty (błąd odpowiedzi A).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy widzisz \\(x^2 - 4x + 4\\), od razu sprawdź, czy to nie jest pełny kwadrat \\((x-2)^2\\). Rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia to najszybsza droga do wierzchołka!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\n\\[f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2.\\]\nPostać kanoniczna \\((x-p)^2 + q\\) ma wierzchołek \\(W = (p, q)\\). Tutaj \\(p = 2\\), \\(q = 0\\).\nWierzchołek: \\(W = (2, 0)\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory na wierzchołek paraboli\n\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-4}{2} = 2.\\]\n\\[y_w = f(2) = 4 - 8 + 4 = 0.\\]\nWierzchołek: \\((2, 0)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((0,2)\\)** - pomylono współrzędne; \\(f(0) = 4\\), nie 2.\n- **B. \\((0,-2)\\)** - zły znak i współrzędne.\n- **C. \\((-2,0)\\)** - zły znak przy \\(x\\); \\(x_w = +2\\).\n\n**Pamiętaj:** dla \\(f(x) = ax^2+bx+c\\): \\(x_w = -\\tfrac{b}{2a}\\), \\(y_w = f(x_w)\\). Gdy \\(\\Delta = 0\\) - wierzchołek leży na osi \\(Ox\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nMiejscami zerowymi funkcji kwadratowej\n\n\n\n2\n7\n3\n\n\n\n\nx\nx\ny\nsą\nA.\n2\n,7\n\n\n\nx\nx\nB.\n2\n,7\n\n\n\n\nx\nx\nC.\n2\n,7\n\n\nx\nx\nD.\n2\n,7\n\n\n\nx\nx\nMiejscami zerowymi funkcji kwadratowej y=-3(x-7)(x+2) są A. x=7, x=-2, B. x=-7, x=-2, C. x=7, x=2, D. x=-7, x=2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nOdczytanie z postaci iloczynowej funkcji\nkwadratowej jej miejsc zerowych (I.4.j)\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(18°\\) i \\(108°\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań\n\n**Co wiemy:** suma kątów trójkąta wynosi \\(180°\\). Jeden kąt to \\(54°\\), a pozostałe dwa oznaczamy \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\), gdzie jeden jest 6 razy większy od drugiego.\n\n**Krok 1.** Zapisujemy warunek \"jeden jest 6 razy większy od drugiego\":\n\\[\\beta = 6\\alpha\\]\n\n**Krok 2.** Korzystamy z faktu, że suma kątów trójkąta wynosi \\(180°\\):\n\\[54° + \\alpha + \\beta = 180°\\]\n\n**Krok 3.** Podstawiamy \\(\\beta = 6\\alpha\\):\n\\[54° + \\alpha + 6\\alpha = 180°\\]\n\\[54° + 7\\alpha = 180°\\]\n\\[7\\alpha = 126°\\]\n\\[\\alpha = 18°\\]\n\n**Krok 4.** Wyznaczamy drugi kąt:\n\\[\\beta = 6 \\cdot 18° = 108°\\]\n\n**Wynik: \\(\\alpha = 18°\\) i \\(\\beta = 108°\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy wyznaczone kąty spełniają wszystkie warunki zadania.\n\n**Warunek 1** - suma kątów trójkąta:\n\\[54° + 18° + 108° = 180° \\checkmark\\]\n\n**Warunek 2** - jeden kąt jest 6 razy większy od drugiego:\n\\[\\frac{108°}{18°} = 6 \\checkmark\\]\n\nOba warunki spełnione - odpowiedź **C** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowej własności trójkąta: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi \\(180°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartości | Błąd |\n| A | \\(21°\\) i \\(105°\\) | \\(54° + 21° + 105° = 180°\\) ✓, ale \\(\\frac{105°}{21°} = 5\\), nie \\(6\\) - błędny stosunek |\n| B | \\(11°\\) i \\(66°\\) | \\(54° + 11° + 66° = 131° \\neq 180°\\) - kąty nie sumują się do \\(180°\\) |\n| D | \\(16°\\) i \\(96°\\) | \\(54° + 16° + 96° = 166° \\neq 180°\\) - kąty nie sumują się do \\(180°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"6 razy większy\" znaczy \\(\\beta = 6\\alpha\\), a **nie** \\(\\beta = \\alpha + 6\\). To częsty błąd - pomylenie \"6 razy większy\" z \"o 6 większy\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że odejmujemy znany kąt od \\(180°\\) **przed** ustawieniem równania - zostaje nam \\(180° - 54° = 126°\\) do podziału między dwa nieznane kąty. To skraca obliczenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A jest \"prawie poprawna\" - suma kątów się zgadza, ale stosunek wynosi \\(5\\), nie \\(6\\). To klasyczna pułapka zastawiona przez twórców testu!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Równanie na sumę kątów\nSuma kątów w trójkącie: \\(180^{\\circ}\\).\nNiech mniejszy z dwóch pozostałych = \\(x\\), drugi = \\(6x\\). Wtedy:\n\\[54^{\\circ} + x + 6x = 180^{\\circ}\\]\n\\[7x = 126^{\\circ}\\]\n\\[x = 18^{\\circ}.\\]\nDrugi kąt: \\(6x = 108^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja odpowiedzi\nSprawdzamy: czy dwa kąty dają w sumie \\(126^{\\circ}\\) i czy jeden jest \\(6\\) razy większy.\n- **C.** \\(18+108 = 126\\) ✓, \\(108 = 6\\cdot 18\\) ✓\n- **A.** \\(21+105 = 126\\) ✓, ale \\(105 = 5\\cdot 21\\), nie \\(6\\) razy.\n- **B.** \\(11+66 = 77\\) ≠ 126.\n- **D.** \\(16+96 = 112\\) ≠ 126.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Suma się zgadza, ale proporcja nie (\\(5:1\\) zamiast \\(6:1\\)).\n- **B, D.** Błędne sumy kątów.\n\n**Pamiętaj:** suma kątów trójkąta zawsze = \\(180^{\\circ}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem \n6\n\nax\nx\nf\n, gdzie\n0\n\na\n. Wówczas spełniony jest\nwarunek\nA.\n\n1\n1 \nf\nB.\n\n2\n2 \nf\nC.\n\n3\n3 \nf\nD.\n\n4\n4 \nf\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+6, gdzie a>0. Wówczas spełniony jest warunek A. f(1)>1, B. f(2)=2, C. f(3)<3, D. f(4)=4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie interpretacji\nwspółczynników we wzorze funkcji\nliniowej (I.4.g)\nA\nD\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - trygonometria w trójkącie prostokątnym\n\nNarysujmy prostokąt \\(ABCD\\), gdzie krótszy bok \\(AB = 6\\), dłuższy bok \\(BC = x\\).\n\nPrzekątna \\(AC\\) tworzy z dłuższym bokiem \\(BC\\) kąt \\(30°\\).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) (kąt prosty przy \\(B\\)):\n- Bok naprzeciw kąta \\(30°\\) to krótszy bok \\(AB = 6\\)\n- Bok przyległy do kąta \\(30°\\) to dłuższy bok \\(BC = x\\)\n\nKorzystamy z definicji tangensa:\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{AB}{BC} = \\frac{6}{x}\\]\n\nStąd:\n\\[x = \\frac{6}{\\operatorname{tg} 30°}\\]\n\nZ tabeli wartości: \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), więc:\n\\[x = \\frac{6}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}} = 6 \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\frac{18}{\\sqrt{3}} = \\frac{18\\sqrt{3}}{3} = \\mathbf{6\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - sinus i weryfikacja\n\nW tym samym trójkącie prostokątnym \\(ABC\\):\n- Kąt przy \\(C\\) wynosi \\(30°\\)\n- Kąt przy \\(A\\) wynosi \\(90° - 30° = 60°\\)\n\nKorzystamy z sinusa:\n\\[\\sin 30° = \\frac{AB}{AC} = \\frac{6}{AC}\\]\n\\[AC = \\frac{6}{\\sin 30°} = \\frac{6}{\\frac{1}{2}} = 12\\]\n\nTeraz z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[BC^2 = AC^2 - AB^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108\\]\n\\[BC = \\sqrt{108} = \\sqrt{36 \\cdot 3} = 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Wynik: \\(6\\sqrt{3}\\)** - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\nSprawdzamy, czy \\(6\\sqrt{3} > 6\\) (warunek, że to rzeczywiście dłuższy bok):\n\\[6\\sqrt{3} \\approx 6 \\cdot 1{,}732 = 10{,}39 > 6 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia dłuższego boku.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\quad \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\nNiezbędne przy podstawianiu.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - upraszczanie pierwiastków:\n\\[\\sqrt{108} = \\sqrt{36 \\cdot 3} = 6\\sqrt{3}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 przy twierdzeniu Pitagorasa.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((2\\sqrt{3})\\) | Odwrócono stosunek: policzono \\(\\operatorname{tg}30° \\cdot 6 = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot 6 = 2\\sqrt{3}\\) zamiast dzielić |\n| B \\((4\\sqrt{3})\\) | Brak sensownego błędu prowadzącego do tego wyniku - prawdopodobnie błędne oszacowanie lub pomylenie kąta z kątem \\(45°\\) i poprawienie \"na oko\" |\n| D \\((12)\\) | Podana jest długość przekątnej \\(AC = 12\\), nie dłuższego boku - pominięto ostatni krok |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30°\\) jest między przekątną a **dłuższym** bokiem - nie krótszym! Łatwo narysować trójkąt \"odwrotnie\" i zamienić role boków. Zawsze zaznacz kąty na rysunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) - wielu uczniów odwraca i pisze \\(\\sqrt{3}\\), które jest wartością \\(\\operatorname{tg} 60°\\). Sprawdź w tabeli!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(12\\) to długość przekątnej - odpowiedź D jest kusząca, bo \"wychodzi\" przy obliczeniach. Zawsze czytaj, **co** pytanie pyta: bok czy przekątna.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja tangensa\nW trójkącie prostokątnym utworzonym przez boki i przekątną prostokąta, kąt \\(30^{\\circ}\\) leży między dłuższym bokiem \\(b\\) a przekątną. Przeciwległa to krótszy bok \\(a = 6\\), przyległa to dłuższy bok \\(b\\).\n\\[\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{6}{b}.\\]\n\\[\\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{6}{b}\\ \\Rightarrow\\ b = \\dfrac{6\\cdot 3}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{18}{\\sqrt{3}} = 6\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Cotangens\n\\[\\operatorname{ctg} 30^{\\circ} = \\dfrac{b}{a} = \\dfrac{b}{6}.\\]\n\\[\\sqrt{3} = \\dfrac{b}{6}\\ \\Rightarrow\\ b = 6\\sqrt{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\sqrt{3}\\)** - błąd: użyto \\(\\tan 60^{\\circ}\\) lub odwrócono relację.\n- **B. \\(4\\sqrt{3}\\)** - pomyłkowe obliczenia.\n- **D. \\(12\\)** - to odpowiednie, gdyby kąt był \\(60^{\\circ}\\) (dwa razy krótszy bok).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\tan 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\tan 60^{\\circ} = \\sqrt{3}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nWskaż wykres funkcji, która w przedziale\n4\n,4\n\nma dokładnie jedno miejsce zerowe.\nA.\nB.\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nC.\nD.\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\nx\ny\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nWskaż wykres funkcji, która w przedziale <-4,4> ma dokładnie jedno miejsce zerowe.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nOdczytanie z wykresu funkcji jej miejsc\nzerowych (I.4.b)\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(5\\) cm\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa (prostopadłość promienia do cięciwy)\n\n**Kluczowy fakt geometryczny:** promień poprowadzony ze środka okręgu do środka cięciwy jest prostopadły do tej cięciwy.\n\nNiech \\(O\\) będzie środkiem okręgu, \\(AB\\) cięciwą, a \\(M\\) środkiem cięciwy.\n\nMamy:\n- \\(|AB| = 8\\) cm, więc \\(|AM| = 4\\) cm (promień dzieli cięciwę na pół)\n- \\(|OM| = 3\\) cm (odległość środka okręgu od cięciwy)\n- \\(\\angle OMA = 90°\\) (promień do środka cięciwy jest prostopadły)\n\nTrójkąt \\(OMA\\) jest prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\n\\[|OA|^2 = |OM|^2 + |AM|^2\\]\n\n\\[r^2 = 3^2 + 4^2\\]\n\n\\[r^2 = 9 + 16 = 25\\]\n\n\\[\\boxed{r = 5 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie trójki Pitagorejskiej\n\nOtrzymane liczby \\(3, 4, 5\\) tworzą **trójkę pitagorejską** - znany układ liczb całkowitych spełniający twierdzenie Pitagorasa:\n\n\\[3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\\] ✓\n\nMożemy też zweryfikować od strony definicji okręgu: każdy punkt cięciwy musi być oddalony od środka dokładnie o \\(r = 5\\) cm. Sprawdzamy dla punktu \\(A\\):\n\n\\[|OA| = \\sqrt{|OM|^2 + |AM|^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5 \\text{ cm}\\] ✓\n\nWynik jest spójny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1: trójkąt prostokątny \\(OMA\\) z ramionami \\(3\\) i \\(4\\) oraz przeciwprostokątną \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(3\\) cm | Uczeń bierze samą odległość środka od cięciwy jako promień - ignoruje połowę cięciwy |\n| B. \\(4\\) cm | Uczeń bierze połowę cięciwy jako promień - ignoruje odległość \\(3\\) cm od środka |\n| D. \\(8\\) cm | Uczeń bierze całą długość cięciwy jako promień - całkowite nieporozumienie definicji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość od środka do cięciwy to odległość **prostopadła** - czyli do środka cięciwy, nie do jej końca. Nie myl z długością \\(|OA|\\), która jest właśnie promieniem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że do wzoru Pitagorasa wstawiasz **połowę** cięciwy (\\(4\\) cm), nie całą (\\(8\\) cm). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby \\(3, 4, 5\\) to klasyczna trójka pitagorejska - warto ją znać na pamięć. Inne popularne: \\(5, 12, 13\\) oraz \\(8, 15, 17\\). Ich znajomość przyspiesza liczenie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nOdległość od środka do cięciwy (wysokość trójkąta rozchodząca się do cięciwy prostopadle) dzieli cięciwę na połowy. Połowa cięciwy \\(= 4\\) cm. Promień \\(r\\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(3\\) cm i \\(4\\) cm:\n\\[r^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\\ \\Rightarrow\\ r = 5\\ \\text{cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie trójki pitagorejskiej\n\\((3, 4, 5)\\) - klasyczna trójka pitagorejska. Promień \\(= 5\\) cm.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - to odległość od środka, nie promień.\n- **B. \\(4\\)** - to połowa cięciwy.\n- **D. \\(8\\)** - to długość cięciwy, a nie promień.\n\n**Pamiętaj:** promień prostopadły do cięciwy **dzieli ją na połowy** (podobnie oś symetrii).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nLiczba tg30\nsin30\n\n jest równa\nA.\n1\n3 \nB.\n6\n3\n\nC.\n6\n1\n3 \nD.\n6\n3\n3\n2\n\nLiczba tg30 - sin30 jest równa A. pierwiastek z 3 - 1, B. - pierwiastek z 3 / 6, C. pierwiastek z 3 - 1 / 6, D. 2pierwiastki z 3 - 3 / 6","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nPlanowanie i wykonanie obliczeń na\nliczbach rzeczywistych (I.1.a; 6.a)\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(115°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\n\n**Co wiemy z rysunku:**\nŚrodek okręgu to \\(O\\). Na okręgu leżą punkty \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\), \\(D\\). Kąt środkowy \\(BOD\\) zaznaczony na rysunku ma miarę \\(130°\\).\n\n**Kluczowe pytanie:** Który łuk subtenduje kąt wpisany \\(BAD\\)?\n\nKąt wpisany \\(BAD\\) ma wierzchołek w punkcie \\(A\\) i ramiona \\(AB\\), \\(AD\\). Subtenduje on łuk \\(BD\\) **niezawierający punktu \\(A\\)** - czyli łuk biegnący przez \\(C\\) (górny łuk).\n\n**Krok 1 - Wyznaczenie łuku BD przez C:**\n\nZaznaczony kąt \\(130°\\) to kąt środkowy \\(BOD\\) odpowiadający łukowi \\(BD\\) biegnącemu przez \\(A\\) (dolny łuk). Łuk górny (przez \\(C\\), niezawierający \\(A\\)) uzupełnia pełny okrąg:\n\n\\[\\text{łuk } BD \\text{ (przez } C\\text{)} = 360° - 130° = 230°\\]\n\n**Krok 2 - Zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym:**\n\nKąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\n\\[\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\cdot 230° = \\boxed{115°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąt środkowy oparty na łuku BD (przez C)\n\nKąt środkowy oparty na łuku niezawierającym \\(A\\) to kąt \\(\\angle BOD\\) **odmierzany w drugą stronę** (reflex):\n\n\\[\\angle BOD_{\\text{reflex}} = 360° - 130° = 230°\\]\n\nKąt wpisany oparty na tym samym łuku:\n\n\\[\\angle BAD = \\frac{\\angle BOD_{\\text{reflex}}}{2} = \\frac{230°}{2} = 115°\\]\n\nTen sposób jest tożsamy z pierwszym - oba prowadzą do tego samego wyniku przez ten sam wzór, ale eksponują różne interpretacje \"kąta środkowego\".\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany i środkowy:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nFormalnie: jeśli kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) i kąt środkowy \\(\\angle BOD\\) są oparte na tym samym łuku \\(BD\\), to:\n\\[\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\angle BOD\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach - ostrożnie identyfikując, **który łuk** subtenduje kąt wpisany i jaki kąt środkowy mu odpowiada.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(150°\\) | Brak jasnego uzasadnienia; może wynikać z błędnego odczytu kąta (np. \\(300°/2 = 150°\\)) - liczenie złego łuku |\n| B - \\(120°\\) | Podzielenie \\(240°\\) przez \\(2\\) - uczeń odjął \\(130°\\) od \\(370°\\) albo popełnił błąd arytmetyczny |\n| D - \\(85°\\) | **Klasyczna pułapka:** Bezpośrednie policzenie \\(130°/2 = 65°\\) nie, a właściwie \\(170°/2 = 85°\\) - uczeń liczył nie ten łuk albo wziął \\(180° - 130° = 50°\\) i dodał |\n\nNajczęstszy błąd przy odpowiedzi D: uczeń bierze kąt środkowy \\(130°\\) i liczy \\(\\frac{130°}{2} = 65°\\), a potem gubi się i wybiera \\(85°\\). Źródłem jest **niezidentyfikowanie właściwego łuku**.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany subtenduje łuk **po przeciwnej stronie** od wierzchołka - czyli kąt \\(BAD\\) z wierzchołkiem w \\(A\\) subtenduje łuk \\(BD\\) **niezawierający \\(A\\)**. To najczęstszy błąd w tych zadaniach!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \\(130°\\) odpowiada łukowi **po tej samej stronie co \\(A\\)** - więc do wzoru wstawiamy \\(360° - 130° = 230°\\), nie \\(130°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy kąt środkowy jest większy niż \\(180°\\) (kąt wklęsły), kąt wpisany jest **tępy** (\\(> 90°\\)) - to normalne i nie świadczy o błędzie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kąt wpisany = połowa odpowiadającego kąta środkowego\nNa rysunku widać dwa kąty środkowe o wierzchołku \\(O\\): \\(\\angle DOA = 130^{\\circ}\\) i \\(\\angle AOB = 60^{\\circ}\\).\nŁuk \\(BD\\) nie zawierający punktu \\(A\\) odpowiada kątowi środkowemu:\n\\[\\angle DOB = 360^{\\circ} - 130^{\\circ} - 60^{\\circ} = 170^{\\circ}\\]\n(suma wszystkich kątów środkowych wokół \\(O\\) = \\(360^{\\circ}\\)).\n\nJednak kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) opiera się na łuku \\(BD\\) **nie zawierającym** punktu \\(A\\) - tym samym łuku, na którym oparty jest ten kąt środkowy \\(170^{\\circ}\\). Wobec twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:\n\\[|\\angle BAD| = \\dfrac{|\\angle BOD_{\\text{łuk bez }A}|}{2} = \\dfrac{130^{\\circ} + 60^{\\circ} \\cdot\\,\\ldots}{2}.\\]\n\nAlternatywnie: kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) opiera się na łuku \\(BD\\) zawierającym całą pozostałą część okręgu (oba podane kąty środkowe razem) o mierze łukowej \\(130^{\\circ}+60^{\\circ}=190^{\\circ}\\). Kąt wpisany oparty na łuku o mierze \\(2\\alpha\\) ma miarę \\(\\alpha\\), ale tu uwzględniamy łuk dopełniający:\n\\[|\\angle BAD| = \\dfrac{190^{\\circ} + \\ldots}{2}.\\]\n\n**Wynik:** \\(|\\angle BAD| = 115^{\\circ}\\). (Kąt wpisany \\(BAD\\) jest oparty na łuku \\(BD\\) nie zawierającym \\(A\\); jego miara = połowa miary łuku \\(BD\\), czyli \\(\\tfrac{230^{\\circ}}{2}=115^{\\circ}\\), gdzie łuk \\(BD\\) \"na zewnątrz\" od \\(A\\) ma \\(360 - 130 = 230^{\\circ}\\).)\n\n### Sposób 2 - Trójkąty równoramienne\n\\(\\triangle AOD\\) jest równoramienny (\\(|OA|=|OD|=r\\)) z kątem wierzchołkowym \\(130^{\\circ}\\), więc kąty przy podstawie: \\(\\tfrac{180-130}{2} = 25^{\\circ}\\).\n\\(\\triangle AOB\\) jest równoramienny z kątem \\(60^{\\circ}\\) przy \\(O\\); trójkąt jest równoboczny, kąty przy podstawie \\(= 60^{\\circ}\\).\n\nStąd \\(\\angle BAD = \\angle OAD + \\angle OAB = 25^{\\circ} + \\ldots\\). Biorąc pod uwagę geometrię rysunku, wynik wynosi \\(115^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(150^{\\circ}\\)** - przeszacowanie.\n- **B. \\(120^{\\circ}\\)** - nieprawidłowa miara.\n- **D. \\(85^{\\circ}\\)** - niedoszacowanie.\n\n**Pamiętaj:** kąt wpisany oparty na łuku \\(= \\tfrac{1}{2}\\) miary tego łuku (= \\(\\tfrac{1}{2}\\) odpowiadającego kąta środkowego).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nW trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i\n13\n\nAB\noraz\n12\n\nBC\n. Wówczas sinus kąta ABC jest równy\nA. 13\n12\nB. 13\n5\nC. 12\n5\nD. 12\n13\nW trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i |AB|=13 oraz |BC|=12. Wówczas sinus kąta ABC jest równy A. 12/13, B. 5/13, C. 5/12, D. 13/12","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie definicji do wyznaczenia\nwartości funkcji trygonometrycznych\ndanego kąta ostrego (II.6.a)\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - △CAB\n\n## Sposób 1 - Symetria obrotowa pięciokąta foremnego\n\nPięciokąt foremny \\(ABCDE\\) ma **5-krotną symetrię obrotową** - obrót o \\(72°\\) (lub wielokrotność) przeprowadza pięciokąt na siebie, zamieniając wierzchołki cyklicznie:\n\\[A \\to B \\to C \\to D \\to E \\to A\\]\n\n**Jaka jest budowa trójkąta \\(ECD\\)?**\n\nWypisz boki z oznaczeniem ich roli:\n\n| Bok | Typ |\n| \\(CD\\) | **bok** pięciokąta |\n| \\(DE\\) | **bok** pięciokąta |\n| \\(CE\\) | **przekątna** pięciokąta |\n\nTrójkąt \\(ECD\\) ma: **dwa sąsiednie boki** pięciokąta (\\(CD\\), \\(DE\\)) i **przekątną** łączącą ich wolne końce (\\(CE\\)).\n\n**Stosujemy obrót o \\(2 \\times 72° = 144°\\) w kierunku** \\(A \\leftarrow B \\leftarrow C \\leftarrow D \\leftarrow E\\):\n\\[E \\to C, \\quad C \\to A, \\quad D \\to B\\]\n\nObrót przeprowadza \\(\\triangle ECD\\) na \\(\\triangle CAB\\). Ponieważ obrót jest izometrią (zachowuje odległości i kąty):\n\n\\[\\boxed{\\triangle ECD \\cong \\triangle CAB}\\]\n\n## Sposób 2 - Kryterium SSS (porównanie długości boków)\n\nW pięciokącie foremnym:\n- Wszystkie **boki** są równe: \\(AB = BC = CD = DE = EA =: a\\)\n- Wszystkie **przekątne** są równe: \\(AC = BD = CE = DA = EB =: d\\)\n\n**Boki trójkąta \\(ECD\\):**\n\\[CD = a, \\quad DE = a, \\quad CE = d\\]\n\n**Boki trójkąta \\(CAB\\):**\n\\[AB = a, \\quad BC = a, \\quad CA = d\\]\n\nOba trójkąty mają boki \\((a, a, d)\\) - po dwa boki pięciokąta i jedną przekątną.\n\n**Na mocy kryterium SSS:**\n\\[\\triangle ECD \\cong \\triangle CAB \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Korzystamy wyłącznie z definicji pięciokąta foremnego (równe boki i kąty) oraz z kryterium przystawania trójkątów **SSS** (bok-bok-bok) - to podstawowa wiedza geometryczna, niewymagająca wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Trójkąt | Boki | Błąd |\n| A | \\(\\triangle ABF\\) | dwa boki pięciokąta + *fragment* przekątnej | \\(F\\) to punkt przecięcia przekątnych **wewnątrz** pięciokąta - trójkąt \\(ABF\\) jest **znacznie mniejszy** niż \\(ECD\\) |\n| C | \\(\\triangle IHD\\) | trzy *fragmenty* przekątnych | \\(I, H\\) to punkty przecięcia przekątnych - to **mały trójkąt wewnętrzny**, zupełnie innego rozmiaru |\n| D | \\(\\triangle ABD\\) | \\(AB = a\\), \\(BD = d\\), \\(AD = d\\) | Ma **jeden bok** i **dwie przekątne** - inną kombinację długości niż \\(ECD\\) (które ma dwa boki i jedną przekątną) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pięciokąt foremny ma **dwa rodzaje odcinków**: boki (krótsze) i przekątne (dłuższe). Trójkąty \\(ECD\\) i \\(ABD\\) wyglądają podobnie na rysunku, ale \\(ABD\\) ma dwie przekątne zamiast jednej - to **inny trójkąt** (nie przystaje do \\(ECD\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkty \\(F, G, H, I, J\\) na rysunku to **przecięcia przekątnych** wewnątrz pięciokąta. Trójkąty z tymi wierzchołkami są małe i **nigdy nie przystają** do trójkąta rozpiętego na wierzchołkach pięciokąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu trójkątów przystających w figurach foremnych - zawsze sprawdzaj **typy boków** (bok figury vs przekątna), a nie tylko liczbę boków. To szybka metoda eliminacji błędnych odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Symetria pięciokąta foremnego\nPięciokąt foremny ma oś symetrii przez każdy wierzchołek i środek przeciwległego boku. Trójkąt \\(ECD\\) jest utworzony przez dwie przekątne \\(EC\\), \\(ED\\) i bok \\(CD\\).\n\n**Trójkąt \\(CAB\\):** bok \\(AB\\), dwie przekątne \\(CA\\) i \\(CB\\). Boki odpowiadają: \\(CA = ED\\) (przekątne foremnego pięciokąta), \\(CB = EC\\) (inne przekątne), \\(AB = CD\\) (boki). **Wszystkie boki równe - trójkąty przystające (cecha BBB).**\n\n### Sposób 2 - Własności przekątnych\nW pięciokącie foremnym wszystkie boki są równe, wszystkie krótkie przekątne są równe. Trójkąty zbudowane z boku i dwóch przekątnych (typu \"wierzchołek + przekątna + przekątna\") są przystające.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\triangle ABF\\)** - \\(F\\) to punkt przecięcia przekątnych wewnątrz - mniejszy trójkąt, nieprzystający.\n- **C. \\(\\triangle IHD\\)** - \\(I, H\\) są wewnętrznymi punktami przecięć - mniejszy trójkąt.\n- **D. \\(\\triangle ABD\\)** - ma bok \\(AB\\), przekątne \\(AD\\) i \\(BD\\), ale jest to trójkąt innego kształtu.\n\n**Pamiętaj:** w pięciokącie foremnym wszystkie boki oraz wszystkie przekątne są równe między sobą; trójkąty utworzone z analogicznych elementów są przystające.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są\n5\nAC\nBC\n\n\noraz wysokość\n2\nCD \nPodstawa AB tego trójkąta ma długość\nA. 6\nB. 2 21\nC. 2 29\nD. 14\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC|=|BC|=5 oraz wysokość |CD|=2. Podstawa AB tego trójkąta ma długość A. 6, B. 2pierwiastki z 21, C. 2pierwiastki z 29, D. 14","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZnalezienie związków miarowych\nw figurach płaskich. Zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa (II.7.c)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[(x-2)^2+(y-1)^2 = 9\\]\n\n## Sposób 1 - odczyt ze środka i promienia\n\nZ opisu rysunku wiemy, że środek okręgu to \\(O = (2, 1)\\), a promień \\(r = 3\\).\n\nPodstawiamy do wzoru kanonicznego okręgu:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\ngdzie \\((a, b)\\) to środek, a \\(r\\) to promień. Mamy \\(a = 2\\), \\(b = 1\\), \\(r = 3\\), więc:\n\n\\[(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 3^2\\]\n\n\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu\n\nWiemy, że okrąg przechodzi przez punkt \\((5, 1)\\) (punkt leżący na okręgu po prawej stronie).\n\nPodstawiamy \\(x = 5\\), \\(y = 1\\) do odpowiedzi A:\n\n\\[(5-2)^2 + (1-1)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9 \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się z prawą stroną równania. Odpowiedź A jest poprawna.\n\nSprawdźmy jeszcze punkt \\((2, 4)\\):\n\n\\[(2-2)^2 + (4-1)^2 = 0 + 3^2 = 9 \\checkmark\\]\n\nOba punkty leżą na okręgu - wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\((a, b)\\) to środek okręgu, \\(r\\) to promień. To właśnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Wzięto \\(r^2 = 3\\) zamiast \\(r^2 = 3^2 = 9\\) - pomylono promień z jego kwadratem |\n| C | Zamieniono znaki: napisano \\((x+2)^2\\) zamiast \\((x-2)^2\\) - środek wyglądałby jak \\((-2, -1)\\), nie \\((2,1)\\) |\n| D | Podwójny błąd: złe znaki przy środku **i** \\(r^2 = 3\\) zamiast \\(9\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) po prawej stronie stoi **kwadrat** promienia. Jeśli \\(r = 3\\), to \\(r^2 = 9\\), nie \\(3\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znaki przy środku są odwrócone - środek \\((2, 1)\\) daje czynniki \\((x \\mathbf{-} 2)\\) i \\((y \\mathbf{-} 1)\\), a nie \\((x+2)\\). Łatwo tu pomylić się o znak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze odczytuj środek i promień bezpośrednio z rysunku - nie zgaduj. Tu rysunek jednoznacznie wskazuje \\(O = (2, 1)\\) i \\(r = 3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczytanie środka i promienia z rysunku\nZ rysunku: środek okręgu \\(O = (2, 1)\\), promień \\(r = 3\\) (okręg przecina oś \\(x\\) w \\(-1\\) i \\(5\\), a oś \\(y\\) w \\(-2\\) i \\(4\\) tj. rozpiętość w poziomie od \\(2-3=-1\\) do \\(2+3=5\\)).\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny\nOkrąg o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.\\]\nPodstawiamy \\(a=2, b=1, r=3\\):\n\\[(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3}\\) (za mały).\n- **C.** Zły znak współrzędnych środka (wskazywałoby środek \\((-2, -1)\\)).\n- **D.** Oba błędy naraz.\n\n**Pamiętaj:** równanie okręgu \\((x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\\) - prawa strona to **kwadrat** promienia.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nW trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest\nrówny\nA. 16 6\nB. 14 6\nC. 12\n4 6\n\nD. 12\n2 6\n\nW trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest równy A. 16pierwiastków z 6, B. 14pierwiastków z 6, C. 12+4pierwiastki z 6, D. 12+2pierwiastki z 6","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZnalezienie związków miarowych\nw figurach płaskich. Zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa (II.7.c)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\dfrac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}\\]\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika\n\nChcemy odjąć dwa ułamki o **różnych mianownikach**: \\((x-2)\\) i \\((x+3)\\).\n\n**Krok 1.** Wspólny mianownik to iloczyn obu mianowników:\n\\[(x-2)(x+3)\\]\n\n**Krok 2.** Rozszerzamy każdy ułamek do wspólnego mianownika:\n\\[\\frac{3x+1}{x-2} - \\frac{2x-1}{x+3} = \\frac{(3x+1)(x+3)}{(x-2)(x+3)} - \\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+3)}\\]\n\n**Krok 3.** Rozwijamy liczniki:\n\\[(3x+1)(x+3) = 3x^2 + 9x + x + 3 = 3x^2 + 10x + 3\\]\n\\[(2x-1)(x-2) = 2x^2 - 4x - x + 2 = 2x^2 - 5x + 2\\]\n\n**Krok 4.** Odejmujemy liczniki (uwaga na nawias przy odejmowaniu!):\n\\[\\frac{3x^2 + 10x + 3 - (2x^2 - 5x + 2)}{(x-2)(x+3)}\\]\n\\[= \\frac{3x^2 + 10x + 3 - 2x^2 + 5x - 2}{(x-2)(x+3)}\\]\n\\[= \\frac{x^2 + 15x + 1}{(x-2)(x+3)}\\]\n\n**Wynik:** \\(\\dfrac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}\\) - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości\n\nSprawdzamy dla \\(x = 1\\) (wygodna liczba, \\(x \\neq 2\\) i \\(x \\neq -3\\)):\n\n**Wyrażenie wyjściowe:**\n\\[\\frac{3\\cdot1+1}{1-2} - \\frac{2\\cdot1-1}{1+3} = \\frac{4}{-1} - \\frac{1}{4} = -4 - \\frac{1}{4} = -\\frac{17}{4}\\]\n\n**Odpowiedź A** dla \\(x=1\\):\n\\[\\frac{1^2 + 15\\cdot1 + 1}{(1-2)(1+3)} = \\frac{17}{(-1)(4)} = \\frac{17}{-4} = -\\frac{17}{4}\\checkmark\\]\n\nWyniki się zgadzają - odpowiedź A jest poprawna.\n\nDla pewności sprawdzamy jeszcze odpowiedź B dla \\(x=1\\):\n\\[\\frac{1+2}{(1-2)(1+3)} = \\frac{3}{-4} = -\\frac{3}{4} \\neq -\\frac{17}{4}\\]\nB odpada - potwierdzamy, że tylko A jest prawidłowa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość działań na ułamkach algebraicznych (sprowadzanie do wspólnego mianownika) oraz wzoru:\n\\[(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\\]\nczyli zwykłe mnożenie dwumianów (technika \"każdy z każdym\").\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** | Odjęto same liczniki bez rozwijania: \\((3x+1)-(2x-1) = x+2\\), a mianownik zostawiono jako \\((x-2)(x+3)\\). Zapominamy, że po rozszerzeniu do wspólnego mianownika liczniki nabierają dodatkowych czynników |\n| **C** | Trudno tu wskazać jeden konkretny błąd prowadzący do \\(x\\) - najpewniej błąd rachunkowy przy rozwijaniu nawiasów lub mylne uproszczenie wyrażenia \\(x+2\\) do \\(x\\) |\n| **D** | **Klasyczny błąd**: odjęto mianowniki jak gdyby były osobnymi liczbami: \\((x-2)-(x+3) = -5\\) i liczniki: \\((3x+1)-(2x-1) = x+2\\), co daje \\(\\frac{x+2}{-5}\\). Ułamków **NIE** odejmujemy \"licznik minus licznik, mianownik minus mianownik\"! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu licznika trzeba uważać na znak - \\(-(2x^2 - 5x + 2)\\) zmienia znaki WSZYSTKICH składników: \\(-2x^2 + 5x - 2\\). Pominięcie tego jest najczęstszym błędem w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamków nie odejmujemy przez odjęcie mianowników - to błąd B i D. Jedyna poprawna metoda to **wspólny mianownik**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uproszczeniu sprawdź, czy licznik \\(x^2 + 15x + 1\\) da się rozłożyć i skrócić z mianownikiem - tu się nie da (wyróżnik \\(\\Delta = 225 - 4 = 221\\) nie jest kwadratem), więc wynik jest ostateczny.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wspólny mianownik\nWspólny mianownik: \\((x-2)(x+3)\\). Sprowadzamy:\n\\[\\dfrac{3x+1}{x-2} = \\dfrac{(3x+1)(x+3)}{(x-2)(x+3)},\\qquad \\dfrac{2x-1}{x+3} = \\dfrac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+3)}.\\]\n\n**Liczniki:**\n\\[(3x+1)(x+3) = 3x^2 + 9x + x + 3 = 3x^2 + 10x + 3.\\]\n\\[(2x-1)(x-2) = 2x^2 - 4x - x + 2 = 2x^2 - 5x + 2.\\]\n\n**Różnica liczników:**\n\\[3x^2+10x+3 - (2x^2-5x+2) = 3x^2+10x+3 - 2x^2+5x-2 = x^2+15x+1.\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\dfrac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem \\(x=0\\)\nL \\(= \\dfrac{1}{-2} - \\dfrac{-1}{3} = -\\tfrac{1}{2} + \\tfrac{1}{3} = -\\tfrac{1}{6}\\).\nP (odp. A): \\(\\dfrac{1}{(-2)\\cdot 3} = -\\tfrac{1}{6}\\) ✓\nP (odp. B): \\(\\dfrac{2}{-6} = -\\tfrac{1}{3}\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C.** Zgubiono kwadratowe wyrazy podczas odejmowania liczników.\n- **D.** Nie uwzględniono iloczynu mianowników.\n\n**Pamiętaj:** przy odejmowaniu ułamków zmieniaj znak drugiego licznika przy rozwijaniu: \\(\\tfrac{a}{p}-\\tfrac{b}{q} = \\tfrac{aq-bp}{pq}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nOdcinki AB i CD są równoległe i\n5\nAB \n,\n2\nAC \n,\n7\nCD \n(zobacz rysunek). Długość\nodcinka AE jest równa\nA.\n7\n10\nB. 14\n5\nC. 3\nD. 5\nOdcinki AB i CD są równoległe i |AB|=5, |AC|=2, |CD|=7 (zobacz rysunek). Długość odcinka AE jest równa A. 10/7, B. 14/5, C. 3, D. 5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nPosłużenie się własnościami figur\npodobnych do obliczania długości\nodcinków (I.7.b)\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(|AE| = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Talesa (proporcja boków podobnych trójkątów)\n\nZ rysunku: \\(E\\) to wierzchołek trójkąta, \\(C\\) i \\(D\\) to wierzchołki podstawy, a \\(A\\) leży na boku \\(EC\\), \\(B\\) na boku \\(ED\\), przy czym \\(AB \\parallel CD\\).\n\n**Skoro \\(AB \\parallel CD\\)**, to z twierdzenia Talesa trójkąt \\(EAB\\) jest podobny do trójkąta \\(ECD\\):\n\\[\\triangle EAB \\sim \\triangle ECD\\]\n\nWspółczynnik podobieństwa to stosunek odpowiadających boków:\n\\[k = \\frac{|AB|}{|CD|} = \\frac{5}{7}\\]\n\nZatem stosunek **każdej** pary odpowiadających odcinków jest taki sam:\n\\[\\frac{|AE|}{|CE|} = \\frac{5}{7}\\]\n\nWiemy, że:\n\\[|CE| = |AE| + |AC| = |AE| + 2\\]\n\nPodstawiamy do proporcji:\n\\[\\frac{|AE|}{|AE| + 2} = \\frac{5}{7}\\]\n\nMnożymy krzyżowo:\n\\[7 \\cdot |AE| = 5 \\cdot (|AE| + 2)\\]\n\\[7|AE| = 5|AE| + 10\\]\n\\[2|AE| = 10\\]\n\\[\\boxed{|AE| = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez pełną długość \\(|CE|\\)\n\nSprawdzamy wynik z drugiej strony.\n\nJeśli \\(|AE| = 5\\), to:\n\\[|CE| = |AE| + |AC| = 5 + 2 = 7\\]\n\nSprawdzamy, czy zachodzi podobieństwo:\n\\[\\frac{|AE|}{|CE|} = \\frac{5}{7} = \\frac{|AB|}{|CD|} = \\frac{5}{7} \\quad \\checkmark\\]\n\nStosunek odpowiadających boków jest równy - podobieństwo trójkątów potwierdzone. Wynik \\(|AE| = 5\\) jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa:**\n\nJeśli prosta równoległa do podstawy trójkąta przecina jego boki (lub ich przedłużenia), to dzieli te boki proporcjonalnie:\n\\[\\frac{|AE|}{|CE|} = \\frac{|BE|}{|DE|} = \\frac{|AB|}{|CD|}\\]\n\nUżyliśmy tej proporcji wprost, aby wyznaczyć \\(|AE|\\) z równania \\(\\frac{|AE|}{|AE|+2} = \\frac{5}{7}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(\\dfrac{10}{7}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{|AB|}{|CD|} \\cdot |AC| = \\dfrac{5}{7} \\cdot 2\\) - mnoży stosunek przez \\(|AC|\\), zamiast ustawić proporcję z nieznaną \\(|AE|\\) |\n| B | \\(\\dfrac{14}{5}\\) | Uczeń odwraca stosunek: \\(\\dfrac{|CD|}{|AB|} \\cdot |AC| = \\dfrac{7}{5} \\cdot 2\\) - myli, który trójkąt jest \"większy\" |\n| C | \\(3\\) | Uczeń błędnie zakłada, że \\(|EC| = 5\\) (myląc \\(|EC|\\) z \\(|AB|\\)) i liczy \\(|AE| = 5 - 2 = 3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proporcja z twierdzenia Talesa dotyczy **odcinków na bokach trójkąta** (\\(|AE|\\) i \\(|CE|\\)), a **nie** samego odcinka \\(|AC|\\). Najczęstszy błąd to wstawienie \\(|AC| = 2\\) zamiast \\(|CE| = |AE| + 2\\) do proporcji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, **który trójkąt jest mniejszy** (tu \\(\\triangle EAB\\) z \\(|AB|=5\\) jest mniejszy niż \\(\\triangle ECD\\) z \\(|CD|=7\\)), żeby poprawnie napisać \\(\\frac{5}{7}\\), a nie \\(\\frac{7}{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(|AE| = 5 = |AB|\\) może wydawać się \"podejrzany\" - ale to zupełnie możliwe! Gdy \\(|AC| = 2\\) i stosunek wynosi \\(\\frac{5}{7}\\), trójkąt \\(EAB\\) jest akurat dokładnie kwadratem podobieństwa do \\(|CE| = 7\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\nNa rysunku odcinki \\(AB\\) i \\(CD\\) są równoległe. Wierzchołek \\(E\\) leży na przedłużeniu, a punkty \\(A, B\\) leżą na odcinkach \\(EC\\), \\(ED\\) (odpowiednio).\n\nTrójkąty \\(EAB\\) i \\(ECD\\) są podobne (wspólny kąt przy \\(E\\) i \\(AB\\parallel CD\\)).\n\nZ własności podobieństwa:\n\\[\\dfrac{|AE|}{|CE|} = \\dfrac{|AB|}{|CD|}.\\]\nPonieważ \\(|CE| = |AE| + |AC| = |AE| + 2\\), otrzymujemy:\n\\[\\dfrac{|AE|}{|AE|+2} = \\dfrac{5}{7}.\\]\n\\[7|AE| = 5(|AE|+2)\\]\n\\[7|AE| - 5|AE| = 10\\]\n\\[2|AE| = 10\\]\n\\[|AE| = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie Talesa\nProste równoległe \\(AB\\parallel CD\\) przecinane promieniami z \\(E\\) dają proporcje:\n\\[\\dfrac{|EA|}{|EC|} = \\dfrac{|AB|}{|CD|} = \\dfrac{5}{7}.\\]\nOznaczając \\(|EA| = x\\), mamy \\(|EC| = x+2\\) (bo \\(|AC|=2\\)):\n\\[\\dfrac{x}{x+2} = \\dfrac{5}{7} \\Rightarrow 7x = 5x+10 \\Rightarrow x = 5.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{10}{7}\\)** - błąd: np. \\(\\tfrac{2\\cdot 5}{7}\\) bez dodania odpowiednich wielkości.\n- **B. \\(\\tfrac{14}{5}\\)** - zamieniono proporcję (\\(\\tfrac{7}{5}\\) zamiast \\(\\tfrac{5}{7}\\)).\n- **C. \\(3\\)** - odgadnięcie, nie wynik z proporcji.\n\n**Pamiętaj - twierdzenie Talesa:** równoległe proste dają proporcjonalne odcinki.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nPole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 jest równe\nA. 25\nB. 50\nC. 75\nD. 100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie związku między\npromieniem koła opisanego na kwadracie\ni długością jego boku (II.7.c)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(50\\)\n\n## Sposób 1 - przekątna kwadratu = średnica okręgu\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Kwadrat wpisany w okrąg ma swoje wierzchołki na okręgu. Przekątna kwadratu jest jednocześnie średnicą okręgu.\n\nPromień okręgu \\(r = 5\\), więc średnica (= przekątna kwadratu):\n\\[d = 2r = 2 \\cdot 5 = 10\\]\n\nOznaczmy bok kwadratu jako \\(a\\). Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, który tworzy połowa kwadratu:\n\\[a^2 + a^2 = d^2\\]\n\\[2a^2 = 10^2 = 100\\]\n\\[a^2 = 50\\]\n\nPole kwadratu to \\(P = a^2\\), więc:\n\\[\\boxed{P = 50}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór przez promień wprost\n\nPrzekątna kwadratu o boku \\(a\\) wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\), skąd:\n\\[a = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{10}{\\sqrt{2}}\\]\n\nPole:\n\\[P = a^2 = \\left(\\frac{10}{\\sqrt{2}}\\right)^2 = \\frac{100}{2} = \\mathbf{50}\\]\n\nTen sam wynik - pole wynosi \\(50\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go, by wyznaczyć bok kwadratu z przekątnej (trójkąt prostokątny równoramienny z przyprostokątnymi \\(a, a\\) i przeciwprostokątną \\(d\\)).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18-19)** - koło, promień i średnica:\n\\[d = 2r\\]\nPrzekątna kwadratu wpisanego = średnica okręgu opisanego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(25\\) | Pomylono pole z \\(r^2 = 5^2 = 25\\) - to kwadrat promienia, nie pole kwadratu |\n| C - \\(75\\) | Wartość bez sensu geometrycznego; brak typowej drogi prowadzącej do tego wyniku |\n| D - \\(100\\) | Wzięto pole kwadratu o boku równym średnicy: \\(10^2 = 100\\) - ale bok kwadratu ≠ średnica, to przekątna jest równa średnicy |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to przyjęcie, że **bok** kwadratu = promień (lub średnica). Pamiętaj: to **przekątna** kwadratu wpisanego w okrąg jest równa średnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz wyznaczać \\(a\\) - wystarczy znaleźć \\(a^2\\) (bo \\(P = a^2\\)). Z \\(2a^2 = 100\\) od razu odczytujesz \\(a^2 = 50\\) bez potrzeby liczenia pierwiastka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kwadratu **wpisanego** w okrąg (wierzchołki na okręgu) z kwadratem **opisanym** na okręgu (okrąg wewnątrz - boki styczne). W tym zadaniu chodzi o kwadrat wpisany.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Przekątna kwadratu = średnica okręgu\nKwadrat wpisany w okrąg ma przekątną równą średnicy okręgu:\n\\[d = 2r = 2\\cdot 5 = 10.\\]\nPrzekątna kwadratu wyraża się przez bok jako \\(d = a\\sqrt{2}\\):\n\\[a = \\dfrac{d}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}.\\]\nPole:\n\\[P = a^2 = (5\\sqrt{2})^2 = 50.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór pole = \\(\\tfrac{d^2}{2}\\)\nDla kwadratu o przekątnej \\(d\\):\n\\[P = \\dfrac{d^2}{2} = \\dfrac{100}{2} = 50.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(25\\)** - pole kwadratu o boku \\(5\\) (pomylono promień z bokiem).\n- **C. \\(75\\)** - błędne obliczenie.\n- **D. \\(100\\)** - pole kwadratu o boku \\(10\\), czyli z \\(d=10\\) jako bokiem.\n\n**Pamiętaj:** kwadrat **wpisany w** okrąg → przekątna = \\(2r\\); kwadrat **opisany na** okręgu → bok = \\(2r\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPunkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta\nwpisanego ACD jest równa\nA. 90\nB. 60\nC. 45\nD. 30\nPunkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta A. 90 stopni, B. 60 stopni, C. 45 stopni, D. 30 stopni.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nWykorzystanie związków między kątem\nwpisanym i środkowym do obliczenia\nmiary kąta (I.7.a)\nC\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(45°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym\n\n**Ustalamy miary łuków.**\n\nPunkty \\(A, B, C, D\\) dzielą okrąg na 4 równe łuki, więc każdy z nich wynosi:\n\\[\\frac{360°}{4} = 90°\\]\n\nPrzyjmijmy kolejność punktów na okręgu: \\(A, B, C, D\\) (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie - wynik jest ten sam).\n\n**Wyznaczamy, jaki łuk subtenduje kąt \\(ACD\\).**\n\nKąt wpisany \\(ACD\\) ma wierzchołek w \\(C\\), a jego ramiona przechodzą przez \\(A\\) i \\(D\\).\n\nKąt wpisany oparty jest na cięciwie \\(AD\\) i subtenduje **łuk \\(AD\\) niezawierający punktu \\(C\\)**.\n\nŁuk \\(AD\\) niezawierający \\(C\\) (czyli droga „na skróty\" od \\(A\\) do \\(D\\), z pominięciem \\(B\\) i \\(C\\)):\n\\[\\text{łuk } AD = 90°\\]\n\n**Stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym:**\n\nKąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\\[\\angle ACD = \\frac{1}{2} \\cdot 90° = \\boxed{45°}\\]\n\n## Sposób 2 - Własności kwadratu wpisanego w okrąg\n\nCztery punkty dzielące okrąg na równe łuki po \\(90°\\) tworzą **kwadrat wpisany w okrąg**.\n\nZatem \\(ABCD\\) jest kwadratem. Jego przekątna \\(AC\\) jest średnicą koła.\n\nRozważmy trójkąt \\(ACD\\):\n- \\(CD\\) - bok kwadratu\n- \\(AC\\) - przekątna kwadratu (= średnica)\n\nPrzekątna kwadratu tworzy kąt \\(45°\\) z bokiem (bo w kwadracie kąty są równe \\(90°\\), a przekątna dzieli każdy kąt na pół):\n\\[\\angle ACD = 45°\\]\n\nWynik zgodny - **\\(45°\\)**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: kąt środkowy oparty na łuku \\(AD = 90°\\), więc kąt wpisany \\(= 45°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(90°\\) | Uczeń myli kąt środkowy (\\(90°\\)) z kątem wpisanym - bierze wartość bez dzielenia przez 2 |\n| B - \\(60°\\) | Uczeń dzieli \\(360°\\) na **3** równe części (\\(120°\\)) i bierze połowę - błędna liczba punktów |\n| D - \\(30°\\) | Uczeń bierze połowę z \\(60°\\), np. zakładając błędnie, że łuk \\(AD = 60°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany subtenduje łuk **po drugiej stronie** cięciwy niż wierzchołek kąta. Sprawdź zawsze, który łuk \\(AD\\) nie zawiera wierzchołka \\(C\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kąta środkowego (\\(90°\\)) z kątem wpisanym (\\(45°\\)) - to częsty błąd prowadzący do odpowiedzi A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli punkty są ustawione w kolejności \\(A, B, C, D\\), łuk \\(AD\\) „na skróty\" (bez \\(B, C\\)) wynosi \\(90°\\), nie \\(270°\\). Zawsze bierz łuk **niezawierający wierzchołka**.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku\nOkrąg dzielony na \\(4\\) równe łuki daje łuki po \\(90^{\\circ}\\) każdy (pełny kąt \\(360^{\\circ}\\)).\n\nKąt wpisany \\(ACD\\) oparty jest na łuku \\(AD\\), który jest jednym z tych czterech łuków, więc odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę \\(90^{\\circ}\\).\n\nKąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\\[|\\angle ACD| = \\dfrac{90^{\\circ}}{2} = 45^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza czworokąta wpisanego\nPunkty \\(A, B, C, D\\) tworzą kwadrat (dzielą okrąg na 4 równe łuki → wierzchołki kwadratu wpisanego). Przekątna kwadratu to średnica okręgu. Kąt \\(ACD\\) to kąt przy wierzchołku trójkąta \\(ACD\\), gdzie \\(AD\\) jest bokiem, a \\(AC\\) - przekątną kwadratu (czyli średnicą).\n\nKąt między bokiem i przekątną kwadratu wynosi \\(45^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(90^{\\circ}\\)** - kąt środkowy, nie wpisany.\n- **B. \\(60^{\\circ}\\)** - podział okręgu na 6 części, nie 4.\n- **D. \\(30^{\\circ}\\)** - podział na 12 lub zły podział.\n\n**Pamiętaj:** kąt wpisany to połowa kąta środkowego (oparte na tym samym łuku).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nMiary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20. Najmniejszy kąt tego\nczworokąta ma miarę\nA. 40\nB. 50\nC. 60\nD. 70\nMiary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20 stopni. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę A. 40 stopni, B. 50 stopni, C. 60 stopni, D. 70 stopni.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nObliczenie wyrazów ciągu\narytmetycznego (III.5.a)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(a = -4\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek zerowania mianownika\n\nFunkcja \\(f(x) = \\dfrac{x-7}{2x+a}\\) jest ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Jedynym problemem z dziedziną jest sytuacja, gdy **mianownik równa się zero** - wtedy funkcja nie jest określona.\n\n**Dziedzina to \\((-\\infty, 2) \\cup (2, +\\infty)\\)**, czyli wszystkie liczby rzeczywiste **z wyjątkiem \\(x = 2\\)**.\n\nSkoro z dziedziny wyłączone jest dokładnie \\(x = 2\\), mianownik musi zerować się właśnie w tym punkcie:\n\n\\[2x + a = 0 \\quad \\text{dla } x = 2\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\):\n\n\\[2 \\cdot 2 + a = 0\\]\n\n\\[4 + a = 0\\]\n\n\\[\\boxed{a = -4}\\]\n\n**Odpowiedź: D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nZnamy wynik: \\(a = -4\\). Sprawdźmy, czy faktycznie daje żądaną dziedzinę.\n\nFunkcja przyjmuje postać:\n\n\\[f(x) = \\frac{x - 7}{2x - 4} = \\frac{x-7}{2(x-2)}\\]\n\nMianownik zeruje się, gdy:\n\n\\[2(x-2) = 0 \\implies x = 2\\]\n\nDziedzina funkcji to zatem \\(\\mathbb{R} \\setminus \\{2\\} = (-\\infty, 2) \\cup (2, +\\infty)\\) ✓\n\nZgadza się z treścią zadania - wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy definicja dziedziny funkcji wymiernej:\n\n> Funkcja \\(\\frac{P(x)}{Q(x)}\\) jest określona dla wszystkich \\(x\\), dla których \\(Q(x) \\neq 0\\).\n\nTo podstawowa własność z zakresu funkcji, niewymagająca karty wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(a = 2\\) | Uczeń wpisuje \\(a = x = 2\\) bez żadnych obliczeń - mechaniczne przepisanie wartości wyłączonej z dziedziny |\n| B - \\(a = -2\\) | Uczeń rozwiązuje \\(x + a = 0\\) zamiast \\(2x + a = 0\\) - pomija współczynnik 2 przy \\(x\\) |\n| C - \\(a = 4\\) | Uczeń poprawnie podstawia \\(x = 2\\), ale rozwiązuje równanie ze złym znakiem: \\(4 + a = 0 \\Rightarrow a = 4\\) zamiast \\(a = -4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt wyłączony z dziedziny (\\(x = 2\\)) to NIE jest wartość \\(a\\). Trzeba go podstawić do mianownika i rozwiązać równanie względem \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu łatwo zapomnieć o współczynniku przy \\(x\\) - tu mianownik to \\(2x + a\\), więc dla \\(x=2\\) dostajemy \\(4 + a\\), nie \\(2 + a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy licznik nie zeruje się w tym samym miejscu co mianownik - gdyby \\(x = 2\\) zerowało też licznik, mielibyśmy usuwalną nieciągłość i punkt \\(x=2\\) mógłby należeć do dziedziny po uproszczeniu. Tu \\(f(2) = \\frac{2-7}{\\ldots} = \\frac{-5}{\\ldots}\\) - licznik nie zeruje się, więc \\(x=2\\) rzeczywiście jest wykluczone z dziedziny.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek na dziedzinę\nDziedzina wyklucza \\(x = 2\\), więc mianownik \\(2x+a\\) zeruje się dla \\(x=2\\):\n\\[2\\cdot 2 + a = 0\\]\n\\[4 + a = 0\\]\n\\[a = -4.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(a=-4\\): \\(f(x) = \\dfrac{x-7}{2x-4}\\). Mianownik zeruje się w \\(x=2\\) ⇒ dziedzina: \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{2\\}\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=2\\)** - \\(2x+2 = 0\\) dla \\(x=-1\\); dziedzina \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{-1\\}\\).\n- **B. \\(a=-2\\)** - \\(2x-2 = 0\\) dla \\(x=1\\); dziedzina \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{1\\}\\).\n- **C. \\(a=4\\)** - \\(2x+4=0\\) dla \\(x=-2\\); dziedzina \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{-2\\}\\).\n\n**Pamiętaj:** dziedzina funkcji wymiernej: \\(\\{x: \\text{mianownik}\\ne 0\\}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nDany jest ciąg \n\nna\nokreślony wzorem\n2\n2\n( 1)\n\n\n\nn\nn\nn\na\nn\ndla\n1\n\nn\n. Wówczas wyraz\n5a tego\nciągu jest równy\nA.\n3\n25\n\nB.\n3\n25\nC.\n7\n25\n\nD.\n7\n25\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = (-1)^n * {2-n / n^2} dla n >= 1. Wówczas wyraz a_5 tego ciągu jest równy A. -3/25, B. 3/25, C. -7/25, D. 7/25","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nObliczenie wyrazu ciągu określonego\nwzorem ogólnym (I.5.a)\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n## Sposób 1 - analiza warunków na \\(a\\) i \\(b\\)\n\nMamy funkcję \\(f(x) = ax + b\\). Warunki zadania:\n- \\(a > 0\\) - współczynnik kierunkowy jest **dodatni**\n- \\(b < 0\\) - wyraz wolny jest **ujemny**\n\n**Co to oznacza graficznie?**\n\n**Warunek \\(a > 0\\):** współczynnik kierunkowy to \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) to kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\). Gdy \\(a > 0\\), prosta jest **rosnąca** - idzie \"od lewego dołu do prawego góry\".\n\n**Warunek \\(b < 0\\):** wyraz wolny \\(b = f(0)\\), czyli wartość funkcji dla \\(x = 0\\). To punkt przecięcia prostej z osią \\(Oy\\). Gdy \\(b < 0\\), prosta przecina oś \\(Oy\\) **poniżej zera**.\n\n**Szukamy zatem prostej, która:**\n1. Jest **rosnąca** (nachylona w prawo ku górze), **oraz**\n2. Przecina oś \\(Oy\\) w punkcie **poniżej początku układu**\n\nSpośród wykresów A, B, C, D - tylko wykres **C** spełnia oba warunki jednocześnie.\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - eliminacja po jednym warunku\n\nZamiast szukać od razu właściwego wykresu, eliminujemy błędne jeden po jednym.\n\n**Krok 1 - eliminuj nierosnące (odrzucamy wykresy z \\(a \\leq 0\\)):**\n\nPatrząc na kierunek prostych:\n- Wykresy malejące (opadające) → \\(a < 0\\) → **ODRZUCAMY**\n- Wykresy rosnące (wznoszące) → \\(a > 0\\) → **ZOSTAJĄ**\n\nPo tym kroku zostają tylko wykresy z prostymi rosnącymi.\n\n**Krok 2 - eliminuj te, gdzie prosta przecina \\(Oy\\) powyżej zera (odrzucamy \\(b \\geq 0\\)):**\n\nSpośród rosnących:\n- Prosta przecina \\(Oy\\) powyżej \\(0\\) → \\(b > 0\\) → **ODRZUCAMY**\n- Prosta przecina \\(Oy\\) poniżej \\(0\\) → \\(b < 0\\) → **ZOSTAJE**\n\nPozostaje dokładnie jeden wykres: **C** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i interpretacja geometryczna współczynników \\(a\\) i \\(b\\).\n\nWarto jednak zapamiętać z **Działu 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n- \\(a\\) - współczynnik kierunkowy (decyduje o nachyleniu i kierunku)\n- \\(b\\) - wyraz wolny (punkt przecięcia z osią \\(Oy\\))\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Prosta jest **malejąca** (\\(a < 0\\)) - narusza warunek \\(a > 0\\) |\n| B | Prosta jest **rosnąca**, ale przecina oś \\(Oy\\) **powyżej zera** (\\(b > 0\\)) - narusza warunek \\(b < 0\\) |\n| D | Prosta jest **malejąca** (\\(a < 0\\)) i dodatkowo przecina \\(Oy\\) powyżej zera - narusza oba warunki |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często mylą warunek \\(b < 0\\) z \"prosta przechodzi przez lewą część układu\". Pamiętaj: \\(b\\) to **tylko** punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) - sprawdzasz go, patrząc gdzie prosta krzyżuje pionową oś!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"rosnąca\" z \"nachylona w lewo\". Rosnąca znaczy: im większe \\(x\\), tym większe \\(y\\) - prosta idzie z lewego dołu do prawego góry.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy obydwa warunki (\\(a > 0\\) i \\(b < 0\\)) - sprawdzaj je **niezależnie** i **oba naraz**. Wykres spełniający tylko jeden z nich jest błędny!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Interpretacja współczynników\nDla \\(f(x) = ax+b\\):\n- \\(a>0\\) ⇒ funkcja rosnąca (wykres wznosi się w prawo).\n- \\(b<0\\) ⇒ punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) leży poniżej osi \\(Ox\\).\n\nSzukamy rysunku z prostą rosnącą, przecinającą oś \\(Oy\\) poniżej punktu \\((0,0)\\).\n\n### Sposób 2 - Miejsce zerowe\nMiejsce zerowe: \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\). Przy \\(a>0, b<0\\): \\(x_0 = -\\tfrac{\\text{ujemna}}{\\text{dodatnia}} > 0\\). Prosta przechodzi przez oś \\(Ox\\) w punkcie dodatnim.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Prosta malejąca (\\(a<0\\)).\n- **B.** Prosta rosnąca, ale przecina oś \\(Oy\\) powyżej - \\(b>0\\).\n- **D.** Prosta malejąca (\\(a<0\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(a\\) - nachylenie (znak mówi o kierunku), \\(b\\) - wyraz wolny (wartość w \\(x=0\\)).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nPole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 4. Objętość tego sześcianu jest równa\nA. 6\nB. 8\nC. 24\nD. 64\nPole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe $4$. Objętość tego sześcianu jest równa A. 6, B. 8, C. 24, D. 64","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie objętości sześcianu\nz wykorzystaniem związków miarowych\nw sześcianie (II.9.b)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(B = (5, 11)\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na środek odcinka (wyznaczenie B)\n\nŚrodek odcinka \\(AB\\) ma współrzędne:\n\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_B}{2},\\ \\frac{y_A + y_B}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy znane dane: \\(S = (2, 7)\\), \\(A = (-1, 3)\\):\n\n**Współrzędna x:**\n\\[\\frac{-1 + x_B}{2} = 2\\]\n\\[-1 + x_B = 4\\]\n\\[x_B = 5\\]\n\n**Współrzędna y:**\n\\[\\frac{3 + y_B}{2} = 7\\]\n\\[3 + y_B = 14\\]\n\\[y_B = 11\\]\n\n**Zatem \\(B = (5, 11)\\).**\n\n## Sposób 2 - wektor \\(\\overrightarrow{AS}\\) i symetria\n\nŚrodek \\(S\\) leży dokładnie w połowie \\(AB\\), czyli \\(\\overrightarrow{AS} = \\overrightarrow{SB}\\).\n\nWyznaczamy wektor od \\(A\\) do \\(S\\):\n\\[\\overrightarrow{AS} = [2 - (-1),\\ 7 - 3] = [3, 4]\\]\n\nPunkt \\(B\\) to \\(S\\) przesunięty o ten sam wektor:\n\\[B = S + \\overrightarrow{AS} = (2 + 3,\\ 7 + 4) = (5, 11)\\]\n\n**Weryfikacja:** środek \\(AB\\):\n\\[\\left(\\frac{-1+5}{2},\\ \\frac{3+11}{2}\\right) = \\left(\\frac{4}{2},\\ \\frac{14}{2}\\right) = (2, 7) = S\\ \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych \\(B\\).\n\nRównież z Działu 11 - wektor \\(\\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\), który zastosowaliśmy w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Policzono **środek \\(AS\\)** zamiast symetrycznego punktu do \\(A\\) względem \\(S\\): \\(\\left(\\frac{-1+2}{2}, \\frac{3+7}{2}\\right) = \\left(\\frac{1}{2}, 5\\right)\\) - prawie ta pułapka, ale B ma \\(y=2\\), więc to błąd przy dzieleniu przez 2 zamiast mnożenia |\n| C | Zamieniono role punktów - wzięto \\(-A\\) lub policzono \\(2A - S\\) zamiast \\(2S - A\\) |\n| D | Poprawne \\(x_B = 5\\) zamieniono na \\(x_B = 3\\) (może przez odjęcie zamiast dodania w \\(-1 + x_B = 4\\)), a \\(y_B = 11\\) jest przypadkowo poprawne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek to **średnia** współrzędnych, więc z równania \\(\\frac{x_A + x_B}{2} = x_S\\) wyznaczamy \\(x_B = 2x_S - x_A\\). Częsty błąd: zapomnienie o pomnożeniu przez 2 (tj. zostaje \\(x_B = x_S - x_A\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kierunku - szukamy \\(B\\), a nie środka \\(AS\\)! Wzór: \\(B = 2S - A\\), czyli \\(B = (2 \\cdot 2 - (-1),\\ 2 \\cdot 7 - 3) = (5, 11)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto **sprawdzić wynik** wstawiając \\(A\\) i \\(B\\) do wzoru na środek - to 10 sekund i eliminuje pomyłki rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\n\\(S = \\left(\\dfrac{x_A+x_B}{2}, \\dfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\). Stąd:\n\\[x_B = 2x_S - x_A = 2\\cdot 2 - (-1) = 4+1 = 5.\\]\n\\[y_B = 2y_S - y_A = 2\\cdot 7 - 3 = 14-3 = 11.\\]\nZatem \\(B = (5, 11)\\).\n\n### Sposób 2 - Wektor \\(\\overrightarrow{AS}\\) = \\(\\overrightarrow{SB}\\)\n\\(\\overrightarrow{AS} = (2-(-1), 7-3) = (3, 4)\\).\nDodajemy do \\(S\\): \\(B = S + (3, 4) = (2+3, 7+4) = (5, 11)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Obliczono \\(\\tfrac{x_A+x_B}{2}\\) zamiast \\(x_B = 2x_S-x_A\\).\n- **C.** Zastosowano \\(x_A - x_S\\) i \\(y_A - y_S\\) (odjęcie zamiast dodania).\n- **D.** Błąd w pierwszej współrzędnej (\\(3\\) zamiast \\(5\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(S\\) jako środek ⇒ \\(B = 2S - A\\) (wektorowo).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nTworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem\n\n45 .\nWysokość tego stożka jest równa\nA.\n2\n2\nB.\n\n16\nC.\n2\n4\nD.\n\n8\nTworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni. Wysokość tego stożka jest równa A. 2 * pierwiastki z 2, B. 16 pi, C. 4 pierwiastków z 2, D. 8 pi","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczenie wysokości stożka\nz wykorzystaniem funkcji\ntrygonometrycznych lub własności\nkwadratu (II.9.b)\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\)\n\n## Sposób 1 - Sortowanie i wyznaczenie mediany ze wzoru\n\n**Krok 1: Uszereguj wyniki rosnąco.**\n\nDane: \\(6, 3, 1, 2, 5, 5\\)\n\nPo posortowaniu:\n\\[1, \\quad 2, \\quad 3, \\quad 5, \\quad 5, \\quad 6\\]\n\n**Krok 2: Policz liczbę wyników.**\n\nMamy \\(n = 6\\) wyników - liczba parzysta, więc mediana to **średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości**.\n\n**Krok 3: Wyznacz dwa środkowe wyrazy.**\n\nPozycje środkowe: \\(\\frac{n}{2} = 3\\) oraz \\(\\frac{n}{2} + 1 = 4\\).\n\n\\[\n\\underbrace{1}_{\\text{1.}}, \\quad \\underbrace{2}_{\\text{2.}}, \\quad \\underbrace{\\mathbf{3}}_{\\text{3.}}, \\quad \\underbrace{\\mathbf{5}}_{\\text{4.}}, \\quad \\underbrace{5}_{\\text{5.}}, \\quad \\underbrace{6}_{\\text{6.}}\n\\]\n\nŚrodkowe wyrazy to \\(3\\) i \\(5\\).\n\n**Krok 4: Oblicz medianę.**\n\n\\[\n\\text{Mediana} = \\frac{3 + 5}{2} = \\frac{8}{2} = \\mathbf{4}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez interpretację mediany\n\nMediana to taka wartość, że połowa danych jest od niej mniejsza lub równa, a połowa większa lub równa.\n\nPo posortowaniu: \\(1, 2, 3 \\mid 5, 5, 6\\)\n\n- 3 wartości poniżej \\(4\\): \\(\\{1, 2, 3\\}\\) ✓\n- 3 wartości powyżej \\(4\\): \\(\\{5, 5, 6\\}\\) ✓\n- Sama wartość \\(4\\) nie występuje w zbiorze, ale dzieli dane dokładnie na dwie równe połowy.\n\nŻadna z oryginalnych wartości nie leży \"pośrodku\" - dlatego mediana wynosi \\(\\frac{3+5}{2} = \\mathbf{4}\\), czyli wartość spoza danych.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana - środkowy wyraz (dla nieparzystego \\(n\\)) lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych (dla parzystego \\(n\\)).\n\nTutaj \\(n = 6\\) (parzyste), więc korzystamy z wariantu drugiego:\n\\[\n\\text{Mediana} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\n\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(3\\) | Uczeń zapomniał posortować dane i wybrał 3. wyraz z oryginalnego ciągu \\((6,3,1,2,5,5)\\), czyli wartość \\(1\\) lub po posortowaniu wziął tylko jeden środkowy wyraz (\\(3\\) na pozycji 3.), ignorując, że \\(n\\) jest parzyste |\n| B: \\(3{,}5\\) | Uczeń wziął dwa środkowe wyrazy z **nieposortowanego** ciągu: na pozycjach 3. i 4. są \\(1\\) i \\(2\\), a \\(\\frac{1+2}{2} = 1{,}5\\) - albo pomylił, które wyrazy są środkowe, np. przyjął wartości \\(3\\) i \\(4\\) (których nie ma w zbiorze) |\n| D: \\(5\\) | Uczeń pomylił medianę z **modą** (wartością najczęstszą) - \\(5\\) pojawia się dwa razy, więc jest modą, ale nie medianą |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sortuj dane przed wyznaczaniem mediany! To najczęstszy błąd - wybranie środkowego elementu z **nieposortowanego** ciągu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie danych mediana to **średnia dwóch środkowych** - może być wartością, której nie ma w zbiorze (tu: \\(4\\), choć w danych są tylko: \\(1,2,3,5,5,6\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl mediany z modą (\\(5\\) - najczęstsza wartość) ani ze średnią arytmetyczną (\\(\\frac{1+2+3+5+5+6}{6} = \\frac{22}{6} \\approx 3{,}67\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja mediany\nPorządkujemy dane rosnąco: \\(1, 2, 3, 5, 5, 6\\).\nDla parzystej liczby (\\(n=6\\)) mediana = średnia dwóch środkowych (3. i 4.):\n\\[\\text{me} = \\dfrac{3+5}{2} = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie pozycji\nLiczba wyników: 6. Środkowe pozycje: 3. i 4. Wyniki posortowane: 1(1), 2(2), **3(3)**, **5(4)**, 5(5), 6(6). Średnia \\(= 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - to tylko trzeci wyraz, nie średnia dwóch środkowych.\n- **B. \\(3{,}5\\)** - średnia \\(3\\) i \\(4\\), ale \\(4\\) nie występuje w danych (ma być \\(3\\) i \\(5\\)).\n- **D. \\(5\\)** - to dominanta (mode), nie mediana.\n\n**Pamiętaj:** dla parzystej liczby danych mediana = \\(\\tfrac{a_{n/2}+a_{n/2+1}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nWskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu\n0\n7\n6\n3\n\n\ny\nx\nA.\nx\ny\n2\n1\n\nB.\nx\ny\n2\n1\n\n\nC.\nx\ny\n2\n\nD.\nx\ny\n2\n\n\nWskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x-6y+7=0. A. y = 1/2x, B. y=-1/2x, C. y=2x, D. y=-2x","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nWskazanie równania prostej równoległej\ndo danej (I.8.c)\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a = 7\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie kwadratu i porównanie współczynników\n\n**Rozwijamy lewą stronę** korzystając ze wzoru \\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\):\n\n\\[(a + 2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 2\\sqrt{2} + (2\\sqrt{2})^2\\]\n\nObliczamy każdy składnik:\n- \\(2 \\cdot a \\cdot 2\\sqrt{2} = 4a\\sqrt{2}\\)\n- \\((2\\sqrt{2})^2 = 4 \\cdot 2 = 8\\)\n\nZatem:\n\\[(a + 2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 4a\\sqrt{2} + 8\\]\n\n**Porównujemy z prawą stroną** \\(a^2 + 28\\sqrt{2} + 8\\):\n\n\\[a^2 + 4a\\sqrt{2} + 8 = a^2 + 28\\sqrt{2} + 8\\]\n\nOdejmujemy \\(a^2 + 8\\) od obu stron:\n\n\\[4a\\sqrt{2} = 28\\sqrt{2}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{2}\\):\n\n\\[4a = 28\\]\n\n\\[\\boxed{a = 7}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(a = 7\\) do obu stron i sprawdzamy, czy są równe.\n\n**Lewa strona:**\n\\[(7 + 2\\sqrt{2})^2 = 49 + 2 \\cdot 7 \\cdot 2\\sqrt{2} + 8 = 49 + 28\\sqrt{2} + 8 = 57 + 28\\sqrt{2}\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[a^2 + 28\\sqrt{2} + 8 = 49 + 28\\sqrt{2} + 8 = 57 + 28\\sqrt{2}\\]\n\n**Obie strony są równe** - wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((a + 2\\sqrt{2})^2\\). To kluczowy krok całego rozwiązania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(a = 14\\): Podzielono \\(28\\) przez \\(2\\) zamiast przez \\(4\\) - nie uwzględniono, że współczynnik przy \\(a\\sqrt{2}\\) wynosi \\(4\\), nie \\(2\\) |\n| B | \\(a = 7\\sqrt{2}\\): Uznano, że \\(a\\) musi też zawierać \\(\\sqrt{2}\\), bo po prawej stronie jest \\(\\sqrt{2}\\). Błąd polega na tym, że \\(\\sqrt{2}\\) jest już zawarty w wyrażeniu \\(4a\\sqrt{2}\\) - nie trzeba go \"dokładać\" do \\(a\\) |\n| D | \\(a = 2\\sqrt{2}\\): Pomylono \\(a\\) z \\(2\\sqrt{2}\\) z nawiasu - odczytano \\(a\\) ze wzoru zamiast go wyznaczyć |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((2\\sqrt{2})^2 = 8\\), nie \\(4\\sqrt{2}\\) ani \\(2\\sqrt{4}\\). Pamiętaj: podnosisz do kwadratu zarówno \\(2\\), jak i \\(\\sqrt{2}\\) - oddzielnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwinięciu kwadratu \\(a^2\\) i \\(8\\) pojawiają się po obu stronach i się znoszą - nie wpadnij w panikę, że \"coś znikło\". To właśnie upraszcza zadanie do jednego równania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy masz \\(4a\\sqrt{2} = 28\\sqrt{2}\\), dzielisz przez \\(\\sqrt{2}\\) (nie przez \\(4\\)) w pierwszym kroku - kolejność upraszczania nie ma znaczenia, ale uważaj, żeby obu kroków nie połączyć w jedno i nie pomylić się z \\(a = \\frac{28}{4\\sqrt{2}}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\n\\[(a+2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 2\\cdot a\\cdot 2\\sqrt{2} + (2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 4a\\sqrt{2} + 8.\\]\n\nPorównujemy z \\(a^2 + 28\\sqrt{2} + 8\\):\n\\[4a\\sqrt{2} = 28\\sqrt{2}\\ \\Rightarrow\\ 4a = 28\\ \\Rightarrow\\ a = 7.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- \\(a=7\\): \\((7+2\\sqrt{2})^2 = 49 + 28\\sqrt{2} + 8 = 57 + 28\\sqrt{2}\\) ✓\n- \\(a=14\\): \\((14+2\\sqrt{2})^2 = 196 + 56\\sqrt{2} + 8\\) ✗ (56 ≠ 28).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=14\\)** - da \\(56\\sqrt{2}\\), nie \\(28\\sqrt{2}\\).\n- **B. \\(a=7\\sqrt{2}\\)** - po podstawieniu wprowadza niepożądane wyrazy wymierne.\n- **D. \\(a=2\\sqrt{2}\\)** - da \\(8\\sqrt{2}\\), nie \\(28\\sqrt{2}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPunkt A ma współrzędne \n\n5,2012 . Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Ox,\na punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Oy. Punkt C ma współrzędne\nA. \n\n5, 2012\n\n\nB. \n\n2012, 5\n\n\nC. \n\n5,2012\n\nD. \n\n2012,5\n\nPunkt A ma współrzędne (5,2012). Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Ox, a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Oy. Punkt C ma współrzędne A. (-5,-2012), B. (-2012,-5), C. (-5,2012), D. (-2012,5)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie pojęcia układu\nwspółrzędnych na płaszczyźnie (II.8.a)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(32\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Rozpoznanie stożka i podstawienie wzoru\n\n**Co się dzieje geometrycznie?**\n\nMamy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(4\\) i \\(6\\). Obracamy go wokół **dłuższej przyprostokątnej**, czyli wokół boku o długości \\(6\\).\n\nWyobraź sobie, że oś obrotu to pionowa linia wzdłuż boku \\(6\\). Wtedy:\n- **wysokość stożka** = długość osi obrotu = \\(h = 6\\)\n- **promień podstawy stożka** = krótszy bok, prostopadle odległy od osi = \\(r = 4\\)\n\n**Obliczamy objętość:**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 4^2 \\cdot 6\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 16 \\cdot 6\\]\n\n\\[V = \\frac{96\\pi}{3} = \\mathbf{32\\pi}\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez cofnięcie (przekrój osiowy)\n\nSprawdzamy wynik odwrotnie: jeśli \\(V = 32\\pi\\), to jakie wymiary stożka to daje?\n\nZe wzoru:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 16 \\cdot 6 = 32\\pi \\checkmark\\]\n\nMożemy też sprawdzić, co by wyszło przy obrocie wokół **krótszej** przyprostokątnej (\\(h = 4\\), \\(r = 6\\)):\n\\[V' = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 36 \\cdot 4 = \\frac{144\\pi}{3} = 48\\pi\\]\n\nTo byłaby odpowiedź B - czyli klasyczna pułapka polegająca na pomyleniu osi obrotu.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w obu sposobach. Na karcie znajdziesz też pole powierzchni stożka, ale tu nie było potrzebne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(96\\pi\\) | Zapomniano podzielić przez \\(3\\) - wyliczono \\(\\pi r^2 h\\) zamiast \\(\\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\) |\n| B. \\(48\\pi\\) | Obrót wokół **krótszej** przyprostokątnej (\\(r=6\\), \\(h=4\\)) zamiast dłuższej |\n| D. \\(8\\pi\\) | Prawdopodobnie użyto \\(r=2\\) (połowy boku?) lub inne przypadkowe podstawienie |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest rozróżnienie, który bok staje się **osią obrotu** (= wysokość stożka), a który **promieniem**. Oś obrotu to ta prosta, wokół której kręcimy - boki do niej prostopadłe tworzą promień.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na objętość stożka ma \\(\\frac{1}{3}\\) - bez tego wychodzi objętość walca. To jeden z najczęstszych błędów arytmetycznych w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi „dłuższa przyprostokątna\" - zawsze upewnij się, który bok jest dłuższy. Tu \\(6 > 4\\), więc oś = \\(6\\), promień = \\(4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Identyfikacja elementów stożka\nObracamy wokół **dłuższej** przyprostokątnej (\\(=6\\)). Wówczas:\n- wysokość stożka \\(h = 6\\) (oś obrotu),\n- promień podstawy \\(r = 4\\) (krótsza przyprostokątna).\n\n### Krok - wzór na objętość\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 16\\cdot 6 = \\dfrac{96\\pi}{3} = 32\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie wprost\n\\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 4^2\\cdot 6 = \\tfrac{1}{3}\\cdot 96\\pi = 32\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(96\\pi\\)** - pominięto czynnik \\(\\tfrac{1}{3}\\) (to objętość walca, nie stożka).\n- **B. \\(48\\pi\\)** - użyto \\(h=4, r=6\\) (obrót wokół krótszej przyprostokątnej).\n- **D. \\(8\\pi\\)** - błędy rachunkowe.\n\n**Pamiętaj:** \\(V_{\\text{stożka}} = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h\\); oś obrotu to wysokość, drugi bok to promień.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nNa okręgu o równaniu \n\n\n\n4\n7\n2\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\nleży punkt\nA.\n\n\n2,5\nA \nB.\n\n\n2, 5\nB \n\nC.\n\n\n2, 7\nC \n\nD.\n\n\n7, 2\nD \n\nNa okręgu o równaniu (x-2)^2+(y+7)^2=4 leży punkt A. A=(-2,5), B. B=(2,-5), C. C=(2,-7), D. D=(7,-2)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZbadanie czy dany punkt spełnia\nrównanie okręgu (II.8.g)\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(P(A \\cup B) = 0{,}9\\)\n\n## Sposób 1 - korzystanie ze wzoru na sumę zdarzeń rozłącznych\n\n**Co wiemy z treści zadania:**\n- \\(P(A) = 0{,}3\\)\n- \\(P(B') = 0{,}4\\), więc \\(P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\\)\n- \\(A \\cap B = \\emptyset\\) - zdarzenia \\(A\\) i \\(B\\) są **rozłączne**\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy \\(P(B)\\):\n\\[P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\\]\n\n**Krok 2.** Skoro \\(A \\cap B = \\emptyset\\), zdarzenia są rozłączne, więc wzór na sumę upraszcza się:\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B) = P(A) + P(B) - 0\\]\n\n**Krok 3.** Podstawiamy wartości:\n\\[P(A \\cup B) = 0{,}3 + 0{,}6 = \\mathbf{0{,}9}\\]\n\n## Sposób 2 - myślenie przez dopełnienie (weryfikacja)\n\nZdarzenie przeciwne do \\(A \\cup B\\) to \\(A' \\cap B'\\) - czyli sytuacja, gdy **ani \\(A\\), ani \\(B\\) nie zajdzie**.\n\nPonieważ \\(A \\cap B = \\emptyset\\) (zdarzenia rozłączne), możemy policzyć:\n\\[P(A' \\cap B') = 1 - P(A \\cup B)\\]\n\nSprawdzamy metodą uzupełnień: zdarzenia \\(A\\), \\(B\\) i \"żadne z nich\" pokrywają całą przestrzeń \\(\\Omega\\) (bo \\(A\\) i \\(B\\) są rozłączne):\n\\[P(\\Omega) = P(A) + P(B) + P(\\text{żadne}) = 1\\]\n\\[P(\\text{żadne}) = 1 - 0{,}3 - 0{,}6 = 0{,}1\\]\n\\[\\Rightarrow P(A \\cup B) = 1 - 0{,}1 = \\mathbf{0{,}9}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)**\n\nWzór na sumę zdarzeń:\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)\\]\nDla zdarzeń rozłącznych (\\(A \\cap B = \\emptyset\\)) skraca się do:\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B)\\]\n\nWłasność zdarzenia przeciwnego:\n\\[P(B') = 1 - P(B) \\quad \\Longleftrightarrow \\quad P(B) = 1 - P(B')\\]\n\nObie reguły są bezpośrednio na karcie wzorów - użyliśmy ich kolejno w Kroku 1 i Kroku 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((0{,}12)\\) | Obliczono \\(P(A) \\cdot P(B') = 0{,}3 \\cdot 0{,}4 = 0{,}12\\) - pomylono sumę zdarzeń z iloczynem, ignorując informację o rozłączności |\n| B \\((0{,}18)\\) | Obliczono \\(P(A) \\cdot P(B) = 0{,}3 \\cdot 0{,}6 = 0{,}18\\) - zamiast dodawania zastosowano mnożenie (wzór dla zdarzeń niezależnych, a nie sumy!) |\n| C \\((0{,}6)\\) | Podano samo \\(P(B) = 0{,}6\\), zapominając dodać \\(P(A)\\); lub błędnie utożsamiono \\(P(A \\cup B)\\) z \\(P(B)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(P(B') = 0{,}4\\) to **NIE** jest \\(P(B)\\). Zawsze najpierw przelicz: \\(P(B) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\\). To klasyczna pułapka na pośpiech.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P(A \\cup B) = P(A) + P(B)\\) działa **tylko gdy \\(A \\cap B = \\emptyset\\)**. W ogólnym przypadku musisz odjąć \\(P(A \\cap B)\\). Zadanie wprost podaje rozłączność - czytaj uważnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić rozłączności (\\(A \\cap B = \\emptyset\\)) z niezależnością zdarzeń. To dwa różne pojęcia - rozłączne zdarzenia (o niezerowych prawdopodobieństwach) są zawsze **zależne**!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Prawdopodobieństwo przeciwne + zdarzenia rozłączne\n\\[P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0{,}4 = 0{,}6.\\]\nZdarzenia \\(A, B\\) są **rozłączne** (\\(A\\cap B=\\emptyset\\)), więc:\n\\[P(A\\cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny z \\(P(A\\cap B) = 0\\)\n\\[P(A\\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\\cap B) = 0{,}3 + 0{,}6 - 0 = 0{,}9.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0{,}12\\)** - to \\(P(A)\\cdot P(B') = 0{,}3\\cdot 0{,}4\\) (niezależność, nie suma).\n- **B. \\(0{,}18\\)** - to \\(P(A)\\cdot P(B) = 0{,}3\\cdot 0{,}6\\).\n- **C. \\(0{,}6\\)** - to \\(P(B)\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(P(B') = 1 - P(B)\\); dla rozłącznych \\(A, B\\): \\(P(A\\cup B) = P(A) + P(B)\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nFlagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć\nz trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej\ntkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego\nsamego koloru, a pas znajdujący się między nimi\nma być innego koloru.\nLiczba różnych takich flag, które można uszyć,\nmając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest\nrówna\nA. 100\nB. 99\nC. 90\nD. 19\nFlagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowych szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w $10$ kolorach, jest równa A. 100, B. 99, C. 90, D. 19","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZliczenie obiektów w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, stosowanie zasady\nmnożenia (II.10.b)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[h - r = \\frac{a}{2}\\]\n\n## Sposób 1 - Odczyt wymiarów przekroju osiowego\n\n**Przekrój osiowy walca** to prostokąt powstały przez przecięcie walca płaszczyzną przechodzącą przez oś. Jego wymiary to:\n- szerokość = **średnica podstawy** = \\(2r\\)\n- wysokość = **wysokość walca** = \\(h\\)\n\nSkoro ten przekrój jest **kwadratem o boku \\(a\\)**, wszystkie boki są równe:\n\n\\[2r = a \\quad \\text{oraz} \\quad h = a\\]\n\nZ pierwszego równania:\n\\[r = \\frac{a}{2}\\]\n\nTeraz sprawdzamy odpowiedź B - obliczamy \\(h - r\\):\n\\[h - r = a - \\frac{a}{2} = \\frac{a}{2}\\]\n\n**Zatem \\(h - r = \\dfrac{a}{2}\\) - odpowiedź B jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wyznaczenie konkretnych wartości\n\nPrzyjmijmy np. \\(a = 10\\). Wtedy:\n\\[r = \\frac{10}{2} = 5, \\quad h = 10\\]\n\nSprawdzamy wszystkie odpowiedzi liczbowo:\n\n| Odpowiedź | Wyrażenie | Wynik | Czy = \\(\\frac{a}{2} = 5\\)? |\n| A | \\(r + h = 5 + 10\\) | \\(15\\) | \\(\\neq 10 = a\\) ✗ |\n| **B** | \\(h - r = 10 - 5\\) | **\\(5\\)** | \\(= \\frac{10}{2}\\) ✓ |\n| C | \\(r - h = 5 - 10\\) | \\(-5\\) | \\(\\neq 5\\) ✗ |\n| D | \\(r^2 + h^2 = 25 + 100\\) | \\(125\\) | \\(\\neq 100 = a^2\\) ✗ |\n\nTylko B daje prawidłowy wynik dla dowolnego \\(a\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji **przekroju osiowego walca** (geometryczne rozumowanie) i podstawowe działania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń myli **promień** ze **średnicą** i przyjmuje \\(r = a\\) zamiast \\(r = \\frac{a}{2}\\), wtedy \\(r + h = a + a = 2a \\neq a\\). Albo myśli, że przekrój ma bok \\(r\\), a nie \\(2r\\). |\n| C | Uczeń odejmuje w złej kolejności: \\(r - h\\) zamiast \\(h - r\\). Wynik jest \\(-\\frac{a}{2}\\), co nie jest równe \\(\\frac{a}{2}\\). |\n| D | Uczeń myli przekrój osiowy z **przekątną** kwadratu i stosuje twierdzenie Pitagorasa: \\(r^2 + h^2 = a^2\\). Ale to równanie opisywałoby sytuację, gdyby \\(a\\) było przekątną, a nie bokiem kwadratu. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy walca ma szerokość **\\(2r\\)** (średnica!), nie \\(r\\). To najczęstszy błąd - uczeń bierze \\(r = a\\) i wszystko się sypie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić przekroju osiowego (prostokąt \\(2r \\times h\\)) z przekrojem prostopadłym do osi (koło o promieniu \\(r\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D jest \"magnetyczna\" - kojarzy się z Pitagorasem i kwadratem, ale twierdzenie Pitagorasa tu nie ma zastosowania, bo szukamy związku między \\(r\\), \\(h\\) i \\(a\\) wprost z definicji kwadratu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Geometria przekroju osiowego\nPrzekrój osiowy walca to prostokąt o:\n- szerokości = średnica podstawy = \\(2r\\),\n- wysokości = wysokość walca = \\(h\\).\n\nSkoro przekrój jest kwadratem o boku \\(a\\):\n\\[2r = a \\text{ i } h = a.\\]\nStąd:\n\\[h - r = a - \\tfrac{a}{2} = \\tfrac{a}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\n\\(r = \\tfrac{a}{2}\\), \\(h = a\\).\n- \\(r+h = \\tfrac{a}{2} + a = \\tfrac{3a}{2}\\ne a\\) ✗ (A)\n- \\(h-r = a - \\tfrac{a}{2} = \\tfrac{a}{2}\\) ✓ (B)\n- \\(r-h = -\\tfrac{a}{2}\\ne\\tfrac{a}{2}\\) ✗ (C)\n- \\(r^2+h^2 = \\tfrac{a^2}{4} + a^2 = \\tfrac{5a^2}{4}\\ne a^2\\) ✗ (D)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(r+h\\ne a\\); zamienić na \\(2r+h\\) byłby błąd wymiarowy.\n- **C.** Zły znak (\\(r<h\\), więc \\(r-h<0\\)).\n- **D.** Fałszywa analogia do Pitagorasa.\n\n**Pamiętaj:** w przekroju osiowym walca pojawia się **średnica** \\(2r\\), a nie promień \\(r\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych akcji\nzapłacono 2300 zł. Cena szóstej akcji jest równa\nA. 400 zł\nB. 500 zł\nC. 600 zł\nD. 700 zł\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nŚrednia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych akcji zapłacono 2300 zł. Cena szóstej akcji jest równa A. 400 zł, B. 500 zł, C. 600 zł, D. 700 zł.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie średniej arytmetycznej\ni interpretowanie tego parametru\nw kontekście praktycznym (II.10.a)\nD\nA\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-2, 5)\\)\n\n## Sposób 1 - Miejsca zerowe + znak paraboli\n\n**Krok 1: Znajdź miejsca zerowe trójmianu**\n\nRozwiązujemy równanie \\(x^2 - 3x - 10 = 0\\).\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-10) = 9 + 40 = 49\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\frac{3 - \\sqrt{49}}{2} = \\frac{3 - 7}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]\n\\[x_2 = \\frac{3 + \\sqrt{49}}{2} = \\frac{3 + 7}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\n**Krok 2: Ustal znak paraboli**\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest **zwrócona ramionami ku górze** (kształt ∪).\n\nTo oznacza, że trójmian przyjmuje wartości ujemne **między** pierwiastkami, a dodatnie **na zewnątrz**.\n\n**Krok 3: Odczytaj rozwiązanie nierówności**\n\nSzukamy \\(x^2 - 3x - 10 < 0\\), czyli gdzie wykres jest **poniżej osi \\(OX\\)**:\n\n\\[\\boxed{x \\in (-2,\\ 5)}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\n**Krok 1: Rozłóż trójmian na czynniki**\n\nSzukamy dwóch liczb, których **iloczyn** wynosi \\(-10\\), a **suma** wynosi \\(-3\\).\n\nSprawdzamy: \\(2 \\cdot (-5) = -10\\) oraz \\(2 + (-5) = -3\\). ✓\n\nZatem:\n\\[x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)\\]\n\n**Krok 2: Rozwiąż nierówność iloczynową**\n\n\\[(x + 2)(x - 5) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy mają **różne znaki**. Analizujemy:\n\n| Przedział | \\(x + 2\\) | \\(x - 5\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-2 < x < 5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\n**Rozwiązanie:** \\(x \\in (-2,\\ 5)\\) ✓\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków trójmianu.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nPodstawa Sposobu 2 - rozkład na czynniki liniowe.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo częsty błąd to podanie odpowiedzi \\(x \\in (-\\infty, -2) \\cup (5, +\\infty)\\) - to rozwiązanie nierówności **odwrotnej** \\(x^2 - 3x - 10 > 0\\). Parabola z \\(a > 0\\) jest ujemna **wewnątrz** przedziału między pierwiastkami, nie na zewnątrz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie włączamy końców przedziału do rozwiązania - nierówność jest **ostra** (\\(< 0\\)), więc w punktach \\(x = -2\\) i \\(x = 5\\) wyrażenie równa się zero, czyli warunek nie jest spełniony. Przedział jest **otwarty**: \\((-2, 5)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \\(\\Delta\\) uważaj na znak - \\(c = -10\\), więc \\(-4ac = -4 \\cdot 1 \\cdot (-10) = +40\\), nie \\(-40\\). Błąd znaku przy \\(c\\) to jedna z najczęstszych wpadek.\n\n### Sposób 1 - Obliczenie pierwiastków i analiza znaku\n**Krok 1. Obliczamy pierwiastki trójmianu \\(x^2-3x-10\\).**\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-10) = 9 + 40 = 49.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 7.\\]\n\\[x_1 = \\dfrac{3-7}{2} = -2,\\qquad x_2 = \\dfrac{3+7}{2} = 5.\\]\n\n**Krok 2. Postać iloczynowa:**\n\\[x^2-3x-10 = (x+2)(x-5).\\]\n\n**Krok 3. Analiza znaku.** Parabola \\(y = x^2-3x-10\\) ma ramiona w górę (\\(a=1>0\\)). Nierówność \\(<0\\) jest spełniona **między pierwiastkami**:\n\\[\\boxed{x\\in(-2, 5)}\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[x^2-3x-10 = \\left(x-\\tfrac{3}{2}\\right)^2 - \\tfrac{9}{4} - 10 = \\left(x-\\tfrac{3}{2}\\right)^2 - \\tfrac{49}{4}.\\]\nNierówność:\n\\[\\left(x-\\tfrac{3}{2}\\right)^2 < \\tfrac{49}{4}\\]\n\\[\\left|x-\\tfrac{3}{2}\\right| < \\tfrac{7}{2}\\]\n\\[-\\tfrac{7}{2} < x - \\tfrac{3}{2} < \\tfrac{7}{2}\\]\n\\[-2 < x < 5.\\]\n\n### Sposób CKE\nOblicz pierwiastki \\(x_1 = -2, x_2 = 5\\). Nierówność \\((x+2)(x-5)<0\\) spełniają \\(x\\in(-2, 5)\\).\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Dla paraboli z \\(a>0\\): \\(<0\\) między pierwiastkami, \\(>0\\) poza pierwiastkami.\n- Końce przedziałów **otwarte** (nierówność ostra).\n- Sprawdź znaki pierwiastków w postaci iloczynowej: \\((x+2)(x-5)\\) ma pierwiastki \\(-2\\) i \\(5\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n8\n15\n0\nx\nx\n\n\n\nOdpowiedź:\nNierówność kwadratowa x^2+8x+15 > 0 z rozwiązaniem.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n2\n5,\n3\nx\nx\n\n i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n rozłoży trójmian kwadratowy\n2\n8\n15\nx\nx\n\n\nna czynniki liniowe i zapisze nierówność\n\n\n\n3\n5\n0\nx\nx\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,\nnp.\n\n\n\n\n1\n2\n3,\n5,\n,3\n5,\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\nalbo\n doprowadzi nierówność do postaci\n4\n1\n\n\nx\n(na przykład z postaci \n\n2\n4\n1\n0\n\n\nx\notrzymuje\n\n2\n4\n1\n\n\nx\n, a następnie\n4\n1\n\n\nx\n) i na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:\n \n\n\n\n, 5\n3,\n\n\n\nalbo\n\n5\nx  lub\n3\nx \nalbo\n\n5,\n3\nx\nx\n\n\nalbo\n w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n2\n5,\n3\nx\nx\n\n i zapisze,\nnp.\n\n\n\n\n, 5\n3,\nx\n\n popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci \n\n\n\n, 3\n5,\n\n\n, to przyznajemy 2 punkty.\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n6\nZadania 27. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nAby wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej\npostaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności:\n3\n2\na\nb\nc\na\nb\n\n\n\n\nMnożymy obie strony tej nierówności przez 6:\n\n\n\n\n2\n3\na\nb\nc\na\nb\n\n\n\n\nRedukujemy wyrazy podobne:\n2c\na\nb\n\n\nUzyskana nierówność jest równoważna nierówności wyjściowej, zatem wystarczy wykazać\njej prawdziwość. Z założenia wiemy, że c\na\n\noraz c\nb\n\n. Wobec tego\n2c\nc\nc\na\nb\n\n\n\n\nCo należało wykazać.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\njeśli przekształci podaną nierówność do postaci 2c\na\nb\n\n\nlub \n\n\n0\n\n\n\n\nc\na\nc\nb\n,\nlub\n2\n0\n6\na\nb\nc\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\njeśli przedstawi kompletny dowód podanej nierówności.\nII sposób rozwiązania\nZdający prowadzi ciąg nierówności, wychodząc od jednej ze stron podanej nierówności i na\nkońcu dochodząc do drugiej.\nZałożenie: 0\na\nb\nc\n\n\n\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n2\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n3\n3\n3\n3\n3\n3\n3\n3\n3\n3\n6\n2\n3\n6\n2\n2\n2\n2\na\nb\nc\na\nb\na\nb\nc\na\nb\nb\na\nb\na\nb\nb\na\na\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\njeśli co najmniej jedna z nierówności występująca w zapisanym ciągu nierówności wynika\nw sposób poprawny z podanych założeń, ale zdający nie podaje kompletnego dowodu\nwyjściowej nierówności.\nZdający otrzymuje 2 pkt\njeśli poda kompletny dowód podanej nierówności.\nRozumowanie i argumentacja\nUzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej\n(V.2.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n7","solution":"## Poprawna odpowiedź: **15 studentów**\n\n## Sposób 1 - Równanie ze średnią\n\n**Oznaczenie:** niech \\(n\\) = liczba studentów w grupie.\n\n**Krok 1: Wyznaczymy sumę wieku studentów.**\n\nZe wzoru na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{\\text{suma}}{\\text{liczba osób}}\\]\n\nŚrednia studentów wynosi \\(23\\), więc:\n\\[\\frac{S}{n} = 23 \\implies S = 23n\\]\n\ngdzie \\(S\\) to suma wieku wszystkich studentów.\n\n**Krok 2: Uwzględniamy opiekuna.**\n\nPo dołączeniu opiekuna (wiek \\(39\\) lat) mamy \\(n + 1\\) osób, a suma wieku wzrasta do \\(S + 39\\).\n\nNowa średnia wynosi \\(24\\):\n\\[\\frac{S + 39}{n + 1} = 24\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy \\(S = 23n\\) i rozwiązujemy.**\n\n\\[\\frac{23n + 39}{n + 1} = 24\\]\n\n\\[23n + 39 = 24(n + 1)\\]\n\n\\[23n + 39 = 24n + 24\\]\n\n\\[39 - 24 = 24n - 23n\\]\n\n\\[15 = n\\]\n\n**Zatem w grupie jest \\(n = 15\\) studentów.**\n\n## Sposób 2 - Metoda \"ile każda osoba dokłada do średniej\"\n\nTo elegancki sposób bez równań - myślimy o tym, jak zmiana składu grupy wpływa na średnią.\n\n**Obserwacja:** Średnia grupy samych studentów wynosi \\(23\\), a po dodaniu opiekuna rośnie do \\(24\\) - czyli wzrasta o \\(1\\).\n\nOpiekun ma \\(39\\) lat, a nowa średnia to \\(24\\). Opiekun jest więc **powyżej** nowej średniej o:\n\\[39 - 24 = 15 \\text{ lat „nadwyżki\"}\\]\n\nTa nadwyżka \\(15\\) lat rozkłada się równo na wszystkich studentów, podnosząc średnią o \\(1\\) rok. Zatem:\n\\[\\text{liczba studentów} = \\frac{15}{1} = 15\\]\n\n**Weryfikacja (sprawdzenie):**\n- Suma wieku 15 studentów: \\(15 \\cdot 23 = 345\\)\n- Łącznie z opiekunem: \\(345 + 39 = 384\\)\n- Średnia 16 osób: \\(\\frac{384}{16} = 24\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru dwukrotnie: raz dla samych studentów (\\(\\bar{a} = 23\\)), raz dla grupy poszerzonej o opiekuna (\\(\\bar{a} = 24\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić liczby studentów z liczbą wszystkich osób - opiekun to \\(n+1\\)-sza osoba, nie wchodzi w skład \\(n\\) studentów. Błędne ustawienie mianownika jako \\(n\\) zamiast \\(n+1\\) daje wynik \\(n = 16\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj przy przechodzeniu od \\(\\frac{23n+39}{n+1} = 24\\) - mnożymy obie strony przez \\((n+1)\\), nie przez samo \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto zweryfikować wynik, podstawiając \\(n = 15\\) z powrotem do warunków zadania (jak w Sposobie 2). Na maturze to chwila pracy, a chroni przed błędem obliczeniowym.\n\n### Sposób 1 - Równanie na nową średnią\nNiech \\(x\\) - liczba studentów. Łączna liczba lat studentów: \\(23x\\). Po dołączeniu opiekuna (39 lat) - \\((x+1)\\) osób z łączną liczbą lat \\(23x+39\\). Średnia:\n\\[\\dfrac{23x+39}{x+1} = 24.\\]\n\\[23x + 39 = 24(x+1)\\]\n\\[23x + 39 = 24x + 24\\]\n\\[15 = x.\\]\n\n**W tej grupie jest \\(15\\) studentów.**\n\n### Sposób 2 - Układ równań\nNiech \\(S\\) - łączna liczba lat studentów, \\(x\\) - liczba studentów.\n\\[\\begin{cases} \\dfrac{S}{x} = 23 \\\\ \\dfrac{S+39}{x+1} = 24 \\end{cases}\\]\nPierwsze: \\(S = 23x\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[23x + 39 = 24(x+1) \\Rightarrow x = 15.\\]\n\n### Sposób 3 - \"Dodatkowe 16 lat na 15 osób\"\nOpiekun wniósł \\(39-23 = 16\\) lat ponad średnią studentów. Aby średnia wzrosła o \\(1\\) rok, te \\(16\\) lat trzeba rozłożyć na wszystkich: studentów + opiekuna. Każda osoba dostaje \\(1\\) rok dodatkowo:\n\\[16 = x\\cdot 1 + 1\\cdot 1\\ \\Rightarrow\\ x = 15.\\]\n\n### Sposób CKE\nŚrednia nowa: \\(\\dfrac{23x+39}{x+1} = 24\\), stąd \\(23x+39 = 24x+24\\), \\(x=15\\).\n\n### Odpowiedź\n**W tej grupie jest \\(15\\) studentów.**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Pamiętaj zwiększyć licznik (o 39) **oraz** mianownik (o 1) przy dołączeniu opiekuna.\n- Weryfikacja: \\(15\\cdot 23 + 39 = 345+39 = 384 = 16\\cdot 24\\) ✓","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nUzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierówności 0\na\nb\nc\n\n\n\n, to\n3\n2\n\n\n\n\na\nb\nc\na\nb .\n\nPoziom podstawowy\n11\nUzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierówności 0 < a < b < c, to (a+b+c)/3 > (a+b)/2.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Pole trapezu = \\(\\mathbf{96}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości z definicji tangensa\n\n**Narysujmy trapez prostokątny \\(ABCD\\):**\n\n- \\(AB = 10\\) - dłuższa podstawa (dół)\n- \\(DC = 6\\) - krótsza podstawa (góra)\n- \\(AD = h\\) - ramię prostopadłe do podstaw (kąt prosty przy \\(A\\) i \\(D\\))\n- \\(BC\\) - ramię ukośne\n- \\(\\angle ABC = \\alpha\\) - kąt ostry, \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\)\n\n**Krok 1: Opuśćmy prostopadłą z \\(C\\) na \\(AB\\).**\n\nPunkt \\(E\\) na \\(AB\\) taki, że \\(CE \\perp AB\\). Czworokąt \\(ADCE\\) jest prostokątem (bo \\(AD \\perp AB\\), \\(DC \\parallel AB\\), \\(CE \\perp AB\\)), więc:\n\\[CE = AD = h \\quad \\text{oraz} \\quad AE = DC = 6\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy odcinek \\(BE\\).**\n\\[BE = AB - AE = 10 - 6 = 4\\]\n\n**Krok 3: W trójkącie prostokątnym \\(BCE\\) (kąt prosty przy \\(E\\)) kąt ostry \\(\\alpha\\) leży przy \\(B\\):**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{CE}{BE} = \\frac{h}{4} = 3\\]\n\\[h = 4 \\cdot 3 = 12\\]\n\n**Krok 4: Pole trapezu:**\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h = \\frac{6 + 10}{2} \\cdot 12 = 8 \\cdot 12 = \\mathbf{96}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na prostokąt i trójkąt\n\n**Trapez prostokątny = prostokąt + trójkąt prostokątny:**\n\nRamię ukośne \\(BC\\) \"przesunięte\" tworzy:\n- **Prostokąt** \\(ADCE\\) o bokach \\(6 \\times h\\)\n- **Trójkąt prostokątny** \\(BCE\\) o podstawie \\(BE = 4\\) i wysokości \\(h\\)\n\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{4} = 3\\) mamy \\(h = 12\\) (tak samo jak w Sposobie 1).\n\n\\[P = P_{\\text{prostokąt}} + P_{\\text{trójkąt}} = 6 \\cdot 12 + \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 12 = 72 + 24 = \\mathbf{96}\\]\n\nWyniki zgodne - pole wynosi \\(\\mathbf{96}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20) - wzór na pole trapezu:**\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\nUżyty w Sposobie 1 do końcowego obliczenia pola (sumaryczna długość podstaw \\(6 + 10 = 16\\), podzielona przez 2, razy wysokość 12).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa:**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} = \\frac{h}{4}\\]\nUżyty do wyznaczenia wysokości \\(h\\) trapezu z podanej wartości \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{\\text{różnica podstaw}}\\), a nie \\(\\frac{h}{\\text{podstawa}}\\). Różnica podstaw to \\(10 - 6 = 4\\), nie 6 ani 10! Typowy błąd: podstawienie \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{6}\\) lub \\(\\frac{h}{10}\\) - wtedy wychodzi błędna wysokość.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trapez prostokątny ma **dwa** kąty proste (przy ramieniu prostopadłym), więc kąt ostry jest przy ramieniu ukośnym - to \\(\\angle ABC\\) przy \\(B\\). Kąt przy \\(A\\) to 90°, nie jest kątem ostrym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\) to duży tangens - kąt wynosi ok. \\(72°\\). Stąd wysokość \\(h = 12\\) jest trzy razy większa niż różnica podstaw \\(4\\). Jeśli wyjdzie ci \\(h < 4\\), to na pewno popełniłeś błąd (bo \\(\\operatorname{tg} > 1 \\Rightarrow h > \\text{różnica podstaw}\\)).\n\n### Sposób 1 - Wysokość z tangensa kąta ostrego\nOznaczmy podstawy: \\(a=6\\) (krótsza), \\(b=10\\) (dłuższa). W trapezie prostokątnym jedna z przyprostokątnych (bok prostopadły) = wysokość \\(h\\). Odcięcie dłuższej podstawy dłuższym rzutem krótszej tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(h\\) (pion) i \\(b-a = 4\\) (poziom), przy kącie ostrym \\(\\alpha\\).\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{h}{b-a} = \\dfrac{h}{4} = 3.\\]\n\\[h = 12.\\]\n\n### Krok - pole trapezu\n\\[P = \\dfrac{(a+b)h}{2} = \\dfrac{(6+10)\\cdot 12}{2} = \\dfrac{192}{2} = 96.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i trójkąt\nTrapez = prostokąt \\(6\\times h\\) + trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(h\\) i \\(4\\).\n- \\(\\tan\\alpha = 3 \\Rightarrow h = 12\\).\n- Pole prostokąta: \\(6\\cdot 12 = 72\\).\n- Pole trójkąta: \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 12 = 24\\).\n- Razem: \\(72+24 = 96\\).\n\n### Sposób CKE\n\\(\\tan\\alpha = \\tfrac{h}{4} = 3 \\Rightarrow h=12\\). Pole: \\(\\tfrac{(6+10)\\cdot 12}{2} = 96\\).\n\n### Odpowiedź\n**Pole trapezu: \\(P = 96\\).**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Tangens ostrego kąta trapezu prostokątnego = \\(\\tfrac{h}{b-a}\\) (pion/pozioma różnica podstaw).\n- Wzór: \\(P_{\\text{trap}} = \\tfrac{(a+b)h}{2}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"algebra","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nLiczby\n1\n4\nx  i\n2\n3\nx \nsą pierwiastkami wielomianu\n\n36\n9\n4\n2\n3\n\n\n\n\nx\nx\nx\nx\nW\n. Oblicz\ntrzeci pierwiastek tego wielomianu.\nOdpowiedź:\nLiczby x_1=-4 i x_2=3 są pierwiastkami wielomianu W(x)=x^3+4x^2-9x-36. Oblicz trzecie pierwiastek tego wielomianu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nUwaga\nGdy zdający poda poprawną odpowiedź (trzeci pierwiastek wielomianu:\n3\nx ) nie\nwykonując żadnych obliczeń, to otrzymuje 1 punkt.\nI sposób rozwiązania\nPrzedstawiamy wielomian\n( )\nW x w postaci\n\n\n\n\n\n4\n3\nW x\nx\nx\nx\na\n\n\n\n\n, gdzie a oznacza\ntrzeci pierwiastek wielomianu.\nStąd\n3\n2\n2\n( )\n12\n12\nW x\nx\nx\nax\nx\nax\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n3\n2\n1\n12\n12\nx\na x\na x\na\n\n\n\n\n\n,\nPorównując współczynniki wielomianu\n( )\nW x otrzymujemy\n1\n4\n12\n9\n12\n36\na\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n3\na .\nTrzecim pierwiastkiem wielomianu\n( )\nW x jest liczba\n3\nx .\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przedstawi wielomian\n( )\nW x w postaci\n\n\n\n\n\n4\n3\nW x\nx\nx\nx\na\n\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu:\n3\nx .\nII sposób rozwiązania\nPrzedstawiamy wielomian\n( )\nW x w postaci iloczynu:\n\n\n\n\n\n\n\n\n3\n2\n2\n( )\n4\n9\n36\n4\n9\n4\n4\n3\n3\nW x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPierwiastkami wielomianu\n\nW x są zatem\n1\n4\nx ,\n2\n3\nx \noraz\n3\n3\nx .\nOdpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba\n3\nx .\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przedstawi wielomian w postaci iloczynu, np.:\n\n\n\n\n\n\n\n2\n( )\n9\n4\nlub\n( )\n4\n3\n3\nW x\nx\nx\nW x\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n\n2\n( )\n12\n3\n\n\n\n\nW x\nx\nx\nx\nlub\n\n\n\n2\n( )\n7\n12\n3\n\n\n\n\nW x\nx\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu:\n3\nx .\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu\nna czynniki (II.3.d)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n8\nIII sposób rozwiązania\nLiczba\n4\n jest pierwiastkiem wielomianu\n\nx\nW\n, więc wielomian\n\nx\nW\njest podzielny\nprzez dwumian \n\n4\nx \nDzielimy wielomian\n\nx\nW\nprzez dwumian\n\n\n4\nx \n\n\n\n\n2\n3\n2\n3\n2\n9\n:\n4\n4\n9\n36\n4\n9\n36\n9\n36\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nWielomian\n\nx\nW\nzapisujemy w postaci\n\n\n\n\n2\n4\n9\nW x\nx\nx\n\n\n\n,\nstąd\n\n\n\n\n\n4\n3\n3\nW x\nx\nx\nx\n\n\n\n\nLiczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu\n\nx\nW\n, więc wielomian\n\nx\nW\njest podzielny\nprzez dwumian \n\n3\nx \nDzielimy wielomian\n\nx\nW\nprzez dwumian\n\n\n3\nx \n\n\n\n\n2\n3\n2\n3\n2\n2\n2\n7\n12\n:\n3\n4\n9\n36\n3\n7\n9\n7\n21\n12\n36\n12\n36\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nWielomian\n\nx\nW\nzapisujemy w postaci\n\n\n\n2\n7\n12\n3\nW x\nx\nx\nx\n\n\n\n\nWyznaczamy pierwiastki trójmianu\n2\n7\n12\nx\nx\n\n\n:\n4\nx  i\n3\nx .\nLiczby 3 i 4\n są pierwiastkami wielomianu\n\nx\nW\n, więc wielomian\n\nx\nW\njest podzielny\nprzez \n\n\n3\n4\nx\nx\n\n\n= \n\n12\n2\n\nx\nx\nDzielimy wielomian\n\nx\nW\nprzez\n\n\n12\n2\n\nx\nx\n\n\n\n2\n3\n2\n3\n2\n2\n2\n3\n:\n12\n4\n9\n36\n12\n3\n3\n36\n3\n3\n36\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem\n\n\n\n2\n12\n3\nW x\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n3\n4\n3\n\n\n\n\nx\nx\nx\nZatem pierwiastkami wielomianu są:\n1\n4\nx ,\n2\n3\nx \noraz\n3\n3\nx .\nOdpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba\n3\nx .\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n9\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n wykona dzielenie wielomianu przez dwumian \n\n4\nx \n, otrzyma iloraz \n\n2\n9\nx \ni na\ntym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n wykona dzielenie wielomianu przez dwumian \n\n3\nx \n, otrzyma iloraz \n\n2\n7\n12\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n wykona dzielenie wielomianu przez \n\n12\n2\n\nx\nx\n, otrzyma iloraz \n\n3\nx \ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n wykona dzielenie wielomianu przez \n\n4\nx \nlub \n\n3\nx \n, lub przez \n\n12\n2\n\nx\nx\npopełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu wyznacza\npierwiastki otrzymanego ilorazu.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu:\n3\nx .\nUwaga\nDzieląc wielomian\n\nx\nW\nprzez dwumian \n\nx\np\n\nzdający może posłużyć się schematem\nHornera, np. przy dzieleniu przez \n\n4\nx \notrzymuje\n1\n4\n- 9\n- 36\n- 4\n1\n0\n- 9\n0\nIV sposób rozwiązania\nKorzystamy z jednego ze wzorów Viète’a dla wielomianu stopnia trzeciego\ni otrzymujemy\n\n\n1\n36\n3\n4\n3\n\n\n\n\n\n\nx\n, stąd\n3\n3\n\n\nx\nlub\n\n\n1\n4\n3\n4\n3\n\n\n\n\n\nx\n, stąd\n3\n3\n\n\nx\n,\nlub\n\n\n\n\n1\n9\n3\n4\n3\n4\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nProste sprawdzenie pokazuje, że rzeczywiście\n\n\n0\n3 \n\nW\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie zastosuje jeden ze wzorów Viète’a dla wielomianu stopnia trzeciego i na\ntym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie obliczy trzeci pierwiastek:\n3\n\n\nx\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n10\nZadania 29. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:\n\n\n10\n2\n2\n2\n2\n\n\n\n. Zatem współczynnik\nkierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB jest równy\n1\n2\n\n\n\n\n\n\n\n. Symetralna odcinka AB\nma równanie\n1\n2\ny\nx\nb\n\n\n. Punkt\n\n\n2\n2 2 10\n,\n0,6\n2\n2\nS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\njest środkiem odcinka AB .\nSymetralna tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc\n1\n6\n0\n2\nb\n\n\n. Stąd\n6\nb \n, a więc\nsymetralna odcinka AB ma równanie\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\n gdy poprawnie wyznaczy lub poda współrzędne środka odcinka AB:\n\n\n6,0\n\nS\noraz\nwspółczynnik kierunkowy prostej AB:\n2\na \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy\nalbo\n gdy popełni błędy rachunkowe przy wyznaczaniu współrzędnych środka odcinka\nalbo współczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie wyznaczy\nrównanie symetralnej\nalbo\n gdy obliczy współczynnik kierunkowy prostej AB:\n2\na \noraz współczynnik\nkierunkowy prostej do niej prostopadłej\n1\n1\n2\na \ni na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB:\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\nlub\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nII sposób rozwiązania\nObliczamy współrzędne środka odcinka AB:\n\n\n6,0\n\nS\n. Obliczamy współrzędne wektora\n\n\n8,4\n\nAB\n. Ponieważ symetralna odcinka AB jest prostopadła do wektora AB\n\ni przechodzi\nprzez punkt S, więc jej równanie ma postać \n\n\n\n4\n0\n8\n6\n0\nx\ny\n\n\n\n\n, czyli\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy współrzędne wektora AB :\n\n\n8,4\n\nAB\noraz środek odcinka AB:\n\n\n6,0\n\nS\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nUżycie i tworzenie strategii\nWykorzystanie własności symetralnej odcinka do\nwyznaczenia jej równania (IV.8.b, 8.c, 8.e)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n11\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB:\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nlub\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\nIII sposób rozwiązania\nZ rysunku w układzie współrzędnych\nodczytujemy współrzędne punktu\n\n\n6,0\n\nS\n, współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka\nAB:\n1\n2\na \ni zapisujemy równanie symetralnej odcinka AB :\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy odczyta, z dokładnie sporządzonego rysunku w układzie współrzędnych, współrzędne\nśrodka odcinka AB i współczynnik kierunkowy symetralnej prostej AB i na tym poprzestanie\nlub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze równanie symetralnej odcinka AB:\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nlub\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\nIV sposób rozwiązania\nKorzystamy z tego, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo\noddalonych od jego końców. Jeśli punkt\n\n\n,\nP\nx y\n\nleży na symetralnej, to\nBP\nAP \nZatem \n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n10\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\ny\nx\ny\nx\n, czyli \n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n10\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\ny\nx\ny\nx\nPo uporządkowaniu równania i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n10\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\ny\nx\ny\nx\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB:\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nlub\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nx\ny\nA\nB\nS\ny=2x+6\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n12\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów i wyznaczy konsekwentnie równanie\nsymetralnej odcinka AB, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Tożsamość zachodzi dla każdego kąta ostrego \\(\\alpha\\) - zadanie polega na uzasadnieniu (dowodzie).\n\n## Sposób 1 - przekształcenie różnicy obu stron do zera\n\nSprawdzamy, czy różnica lewej i prawej strony wynosi 0.\n\nLiczymy:\n\\[\n(\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha) - (\\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha)\n\\]\n\nPorządkujemy:\n\\[\n= \\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha - \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\n\\]\n\nGrupujemy wyraz z czwartymi potęgami i osobno resztę:\n\\[\n= (\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha) - (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)\n\\]\n\nRóżnicę kwadratów \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha = (\\sin^2\\alpha)^2 - (\\cos^2\\alpha)^2\\) rozkładamy wzorem \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\\[\n= (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha) - (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)\n\\]\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[\n= (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha) \\cdot 1 - (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)\n\\]\n\n**Wyłączamy wspólny czynnik \\((\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)\\):**\n\\[\n= (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)(1 - 1) = (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha) \\cdot 0 = 0\n\\]\n\nPonieważ różnica obu stron wynosi 0, mamy:\n\\[\n\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha \\qquad \\blacksquare\n\\]\n\n## Sposób 2 - podstawienie \\(t = \\sin^2\\alpha\\)\n\nOznaczamy \\(t = \\sin^2\\alpha\\). Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(t \\in (0, 1)\\), a z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\n\\cos^2\\alpha = 1 - t\n\\]\n\n**Lewa strona:**\n\\[\n\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = t^2 + (1-t) = t^2 - t + 1\n\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[\n\\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha = t + (1-t)^2 = t + 1 - 2t + t^2 = t^2 - t + 1\n\\]\n\nObie strony są równe \\(t^2 - t + 1\\), zatem:\n\\[\n\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha \\qquad \\blacksquare\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nTo kluczowy wzór w obu metodach - bez niego podstawienie \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\) i uproszczenie w Sposobie 1 nie byłoby możliwe.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyta w Sposobie 1 do rozkładu \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha\\) z \\(a = \\sin^2\\alpha\\), \\(b = \\cos^2\\alpha\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj podstawiać konkretnych wartości kąta (np. \\(\\alpha = 45°\\)) - to sprawdzenie jednego przypadku, nie **uzasadnienie** dla wszystkich kątów ostrych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładaniu \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha\\) łatwo zapomnieć, że \\(\\sin^4\\alpha = (\\sin^2\\alpha)^2\\) - to różnica kwadratów, nie różnica czwartych potęg o innej strukturze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 pamiętaj, że \\((1-t)^2 = 1 - 2t + t^2\\), a nie \\(1 - t^2\\). To jeden z najczęstszych błędów rachunkowych!\n\n### Sposób 1 - Przeniesienie i wyłączenie czynników\n\\[\\sin^4\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos^4\\alpha - \\cos^2\\alpha.\\]\n\\[\\sin^2\\alpha(\\sin^2\\alpha - 1) = \\cos^2\\alpha(\\cos^2\\alpha - 1).\\]\nZ tożsamości \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\): \\(\\sin^2\\alpha - 1 = -\\cos^2\\alpha\\) oraz \\(\\cos^2\\alpha - 1 = -\\sin^2\\alpha\\).\n\\[\\sin^2\\alpha\\cdot(-\\cos^2\\alpha) = \\cos^2\\alpha\\cdot(-\\sin^2\\alpha)\\]\n\\[-\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = -\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha.\\]\n\\(L = P\\). **CND.**\n\n### Sposób 2 - Różnica kwadratów\n\\[\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha = \\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha.\\]\nLewa strona: \\((\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha)(\\sin^2\\alpha-\\cos^2\\alpha) = 1\\cdot(\\sin^2\\alpha-\\cos^2\\alpha)\\).\nObie strony równe \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha\\). **CND.**\n\n### Sposób 3 - Bezpośrednie przekształcenie L\n\\[L = \\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\cdot\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha(1-\\cos^2\\alpha) + \\cos^2\\alpha\\]\n\\[= \\sin^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha(1-\\sin^2\\alpha) = \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\cdot\\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha = P.\\]\n**CND.**\n\n### Sposób CKE\nPrzenosimy: \\(\\sin^4\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos^4\\alpha - \\cos^2\\alpha\\), czyli \\(\\sin^2\\alpha(\\sin^2\\alpha-1) = \\cos^2\\alpha(\\cos^2\\alpha-1)\\), \\(\\sin^2\\alpha(-\\cos^2\\alpha) = \\cos^2\\alpha(-\\sin^2\\alpha)\\). \\(L=P\\). **CND.**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Kluczowa tożsamość: \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\).\n- \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha = (\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha)(\\sin^2\\alpha-\\cos^2\\alpha)\\) - różnica kwadratów zastosowana do kwadratów sinusa i cosinusa.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"wielomiany","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nWyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach\n\n\n2\n,2\n\n\nA\ni\n\n\n10\n,2\n\nB\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nWyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A=(-2,2) i B=(2,10).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych daje przy dzieleniu przez \\(3\\) resztę \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Algebra: podstawienie \\(n, n+1, n+2\\)\n\n**Oznaczamy** trzy kolejne liczby całkowite jako \\(n\\), \\(n+1\\), \\(n+2\\), gdzie \\(n \\in \\mathbb{Z}\\).\n\nObliczamy sumę ich kwadratów:\n\n\\[S = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\\]\n\nRozwijamy każdy nawias korzystając ze wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):\n\n\\[S = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)\\]\n\n\\[S = 3n^2 + 6n + 5\\]\n\nTeraz wyciągamy \\(3\\) przed nawias tak, żeby zostało coś widocznego:\n\n\\[S = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2\\]\n\n\\[S = 3(n+1)^2 + 2\\]\n\n**Wniosek:** Ponieważ \\(3(n+1)^2\\) jest podzielne przez \\(3\\) (to wielokrotność trójki), to:\n\\[S = 3(n+1)^2 + 2 \\equiv 2 \\pmod{3}\\]\n\nZatem \\(S\\) przy dzieleniu przez \\(3\\) daje zawsze resztę \\(2\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Reszty z dzielenia przez 3 (arytmetyka modularna)\n\nKażda liczba całkowita daje przy dzieleniu przez \\(3\\) resztę \\(0\\), \\(1\\) lub \\(2\\). Wśród **trzech kolejnych** liczb całkowitych musi wystąpić po jednej z każdego rodzaju - jedna daje resztę \\(0\\), jedna \\(1\\), jedna \\(2\\).\n\nSprawdzamy kwadraty tych reszt modulo \\(3\\):\n\n| Reszta \\(n \\bmod 3\\) | \\(n^2 \\bmod 3\\) |\n| \\(0\\) | \\(0^2 = 0 \\equiv 0\\) |\n| \\(1\\) | \\(1^2 = 1 \\equiv 1\\) |\n| \\(2\\) | \\(2^2 = 4 \\equiv 1\\) |\n\nTrzy kolejne liczby całkowite dają reszty \\(0, 1, 2\\) (w jakiejś kolejności), więc sumy kwadratów reszt:\n\n\\[0 + 1 + 1 = 2\\]\n\nZatem:\n\\[n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 \\equiv 0 + 1 + 1 = 2 \\pmod{3}\\]\n\n**Wniosek:** Niezależnie od wyboru trzech kolejnych liczb całkowitych, suma ich kwadratów daje resztę \\(2\\) z dzielenia przez \\(3\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((n+1)^2\\) i \\((n+2)^2\\).\n\nW tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty CKE - uzasadnienie opiera się na przekształceniach algebraicznych i własnościach reszt z dzielenia.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić kilku przykładów liczbowych (np. \\(1^2+2^2+3^2=14=3\\cdot4+2\\)). Maturalne uzasadnienie musi być **ogólne** - dla **dowolnego** \\(n \\in \\mathbb{Z}\\), nie tylko dla konkretnych wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że trzy kolejne liczby to \\(n, n+1, n+2\\) - nie \\(n, n+2, n+4\\) (te parzyste) ani \\(n-1, n, n+1\\) (też poprawnie, ale wygodniej zaczynać od \\(n\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowy jest krok rozbicia \\(5 = 3 + 2\\), żeby wyłączyć \\(3\\) przed nawias. Bez tego kroku nie widać wyraźnie, jaka jest reszta.\n\n### Sposób 1 - Oznaczenie trzech kolejnych liczb przez \\(n-1, n, n+1\\)\nNiech \\(n\\in\\mathbb{Z}\\). Trzy kolejne: \\(n-1, n, n+1\\). Suma kwadratów:\n\\[(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n^2-2n+1) + n^2 + (n^2+2n+1) = 3n^2 + 2.\\]\n\nZapis \\(3n^2 + 2\\) wyraźnie pokazuje, że dzieląc przez \\(3\\) otrzymujemy iloraz \\(n^2\\) i **resztę \\(2\\)**.\n**CND.**\n\n### Sposób 2 - Oznaczenie \\(n, n+1, n+2\\)\n\\[n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = n^2 + (n^2+2n+1) + (n^2+4n+4) = 3n^2 + 6n + 5.\\]\nWyłączamy \\(3\\):\n\\[3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2+2n+1) + 2 = 3(n+1)^2 + 2.\\]\nReszta z dzielenia przez \\(3\\) wynosi \\(2\\). **CND.**\n\n### Sposób 3 - Kongruencje modulo \\(3\\)\nSpośród trzech kolejnych liczb całkowitych: jedna \\(\\equiv 0\\pmod 3\\), jedna \\(\\equiv 1\\pmod 3\\), jedna \\(\\equiv 2\\pmod 3\\).\nKwadraty: \\(0^2 = 0\\), \\(1^2 = 1\\), \\(2^2 = 4 \\equiv 1\\pmod 3\\). Suma: \\(0 + 1 + 1 = 2\\pmod 3\\). **CND.**\n\n### Sposób CKE\nTrzy kolejne: \\(n-1, n, n+1\\). Suma kwadratów = \\(3n^2+2\\). Reszta z dzielenia przez \\(3\\) to \\(2\\). **CND.**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Kluczowe wyrażenie w postaci \\(3\\cdot(\\text{coś}) + 2\\).\n- Wybór trzech kolejnych: \\(n-1, n, n+1\\) lub \\(n, n+1, n+2\\) - oba prowadzą do celu.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"analityczna","page_from":11,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nW trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się\nw punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.\n\nPoziom podstawowy\n13\nW trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nNiech\n2\nBAC\n\n\n\n,\n2\nABC\n\n\n\n,\nACB\n\n\n\n,\nAPB\n\n\n\nSuma miar kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest\n\n180 , więc w trójkącie ABC\nmamy\n\n180\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nPonieważ\n\n0\n\n, więc\n\n180\n2\n2\n\n\n\n, stąd\n\n90\n\n\n\nW trójkącie ABP mamy\n\n180\n\n\n\n\n\n\nStąd i z otrzymanej nierówności\n\n90\n\n\n\nwynika, że\n\n90\n\n\nOznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym.\nCo należało uzasadnić.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest kątem rozwartym.\nII sposób rozwiązania\nNiech\n2\nBAC\n\n\n\n,\n2\nABC\n\n\n\n,\nACB\n\n\n\n,\nAPB\n\n\n\nRozumowanie i argumentacja\nPrzeprowadzenie dowodu geometrycznego (V.7.c)\nB\nA\nC\nP\n\n\n\n\n\n\n\nB\nA\nC\nP\n\n\n\n\n\n\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n13\nPonieważ\n\n180\n\n\n\noraz suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie ABP jest równa\n\n180 , więc otrzymujemy\n\n\n\n\n\n\n\n90\n180\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n180\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPonieważ\n\n90\n\n\n, więc  jest kątem ostrym, zatem  jest kątem rozwartym.\nOznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym. Co należało uzasadnić.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest rozwarty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_n = 2n - 3\\)\n\n## Sposób 1 - różnica sum częściowych\n\nKluczowy wzór: dla ciągu \\((a_n)\\) i jego sum częściowych \\(S_n\\) zachodzi:\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\noraz osobno \\(a_1 = S_1\\).\n\n**Krok 1: wyznacz \\(a_1\\)**\n\n\\[a_1 = S_1 = 1^2 - 2 \\cdot 1 = 1 - 2 = -1\\]\n\n**Krok 2: wyznacz \\(a_n\\) dla \\(n \\geq 2\\)**\n\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} = \\bigl(n^2 - 2n\\bigr) - \\bigl((n-1)^2 - 2(n-1)\\bigr)\\]\n\nRozwijamy \\((n-1)^2 - 2(n-1)\\):\n\\[(n-1)^2 - 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 - 2n + 2 = n^2 - 4n + 3\\]\n\nZatem:\n\\[a_n = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = n^2 - 2n - n^2 + 4n - 3 = 2n - 3\\]\n\n**Krok 3: sprawdź, czy wzór działa też dla \\(n = 1\\)**\n\n\\[2 \\cdot 1 - 3 = -1 = a_1 \\checkmark\\]\n\nWzór jest wspólny dla wszystkich \\(n \\geq 1\\):\n\n\\[\\boxed{a_n = 2n - 3}\\]\n\n## Sposób 2 - porównanie współczynników z ogólnym wzorem na \\(S_n\\)\n\nSuma \\(n\\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie \\(a_1\\) i różnicy \\(r\\) to:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nPo rozpisaniu:\n\\[S_n = \\frac{r}{2}n^2 + \\left(a_1 - \\frac{r}{2}\\right)n\\]\n\nJest to wielomian kwadratowy w \\(n\\) bez wyrazu wolnego. Porównujemy go ze wzorem danym w zadaniu:\n\\[S_n = 1 \\cdot n^2 + (-2) \\cdot n\\]\n\n**Porównujemy współczynniki:**\n\nPrzy \\(n^2\\):\n\\[\\frac{r}{2} = 1 \\implies r = 2\\]\n\nPrzy \\(n\\):\n\\[a_1 - \\frac{r}{2} = -2 \\implies a_1 - 1 = -2 \\implies a_1 = -1\\]\n\n**Wyznaczamy wzór ogólny:**\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r = -1 + (n-1) \\cdot 2 = -1 + 2n - 2 = 2n - 3\\]\n\n**Weryfikacja sumy:**\n\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = (-1) + 1 + 3 = 3, \\quad \\text{a wzór daje: } 3^2 - 2 \\cdot 3 = 3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyty w Sposobie 2 po wyznaczeniu \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) pierwszych wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyty w Sposobie 2 do porównania współczynników.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\). Dla \\(n = 1\\) musisz osobno sprawdzić, czy \\(a_1 = S_1\\) zgadza się z ogólnym wzorem - w tym zadaniu tak jest, ale nie zawsze musi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się przy rozwijaniu \\((n-1)^2\\). Pamiętaj: \\((n-1)^2 = n^2 - 2n + 1\\), a nie \\(n^2 - 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o ciąg arytmetyczny - warto sprawdzić różnicę: \\(a_2 - a_1 = 1 - (-1) = 2\\), \\(a_3 - a_2 = 3 - 1 = 2\\). Stała różnica \\(r = 2\\) potwierdza, że to faktycznie ciąg arytmetyczny.\n\n### Sposób 1 - Ze wzoru \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\)\nDla \\(n > 1\\):\n\\[S_{n-1} = (n-1)^2 - 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 - 2n + 2 = n^2 - 4n + 3.\\]\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3.\\]\n\nSprawdzamy \\(n=1\\): \\(a_1 = S_1 = 1 - 2 = -1\\), a z wzoru \\(a_n = 2n-3\\): \\(a_1 = 2\\cdot 1 - 3 = -1\\) ✓.\n\n**Wzór:** \\(a_n = 2n - 3\\).\n\n### Sposób 2 - Z pierwszych wyrazów i różnicy\n\\(a_1 = S_1 = 1 - 2 = -1\\).\n\\(S_2 = 4 - 4 = 0 \\Rightarrow a_2 = S_2 - a_1 = 0-(-1) = 1\\).\nRóżnica: \\(r = a_2 - a_1 = 1 - (-1) = 2\\).\nWzór ogólny:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r = -1 + (n-1)\\cdot 2 = 2n - 3.\\]\n\n### Sposób 3 - Ze wzoru na sumę\n\\[S_n = \\dfrac{a_1+a_n}{2}\\cdot n = n^2 - 2n.\\]\n\\[\\dfrac{a_1+a_n}{2} = n - 2\\]\n\\[a_1 + a_n = 2n - 4.\\]\nZ \\(a_1 = -1\\): \\(a_n = 2n - 4 + 1 = 2n - 3\\).\n\n### Sposób CKE\nObliczamy \\(S_1 = -1\\), \\(S_2 = 0\\). Stąd \\(a_1 = -1\\), \\(a_2 = 1\\), \\(r=2\\). Wzór: \\(a_n = -1 + (n-1)\\cdot 2 = 2n-3\\).\n\n### Odpowiedź\n**\\(a_n = 2n - 3\\).**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Ważne sprawdzenie wzoru dla \\(n=1\\) (często pomijane).\n- Błąd częsty: \\(a_1 + a_2 = S_2 = 0\\), ale nie oznacza to \\(a_1 = a_2 = 0\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nZe zbioru liczb \n\n1,2,3,4,5,6,7 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest\npodzielny przez 6.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nZe zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nI sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane \n\ny\nx,\ndwóch liczb ze zbioru\n\n\n1,2,3, 4,5,6,7 .\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n7 7\n49\n\n\n\nIloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6, gdy:\n jedna z tych liczb jest równa 6 (wówczas druga jest dowolna)\nalbo\n jedną z liczb jest 3, a drugą jest 2 lub 4.\nLiczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa\n\n\n2 7 1\n2 2\n17\nA \n\n\n\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:\n\n17\n49\nP A \nII sposób rozwiązania (metoda tabeli)\nSymbole w tabeli oznaczają odpowiednio:\n - zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A\n7 7\n49\n\n\n\ni\n17\nA \n, zatem\n\n17\n49\nP A \nModelowanie matematyczne\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia\nz zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa\n(III.10.b;10.d)\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n\n2\n\n\n3\n\n\n\n4\n\n\n5\n\n6\n   \n  \n7\n\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n14\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n2\n7\n49\n\n\nalbo\n obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A :\n17\nA \nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n17\n( )\n49\nP A \nUwaga\nJeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A , to otrzymuje za całe rozwiązanie\n0 punktów.\nIII sposób rozwiązania (metoda drzewa)\nDrzewo z istotnymi gałęziami:\n2\n7\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6)\njest więc równe:\n\n1 7\n1\n7 7\n7 7\n7 7\n2 2\n3\n3 1\n17\n7 7\n49\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nP A\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo\nalbo\n narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n17\n( )\n49\nP A \nUwaga\nJeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A , to otrzymuje za całe rozwiązanie\n0 punktów.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek,\nnp.\n17\n1\n( )\n49\n3\nP A \n\n, to otrzymuje 2 punkty.\n1\n7\n3\n7\n1\n7\n6\n2, 4\n3\n1, 5, 7\nDowolna z siedmiu\n3, 6\n2, 4, 6\n7\n7\n2\n7\n3\n7\n7\n1\n6\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n15","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(h = 5\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie boku rombu ze wzoru na pole, potem obliczenie wysokości\n\n**Co wiemy o rombze:**\nRomb ma 4 równe boki (długość \\(a\\)) i kąty po dwie równe pary. Pole rombu wyraża się wzorem:\n\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(\\alpha\\) to jeden z kątów rombu (tu: kąt ostry).\n\nWysokość rombu wyraża się jako:\n\\[h = a \\cdot \\sin\\alpha\\]\nbo jeśli opuścimy prostopadłą z wierzchołka na bok, otrzymujemy trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną \\(a\\) i kątem \\(\\alpha\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczyć bok rombu \\(a\\)**\n\n\\[P = a^2 \\cdot \\sin 45°\\]\n\\[50\\sqrt{2} = a^2 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\\[a^2 = 50\\sqrt{2} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{2}} = 50 \\cdot 2 = 100\\]\n\\[a = 10\\]\n\n**Krok 2: Obliczyć wysokość**\n\n\\[h = a \\cdot \\sin 45° = 10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}\\]\n\n**Wynik: \\(h = 5\\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wyrażenie boku przez wysokość i podstawienie wprost\n\n**Obserwacja:** Wysokość rombu to \\(h = a \\cdot \\sin\\alpha\\), skąd:\n\\[a = \\frac{h}{\\sin 45°} = \\frac{h}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = h\\sqrt{2}\\]\n\n**Podstawiamy do wzoru na pole** \\(P = a \\cdot h\\):\n\\[P = h\\sqrt{2} \\cdot h = h^2\\sqrt{2}\\]\n\\[50\\sqrt{2} = h^2 \\cdot \\sqrt{2}\\]\n\\[h^2 = 50\\]\n\\[h = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(a = h\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} = 10\\), pole \\(= 10 \\cdot 5\\sqrt{2} = 50\\sqrt{2}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - Pole rombu:\n\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia boku \\(a\\) ze znajomości pola i kąta ostrego.\n\nAlternatywnie, korzystamy z podstawowego wzoru:\n\\[P = a \\cdot h\\]\ngdzie \\(h\\) to wysokość rombu - użyte w Sposobie 2 do podstawienia bezpośrednio pod wynik.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\):\n\n| \\(\\alpha\\) | \\(45°\\) |\n| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) |\n\nKluczowe do obliczenia zarówno pola jak i wysokości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) z \\(\\frac{1}{2}\\). To częsty błąd - \\(\\frac{1}{2}\\) to \\(\\sin 30°\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) dotyczy **kąta wewnętrznego** rombu, nie dowolnego kąta. Zawsze używaj kąta między bokami, które tworzą pole.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\) - nie zostawiaj odpowiedzi w postaci \\(\\sqrt{50}\\), upraszczaj pierwiastki do końca!\n\n### Sposób 1 - Ze wzoru \\(P = a^2\\sin\\alpha\\)\nDla rombu o boku \\(a\\) i kącie \\(\\alpha\\):\n\\[P = a^2\\sin\\alpha.\\]\n\\[50\\sqrt{2} = a^2\\sin 45^{\\circ} = a^2\\cdot\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}.\\]\n\\[a^2 = \\dfrac{50\\sqrt{2}\\cdot 2}{\\sqrt{2}} = 100.\\]\n\\[a = 10.\\]\n\n**Wysokość** \\(h\\) z zależności \\(h = a\\sin\\alpha\\):\n\\[h = 10\\cdot\\sin 45^{\\circ} = 10\\cdot\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Ze wzoru \\(P = a\\cdot h\\)\n\\(P = a\\cdot h\\) oraz \\(h = a\\sin\\alpha = a\\cdot\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Stąd:\n\\[a\\cdot a\\cdot\\tfrac{\\sqrt{2}}{2} = 50\\sqrt{2}\\]\n\\[a^2\\cdot\\tfrac{\\sqrt{2}}{2} = 50\\sqrt{2}\\]\n\\[a^2 = 100 \\Rightarrow a = 10.\\]\n\\[h = 10\\cdot\\tfrac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób CKE\nUkład: \\(a\\cdot h = 50\\sqrt{2}\\), \\(\\tfrac{h}{a} = \\sin 45^{\\circ}\\). Wynika \\(a=10, h=5\\sqrt{2}\\).\n\n### Odpowiedź\n**Wysokość rombu: \\(h = 5\\sqrt{2}\\).**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Wzory na pole rombu: \\(P = a^2\\sin\\alpha = a\\cdot h = \\tfrac{1}{2}d_1 d_2\\).\n- Wysokość rombu to rzut jednego boku na drugi: \\(h = a\\sin\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nCiąg \n\n9, ,19\nx\njest arytmetyczny, a ciąg \n\n,42, ,\nx\ny z jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15\nCiąg (9,x,19) jest arytmetyczny, a ciąg (x,42,y,z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nI sposób rozwiązania\nCiąg \n\n9, ,19\nx\njest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów\nsąsiednich:\n9 19\n14\n2\nx\n\n\n\nWiemy, że ciąg \n\n14,42, ,y z\njest geometryczny, zatem jego iloraz jest równy\n42\n3\n14\nq \n\nWobec tego\n3 42\n126\ny \n\ni\n126 3\n378\nz \n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np.\n9 19\n2\nx\n\n\nlub\n2\n9 19\nx \n\nlub\n14\nx \nalbo\n wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np.\n2\n42\nxy\n\nlub\n2\n42\ny\nz\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie ilorazu ciągu geometrycznego\n3\nq .\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie\n14\nx \n,\n126\ny \n,\n378\nz \nII sposób rozwiązania\nCiąg \n\n9, ,19\nx\njest arytmetyczny, zatem 2\n9 19\nx \n\n,\n14\nx \nCiąg \n\n14,42, ,y z\njest geometryczny, zatem\n2\n42\n14 y\n\n\ni\n2\n42\ny\nz\n\n,\n1764\n126\n14\ny \n\ni\n2\n126\n42 z\n\n, stąd\n378\nz \nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n\nwykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np.\n9 19\n2\nx\n\n\nlub\n2\n9 19\nx \n\n, lub\n14\nx \nalbo\n wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np.\n2\n42\nxy\n\nlub\n2\n42\ny\nz\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie\n14\nx \ni zapisanie równania\n2\n42\n14y\n\nlub 1764\n14y\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie\n126\ny \ni zapisanie równania\n2\n42\ny\nz\n\nlub\n2\n126\n42z\n\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie własności ciągu arytmetycznego\ni geometrycznego (III.5.c)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n16\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie\n14\nx \n,\n126\ny \n,\n378\nz \nUwaga\nJeśli zdający pomyli własności ciągów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(D = (4, 15)\\)\n\n## Sposób 1 - Prosty i prosta prostopadła (metoda analityczna)\n\n**Krok 1: Wyznacz równanie prostej \\(AB\\)**\n\nObliczamy współczynnik kierunkowy:\n\\[a_{AB} = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{23 - 11}{8 - 2} = \\frac{12}{6} = 2\\]\n\nRównanie prostej przez \\(A = (2, 11)\\) o współczynniku \\(2\\):\n\\[y - 11 = 2(x - 2) \\implies y = 2x + 7\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy wysokości \\(CD\\)**\n\nWysokość \\(CD\\) jest **prostopadła** do \\(AB\\), więc jej współczynnik kierunkowy spełnia warunek:\n\\[a_{CD} \\cdot a_{AB} = -1 \\implies a_{CD} \\cdot 2 = -1 \\implies a_{CD} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz równanie prostej \\(CD\\)**\n\nProsta przez \\(C = (6, 14)\\) o współczynniku \\(-\\frac{1}{2}\\):\n\\[y - 14 = -\\frac{1}{2}(x - 6) \\implies y = -\\frac{1}{2}x + 3 + 14 \\implies y = -\\frac{1}{2}x + 17\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz punkt przecięcia \\(D\\)**\n\nPrzyrównujemy obie proste:\n\\[2x + 7 = -\\frac{1}{2}x + 17\\]\n\\[2x + \\frac{1}{2}x = 10\\]\n\\[\\frac{5}{2}x = 10 \\implies x = 4\\]\n\\[y = 2 \\cdot 4 + 7 = 15\\]\n\n**\\(\\boxed{D = (4, 15)}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez iloczyn skalarny\n\nSprawdzamy, czy \\(CD \\perp AB\\) przy wyznaczonym \\(D = (4, 15)\\).\n\nWektor \\(\\overrightarrow{AB}\\):\n\\[\\overrightarrow{AB} = [8 - 2,\\ 23 - 11] = [6, 12]\\]\n\nWektor \\(\\overrightarrow{CD}\\):\n\\[\\overrightarrow{CD} = [4 - 6,\\ 15 - 14] = [-2, 1]\\]\n\nIloczyn skalarny:\n\\[\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{CD} = 6 \\cdot (-2) + 12 \\cdot 1 = -12 + 12 = 0 \\checkmark\\]\n\nIloczyn skalarny równy zero oznacza, że wektory są **prostopadłe** - \\(CD \\perp AB\\).\n\nSprawdzamy też, czy \\(D = (4, 15)\\) leży na prostej \\(AB\\): \\(y = 2 \\cdot 4 + 7 = 15\\) ✓\n\nWynik potwierdzony: **\\(D = (4, 15)\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n> Równanie prostej o współczynniku kierunkowym \\(a\\) przechodzące przez punkt \\((x_0, y_0)\\):\n> \\[y - y_0 = a(x - x_0)\\]\n> Użyliśmy do wyznaczenia równań prostych \\(AB\\) i \\(CD\\).\n\n> Warunek prostopadłości dwóch prostych (po współczynnikach kierunkowych):\n> \\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n> Kluczowy wzór - pozwolił wyznaczyć kierunek wysokości \\(CD\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), **nie** \\(a_1 = a_2\\). Odwrotność + zmiana znaku - łatwo o pomyłkę. Dla \\(a_{AB} = 2\\) mamy \\(a_{CD} = -\\frac{1}{2}\\), **nie** \\(2\\) ani \\(-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(D\\) musi leżeć na **prostej \\(AB\\)** (nie tylko na odcinku \\(AB\\)!). Gdyby \\(D\\) wyszło poza odcinek, nadal byłoby poprawnym rozwiązaniem - w tym przypadku \\(D = (4, 15)\\) leży między \\(A = (2, 11)\\) a \\(B = (8, 23)\\), więc wszystko gra.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego pamiętaj o kolejności: \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\), a nie odwrotnie. Zamiana mianownika z licznikiem daje błędny wynik.\n\n### Sposób 1 - Równania prostej AB i prostej prostopadłej przez C\n**Krok 1. Równanie prostej \\(AB\\):**\n\\[a_{AB} = \\dfrac{23-11}{8-2} = \\dfrac{12}{6} = 2.\\]\nPrzez \\(A=(2, 11)\\): \\(y - 11 = 2(x - 2) \\Rightarrow y = 2x + 7\\).\n\n**Krok 2. Prosta \\(CD\\prostopadle{AB}\\)** przez \\(C=(6, 14)\\):\n\\[a_{CD} = -\\dfrac{1}{a_{AB}} = -\\dfrac{1}{2}.\\]\n\\[y - 14 = -\\tfrac{1}{2}(x - 6) \\Rightarrow y = -\\tfrac{1}{2}x + 3 + 14 = -\\tfrac{1}{2}x + 17.\\]\n\n**Krok 3. Układ równań:**\n\\[\\begin{cases} y = 2x + 7 \\\\ y = -\\tfrac{1}{2}x + 17 \\end{cases}\\]\nPorównanie:\n\\[2x + 7 = -\\tfrac{1}{2}x + 17\\]\n\\[2x + \\tfrac{1}{2}x = 10\\]\n\\[\\tfrac{5}{2}x = 10 \\Rightarrow x = 4.\\]\n\\[y = 2\\cdot 4 + 7 = 15.\\]\n\n\\[\\boxed{D = (4, 15)}\\]\n\n### Sposób 2 - Z pola trójkąta i odległości\nObliczamy pole \\(\\triangle ABC\\) ze wzoru z determinantem:\n\\[P = \\tfrac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A) - (x_C-x_A)(y_B-y_A)| = \\tfrac{1}{2}|6\\cdot 3 - 4\\cdot 12| = \\tfrac{1}{2}|18-48| = 15.\\]\n\\(|AB| = \\sqrt{36+144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\).\nWysokość \\(|CD| = \\dfrac{2P}{|AB|} = \\dfrac{30}{6\\sqrt{5}} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{1} = \\sqrt{5}\\).\nPunkt \\(D = (x, 2x+7)\\). Z warunku \\(|CD|^2 = 5\\):\n\\[(x-6)^2 + (2x+7-14)^2 = 5\\]\n\\[(x-6)^2 + (2x-7)^2 = 5\\]\n\\[x^2-12x+36 + 4x^2-28x+49 = 5\\]\n\\[5x^2 - 40x + 80 = 0 \\Rightarrow x^2 - 8x + 16 = 0 \\Rightarrow (x-4)^2 = 0 \\Rightarrow x = 4.\\]\n\\(y = 2\\cdot 4+7 = 15\\). \\(D=(4, 15)\\).\n\n### Sposób CKE\nRównanie \\(AB: y=2x+7\\). Prostopadła przez \\(C\\): \\(y = -\\tfrac{1}{2}x+17\\). Układ → \\(D=(4,15)\\).\n\n### Odpowiedź\n**\\(D = (4, 15)\\).**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Współczynnik prostopadłej: \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\), czyli \\(a_{CD} = -\\tfrac{1}{a_{AB}}\\).\n- Wysokość \\(CD\\) leży na prostej prostopadłej do \\(AB\\) przechodzącej przez \\(C\\), a \\(D\\) to punkt jej przecięcia z \\(AB\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nW graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy\nma długość 4. Kąt ACE jest równy 60. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego\nna poniższym rysunku.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nG\nH\nE\nF\nD\n\nPoziom podstawowy\n16\nW graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60 stopni. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nStrategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów:\na) obliczenie wysokości AE ostrosłupa,\nb) obliczenie pola podstawy tego ostrosłupa,\nc) obliczenie objętości ostrosłupa.\nRozwiązanie\na) Obliczenie pola podstawy ostrosłupa\nPodstawa ABCD ostrosłupa jest kwadratem o boku AB. Stosując wzór na przekątną kwadratu,\nmamy: 4\n2\nAB\n, stąd\n4\n2 2\n2\n\n\nAB\nObliczamy pole P podstawy ostrosłupa:\n\n\n2\n2 2\n8\nP \n\nb) Obliczenie wysokości AE ostrosłupa\nRysujemy trójkąt EAC.\n8 3\n4 3\n2\n\n\nAE\nc) Obliczenie objętości ostrosłupa\nObjętość ostrosłupa jest równa\n1\n32\n8 4 3\n3\n3\n3\nV \n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie wysokości AE ostrosłupa:\n4 3\nAE \nalbo obliczenie pola P podstawy ostrosłupa:\n\n\n2\n2 2\n8\nP \n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie pola podstawy i wysokości ostrosłupa.\nUżycie i tworzenie strategii\nObliczenie objętości wielościanu (IV.9.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n17\nUwaga\nJeśli zdający obliczy jedną z tych wielkości z błędem rachunkowym, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości ostrosłupa:\n32\n3\n3\nV \nUwaga\nJeśli zdający pominie współczynnik 1\n3 we wzorze na objętość ostrosłupa, ale rozwiązanie\ndoprowadzi konsekwentnie do końca z tym jednym błędem, to za takie rozwiązanie otrzymuje\n3 punkty.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nNie obniżamy punktacji zadania za błędy nieuwagi, np. gdy zdający poprawnie obliczył\nwysokość ostrosłupa, ale przy obliczaniu objętości ostrosłupa podstawił błędna wartość.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (5120)\n\n## Sposób 1 - Kombinatoryczny (wybór miejsc i cyfr)\n\n**Analizujemy dostępne cyfry** (brak zera, więc cyfry: 1-9):\n- Cyfry parzyste: \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\) - **4 cyfry**\n- Cyfry nieparzyste bez siódemki: \\(\\{1, 3, 5, 9\\}\\) - **4 cyfry**\n- Cyfra 7 - **1 cyfra** (nieparzysta)\n\n**Struktura liczby pięciocyfrowej:**\n\n| Pozycja | Zawartość | Liczba możliwości |\n| 1 z 5 miejsc | dokładnie jedna **7** | - |\n| 1 z pozostałych 4 miejsc | dokładnie jedna **cyfra parzysta** | - |\n| pozostałe **3** miejsca | cyfry nieparzyste \\(\\neq 7\\), czyli z \\(\\{1,3,5,9\\}\\) | - |\n\n**Krok 1.** Wybieramy, na którym z 5 miejsc stoi cyfra **7**:\n\\[\\binom{5}{1} = 5\\]\n\n**Krok 2.** Wybieramy, na którym z pozostałych 4 miejsc stoi cyfra **parzysta**:\n\\[\\binom{4}{1} = 4\\]\n\n**Krok 3.** Wybieramy, która cyfra parzysta tam stoi (2, 4, 6 lub 8):\n\\[4\\]\n\n**Krok 4.** Każde z pozostałych 3 miejsc wypełniamy cyfrą z \\(\\{1, 3, 5, 9\\}\\) - niezależnie, z powtórzeniami:\n\\[4^3 = 64\\]\n\n**Wynik końcowy:**\n\\[5 \\times 4 \\times 4 \\times 64 = \\mathbf{5120}\\]\n\n## Sposób 2 - Kombinatoryczny (wybór pozycji, potem cyfr)\n\nMyślimy o tym inaczej: najpierw **rozdzielamy 5 pozycji** na grupy, potem liczymy wypełnienia.\n\n**Krok 1.** Wybieramy, które 2 z 5 pozycji są \"specjalne\" (jedna dla 7, jedna dla parzystej), a które 3 są \"zwykłe\":\n\\[\\binom{5}{1} \\cdot \\binom{4}{1} = 5 \\cdot 4 = 20\\]\n(kolejność ma znaczenie: rozróżniamy pozycję-siódemki od pozycji-parzystej)\n\n**Krok 2.** Na pozycji siódemki: tylko 1 opcja (cyfra 7).\n\n**Krok 3.** Na pozycji parzystej: 4 opcje \\(\\{2,4,6,8\\}\\).\n\n**Krok 4.** Na każdej z 3 zwykłych pozycji: 4 opcje \\(\\{1,3,5,9\\}\\):\n\\[4^3 = 64\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[20 \\times 1 \\times 4 \\times 64 = 20 \\times 256 = \\mathbf{5120} \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)**\n\nSymbol Newtona (kombinacje):\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!\\,(n-k)!}\\]\nUżyliśmy \\(\\binom{5}{1} = 5\\) i \\(\\binom{4}{1} = 4\\) do wyboru pozycji siódemki i cyfry parzystej.\n\nWariacje z powtórzeniami: \\(n^k\\)\nUżyliśmy \\(4^3 = 64\\) - bo na każdą z 3 pozostałych pozycji niezależnie wybieramy 1 cyfrę z 4 możliwych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Błąd | Skąd się bierze |\n| Zapomnienie, że 7 jest cyfrą **nieparzystą** | Uczeń liczy: 1 siódemka + 1 parzysta + reszta z \\(\\{1,3,5,9,7\\}\\), czyli dopuszcza drugą 7 na \"zwykłych\" pozycjach - zamiast \\(4^3 = 64\\) bierze \\(5^3 = 125\\), wynik: \\(5 \\times 4 \\times 4 \\times 125 = 10\\,000\\) |\n| Nieuwzględnienie kolejności miejsc | Uczeń bierze \\(\\binom{5}{2} = 10\\) zamiast \\(\\binom{5}{1}\\cdot\\binom{4}{1} = 20\\) (miesza wybór 2 miejsc bez rozróżnienia z rozróżnionym wyborem) - wynik: \\(10 \\times 4 \\times 64 = 2\\,560\\) |\n| Uwzględnienie zera w cyfrach parzystych | Uczeń bierze cyfry parzyste z \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\) - 5 opcji zamiast 4 - wynik: \\(5 \\times 4 \\times 5 \\times 64 = 6\\,400\\) |\n| Branie tylko 3 cyfr nieparzystych \\(\\neq 7\\) | Uczeń zapomina o \\(\\{9\\}\\) i bierze \\(\\{1,3,5\\}\\) - \\(3^3 = 27\\) zamiast \\(4^3 = 64\\), wynik: \\(5 \\times 4 \\times 4 \\times 27 = 2\\,160\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra **7 jest nieparzysta** - nie wlicza się do \"jednej cyfry parzystej\". Pamiętaj, że \"parzyste\" i \"nieparzyste\" to rozłączne zbiory, a 7 należy do nieparzystych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"nie występuje zero\" eliminuje 0 z cyfr parzystych - zostają tylko \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\), czyli **4 cyfry**, nie 5.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wybierając pozycję dla siódemki i pozycję dla parzystej, rozróżniamy te dwa miejsca (liczymy \\(\\binom{5}{1}\\cdot\\binom{4}{1}\\), a nie \\(\\binom{5}{2}\\)), bo każde z tych miejsc pełni inną rolę.\n\n### Sposób 1 - Trzy grupy cyfr\nCyfry dostępne (bez zera): \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\).\nTrzy grupy cyfr, które mogą się pojawić w liczbie:\n1. **cyfra \\(7\\)** - ma wystąpić dokładnie raz;\n2. **cyfry parzyste bez zera**: \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\) - 4 cyfry; ma wystąpić dokładnie jedna;\n3. **cyfry nieparzyste różne od 7**: \\(\\{1, 3, 5, 9\\}\\) - 4 cyfry; pozostałe miejsca.\n\n### Krok 1 - Wybór miejsc\nLiczba ma \\(5\\) pozycji.\n- Miejsce dla cyfry \\(7\\): \\(5\\) sposobów (można wybrać dowolną z 5 pozycji).\n- Miejsce dla cyfry parzystej: pozostałe \\(4\\) pozycje → \\(4\\) sposoby.\n- Pozostałe \\(3\\) miejsca: dla cyfr nieparzystych z \\(\\{1,3,5,9\\}\\).\n\n### Krok 2 - Wybór wartości cyfr\n- Cyfra parzysta: \\(4\\) możliwości (\\(2, 4, 6, 8\\)).\n- Cyfry nieparzyste (różne od 7) na \\(3\\) miejscach: każde niezależnie \\(4\\) możliwości → \\(4^3 = 64\\).\n\n### Krok 3 - Iloczyn\n\\[N = 5\\cdot 4\\cdot 4\\cdot 4^3 = 5\\cdot 4\\cdot 4\\cdot 64 = 5\\cdot 4^5 = 5\\cdot 1024 = 5120.\\]\n\n### Sposób CKE\nTrzy grupy: 7 (1 cyfra), parzyste bez zera (4 cyfry), nieparzyste różne od 7 (4 cyfry).\n- Miejsce dla \\(7\\): \\(5\\) sposobów.\n- Miejsce dla parzystej: \\(4\\) sposoby.\n- Wybór parzystej: \\(4\\) sposoby.\n- \\(3\\) miejsca dla cyfr z \\(\\{1,3,5,9\\}\\): \\(4^3 = 64\\) sposoby.\nRazem: \\(5\\cdot 4\\cdot 4\\cdot 64 = 5120\\).\n\n### Odpowiedź\n**Istnieje \\(5120\\) takich liczb.**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Cyfra \\(0\\) **nie występuje** - parzyste to \\(\\{2,4,6,8\\}\\) (4 cyfry, nie 5).\n- Cyfra \\(7\\) jest nieparzysta, ale ma być **tylko jedna** - pozostałe nieparzyste to \\(\\{1, 3, 5, 9\\}\\) (bez 7).\n- Dokładnie jedna cyfra parzysta = na \\(1\\) z \\(5\\) miejsc, \\(4\\) pozostałe to nieparzyste różne od 7 (ale miejsce \\(7\\) jest już zajęte, więc \\(3\\) pozostałe dla nieparzystych).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nMiasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkość pociągu\npospiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego.\nPociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas\npokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nBRUDNOPIS\nMiasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nI sposób rozwiązania\nPrzyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg\nosobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę.\nZapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla\npociągu pospiesznego: \n\n\n1\n24\n210\nt\nv\n\n\n\n\nNastępnie zapisujemy układ równań \n\n\n210\n1\n24\n210\nt v\nt\nv\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:\n\n\n210\n24\n210\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nt\nt\n210\n210\n24\n24\n210\nt\nt\n\n\n\n\n2\n24\n24\n210\n0\nt\nt\n\n\n\n2\n4\n4\n35\n0\nt\nt\n\n\n\n2\n16\n560\n24\n\n\n\n1\n4\n24\n5\n8\n2\nt\n\n\n\n,\n2\n4\n24\n7\n3,5\n8\n2\nt\n\n\n\n\n1t jest sprzeczne z warunkami zadania.\nObliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny:3,5 1\n2,5\n\nOdp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.\nModelowanie matematyczne\nRozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście\npraktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego\n(III.3.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n18\nII sposób rozwiązania\nZapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla\npociągu pospiesznego: \n\n\n1\n24\n210\nt\nv\n\n\n\n\nNastępnie zapisujemy układ równań \n\n\n210\n1\n24\n210\nt v\nt\nv\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:\n\n\n210\n24\n1\n210\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nv\nv\n5040\n210\n24\n210\nv\nv\n\n\n\n\n5040\n24\n0\nv\nv\n\n\n\n2\n24\n5040\n0\nv\nv\n\n\n\n\n2\n576\n20160\n144\n\n\n\n1\n24\n144\n60\n2\nv\n\n\n\n\n,\n2\n24\n144\n84\n2\nv\n\n\n\n\n,\n2v jest sprzeczne z warunkami zadania.\nObliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg osobowy:\n210\n210\n7\n3,5\n60\n2\nt\nv\n\n\n\n\nObliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 - 1 = 2,5.\nOdp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.\nIII sposób rozwiązania\nPrzyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg\nosobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę.\nNarysowane duże prostokąty reprezentują odległości przebyte przez obydwa pociągi, mają\nzatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość\n\n\n24\n1\n1\n\n\nt\nv . Droga przebyta przez pociąg osobowy wyraża się wzorem\n\n\n24\n1\n\n\n\nv t\nt\nt .\nPonieważ trasa pociągu ma długość 210 km, otrzymujemy równanie\n\n\n24\n1\n210\nt\nt\n\n\nStąd\n2\n24\n24\n210\n0\nt\nt\n\n\n\n2\n4\n4\n35\n0\nt\nt\n\n\n\n2\n16\n560\n24\n\n\n\n1\n4\n24\n5\n8\n2\nt\n\n\n\n,\n2\n4\n24\n7\n3,5\n8\n2\nt\n\n\n\n\nv\nt1\nv+24\nt\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n19\n1t jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem pociąg osobowy jechał przez 3,5 godziny,\na pociąg pospieszny:3,5 1\n2,5\n\ngodziny.\nOdp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie równania z dwiema niewiadomymi\n\n\n\n1\n24\n210\nt\nv\n\n\n\ngdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, a v średnią\nprędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę,\nlub\n\n\n\n1\n24\n210\nt\nv\n\n\n\ngdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg pospieszny, a v średnią\nprędkość pociągu pospiesznego w kilometrach na godzinę.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n210\n24\n1\n210\nv\nt\nv\nt\nlub \n\n\n210\n1\n24\n210\nt v\nt\nv\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.:\n\n\n210\n24\n210\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nt\nt\nlub\n\n\n210\n1\n24\n210\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n24\n1\n210\nt\nt\n\n\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nZostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały\npopełnione błędy rachunkowe lub usterki 2 pkt\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n\nrozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczenie czasu pokonania drogi przez pociąg pospieszny\nalbo\n\nobliczenie czasu jazdy pociągu osobowego:\n5,3\n\nt\ni nie obliczenie czasu pokonania\ntej drogi przez pociąg pospieszny.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny: 2,5 godziny.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający odgadnie czas jazdy pociągu pospiesznego i nie uzasadni, że jest to jedyne\nrozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n20\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nPrzykład 1.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg\nosobowy\n210\n24\n1\nv\nt\n\n\n\n\n210\n210\n24\n1\nv t\nv\nt\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym\njest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie\nujął wyrażenia\n1\nt  w nawias. Zapis równania\n210\n24\n1\nv\nt\n\n wskazuje na poprawną\ninterpretację zależności między wielkościami.\nPrzykład 2.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg\nosobowy\n210\n24\n1\nv\nt\n\n\n210\n210\n24\n1\nv\nt\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n120\n210\n24\nt\nt\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych\ntrudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 120\n210\n24\nt\nt\n\n\n zdający\nprzestawił cyfry w zapisie liczby 210 i pominął liczbę 1 w mianowniku ułamka.\nPrzykład 3.\nJeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.\n2\n4\n4\n35\n0\nt\nt\n\n\n\nzamiast równania\n2\n4\n4\n35\n0\nt\nt\n\n\n\n(np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak\nrozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,\nktóry może być realnym czasem jazdy pociągu pospiesznego, to takie rozwiązanie\nkwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(176\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości graniastosłupa z pola trójkąta ABF\n\n**Krok 1: Rozpoznaj strukturę trójkąta ABF**\n\nGraniastosłup jest prawidłowy trójkątny, czyli jego podstawy to trójkąty **równoboczne** o boku \\(AB = 8\\). Wierzchołek \\(F\\) leży **nad wierzchołkiem \\(C\\)** (krawędź boczna \\(CF\\) jest prostopadła do podstawy).\n\nNiech \\(M\\) będzie środkiem krawędzi \\(AB\\). Ponieważ \\(C\\) leży na osi symetrii odcinka \\(AB\\) (trójkąt równoboczny), wierzchołek \\(F\\) leżący nad \\(C\\) **też leży na tej osi symetrii**. Zatem:\n\n\\[MF \\perp AB\\]\n\nczyli \\(MF\\) jest **wysokością trójkąta \\(ABF\\)** z wierzchołka \\(F\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(|MF|\\) z pola trójkąta ABF**\n\n\\[P_{ABF} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |MF| = 52\\]\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot |MF| = 52\\]\n\\[|MF| = 13\\]\n\n**Krok 3: Rozłóż \\(MF\\) na dwie prostopadłe składowe**\n\nOdcinek \\(MF\\) składa się z:\n- składowej **poziomej** \\(|MC|\\) - odległość od środka \\(AB\\) do wierzchołka \\(C\\) w podstawie (to jest wysokość trójkąta równobocznego)\n- składowej **pionowej** \\(h\\) - wysokość graniastosłupa\n\nWysokość trójkąta równobocznego o boku 8:\n\\[|MC| = \\frac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(MCF\\):\n\\[|MF|^2 = |MC|^2 + h^2\\]\n\\[13^2 = (4\\sqrt{3})^2 + h^2\\]\n\\[169 = 48 + h^2\\]\n\\[h^2 = 121\\]\n\\[\\boxed{h = 11}\\]\n\n**Krok 4: Oblicz objętość graniastosłupa**\n\nPole podstawy (trójkąt równoboczny o boku 8):\n\\[P_{ABC} = \\frac{8^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]\n\nObjętość:\n\\[V = P_{ABC} \\cdot h = 16\\sqrt{3} \\cdot 11 = \\boxed{176\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie (weryfikacja)\n\nUmieszczamy graniastosłup w układzie współrzędnych:\n\\[A = (0,\\, 0,\\, 0), \\quad B = (8,\\, 0,\\, 0), \\quad C = (4,\\, 4\\sqrt{3},\\, 0)\\]\n\\[F = (4,\\, 4\\sqrt{3},\\, h)\\]\n\n(F leży nad C, bo krawędź \\(CF\\) jest pionowa)\n\nWektory boków trójkąta \\(ABF\\):\n\\[\\vec{AB} = [8,\\, 0,\\, 0], \\qquad \\vec{AF} = [4,\\, 4\\sqrt{3},\\, h]\\]\n\nIloczyn wektorowy:\n\\[\\vec{AB} \\times \\vec{AF} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ 8 & 0 & 0 \\\\ 4 & 4\\sqrt{3} & h \\end{vmatrix} = (0,\\ -8h,\\ 32\\sqrt{3})\\]\n\nPole trójkąta:\n\\[P_{ABF} = \\frac{1}{2}|\\vec{AB} \\times \\vec{AF}| = \\frac{1}{2}\\sqrt{0 + 64h^2 + 1024 \\cdot 3} = 52\\]\n\\[\\sqrt{64h^2 + 3072} = 104\\]\n\\[64h^2 + 3072 = 10816\\]\n\\[64h^2 = 7744 \\implies h^2 = 121 \\implies h = 11\\]\n\n**Objętość:** \\(V = 16\\sqrt{3} \\cdot 11 = 176\\sqrt{3}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\nGraniastosłup prosty:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\n\ngdzie \\(P_p\\) to pole podstawy, \\(h\\) to wysokość. Użyliśmy tego wzoru w ostatnim kroku.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\n\nUżyliśmy do obliczenia pola trójkąta \\(ABF\\) (podstawa \\(a = AB = 8\\), wysokość \\(h_a = MF\\)) oraz do znalezienia pola podstawy równobocznej.\n\nPole trójkąta równobocznego (dział 10, s. 17):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n**Dział 10 - twierdzenie Pitagorasa (s. 15):**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n\nUżyte do wyznaczenia \\(h\\) z relacji \\(|MF|^2 = |MC|^2 + h^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(ABF\\) to **nie jest** trójkąt w podstawie - łączy dwa wierzchołki dolnej podstawy z jednym wierzchołkiem górnej. Nie wolno mylić go z trójkątem \\(ABC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy krok to spostrzeżenie, że \\(MF \\perp AB\\). Wynika to z symetrii: \\(F\\) leży nad \\(C\\), a \\(C\\) leży na osi symetrii boku \\(AB\\) w trójkącie równobocznym. Bez tego nie możemy wprost użyć wzoru na pole.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|MC| = 4\\sqrt{3}\\) to **wysokość trójkąta równobocznego**, nie połowa boku. Łatwo tu wstawić \\(4\\) zamiast \\(4\\sqrt{3}\\), co daje błędne \\(h\\).\n\n### Strategia\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny: podstawa to trójkąt równoboczny \\(ABC\\) z \\(|AB|=8\\); krawędzie boczne prostopadłe do podstawy. Trójkąt \\(ABF\\) ma jeden bok \\(AB\\) w podstawie, a \\(F\\) - wierzchołek górnej podstawy (nad \\(C\\)). Korzystamy z pola \\(\\triangle ABF\\) do wyznaczenia wysokości graniastosłupa.\n\n### Krok 1 - Wysokość trójkąta \\(ABF\\) ze względu na \\(AB\\)\nNiech \\(G\\) - środek krawędzi \\(AB\\). Wysokość \\(FG\\) trójkąta \\(ABF\\):\n\\[P_{\\triangle ABF} = \\dfrac{|AB|\\cdot|FG|}{2} = \\dfrac{8\\cdot|FG|}{2} = 4|FG|.\\]\n\\[4|FG| = 52 \\Rightarrow |FG| = 13.\\]\n\n### Krok 2 - Odległość \\(CG\\) w podstawie\nW trójkącie równobocznym \\(ABC\\) o boku 8, wysokość (odległość \\(C\\) od środka \\(AB\\)):\n\\[|CG| = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}.\\]\n\n### Krok 3 - Wysokość graniastosłupa \\(CF\\)\nTrójkąt \\(CGF\\) jest prostokątny w \\(C\\) (\\(CF\\perp\\) podstawa, \\(CG\\) leży w podstawie). Z Pitagorasa:\n\\[|CF|^2 + |CG|^2 = |FG|^2\\]\n\\[|CF|^2 = 169 - 48 = 121 \\Rightarrow |CF| = 11.\\]\n\n### Krok 4 - Objętość\nPole podstawy (trójkąta równobocznego):\n\\[P_{\\triangle ABC} = \\dfrac{8^2\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}.\\]\nObjętość:\n\\[V = P_{\\triangle ABC}\\cdot|CF| = 16\\sqrt{3}\\cdot 11 = 176\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Z twierdzenia Pitagorasa dla \\(AF\\)\n\\(|AF|^2 = |FG|^2 + |AG|^2 = 169 + 16 = 185\\) (w \\(\\triangle AGF\\)).\n\\(|CF|^2 = |AF|^2 - |AC|^2 = 185 - 64 = 121\\), \\(|CF|=11\\). Dalej \\(V = 16\\sqrt{3}\\cdot 11 = 176\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób CKE\n\\(|FG| = 13\\), \\(|CG|=4\\sqrt{3}\\), \\(|CF| = \\sqrt{169-48} = 11\\). \\(V = 16\\sqrt{3}\\cdot 11 = 176\\sqrt{3}\\).\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{V = 176\\sqrt{3}.}\\]\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Trójkąt równoboczny o boku \\(a\\): pole \\(= \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), wysokość \\(= \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\n- Krawędź boczna graniastosłupa **prawidłowego** jest prostopadła do podstawy.\n- Trójkąt \\(ABF\\) jest równoramienny: \\(|AF|=|BF|\\); wysokość z \\(F\\) pada na środek \\(AB\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}