{"paper":{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nWyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie\nkwadratów trzech pozostałych liczb.\n\nPoziom rozszerzony\n3\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n4\nWyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych.","answer":null,"answer_text":"2\n\nx\n\n2\n\n\n0","solution":"$-1, 0, 1, 2$","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność\n4\n2\n2\nx\nx\nx\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n5\nRozwiąż nierówność x^4+x^2 >= 2x.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$x \\in (-\\infty, 0\\rangle \\cup \\langle 1, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nRozwiąż równanie cos2\n2\n3cos\nx\nx\n\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.\n3.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n6\nRozwiąż równanie cos 2x + 2 = 3 * cos x","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x = 2k\\pi$ lub $x = \\dfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$ lub $x = -\\dfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"trygonometria","page_from":5,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (6 pkt)\nOblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n\n\n2\n2\n4\n0\nx\nm\nx\nm\n\n\n\n\n\nma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\n1x ,\n2x takie, że\n4\n4\n3\n2\n1\n2\n4\n6\n32\n12\n\n\n\n\n\nx\nx\nm\nm\nm\n\nPoziom rozszerzony\n7\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n8\nOblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2-(m+2)x+m+4=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x_1, x_2 takie, że x_1^4+x_2^4 = 4m^3+6m^2-32m+12.","answer":null,"answer_text":"2\n\n2\nx\n\nx x\n\n3\n\nx\n\n2\n\n\nx x x\n\n\n2\n\n1\n\n\n2\n\nx\n\n1\n\n\n","solution":"$m = \\sqrt{14}$ lub $m = -\\sqrt{14}$","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"parametr","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (6 pkt)\nTrzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni\nsię w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64,\nto tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie\nmożliwości.\n\nPoziom rozszerzony\n9\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n10\nTrzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.","answer":null,"answer_text":"2\n","solution":"$(4, 12, 36)$ oraz $\\left(\\dfrac{4}{9}, -\\dfrac{20}{9}, \\dfrac{100}{9}\\right)$","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (6 pkt)\nW układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci:\n1\n5 ,\n2\n2\nP\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\ngdzie\n1,7\nm\n. Oblicz najmniejszą i największą wartość\n2\nPQ , gdzie\n55 ,0\n2\n\n\n\n\n\n\nQ\n\nPoziom rozszerzony\n11\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n12\nW układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: P=(1/2m+5/2,m}, gdzie m w <-1,7>. Oblicz najmniejszą i największą wartość |PQ|^2, gdzie Q = (55/2,0).","answer":null,"answer_text":"","solution":"Najmniejsza wartość: $511,25$, największa wartość: $651,25$","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (3 pkt)\nUdowodnij, że jeżeli\n0\na\nb\n\n\n, to prawdziwa jest nierówność\n3\n3\n2\n2\na\nb\na b\nab\n\n\n\n\nPoziom rozszerzony\n13\nUdowodnij, że jeżeli a+b >= 0, to prawdziwa jest nierówność a^3+b^3 >= a^2b+ab^2.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"algebra","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nOblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie\ndziesiętnym jest równy 12.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\n8.\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n14\nOblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$280$","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nDany jest prostokąt ABCD, w którym AB\na\n\n, BC\nb\n\ni a\nb\n\n. Odcinek AE jest wysokością\ntrójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD. Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b.\n\nPoziom rozszerzony\n15\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n16\nDany jest prostokąt ABCD, w którym |AB|=a, |BC|=b i a>b. Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD. Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b.","answer":null,"answer_text":"9\n9\n","solution":"$P_{AED} = \\dfrac{ab^3}{2(a^2 + b^2)}$","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"planimetria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC. Krawędź AS jest wysokością\nostrosłupa oraz\n8 210\nAS \n,\n118\nBS \n,\n131\nCS \n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\n17\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n18\nPodstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC. Krawędź AS jest wysokością ostrosłupa oraz |AS| = 8 pierwiastek z 210, |BS|=118, |CS|=131. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$V = 1760\\sqrt{210}$","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (3 pkt)\nZdarzenia losowe A, B są zawarte w  oraz\n\n\n0,7\n\n\n\nP A\nB\n( A oznacza zdarzenie\nprzeciwne do zdarzenia A ,\n\nB oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).\nWykaż, że\n\n\n0,3\nP A\nB\n\n\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n19\nBRUDNOPIS\nZdarzenia losowe A, B są zawarte w Omega oraz P(AnB') = 0,7 (A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B). Wykaż, że P(A'n B) <= 0,3.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":18,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}