{"paper":{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":32,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nLiczbę 32 można przedstawić w postaci\nA. 8 2\nB. 12 3\nC. 4 8\nD. 4 2","answer":"D","answer_text":"2\n oraz\n1\nx\n1\n\nx\n2\n\n12\ni stąd\nx \n1\n4\noraz\nx \n2\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nPotęga\n5\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n(gdzie x i y są różne od zera) jest równa\nA.\n5 x\ny\n\nB.\n5\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\nC.\n5y\nx\nD.\n5\nx\ny\n\n\n\n\n\n","answer":"B","answer_text":"4\n5\n6\n7\n8\n9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n3\n1\nlog 27 jest równa\nA.\n3\n\nB.\n3\n1\n\nC. 3\n1\nD. 3","answer":"A","answer_text":"4\n\nx\n\n3\n\n\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nWyrażenie\n1\n\nx\ndla x < 0 jest równe\nA.\n1\n\nx\nB.\n1\n\nx\nC.\n1\n\n\nx\nD.\n1\n\n\nx","answer":"C","answer_text":"2\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nW pewnym sklepie ceny wszystkich płyt CD obniżono o 20%. Zatem za dwie płyty kupione\nw tym sklepie należy zapłacić mniej o\nA. 10%\nB. 20%\nC. 30%\nD. 40%","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nWielomian\n2\n4\n100\n\nx\njest równy\nA. \n\n2\n2\n10\n\nx\nB. \n\n\n2\n10\n2\n10\n\n\nx\nx\nC.\n\n\n2\n4\n10\n\nx\nD.\n\n\n\n4\n10\n10\n\n\nx\nx","answer":"B","answer_text":"4\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nRównanie\n2\n36\n0\n6\n\n\n\nx\nx\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma dokładnie trzy rozwiązania.\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n4","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nNajwiększą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \n\n\n\n\n2\n4\n4\n4\nx\nx\nx\n\n\n\n\njest\nA.\n5\n\nB.\n4\n\nC.\n3\n\nD.\n2\n","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nFunkcja liniowa\n\n1\n6\n2\n\n\nf x\nx\nA. jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \n\n0,6 .\nB. jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \n\n0,6 .\nC. jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \n\n0,\n6\n\nD. jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \n\n0,\n6\n","answer":"D","answer_text":"\n441\ni stąd\nx\n1\n\n\n4\n,\nx\n2\n\n\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nLiczby\n2\n1, x\nx\nsą rozwiązaniami równania \n\n\n4\n2\n6\n0\nx\nx\n\n\n\n. Suma\n2\n2\n1\n2\n\nx\nx jest równa\nA. 16\nB. 32\nC. 40\nD. 48","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nNa rysunku jest przedstawiony wykres funkcji\n\nx\nf\ny \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nZbiorem wartości tej funkcji jest\nA.\n3\n,4\n\nB.\n3\n,1\n1\n,4\n\n\n\nC.\n\n3\n,1\n1\n,4\n\n\n\nD.\n6\n,5\n","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre:\n27\n\n\n\ni\n63\n\n\n\n. Wtedy\n\n\n\ncos\nsin\ncos\n\nrówna się\nA. 1 sin 63\n\n\nB. sin 63\nC. 1\nD. 2\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n6","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nCiąg arytmetyczny \nna\njest określony wzorem\n2\n1\n\n\nna\nn\ndla\n1\n\nn\n. Różnica tego ciągu\njest równa\nA.\n1\n\nB. 1\nC.\n2\n\nD. 3","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym \n\nn\na\ndane są\n2\n3\n2\n\na\ni\n3\n3\n2\n\na\n. Wtedy wyraz\n1a jest równy\nA.\n2\n1\n\nB.\n2\n1\nC.\n3\n2\n\nD.\n3\n3","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nDane są punkty\n\n\n6, 1\n\nA\ni\n\n\n3,3\n\nB\n. Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy\nA.\n2\n3\n\nB.\n3\n2\n\nC. 3\n2\nD. 2\n3","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPole prostokąta jest równe 40. Stosunek długości jego boków jest równy 2:5. Dłuższy bok\ntego prostokąta jest równy\nA. 10\nB. 8\nC. 7\nD. 6","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nDany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 i 12. Promień okręgu opisanego na tym\ntrójkącie jest równy\nA. 12\nB. 8,5\nC. 6,5\nD. 5","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nDane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek\nwiększego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa\nA. 5\nB. 12\nC. 17\nD. 29","answer":"B","answer_text":"\n18\nt\n\n108\n\n0\nmnożymy obustronnie przez x","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nStożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 13 i 15 wokół\ndłuższej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy\nA. 15\nB. 13\nC. 7,5\nD. 6,5\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n8","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nDany jest sześcian ABCDEFGH. Siatką ostrosłupa czworokątnego ABCDE jest\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nJeżeli A jest zdarzeniem losowym oraz A jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A\ni\n\n\n\n5\nP A\nP A\n\n, to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nA. 4\n5\nB.\n1\n5\nC. 1\n6\nD. 5\n6\nA\nB\nC\nG\nH\nE\nF\nD\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach 22. do 32. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"22","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n3\n36\n0\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 22. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n3\n36\n0\nx\nx\n\n\n\n\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:\nI sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n3\n3\n36\nx\nx\n\n\n\n obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n9\n432\n441\n\n\n\ni stąd\n1\n3\n21\n4\n6\nx\n\n\n\n\n,\n2\n3\n21\n3\n6\nx\n\n\n\n\nalbo\n stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n1\nx\nx\n\n oraz\n1\n2\n12\nx\nx\n\n\ni stąd\n1\n4\nx \noraz\n2\n3\nx \nalbo\n podajemy je bezpośrednio (explicite lub zapisując postać iloczynową trójmianu lub\nzaznaczając na wykresie)\n1\n4\nx \n,\n2\n3\nx \nlub\n\n\n\n3\n4\n3\n0\nx\nx\n\n\n\n\nlub\nx\ny\n3\n\n4\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n3\nII sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nWyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego\n2\n1\n147\n3\n0\n2\n4\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na następnie\n przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci\niloczynowej\n2\n1\n49\n3\n0\n2\n4\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1\n7\n1\n7\n3\n0\n2\n2\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n3\n4\n3\n0\nx\nx\n\n\n\n\n\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności\n3, 4\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n4\nx \n,\n3\nx  i na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n\n2\n3\n3\n36\nf x\nx\nx\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.\n\n\n\n3\n4\n3\nx\nx\n\n\n\n\ni na\ntym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność\n realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.\no popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nnierówność\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a:\n1\n2\n1\nx\nx\n\n\ni\n1\n2\n12\nx\nx\n\n\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\n poda zbiór rozwiązań nierówności :\n3, 4\n\nlub\n3, 4\nx\nlub 3\n4\nx\n\n\nalbo\n sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n3\nx ,\n4\nx \nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n4\nalbo\n poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n3\nx  i\n2\n4\nx \ni zapisze\n3, 4\nx\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za\ntakie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli błąd zdającego w obliczeniu pierwiastków trójmianu nie wynika z wykonywanych\nprzez niego czynności (zdający rozwiązuje „swoje zadanie”), to otrzymuje 0 punktów za\ncałe zadanie.","solution":"$x \\\\in \\\\langle -3, 4 \\\\rangle$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"23","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (2 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem\n\n2\n9\nx\nb\nf x\nx\n\n\n\ndla\n9\nx \n. Ponadto wiemy, że\n\n4\n1\nf\n.\nOblicz współczynnik b.\nOdpowiedź:\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n11","answer":null,"answer_text":"Zadanie 23. (2 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem\n\n2\n9\nx\nb\nf x\nx\n\n\n\ndla\n9\nx \n. Ponadto wiemy, że\n\n4\n1\nf\n.\nOblicz współczynnik b.\nRozwiązanie\nWarunek\n\n4\n1\nf\n zapisujemy w postaci równania z niewiadomą b:\n2 4\n1\n4\n9\nb\n\n\n\nRozwiązujemy to równanie i obliczamy współczynnik b:\n3\n\nb\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie zapisze równanie z niewiadomą b, np.\n2 4\n1\n4\n9\nb\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy współczynnik\n3\nb \n4\n3\n\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n5\n\n\nh\n6\n6\n4\n","solution":"$b=3$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (2 pkt)\nPodstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3.\nOblicz pole tego trapezu.\nOdpowiedź:\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n12","answer":null,"answer_text":"Zadanie 24. (2 pkt)\nPodstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3.\nOblicz pole tego trapezu.\nRozwiązanie\nObliczamy wysokość trapezu h, korzystając\nz faktu, że tangens kąta ostrego jest równy 3:\n3\n4\nh \n, stąd\n12\nh \nZatem pole trapezu jest równe\n\n\n6 10 12\n96\n2\n\n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n obliczy wysokość trapezu\n12\nh \ni na tym poprzestanie lub błędnie obliczy pole\nalbo\n obliczy wysokość trapezu z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu obliczy pole trapezu.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie obliczy pole trapezu\n96\nP ","solution":"$P=96$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nTrójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są\nwspółliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że AM\nCN\n\n. Wykaż, że BM\nMN\n\nA\nB\nC\nM\nN\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n13","answer":null,"answer_text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nTrójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są\nwspółliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że AM\nCN\n\n. Wykaż, że BM\nMN\n\nA\nB\nC\nM\nN\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n6\nI sposób rozwiązania\nRysujemy odcinek MD równoległy do odcinka AB.\nUzasadniamy, że trójkąty BDM i MCN są przystające na podstawie cechy bkb:\n\nBD\nCN\n\n, bo BD\nAM\n\n\nMD\nCM\n\n, bo trójkąt MDC jest równoboczny\n\n120\nBDM\nNCM\n\n\n\n\nZatem BM\nMN\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy napisze, że trójkąty BDM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,\nże BM\nMN\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że trójkąty BDM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,\nże BM\nMN\n\nUwaga\nZdający może też dorysować odcinek MD\nBC\n\ni analogicznie pokazać, że trójkąty\nBMD i MNC są przystające.\nII sposób rozwiązania\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABM obliczamy\n2\nBM :\n2\n2\n2\n2\ncos60\nBM\nAM\nAB\nAM\nAB\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n1\n2\n2\nAM\nAB\nAM\nAB\n\n\n\n\n\n\n2\n2\nAM\nAB\nAM\nAB\n\n\n\n\nA\nB\nC\nM\nN\nD\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n7\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkąta MCN obliczamy\n2\nMN :\n2\n2\n2\n2\ncos120\nMN\nMC\nCN\nMC\nCN\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n1\n2\n2\nMC\nCN\nMC\nCN \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\nMC\nCN\nMC\nCN\n\n\n\n\nPonieważ AM\nCN\n\ni MC\nAB\nAM\n\n\n, więc\n\n\n\n\n2\n2\n2\nMN\nAB\nAM\nAM\nAB\nAM\nAM\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\nAB\nAM\nAB\nAM\nAM\nAB\nAM\nAM\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\nAB\nAM\nAB\nAM\n\n\n\nZatem\n2\n2\nBM\nMN\n\n, czyli BM\nMN\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczy kwadraty długości odcinków BM i MN.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że BM\nMN\n","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nLiczby 64, ,4\nx\nsą odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu\ngeometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nLiczby64, ,4\nx\nsą odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu\ngeometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.\nI sposób rozwiązania\nKorzystając ze wzoru na trzeci wyraz ciągu geometrycznego obliczamy q iloraz ciągu:\n2\n4\n64 q\n\n\n2\n1\n16\nq \n1\n4\nq \nlub\n1\n4\nq \nPonieważ ciąg jest malejący, to\n1\n4\nq \nObliczamy kolejne wyrazy ciągu:\n1\n64,16,4,1, 4 , zatem piąty wyraz ciągu jest równy 1\n4 .\nII sposób rozwiązania\nZ własności ciągu geometrycznego wynika, że\n2\n64 4\nx \n\n. Stąd\n2\n256\nx \n, czyli\n16\nx \nlub\n16\nx \n. Ponieważ ciąg geometryczny jest malejący, to\n16\nx \n, a iloraz tego ciągu q jest\nrówny 1\n4 . Obliczamy kolejne wyrazy ciągu:\n1\n64,16,4,1, 4 , zatem piąty wyraz ciągu jest\nrówny 1\n4 .\nUwaga\nZdający może obliczyć piąty wyraz ciągu korzystając ze wzoru:\n4\n3\n4\n1\n4\n1\n64\n4\n4\n4\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n8\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy iloraz ciągu:\n1\n4\nq \nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy piąty wyraz ciągu: 1\n4","solution":"$$\\\\dfrac{1}{4}$$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nUzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba\nn\nn\nn\nn\n2\n3\n2\n3\n2\n2\n\n\n\n\n\njest wielokrotnością liczby 10.\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n14","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nUzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba\nn\nn\nn\nn\n2\n3\n2\n3\n2\n2\n\n\n\n\n\njest\nwielokrotnością liczby 10.\nRozwiązanie\nLiczbę\nn\nn\nn\nn\n2\n3\n2\n3\n2\n2\n\n\n\n\n\nprzedstawiamy w postaci\n\n\n\n\n2\n2\n1\n3\n2\n3\n2\n9 3\n4 2\n3\n2\n3\n9 1\n2\n4 1\n10 3\n5 2 2\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1\n10 3\n2\n10\nn\nn\nk\n\n\n\n\n, gdzie\n1\n3\n2\nn\nn\nk\n\n\n\njest liczbą całkowitą.\nZatem liczba\nn\nn\nn\nn\n2\n3\n2\n3\n2\n2\n\n\n\n\n\njest wielokrotnością liczby 10.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze liczbę\nn\nn\nn\nn\n2\n3\n2\n3\n2\n2\n\n\n\n\n\nw postaci 3 10\n2\n5\nn\nn\n\n\n i nie uzasadni, że liczba\n2\n5\nn  jest podzielna przez 10.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie, np.:\n przekształci liczbę 3 10\n2\n5\nn\nn\n\n\n do postaci\n\n\n1\n10 3\n2\n10\nn\nn\nk\n\n\n\n, gdzie\n1\n3\n2\nn\nn\nk\n\n\n\njest liczbą całkowitą\nalbo\n przekształci liczbę 3 10\n2\n5\nn\nn\n\n\n do postaci\n\n\n1\n10 3\n2\nn\nn\n\ni zapisze, że\n1\n3\n2\nn\nn\n\njest\nliczbą całkowitą\nalbo\n zapisze liczbę w postaci 3 10\n2\n5\nn\nn\n\n\n i uzasadni, że jest podzielna przez 10.\nUwaga\nJeśli zdający zapisuje kolejno:\n2\n2\n3\n2\n3\n2\n10\nn\nn\nn\nn\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n3\n3\n1\n2\n2\n1\n10\nn\nn\nx\n\n\n\n\n10 3\n5 2\n10\nn\nn\nx\n\n\n\n\n\n5 2 3\n2\n10\nn\nn\nx\n\n\n\n2 3\n2\n2\nn\nn\nx\n\n\n\ni uzasadnia, że 2 3\n2\nn\nn\n\n\njest liczbą podzielną przez 2, to otrzymuje 2 punkty.\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n9","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nTabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.\nOceny\n6\n5\n4\n3\n2\n1\nLiczba uczniów\n1\n2\n6\n5\n9\n2\nOblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.\nOdpowiedź:\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n15","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nTabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.\nOceny\n6\n5\n4\n3\n2\n1\nLiczba uczniów\n1\n2\n6\n5\n9\n2\nOblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.\nRozwiązanie\nObliczamy średnią arytmetyczną ocen uzyskanych przez uczniów klasy III:\n6 1 5 2\n4 6\n3 5\n2 9 1 2\n75\n3\n25\n25\n\n\n\nObliczamy kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1 6\n3\n2\n5\n3\n6\n4\n3\n5\n3\n3\n9\n2\n3\n2 1 3\n25\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1 9\n2 4\n6 1 5 0\n9 1\n2 4\n9\n8\n6\n0\n9\n8\n40\n1,6\n25\n25\n25\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n\nobliczy średnią arytmetyczną ocen uzyskanych przez uczniów klasy III i na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy\nlub\n\nobliczy średnią arytmetyczną ocen uzyskanych przez uczniów klasy III z błędem\nrachunkowym i konsekwentnie do tego obliczy kwadrat odchylenia standardowego.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen:\nodpowiednio 3 i 1,6.","solution":"$3$ i $1{,}6$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo\nzdarzenia A polegającego na tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o 1 większa od liczby\noczek w pierwszym rzucie.\nOdpowiedź:\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n16","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo\nzdarzenia A polegającego na tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o 1 większa od liczby\noczek w pierwszym rzucie.\nI sposób rozwiązania\n jest zbiorem wszystkich par \n\n,a b takich, że\n\n\n,\n1,2,3,4,5,6\na b\n. Mamy model klasyczny,\nw którym\n36\n\nZdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n\n\n\n\n\n\n1,2 , 2,3 , 3,4 , 4,5 , 5,6\nZatem\n5\nA \ni stąd\n\n5\n36\nA\nP A \n\n\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n10\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze, że\n36\n\ni\n\n\n\n\n\n\n\n\n1,2 , 2,3 , 3,4 , 4,5 , 5,6\nA \nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzenia A: \n5\n36\nP A \nII sposób rozwiązania: metoda drzewa\nRysujemy drzewo i pogrubiamy istotne dla rozwiązania zadania gałęzie tego drzewa.\nZapisujemy prawdopodobieństwa tylko na tych gałęziach.\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n\n1 1\n5\n5 6 6\n36\nP A \n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n narysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa na jego gałęziach i wskaże na drzewie\nwłaściwe gałęzie (np. pogrubienie gałęzi lub zapisanie prawdopodobieństw tylko\nna istotnych gałęziach)\nalbo\n narysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa na jego gałęziach i nie wskazuje\nna drzewie odpowiednich gałęzi, ale z dalszych obliczeń można wywnioskować,\nże wybiera właściwe gałęzie.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzenia A: \n5\n36\nP A \n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6\n1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6\n1 2 3 4 5 6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n11\nIII sposób rozwiązania: metoda tabeli\nRysujemy tabelę i wybieramy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A.\nII kostka\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1\nX\n2\nX\n3\nX\n4\nX\n5\nX\nI kostka\n6\n36\n\ni\n5\nA \n, zatem\n\n5\n36\nP A \nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy narysuje tabelę i wypisze wszystkie zdarzenia sprzyjające lub zaznaczy je w tabeli.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poda poprawną odpowiedź: \n5\n36\nP A \nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n12","solution":"$P(A) = \\\\dfrac{5}{36}$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"30","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (4 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma\nmiarę 120 oraz\n10\nAS\nCS\n\n\ni BS\nDS\n\n. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS\ndo płaszczyzny podstawy ostrosłupa.\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n18","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (4 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę\n120 oraz\n10\nAS\nCS\n\n\ni BS\nDS\n\n. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do\npłaszczyzny podstawy ostrosłupa.\nI sposób rozwiązania\nWprowadźmy oznaczenia:\na - długość boku rombu\ne, f - długości przekątnych rombu\nh - wysokość ostrosłupa\nb\nAS\nCS\n\n\nc\nBS\nDS\n\n\nObliczamy długości przekątnych podstawy. Ponieważ\n120\nABC \n\n\n, to trójkąt ABD jest\nrównoboczny. Zatem mamy:\ne\nBD\na\n\n\ni\n3\n2\n2\nf\na\nOC\n\n\n,\nstąd\n4\ne \n,\n2 3\n2\nf \nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa:\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n10\n2 3\n88\n2\nf\nh\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n88\n2 22\nh \n\nObliczamy długość krawędzi bocznej BS:\n2\n2\n2\n88\n4\n2\ne\nc\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n92\n2 23\nc \n\nA\nC\nO\nD\nB\na\nf\ne\na\n\n\nS\nh\nA\nC\nO\nD\nB\na\n\na\nc\nb\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n13\nObliczamy sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej BS ostrosłupa do płaszczyzny podstawy:\n2 22\n22\n506\nsin\n23\n23\n2 23\nh\nc\n\n\n\n\nsin\n0,9780\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie długości przekątnych podstawy ostrosłupa:\n4\ne \ni\n4 3\nf \n(lub\n2\n2\ne \ni\n2 3\n2\nf \n).\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie wysokości ostrosłupa\n2 22\nh \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie długości krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa:\n2 23\nc \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie\n22\nsin\n23\n\nII sposób rozwiązania\nWprowadźmy oznaczenia:\na - długość boku rombu\ne, f - długości przekątnych rombu\nh - wysokość ostrosłupa\nb\nAS\nCS\n\n\nc\nBS\nDS\n\n\nA\nC\nO\nD\nB\na\nf\ne\na\n\n\nS\nh\nA\nC\nO\nD\nB\na\n\na\nc\nb\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n14\nObliczamy długości przekątnych podstawy.\nPonieważ\n120\nABC \n\n\n, to trójkąt ABD jest równoboczny. Zatem mamy:\ne\nBD\na\n\n\ni\n3\n2\n2\n2\na\nf\nOC\n\n\n\n\n,\nstąd\n4\ne \n,\n4 3\nf \nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa:\n2\n2\n2\n2\nf\nh\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n10\n2 3\n88\nh \n\n\n,\nstąd\n88\n2 22\nh \n\nObliczamy tangens kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny\npodstawy:\ntg\n22\n2\nh\ne\n\n\nObliczamy sin  korzystając z tożsamości trygonometrycznych:\n2\nsin\nsin\ntg\ncos\n1 sin\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\nsin\n22\n1 sin\n\n\n\n\n2\n2\nsin\n22\n1 sin\n\n\n\n2\n22\n23sin \n\n,\nzatem\n22\nsin\n23\n\nUwaga\nJeżeli zdający, korzystając z przybliżonej wartości tangensa kąta  ( tg\n22\n4,6904\n\n\n),\nodczyta miarę kąta\n78\n\ni następnie zapisze sin\nsin 78\n0,9781\n\n\n, to za takie\nrozwiązanie otrzymuje 4 punkty.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie\ndługości\nprzekątnych\npodstawy\nostrosłupa:\n4\ne \ni\n4 3\nf \n(lub\n2\n2\ne \ni\n2 3\n2\nf \n).\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie wysokości ostrosłupa:\n2 22\nh \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie tangensa kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny\npodstawy tg\n22\n\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie\n22\nsin\n23\n\nalbo sin\nsin 78\n0,9781\n\n\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n15","solution":"$\\\\sin \\\\beta = \\\\dfrac{\\\\sqrt{22}}{\\\\sqrt{23}}$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (4 pkt)\nWyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt\n\n\n2, 1\nA \ni stycznego do obu osi\nukładu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n20","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (4 pkt)\nWyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt\n\n\n2, 1\nA \ni stycznego do obu osi\nukładu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.\nRozwiązanie\nx\ny\n\n\n,\nS\nr r\n\n\n\n1\n,\nS\nR R\n\n\n\n2,1\nA \nPonieważ okrąg jest styczny do obu osi układu współrzędnych i przechodzi przez punkt\n\n\n2, 1\nA \nleżący w I ćwiartce układu współrzędnych, to jego środek również leży\nw I ćwiartce układu współrzędnych. Stąd środek S tego okręgu ma współrzędne\n\n\n,\nS\nr r\n\n,\ngdzie r jest promieniem tego okręgu. Równanie okręgu ma zatem postać \n\n\n\n2\n2\n2\nx r\ny r\nr\n\n\n\n.\nPunkt\n\n\n2, 1\nA \nleży na tym okręgu, więc \n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\nr\nr\nr\n\n\n\n\n. Stąd otrzymujemy\n2\n6\n5\n0\nr\nr\n\n\n\n. Rozwiązaniami tego równania są liczby:\n1\nr ,\n5\nr \n. To oznacza, że są\ndwa\nokręgi\nspełniające\nwarunki\nzadania\no\nrównaniach\n\n\n\n\n2\n2\n1\n1\n1\nx\ny\n\n\n\n\ni \n\n\n\n2\n2\n5\n5\n25\nx\ny\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nZapisanie współrzędnych środka S szukanego okręgu w zależności od promienia r tego\nokręgu:\n\n\n,\nS\nr r\n\nlub zapisanie, że środek okręgu leży na prostej o równaniu y\nx\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą:\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\nr\nr\nr\n\n\n\n\nczyli\n2\n6\n5\n0\nr\nr\n\n\n\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 3 pkt\nZadanie rozwiązane do końca, ale w trakcie rozwiązania popełniano błędy rachunkowe.\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n16\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZapisanie równań obu okręgów:\nw postaci kanonicznej: \n\n\n\n2\n2\n1\n1\n1\nx\ny\n\n\n\n i \n\n\n\n2\n2\n5\n5\n25\nx\ny\n\n\n\n\nlub w postaci ogólnej:\n2\n2\n2\n2\n1\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\ni\n2\n2\n10\n10\n25\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\nUwagi\n1.\nJeżeli zdający zapisze równanie jednego okręgu (nie wyprowadzając go), to otrzymuje\n1 punkt.\n2.\nJeżeli zdający zapisze równania obu okręgów (nie wyprowadzając ich), to otrzymuje\n2 punkty.","solution":"$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ i $(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nZ dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj\nturyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta B.\nOblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta\nszedł do miasta B jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny do miasta A.\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n21\nOdpowiedź:\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n22\nBRUDNOPIS","answer":"A","answer_text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nZ dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj\nturyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta B.\nOblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta\nszedł do miasta B jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny do miasta A.\nUwaga\nW poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych\nA\nv ,\nB\nv , x, t oznaczających\nodpowiednio: prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty z miasta B oraz drogę i czas do\nmomentu spotkania. Oczywiście niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób.\nNie wymagamy, by niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile\nz postaci równań jasno wynika ich znaczenie.\nRozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia, np.:\nA\nv ,\nB\nv , x, t - prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty\nz miasta B oraz droga i czas do momentu spotkania.\nZapisujemy zależność między drogą x, prędkością\nA\nv i czasem t dla jednego z turystów, np.:\n1\nA\nx\nv\nt\n\n (prędkość do chwili spotkania) i\n18\n1,5\nA\nx\nv\n\n\n(prędkość od chwili spotkania).\nZapisujemy zależność między drogą x, prędkością\nB\nv i czasem t dla drugiego z turysty\n(wychodzącego z miasta B), np.:\n18\nB\nx\nv\nt\n\n\n(prędkość do chwili spotkania),\n4\nB\nx\nv \n(prędkość od chwili spotkania).\nZapisujemy zależność między drogą a czasem w sytuacji opisanej w zadaniu za pomocą\nukładu równań\n18\n1\n1,5\n18\n4\nx\nx\nt\nx\nx\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n17\nRozwiązując układ równań, doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:\nRozwiązujemy równania otrzymując kolejno:\nZ drugiego równania wyznaczamy x\n72\n4\nx\nt\n\ni wstawiamy do pierwszego równania\n\n\n72\n72\n1,5\n18\n1\n4\n4\nt\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n108\n72\n72\n18\n18\n4\n4\n4\nt\nt\nt\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n\nmnożymy obustronnie przez\n4\nt \n\n\n\n\n108\n18\n4\n18\n4\n72\n72\nt t\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n2\n18\n18\n108\n0\nt\nt\n\n\n\ndzielimy obustronnie przez 18\n2\n6\n0\nt\nt\n\n\n2\n1\n24\n5\n\n\n1\n1 5\n3\n2\nt\n\n\n\n2\n1 5\n2\n2\nt\n\n\n\n1t jest sprzeczne z warunkami zadania\nobliczamy\n72\n72\n12\n4\n6\nx\nt\n\n\n\n\n,\na następnie prędkość z jaką szedł każdy\nz turystów, np:\n12\n4km/h\n1\n3\nA\nx\nv\nt\n\n\n\n\n18\n6\n3km/h\n2\nB\nx\nv\nt\n\n\n\n\nZ drugiego równania wyznaczamy t\n72\n4x\nt\nx\n\n\ni wstawiamy do pierwszego równania\n\n\n72\n4\n1,5\n18\n1\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n18 72\n4\n1,5\n18\n72\n4\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n18 72\n4\n1,5\n54\n3\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\nmnożymy obustronnie przez x\n2\n2\n1,5\n1296\n72\n54\n3\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n2\n1,5\n126\n1296\n0\nx\nx\n\n\n\ndzielimy obustronnie przez 1,5\n2\n84\n864\n0\nx\nx\n\n\n\n2\n7056\n3456\n60\n\n\n\n1\n84\n60\n12\n2\nx\n\n\n\n2\n84\n60\n72\n2\nx\n\n\n\n2x jest sprzeczne z warunkami zadania\nobliczamy\n72\n4\n24\n2\n12\nx\nt\nx\n\n\n\n\n,\na następnie prędkość z jaką szedł każdy z\nturystów, np.:\n18\n6\n4km/h\n1,5\n1,5\nA\nx\nv\n\n\n\n\n12\n3km/h\n4\n4\nB\nx\nv \n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy x\n18\n18\n2,5\nt\nx\nt\n\n\n\ni wstawiamy do drugiego równania\n18\n18\n18\n18\n4\n18\n2,5\n2,5\nt\nt\nt\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n18\n18\n72\n72\n72\n2,5\n2,5\nt\nt\nt\nt\nt\n\n\n\n\n\n\nmnożymy obustronnie przez\n2,5\nt \n\n\n2\n18\n18\n72\n2,5\n72\n72\nt\nt\nt\nt\n\n\n\n\n\n2\n18\n18\n108\n0\nt\nt\n\n\n\ndzielimy obustronnie przez 18\nZ pierwszego równania wyznaczamy t\n2,5\n18\n18\nx\nt\nx\n\n\n\ni wstawiamy do drugiego równania\n\n\n2,5\n18\n18\n4\n18\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nmnożymy obustronnie przez 18\nx\n\n\n\n2\n2\n324\n36\n4\n2,5\n18\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n2\n2\n4\n144\n1296\n2,5\n18\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n2\n1,5\n126\n1296\n0\nx\nx\n\n\n\ndzielimy obustronnie przez 1,5\n2\n84\n864\n0\nx\nx\n\n\n\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n18\n2\n6\n0\nt\nt\n\n\n2\n1 24\n5\n\n\n1\n1 5\n3\n2\nt\n\n\n\n2\n1 5\n2\n2\nt\n\n\n\n1t jest sprzeczne z warunkami zadania\nobliczamy\n72\n72\n12\n4\n6\nx\nt\n\n\n\n\n,\na następnie prędkość z jaką szedł każdy\nz turystów, np:\n12\n4km/h\n1\n3\nA\nx\nv\nt\n\n\n\n\n18\n6\n3km/h\n2\nB\nx\nv\nt\n\n\n\n\n2\n7056\n3456\n60\n\n\n\n1\n84\n60\n12\n2\nx\n\n\n\n2\n84\n60\n72\n2\nx\n\n\n\n2x jest sprzeczne z warunkami zadania\nobliczamy\n72\n4\n24\n2\n12\nx\nt\nx\n\n\n\n\n,\na następnie prędkość z jaką szedł każdy\nz turystów, np.:\n18\n6\n4km/h\n1,5\n1,5\nA\nx\nv\n\n\n\n\n12\n3km/h\n4\n4\nB\nx\nv \n\n\nZapisujemy odpowiedź: Turyści szli z prędkościami:\n4 km/h,\n3 km/h\nA\nB\nv\nv\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie zależności między prędkością\nA\nv , prędkością\nB\nv , drogą x i czasem t dla jednego\nz turystów, np.:\n18\n1\n1,5\nx\nx\nt\n\n\n\nlub 18\n4\nx\nx\nt\n\n\nlub\n\n\n18\n1 1,5\nA\nv\nt\n\n\nlub\n\n\n18\n4\nB\nv\nt\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n18\n1\n1,5\n18\n4\nx\nx\nt\nx\nx\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą, np.:\n\n\n72\n72\n1,5\n18\n1\n4\n4\nt\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n72\n4\n1,5\n18\n1\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nUwaga:\nJeżeli zdający przy pokonywaniu zasadniczych trudności zadania popełni błędy\nrachunkowe, usterki i na tym zakończy to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie:\n2\nt\nh\n\ni nie obliczenie\nprędkości turystów\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n19\nalbo\n rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie:\n12\nx \ni nie obliczenie\nprędkości turystów\nalbo\n obliczenie t lub x z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie szukanych prędkości:\n4 km/h\n3 km/h\nA\nB\nv\nv\n\n\n\n\n","solution":"$v_{A} = 4 \\\\text{ km/h}$, $v_{B} = 3 \\\\text{ km/h}$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}