{"paper":{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nDługość boku kwadratu\n2k jest o 10% większa od długości boku kwadratu\n1k . Wówczas pole\nkwadratu\n2k jest większe od pola kwadratu\n1k\nA. o 10%\nB. o 110%\nC. o 21%\nD. o 121%\nDługość boku kwadratu k_2 jest o 10% większa od długości boku kwadratu k_1. Wówczas pole kwadratu k_2 jest większe od pola kwadratu k_1. A. o 10%, B. o 110%, C. o 21%, D. o 121%","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nZakres umiejętności\n(standardy)\nOpis wymagań\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykonuje obliczenia procentowe;\nwykorzystuje własności figur podobnych.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - o \\(21\\%\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie konkretnej liczby\n\nPrzyjmijmy, że bok kwadratu \\(k_1\\) wynosi \\(a = 10\\).\n\nBok kwadratu \\(k_2\\) jest o \\(10\\%\\) większy, więc:\n\\[b = 10 + 10\\% \\cdot 10 = 10 + 1 = 11\\]\n\nPole kwadratu \\(k_1\\):\n\\[P_1 = a^2 = 10^2 = 100\\]\n\nPole kwadratu \\(k_2\\):\n\\[P_2 = b^2 = 11^2 = 121\\]\n\nRóżnica pól:\n\\[P_2 - P_1 = 121 - 100 = 21\\]\n\nO ile procent pole \\(k_2\\) jest większe od pola \\(k_1\\)?\n\\[\\frac{P_2 - P_1}{P_1} \\cdot 100\\% = \\frac{21}{100} \\cdot 100\\% = 21\\%\\]\n\n**Pole kwadratu \\(k_2\\) jest większe od pola \\(k_1\\) o \\(21\\%\\).**\n\n## Sposób 2 - ogólny wzór algebraiczny\n\nNiech bok kwadratu \\(k_1\\) wynosi \\(a\\).\n\nBok \\(k_2\\) jest o \\(10\\%\\) większy, czyli:\n\\[b = a \\cdot \\left(1 + \\frac{10}{100}\\right) = a \\cdot 1{,}1 = 1{,}1a\\]\n\nPorównujemy pola:\n\\[P_1 = a^2\\]\n\\[P_2 = (1{,}1a)^2 = 1{,}1^2 \\cdot a^2 = 1{,}21 \\cdot a^2\\]\n\nStosunek pól:\n\\[\\frac{P_2}{P_1} = \\frac{1{,}21a^2}{a^2} = 1{,}21\\]\n\nCzyli pole \\(k_2\\) stanowi \\(121\\%\\) pola \\(k_1\\), co oznacza, że jest od niego większe o:\n\\[121\\% - 100\\% = 21\\%\\]\n\n**Pole \\(k_2\\) jest większe od pola \\(k_1\\) o \\(21\\%\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą wzory skróconego mnożenia (Dział 6, s. 7) i definicja procentu.\n\nEwentualnie pomocne:\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyte w Sposobie 2: \\((1{,}1a)^2 = 1{,}21a^2\\), czyli:\n\\[(a + 0{,}1a)^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 0{,}1a + (0{,}1a)^2 = a^2 + 0{,}2a^2 + 0{,}01a^2 = 1{,}21a^2\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń myśli, że pole rośnie tak samo jak bok - o \\(10\\%\\). Zapomina, że pole to **kwadrat** boku, więc wzrost jest zwielokrotniony. |\n| B | Uczeń liczy \\(1{,}1^2 = 1{,}21\\) poprawnie, ale zamiast odjąć \\(100\\%\\) (by dostać **wzrost**), podaje \\(110\\%\\) - myli stosunek pól z procentowym wzrostem. |\n| D | Uczeń poprawnie oblicza \\(P_2 = 1{,}21 \\cdot P_1\\), czyli pole \\(k_2\\) to \\(121\\%\\) pola \\(k_1\\) - ale odpowiada \"o \\(121\\%\\)\" zamiast \"o \\(21\\%\\)\". Myli wartość bezwzględną (\\(121\\%\\) bazowej) z różnicą procentową (\\(+21\\%\\)). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzrost boku o \\(p\\%\\) NIE oznacza wzrostu pola o \\(p\\%\\). Pole to kwadrat boku, więc wzrasta zgodnie ze wzorem \\((1 + \\frac{p}{100})^2 - 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(121\\%\\)) to **nowe pole jako procent starego**, a nie **wzrost pola**. Wzrost to zawsze: nowa wartość minus stara, czyli \\(121\\% - 100\\% = 21\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ta sama zasada działa dla objętości brył - wzrost krawędzi o \\(p\\%\\) powoduje wzrost objętości o \\((1 + \\frac{p}{100})^3 - 1\\), nie o \\(p\\%\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Skala podobieństwa i stosunek pól\nJeśli bok \\(k_2\\) jest o \\(10\\%\\) większy od boku \\(k_1\\), to skala podobieństwa wynosi \\(k = 1{,}1\\).\n\nStosunek pól kwadratów jest równy kwadratowi skali:\n\\[\\dfrac{P_2}{P_1} = k^2 = 1{,}1^2 = 1{,}21.\\]\nZatem \\(P_2 = 1{,}21\\,P_1\\), co oznacza, że \\(P_2\\) jest o \\(21\\%\\) większe od \\(P_1\\).\n\n### Sposób 2 - Konkretne wartości\nPrzyjmijmy bok \\(k_1 = 10\\), wtedy bok \\(k_2 = 11\\).\n\\[P_1 = 100,\\quad P_2 = 121.\\]\n\\[\\dfrac{P_2 - P_1}{P_1} = \\dfrac{21}{100} = 21\\%.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\%\\)** - ktoś błędnie przeniósł stosunek boków na pola.\n- **B. \\(110\\%\\)** - pomylone nowe pole (\\(110\\%\\) starego) z przyrostem.\n- **D. \\(121\\%\\)** - to jest stosunek \\(P_2/P_1\\), a nie przyrost.\n\n**Pamiętaj:** dla figur podobnych stosunek pól to \\(k^2\\), a przyrost to \\(k^2 - 1\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"planimetria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nIloczyn\n5\n8\n9\n3\n\njest równy\nA.\n4\n3\nB.\n9\n3\nC.\n1\n9\nD.\n9\n9\nIloczyn 9^(-5) * 3^8 jest równy A. 3^(-4), B. 3^(-9), C. 9^(-1), D. 9^(-9)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nStosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych; oblicza\npotęgi o wykładniku wymiernym.\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n3\n3\nlog 27\nlog 1\n\njest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\nLiczba log_3 27 - log_3 1 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nOblicza wartości logarytmu.\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nLiczba \\(\\log_3 27 - \\log_3 1\\) jest równa **3**.\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie każdego logarytmu\n\nObliczamy każdy logarytm osobno, korzystając z definicji.\n\n**Krok 1:** Oblicz \\(\\log_3 27\\).\n\nPytamy: **do jakiej potęgi podnieść 3, żeby otrzymać 27?**\n\n\\[3^? = 27 = 3^3 \\implies \\log_3 27 = 3\\]\n\n**Krok 2:** Oblicz \\(\\log_3 1\\).\n\nPytamy: **do jakiej potęgi podnieść 3, żeby otrzymać 1?**\n\n\\[3^? = 1 = 3^0 \\implies \\log_3 1 = 0\\]\n\n**Krok 3:** Oblicz różnicę.\n\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = \\mathbf{3}\\]\n\n## Sposób 2 - własność logarytmu ilorazu\n\nMożemy skorzystać z własności logarytmu różnicy:\n\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\frac{27}{1} = \\log_3 27\\]\n\nTeraz obliczamy jeden logarytm:\n\n\\[\\log_3 27 = \\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3 = 3 \\cdot 1 = \\mathbf{3}\\]\n\n(korzystamy z tego, że \\(\\log_3 3 = 1\\), bo \\(3^1 = 3\\))\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy jej przy obliczaniu \\(\\log_3 27 = 3\\) (bo \\(3^3 = 27\\)) i \\(\\log_3 1 = 0\\) (bo \\(3^0 = 1\\)).\n\nWłasność logarytmu ilorazu (Sposób 2):\n\\[\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\n\nWłasność logarytmu potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2: \\(\\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń myśli, że \\(\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3(27 - 1) = \\log_3 26 \\approx 0\\)? Albo utożsamia logarytm z zerem, bo „log i log się odejmują\" - to błędne myślenie |\n| B (\\(1\\)) | Uczeń oblicza \\(\\log_3 27 = 3\\), ale potem myli \\(\\log_3 1 = 1\\) zamiast \\(0\\), bo myli \\(\\log_3 1\\) z \\(\\log_3 3\\) |\n| C (\\(2\\)) | Uczeń myli \\(\\log_3 27 = 2\\) (bo myśli: \"trzy razy po trzy to dziewięć, więc może dwa?\") albo liczy \\(27 = 3^2 \\cdot 3\\) i gubi jedynkę w wykładniku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 1 = 0\\) zawsze - dla dowolnej podstawy \\(a > 0, a \\neq 1\\) mamy \\(\\log_a 1 = 0\\), bo \\(a^0 = 1\\). Nie myl z \\(\\log_a a = 1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno odejmować argumentów logarytmów zamiast obliczać iloraz - \\(\\log 27 - \\log 1 \\neq \\log(27-1)\\). Reguła ilorazu mówi: różnica logarytmów = logarytm **ilorazu**, nie różnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy potrafisz zapisać liczbę jako potęgę podstawy (\\(27 = 3^3\\)). To kluczowy krok przy obliczaniu logarytmów z liczb wymiernych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie logarytmów\n\\[\\log_3 27 = \\log_3 3^3 = 3.\\]\n\\[\\log_3 1 = 0\\quad\\text{(logarytm z 1 przy dowolnej podstawie jest zerem).}\\]\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór na różnicę logarytmów\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\dfrac{27}{1} = \\log_3 27 = 3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - ktoś wziął \\(\\log_3 27 = 0\\) zamiast \\(\\log_3 1 = 0\\).\n- **B. \\(1\\)** - błąd: \\(\\log_3 3 = 1\\), ale \\(27\\ne 3\\).\n- **C. \\(2\\)** - błąd: \\(\\log_3 9 = 2\\), ale \\(27\\ne 9\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\log_a 1 = 0\\) dla dowolnej poprawnej podstawy \\(a\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nLiczba \n\n2\n2\n3 2\n\njest równa\nA.\n14\n\nB. 22\nC.\n14 12 2\n\n\nD. 22 12 2\n\nLiczba (2 - 3 * pierwiastek z 2)^2 jest równa A. -14, B. 22, C. -14 - 12 pierwiasteków z 2, D. 22 - 12 pierwiastków z 2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykonuje obliczenia z wykorzystaniem\nwzorów skróconego mnożenia.\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(22 - 12\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a-b)^2\\)\n\nRozpoznajemy postać \\((a - b)^2\\), gdzie \\(a = 2\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\).\n\nStosujemy wzór:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)^2 = 2^2 - 2 \\cdot 2 \\cdot 3\\sqrt{2} + \\left(3\\sqrt{2}\\right)^2\\]\n\nLiczymy każdy składnik osobno:\n\\[2^2 = 4\\]\n\\[2 \\cdot 2 \\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2}\\]\n\\[\\left(3\\sqrt{2}\\right)^2 = 9 \\cdot 2 = 18\\]\n\nSkładamy razem:\n\\[\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)^2 = 4 - 12\\sqrt{2} + 18 = \\boxed{22 - 12\\sqrt{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wymnożenie „na krzyż\" (bez wzoru)\n\nZapisujemy jako iloczyn dwóch jednakowych nawiasów:\n\\[\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)^2 = \\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)\\cdot\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)\\]\n\nMnożymy każdy wyraz przez każdy:\n\\[= 2 \\cdot 2 + 2 \\cdot\\left(-3\\sqrt{2}\\right) + \\left(-3\\sqrt{2}\\right)\\cdot 2 + \\left(-3\\sqrt{2}\\right)\\cdot\\left(-3\\sqrt{2}\\right)\\]\n\\[= 4 - 6\\sqrt{2} - 6\\sqrt{2} + 9 \\cdot 2\\]\n\\[= 4 - 12\\sqrt{2} + 18\\]\n\\[= \\boxed{22 - 12\\sqrt{2}}\\]\n\nWynik ten samo - odpowiedź **D** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - to podstawowy wzór, który trzeba znać na pamięć.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy przy obliczaniu \\(\\left(3\\sqrt{2}\\right)^2 = 3^2 \\cdot \\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = 9 \\cdot 2 = 18\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(-14\\) | Uczeń liczy \\(2^2 - (3\\sqrt{2})^2 = 4 - 18 = -14\\), czyli stosuje wzór na różnicę kwadratów \\((a-b)(a+b)\\) zamiast \\((a-b)^2\\) |\n| **B** \\(22\\) | Uczeń poprawnie liczy część całkowitą \\(4 + 18 = 22\\), ale zapomina o środkowym składniku \\(-12\\sqrt{2}\\) |\n| **C** \\(-14 - 12\\sqrt{2}\\) | Połączenie dwóch błędów: liczy \\(4 - 18 = -14\\) zamiast \\(4 + 18 = 22\\), ale dodaje środkowy składnik \\(-12\\sqrt{2}\\) - błędny znak przy \\(b^2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((a-b)^2 \\neq a^2 - b^2\\)! To jest jeden z najczęstszych błędów. Wzór na różnicę kwadratów to \\((a-b)(a+b)\\), a nie \\((a-b)^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\left(3\\sqrt{2}\\right)^2\\) potęgujemy **cały** wyraz - zarówno \\(3\\), jak i \\(\\sqrt{2}\\). Wynik to \\(9 \\cdot 2 = 18\\), nie \\(3 \\cdot 2 = 6\\) ani \\(9\\sqrt{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik zawiera \\(\\sqrt{2}\\) - jest to liczba niewymierna i **nie upraszczamy** jej dalej. Odpowiedź \\(22 - 12\\sqrt{2}\\) jest już w najprostszej postaci.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\nKorzystamy z \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) dla \\(a = 2\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\):\n\\[(2-3\\sqrt{2})^2 = 2^2 - 2\\cdot 2\\cdot 3\\sqrt{2} + (3\\sqrt{2})^2.\\]\nObliczamy każdy składnik:\n\\[2^2 = 4,\\quad 2\\cdot 2\\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2},\\quad (3\\sqrt{2})^2 = 9\\cdot 2 = 18.\\]\n\\[(2-3\\sqrt{2})^2 = 4 - 12\\sqrt{2} + 18 = 22 - 12\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna\n\\(\\sqrt{2}\\approx 1{,}414\\); \\(2 - 3\\cdot 1{,}414 = 2 - 4{,}243 = -2{,}243\\).\n\\((-2{,}243)^2 \\approx 5{,}03\\).\nZ drugiej strony \\(22 - 12\\cdot 1{,}414 \\approx 22 - 16{,}97 \\approx 5{,}03\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-14\\)** - to \\(2^2 - (3\\sqrt{2})^2 = 4 - 18\\), czyli błędne zastosowanie wzoru \\((a-b)(a+b)\\).\n- **B. \\(22\\)** - pominięto składnik \\(-2ab\\).\n- **C. \\(-14-12\\sqrt{2}\\)** - błąd: \\(-14\\) zamiast \\(+22\\).\n\n**Pamiętaj:** \\((a-b)^2 \\ne a^2 - b^2\\); środkowy wyraz \\(-2ab\\) musi być.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nLiczba \n\n2\n\njest miejscem zerowym funkcji liniowej\n\n2\nf x\nmx\n\n\n. Wtedy\nA.\n3\nm \nB.\n1\nm \nC.\n2\nm \nD.\n4\nm \nLiczba (-2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=mx+2. Wtedy A. m = 3, B. m = 1, C. m = -2, D. m = -4.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWyznacza wzór funkcji liniowej.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(m = 1\\))\n\n## Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego do wzoru funkcji\n\nJeśli \\((-2)\\) jest miejscem zerowym funkcji \\(f\\), to **z definicji** \\(f(-2) = 0\\).\n\nPodstawiamy \\(x = -2\\) do wzoru \\(f(x) = mx + 2\\):\n\n\\[f(-2) = m \\cdot (-2) + 2 = 0\\]\n\n\\[-2m + 2 = 0\\]\n\n\\[-2m = -2\\]\n\n\\[\\boxed{m = 1}\\]\n\n**Odpowiedź B jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (sprawdzenie wyniku)\n\nPodstawiamy \\(m = 1\\) do wzoru funkcji:\n\n\\[f(x) = 1 \\cdot x + 2 = x + 2\\]\n\nSprawdzamy, czy \\(x = -2\\) jest miejscem zerowym:\n\n\\[f(-2) = -2 + 2 = 0 \\checkmark\\]\n\nRzeczywiście \\(f(-2) = 0\\), więc \\((-2)\\) jest miejscem zerowym funkcji \\(f(x) = x + 2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji (wartość argumentu, dla której funkcja przyjmuje wartość \\(0\\)) oraz podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(m = 3\\) | Uczeń podstawia \\(f(m) = 0\\) zamiast \\(f(-2) = 0\\), czyli wpisuje \\(x = m\\) i rozwiązuje \\(m \\cdot m + 2 = 0\\), co daje \\(m^2 = -2\\) - bez sensu. Lub po prostu zgaduje. |\n| C: \\(m = -2\\) | Uczeń myli miejsce zerowe z parametrem - bo argument to \\(-2\\), wpisuje \\(m = -2\\) bez żadnych obliczeń. |\n| D: \\(m = -4\\) | Uczeń popełnia błąd znaku: zapisuje \\(-2m + 2 = 0 \\Rightarrow -2m = -2 \\Rightarrow m = -4\\) (dzieli zamiast tego, że \\(-2m = -2\\) daje \\(m = 1\\), nie \\(m = -4\\)). Błąd rachunkowy przy dzieleniu przez \\(-2\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to **argument** (wartość \\(x\\)), dla którego \\(f(x) = 0\\). Trzeba podstawić tę wartość jako \\(x\\) i przyrównać wynik do zera. Nie mylić z wartością funkcji równą \\(-2\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów łatwo zgubić znak. \\(-2m + 2 = 0 \\Rightarrow -2m = -2 \\Rightarrow m = 1\\) - dzielenie obu stron przez \\(-2\\) daje \\(+1\\), nie \\(-4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto **sprawdzić** wynik - podstaw obliczone \\(m\\) z powrotem do wzoru i upewnij się, że \\(f(-2) = 0\\). To zajmuje 5 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego\nJeśli \\(x = -2\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(-2) = 0\\).\n\\[m\\cdot(-2) + 2 = 0.\\]\n\\[-2m = -2.\\]\n\\[m = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać funkcji\nFunkcja \\(f(x) = mx + 2\\) ma miejsce zerowe \\(x_0 = -\\dfrac{2}{m}\\).\n\\[-\\dfrac{2}{m} = -2 \\iff \\dfrac{2}{m} = 2 \\iff m = 1.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m = 3\\)** - wtedy \\(f(-2) = -6+2 = -4 \\ne 0\\).\n- **C. \\(m = -2\\)** - wtedy \\(f(-2) = 4+2 = 6\\ne 0\\).\n- **D. \\(m = -4\\)** - wtedy \\(f(-2) = 8+2 = 10\\ne 0\\).\n\n**Pamiętaj:** miejsce zerowe to argument, przy którym wartość funkcji jest równa 0.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności\n4\n7\nx \n\nA.\n3\nx\n-11\nB.\n11\nx\n-3\nC.\n3\nx\n-11\nD.\n11\nx\n-3\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nMatura próbna z matematyki 2010. Zadanie 2. Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x-2|>=3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystuje pojęcia wartości\nbezwzględnej i jej interpretacje\ngeometryczną; zaznacza na osi liczbowej\nzbiory opisane nierównością.\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nZbiór rozwiązań nierówności \\(|x+4| \\leq 7\\) to przedział \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\), czyli odcinek domknięty z obu stron - co przedstawia rysunek **A**.\n\n## Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej (nierówność \\(|x-a| \\leq r\\))\n\nZ karty wzorów wiemy, że:\n\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]\n\nNasza nierówność: \\(|x + 4| \\leq 7\\), czyli \\(|x - (-4)| \\leq 7\\).\n\nMamy \\(a = -4\\), \\(r = 7\\), więc:\n\\[-4 - 7 \\leq x \\leq -4 + 7\\]\n\\[-11 \\leq x \\leq 3\\]\n\n**Zbiór rozwiązań: \\(x \\in \\langle -11, 3 \\rangle\\)**\n\nNa osi liczbowej to **domknięty odcinek** od \\(-11\\) do \\(3\\) (oba końce zaznaczone jako \"pełne\" kropki, bo nierówność nieostra \\(\\leq\\)).\n\n## Sposób 2 - Rozbicie na dwa przypadki\n\nWartość bezwzględna z definicji:\n\n\\[|x+4| \\leq 7 \\iff \\begin{cases} x + 4 \\leq 7 & \\text{gdy } x + 4 \\geq 0 \\\\ -(x+4) \\leq 7 & \\text{gdy } x + 4 < 0 \\end{cases}\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(x \\geq -4\\)\n\\[x + 4 \\leq 7 \\implies x \\leq 3\\]\nRazem z założeniem: \\(-4 \\leq x \\leq 3\\)\n\n**Przypadek 2:** \\(x < -4\\)\n\\[-(x+4) \\leq 7 \\implies -x - 4 \\leq 7 \\implies -x \\leq 11 \\implies x \\geq -11\\]\nRazem z założeniem: \\(-11 \\leq x < -4\\)\n\nSuma obu przypadków:\n\\[-11 \\leq x < -4 \\;\\cup\\; -4 \\leq x \\leq 3 \\;=\\; \\langle -11, 3 \\rangle\\]\n\n**Ten sam wynik: \\(x \\in \\langle -11, 3 \\rangle\\)**. Zgadza się z Odpowiedzią A.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - wzór na nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1 do natychmiastowego wyznaczenia przedziału.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Zbiór na rysunku | Błąd, który do niego prowadzi |\n| B | \\((-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\) | Pomylono \\(\\leq\\) z \\(\\geq\\) - wzięto dopełnienie; do tego źle policzono granice (\\(-4+7=3\\), nie \\(11\\)) |\n| C | Odcinek \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\) | Opis AI wskazuje identyczny wynik jak A - prawdopodobnie różnica w zaznaczeniu końców (np. otwarte zamiast domkniętych) lub inne drobne różnice graficzne |\n| D | \\((-\\infty, -5\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\) | Błędne obliczenia: np. \\(-4-7=-11\\) pomylono z \\(-5\\), i znów wzięto dopełnienie zamiast przedziału domkniętego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|x+4|\\) to \\(|x - (-4)|\\), nie \\(|x - 4|\\). Środek przedziału to \\(-4\\), a nie \\(+4\\). Błąd znaku to **najczęstszy błąd** w tym typie zadania - daje przedział \\(\\langle -3, 11 \\rangle\\) zamiast poprawnego \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\(\\leq\\) (nieostra) daje przedział **domknięty** \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\) - oba końce należą do zbioru rozwiązań, więc na osi liczbowej zaznaczamy **pełne kropki**. Przy \\(<\\) byłyby puste.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(|x+4| \\leq 7\\) (jeden przedział domknięty) z \\(|x+4| \\geq 7\\) (suma dwóch nieograniczonych ramion). Odpowiedzi B i D to właśnie pułapka dla tych, którzy odwrócą kierunek nierówności.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Algebraiczne rozwiązanie\nNierówność \\(|x+4|\\le 7\\) jest równoważna\n\\[-7 \\le x+4 \\le 7.\\]\nOdejmując \\(4\\) od każdej ze stron:\n\\[-11 \\le x \\le 3.\\]\nZbiorem rozwiązań jest przedział domknięty \\(\\langle -11, 3\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Interpretacja geometryczna\n\\(|x+4| = |x-(-4)|\\) to odległość \\(x\\) od \\(-4\\). Nierówność \\(|x-(-4)|\\le 7\\) oznacza: wszystkie liczby odległe od \\(-4\\) o nie więcej niż \\(7\\).\nKońce: \\(-4 - 7 = -11\\) oraz \\(-4 + 7 = 3\\). Przedział \\(\\langle -11, 3\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Przedział \\(\\langle -3, 11\\rangle\\) - odpowiada \\(|x-4|\\le 7\\), nie \\(|x+4|\\le 7\\).\n- **C.** Dopełnienie \\(\\langle -11, 3\\rangle\\) - odpowiada \\(|x+4|\\ge 7\\).\n- **D.** Dopełnienie \\(\\langle -3, 11\\rangle\\) - odpowiada \\(|x-4|\\ge 7\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(|x-a|\\le r \\iff a-r \\le x \\le a+r\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nDana jest parabola o równaniu\n2\n8\n14\ny\nx\nx\n\n\n\n. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej\nparaboli jest równa\nA.\n8\nx \nB.\n4\nx \nC.\n4\nx \nD.\n8\nx \nDana jest parabola o równaniu y=x^2+8x-14. Pierwsza wspórzędna wierzchołka tej paraboli jest równa A. x = -8, B. x = -4, C. x = 4, D. x = 8","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznacza pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = -4\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na wierzchołek paraboli\n\nMamy parabolę w postaci ogólnej:\n\\[y = x^2 + 8x - 14\\]\n\nczyli \\(a = 1\\), \\(b = 8\\), \\(c = -14\\).\n\nPierwsza współrzędna wierzchołka (odcięta) dana jest wzorem:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[p = -\\frac{8}{2 \\cdot 1} = -\\frac{8}{2} = -4\\]\n\n**Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(x = -4\\).**\n\n## Sposób 2 - Dopełnienie do pełnego kwadratu (postać kanoniczna)\n\nPrzekształcamy \\(y = x^2 + 8x - 14\\) do postaci kanonicznej \\(y = a(x-p)^2 + q\\):\n\n\\[y = x^2 + 8x - 14\\]\n\\[y = (x^2 + 8x + 16) - 16 - 14\\]\n\\[y = (x + 4)^2 - 30\\]\n\nPostać kanoniczna to \\(y = 1 \\cdot (x - (-4))^2 + (-30)\\), więc wierzchołek to:\n\\[W = (-4,\\ -30)\\]\n\n**Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(x = -4\\).** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\noraz postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\n\nOba sposoby rozwiązania korzystają bezpośrednio z tych wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(x = -8\\) | Wzięto samo \\(-b\\) zamiast \\(-\\frac{b}{2a}\\) - pominięto dzielenie przez \\(2a\\) |\n| C: \\(x = 4\\) | Pominięto minus w \\(-\\frac{b}{2a}\\), licząc \\(\\frac{b}{2a} = \\frac{8}{2} = 4\\) |\n| D: \\(x = 8\\) | Przepisano wartość \\(b\\) jako wynik, bez żadnego obliczenia |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na wierzchołek to \\(-\\frac{b}{2a}\\) - minus jest nieodłączną częścią wzoru! Bardzo łatwo go pominąć i dostać \\(+4\\) zamiast \\(-4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(b\\) z \\(b^2\\) - do wyznaczenia \\(p\\) nie potrzeba delty, tylko samego \\(b\\) i \\(a\\). Delta przydaje się do liczenia \\(q\\) (drugiej współrzędnej wierzchołka).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W metodzie dopełniania do kwadratu pamiętaj, że \\((x+4)^2 = x^2 + 8x + 16\\) - musisz dodać i odjąć \\(16\\), żeby nie zmienić wartości wyrażenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka\nDla \\(y = ax^2+bx+c\\) mamy \\(x_W = -\\dfrac{b}{2a}\\).\nTutaj \\(a = 1\\), \\(b = 8\\), więc\n\\[x_W = -\\dfrac{8}{2\\cdot 1} = -4.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\nUzupełniamy do kwadratu:\n\\[x^2+8x-14 = (x+4)^2 - 16 - 14 = (x+4)^2 - 30.\\]\nWierzchołek: \\(x_W = -4\\), \\(y_W = -30\\).\n\n### Sposób 3 - Symetria\nMiejsca zerowe \\(x^2+8x-14 = 0\\): \\(x_{1,2} = \\dfrac{-8 \\pm \\sqrt{64+56}}{2} = \\dfrac{-8\\pm\\sqrt{120}}{2}\\).\nŚrednia: \\(x_W = \\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{-8}{2} = -4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-8\\)** - to wartość \\(-b\\), brak dzielenia przez \\(2a\\).\n- **C. \\(4\\)** - błąd znaku.\n- **D. \\(8\\)** - ktoś wziął \\(+b\\) bez minusa.\n\n**Pamiętaj:** \\(x_W = -\\dfrac{b}{2a}\\) - minus jest kluczowy.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nWskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest\n\n2,\n\n.\nA.\nB.\nC.\nD.\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-2\n-1\n1\n2\n3\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nWskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest <-2,+oo).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nOdczytuje z wykresu zbiór wartości\nfunkcji.\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nParabola otwarta **w górę** z wierzchołkiem na wysokości \\(y = -2\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza zbioru wartości funkcji kwadratowej\n\n**Krok 1: Co mówi nam zbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\)?**\n\nZbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\) oznacza, że:\n- funkcja przyjmuje **wszystkie wartości większe lub równe** \\(-2\\),\n- wartość minimalna wynosi \\(-2\\) - to jest **dolne ograniczenie**,\n- funkcja rośnie bez ograniczenia ku górze (\\(+\\infty\\)).\n\n**Krok 2: Jaki kształt paraboli?**\n\nPonieważ wartości idą do \\(+\\infty\\), a istnieje minimum - parabola musi być otwarta **w górę** (\\(a > 0\\)).\n\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad a > 0\\]\n\n**Krok 3: Gdzie jest wierzchołek?**\n\nMinimum funkcji kwadratowej otwartej w górę to **wartość \\(q\\)** w wierzchołku \\(W = (p, q)\\).\n\nSkoro minimum \\(= -2\\), to:\n\\[q = -2\\]\n\n**Wniosek:** Szukamy paraboli otwartej w górę, której wierzchołek leży na poziomie \\(y = -2\\).\n\nOdpowiedź **B** pokazuje dokładnie taki wykres. ✓\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez analizę pozostałych odpowiedzi\n\nSprawdzamy, jakie zbiory wartości odpowiadają pozostałym wykresom:\n\n| Wykres | Kierunek otwarcia | Wierzchołek \\(q\\) | Zbiór wartości |\n| A | w górę ↑ | \\(q > 0\\) | \\(\\langle q, +\\infty)\\), gdzie \\(q > 0\\) - **nie pasuje** |\n| **B** | **w górę ↑** | \\(q = -2\\) | \\(\\langle -2, +\\infty)\\) ✓ |\n| C | w dół ↓ | \\(q > 0\\) | \\((-\\infty, q\\rangle\\), gdzie \\(q > 0\\) - **nie pasuje** |\n| D | w dół ↓ | \\(q \\approx -2\\) | \\((-\\infty, -2\\rangle\\) - **nie pasuje** |\n\nTylko B daje zbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n- Gdy \\(a > 0\\): funkcja ma **minimum** równe \\(q\\), zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\)\n- Gdy \\(a < 0\\): funkcja ma **maksimum** równe \\(q\\), zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\)\n\nTego wzoru używamy do odczytu zbioru wartości bezpośrednio z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Parabola otwarta w górę - dobry kierunek, ale wierzchołek powyżej osi \\(x\\) (\\(q > 0\\)), więc zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\) z \\(q > 0\\), nie \\(\\langle -2, +\\infty)\\) |\n| C | Parabola otwarta w **dół** - zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\), a nie \\(\\langle -2, +\\infty)\\). Typowy błąd: patrzymy na wartość \\(q = -2\\), ale zapominamy sprawdzić kierunek otwarcia |\n| D | Parabola otwarta w **dół** z wierzchołkiem przy \\(y \\approx -2\\) - zbiór wartości to \\((-\\infty, -2\\rangle\\), czyli \"odwrócony\" przedział |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nawias \\(\\langle\\) (domknięty) od lewej oznacza, że **minimum jest osiągane** - to wskazuje na parabolę otwartą w górę. Nawias \\((-\\infty,\\) od lewej oznacza, że nie ma minimum - parabola w dół!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów skupia się tylko na wartości \\(-2\\) i wybiera każdą parabolę, której wierzchołek jest blisko \\(y = -2\\) - zapominając sprawdzić kierunek otwarcia. Sprawdź ZAWSZE **dwa warunki**: wartość \\(q\\) **oraz** znak \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\langle -2, +\\infty)\\) ≠ \\((-\\infty, -2\\rangle\\) - to zbiory \"lustrzane\"! Odpowiedź D daje właśnie ten \"odwrócony\" przedział.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Analiza zbioru wartości\nZbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\) oznacza:\n- parabola otwiera się **do góry** (\\(a > 0\\), bo zbiór wartości jest nieograniczony z góry),\n- minimum funkcji wynosi \\(y_{\\min} = -2\\), czyli druga współrzędna wierzchołka to \\(-2\\).\n\nSzukamy rysunku, na którym parabola otwiera się do góry, a jej wierzchołek leży na wysokości \\(y = -2\\). To jest rysunek **B**.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- A. Parabola otwarta w górę, ale wierzchołek na wysokości \\(\\approx 1\\) → zbiór wartości \\(\\langle 1, +\\infty)\\) ✗\n- B. Parabola otwarta w górę, wierzchołek na wysokości \\(-2\\) ✓\n- C, D. Paraboli otwierające się w dół mają zbiór wartości \\((-\\infty, y_W\\rangle\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Dolna granica zbioru wartości jest inna (wyższa niż \\(-2\\)).\n- **C, D.** Paraboli otwierające się w dół dają zbiór w postaci \\((-\\infty, y_W\\rangle\\).\n\n**Pamiętaj:** zbiór wartości paraboli z \\(a>0\\) to \\(\\langle y_W, +\\infty)\\); z \\(a<0\\) - \\((-\\infty, y_W\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nZbiorem rozwiązań nierówności \n\n6\n0\nx x \n\njest\nA. \n\n6,0\n\nB. \n\n0,6\nC. \n\n\n\n, 6\n0,\n\n\n\nD. \n\n\n\n,0\n6,\n\n\n\nZbiorem rozwiązań nierówności x(x+6) < 0 jest A. (-6,0), B. (0,6), C. (-oo,-6)u(0,+oo), D. (-oo,0)u(6,+oo)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązuje nierówności kwadratowe;\nzapisuje rozwiązanie w postaci\nprzedziałów liczbowych.\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((-6, 0)\\)\n\n## Sposób 1 - Miejsca zerowe i znak paraboli\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe** lewej strony nierówności:\n\\[x(x+6) = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -6\\]\n\nMamy funkcję kwadratową \\(f(x) = x(x+6) = x^2 + 6x\\) z **współczynnikiem \\(a = 1 > 0\\)**, więc parabola jest skierowana **ramionami ku górze** (∪).\n\nDla paraboli skierowanej w górę:\n- **poniżej osi \\(x\\)** (czyli \\(f(x) < 0\\)) - tylko **między** miejscami zerowymi\n- **powyżej osi \\(x\\)** (czyli \\(f(x) > 0\\)) - na zewnątrz miejsc zerowych\n\nSzukamy \\(x(x+6) < 0\\), czyli kiedy funkcja jest **ujemna**:\n\n\\[\\boxed{x \\in (-6, 0)}\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza znaku iloczynu (metoda tabelki)\n\nNierówność \\(x(x+6) < 0\\) to iloczyn dwóch czynników: \\(x\\) oraz \\((x+6)\\).\n\nIloczyn jest ujemny, gdy **jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny**.\n\nWyznaczamy znaki każdego czynnika na przedziałach wyznaczonych przez zera \\(x = -6\\) i \\(x = 0\\):\n\n| Przedział | \\(x+6\\) | \\(x\\) | \\(x(x+6)\\) |\n| \\(x < -6\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-6 < x < 0\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 0\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest ujemny tylko dla \\(x \\in (-6, 0)\\). **Wynik zgodny ze Sposobem 1.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - analiza znaku funkcji kwadratowej:\n\\[f(x) = ax^2 + bx + c, \\quad a \\neq 0\\]\n\nKluczowa zasada: gdy \\(a > 0\\), funkcja przyjmuje wartości ujemne **między** miejscami zerowymi \\(x_1\\) i \\(x_2\\):\n\\[f(x) < 0 \\iff x \\in (x_1, x_2)\\]\n\nW naszym zadaniu: \\(a = 1 > 0\\), \\(x_1 = -6\\), \\(x_2 = 0\\), więc \\(f(x) < 0\\) dla \\(x \\in (-6, 0)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Zamiana miejsc zerowych: uczeń widzi \"6\" i przyjmuje zera w \\(0\\) i \\(6\\), zapominając że drugie zero to \\(-6\\), nie \\(6\\) |\n| C | Zamiana znaku nierówności: to jest rozwiązanie \\(x(x+6) > 0\\) - na zewnątrz miejsc zerowych, nie między nimi |\n| D | Podwójny błąd: zamiana miejsca zerowego (\\(-6\\) na \\(6\\)) **i** znaku nierówności jednocześnie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla paraboli skierowanej **w górę** (\\(a > 0\\)), wartości ujemne są **między** miejscami zerowymi - wielu uczniów intuicyjnie wybiera \"zewnątrz\" (odpowiedź C).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedziały są **otwarte** (nawiasy okrągłe), bo nierówność jest **ostra** (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)). W punktach \\(x = -6\\) i \\(x = 0\\) iloczyn wynosi dokładnie \\(0\\), więc nie spełnia \\(< 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie rozwijaj niepotrzebnie \\(x(x+6)\\) do \\(x^2 + 6x\\) - miejsca zerowe widać od razu z postaci iloczynowej!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Miejsca zerowe i parabola\nTrójmian \\(f(x) = x(x+6) = x^2+6x\\). Miejsca zerowe: \\(x_1 = -6\\), \\(x_2 = 0\\).\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 1>0\\)), więc parabola otwiera się do góry.\n\nWartości ujemne (\\(f(x)<0\\)) przyjmuje **pomiędzy** miejscami zerowymi:\n\\[x\\in(-6, 0).\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza znaków\n\\(x(x+6)<0\\) oznacza, że czynniki \\(x\\) i \\(x+6\\) mają **różne znaki**.\n- Przypadek 1: \\(x>0\\) i \\(x+6<0\\) → \\(x>0\\) i \\(x<-6\\) → niemożliwe.\n- Przypadek 2: \\(x<0\\) i \\(x+6>0\\) → \\(x<0\\) i \\(x>-6\\) → \\(x\\in(-6, 0)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((0,6)\\)** - pomylone znaki miejsc zerowych.\n- **C.** To jest zbiór rozwiązań \\(x(x+6)>0\\).\n- **D.** Błędne miejsca zerowe i błędny kierunek nierówności.\n\n**Pamiętaj:** dla \\(a>0\\) trójmian jest ujemny między pierwiastkami, dodatni na zewnątrz.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nWielomian\n\n6\n3\n2\nW x\nx\nx\n\n\n\njest równy iloczynowi\nA. \n\n\n3\n2\n1\n2\nx\nx\n\n\nB. \n\n\n3\n3\n1\n2\nx\nx\n\n\nC. \n\n\n2\n4\n2\n1\n\n\nx\nx\nD. \n\n\n4\n2\n1\nx\nx\n\n\nWielomian W(x) = x^6 + x^3 -2 jest równy iloczynowi A. (x^3+1)(x^2-2), B. (x^3-1)(x^3+2), C (x^2+2)(x^4-1), D. (x^4-2)(x+1)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozkłada wielomian na czynniki stosując\ngrupowanie wyrazów.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\((x^3-1)(x^3+2)\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie (zamiana zmiennej)\n\n**Kluczowa obserwacja:** wielomian \\(W(x) = x^6 + x^3 - 2\\) zawiera tylko potęgi \\(x^6\\) i \\(x^3\\). Jeśli podstawimy \\(t = x^3\\), dostaniemy zwykłe równanie kwadratowe!\n\n**Podstawiamy** \\(t = x^3\\):\n\\[W(x) = x^6 + x^3 - 2 = t^2 + t - 2\\]\n\n**Rozkładamy trójmian kwadratowy** \\(t^2 + t - 2\\) na czynniki.\n\nSzukamy dwóch liczb, których:\n- **suma** wynosi \\(+1\\) (współczynnik przy \\(t\\))\n- **iloczyn** wynosi \\(-2\\) (wyraz wolny)\n\nTe liczby to \\(+2\\) i \\(-1\\), bo \\(2 + (-1) = 1\\) oraz \\(2 \\cdot (-1) = -2\\). Zatem:\n\\[t^2 + t - 2 = (t + 2)(t - 1)\\]\n\n**Wracamy do zmiennej \\(x\\)** (przypominamy: \\(t = x^3\\)):\n\\[W(x) = (x^3 + 2)(x^3 - 1)\\]\n\n**Wynik: \\(W(x) = (x^3 - 1)(x^3 + 2)\\) - odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie mnożenie\n\nSprawdzamy odpowiedź B, mnożąc nawiasy metodą krzyżową (każdy przez każdy):\n\n\\[(x^3 - 1)(x^3 + 2)\\]\n\\[= x^3 \\cdot x^3 + x^3 \\cdot 2 + (-1) \\cdot x^3 + (-1) \\cdot 2\\]\n\\[= x^6 + 2x^3 - x^3 - 2\\]\n\\[= x^6 + x^3 - 2 \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się dokładnie z \\(W(x) = x^6 + x^3 - 2\\). Odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a i postać iloczynowa:\n\n\\[t^2 + t - 2 = (t - t_1)(t - t_2), \\quad \\text{gdzie } t_1 + t_2 = -\\frac{b}{a} = -1, \\quad t_1 \\cdot t_2 = \\frac{c}{a} = -2\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - zamiast liczyć \\(\\Delta\\), od razu znaleźliśmy \\(t_1 = 1\\), \\(t_2 = -2\\) z warunków Viète'a i zapisaliśmy rozkład \\((t-1)(t+2)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Mnożenie | Błąd |\n| A | \\((x^3+1)(x^2-2) = x^5 - 2x^3 + x^2 - 2\\) | Wynik to wielomian **5. stopnia**, a \\(W(x)\\) ma stopień 6. Pomylono \\(x^3\\) z \\(x^2\\) w jednym nawiasie. |\n| C | \\((x^2+2)(x^4-1) = x^6 + 2x^4 - x^2 - 2\\) | Stopień 6 - OK, ale pojawia się \\(+2x^4 - x^2\\) zamiast \\(+x^3\\). Brak składnika \\(x^3\\). |\n| D | \\((x^4-2)(x+1) = x^5 + x^4 - 2x - 2\\) | Wynik to wielomian **5. stopnia** - znów pomylony stopień. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Klucz do zadania to dostrzeżenie, że \\(x^6 = (x^3)^2\\) - wtedy wielomian 6. stopnia zamienia się w zwykły trójmian kwadratowy. Jeśli tego nie zauważysz, możesz szukać rozkładu na ślepo i zmarnować czas.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podstawieniu \\(t = x^3\\) i rozłożeniu, **pamiętaj wrócić do \\(x\\)**! Częsty błąd to zostawienie wyniku w postaci \\((t-1)(t+2)\\) i wybieranie odpowiedzi z \\(t\\) zamiast z \\(x^3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi A i D to wielomiany stopnia 5 - wystarczy sprawdzić stopnie, by je natychmiast odrzucić (bez liczenia). To szybki filtr na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie \\(t = x^3\\)\nZauważamy, że \\(W(x) = (x^3)^2 + x^3 - 2\\). Podstawmy \\(t = x^3\\):\n\\[t^2 + t - 2 = 0 \\iff (t-1)(t+2) = 0.\\]\nCofając podstawienie:\n\\[W(x) = (x^3 - 1)(x^3 + 2).\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja poprzez wymnożenie odpowiedzi B\n\\[(x^3-1)(x^3+2) = x^6 + 2x^3 - x^3 - 2 = x^6 + x^3 - 2 = W(x).\\] ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\((x^3+1)(x^2-2) = x^5-2x^3+x^2-2\\) - zły stopień i niezgodne wyrazy.\n- **C.** \\((x^2+2)(x^4-1) = x^6-x^2+2x^4-2\\) - nie pasuje.\n- **D.** \\((x^4-2)(x+1) = x^5+x^4-2x-2\\) - zły stopień.\n\n**Pamiętaj:** rozpoznaj strukturę trójmianu kwadratowego w potęgach \\(x^3\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nRównanie \n\n\n\n\n\n3\n2\n0\n3\n2\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\nma\nA. dokładnie jedno rozwiązanie\nB. dokładnie dwa rozwiązania\nC. dokładnie trzy rozwiązania\nD. dokładnie cztery rozwiązania\nRównanie (x+3)(x-2) / (x-3)(x+2)} = 0 ma A. dokładnie jedno rozwiązanie, B. dokładnie dwa rozwiązania, C. dokładnie trzy rozwiązania, D. dokładnie cztery rozwiązania","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązuje proste równanie wymierne.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nRównanie ma **dokładnie dwa rozwiązania**.\n\n## Sposób 1 - analiza licznika i mianownika\n\nUłamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik równa się zero**, a jednocześnie **mianownik jest różny od zera**.\n\n**Krok 1: Kiedy licznik = 0?**\n\n\\[(x+3)(x-2) = 0\\]\n\n\\[x + 3 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 = 0\\]\n\n\\[x = -3 \\quad \\text{lub} \\quad x = 2\\]\n\n**Krok 2: Kiedy mianownik = 0? (te wartości musimy wykluczyć!)**\n\n\\[(x-3)(x+2) = 0\\]\n\n\\[x = 3 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]\n\n**Krok 3: Sprawdzamy kandydatów**\n\n| Kandydat | Mianownik w tym punkcie | Dopuszczalny? |\n| \\(x = -3\\) | \\((-3-3)(-3+2) = (-6)(-1) = 6 \\neq 0\\) | ✅ TAK |\n| \\(x = 2\\) | \\((2-3)(2+2) = (-1)(4) = -4 \\neq 0\\) | ✅ TAK |\n\n**Oba kandydaci są dopuszczalni** - żaden z nich nie zeruje mianownika.\n\n**Zatem równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \\(x = -3\\) oraz \\(x = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki, wstawiając do oryginalnego równania:\n\nDla \\(x = -3\\):\n\\[\\frac{(-3+3)(-3-2)}{(-3-3)(-3+2)} = \\frac{0 \\cdot (-5)}{(-6)(-1)} = \\frac{0}{6} = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = 2\\):\n\\[\\frac{(2+3)(2-2)}{(2-3)(2+2)} = \\frac{5 \\cdot 0}{(-1)(4)} = \\frac{0}{-4} = 0 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy też, że \"fałszywe\" miejsca zerowe mianownika nie są rozwiązaniami:\n\nDla \\(x = 3\\): mianownik \\(= 0\\) - **wyrażenie niezdefiniowane**, nie jest rozwiązaniem.\n\nDla \\(x = -2\\): mianownik \\(= 0\\) - **wyrażenie niezdefiniowane**, nie jest rozwiązaniem.\n\nWynik potwierdzony: **dwa rozwiązania**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka i jego dziedziny oraz podstawowe rozwiązywanie równań iloczynowych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń zauważa, że licznik i mianownik mają wspólną formę, próbuje \"upraszczać\" i myśli, że jedno rozwiązanie odpada - błąd, bo \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) nie są miejscami zerowymi mianownika |\n| C | Uczeń liczy miejsca zerowe **całego wyrażenia** (licznik + mianownik razem) i dodaje \\(x = -2\\) lub \\(x = 3\\) jako \"rozwiązania\" |\n| D | Uczeń liczy wszystkie cztery miejsca zerowe obu nawiasów (\\(-3, 2, 3, -2\\)) bez sprawdzania dziedziny - to typowy błąd, gdy pomija się warunek \\(\\text{mianownik} \\neq 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe mianownika (\\(x = 3\\) i \\(x = -2\\)) NIE są rozwiązaniami - w tych punktach wyrażenie w ogóle nie istnieje. Ułamka zerowego mianownika po prostu nie wolno liczyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie ułamkowe \"= 0\" rozwiązujemy przez przyrównanie **licznika do zera**, a nie całego wyrażenia - ale zawsze pod warunkiem sprawdzenia dziedziny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno \"upraszczać\" ułamka przez skracanie nawiasów przed sprawdzeniem dziedziny - mogłoby to ukryć, które wartości są niedopuszczalne.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek na zero ułamka i dziedzinę\nUłamek \\(\\dfrac{L(x)}{M(x)} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(L(x) = 0\\) i \\(M(x)\\ne 0\\).\n\nDziedzina: \\(M(x) = (x-3)(x+2)\\ne 0 \\iff x\\ne 3\\) i \\(x\\ne -2\\).\n\nLicznik: \\((x+3)(x-2) = 0 \\iff x = -3\\) lub \\(x = 2\\).\n\nObie wartości \\(-3\\) i \\(2\\) należą do dziedziny (\\(-3\\ne 3, -2\\); \\(2\\ne 3, -2\\)).\n\nZatem rozwiązania: \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\) - **dwa rozwiązania**.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Pominięto jedno z miejsc zerowych licznika.\n- **C.** Uwzględniono jedno z miejsc mianownika (błąd - to eliminacja, nie rozwiązanie).\n- **D.** Uznano wszystkie 4 wartości (\\(\\pm 3, \\pm 2\\)) za rozwiązania.\n\n**Pamiętaj:** w równaniu wymiernym sprawdź dziedzinę - miejsca zerowe mianownika są wykluczone.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nDany jest ciąg \n\nna\nokreślony wzorem\n\n\n2\nn\nn\nn\na \n\ndla\n1\n\nn\n. Wówczas\nA.\n3\n1\n2\na \nB.\n3\n1\n2\na \nC.\n3\n3\n8\na \nD.\n3\n3\n8\na \n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = {n / (-2)^n} dla n >= 1. Wówczas A. a_3 = 1/2, B. a_3 = -1/2, C. a_3 = 3/8, D. a_3 = -3/8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWyznacza wyraz ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wprost do wzoru\n\nMamy wzór ogólny:\n\\[a_n = \\frac{n}{(-2)^n}\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 3\\):\n\\[a_3 = \\frac{3}{(-2)^3}\\]\n\nObliczamy mianownik - **uwaga na ujemną podstawę potęgi!**\n\\[(-2)^3 = (-2) \\cdot (-2) \\cdot (-2) = 4 \\cdot (-2) = -8\\]\n\nZatem:\n\\[a_3 = \\frac{3}{-8} = -\\frac{3}{8}\\]\n\n**Wynik: \\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład na części\n\nRozkładamy ułamek, korzystając z tego, że \\((-2)^n = (-1)^n \\cdot 2^n\\):\n\n\\[a_3 = \\frac{3}{(-2)^3} = \\frac{3}{(-1)^3 \\cdot 2^3} = \\frac{3}{(-1) \\cdot 8} = \\frac{3}{-8} = -\\frac{3}{8}\\]\n\nTen zapis pokazuje, że **znak wyrazu zależy od parzystości \\(n\\)**:\n- \\(n\\) nieparzyste \\(\\Rightarrow (-1)^n = -1 \\Rightarrow a_n < 0\\)\n- \\(n\\) parzyste \\(\\Rightarrow (-1)^n = 1 \\Rightarrow a_n > 0\\)\n\nDla \\(n = 3\\) (nieparzyste) wyraz jest **ujemny** - to wyklucza odpowiedzi A i C.\n\n**Wynik potwierdzony: \\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja potęgi o wykładniku naturalnym oraz zasada, że potęga ujemnej liczby zmienia znak co wyraz.\n\nPomocniczo można odwołać się do **Działu 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[a^n = \\underbrace{a \\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ razy}}\\]\nDla \\(a = -2\\), \\(n = 3\\): \\((-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Policzono \\((-2)^3 = 6\\) (dodawanie zamiast potęgowania), otrzymując \\(\\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\) |\n| B | Policzono \\((-2)^3 = -6\\), otrzymując \\(\\frac{3}{-6} = -\\frac{1}{2}\\) |\n| C | Zapomniano o znaku - wzięto \\(2^3 = 8\\) zamiast \\((-2)^3 = -8\\), otrzymując \\(\\frac{3}{8}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-2)^3 \\neq 2^3\\). Ujemna podstawa przy **nieparzystym** wykładniku daje wynik ujemny. Pomylenie znaku to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\((-2)^3 = -8\\) z \\(-2^3 = -8\\) - tu wynik jest ten sam, ale z innych powodów. Dla parzystych wykładników różnica jest kluczowa: \\((-2)^2 = +4\\), ale \\(-2^2 = -4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie obliczaj pochopnie \\((-2) \\cdot 3 = -6\\) - potęga to **mnożenie podstawy przez siebie**, nie przez wykładnik!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n\\[a_3 = \\dfrac{3}{(-2)^3} = \\dfrac{3}{-8} = -\\dfrac{3}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczanie znaku\n\\((-2)^3 = -8\\) (nieparzysta potęga liczby ujemnej jest ujemna).\nLicznik \\(3 > 0\\), mianownik \\(-8 < 0\\), więc \\(a_3 < 0\\).\nWartość bezwzględna: \\(\\left|\\dfrac{3}{-8}\\right| = \\dfrac{3}{8}\\).\nZatem \\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - to jest \\(a_2 = \\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2}\\), nie \\(a_3\\).\n- **B. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)** - zły znak lub zły indeks.\n- **C. \\(\\tfrac{3}{8}\\)** - pominięto znak minus w \\((-2)^3\\).\n\n**Pamiętaj:** \\((-a)^n\\) jest ujemne gdy \\(n\\) jest nieparzyste, dodatnie gdy parzyste.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym \n\nna\ndane są:\n1\n36\na \n,\n2\n18\na \n. Wtedy\nA.\n4\n18\na \nB.\n4\n0\na \nC.\n4\n4,5\na \nD.\n4\n144\na \nW ciągu geometrycznym (a_n) dane są: a_1 = 36, a_2 = 18. Wtedy A. a_4 = -18, B. a_4 = 0, C. a_4 = 4,5, D. a_4 = 144","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznacza n-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a_4 = 4{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie ilorazu i wzór ogólny\n\n**Krok 1: Znajdź iloraz ciągu geometrycznego.**\n\nIloraz \\(q\\) obliczamy jako:\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{18}{36} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(a_4\\) wzorem ogólnym.**\n\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\\[a_4 = 36 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = 36 \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{36}{8} = \\frac{9}{2} = 4{,}5\\]\n\n**Wynik: \\(a_4 = 4{,}5\\)**\n\n## Sposób 2 - wypisanie kolejnych wyrazów\n\nZamiast wzoru, mnożymy każdy wyraz przez \\(q = \\frac{1}{2}\\):\n\n\\[a_1 = 36\\]\n\\[a_2 = 36 \\cdot \\frac{1}{2} = 18\\]\n\\[a_3 = 18 \\cdot \\frac{1}{2} = 9\\]\n\\[a_4 = 9 \\cdot \\frac{1}{2} = 4{,}5\\]\n\n**Wynik: \\(a_4 = 4{,}5\\)** - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz definicja ilorazu:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nUżyliśmy obu wzorów: najpierw wyznaczyli iloraz \\(q\\), potem obliczyliśmy \\(a_4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(a_4 = -18\\) - uczeń myśli, że ciąg jest arytmetyczny i odejmuje \\(18\\) od \\(a_1 = 36\\), otrzymując np. \\(36 - 18 - 18 - 18 = -18\\). Błąd: ciąg **geometryczny** wymaga mnożenia, nie odejmowania. |\n| B | \\(a_4 = 0\\) - brak sensu matematycznego; wyraz ciągu geometrycznego (przy \\(q \\neq 0\\)) nigdy nie wynosi 0. |\n| D | \\(a_4 = 144\\) - uczeń mnożył zamiast dzielić, tzn. przyjął \\(q = 2\\) (odwrotność prawidłowego ilorazu). Błąd znaku: \\(q = \\frac{a_2}{a_1}\\), nie \\(\\frac{a_1}{a_2}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz liczymy zawsze jako \\(q = \\frac{a_2}{a_1}\\), a NIE \\(\\frac{a_1}{a_2}\\). Odwrócenie ułamka daje \\(q = 2\\) i prowadzi do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg geometryczny to mnożenie przez stałą liczbę - nie mylić z ciągiem arytmetycznym, gdzie dodajemy stałą różnicę. Tu \\(r = a_2 - a_1 = -18\\) to różnica arytmetyczna, ale nie używamy jej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik we wzorze \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\) to \\(n-1\\), nie \\(n\\). Dla \\(a_4\\) potęgujemy \\(q^3\\), nie \\(q^4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Iloraz ciągu geometrycznego\nIloraz: \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{18}{36} = \\dfrac{1}{2}\\).\n\nWzór: \\(a_n = a_1\\cdot q^{n-1}\\). Dla \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = 36\\cdot\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = 36\\cdot\\dfrac{1}{8} = \\dfrac{36}{8} = 4{,}5.\\]\n\n### Sposób 2 - Mnożenie kolejnych wyrazów\n\\(a_1 = 36\\), \\(a_2 = 18\\), \\(a_3 = a_2\\cdot q = 18\\cdot\\dfrac{1}{2} = 9\\), \\(a_4 = 9\\cdot\\dfrac{1}{2} = 4{,}5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-18\\)** - błędnie przyjęto \\(q = -1\\) lub pomyłka w znaku.\n- **B. \\(0\\)** - w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie jest zerem (gdy \\(a_1\\ne 0\\)).\n- **D. \\(144\\)** - błędnie wzięto \\(q = 2\\) (odwrotny iloraz).\n\n**Pamiętaj:** w ciągu geometrycznym \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\), a \\(a_n = a_1\\cdot q^{n-1}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i\n7\nsin\n13\n\n. Wtedy tg jest równy\nA. 7\n6\nB.\n7 13\n120\n\nC.\n7\n120\nD.\n7\n13 120\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = 7/13. Wtedy tg alfa jest równy A. 7/16, B. 7/13, C. 7 / pierwiastek z 120, D. 7 / 13 pierwiastków z 120","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nZnając wartość jednej funkcji\ntrygonometrycznej wyznacza wartości\npozostałych funkcji trygonometrycznych.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPoprawna odpowiedź to **C**: \\(\\dfrac{7}{\\sqrt{120}}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + definicja tangensa\n\n**Cel:** znamy \\(\\sin\\alpha\\), potrzebujemy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), więc wyznaczamy \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Krok 1.** Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{13}\\):\n\\[\\left(\\frac{7}{13}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\frac{49}{169} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{49}{169} = \\frac{169 - 49}{169} = \\frac{120}{169}\\]\n\n**Krok 3.** Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym**, \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc:\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{120}{169}} = \\frac{\\sqrt{120}}{13}\\]\n\n**Krok 4.** Wyznaczamy tangens:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{7}{13}}{\\dfrac{\\sqrt{120}}{13}} = \\frac{7}{13} \\cdot \\frac{13}{\\sqrt{120}} = \\boxed{\\dfrac{7}{\\sqrt{120}}}\\]\n\n## Sposób 2 - trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)\n\n**Myśl:** Jeśli \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{13}\\), to w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna wynosi \\(13\\), a przyprostokątna naprzeciwko \\(\\alpha\\) wynosi \\(7\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy brakującą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n\\[7^2 + b^2 = 13^2\\]\n\\[49 + b^2 = 169\\]\n\\[b^2 = 120 \\implies b = \\sqrt{120}\\]\n\n**Krok 2.** Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do przyległej:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna przy } \\alpha}{\\text{przyległa}} = \\frac{7}{\\sqrt{120}}\\]\n\nWynik identyczny - **C** potwierdzone.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)**\n\n- Jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\).\n\n- Definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta w Sposobie 1 jako końcowy krok.\n\n- Twierdzenie Pitagorasa (**Dział 10, s. 15**):\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(\\dfrac{7}{6}\\) | Uczeń odejmuje: \"brakujący bok = \\(13 - 7 = 6\\)\". To błąd - brakujący bok wyznacza się **Pitagorasem**: \\(\\sqrt{13^2 - 7^2} = \\sqrt{120}\\), nie odejmowaniem! |\n| **B** \\(\\dfrac{7 \\cdot 13}{120}\\) | Uczeń dzieli \\(\\sin\\alpha\\) przez \\(\\cos^2\\alpha\\) zamiast przez \\(\\cos\\alpha\\): \\(\\dfrac{7/13}{120/169} = \\dfrac{7}{13} \\cdot \\dfrac{169}{120} = \\dfrac{7 \\cdot 13}{120}\\). Pomylone \\(\\cos\\alpha\\) z \\(\\cos^2\\alpha\\). |\n| **D** \\(\\dfrac{7}{13\\sqrt{120}}\\) | Uczeń nie upraszcza \\(\\dfrac{13}{13}\\) po podzieleniu: \\(\\dfrac{7/13}{\\sqrt{120}/\\mathbf{1}}\\) - błąd przy wyznaczaniu \\(\\cos\\alpha\\), zgubiono jeden czynnik \\(13\\) w mianowniku. Wynik jest \\(\\frac{1}{13}\\) razy za mały. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wyznaczaj brakującego boku przez odejmowanie od przeciwprostokątnej! Zawsze używaj Pitagorasa: \\(b = \\sqrt{c^2 - a^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o założeniu \\(\\alpha\\) ostry → \\(\\cos\\alpha > 0\\). Gdyby kąt był rozwarty, \\(\\cos\\alpha < 0\\) i tangens byłby ujemny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{120}\\) można też zapisać jako \\(2\\sqrt{30}\\) - obie formy są poprawne. Sprawdź, która pasuje do podanych odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna i definicja tangensa\n\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{7}{13}\\right)^2 = 1 - \\dfrac{49}{169} = \\dfrac{120}{169}.\\]\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\cos\\alpha>0\\), więc\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{120}}{13}.\\]\nZatem\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{\\tfrac{7}{13}}{\\tfrac{\\sqrt{120}}{13}} = \\dfrac{7}{\\sqrt{120}}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nBok naprzeciw \\(\\alpha\\) ma długość \\(7\\), przeciwprostokątna \\(13\\). Bok przyległy z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[a = \\sqrt{13^2 - 7^2} = \\sqrt{169-49} = \\sqrt{120}.\\]\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przyległy}} = \\dfrac{7}{\\sqrt{120}}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{7}{6}\\)** - błędne \\(\\sqrt{120}\\) jako \\(6\\).\n- **B. \\(\\tfrac{7\\cdot 13}{120}\\)** - pomylenie mianownika (\\(\\sqrt{120}\\cdot 13\\) vs \\(120\\)).\n- **D. \\(\\tfrac{7}{13\\sqrt{120}}\\)** - dodatkowy czynnik \\(13\\) w mianowniku (to byłoby \\(\\sin\\alpha / \\sqrt{120}\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\); przy dzieleniu ułamków \\(\\dfrac{13}{13}\\) się kasuje.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nW trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy\n2 10\n9\n11\nA.\n9\ncos\n11\n\nB.\n9\nsin\n11\n\nC.\n11\nsin\n2 10\n\nD.\n2 10\ncos\n11\n\nW trojkącie prostokatnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy A. cos alfa = 9/11, B. sin alfa = 9/11, C. sin alfa = 11 / 2 pierwiastki z 10, D. cos alfa = 2 pierwiastki z 10 / 11","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystuje definicje funkcji\ntrygonometrycznych i wyznacza wartości\nfunkcji trygonometrycznych dla kątów\nostrych.\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{9}{11}\\]\n\n## Sposób 1 - Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym\n\n**Szkic sytuacji:**\n\nKąt \\(\\alpha\\) leży przy wierzchołku, z którego wychodzi:\n- **przyprostokątna \\(9\\)** - bok **przyległy** do kąta \\(\\alpha\\)\n- **przeciwprostokątna \\(11\\)** - bok łączący \\(\\alpha\\) z kątem prostym\n\nNatomiast **przyprostokątna \\(2\\sqrt{10}\\)** leży **naprzeciwko** kąta \\(\\alpha\\).\n\n**Weryfikacja danych** (czy to jest prawidłowy trójkąt prostokątny?):\n\\[9^2 + (2\\sqrt{10})^2 = 81 + 40 = 121 = 11^2 \\checkmark\\]\n\n**Przypisanie boków względem kąta \\(\\alpha\\):**\n\n| Bok | Długość | Rola względem \\(\\alpha\\) |\n| przyprostokątna | \\(9\\) | **przyległa** (adjacent) |\n| przyprostokątna | \\(2\\sqrt{10}\\) | **przeciwległa** (opposite) |\n| przeciwprostokątna | \\(11\\) | **przeciwprostokątna** (hypotenuse) |\n\n**Obliczamy funkcje trygonometryczne:**\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{9}{11}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{2\\sqrt{10}}{11}\\]\n\n**Odpowiedź A: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{9}{11}\\)** jest prawidłowa.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez jedynkę trygonometryczną\n\nSprawdzamy, czy wyniki z Metody 1 są spójne:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\left(\\frac{2\\sqrt{10}}{11}\\right)^2 + \\left(\\frac{9}{11}\\right)^2\\]\n\n\\[= \\frac{4 \\cdot 10}{121} + \\frac{81}{121} = \\frac{40 + 81}{121} = \\frac{121}{121} = 1 \\checkmark\\]\n\nJedynka trygonometryczna jest spełniona - wartości są poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}}\\]\n\nUżyliśmy definicji \\(\\cos\\alpha\\) w Sposobie 1 oraz jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | \\(\\sin\\alpha = \\frac{9}{11}\\) - zamieniono bok przyległy z przeciwległym. Bok \\(9\\) jest **przyległy** do \\(\\alpha\\), więc daje \\(\\cos\\), nie \\(\\sin\\). |\n| **C** | \\(\\sin\\alpha = \\frac{11}{2\\sqrt{10}}\\) - odwrócono ułamek (przeciwprostokątna w liczniku!). Wartość wynosi \\(\\frac{11}{2\\sqrt{10}} \\approx 1{,}74 > 1\\), co jest **niemożliwe** dla sinusa - sinus nigdy nie przekracza 1. |\n| **D** | \\(\\cos\\alpha = \\frac{2\\sqrt{10}}{11}\\) - poprawna wartość, ale zła nazwa. To jest \\(\\sin\\alpha\\), bo \\(2\\sqrt{10}\\) to bok **przeciwległy**, nie przyległy. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest ustalenie, który bok jest przyległy, a który przeciwległy - **zawsze w stosunku do konkretnego kąta**. Ten sam bok może być przyległy do jednego kąta i przeciwległy do drugiego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wynik sinusa lub cosinusa wychodzi większy od 1 (jak w odpowiedzi C), to **natychmiast** wiesz, że ułamek jest odwrócony. Sinus i cosinus zawsze zawierają się w przedziale \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) - zapamiętaj skrót **SOH-CAH**: **S**inus = **O**pposite / **H**ypotenuse, **C**osinus = **A**djacent / **H**ypotenuse.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym\nKąt \\(\\alpha\\) znajduje się przy wierzchołku, z którego wychodzi bok \\(9\\) (przyprostokątna) i przeciwprostokątna \\(11\\). Bok \\(9\\) jest przyległy do \\(\\alpha\\), a bok \\(2\\sqrt{10}\\) leży naprzeciw \\(\\alpha\\).\n\nZ definicji cosinusa:\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\dfrac{9}{11}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja pozostałych funkcji\n\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{11}\\) (naprzeciw/przeciwprostokątna), \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{9}\\).\nSprawdzamy Pitagorasa: \\(9^2 + (2\\sqrt{10})^2 = 81 + 40 = 121 = 11^2\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(\\sin\\alpha \\ne \\dfrac{9}{11}\\) - \\(9\\) to bok przyległy, a sinus to naprzeciw.\n- **C.** \\(\\sin\\alpha\\) ma być \\(\\le 1\\); \\(\\tfrac{11}{2\\sqrt{10}} = \\tfrac{11}{6{,}32}>1\\).\n- **D.** Cosinus to przyległa/przeciwprostokątna, a nie naprzeciw/przeciwprostokątna.\n\n**Pamiętaj:** w trójkącie prostokątnym \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\), \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPrzekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6.\nDługość boku BC jest równa\nA. 8\nB. 4 10\nC. 2 58\nD. 10\nPrzekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6. Długość boku BC jest równa A. 8, B. 4 pierwiastki z 10, C. 2 pierwiastki z 58, D. 10","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZnajduje i wykorzystuje związki miarowe\nw figurach płaskich.\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(4\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w prostokącie\n\nW prostokącie \\(ABCD\\) każdy kąt wynosi \\(90°\\), więc w trójkącie \\(ABC\\) kąt przy \\(B\\) jest prosty.\n\nMamy:\n- \\(AB = 6\\) (jeden bok prostokąta)\n- \\(AC = 14\\) (przekątna = przeciwprostokątna w trójkącie \\(ABC\\))\n- \\(BC = ?\\) (szukany bok)\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[AC^2 = AB^2 + BC^2\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[14^2 = 6^2 + BC^2\\]\n\\[196 = 36 + BC^2\\]\n\\[BC^2 = 196 - 36 = 160\\]\n\\[BC = \\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(BC = 4\\sqrt{10}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie wartości przybliżonej\n\nSprawdzamy, czy \\(4\\sqrt{10}\\) rzeczywiście spełnia warunek:\n\\[\\sqrt{10} \\approx 3{,}162\\]\n\\[4\\sqrt{10} \\approx 4 \\cdot 3{,}162 = 12{,}649\\]\n\nSprawdzamy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[AB^2 + BC^2 = 6^2 + (4\\sqrt{10})^2 = 36 + 160 = 196 = 14^2 = AC^2 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\ngdzie \\(c\\) to przeciwprostokątna (tu: przekątna \\(AC\\)), a \\(a, b\\) to przyprostokątne (tu: boki \\(AB\\) i \\(BC\\)).\n\nKluczowy fakt: w prostokącie każda przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są dwa boki prostokąta.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(8\\) | Odjęcie zamiast Pitagorasa: \\(14 - 6 = 8\\). Błędne użycie działania arytmetycznego zamiast wzoru. |\n| C: \\(2\\sqrt{58}\\) | Dodanie: \\(\\sqrt{14^2 + 6^2} = \\sqrt{196 + 36} = \\sqrt{232} = 2\\sqrt{58}\\). Uczeń dodał kwadraty zamiast odjąć - jakby szukał nowej przekątnej, nie boku. |\n| D: \\(10\\) | Zastosowanie trójki pitagorejskiej \\((6, 8, 10)\\) - ale tutaj \\(14\\) to przekątna, a nie \\(10\\). Błąd: wzięcie standardowej trójki pitagorejskiej bez sprawdzenia, czy pasuje do danych. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna to **przeciwprostokątna** - w Pitagorasie jej kwadrat stoi **sam** po jednej stronie równania. Najczęstszy błąd to \\(\\sqrt{14^2 + 6^2}\\) zamiast \\(\\sqrt{14^2 - 6^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczaj pierwiastek do końca: \\(\\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\). Zostawienie wyniku jako \\(\\sqrt{160}\\) na maturze może skutkować utratą punktu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie daj się zwieść trójce pitagorejskiej \\((6, 8, 10)\\) - ona działa tylko gdy \\(6\\) i \\(8\\) to **nogi**, a \\(10\\) to **przeciwprostokątna**. Tu przeciwprostokątna wynosi \\(14\\), więc ta trójka nie pasuje.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nPrzekątna \\(AC\\) dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. W trójkącie \\(ABC\\):\n\\[|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2.\\]\n\\[6^2 + |BC|^2 = 14^2.\\]\n\\[|BC|^2 = 196 - 36 = 160.\\]\n\\[|BC| = \\sqrt{160} = \\sqrt{16\\cdot 10} = 4\\sqrt{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna\n\\(4\\sqrt{10} \\approx 4\\cdot 3{,}162 \\approx 12{,}65\\).\nSprawdzenie: \\(6^2 + 12{,}65^2 \\approx 36 + 160 = 196 = 14^2\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - wtedy \\(6^2+8^2 = 100\\ne 196\\) (przekątna \\(10\\), nie \\(14\\)).\n- **C. \\(2\\sqrt{58}\\)** - wtedy \\(|BC|^2 = 232\\), błąd.\n- **D. \\(10\\)** - wtedy \\(36+100 = 136\\ne 196\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\sqrt{160} = \\sqrt{16}\\cdot\\sqrt{10} = 4\\sqrt{10}\\) - upraszczaj pierwiastki.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nPunkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta\nwpisanego ACB jest równa\n230\nA\nC\nB\nS\nA. 65\nB. 100\nC. 115\nD. 130\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nMatura próbna z matematyki 2010. Zadanie 19. Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa A. 65 stopni, B. 100 stopni, C. 115 stopni, D. 130 stopni","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystuje związki między kątem\nwpisanym i środkowym do obliczenia\nmiary kąta.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(115^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym (przez kąt środkowy)\n\n**Kluczowa obserwacja:** kąt środkowy \\(230^\\circ\\) to kąt zaznaczony na rysunku po stronie przeciwnej do punktu \\(C\\). Oznacza to, że kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \\(ACB\\) wynosi:\n\n\\[360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ\\]\n\nTo jest kąt środkowy \\(ASB\\) po tej samej stronie co \\(C\\) (oparty na łuku \\(AB\\) nie zawierającym \\(C\\)).\n\n**Twierdzenie o kącie wpisanym:** kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot 130^\\circ = \\boxed{115^\\circ}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąt środkowy wklęsły\n\nZamiast odejmować od \\(360^\\circ\\), można wprost zastosować uogólnione twierdzenie o kącie wpisanym dla kąta środkowego **większego niż** \\(180^\\circ\\).\n\nGdy kąt środkowy to kąt wklęsły (reflex angle) \\(\\alpha = 230^\\circ\\), to kąt wpisany oparty na tym samym łuku (po tej samej stronie co \\(C\\)) wynosi:\n\n\\[\\angle ACB = \\frac{360^\\circ - \\alpha}{2} = \\frac{360^\\circ - 230^\\circ}{2} = \\frac{130^\\circ}{2} = 115^\\circ\\]\n\nOba sposoby dają identyczny wynik: \\(\\angle ACB = 115^\\circ\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> **Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.**\n\nZapisując wzorem:\n\\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\\]\n\nTo twierdzenie jest wprost podane na stronie 19 karty wzorów CKE. Użyliśmy go w obu sposobach - kluczem było najpierw ustalenie, który kąt środkowy odpowiada kątowi wpisanemu \\(ACB\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(65^\\circ\\)) | Wzięto połowę z \\(130^\\circ\\), ale pomylono, że \\(130^\\circ\\) to już kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu - i znowu podzielono przez 2: \\(\\frac{130^\\circ}{2} = 65^\\circ\\). To błąd podwójnego dzielenia. |\n| B (\\(100^\\circ\\)) | Prawdopodobnie odjęto od \\(230^\\circ\\) coś niepoprawnego, np. \\(230^\\circ - 130^\\circ = 100^\\circ\\) bez jasnego uzasadnienia. |\n| D (\\(130^\\circ\\)) | Poprawnie obliczono kąt środkowy \\(360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ\\), ale zapomniano podzielić przez 2 - wzięto kąt środkowy zamiast wpisanego. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(230^\\circ\\) na rysunku to kąt po **przeciwnej** stronie niż punkt \\(C\\). Trzeba go odjąć od \\(360^\\circ\\), żeby dostać kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu \\(ACB\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpopularniejszy błąd to odpowiedź D - uczeń liczy \\(360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ\\) i na tym kończy, zapominając podzielić przez 2. Kąt środkowy ≠ kąt wpisany!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany zawsze jest ostry lub rozwarty - nigdy nie może być równy kątowi środkowemu (chyba że oba wynoszą \\(0^\\circ\\)). Jeśli wychodzi tyle samo co kąt środkowy, na pewno popełniłeś błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\nKąt wpisany \\(ACB\\) i kąt środkowy \\(ASB\\) są oparte na **tym samym łuku** \\(AB\\) (po stronie przeciwnej do \\(C\\)).\n\nZaznaczony kąt \\(230^\\circ\\) to większy kąt środkowy (odpowiada łukowi \\(AB\\) przechodzącemu przez \\(C\\)).\n\nŁuk, na którym opiera się kąt wpisany \\(ACB\\), to łuk \\(AB\\) **po przeciwnej stronie niż \\(C\\)**; odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę\n\\[360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ.\\]\n\nZ twierdzenia: \\(\\angle ACB = \\dfrac{1}{2}\\cdot 130^\\circ = 65^\\circ\\)? - sprawdźmy: ale tu \\(230^\\circ\\) to **łuk** przechodzący od \\(A\\) do \\(B\\) po stronie \\(C\\)? Zgodnie z rysunkiem i odpowiedzią:\n\nPoprawna interpretacja: kąt wpisany \\(ACB\\) opiera się na łuku \\(AB\\), który nie zawiera punktu \\(C\\). Ten łuk ma miarę równą kątowi środkowemu \\(230^\\circ\\).\n\\[\\angle ACB = \\dfrac{1}{2}\\cdot 230^\\circ = 115^\\circ.\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza rysunku\nKąt środkowy \\(230^\\circ > 180^\\circ\\) jest po stronie przeciwnej niż \\(C\\). Kąt wpisany \\(\\angle ACB\\) i ten kąt środkowy są oparte na tym samym łuku \\(AB\\), więc\n\\[\\angle ACB = \\dfrac{1}{2}\\cdot 230^\\circ = 115^\\circ.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(65^\\circ\\)** - pomyłka: \\(\\tfrac{1}{2}(360^\\circ - 230^\\circ) = 65^\\circ\\), to byłaby miara kąta wpisanego opartego na przeciwnym łuku.\n- **B. \\(100^\\circ\\)** - przypadkowa wartość.\n- **D. \\(130^\\circ\\)** - to jest \\(360^\\circ - 230^\\circ\\) (kąt środkowy po przeciwnej stronie), nie połowa.\n\n**Pamiętaj:** \\(\\angle\\text{wpisany} = \\tfrac{1}{2}\\angle\\text{środkowy}\\) oparty na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nDługość boku trójkąta równobocznego jest równa 24 3 . Promień okręgu wpisanego w ten\ntrójkąt jest równy\nA. 36\nB. 18\nC. 12\nD. 6\nDługość boku trójkąta równobocznego jest równa 24 pierwiastki z 3. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy A. 36, B. 18, C. 12, D. 6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nZnajduje i wykorzystuje związki miarowe\nw figurach płaskich; wyznacza promień\nokręgu wpisanego w trójkąt równoboczny\nmając daną długość boku trójkąta.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(r = 12\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny\n\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) karta wzorów podaje:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}\\]\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy wysokość trójkąta. Mamy \\(a = 24\\sqrt{3}\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{24\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{24 \\cdot 3}{2} = \\frac{72}{2} = 36\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczamy promień okręgu wpisanego:\n\\[r = \\frac{h}{3} = \\frac{36}{3} = \\boxed{12}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wzór \\(P = p \\cdot r\\) (pole i półobwód)\n\nZamiast korzystać wprost ze wzoru na \\(r\\), możemy skorzystać z ogólnego wzoru na pole trójkąta.\n\n**Krok 1.** Pole trójkąta równobocznego o boku \\(a = 24\\sqrt{3}\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(24\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{576 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{1728\\sqrt{3}}{4} = 432\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2.** Półobwód trójkąta:\n\\[p = \\frac{3a}{2} = \\frac{3 \\cdot 24\\sqrt{3}}{2} = \\frac{72\\sqrt{3}}{2} = 36\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3.** Ze wzoru \\(P = p \\cdot r\\) wyznaczamy \\(r\\):\n\\[r = \\frac{P}{p} = \\frac{432\\sqrt{3}}{36\\sqrt{3}} = \\frac{432}{36} = \\boxed{12}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - wzory dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}\\]\nUżyte w Sposobie 1 bezpośrednio.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - ogólny wzór na pole trójkąta przez promień okręgu wpisanego:\n\\[P = p \\cdot r\\]\ngdzie \\(p = \\frac{a+b+c}{2}\\) to półobwód. Użyte w Sposobie 2.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta równobocznego:\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia pola.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(36\\) | Uczeń oblicza \\(h = 36\\), ale **myli wysokość z promieniem wpisanym** - zatrzymuje się krok za wcześnie. Promień wpisany to \\(\\frac{h}{3}\\), nie \\(h\\). |\n| B. \\(18\\) | Uczeń dzieli wysokość przez 2 zamiast przez 3, mylnie utożsamiając promień wpisany z połową wysokości. Połowa wysokości to \\(\\frac{h}{2}\\), ale to nie jest promień wpisany! |\n| D. \\(6\\) | Uczeń bierze \\(\\frac{h}{6}\\) zamiast \\(\\frac{h}{3}\\), prawdopodobnie pomylił związek \\(r = \\frac{h}{3}\\) ze wzorem na promień opisanego \\(R = \\frac{2h}{3}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(r = \\frac{h}{3}\\), a promień okręgu **opisanego** \\(R = \\frac{2h}{3}\\). Łatwo pomylić - zapamiętaj, że promień wpisany to **jedna trzecia** wysokości, opisany to **dwie trzecie**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((24\\sqrt{3})^2 = 576 \\cdot 3 = 1728\\), a NIE \\(576\\sqrt{3}\\). Przy podnoszeniu do kwadratu pamiętaj, że \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z \\(\\sqrt{3}\\) przy obliczeniach upraszczaj \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\) jak najszybciej - dzięki temu unikniesz błędów z działaniami na pierwiastkach.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[r = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}.\\]\nPodstawiamy \\(a = 24\\sqrt{3}\\):\n\\[r = \\dfrac{24\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3}}{6} = \\dfrac{24\\cdot 3}{6} = \\dfrac{72}{6} = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Wysokość trójkąta\nWysokość: \\(h = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{24\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{72}{2} = 36\\).\nŚrodek ciężkości dzieli wysokość \\(1:2\\), a promień okręgu wpisanego to \\(\\tfrac{1}{3}h\\):\n\\[r = \\dfrac{1}{3}\\cdot 36 = 12.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(36\\)** - to wysokość, nie promień okręgu wpisanego.\n- **B. \\(18\\)** - \\(\\tfrac{h}{2}\\), czyli połowa wysokości.\n- **D. \\(6\\)** - \\(\\tfrac{h}{6}\\), błędny podział.\n\n**Pamiętaj:** \\(r = \\tfrac{h}{3}\\) w trójkącie równobocznym; \\(R = \\tfrac{2h}{3}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nWskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej\ndo prostej o równaniu\n1\n2\n3\ny\nx\n\n\nA.\n3\ny\nx\n\nB.\n3\ny\nx\n\nC.\n3\n2\ny\nx\n\n\nD.\n1\n2\n3\ny\nx\n\n\nWskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu y = -1/3x + 2. A. y = 3x, B. y = -3x, C. y = 3x+2, D. y = 1/3x+2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWskazuje równania prostej prostopadłej\ndo danej.\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(y = 3x\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych\n\n**Od czego zaczynamy:** Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\).\n\nDana prosta ma równanie \\(y = -\\frac{1}{3}x + 2\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:\n\\[a_1 = -\\frac{1}{3}\\]\n\nSzukamy współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej \\(a_2\\). Z warunku prostopadłości:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\\[-\\frac{1}{3} \\cdot a_2 = -1\\]\n\\[a_2 = -1 \\cdot \\left(-3\\right) = 3\\]\n\nSzukana prosta przechodzi przez **początek układu współrzędnych**, czyli przez punkt \\((0, 0)\\). Oznacza to, że wyraz wolny \\(b = 0\\).\n\nRównanie szukanej prostej:\n\\[\\boxed{y = 3x}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie prostopadłości wektorami kierunkowymi\n\nProsta \\(y = -\\frac{1}{3}x + 2\\) ma wektor kierunkowy \\(\\vec{v_1} = [3, -1]\\)\n\n(bo na każde \\(3\\) jednostki w prawo, prosta opada o \\(1\\) jednostkę, z współczynnika \\(-\\frac{1}{3}\\)).\n\nProsta prostopadła musi mieć wektor kierunkowy **obrócony o 90°**. Obrót wektora \\([a, b]\\) o 90° daje \\([b, -a]\\) lub \\([-b, a]\\):\n\\[\\vec{v_2} = [1, 3]\\]\n\nSprawdzamy prostopadłość - iloczyn skalarny musi być równy \\(0\\):\n\\[\\vec{v_1} \\cdot \\vec{v_2} = 3 \\cdot 1 + (-1) \\cdot 3 = 3 - 3 = 0 \\checkmark\\]\n\nWektor kierunkowy \\([1, 3]\\) odpowiada współczynnikowi kierunkowemu \\(a_2 = \\frac{3}{1} = 3\\).\n\nProsta przez początek układu z tym współczynnikiem:\n\\[y = 3x \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\ngdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych (w równaniu \\(y = ax + b\\)).\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | \\(y = -3x\\) - uczeń odwraca ułamek \\(\\frac{1}{3} \\to 3\\), ale **nie zmienia znaku**. Poprawna prostopadłość wymaga: odwróć ułamek I zmień znak. |\n| C | \\(y = 3x + 2\\) - dobry współczynnik kierunkowy (\\(3\\)), ale uczeń \"zostawił\" wyraz wolny \\(+2\\) z oryginalnej prostej. Prosta ma przechodzić przez punkt \\((0,0)\\), więc \\(b = 0\\). |\n| D | \\(y = \\frac{1}{3}x + 2\\) - uczeń tylko usunął minus ze współczynnika kierunkowego, nie odwrócił ułamka. To prosta równoległa do prostej pod kątem do osi, a nie prostopadła. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość to **dwie operacje jednocześnie** - odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Zapamiętaj: jeśli \\(a_1 = -\\frac{1}{3}\\), to \\(a_2 = +3\\) (nie \\(-3\\) i nie \\(\\frac{1}{3}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Przechodzi przez początek układu współrzędnych\" oznacza punkt \\((0, 0)\\) - czyli wyraz wolny \\(b = 0\\). Nie przepisuj wyrazu wolnego z danej prostej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) działa tylko gdy żadna z prostych nie jest pionowa. Dla prostych pionowych i poziomych warunek prostopadłości sprawdzamy inaczej - ale na maturze PP takie przypadki są rzadkie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości\nDwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\):\n\\[m_1\\cdot m_2 = -1.\\]\nDana prosta ma \\(m_1 = -\\dfrac{1}{3}\\), więc\n\\[m_2 = \\dfrac{-1}{-1/3} = 3.\\]\n\nProsta przechodzi przez \\((0, 0)\\), więc wyraz wolny wynosi \\(0\\). Równanie:\n\\[y = 3x.\\]\n\n### Sposób 2 - Eliminacja odpowiedzi\nPrzez początek układu przechodzą tylko A i B (\\(y = 3x\\) i \\(y = -3x\\)).\n- \\(y = -3x\\) ma \\(m = -3\\); iloczyn z \\(-\\tfrac{1}{3}\\) to \\(1\\), więc nie prostopadła (to prosta równoległa? nie, ale nie prostopadła).\n- \\(y = 3x\\) ma \\(m = 3\\); iloczyn z \\(-\\tfrac{1}{3}\\) to \\(-1\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(y = -3x\\)** - iloczyn współczynników \\(=1\\), to nie prostopadłość.\n- **C. \\(y = 3x+2\\)** - nie przechodzi przez \\((0,0)\\).\n- **D. \\(y = \\tfrac{1}{3}x+2\\)** - równoległa, nie prostopadła, i nie przechodzi przez \\((0,0)\\).\n\n**Pamiętaj:** współczynniki kierunkowe prostopadłe: \\(m_2 = -\\tfrac{1}{m_1}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPunkty\n\n\n2,4\nB \ni\n\n\n5,1\nC \nsą dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole\ntego kwadratu jest równe\nA. 74\nB. 58\nC. 40\nD. 29\nPunkty B=(-2,4) i C=(5,1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe A. 74, B. 58, C. 40, D. 29","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nOblicza odległość punktów w układzie\nwspółrzędnych; oblicza pole kwadratu.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (58)\n\n## Sposób 1 - Pole kwadratu = kwadrat długości boku\n\n**Skoro \\(B\\) i \\(C\\) to sąsiednie wierzchołki kwadratu, odcinek \\(BC\\) jest bokiem kwadratu.**\n\nObliczamy długość boku ze wzoru na odległość między punktami:\n\n\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\\]\n\nPodstawiamy \\(B = (-2, 4)\\), \\(C = (5, 1)\\):\n\n\\[|BC| = \\sqrt{(5 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \\sqrt{7^2 + (-3)^2} = \\sqrt{49 + 9} = \\sqrt{58}\\]\n\nPole kwadratu o boku \\(a\\) wynosi \\(P = a^2\\), zatem:\n\n\\[P = |BC|^2 = \\left(\\sqrt{58}\\right)^2 = \\mathbf{58}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez przekątną\n\nDla kwadratu o boku \\(a\\) przekątna \\(d = a\\sqrt{2}\\), a pole można liczyć też jako \\(P = \\frac{d^2}{2}\\).\n\nZ Sposobu 1 mamy \\(a = \\sqrt{58}\\), więc:\n\n\\[d = \\sqrt{58} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{116}\\]\n\n\\[P = \\frac{d^2}{2} = \\frac{116}{2} = \\mathbf{58}\\] ✓\n\nWynik zgodny - odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na odległość między punktami:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia długości boku \\(|BC|\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(74\\)) | Pomylono współrzędne - użyto \\(\\Delta y = 5\\) zamiast \\(\\Delta y = -3\\), licząc \\(7^2 + 5^2 = 74\\) (np. wzięto \\(|y_C| = 1\\) i \\(|y_B| = 4\\) i odjęto od siebie liczby bez znaku w złej kolejności, albo pomylono punkt \\(C\\)) |\n| C (\\(40\\)) | Obliczono \\(\\sqrt{7^2 - 3^2} = \\sqrt{40}\\) - odejmując zamiast dodawać kwadraty różnic współrzędnych (błędne „twierdzenie Pitagorasa na odwrót\") |\n| D (\\(29\\)) | Poprawnie policzono \\(|BC|^2 = 58\\), ale podzielono przez 2 - myląc pole kwadratu \\(a^2\\) z polem trójkąta \\(\\frac{1}{2}a^2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole kwadratu o boku \\(a\\) to \\(a^2\\) - nie ma tu żadnego czynnika \\(\\frac{1}{2}\\)! Czynnik \\(\\frac{1}{2}\\) pojawia się przy trójkącie, nie kwadracie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pod pierwiastkiem **dodajemy** kwadraty różnic - wzór to \\(\\sqrt{\\Delta x^2 + \\Delta y^2}\\), nigdy minus!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba wyznaczać pozostałych wierzchołków \\(A\\) i \\(D\\) - pole kwadratu zależy tylko od długości boku, a bok jest dany wprost przez \\(B\\) i \\(C\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kwadrat długości boku jako pole\nDługość boku kwadratu = odległość między sąsiednimi wierzchołkami. Pole = \\(|BC|^2\\).\n\\[|BC|^2 = (5-(-2))^2 + (1-4)^2 = 7^2 + (-3)^2 = 49 + 9 = 58.\\]\nZatem pole \\(= 58\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na odległość punktów\n\\[|BC| = \\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2} = \\sqrt{49+9} = \\sqrt{58}.\\]\nPole kwadratu: \\(P = |BC|^2 = (\\sqrt{58})^2 = 58\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(74\\)** - błąd w obliczeniu (\\(49 + 25\\)?).\n- **C. \\(40\\)** - błąd w odległości.\n- **D. \\(29\\)** - połowa poprawnego wyniku (ktoś dzielił przez 2).\n\n**Pamiętaj:** pole kwadratu \\(=\\) kwadrat długości boku, więc nie trzeba wyciągać pierwiastka.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nDany jest okrąg o równaniu \n\n\n\n2\n2\n4\n6\n100\nx\ny\n\n\n\n\n. Środek tego okręgu ma współrzędne\nA. \n\n4,\n6\n\n\nB. \n\n4, 6\nC. \n\n4,\n6\n\nD. \n\n4, 6\n\nDany jest okrąg o równaniu (x+4)^2+(y-6)^2 = 100. Środek tego okręgu ma współrzędne A. (-4,-6), B. (4,6), C. (4,-6), D. (-4,6)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nPosługuje się postacią równania okręgu;\nz zapisu równania okręgu odczytuje\nwspółrzędne jego środka.\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((-4, 6)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt ze wzoru kanonicznego okręgu\n\nWzór kanoniczny okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\) to:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nDane równanie to:\n\\[(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 100\\]\n\n**Kluczowy krok:** przepisujemy, żeby dopasować do wzoru:\n\\[(x - (-4))^2 + (y - 6)^2 = 10^2\\]\n\nPorównując z \\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\), odczytujemy wprost:\n\\[a = -4, \\quad b = 6, \\quad r = 10\\]\n\n**Środek okręgu: \\(S = (-4, 6)\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie środka do równania\n\nŚrodek okręgu leży w odległości \\(r = 0\\) od samego siebie - ale sprawdźmy inaczej: punkt \\((-4, 6)\\) powinien spełniać równanie z zerową \"resztą\" (odległość środka od środka = 0):\n\nPodstawiamy \\(x = -4\\), \\(y = 6\\):\n\\[(-4 + 4)^2 + (6 - 6)^2 = 0^2 + 0^2 = 0 \\neq 100\\]\n\nTo naturalne - środek **nie leży na okręgu**, lecz wewnątrz niego. Sprawdzamy, czy punkt \\((-4, 6)\\) jest w środku, licząc jego odległość od dowolnego punktu na okręgu, np. od \\((6, 6)\\) (bo \\((6+4)^2 + (6-6)^2 = 100\\)):\n\n\\[d = \\sqrt{(6-(-4))^2 + (6-6)^2} = \\sqrt{10^2 + 0} = 10 = r \\checkmark\\]\n\nOdległość od \\((-4, 6)\\) do punktu na okręgu wynosi dokładnie \\(r = 10\\), co potwierdza, że \\((-4, 6)\\) to środek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) to środek, a \\(r\\) to promień.\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do bezpośredniego odczytu współrzędnych środka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Zamiana obu znaków: uczeń bierze liczby z nawiasów bez zmiany znaku, dostaje \\((-4, -6)\\) - ignoruje, że \\((y-6)\\) daje \\(b = +6\\), nie \\(-6\\) |\n| B | Zmiana obu znaków na przeciwne: uczeń \"odwraca\" oba wyrazy i dostaje \\((4, 6)\\) |\n| C | Prawidłowo odwraca znak przy \\(x\\), ale błędnie przy \\(y\\): dostaje \\((4, -6)\\) - podwójny błąd znaków |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\((x - a)^2\\), więc gdy w równaniu jest \\((x + 4)^2\\), to \\(a = -4\\), **nie** \\(+4\\). Znak się odwraca! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla \\((y - 6)^2\\) - tutaj już nie trzeba odwracać znaku, \\(b = 6\\) wprost. Uczniowie czasem z przyzwyczajenia odwracają też ten znak i wychodzi im \\(-6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba po prawej stronie (\\(100\\)) to \\(r^2\\), a nie \\(r\\). Promień okręgu to \\(r = 10\\), ale to nie wpływa na środek - ważne, żeby nie pomylić środka z promieniem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna okręgu\nRównanie \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) opisuje okrąg o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\).\n\nNasze równanie: \\((x+4)^2 + (y-6)^2 = 100 = 10^2\\).\nZapiszmy w kanonicznej postaci: \\((x-(-4))^2 + (y-6)^2 = 100\\).\n\nŚrodek: \\((a, b) = (-4, 6)\\), promień \\(r = 10\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nPodstawmy \\((x, y) = (-4, 6)\\) - powinno dać \\(0\\): \\((0)^2 + (0)^2 = 0\\) - to środek (odległość od siebie samego to \\(0\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-4, -6)\\)** - pomylono znak przy \\(y\\) (wyraz \\((y-6)\\) daje \\(+6\\), nie \\(-6\\)).\n- **B. \\((4, 6)\\)** - pomylono znak przy \\(x\\).\n- **C. \\((4, -6)\\)** - błędne oba znaki.\n\n**Pamiętaj:** w postaci \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) znaki \\(a, b\\) są **odwrotne** do znaków wewnątrz nawiasów.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nObjętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe\nA. 512\nB. 384\nC. 96\nD. 16\nObjętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A. 512, B. 384, C. 96, D. 16","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznacza związki miarowe\nw wielościanach; wykorzystuje związek\nmiedzy polem powierzchni całkowitej\nsześcianu a jego objętością.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(96\\)\n\n## Sposób 1 - przez krawędź sześcianu\n\nSześcian ma wszystkie krawędzie równe. Oznaczmy krawędź sześcianu przez \\(a\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz krawędź z objętości.**\n\n\\[V = a^3 = 64\\]\n\n\\[a = \\sqrt[3]{64} = 4\\]\n\n**Krok 2: Oblicz pole powierzchni całkowitej.**\n\nSześcian ma 6 jednakowych ścian, każda jest kwadratem o boku \\(a\\):\n\n\\[P_c = 6 \\cdot a^2 = 6 \\cdot 4^2 = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wzór na prostopadłościan\n\nSześcian to szczególny prostopadłościan, gdzie \\(a = b = c\\). Korzystamy ze wzoru ogólnego:\n\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 2(a \\cdot a + a \\cdot a + a \\cdot a) = 2 \\cdot 3a^2 = 6a^2\\]\n\nCo daje ten sam wzór co w Sposobie 1. Przy \\(a = 4\\):\n\n\\[P_c = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nDla sześcianu (\\(a = b = c\\)) upraszcza się do \\(P_c = 6a^2\\). Użyliśmy tego w obu sposobach.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - pierwiastek sześcienny:\n\\[a = \\sqrt[3]{V}\\]\nUżyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia krawędzi z objętości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(512\\) | Policzono \\(8^3 = 512\\), czyli sześcian z krawędzią \\(8\\) - pomylono \\(a^2\\) z \\(a^3\\) przy wyznaczaniu krawędzi (wzięto \\(\\sqrt{64}\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{64}\\)) |\n| B - \\(384\\) | Wzięto \\(a = 4\\), ale policzono \\(6 \\cdot 4^3 = 384\\) zamiast \\(6 \\cdot 4^2\\) - pomylono potęgę przy obliczaniu pola ściany |\n| D - \\(16\\) | Policzono samo \\(a^2 = 16\\) - wyznaczono pole jednej ściany zamiast wszystkich 6 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{64} = 4\\), bo \\(4^3 = 64\\) - nie mylić z \\(\\sqrt{64} = 8\\)! To pierwiastek **sześcienny**, nie kwadratowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej to **6 ścian**, nie 1 ani 4. Łatwo zapomnieć pomnożyć przez 6 i wybrać odpowiedź D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu pola ściany używamy \\(a^2\\), a przy objętości \\(a^3\\) - nie wstawiaj objętości bezpośrednio do wzoru na pole!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie krawędzi i pola\n\\(V = a^3 = 64 \\implies a = \\sqrt[3]{64} = 4\\).\nPole powierzchni całkowitej sześcianu: \\(P_c = 6a^2\\).\n\\[P_c = 6\\cdot 4^2 = 6\\cdot 16 = 96.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór łączący objętość i pole\nSześcian ma \\(6\\) kwadratowych ścian. Mając \\(a^3 = 64\\), \\(a = 4\\), więc pole jednej ściany \\(= a^2 = 16\\), a całkowite \\(= 6\\cdot 16 = 96\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(512\\)** - to \\(a^3\\cdot\\) coś lub \\(8\\cdot 64\\).\n- **B. \\(384\\)** - to \\(6\\cdot 64\\), czyli \\(6V\\) - pomyłka.\n- **D. \\(16\\)** - to pole jednej ściany, nie całkowite.\n\n**Pamiętaj:** sześcian: \\(V=a^3\\), \\(P_c=6a^2\\). Mając jedno, wylicz krawędź i podstaw.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża\nsię wzorem\nA.\n3\n3\n6\na\n\nB.\n3\n3\n8\na\n\nC.\n3\n3\n12\na\n\nD.\n3\n3\n24\na\n\nPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża się wzorem A. (pierwiastek z 3 / 6) * pi * a^3, B. (pierwiastek z 3 / 8) * pi * a^3, C. (pierwiastek z 3 / 12) * pi * a^3, D. (pierwiastek z 3 / 24) * pi * a^3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznacza związki miarowe w bryłach\nobrotowych; na podstawie danych\nprzekroju osiowego stożka oblicza jego\nobjętość.\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{24}\\pi a^{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów stożka z trójkąta równobocznego\n\n**Co to jest przekrój osiowy stożka?**\nTo trójkąt powstały przez przecięcie stożka płaszczyzną przechodzącą przez jego oś. Ma on podstawę równą **średnicy** podstawy stożka i dwa boki równe **tworzącej** (linii bocznej) stożka.\n\n**Krok 1: Odczytaj wymiary stożka z trójkąta.**\n\nPrzekrój osiowy to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\), więc:\n- Podstawa trójkąta = średnica podstawy stożka: \\(2r = a\\), zatem\n\\[r = \\frac{a}{2}\\]\n- Boki boczne trójkąta = tworząca stożka: \\(l = a\\)\n\n**Krok 2: Wyznacz wysokość stożka.**\n\nTrójkąt równoboczny o boku \\(a\\) ma wysokość:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n(wzór z karty CKE: trójkąt równoboczny)\n\nTa wysokość trójkąta = **wysokość stożka**, bo w przekroju osiowym oś stożka to właśnie wysokość trójkąta.\n\n**Krok 3: Oblicz objętość stożka.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\frac{a^2}{4} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}\\,a^3}{8} \\cdot \\pi\\]\n\n\\[\\boxed{V = \\frac{\\sqrt{3}}{24}\\,\\pi a^3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez twierdzenie Pitagorasa\n\nSprawdzamy, czy \\(r = \\frac{a}{2}\\), \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) i \\(l = a\\) pasują do siebie geometrycznie (trójkąt prostokątny: oś, promień, tworząca):\n\n\\[r^2 + h^2 = l^2\\]\n\\[\\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 = \\frac{a^2}{4} + \\frac{3a^2}{4} = \\frac{4a^2}{4} = a^2 = l^2 \\checkmark\\]\n\nWymiary są spójne. Obliczamy objętość ponownie, tym razem grupując inaczej:\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{a^2}{4} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{\\pi a^3 \\sqrt{3}}{24} = \\frac{\\sqrt{3}}{24}\\pi a^3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16) - Trójkąt równoboczny:**\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru do wyznaczenia wysokości stożka z przekroju osiowego.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 28) - Objętość stożka:**\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nWzór podstawowy użyty w obu sposobach.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do weryfikacji spójności wymiarów stożka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Podstawienie \\(r = a\\) zamiast \\(r = \\frac{a}{2}\\) - pomylono **promień** z **średnicą** (czyli bokiem trójkąta) |\n| **B** | Przyjęto \\(h = a\\) zamiast \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) - potraktowano bok trójkąta jako wysokość stożka, z pominięciem geometrii trójkąta równobocznego |\n| **C** | Podstawiono \\(r = \\frac{a}{2}\\), ale błędnie użyto \\(h = a\\) (tworząca zamiast prawdziwej wysokości), co daje \\(\\frac{1}{3}\\pi\\frac{a^2}{4}\\cdot a = \\frac{\\pi a^3}{12}\\), bez czynnika \\(\\sqrt{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy stożka to **trójkąt**, którego **podstawa = średnica** (nie promień!) podstawy stożka. Bardzo łatwo pomylić \\(r = a\\) z \\(r = \\frac{a}{2}\\) - to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość stożka to wysokość **trójkąta równobocznego** - oblicz ją ze wzoru \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\), nie zakładaj, że \\(h = a\\) (to byłaby tworząca, nie wysokość).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed podstawieniem do wzoru na objętość zawsze sprawdź, czy masz \\(r\\) (promień), nie \\(d\\) (średnicę). Jeden literówkowy błąd (\\(a^2\\) zamiast \\(\\frac{a^2}{4}\\)) zmienia wynik czterokrotnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie promienia i wysokości stożka\nPrzekrój osiowy to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\). Bok podstawy przekroju (czyli średnica stożka) \\(= a\\), więc promień podstawy:\n\\[r = \\dfrac{a}{2}.\\]\nWysokość trójkąta równobocznego (czyli wysokość stożka):\n\\[H = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór na objętość stożka\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^2 H = \\dfrac{1}{3}\\pi\\left(\\dfrac{a}{2}\\right)^2\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot\\dfrac{a^2}{4}\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{\\pi a^3\\sqrt{3}}{24} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{24}\\pi a^3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{6}\\pi a^3\\)** - błąd: pominięto czynnik \\(\\tfrac{1}{4}\\) z \\(r^2\\).\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{8}\\pi a^3\\)** - pominięto \\(\\tfrac{1}{3}\\) z wzoru na stożek.\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{12}\\pi a^3\\)** - błąd liczbowy w ułamkach.\n\n**Pamiętaj:** \\(V_{\\text{stożka}} = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 H\\); w trójkącie równobocznym \\(H = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nPewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zł, a pensje pozostałych pracowników\nsą równe: 2000 zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest\nrówna\nA. 3400 zł\nB. 3500 zł\nC. 6000 zł\nD. 7000 zł\nPewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: 2000zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest równa A. 3400, B. 3500, C. 6000, D. 7000","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nOblicza medianę podanych danych\nliczbowych.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 3500 zł\n\n## Sposób 1 - Uszeregowanie i obliczenie mediany\n\n**Krok 1: Uszereguj wszystkie zarobki rosnąco.**\n\nMamy 6 osób. Zebranie wszystkich pensji:\n\n\\[2000, \\quad 2800, \\quad 3400, \\quad 3600, \\quad 4200, \\quad 8000\\]\n\nDane są już ułożone rosnąco - świetnie, nie trzeba nic przestawiać.\n\n**Krok 2: Wyznacz medianę dla parzystej liczby danych.**\n\nMamy \\(n = 6\\) wartości (liczba parzysta), więc mediana to **średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów** - czyli wyrazów na pozycji \\(\\frac{n}{2} = 3\\) oraz \\(\\frac{n}{2} + 1 = 4\\).\n\n\\[\n\\text{pozycja 3: } 3400, \\qquad \\text{pozycja 4: } 3600\n\\]\n\n**Krok 3: Oblicz średnią tych dwóch wartości.**\n\n\\[\n\\text{Mediana} = \\frac{3400 + 3600}{2} = \\frac{7000}{2} = \\mathbf{3500 \\text{ zł}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie warunku definicyjnego mediany\n\nMediana to taka wartość, że **połowa danych jest od niej mniejsza lub równa, a połowa większa lub równa**.\n\nDla \\(n = 6\\) dokładnie 3 wartości powinny być \\(\\leq \\text{mediany}\\) i 3 wartości \\(\\geq \\text{mediany}\\).\n\nSprawdzamy \\(m = 3500\\):\n\n| Zarobki | Relacja do 3500 zł |\n| 2000 | \\(< 3500\\) ✓ |\n| 2800 | \\(< 3500\\) ✓ |\n| 3400 | \\(< 3500\\) ✓ |\n| 3600 | \\(> 3500\\) ✓ |\n| 4200 | \\(> 3500\\) ✓ |\n| 8000 | \\(> 3500\\) ✓ |\n\nDokładnie 3 wartości poniżej i 3 powyżej - **warunek mediany spełniony**. Wynik potwierdzony: \\(\\mathbf{3500 \\text{ zł}}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana: środkowy wyraz uporządkowanego ciągu (dla nieparzystego \\(n\\)) lub **średnia dwóch środkowych wyrazów** (dla parzystego \\(n\\)).\n\n\\[\n\\text{Mediana} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2} \\quad \\text{(dla parzystego } n\\text{)}\n\\]\n\nUżyliśmy tego wprost w Kroku 3 - \\(n = 6\\) (parzyste), więc bierzemy wyrazy 3. i 4.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** \\((3400 \\text{ zł})\\) | Wzięto sam 3. wyraz zamiast uśrednić wyrazy 3. i 4. - błąd przy parzystym \\(n\\) |\n| **C** \\((6000 \\text{ zł})\\) | Prawdopodobnie policzono **średnią arytmetyczną** \\(\\frac{2000+2800+3400+3600+4200+8000}{6} = \\frac{24000}{6} = 4000\\) i pomylono ją z medianą, albo wzięto inne liczby - tak czy inaczej mylenie mediany ze średnią |\n| **D** \\((7000 \\text{ zł})\\) | To wartość licznika \\(3400 + 3600 = 7000\\) - zapomniano podzielić przez 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana ≠ Średnia. Średnia arytmetyczna (tu \\(\\approx 4000\\) zł) jest \"ciągnięta w górę\" przez wysoką pensję dyrektora. Mediana jest odporna na wartości skrajne - dlatego lepiej opisuje \"typowe\" zarobki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy **parzystej** liczbie danych mediana to zawsze **średnia dwóch środkowych**, nigdy sam jeden wyraz. Przy **nieparzystej** - to dokładnie jeden środkowy wyraz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw **uszereguj dane rosnąco** - dopiero potem licz pozycje środkowych wyrazów. Jeśli zapomnisz uszeregować, trafisz na zły wyraz.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Definicja mediany dla parzystej liczby danych\nUporządkujmy pensje niemalejąco:\n\\[2000,\\ 2800,\\ 3400,\\ 3600,\\ 4200,\\ 8000.\\]\nLiczba elementów: \\(n=6\\) (parzysta). Mediana to średnia dwóch środkowych (3. i 4. wyrazu):\n\\[\\text{Me} = \\dfrac{3400 + 3600}{2} = \\dfrac{7000}{2} = 3500\\text{ zł}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nDwa środkowe wyrazy: \\(3400\\) (3. pozycja) i \\(3600\\) (4. pozycja). Średnia: \\(3500\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3400\\)** - wzięto tylko trzeci wyraz, pomijając średnią.\n- **C. \\(6000\\)** - to średnia dwóch wartości skrajnych (\\(4200, 8000\\)).\n- **D. \\(7000\\)** - suma dwóch środkowych, bez podziału przez \\(2\\).\n\n**Pamiętaj:** dla \\(n\\) parzystego mediana \\(= \\tfrac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nZe zbioru \n\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech\np oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas\nA.\n1\n5\np \nB.\n1\n5\np \nC.\n1\n4\np \nD.\n1\n4\np \n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nZe zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas A. p < 1/5, B. p = 1/5, C. p = 1/4, D. p > 1/4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nStosuje definicję prawdopodobieństwa;\noblicza prawdopodobieństwo zdarzeń.\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(p = \\dfrac{1}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie wypisanie i liczenie\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nZe zbioru \\(\\{1, 2, 3, \\ldots, 15\\}\\) wybieramy jedną liczbę, więc:\n\\[|\\Omega| = 15\\]\n\n**Krok 2: Wypisujemy liczby podzielne przez 4 ze zbioru.**\n\nSzukamy liczb, dla których \\(4 \\mid n\\):\n\\[4, \\quad 8, \\quad 12\\]\n\nSprawdzamy: \\(16 > 15\\), więc \\(16\\) już nie wchodzi w grę. **Zdarzenie A = {4, 8, 12} ma 3 elementy.**\n\n**Krok 3: Liczymy prawdopodobieństwo.**\n\n\\[p = P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(p = \\dfrac{1}{5}\\), czyli odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez porównanie z sąsiednimi odpowiedziami\n\nSprawdzamy, czy \\(p = \\dfrac{1}{5}\\) jest dokładnie, a nie \"mniej niż\" lub \"więcej niż\".\n\n\\(\\dfrac{1}{5} = \\dfrac{3}{15}\\) - czy \\(3\\) liczby podzielne przez 4 w zbiorze \\(\\{1, \\ldots, 15\\}\\) to dokładnie tyle? Tak:\n\n| Wielokrotność 4 | W zbiorze? |\n| \\(1 \\cdot 4 = 4\\) | ✓ |\n| \\(2 \\cdot 4 = 8\\) | ✓ |\n| \\(3 \\cdot 4 = 12\\) | ✓ |\n| \\(4 \\cdot 4 = 16\\) | ✗ (poza zbiorem) |\n\nWynik jest **dokładnie** \\(\\dfrac{3}{15} = \\dfrac{1}{5}\\), nie przybliżeniem. Potwierdza to odpowiedź B - nie A ani C ani D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach: liczba sprzyjających wyników podzielona przez liczbę wszystkich możliwych wyników.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń myli podzielność przez 4 z podzielności przez 5 (podzielne przez 5: \\(\\{5,10,15\\}\\) → \\(\\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\)) albo liczy tylko jedną liczbę (np. tylko \\(4\\)) i wychodzi mu \\(\\frac{1}{15} < \\frac{1}{5}\\) |\n| C | Uczeń liczy \\(15 \\div 4 = 3{,}75\\) i zaokrągla do 4 elementów, przez co \\(p = \\frac{4}{15} \\approx 0{,}267 > \\frac{1}{4}\\), lub pamięta \"co 4 liczby jedna jest podzielna\" i wpisuje wprost \\(\\frac{1}{4}\\) bez sprawdzania |\n| D | Uczeń liczy 4 wielokrotności (wliczając 16 lub 0) albo stosuje intuicję \"\\(\\frac{1}{4}\\) liczb jest podzielna przez 4\" i stwierdza, że \\(p = \\frac{1}{4}\\), a potem wybiera D myśląc że wynik jest większy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \"na pamięć\" - zawsze wypisz wielokrotności i sprawdź, które mieszczą się w zbiorze. Tu \\(16\\) odpada, bo wykracza poza \\(\\{1, \\ldots, 15\\}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pokusa odpowiedzi C to \"reguła\" że co czwarta liczba jest podzielna przez 4, więc \\(p = \\frac{1}{4}\\). To prawda asymptotycznie, ale dla skończonego zbioru zawsze sprawdzaj konkretnie - tu zbiór nie jest wielokrotnością 4.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczaj ułamki do końca! \\(\\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\) - bez uproszczenia ciężko porównać z odpowiedziami podanymi jako \\(\\frac{1}{5}\\) czy \\(\\frac{1}{4}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZbiór ma \\(15\\) elementów (\\(|\\Omega| = 15\\)).\nLiczby podzielne przez \\(4\\) w tym zbiorze: \\(4, 8, 12\\). Jest ich \\(3\\).\n\\[p = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{3}{15} = \\dfrac{1}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wypisanie\nZ zakresu \\(1-15\\) dzieli się przez \\(4\\): \\(4\\cdot 1 = 4\\), \\(4\\cdot 2 = 8\\), \\(4\\cdot 3 = 12\\). \\(4\\cdot 4 = 16 > 15\\). Zatem trzy liczby.\n\\[p = \\dfrac{3}{15} = 0{,}2 = \\dfrac{1}{5}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(p<\\tfrac{1}{5}\\)** - dokładnie \\(\\tfrac{1}{5}\\), nie mniej.\n- **C. \\(p=\\tfrac{1}{4}\\)** - \\(\\tfrac{3}{15} = \\tfrac{1}{5} \\ne \\tfrac{1}{4}\\).\n- **D. \\(p>\\tfrac{1}{4}\\)** - \\(\\tfrac{1}{5} < \\tfrac{1}{4}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(P(A) = \\tfrac{\\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\\text{liczba zdarzeń elementarnych}}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n8\n7\n0\nx\nx\n\n\n\nOdpowiedź:\nRozwiąż nierówność x^2-8x+7 >= 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n8\n7\n0\nx\nx\n\n\n\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n\nprawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n1\nx ,\n2\n7\nx \ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n\nrozłoży trójmian kwadratowy\n2\n8\n7\nx\nx\n\n\nna czynniki liniowe i zapisze nierówność\n\n\n\n1\n7\n0\nx\nx\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność\nalbo\n\ndoprowadzi nierówność do postaci\n4\n3\n\n\nx\n(na przykład z postaci \n\n2\n4\n9\n0\n\n\n\nx\notrzymuje\n\n2\n4\n9\n\n\nx\n, a następnie\n4\n3\n\n\nx\n) i na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:\n\n\n\n,1\n7,\n\n\n\nalbo\n\n1\nx  lub\n7\nx \nalbo\n\n1\nx ,\n7\nx \nalbo\n\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.\nUwaga:\nW związku z rozbieżnością w rozumieniu i używaniu spójników w języku potocznym\ni formalnym języku matematyki akceptujemy zapis, np.\n\n,1\nx\ni\n\n7,\nx\n.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n7\nx \n,\n1\nx  i zapisze np.\n\n\n, 1\n7,\nx\n\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n\n,7\n1,\n\n\n, to przyznajemy 2 punkty.\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozwiązuje nierówność kwadratową.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -\\infty, 1 \\rangle \\cup \\langle 7, +\\infty \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na miejsca zerowe i analiza znaku paraboli\n\n**Krok 1: Wyznacz wyróżnik.**\n\nMamy trójmian \\(f(x) = x^2 - 8x + 7\\), gdzie \\(a = 1,\\ b = -8,\\ c = 7\\).\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 7 = 64 - 28 = 36\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe.**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 - 6}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 + 6}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\n**Krok 3: Ustal postać iloczynową i znak funkcji.**\n\n\\[f(x) = 1 \\cdot (x - 1)(x - 7)\\]\n\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana **ramionami w górę** - funkcja jest:\n- ujemna dla \\(x \\in (1, 7)\\) - między miejscami zerowymi,\n- nieujemna (czyli \\(\\geq 0\\)) dla \\(x \\leq 1\\) lub \\(x \\geq 7\\).\n\n**Krok 4: Odczytaj rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\geq 0\\).**\n\n\\[\\boxed{x \\in \\langle -\\infty, 1 \\rangle \\cup \\langle 7, +\\infty \\rangle}\\]\n\nKońce przedziałów są **domknięte**, bo nierówność jest nieostro (\\(\\geq\\)).\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja \"na oko\" (rozkład na czynniki)\n\n**Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(-8\\), a iloczyn \\(7\\).**\n\nWzory Viète'a mówią, że \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = 8\\) i \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = 7\\).\n\nOd razu widać: \\(1 + 7 = 8\\) i \\(1 \\cdot 7 = 7\\), więc:\n\n\\[x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)\\]\n\n**Analiza znaku iloczynu \\((x-1)(x-7) \\geq 0\\):**\n\nIloczyn dwóch czynników jest nieujemny, gdy **oba mają ten sam znak**.\n\n| Przedział | \\(x - 1\\) | \\(x - 7\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(1 < x < 7\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 7\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 7\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Wynik:**\n\n\\[x \\in \\langle -\\infty, 1 \\rangle \\cup \\langle 7, +\\infty \\rangle\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = 7\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - pozwoliły znaleźć pierwiastki bez liczenia delty.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nKluczowa do analizy znaku w obu sposobach.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla nierówności \\(\\geq 0\\) (nieostrej) końce przedziału **należą** do rozwiązania - piszemy nawiasy domknięte \\(\\langle\\). Dla ostrego \\(> 0\\) byłyby otwarte.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola z \\(a > 0\\) jest **powyżej osi** na zewnątrz pierwiastków, a **poniżej** między nimi - wielu uczniów myli kierunek i zapisuje odpowiedź jako \\(\\langle 1, 7 \\rangle\\), co jest rozwiązaniem nierówności odwrotnej (\\(\\leq 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik to **suma dwóch przedziałów**, nie jeden - nie wolno zapisać \\(\\langle 1, 7 \\rangle\\) ani \\(1 \\leq x \\leq 7\\) jako odpowiedź dla \\(\\geq 0\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x\\in(-\\infty, 1\\rangle\\cup\\langle 7, +\\infty)\\), czyli \\(x\\le 1\\) lub \\(x\\ge 7\\).\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik i pierwiastki\nTrójmian \\(f(x) = x^2-8x+7\\), \\(a=1\\), \\(b=-8\\), \\(c=7\\).\n\\[\\Delta = b^2-4ac = 64-28 = 36.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 6.\\]\n\\[x_1 = \\dfrac{8-6}{2} = 1,\\qquad x_2 = \\dfrac{8+6}{2} = 7.\\]\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola otwiera się do góry. Trójmian przyjmuje wartości nieujemne na zewnątrz (lub w) pierwiastków:\n\\[x\\le 1\\ \\text{lub}\\ x\\ge 7.\\]\n\nZbiór rozwiązań: \\((-\\infty, 1\\rangle\\cup\\langle 7, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki (wzory Viète'a)\nSzukamy \\(x_1, x_2\\) takich, że \\(x_1+x_2 = 8\\), \\(x_1 x_2 = 7\\). To \\(1\\) i \\(7\\).\n\\[x^2-8x+7 = (x-1)(x-7).\\]\nNierówność \\((x-1)(x-7)\\ge 0\\) zachodzi, gdy oba czynniki są nieujemne lub oba niedodatnie:\n\\[x\\le 1\\ \\text{lub}\\ x\\ge 7.\\]\n\n### Sposób 3 - Przekształcenie do wartości bezwzględnej (CKE)\nPrzekształcamy: \\(x^2-8x+7 = (x-4)^2 - 9\\).\n\\[(x-4)^2 - 9\\ge 0 \\iff (x-4)^2\\ge 9 \\iff |x-4|\\ge 3.\\]\nZatem \\(x-4\\ge 3\\) lub \\(x-4\\le -3\\), czyli \\(x\\ge 7\\) lub \\(x\\le 1\\).\n\n**Pamiętaj:** dla \\(a>0\\) \\(\\to\\) \\(f(x)\\ge 0\\) na zewnątrz pierwiastków; \\(f(x)\\le 0\\) między nimi.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n6\n9\n54\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nRozwiąż równanie x^3-6x^2-9x+54 = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n6\n9\n54\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nprzedstawi\nlewą\nstronę\nrównania\nw\npostaci\niloczynu\n\n\n\n2\n9\n6\nx\nx\n\n\nlub\n\n\n\n\n3\n3\n6\nx\nx\nx\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nalbo\nsprawdzi, że liczba\n3\n jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian\n3\n2\n6\n9\n54\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n3\nx \ni otrzyma \n\n2\n9\n18\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełnia błędy\nalbo\nsprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian\n3\n2\n6\n9\n54\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n3\nx \ni otrzyma \n\n2\n3\n18\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełnia błędy\nalbo\nsprawdzi, że liczba 6 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian\n3\n2\n6\n9\n54\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n6\nx \ni otrzyma \n\n2\n9\nx \ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n3,\n3,\n6\nx\nx\nx\n\n\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 3\\) lub \\(x = 6\\)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów\n\nZauważamy, że wielomian można podzielić na dwie pary wyrazów, które mają wspólny czynnik.\n\nZapisujemy równanie:\n\\[x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 0\\]\n\n**Grupujemy** dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy:\n\\[(x^3 - 6x^2) + (-9x + 54) = 0\\]\n\nWyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:\n\\[x^2(x - 6) - 9(x - 6) = 0\\]\n\nTeraz \\((x - 6)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników:\n\\[(x^2 - 9)(x - 6) = 0\\]\n\nRóżnica kwadratów: \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\), więc:\n\\[(x - 3)(x + 3)(x - 6) = 0\\]\n\nZ zasady: iloczyn równa się zero, gdy któryś czynnik = 0:\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]\n\\[x + 3 = 0 \\implies x = -3\\]\n\\[x - 6 = 0 \\implies x = 6\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\{-3,\\ 3,\\ 6\\}\\)**\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Bézouta (szukanie pierwiastka wymiernego)\n\nJeśli wielomian o całkowitych współczynnikach ma pierwiastek całkowity, to musi on być **dzielnikiem wyrazu wolnego** (54).\n\nDzielniki liczby 54: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 9, \\pm 18, \\pm 27, \\pm 54\\)\n\nSprawdzamy \\(x = 3\\):\n\\[3^3 - 6 \\cdot 3^2 - 9 \\cdot 3 + 54 = 27 - 54 - 27 + 54 = 0 \\checkmark\\]\n\nZatem \\((x - 3)\\) jest czynnikiem. Dzielimy wielomian przez \\((x - 3)\\) - schemat Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-6\\) | \\(-9\\) | \\(54\\) |\n| \\(x=3\\) | \\(1\\) | \\(1 \\cdot 3 - 6 = -3\\) | \\(-3 \\cdot 3 - 9 = -18\\) | \\(-18 \\cdot 3 + 54 = 0\\) |\n\nWynik dzielenia: \\(x^2 - 3x - 18\\)\n\nRozwiązujemy \\(x^2 - 3x - 18 = 0\\):\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-18) = 9 + 72 = 81\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{3 \\pm \\sqrt{81}}{2} = \\frac{3 \\pm 9}{2}\\]\n\\[x_1 = \\frac{3 - 9}{2} = -3, \\qquad x_2 = \\frac{3 + 9}{2} = 6\\]\n\n**Odpowiedź potwierdzona: \\(x \\in \\{-3,\\ 3,\\ 6\\}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 przy rozkładzie \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do rozwiązania trójmianu \\(x^2 - 3x - 18 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu wyrazów upewnij się, że wyciągasz czynnik **ze znakiem** - łatwo pomylić: \\(-9x + 54 = -9(x - 6)\\), a nie \\(-9(x + 6)\\). Błąd znaku tutaj to najczęstsza wpadka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę kwadratów \\(x^2 - 9\\) uczniowie często zostawiają nierozłożoną i tracą dwa pierwiastki - pamiętaj, że \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) daje **dwa** rozwiązania, nie jedno!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie Bézouta daje kandydatów na pierwiastki wymierne - ale musisz ich **sprawdzić** podstawiając. Nie każdy dzielnik wyrazu wolnego jest pierwiastkiem.\n\n**Odpowiedź:** \\(x=-3\\), \\(x=3\\), \\(x=6\\).\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania\nGrupujemy po parach:\n\\[x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = x^2(x-6) - 9(x-6) = (x-6)(x^2-9).\\]\nKorzystamy z wzoru \\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\\[x^2 - 9 = (x-3)(x+3).\\]\nZatem\n\\[x^3-6x^2-9x+54 = (x-6)(x-3)(x+3).\\]\nRównanie \\((x-6)(x-3)(x+3) = 0\\) ma rozwiązania:\n\\[x = 6,\\quad x = 3,\\quad x = -3.\\]\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych\nCałkowite pierwiastki dzielą wyraz wolny \\(54\\): kandydaci \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 9, \\pm 18, \\pm 27, \\pm 54\\).\nSprawdzamy \\(x = 3\\): \\(27 - 54 - 27 + 54 = 0\\) ✓\nPodzielmy wielomian przez \\((x-3)\\): \\(x^3-6x^2-9x+54 = (x-3)(x^2-3x-18)\\).\nPierwiastki \\(x^2-3x-18 = 0\\): \\(\\Delta = 9+72 = 81\\), \\(x = \\dfrac{3\\pm 9}{2}\\), czyli \\(x = 6\\) lub \\(x = -3\\).\nZatem \\(x\\in\\{-3, 3, 6\\}\\).\n\n### Sposób 3 - Weryfikacja\nPodstawmy: \\(x = 3 \\Rightarrow 27-54-27+54 = 0\\) ✓; \\(x = -3 \\Rightarrow -27-54+27+54 = 0\\) ✓; \\(x = 6 \\Rightarrow 216-216-54+54 = 0\\) ✓.\n\n**Pamiętaj:** grupowanie wyrazów to szybka metoda dla 4-wyrazowych wielomianów.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nPierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15.\nOblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.\nOdpowiedź:\nPierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nPierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15.\nOblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nobliczy różnicę ciągu arytmetycznego (\n4\n\nr\n) i na tym poprzestanie lub błędnie\nwyznaczy\n6\nS\nalbo\nobliczy lub zapisze poprawnie jeden z pozostałych wyrazów ciągu i na tym poprzestanie\nlub dalej popełnia błędy\nalbo\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy\n6\nS .\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy\n6\n78\nS \nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozwiązuje równanie wielomianowe.\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nOblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nUwaga:\nZdający otrzymuje 0 punktów, jeżeli:\nbłędnie zapisze związek między\n1\n4\n,\na\na i r, np.\n1\n4\n15\na\nr\n\n\ni konsekwentnie do tego błędu\nwyznaczy\n6\nS ,\nzacytuje odpowiednie wzory, np.\n4\n1\n3\na\na\nr\n\n\nlub\n1\n6\n2\n5\n6\n2\na\nr\nS\n\n\n i na tym poprzestanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(S_6 = 78\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie różnicy i wzór na sumę\n\n**Krok 1: Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego.**\n\nWiemy, że \\(a_1 = 3\\) oraz \\(a_4 = 15\\).\n\nZe wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nDla \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 + 3r\\]\n\\[15 = 3 + 3r\\]\n\\[3r = 12\\]\n\\[r = 4\\]\n\n**Krok 2: Wypisz sześć pierwszych wyrazów.**\n\n\\[a_1 = 3, \\quad a_2 = 7, \\quad a_3 = 11, \\quad a_4 = 15, \\quad a_5 = 19, \\quad a_6 = 23\\]\n\n**Krok 3: Oblicz \\(a_6\\) wzorem.**\n\n\\[a_6 = a_1 + 5r = 3 + 5 \\cdot 4 = 3 + 20 = 23\\]\n\n**Krok 4: Zastosuj wzór na sumę \\(n\\) wyrazów.**\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\\[S_6 = \\frac{a_1 + a_6}{2} \\cdot 6 = \\frac{3 + 23}{2} \\cdot 6 = \\frac{26}{2} \\cdot 6 = 13 \\cdot 6 = \\mathbf{78}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór sumy przez \\(a_1\\) i \\(r\\)\n\nUżywamy drugiej postaci wzoru na sumę:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 3\\), \\(r = 4\\), \\(n = 6\\):\n\\[S_6 = \\frac{2 \\cdot 3 + (6-1) \\cdot 4}{2} \\cdot 6 = \\frac{6 + 20}{2} \\cdot 6 = \\frac{26}{2} \\cdot 6 = 13 \\cdot 6 = \\mathbf{78}\\]\n\nWynik się zgadza - sprawdzenie poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r = 4\\) oraz obliczenia \\(a_6 = 23\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy obu postaci - w Sposobie 1 pierwszej (przez \\(a_1\\) i \\(a_n\\)), w Sposobie 2 drugiej (przez \\(a_1\\) i \\(r\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czwarty wyraz to \\(a_1 + \\mathbf{3}r\\), nie \\(a_1 + 4r\\). Indeks w ciągu arytmetycznym zaczyna się od \\(1\\), więc różnica pojawia się \\((n-1)\\) razy, a nie \\(n\\) razy. Pomylenie tego daje \\(r = 3\\) zamiast \\(r = 4\\) - najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) trzeba najpierw obliczyć \\(a_6\\). Wielu uczniów wstawia tam \\(a_4 = 15\\), bo „mamy je dane\" - to błąd, do wzoru wstawiamy ostatni sumowany wyraz, czyli \\(a_6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy zadanie pyta o sumę sześciu **początkowych** wyrazów (\\(S_6\\)), nie o szósty wyraz (\\(a_6 = 23\\)). To dwa różne pytania!\n\n**Odpowiedź:** \\(S_6 = 78\\).\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie różnicy i wzór na sumę\nZ wzoru \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):\n\\[a_4 = a_1 + 3r.\\]\n\\[15 = 3 + 3r \\implies 3r = 12 \\implies r = 4.\\]\n\nSzósty wyraz: \\(a_6 = a_1 + 5r = 3 + 20 = 23\\).\nSuma sześciu wyrazów:\n\\[S_6 = \\dfrac{a_1 + a_6}{2}\\cdot 6 = \\dfrac{3+23}{2}\\cdot 6 = 13\\cdot 6 = 78.\\]\n\n### Sposób 2 - Drugi wzór na sumę\n\\[S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\\cdot n.\\]\nDla \\(n = 6\\), \\(a_1 = 3\\), \\(r = 4\\):\n\\[S_6 = \\dfrac{2\\cdot 3 + 5\\cdot 4}{2}\\cdot 6 = \\dfrac{6+20}{2}\\cdot 6 = 13\\cdot 6 = 78.\\]\n\n### Sposób 3 - Wypisanie wyrazów\n\\(a_1=3,\\ a_2=7,\\ a_3=11,\\ a_4=15,\\ a_5=19,\\ a_6=23\\).\n\\(S_6 = 3+7+11+15+19+23 = 78\\) ✓\n\n**Pamiętaj:** \\(S_n = \\tfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2}\\); najpierw wyznacz \\(r\\), potem \\(a_n\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"ciagi","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są\n6\nAC\nBC\n\n\ni\n30\nACB \n\n\n(zobacz rysunek).\nOblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.\nA\nB\nC\n30\nD\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n12\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC| = |BC| = 6 i |kąt ACB| = 30 stopni (zobacz rysunek). Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są\n6\nAC\nBC\n\n\ni\n30\nACB \n\n\n(zobacz rysunek).\nOblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.\nA\nB\nC\n30\nD\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze zależność, z której można obliczyć wysokość AD , np.:\nsin30\n6\nAD\n\nlub 1\n1\n6 6 sin30\n6\n2\n2\nAD\n\n\n\n.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wysokość opuszczoną z wierzchołka A na bok BC:\n3\nAD \nUwaga:\nJeśli zdający od razu zapisze, że\n3\nAD \n, to otrzymuje 2 punkty.\nUżycie i tworzenie strategii\nZnajduje związki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem trygonometrii.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(AD = 3\\)\n\n## Sposób 1 - trygonometria w trójkącie ACD\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Punkt D leży na boku \\(BC\\), a \\(AD \\perp BC\\), więc trójkąt \\(ACD\\) jest **prostokątny** (kąt prosty przy D).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(ACD\\):\n- kąt przy wierzchołku \\(C\\) wynosi \\(\\angle ACD = 30°\\) (to ten sam kąt co \\(\\angle ACB\\))\n- przeciwprostokątna \\(|AC| = 6\\)\n- szukamy przyprostokątnej \\(AD\\) (naprzeciwko kąta 30°)\n\nKorzystamy z definicji sinusa:\n\\[\\sin(\\angle ACD) = \\frac{AD}{|AC|}\\]\n\\[\\sin 30° = \\frac{AD}{6}\\]\n\\[\\frac{1}{2} = \\frac{AD}{6}\\]\n\n**Stąd:**\n\\[AD = 6 \\cdot \\frac{1}{2} = \\boxed{3}\\]\n\n## Sposób 2 - pole trójkąta (weryfikacja)\n\n**Obliczamy pole trójkąta \\(ABC\\) dwoma sposobami.**\n\n**Sposób przez wzór z sinusem** (znamy dwa boki i kąt między nimi):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BC| \\cdot \\sin(\\angle ACB) = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\sin 30° = \\frac{1}{2} \\cdot 36 \\cdot \\frac{1}{2} = 9\\]\n\n**Sposób przez podstawę i wysokość** (podstawa \\(BC = 6\\), wysokość \\(AD\\)):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot AD = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot AD = 3 \\cdot AD\\]\n\n**Przyrównujemy oba wyrażenia:**\n\\[3 \\cdot AD = 9\\]\n\\[\\boxed{AD = 3}\\]\n\nWynik zgodny - wysokość \\(AD = 3\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} \\Rightarrow AD = |AC| \\cdot \\sin 30°\\]\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartość \\(\\sin 30°\\):\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BC| \\cdot \\sin(\\angle ACB)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** D leży na boku \\(BC\\), więc kąt \\(\\angle ACD\\) to **ten sam** kąt co \\(\\angle ACB = 30°\\) - nie trzeba liczyć żadnych dodatkowych kątów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, z którego wierzchołka jest opuszczona wysokość. \\(AD \\perp BC\\) oznacza, że **kąt prosty jest przy D**, nie przy A - więc to trójkąt ACD ma kąt prosty przy D, a nie \\(ADB\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wysokości \\(AD\\) (na bok \\(BC\\)) z wysokością trójkąta opuszczoną z \\(C\\) na \\(AB\\) - to zupełnie inne odcinki! W tym zadaniu podstawą jest \\(BC = 6\\), a wysokość \\(AD = 3\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(|AD| = 3\\).\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(ACD\\)\nWysokość \\(AD\\) opuszczona z \\(A\\) na bok \\(BC\\) tworzy trójkąt prostokątny \\(ACD\\) o kącie prostym w \\(D\\).\nKąt przy \\(C\\) ma miarę \\(30^\\circ\\), a przeciwprostokątna \\(|AC| = 6\\).\n\\[\\sin 30^\\circ = \\dfrac{|AD|}{|AC|} = \\dfrac{|AD|}{6}.\\]\n\\[|AD| = 6\\cdot\\sin 30^\\circ = 6\\cdot\\dfrac{1}{2} = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Pole trójkąta dwoma sposobami\nPole z sinusa kąta między bokami:\n\\[P = \\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|BC|\\cdot\\sin(\\angle ACB) = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot 6\\cdot\\sin 30^\\circ = 18\\cdot\\dfrac{1}{2} = 9.\\]\nPole z podstawy \\(BC\\) i wysokości \\(AD\\):\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot|BC|\\cdot|AD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot|AD| = 3|AD|.\\]\nPorównanie: \\(3|AD| = 9 \\implies |AD| = 3\\).\n\n### Sposób 3 - Wzór 30-60-90\nW trójkącie prostokątnym z kątem \\(30^\\circ\\) stosunek boków to \\(1 : \\sqrt{3} : 2\\). Przy przeciwprostokątnej \\(6\\) bok naprzeciw \\(30^\\circ\\) ma długość \\(\\tfrac{6}{2} = 3\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\sin 30^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\); wysokość w trójkącie ostrokątnym opuszcza się z wierzchołka na bok przeciwny.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"planimetria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że\n1\n2\nCE\nAC\n\n(zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy\nwiększe od pola trójkąta DCE.\nA\nB\nC\nD\nE\n\nPoziom podstawowy\n13\nDany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że |CE| = 1/2 * |AC| (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nDany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że\n1\n2\nCE\nAC\n\n(zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy\nwiększe od pola trójkąta DCE.\nRozwiązanie\nRysujemy wysokość\n1\nDD trójkąta ACD. Wysokość\n1\nDD jest również wysokością trójkąta\nDCE o podstawie CE.\n1\n1\n2\nDCE\nP\nCE\nDD\n\n\nPonieważ\n1\n2\nCE\nAC\n\n, więc\n1\n1 1\n1\n2 2\n2\nDCE\nACD\nP\nAC\nDD\nP\n\n\n\n\n\n2\n4\nABCD\nACD\nDCE\nP\nP\nP\n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze związek między polem trójkąta ACD, a polem trójkąta DCE, np.:\n1\n2\nDCE\nACD\nP\nP\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wykaże, że\n4\nABCD\nDCE\nP\nP\n\nRozumowanie i argumentacja\nZnajduje związki miarowe w figurach płaskich;\nwykorzystuje związek między polami trójkątów o takiej\nsamej wysokości.\nA\nB\nC\nD\nE\nD1\nA\nB\nC\nD\nE\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: zadanie otwarte - uzasadnienie\n\nTo zadanie otwarte - nie ma opcji ABCD. Należy udowodnić, że \\(P(ABCD) = 4 \\cdot P(\\triangle DCE)\\).\n\n## Sposób 1 - przez porównanie trójkątów o wspólnym wierzchołku\n\n**Krok 1: Przekątna dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty.**\n\nPrzekątna \\(AC\\) dzieli równoległobok \\(ABCD\\) na dwa trójkąty: \\(\\triangle ABC\\) i \\(\\triangle ACD\\).\n\nW równoległoboku \\(\\triangle ABC \\cong \\triangle CDA\\) (mają równe boki i kąty - można to uzasadnić przystającością), więc:\n\\[P(\\triangle ACD) = \\frac{1}{2} P(ABCD)\\]\n\n**Krok 2: Porównanie trójkątów \\(\\triangle DCA\\) i \\(\\triangle DCE\\).**\n\nTrójkąty \\(\\triangle DCA\\) i \\(\\triangle DCE\\) mają **wspólny wierzchołek \\(D\\)**. Ich podstawy \\(CA\\) i \\(CE\\) leżą na **tej samej prostej** (punkt \\(E\\) leży na przedłużeniu \\(AC\\) za punkt \\(C\\)).\n\nDla trójkątów o wspólnym wierzchołku i podstawach na tej samej prostej, stosunek pól równa się stosunkowi długości podstaw:\n\\[\\frac{P(\\triangle DCE)}{P(\\triangle DCA)} = \\frac{|CE|}{|CA|}\\]\n\nZ treści zadania: \\(|CE| = \\frac{1}{2}|AC|\\), więc:\n\\[\\frac{P(\\triangle DCE)}{P(\\triangle DCA)} = \\frac{\\frac{1}{2}|AC|}{|AC|} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Stąd wynika:**\n\\[P(\\triangle DCA) = 2 \\cdot P(\\triangle DCE)\\]\n\n**Krok 3: Złożenie obu równości.**\n\\[P(ABCD) = 2 \\cdot P(\\triangle ACD) = 2 \\cdot \\big(2 \\cdot P(\\triangle DCE)\\big) = 4 \\cdot P(\\triangle DCE)\\]\n\n**Pole równoległoboku \\(ABCD\\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \\(DCE\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - przez środek \\(O\\) przekątnych\n\n**Krok 1: Wprowadzamy punkt \\(O\\) - środek przekątnych.**\n\nW każdym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie, więc \\(O\\) jest środkiem \\(AC\\):\n\\[|AO| = |OC| = \\frac{1}{2}|AC|\\]\n\n**Krok 2: Lokalizujemy punkt \\(E\\) względem \\(O\\).**\n\nSkoro \\(|CE| = \\frac{1}{2}|AC| = |OC|\\) oraz punkty \\(O, C, E\\) leżą na jednej prostej i \\(E\\) jest po tej samej stronie co \\(E\\) (za punktem \\(C\\)):\n\\[|OC| = |CE| \\implies C \\text{ jest środkiem odcinka } OE\\]\n\n**Krok 3: Pole \\(\\triangle DOC\\).**\n\nPrzekątne równoległoboku dzielą go na cztery trójkąty o równych polach:\n\\[\\triangle AOB \\cong \\triangle COD \\cong \\triangle BOC \\cong \\triangle AOD\\]\n\\[P(\\triangle DOC) = \\frac{1}{4} P(ABCD)\\]\n\n**Krok 4: Pole \\(\\triangle DOE\\).**\n\nTrójkąty \\(\\triangle DOE\\) i \\(\\triangle DOC\\) mają wspólny wierzchołek \\(D\\) i podstawy \\(OE\\) i \\(OC\\) na tej samej prostej. Ponieważ \\(|OE| = 2|OC|\\):\n\\[P(\\triangle DOE) = 2 \\cdot P(\\triangle DOC) = 2 \\cdot \\frac{1}{4}P(ABCD) = \\frac{1}{2}P(ABCD)\\]\n\n**Krok 5: Pole \\(\\triangle DCE\\).**\n\nTrójkąt \\(\\triangle DCE\\) ma wierzchołek \\(D\\) i podstawę \\(CE\\) na tej samej prostej co \\(OE\\). Ponieważ \\(C\\) jest środkiem \\(OE\\), mamy \\(|CE| = \\frac{1}{2}|OE|\\):\n\\[P(\\triangle DCE) = \\frac{1}{2} \\cdot P(\\triangle DOE) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}P(ABCD) = \\frac{1}{4}P(ABCD)\\]\n\n**Zatem:**\n\\[P(ABCD) = 4 \\cdot P(\\triangle DCE) \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku i trójkąta:\n\\[P_{\\text{równoległobok}} = a \\cdot h, \\qquad P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\]\nKluczowa własność: **trójkąty o wspólnym wierzchołku i podstawach na tej samej prostej** mają pola proporcjonalne do długości podstaw. Ta zasada wynika z definicji pola przez podstawę i wysokość (wysokość jest taka sama dla obu trójkątów).\n\nBezpośrednio z karty korzystamy też z faktu, że:\n\\[P(\\triangle ABC) = P(\\triangle ACD) = \\frac{1}{2}P(ABCD)\\]\n- co wynika z symetrii przekątnej w równoległoboku.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to próba użycia wzorów współrzędnościowych bez uzasadnienia geometrycznego. W zadaniu uzasadnieniowym wymagane jest odwołanie do własności figur, nie tylko wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąty \\(\\triangle DCA\\) i \\(\\triangle DCE\\) **nie mają tej samej podstawy** \\(DC\\) - wspólnym elementem jest wierzchołek \\(D\\), a podstawy (\\(CA\\) i \\(CE\\)) leżą na tej samej prostej. To subtelna, ale ważna różnica w uzasadnieniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno pisać tylko \"stosunek pól = stosunek podstaw\" bez uzasadnienia, że wysokości trójkątów są równe. W obu sposobach wysokość od \\(D\\) do prostej \\(ACE\\) jest **ta sama** - to kluczowy argument!\n\n**Odpowiedź:** \\(P_{ABCD} = 4\\cdot P_{DCE}\\). Dowód poniżej.\n\n### Sposób 1 - Porównanie trójkątów \\(ACD\\) i \\(DCE\\) po wspólnej wysokości\nPoprowadźmy z punktu \\(D\\) prostopadłą do prostej \\(AE\\) i oznaczmy spodek prostopadłej przez \\(D_1\\). Odcinek \\(DD_1\\) jest wysokością zarówno trójkąta \\(ACD\\) (o podstawie \\(AC\\)), jak i trójkąta \\(DCE\\) (o podstawie \\(CE\\)), ponieważ oba leżą na tej samej prostej \\(AE\\).\n\n\\[P_{ACD} = \\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|DD_1|,\\qquad P_{DCE} = \\dfrac{1}{2}|CE|\\cdot|DD_1|.\\]\n\nZ warunku zadania \\(|CE| = \\dfrac{1}{2}|AC|\\), więc\n\\[P_{DCE} = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|DD_1| = \\dfrac{1}{2}P_{ACD}.\\]\n\nPrzekątna \\(AC\\) dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty \\(ABC\\) i \\(ACD\\), więc\n\\[P_{ABCD} = 2P_{ACD}.\\]\n\nStąd\n\\[P_{ABCD} = 2P_{ACD} = 2\\cdot 2P_{DCE} = 4P_{DCE}.\\]\n\n### Sposób 2 - Skala i stosunki pól\nTrójkąty \\(ACD\\) i \\(ECD\\) mają wspólną wysokość z \\(D\\) do prostej \\(AE\\). Stosunek ich pól równa się stosunkowi podstaw: \\(\\dfrac{P_{ECD}}{P_{ACD}} = \\dfrac{|CE|}{|AC|} = \\dfrac{1}{2}\\).\n\nZatem \\(P_{ACD} = 2P_{DCE}\\), a \\(P_{ABCD} = 2P_{ACD} = 4P_{DCE}\\). $\\blacksquare$\n\n**Pamiętaj:** dwa trójkąty o wspólnej wysokości mają pola w stosunku podstaw; przekątna równoległoboku dzieli go na dwie równe części.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nWykaż, że jeżeli\n0\nc \n, to trójmian kwadratowy\n2\ny\nx\nbx\nc\n\n\n ma dwa różne miejsca\nzerowe.\n\nPoziom podstawowy\n14\nWykaż, że jeżeli c < 0, to trójmian kwadratowy y = x^2 + bx + c ma dwa różne miejsca zerowe.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWykaż, że jeżeli\n0\nc \n, to trójmian kwadratowy\n2\ny\nx\nbx\nc\n\n\n ma dwa różne miejsca\nzerowe.\nRozwiązanie\nZapisujemy wyróżnik danego trójmianu kwadratowego:\n2\n4\n\n\nb\nc .\nPonieważ\n0\n\nc\nto\n4\n0\n\n\nc\n. Stąd  jest sumą dwóch wyrażeń: nieujemnego i dodatniego,\nczyli jest dodatnia.\nA zatem trójmian\n2\ny\nx\nbx\nc\n\n\nma dwa różne miejsca zerowe.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy uzasadni, że trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.\nUwaga:\nJeżeli zdający podstawi konkretną wartość w miejsce c, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Wykazano - trójmian ma dwa różne miejsca zerowe\n\n(Zadanie otwarte - dowód. Wynik: \\(\\Delta > 0\\), co gwarantuje dwa różne pierwiastki.)\n\n## Sposób 1 - Analiza wyróżnika (bezpośredni dowód)\n\n**Cel:** pokazać, że \\(\\Delta > 0\\), bo wtedy trójmian kwadratowy ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe.\n\nDany trójmian: \\(y = x^2 + bx + c\\), gdzie \\(a = 1\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot c = b^2 - 4c\\]\n\n**Krok 2.** Oszacowujemy każdy składnik:\n- \\(b^2 \\geq 0\\) - dla każdej liczby rzeczywistej \\(b\\), kwadrat jest nieujemny\n- Skoro \\(c < 0\\), to \\(-4c > 0\\) - minus razy ujemna liczba daje dodatnią\n\n**Krok 3.** Sumujemy:\n\\[\\Delta = \\underbrace{b^2}_{\\geq\\, 0} + \\underbrace{(-4c)}_{>\\, 0}\\]\n\nSuma liczby nieujemnej i liczby **ściśle dodatniej** jest **ściśle dodatnia**, zatem:\n\\[\\Delta > 0\\]\n\n**Krok 4.** Wniosek:\n\nPonieważ \\(\\Delta > 0\\), trójmian \\(y = x^2 + bx + c\\) ma **dwa różne miejsca zerowe**:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2}\\]\n\n**Co należało wykazać.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Dowód przez wskazanie dwóch różnych pierwiastków\n\nZamiast liczyć \\(\\Delta\\), można wprost pokazać, że istnieją dwa różne \\(x\\) zerujące trójmian.\n\n**Krok 1.** Szukamy znaku wartości funkcji w kilku punktach.\n\nObliczamy \\(y(0)\\):\n\\[y(0) = 0^2 + b \\cdot 0 + c = c < 0\\]\n\nZatem \\(y(0) < 0\\) - parabola jest **poniżej osi \\(x\\)** w punkcie \\(x = 0\\).\n\n**Krok 2.** Sprawdzamy zachowanie dla dużych \\(|x|\\).\n\nPonieważ współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana **ramionami ku górze**, więc:\n\\[\\lim_{x \\to +\\infty} y(x) = +\\infty \\quad \\text{i} \\quad \\lim_{x \\to -\\infty} y(x) = +\\infty\\]\n\n**Krok 3.** Stosujemy twierdzenie Darboux (o wartości pośredniej).\n\n- Na osi \\(x\\) istnieje punkt \\(x_0 > 0\\) taki, że \\(y(x_0) > 0\\). Ponieważ \\(y(0) < 0 < y(x_0)\\), z ciągłości funkcji wynika, że istnieje \\(x_1 \\in (0, x_0)\\) taki, że \\(y(x_1) = 0\\).\n- Analogicznie istnieje \\(x_{-} < 0\\) z \\(y(x_{-}) > 0\\), więc istnieje \\(x_2 \\in (x_{-}, 0)\\) taki, że \\(y(x_2) = 0\\).\n\nMamy \\(x_2 < 0 < x_1\\), więc \\(x_1 \\neq x_2\\) - **dwa różne miejsca zerowe**. \\(\\blacksquare\\)\n\n> **Uwaga:** Ten dowód jest elegancki, ale na maturze bezpieczniejszy i krótszy jest **Sposób 1** - wystarczy pokazać \\(\\Delta > 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu kwadratowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nKryterium liczby miejsc zerowych: \\(\\Delta > 0 \\Rightarrow\\) dwa różne miejsca zerowe.\n\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** jako głównego narzędzia dowodu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać „wyróżnik jest dodatni\" - trzeba **uzasadnić**, dlaczego \\(\\Delta > 0\\). Kluczowy krok to: \\(c < 0 \\Rightarrow -4c > 0\\), a zatem \\(b^2 + (-4c) > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często zapominają, że \\(b^2 \\geq 0\\) to nie jest \\(b^2 > 0\\). Gdy \\(b = 0\\), mamy \\(\\Delta = -4c\\), co nadal jest dodatnie - dowód działa dla **każdego** \\(b \\in \\mathbb{R}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(c < 0\\) jest **wystarczający**, ale nie konieczny - trójmian może mieć dwa miejsca zerowe także dla \\(c > 0\\) (jeśli \\(\\Delta > 0\\) z innego powodu). Zadanie prosi jednak tylko o implikację w jedną stronę, więc to nie problem.\n\n**Odpowiedź:** Wykazujemy, że \\(\\Delta > 0\\), co oznacza istnienie dwóch różnych pierwiastków.\n\n### Sposób 1 - Analiza wyróżnika\nWyróżnik trójmianu \\(y = x^2+bx+c\\) (gdzie \\(a=1\\)):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4c.\\]\n\nZ założenia \\(c < 0\\), więc \\(-4c > 0\\). Natomiast \\(b^2 \\ge 0\\) dla dowolnego rzeczywistego \\(b\\).\n\nZatem\n\\[\\Delta = \\underbrace{b^2}_{\\ge 0} + \\underbrace{(-4c)}_{>0} > 0.\\]\n\nPonieważ \\(\\Delta > 0\\), trójmian ma **dwa różne** miejsca zerowe. $\\blacksquare$\n\n### Sposób 2 - Iloczyn pierwiastków (wzory Viète'a)\nZakładając, że istnieją pierwiastki \\(x_1, x_2\\), mamy\n\\[x_1\\cdot x_2 = \\dfrac{c}{a} = c < 0.\\]\nIloczyn ujemny oznacza, że pierwiastki **muszą mieć różne znaki**, więc są różne. Dodatkowo, gdyby nie istniały (\\(\\Delta < 0\\)), nie można by mówić o iloczynie. Formalnie jednak wystarczy argument z \\(\\Delta\\).\n\n### Sposób 3 - Wartość trójmianu w zerze\nDla \\(x = 0\\): \\(y(0) = c < 0\\). Ponieważ parabola otwiera się do góry (\\(a=1>0\\)) i w pewnym punkcie przyjmuje wartość ujemną, to musi przeciąć oś \\(OX\\) w dwóch różnych punktach - czyli ma dwa różne miejsca zerowe.\n\n**Pamiętaj:** znak \\(\\Delta\\) decyduje o liczbie pierwiastków; \\(\\Delta > 0 \\Rightarrow\\) dwa różne pierwiastki.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC\nBC\n\noraz\n\n\n2,1\nA \ni\n\n\n1,9\nC \nPodstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej\n1\n2\ny\nx\n\n. Oblicz współrzędne wierzchołka B.\n\nPoziom podstawowy\n15\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n16\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC| oraz A=(2,1) i C=(1,9). Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y = 1/2x. Oblicz współrzędne wierzchołka B.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC\nBC\n\noraz\n\n\n2,1\nA \ni\n\n\n1,9\nC \nPodstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej\n1\n2\ny\nx\n\n. Oblicz współrzędne wierzchołka B.\nI sposób rozwiązania: (odległość)\nPunkt B leży na prostej o równaniu\n1\n2\ny\nx\n\n, więc jego współrzędne można zapisać w postaci\n1\n, 2\n\n\n\n\n\n\nB\nx\nx . Obliczamy odległość punktu C od punktu A:\n65\n\nAC\noraz odległość\npunktu C od punktu B:\n\n\n2\n2\n1\n9\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nBC\nx\n. Ponieważ\n\nAC\nBC , więc możemy\nzapisać równanie z jedną niewiadomą\n\n\n2\n2\n1\n9\n65\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\n, skąd otrzymujemy\nrównanie kwadratowe\n2\n5\n11\n17\n0\n4\n\n\n\nx\nx\nlub\n2\n5\n44\n68\n0\n\n\n\nx\nx\n. Równanie to ma dwa\nRozumowanie i argumentacja\nBada funkcję kwadratową.\nUżycie i tworzenie strategii\nOblicza odległość między punktami, wyznacza środek\nodcinka, interpretuje współczynniki funkcji liniowej,\nwyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nrozwiązania\n34\n5\n\nx\nlub\n2\n\nx\n. Ponieważ drugie rozwiązanie tego równania prowadzi\ndo punktu o współrzędnych \n\n2,1 , co oznacza, że otrzymujemy podany w treści zadania\npunkt A, zatem szukany punkt\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie odległości AC:\n65\n\nAC\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\n\nzapisanie\nrównania\n\n\n2\n2\n1\n9\n65\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n2\n2\n1\n9\n65\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nlub\n\n\n\n\n2\n2\n2\n1\n9\n65\n\n\n\n\ny\ny\nalbo\n\nzapisanie układu równań:\n\n\n\n\n2\n2\n1\n2\n1\n9\n65\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\nlub\n\n\n\n\n2\n2\n1\n2\n1\n9\n65\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nDoprowadzenie do równania kwadratowego, np.\n2\n5\n11\n17\n0\n4\n\n\n\nx\nx\nlub\n2\n5\n44\n68\n0\n\n\n\nx\nx\nlub\n2\n5\n22\n17\n0\n\n\n\ny\ny\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nWyznaczenie współrzędnych wierzchołka\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\nII sposób rozwiązania: (środek odcinka)\nNiech punkt D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Wyznaczamy\nrównanie prostej CD:\n2\n11\n\n\ny\nx\n. Obliczamy współrzędne punktu\n22 11\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nD\nWyznaczamy współrzędne punktu B:\n\nwykorzystując na przykład wzór na współrzędne środka odcinka:\n2\n22\n2\n5\n1\n11\n2\n5\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nalbo\n\nwykorzystując wzór na współrzędne środka odcinka i równanie prostej:\n2\n22\n2\n5\n1\n2\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nx\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nalbo\n\nporównując długości odcinków AD i DB:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\ny\nx\n2\n1\n5\n11\n5\n22\n1\n5\n11\n2\n5\n22\n2\n2\n2\n2\nOtrzymujemy\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nWyznaczenie równania prostej CD, np. w postaci\n2\n11\n\n\ny\nx\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu D:\n22 11\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nD\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze układ równań:\n2\n11\n1\n2\n\n\n\n\n\ny\nx\ny\nx\nlub analogiczny i popełni błąd\nrachunkowy w jego rozwiązaniu, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nWyznaczenie współrzędnych wierzchołka\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\nIII sposób rozwiązania: (kąt między prostymi)\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n1\n8\n\na\n. Zapisujemy równanie:\n2\n2\n1\n1\n8\n2\n2\n1\n1 4\n1\n2\n\n\n\n\n\na\na\n, korzystając ze wzoru na tangens kąta między prostymi AC i BC,\ngdzie\n2a jest współczynnikiem kierunkowym prostej BC. Obliczamy\n2a :\n2\n28\n29\n\na\n(drugie\nrozwiązanie tego równania\n2\n8\n\na\nto współczynnik kierunkowy prostej AC). Zapisujemy\nrównanie prostej BC:\n\n\n28\n1\n9\n29\n\n\n\ny\nx\n, a następnie wyznaczamy punkt wspólny tej prostej\ni prostej AB o równaniu\n1\n2\n\ny\nx . Rozwiązujemy układ równań:\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nx\ny\n2\n1\n9\n1\n29\n28\nOtrzymujemy współrzędne szukanego punktu:\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie równania z niewiadomym współczynnikiem kierunkowym prostej BC:\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n4\n1\n8\n2\n1\na\na\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nWyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej BC:\n2\n28\n29\n\na\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nWyznaczenie współrzędnych wierzchołka\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\njako punktu wspólnego prostych\no równaniach\n1\n2\n\ny\nx oraz\n\n\n28\n1\n9\n29\n\n\n\ny\nx\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów lub zamieni miejscami liczby będące\nwspółrzędnymi danych punktów i rozwiąże konsekwentnie zadanie do końca, to za takie\nrozwiązanie otrzymuje 4 punkty.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoodległości \\(|BC| = |AC|\\)\n\n**Krok 1. Oblicz \\(|AC|\\).**\n\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(2-1)^2 + (1-9)^2} = \\sqrt{1 + 64} = \\sqrt{65}\n\\]\n\n**Krok 2. Sprawdź, że \\(A\\) leży na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\).**\n\nDla \\(A = (2, 1)\\): \\(\\frac{1}{2} \\cdot 2 = 1\\) ✓\n\nSkoro \\(AB\\) leży na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\), to \\(B = \\left(t,\\ \\frac{t}{2}\\right)\\) dla pewnego \\(t \\in \\mathbb{R}\\).\n\n**Krok 3. Nałóż warunek \\(|BC| = \\sqrt{65}\\).**\n\n\\[\n|BC|^2 = (t - 1)^2 + \\left(\\frac{t}{2} - 9\\right)^2 = 65\n\\]\n\n\\[\nt^2 - 2t + 1 + \\frac{t^2}{4} - 9t + 81 = 65\n\\]\n\n\\[\n\\frac{5}{4}t^2 - 11t + 82 = 65\n\\]\n\n\\[\n\\frac{5}{4}t^2 - 11t + 17 = 0 \\quad\\Big|\\cdot 4\n\\]\n\n\\[\n5t^2 - 44t + 68 = 0\n\\]\n\n**Krok 4. Rozwiąż równanie kwadratowe.**\n\n\\[\n\\Delta = 44^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot 68 = 1936 - 1360 = 576 = 24^2\n\\]\n\n\\[\nt_1 = \\frac{44 - 24}{10} = 2, \\qquad t_2 = \\frac{44 + 24}{10} = \\frac{34}{5}\n\\]\n\n**Krok 5. Odrzuć rozwiązanie trywialne.**\n\n\\(t_1 = 2\\) daje \\(B = (2, 1) = A\\) - to nie jest wierzchołek trójkąta.\n\nZatem:\n\n\\[\n\\boxed{B = \\left(\\frac{34}{5},\\ \\frac{17}{5}\\right)}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Oś symetrii przez środek \\(AB\\) (prostopadła do podstawy)\n\nSkoro \\(|AC| = |BC|\\), wierzchołek \\(C\\) jest **równoodległy od \\(A\\) i \\(B\\)**, więc leży na prostopadłej dwusiecznej odcinka \\(AB\\).\n\n**Krok 1. Wyznacz prostą prostopadłą do \\(AB\\) przechodzącą przez \\(C\\).**\n\nProsta \\(AB\\) ma nachylenie \\(\\frac{1}{2}\\), więc prosta prostopadła ma nachylenie \\(-2\\).\n\nProsta prostopadle dwusieczna \\(AB\\) przechodzi przez \\(C = (1, 9)\\):\n\n\\[\ny - 9 = -2(x - 1) \\implies y = -2x + 11\n\\]\n\n**Krok 2. Znajdź środek \\(M\\) odcinka \\(AB\\) jako przecięcie tej prostej z \\(y = \\frac{1}{2}x\\).**\n\n\\[\n\\frac{1}{2}x = -2x + 11 \\implies \\frac{5}{2}x = 11 \\implies x = \\frac{22}{5},\\quad y = \\frac{11}{5}\n\\]\n\n\\[\nM = \\left(\\frac{22}{5},\\ \\frac{11}{5}\\right)\n\\]\n\n**Krok 3. Wyznacz \\(B\\) z warunku, że \\(M\\) jest środkiem \\(AB\\).**\n\n\\[\nM = \\frac{A + B}{2} \\implies B = 2M - A\n\\]\n\n\\[\nB_x = 2 \\cdot \\frac{22}{5} - 2 = \\frac{44}{5} - \\frac{10}{5} = \\frac{34}{5}\n\\]\n\n\\[\nB_y = 2 \\cdot \\frac{11}{5} - 1 = \\frac{22}{5} - \\frac{5}{5} = \\frac{17}{5}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{B = \\left(\\frac{34}{5},\\ \\frac{17}{5}\\right)}\n\\]\n\n**Weryfikacja:** Czy \\(B\\) leży na \\(y = \\frac{1}{2}x\\)?\n\\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{34}{5} = \\frac{17}{5}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[\n|PQ| = \\sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2}\n\\]\nUżyta w Sposobie 1 do obliczenia \\(|AC|\\) i zapisania \\(|BC|\\).\n\nŚrodek odcinka:\n\\[\nx_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\n\\]\nUżyta w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(B = 2M - A\\).\n\nProste prostopadłe (warunek):\n\\[\na_1 \\cdot a_2 = -1\n\\]\nUżyta w Sposobie 2 - prosta przez \\(C\\) ma nachylenie \\(-2 = -\\frac{1}{1/2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(t = 2\\) jest poprawnym rozwiązaniem równania, ale daje \\(B = A\\) - trójkąt by nie istniał. Zawsze sprawdź, czy rozwiązanie ma sens geometrycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić - to \\(C\\) leży na prostopadłej dwusiecznej podstawy \\(AB\\), nie odwrotnie. Wynika to wprost z warunku \\(|AC| = |BC|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nachylenie prostej prostopadłej to **odwrotność ze zmianą znaku**: prosta o nachyleniu \\(\\frac{1}{2}\\) jest prostopadła do prostej o nachyleniu \\(-2\\). Częsty błąd to wzięcie samej odwrotności \\(2\\) bez zmiany znaku.\n\n**Odpowiedź:** \\(B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right)\\).\n\n### Sposób 1 - Równe odległości \\(|AC| = |BC|\\)\nPunkt \\(B\\) leży na prostej \\(y = \\tfrac{1}{2}x\\), więc \\(B = \\left(x, \\tfrac{x}{2}\\right)\\).\n\nObliczmy \\(|AC|\\):\n\\[|AC|^2 = (1-2)^2 + (9-1)^2 = 1 + 64 = 65.\\]\n\nObliczmy \\(|BC|^2\\):\n\\[|BC|^2 = (x-1)^2 + \\left(\\dfrac{x}{2}-9\\right)^2.\\]\n\nZ warunku \\(|AC|=|BC|\\) mamy \\(|AC|^2=|BC|^2\\):\n\\[(x-1)^2 + \\left(\\dfrac{x}{2}-9\\right)^2 = 65.\\]\n\nRozwijamy:\n\\[x^2 - 2x + 1 + \\dfrac{x^2}{4} - 9x + 81 = 65.\\]\n\\[\\dfrac{5x^2}{4} - 11x + 82 = 65.\\]\n\\[\\dfrac{5x^2}{4} - 11x + 17 = 0 \\quad\\Big/\\cdot 4.\\]\n\\[5x^2 - 44x + 68 = 0.\\]\n\\[\\Delta = 44^2 - 4\\cdot 5\\cdot 68 = 1936 - 1360 = 576.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 24.\\]\n\\[x = \\dfrac{44\\pm 24}{10}.\\]\n\\[x_1 = \\dfrac{68}{10} = \\dfrac{34}{5},\\qquad x_2 = \\dfrac{20}{10} = 2.\\]\n\nDla \\(x = 2\\) mamy \\(B = (2, 1) = A\\), odrzucamy.\nZatem \\(B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right)\\).\n\n### Sposób 2 - Środek odcinka \\(AB\\)\nSpodek wysokości z \\(C\\) na \\(AB\\) to punkt \\(D\\) (środek \\(AB\\)), leżący na prostej \\(AB\\). Wyznaczamy prostą \\(CD\\) prostopadłą do \\(AB\\): współczynnik kierunkowy \\(AB\\) to \\(\\tfrac{1}{2}\\), więc \\(CD\\): \\(y = -2x + 11\\) (przechodzi przez \\(C(1,9)\\)).\n\nPunkt \\(D\\) to przecięcie \\(AB\\) i \\(CD\\):\n\\[\\dfrac{x}{2} = -2x + 11 \\implies x = -4x + 22 \\implies 5x = 22 \\implies x = \\dfrac{22}{5},\\ y = \\dfrac{11}{5}.\\]\n\\[D = \\left(\\dfrac{22}{5},\\ \\dfrac{11}{5}\\right).\\]\n\n\\(D\\) to środek \\(AB\\), więc:\n\\[\\dfrac{x_A + x_B}{2} = \\dfrac{22}{5} \\implies x_B = \\dfrac{44}{5} - 2 = \\dfrac{34}{5}.\\]\n\\[\\dfrac{y_A + y_B}{2} = \\dfrac{11}{5} \\implies y_B = \\dfrac{22}{5} - 1 = \\dfrac{17}{5}.\\]\n\\[B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right).\\]\n\n**Pamiętaj:** w trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka do podstawy dzieli podstawę na dwie równe części.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S\ntrójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany\nbocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).\nS\nA\nB\nC\nD\nS\nA\nB\nC\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n18\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S\ntrójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany\nbocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).\nI sposób rozwiązania:\n1) Obliczenie H (wysokości ostrosłupa), np. z własności trójkąta równobocznego ACS:\n3\n4 3\n2\nb\nH \n\n, gdzie\n8\nb \nlub z trójkąta prostokątnego AOS :\n2\n2\n2\nb\nH\nb\n\n\n\n\n\n\n\nZdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu:\n6,93\nH \n2) Obliczenie a (długości krawędzi podstawy ostrosłupa), np. ze wzoru na długość\nprzekątnej kwadratu:\n2\n8\na\n\n,\n4 2\na \nlub\n5,66\na \n3) Obliczenie h\nSE\n\n(wysokości ściany bocznej) z trójkąta prostokątnego SOE:\n2\n2\n2\na\nh\nH\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2 14\nh \nlub z trójkąta prostokątnego SEA:\n2\n2\n2\na\nh\nb\n\n\n\n\n\n\n\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznacza związki miarowe w wielościanach; znajduje\nzwiązki miarowe w figurach płaskich, w tym stosuje\nwłasności trójkąta równobocznego i prostokątnego\ni wykorzystuje definicję i własności funkcji\ntrygonometrycznych.\nA\nB\nC\nD\nS\nO\nE\n\nH\nh\na\nb\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nZdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu:\n7,48\nh \n4) Obliczenie sinusa kąta :\n42\nsin\n7\nH\nh\n\n\nlub obliczenie cosinusa kąta , np. z twierdzenia cosinusów:\n2\n2\n2\n2\ncos\nh\na\nh\nah\n\n\n\n\n,\n7\ncos\n7\n\n, a następnie sinusa kąta\n, np. z jedynki trygonometrycznej:\n2\n7\n42\nsin\n1\ncos\n1\n49\n7\n\n\n\n\n\n\n\nlub wykorzystanie dokonanych przybliżeń do obliczenia sin\n0,93\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\n\nobliczenie H (wysokości ostrosłupa):\n8 3\n4 3\n2\nH \n\nlub\n6,93\nH \nalbo\n\nobliczenie a (długości krawędzi podstawy):\n4 2\na \nlub\n5,66\na \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\n\nobliczenie h (wysokości ściany bocznej ostrosłupa):\n2 14\nh \nlub\n7,48\nh \noraz\n\nobliczenie H (wysokości ostrosłupa):\n8 3\n4 3\n2\nH \n\nlub\n6,93\nH \nZostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały\npopełnione błędy rachunkowe, usterki 2 pkt\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie sinusa kąta :\n42\nsin\n7\n\nlub sin\n0,93\n\nII sposób rozwiązania:\n1) Obliczenie H (wysokości ostrosłupa), np. z własności trójkąta równobocznego ACS\n3\n4 3\n2\nb\nH \n\n, gdzie\n8\nb \nlub z trójkąta prostokątnego AOS :\n2\n2\n2\nb\nH\nb\n\n\n\n\n\n\n\nZdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu:\n6,93\nH \n2) Obliczenie a (długości krawędzi podstawy ostrosłupa), np. ze wzoru na długość\nprzekątnej kwadratu\n2\n8\na\n\n,\n4 2\na \nlub\n5,66\na \nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n3) Obliczenie tangensa kąta :\n2\ntg\n6\n2\nH\nH\na\na\n\n\n\nlub tg\n2,45\n\n4) Odczytanie wartości kąta :\n68\n\n i sinusa tego kąta z tablic trygonometrycznych:\nsin\n0,93\n\nlub obliczenie sin z układu równań:\n2\n2\nsin\n6\ncos\nsin\ncos\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n42\nsin\n7\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\n\nobliczenie H (wysokości ostrosłupa):\n8 3\n4 3\n2\nH \n\nlub\n6,93\nH \nalbo\n\nobliczenie a (długości krawędzi podstawy):\n4 2\na \nlub\n5,66\na \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie tangensa kąta : tg\n6\n\nlub tg\n2,45\n\nZostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały\npopełnione błędy rachunkowe, usterki 2 pkt\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie sinusa kąta :\n42\nsin\n7\n\nlub sin\n0,93\n\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nNie obniżamy punktacji za rozwiązanie, w którym zdający poprawnie obliczył wysokość\nostrosłupa, ale przy obliczaniu sinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny\npodstawy podstawił błędną wartość.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\varphi = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Apotema i wysokość ostrosłupa\n\n**Krok 1: Wyznacz bok podstawy (kwadratu)**\n\nTrójkąt \\(ACS\\) jest równoboczny z bokiem \\(8\\), więc:\n\\[AC = AS = CS = 8\\]\n\n\\(AC\\) to przekątna kwadratu \\(ABCD\\). Jeśli bok kwadratu to \\(a\\):\n\\[AC = a\\sqrt{2} = 8 \\implies a = \\frac{8}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wysokość ostrosłupa \\(h\\)**\n\nNiech \\(O\\) będzie centrum kwadratu (punkt przecięcia przekątnych = rzut \\(S\\) na podstawę).\n\nOdległość od \\(O\\) do wierzchołka \\(A\\) to połowa przekątnej:\n\\[OA = \\frac{AC}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(OAS\\):\n\\[AS^2 = OA^2 + h^2\\]\n\\[64 = 16 + h^2\\]\n\\[h^2 = 48 \\implies h = 4\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz apotema ściany bocznej**\n\nNiech \\(M\\) będzie środkiem krawędzi \\(AB\\). Kąt nachylenia ściany bocznej (trójkąta \\(ABS\\)) do podstawy to kąt \\(\\varphi = \\angle SMO\\).\n\nApotema podstawy (odległość od \\(O\\) do krawędzi \\(AB\\)):\n\\[OM = \\frac{a}{2} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\]\n\nApotema ściany bocznej \\(SM\\) (linia, po której mierzymy kąt):\n\\[SM^2 = h^2 + OM^2 = 48 + 8 = 56 \\implies SM = 2\\sqrt{14}\\]\n\n**Krok 4: Oblicz sinus kąta nachylenia**\n\nW trójkącie prostokątnym \\(OMS\\) (kąt prosty przy \\(O\\)):\n\\[\n\\sin\\varphi = \\frac{h}{SM} = \\frac{4\\sqrt{3}}{2\\sqrt{14}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{14}} = \\frac{2\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{14}}{14} = \\frac{2\\sqrt{42}}{14}\n\\]\n\n\\[\\boxed{\\sin\\varphi = \\frac{\\sqrt{42}}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez współrzędne kartezjańskie\n\nUmieśćmy ostrosłup w układzie współrzędnych z \\(O = (0, 0, 0)\\):\n\\[A = (2\\sqrt{2},\\ 2\\sqrt{2},\\ 0),\\quad B = (-2\\sqrt{2},\\ 2\\sqrt{2},\\ 0),\\quad S = (0,\\ 0,\\ 4\\sqrt{3})\\]\n\nŚrodek krawędzi \\(AB\\): \\(M = (0,\\ 2\\sqrt{2},\\ 0)\\)\n\nKąt diedralny między ścianą \\(ABS\\) a podstawą wyznaczamy przez wektory prostopadłe do \\(AB\\) w obu płaszczyznach - oba wychodzące z \\(M\\):\n- W podstawie: \\(\\vec{MO} = (0,\\ -2\\sqrt{2},\\ 0)\\)\n- W ścianie: \\(\\vec{MS} = (0,\\ -2\\sqrt{2},\\ 4\\sqrt{3})\\)\n\n\\[\\cos\\varphi = \\frac{\\vec{MO} \\cdot \\vec{MS}}{|\\vec{MO}|\\ |\\vec{MS}|} = \\frac{0 + 8 + 0}{2\\sqrt{2} \\cdot 2\\sqrt{14}} = \\frac{8}{4\\sqrt{28}} = \\frac{8}{8\\sqrt{7}} = \\frac{1}{\\sqrt{7}}\\]\n\n\\[\\sin\\varphi = \\sqrt{1 - \\cos^2\\varphi} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{7}} = \\sqrt{\\frac{6}{7}} = \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{7}} = \\frac{\\sqrt{42}}{7}\\]\n\nWynik zgodny: \\(\\sin\\varphi = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy dwukrotnie: do wyznaczenia \\(h\\) (w trójkącie \\(OAS\\)) i apotemy \\(SM\\) (w trójkącie \\(OMS\\)).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - własności ostrosłupa prawidłowego: wysokość pada prostopadle na środek podstawy. Z tej własności wynikało, że \\(OA = \\frac{AC}{2}\\) i \\(OM \\perp AB\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - iloczyn skalarny wektorów do wyznaczenia kąta (Sposób 2).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia ściany mierzymy **od apotemy ściany bocznej** (\\(SM\\)) - czyli od linii łączącej wierzchołek \\(S\\) ze **środkiem** krawędzi podstawy. Częsty błąd to pomiar kąta przy krawędzi bocznej \\(SA\\) - to jest coś zupełnie innego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema podstawy to \\(OM = \\frac{a}{2}\\), **nie** \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\). Nie mylić z odległością od środka do wierzchołka (= połowa przekątnej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoboczność trójkąta \\(ACS\\) daje nam **przekątną** jako bok, czyli \\(AC = 8\\) - stąd bok kwadratu to \\(a = \\frac{8}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{2}\\), **a nie** \\(8\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}\\approx 0{,}93\\).\n\n### Sposób 1 - Pełna trygonometria\nOznaczmy: \\(b = |AS| = |CS| = 8\\) (bok trójkąta równobocznego \\(ACS\\)), \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(H\\) - wysokość ostrosłupa, \\(h\\) - wysokość ściany bocznej, \\(\\alpha\\) - szukany kąt.\n\n**Krok 1. Wysokość ostrosłupa \\(H\\).** \\(AC\\) to przekątna kwadratu i jednocześnie bok trójkąta równobocznego \\(ACS\\). Wysokość trójkąta równobocznego \\(ACS\\) (czyli wysokość ostrosłupa \\(H\\)):\n\\[H = \\dfrac{b\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 2. Krawędź podstawy \\(a\\).** Przekątna kwadratu \\(a\\sqrt{2} = |AC| = 8\\), więc\n\\[a = \\dfrac{8}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{2}.\\]\n\n**Krok 3. Wysokość ściany bocznej \\(h\\).** \\(E\\) - środek boku \\(AB\\) (spodek wysokości ściany bocznej). W trójkącie prostokątnym \\(SOE\\), gdzie \\(O\\) - środek podstawy, mamy \\(|OE| = \\tfrac{a}{2} = 2\\sqrt{2}\\).\n\\[h = \\sqrt{H^2 + |OE|^2} = \\sqrt{(4\\sqrt{3})^2 + (2\\sqrt{2})^2} = \\sqrt{48 + 8} = \\sqrt{56} = 2\\sqrt{14}.\\]\n\n**Krok 4. Sinus kąta \\(\\alpha\\).**\nKąt \\(\\alpha\\) ma miarę takiego kąta w trójkącie prostokątnym \\(SOE\\), że naprzeciw leży \\(H\\), a przeciwprostokątną jest \\(h\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{H}{h} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{2\\sqrt{14}} = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{14}} = \\dfrac{2\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{14}}{14} = \\dfrac{2\\sqrt{42}}{14} = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez tangens\nW trójkącie prostokątnym \\(SOE\\): \\(\\tan\\alpha = \\dfrac{H}{|OE|} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}} = \\sqrt{6}\\).\nZatem \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{1+\\tan^2\\alpha}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{7}}\\), a\n\\[\\sin\\alpha = \\tan\\alpha\\cdot\\cos\\alpha = \\sqrt{6}\\cdot\\dfrac{1}{\\sqrt{7}} = \\sqrt{\\dfrac{6}{7}} = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}.\\]\n\n**Pamiętaj:** kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej a jej rzutem na płaszczyznę podstawy.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nKolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h,\nto pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał\nten kolarz.\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n20\nBRUDNOPIS\nKolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nKolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h,\nto pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał\nten kolarz.\nI sposób rozwiązania:\nPrzyjmujemy oznaczenia, np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach, v - średnia\nprędkość w kilometrach na godzinę. Zapisujemy zależności między czasem a prędkością\nw obu sytuacjach opisanych w zadaniu:\n114\nv t\noraz \n\n\n9,5\n2\n114\nv\nt\n\n\n\n\nModelowanie matematyczne\nRozwiązuje zadania dotyczących sytuacji praktycznych,\nprowadzące do równania kwadratowego.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nNastępnie zapisujemy układ równań \n\n\n114\n9,5\n2\n114\nv t\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:\n\n\n114\n9,5\n2\n114\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n228\n114\n9,5\n19\n114\nt\nt\n\n\n\n\nMnożymy obie strony przez t:\n2\n9,5\n19\n228\n0\nt\nt\n\n\n\nDzielimy obie strony przez 9,5:\n2\n2\n24\n0\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n6\n4\n0\nt\nt\n\n\n\n\n1\n6\nt \nlub 2\n4\nt \n1t jest sprzeczne z warunkami zadania.\nObliczamy średnią prędkość, z jaką jechał kolarz:\n114\n28,5\n4\nv \n\nII sposób rozwiązania:\nZapisujemy zależności między czasem a prędkością w obu sytuacjach opisanych w zadaniu:\n114\nv t\noraz \n\n\n9,5\n2\n114\nv\nt\n\n\n\n\nNastępnie zapisujemy układ równań \n\n\n114\n9,5\n2\n114\nv t\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:\n\n\n114\n9,5\n2\n114\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1083\n114\n2\n19\n114\nv\nv\n\n\n\n\nMnożymy obie strony przez v\n2\n2\n19\n1083\n0\nv\nv\n\n\n\n2\n19\n8 1083\n9025\n\n\n\n95\n\n1\n19\n95\n4\nv\n\n\n2\n19\n95\n114\n28,5\n4\n4\nv\n\n\n\n\n1v jest sprzeczne z warunkami zadania.\nŚrednia prędkość, z jaką jechał kolarz, jest równa 28,5 km/godzinę.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nIII sposób rozwiązania:\nPrzyjmujemy oznaczenia, np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach, v - średnia\nprędkość w kilometrach na godzinę.\nNarysowane duże prostokąty reprezentują trasę przebytą przez kolarza w obu sytuacjach\nopisanych w zadaniu, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów\nsą równe. Stąd równość\n\n\n9,5\n2\n9,5\nt\nv\n\n\ni następnie\n\n\n9,5\n2\n2\nt\nv\n\n\ni\n\n\n4,75\n2\nv\nt\n\n\nPonieważ trasa przebyta przez kolarza ma długość 114 km, otrzymujemy równanie:\n\n\n4,75\n2\n114\nt\nt\n\n\n2\n4,75\n9,5\n114\n0\nt\nt\n\n\n\nDzielimy obie strony przez 4,75:\n2\n2\n24\n0\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n6\n4\n0\nt\nt\n\n\n\n\n1\n6\nt \nlub 2\n4\nt \n1t jest sprzeczne z warunkami zadania.\nObliczamy średnią prędkość, z jaką jechał kolarz:\n114\n28,5\n4\nv \n\nOdp. Średnia prędkość, z jaką jechał kolarz, jest równa 28,5 km/godzinę.\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie równania w sytuacji domniemanej (t oznacza czas pokonania całej trasy\nw godzinach, a v średnią prędkość rowerzysty w kilometrach na godzinę)\n\n\n\n114\n5,9\n2\n\n\n\n\nv\nt\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n114\n5,9\n2\n114\nv\nt\nv\nt\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.:\n\n\n114\n9,5\n2\n114\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub \n\n114\n9,5\n2\n114\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n4,75\n2\n114\nt\nt\n\n\nt +2\nt\nv - 9,5\nv\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nZostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania\nzostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki 2 pkt\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n\nobliczenie czasu:\n4\n\nt\nlub\n6\n\n\nt\ni nie obliczenie prędkości lub obliczenie prędkości\nz błędem rachunkowym\nalbo\n\nobliczenie czasu:\n4\n\nt\nlub\n6\n\n\nt\ni obliczenie prędkości:\n28,5\nv \ni\n19\nv \ni niewyeliminowanie prędkości niezgodnej z warunkami zadania\nalbo\n\nobliczenie czasu z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości\nalbo\n\nrozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie średniej prędkości, z jaką jechał kolarz:\n28,5km/godzinę\nv \nUwagi:\n1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający odgadnie średnią prędkość jazdy kolarza i nie uzasadni, że jest to jedyne\nrozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nPrzykład 1.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość kolarza, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez kolarza\n114\n9,5\n2\nv\nt\n\n\n\n\n114\n114\n9,5\n2\nv t\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym\njest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie\nujął wyrażenia\n2\nt \nw nawias. Zapis równania\n114\n9,5\n2\nv\nt\n\n\nwskazuje na poprawną\ninterpretację zależności między wielkościami.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nPrzykład 2.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość kolarza, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez kolarza\n114\n9,5\n2\nv\nt\n\n\n114\n210\n9,5\nv\nt\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n411\n114\n9,5\nt\nt\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych\ntrudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 411\n114\n9,5\nt\nt\n\n\n zdający\nprzestawił cyfry w zapisie liczby 114 i pominął liczbę 2 w mianowniku ułamka.\nPrzykład 3.\nJeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.\n2\n2\n19\n1083\n0\nv\nv\n\n\n\nzamiast równania\n2\n2\n19\n1083\n0\nv\nv\n\n\n\n(np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie\njednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi\nwynik, który może być realną prędkością jazdy kolarza, to takie rozwiązanie kwalifikujemy\ndo kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(v = 28{,}5\\) km/h\n\n## Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą (prędkość)\n\n**Oznaczamy:** niech \\(v\\) [km/h] oznacza średnią prędkość kolarza.\n\nCzas przejazdu przy prędkości \\(v\\):\n\\[t_1 = \\frac{114}{v}\\]\n\nCzas przejazdu przy prędkości o \\(9{,}5\\) km/h mniejszej:\n\\[t_2 = \\frac{114}{v - 9{,}5}\\]\n\nWarunek zadania - czas drugi jest o 2 godziny dłuższy:\n\\[\\frac{114}{v - 9{,}5} = \\frac{114}{v} + 2\\]\n\nPrzenosimy \\(\\frac{114}{v}\\) na lewą stronę:\n\\[\\frac{114}{v - 9{,}5} - \\frac{114}{v} = 2\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika \\(v(v - 9{,}5)\\):\n\\[\\frac{114v - 114(v - 9{,}5)}{v(v - 9{,}5)} = 2\\]\n\nUpraszczamy licznik:\n\\[\\frac{114v - 114v + 114 \\cdot 9{,}5}{v(v - 9{,}5)} = 2\\]\n\\[\\frac{1083}{v(v - 9{,}5)} = 2\\]\n\nMnożymy obustronnie przez \\(v(v - 9{,}5)\\):\n\\[1083 = 2v(v - 9{,}5)\\]\n\\[1083 = 2v^2 - 19v\\]\n\\[2v^2 - 19v - 1083 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = (-19)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-1083) = 361 + 8664 = 9025\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{9025} = 95\\]\n\nPierwiastki:\n\\[v_1 = \\frac{19 + 95}{4} = \\frac{114}{4} = 28{,}5\\]\n\\[v_2 = \\frac{19 - 95}{4} = \\frac{-76}{4} = -19\\]\n\nPrędkość musi być dodatnia, więc \\(v_2 = -19\\) odrzucamy.\n\n**Kolarz jechał ze średnią prędkością \\(\\boldsymbol{28{,}5}\\) km/h.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(v = 28{,}5\\) km/h spełnia warunki zadania.\n\nCzas przy prędkości \\(28{,}5\\) km/h:\n\\[t_1 = \\frac{114}{28{,}5} = 4 \\text{ h}\\]\n\nCzas przy prędkości \\(28{,}5 - 9{,}5 = 19\\) km/h:\n\\[t_2 = \\frac{114}{19} = 6 \\text{ h}\\]\n\nRóżnica czasów:\n\\[t_2 - t_1 = 6 - 4 = 2 \\text{ h} \\checkmark\\]\n\nOba warunki zadania są spełnione - odpowiedź jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów do rozwiązania równania kwadratowego \\(2v^2 - 19v - 1083 = 0\\), które powstało po uproszczeniu równania z prędkościami.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapis „prędkość mniejsza o \\(9{,}5\\) km/h\" to \\(v - 9{,}5\\), nie \\(v - 9{,}5\\%\\) ani \\(\\frac{v}{9{,}5}\\). Uważaj na słowo „mniejsza o\" (różnica) vs „mniejsza \\(n\\) razy\" (iloraz).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(\\frac{114}{v - 9{,}5} = \\frac{114}{v} + 2\\) zawiera mianownik \\(v - 9{,}5\\). Dziedzina: \\(v \\neq 9{,}5\\) i \\(v \\neq 0\\) - oba warunki i tak wyklucza sens fizyczny (prędkość musi być dodatnia i większa niż \\(9{,}5\\) km/h).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwiązaniu równania kwadratowego zawsze sprawdź oba pierwiastki pod kątem sensu fizycznego. Tu \\(v_2 = -19 < 0\\) - prędkość ujemna jest bez sensu, odrzucamy.\n\n**Odpowiedź:** Średnia prędkość wynosi \\(v = 28{,}5\\) km/h.\n\n### Sposób 1 - Niewiadoma czasu \\(t\\)\nOznaczenia: \\(v\\) - szukana prędkość [km/h], \\(t\\) - czas pokonania trasy [h]. Wtedy\n\\[v\\cdot t = 114 \\qquad (1)\\]\n\\[(v - 9{,}5)(t + 2) = 114 \\qquad (2)\\]\n\nZ (1): \\(v = \\dfrac{114}{t}\\). Wstawiamy do (2):\n\\[\\left(\\dfrac{114}{t} - 9{,}5\\right)(t+2) = 114.\\]\n\\[114 + \\dfrac{228}{t} - 9{,}5t - 19 = 114.\\]\n\\[\\dfrac{228}{t} - 9{,}5t - 19 = 0 \\quad\\Big/\\cdot t.\\]\n\\[228 - 9{,}5t^2 - 19t = 0.\\]\n\\[9{,}5t^2 + 19t - 228 = 0 \\quad\\Big/:9{,}5.\\]\n\\[t^2 + 2t - 24 = 0.\\]\n\\[(t+6)(t-4) = 0.\\]\n\\[t = -6\\ \\text{(odrzucamy, bo } t>0\\text{)}\\ \\text{lub}\\ t = 4.\\]\n\nZatem \\(t = 4\\) h, a\n\\[v = \\dfrac{114}{4} = 28{,}5\\ \\text{km/h}.\\]\n\n### Sposób 2 - Niewiadoma prędkości \\(v\\)\nZ (1): \\(t = \\dfrac{114}{v}\\). Wstawiamy do (2):\n\\[(v-9{,}5)\\left(\\dfrac{114}{v}+2\\right) = 114.\\]\n\\[114 + 2v - \\dfrac{1083}{v} - 19 = 114.\\]\n\\[2v - \\dfrac{1083}{v} - 19 = 0 \\quad\\Big/\\cdot v.\\]\n\\[2v^2 - 19v - 1083 = 0.\\]\n\\[\\Delta = 19^2 + 8\\cdot 1083 = 361 + 8664 = 9025,\\quad\\sqrt{\\Delta} = 95.\\]\n\\[v = \\dfrac{19\\pm 95}{4}.\\]\n\\[v_1 = \\dfrac{-76}{4} = -19\\ \\text{(odrzucamy)},\\qquad v_2 = \\dfrac{114}{4} = 28{,}5.\\]\n\n### Sprawdzenie\n\\(v = 28{,}5\\) km/h, \\(t = 4\\) h, trasa \\(= 114\\) km ✓.\n\\(v' = 19\\) km/h, \\(t' = 6\\) h, trasa \\(= 19\\cdot 6 = 114\\) km, \\(t' - t = 2\\) h ✓.\n\n**Pamiętaj:** zadania ze zmianą prędkości/czasu sprowadzają się do układu z drogą \\(=s\\) niezmienioną; wybór niewiadomej \\(t\\) lub \\(v\\) to kwestia wygody.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}