{"paper":{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nLiczba \n\n3\n2\n3 16 4\n\njest równa\nA.\n4\n4\nB.\n4\n4\nC.\n8\n4\nD.\n12\n4\nLiczba (pierwiastek 3 stopnia z 16 * 4^{-2})^3 jest równa A. 4^4, B. 4^{-4}, C. 4^{-8}, D. 4^{-12}","answer":"B","answer_text":"1 3\n4\n0\nx\nx\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n3\n4\n\nx\nlub\n1\n\n\nx\nlub\n1\n\nx\nII sposób rozwiązania (metoda dzielenia)\n\nStwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nDzielimy wielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n1\nx . Otrzymujemy iloraz\n2\n3\n4\nx\nx\n\n. Zapisujemy równanie w postaci\n0\n)\n4\n3\n)(\n1\n(\n2\n\n\n\n\nx\nx\nx\n. Obliczamy\nwyróżnik trójmianu\n2\n3\n4\nx\nx\n\n:\n49\n4\n3\n4\n1\n\n\n\n\n\n\n. Stąd pierwiastkami trójmianu\nsą liczby\n1\n6\n7\n1\n1\n\n\n\n\nx\noraz\n3\n4\n6\n7\n1\n2\n\n\n\nx\n. Zatem\n3\n4\n\nx\nlub\n1\n\n\nx\nlub\n1\n\nx\nalbo\n\nstwierdzamy, że liczba 1\n jest pierwiastkiem wielomianu\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n1\nx . Otrzymujemy iloraz\n2\n3\n7\n4\nx\nx\n\n\nZapisujemy równanie w postaci\n0\n)\n4\n7\n3\n)(\n1\n(\n2\n\n\n\n\nx\nx\nx\n. Obliczamy wyróżnik\ntrójmianu\n2\n3\n7\n4\nx\nx\n\n\n:\n1\n4\n3\n4\n49\n\n\n\n\n\n\n. Stąd pierwiastkami trójmianu są liczby\n1\n6\n1\n7\n1\n\n\n\nx\noraz\n3\n4\n6\n1\n7\n2\n\n\n\nx\n. Zatem\n3\n4\n\nx\nlub\n1\n\n\nx\nlub\n1\n\nx\nalbo\n\nstwierdzamy, że liczba 3","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nDodatnia liczba x stanowi 70% liczby y. Wówczas\nA.\n13\n10\ny\nx\n\nB.\n7\n10\ny\nx\n\nC.\n10\n7\ny\nx\n\nD.\n10\n13\ny\nx\n\nDodatnia liczba x stanowi 70 procent liczby y. Wówczas A. y = 13/10 x, B. y = 7/10 x, C. y = 10/7 x, D. y = 10/13 x.","answer":"C","answer_text":"2 punkty.\nII sposób rozwiązania\nZauważamy, że suma\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\njest sumą\nośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym\n1\n1\na ,\n2013\nq \ni\n7\n8\n2013\na \nStąd\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n4\n2\n2\n4\n8\n8\n1 2013\n1\n2013\n1 2013\n1\n2013\n1\n2013\n1 2013\n1 1 2013\n1 2013\n1 2013\n1 2013\nS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n4\n1\n2013 1\n2013\n1\n2013\n1 2013\n\n\n\n\n\n\n\n2\n4\n2014 1\n2013\n1\n2013\n\n\n\n\nZatem liczba \n\n\n2\n4\n1 2013\n1 2013\n\n\njest dzielnikiem liczby\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zauważy, że liczba\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\njest sumą\nośmiu wyrazów ciągu geometrycznego, w którym\n1\n1\na ,\n2013\nq \ni\n7\n8\n2013\na \nalbo\n zapisze, że\n8\n8\n1 2013\n1 1 2013\nS\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i zapisze\n\n\n\n\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n2\n4\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n1 2013 1 2013\n1\n2013\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nIII sposób rozwiązania\nZauważamy, że liczbę\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\nmożna zapisać\nw postaci, np.: \n\n\n\n\n\n\n\n4\n4\n2\n4\n3\n4\n1 2013\n2013 1 2013\n2013 1 2013\n2013 1 2013\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n3\n4\n2\n2\n1 2013\n1 2013\n2013\n2013\n1 2013\n1 2013\n2013 1 2013\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n2\n4\n2\n1 2013\n1 2013\n2013 1 2013\n1 2013\n1 2013\n1 2013\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem liczba \n\n\n2\n4\n1 2013\n1 2013\n\n\njest dzielnikiem liczby\n2\n7\n1 2013\n2013\n2013\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze liczbę\n2\n7\n1 2013 2013\n2013\n\n\n\n\nw postaci \n\n\n4\n2\n3\n1 2013\n1 2013\n2013\n2013\n\n\n\n\ni nie zauważy, że liczbę \n\n2\n3\n1 2013 2013\n2013\n\n\n\nmożna zapisać w postaci \n\n\n2\n1 2013\n1 2013\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZadania 31. (2 pkt)\nNieskończony ciąg geometryczny \nna\njest określony wzorem\n1\n7 3n\nna\n\n\n, dla\n1\nn . Oblicz\niloraz q tego ciągu.\nRozwiązanie (I sposób)\nPonieważ ciąg \nna\njest geometryczny, więc wystarczy obliczyć dwa kolejne wyrazy tego\nciągu, np.\n1 1\n1\n7 3\n7 9\na\n\n\n oraz\n2 1\n2\n7 3\n7 27\na\n\n\n\n. Iloraz ciągu \nna\njest więc równy\n2\n1\n7 27\n3\n7 9\na\nq\na\n\n\n\n\n\nRozwiązanie (II sposób)\nPierwszy wyraz ciągu \nna\njest równy\n1 1\n1\n7 3\n63\na\n\n\n\n. Ponieważ ciąg \nna\njest\ngeometryczny oraz\n1\n1\n1\n1\n1\n7 3\n7 3\n3\n21 3\n63 3\n3\nn\nn\nn\nn\nn\nn\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc ze wzoru na n-ty\nwyraz ciągu geometrycznego wynika, że iloraz tego ciągu jest równy\n3\nq \nRozwiązanie (III sposób)\nPonieważ wszystkie wyraz ciągu \nna\nsą różne od zera, więc iloraz q tego ciągu jest równy\n1\n7\nn\nn\na\nq\na\n\n\n\n\n1\n1\n3\n7\nn\n\n1\n3\n3n\n\n\ndla\n1\nn .\nRozwiązanie (IV sposób)\nDla każdego\n1\nn  mamy\n\n\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n7 3\n7 3\n3\n3 7 3\n3\nn\nn\nn\nn\nn\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc ciąg \nna\njest geometryczny, a jego iloraz jest równy 3.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n obliczy dwa kolejne wyrazy ciągu \nna\n, np.:\n1 1\n1\n7 3\n7 9\na\n\n\n oraz\n2 1\n2\n7 3\n7 27\na\n\n\n\noraz poprawnie zapisze relację między tymi wyrazami, np.:\n2\n1\na\na q\n\n i na tym\npoprzestanie lub błędnie obliczy iloraz ciągu\nalbo\n obliczy pierwszy wyraz ciągu i zapisze n-ty wyraz ciągu w postaci\n1\n63 3n\nna\n\n\n\ni na\ntym poprzestanie lub błędnie poda iloraz ciągu.\nalbo\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\n wyznaczy\n1\nn  wyraz ciągu \nna\noraz poprawnie zapisze relację między wyrazami,\nnp.:\n1\nn\nn\na\nq\na\n\n\nlub\n1\nn\nn\na\na\nq\n\n\ni na tym poprzestanie lub błędnie obliczy iloraz ciągu.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy iloraz q:\n3\nq \nUwaga\nJeżeli zdający poda od razu iloraz ciągu\n3\nq \n, to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 32. (4 pkt)\nPodstawą graniastosłupa ABCDEFGH jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego\nkrótszy bok ma długość 3. Przekątna prostokąta ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt\n30. Przekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60.Oblicz\nobjętość tego graniastosłupa.\nRozwiązanie (krawędź podstawy AB, przekątna BD i wysokość DH graniastosłupa)\nUwaga\nStrategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów\nrozwiązania:\n obliczenie długości dłuższej krawędzi podstawy graniastosłupa, ew. długości\nprzekątnej podstawy i wysokości tego graniastosłupa\n obliczenie pola podstawy graniastosłupa\n obliczenie objętości ostrosłupa.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\n30\n60\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nNiech\n3\nAD \n. Z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ABD wynika, że\ntg30\nAD\nAB \n, stąd\n3 3\nAB \nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta ABD otrzymujemy\n\n\n2\n23\n3 3\n6\nBD \n\n\nPole P podstawy graniastosłupa (pole prostokąta ABCD) jest równe:\n9 3\nP \nA teraz z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym BDH otrzymujemy, że\ntg60\nDH\nBD \n, stąd\n6 3\nDH \nObliczamy zatem objętość graniastosłupa ABCDEFGH:\n9 3 6 3\n162\nV \n\n\nSchemat oceniania rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie\n długości dłuższej krawędzi podstawy graniastosłupa:\n3 3\nAB \nalbo\n długości przekątnej podstawy graniastosłupa:\n6\nBD \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie\n długości dłuższej krawędzi podstawy graniastosłupa i długości przekątnej podstawy\ngraniastosłupa:\n3 3\nAB \n,\n6\nBD \nalbo\n pola podstawy graniastosłupa:\n3\nsin60\n3 6\n9 3\n2\nABCD\nP\nBC\nBD\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie\n długości dłuższej krawędzi podstawy graniastosłupa i długości przekątnej podstawy\ngraniastosłupa i wysokości graniastosłupa:\n3 3\nAB \n,\n6\nBD \n,\n6 3\nDH \nalbo\n pola\npodstawy\ngraniastosłupa\ni\nwysokości\ngraniastosłupa:","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nPrzedział\n1,3\n\njest opisany nierównością\nA.\n1\n2\nx \n\nB.\n2\n1 \n\nx\nC.\n2\n1 \n\nx\nD.\n1\n2\nx \n\nPrzedział <-1,3> jest opisany nierównością A. |x+1| >= 2, B. |x+1| <= 2, C. |x-1| <=2, D. |x-1| >= 2","answer":"C","answer_text":"3. Jeżeli zdający poda liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do\nInternetu i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, ale sprawdzi, że spełnione są\nwówczas warunki zadania, to otrzymuje 2 punkty.\n4. Jeżeli zdający systematycznie sprawdza, czy są spełnione warunki zadania dla kolejnych\nliczb od 1 do 6 i poda liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do\nInternetu, to otrzymuje 5 punktów.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nZadanie 34. (5 pkt)\nWierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne:\n\n\n1, 5\nA \n,\n\n\n5,1\nB \n,\n\n\n1,3\nC \n,\n\n\n2,0\nD \n. Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu,\na jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona AD oraz BC\ntrapezu ABCD.\nRozwiązanie\nWyznaczamy równania prostych zawierających ramiona AD oraz BC trapezu, odpowiednio:\n5\n10\ny\nx\n\n\noraz\n1\n7\n2\n2\ny\nx\n\n\nŚrodkiem okręgu S jest punkt przecięcia się prostych o wyznaczonych równaniach.\nAby wyznaczyć współrzędne punktu S zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:\n5\n10\n1\n7\n2\n2\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nStąd\n1\n7\n5\n10\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\n, czyli\n3\nx . Zatem\n5\ny \n, czyli\n\n\n3,5\nS \n. Zauważmy, że\npromień szukanego okręgu jest równy odległości punktu S od prostej AB. Trzeba też\nsprawdzić, czy punkt styczności okręgu i prostej AB leży na podstawie tego trapezu.\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt S:\n2\ny\nx\n, a następnie wyznaczamy współrzędne punktu P przecięcia się tej prostej z prostą\nAB. Rozwiązujemy zatem układ równań\n2\n4\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\ni zapisujemy, że\n\n\n3, 1\nP \n\nZauważmy, że punkt P leży między punktami A i B, gdyż\n1\n3\n5\nA\nP\nB\nx\nx\nx\n\n\n\n\nObliczamy promień okręgu r:\n\n\n\n\n2\n2\n3 3\n1 5\n72\n6 2\nr\nSP\n\n\n\n\n\n\nZapisujemy równanie okręgu ośrodku S i promieniu r:\n2\n2\n(\n3)\n(\n5)\n72\nx\ny\n\n\n\n\nUwaga\nPromień okręgu r możemy także wyznaczyć w inny sposób:\n1. Wyznaczamy\nrównanie\nprostej\nAB:\n4\ny\nx\n\n\ni\nobliczamy\npromień\nokręgu:\n3 5\n4\n12\n6 2\n1 1\n2\nr\n\n\n\n\n\n2. Obliczamy pole trójkąta ABS, korzystając ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach\n\n\n1, 5\nA \n,\n\n\n5,1\nB \n,\n\n\n3,5\nS \n:\n\n\n\n\n\n\n\n1\n1\n5 1 5 5\n1 5\n3 1\n60\n12\n36\n2\n2\nABS\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPole trójkąta ABS możemy zapisać w inny sposób:\n1\n2\nABS\nP\nAB r\n\n\n.\nPonieważ\n2\n2\n6\n6\n72\n6 2\nAB \n\n\n\n, to\n1\n36\n6 2\n2\nr\n\n\n. Stąd\n36\n6 2\n3 2\nr \n\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie równania prostej zawierającej ramię AD trapezu albo równania prostej\nzawierającej ramię BC trapezu, odpowiednio:\n5\n10\ny\nx\n\n\nalbo\n1\n7\n2\n2\ny\nx\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie współrzędnych środka okręgu S:\n\n\n3,5\nS \nUwaga\nZdający może podać rozwiązanie układu równań\n5\n10\n1\n7\n2\n2\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nbez obliczeń.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie promienia r okręgu:","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nWartość wyrażenia\n5\nlog\n20\nlog\n2\n2\n\njest równa\nA.\n15\nlog 2\nB. 2\nC. 4\nD.\n2\nlog 25\nWartość wyrażenia log_2 20 - log_2 5 jest równa A. log_2 15, B. 2, C. 4, D. log_2 25","answer":"B","answer_text":"4 jest pierwiastkiem wielomianu\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n4\n3\nx \n. Otrzymujemy iloraz\n2\n3\n3\nx .\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nZapisujemy równanie w postaci\n2\n4\n(3\n3)\n0\n3\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni dalej\n4\n3\n(\n1)(\n1)\n0\n3\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem\n3\n4\n\nx\nlub\n1\n\n\nx\nlub\n1\n\nx\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n podzieli wielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n1\nx , otrzyma iloraz\n2\n3\n4\nx\nx\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n1\nx , otrzyma iloraz\n2\n3\n7\n4\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n4\n3\nx \n, otrzyma iloraz\n2\n3\n3\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez trójmian\n2\n1\nx , otrzyma iloraz 3\n4\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n3\n4\n\nx\nlub\n1\n\n\nx\nlub\n1\n\nx\nUwaga\nJeżeli zdający poda jedynie dwa pierwiastki wielomianu oraz zbiór\n1\n2\n4\n1, 2, 4,\n,\n,\n3\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nwszystkich liczb wymiernych, w którym znajduje się trzeci\npierwiastek wielomianu, to otrzymuje 1 punkt.\nZadanie 28. (2 pkt)\nKąt  jest ostry i\n7\ncos\n4\n\n. Oblicz wartość wyrażenia\n3\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\nI sposób rozwiązania\nPonieważ\n\n\n3\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n2\nsin\nsin\ncos\n2\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc obliczymy\nsinus tego kąta. Otrzymujemy zatem kolejno\n2\n2\n7\n7\n9\nsin\n1\n1\n4\n16\n16\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\nskąd wynika, że\n3\nsin\n4\n\n( jest kątem ostrym). Zatem wartość tego wyrażenia równa się\n3\n2\n4 .\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n zauważy, że\n3\n2\nsin\nsin\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy,\nalbo\n obliczy wartość sinusa danego kąta\n3\nsin\n4\n\ni popełni błąd w obliczeniach.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze, że wartość wyrażenia\n3\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\njest równa\n3\n2\n4 .\nII sposób rozwiązania\nPonieważ\n\n\n3\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n2\nsin\nsin\ncos\n2\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc obliczymy\nwartość sin. Rysujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 4 , zaś\nprzyprostokątnych równych\n7 i a oraz zaznaczamy kąt ostry α taki, że\n7\ncos\n4\n\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n\n\n2\n2\n2\n7\n4\na \n\n, skąd\n3\na .\nZatem\n3\nsin\n4\n\n, a więc wartość wyrażenia jest równa\n3\n2\n4 .\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n gdy narysuje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 4 , przyprostokątnych\nrównych","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nLiczba \n\n3\n\njest miejscem zerowym funkcji\n\n\n( )\n2\n1\n9\nf x\nm\nx\n\n\n. Wtedy\nA.\n2\nm \nB.\n0\nm \nC.\n2\nm \nD.\n3\nm \nLiczba (-3) jest miejscem zerowym funkcji f(x) = (2m-1)x+9. Wtedy A. m = -2, B. m = 0, C. m = 2, D. m = 3.","answer":"C","answer_text":"5 y\ny\n\n\n\n,\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\n2\n5\n300\n0\ny\ny\n\n\n\n2\n25 1200\n1225\n35\n\n\n\n\nZatem\n1\n5 35\n15\n2\ny\n\n\n\n,\n2\n5\n35\n20\n2\ny\n\n\n\nPierwsze z rozwiązań odrzucamy, gdyż opłata nie może być ujemna. Gdy\n20\ny \n, to wtedy\n2 20\n2\n6\n5\nx \n\n\n\n. Zatem w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu grupa liczyła 6 osób.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie zależności między x - ilością osób w grupie i y - opłatą przypadająca na każdą\nz tych osób, np.:\n\n120\nx y\n\n\nalbo\n \n\n\n2\n5\n120\nx\ny\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi x i y, np. \n\n\n120\n2\n5\n120.\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:\n5\n5\n120\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub 2\n2\n120\n5 y\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n120\n2\n5\n120\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n120\n2\n5\n120\ny\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n zapisanie równania kwadratowego z niewiadomą x i rozwiązanie tego równania\nz błędem rachunkowym\nalbo\n bezbłędne rozwiązanie równania z niewiadomą y i nie obliczenie liczby osób, które\nw pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Internetu\nalbo\n rozwiązanie równania z niewiadomą y z błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczenie liczby osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Internetu.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie liczby osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Internetu: 6.\nII sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Internetu.\nWtedy opłata przypadającą na każdą z tych osób jest równa 120\nx zł. Gdy do grupy dołączyły\njeszcze dwie osoby, to liczba osób w grupie jest wtedy równa\n2\nx \n, więc opłata\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nprzypadająca wówczas na każdego użytkownika jest równa 120\n2\nx \nzł. Ponieważ opłata\nzmniejszyła się o 5 zł, więc otrzymujemy równanie\n120\n120\n5\n2\nx\nx\n\n\n\nPrzekształcamy je do postaci\n2\n2\n48\n0\nx\nx\n\n\n\n2\n4 192\n196\n14\n\n\n\n\nZatem\n1\n2 14\n8\n2\nx\n\n\n,\n2\n2 14\n6\n2\nx\n\n\n\nPierwsze z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba osób nie może być ujemna. Zatem\nw pierwszym miesiącu użytkowania Internetu grupa liczyła 6 osób.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nPrzyjęcie oznaczenia, np.: x - liczba osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do\nInternetu oraz wyznaczenie opłaty przypadającej na jedną osobę w zależności od przyjętej\nzmiennej 120\nx .\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie opłaty przypadającej na jedną osobę w zależności od przyjętej zmiennej\nw sytuacji, gdy liczba osób zwiększyła się o 2: 120\n2\nx \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą: 120\n120\n5\n2\nx\nx\n\n\n\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nZapisanie równania kwadratowego, np.\n2\n2\n48\n0\nx\nx\n\n\n\ni rozwiązanie go z błędem\nrachunkowym.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie liczby osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Internetu: 6.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający odgadnie liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do\nInternetu i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nDla każdego kąta ostrego  wyrażenie\n2\n2\n2\n4\nsin\nsin\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\njest równe\nA.\n2\n2sin \nB.\n2\n2cos \nC. 1\nD. 2\nDla każdego kąta ostrego alfa wyrażenie sin^2 alfa + sin^2 alfa * cos^2 alfa + cos^4 alfa jest równe A. 2 * sin alfa, B. 2 * cos^2 alfa, C. 1, D. 2.","answer":"C","answer_text":"6 2\nr \nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n wyznaczenie współrzędnych środka okręgu z błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczenie długości promienia okręgu oraz zapisanie równania okręgu\nalbo\n obliczenie długości promienia okręgu z błędem rachunkowym i konsekwentne\nzapisanie równania okręgu.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZapisanie równania okręgu ośrodku S i promieniu r:\n2\n2\n(\n3)\n(\n5)\n72\nx\ny\n\n\n\n\nUwaga\nJeśli zdający odczytał z rysunku współrzędne środka okręgu S , nie sprawdził, że ten punkt\nnależy do prostych AD i BC i kontynuował rozwiązanie do końca, to za takie rozwiązanie\nmoże otrzymać maksymalnie 4 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i\n1\nsin\n3\n\n. Wartość wyrażenia 1\ntg\ncos\n\n\n\n\njest równa\nA. 4\n3\nB. 11\n9\nC. 17\n9\nD. 11\n3\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nW zadaniach 8, 9 i 10 wykorzystaj przedstawione poniżej wykresy funkcji f i g.\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = 1/3. Wartość wyrażenia 1 + tg alfa * cos alfa jest równa A. 4/3, B. 11/9, D. 17/9, D. 11/3.","answer":"A","answer_text":"7 oraz a , zaznaczy kąt ostry α taki, że\n7\ncos\n4\n\n, obliczy długość\ndrugiej przyprostokątnej\n3\na  i na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nalbo\n zauważy, że\n3\n2\nsin\nsin\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze, że wartość wyrażenia\n3\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\njest równa\n3\n2\n4 .\nZadanie 29. (2 pkt)\nOblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa\nod cyfry setek.\nRozwiązanie\nW zapisie każdej z szukanych liczb na pierwszym miejscu (miejscu cyfry tysięcy) może\nwystąpić jedna z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, czyli mamy 9 możliwości. Na trzecim miejscu\n(miejscu cyfry dziesiątek) może być jedna z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, czyli mamy 10\nmożliwości. Ponieważ cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek, więc na miejscu\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\ndrugim (miejscu cyfry setek) może wystąpić jedna z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i wtedy na\nmiejscu czwartym (miejscu cyfry jedności) wystąpi odpowiednio cyfra: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,\nzatem mamy 7 możliwości, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek.\nZatem mamy 9 10 7\n630\n\n\nliczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności\njest o 3 większa od cyfry setek.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n wypisze wszystkie możliwości obsadzenia cyfry setek i cyfry jedności liczby\nczterocyfrowej, w której cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek:\n_0_3, _1_4, _2_5, _3_6, _4_7, _5_8, _6_9 lub zapisze, że jest 7 takich\nmożliwości\nalbo\n zapisze, że cyfrę tysięcy możemy wybrać na 9 sposobów, a cyfrę dziesiątek na 10 lub\nwypisze te możliwości (np. 1_0_, 1_1_, , 1_9_, 2_0_, 2_1_, , 2_9, , 9_0_,\n9_1_, 9_9_ ) lub obliczy, że jest 90 takich możliwości.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie obliczy, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności\njest o 3 większa od cyfry setek: 9 10 7\n630\n\n\nZadanie 30. (2 pkt)\nWykaż, że liczba \n\n\n2\n4\n1 2013\n1 2013\n\n\njest dzielnikiem liczby\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\nI sposób rozwiązania\nZauważamy, że liczbę\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\nmożna\nzapisać w postaci, np.:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n4\n6\n2\n4\n6\n1 2013\n1 2013 2013\n1 2013 2013\n1 2013 2013\n1 2013 1 2013\n2013\n2013 .\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nLiczbę\n2\n4\n6\n1 2013\n2013\n2013\n\n\n\nzapisujemy w postaci \n\n\n2\n4\n1 2013\n1 2013\n\n\nZatem liczba \n\n\n2\n4\n1 2013\n1 2013\n\n\njest dzielnikiem liczby\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze liczbę\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\nw postaci\n\n\n\n2\n4\n6\n1 2013 1 2013\n2013\n2013\n\n\n\n\ni nie zauważy, że liczbę \n\n\n2\n4\n1 2013\n1 2013\n\n\nmożna zapisać w postaci\n2\n4\n6\n1 2013\n2013\n2013\n\n\n\n,\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nUwaga\nZdający może rozłożyć na czynniki wielomian\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n, gdzie\n2013\nx \n. Wtedy zdający otrzymuje 1 punkt za zapisanie tego wielomianu w postaci\niloczynu\n\n\n\n4\n2\n3\n1\n1\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\na za zapisanie, że\n\n\n\n2\n3\n2\n1\n1\n1\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\ni uzasadnienie podzielności otrzymuje","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nZbiorem wartości funkcji f jest przedział\nA.\n3,5\n\nB.\n6,7\n\nC.\n0,6\nD.\n5,8\n\nZbiorem wartości funkcji f jest przedział A. <-3,5>, B. <-6,7>, C. <0,6>, D. <-5,8>.","answer":"A","answer_text":"","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nPrzedziałem, w którym funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne, jest\nA.\n\n5,0\nB. 5,7\nC. 0,7\nD.\n\n6,5\n\nPrzedziałem, w którym funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne, jest A. <5,0), B. (5,7>, C. (0,7>, D. <-6,5).","answer":"B","answer_text":"9 3\nABCD\nP\n\n,\n6 3\nDH \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości graniastosłupa:\n162\nV \nUwaga\nZdający może zauważyć, że trójkąt ABD jest „połową” trójkąta równobocznego, w którym\npołowa długości boku jest równa 3, pole podstawy graniastosłupa jest równe polu takiego\ntrójkąta równobocznego i od razu zapisać, że\n3 3\nAB \n,\n6\nBD \n,\n2\n6\n3\n9 3\n4\nABCD\nP\n\n\nPodobnie może zauważyć, że trójkąt BHD jest „połową” trójkąta równobocznego, w którym\npołowa długości boku jest równa 6 i od razu zapisać\n6 3\nDH \nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nZadanie 33. (5 pkt)\nGrupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata\nmiesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy\nze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby\ni wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się\no 5 złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?\nI sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Internetu, zaś\ny - opłatę przypadającą na każdą z tych osób (w zł). Koszt wykupienia dostępu do Internetu\nopisuje równanie\n120\nx y\n\n\nGdy do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby, to opłata przypadająca na każdego\nużytkownika zmniejszyła się o 5 złotych miesięcznie. Otrzymujemy zatem równanie:\n\n\n\n2\n5\n120\nx\ny\n\n\n\n\nRozwiązujemy układ równań\n\n\n\n120\n2\n5\n120\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nDrugie równanie możemy zapisać w postaci\n5\n2\n10\n120\nxy\nx\ny\n\n\n\n\nStąd i z pierwszego równania otrzymujemy\n120\n5\n2\n10\n120\nx\ny\n\n\n\n\n,\n2\n5\n10\ny\nx\n\n\n,\n5\n5\n2\ny\nx\n\n.\nPodstawiamy do pierwszego równania układu i otrzymujemy\n5\n5\n120\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n5\n5\n120\n0\n2 x\nx\n\n\n\n,\n2\n2\n48\n0\nx\nx\n\n\n\n2\n4 192\n196\n14\n\n\n\n\nZatem\n1\n2 14\n8\n2\nx\n\n\n,\n2\n2 14\n6\n2\nx\n\n\n\nPierwsze z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba osób nie może być ujemna. Zatem\nw pierwszym miesiącu użytkowania Internetu grupa liczyła 6 osób.\nUwaga\nZ równania 120\n5\n2\n10\n120\nx\ny\n\n\n\n\nmożemy także wyznaczyć\n2\n2\n5\nx\ny\n\n\n. Wówczas\notrzymujmy równanie\n2\n2\n120\n5 y\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n2\n2\n120\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nFunkcja g jest określona wzorem\nA.\n\n\n( )\n1\ng x\nf x\n\n\nB.\n\n( )\n1\ng x\nf x\n\n\nC.\n\n\n( )\n1\ng x\nf x\n\n\nD.\n\n( )\n1\ng x\nf x\n\n\nFunkcja g jest określona wzorem A. g(x) = f(x-1), B. g(x) = f(x)-1, C. g(x) = f(x+1), D. g(x) = f(x) + 1","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nPunkt O jest środkiem okręgu. Kąt , zaznaczony na rysunku, ma miarę\nA.\n\n50\nB.\n\n45\nC.\n\n25\nD.\n\n20\n-4\ny\ng(x)\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nx\n-4\nf(x)\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nx\ny\n40\n\nO\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nZadanie12. (1 pkt)\nIloczyn wielomianów 2\n3\nx  oraz\n2\n4\n6\n9\nx\nx\n\n\n\njest równy\nA.\n3\n8\n27\nx\n\n\nB.\n3\n8\n27\nx\n\n\nC.\n3\n8\n27\nx \nD.\n3\n8\n27\nx \nPunkt O jest środkiem okręgu. Kąt alfa, zaznaczony na rysunku, ma miarę A. 50 stopni, B. 45 stopni, C. 25 stopni, D. 20 stopni.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Iloczyn wielomianów 2x-3 oraz -4x^2-6x-9 jest równy","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nProstokąt ABCD o przekątnej długości\n13\n2\njest podobny do prostokąta o bokach długości\n2 i 3. Obwód prostokąta ABCD jest równy\nA. 10\nB. 20\nC. 5\nD. 24\nProstokąt ABCD o przekątnej długości 2 * pierwiastek z 13 jest podobny do prostokąta o bokach długości 2 i 3. Obwód prostokąta ABCD jest równy A. 10, B. 20, C. 5, D. 24","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nKosinus kąta ostrego rombu jest równy\n3\n2 , bok rombu ma długość 3. Pole tego rombu jest\nrówne\nA. 9\n2\nB. 9 3\n4\nC. 9 3\n2\nD. 6\nKosinus kąta ostrego rombu jest równy pierwiastek z 3 / 2, bok rombu ma długość 3. Pole tego rombu jest A. 9/2, B. 9 pierwiastków z 3 / 4, C. 9 pierwiastków 3 / 2, D. 6.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi\ntego sześcianu jest równa\nA. 12 2\nB. 8 2\nC. 6 2\nD. 3 2\nPole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa A. 12 pierwiastków z 2, B. 8 pierwiastków z 2, C. 6 pierwiastków z 2, D. 3 pierwiastki z 2","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nCiąg \n\nna\nokreślony jest wzorem\n12\n2\nna\nn\n\ndla\n1\n\nn\n. Równość\n4\n\nna\nzachodzi dla\nA.\n2\n\nn\nB.\n3\n\nn\nC.\n4\n\nn\nD.\n5\n\nn\nCiąg a_n określony jest wzorem a_n = -2 + 12/n dla n >= 1. Równość a_n = 4 zachodzi dla A. n = 2, B. n = 3, C. n = 4, D. n = 5.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nFunkcja\n\n2\n3 (\n5)(2\n)(\n1)\nf x\nx x\nx x\n\n\n\n\nma dokładnie\nA. dwa miejsca zerowe.\nB. trzy miejsca zerowe.\nC. cztery miejsca zerowe.\nD. pięć miejsc zerowych.\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nFunkcja f(x)=3x(x^2+5)(2-x)(x+1) ma dokładnie A. dwa miejsca zerowe, B. trzy miejsca zerowe, C. cztery miejsca zerowe, D. pięć miejsc zerowych","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"wielomiany","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nWskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-1\n1\n2\n3\nx\ny\n0\nA.\n0\n4\n2\n\n\n\ny\nx\nB.\n2\n4\n0\nx\ny\n\n\n\nC.\n2\n4\n0\nx\ny\n\n\n\nD.\n2\n4\n0\nx\ny\n\n\n\nWskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie A. x-2y-4 = 0, B. x+2y+4 = 0, C. x-2y+4 = 0, D. x+2y-4 = 0.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nPrzyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości 1 oraz 3 . Najmniejszy kąt w tym\ntrójkącie ma miarę\nA. 60\nB. 30\nC. 45\nD. 15\nPrzyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości 1 oraz pierwiastek z 3 . Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę A. 60 stopni, B. 30 stopni, C. 45 stopni, D. 15 stopni.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny \n\nn\na\n, w którym różnica\n2\n\n\nr\noraz\n20\n17\na\n\n. Wówczas\npierwszy wyraz tego ciągu jest równy\nA. 45\nB. 50\nC. 55\nD. 60\nDany jest ciąg arytmetyczny (a_n), w którym różnica r = -2 oraz a_{20}=17. Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A. 45, B. 50, C. 55, D. 60.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym \n\nn\na\npierwszy wyraz jest równy 9\n8 , a czwarty wyraz jest równy 1\n3 .\nWówczas iloraz q tego ciągu jest równy\nA.\n1\n3\nq \nB.\n1\n2\nq \nC.\n2\n3\nq \nD.\n3\n2\nq \n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nW ciągu geometrycznym (a_n) pierwszy wyraz jest równy 9/8, a czwarty wyraz jest równy 1/3. Wówczas iloraz q tego ciągu jest równy A. q = 1/3, B. q = 1/2, C. q = 2/3, D. q = 3/2.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nWyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na poniższym diagramie.\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nOcena\nLiczba uczniów\nŚrednia ocen uzyskanych przez uczniów z tego sprawdzianu jest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 3,5\nD. 4\nWyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na poniższym diagramie. Średnia ocen uzyskanych przez uczniów z tego sprawdzianu jest równa A. 2, B. 3, C. 3\\.5, D. 4","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nObjętość stożka o wysokości h i promieniu podstawy trzy razy mniejszym od wysokości jest\nrówna\nA.\n2\n9\n1\nh\n\nB.\n2\n27\n1\nh\n\nC.\n3\n9\n1\nh\n\nD.\n3\n27\n1\nh\n\nObjętość stożka o wysokości $h$ i promieniu podstawy trzy razy mniejszym od wysokości jest równa A.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nRzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie\nwypadnie orzeł jest równe\nA. 1\n4\nB.\n3\n8\nC. 1\n2\nD. 3\n4\nRzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe A. 1/4, B. 3/8, C. 1/2, D. 3/4.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nDana jest prosta l o równaniu\n2\n5\ny\nx\n\n. Prosta k równoległa do prostej l i przecinająca oś Oy\nw punkcie o współrzędnych \n\n0, 3 ma równanie\nA.\n0,4\n3\ny\nx\n\n\nB.\n0,4\n3\ny\nx\n\n\nC.\n2,5\n3\ny\nx\n\n\nD.\n2,5\n3\ny\nx\n\n\nDana jest prosta l o równaniu y = -2/5 x. Prosta k równoległa do prostej l i przecinająca oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3) ma równanie A. y = -0,4x + 3, B. y = -0,4x - 3, C. y = 2,5x + 3, D. y = 2,5x - 3.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (1 pkt)\nLiczba log 4\nlog5\nlog 2\n\n\njest równa\nA. 10\nB. 2\nC. 1\nD. 0\n\nPoziom podstawowy\n11\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n12\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań 27-34 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.\nLiczba \\log4 + \\log5 - \\log2 jest równa A. 10, B. 2, C. 1, D. 0","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"logarytmy","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n0\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\n\nx\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\n13\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n14\nRozwiąż równanie 3x^3 - 4x^2 - 3x + 4 = 0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x = \\dfrac{4}{3}$ lub $x = -1$ lub $x = 1$","image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt  jest ostry i\n7\ncos\n4\n\n. Oblicz wartość wyrażenia\n3\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\nPoziom podstawowy\n15\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n16\nKąt alfa jest ostry i cos alfa = pierwiastek z 7 / 4. Oblicz wartość wyrażenia 2 + sin^3 alfa + sin alfa * cos^2 alfa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$2\\dfrac{3}{4}$","image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"trygonometria","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nOblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa\nod cyfry setek.\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n18\nOblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$630$","image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nWykaż, że liczba \n\n\n2\n4\n1\n2013\n1\n2013\n\n\njest dzielnikiem liczby\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\n\nPoziom podstawowy\n19\nWykaż, że liczba (1+2013^2)(1+2013^4) jest dzielnikiem liczby 1 + 2013 + 2013^2 + 2013^3 + 2013^4 + 2013^5 + 2013^6 + 2013^7.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nNieskończony ciąg geometryczny \n\nn\na\njest określony wzorem\n1\n7 3n\nna\n\n\n\n, dla\n1\nn .\nOblicz iloraz q tego ciągu.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n20\nNieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony wzorem a_n = 7 * 3^{n+1}, dla n >= 1. Oblicz iloraz q tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$q = 3$","image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":19,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nPodstawą graniastosłupa ABCDEFGH jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego krótszy\nbok ma długość 3. Przekątna prostokąta ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30.\nPrzekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60. Oblicz objętość\ntego graniastosłupa.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\n\nPoziom podstawowy\n21\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n22\nPodstawą graniastosłupa ABCDEFGH jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość 3. Przekątna prostokąta ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30 stopni. Przekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60 stopni. Oblicz objętość tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$V = 162$","image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (5 pkt)\nGrupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata\nmiesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy\nze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby\ni wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się\no 5 złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?\n\nPoziom podstawowy\n23\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n24\nGrupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o 5 złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$6$","image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":22,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nWierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne:\n\n\n1, 5\nA \n,\n\n\n5,1\nB \n,\n\n\n1,3\nC \n,\n\n\n2,0\nD \n. Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu,\na jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona AD oraz BC\ntrapezu ABCD.\n\nPoziom podstawowy\n25\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n26\nBRUDNOPIS\nWierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A = (-1,-5), B = (5,1), C = (1,3), D = (-2,0). Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona AD oraz BC trapezu ABCD.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$(x+3)^2 + (y-5)^2 = 72$","image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"analityczna","page_from":24,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}