{"paper":{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1.\n(1 pkt)\nWskaż liczbę, której 0,4% jest równe 12.\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"D","answer_text":"2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2.\n(1 pkt)\nDane są wielomiany ( ) oraz ( ) . Wówczas\nwielomian ( ) ( ) ( ) jest równy:\nA. ( )\nC. ( )\nB. ( )\nD. ( )","answer":"C","answer_text":", więc\nk\nKC\n\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3.\n(1 pkt)\nZbiorem wartości funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku\njest przedział:\nA. 〈 〉\nB. 〈 〉\nC. 〈 〉\nD. 〈 〉","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4.\n(1 pkt)\nKtóry wyraz ciągu\njest równy zero?\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5.\n(1 pkt)\nPrzyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości i . Sinus najmniejszego kąta tego\ntrójkąta jest równy:\nA.\n√\nB.\nC. √\nD. √","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6.\n(1 pkt)\nWzorem funkcji kwadratowej , której fragment wykresu\nprzedstawiono na rysunku jest:\nA. ( )\nC. ( )\nB. ( )\nD. ( )","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7.\n(1 pkt)\nWyrażenie √\n√\nzapisane w postaci potęgi liczby 3 jest równe:\nA.\nB.\nC.\nD.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n4","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8.\n(1 pkt)\nInterpretację geometryczną układu równań {\nprzedstawiono na rysunku:\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9.\n(1 pkt)\nWielomian ( ) rozłożony na czynniki ma postać\nA. ( ) ( )( )( )\nC. ( ) ( )( )( )\nB. ( ) ( )( )( )\nD. ( ) ( √ )( √ )( )","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nW loterii liczbowej wylosowano dziesięć liczb: . Mediana tych danych\njest równa:\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nPunkt jest środkiem koła. Zatem miara kąta α jest równa\n(patrz na rysunek obok):\nA.\nC.\nB.\nD.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nProstymi równoległymi są wykresy funkcji liniowych:\nA.\ni\nC.\ni\nB.\ni\nD.\ni","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nLiczba\njest równa:\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nDziedziną funkcji ( )\n( )( ) jest zbiór:\nA. { }\nB. { }\nC. { }\nD. { }\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n6","answer":"B","answer_text":"15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1pkt)\nZbiór rozwiązań nierówności | | przedstawiony jest na rysunku:\nA.\nC.\nB.\nD.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nRozwiązaniami równania\n( )( )\n( )( ) są liczby:\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nKąt α nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny\npodstawy zaznaczony jest na rysunku:\nA.\nC.\nB.\nD.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nDo wykresu funkcji liniowej f należą punkty ( ) i ( ). Funkcja f opisana\njest wzorem:\nA. ( )\nC. ( )\nB. ( )\nD. ( )","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nCiągiem arytmetycznym jest ciąg o wyrazie ogólnym równym:\nA.\nB.\nC.\nD.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n8","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nWartość wyrażenia jest równa:\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nWszystkich liczb trzycyfrowych parzystych, których cyfra jedności należy do zbioru\n{ }, cyfra dziesiątek do zbioru { } cyfra setek do zbioru { }\njest:\nA. 48\nB.\nC.\nD.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nWykres funkcji ( ) przedstawiony jest na rysunku:\nA.\nC.\nB.\nD.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nDany jest okrąg o równaniu ( ) ( ) . Środkiem tego okręgu jest punkt:\nA. ( )\nB. ( )\nC. ( )\nD. ( )","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nW trapezie miary kątów ostrych są równe i . Wówczas stosunek długości krótszego\nramienia do dłuższego jest równy:\nA. √\nB.\nC. √\nD.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nNajwiększa wartość funkcji w przedziale 〈\n〉 jest równa:\nA.\nB.\nC.\nD.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność: .\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26.\nRozwiąż nierówność: .\nRozwiązanie:\n√\n,\nOdp.: .","solution":"$x \\in \\langle -2, 4 \\rangle$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nNa boku kwadratu obrano punkt tak, że | | | |\n(rys.). Przekątna kwadratu przecina odcinek w punkcie\nUzasadnij, że pole trójkąta jest czterokrotnie większe niż pole\ntrójkąta\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n11","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27.\nNa boku kwadratu obrano punkt tak, że | |\n| | (rys.). Przekątna kwadratu przecina się z odcinkiem\nw punkcie Uzasadnij, że pole trójkąta jest\nczterokrotnie większe niż pole trójkąta\nRozwiązanie:\nZauważmy, że\nACD\nCAB\n\n\n\n(kąty naprzemianległe) oraz\nCPK\nAPB\n\n\n\n(kąty\nwierzchołkowe), zatem trójkąt ABP jest podobny do trójkąta KCP (na mocy cechy kk).\nSkala podobieństwa\nKC\nAB\nk \n,\nKC\nAB\n2\n\n, więc\n2\n2\n\nKC\nKC\nk\nStosunek pól trójkątów podobnych w skali k, jest równy kwadratowi skali podobieństwa k2,\nzatem stosunek pól trójkątów ABP i KPC jest równy 4, czyli pole trójkąta ABP jest cztery\nrazy większe od pola trójkąta KCP. c.n.d.","solution":"Uzasadnienie.","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nOblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego wiedząc, że trzeci wyraz jest równy ,\na szósty .\nOdpowiedź:","answer":"Z","answer_text":"Zadanie 28.\nWyznacz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego wiedząc, że trzeci wyraz jest równy\n, a szósty .\nRozwiązanie:\nZapisujemy układ równań wykorzystując wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego\n{\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n( i po podstawieniu do drugiego\nrównania otrzymujemy\nStąd więc\nPodstawiamy do pierwszego równania układu i wyliczamy\nOdp.:","solution":"$a_1 = 2, q = 3$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nWykaż, że liczby\n√ oraz | √ | są liczbami przeciwnymi.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n12","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29.\nWykaż, że liczby\n√ oraz | √ | są liczbami przeciwnymi.\nRozwiązanie:\nPrzekształcamy liczbę usuwając niewymierność z mianownika ułamka.\n√\n√\n√\n√\n√ √\n√\nPo wykorzystaniu definicji wartości bezwzględnej doprowadzamy liczbę do postaci:\n| √ | √\nStwierdzamy, że liczby i są przeciwne, bo .","solution":"Uzasadnienie.","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nW trójkącie równoramiennym o podstawie AB poprowadzono wysokość z wierzchołka\nC. Wyznacz równanie prostej zawierającej tę wysokość, jeśli ( ) ( )\nOdpowiedź:","answer":"R","answer_text":"Zadanie 30.\nW trójkącie równoramiennym o podstawie AB poprowadzono wysokość z wierzchołka\nC. Wyznacz równanie prostej zawierającej tę wysokość, jeśli\nRozwiązanie:\nObliczamy współrzędne środka S odcinka AB, gdzie A = (2, 8), B = (-2, 4).\n,\nzatem S = (0, 6).\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:\nWspółczynnik prostej prostopadłej jest równy -1.\nWyznaczamy równanie prostej, o współczynniku kierunkowym -1, która przechodzi przez\npunkt S = (0, 6).\n, zatem .\nOdp.: Równanie szukanej prostej ma postać: .","solution":"$y = -x + 6$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nZe zbioru liczb { } losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie bez zwracania\ntworząc liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A - otrzymana liczba jest\nmniejsza od\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n13","answer":"A","answer_text":"Zadanie 31.\nZe zbioru liczb { } losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie bez zwracania\ntworząc liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia - otrzymana liczba\nbędzie mniejsza od 432.\nRozwiązanie:\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: ̿\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu : ̿\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:","solution":"$P(A) = \\dfrac{43}{60}$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nZ miast A i B odległych o 330 km wyjechały naprzeciwko siebie dwa samochody.\nSamochód jadący z miasta A wyjechał 20 minut wcześniej i jechał z prędkością o\nmniejszą niż samochód jadący z miasta B. Samochody te minęły się w odległości\n168 licząc od miasta A. Oblicz średnią prędkość każdego z samochodów.\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n14","answer":"S","answer_text":"Zadanie 32.\nZ miast A i B odległych o 330 km wyjechały naprzeciwko siebie dwa samochody. Samochód\njadący z miasta A wyjechał 20 minut wcześniej i jechał z prędkością o mniejszą niż\nsamochód jadący z miasta B. Samochody te minęły się w odległości 168 km licząc od miasta\nA. Oblicz średnią prędkość każdego z samochodów.\nRozwiązanie:\nWprowadzamy oznaczenia:\nŚrednia prędkość\nCzas\nDroga\nSamochód jadący\nz miasta A\n168 km\nSamochód jadący\nz miasta B\n162 km\nWykorzystując warunki zadania, tworzymy układ równań:\n{ (\n)\nWyznaczamy z drugiego równania\ni wstawiamy do pierwszego równania układu:\n(\n)\nPo przekształceniu otrzymujemy równanie kwadratowe:\n√ , stąd ;\nOdrzucamy rozwiązanie , które jest niezgodne z warunkami zadania.\nOdp.: Samochód z miasta A jechał z prędkością 72 km/h, a z miejscowości B 81 km/h.","solution":"Samochód z miasta A jechał z prędkością 72 km/h, a z miejscowości B 81 km/h.","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nOblicz pole i obwód rombu wiedząc, że przekątna jest zawarta w prostej\no równaniu oraz ( ) i ( ).\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n15","answer":"P","answer_text":"Zadanie 33.\nWyznacz pole i obwód rombu wiedząc, że przekątna jest zawarta w prostej\no równaniu oraz i .\nRozwiązanie:\nWyznaczamy równanie prostej BD, prostopadłej do prostej AC o równaniu y = 2x - 2,\nprzechodzącej przez punkt D = (-6, 6).\nWspółczynnik prostej prostopadłej do prostej AC jest równy\n2\n1\n\nZatem:\nStąd .\nProsta BD ma postać:\nWyznaczamy współrzędne punktu przecięcia przekątnych S rozwiązując układ równań:\n{\nUkład rozwiązujemy metodą podstawiania\n{\n{\n, czyli S = (2, 2).\nObliczamy długości odcinków AS oraz DS.:\n| | √\n| | √ √ √ √ √ [ ]\n| | √\n| | √ √ √ √ √ [ ]\nZatem długości przekątnych rombu są równe:\n| | | | √ √ [ ]\n| | | | √ √ [ ]\nObliczamy pole rombu korzystając ze wzoru:\n√ √\n[ ]\nObliczamy długość boku rombu AD korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASD:\n| | ( √ )\n( √ )\n| | √ √ [ ]\n| | √ √ [ ]\nOdp.: Pole rombu jest równe 120[ ], a obwód √ [ ]","solution":"Pole rombu jest równe $120 \\ [j.^2]$, a obwód $20\\sqrt{5} \\ [j.]$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nMetalowy stożek, którego tworząca o długości 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy\npod kątem , przetopiono na sześć jednakowych kulek. Oblicz promień kulki.\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n16\nPESEL\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nNr\nzad.\nOdpowiedzi\nA\nB\nC\nD\n1\n□\n□\n□\n□\n2\n□\n□\n□\n□\n3\n□\n□\n□\n□\n4\n□\n□\n□\n□\n5\n□\n□\n□\n□\n6\n□\n□\n□\n□\n7\n□\n□\n□\n□\n8\n□\n□\n□\n□\n9\n□\n□\n□\n□\n10\n□\n□\n□\n□\n11\n□\n□\n□\n□\n12\n□\n□\n□\n□\n13\n□\n□\n□\n□\n14\n□\n□\n□\n□\n15\n□\n□\n□\n□\n16\n□\n□\n□\n□\n17\n□\n□\n□\n□\n18\n□\n□\n□\n□\n19\n□\n□\n□\n□\n20\n□\n□\n□\n□\n21\n□\n□\n□\n□\n22\n□\n□\n□\n□\n23\n□\n□\n□\n□\n24\n□\n□\n□\n□\n25\n□\n□\n□\n□\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nNr\nzad.\nPunkty\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n26\n□\n□\n□\n27\n□\n□\n□\n28\n□\n□\n□\n29\n□\n□\n□\n30\n□\n□\n□\n31\n□\n□\n□\n32\n□\n□\n□\n□\n□\n33\n□\n□\n□\n□\n□\n34\n□\n□\n□\n□\n□\n□\nSUMA\nPUNKTÓW","answer":"D","answer_text":"Zadanie 34.\nMetalowy stożek, którego tworząca o długości 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy\npod kątem , przetopiono na sześć jednakowych kulek. Oblicz promień kulki.\nRozwiązanie:\nObliczamy długość promienia stożka:\n√\n√ [ ]\nObliczamy długość wysokości stożka:\n[ ]\nObliczamy objętość stożka:\n( √ )\n[ ]\nWyznaczamy zależność między objętością stożka i łączną objętością sześciu kulek: .\nNiech promień kulki, więc objętość jednej kulki jest równa\nObliczamy długość promienia jednej kulki:\nmamy zatem\n[ ]\nOdp.: Długość promienia kulki:\n[ ]","solution":"$R = \\dfrac{5}{2} \\ [j.]$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}