{"paper":{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":12,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nRozwiąż równanie: w przedziale 〈 〉.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n3","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.\nRozwiąż równanie: w przedziale 〈 〉.\nRozwiązanie:\n( ) ( )\n( )( )\n( ) (√ ) (√ )\n√\n√\nUwzględniając, że x 〈 〉 otrzymujemy\nlub\nlub\nlub","solution":"$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ lub $x = \\dfrac{\\pi}{2}$ lub $x = \\dfrac{3\\pi}{4}$ lub $x = \\dfrac{5\\pi}{4}$ lub $x = \\dfrac{7\\pi}{4}$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nDany jest czworokąt Niech będzie punktem przecięcia jego przekątnych.\nUdowodnij, że czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy,\ngdy\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n4","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.\nDany jest czworokąt Niech będzie punktem przecięcia jego przekątnych.\nUdowodnij, że czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy,\ngdy\nRozwiązanie:\nCz.I. Udowodnienie, że jeżeli czworokąt można wpisać w okrąg, to\n| |. ()\nZakładamy, że czworokąt ABCD można wpisać w okrąg.\nUdowodnimy, że\n| |, gdzie S jest punktem przecięcia jego przekątnych.\nZauważmy, że ADS = ACB (kąty wpisane oparte na tym samym łuku).\nDSA = BSC (kąty wierzchołkowe).\nZ tego wynika, że trójkąt DSA jest podobny do trójkąta BSC ( na mocy cechy kk).\nZatem z podobieństwa trójkątów wynika, że\n| |, co należało udowodnić.\nCz.II .Udowodnienie, że jeżeli\n| | to czworokąt można wpisać w okrąg.()\nZakładamy teraz, że\nUdowodnimy, że na tym czworokącie można opisać okrąg.\nPonieważ\n| | i ASD = BSC (kąty wierzchołkowe), zatem trójkąty ASD oraz\nBSC są podobne (na mocy cechy bkb).\nZ tego wynika, że ADS = BCS =  oraz DAS = SBC = ,\nrównież ASB = DSC (kąty wierzchołkowe).\nSkoro\n| |, to również\nZatem trójkąty DSC oraz BSA są podobne ( na mocy cechy bkb).\nStąd CDS = SAB =  oraz ABS = DCS = .\nMamy więc\nBAD + BCD =  +  +  +  oraz ABC + CDA =  +  +  + .\nSumy przeciwległych kątów są zatem równe, a więc na mocy twierdzenia na tym\nczworokącie można opisać okrąg, co należało udowodnić.","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nDane są funkcje ( )\noraz ( )\n, o których wiadomo, że ich wykresy mają\npunkt wspólny (\n) a miejscem zerowym funkcji jest liczba:-\n. Wyznacz wartości\nparametrów\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n5","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.\nDane są funkcje ( )\noraz ( )\n, o których wiadomo, że ich wykresy mają\npunkt\nwspólny\n(\n)\na\nmiejscem\nzerowym\nfunkcji\njest\nliczba:-\nWyznacz wartości parametrów\nRozwiązanie:\nWykorzystujemy fakt, że miejscem zerowym funkcji g jest liczba\n3\n5\n\n:\n1\n3\n5\n3\n5\n0\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na\nc\na\nstąd\n0\n3\n5\n\n\n\nc\na\n, czyli\na\nc\n3\n5\n\nZapisujemy zależność wynikająca z faktu, że punkt (\n) należy do funkcji\nZ proporcji:\n)\n9\n(\n13\n)1\n9\n(\n11\nc\na\na\n\n\n\n\n\nc\na\na\n13\n117\n11\n99\n\n\n\n\n\n11\n13\n117\n99\n\n\n\n\nc\na\na\n11\n13\n18\n\n\nc\na\nZatem tworzymy układ równań:\n\n\n\n\n\n\n11\n13\n18\n3\n5\nc\na\na\nc\nPodstawiając otrzymujemy:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n11\n3\n5\n13\n18\n3\n5\na\na\na\nc\nRozwiązujemy drugie równanie układu:\n3\n11\n3\n65\n18\n\n\n\na\na\n33\n65\n54\n\n\na\na\n(-11)\n:\n33\n11\n\n\n\na\n3\n\na\nPodstawiamy wyznaczone a do pierwszego równania i otrzymujemy\n5\n3\n3\n5\n\n\n\nc\nNastępnie wykorzystujemy fakt, że punkt P należy do funkcji f i obliczamy b:\n1\n(-9)\n3\n)\n9\n(\n2\n13\n11\n\n\n\n\n\n\nb\n26\n18\n13\n11\n\n\n\n\nb\n-286 =-234+13b\n-13b = 52 /:((-13)\nb = -4.\nOdp.: a = 3, b = -4, c = 5.","solution":"$a = 3, b = -4, c = 5$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nNarysuj wykres funkcji ( )\ndla (\n) (\n) (\n)\nPodaj zbiór rozwiązań nierówności ( )\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n6","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.\nNarysuj wykres funkcji ( )\ndla (\n) (\n) (\n)\nPodaj zbiór rozwiązań nierówności ( )\nRozwiązanie:\nStosujemy definicję wartości bezwzględnej i przekształcamy wzór funkcji do postaci\n( ) {\n(\n⟩ ⟨\n) (\n⟩\n(\n) (\n) (\n)\nNastępnie stosujemy związek\ni otrzymujemy\n( ) {\n(\n⟩ ⟨\n) (\n⟩\n(\n) (\n) (\n)\nSporządzamy wykres funkcji i podajemy zbiór rozwiązań nierówności\nOdp.: ( ) ⇔ 〈\n〉 (\n) 〈\n〉","solution":"$x \\in \\langle -\\dfrac{5}{4}\\pi, -\\dfrac{3}{4}\\pi \\rangle \\cup \\langle -\\dfrac{\\pi}{4}, \\dfrac{\\pi}{4} \\rangle \\cup \\langle \\dfrac{3}{4}\\pi, \\dfrac{5}{4}\\pi \\rangle$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nSuma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa\n. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy do drugiej a do trzeciej to otrzymamy trzy\nkolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n7","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.\nSuma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest\nrówna 52. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej12, a do trzeciej 6, to otrzymamy\ntrzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.\nRozwiązanie:\nOznaczmy -wyrazy rosnącego ciągu geometrycznego,\n-wyrazy ciągu arytmetycznego.\nZapisujemy układ zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego oraz ciągu\ngeometrycznego\n{( ) ( ) ( ) ( )\nPo zastosowaniu wzoru ogólnego na wyraz ciągu geometrycznego otrzymujemy:\n{\n52\n2\n1\n1\n1\n\n\n\nq\na\nq\na\na\n16\n2 1\n2\n1\n1\n\n\n\nq\na\nq\na\na\n{\n2\n1\n1\n52\nq\nq\na\n\n\n\nq\nq\na\n2\n1\n16\n2\n1\n\n\n\nStąd otrzymujemy równanie\nq\nq\nq\nq\n2\n1\n16\n1\n52\n2\n2\n\n\n\n\n\n,\nktóre po uporządkowaniu ma postać\n3\n\nq\nlub\n3\n1\n\nq\nObliczamy odpowiednio .\nCiąg jest rosnący, więc odrzucamy przypadek\n3\n1\n\nq\nOdp.: Szukany ciąg to 4,12,36.","solution":"Szukany ciąg to $4, 12, 36$.","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"6","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (5 pkt)\nPodstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden z boków ma długość 6, a kąty do niego\nprzyległe mają miary i . Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia\nokręgu opisanego na podstawie. Oblicz objętość ostrosłupa. Wynik podaj w postaci √ ,\ngdzie są liczbami wymiernymi.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n8","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.\nPodstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden z boków ma długość 6, a kąty do niego\nprzyległe mają miary i . Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia\nokręgu opisanego na podstawie. Oblicz objętość ostrosłupa. Wynik podaj w postaci √ ,\ngdzie są liczbami wymiernymi.\nRozwiązanie:\nDane: Szukane:\n\n\n105\n45\n\n\n\n\nCBA\nBAC\nW\n\n\n\n\n30\n)\n105\n45\n(\n180\n\n\n\n\nBCA\nOznaczmy | | z twierdzenia sinusów w mamy\n( ) √ √\n,\nStąd √ √\n(√ √ ).\n(√ √ ) (√ √ ) √\n( √ ) [ ]\nZ wniosku z twierdzenia sinusów\nStąd .\nObliczamy objętość\n( √ ) ( √ )[ ]\nOdp. ( √ )[ ]","solution":"$V = 18 + 18\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nDany jest wielomian ( ) stopnia , którego suma wszystkich współczynników jest\nrówna 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa\nsumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta\n( ) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian ( ) ( )( ) jest równa\n( ) .\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n9","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.\nDany jest wielomian ( ) stopnia , którego suma wszystkich współczynników jest\nrówna 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa\nsumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta\n( ) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian ( ) ( )( ) jest równa\n( ) .\nDowód:\nZ twierdzenia o rozkładzie wielomianu mamy\n( ) ( ) ( ) ( )\nSkoro ( ) i ( ) to ( ) , zatem\n( ) ( )( ) ( ) .\nSuma wszystkich współczynników jest równa 4, tzn. ( ) .\nSuma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie\nwspółczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych, tzn. ( ) .\nZ twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian ( ) mamy ponadto\n( ) ( ) oraz ( ) ( ).\nMamy zatem {\nskąd , czyli\n( ) . cnd","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nNarysuj wykres funkcji ( ) ( ) (\n)\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n10","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8.\nNarysuj wykres funkcji\n( ) ( ) (\n)\nRozwiązanie:\nWyznaczamy dziedzinę funkcji:\ni\nW(1)=0\n( )( )\n( )( )\n( ) ( )\n( )\n( )\nPrzekształcamy wzór funkcji:\n( )\n( )( )\n( )( )\n( )\n( ) ( )\nZadanie 9. Ze zbioru liczb { } wybieramy losowo jednocześnie cztery liczby.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że najmniejszą wylosowaną\nliczbą będzie lub największą wylosowaną liczbą będzie .\nRozwiązanie:\nWyznaczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: ̿ (\n)\nOznaczamy zdarzenia losowe i wyznaczamy liczbę zdarzeń sprzyjających tym zdarzeniom:\n-zdarzenie polegające na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą jest 3: ̿̿̿ (\n)\n-zdarzenie polegające na tym, że największą wylosowaną liczbą jest 7: ̿̿̿ (\n)\n-zdarzenie polegające na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą jest 3\nlub największą wylosowaną liczbą jest 7\n-zdarzenie polegające na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą jest 3 i największą\nwylosowaną liczbą jest 7: ̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ (\n).\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A\n( ) ( ) ( ) ( )\nOdp.: ( )","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nZe zbioru liczb { } wybieramy losowo jednocześnie cztery liczby. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą\nbędzie lub największą wylosowaną liczbą będzie .\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n11","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P(A) = \\dfrac{27}{70}$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nPunkty ( ) i ( ) są wierzchołkami trapezu równoramiennego , którego\npodstawy i są prostopadłe do prostej o równaniu\nOblicz współrzędne\npozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt należy do prostej .\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n12","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.\nPunkty ( ) i ( ) są wierzchołkami trapezu równoramiennego , którego\npodstawy i są prostopadłe do prostej o równaniu\nOblicz współrzędne\npozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt należy do prostej .\nRozwiązanie:\nProsta CD jest prostopadła do prostej k, zatem jej\nwspółczynnik kierunkowy , mamy więc\nSkoro punkt C należy do tej prostej otrzymujemy skąd\nPunkt D jest punktem przecięcia się prostej k z prostą CD, zatem jego współrzędne obliczamy\nz układu równań\n{\ni otrzymujemy ( )\nWyznaczamy równanie prostej AB, która jest równoległa do prostej CD, zatem ma taki sam\nwspółczynnik kierunkowy.\nSkoro do prostej AB należy punkt B jej równanie ma postać\nTrapez jest równoramienny, więc mamy | | | |.\nPonadto punkt A należy do prostej AB, zatem ( ).\nOtrzymujemy równanie\n√( ) ( ) ,\nskąd ( ) lub ( )\nOdp.: ( ) lub ( ) ( ).","solution":"$A = (1, -2)$ lub $A = (3, 2)$ oraz $D = (-2, 2)$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (3 pkt)\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi nierówność\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n13","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi nierówność\nRozwiązanie:\nZałożenie:\nTeza:\nDowód:\nNiech i załóżmy, że\n( ) ( ) ( )\n( ) ( ) ( )\nOtrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą\nnieujemną oraz suma liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem teza jest prawdziwa.\ncnd.","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nW trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości i , zaś odcinek łączący\nśrodki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku . Oblicz\ndługości podstaw trapezu.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n14\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n15\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n16\nPESEL\nWYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY\nPunkty\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n1\n \n\n\n\n2\n \n\n\n\n3\n \n\n\n\n4\n \n\n\n\n5\n \n\n\n\n6\n \n\n\n\n\n7\n \n\n\n\n8\n \n\n\n\n\n9\n \n\n\n\n10\n \n\n\n\n\n11\n \n\n\n12\n \n\n\n\nSUMA\nPUNKTÓW","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.\nW trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości i , zaś odcinek łączący\nśrodki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku .\nOblicz długości podstaw trapezu.\nRozwiązanie:\nStosujemy twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt i otrzymujemy: .\nWyznaczamy długość odcinka łączącego środki nierównoległych boków trapezu:\nZauważmy, że wysokości obu powstałych trapezów są równe. Obliczamy pola trapezów:\n2\n)\n4\n(\n2\n1\nh\nb\nh\nx\nb\nP\n\n\n\n\n,\n2\n)\n4\n(\n2\n2\nh\na\nh\nx\na\nP\n\n\n\n\nZapisujemy stosunek pól obu części:\n4\n4\n)\n2\n(\n2\n2\n)\n4\n(\n2\n)\n4\n(\n2\n)\n4\n(\n2\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na\nb\nh\na\nh\nb\nh\na\nh\nb\nP\nP\nMamy zatem układ równań:\n{\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n5)\n(\n8\n24\n11\n5\nb\na\nb\na\nDane: Szukane:\na, b\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n40\n5\n5\n24\n11\n5\nb\na\nb\na\n,\nSkąd -16b = -16 /:(-16)\nb = 1,\nzatem\n\n\n\n\n\n1\n7\nb\na\nOdp.: .","solution":"$a = 7, b = 1$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}