{"paper":{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych\nspełniających nierówność\n4\n5\nx \n\nA.\nB.\nC.\nD.\nWskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |x+4| < 5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWersja\narkusza\nA\nWersja\narkusza\nB\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie pojęcia wartości\nbezwzględnej i jej interpretacji\ngeometrycznej do wskazania zbioru\nrozwiązań nierówności typu x\na\nb\n\n\n(II.1.f)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(4^{-4}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana wszystkiego na potęgi czwórki\n\n**Krok 1: Zapisz \\(\\sqrt[3]{16}\\) jako potęgę czwórki.**\n\n\\(16 = 4^2\\), więc:\n\\[\\sqrt[3]{16} = \\sqrt[3]{4^2} = 4^{\\frac{2}{3}}\\]\n\n**Krok 2: Zapisz wyrażenie w nawiasie jako jedną potęgę.**\n\n\\[\\sqrt[3]{16} \\cdot 4^{-2} = 4^{\\frac{2}{3}} \\cdot 4^{-2} = 4^{\\frac{2}{3} + (-2)} = 4^{\\frac{2}{3} - \\frac{6}{3}} = 4^{-\\frac{4}{3}}\\]\n\n**Krok 3: Podnieś do sześcianu.**\n\n\\[\\left(4^{-\\frac{4}{3}}\\right)^3 = 4^{-\\frac{4}{3} \\cdot 3} = \\boxed{4^{-4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Zamiana wszystkiego na potęgi dwójki\n\n**Krok 1: Zapisz wszystko jako potęgi dwójki.**\n\n\\(4 = 2^2\\), więc \\(4^{-2} = 2^{-4}\\) oraz \\(16 = 2^4\\):\n\\[\\sqrt[3]{16} = \\sqrt[3]{2^4} = 2^{\\frac{4}{3}}\\]\n\n**Krok 2: Wyraz w nawiasie.**\n\n\\[2^{\\frac{4}{3}} \\cdot 2^{-4} = 2^{\\frac{4}{3} - 4} = 2^{\\frac{4}{3} - \\frac{12}{3}} = 2^{-\\frac{8}{3}}\\]\n\n**Krok 3: Podnieś do sześcianu.**\n\n\\[\\left(2^{-\\frac{8}{3}}\\right)^3 = 2^{-\\frac{8}{3} \\cdot 3} = 2^{-8}\\]\n\n**Krok 4: Przelicz na potęgę czwórki.**\n\n\\[2^{-8} = (2^2)^{-4} = 4^{-4}\\]\n\n**Wynik: \\(4^{-4}\\)** - zgadza się z Odpowiedzią B. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na pierwiastek jako potęgę wymierną:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\nUżyliśmy go, zamieniając \\(\\sqrt[3]{16} = \\sqrt[3]{4^2} = 4^{\\frac{2}{3}}\\).\n\nWzory działań na potęgach:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\qquad (a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy ich w każdym kroku - przy mnożeniu potęg tej samej podstawy oraz przy potęgowaniu potęgi.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(4^{4}\\) | Pomylono znak - liczono \\(\\frac{2}{3} + 2 = \\frac{8}{3}\\) zamiast \\(\\frac{2}{3} - 2 = -\\frac{4}{3}\\), bo zapomniano o minusie przy \\(4^{-2}\\) |\n| C: \\(4^{-8}\\) | Mnożono wykładniki przez \\(3\\) **przed** dodaniem: \\(\\frac{2}{3} \\cdot 3 = 2\\), \\((-2) \\cdot 3 = -6\\), potem \\(2 + (-6) = -4\\) albo inny błąd kolejności działań; lub pomylono \\(4^2 = 16\\) z \\(4^3 = 16\\) |\n| D: \\(4^{-12}\\) | Traktowano całe wyrażenie jak \\(\\left(4^{-2}\\right)^3 = 4^{-6}\\), ignorując \\(\\sqrt[3]{16}\\); lub błędnie liczono \\((-2) \\cdot 3 \\cdot 2 = -12\\) bez uwzględnienia pierwiastka |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sqrt[3]{16} \\neq 16^3\\)! Pierwiastek sześcienny to potęga \\(\\frac{1}{3}\\), więc \\(\\sqrt[3]{16} = 16^{\\frac{1}{3}}\\). Tu warto najpierw zamienić \\(16 = 4^2\\), żeby mieć wspólną podstawę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność działań ma znaczenie! Najpierw **upraszczamy wyraz w nawiasie** (mnożenie potęg = dodawanie wykładników), a dopiero potem **podnosimy cały nawias do sześcianu** (mnożymy wykładnik przez 3). Odwrotna kolejność daje błędny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dodawanie ułamkowych wykładników - sprowadź do wspólnego mianownika: \\(\\frac{2}{3} - 2 = \\frac{2}{3} - \\frac{6}{3} = -\\frac{4}{3}\\). To najczęstsze miejsce pomyłki arytmetycznej w tym zadaniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zamiana na potęgi o podstawie 4\n\\(\\sqrt[3]{16} = 16^{1/3} = (4^{2})^{1/3} = 4^{2/3}\\). Zatem:\n\\[\\sqrt[3]{16}\\cdot 4^{-2} = 4^{2/3}\\cdot 4^{-2} = 4^{2/3-2} = 4^{-4/3}.\\]\nPodnosimy do potęgi 3:\n\\[\\left(4^{-4/3}\\right)^{3} = 4^{-4/3\\cdot 3} = 4^{-4}.\\]\n\n### Sposób 2 - Najpierw podnoszenie do potęgi\n\\[\\left(\\sqrt[3]{16}\\right)^{3}\\cdot \\left(4^{-2}\\right)^{3} = 16\\cdot 4^{-6} = 4^{2}\\cdot 4^{-6} = 4^{-4}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4^{4}\\)** - błąd znaku w wykładniku.\n- **C. \\(4^{-8}\\)** - ktoś zapomniał o \\(\\sqrt[3]{16}=4^{2/3}\\) i policzył \\(16 = 4^{2}\\) bez pierwiastka.\n- **D. \\(4^{-12}\\)** - pomnożenie wszystkich wykładników bez uwzględnienia \\(\\sqrt[3]\\).\n\n**Trik:** zawsze sprowadzaj wyrażenia do **jednej podstawy** przed potęgowaniem.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest\nrówne\nA. 103% liczby b\nB. 125% liczby b\nC. 150% liczbyb\nD. 153% liczbyb\nLiczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby ,,a'' jest równe 15% liczby ,,b''. Stąd wynika, że ,,a'' jest równe A. 103% liczby ,,b'', B. 125% liczby ,,b'', C. 150% liczby b, D. 153% liczby b","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie pojęcia procentu (III.1.d)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[y = \\frac{10}{7}\\,x\\]\n\n## Sposób 1 - Tłumaczenie procentów na równanie\n\n**\"x stanowi 70% y\"** - przełóżmy to zdanie na język matematyki:\n\n\\[x = 70\\% \\cdot y\\]\n\n\\[x = \\frac{70}{100} \\cdot y\\]\n\n\\[x = \\frac{7}{10} \\cdot y\\]\n\nSzukamy \\(y\\) - dzielimy obie strony przez \\(\\frac{7}{10}\\) (czyli mnożymy przez \\(\\frac{10}{7}\\)):\n\n\\[y = x \\cdot \\frac{10}{7} = \\frac{10}{7}\\,x\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie przez przykład liczbowy\n\nNiech \\(y = 10\\). Wtedy \\(70\\%\\) z \\(10\\) to:\n\n\\[x = 0{,}7 \\cdot 10 = 7\\]\n\nTeraz sprawdzamy, które wyrażenie daje \\(y = 10\\) dla \\(x = 7\\):\n\n| Odp. | Wyrażenie | Wynik |\n| A | \\(\\frac{13}{10} \\cdot 7 = 9{,}1\\) | \\(\\neq 10\\) ✗ |\n| B | \\(\\frac{7}{10} \\cdot 7 = 4{,}9\\) | \\(\\neq 10\\) ✗ |\n| **C** | \\(\\frac{10}{7} \\cdot 7 = 10\\) | \\(= 10\\) ✓ |\n| D | \\(\\frac{10}{13} \\cdot 7 \\approx 5{,}38\\) | \\(\\neq 10\\) ✗ |\n\n**Tylko odpowiedź C daje poprawny wynik.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe przekształcenia równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Pomylono \\(30\\%\\) z \\(130\\%\\) - uczeń myśli, że skoro \\(x\\) jest o \\(30\\%\\) mniejsze od \\(y\\), to \\(y\\) jest o \\(30\\%\\) większe. Tak nie jest! |\n| B | **Odwrócenie zależności** - napisano \\(y = \\frac{7}{10}\\,x\\) zamiast \\(x = \\frac{7}{10}\\,y\\). Czyli zamiast wyrazić \\(y\\) przez \\(x\\), zostawiono pierwotną zależność. |\n| D | Mylenie \\(70\\%\\) z \\(\\frac{10}{13}\\) - liczba \\(\\frac{10}{13}\\) dotyczyłaby sytuacji, gdyby \\(x\\) stanowiło \\(130\\%\\) czegoś, co nie ma tu zastosowania. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **odwrócenie zależności** - uczeń pisze \\(y = \\frac{7}{10}\\,x\\) (odpowiedź B), bo pamięta, że pojawia się \\(\\frac{7}{10}\\). Tymczasem to \\(x\\) jest równe \\(\\frac{7}{10}\\,y\\), nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(x\\) stanowi \\(70\\%\\) liczby \\(y\\), to \\(y\\) jest **większe** niż \\(x\\) (bo \\(x\\) to tylko część \\(y\\)). Zatem mnożnik przy \\(x\\) musi być **większy niż 1**. Szybki rzut oka eliminuje B i D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: \"\\(x\\) stanowi \\(70\\%\\) liczby \\(y\\)\" to NIE to samo co \"\\(y\\) stanowi \\(70\\%\\) liczby \\(x\\)\". Kolejność ma znaczenie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Z definicji procentu\n\\(70\\%\\) liczby \\(y\\) to \\(0{,}7\\,y = \\tfrac{7}{10}\\,y\\). Z warunku:\n\\[x = \\tfrac{7}{10}\\,y.\\]\nWyznaczamy \\(y\\):\n\\[y = \\tfrac{10}{7}\\,x.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie konkretnych liczb\nNiech \\(y = 10\\). Wtedy \\(x = 7\\). Sprawdzamy: \\(y=\\tfrac{10}{7}\\cdot 7 = 10\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{13}{10}x\\)** - przesuwanie cyfr w sposób losowy.\n- **B. \\(\\tfrac{7}{10}x\\)** - odwrócona zależność: \\(x = \\tfrac{7}{10}y\\), nie \\(y = \\tfrac{7}{10}x\\).\n- **D. \\(\\tfrac{10}{13}x\\)** - zupełnie błędna relacja.\n\n**Trik:** \\(x = p\\cdot y \\iff y = \\dfrac{1}{p}\\cdot x\\) - odwracaj współczynnik.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n2\nlog100\nlog 8\n\njest równa\nA.\n2\n\nB.\n1\n\nC. 0\nD. 1\nLiczba log100 - log_2 8 jest równa A. -2, B. -1, C. 0, D. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWykonanie obliczeń z zastosowaniem\nwzorów na logarytm iloczynu, logarytm\nilorazu i logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym (I.1.h)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(-1\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie każdego logarytmu\n\nObliczamy każdy logarytm osobno, korzystając z definicji logarytmu.\n\n**Krok 1: \\(\\log 100\\)**\n\nZapis \\(\\log\\) bez podstawy oznacza \\(\\log_{10}\\) (logarytm dziesiętny).\n\n\\[\\log 100 = \\log_{10} 100 = \\log_{10} 10^2 = 2\\]\n\nbo \\(10^2 = 100\\) - to właśnie definicja logarytmu: \"na jaką potęgę podnieść podstawę, żeby dostać argument\".\n\n**Krok 2: \\(\\log_2 8\\)**\n\n\\[\\log_2 8 = \\log_2 2^3 = 3\\]\n\nbo \\(2^3 = 8\\).\n\n**Krok 3: Odejmowanie**\n\n\\[\\log 100 - \\log_2 8 = 2 - 3 = \\mathbf{-1}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez definicję\n\nSprawdzamy wprost, pytając: \"co to za wykładnik?\"\n\n- \\(\\log_{10} 100 = ?\\) - szukamy \\(c\\) takiego, że \\(10^c = 100\\). Odpowiedź: \\(c = 2\\). ✓\n- \\(\\log_2 8 = ?\\) - szukamy \\(c\\) takiego, że \\(2^c = 8\\). Odpowiedź: \\(c = 3\\). ✓\n\nZatem:\n\\[2 - 3 = -1\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy jej dwukrotnie: do obliczenia \\(\\log_{10} 100 = 2\\) oraz \\(\\log_2 8 = 3\\).\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nAlternatywnie: \\(\\log_{10} 10^2 = 2 \\cdot \\log_{10} 10 = 2 \\cdot 1 = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-2)\\) | Uczeń liczy \\(\\log 100 = 2\\), ale błędnie zakłada \\(\\log_2 8 = 4\\) (np. myli \\(2^4 = 16\\)) - wychodzi \\(2 - 4 = -2\\) |\n| C \\((0)\\) | Uczeń błędnie liczy \\(\\log 100 = 3\\) (jakby podstawa była 2), a \\(\\log_2 8 = 3\\), więc \\(3 - 3 = 0\\) |\n| D \\((1)\\) | Uczeń odwraca kolejność: liczy \\(\\log_2 8 - \\log 100 = 3 - 2 = 1\\) zamiast \\(2 - 3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log\\) bez podstawy to zawsze \\(\\log_{10}\\), nie \\(\\log_2\\)! To konwencja matematyczna i tak jest na karcie CKE.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm daje WYKŁADNIK - \\(\\log_2 8 = 3\\), bo \\(2^3 = 8\\), nie bo \\(8/2 = 4\\) czy inne dzielenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie można \"łączyć\" logarytmów o różnych podstawach wzorami \\(\\log x - \\log y = \\log\\frac{x}{y}\\) - ten wzór działa tylko gdy OBIE podstawy są jednakowe!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie każdego logarytmu\n\\(\\log 100\\) to logarytm dziesiętny (podstawa \\(10\\)):\n\\[\\log 100 = \\log_{10} 10^{2} = 2.\\]\n\\(\\log_{2} 8\\):\n\\[\\log_{2} 8 = \\log_{2} 2^{3} = 3.\\]\nZatem:\n\\[\\log 100 - \\log_{2} 8 = 2 - 3 = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Definicja logarytmu\n\\(\\log_{a} b = c \\iff a^{c} = b\\). Szukamy wykładnika:\n- \\(10^{x} = 100 \\Rightarrow x = 2\\),\n- \\(2^{y} = 8 \\Rightarrow y = 3\\).\n\nRóżnica: \\(2 - 3 = -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-2\\)** - zakładałby \\(\\log 100 = 1\\) (pomylenie z \\(\\log 10\\)).\n- **C. \\(0\\)** - błąd polegający na dodaniu zamiast odjęcia lub \\(\\log_{2}8 = 2\\).\n- **D. \\(1\\)** - zły znak różnicy (\\(3-2\\) zamiast \\(2-3\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\log\\) bez indeksu to zawsze \\(\\log_{10}\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nRozwiązaniem układu równań 5\n3\n3\n8\n6\n48\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\njest para liczb\nA.\n3 i\n4\nx\ny\n\n\nB.\n3 i\n6\nx\ny\n\n\nC.\n3 i\n4\nx\ny\n\n\nD.\n9 i\n4\nx\ny\n\n\nRozwiązaniem układu równań { 5x+3y=3, 8x-6y=48 jest para liczb A. x=-3 i y=4; B. x=-3 i y=6; C. x=3 i y=-4; D. x=9 i y=4.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązanie układu równań liniowych\n(I.3.c)\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(x = 3\\) i \\(y = -4\\)\n\n## Sposób 1 - eliminacja zmiennej (mnożenie równań)\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} 5x + 3y = 3 \\\\ 8x - 6y = 48 \\end{cases}\\]\n\n**Krok 1:** Zauważamy, że przy \\(y\\) mamy \\(3\\) i \\(-6\\), czyli \\(-6 = -2 \\cdot 3\\). Mnożymy pierwsze równanie przez \\(2\\):\n\n\\[2 \\cdot (5x + 3y) = 2 \\cdot 3\\]\n\\[10x + 6y = 6\\]\n\n**Krok 2:** Dodajemy stronami do drugiego równania, żeby wyeliminować \\(y\\):\n\n\\[\\begin{cases} 10x + 6y = 6 \\\\ 8x - 6y = 48 \\end{cases}\\]\n\n\\[(10x + 6y) + (8x - 6y) = 6 + 48\\]\n\\[18x = 54\\]\n\\[x = 3\\]\n\n**Krok 3:** Podstawiamy \\(x = 3\\) do pierwszego równania:\n\n\\[5 \\cdot 3 + 3y = 3\\]\n\\[15 + 3y = 3\\]\n\\[3y = -12\\]\n\\[y = -4\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = 3\\), \\(y = -4\\)** ✓\n\n## Sposób 2 - podstawianie (wyrażenie \\(x\\) przez \\(y\\))\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy \\(x\\):\n\\[5x + 3y = 3\\]\n\\[5x = 3 - 3y\\]\n\\[x = \\frac{3 - 3y}{5}\\]\n\nPodstawiamy do drugiego równania:\n\\[8 \\cdot \\frac{3 - 3y}{5} - 6y = 48\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(5\\):\n\\[8(3 - 3y) - 30y = 240\\]\n\\[24 - 24y - 30y = 240\\]\n\\[-54y = 216\\]\n\\[y = -4\\]\n\nStąd:\n\\[x = \\frac{3 - 3 \\cdot (-4)}{5} = \\frac{3 + 12}{5} = \\frac{15}{5} = 3\\]\n\n**Wynik ten sam: \\(x = 3\\), \\(y = -4\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą elementarne operacje algebraiczne (mnożenie równań i dodawanie stronami lub podstawianie). Układ równań liniowych to materiał pozakartkowy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | \\(x = -3\\) - pomylono znak przy obliczaniu \\(x\\); wzięto \\(18x = -54\\) zamiast \\(+54\\) |\n| B | \\(x = -3, y = 6\\) - pomylono znak zarówno \\(x\\), jak i \\(y\\); przy podstawieniu błędnie policzono \\(3y = 3 - 15 = -12\\) → \\(y = -4\\), ale wzięto \\(+4\\), a potem zmieniono znak \\(x\\) |\n| D | \\(x = 9, y = 4\\) - prawdopodobnie pominięto mnożenie przez \\(2\\) i dodano równania w oryginalnej postaci: \\((5x+3y)+(8x-6y)=3+48\\) → \\(13x - 3y = 51\\), a następnie rozwiązano błędny układ |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu równania przez liczbę ujemną albo przy eliminacji - pamiętaj, żeby mnożyć **całe** równanie (obie strony!), w tym wyraz wolny. Najczęstszy błąd: mnożenie tylko lewej strony.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu jednej zmiennej **zawsze podstaw wynik do oryginalnego równania**, nie do przekształconego - łatwiej o pomyłkę w zmodyfikowanym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Na koniec warto **sprawdzić obie zmienne w obu równaniach**: \\(5 \\cdot 3 + 3 \\cdot (-4) = 15 - 12 = 3\\) ✓ i \\(8 \\cdot 3 - 6 \\cdot (-4) = 24 + 24 = 48\\) ✓. To 10 sekund, które ratują przed błędem.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Metoda przeciwnych współczynników\nMnożymy pierwsze równanie przez \\(2\\):\n\\[\\begin{cases} 10x+6y=6 \\\\ 8x-6y=48 \\end{cases}\\]\nDodajemy stronami:\n\\[18x = 54 \\Rightarrow x = 3.\\]\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[5\\cdot 3+3y=3 \\Rightarrow 3y = -12 \\Rightarrow y = -4.\\]\nRozwiązanie: \\((3, -4)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie par z odpowiedzi\nPodstawiamy \\((3, -4)\\) do obu równań:\n- \\(5\\cdot 3 + 3\\cdot (-4) = 15-12 = 3\\) ✓\n- \\(8\\cdot 3 - 6\\cdot (-4) = 24+24 = 48\\) ✓\n\nObie równości spełnione.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-3, 4)\\):** \\(5\\cdot(-3)+3\\cdot 4 = -15+12 = -3 \\ne 3\\).\n- **B. \\((-3, 6)\\):** \\(5\\cdot(-3)+3\\cdot 6 = -15+18 = 3\\) ✓, ale \\(8\\cdot(-3)-6\\cdot 6 = -60 \\ne 48\\).\n- **D. \\((9, 4)\\):** \\(5\\cdot 9+3\\cdot 4 = 57 \\ne 3\\).\n\n**Trik:** zawsze **zweryfikuj oba równania** - wystarczy jedno błędne, by odrzucić parę.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nPunkt\n\n\n0,1\nA \nleży na wykresie funkcji liniowej\n( )\n(\n2)\n3\nf x\nm\nx\nm\n\n\n\n. Stąd wynika, że\nA.\n1\nm \nB.\n2\nm \nC.\n3\nm \nD.\n4\nm \nPunkt A=(0,1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x)=(m-2)x+m-3. Stąd wynika, że A. m=1, B. m=2, C. m=3, D.m=4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie interpretacji\nwspółczynników we wzorze funkcji\nliniowej (II.4.g)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 4\\))\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do równania funkcji\n\nJeśli punkt \\(A = (0, 1)\\) leży na wykresie funkcji, to po podstawieniu \\(x = 0\\) i \\(y = 1\\) do wzoru funkcji musi wyjść prawdziwa równość.\n\nMamy funkcję:\n\\[f(x) = (m-2)x + m - 3\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 0\\), \\(f(0) = 1\\):\n\\[1 = (m-2) \\cdot 0 + m - 3\\]\n\\[1 = 0 + m - 3\\]\n\\[1 = m - 3\\]\n\nDodajemy \\(3\\) do obu stron:\n\\[m = 4\\]\n\n**Odpowiedź: \\(m = 4\\), czyli opcja D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez odczyt wyrazu wolnego\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma wartość w \\(x = 0\\) równą dokładnie wyrazowi wolnemu \\(b\\), ponieważ:\n\\[f(0) = a \\cdot 0 + b = b\\]\n\nW naszym przypadku wyraz wolny to \\(m - 3\\). Skoro \\(f(0) = 1\\), to:\n\\[m - 3 = 1\\]\n\\[\\mathbf{m = 4}\\]\n\n**Sprawdzenie** - podstawiamy \\(m = 4\\) do wzoru funkcji:\n\\[f(x) = (4-2)x + 4 - 3 = 2x + 1\\]\n\nSprawdzamy punkt \\(A = (0, 1)\\):\n\\[f(0) = 2 \\cdot 0 + 1 = 1 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - punkt \\((0, 1)\\) rzeczywiście leży na wykresie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i podstawowe podstawianie wartości do wzoru.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(m = 1\\) | Podstawiamy \\(m=1\\): \\(f(0) = 1-3 = -2 \\neq 1\\). Typowy błąd: myślenie, że \\(f(0) = 1\\) oznacza \\(m = 1\\). |\n| B: \\(m = 2\\) | Podstawiamy \\(m=2\\): \\(f(0) = 2-3 = -1 \\neq 1\\). Błąd: pominięcie stałej \\(-3\\) w wyrazie wolnym. |\n| C: \\(m = 3\\) | Podstawiamy \\(m=3\\): \\(f(0) = 3-3 = 0 \\neq 1\\). Błąd: rozwiązanie równania \\(m - 3 = 0\\) zamiast \\(m - 3 = 1\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(A = (0, 1)\\) to punkt przecięcia z osią \\(OY\\) - czyli \\(f(0) = 1\\). Nie wstawiaj \\(x = 1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny funkcji to \\(m - 3\\), a **nie** samo \\(m\\). Łatwo zapomnieć o tej stałej i błędnie napisać \\(m = 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy po wyznaczeniu \\(m\\) funkcja nadal jest liniowa (współczynnik przy \\(x\\) musi być różny od zera). Tutaj \\(m = 4\\), więc \\(m - 2 = 2 \\neq 0\\) - funkcja jest liniowa. ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie do wzoru funkcji\nPunkt \\(A=(0,1)\\) leży na wykresie, więc \\(f(0)=1\\):\n\\[f(0)=(m-2)\\cdot 0 + m-3 = m-3.\\]\nZ równania \\(m-3=1\\) otrzymujemy \\(m=4\\).\n\n### Sposób 2 - Interpretacja wyrazu wolnego\nPunkt przecięcia wykresu z osią \\(Oy\\) to \\((0, b)\\), gdzie \\(b\\) - wyraz wolny funkcji. Tu \\(b=m-3\\), więc \\(m-3=1\\) i \\(m=4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m=1\\)** - podstawiając otrzymujemy \\(f(0)=-2\\), nie \\(1\\).\n- **B. \\(m=2\\)** - \\(f(0)=-1\\).\n- **C. \\(m=3\\)** - \\(f(0)=0\\), więc wykres przechodzi przez \\((0,0)\\), nie \\((0,1)\\).\n\n**Pamiętaj:** dla \\((0, y_{0})\\) tylko wyraz wolny ma znaczenie - współczynnik przy \\(x\\) zeruje się.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nWierzchołkiem paraboli o równaniu\n\n\n2\n3\n2\n4\ny\nx\n\n\n\njest punkt o współrzędnych\nA. \n\n2, 4\n\n\nB. \n\n2,4\n\nC. \n\n2, 4\n\nD. \n\n2,4\nWierzchołkiem paraboli o równaniu y=-3(x-2)^2+4 jest punkt o współrzędnych A. (-2,-4), B. (-2,4), C. (2,-4), D. (2,4)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nOdczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej\nwspółrzędnych wierzchołka paraboli\n(II.4.b)\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - punkt \\((2, 4)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej\n\nRównanie paraboli jest już podane w **postaci kanonicznej**:\n\\[y = a(x - p)^2 + q\\]\n\nPorównujemy:\n\\[y = -3(x - 2)^2 + 4\\]\n\nOdczytujemy bezpośrednio:\n\\[a = -3, \\quad p = 2, \\quad q = 4\\]\n\nWierzchołek paraboli to punkt \\(W = (p, q)\\), zatem:\n\\[\\boxed{W = (2, 4)}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, że punkt \\((2, 4)\\) leży na paraboli i jest jej wierzchołkiem.\n\n**Czy punkt leży na wykresie?** Podstawiamy \\(x = 2\\):\n\\[y = -3(2 - 2)^2 + 4 = -3 \\cdot 0 + 4 = 4 \\checkmark\\]\n\n**Czy to wierzchołek?** Parabola skierowana ramionami w dół (\\(a = -3 < 0\\)), więc wierzchołek to **maksimum**. Wyrażenie \\(-3(x-2)^2\\) jest zawsze \\(\\leq 0\\), więc całe \\(y \\leq 4\\). Maksimum \\(y = 4\\) jest osiągane właśnie dla \\(x = 2\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\ngdzie \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\).\n\nW tym zadaniu korzystamy wprost z definicji postaci kanonicznej - odczytujemy \\(p\\) i \\(q\\) bez żadnych obliczeń.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A \\((-2, -4)\\) | Zmieniono znaki obu współrzędnych: wzięto \\(-p\\) i \\(-q\\) zamiast \\(p\\) i \\(q\\) |\n| B \\((-2, 4)\\) | Zmieniono znak współrzędnej \\(x\\): odczytano \\(-2\\) zamiast \\(+2\\) (pominięto, że wzór ma \\(x - p\\), nie \\(x + p\\)) |\n| C \\((2, -4)\\) | Poprawnie odczytano \\(x = 2\\), ale zmieniono znak \\(q\\): wzięto \\(-4\\) zamiast \\(+4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zapisie \\((x - 2)^2\\) łatwo odczytać \\(p = -2\\) zamiast \\(p = 2\\)! Pamiętaj: wzór to \\((x \\mathbf{-} p)^2\\), więc jeśli widzisz \\((x - 2)^2\\), to \\(p = \\mathbf{+}2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współrzędna \\(q = 4\\) jest odczytywana wprost jako wyraz wolny przy postaci kanonicznej - nie zmieniamy jej znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Postać \\(y = -3(x-2)^2 + 4\\) to gotowa postać kanoniczna - nie trzeba jej przekształcać ani liczyć delty. Rozpoznanie tej postaci na egzaminie oszczędza czas!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna paraboli\nOgólna postać kanoniczna: \\(y=a(x-p)^{2}+q\\), gdzie wierzchołek to \\(W=(p, q)\\).\nZ równania \\(y=-3(x-2)^{2}+4\\) odczytujemy \\(p=2\\), \\(q=4\\).\nWierzchołek: \\((2, 4)\\).\n\n### Sposób 2 - Pochodna (kontrolnie)\n\\(y'= -3\\cdot 2(x-2) = -6(x-2)\\). Zerujemy: \\(x=2\\). Wtedy \\(y=-3\\cdot 0+4=4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-2, -4)\\)** - oba znaki odwrócone; błędny odczyt.\n- **B. \\((-2, 4)\\)** - zły znak przy \\(p\\) (w postaci kanonicznej \\((x-p)\\), więc \\(p\\) bez minusa).\n- **C. \\((2, -4)\\)** - zły znak przy \\(q\\); \\(q\\) odczytujemy dosłownie.\n\n**Trik:** \\((x-p)^{2}\\) daje \\(p>0\\), a nie \\(p<0\\); znak \\(q\\) kopiujemy bezpośrednio.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nDla każdej liczby rzeczywistej x , wyrażenie\n2\n4\n12\n9\nx\nx\n\n\njest równe\nA. \n\n\n4\n3\n3\nx\nx\n\n\nB. \n\n\n2\n3\n2\n3\nx\nx\n\n\nC. \n\n\n2\n3\n2\n3\nx\nx\n\n\nD. \n\n\n3\n4\n3\nx\nx\n\n\nx\n- 9\n- 4\n1\nx\n9\n- 1\n4\nx\n- 9\n- 5\n-1\nx\n9\n1\n5\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nDla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4x^2-12x+9 jest równe A. (4x+3)(x+3), B. (2x-3)(2x+3), C. (2x-3)(2x-3), D. (x-3)(4x-3).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nPosługiwanie się wzorami skróconego\nmnożenia (I.2.a)\nC\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[(2x-3)(2x-3) = (2x-3)^2\\]\n\n## Sposób 1 - Wzór na kwadrat różnicy\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(4x^2 - 12x + 9\\) ma charakterystyczną strukturę. Sprawdzamy, czy pasuje do wzoru \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\).\n\n**Identyfikujemy składniki:**\n\n\\[4x^2 = (2x)^2 \\implies a = 2x\\]\n\\[9 = 3^2 \\implies b = 3\\]\n\n**Sprawdzamy wyraz środkowy:**\n\n\\[2ab = 2 \\cdot 2x \\cdot 3 = 12x \\checkmark\\]\n\nZgadza się - wyraz środkowy to \\(-12x\\), czyli \\(-2ab\\). Zatem:\n\n\\[4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \\cdot (2x) \\cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2\\]\n\nA \\((2x-3)^2 = (2x-3)(2x-3)\\), co odpowiada odpowiedzi **C**.\n\n## Sposób 2 - Wymnożenie i weryfikacja\n\nSprawdzamy odpowiedź C przez bezpośrednie wymnożenie:\n\n\\[(2x-3)(2x-3) = 2x \\cdot 2x + 2x \\cdot (-3) + (-3) \\cdot 2x + (-3)(-3)\\]\n\\[= 4x^2 - 6x - 6x + 9\\]\n\\[= 4x^2 - 12x + 9 \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się z treścią zadania.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nTu: \\(a = 2x\\), \\(b = 3\\). Wzór pozwolił natychmiast rozpoznać strukturę trójmianu i go sfaktoryzować.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((4x+3)(x+3) = 4x^2 + 12x + 3x + 9 = 4x^2 + 15x + 9\\) - zły znak i złe współczynniki |\n| B | \\((2x-3)(2x+3) = 4x^2 - 9\\) - to wzór na **różnicę kwadratów**, nie kwadrat różnicy; brak wyrazu środkowego |\n| D | \\((x-3)(4x-3) = 4x^2 - 3x - 12x + 9 = 4x^2 - 15x + 9\\) - wyraz przy \\(x\\) to \\(-15x\\), a nie \\(-12x\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B to klasyczna pułapka - \\((2x-3)(2x+3)\\) wygląda podobnie, ale to **różnica kwadratów** \\(a^2 - b^2\\), która daje \\(4x^2 - 9\\) (bez wyrazu z \\(x\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj **wyraz środkowy** przy rozpoznawaniu kwadratu różnicy. Trójmian \\(a^2 - 2ab + b^2\\) wymaga, żeby wyraz środkowy był dokładnie \\(-2ab\\). Tu: \\(2 \\cdot 2x \\cdot 3 = 12x\\) - zgadza się.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((2x-3)^2 \\neq (2x)^2 - 3^2\\). To częsty błąd - kwadrat różnicy to **NIE** różnica kwadratów!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\nWyrażenie \\(4x^{2}-12x+9\\) próbujemy rozpoznać jako kwadrat różnicy: \\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\).\n- \\(a^{2}=4x^{2} \\Rightarrow a=2x\\),\n- \\(b^{2}=9 \\Rightarrow b=3\\),\n- sprawdzenie: \\(2ab = 2\\cdot 2x\\cdot 3 = 12x\\). ✓\n\nStąd \\(4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}=(2x-3)(2x-3)\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwijanie odpowiedzi\nOdpowiedź **C.** \\((2x-3)(2x-3)=4x^{2}-6x-6x+9=4x^{2}-12x+9\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((4x+3)(x+3)\\):** rozwijając: \\(4x^{2}+12x+3x+9=4x^{2}+15x+9\\).\n- **B. \\((2x-3)(2x+3)\\):** wzór \\((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\\), więc \\(4x^{2}-9\\).\n- **D. \\((x-3)(4x-3)\\):** \\(4x^{2}-3x-12x+9=4x^{2}-15x+9\\).\n\n**Trik:** przy rozkładzie trójmianu kwadratowego na czynniki zawsze zaczynaj od sprawdzenia wzoru skróconego mnożenia.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nProsta o równaniu\n2\n1\ny\nx\nm\n\n jest prostopadła do prostej o równaniu\n3\n1\n2\ny\nx\n\n. Stąd\nwynika, że\nA.\n3\nm \nB.\n2\n3\nm \nC.\n3\n2\nm \nD.\n3\nm \nZadanie 8 z matury podstawowej - maj 2013. Prosta o równaniu y = 2/m x + 1 jest prostopadła do prostej o równaniu y = -3/2 x - 1. Stąd wynika, że A. m = -3, B. m = 2/3, C. m = 3/2, D. m = 3.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nBadanie prostopadłości prostych na\npodstawie ich równań kierunkowych\n(II.8.c)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -3, 5\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt zbioru wartości z wykresu\n\n**Zbiór wartości** funkcji to zbiór wszystkich wartości \\(y\\), które funkcja przyjmuje - czyli to, co widzimy na osi \\(OY\\).\n\nPatrzymy na wykres funkcji \\(f\\):\n\n- **Najniższy punkt** wykresu \\(f\\): \\(y = -3\\)\n- **Najwyższy punkt** wykresu \\(f\\): \\(y = 5\\)\n- Wykres przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy \\(-3\\) a \\(5\\) (łamana - ciągła)\n\nZatem zbiór wartości funkcji \\(f\\) to:\n\\[ZW(f) = \\langle -3, 5\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: A**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę dziedziny vs. zbioru wartości\n\nWażne rozróżnienie: **dziedzina** to wartości na osi \\(OX\\), **zbiór wartości** to wartości na osi \\(OY\\).\n\nZ opisu wykresu funkcji \\(f\\):\n- Dziedzina (oś \\(OX\\)): \\(\\langle -3, 7\\rangle\\) - tyle że TO NIE JEST odpowiedź\n- Zbiór wartości (oś \\(OY\\)): szukamy, jak nisko i jak wysoko sięga wykres\n\nWykres \\(f\\) sięga:\n- w dół do \\(y = -3\\) - **minimum funkcji**\n- w górę do \\(y = 5\\) - **maksimum funkcji**\n\nOba krańce są osiągane (krańce zamknięte \\(\\langle \\cdot \\rangle\\)), więc:\n\\[ZW(f) = \\langle -3, 5\\rangle\\]\n\nZgadza się z odpowiedzią A. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości i odczyt z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(\\langle -6, 7\\rangle\\) - pomylono zbiór wartości z czymś innym; \\(7\\) to prawy kraniec **dziedziny** \\(f\\), a \\(-6\\) nie pojawia się nigdzie na wykresie |\n| C | \\(\\langle 0, 6\\rangle\\) - mogą to być wartości odczytane z wykresu funkcji \\(g\\) (przesuniętej o 1 w prawo), nie \\(f\\); lub odczytano błędnie min/max |\n| D | \\(\\langle -5, 8\\rangle\\) - wartości zupełnie spoza zakresu obu wykresów; błąd wynikający z mylenia danych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **dziedziny** (oś \\(OX\\)) ze **zbiorem wartości** (oś \\(OY\\))! To najczęstszy błąd w tym typie zadań. Dziedzina \\(f\\) to \\(\\langle -3, 7\\rangle\\), ale zbiór wartości to coś innego - patrzymy wyłącznie na oś pionową.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu są wykresy **dwóch** funkcji - \\(f\\) i \\(g\\). Upewnij się, że czytasz dane z wykresu **funkcji \\(f\\)**, nie \\(g\\). Funkcja \\(g\\) jest przesunięta i ma inny zbiór wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy krańce są **osiągane** przez funkcję (wtedy nawias kwadratowy \\(\\langle\\)), czy tylko zbliżane (nawias okrągły). Na wykresie łamanej krańce są zwykle zaznaczone pełną kropką - wtedy przedział jest domknięty.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nZbiór wartości to zakres osi \\(y\\), jaki przyjmuje funkcja \\(f\\).\n- Wartość najmniejsza: \\(y = -3\\) (dla \\(x=7\\)).\n- Wartość największa: \\(y = 5\\) (wierzchołek dla \\(x=-1\\)).\n\nZatem \\(f\\) przyjmuje wszystkie wartości z \\(\\langle -3, 5\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza fragmentów\nFunkcja \\(f\\) składa się z odcinków:\n- stała \\(y=2\\) dla \\(x\\in\\langle -6, -3\\rangle\\),\n- rosnąca do wartości \\(5\\) w \\(x=-1\\),\n- malejąca do wartości \\(-3\\) w \\(x=7\\).\n\nMaksimum = \\(5\\), minimum = \\(-3\\). Zbiór wartości: \\(\\langle -3, 5\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\langle -6, 7\\rangle\\)** - to dziedzina, nie zbiór wartości.\n- **C. \\(\\langle 0, 6\\rangle\\)** - funkcja przyjmuje wartości ujemne oraz mniejsze od \\(6\\).\n- **D. \\(\\langle -5, 8\\rangle\\)** - wartości \\(\\pm 5, \\pm 8\\) nie są osiągane.\n\n**Uwaga:** zbiór wartości czyta się z **pionowego** zakresu wykresu.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y\nax\nb\n\n\ny\n0\nx\nJakie znaki mają współczynniki a i b ?\nA.\n0\na \ni\n0\nb \nB.\n0\na \ni\n0\nb \nC.\n0\n\na\ni\n0\nb \nD.\n0\n\na\ni\n0\nb \nZadanie 9 z matury podstawowej - maj 2013. Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax+b. Jakie znaki mają współczynniki a i b ? A. a<0 i b<0, B. a<0 i b>0, C. a>0 i b<0, D. a>0 i b>0.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie współczynników we\nwzorze funkcji liniowej do określenia\npołożenia prostej w układzie\nwspółrzędnych (II.4.g)\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - przedział \\((5, 7\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: gdzie f leży poniżej osi OX\n\n**Szukamy** wszystkich \\(x\\), dla których \\(f(x) < 0\\), czyli fragmentów wykresu **leżących poniżej osi \\(OX\\)**.\n\n**Krok 1 - Znajdź miejsca zerowe \\(f\\).**\n\nNa podstawie wykresu funkcja \\(f\\) przecina oś \\(OX\\) w punkcie \\(x = 5\\):\n\\[f(5) = 0\\]\nDla \\(x < 5\\) (na widocznym fragmencie wykres jest powyżej osi), a dla \\(x > 5\\) - wykres schodzi **poniżej osi**.\n\n**Krok 2 - Sprawdź wartość na prawym krańcu dziedziny.**\n\nFunkcja jest określona na \\(\\langle -3, 7\\rangle\\). Odczytujemy z wykresu, że:\n\\[f(7) < 0\\]\nPrawy kraniec \\(x = 7\\) jest **w dziedzinie**, więc \\(7\\) należy do szukanego przedziału (nawias zamknięty \\(\\rangle\\)).\n\n**Krok 3 - Ustal czy punkt \\(x = 5\\) należy do przedziału.**\n\nPonieważ \\(f(5) = 0\\), a szukamy wartości **ściśle ujemnych** (\\(f < 0\\)), punkt \\(x = 5\\) **nie należy** → nawias otwarty \\((\\) od lewej.\n\n**Wniosek:**\n\\[\\boxed{f(x) < 0 \\iff x \\in (5,\\ 7\\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie granic przedziału\n\nSprawdzamy każdy z potencjalnych granic szukanego przedziału:\n\n| \\(x\\) | \\(f(x)\\) | Wniosek |\n| \\(x = 5\\) | \\(f(5) = 0\\) | zero, nie ujemna → punkt **nie wchodzi** |\n| \\(x = 6\\) (wewnątrz) | \\(f(6) < 0\\) | ujemna ✓ → punkt należy |\n| \\(x = 7\\) | \\(f(7) < 0\\) | ujemna ✓ → **wchodzi** (zamknięty kraniec) |\n| \\(x = 4\\) | \\(f(4) > 0\\) | dodatnia → **nie należy** |\n\nStąd jedynym fragmentem, gdzie \\(f\\) jest **wyłącznie ujemna**, jest \\((5, 7\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy odczyt z wykresu i definicja:\n\n> Funkcja \\(f\\) przyjmuje wartości ujemne dla tych \\(x\\), dla których punkt wykresu leży **poniżej osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) < 0\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\langle 5, 0\\rangle\\) - to odwrócony przedział (lewy kraniec \\(5 >\\) prawy kraniec \\(0\\)), czyli **zbiór pusty** w sensie matematycznym; klasyczna pułapka na nieuważnych |\n| C | \\((0, 7\\rangle\\) - za szeroki przedział; na odcinku \\((0, 5)\\) funkcja \\(f\\) przyjmuje **wartości dodatnie**, więc nie cały ten przedział spełnia warunek |\n| D | \\(\\langle -6, 5\\rangle\\) - funkcja w ogóle nie jest określona dla \\(x < -3\\); poza tym dla \\(x \\in \\langle -3, 5\\rangle\\) funkcja przyjmuje zarówno wartości ujemne, jak i dodatnie, a nie **tylko** ujemne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie brzmi „tylko wartości **ujemne**\" - przedział musi zawierać się **całkowicie poniżej osi OX**. Nie wystarczy, że gdzieś tam \\(f < 0\\); na całym przedziale musi być \\(f < 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(x = 5\\), gdzie \\(f(5) = 0\\), **nie daje wartości ujemnej** - zero to zero, nie minus! Stąd nawias otwarty \\((5, \\ldots\\). Uczniowie często o tym zapominają i dają nawias zamknięty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy przedział zawiera się w **dziedzinie** funkcji. Odpowiedź D zawiera \\(x < -3\\), gdzie \\(f\\) po prostu nie istnieje.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Analiza znaku funkcji\nFunkcja \\(f\\) ma miejsce zerowe w \\(x=5\\) (wykres przecina oś \\(Ox\\)).\n- Dla \\(x\\in(5, 7\\rangle\\): wykres jest **pod osią** \\(Ox\\), więc \\(f(x)<0\\).\n- Dla \\(x<5\\): \\(f(x)\\ge 0\\) (w różnych miejscach).\n\nZatem przedział \\((5, 7\\rangle\\) to miejsce, gdzie funkcja przyjmuje wartości **tylko ujemne**.\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja punktów końcowych\n- \\(f(5) = 0\\) - nie należy (otwarty nawias).\n- \\(f(7) = -3 < 0\\) - należy (zamknięty nawias).\n- Wszystkie pośrednie \\(f(x) < 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\langle 5, 0\\rangle\\)** - zapis niepoprawny (niemalejący), w dodatku \\(f(5)=0\\ne\\) ujemne.\n- **C. \\((0, 7\\rangle\\)** - zawiera \\(x\\in(0,5)\\), gdzie \\(f(x)>0\\).\n- **D. \\(\\langle -6, 5\\rangle\\)** - tu \\(f\\) jest nieujemna.\n\n**Pamiętaj:** „tylko ujemne\" = cały przedział pod osią \\(Ox\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nNajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność\n2\n1\n2\n3\n4\nx\nx\n\n\njest\nA.\n2\n\nB.\n1\n\nC. 0\nD. 1\nZadanie 10 z matury podstawowej - maj 2013. Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x/2 <= 2x/3 + 1/4 jest A. -2, B. -1, C. 0, D. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązanie nierówności liniowej\ni wskazanie najmniejszej liczby\nspełniającej tę nierówność (I.3)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(g(x) = f(x+1)\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza przesunięcia wykresu (reguła transformacji)\n\n**Kluczowa zasada**: gdy wykres \\(g\\) wygląda tak samo jak \\(f\\), ale jest **przesunięty poziomo**, korzystamy z reguły:\n\n\\[g(x) = f(x - d)\\]\n\ngdzie \\(d > 0\\) oznacza **przesunięcie w prawo**, a \\(d < 0\\) - **w lewo**.\n\n**Co widzimy na rysunku?**\n\nWykres \\(g\\) ma identyczny kształt co \\(f\\), lecz jest przesunięty **o 1 jednostkę w lewo** względem \\(f\\).\n\nPodstawiamy \\(d = -1\\) do reguły:\n\n\\[g(x) = f(x - (-1)) = f(x + 1)\\]\n\n**Wniosek:** Przesunięcie w lewo o 1 → \\(\\boxed{g(x) = f(x+1)}\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja punktem charakterystycznym\n\nOdczytajmy konkretny punkt z wykresów.\n\nNiech \\(f\\) osiąga pewną charakterystyczną wartość (np. maksimum) w punkcie \\(x = a\\).\nPonieważ \\(g\\) jest przesunięte **w lewo o 1**, ta sama wartość pojawia się u \\(g\\) w punkcie \\(x = a - 1\\).\n\nSprawdzamy kandydatkę \\(g(x) = f(x+1)\\):\n\n\\[g(a-1) = f\\!\\left((a-1)+1\\right) = f(a) \\checkmark\\]\n\nZgadza się - wartość \\(g\\) w punkcie \\(a-1\\) jest równa wartości \\(f\\) w punkcie \\(a\\).\n\nGdyby \\(g(x) = f(x-1)\\) (odpowiedź A), to \\(g(a+1) = f(a)\\) - maksimum byłoby przesunięte **w prawo**, co nie zgadza się z wykresem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji **przesunięcia wykresu funkcji** (geometryczna transformacja).\n\nWarto jednak zapamiętać regułę:\n\n| Wzór | Interpretacja |\n| \\(y = f(x + c),\\ c > 0\\) | przesunięcie w **lewo** o \\(c\\) |\n| \\(y = f(x - c),\\ c > 0\\) | przesunięcie w **prawo** o \\(c\\) |\n| \\(y = f(x) + c,\\ c > 0\\) | przesunięcie w **górę** o \\(c\\) |\n| \\(y = f(x) - c,\\ c > 0\\) | przesunięcie w **dół** o \\(c\\) |\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\ g(x)=f(x-1)\\) | Przesunięcie \\(f(x-1)\\) to przesunięcie **w prawo** o 1 - uczeń widzi \"przesunięcie o 1\" i wpisuje \\(x-1\\), nie patrząc na kierunek |\n| B \\(\\ g(x)=f(x)-1\\) | Odjęcie 1 **od wartości** funkcji daje przesunięcie **pionowe w dół** - kształt się zgadza, ale wykresy byłyby jeden nad drugim, nie obok siebie |\n| D \\(\\ g(x)=f(x)+1\\) | Dodanie 1 **do wartości** funkcji daje przesunięcie **pionowe w górę** - analogiczny błąd jak w B, tylko w drugą stronę |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie kierunku: \\(f(x+1)\\) to NIE przesunięcie w prawo, lecz **w lewo**! Znak \"+\" w argumencie = ruch w lewo - wbrew intuicji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odróżniaj przesunięcie **poziome** \\(f(x \\pm c)\\) od **pionowego** \\(f(x) \\pm c\\). Odpowiedzi B i D to pionowe przesunięcia - wykres nie zmieniłby pozycji w poziomie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy sprawdzasz odpowiedź, weź **konkretny punkt** z wykresu i podstaw do kandydującego wzoru. To pewniejsze niż samo rozumowanie \"w lewo/w prawo\".\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Porównanie wykresów\nWykres funkcji \\(f\\) ma maksimum w \\(x=-1\\), wartość \\(5\\).\nWykres funkcji \\(g\\) ma maksimum w \\(x=-2\\), wartość \\(5\\).\n\nPrzesunięcie: wykres \\(g\\) to wykres \\(f\\) przesunięty o **1 w lewo** (wzdłuż osi \\(x\\)).\nPrzesunięcie poziome o \\(a\\) jednostek w lewo: \\(g(x) = f(x+1)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktu\n\\(f(0) = 4\\) (odczytane z wykresu \\(f\\)).\n\\(g(-1) = 4\\) (odczytane z wykresu \\(g\\)).\nSprawdzamy: \\(g(-1) = f(-1+1) = f(0) = 4\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(f(x-1)\\)** - przesunięcie w **prawo** o 1.\n- **B. \\(f(x)-1\\)** - przesunięcie **w dół** o 1 (oś \\(y\\)).\n- **D. \\(f(x)+1\\)** - przesunięcie **w górę** o 1.\n\n**Trik:** \\(f(x+a)\\) przesuwa w **lewo** o \\(a\\), \\(f(x-a)\\) w **prawo**.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nNa rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji\n\ny\nf x\n\nokreślonej dla\n7,4\nx\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5 y\n0\nx\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5 y\n0\nx\nRys. 1\nRys. 2\nRysunek 2 przedstawia wykres funkcji\nA.\n\n\n2\ny\nf x\n\n\nB.\n\n2\ny\nf x\n\n\nC.\n\n\n2\ny\nf x\n\n\nD.\n\n2\ny\nf x\n\n\nZadanie 11 z matury podstawowej - maj 2013. Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) określonej dla x w <-7,4> Rys. 1, Rys. 2 Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji A. y=f(x+2), B. y=f(x)-2, C. y=f(x-2), D. y=f(x)+2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWykorzystanie wykresu funkcji\n\ny\nf x\n\ndo wskazania wykresu funkcji\ntypu\n\n\ny\nf x\na\n\n\n,\n\n\ny\nf x\na\n\n\n,\n\ny\nf x\n\n,\n\n\ny\nf\nx\n\n\n(I.4.d)\nC\nA","solution":"_Te pytanie nie ma jeszcze świeżego rozwiązania Sonnet (problemy z generacją). Powyżej masz pełne rozwiązanie Claude Opus\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kąt między styczną a cięciwą\nStyczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności. Zatem promień i styczna tworzą kąt \\(90^{\\circ}\\). Jeżeli kąt między styczną a cięciwą wynosi \\(40^{\\circ}\\), to kąt między cięciwą a promieniem (środkowym) wynosi:\n\\[90^{\\circ} - 40^{\\circ} = 50^{\\circ}.\\]\nTrójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę jest równoramienny (oba ramiona to promienie). Kąty przy podstawie są równe, więc kąt wpisany \\(\\alpha\\) jest równy:\n\\[\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\cdot \\text{(kąt środkowy)} = \\dfrac{50^{\\circ}}{2}=25^{\\circ}.\\]\n\nAlbo bezpośrednio: kąt wpisany oparty na tej samej cięciwie co kąt między styczną a cięciwą:\n\\[\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\cdot 50^{\\circ} = 25^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\nKąt między styczną a cięciwą = kąt wpisany oparty na tej cięciwie po przeciwnej stronie. Tu kąt między styczną a cięciwą jest \\(40^{\\circ}\\) + kąt \\(50^{\\circ}\\) między styczną a drugą cięciwą (z promienia). Kąt \\(\\alpha\\) jest oparty na cięciwie wyznaczającej kąt środkowy \\(50^{\\circ}\\), więc \\(\\alpha = 25^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(50^{\\circ}\\)** - kąt środkowy, nie wpisany.\n- **B. \\(45^{\\circ}\\)** - nieuzasadniona wartość.\n- **D. \\(20^{\\circ}\\)** - wynik \\(\\tfrac{40^{\\circ}}{2}\\), ale kąt środkowy nie wynosi \\(40^{\\circ}\\).\n\n**Pamiętaj:** kąt wpisany = połowa odpowiadającego kąta środkowego.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nCiąg \n\n27, 18,\n5\nx \njest geometryczny. Wtedy\nA.\n4\nx \nB.\n5\n\nx\nC.\n7\nx \nD.\n9\nx \n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nZadanie 12 z matury podstawowej - maj 2013. Ciąg (27, 18, x+5) jest geometryczny. Wtedy A. x=4, B. x=5, C. x=7, D. x=9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie własności ciągu\ngeometrycznego (II.5.c)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(x = 7\\))\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich wyrazów:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nMamy ciąg \\((27, 18, x+5)\\), więc:\n\\[18^2 = 27 \\cdot (x+5)\\]\n\\[324 = 27(x+5)\\]\n\\[\\frac{324}{27} = x+5\\]\n\\[12 = x+5\\]\n\\[\\boxed{x = 7}\\]\n\nSprawdzamy iloraz ciągu: \\(q = \\frac{18}{27} = \\frac{2}{3}\\), trzeci wyraz: \\(18 \\cdot \\frac{2}{3} = 12 = 7 + 5\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Stały iloraz ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\nObliczamy iloraz z dwóch pierwszych wyrazów:\n\\[q = \\frac{18}{27} = \\frac{2}{3}\\]\n\nWyznaczamy trzeci wyraz ze wzoru \\(a_3 = a_2 \\cdot q\\):\n\\[x + 5 = 18 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{36}{3} = 12\\]\n\\[x = 12 - 5\\]\n\\[\\boxed{x = 7}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyta w Sposobie 1 do ustawienia równania.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz wynikająca z niego relacja \\(q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) - użyta w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(x=4\\)) | Uczeń liczy \\(x+5=9\\) zamiast \\(x+5=12\\) - myli iloraz lub oblicza \\(18/2=9\\) bez logiki |\n| B (\\(x=5\\)) | Uczeń podstawia \\(x=5\\) i dostaje trzeci wyraz \\(10\\), co daje iloraz \\(\\frac{10}{18} \\neq \\frac{2}{3}\\) - brak weryfikacji |\n| D (\\(x=9\\)) | Uczeń liczy \\(18^2 = 324\\), ale dzieli przez \\(27\\) błędnie: \\(324/27 = 12\\), a potem bierze \\(12-3=9\\) zamiast \\(12-5=9\\) - zły odczyt wyrazu (pomylenie stałej \\(5\\) z \\(3\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trzeci wyraz to \\(x+5\\), nie \\(x\\)! Łatwo zapomnieć odjąć 5 na końcu i podać \\(x = 12\\) - takiej odpowiedzi tu nie ma, ale w innym zadaniu mogłoby prowadzić do błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\((a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\) działa TYLKO dla ciągu geometrycznego. Nie myl z ciągiem arytmetycznym, gdzie \\(a_n = \\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy wyznaczony iloraz \\(q\\) jest taki sam dla wszystkich par sąsiednich wyrazów - to szybka weryfikacja, że ciąg rzeczywiście jest geometryczny.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Warunek środka geometrycznego\nDla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego \\(a, b, c\\) zachodzi \\(b^{2}=a\\cdot c\\).\nTu \\(a=27\\), \\(b=18\\), \\(c=x+5\\), więc:\n\\[18^{2} = 27(x+5)\\]\n\\[324 = 27(x+5)\\]\n\\[x+5 = 12 \\Rightarrow x=7.\\]\n\n### Sposób 2 - Stały iloraz\n\\(q = \\dfrac{18}{27} = \\dfrac{2}{3}\\). Wtedy \\(a_{3} = 18 \\cdot \\tfrac{2}{3} = 12\\).\nSkoro \\(x+5=12\\), to \\(x=7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x=4\\):** \\(a_{3}=9\\); \\(\\tfrac{9}{18}=\\tfrac{1}{2}\\ne\\tfrac{2}{3}\\).\n- **B. \\(x=5\\):** \\(a_{3}=10\\); błąd.\n- **D. \\(x=9\\):** \\(a_{3}=14\\); \\(\\tfrac{14}{18}\\ne\\tfrac{2}{3}\\).\n\n**Pamiętaj:** w ciągu geometrycznym \\(b^{2}=ac\\) (warunek środka geometrycznego).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nCiąg \n\nn\na\nokreślony dla\n1\n\nn\njest arytmetyczny oraz\n3\n10\na \ni\n4\n14\na \n. Pierwszy wyraz tego\nciągu jest równy\nA.\n1\n2\na \nB.\n1\n2\na \nC.\n1\n6\na \nD.\n1\n12\na \nZadanie 13 z matury podstawowej - maj 2013. Ciąg (a_n) określony dla n >= 1 jest arytmetyczny oraz a_3=10 i a_4=14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A. a_1=-2, B. a_1=2, C. a_1=6, D. a_1=12","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie własności ciągu\narytmetycznego (II.5.c)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (Obwód = \\(20\\))\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo → proporcja boków → wzór Pitagorasa\n\n**Krok 1: Ustalamy stosunek boków.**\n\nProstokąt \\(ABCD\\) jest podobny do prostokąta o bokach \\(2\\) i \\(3\\), więc jego boki są w tym samym stosunku:\n\n\\[\\frac{a}{b} = \\frac{2}{3}\\]\n\nMożemy zapisać boki \\(ABCD\\) jako:\n\n\\[a = 2k, \\quad b = 3k \\quad \\text{dla pewnego } k > 0\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(k\\) z warunku na przekątną.**\n\nZ twierdzenia Pitagorasa przekątna prostokąta wynosi:\n\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{(2k)^2 + (3k)^2} = \\sqrt{4k^2 + 9k^2} = \\sqrt{13k^2} = k\\sqrt{13}\\]\n\nWiemy, że \\(d = 2\\sqrt{13}\\), więc:\n\n\\[k\\sqrt{13} = 2\\sqrt{13}\\]\n\n\\[\\boxed{k = 2}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy boki i obwód.**\n\n\\[a = 2k = 4, \\quad b = 3k = 6\\]\n\n\\[\\text{Obwód} = 2(a + b) = 2(4 + 6) = \\mathbf{20}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez przekątną\n\nSprawdzamy, czy prostokąt \\(4 \\times 6\\) ma przekątną \\(2\\sqrt{13}\\):\n\n\\[d = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13} = 2\\sqrt{13} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = a^2 + b^2\\]\nUżyte w Kroku 2 do wyznaczenia \\(k\\) z długości przekątnej.\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z osobnego wzoru na podobieństwo - wystarczy właściwość definicyjna figur podobnych (proporcjonalność odpowiednich boków).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(10\\)) | Uczeń liczy \\(2(a+b)\\) dla pierwotnego prostokąta \\(2 \\times 3\\) - **myli oryginał z kopią** |\n| C (\\(5\\)) | Liczy tylko \\(a + b = 4 + 6 = 10\\) i myśli, że to obwód - **zapomina pomnożyć przez 2** |\n| D (\\(24\\)) | Przyjmuje błędny współczynnik podobieństwa (np. \\(k = 3\\)), boki \\(6\\) i \\(9\\), obwód \\(30\\) - albo liczy \\(4 \\cdot 6 = 24\\) myląc obwód z polem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo figur to proporcjonalność **boków**, nie równość. Zapamiętaj, że stosunek \\(2:3\\) to nie wartości boków, tylko ich proporcja - musisz wyznaczyć skalę \\(k\\) z dodatkowego warunku (tu: długość przekątnej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{13k^2}\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{k^2} = k\\) (dla \\(k > 0\\)), więc wychodzi \\(k\\sqrt{13}\\), a nie \\(k^2\\sqrt{13}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwód prostokąta to \\(2(a+b)\\), nie \\(a + b\\). To jeden z najczęstszych błędów rachunkowych na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Skala podobieństwa\nPrzekątna prostokąta o bokach \\(2\\) i \\(3\\):\n\\[d = \\sqrt{2^{2}+3^{2}} = \\sqrt{13}.\\]\nPrzekątna \\(ABCD\\) wynosi \\(2\\sqrt{13}\\), więc skala podobieństwa \\(k = \\dfrac{2\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = 2\\).\n\nBoki \\(ABCD\\): \\(2\\cdot 2=4\\) oraz \\(3\\cdot 2=6\\).\nObwód: \\(2(4+6) = 20\\).\n\n### Sposób 2 - Obwód małego i skala\nObwód małego prostokąta: \\(2(2+3) = 10\\). Obwód w skali podobieństwa zmienia się **liniowo** (tak jak bok). Skala \\(k=2\\), więc obwód \\(= 10\\cdot 2 = 20\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)** - obwód małego prostokąta, bez skalowania.\n- **C. \\(5\\)** - połowa obwodu małego, nie ma sensu.\n- **D. \\(24\\)** - błąd obliczeniowy, np. skala 3:2.\n\n**Pamiętaj:** przy podobieństwie **obwód** zmienia się jak \\(k\\), **pole** jak \\(k^{2}\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i\n3\nsin\n2\n\n. Wartość wyrażenia\n2\ncos\n2\n\njest równa\nA.\n7\n4\n\nB.\n1\n4\n\nC. 1\n2\nD.\n3\n2\nZadanie 14 z matury podstawowej - maj 2013. Kąt alfa jest ostry i sin alfa = pierwiastek z 3 / 2. Wartość wyrażenia cos^2 alfa -2 jest równa A. -7\\o4, B. -1/4, C. 1/2, D. pierwiastek z 3 / 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZastosowanie prostych związków między\nfunkcjami trygonometrycznymi kąta\nostrego do obliczenia wartości wyrażenia\n(II.6.c)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{9}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole rombu przez kąt\n\nKąt ostry rombu to \\(\\alpha\\), przy czym \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Wyznaczamy kąt:**\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\implies \\alpha = 30°\\]\n\n**Obliczamy sinus tego kąta** (z karty wzorów lub \"jedynki trygonometrycznej\"):\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Stosujemy wzór na pole rombu:**\n\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\\[P = 3^2 \\cdot \\sin 30° = 9 \\cdot \\frac{1}{2} = \\boxed{\\frac{9}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokość rombu\n\nWysokość rombu to odcinek prostopadły do boku, opuszczony z wierzchołka. Z trójkąta prostokątnego:\n\n\\[h = a \\cdot \\sin\\alpha = 3 \\cdot \\sin 30° = 3 \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]\n\nPole rombu to pole prostokąta o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(h\\):\n\\[P = a \\cdot h = 3 \\cdot \\frac{3}{2} = \\boxed{\\frac{9}{2}}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu:\n\\[P_{\\text{romb}} = a^2 \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a\\) to bok, \\(\\alpha\\) to dowolny kąt wewnętrzny. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\nAlternatywnie korzystamy z ogólnego wzoru na pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\n(Romb dzielimy na dwa przystające trójkąty, każdy ma dwa boki długości \\(a\\) i kąt \\(\\alpha\\) między nimi.)\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy do identyfikacji kąta i obliczenia sinusa.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B - \\(\\dfrac{9\\sqrt{3}}{4}\\) | Użyto wzoru na pole trójkąta zamiast rombu: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a^2 \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\cdot 9 \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{9}{4}\\) - wzięto połowę zamiast całości (albo pomylono romb z trójkątem) |\n| C - \\(\\dfrac{9\\sqrt{3}}{2}\\) | Pomylono kąt - skoro \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), to kąt ostry to \\(30°\\), ale uczeń liczy: \\(P = a^2 \\sin 60° = 9 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), jakby \\(\\alpha = 60°\\) (zamienił cosinus z sinusem lub pomylił kąt ostry z kątem rozwartym) |\n| D - \\(6\\) | Uczeń liczy wysokość \\(h = a \\cos\\alpha = 3 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a potem \\(P = a \\cdot h = 3 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\) - użył \\(\\cos\\) zamiast \\(\\sin\\) do wyznaczenia wysokości |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dane jest \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), czyli \\(\\alpha = 30°\\). Do wzoru na pole potrzebujesz **sinusa** - nie myl \\(\\sin\\) z \\(\\cos\\)! Wiele błędów bierze się z wstawienia wprost \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) działa dla **dowolnego** kąta wewnętrznego rombu (ostrego lub rozwartego), bo \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\). Zawsze możesz wziąć kąt ostry - wynik będzie ten sam.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba wyznaczać przekątnych - to niepotrzebnie komplikuje zadanie. Wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) jest najprostszy i bezpośredni.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole rombu z kątem\n\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), więc \\(\\alpha = 30^{\\circ}\\) i \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\).\nPole rombu:\n\\[P = a^{2}\\sin\\alpha = 3^{2}\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{9}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Z jedynki trygonometrycznej\n\\(\\sin^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2} = 1 - \\tfrac{3}{4} = \\tfrac{1}{4}\\).\n\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) (kąt ostry).\nPole: \\(P = 9\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{9}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{9\\sqrt{3}}{4}\\)** - ktoś wziął iloczyn \\(a^{2}\\cdot\\cos\\alpha\\cdot\\tfrac{1}{2}\\), błędny wzór.\n- **C. \\(\\tfrac{9\\sqrt{3}}{2}\\)** - użycie \\(\\cos\\alpha\\) zamiast \\(\\sin\\alpha\\).\n- **D. \\(6\\)** - brak uzasadnienia dla tej wartości.\n\n**Wzór na pole rombu:** \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\) - zawsze \\(\\sin\\), nie \\(\\cos\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nŚrednice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50(tak jak na rysunku).\nMiara kąta  jest równa\nA. 25\nB. 30\nC. 40\nD. 50\nZadanie 15 z matury podstawowej - maj 2013. Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50 stopni (tak jak na rysunku). Miara kąta alfa jest równa A. 25 stopni, B. 30 stopni, C. 40 stopni, D. 50 stopni","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWykorzystanie związków między kątem\nwpisanym i środkowym (I.7.a)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(12\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na pole i prosta algebra\n\nSześcian ma bok \\(a\\). Jego pole powierzchni całkowitej składa się z **6 kwadratowych ścian**, każda o polu \\(a^2\\):\n\n\\[P_c = 6a^2\\]\n\nPodstawiamy dane:\n\n\\[6a^2 = 12\\]\n\n\\[a^2 = 2\\]\n\n\\[a = \\sqrt{2}\\]\n\nTeraz wyznaczamy sumę krawędzi. Sześcian ma **12 krawędzi** (po 4 na każdej z 3 „warstw\"):\n\n\\[S = 12a = 12\\sqrt{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(12\\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(a = \\sqrt{2}\\) pole naprawdę wynosi \\(12\\):\n\n\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot (\\sqrt{2})^2 = 6 \\cdot 2 = 12 \\checkmark\\]\n\nSuma krawędzi:\n\n\\[S = 12 \\cdot \\sqrt{2} = 12\\sqrt{2} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nDla sześcianu (\\(a = b = c\\)) upraszcza się do:\n\\[P_c = 6a^2\\]\nTego wzoru użyliśmy do wyznaczenia boku \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B - \\(8\\sqrt{2}\\) | Mylenie liczby krawędzi: wzięto **8** zamiast **12** (8 to liczba wierzchołków!) |\n| C - \\(6\\sqrt{2}\\) | Wzięto **6** krawędzi (liczba ścian) zamiast 12 |\n| D - \\(3\\sqrt{2}\\) | Policzono tylko **jedną krawędź** \\(a = \\sqrt{2}\\) i podzielono przez coś, albo wzięto 3 krawędzie (po jednej z każdego kierunku) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **12 krawędzi**, nie 8 (8 to wierzchołki!) i nie 6 (6 to ściany). Warto to zapamiętać raz na zawsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(6a^2 = 12\\) dostajemy \\(a^2 = 2\\), więc \\(a = \\sqrt{2}\\) - nie \\(a = 2\\)! Błąd pominięcia pierwiastka (wzięcie \\(a = 2\\)) dałoby \\(S = 24\\), czego nie ma wśród odpowiedzi, ale na innych zadaniach taki błąd mógłby trafić w mylącą odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej to \\(6a^2\\), a nie \\(a^2\\) (pole jednej ściany) ani \\(a^3\\) (objętość). Nie myl tych wzorów!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie krawędzi\nPole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi \\(a\\):\n\\[P_{c} = 6a^{2} = 12 \\Rightarrow a^{2} = 2 \\Rightarrow a = \\sqrt{2}.\\]\nSześcian ma \\(12\\) krawędzi. Suma ich długości:\n\\[12a = 12\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja numerem\nJeśli \\(a=\\sqrt{2}\\), to pole jednej ściany \\(= (\\sqrt{2})^{2} = 2\\). Sześć ścian: \\(6\\cdot 2 = 12\\) ✓.\nSuma krawędzi: \\(12\\cdot\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(8\\sqrt{2}\\)** - \\(8\\) krawędzi (np. pomylenie z prostopadłościanem?); sześcian ma 12.\n- **C. \\(6\\sqrt{2}\\)** - \\(6\\) krawędzi, błędna liczba.\n- **D. \\(3\\sqrt{2}\\)** - \\(3\\) krawędzie, bezsensowna liczba.\n\n**Pamiętaj:** sześcian ma **12 krawędzi** i **6 ścian**.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nLiczba rzeczywistych rozwiązań równania \n\n\n\n2\n1\n2\n3\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\njest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 4\nZadanie 16 z matury podstawowej - maj 2013. Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x+1)(x+2)(x^2+3)=0 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązanie równania wielomianowego\n(I.3.d)\nC\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRównanie ma **2 rzeczywiste rozwiązania**.\n\n## Sposób 1 - analiza czynników iloczynu\n\nIloczyn jest równy zero, gdy **co najmniej jeden z czynników jest równy zero**. Mamy trzy czynniki:\n\n\\[\n(x+1)(x+2)(x^2+3) = 0\n\\]\n\n**Czynnik 1:** \\(x + 1 = 0\\)\n\\[x = -1\\]\nTo rozwiązanie rzeczywiste. ✓\n\n**Czynnik 2:** \\(x + 2 = 0\\)\n\\[x = -2\\]\nTo rozwiązanie rzeczywiste. ✓\n\n**Czynnik 3:** \\(x^2 + 3 = 0\\)\n\\[x^2 = -3\\]\n\nKwadrat liczby rzeczywistej jest **zawsze nieujemny**, tzn. \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\nZatem \\(x^2 = -3\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**. ✗\n\n**Łącznie:** dwa rozwiązania rzeczywiste - \\(x = -1\\) i \\(x = -2\\).\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki, wstawiając do oryginalnego równania:\n\n**Dla \\(x = -1\\):**\n\\[\n(-1+1)(-1+2)((-1)^2+3) = 0 \\cdot 1 \\cdot 4 = 0 \\quad \\checkmark\n\\]\n\n**Dla \\(x = -2\\):**\n\\[\n(-2+1)(-2+2)((-2)^2+3) = (-1) \\cdot 0 \\cdot 7 = 0 \\quad \\checkmark\n\\]\n\n**Sprawdzamy, czy \\(x^2 + 3 > 0\\) dla wszystkich \\(x\\):**\n\nPonieważ \\(x^2 \\geq 0\\), mamy:\n\\[\nx^2 + 3 \\geq 0 + 3 = 3 > 0\n\\]\n\nCzynnik \\(x^2 + 3\\) jest **zawsze dodatni** - nigdy nie zeruje iloczynu.\n\nWynik potwierdzony: **dokładnie 2 rozwiązania**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **definicja miejsca zerowego** (iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem) oraz fakt, że \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(0\\)) | Pominięcie, że \\(x+1=0\\) i \\(x+2=0\\) dają rozwiązania; skupienie tylko na czynniku kwadratowym |\n| B (\\(1\\)) | Policzono tylko jedno z dwóch liniowych miejsc zerowych (np. tylko \\(x = -1\\)) |\n| D (\\(4\\)) | Założono błędnie, że \\(x^2 + 3 = 0\\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste - **pominięto warunek \\(x^2 \\geq 0\\)** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D kusi - równanie stopnia 4 mogłoby mieć 4 pierwiastki. Ale to działa tylko w zbiorze liczb zespolonych, nie rzeczywistych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynnik \\(x^2 + 3\\) wygląda jak trójmian kwadratowy - ktoś może liczyć jego deltę: \\(\\Delta = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3 = -12 < 0\\). Ujemna delta potwierdza brak pierwiastków rzeczywistych - to dobra metoda weryfikacji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj **każdy czynnik osobno** - nie mnóż ich razem! Rozwinięcie iloczynu do jednego wielomianu stopnia 4 jest niepotrzebne i wydłuża rozwiązanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Zerowanie każdego czynnika\nIloczyn równy zero, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem:\n- \\(x+1=0 \\Rightarrow x=-1\\) ✓\n- \\(x+2=0 \\Rightarrow x=-2\\) ✓\n- \\(x^{2}+3=0 \\Rightarrow x^{2}=-3\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny).\n\nDwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x=-1, x=-2\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza wyróżnika trójmianu\nTrójmian \\(x^{2}+3=x^{2}+0x+3\\): \\(\\Delta = 0^{2}-4\\cdot 1\\cdot 3 = -12 < 0\\), więc **brak pierwiastków rzeczywistych**.\nPozostałe dwa czynniki liniowe dają po jednym pierwiastku. Razem: \\(2\\) rzeczywiste rozwiązania.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\):** pomija \\(x=-1\\) i \\(x=-2\\).\n- **B. \\(1\\):** uwzględnia tylko jeden czynnik liniowy.\n- **D. \\(4\\):** zakłada, że \\(x^{2}+3=0\\) też ma rozwiązania rzeczywiste - fałsz.\n\n**Pamiętaj:** \\(x^{2}+c\\ge c\\) dla wszystkich rzeczywistych \\(x\\); jeśli \\(c>0\\), brak pierwiastków rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nPunkty\n\n\n1,2\nA \ni\n\n\n5, 2\nB \n\nsą dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód\ntego rombu jest równy\nA.\n13\nB.\n13\nC. 676\nD. 8 13\nZadanie 17 z matury podstawowej - maj 2013. Punkty A = (-1,2) i B = (5,-2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy A. pierwiastek z 13, B. 13, C. 676, D. 8 * pierwiastek z 13","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczanie odległości punktów na\npłaszczyźnie i obwodu rombu (II.8.e)\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - trzy miejsca zerowe\n\n## Sposób 1 - Analiza czynników iloczynu\n\nFunkcja jest zapisana w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = 3x \\cdot (x^2 + 5) \\cdot (2 - x) \\cdot (x + 1)\\]\n\nMiejsce zerowe to takie \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\). Iloczyn jest równy zero **wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest równy zero**.\n\nSprawdzamy każdy czynnik po kolei:\n\n**Czynnik 1:** \\(3 = 0\\) - niemożliwe, stała niezerowa. Brak pierwiastka.\n\n**Czynnik 2:** \\(x = 0\\) - **zero funkcji: \\(x = 0\\)** ✓\n\n**Czynnik 3:** \\(x^2 + 5 = 0\\)\n\\[x^2 = -5\\]\nKwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \\(x^2 \\geq 0\\). Brak rozwiązań rzeczywistych.\n\n**Czynnik 4:** \\(2 - x = 0\\)\n\\[x = 2\\]\n**Zero funkcji: \\(x = 2\\)** ✓\n\n**Czynnik 5:** \\(x + 1 = 0\\)\n\\[x = -1\\]\n**Zero funkcji: \\(x = -1\\)** ✓\n\n**Zatem funkcja ma dokładnie trzy miejsca zerowe:** \\(x = -1,\\; x = 0,\\; x = 2\\).\n\n## Sposób 2 - Analiza przez wyróżnik trójmianu (weryfikacja czynnika \\(x^2+5\\))\n\nKtoś mógłby mieć wątpliwości co do czynnika \\(x^2 + 5\\). Sprawdźmy to formalnie, traktując go jako trójmian kwadratowy \\(ax^2 + bx + c\\) z \\(a = 1,\\; b = 0,\\; c = 5\\):\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 5 = -20\\]\n\nPonieważ \\(\\Delta < 0\\), trójmian \\(x^2 + 5\\) **nie ma żadnych miejsc zerowych** w zbiorze liczb rzeczywistych.\n\nPotwierdza to, że jedyne zera funkcji \\(f\\) pochodzą od czynników \\(x\\), \\((2-x)\\) i \\((x+1)\\), czyli jest ich dokładnie **trzy**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do udowodnienia, że \\(x^2 + 5 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta = -20 < 0\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń widzi parę \\(x(x+1)\\) i liczy tylko dwa \"oczywiste\" pierwiastki, pomijając czynnik \\((2-x)\\) |\n| C | Uczeń zakłada, że \\(x^2 + 5\\) też daje dwa pierwiastki (zapomina sprawdzić \\(\\Delta\\)), przez co liczy \\(0 + 2 + 1 + 1 = 4\\) |\n| D | Uczeń mylnie uznaje wszystkie 5 czynników iloczynu (łącznie ze stałą \\(3\\)) za równoważne pierwiastki |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynnik \\(x^2 + 5\\) wygląda jak trójmian kwadratowy z dwoma pierwiastkami - ale \\(+5\\) sprawia, że \\(\\Delta < 0\\) i **brak rozwiązań rzeczywistych**. Gdyby był to \\(x^2 - 5\\), byłyby dwa pierwiastki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \"ile czynników ma iloczyn\" - to nie to samo co \"ile zer ma funkcja\". Każdy czynnik trzeba osobno zbadać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stała \\(3\\) przed iloczynem **nie jest czynnikiem zmiennym** - nie daje żadnego zera. Pamiętaj: szukasz \\(x\\), dla których dany czynnik zeruje się.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Analiza czynników\nMiejsce zerowe: \\(f(x)=0\\). Iloczyn = 0, gdy jeden z czynników = 0.\n- \\(3x = 0 \\Rightarrow x=0\\) ✓\n- \\(x^{2}+5 = 0 \\Rightarrow x^{2}=-5\\) - brak rozwiązań rzeczywistych\n- \\(2-x = 0 \\Rightarrow x=2\\) ✓\n- \\(x+1 = 0 \\Rightarrow x=-1\\) ✓\n\nMiejsca zerowe: \\(x=0, x=2, x=-1\\). Łącznie **trzy**.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja czynnika dodatniego\n\\(x^{2}+5 \\ge 5 > 0\\) dla każdego \\(x\\in\\mathbb{R}\\), więc ten czynnik nigdy nie zeruje \\(f(x)\\). Pozostałe trzy czynniki dają trzy różne pierwiastki.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. dwa** - pominięte jedno miejsce zerowe.\n- **C. cztery** - ktoś błędnie uznał, że \\(x^{2}+5\\) ma miejsca zerowe.\n- **D. pięć** - niemożliwe, stopień wielomianu to tylko \\(5\\) tak, ale z czynnika \\(x^{2}+5\\) miejsc nie ma.\n\n**Pamiętaj:** \\(x^{2}+c\\) z \\(c>0\\) **nie ma** miejsc zerowych rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nPunkt\n\n\n4, 7\nS \njest środkiem odcinka PQ , gdzie\n\n\n17, 12\nQ \n. Zatem punkt P ma\nwspółrzędne\nA.\n\n\n2,\n25\nP \n\nB.\n\n\n38, 17\nP \nC.\n\n\n25, 2\nP \nD.\n\n\n12, 4\nP \nS\nA\nC\nB\nD\nM\n50\n\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nZadanie 18 z matury podstawowej - maj 2013. Punkt S=(-4,7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q=(17,12). Zatem punkt P ma współrzędne A. P=(2,-25), B. P=(38,17), C. P=(-25,2), D. P=(-12,4).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie współrzędnych środka\nodcinka do wyznaczenia jednego z\nkońców tego odcinka (II.8.f)\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nProsta przechodzi przez punkty \\((0, 2)\\) i \\((4, 0)\\), a równanie to \\(x + 2y - 4 = 0\\).\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie równania kierunkowego i zamiana na ogólne\n\n**Krok 1: Wyznacz współczynnik kierunkowy.**\n\nProsta przechodzi przez \\((0, 2)\\) i \\((4, 0)\\):\n\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{0 - 2}{4 - 0} = \\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2: Odczytaj wyraz wolny.**\n\nProsta przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 2)\\), więc \\(b = 2\\).\n\nRównanie kierunkowe: \\(y = -\\frac{1}{2}x + 2\\)\n\n**Krok 3: Zamień na postać ogólną.**\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\\[2y = -x + 4\\]\n\\[x + 2y - 4 = 0\\]\n\n**To jest odpowiedź D.** ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów\n\nSprawdzamy, czy punkty \\((0, 2)\\) i \\((4, 0)\\) spełniają równanie \\(x + 2y - 4 = 0\\):\n\nDla \\((0, 2)\\):\n\\[0 + 2 \\cdot 2 - 4 = 0 + 4 - 4 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\((4, 0)\\):\n\\[4 + 2 \\cdot 0 - 4 = 4 + 0 - 4 = 0 \\checkmark\\]\n\nOba punkty leżą na prostej - odpowiedź **D jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia równania prostej przez dwa punkty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(x - 2y - 4 = 0\\), czyli \\(y = \\frac{1}{2}x - 2\\) - nachylenie dodatnie i ujemny wyraz wolny; prosta idzie w górę, nie w dół, i nie przechodzi przez \\((0,2)\\) |\n| B | \\(x + 2y + 4 = 0\\), czyli \\(y = -\\frac{1}{2}x - 2\\) - dobry współczynnik kierunkowy, ale \\(b = -2\\), prosta przecina \\(Oy\\) w \\((0,-2)\\), nie w \\((0,2)\\) |\n| C | \\(x - 2y + 4 = 0\\), czyli \\(y = \\frac{1}{2}x + 2\\) - prosta ma nachylenie dodatnie (idzie w górę), podczas gdy na wykresie wyraźnie widać nachylenie ujemne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie równania kierunkowego na ogólne łatwo pomylić znak - \\(y = -\\frac{1}{2}x + 2\\) daje po przeniesieniu \\(x + 2y - 4 = 0\\), nie \\(x - 2y - 4 = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl nachylenia dodatniego z ujemnym patrząc na rysunek - prosta \"opadająca\" z lewej na prawo ma \\(a < 0\\). Tu \\(a = -\\frac{1}{2}\\), więc odpowiedzi z \\(x - 2y\\) (które dają \\(a = +\\frac{1}{2}\\)) od razu odpadają.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najszybsza weryfikacja to podstawienie obu punktów do każdej odpowiedzi - wystarczy 30 sekund i masz pewność bez żadnych obliczeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Postać odcinkowa\nProsta przechodzi przez \\((4,0)\\) i \\((0,2)\\). Postać odcinkowa:\n\\[\\dfrac{x}{4} + \\dfrac{y}{2} = 1.\\]\nMnożymy przez \\(4\\):\n\\[x + 2y = 4 \\iff x + 2y - 4 = 0.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kierunkowa i przekształcenie\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a = \\dfrac{0-2}{4-0} = -\\dfrac{1}{2}\\).\nWyraz wolny: \\(b = 2\\).\nRównanie: \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + 2 \\iff 2y = -x+4 \\iff x+2y-4 = 0\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie punktów\nDla \\((0,2)\\): \\(0+2\\cdot 2-4 = 0\\) ✓.\nDla \\((4,0)\\): \\(4+0-4 = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(0-0-4 = -4 \\ne 0\\) dla \\((0,2)\\), \\(0-4-4=-8 \\ne 0\\) dla \\((4,0)\\).\n- **B.** \\(0+4+4=8\\ne 0\\) dla \\((0,2)\\).\n- **C.** \\(0-4+4=0\\) dla \\((0,2)\\) ✓, ale dla \\((4,0)\\): \\(4-0+4=8\\ne 0\\).\n\n**Trik:** podstawiaj oba znane punkty - właściwe równanie musi je spełniać.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nOdległość między środkami okręgów o równaniach \n\n\n\n2\n2\n1\n2\n9\nx\ny\n\n\n\n\noraz\n2\n2\n10\nx\ny\n\n\njest równa\nA.\n5\nB.\n10\n3\n\nC. 3\nD. 5\nZadanie 19 z matury podstawowej - maj 2013. Odległość między środkami okręgów o równaniach (x+1)^2+(y-2)^2 = 9 oraz x^2+y^2 = 10 jest równa A. pierwiastek z 5, B. pierwiastek z 10 - 3, C. 3, D. 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nPosługiwanie się równaniem okręgu\n\n\n\n\n2\n2\n2\nx\na\ny\nb\nr\n\n\n\n\n(II.8.g)\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(30°\\)\n\n## Sposób 1 - identyfikacja kątów ze znanych wartości trygonometrycznych\n\nMamy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(a = 1\\) i \\(b = \\sqrt{3}\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz przeciwprostokątną.**\n\n\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{1^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{1 + 3} = \\sqrt{4} = 2\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz kąty przy podstawie.**\n\nNazwijmy \\(\\alpha\\) kąt leżący naprzeciwko boku \\(a = 1\\), a \\(\\beta\\) kąt leżący naprzeciwko boku \\(b = \\sqrt{3}\\).\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c} = \\frac{1}{2}\\]\n\nZ karty wzorów (tablica wartości) wiemy, że:\n\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2} \\implies \\alpha = 30°\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź, który kąt jest najmniejszy.**\n\nKąty trójkąta: \\(90°\\), \\(30°\\) i \\(\\beta = 180° - 90° - 30° = 60°\\).\n\nKrótszy bok leży naprzeciwko mniejszego kąta. Skoro \\(1 < \\sqrt{3}\\), to kąt naprzeciwko boku \\(1\\) jest mniejszy.\n\n**Najmniejszy kąt to \\(\\boldsymbol{30°}\\).**\n\n## Sposób 2 - przez tangens\n\nZamiast szukać sinusa, możemy użyć tangensa wprost z przyprostokątnych.\n\nKąt \\(\\alpha\\) leży między przeciwprostokątną a bokiem \\(b = \\sqrt{3}\\), a jego naprzeciwległa to \\(a = 1\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nZ karty wzorów (tabela wartości, dział 9, s. 11):\n\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nZatem \\(\\alpha = 30°\\), co jest mniejsze od \\(\\beta = 60°\\) i \\(90°\\).\n\n**Najmniejszy kąt to \\(\\boldsymbol{30°}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\nUżyliśmy \\(\\sin\\alpha\\) w Sposobie 1 oraz \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) w Sposobie 2.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - tabela wartości:\n| \\(\\alpha\\) | \\(30°\\) | \\(45°\\) | \\(60°\\) |\n| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{1}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |\n| \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) | \\(1\\) | \\(\\sqrt{3}\\) |\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia przeciwprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((60°)\\) | Uczeń poprawnie wyznacza kąty \\(30°\\) i \\(60°\\), ale wybiera **większy** z nich, mylą się przy pytaniu \"najmniejszy\" |\n| C \\((45°)\\) | Uczeń zakłada błędnie, że trójkąt jest równoramienny (bo \"dwa boki\"), a \\(45°\\) to kąt trójkąta prostokątnego równoramiennego |\n| D \\((15°)\\) | Brak podstaw - taki kąt nie wynika z żadnych obliczeń dla tych danych; możliwy błąd przy przekształcaniu \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl kąta naprzeciwko krótszego boku z kątem naprzeciwko dłuższego! Zasada jest prosta: **krótszy bok = mniejszy kąt naprzeciwko**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyniki \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\) i \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) to ta sama liczba - nie panikuj, gdy kalkulator lub przekształcenia dają inną postać. Zawsze możesz sprawdzić: \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{1 \\cdot \\sqrt{3}}{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąty \\(30°\\) i \\(60°\\) razem dają \\(90°\\) - to dobry sposób weryfikacji, że dobrze rozłożyłeś kąty trójkąta prostokątnego (suma kątów = \\(180°\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Tangens najmniejszego kąta\nW trójkącie prostokątnym najmniejszy kąt leży naprzeciw najkrótszej przyprostokątnej. Tu najkrótsza przyprostokątna ma długość \\(1\\), druga \\(\\sqrt{3}\\).\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]\nStąd \\(\\alpha = 30^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie trójkąta „szczególnego\"\nTrójkąt o bokach \\(1, \\sqrt{3}, 2\\) to trójkąt o kątach \\(30^{\\circ}, 60^{\\circ}, 90^{\\circ}\\). Sprawdź: \\(1^{2}+(\\sqrt{3})^{2}=1+3=4=2^{2}\\) - twierdzenie Pitagorasa ✓.\nKąty: \\(30^{\\circ}\\) (najmniejszy, naprzeciw boku \\(1\\)), \\(60^{\\circ}\\) (naprzeciw \\(\\sqrt{3}\\)), \\(90^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(60^{\\circ}\\)** - drugi ostry kąt, nie najmniejszy.\n- **C. \\(45^{\\circ}\\)** - to dla trójkąta o przyprostokątnych równych.\n- **D. \\(15^{\\circ}\\)** - brak podstaw matematycznych.\n\n**Trik:** rozpoznawaj **trójkąty szczególne**: \\(1:1:\\sqrt{2}\\) (\\(45^{\\circ}\\)) oraz \\(1:\\sqrt{3}:2\\) (\\(30^{\\circ},60^{\\circ}\\)).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nLiczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian\nbocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest\nA. czworokąt\nB. pięciokąt\nC. sześciokąt\nD. dziesięciokąt\nZadanie 20 z matury podstawowej - maj 2013. Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest A. czworokąt, B. pięciokąt, C. sześciokąt, D. dziesięciokąt","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWyznaczanie związków miarowych\nw wielościanie (I.9.b)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a_1 = 55\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na wyraz ogólny (podstawienie)\n\nW ciągu arytmetycznym wyraz ogólny wyraża się wzorem:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\nZnamy: \\(r = -2\\), \\(a_{20} = 17\\), szukamy \\(a_1\\).\n\nPodstawiamy \\(n = 20\\):\n\\[a_{20} = a_1 + (20-1) \\cdot (-2)\\]\n\\[17 = a_1 + 19 \\cdot (-2)\\]\n\\[17 = a_1 - 38\\]\n\\[a_1 = 17 + 38\\]\n\\[\\boxed{a_1 = 55}\\]\n\n## Sposób 2 - Cofanie się po ciągu\n\nSkoro różnica \\(r = -2\\), to każdy wyraz jest o 2 **mniejszy** od poprzedniego.\n\nŻeby cofnąć się z \\(a_{20}\\) do \\(a_1\\), musimy cofnąć się o **19 kroków** do tyłu.\n\nCofnięcie jednego kroku to dodanie \\(|r| = 2\\) (idziemy w górę ciągu, więc odwracamy różnicę):\n\\[a_1 = a_{20} + 19 \\cdot 2\\]\n\\[a_1 = 17 + 38\\]\n\\[\\boxed{a_1 = 55}\\]\n\nTo samo co Sposób 1, ale intuicyjnie: cofamy się o 19 miejsc, a każde cofnięcie zwiększa wartość o 2.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1, podstawiając \\(n = 20\\), \\(a_{20} = 17\\), \\(r = -2\\), i wyznaczając \\(a_1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(45\\) | Podstawiono \\(n = 20\\), ale wzięto \\((n-1) = 19\\) ze złym znakiem: \\(17 + 19 \\cdot 2 - 10 = 45\\) - błąd arytmetyczny przy dodawaniu |\n| B - \\(50\\) | Cofnięto się tylko o 18 kroków zamiast 19: \\(17 + 18 \\cdot 2 = 53\\) lub pomylono \\(n = 20\\) z \\((n-1) = 20\\): \\(17 + 20 \\cdot 2 - 7\\) - błąd \"o jeden krok za mało\" |\n| D - \\(60\\) | Wzięto \\((n-1) = 20\\) zamiast 19 (typowy błąd off-by-one): \\(17 + 20 \\cdot 2 = 57\\) lub \\(17 + \\frac{43}{1} \\approx 60\\) - przekręcona arytmetyka |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\) mnożnik to **(n-1)**, nie n. Dla \\(n = 20\\) to **19**, nie 20. To najczęstszy błąd w tym typie zadania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = -2\\) jest **ujemna** - ciąg maleje. Żeby znaleźć \\(a_1\\) (wyraz wcześniejszy niż \\(a_{20}\\)), wynik musi być **większy** od \\(a_{20} = 17\\). Jeśli wychodzi ci coś mniejszego niż 17 - na pewno popełniłeś błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: \"różnica \\(r = -2\\)\" oznacza, że każdy następny wyraz jest o 2 **mniejszy** od poprzedniego. Ciąg idzie: \\(\\ldots, 57, 55, 53, \\ldots, 19, 17, 15, \\ldots\\)\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\\[a_{n} = a_{1} + (n-1)\\cdot r.\\]\nDla \\(n=20\\):\n\\[a_{20} = a_{1} + 19r = a_{1} + 19\\cdot(-2) = a_{1}-38.\\]\nZ warunku \\(a_{20}=17\\):\n\\[a_{1} - 38 = 17 \\Rightarrow a_{1} = 55.\\]\n\n### Sposób 2 - „Wsteczne\" dodawanie\nIdąc od \\(a_{20}\\) do \\(a_{1}\\), cofamy się o \\(19\\) kroków, każdy to „minus różnica\":\n\\[a_{1} = a_{20} - 19r = 17 - 19\\cdot(-2) = 17+38 = 55.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(45\\)** - odjęcie \\(-2\\cdot 19 = -38\\) zamiast \\(+38\\) (błąd znaku).\n- **B. \\(50\\)** - użycie \\(20\\) zamiast \\(19\\) z błędem.\n- **D. \\(60\\)** - dodatkowy błąd w liczeniu, \\(17+43\\)?\n\n**Pamiętaj:** we wzorze jest \\(n-1\\), nie \\(n\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nPole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe\nA. 9\nB. 12\nC. 15\nD. 16\nZadanie 21 z matury podstawowej - maj 2013. Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe A. 9pi, B. 12pi, C. 15pi, D. 16pi","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczanie związków miarowych\nw bryłach obrotowych (II.9.b)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(q = \\dfrac{2}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz to poprzedni pomnożony przez iloraz \\(q\\). Wzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nZnamy: \\(a_1 = \\dfrac{9}{8}\\), \\(a_4 = \\dfrac{1}{3}\\).\n\nPodstawiamy do wzoru dla \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3\\]\n\\[\\frac{1}{3} = \\frac{9}{8} \\cdot q^3\\]\n\nIzolujemy \\(q^3\\) - dzielimy obie strony przez \\(\\dfrac{9}{8}\\) (czyli mnożymy przez \\(\\dfrac{8}{9}\\)):\n\\[q^3 = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{8}{9} = \\frac{8}{27}\\]\n\nWyciągamy pierwiastek sześcienny:\n\\[q = \\sqrt[3]{\\frac{8}{27}} = \\frac{\\sqrt[3]{8}}{\\sqrt[3]{27}} = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Zatem \\(q = \\dfrac{2}{3}\\). Odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - iloraz jako stosunek kolejnych wyrazów (weryfikacja)\n\nSprawdzamy, czy rzeczywiście przy \\(q = \\dfrac{2}{3}\\) i \\(a_1 = \\dfrac{9}{8}\\) czwarty wyraz wynosi \\(\\dfrac{1}{3}\\):\n\n\\[a_1 = \\frac{9}{8}\\]\n\\[a_2 = \\frac{9}{8} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{18}{24} = \\frac{3}{4}\\]\n\\[a_3 = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{6}{12} = \\frac{1}{2}\\]\n\\[a_4 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3} \\checkmark\\]\n\n**Wynik zgadza się - \\(q = \\dfrac{2}{3}\\) jest poprawne.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do ustawienia równania z jedną niewiadomą \\(q\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - pierwiastek \\(n\\)-tego stopnia:\n\\[\\sqrt[3]{\\frac{8}{27}} = \\frac{2}{3}\\]\nUżyliśmy go przy wyciąganiu \\(q\\) z \\(q^3 = \\dfrac{8}{27}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(q = \\dfrac{1}{3}\\) | Uczeń myśli, że \\(q = a_4\\), czyli odczytuje wprost czwarty wyraz jako iloraz |\n| B - \\(q = \\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(q^4\\) zamiast \\(q^3\\) (błędny wykładnik: \\(a_4 = a_1 \\cdot q^4\\) - pomylono \\(n\\) z \\(n-1\\)); wtedy \\(q^4 = \\dfrac{8}{27}\\), a \\(q \\approx 0{,}84\\) - nie pasuje; albo liczy \\(\\dfrac{a_4}{a_1} = q\\) zamiast \\(q^3\\) |\n| D - \\(q = \\dfrac{3}{2}\\) | Uczeń oblicza odwrotność poprawnego wyniku: \\(\\dfrac{1}{q} = \\dfrac{2}{3}\\), czyli \"odwrócił\" ułamek |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), nie \\(a_1 \\cdot q^n\\)! Dla czwartego wyrazu wykładnik wynosi **3**, nie 4. To najczęstszy błąd w zadaniach z ciągiem geometrycznym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{\\dfrac{8}{27}}\\) można liczyć z góry i z dołu osobno: \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\), \\(\\sqrt[3]{27} = 3\\). Nie potrzeba kalkulatora - warto znać sześciany liczb do 5: \\(1, 8, 27, 64, 125\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(q = \\dfrac{2}{3} \\in (0,1)\\), więc ciąg jest malejący (każdy wyraz mniejszy od poprzedniego). To się zgadza z intuicją: \\(\\dfrac{9}{8} > \\dfrac{3}{4} > \\dfrac{1}{2} > \\dfrac{1}{3}\\) - ciąg faktycznie maleje.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na wyraz ciągu geometrycznego\n\\[a_{4} = a_{1}\\cdot q^{3}.\\]\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{9}{8}\\cdot q^{3} \\Rightarrow q^{3} = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{8}{9} = \\dfrac{8}{27}.\\]\nZatem:\n\\[q = \\sqrt[3]{\\dfrac{8}{27}} = \\dfrac{2}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(q=\\tfrac{2}{3}\\): \\(a_{4} = \\tfrac{9}{8}\\cdot\\left(\\tfrac{2}{3}\\right)^{3} = \\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{8}{27} = \\tfrac{9}{27} = \\tfrac{1}{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{3}\\):** \\(\\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{1}{27}=\\tfrac{1}{24}\\ne\\tfrac{1}{3}\\).\n- **B. \\(\\tfrac{1}{2}\\):** \\(\\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{1}{8}=\\tfrac{9}{64}\\ne\\tfrac{1}{3}\\).\n- **D. \\(\\tfrac{3}{2}\\):** \\(\\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{27}{8} > 1 > \\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Trik:** \\(q^{3} = \\dfrac{a_{4}}{a_{1}}\\), potem pierwiastek sześcienny.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza\nprawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy\nA.\n1\n36\np \nB.\n1\n18\np \nC.\n1\n12\np \nD.\n1\n9\np \nZadanie 22 z matury podstawowej - maj 2013. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy A. p = 1/36, B. p = 1/18, C. p = 1/12, D. p = 1/9.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nStosuje twierdzenie znane jako klasyczna\ndefinicja prawdopodobieństwa do\nobliczania prawdopodobieństw zdarzeń\n(III.10.d)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\bar{x} = 3{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na średnią ważoną\n\nZ treści zadania odczytujemy dane (liczba uczniów przy każdej ocenie):\n\n| Ocena \\(x_i\\) | Liczba uczniów \\(w_i\\) | Iloczyn \\(x_i \\cdot w_i\\) |\n|:-:|:-:|:-:|\n| 1 | 1 | 1 |\n| 2 | 5 | 10 |\n| 3 | 7 | 21 |\n| 4 | 8 | 32 |\n| 5 | 3 | 15 |\n| 6 | 2 | 12 |\n| **Σ** | **26** | **91** |\n\nŁączna liczba uczniów:\n\\[n = 1 + 5 + 7 + 8 + 3 + 2 = 26\\]\n\nSuma wszystkich ocen (każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali):\n\\[S = 1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 7 + 4 \\cdot 8 + 5 \\cdot 3 + 6 \\cdot 2\\]\n\\[S = 1 + 10 + 21 + 32 + 15 + 12 = 91\\]\n\nŚrednia ważona:\n\\[\\bar{x} = \\frac{S}{n} = \\frac{91}{26} = \\mathbf{3{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez odchylenia od \"środka\"\n\nSpróbujmy punktu odniesienia \\(m = 3\\) i policzmy, ile \"nadwyżki\" ponad 3 mają wszystkie oceny:\n\n\\[\\Delta = (1-3)\\cdot 1 + (2-3)\\cdot 5 + (3-3)\\cdot 7 + (4-3)\\cdot 8 + (5-3)\\cdot 3 + (6-3)\\cdot 2\\]\n\\[\\Delta = (-2)\\cdot 1 + (-1)\\cdot 5 + 0\\cdot 7 + 1\\cdot 8 + 2\\cdot 3 + 3\\cdot 2\\]\n\\[\\Delta = -2 - 5 + 0 + 8 + 6 + 6 = 13\\]\n\nŚrednia to \\(m\\) powiększone o \\(\\frac{\\Delta}{n}\\):\n\\[\\bar{x} = 3 + \\frac{13}{26} = 3 + 0{,}5 = \\mathbf{3{,}5}\\]\n\nWynik zgodny - **odpowiedź C jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - średnia ważona:\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\nTutaj oceny to \\(a_i\\), a liczby uczniów to wagi \\(w_i\\). Użyliśmy tego w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(2\\) | Podzielono sumę ocen przez liczbę różnych ocen (\\(6\\)) zamiast przez liczbę uczniów (\\(26\\)); albo zgubiono dużą część obliczeń |\n| B: \\(3\\) | Wzięto **medianę** (środkowy wyraz po ułożeniu ocen - 13. i 14. z 26 to obie wartość 3 lub 4, ale to nie jest średnia) lub po prostu zaokrąglono do 3 |\n| D: \\(4\\) | Wzięto **modę** (dominantę) - ocena 4 pojawia się najczęściej (8 uczniów), więc uczeń pomylił modę ze średnią |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie **średniej** z **modą** (dominantą) - ocena 4 ma najwyższy słupek, więc łatwo ją wybrać jako \"typową\", ale moda to nie to samo co średnia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielnik to **łączna liczba uczniów** (tu: 26), a **nie** liczba różnych ocen (6). To podstawowy błąd przy odczytywaniu diagramów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu słupkowego nie pomijaj skrajnych słupków (ocena 1 z małym słupkiem i ocena 6 z małym słupkiem) - one też wpływają na średnią!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Średnia ważona\nLiczba uczniów dla każdej oceny (z diagramu):\n- Ocena 1: 1 uczeń\n- Ocena 2: 5 uczniów\n- Ocena 3: 7 uczniów\n- Ocena 4: 8 uczniów\n- Ocena 5: 3 uczniów\n- Ocena 6: 2 uczniów\n\nRazem uczniów: \\(1+5+7+8+3+2 = 26\\).\nSuma ocen: \\(1\\cdot 1 + 2\\cdot 5 + 3\\cdot 7 + 4\\cdot 8 + 5\\cdot 3 + 6\\cdot 2 = 1+10+21+32+15+12 = 91\\).\nŚrednia: \\(\\dfrac{91}{26} = 3{,}5\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\n\\(3{,}5\\cdot 26 = 91\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - zbyt niska, większość uczniów ma \\(\\ge 3\\).\n- **B. \\(3\\)** - \\(3\\cdot 26 = 78\\ne 91\\).\n- **D. \\(4\\)** - \\(4\\cdot 26 = 104\\ne 91\\).\n\n**Trik:** średnia z diagramu słupkowego = \\(\\dfrac{\\sum \\text{ocena}\\cdot\\text{liczność}}{\\sum \\text{liczności}}\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nLiczba\n50\n18\n2\n\njest równa\nA. 2 2\nB. 2\nC. 4\nD.\n10\n6\n\nZadanie 23 z matury podstawowej - maj 2013. Liczba pierwiastek z 50 - pierwiastek z 18 / pierwiastek z 2 jest równa A. 2*pierwiastek z 2, B. 2, C. 4, D. pierwiastek z 10 - pierwiastek z 6","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, w tym obliczeń na\npierwiastkach (I.1.a)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\[\\frac{1}{27}\\pi h^3\\]\n\n## Sposób 1 - podstawienie ze wzoru na objętość stożka\n\n**Dane z treści zadania:**\n- Wysokość stożka: \\(h\\)\n- Promień podstawy **trzy razy mniejszy od wysokości**, czyli: \\(r = \\frac{h}{3}\\)\n\n**Krok 1: Zapisz wzór na objętość stożka.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\n\n**Krok 2: Podstaw \\(r = \\frac{h}{3}\\) do wzoru.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 \\cdot h\\]\n\n**Krok 3: Oblicz \\(\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2\\).**\n\n\\[\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 = \\frac{h^2}{9}\\]\n\n**Krok 4: Wstaw i uproszcz.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\frac{h^2}{9} \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{9} \\cdot \\pi h^3 = \\boxed{\\frac{1}{27}\\pi h^3}\\]\n\n## Sposób 2 - podstawienie liczby konkretnej (weryfikacja)\n\nSprawdzimy wynik, podstawiając konkretną wartość \\(h = 3\\).\n\nWtedy \\(r = \\frac{h}{3} = \\frac{3}{3} = 1\\).\n\n**Obliczamy objętość:**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 1^2 \\cdot 3 = \\pi\\]\n\n**Teraz sprawdzamy każdą odpowiedź dla \\(h = 3\\):**\n\n| Odp. | Wyrażenie | Wartość dla \\(h=3\\) |\n| A | \\(\\frac{1}{9}\\pi h^2\\) | \\(\\frac{1}{9}\\pi \\cdot 9 = \\pi\\) ← pasuje? **ale** |\n| B | \\(\\frac{1}{27}\\pi h^2\\) | \\(\\frac{1}{27}\\pi \\cdot 9 = \\frac{\\pi}{3}\\) ✗ |\n| C | \\(\\frac{1}{9}\\pi h^3\\) | \\(\\frac{1}{9}\\pi \\cdot 27 = 3\\pi\\) ✗ |\n| D | \\(\\frac{1}{27}\\pi h^3\\) | \\(\\frac{1}{27}\\pi \\cdot 27 = \\pi\\) ✓ |\n\nWidzimy, że dla \\(h=3\\) zarówno A, jak i D dają \\(\\pi\\). Sprawdźmy więc \\(h = 6\\) (wtedy \\(r = 2\\)):\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 4 \\cdot 6 = 8\\pi\\]\n\n| Odp. | Wartość dla \\(h=6\\) | Zgadza się z \\(8\\pi\\)? |\n| A | \\(\\frac{1}{9}\\pi \\cdot 36 = 4\\pi\\) | ✗ |\n| D | \\(\\frac{1}{27}\\pi \\cdot 216 = 8\\pi\\) | ✓ |\n\n**Tylko odpowiedź D zgadza się dla obu wartości.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość stożka:\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\n\nTo jest dokładnie wzór użyty w Sposobie 1. Na karcie wzorów masz go w sekcji poświęconej stożkowi, razem z polami powierzchni.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Obliczono \\(\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 = \\frac{h}{9}\\) zamiast \\(\\frac{h^2}{9}\\) - tzn. pominięto potęgowanie \\(h\\), a \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{27}\\) zastąpiono \\(\\frac{1}{9}\\). Wynik ma złą jednostkę: \\(h^2\\) zamiast \\(h^3\\) |\n| B | Zapomniano podnieść \\(h\\) do kwadratu - zapisano \\(r^2 = \\frac{h}{9}\\) zamiast \\(r^2 = \\frac{h^2}{9}\\), i dodatkowo pominięto jedno \\(h\\). Wynik \\(\\frac{1}{27}\\pi h^2\\) ma złą jednostkę |\n| C | Poprawnie obliczono \\(\\frac{1}{27}\\pi h^3\\), ale następnie **pomylono mianownik**: zamiast \\(27\\) wpisano \\(9\\). Możliwe, że ktoś wyliczył \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{9}\\), zapominając, że \\(\\frac{1}{3}\\) pochodzi ze wzoru, a \\(\\frac{1}{9}\\) z \\(r^2 = \\frac{h^2}{9}\\) - należy je pomnożyć |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Trzy razy mniejszy\" znaczy \\(r = \\frac{h}{3}\\), nie \\(r = h - 3\\). Nie odejmuj, tylko dziel!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu \\(r = \\frac{h}{3}\\) do \\(r^2\\) - **cały ułamek** podnosi się do kwadratu: \\(\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 = \\frac{h^2}{9}\\), nie \\(\\frac{h}{9}\\). To najczęstszy błąd rachunkowy w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik musi mieć jednostkę \\(h^3\\) (objętość = długość³). Odpowiedzi A i B zawierają \\(h^2\\) - można je od razu odrzucić, bo mają złą \"wymiarowość\".\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie do wzoru na objętość stożka\n\\(r = \\dfrac{h}{3}\\). Wzór:\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2} h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\left(\\dfrac{h}{3}\\right)^{2}h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot\\dfrac{h^{2}}{9}\\cdot h = \\dfrac{\\pi h^{3}}{27} = \\dfrac{1}{27}\\pi h^{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Jednostki i stopnie\nObjętość ma wymiar \\(h^{3}\\) (sześcian długości). Odpowiedzi z \\(h^{2}\\) można od razu odrzucić (błędny wymiar). Zostają C i D.\n\\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^{2} h = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot\\tfrac{h^{2}}{9}\\cdot h = \\tfrac{1}{27}\\pi h^{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - błędny wymiar (\\(h^{2}\\)).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{9}\\pi h^{3}\\)** - brak \\(\\tfrac{1}{3}\\) ze wzoru na objętość stożka.\n\n**Pamiętaj:** \\(V_{\\text{stożka}} = \\tfrac{1}{3}\\pi r^{2} h\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nMediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, , 5, 8\nx\njest równa 4.\nWtedy\nA.\n2\nx \nB.\n3\nx \nC.\n4\nx \nD.\n5\nx \nZadanie 24 z matury podstawowej - maj 2013. Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4. Wtedy A. x=2, B. x=3, C. x=4, D. x=5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczanie mediany uporządkowanego\nzestawu danych (II.10.a)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Niezależność rzutów (podejście bezpośrednie)\n\nKluczowe spostrzeżenie: rzuty monetą są **niezależne** - wynik trzeciego rzutu nie zależy od tego, co wypadło w pierwszym ani w drugim.\n\nSymetryczna moneta oznacza, że w każdym pojedynczym rzucie:\n\\[P(\\text{orzeł}) = \\frac{1}{2}, \\quad P(\\text{reszka}) = \\frac{1}{2}\\]\n\nPonieważ trzeci rzut jest niezależny od poprzednich, pytamy po prostu:\n\n**Jakie jest prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w jednym rzucie monetą?**\n\n\\[P(\\text{orzeł w 3. rzucie}) = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych (wyliczenie)\n\nWypiszmy wszystkie możliwe wyniki trzech rzutów (O = orzeł, R = reszka):\n\n| Wynik | 3. rzut |\n| OOO | O ✓ |\n| OOR | R |\n| ORO | O ✓ |\n| ORR | R |\n| ROO | O ✓ |\n| ROR | R |\n| RRO | O ✓ |\n| RRR | R |\n\nŁącznie \\(|\\Omega| = 2^3 = 8\\) równie prawdopodobnych wyników.\n\nSprzyjające (orzeł w 3. rzucie): OOO, ORO, ROO, RRO - **4 przypadki**.\n\n\\[P(\\text{orzeł w 3. rzucie}) = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2: \\(|A| = 4\\), \\(|\\Omega| = 8\\).\n\nW Sposobie 1 korzystamy ze **wnioskowania o niezależności zdarzeń** - pojęcie omówione na tych samych stronach karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\(\\frac{1}{4}\\) | Uczeń myśli, że pytanie dotyczy prawdopodobieństwa orła **w konkretnym rzucie spośród trzech**, np. liczy \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{4}\\) - myli zdarzenie łączne z pojedynczym |\n| B \\(\\frac{3}{8}\\) | Kojarzy z schematem Bernoullego: \\(P_3(1) = \\binom{3}{1}\\cdot\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{3}{8}\\) - ale to jest P(dokładnie 1 orzeł w 3 rzutach), nie P(orzeł **właśnie** w 3.) |\n| D \\(\\frac{3}{4}\\) | Błędne dopełnienie - uczeń liczy \\(1 - \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4}\\), wychodząc z błędnego \\(\\frac{1}{4}\\) z odpowiedzi A |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo „trzykrotnie\" w treści to **pułapka** - sugeruje, że trzeba mnożyć prawdopodobieństwa lub stosować wzór Bernoullego. Ale pytanie dotyczy **tylko** wyniku trzeciego rzutu, a rzuty są niezależne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić pytania „jakie jest P(orzeł w 3. rzucie)?\" z „jakie jest P(orzeł w 3. rzucie **i** orzeł w 1. i 2. rzucie)?\". To drugie to \\(\\frac{1}{8}\\) - zupełnie inna historia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria rzutów oznacza, że P(orzeł w \\(k\\)-tym rzucie) = \\(\\frac{1}{2}\\) dla **każdego** \\(k\\) - bez względu na to, co było wcześniej. Historia rzutów nie ma znaczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Niezależność rzutów\nKażdy rzut monetą jest niezależny od poprzednich. Prawdopodobieństwo orła w trzecim rzucie nie zależy od wyników poprzednich rzutów i wynosi:\n\\[P(\\text{orzeł w 3. rzucie}) = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zliczenie zdarzeń sprzyjających\nWszystkie możliwe wyniki 3 rzutów: \\(2^{3}=8\\). Orły w trzecim rzucie to wyniki kończące się na „O\": \\(OOO, OOR^{c}\\) - nie, raczej: \\(OOO, ORO, ROO, RRO\\) - 4 wyniki.\nPrawdopodobieństwo: \\(\\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{4}\\)** - prawdopodobieństwo dwóch konkretnych wyników z rzędu.\n- **B. \\(\\tfrac{3}{8}\\)** - brak związku z pytaniem.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{4}\\)** - prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł (przy dwóch rzutach).\n\n**Pamiętaj:** rzuty monetą są **niezależne** - historia nie wpływa na przyszłość.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nObjętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28 3 . Długość\nkrawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa\nA. 2\nB. 4\nC. 8\nD. 16\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań 26-34 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.\nZadanie 25 z matury podstawowej - maj 2013. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28 pierwiastków z 3 . Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa A. 2, B. 4, C. 8, D. 16","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie związków miarowych w\ngraniastosłupie do obliczenia jego\nobjętości (II.9.b)\nB\nC\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n5\nSchemat oceniania do zadań otwartych","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(y = -0{,}4x + 3\\)\n\n## Sposób 1 - Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy\n\nProsta równoległa do danej ma **identyczny współczynnik kierunkowy** (nachylenie), bo gdyby był inny, proste by się przecięły.\n\n**Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\).**\n\n\\[l: y = -\\frac{2}{5}x\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a = -\\frac{2}{5}\\)\n\nZamień na postać dziesiętną:\n\\[-\\frac{2}{5} = -0{,}4\\]\n\n**Krok 2: Użyj warunku przecięcia z osią \\(Oy\\).**\n\nProsta \\(k\\) przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 3)\\), czyli wyraz wolny wynosi \\(b = 3\\).\n\n**Krok 3: Zapisz równanie prostej \\(k\\).**\n\n\\[k: y = ax + b\\]\n\\[\\boxed{y = -0{,}4x + 3}\\]\n\nTo odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie punktu i równoległości\n\nPodstaw \\(x = 0\\) do równania \\(y = -0{,}4x + 3\\):\n\\[y = -0{,}4 \\cdot 0 + 3 = 3\\]\n\nPunkt \\((0, 3)\\) leży na prostej - **warunek spełniony**.\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(k\\): \\(a_k = -0{,}4 = -\\frac{2}{5}\\)\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(l\\): \\(a_l = -\\frac{2}{5}\\)\n\nWarunek równoległości: \\(a_k = a_l\\), czyli \\(-\\frac{2}{5} = -\\frac{2}{5}\\) - **spełniony**.\n\nProsta \\(k\\) nie jest tożsama z \\(l\\), bo \\(l\\) przechodzi przez \\((0,0)\\), a \\(k\\) przez \\((0,3)\\) - to dwie różne proste.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy, \\(b\\) to wyraz wolny (wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt przecięcia z osią \\(Oy\\)).\n\n**Warunek równoległości prostych** (dział 11, s. 22):\n\\[a_1 = a_2\\]\n(przy czym proste nie mogą być tożsame)\n\nUżyliśmy obu powyższych w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | Poprawny współczynnik kierunkowy \\(-0{,}4\\), ale błędny wyraz wolny: \\(-3\\) zamiast \\(+3\\). Pomylono znak przy odczycie punktu przecięcia z osią \\(Oy\\). |\n| **C** | Zamiast wziąć współczynnik kierunkowy prostej równoległej, wzięto współczynnik prostej **prostopadłej** do \\(l\\): \\(a_\\perp = \\frac{5}{2} = 2{,}5\\). Wyraz wolny poprawny. |\n| **D** | Podwójny błąd: wzięto współczynnik prostej **prostopadłej** (\\(2{,}5\\)) i błędny wyraz wolny (\\(-3\\)). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta równoległa = **ten sam współczynnik kierunkowy**, NIE odwrotność ze zmianą znaku. Tę drugą operację (\\(a \\to -\\frac{1}{a}\\)) stosujemy dla prostej **prostopadłej**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(-\\frac{2}{5} = -0{,}4\\), NIE \\(-2{,}5\\). Ułamek \\(\\frac{2}{5}\\) w systemie dziesiętnym to \\(0{,}4\\) - łatwo pomylić z \\(\\frac{2}{5} \\to \\frac{5}{2} = 2{,}5\\) (czyli odwrotnością).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\((0, 3)\\) leży **na osi \\(Oy\\)**, więc jego współrzędna \\(y = 3\\) to od razu wyraz wolny \\(b\\). Nie trzeba podstawiać do równania - wystarczy odczytać.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nProste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Prosta \\(l\\) ma \\(a=-\\tfrac{2}{5}=-0{,}4\\). Zatem \\(k\\) też ma \\(a=-0{,}4\\).\n\nProsta \\(k\\) przecina oś \\(Oy\\) w \\((0,3)\\), więc wyraz wolny \\(b=3\\).\nRównanie \\(k\\): \\(y=-0{,}4x+3\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktu i nachylenia\nDla \\(x=0\\) w odpowiedzi A: \\(y=-0{,}4\\cdot 0+3=3\\) ✓. Współczynnik \\(-0{,}4 = -\\tfrac{2}{5}\\) zgodny z \\(l\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** przecina \\(Oy\\) w \\((0,-3)\\), nie \\((0,3)\\).\n- **C.** współczynnik \\(2{,}5\\ne -0{,}4\\) - prosta prostopadła (\\(-0{,}4\\cdot 2{,}5=-1\\)).\n- **D.** ma zły wyraz wolny i zły współczynnik.\n\n**Pamiętaj:** \\(-\\tfrac{2}{5}=-0{,}4\\) - proste równoległe mają **równe** współczynniki kierunkowe.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n2\n8\n16\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nMatura podstawowa z matematyki 2013. Zadanie otwarte. Rozwiąż równanie x^3+2x^2-8x-16 = 0.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n2\n8\n16\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nI sposób rozwiązania (metoda grupowania)\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu stosując metodę grupowania\nwyrazów:\n\n\n\n\n2\n2\n8\n2\n8\n0\nx x\nx\n\n\n\n\nlub\n\n\n\n\n2\n2\n8\n2\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n8\n0\nx\nx\n\n\n\nStąd\n2\nx  lub\n8\n2 2\nx \n\nlub\n8\n2 2\nx \n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: \n\n\n2\n2\n8\nx\nx\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n8\n8\nx\nx\nx\n\n\n\n, przy czym postać ta musi być otrzymana w sposób poprawny i na\ntym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n2\nx ,\n8\nx \n,\n8\nx \nII sposób rozwiązania (metoda dzielenia)\nStwierdzamy, że liczba 2\n jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n2\n8\n16\nx\nx\nx\n\n\n\n. Dzielimy\nwielomian\n3\n2\n2\n8\n16\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n2\nx \n. Otrzymujemy iloraz \n\n2\n8\nx \nZapisujemy równanie w postaci \n\n\n2\n2\n8\n0\nx\nx\n\n\n\n. Stąd \n\n\n\n2\n8\n8\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\ni\n2\nx  lub\n8\n2 2\nx \n\nlub\n8\n2 2\nx \n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy podzieli wielomian\n3\n2\n2\n8\n16\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n2\nx \n, otrzyma iloraz \n\n2\n8\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n2,\n8,\n8\nx\nx\nx\n\n\n\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu\nna czynniki (II.3.d)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nLiczba \\(\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = 1\\).\n\n## Sposób 1 - własności logarytmów (łączenie w jeden logarytm)\n\nKorzystamy z własności logarytmów: dodawanie = mnożenie, odejmowanie = dzielenie.\n\n\\[\n\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log\\frac{4 \\cdot 5}{2} = \\log\\frac{20}{2} = \\log 10\n\\]\n\nSkoro \\(\\log 10 = \\log_{10} 10\\), a logarytm dziesiętny z \\(10\\) to z definicji:\n\\[\n\\log_{10} 10 = 1 \\quad \\text{bo } 10^1 = 10\n\\]\n\n**Odpowiedź: \\(1\\).**\n\n## Sposób 2 - rozkład na logarytmy prostszych liczb\n\nZamiast łączyć od razu, rozpisujemy każdą liczbę jako potęgę:\n\n\\[\n\\log 4 = \\log 2^2 = 2\\log 2\n\\]\n\\[\n\\log 5 = \\log \\frac{10}{2} = \\log 10 - \\log 2 = 1 - \\log 2\n\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\n\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = 2\\log 2 + (1 - \\log 2) - \\log 2\n\\]\n\\[\n= 2\\log 2 + 1 - \\log 2 - \\log 2 = 1 + (2 - 1 - 1)\\log 2 = 1 + 0 \\cdot \\log 2 = \\mathbf{1}\n\\]\n\nWyrazy z \\(\\log 2\\) znoszą się, zostaje samo \\(1\\). Wynik zgodny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nWłasności logarytmów użyte w rozwiązaniu:\n\\[\n\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\n\\]\n\\[\n\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\n\\]\n\\[\n\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\n\\]\n\nOraz definicja, z której wynika \\(\\log_{10} 10 = 1\\):\n\\[\n\\log_a b = c \\iff a^c = b\n\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(10\\)) | Uczeń liczy \\(\\frac{4 \\cdot 5}{2} = 10\\) i zapomina wziąć \\(\\log\\) z wyniku - zostawia samą liczbę \\(10\\) |\n| B (\\(2\\)) | Uczeń liczy \\(\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log(4+5-2) = \\log 7\\) albo błędnie stosuje \\(\\log 4 - \\log 2 = \\log 2\\), a potem \"dodaje \\(\\log 5 \\approx 1\\)\" bez sensu |\n| D (\\(0\\)) | Uczeń myśli, że \\(\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log(4 \\cdot 5 - 2) = \\log 18\\) lub zakłada, że wyrażenie \"się zeruje\" bez liczenia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log\\) bez podstawy to zawsze \\(\\log_{10}\\) - i \\(\\log_{10} 10 = 1\\), nie \\(10\\)! Mylenie wartości logarytmu z jego argumentem to klasyczny błąd (odpowiedź A).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log a + \\log b \\neq \\log(a + b)\\). Suma logarytmów to logarytm **iloczynu**: \\(\\log a + \\log b = \\log(a \\cdot b)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu logarytmów pamiętaj o kolejności - \\(\\log a - \\log b = \\log\\frac{a}{b}\\), a nie \\(\\log\\frac{b}{a}\\). Tu: \\(\\log(4 \\cdot 5) - \\log 2 = \\log\\frac{20}{2}\\), nie \\(\\log\\frac{2}{20}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzory na logarytmy\n\\[\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log\\dfrac{4\\cdot 5}{2} = \\log\\dfrac{20}{2} = \\log 10 = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\\(\\log 4 = \\log 2^{2} = 2\\log 2\\).\n\\[2\\log 2 + \\log 5 - \\log 2 = \\log 2 + \\log 5 = \\log(2\\cdot 5) = \\log 10 = 1.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)** - pomylenie z argumentem, nie wynikiem.\n- **B. \\(2\\)** - \\(\\log 100 = 2\\), ale tu nie ma \\(100\\).\n- **D. \\(0\\)** - \\(\\log 1 = 0\\), ale tu argument to \\(10\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\log a + \\log b - \\log c = \\log\\dfrac{ab}{c}\\); \\(\\log 10 = 1\\) (baza \\(10\\)).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nKąt jest ostry i\n3\nsin\n2\n\n. Oblicz wartość wyrażenia\n2\n2\nsin\n3cos\n\n\n\nOdpowiedź:\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = pierwiastek z 3 / 2. Oblicz wartość wyrażenia sin^2 alfa - 3cos^2 alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nKąt jest ostry i\n3\nsin\n2\n\n. Oblicz wartość wyrażenia\n2\n2\nsin\n3cos\n\n\n\nI sposób rozwiązania (wykorzystanie znanych wartości funkcji trygonometrycznych)\nPonieważ jest ostry i\n3\nsin\n2\n\n, więc\n60\n\n. Zatem\n1\ncos\ncos60\n2\n\n\nStąd\n2\n2\n2\n2\n3\n1\nsin\n3cos\n3\n0\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze wartość cosinusa kąta :\n1\ncos\n2\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy, że\n2\n2\nsin\n3cos\n0\n\n\n\n\nII sposób rozwiązania (wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi)\nObliczamy\n2\n2\n3\n3\nsin\n2\n4\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, następnie korzystając z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n\nobliczamy\n2\n1\ncos\n4\n\n\n, stąd\n2\n2\nsin\n3cos\n0\n\n\n\n\nalbo\nkorzystając z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n, przekształcamy wyrażenie\n2\n2\nsin\n3cos\n\n\n\ndo postaci\n2\n4sin\n3\n, a następnie obliczamy jego wartość:\n2\n4sin\n3\n0\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n\nobliczy\n2\n1\ncos\n4\n\nalbo\n\nzapisze wyrażenie w postaci\n\n\n2\n2\nsin\n3 1 sin\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy, że\n2\n2\nsin\n3cos\n0\n\n\n\n\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nZastosowanie prostych związków między funkcjami\ntrygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości\nwyrażenia (II.6.c)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n7\nIII sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny)\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n3\nb\nx\nx\n\n\n, więc b\nx\n\nStąd\n1\ncos\n2\n2\nx\nx\n\n\n, więc\n2\n2\n2\n2\n3\n1\nsin\n3cos\n3\n0\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n\nnarysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości\n3 i przeciwprostokątnej\ndługości 2 (lub ich wielokrotności), obliczy długość drugiej przyprostokątnej, zaznaczy\nw tym trójkącie poprawnie kąt, obliczy cosinus tego kąta i na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy\nalbo\n\nobliczy długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długości\n3\ni przeciwprostokątnej długości 2 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym,\nobliczy cosinus tego kąta cos (o ile otrzymana wartość jest dodatnia i mniejsza od 1)\ni konsekwentnie obliczy wartość wyrażenia\n2\n2\nsin\n3cos\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość\n2\n2\nsin\n3cos\n0\n\n\n\n\nZadania 28. (0-2)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że\n0,\n\n\n\nx\ny\nz\nprawdziwa\njest nierówność\n0\nxy\nyz\nzx\n\n\n\nMożesz skorzystać z tożsamości \n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nz\nx\ny\nz\nxy\nxz\nyz\nI sposób rozwiązania\nPodnosimy obie strony równości\n0\nx\ny\nz\n\n\n\ndo kwadratu i otrzymujemy równość\nrównoważną\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\nx\ny\nz\nxy\nxz\nyz\n\n\n\n\n\n\nStąd\nRozumowanie i argumentacja\nUzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej\n(V.2.b)\n2x\n3\nx\nb\n\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n8\n\n\n2\n2\n2\n1\n2\nxy\nxz\nyz\nx\ny\nz\n\n\n\n\n\nPonieważ suma kwadratów liczb x, y, z jest nieujemna, więc\n\n\n2\n2\n2\n1\n0\n2 x\ny\nz\n\n\n\n\n, czyli\n0\nxy\nyz\nzx\n\n\n\n, co kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy podniesie obie strony równości\n0\nx\ny\nz\n\n\n\ndo kwadratu i zapisze np.\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n2\n2\nxy\nxz\nyz\nx\ny\nz\n\n\n\n\n\nlub\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nxy\nxz\nyz\nx\ny\nz\n\n\n\n\n\ni na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n2\n2\nx\ny\nz\n\n\n\nlub\n2\n2\n2\nx\ny\nz\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nII sposób rozwiązania\nZ równości\n0\nx\ny\nz\n\n\n\nwyznaczamy jedną z liczb, np. z\nx\ny\n\n. Wtedy otrzymujemy\n\n\n\n\n2\n2\nxy\nxz\nyz\nxy\nx\nx\ny\ny\nx\ny\nxy\nx\nxy\nxy\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n\n\n\n\n\n\nWyrażenie\n2\n2\nx\nxy\ny\n\n\ntraktujemy jak trójmian kwadratowy zmiennej x. Wówczas jego\nwyróżnik jest równy\n2\n2\n2\n4 1\n3\n0\ny\ny\ny\n\n\n\n\n. To, wraz z dodatnim znakiem\nwspółczynnika przy\n2\nx , oznacza, że trójmian przyjmuje jedynie wartości nieujemne, czyli\n2\n2\n0\nx\nxy\ny\n\n\n\n. Stąd\n\n\n2\n2\n0\nxy\nxz\nyz\nx\nxy\ny\n\n\n\n\n\n\nMożemy również zauważyć, że\n\n\n2\n2\n2\n2\n3\n1\n2\n4\nx\nxy\ny\nx\ny\ny\n\n\n\n\n\n. Jest to suma dwóch liczb\nnieujemnych, a więc jest nieujemna. Stąd\n\n\n2\n2\n0\nxy\nxz\nyz\nx\nxy\ny\n\n\n\n\n\n\nMożemy również zauważyć, że\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n2\n2\nx\nxy\ny\nx\nx\ny\ny\n\n\n\n\n\n\n. Jest to suma trzech\nliczb nieujemnych, a więc jest nieujemna. Stąd\n\n\n2\n2\n0\nxy\nxz\nyz\nx\nxy\ny\n\n\n\n\n\n\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy z równości\n0\nx\ny\nz\n\n\n\njedną z liczb i zapisze wyrażenie xy\nxz\nyz\n\n\nw zależności od dwóch zmiennych, np. zmiennych x i y:\n2\n2\nxy\nxz\nyz\nx\nxy\ny\n\n\n\n\n\ni na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia\n2\n2\nx\nxy\ny\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n9\nZadania 29. (0-2)\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji\n\nf x określonej dla\n7,8\n\nx\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nx\ny\nOdczytaj z wykresu i zapisz:\na) największą wartość funkcji f,\nb) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.\nRozwiązanie\nOdczytujemy z wykresu największą wartość funkcji f . Jest ona równa 7.\nPodajemy zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości\nujemne:\n\n3,5\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n\npoda największą wartość funkcji: 7 i nie poda zbioru tych wszystkich argumentów, dla\nktórych funkcja f przyjmuje wartości ujemne\nalbo\n\npoda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości\nujemne: \n\n3,5\n\ni nie poda największej wartości funkcji f.\nUwaga\nAkceptujemy zapisy:\n\n\n3,5\nx\nlub 3\n5\nx\n\n\nlub\n3\nx \ni\n5\nx \nlub\n3 ,\n5\nx\nx\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poda największą wartość funkcji oraz poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla\nktórych funkcja f przyjmuje wartości ujemne: 7, \n\n3,5\n\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nW rozwiązaniu podpunktu b) akceptujemy zapisy:\n\n\n5, 3\nx\n\n,\n\n\n3,5\nx\n,\n\n\n3, 5\nx\n\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nOdczytywanie z wykresu funkcji zbioru jej wartości oraz\nprzedziałów w których funkcja przyjmuje wartości ujemne\n(II.4.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n10\nZadania 30. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n0\n5\n7\n2\n2\n\n\nx\nx\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania:\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n5\n7\n2\n2\n\nx\nx\n obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n9\n5\n2\n4\n49\n\n\n\n\n\n\ni stąd\n1\n4\n3\n7\n1\n\n\n\nx\noraz\n2\n7\n3\n5\n4\n2\nx\n\n\n\nalbo\n stosujemy wzory Viète’a:\n2\n5\n2\n1\n\nx\nx\noraz\n2\n7\n2\n1\n\nx\nx\n, stąd\n1\n1 \nx\noraz\n2\n5\n2\nx \nalbo\n podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu lub zaznaczając je na wykresie\n1\n1 \nx\n,\n2\n1\n2\n2 \nx\nlub \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n5\n1\n2\nx\nx\nDrugi etap rozwiązania:\n-1\n1\n2\n3\n4\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\ny\n0\nx\n5\n2\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n\n\n5\n2\n,1\n,\n\n\n lub\n\n\n5\n2\n,1\n,\nx\n\n lub (\n1\nx  lub\n5\n2\nx \n).\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n11\n obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n1 \nx\n,\n2\n5\n2\nx \ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\n zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n5\n7\n2\n)\n(\n2\n\n\n\nx\nx\nx\nf\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\n rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n4\n4\n10\n2\nx\nx\ni na\ntym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność,\n zapisze nierówność\n4\n3\n4\n7 \n\nx\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\nalbo\n realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.\n popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nnierówność,\n błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n2\n5\n2\n1\n\n\nx\nx\noraz\n2\n7\n2\n1\n\nx\nx\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,\n błędnie zapisze nierówność, np.\n4\n3\n4\n7 \n\nx\ni konsekwentnie do popełnionego\nbłędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\n poda zbiór rozwiązań nierówności:\n\n\n5\n2\n,1\n,\n\n\n lub\n\n\n5\n2\n,1\n,\nx\n\n lub (\n1\nx  lub\n5\n2\nx \n),\nalbo\n sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności w postaci:\n1\nx ,\n5\n2\nx \nalbo\n poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów\nx\n1\n5\n2\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n12\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n1 \nx\n,\n2\n5\n2\nx \ni zapisze, np.\n\n\n2\n5\n, 1\n,\nx\n\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n\n\n5\n2\n,\n1,\nx\n\n, to otrzymuje 2 punkty.\nZadania 31. (0-2)\nWykaż, że liczba\n98\n99\n100\n6\n10\n6\n2\n6\n\n\n\n\njest podzielna przez 17.\nRozwiązanie\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n\n\n10\n6\n2\n6\n6\n2\n98\n\n\n\n\n. Doprowadzamy do postaci\n17\n2\n698\n\n\nSchemat oceniania rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze liczbę\n98\n99\n100\n6\n10\n6\n2\n6\n\n\n\n\nw postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest\npotęgą 6k , gdzie 80\n98\nk\n\n\n, np.\n\n\n98\n2\n6\n6\n2 6 10\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze liczbę w postaci, w której widać podzielność przez 17 albo przeprowadzi\nrozumowanie uzasadniające podzielność przez 17.\nZadania 32. (0-4)\nPunkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy\nwiększy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.\nRozumowanie i argumentacja\nPrzeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.g)\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich\n(IV.7.c)\nB\nA\nC\nS\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n13\nI sposób rozwiązania\nPonieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży\nwewnątrz tego trójkąta. Niech oznacza miarę kąta BAS. Wówczas\n2\nCBS\n\n\n\ni\n3\nACS\n\n\n\nKażdy z trójkątów ABS, BCS i CAS jest równoramienny, więc\nABS\nBAS\n\n\n\n\n\n,\n2\nBCS\nCBS\n\n\n\n\n\n,\n3\nCAS\nACS\n\n\n\n\n\nMiary kątów trójkąta ABC są więc równe\n4\nBAC\n\n\n\n,\n3\nCBA\n\n\n\n,\n5\nACB\n\n\n\nSuma miar kątów trójkąta jest równa 180, zatem\n4\n3\n5\n180\n\n\n\n\n\n\n,\n12\n180\n\n,\n15\n\n.\nWięc\n4\n4 15\n60\nBAC\n\n\n\n\n\n\n\n,\n3\n3 15\n45\nCBA\n\n\n\n\n\n\n,\n5\n5 15\n75\nACB\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\n Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:\nBAS\n\n\n\n,\n2\nCBS\n\n\n\ni\n3\nACS\n\n\n\nalbo\n wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów ABS, BCS i CAS są\nrównoramienne, np.:\nABS\nBAS\n\n\n\n,\nBCS\nCBS\n\n\n\n,\nCAS\nACS\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\n Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:\nBAS\n\n\n\n,\n2\nCBS\n\n\n\ni\n3\nACS\n\n\n\noraz\n wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów ABS, BCS i CAS są\nrównoramienne, np.:\nABS\nBAS\n\n\n\n,\nBCS\nCBS\n\n\n\n,\nCAS\nACS\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nB\nA\nC\nS\n\n2\n3\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n14\nZapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć miary kątów trójkąta\nABC, np.: 4\n3\n5\n180\n\n\n\n\n\n\n.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie miar kątów trójkąta ABC:\n60\nBAC \n\n\n,\n45\nCBA \n\n\n,\n75\nACB \n\n\nII sposób rozwiązania\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPonieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży\nwewnątrz tego trójkąta.\nZ twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym otrzymujemy\n2\n2\nASB\nz\n\n\n\n\n,\n2\n2\nBSC\nx\n\n\n\n\n,\n2\n2\nCSA\ny\n\n\n\n\nSuma kątów w każdym z trójkątów ABS, BCS i CAS jest równa 180, więc otrzymujemy\nukład równań\n\n\n2\n2\n180\ny\nz\n\n\n\n\n\n\n i\n\n\n2\n2\n180\nz\nx\n\n\n\n\n\n\ni\n\n\n2\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n.\nPonieważ\n2\n\n\n\ni\n3\n\n\n\n, więc układ możemy zapisać w postaci\n\n\n6\n2\n180\ny\nz\n\n\n\n\n\n\n i\n\n\n2\n2\n2\n180\nz\nx\n\n\n\n\n\n\n i\n\n\n3\n4\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n,\n7\n2\n180\ny\nz\n\n\n\n i 4\n2\n180\nx\nz\n\n\n\n i 7\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n.\nMnożąc strony pierwszego równania przez 2\n, drugiego przez 4 otrzymujemy\n14\n2\n4\n360\ny\nz\n\n\n\n\n\n i 16\n8\n4\n720\nx\nz\n\n\n\n i 7\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n.\nDodając stronami otrzymujemy\n9\n9\n540\nx\n\n\n,\n60\nx\n\n\n,\nczyli\n60\nABC \n\n\n. Zatem\n120\nBSC \n\n\nTrójkąt BSC jest równoramienny, więc\n180\n120\n30\n2\nSBC\nSCB\n\n\n\n\n\n\n\n\n, zatem\n2\n30\n\n, czyli\n15\n\n. Stąd\n45\nCBA \n\n\n,\n75\nACB \n\n\nB\nA\nC\nS\n\n\n\nz\nx\ny\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n15\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\n Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:\nBAS\n\n\n\n,\n2\nCBS\n\n\n\ni\n3\nACS\n\n\n\nalbo\n wykorzystanie zależności między kątami środkowymi ASB, BSC i ASC oraz odpowiednimi\nkątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań, np.:\n\n\n2\n2\n180\ny\nz\n\n\n\n\n\n\n i\n\n\n2\n2\n180\nz\nx\n\n\n\n\n\n\ni\n\n\n2\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n,\ngdzie x\nCAS\n\n, y\nABS\n\n, z\nBCS\n\n,\nCBS\n\n,\nACS\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\n Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:\nBAS\n\n\n\n,\n2\nCBS\n\n\n\ni\n3\nACS\n\n\n\noraz\n wykorzystanie zależności między kątami środkowymi ASB, BSC, ASC oraz odpowiednimi\nkątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań z czterema\nniewiadomymi, np.:\n\n\n6\n2\n180\ny\nz\n\n\n\n\n\n\n i\n\n\n2\n4\n2\n180\nz\ny\n\n\n\n\n\n\ni\n\n\n3\n4\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie miary kąta CAB:\n60\nx\n\n\n.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie miar kątów trójkąta ABC:\n60\nBAC \n\n\n,\n45\nCBA \n\n\n,\n75\nACB \n\n","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nRównanie ma trzy rozwiązania: \\(x = -1\\), \\(x = 1\\), \\(x = \\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Metoda Hornera (szukanie pierwiastka wymiernego + rozkład)\n\n**Krok 1: Szukamy wymiernego pierwiastka.**\n\nZ twierdzenia o pierwiastkach wymiernych kandydaci to dzielniki wyrazu wolnego \\((4)\\) podzielone przez dzielniki współczynnika przy \\(x^3\\) \\((3)\\):\n\\[\\pm1,\\ \\pm2,\\ \\pm4,\\ \\pm\\frac{1}{3},\\ \\pm\\frac{2}{3},\\ \\pm\\frac{4}{3}\\]\n\nSprawdzamy \\(x = 1\\):\n\\[3(1)^3 - 4(1)^2 - 3(1) + 4 = 3 - 4 - 3 + 4 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Krok 2: Dzielimy wielomian przez \\((x - 1)\\) schematem Hornera.**\n\n| | 3 | -4 | -3 | 4 |\n| \\(x=1\\) | | 3 | -1 | -4 |\n| | **3** | **-1** | **-4** | **0** |\n\nWynik: \\(3x^3 - 4x^2 - 3x + 4 = (x-1)(3x^2 - x - 4)\\)\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy \\(3x^2 - x - 4 = 0\\).**\n\n\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-4) = 1 + 48 = 49\\]\n\\[x = \\frac{1 \\pm \\sqrt{49}}{6} = \\frac{1 \\pm 7}{6}\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{1 + 7}{6} = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}, \\qquad x_3 = \\frac{1 - 7}{6} = \\frac{-6}{6} = -1\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{x = -1 \\quad \\text{lub} \\quad x = 1 \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{4}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja przez grupowanie)\n\nTo szybszy i elegantszy sposób - dostrzeżemy wspólny czynnik po zgrupowaniu.\n\n**Krok 1: Grupujemy wyrazy parami.**\n\n\\[3x^3 - 4x^2 - 3x + 4 = \\underbrace{3x^3 - 4x^2}_{\\text{grupa 1}} + \\underbrace{(-3x + 4)}_{\\text{grupa 2}}\\]\n\n**Krok 2: Wyłączamy czynnik wspólny z każdej grupy.**\n\n\\[= x^2(3x - 4) - 1 \\cdot (3x - 4)\\]\n\nZauważamy, że \\((3x - 4)\\) to wspólny czynnik!\n\n**Krok 3: Wyłączamy \\((3x-4)\\).**\n\n\\[= (3x - 4)(x^2 - 1)\\]\n\n**Krok 4: Rozkładamy różnicę kwadratów** \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\n\\[= (3x - 4)(x - 1)(x + 1)\\]\n\n**Krok 5: Przyrównujemy każdy czynnik do zera:**\n\n\\[3x - 4 = 0 \\implies x = \\frac{4}{3}\\]\n\\[x - 1 = 0 \\implies x = 1\\]\n\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]\n\n**Wynik:** \\(x = -1\\), \\(x = 1\\), \\(x = \\frac{4}{3}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1, gdy po wyciągnięciu czynnika \\((x-1)\\) pozostał trójmian \\(3x^2 - x - 4\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2, gdy rozkładaliśmy \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W metodzie grupowania kluczowe jest zauważenie, że \\(-3x + 4 = -1 \\cdot (3x - 4)\\). Błąd: wyłączenie \\(+1\\) zamiast \\(-1\\), co da \\(+(3x-4)\\) - wtedy czynnik wspólny nie wychodzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy sprawdzaniu kandydatów na pierwiastki wymierne - nie zapomnij o ułamkach! Wiele uczniów sprawdza tylko liczby całkowite i nie znajduje \\(x = \\frac{4}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie trzeciego stopnia ma (z uwzględnieniem krotności i liczb zespolonych) zawsze **dokładnie 3** pierwiastki. Jeśli znalazłeś jeden i sprowadzasz do trójmianu - musisz go jeszcze rozwiązać, a nie przerywać w połowie!\n\n**Odpowiedź: \\(x=\\dfrac{4}{3}\\) lub \\(x=-1\\) lub \\(x=1\\).**\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania\nGrupujemy wyrazy:\n\\[3x^{3}-4x^{2}-3x+4 = x^{2}(3x-4) - (3x-4) = (3x-4)(x^{2}-1).\\]\nWykorzystujemy wzór skróconego mnożenia \\(x^{2}-1=(x-1)(x+1)\\):\n\\[(3x-4)(x-1)(x+1) = 0.\\]\nStąd:\n\\[3x-4=0 \\Rightarrow x = \\dfrac{4}{3}, \\quad x-1=0 \\Rightarrow x=1, \\quad x+1=0 \\Rightarrow x=-1.\\]\n\n### Sposób 2 - Alternatywne grupowanie\n\\[3x(x^{2}-1) - 4(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(3x-4) = (x-1)(x+1)(3x-4).\\]\nTa sama faktoryzacja, te same pierwiastki.\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie twierdzeniem Bézouta\nSprawdzamy \\(x=1\\): \\(3-4-3+4=0\\) ✓. Dzielimy \\(3x^{3}-4x^{2}-3x+4\\) przez \\((x-1)\\):\n\\[3x^{3}-4x^{2}-3x+4 = (x-1)(3x^{2}-x-4).\\]\nRozwiązujemy \\(3x^{2}-x-4=0\\): \\(\\Delta=1+48=49\\), \\(x=\\dfrac{1\\pm 7}{6}\\), czyli \\(x=\\tfrac{4}{3}\\) lub \\(x=-1\\).\n\n### Zgodnie z CKE\nSchemat oceniania: 1 pkt za zapisanie równania w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, 2 pkt za wyznaczenie wszystkich trzech rozwiązań.\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Pomijanie jednego z pierwiastków (np. tylko \\(\\tfrac{4}{3}\\) i \\(1\\)).\n- Błędy w grupowaniu - trzeba wyciągnąć wspólny czynnik \\((3x-4)\\) lub \\((x^{2}-1)\\).\n- Próba stosowania wzoru na \\(\\Delta\\) dla stopnia 3 (nie działa wprost).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"trygonometria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że\n0,\n\n\n\nx\ny\nz\nprawdziwa\njest nierówność\n0\nxy\nyz\nzx\n\n\n\nMożesz skorzystać z tożsamości \n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nz\nx\ny\nz\nxy\nxz\nyz\n\nPoziom podstawowy\n13\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x+y+z = 0, prawdziwa jest nierówność xy+yz+zx =< 0. Możesz skorzystać z tożsamości (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{11}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie czynnika wspólnego + jedynka trygonometryczna\n\n**Krok 1: Wyznacz sin α**\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{7}{16} = \\frac{9}{16}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\)\n\n**Krok 2: Uprość wyrażenie algebraicznie**\n\nZauważamy, że z dwóch ostatnich składników można wyłączyć \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[2 + \\sin^3\\alpha + \\sin\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = 2 + \\sin\\alpha\\underbrace{(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)}_{= 1}\\]\n\n**To jest kluczowy trik!** Nawiasie w środku to jedynka trygonometryczna - upraszcza się do 1.\n\n\\[= 2 + \\sin\\alpha \\cdot 1 = 2 + \\sin\\alpha\\]\n\n**Krok 3: Podstaw wartość**\n\n\\[2 + \\frac{3}{4} = \\frac{8}{4} + \\frac{3}{4} = \\boxed{\\frac{11}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie (obliczanie każdego składnika)\n\nMamy: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\), \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\)\n\nObliczamy każdy składnik z osobna:\n\n\\[\\sin^3\\alpha = \\left(\\frac{3}{4}\\right)^3 = \\frac{27}{64}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{7}{16} = \\frac{21}{64}\\]\n\nSumujemy:\n\\[2 + \\frac{27}{64} + \\frac{21}{64} = 2 + \\frac{48}{64} = 2 + \\frac{3}{4} = \\frac{11}{4}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\dfrac{11}{4}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej dwukrotnie: do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) z wartości \\(\\cos\\alpha\\) oraz do uproszczenia wyrażenia \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\) w nawiasie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie podstawiaj wartości od razu - **najpierw upraszczaj algebraicznie**. Wyłączenie \\(\\sin\\alpha\\) i użycie jedynki trygonometrycznej to serce tego zadania. Kto liczy \"na piechotę\" od razu, straci czas i łatwo popełni błąd arytmetyczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(\\alpha\\) jest **ostry**, to \\(\\sin\\alpha > 0\\) - dlatego bierzemy pierwiastek dodatni: \\(\\sin\\alpha = +\\dfrac{3}{4}\\), nie \\(-\\dfrac{3}{4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos^2\\alpha = \\left(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\right)^2 = \\dfrac{7}{16}\\), **nie** \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{16}\\). Potęgowanie pierwiastka usuwa znak pierwiastka!\n\n**Odpowiedź: \\(2\\dfrac{3}{4} = \\dfrac{11}{4}\\).**\n\n### Sposób 1 - Uproszczenie wyrażenia\nWyciągamy wspólny czynnik \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[2 + \\sin^{3}\\alpha + \\sin\\alpha\\cdot\\cos^{2}\\alpha = 2 + \\sin\\alpha(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha) = 2 + \\sin\\alpha\\cdot 1 = 2 + \\sin\\alpha.\\]\nObliczamy \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\\sin^{2}\\alpha = 1 - \\cos^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\right)^{2} = 1 - \\dfrac{7}{16} = \\dfrac{9}{16}.\\]\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc:\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}.\\]\nZatem:\n\\[2 + \\dfrac{3}{4} = 2\\dfrac{3}{4}.\\]\n\n### Sposób 2 - Konstrukcja trójkąta prostokątnego (CKE II sposób)\nW trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \\(4\\) i przyprostokątnej przyległej do \\(\\alpha\\) równej \\(\\sqrt{7}\\):\n\\[a^{2} + (\\sqrt{7})^{2} = 4^{2} \\Rightarrow a^{2} = 9 \\Rightarrow a = 3.\\]\nZatem \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\). Dalej jak w Sposobie 1.\n\n### Sposób 3 - Weryfikacja\n\\(\\sin^{3}\\alpha = \\tfrac{27}{64}\\); \\(\\cos^{2}\\alpha = \\tfrac{7}{16}\\).\n\\(\\sin\\alpha\\cdot\\cos^{2}\\alpha = \\tfrac{3}{4}\\cdot\\tfrac{7}{16} = \\tfrac{21}{64}\\).\nSuma: \\(2 + \\tfrac{27}{64} + \\tfrac{21}{64} = 2 + \\tfrac{48}{64} = 2 + \\tfrac{3}{4} = \\tfrac{11}{4}\\) ✓.\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za zauważenie, że \\(\\sin^{3}\\alpha + \\sin\\alpha\\cos^{2}\\alpha = \\sin\\alpha\\), lub za obliczenie \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{3}{4}\\).\n2 pkt za podanie wyniku \\(2\\tfrac{3}{4}\\).\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Nie zauważenie jedynki trygonometrycznej.\n- Pomylenie znaku przy \\(\\sin\\alpha\\) (pamiętaj: kąt ostry → dodatni sinus).\n- Błąd obliczeniowy \\(1 - \\tfrac{7}{16}\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f ( x ) określonej dla\n7,8\n\nx\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nx\ny\nOdczytaj z wykresu i zapisz:\na) największą wartość funkcji f ,\nb) zbiór rozwiązań nierówności\n0\n\nf ( x )\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x w (-7,8). Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji f, b) Funkcja f(x) ma wartości ujemne dla x w (-3,5).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: **630**\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie (analiza cyfr)\n\nCzterocyfrowa liczba naturalna ma postać \\(\\overline{ABCD}\\), gdzie:\n- \\(A\\) - cyfra **tysięcy** (\\(A \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\), bo liczba musi być czterocyfrowa)\n- \\(B\\) - cyfra **setek** (\\(B \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\))\n- \\(C\\) - cyfra **dziesiątek** (\\(C \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\))\n- \\(D\\) - cyfra **jedności** (\\(D \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\))\n\n**Warunek zadania:** \\(D = B + 3\\)\n\n**Krok 1 - Wyznacz możliwe wartości \\(B\\).**\n\nMusimy mieć \\(D \\leq 9\\), czyli:\n\\[B + 3 \\leq 9 \\implies B \\leq 6\\]\n\nZatem \\(B \\in \\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\) - **7 możliwości**.\n\nDla każdej wartości \\(B\\) cyfra \\(D\\) jest **jednoznacznie wyznaczona**: \\(D = B + 3\\).\n\n**Krok 2 - Policz wybory dla każdej pozycji.**\n\n| Pozycja | Możliwe wartości | Liczba wyborów |\n| \\(A\\) (tysiące) | \\(1, 2, \\ldots, 9\\) | **9** |\n| \\(B\\) (setki) | \\(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\) | **7** |\n| \\(C\\) (dziesiątki) | \\(0, 1, 2, \\ldots, 9\\) | **10** |\n| \\(D\\) (jedności) | wyznaczone przez \\(B\\) | **1** |\n\n**Krok 3 - Zastosuj regułę mnożenia.**\n\nPozycje są od siebie niezależne (wybór \\(A\\) nie wpływa na wybór \\(B\\) itd.), zatem:\n\\[N = 9 \\cdot 7 \\cdot 10 \\cdot 1 = \\mathbf{630}\\]\n\n## Sposób 2 - Myślenie przez pary \\((B, D)\\)\n\nZamiast analizować cyfry oddzielnie, skupmy się na **parach (setki, jedności)** spełniających warunek \\(D = B + 3\\):\n\n\\[(B, D) \\in \\{(0,3),\\ (1,4),\\ (2,5),\\ (3,6),\\ (4,7),\\ (5,8),\\ (6,9)\\}\\]\n\nMamy dokładnie **7 dozwolonych par** \\((B, D)\\).\n\nDla każdej takiej pary:\n- cyfra tysięcy \\(A\\): 9 wyborów (\\(1\\) do \\(9\\))\n- cyfra dziesiątek \\(C\\): 10 wyborów (\\(0\\) do \\(9\\))\n\nŁącznie:\n\\[N = 7 \\cdot 9 \\cdot 10 = \\mathbf{630}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **reguła mnożenia** (zasada iloczynu kartezjańskiego) z kombinatoryki:\n\n> Jeśli wybór składa się z \\(k\\) niezależnych kroków, w których \\(k\\)-ty krok można wykonać na \\(n_k\\) sposobów, to całkowita liczba sposobów wynosi \\(n_1 \\cdot n_2 \\cdot \\ldots \\cdot n_k\\).\n\nFormalnie jest to wariacja z powtórzeniami (Dział 13, s. 28), ale tutaj stosujemy ją w uproszczonej postaci - bez korzystania z gotowego wzoru tablicowego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra tysięcy **nie może być 0** - liczba czterocyfrowa zaczyna się od \\(1\\) do \\(9\\). Gdybyś wziął 10 wartości dla \\(A\\), wynik byłby błędny (700 zamiast 630).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra jedności musi być cyfrą, czyli \\(D \\leq 9\\). Łatwo zapomnieć o tym ograniczeniu i błędnie założyć, że \\(B\\) ma 10 wartości (0-9) zamiast 7.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra dziesiątek \\(C\\) **nie bierze udziału w warunku** - jest całkowicie swobodna. Pamiętaj, żeby jej nie pominąć w rachunku (błąd: \\(9 \\cdot 7 = 63\\) zamiast \\(9 \\cdot 7 \\cdot 10 = 630\\)).\n\n**Odpowiedź: \\(630\\) liczb.**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba czterocyfrowa \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a\\) - tysiące, \\(b\\) - setki, \\(c\\) - dziesiątki, \\(d\\) - jedności.\n\n**Warunki:**\n- \\(a \\in \\{1,2,\\ldots,9\\}\\) - \\(9\\) możliwości (nie może być \\(0\\), bo liczba ma być czterocyfrowa).\n- \\(c \\in \\{0,1,\\ldots,9\\}\\) - \\(10\\) możliwości.\n- \\(d = b+3\\) oraz \\(d \\in \\{0,\\ldots,9\\}\\), więc \\(b+3 \\le 9\\), czyli \\(b \\in \\{0,1,2,3,4,5,6\\}\\) - \\(7\\) możliwości.\n\nŁącznie:\n\\[9\\cdot 10\\cdot 7 = 630.\\]\n\n### Sposób 2 - Wypisywanie par \\((b,d)\\)\nPary \\((b,d)\\) spełniające \\(d = b+3\\): \\((0,3), (1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8), (6,9)\\) - 7 par.\nDla każdej pary: \\(9\\cdot 10 = 90\\) wariantów \\((a, c)\\).\nRazem: \\(7\\cdot 90 = 630\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie dla szczególnego przypadku\nJeśli \\((b, d) = (0, 3)\\): liczby postaci \\(\\overline{a03}\\ldots\\) wait - ułożenie \\(\\overline{a b c d} = \\overline{a 0 c 3}\\), dla \\(a\\in\\{1,\\ldots,9\\}\\), \\(c\\in\\{0,\\ldots,9\\}\\) daje 90 liczb. Dla 7 par: \\(630\\).\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za wypisanie wszystkich możliwości obsadzenia cyfry setek i jedności (7 możliwości) albo za zauważenie \\(9\\) możliwości tysięcy i \\(10\\) dziesiątek.\n2 pkt za poprawny wynik \\(630\\).\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Zapominanie, że cyfra tysięcy nie może być \\(0\\).\n- Pomyłka z zakresem cyfry setek: \\(b \\le 6\\), nie \\(\\le 9\\).\n- Błąd w mnożeniu 9·10·7.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"funkcje","page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n\n\n\n2\n2x\n7x\n5\n0 .\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15\nNierówność kwadratowa 2x^2-7x+5 >= 0. Liczenie delty, pierwiastków wyrażenia kwadratowego, rysowanie wykresu funkcji kwadratowej i odczytanie z wykresu rozwiązania nierówności.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: (dowód)\n\nWykażemy, że $(1+2013^2)(1+2013^4)$ dzieli $1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7$, pokazując wprost, że iloraz tych dwóch liczb jest całkowitą liczbą naturalną.\n\nDla zwięzłości oznaczmy \\(a = 2013\\).\n\n## Sposób 1 - Suma geometryczna i faktoryzacja \\(a^8 - 1\\)\n\n**Krok 1: Zapisz mianownik jako sumę geometryczną.**\n\nWyrażenie \\(1 + a + a^2 + \\ldots + a^7\\) to suma geometryczna o ilorazie \\(a\\) i 8 wyrazach. Ze wzoru na sumę:\n\\[\n1 + a + a^2 + \\ldots + a^7 = \\frac{a^8 - 1}{a - 1}\n\\]\nPonieważ \\(a = 2013\\), mamy \\(a - 1 = 2012 \\neq 0\\), więc dzielenie jest poprawne.\n\n**Krok 2: Rozkład \\(a^8 - 1\\) na czynniki.**\n\nKorzystamy wielokrotnie ze wzoru na różnicę kwadratów \\(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\\):\n\\[\na^8 - 1 = (a^4)^2 - 1^2 = (a^4 - 1)(a^4 + 1)\n\\]\n\\[\na^4 - 1 = (a^2)^2 - 1^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)\n\\]\n\\[\na^2 - 1 = (a-1)(a+1)\n\\]\n\nŁącząc wszystko:\n\\[\na^8 - 1 = (a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)\n\\]\n\n**Krok 3: Podstaw z powrotem.**\n\n\\[\n1 + a + a^2 + \\ldots + a^7 = \\frac{(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)}{a-1} = (a+1)(a^2+1)(a^4+1)\n\\]\n\n**Krok 4: Wniosek.**\n\nMamy tożsamość:\n\\[\n1 + a + a^2 + \\ldots + a^7 = \\underbrace{(1+a^2)(1+a^4)}_{\\text{nasz dzielnik}} \\cdot (1+a)\n\\]\n\nIloraz:\n\\[\n\\frac{1 + a + a^2 + \\ldots + a^7}{(1+a^2)(1+a^4)} = 1 + a = 1 + 2013 = 2014\n\\]\n\nSkoro \\(2014\\) jest liczbą naturalną, to \\((1+2013^2)(1+2013^4)\\) **dzieli** \\(1+2013+2013^2+\\ldots+2013^7\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Mnożenie wprost (weryfikacja)\n\nPokażemy bezpośrednio, że:\n\\[\n(1+a^2)(1+a^4) \\cdot (1+a) = 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7\n\\]\n\n**Krok 1:** Wymnóż dwa pierwsze czynniki:\n\\[\n(1+a^2)(1+a^4) = 1 \\cdot 1 + 1 \\cdot a^4 + a^2 \\cdot 1 + a^2 \\cdot a^4 = 1 + a^2 + a^4 + a^6\n\\]\n\n**Krok 2:** Pomnóż wynik przez \\((1+a)\\):\n\\[\n(1 + a^2 + a^4 + a^6)(1 + a)\n\\]\n\\[\n= 1 \\cdot (1+a) + a^2 \\cdot (1+a) + a^4 \\cdot (1+a) + a^6 \\cdot (1+a)\n\\]\n\\[\n= (1 + a) + (a^2 + a^3) + (a^4 + a^5) + (a^6 + a^7)\n\\]\n\\[\n= 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7 \\quad \\checkmark\n\\]\n\nTożsamość zachodzi dla każdego \\(a\\), w szczególności dla \\(a = 2013\\). Wynika stąd, że:\n\\[\n\\frac{1 + 2013 + 2013^2 + \\ldots + 2013^7}{(1+2013^2)(1+2013^4)} = 1 + 2013 = 2014 \\in \\mathbb{N}\n\\]\nco kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nZastosowaliśmy ten wzór trzykrotnie przy rozkładzie \\(a^8 - 1\\) (dla \\(a^4, a^2, a\\)).\n\n**Dział 8 (Ciągi geometryczne, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]\nSuma \\(1 + a + a^2 + \\ldots + a^7\\) to \\(S_8\\) dla \\(a_1 = 1, q = a = 2013\\), co daje \\(\\frac{a^8 - 1}{a - 1}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić przykładowo dla małej liczby (np. \\(a=2\\)) - to nie jest dowód! Należy pokazać, że tożsamość zachodzi algebraicznie dla **każdego** \\(a\\), a w szczególności dla \\(a = 2013\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów próbuje liczyć te liczby \"na wprost\" - to błąd, bo \\(2013^8\\) to gigantyczna liczba (~\\(10^{26}\\)). Klucz to faktoryzacja symboliczna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wielokrotnym stosowaniu różnicy kwadratów łatwo zgubić czynnik. Sprawdzaj każdy krok: \\(a^8-1 \\to (a^4-1)(a^4+1) \\to (a^2-1)(a^2+1)(a^4+1) \\to (a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)\\). Dopiero po pełnym rozkładzie skracaj \\((a-1)\\).\n\n**Odpowiedź: wykazano poniżej.**\n\n### Sposób 1 - Grupowanie po parach\nOznaczmy \\(x=2013\\). Sumę \\(S = 1+x+x^{2}+\\ldots+x^{7}\\) grupujemy po dwa:\n\\[S = (1+x) + x^{2}(1+x) + x^{4}(1+x) + x^{6}(1+x) = (1+x)(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}).\\]\nDalej grupujemy:\n\\[1+x^{2}+x^{4}+x^{6} = (1+x^{2}) + x^{4}(1+x^{2}) = (1+x^{2})(1+x^{4}).\\]\nStąd:\n\\[S = (1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}).\\]\nPonieważ \\((1+x^{2})(1+x^{4})\\) dzieli iloczyn \\((1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})=S\\), liczba \\((1+2013^{2})(1+2013^{4})\\) jest dzielnikiem \\(S\\). **CKD.**\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę ciągu geometrycznego (CKE)\n\\(S\\) to suma ośmiu wyrazów ciągu geometrycznego o \\(a_{1}=1\\), \\(q=2013\\):\n\\[S = \\dfrac{1-2013^{8}}{1-2013} = \\dfrac{(1-2013^{4})(1+2013^{4})}{1-2013} = \\dfrac{(1-2013^{2})(1+2013^{2})(1+2013^{4})}{1-2013}.\\]\nDalej \\(1-2013^{2} = (1-2013)(1+2013)\\), więc:\n\\[S = \\dfrac{(1-2013)(1+2013)(1+2013^{2})(1+2013^{4})}{1-2013} = (1+2013)(1+2013^{2})(1+2013^{4}) = 2014\\cdot(1+2013^{2})(1+2013^{4}).\\]\nZatem \\((1+2013^{2})(1+2013^{4})\\) dzieli \\(S\\).\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za zapisanie sumy w postaci \\((1+2013)(1+2013^{2}+2013^{4}+2013^{6})\\) bez dalszego rozumowania.\n2 pkt za pełne rozumowanie.\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Nie dostrzegają symetrii sumy i nie grupują wyrazów.\n- Próbują podstawić konkretne wartości zamiast rozkładać algebraicznie.\n- Pomijają finalny krok podzielności.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nWykaż, że liczba\n98\n99\n100\n6\n10\n6\n2\n6\n\n\n\n\njest podzielna przez 17.\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nWykaż, że 6^{100} - 2⋅6^{99} + 10⋅6^{98} jest podzielna przez 17.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(q = 3\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie ilorazu ze wzoru ogólnego\n\nIloraz ciągu geometrycznego to stosunek dowolnego wyrazu do wyrazu poprzedniego:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nZapisujemy \\(a_{n+1}\\), podstawiając \\(n+1\\) w miejsce \\(n\\) we wzorze \\(a_n = 7 \\cdot 3^{n+1}\\):\n\\[a_{n+1} = 7 \\cdot 3^{(n+1)+1} = 7 \\cdot 3^{n+2}\\]\n\nDzielimy:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{7 \\cdot 3^{n+2}}{7 \\cdot 3^{n+1}}\\]\n\nSkracamy \\(7\\) oraz korzystamy z prawa dzielenia potęg o tej samej podstawie:\n\\[q = \\frac{3^{n+2}}{3^{n+1}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3^1\\]\n\n\\[\\boxed{q = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - obliczenie kilku wyrazów i sprawdzenie stosunku\n\nObliczamy pierwsze wyrazy ciągu wprost ze wzoru:\n\n\\[a_1 = 7 \\cdot 3^{1+1} = 7 \\cdot 3^2 = 7 \\cdot 9 = 63\\]\n\\[a_2 = 7 \\cdot 3^{2+1} = 7 \\cdot 3^3 = 7 \\cdot 27 = 189\\]\n\\[a_3 = 7 \\cdot 3^{3+1} = 7 \\cdot 3^4 = 7 \\cdot 81 = 567\\]\n\nSprawdzamy stosunek kolejnych wyrazów:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{189}{63} = 3\\]\n\\[\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{567}{189} = 3\\]\n\n**Stosunek jest stały i równa się \\(3\\) - potwierdzenie, że \\(q = 3\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz definicja ilorazu:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nPrzydało się to w Sposobie 1 - podzieliliśmy \\(a_{n+1}\\) przez \\(a_n\\), by wyeliminować zmienną \\(n\\) i otrzymać stałą wartość ilorazu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o iloraz \\(q\\), nie o pierwszy wyraz \\(a_1\\). Łatwo się pomylić i podać \\(a_1 = 63\\) jako odpowiedź - to nie jest iloraz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wykładnika \\(n+1\\) z postacią wzoru na wyraz ciągu geometrycznego \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\). Tu \\(7\\) **nie jest** pierwszym wyrazem ciągu - pierwszym wyrazem jest \\(a_1 = 7 \\cdot 3^2 = 63\\). Czynnik \\(3^{n+1}\\) zawiera zarówno iloraz, jak i część wartości \\(a_1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ponieważ \\(q = 3 > 1\\), ciąg jest rozbieżny - wyrazy rosną do nieskończoności. Wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego (\\(S = \\frac{a_1}{1-q}\\)) **nie ma tu zastosowania**.\n\n**Odpowiedź: \\(q=3\\).**\n\n### Sposób 1 - Iloraz dwóch kolejnych wyrazów\nObliczamy \\(a_{1}\\) i \\(a_{2}\\):\n\\[a_{1} = 7\\cdot 3^{2} = 63, \\quad a_{2} = 7\\cdot 3^{3} = 189.\\]\nIloraz:\n\\[q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{189}{63} = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie wzoru do postaci standardowej\nWzór \\(a_{n} = 7\\cdot 3^{n+1} = 7\\cdot 3\\cdot 3^{n} = 21\\cdot 3^{n} = 63\\cdot 3^{n-1}\\).\nPorównując z \\(a_{n} = a_{1}\\cdot q^{n-1}\\), widzimy \\(a_{1}=63\\), \\(q=3\\).\n\n### Sposób 3 - Iloraz ogólny\nDla dowolnego \\(n\\):\n\\[q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \\dfrac{7\\cdot 3^{n+2}}{7\\cdot 3^{n+1}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3.\\]\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za obliczenie dwóch kolejnych wyrazów i zapisanie relacji \\(a_{2}=a_{1}\\cdot q\\), lub za obliczenie \\(a_{1}\\) i zapisanie \\(a_{n}=63\\cdot 3^{n-1}\\).\n2 pkt za \\(q=3\\).\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Mylą \\(3^{n+1}\\) z \\((3n+1)\\).\n- Obliczają \\(a_{1}\\) błędnie (np. \\(a_{1} = 7\\cdot 3 = 21\\) zamiast \\(63\\)).\n- Pomija \\(\\pm\\) i zapominają, że geometryczny ciąg ma stały iloraz.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":15,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nPunkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy\nwiększy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.\nB\nA\nC\nS\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nPunkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = 162\\)\n\n(Zadanie otwarte - należy obliczyć objętość graniastosłupa.)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria i geometria przestrzenna\n\n**Krok 1: Wyznaczamy boki prostokąta ABCD.**\n\nNiech dłuższy bok to \\(AB = a\\), krótszy bok \\(BC = 3\\).\n\nPrzekątna \\(AC\\) tworzy z dłuższym bokiem \\(AB\\) kąt \\(30°\\). W trójkącie prostokątnym \\(ABC\\):\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{BC}{AB} = \\frac{3}{a}\\]\n\\[\\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{3}{a} \\implies a = \\frac{3 \\cdot 3}{\\sqrt{3}} = \\frac{9}{\\sqrt{3}} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n**Zatem \\(AB = 3\\sqrt{3}\\), \\(BC = 3\\).**\n\n**Krok 2: Obliczamy długość przekątnej podstawy.**\n\n\\[|BD| = \\sqrt{AB^2 + BC^2} = \\sqrt{(3\\sqrt{3})^2 + 3^2} = \\sqrt{27 + 9} = \\sqrt{36} = 6\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.**\n\nGraniastosłup jest prosty, więc H leży dokładnie nad D. Przekątna \\(HB\\) łączy wierzchołek \\(H\\) (górny) z \\(B\\) (dolny). Jej rzut na podstawę to odcinek \\(DB\\) o długości \\(6\\).\n\nKąt, jaki \\(HB\\) tworzy z płaszczyzną podstawy, wynosi \\(60°\\):\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{|BD|} = \\frac{h}{6}\\]\n\\[\\sqrt{3} = \\frac{h}{6} \\implies h = 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy objętość.**\n\n\\[V = AB \\cdot BC \\cdot h = 3\\sqrt{3} \\cdot 3 \\cdot 6\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3} \\cdot 6\\sqrt{3} = 54 \\cdot 3 = \\boxed{162}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąty i weryfikacja\n\nAlternatywnie, możemy od razu wyrazić wszystko przez krótszy bok.\n\nKrótszy bok \\(BC = 3\\), kąt przekątnej z dłuższym bokiem \\(= 30°\\).\n\nStosujemy wzór na dłuższy bok przez tangens:\n\\[AB = \\frac{BC}{\\operatorname{tg} 30°} = \\frac{3}{\\frac{1}{\\sqrt{3}}} = 3\\sqrt{3}\\]\n\nPrzekątna podstawy:\n\\[d = \\frac{BC}{\\sin 30°} = \\frac{3}{\\frac{1}{2}} = 6\\]\n\n(Bo w trójkącie prostokątnym ABC: \\(\\sin 30° = \\frac{BC}{AC}\\), więc \\(AC = 6\\). To potwierdza wynik z Kroku 2.)\n\nWysokość z kąta \\(60°\\):\n\\[h = d \\cdot \\operatorname{tg} 60° = 6\\sqrt{3}\\]\n\nObjętość:\n\\[V = 3\\sqrt{3} \\cdot 3 \\cdot 6\\sqrt{3} = 162 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwległy}}{\\text{bok przyległy}}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia dłuższego boku prostokąta i wysokości graniastosłupa.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\ngdzie \\(P_p\\) to pole podstawy. Tutaj \\(P_p = AB \\cdot BC = 3\\sqrt{3} \\cdot 3 = 9\\sqrt{3}\\), \\(h = 6\\sqrt{3}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[|BD|^2 = AB^2 + BC^2\\]\nUżyliśmy do obliczenia przekątnej podstawy.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30°\\) jest między przekątną a **dłuższym** bokiem - nie krótszym! Pomylenie tego prowadzi do \\(AB = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(3\\sqrt{3}\\), a potem do całkowicie błędnej objętości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzutem przekątnej przestrzennej \\(HB\\) na podstawę jest **przekątna prostokąta** \\(BD\\) (nie bok!). Uczniowie często biorą krótszy lub dłuższy bok jako podstawę do tangensa - to błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) (to sinus). Przy obliczaniu wysokości łatwo pomylić wartości trygonometryczne z tabeli.\n\n**Odpowiedź: \\(V = 162\\).**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\n**Krok 1: Dłuższy bok podstawy \\(|AB|\\).**\nW trójkącie prostokątnym \\(ABD\\) (kąt prosty przy \\(A\\)): krótszy bok \\(|AD|=3\\), kąt między przekątną \\(BD\\) a dłuższym bokiem \\(AB\\) wynosi \\(30^{\\circ}\\). Zatem:\n\\[\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{3}{|AB|}.\\]\nStąd \\(|AB| = \\dfrac{3}{\\operatorname{tg} 30^{\\circ}} = \\dfrac{3}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = \\dfrac{9}{\\sqrt{3}} = 3\\sqrt{3}\\).\n\n**Krok 2: Długość przekątnej \\(|BD|\\).**\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[|BD| = \\sqrt{|AB|^{2}+|AD|^{2}} = \\sqrt{(3\\sqrt{3})^{2}+3^{2}} = \\sqrt{27+9} = \\sqrt{36} = 6.\\]\n\n**Krok 3: Pole podstawy.**\n\\[P_{ABCD} = |AB|\\cdot|AD| = 3\\sqrt{3}\\cdot 3 = 9\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 4: Wysokość graniastosłupa \\(|DH|\\).**\nPrzekątna \\(HB\\) tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \\(60^{\\circ}\\). W trójkącie prostokątnym \\(BDH\\) (kąt prosty przy \\(D\\)):\n\\[\\operatorname{tg} 60^{\\circ} = \\dfrac{|DH|}{|BD|} = \\dfrac{|DH|}{6}.\\]\nStąd \\(|DH| = 6\\sqrt{3}\\).\n\n**Krok 5: Objętość.**\n\\[V = P_{ABCD}\\cdot |DH| = 9\\sqrt{3}\\cdot 6\\sqrt{3} = 54\\cdot 3 = 162.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie „połowy trójkąta równobocznego\" (CKE)\nTrójkąt \\(ABD\\) z kątem \\(30^{\\circ}\\) przy \\(B\\) i kątem \\(90^{\\circ}\\) przy \\(A\\) jest połową trójkąta równobocznego o boku \\(|BD|=2\\cdot |AD| = 6\\). Stąd od razu \\(|BD|=6\\), \\(|AB|=3\\sqrt{3}\\), pole podstawy \\(P=\\tfrac{6^{2}\\sqrt{3}}{4}=9\\sqrt{3}\\).\nAnalogicznie w trójkącie \\(BDH\\): kąt \\(60^{\\circ}\\) przy \\(B\\), \\(|BD|=6\\), więc \\(|DH| = 6\\sqrt{3}\\).\nObjętość: \\(V = 9\\sqrt{3}\\cdot 6\\sqrt{3} = 162\\).\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za obliczenie \\(|AB|=3\\sqrt{3}\\) lub \\(|BD|=6\\).\n2 pkt za obliczenie obu: \\(|AB|\\) i \\(|BD|\\), lub pola podstawy \\(9\\sqrt{3}\\).\n3 pkt za dodatkowe obliczenie wysokości \\(|DH|=6\\sqrt{3}\\).\n4 pkt za objętość \\(V=162\\).\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Mylą kąt \\(30^{\\circ}\\) z bokiem dłuższym/krótszym.\n- Błąd w \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ}\\) i \\(\\operatorname{tg} 60^{\\circ}\\).\n- Pomijają krok wyznaczenia przekątnej podstawy \\(|BD|\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"planimetria","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm2, a jego\npole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n20\nPole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm^2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm^2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nPole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm2, a jego\npole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczanie związków miarowych w wielościanach.\n(IV.9.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n16\nRozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPole podstawy ostrosłupa jest równe 100, więc\n2\n100\na \n. Stąd\n10\na \nPole powierzchni bocznej jest równe 260, więc\n1\n4\n260\n2 ah\n\n\n. Stąd i z poprzedniego wyniku\n2 10\n260\nh\n\n\n, więc\n13\nh \nPonieważ trójkąt EOS jest prostokątny, więc\n\n\n2\n2\n2\n1\n2 a\nH\nh\n\n\n,\n2\n2\n2\n5\n13\nH\n\n\n,\n2\n144\nH \n,\n12\nH \nObjętość ostrosłupa jest zatem równa\n1\n1 100 12\n400\n3\n3\np\nV\nP H\n\n\n\n\n\nOdpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa 400 cm3.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa:\n10\na \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa:\n12\nH \nUwaga\nJeżeli zdający obliczy wysokość ściany bocznej\n13\nh \ni nie traktuje jej jako wysokości\nostrosłupa i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty. Jeżeli natomiast przyjmuje, że\nobliczona wysokość ściany bocznej jest wysokością ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej\n1 punkt za całe rozwiązanie.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n400\nV \ncm3.\nUwagi\n1. Nie zwracamy uwagi na jednostki (zdający może je pominąć).\n2. Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem\npowierzchni całkowitej, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nB\nA\nC\nS\nO\nD\nE\na\nh\nH\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n17\n3. Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem jednej\nściany bocznej i konsekwentnie do tego błędu obliczy objętość ostrosłupa, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: **6 osób**\n\n## Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą\n\n**Oznaczamy:** niech \\(x\\) = liczba osób w grupie w pierwszym miesiącu (\\(x \\in \\mathbb{N}\\), \\(x \\geq 1\\)).\n\n**Opłata na osobę w pierwszym miesiącu:**\n\\[\\frac{120}{x} \\text{ zł}\\]\n\n**Po dołączeniu dwóch osób** w grupie jest \\(x + 2\\) osób, opłata na osobę:\n\\[\\frac{120}{x+2} \\text{ zł}\\]\n\n**Warunek zadania** - opłata zmniejszyła się o \\(5\\) zł:\n\\[\\frac{120}{x} - \\frac{120}{x+2} = 5\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(x(x+2)\\) (oba wyrażenia są dodatnie):\n\\[120(x+2) - 120x = 5x(x+2)\\]\n\\[120x + 240 - 120x = 5x^2 + 10x\\]\n\\[240 = 5x^2 + 10x\\]\n\nDzielimy przez \\(5\\):\n\\[48 = x^2 + 2x\\]\n\\[x^2 + 2x - 48 = 0\\]\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-48) = 4 + 192 = 196\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 14\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\frac{-2 - 14}{2} = \\frac{-16}{2} = -8 \\quad \\text{(odrzucamy - liczba osób musi być dodatnia)}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-2 + 14}{2} = \\frac{12}{2} = 6\\]\n\n**W pierwszym miesiącu grupa liczyła \\(6\\) osób.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 6\\) spełnia warunki zadania:\n\n- Opłata w 1. miesiącu (6 osób): \\(\\frac{120}{6} = 20\\) zł/osobę\n- Opłata po dołączeniu (8 osób): \\(\\frac{120}{8} = 15\\) zł/osobę\n- Różnica: \\(20 - 15 = 5\\) zł ✓\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów do rozwiązania równania kwadratowego \\(x^2 + 2x - 48 = 0\\), które powstało po uproszczeniu równania z ułamkami.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x\\) oznacza liczbę osób - musi być **dodatnia i całkowita**. Zawsze odrzucaj ujemne rozwiązanie równania kwadratowego w takich zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed pomnożeniem przez \\(x(x+2)\\) upewnij się, że mianownik jest różny od zera - tutaj \\(x > 0\\), więc warunek jest spełniony automatycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwy błąd to zapisanie warunku jako \\(\\frac{120}{x+2} - \\frac{120}{x} = 5\\) (ze złym znakiem). Opłata **maleje**, więc większa wartość (przed dołączeniem nowych osób) minus mniejsza = 5.\n\n**Odpowiedź: \\(6\\) osób.**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nNiech \\(x\\) - liczba osób w pierwszym miesiącu, \\(y\\) - opłata na osobę (w zł).\nWarunki:\n\\[\\begin{cases} x\\cdot y = 120 \\\\ (x+2)(y-5) = 120 \\end{cases}\\]\nRozwijamy drugie równanie:\n\\[xy - 5x + 2y - 10 = 120.\\]\nPodstawiamy \\(xy = 120\\):\n\\[120 - 5x + 2y - 10 = 120 \\Rightarrow 2y = 5x + 10 \\Rightarrow y = \\dfrac{5}{2}x + 5.\\]\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[x\\left(\\dfrac{5}{2}x + 5\\right) = 120 \\Rightarrow \\dfrac{5}{2}x^{2} + 5x - 120 = 0 \\Rightarrow x^{2} + 2x - 48 = 0.\\]\nWyliczamy \\(\\Delta = 4 + 192 = 196 = 14^{2}\\):\n\\[x = \\dfrac{-2\\pm 14}{2} \\Rightarrow x_{1} = -8 \\text{ (odrzucamy)}, \\quad x_{2} = 6.\\]\nZatem \\(x = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Jedno równanie\nNiech \\(x\\) - liczba osób początkowa. Opłata na osobę: \\(\\dfrac{120}{x}\\). Po dołączeniu 2 osób: \\(\\dfrac{120}{x+2}\\), która jest o 5 mniejsza:\n\\[\\dfrac{120}{x} - \\dfrac{120}{x+2} = 5.\\]\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\\[\\dfrac{120(x+2) - 120x}{x(x+2)} = 5 \\Rightarrow \\dfrac{240}{x^{2}+2x} = 5 \\Rightarrow x^{2}+2x = 48 \\Rightarrow x^{2}+2x-48=0.\\]\nJak wyżej: \\(x = 6\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(x = 6\\): opłata na osobę \\(= \\dfrac{120}{6} = 20\\) zł.\nPo dołączeniu 2 osób: \\(6+2=8\\) osób, opłata \\(= \\dfrac{120}{8} = 15\\) zł.\nRóżnica: \\(20 - 15 = 5\\) zł ✓.\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za zapisanie zależności (np. \\(xy=120\\) lub \\((x+2)(y-5)=120\\)).\n2 pkt za zapisanie układu równań.\n3 pkt za sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą.\n4 pkt za rozwiązanie równania kwadratowego (z usterkami).\n5 pkt za pełne rozwiązanie: \\(6\\) osób.\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Mylą, kto płaci więcej (przed czy po dołączeniu osób).\n- Pomijają odrzucenie ujemnego pierwiastka.\n- Błędy w przekształcaniu równania wymiernego (brak wspólnego mianownika).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nDwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę\nw czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej\ntrasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią\nprędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.\n\nPoziom podstawowy\n21\nOdpowiedź:\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n22\nBRUDNOPIS\nDwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nDwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę\nw czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej\ntrasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią\nprędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.\nRozwiązanie\nNiech v oznacza średnią prędkość (w km / h ) pierwszego pociągu na tej trasie, t - czas\nprzejazdu (w godzinach) pierwszego pociągu na tej trasie. Wtedy\n9\nv  oznacza średnią\nprędkość drugiego pociągu na tej trasie,\n2\n3\nt \n- czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie.\nZapisujemy układ równań\n\n\n336\n2\n9\n336\n3\nv t\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n336\nt\nv\n\ni podstawiamy do równania drugiego.\nOtrzymujemy równanie z niewiadomą v , które przekształcamy równoważnie\n\n336\n2\n9\n336\n3\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n9 336\n6\n0\n3 v\nv\n\n\n\n\n,\n2\n2\n6\n9 336\n0\n3 v\nv\n\n\n\n(lub\n2\n2\n18\n9072\n0\nv\nv\n\n\n\nlub\n2\n9\n4536\n0\nv\nv\n\n\n\n).\nRównanie to ma dwa rozwiązania\n1\n72\nv \n,\n2\n63\n0\nv \n\nDrugie z tych rozwiązań odrzucamy (prędkość nie może być ujemna).\nGdy\n72\nv \n, to wtedy\n9\n63\nv \n\nOdpowiedź: Średnia prędkość pierwszego pociągu jest równa 72 km / h , średnia prędkość\ndrugiego pociągu równa się 63 km / h .\nModelowanie matematyczne\nRozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście\npraktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego\n(III.3.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n18\nSchemat oceniania\nW poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających\nodpowiednio, prędkość i czas. Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być\noznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, aby te niewiadome były wyraźnie opisane na\npoczątku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie.\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo całkowitego rozwiązania zadania 1 pkt\nZdający zapisze równanie, w którym co najmniej jedna z wielkości (prędkość, czas) jest\nuzależniona od przyjętej niewiadomej, np.:\n\n\n2\n9\n336\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo \n\n2\n9\n336\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający zapisze układ równań z niewiadomymi v i t , np.:\n336\nv t\ni \n\n2\n9\n336\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n336\nv t\ni \n\n2\n9\n336\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą v lub t.\n\n336\n2\n9\n336\n3\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo 336\n2\n9\n336\n3\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo \n336\n2\n9\n336\n3\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo 336\n2\n9\n336\n3\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. drobne błędy rachunkowe lub wadliwe przepisanie) 4 pkt\n zdający rozwiąże równanie z niewiadomąv lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne\ndo popełnionego błędu zapisze prędkości obu pociągów\nalbo\n zdający rozwiąże równanie kwadratowe i zapisze prędkość tylko jednego pociągu.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZdający obliczy średnie prędkości obu pociągów: średnia prędkość pierwszego pociągu\nrówna się 72 km / h , średnia prędkość drugiego pociągu równa się 63 km / h .\nUwagi\n1. Oceniamy na 0 punktów rozwiązania, w których ułożone równania zawierają niezgodność\ntypu wielkości po obu stronach: po jednej stronie prędkość, po drugiej czas lub\nniezgodność jednostek: prędkość w kilometrach na godzinę, czas w minutach, o ile nie są\nzapisane jednostki.\n2. Jeżeli zdający oznaczy średnią prędkość pierwszego pociągu przez v (w km / h ),\na przez t czas przejazdu pierwszego pociągu na tej trasie, a potem zapisze, że prędkość\nśrednia drugiego pociągu jest równa\n9\nv  i czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n19\njest równy\n2\n3\nt \n, a następnie zapisze układ równań\n336\nv t\ni \n\n2\n9\n336\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni doprowadzi go do równania z jedną niewiadomą, to otrzymuje 1 punkt. Jeśli rozwiąże\nto równanie, to otrzymuje 2 punkty, a jeśli doprowadzi rozwiązanie zadania do końca\nkonsekwentnie do ułożonego układu równań lub przyjętych oznaczeń, to otrzymuje\n3 punkty (otrzymując odpowiednio\n63\nv \ni\n9\n72\nv \n\nalbo\n63\nv \ni\n9\n54\nv \n\n).\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nPrzykład 1.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy\npociąg\n336\n9\n2\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n336\n2\n336\n9\n3\nv t\nv\nt\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym\njest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie\nujął wyrażenia\n2\n3\nt \nw nawias. Zapis równania\n336\n9\n2\n3\nv\nt\n\n\n\nwskazuje na poprawną\ninterpretację zależności między wielkościami.\nPrzykład 2.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy\npociąg\n336\n9\n2\n3\nv\nt\n\n\n\n336\n336\n9\n2\n3\nv\nt\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n363\n336\n9\nt\nt\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych\ntrudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 363\n336\n9\nt\nt\n\n\n zdający\nprzestawił cyfry w zapisie liczby 336 i pominął liczbę 2\n3 w mianowniku ułamka.\nPrzykład 3.\nJeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.\n2\n9\n4536\n0\nv\nv\n\n\n\nzamiast równania\n2\n9\n4536\n0\nv\nv\n\n\n\n(np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak\nrozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n20\nktóry może być realną prędkością jednego z pociągów, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do\nkategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWynik: okrąg o równaniu \\((x+3)^2 + (y-5)^2 = 72\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie środka jako przecięcia ramion, potem odległość od podstawy\n\n### Krok 1 - Identyfikacja podstaw i ramion trapezu\n\nObliczam nachylenia boków:\n\\[k_{AB} = \\frac{1-(-5)}{5-(-1)} = \\frac{6}{6} = 1\\]\n\\[k_{CD} = \\frac{0-3}{-2-1} = \\frac{-3}{-3} = 1\\]\n\\[k_{AD} = \\frac{0-(-5)}{-2-(-1)} = \\frac{5}{-1} = -5\\]\n\\[k_{BC} = \\frac{3-1}{1-5} = \\frac{2}{-4} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Wniosek:** \\(AB \\parallel CD\\) (obie o nachyleniu \\(1\\)), więc \\(AB\\) i \\(CD\\) to **podstawy** trapezu, a **ramiona** to \\(AD\\) i \\(BC\\).\n\n### Krok 2 - Równania prostych zawierających ramiona\n\n**Prosta przez \\(AD\\)** (przez \\(A(-1,-5)\\), nachylenie \\(-5\\)):\n\\[y - (-5) = -5(x - (-1)) \\implies y = -5x - 10 \\implies 5x + y + 10 = 0\\]\n\nSprawdzenie: \\(D(-2,0)\\): \\(5\\cdot(-2)+0+10 = 0\\) ✓\n\n**Prosta przez \\(BC\\)** (przez \\(B(5,1)\\), nachylenie \\(-\\frac{1}{2}\\)):\n\\[y - 1 = -\\frac{1}{2}(x-5) \\implies 2y - 2 = -x + 5 \\implies x + 2y - 7 = 0\\]\n\nSprawdzenie: \\(C(1,3)\\): \\(1+6-7 = 0\\) ✓\n\n### Krok 3 - Środek okręgu = przecięcie ramion\n\nRozwiązuję układ:\n\\[\\begin{cases} 5x + y + 10 = 0 \\\\ x + 2y - 7 = 0 \\end{cases}\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(y = -5x - 10\\). Podstawiam do drugiego:\n\\[x + 2(-5x - 10) - 7 = 0\\]\n\\[x - 10x - 20 - 7 = 0\\]\n\\[-9x = 27 \\implies x = -3\\]\n\\[y = -5 \\cdot (-3) - 10 = 15 - 10 = 5\\]\n\n**Środek okręgu: \\(S = (-3, 5)\\)**\n\n### Krok 4 - Równanie prostej \\(AB\\)\n\nProsta \\(AB\\) przez \\(A(-1,-5)\\) o nachyleniu \\(1\\):\n\\[y - (-5) = 1 \\cdot (x - (-1)) \\implies y = x - 4 \\implies x - y - 4 = 0\\]\n\nSprawdzenie: \\(B(5,1)\\): \\(5-1-4 = 0\\) ✓\n\n### Krok 5 - Promień = odległość środka od prostej \\(AB\\)\n\nStosuję wzór na odległość punktu \\(S(-3, 5)\\) od prostej \\(x - y - 4 = 0\\):\n\\[r = \\frac{|1 \\cdot (-3) + (-1) \\cdot 5 + (-4)|}{\\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \\frac{|-3 - 5 - 4|}{\\sqrt{2}} = \\frac{12}{\\sqrt{2}} = 6\\sqrt{2}\\]\n\nZatem \\(r^2 = 72\\).\n\n### Krok 6 - Równanie okręgu\n\n\\[\\boxed{(x+3)^2 + (y-5)^2 = 72}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie styczności\n\nSprawdzam, że okrąg jest **styczny do AB** - tzn. odległość środka od prostej \\(AB\\) jest dokładnie równa promieniowi, a prosta ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.\n\nPodstawiam \\(y = x - 4\\) do równania okręgu:\n\\[(x+3)^2 + (x - 4 - 5)^2 = 72\\]\n\\[(x+3)^2 + (x-9)^2 = 72\\]\n\\[x^2 + 6x + 9 + x^2 - 18x + 81 = 72\\]\n\\[2x^2 - 12x + 90 = 72\\]\n\\[2x^2 - 12x + 18 = 0\\]\n\\[x^2 - 6x + 9 = 0\\]\n\\[(x-3)^2 = 0 \\implies x = 3\\]\n\n**Dokładnie jeden punkt wspólny** (\\(x=3\\), \\(y=-1\\)) - okrąg jest styczny do \\(AB\\). ✓\n\nSprawdzam też, że środek \\((-3,5)\\) leży na prostej \\(AD\\):\n\\[5\\cdot(-3) + 5 + 10 = -15 + 5 + 10 = 0\\] ✓\n\ni na prostej \\(BC\\):\n\\[-3 + 2\\cdot 5 - 7 = -3 + 10 - 7 = 0\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nOdległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia promienia okręgu (odległość środka \\(S(-3,5)\\) od prostej \\(AB\\): \\(x - y - 4 = 0\\)).\n\nRównanie okręgu o środku \\((a,b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\n\nRównanie kierunkowe prostej przez dwa punkty - wzór na nachylenie:\n\\[k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Błędne wyznaczenie przecięcia ramion - np. zamiana układu równań (błąd arytmetyczny przy podstawianiu), co daje inny środek |\n| C | Obliczenie \\(r = 6\\sqrt{2}\\), ale wpisanie go bezpośrednio jako \\(r^2 = 6\\sqrt{2}\\) zamiast \\(r^2 = 72\\) - czyli niekwadratowanie promienia |\n| D | Wyznaczenie odległości od prostej \\(CD\\) (drugiej podstawy) zamiast od \\(AB\\), co daje inny promień |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, które boki to **podstawy**, a które **ramiona** trapezu - zawsze sprawdź nachylenia wszystkich czterech boków. Tylko równoległe boki to podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze na odległość punktu od prostej - prosta **musi być w postaci ogólnej** \\(Ax + By + C = 0\\). Jeśli masz postać kierunkową \\(y = ax + b\\), przepisz ją najpierw (przenieś wszystko na lewo).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień wyznaczasz jako \\(r = 6\\sqrt{2}\\), ale do równania okręgu wpisujesz \\(r^2 = 72\\) - nie \\(\\sqrt{72}\\). To jeden z najczęstszych błędów końcowych!\n\n**Odpowiedź: \\((x+3)^{2}+(y-5)^{2}=72\\).**\n\n### Sposób 1 - Układ równań prostych i odległość\n**Krok 1: Równanie prostej \\(AD\\).**\n\\(A=(-1,-5)\\), \\(D=(-2,0)\\). Współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\dfrac{0-(-5)}{-2-(-1)} = \\dfrac{5}{-1} = -5.\\]\nRównanie: \\(y - 0 = -5(x-(-2)) \\Rightarrow y = -5x - 10\\).\n\n**Krok 2: Równanie prostej \\(BC\\).**\n\\(B=(5,1)\\), \\(C=(1,3)\\). Współczynnik:\n\\[a = \\dfrac{3-1}{1-5} = -\\dfrac{1}{2}.\\]\nRównanie: \\(y - 1 = -\\tfrac{1}{2}(x-5) \\Rightarrow y = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2}\\).\n\n**Krok 3: Punkt przecięcia \\(S\\).**\n\\(-5x - 10 = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2} \\Rightarrow -5x + \\tfrac{1}{2}x = \\tfrac{7}{2} + 10 \\Rightarrow -\\tfrac{9}{2}x = \\tfrac{27}{2} \\Rightarrow x = -3\\).\n\\(y = -5\\cdot(-3) - 10 = 5\\). Zatem \\(S = (-3, 5)\\).\n\n**Krok 4: Równanie prostej \\(AB\\).**\n\\(A=(-1,-5)\\), \\(B=(5,1)\\). Współczynnik: \\(\\dfrac{1-(-5)}{5-(-1)} = 1\\). Równanie: \\(y - 1 = 1\\cdot(x-5) \\Rightarrow y = x-4\\), czyli \\(x-y-4=0\\).\n\n**Krok 5: Promień \\(r\\) - odległość \\(S\\) od \\(AB\\).**\n\\[r = \\dfrac{|(-3)-5-4|}{\\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = \\dfrac{|-12|}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{12}{\\sqrt{2}} = 6\\sqrt{2}.\\]\nStąd \\(r^{2} = 72\\).\n\n**Krok 6: Równanie okręgu.**\n\\[(x-(-3))^{2} + (y-5)^{2} = 72 \\iff (x+3)^{2}+(y-5)^{2}=72.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie, że punkt styczności leży na odcinku \\(AB\\)\nProsta prostopadła do \\(AB\\) (\\(y=x-4\\)) przechodząca przez \\(S=(-3,5)\\): \\(y = -x + 2\\). Rozwiązanie układu \\(y = x-4\\) i \\(y=-x+2\\) daje \\(x=3, y=-1\\), czyli \\(P=(3,-1)\\). Ponieważ \\(-1 < 3 < 5\\), \\(P\\) leży między \\(A\\) i \\(B\\) - okrąg jest styczny do **podstawy** (odcinka), nie tylko do prostej.\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za równanie prostej \\(AD\\) lub \\(BC\\).\n2 pkt za obliczenie \\(S = (-3,5)\\).\n3 pkt za obliczenie promienia \\(r=6\\sqrt{2}\\).\n4 pkt za równanie okręgu z drobnymi usterkami.\n5 pkt za pełne rozwiązanie: \\((x+3)^{2}+(y-5)^{2}=72\\).\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Błędny wzór na odległość punktu od prostej (pomylenie znaku lub wzoru).\n- Pominięcie weryfikacji, że punkt styczności leży na podstawie \\(AB\\).\n- Błąd w rozwiązywaniu układu równań prostych.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}