{"paper":{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":12,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność 2\n5\n4\n2\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n3\nRozwiąż nierówność |2x-5|-|x+4| <= 2-2x.","answer":null,"answer_text":"2","solution":"$x \\in (-\\infty, -7\\rangle \\cup \\langle -1, \\dfrac{11}{3}\\rangle$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nTrapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r.\nWykaż, że\n2\n4\n\n\nr\nAB\nCD\nNr zadania\n1.\n2.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n4\nTrapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r. Wykaż, że 4r^2 = |AB| * |CD|.","answer":null,"answer_text":"","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":3,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (3 pkt)\nOblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie\ntrzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5.\n\nPoziom rozszerzony\n5\nOdpowiedź:\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n3\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n6\nOblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5.","answer":null,"answer_text":"11\n\n\n5\nx\n\n3\n\n\nx\n1\n\n\nx\n7","solution":"$1920$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nRozwiąż równanie cos2\ncos\n1\n0\nx\nx\n\n\ndla\n0,2\nx\n.\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n7\nRozwiąż równanie cos2x + cos x + 1 = 0 dla x w <0,2pi>.","answer":null,"answer_text":"\nx\n\n4\n\n0\n\nx\n\n4\n\n0\n\nx\n\n4\n\n0","solution":"$x = \\dfrac{\\pi}{2}, x = \\dfrac{2}{3}\\pi, x = \\dfrac{4}{3}\\pi, x = \\dfrac{3}{2}\\pi$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nCiąg liczbowy \n\n, ,\na b c jest arytmetyczny i\n33\na\nb\nc\n\n\n, natomiast ciąg \n\n1,\n5,\n19\na\nb\nc\n\n\n\njest geometryczny. Oblicz a , b , c .\nOdpowiedź:\nNr zadania\n4.\n5.\nMaks. liczba pkt\n4\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n8\nCiąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a+b+c=33, natomiast ciąg (a-1, b+5, c+19) jest geometryczny. Oblicz a, b, c.","answer":null,"answer_text":"\n3\n2","solution":"$a = 33, b = 11, c = -11$ lub $a = 9, b = 11, c = 13$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (6 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n\n\n2\n2\n2 1\n0\nx\nm x\nm\nm\n\n\n\n\n\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste\n1x ,\n2x spełniające warunek\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n6\nx\nx\nm\nx\nx\n\n\n\n\n\nPoziom rozszerzony\n9\nOdpowiedź:\nNr zadania\n6.\nMaks. liczba pkt\n6\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n10\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2 + 2(1-m)x + m^2-m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 , x_2 spełniające warunek x_1 * x_2 <= 6m <= x_1^2 + x_2^2.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$m \\in \\langle 0, 3-\\sqrt{7}\\rangle$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"parametr","page_from":8,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nProsta o równaniu 3\n4\n36\n0\nx\ny\n\n\n\nprzecina okrąg o środku\n\n\n3,12\nS \nw punktach A i B.\nDługość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.\n\nPoziom rozszerzony\n11\nOdpowiedź:\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n12\nProsta o równaniu 3x-4y-36 = 0 przecina okrąg o środku S = (3,12) w punktach A i B. Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$(x-3)^2 + (y-12)^2 = 625$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nReszta z dzielenia wielomianu\n\n3\n2\n4\n5\n23\nW x\nx\nx\nx\nm\n\n\n\n\nprzez dwumian\n1\nx  jest równa 20.\nOblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu.\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n13\nReszta z dzielenia wielomianu W(x) = 4x^3-5x^2-23x+m przez dwumian x+1 jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$m = 6$, pierwiastki: $-2, \\dfrac{1}{4}, 3$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"wielomiany","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nDany jest trójkąt ABC, w którym\n17\nAC \ni\n10\nBC \n. Na boku AB leży punkt D taki, że\n:\n3: 4\nAD\nDB \noraz\n10\nDC \n. Oblicz pole trójkąta ABC.\nOdpowiedź:\nNr zadania\n8.\n9.\nMaks. liczba pkt\n4\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n14\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AC|=17 i |BC|=10. Na boku AB leży punkt D taki, że |AD|:|DB|=3:4 oraz |DC|=10. Oblicz pole trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P_{ABC} = 84$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"planimetria","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nW ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a.\nKrawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany\nBCS jest równa d. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\n15\nOdpowiedź:\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n16\nW ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a. Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$V = \\dfrac{a^3 d}{4\\sqrt{3a^2 - 4d^2}}$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nRzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo\nzdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech\nrzutach będzie równy 60 .\n\nPoziom rozszerzony\n17\nOdpowiedź:\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n18\nRzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60.","answer":null,"answer_text":"c \n13\n, to otrzymuje 4 punkty.","solution":"$\\dfrac{5}{108}$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (3 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej wzorem\n\n\n\n2\nlog\nf x\nx\np\n\n\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n0\na) Podaj wartość p.\nb) Narysuj wykres funkcji określonej wzorem\n\ny\nf x\n\nc) Podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n\nf\nx\nm\n\nma dwa\nrozwiązania o przeciwnych znakach.\n\nPoziom rozszerzony\n19\nOdpowiedź:\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n3\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n20\nBRUDNOPIS\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej wzorem f(x) = log_2(x-p).","answer":null,"answer_text":"","solution":"a) $p = -4$, c) $m > 2$","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"logarytmy","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}