{"paper":{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":null,"key_pdf":null,"question_count":12,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"ż, że dla dowolnej wartości parametru m równanie: -x^2 + (2m^2 + 3)x - m^4 - 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"wykres funkcji: f(x) = cases -2^ x+1 + 2, & dla x 0 -|x - 4| + 4, & dla x > 0 cases . śl liczbę rozwiązań równania |f(x)| = m w zależności od parametru m . [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"wielomianie W(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c wiadomo, że liczba 1 jest jego pierwiastkiem dwukrotnym oraz że W(x) jest podzielny przez dwumian x + 2 . Oblicz współczynniki a, b, c . Dla obliczonych wartości a, b, c rozwiąż nierówność W(x + 1) < 0 . [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"a, b, k są całkowite i k jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby a + b oraz a b są podzielne przez k , to liczba a^3 - b^3 też jest podzielna przez k .","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"śl dziedzinę funkcji: f(x) = _2 ( _ 1 3 (x + 1) ) . [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"6","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"ąc, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu (b_n) określony jest wzorem b_n = 5^ a_n , wykaż, że ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz, w zależności od n , iloczyn b_1 b_2 b_3 b_n , przyjmując, że pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest równy 1 , a jego różnica jest równa 3 .","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"ąż równanie: x | x| = 0 , 25 , gdzie x 0, 2 . [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"ąg o środku A i promieniu długości r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku B i promieniu długości R ( R > r ). Prosta k jest styczna jednocześnie do obu okręgów i tworzy z prostą AB kąt ostry . Wyznacz w zależności od r i R . [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"trójkącie ABC punkty K = (2, 2) , L = (-2, 1) i M = (-1, -1) są odpowiednio środkami boków AB , BC , AC . Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta A'B'C' , który jest obrazem trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"trójkącie ABC kąt przy wierzchołku B jest ostry, długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 5 oraz |AC| = 6 , |AB| = 10 . Na boku BC wybrano taki punkt K , że |BK| = 2 . Oblicz długość odcinka AK . [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"zielonym pudełku jest 10 monet pięciozłotowych i 5 monet dwuzłotowych, a w białym pudełku są 2 monety pięciozłotowe i 3 monety dwuzłotowe. Z zielonego pudełka losujemy jedną monetę i wrzucamy ją do białego pudełka. Następnie z białego pudełka losujemy jednocześnie 2 monety. Oblicz prawdopodobieństwo, że z białego pudełka wylosujemy w sumie 7 złotych. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a . Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze . Oblicz objętość tego ostrosłupa. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}