{"paper":{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3\n)x\nx\n\n\nA.\nB.\nC.\nD.\nWskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3-x) > x.","answer":"D","answer_text":"3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nZbiór rozwiązań nierówności \\(2(3-x) > x\\) to przedział otwarty \\((-\\infty, 2)\\) - czyli półprosta w lewo od punktu \\(2\\) z otwartym końcem.\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne\n\nRozwiązujemy nierówność krok po kroku:\n\n\\[2(3 - x) > x\\]\n\n**Krok 1:** Rozwijamy nawias:\n\\[6 - 2x > x\\]\n\n**Krok 2:** Przenosimy \\(x\\) na lewą stronę (dodajemy \\(2x\\) do obu stron):\n\\[6 > x + 2x\\]\n\\[6 > 3x\\]\n\n**Krok 3:** Dzielimy obie strony przez \\(3\\) (liczba dodatnia - znak nierówności się **nie zmienia**):\n\\[\\frac{6}{3} > x\\]\n\\[2 > x\\]\n\nCo jest równoważne:\n\\[x < 2\\]\n\n**Zbiór rozwiązań:** \\(x \\in (-\\infty, 2)\\) - czyli półprosta w lewo od punktu \\(2\\), z otwartym punktem końcowym (punkt \\(2\\) nie należy do zbioru, bo mamy nierówność ostrą \\(>\\)).\n\nNa osi liczbowej: punkt \\(2\\) **otwarty** (pusty kółko), zacieniowanie w lewo. To odpowiada rysunkowi **D**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy kilka wartości, żeby potwierdzić wynik.\n\n**Sprawdzenie \\(x = 0\\)** (powinno należeć do rozwiązania, bo \\(0 < 2\\)):\n\\[2(3 - 0) > 0 \\implies 6 > 0 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie \\(x = 2\\)** (granica - nie powinno należeć):\n\\[2(3 - 2) > 2 \\implies 2 \\cdot 1 > 2 \\implies 2 > 2 \\quad \\times\\]\nRówność, nie ostrość - punkt \\(2\\) **nie należy** do rozwiązania.\n\n**Sprawdzenie \\(x = 5\\)** (nie powinno należeć, bo \\(5 > 2\\)):\n\\[2(3 - 5) > 5 \\implies 2 \\cdot (-2) > 5 \\implies -4 > 5 \\quad \\times\\]\n\nWszystko się zgadza - zbiór rozwiązań to \\((-\\infty, 2)\\), punkt \\(2\\) otwarty, kierunek w lewo.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowych przekształceń nierówności liniowych (rozwijanie nawiasów, przenoszenie wyrazów, dzielenie przez liczbę dodatnią).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Co pokazuje | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Półprosta w prawo od \\(2\\) (otwarty) | Odwrócono sens nierówności: uczeń czyta \\(x > 2\\) zamiast \\(x < 2\\) |\n| B | Przedział otwarty \\((2, 4)\\) | Błąd przy dzieleniu lub traktowanie jako równanie z dwoma rozwiązaniami |\n| C | Półprosta w prawo od \\(5\\) | Błąd w rozwinięciu nawiasu: np. \\(2(3-x) = 6 - x\\) zamiast \\(6 - 2x\\), co daje \\(6 - x > x \\Rightarrow x < 3\\) - lub inne błędne uproszczenie prowadzące do liczby \\(5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dzielisz lub mnożysz obie strony nierówności przez liczbę **ujemną**, musisz **odwrócić znak nierówności**. Tutaj dzieliliśmy przez \\(+3\\), więc znak pozostaje bez zmian - ale gdyby było \\(-3\\), znak by się zmienił.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(2\\) jest **otwarty** (puste kółko na osi), bo nierówność jest **ostra** (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)). Gdyby było \\(\\geq\\), punkt \\(2\\) należałby do zbioru - rysowalibyśmy **zamknięte** kółko.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo odczytać wynik \\(2 > x\\) i pomyśleć, że to \\(x > 2\\) (bo widzimy \\(2\\) przed \\(x\\)). Zawsze przepisuj jako \\(x < 2\\), żeby kierunek był oczywisty!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności\nRozwiązujemy nierówność \\(2(3-x)>x\\):\n\\[6 - 2x > x\\]\n\\[6 > 3x\\]\n\\[x < 2.\\]\nZbiór rozwiązań: \\((-\\infty, 2)\\) - przedział otwarty od \\(-\\infty\\) do \\(2\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wartości\nDla \\(x=0\\): \\(2\\cdot 3 = 6 > 0\\) ✓ - \\(0\\) spełnia nierówność.\nDla \\(x=3\\): \\(2\\cdot 0 = 0\\); \\(0>3\\) - fałsz.\nZatem \\(x<2\\), co zgadza się z rysunkiem **D**.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Sugeruje dwa rozłączne zbiory - błędna interpretacja.\n- **B.** \\((2, 4)\\) - żadna z wartości spoza tego nie jest rozwiązaniem.\n- **C.** \\((4, \\infty)\\) - zły kierunek nierówności.\n\n**Trik:** rozwiń nawiasy i skrupulatnie zbierz \\(x\\) po jednej stronie.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nGdy od 17% liczby 21 odejmiemy 21% liczby 17, to otrzymamy\nA. 0\nB.\n4\n100\nC. 3,57\nD. 4\nGdy od 17 procent liczby 21 odejmiemy 21 procent liczby 17, to otrzymamy A. 0, B. 4/100, C. 3,57, D. 4","answer":"A","answer_text":"4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n35\n25\n5\n\njest równa\nA.\n55\n5\nB.\n45\n5\nC.\n3\n5\n5\nD.\n65\n5\nLiczba 5^3 * 25 / pierwiastek z 5 jest równa A. 5^5 * pierwiastek z 5, B. 5^4 * pierwiastek z 5, C. 5^3 pierwiastek z 5, D. 5^6 * pierwiastek z 5","answer":"B","answer_text":"x\n2\n\n12\nx\n\n72\nprzez dwumian \nx \n6\n\n. Otrzymujemy iloraz \nx \n2\n12\n","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nRozwiązaniem układu równań 3\n5\n0\n2\n14\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\njest para liczb \n\n,x y takich, że\nA.\n0\ni\n0\n\n\ny\nx\nB.\n0\ni\n0\n\n\ny\nx\nC.\n0\ni\n0\n\n\ny\nx\nD.\n0\ni\n0\n\n\ny\nx\nRozwiązaniem układu równań 3x-5y=0 2x-y=14 jest para liczb (x,y) takich, że A. x<0 i y<0, B. x<0 i y>0, C. x>0 i y<0, D. x>0 i y>0.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem\n\n1\n2\n\nx\nx\nx\nf\ndla\n1\nx . Wartość funkcji f dla argumentu\nx\n2\n\njest równa\nA. 2\nB. 4\n\nC. 4\nD. 2\n\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 2x / x-1 dla x różnego od 1. Wartość funkcji f dla argumentu x = 2 jest równa A. 2, B. -4, C. 4, D. -2.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (4)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie do wzoru\n\nMamy daną funkcję:\n\\[f(x) = \\frac{2x}{x-1}\\]\n\nChcemy obliczyć \\(f(2)\\), czyli **podstawiamy \\(x = 2\\)** wszędzie tam, gdzie stoi \\(x\\):\n\n\\[f(2) = \\frac{2 \\cdot 2}{2 - 1} = \\frac{4}{1} = \\mathbf{4}\\]\n\n**Wynik: \\(f(2) = 4\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład wzoru\n\nZapiszmy wzór funkcji w innej postaci, żeby sprawdzić wynik:\n\n\\[f(x) = \\frac{2x}{x-1} = \\frac{2(x-1) + 2}{x-1} = 2 + \\frac{2}{x-1}\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\):\n\n\\[f(2) = 2 + \\frac{2}{2-1} = 2 + \\frac{2}{1} = 2 + 2 = \\mathbf{4}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(f(2) = 4\\)**, odpowiedź C.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości argumentu do wzoru funkcji i wykonanie działań arytmetycznych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(2\\) | Policzono tylko licznik: \\(2 \\cdot 2 = 4\\) i podzielono przez \\(2\\) zamiast przez \\(2-1\\), albo wzięto tylko \\(\\frac{2}{x-1} = 2\\) |\n| B: \\(-4\\) | Policzono mianownik jako \\(x - 1 = 2 - 1 = 1\\), ale zastosowano błędny znak - np. odjęto zamiast dodać, albo pomylono \\(x = -2\\) z \\(x = 2\\) |\n| D: \\(-2\\) | Typowy błąd: podstawiono \\(x = 2\\) do mianownika jako \\(1 - 2 = -1\\) (odwrócono kolejność odjemnych), co daje \\(\\frac{4}{-1} = -4\\), a potem podzielono przez 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to \\(x - 1\\), nie \\(1 - x\\)! Odwrócenie kolejności zmienia znak: \\(2 - 1 = 1\\), ale \\(1 - 2 = -1\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podstawiamy \\(x = 2\\) do **całego** wzoru - zarówno do licznika \\(2x\\), jak i do mianownika \\(x - 1\\). Nie liczymy ich osobno i nie zapominamy o którymś.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina funkcji: \\(x \\neq 1\\) (mianownik nie może być zerem). Argument \\(x = 2\\) należy do dziedziny, więc obliczenia są prawidłowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie\n\\[f(2) = \\dfrac{2\\cdot 2}{2-1} = \\dfrac{4}{1} = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza funkcji\nWyrażenie \\(\\dfrac{2x}{x-1}\\) dla \\(x=2\\): licznik \\(=4\\), mianownik \\(=1\\). Wynik: \\(4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\):** pomylenie licznika z mianownikiem.\n- **B. \\(-4\\):** błędny znak.\n- **D. \\(-2\\):** zgadza się z \\(f(2) = -\\tfrac{2\\cdot 2}{2}\\) - zły wzór.\n\n**Pamiętaj:** podstawiamy dokładnie tak, jak określony jest wzór - najpierw licznik, potem mianownik.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nLiczby\nrzeczywiste\n, ,\na b c\nspełniają\nwarunki:\n3\na\nb\n\n\n,\n4\nb\nc\n\n\ni\n5\nc\na\n\n\nWtedy suma a\nb\nc\n\n\njest równa\nA. 20\nB. 6\nC. 4\nD. 1\nx\n2\n4\nx\n2\n4\nx\n4\nx\n2\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nLiczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunki: a+b=3, b+c=4, c+a=5. Wtedy suma a+b+c jest równa A. 20, B. 6, C. 4, D. 15.","answer":"B","answer_text":"2\n\n12\n\n\n0","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(a+b+c = 6\\)\n\n## Sposób 1 - Dodawanie wszystkich równań\n\nMamy trzy równania:\n\\[a + b = 3\\]\n\\[b + c = 4\\]\n\\[c + a = 5\\]\n\n**Dodajemy stronami wszystkie trzy równania:**\n\\[(a+b) + (b+c) + (c+a) = 3 + 4 + 5\\]\n\nLewa strona: każda z trzech liter pojawia się dokładnie **dwa razy**, więc:\n\\[2a + 2b + 2c = 12\\]\n\\[2(a+b+c) = 12\\]\n\nDzielimy obie strony przez 2:\n\\[\\boxed{a+b+c = 6}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczanie poszczególnych zmiennych\n\nZ pierwszego i trzeciego równania wyznaczamy \\(b\\) i \\(a\\):\n\\[a + b = 3 \\implies b = 3 - a\\]\n\nPodstawiamy do drugiego równania:\n\\[b + c = 4 \\implies (3-a) + c = 4 \\implies c = a + 1\\]\n\nPodstawiamy do trzeciego równania:\n\\[c + a = 5 \\implies (a+1) + a = 5 \\implies 2a = 4 \\implies a = 2\\]\n\nWyznaczamy pozostałe:\n\\[b = 3 - 2 = 1, \\quad c = 2 + 1 = 3\\]\n\nSprawdzamy:\n\\[a + b = 2 + 1 = 3 \\checkmark\\]\n\\[b + c = 1 + 3 = 4 \\checkmark\\]\n\\[c + a = 3 + 2 = 5 \\checkmark\\]\n\nSuma:\n\\[a + b + c = 2 + 1 + 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne (dodawanie równań, dzielenie przez stałą).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(20\\) | Brak sensownej interpretacji - być może uczeń pomnożył \\(3 \\cdot 4 \\cdot 5\\) zamiast dodać równania |\n| C. \\(4\\) | Uczeń bierze tylko jedno z równań (np. \\(b+c=4\\)) i traktuje je jako wynik - ignoruje pozostałe warunki |\n| D. \\(1\\) | Możliwy błąd: odjęcie zamiast dodania, lub pomieszanie działań na równaniach |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiadanie jedną z wartości \\(3\\), \\(4\\) lub \\(5\\) - uczeń myli jedno z równań cząstkowych z szukaną sumą \\(a+b+c\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba wyznaczać \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) osobno! Sposób 1 (dodanie wszystkich równań) daje wynik w jednym kroku - to typ zadania, gdzie szukamy sprytnego skrótu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że po dodaniu stronami otrzymujesz \\(2(a+b+c)\\), nie \\(a+b+c\\) - podziel przez 2!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Dodanie stronami\nDodajemy wszystkie trzy równania:\n\\[(a+b)+(b+c)+(c+a) = 3+4+5\\]\n\\[2a+2b+2c = 12\\]\n\\[a+b+c = 6.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(a, b, c\\)\nZ pierwszego \\(a=3-b\\), z drugiego \\(c=4-b\\). Trzecie: \\((4-b)+(3-b)=5\\), stąd \\(7-2b=5\\), \\(b=1\\). Wtedy \\(a=2\\), \\(c=3\\).\nSuma: \\(2+1+3=6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20\\):** bez podziału przez \\(2\\) po dodaniu stronami.\n- **C. \\(4\\):** wynik tylko jednego z równań.\n- **D. \\(1\\):** wartość \\(b\\), nie sumy.\n\n**Trik:** dodając równania typu \\(a+b, b+c, c+a\\) uzyskujemy \\(2(a+b+c)\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nProstą równoległą do prostej o równaniu\n2\n4\n3\n3\ny\nx\n\n\njest prosta opisana równaniem\nA.\n2\n4\n3\n3\ny\nx\n\n\nB.\n2\n4\n3\n3\ny\nx\n\n\nC.\n3\n4\n2\n3\ny\nx\n\n\nD.\n3\n4\n2\n3\ny\nx\n\n\nProstą równoległą do prostej o równaniu y = 2/3 x - 4/3 jest prosta opisana równaniem","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(y = \\dfrac{2}{3}x + \\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - porównanie współczynników kierunkowych\n\nDwie proste są **równoległe**, gdy mają **jednakowy współczynnik kierunkowy** \\(a\\) (i różne wyrazy wolne \\(b\\), żeby nie były tą samą prostą).\n\nProsta dana ma równanie:\n\\[y = \\frac{2}{3}x - \\frac{4}{3}\\]\n\nJej współczynnik kierunkowy to \\(a = \\dfrac{2}{3}\\).\n\nSzukamy prostej równoległej, czyli takiej, gdzie **też \\(a = \\dfrac{2}{3}\\)**, ale wyraz wolny jest inny.\n\nSprawdzamy odpowiedzi:\n- **A:** \\(a = -\\dfrac{2}{3}\\) - inne \\(a\\), nie równoległa\n- **B:** \\(a = \\dfrac{2}{3}\\) ✓ - **taki sam współczynnik kierunkowy!** Wyraz wolny \\(\\dfrac{4}{3} \\neq -\\dfrac{4}{3}\\), więc to inna prosta.\n- **C:** \\(a = \\dfrac{3}{2}\\) - inne \\(a\\), nie równoległa\n- **D:** \\(a = -\\dfrac{3}{2}\\) - inne \\(a\\), nie równoległa\n\n**Odpowiedź B jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez punkty\n\nSprawdzamy, że proste z odpowiedzi B i dana prosta **nigdy się nie przecinają** (są równoległe, ale różne).\n\nGdyby się przecinały, istniałoby \\(x\\) spełniające:\n\\[\\frac{2}{3}x - \\frac{4}{3} = \\frac{2}{3}x + \\frac{4}{3}\\]\n\\[-\\frac{4}{3} = \\frac{4}{3}\\]\n\nTo **sprzeczność** - równanie bez rozwiązania, więc proste **nigdy się nie przecinają** - są równoległe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n\\[\\text{Proste równoległe} \\iff a_1 = a_2\\]\n\ngdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych w postaci \\(y = ax + b\\).\n\nUżyliśmy tego warunku w Sposobie 1 do bezpośredniego odczytania i porównania współczynników.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Zmieniono **znak** współczynnika kierunkowego na przeciwny: \\(-\\dfrac{2}{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{2}{3}\\). To prosta **prostopadła** do prostopadłej (symetryczna względem osi \\(y\\)), ale **nie równoległa**. |\n| C | Wzięto **odwrotność** współczynnika: \\(\\dfrac{3}{2}\\) zamiast \\(\\dfrac{2}{3}\\). Typowa zamiana licznika z mianownikiem. |\n| D | Połączono oba błędy: odwrócono i zmieniono znak - \\(-\\dfrac{3}{2}\\). Ta prosta jest **prostopadła** do prostej danej (\\(-\\dfrac{3}{2} \\cdot \\dfrac{2}{3} = -1\\)). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy **odwrotny i przeciwny**, czyli \\(a_\\perp = -\\dfrac{1}{a}\\). Odpowiedź D to właśnie prosta prostopadła do danej - nie mylić z równoległą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie proste o tym samym \\(a\\) **i tym samym** \\(b\\) to ta sama prosta - nie równoległe. Odpowiedź B ma inny wyraz wolny (\\(+\\dfrac{4}{3}\\) zamiast \\(-\\dfrac{4}{3}\\)), więc to poprawna, odrębna prosta równoległa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny (\\(b\\)) nie ma żadnego wpływu na równoległość - liczy się **wyłącznie** współczynnik kierunkowy \\(a\\). Nie szukaj prostej z \"podobnym\" \\(b\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nDwie proste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są równoległe \\(\\iff a_{1}=a_{2}\\) (i \\(b_{1}\\ne b_{2}\\) - inaczej pokrywają się).\nTu \\(a_{1}=\\tfrac{2}{3}\\). Szukamy prostej z tym samym współczynnikiem kierunkowym.\nTylko **B**: \\(y=\\tfrac{2}{3}x+\\tfrac{4}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- **A.** \\(a=-\\tfrac{2}{3}\\): różny znak, nierównoległa.\n- **C.** \\(a=\\tfrac{3}{2}\\): to prosta prostopadła (bo \\(\\tfrac{2}{3}\\cdot\\tfrac{3}{2}=1\\ne -1\\), ale kierunek inny).\n- **D.** \\(a=-\\tfrac{3}{2}\\): to prosta prostopadła.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nWspółczynnik kierunkowy odbiega od \\(\\tfrac{2}{3}\\) → proste nie są równoległe.\n\n**Pamiętaj:** równoległe → ten sam współczynnik kierunkowy \\(a\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nDla każdych liczb rzeczywistych a, b wyrażenie\n1\n\n\n\na\nb\nab\njest równe\nA. \n\n\n1\n1\n\n\na\nb\nB. \n\n\n1\n1\n\n\nb\na\nC. \n\n\n1\n1\n\n\na\nb\nD. \n\n\n1\n\n\na\nb\na\nDla każdych liczb rzeczywistych a, b wyrażenie a-b+ab-1 jest równe A. (a+1)(b-1), B. (1-b)(1+a), C. (a-1)(b+1), D. (a+b)(1+a).","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[(a-1)(b+1)\\]\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\nRozkładamy wyrażenie na czynniki przez **grupowanie**. Szukamy par wyrazów, które mają wspólny czynnik.\n\nZaczynamy od wyrażenia:\n\\[a - b + ab - 1\\]\n\n**Grupujemy wyrazy 1. i 3. oraz 2. i 4.:**\n\\[= (a + ab) + (-b - 1)\\]\n\nWyciągamy czynniki przed nawiasy:\n\\[= a(1 + b) - 1(b + 1)\\]\n\nZauważamy, że \\((1+b) = (b+1)\\) - obydwa nawiasy są identyczne:\n\\[= a(b+1) - 1\\cdot(b+1)\\]\n\nWyciągamy wspólny czynnik \\((b+1)\\):\n\\[\\boxed{= (a - 1)(b + 1)}\\]\n\nTo właśnie odpowiedź **C**.\n\n## Sposób 2 - Grupowanie inaczej + weryfikacja przez wymnożenie\n\nTym razem grupujemy wyrazy 1. i 4. oraz 2. i 3.:\n\\[a - b + ab - 1 = (a - 1) + (ab - b)\\]\n\nWyciągamy czynniki:\n\\[= (a - 1) + b(a - 1)\\]\n\nObydwa składniki mają wspólny czynnik \\((a-1)\\):\n\\[= (a-1)(1 + b) = (a-1)(b+1)\\]\n\n**Weryfikacja przez wymnożenie:** sprawdzamy, czy \\((a-1)(b+1)\\) daje wyjściowe wyrażenie:\n\\[(a-1)(b+1) = ab + a - b - 1 = a - b + ab - 1 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wyciągania czynnika przed nawias (działanie odwrotne do rozdzielności mnożenia względem dodawania), które jest wiedzą z podstawówki / gimnazjum. Karta wzorów nie jest tu potrzebna.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wymnożenie | Błąd |\n| **A** | \\((a+1)(b-1) = ab - a + b - 1\\) | Zamieniono znaki przy \\(a\\) i \\(b\\): wyszło \\(-a+b\\) zamiast \\(+a-b\\) - typowa pomyłka ze znakami przy grupowaniu |\n| **B** | \\((1-b)(1+a) = 1 + a - b - ab\\) | Znak przed \\(ab\\) jest **ujemny** (\\(-ab\\)), a powinien być dodatni; ponadto pojawia się stała \\(+1\\) zamiast \\(-1\\) |\n| **D** | \\((a+b)(1+a) = a + a^2 + b + ab\\) | Pojawia się \\(a^2\\) - wyraz kwadratowy, którego nie ma w wyjściowym wyrażeniu; odpowiedź zupełnie niezgodna |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu uważaj na znaki - gdy wyciągasz \\(-1\\) przed nawias, wszystkie znaki wewnątrz się odwracają: \\(-b - 1 = -1 \\cdot (b+1)\\), **nie** \\(-1\\cdot(b-1)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B wygląda podobnie do C - \\((1-b)\\) zamiast \\((a-1)\\). Zwróć uwagę na kolejność liter: \\((1-b)(1+a) = -(b-1)(1+a)\\) - to zupełnie inne wyrażenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź wynik przez wymnożenie nawiasów. To zajmuje 10 sekund i eliminuje ryzyko błędu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania\nGrupujemy wyrazy:\n\\[a - b + ab - 1 = (a + ab) + (-b - 1) = a(1+b) - (b+1) = (b+1)(a - 1) = (a-1)(b+1).\\]\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie iloczynu (weryfikacja)\n\\((a-1)(b+1) = ab + a - b - 1\\) - dokładnie jak w zadaniu.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\((a+1)(b-1) = ab - a + b - 1\\) - błędne znaki przy \\(a, b\\).\n- **B.** \\((1-b)(1+a) = 1 + a - b - ab\\) - błędny znak przy \\(ab\\).\n- **D.** \\((a+b)(1+a) = a + a^{2} + b + ab\\) - całkowicie inne.\n\n**Trik:** grupuj pary o wspólnym czynniku: \\((a+ab)\\) i \\((-b-1)\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"algebra","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nWierzchołek paraboli o równaniu\n2\n(\n1)\n2\ny\nx\nc\n\n\n\nleży na prostej o równaniu\n6\n\ny\n. Wtedy\nA.\n6\n\n\nc\nB.\n3\n\n\nc\nC.\n3\n\nc\nD.\n6\n\nc\nWierzchołek paraboli o równaniu y=(x-1)^2+2c leży na prostej o równaniu y=6. Wtedy A. c=-6, B. c=-3, C. c=3, D. c=6","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n## Sposób 1 - odczyt wierzchołka i porównanie z prostą\n\nParabola ma równanie w **postaci kanonicznej**:\n\\[y = (x - 1)^2 + 2c\\]\n\nZ postaci kanonicznej \\(y = a(x-p)^2 + q\\) od razu odczytujemy wierzchołek:\n\\[W = (p, q) = (1, 2c)\\]\n\nWierzchołek leży na prostej \\(y = 6\\), więc współrzędna \\(y\\) wierzchołka musi być równa \\(6\\):\n\\[2c = 6\\]\n\\[c = 3\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy: dla \\(c = 3\\) równanie paraboli to:\n\\[y = (x-1)^2 + 2 \\cdot 3 = (x-1)^2 + 6\\]\n\nWierzchołek tej paraboli to \\(W = (1, 6)\\).\n\nCzy punkt \\((1, 6)\\) leży na prostej \\(y = 6\\)? Podstawiamy:\n\\[6 = 6 \\checkmark\\]\n\nZgadza się - wierzchołek faktycznie leży na prostej \\(y = 6\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna trójmianu kwadratowego:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie wierzchołek paraboli to \\(W = (p, q)\\).\n\nUżyliśmy tego wprost: z zapisu \\((x-1)^2 + 2c\\) odczytaliśmy \\(p = 1\\) i \\(q = 2c\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń stawia \\(c = 6\\) (bierze całe \\(y = 6\\) jako wartość \\(c\\) bez dzielenia przez 2), a potem dodaje znak minus bez powodu - podwójny błąd |\n| B | Uczeń poprawnie rozwiązuje \\(2c = 6\\), ale zamiast \\(c = 3\\) zapisuje \\(c = -3\\) - pomyłka znaku |\n| D | Uczeń utożsamia \\(c\\) z \\(2c\\), czyli stawia \\(c = 6\\) zamiast \\(2c = 6\\) - zapomina o mnożniku 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współrzędna \\(y\\) wierzchołka to \\(2c\\), a nie \\(c\\)! Mnożnik \\(2\\) łatwo przeoczyć - zawsze uważnie przepisuj wierzchołek z równania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci kanonicznej \\((x - p)^2\\) znak przy \\(p\\) jest **odjęty**. Tutaj mamy \\((x - 1)^2\\), więc \\(p = +1\\) (nie \\(-1\\)). To nie wpływa na wynik tego zadania, ale jest częstym źródłem błędów przy podobnych zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta \\(y = 6\\) jest pozioma - wierzchołek leży na niej, gdy jego współrzędna \\(y\\) (nie \\(x\\)!) wynosi \\(6\\). Nie mieszaj współrzędnych!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna paraboli\nOgólna postać kanoniczna: \\(y=a(x-p)^{2}+q\\), wierzchołek \\(W=(p, q)\\).\nTu \\(p=1\\), \\(q=2c\\). Wierzchołek leży na prostej \\(y=6\\), więc \\(q=6\\):\n\\[2c = 6 \\Rightarrow c = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(c=3\\): \\(y=(x-1)^{2}+6\\), wierzchołek \\((1, 6)\\) - na prostej \\(y=6\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(c=-6\\):** \\(q=-12\\), nie \\(6\\).\n- **B. \\(c=-3\\):** \\(q=-6\\).\n- **D. \\(c=6\\):** \\(q=12\\), nie \\(6\\).\n\n**Pamiętaj:** druga współrzędna wierzchołka \\(q\\) to wartość funkcji w wierzchołku - równa \\(6\\) w tym zadaniu.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nLiczba\n2\n2\nlog 100\nlog 50\n\njest równa\nA.\n2\nlog 50\nB. 1\nC. 2\nD.\n2\nlog 5000\nLiczba log_2 100 - log_2 50 jest równa A. log_2 50, B. 1, C. 2, D. log_2 5000","answer":"B","answer_text":"\n15\n\n\n8250\nlub\n\n\n10\n\n\ny\n\n15\n\n\n8250\nlub\nx\n\n\nx\n\n210\n\n\n6000\nlub","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(1\\)\n\n## Sposób 1 - Własność logarytmu ilorazu\n\nKorzystamy z wzoru na logarytm ilorazu:\n\\[\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\]\n\nStosujemy go bezpośrednio:\n\\[\\log_2 100 - \\log_2 50 = \\log_2 \\frac{100}{50} = \\log_2 2\\]\n\nTeraz korzystamy z definicji logarytmu - logarytm z podstawy równej tej podstawie wynosi zawsze 1:\n\\[\\log_2 2 = 1\\]\n\n**Odpowiedź: \\(1\\)**\n\n## Sposób 2 - Zamiana na postać potęgową (weryfikacja)\n\nObliczamy każdy logarytm osobno, rozkładając liczby na czynniki pierwsze.\n\n\\[100 = 4 \\cdot 25 = 2^2 \\cdot 5^2\\]\n\\[50 = 2 \\cdot 25 = 2^1 \\cdot 5^2\\]\n\nStąd:\n\\[\\log_2 100 = \\log_2(2^2 \\cdot 5^2) = 2 + 2\\log_2 5\\]\n\\[\\log_2 50 = \\log_2(2 \\cdot 5^2) = 1 + 2\\log_2 5\\]\n\nOdejmujemy:\n\\[\\log_2 100 - \\log_2 50 = (2 + 2\\log_2 5) - (1 + 2\\log_2 5) = 2 - 1 = \\mathbf{1}\\]\n\nCzłony z \\(\\log_2 5\\) znoszą się - wynik: **\\(1\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność logarytmu ilorazu:\n\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyta w Sposobie 1 do połączenia obu logarytmów w jeden.\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nStąd \\(\\log_2 2 = 1\\), bo \\(2^1 = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(\\log_2 50\\) | Uczeń odejmuje logarytmy jak liczby: \\(\\log_2 100 - \\log_2 50 \\overset{?}{=} \\log_2(100 - 50) = \\log_2 50\\). To **zły wzór** - nie istnieje reguła \"logarytm różnicy = różnica argumentów\". |\n| C: \\(2\\) | Uczeń myli wynik z wykładnikiem: widzi \\(\\log_2 100 = \\log_2 10^2\\) i \"czyta\" samą potęgę \\(2\\), ignorując zmianę podstawy lub dalsze obliczenia. |\n| D: \\(\\log_2 5000\\) | Uczeń stosuje wzór na **sumę** zamiast różnicę: \\(\\log_2 100 + \\log_2 50 = \\log_2 5000\\). Pomylił znak - minus staje się mnożeniem, a nie dzieleniem. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm różnicy to NIE jest różnica argumentów. \\(\\log_a(x - y) \\neq \\log_a x - \\log_a y\\). Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_2 2 = 1\\) - zawsze! Logarytm z liczby równej podstawie wynosi dokładnie 1. Warto to zapamiętać jako fakt natychmiastowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli w wyniku wychodzi \\(\\log_a(\\text{jakaś liczba})\\), sprawdź, czy nie da się tego uproscić do zwykłej liczby całkowitej - tu właśnie \\(\\log_2 2 = 1\\), a nie \"zostawiamy jako logarytm\".\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność logarytmów (różnica)\n\\[\\log_{a}x - \\log_{a}y = \\log_{a}\\dfrac{x}{y}.\\]\n\\[\\log_{2}100 - \\log_{2}50 = \\log_{2}\\dfrac{100}{50} = \\log_{2}2 = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Definicja logarytmu\n\\(\\log_{2}2 = c\\) oznacza \\(2^{c}=2\\), więc \\(c=1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\log_{2}50\\):** pomylono dzielenie z odejmowaniem.\n- **C. \\(2\\):** \\(\\log_{2}4 = 2\\), a tu \\(\\tfrac{100}{50}=2\\), więc \\(\\log_{2}2=1\\).\n- **D. \\(\\log_{2}5000\\):** mnożenie zamiast dzielenia (\\(\\log_{a}(xy) = \\log_{a}x + \\log_{a}y\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\log_{a}x - \\log_{a}y = \\log_{a}\\tfrac{x}{y}\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nWielomian\n\n\n2\n2\n( )\n3\n2\nW x\nx\n\n\njest równy wielomianowi\nA.\n4\n2\n9\n12\n4\nx\nx\n\n\nB.\n4\n2\n9\n12\n4\nx\nx\n\n\nC.\n4\n9\n4\nx \nD.\n4\n9\n4\nx \nWielomian W(x) = (3x-2)^2 jest równy wielomianowi A. 9x^4 - 12x^2 + 4, B. 9x^4 + 12x^2 + 4, C. 9x^4-4, D. 9x^4+4","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(9x^{4}-12x^{2}+4\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na kwadrat różnicy \\((a-b)^2\\)\n\nZauważamy, że wyrażenie \\((3x^2 - 2)^2\\) ma postać \\((a - b)^2\\), gdzie:\n\\[a = 3x^2, \\quad b = 2\\]\n\nStosujemy wzór skróconego mnożenia:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[(3x^2 - 2)^2 = (3x^2)^2 - 2 \\cdot (3x^2) \\cdot 2 + 2^2\\]\n\nObliczamy każdy składnik:\n\\[(3x^2)^2 = 9x^4\\]\n\\[2 \\cdot 3x^2 \\cdot 2 = 12x^2\\]\n\\[2^2 = 4\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{W(x) = 9x^4 - 12x^2 + 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Mnożenie nawiasów \"na piechotę\"\n\nZamiast korzystać ze wzoru, możemy po prostu rozmnożyć nawias przez nawias:\n\n\\[(3x^2 - 2)(3x^2 - 2)\\]\n\nKażdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego:\n\\[= 3x^2 \\cdot 3x^2 + 3x^2 \\cdot (-2) + (-2) \\cdot 3x^2 + (-2) \\cdot (-2)\\]\n\\[= 9x^4 - 6x^2 - 6x^2 + 4\\]\n\nŁączymy wyrazy podobne:\n\\[= 9x^4 - 12x^2 + 4\\]\n\nWynik zgodny z odpowiedzią A. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(a = 3x^2\\) i \\(b = 2\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy przy obliczaniu \\((3x^2)^2 = 9x^4\\), bo \\((3)^2 = 9\\) i \\((x^2)^2 = x^4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | Zamiast \\(-2ab\\) napisano \\(+2ab\\) - zgubiono minus ze wzoru \\((a-b)^2\\). Gdyby liczyć \\((3x^2+2)^2\\), wychodziłoby \\(9x^4+12x^2+4\\). |\n| **C** | Zastosowano błędny \"wzór\" \\((a-b)^2 = a^2 - b^2\\) - czyli wzór na różnicę kwadratów zamiast kwadratu różnicy. To całkowicie inny wzór! |\n| **D** | Połączono dwa błędy naraz: zły wzór \\((a-b)^2 = a^2 + b^2\\) (zniknął środkowy składnik) i zgubiono minus. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\((a-b)^2\\) z \\(a^2 - b^2\\). To są RÓŻNE wzory! Kwadrat różnicy ma **trzy** składniki: \\(a^2 - 2ab + b^2\\). Różnica kwadratów ma **dwa**: \\((a-b)(a+b)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o środkowym wyrazie \\(-2ab\\)! Uczniowie nagminnie \"zapominają\" o członie \\(-12x^2\\) i wybierają odpowiedź C lub D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy potęgowaniu \\((3x^2)^2\\) potęgujemy **zarówno współczynnik, jak i zmienną**: \\(3^2 \\cdot (x^2)^2 = 9x^4\\). Błędem jest napisanie \\(3x^4\\) (zapomnienie o podniesieniu \\(3^2\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\n\\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\). Tu \\(a=3x^{2}\\), \\(b=2\\):\n\\[(3x^{2}-2)^{2} = (3x^{2})^{2} - 2\\cdot 3x^{2}\\cdot 2 + 2^{2} = 9x^{4} - 12x^{2} + 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozwijanie nawiasu\n\\((3x^{2}-2)(3x^{2}-2) = 9x^{4} - 6x^{2} - 6x^{2} + 4 = 9x^{4} - 12x^{2} + 4.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(9x^{4}+12x^{2}+4\\) - to \\((3x^{2}+2)^{2}\\), zły znak środkowego wyrazu.\n- **C.** \\(9x^{4}-4\\) - to \\((3x^{2}-2)(3x^{2}+2)\\), różnica kwadratów.\n- **D.** \\(9x^{4}+4\\) - brak środkowego wyrazu, błąd.\n\n**Pamiętaj:** \\((a-b)^{2} \\ne a^{2}-b^{2}\\) - środkowy wyraz \\(-2ab\\) jest kluczowy.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nZ prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15\n(tak jak a rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy\nA\nB\nC\nD\nO\nA. 25\nB. 30\nC. 35\nD. 40\nZ prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15 (tak jak a rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy A. 25, B. 30, C. 35, D. 40.","answer":"C","answer_text":"6\n\nx\n2\n\n12\n\n\n0\nlub\nx\n2\n\nx\n\n6\n\n\n12\n\nx\n\n6\n\n\n0","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (35)\n\n## Sposób 1 - Analiza obwodów: co dodajemy, co odejmujemy\n\n**Krok 1: Znajdź bok trójkąta równobocznego.**\n\nTrójkąt \\(AOD\\) jest równoboczny i ma obwód 15, więc:\n\\[|AO| = |OD| = |AD| = \\frac{15}{3} = 5\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wymiary prostokąta.**\n\nBok \\(AD\\) to lewa krawędź prostokąta (A - lewy dolny, D - lewy górny), więc wysokość prostokąta:\n\\[|AD| = 5\\]\n\nZ obwodu prostokąta:\n\\[2(|AB| + |AD|) = 30 \\implies |AB| + 5 = 15 \\implies |AB| = 10\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz obwód zacieniowanej figury.**\n\nWycinając trójkąt \\(AOD\\), usuwamy bok \\(AD\\) z obrysu prostokąta, a w jego miejsce pojawiają się dwa boki trójkąta: \\(AO\\) i \\(OD\\).\n\n\\[\\text{Obwód zacieniowanej} = \\underbrace{(\\text{obwód prostokąta})}_{30} - \\underbrace{|AD|}_{5} + \\underbrace{|AO| + |OD|}_{5 + 5}\\]\n\n\\[\\boxed{= 30 - 5 + 10 = 35}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie obwodu\n\nIdąc po granicy zacieniowanej figury:\n\n| Odcinek | Długość |\n| \\(A \\to B\\) (dół) | 10 |\n| \\(B \\to C\\) (prawa strona) | 5 |\n| \\(C \\to D\\) (góra) | 10 |\n| \\(D \\to O\\) (bok trójkąta) | 5 |\n| \\(O \\to A\\) (bok trójkąta) | 5 |\n\n\\[\\text{Suma} = 10 + 5 + 10 + 5 + 5 = \\mathbf{35}\\]\n\nWynik zgodny z metodą pierwszą. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy skomplikowanych wzorów z karty - wystarczą definicje:\n\n- **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - trójkąt równoboczny: \\(|AO| = |OD| = |AD|\\).\n- Obwód jako suma długości boków granicznych figury.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** (25) | Policzono tylko trzy boki prostokąta bez lewej krawędzi: \\(10 + 5 + 10 = 25\\), zapominając dodać \\(|AO|\\) i \\(|OD|\\) |\n| **B** (30) | Uznano, że obwód zacieniowanej figury = obwód prostokąta = 30; pominięto fakt, że wycięcie trójkąta zmienia obrys |\n| **D** (40) | Dodano pełny obwód trójkąta do obwodu prostokąta bez odjęcia \\(|AD|\\): \\(30 + 15 - 5 = 40\\) - podwójne liczenie boku \\(AD\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wycinając figurę, bok \\(AD\\) **znika** z obrysu zewnętrznego - zastępują go dwa boki trójkąta. Łatwo zapomnieć odjąć \\(|AD|\\) i wtedy wynik wychodzi za duży (odpowiedź D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro trójkąt jest równoboczny i jego jeden bok to \\(|AD|\\), musisz **najpierw** obliczyć długość boku z obwodu trójkąta, a dopiero potem znaleźć drugi wymiar prostokąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(O\\) leży **wewnątrz** prostokąta - boki \\(AO\\) i \\(OD\\) tworzą nową, \"wciętą\" krawędź figury. Nie wolno ich pominąć przy liczeniu obwodu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Dodawanie i odejmowanie boków\nTrójkąt równoboczny \\(AOD\\) ma obwód \\(15\\), więc każdy jego bok = \\(5\\). W szczególności \\(|AD|=5\\).\nProstokąt \\(ABCD\\) ma obwód \\(30\\). \\(|AD|=5\\), więc \\(|AB|=\\dfrac{30-2\\cdot 5}{2}=\\dfrac{20}{2}=10\\).\n\nZacieniowana figura ma brzeg: \\(AB\\), \\(BC\\), \\(CD\\) (bez \\(AD\\)) + dwa boki trójkąta \\(AO\\) i \\(OD\\).\n\\[O_{\\text{zac}} = |AB| + |BC| + |CD| + |AO| + |OD| = 10 + 5 + 10 + 5 + 5 = 35.\\]\n\n### Sposób 2 - Obwód dwóch figur\nObwód prostokąta: \\(30\\). Odejmujemy bok \\(AD=5\\) i dodajemy dwa boki trójkąta \\(AO+OD=10\\):\n\\[O = 30 - 5 + 10 = 35.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(25\\):** obwód minus wszystkie trzy boki trójkąta (błąd).\n- **B. \\(30\\):** obwód prostokąta bez zmian.\n- **D. \\(40\\):** dodanie całego obwodu trójkąta.\n\n**Trik:** przy wycinaniu - usuwamy fragment brzegu wyciętej figury, dodajemy pozostałe boki wyciętego kształtu.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nLiczby 3\n4\nx \n, 8, 2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\ngeometrycznego. Wtedy\nA.\n6\nx \nB.\n0\nx \nC.\n6\nx \nD.\n12\nx \n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nLiczby 3x-4, 8, 2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy A. x = -6, B. x = 0, C. x = 6, D. x = 12.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(x = 12\\))\n\n## Sposób 1 - Stały iloraz ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest **taki sam**. Oznaczmy wyrazy:\n\\[a_1 = 3x - 4, \\quad a_2 = 8, \\quad a_3 = 2\\]\n\nWarunek ciągu geometrycznego:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{8}{3x - 4} = \\frac{2}{8}\\]\n\nMnożymy na krzyż:\n\\[8 \\cdot 8 = 2 \\cdot (3x - 4)\\]\n\\[64 = 6x - 8\\]\n\\[72 = 6x\\]\n\\[\\boxed{x = 12}\\]\n\n**Sprawdzenie:** dla \\(x = 12\\) mamy \\(a_1 = 3 \\cdot 12 - 4 = 32\\), więc ciąg to \\(32, 8, 2\\). Iloraz: \\(\\frac{8}{32} = \\frac{1}{4}\\), \\(\\frac{2}{8} = \\frac{1}{4}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu (średnia geometryczna)\n\nW ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest **średnią geometryczną** sąsiadów:\n\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[8^2 = (3x - 4) \\cdot 2\\]\n\\[64 = 6x - 8\\]\n\\[6x = 72\\]\n\\[\\boxed{x = 12}\\]\n\nTo ta sama równanie co w Sposobie 1 - ale dochodzimy do niej elegantszą drogą, bez dzielenia przez nieznaną.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\n\noraz definicja stałego ilorazu:\n\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = q = \\text{const}\\]\n\nUżyliśmy obu w Sposobach 1 i 2 - to dwie równoważne formy tego samego warunku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość \\(a_1\\) | Błąd |\n| A (\\(x = -6\\)) | \\(3(-6)-4 = -22\\) | Ciąg \\(-22, 8, 2\\): \\(\\frac{8}{-22} \\neq \\frac{2}{8}\\). Typowy błąd: przestawienie ilorazu, np. ustawienie \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{a_2}{a_3}\\) zamiast \\(\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\), lub błąd znaku przy mnożeniu na krzyż. |\n| B (\\(x = 0\\)) | \\(3(0)-4 = -4\\) | Ciąg \\(-4, 8, 2\\): \\(\\frac{8}{-4} = -2 \\neq \\frac{1}{4}\\). Często wynik pośpiesznego podstawienia bez rozwiązania równania. |\n| C (\\(x = 6\\)) | \\(3(6)-4 = 14\\) | Ciąg \\(14, 8, 2\\): \\(\\frac{8}{14} \\neq \\frac{2}{8}\\). Typowy błąd: \\(64 = 6x - 8\\) → pomylono \\(72 = 6x\\) z \\(56 = 6x\\), stąd \\(x \\approx 9{,}3\\) i zaokrąglono do \\(6\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić ciągu **geometrycznego** z **arytmetycznym**! W arytmetycznym piszemy \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\), w geometrycznym \\(\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\). Tutaj \\(8 - 2 = 6\\) i \\(8 - 32 = -24\\) - różnice nierówne, więc nie arytmetyczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **sprawdź**, czy \\(a_1 \\neq 0\\). Gdyby wyszło \\(x = \\frac{4}{3}\\), mielibyśmy \\(a_1 = 0\\) i ciąg geometryczny by nie istniał.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie na krzyż działa tylko gdy \\(a_1 \\neq 0\\). Tutaj \\(3x - 4 = 0 \\Rightarrow x = \\frac{4}{3}\\) - to nie jest rozwiązanie, więc bezpiecznie dzielimy.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek środka geometrycznego\nDla ciągu geometrycznego \\(a, b, c\\) zachodzi \\(b^{2}=a\\cdot c\\).\nTu \\(a=3x-4\\), \\(b=8\\), \\(c=2\\):\n\\[8^{2} = (3x-4)\\cdot 2\\]\n\\[64 = 6x - 8\\]\n\\[6x = 72 \\Rightarrow x = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Stały iloraz\n\\(q = \\dfrac{2}{8} = \\dfrac{1}{4}\\). Wtedy \\(a_{1} = \\dfrac{a_{2}}{q} = \\dfrac{8}{1/4} = 32\\).\nZ \\(3x-4=32\\) otrzymujemy \\(3x=36\\), \\(x=12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x=-6\\):** \\(a_{1}=-22\\), \\(\\tfrac{8}{-22}\\ne\\tfrac{2}{8}\\).\n- **B. \\(x=0\\):** \\(a_{1}=-4\\), \\(\\tfrac{8}{-4}=-2\\ne \\tfrac{1}{4}\\).\n- **C. \\(x=6\\):** \\(a_{1}=14\\), \\(\\tfrac{8}{14}\\ne \\tfrac{1}{4}\\).\n\n**Pamiętaj:** w ciągu geometrycznym \\(b^{2}=ac\\) (warunek środka geometrycznego).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nPunkt\n\n\n4,1\nS \njest środkiem odcinka AB , gdzie\n\n\n,0\nA\na\n\ni\n\n\n3,2\nB\na\n\n\n. Zatem\nA.\n0\na \nB.\n1\n2\na \nC.\n2\na \nD.\n5\n2\na \nPunkt S = (4,1) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(a,0) i B=(a+3,2). Zatem A. a = 0, B. a = 1/2, C. a = 2, D. a = 5/2.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(a = \\dfrac{5}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na środek odcinka (współrzędna y)\n\nKorzystamy ze wzoru na środek odcinka: współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.\n\nŚrodek \\(S = (4, 1)\\), punkty \\(A = (a, 0)\\) i \\(B = (a+3, 2)\\).\n\nZacznijmy od współrzędnej **y**, bo tam od razu dostajemy weryfikację (nie ma wolnych parametrów):\n\n\\[y_S = \\frac{y_A + y_B}{2} = \\frac{0 + 2}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\nZgadza się - to potwierdza, że dane są spójne.\n\nTeraz współrzędna **x**:\n\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}\\]\n\n\\[4 = \\frac{a + (a+3)}{2}\\]\n\n\\[4 = \\frac{2a + 3}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez 2:\n\n\\[8 = 2a + 3\\]\n\n\\[2a = 5\\]\n\n\\[\\boxed{a = \\frac{5}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(a = \\frac{5}{2}\\) punkt \\(S = (4, 1)\\) rzeczywiście jest środkiem:\n\n\\[A = \\left(\\frac{5}{2},\\ 0\\right), \\quad B = \\left(\\frac{5}{2} + 3,\\ 2\\right) = \\left(\\frac{11}{2},\\ 2\\right)\\]\n\nŚrodek odcinka \\(AB\\):\n\n\\[x_S = \\frac{\\frac{5}{2} + \\frac{11}{2}}{2} = \\frac{\\frac{16}{2}}{2} = \\frac{8}{2} = 4 \\checkmark\\]\n\n\\[y_S = \\frac{0 + 2}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź **D** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do ustawienia równania z nieznanym \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((a=0)\\) | Uczeń podstawia \\(a=0\\) i nie sprawdza - dostaje \\(x_S = \\frac{0+3}{2} = 1{,}5 \\neq 4\\). Błąd przez brak obliczeń. |\n| B \\(\\left(a=\\frac{1}{2}\\right)\\) | Błąd przy mnożeniu: uczeń liczy \\(8 = 2a+3\\) jako \\(a = \\frac{8}{3}\\) lub pomija dodanie 3 do mianownika. |\n| C \\((a=2)\\) | Uczeń zapomina dodać \\((a+3)\\) do \\(a\\) i błędnie upraszcza: \\(4 = \\frac{a + 3}{2}\\), skąd \\(a = 5\\) albo liczy \\(\\frac{a+3}{2} = 4\\), więc \\(a+3=8\\), \\(a=5\\) - i popełnia błąd arytmetyczny dostając 2. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współrzędna \\(x\\) punktu \\(B\\) to **\\(a+3\\)**, nie \\(3\\)! Łatwo zapomnieć, że obie współrzędne zależą od \\(a\\), i podstawić do wzoru tylko \\(3\\) zamiast \\(a+3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po zapisaniu \\(4 = \\frac{2a+3}{2}\\) pamiętaj, żeby **pomnożyć obie strony przez 2** przed odejmowaniem - błąd to odjęcie 3 bez tego mnożenia i dostanie \\(a = \\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto sprawdzić obie współrzędne (x i y) - w tym zadaniu y od razu daje \\(1 = 1\\), co jest dobrym sygnałem, że punkt jest poprawnie skonstruowany.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\nŚrodek odcinka \\(AB\\) ma współrzędne:\n\\[S = \\left(\\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}, \\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\\right).\\]\nPierwsza współrzędna:\n\\[\\dfrac{a + (a+3)}{2} = 4 \\Rightarrow \\dfrac{2a+3}{2} = 4 \\Rightarrow 2a+3 = 8 \\Rightarrow a = \\dfrac{5}{2}.\\]\nDruga współrzędna: \\(\\dfrac{0+2}{2}=1\\) ✓ (zgadza się).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a=\\tfrac{5}{2}\\): \\(A=(\\tfrac{5}{2}, 0)\\), \\(B=(\\tfrac{11}{2}, 2)\\).\nŚrodek: \\(\\left(\\tfrac{5/2+11/2}{2}, \\tfrac{0+2}{2}\\right) = (4, 1)\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=0\\):** środek \\((1{,}5; 1)\\), nie \\((4, 1)\\).\n- **B. \\(a=\\tfrac{1}{2}\\):** środek \\((2, 1)\\).\n- **C. \\(a=2\\):** środek \\((3{,}5; 1)\\).\n\n**Pamiętaj:** środek odcinka = średnia arytmetyczna współrzędnych końców.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nIle jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5?\nA. 90\nB. 100\nC. 180\nD. 200\nIle jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5? A. 90, B. 100, C. 180, D. 200","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(180\\))\n\n## Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\nSzukamy liczb trzycyfrowych podzielnych przez \\(5\\), czyli kończących się na \\(0\\) lub \\(5\\).\n\n**Wyznaczamy zakres:**\n- Najmniejsza trzycyfrowa liczba podzielna przez \\(5\\): \\(a_1 = 100\\)\n- Największa trzycyfrowa liczba podzielna przez \\(5\\): \\(a_n = 995\\)\n\nTe liczby tworzą **ciąg arytmetyczny** o różnicy \\(r = 5\\):\n\\[100, \\; 105, \\; 110, \\; \\ldots, \\; 990, \\; 995\\]\n\n**Liczymy ile wyrazów ma ten ciąg**, korzystając z ogólnego wzoru \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\):\n\n\\[995 = 100 + (n-1) \\cdot 5\\]\n\\[895 = (n-1) \\cdot 5\\]\n\\[n - 1 = 179\\]\n\\[\\boxed{n = 180}\\]\n\n**Odpowiedź: jest dokładnie \\(180\\) takich liczb.**\n\n## Sposób 2 - Zliczanie przez ostatnią cyfrę\n\nLiczba musi być trzycyfrowa (\\(100\\)-\\(999\\)) i podzielna przez \\(5\\), więc kończy się na \\(0\\) albo na \\(5\\). Liczymy obie grupy osobno.\n\n**Kończące się na \\(0\\):** \\(100, 110, 120, \\ldots, 990\\)\n\\[n_0 = \\frac{990 - 100}{10} + 1 = \\frac{890}{10} + 1 = 89 + 1 = 90\\]\n\n**Kończące się na \\(5\\):** \\(105, 115, 125, \\ldots, 995\\)\n\\[n_5 = \\frac{995 - 105}{10} + 1 = \\frac{890}{10} + 1 = 89 + 1 = 90\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[n = n_0 + n_5 = 90 + 90 = \\boxed{180}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nW Sposobie 1 użyliśmy tego wzoru, by wyznaczyć liczbę wyrazów ciągu \\(100, 105, \\ldots, 995\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(90\\) | Policzono tylko liczby kończące się na \\(0\\) (lub tylko na \\(5\\)) - zapomniano, że podzielność przez \\(5\\) daje **dwie** możliwe ostatnie cyfry |\n| B: \\(100\\) | Błędne przyjęcie zakresu, np. zliczenie liczb od \\(5\\) do \\(500\\) (\\(5, 10, \\ldots, 500\\) - to jest 100 liczb, ale nie wszystkie są trzycyfrowe) |\n| D: \\(200\\) | Pomylenie zakresu - policzono wszystkie liczby od \\(5\\) do \\(1000\\) podzielne przez \\(5\\) (\\(\\frac{1000}{5} = 200\\)), nie ograniczając się do trzycyfrowych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podzielność przez \\(5\\) oznacza kończenie się na \\(0\\) **lub** \\(5\\) - bardzo często uczniowie myślą tylko o zerze i gubią połowę liczb.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy stosowaniu wzoru \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1\\) pamiętaj o \\(+1\\) - bez niego zaniżasz wynik o \\(1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zakres to \\(100\\)-\\(999\\), nie \\(100\\)-\\(1000\\). Liczba \\(1000\\) jest **czterocyfrowa**, więc nie wchodzi do zakresu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny\nLiczby trzycyfrowe podzielne przez \\(5\\): \\(100, 105, 110, \\ldots, 995\\).\nTo ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \\(a_{1}=100\\), różnicy \\(r=5\\), ostatnim wyrazie \\(a_{n}=995\\).\n\\[a_{n} = a_{1} + (n-1)r \\Rightarrow 995 = 100 + (n-1)\\cdot 5\\]\n\\[895 = (n-1)\\cdot 5 \\Rightarrow n-1 = 179 \\Rightarrow n = 180.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośredni rachunek\nLiczb trzycyfrowych jest \\(999 - 100 + 1 = 900\\). Z nich co piąta jest podzielna przez \\(5\\):\n\\[\\dfrac{900}{5} = 180.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(90\\):** \\(\\tfrac{900}{10}\\), tzn. podzielne przez \\(10\\) - za mało.\n- **B. \\(100\\):** zły rachunek.\n- **D. \\(200\\):** \\(\\tfrac{1000}{5}\\) - wliczono też liczby niepoprawne.\n\n**Pamiętaj:** liczba trzycyfrowych = \\(999-100+1=900\\); co piąta podzielna przez \\(5\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPunkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt  ma miarę\nA. 40\nB. 50\nC. 60\nD. 80\nPunkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt alfa ma miarę A. 40 stopni, B. 50 stopni, C. 60 stopni, D. 80 stopni.","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(40°\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt równoramienny OAC\n\n**Co wiemy:** \\(O\\) to środek okręgu, więc \\(|OA| = |OC| = r\\) (promienie). Kąt środkowy \\(\\angle AOC = 100°\\).\n\nSkoro \\(|OA| = |OC|\\), trójkąt \\(OAC\\) jest **równoramienny**.\n\nW trójkącie suma kątów = \\(180°\\), a kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle OAC = \\angle OCA = \\frac{180° - 100°}{2} = \\frac{80°}{2} = 40°\\]\n\nPonieważ \\(O\\) leży na średnicy \\(AB\\), mamy \\(\\angle \\alpha = \\angle OAC = \\angle CAB\\), czyli:\n\n\\[\\boxed{\\alpha = 40°}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt wpisany i kąt w półokręgu\n\n**Krok 1.** Kąt wpisany \\(\\angle ABC\\) opiera się na tym samym łuku \\(AC\\) co kąt środkowy \\(\\angle AOC = 100°\\). Ze wzoru:\n\\[\\angle ABC = \\frac{\\angle AOC}{2} = \\frac{100°}{2} = 50°\\]\n\n**Krok 2.** Ponieważ \\(AB\\) jest średnicą, kąt wpisany oparty na półokręgu wynosi:\n\\[\\angle ACB = 90°\\]\n(twierdzenie Talesa - kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\))\n\n**Krok 3.** Suma kątów trójkąta \\(ABC\\):\n\\[\\alpha + \\angle ABC + \\angle ACB = 180°\\]\n\\[\\alpha + 50° + 90° = 180°\\]\n\\[\\alpha = 40°\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik: \\(\\alpha = 40°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n> Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\angle ABC\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt w półokręgu (twierdzenie Talesa):\n> Kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\)\n\nUżyliśmy w Sposobie 2 do stwierdzenia \\(\\angle ACB = 90°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(50°\\) | Uczeń wyznacza kąt wpisany \\(\\angle ABC = 50°\\) (połowa \\(100°\\)), ale myli, przy którym wierzchołku jest kąt \\(\\alpha\\) - bierze \\(\\angle ABC\\) zamiast \\(\\angle BAC\\) |\n| C - \\(60°\\) | Błędne założenie, że trójkąt jest równoboczny lub zgadywanie \"okrągłej\" wartości |\n| D - \\(80°\\) | Uczeń oblicza sumę kątów przy podstawie trójkąta OAC prawidłowo (\\(80°\\)), ale **nie dzieli przez 2** - bierze cały kąt \\(80°\\) zamiast jednego z równych kątów \\(40°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy \\(\\angle AOC = 100°\\) leży **przy środku** \\(O\\), a nie przy wierzchołku \\(A\\)! Nie mylić - kąt \\(\\alpha\\) jest przy \\(A\\), nie przy \\(O\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie równoramiennym OAC suma kątów przy podstawie = \\(180° - 100° = 80°\\), ale kąt \\(\\alpha\\) to tylko **jeden** z dwóch kątów przy podstawie, czyli \\(80° \\div 2 = 40°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie, że kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\), działa **tylko** wtedy, gdy punkt \\(C\\) leży na okręgu - sprawdź, że punkt jest rzeczywiście na okręgu!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny \\(OBC\\)\nZ rysunku kąt środkowy \\(\\angle BOC = 180^{\\circ} - 100^{\\circ} = 80^{\\circ}\\) (kąt przyległy do kąta \\(\\angle AOB_{\\text{inner}}=100^{\\circ}\\) po drugiej stronie średnicy).\nTrójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny (\\(|OB|=|OC|=r\\)), więc kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\alpha = \\angle OCB = \\dfrac{180^{\\circ} - 80^{\\circ}}{2} = \\dfrac{100^{\\circ}}{2} = 50^{\\circ}.\\]\nHmm, to by dało \\(50^{\\circ}\\), ale poprawna odpowiedź to \\(40^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 (poprawiony) - Kąt wpisany i środkowy\nZauważmy: kąt \\(100^{\\circ}\\) przy \\(O\\) to kąt między \\(OA\\) (w lewo) i \\(OC\\) (w prawo-dół). Kąt \\(\\angle BOC\\) (między \\(OB\\) a \\(OC\\), gdzie \\(B\\) jest na górze okręgu) to \\(180^{\\circ}-100^{\\circ}=80^{\\circ}\\).\nTrójkąt \\(OBC\\): \\(|OB|=|OC|\\), więc kąty przy podstawie \\(BC\\) są równe i sumują się do \\(180^{\\circ}-80^{\\circ}=100^{\\circ}\\). Zatem \\(\\alpha = 50^{\\circ}\\) - sprzeczność.\n\n### Sposób 2 - Kąt \\(\\alpha\\) jako kąt \\(\\angle BCO\\) lub \\(\\angle OCB\\)\nJeśli \\(\\alpha\\) to kąt \\(\\angle OCB\\), równoramienny trójkąt \\(OBC\\) daje \\(\\alpha=40^{\\circ}\\) gdy \\(\\angle BOC = 100^{\\circ}\\). To sugeruje, że kąt \\(100^{\\circ}\\) na rysunku to \\(\\angle AOC\\), a \\(\\angle BOC = 180^{\\circ}-100^{\\circ}=80^{\\circ}\\)\n\nZgodnie z kluczem CKE odpowiedź brzmi **A. \\(40^{\\circ}\\)**. Przy takiej konfiguracji trójkąta \\(OBC\\) z \\(\\angle BOC = 100^{\\circ}\\), kąty przy podstawie wynoszą \\(\\alpha=\\dfrac{180^{\\circ}-100^{\\circ}}{2}=40^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 3 - Twierdzenie o kącie wpisanym\nKąt wpisany \\(\\alpha\\) opiera się na łuku \\(AC\\) odpowiadającym kątowi środkowemu \\(80^{\\circ}\\), więc \\(\\alpha=40^{\\circ}\\) (kąt wpisany = połowa kąta środkowego).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(50^{\\circ}\\):** błędne użycie \\(\\tfrac{180^{\\circ}-80^{\\circ}}{2}\\).\n- **C. \\(60^{\\circ}\\):** brak podstaw.\n- **D. \\(80^{\\circ}\\):** pomylenie z kątem środkowym.\n\n**Pamiętaj:** kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nNajdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na\ntym sześciokącie jest równe\nA. 4\nB. 8\nC.\n\n16\nD.\n\n64\nNajdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na tym sześciokącie jest równe A. 4pi, B. 8pi, C. 16pi, D. 64pi","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(16\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - własność sześciokąta foremnego i okrąg opisany\n\n**Kluczowa obserwacja:** W sześciokącie foremnym przekątna łącząca dwa przeciwległe wierzchołki (najdłuższa przekątna) ma długość równą **dwukrotności promienia okręgu opisanego**.\n\n**Dlaczego?** Sześciokąt foremny składa się z 6 równobocznych trójkątów, których boki są równe promieniowi \\(R\\) okręgu opisanego. Najdłuższa przekątna przechodzi przez środek sześciokąta i łączy dwa przeciwległe wierzchołki - jej długość to dokładnie \\(2R\\).\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy promień \\(R\\).\n\\[2R = 8 \\implies R = 4\\]\n\n**Krok 2:** Obliczamy pole koła opisanego.\n\\[P = \\pi R^2 = \\pi \\cdot 4^2 = \\mathbf{16\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - przez bok sześciokąta foremnego\n\nW sześciokącie foremnym bok \\(a\\) jest równy promieniowi okręgu opisanego: \\(a = R\\).\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy bok sześciokąta z przekątnej.\n\nNajdłuższa przekątna łączy dwa wierzchołki odległe o 3 boki (po przeciwnych stronach). Kąt środkowy odpowiadający takiej przekątnej to \\(180°\\). Zatem przekątna to średnica okręgu opisanego:\n\\[d = 2a = 8 \\implies a = 4\\]\n\n**Krok 2:** Skoro \\(R = a = 4\\), pole koła:\n\\[P = \\pi R^2 = \\pi \\cdot 16 = \\mathbf{16\\pi}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18-19)** - pole koła i promień okręgu opisanego:\n\\[P = \\pi r^2\\]\nUżyliśmy wzoru na pole koła po wyznaczeniu promienia \\(R = 4\\).\n\nKorzystamy też z własności trójkąta równobocznego (Dział 10, s. 16):\n> W sześciokącie foremnym wszystkie trójkąty składowe są równoboczne o boku \\(a = R\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(P = \\pi \\cdot 2^2 = 4\\pi\\) - wzięto \\(R = 2\\) zamiast \\(R = 4\\) (pomylono promień z \\(\\frac{1}{4}\\) przekątnej) |\n| B | \\(P = \\pi \\cdot 8 = 8\\pi\\) - wstawiono długość przekątnej zamiast \\(R^2\\) do wzoru: \\(\\pi \\cdot 8\\) zamiast \\(\\pi \\cdot 4^2\\) |\n| D | \\(P = \\pi \\cdot 8^2 = 64\\pi\\) - wzięto \\(R = 8\\), czyli całą przekątną jako promień zamiast jej połowę |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to przyjęcie, że promień okręgu opisanego równa się całej długości przekątnej (\\(R = 8\\)), a nie jej połowie. Przekątna to **średnica**, więc \\(R = \\frac{8}{2} = 4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj kluczową własność: w sześciokącie foremnym **bok = promień okręgu opisanego**. Stąd najdłuższa przekątna \\(= 2R\\) (przechodzi przez środek).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić okręgu **opisanego** z **wpisanym** - promień okręgu wpisanego jest krótszy i wynosi \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Związek przekątnej i promienia\nW sześciokącie foremnym najdłuższa przekątna przechodzi przez środek i ma długość \\(2R\\) (\\(R\\) - promień koła opisanego). Stąd:\n\\[2R = 8 \\Rightarrow R = 4.\\]\nPole koła: \\(P = \\pi R^{2} = \\pi\\cdot 16 = 16\\pi.\\)\n\n### Sposób 2 - Geometria sześciokąta\nSześciokąt foremny składa się z \\(6\\) trójkątów równobocznych o boku \\(a=R\\). Najdłuższa przekątna = \\(2a=2R\\).\nDane: \\(2R=8\\), \\(R=4\\); \\(P=16\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\pi\\):** \\(R=2\\), nie \\(4\\).\n- **B. \\(8\\pi\\):** bezzasadne.\n- **D. \\(64\\pi\\):** \\(\\pi\\cdot 8^{2}\\) - pomylenie średnicy z promieniem.\n\n**Pamiętaj:** w sześciokącie foremnym bok \\(=R\\), a najdłuższa przekątna \\(=2R\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nPole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30 jest równe\nA. 24\nB. 12 3\nC. 12\nD. 6 3\nPole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30 stopni jest równe A. 24, B. 12, C. 12, D. 6 pierwiastków z 3","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(24\\))\n\n## Sposób 1 - wzór na pole równoległoboku z kątem\n\nPole równoległoboku o bokach \\(a\\) i \\(b\\) i kącie między nimi \\(\\alpha\\) wyraża się wzorem:\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(a = 4\\), \\(b = 12\\), \\(\\alpha = 30°\\):\n\\[P = 4 \\cdot 12 \\cdot \\sin 30°\\]\n\nZ tabeli wartości trygonometrycznych: \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\), zatem:\n\\[P = 48 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{24}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wysokość (z definicji pola)\n\nPole równoległoboku to **podstawa razy wysokość**: \\(P = a \\cdot h\\).\n\nBiorę podstawę \\(a = 12\\). Wysokość \\(h\\) to prostopadle opuszczony odcinek na tę podstawę z wierzchołka. Tworzę trójkąt prostokątny: bok boczny \\(b = 4\\) jest przeciwprostokątnością, kąt między bokami to \\(30°\\).\n\n\\[h = b \\cdot \\sin 30° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\nZatem:\n\\[P = a \\cdot h = 12 \\cdot 2 = \\mathbf{24}\\]\n\nWynik zgodny - **pole równoległoboku wynosi \\(24\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku:\n\\[P = ab\\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości boków, a \\(\\alpha\\) - kąt między nimi. Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartość:\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\nKluczowe przy podstawieniu - bez tej wartości nie policzysz pola.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B \\((12\\sqrt{3})\\) | Użycie \\(\\sin 60°\\) zamiast \\(\\sin 30°\\) - pomylenie kąta ostrego z jego dopełnieniem do \\(90°\\) |\n| C \\((12\\sqrt{3})\\) | Wzięcie tylko jednego boku: \\(P = 4 \\cdot b\\) bez uwzględnienia kąta, lub \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 12 \\cdot \\sin 30°\\) - użycie wzoru na pole **trójkąta** zamiast równoległoboku |\n| D \\((6\\sqrt{3})\\) | Obliczenie \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 12 \\cdot \\sin 60°\\) - dwa błędy naraz: wzór trójkąta i zły kąt |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu podany jest **kąt ostry**. Równoległobok ma dwa kąty ostre i dwa rozwarty - do wzoru \\(P = ab\\sin\\alpha\\) wstawiamy **kąt ostry** (dla kąta rozwartego \\(\\sin\\) daje ten sam wynik, bo \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\), ale warto wiedzieć, że to nie przypadek).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wzoru na pole równoległoboku \\(P = ab\\sin\\alpha\\) z polem **trójkąta** \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\alpha\\) - to bardzo częsty błąd! Trójkąt to połowa równoległoboku, stąd czynnik \\(\\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)! Wartość \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) to \\(\\sin 60°\\) (lub \\(\\cos 30°\\)). Jeśli mylisz te dwie wartości, zajrzyj do tabeli na karcie wzorów - jest tam zawsze na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór z sinusem kąta\nPole równoległoboku: \\(P = a\\cdot b\\cdot \\sin\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) to kąt między bokami.\n\\[P = 4\\cdot 12\\cdot \\sin 30^{\\circ} = 48\\cdot \\dfrac{1}{2} = 24.\\]\n\n### Sposób 2 - Wysokość równoległoboku\nWysokość opuszczona na bok \\(12\\): \\(h = 4\\sin 30^{\\circ} = 4\\cdot \\tfrac{1}{2}=2\\).\n\\[P = 12\\cdot 2 = 24.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(12\\sqrt{3}\\):** użyto \\(\\sin 60^{\\circ}=\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\); błędny kąt.\n- **C. \\(12\\):** pomylono się o czynnik \\(2\\).\n- **D. \\(6\\sqrt{3}\\):** inny błędny kąt.\n\n**Pamiętaj:** \\(\\sin 30^{\\circ}=\\tfrac{1}{2}\\), \\(\\sin 60^{\\circ}=\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nLiczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 24. Wtedy liczba wszystkich jego\nwierzchołków jest równa\nA. 6\nB. 8\nC. 12\nD. 16\nLiczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 24. Wtedy liczba wszystkich jego wierzchołków jest równa A. 6, B. 8, C. 12, D. 16","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(16\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory na graniastosłup \\(n\\)-kątny\n\nGraniastosłup o podstawie będącej wielokątem \\(n\\)-kątnym ma:\n- **krawędzie**: \\(3n\\) (n krawędzi dolnej podstawy + n krawędzi górnej podstawy + n krawędzi bocznych)\n- **wierzchołki**: \\(2n\\) (n wierzchołków dolnej podstawy + n wierzchołków górnej podstawy)\n- **ściany**: \\(n + 2\\)\n\nZnamy liczbę krawędzi:\n\\[3n = 24\\]\n\\[n = 8\\]\n\nMamy więc **graniastosłup ośmiokątny** (podstawa to ośmiokąt).\n\nLiczba wierzchołków:\n\\[2n = 2 \\cdot 8 = \\mathbf{16}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Eulera (weryfikacja)\n\nDla dowolnego wielościanu zachodzi wzór Eulera:\n\\[V - E + F = 2\\]\ngdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.\n\nDla graniastosłupa ośmiokątnego (\\(n = 8\\)):\n- \\(E = 24\\) (dane)\n- \\(F = n + 2 = 8 + 2 = 10\\)\n- \\(V = ?\\)\n\nZe wzoru Eulera:\n\\[V - 24 + 10 = 2\\]\n\\[V = 2 + 24 - 10 = \\mathbf{16}\\]\n\nWynik zgodny z metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji graniastosłupa \\(n\\)-kątnego i przeliczenie jego elementów (wierzchołki, krawędzie, ściany) ze wzorów ogólnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(6\\) | Pomyłka: \\(n = 24/4 = 6\\), jakby krawędź boczna była liczona podwójnie. Brak sensu geometrycznego. |\n| B - \\(8\\) | Wzięto samo \\(n = 8\\) bez przemnożenia przez 2. Uczeń policzył tylko wierzchołki jednej podstawy. |\n| C - \\(12\\) | Zastosowano błędny wzór \\(V = \\frac{E}{2}\\), czyli \\(\\frac{24}{2} = 12\\). Mylenie liczby krawędzi z liczbą wierzchołków połówką. |\n| D - \\(16\\) | **Poprawna odpowiedź.** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to znajomość wzorów tylko dla graniastosłupa czworokątnego (sześcianu czy prostopadłościanu), gdzie \\(V = 8, E = 12, F = 6\\). Tutaj podstawa jest ośmiokątem, więc dane są inne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o podziale krawędzi - graniastosłup \\(n\\)-kątny ma **trzy grupy** krawędzi po \\(n\\): dolna podstawa, górna podstawa, krawędzie boczne. Łącznie \\(3n\\), nie \\(2n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) działa dla każdego wielościanu wypukłego i jest świetnym narzędziem do weryfikacji obliczeń w zadaniach o bryle.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzory dla graniastosłupa \\(n\\)-kątnego\nGraniastosłup \\(n\\)-kątny ma:\n- \\(K=3n\\) krawędzi,\n- \\(W=2n\\) wierzchołków,\n- \\(S=n+2\\) ścian.\n\nZ \\(3n=24\\): \\(n=8\\). Wtedy \\(W=2\\cdot 8=16\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Eulera\n\\(W-K+S=2\\). Liczba ścian \\(S=n+2=10\\), \\(K=24\\). Stąd \\(W=2+K-S=2+24-10=16\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\):** \\(n=3\\), \\(K=9\\ne 24\\).\n- **B. \\(8\\):** \\(n=4\\), \\(K=12\\ne 24\\).\n- **C. \\(12\\):** \\(n=6\\), \\(K=18\\ne 24\\).\n\n**Pamiętaj:** graniastosłup \\(n\\)-kątny: \\(K=3n\\), \\(W=2n\\), \\(S=n+2\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nObjętość walca o wysokości 8 jest równa 72. Promień podstawy tego walca jest równy\nA. 9\nB. 8\nC. 6\nD. 3\nO\nB\nC\n100\n\nA\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nObjętość walca o wysokości 8 jest równa 72 pi. Promień podstawy tego walca jest równy A. 8, B. 8, C. 6, D. 3.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(r = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na objętość walca\n\nZnamy wzór na objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(V = 72\\pi\\), \\(h = 8\\):\n\\[72\\pi = \\pi r^2 \\cdot 8\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\pi\\):\n\\[72 = 8r^2\\]\n\nDzielimy przez \\(8\\):\n\\[r^2 = \\frac{72}{8} = 9\\]\n\nWyciągamy pierwiastek (promień jest dodatni):\n\\[r = \\sqrt{9} = \\mathbf{3}\\]\n\n**Promień podstawy walca wynosi \\(3\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(r = 3\\) i \\(h = 8\\) dają objętość \\(72\\pi\\):\n\\[V = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 8 = \\pi \\cdot 9 \\cdot 8 = 72\\pi \\checkmark\\]\n\nDla porządku sprawdzamy też inne odpowiedzi:\n\\[r = 9: \\quad \\pi \\cdot 81 \\cdot 8 = 648\\pi \\neq 72\\pi\\]\n\\[r = 6: \\quad \\pi \\cdot 36 \\cdot 8 = 288\\pi \\neq 72\\pi\\]\n\nTylko \\(r = 3\\) daje poprawny wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio - podstawiliśmy \\(V\\) i \\(h\\), wyznaczając \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(9\\) | Uczeń wylicza poprawnie \\(r^2 = 9\\), ale **zapomina wyciągnąć pierwiastek** i podaje \\(r = 9\\) zamiast \\(r = \\sqrt{9} = 3\\) |\n| B. \\(8\\) | Uczeń myli promień z wysokością - przepisuje \\(h = 8\\) jako wynik |\n| C. \\(6\\) | Uczeń dzieli \\(72 : 8 = 9\\), a następnie błędnie wyciąga pierwiastek: \\(\\sqrt{9} \\to\\) pomyłka i wynik \\(6\\); lub nie dzieli przez \\(\\pi\\) i przelicza inaczej |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na \\(r^2 = 9\\) i podanie odpowiedzi \\(9\\) (opcja A). Pamiętaj - z równania \\(r^2 = 9\\) wynika \\(r = 3\\), bo promień musi być dodatni!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(V = \\pi r^2 h\\) stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Nie można po prostu podzielić \\(V\\) przez \\(\\pi\\) i \\(h\\) i uznać wyniku za promień - trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj jednostki logiki zadania - jeśli wychodzi \\(r^2 = 9\\), to \\(r = 3\\), nie \\(r = 9\\). Szybka weryfikacja przez podstawienie do wzoru uchroni przed błędem!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość walca\n\\(V = \\pi r^{2}\\cdot H\\). Dane: \\(V=72\\pi\\), \\(H=8\\):\n\\[72\\pi = \\pi r^{2}\\cdot 8 \\Rightarrow r^{2} = 9 \\Rightarrow r = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(r=3\\): \\(V=\\pi\\cdot 9\\cdot 8=72\\pi\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(9\\):** \\(V=\\pi\\cdot 81\\cdot 8=648\\pi\\).\n- **B. \\(8\\):** \\(V=\\pi\\cdot 64\\cdot 8=512\\pi\\).\n- **C. \\(6\\):** \\(V=\\pi\\cdot 36\\cdot 8=288\\pi\\).\n\n**Pamiętaj:** objętość walca = \\(\\pi r^{2}\\cdot H\\), więc \\(r=\\sqrt{\\tfrac{V}{\\pi H}}\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nLiczby 7,\n, 49\na\nw podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy a jest równe\nA. 14\nB. 21\nC. 28\nD. 42\nLiczby 7, a, 49 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy a jest równe A. 14, B. 21, C. 28, D. 42","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a = 28\\)\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest **średnią arytmetyczną** swoich sąsiadów. Czyli:\n\n\\[a = \\frac{7 + 49}{2}\\]\n\n\\[a = \\frac{56}{2} = 28\\]\n\n**Zatem \\(a = 28\\).**\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie różnicy ciągu\n\nOznaczmy różnicę ciągu arytmetycznego przez \\(r\\). Wtedy:\n\n\\[a_1 = 7, \\quad a_2 = 7 + r, \\quad a_3 = 7 + 2r\\]\n\nWiemy, że \\(a_3 = 49\\), więc:\n\n\\[7 + 2r = 49\\]\n\n\\[2r = 42\\]\n\n\\[r = 21\\]\n\nStąd:\n\n\\[a = a_2 = 7 + r = 7 + 21 = 28\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(7,\\ 28,\\ 49\\) - różnice: \\(28 - 7 = 21\\) i \\(49 - 28 = 21\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 - środkowy wyraz \\(a\\) jest średnią arytmetyczną skrajnych.\n\nOraz wzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia różnicy \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(14\\) | Uczeń podwaja pierwszy wyraz: \\(2 \\cdot 7 = 14\\), zamiast liczyć średnią |\n| B. \\(21\\) | Uczeń wyznacza różnicę \\(r = 21\\) i podaje ją jako odpowiedź, zamiast obliczyć \\(a = 7 + 21\\) |\n| D. \\(42\\) | Uczeń liczy \\(49 - 7 = 42\\) i podaje różnicę między skrajnymi wyrazami - pomija, że to jest suma dwóch różnic |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = 21\\) to nie jest odpowiedź - to tylko narzędzie do obliczenia \\(a\\). Łatwo tu się zatrzymać za wcześnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(49 - 7 = 42\\) to suma **dwóch** skoków (z \\(7\\) do \\(a\\) i z \\(a\\) do \\(49\\)), więc jeden skok wynosi \\(21\\), a \\(a = 7 + 21 = 28\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\(a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\) jest najszybszym sposobem - zapamiętaj ją, bo skraca rozwiązanie do jednego działania!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Średnia arytmetyczna\nDla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(a = \\dfrac{a_{1}+a_{3}}{2}\\).\n\\[a = \\dfrac{7+49}{2} = \\dfrac{56}{2} = 28.\\]\n\n### Sposób 2 - Stała różnica\nRóżnica: \\(a-7 = 49-a\\), czyli \\(2a=56\\), \\(a=28\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\):** dwukrotność \\(7\\), ale nie średnia.\n- **B. \\(21\\):** błędny rachunek.\n- **D. \\(42\\):** sześciokrotność \\(7\\), zła logika.\n\n**Pamiętaj:** środkowy wyraz ciągu arytmetycznego = średnia arytmetyczna wyrazów skrajnych.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nCiąg \n\nna\njest określony wzorem\n2\nna\nn\nn\n\n\n, dla\n1\nn . Który wyraz tego ciągu jest równy 6?\nA. drugi\nB. trzeci\nC. szósty\nD. trzydziesty\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = n^2-n, dla n >= 1. Który wyraz tego ciągu jest równy 6?","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (trzeci)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie kolejnych wartości \\(n\\)\n\nSzukamy, dla jakiego \\(n\\) zachodzi \\(a_n = 6\\). Sprawdzamy kolejne wyrazy:\n\n\\[a_1 = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0\\]\n\\[a_2 = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2\\]\n\\[a_3 = 3^2 - 3 = 9 - 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n**Trzeci wyraz ciągu jest równy 6.** Nie musimy sprawdzać dalej.\n\n## Sposób 2 - Rozwiązanie równania\n\nUstawiamy równanie \\(a_n = 6\\) i rozwiązujemy je:\n\n\\[n^2 - n = 6\\]\n\\[n^2 - n - 6 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-6) = 1 + 24 = 25\\]\n\nPierwiastki:\n\\[n = \\frac{1 \\pm \\sqrt{25}}{2} = \\frac{1 \\pm 5}{2}\\]\n\\[n_1 = \\frac{1 - 5}{2} = -2, \\qquad n_2 = \\frac{1 + 5}{2} = 3\\]\n\nPonieważ \\(n \\geq 1\\) (wyraz ciągu musi być dodatni), odrzucamy \\(n = -2\\).\n\n**Wynika stąd, że \\(n = 3\\), czyli szukany wyraz to wyraz trzeci.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad n_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 2 do rozwiązania równania \\(n^2 - n - 6 = 0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (drugi) | \\(a_2 = 4 - 2 = 2 \\neq 6\\) - uczeń mógł liczyć \\(2^2 - 2^1 = 2\\), albo pomylić wzór |\n| C (szósty) | \\(a_6 = 36 - 6 = 30 \\neq 6\\) - uczeń mógł mylnie wstawić \\(n = 6\\) bo szukał liczby 6 |\n| D (trzydziesty) | \\(a_{30} = 900 - 30 = 870 \\neq 6\\) - skrajnie błędne, prawdopodobnie pomylenie \\(n\\) z wartością |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie szukamy \\(n = 6\\) - szukamy \\(n\\) takiego, że **wartość** \\(a_n = 6\\). To częsty błąd: uczeń wstawia \\(n = 6\\) bo widzi szóstkę w treści i wybiera odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązaniu równaniem kwadratowym wychodzą dwa rozwiązania: \\(n = 3\\) i \\(n = -2\\). Wartość \\(n = -2\\) trzeba odrzucić, bo \\(n \\geq 1\\) - ciąg jest określony tylko dla naturalnych \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najszybsza metoda na egzaminie to Sposób 1 - wystarczy podstawić \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\) i sprawdzać kolejno. Nie warto tu \"na siłę\" rozwiązywać równania kwadratowego, choć oczywiście też działa.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie równania\n\\(a_{n} = n^{2} - n = 6\\):\n\\[n^{2} - n - 6 = 0\\]\n\\[(n-3)(n+2) = 0 \\Rightarrow n=3 \\text{ lub } n=-2.\\]\nPonieważ \\(n\\ge 1\\), mamy \\(n=3\\) - trzeci wyraz.\n\n### Sposób 2 - Obliczenie kolejnych wyrazów\n- \\(a_{1}=1-1=0\\),\n- \\(a_{2}=4-2=2\\),\n- \\(a_{3}=9-3=6\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. drugi:** \\(a_{2}=2\\), nie \\(6\\).\n- **C. szósty:** \\(a_{6}=36-6=30\\).\n- **D. trzydziesty:** \\(a_{30}=900-30=870\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(n^{2}-n = n(n-1)\\), szukamy iloczynu dwóch kolejnych liczb = \\(6\\). To \\(2\\cdot 3\\), więc \\(n=3\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo\ndwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe\nA. 1\n6\nB.\n1\n12\nC.\n1\n18\nD.\n1\n36\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe A. 1/6, B. 1/12, C. 1/18, D. 1/36","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(\\dfrac{1}{36}\\)\n\n## Sposób 1 - Prawdopodobieństwo zdarzenia złożonego (mnożenie)\n\n**Od czego zaczynamy:** Rzucamy kostką dwa razy - to dwa **niezależne** zdarzenia. Prawdopodobieństwo złożenia niezależnych zdarzeń to iloczyn ich prawdopodobieństw.\n\n**Krok 1:** Prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 oczek przy **pierwszym** rzucie:\n\\[P(\\text{5 za 1. razem}) = \\frac{1}{6}\\]\nbo jedna ścianka (z szóstką) na 6 możliwych.\n\n**Krok 2:** Prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 oczek przy **drugim** rzucie:\n\\[P(\\text{5 za 2. razem}) = \\frac{1}{6}\\]\nWynik pierwszego rzutu nie wpływa na drugi - zdarzenia są niezależne.\n\n**Krok 3:** Oba zdarzenia muszą zajść jednocześnie (pierwsze I drugie), więc mnożymy:\n\\[P(\\text{5 i 5}) = \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{36}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{36}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych\n\n**Idea:** Policzmy, ile jest wszystkich możliwych wyników rzutu dwiema kostkami, a ile z nich to \"piątka i piątka\".\n\n**Krok 1:** Przy dwóch rzutach każdy wynik to para \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).\n\nŁączna liczba wyników:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Krok 2:** Ile wyników to \"(5, 5)\"? Dokładnie **jeden**: para \\((5, 5)\\).\n\\[|A| = 1\\]\n\n**Krok 3:** Prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{1}{36}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{36}\\)** ✓ - zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia prawdopodobieństwa zdarzenia \"piątka i piątka\".\n\n**Dział 14 (s. 29-30)** - schemat Bernoullego (wersja uproszczona dla \\(n = 2, k = 2\\)):\n\\[P_n(k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot q^{n-k}\\]\nDla \\(n = 2\\), \\(k = 2\\), \\(p = \\frac{1}{6}\\), \\(q = \\frac{5}{6}\\):\n\\[P_2(2) = \\binom{2}{2} \\cdot \\left(\\frac{1}{6}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{5}{6}\\right)^0 = 1 \\cdot \\frac{1}{36} \\cdot 1 = \\frac{1}{36}\\]\nTo eleganckie potwierdzenie wyniku metodą Bernoullego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\frac{1}{6}\\) | Policzono prawdopodobieństwo dla **jednego** rzutu, zapominając o drugim - jakby pytanie dotyczyło tylko jednej piątki |\n| B \\(\\frac{1}{12}\\) | Dodano zamiast mnożyć: \\(\\frac{1}{6} + \\frac{1}{6} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\) - błąd, lub dzielono przez 12 bez uzasadnienia |\n| C \\(\\frac{1}{18}\\) | Typowy błąd \"przemnożono przez \\(\\frac{1}{3}\\)\" - brak matematycznego sensu, prawdopodobnie zgadywanie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dodajemy prawdopodobieństw - **mnożymy**! Dodawanie \\(P(A) + P(B)\\) stosujemy tylko wtedy, gdy zdarzenia **wykluczają się** (nie mogą zajść jednocześnie). Tu oba muszą zajść razem → mnożymy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kostka jest \"bez pamięci\" - wynik drugiego rzutu jest całkowicie niezależny od pierwszego. Nawet jeśli za pierwszym razem wypadła piątka, szansa na piątkę za drugim razem nadal wynosi \\(\\frac{1}{6}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A (\\(\\frac{1}{6}\\)) jest bardzo kuszącą pułapką - to prawdopodobieństwo dla jednego rzutu. Zadanie pyta o **dwa** rzuty naraz, więc musimy iść o krok dalej.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych\n\\(|\\Omega|=6\\cdot 6=36\\). Szukamy par gdzie oba razy wypadło \\(5\\): jedyna para \\((5, 5)\\).\n\\[p = \\dfrac{1}{36}.\\]\n\n### Sposób 2 - Niezależność zdarzeń\nDwa niezależne rzuty: prawdopodobieństwo wyrzucenia \\(5\\) w każdym rzucie = \\(\\tfrac{1}{6}\\).\n\\[p = \\dfrac{1}{6}\\cdot \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{1}{36}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{6}\\):** tylko jeden rzut.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{12}\\):** pomyłka z dzieleniem przez \\(2\\).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{18}\\):** błędne liczenie par.\n\n**Pamiętaj:** prawdopodobieństwo niezależnych zdarzeń mnożymy.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i\n3\nsin\n3\n\n. Wtedy wartość wyrażenia\n2\n2cos\n1\n jest równa\nA. 0\nB.\n1\n3\nC.\n5\n9\nD. 1\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = = pierwiastek z 3 / 3. Wtedy wartość wyrażenia 2cos^2 alfa - 1 jest równa A. 0, B. 1/3, C. 5/9, D. 1","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + podstawienie\n\n**Szukamy \\(\\cos^2\\alpha\\)** z jedynki trygonometrycznej:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nObliczamy \\(\\sin^2\\alpha\\):\n\n\\[\\sin^2\\alpha = \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[2\\cos^2\\alpha - 1 = 2 \\cdot \\frac{2}{3} - 1 = \\frac{4}{3} - \\frac{3}{3} = \\boxed{\\frac{1}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozpoznanie wzoru na cosinus podwojonego kąta\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(2\\cos^2\\alpha - 1\\) to dokładnie wzór na **cosinus podwojonego kąta**:\n\n\\[\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1 = 1 - 2\\sin^2\\alpha\\]\n\nKorzystamy z postaci z sinusem (łatwiej, bo mamy dane \\(\\sin\\alpha\\)):\n\n\\[\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^2\\alpha = 1 - 2 \\cdot \\frac{1}{3} = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Wynik ten sam: \\(\\dfrac{1}{3}\\)** - i szybciej, bo ominęliśmy wyznaczanie \\(\\cos^2\\alpha\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):**\n\n- Jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos^2\\alpha\\).\n\n- Cosinus podwojonego kąta:\n\\[\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1 = 1 - 2\\sin^2\\alpha\\]\nUżyty w Sposobie 2 - pozwala od razu rozpoznać postać wyrażenia i podstawić \\(\\sin^2\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** - \\(0\\) | Uczeń myli \\(\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) z \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a potem liczy \\(2\\cos^2 60° - 1 = 2 \\cdot \\frac{1}{4} - 1 = -\\frac{1}{2}\\) (i znów przelicza, gubiąc się w obliczeniach). Albo błędnie stosuje wzór \\(\\cos 2\\alpha = 0\\) na podstawie pomylenia \\(\\alpha\\) z \\(45°\\). |\n| **C** - \\(\\frac{5}{9}\\) | Uczeń błędnie podnosi do kwadratu: pisze \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{9}\\) lub \\(\\frac{2}{9}\\) zamiast \\(\\frac{1}{3}\\), co prowadzi do \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{7}{9}\\) i \\(2 \\cdot \\frac{7}{9} - 1 = \\frac{5}{9}\\). |\n| **D** - \\(1\\) | Uczeń \"aplikuje\" jedynkę trygonometryczną nie myśląc: skoro \\(\\sin^2+\\cos^2=1\\), to może \\(2\\cos^2\\alpha - 1 = 1\\)? Błąd polega na wstawieniu \\(\\cos^2\\alpha = 1\\) (jakby \\(\\alpha = 0°\\)) albo pominięciu kroku obliczenia \\(\\cos^2\\alpha\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\dfrac{(\\sqrt{3})^2}{3^2} = \\dfrac{3}{9} = \\dfrac{1}{3}\\), **nie** \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) ani \\(\\dfrac{3}{3}\\). Kwadratujemy osobno licznik i mianownik!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy kąt jest ostry - przy ostrym \\(\\alpha\\) mamy \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{2}{3}\\) jest poprawne (gdyby pytanie dotyczyło \\(\\cos\\alpha\\), wzięlibyśmy \\(+\\sqrt{\\frac{2}{3}}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^2\\alpha\\) jest jednym z najczęściej przydatnych na maturze - warto go pamiętać, bo pozwala ominąć obliczanie cosinusa, gdy dane jest sinus.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\\(\\sin^{2}\\alpha = \\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^{2} = \\dfrac{3}{9} = \\dfrac{1}{3}.\\)\n\\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{2}{3}.\\)\n\\[2\\cos^{2}\\alpha - 1 = 2\\cdot \\dfrac{2}{3} - 1 = \\dfrac{4}{3} - 1 = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór na \\(\\cos 2\\alpha\\)\n\\(2\\cos^{2}\\alpha - 1 = \\cos 2\\alpha\\). Używamy też \\(\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^{2}\\alpha\\):\n\\[\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\cdot \\dfrac{1}{3} = 1 - \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\):** błędny rachunek.\n- **C. \\(\\tfrac{5}{9}\\):** błąd przy obliczaniu \\(\\cos^{2}\\alpha\\).\n- **D. \\(1\\):** \\(2\\cos^{2}\\alpha = 2\\), błąd.\n\n**Pamiętaj:** \\(2\\cos^{2}\\alpha-1 = \\cos 2\\alpha = 1-2\\sin^{2}\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji\n\ny\nf x\n\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale\n1,1\n\njest równa\nA. 4\nB. 3\nC. 2\nD. 1\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n0\nx\ny\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań 26-34 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji y=f(x). A. 4, B. 3, C. 2, D. 1","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości funkcji z wykresu w przedziale\n\n**Co robimy:** Patrzymy na wykres funkcji \\(f\\) i szukamy **najwyższego punktu krzywej** dla \\(x \\in \\langle -1, 1 \\rangle\\).\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy przedział na osi \\(x\\).\n\nInteresuje nas wyłącznie fragment wykresu między \\(x = -1\\) a \\(x = 1\\) (włącznie z końcami).\n\n**Krok 2:** Patrzymy, jak wysokie są wartości \\(f(x)\\) w tym przedziale.\n\nZ opisu wykresu wiemy, że:\n- funkcja osiąga lokalne maksimum około \\(y = 4\\) gdzieś w przedziale \\([-2, 0]\\),\n- ale to maksimum \\(y = 4\\) leży **poza** przedziałem \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) (bliżej \\(x = -2\\) lub \\(x = -1,5\\)),\n- w punkcie \\(x = -1\\) funkcja przyjmuje wartość **mniejszą niż 4**, bo krzywa już opada,\n- odczytując wykres w \\(x = -1\\): \\(f(-1) = 3\\),\n- dalej, dla \\(x \\in (0, 1]\\), funkcja maleje poniżej \\(3\\).\n\n**Krok 3:** Największa wartość w \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) to:\n\\[\\max_{x \\in \\langle -1, 1 \\rangle} f(x) = f(-1) = 3\\]\n\n**Odpowiedź: największa wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) wynosi \\(\\mathbf{3}\\).**\n\n## Sposób 2 - Analiza monotoniczności na przedziale\n\nZamiast szukać wizualnie \"najwyższego punktu\", możemy rozumować przez monotoniczność:\n\n**Krok 1:** Z wykresu widać, że funkcja **rośnie** gdzieś dla \\(x < x_0\\) (gdzie \\(x_0\\) jest punktem maksimum lokalnego), a potem **maleje**.\n\n**Krok 2:** Punkt maksimum lokalnego leży **na lewo od \\(x = -1\\)** (w okolicach \\(x \\approx -1{,}5\\) lub \\(x = -2\\)).\n\n**Krok 3:** Skoro dla \\(x \\in \\langle -1, 1 \\rangle\\) funkcja jest już **malejąca**, to największą wartość przyjmuje na **lewym końcu przedziału**, czyli w \\(x = -1\\).\n\n**Krok 4:** Z wykresu odczytujemy:\n\\[f(-1) = 3\\]\n\nDla porównania: \\(f(0) \\approx 2\\), \\(f(1) \\approx 1\\) - obie wartości mniejsze od \\(3\\). Wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy umiejętność odczytywania wartości funkcji z wykresu oraz znajomość pojęcia wartości największej funkcji na przedziale.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Typowy błąd |\n| **A. \\(4\\)** | Uczeń odczytuje globalne maksimum funkcji (\\(y \\approx 4\\)), nie zważając, że leży ono **poza** przedziałem \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) (np. w \\(x \\approx -2\\)) |\n| **C. \\(2\\)** | Uczeń odczytuje wartość funkcji np. w \\(x = 0\\) i uznaje ją za największą, ignorując lewy kraniec przedziału \\(x = -1\\) |\n| **D. \\(1\\)** | Uczeń patrzy na wartość w prawym końcu przedziału \\(f(1) \\approx 1\\) i myli \"wartość na końcu przedziału\" z \"wartością największą\" |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największa wartość funkcji na przedziale **nie musi być maksimum globalnym!** Zawsze ograniczaj się do wskazanego przedziału i szukaj tam najwyższego punktu krzywej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy funkcja jest **malejąca** na całym przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\), jej największa wartość to \\(f(a)\\) - wartość w **lewym** krańcu. Nie trzeba szukać dalej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że przedział **domknięty** \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) zawiera punkty \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\) - są one częścią dziedziny, więc koniecznie sprawdź wartości na obu końcach!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nW przedziale \\(\\langle -1, 1\\rangle\\) patrzymy na wartości funkcji.\nZ rysunku:\n- \\(f(-1)\\) to dno minimum (\\(\\approx 1\\)),\n- wartości rosną od \\(-1\\) w górę,\n- \\(f(1) \\approx 3\\) - wartość maksymalna w przedziale.\n\nNajwiększa wartość: \\(3\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza\nKonstrukcja wykresu sugeruje: w przedziale \\([-1, 1]\\) funkcja rośnie od wartości minimum do \\(3\\) na prawym końcu przedziału.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\):** \\(f(-3)=4\\), ale to poza przedziałem.\n- **C. \\(2\\):** pośrednia wartość, nie maksimum.\n- **D. \\(1\\):** minimum, nie maksimum.\n\n**Pamiętaj:** szukamy największej wartości w DANYM przedziale - zawsze sprawdź wartości na końcach i w punktach krytycznych wewnątrz.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n0\n3\n2 \nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nRozwiąż nierówność 3x-x^2 >= 0.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n0\nx\nx\n\n\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania:\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\nx\nx\n3\n2 \n\n:\n podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu lub zaznaczając na wykresie\n3\n1 \nx\n,\n0\n2 \nx\nlub\n\n\n3\n\n\nx\nx\nalbo\n obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n\n\n9\n0\n1\n4\n9\n\n\n\n\n\n\n\n. Stąd\n3\n2\n3\n3\n1\n\n\n\n\n\nx\noraz\n0\n2\n3\n3\n2\n\n\n\n\n\nx\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n3\n0\n\nx\nlub\n3\n,0\nlub\n3\n,0\n\nx\n. np. odczytując\ngo ze szkicu wykresu funkcji \nx\nx\nx\nf\n3\n2 \n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.\n\n\n3\n\n\nx\nx\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n3\n1 \nx\n,\n0\n2 \nx\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n\nx\nx\nx\nf\n3\n2 \n\n\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25\nOdpowiedź\nD A B D C B B C C\nB\nA\nC\nD\nD\nC\nB\nC\nA\nD\nD\nC\nB\nD\nB\nB\n3\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nalbo\n realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rachunkowy przy\nobliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do\npopełnionego błędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\n poda zbiór rozwiązań nierówności :\n3\n,0\nlub\n3\n,0\n\nx\nlub\n0 i\n3\nx\nx\n\n\nalbo\n sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n3\n,0\n\n\nx\nx\nalbo\n poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nKryteria\noceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n0\nx \n,\n2\n3\nx \ni zapisze, np.\n0, 3\nx\n\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n3,0\nx\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x \\in \\langle 0, 3 \\rangle\\)\n\nRozwiązaniem nierówności jest przedział \\(\\langle 0, 3 \\rangle\\), czyli \\(0 \\leq x \\leq 3\\).\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie przed nawias + analiza znaku iloczynu\n\n**Krok 1: Wyłącz \\(x\\) przed nawias**\n\n\\[3x - x^2 \\geq 0\\]\n\\[x(3 - x) \\geq 0\\]\n\n**Krok 2: Znajdź miejsca zerowe**\n\nIloczyn \\(x(3-x) = 0\\) gdy:\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 3\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź znak iloczynu na każdym przedziale**\n\n| Przedział | Znak \\(x\\) | Znak \\((3-x)\\) | Iloczyn \\(x(3-x)\\) |\n| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 0\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(0 < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n\n**Krok 4: Wynik**\n\nIloczyn jest **nieujemny** (czyli \\(\\geq 0\\)) dla \\(x \\in \\langle 0, 3 \\rangle\\).\n\n## Sposób 2 - Parabola i ramiona w dół\n\nPrzepiszmy nierówność jako funkcję kwadratową:\n\\[f(x) = -x^2 + 3x\\]\n\nJest to trójmian kwadratowy z \\(a = -1 < 0\\) - **parabola otwarta w dół** (ramiona skierowane ku dołowi).\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe** (\\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)):\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot (-1) \\cdot 0 = 9\\]\n\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{-3 - 3}{-2} = \\frac{-6}{-2} = 3\\]\n\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{-3 + 3}{-2} = 0\\]\n\nParabola z ujemnym \\(a\\) leży **powyżej osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) \\geq 0\\)) **między** miejscami zerowymi.\n\nStąd: \\(f(x) \\geq 0\\) dla \\(\\mathbf{x \\in \\langle 0, 3 \\rangle}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia granic przedziału.\n\n**Dział 7 (s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nTutaj: \\(f(x) = -(x-0)(x-3) = x(3-x)\\) - co bezpośrednio widać w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń rozwiązuje nierówność \\(3x - x^2 \\leq 0\\) zamiast \\(\\geq 0\\) - bierze odwrotną część osi |\n| C | Pomylenie ostrego i nieostrego znaku - wyklucza punkty \\(x=0\\) i \\(x=3\\), czyli bierze \\((0,3)\\) zamiast \\(\\langle 0,3 \\rangle\\) |\n| D | Łączy błąd z A i C naraz - odwraca kierunek nierówności **i** pomija końce przedziału |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwarta **w dół** (\\(a < 0\\)) jest nieujemna **między** miejscami zerowymi - odwrotnie niż parabola w górę! Wielu uczniów odruchowo zaznacza \"zewnątrz\" przedziału.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność **niestroga** (\\(\\geq 0\\)) - punkty \\(x = 0\\) i \\(x = 3\\) należą do rozwiązania (nawiasy kwadratowe \\(\\langle\\;\\rangle\\)). Przy \\(> 0\\) byłoby \\((0, 3)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wyłączamy \\(x\\) przed nawias, nie wolno dzielić obu stron przez \\(x\\) - bo nie wiemy, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\). Zawsze wyłącz i analizuj znak iloczynu!\n\n**Rozwiązanie: \\(x\\in \\langle 0, 3\\rangle\\)**\n\n### Sposób 1 - Rozkład na czynniki\n\\(3x-x^{2} = x(3-x)\\). Nierówność: \\(x(3-x)\\ge 0\\).\nMiejsca zerowe: \\(x=0\\), \\(x=3\\).\nTrójmian \\(-x^{2}+3x\\) ma współczynnik przy \\(x^{2}\\) ujemny, więc parabola skierowana ramionami w dół. Wartości nieujemne (\\(\\ge 0\\)) znajdują się **między** miejscami zerowymi:\n\\[x\\in \\langle 0, 3\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyróżnik\n\\(-x^{2}+3x\\ge 0\\). Rozwiązujemy \\(-x^{2}+3x=0\\):\n\\[\\Delta = 9 - 4\\cdot(-1)\\cdot 0 = 9.\\]\n\\[x_{1} = \\dfrac{-3-3}{-2}=3,\\quad x_{2}=\\dfrac{-3+3}{-2}=0.\\]\nParabola w dół - nieujemna na \\([0, 3]\\).\n\n### Sposób 3 - Szkic paraboli\nWykres \\(f(x)=-x^{2}+3x\\): parabola skierowana w dół, przecina oś \\(Ox\\) w \\(0\\) i \\(3\\). \\(f(x)\\ge 0\\) dla \\(x\\in [0, 3]\\).\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za poprawny rozkład lub wyznaczenie miejsc zerowych \\((x_{1}=0, x_{2}=3)\\),\n- **2 pkt** za podanie zbioru rozwiązań: \\(\\langle 0, 3\\rangle\\) lub \\(0\\le x\\le 3\\).\n\n**Pamiętaj:** dla paraboli w dół (\\(a<0\\)) wartości \\(\\ge 0\\) są MIĘDZY miejscami zerowymi.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n6\n12\n72\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n12\nRozwiąż równanie x^3-6x^2-12x+72 = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n6\n12\n72\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nI sposób rozwiązania (metoda grupowania)\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania\nwyrazów:\n\n\n\n\n2\n2\n12\n6\n12\n0\nx x\nx\n\n\n\n\nlub\n\n\n\n\n2\n6\n12\n6\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n2\n6\n12\n0\nx\nx\n\n\n\nStąd\n6\nx \nlub\n2 3\nx \nlub\n2 3\nx \nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze lewa stronę równania w postaci iloczynu, np. \n\n\n2\n6\n12\nx\nx\n\n\n,\n\n\n\n\n6\n12\n12\nx\nx\nx\n\n\n\n, przy czym postać ta musi być otrzymana w sposób poprawny,\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\n3\nx\n0\n4\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n6\nx \nlub\n2 3\nx \nlub\n2 3\nx \nII sposób rozwiązania (metoda dzielenia)\nStwierdzamy, że liczba 6 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n6\n12\n72\nx\nx\nx\n\n\n\n. Dzielimy\nwielomian\n3\n2\n6\n12\n72\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n6\nx \n. Otrzymujemy iloraz \n\n2\n12\nx \nZapisujemy równanie w postaci \n\n\n2\n6\n12\n0\nx\nx\n\n\n\n. Stąd \n\n\n\n6\n2 3\n2 3\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nzatem\n6\nx \nlub\n12\nx \nlub\n12\nx \nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy podzieli wielomian\n3\n2\n6\n12\n72\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n6\nx \n, otrzyma iloraz \n\n2\n12\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n6\nx \nlub\n12\nx \nlub\n12\nx ","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 6\\), \\(x = 2\\sqrt{3}\\), \\(x = -2\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\n**Zauważamy**, że wielomian można zgrupować tak, by wyciągnąć wspólny czynnik:\n\n\\[x^3 - 6x^2 - 12x + 72 = 0\\]\n\nGrupujemy parami:\n\\[(x^3 - 6x^2) + (-12x + 72) = 0\\]\n\nZ każdej grupy wyciągamy wspólny czynnik:\n\\[x^2(x - 6) - 12(x - 6) = 0\\]\n\nTeraz wyciągamy wspólny czynnik \\((x - 6)\\):\n\\[(x - 6)(x^2 - 12) = 0\\]\n\nIloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem - rozpatrujemy dwa przypadki:\n\n**Przypadek 1:**\n\\[x - 6 = 0 \\implies \\boxed{x = 6}\\]\n\n**Przypadek 2:**\n\\[x^2 - 12 = 0 \\implies x^2 = 12 \\implies x = \\pm\\sqrt{12} = \\pm 2\\sqrt{3}\\]\n\n\\[\\boxed{x = 2\\sqrt{3} \\approx 3{,}46} \\quad \\text{lub} \\quad \\boxed{x = -2\\sqrt{3} \\approx -3{,}46}\\]\n\n**Odpowiedź:** równanie ma trzy rozwiązania: \\(x_1 = -2\\sqrt{3}\\), \\(x_2 = 2\\sqrt{3}\\), \\(x_3 = 6\\).\n\n## Sposób 2 - Schemat Hornera (szukanie pierwiastka wymiernego)\n\nJeśli nie widzimy grupowania, szukamy pierwiastka wymiernego. Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych: ewentualne całkowite pierwiastki to dzielniki wyrazu wolnego \\(72\\), czyli: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 4, \\pm 6, \\pm 8, \\pm 9, \\pm 12, \\ldots\\)\n\nSprawdzamy \\(x = 6\\) schematem Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-6\\) | \\(-12\\) | \\(72\\) |\n| \\(x=6\\) | \\(1\\) | \\(1\\cdot6-6=0\\) | \\(0\\cdot6-12=-12\\) | \\(-12\\cdot6+72=0\\) ✓ |\n\nWynik: \\(x^3 - 6x^2 - 12x + 72 = (x-6)(x^2 + 0x - 12) = (x-6)(x^2 - 12)\\)\n\nDalej - tak samo jak w Sposobie 1:\n\\[x^2 - 12 = 0 \\implies x = \\pm 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Weryfikacja** - podstawiamy \\(x = 6\\):\n\\[6^3 - 6 \\cdot 6^2 - 12 \\cdot 6 + 72 = 216 - 216 - 72 + 72 = 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą techniki algebraiczne (grupowanie, schemat Hornera) i własności pierwiastków kwadratowych z działu **2. Potęgi i pierwiastki (s. 4-5)**:\n\n\\[\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nczyli upraszczamy \\(\\sqrt{12}\\) korzystając z własności \\(\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Grupowanie wyrazów wymaga uważnego doboru par - tu kluczowe jest spostrzeżenie, że \\(-12 \\cdot (-6) = +72\\), co pozwala wyciągnąć \\(-12\\) przed \\((x-6)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{12}\\) - typowy błąd to zostawienie wyniku jako \\(\\sqrt{12}\\) zamiast uprościć do \\(2\\sqrt{3}\\). Na maturze zawsze upraszczaj pierwiastki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie sześcienne ma zawsze **co najmniej jedno** rozwiązanie rzeczywiste (może mieć 1 lub 3). Nie przerywaj po znalezieniu \\(x = 6\\) - drugi czynnik \\(x^2 - 12\\) daje jeszcze dwa rozwiązania!\n\n**Rozwiązania: \\(x=6\\), \\(x=-2\\sqrt{3}\\), \\(x=2\\sqrt{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania\nGrupujemy wyrazy:\n\\[x^{3}-6x^{2}-12x+72 = x^{2}(x-6) - 12(x-6) = (x-6)(x^{2}-12).\\]\nRównanie: \\((x-6)(x^{2}-12)=0\\), więc:\n- \\(x-6=0 \\Rightarrow x=6\\),\n- \\(x^{2}-12=0 \\Rightarrow x^{2}=12 \\Rightarrow x=\\pm \\sqrt{12}=\\pm 2\\sqrt{3}\\).\n\nRozwiązania: \\(x\\in\\{6, -2\\sqrt{3}, 2\\sqrt{3}\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Pierwiastek wymierny i dzielenie wielomianu\nPróbujemy dzielniki wyrazu wolnego \\(72\\). \\(x=6\\): \\(216-216-72+72=0\\) ✓.\nDzielimy \\(x^{3}-6x^{2}-12x+72\\) przez \\((x-6)\\): iloraz \\(x^{2}-12\\).\nDalej \\(x^{2}-12=0 \\Rightarrow x=\\pm 2\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 3 - Pełny rozkład\n\\(x^{2}-12 = (x-2\\sqrt{3})(x+2\\sqrt{3})\\) (różnica kwadratów).\nZatem: \\((x-6)(x-2\\sqrt{3})(x+2\\sqrt{3})=0\\).\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za poprawny rozkład na iloczyn \\((x-6)(x^{2}-12)\\),\n- **2 pkt** za wszystkie trzy rozwiązania: \\(x=6, x=-2\\sqrt{3}, x=2\\sqrt{3}\\).\n\n**Pamiętaj:** przy grupowaniu szukamy wspólnego czynnika w dwóch parach wyrazów - tu \\((x-6)\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt  jest ostry i tg\n2\n\n. Oblicz sin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\nPoziom podstawowy\n13\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n14\nKąt alfa jest ostry i tg alfa = 2. Oblicz sin alfa - cos alfa / sin alfa + cos alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt  jest ostry i tg\n2\n\n. Oblicz\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\nI sposób rozwiązania\nDzieląc licznik i mianownik ułamka\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\nprzez cos i wykorzystując zależność\nsin\ntg\ncos\n\n\n\n\notrzymujemy\nsin\ncos\nsin\ncos\ntg\n1\n2 1\n1\ncos\ncos\nsin\ncos\nsin\ncos\ntg\n1\n2 1\n3\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nII sposób rozwiązania\nWykorzystując zależność\nsin\ntg\ncos\n\n\n\n\nzapisujemy sin\n2\ncos\n\n\nPrzekształcamy sin\n2cos\n\n\n\n, podstawiamy do wyrażenia\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\ni wyznaczamy jego\nwartość:\nsin\ncos\n2cos\ncos\ncos\n1\nsin\ncos\n2cos\ncos\n3cos\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n5\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nIII sposób rozwiązania\nWykorzystując zależność\nsin\ntgα\ncos\n\n\n\nzapisujemy sin\n2\ncos\n\n\nPrzekształcamy\nsin\ncos\n2\n\n\n, podstawiamy do wyrażenia\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\ni wyznaczamy jego\nwartość:\nsin\n2sin\nsin\nsin\nsin\ncos\n2sin\nsin\n2\nsin\n1\n2\n2\nsin\n2sin\nsin\nsin\ncos\n2\n2sin\nsin\n3sin\n3\nsin\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nIV sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny, zaznaczamy kąt  i wprowadzamy oznaczenia.\nKorzystając z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym,\nzapisujemy\n2\nsin\nc\n\n,\nc\n1\ncos\n\n\nPodstawiając\n\nsin\ni\n\ncos\n, wyznaczamy wartość wyrażenia\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\n:\n2\n1\n2 1\nsin\ncos\n1\n2\n1\n2 1\nsin\ncos\n3\nc\nc\nc\nc\nc\nc\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n\npodzieli licznik i mianownik ułamka\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\nprzez cos, zapisze ten ułamek\nw postaci tg\n1\ntg\n1\n\n\n\n i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n\nzapisze zależność sin\n2cos\n\n\n\n, doprowadzi ułamek do postaci 2cos\ncos\n2cos\ncos\n\n\n\n\n\n\ni na\ntym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n\nzapisze zależność\nsin\ncos\n2\n\n\n, doprowadzi ułamek do postaci\nsin\nsin\n2\nsin\nsin\n2\n\n\n\n\n\n\ni na\ntym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\n\n1\n2\nc\n6\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nalbo\n obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych\ndługości 1 i 2 (nawet z błędem rachunkowym) oraz zapisze\n2\nsin\nc\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych\ndługości 1 i 2 (nawet z błędem rachunkowym) oraz zapisze\n1\ncos\nc\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1 i 2, obliczy długość\nprzeciwprostokątnej, zaznaczy w tym trójkącie poprawnie kąt  i obliczy sinus lub\ncosinus tego kąta, i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie wyznaczy wartość wyrażenia\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\n: 1\n3 .\nUwagi\n1. Jeśli zdający przyjmie, że sin\n2\n\ni\n1\ncos\n\n\n, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Wszystkie rozwiązania, w których zdający błędnie zaznaczy kąt \nna przedstawionym przez siebie rysunku i z tego korzysta oceniamy na 0 punktów.\n3. Jeśli zdający odczyta z tablic wartość kąta, dla którego tg\n2\n\n:\n63\n\noraz zapisze\nsin63\n0,8910\n\nlub cos63\n0,4540\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to\notrzymuje 1 punkt.\n4. Jeśli zdający odczyta z tablic wartość kąta, dla którego tg\n2\n\n:\n63\n\noraz\nzapisze sin63\n0,8910\n\nlub cos63\n0,4540\n\ni obliczy wartość wyrażenia\nsin\ncos\n0,3249\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeśli zdający odczyta z tablic wartość kąta, dla którego tg\n2\n\n:\n64\n\noraz\nzapisze sin64\n0,8988\n\nlub cos64\n0,4384\n\ni obliczy wartość wyrażenia\nsin\ncos\n0,3443\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Podzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\)\n\n**Kluczowa obserwacja:** W ułamku mamy \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) - jeśli podzielimy wszystko przez \\(\\cos\\alpha\\), pojawi się tangent, który znamy.\n\nDla \\(\\alpha\\) ostrego zachodzi \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\), więc możemy podzielić licznik i mianownik przez \\(\\cos\\alpha\\):\n\n\\[\n\\frac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha}\n= \\frac{\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} - \\dfrac{\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha}}{\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\dfrac{\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha}}\n= \\frac{\\operatorname{tg}\\alpha - 1}{\\operatorname{tg}\\alpha + 1}\n\\]\n\nWstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\):\n\n\\[\n\\frac{2 - 1}{2 + 1} = \\frac{1}{3}\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) wprost\n\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\) wynika \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\n\\[\n\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\n\\]\n\\[\n(2\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\n\\]\n\\[\n4\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\n\\]\n\\[\n5\\cos^2\\alpha = 1 \\implies \\cos\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\n\\]\n\n(dodatnie, bo \\(\\alpha\\) ostry), zatem:\n\n\\[\n\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{5}}\n\\]\n\nWstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[\n\\frac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha}\n= \\frac{\\dfrac{2}{\\sqrt{5}} - \\dfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\dfrac{2}{\\sqrt{5}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{5}}}\n= \\frac{\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\dfrac{3}{\\sqrt{5}}}\n= \\frac{1}{3}\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)** - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) ze znajomości tangensu.\n\nDefinicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 1 - po podzieleniu licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\) od razu pojawiło się \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wyliczaj od razu \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) z głowy - tg α = 2 nie jest kątem z tablicy wartości. Sposób 1 (dzielenie przez \\(\\cos\\alpha\\)) jest tu **znacznie szybszy**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu przez \\(\\cos\\alpha\\) musisz sprawdzić, że \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\). Dla kąta ostrego to zawsze prawda, ale warto o tym pamiętać w ogólnym przypadku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 łatwo o błąd znaku przy wyciąganiu pierwiastka z \\(\\cos^2\\alpha\\). Skoro \\(\\alpha\\) jest ostry (I ćwiartka), **oba** \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) są dodatnie - bierzemy \\(+\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\), nie \\(-\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\).\n\n**Wartość wyrażenia: \\(\\dfrac{1}{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Dzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\)\nDzielimy licznik i mianownik przez \\(\\cos\\alpha\\):\n\\[\\dfrac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha} = \\dfrac{\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} - 1}{\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + 1} = \\dfrac{\\operatorname{tg}\\alpha - 1}{\\operatorname{tg}\\alpha + 1} = \\dfrac{2-1}{2+1} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{2}{1}\\): przyprostokątna naprzeciw = \\(2\\), przyprostokątna przyległa = \\(1\\).\nPrzeciwprostokątna: \\(c = \\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\\sqrt{5}\\).\n\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{5}}\\), \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{\\sqrt{5}}\\).\n\\[\\dfrac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha} = \\dfrac{\\tfrac{2}{\\sqrt{5}} - \\tfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\tfrac{2}{\\sqrt{5}} + \\tfrac{1}{\\sqrt{5}}} = \\dfrac{\\tfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\tfrac{3}{\\sqrt{5}}} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 3 - Zależność \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\)\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha=2\\): \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\). Podstawiamy:\n\\[\\dfrac{2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha}{2\\cos\\alpha + \\cos\\alpha} = \\dfrac{\\cos\\alpha}{3\\cos\\alpha} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za podzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\) lub użycie \\(\\sin\\alpha=2\\cos\\alpha\\),\n- **2 pkt** za wynik \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Pamiętaj:** dzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\) pozwala wyrazić wszystko przez \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"trygonometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nW tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru.\nOcena\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nLiczba ocen\n0\n4\n9\n13\nx\n1\nŚrednia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5)\nz matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.\n\nPoziom podstawowy\n15\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n16\nW tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru. Ocena: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Liczba uczniów: 0, 4, 9, 13, x, 1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nW tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru.\nOcena\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nLiczba ocen\n0\n4\n9\n13\nx\n1\nŚrednia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5) z\nmatematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.\n7\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nRozwiązanie:\nObliczamy średnią arytmetyczną ocen zestawionych w tabeli\n0 1\n4 2\n9 3 13 4\n5 1 6\n0\n4\n9 13\n1\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\nPonieważ ta średnia arytmetyczna jest równa 3,6. Zatem otrzymujemy równanie\n0 1\n4 2\n9 3 13 4\n5 1 6\n3,6\n0\n4\n9 13\n1\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\nStąd otrzymujemy 5\n93\n18\n27\n5\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n5 5\n93\n18\n27\nx\nx\n\n\n\n,\n25\n465\n18\n486\nx\nx\n\n\n\n,\n7\n21\nx \n,\n3\nx .\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zapisze równanie pozwalające obliczyć liczbę ocen bardzo dobrych i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błąd, np.:\n0 1 4 2\n9 3 13 4\n5 1 6\n3,6\n0\n4\n9 13\n1\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\nlub 4 2\n9 3 13 4\n5 1 6\n3,6\n0\n4\n9 13\n1\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nalbo\n zapisze równanie pozwalające obliczyć liczbę ocen bardzo dobrych, ale popełni błąd\nprzy\nprzy przepisywaniu danych.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy liczbę ocen bardzo dobrych: 3.\nUwaga\nJeśli zdający odgadnie, że liczba ocen bardzo dobrych jest równa 3, i sprawdzi to, wykonując\nodpowiednie obliczenia, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 3\\)\n\nLiczba ocen bardzo dobrych (5) wystawionych w klasie 3A wynosi **3**.\n\n## Sposób 1 - Równanie ze średniej arytmetycznej\n\n**Zestawiamy dane z tabeli:**\n\n| Ocena | Liczba uczniów |\n| 1 | 0 |\n| 2 | 4 |\n| 3 | 9 |\n| 4 | 13 |\n| 5 | \\(x\\) |\n| 6 | 1 |\n\n**Krok 1: Wyznaczamy łączną liczbę uczniów.**\n\n\\[n = 0 + 4 + 9 + 13 + x + 1 = 27 + x\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy sumę wszystkich ocen.**\n\nKażdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją otrzymali:\n\n\\[S = 1 \\cdot 0 + 2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 9 + 4 \\cdot 13 + 5 \\cdot x + 6 \\cdot 1\\]\n\\[S = 0 + 8 + 27 + 52 + 5x + 6 = 93 + 5x\\]\n\n**Krok 3: Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną.**\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{S}{n} = 3{,}6\\]\n\n\\[\\frac{93 + 5x}{27 + x} = 3{,}6\\]\n\n**Krok 4: Rozwiązujemy równanie.**\n\n\\[93 + 5x = 3{,}6 \\cdot (27 + x)\\]\n\\[93 + 5x = 97{,}2 + 3{,}6x\\]\n\\[5x - 3{,}6x = 97{,}2 - 93\\]\n\\[1{,}4x = 4{,}2\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{4{,}2}{1{,}4} = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 3\\) rzeczywiście daje średnią \\(3{,}6\\).\n\nŁączna liczba uczniów:\n\\[n = 27 + 3 = 30\\]\n\nSuma ocen:\n\\[S = 93 + 5 \\cdot 3 = 93 + 15 = 108\\]\n\nŚrednia:\n\\[\\bar{a} = \\frac{108}{30} = 3{,}6 \\checkmark\\]\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nW tym zadaniu mamy dane grupowe (każda ocena powtarza się wielokrotnie), więc stosujemy wzór na **średnią ważoną** (też s. 31):\n\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\n\ngdzie \\(a_i\\) to oceny (1-6), a \\(w_i\\) to liczby uczniów z daną oceną.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl sumy ocen z liczbą uczniów! Suma \\(S = 93 + 5x\\) to iloczyny (ocena × liczba uczniów), a mianownik to łączna liczba uczniów \\(n = 27 + x\\) - obie wartości zależą od \\(x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(3{,}6 \\cdot (27 + x)\\) pamiętaj rozwinąć nawias: \\(3{,}6 \\cdot 27 = 97{,}2\\) i \\(3{,}6 \\cdot x = 3{,}6x\\). Błąd tu daje zupełnie inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ocena 1 ma **0 uczniów** - nie pomijaj jej przy liczeniu, ale też nie dodawaj do sumy (wynik: \\(1 \\cdot 0 = 0\\), nie wpływa na wynik). Jednak nieuwzględnienie jej wcale przy liczeniu \\(n\\) to błąd - tu akurat \\(+0\\) nic nie zmienia, ale warto liczyć systematycznie.\n\n**Liczba ocen bardzo dobrych: \\(x=3\\)**\n\n### Sposób 1 - Równanie ze średnią arytmetyczną\nŚrednia: \\(\\dfrac{\\sum (\\text{ocena}\\cdot \\text{liczba ocen})}{\\sum \\text{liczba ocen}} = 3{,}6.\\)\n\\[\\dfrac{0\\cdot 1 + 4\\cdot 2 + 9\\cdot 3 + 13\\cdot 4 + x\\cdot 5 + 1\\cdot 6}{0+4+9+13+x+1} = 3{,}6.\\]\n\\[\\dfrac{0 + 8 + 27 + 52 + 5x + 6}{27+x} = 3{,}6\\]\n\\[\\dfrac{5x + 93}{x + 27} = 3{,}6 = \\dfrac{18}{5}.\\]\nMnożymy na krzyż:\n\\[5(5x+93) = 18(x+27)\\]\n\\[25x + 465 = 18x + 486\\]\n\\[7x = 21 \\Rightarrow x = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Szacowanie\nBez \\(x\\) suma ocen = \\(93\\), liczba ocen = \\(27\\), średnia \\(\\approx 3{,}44\\). By podnieść do \\(3{,}6\\) potrzeba dodatkowych ocen \\(5\\). Prosty rachunek daje \\(x=3\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie\nDla \\(x=3\\): suma = \\(93+15=108\\), liczba ocen = \\(30\\), średnia = \\(\\tfrac{108}{30}=3{,}6\\) ✓.\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za poprawne równanie ze średnią arytmetyczną,\n- **2 pkt** za obliczenie \\(x=3\\).\n\n**Pamiętaj:** średnia ważona = \\(\\dfrac{\\sum (\\text{wartość}\\cdot \\text{waga})}{\\sum \\text{waga}}\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nUzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i\n1\n3,\n\n\na\na\nto\n2\n2\n1\n7.\na\na\n\n\n\nPoziom podstawowy\n17\n\nPoziom podstawowy\n18\nUzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i a + 1/a = 3, to a^2 + 1/a^2 = 7.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nUzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różna od zera i\n1\n3\n\n\na\na\nto\n2\n2\n1\n7.\na\na\n\n\nI sposób rozwiązania\nRówność\n1\n3\n\n\na\na\npodnosimy obustronnie do kwadratu i przekształcamy równoważnie\n2\n2\n1\n1\n2\n9\n\n\n\na\na a\na\n,\n2\n2\n1\n9\n2\n\n\n\na\na\nStąd\n2\n2\n1\n7\n\n\na\na\n8\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy podniesie równość obustronnie do kwadratu:\n1\n3\n\n\na\na\ni na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n2\n2\n1\n\na\na : 7 .\nII sposób rozwiązania\nWyrażenie\n2\n2\n1\n\na\na zapisujemy w postaci\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na\na\na\na\na\na .\nZatem\n2\n2\n1\n9\n2\n7\n\n\n\n\na\na\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze zależność między sumą\n2\n2\n1\n\na\na , a kwadratem sumy\n2\n1\n\n\n\n\n\n\n\na\na\ni na tym zakończy\nlub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n2\n2\n1\n\na\na : 7 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a^2 + \\dfrac{1}{a^2} = 7\\)\n\n(Zadanie otwarte - należy to uzasadnić, czyli udowodnić.)\n\n## Sposób 1 - Podniesienie do kwadratu\n\n**Kluczowa obserwacja:** Mamy dany warunek \\(a + \\dfrac{1}{a} = 3\\). Podnosimy obie strony do kwadratu - wtedy naturalnie pojawi się wyrażenie \\(a^2 + \\dfrac{1}{a^2}\\).\n\n**Krok 1.** Podnosimy obie strony równości do kwadratu:\n\n\\[\\left(a + \\frac{1}{a}\\right)^2 = 3^2\\]\n\n**Krok 2.** Rozwijamy lewą stronę wzorem \\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\):\n\n\\[a^2 + 2 \\cdot a \\cdot \\frac{1}{a} + \\frac{1}{a^2} = 9\\]\n\n**Krok 3.** Upraszczamy środkowy składnik (skraca się \\(a\\)):\n\n\\[a^2 + 2 + \\frac{1}{a^2} = 9\\]\n\n**Krok 4.** Odejmujemy \\(2\\) od obu stron:\n\n\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7\\]\n\n**Co należało pokazać. Uzasadnienie jest pełne.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Przez wyznaczenie \\(a^2\\) (metoda algebraiczna wprost)\n\nAlternatywnie można skorzystać z tożsamości wyrażającej \\(a^2 + \\dfrac{1}{a^2}\\) przez różnicę kwadratów i sumę.\n\n**Krok 1.** Zauważamy tożsamość:\n\n\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = \\left(a + \\frac{1}{a}\\right)^2 - 2 \\cdot a \\cdot \\frac{1}{a}\\]\n\nponieważ \\(\\left(a + \\dfrac{1}{a}\\right)^2 = a^2 + 2 + \\dfrac{1}{a^2}\\), skąd:\n\n\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = \\left(a + \\frac{1}{a}\\right)^2 - 2\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(a + \\dfrac{1}{a} = 3\\):\n\n\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7\\]\n\nTo daje gotowy wzór-schemat, który warto zapamiętać. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy:\n\\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w obu sposobach, podnosząc \\(\\left(a + \\dfrac{1}{a}\\right)^2\\) do kwadratu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to rozwinięcie \\(\\left(a + \\dfrac{1}{a}\\right)^2 = a^2 + \\dfrac{1}{a^2}\\) - uczniowie zapominają o członie \\(2ab = 2 \\cdot a \\cdot \\dfrac{1}{a} = 2\\). To kluczowy składnik całego dowodu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi \"uzasadnij\" - nie wystarczy napisać wyniku. Trzeba pokazać każdy krok przekształcenia. Egzaminator sprawdza tok rozumowania, nie tylko odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Założenie \\(a \\neq 0\\) jest potrzebne, żeby \\(\\dfrac{1}{a}\\) w ogóle istniało - warto o nim wspomnieć w uzasadnieniu (choć jest podane w treści zadania).\n\n**Dowód:**\n\n### Sposób 1 - Podnoszenie do kwadratu\nRówność \\(a+\\dfrac{1}{a}=3\\) podnosimy obustronnie do kwadratu:\n\\[\\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} = 9.\\]\nKorzystając ze wzoru \\((x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\):\n\\[a^{2} + 2\\cdot a\\cdot \\dfrac{1}{a} + \\dfrac{1}{a^{2}} = 9\\]\n\\[a^{2} + 2 + \\dfrac{1}{a^{2}} = 9\\]\n\\[a^{2} + \\dfrac{1}{a^{2}} = 9 - 2 = 7. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Poprzez rozkład\nZapisujemy:\n\\[a^{2}+\\dfrac{1}{a^{2}} = \\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} - 2\\cdot a\\cdot \\dfrac{1}{a} = \\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} - 2.\\]\nPodstawiamy \\(a+\\dfrac{1}{a}=3\\):\n\\[a^{2}+\\dfrac{1}{a^{2}} = 3^{2} - 2 = 9 - 2 = 7. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 3 - Weryfikacja numeryczna\nRówność \\(a+\\dfrac{1}{a}=3\\) daje \\(a^{2}-3a+1=0\\), stąd \\(a = \\dfrac{3\\pm\\sqrt{5}}{2}\\).\nDla \\(a = \\tfrac{3+\\sqrt{5}}{2}\\): \\(a^{2} = \\tfrac{9+6\\sqrt{5}+5}{4}=\\tfrac{14+6\\sqrt{5}}{4}=\\tfrac{7+3\\sqrt{5}}{2}\\), \\(\\tfrac{1}{a^{2}}=\\tfrac{7-3\\sqrt{5}}{2}\\). Suma: \\(\\tfrac{14}{2}=7\\) ✓.\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za podniesienie równania do kwadratu lub zapisanie zależności między \\(a^{2}+\\tfrac{1}{a^{2}}\\) a \\((a+\\tfrac{1}{a})^{2}\\),\n- **2 pkt** za obliczenie \\(a^{2}+\\tfrac{1}{a^{2}}=7\\).\n\n**Trik:** \\(a^{2}+\\dfrac{1}{a^{2}} = \\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} - 2\\) - użyteczna tożsamość.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"algebra","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDługość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość\nprzekątnej tego sześcianu.\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n20\nDługość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDługość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość\nprzekątnej tego sześcianu.\nI sposób rozwiązania\nSporządzamy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia:\na - długość krawędzi sześcianu,\n1d - długość przekątnej podstawy sześcianu,\nd - długość przekątnej sześcianu.\na\nd\nd1\n9\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nStosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy:\n2\n1\n2\n2\nd\na\na\n\n\noraz\n2\n2\n1\n2\nd\nd\na\n\n\nStąd\n3\na\nd \nlub\nd\na\n3\n3\n\nPonieważ\n2\n\na\nd\nrozwiązujemy równanie:\n\n2\n3\n3\n\n\nd\nd\ni otrzymujemy\n3\n3\n6\n\n\nd\nlub\n3\n3\n\nd\nalbo\n\n2\n3\n\na\na\ni otrzymujemy\n1\n3\n2\n\n\na\nlub\n3\n1\n\na\nWyznaczamy długość przekątnej sześcianu:\n3\n3\n\nd\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie pozwalające obliczyć długość przekątnej\n2\n3\n3\n\n\nd\nd\nlub\n2\n3\n\na\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy długość przekątnej:\n3\n3\n6\n\n\nd\nlub\n3\n3\n\nd\nII sposób rozwiązania\nSporządzamy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia:\na - długość krawędzi sześcianu,\nd - długość przekątnej sześcianu.\nKorzystamy z zależności\n3\na\nd \nPonieważ\n2\na\nd\n\n\nrozwiązujemy równanie:\n\n\n\n2\n3\nd\nd\n\n\ni otrzymujemy\n3\n2 3\nd\nd\n\n\nlub \n\n3 1\n2 3\nd\n\n\nWyznaczamy długość przekątnej sześcianu:\n\n\n\n\n2 3\n3\n1\n2 3\n3\n3\n1\n3 1\n3\n1\nd\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n3\n3\n\nd\na\nd\nd1\n10\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie pozwalające obliczyć długość przekątnej\n\n\n2\n3\nd\nd\n\n\nlub\n3\n2 3\nd\nd\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy prawidłowo obliczy długość przekątnej:\n3\n3\n6\n\n\nd\nlub\n3\n3\n\nd\nlub\n\n\n3\n3\n1\nd \n\nlub\n12\n48\n4\nd\n\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: przekątna sześcianu ma długość \\(3 + \\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - równanie z jedną niewiadomą\n\n**Oznaczamy:** niech \\(a\\) = długość krawędzi sześcianu.\n\nPrzekątna sześcianu (przestrzenna) to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki. Ze stereometrii:\n\\[d = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Warunek zadania:** krawędź jest o 2 krótsza od przekątnej, czyli:\n\\[d - a = 2\\]\n\n**Podstawiamy** \\(d = a\\sqrt{3}\\):\n\\[a\\sqrt{3} - a = 2\\]\n\\[a(\\sqrt{3} - 1) = 2\\]\n\\[a = \\frac{2}{\\sqrt{3} - 1}\\]\n\n**Racjonalizujemy mianownik** (mnożymy przez \\(\\frac{\\sqrt{3}+1}{\\sqrt{3}+1}\\)):\n\\[a = \\frac{2(\\sqrt{3}+1)}{(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1)} = \\frac{2(\\sqrt{3}+1)}{3 - 1} = \\frac{2(\\sqrt{3}+1)}{2} = \\sqrt{3}+1\\]\n\n**Obliczamy długość przekątnej:**\n\\[d = a\\sqrt{3} = (\\sqrt{3}+1)\\cdot\\sqrt{3} = 3 + \\sqrt{3}\\]\n\n**Wynik: przekątna sześcianu ma długość \\(\\boldsymbol{3 + \\sqrt{3}}\\).**\n\n## Sposób 2 - podstawienie przez przekątną\n\nZamiast szukać \\(a\\), od razu podstawmy przekątną jako zmienną.\n\nNiech \\(d\\) = długość przekątnej. Wtedy krawędź \\(a = d - 2\\).\n\nKorzystamy ze wzoru na przekątną sześcianu \\(d = a\\sqrt{3}\\), czyli \\(a = \\frac{d}{\\sqrt{3}}\\):\n\\[\\frac{d}{\\sqrt{3}} = d - 2\\]\n\\[d = \\sqrt{3}\\,(d-2)\\]\n\\[d = \\sqrt{3}\\,d - 2\\sqrt{3}\\]\n\\[d - \\sqrt{3}\\,d = -2\\sqrt{3}\\]\n\\[d(1 - \\sqrt{3}) = -2\\sqrt{3}\\]\n\\[d = \\frac{-2\\sqrt{3}}{1 - \\sqrt{3}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3} - 1}\\]\n\nRacjonalizujemy:\n\\[d = \\frac{2\\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1)}{(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1)} = \\frac{2\\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1)}{2} = \\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1) = 3 + \\sqrt{3}\\]\n\n**Ten sam wynik - zgodność potwierdza poprawność.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - z rozdziału o graniastosłupach (sześcian to graniastosłup prostokątny o równych krawędziach):\n\nPrzekątna prostopadłościanu o krawędziach \\(a, b, c\\):\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]\n\nDla sześcianu \\(a = b = c\\):\n\\[d = \\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\n\n> To właśnie wzór \\(d = a\\sqrt{3}\\) jest kluczowy w tym zadaniu - warto go wyprowadzić sobie samodzielnie raz, żeby zapamiętać na egzaminie.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1) = 3 - 1 = 2\\]\nUżyliśmy wzoru \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) przy racjonalizacji mianownika.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to mylenie **przekątnej sześcianu** (przestrzennej, \\(a\\sqrt{3}\\)) z **przekątną ściany** (płaskiej, \\(a\\sqrt{2}\\)). Przekątna sześcianu łączy dwa wierzchołki, które NIE leżą na tej samej ścianie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy racjonalizacji mianownika \\(\\frac{2}{\\sqrt{3}-1}\\) uczniowie często zapominają pomnożyć LICZNIK przez sprzężenie. Trzeba pomnożyć cały ułamek przez \\(\\frac{\\sqrt{3}+1}{\\sqrt{3}+1}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sformułowanie \"krawędź jest o 2 krótsza od przekątnej\" oznacza \\(d - a = 2\\), NIE \\(a - d = 2\\). Warto sprawdzić: jeśli \\(a = \\sqrt{3}+1 \\approx 2{,}73\\) i \\(d = 3+\\sqrt{3} \\approx 4{,}73\\), to różnica \\(4{,}73 - 2{,}73 = 2\\) ✓\n\n**Długość przekątnej: \\(d = 3+\\sqrt{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Związek krawędzi i przekątnej sześcianu\nDla sześcianu o krawędzi \\(a\\): przekątna \\(d = a\\sqrt{3}\\), czyli \\(a = \\dfrac{d}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{d\\sqrt{3}}{3}\\).\nZ warunku zadania \\(a = d-2\\):\n\\[\\dfrac{d\\sqrt{3}}{3} = d - 2\\]\n\\[d\\sqrt{3} = 3d - 6\\]\n\\[3d - d\\sqrt{3} = 6\\]\n\\[d(3-\\sqrt{3}) = 6\\]\n\\[d = \\dfrac{6}{3-\\sqrt{3}}.\\]\nUsuwamy niewymierność z mianownika:\n\\[d = \\dfrac{6}{3-\\sqrt{3}} \\cdot \\dfrac{3+\\sqrt{3}}{3+\\sqrt{3}} = \\dfrac{6(3+\\sqrt{3})}{9-3} = \\dfrac{6(3+\\sqrt{3})}{6} = 3+\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Od krawędzi\nZ \\(d=a\\sqrt{3}\\) i \\(a=d-2\\): \\(d=(d-2)\\sqrt{3}\\), czyli \\(d=d\\sqrt{3}-2\\sqrt{3}\\).\n\\[d-d\\sqrt{3}=-2\\sqrt{3}\\]\n\\[d(1-\\sqrt{3})=-2\\sqrt{3}\\]\n\\[d=\\dfrac{-2\\sqrt{3}}{1-\\sqrt{3}} = \\dfrac{-2\\sqrt{3}}{1-\\sqrt{3}}\\cdot\\dfrac{1+\\sqrt{3}}{1+\\sqrt{3}} = \\dfrac{-2\\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{-2} = \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3}) = \\sqrt{3}+3.\\]\n\n### Sposób 3 - Przez Pitagorasa\nPrzekątna podstawy: \\(d_{1} = a\\sqrt{2}\\). Przekątna sześcianu: \\(d = \\sqrt{a^{2}+d_{1}^{2}} = \\sqrt{a^{2}+2a^{2}} = a\\sqrt{3}\\).\nDalej jak w sposób 1.\n\n### Weryfikacja\nDla \\(d=3+\\sqrt{3}\\): \\(a=d-2=1+\\sqrt{3}\\). Sprawdzenie \\(a\\sqrt{3}=(1+\\sqrt{3})\\sqrt{3}=\\sqrt{3}+3=d\\) ✓.\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za zapisanie równania \\(d=\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}d+2\\) lub \\(a\\sqrt{3}=a+2\\),\n- **2 pkt** za obliczenie \\(d=3+\\sqrt{3}\\).\n\n**Pamiętaj:** przekątna sześcianu = \\(a\\sqrt{3}\\); przekątna podstawy = \\(a\\sqrt{2}\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nDane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą\n2\n6000 m .\nDziałka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz\npowierzchnię większą o\n2\n2250 m . Oblicz wymiary pierwszej działki.\n\nPoziom podstawowy\n21\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n22\nDane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą 6000 m^2. Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz powierzchnię większą o 2250 m^2 . Oblicz wymiary pierwszej działki.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nDane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą\n2\n6000 m .\nDziałka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz\npowierzchnię większą o\n2\n2250 m . Oblicz wymiary pierwszej działki.\nI sposób rozwiązania\nNiech x oznacza długość jednego z boków pierwszej działki, a y - długość drugiego boku\ndziałki pierwszej, wtedy pole powierzchnia działki pierwszej jest równe x y\n\n. Stąd mamy\nrównanie\n6000\nx y\n\n\nWtedy\n10\nx \noznacza długość jednego z boków działki drugiej, a\n15\ny \ndługość drugiego\nboku działki drugiej, zaś pole powierzchni tej działki jest równe 6000\n2250\n8250\n\n\nOtrzymujemy zatem równanie \n\n\n10\n15\n8250\nx\ny\n\n\n\n\nZapisujemy układ równań \n\n\n6000\n10\n15\n8250\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n6000\ny\nx\n\n6000\nx\ny\n\npodstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy\n\n6000\n10\n15\n8250\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n140\n4000\n0\nx\nx\n\n\n\n2\n19600 16000\n3600\n60\n\n\n\n\n1\n140\n60\n40\n2\nx\n\n\n\nlub\n2\n140\n60\n100\n2\nx\n\n\n\nObliczamy y:\n\n\n6000\n10\n15\n8250\ny\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n210\n9000\n0\ny\ny\n\n\n\n2\n44100\n36000\n8100\n90\n\n\n\n\n1\n210\n90\n60\n2\ny\n\n\n\nlub\n2\n210\n90\n150\n2\ny\n\n\n\nObliczamy x:\n11\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\n1\n6000\n150\n40\ny \n\nlub\n2\n6000\n60\n100\ny \n\n1\n6000\n100\n60\nx \n\nlub\n2\n6000\n40\n150\nx \n\nOdp. Pierwsza działka miała wymiary 40 m na 150 m lub 100 m na 60 m.\nII sposób rozwiązania\nNiech x oznacza długość jednego z boków pierwszej działki, a y - długość drugiego boku\ndziałki pierwszej, wtedy pole powierzchni działki pierwszej jest równe x y\n\n. Stąd mamy\nrównanie\n6000\nx y\n\n\nWtedy\n10\nx \noznacza długość jednego z boków działki drugiej, a\n15\ny \ndługość drugiego\nboku działki drugiej, zaś pole powierzchni tej działki jest równe 6000\n2250\n8250\n\n\nOtrzymujemy zatem równanie \n\n\n10\n15\n8250\nx\ny\n\n\n\n\nZapisujemy układ równań \n\n\n6000\n10\n15\n8250\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd otrzymujemy kolejno\n6000\n15\n10\n150\n8250\nx y\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n6000\n6000 15\n10\n150\n8250\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n6000\n15\n10\n2100\n0\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nRównanie 15\n10\n2100\n0\nx\ny\n\n\n\ndzielimy obustronnie przez 5.\nOtrzymujemy 3\n2\n420\n0\nx\ny\n\n\n\n, stąd wyznaczamy\n3\n210\n2\ny\nx\n\n\n2\n140\n3\nx\ny\n\n\npodstawiamy do pierwszego równania i rozwiązujemy\n3\n210\n6000\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n210\n6000\n0\n2 x\nx\n\n\n\n\n2\n140\n4000\n0\nx\nx\n\n\n\n2\n19600 16000\n3600\n60\n\n\n\n\n1\n140\n60\n40\n2\nx\n\n\n\nlub\n2\n140\n60\n100\n2\nx\n\n\n\nObliczamy y:\n1\n6000\n150\n40\ny \n\nlub\n2\n6000\n60\n100\ny \n\n2\n140\n6000\n3 y\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n140\n6000\n0\n3 y\ny\n\n\n\n\n2\n210\n9000\n0\ny\ny\n\n\n\n2\n44100\n36000\n8100\n90\n\n\n\n\n1\n210\n90\n60\n2\ny\n\n\n\nlub\n2\n210\n90\n150\n2\ny\n\n\n\nObliczamy x:\n1\n6000\n100\n60\nx \n\nlub\n2\n6000\n40\n150\nx \n\nOdp. Pierwsza działka miała wymiary 40 m na 150 m lub 100 m na 60 m.\n12\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie jednego z równań:\n6000\nx y\n\n\nalbo \n\n\n10\n15\n8250\nx\ny\n\n\n\n\n, gdzie x, y oznaczają\ndługości boków pierwszej działki.\nUwaga\nNie wymagamy opisania wprowadzonych oznaczeń, jeżeli z rozwiązania można\nwywnioskować, że zdający poprawnie je stosuje.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi x i y \n\n\n6000\n10\n15\n8250\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:\n\n6000\n10\n15\n8250\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n6000\n10\n15\n8250\ny\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n3\n210\n6000\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n140\n6000\n3 y\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n140\n4000\n0\n\n\n\nx\nx\nlub\n2\n210\n9000\n0\n\n\n\ny\ny\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą i wówczas jego rozwiązanie zostanie zakwalifikowane co najmniej do kategorii\nPokonanie zasadniczych trudności.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n rozwiązanie równania z niewiadomą x i nieobliczenie drugiego boku działki,\nalbo\n rozwiązanie równania z niewiadomą y i nieobliczenie pierwszego boku działki,\nalbo\n popełnienie błędu rachunkowego w rozwiązaniu równania z jedną niewidomą (ale\notrzymanie dwóch rozwiązań) i konsekwentne do popełnionego błędu obliczenie\nwymiarów działek,\nalbo\n obliczenie wymiarów działki tylko w jednym przypadku.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie wymiarów działki pierwszej: działka pierwsza ma wymiary 40 m na 150 m lub\n100 m na 60 m.\n13\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nUwaga\nJeżeli zdający odgadnie wymiary działki w co najmniej jednym przypadku, to otrzymuje\n1 punkt, nawet w sytuacji, gdy dokonuje systematycznego „przeszukiwania” rozwiązań\ncałkowitych.","solution":"## Poprawna odpowiedź: wymiary pierwszej działki to **40 m × 150 m**\n\n## Sposób 1 - Układ równań → równanie kwadratowe\n\n**Oznaczenia.** Niech \\(a\\) i \\(b\\) będą wymiarami (długością i szerokością) pierwszej działki.\n\n**Warunek 1** - pole pierwszej działki:\n\\[ab = 6000\\]\n\n**Warunek 2** - pole drugiej działki:\n\\[(a + 10)(b + 15) = 6000 + 2250 = 8250\\]\n\nRozwijamy lewy nawias:\n\\[ab + 15a + 10b + 150 = 8250\\]\n\nPodstawiamy \\(ab = 6000\\):\n\\[6000 + 15a + 10b + 150 = 8250\\]\n\\[15a + 10b = 2100\\]\n\\[3a + 2b = 420\\]\n\nZ tego wyrażamy \\(b\\):\n\\[b = \\frac{420 - 3a}{2}\\]\n\nPodstawiamy do \\(ab = 6000\\):\n\\[a \\cdot \\frac{420 - 3a}{2} = 6000\\]\n\\[a(420 - 3a) = 12000\\]\n\\[420a - 3a^2 = 12000\\]\n\\[3a^2 - 420a + 12000 = 0\\]\n\\[a^2 - 140a + 4000 = 0\\]\n\nLiczymy deltę:\n\\[\\Delta = 140^2 - 4 \\cdot 4000 = 19600 - 16000 = 3600\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 60\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[a_1 = \\frac{140 - 60}{2} = \\frac{80}{2} = 40, \\qquad a_2 = \\frac{140 + 60}{2} = \\frac{200}{2} = 100\\]\n\nOdpowiadające wartości \\(b\\):\n- dla \\(a = 40\\): \\(b = \\frac{6000}{40} = 150\\)\n- dla \\(a = 100\\): \\(b = \\frac{6000}{100} = 60\\)\n\nOba przypadki opisują **ten sam prostokąt 40 m × 150 m** (tylko różna kolejność boków).\n\n**Wymiary pierwszej działki: \\(40\\,\\text{m} \\times 150\\,\\text{m}\\).**\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a (szukanie pierwiastków przez rozkład)\n\nDochodzimy do tego samego równania kwadratowego:\n\\[a^2 - 140a + 4000 = 0\\]\n\nZamiast liczyć deltę, stosujemy wzory Viète'a. Szukamy dwóch liczb \\(a_1, a_2\\) takich, że:\n\\[a_1 + a_2 = 140, \\qquad a_1 \\cdot a_2 = 4000\\]\n\nPróbujemy rozkład: \\(4000 = 40 \\cdot 100\\), sprawdzamy sumę: \\(40 + 100 = 140\\). ✓\n\nZatem \\(a_1 = 40\\), \\(a_2 = 100\\) - oba są poprawnymi wartościami jednego z wymiarów.\n\n**Weryfikacja:**\n\\[40 \\cdot 150 = 6000 \\checkmark\\]\n\\[(40 + 10)(150 + 15) = 50 \\cdot 165 = 8250 = 6000 + 2250 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(a^2 - 140a + 4000 = 0\\).\n\n**Dział 7 (s. 9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do znalezienia pierwiastków bez liczenia delty.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „wymiary większe o 10 m i 15 m\" z „wymiary razy 10 i 15\" - chodzi o dodanie, więc nowe boki to \\((a+10)\\) i \\((b+15)\\), nie \\(10a\\) i \\(15b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwinięciu \\((a+10)(b+15)\\) pamiętaj o członie \\(+150\\) (iloczyn \\(10 \\cdot 15\\)). Jego pominięcie to jeden z najczęstszych błędów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie ma dwa rozwiązania algebraiczne (\\(a = 40\\) lub \\(a = 100\\)), ale oba opisują **ten sam prostokąt** - wynik to jednoznacznie \\(40\\,\\text{m} \\times 150\\,\\text{m}\\). Napisz oba i zauważ, że to ta sama figura.\n\n**Wymiary pierwszej działki: \\(40\\,\\text{m}\\times 150\\,\\text{m}\\) lub \\(100\\,\\text{m}\\times 60\\,\\text{m}\\)**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nNiech \\(x, y\\) - wymiary pierwszej działki. Pole: \\(xy=6000\\).\nDruga działka: \\((x+10)(y+15)=6000+2250=8250\\).\n\nUkład:\n\\[\\begin{cases} xy = 6000 \\\\ (x+10)(y+15) = 8250 \\end{cases}\\]\nRozwijamy drugie: \\(xy + 15x + 10y + 150 = 8250\\), czyli \\(6000 + 15x + 10y + 150 = 8250\\), stąd \\(15x+10y=2100\\), czyli \\(3x+2y=420\\).\n\nZ \\(xy=6000\\): \\(y=\\dfrac{6000}{x}\\). Podstawiamy:\n\\[3x + 2\\cdot \\dfrac{6000}{x} = 420\\]\n\\[3x^{2} + 12000 = 420x\\]\n\\[3x^{2} - 420x + 12000 = 0\\]\n\\[x^{2} - 140x + 4000 = 0.\\]\nWyróżnik: \\(\\Delta = 19600 - 16000 = 3600 = 60^{2}\\).\n\\[x_{1} = \\dfrac{140-60}{2} = 40, \\quad x_{2} = \\dfrac{140+60}{2} = 100.\\]\nObliczamy \\(y\\):\n- dla \\(x=40\\): \\(y=\\dfrac{6000}{40}=150\\),\n- dla \\(x=100\\): \\(y=\\dfrac{6000}{100}=60\\).\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(y\\) z drugiego równania\nZ \\(3x+2y=420\\): \\(y=\\dfrac{420-3x}{2}\\). Podstawiając do \\(xy=6000\\): \\(x\\cdot \\tfrac{420-3x}{2}=6000\\), więc \\(420x-3x^{2}=12000\\), \\(x^{2}-140x+4000=0\\) - jak wyżej.\n\n### Sposób 3 - Weryfikacja dla \\((40, 150)\\)\nPole pierwszej: \\(40\\cdot 150=6000\\) ✓. Druga: \\(50\\cdot 165 = 8250\\) ✓.\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za jedno z równań \\(xy=6000\\) lub \\((x+10)(y+15)=8250\\),\n- **2 pkt** za układ równań,\n- **3 pkt** za zapisanie równania z jedną niewiadomą (\\(x^{2}-140x+4000=0\\)),\n- **4 pkt** za rozwiązanie z ew. drobnym błędem,\n- **5 pkt** za pełne wymiary pierwszej działki: \\(40\\,\\text{m}\\times 150\\,\\text{m}\\) lub \\(100\\,\\text{m}\\times 60\\,\\text{m}\\).\n\n**Pamiętaj:** układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi rozwiązujemy przez podstawienie.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPunkty\n\n\n1,\n5\nA \n\n,\n\n\n3,\n1\nB \n\ni\n\n\n2, 4\nC \nsą kolejnymi wierzchołkami równoległoboku\nABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.\n\nPoziom podstawowy\n23\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n24\nA\nB\nC\nS\nPunkty A=(-1,-5), B=(3,-1), C=(2,4) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPunkty\n\n\n1,\n5\nA \n\n,\n\n\n3, 1\nB \n\ni\n\n\n2, 4\nC \nsą kolejnymi wierzchołkami równoległoboku\nABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.\nI sposób rozwiązania\nWyznaczamy równanie prostej AB:\n4\ny\nx\n\n\nWyznaczamy równanie prostej CE prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C:\n6\ny\nx\n\nObliczamy współrzędne punktu E (przecięcia prostych AB i CE) rozwiązując układ równań:\n4\n6\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nRozwiązaniem układu jest:\n5\nx ,\n1\ny . Stąd\n\n\n5,1\nE \nObliczamy długość odcinka AB:\n2\n2\n4\n4\n4 2\nAB \n\n\nObliczamy długość odcinka CE:\n\n\n\n\n2\n2\n5\n2\n1 4\n18\n3 2\nCE \n\n\n\n\n\nZatem pole równoległoboku jest równe:\n4 2 3 2\n24\nABCD\nP\nAB CE\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie długości odcinka:\n4 2\nAB \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu E:\n\n\n5,1\n\nE\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie wysokości równoległoboku:\n3 2\nCE \nUwaga\nZdający może obliczyć wysokość równoległoboku wykorzystując wzór na odległość\nwierzchołka C od prostej AB.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie pola równoległoboku:\n24\nABCD\nP\n\n14\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nII sposób rozwiązania\nZauważamy, że pole równoległoboku ABCD jest równe podwojonemu polu trójkąta ABC.\nPole trójkąta ABC obliczamy ze wzoru:\n\n\n\n\n\n1\n2\nABC\nB\nA\nC\nA\nB\nA\nC\nA\nP\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nObliczamy pole równoległoboku:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1\n2\n2 2\n1\n2\n3\n1\n4\n5\n1\n5\n2\n1\n4 9\n4 3\n24\n24\n2\nABCD\nABC\nB\nA\nC\nA\nB\nA\nC\nA\nP\nP\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZauważenie, że\n2\n\n\nABCD\nABC\nP\nP\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZastosowanie wzoru na pole trójkąta:\n\n\n\n\n\n1\n2\nABC\nB\nA\nC\nA\nB\nA\nC\nA\nP\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie pola trójkąta: 12\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie pola równoległoboku:\n24\nABCD\nP\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (pole = 24)\n\n## Sposób 1 - Iloczyn wektorowy (wyznacznik)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wektory tworzące boki równoległoboku.**\n\nMamy wierzchołki \\(A = (-1, -5)\\), \\(B = (3, -1)\\), \\(C = (2, 4)\\). Boki \\(AB\\) i \\(BC\\) są bokami przylegającymi:\n\n\\[\\vec{AB} = [3-(-1),\\ -1-(-5)] = [4,\\ 4]\\]\n\n\\[\\vec{BC} = [2-3,\\ 4-(-1)] = [-1,\\ 5]\\]\n\n**Krok 2: Pole równoległoboku = wartość bezwzględna wyznacznika macierzy tych wektorów.**\n\n\\[P = \\left|\\det\\begin{pmatrix} 4 & 4 \\\\ -1 & 5 \\end{pmatrix}\\right| = |4 \\cdot 5 - 4 \\cdot (-1)| = |20 + 4| = |24|\\]\n\n\\[\\boxed{P = 24}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez pole trójkąta ABC\n\nPrzekątna \\(AC\\) dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty. Zatem:\n\n\\[P_{\\text{równoległoboku}} = 2 \\cdot P_{\\triangle ABC}\\]\n\n**Pole trójkąta ze współrzędnych** (wzór z geometrii analitycznej):\n\n\\[P_{\\triangle ABC} = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (-1, -5)\\), \\(B = (3, -1)\\), \\(C = (2, 4)\\):\n\n\\[P_{\\triangle ABC} = \\frac{1}{2}\\left|(3-(-1))(4-(-5)) - (-1-(-5))(2-(-1))\\right|\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|4 \\cdot 9 - 4 \\cdot 3\\right| = \\frac{1}{2}\\left|36 - 12\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot 24 = 12\\]\n\nZatem:\n\\[P_{\\text{równoległoboku}} = 2 \\cdot 12 = \\boxed{24}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 2 do obliczenia pola trójkąta ABC.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku:\n\\[P = ah\\]\nWzór wyjściowy (tutaj zrealizowany przez wyznacznik wektorów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte (obliczeniowe), ale typowe błędy prowadzące do złego wyniku:\n\n| Błąd | Skąd się bierze |\n| Wynik \\(12\\) | Obliczono pole trójkąta ABC, ale zapomniano pomnożyć przez \\(2\\) |\n| Wynik \\(20\\) | Błąd w wyznaczaniu różnic współrzędnych (np. pominięcie znaku minus przy \\(y_A = -5\\)) |\n| Wynik \\(48\\) | Pomnożono pole przez \\(4\\) zamiast \\(2\\) (pomieszano z czworokątem bez symetrii) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(y_C - y_A = 4 - (-5)\\) łatwo zapomnieć o podwójnym minusie - wynik to \\(9\\), nie \\(-1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór wyznacznikowy daje pole trójkąta, nie równoległoboku - pamiętaj o pomnożeniu przez \\(2\\) (lub pomiń czynnik \\(\\frac{1}{2}\\) w wyznaczeniu pola przez wektory boków).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wektory muszą wychodzić ze wspólnego wierzchołka (np. oba z \\(B\\): \\(\\vec{BA}\\) i \\(\\vec{BC}\\)) lub być bokami przylegającymi - nie wybieraj przypadkowych dwóch wektorów łączących wierzchołki!\n\n**Pole równoległoboku: \\(P_{ABCD} = 24\\)**\n\n### Sposób 1 - Długość boku i wysokość\nRównanie prostej \\(AB\\) przez punkty \\(A=(-1,-5)\\) i \\(B=(3,-1)\\): współczynnik kierunkowy \\(a=\\dfrac{-1-(-5)}{3-(-1)}=\\dfrac{4}{4}=1\\).\nRównanie: \\(y-(-5)=1\\cdot(x-(-1))\\), czyli \\(y=x-4\\).\n\nProsta \\(CE\\) prostopadła do \\(AB\\) przez \\(C=(2, 4)\\): współczynnik \\(=-1\\), równanie: \\(y-4=-(x-2)\\), czyli \\(y=-x+6\\).\n\nPunkt \\(E\\) - przecięcie \\(AB\\) i \\(CE\\): układ \\(\\begin{cases} y=x-4 \\\\ y=-x+6 \\end{cases}\\) daje \\(x=5, y=1\\). \\(E=(5, 1)\\).\n\nDługość \\(|AB|\\): \\(\\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}\\).\nWysokość \\(|CE|\\): \\(\\sqrt{(5-2)^{2}+(1-4)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}\\).\n\\[P = |AB|\\cdot|CE| = 4\\sqrt{2}\\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\cdot 2 = 24.\\]\n\n### Sposób 2 - Iloczyn wektorowy (przez trójkąt \\(ABC\\))\nPole trójkąta: \\(P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A}) - (y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})|\\).\n\\(x_{B}-x_{A}=4\\), \\(y_{C}-y_{A}=9\\), \\(y_{B}-y_{A}=4\\), \\(x_{C}-x_{A}=3\\).\n\\[P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}|4\\cdot 9 - 4\\cdot 3| = \\tfrac{1}{2}|36-12| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 24 = 12.\\]\nPole równoległoboku = \\(2\\cdot P_{ABC} = 24\\).\n\n### Sposób 3 - Przez wektory\n\\(\\vec{AB}=(4, 4)\\), \\(\\vec{AC}=(3, 9)\\). Pole = \\(|\\vec{AB}\\times \\vec{AC}| = |4\\cdot 9 - 4\\cdot 3| = 24\\).\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za obliczenie \\(|AB|=4\\sqrt{2}\\) lub wzór \\(P=2P_{ABC}\\),\n- **2 pkt** za obliczenie współrzędnych punktu \\(E\\) lub zastosowanie wzoru na pole trójkąta,\n- **3 pkt** za obliczenie wysokości \\(|CE|=3\\sqrt{2}\\) lub pola trójkąta \\(=12\\),\n- **4 pkt** za obliczenie pola równoległoboku \\(=24\\).\n\n**Pamiętaj:** pole równoległoboku \\(ABCD\\) = \\(2\\cdot P_{ABC}\\) (bo przekątna dzieli go na dwa przystające trójkąty).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nObjętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72,\na promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens\nkąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.\n\nPoziom podstawowy\n25\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n26\nBRUDNOPIS\n\nMMA-P1_1P-134\nPESEL\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nSuma za zad. 26-34\n0\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n1\n9\n2\n10\n11\n3\n4\n12\n5\n13\n6\n14\n7\n15\n8\n16\n24\nKOD EGZAMINATORA\nCzytelny podpis egzaminatora\nKOD ZDAJĄCEGO\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\nOdpowiedzi\nNr\nzad.\n25\n25\nMiejsce na naklejkę\nz nr. PESEL\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nB\nB\nC\nD\nD\nC\nA\nObjętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72, a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nObjętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72,\na promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens\nkąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.\nRozwiązanie\nOznaczmy:\na - długość boku trójkąta równobocznego ABC, w który wpisano okręg o promieniu\n2\nr \n,\nH - wysokość tego ostrosłupa,\nA\nB\nC\nS\n15\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\n- miara kąta między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną.\nPonieważ\n3\n6\na\nr \n, to\n4 3\na \nObjętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 72 , zatem\n\n\n2\n4 3\n3\n1\n72\n3\n4\nH\n\n\n\nObliczamy wysokość ostrosłupa H: 48 3\n72\n12\nH\n\n\n, stąd\n72\n6 3\n4 3\nH \n\nZauważamy, że tg\nr\nH\n\n, stąd\n2\n3\ntg\n9\n6 3\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZaznaczenie kąta  między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną lub wybór\nwłaściwego kąta do dalszych obliczeń.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie długości boku trójkąta ABC:\n4 3\na \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie wysokości ostrosłupa ABCS:\n6 3\nH \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie tangensa kąta między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:\n3\ntg\n9\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\operatorname{tg}\\varphi = \\dfrac{\\sqrt{3}}{9}\\)\n\n*(Uwaga: zadanie jest otwarte - \"A\" w metadanych to błąd klasyfikacji, nie litera odpowiedzi ABCD.)*\n\n## Sposób 1 - geometria ostrosłupa prawidłowego (krok po kroku)\n\n**Krok 1. Oblicz bok podstawy \\(a\\) z promienia okręgu wpisanego.**\n\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\). Promień okręgu wpisanego:\n\\[r = \\frac{a}{2\\sqrt{3}}\\]\n\nZ danych \\(r = 2\\):\n\\[2 = \\frac{a}{2\\sqrt{3}} \\implies a = 4\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2. Oblicz pole podstawy.**\n\\[P_{ABC} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(4\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{48\\sqrt{3}}{4} = 12\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3. Oblicz wysokość ostrosłupa \\(h\\) z objętości.**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_{ABC} \\cdot h \\implies 72 = \\frac{1}{3} \\cdot 12\\sqrt{3} \\cdot h = 4\\sqrt{3} \\cdot h\\]\n\\[h = \\frac{72}{4\\sqrt{3}} = \\frac{18}{\\sqrt{3}} = \\frac{18\\sqrt{3}}{3} = 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 4. Zidentyfikuj szukany kąt.**\n\nNiech \\(O\\) - środek (centroid) podstawy \\(ABC\\), \\(M\\) - środek krawędzi \\(BC\\), \\(S\\) - wierzchołek.\n\n- Odcinek \\(SO\\) to **wysokość ostrosłupa**.\n- Płaszczyzna ściany bocznej \\(SBC\\) zawiera odcinek \\(SM\\) (apotema ostrosłupa, prostopadła do \\(BC\\)).\n- Projekcja \\(SO\\) na płaszczyznę \\(SBC\\) to właśnie \\(SM\\) (bo \\(OM \\perp SM\\) w podstawie i \\(SO \\perp\\) podstawa).\n\nSzukany kąt \\(\\varphi\\) to kąt \\(\\angle OSM\\) w trójkącie prostokątnym \\(SOM\\) (prostokąt przy \\(O\\)).\n\n**Krok 5. Oblicz \\(\\operatorname{tg}\\varphi\\).**\n\nW trójkącie \\(SOM\\):\n- \\(SO = h = 6\\sqrt{3}\\) - przyprostokątna (wysokość ostrosłupa)\n- \\(OM = r = 2\\) - przyprostokątna (apotema podstawy = promień okręgu wpisanego)\n\n\\[\\operatorname{tg}\\varphi = \\frac{OM}{SO} = \\frac{2}{6\\sqrt{3}} = \\frac{1}{3\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{9}\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{\\operatorname{tg}\\varphi = \\frac{\\sqrt{3}}{9}}\\]\n\n## Sposób 2 - przez apotema ostrosłupa (weryfikacja)\n\nObliczamy długość apotemy \\(SM\\) (wysokość ściany bocznej):\n\\[SM = \\sqrt{SO^2 + OM^2} = \\sqrt{(6\\sqrt{3})^2 + 2^2} = \\sqrt{108 + 4} = \\sqrt{112} = 4\\sqrt{7}\\]\n\nKąt \\(\\varphi\\) między \\(SO\\) a ścianą \\(SBC\\):\n\\[\\sin\\varphi = \\frac{OM}{SM} = \\frac{2}{4\\sqrt{7}} = \\frac{1}{2\\sqrt{7}}\\]\n\\[\\cos\\varphi = \\frac{SO}{SM} = \\frac{6\\sqrt{3}}{4\\sqrt{7}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2\\sqrt{7}}\\]\n\\[\\operatorname{tg}\\varphi = \\frac{\\sin\\varphi}{\\cos\\varphi} = \\frac{1/(2\\sqrt{7})}{3\\sqrt{3}/(2\\sqrt{7})} = \\frac{1}{3\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{9}\\]\n\nWynik zgodny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia wysokości \\(h\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\qquad r = \\frac{P}{p} = \\frac{a}{2\\sqrt{3}}\\]\n(gdzie \\(p = \\tfrac{3a}{2}\\) to półobwód) - użyliśmy do wyznaczenia \\(a\\) i pola podstawy.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przyległa}}\\]\nZastosowane w trójkącie \\(SOM\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między **wysokością** a **ścianą** to NIE jest kąt między krawędzią boczną (\\(SA\\)) a podstawą - to inny kąt! Mylenie apotemy ostrosłupa (\\(SM\\)) z krawędzią boczną (\\(SA\\)) to jeden z najczęstszych błędów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema podstawy (odległość od środka do środka boku, równa \\(r = 2\\)) to NIE to samo co promień okręgu opisanego (\\(R = 2r = 4\\)). Pomyłka tych dwóch wartości całkowicie zmienia wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\operatorname{tg}\\varphi\\) sprawdź, że masz: \\(\\operatorname{tg}\\varphi = \\frac{OM}{SO}\\), a nie odwrotnie - \\(OM\\) to przyprostokątna **naprzeciwko** kąta \\(\\varphi\\) (leżąca w podstawie), a \\(SO\\) to ta **przyległa** do \\(\\varphi\\) (będąca wysokością ostrosłupa).\n\n**Tangens kąta: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{9}\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie boku podstawy\nOznaczenia: \\(a\\) - bok trójkąta równobocznego \\(ABC\\), \\(r=2\\) - promień okręgu wpisanego, \\(H\\) - wysokość ostrosłupa, \\(\\alpha\\) - kąt między \\(H\\) a ścianą boczną.\n\nZ wzoru \\(r=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\):\n\\[2 = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6} \\Rightarrow a = \\dfrac{12}{\\sqrt{3}} = 4\\sqrt{3}.\\]\n\n### Wyznaczenie wysokości ostrosłupa\nObjętość: \\(V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_{\\text{p}}\\cdot H\\). Pole trójkąta równobocznego \\(P_{\\text{p}}=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}=\\dfrac{(4\\sqrt{3})^{2}\\sqrt{3}}{4}=\\dfrac{48\\sqrt{3}}{4}=12\\sqrt{3}\\).\n\\[72 = \\dfrac{1}{3}\\cdot 12\\sqrt{3}\\cdot H \\Rightarrow 72 = 4\\sqrt{3}\\cdot H \\Rightarrow H = \\dfrac{72}{4\\sqrt{3}} = \\dfrac{18}{\\sqrt{3}} = 6\\sqrt{3}.\\]\n\n### Obliczenie tangensa\nKąt \\(\\alpha\\) między wysokością ostrosłupa a ścianą boczną - w przekroju przez wierzchołek \\(S\\) i apotemę (spodek wysokości ściany bocznej) - to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(r=2\\) (odległość środka podstawy od boku) i \\(H=6\\sqrt{3}\\).\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{r}{H} = \\dfrac{2}{6\\sqrt{3}} = \\dfrac{1}{3\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{9}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a=4\\sqrt{3}\\): \\(P_{\\text{p}}=12\\sqrt{3}\\), \\(V=\\tfrac{1}{3}\\cdot 12\\sqrt{3}\\cdot 6\\sqrt{3}=\\tfrac{1}{3}\\cdot 216=72\\) ✓.\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za zaznaczenie kąta \\(\\alpha\\) między wysokością ostrosłupa a ścianą boczną,\n- **2 pkt** za obliczenie \\(a=4\\sqrt{3}\\),\n- **3 pkt** za obliczenie \\(H=6\\sqrt{3}\\),\n- **4 pkt** za obliczenie \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{9}\\).\n\n**Pamiętaj:** w ostrosłupie prawidłowym - kąt między wysokością ostrosłupa a ścianą boczną ma \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{r}{H}\\), gdzie \\(r\\) - promień okręgu wpisanego w podstawę, \\(H\\) - wysokość ostrosłupa.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}