{"paper":{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nKtóra z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x ?\nA.\n2x\nx\n\nB.\nx\nx\n\n\nC.\n1\n1\nx\nx\n\n\n\nD.\n\n\n2\n1\n1\nx\nx\n\n\n\nKtóra z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x? A. pierwiastek z x^2 = x, B. |-x| = x, C. |x-1| = x-1, D. pierwiastek z (x+1)^2 = |x+1|","answer":"D","answer_text":"2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nCzterech przyjaciół zarejestrowało spółkę.\nWysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża\nstosunek 12 : 8 : 3 : 2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego\ninwestora?\nA. 12%\nB. 32%\nC. 48%\nD. 52%\nCzterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek 12:8:3:2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora? A. 12%, B. 32%, C. 48%, D. 52%","answer":"C","answer_text":"2","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nDla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b wyrażenie\n1\nab\na\nb\n\n jest\nrówne\nA. \n\n\n1\n1\na\nb\n\n\nB. \n\n\n1\n1\na\nb\n\n\nC. \n\n\n1\n1\na\nb\n\n\nD. \n\n\n1\n1\na\nb\n\n\nDla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b wyrażenie ab+a-b-1 jest równe A. (a-1)(b-1), B. (a+1)(b-1), C. (a-1)(b+1), D. (a+1)(b+1).","answer":"C","answer_text":"3","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nNa prostej o równaniu y\nax\nb\n\n\nleżą punkty\n\n\n1,0\n\nK\ni\n\n\n0,1\n\nL\n. Wynika stąd, że\nA.\n1 i\n1\na\nb\n\n\nB.\n1 i\n1\na\nb\n\n\nC.\n1 i\n1\na\nb\n\n\nD.\n1 i\n1\na\nb\n\n\nNa prostej o równaniu y=ax+b leżą punkty K=(1,0) i L=(0,1). Wynika stąd, że A. a=-1 i b=1, B. a=1 i b=-1, C. a=-1 i b=-1, D. a=1 i b=1.","answer":"A","answer_text":"32\n\nx\n, lub 2\nx\n\n4 6\n\nx\n\n26\n\n2\nx\n\n4\n(różnica sąsiednich wyrazów ciągu jest","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nDane są liczby:\n3\n1\nlog 9\na \n,\n3\nlog 3\nb \n,\n3\n1\nlog 27\nc \n. Który z poniższych warunków jest\nprawdziwy?\nA. c\nb\na\n\n\nB. b\nc\na\n\n\nC. a\nc\nb\n\n\nD. c\na\nb\n\n\nDane są liczby: a = log_3 1/9, b = log_3 3, c = log_3 1/27 Który z poniższych warunków jest prawdziwy? A. a<b<a, B. b<c<a, C. a<c<b, D. c<a<b","answer":"D","answer_text":"5\n5\n5","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem\n\n3\n4\nf x\nx\n\n\ndla każdej liczby z przedziału\n2,2\n\nZbiorem wartości tej funkcji jest przedział\nA.\n10,2\n\nB. 10,2\n\nC.\n2,10\nD. 2,10\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 3x-4 dla każdej liczby z przedziału <-2,2>. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział A. <-10,2>, B. (-10,2), C. <2,10>, D. (2,10>.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nJednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej\n\n2\n3\n7\n\n\n\nf x\nx\nx\nc jest liczba\n7\n3\n.\nWówczas c jest równe\nA. 0\nB. 1\nC.\n98\n\nD. 98\nJednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = 3x^2+7x+c jest liczba -7/3. Wówczas c jest równe A. 0, B. 1, C. -98, D. 98","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nLiczba\n27\n26\n26\n25\n3\n3\n3\n3\n\n\njest równa\nA. 1\nB. 3\nC. 6\nD. 9\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nLiczba 3^{27} + 3^{26} / 3^{26} + 3^{25}} jest równa A. 1, B. 3, C. 6, D. 9","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nDane są wielomiany:\n\n2\n2\n1\nW x\nx\n\n,\n\n3\nP x\nx\nx\n\n\ni\n\n\n\n\n1\n1\nQ x\nx\nx\n\n\n\n. Stopień\nwielomianu\n\n\n\nW x\nP x\nQ x\n\n\njest równy\nA. 3\nB. 6\nC. 7\nD. 12\nDane są wielomiany: W(x) = 2x^2-1, P(x) = x^3+x, Q(x) = (1-x)(x+1). Stopień wielomianu W(x) * P(x) * Q(x) jest równy A. 3, B. 6, C. 7, D. 12","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nPierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu\n\n\n\n2\n4\ny\nx\nx\n\n\n\njest równa\nA.\n8\n\nB. 4\n\nC. 1\nD. 2\nPierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu y = (x+2)(x-4) jest równa A. -8, B. -4, C. 1, D. 2","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym (an), określonym dla\n1\n\nn\n, wyraz\n1\n5\na \n, natomiast iloraz\n2\nq .\nSuma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. 1705\n\nB. 1023\n\nC. 1705\nD.\n5115\nW ciągu geometrycznym (a_n), określonym dla n >= 1, wyraz a_1 = 5, natomiast iloraz q = -2. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. -1705, B. -1023, C. 1705, D. 5115","answer":"A","answer_text":"\n\n1\n\n\n150\n\n\n11\n\n\nt\n\n1\n\n\n150","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (an), określonym dla\n1\n\nn\n, dane są dwa wyrazy:\n2\n11\na \ni\n4\n7\na \nSuma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. 36\nB. 40\nC. 13\nD.\n20\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n>=1, dane są dwa wyrazy: a_2=11 i a_4=7. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. 36, B. 40, C. 13, D. 20","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nMiara kąta  spełnia warunek: 0\n90\n\n\n\n. Wyrażenie\n2\n2\n2\n2\ncos\n1 cos\n1 sin\nsin\n\n\n\n\n\n\n\njest równe\nA. 1\nB.\n2\n2cos \nC. 2\nD.\n2\n2sin \nMiara kąta alfa spełnia warunek: 0 < alfa < 90. Wyrażenie (cos alfa)^2 / 1 - (sin alfa)^2 + 1 - (cos alfa)^2 / (sin alfa)^2 jest równe A. 1, B. 2(cos alfa)^2, C. 2, D. 2(sin alfa)^2","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nW trapezie KLMN, w którym\n\nKL\nMN , kąt LKN jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są:\n3\n\nMN\n,\n4 3\n\nKN\n,\n60\n\n\nKLM\n. Pole tego trapezu jest równe\nA. 4\n2 3\n\nB. 10 3\nC. 20 3\nD. 24\n6 3\n\nW trapezie KLMN, w którym KL || MN, kąt LKN jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: |MN| = 3, |KN| = 4 pierwiastek z 3, |kąt KLM| = 60 stopnie. Pole tego trapezu jest równe A. 4 + 2 pierwiastki z 3, B. 10 pierwiastków z 3, C. 20 pierwiastków z 3, D. 24 + 6 pierwiastków.","answer":"C","answer_text":"15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy,\nliczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało\nw sumie 1800 punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich\nstudentów z obu grup, jest równy\nA. 20 pkt\nB. 30 pkt\nC. 50 pkt\nD. 60 pkt\nK\nL\nM\nN\n\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nŚrednia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy A. 20, B. 30, C. 50, D. 60","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nW sześcianie EFGHIJKL poprowadzono z wierzchołka F dwie przekątne sąsiednich ścian, FI\noraz FK (zobacz rysunek). Miara kąta IFK jest równa\nA. 30\nB. 45\nC. 60\nD. 90\nW sześcianie EFGHIJKL poprowadzono z wierzchołka F dwie przekątne sąsiednich ścian, FI oraz FK (zobacz rysunek). Miara kąta IFK jest równa A. 30 stopni, B. 45 stopni, C. 60 stopni, D. 90 stopni","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nPunkt O jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta LKM jest równa\nA. 30\nB. 60\nC. 90\nD. 120\nPunkt O jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta LKM jest równa A. 30 stopni, B. 60 stopni, C. 90 stopni, D. 120 stopni.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nNa trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg.\nPromień tego okręgu jest równy\nA.\n108\nB. 15\n2\nC. 15\nD.\n108\n2\nNa trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy A. pierwiastek z 108, B. 15/2, C. 15, D. pierwiastek z 108 / 2.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nZe zbioru kolejnych liczb naturalnych \n\n1, 2, 3, 4, , 30 losujemy jedną liczbę.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem\nliczby całkowitej, jest równe\nA.\n4\n30\nB.\n5\n30\nC.\n6\n30\nD. 10\n30\nE\nF\nG\nK\nL\nI\nJ\nH\nO\n130º\n110º\nL\nM\nK\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nZe zbioru kolejnych liczb naturalnych {1, 2, 3, 4, .., 30} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe A. 4/30, B. 5/30, C. 6/30, D. 10/30","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nW trójkącie EFG bok EF ma długość 21. Prosta równoległa do boku EF przecina boki EG\ni FG trójkąta odpowiednio w punktach H oraz I (zobacz rysunek) w taki sposób, że\n7\n\nHI\ni\n3\n\nGI\n. Wtedy długość odcinka FI jest równa\nA. 6\nB. 9\nC. 12\nD. 17\nW trójkącie EFG bok EF ma długość 21. Prosta równoległa do boku EF przecina boki EG i FG trójkąta odpowiednio w punktach H oraz I (zobacz rysunek) w taki sposób, że |HI| = 7 i |GI|=3. Wtedy długość odcinka FI jest równa A. 6, B. 9, C. 12, D. 17.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nNa planie miasta, narysowanym w skali 1 : 20000 , park jest prostokątem o bokach 2 cm\ni 5 cm. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię\nA.\n2\n20000m\nB.\n2\n40000m\nC.\n2\n200000m\nD.\n2\n400000m\nNa planie miasta, narysowanym w skali 1:20000, park jest prostokątem o bokach 2 cm i 5 cm. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię A. 20000 m^2, B. 40000 m^2, C. 200000 m^2, D. 400000 m^2.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nProste o równaniach:\n5\ny\nmx\n\n\noraz\n\n\n1 2\n7\ny\nm x\n\n\n są równoległe, gdy\nA.\n1\nm \nB.\n1\n3\nm \nC.\n1\n3\nm \nD.\n1\nm \nProste o równaniach: y=mx-5 oraz y=(1-2m)x+7 są równoległe, gdy A. m=-1, B. m=-1/3, C. m=1/3, D. m=1.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nPunkty\n\n\n2,0\n\nM\ni\n\n\n0,\n2\n\n\nN\nsą punktami styczności okręgu z osiami układu\nwspółrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg?\nA. \n\n\n\n2\n2\n2\n2\n4\n\n\n\n\nx\ny\nB. \n\n\n\n2\n2\n2\n2\n4\n\n\n\n\nx\ny\nC. \n\n\n\n2\n2\n2\n2\n4\n\n\n\n\nx\ny\nD. \n\n\n\n2\n2\n2\n2\n4\n\n\n\n\nx\ny\nPunkty M=(2,0) i N=(0,-2) są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg? A. (x-2)^2+(y-2)^2 = 4, B. (x-2)^2+(y+2)^2 = 4, C. (x+2)^2+(y+2)^2 = 4, D. (x+2)^2+(y-2)^2 = 4","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nObjętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa 96. Pole powierzchni bocznej tego\nwalca jest równe\nA. 16\nB. 24\nC. 32\nD. 48\nObjętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa 96pi. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe A. 16pi, B. 24pi, C. 32pi, D. 48pi.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nObjętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego\nostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa\nA. 3\nB. 9\nC. 27\nD. 108\nF\nE\nG\nH\nI\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać\nw wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.\nObjętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa A. 3, B. 9, C. 27, D. 108","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność \n\n\n2\n3\n3\n0\nx\nx\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nRozwiąż nierówność kwadratową (2x-3)(3-x) >= 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność \n\n\n2\n3 3\n0\nx\nx\n\n\n\nRozwiązanie\nWyznaczamy miejsca zerowe wielomianu, występującego po lewej stronie nierówności:\n\n\n2\n3\n0\n\n\nx\nlub \n\n3\n0\n\n\nx\n1\n2\n3 ,\n3\n2\nx\nx\n\n\nSzkicujemy parabolę, opisaną przez lewą stronę nierówności.\nOdczytujemy z ilustracji zbiór rozwiązań nierówności: 3\n3\n2\nx\n\n\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n2\n3 ,\n3\n2\nx\nx\n\n i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,\nnp.\n1\n2\n2\n2\n,\n3,\n,3\n3\n3\nx\nx\nx\n\n\n\n3\n2\n3\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n3\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:\n\n3 ,3\n2\nalbo\n\n3\n3\n2\nx\n\n\nalbo\n\n3 ,\n3\n2\nx\nx\n\n\nalbo\n w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n4","solution":"$x \\in \\left\\langle \\dfrac{3}{2}, 3 \\right\\rangle$","image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność a+b/2}^2 <= a^2+b^2/2","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie\nAby wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej\npostaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności:\n\n\n2\n2\n2\n4\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\nMnożymy obie strony tej nierówności przez 4:\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\nRedukujemy wyrazy podobne:\n2\n2\n2\nab\na\nb\n\n\nStąd otrzymujemy:\n2\n2\n2\n0,\na\nb\nab\n\n\n\nczyli \n\n2\n0.\na\nb\n\n\nNierówność ta jest prawdziwa dla\nkażdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b, zatem prawdziwa jest też\nnierówność równoważna\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n, co należało wykazać.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przekształci podaną nierówność do postaci\n2\n2\n2\n2\n4\na\nb\nab\n\n\nlub\n2\n2\n2\n0\na\nb\nab\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przedstawi kompletny dowód podanej nierówności.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n5","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"algebra","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt  jest ostry oraz\n3\ncos\n3\n\n. Oblicz wartość wyrażenia sin\ncos\ncos\n1 sin\n\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n13\nKąt alfa jest ostry oraz cos alfa = pierwiastek z 3 / 3. Oblicz wartość wyrażenia sin alfa / cos alfa + cos alfa / 1 + sin alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt  jest ostry oraz\n3\ncos\n3\n\n. Oblicz wartość wyrażenia sin\ncos\ncos\n1 sin\n\n\n\n\n\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzekształcamy wyrażenie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna.\n\n\n\n\n\n\n2\nsin\n1 sin\ncos\nsin\ncos\nsin\n1\n1\ncos\n1 sin\ncos\n1 sin\ncos\n1 sin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nNastępnie podstawiamy\n3\n3 za cos i otrzymujemy, że sin\ncos\n1\n3\n3\ncos\n1 sin\n3\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przekształci wyrażenie sin\ncos\ncos\n1 sin\n\n\n\n\n\ni otrzyma w wyniku :\n1\ncos i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość wyrażenia sin\ncos\ncos\n1 sin\n\n\n\n\n\n: 3\n3\nlub 3 .\nRozwiązanie (II sposób)\nObliczamy sin, wykorzystując własności funkcji trygonometrycznych kąta ostrego:\n2\n2\n3\n1\n2\nsin\n1 cos\n1\n1\n3\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nNastępnie obliczamy wartość wyrażenia sin\ncos\ncos\n1 sin\n\n\n\n\n\n:\n2\n2\n2\n3\n2\n2\n3\n1\n1\n3\n3\n3\nsin\ncos\n3\n3\n3\n3\n3\ncos\n1 sin\n3\n2\n3\n2\n3\n2\n3\n1\n1\n1\n3\n3\n3\n3\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy sin wykorzystując własności funkcji trygonometrycznych kąta ostrego:\n2\nsin\n3\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n6\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość wyrażenia sin\ncos\ncos\n1 sin\n\n\n\n\n\n: 3\n3\nlub 3 .\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n7","solution":"$\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"trygonometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nLiczby 6, 2\n4,\n26\nx\nx\n\n\nw podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem\npewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę r tego ciągu.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nLiczby 6, 2x+4, x+26 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę r tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nLiczby 6, 2\n4,\n26\nx\nx\n\n\nw podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem\npewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę r tego ciągu.\nRozwiązanie (I sposób)\nCiąg \n\n6,2\n4,\n26\nx\nx\n\n\njest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną\nwyrazów sąsiednich. Stąd:\n6\n26\n2\n4\n2\nx\nx\n\n\n\n\nRozwiązaniem równania jest\n8\nx .\nRóżnica r ciągu \n\n6,2\n4,\n26\nx\nx\n\n\njest równa:\n2 8\n4\n6\n14\nr \n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i zapisze równanie:\n6\n26\n2\n4\n2\nx\nx\n\n\n\n\nlub\n\n\n2 2\n4\n32\nx\nx\n\n\n\n, lub 2\n4 6\n26\n2\n4\n\n\n\n\n\nx\nx\nx\n(różnica sąsiednich wyrazów ciągu jest\nstała).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy różnicę r ciągu \n\n6,2\n4,\n26\nx\nx\n\n\n:\n14\nr \nUwaga\nJeśli zdający pomyli własność ciągu arytmetycznego z własnością ciągu geometrycznego, to za\ncałe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nRozwiązanie (II sposób)\nCiąg \n\n6,2\n4,\n26\nx\nx\n\n\njest arytmetyczny, zatem 2\n4\n6\nx\nr\n\n\n oraz\n26\n6\n2\nx\nr\n\n\n\n, gdzie\nr oznacza różnicę ciągu arytmetycznego.\nRozwiązując układ równań 2\n4\n6\n26\n6\n2\nx\nr\nx\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\notrzymujemy:\n8\nx ,\n14\nr \nOdp. Różnica r tego ciągu jest równa 14.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i zapisze układ równań: 2\n4\n6\n26\n6\n2\nx\nr\nx\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy różnicę r ciągu \n\n6,2\n4,\n26\nx\nx\n\n\n:\n14\nr \nUwaga\nJeśli zdający pomyli własność ciągu arytmetycznego z własnością ciągu geometrycznego, to za\ncałe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n8","solution":"$14$","image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"ciagi","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych:\n{ 4,\n1, 1, 5, 6}\n\n\nK\ni\n{ 3,\n2, 2, 3, 4}\n\n\nL\nZ każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego\nna wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15\nDane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych: K = {-4,-1,1,5,6} i L = {-3,-2,2,3,4} Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych:\n{ 4,\n1, 1, 5, 6}\n\n\nK\ni\n{ 3,\n2, 2, 3, 4}\n\n\nL\nZ każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego\nna wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.\nRozwiązanie (I sposób) (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane \n\ny\nx,\ndwóch liczb, ze zbiorów\n{ 4,\n1, 1, 5, 6}\n\n\nK\ni\n{ 3,\n2, 2, 3, 4}\n\n\nL\nNiech  oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a A - zdarzenie polegające na\nwylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:\n25\n5\n5\n\n\n\n\nIloczyn wylosowanych liczb jest dodatni, gdy:\n obie wylosowane liczby są dodatnie\nalbo\n obie wylosowane liczby są ujemne.\nLiczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa\n3 3\n2 2\n13\n\n\nA\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n25\n13\n)\n(\n\nA\nP\nRozwiązanie (II sposób) (metoda tabeli)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane \n\ny\nx,\ndwóch liczb, ze zbiorów\n{ 4,\n1, 1, 5, 6}\n\n\nK\ni\n{ 3,\n2, 2, 3, 4}\n\n\nL\nNiech  oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a A - zdarzenie polegające na\nwylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.\nSymbol  w tabeli oznacza zdarzenie elementarne\nsprzyjające zdarzeniu A\n25\n5\n5\n\n\n\n\ni\n13\n\nA\n, zatem\n13\n\nA\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n25\n5\n5\n\n\n\n\nalbo\n obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A :\n13\n\nA\n-4\n-1\n1\n5\n6\n-3\n\n\n-2\n\n\n2\n\n\n\n3\n\n\n\n4\n\n\n\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n9\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n25\n13\n)\n(\n\nA\nP\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełnił błąd przy zliczaniu par w tabeli, spełniających warunki zadania,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 pkt.\n2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A , to otrzymuje za całe\nrozwiązanie 0 punktów.\nRozwiązanie (III sposób) (metoda drzewa)\nRysujemy drzewo:\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest dodatni) jest więc równe:\n\n1\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n3\n3\n3\n13\n5 5\n5 5\n5 5\n5 5\n5 5\n25\nP A\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\nalbo\nU - oznacza wylosowanie liczby ujemnej\nD - oznacza wylosowanie liczby dodatniej\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest dodatni) jest więc równe:\n\n2 2\n3 3\n13\n5 5\n5 5\n25\nP A\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n2\n5\nU\nD\nD\n3\n5\nU\n2\n5\n3\n5\nD\nU\n3\n5\n2\n5\n2\n5\nU\nD\nD\n3\n5\n2\n5\n3\n5\nU\n-4\n-1\n5\n6\n1\n5\n1\n5\n1\n-3, -2\n2, 3, 4\n1\n5\n1\n5\n-3, -2\n2, 3, 4\n2, 3, 4\n2\n5\n2\n5\n3\n5\n3\n5\n3\n5\n1\n5\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n10\n narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo\nalbo\n narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami i przynajmniej na jednej gałęzi opisze\nprawdopodobieństwo.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n13\n( )\n25\nP A \nUwaga\nJeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A , to otrzymuje za całe rozwiązanie\n0 punktów.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n11","solution":"$P(A) = \\dfrac{13}{25}$","image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem\nboku BC (tak jak na rysunku) i CD\nDE\n\n. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nD\nE\n\nPoziom podstawowy\n16\nDany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD| = |DE|. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem\nboku BC (tak jak na rysunku) i CD\nDE\n\n. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.\nRozwiązanie (I sposób)\nTrójkąt CDB jest prostokątny, a punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta,\nczyli punkt E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie CDB. Stąd wynika, że\nDE\nBE\nCE\n\n\n. Z treści zadania wiemy, że CD=DE, zatem trójkąt CDE jest\nrównoboczny. Co należało udowodnić.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy stwierdzi, że punkt E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie CDB i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że trójkąt CDE jest równoboczny.\nRozwiązanie (II sposób)\nRysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez punkt E. Otrzymujemy\ntrójkąt CFE, który jest podobny do trójkąta CDB w skali\n2\n1\n\nk\nA\nB\nC\nD\nE\nA\nB\nC\nD\nE\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n12\nOdcinek EF jest wysokością trójkąta CDE, która dzieli podstawę CD na dwie równe części.\nStąd trójkąt CDE jest równoramienny i DE\nCE\n\n. Z treści zadania wiemy, że\nCD=DE, zatem trójkąt CDE jest równoboczny, co należało udowodnić.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy narysuje prostą równoległą do podstawy AB i zauważy, że trójkąty CFE i CDB są podobne\nw skali\n2\n1\n\nk\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że trójkąt CDE jest równoboczny.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n13","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC\npodstawy ma długość 4 2 . Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi\nostrosłupa ma miarę 60. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nS\nA\nC\nD\nB\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość 4 pierwiastki z 2. Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy\nma długość 4 2 . Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa jest\nrówny 60\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nRozwiązanie\nNiech a oznacza krawędź podstawy ostrosłupa, wtedy\n2\n4 2\na\n\n. Stąd\n4\na \nObliczamy pole P podstawy ostrosłupa:\n2\n16\nP\na\n\n\nW trójkącie AOS kąt ASO jest równy 30\n, a\n1\n2 2\n2\nAO\nAC\n\n\nObliczamy wysokość SO ostrosłupa:\n2 2\ntg30\nAO\nSO\nSO\n\n\n, czyli\n2 2 3\n2 6\n3\nSO\n\n\n\nS\nA\nC\nO\nD\nB\n60\nS\nh\nA\nC\nO\nD\nB\na\na\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n14\nUwaga\nZdający może zauważyć, że trójkąt ACS jest równoboczny i jego bok ma długość 4 2 ,\nwięc zastosowanie wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym pozwala obliczyć wysokość\nostrosłupa:\n4 2\n3\n2 6\n2\nSO\n\n\n\nObliczamy objętość V ostrosłupa:\n1\n32 6\n16 2 6\n3\n3\nV \n\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie długości krawędzi podstawy\n4\nAB\na\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie pola P podstawy:\n16\nP \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie wysokości ostrosłupa\n2 6\nSO \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości V ostrosłupa:\n32 6\n3\nV \nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n15","solution":"$V = \\dfrac{32\\sqrt{6}}{3}$","image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (5 pkt)\nTrasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę\ni 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości,\nz jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 km/h większa od średniej wartości\nprędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi\nprzejechali całą trasę obaj zawodnicy.\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n20\nTrasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 kmh większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.","answer":"P","answer_text":"Zadanie 33. (5 pkt)\nTrasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę\ni 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości,\nz jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 km/h większa od średniej wartości prędkości\npana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą\ntrasę obaj zawodnicy.\nUwaga\nW poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających,\nodpowiednio, prędkość i czas dla pana Nowaka. Oczywiście w pracach maturalnych te\nniewiadome mogą być oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, by te niewiadome były\nwyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie.\nRozwiązanie I sposób\nPrzyjmujemy oznaczenia v i t - odpowiednio prędkość w km/h i czas w godzinach dla pana\nNowaka.\nZapisujemy zależność między drogą, prędkością i czasem dla pana Nowaka:\n150\n\nv t\nZapisujemy prędkość i czas jazdy dla pana Kowalskiego:\n11\n\nv\n,\n5\n16\n\nt\nZapisujemy układ równań, np. \n\n150\n5\n11\n1\n150\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nv t\nv\nt\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n150\n\nt\nv\n150\n\nv\nt\npodstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy\n\n\n150\n5\n11\n1\n150\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nv\nv\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n11\n900\n0\n\n\n\nv\nv\n2\n121 3600\n61\n\n\n\n1\n11 61\n25\n2\n\n\n\nv\n, sprzeczne z zał.\n0\nv \n2\n11 61\n36(km/h)\n2\n\n\n\nv\nobliczamy prędkość drugiego rowerzysty\n11\n25(km/h)\n\n\nv\n150\n5\n11\n1\n150\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nt\nt\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n66\n121\n1650\n0\n\n\n\nt\nt\n2\n14641 435600\n671\n\n\n\n1\n121 671\n6\n132\n\n\n\n\nt\n, sprzeczne z zał.\n0\nt \n2\n121 671\n1\n4\n(h)\n132\n6\n\n\n\n\nt\nobliczamy prędkość pana Nowaka\n150\n36 (km/h)\n1\n4 6\n\n\nv\nobliczamy prędkość drugiego rowerzysty\n11\n25(km/h)\n\n\nv\nOdp.: Prędkości rowerzystów są równe: 36 km/h i 25 km/h.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n16\nRozwiązanie II sposób\nPrzyjmujemy oznaczenia v i t - odpowiednio prędkość w km/h i czas w godzinach dla pana\nKowalskiego.\nZapisujemy zależność między drogą, prędkością i czasem dla pana Kowalskiego:\n150\n\nv t\nZapisujemy prędkość i czas jazdy dla pana Nowaka:\n11\n\nv\n,\n5\n16\n\nt\nZapisujemy układ równań, np. \n\n5\n11\n1\n150\n6\n150\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nv\nt\nv t\nZ drugiego równania wyznaczamy\n150\n\nt\nv\n150\n\nv\nt\npodstawiamy do pierwszego równania i rozwiązujemy\n\n\n150\n5\n11\n1\n150\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nv\nv\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n11\n900\n0\n\n\n\nv\nv\n2\n121 3600\n61\n\n\n\n1\n11 61\n36\n2\n\n\n\n\nv\n, sprzeczne z zał.\n0\nv \n2\n11 61\n25(km/h)\n2\n\n\n\n\nv\nobliczamy prędkość pana Nowaka\n11\n36(km/h)\n\n\nv\n150\n5\n11\n1\n150\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nt\nt\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n66\n121\n1650\n0\n\n\n\nt\nt\n2\n49\n3920\n63\n\n\n\n1\n121 671\n1\n4\n132\n6\n\n\n\nt\n, sprzeczne z zał.\n0\nt \n2\n121 671\n6 (h)\n132\n\n\n\nt\nobliczamy prędkość pana Kowalskiego\n150\n25 (km/h)\n6\n\n\nv\nobliczamy prędkość pana Nowaka\n11\n36 (km/h)\n\n\nv\nOdp.: Prędkości rowerzystów są równe: 36 km/h i 25 km/h.\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\n Zapisanie zależności między drogą, prędkością i czasem dla jednego z rowerzystów\noraz prędkości i czasu dla obu rowerzystów przy użyciu tych samych oznaczeń,\nnp.: dla pana Nowaka\n150\n\nv t\n, czas pana Kowalskiego\n5\n16\n\nt\n, prędkość pana\nKowalskiego\n11\n\nv\nlub: dla pana Kowalskiego\n150\n\nv t\n, czas pana Nowaka\n5\n16\n\nt\n, prędkość pana Nowaka\n11\n\nv\nUwaga\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n17\nNie wymagamy opisania oznaczeń literowych, jeżeli z rozwiązania można wywnioskować,\nże zdający poprawnie je stosuje.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\n Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t - odpowiednio z prędkością i czasem dla\npana Nowaka: \n\n150\n5\n11\n1\n150\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nv t\nv\nt\nalbo\n Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t - odpowiednio z prędkością i czasem dla\npana Kowalskiego: \n\n5\n11\n1\n150\n6\n150\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nv\nt\nv t\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZapisanie równania z jedną niewiadomą, np:\n\n\n150\n5\n11\n1\n150\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nv\nv\nlub 150\n5\n11\n1\n150\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nt\nt\nlub \n\n150\n5\n11\n1\n150\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nv\nv\nlub 150\n5\n11\n1\n150\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nt\nt\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.\n rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczenie prędkości drugiego rowerzysty\nalbo\n rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie i nieobliczenie prędkości\nrowerzystów\nalbo\n obliczenie t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości obu\nrowerzystów.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nObliczenie prędkości obu rowerzystów: 36 km/h i 25 km/h.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) prędkość tylko jednego z rowerzystów: 36 km/h lub\n25 km/h, to otrzymuje 0 pkt.\n2. Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) prędkości obu rowerzystów: 36 km/h i 25 km/h, to\notrzymuje 1 pkt.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n18\n3. Zdający może pominąć jednostki, o ile ustalił je w toku rozumowania i stosuje je\nkonsekwentnie.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n19","solution":"$36 \\text{ km/h}$ i $25 \\text{ km/h}$","image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nPodstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie\n\n\n2,1\nA \ni\n\n\n5,2\nB \n. Ramię\ntego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2\n3\n0\nx\ny\n\n\n\n. Oblicz współrzędne\nwierzchołka C.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n21\nBRUDNOPIS\nPodstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie A=(2,1) i B=(5,2). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x-y-3=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nPodstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie\n\n\n2,1\nA \ni\n\n\n5,2\nB \n. Ramię tego\ntrójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2\n3\n0\n\n\nx\ny\n. Oblicz współrzędne wierzchołka C.\nRozwiązanie\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:\n3\n1\n2\n5\n1\n2\n\n\n\n. Zatem współczynnik kierunkowy\nprostej prostopadłej do prostej AB jest równy \n\n3\n\n. Symetralna odcinka AB ma równanie\nb\nx\ny\n\n\n3\n. Punkt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n,\n2\n7\n2\n1\n2\n,\n2\n2\n5\nS\njest środkiem odcinka AB . Symetralna tego\nodcinka przechodzi przez punkt S, więc\nb\n\n\n\n\n2\n7\n3\n2\n3\n, stąd\n12\n\nb\n. Zatem symetralna odcinka\nAB ma równanie\n12\n3 \n\n\nx\ny\nObliczamy współrzędne wierzchołka C rozwiązując układ równań:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n12\n3\n0\n3\n2\nx\ny\ny\nx\nZatem współrzędne punktu C są równe:\n\n\n3,3\nC \nSchemat oceniania rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n poprawne wyznaczenie lub podanie współrzędnych środka boku AB:\n\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n,\n2\n7\nS\nalbo\n poprawne wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:\n3\n1\n\na\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równania symetralnej boku AB:\n12\n3 \n\n\nx\ny\nUwaga\nZdający może wyznaczyć równanie symetralnej stosując jej własność: AC\nBC\n\n, gdzie\n\n\n,\nC\nx y\n\njest dowolnym punktem tej symetralnej. Wówczas otrzymuje:\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n5\n2\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\nstąd 3\n12\n0\nx\ny\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie układu równań\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n12\n3\n0\n3\n2\nx\ny\ny\nx\ni poprawne obliczenie jednej ze współrzędnych\npunktu C.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n20\nRozwiązanie prawie pełne 3 pkt\n popełnienie błędów przy wyznaczaniu współrzędnych środka boku albo\nwspółczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie do popełnionych błędów\nwyznaczenie współrzędnych punktu C.\nalbo\n poprawne wyznaczenie równania symetralnej boku AB i popełnienie błędów przy\nwyznaczeniu współrzędnych punktu C.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nPoprawne obliczenie współrzędnych punktu C:\n\n\n3,3\nC \nII sposób rozwiązania\nObliczamy współrzędne wektora AB który jest prostopadły do symetralnej odcinka AB:\n\n\n3,1\nAB \n. Zatem symetralna odcinka\nAB ma równanie 3\n0\nx\ny\nb\n\n\n\n. Obliczamy\nwspółrzędne punktu S, który jest środkiem odcinka AB:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n,\n2\n7\n2\n1\n2\n,\n2\n2\n5\nS\n. Symetralna\ntego odcinka przechodzi przez punkt S, więc\n7\n3\n3\n0\n2\n2\nb\n\n\n\n\n, stąd\n12\n\nb\n. Zatem symetralna\nodcinka AB ma równanie 3\n12\n0\nx\ny\n\n\n\nObliczamy współrzędne wierzchołka C rozwiązując układ równań:\n2\n3\n0\n3\n12\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem współrzędne punktu C są równe:\n\n\n3,3\nC \nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n poprawne wyznaczenie lub podanie współrzędnych środka boku AB:\n\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n,\n2\n7\nS\nalbo\n poprawne obliczenie współrzędnych wektora AB:\n\n\n3,1\nAB \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równania symetralnej boku AB:\n12\n3 \n\n\nx\ny\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie układu równań 2\n3\n0\n3\n12\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni poprawne obliczenie jednej ze współrzędnych\npunktu C.\nRozwiązanie prawie pełne 3 pkt\n popełnienie błędów przy wyznaczaniu współrzędnych środka boku albo\nwspółrzędnych wektora AB i konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczenie\nwspółrzędnych punktu C.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n21\nalbo\n poprawne wyznaczenie równania symetralnej boku AB i popełnienie błędów przy\nwyznaczeniu współrzędnych punktu C.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nPoprawne obliczenie współrzędnych punktu C:\n\n\n3,3\nC ","solution":"$C=(3,3)$","image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}