{"paper":{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":33,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 0,6 jest jednym z przybliżeń liczby 5\n8 . Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony\nw procentach, jest równy\nA. 0,025%\nB.\n2,5%\nC. 0,04%\nD. 4%","answer":"D","answer_text":"1 6\n5\n0,6\n0,6 20\n12\n2\n2 5\nBCD\nP\nCD\nh\nh\nAB h\nAB h\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nObliczamy pole trapezu ABCD.","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDany jest okrąg o środku\n\n\n6,\n8\nS \n\ni promieniu 2014. Obrazem tego okręgu w symetrii\nosiowej względem osi Oy jest okrąg o środku w punkcie S1. Odległość między punktami\nS i S1 jest równa\nA. 12\nB.\n16\nC. 2014\nD. 4028","answer":"A","answer_text":"2 17\n2\n17\n2\nx\n\n\n\n\noraz 2\n4\n2 17\n2\n17\n2\nx\n\n\n\n\n, czyli\n\n\n\n,\n2\n17\n2\n17,\nx\n\n.\nZdający otrzymuje 2 pkt\njeżeli:\n\npoda\nzbiór\nrozwiązań\nnierówności\nw\npostaci:\n\n\n\n\n,\n7\n3,\n\n\n\nlub\n\n\n\n\n,\n7\n3,\nx\n\n lub\n7\n3\nx\nx\n\n\nalbo\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów:\nUwaga:\nAkceptujemy zapis:\n7,\n3\nx\nx\n\n.\nZadanie 26. (0-2)\nUzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2\n4\n2\n1\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nRozwiązaniami równania \n\n\n\n3\n8\n5\n2\n1\nx\nx\nx\n\n\n\n= 0 są liczby\nA. -8; -5; 1\nB.\n-1; 5; 8\nC.\n2\n1\n\n; 2; 5\nD.\n2\n1\n\n; 5; 8","answer":"C","answer_text":"3 daje resztę 1.\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nG6.1., 2.1., G6.6. Zdający opisuje za pomocą wyrażeń\nalgebraicznych związki między różnymi wielkościami,\nużywa wzorów skróconego mnożenia na \n2\n\na\nb\noraz\n2\n2\n\na\nb , wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy\nalgebraicznej poza nawias.\nRozwiązanie:\nUstalamy, że liczba całkowita k, która nie dzieli się przez 3, daje się zapisać na jeden z dwóch\nsposobów:\n- sposób I (gdy reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1):\n3\n1\nk\nn\n\n, gdzie n jest liczbą\ncałkowitą,\n- sposób II (gdy reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2):\n3\n2\nk\nn\n\n, gdzie n jest liczbą\ncałkowitą.\nPrzy tych ustaleniach możemy zapisać kwadrat liczby k w zależności od n.\nW pierwszym przypadku\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n3\n1\n9\n6\n1\n3 3\n2\n1\nk\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n.\nW drugim przypadku\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2\n9\n12\n4\n9\n12\n3 1\n3 3\n4\n1\n1\nk\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nW obu przypadkach liczba\n2\nk jest sumą liczby podzielnej przez 3 i liczby 1, zatem reszta\nz dzielenia\n2\nk przez 3 jest równa 1.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\n\njeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez 3 jest równa\n1, uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1 i na tym\npoprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania\nalbo\n\njeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez 3 jest równa\n2, uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1 i na tym\npoprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania,\nalbo\n\njeżeli przeprowadza uzasadnienie tezy w dwóch przypadkach: kiedy reszta z\ndzielenia liczby całkowitej przez 3 jest równa 1 oraz kiedy reszta z dzielenia liczby\ncałkowitej przez 3 jest równa 2, ale popełnia błędy w przynajmniej jednym z tych\nprzypadków.\nZdający otrzymuje. 2 pkt\njeżeli przeprowadzi poprawne uzasadnienie faktu: reszta z dzielenia przez 3 kwadratu liczby\ncałkowitej, niepodzielnej przez 3, jest równa 1.\nZadanie 29. (0-2)\nWartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została\nprzebyta. Samochód przejechał z miejscowości A do miejscowości C przez miejscowość B,\nktóra znajduje się w połowie drogi z A do C. Wartość prędkości średniej samochodu na trasie\nz A do B była równa 40 km/h, a na trasie z B do C - 60 km/h. Oblicz wartość prędkości\nśredniej samochodu na całej trasie z A do C.\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nG6.1., G6.7. Zdający opisuje za pomocą wyrażeń\nalgebraicznych związki między różnymi wielkościami,\nwyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym\ngeometrycznych i fizycznych.\nI sposób rozwiązania:\nOznaczamy przez s drogę z A do C, przez t1 czas przejazdu z A do B, a przez t2 czas\nprzejazdu z B do C.\nZ warunków zadania otrzymujemy równania:\n1\n2\n40\ns\nt\n\noraz\n2\n2\n60\ns\nt\n\nPo przekształceniach wyznaczamy t1 i t2: 1\n80\ns\nt \noraz 2\n120\ns\nt \nMożemy wyznaczyć średnią prędkość samochodu na drodze z A do C:\n1\n2\n240\n48\n3\n2\n5\n80\n120\n240\ns\ns\ns\ns\nv\ns\ns\ns\ns\nt\nt\ns\n\n\n\n\n\n\n\n\nOdpowiedź: Wartość średniej prędkości na trasie z A do C jest równa 48 km/h.\nII sposób rozwiązania:\nPrzy podanych średnich prędkościach na dwóch odcinkach drogi, składających się na\ncałą drogę, prędkość średnia na całej drodze jest określona jednoznacznie. Bez straty\nogólności możemy założyć, że trasa z A do C ma długość 120 km, wówczas przejazd z A\ndo B trwałby 1,5 h, zaś przejazd z B do C trwałby 1 h.\nMożemy wyznaczyć średnią prędkość samochodu na drodze z A do C:\n120\n120\n1200\n48\n1,5 1\n2,5\n25\nv \n\n\n\n\nOdpowiedź: Wartość średniej prędkości na trasie z A do C jest równa 48 km/h.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\njeżeli:\n\nzapisze zależność między średnią prędkością na trasie z A do C a długością drogi\nmiędzy A i C, np.\n80\n120\ns\nv\ns\ns\n\n\nalbo\n\nprzedstawi sposób wyznaczania wartości średniej prędkości na trasie z A do C przy\npoprawnie przyjętych konkretnych wartościach liczbowych dla drogi i czasu przejazdu\nna poszczególnych częściach trasy, np.\n120\n1,5 1\nv \n.\nZdający otrzymuje 2 pkt\njeżeli obliczy wartość średniej prędkości na trasie z A do C: 48 km/h.\nUwaga:\nZdający może posłużyć się znaną zależnością między prędkościami średnimi na odcinkach\ndrogi a prędkością średnią na całej drodze i wyznaczyć wartość średniej prędkości przez\npodstawienie do odpowiedniego wzoru, np. może wykorzystać średnią harmoniczną.\nZadanie 30. (0-4)\nZakupiono 16 biletów do teatru, w tym 10 biletów na miejsca od 1. do 10. w pierwszym\nrzędzie i 6 biletów na miejsca od 11. do 16. w szesnastym rzędzie. Jakie jest\nprawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród\nszesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10.3. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych\nsytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa.\nI sposób rozwiązania:\nOpisujemy zbiór zdarzeń elementarnych.\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1,2 , 1,3 , 1,4 , , 1,10 , 1,11 , , 1,16 ,\n2,1 , 2,3 , 2,4 , , 2,10 , 2,11 , , 2,16 ,\n3,1 , 3,2 , 3,4 , , 3,10 , 3,11 , , 3,16 ,\n4,1 , 4,2 , 4,3 , , 4,10 , 4,11 , , 4,16 ,\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n16,1 , 16,2 , 16,3 , , 16,10 , 16,11 , , 16,15\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych:\n16 15\n240\n\n\n\nPodajemy zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A, które polega na tym, że\n2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, są biletami na sąsiadujące miejsca:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1,2 , 2,1 , 2,3 , 3,2 , 3,4 , 4,3 , 4,5 ,\n5,4 , 5,6 , 6,5 , 6,7 , 7,6 , 7,8 , 8,7 ,\n8,9 , 9,8 , 9,10 , 10,9 , 11,12 , 12,11 , 12,13 ,\n13,12 , 13,14 , 14,13 , 14,15 , 15,14 , 15,16 , 16,15\nA \n28\nA \nObliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: \n28\n7\n240\n60\nA\nP A \n\n\n\nII sposób rozwiązania\nRysujemy kwadraty w 16 wierszach i 16 kolumnach i wykreślamy te kwadraty, dla których\nnumer wiersza jest równy numerowi kolumny. Pozostałe kwadraty odpowiadają jednakowo\nprawdopodobnym zdarzeniom elementarnym.","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nCena towaru została podwyższona o 30%, a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie\npodwyższono, tym razem o 10%. W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru\nzwiększyła się o\nA. 15%\nB.\n20%\nC. 40%\nD. 43%","answer":"D","answer_text":"4 10\n3\n2\nx\n\n\n\n\noraz 2\n4 10\n7\n2\nx\n\n\n\n\nlub zapisujemy nierówność w postaci \n\n\n3\n7\n0\nx\nx\n\n\n\n\nSzkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej f i na jego podstawie odczytujemy\nrozwiązanie nierówności\n21\n3\n-7\n0\nx\ny\nOdpowiedź:\n\n\n\n\n,\n7\n3,\nx\n\n.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\njeżeli:\n prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego 1\n3\nx \noraz 2\n7\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n\nrozłoży trójmian kwadratowy\n2\n4\n21\nx\nx\n\n\n\nna czynniki liniowe i zapisze nierówność\n\n\n\n3\n7\n0\nx\nx\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność\nnp. 1\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDane są dwie funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorami\n( )\n5\n1\nf x\nx\n\n\noraz ( )\n5x\ng x \n. Liczba punktów wspólnych wykresów tych funkcji jest równa\nA. 3\nB.\n2\nC. 1\nD. 0\n\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":"C","answer_text":"5 2\n\n\n\nr\nr\n7744 3900\n3844\n\n\n\n62\n\n1\n2\n88\n62\n88\n62\n2,6\n15\n10\n10\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n1r odrzucamy, bo jest liczbą mniejszą od 11.\nDalsze obliczenia prowadzimy dla przypadku\n15\nr \nObliczamy wysokość stożka: 2 15\n22\n8\n\n\n\nObliczamy objętość stożka:\n2\n1\n15\n8\n600\n3\nV\n\n\n\n\n\n\nObliczamy powierzchnię całkowitą stożka:\n\n\n15 15 17\n480\nP\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania - 1 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego na wyliczenie długości promienia\npodstawy stożka lub wysokości stożka, np. \n2\n2\n2\n22\n289\nr\nr\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 2 pkt\nRozwiązanie równania kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania - 3 pkt\nWyznaczenie jedynej możliwej długości promienia podstawy stożka i odrzucenie wartości\nsprzecznej z warunkami zadania oraz wyznaczenie wysokości stożka:\n15\nr \ni\n8\nh \nRozwiązanie pełne - 4 pkt\nPoprawne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej bryły.\n2\n1\n15\n8\n600\n3\nV\n\n\n\n\n\n\n\n\n15 15 17\n480\nP\n\n\n\n\n\n","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nWyrażenie \n2\n1\n3\ny\nx\n\n\njest równe\nA.\n2\n2\n3\n1\nx\ny\n\n\nB.\n2\n2\n9\n6\n1\nx\nx\ny\n\n\n\nC.\n2\n2\n3\n6\n6\n1\nx\ny\nxy\nx\n\n\n\n\nD.\n2\n2\n9\n6\n6\n2\n1\nx\ny\nxy\nx\ny\n\n\n\n\n","answer":"D","answer_text":"6.1, 6.3. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości\nfunkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0\ndo\n180\n; oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja\ntrygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną\nalbo - korzystając z tablic lub kalkulatora - przybliżoną).\nPoprawna odpowiedź: A\nZadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie i tworzenie\ninformacji.","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nPołowa sumy\n28\n28\n28\n28\n4\n4\n4\n4\n\n\n\njest równa\nA.\n30\n2\nB.\n57\n2\nC.\n63\n2\nD.\n112\n2","answer":"B","answer_text":"\n3,\n lub\n\nx\n\n7\nx\n\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nRównania\n4\n5\n4\n3\n\n\n\nx\ny\noraz\n3\n4\n\n\ny\nopisują dwie proste\nA. przecinające się pod kątem o mierze 90º.\nB. pokrywające się.\nC. przecinające się pod kątem różnym od 90º.\nD. równoległe i różne.","answer":"C","answer_text":"!\n!","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNa płaszczyźnie dane są punkty:\n\n\n2,\n6\n\nA\n,\n\n\n0, 0\n\nB\ni\n\n\n2, 0\nC \n. Kąt BAC jest równy\nA. 30º\nB. 45º\nC. 60º\nD. 75º","answer":"A","answer_text":"!\n!","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja f, określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie x\nostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji f zawiera dokładnie\nA. 5 elementów.\nB. 6 elementów.\nC. 9 elementów.\nD. 10 elementów.","answer":"B","answer_text":"10.\nCDO\nP\n\n2\nCDO\nP\n\nA\nO\nD\nC\nB\nA\nO\nD\nC\nB\nx\n5x\nh\n5h\nMożemy wyznaczyć pole trójkąta ACD:\n10\n10\n2\n12\nACD\nCDO\nP\nP\n\n\n\n\n\n\n\nObliczmy pole trójkąta ABC.\n\n\n1\n1\n5\n3\n3 5\n30\n30\n60\n2\n2\nABC\nCDO\nP\nAB\nh\nh\nAB h\nCD h\nCD h\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nObliczamy pole trapezu ABCD.\n12\n60\n72\nABCD\nACD\nABC\nP\nP\nP\n\n\n\n\n\n\n\nZatem wykazaliśmy, że pole trapezu ABCD jest równe 72.\nII sposób rozwiązania:\nTrójkąty ABO i CDO są podobne (na podstawie cechy kk).\nJeżeli CO\nx\n\n, to\n5\nAO\nx\n\n, ponadto\n5\nAB\nCD\n\nJeżeli wysokość w trójkącie CDO opuszczona na bok CD jest równa h, to wysokość\nw trójkącie ABO opuszczona na bok AB jest równa 5h.\nMożemy zapisać dwa wzory opisujące pole trójkąta ACD.\n\n5\n10\n10\n2\nABD\nAOD\nABO\nABO\nP\nP\nP\nP\nAB h\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1\n5\n3\n2\nABD\nP\nAB\nh\nh\nAB h\n\n\n\n\n\n\n\nMożemy zatem zapisać równość:\n5\n3\n10\n2\nAB h\nAB h\n\n\n\n\n\n\nWobec tego: 0,5\n10.\nAB h\n\n\n\n20\nAB h\n\n\nMożemy wyznaczyć pole trójkąta ABCD:\n3\n3 20\n60\nABD\nP\nAB h\n\n\n\n\n\nObliczmy pole trójkąta BCD.\n\n\n1","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nEkipa złożona z 25 pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu 156 dni.\nJeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić\nw ciągu 100 dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o\nA. 14 osób więcej.\nB. 17 osób więcej.\nC. 25 osób więcej.\nD. 39 osób więcej.\n\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":"A","answer_text":"!","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nZ sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości a odcięto ostrosłup ABDE (zobacz rysunek).\nIle razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?\nA. 2 razy.\nB. 3 razy.\nC. 4 razy.\nD. 5 razy.","answer":"D","answer_text":"!\n!","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nW układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie A =\n\n4\n2,\n,\nktóra jest wykresem funkcji kwadratowej f.\nFunkcja f może być opisana wzorem\nA.\n\n\n\n2\n2\n4\nf x\nx\n\n\n\nB.\n\n\n\n2\n2\n4\nf x\nx\n\n\n\nC.\n\n\n\n2\n2\n4\nf x\nx\n\n\n\nD.\n\n\n\n2\n2\n4\nf x\nx\n\n\n\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\n\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":"C","answer_text":"!\n!","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nPunkty\n\n\n6\n2 2, 4\n2 2\nA \n\n,\n\n\n2\n6\n2\n4\n2\n\n\n\n,\nB\n,\n\n\n2\n2\n6\n2\n6\n2\n\n\n\n,\nC\nsą kolejnymi\nwierzchołkami równoległoboku ABCD. Przekątne tego równoległoboku przecinają się\nw punkcie\nA.\n\n\n2\n5\n5\n2\n4\n1\n\n\n\n\n,\nS\nB.\n\n\n2\n4\n2\n2\n2\n\n\n\n\n,\nS\nC.\n\n\n2\n4\n3\n2\n5\n2\n\n\n\n,\nS\nD.\n\n\n2\n2\n5\n2\n2\n2\n\n\n\n\n,\nS","answer":"D","answer_text":"!\n!","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nLiczba sin150 jest równa liczbie\nA. cos60\nB. cos120\nC.\ntg120\nD.\ntg60","answer":"A","answer_text":"!\n!","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nNa ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych\nróżnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości 1 m, a bok każdego z następnych\ntrójkątów jest o 10 cm dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok\ndługości 5,9 m. Ile trójkątów przedstawia mural?\nA. 49\nB. 50\nC.\n59\nD. 60","answer":"B","answer_text":"16 15\n240\n\n\n\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\nZaznaczmy kwadraty, odpowiadające zdarzeniom sprzyjającym zdarzeniu A, które\npolega na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, są biletami na sąsiadujące\nmiejsca.\n28\nA \nObliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: \n28\n7\n240\n60\nA\nP A \n\n\n\nSchemat oceniania:\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania - 1 pkt\nZdający\n zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n16 15\n\n\nlub\n240\n\nalbo\n wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, które polega na tym, że\n2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, są biletami na sąsiadujące miejsca\n(np. w postaci tabeli) lub w inny sposób opisze te zdarzenia i na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n1\n!\n2\n!\n!\n3\n!\n!\n4\n!\n!\n5\n!\n!\n6\n!\n!\n7\n!\n!\n8\n!\n!\n9\n!\n!\n10\n!\n11\n!\n12\n!\n!\n13\n!\n!\n14\n!\n!\n15\n!\n!\n16\n!\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 2 pkt\nZdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wypisze zdarzenia\nelementarne sprzyjające zdarzeniu A (np. w postaci tabeli) lub w inny sposób opisze te\nzdarzenia.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania - 3 pkt\nZdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę wszystkich zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu A:\n16 15\n\n\n(lub\n240\n\n),\n9\n9\n5\n5\nA \n (lub\n28\nA \n).\nRozwiązanie pełne - 4 pkt\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n7\n60\n( )\nP A \nUwaga:\nJeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A , to otrzymuje za całe rozwiązanie","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości 20 tworzy z podstawą kąt 67,5º.\nPole tego trójkąta jest równe\nA. 100 3\nB. 100 2\nC.\n200 3\nD.\n200 2\n\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nNa rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów.\nPole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi a jest dwa razy większe od pola powierzchni\ncałkowitej ostrosłupa o krawędzi b. Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi a jest większa od\nobjętości ostrosłupa o krawędzi b?\nA.\n2\nB.\n2\nC.\n2 2\nD.\n4","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nNa okręgu o środku S leżą punkty A, B, C i D. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Kąt\nmiędzy tą średnicą a cięciwą AC jest równy 21 (zobacz rysunek).\nKąt  między cięciwami AD i CD jest równy\nA. 21º\nB. 42º\nC. 48º\nD. 69º","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna zestawu danych: 3, 8, 3, 11, 3, 10, 3, x jest równa 6. Mediana tego\nzestawu jest równa\nA. 5\nB. 6\nC. 7\nD. 8\na\na\na\na\na\na\na\na\nb\nb\nb\nb\nb\nb\nb\nb\nb\na\n\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny \n\nn\na\n, w którym\n2\n1\n\n\na\n,\n2\n2 \na\n,\n2\n2\n3\n\n\na\n. Dziesiąty\nwyraz tego ciągu, czyli\n10\na , jest równy\nA. 32\nB.\n32\n\nC. 16 2\nD.\n16 2\n","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nCiąg \n\nna\njest określony wzorem\n24\n4\nn\nn\na\nn\n\n\ndla\n1\nn . Liczba wszystkich całkowitych\nnieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. 7\nB. 6\nC. 5\nD. 4","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nRzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech pi oznacza\nprawdopodobieństwo wyrzucenia i oczek w i-tym rzucie. Wtedy\nA.\n6\n1\np \nB.\n6\n1\n6\np \nC.\n3\n0\np \nD.\n3\n1\n3\np ","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nWskaż liczbę, która spełnia równanie 4\n9\nx \nA. log9\nlog4\n\nB.\nlog2\nlog3\nC.\n9\n2log 2\nD.\n4\n2log 3\n\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nRozwiązania zadań 25.-33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-2)\nRozwiąż nierówność:\n0\n21\n4\n2\n\n\n\n\nx\nx\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"48\n\n73","solution":"$x \\in (-\\infty, -7) \\cup (3, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nUzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2\n4\n2\n1\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n25.\n26.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":15,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nCzas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze 100% pierwiastka\npozostało 50% tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama\npierwiastka po x okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n2\n1\nW przypadku izotopu jodu 131I czas połowicznego rozpadu jest równy 8 dni. Wyznacz\nnajmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z 1 g 131I nie więcej niż 0,125 g tego\npierwiastka.\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":null,"solution":"24 dni","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nUzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez\n3 daje resztę 1.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n27.\n28.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":17,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nWartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została\nprzebyta. Samochód przejechał z miejscowości A do miejscowości C przez miejscowość B,\nktóra znajduje się w połowie drogi z A do C. Wartość prędkości średniej samochodu na trasie\nz A do B była równa 40 km/h, a na trasie z B do C - 60 km/h. Oblicz wartość prędkości\nśredniej samochodu na całej trasie z A do C.\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":null,"solution":"48 km/h","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"30","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-4)\nZakupiono 16 biletów do teatru, w tym 10 biletów na miejsca od 1. do 10. w pierwszym\nrzędzie i 6 biletów na miejsca od 11. do 16. w szesnastym rzędzie. Jakie jest\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród\nszesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n29.\n30.\nMaks. liczba pkt\n2\n4\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\dfrac{7}{60}$","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":19,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-4)\nW trapezie ABCD \n\nAB CD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O takim, że\n:\n5:1\nAO\nOC \n. Pole trójkąta AOD jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest\nrówne 72.\nA\nO\nD\nC\nB","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":20,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nPunkty\n\n\n3, 3\nA \ni\n\n\n9,1\nB \nsą wierzchołkami trójkąta ABC, a punkt\n\n\n1, 6\nM \njest\nśrodkiem boku AC. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej AB z wysokością tego\ntrójkąta, poprowadzoną z wierzchołka C.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n31.\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x=-2,4$ i $y=4,8$","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":21,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nTworząca stożka ma długość 17, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy\no 22. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$V=600\\pi$, $P=480\\pi$","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":22,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}