{"paper":{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów\nrównań.\n-2\n-1\n1\n2\n3\n-1\n1\n2\n3\n4\n0\nx\ny\nWskaż ten układ.\nA.\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n1\nx\ny\nx\ny\nB.\n1\n2\n4\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n\nC.\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n1\nx\ny\nx\ny\nD.\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n1\nx\ny\nx\ny\nNa rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. A. { y = x-1, y = -2x+4, B. {y = x-1, y = 2x+4, C. { y = x+1, y = -2x+4, D. { y = x+1, y = 2x+4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\n(1 pkt)\nWersja\narkusza\nA\nWersja\narkusza\nB\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nInterpretacja geometryczna\nukładu dwóch równań\nliniowych z dwiema\nniewiadomymi (II.8.d)\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\[\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\]\n\n## Sposób 1 - Zastosowanie definicji pierwiastka i wartości bezwzględnej\n\nKluczowy fakt: dla **dowolnej** liczby rzeczywistej \\(a\\) zachodzi:\n\\[\\sqrt{a^2} = |a|\\]\n\nDlaczego? Bo \\(\\sqrt{\\cdot}\\) zawsze zwraca wartość **nieujemną**, a \\(|a|\\) to właśnie nieujemna wersja \\(a\\). Formalnie: szukamy takiego \\(b \\geq 0\\), że \\(b^2 = a^2\\) - i tym \\(b\\) jest dokładnie \\(|a|\\).\n\nW odpowiedzi D mamy \\(a = x + 1\\), gdzie \\(x\\) to dowolna liczba rzeczywista. Podstawiamy:\n\\[\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\]\n\nTa równość **zawsze zachodzi** - niezależnie od znaku \\(x+1\\). Sprawdzamy dla przykładów:\n\n- \\(x = 3\\): \\(\\sqrt{(3+1)^2} = \\sqrt{16} = 4\\), \\(|3+1| = 4\\) ✓\n- \\(x = -5\\): \\(\\sqrt{(-5+1)^2} = \\sqrt{16} = 4\\), \\(|-5+1| = |-4| = 4\\) ✓\n- \\(x = -1\\): \\(\\sqrt{(-1+1)^2} = \\sqrt{0} = 0\\), \\(|-1+1| = 0\\) ✓\n\n**Wniosek: równość D jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\).**\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie przez definicję wartości bezwzględnej (rozważenie przypadków)\n\nChcemy pokazać, że \\(\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\n**Przypadek 1:** \\(x + 1 \\geq 0\\) (czyli \\(x \\geq -1\\))\n\nWtedy \\(|x+1| = x+1\\), a:\n\\[\\sqrt{(x+1)^2} = x+1 \\quad \\text{(bo } x+1 \\geq 0\\text{, więc pierwiastek = sama liczba)}\\]\nObie strony równe \\(x+1\\). ✓\n\n**Przypadek 2:** \\(x + 1 < 0\\) (czyli \\(x < -1\\))\n\nWtedy \\(|x+1| = -(x+1)\\), a:\n\\[\\sqrt{(x+1)^2} = -(x+1) \\quad \\text{(bo } x+1 < 0\\text{, pierwiastek musi być dodatni)}\\]\nObie strony równe \\(-(x+1)\\). ✓\n\n**W obu przypadkach równość zachodzi** - zatem D jest prawdziwe dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\nUżyta w Sposobie 2 do rozważenia przypadków.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - wzór:\n\\[\\sqrt{a^2} = |a|\\]\nTo jest **kluczowy wzór** całego zadania, użyty w Sposobie 1. Często zapisany jako konsekwencja definicji pierwiastka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Twierdzenie | Błąd / kontrprzykład |\n| A | \\(\\sqrt{x^2} = x\\) | Dla \\(x = -3\\): \\(\\sqrt{9} = 3 \\neq -3\\). Poprawnie: \\(\\sqrt{x^2} = |x|\\), nie \\(x\\) |\n| B | \\(|-x| = x\\) | Dla \\(x = -3\\): \\(|-(-3)| = |3| = 3 \\neq -3\\). Poprawnie: \\(|-x| = |x|\\), co bywa ujemne tylko gdy nigdy - \\(|x| \\geq 0\\) zawsze |\n| C | \\(|x-1| = x-1\\) | Prawdziwe tylko dla \\(x \\geq 1\\). Dla \\(x = 0\\): \\(|0-1| = 1 \\neq -1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo częsty błąd to myślenie, że \\(\\sqrt{x^2} = x\\). To **nieprawda**! Zawsze \\(\\sqrt{x^2} = |x|\\). Pierwiastek nigdy nie daje wartości ujemnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B kusi, bo \\(|-x|\\) wygląda jak \"coś się upraszcza do \\(x\\)\". Ale \\(|-x| = |x|\\) - i dla \\(x < 0\\) to jest liczba dodatnia, a \\(x\\) jest ujemne, więc równość nie zachodzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C jest prawdziwa **warunkowo** (dla \\(x \\geq 1\\)) - to klasyczna pułapka. Zadanie pyta o prawdziwość **dla każdego** \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc jeden kontrprzykład wystarczy, by odrzucić odpowiedź.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność pierwiastka z kwadratu\nDla każdej liczby rzeczywistej \\(t\\) zachodzi \\(\\sqrt{t^2} = |t|\\). Stosując dla \\(t = x+1\\):\n\\[\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\]\nRówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie kontrprzykładem pozostałych\nWystarczy podać jeden \\(x\\), dla którego równość jest fałszywa.\n- **A.** \\(x=-1\\): \\(\\sqrt{1}=1 \\ne -1\\).\n- **B.** \\(x=-1\\): \\(|1|=1 \\ne -1\\).\n- **C.** \\(x=0\\): \\(|-1|=1 \\ne -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(\\sqrt{x^2}=|x|\\), czyli \\(= x\\) tylko dla \\(x \\ge 0\\).\n- **B.** \\(|-x|=|x|\\), a \\(|x|=x\\) tylko dla \\(x \\ge 0\\).\n- **C.** \\(|x-1|=x-1\\) tylko dla \\(x \\ge 1\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nJeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to\nA.\n60\nc \nB.\n52\nc \nC.\n48\nc \nD.\n39\nc \nJeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to A. c = 39, B. c = 48, C. c = 52, D. c = 60.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nStosowanie pojęcia procentu\nw obliczeniach (II.1.d)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(48\\%\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie udziału przez sumę części\n\n**Suma wszystkich części stosunku:**\n\\[12 + 8 + 3 + 2 = 25\\]\n\nNajwiększy udział to \\(12\\) (części z \\(25\\) łącznie).\n\n**Udział największego inwestora jako ułamek:**\n\\[\\frac{12}{25}\\]\n\n**Przeliczamy na procenty:**\n\\[\\frac{12}{25} = \\frac{12 \\cdot 4}{25 \\cdot 4} = \\frac{48}{100} = 48\\%\\]\n\n**Udział największego inwestora stanowi \\(48\\%\\) kapitału zakładowego.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie wszystkich udziałów\n\nSprawdźmy, czy wszystkie udziały sumują się do \\(100\\%\\):\n\n\\[\\text{Wspólnik A: } \\frac{12}{25} = 48\\%\\]\n\\[\\text{Wspólnik B: } \\frac{8}{25} = 32\\%\\]\n\\[\\text{Wspólnik C: } \\frac{3}{25} = 12\\%\\]\n\\[\\text{Wspólnik D: } \\frac{2}{25} = 8\\%\\]\n\nSuma: \\(48\\% + 32\\% + 12\\% + 8\\% = 100\\%\\) ✓\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy pojęcie stosunku i przeliczanie ułamka na procenty (działania arytmetyczne na poziomie podstawowym).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(12\\%\\) - uczeń wziął liczbę \\(12\\) wprost jako procent, bez obliczenia sumy stosunku. Zapomniał podzielić przez \\(25\\) |\n| B | \\(32\\%\\) - uczeń policzył udział **drugiego** wspólnika \\(\\frac{8}{25} = 32\\%\\), a nie największego |\n| D | \\(52\\%\\) - prawdopodobnie zsumowano trzy mniejsze udziały \\(8 + 3 + 2 = 13\\), po czym odjęto od \\(65\\%\\) lub popełniono błąd sumowania: \\(12 + 8 + 3 + 2 = 25\\), ale błędnie uznano, że suma to \\(23\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba \\(12\\) w stosunku to **nie jest** \\(12\\%\\)! Procent liczymy dopiero po ustaleniu, ile wynosi całość (suma wszystkich części stosunku).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, która liczba w stosunku jest największa - tu to \\(12\\), nie \\(8\\). Mylenie najwyższej i drugiej wartości to częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybki trick - jeśli suma części stosunku to \\(25\\), to każda część to \\(4\\%\\). Największy udział \\(= 12 \\times 4\\% = 48\\%\\). Działa, bo \\(\\frac{100\\%}{25} = 4\\%\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Suma części\nSuma wszystkich części: \\(12+8+3+2 = 25\\).\nUdział największego inwestora to \\(12\\) z \\(25\\) części:\n\\[\\dfrac{12}{25} = \\dfrac{48}{100} = 48\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Procent z proporcji\nProporcja największego udziału: \\(\\dfrac{12}{25} \\cdot 100\\% = 48\\%\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(12\\%\\):** ktoś wziął wartość \\(12\\) jako procent bez sumowania.\n- **B. \\(32\\%\\):** błędna suma \\((12+8+3+2)\\) lub pomyłka w ułamku.\n- **D. \\(52\\%\\):** to \\(\\tfrac{13}{25}\\) - pomyłka w stosunkach.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nWartość wyrażenia\n2\n2\n3\n1\n3\n1\n\n\n\njest równa\nA.\n2\n\nB.\n2 3\n\nC. 2\nD. 2 3\nWartość wyrażenia {2 / pierwiastek z 3 - 1} - {2 / pierwiastek z 3 + 1} jest równa A. 2, B. 2 * pierwiastki z 3, C. -2, D. -2 * pierwiastek z 3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nPosługiwanie się wzorami\nskróconego mnożenia (II.2.a)\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\((a-1)(b+1)\\)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\nMamy wyrażenie:\n\\[ab + a - b - 1\\]\n\n**Krok 1:** Grupujemy wyrazy parami - pierwsze dwa i ostatnie dwa:\n\\[(ab + a) + (-b - 1)\\]\n\n**Krok 2:** Z każdej grupy wyciągamy wspólny czynnik:\n\\[a(b + 1) + (-1)(b + 1)\\]\n\\[a(b + 1) - 1 \\cdot (b + 1)\\]\n\n**Krok 3:** Teraz \\((b+1)\\) jest wspólnym czynnikiem - wyciągamy go przed nawias:\n\\[(b + 1)(a - 1)\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{(a-1)(b+1)}\\]\n\nCo jest odpowiedzią **C**.\n\n## Sposób 2 - Grupowanie w drugiej kolejności (inaczej)\n\nMożemy pogrupować wyrazy inaczej - pierwszy z trzecim, drugi z czwartym:\n\\[(ab - b) + (a - 1)\\]\n\n**Krok 1:** Wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:\n\\[b(a - 1) + 1 \\cdot (a - 1)\\]\n\n**Krok 2:** Wyciągamy \\((a-1)\\) przed nawias:\n\\[(a - 1)(b + 1)\\]\n\n**Wynik taki sam** - \\((a-1)(b+1)\\), odpowiedź **C**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wyciągania wspólnego czynnika przed nawias (podstawowa technika faktoryzacji algebry szkolnej).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wyrażenie | Rozwinięcie | Błąd |\n| A | \\((a-1)(b-1)\\) | \\(ab - a - b + 1\\) | Zmieniono znak przy \\(a\\) i na końcu - pomylono znaki w obu parach |\n| B | \\((a+1)(b-1)\\) | \\(ab - a + b - 1\\) | Przestawiono znaki przy \\(a\\) i \\(b\\) - zgadywanie zamiast rachunku |\n| D | \\((a+1)(b+1)\\) | \\(ab + a + b + 1\\) | Zmieniono znak przy \\(-b\\) na \\(+b\\) - przeoczono minus |\n\nMożesz **sam sprawdzić** każdą odpowiedź rozwijając nawias i porównując z \\(ab + a - b - 1\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu pamiętaj, że \\(-b - 1 = (-1)(b+1)\\), a NIE \\((-1)(b-1)\\). Minus przed grupą zmienia znaki **wszystkich** wyrazów wewnątrz nawiasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zgaduj odpowiedzi \"na oko\" - zawsze warto rozwinąć wybrany nawias z powrotem i sprawdzić, czy wychodzi to samo wyrażenie co w zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrażenia \\((a-1)(b+1)\\) i \\((b+1)(a-1)\\) to **to samo** - kolejność czynników nie ma znaczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Grupowanie wyrazów\n\\[ab + a - b - 1 = a(b+1) - (b+1) = (a-1)(b+1).\\]\n\n### Sposób 2 - Mnożenie nawiasów odpowiedzi\nSprawdzamy **C.**: \\((a-1)(b+1) = ab + a - b - 1\\) ✓\n\n### Sposób 3 - Podstawienie \\(a=2, b=3\\)\nWyrażenie: \\(6 + 2 - 3 - 1 = 4\\).\n- **A.** \\((1)(2)=2\\) ✗\n- **B.** \\((3)(2)=6\\) ✗\n- **C.** \\((1)(4)=4\\) ✓\n- **D.** \\((3)(4)=12\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D.** - po wymnożeniu dają inne wyrażenie niż \\(ab+a-b-1\\), np. **A.** \\((a-1)(b-1) = ab - a - b + 1\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4.(1 pkt)\nSuma\n8\nlog 16 1\n jest równa\nA. 3\nB.\n3\n2\nC.\n8\nlog 17\nD. 7\n3\nSuma log_8 16 + 1 równa A. log_8 17, B. 3/2, C. 7/3, D. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nZnajomość definicji\nlogarytmu (II.1.h)\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(a = -1\\) i \\(b = 1\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie współrzędnych punktów do równania prostej\n\nProsta ma równanie \\(y = ax + b\\). Skoro przez tę prostą przechodzą punkty \\(K = (1, 0)\\) i \\(L = (0, 1)\\), to ich współrzędne muszą **spełniać** to równanie.\n\n**Krok 1:** Podstawiamy punkt \\(K = (1, 0)\\) - czyli \\(x = 1, y = 0\\):\n\\[0 = a \\cdot 1 + b\\]\n\\[a + b = 0\\]\n\n**Krok 2:** Podstawiamy punkt \\(L = (0, 1)\\) - czyli \\(x = 0, y = 1\\):\n\\[1 = a \\cdot 0 + b\\]\n\\[b = 1\\]\n\n**Krok 3:** Wyznaczamy \\(a\\) z pierwszego równania:\n\\[a + b = 0 \\implies a = -b = -1\\]\n\n**Wynik: \\(a = -1\\), \\(b = 1\\)** - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - odczyt z wykresu (punkt przecięcia osi)\n\nZauważamy, że:\n- \\(L = (0, 1)\\) to punkt, w którym prosta przecina **oś \\(OY\\)** - czyli jest to tzw. punkt przecięcia z osią rzędnych.\n\nW równaniu \\(y = ax + b\\) wyraz wolny \\(b\\) to właśnie **wartość \\(y\\) dla \\(x = 0\\)**, czyli:\n\\[b = 1\\]\n\n- \\(K = (1, 0)\\) to punkt, w którym prosta przecina **oś \\(OX\\)** - czyli miejsce zerowe prostej.\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(a\\) to tangens kąta nachylenia prostej, czyli:\n\\[a = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{y_L - y_K}{x_L - x_K} = \\frac{1 - 0}{0 - 1} = \\frac{1}{-1} = -1\\]\n\n**Wynik: \\(a = -1\\), \\(b = 1\\)** - potwierdzenie odpowiedzi **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia), \\(b\\) to wyraz wolny (punkt przecięcia z osią \\(OY\\)).\n\nUżyliśmy tego wzoru dwukrotnie - podstawiając współrzędne punktów \\(K\\) i \\(L\\) - aby wyznaczyć \\(a\\) i \\(b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Zamienione wartości: uczeń wyliczył poprawnie \\(\\|a\\| = 1\\) i \\(\\|b\\| = 1\\), ale odwrócił znaki - wziął \\(a = 1, b = -1\\). Taka prosta przechodzi przez \\((1, 0)\\) ✓, ale przez \\((0, -1)\\) ✗, a nie przez \\((0, 1)\\). |\n| C | Uczeń poprawnie wyznaczył \\(a = -1\\), ale przy podstawianiu \\(L = (0, 1)\\) pomylił znak i przyjął \\(b = -1\\). Podstawienie: \\(1 = (-1)\\cdot 0 + (-1) = -1\\) - sprzeczność. |\n| D | Uczeń w ogóle nie uwzględnił znaku minus w nachyleniu prostej. Prosta \\(y = x + 1\\) jest rosnąca, ale prosta przez \\((1,0)\\) i \\((0,1)\\) jest malejąca (idzie \"z góry-lewej do dołu-prawej\"). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(b\\) to **wartość \\(y\\) dla \\(x = 0\\)** - czyli po prostu rzędna punktu przecięcia prostej z osią \\(OY\\). Jeśli dana jest taka informacja wprost (jak tu: \\(L = (0, 1)\\)), od razu wiadomo, że \\(b = 1\\). Nie trzeba układać równania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy \\(a\\) to iloraz \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - **nie** \\(\\frac{\\Delta x}{\\Delta y}\\). Łatwo odwrócić licznik z mianownikiem pod presją czasu. Sprawdź: prosta z \\((0,1)\\) do \\((1,0)\\) schodzi o 1 w dół przy ruchu o 1 w prawo, więc \\(a = \\frac{-1}{1} = -1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **weryfikuj wynik** - podstaw wyliczone \\(a\\) i \\(b\\) do równania i sprawdź, czy **oba** punkty go spełniają. To zajmuje 10 sekund i eliminuje pomyłki rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie punktów do równania\nZ \\(L=(0,1)\\): \\(1 = a\\cdot 0 + b\\), więc \\(b = 1\\).\nZ \\(K=(1,0)\\): \\(0 = a\\cdot 1 + 1\\), więc \\(a = -1\\).\nZatem \\(a=-1, b=1\\).\n\n### Sposób 2 - Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów\n\\(a = \\dfrac{y_L - y_K}{x_L - x_K} = \\dfrac{1-0}{0-1} = -1\\). Wyraz wolny \\(b = 1\\) (z \\(L\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(a=1, b=-1\\):** prosta \\(y=x-1\\) - punkt \\(L=(0,1)\\): \\(0\\cdot 1 - 1 = -1 \\ne 1\\) ✗.\n- **C. \\(a=-1, b=-1\\):** \\(L\\): \\(-1 \\ne 1\\) ✗.\n- **D. \\(a=1, b=1\\):** \\(K\\): \\(1+1=2 \\ne 0\\) ✗.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nWspólnym pierwiastkiem równań\n2\n(\n1)(\n10)(\n5)\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\noraz\n0\n1\n10\n2\n\n\n\nx\nx\njest liczba\nA.\n1\n\nB. 1\nC. 5\nD. 10\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nWspólnym pierwiastkiem równań (x^2-1)(x-10)(x-5) = 0 oraz {2x-10/x-1} = 0 jest liczba A. 10, B. 5, C. 1, D. -1.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązywanie prostych\nrównań wymiernych (II.3.e)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(c < a < b\\), czyli \\(\\log_3 \\dfrac{1}{27} < \\log_3 \\dfrac{1}{9} < \\log_3 3\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana na potęgi (bezpośrednie obliczenie)\n\nObliczamy każdy logarytm osobno, korzystając z definicji: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\).\n\n**Obliczenie \\(a\\):**\n\\[a = \\log_3 \\frac{1}{9} = \\log_3 3^{-2} = -2\\]\nbo \\(\\frac{1}{9} = \\frac{1}{3^2} = 3^{-2}\\), a logarytm z potęgi to wykładnik.\n\n**Obliczenie \\(b\\):**\n\\[b = \\log_3 3 = \\log_3 3^1 = 1\\]\nbo \\(\\log_a a = 1\\) zawsze.\n\n**Obliczenie \\(c\\):**\n\\[c = \\log_3 \\frac{1}{27} = \\log_3 3^{-3} = -3\\]\nbo \\(\\frac{1}{27} = \\frac{1}{3^3} = 3^{-3}\\).\n\n**Porównanie:**\n\\[c = -3, \\quad a = -2, \\quad b = 1\\]\n\\[-3 < -2 < 1\\]\n\\[\\boxed{c < a < b}\\]\n\n## Sposób 2 - Własność monotoniczności logarytmu\n\nLogarytm przy podstawie \\(3 > 1\\) jest funkcją **rosnącą** - im większy argument, tym większa wartość logarytmu. Wystarczy więc porównać same argumenty.\n\nArgumenty: \\(\\dfrac{1}{27}\\), \\(\\dfrac{1}{9}\\), \\(3\\).\n\nPorządkujemy ułamki na osi liczbowej:\n\\[\\frac{1}{27} < \\frac{1}{9} < 3\\]\n(bo \\(\\frac{1}{27} \\approx 0{,}037\\), \\(\\frac{1}{9} \\approx 0{,}111\\), \\(3 = 3\\))\n\nPonieważ \\(\\log_3\\) jest rosnący:\n\\[\\log_3 \\frac{1}{27} < \\log_3 \\frac{1}{9} < \\log_3 3\\]\n\\[c < a < b\\]\n\nWynik zgodny z obliczeniami ze Sposobu 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja i własność potęgi:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: \\(\\log_3 3^{-2} = -2 \\cdot \\log_3 3 = -2 \\cdot 1 = -2\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - potęga o ujemnym wykładniku:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\n\nUżyliśmy tego do zamiany \\(\\frac{1}{9} = 3^{-2}\\) i \\(\\frac{1}{27} = 3^{-3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Przestawienie \\(a\\) i \\(c\\): uczeń oblicza \\(\\log_3\\frac{1}{9} = -3\\) (pomylił \\(9 = 3^3\\) zamiast \\(3^2\\)) |\n| B | Uczeń ignoruje ujemne wartości i uznaje, że \\(\\log < 1\\) to \"małe\" - myli kolejność ujemnych |\n| C | Zamiana kolejności \\(a\\) i \\(b\\): uczeń myśli, że \\(\\log_3 3 < \\log_3 \\frac{1}{9}\\), bo \\(3\\) jest \"duże\" i \"powinien być mniejszy\" - błąd intuicji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytmy z liczb mniejszych od 1 (ułamków) przy podstawie \\(> 1\\) są **ujemne** - wielu uczniów o tym zapomina i stawia je powyżej zera.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy porównywaniu liczb ujemnych: \\(-3 < -2\\), nie odwrotnie! Uczeń może błędnie uznać, że „\\(-3\\) jest dalej od zera, więc jest większe\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 3 = 1\\), NIE \\(3\\). Logarytm liczby równej podstawie zawsze wynosi \\(1\\) - ten fakt warto zapamiętać.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie każdego logarytmu\n- \\(a = \\log_3 \\tfrac{1}{9} = \\log_3 3^{-2} = -2\\).\n- \\(b = \\log_3 3 = 1\\).\n- \\(c = \\log_3 \\tfrac{1}{27} = \\log_3 3^{-3} = -3\\).\n\nPorządkujemy: \\(-3 < -2 < 1\\), czyli \\(c < a < b\\).\n\n### Sposób 2 - Monotoniczność logarytmu\nLogarytm o podstawie \\(3>1\\) jest rosnący, więc z \\(\\tfrac{1}{27} < \\tfrac{1}{9} < 3\\) wynika \\(\\log_3 \\tfrac{1}{27} < \\log_3 \\tfrac{1}{9} < \\log_3 3\\), czyli \\(c < a < b\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(c 0\\), więc jest **rosnąca**. To oznacza, że:\n\n- najmniejszą wartość przyjmuje na **lewym** końcu dziedziny,\n- największą wartość przyjmuje na **prawym** końcu dziedziny.\n\n**Obliczamy wartości brzegowe:**\n\n\\[f(-2) = 3 \\cdot (-2) - 4 = -6 - 4 = -10\\]\n\n\\[f(2) = 3 \\cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2\\]\n\n**Ponieważ dziedzina jest przedziałem domkniętym \\(\\langle -2, 2\\rangle\\)**, oba końce są osiągane, więc zbiór wartości to:\n\n\\[\\boxed{ZW = \\langle -10, 2\\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Śledzenie transformacji na liczbach\n\nMożemy patrzeć na to jak na dwa kolejne przekształcenia:\n\n**Krok 1:** Mnożymy przez 3.\n\nZbiór \\(\\langle -2, 2\\rangle\\) po przemnożeniu przez \\(3 > 0\\) (zachowanie kolejności!) daje:\n\n\\[\\langle 3 \\cdot (-2),\\; 3 \\cdot 2\\rangle = \\langle -6, 6\\rangle\\]\n\n**Krok 2:** Odejmujemy 4.\n\n\\[\\langle -6 - 4,\\; 6 - 4\\rangle = \\langle -10, 2\\rangle\\]\n\nWynik taki sam: \\(\\langle -10, 2\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i własność: funkcja rosnąca na przedziale domkniętym osiąga kres na brzegach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Prawidłowe liczby, ale **przedział otwarty** \\((-10, 2)\\) - zapomnienie, że dziedzina jest domknięta, więc \\(f(-2) = -10\\) i \\(f(2) = 2\\) **są osiągane** |\n| C | Obliczono \\(f(2) = 2\\) i \\(f(-2) = -10\\), ale **zamieniono kolejność** - wzięto przedział \\(\\langle 2, 10\\rangle\\) nie wiadomo skąd |\n| D | Połączenie obu błędów: zła kolejność liczb i otwarty przedział |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dziedzina jest **domknięta** \\(\\langle a, b\\rangle\\), krańce są osiągane - zbiór wartości też musi być domknięty. Gdyby dziedzina była otwarta \\((a, b)\\), zbiór wartości byłby otwarty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla funkcji **malejącej** (np. \\(f(x) = -3x - 4\\)) działa odwrotnie - minimum jest po prawej stronie! Zawsze sprawdź znak współczynnika \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\langle -10, 2\\rangle\\) na pierwszy rzut oka może zmylić - \"minus 10 do 2\" to poprawny zapis przedziału (bo \\(-10 < 2\\)), nie mylić z \"od 2 do 10\".\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Monotoniczność i krańce\nFunkcja \\(f(x)=3x-4\\) jest rosnąca (\\(a=3>0\\)), więc na przedziale \\(\\langle -2,2\\rangle\\) przyjmuje wartość minimalną na lewym krańcu i maksymalną na prawym:\n- \\(f(-2) = 3\\cdot(-2)-4 = -10\\) (minimum),\n- \\(f(2) = 3\\cdot 2 - 4 = 2\\) (maksimum).\n\nPrzedział domknięty \\(\\Rightarrow\\) końce należą do zbioru wartości: \\(\\langle -10, 2\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio z nierówności\n\\(-2 \\le x \\le 2 \\Rightarrow -6 \\le 3x \\le 6 \\Rightarrow -10 \\le 3x-4 \\le 2\\). Zatem \\(f(x) \\in \\langle -10, 2\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((-10, 2)\\):** przedział otwarty - ale dziedzina jest domknięta, więc końce są wartościami.\n- **C, D. \\(\\langle 2, 10\\rangle\\), \\((2, 10)\\):** błędne obliczenie \\(f(-2)\\) - np. \\(3\\cdot 2 + 4 = 10\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\nx\ny\n0\nFunkcja f jest określona wzorem\nA.\n1\n( )\n(\n3)(\n1)\n2\nf x\nx\nx\n\n\n\nB.\n1\n( )\n(\n3)(\n1)\n2\nf x\nx\nx\n\n\n\nC.\n1\n( )\n(\n3)(\n1)\n2\nf x\nx\nx\n\n\n\nD.\n1\n( )\n(\n3)(\n1)\n2\nf x\nx\nx\n\n\n\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Funkcja f jest określona wzorem A. f(x) = -1/2(x-3)(x+1), B. f(x) = 1/2(x-3)(x+1), C. f(x) = -1/2(x+3)(x-1), D. f(x) = 1/2(x+3)(x-1).","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązywanie zadań\nprowadzących do badania\nfunkcji kwadratowej (II.4.l)\nD\nA\n3\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(c = 0\\))\n\n## Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego\n\nJeśli \\(-\\dfrac{7}{3}\\) jest miejscem zerowym funkcji \\(f\\), to po podstawieniu \\(x = -\\dfrac{7}{3}\\) wartość funkcji wynosi \\(0\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[f\\!\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right) = 0\\]\n\\[3 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right)^2 + 7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right) + c = 0\\]\n\nLiczymy kolejne składniki:\n\\[\\left(-\\frac{7}{3}\\right)^2 = \\frac{49}{9}, \\quad \\text{więc } 3 \\cdot \\frac{49}{9} = \\frac{49}{3}\\]\n\\[7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right) = -\\frac{49}{3}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{49}{3} - \\frac{49}{3} + c = 0\\]\n\\[0 + c = 0\\]\n\\[\\boxed{c = 0}\\]\n\n## Sposób 2 - wzory Viète'a\n\nSkoro \\(x_1 = -\\dfrac{7}{3}\\) jest jednym z miejsc zerowych, możemy wyznaczyć drugie, korzystając ze wzorów Viète'a.\n\nDla \\(f(x) = 3x^2 + 7x + c\\) mamy \\(a = 3\\), \\(b = 7\\):\n\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{7}{3}\\]\n\nSkoro \\(x_1 = -\\dfrac{7}{3}\\):\n\\[-\\frac{7}{3} + x_2 = -\\frac{7}{3}\\]\n\\[x_2 = 0\\]\n\nTeraz ze wzoru na iloczyn pierwiastków:\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\\[\\left(-\\frac{7}{3}\\right) \\cdot 0 = \\frac{c}{3}\\]\n\\[0 = \\frac{c}{3}\\]\n\\[\\boxed{c = 0}\\]\n\n**Bonus - intuicja:** skoro \\(x_2 = 0\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(0) = 0\\), a \\(f(0) = c\\). Bezpośrednio widać, że \\(c = 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - definicja miejsca zerowego i wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy ich w Sposobie 2 do wyznaczenia drugiego miejsca zerowego i obliczenia \\(c\\).\n\nW Sposobie 1 nie korzystamy z karty - wystarczy definicja miejsca zerowego (\\(f(x_0) = 0\\)) i bezpośrednie obliczenia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B (\\(c = 1\\)) | Uczeń zapisuje równanie \\(3x^2 + 7x + c = 0\\) i zamiast podstawić \\(x = -\\frac{7}{3}\\), próbuje \"odczytać\" \\(c\\) intuicyjnie lub myli wzory Viète'a (\\(x_1 \\cdot x_2 = c\\) zamiast \\(\\frac{c}{a}\\)) |\n| C (\\(c = -98\\)) | Błąd przy podnoszeniu do kwadratu: uczeń liczy \\(\\left(-\\frac{7}{3}\\right)^2 = -\\frac{49}{9}\\) (zapomina, że kwadrat jest zawsze nieujemny), co daje \\(-\\frac{49}{3} - \\frac{49}{3} + c = 0\\), skąd \\(c = \\frac{98}{3}\\), a przy dodatkowym błędzie arytmetycznym wychodzi \\(-98\\) |\n| D (\\(c = 98\\)) | Podobny błąd znakowy - uczeń oblicza \\(\\frac{49}{3} + \\frac{49}{3} = \\frac{98}{3}\\) zamiast \\(\\frac{49}{3} - \\frac{49}{3} = 0\\), np. przez pominięcie minusa przy \\(7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right)\\), i następnie mnoży przez 3 dostając \\(98\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\) - podstawiamy \\(x_0\\) do wzoru funkcji i przyrównujemy do zera. Częsty błąd to podstawianie wartości funkcji (np. \"wyraz wolny\") zamiast argumentu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \\(7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right)\\) wynik to \\(-\\frac{49}{3}\\) - **minus jest ważny!** Dwa składniki \\(\\frac{49}{3}\\) i \\(-\\frac{49}{3}\\) sumują się do zera, co jest kluczem do rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Korzystając z wzorów Viète'a, pamiętaj, że \\(x_1 \\cdot x_2 = \\dfrac{c}{a}\\), **nie** \\(c\\). Przy \\(a = 3\\) pominięcie mianownika prowadzi do błędnego wyniku \\(c = 0 \\cdot 3 = 0\\) - tu akurat wychodzi to samo, ale przy innych zadaniach taki błąd byłby krytyczny!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego\nSkoro \\(-\\tfrac{7}{3}\\) jest miejscem zerowym, to \\(f\\!\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right) = 0\\):\n\\[3\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right)^2 + 7\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right) + c = 0.\\]\n\\[3 \\cdot \\tfrac{49}{9} - \\tfrac{49}{3} + c = 0.\\]\n\\[\\tfrac{49}{3} - \\tfrac{49}{3} + c = 0 \\Rightarrow c = 0.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór Viete'a (iloczyn pierwiastków)\nW \\(ax^2+bx+c\\): \\(x_1 x_2 = \\tfrac{c}{a}\\). Wyznaczamy drugi pierwiastek \\(x_2\\) z sumy: \\(x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{7}{3}\\). Stąd \\(x_2 = 0\\). Zatem \\(\\tfrac{c}{3} = -\\tfrac{7}{3}\\cdot 0 = 0\\), więc \\(c=0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(c=1\\):** po podstawieniu otrzymalibyśmy \\(0+1 \\ne 0\\).\n- **C, D. \\(\\pm 98\\):** błąd rachunkowy - np. \\(3\\cdot\\tfrac{49}{9}=49\\) zamiast \\(\\tfrac{49}{3}\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nPunkt\n(0,2)\nC \njest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta\nw prostej o równaniu\n2\n4\ny\nx\n\n\n. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.\nA.\n1\n2\n2\ny\nx\n\n\nB.\n2\n2\ny\nx\n\n\nC.\n1\n2\n2\ny\nx\n\n\nD.\n2\n2\ny\nx\n\n\nPunkt C=(0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x-4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD. A. y = 2x+2, B. 1/2x+2, C. y = -2x+2, D. y = -1/2x+2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nBadanie równoległości\nprostych na podstawie ich\nrównań kierunkowych\n(II.8.c)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(3\\))\n\n## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika\n\nKluczowy pomysł: w liczniku i mianowniku wyłączamy potęgę o **mniejszym wykładniku**.\n\n**Licznik:** \\(3^{27} + 3^{26}\\). Mniejszy wykładnik to \\(26\\), wyłączamy \\(3^{26}\\):\n\\[3^{27} + 3^{26} = 3^{26} \\cdot 3^1 + 3^{26} \\cdot 1 = 3^{26}(3 + 1) = 3^{26} \\cdot 4\\]\n\n**Mianownik:** \\(3^{26} + 3^{25}\\). Mniejszy wykładnik to \\(25\\), wyłączamy \\(3^{25}\\):\n\\[3^{26} + 3^{25} = 3^{25} \\cdot 3^1 + 3^{25} \\cdot 1 = 3^{25}(3 + 1) = 3^{25} \\cdot 4\\]\n\nTeraz podstawiamy do ułamka:\n\\[\\frac{3^{27} + 3^{26}}{3^{26} + 3^{25}} = \\frac{3^{26} \\cdot 4}{3^{25} \\cdot 4}\\]\n\nSkracamy \\(4\\) i stosujemy działania na potęgach:\n\\[\\frac{3^{26} \\cdot 4}{3^{25} \\cdot 4} = \\frac{3^{26}}{3^{25}} = 3^{26-25} = 3^1 = \\mathbf{3}\\]\n\n## Sposób 2 - podzielenie licznika i mianownika przez \\(3^{25}\\)\n\nDzielimy każdy składnik przez \\(3^{25}\\) (zarówno w liczniku, jak i mianowniku):\n\n\\[\\frac{3^{27} + 3^{26}}{3^{26} + 3^{25}} = \\frac{\\dfrac{3^{27}}{3^{25}} + \\dfrac{3^{26}}{3^{25}}}{\\dfrac{3^{26}}{3^{25}} + \\dfrac{3^{25}}{3^{25}}} = \\frac{3^2 + 3^1}{3^1 + 3^0} = \\frac{9 + 3}{3 + 1} = \\frac{12}{4} = \\mathbf{3}\\]\n\nTen sposób jest równie szybki - zamiast wyłączać, dzielimy wszystko przez najmniejszą potęgę w całym ułamku.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\nUżyliśmy w obu sposobach - przy upraszczaniu \\(\\frac{3^{26}}{3^{25}} = 3^{26-25} = 3\\) oraz przy rozkładaniu \\(3^{27} = 3^{26} \\cdot 3^1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(1\\)) | Uczeń \"skraca\" licznik z mianownikiem jako całości: \\(\\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}} \\approx \\frac{3^{26}}{3^{25}}\\) - i pomija, że ta operacja jest niedozwolona przy sumach, a potem myli wynik |\n| C (\\(6\\)) | Uczeń liczy \\(3 + 3 = 6\\) lub błędnie \"upraszcza\" ułamki jak \\(\\frac{a+b}{c+d} = \\frac{a}{c} + \\frac{b}{d}\\) |\n| D (\\(9\\)) | Uczeń myśli, że \\(3^{27}/3^{25} = 3^2 = 9\\) i ignoruje mianownik - czyli oblicza tylko część ułamka |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamka z sumą w liczniku/mianowniku **nie można skracać bezpośrednio** - \\(\\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}} \\neq \\frac{3^{27}}{3^{26}}\\). Zawsze najpierw wyłącz wspólny czynnik!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyłączając \\(3^{26}\\) z \\(3^{27}\\), pamiętaj: \\(3^{27} = 3^{26} \\cdot 3^1\\), bo \\(26 + 1 = 27\\). Łatwo się pomylić o jeden w wykładniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obie metody prowadzą do tego samego uproszczenia \\(\\frac{12}{4} = 3\\) - warto mieć w zanadrzu dwa sposoby i sprawdzić nimi wynik na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\nLicznik: \\(3^{27}+3^{26} = 3^{26}(3+1) = 4\\cdot 3^{26}\\).\nMianownik: \\(3^{26}+3^{25} = 3^{25}(3+1) = 4\\cdot 3^{25}\\).\nZatem:\n\\[\\dfrac{4\\cdot 3^{26}}{4\\cdot 3^{25}} = 3^{26-25} = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Mnożenie licznika i mianownika przez \\(3^{-25}\\)\n\\[\\dfrac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}} = \\dfrac{3^{2}+3^{1}}{3^{1}+3^{0}} = \\dfrac{9+3}{3+1} = \\dfrac{12}{4} = 3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\):** byłoby gdyby licznik = mianownik.\n- **C. \\(6\\):** ktoś obliczył \\(\\tfrac{12}{2}\\).\n- **D. \\(9\\):** ktoś pomylił \\(3^{26-25}\\) z \\(3^{26}/3^{24}=9\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nDla każdej liczby x , spełniającej warunek\n0\n3\n\n\n\nx\n, wyrażenie\nx\nx\nx\n3\n3\n\n\n\njest równe\nA. 2\nB. 3\nC.\nx\n6\n\nD.\nx\n6\nDla każdej liczby x, spełniającej warunek -3 < x < 0, wyrażenie |x+3|-x+3 / x jest równe A. -6/x, B. 6/x, C. 2, D. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nWykorzystanie pojęcia\nwartości bezwzględnej\n(IV.1.f)\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - stopień wynosi \\(7\\)\n\n## Sposób 1 - Stopnie czynników i ich suma\n\n**Kluczowa zasada:** Stopień iloczynu wielomianów to **suma stopni** poszczególnych wielomianów.\n\nWyznaczamy stopnie każdego czynnika:\n\n\\[\\deg W(x) = \\deg(2x^2 - 1) = 2\\]\n\n\\[\\deg P(x) = \\deg(x^3 + x) = 3\\]\n\n\\[\\deg Q(x) = \\deg\\bigl((1-x)(x+1)\\bigr) = ?\\]\n\nDla \\(Q(x)\\) - iloczyn dwóch wielomianów stopnia 1, więc:\n\\[\\deg Q(x) = 1 + 1 = 2\\]\n\nTeraz stopień całego iloczynu:\n\\[\\deg\\bigl(W(x) \\cdot P(x) \\cdot Q(x)\\bigr) = 2 + 3 + 2 = \\boxed{7}\\]\n\n## Sposób 2 - Wymnożenie i odczyt stopnia\n\nWyznaczamy tylko **wyraz wiodący** każdego czynnika (nie trzeba mnożyć wszystkiego):\n\n- \\(W(x)\\): wyraz wiodący \\(2x^2\\)\n- \\(P(x)\\): wyraz wiodący \\(x^3\\)\n- \\(Q(x) = (1-x)(x+1)\\): wyraz wiodący to \\((-x)(x) = -x^2\\)\n\nWyraz wiodący iloczynu:\n\\[2x^2 \\cdot x^3 \\cdot (-x^2) = -2x^{2+3+2} = -2x^7\\]\n\nWyraz wiodący to \\(-2x^7\\), więc stopień wielomianu wynosi **7**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja stopnia wielomianu i zasada stopnia iloczynu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(3\\)) | Wzięto stopień tylko jednego czynnika \\(P(x)\\), zignorowano pozostałe |\n| B (\\(6\\)) | Policzono \\(2 + 3 + 1 = 6\\) - pomylono stopień \\(Q(x)\\), biorąc \\(1\\) zamiast \\(2\\) |\n| D (\\(12\\)) | **Pomnożono** stopnie zamiast je dodać: \\(2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stopień iloczynu wielomianów to SUMA stopni, nie iloczyn! Błąd D (\\(2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\)) to klasyczna pomyłka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla \\(Q(x) = (1-x)(x+1)\\) - nie trzeba wymnażać nawiasów do końca. Wystarczy zauważyć, że to iloczyn dwóch wielomianów stopnia 1, więc stopień wynosi \\(1 + 1 = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada \"stopień iloczynu = suma stopni\" działa **zawsze** dla wielomianów niezerowych. Wyjątek mógłby wystąpić tylko wtedy, gdy wyrazy wiodące się skracają (do zera) - ale przy niezerowych współczynnikach wiodących tak się nie dzieje.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność stopnia iloczynu\nStopień iloczynu = suma stopni:\n- \\(\\deg W = 2\\),\n- \\(\\deg P = 3\\),\n- \\(\\deg Q = \\deg[(1-x)(x+1)] = \\deg(1-x^2) = 2\\).\n\nSuma: \\(2+3+2 = 7\\).\n\n### Sposób 2 - Najwyższy wyraz po wymnożeniu\nNajwyższy wyraz \\(W\\cdot P\\cdot Q\\): \\(2x^2 \\cdot x^3 \\cdot (-x^2) = -2x^7\\), więc stopień \\(7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\):** to stopień tylko \\(P\\).\n- **B. \\(6\\):** błąd - ktoś uznał \\(\\deg Q = 1\\) (tylko jeden czynnik) lub pominął \\(W\\).\n- **D. \\(12\\):** ktoś iloczyn stopni \\(2\\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\), ale w iloczynie wielomianów stopnie się **dodaje**, nie mnoży.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nPierwiastki\n1x ,\n2x równania 2(\n2)(\n2)\n0\nx\nx\n\n\n\nspełniają warunek\nA.\n1\n2\n1\n1\n1\nx\nx\n\n\nB.\n0\n1\n1\n2\n1\n\nx\nx\nC.\n4\n1\n1\n1\n2\n1\n\nx\nx\nD.\n1\n2\n1\n1\n1\n2\nx\nx\n\n\nPierwiastki x_1, x_2 równania 2(x+2)(x-2) = 0 spełniają warunek A. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2, B. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2, C. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2, D. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWyznaczanie miejsca\nzerowego funkcji\nkwadratowej (I.4.j)\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x_W = 1\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na współrzędną wierzchołka \\(p = -\\frac{b}{2a}\\)\n\nNajpierw rozwijamy nawiasy, żeby uzyskać postać ogólną trójmianu:\n\n\\[y = (x+2)(x-4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8\\]\n\nMamy więc \\(a = 1\\), \\(b = -2\\), \\(c = -8\\).\n\nPierwsza współrzędna wierzchołka (czyli współrzędna \\(x\\)):\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-2}{2 \\cdot 1} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(1\\).**\n\n## Sposób 2 - symetria paraboli (bez rozwijania nawiasów)\n\nParabola jest symetryczna względem swojej osi, a oś przechodzi przez wierzchołek.\n\nMiejsca zerowe paraboli odczytujemy wprost z postaci iloczynowej \\(y = (x+2)(x-4)\\):\n\\[x_1 = -2, \\quad x_2 = 4\\]\n\nWierzchołek leży **dokładnie w połowie** między miejscami zerowymi:\n\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-2 + 4}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(1\\).** ✓ Wynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka po rozwinięciu do postaci ogólnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-8\\) | Uczeń bierze wyraz wolny \\(c = -8\\) z postaci ogólnej - to **wartość funkcji w \\(x=0\\)**, nie współrzędna wierzchołka |\n| B. \\(-4\\) | Uczeń stosuje wzór Viète'a \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = 2\\), ale zapisuje go ze złym znakiem, albo myli sumę pierwiastków z ich średnią |\n| D. \\(2\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{x_1 + x_2}{2}\\) ale bierze \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 6\\) (myli znak drugiego pierwiastka), albo zapomina podzielić przez 2 i daje \\(x_1 + x_2 = 2\\) jako wynik |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(c = -8\\) kusi jako odpowiedź - ale to wartość funkcji w miejscu \\(x = 0\\), a nie współrzędna wierzchołka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci iloczynowej \\((x+2)(x-4)\\) pierwiastki to \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\) - uważaj na znaki! Z nawiasu \\((x+2)\\) wyciągamy \\(x = -2\\), bo \\(-2+2=0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 (symetria) jest szybszy i nie wymaga rozwijania nawiasów - warto go zapamiętać jako trik na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Średnia miejsc zerowych\nMiejsca zerowe: \\(x_1=-2, x_2=4\\). Oś symetrii (pierwsza współrzędna wierzchołka):\n\\[x_w = \\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna i wzór \\(-\\tfrac{b}{2a}\\)\n\\(y=(x+2)(x-4)=x^2-2x-8\\). Dla \\(a=1, b=-2\\):\n\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-2}{2} = 1.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-8\\):** to wyraz wolny \\(c\\) (i \\(y_w\\) byłoby \\(-9\\), nie to).\n- **B. \\(-4\\):** jedno z miejsc zerowych (\\(x=4\\) to drugie).\n- **D. \\(2\\):** ktoś pomylił znak: \\(-(-4+2)\\) zamiast średniej.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nLiczby 2, 1,\n4\n\n\nsą trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (\n)\nna\n,\nokreślonego dla liczb naturalnych\n1\nn . Wzór ogólny tego ciągu ma postać\nA.\n3\n5\nna\nn\n\n\nB.\n3\n\n\nn\na\nn\nC.\n3\nna\nn\n\nD.\n3\n5\nna\nn\n\n\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nLiczby 2, -1, -4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n >= 1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać A. a_n = -n+3, B. a_n = n-3, C. a_n = 3n-5, D. a_n = -3n+5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWyznaczanie wyrazów ciągu\nokreślonego wzorem\nogólnym (II.5.a)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(-1705\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sumę ciągu geometrycznego\n\n**Dane:**\n- \\(a_1 = 5\\)\n- \\(q = -2\\)\n- \\(n = 10\\)\n\nStosujemy wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego (dla \\(q \\neq 1\\)):\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[S_{10} = 5 \\cdot \\frac{1 - (-2)^{10}}{1 - (-2)}\\]\n\nObliczamy \\((-2)^{10}\\). Wykładnik parzysty, więc wynik **dodatni**:\n\\[(-2)^{10} = 2^{10} = 1024\\]\n\nWstawiamy:\n\\[S_{10} = 5 \\cdot \\frac{1 - 1024}{1 - (-2)} = 5 \\cdot \\frac{-1023}{3} = 5 \\cdot (-341) = -1705\\]\n\n**Wynik: \\(S_{10} = -1705\\)**\n\n## Sposób 2 - wypisanie i grupowanie wyrazów\n\nWypisujemy kolejne wyrazy ciągu \\(a_n = 5 \\cdot (-2)^{n-1}\\):\n\n| \\(n\\) | \\(a_n\\) |\n| 1 | \\(5\\) |\n| 2 | \\(-10\\) |\n| 3 | \\(20\\) |\n| 4 | \\(-40\\) |\n| 5 | \\(80\\) |\n| 6 | \\(-160\\) |\n| 7 | \\(320\\) |\n| 8 | \\(-640\\) |\n| 9 | \\(1280\\) |\n| 10 | \\(-2560\\) |\n\nGrupujemy parami (każda para daje wynik ujemny, bo \\(a_{2k-1} + a_{2k} = a_{2k-1}(1 + (-2)) = -a_{2k-1}\\)):\n\\[(5 + (-10)) + (20 + (-40)) + (80 + (-160)) + (320 + (-640)) + (1280 + (-2560))\\]\n\\[= (-5) + (-20) + (-80) + (-320) + (-1280)\\]\n\\[= -(5 + 20 + 80 + 320 + 1280)\\]\n\nTo ciąg geometryczny z \\(a_1' = 5\\), \\(q' = 4\\), \\(n = 5\\):\n\\[= -\\left(5 \\cdot \\frac{4^5 - 1}{4 - 1}\\right) = -\\left(5 \\cdot \\frac{1024 - 1}{3}\\right) = -\\left(5 \\cdot \\frac{1023}{3}\\right) = -(5 \\cdot 341) = -1705\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(S_{10} = -1705\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad \\text{dla } q \\neq 1\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wypisania wyrazów ciągu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(-1023\\) | Pominięto mnożenie przez \\(a_1 = 5\\) - obliczono tylko \\(\\frac{1 - (-2)^{10}}{1-(-2)} = \\frac{-1023}{3} = -341\\) ale to też nie jest \\(-1023\\). Inny wariant: wzięto \\(S_{10} = \\frac{1-q^{10}}{1-q}\\) z \\(a_1=1\\), a potem błędnie \\(\\frac{-1023}{1} = -1023\\) - czyli pominięto mianownik \\((1-q)=3\\) i podstawiono \\(a_1=1\\) |\n| C. \\(1705\\) | Poprawna wartość bezwzględna, ale zgubiono znak. Błąd: \\((-2)^{10}\\) obliczono jako \\(-1024\\) (niepoprawnie), co daje \\(\\frac{1-(-1024)}{3} = \\frac{1025}{3}\\), lub po prostu \"wzięto wynik jako dodatni\" bo \\(2^{10}=1024\\) kojarzy się z dodatnim |\n| D. \\(5115\\) | Użyto wzoru dla \\(q = 1\\): \\(S_{10} = 10 \\cdot a_1 = 50\\) - nie, to daje \\(50\\). Albo podstawiono \\(q = +2\\) zamiast \\(q = -2\\): \\(S_{10} = 5 \\cdot \\frac{1 - 2^{10}}{1-2} = 5 \\cdot \\frac{-1023}{-1} = 5 \\cdot 1023 = 5115\\) ✓ - to klasyczna pułapka zgubienia minusa przy \\(q\\)! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz \\(q = -2\\) jest **ujemny** - nie zapomnij o znaku! Wyrazy ciągu naprzemiennie zmieniają znak. Najczęstszy błąd to podstawienie \\(q = 2\\) zamiast \\(q = -2\\), co prowadzi do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-2)^{10} = +1024\\), bo wykładnik jest **parzysty**. Gdyby \\(n = 9\\), wynik byłby \\((-2)^9 = -512\\). Zawsze sprawdź parzystość wykładnika!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(S_n = a_1 \\cdot \\frac{1-q^n}{1-q}\\) mianownik to \\(1 - q = 1 - (-2) = 3\\), **nie** \\(1 + 2 = 3\\) tu akurat wychodzi to samo, ale przy innych \\(q\\) łatwo o błąd w znaku mianownika.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu geometrycznego\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\dfrac{1 - q^n}{1 - q}.\\]\nDla \\(a_1=5, q=-2, n=10\\):\n\\[q^{10} = (-2)^{10} = 1024.\\]\n\\[S_{10} = 5 \\cdot \\dfrac{1 - 1024}{1 - (-2)} = 5 \\cdot \\dfrac{-1023}{3} = 5 \\cdot (-341) = -1705.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie sumowanie\nWyrazy: \\(5, -10, 20, -40, 80, -160, 320, -640, 1280, -2560\\). Suma:\n\\((5+20+80+320+1280) + (-10-40-160-640-2560) = 1705 + (-3410) = -1705\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-1023\\):** to \\((1-1024)\\) - nie pomnożone przez \\(\\tfrac{5}{3}\\).\n- **C. \\(1705\\):** ktoś zmylił znak: wziął \\(q=2\\) zamiast \\(-2\\).\n- **D. \\(5115\\):** to \\(1705\\cdot 3\\) - błędne dzielenie przez \\(1-q\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nJeżeli trójkąty ABC i A' B' C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2\ni 50 cm2, to skala podobieństwa A' B'\nAB jest równa\nA. 2\nB.\n1\n2\nC.\n2\nD.\n2\n2\nJeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm^2 i 50 cm^2, to skala podobieństwa A'B'/AB jest równa A. pierwiastek z 2 na 2, B. pierwiastek z 2, C. 1/2, D. 2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWykorzystuje własności\nfigur podobnych w zadaniach\n(II.7.b)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(S_4 = 40\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\) i \\(r\\), potem suma\n\nMamy dwa warunki dla ciągu arytmetycznego:\n\\[a_2 = a_1 + r = 11\\]\n\\[a_4 = a_1 + 3r = 7\\]\n\n**Krok 1 - Wyznaczamy różnicę \\(r\\).**\n\nOdejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego:\n\\[(a_1 + 3r) - (a_1 + r) = 7 - 11\\]\n\\[2r = -4\\]\n\\[\\boxed{r = -2}\\]\n\nCiąg jest malejący - każdy wyraz jest o 2 mniejszy od poprzedniego.\n\n**Krok 2 - Wyznaczamy \\(a_1\\).**\n\\[a_1 = 11 - r = 11 - (-2) = \\boxed{13}\\]\n\n**Krok 3 - Obliczamy cztery wyrazy i sumę.**\n\\[a_1 = 13,\\quad a_2 = 11,\\quad a_3 = 9,\\quad a_4 = 7\\]\n\\[S_4 = 13 + 11 + 9 + 7 = \\mathbf{40}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę przez pierwszy i ostatni wyraz\n\nMamy \\(a_1 = 13\\) i \\(a_4 = 7\\) (wyznaczone wyżej). Zamiast sumować wszystkie cztery wyrazy ręcznie, używamy wzoru:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nDla \\(n = 4\\):\n\\[S_4 = \\frac{a_1 + a_4}{2} \\cdot 4 = \\frac{13 + 7}{2} \\cdot 4 = \\frac{20}{2} \\cdot 4 = 10 \\cdot 4 = \\mathbf{40}\\]\n\n**Dlaczego ten wzór działa?** W ciągu arytmetycznym wyrazy układają się symetrycznie - zawsze \\(a_1 + a_4 = a_2 + a_3\\). To jak para klamr, które po środku mają tę samą sumę. Mnożymy tę sumę przez 4 i dzielimy przez 2, bo mamy dwie takie pary.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania warunków dla \\(a_2\\) i \\(a_4\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 - wystarczyło znać pierwszy i ostatni wyraz.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(36\\)) | Uczeń liczy \\(S_4 = 4 \\cdot a_1 - \\text{coś}\\), albo myli \\(r = -2\\) z \\(r = +2\\) i dostaje \\(a_1 = 9\\); wtedy \\(9+11+13+7\\) da niepoprawną sumę, lub liczy tylko \\(a_2 + a_4 + \\ldots\\) |\n| C (\\(13\\)) | Uczeń myli sumę z pierwszym wyrazem \\(a_1 = 13\\) - wartość ta pojawia się w obliczeniach i łatwo ją pomylić z wynikiem |\n| D (\\(20\\)) | Uczeń sumuje tylko dwa dane wyrazy: \\(a_2 + a_4 = 11 + 7 = 18 \\approx 20\\), albo oblicza błędnie \\(\\frac{a_1 + a_4}{2} \\cdot 2\\) zamiast \\(\\cdot 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r\\) wychodzi ujemna (\\(r = -2\\)), bo \\(a_4 < a_2\\). Nie wolno założyć z góry, że ciąg jest rosnący - zawsze sprawdź znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) łatwo zapomnieć pomnożyć przez \\(n\\) - wielu uczniów zatrzymuje się na \\(\\frac{13+7}{2} = 10\\) i wybiera odpowiedź D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) ma \\((n-1)\\), nie \\(n\\) - dla \\(a_2\\) podstawiamy \\(n=2\\), więc \\(a_2 = a_1 + 1 \\cdot r\\), a nie \\(a_1 + 2r\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\) i \\(r\\)\nZ \\(a_4 = a_2 + 2r\\): \\(7 = 11 + 2r \\Rightarrow r = -2\\).\n\\(a_1 = a_2 - r = 11 - (-2) = 13\\).\nWyrazy: \\(13, 11, 9, 7\\). Suma: \\(13+11+9+7 = 40\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę\n\\(S_4 = \\dfrac{a_1 + a_4}{2}\\cdot 4 = \\dfrac{13+7}{2}\\cdot 4 = 10\\cdot 4 = 40\\).\n\nAlternatywnie: \\(S_4 = \\dfrac{(a_2+a_3)}{2}\\cdot 4 = \\dfrac{11+9}{2}\\cdot 4 = 40\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(36\\):** ktoś zaokrąglił lub wziął \\(r=-1\\).\n- **C. \\(13\\):** to tylko \\(a_1\\), nie suma czterech.\n- **D. \\(20\\):** to \\(a_1+a_4\\), nie pomnożone przez \\(\\tfrac{4}{2}\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nLiczby:\n2, 6, 12\nx \n, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu\ngeometrycznego. Liczba x jest równa\nA. 0\nB. 2\nC. 3\nD. 5\nLiczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa A. 5, B. 3, C. 2, D. 0.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nBadanie, czy dany ciąg jest\ngeometryczny (II.5.b)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - wyrażenie jest równe \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie przy użyciu jedynki trygonometrycznej\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** mianowniki można uprościć, bo \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\).\n\nZapisujemy:\n\\[1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\]\n\\[1 - \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\\[\\frac{\\cos^2\\alpha}{1-\\sin^2\\alpha} + \\frac{1-\\cos^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha} = \\frac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha}\\]\n\nKażdy ułamek upraszcza się do jedności:\n\\[= 1 + 1 = \\mathbf{2}\\]\n\n**Wynik: \\(2\\)**\n\n> Uwaga: ponieważ \\(0° < \\alpha < 90°\\), mamy \\(\\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc dzielenie przez \\(\\sin^2\\alpha\\) i \\(\\cos^2\\alpha\\) jest poprawne - żaden mianownik nie jest zerem.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości\n\nSprawdzamy dla \\(\\alpha = 45°\\), gdzie \\(\\sin 45° = \\cos 45° = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\), czyli \\(\\sin^2 45° = \\cos^2 45° = \\dfrac{1}{2}\\).\n\nLiczymy:\n\\[\\frac{\\cos^2 45°}{1-\\sin^2 45°} + \\frac{1-\\cos^2 45°}{\\sin^2 45°} = \\frac{\\frac{1}{2}}{1 - \\frac{1}{2}} + \\frac{1 - \\frac{1}{2}}{\\frac{1}{2}}\\]\n\n\\[= \\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{1}{2}} + \\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{1}{2}} = 1 + 1 = 2\\]\n\nOdpowiedź C daje \\(2\\) - zgadza się. Sprawdzamy też pozostałe opcje dla \\(\\alpha = 45°\\):\n- A: \\(1\\) ✗\n- B: \\(2\\cos^2 45° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\) ✗\n- D: \\(2\\sin^2 45° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\) ✗\n\nTylko C daje \\(2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nTo jest **serce całego zadania**. Stąd natychmiast wynika:\n\\[1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha \\qquad \\text{oraz} \\qquad 1 - \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\]\n\nWłaśnie te podstawienia zamieniają oba ułamki w jedynki i skracają całe wyrażenie do \\(1 + 1 = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(1\\)) | Uczeń upraszcza tylko jeden z dwóch ułamków i zapomina o drugim - liczy samo \\(\\frac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = 1\\) |\n| B (\\(2\\cos^2\\alpha\\)) | Uczeń myli \\(1 - \\sin^2\\alpha\\) z \\(\\sin^2\\alpha\\) w mianowniku i dostaje \\(\\frac{\\cos^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha} + \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha}\\), a potem upraszcza błędnie |\n| D (\\(2\\sin^2\\alpha\\)) | Analogiczny błąd jak w B - zamiana miejscami mianowników pierwszego ułamka, przez co wynik zależy od \\(\\alpha\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to nierozpoznanie wzoru \\(1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\). Jeśli zapamiętasz jedynkę trygonometryczną, ten typ zadania rozwiążesz w 10 sekund!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi B i D zależą od \\(\\alpha\\) - są zmienne. Jeśli upraszczasz wyrażenie i wychodzi ci coś z \\(\\sin\\alpha\\) lub \\(\\cos\\alpha\\), to sygnał, że gdzieś popełniłeś błąd - w tym zadaniu wynik musi być stałą liczbą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy mianownik nie jest zerem! Tu warunek \\(0° < \\alpha < 90°\\) gwarantuje \\(\\sin\\alpha \\neq 0\\) i \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\), więc wszystko jest bezpieczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\nZ \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) mamy:\n- \\(1-\\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\),\n- \\(1-\\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + \\dfrac{\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha} = 1+1 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(\\alpha=45^\\circ\\)\n\\(\\sin^2 45^\\circ = \\cos^2 45^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\):\n\\[\\dfrac{1/2}{1/2} + \\dfrac{1/2}{1/2} = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\):** tylko jeden ułamek dałby \\(1\\).\n- **B. \\(2\\cos^2\\alpha\\):** błąd - ktoś nie uprościł mianownika drugiego ułamka.\n- **D. \\(2\\sin^2\\alpha\\):** analogiczny błąd przy pierwszym ułamku.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nJeżeli  jest kątem ostrym oraz\n2\ntg\n5\n\n, to wartość wyrażenia 3cos\n2sin\nsin\n5cos\n\n\n\n\n\n jest równa\nA.\n11\n23\n\nB.\n24\n5\nC.\n23\n11\n\nD.\n5\n24\nJeżeli alfa jest kątem ostrym oraz tg alfa = 2/5, to wartość wyrażenia 3cos alfa - 2 sin alfa / sin alafa - 5cos alfa jest równa A. -23/11, B. -11/23, C. 5/24, D. 24/5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nStosowanie prostych\nzwiązków między funkcjami\ntrygonometrycznymi kąta\nostrego (I.6.c)\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(20\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Współrzędne i wzór na pole trapezu\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Ponieważ kąt \\(\\sphericalangle LKN = 90°\\), ramię \\(KN\\) jest prostopadłe do podstawy \\(KL\\). Umieszczamy:\n\n\\[K = (0,\\,0), \\quad L = (a,\\,0), \\quad N = (0,\\,4\\sqrt{3}), \\quad M = (3,\\,4\\sqrt{3})\\]\n\n(Wierzchołek \\(M\\) leży o \\(|MN|=3\\) na prawo od \\(N\\), bo \\(MN \\parallel KL\\).)\n\n**Wyznaczamy \\(|KL| = a\\) z warunku \\(\\sphericalangle KLM = 60°\\).**\n\nWektory wychodzące z \\(L\\):\n\\[\\vec{LK} = (-a,\\, 0), \\qquad \\vec{LM} = (3-a,\\, 4\\sqrt{3})\\]\n\nZe wzoru na cosinus kąta między wektorami:\n\\[\\cos 60° = \\frac{\\vec{LK} \\cdot \\vec{LM}}{|\\vec{LK}|\\,|\\vec{LM}|} = \\frac{(-a)(3-a)}{a\\cdot\\sqrt{(3-a)^2 + 48}} = \\frac{a-3}{\\sqrt{(a-3)^2+48}}\\]\n\nPodstawiamy \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) i podstawienie \\(t = a - 3\\):\n\\[\\frac{t}{\\sqrt{t^2+48}} = \\frac{1}{2} \\implies 2t = \\sqrt{t^2+48}\\]\n\\[4t^2 = t^2 + 48 \\implies 3t^2 = 48 \\implies t^2 = 16 \\implies t = 4\\]\n\nZatem \\(a - 3 = 4\\), czyli \\(\\mathbf{|KL| = 7}\\).\n\n**Obliczamy pole trapezu.** Wysokość trapezu \\(h = |KN| = 4\\sqrt{3}\\) (prostopadła do podstawy).\n\n\\[P = \\frac{|KL| + |MN|}{2} \\cdot h = \\frac{7 + 3}{2} \\cdot 4\\sqrt{3} = 5 \\cdot 4\\sqrt{3} = \\boxed{20\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny przy ramieniu \\(LM\\)\n\n**Opuszczamy prostopadłą z \\(M\\) na podstawę \\(KL\\).** Niech \\(P\\) będzie jej stopą. Ponieważ \\(N\\) jest nad \\(K\\), a \\(M\\) jest nad punktem oddalonym o \\(3\\) od \\(K\\), mamy:\n\n\\[|MP| = |KN| = 4\\sqrt{3} \\quad \\text{(wysokość trapezu)}\\]\n\\[|PL| = |KL| - |MN| = a - 3\\]\n\nW trójkącie prostokątnym \\(MPL\\) kąt przy \\(L\\) wynosi \\(60°\\) (to właśnie \\(\\sphericalangle KLM\\), bo \\(MP \\parallel KN\\)):\n\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{|MP|}{|PL|} = \\frac{4\\sqrt{3}}{a-3}\\]\n\\[\\sqrt{3} = \\frac{4\\sqrt{3}}{a-3} \\implies a - 3 = 4 \\implies a = 7\\]\n\nPole:\n\\[P = \\frac{7 + 3}{2} \\cdot 4\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20) - pole trapezu:**\n\\[P = \\frac{a+b}{2} \\cdot h\\]\ngdzie \\(a, b\\) to podstawy, \\(h\\) - wysokość. Użyliśmy do końcowego obliczenia pola.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa:**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]\nW Sposobie 2 użyliśmy \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\) do wyznaczenia \\(|KL|\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |\n| **A** \\(4+2\\sqrt{3}\\) | Pomylono długości: użyto \\(|MN|=3\\) jako wysokości i obliczono pole prostokąta/trójkąta zamiast trapezu |\n| **B** \\(10\\sqrt{3}\\) | Wzięto połowę prawidłowej wysokości: \\(h = 2\\sqrt{3}\\) zamiast \\(4\\sqrt{3}\\), lub pomylono \\(|KL|=5\\) (np. z twierdzenia Pitagorasa bez uwzględnienia struktury trapezu) |\n| **D** \\(24+6\\sqrt{3}\\) | Nieuwzględnienie kąta prostego przy \\(K\\) - uznanie \\(KN\\) za ramię ukośne i dodanie do podstawy pełnej długości tego ramienia; błędna geometria |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\sphericalangle LKN = 90°\\) to kąt **przy wierzchołku \\(K\\)** między **podstawą \\(KL\\) a ramieniem \\(KN\\)** - stąd \\(KN\\) jest prostopada do podstawy i od razu jest wysokością trapezu. Nie mylić z kątem przy wierzchołku \\(N\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(|KL|\\) konieczne jest uwzględnienie, że \\(\\sphericalangle KLM\\) to kąt **wewnętrzny trapezu** przy \\(L\\), a nie kąt ostry w jakimś pomocniczym trójkącie - sprawdź, że wektory wychodzą **z** wierzchołka \\(L\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W kroku \\(2t = \\sqrt{t^2+48}\\) przed podniesieniem do kwadratu upewnij się, że \\(t > 0\\) (bo \\(|KL| > |MN|\\) - dolna podstawa jest dłuższa). Rozwiązanie \\(t < 0\\) należy odrzucić.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z kątem \\(60^\\circ\\)\nTrapez prostokątny: \\(\\sphericalangle K = 90^\\circ\\), \\(\\sphericalangle L = 60^\\circ\\).\nRamię \\(KN\\) (wysokość trapezu) \\(h = 4\\sqrt{3}\\).\n\nRzutujemy \\(M\\) na \\(KL\\) w punkt \\(P\\), wtedy \\(|MP| = h = 4\\sqrt{3}\\) i \\(|KP|=|MN|=3\\). W trójkącie \\(PML\\) prostokątnym przy \\(P\\):\n\\[\\tan 60^\\circ = \\dfrac{|MP|}{|PL|} \\Rightarrow \\sqrt{3} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{|PL|} \\Rightarrow |PL| = 4.\\]\nZatem \\(|KL| = |KP| + |PL| = 3 + 4 = 7\\).\n\nPole trapezu:\n\\[S = \\dfrac{|KL|+|MN|}{2}\\cdot h = \\dfrac{7+3}{2}\\cdot 4\\sqrt{3} = 5\\cdot 4\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Podział na prostokąt + trójkąt\nProstokąt \\(KNMP\\): pole \\(= 3 \\cdot 4\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\).\nTrójkąt \\(PML\\) prostokątny: przyprostokątne \\(4\\) i \\(4\\sqrt{3}\\), pole \\(= \\tfrac{1}{2}\\cdot 4 \\cdot 4\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}\\).\nŁącznie: \\(12\\sqrt{3} + 8\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4+2\\sqrt{3}\\):** zbyt małe - pominięto wysokość.\n- **B. \\(10\\sqrt{3}\\):** ktoś wziął średnią \\(\\tfrac{7+3}{2}=5\\) ale wysokość \\(2\\sqrt{3}\\).\n- **D. \\(24+6\\sqrt{3}\\):** błędne rozłożenie pola.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nLiczba punktów wspólnych okręgu o równaniu\n2\n2\n(\n2)\n(\n3)\n4\nx\ny\n\n\n\n\nz osiami układu\nwspółrzędnych jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 4\nLiczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)^2+(y-3)^2 = 4 z osiami układu współrzędnych jest równa A. 4, B. 2, C. 1, D. 0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nPosługiwanie się równaniem\nokręgu\n2\n2\n2\n(\n)\n(\n)\nx\na\ny\nb\nr\n\n\n\n\n(II.8.g)\nB\nC\n4\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(50\\) pkt\n\n## Sposób 1 - Suma punktów obu grup\n\n**Krok 1: Oblicz łączną liczbę punktów I grupy.**\n\nWiemy, że średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę, czyli:\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\text{suma punktów}}{\\text{liczba studentów}}\\]\n\nStąd suma punktów I grupy:\n\\[\\text{suma}_I = \\bar{x}_I \\cdot n_I = 30 \\cdot 40 = 1200 \\text{ pkt}\\]\n\n**Krok 2: Odczytaj sumę punktów II grupy.**\n\nDane wprost z treści:\n\\[\\text{suma}_{II} = 1800 \\text{ pkt}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz łączną liczbę studentów i łączną sumę punktów.**\n\n\\[n = n_I + n_{II} = 40 + 20 = 60 \\text{ studentów}\\]\n\\[\\text{suma} = 1200 + 1800 = 3000 \\text{ pkt}\\]\n\n**Krok 4: Oblicz średnią łączną.**\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\text{suma}}{n} = \\frac{3000}{60} = \\mathbf{50 \\text{ pkt}}\\]\n\n## Sposób 2 - Średnia ważona\n\nŚrednią łączną możemy wyliczyć bezpośrednio wzorem na **średnią ważoną**, gdzie wagami są liczebności grup.\n\nNajpierw wyznaczamy średnią II grupy:\n\\[\\bar{x}_{II} = \\frac{1800}{20} = 90 \\text{ pkt}\\]\n\nTeraz stosujemy wzór na średnią ważoną:\n\\[\\bar{x} = \\frac{w_I \\cdot \\bar{x}_I + w_{II} \\cdot \\bar{x}_{II}}{w_I + w_{II}} = \\frac{40 \\cdot 30 + 20 \\cdot 90}{40 + 20}\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{1200 + 1800}{60} = \\frac{3000}{60} = \\mathbf{50 \\text{ pkt}}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\noraz wzór na średnią ważoną:\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\n\nUżyliśmy obu: w Sposobie 1 - do obliczenia sumy z podanej średniej, w Sposobie 2 - bezpośrednio do wyznaczenia średniej łącznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(20\\) pkt | Brak sensu matematycznego - trudno tu wskazać jeden konkretny błąd prowadzący do 20, raczej błędne dane podstawiane do wzoru |\n| B. \\(30\\) pkt | Uczeń bierze tylko średnią I grupy i ignoruje II grupę, albo błędnie liczy \\(\\frac{30 + 90}{2} = 60\\) i się myli w dodawaniu lub po prostu uznaje, że skoro I grupa ma 30, to wynik to 30 |\n| D. \\(60\\) pkt | **Klasyczny błąd!** Uczeń liczy zwykłą średnią arytmetyczną z dwóch średnich: \\(\\frac{30 + 90}{2} = 60\\) - nie uwzględniając, że grupy mają **różną liczebność** |\n\n> Odpowiedź D to najgroźniejsza pułapka - wynik 60 wygląda sensownie, bo leży między 30 a 90. Ale to błąd, bo I grupa jest **dwa razy liczniejsza** niż II, więc jej średnia (30) ma większy wpływ na wynik końcowy.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie uśredniaj średnich bezpośrednio! \\(\\frac{\\bar{x}_I + \\bar{x}_{II}}{2}\\) daje poprawny wynik **tylko wtedy**, gdy obie grupy mają jednakową liczebność.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy masz podaną **sumę** punktów (nie średnią), nie musisz wyznaczać średniej tej grupy - suma i tak idzie bezpośrednio do licznika wzoru na średnią łączną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, co dokładnie jest dane - tu dla I grupy podano **średnią** (trzeba ją przemnożyć przez liczebność), a dla II grupy podano **sumę** (gotowa do użycia). Pomieszanie tych danych to źródło błędów.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Suma punktów / liczba studentów\nSuma punktów I grupy: \\(40 \\cdot 30 = 1200\\).\nSuma punktów II grupy: \\(1800\\).\nŁączna suma: \\(1200 + 1800 = 3000\\).\nŁączna liczba studentów: \\(40 + 20 = 60\\).\n\nŚrednia łączna: \\(\\dfrac{3000}{60} = 50\\) pkt.\n\n### Sposób 2 - Średnia ważona\n\\(\\bar{x} = \\dfrac{n_1 \\bar{x}_1 + n_2 \\bar{x}_2}{n_1+n_2}\\), gdzie \\(\\bar{x}_2 = \\tfrac{1800}{20}=90\\).\n\\(\\bar{x} = \\dfrac{40\\cdot 30 + 20\\cdot 90}{60} = \\dfrac{1200+1800}{60} = 50.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20\\):** znacznie mniejsze od obu średnich grupowych - niemożliwe.\n- **B. \\(30\\):** to tylko średnia I grupy.\n- **D. \\(60\\):** zwykła średnia z \\(30\\) i \\(90\\) - nie uwzględnia, że grupy mają różne wielkości.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nWysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 i ramieniu długości 2 3 jest równa\nA.\n3\nB. 3\nC. 2 3\nD. 2\nWysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 stopni i ramieniu długości 2 * pierwiastki z 3 jest równa A. 2, B. pierwiastek z 3, C. 3, D. 2 pierwiastki z 3.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nZnajdowanie związków\nmiarowych w figurach\npłaskich, w tym\nz zastosowaniem\ntrygonometrii (II.7.c)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(60°\\)\n\n## Sposób 1 - wektory i iloczyn skalarny\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech sześcian ma bok \\(a = 1\\). Przyjmujemy:\n\n\\[\nE = (0,0,0),\\quad F = (1,0,0),\\quad G = (1,1,0),\\quad H = (0,1,0)\n\\]\n\\[\nI = (0,0,1),\\quad J = (1,0,1),\\quad K = (1,1,1),\\quad L = (0,1,1)\n\\]\n\n(dolna podstawa \\(EFGH\\), górna \\(IJKL\\), gdzie \\(I\\) nad \\(E\\), \\(J\\) nad \\(F\\) itd.)\n\n**Sprawdzamy, że \\(FI\\) i \\(FK\\) to przekątne sąsiednich ścian:**\n- \\(FI\\) - przekątna ściany przedniej \\(EFJI\\) (ściana \\(y = 0\\))\n- \\(FK\\) - przekątna ściany prawej \\(FGJK\\) (ściana \\(x = 1\\))\n\nŚciany te mają wspólną krawędź \\(FJ\\) - są sąsiednie. ✓\n\n**Wyznaczamy wektory:**\n\\[\n\\vec{FI} = I - F = (-1, 0, 1), \\qquad \\vec{FK} = K - F = (0, 1, 1)\n\\]\n\n**Obliczamy kąt z definicji iloczynu skalarnego:**\n\\[\n\\vec{FI} \\cdot \\vec{FK} = (-1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 1\n\\]\n\\[\n|\\vec{FI}| = \\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \\sqrt{2}, \\qquad |\\vec{FK}| = \\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \\sqrt{2}\n\\]\n\\[\n\\cos(\\angle IFK) = \\frac{\\vec{FI} \\cdot \\vec{FK}}{|\\vec{FI}| \\cdot |\\vec{FK}|} = \\frac{1}{\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{1}{2}\n\\]\n\n**Stąd:**\n\\[\n\\angle IFK = \\arccos\\!\\left(\\frac{1}{2}\\right) = \\mathbf{60°}\n\\]\n\n## Sposób 2 - trójkąt \\(IFK\\) jest równoboczny\n\nZamiast wektorów, wyznaczamy **długości wszystkich boków** trójkąta \\(IFK\\):\n\n\\[\nF = (1,0,0),\\quad I = (0,0,1),\\quad K = (1,1,1)\n\\]\n\n\\[\n|FI| = \\sqrt{(1-0)^2 + 0^2 + (0-1)^2} = \\sqrt{2}\n\\]\n\\[\n|FK| = \\sqrt{0^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \\sqrt{2}\n\\]\n\\[\n|IK| = \\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \\sqrt{2}\n\\]\n\nWszystkie trzy boki trójkąta \\(IFK\\) mają tę samą długość \\(\\sqrt{2}\\) - **trójkąt \\(IFK\\) jest równoboczny!**\n\nW trójkącie równobocznym każdy kąt wynosi \\(60°\\), więc:\n\n\\[\n\\boxed{\\angle IFK = 60°}\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Sposób 1** nie wymaga wzorów z karty, lecz korzysta z definicji iloczynu skalarnego (materiał spoza karty - matura nie wymaga iloczynu skalarnego wprost).\n\nJeśli weryfikujemy wynik trygonometrycznie (Sposób 2 - trójkąt równoboczny):\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nKażdy kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego = \\(60°\\). Użyliśmy tego w Sposobie 2 jako wniosek końcowy.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - wartość \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) z tabeli kątów, użyta w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A. \\(30°\\) | Pomylenie kąta \\(IFK\\) z połową kąta trójkąta lub mylne użycie \\(\\arccos\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |\n| B. \\(45°\\) | Uczeń myśli, że kąt między przekątnymi ścian = kąt między przekątną ściany a krawędzią (\\(45°\\)) |\n| D. \\(90°\\) | Intuicja: „ściany są prostopadłe, więc ich przekątne też są prostopadłe\" - **BŁĄD!** Prostopadłość ścian nie oznacza prostopadłości ich przekątnych |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiedź D - uczeń rozumuje „ściany są do siebie prostopadłe, więc \\(FI \\perp FK\\)\". To nieprawda - prostopadłe są ściany (jako płaszczyzny), a nie leżące w nich przekątne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić przekątną ściany (\\(\\sqrt{2}\\,a\\)) z przekątną sześcianu (\\(\\sqrt{3}\\,a\\)). \\(FI\\) i \\(FK\\) to przekątne **ścian** - nie należy ich mylić z przekątnymi przestrzennymi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 (równoboczność trójkąta \\(IFK\\)) jest najszybszy na egzaminie - wystarczy policzyć trzy odległości i rozpoznać trójkąt równoboczny, bez żadnych funkcji trygonometrycznych.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoboczny\nNiech krawędź sześcianu ma długość \\(a\\). Każda przekątna ściany ma długość \\(a\\sqrt{2}\\). Więc:\n\\(|FI| = |FK| = a\\sqrt{2}\\).\n\nTrzeci odcinek \\(IK\\) jest również przekątną ściany (górnej): \\(|IK| = a\\sqrt{2}\\).\n\nTrójkąt \\(FIK\\) ma wszystkie trzy boki równe \\(a\\sqrt{2}\\) - jest **równoboczny**. Wszystkie kąty w nim mają miarę \\(60^\\circ\\), więc \\(\\sphericalangle IFK = 60^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów\n\\(|IK|^2 = |FI|^2 + |FK|^2 - 2|FI||FK|\\cos(\\sphericalangle IFK)\\).\n\\(2a^2 = 2a^2 + 2a^2 - 4a^2\\cos\\alpha \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2} \\Rightarrow \\alpha = 60^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(30^\\circ\\):** za mały - trójkąt nie byłby równoboczny.\n- **B. \\(45^\\circ\\):** to kąt przekątnej z krawędzią, nie między przekątnymi dwóch sąsiednich ścian.\n- **D. \\(90^\\circ\\):** byłby prosty tylko gdyby przekątne były w równoległych ścianach.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nKąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4\n9 długości okręgu, ma miarę\nA. 160\nB. 80\nC. 40\nD. 20\nKąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę A. 20^o, B. 40^o, C. 80^o, D. 160^o.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nZnajdowanie związków\nmiarowych w figurach\npłaskich (IV.7.c)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(60^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\n\n**Krok 1: Wyznacz brakujący kąt środkowy.**\n\nTrzy kąty środkowe \\(\\sphericalangle KOM\\), \\(\\sphericalangle KOL\\) i \\(\\sphericalangle LOM\\) tworzą pełny obrót wokół \\(O\\):\n\\[\\sphericalangle KOM + \\sphericalangle KOL + \\sphericalangle LOM = 360^\\circ\\]\n\\[130^\\circ + 110^\\circ + \\sphericalangle LOM = 360^\\circ\\]\n\\[\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym.**\n\nKąt \\(LKM\\) jest kątem **wpisanym** w okrąg i opiera się na tym samym łuku \\(LM\\) (tym, który nie zawiera \\(K\\)), co kąt środkowy \\(\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\).\n\nZ twierdzenia: kąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\\[\\sphericalangle LKM = \\frac{1}{2} \\cdot \\sphericalangle LOM = \\frac{1}{2} \\cdot 120^\\circ = \\mathbf{60^\\circ}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąty równoramienne (bez twierdzenia o kącie wpisanym)\n\nWszystkie odcinki \\(OK\\), \\(OL\\), \\(OM\\) są promieniami okręgu, więc trójkąty \\(KOL\\) i \\(KOM\\) są **równoramienne**.\n\n**Trójkąt \\(KOM\\)** (ramiona \\(OK = OM = r\\), kąt przy wierzchołku \\(130^\\circ\\)):\n\\[\\sphericalangle OKM = \\frac{180^\\circ - 130^\\circ}{2} = \\frac{50^\\circ}{2} = 25^\\circ\\]\n\n**Trójkąt \\(KOL\\)** (ramiona \\(OK = OL = r\\), kąt przy wierzchołku \\(110^\\circ\\)):\n\\[\\sphericalangle OKL = \\frac{180^\\circ - 110^\\circ}{2} = \\frac{70^\\circ}{2} = 35^\\circ\\]\n\nPonieważ punkt \\(O\\) leży wewnątrz kąta \\(LKM\\) (wynika to z układu punktów na rysunku), kąt szukany to suma:\n\\[\\sphericalangle LKM = \\sphericalangle OKM + \\sphericalangle OKL = 25^\\circ + 35^\\circ = \\mathbf{60^\\circ}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sphericalangle LKM\\) na podstawie \\(\\sphericalangle LOM\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów trójkąta:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180^\\circ\\]\n\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia kątów przy podstawach trójkątów równoramiennych \\(KOM\\) i \\(KOL\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(30^\\circ\\) | Uczeń bierze połowę z \\(60^\\circ\\) (wynik z połowy jednego kąta środkowego zamiast całego \\(\\sphericalangle LOM\\)) |\n| C. \\(90^\\circ\\) | Uczeń dodaje \\(130^\\circ + 110^\\circ = 240^\\circ\\), po czym bierze \\(\\frac{240^\\circ}{2} \\cdot \\frac{1}{2}\\) lub błędnie liczy brakujący kąt jako \\(180^\\circ\\) |\n| D. \\(120^\\circ\\) | Uczeń poprawnie wyznacza \\(\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\), ale **zapomina podzielić przez 2** - podaje kąt środkowy zamiast wpisanego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to podanie kąta środkowego \\(\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\) jako odpowiedzi (D) - pamiętaj, kąt **wpisany** to zawsze **połowa** kąta środkowego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw wyznacz brakujący kąt środkowy \\(\\sphericalangle LOM\\) z warunku \\(130^\\circ + 110^\\circ + \\sphericalangle LOM = 360^\\circ\\). Kąt wpisany \\(LKM\\) opiera się właśnie na łuku \\(LM\\), a nie na łukach \\(KM\\) czy \\(KL\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź na rysunku, **który łuk** jest podstawą kąta wpisanego - to łuk \\(LM\\) po stronie **przeciwnej** niż punkt \\(K\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany\nKąt \\(LKM\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(LM\\). Kąt środkowy \\(\\sphericalangle LOM\\) opiera się na tym samym łuku.\n\nSkoro \\(\\sphericalangle KOM = 130^\\circ\\) oraz \\(\\sphericalangle KOL = 110^\\circ\\), a trzy kąty środkowe wokół \\(O\\) sumują się do \\(360^\\circ\\):\n\\[\\sphericalangle LOM = 360^\\circ - 130^\\circ - 110^\\circ = 120^\\circ.\\]\n\nKąt wpisany jest **połową** kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\\[\\sphericalangle LKM = \\dfrac{120^\\circ}{2} = 60^\\circ.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio\nŁuk \\(LM\\) (nie zawierający \\(K\\)) ma miarę kątową \\(120^\\circ\\). Kąt wpisany z wierzchołkiem \\(K\\): \\(\\tfrac{120^\\circ}{2}=60^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(30^\\circ\\):** byłoby \\(\\tfrac{60^\\circ}{2}\\).\n- **C. \\(90^\\circ\\):** tylko gdy łuk = półokrąg (\\(180^\\circ\\)).\n- **D. \\(120^\\circ\\):** to miara kąta środkowego, a pytamy o wpisany.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nO funkcji liniowej f wiadomo, że\n1\n2\nf\n\n. Do wykresu tej funkcji należy punkt\n( 2,3)\nP \nWzór funkcji f to\nA.\n\n1\n7\n3\n3\n\n\nf x\nx\nB.\n\n1\n2\n2\nf x\nx\n\n\nC.\n\n3\n7\nf x\nx\n\n\nD.\n\n2\n4\nf\nx\nx\n\n\nO funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wzór funkcji f to f(x)=-1/2x+2, B. f(x)=-1/3x+7/3, C. f(x)=-2x+4, D. f(x)=-3x+7","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczanie wartości\nliczbowej wyrażenia\nwymiernego dla danej\nwartości zmiennej (II.2.e)\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{15}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym\n\nW trójkącie prostokątnym okrąg opisany ma bardzo elegancką właściwość: **jego środek leży w połowie przeciwprostokątnej**, a promień równa się połowie długości przeciwprostokątnej.\n\n**Krok 1: Oblicz długość przeciwprostokątnej** (z twierdzenia Pitagorasa):\n\n\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{12^2 + 9^2} = \\sqrt{144 + 81} = \\sqrt{225} = 15\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz promień okręgu opisanego:**\n\n\\[R = \\frac{c}{2} = \\frac{15}{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(R = \\dfrac{15}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie sinusów\n\nDla każdego trójkąta zachodzi: \\(\\dfrac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\), gdzie \\(\\gamma\\) to kąt naprzeciwko boku \\(c\\).\n\nW trójkącie prostokątnym kąt przy przeciwprostokątnej wynosi \\(\\gamma = 90°\\), a \\(\\sin 90° = 1\\).\n\nZ twierdzenia sinusów:\n\n\\[2R = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = \\frac{c}{\\sin 90°} = \\frac{c}{1} = c\\]\n\n\\[R = \\frac{c}{2}\\]\n\nObliczamy \\(c\\) tak samo jak w Sposobie 1:\n\n\\[c = \\sqrt{12^2 + 9^2} = \\sqrt{225} = 15\\]\n\n\\[R = \\frac{15}{2}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **to dobry znak!**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia długości przeciwprostokątnej \\(c = 15\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 17)** - promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:\n\\[R = \\frac{c}{2}\\]\nTo gotowy wzór z karty - **wystarczyło go zastosować bezpośrednio!**\n\n**Dział 9 (Trygonometria / Dział 10 Planimetria, s. 15)** - twierdzenie sinusów:\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]\nUżyte w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Typowy błąd |\n| A: \\(\\sqrt{108}\\) | Policzono \\(\\sqrt{12^2 - 9^2} = \\sqrt{144-81} = \\sqrt{63}\\) - pomyłka znaku w Pitagorasie (odjęto zamiast dodać), a potem wzięto pełną wartość, nie połowę. Albo: obliczono \\(\\sqrt{12 \\cdot 9} = \\sqrt{108}\\) - losowe działanie bez uzasadnienia. |\n| C: \\(15\\) | Obliczono poprawnie przeciwprostokątną \\(c = 15\\), ale **zapomniano podzielić przez 2**. To właśnie \\(c\\), nie \\(R\\)! |\n| D: \\(\\dfrac{\\sqrt{108}}{2}\\) | Połączenie błędu z A (zły Pitagoras) i częściowo dobrego pomysłu (podzielenie przez 2). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(R = \\dfrac{c}{2}\\) działa **tylko dla trójkąta prostokątnego** - dla innych trójkątów musisz używać twierdzenia sinusów lub wzoru \\(R = \\dfrac{abc}{4P}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić okrąg **opisany** z **wpisanym**! Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny to \\(r = \\dfrac{a + b - c}{2} = \\dfrac{12 + 9 - 15}{2} = 3\\) - zupełnie inna wartość.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy Pitagorasie zawsze sprawdź, który bok jest przeciwprostokątną (najdłuższy). Tu \\(c = 15 > 12 > 9\\) - to się zgadza!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym\nW trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży na środku przeciwprostokątnej, a promień = \\(\\tfrac{1}{2}\\) przeciwprostokątnej.\n\nZ twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna:\n\\[c = \\sqrt{12^2+9^2} = \\sqrt{144+81} = \\sqrt{225} = 15.\\]\n\nPromień: \\(R = \\dfrac{15}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny \\(R = \\tfrac{abc}{4P}\\)\nPole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 9 = 54\\). Iloczyn boków: \\(12\\cdot 9 \\cdot 15 = 1620\\).\n\\(R = \\dfrac{1620}{4\\cdot 54} = \\dfrac{1620}{216} = \\dfrac{15}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sqrt{108}\\):** nie związane z tym zadaniem (\\(\\sqrt{12\\cdot 9}\\)?).\n- **C. \\(15\\):** to pełna przeciwprostokątna, a promień to jej połowa.\n- **D. \\(\\tfrac{\\sqrt{108}}{2}\\):** j.w. - błędne obliczenie przeciwprostokątnej.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nJeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa\nA. 5\nB. 7\nC. 8\nD. 10\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nJeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa A. 10, B. 8, C. 7, D 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nWyznaczanie związków\nmiarowych w wielościanach\n(III.9.b)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{5}{30}\\)\n\n## Sposób 1 - Wypisanie kwadratów i zliczenie\n\n**Szukamy: ile liczb ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, \\ldots, 30\\}\\) jest kwadratami liczb całkowitych?**\n\nWypisujemy kolejne kwadraty liczb naturalnych i sprawdzamy, które nie przekraczają 30:\n\n\\[1^2 = 1 \\checkmark\\]\n\\[2^2 = 4 \\checkmark\\]\n\\[3^2 = 9 \\checkmark\\]\n\\[4^2 = 16 \\checkmark\\]\n\\[5^2 = 25 \\checkmark\\]\n\\[6^2 = 36 > 30 \\quad \\text{- już za duże, stop}\\]\n\n**Kwadraty w zbiorze:** \\(\\{1, 4, 9, 16, 25\\}\\) - jest ich **5**.\n\nPrzestrzeń zdarzeń elementarnych: każda z 30 liczb jest jednakowo prawdopodobna, więc \\(|\\Omega| = 30\\).\n\nZdarzenie sprzyjające \\(A\\) = \"wylosowana liczba jest kwadratem\": \\(|A| = 5\\).\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{5}{30}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{5}{30}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez oszacowanie\n\nIle liczb całkowitych \\(n\\) spełnia \\(n^2 \\leq 30\\)?\n\n\\[n^2 \\leq 30 \\implies n \\leq \\sqrt{30}\\]\n\nSzacujemy: \\(\\sqrt{25} = 5\\), \\(\\sqrt{36} = 6\\), więc:\n\n\\[\\sqrt{30} \\approx 5{,}48\\]\n\nZatem \\(n\\) może być równe \\(1, 2, 3, 4, 5\\) - dokładnie **5 wartości** (biorąc pod uwagę tylko liczby naturalne, bo kwadrat liczby ujemnej daje to samo co dodatniej).\n\nWynik taki sam: \\(P(A) = \\dfrac{5}{30}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru wprost: przestrzeń \\(\\Omega\\) to 30 równoprawdopodobnych wyników, zdarzenie \\(A\\) liczy 5 sprzyjających.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\dfrac{4}{30}\\) | Pominięto \\(1 = 1^2\\) - uczeń zaczyna od \\(2^2 = 4\\) i nie uznaje jedynki za kwadrat |\n| C \\(\\dfrac{6}{30}\\) | Doliczono \\(6^2 = 36\\), nie sprawdzając czy mieści się w zbiorze |\n| D \\(\\dfrac{10}{30}\\) | Pomylono kwadraty z liczbami podzielnymi przez 3 lub inną klasą liczb; ewentualnie błędnie policzono \\(\\sqrt{30} \\approx 10\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka \\(1 = 1^2\\) jest kwadratem liczby całkowitej! To najczęściej pomijana liczba - stąd błędna odpowiedź A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy ostatni kandydat (\\(6^2 = 36\\)) **mieści się w zbiorze** - tu nie mieści, więc nie liczymy. Nieuwaga tu daje błędną odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\) działa tylko gdy wszystkie wyniki są **jednakowo prawdopodobne** - w losowaniu jednej liczby ze zbioru \\(\\{1, \\ldots, 30\\}\\) tak właśnie jest.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZdarzenia elementarne: \\(|\\Omega| = 30\\).\n\nKwadraty liczb całkowitych w \\(\\{1,\\ldots,30\\}\\): \\(1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25\\). \\(6^2=36>30\\).\n\nWięc \\(|A| = 5\\), a \\(P(A) = \\dfrac{5}{30}\\).\n\n### Sposób 2 - Wypisywanie wprost\n\\(\\{1, 4, 9, 16, 25\\}\\) - pięć elementów, \\(P=\\tfrac{5}{30}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{4}{30}\\):** ktoś pominął \\(1\\) lub \\(25\\).\n- **C. \\(\\tfrac{6}{30}\\):** ktoś dołączył \\(36\\) (poza zbiorem).\n- **D. \\(\\tfrac{10}{30}\\):** prawdopodobnie sumowanie czegoś innego, np. liczb podzielnych przez 3.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nStożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy\ntworząca stożka jest\nA. sześć razy dłuższa od wysokości walca.\nB. trzy razy dłuższa od wysokości walca.\nC. dwa razy dłuższa od wysokości walca.\nD. równa wysokości walca.\nStożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznej. Wtedy tworząca stożka jest A. równa wysokości walca, B. dwa razy dłuższa od wysokości walca, C. trzy razy dłuższa od wysokości walca, D. sześć razy dłuższa od wysokości walca","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nWyznaczanie związków\nmiarowych w bryłach\nobrotowych (III.9.b)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(6\\))\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\n\nProsta \\(HI\\) jest równoległa do \\(EF\\), więc trójkąt \\(GHI\\) jest **podobny** do trójkąta \\(GEF\\) (na zasadzie: kąt wspólny przy \\(G\\), dwa kąty odpowiadające sobie przy podstawach są równe - proste równoległe tworzą te same kąty z przecinającymi).\n\n**Wyznaczamy współczynnik podobieństwa** z boków równoległych:\n\\[k = \\frac{|HI|}{|EF|} = \\frac{7}{21} = \\frac{1}{3}\\]\n\nPonieważ trójkąty są podobne z współczynnikiem \\(k = \\frac{1}{3}\\), **wszystkie odpowiadające sobie boki są w tym stosunku**. W szczególności:\n\\[\\frac{|GI|}{|GF|} = \\frac{1}{3}\\]\n\nSkoro \\(|GI| = 3\\), to:\n\\[|GF| = 3 \\cdot |GI| = 3 \\cdot 3 = 9\\]\n\nSzukany odcinek \\(FI\\) to fragment boku \\(GF\\) poza punktem \\(I\\):\n\\[|FI| = |GF| - |GI| = 9 - 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Talesa bezpośrednio\n\nProsta \\(HI \\parallel EF\\) przecina boki trójkąta \\(GEF\\). Na podstawie **twierdzenia Talesa** podziały obu boków są proporcjonalne:\n\n\\[\\frac{|GI|}{|FI|} = \\frac{|GH|}{|HE|} = \\frac{|HI|}{|EF|} = \\frac{7}{21} = \\frac{1}{3}\\]\n\nZ proporcji \\(\\dfrac{|GI|}{|FI|} = \\dfrac{1}{3}\\) i \\(|GI| = 3\\):\n\n\\[|FI| = 3 \\cdot |GI| = 3 \\cdot 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - Twierdzenie Talesa:\n\n> Jeśli prosta równoległa do jednego boku trójkąta przecina dwa pozostałe boki, to dzieli je proporcjonalnie.\n\n\\[\\frac{|GI|}{|IF|} = \\frac{|GH|}{|HE|} = \\frac{|HI|}{|EF|}\\]\n\nUżyliśmy tego wprost w obu sposobach - proporcja daje nam stosunek odcinków na boku \\(FG\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B. \\(9\\) | Uczeń wyznaczył \\(\\|GF\\|\\) (cały bok), ale nie odjął \\(\\|GI\\|\\) - zatrzymał się w połowie |\n| C. \\(12\\) | Wzięto \\(\\|FI\\| = 2 \\cdot \\|GF\\|\\) albo pomylono kierunek proporcji i liczono \\(\\|FI\\| = 3 \\cdot \\|EF\\|/21 \\cdot \\) |\n| D. \\(17\\) | Dodano \\(\\|GI\\| + \\|HI\\| = 3 + 7 + 7 = \\) - przypadkowe kombinowanie danych bez użycia podobieństwa |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(|GF|\\) z \\(|FI|\\)! Twierdzenie Talesa daje nam cały bok \\(GF = 9\\), ale pytanie dotyczy **odcinka \\(FI\\)**, czyli tej części boku **poza** punktem \\(I\\) - trzeba jeszcze odjąć \\(|GI|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek podobieństwa \\(k = \\frac{1}{3}\\) dotyczy odległości od wierzchołka \\(G\\) - bo \\(G\\) jest wierzchołkiem wspólnym obu trójkątów. Stąd \\(\\frac{|GI|}{|GF|} = \\frac{1}{3}\\), **a nie** \\(\\frac{|FI|}{|GF|} = \\frac{1}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że podobieństwo działa tutaj, bo prosta równoległa do podstawy \"odcina\" mniejszy trójkąt podobny do całego - to klasyczny schemat zadań z trójkątami podobnymi na maturze.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Talesa / podobieństwo trójkątów\nProsta \\(HI \\parallel EF\\) tworzy trójkąt \\(GHI\\) podobny do \\(GEF\\) (\\(kkk\\)).\n\nStosunek podobieństwa: \\(k = \\dfrac{|HI|}{|EF|} = \\dfrac{7}{21} = \\dfrac{1}{3}\\).\n\nWięc \\(|GI| = \\dfrac{1}{3}|GF|\\), czyli \\(|GF| = 3|GI| = 3\\cdot 3 = 9\\).\n\nDługość odcinka \\(FI\\): \\(|FI| = |GF| - |GI| = 9 - 3 = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Proporcja odcinków\n\\(\\dfrac{|GI|}{|GF|} = \\dfrac{|HI|}{|EF|} \\Rightarrow \\dfrac{3}{|GF|} = \\dfrac{7}{21} = \\dfrac{1}{3}\\).\nStąd \\(|GF|=9\\), a \\(|FI|=|GF|-|GI|=6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(9\\):** to cała długość \\(|GF|\\), nie \\(|FI|\\).\n- **C. \\(12\\):** wynik z błędnej proporcji \\(\\tfrac{21}{7}\\cdot\\tfrac{3}{1}\\).\n- **D. \\(17\\):** błąd: różnica \\(21-7+3\\)?","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nLiczba\n\n\n2\n0\n3\n4\n1\n729\n256\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\njest równa\nA.\n1\n225\nB.\n1\n15\nC. 1\nD. 15\nLiczba (1 / (pierwiastek 3 stopnia z 729 + pierwiastek 4 stopnia z 256 + 2)^0)^(-2) jest równa A. 15, B. 1, C. 1/15, D. 1/225.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczanie potęgi\no wykładniku wymiernym\noraz stosowanie praw działań\nna potęgach o wykładnikach\nwymiernych (II.1.g)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(400\\,000\\ \\text{m}^2\\)\n\n## Sposób 1 - Przeliczenie boków na metry, potem pole\n\n**Krok 1: Zamiana skali.**\n\nSkala \\(1 : 20\\,000\\) oznacza, że \\(1\\ \\text{cm}\\) na planie = \\(20\\,000\\ \\text{cm}\\) w rzeczywistości.\n\nZamień \\(20\\,000\\ \\text{cm}\\) na metry:\n\\[20\\,000\\ \\text{cm} = 200\\ \\text{m}\\]\n\n**Krok 2: Przelicz boki prostokąta na rzeczywiste metry.**\n\n\\[2\\ \\text{cm} \\rightarrow 2 \\cdot 200\\ \\text{m} = 400\\ \\text{m}\\]\n\\[5\\ \\text{cm} \\rightarrow 5 \\cdot 200\\ \\text{m} = 1000\\ \\text{m}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz pole prostokąta.**\n\\[P = 400\\ \\text{m} \\cdot 1000\\ \\text{m} = 400\\,000\\ \\text{m}^2\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\mathbf{400\\,000\\ \\text{m}^2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Pole na planie × kwadrat skali\n\nZamiast przeliczać boki osobno, możemy skorzystać z własności skal:\n\n**Krok 1: Oblicz pole na planie.**\n\\[P_{\\text{plan}} = 2\\ \\text{cm} \\cdot 5\\ \\text{cm} = 10\\ \\text{cm}^2\\]\n\n**Krok 2: Przelicz pole używając kwadratu skali.**\n\nJeśli skala liniowa wynosi \\(1 : 20\\,000\\), to skala powierzchniowa wynosi \\(1 : 20\\,000^2\\), czyli:\n\\[P_{\\text{rzeczywiste}} = 10\\ \\text{cm}^2 \\cdot (20\\,000)^2 = 10 \\cdot 400\\,000\\,000\\ \\text{cm}^2\\]\n\\[= 4\\,000\\,000\\,000\\ \\text{cm}^2\\]\n\n**Krok 3: Zamień cm² na m².**\n\\[1\\ \\text{m}^2 = 10\\,000\\ \\text{cm}^2\\]\n\\[P = \\frac{4\\,000\\,000\\,000}{10\\,000}\\ \\text{m}^2 = 400\\,000\\ \\text{m}^2\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\mathbf{400\\,000\\ \\text{m}^2}\\) ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji skali i wzoru na pole prostokąta \\(P = a \\cdot b\\) oraz przeliczanie jednostek.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(20\\,000\\ \\text{m}^2\\) | Wzięcie samej liczby ze skali jako wyniku - zupełne pominięcie obliczeń |\n| B - \\(40\\,000\\ \\text{m}^2\\) | Pomnożenie pola na planie (\\(10\\ \\text{cm}^2\\)) przez \\(20\\,000\\) - zastosowanie skali liniowej do powierzchni zamiast jej kwadratu; albo przeliczenie \\(2\\times 5 = 10\\), \\(10 \\times 4000 = 40\\,000\\) po złym przeliczeniu cm→m |\n| C - \\(200\\,000\\ \\text{m}^2\\) | Przeliczenie \\(1\\ \\text{cm} = 200\\ \\text{m}\\) poprawne, ale błąd przy mnożeniu: np. \\(200 \\cdot 1000 = 200\\,000\\) zamiast \\(400 \\cdot 1000\\) (zapomnienie o przeliczeniu boku 2 cm) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skala \\(1 : 20\\,000\\) jest skalą **liniową** - dotyczy długości. Dla **pól (powierzchni)** trzeba pomnożyć przez **kwadrat** skali, czyli przez \\((20\\,000)^2\\). To najczęstszy błąd w zadaniach ze skalą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o jednostkach! Skala jest w cm, więc boki obliczasz w cm, przeliczasz na metry (\\(1\\ \\text{m} = 100\\ \\text{cm}\\)), a dopiero potem liczysz pole w m². Pomieszanie jednostek (cm i m w jednym wzorze) to prosta droga do błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze zacznij od przeliczenia boków na jednostki rzeczywiste, a pole oblicz na końcu - nigdy nie przeliczaj bezpośrednio \\(\\text{cm}^2\\) na \\(\\text{m}^2\\) bez uwzględnienia kwadratu skali.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rzeczywiste wymiary, potem pole\nW skali \\(1:20\\,000\\): \\(1\\,\\text{cm}\\) na planie to \\(20\\,000\\,\\text{cm} = 200\\,\\text{m}\\) w rzeczywistości.\n\nBoki parku w rzeczywistości:\n- \\(2\\,\\text{cm} \\to 400\\,\\text{m}\\),\n- \\(5\\,\\text{cm} \\to 1000\\,\\text{m}\\).\n\nPole: \\(400 \\cdot 1000 = 400\\,000\\,\\text{m}^2\\).\n\n### Sposób 2 - Skala pól\nSkala pól = (skala długości)\\(^2 = 20\\,000^2 = 4\\cdot 10^8\\).\n\nPole na planie: \\(2\\cdot 5 = 10\\,\\text{cm}^2\\).\n\nPole w rzeczywistości: \\(10\\cdot 4\\cdot 10^8 = 4\\cdot 10^9 \\,\\text{cm}^2 = 4\\cdot 10^5 \\,\\text{m}^2 = 400\\,000\\,\\text{m}^2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20\\,000\\,\\text{m}^2\\):** ktoś pomnożył pole przez skalę długości, nie przez jej kwadrat.\n- **B. \\(40\\,000\\,\\text{m}^2\\):** j.w., z innym błędem.\n- **C. \\(200\\,000\\,\\text{m}^2\\):** ktoś zapomniał o jednym boku.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nDo wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem\n2\n2x\ny\n\n\n, należy\npunkt\nA.\n(1, 2)\nA \n\nB.\n(2, 1)\nB \n\nC.\n1\n1, 2\nC\n\n\n\n\n\n\nD.\n(4,4)\nD \nDo wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y = -2^{x-2}, należy punkt A. A = (2,-1), B. B = (1,-2), C. C = (1, 1/2), D. D = (4,4).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczanie potęgi\no wykładniku wymiernym\n(II.1.g)\nB\nA\n5\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(m = \\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - warunek równoległości (przyrównanie współczynników kierunkowych)\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**:\n\\[a_1 = a_2 \\quad \\text{oraz} \\quad b_1 \\neq b_2\\]\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n- Prosta 1: \\(y = mx - 5\\) - współczynnik kierunkowy: \\(a_1 = m\\)\n- Prosta 2: \\(y = (1-2m)x + 7\\) - współczynnik kierunkowy: \\(a_2 = 1 - 2m\\)\n\nPrzyrównujemy \\(a_1 = a_2\\):\n\\[m = 1 - 2m\\]\n\\[m + 2m = 1\\]\n\\[3m = 1\\]\n\\[\\boxed{m = \\frac{1}{3}}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne** (wymagamy różnych wyrazów wolnych):\n- Wyraz wolny prostej 1: \\(-5\\)\n- Wyraz wolny prostej 2: \\(7\\)\n\nOczywiście \\(-5 \\neq 7\\), więc proste są **równoległe, nie identyczne**. ✓\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(m = \\frac{1}{3}\\) do równań obu prostych i sprawdzamy:\n\nProsta 1:\n\\[y = \\frac{1}{3}x - 5\\]\n\nProsta 2 (obliczamy \\(1 - 2m = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\)):\n\\[y = \\frac{1}{3}x + 7\\]\n\nObie proste mają współczynnik kierunkowy \\(\\frac{1}{3}\\) i różne wyrazy wolne (\\(-5\\) i \\(7\\)), co potwierdza, że są równoległe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych w postaci kierunkowej:\n\\[y = a_1 x + b_1 \\parallel y = a_2 x + b_2 \\iff a_1 = a_2 \\text{ oraz } b_1 \\neq b_2\\]\n\nTo jest kluczowy warunek użyty w Sposobie 1. Karta wzorów podaje go w formie:\n> Proste równoległe: \\(a_1 = a_2\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(m = -1\\) | Błędne równanie: uczeń pisze \\(-m = 1 - 2m\\) zamiast \\(m = 1 - 2m\\) (pomyłka znaku przy \\(m\\)) |\n| B: \\(m = -\\frac{1}{3}\\) | Błędna forma: uczeń rozwiązuje \\(m = -(1-2m)\\), jakby przyrównywał z minusem |\n| D: \\(m = 1\\) | Uczeń wstawia \\(m = 1\\) bez rachunku i sprawdza \"czy wychodzi ładna liczba\", albo błędnie upraszcza równanie do \\(m = 2m - 1 \\Rightarrow 0 = m - 1 \\Rightarrow m = 1\\) (pomylona strona odejmowania) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoległość to NIE to samo co identyczność. Gdyby wyrazy wolne też były równe, proste byłyby tą samą prostą - wtedy nie są równoległe w potocznym sensie. Zawsze sprawdź, czy \\(b_1 \\neq b_2\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo się pomylić odczytując współczynnik kierunkowy prostej 2. \\((1-2m)\\) to cały współczynnik przy \\(x\\), nie należy go rozbijać ani przestawiać przed podstawieniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po ustawieniu równania \\(m = 1 - 2m\\) przenoś \\(2m\\) na lewą stronę z plusem, nie z minusem - to tutaj najczęściej powstaje błąd arytmetyczny.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nDwie proste \\(y=a_1 x+b_1\\), \\(y=a_2 x+b_2\\) są równoległe \\(\\iff a_1=a_2\\) (i \\(b_1\\ne b_2\\) - tutaj \\(-5\\ne 7\\) spełnione).\n\nWięc \\(m = 1-2m\\):\n\\[3m = 1 \\Rightarrow m = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- **A. \\(m=-1\\):** \\(a_1=-1, a_2=1-(-2)=3\\) ✗\n- **B. \\(m=-\\tfrac{1}{3}\\):** \\(a_1=-\\tfrac{1}{3}, a_2=1+\\tfrac{2}{3}=\\tfrac{5}{3}\\) ✗\n- **C. \\(m=\\tfrac{1}{3}\\):** \\(a_1=\\tfrac{1}{3}, a_2=1-\\tfrac{2}{3}=\\tfrac{1}{3}\\) ✓\n- **D. \\(m=1\\):** \\(a_1=1, a_2=-1\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D:** dla tych wartości \\(m\\) współczynniki kierunkowe prostych nie są równe, więc proste nie są równoległe.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"wykladnicza","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nJeżeli A jest zdarzeniem losowym, a\nA zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz\nzachodzi równość ( )\n2\n( ')\n\nP A\nP A\n, to\nA.\n2\n( )\n3\nP A \nB.\n1\n( )\n2\nP A \nC.\n1\n( )\n3\nP A \nD.\n1\n( )\n6\nP A \nJeżeli A jest zdarzeniem losowowym, a A' - zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A) = 2 * P(A'), to A. P(a) = 1/6, B. P(A) = 1/3, C. P(A) = 1/2, D. P(A) = 2/3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nRozumowanie i argumentacja\nWykorzystanie sumy,\niloczynu i różnicy zdarzeń do\nobliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń\n(V.10.c)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nRównanie okręgu to \\((x-2)^2 + (y+2)^2 = 4\\), czyli środek \\(S = (2, -2)\\) i promień \\(r = 2\\).\n\n## Sposób 1 - Własność okręgu stycznego do osi układu\n\n**Kluczowa obserwacja:** Jeśli okrąg jest styczny do prostej, to promień poprowadzony do punktu styczności jest **prostopadły do tej prostej**.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy x-współrzędną środka.**\n\nPunkt \\(M = (2, 0)\\) leży na osi \\(OX\\). Okrąg jest styczny do osi \\(OX\\) w tym punkcie, więc promień \\(SM\\) musi być prostopadły do osi \\(OX\\), czyli pionowy. Zatem środek \\(S\\) ma tę samą x-współrzędną co \\(M\\):\n\\[S_x = 2\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy y-współrzędną środka.**\n\nPunkt \\(N = (0, -2)\\) leży na osi \\(OY\\). Okrąg jest styczny do osi \\(OY\\) w tym punkcie, więc promień \\(SN\\) musi być prostopadły do osi \\(OY\\), czyli poziomy. Zatem środek \\(S\\) ma tę samą y-współrzędną co \\(N\\):\n\\[S_y = -2\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy promień.**\n\nŚrodek to \\(S = (2, -2)\\). Promień to odległość od środka do punktu styczności:\n\\[r = |SM| = \\sqrt{(2-2)^2 + (0-(-2))^2} = \\sqrt{0 + 4} = 2\\]\n\nSprawdzenie z punktem \\(N\\): \\(r = |SN| = \\sqrt{(2-0)^2 + (-2-(-2))^2} = \\sqrt{4 + 0} = 2\\) ✓\n\n**Krok 4: Zapisujemy równanie.**\n\n\\[(x - 2)^2 + (y - (-2))^2 = 2^2\\]\n\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y+2)^2 = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów\n\nZamiast wyprowadzać równanie, sprawdzamy, które z podanych równań jest spełnione dla obu punktów \\(M = (2, 0)\\) i \\(N = (0, -2)\\).\n\nSprawdzamy odpowiedź **B**: \\((x-2)^2 + (y+2)^2 = 4\\)\n\nDla \\(M = (2, 0)\\):\n\\[(2-2)^2 + (0+2)^2 = 0 + 4 = 4 \\checkmark\\]\n\nDla \\(N = (0, -2)\\):\n\\[(0-2)^2 + (-2+2)^2 = 4 + 0 = 4 \\checkmark\\]\n\n**Oba punkty leżą na okręgu B.**\n\nSprawdzamy też czy okrąg B faktycznie jest styczny do osi (a nie przecina je w innych punktach). Środek \\(S = (2, -2)\\), promień \\(r = 2\\). Odległość środka od osi \\(OX\\) to \\(|{-2}| = 2 = r\\) ✓, odległość od osi \\(OY\\) to \\(|2| = 2 = r\\) ✓. Zatem okrąg jest styczny - nie przecina - każdej z osi.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) to środek, \\(r\\) to promień. Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach do zapisania i rozpoznania równania okręgu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Środek okręgu | Błąd |\n| A | \\(S = (2, 2)\\) | Uczeń wziął współrzędną \\(y\\) środka jako \\(+2\\) zamiast \\(-2\\) - zapomniał, że punkt \\(N = (0, -2)\\) wymaga \\(S_y = -2\\) |\n| C | \\(S = (-2, -2)\\) | Uczeń pomylił x-współrzędną środka na \\(-2\\) zamiast \\(+2\\) - wziął wartość bezwzględną zamiast samej współrzędnej punktu \\(M\\) |\n| D | \\(S = (-2, 2)\\) | Podwójny błąd: zła x-współrzędna (\\(-2\\) zamiast \\(+2\\)) i zła y-współrzędna (\\(+2\\) zamiast \\(-2\\)) - zamienione znaki w obu wymiarach |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak w równaniu okręgu jest przeciwny do znaku współrzędnej środka. Środek \\(S = (2, -2)\\) daje \\((x-2)^2 + (y\\mathbf{+}2)^2 = 4\\), bo \\(y - (-2) = y + 2\\). Łatwo tu popełnić błąd znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt styczny do osi \\(OX\\) wymaga, żeby **środek leżał na tej samej pionowej linii** co punkt styczności (ta sama x-współrzędna). Analogicznie dla osi \\(OY\\) - ta sama y-współrzędna. To wynika z prostopadłości promienia do stycznej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że w tym zadaniu promień \\(r = 2\\) wynika z geometrii (odległość środka do osi), a nie jest podany wprost - uczniowie czasem myślą, że \\(r\\) trzeba osobno zakładać.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Środek i promień z geometrii\nOkrąg styczny do osi \\(OX\\) w \\(M=(2,0)\\) ma środek na prostej \\(x=2\\) (prostopadłej do osi \\(OX\\) w \\(M\\)).\nOkrąg styczny do osi \\(OY\\) w \\(N=(0,-2)\\) ma środek na prostej \\(y=-2\\).\n\nStąd środek \\(S = (2,-2)\\). Promień to odległość od \\(S\\) do \\(M\\): \\(r = |0-(-2)|=2\\), albo do \\(N\\): \\(r=|2-0|=2\\).\n\nRównanie: \\((x-2)^2 + (y+2)^2 = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie w odpowiedziach\nPunkt \\(M=(2,0)\\) i \\(N=(0,-2)\\) muszą leżeć na okręgu:\n- **B.** \\((2-2)^2+(0+2)^2=0+4=4\\) ✓ oraz \\((0-2)^2+(-2+2)^2=4+0=4\\) ✓\n- Pozostałe - sprawdzenie pokazuje niezgodność.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** środek \\((2,2)\\) - punkt \\(N\\) dałby \\(4+16=20 \\ne 4\\).\n- **C.** środek \\((-2,-2)\\) - punkt \\(M\\) dałby \\(16+4=20\\).\n- **D.** środek \\((-2,2)\\) - podobnie.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nNa ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?\nA. 100\nB. 90\nC. 45\nD. 20\nNa ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników? A. 100, B. 90, C. 45, D. 20","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nZliczanie obiektów\nw prostych sytuacjach\nkombinatorycznych\n(IV.10.b)\nC\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(48\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - ze wzoru na objętość wyznaczamy wysokość, potem liczymy pole boczne\n\n**Dane:** promień \\(r = 4\\), objętość \\(V = 96\\pi\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wysokość walca ze wzoru na objętość.**\n\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\n\\[96\\pi = \\pi \\cdot 4^2 \\cdot h\\]\n\n\\[96\\pi = 16\\pi h\\]\n\n\\[h = \\frac{96\\pi}{16\\pi} = 6\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy pole powierzchni bocznej.**\n\n\\[P_b = 2\\pi r h = 2\\pi \\cdot 4 \\cdot 6 = 48\\pi\\]\n\n**Odpowiedź: \\(P_b = 48\\pi\\)**, czyli odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie jednostek i kolejności obliczeń\n\nMożemy też podejść do tego odwrotnie - sprawdzić, czy dla \\(h = 6\\) objętość faktycznie wynosi \\(96\\pi\\):\n\n\\[V = \\pi r^2 h = \\pi \\cdot 16 \\cdot 6 = 96\\pi \\checkmark\\]\n\nA pole boczne to rozwinięcie bocznej powierzchni walca - prostokąt o bokach \\(2\\pi r\\) (obwód podstawy) i \\(h\\):\n\n\\[P_b = \\underbrace{2\\pi r}_{\\text{obwód podstawy}} \\cdot h = 2\\pi \\cdot 4 \\cdot 6 = 48\\pi \\checkmark\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzory na walec:\n\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\nUżyliśmy do wyznaczenia wysokości \\(h\\) z objętości.\n\n\\[P_b = 2\\pi r h\\]\n\nUżyliśmy do obliczenia pola powierzchni bocznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((16\\pi)\\) | Policzono samo \\(\\pi r^2 = 16\\pi\\) - to pole **podstawy**, nie powierzchni bocznej |\n| B \\((24\\pi)\\) | Policzono \\(2\\pi r \\cdot h/2\\) lub zapomniano że \\(h = 6\\), np. użyto \\(h = 3\\) (pomylono promień z połową wysokości) |\n| C \\((32\\pi)\\) | Policzono \\(P_b = \\pi r h \\cdot 2\\) ale z \\(r = 4\\) i \\(h = 4\\) - zapomniano wyznaczyć \\(h\\) i wstawiono \\(h = r\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić pola **bocznego** \\(P_b = 2\\pi r h\\) z polem **całkowitym** \\(P_c = 2\\pi r(r + h)\\) - zadanie pyta tylko o boczną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim policzysz pole boczne, ZAWSZE najpierw wyznacz brakującą daną (tu: wysokość) ze wzoru na objętość. Błąd uczniów polega na tym, że od razu próbują liczyć \\(P_b\\) bez wyznaczenia \\(h\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\pi\\) po obu stronach równania skraca się - nie bój się dzielić przez \\(\\pi\\) w środku obliczeń, to upraszcza!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wysokość z objętości, potem pole boczne\nObjętość walca: \\(V = \\pi r^2 h\\).\n\\(96\\pi = \\pi\\cdot 16 \\cdot h \\Rightarrow h = \\dfrac{96\\pi}{16\\pi} = 6\\).\n\nPole powierzchni bocznej walca: \\(P_b = 2\\pi r h = 2\\pi\\cdot 4\\cdot 6 = 48\\pi\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie jednostkowe\nDla \\(r=4, h=6\\): \\(V = \\pi\\cdot 4^2\\cdot 6 = 96\\pi\\) ✓.\nObwód podstawy \\(2\\pi r = 8\\pi\\), prostokąt boczny o wymiarach \\(8\\pi\\times 6\\) ma pole \\(48\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(16\\pi\\):** to pole podstawy (\\(\\pi r^2\\)).\n- **B. \\(24\\pi\\):** błąd - może ktoś wziął \\(h=3\\).\n- **C. \\(32\\pi\\):** ktoś pomnożył \\(4\\cdot 8\\) - nie związane z tą wysokością.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nMediana zestawu danych 2, 12,\n, 10, 5, 3\na\njest równa 7. Wówczas\nA.\n4\na \nB.\n6\na \nC.\n7\na \nD.\n9\na \n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać\nw wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.\nMediana zestawu danych 2, 12, a, 10, 5, 3 jest równa 7. Wówczas A. a=9, B. a=7, C. a=6, D a=4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nObliczanie mediany danych\n(III.2.e)\nD\nA\n6\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nSchemat oceniania zadań otwartych","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(h = 9\\)\n\n## Sposób 1 - ze wzoru na objętość ostrosłupa\n\nOstrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę w kształcie kwadratu.\n\n**Dane:**\n- Objętość: \\(V = 432\\)\n- Krawędź podstawy: \\(a = 12\\)\n\nPole podstawy (kwadrat):\n\\[P_p = a^2 = 12^2 = 144\\]\n\nWzór na objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\n\nPodstawiamy znane wartości i wyznaczamy \\(h\\):\n\\[432 = \\frac{1}{3} \\cdot 144 \\cdot h\\]\n\\[432 = 48h\\]\n\\[h = \\frac{432}{48} = 9\\]\n\n**Wysokość ostrosłupa wynosi \\(h = 9\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie z powrotem)\n\nSprawdzamy, czy dla \\(a = 12\\) i \\(h = 9\\) rzeczywiście \\(V = 432\\):\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 12^2 \\cdot 9 = \\frac{1}{3} \\cdot 144 \\cdot 9 = \\frac{1296}{3} = 432 \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\ngdzie \\(P_p\\) to pole podstawy, \\(h\\) to wysokość.\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio do wyznaczenia \\(h\\). Pole podstawy (kwadrat) to \\(P_p = a^2\\) - podstawowy wzór z geometrii płaskiej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tego wyniku |\n| A | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{3}\\) we wzorze: \\(432 = 144 \\cdot h \\Rightarrow h = 3\\) - czyli policzono objętość graniastosłupa, nie ostrosłupa |\n| C | Pomylono kolejność działań: \\(432 \\div 12 \\div \\frac{1}{3} = 36 \\cdot \\frac{3}{4} \\) lub użyto krawędzi zamiast pola: \\(\\frac{432 \\cdot 3}{12 \\cdot 4} = 27\\) |\n| D | Wzięto pole podstawy jako \\(a\\) (czyli 12) zamiast \\(a^2 = 144\\): \\(\\frac{432 \\cdot 3}{12} = 108\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie \\(\\frac{1}{3}\\) we wzorze na objętość. Graniastosłup to \\(P_p \\cdot h\\), ostrosłup to dokładnie trzy razy mniej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Krawędź podstawy\" to bok kwadratu \\(a\\), a nie długość krawędzi bocznej ostrosłupa. Pole podstawy = \\(a^2 = 144\\), nie \\(a = 12\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(h\\) pamiętaj, że równanie \\(432 = 48h\\) rozwiązujemy przez **dzielenie** obu stron przez 48, a nie przez mnożenie.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość ostrosłupa\n\\(V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p \\cdot H\\), gdzie \\(P_p\\) to pole podstawy.\nPodstawą jest kwadrat o boku \\(12\\), więc \\(P_p = 12^2 = 144\\).\n\n\\[432 = \\dfrac{1}{3}\\cdot 144 \\cdot H \\Rightarrow 432 = 48H \\Rightarrow H = 9.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie odpowiedzi\nDla \\(H=9\\): \\(V=\\tfrac{1}{3}\\cdot 144\\cdot 9 = 48\\cdot 9 = 432\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\):** \\(V=\\tfrac{1}{3}\\cdot 144\\cdot 3=144\\ne 432\\).\n- **C. \\(27\\):** daje \\(V=1296\\).\n- **D. \\(108\\):** daje \\(V=5184\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nWykresem funkcji kwadratowej\n\n2\n2\nf x\nx\nbx\nc\n\n\n\njest parabola, której wierzchołkiem jest\npunkt\n\n\n4,0\nW \n. Oblicz wartości współczynników b i c.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nWykresem funkcji kwadratowej f(x) = 2x^2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartość współczynników b i c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWykresem funkcji kwadratowej\n\n2\n2\nf x\nx\nbx\nc\n\n\n\njest parabola, której wierzchołkiem jest\npunkt\n\n\n4,0\nW \n. Oblicz wartości współczynników b i c.\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i)\nRozwiązanie (I sposób)\nZe wzorów\n2\nw\nb\nx\na\n\n,\n4\nw\ny\na\n\n\nna współrzędne wierzchołka paraboli otrzymujemy:\n4\n2 2\nb\n\n\n\ni\n0\n4 2\n\n\n\n\n, więc\n16\nb \ni\n0\n\nStąd \n\n2\n16\n4 2\n0\nc\n\n\n, czyli\n32\nc \nRozwiązanie (II sposób)\nWzór funkcji f doprowadzamy do postaci kanonicznej\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n16\n8\n4\n8\nb\nb\nb\nb\nb\nb\nf x\nx\nx\nc\nx\nx\nc\nx\nc\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nWierzchołek wykresu funkcji f ma zatem współrzędne\n2\n,\n4\n8\nb\nb\nc\n\n\n\n\n\n\n\n\n. Otrzymujemy układ\nrównań\n4\n4\nb\n\n\ni\n2\n0\n8\nb\nc \n\nStąd\n16\nb \ni\n2\n2\n16\n32\n8\n8\nb\nc \n\n\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy :\n obliczy współczynnik b:\n16\nb \ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nalbo\n zapisze układ dwóch równań z niewiadomymi b i c, np.:\n4\n4\nb\n\n\ni\n2\n0\n8\nb\nc \n\n,\ni nie rozwiąże go lub rozwiąże go z błędem.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy współczynniki b i c:\n16\nb \n,\n32\nc \nRozwiązanie (III sposób)\nPonieważ\n4\n\nw\nx\noraz\n0\nw\ny \n, więc parabola ma z osią Ox dokładnie jeden punkt wspólny,\nzatem wzór funkcji można zapisać w postaci kanonicznej\n\n\n\n2\n2\n4\n\n\nf x\nx\nStąd\n\n2\n2\n16\n32\n\n\n\nf x\nx\nx\n, zatem\n16\nb \ni\n32\nc \n7\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze, że\n\n\n\n2\n2\n4\nf x\nx\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy współczynniki b i c:\n16\nb \n,\n32\nc ","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle \\frac{3}{2}, 3 \\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - analiza znaków (tabela znaków)\n\n**Krok 1: Znajdź miejsca zerowe każdego czynnika.**\n\n\\[2x - 3 = 0 \\implies x = \\frac{3}{2}\\]\n\n\\[3 - x = 0 \\implies x = 3\\]\n\n**Krok 2: Utwórz tabelę znaków.**\n\nDzielimy oś liczbową na trzy przedziały: $\\left(-\\infty, \\frac{3}{2}\\right)$, $\\left(\\frac{3}{2}, 3\\right)$, $\\left(3, +\\infty\\right)$.\n\n| Przedział | \\(2x-3\\) | \\(3-x\\) | Iloczyn |\n| \\(x < \\frac{3}{2}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = \\frac{3}{2}\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(\\frac{3}{2} < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n\n**Krok 3: Odczytaj wynik.**\n\nIloczyn jest **nieujemny** (czyli \\(\\ge 0\\)) dla \\(x \\in \\left\\langle \\frac{3}{2}, 3 \\right\\rangle\\).\n\n> Uwaga: końce przedziału włączamy, bo nierówność jest **nieostra** (\\(\\ge 0\\)), a w punktach $x = \\frac{3}{2}$ i $x = 3$ iloczyn wynosi dokładnie \\(0\\).\n\n## Sposób 2 - sprowadzenie do trójmianu kwadratowego\n\n**Krok 1: Rozwiń iloczyn.**\n\n\\[(2x-3)(3-x) = 6x - 2x^2 - 9 + 3x = -2x^2 + 9x - 9\\]\n\nNierówność staje się:\n\n\\[-2x^2 + 9x - 9 \\ge 0\\]\n\n**Krok 2: Pomnóż obie strony przez \\(-1\\) - zmień kierunek nierówności!**\n\n\\[2x^2 - 9x + 9 \\le 0\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.**\n\n\\[\\Delta = (-9)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 9 = 81 - 72 = 9\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{9 - \\sqrt{9}}{2 \\cdot 2} = \\frac{9 - 3}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{9 + \\sqrt{9}}{4} = \\frac{9 + 3}{4} = \\frac{12}{4} = 3\\]\n\n**Krok 4: Odczytaj wynik z kształtu paraboli.**\n\nTrójmian \\(2x^2 - 9x + 9\\) ma \\(a = 2 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę**. Trójmian jest **nieujemny** poza miejscami zerowymi i **niedodatni** między nimi.\n\nSzukamy \\(2x^2 - 9x + 9 \\le 0\\), więc odpowiedź to:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left\\langle \\frac{3}{2}, 3 \\right\\rangle}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nW Sposobie 2 skorzystaliśmy ze wzoru na miejsca zerowe trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy też faktu o znaku trójmianu kwadratowego:\n- Gdy \\(a > 0\\): trójmian jest **ujemny między** pierwiastkami \\(x_1\\) i \\(x_2\\), a **nieujemny na zewnątrz**.\n- (Ta własność wynika bezpośrednio z postaci iloczynowej \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\) - s. 7.)\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy mnożysz nierówność przez liczbę **ujemną**, musisz **odwrócić znak** nierówności. W Sposobie 2 mnożyliśmy przez \\(-1\\), więc \\(\\ge 0\\) zamieniło się w \\(\\le 0\\). To klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału - przy nierówności **ostrej** (\\(> 0\\)) punkty \\(x = \\frac{3}{2}\\) i \\(x = 3\\) byłyby wykluczone (nawiasy okrągłe). Przy **nieostrą** (\\(\\ge 0\\)) są włączone (nawiasy kątowe \\(\\langle\\,\\rangle\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie przestawiaj czynników bez zastanowienia. Czynnik \\(3 - x\\) jest malejącą funkcją \\(x\\) - zera szukaj poprawnie: \\(3 - x = 0 \\Rightarrow x = 3\\), a nie \\(x = -3\\).\n\n### Rozwiązanie\n\n**Krok 1. Miejsca zerowe**\nIloczyn jest równy zero, gdy któryś czynnik jest zerem:\n\\[2x-3=0 \\Rightarrow x=\\dfrac{3}{2},\\quad 3-x=0 \\Rightarrow x=3.\\]\n\n**Krok 2. Sprowadzenie do postaci kanonicznej**\nWymnóżmy (lub zanalizujmy znak):\n\\((2x-3)(3-x) = -2x^2 + 9x - 9\\).\n\nTo trójmian kwadratowy z \\(a=-2<0\\) - parabola **ramionami w dół**. Miejsca zerowe \\(x=\\tfrac{3}{2}, x=3\\). Jest nieujemna (\\(\\ge 0\\)) między miejscami zerowymi (włącznie z końcami).\n\n**Krok 3. Zbiór rozwiązań**\n\\[\\boxed{\\,x \\in \\left\\langle \\dfrac{3}{2},\\, 3 \\right\\rangle\\,}\\quad\\text{czyli}\\quad \\dfrac{3}{2} \\le x \\le 3.\\]\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=2\\) (wewnątrz): \\((4-3)(3-2)=1\\cdot 1=1\\ge 0\\) ✓\n- \\(x=0\\) (poza): \\((-3)(3)=-9<0\\) ✗\n- \\(x=\\tfrac{3}{2}\\): \\((0)(3/2)=0\\ge 0\\) ✓ (koniec należy)\n- \\(x=3\\): \\((3)(0)=0\\ge 0\\) ✓","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n9\n18\n4\n8\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nRozwiąż równanie 9x^3+18x^2-4x-8 = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n9\n18\n4\n8\n0\nx\nx\nx\n\n\n\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu\nna czynniki (I.3.d)\nRozwiązanie (I sposób - metoda grupowania)\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu, stosując metodę grupowania\nwyrazów\n\n\n\n\n2\n9\n2\n4\n2\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nlub \n\n\n\n2\n2\n9\n4\n2 9\n4\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\n, stąd\n\n\n\n2\n2\n9\n4\n0\nx\nx\n\n\n\nZatem\n2\nx  lub\n2\n3\nx \nlub\n2\n3\nx \nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: \n\n\n2\n2\n9\n4\nx\nx\n\n\n, i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n2\nx  lub\n2\n3\nx \nlub\n2\n3\nx \nRozwiązanie (II sposób - metoda dzielenia)\nStwierdzamy, że liczba 2\n jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n. Dzielimy\nten wielomian przez dwumian \n\n2\nx \ni otrzymujemy iloraz\n2\n(9\n4)\nx \n. Obliczamy\npierwiastki trójmianu\n2\n(9\n4)\nx \n: 1\n2\n3\nx \noraz\n2\n2\n3\nx \n. Zatem\n2\nx  lub\n2\n3\nx \nlub\n2\n3\nx \nalbo\nStwierdzamy, że liczba\n2\n3\n\njest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n. Dzielimy\nten wielomian przez dwumian\n2\n3\nx\n\n\n\n\n\n\n\ni otrzymujemy iloraz\n2\n(9\n12\n12)\nx\nx\n\n\n. Obliczamy\nwyróżnik trójmianu\n2\n(9\n12\n12)\nx\nx\n\n\n:\n\n\n2\n12\n4 9\n12\n576\n\n\n\n. Stąd pierwiastkami\n8\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\ntrójmianu są liczby 1\n12\n24\n2\n18\nx\n\n\n\n oraz\n2\n12\n24\n2\n18\n3\nx\n\n\n\n\n. Zatem\n2\nx  lub\n2\n3\nx \nlub\n2\n3\nx \nalbo\nStwierdzamy, że liczba 2\n3 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n. Dzielimy\nten wielomian przez dwumian\n2\n3\nx\n\n\n\n\n\n\n\ni otrzymujemy iloraz\n2\n(9\n24\n12)\nx\nx\n\n\n. Obliczamy\nwyróżnik trójmianu:\n2\n24\n4 9 12\n144\n\n\n\n. Stąd pierwiastkami trójmianu są liczby\n1\n24 12\n2\n18\nx\n\n\n\n oraz\n2\n24 12\n2\n18\n3\nx\n\n\n\n\n. Zatem\n2\nx  lub\n2\n3\nx \nlub\n2\n3\nx \nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n podzieli wielomian\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n przez dwumian \n\n2\nx \n, otrzyma iloraz\n2\n(9\n4)\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n przez dwumian\n2\n3\nx\n\n\n\n\n\n\n\n, otrzyma iloraz\n2\n(9\n24\n12)\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n przez dwumian\n2\n3\nx\n\n\n\n\n\n\n\n, otrzyma iloraz\n2\n(9\n12\n12)\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n3\n2\n8\n12\n2\n3\nx\nx\nx\n\n\n przez trójmian kwadratowy, np.\n2\n(9\n4)\nx \n,\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n2 2\n2,\n,\n3 3\n\n\nUwaga\nJeżeli w zapisie rozwiązania występuje jedna usterka, to za takie rozwiązanie zdający może\notrzymać co najwyżej 1 punkt.\n9\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\)\n\nZadanie polega na **udowodnieniu** nierówności:\n\\[\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 \\le \\frac{a^2+b^2}{2}\\]\n\n## Sposób 1 - przekształcenie do równoważnej nierówności (metoda algebraiczna)\n\n**Idea:** Sprowadzamy nierówność do postaci, którą łatwo uzasadnić (np. kwadrat liczby jest nieujemny).\n\n**Krok 1.** Pomnóż obie strony przez \\(4 > 0\\) (kierunek nierówności się nie zmienia):\n\\[(a+b)^2 \\le 2(a^2+b^2)\\]\n\n**Krok 2.** Rozwiń lewą stronę korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:\n\\[a^2 + 2ab + b^2 \\le 2a^2 + 2b^2\\]\n\n**Krok 3.** Przenieś wszystko na prawą stronę:\n\\[0 \\le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2\\]\n\\[0 \\le a^2 - 2ab + b^2\\]\n\n**Krok 4.** Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia:\n\\[0 \\le (a - b)^2\\]\n\n**Wniosek:** Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, czyli \\((a-b)^2 \\ge 0\\) **dla wszystkich** \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). Zachodzi równość dokładnie wtedy, gdy \\(a = b\\).\n\nPonieważ wszystkie przekształcenia były równoważne (mnożenie przez \\(4 > 0\\), przenoszenie wyrazów), nierówność wyjściowa jest prawdziwa dla każdych \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - bezpośrednie rozwinięcie obu stron i porównanie\n\n**Idea:** Zamiast mnożyć przez 4, bezpośrednio rozwijamy lewą stronę i pokazujemy, że różnica \\(\\text{prawa} - \\text{lewa} \\ge 0\\).\n\n**Krok 1.** Oblicz lewą stronę:\n\\[\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 = \\frac{(a+b)^2}{4} = \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\\]\n\n**Krok 2.** Oblicz różnicę \\(\\frac{a^2+b^2}{2} - \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2\\):\n\\[\\frac{a^2+b^2}{2} - \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\\]\n\n**Krok 3.** Sprowadź do wspólnego mianownika \\(4\\):\n\\[\\frac{2(a^2+b^2)}{4} - \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} = \\frac{2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2}{4}\\]\n\\[= \\frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \\frac{(a-b)^2}{4}\\]\n\n**Krok 4.** Ponieważ \\((a-b)^2 \\ge 0\\) dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\), mamy:\n\\[\\frac{(a-b)^2}{4} \\ge 0\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{a^2+b^2}{2} - \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 \\ge 0 \\implies \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 \\le \\frac{a^2+b^2}{2} \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy obu wzorów przy rozwijaniu wyrażeń w krokach 2-3 obu sposobów.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność ogólna:\nDla dowolnej liczby rzeczywistej \\(x\\): \\(x^2 \\ge 0\\), ze szczególnym przypadkiem \\((a-b)^2 \\ge 0\\). To jest serce całego dowodu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić nierówność dla kilku przykładowych wartości (np. \\(a=2, b=4\\)). Dowód musi działać **dla wszystkich** \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\) - musisz dojść do tożsamości lub oczywistej własności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną kierunek nierówności się odwraca! Tutaj mnożymy przez \\(4 > 0\\), więc kierunek zostaje - ale zawsze sprawdź znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równość \\(\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 = \\frac{a^2+b^2}{2}\\) zachodzi dokładnie wtedy, gdy \\(a = b\\). To warto zauważyć - oznacza, że nierówność jest **ostra** dla \\(a \\ne b\\). Jeśli zadanie pyta o warunek równości, odpowiedź brzmi: \\(a = b\\).\n\n### Dowód\n\n**Krok 1. Przekształcenie nierówności równoważnie**\nZaczynamy od nierówności, którą mamy wykazać:\n\\[\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2 \\le \\dfrac{a^2+b^2}{2}.\\]\n\nLewa strona: \\(\\dfrac{(a+b)^2}{4}\\). Mnożymy obie strony przez \\(4\\) (dodatnie, nierówność zachowana):\n\\[(a+b)^2 \\le 2(a^2+b^2).\\]\n\n**Krok 2. Rozwijamy kwadrat**\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\\]\nNierówność:\n\\[a^2 + 2ab + b^2 \\le 2a^2 + 2b^2.\\]\n\n**Krok 3. Przenosimy wszystko na jedną stronę**\n\\[0 \\le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2.\\]\n\n**Krok 4. Wniosek**\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny: \\((a-b)^2 \\ge 0\\) dla każdych \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.\n\n**Uwaga:** Równość zachodzi \\(\\iff a=b\\).\n\n\\(\\blacksquare\\)","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"wielomiany","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nUdowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę\nwłasność, że reszta z dzielenia liczby\n2\n3k przez 7 jest równa 5.\n\nPoziom podstawowy\n13\nUdowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k^2 przez 7 jest równa 5.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nUdowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę\nwłasność, że reszta z dzielenia liczby\n2\n3k przez 7 jest równa 5.\nRozumowanie i argumentacja\nPrzeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem\nwzorów skróconego mnożenia (V.2.a)\nI sposób rozwiązania\nPonieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc\n2\n7\n\nm\nk\n,\ngdzie m jest liczbą całkowitą. Wtedy\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3 7\n2\n3 49\n28\n4\n3 49\n3 28\n12\n7 3 7\n3 4\n1\n5\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nk\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nDwa pierwsze składniki tej sumy są podzielne przez 7, natomiast 12\n7\n5\n\n\n. To oznacza, że\nreszta z dzielenia liczby\n2\n3k przez 7 jest równa 5. To kończy dowód.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze wyrażenie w postaci: \n\n2\n2\n7\n3\n\nm\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy,\nktóre nie przekreślają poprawności rozumowania.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy uzasadni tezę, np. zapisze wyrażenie w postaci \n5\n1\n4\n3\n7\n3\n7\n2\n\n\n\n\n\nm\nm\nII sposób rozwiązania\nPonieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc\n\n\n2 mod7\n\nk\nStąd wynika, że\n\n\n2\n4 mod7\n\nk\n. Ponadto\n\n\n3\n3 mod7\n\n, więc z własności kongruencji\n\n\n\n\n2\n3\n3 4 mod7\n12 mod7\n5\n\n\n\nk\n. To kończy dowód.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze że\n\n\n2\n4 mod7\n\nk\nUwaga\nZdający nie musi używać formalnego zapisu relacji kongruencji. Wystarczy wniosek: jeśli\nliczba k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 7 daje\nresztę 4.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze\n\n\n\n\n2\n3\n3 4 mod7\n12 mod7\n5\n\n\n\nk\n10\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie sin α, potem podstawienie\n\n**Krok 1: Wyznaczamy sin α z jedynki trygonometrycznej.**\n\nWiemy, że \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc:\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = 1 - \\frac{3}{9} = 1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\sin\\alpha > 0\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{6}}{3}\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy pierwszą część wyrażenia.**\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{\\sqrt{6}}{3}}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy drugą część wyrażenia.**\n\n\\[\\frac{\\cos\\alpha}{1 + \\sin\\alpha} = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}}{3}}{1 + \\frac{\\sqrt{6}}{3}} = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}}{3}}{\\frac{3 + \\sqrt{6}}{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3 + \\sqrt{6}}\\]\n\nWyłurzamy mianownik - mnożymy przez \\(\\frac{3 - \\sqrt{6}}{3 - \\sqrt{6}}\\):\n\\[\\frac{\\sqrt{3}}{3 + \\sqrt{6}} \\cdot \\frac{3 - \\sqrt{6}}{3 - \\sqrt{6}} = \\frac{\\sqrt{3}(3 - \\sqrt{6})}{9 - 6} = \\frac{3\\sqrt{3} - \\sqrt{18}}{3} = \\frac{3\\sqrt{3} - 3\\sqrt{2}}{3} = \\sqrt{3} - \\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 4: Sumujemy obie części.**\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\sqrt{2} + (\\sqrt{3} - \\sqrt{2}) = \\boxed{\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Najpierw upraszczamy wyrażenie, potem podstawiamy\n\nTo sprytniejsze podejście: zamiast od razu podstawiać, sprowadzamy wyrażenie na wspólny mianownik i upraszczamy.\n\n**Krok 1: Sprowadzamy na wspólny mianownik** \\(\\cos\\alpha \\cdot (1 + \\sin\\alpha)\\):\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\frac{\\sin\\alpha \\cdot (1+\\sin\\alpha) + \\cos^2\\alpha}{\\cos\\alpha \\cdot (1+\\sin\\alpha)}\\]\n\n**Krok 2: Upraszczamy licznik.**\n\n\\[\\sin\\alpha(1+\\sin\\alpha) + \\cos^2\\alpha = \\sin\\alpha + \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin\\alpha + 1\\]\n\n(bo \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\))\n\n**Krok 3: Skracamy ułamek.**\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha + 1}{\\cos\\alpha \\cdot (1 + \\sin\\alpha)} = \\frac{1 + \\sin\\alpha}{\\cos\\alpha \\cdot (1 + \\sin\\alpha)} = \\frac{1}{\\cos\\alpha}\\]\n\nCałe wyrażenie redukuje się do \\(\\dfrac{1}{\\cos\\alpha}\\)! Teraz wystarczy podstawić:\n\n\\[\\frac{1}{\\cos\\alpha} = \\frac{1}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{3} = \\boxed{\\sqrt{3}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 (Krok 1) i w Sposobie 2 (Krok 2) do uproszczenia \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na pierwiastkach:\n\\[\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}} = \\sqrt{\\frac{a}{b}}, \\quad \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}\\]\nUżyte przy upraszczaniu \\(\\dfrac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{2}\\) oraz przy wyłurzaniu \\(\\sqrt{3}(3-\\sqrt{6})\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej mamy \\(\\sin\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{2}{3}}\\) - nie zapomnij wybrać wartości dodatniej, bo zadanie podaje, że \\(\\alpha\\) jest **ostry** (I ćwiartka, wszystkie funkcje dodatnie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyłurzanie przez sprzężenie \\((3 - \\sqrt{6})\\) - łatwo pomylić się na znakach. Sprawdź: \\((3+\\sqrt{6})(3-\\sqrt{6}) = 9 - 6 = 3\\), nie \\(9 - \\sqrt{6}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 pokazuje piękną zasadę - **zanim zaczniesz podstawiać, zawsze sprawdź, czy wyrażenie daje się uprościć algebraicznie**. Tutaj dzięki jedynce trygonometrycznej całe skomplikowane wyrażenie zredukowało się do zwykłego \\(\\frac{1}{\\cos\\alpha}\\). Na maturze oszczędzasz czas i unikasz błędów rachunkowych.\n\n### Rozwiązanie (Sposób 1 - uproszczenie wyrażenia)\n\n**Krok 1. Sprowadzenie do wspólnego mianownika**\n\\[\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\dfrac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\dfrac{\\sin\\alpha(1+\\sin\\alpha) + \\cos^2\\alpha}{\\cos\\alpha(1+\\sin\\alpha)}.\\]\n\n**Krok 2. Uproszczenie licznika przy pomocy \\(\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha=1\\)**\n\\[\\sin\\alpha + \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin\\alpha + 1.\\]\n\n**Krok 3. Skracanie**\n\\[\\dfrac{1+\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha(1+\\sin\\alpha)} = \\dfrac{1}{\\cos\\alpha}.\\]\n\n**Krok 4. Podstawienie**\n\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), więc:\n\\[\\dfrac{1}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{1}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\dfrac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - obliczenie \\(\\sin\\alpha\\)\nKąt ostry \\(\\Rightarrow \\sin\\alpha > 0\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\sqrt{1-\\tfrac{1}{3}} = \\sqrt{\\tfrac{2}{3}} = \\tfrac{\\sqrt{6}}{3}.\\]\nPo podstawieniu i obliczeniach otrzymujemy \\(\\sqrt{3}\\).\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\,\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\dfrac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\sqrt{3}\\,}\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia\nwykresu funkcji określonej wzorem\n1\ny\nx\n\ndla każdej liczby rzeczywistej\n0\nx \n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n0\nx\ny\na) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości\nfunkcji f są większe od 0.\nb) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem\n\n\n( )\n3\n\n\ng x\nf x\nOdpowiedź: a)\nb)\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y = 1/x dla każdej liczby rzeczywistej x różne od zera. a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0. b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x) = f(x-3).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia\nwykresu funkcji określonej wzorem\n1\ny\nx\n\ndla każdej liczby rzeczywistej\n0\nx \n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n0\nx\ny\na) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości\nfunkcji f są większe od 0.\nb) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem\n\n\n( )\n3\n\n\ng x\nf x\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nOdczytywanie z wykresu funkcji jej własności; szkicowanie\nna podstawie wykresu funkcji\n( )\ny\nf x\n\nwykresów funkcji\n(\n)\ny\nf x a\n\n\n,\n(\n)\ny\nf x a\n\n\n,\n( )\ny\nf x\na\n\n,\n( )\ny\nf x\na\n\n (IV.4.b,d)\nRozwiązanie\na) Zapisujemy zbiór wszystkich argumentów, dla których\n( )\n0\nf x \n:\n\n2, 3 .\nb) Z rysunku wynika, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba 3. Zatem miejscem\nzerowym funkcji g jest liczba 3 3\n6\n\n, ponieważ wykres funkcji g otrzymujemy przesuwając\nwykres funkcji f o 3 jednostki w prawo.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których\n( )\n0\nf x \n: \n\n2, 3 lub 2\n3\nx\n\n\ni na\ntym poprzestanie lub błędnie zapisze miejsce zerowe funkcji g\nalbo\n poprawnie zapisze miejsce zerowe funkcji g:\n6\nx \ni na tym poprzestanie lub błędnie\nzapisze zbiór argumentów, dla których\n( )\n0\nf x \nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których\n( )\n0\nf x \n: \n\n2, 3 i zapisze miejsce\nzerowe funkcji g:\n6\nx \n11\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nW rozwiązaniu podpunktu a) akceptujemy zapisy: \n\n3, 2 ,\n\n\n3, 2\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = 14\\)\n\nWyrazy ciągu to \\(6\\), \\(20\\), \\(34\\), a różnica wynosi \\(r = 14\\).\n\n## Sposób 1 - warunek stałej różnicy\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, czyli:\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]\n\nPodstawiamy nasze wyrazy:\n\\[(2x+4) - 6 = (x+26) - (2x+4)\\]\n\\[2x - 2 = x + 26 - 2x - 4\\]\n\\[2x - 2 = -x + 22\\]\n\\[3x = 24\\]\n\\[x = 8\\]\n\nWyznaczamy konkretne wyrazy ciągu:\n\\[a_1 = 6\\]\n\\[a_2 = 2 \\cdot 8 + 4 = 20\\]\n\\[a_3 = 8 + 26 = 34\\]\n\nRóżnica ciągu:\n\\[\\boxed{r = a_2 - a_1 = 20 - 6 = 14}\\]\n\n## Sposób 2 - własność środkowego wyrazu (średnia arytmetyczna)\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz (dla \\(n \\geq 2\\)) jest **średnią arytmetyczną** sąsiadów:\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[2x + 4 = \\frac{6 + (x+26)}{2}\\]\n\\[2(2x+4) = x + 32\\]\n\\[4x + 8 = x + 32\\]\n\\[3x = 24 \\implies x = 8\\]\n\nWyrazy: \\(6,\\ 20,\\ 34\\), więc \\(r = 14\\). ✓\n\n**Weryfikacja:** \\(20 - 6 = 14\\) oraz \\(34 - 20 = 14\\) - różnice równe, ciąg arytmetyczny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - środkowy wyraz \\(2x+4\\) musi być średnią arytmetyczną \\(6\\) i \\(x+26\\).\n\nRównoważnie korzystamy z definicji różnicy:\n\\[r = a_{n+1} - a_n = \\text{const}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównaliśmy \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek ciągu arytmetycznego to \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\), **nie** \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_1\\). Porównuj zawsze **sąsiednie** wyrazy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(x = 8\\) trzeba **podstawić** i policzyć konkretne wyrazy, żeby wyznaczyć \\(r\\). Zadanie pyta o różnicę \\(r\\), nie o \\(x\\)! Wielu uczniów podaje \\(x = 8\\) jako odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź znak - jeśli wyrazy maleją, różnica \\(r\\) jest ujemna i to też jest poprawny ciąg arytmetyczny. Tu wyrazy rosną (\\(6 < 20 < 34\\)), więc \\(r > 0\\).\n\n### Rozwiązanie (Sposób 1 - własność środkowego wyrazu)\n\n**Krok 1. Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego**\nW ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich:\n\\[2x+4 = \\dfrac{6 + (x+26)}{2} = \\dfrac{x+32}{2}.\\]\n\n**Krok 2. Rozwiązanie równania**\n\\[2(2x+4) = x+32,\\]\n\\[4x+8 = x+32,\\]\n\\[3x = 24,\\]\n\\[x = 8.\\]\n\n**Krok 3. Obliczenie wyrazów i różnicy**\nPodstawiając \\(x=8\\):\n- \\(a_1 = 6\\),\n- \\(a_2 = 2\\cdot 8 + 4 = 20\\),\n- \\(a_3 = 8 + 26 = 34\\).\n\nRóżnica: \\(r = a_2 - a_1 = 20 - 6 = 14\\) (sprawdzenie: \\(a_3 - a_2 = 34 - 20 = 14\\) ✓).\n\n### Sposób 2 - układ z \\(r\\)\n\\(2x+4 = 6+r\\) oraz \\(x+26 = 6+2r\\). Z pierwszego: \\(r = 2x - 2\\). Podstawienie do drugiego: \\(x+26 = 6 + 2(2x-2) = 4x+2\\), czyli \\(24 = 3x\\), \\(x=8\\), \\(r=14\\).\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\,r = 14\\,}\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nZe zbioru liczb \n\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których\npierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15\nZe zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawodopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nZe zbioru liczb \n\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których\npierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.\nModelowanie matematyczne\nZliczanie obiektów w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych; stosowanie twierdzenia znanego jako\nklasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (III.10.b,d)\nRozwiązanie I sposób „metoda klasyczna”\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary \n\n,\na b liczb z podanego zbioru. Jest to model\nklasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n8 8\n64\n\n. Wypisujemy\nzdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A , polegającego na wylosowaniu dwóch\nliczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6 i zliczamy je:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n5, 1 , 6, 2 , 7, 1 , 7, 3 , 8, 2 , 8, 4\nA \nZatem\n6\nA \nZapisujemy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:\n6\n3\n( )\n64\n32\nP A \n\nRozwiązanie II sposób „metoda tabeli”\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary \n\n,\na b liczb z podanego zbioru. Jest to model\nklasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\n2.\n1.\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n1\n2\n3\n4\n5\nX\n6\nX\n7\nX\nX\n8\nX\nX\n12\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n8 8\n64\n\n. Zliczamy, oznaczone\nkrzyżykami, zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A , polegającego na\nwylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6:\n6\nA \nObliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:\n6\n3\n( )\n64\n32\nP A \n\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n8 8\n64\n\nalbo\n obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A ,\npolegającemu na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od\ndrugiej o 4 lub 6:\n6\nA \ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe\n3\n( )\n32\nP A \nIII sposób rozwiązania „metoda drzewka”\nRysujemy drzewo, z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji\nsprzyjającej zdarzeniu A.\nObliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:\n1 1\n1 1\n1 2\n1 2\n6\n3\n( )\n8 8\n8 8\n8 8\n8 8\n64\n32\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nP A\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy narysuje drzewko uwzględniające wszystkie gałęzie, prowadzące do sytuacji\nsprzyjających zdarzeniu A i przynajmniej przy jednej gałęzi zapisze poprawne\nprawdopodobieństwo.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe\n6\n3\n( )\n64\n32\n\n\nP A\n1\n8\n1\n8\n1, 2, 3, 4\n5\n6\n7\nnie 2\n1\n8\n4\n8\n8\n1\nnie 3 i nie 1\n7\n8\n1\n8\n1\n8\n2\n8\nnie 1\n7\n8\n6\n8\n2\n8\n6\n8\n2\n3 lub 1\n2 lub 4\nnie 2 i nie 4\n1\n8\n13\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nUwagi\n1. Akceptujemy przybliżenia dziesiętne otrzymanego wyniku, o ile są wykonane\npoprawnie oraz wynik zapisany w postaci 9,375%.\n2. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większą od 1, to zdający otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A , to\notrzymuje 0 punktów.\n4. Akceptujemy sytuację, gdy zdający zapisuje liczby z losowania w odwrotnej\nkolejności konsekwentnie w całym swoim rozwiązaniu. Wtedy za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający zapisze tylko odpowiedź\n6\n( )\n64\n\nP A\n, to otrzymuje 2 punkty, jeśli\nnatomiast zapisze tylko odpowiedź\n3\n( )\n32\nP A \n, to otrzymuje 1 punkt.\n14\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWynik: \\(P = \\frac{13}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - analiza znaku iloczynu\n\n**Kiedy iloczyn jest dodatni?**\nIloczyn dwóch liczb jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy **obie mają ten sam znak** (obie dodatnie lub obie ujemne).\n\n**Krok 1: Policz przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nLosujemy jedną liczbę z \\(K\\) (5 elementów) i jedną z \\(L\\) (5 elementów):\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]\n\n**Krok 2: Wyodrębnij liczby według znaku.**\n\nZe zbioru \\(K = \\{-4, -1, 1, 5, 6\\}\\):\n- Ujemne: \\(\\{-4, -1\\}\\) → **2 liczby**\n- Dodatnie: \\(\\{1, 5, 6\\}\\) → **3 liczby**\n\nZe zbioru \\(L = \\{-3, -2, 2, 3, 4\\}\\):\n- Ujemne: \\(\\{-3, -2\\}\\) → **2 liczby**\n- Dodatnie: \\(\\{2, 3, 4\\}\\) → **3 liczby**\n\n*(Zero nie należy do żadnego zbioru - upraszcza sprawę.)*\n\n**Krok 3: Zlicz przypadki sprzyjające.**\n\n| Przypadek | Liczba par |\n| oba dodatnie: \\(3 \\cdot 3\\) | \\(9\\) |\n| oba ujemne: \\(2 \\cdot 2\\) | \\(4\\) |\n| **Razem** | **13** |\n\n**Krok 4: Oblicz prawdopodobieństwo.**\n\\[P = \\frac{13}{25}\\]\n\n## Sposób 2 - przez zdarzenie przeciwne\n\nIloczyn **nie** jest dodatni wtedy, gdy liczby mają **różne znaki** (jedna dodatnia, druga ujemna).\n\n**Przypadki, gdy iloczyn ≤ 0 (tu: iloczyn ujemny, bo zero wykluczone):**\n\n| Przypadek | Liczba par |\n| z \\(K\\) dodatnia, z \\(L\\) ujemna: \\(3 \\cdot 2\\) | \\(6\\) |\n| z \\(K\\) ujemna, z \\(L\\) dodatnia: \\(2 \\cdot 3\\) | \\(6\\) |\n| **Razem** | **12** |\n\nZdarzenie przeciwne ma prawdopodobieństwo:\n\\[P(\\text{iloczyn} \\leq 0) = \\frac{12}{25}\\]\n\nZatem:\n\\[P(\\text{iloczyn dodatni}) = 1 - \\frac{12}{25} = \\frac{25 - 12}{25} = \\frac{13}{25}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\frac{13}{25}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) = liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1. W Sposobie 2 dodatkowo:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte bez podanych opcji ABCD - podana jest jedynie litera A oznaczająca poprawny wynik \\(\\frac{13}{25}\\). Typowe błędy to:\n\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi |\n| \\(\\frac{9}{25}\\) | Policzono tylko pary obu dodatnich, zapomniano o parach obu ujemnych |\n| \\(\\frac{4}{25}\\) | Policzono tylko pary obu ujemnych |\n| \\(\\frac{12}{25}\\) | Policzono zdarzenie **przeciwne** (różne znaki) zamiast tego samego znaku |\n| \\(\\frac{6}{25}\\) | Policzono tylko jedną \"gałąź\" różnych znaków |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - policzenie tylko par obu-dodatnich i pominięcie par obu-ujemnych. Iloczyn dwóch ujemnych też jest **dodatni**!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy w zbiorach nie ma zera - zero dałoby iloczyn równy zero (nie dodatni). Tu szczęśliwie zera nie ma, ale na maturze może być!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń zdarzeń to pary \\((k, l)\\), a nie suma zbiorów - \\(|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\), **nie** \\(5 + 5 = 10\\).\n\n### Rozwiązanie (Sposób 1 - klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\n\n**Krok 1. Zdefiniowanie \\(\\Omega\\)**\nZdarzenia elementarne to pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x\\in K, y\\in L\\). \\(K\\) ma 5 elementów, \\(L\\) ma 5, więc:\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25.\\]\n\n**Krok 2. Klasyfikacja liczb w zbiorach**\n- \\(K\\): ujemne \\(\\{-4,-1\\}\\) (2 szt.), dodatnie \\(\\{1,5,6\\}\\) (3 szt.).\n- \\(L\\): ujemne \\(\\{-3,-2\\}\\) (2 szt.), dodatnie \\(\\{2,3,4\\}\\) (3 szt.).\n\n**Krok 3. Warunek iloczyn dodatni**\nIloczyn \\(x\\cdot y > 0\\) \\(\\iff\\) obie liczby mają ten sam znak:\n- Obie dodatnie: \\(3 \\cdot 3 = 9\\) par.\n- Obie ujemne: \\(2 \\cdot 2 = 4\\) pary.\n\nŁącznie: \\(|A| = 9 + 4 = 13\\).\n\n**Krok 4. Prawdopodobieństwo**\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\boxed{\\dfrac{13}{25}}.\\]\n\n### Sposób 2 - metoda drzewa\nPrawdopodobieństwo wylosowania dodatniej z \\(K\\): \\(\\tfrac{3}{5}\\), ujemnej: \\(\\tfrac{2}{5}\\). Analogicznie dla \\(L\\).\n\\[P(A) = \\underbrace{\\tfrac{3}{5}\\cdot \\tfrac{3}{5}}_{\\text{obie dodatnie}} + \\underbrace{\\tfrac{2}{5}\\cdot\\tfrac{2}{5}}_{\\text{obie ujemne}} = \\tfrac{9}{25} + \\tfrac{4}{25} = \\tfrac{13}{25}.\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nŚrodek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży\nwewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).\nWykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta\nwypukłego SBC.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nS\nA\nC\nB\n\nPoziom podstawowy\n16\nŚrodek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnętrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nŚrodek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży\nwewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).\nWykaż,\nże\nmiara\nkąta\nwypukłego\nASB\njest\ncztery\nrazy\nwiększa\nod\nmiary\nkąta wypukłego SBC.\nRozumowanie i argumentacja\nPrzeprowadzenie dowodu geometrycznego,\nz wykorzystaniem związków miarowych w figurach płaskich\n(V.7.c)\nRozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i poprowadźmy promień SC okręgu.\nZ założenia wynika, że kąt wpisany ACB oraz kąt środkowy ASB leżą po tej samej stronie\ncięciwy AB.\nZ twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku wynika, że\n1\n2\nACB\n\n\n. Trójkąt ABC jest równoramienny (ramionami są AC i BC), więc prosta CS\nzawiera dwusieczną kąta ACB, zatem\n1\n1 1\n1\n2\n2 2\n4\nSCB\nACB\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. Odcinki SC i SB\nto promienie okręgu, więc trójkąt BCS jest równoramienny. Stąd wynika, że\n1\n4\nSBC\nSCB\n\n\n\n\n\n, co kończy dowód.\nS\nA\nC\nB\nS\nA\nC\nB\n\n\n15\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz wykorzysta równość\nkątów SBC i SCB lub równość kątów SCA i SAC i nie uzasadni tezy\nalbo\n wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz uzasadni równość kątów\nSBC i SAC, korzystając z równoramienności trójkątów ABC i ABS, i nie uzasadni tezy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy uzasadni, że kąt ASB jest cztery razy większy od kąta SBC.\nUwaga\nJeżeli zdający w przedstawionym rozumowaniu rozważy wyłącznie szczególny przypadek,\nnp. trójkąt równoboczny, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte - do udowodnienia)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o medianie do przeciwprostokątnej\n\n**Cel:** Pokazać, że \\(|CD| = |DE| = |CE|\\).\n\n**Krok 1: Zauważamy trójkąt prostokątny \\(CDB\\).**\n\nPonieważ \\(CD\\) jest wysokością trójkąta \\(ABC\\), mamy \\(CD \\perp AB\\), czyli:\n\\[\\angle CDA = \\angle CDB = 90°\\]\nZatem trójkąt \\(CDB\\) ma kąt prosty przy wierzchołku \\(D\\), a jego przeciwprostokątną jest \\(BC\\).\n\n**Krok 2: \\(E\\) jest środkiem przeciwprostokątnej \\(BC\\).**\n\nZ treści zadania \\(E\\) jest środkiem boku \\(BC\\), więc:\n\\[|CE| = |BE| = \\frac{|BC|}{2}\\]\n\n**Krok 3: Stosujemy twierdzenie o medianie w trójkącie prostokątnym.**\n\n> **Twierdzenie:** W trójkącie prostokątnym mediana poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie tej przeciwprostokątnej.\n\nDowód twierdzenia (pomocniczo): W trójkącie prostokątnym \\(CDB\\) można go wpisać w półokrąg o średnicy \\(BC\\). Środek tego półokręgu to \\(E\\) - środek \\(BC\\). Każdy punkt okręgu (w szczególności \\(D\\)) jest w odległości równej promieniowi od środka \\(E\\). Zatem:\n\\[|DE| = \\frac{|BC|}{2}\\]\n\n**Krok 4: Zestawiamy wszystkie trzy boki trójkąta \\(CDE\\).**\n\n- \\(|CE| = \\dfrac{|BC|}{2}\\) (E jest środkiem BC)\n- \\(|DE| = \\dfrac{|BC|}{2}\\) (z twierdzenia o medianie do przeciwprostokątnej)\n- \\(|CD| = |DE|\\) - **dane w zadaniu**, a więc \\(|CD| = \\dfrac{|BC|}{2}\\)\n\nZatem:\n\\[\\boxed{|CD| = |DE| = |CE|}\\]\n\nWszystkie trzy boki trójkąta \\(CDE\\) są równe, więc **trójkąt \\(CDE\\) jest równoboczny.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Metoda współrzędnych (weryfikacja algebraiczna)\n\nUmieszczamy układ współrzędnych tak, żeby \\(D = (0, 0)\\), \\(B = (b, 0)\\) dla pewnego \\(b > 0\\) oraz \\(C = (0, h)\\) dla \\(h > 0\\) (bo \\(CD \\perp AB\\)).\n\nWtedy:\n\\[E = \\text{środek } BC = \\left(\\frac{b}{2}, \\frac{h}{2}\\right)\\]\n\nObliczamy długości boków trójkąta \\(CDE\\):\n\\[|CD| = h\\]\n\\[|DE| = \\sqrt{\\left(\\frac{b}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{h}{2}\\right)^2} = \\frac{\\sqrt{b^2 + h^2}}{2} = \\frac{|BC|}{2}\\]\n\\[|CE| = \\sqrt{\\left(\\frac{b}{2} - 0\\right)^2 + \\left(\\frac{h}{2} - h\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{b^2}{4} + \\frac{h^2}{4}} = \\frac{\\sqrt{b^2 + h^2}}{2}\\]\n\nWidać od razu, że \\(|DE| = |CE|\\).\n\nZ warunku \\(|CD| = |DE|\\):\n\\[h = \\frac{\\sqrt{b^2 + h^2}}{2} \\implies 2h = \\sqrt{b^2 + h^2} \\implies 4h^2 = b^2 + h^2 \\implies b^2 = 3h^2\\]\n\nPodstawiając \\(b = h\\sqrt{3}\\):\n\\[|DE| = \\frac{\\sqrt{3h^2 + h^2}}{2} = \\frac{\\sqrt{4h^2}}{2} = \\frac{2h}{2} = h = |CD|\\]\n\nZatem \\(|CD| = |DE| = |CE| = h\\) - wszystkie boki równe, trójkąt \\(CDE\\) jest równoboczny. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy kąt przy } C = 90°)\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia długości \\(|DE|\\) i \\(|CE|\\) ze współrzędnych.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - własność środka okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:\n\nW trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego, więc wszystkie wierzchołki są w jednakowej odległości od tego środka:\n\\[|DE| = |CE| = |BE| = \\frac{|BC|}{2}\\]\nKluczowe twierdzenie użyte w Sposobie 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często próbują dowodzić przez kąty (np. że trójkąt jest równoboczny, bo ma kąty po 60°) - to trudniejsza droga. Znacznie prościej wykazać równość boków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie o medianie do przeciwprostokątnej jest mniej znane - warto je uzasadnić pomocniczo (jak wyżej przez okrąg opisany), żeby dowód był kompletny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(D\\) leży na \\(AB\\), a nie na \\(BC\\) - pilnuj, który trójkąt prostokątny analizujesz. Trójkąt prostokątny to \\(CDB\\), nie \\(CDA\\).\n\n### Dowód (Sposób 1 - okrąg opisany na trójkącie prostokątnym)\n\n**Krok 1. Analiza trójkąta \\(CDB\\)**\nOdcinek \\(CD\\) jest wysokością, więc \\(\\sphericalangle CDB = 90^\\circ\\). Stąd trójkąt \\(CDB\\) jest **prostokątny** z przeciwprostokątną \\(CB\\).\n\n**Krok 2. Środek przeciwprostokątnej jako środek okręgu opisanego**\nPunkt \\(E\\) jest środkiem \\(CB\\) - przeciwprostokątnej. W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest **środkiem okręgu opisanego**, którego promień to połowa przeciwprostokątnej.\n\nStąd wszystkie wierzchołki \\(C\\), \\(D\\), \\(B\\) leżą na okręgu o środku \\(E\\). W szczególności:\n\\[|EC| = |ED| = |EB|.\\]\n\n**Krok 3. Wnioski o trójkącie \\(CDE\\)**\n- \\(|CE| = |DE|\\) (jak wyżej).\n- \\(|CD| = |DE|\\) (z założenia).\n\nZatem \\(|CD| = |DE| = |CE|\\) - wszystkie trzy boki trójkąta \\(CDE\\) są równe, więc **trójkąt \\(CDE\\) jest równoboczny**.\n\n### Sposób 2 - prosta równoległa przez \\(E\\)\nProwadzimy przez \\(E\\) prostą równoległą do \\(AB\\); przecina ona \\(CD\\) w punkcie \\(F\\). Z twierdzenia o linii środkowej w trójkącie \\(CDB\\): \\(F\\) jest środkiem \\(CD\\), więc \\(|CF|=|FD|\\) oraz \\(EF \\perp CD\\).\n\nW trójkącie \\(CDE\\) odcinek \\(EF\\) jest jednocześnie wysokością i środkową względem boku \\(CD\\), więc trójkąt \\(CDE\\) jest **równoramienny** z \\(|CE|=|DE|\\). Z założenia \\(|CD|=|DE|\\), więc wszystkie trzy boki są równe - trójkąt \\(CDE\\) jest równoboczny.\n\n\\(\\blacksquare\\)","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi\nprostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3.\nOblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n17\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu wychodzącego z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi\nprostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3 .\nOblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczanie związków miarowych w wielościanach\n(IV.9.b)\nRozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPole\ncP powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe\n2\n2\n2\ncP\nxy\nxz\nyz\n\n\n\n. Możemy\nprzyjąć, że\n3\n:\n2\n:\n1\n:\n:\n\nz\ny\nx\n. Wtedy\n2\ny\nx\n\noraz\n3\nz\nx\n\n. Zatem\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2 2\n3\n4\n6\n12\n22\ncP x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\nPonieważ\n198\ncP \n, więc otrzymujemy równanie\n2\n22\n198\nx \nStąd\n9\n2 \nx\n, więc\n3\n\nx\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów ABD i BDH otrzymujemy\n2\n2\n2\np\nx\ny\n\n\noraz\n2\n2\n2\nd\np\nz\n\n\n16\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nStąd\n2\n2\n2\n2\nd\nx\ny\nz\n\n\n\nZatem\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n14\n14\n3 14\nd\nx\ny\nz\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający\n zapisze długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka\nw zależności od jednej zmiennej, np.: x, 2x , 3x\nalbo\n zapisze długość przekątnej prostopadłościanu w zależności od długości jego krawędzi:\n2\n2\n2\nd\nx\ny\nz\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n zapisze pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej,\nnp.:\n\n2\n2\n2\n3\n2 2\n3\ncP x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\nalbo\n zapisze długość przekątnej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, np.:\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n3\nd\nx\nx\nx\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający obliczy długość jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.:\n3\n\nx\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy długość przekątnej prostopadłościanu:\n3 14\nd \nUwagi\n1. Jeżeli zdający odgadnie długość jednej z krawędzi prostopadłościanu i obliczy długość\nprzekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający błędnie uzależni długości krawędzi od jednej zmiennej, przyjmując: x, 1\n2 x ,\n1\n3 x , i konsekwentnie oblicza długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje\nmaksymalnie 3 punkty. Inne, niepoprawne interpretacje stosunków długości krawędzi,\nstanowią podstawę do przyznania za rozwiązanie 0 punktów.\n17\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nTo zadanie otwarte - wynik: \\(\\displaystyle V = \\frac{32\\sqrt{6}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - twierdzenie cosinusów w trójkącie ASC\n\n**Krok 1: Wyznacz bok podstawy.**\n\nPodstawa to kwadrat o przekątnej \\(AC = 4\\sqrt{2}\\). Korzystamy z zależności \\(AC = a\\sqrt{2}\\):\n\\[a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} \\implies a = 4\\]\n\nPole podstawy: \\(P_p = a^2 = 16\\).\n\n**Krok 2: Wyraź krawędź boczną SA przez wysokość h.**\n\nW ostrosłupie prawidłowym środek O podstawy leży w połowie przekątnej, więc:\n\\[AO = \\frac{AC}{2} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\]\n\nWysokość \\(SO = h\\) jest prostopadła do podstawy, więc w trójkącie prostokątnym \\(SOA\\):\n\\[SA = \\sqrt{AO^2 + h^2} = \\sqrt{8 + h^2}\\]\n\nZ symetrii ostrosłupa: \\(SA = SC\\), więc trójkąt \\(ASC\\) jest **równoramienny**.\n\n**Krok 3: Zastosuj twierdzenie cosinusów w △ASC.**\n\nKąt przy wierzchołku S wynosi \\(60°\\), ramiona \\(SA = SC\\), podstawa \\(AC = 4\\sqrt{2}\\):\n\\[AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \\cdot SA \\cdot SC \\cdot \\cos(\\angle ASC)\\]\n\\[32 = (8+h^2) + (8+h^2) - 2(8+h^2) \\cdot \\cos 60°\\]\n\\[32 = 2(8+h^2) - 2(8+h^2) \\cdot \\frac{1}{2}\\]\n\\[32 = 2(8+h^2) - (8+h^2)\\]\n\\[32 = 8 + h^2\\]\n\\[h^2 = 24 \\implies h = 2\\sqrt{6}\\]\n\n**Krok 4: Oblicz objętość.**\n\\[\\boxed{V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{6} = \\frac{32\\sqrt{6}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - spostrzeżenie: trójkąt ASC jest równoboczny\n\nTrójkąt \\(ASC\\) jest równoramienny (\\(SA = SC\\)) z kątem przy wierzchołku \\(\\angle ASC = 60°\\).\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** trójkąt równoramienny z kątem \\(60°\\) przy wierzchołku jest **równoboczny**, bo wówczas wszystkie kąty wynoszą \\(60°\\).\n\nZatem:\n\\[SA = SC = AC = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Wyznacz wysokość ostrosłupa** z trójkąta prostokątnego \\(SOA\\) (gdzie \\(SO \\perp\\) podstawa):\n\\[h = \\sqrt{SA^2 - AO^2} = \\sqrt{(4\\sqrt{2})^2 - (2\\sqrt{2})^2} = \\sqrt{32 - 8} = \\sqrt{24} = 2\\sqrt{6}\\]\n\n**Objętość:**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{6} = \\frac{32\\sqrt{6}}{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nWzoru używamy w kroku końcowym, gdy znamy \\(h = 2\\sqrt{6}\\) i \\(P_p = 16\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - twierdzenie cosinusów, s. 16):**\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nW Sposobie 1 stosujemy go do trójkąta \\(ASC\\) z kątem \\(60°\\) przy S.\n\n**Dział 10 (Twierdzenie Pitagorasa, s. 15):**\n\\[SA^2 = SO^2 + AO^2\\]\nPozwala wyrazić \\(SA\\) przez \\(h\\) oraz wyznaczyć \\(h\\) z \\(SA\\) w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dane \\(AC = 4\\sqrt{2}\\) to **przekątna** kwadratu, nie jego bok! Bok podstawy to \\(a = 4\\). Wstawienie \\(4\\sqrt{2}\\) jako boku prowadzi do \\(P_p = 32\\) i błędnej objętości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(AO\\) to odległość **od narożnika do środka** = połowa przekątnej, czyli \\(2\\sqrt{2}\\), a nie połowa boku (\\(2\\)). To częsty błąd przy obliczaniu krawędzi bocznej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W twierdzeniu cosinusów kąt \\(60°\\) jest **przy wierzchołku S** (między ramionami \\(SA\\) i \\(SC\\)). Niektórzy wstawiają ten kąt błędnie - przy podstawie trójkąta, co daje zupełnie inny wynik.\n\n### Rozwiązanie\n\n**Krok 1. Wyznaczenie krawędzi podstawy**\nPodstawa jest kwadratem. Gdy bok podstawy to \\(a\\), przekątna ma długość \\(a\\sqrt{2}\\).\n\\[a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} \\Rightarrow a = 4.\\]\n\n**Krok 2. Pole podstawy**\n\\[P_p = a^2 = 16.\\]\n\n**Krok 3. Wyznaczenie wysokości**\nOznaczmy przez \\(O\\) środek podstawy (i spodek wysokości ostrosłupa). Trójkąt \\(ASC\\) jest równoramienny (\\(|SA|=|SC|\\)) o kącie \\(\\sphericalangle ASC=60^\\circ\\). Ponadto \\(|AC|=4\\sqrt{2}\\).\n\nTrójkąt równoramienny z kątem wierzchołkowym \\(60^\\circ\\) jest **równoboczny**, więc wszystkie boki mają długość \\(4\\sqrt{2}\\): \\(|SA|=|SC|=|AC|=4\\sqrt{2}\\).\n\nWysokość ostrosłupa \\(SO\\) jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego \\(ASC\\) z wierzchołka \\(S\\):\n\\[|SO| = \\dfrac{4\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{6}.\\]\n\n*(Alternatywnie: w trójkącie \\(AOS\\), \\(\\sphericalangle ASO = 30^\\circ\\), \\(|AO| = \\tfrac{1}{2}|AC| = 2\\sqrt{2}\\), \\(\\tan 30^\\circ = \\tfrac{|AO|}{|SO|}\\), więc \\(|SO| = \\tfrac{2\\sqrt{2}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = \\tfrac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{6}\\).)*\n\n**Krok 4. Objętość ostrosłupa**\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p \\cdot |SO| = \\dfrac{1}{3}\\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{6} = \\dfrac{32\\sqrt{6}}{3}.\\]\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\,V = \\dfrac{32\\sqrt{6}}{3}\\,}\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (5 pkt)\nTurysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość\n2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu\npoświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią\nprędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km\nh mniejsza od średniej\nprędkości, z jaką schodził ze wzgórza.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nTurysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-5)\nTurysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość\n2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu\npoświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią\nprędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od\nśredniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.\nModelowanie matematyczne\nRozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym\nprowadzących do równań kwadratowych (III.3.b)\nRozwiązanie (I sposób)\nNiech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza,\na t czas wyrażony w godzinach, w jakim zszedł ze wzgórza. Wówczas zależność między tą\nprędkością, czasem i przebytą drogą możemy zapisać w postaci\n2,1\nv t\nŚrednia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze, jest zatem równa\n1\nv , natomiast czas,\nw jakim wszedł, jest równy\n4\n1\n1\n1\n60\n15\nt\nt\n\n. Możemy więc zapisać drugie równanie\n\n\n16\n1\n2,1\n15\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd otrzymujemy\n16\n16\n21\n15\n15\n10\nv\nv t\nt\n\n\nPo podstawieniu\n21\n10\nv t\notrzymujemy\n16\n21\n16\n21\n15\n10\n15\n10\nv\nt\n\n\n\n,\n79\n16\n15\n15\nt\nv\n\n\nPodstawiając\n79\n16\n15\n15\nt\nv\n\n\nw równaniu\n21\n10\n\nv t\n, otrzymujemy równanie kwadratowe\nz niewiadomą v\n79\n16\n21\n15\n15\n10\n\n\n\n\n\n\n\n\nv\nv\n,\n2\n16\n79\n21\n0\n15\n15\n10\nv\nv\n\n\n\n,\n2\n32\n158\n63\n0\nv\nv\n\n\n\n,\n\n\n2\n158\n4 32 63\n16900\n\n\n\n\n,\n16900\n130\n\n\n1\n158 130\n28\n7\n2 32\n2 32\n16\nv\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n158 130\n288\n9\n2 32\n2 32\n2\nv\n\n\n\n\n\n\nPierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką\nturysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna, a to niemożliwe. Drugie rozwiązanie spełnia\nwarunki zadania, gdyż wtedy\n1\n4,5 1\n3,5\nv \n\nOdpowiedź: Średnia prędkość, z jaka turysta wchodził na wzgórze jest równa 3,5 km/h.\n18\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nRozwiązanie (II sposób)\nNiech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza.\nWówczas czas, w jakim zszedł ze wzgórza, wyrażony w godzinach jest równy 2,1\nv . Ponieważ\nłączny czas wejścia i zejścia był równy 1 godzinę i 4 minuty, czyli\n4\n1\n16\n1\n1\n60\n15\n15\n\n\ngodziny,\nwięc czas, w jakim wchodził, był równy 16\n2,1\n15\nv\n\ngodziny. Stąd z kolei wynika, że średnia\nprędkość, z jaką wchodził, była równa\n2,1\n16\n2,1\n15\nv\n\nkm/h. Otrzymujemy w ten sposób równanie\nz niewiadomą v\n2,1\n1\n16\n2,1\n15\nv\nv\n\n\n\n,\n21\n30\n1\n10 32\n63\nv\nv\nv\n\n\n\n\n,\n63\n1\n32\n63\nv\nv\nv\n\n\n\n,\n\n\n\n63\n1 32\n63\nv\nv\nv\n\n\n\n,\n2\n63\n32\n95\n63\nv\nv\nv\n\n\n\n,\n2\n32\n158\n63\n0\nv\nv\n\n\n\n,\n\n\n2\n158\n4 32 63\n16900\n\n\n\n\n,\n16900\n130\n\n\n1\n158 130\n28\n7\n2 32\n2 32\n16\nv\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n158 130\n288\n9\n2 32\n2 32\n2\nv\n\n\n\n\n\n\nPierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką\nturysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania,\ngdyż wtedy\n1\n4,5 1\n3,5\nv \n\nOdpowiedź: Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze jest równa 3,5 km/h.\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający\n oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza oraz\nczas wyrażony w godzinach, w jakim schodził ze wzgórza, i zapisze zależność między\nśrednią prędkością i czasem, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.:\nv - średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza\nt - czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza\n\n\n16\n1\n2,1\n15\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n19\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta wchodził na wzgórze oraz\nczas wyrażony w godzinach, w jakim wchodził na wzgórze, i zapisze zależność między\nśrednią prędkością i czasem, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.:\nv - średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze\nt - czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze\n\n\n16\n1\n2,1\n15\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający nie otrzymuje punktu, jeśli zapisze jedynie\n2,1\nv t\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t - odpowiednio prędkość i czas\nschodzenia turysty ze wzgórza, np.;\n\n\n16\n1\n2,1\n15\n2,1\nv\nt\nv t\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t - odpowiednio prędkość i czas\nwchodzenia turysty na wzgórze, np.;\n\n\n16\n1\n2,1\n15\n2,1\nv\nt\nv t\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od\ntej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas,\nw jakim turysta wchodził na wzgórze, np.:\nv - średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza\n1\nv  to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze\n2,1\n1\nv  to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze\nalbo\n oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej\nwielkości czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza, oraz czas, w jakim turysta\nwchodził na wzgórze, np.:\nv - średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza\n2,1\nv to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza\n16\n2,1\n15\nv\n\nto czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze\nalbo\n oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej\nwielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas,\nw jakim turysta schodził ze wzgórza, np.:\nv - średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza\n1\nv  to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze\n20\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n2,1\nv to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza.\nUwaga\nJeśli zdający wprowadza tylko jedną niewiadomą na oznaczenie jednej z czterech wielkości:\nczas wchodzenia, czas schodzenia, prędkość wchodzenia, prędkość schodzenia, to 2 punkty\notrzymuje wtedy, gdy uzależni od wprowadzonej zmiennej dwie z pozostałych trzech\nwielkości.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający\n zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t - odpowiednio prędkość i czas\nschodzenia turysty ze wzgórza, np.;\n79\n16\n2,1\n15\n15\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t - odpowiednio prędkość i czas\nwchodzenia turysty na wzgórze, np.;\n16\n47\n2,1\n15\n15\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej\nwielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas,\nw jakim turysta wchodził na wzgórze i zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n2,1\n2,1\n16\n1\n15\nv\nv\n\n\n\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nZdający\n rozwiąże równanie z niewiadomą inną niż średnia prędkość schodzenia bezbłędnie\ni nie obliczy średniej prędkości schodzenia\nalbo\n rozwiąże równanie z niewiadomą v (średnia prędkość schodzenia) z błędem\nrachunkowym.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZdający obliczy średnią prędkość wchodzenia turysty na wzgórze: 3,5 km/h\nUwagi\n1. Zdający może pominąć jednostki, o ile ustalił je w toku rozwiązania i stosuje je\nkonsekwentnie.\n21\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n2. Jeżeli zdający oznaczy przez v prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze i zapisze,\nże v - 1 oznacza prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza i konsekwentnie do\nprzyjętych oznaczeń rozwiąże zadanie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nPrzykład 1.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza, t - czas, w którym turysta schodził ze\nwzgórza i zapisze:\n2,1\n1\n16\n15\nv\nt\n\n\n\n\n2,1\n16\n1\n2,1\n15\nv t\nv\nt\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym\njest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie\nujął wyrażenia 16\n15\nt\n w nawias. Zapis równania\n2,1\n1\n16\n15\nv\nt\n\n\nwskazuje na poprawną\ninterpretację zależności między wielkościami.\nPrzykład 2.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza, t - czas, w którym turysta schodził ze\nwzgórza i zapisze:\n2,1\n1\n16\n15\nv\nt\n\n\n2,1\n2,1\n1\n16\n15\nv\nt\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n2,1\n2,1\n1\n15\n16\nt\nt\n\n\n, 2,1\n2,1\n1\nt\nt\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych\ntrudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 2,1\n2,1\n1\n15\n16\nt\nt\n\n\nzdający\nprzestawił liczby w liczniku i mianowniku ułamka 16\n15 lub nawet pominął ten ułamek.\nPrzykład 3.\nJeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.\n2\n32\n158\n63\n0\nv\nv\n\n\n\n\nzamiast\nrównania\n2\n32\n158\n63\n0\nv\nv\n\n\n\n(np. w wyniku złego przepisania znaku), konsekwentnie\njednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci rozwiązanie niespełniające\n22\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nwarunków zadania i pozostawi wynik, który może być realną prędkością poruszania się\nturysty, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy\n5 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nŚrednia prędkość pana Kowalskiego: **25 km/h**\nŚrednia prędkość pana Nowaka: **36 km/h**\n\n## Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą (prędkość Kowalskiego)\n\n**Oznaczamy zmienne:**\n\nNiech \\(v\\) = średnia prędkość pana Kowalskiego \\([\\text{km/h}]\\).\nWtedy prędkość pana Nowaka = \\(v + 11\\) \\([\\text{km/h}]\\).\n\n**Wyrażamy czasy przez prędkości:**\n\n\\[t_{\\text{Kowalski}} = \\frac{150}{v}, \\qquad t_{\\text{Nowak}} = \\frac{150}{v + 11}\\]\n\n**Przeliczamy różnicę czasu:**\n\n\\[1 \\text{ godz. } 50 \\text{ min.} = 1\\frac{50}{60} \\text{ godz.} = 1\\frac{5}{6} \\text{ godz.} = \\frac{11}{6} \\text{ godz.}\\]\n\n**Układamy równanie** (Nowak jechał krócej):\n\n\\[\\frac{150}{v} - \\frac{150}{v+11} = \\frac{11}{6}\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(6v(v+11)\\):**\n\n\\[6 \\cdot 150(v+11) - 6 \\cdot 150v = 11 \\cdot v(v+11)\\]\n\n\\[900(v + 11) - 900v = 11v(v+11)\\]\n\n\\[900v + 9900 - 900v = 11v^2 + 121v\\]\n\n\\[9900 = 11v^2 + 121v\\]\n\n**Dzielimy przez 11:**\n\n\\[900 = v^2 + 11v\\]\n\n\\[v^2 + 11v - 900 = 0\\]\n\n**Wyróżnik:**\n\n\\[\\Delta = 11^2 + 4 \\cdot 900 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2\\]\n\n**Pierwiastki:**\n\n\\[v = \\frac{-11 \\pm 61}{2}\\]\n\n\\[v_1 = \\frac{-11 + 61}{2} = \\frac{50}{2} = 25, \\qquad v_2 = \\frac{-11 - 61}{2} = \\frac{-72}{2} = -36\\]\n\nPrędkość musi być dodatnia, więc \\(v_2 = -36\\) odrzucamy.\n\n**Wynik:**\n\n> Prędkość pana Kowalskiego: \\(\\mathbf{v = 25 \\text{ km/h}}\\)\n> Prędkość pana Nowaka: \\(\\mathbf{v + 11 = 36 \\text{ km/h}}\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie do warunków zadania)\n\nSprawdzamy, czy wynik spełnia oba warunki zadania.\n\n**Warunek 1 - różnica prędkości:**\n\n\\[36 - 25 = 11 \\text{ km/h} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Warunek 2 - różnica czasów:**\n\nCzas Kowalskiego:\n\\[t_K = \\frac{150}{25} = 6 \\text{ godz.}\\]\n\nCzas Nowaka:\n\\[t_N = \\frac{150}{36} = \\frac{150}{36} = \\frac{25}{6} \\text{ godz.} = 4 \\text{ godz. } 10 \\text{ min.}\\]\n\nRóżnica:\n\\[t_K - t_N = 6 - \\frac{25}{6} = \\frac{36}{6} - \\frac{25}{6} = \\frac{11}{6} \\text{ godz.} = 1 \\text{ godz. } 50 \\text{ min.} \\quad \\checkmark\\]\n\nOba warunki spełnione - wynik poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tych wzorów do rozwiązania równania kwadratowego \\(v^2 + 11v - 900 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** 1 godzina i 50 minut to **nie** \\(1{,}50\\) godziny! Przelicz poprawnie: \\(50 \\text{ min} = \\frac{50}{60} = \\frac{5}{6}\\) godz., czyli razem \\(\\frac{11}{6}\\) godz. To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wymnożeniu przez \\(6v(v+11)\\) łatwo zgubić którąś grupę lub pomylić kolejność odejmowania. Pamiętaj: Nowak jechał **krócej**, więc \\(t_K - t_N = \\frac{11}{6}\\), a nie odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania - jedno ujemne. Zawsze sprawdź, czy rozwiązanie ma sens fizycznie (prędkość musi być dodatnia) i odrzuć rozwiązanie nieprzystające do kontekstu zadania.\n\n### Rozwiązanie\n\n**Krok 1. Oznaczenia**\nNiech \\(v\\) [km/h] - prędkość pana Nowaka, \\(t\\) [h] - czas pana Nowaka. Wtedy:\n- Pan Kowalski: prędkość \\(v-11\\), czas \\(t + 1\\tfrac{50}{60} = t + \\tfrac{11}{6}\\).\n\n**Krok 2. Układ równań**\nTrasa 150 km:\n\\[\\begin{cases} v\\cdot t = 150 \\\\ (v-11)\\left(t+\\tfrac{11}{6}\\right) = 150 \\end{cases}\\]\n\n**Krok 3. Z pierwszego równania \\(t = \\tfrac{150}{v}\\)**. Podstawienie do drugiego:\n\\[(v-11)\\left(\\dfrac{150}{v}+\\dfrac{11}{6}\\right)=150.\\]\n\nWymnażamy:\n\\[\\dfrac{150(v-11)}{v} + \\dfrac{11(v-11)}{6} = 150.\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(6v\\):\n\\[900(v-11) + 11v(v-11) = 900v,\\]\n\\[900v - 9900 + 11v^2 - 121v = 900v,\\]\n\\[11v^2 - 121v - 9900 = 0,\\]\n\\[v^2 - 11v - 900 = 0.\\]\n\n**Krok 4. Rozwiązanie równania kwadratowego**\n\\[\\Delta = 121 + 3600 = 3721 = 61^2.\\]\n\\[v = \\dfrac{11 \\pm 61}{2}.\\]\n\\[v_1 = -25 \\text{ (odrzucamy, }v>0\\text{)},\\quad v_2 = 36.\\]\n\n**Krok 5. Obliczenia końcowe**\n- Pan Nowak: \\(v = 36\\) km/h.\n- Pan Kowalski: \\(v - 11 = 25\\) km/h.\n\n**Sprawdzenie:**\nCzas Nowaka: \\(\\tfrac{150}{36} = \\tfrac{25}{6}\\) h.\nCzas Kowalskiego: \\(\\tfrac{150}{25} = 6\\) h.\nRóżnica: \\(6 - \\tfrac{25}{6} = \\tfrac{36-25}{6} = \\tfrac{11}{6}\\) h = 1 h 50 min ✓.\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\,\\text{pan Nowak: } 36\\,\\text{km/h},\\quad \\text{pan Kowalski: } 25\\,\\text{km/h}\\,}\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nKąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę\n\n30 . Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten\ntrójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\nB\nC\nA\nD\nE\nF\nG\n\n30\n\nPoziom podstawowy\n19\nBRUDNOPIS\nKąt CAB trójkąta ACB ma miarę 30. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nKąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę\n\n30 . Pole kwadratu DEFG wpisanego w ten\ntrójkąt (zobacz rysunek) jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.\nUżycie i tworzenie strategii\nWykorzystanie własności figur podobnych w zadaniach\n(IV.7.b)\nI sposób rozwiązania\nNiech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem\n2\n\na\nTrójkąt ADE to „połowa trójkąta równobocznego” o boku AD i wysokości AE, więc\n4\n2 \na\nAD\noraz\n3\n4 3\n2 3\n2\n2\nAD\nAE \n\n\nTrójkąt GBF to „połowa trójkąta równobocznego” o boku BG i wysokości FG, więc\n2\nBG\nBF\n\noraz\n3\n2\nBG\nFG \nZatem\n3\n2\n2\nBG\n\n, więc\n4\n3\nBG \noraz\n1\n1\n4\n2\n2\n2\n3\n3\nBF\nBG\n\n\n\n\nTrójkąt ACB jest „połową trójkąta równobocznego” o boku AB. Obliczamy\n2\n2\n8\n2 3\n2\n2 3\n2\n3\n3\n2\n3\n3\n3\nAB\nAE\nEF\nBF\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPole trójkąta ACB jest więc równe\n2\n2\n3\n1\n3 8\n3 64\n32\n19\n3\n2\n3\n4\n3\n4\n2\n4\n8\n3\n8\n3\n3\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nAB\nP\nUwaga\nPodany sposób rozwiązania polega na rozwiązaniu trójkątów prostokątnych ADE i BGF. Tak\nsamo możemy postąpić rozwiązując inną parę trójkątów prostokątnych: ADE i DCG lub DCG\ni BGF.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający obliczy długość boku kwadratu: 2.\nB\nC\nA\nD\nE\nF\nG\n\n30\n23\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający skorzysta z własności trójkąta\n\n\n\n90\n,\n60\n,\n30\nalbo z funkcji trygonometrycznych\ni poprawnie obliczy długość jednego z odcinków:\n4\n\nAD\n,\n2 3\n\nAE\n,\n4\n3\n\nBG\n,\n2\n3\n\nBF\n,\n3\n\nCD\n,\n1\n\nCG\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający poprawnie obliczy długość jednego z boków trójkąta ACB:\n8\n3\n2\n3\nAB \n\nlub\n4\n1\n3\n\n\nBC\nlub\n3\n4\n\n\nAC\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy pole trójkąta ACB:\n19\n3\n4\n6\n\n\nACB\nP\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze wynik w innej, równoważnej postaci, to otrzymuje 4 punkty, np.:\n2\n3 8\n3\n2\n8\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nP\n,\n\n\n1\n4 3\n4\n3\n1\n2\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nP\nII sposób rozwiązania\nNiech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem\n2\n\na\nTrójkąt ADE to „połowa trójkąta równobocznego” o boku AD, więc\n4\n2 \na\nAD\n. Zatem\npole tego trójkąta jest równe\n2\n2\n3\n1\n4\n3\n2 3\n2\n4\n8\nADE\nAD\nP\n\n\n\n\nTrójkąt GBF to także „połowa trójkąta równobocznego” o boku BG, więc\n2\nBG\nBF\n\nZatem\n3\n2\n2\nBG\n\n, więc\n4\n3\nBG \n. Pole trójkąta GBF jest więc równe\n2\n2\n4\n3\n3\n1\n2\n3\n3\n2\n4\n8\n3\nGBF\nBG\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nTrójkąt DGC również jest „połową trójkąta równobocznego” o boku DG. Ponieważ\n2\nDG\na\n\n\n, więc pole tego trójkąta jest równe\n2\n2\n3\n1\n2\n3\n3\n2\n4\n8\n2\n\n\n\n\nDCG\nDG\nP\nObliczamy pole trójkąta ACB\n2\n3\n19\n2 3\n3\n4\n3\n4\n3\n2\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nADE\nGBF\nDCG\nDEFG\nP\nP\nP\nP\nP\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający obliczy długość boku kwadratu: 2.\n24\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający obliczy pole jednego z trójkątów ADE, GBF, DCG:\n2 3\nADE\nP\n\n,\n2\n3\n3\nGBF\nP\n\n,\n3\n2\n\nDCG\nP\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający obliczy pole każdego z trójkątów ADE, GBF, DCG:\n2 3\nADE\nP\n\n,\n2\n3\n3\nGBF\nP\n\n,\n3\n2\n\nDCG\nP\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy pole trójkąta ACB:\n19\n3\n4\n6\n\n\nACB\nP\nIII sposób rozwiązania\nNiech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem\n2\n\na\n. Zauważmy, że trójkąt ACB jest\npodobny do trójkąta DCG\nTrójkąt DCG to „połowa trójkąta równobocznego” o boku DG długości 2, więc jego pole jest\nrówne\n2\n2\n3\n1\n2\n3\n3\n2\n4\n8\n2\n\n\n\n\nDCG\nDG\nP\nWysokość CM tego trójkąta obliczymy wykorzystując wzór na jego pole\n1\n1 2\n2\n2\n\n\n\n\n\nDCG\nP\nDG CM\nCM\nCM ,\nwięc\n3\n2\nCM \n. Zatem wysokość CN trójkąta ACB opuszczona na AB jest równa\n3\n2\n2\nCN\nCM\nMN\n\n\n\n\nSkala podobieństwa trójkąta ACB do trójkąta DCG jest więc równa\n3\n2\n4\n2\n1\n3\n3\n2\nCN\nCM\n\n\n\nPonieważ stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali ich podobieństwa, więc\n2\n4\n8\n16\n19\n8\n1\n1\n3\n3\n3\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nDCG\nP\nP\nB\nC\nA\nD\nE\nF\nG\n\n30\nM\nN\n25\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nStąd i z obliczonego wcześniej pola trójkąta DCG otrzymujemy\n19\n8\n19\n8\n3\n19\n3\n4\n3\n3\n2\n6\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nDCG\nP\nP\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający obliczy długość boku kwadratu: 2.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający obliczy pole jednego z trójkątów ADE, GFB, DCG:\n2 3\nADE\nP\n\n,\n2\n3\n3\nGBF\nP\n\n,\n3\n2\n\nDCG\nP\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający obliczy skalę podobieństwa trójkąta ACB do jednego z trójkątów ADE, GFB, DCG\ni wykorzysta twierdzenie o stosunku pól figur podobnych, np.:\n4\n1\n3\nCN\nCM \n,\n2\n4\n1\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nDCG\nP\nP\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy pole trójkąta ACB:\n19\n3\n4\n6\nABC\nP\n\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: C = (3, 3)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoramienności (AC = BC)\n\n**Krok 1: Sprawdzamy, który wierzchołek leży na danej prostej.**\n\nProsta: \\(2x - y - 3 = 0\\)\n\nDla \\(A = (2, 1)\\): \\(2 \\cdot 2 - 1 - 3 = 0\\) ✓\n\nDla \\(B = (5, 2)\\): \\(2 \\cdot 5 - 2 - 3 = 5 \\neq 0\\) ✗\n\nZatem to ramię \\(AC\\) zawiera się w prostej \\(2x - y - 3 = 0\\). Wierzchołek \\(C\\) leży na tej prostej, więc:\n\\[C = (t,\\ 2t - 3) \\quad \\text{dla pewnego } t\\]\n\n**Krok 2: Zapisujemy warunek równoramienności \\(|AC| = |BC|\\).**\n\n\\[|AC|^2 = (t-2)^2 + (2t-3-1)^2 = (t-2)^2 + (2t-4)^2 = (t-2)^2 + 4(t-2)^2 = 5(t-2)^2\\]\n\n\\[|BC|^2 = (t-5)^2 + (2t-3-2)^2 = (t-5)^2 + (2t-5)^2\\]\n\n**Krok 3: Przyrównujemy i rozwiązujemy.**\n\n\\[5(t-2)^2 = (t-5)^2 + (2t-5)^2\\]\n\n\\[5(t^2 - 4t + 4) = (t^2 - 10t + 25) + (4t^2 - 20t + 25)\\]\n\n\\[5t^2 - 20t + 20 = 5t^2 - 30t + 50\\]\n\n\\[-20t + 20 = -30t + 50\\]\n\n\\[10t = 30 \\implies t = 3\\]\n\nZatem \\(\\boxed{C = (3,\\ 2 \\cdot 3 - 3) = (3, 3)}\\).\n\n**Sprawdzenie:** \\(|AC| = \\sqrt{1^2 + 2^2} = \\sqrt{5}\\), \\(|BC| = \\sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \\sqrt{5}\\). ✓\n\n## Sposób 2 - Sieczna prostopadłego bisektora AB\n\nPonieważ trójkąt jest równoramienny z podstawą \\(AB\\), wierzchołek \\(C\\) **leży na prostej prostopadłej do \\(AB\\) poprowadzonej przez jego środek**.\n\n**Krok 1: Środek i nachylenie \\(AB\\).**\n\n\\[M = \\left(\\frac{2+5}{2},\\ \\frac{1+2}{2}\\right) = \\left(\\frac{7}{2},\\ \\frac{3}{2}\\right)\\]\n\nNachylenie \\(AB\\): \\(a_{AB} = \\frac{2-1}{5-2} = \\frac{1}{3}\\)\n\nNachylenie prostopadłej: \\(a_\\perp = -3\\) (bo \\(\\frac{1}{3} \\cdot (-3) = -1\\))\n\n**Krok 2: Równanie prostopadłego bisektora.**\n\n\\[y - \\frac{3}{2} = -3\\left(x - \\frac{7}{2}\\right) \\implies y = -3x + 12\\]\n\n**Krok 3: Układ równań - C jest przecięciem prostopadłego bisektora z daną prostą.**\n\n\\[\\begin{cases} y = 2x - 3 \\\\ y = -3x + 12 \\end{cases}\\]\n\n\\[2x - 3 = -3x + 12 \\implies 5x = 15 \\implies x = 3,\\quad y = 3\\]\n\n\\[\\boxed{C = (3, 3)}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n- **Proste prostopadłe:** \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)\nUżyliśmy w Sposobie 2, żeby wyznaczyć nachylenie prostopadłego bisektora \\(AB\\).\n\n- **Środek odcinka:** \\(x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}\\), \\(y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\)\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia środka \\(M\\) odcinka \\(AB\\).\n\n- **Długość odcinka:** \\(|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\)\nUżyliśmy w Sposobie 1 do obliczenia \\(|AC|\\) i \\(|BC|\\) i postawienia warunku równości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim zaczniesz rachunki, sprawdź, który wierzchołek (A czy B) leży na danej prostej - to kluczowy krok, bez którego nie wiesz, które ramię (AC czy BC) leży na tej prostej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 łatwo zapomnieć rozwinąć \\((2t - 4)^2 = 4(t-2)^2\\), co upraszcza \\(|AC|^2\\). Jeśli tego nie dostrzeżesz, rachunki będą znacznie trudniejsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób z prostą prostopadłego bisektora (Sposób 2) jest szybszy i mniej podatny na błędy algebraiczne - warto go znać jako standardowe narzędzie dla trójkątów równoramiennych w geometrii analitycznej.\n\n### Rozwiązanie (Sposób 1 - symetralna podstawy)\n\n**Krok 1. W trójkącie równoramiennym wierzchołek \\(C\\) leży na symetralnej podstawy \\(AB\\).**\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(AB\\):\n\\[a_{AB} = \\dfrac{2-1}{5-2} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\nWspółczynnik prostej prostopadłej: \\(a_\\perp = -3\\).\n\nŚrodek \\(AB\\):\n\\[S = \\left(\\dfrac{2+5}{2},\\, \\dfrac{1+2}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{7}{2},\\,\\dfrac{3}{2}\\right).\\]\n\n**Krok 2. Równanie symetralnej \\(AB\\)**\n\\(y = -3x + b\\), przechodzi przez \\(S\\):\n\\[\\dfrac{3}{2} = -3\\cdot\\dfrac{7}{2} + b \\Rightarrow b = \\dfrac{3}{2} + \\dfrac{21}{2} = 12.\\]\nSymetralna: \\(y = -3x + 12\\).\n\n**Krok 3. Przecięcie symetralnej z prostą ramienia**\nRamię: \\(2x - y - 3 = 0 \\Rightarrow y = 2x - 3\\). Wstawiam do symetralnej:\n\\[2x - 3 = -3x + 12,\\]\n\\[5x = 15,\\]\n\\[x = 3.\\]\nWtedy \\(y = 2\\cdot 3 - 3 = 3\\).\n\n**Krok 4. Weryfikacja**\n- Punkt \\(C=(3,3)\\) spełnia \\(2\\cdot 3 - 3 - 3 = 0\\) ✓\n- Odległości: \\(|AC|=\\sqrt{(3-2)^2+(3-1)^2}=\\sqrt{5}\\), \\(|BC|=\\sqrt{(3-5)^2+(3-2)^2}=\\sqrt{5}\\). Równe ✓\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\,C = (3,\\,3)\\,}\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}