{"paper":{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nDana jest funkcja f określona wzorem\n3\n3\n( )\nx\nx\nf x\nx\n\n\n\n\ndla każdej liczby rzeczywistej\n0\nx \n. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.\n\nPoziom rozszerzony\n3\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n4\nDana jest funkcja f określona wzorem f(x) = |x+3| + |x-3| / x dla każdej liczby rzeczywistej x=0. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.","answer":null,"answer_text":"1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie odległości punktu A lub B od prostej\no równaniu\n1\n0\nx\ny\n\n\n\nw zależności od pierwszej współrzędnej punktu:\n1\n1\n1\n2\nx\nd\n\n\n,\n2\n1\n2\n2\n\nx\nd\n2 punkty zdający otrzymuje za zapisanie\n wyrażenia\n2\n2\n1\n2\nd\nd\n\nw postaci: \n\n\n\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\nx\nx\nx x\nx\nx\n\n\n\n\nalbo\n równości\n2\n2\n1\n2\n6\nd\nd\n\n\n, w postaci równoważnej, np.:\n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n10\n0\nx\nx\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nalbo\n równania z niewiadomą m w postaci:\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\n4 1\n1\n4 1\n6\n2\n2\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n3 punkty zdający otrzymuje za zapisanie równania stopnia drugiego z jedną\nniewiadomą m, np.: \n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2 2\n5\n2 2\n2\n10\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n12\nm\nm\n\n\n\n\n4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie tego równania:\n1\nm  lub\n3\nm .\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu\npierwszego i drugiego:\n3\nm .\nRozwiązanie pełne (trzeci etap) 6 pkt\nWyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności i równania oraz podanie\nodpowiedzi:\n3\nm .\nUwaga\nZa ostatni etap 1 punkt może zostać przyznany tylko wówczas, gdy zdający poprawnie\nwykona etapy I i II rozwiązania albo poprawnie wykona etap I i popełnia błędy\nw rozwiązaniu równania z etapu II, albo gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże\nrównanie z etapu II.\n7\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nZadanie 3. (0-1)\nRozwiąż równanie\nx\nx\nsin\n1\ncos\n3\n\n\n\nw przedziale 0, 2.\nObszar standardów\nOpis wymagań\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych.\n(II.6.e.R)\nI sposób rozwiązania\nRównanie zapisujemy w postaci równoważnej\n3 cos\nsin\n1\nx\nx\n\n\n.\nDzieląc obie strony równania przez 2 otrzymujemy\n2\n1\nsin\n2\n1\ncos\n2\n3\n\n\n\n\nx\nx\nPonieważ\n3\nsin\n2\n3\n\n\noraz 1\ncos\n2\n3\n\n\n, więc równanie możemy zapisać w postaci\n2\n1\nsin\n3\ncos\ncos\n3\nsin\n\n\n\n\nx\nx\n\n\nZe wzoru na sinus różnicy dostajemy\n2\n1\n3\nsin\n\n\n\n\n\n\n\nx\n\nStąd\n\n\n\nk\nx\n2\n6\n3\n\n\n\nlub\n\n\n\n\nk\nx\n2\n6\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\nczyli\n\n\nk\nx\n2","solution":"$(-\\infty, -2) \\cup \\langle 2, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (6 pkt)\nWyznacz\nwszystkie\nwartości\nparametru\nm,\ndla\nktórych\nfunkcja\nkwadratowa\n5\n2\n)\n2\n2\n(\n)\n(\n2\n\n\n\n\n\nm\nx\nm\nx\nx\nf\nma dwa różne pierwiastki\n1x ,\n2x takie, że suma kwadratów\nodległości punktów\n\n\n1, 0\nA\nx\n\ni\n\n\n2, 0\nB\nx\n\nod prostej o równaniu\n0\n1 \n\ny\nx\njest równa 6.\n\nPoziom rozszerzony\n5\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n6\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f(x)=x^2-(2m+2)x+2m+5 ma dwa różne pierwiastki x_1, x_2 takie, że suma kwadratów odległości punktów A = (x_1,0) i B = (x_2,0) od prostej o równaniu x+y+1 = 0 jest równa 6.","answer":null,"answer_text":"2 dla\n, 3\n6\n( )\ndla\n3,0\n0,3\n2\ndla\n3,\nx\nf x\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nWykres ma więc postać\n-10\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n0\nx\ny\nZbiorem wartości funkcji f jest \n\n, 2\n2,\n\n\n.\n3\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający:\n zapisze przedziały: \n\n,\n3\n\n,\n\n3, 3\n\n,\n\n\n\n,3\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełni błędy, np. przy korzystaniu z definicji wartości bezwzględnej\nalbo\n zaznaczy na osi liczbowej przedziały: \n\n,\n3\n\n,\n\n3, 3\n\n,\n\n\n\n,3\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy, np. przy korzystaniu z definicji wartości\nbezwzględnej.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający zapisze licznik ułamka\n3\n3\nx\nx\nx\n\n\n\nw przedziałach \n\n,\n3\n\n,\n\n3, 3\n\n,\n\n\n\n,3\nbez użycia symbolu wartości bezwzględnej, np.:\n\n\n\n\n3\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n dla\n\n\n, 3\nx\n,\n\n\n3\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n dla\n\n\n\n3,0\n0,3\nx\n\n,\n3\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n dla\n\n3,\nx\n.\nUwaga\nNie wymagamy, żeby zdający rozpatrując funkcję f w przedziale\n\n3,3\n\nzapisał warunek\n0\nx \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający\n zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach popełniając błąd rachunkowy\ni konsekwentnie do popełnionego błędu poda jej zbiór wartości\nalbo\n poprawnie narysuje wykres funkcji f i błędnie odczyta zbiór wartości (np. R ).\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający poda zbiór wartości funkcji f: \n\n, 2\n2,\n\n\n.\nUwaga\nJeżeli zdający narysuje poprawnie wykres funkcji i nie poda zbioru jej wartości, to otrzymuje","solution":"$m = -3$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"parametr","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\nx\nx\nsin\n1\ncos\n3\n\n\n\nw przedziale 0, 2.\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n7\nRozwiąż równanie pierwiastek z 3 * cos x = 1+sin x w przedziale <0,2pi>.","answer":null,"answer_text":"3 punkty.\n4\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nZadanie 2. (0-6)\nWyznacz\nwszystkie\nwartości\nparametru\nm,\ndla\nktórych\nfunkcja\nkwadratowa\n5\n2\n)\n2\n2\n(\n)\n(\n2\n\n\n\n\n\nm\nx\nm\nx\nx\nf\nma dwa różne pierwiastki\n1x ,\n2x takie, że suma kwadratów\nodległości punktów\n\n\n1, 0\nA\nx\n\ni\n\n\n2, 0\nB\nx\n\nod prostej o równaniu\n0\n1 \n\ny\nx\njest równa 6.\nObszar standardów\nOpis wymagań\nUżycie i tworzenie strategii\nRozwiązywanie zadań (również umieszczonych w kontekście\npraktycznym), prowadzących do badania funkcji\nkwadratowej. Obliczanie odległości punktu od prostej. (IV.4.l,","solution":"$x = \\dfrac{\\pi}{6}, x = \\dfrac{3}{2}\\pi$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nUdowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich\ny\nx,\nprawdziwa jest\nnierówność \n\n\n\n1\n1\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\n4.\nMaks. liczba pkt\n4\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n8\nUdowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x, y prawdziwa jest nierówność (x+1)(x/y) + (y+1)(y/x) > 2.","answer":null,"answer_text":"4 1\n1\n4 1\n6\n2\n2\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n4\n12\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n2\n2\n2\n4\n4\n12\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n12\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n2\n2\n4\n4\n10\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n,\n2\n2\n3\n0\nm\nm\n\n\n\n,\n\n\n\n1\n3\n0\nm\nm\n\n\n\nStąd\n1\nm  lub\n3\nm .\nTylko dla\n3\nm  istnieją pierwiastki\n1x ,\n2x .\nSchemat oceniania I i II sposobu oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności\n0\n\n\n:\n\n\n\n\n, 2\n2,\nm\n\n.\n6\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga Jeżeli zdający zapisze\n0\n\n, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na rozwiązaniu równania\n2\n2\n1\n2\n6\nd\nd\n\n\nZa tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nDane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde\ndwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim\nw punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola\ntrójkąta ABC.\n\nPoziom rozszerzony\n9\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n10\nDane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r}. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":"5 1\n4\n2\n\n\n\n, więc są 2 takie podzbiory, gdzie\n6\na \n,\n5\n4 1\n3\n2\n\n\n\n, więc są 2 takie podzbiory, gdzie\n5\na \n,\n4\n3 1\n\n, więc jest 1 taki podzbiór, gdzie\n4\na \n,\n3\n2 1\n\n, więc jest 1 taki podzbiór, gdzie\n3\na \nW rezultacie\n\n\n2 4\n3\n2 1\n2 10\n20\n\n\n\n\n\n\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe\n20\n1\n( )\n120\n6\n\n\nP A\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający\n zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n\n10\n3\n\nalbo\n opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie\na\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n.\n36\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nUwaga\nZdający może również zapisać a\nb\nc\n\n lub b\na\nc\n\n lub c\na\nb\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\noraz\nobliczy ich liczbę:\n20\n\nA\nalbo\n zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n\n10\n3\n\ni opisze\nzdarzenia sprzyjające np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n\n10\n3\n\noraz opisze\nzdarzenia sprzyjające np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n oraz obliczy ich\nliczbę:\n20\n\nA\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n20\n1\n( )\n120\n6\n\n\nP A\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A pominie co\nnajwyżej jeden przypadek i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje\n3 punkty.\n2. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zapisze podzbiór,\nktóry nie jest zdarzeniem elementarnym w przyjętym modelu, np. \n\n10,5,5 , to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt, o ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń\nelementarnych.\n3. Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze\nzdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni\nbłędy rachunkowe i otrzymany wynik jest z przedziału (0,1), to otrzymuje 3 punkty. Jeżeli\nnatomiast otrzyma wynik\n( )\n1\nP A , to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie.\nII sposób rozwiązania (model klasyczny-wariacje)\nNiech zdarzeniem elementarnym będzie trzywyrazowy ciąg \n\n, ,\na b c , którego wyrazami są\nliczby ze zbioru \n\n1, 2,\n, 10\n\ntakie, że a\nb\n\ni a\nc\n\ni b\nc\n\n. Mamy do czynienia z modelem\nklasycznym. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n10 9 8\n720\n\n\nNiech A oznacza zdarzenie, że wylosujemy takie trzy kule, że numer jednej z wylosowanych\nkul będzie równy sumie numerów dwóch pozostałych. Wystarczy wyznaczyć liczbę takich\nciągów \n\n, ,\na b c , że a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n, czyli ciągów malejących.\nLiczba a może przyjąć wszystkie wartości od 10 do 3 włącznie. I tak:\n10\n9 1\n8\n2\n7\n3\n6\n4\n\n\n\n\n\n\n\n, więc są 4 takie ciągi, gdzie\n10\na \n,\n9\n8 1\n7\n2\n6\n3\n5\n4\n\n\n\n\n\n\n\n, więc są 4 takie ciągi, gdzie\n9\na \n,\n8\n7 1\n6\n2\n5\n3\n\n\n\n\n, więc są 3 takie ciągi, gdzie\n8\na \n,\n37\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\n7\n6 1\n5\n2\n4\n3\n\n\n\n\n, więc są 3 takie ciągi, gdzie\n7\na \n,\n6\n5 1\n4\n2\n\n\n\n, więc są 2 takie ciągi, gdzie\n6\na \n,\n5\n4 1\n3\n2\n\n\n\n, więc są 2 takie ciągi, gdzie\n5\na \n,\n4\n3 1\n\n, więc jest 1 taki ciąg, gdzie\n4\na \n,\n3\n2 1\n\n, więc jest 1 taki ciąg, gdzie\n3\na \nZ każdego takiego ciągu malejącego można utworzyć 3!\n6\n\nzdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A. W rezultacie\n\n\n3! 2 4\n3\n2 1\n6 20\n120\n\n\n\n\n\n\n\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe\n120\n1\n( )\n720\n6\n\n\nP A\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający\n zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n10 9 8\n\n\nalbo\n opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np. w postaci \n\n, ,\na b c ,\ngdzie a\nb\nc\n\n lub b\na\nc\n\n lub c\na\nb\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n lub b\na\nc\n\n lub\nc\na\nb\n\n\noraz obliczy liczbę ciągów \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n (albo\na\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n\n): 49\nalbo\n opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n lub b\na\nc\n\n lub\nc\na\nb\n\n\noraz obliczy liczbę ciągów \n\n, ,\na b c w jednej z tych sytuacji, np. w sytuacji,\ngdy a\nb\nc\n\n\nalbo\n zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n10 9 8\n\n i opisze zdarzenia\nsprzyjające zajściu zdarzenia A, np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n lub b\na\nc\n\n\nlub c\na\nb\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\n Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n10 9 8\n\n oraz opisze\nzdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A, np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n lub\nb\na\nc\n\n lub c\na\nb\n\n\noraz obliczy ich liczbę:\n6 20\n\n\nA\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n1\n( )\n6\n\nP A\n38\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci \n\n, ,\na b c , gdzie\na\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n (albo a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n\n), pominie co najwyżej jedno i konsekwentnie\nrozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci \n\n, ,\na b c , gdzie\na\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n (albo a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n\n) zapisze ciąg, który nie jest zdarzeniem\nelementarnym w przyjętym modelu, np. \n\n10,5,5 , to może otrzymać co najwyżej 1 punkt,\no ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.\n3. Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze\nzdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni\nbłędy rachunkowe, jednak otrzymany wynik jest z przedziału (0,1), to otrzymuje 3 punkty.\nJeżeli natomiast otrzyma wynik\n( )\n1\nP A , to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie.\n4. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A , to otrzymuje","solution":"$\\dfrac{1}{5}$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nTrójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego\ntrójkąta są równe, odpowiednio, , 2 i \n4\n. Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny,\ni udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej\nkolejności ciąg arytmetyczny.\n\nPoziom rozszerzony\n11\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n12\nTrójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio, alfa, 2alfa, 4alfa. Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.","answer":"A, B, C","answer_text":"6 \n\nlub\n\n\nk\nx\n2\n2 \n\n\nW przedziale 0, 2 są tylko dwa rozwiązania tego równania:\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\nUwaga\nRównanie\n2\n1\nsin\n2\n1\ncos\n2\n3\n\n\n\n\nx\nx\nmożemy również zapisać w postaci równoważnej\n1\ncos\ncos\nsin\nsin\n6\n6\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n,\na następnie zastosować wzór na cosinus sumy. Wtedy otrzymujemy\n1\ncos\n6\n2\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n8\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nStąd\n2\n6\n3\nx\nk\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n6\n3\nx\nk\n\n\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\nwięc\n2\n6\nx\nk\n\n\n\n\nlub\n2\n2\nx\nk\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nUwaga\nDo równania elementarnego, np.\n2\n1\n3\nsin\n\n\n\n\n\n\n\nx\n\nmożemy również dojść nieco inaczej.\nZauważmy, że 3\ntg 3\n\n\n, czyli\n3\n3\nsin\n3\ncos\n\n\n\n. Zatem równanie 3 cos\nsin\n1\nx\nx\n\n\n możemy\nzapisać w postaci równoważnej\n3\n3\nsin\ncos\nsin\n1\ncos\nx\nx\n\n\n\n,\n2\n1\n3\nsin\n\n\n\n\n\n\n\nx\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający zapisze równanie w postaci równoważnej, np.:\n2\n1\nsin\n3\ncos\ncos\n3\nsin\n\n\n\n\nx\nx\n\n\nlub\n1\ncos\ncos\nsin\nsin\n6\n6\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nlub\n3\n3\nsin\ncos\nsin\n1\ncos\nx\nx\n\n\n\n.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający zapisze równanie w postaci równoważnej:\n2\n1\n3\nsin\n\n\n\n\n\n\n\nx\n\nlub\n1\ncos\n6\n2\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający rozwiąże równanie w zbiorze R:\n\n\nk\nx\n2\n6 \n\nlub\n\n\nk\nx\n2\n2 \n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, 2:\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań równania elementarnego i konsekwentnie\npoda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0, 2, to otrzymuje 3 punkty.\nII sposób rozwiązania\n9\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nPonieważ prawa strona równania\nx\nx\nsin\n1\ncos\n3\n\n\n\njest nieujemna, więc równanie ma\nrozwiązania tylko wtedy, gdy cos\n0\nx \n. Wówczas podnosząc obie strony równania do\nkwadratu otrzymujemy równanie równoważne\nx\nx\nx\n2\n2\nsin\nsin\n2\n1\ncos\n3\n\n\n\nStąd i z „jedynki trygonometrycznej” otrzymujemy\n\n\nx\nx\nx\n2\n2\nsin\nsin\n2\n1\nsin\n1\n3\n\n\n\n\n,\n0\n2\nsin\n2\nsin\n4\n2\n\n\n\nx\nx\n,\n2\n2sin\nsin\n1\n0\nx\nx\n\n\nPodstawiając\nx\nt\nsin\n\notrzymujemy równanie kwadratowe\n2\n2\n1\n0\nt\nt\n\n,\n\n\n\n1\n2\n1\n0\nt\nt\n\n\n\nStąd\n1\nt  lub\n1\n2\nt \nZatem\nsin\n1\nx  lub\n1\nsin\n2\nx \nRozwiązaniem pierwszego z tych równań jest każda liczba\n3\n2\n2\nx\nk\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą\ncałkowitą. Rozwiązaniem drugiego jest każda liczba\n2\n6\nx\nk\n\n\n\n\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\n\n\n\n\n, gdzie\nk jest liczbą całkowitą.\nPonieważ dla każdego k jest liczbą całkowitą mamy\n5\n5\ncos\n2\ncos\n0\n6\n6\nk\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc\nżadna z liczb\n5\n2\n6\nx\nk\n\n\n\n\nnie jest rozwiązaniem naszego równania. Spośród pozostałych\nrozwiązań, w przedziale 0, 2 znajdują się tylko dwie takie liczby:\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\nUwaga\nZamiast przekształcać równanie\nx\nx\nsin\n1\ncos\n3\n\n\n\nw sposób równoważny do układu\nrównania\nx\nx\nx\n2\n2\nsin\nsin\n2\n1\ncos\n3\n\n\n\ni nierówności cos\n0\nx \nmożemy wyznaczyć\nwszystkie liczby z przedziału 0, 2, spełniające równanie\nx\nx\nx\n2\n2\nsin\nsin\n2\n1\ncos\n3\n\n\n\n,\na więc liczby\n6\nx\n\n\n,\n5\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\n, a następnie sprawdzić, które z nich spełniają\nrównanie\nx\nx\nsin\n1\ncos\n3\n\n\n\n. Wówczas dla\n6\nx\n\n\nlewa strona równania jest równa\n3\n3\n3 cos\n3\n6\n2\n2\n\n\n\n\n\n, a prawa\n1\n3\n1 sin\n1\n6\n2\n2\n\n\n\n\n, więc liczba\n6\nx\n\n\njest rozwiązaniem\nrównania\nx\nx\nsin\n1\ncos\n3\n\n\n\n. Dla\n5\n6\nx\n\n\nlewa strona równania jest równa\n5\n3\n3\n3 cos\n3\n6\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, a prawa\n5\n1\n3\n1 sin\n1\n6\n2\n2\n\n\n\n\n, więc liczba\n5\n6\nx\n\n\nnie jest\n10\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nrozwiązaniem równania\nx\nx\nsin\n1\ncos\n3\n\n\n\n. Dla\n3\n2\nx\n\n\nlewa strona równania\n3\n3 cos\n3 0\n0\n2\n\n\n\n\n, a prawa\n3\n1 sin\n1 1\n0\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc liczba\n3\n2\nx\n\n\njest\nrozwiązaniem równania.\nW przedziale 0, 2 znajdują się dwa rozwiązania:\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający zapisze założenie cos\n0\nx \n, a następnie zapisze równanie w postaci równoważnej,\nnp.:\n2\n2sin\nsin\n1\n0\nx\nx\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający zapisze alternatywę równań: sin\n1\nx  lub\n1\nsin\n2\nx \nUwaga\nWystarczy, że zdający zapisze\n1\nt  lub\n1\n2\nt \n, jeśli wykonał podstawienie.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający rozwiąże równania sin\n1\nx ,\n1\nsin\n2\nx \nw zbiorze R:\n2\n6\nx\nk\n\n\n\n\n,\n5\n2\n6\nx\nk\n\n\n\n\n,\n3\n2\n2\nx\nk\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, 2:\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań spośród\n2\n6\nx\nk\n\n\n\n\n,\n3\n2\n2\nx\nk\n\n\n\n\n,\ni konsekwentnie poda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0, 2, to otrzymuje 3 punkty.\nIII sposób rozwiązania\nDopisując do równania 3 cos\nsin\n1\nx\nx\n\n\n „jedynkę trygonometryczną” otrzymujemy układ\nrównań\n2\n2\n3 cos\nsin\n1\nsin\ncos\n1\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\nz niewiadomymi sin x i cos x .\n11\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nRozwiązując ten układ dostajemy kolejno:\n\n\n2\n2\nsin\n3 cos\n1\n3 cos\n1\ncos\n1\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\nsin\n3 cos\n1\n4cos\n2 3 cos\n0\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\nsin\n3 cos\n1\n3\n4cos\ncos\n0\n2\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nsin\n3 cos\n1\n3\ncos\n0 lub cos\n2\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\nsin\n1\ncos\n0\nx\nx\n\n\n\n\n\nlub\n1\nsin\n2\n3\ncos\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nRozwiązując otrzymane równania elementarne mamy\n3\n2\n2\n2\nx\nk\nx\nk\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n5\n2\nlub\n2\n6\n6\n2\nlub\n2\n6\n6\nx\nk\nx\nk\nx\nk\nx\nk\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nStąd\n3\n2\n2\nx\nk\n\n\n\n\nlub\n2\n6\nx\nk\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nW przedziale 0, 2 znajdują się dwa rozwiązania:\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający zapisze układ równań, w którym jedno z równań zawiera tylko jedną niewiadomą\ncos x lub sin x , np.:\n\n\n2\n2\nsin\n3 cos\n1\n3 cos\n1\ncos\n1\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający zapisze alternatywę elementarnych równań trygonometrycznych wynikających\nz otrzymanego układu, np.:\ncos\n0\nx \nlub\n3\ncos\n2\nx \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\n12\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nZdający rozwiąże otrzymane równania w zbiorze R:\n2\nx\nk\n\n\n\n\nlub\n2\n6\nx\nk\n\n\n\n\nlub\n2\n6\nx\nk\n\n\n\n\nlub\n5\n2\n6\n\n\n\n\nx\nk\n, gdzie k jest liczbą\ncałkowitą.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, 2:\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań równania elementarnego i konsekwentnie\npoda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0, 2, to otrzymuje 3 punkty.\nIV sposób rozwiązania\nNarysujmy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji\n\n3 cos\nf x\nx\n\noraz\n\nsin\n1\ng x\nx\n\n określonych w przedziale 0, 2.\n-2\n-1\n1\n2\n0\nx\ny\n\n2\n\n\n\n\n\n\n\ny= f (x)\ny=g(x)\nW przedziale 0, 2\n\nfunkcja f jest malejąca, a jej wartości maleją od 3 do 0, natomiast\nfunkcja g jest w tym przedziale rosnąca, a jej wartości rosną od 1 do 2. Zatem równanie\n\n\nf x\ng x\n\nma w tym przedziale jedno rozwiązanie. Rozwiązaniem tym jest\n6\nx\n\n\n, gdyż\n3\n3\n3 cos\n3\n6\n6\n3\n2\nf\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\noraz\n1\n3\nsin\n1\n1\n6\n6\n2\n2\ng \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. Drugim rozwiązaniem\nrównania\n\n\nf x\ng x\n\nw przedziale 0, 2jest\n3\n2\nx\n\n\n. Jest to wspólne miejsce zerowe\nfunkcji f i g.\nZatem w przedziale 0, 2 znajdują się dwa rozwiązania równania:\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający rozważy dwie funkcje:\n\n3 cos\nf x\nx\n\noraz \nsin\n1\ng x\nx\n\n i narysuje wykres\njednej z nich.\nUwaga\n13\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nZdający może rozważać funkcje określone na dowolnym zbiorze zawierającym przedział\n0, 2.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający rozważy dwie funkcje:\n\n3 cos\nf x\nx\n\noraz \nsin\n1\ng x\nx\n\n i narysuje w jednym\nukładzie współrzędnych wykresu obu tych funkcji.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający poda rozwiązania równania z przedziału 0, 2:\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\n, ale nie sprawdzi,\nże\n3\n6\n6\n2\nf\ng\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, 2:\n6\nx\n\n\n,\n3\n2\nx\n\n\ni uzasadni, że są to wszystkie rozwiązania równania w tym przedziale, np. wykona\nsprawdzenie\n3\n6\n6\n2\nf\ng\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nJeżeli zdający poda tylko jedno poprawne rozwiązanie równania z przedziału 0, 2:\n6\nx\n\n\nalbo\n3\n2\nx\n\n\ni wykona odpowiednie sprawdzenie, to otrzymuje 3 punkty.\nZadanie 4. (0-3)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich\ny\nx,\nprawdziwa jest nierówność\n\n\n\n\n1\n1\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n\nObszar standardów\nOpis wymagań\nRozumowanie\ni argumentacja\nPrzeprowadzenie dowodu twierdzenia związanego\nz działaniami na wyrażeniach wymiernych: dodawaniem,\nodejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem wyrażeń\nwymiernych, skracaniem, rozszerzaniem wyrażeń\nwymiernych. (V.2.f)\nRozwiązanie I sposób\nPrzekształcając nierówność \n\n\n\n1\n1\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n\nw sposób równoważny otrzymujemy\n\n\n\n\n2\n2\n1\n1\n2\nx\nx\ny\ny\nxy\n\n\n\n\n,\n3\n2\n3\n2\n2\nx\nx\ny\ny\nxy\n\n\n\n\n,\n2\n2\n3\n3\n2\n0\nx\nxy\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n,\n\n\n2\n3\n3\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n14\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nOstatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż \n\n2\n0\nx\ny\n\n\ndla dowolnych liczb rzeczywistych,\nnatomiast\n3\n0\nx \ni\n3\n0\ny \n, gdyż liczby x i y są dodatnie. To kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze lewą stronę nierówności w postaci równoważnej: \n\n2\n3\n3\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy uzasadni prawdziwość nierówności \n\n2\n3\n3\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n, np. stwierdzi, że \n\n2\n0\nx\ny\n\n\ndla dowolnych liczb rzeczywistych oraz\n3\n0\nx \ni\n3\n0\ny \ndla liczb dodatnich x i y.\nRozwiązanie II sposób\nPonieważ\n0\nx \ni\n0\ny \n, więc\n1\n1\nx  i\n1\n1\ny . Stąd wynika, że\n\n\n\n\n1\n1\n1\n1\nx\ny\nx\ny\nx\ny\nx\ny\ny\nx\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n\nSuma x\ny\ny\nx\n\nto suma liczby dodatniej i jej odwrotności, więc jest co najmniej równa 2, czyli\n2\nx\ny\ny\nx\n\n\n. W rezultacie \n\n\n\n1\n1\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n\n, co kończy dowód.\nUwaga\nNierówność\n2\nx\ny\ny\nx\n\n\nwynika również wprost z twierdzenia o średniej arytmetycznej\ni geometrycznej:\n1\n2\nx\ny\nx y\ny\nx\ny x\n\n\n\n. Stąd\n2\nx\ny\ny\nx\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze, że \n\n\n\n1\n1\nx\ny\nx\ny\nx\ny\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy uzasadni prawdziwość nierówności\n2\nx\ny\ny\nx\n\n\n, np. stwierdzi, że suma liczby dodatniej\ni jej odwrotności jest zawsze co najmniej równa 2 lub wykorzysta nierówność między średnią\narytmetyczną i średnią geometryczną.\n15\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nRozwiązanie III sposób\nPrzekształcając nierówność \n\n\n\n1\n1\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n\nw sposób równoważny otrzymujemy\n2\n2\n2\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\n\n\n\n\n,\n2\n2\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\nSuma x\ny\ny\nx\n\nto suma liczby dodatniej i jej odwrotności, więc jest co najmniej równa 2,\nnatomiast suma\n2\n2\nx\ny\ny\nx\n\njest dodatnia, gdyż jest sumą dwóch dodatnich składników. Zatem\nnierówność\n2\n2\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\njest prawdziwa. To kończy dowód.\nUwaga\nNierówność\n2\nx\ny\ny\nx\n\n\nwynika również wprost z twierdzenia o średniej arytmetycznej\ni geometrycznej:\n1\n2\nx\ny\nx y\ny\nx\ny x\n\n\n\n. Stąd\n2\nx\ny\ny\nx\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze lewą stronę nierówności w postaci równoważnej:\n2\n2\n2\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\n\n\n\n\ni w dalszym rozumowaniu dąży do wykazania, że suma\nx\ny\ny\nx \njest nie mniejsza niż 2, ale\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy uzasadni prawdziwość nierówności\n2\n2\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n, np. stwierdzi, że\n2\nx\ny\ny\nx\n\n\njest\nprawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich, co wynika z twierdzenia o sumie liczby dodatniej\ni jej odwrotności oraz\n2\n0\nx\ny \ni\n2\n0\ny\nx \ndla liczb rzeczywistych dodatnich x i y.\n16\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nZadanie 5. (0-5)\nDane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde\ndwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim\nw punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola\ntrójkąta ABC.\nObszar standardów\nOpis wymagań\nModelowanie matematyczne\nZnajdowanie związków miarowych w figurach płaskich, także\nz zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach\numieszczonych w kontekście praktycznym. (III.7.c)\nI sposób rozwiązania\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPole trójkąta AMK jest równe\n2\n1\n1\nsin\nsin\n2\n2\nAMK\nP\nAM\nAK\nr\n\n\n\n\n\n\n\n,\npole trójkąta ABC jest równe\n2\n1\n1\n1\nsin\n4\n3\nsin\n12\nsin\n2\n2\n2\nABC\nP\nAC\nAB\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem\n2\n2\n1\nsin\n1\n2\n1\n12\n12\nsin\n2\nAMK\nABC\nr\nP\nP\nr\n\n\n\n\n\n\n\nPodobnie, pole trójkąta BKL jest równe\n\n\n2\n2\n1\n1\n1\nsin\n2\nsin\n4\nsin\n2\n2\n2\nBKL\nP\nBK\nBL\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\nnatomiast pole trójkąta ABC jest równe\n2\n1\n1\n1\nsin\n3\n5\nsin\n15\nsin\n2\n2\n2\nABC\nP\nBA\nBC\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\nA\nB\nC\nK\nL\nM\nr\nr\n2r\n2r\n3r\n3r\n\n\n\n17\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nwięc\n2\n2\n1 4\nsin\n4\n2\n1\n15\n15\nsin\n2\nBKL\nABC\nr\nP\nP\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\nPole trójkąta CLM jest równe\n\n\n2\n2\n1\n1\n1\nsin\n3\nsin\n9\nsin\n2\n2\n2\nCLM\nP\nCM\nCL\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\nnatomiast pole trójkąta ABC jest równe\n2\n1\n1\n1\nsin\n4\n5\nsin\n20\nsin\n2\n2\n2\nABC\nP\nCA CB\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\nZatem\n2\n2\n1 9\nsin\n9\n2\n1\n20\n20\nsin\n2\nCLM\nABC\nr\nP\nP\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\nPole trójkąta KLM jest więc równe\n1\n4\n9\n1\n12\n15\n20\n5\nKLM\nABC\nAMK\nBKL\nCLM\nABC\nABC\nABC\nABC\nABC\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\nczyli\n1\n5\nKLM\nABC\nP\nP\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający wyrazi pole trójkąta KLM jako różnicę pól odpowiednich trójkątów:\nKLM\nABC\nAMK\nBKL\nCLM\nP\nP\nP\nP\nP\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający wyrazi pole co najmniej jednego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od\nr i sinusa odpowiedniego kąta trójkąta ABC.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający wyznaczy pole co najmniej jednego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od\npola trójkąta ABC, np.:\n1\n12\nAMK\nABC\nP\nP\n\n,\n4\n15\nBKL\nABC\nP\nP\n\n,\n9\n20\nCLM\nABC\nP\nP\n\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nZdający\n\nwyznaczy pole każdego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od pola trójkąta\nABC, np.:\n1\n12\nAMK\nABC\nP\nP\n\n,\n4\n15\nBKL\nABC\nP\nP\n\n,\n9\n20\nCLM\nABC\nP\nP\n\ni na tym poprzestanie\nalbo\n\nobliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC, popełniając błędy\nrachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania).\n18\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZdający obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC:\n1\n5\nKLM\nABC\nP\nP\n\nII sposób rozwiązania\nDługości boków trójkąta ABC są równe\n3\nAB\nr\n\n,\n4\nAC\nr\n\ni\n5\nBC\nr\n\n. Ponieważ\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n4\n9\n16\n25\n5\nAB\nAC\nr\nr\nr\nr\nr\nr\nBC\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\nwięc trójkąt ABC jest prostokątny. Zatem\n4\n4\nsin\n5\n5\nr\nr\n\n\n,\n3\n3\nsin\n5\n5\nr\nr\n\n\noraz\n2\n1 3\n4\n6\n2\nABC\nP\nr\nr\nr\n\n\n\n\nPole trójkąta prostokątnego AMK jest równe\n2\n1\n1\n2\n2\nAMK\nP\nAM\nAK\nr\n\n\n\nPole trójkąta BKL jest równe\n\n\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n4\n8\nsin\n2\nsin\n4\n2\n2\n2\n5\n5\nBKL\nP\nBK\nBL\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\na pole trójkąta CLM jest równe\n\n\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n3\n27\nsin\n3\nsin\n9\n2\n2\n2\n5\n10\nCLM\nP\nCM\nCL\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPole trójkąta KLM jest więc równe\n2\n2\n2\n2\n1\n8\n27\n1\n6\n2\n5\n10\n5\nKLM\nABC\nAMK\nBKL\nCLM\nABC\nP\nP\nP\nP\nP\nr\nr\nr\nr\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\nczyli\n1\n5\nKLM\nABC\nP\nP\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający\n zapisze, że trójkąt ABC jest prostokątny\nalbo\n wyrazi pole trójkąta KLM jako różnicę pól odpowiednich trójkątów:\nKLM\nABC\nAMK\nBKL\nCLM\nP\nP\nP\nP\nP\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n obliczy sinusy kątów ostrych trójkąta ABC:\n4\n5\nsin \n,\n3\n5\nsin\nalbo\n wyznaczy pole trójkąta ABC w zależności od r:\n2\n6\nABC\nP\nr\n\nalbo\n wyznaczy pole trójkąta AMK w zależności od r:\n2\n1\n2\nAMK\nP\nr\n\n19\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający wyznaczy pole trójkąta ABC i pole jednego z trójkątów AMK, BKL, CLM\nw zależności od r:\n2\n6\nABC\nP\nr\n\n,\n2\n1\n2\nAMK\nP\nr\n\n,\n2\n8\n5\nBKL\nP\nr\n\n,\n2\n27\n10\nCLM\nP\nr\n\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nZdający\n wyznaczy pole każdego z trójkątów ABC, AMK, BKL lub CLM w zależności\nod r i na tym poprzestanie\nalbo\n obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC, popełniając błędy\nrachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania).\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZdający obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC:\n1\n5\nKLM\nABC\nP\nP\n\nIII sposób rozwiązania\nNiech\n3 ,\n5 ,\n4\nAB\nr\nBC\nr\nCA\nr\n\n\n\n,\n2 ,\n3\nAK\nAM\nr\nBK\nBL\nr\nCL\nCM\nr\n\n\n\n\n\n\nZauważamy, że\n90\nBAC \n\n\n, ponieważ \n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n3\n4\n5\nr\nr\nr\n\n\n, zatem\n2\n2\n2\nKM\nr\nr\nr\n\n\n\n3\n3\ncos\n5\n5\nr\nCBA\nr\n\n\n\n,\n4\n4\ncos\n5\n5\nr\nACB\nr\n\n\n\nZatem z twierdzenia kosinusów mamy\n2\n2\n3\n4 5\n4\n4\n2 2\n2\n5\n5\nKL\nr\nr\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n4\n3 10\n9\n9\n2 3\n3\n5\n5\nLM\nr\nr\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\nObliczamy cos\nKLM\n\n:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n18\n16\n24 50\n34\n24 2\ncos\ncos\n5\n5\n25\n5\n5\nr\nKM\nML\nKL\nML\nKL\nKLM\nr\nr\nr\nKLM\nr\nr\nKLM\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem\n34\n2\n1\n2\n5\ncos\n2\n2\n2\n24 5\nKLM\n\n\n\n\n\n, więc\n2\nsin\n2\nKLM \n\n20\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nWobec tego\n2\n1 4 5\n3 10\n2\n6\n2\n5\n5\n2\n5\nKLM\nr\nP\nr\nr\n\n\n\n\n\n\nPonieważ\n2\n1 3\n4\n6\n2\nABC\nP\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n,\nwięc otrzymujemy\n1\n5\nKLM\nABC\nP\nP\n\n\n\nUwaga\nMożna obliczyć miarę kąta KLM\n\n\n\n\n\n\n1\n1\n1\n1\n180\n180\n180\n90\n45\n2\n2\n2\n2\nKLM\nABC\nACB\nABC\nACB\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający wyznaczy jeden z boków trójkąta KLM.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający wyznaczy trzy boki trójkąta KLM.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający wyznaczy kosinus jednego z kątów trójkąta KLM, np.\n2\ncos\n2\n\nKLM\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nZdający wyznaczy sinus jednego z kątów trójkąta KLM, np.\n2\nsin\n2\nKLM \n\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZdający obliczy stosunek pól trójkątów KLM i ABC:\n1\n5\nKLM\nABC\nP\nP\n\n21\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nZadanie 6. (0-3)\nTrójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego\ntrójkąta są równe odpowiednio , 2 i \n4\n. Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny\ni udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej\nkolejności ciąg arytmetyczny.\nObszar standardów\nOpis wymagań\nRozumowanie\ni argumentacja\nBadanie czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.\nKorzystanie ze związków między kątem środkowym, kątem\nwpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu (V.5.b,\n7.a)\nRozwiązanie\nSuma kątów trójkąta jest równa 180. Zatem\n\n\n\n\n180\n4\n2\n\n\n\n, więc\n\n180\n7\n. Stąd\n\n\n5\n7\n25\n\n oraz\n\n\n6\n7\n4\n102\n90\n\n\n. To oznacza, że trójkąt ABC jest rozwartokątny.\nZ twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że\n2\n2\nBSC\nBAC\n\n\n\n\n\noraz\n2\n2 2\n4\nASC\nABC\n\n\n\n\n\n\n\n\nPonadto, wypukły kąt środkowy ASB ma miarę równą\n6\nASB\nBSC\nASC\n\n\n\n\n\n\n\nCiąg \n\n6 ,4 ,2\n\n\n jest arytmetyczny, a jego różnica jest równa \n\n2\n\n. To kończy dowód.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy miarę kąta CAB:\n\n\n5\n7\n1 180\n25\n7\n\n\n\n i uzasadni, że trójkąt ABC jest\nrozwartokątny.\nA\nB\nC\nS\n\n2\n4\n22\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nUwaga\nZdający nie musi obliczać miary kąta CAB. Wystarczy, że zapisze\n4\n1\n4\n180\n180\n90\n7\n2\n\n\n\n\n\n.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy rozważy poprawnie wpisany w okrąg trójkąt ABC i wykorzysta twierdzenie o kącie\nśrodkowym i wpisanym do wyznaczenia miary kątów środkowych ASC i BSC w zależności\nod :\n4\nASC\n\n\n\noraz\n2\nBSC\n\n\n\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy wyznaczy miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC i stwierdzi, że tworzą\none w podanej kolejności ciąg arytmetyczny:\n6\nASB\n\n\n\n,\n4\nASC\n\n\n\n,\n2\nBSC\n\n\n\nUwaga\nJeżeli zdający nie uzasadni, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, a udowodni, że miary kątów\ntworzą ciąg arytmetyczny, to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 7. (0-6)\nCiąg geometryczny \n\nn\na\nma 100 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich\nwyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów\no numerach parzystych oraz\n1\n2\n3\n100\nlog\nlog\nlog\nlog\n100\na\na\na\na\n\n\n\n\n\n\n. Oblicz\n1a .\nObszar standardów\nOpis wymagań\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nBadanie czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.\nStosowanie wzorów na n-ty wyraz i sumę n początkowych\nwyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego.\n(II.5.b, c)\nRozwiązanie\nPonieważ wszystkie wyrazy ciągu \n\nn\na\nsą dodatnie i suma wszystkich jego wyrazów\no numerach nieparzystych jest 100 razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach\nparzystych, więc ciąg ten nie jest stały.\nZauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu geometrycznego o numerach\nnieparzystych również jest geometryczny, a jego iloraz jest równy\n2\nq , gdzie q oznacza iloraz\nciągu \n\nn\na\n. Tak samo ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu \n\nn\na\no numerach\nparzystych jest geometryczny i jego iloraz również jest równy\n2\nq . Każdy z tych ciągów ma po","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (6 pkt)\nCiąg geometryczny \n\nn\na\nma 100 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich\nwyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów\no numerach parzystych oraz\n1\n2\n3\n100\nlog\nlog\nlog\nlog\n100\na\na\na\na\n\n\n\n\n\n\n. Oblicz\n1a .\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n13\nCiąg geometryczny (a_n) ma 100 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz log a_1 + log a_2 + log a_3 + ... + log a_{100} = 100. Oblicz a_1.","answer":null,"answer_text":"7 1\n6\n2\n5\n3\n\n\n\n\n, więc są 3 takie podzbiory, gdzie\n8\na \n,\n7\n6 1\n5\n2\n4\n3\n\n\n\n\n, więc są 3 takie podzbiory, gdzie\n7\na \n,\n6","solution":"$a_1 = 10^{100}$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nPunkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym\n\n\n3\n2\n,0\n\nA\n,\n\n\n0\n,2\n\nB\n, a C leży na osi Ox. Wyznacz równanie stycznej do okręgu\nopisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\n8.\nMaks. liczba pkt\n6\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n14\nPunkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym A = (0, 2 pierwiastek z 3), B = (2,0) a C leży na osi Ox. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.","answer":null,"answer_text":"8.c)\nI sposób rozwiązania\nFunkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest\nwarunek\n0\n\n. Zatem\n\n\n\n\n2\n2\n2\n4 1 2\n5\n0\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n0\n16\n4\n2\n\n\nm\n,\n\n\n\n4\n2\n2\n0\nm\nm\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,2\n2\n,\nm\nOdległość punktu\n\n\n1, 0\nA\nx\n\nod prostej o równaniu\n0\n1 \n\ny\nx\njest równa\n2\n1\n2\n1\n0\n1\n1\n1\n1\n1\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nd\nAnalogicznie odległość punktu\n\n\n2, 0\nB\nx\n\nod tej prostej jest równa\n2\n1\n2\n2\n\nx\nd\nSuma kwadratów tych odległości jest równa 6, więc otrzymujemy równość\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n6\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcając równoważnie tę równość otrzymujemy\n\n\n\n\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n6\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\n,\n2\n2\n1\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n12\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\n\n\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n10\n0\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n10\n0\nx\nx\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nWykorzystując wzory Viete’a otrzymujemy równanie z niewiadomą m\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2 2\n5\n2 2\n2\n10\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n4\n8\n4\n4\n10\n4\n4 10\n0\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n4\n8\n12\n0\nm\nm\n\n\n\n,\n2\n2\n3\n0\nm\nm\n\n\n\n,\n\n\n\n1\n3\n0\nm\nm\n\n\n\n5\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nStąd\n1\nm  lub\n3\nm .\nTylko dla\n3\nm  istnieją pierwiastki\n1x ,\n2x .\nII sposób rozwiązania\nFunkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest\nwarunek\n0\n\n. Zatem\n\n\n\n\n2\n2\n2\n4 1 2\n5\n0\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n0\n16\n4\n2\n\n\nm\n,\n\n\n\n4\n2\n2\n0\nm\nm\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,2\n2\n,\nm\nOdległość punktu\n\n\n1, 0\nA\nx\n\nod prostej o równaniu\n0\n1 \n\ny\nx\njest równa\n2\n1\n2\n1\n0\n1\n1\n1\n1\n1\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nd\nAnalogicznie odległość punktu\n\n\n2, 0\nB\nx\n\nod tej prostej jest równa\n2\n1\n2\n2\n\nx\nd\nSuma kwadratów tych odległości jest równa 6, więc otrzymujemy równość\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n6\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, czyli \n\n\n\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n6\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\nPierwiastki\n1x ,\n2x są równe:\n4\n1\n2\n16\n4\n2\n2\n2\n2\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\nm\nm\nm\nm\nx\noraz\n4\n1\n2\n16\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\nm\nm\nm\nm\nx\nOtrzymujemy więc równanie z niewiadomą m\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1","solution":"$y = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}x + 6\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"analityczna","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (6 pkt)\nOblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatkę przedstawiono na rysunku.\nA\nB\nC\n48\n40\n40\n65\n65\n65\n\nPoziom rozszerzony\n15\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n16\nOblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatkę przedstawiono na rysunku.","answer":null,"answer_text":"9 1\n8\n2\n7\n3\n6\n4\n\n\n\n\n\n\n\n, więc są 4 takie podzbiory, gdzie\n10\na \n,\n9\n8 1\n7\n2\n6\n3\n5\n4\n\n\n\n\n\n\n\n, więc są 4 takie podzbiory, gdzie\n9\na \n,\n8","solution":"$V_{ABCS} = 15360$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nWyznacz\nwszystkie\ncałkowite\nwartości\nparametru\nm,\ndla\nktórych\nrównanie\n\n\n\n\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\nx\nm\nx\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nma\ntrzy,\nparami\nróżne,\npierwiastki\nrzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.\n\nPoziom rozszerzony\n17\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n18\nWyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których równanie (x^3+2x^2+2x+1)[x^2-(2m+1)x+m^2+m] = 0 ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.","answer":"A, B, C, D, E","answer_text":"10 10\n10\n1\n100\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający\n zauważy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu geometrycznego\no numerach nieparzystych jest geometryczny oraz ciąg, którego kolejnymi wyrazami są\nwyrazy ciągu \n\nn\na\no numerach parzystych jest geometryczny, a iloraz każdego z tych\nciągów jest taki sam\nalbo\n zapisze równość\n\n\n1\n3\n5\n99\n1\n3\n5\n99\n100\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na\na\na\na\na q\na q\na q\na q\nalbo\n wykorzysta wzór na sumę logarytmów i definicję logarytmu oraz zapisze równość\n1\n2\n3\n100\nlog\nlog\nlog\nlog\n100\na\na\na\na\n\n\n\n\n\n\nw postaci:\n100\n1\n2\n3\n100\n10\na a\na\na\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n zapisze równanie z niewiadomymi\n1a i q:\n\n\n\n\n50\n50\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n1\n100\n1\n1\n\n\n\n\n\n\n\nq\nq\na\na\nq\nq\nalbo\n24\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n zapisze równość\n\n\n1\n3\n5\n99\n1\n3\n5\n99\n100\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na\na\na\na\nq a\na\na\na\nalbo\n zapisze równość\n\n\n\n\n\n2\n99\n100\n1\n1\n1\n1\n10\na\na q\na q\na q\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt\nZdający zapisze równanie z niewiadomą\n1a , np.:\n\n2\n99\n100\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n10\n100\n100\n100\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na\na\na\na\nalbo\n zapisze zależności\n100\n4950\n100\n1\n10\na\nq\n\ni\n1\n100\nq \nUwaga\nJeżeli zdający obliczy iloraz ciągu geometrycznego:\n1\n100\n\nq\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy rzeczowe, to otrzymuje 3 punkty.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt\nZdający zapisze równanie w postaci\n99\n100 2\n100\n100\n1\n1\n10\n100\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na\ni na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 6 pkt\nZdający obliczy pierwszy wyraz ciągu:\n100\n1\n10\n\na\nZadanie 8. (0-4)\nPunkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym\n\n\n3\n2\n,0\n\nA\n,\n\n\n0\n,2\n\nB\n, a C leży na osi Ox. Wyznacz równanie stycznej do okręgu\nopisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.\nObszar standardów\nOpis wymagań\nUżycie i tworzenie strategii\nRozwiązywanie zadań dotyczących wzajemnego położenia\nprostej i okręgu. (IV.8.b.R)\nRozwiązanie\nObliczmy długość boku sześciokąta\n\n\n2\n2\n2 3\n2\n4\nAB \n\n\nPonieważ wierzchołek C tego sześciokąta leży na osi Ox, więc\n\n\n6,0\nC \n25\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nŚrodek S okręgu opisanego na tym sześciokącie ma zatem współrzędne\n\n\n4,2 3\nS \nPunkt S jest środkiem przekątnej BE sześciokąta, więc\n2\n0\n,\n,\n2\n2\n2\n2\nB\nE\nB\nE\nE\nE\nx\nx\ny\ny\nx\ny\nS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem\n2\n4\n2\nE\nx\n\n\ni\n2 3\n2\nE\ny\n\nStąd\n6\nE\nx \ni\n4 3\nE\ny \n, więc\n\n\n6,4 3\nE \nStyczna do okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ABCDEF poprowadzona przez\nwierzchołek E tego sześciokąta jest prostopadła do prostej BE. Ponieważ współczynnik\nkierunkowy prostej BE jest równy\n4 3\n0\n3\n6\n2\nE\nB\nE\nB\ny\ny\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n,\nwięc współczynnik kierunkowy stycznej jest równy\n1\n3\n\n\n\n\n\n\n\n. Zatem styczna ma równanie\n\n\n1\n6\n4 3\n3\ny\nx\n\n\n\n,\nczyli\n3\n6 3\n3\ny\nx\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający\n zapisze długość boku sześciokąta ABCDEF:\n4\nAB \nalbo\n zapisze współrzędne środka S okręgu opisanego na sześciokącie:\n\n\n4,2 3\nS \nalbo\nA\nB\nC\nD\nE\nS\nF\nx\ny\n0\n1\n1\n26\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BE: 3 .\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BE: 3 i obliczy lub poda\nwspółrzędne wierzchołka E:\n\n\n6,4 3\nE \nalbo\n zapisze, że prosta AC jest równoległa do stycznej\nalbo\n obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej AC:\n1\n3\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający obliczy współczynnik kierunkowy stycznej:\n1\n3\n\nUwaga\nJeśli zdający obliczy współczynnik kierunkowy stycznej, ale nie obliczy współrzędnych\npunktu E, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający zapisze równanie stycznej:\n3\n6 3\n3\ny\nx\n\n\nlub\n\n\n1\n6\n4 3\n3\ny\nx\n\n\n\nZadanie 9. (0-6)\nOblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatka została przedstawiona na\nrysunku.\nObszar standardów\nOpis wymagań\nModelowanie matematyczne\nWyznaczanie związków miarowych w wielościanach i bryłach\nobrotowych z zastosowaniem trygonometrii. (III.9.b)\nI sposób rozwiązania\nPrzyjmijmy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC. Wówczas każda z krawędzi bocznych\nAS, BS i CS ma długość 65. Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku.\nA\nB\nC\n48\n40\n40\n65\n65\n65\n27\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nPonieważ wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają tę samą długość, więc spodek\nO wysokości SO ostrosłupa jest punktem przecięcia symetralnych boków jest podstawy,\na więc jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.\nObliczmy promień R tego okręgu. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC otrzymujemy\n2\n2\n2\nAD\nDC\nAC\n\n\n, czyli\n2\n2\n2\n24\n40\nDC\n\n\nStąd\n2\n2\n40\n24\n32\nDC \n\n\nTrójkąty OEC i ADC są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołku C), więc\nOC\nAC\nCE\nCD\n\n, czyli\n40\n20\n32\nR \nStąd\n25\nR \nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta COS otrzymujemy\n2\n2\n2\nOC\nSO\nCS\n\n\n, czyli\n2\n2\n2\n25\n65\nh\n\n\nStąd\n2\n2\n65\n25\n60\nh \n\n\nPole trójkąta ABC jest równe\n1\n1 48 32\n768\n2\n2\nABC\nP\nAB\nCD\n\n\n\n\n\n\nObjętość ostrosłupa jest więc równa\n1\n1 768 60\n15360\n3\n3\nABCS\nABC\nV\nP\nh\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nPole trójkąta ABC możemy obliczyć stosując wzór Herona\n\n\n\n","solution":"$m = -3$ lub $m = 0$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"wielomiany","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nZ urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy\njednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że\nnumer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych kul.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n19\nBRUDNOPIS\nZ urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych kul.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P(A) = \\dfrac{1}{6}$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}