{"paper":{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.\nA.\n7\n15\nx \n\nB.\n7\n15\nx \n\nC.\n15\n7\nx \n\nD.\n15\n7\nx \n\nWskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. A. |x-7|<15, B. |x-7|>15, C. |x-15|<7, D. |x-15|>7. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"A","answer_text":"2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(|x - 7| < 15\\)\n\n## Sposób 1 - środek i promień przedziału\n\n**Zauważamy, co mamy na rysunku:**\n\nOś liczbowa z otwartym przedziałem \\((-8, 22)\\). Oba kółka są puste - przedział otwarty (końce wyłączone).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy środek przedziału.**\n\n\\[c = \\frac{-8 + 22}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\nŚrodek to \\(7\\). Zgadza się z rysunkiem!\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \"promień\" - odległość od środka do końca.**\n\n\\[r = 22 - 7 = 15 \\quad \\text{(lub: } 7 - (-8) = 15\\text{)}\\]\n\n**Krok 3: Zapisujemy nierówność z wartością bezwzględną.**\n\n\\(|x - c| < r\\) opisuje otwarty przedział \\((c-r,\\ c+r)\\), czyli:\n\n\\[\\boxed{|x - 7| < 15}\\]\n\n**Sprawdzenie:**\n\\[7 - 15 = -8, \\quad 7 + 15 = 22\\]\n\nPrzedział \\((-8, 22)\\) - dokładnie to, co na rysunku. ✓\n\n## Sposób 2 - rozwinięcie nierówności (weryfikacja algebraiczna)\n\nRozwijamy odpowiedź A i sprawdzamy, czy daje ten sam przedział.\n\n\\[|x - 7| < 15\\]\n\nKorzystamy z definicji: \\(|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\)\n\n\\[-15 < x - 7 < 15\\]\n\nDodajemy \\(7\\) do każdej części:\n\n\\[-15 + 7 < x < 15 + 7\\]\n\n\\[-8 < x < 22\\]\n\nTo dokładnie przedział otwarty \\((-8, 22)\\) z rysunku. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)** - nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do zapisu przedziału przez środek i promień, oraz w Sposobie 2 do rozwinięcia nierówności.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(|x - 7| > 15\\) opisuje **dopełnienie** tego przedziału: \\(x < -8\\) lub \\(x > 22\\) - czyli punkty **poza** zaznaczonym odcinkiem |\n| C | \\(|x - 15| < 7\\) daje przedział \\((8, 22)\\) - zły środek! Uczeń pomylił środek \\(7\\) z połową długości \\(15\\) |\n| D | \\(|x - 15| > 7\\) daje \\(x < 8\\) lub \\(x > 22\\) - błędny środek i jeszcze odwrócony znak nierówności |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl środka przedziału z jego długością! Środek \\((-8, 22)\\) to \\(7\\), a długość (czyli \\(2r\\)) to \\(30\\), więc promień \\(r = 15\\). Łatwo odwrotnie wpisać te liczby do wzoru i dostać odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Puste kółko na osi = ostry znak \\(<\\) lub \\(>\\) (przedział otwarty). Pełne kółko = znak \\(\\leq\\) lub \\(\\geq\\) (przedział domknięty). Tutaj oba kółka są puste, więc \\(<\\), nie \\(\\leq\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B to klasyczna pułapka - ten sam środek i promień, ale odwrócona nierówność. Opisuje wszystko **poza** zaznaczonym przedziałem, a nie sam przedział.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Środek przedziału i promień\nPrzedział \\((-8, 22)\\) ma środek w punkcie \\(\\tfrac{-8+22}{2} = 7\\), a połowa jego długości (promień) to \\(\\tfrac{22-(-8)}{2} = 15\\).\nNierówność postaci \\(|x - c| < r\\) opisuje przedział \\((c-r, c+r)\\). Dla \\(c = 7, r = 15\\) dostajemy \\(|x - 7| < 15\\), czyli przedział \\((-8, 22)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wybranego punktu\nPunkt środkowy \\(x = 7\\):\n- A. \\(|7-7| = 0 < 15\\) ✓\n- B. \\(|7-7| = 0 > 15\\) ✗\n- C. \\(|7-15| = 8 < 7\\) ✗\n- D. \\(|7-15| = 8 > 7\\) ✓ (ale \\(7\\) leży wewnątrz przedziału, a \\(|x-15|>7\\) to suma dwóch półprostych, więc nie opisuje naszego przedziału).\n\nBrzegi: dla \\(x = -8\\) lub \\(x = 22\\) nierówność A daje \\(|{-15}| = 15\\) i \\(|15| = 15\\) - ostra nierówność nie jest spełniona, więc końce są wykluczone - zgadza się z obrazkiem (koła puste).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Nierówność \\(|x-7| > 15\\) opisuje uzupełnienie przedziału \\((-8, 22)\\).\n- **C.** Przedział \\((8, 22)\\) - zły lewy koniec.\n- **D.** Zbiór \\((-\\infty, 8) \\cup (22, +\\infty)\\) - nie ten kształt.\n\n**Pamiętaj:** \\(|x - c| < r \\iff x \\in (c - r, c + r)\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba\n2014\n1\n2\n2 \njest równa\nA.\n2013\n2\nB.\n2012\n2\nC.\n1007\n2\nD.\n2014\n1\nLiczba 1/2 ⋅ 2^2014 jest rówan A. 2^2013, B. 2^2012, C. 2^1007, D. 2014. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"A","answer_text":"6\n\n\n11\n\nx\n\n6\n\n\n0\nalbo\nx x\n\n2\n\n11\n\n\n6\n\nx\n2\n\n11\n\n\n0\n, stąd \nx\n\n6\n\nx\n2\n\n11\n\n\n0\n, zatem","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n3\nlog 2\nc \n. Wtedy\nA.\n3\n2\nc \nB. 3\n2\nc \nC.\n23\nc\n\nD.\n2\n3\nc \nLiczba c = log_3 2. Wtedy A. c^3=2, B. 3^c=2, C. 3^2=c, D. c^2=3. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"B","answer_text":"n\n\n2\n\n3\n\n\n2\nn\n\n4\n\n3\n\n24\n\nn\n3\n\n3\nn\n2\n\n5\nn\n\n3\n","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nLiczba \n\n2\n5\n3\n2 15\n\n\njest równa\nA. 2\n2 15\n\nB. 8\nC. 2\n4 15\n\nD. 2\nLiczba (pierwiastek z 5 - pierwiastek z 3)^2 + 2 * pierwiastek z 15 jest równa A. 2 + 2 * pierwiastek z 15, B. 8, C. 2 + 4 * pierwiastek z 15, D. 2. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"B","answer_text":"2","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nJulia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. 10% tego, co jej\nzostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?\nA. 25\nB. 40\nC. 45\nD. 55\nJulia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. 10 procent tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii? A. 25, B. 40, D. 45, D. 55. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nRozwiązaniem równania\n5\n1\n7\n3\nx\nx\n\n\n\njest liczba\nA.\n11\n\nB. 11\n2\nC.\n2\n11\nD. 11\nRozwiązaniem równania x-5 / 7-x = 1/3 jest liczba A. -11, B. 11/2, C. 2/11 D. 11. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"B","answer_text":"x \n11\n, lub\nx \n11","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nJeśli\nb\na\nc\nb\n\n\n, to\nA.\n1\na\nb\na c\n\n\n\nB.\n1\na c\nb\na\n\n\n\nC.\n1\na c\nb\na\n\n\n\nD.\n1\na\nb\na c\n\n\n\n22\nx\n-8\n7\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\n4\nW zadaniach 8. i 9. wykorzystaj przedstawiony poniżej wykres funkcji f.\nJeśli a = {b\\o c-b}, to A. b = a+1 / a*c, B. b = a*c / a+1, C. b = a*c/a-1, D. b = a-1 / a*c. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nDziedziną funkcji f jest przedział\nA.\n0, 3\nB. 0, 8\nC.\n3, 3\n\nD. 3, 8\n\nDziedziną funkcji f jest przedział A. <0,3>, B. (0,8>, C. <-3,3>, D. (-3,8>. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"D","answer_text":"\n3\nn\n2\n\n3\nn\n\n1\nn\n3\n\nn\n3\n\n3\nn\n2\n\n3\nn\n\n1\n\n\n8 3\n\nn\n3\n\n6\nn\n\n\n24\n\nn\n3\n\n2\nn\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((-3, 8\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - odczyt dziedziny z wykresu\n\n**Dziedzina funkcji** to zbiór wszystkich argumentów \\(x\\), dla których funkcja jest określona - czyli rzut wykresu na oś \\(OX\\).\n\nPatrzymy na wykres i szukamy: **od jakiego \\(x\\) do jakiego \\(x\\)** jest narysowana krzywa?\n\n**Lewy koniec:** krzywa zaczyna się w punkcie \\((-3, -3)\\), ale jest tam **koło puste** (otwarte) - punkt \\(x = -3\\) **nie należy** do dziedziny.\n\n**Prawy koniec:** krzywa kończy się w punkcie \\((8, 3)\\), jest tam **koło wypełnione** (zamknięte) - punkt \\(x = 8\\) **należy** do dziedziny.\n\nZatem dziedzina to:\n\\[D_f = (-3, 8\\rangle\\]\n\nco odpowiada odpowiedzi **D**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie wartości granicznych\n\nSprawdzamy każdy charakterystyczny punkt z wykresu i czy należy do dziedziny:\n\n| \\(x\\) | Punkt na wykresie | Należy do dziedziny? |\n| \\(-3\\) | \\((-3, -3)\\), koło **puste** | **NIE** |\n| \\(-1\\) | \\((-1, 3)\\), punkt ciągły | TAK |\n| \\(2\\) | \\((2, 3)\\), punkt ciągły | TAK |\n| \\(6\\) | \\((6, -3)\\), punkt ciągły | TAK |\n| \\(8\\) | \\((8, 3)\\), koło **wypełnione** | **TAK** |\n\nNajmniejsza wartość \\(x\\) **bez** przynależności to \\(-3\\) (wyłączone), największa **z** przynależnością to \\(8\\) (włączone).\n\n\\[\\Rightarrow D_f = (-3, 8\\rangle\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja dziedziny funkcji i odczyt z wykresu z uwzględnieniem symboli koła pustego/wypełnionego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\langle 0, 3\\rangle\\) - mylenie dziedziny z **przeciwdziedziną** (zbiorem wartości). Wartości \\(y\\) wahają się od \\(-3\\) do \\(3\\), ale to nie jest dziedzina! |\n| B | \\((0, 8)\\) - wzięcie zakresu wartości \\(y\\) jako zakresu \\(x\\), lub przypadkowe odczytanie środka wykresu |\n| C | \\(\\langle -3, 3\\rangle\\) - mylenie lewego końca dziedziny \\(x = -3\\) z prawym końcem wartości \\(y = 3\\); dodatkowo błędne zamknięcie lewego końca (powinien być otwarty) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Koło **puste** (otwarte, niezamalowane) na końcu wykresu oznacza, że ten punkt **nie należy** do dziedziny - używamy nawiasu okrągłego \\((\\). Koło **wypełnione** (zamalowane) - punkt **należy**, używamy nawiasu prostego \\(\\langle\\) lub \\(\\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **dziedziny** (wartości \\(x\\), dla których funkcja istnieje - oś pozioma) z **przeciwdziedziną / zbiorem wartości** (wartości \\(y\\), które przyjmuje funkcja - oś pionowa). To najczęstszy błąd w tym typie zadania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzinę odczytujemy zawsze patrząc **poziomo** (na oś \\(OX\\)), a nie pionowo. Sprawdź, gdzie zaczyna się i gdzie kończy wykres w kierunku lewym i prawym.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nDziedzina funkcji to zbiór wszystkich \\(x\\), dla których funkcja jest określona (czyli rzut wykresu na oś \\(OX\\)).\n\nZ rysunku: wykres zaczyna się w punkcie \\(x = -3\\) (koło puste - lewy koniec wykluczony) i kończy się w \\(x = 8\\) (koło wypełnione - prawy koniec włączony).\n\nZatem dziedziną jest przedział \\((-3, 8\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- **A. \\(\\langle 0, 3\\rangle\\):** znacznie za mały (tylko kawałek wykresu).\n- **B. \\((0, 8)\\):** brakuje części \\(x \\in (-3, 0)\\).\n- **C. \\(\\langle -3, 3\\rangle\\):** \\(x = -3\\) nie należy, a przedział kończy się w \\(8\\), nie w \\(3\\).\n- **D. \\((-3, 8\\rangle\\):** pasuje - lewy otwarty, prawy domknięty, cała szerokość wykresu.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C.** Wszystkie opisują zbyt mały fragment osi \\(OX\\).\n\n**Pamiętaj:** koło puste \\(\\circ\\) = punkt wykluczony (nawias otwarty); koło pełne \\(\\bullet\\) = punkt włączony (nawias domknięty).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nNajwiększą wartością funkcji f jest\nA. 3\nB. 0\nC.\n3\n\nD. 8\nNajwiększą wartością funkcji f jest A. 3, B. 0, C. -3, D. 8. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu\n\nZ opisu wykresu funkcji \\(f\\) widzimy jej przebieg:\n\n- **na odcinku \\((-3, -1)\\)**: funkcja rośnie liniowo od \\(y = -3\\) do \\(y = 3\\)\n- **na odcinku \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\)**: funkcja jest stała, \\(f(x) = 3\\)\n- **na odcinku \\(\\langle 2, 6 \\rangle\\)**: funkcja opada liniowo z \\(y = 3\\) do \\(y = -3\\)\n- **na odcinku \\(\\langle 6, 8 \\rangle\\)**: funkcja rośnie liniowo z \\(y = -3\\) do \\(y = 3\\)\n\n**Szukamy największej wartości**, czyli najwyższego punktu na wykresie.\n\nPatrząc na cały przebieg, funkcja osiąga wartość \\(y = 3\\) w kilku miejscach:\n- w punkcie \\((-1, 3)\\) - gdzie rośnie i \"zatrzymuje się\" na poziomie 3\n- na całym odcinku \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) - gdzie \\(f(x) = 3 = \\text{const}\\)\n- na początku opadania (punkt \\((2, 3)\\))\n- w punkcie końcowym \\((8, 3)\\) - zaznaczonym kołem wypełnionym (punkt należy do wykresu)\n\nNigdzie wykres nie wychodzi **powyżej** poziomu \\(y = 3\\).\n\n**Zatem największa wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(3\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę przedziałów\n\nPodzielmy dziedzinę na odcinki i sprawdźmy maksimum na każdym z nich:\n\n| Przedział | Charakter | Wartości \\(f\\) |\n| \\((-3, -1)\\) | rosnąca liniowo | od \\(-3\\) do \\(3\\) (końcowe \\(3\\) osiągane) |\n| \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) | stała | \\(f(x) = 3\\) dla wszystkich \\(x\\) |\n| \\(\\langle 2, 6 \\rangle\\) | malejąca liniowo | od \\(3\\) do \\(-3\\) |\n| \\(\\langle 6, 8 \\rangle\\) | rosnąca liniowo | od \\(-3\\) do \\(3\\) |\n\nMaksimum na każdym przedziale: \\(3, \\ 3, \\ 3, \\ 3\\).\n\n**Globalne maksimum = \\(\\max\\{3, 3, 3, 3\\} = 3\\). ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt wartości z wykresu funkcji i znajomość definicji **największej wartości funkcji** (supremum osiągane przez funkcję).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(0\\) | Uczeń myli **miejsce zerowe** (gdzie \\(f(x) = 0\\)) z **największą wartością** funkcji. Zero pojawia się w treści zadania (oś OX), ale nie jest tu pytaniem. |\n| C: \\(-3\\) | To **najmniejsza** wartość funkcji (minimum), nie największa. Łatwy błąd przy czytaniu \"do góry\" zamiast \"do dołu\". |\n| D: \\(8\\) | To wartość **argumentu** (współrzędna \\(x\\)) punktu końcowego wykresu, nie wartość funkcji w tym punkcie. Uczeń myli \\(x_{\\max}\\) z \\(f(x_{\\max})\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie brzmi „największa **wartość** funkcji\" - to \\(y\\), nie \\(x\\)! Odpowiedź D (\\(8\\)) to pułapka dla tych, którzy podają współrzędną poziomą punktu końcowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy punkt końcowy należy do wykresu (koło wypełnione = należy, koło puste = nie należy). Tutaj punkt \\((-3, -3)\\) jest **pusty** (nie należy), ale punkt \\((8, 3)\\) jest **wypełniony** - więc wartość \\(3\\) jest osiągana.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl **największej wartości funkcji** z **największym argumentem** ani z **miejscem zerowym**. To trzy różne pojęcia, a zadania maturalne często grają na tej nieuwadze.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nNajwiększa wartość funkcji to najwyższy punkt wykresu (największa współrzędna \\(y\\)).\n\nZ wykresu: wykres osiąga poziom \\(y = 3\\) na odcinku \\(\\langle -1, 2\\rangle\\) oraz w punkcie \\((8, 3)\\). Nigdzie nie przekracza \\(y = 3\\).\n\nZatem największa wartość funkcji to \\(3\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- **A. \\(3\\):** zgodne z obrazkiem ✓\n- **B. \\(0\\):** wykres wyraźnie sięga wyżej niż \\(0\\).\n- **C. \\(-3\\):** to minimum, nie maksimum.\n- **D. \\(8\\):** to \\(x\\)-owa współrzędna końca wykresu, nie wartość funkcji.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Błędne odczytanie poziomu.\n- **C.** Mylenie maksimum z minimum.\n- **D.** Mylenie argumentu z wartością funkcji.\n\n**Pamiętaj:** wartość funkcji to współrzędna \\(y\\), a nie \\(x\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej\nwzorem\n\n\n\n( )\n2\n4\nf x\nx\nx\n\n\n\nA.\nB.\nC.\nD.\n-8 -7 -6 -5 -4 -3-2 -1\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n0\n-9 -8 -7 -6 -5 -4-3 -2 -1\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n0\n-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n0\n-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n0\n-9\n-8 -7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n0\n-9\n-9\ny\ny\ny\ny\nx\nx\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\n6\nWskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem f(x) = (x-2)(x+4). Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nParabola o ramionach skierowanych **w górę**, miejsca zerowe \\(x = -4\\) i \\(x = 2\\), wierzchołek poniżej osi \\(OX\\) w \\((-1, -9)\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza wzoru iloczynowego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe.**\n\nZ postaci iloczynowej \\(f(x) = (x-2)(x+4)\\) odczytujemy miejsca zerowe bezpośrednio:\n\\[x - 2 = 0 \\implies x_1 = 2\\]\n\\[x + 4 = 0 \\implies x_2 = -4\\]\n\nMiejsca zerowe to \\(x = -4\\) i \\(x = 2\\). Eliminuje to odpowiedzi A i C (mają \\(x = -2\\) i \\(x = 4\\)).\n\n**Krok 2: Sprawdzamy kierunek ramion paraboli.**\n\nRozwijamy wzór:\n\\[f(x) = (x-2)(x+4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8\\]\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a = 1 > 0\\), więc **ramiona paraboli skierowane są w górę**. Eliminuje to odpowiedź B (ramiona w dół).\n\n**Krok 3: Wyznaczamy wierzchołek.**\n\nOś symetrii paraboli przebiega w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\nWartość funkcji w wierzchołku:\n\\[q = f(-1) = (-1-2)(-1+4) = (-3) \\cdot 3 = -9\\]\n\nWierzchołek \\(W = (-1, -9)\\) leży **poniżej** osi \\(OX\\). ✓ To potwierdza odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a i postać kanoniczna\n\nZe wzorów Viète'a dla \\(f(x) = x^2 + 2x - 8\\) (mamy \\(a=1\\), \\(b=2\\), \\(c=-8\\)):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{2}{1} = -2, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = -8\\]\n\nSprawdzenie: \\((-4) + 2 = -2\\) ✓, \\((-4) \\cdot 2 = -8\\) ✓\n\nWierzchołek ze wzoru:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2} = -1, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-8) = 4 + 32 = 36\\]\n\\[q = -\\frac{36}{4} = -9\\]\n\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = (x+1)^2 - 9\\) - wierzchołek w \\((-1, -9)\\), ramiona w górę. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nPostać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyta w Sposobie 1 do odczytu miejsc zerowych.\n\nWierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia wierzchołka.\n\nWzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte jako weryfikacja w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Co jest narysowane | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Ramiona w dół, zera \\(x=-2\\) i \\(x=4\\) | Zamieniono znaki zer ORAZ pomylono kierunek ramion (wzięto \\(a = -1\\)) |\n| B | Ramiona w dół, zera \\(x=-4\\) i \\(x=2\\) | Zera poprawne, ale błędnie odczytano \\(a < 0\\) (np. pomylono z \\(-x^2+ \\)) |\n| C | Ramiona w górę, zera \\(x=-2\\) i \\(x=4\\) | Prawidłowy kierunek ramion, ale zamieniono znaki zer: zamiast \\((x-2)(x+4)\\) uczeń \"widzi\" \\((x+2)(x-4)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \\((x - 2)\\) odczytujemy zero \\(x = 2\\) (nie \\(-2\\)!), a z \\((x + 4)\\) odczytujemy zero \\(x = -4\\) (nie \\(+4\\)!). To **najczęstszy błąd** przy postaci iloczynowej - uczniowie mylą znaki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ramion paraboli wyznacza **znak współczynnika \\(a\\)** przy \\(x^2\\). Tutaj po rozwinięciu jest \\(+x^2\\), więc ramiona idą **w górę** - parabola wygląda jak literka „U\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek zawsze leży w połowie między miejscami zerowymi na osi \\(x\\): \\(p = \\frac{-4+2}{2} = -1\\). Nie wyliczaj go od nowa ze wzoru, jeśli znasz zera - to szybszy sposób.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Miejsca zerowe i kształt\nPostać iloczynowa \\(f(x) = (x-2)(x+4)\\):\n- Miejsca zerowe: \\(x = 2\\) oraz \\(x = -4\\).\n- Współczynnik przy \\(x^2\\): \\(a = 1 > 0\\) - ramiona paraboli skierowane **w górę**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wierzchołka\n\\(x_W = \\dfrac{-4+2}{2} = -1\\).\n\\(f(-1) = (-1-2)(-1+4) = (-3)(3) = -9\\).\nWierzchołek \\((-1, -9)\\) - poniżej osi \\(OX\\).\n\n### Sposób 3 - Postać kanoniczna\n\\(f(x) = x^2 + 2x - 8 = (x+1)^2 - 9\\). Wierzchołek w \\((-1, -9)\\), ramiona w górę.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Ramiona w dół (\\(a < 0\\)) i błędne miejsca zerowe (\\(-2, 4\\)).\n- **B.** Ramiona w dół - byłoby \\(f(x) = -(x+4)(x-2)\\), ale w zadaniu znak plus.\n- **C.** Ramiona w górę, ale miejsca zerowe \\(-2, 4\\) zamiast \\(-4, 2\\).\n- **D.** Ramiona w górę, miejsca zerowe \\(-4, 2\\), wierzchołek \\((-1, -9)\\) ✓\n\n**Pamiętaj:** miejsca zerowe postaci iloczynowej \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\) to \\(x_1\\) i \\(x_2\\) (przeciwne znaki do tego, co w nawiasie!).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nFunkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \n, 3\n\n, może być określona\nwzorem\nA.\n\n\n2\n2\n3\ny\nx\n\n\n\nB.\n\n\n2\n3\ny\nx\n\n\nC.\n\n\n2\n2\n3\ny\nx\n\n\n D.\n2\n3\ny\nx\n\n\nFunkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział (-\\infty,-3>, może być określona wzorem A. y=(x+2)^2-3, B. y=-(x+3)^2, C. y=-(x-2)^2-3, D. y=-x^2+3. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nFunkcja \\(y = -(x-2)^2 - 3\\) ma zbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza wierzchołka i kierunku ramion\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Zbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\) oznacza, że funkcja przyjmuje wszystkie wartości **nie większe niż** \\(-3\\). To możliwe tylko wtedy, gdy:\n\n1. **Parabola ma ramiona skierowane w dół** (współczynnik przy \\(x^2\\) jest ujemny) - wtedy funkcja ma **maksimum**, a nie minimum.\n2. **Wartość maksymalna wynosi dokładnie** \\(-3\\) - czyli wierzchołek paraboli leży na poziomie \\(y = -3\\).\n\nFunkcja kwadratowa w postaci kanonicznej: \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\)\n\n- Wierzchołek: \\(W = (p, q)\\)\n- Jeśli \\(a < 0\\): ramiona w dół, zbiór wartości \\(= (-\\infty, q\\rangle\\)\n- Jeśli \\(a > 0\\): ramiona w górę, zbiór wartości \\(= \\langle q, +\\infty)\\)\n\n**Szukamy:** \\(a < 0\\) oraz \\(q = -3\\).\n\nSprawdzamy odpowiedź C:\n\\[y = -(x-2)^2 - 3\\]\n\n- \\(a = -1 < 0\\) ✓ (ramiona w dół)\n- \\(q = -3\\) ✓ (maksimum wynosi \\(-3\\))\n- Wierzchołek: \\(W = (2, -3)\\)\n\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, -3\\rangle \\checkmark\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie ekstremum\n\nRozwijamy wzór C do postaci ogólnej i wyznaczamy wierzchołek ze wzoru:\n\n\\[y = -(x-2)^2 - 3 = -(x^2 - 4x + 4) - 3 = -x^2 + 4x - 4 - 3 = -x^2 + 4x - 7\\]\n\nMamy: \\(a = -1\\), \\(b = 4\\), \\(c = -7\\).\n\nWspółrzędna wierzchołka (oś symetrii):\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{4}{-2} = 2\\]\n\nWartość maksymalna:\n\\[q = f(2) = -(2)^2 + 4 \\cdot 2 - 7 = -4 + 8 - 7 = -3\\]\n\nPonieważ \\(a = -1 < 0\\), funkcja osiąga **maksimum** równe \\(-3\\), zatem:\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, -3\\rangle \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\qquad W = (p,\\, q)\\]\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach - wzór na \\(p\\) w Sposobie 2, a odczyt \\((p, q)\\) z postaci kanonicznej w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Błąd |\n| A | \\(y = (x+2)^2 - 3\\) | Współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(+1 > 0\\) - ramiona **w górę**, więc funkcja ma **minimum** \\(-3\\). Zbiór wartości: \\(\\langle -3, +\\infty)\\), nie \\((-\\infty, -3\\rangle\\) |\n| B | \\(y = -(x+3)^2\\) | Ramiona w dół ✓, ale wierzchołek to \\((-3, \\mathbf{0})\\). Maksimum wynosi \\(0\\), nie \\(-3\\). Zbiór wartości: \\((-\\infty, 0\\rangle\\) |\n| D | \\(y = -x^2 + 3\\) | Ramiona w dół ✓, ale wierzchołek to \\((0, \\mathbf{3})\\). Maksimum wynosi \\(3\\), nie \\(-3\\). Zbiór wartości: \\((-\\infty, 3\\rangle\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli współczynnik \\(a > 0\\) (ramiona w górę), zbiór wartości jest przedziałem **od minimum do \\(+\\infty\\)**. Odpowiedź A ma \\(a = +1\\) i wierzchołek na poziomie \\(-3\\) - ale daje \\(\\langle -3, +\\infty)\\), czyli odwrotny przedział!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci kanonicznej \\(a(x-p)^2 + q\\) - wartość \\(q\\) to **dokładnie** maksimum (gdy \\(a < 0\\)) lub minimum (gdy \\(a > 0\\)). Nie trzeba nic liczyć - wystarczy odczytać \\(q\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić znak przy \\(q\\). Odpowiedź B ma postać \\(-(x+3)^2 + 0\\) - \\(q = 0\\), nie \\(-3\\). Zawsze sprawdzaj **obydwa** warunki: kierunek ramion i wartość wierzchołka.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Analiza zbioru wartości\nZbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\) oznacza, że funkcja ma maksimum równe \\(-3\\). Maksimum \\(\\Rightarrow\\) ramiona w **dół** (\\(a < 0\\)). Wierzchołek ma współrzędną \\(y_W = -3\\).\n\nSprawdzamy:\n- **A.** \\(y = (x+2)^2 - 3\\): \\(a = 1 > 0\\), min \\(-3\\), zbiór wartości \\(\\langle -3, +\\infty)\\) ✗\n- **B.** \\(y = -(x+3)^2\\): \\(a = -1 < 0\\), max \\(0\\), zbiór wartości \\((-\\infty, 0\\rangle\\) ✗\n- **C.** \\(y = -(x-2)^2 - 3\\): \\(a = -1 < 0\\), max \\(-3\\), zbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\) ✓\n- **D.** \\(y = -x^2 + 3\\): \\(a = -1 < 0\\), max \\(3\\), zbiór wartości \\((-\\infty, 3\\rangle\\) ✗\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\nPostać kanoniczna: \\(y = a(x-p)^2 + q\\). Wierzchołek \\((p, q)\\), zbiór wartości \\(\\langle q, \\infty)\\) gdy \\(a > 0\\), \\((-\\infty, q\\rangle\\) gdy \\(a < 0\\).\n\nNam trzeba: \\(a < 0\\) i \\(q = -3\\). Tylko **C** spełnia oba warunki.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Złe ramiona (w górę) - zbiór wartości to półprosta w górę, nie w dół.\n- **B.** Dobry kierunek ramion, ale max = \\(0\\), nie \\(-3\\).\n- **D.** Dobry kierunek ramion, ale max = \\(3\\), nie \\(-3\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nFunkcja liniowa\n( )\nf x\nax\nb\n\n\njest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że\nA.\n0\na \ni\n0\nb \nB.\n0\na \ni\n0\nb \nC.\n0\na \ni\n0\nb \nD.\n0\na \ni\n0\nb \nFunkcja liniowa f(x)=ax+b jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że A. a>0 i b>0, B. a<0 i b<0, C. a<0 i b>0, D. a>0 i b<0. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(a > 0\\) i \\(b < 0\\)\n\n## Sposób 1 - Warunki algebraiczne\n\n**Krok 1: Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca?**\n\nFunkcja \\(f(x) = ax + b\\) jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni:\n\\[a > 0\\]\n\n**Krok 2: Kiedy miejsce zerowe jest dodatnie?**\n\nMiejsce zerowe to \\(x_0\\) taki, że \\(f(x_0) = 0\\):\n\\[ax_0 + b = 0 \\implies x_0 = -\\frac{b}{a}\\]\n\nWarunek „dodatnie miejsce zerowe\" to \\(x_0 > 0\\), czyli:\n\\[-\\frac{b}{a} > 0\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy znak \\(b\\)**\n\nWiemy już, że \\(a > 0\\). Zatem mianownik \\(a > 0\\), więc:\n\\[-\\frac{b}{a} > 0 \\implies -b > 0 \\implies b < 0\\]\n\n**Wynik:** \\(a > 0\\) i \\(b < 0\\), czyli odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Interpretacja geometryczna (wykres)\n\nNarysujmy sytuację:\n\n- Funkcja **rosnąca** → prosta idzie „od lewego dołu do prawego góry\" → **nachylenie dodatnie** → \\(a > 0\\)\n- **Dodatnie miejsce zerowe** → prosta przecina oś \\(OX\\) po **prawej stronie** od zera\n\nSkoro prosta rośnie i przecina oś \\(OX\\) w punkcie dodatnim \\((x_0, 0)\\) z \\(x_0 > 0\\), to:\n\nProsta musi jeszcze „dojść\" do miejsca zerowego - po lewej stronie od \\(x_0\\) jest poniżej osi \\(OX\\). W szczególności w punkcie \\(x = 0\\) funkcja przyjmuje wartość \\(f(0) = b\\), a skoro \\(0 < x_0\\), to:\n\\[f(0) < f(x_0) = 0 \\implies b < 0\\]\n\n**Wynik:** prosta rośnie (\\(a > 0\\)) i przecina oś \\(OY\\) poniżej zera (\\(b < 0\\)) → odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i interpretacja współczynników \\(a\\) (nachylenie) oraz \\(b\\) (wyraz wolny = wartość dla \\(x = 0\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń poprawnie stwierdza \\(a > 0\\), ale myli „dodatnie miejsce zerowe\" z „dodatnim wyrazem wolnym\" i pisze \\(b > 0\\). To błąd - \\(b > 0\\) oznaczałoby, że prosta przecina oś \\(OY\\) powyżej zera, a więc miejsce zerowe byłoby **ujemne** (prosta musiałaby jeszcze spaść, lecz jest rosnąca - sprzeczność). |\n| B | Uczeń stwierdza \\(a < 0\\) - co oznaczałoby funkcję **malejącą**, sprzeczną z treścią zadania. |\n| C | Uczeń odwraca oba warunki: bierze \\(a < 0\\) (funkcja malejąca - błąd) i \\(b > 0\\). Podwójna pomyłka. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to mylenie znaku \\(b\\) ze znakiem miejsca zerowego. „Dodatnie miejsce zerowe\" NIE oznacza \\(b > 0\\) - to wręcz odwrotnie! Wzór \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) pokazuje, że przy \\(a > 0\\) miejsce zerowe jest dodatnie właśnie wtedy, gdy \\(b < 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(b = f(0)\\) to wartość funkcji w zerze (punkt przecięcia z osią \\(OY\\)), a nie miejsce zerowe. To dwa różne pojęcia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj oba warunki niezależnie: osobno analizuj monotoniczność (znak \\(a\\)), osobno miejsce zerowe (znak \\(-b/a\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza warunków\nFunkcja rosnąca \\(\\Rightarrow a > 0\\).\nMiejsce zerowe: \\(f(x) = 0 \\Rightarrow ax + b = 0 \\Rightarrow x_0 = -\\dfrac{b}{a}\\).\n\nJeżeli \\(x_0 > 0\\) i \\(a > 0\\), to \\(-\\dfrac{b}{a} > 0\\), a więc \\(b < 0\\) (bo \\(a > 0\\) i ułamek dodatni).\n\nZatem: \\(a > 0\\) i \\(b < 0\\).\n\n### Sposób 2 - Graficznie\nFunkcja rosnąca o dodatnim miejscu zerowym: prosta wznosi się i przecina oś \\(OX\\) na prawo od zera. Taka prosta przecina oś \\(OY\\) poniżej zera (czyli \\(b = f(0) < 0\\)).\n\n### Sposób 3 - Przykład\n\\(f(x) = 2x - 4\\): rosnąca (\\(a = 2 > 0\\)), miejsce zerowe \\(x = 2 > 0\\), \\(b = -4 < 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a>0, b>0\\):** wtedy miejsce zerowe \\(-\\tfrac{b}{a} < 0\\), więc ujemne - sprzeczne.\n- **B. \\(a<0, b<0\\):** \\(a < 0\\) \\(\\Rightarrow\\) funkcja malejąca - sprzeczne.\n- **C. \\(a<0, b>0\\):** j.w. funkcja malejąca.\n\n**Pamiętaj:** dla \\(ax + b = 0\\), miejsce zerowe \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\) - znaki \\(a\\) i \\(b\\) muszą być przeciwne, aby \\(x_0 > 0\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nSuma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \n\nna\njest równa 35. Pierwszy\nwyraz\n1a tego ciągu jest równy 3. Wtedy\nA.\n10\n7\n2\n\na\nB.\n10\n4\n\na\nC.\n10 \na\n32\n5\nD.\n10\n32\n\na\nSuma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) jest równa 35. Pierwszy wyraz a_1 tego ciągu jest równy 3. Wtedy A. a_10 = 7/2, B. a_10 = 4, C. a_10 = 32/5, D. a_10 = 32. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a_{10} = 4\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sumę przez pierwszy i ostatni wyraz\n\nWzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nWstawiamy dane: \\(S_{10} = 35\\), \\(n = 10\\), \\(a_1 = 3\\):\n\\[35 = \\frac{a_1 + a_{10}}{2} \\cdot 10\\]\n\\[35 = \\frac{3 + a_{10}}{2} \\cdot 10\\]\n\\[35 = 5(3 + a_{10})\\]\n\\[7 = 3 + a_{10}\\]\n\\[\\boxed{a_{10} = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wyznaczenie różnicy ciągu\n\nKorzystamy z drugiej postaci wzoru na sumę:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nWstawiamy dane:\n\\[35 = \\frac{2 \\cdot 3 + 9r}{2} \\cdot 10\\]\n\\[35 = 5(6 + 9r)\\]\n\\[7 = 6 + 9r\\]\n\\[r = \\frac{1}{9}\\]\n\nTeraz wyznaczamy \\(a_{10}\\) ze wzoru na wyraz ogólny:\n\\[a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9 \\cdot \\frac{1}{9} = 3 + 1 = \\boxed{4}\\]\n\nWyniki obu sposobów się zgadzają. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - dwa wzory na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(użyty w Sposób 1)}\\]\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(użyty w Sposób 2)}\\]\n\nWzór na wyraz ogólny (użyty w Sposób 2):\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Mylne podstawienie \\(S_{10} = \\frac{a_1 + a_{10}}{2}\\) **bez mnożenia przez \\(n = 10\\)**; wychodzi \\(35 = \\frac{3 + a_{10}}{2}\\), stąd \\(a_{10} = 67\\) - nikt nie wybiera, ale prowadzi do błędnych przekształceń dających \\(\\frac{7}{2}\\) przy innej pomyłce |\n| C | Podzielenie \\(S_{10} = 35\\) przez \\(n = 10\\) i uznanie, że wynik \\(3{,}5\\) to **średnia = \\(a_{10}\\)** zamiast \\(\\frac{a_1 + a_{10}}{2}\\); prowadzi do \\(\\frac{32}{5}\\) |\n| D | Zapomnienie o dzieleniu przez 2 w wzorze: \\(35 = (3 + a_{10}) \\cdot 10\\), stąd \\(3 + a_{10} = 3{,}5\\) lub bezpośrednie obliczenie \\(35 - 3 = 32\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) zawiera **trzy elementy**: suma pierwszego i ostatniego wyrazu, dzielenie przez 2, i mnożenie przez \\(n\\). Pominięcie któregokolwiek z nich to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu \\(a_{10}\\) to **dziesiąty wyraz**, nie suma. Nie wstawiaj \\(S_{10} = 35\\) jako \\(a_{10}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kuszący skrót - obliczenie \\(\\frac{S_{10}}{n} = \\frac{35}{10} = 3{,}5\\) - daje średnią arytmetyczną ciągu, czyli \\(\\frac{a_1 + a_{10}}{2}\\), a **nie sam \\(a_{10}\\)**. Z tej wartości dopiero wyznaczasz \\(a_{10} = 2 \\cdot 3{,}5 - 3 = 4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\\(S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\).\nPodstawiamy \\(n = 10, S_{10} = 35, a_1 = 3\\):\n\\[35 = \\dfrac{3 + a_{10}}{2} \\cdot 10 = 5(3 + a_{10}).\\]\n\\[7 = 3 + a_{10} \\Rightarrow a_{10} = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez różnicę\n\\(S_{10} = \\dfrac{2a_1 + 9r}{2} \\cdot 10 = 5(2\\cdot 3 + 9r) = 30 + 45r = 35\\).\n\\(45r = 5 \\Rightarrow r = \\tfrac{1}{9}\\).\n\\(a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9 \\cdot \\tfrac{1}{9} = 3 + 1 = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{7}{2}\\):** błąd rachunkowy (ktoś uzyskał średnią arytmetyczną \\(\\tfrac{a_1+a_{10}}{2}\\) i ją podał).\n- **C. \\(\\tfrac{32}{5}\\):** błędne odjęcie \\(a_1\\) od sumy.\n- **D. \\(32\\):** \\(35 - 3 = 32\\) - błąd, ktoś uznał że \\(S_{10} - a_1 = a_{10}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(S_n = \\tfrac{a_1+a_n}{2}\\cdot n\\) - liczba wyrazów razy średnia pierwszego i ostatniego.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nCiąg geometryczny \n\nna\nokreślony jest wzorem\n3\n4\nn\nna \ndla\n1\nn . Iloraz tego ciągu jest\nrówny\nA.\n3\n\nB.\n3\n4\n\nC. 3\n4\nD. 3\nCiąg geometryczny (a_n) określony jest wzorem a_n = -{3^n/4} dla n>=1. Iloraz tego ciągu jest równy A. -3, B. -3/4, D. 3/4, D. 3","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - iloraz równy \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - definicja ilorazu ciągu geometrycznego\n\nIloraz ciągu geometrycznego to stały stosunek kolejnego wyrazu do poprzedniego:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nObliczamy \\(a_{n+1}\\), podstawiając \\(n+1\\) do wzoru ogólnego:\n\\[a_{n+1} = -\\frac{3^{n+1}}{4}\\]\n\nTeraz dzielimy:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{-\\dfrac{3^{n+1}}{4}}{-\\dfrac{3^n}{4}}\\]\n\nUłamek podzielony przez ułamek - mnożymy przez odwrotność, minusy się skracają, czwórki się skracają:\n\\[q = \\frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = \\mathbf{3}\\]\n\n**Iloraz tego ciągu wynosi \\(3\\).**\n\n## Sposób 2 - podstawienie dwóch kolejnych wyrazów\n\nObliczamy dwa pierwsze wyrazy ciągu:\n\n\\[a_1 = -\\frac{3^1}{4} = -\\frac{3}{4}\\]\n\n\\[a_2 = -\\frac{3^2}{4} = -\\frac{9}{4}\\]\n\nIloraz to:\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{-\\dfrac{9}{4}}{-\\dfrac{3}{4}} = \\frac{9}{4} \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{9}{3} = \\mathbf{3}\\]\n\nSprawdzamy jeszcze \\(a_3\\):\n\\[a_3 = -\\frac{3^3}{4} = -\\frac{27}{4}, \\qquad \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{-\\frac{27}{4}}{-\\frac{9}{4}} = \\frac{27}{9} = 3 \\checkmark\\]\n\nIloraz jest stały i wynosi \\(\\mathbf{3}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - definicja ciągu geometrycznego i wzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz własność: iloraz \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\) dla każdego \\(n \\geq 1\\).\n\nWłaśnie ten wzór zastosowaliśmy w obu sposobach - w Sposobie 1 bezpośrednio przez podzielenie wyrazów, w Sposobie 2 przez wyliczenie konkretnych wyrazów i wzięcie ich ilorazu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(-3\\) | Uczeń bierze pod uwagę znak wyrazu (\\(a_n\\) jest ujemne) i myśli, że iloraz też musi być ujemny. Tymczasem iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{\\text{ujemna}}{\\text{ujemna}} = \\text{dodatnia}\\). |\n| B: \\(-\\dfrac{3}{4}\\) | Uczeń czyta \\(-\\dfrac{3}{4}\\) z mianownika wzoru, myląc mianownik z ilorazem. To jest wartość \\(a_1\\), nie iloraz. |\n| C: \\(\\dfrac{3}{4}\\) | Podobnie jak B - bierze \\(\\dfrac{3}{4}\\) (bez znaku minusa), myląc stały czynnik \\(\\frac{1}{4}\\) z ilorazem lub oblicza \\(\\frac{a_1}{a_2}\\) zamiast \\(\\frac{a_2}{a_1}\\) (odwrotnie). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu geometrycznego to **zawsze** stosunek \\(\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\), a nie odwrotnie. Jeśli pomylisz kolejność, dostaniesz \\(\\dfrac{1}{3}\\) (tu: C) zamiast \\(3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minusy w liczniku i mianowniku **skracają się**. Ciąg \\(\\left(-\\frac{3}{4}, -\\frac{9}{4}, -\\frac{27}{4}, \\ldots\\right)\\) ma wszystkie wyrazy ujemne, ale iloraz jest **dodatni** - bo dwa ujemne dzielone przez siebie dają plus.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl czynnika stałego \\(\\dfrac{1}{4}\\) z ilorazem. Iloraz to to, przez co **mnożymy**, żeby przejść od wyrazu do wyrazu - a \\(\\dfrac{1}{4}\\) jest tylko skalowaniem całego ciągu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Definicja ilorazu\nIloraz ciągu geometrycznego: \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\).\n\\[q = \\dfrac{-\\tfrac{3^{n+1}}{4}}{-\\tfrac{3^n}{4}} = \\dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie pierwszych wyrazów\n\\(a_1 = -\\tfrac{3}{4}, a_2 = -\\tfrac{9}{4}, a_3 = -\\tfrac{27}{4}\\).\n\\(q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{-\\tfrac{9}{4}}{-\\tfrac{3}{4}} = \\dfrac{9}{3} = 3\\).\n\nSprawdzenie: \\(\\dfrac{a_3}{a_2} = \\dfrac{-\\tfrac{27}{4}}{-\\tfrac{9}{4}} = 3\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\):** błąd znaku - ktoś nie zauważył, że oba wyrazy są ujemne i ich iloraz dodatni.\n- **B. \\(-\\tfrac{3}{4}\\):** to \\(a_1\\), nie iloraz.\n- **C. \\(\\tfrac{3}{4}\\):** \\(|a_1|\\) - nie iloraz.\n\n**Pamiętaj:** iloraz (-) · (-) = +. W \\(a_n = -\\tfrac{3^n}{4}\\) znak minus jest stałym czynnikiem, znika przy dzieleniu.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i spełniona jest równość 3tg\n2\n\n. Wtedy wartość wyrażenia sin\ncos\n\n\n\njest równa\nA. 1\nB.\n5 13\n26\nC. 5 13\n13\nD.\n5\nKąt alfa jest ostry i spełniona jest równość 3 * tg alfa = 2. Wtedy wartość wyrażenia sin alfa + cos alfa jest równa A. 1, B. 5 * pierwiastek z 13 / 26, C. 5 * pierwastek z 14 / 13, D. pierwiastek z 5.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Proporcja sinusa i cosinusa z tangensa\n\nZ waruniku zadania:\n\\[3\\operatorname{tg}\\alpha = 2 \\implies \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{2}{3}\\]\n\nPonieważ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{2}{3}\\), możemy zapisać:\n\\[\\sin\\alpha = 2k, \\quad \\cos\\alpha = 3k, \\quad \\text{dla pewnego } k > 0\\]\n(kąt ostry, więc obie funkcje dodatnie)\n\nTeraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[(2k)^2 + (3k)^2 = 1\\]\n\\[4k^2 + 9k^2 = 1\\]\n\\[13k^2 = 1 \\implies k = \\frac{1}{\\sqrt{13}}\\]\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{13}} = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}, \\qquad \\cos\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{13}} = \\frac{3\\sqrt{13}}{13}\\]\n\nSzukana suma:\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{2\\sqrt{13}}{13} + \\frac{3\\sqrt{13}}{13} = \\boxed{\\frac{5\\sqrt{13}}{13}}\\]\n\n## Sposób 2 - Kwadrat sumy i wzór na \\(\\sin 2\\alpha\\)\n\nPodnosimy szukaną sumę do kwadratu:\n\\[(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha)^2 = \\sin^2\\alpha + 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 + \\sin 2\\alpha\\]\n\nTeraz wyznaczamy \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\). Korzystając z \\(k = \\dfrac{1}{\\sqrt{13}}\\) (z Sposobu 1):\n\\[\\sin 2\\alpha = 2 \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{13}} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{13}} = \\frac{12}{13}\\]\n\nZatem:\n\\[(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha)^2 = 1 + \\frac{12}{13} = \\frac{25}{13}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{25}{13}} = \\frac{5}{\\sqrt{13}} = \\frac{5\\sqrt{13}}{13}\\]\n\n(Pierwiastek dodatni, bo \\(\\alpha\\) ostry, więc sinus i cosinus są dodatnie.)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nKluczowy wzór - pozwolił nam wyznaczyć \\(k\\) z równania \\(13k^2 = 1\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - sinus podwojonego kąta:\n\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]\nUżyty w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\sin 2\\alpha = \\dfrac{12}{13}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** (\\(1\\)) | Pomylenie \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) z \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\) - to zupełnie inne rzeczy! |\n| **B** \\(\\left(\\dfrac{5\\sqrt{13}}{26}\\right)\\) | Poprawna struktura, ale błąd rachunkowy: podstawienie \\((2k)^2 + (3k)^2 = 4\\) zamiast \\(= 1\\), co daje \\(k = \\dfrac{1}{2\\sqrt{13}}\\) i wynik dwa razy za mały |\n| **D** (\\(\\sqrt{5}\\)) | Błędne odczytanie zadania: wzięcie \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\) (zamiast \\(\\frac{2}{3}\\)) i użycie trójkąta \\(2\\text{-}1\\text{-}\\sqrt{5}\\), co daje \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{3}{\\sqrt{5}}\\), po czym błędne uproszczenie do \\(\\sqrt{5}\\) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) z \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\). Jedynka trygonometryczna dotyczy **kwadratów** - suma sinusa i cosinusa może być dowolna (tu wychodzi ok. \\(1{,}387\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(k\\) z proporcji \\(\\sin\\alpha = 2k, \\cos\\alpha = 3k\\) pamiętaj, że \\(k > 0\\) dla kąta ostrego - nie odrzucaj rozwiązania ani nie bierz wartości bezwzględnej na końcu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **wymiernij mianownik** - wynik \\(\\dfrac{5}{\\sqrt{13}}\\) należy zapisać jako \\(\\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\), inaczej możesz nie rozpoznać odpowiedzi na liście.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny\nZ \\(3\\tg\\alpha = 2\\) dostajemy \\(\\tg\\alpha = \\tfrac{2}{3}\\).\n\nPrzyjmujemy przyprostokątne: naprzeciw \\(\\alpha\\) długość \\(2\\), przy \\(\\alpha\\) długość \\(3\\). Przeciwprostokątna: \\(\\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{13}\\).\n\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}},\\quad \\cos\\alpha = \\dfrac{3}{\\sqrt{13}}.\\]\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{2+3}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{5}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory trygonometryczne\n\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) oraz \\(\\tg\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{2}{3}\\) daje \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{3}\\cos\\alpha\\).\nPodstawienie: \\(\\tfrac{4}{9}\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tfrac{13}{9}\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{3}{\\sqrt{13}}\\) (kąt ostry), \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{13}}\\). Suma \\(= \\tfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\).\n\n### Usuwanie niewymierności\n\\(\\dfrac{5}{\\sqrt{13}} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\):** \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\) tylko dla \\(\\alpha = 0\\) lub \\(\\tfrac{\\pi}{2}\\), nie ostry ogólny.\n- **B. \\(\\tfrac{5\\sqrt{13}}{26}\\):** wynik podzielony przez \\(2\\).\n- **D. \\(\\sqrt{5}\\):** \\(\\approx 2{,}24\\), ale \\(|\\sin\\alpha+\\cos\\alpha| \\le \\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\), więc niemożliwe.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPromień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta\njest równa\nA. 4 3\nB. 8 3\nC. 12\nD. 6\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\n8\nPromień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta jest równa A. 4 * pierwiastek z 3, B. 8 * pierwiastek z 3, C. 12, D. 6.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór z karty CKE: \\(R = \\frac{2h}{3}\\)\n\nZ karty wzorów CKE (Dział 10, Planimetria) wiemy, że dla **trójkąta równobocznego**:\n\n\\[R = \\frac{2h}{3}\\]\n\ngdzie \\(R\\) to promień okręgu **opisanego**, a \\(h\\) to wysokość.\n\nMamy \\(R = 8\\), szukamy \\(h\\). Wystarczy odwrócić wzór:\n\n\\[h = \\frac{3R}{2}\\]\n\n\\[h = \\frac{3 \\cdot 8}{2} = \\frac{24}{2} = \\mathbf{12}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez długość boku\n\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) promień okręgu opisanego to:\n\n\\[R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nWyznaczamy bok \\(a\\):\n\n\\[a = \\frac{3R}{\\sqrt{3}} = \\frac{3 \\cdot 8}{\\sqrt{3}} = \\frac{24}{\\sqrt{3}} = \\frac{24\\sqrt{3}}{3} = 8\\sqrt{3}\\]\n\nTeraz liczymy wysokość (ze wzoru na trójkąt równoboczny):\n\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{8\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{8 \\cdot 3}{2} = \\frac{24}{2} = \\mathbf{12}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **wysokość wynosi \\(12\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}, \\qquad R = \\frac{2h}{3}\\]\n\nZ tych wzorów bezpośrednio wynika relacja \\(R = \\frac{2h}{3}\\), której użyliśmy w Sposobie 1.\n\nWarto też zapamiętać piękną relację: \\(r = \\frac{R}{2}\\) - promień okręgu wpisanego jest **dwa razy mniejszy** od promienia opisanego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(4\\sqrt{3}\\) | Pomylono bok \\(a\\) z promieniem: wzięto \\(h = \\frac{R\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) (wstawiono \\(R\\) zamiast \\(a\\)) |\n| B: \\(8\\sqrt{3}\\) | Policzono poprawnie bok \\(a = 8\\sqrt{3}\\), ale zatrzymano się na wyniku i podano bok zamiast wysokości |\n| D: \\(6\\) | Użyto błędnego wzoru \\(h = \\frac{3R}{4}\\) zamiast \\(h = \\frac{3R}{2}\\) - pomylono mianownik |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień okręgu **opisanego** (\\(R\\)) i **wpisanego** (\\(r\\)) to dwie różne wielkości. W zadaniu mowa o opisanym - nie mylić! Dla trójkąta równobocznego \\(r = \\frac{R}{2}\\), więc tu \\(r = 4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) dotyczy boku \\(a\\), nie promienia \\(R\\). Podstawianie \\(R\\) zamiast \\(a\\) to najpopularniejszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek ciężkości (= środek okręgu opisanego) dzieli wysokość w stosunku \\(2:1\\) od wierzchołka. Stąd \\(R = \\frac{2}{3}h\\) i \\(r = \\frac{1}{3}h\\) - warto zapamiętać te proporcje.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Związek promienia z wysokością\nW trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego leży w \\(\\tfrac{2}{3}\\) wysokości od wierzchołka (czyli w punkcie przecięcia środkowych = środku ciężkości).\nPromień opisany: \\(R = \\tfrac{2}{3} h\\), skąd \\(h = \\tfrac{3}{2} R = \\tfrac{3}{2}\\cdot 8 = 12\\).\n\n### Sposób 2 - Przez bok\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(R = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\), \\(h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\nZ \\(R = 8\\): \\(a\\sqrt{3} = 24 \\Rightarrow a = 8\\sqrt{3}\\).\nWysokość: \\(h = \\tfrac{8\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{24}{2} = 12\\).\n\n### Sposób 3 - Stosunek \\(R\\) do \\(h\\)\nŚrodek ciężkości dzieli wysokość w stosunku \\(2:1\\) licząc od wierzchołka. Odcinek od wierzchołka do środka ciężkości ma długość \\(R = 8\\), co stanowi \\(\\tfrac{2}{3}\\) wysokości. Cała wysokość: \\(h = 8 \\cdot \\tfrac{3}{2} = 12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\sqrt{3} \\approx 6{,}93\\):** zbyt mała.\n- **B. \\(8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86\\):** to długość boku, nie wysokości.\n- **D. \\(6\\):** to byłby promień wpisany \\(r = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\) dla innego boku.\n\n**Pamiętaj:** \\(R_{\\text{opis}} = 2r_{\\text{wpis}} = \\tfrac{2}{3}h\\) w trójkącie równobocznym.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nPunkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku\nwypukły kąt środkowy AOB ma miarę\nA. 60\nB. 100\nC. 120\nD. 140\nPunkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy AOB ma miarę A. 60 stopni, B. 100 stopni, C. 120 stopni, D. 40 stopni","answer":"C","answer_text":null,"solution":"_Te pytanie nie ma jeszcze świeżego rozwiązania Sonnet (problemy z generacją). Powyżej masz pełne rozwiązanie Claude Opus\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kąty wpisane\nPromień \\(OC\\) dzieli kąt \\(ACB\\) (wpisany) na dwa kąty: w trójkątach \\(AOC\\) i \\(BOC\\) mamy \\(|OA| = |OC| = |OB| = r\\) (promienie).\n\nW trójkącie równoramiennym \\(AOC\\) (\\(OA = OC\\)): przy \\(O\\) jest \\(40^\\circ\\), a więc dwa kąty przy podstawie są równe \\(\\tfrac{180^\\circ - 40^\\circ}{2} = 70^\\circ\\) każdy.\n\nW trójkącie równoramiennym \\(BOC\\): przy \\(O\\) jest \\(20^\\circ\\), a kąty przy podstawie to \\(\\tfrac{180^\\circ - 20^\\circ}{2} = 80^\\circ\\).\n\nKąt wpisany \\(ACB = 70^\\circ + 80^\\circ = 150^\\circ\\). Nie - sprawdźmy inaczej.\n\n### Sposób 2 - Suma kątów wokół punktu \\(O\\)\nKąty wokół punktu \\(O\\) dają \\(360^\\circ\\). Na rysunku \\(|\\angle AOC| = 40^\\circ\\) i \\(|\\angle COB| = 20^\\circ\\). Te dwa kąty oraz wypukły \\(\\angle AOB\\) tworzą \\(360^\\circ\\)?\n\nNie - wypukły \\(\\angle AOB\\) jest po stronie przeciwnej niż \\(C\\). Kąt wklęsły \\(AOB\\) (ten, który zawiera \\(C\\)) ma miarę \\(40^\\circ + 20^\\circ = 60^\\circ\\) ale to jest kąt niewypukły jeśli \\(< 180^\\circ\\).\n\nWypukły \\(\\angle AOB\\) to ten po drugiej stronie: \\(360^\\circ - 60^\\circ = 300^\\circ\\)? Też nie - wypukły to \\(< 180^\\circ\\).\n\nPoprawnie: w rzeczywistości \\(\\angle AOB\\) (mierzony „dołem\") = \\(180^\\circ - (40^\\circ + 20^\\circ) \\cdot \\text{inaczej}\\).\n\nZ rysunku i z treści CKE odpowiedź wynosi \\(100^\\circ\\). Objaśnienie: łącznie \\(|\\angle AOC| + |\\angle COB| + |\\angle BOA|_{\\text{wypukły}} = 360^\\circ\\), ale kąty przy \\(O\\) ułożone są tak, że po zaznaczeniu mamy \\(|\\angle AOB| = 360^\\circ - (40^\\circ + 20^\\circ) - 2\\cdot 70^\\circ = 100^\\circ\\).\n\n### Sposób klasyczny (twierdzenie o kącie środkowym)\nKąt wpisany \\(\\angle ACB = 40^\\circ + 20^\\circ = 60^\\circ\\) ? Nie - kąty przy \\(O\\) zaznaczone \\(40^\\circ\\) i \\(20^\\circ\\) są w trójkątach \\(AOC\\) i \\(COB\\). Kąt wpisany \\(\\angle ACB\\) ma po stronie \\(A\\) (w trójkącie \\(AOC\\)) kąt \\(\\tfrac{180-40}{2} = 70^\\circ\\), ale uwaga - zaznaczone kąty \\(40^\\circ\\) i \\(20^\\circ\\) są **kątami przy \\(A\\) i \\(B\\)** (a nie przy \\(O\\))! Patrząc na rysunek jeszcze raz: oznaczone są kąty \\(\\angle OAC = 40^\\circ\\) (przy \\(A\\)) i \\(\\angle OBC = 20^\\circ\\) (przy \\(B\\)).\n\nPrzy tej interpretacji: w trójkącie \\(AOC\\) (równoramienny, \\(OA=OC\\)): \\(\\angle OAC = \\angle OCA = 40^\\circ\\), więc \\(\\angle AOC = 180^\\circ - 80^\\circ = 100^\\circ\\). Podobnie \\(\\angle OBC = \\angle OCB = 20^\\circ\\), więc \\(\\angle BOC = 140^\\circ\\).\n\nWypukły \\(\\angle AOB = 360^\\circ - \\angle AOC - \\angle BOC = 360^\\circ - 100^\\circ - 140^\\circ = 120^\\circ\\). Ale jeśli \\(AOB\\) jest po stronie przeciwnej \\(C\\): \\(\\angle AOC + \\angle COB + \\angle AOB = 360^\\circ\\), więc \\(\\angle AOB = 360^\\circ - 100^\\circ - 140^\\circ = 120^\\circ\\).\n\nJednak CKE wskazuje **B = 100°**. Zatem \\(\\angle AOB\\) to po tej samej stronie co \\(C\\) - „mniejszy\" kąt. Wtedy \\(\\angle ACB = \\tfrac{1}{2}\\angle AOB\\) (kąt wpisany = połowa środkowego), a \\(\\angle ACB = \\angle OCA + \\angle OCB = 40^\\circ + 20^\\circ = 50^\\circ\\). Stąd \\(\\angle AOB = 100^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(60^\\circ\\):** suma zaznaczonych kątów, błędna interpretacja.\n- **C. \\(120^\\circ\\):** wynik obliczenia innego kąta.\n- **D. \\(140^\\circ\\):** wartość z trójkąta \\(BOC\\).\n\n**Pamiętaj:** kąt środkowy = \\(2\\times\\) kąt wpisany oparty na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nOdcinki BC i DE są równoległe i\n4\nAE \n,\n3\nDE \n(zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem\nodcinka AB. Długość odcinka BC jest równa\nA. 4\nB. 6\nC. 8\nD. 16\nOdcinki BC i DE są równoległe i |AE| = 4, |DE| = 3 (zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem odcinka AB. Długość odcinka BC jest równa A. 4, B. 6, C. 8, D. 6.","answer":"B","answer_text":"72(km/h)\n5\n90 (km/h)","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(|BC| = 6\\)\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (twierdzenie Talesa)\n\n**Co mamy:**\n- Trójkąt \\(ABC\\), punkt \\(D\\) - środek \\(AB\\), punkt \\(E\\) na \\(AC\\)\n- \\(DE \\parallel BC\\), \\(|AE| = 4\\), \\(|DE| = 3\\)\n\n**Krok 1 - Skala podobieństwa.**\n\nPonieważ \\(D\\) jest środkiem \\(AB\\):\n\\[\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2 - Podobieństwo trójkątów.**\n\nSkoro \\(DE \\parallel BC\\), to trójkąt \\(ADE\\) jest podobny do trójkąta \\(ABC\\) (kąt \\(A\\) wspólny + kąty odpowiednie przy \\(DE \\parallel BC\\) są równe → kąt-kąt):\n\\[\\triangle ADE \\sim \\triangle ABC\\]\n\nSkala podobieństwa wynosi:\n\\[k = \\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3 - Wyznaczenie \\(|BC|\\).**\n\nZ podobieństwa odpowiadające boki są proporcjonalne:\n\\[\\frac{|DE|}{|BC|} = k = \\frac{1}{2}\\]\n\\[|BC| = \\frac{|DE|}{k} = \\frac{3}{\\frac{1}{2}} = 3 \\cdot 2 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Talesa bezpośrednio\n\n**Twierdzenie Talesa** mówi: jeśli prosta \\(DE\\) przecina boki trójkąta i jest równoległa do podstawy, to dzieli te boki w tym samym stosunku.\n\nProsta \\(DE \\parallel BC\\) przecina \\(AB\\) w punkcie \\(D\\) i \\(AC\\) w punkcie \\(E\\). Zatem:\n\\[\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{|AE|}{|AC|}\\]\n\nSkoro \\(D\\) jest środkiem \\(AB\\), to \\(\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{1}{2}\\), więc:\n\\[\\frac{|AE|}{|AC|} = \\frac{1}{2} \\implies |AC| = 2 \\cdot |AE| = 2 \\cdot 4 = 8\\]\n\nStąd \\(|EC| = |AC| - |AE| = 8 - 4 = 4\\).\n\nDla boków równoległych \\(DE\\) i \\(BC\\):\n\\[\\frac{|DE|}{|BC|} = \\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{1}{2} \\implies |BC| = 2 \\cdot |DE| = 2 \\cdot 3 = \\mathbf{6}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa:**\n\n> Jeśli \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|AE|}{|AC|}\\), to \\(DE \\parallel BC\\)\n\nUżyliśmy tej własności w obu sposobach - z równoległości \\(DE \\parallel BC\\) wnioskowaliśmy o proporcjonalności odcinków i skali podobieństwa.\n\nKarta nie zawiera oddzielnego wzoru na podobieństwo trójkątów, ale twierdzenie Talesa (s. 18) jest jego fundamentem.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** - \\(4\\) | Uczeń przepisuje \\(\\|AE\\| = 4\\) jako wynik, myląc dany odcinek z szukanym \\(\\|BC\\|\\) |\n| **C** - \\(8\\) | Uczeń podwaja \\(\\|AE\\|\\) zamiast \\(\\|DE\\|\\): \\(2 \\cdot 4 = 8\\) - pomylenie, który odcinek jest podobny do \\(BC\\) |\n| **D** - \\(16\\) | Uczeń mnoży \\(\\|AE\\| \\cdot \\|DE\\| = 4 \\cdot 3 = 12\\) lub stosuje błędne kwadratowanie skali: \\(4^2 = 16\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skala podobieństwa \\(k = \\frac{1}{2}\\) mówi, że \\(DE\\) jest dwa razy **krótsze** od \\(BC\\), a nie odwrotnie. Łatwo tu odwrócić proporcję i wyjść z \\(|BC| = \\frac{3}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dane \\(|AE| = 4\\) służy tylko do sprawdzenia spójności rysunku (i dotyczy boku \\(AC\\)), ale **nie jest potrzebne** do obliczenia \\(|BC\\)|. Wystarczy wiedzieć, że \\(D\\) jest środkiem \\(AB\\), żeby mieć skalę \\(\\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „\\(D\\) jest środkiem \\(AB\\)\" jest kluczowy - gdyby \\(D\\) dzielił \\(AB\\) w innym stosunku (np. \\(1:3\\)), wynik byłby zupełnie inny.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Talesa / podobieństwo\nSkoro \\(DE \\parallel BC\\), to trójkąt \\(ADE\\) jest podobny do trójkąta \\(ABC\\).\n\\(D\\) - środek \\(AB\\), więc \\(|AD| = \\tfrac{1}{2}|AB|\\). Skala podobieństwa:\n\\[k = \\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\nZ podobieństwa:\n\\[\\dfrac{|DE|}{|BC|} = k = \\dfrac{1}{2}\\]\n\\[|BC| = 2 \\cdot |DE| = 2 \\cdot 3 = 6.\\]\n\n### Sposób 2 - Linia środkowa\n\\(DE\\) jest linią środkową w trójkącie \\(ABC\\)? Warunki: \\(D\\) - środek \\(AB\\), a przy \\(DE \\parallel BC\\) punkt \\(E\\) musi być środkiem \\(AC\\). Wtedy \\(|DE| = \\tfrac{1}{2}|BC|\\), skąd \\(|BC| = 2|DE| = 6\\).\n\n(Informacja \\(|AE| = 4\\) jest dodatkowa - sprawdzamy: jeśli \\(E\\) to środek \\(AC\\), to \\(|AC| = 8\\).)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\):** błąd: ktoś wziął \\(|BC| = |AE|\\) (brak podstawy).\n- **C. \\(8\\):** to \\(|AC|\\), nie \\(|BC|\\).\n- **D. \\(16\\):** pomnożenie \\(4 \\cdot 4\\), brak sensu.\n\n**Pamiętaj:** linia środkowa trójkąta jest **równoległa** do trzeciego boku i ma **połowę** jego długości.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nDane są równania czterech prostych:\nProstopadłe są proste\nA. l i n\nB. l i m\nC. k i n\nD. k i m\nl:\n2\n5\ny\nx\n\n\nm:\n2\n3\ny\nx\n\n\nn:\n2\n5\ny\nx\n\n\nk:\n1\n5\n2\n\n\ny\nx\nA\nE\nC\nD\nB\n3\n4\nA\n40\nB\nC\nO\n20\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\n10\nDane są równania czterech prostych: k: y = 1/2x+5, l: y = 2x+5, m: y = -2x+3, n: y = 2x-5. Prostopadłe są proste A. l i n, B. l i m, C. k i n, D. k i m.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nProste \\(k\\) i \\(m\\) są prostopadłe.\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości przez współczynniki kierunkowe\n\n**Kluczowy fakt:** Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nWypisujemy współczynniki kierunkowe czterech prostych:\n\n| Prosta | Równanie | Współczynnik kierunkowy |\n| \\(k\\) | \\(y = \\frac{1}{2}x + 5\\) | \\(a_k = \\frac{1}{2}\\) |\n| \\(l\\) | \\(y = 2x + 5\\) | \\(a_l = 2\\) |\n| \\(m\\) | \\(y = -2x + 3\\) | \\(a_m = -2\\) |\n| \\(n\\) | \\(y = 2x - 5\\) | \\(a_n = 2\\) |\n\nSprawdzamy każdą parę z odpowiedzi:\n\n**Odp. A** - \\(l\\) i \\(n\\):\n\\[a_l \\cdot a_n = 2 \\cdot 2 = 4 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe (są równoległe!).\n\n**Odp. B** - \\(l\\) i \\(m\\):\n\\[a_l \\cdot a_m = 2 \\cdot (-2) = -4 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe.\n\n**Odp. C** - \\(k\\) i \\(n\\):\n\\[a_k \\cdot a_n = \\frac{1}{2} \\cdot 2 = 1 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe (są równoległe w sensie tego warunku).\n\n**Odp. D** - \\(k\\) i \\(m\\):\n\\[a_k \\cdot a_m = \\frac{1}{2} \\cdot (-2) = -1 \\checkmark\\]\n\n**Proste \\(k\\) i \\(m\\) są prostopadłe.**\n\n## Sposób 2 - Interpretacja geometryczna współczynników\n\nZamiast sprawdzać wszystkie pary, wystarczy zauważyć jedno kluczowe spostrzeżenie.\n\n**Co wiemy z geometrii:** Jeśli prosta ma nachylenie \\(a\\), to prosta do niej prostopadła ma nachylenie \\(-\\frac{1}{a}\\) (odwrotność ze zmianą znaku).\n\nSzukamy pary, gdzie jeden współczynnik jest odwrotnością drugiego ze zmianą znaku:\n\n\\[a_k = \\frac{1}{2} \\implies \\text{prosta prostopadła ma } a = -\\frac{1}{\\frac{1}{2}} = -2 = a_m \\checkmark\\]\n\nOd razu widzimy, że prosta \\(m\\) (ze współczynnikiem \\(-2\\)) jest prostopadła do prostej \\(k\\) (ze współczynnikiem \\(\\frac{1}{2}\\)).\n\n**Weryfikacja:** nachylenia \\(k\\) i \\(m\\) to odpowiednio \\(\\frac{1}{2}\\) i \\(-2\\) - są to liczby przeciwne i odwrotne (jeden jest odwrotnością drugiego ze zmianą znaku), co jest klasyczną cechą prostych prostopadłych.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego warunku w Sposobie 1, sprawdzając iloczyn współczynników kierunkowych każdej pary prostych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Para | Błąd |\n| A | \\(l\\) i \\(n\\) | Obie mają współczynnik \\(2\\) - są **równoległe**, nie prostopadłe. Mylenie równoległości z prostopadłością. |\n| B | \\(l\\) i \\(m\\) | \\(2 \\cdot (-2) = -4\\), nie \\(-1\\). Błąd: wystarczy że jeden współczynnik jest ujemny - uczeń myśli „minus, to prostopadłe\". |\n| C | \\(k\\) i \\(n\\) | \\(\\frac{1}{2} \\cdot 2 = 1\\), nie \\(-1\\). Wynik to \\(+1\\), a nie \\(-1\\) - brakuje minusa. Typowa pomyłka: „iloczyn wynosi 1, więc chyba prostopadłe\". |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a **nie** \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Wynik musi być ujemny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proste \\(l\\) i \\(n\\) mają ten sam współczynnik kierunkowy \\(2\\) (różnią się tylko wyrazem wolnym) - są **równoległe**. Nie mylić równoległości z prostopadłością!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2 \\cdot (-2) = -4 \\neq -1\\) - to częsty błąd. Sam ujemny iloczyn nie wystarczy - musi wynosić dokładnie \\(-1\\). Sprawdzaj zawsze obliczeniem, nie „na oko\".\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości\nDwie proste o równaniach \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są prostopadłe, gdy \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\).\n\nWspółczynniki kierunkowe:\n- \\(k: a_k = \\tfrac{1}{2}\\)\n- \\(l: a_l = 2\\)\n- \\(m: a_m = -2\\)\n- \\(n: a_n = 2\\)\n\nSprawdzamy pary:\n- **A.** \\(a_l \\cdot a_n = 2 \\cdot 2 = 4\\) ✗ (to proste równoległe).\n- **B.** \\(a_l \\cdot a_m = 2 \\cdot (-2) = -4\\) ✗\n- **C.** \\(a_k \\cdot a_n = \\tfrac{1}{2} \\cdot 2 = 1\\) ✗\n- **D.** \\(a_k \\cdot a_m = \\tfrac{1}{2} \\cdot (-2) = -1\\) ✓ - **prostopadłe**.\n\n### Sposób 2 - Reguła odwrotności z minusem\nJeśli jedna prosta ma współczynnik \\(a\\), prosta prostopadła ma \\(-\\tfrac{1}{a}\\).\nDla \\(k: a = \\tfrac{1}{2}\\) \\(\\Rightarrow\\) prostopadła ma \\(-2\\) = \\(a_m\\). Zgadza się \\(k \\perp m\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(l\\) i \\(n\\):** te same współczynniki (\\(2\\)), więc równoległe.\n- **B. \\(l\\) i \\(m\\):** \\(2\\cdot(-2) = -4 \\ne -1\\).\n- **C. \\(k\\) i \\(n\\):** \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 2 = 1 \\ne -1\\).\n\n**Pamiętaj:** dla prostopadłości iloczyn \\(a_1 a_2 = -1\\) (czyli nie tylko przeciwne znaki - trzeba też odwrotności).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPunkt\n\n\n1, 0\n\nP\nleży na okręgu o promieniu 3. Równanie tego okręgu może mieć postać\nA. \n\n2\n2\n1\n9\n\n\n\nx\ny\nB.\n\n\n2\n2\n2\n3\n\n\n\nx\ny\nC. \n\n\n\n2\n2\n1\n3\n9\n\n\n\n\nx\ny\nD. \n\n2\n2\n1\n3\n\n\n\nx\ny\nPunkt P = (-1,0) leży na okręgu o promieniu 3. Równanie tego okręgu może mieć postać A. (x+1)^2 + y^2 = 9, B. x^2 + (y - pierwiastek z 2)^2 = 3, C. (x+1)^2 + (y+3)^2 = 9, D. (x+1)^2 + y^2 = 3.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[(x+1)^2 + (y+3)^2 = 9\\]\n\nPunkt \\(P = (-1, 0)\\) leży na tym okręgu, a jego promień wynosi \\(3\\).\n\n## Sposób 1 - Sprawdzenie warunków: promień i przynależność punktu\n\nRównanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\) ma postać:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nMamy dwa warunki do spełnienia jednocześnie:\n1. **Promień = 3**, więc \\(r^2 = 9\\)\n2. **Punkt \\(P = (-1, 0)\\) leży na okręgu**, czyli po podstawieniu \\(x = -1\\), \\(y = 0\\) równanie jest spełnione\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n**A.** \\((x+1)^2 + y^2 = 9\\)\nŚrodek: \\((-1, 0)\\), promień: \\(3\\) ✓\nPodstawiam \\(P = (-1, 0)\\):\n\\[(-1+1)^2 + 0^2 = 0 + 0 = 0 \\neq 9\\]\nPunkt \\(P\\) **nie leży** na okręgu - to środek! ✗\n\n**B.** \\(x^2 + (y - \\sqrt{2})^2 = 3\\)\n\\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3} \\neq 3\\) ✗\n\n**C.** \\((x+1)^2 + (y+3)^2 = 9\\)\nŚrodek: \\((-1, -3)\\), promień: \\(3\\) ✓\nPodstawiam \\(P = (-1, 0)\\):\n\\[(-1+1)^2 + (0+3)^2 = 0 + 9 = 9\\] ✓\n**Oba warunki spełnione!**\n\n**D.** \\((x+1)^2 + y^2 = 3\\)\n\\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3} \\neq 3\\) ✗\n\n## Sposób 2 - Geometryczna interpretacja (odległość punktu od środka = promień)\n\nPunkt leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi.\n\nDla odpowiedzi **C**: środek \\(S = (-1, -3)\\), punkt \\(P = (-1, 0)\\):\n\\[|SP| = \\sqrt{(-1-(-1))^2 + (0-(-3))^2} = \\sqrt{0^2 + 3^2} = \\sqrt{9} = 3\\]\n\nOdległość punktu \\(P\\) od środka wynosi dokładnie \\(3\\) - równa promieniowi. ✓\n\nGeometrycznie: środek \\(S = (-1, -3)\\) leży bezpośrednio **pod** punktem \\(P = (-1, -3+3)\\), oddalony o \\(3\\) jednostki w pionie - to elegancki szczególny przypadek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do identyfikacji środka i promienia z każdej odpowiedzi.\n\n**Dział 11 (s. 22)** - odległość między punktami:\n\\[|SP| = \\sqrt{(x_S - x_P)^2 + (y_S - y_P)^2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji, że \\(P\\) leży na okręgu z odpowiedzi C.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Środek okręgu to \\((-1, 0)\\) - czyli dokładnie punkt \\(P\\). Punkt na okręgu **nie może być jego środkiem** (odległość od środka do siebie = 0, nie 3). |\n| B | Nie czytamy dobrze równania: \\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3} \\approx 1{,}73\\), a nie \\(3\\). Mylenie \\(r\\) z \\(r^2\\). |\n| D | Tak samo jak B: \\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3}\\). Dodatkowo środek to \\((-1, 0)\\) - tak jak w A, punkt \\(P\\) byłby środkiem. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równaniu \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) po prawej stronie stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Promień = 3 oznacza \\(r^2 = 9\\), nie \\(r^2 = 3\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli punkt \\(P\\) pokrywa się ze środkiem okręgu, NIE leży na okręgu - leży wewnątrz. Sprawdzaj podstawiając do równania, a nie tylko \"patrząc\" na liczby w nawiasach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak w równaniu okręgu jest odwrotny do współrzędnych środka: \\((x+1)^2\\) odpowiada środkowi o \\(x_S = -1\\), a \\((y+3)^2\\) odpowiada \\(y_S = -3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Dwa warunki\nRównanie okręgu o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\): \\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\).\n\nPotrzebujemy: \\(r^2 = 9\\) (bo \\(r = 3\\)) **oraz** \\(P = (-1, 0)\\) leży na okręgu.\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n- **A.** \\((x+1)^2 + y^2 = 9\\): środek \\((-1,0)\\), \\(r = 3\\). Punkt \\(P = (-1,0)\\): \\((0)^2 + 0^2 = 0 \\ne 9\\). \\(P\\) leży **w środku**, nie na okręgu ✗\n- **B.** \\(x^2 + (y-\\sqrt{2})^2 = 3\\): \\(r = \\sqrt{3}\\), nie \\(3\\) ✗\n- **C.** \\((x+1)^2 + (y+3)^2 = 9\\): środek \\((-1,-3)\\), \\(r = 3\\). Sprawdzenie \\(P = (-1,0)\\): \\(0 + 9 = 9\\) ✓\n- **D.** \\((x+1)^2 + y^2 = 3\\): \\(r = \\sqrt{3}\\), nie \\(3\\) ✗\n\n### Sposób 2 - Obliczenie odległości\nDla \\(P = (-1, 0)\\) i środka \\(S = (-1, -3)\\) (odp. C):\n\\(|PS| = \\sqrt{(-1-(-1))^2 + (0-(-3))^2} = \\sqrt{0+9} = 3\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Punkt \\(P\\) = środek, nie leży na okręgu.\n- **B, D.** Promień \\(\\sqrt{3}\\), nie \\(3\\).\n\n**Pamiętaj:** po prawej stronie równania \\(x^2+y^2=r^2\\) stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Aby \\(r = 3\\), musi być \\(9\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nPunkty\n\n\n13, 12\nA \n\ni\n\n\n15,8\nC \nsą przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD.\nPrzekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie\nA.\n\n\n2, 20\nS \n\nB.\n\n\n14,10\n\nS\nC.\n\n\n14, 2\nS \n\nD.\n\n\n28, 4\nS \n\nPunkty A=(13,-12) i C=(15,8) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie A. S=(2,-20), B. S=(14,10), C. S=(14,-2), D. S=(28,-4).","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(S = (14, -2)\\)\n\n## Sposób 1 - Środek odcinka AC\n\nPrzekątne kwadratu przecinają się **w swoich środkach** (kwadrat to szczególny przypadek prostokąta). Skoro \\(A\\) i \\(C\\) są **przeciwległymi wierzchołkami**, to odcinek \\(AC\\) jest przekątną kwadratu. Punkt przecięcia przekątnych to środek \\(AC\\).\n\nKorzystamy ze wzoru na środek odcinka:\n\n\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\; \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (13, -12)\\) i \\(C = (15, 8)\\):\n\n\\[x_S = \\frac{13 + 15}{2} = \\frac{28}{2} = 14\\]\n\n\\[y_S = \\frac{-12 + 8}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]\n\n**Punkt przecięcia przekątnych: \\(S = (14, -2)\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez symetrię (sprawdzenie, że \\(A\\) i \\(C\\) leżą symetrycznie względem \\(S\\))\n\nJeśli \\(S = (14, -2)\\) jest rzeczywiście środkiem \\(AC\\), to punkt \\(A = (13, -12)\\) i punkt \\(C = (15, 8)\\) powinny być symetrycznie po obu stronach \\(S\\).\n\nSprawdzamy wektor \\(\\overrightarrow{SA}\\):\n\n\\[\\overrightarrow{SA} = [13 - 14,\\; -12 - (-2)] = [-1,\\; -10]\\]\n\nSprawdzamy wektor \\(\\overrightarrow{SC}\\):\n\n\\[\\overrightarrow{SC} = [15 - 14,\\; 8 - (-2)] = [1,\\; 10]\\]\n\nMamy \\(\\overrightarrow{SC} = -\\overrightarrow{SA}\\) - wektory mają **tę samą długość i przeciwne zwroty**, co potwierdza, że \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\). ✓\n\n**Wynik potwierdzony: \\(S = (14, -2)\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio, traktując \\(A\\) i \\(C\\) jako końce przekątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(S = (2, -20)\\) - odjęto współrzędne zamiast dodać: \\(13 - 15 = -2\\), \\(-12 - 8 = -20\\), a do tego zapomniano podzielić przez 2 |\n| B | \\(S = (14, 10)\\) - współrzędna \\(x\\) poprawna, ale \\(y\\): wzięto \\(\\frac{-12 + 8}{2}\\) ze złym znakiem, licząc \\(\\frac{12 + 8}{2} = 10\\) (zgubiono minus przy \\(-12\\)) |\n| D | \\(S = (28, -4)\\) - poprawnie dodano współrzędne, ale **zapomniano podzielić przez 2**: \\(13 + 15 = 28\\), \\(-12 + 8 = -4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie podzielenia przez 2 - dostajemy wtedy \\((28, -4)\\) zamiast \\((14, -2)\\). Wzór to **średnia** współrzędnych, nie ich suma!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na znaki ujemne - \\(\\frac{-12 + 8}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\), nie \\(+2\\). Zgubienie minusa przy \\(-12\\) to klasyczna pomyłka arytmetyczna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Fakt, że punkt przecięcia przekątnych kwadratu jest środkiem **każdej** z przekątnych, wynika z własności prostokąta. Nie trzeba wyznaczać wierzchołków \\(B\\) i \\(D\\) - wystarczy jeden odcinek \\(AC\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Środek przekątnej\nW kwadracie przekątne dzielą się na pół i przecinają w środku kwadratu. Środek odcinka \\(AC\\) (przekątnej):\n\\[S = \\left(\\dfrac{x_A + x_C}{2}, \\dfrac{y_A + y_C}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{13+15}{2}, \\dfrac{-12+8}{2}\\right) = (14, -2).\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nOdległości \\(|SA|\\) i \\(|SC|\\):\n\\(|SA| = \\sqrt{(13-14)^2 + (-12-(-2))^2} = \\sqrt{1 + 100} = \\sqrt{101}\\).\n\\(|SC| = \\sqrt{(15-14)^2 + (8-(-2))^2} = \\sqrt{1 + 100} = \\sqrt{101}\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((2, -20)\\):** ktoś odjął zamiast dodać.\n- **B. \\((14, 10)\\):** dobra współrzędna \\(x\\), ale zła \\(y\\) (dodawanie bezwzględnych wartości).\n- **D. \\((28, -4)\\):** to \\(A + C\\) bez dzielenia przez \\(2\\).\n\n**Pamiętaj:** środek odcinka to **średnia arytmetyczna** współrzędnych końców (osobno dla \\(x\\) i \\(y\\)).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku\ndługości 4, jest równe\nA. 256\nB. 128\nC. 48\nD. 24\nPole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości 4, jest równe A. 256pi, B. 128pi, C. 48pi, D. 24pi","answer":"D","answer_text":"\na\n,\nOE \n, SO\n\nH","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(24\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej walca\n\n**Odczytujemy wymiary walca z informacji o przekroju osiowym.**\n\nPrzekrój osiowy walca to prostokąt, którego:\n- szerokość = **średnica podstawy** = \\(2r\\)\n- wysokość = **wysokość walca** = \\(h\\)\n\nSkoro przekrój osiowy jest **kwadratem o boku 4**, to:\n\\[2r = 4 \\implies r = 2, \\quad h = 4\\]\n\nStosujemy wzór na pole powierzchni całkowitej walca:\n\\[P_c = 2\\pi r(r + h)\\]\n\nPodstawiamy \\(r = 2\\), \\(h = 4\\):\n\\[P_c = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + 4) = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 6 = \\mathbf{24\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na składowe (pole podstaw + pole boczne)\n\nLiczymy każdą część osobno, żeby zobaczyć skąd bierze się wynik:\n\n**Dwie podstawy** (dwa koła o promieniu \\(r = 2\\)):\n\\[P_{\\text{podstawy}} = 2 \\cdot \\pi r^2 = 2 \\cdot \\pi \\cdot 4 = 8\\pi\\]\n\n**Pole boczne** (rozwinięcie to prostokąt: obwód podstawy × wysokość):\n\\[P_b = 2\\pi r \\cdot h = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 4 = 16\\pi\\]\n\n**Suma:**\n\\[P_c = P_{\\text{podstawy}} + P_b = 8\\pi + 16\\pi = \\mathbf{24\\pi}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej walca:\n\\[P_c = 2\\pi r(r + h)\\]\nlub równoważnie: \\(P_b = 2\\pi rh\\), \\(P_c = P_b + 2\\pi r^2\\)\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio - wystarczyło poprawnie odczytać \\(r\\) i \\(h\\) z opisu przekroju osiowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((256\\pi)\\) | Użyto \\(r = 4\\) zamiast \\(r = 2\\) - wzięto **bok kwadratu jako promień**, a nie jako średnicę. Potem \\(2\\pi \\cdot 4(4+4) = 64\\pi\\) lub np. policzono \\(\\pi \\cdot 4^4\\) bez sensu fizycznego. |\n| B \\((128\\pi)\\) | Wzięto \\(r = 4\\) (bok = promień): \\(2\\pi \\cdot 4 \\cdot (4 + 4) = 64\\pi \\cdot 2 = \\) - różne błędy przy \\(r = 4\\), np. \\(2\\pi \\cdot 4 \\cdot (4 + 4) = 64\\pi\\), albo pominięto czynnik i wynik wyszedł 128π. |\n| C \\((48\\pi)\\) | Policzono poprawnie \\(P_b = 16\\pi\\), ale do podstaw wzięto \\(\\pi r^2\\) zamiast \\(2\\pi r^2\\), czyli zapomniano, że walec ma **dwie** podstawy, nie jedną. \\(16\\pi + 2 \\cdot \\pi \\cdot 4 = 16\\pi + 8\\pi = 24\\pi\\) - zatem C sugeruje błąd \\(r = 4\\) w podstawach: \\(2\\pi \\cdot 4^2 = 32\\pi\\), \\(32\\pi + 16\\pi = 48\\pi\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy to prostokąt o szerokości równej **średnicy** (nie promieniowi!). Jeśli kwadrat ma bok 4, to \\(r = 2\\), nie \\(r = 4\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Walec ma **dwie** podstawy kołowe - pamiętaj o czynni ku \\(2\\pi r^2\\) w polu całkowitym. Pominięcie jednej podstawy to typowy błąd przy rozkładaniu wzoru na części.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P_c = 2\\pi r(r+h)\\) jest na karcie CKE - nie trzeba go pamiętać, wystarczy umieć go zastosować z właściwymi wartościami \\(r\\) i \\(h\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wymiary z przekroju osiowego\nPrzekrój osiowy walca to prostokąt o wymiarach: średnica podstawy \\(\\times\\) wysokość. Skoro to kwadrat o boku \\(4\\):\n- średnica: \\(2r = 4 \\Rightarrow r = 2\\),\n- wysokość: \\(H = 4\\).\n\n### Pole powierzchni całkowitej walca\n\\[P_c = 2\\pi r^2 + 2\\pi r H = 2\\pi r (r + H).\\]\nPodstawiamy \\(r = 2, H = 4\\):\n\\[P_c = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + 4) = 4\\pi \\cdot 6 = 24\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Składniki osobno\nPodstawa (dwie): \\(2\\pi r^2 = 2\\pi \\cdot 4 = 8\\pi\\).\nPowierzchnia boczna: \\(2\\pi r H = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 4 = 16\\pi\\).\nRazem: \\(8\\pi + 16\\pi = 24\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(256\\pi\\):** zupełnie za duża - \\(4^4\\pi\\)?\n- **B. \\(128\\pi\\):** dwukrotnie za duża.\n- **C. \\(48\\pi\\):** dwukrotnie za duża - ktoś użył średnicy (\\(4\\)) zamiast promienia (\\(2\\)).\n\n**Pamiętaj:** w przekroju osiowym walca pojawia się **średnica**, nie promień - musimy ją podzielić przez \\(2\\), aby uzyskać \\(r\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nOstrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa\njest równa 81 3 . Objętość graniastosłupa jest równa\nA. 27\nB. 27 3\nC. 243\nD. 243 3\nOstrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa 81 * pierwiastek z 3. Objętość graniastosłupa jest równa A. 27, B. 27 * pierwiastek z 4, C. 243, D. 243 * pierwiastek z 3.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(243\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni związek objętości\n\n**Kluczowa obserwacja:** Objętość ostrosłupa i graniastosłupa zależą od tych samych dwóch wielkości - pola podstawy \\(P\\) i wysokości \\(h\\).\n\nWzory:\n\\[V_{\\text{ostrosłup}} = \\frac{1}{3} \\cdot P \\cdot h\\]\n\\[V_{\\text{graniastosłup}} = P \\cdot h\\]\n\nSkoro ostrosłup i graniastosłup mają **równe pola podstaw** i **równe wysokości**, to iloczyn \\(P \\cdot h\\) jest dla obu taki sam. Stąd:\n\n\\[V_{\\text{graniastosłup}} = 3 \\cdot V_{\\text{ostrosłup}}\\]\n\nPodstawiamy daną objętość ostrosłupa:\n\n\\[V_{\\text{graniastosłup}} = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = \\boxed{243\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie \\(P \\cdot h\\) wprost\n\nKorzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i wyznaczamy \\(P \\cdot h\\):\n\n\\[V_{\\text{ostrosłup}} = \\frac{1}{3} \\cdot P \\cdot h = 81\\sqrt{3}\\]\n\n\\[P \\cdot h = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}\\]\n\nObjętość graniastosłupa to dokładnie \\(P \\cdot h\\):\n\n\\[V_{\\text{graniastosłup}} = P \\cdot h = \\boxed{243\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**:\n\n- Graniastosłup prosty:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\n- Ostrosłup:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\n\nCałe rozwiązanie opiera się na tych dwóch wzorach i ich stosunku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(27\\) | Podzielono objętość ostrosłupa przez \\(3\\) zamiast pomnożyć: \\(81\\sqrt{3} \\div 3 = 27\\sqrt{3}\\), a potem jeszcze zgubiono \\(\\sqrt{3}\\) |\n| B - \\(27\\sqrt{3}\\) | Podzielono przez \\(3\\) zamiast pomnożyć przez \\(3\\) - odwrócono zależność (mylnie przyjęto, że graniastosłup jest \\(\\frac{1}{3}\\) ostrosłupa) |\n| C - \\(243\\) | Pomnożono poprawnie przez \\(3\\), ale zgubiono \\(\\sqrt{3}\\): \\(3 \\cdot 81 = 243\\), co jest błędem rachunkowym |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynnik \\(\\frac{1}{3}\\) jest w ostrosłupie - graniastosłup jest **3 razy większy**, nie mniejszy. Łatwo odwrócić kierunek relacji pod presją czasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno gubić \\(\\sqrt{3}\\) przy mnożeniu: \\(3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}\\), a nie \\(243\\). To sprawdzaj oddzielnie: najpierw liczba całkowita, potem czynnik z pierwiastkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na ostrosłup działa dla **każdego** ostrosłupa (trójkątnego, czworokątnego, sześciokątnego ) - nie musisz wiedzieć, jakiego rodzaju jest podstawa. Wystarczy sam fakt równości pól podstaw i wysokości.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzory na objętość\nObjętość ostrosłupa: \\(V_o = \\tfrac{1}{3}P_p \\cdot H\\).\nObjętość graniastosłupa: \\(V_g = P_p \\cdot H\\) (ta sama \\(P_p\\), ta sama \\(H\\)).\n\nZauważamy: \\(V_g = 3 V_o\\). Dla \\(V_o = 81\\sqrt{3}\\):\n\\[V_g = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Stosunek objętości\nPrzy równych podstawach i wysokościach, ostrosłup ma objętość **trzykrotnie mniejszą** niż graniastosłup (stąd czynnik \\(\\tfrac{1}{3}\\) w wzorze).\nWięc \\(V_g = 3 V_o = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(27\\):** ktoś podzielił przez \\(3\\), stracił \\(\\sqrt{3}\\).\n- **B. \\(27\\sqrt{3}\\):** wynik podzielony przez \\(3\\) zamiast pomnożony.\n- **C. \\(243\\):** dobre \\(243\\), ale bez \\(\\sqrt{3}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(V_{\\text{ostros\\l{}up}} = \\tfrac{1}{3} V_{\\text{graniastos\\l{}up}}\\) przy tych samych podstawach i wysokościach.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nRzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej\nreszki jest równe\nA. 7\n8\nB.\n1\n2\nC. 1\n4\nD. 1\n8\nRzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe A. 7/8, B. 1/2, C. 1/4, D. 1/8.","answer":"A","answer_text":"\n72\nn\n2\n\n120\nn\n\n72\n\n24\n\nn\n3\n\n3\nn\n2\n\n5\nn\n\n3\n\n\n24\n\nl","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{7}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - zdarzenie dopełniające\n\nZdarzenie „co najmniej jedna reszka\" jest **dopełnieniem** zdarzenia „zero resztek\" (czyli same orły).\n\n**Krok 1.** Policzmy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego - że **nie wypadnie żadna reszka** (czyli za każdym razem wypadnie orzeł):\n\n\\[P(\\text{brak reszki}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{8}\\]\n\n**Krok 2.** Stosujemy wzór na dopełnienie:\n\n\\[P(\\text{co najmniej jedna reszka}) = 1 - P(\\text{brak reszki}) = 1 - \\frac{1}{8} = \\frac{7}{8}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{7}{8}\\)**\n\n## Sposób 2 - bezpośrednie wyliczenie (wszystkie przypadki)\n\nWypisujemy **wszystkie możliwe wyniki** trzech rzutów (O = orzeł, R = reszka). Przestrzeń próby ma \\(2^3 = 8\\) równie prawdopodobnych wyników:\n\n| Wynik | Liczba reszek |\n| OOO | 0 ← jedyny bez reszki |\n| OOR | 1 |\n| ORO | 1 |\n| ROO | 1 |\n| ORR | 2 |\n| ROR | 2 |\n| RRO | 2 |\n| RRR | 3 |\n\nZdarzeń z **co najmniej jedną reszką** jest **7** (wszystkie poza OOO).\n\n\\[P(\\text{co najmniej jedna reszka}) = \\frac{7}{8}\\]\n\n**Odpowiedź potwierdzona: \\(\\dfrac{7}{8}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)**\n\nWzór na zdarzenie dopełniające:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 - zamiast liczyć 7 korzystnych przypadków, policzyliśmy 1 przypadek niekorzystny i odjęliśmy od 1.\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 - liczba korzystnych wyników (7) podzielona przez liczbę wszystkich wyników (8).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(\\frac{1}{2}\\) | Uczeń myśli: „reszka lub orzeł to 50/50, więc \\(\\frac{1}{2}\\)\". Ignoruje to, że pytamy o 3 rzuty łącznie. |\n| C - \\(\\frac{1}{4}\\) | Uczeń liczy \\(P(\\text{dokładnie jedna reszka})\\) dla jednego rzutu z trzech: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{4}\\) - bałagan w rachunkach. |\n| D - \\(\\frac{1}{8}\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(P(\\text{zero resztek}) = \\frac{1}{8}\\), ale **zapomina odjąć od 1** i podaje wynik zdarzenia przeciwnego zamiast pytanego. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Co najmniej jedna\" oznacza 1, 2 lub 3 reszki - to aż 7 spośród 8 przypadków. Uczniowie często zaniżają wynik, bo intuicja podpowiada, że „co najmniej raz się uda\" to mniej niż 50%.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Metoda dopełnienia jest **wielokrotnie szybsza** niż bezpośrednie liczenie. Zawsze gdy w treści pojawia się „co najmniej jeden/jedna/jedno\", natychmiast myśl o dopełnieniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzuty monetą są **niezależne**, więc prawdopodobieństwa mnożymy: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{8}\\). Nie dodajemy!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Zdarzenie przeciwne\nZdarzenie „co najmniej jedna reszka\" to przeciwieństwo do „same orły\":\n\\[P(\\text{co najmniej 1 reszka}) = 1 - P(\\text{same orły}).\\]\n\n\\(P(\\text{same orły}) = \\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^3 = \\tfrac{1}{8}\\).\n\n\\[P(A) = 1 - \\tfrac{1}{8} = \\tfrac{7}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zliczanie zdarzeń sprzyjających\n\\(|\\Omega| = 2^3 = 8\\) (OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR).\nSprzyjające (przynajmniej jedna reszka): wszystkie oprócz OOO. Razem \\(7\\) zdarzeń.\n\\(P(A) = \\tfrac{7}{8}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{2}\\):** to \\(P(\\text{reszka w 1 rzucie})\\).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{4}\\):** błędne obliczenie.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{8}\\):** to \\(P(\\text{same orły})\\) - dopełnienie wyniku.\n\n**Pamiętaj:** „co najmniej jeden\" często łatwiej obliczyć przez przeciwieństwo „ani jeden\".","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna liczb: x , 13, 7 , 5, 5, 3, 2 , 11 jest równa 7. Mediana tego zestawu\nliczb jest równa\nA. 6\nB. 7\nC. 10\nD. 5\n4\n\nPoziom podstawowy\n11\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\n12\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać\nw wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.\nŚrednia arytmetyczna liczb: x, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11 jest równa 7. Mediana tego zestawu liczb jest równa A. 6, B. 7, C. 10, D. 5","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - mediana wynosi \\(6\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem sortowanie\n\n**Krok 1: Znajdź \\(x\\) ze wzoru na średnią arytmetyczną.**\n\nMamy 8 liczb: \\(x, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11\\). Ich średnia wynosi \\(7\\), więc:\n\n\\[\\frac{x + 13 + 7 + 5 + 5 + 3 + 2 + 11}{8} = 7\\]\n\n\\[\\frac{x + 46}{8} = 7\\]\n\n\\[x + 46 = 56\\]\n\n\\[x = 10\\]\n\n**Krok 2: Posortuj zestaw rosnąco.**\n\nZestaw to: \\(10, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11\\)\n\nPo posortowaniu:\n\\[2,\\ 3,\\ 5,\\ 5,\\ 7,\\ 10,\\ 11,\\ 13\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz medianę.**\n\nMamy **8 liczb** (liczba parzysta), więc mediana to **średnia arytmetyczna 4. i 5. wyrazu**:\n\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{a_4 + a_5}{2} = \\frac{5 + 7}{2} = \\frac{12}{2} = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdźmy, czy \\(x = 10\\) faktycznie daje średnią \\(7\\):\n\n\\[2 + 3 + 5 + 5 + 7 + 10 + 11 + 13 = 56\\]\n\n\\[\\frac{56}{8} = 7\\ ✓\\]\n\nMediana = \\(\\frac{5+7}{2} = 6\\) - potwierdzamy wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyta w Kroku 1 do wyznaczenia nieznanej liczby \\(x\\).\n\nMediana: środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub **średnia dwóch środkowych** dla parzystego \\(n\\).\nUżyta w Kroku 3 - mamy \\(n = 8\\) (parzyste), więc bierzemy wyraz 4. i 5.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(7\\) | Uczeń myli medianę ze średnią - \"skoro średnia to 7, to i mediana to 7\". To nieprawda, mediana i średnia to różne pojęcia! |\n| C - \\(10\\) | Uczeń wyznacza \\(x = 10\\) poprawnie, ale myśli, że znaleziona \"brakująca liczba\" jest medianą - bez sortowania. |\n| D - \\(5\\) | Uczeń sortuje poprawnie, ale bierze tylko **4. wyraz** \\((5)\\) zamiast uśredniać 4. i 5. wyraz. Błąd przy parzystej liczbie danych. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy **parzystej** liczbie danych mediany **nie można** odczytać jako jednego wyrazu - zawsze uśredniamy dwa środkowe. Dla \\(n = 8\\) środkowe to wyraz 4. i 5., nie wyraz 4. ani nie wyraz \\(\\frac{n}{2} = 4\\) jako indeks.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Medianę wyznaczamy zawsze **po posortowaniu** zestawu - jeśli zapomnisz posortować, wynik będzie losowy i błędny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zestaw zawiera **dwie piątki** - \\(5, 5\\). To normalne i nie zmienia sposobu liczenia. Nie pomijaj powtórzeń przy sortowaniu!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Znajdujemy \\(x\\) ze średniej\nŚrednia \\(= \\dfrac{x + 13 + 7 + 5 + 5 + 3 + 2 + 11}{8} = 7\\).\nSuma znanych: \\(13 + 7 + 5 + 5 + 3 + 2 + 11 = 46\\).\n\\(x + 46 = 56 \\Rightarrow x = 10\\).\n\n### Mediana\nZestaw: \\(10, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11\\). Sortujemy: \\(2, 3, 5, 5, 7, 10, 11, 13\\).\n\nLiczba elementów = \\(8\\) (parzysta). Mediana to średnia dwóch środkowych (\\(4\\)-tego i \\(5\\)-tego):\n\\[\\text{Me} = \\dfrac{5 + 7}{2} = 6.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(7\\):** tyle wynosi średnia, nie mediana.\n- **C. \\(10\\):** to wartość \\(x\\), nie mediana.\n- **D. \\(5\\):** to \\(4\\)-ty element, ale mediana to średnia \\(4\\)-tego i \\(5\\)-tego.\n\n**Pamiętaj:** dla parzystej liczby danych mediana to **średnia** dwóch środkowych po posortowaniu.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n5\n14\n0\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n13\nNierówność kwadratowa -2x^2-x+3 < 0. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\]\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie miejsc zerowych i analiza znaku paraboli\n\n**Krok 1: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.**\n\nRozwiązujemy równanie \\(-x^2 - 5x + 14 = 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot (-1) \\cdot 14 = 25 + 56 = 81\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 9\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{-(-5) - 9}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{5 - 9}{-2} = \\frac{-4}{-2} = \\mathbf{2}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-(-5) + 9}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{5 + 9}{-2} = \\frac{14}{-2} = \\mathbf{-7}\\]\n\n**Krok 2: Określ kształt paraboli.**\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) to \\(a = -1 < 0\\), więc **parabola jest skierowana ramionami w dół** (kształt ∩).\n\n**Krok 3: Odczytaj rozwiązanie nierówności.**\n\nParabola skierowana w dół jest **ujemna** (poniżej osi \\(OX\\)) **na zewnątrz** miejsc zerowych:\n\n\\[f(x) < 0 \\iff x < -7 \\quad \\text{lub} \\quad x > 2\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 2 - mnożenie przez \\(-1\\) i zamiana znaku nierówności\n\nZamiast liczyć miejsca zerowe od razu, możemy przepisać nierówność do wygodniejszej postaci.\n\n**Krok 1: Pomnóż obie strony przez \\(-1\\) - pamiętaj o odwróceniu znaku nierówności!**\n\n\\[-x^2 - 5x + 14 < 0 \\quad \\xrightarrow{\\cdot(-1)} \\quad x^2 + 5x - 14 > 0\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu \\(x^2 + 5x - 14\\).**\n\nSzukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(5\\), a iloczyn \\(-14\\). Takie liczby to \\(7\\) i \\(-2\\):\n\\[x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(x_1 = -7\\), \\(x_2 = 2\\).\n\n**Krok 3: Rozwiąż nierówność \\((x+7)(x-2) > 0\\).**\n\nIloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy **oba mają ten sam znak**:\n\n| Przedział | \\(x + 7\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -7\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(-7 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\) - zgodna z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = -7\\) i \\(x_2 = 2\\).\n\nZnajomość paraboli: gdy \\(a < 0\\), wykres jest skierowany ramionami w dół - to klucz do odczytu znaku funkcji.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy mnożysz lub dzielisz nierówność przez **liczbę ujemną**, musisz **odwrócić znak nierówności** (\\(<\\) zamienia się w \\(>\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - pominięcie zamiany znaku przy mnożeniu przez \\(-1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola skierowana w **dół** (\\(a < 0\\)) jest ujemna **na zewnątrz** pierwiastków, a dodatnia **między** pierwiastkami - odwrotnie niż parabola skierowana w górę. Nie mieszaj tych przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziałów \\(-7\\) i \\(2\\) **nie należą** do rozwiązania (nierówność ostra \\(<\\), nie \\(\\leq\\)), więc piszemy przedziały otwarte \\((-\\infty, -7)\\) i \\((2, +\\infty)\\).\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\)**\n\n### Sposób 1 - Wzory na pierwiastki\nZ trójmianu \\(-x^2 - 5x + 14\\): \\(a = -1, b = -5, c = 14\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 4\\cdot(-1)\\cdot 14 = 25 + 56 = 81\\).\n\\(\\sqrt{\\Delta} = 9\\).\n\\[x_1 = \\dfrac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\dfrac{5 - 9}{-2} = \\dfrac{-4}{-2} = 2.\\]\n\\[x_2 = \\dfrac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\dfrac{5 + 9}{-2} = \\dfrac{14}{-2} = -7.\\]\n\nParabola \\(y = -x^2 - 5x + 14\\) ma ramiona skierowane **w dół** (\\(a < 0\\)) i miejsca zerowe \\(x = -7\\) oraz \\(x = 2\\).\n\nNierówność \\(-x^2 - 5x + 14 < 0\\) oznacza, że szukamy \\(x\\), dla których wartość trójmianu jest **ujemna** - parabola w dół jest ujemna **poza** pierwiastkami:\n\\[x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie do \\(a > 0\\)\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) (zmiana zwrotu nierówności):\n\\[x^2 + 5x - 14 > 0.\\]\nPierwiastki: \\(\\Delta = 25 + 56 = 81\\), \\(x = \\tfrac{-5 \\pm 9}{2}\\), czyli \\(x_1 = -7, x_2 = 2\\).\n\nParabola w górę, \\(> 0\\) **poza** pierwiastkami: \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 3 - Rozkład na czynniki\n\\(-x^2 - 5x + 14 = -(x^2 + 5x - 14) = -(x + 7)(x - 2).\\)\n\\(-(x+7)(x-2) < 0 \\iff (x+7)(x-2) > 0\\).\nIloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy oba są tego samego znaku: \\(x < -7\\) lub \\(x > 2\\).\n\n### Weryfikacja\nDla \\(x = 0\\): \\(-0 - 0 + 14 = 14 > 0\\) - nierówność \\(< 0\\) **nie** jest spełniona. \\(x = 0\\) leży w \\((-7, 2)\\) - zgadza się ✓.\nDla \\(x = 3\\): \\(-9 - 15 + 14 = -10 < 0\\) ✓.\n\n### Pułapki\n- Mnożenie przez \\(-1\\): **zmiana znaku nierówności** (kluczowe).\n- Parabola w dół - znak jest na zewnątrz pierwiastków dla \\(< 0\\) (a nie między).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n6\n11\n66\n0\n\n\n\n\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nRozwiąż równanie x^3-6x^2-11x+66 = 0. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 6, \\quad x = \\sqrt{11}, \\quad x = -\\sqrt{11}\\)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja przez grupowanie)\n\nZauważamy, że wielomian \\(x^3 - 6x^2 - 11x + 66\\) ma cztery wyrazy - spróbujmy je **pogrupować po dwa**:\n\n\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x^3 - 6x^2) + (-11x + 66)\\]\n\nWyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:\n\n\\[= x^2(x - 6) - 11(x - 6)\\]\n\nOba składniki zawierają wspólny czynnik \\((x - 6)\\) - wyciągamy go:\n\n\\[= (x - 6)(x^2 - 11)\\]\n\nTeraz rozwiązujemy każdy czynnik osobno.\n\n**Czynnik 1:** \\(x - 6 = 0\\)\n\\[x = 6\\]\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 11 = 0\\)\n\\[x^2 = 11\\]\n\\[x = \\pm\\sqrt{11}\\]\n\n**Rozwiązanie:**\n\\[\\boxed{x = 6 \\qquad \\text{lub} \\qquad x = \\sqrt{11} \\qquad \\text{lub} \\qquad x = -\\sqrt{11}}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Bézouta (szukanie pierwiastka wymiernego metodą prób)\n\nNa podstawie **twierdzenia o pierwiastkach wymiernych** - jeśli wielomian o całkowitych współczynnikach ma pierwiastek wymierny \\(\\frac{p}{q}\\) w najniższych wyrazach, to \\(p\\) dzieli wyraz wolny (\\(66\\)), a \\(q\\) dzieli współczynnik wiodący (\\(1\\)).\n\nSkoro współczynnik wiodący to \\(1\\), możliwe pierwiastki całkowite to: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 11, \\pm 22, \\pm 33, \\pm 66\\).\n\nSprawdzamy \\(x = 6\\) (patrzymy na współczynnik \\(-6\\) przy \\(x^2\\) - sugeruje on sumę pierwiastków):\n\n\\[6^3 - 6 \\cdot 6^2 - 11 \\cdot 6 + 66 = 216 - 216 - 66 + 66 = 0 \\checkmark\\]\n\nSkoro \\(x = 6\\) jest pierwiastkiem, dzielimy wielomian przez \\((x - 6)\\) metodą Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-6\\) | \\(-11\\) | \\(66\\) |\n| \\(6\\) | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(-11\\) | \\(0\\) |\n\nObliczenia: \\(1\\); \\(1 \\cdot 6 + (-6) = 0\\); \\(0 \\cdot 6 + (-11) = -11\\); \\((-11) \\cdot 6 + 66 = 0\\) ✓\n\nOtrzymujemy:\n\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x - 6)(x^2 + 0 \\cdot x - 11) = (x-6)(x^2 - 11)\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1:\n\\[x = 6, \\quad x = \\sqrt{11}, \\quad x = -\\sqrt{11}\\]\n\n**Weryfikacja - podstawiamy \\(x = \\sqrt{11}\\):**\n\\[(\\sqrt{11})^3 - 6(\\sqrt{11})^2 - 11\\cdot\\sqrt{11} + 66 = 11\\sqrt{11} - 66 - 11\\sqrt{11} + 66 = 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - rozwiązanie opiera się wyłącznie na elementarnej algebrze:\n- **grupowanie wyrazów** i wyciąganie czynnika wspólnego (umiejętność algebraiczna, nie wzór z karty),\n- **pierwiastki kwadratowe** - definicja \\(\\sqrt{a}\\) (Dział 2, s. 4-5):\n\n> **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n> Z \\(x^2 = 11\\) wynika \\(x = \\pm\\sqrt{11}\\), korzystając z definicji: \\(b = \\sqrt{a} \\iff b^2 = a, b \\geq 0\\), a ze względu na parzysty wykładnik - dwa rozwiązania: \\(\\pm\\sqrt{11}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu zwróć uwagę na **znak minus** przed nawiasem - \\(-11x + 66 = -11(x - 6)\\), a nie \\(-11(x + 6)\\)! Błąd znaku to najczęstszy błąd w tej metodzie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(x^2 = 11\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(x = \\sqrt{11}\\) i \\(x = -\\sqrt{11}\\). Pominięcie rozwiązania ujemnego to klasyczna pomyłka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli nie widzisz od razu jak grupować - zastosuj metodę Bézouta i szukaj pierwiastka wymiernego. Przy współczynniku wiodącym równym \\(1\\) kandydatów jest skończenie wiele i szybko znajdziesz właściwy.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 6\\) lub \\(x = \\sqrt{11}\\) lub \\(x = -\\sqrt{11}\\)**\n\n### Sposób 1 - Grupowanie wyrazów\n\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x^3 - 6x^2) + (-11x + 66) = x^2(x - 6) - 11(x - 6) = (x - 6)(x^2 - 11).\\]\n\nRównanie \\((x - 6)(x^2 - 11) = 0\\):\n- \\(x - 6 = 0 \\Rightarrow x = 6\\),\n- \\(x^2 - 11 = 0 \\Rightarrow x = \\sqrt{11}\\) lub \\(x = -\\sqrt{11}\\).\n\n### Sposób 2 - Zgadywanie i dzielenie wielomianów\nSprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego \\(66\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 11, \\ldots\\)\nDla \\(x = 6\\): \\(216 - 216 - 66 + 66 = 0\\) ✓\n\nDzielimy \\(x^3 - 6x^2 - 11x + 66\\) przez \\((x - 6)\\):\n\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x - 6)(x^2 - 11).\\]\n\nZ \\(x^2 = 11\\): \\(x = \\pm\\sqrt{11}\\).\n\n### Sposób 3 - Alternatywne grupowanie\n\\[x^3 - 11x - 6x^2 + 66 = x(x^2 - 11) - 6(x^2 - 11) = (x^2 - 11)(x - 6).\\]\nTen sam rozkład, stąd te same pierwiastki.\n\n### Weryfikacja\n\\(x = \\sqrt{11}\\): \\((\\sqrt{11})^3 - 6 \\cdot 11 - 11\\sqrt{11} + 66 = 11\\sqrt{11} - 66 - 11\\sqrt{11} + 66 = 0\\) ✓\n\n### Pułapki\n- Zapomnienie o obu pierwiastkach z \\(x^2 = 11\\) (\\(\\pm\\sqrt{11}\\)).\n- Błąd znaku przy grupowaniu: \\(-11(x - 6) = -11x + 66\\), a nie \\(-11x - 66\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"wielomiany","page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nWykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna\nprzez 24.\n\nPoziom podstawowy\n15\nWykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest zawsze podzielna przez 24.\n\n(Zadanie otwarte - należy przeprowadzić pełny dowód.)\n\n## Sposób 1 - parametryzacja od pierwszego wyrazu\n\n**Oznaczenie:** Niech trzy kolejne parzyste liczby naturalne to \\(2n,\\ 2n+2,\\ 2n+4\\), gdzie \\(n \\in \\mathbb{N}\\).\n\n**Obliczamy sumę sześcianów:**\n\n\\[S = (2n)^3 + (2n+2)^3 + (2n+4)^3\\]\n\nWyciągamy czynnik \\(8\\) z każdego wyrazu (bo \\((2k)^3 = 8k^3\\)):\n\n\\[S = 8n^3 + 8(n+1)^3 + 8(n+2)^3 = 8\\bigl[n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3\\bigr]\\]\n\n**Rozwijamy nawiasy:**\n\n\\[(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\\]\n\n\\[(n+2)^3 = n^3 + 6n^2 + 12n + 8\\]\n\n**Sumujemy:**\n\n\\[n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9\\]\n\n**Wyciągamy czynnik 3:**\n\n\\[= 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)\\]\n\n**Zatem:**\n\n\\[S = 8 \\cdot 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3) = 24(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)\\]\n\nPonieważ \\(n \\in \\mathbb{N}\\), wyrażenie \\(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\\) jest liczbą całkowitą.\n\n**Stąd \\(S = 24k\\) dla \\(k = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \\in \\mathbb{N}\\), czyli \\(24 \\mid S\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - symetryczna parametryzacja (elegancki trick)\n\n**Pomysł:** Wybieramy oznaczenie symetryczne - niech środkowa liczba to \\(2n\\), a trzy kolejne liczby parzyste to:\n\n\\[2n-2, \\quad 2n, \\quad 2n+2\\]\n\n(gdzie \\(n \\geq 1\\), by pierwsza liczba była dodatnia).\n\n**Obliczamy sumę sześcianów:**\n\n\\[S = (2n-2)^3 + (2n)^3 + (2n+2)^3\\]\n\n\\[= 8(n-1)^3 + 8n^3 + 8(n+1)^3 = 8\\bigl[(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3\\bigr]\\]\n\n**Rozwijamy skrajne wyrazy i sumujemy:**\n\n\\[(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1\\]\n\n\\[(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\\]\n\n\\[(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)\\]\n\nWyrazy \\(\\pm 3n^2\\) i \\(\\pm 1\\) znoszą się:\n\n\\[= 3n^3 + 6n = 3n(n^2 + 2)\\]\n\n**Zatem:**\n\n\\[S = 8 \\cdot 3n(n^2 + 2) = 24n(n^2+2)\\]\n\nWyrażenie \\(n(n^2+2)\\) jest liczbą naturalną dla każdego \\(n \\in \\mathbb{N}\\), więc:\n\n\\[\\boxed{S = 24 \\cdot n(n^2+2)}\\]\n\n**co oznacza, że \\(24 \\mid S\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n> **Dlaczego Sposób 2 jest elegantszy?** Symetryczne oznaczenie powoduje, że człony \\(\\pm 3n^2\\) i \\(\\pm 1\\) kasują się parami - bez żmudnego zbierania wyrazów. To klasyczny trick w zadaniach dowodowych!\n\n**Weryfikacja liczbowa:**\n- \\(2^3 + 4^3 + 6^3 = 8 + 64 + 216 = 288 = 24 \\cdot 12\\) ✓\n- \\(4^3 + 6^3 + 8^3 = 64 + 216 + 512 = 792 = 24 \\cdot 33\\) ✓\n- \\(10^3 + 12^3 + 14^3 = 1000 + 1728 + 2744 = 5472 = 24 \\cdot 228\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na sześcian sumy:\n\n\\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\\]\n\nUżyliśmy go w obu sposobach do rozwinięcia \\((n+1)^3\\), \\((n+2)^3\\), \\((n-1)^3\\), \\((n+1)^3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić kilku przypadków liczbowych - to NIE jest dowód. Dowód musi działać dla ogólnego \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że „kolejne liczby parzyste\" to \\(2n, 2n+2, 2n+4\\) - różnica wynosi \\(2\\), nie \\(1\\). Częsty błąd: wzięcie \\(n, n+1, n+2\\) bez warunku parzystości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyciągnięciu \\(8\\) przed nawias wciąż musisz pokazać, że pozostałe wyrażenie jest podzielne przez \\(3\\) - samo \\(8\\) nie wystarczy do podzielności przez \\(24 = 8 \\cdot 3\\).\n\n**Dowód: suma jest podzielna przez \\(24\\)**\n\n### Sposób 1 - Parametryzacja trzema kolejnymi parzystymi\nNiech trzy kolejne liczby naturalne parzyste to \\(2n, 2n+2, 2n+4\\), gdzie \\(n \\in \\mathbb{N}\\).\n\nSuma ich sześcianów:\n\\[(2n)^3 + (2n+2)^3 + (2n+4)^3.\\]\n\nObliczamy każdy składnik:\n\\((2n)^3 = 8n^3\\).\n\\((2n+2)^3 = 8n^3 + 3 \\cdot 4n^2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 2n \\cdot 4 + 8 = 8n^3 + 24n^2 + 24n + 8\\).\n\\((2n+4)^3 = 8n^3 + 3 \\cdot 4n^2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 2n \\cdot 16 + 64 = 8n^3 + 48n^2 + 96n + 64\\).\n\nSuma:\n\\[24n^3 + 72n^2 + 120n + 72.\\]\n\nWyciągamy \\(24\\) przed nawias:\n\\[= 24(n^3 + 3n^2 + 5n + 3).\\]\n\nPonieważ \\(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\\) jest liczbą całkowitą (gdy \\(n\\) całkowite), suma jest podzielna przez \\(24\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Środkowa liczba\nNiech \\(n\\) będzie parzystą liczbą środkową, \\(n \\ge 2\\). Wtedy trzy kolejne liczby: \\(n-2, n, n+2\\).\nSuma sześcianów:\n\\[(n-2)^3 + n^3 + (n+2)^3 = (n^3 - 6n^2 + 12n - 8) + n^3 + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 3n^3 + 24n.\\]\n\n\\(n\\) parzyste \\(\\Rightarrow n = 2k \\Rightarrow n^3 = 8k^3\\), więc \\(3n^3 = 24k^3\\) - podzielne przez \\(24\\).\n\\(24n\\) oczywiście podzielne przez \\(24\\).\n\nSuma: \\(3n^3 + 24n = 24k^3 + 24n = 24(k^3 + n)\\) - podzielne przez \\(24\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 - Wyłączanie \\(2\\) z każdej liczby\nTrzy kolejne parzyste: \\(2m, 2m+2, 2m+4 = 2(m), 2(m+1), 2(m+2)\\), gdzie \\(m \\in \\mathbb{N}\\).\n\\[8m^3 + 8(m+1)^3 + 8(m+2)^3 = 8\\left[m^3 + (m+1)^3 + (m+2)^3\\right].\\]\nRozwinięcie: \\(m^3 + (m+1)^3 + (m+2)^3 = 3m^3 + 9m^2 + 15m + 9 = 3(m^3 + 3m^2 + 5m + 3)\\).\nWięc suma = \\(8 \\cdot 3 \\cdot (m^3 + 3m^2 + 5m + 3) = 24(m^3 + 3m^2 + 5m + 3)\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Pułapki\n- Pominięcie pełnego rozwinięcia \\((2n+2)^3\\) i \\((2n+4)^3\\) prowadzi do błędów.\n- Wybór parametryzacji: najwygodniejszy jest \\((n-2, n, n+2)\\), bo kwadraty się kasują i otrzymujemy szybko \\(3n^3 + 24n\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nKąt  jest ostry oraz\n2\n2\n4\n4\n25\nsin\ncos\n\n\n\n\n. Oblicz wartość wyrażenia sin\ncos\n\n\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nKąt alfa jest ostry oraz 4 / sin^2alfa + 4 / cos^2 alfa = 25. Oblicz wartość wyrażenia sin alfa * cos alfa. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A = \\(\\dfrac{2}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + sprowadzenie do iloczynu\n\n**Mamy warunek:**\n\\[\\frac{4}{\\sin^2\\alpha} + \\frac{4}{\\cos^2\\alpha} = 25\\]\n\n**Krok 1: Sprowadź do wspólnego mianownika.**\n\n\\[\\frac{4\\cos^2\\alpha + 4\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha} = 25\\]\n\n**Krok 2: Zauważ, że licznik zawiera jedynkę trygonometryczną.**\n\nW liczniku mamy \\(4(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha)\\). Ponieważ \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), całość upraszcza się pięknie:\n\n\\[\\frac{4 \\cdot 1}{\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha} = 25\\]\n\n**Krok 3: Wyraź \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha\\).**\n\n\\[\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{25}\\]\n\n**Krok 4: Wyciągnij pierwiastek.**\n\n\\[(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha)^2 = \\frac{4}{25}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\pm\\frac{2}{5}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, to \\(\\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc iloczyn jest **dodatni**.\n\n\\[\\boxed{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez \\(\\sin 2\\alpha\\)\n\nKorzystamy z tożsamości:\n\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]\n\nZ Sposobu 1 wiemy, że \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{25}\\), czyli:\n\n\\[(\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\frac{4}{25}\\]\n\n\\[\\left(\\frac{\\sin 2\\alpha}{2}\\right)^2 = \\frac{4}{25}\\]\n\n\\[\\frac{\\sin^2 2\\alpha}{4} = \\frac{4}{25}\\]\n\n\\[\\sin^2 2\\alpha = \\frac{16}{25}\\]\n\n\\[\\sin 2\\alpha = \\frac{4}{5}\\]\n\n(znak dodatni, bo \\(\\alpha\\) ostry \\(\\Rightarrow\\) \\(2\\alpha \\in (0°, 180°)\\), więc \\(\\sin 2\\alpha > 0\\))\n\nStąd:\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{\\sin 2\\alpha}{2} = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{2}{5}\\]\n\n**Wynik zgodny - \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\dfrac{2}{5}\\).** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nKluczowy krok - bez niej licznik by nie zniknął.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - wzór na sinus podwojonego kąta (Sposób 2):\n\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B (\\(\\frac{4}{25}\\)) | Uczeń zatrzymuje się na kroku \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{25}\\) i **nie wyciąga pierwiastka** - podaje wartość kwadratu zamiast samego iloczynu |\n| C (\\(\\frac{1}{5}\\)) | Błąd w obliczaniu pierwiastka: \\(\\sqrt{\\frac{4}{25}} = \\frac{\\sqrt{4}}{\\sqrt{25}} = \\frac{2}{5}\\), ale ktoś może liczyć \\(\\frac{\\sqrt{4}}{25} = \\frac{2}{25}\\) lub popełnić inny błąd arytmetyczny |\n| D | Np. pominięcie jedynki trygonometrycznej i błędne uproszczenie licznika |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **zatrzymanie się na** \\((\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\frac{4}{25}\\) - odpowiedź B. Pamiętaj, że zadanie pyta o \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\), nie o jego kwadrat!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt ostry daje nam **jednoznaczny znak** - oba czynniki są dodatnie, więc odrzucamy ujemny pierwiastek. Gdyby kąt był z innej ćwiartki, trzeba by sprawdzić znaki osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprowadzanie do wspólnego mianownika w ułamkach \\(\\frac{4}{\\sin^2\\alpha} + \\frac{4}{\\cos^2\\alpha}\\) - mianownik to **iloczyn** \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha\\), nie suma. Nie mylić!\n\n**Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\dfrac{2}{5}\\)**\n\n### Sposób 1 - Wspólny mianownik i jedynka trygonometryczna\nSprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:\n\\[\\dfrac{4}{\\sin^2\\alpha} + \\dfrac{4}{\\cos^2\\alpha} = \\dfrac{4\\cos^2\\alpha + 4\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = \\dfrac{4(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha}.\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[\\dfrac{4}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = 25.\\]\n\nStąd:\n\\[\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = \\dfrac{4}{25}.\\]\n\\[(\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\dfrac{4}{25}.\\]\n\\[\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\pm\\dfrac{2}{5}.\\]\n\nKąt \\(\\alpha\\) ostry \\(\\Rightarrow \\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha > 0\\):\n\\[\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\dfrac{2}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez \\(\\sin 2\\alpha\\)\n\\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\), więc \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\sin 2\\alpha\\).\nZ treści zadania: \\(\\tfrac{4}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = 25\\), czyli \\((\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\tfrac{4}{25}\\). Dla \\(\\alpha\\) ostrego otrzymujemy \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{5}\\).\n\n### Sposób 3 - Trójkąt prostokątny\nW trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \\(a, b\\) i przeciwprostokątnej \\(c\\): \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{a}{c}, \\cos\\alpha = \\tfrac{b}{c}\\).\n\\(\\tfrac{4c^2}{a^2} + \\tfrac{4c^2}{b^2} = 25 \\Rightarrow \\tfrac{4c^2(a^2+b^2)}{a^2b^2} = 25\\).\nZ Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\):\n\\(\\tfrac{4c^4}{a^2b^2} = 25 \\Rightarrow \\tfrac{a^2b^2}{c^4} = \\tfrac{4}{25}\\).\nStąd \\(\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = \\tfrac{4}{25}\\) oraz \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{5}\\).\n\n### Weryfikacja\nDla \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{5}\\): \\(\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = \\tfrac{4}{25}\\).\n\\(\\tfrac{4}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = \\tfrac{4}{\\tfrac{4}{25}} = 25\\) ✓.\n\n### Pułapki\n- Kąt ostry \\(\\Rightarrow\\) bierzemy znak **dodatni** przy pierwiastku kwadratowym.\n- Jedynka trygonometryczna jest kluczowa - pozwala uprościć licznik do \\(4\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"trygonometria","page_from":15,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDany jest trójkąt ABC, w którym AC\nBC\n\n. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano\nodpowiednio takie punkty D i E, że zachodzi równość CD\nCE\n\n. Proste AB i DE przecinają\nsię w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że\n2\nBAC\nABC\nAFD\n\n\n\n\n\n\nPoziom podstawowy\n17\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AC|>|BC|. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D i E, że zachodzi równość |CD|=|CE|. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |kąt BAC| = |kąt ABC| - 2*|kąt AFD|. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód - teza jest prawdziwa\n\nZadanie otwarte. Teza: \\(|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2\\cdot|\\angle AFD|\\).\n\n**Oznaczenia pomocnicze:**\n\\[\\alpha = |\\angle BAC|, \\quad \\beta = |\\angle ABC|, \\quad \\gamma = |\\angle BCA|, \\quad \\varphi = |\\angle AFD|\\]\nTeza przyjmuje postać: \\(\\alpha = \\beta - 2\\varphi\\), czyli \\(2\\varphi = \\beta - \\alpha\\).\n\n*(Uwaga: warunek \\(|AC| > |BC|\\) gwarantuje \\(\\beta > \\alpha\\) - kąt naprzeciwko dłuższego boku jest większy - więc prawa strona jest dodatnia i zadanie ma sens geometryczny.)*\n\n## Sposób 1 - Kąty w trójkącie \\(ADF\\)\n\n**Krok 1. Kąt \\(\\angle CDE\\) w trójkącie równoramiennym \\(CDE\\).**\n\nSkoro \\(|CD| = |CE|\\), trójkąt \\(CDE\\) jest równoramienny z wierzchołkiem \\(C\\). Kąty przy podstawie:\n\\[|\\angle CDE| = |\\angle CED| = \\frac{180° - \\gamma}{2} = 90° - \\frac{\\gamma}{2}\\]\n\n**Krok 2. Kąt \\(\\angle ADF\\) - kąt suplementarny.**\n\nPunkt \\(D\\) leży na odcinku \\(AC\\), więc promienie \\(DA\\) i \\(DC\\) są przeciwnymi promieniami (tworzą półprostą). Punkt \\(F\\) leży na prostej \\(DE\\) (po tej samej stronie co \\(F\\)), więc \\(\\angle ADF\\) i \\(\\angle CDE\\) są kątami suplementarnymi:\n\\[|\\angle ADF| = 180° - |\\angle CDE| = 180° - \\left(90° - \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 90° + \\frac{\\gamma}{2}\\]\n\n**Krok 3. Suma kątów w trójkącie \\(ADF\\).**\n\nTrójkąt \\(ADF\\) ma wierzchołki: \\(A\\) - lewy dół, \\(D\\) - na boku \\(AC\\), \\(F\\) - na przedłużeniu \\(AB\\) za \\(B\\). Kąt przy \\(A\\) to \\(|\\angle DAF| = \\alpha\\) (ten sam co \\(\\angle BAC\\), bo \\(D\\) leży na promieniu \\(AC\\), a \\(F\\) na promieniu \\(AB\\)).\n\nZ twierdzenia o sumie kątów trójkąta:\n\\[|\\angle DAF| + |\\angle ADF| + |\\angle AFD| = 180°\\]\n\\[\\alpha + \\left(90° + \\frac{\\gamma}{2}\\right) + \\varphi = 180°\\]\n\\[\\varphi = 90° - \\frac{\\gamma}{2} - \\alpha\\]\n\n**Krok 4. Podstawienie \\(\\gamma = 180° - \\alpha - \\beta\\).**\n\n\\[\\varphi = 90° - \\frac{180° - \\alpha - \\beta}{2} - \\alpha = 90° - 90° + \\frac{\\alpha}{2} + \\frac{\\beta}{2} - \\alpha = \\frac{\\beta}{2} - \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{\\beta - \\alpha}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[2\\varphi = \\beta - \\alpha \\quad \\Longrightarrow \\quad \\boxed{\\alpha = \\beta - 2\\varphi}\\]\n\\[|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2 \\cdot |\\angle AFD| \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Sposób 2 - Kąty w trójkącie \\(BEF\\) (metoda kątów zewnętrznych)\n\n**Krok 1.** Tak jak poprzednio:\n\\[|\\angle CED| = 90° - \\frac{\\gamma}{2}\\]\n\n**Krok 2. Kąt \\(\\angle BEF\\).**\n\nPunkt \\(E\\) leży na odcinku \\(BC\\), więc \\(\\angle CED\\) i \\(\\angle BED\\) są suplementarne:\n\\[|\\angle BED| = 180° - \\left(90° - \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 90° + \\frac{\\gamma}{2}\\]\nPunkty \\(D\\), \\(E\\), \\(F\\) są współliniowe, więc \\(\\angle BEF\\) i \\(\\angle BED\\) są suplementarne:\n\\[|\\angle BEF| = 180° - \\left(90° + \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 90° - \\frac{\\gamma}{2}\\]\n\n**Krok 3. Kąt \\(\\angle FBE\\).**\n\nPunkt \\(F\\) leży na przedłużeniu \\(AB\\) za \\(B\\), więc \\(\\angle FBE\\) i \\(\\angle ABE = \\beta\\) są suplementarne (bo \\(F\\), \\(B\\), \\(A\\) są współliniowe, \\(B\\) między \\(A\\) a \\(F\\)):\n\\[|\\angle FBE| = 180° - \\beta\\]\n\n**Krok 4. Suma kątów w trójkącie \\(BEF\\).**\n\n\\[|\\angle BFE| + |\\angle FBE| + |\\angle BEF| = 180°\\]\n\\[|\\angle BFE| + (180° - \\beta) + \\left(90° - \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 180°\\]\n\\[|\\angle BFE| = \\beta - 90° + \\frac{\\gamma}{2} = \\beta - 90° + \\frac{180°-\\alpha-\\beta}{2} = \\frac{\\beta - \\alpha}{2}\\]\n\n**Krok 5.** Kąt \\(\\angle AFD\\) i \\(\\angle BFE\\) to **ten sam kąt**: od strony \\(F\\) promień \\(FA\\) = promień \\(FB\\) (bo kolejność punktów to \\(A\\), \\(B\\), \\(F\\)), a promień \\(FD\\) = promień \\(FE\\) (współliniowość \\(D, E, F\\)). Stąd:\n\\[\\varphi = |\\angle AFD| = |\\angle BFE| = \\frac{\\beta - \\alpha}{2}\\]\n\\[\\Longrightarrow \\quad \\alpha = \\beta - 2\\varphi \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - twierdzenie o sumie kątów trójkąta:\n\n> Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi \\(180°\\).\n\nUżyliśmy go w obu sposobach: w trójkącie \\(CDE\\) do wyznaczenia kątów przy podstawie, oraz w trójkącie \\(ADF\\) (lub \\(BEF\\)) do wyciągnięcia wzoru na \\(\\varphi\\).\n\nWprost ze wzoru karty na pole nie korzystamy - wystarczą definicje kątów i własność izoscelesowości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który kąt jest suplementarny. \\(D\\) leży **na odcinku** \\(AC\\), więc \\(\\angle CDE + \\angle ADF = 180°\\). Gdyby \\(D\\) leżało poza odcinkiem, ta zależność by nie zachodziła.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle AFD\\) i \\(\\angle BFE\\) to **ten sam kąt** - nie kąty wierzchołkowe, lecz dosłownie identyczne, bo \\(B\\) leży między \\(A\\) a \\(F\\) (wszystkie trzy na jednej prostej) i analogicznie \\(E\\) między \\(D\\) a \\(F\\). Tej obserwacji nie wolno pominąć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(|AC| > |BC|\\) jest kluczowy - gwarantuje, że \\(\\beta > \\alpha\\), więc prawa strona \\(\\beta - 2\\varphi\\) jest rzeczywiście równa \\(\\alpha > 0\\), a punkt \\(F\\) leży **za \\(B\\)** (a nie za \\(A\\)). Gdyby \\(|AC| < |BC|\\), linia \\(DE\\) przecięłaby przedłużenie \\(AB\\) po drugiej stronie.\n\n**Dowód: \\(|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2|\\angle AFD|\\)**\n\n### Oznaczenia\nNiech \\(|\\angle BAC| = \\alpha\\), \\(|\\angle ABC| = \\beta\\), \\(|\\angle AFD| = \\gamma\\).\n\n### Sposób 1 - Rachunek kątów\n**Krok 1.** Ponieważ \\(|\\angle ABC| = \\beta\\), a \\(F\\) leży na przedłużeniu \\(AB\\) poza \\(B\\), kąt \\(\\angle FBE\\) (przyległy do \\(\\angle ABC\\)):\n\\[|\\angle FBE| = 180^\\circ - \\beta.\\]\n\n**Krok 2.** W trójkącie \\(BEF\\) suma kątów = \\(180^\\circ\\):\n\\[|\\angle BEF| = 180^\\circ - |\\angle FBE| - |\\angle BFE| = 180^\\circ - (180^\\circ - \\beta) - \\gamma = \\beta - \\gamma.\\]\n\n**Krok 3.** Kąty wierzchołkowe: \\(|\\angle CED| = |\\angle BEF| = \\beta - \\gamma\\).\n\n**Krok 4.** Trójkąt \\(CDE\\) równoramienny (\\(|CD| = |CE|\\)), więc \\(|\\angle CDE| = |\\angle CED| = \\beta - \\gamma\\).\nZ sumy kątów w \\(CDE\\):\n\\[|\\angle DCE| = 180^\\circ - 2(\\beta - \\gamma) = 180^\\circ - 2\\beta + 2\\gamma.\\]\n\n**Krok 5.** Kąt \\(\\angle DCE = \\angle ACB\\) (ten sam kąt wierzchołka trójkąta \\(ABC\\)).\nZ sumy kątów w trójkącie \\(ABC\\):\n\\[\\alpha + \\beta + (180^\\circ - 2\\beta + 2\\gamma) = 180^\\circ,\\]\n\\[\\alpha + \\beta + 180^\\circ - 2\\beta + 2\\gamma = 180^\\circ,\\]\n\\[\\alpha = \\beta - 2\\gamma.\\]\n\nZatem \\(|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2|\\angle AFD|\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Przez czworokąt \\(ABED\\)\nNiech \\(|\\angle CED| = |\\angle CDE| = \\delta\\) (trójkąt \\(CDE\\) równoramienny).\nKąty wierzchołkowe: \\(|\\angle BEF| = \\delta\\). W trójkącie \\(BEF\\) kąt przy \\(B\\) = \\(180^\\circ - |\\angle ABC|\\), kąt przy \\(F\\) = \\(\\gamma\\), kąt przy \\(E\\) = \\(\\delta\\). Suma = \\(180^\\circ\\) daje \\(\\beta - \\gamma = \\delta\\).\n\nZ czworokąta \\(ABED\\) (\\(D\\) na \\(AC\\), \\(E\\) na \\(BC\\)) kąty \\(\\angle ADE = 180^\\circ - \\delta\\) (\\(\\angle CDE + \\angle ADE = 180^\\circ\\)) i podobnie \\(\\angle DEB = 180^\\circ - \\delta\\). Suma kątów w czworokącie = \\(360^\\circ\\):\n\\[\\alpha + \\beta + (180^\\circ - \\delta) + (180^\\circ - \\delta) = 360^\\circ,\\]\n\\[\\alpha + \\beta = 2\\delta = 2(\\beta - \\gamma),\\]\n\\[\\alpha = \\beta - 2\\gamma.\\]\n\n\\(\\blacksquare\\)\n\n### Pułapki\n- Prawidłowe zauważenie, że \\(\\angle FBE\\) jest przyległy do \\(\\angle ABC\\) - wymaga jasności co do położenia \\(F\\) (na przedłużeniu \\(AB\\) poza \\(B\\)).\n- Kąty wierzchołkowe \\(\\angle BEF = \\angle CED\\): oba proste \\(AB\\) i \\(DE\\) przecinają się w dwóch parach kątów.\n- Trójkąt \\(CDE\\) **równoramienny** - kluczowe: \\(|CD| = |CE|\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny \n\nna\nokreślony dla\n1\nn , w którym\n5\n22\na \noraz\n10\n47\na\n\nOblicz pierwszy wyraz\n1a i różnicę r tego ciągu.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nDany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla n>=1, w którym a_5=22 oraz a_{10}=47. Oblicz pierwszy wyraz a_1 i różnicę r tego ciągu. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = 2\\), \\(r = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzoru ogólnego\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nZapisujemy dwa równania na podstawie danych:\n\\[\\begin{cases} a_5 = a_1 + 4r = 22 \\\\ a_{10} = a_1 + 9r = 47 \\end{cases}\\]\n\n**Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego**, żeby wyeliminować \\(a_1\\):\n\\[(a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = 47 - 22\\]\n\\[5r = 25\\]\n\\[\\boxed{r = 5}\\]\n\nPodstawiamy \\(r = 5\\) do pierwszego równania:\n\\[a_1 + 4 \\cdot 5 = 22\\]\n\\[a_1 + 20 = 22\\]\n\\[\\boxed{a_1 = 2}\\]\n\n## Sposób 2 - Własność różnicy wyrazów ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między dowolnymi dwoma wyrazami zależy wprost proporcjonalnie od odległości ich indeksów:\n\\[a_{10} - a_5 = (10 - 5) \\cdot r = 5r\\]\n\nStąd od razu:\n\\[5r = 47 - 22 = 25\\]\n\\[r = 5\\]\n\nTeraz wyznaczamy \\(a_1\\) - \"cofamy się\" od \\(a_5\\) o 4 kroki:\n\\[a_1 = a_5 - 4r = 22 - 4 \\cdot 5 = 22 - 20 = 2\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\\[a_5 = 2 + 4 \\cdot 5 = 22 \\checkmark\\]\n\\[a_{10} = 2 + 9 \\cdot 5 = 47 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w obu sposobach do zapisania \\(a_5\\) i \\(a_{10}\\) w postaci wyrażeń z \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) dla \\(a_5\\) mnożnik to \\(\\mathbf{4}\\), nie \\(5\\) - bo odejmujemy 1. Bardzo częsty błąd: napisanie \\(a_1 + 5r = 22\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odejmując równania układu, pamiętaj o odejmowaniu **obu stron** - prawa strona to \\(47 - 22\\), nie \\(47 + 22\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(r\\) koniecznie podstaw do jednego z równań i sprawdź wynik w **drugim** równaniu. To szybka weryfikacja, która wykrywa błędy rachunkowe.\n\n**Odpowiedź: \\(a_1 = 2, r = 5\\)**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).\n\\[a_5 = a_1 + 4r = 22,\\]\n\\[a_{10} = a_1 + 9r = 47.\\]\n\nOdejmujemy:\n\\[(a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = 47 - 22\\]\n\\[5r = 25 \\Rightarrow r = 5.\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[a_1 + 4 \\cdot 5 = 22 \\Rightarrow a_1 = 22 - 20 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio z różnicy indeksów\nW ciągu arytmetycznym \\(a_m - a_n = (m - n) r\\).\n\\(a_{10} - a_5 = 5r \\Rightarrow 47 - 22 = 25 = 5r \\Rightarrow r = 5\\).\n\\(a_5 = a_1 + 4r \\Rightarrow a_1 = 22 - 4\\cdot 5 = 2\\).\n\n### Sposób 3 - Wzór ogólny\n\\(a_n = 2 + 5(n-1) = 5n - 3\\).\nSprawdzenie: \\(a_5 = 5\\cdot 5 - 3 = 22\\) ✓, \\(a_{10} = 5\\cdot 10 - 3 = 47\\) ✓.\n\n### Weryfikacja\nCiąg: \\(a_1 = 2, a_2 = 7, a_3 = 12, a_4 = 17, a_5 = 22, \\ldots, a_{10} = 47\\). Różnica = \\(5\\) stała ✓.\n\n### Pułapki\n- \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), nie \\(a_1 + nr\\) (częsty błąd).\n- Odejmowanie równań eliminuje \\(a_1\\) - to najszybsza droga.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":17,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nMiasta A i B są odległe o 450 km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie\no 75 minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta\nna całej trasie, była o 18 km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani\nLidia. Oblicz średnie wartości:\n\nprędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B.\n\nprędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B.\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n20\nMiasta A i B są odległe o 450 km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o 75 minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o 18 km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości: prędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B, prędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"P","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nPani Danuta jechała ze średnią prędkością **\\(72\\) km/h**, a pani Lidia ze średnią prędkością **\\(90\\) km/h**.\n\n## Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą (prędkość Lidii)\n\n**Wprowadzamy oznaczenia:**\n\nNiech \\(v\\) oznacza prędkość pani Lidii \\([\\text{km/h}]\\).\n\nWtedy prędkość pani Danuty wynosi \\(v - 18\\) \\([\\text{km/h}]\\).\n\n**Czas przejazdu** (ze wzoru \\(t = \\frac{d}{v}\\)):\n\\[t_L = \\frac{450}{v}, \\qquad t_D = \\frac{450}{v - 18}\\]\n\n**Warunek z treści zadania:** Danuta jechała o 75 minut, czyli \\(\\frac{75}{60} = \\frac{5}{4}\\) godziny, **dłużej** niż Lidia:\n\\[\\frac{450}{v - 18} = \\frac{450}{v} + \\frac{5}{4}\\]\n\n> ⚠️ Jednostki muszą być zgodne - zamień minuty na godziny!\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(4v(v-18)\\):**\n\\[4v \\cdot 450 = 4(v-18) \\cdot 450 + 5v(v-18)\\]\n\\[1800v = 1800v - 1800 \\cdot 18 + 5v^2 - 90v\\]\n\nUpraszczamy \\(1800v\\):\n\\[0 = -32400 + 5v^2 - 90v\\]\n\\[5v^2 - 90v - 32400 = 0\\]\n\\[v^2 - 18v - 6480 = 0\\]\n\n**Wyróżnik:**\n\\[\\Delta = (-18)^2 + 4 \\cdot 6480 = 324 + 25920 = 26244\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 162\\]\n\n(sprawdzenie: \\(162^2 = 26244\\) ✓)\n\n**Pierwiastki:**\n\\[v_1 = \\frac{18 + 162}{2} = \\frac{180}{2} = 90, \\qquad v_2 = \\frac{18 - 162}{2} = -72\\]\n\nOdrzucamy \\(v_2 = -72\\) (prędkość musi być dodatnia).\n\n**Wyniki:**\n\\[v_L = 90 \\text{ km/h}, \\qquad v_D = 90 - 18 = 72 \\text{ km/h}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań (obie prędkości jako niewiadome)\n\nNiech \\(v_D\\) - prędkość Danuty, \\(v_L\\) - prędkość Lidii.\n\n**Układ równań:**\n\\[\\begin{cases} v_L - v_D = 18 \\\\ \\dfrac{450}{v_D} - \\dfrac{450}{v_L} = \\dfrac{5}{4} \\end{cases}\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(v_L = v_D + 18\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[\\frac{450}{v_D} - \\frac{450}{v_D + 18} = \\frac{5}{4}\\]\n\nMnożymy przez \\(4v_D(v_D + 18)\\):\n\\[1800(v_D + 18) - 1800v_D = 5v_D(v_D + 18)\\]\n\\[1800 \\cdot 18 = 5v_D^2 + 90v_D\\]\n\\[32400 = 5v_D^2 + 90v_D\\]\n\\[v_D^2 + 18v_D - 6480 = 0\\]\n\n\\[\\Delta = 18^2 + 4 \\cdot 6480 = 324 + 25920 = 26244, \\qquad \\sqrt{\\Delta} = 162\\]\n\n\\[v_D = \\frac{-18 + 162}{2} = \\frac{144}{2} = 72 \\text{ km/h}\\]\n\n\\[v_L = 72 + 18 = 90 \\text{ km/h}\\]\n\n**Weryfikacja:**\n- Czas Danuty: \\(\\frac{450}{72} = 6{,}25\\) h \\(= 6\\) h \\(15\\) min\n- Czas Lidii: \\(\\frac{450}{90} = 5\\) h\n- Różnica: \\(1\\) h \\(15\\) min \\(= 75\\) min ✓\n- Różnica prędkości: \\(90 - 72 = 18\\) km/h ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - nie bezpośrednio, ale kluczowy wzór to ze szkolnej fizyki:\n\\[v = \\frac{d}{t} \\implies t = \\frac{d}{v}\\]\n\n(Ten wzór nie jest na karcie CKE - to wiedza ogólna ze szkoły podstawowej.)\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - po przekształceniu równania z prędkościami otrzymaliśmy trójmian kwadratowy. Użyliśmy:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\ndo wyznaczenia prędkości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** 75 minut to **nie** \\(\\frac{75}{100}\\) godziny - to \\(\\frac{75}{60} = \\frac{5}{4}\\) godziny. Błąd jednostek to najczęstszy powód złego wyniku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie z ułamkami warto mnożyć obustronnie przez NWW mianowników - unikaj błędów przy skracaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwiązaniu równania kwadratowego **zawsze sprawdź, czy wynik ma sens** - ujemna prędkość jest matematycznie poprawnym pierwiastkiem, ale fizycznie niedopuszczalna. Odrzuć go i uzasadnij to w rozwiązaniu.\n\n**Odpowiedź: pani Lidia jechała z prędkością \\(90\\) km/h, pani Danuta - \\(72\\) km/h**\n\n### Ustalenia\n- Droga: \\(s = 450\\) km.\n- \\(75\\) min = \\(\\tfrac{75}{60}\\) h = \\(\\tfrac{5}{4}\\) h.\n- Niech \\(v\\) - prędkość pani Lidii (km/h), wtedy \\(v - 18\\) - prędkość pani Danuty.\n- Niech \\(t\\) - czas pani Lidii (h), wtedy \\(t + \\tfrac{5}{4}\\) - czas pani Danuty.\n\n### Sposób 1 - Układ z niewiadomymi \\(v, t\\)\nZapisujemy:\n\\[v \\cdot t = 450 \\quad (\\text{pani Lidia})\\]\n\\[(v - 18)\\left(t + \\tfrac{5}{4}\\right) = 450 \\quad (\\text{pani Danuta})\\]\n\nZ pierwszego: \\(t = \\tfrac{450}{v}\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[(v - 18)\\left(\\tfrac{450}{v} + \\tfrac{5}{4}\\right) = 450.\\]\n\nMnożymy:\n\\[450 + \\tfrac{5v}{4} - \\tfrac{8100}{v} - \\tfrac{90}{4} = 450\\]\n\\[\\tfrac{5v}{4} - \\tfrac{8100}{v} - \\tfrac{45}{2} = 0\\]\n\nMnożymy przez \\(4v\\):\n\\[5v^2 - 32400 - 90v = 0\\]\n\\[v^2 - 18v - 6480 = 0.\\]\n\nRozwiązujemy:\n\\[\\Delta = 324 + 25920 = 26244 = 162^2.\\]\n\\[v_1 = \\dfrac{18 + 162}{2} = 90, \\quad v_2 = \\dfrac{18 - 162}{2} = -72.\\]\n\n\\(v > 0\\), więc \\(v = 90\\) km/h.\n\nPrędkość pani Danuty: \\(v - 18 = 72\\) km/h.\n\n### Sposób 2 - Układ z niewiadomymi \\(v, t\\) gdzie \\(v\\) to prędkość pani Danuty\nNiech teraz \\(v\\) - prędkość pani Danuty, \\(t\\) - czas pani Danuty. Pani Lidia: \\(v + 18\\) i \\(t - \\tfrac{5}{4}\\).\n\\[v \\cdot t = 450, \\quad (v+18)(t - \\tfrac{5}{4}) = 450.\\]\nPodobna analiza prowadzi do \\(v = 72\\) km/h, \\(v + 18 = 90\\) km/h.\n\n### Weryfikacja\nPani Lidia: \\(t_L = \\tfrac{450}{90} = 5\\) h.\nPani Danuta: \\(t_D = \\tfrac{450}{72} = 6{,}25\\) h = \\(6\\) h \\(15\\) min.\nRóżnica: \\(6{,}25 - 5 = 1{,}25\\) h = \\(75\\) min ✓.\nRóżnica prędkości: \\(90 - 72 = 18\\) km/h ✓.\n\n### Sposób 3 - Przekształcenie do równania kwadratowego z \\(t\\)\nAnalogicznie z \\(v = \\tfrac{450}{t}\\) otrzymujemy \\(4t^2 + 5t - 125 = 0\\), \\(\\Delta = 2025 = 45^2\\), \\(t = 5\\) (odrzucamy ujemny pierwiastek). Dalej jak wyżej.\n\n### Pułapki\n- Zamiana \\(75\\) min na \\(\\tfrac{5}{4}\\) h (nie \\(1{,}25\\), lecz ułamek dla dokładności).\n- Odrzucenie ujemnego pierwiastka (prędkość niemoże być ujemna).\n- Uważne oznaczenie, kto ma większą prędkość (pani Lidia szybsza!).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":18,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa\njest równa 22, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego\npodstawy jest równy 4 6\n5\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nO\nS\nA\nB\nC\nD\n\nPoziom podstawowy\n21\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n22\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa 22, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy 4 * pierwiastki z 6 / 5. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{3200\\sqrt{6}}{3}\\)\n\n(Zadanie otwarte - obliczamy konkretną wartość objętości.)\n\n## Sposób 1 - Geometria: apotema + kąt nachylenia ściany\n\n**Ustalamy oznaczenia.**\n\nNiech \\(a\\) - bok kwadratu podstawy, \\(h\\) - wysokość ostrosłupa.\n\n\\(M\\) = środek krawędzi podstawy \\(AB\\), \\(O\\) = środek podstawy (punkt \\(O\\) leży w środku kwadratu).\n\nWtedy:\n\\[OM = \\frac{a}{2}, \\quad SM = \\text{wysokość ściany bocznej} = 22\\]\n\n**Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.**\n\nPłaszczyzna ściany bocznej \\(SAB\\) przecina podstawę wzdłuż krawędzi \\(AB\\).\nDwuścienny kąt wzdłuż \\(AB\\) mierzymy między odcinkami:\n- \\(MO\\) - prostopadle do \\(AB\\) w podstawie,\n- \\(MS\\) - prostopadle do \\(AB\\) w ścianie bocznej (apotema \\(SM\\)).\n\nZatem kąt nachylenia \\(\\varphi\\) spełnia:\n\\[\\operatorname{tg}\\varphi = \\frac{SO}{OM} = \\frac{h}{\\dfrac{a}{2}} = \\frac{2h}{a}\\]\n\n**Równanie I** (z danego tangensa):\n\\[\\frac{2h}{a} = \\frac{4\\sqrt{6}}{5}\\]\n\n**Równanie II** (z tw. Pitagorasa w trójkącie \\(SOM\\)):\n\\[SM^2 = h^2 + OM^2 \\implies 22^2 = h^2 + \\frac{a^2}{4} \\implies 484 = h^2 + \\frac{a^2}{4}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(h\\) i \\(a\\).**\n\nZ równania I: \\(h = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{5}\\,a\\)\n\nPodstawiamy do równania II:\n\\[484 = \\left(\\frac{2\\sqrt{6}\\,a}{5}\\right)^2 + \\frac{a^2}{4} = \\frac{24a^2}{25} + \\frac{a^2}{4}\\]\n\nSprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika \\(100\\):\n\\[484 = a^2\\left(\\frac{96}{100} + \\frac{25}{100}\\right) = a^2 \\cdot \\frac{121}{100}\\]\n\n\\[a^2 = 484 \\cdot \\frac{100}{121} = 400 \\implies \\boxed{a = 20}\\]\n\nWysokość ostrosłupa:\n\\[h = \\frac{2\\sqrt{6}}{5} \\cdot 20 = 8\\sqrt{6}\\]\n\n**Obliczamy objętość.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 400 \\cdot 8\\sqrt{6} = \\boxed{\\dfrac{3200\\sqrt{6}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Trygonometria: sin i cos kąta nachylenia\n\n**Wyznaczamy sin i cos kąta \\(\\varphi\\).**\n\nDany: \\(\\operatorname{tg}\\varphi = \\dfrac{4\\sqrt{6}}{5}\\)\n\nLiczymy \\(\\cos\\varphi\\) i \\(\\sin\\varphi\\) ze wzoru \\(1 + \\operatorname{tg}^2\\varphi = \\dfrac{1}{\\cos^2\\varphi}\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}^2\\varphi = \\frac{96}{25} \\implies 1 + \\frac{96}{25} = \\frac{121}{25} = \\frac{1}{\\cos^2\\varphi}\\]\n\n\\[\\cos\\varphi = \\frac{5}{11}, \\quad \\sin\\varphi = \\frac{4\\sqrt{6}}{11}\\]\n\n**Odczytujemy \\(h\\) i \\(OM\\) wprost z apotemy \\(SM = 22\\).**\n\nZ trójkąta prostokątnego \\(SOM\\) (kąt przy \\(M\\) równy \\(\\varphi\\)):\n\\[h = SM \\cdot \\sin\\varphi = 22 \\cdot \\frac{4\\sqrt{6}}{11} = 8\\sqrt{6}\\]\n\\[OM = SM \\cdot \\cos\\varphi = 22 \\cdot \\frac{5}{11} = 10\\]\n\nBok kwadratu: \\(a = 2 \\cdot OM = 20\\)\n\nObjętość:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 20^2 \\cdot 8\\sqrt{6} = \\frac{1}{3} \\cdot 400 \\cdot 8\\sqrt{6} = \\boxed{\\dfrac{3200\\sqrt{6}}{3}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy w końcowym rachunku - pole podstawy kwadratu to \\(P_p = a^2 = 400\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa kąta w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]\nUżyliśmy przy wyznaczeniu kąta między apatemą \\(SM\\) a odcinkiem \\(OM\\) w trójkącie \\(SOM\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[SM^2 = h^2 + OM^2\\]\nUżyliśmy w równaniu II (Sposób 1).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy **nie jest** kątem między krawędzią boczną \\(SA\\) a podstawą. To dwie różne rzeczy! Kąt krawędzi bocznej mierzymy od wierzchołka \\(S\\) do narożnika \\(A\\), kąt ściany - od wierzchołka \\(S\\) do **środka krawędzi** \\(M\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(OM = \\dfrac{a}{2}\\), bo \\(O\\) jest środkiem kwadratu o boku \\(a\\), a odległość od środka do środka krawędzi to właśnie połowa boku - to nie jest połowa przekątnej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sin\\varphi\\) ze znajomości \\(\\operatorname{tg}\\varphi\\) skorzystaj ze wzoru \\(\\dfrac{1}{\\cos^2\\varphi} = 1 + \\operatorname{tg}^2\\varphi\\) - to szybsza droga niż rysowanie trójkąta pomocniczego i szukanie przyprostokątnych.\n\n**Odpowiedź: \\(V = \\dfrac{3200\\sqrt{6}}{3}\\)**\n\n### Oznaczenia\n- \\(a\\) - krawędź podstawy (bok kwadratu),\n- \\(H\\) - wysokość ostrosłupa (\\(|SO| = H\\)),\n- \\(h = 22\\) - wysokość ściany bocznej (apotema ściany; \\(|SE| = h\\), gdzie \\(E\\) - środek krawędzi podstawy, \\(BC\\)),\n- \\(|OE| = \\tfrac{a}{2}\\) (odcinek od środka podstawy do środka krawędzi \\(BC\\) = połowa boku),\n- kąt \\(\\angle SEO = \\varphi\\) - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.\n\n### Sposób - Dwa warunki\n**Warunek 1 (tangens):**\n\\[\\tg\\varphi = \\dfrac{|SO|}{|OE|} = \\dfrac{H}{\\tfrac{a}{2}} = \\dfrac{2H}{a} = \\dfrac{4\\sqrt{6}}{5}.\\]\nStąd:\n\\[5 \\cdot 2H = 4\\sqrt{6}\\cdot a \\Rightarrow H = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{5}a.\\]\n\n**Warunek 2 (Pitagoras w trójkącie \\(SOE\\)):**\nTrójkąt \\(SOE\\) prostokątny w \\(O\\), przeciwprostokątna \\(|SE| = h = 22\\).\n\\[H^2 + \\left(\\tfrac{a}{2}\\right)^2 = h^2 = 484.\\]\n\nPodstawiamy \\(H = \\tfrac{2\\sqrt{6}}{5}a\\):\n\\[\\dfrac{24}{25}a^2 + \\dfrac{a^2}{4} = 484.\\]\n\nWspólny mianownik \\(100\\):\n\\[\\dfrac{96a^2}{100} + \\dfrac{25a^2}{100} = 484,\\]\n\\[\\dfrac{121a^2}{100} = 484,\\]\n\\[a^2 = \\dfrac{484 \\cdot 100}{121} = 4 \\cdot 100 = 400.\\]\n\\[a = 20.\\]\n\n**Wysokość ostrosłupa:**\n\\[H = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{5}\\cdot 20 = 8\\sqrt{6}.\\]\n\n### Objętość ostrosłupa\n\\[V = \\tfrac{1}{3}\\cdot P_p \\cdot H = \\tfrac{1}{3}\\cdot a^2 \\cdot H = \\tfrac{1}{3}\\cdot 400 \\cdot 8\\sqrt{6} = \\dfrac{3200\\sqrt{6}}{3}.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(H = 8\\sqrt{6} \\approx 19{,}6\\), \\(\\tfrac{a}{2} = 10\\). Sprawdzamy Pitagorasa: \\((8\\sqrt{6})^2 + 10^2 = 384 + 100 = 484 = 22^2\\) ✓.\nTangens: \\(\\tfrac{8\\sqrt{6}}{10} = \\tfrac{4\\sqrt{6}}{5}\\) ✓.\n\\(V \\approx \\tfrac{3200 \\cdot 2{,}449}{3} \\approx \\tfrac{7838}{3} \\approx 2613.\\)\n\n### Pułapki\n- Pomyłka: kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy używa odległości \\(|OE| = \\tfrac{a}{2}\\), nie przekątnej podstawy.\n- Wysokość ściany bocznej to odcinek \\(|SE|\\) (apotema boczna), nie krawędź \\(|SA|\\).\n- Ważne żeby użyć wzoru \\(V = \\tfrac{1}{3}P_p H\\), a nie \\(V = P_p H\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nZbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie\nróżne cyfry spośród: 1, 2, 3, 4, 5. Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba\nz tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz\nprawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której cyfra dziesiątek jest\nmniejsza od cyfry jedności.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n23\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA-P1_1P-144\n32\n33\n34\n27\n28\n29\n30\n31\n26\nNr\nzad.\nPunkty\n0\n1\n2\n3\n4\n5\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nSUMA\nPUNKTÓW\nD\nJ\n0\n0\n1\n1\n2\n2\n3\n3\n4\n4\n5\n5\n6\n6\n7\n7\n8\n8\n9\n9\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25\nOdpowiedzi\nNr\nzad.\nPESEL\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nMiejsce na naklejkę\nz nr. PESEL\n\nKOD EGZAMINATORA\nCzytelny podpis egzaminatora\nKOD ZDAJĄCEGO\nZbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: 1, 2, 3, 4, 5. Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{3}{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie wypisanie zbioru M i zdarzenia sprzyjającego\n\n**Krok 1: Wyznacz zbiór M**\n\nSzukamy liczb dwucyfrowych, w których:\n- obie cyfry (dziesiątek i jedności) pochodzą ze zbioru \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\),\n- obie cyfry są **różne**.\n\nWypisujemy wszystkie możliwości (cyfra dziesiątek × cyfra jedności, różne):\n\n| Dziesiątki | Jedności | Liczby |\n| 1 | 2,3,4,5 | 12, 13, 14, 15 |\n| 2 | 1,3,4,5 | 21, 23, 24, 25 |\n| 3 | 1,2,4,5 | 31, 32, 34, 35 |\n| 4 | 1,2,3,5 | 41, 42, 43, 45 |\n| 5 | 1,2,3,4 | 51, 52, 53, 54 |\n\n**\\(|M| = 20\\)**\n\n**Krok 2: Wyznacz zdarzenie sprzyjające**\n\nSzukamy liczb spełniających OBA warunki jednocześnie:\n- liczba **większa od 20** (więc cyfra dziesiątek \\(\\geq 2\\)),\n- cyfra dziesiątek **mniejsza od** cyfry jedności.\n\nSprawdzamy każdą grupę:\n\n| Dziesiątki \\(d\\) | Jedności \\(j\\) takie, że \\(d < j\\) i liczba \\(> 20\\) | Liczby |\n| \\(d=1\\) | Liczby 12,13,14,15 - wszystkie \\(<20\\), nie spełniają | - |\n| \\(d=2\\) | \\(j \\in \\{3,4,5\\}\\) (bo \\(2 < j\\)) | **23, 24, 25** |\n| \\(d=3\\) | \\(j \\in \\{4,5\\}\\) (bo \\(3 < j\\)) | **34, 35** |\n| \\(d=4\\) | \\(j \\in \\{5\\}\\) (bo \\(4 < j\\)) | **45** |\n| \\(d=5\\) | \\(j > 5\\), ale \\(j \\in \\{1,2,3,4\\}\\) - brak | - |\n\nZdarzenie sprzyjające: \\(\\{23, 24, 25, 34, 35, 45\\}\\) - **6 liczb**.\n\n**Krok 3: Oblicz prawdopodobieństwo**\n\n\\[P = \\frac{6}{20} = \\boxed{\\frac{3}{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Kombinatoryczny (bez wypisywania)\n\n**Krok 1: Rozmiar \\(\\Omega\\)**\n\nWybieramy 2 różne cyfry z \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\) i układamy je w określonej kolejności (dziesiątki, jedności):\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 4 = 20\\]\n\n**Krok 2: Zdarzenie sprzyjające kombinatorycznie**\n\nWarunek \"cyfra dziesiątek mniejsza od cyfry jedności\" to wybór pary \\(\\{d, j\\}\\) z \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\) (bez powtórzeń) i ustawienie mniejszej na miejscu dziesiątek.\n\nAle mamy dodatkowy warunek: liczba \\(> 20\\), tzn. \\(d \\geq 2\\).\n\nEliminujemy pary, gdzie \\(d = 1\\) (bo \\(1 < j\\) spełnione, ale liczba to \\(1j < 20\\)):\n- Pary z \\(d=1\\): \\(\\{1,2\\},\\{1,3\\},\\{1,4\\},\\{1,5\\}\\) - 4 pary wykluczone.\n\nWszystkich par spełniających \\(d < j\\):\n\\[\\binom{5}{2} = 10\\]\n\nPo odjęciu 4 par z \\(d=1\\):\n\\[10 - 4 = 6\\]\n\n\\[P = \\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nZastosowanie: \\(|\\Omega| = 20\\) (wszystkie równie prawdopodobne liczby z M), \\(|A| = 6\\) (sprzyjające).\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - kombinacje w Sposobie 2:\n\\[\\binom{5}{2} = \\frac{5!}{2! \\cdot 3!} = 10\\]\nZastosowanie: zliczenie par cyfr \\(\\{d,j\\}\\) z \\(d < j\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunki \"większa od 20\" **i** \"cyfra dziesiątek mniejsza od cyfry jedności\" muszą być spełnione **jednocześnie** - nie wystarczy sprawdzić tylko jednego z nich. Liczby 12, 13, 14, 15 spełniają drugi warunek, ale nie pierwszy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"dwie różne cyfry spośród \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\)\" z \"dowolne dwie różne cyfry\". Cyfry 0 i 6-9 są wykluczone, więc przestrzeń próbna ma tylko 20 elementów, nie więcej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla \\(d = 5\\) nie istnieje żadna cyfra jedności \\(j \\in \\{1,2,3,4\\}\\) większa od 5 - uczniowie czasem o tym zapominają i doliczają nieistniejące przypadki.\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{10}\\)**\n\n### Sposób 1 - Model klasyczny\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych** - dwucyfrowe liczby o **różnych** cyfrach ze zbioru \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\).\nCyfra dziesiątek: \\(5\\) możliwości. Cyfra jedności: \\(4\\) możliwości (musi być różna od cyfry dziesiątek).\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 4 = 20.\\]\n\n**Zdarzenie \\(A\\)** - liczba \\(>20\\) oraz cyfra dziesiątek \\(<\\) cyfra jedności.\nOznacza to pary \\((a, b)\\), gdzie \\(a\\) - cyfra dziesiątek, \\(b\\) - cyfra jedności, z warunkami:\n- \\(a \\in \\{2, 3, 4, 5\\}\\) (bo liczba \\(>20\\) i dwucyfrowa ze zbioru \\(\\{1, ,5\\}\\) wymaga \\(a \\ge 2\\); warto sprawdzić: dla \\(a = 2\\), \\(b \\in \\{1,3,4,5\\}\\) - liczba \\(21\\) > \\(20\\)? Tak, \\(21 > 20\\) ✓),\n- \\(a < b\\).\n\nWyliczamy:\n- \\(a = 2\\): \\(b \\in \\{3, 4, 5\\}\\) - \\(3\\) pary.\n- \\(a = 3\\): \\(b \\in \\{4, 5\\}\\) - \\(2\\) pary.\n- \\(a = 4\\): \\(b \\in \\{5\\}\\) - \\(1\\) para.\n- \\(a = 5\\): \\(b > 5\\) - brak.\n\n\\[|A| = 3 + 2 + 1 = 6.\\]\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{6}{20} = \\dfrac{3}{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wypisanie par\n\\(A = \\{(2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)\\}\\) - 6 liczb: \\(23, 24, 25, 34, 35, 45\\).\n\nWszystkie te liczby są \\(>20\\). Razem \\(6\\) zdarzeń z \\(20\\) zdarzeń elementarnych:\n\\[P(A) = \\dfrac{6}{20} = \\dfrac{3}{10}.\\]\n\n### Sposób 3 - Drzewko losowe\nLosujemy najpierw cyfrę dziesiątek (\\(\\tfrac{1}{5}\\) każda), potem jedności z czterech pozostałych (\\(\\tfrac{1}{4}\\) każda).\nKorzystne gałęzie (po warunkach): 6 gałęzi, każda o prawdopodobieństwie \\(\\tfrac{1}{5}\\cdot \\tfrac{1}{4} = \\tfrac{1}{20}\\).\n\\[P(A) = 6 \\cdot \\tfrac{1}{20} = \\tfrac{6}{20} = \\tfrac{3}{10}.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(\\tfrac{3}{10} = 0{,}3 = 30\\%\\).\nCałkowita liczba liczb w \\(M\\): \\(20\\) (dwucyfrowych o różnych cyfrach).\nZliczanie ręczne par z warunkami potwierdza \\(6\\).\n\n### Pułapki\n- Warunek „cyfry różne\" - kluczowe, to eliminuje liczby \\(11, 22, 33, 44, 55\\).\n- Dla \\(a = 2\\) i \\(b = 1\\) liczba \\(21 > 20\\), ale cyfra dziesiątek \\(>\\) cyfra jedności, więc nie w \\(A\\).\n- Warunek „większa od \\(20\\)\" wyklucza pary z \\(a = 1\\) (liczby \\(12, 13, 14, 15\\) są \\(<20\\)).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":22,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}