{"paper":{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n32\n18\n2\njest równa\nA.\n2\n3\n2\nB.\n2\n1\n2\nC.\n2\n1\n2\nD.\n2\n3\n2\nLiczba 2√18 - √32 jest równa A. 2^{-3/2} B. 2^{-1/2} C. 2^1/2 D. 2^3/2","answer":"D","answer_text":"2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nWartość wyrażenia\n2\n1\n5\n2\n4\n2\n32\n⋅\n⋅\njest równa\nA.\n2\n1\nB. 2\n1\nC. 1\nD. 1\nWartość wyrażenia 5√-32⋅2^{-1}/4 ⋅ 2² jest równa A. -1/2 B. 1/2 C. 1 D. -1","answer":"D","answer_text":"x\n\n3\n\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nPrzy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45 018 zł. Jaka\njest cena netto tego samochodu?\nA. 34 663,86 zł\nB. 36 600 zł\nC. 44 995 zł\nD. 55 372,14 zł\nPrzy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45018 zł. Jaka jest cena netto tego samochodu? A. 34663,86 zł B. 36600 zł C. 44995 zł D. 55372,14","answer":"B","answer_text":"\n\n\n\n0\n, stąd\n3\n\n\nx\n\n\n\n\n\n0\n,","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nWyrażenie\n2\n2\n3\n12\n12\na\nab\nb\nmoże być przekształcone do postaci\nA. (\n)\n2\n2\n2\n3 a\nb\nB. (\n)\n2\n2\n3\n2\na\nb\nC. (\n)\n2\n3\n2\na\nb\nD. (\n)\n2\n3\n2\na\nb\nWyrażenie 3a^2-12ab+12b² może być przekształcone do postaci A. 3(a^2-b^2)² B. 3(a-2b^2)² C. 3(a-2b)² D. 3(a+2b)^2","answer":"C","answer_text":", stąd\na ","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nPara liczb\n2\nx =\ni\n1\ny = jest rozwiązaniem układu równań\n5\n2\n3\nx\nay\nx\ny\n\n\n\n, gdy\nA.\n3\na = -\nB.\n2\na = -\nC.\n2\na =\nD.\n3\na =\nPara liczb x=2 i y=1 jest rozwiązaniem układu równań x+ay=5; 2x-y=3, gdy A. a=-3 B. a=-2 C. a=2 D. a=3","answer":"D","answer_text":"4","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nRównanie\n2\n2\n11\n3\n0\nx\nx\nA. nie ma rozwiązań rzeczywistych.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nC. ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste.\nD. ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRównanie 2x^2+11x+3=0 A. nie ma rozwiązań rzeczywistych. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C. ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste. D. ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.","answer":"D","answer_text":"f x\n( )\n\nax\n2\n\n6\nax\n.\nc","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nWartość wyrażenia sin120\ncos30\n°-\n° jest równa\nA. sin90°\nB. sin150°\nC. sin 0°\nD. sin 60°\nWartość wyrażenia sin120°-cos30° jest równa A. sin 90° B. sin 150° C. sin 0° D. sin 60°","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nWyrażenie\n3\n3\n3sin\ncos\n3sin\ncos\nα\nα\nα\nα\nmoże być przekształcone do postaci\nA. 3\nB. 3sin\ncos\nα\nα\nC.\n3\n3\n3sin\ncos\nα\nα\nD.\n4\n4\n6sin\ncos\nα\nα\nWyrażenie 3sin³αcosα + 3sinαcos³α może być przekształcone do postaci A. 3 B. 3sinαcosα C. 3sin³αcos³α D. 6sin^4αcos^4α","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNa rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y\nax\nb\nprzechodzącej przez\npunkty (\n)\n0,\n2\ni (\n)\n6, 2 .\n-3 -2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\nx\ny\n0\nWtedy\nA.\n2 ,\n2\n3\na\nb\nB.\n3,\n2\na\nb\nC.\n3 ,\n2\n2\na\nb\nD.\n3,\n2\na\nb\nNa rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y=ax+b przechodzącej przez punkty (0,-2) i (6,2). [rysunek] Wtedy A. a=2/3, b=-2 B. a=3, b=-2 C. a=3/2, b=2 D. a=-3, b=2","answer":"A","answer_text":"4\nf x\n( )\n\nax\n2\n\n6\nax\n\n9\na\n.\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nProsta k przecina oś Oy układu współrzędnych w punkcie (\n)\n0,6 i jest równoległa do prostej\no równaniu\n3\ny\nx\n. Wówczas prosta k przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie\nA. (\n)\n12,0\nB. (\n)\n2,0\nC. (\n)\n2,0\nD. (\n)\n6,0\nProsta k przecina oś Oy układu współrzędnych w punkcie (0,6) i jest równoległa do prostej o równaniu y=-3x. Wówczas prosta k przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A. (-12,0) B. (-2,0) C. (2,0) D. (6,0)","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nLiczba niewymiernych rozwiązań równania\n(\n)(\n)(\n)\n2\n2\n5\n2\n3\n7\n0\nx\nx\nx\nx\njest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 5\nD. 2\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nLiczba niewymiernych rozwiązań równania x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7) = 0 jest równa A. 0 B. 1 C. 5 D. 2","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f.\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nx\ny\ny=f(x)\nFunkcja f jest rosnąca w przedziale\nA.\n1,1\nB. 1, 5\nC. 5, 6\nD. 6, 8\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f. [rysunek] Funkcja f jest rosnąca w przedziale A. <-1,1> B. <1,5> C. <5,6> D. <6,8>","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg geometryczny (\n)\nna\njest określony wzorem\n2n\nna =\ndla\n1\nn ≥. Suma dziesięciu\npoczątkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. (\n)\n10\n2 1 2\nB.\n(\n)\n10\n2 1 2\nC. (\n)\n10\n2 1\n2\nD.\n(\n)\n10\n2 1\n2\nCiąg geometryczny (a_n) jest określony wzorem a_n=2^n dla n≥1. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa A. 2(1-2^10) B. -2(1-2^10) C. 2(1+2^10) D. -2(1+2^10)","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nSuma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika\nstąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa\nA. 13\nB. 12\nC. 7\nD. 6\nSuma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa A. 13 B. 12 C. 7 D. 6","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nMiary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku 3 : 4 : 5 . Najmniejszy kąt\nwewnętrzny tego trójkąta ma miarę\nA. 45°\nB. 90°\nC. 75°\nD. 60°\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nMiary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku 3:4:5. Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę A. 45° B. 90° C. 75° D. 60°.","answer":"A","answer_text":"P A \n","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nW trójkącie ABC , w którym AC\nBC\n, na boku AB wybrano punkt D taki, że\nBD\nCD\noraz\n21\nACD =\n°\n\n(zobacz rysunek).\nWynika stąd, że kąt BCD ma miarę\nA. 57°\nB. 53°\nC. 51°\nD. 55°\nW trójkącie ABC, w którym |AC|=|BC|, na boku AB wybrano punkt D taki, że |BD|=|CD| oraz |∠ACD|=21° (zobacz rysunek) [rysunek] Wynika stąd, że kąt BCD ma miarę A. 57° B. 53° C. 51° D. 55°","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDługości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7 cm , a drugi ma 2 cm .\nTrzeci bok tego trójkąta może mieć długość\nA. 12 cm\nB. 9 cm\nC. 6 cm\nD. 3 cm\nDługości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7 cm, a drugi ma 2 cm. Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość A. 12 cm B. 9 cm C. 6 cm D. 3 cm","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nBoki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego\ntrójkąta jest równe\nA. 60\nB. 120\nC. 60 3\nD. 120 3\nBoki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego trójkąta jest równe A. 60 B. 120 C. 60√3 D. 120√3","answer":"C","answer_text":"4\nr\n,\na\n3\n\n18\n\n2\nr\n,\na\n13\n\n18 8\n\nr","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nTworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek).\nKąt α rozwarcia tego stożka jest równy\nA. 30°\nB. 45°\nC. 60°\nD. 90°\nA\nB\nC\nD\n21°\nα\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nTworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek). [rysunek] Kąt α rozwarcia tego stożka jest równy A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nGraniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie\nA. 16 wierzchołków.\nB. 9 wierzchołków.\nC. 16 krawędzi.\nD. 8 krawędzi.\nGraniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie A. 16 wierzchołków. B. 9 wierzchołków. C. 16 krawędzi. D. 8 krawędzi.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt\nnachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę\nA. 30°\nB. 45°\nC. 60°\nD. 75°\nW ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nLiczba 0,3 jest jednym z przybliżeń liczby 5\n16 . Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony\nw procentach, jest równy\nA. 4%\nB. 0,04%\nC. 2,5%\nD. 0,025%\nLiczba 0,3 jest jednym z przybliżeń liczby 5/16. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy A. 4% B. 0,04% C. 2,5% D. 0,025%","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"algebra","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, x jest równa n, natomiast średnia\narytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, x, 2x jest równa 2n. Wynika stąd, że\nA.\n49\nx\nB.\n21\nx\nC.\n14\nx\nD.\n7\nx\nŚrednia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x jest równa n, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x,2x jest równa 2n. Wynika stąd, że A. x=49 B. x=21 C. x=14 D. x=7","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"algebra","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nIle jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych\nprzez 9?\nA. 6\nB. 10\nC. 12\nD. 15\nIle jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9? A. 6 B. 10 C. 12 D. 15","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nNa loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej\nliczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka\nsama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano\nA. 4 losy.\nB. 20 losów.\nC. 50 losów.\nD. 25 losów.\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nNa loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano A. 4 losy. B. 20 losów. C. 50 losów. D. 25 losów.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n9\n3\nx\nx\nx\n≤\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 3x^2-9x ≤ x-3","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x \\in \\left\\langle\\dfrac{1}{3}, 3\\right\\rangle$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n)\n2\n2\n3\n0\nx x\nx\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż równanie x(x^2-2x+3)=0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x=0$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nCzworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz\nrysunek). Udowodnij, że\n2\n2\n2\n2\nAC\nBC\nBD\nAD\nA\nB\nD\nC\nO\n\nMMA_1P\nCzworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AD|^2+|BD|² = |BC|² + |AC|^2. [rysunek]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":14,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n3\n5\n4\n0\nx\ny\nxy\n≥\n\nMMA_1P\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność 3x^2+5y^2-4xy ≥ 0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"algebra","page_from":15,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nFunkcja kwadratowa, f dla\n3\nx = - przyjmuje wartość największą równą 4. Do wykresu\nfunkcji f należy punkt\n(\n)\n1, 3\nA = -\n. Zapisz wzór funkcji kwadratowej f .\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nFunkcja kwadratowa f dla x=-3 przyjmuje wartość największą równą 4. Do wykresu funkcji f należy punkt A=(-1,3). Zapisz wzór funkcji kwadratowej f.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$f(x)=-\\dfrac{1}{4}x^{2}-\\dfrac{6}{4}x+\\dfrac{7}{4}$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"funkcje","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nZe zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną\nprzez 8 lub liczbę podzielną przez 12.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nZe zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P(A)=\\dfrac{1}{6}$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":17,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nDany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (\n)\nna\n, dla\n1\nn ≥ taki, że\n5\n18\na =\n. Wyrazy\n1a ,\n3a oraz\n13\na\ntego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego\nciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (\n)\nna\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nDany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a_n), dla n≥1 taki, że a_5=18. Wyrazy a_1, a_3 oraz a_13 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a_n).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$a_{n}=4n-2$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"ciagi","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC\nBC\n. Ponadto wiadomo, że\n(\n)\n2,4\nA = -\ni\n(\n)\n6,\n2\nB =\n. Wierzchołek C należy do osi Oy. Oblicz współrzędne\nwierzchołka C.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Ponadto wiadomo, że A=(-2,4) i B=(6,-2). Wierzchołek C należy do osi Oy. Oblicz współrzędne wierzchołka C.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$C=\\left(0, -\\dfrac{5}{3}\\right)$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"analityczna","page_from":19,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nObjętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 27 3 . Długość krawędzi\nAB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej\ntego ostrosłupa.\nO\nA\nS\nC\nB\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nObjętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 27√3. Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. [rysunek]","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P_{c} = 9(\\sqrt{3} + 2\\sqrt{21})$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}