{"paper":{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":16,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nCiąg (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n6\n1\nn\na\na\nn\nn\ndla każdej liczby naturalnej\n1\n≥\nn\n. Trzeci\nwyraz tego ciągu jest równy\n3\n1\na = -. Wyraz\n2\na jest równy\nA.\n3\nB.\n2\nC. 2\nD. 3\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_{n+1}=a_n+n-6 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy a_3=-1. Wyraz a_2 jest równy A. -3 B. -2 C. 2 D. 3","answer":"D","answer_text":"2sin\nx\n\n1\n\n\nsin\nx\n\n1\n\n\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"ciagi","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba punktów wspólnych wykresów funkcji\n1\ny\nx\n= -+ i\n2\nlog\ny\nx\njest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\nLiczba punktów wspólnych wykresów funkcji y=-x+1 i y=log_2 x jest równa A. 0 B. 1 C. 2 D. 3","answer":"B","answer_text":"1 sin\n\n\nx\n\ncos\n2\nx\n\n3sin\n2\nx\nw postaci równoważnej \n4sin\n2\nx\n\n1 sin\n\n\nx\n\n1 4sin\n2\nx","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nKtóra z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum\nlokalnego ani maksimum lokalnego?\nA.\nx\nx\nx\nf\n5\n4\n)\n(\n2 +\nB.\n2\n3\n2\n3\n)\n(\nx\nx\nx\nf\nC.\nx\nx\nx\nf\n2\n3\n1\n)\n(\n3 +\nD.\n(\n)\n2\n1\n4\n)\n(\nx\nx\nf\nKtóra z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego? A. f(x)=4x^2+5x B. f(x)=3x^3+2x^2 C. f(x)=1/3x^3+2x D. f(x)=(4x+1)^2","answer":"C","answer_text":"61\n\n","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"optymalizacja","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDla dowolnego kąta α wartość wyrażenia\n(\n)\nsin\nsin 180\nα\nα\n°-\njest równa wartości\nwyrażenia\nA. sin 2α\nB.\nsinα\nC. 2sinα\nD. 0\nDla dowolnego kąta α wartość wyrażenia sinα + sin(180°-α) jest równa wartości wyrażenia A. sin2α B. -sinα C. 2sinα D. 0","answer":"C","answer_text":"14","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-1)\nZbiór K - to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których wartość liczbowa wyrażenia\n)\n9\n(\n2 -\nx\nx\njest liczbą rzeczywistą. Zatem\nA. K =\n)\n∞\n∪\n,3\n0\n,3\nB. K = (\n3\n,0\n3\n,\n∪\n∞\nC. K = (\n)\n(\n)\n∞\n∪\n,3\n0\n,3\nD. K = (\n)\n(\n)\n3\n,0\n3\n,\n∪\n∞\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R\nZbiór K - to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których wartość liczbowa wyrażenia √x(x^2-9) jest liczbą rzeczywistą. Zatem A. K=<-3,0>∪<3,+∞) B. K=(-∞,-3>∪<0,3> C. K=(-3,0)∪(3,+∞) D. K=(-∞,-3)∪(0,3)","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nWyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność\n1025\nx\nx\n<\n. W poniższe\nkratki wpisz - kolejno - cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.\n\nMMA_1R\nWyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność |x|<|x-1025|. W poniższe kratki wpisz - kolejno - cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku. [rysunek]","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-2)\nWyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność\n1025\nx\nx\n\n\n. W poniższe\nkratki wpisz - kolejno - cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.\nOdpowiedź\nSzukaną liczbą jest 512.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze cyfry: 5, 1, 2 .","solution":"512","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nProsta o równaniu\n14\n61\n4\n3\nx\ny\njest styczna od okręgu o środku\n(\n)\n4\n,1 -\nS\n. Wyznacz\npromień tego okręgu.\n\nMMA_1R\nProsta o równaniu y=3/4x-61/14 jest styczna od okręgu o środku S=(1,-4). Wyznacz promień tego okręgu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-2)\nProsta o równaniu\n14\n61\n4\n3\n\n\nx\ny\njest styczna od okręgu o środku\n\n\n4\n,1\n\nS\n. Wyznacz\npromień tego okręgu.\nRozwiązanie\nZapisujemy równanie prostej w postaci ogólnej :\n0\n7\n122\n4\n3\n\n\n\n\ny\nx\n. Obliczamy długość\npromienia okręgu:\n\n\n2\n2\n122\n3 1 4\n4\n11\n7\n35\n3\n4\nr\n\n\n\n\n\nOdpowiedź\nPromień okręg ma długość\n11\n35\nr \n3\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze równanie prostej w postaci:\n0\n7\n122\n4\n3\n\n\n\n\ny\nx\noraz wykorzysta wzór na\nodległość punktu od prostej i zapisze\n\n\n2\n2\n122\n3 1\n4\n4\n7\n3\n4\nr\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy promień okręgu\n11\n35\nr ","solution":"Promień okręgu ma długość $r = \\dfrac{11}{35}$.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nNiech\n12\nlog\n2\na =\n. Wykaż, że\n6\n6\nlog 64\n1\na\na\n\nMMA_1R\n\nMMA_1R\nNiech a=log_12 2. Wykaż, że log_6 64 = 6a/1-a.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nNiech\n12\nlog 2\na \n. Wykaż, że\n6\n6\nlog 64\n1\na\na\n\nI sposób rozwiązania\nZmieniamy podstawę logarytmu i wykonujemy kolejno przekształcenia\n6\n12\n12\n12\n6\n12\n12\n12\n12\nlog 64\nlog 2\n6log 2\n6\nlog 64\n12\nlog 6\nlog 12\nlog 2\n1\nlog\n2\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. To kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze, że\n12\n6\n12\nlog 64\nlog 64\nlog 6\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze, że\n6\n12\n6\n12\nlog 2\nlog 64\n12\nlog\n2\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nII sposób rozwiązania\nZauważamy kolejno, że\n12\n12\n6\n12\n12\n12\n6log 2\nlog 64\n6\nlog 64.\n1\nlog 12\nlog 2\nlog 6\na\na \n\n\n\n\nA to kończy dowód.\n4\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze, że\n6\n12\n12\n12\nlog 2\n6\n1\nlog 12\nlog 2\na\na \n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze, że\n12\n12\nlog 64\n6\n1\nlog 6\na\na \n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIII sposób rozwiązania\nRówność\n12\nlog 2\na \njest równoważna równości 12\n2\na \n. Podzielimy tę równość stronami\nprzez dodatnią liczbę 2a . Otrzymujemy równość\n12\n2\n2\n2\na\na\na\n\n, a zatem\n1\n6\n2\na\na\n\n\nPonieważ obie strony równości są dodatnie, więc ta równość jest równoważna równości\n6\n1\n6\n64\na\na\n\n\n, a zatem\n6\n16\n64\na\na\n\nOstatnia równość oznacza, że\n6\n6\nlog 64\n1\na\na\n\n. To kończy dowód.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze, że\n12\n2\n2\n2\na\na\na\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze, że\n6\n1\n6\n64\na\na\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\n5\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony","solution":"To kończy dowód.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"logarytmy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nW trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy\nwierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg\n1o przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC\ntrójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg\n2o przechodzi przez punkt B, przecina okrąg\n1o w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg\n2o\nprzecina bok BC trójkąta w punkcie G.\nUdowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.\nD\nF\nG\nC\nE\nB\nA\n60°\n50°\n\nMMA_1R\n\nMMA_1R\nW trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg o_1 przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg o_2 przechodzi przez punkt B, przecina okrąg o_1 w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg o_2 przecina bok BC trójkąta w punkcie G. [rysunek] Udowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nW trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50, a kąt wewnętrzny przy\nwierzchołku C ma miarę 60. Okrąg\n1o przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC\ntrójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg\n2o przechodzi przez punkt B, przecina okrąg\n1o w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg\n2o\nprzecina bok BC trójkąta w punkcie G.\nUdowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.\nD\nF\nG\nC\nE\nB\nA\n60\n50\n6\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nRozwiązanie\nTrzeci kąt trójkąta ABC ma miarę:\n\n\n180\n50\n60\n70\nABC \n\n\n\n\nPołączmy punkt F z punktami D, E i G.\nCzworokąty ADFE i BDFG są wpisane odpowiednio w okręgi\n1\nO i\n2\nO , więc\n180\n50\n130\nDFE \n\n\n\noraz\n180\n70\n110\nDFG \n\n\n\n. Zatem\n\n\n360\n130\n110\n120\nEFG \n\n\n\n\nStąd\n120\n60\n180\nEFG\nECG\n\n\n\n\n\n, zatem na czworokącie CEFG można opisać\nokrąg, co kończy dowód.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nObliczenie miary kąta DFE:\n130\nDFE \n\nalbo miary kąta DFG:\n110\nDFG \n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nObliczenie miary kąta EFG:\n120\nEFG \n\nRozwiązanie pełne 3 p.\nPełne uzasadnienie, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.\nD\nF\nG\nC\nE\nB\nA\n60\n50\n7\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony","solution":"co kończy dowód.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie (\n)\n2\n2\n2\n4sin\n1 sin\ncos\n3sin\nx\nx\nx\nx\n⋅\n, dla\n(\n)\n,0\nx\nπ\n∈-\n\nMMA_1R\nRozwiąż równanie (4sin²x-1)⋅sin x = cos²x - 3sin²x, dla x∈(-π,0).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie \n\n2\n2\n2\n4sin\n1 sin\ncos\n3sin\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n, dla\n\n\n,0\nx\n\n\nRozwiązanie\nKorzystamy ze wzoru\n2\n2\nsin\ncos\n1\nx\nx\n\n i zapisujemy równanie\n\n\n2\n2\n2\n4sin\n1 sin\ncos\n3sin\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\nw postaci równoważnej \n\n2\n2\n4sin\n1 sin\n1 4sin\nx\nx\nx\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie i zapisujemy je w postaci iloczynowej:\n\n\n2\n2\n4sin\n1 sin\n1 4sin\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\n\n\n\n2\n4sin\n1\nsin\n1\n0\nx\nx\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2sin\n1\n2sin\n1\nsin\n1\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nWarunek\n1\nsin\n2\nx \njest sprzeczny z założeniem\n\n\n,0\nx\n\n\n, bo wtedy sin\n0.\nx \nZatem warunki\n1\nsin\n2\nx \ni\n\n\n,0\nx\n\n\nwyznaczają rozwiązanie\n6\nx\n\n\nlub\n5\n6\nx\n\n\n,\na warunki sin\n1\nx  i\n\n\n,0\nx\n\n\nwyznaczają rozwiązanie\n2\nx\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp, ale nie zostały pokonane zasadnicze\ntrudności zadania 1 pkt\nZapisanie równania z niewiadomą sin x : \n\n2\n2\n4sin\n1 sin\n1 4sin\nx\nx\nx\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie równania w postaci alternatywy:\n1\nsin\n2\nx \nlub\n1\nsin\n2\nx \n, lub sin\n1\nx .\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nRozwiązanie jednego z trzech równań w przedziale \n\n,0\n\n\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nPodanie wszystkich rozwiązań należących do przedziału \n\n,0\n\n\n:\n6\nx\n\n\nlub\n5\n6\nx\n\n\n, lub\n2\nx\n\n\nUwagi\n1. Jeżeli zdający nie odrzuci warunku\n1\nsin\n2\nx \noraz wyznaczy z pozostałych\nwarunków poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający poda ogólne rozwiązania równania bez uwzględnienia przedziału\n\n\n,0\n\n\n, to otrzymuje 3 punkty.\n8\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony","solution":"$x = -\\dfrac{\\pi}{6}$ lub $x = -\\dfrac{5\\pi}{6}$, lub $x = -\\dfrac{\\pi}{2}$.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość\nodcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu\ni przeciwprostokątnej.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nW trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nW trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość\nodcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu\ni przeciwprostokątnej.\nRozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nObliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, długość przeciwprostokątnej AB:\n25\nAB \ni kosinus kąta\nCAB\n:\n3\ncos\n5\nCAB \nObliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:\n15\n20\n25\n5\n2\n2\nAC\nBC\nAB\nr\n\n\n\n\n\n\n\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wyznaczamy długość odcinka AD:\n10\nAD \nObliczamy CD stosując twierdzenie kosinusów dla trójkąta ACD:\n2\n2\n2\n3\n2\ncos\n225 100\n2 15 10\n145\n5\nCD\nAC\nAD\nAC AD\nCAD\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n145\nCD \nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZdający obliczy długość przeciwprostokątnej i kosinusa kąta ostrego trójkąta:\n25\nAB \n,\n3\ncos\n5\nCAB \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający obliczy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt:\n5\nr \nA\nB\nC\nr\nD\n9\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie długości odcinka AD:\n10\nAD \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nWyznaczenie długości odcinka CD:\n145\nCD \nUwaga\nJeżeli zdający zakłada, że odcinek CD jest prostopadły do przeciwprostokątnej AB i z tego\nkorzysta, to za całe zadanie może otrzymać nie więcej niż 1 punkt.","solution":"$|CD| = \\sqrt{145}$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"planimetria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nDany jest trójkąt ABC , w którym\na\nBC =\n. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do\nboku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która\nprzecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa\na\n3\n2\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nDany jest trójkąt ABC, w którym |BC|=a. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P. Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2/3a.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-4)\nDany jest trójkąt ABC , w którym\na\nBC \n. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do\nboku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która\nprzecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa\na\n3\n2\nRozwiązanie\nRysujemy trójkąt ABC , zaznaczamy punkty\nP\nS\nD\n,\n,\ni rysujemy odcinek SM równoległy do\nAC i taki, że\nBC\nM \nTrójkąty BSM i BDC są podobne, zatem\n1\n2\nBS\nBM\nDB\nBC\n\n\n, stąd\n1\n2\nBM\nCM\na\n\n\ni\nAC\nDC\nMS\n4\n1\n2\n1\n\n\nTrójkąty PSM i PAC są podobne, zatem PM\nPC\nMS\nAC\n\n. Stąd\nAC\nCM\nPM\nMS\nMP\n\n\ni\n1\n2\n1\n4\nMP\na\nMP\nAC\nAC\n\n\n, czyli\n1\n4\n2\nMP\nMP\na\n\n\n. Stąd\n1\n6\nMP\na\n\nSzukany odcinek ma więc długość:\na\na\na\nMP\nMC\nCP\n3\n2\n6\n1\n2\n1\n\n\n\n\n\n, co należało wykazać.\nA\nB\nC\nD\nS\nM\nP\n10\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zauważy, że trójkąty BSM i BDC są podobne i zapisze proporcję\n1\n2\nBS\nBM\nDB\nBC\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający obliczy długość odcinka CM oraz wyznaczy długość odcinka MS w zależności od\ndługości odcinka AC :\n1\n2\nCM\na\n\n,\nAC\nDC\nMS\n4\n1\n2\n1\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy długość odcinka MP:\n1\n6\nMP\na\n\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowania, tzn. wyznaczy długość odcinka:\n2\n3\nCP\na\n","solution":"co należało wykazać.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie\nwystępują co najwyżej dwie dwójki.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie\nwystępują co najwyżej dwie dwójki.\nRozwiązanie\nW zapisie liczby mają być co najwyżej dwie dwójki, tzn. zero dwójek lub jedna dwójka, lub\ndwie dwójki.\n1. Obliczamy, ile jest liczb 5-cyfrowych parzystych, w których zapisie nie ma dwójki: na\npierwszym miejscu występuje dowolna spośród 8 cyfr (bez zera i dwójki), na drugim jedna\nz 9 cyfr (bez dwójki), na trzecim jedna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym jedna z 9 cyfr (bez\ndwójki) i na piątym miejscu jedna z cyfr należących do zbioru\n\n8,6,4,0\n. Zatem liczb\nparzystych pięciocyfrowych bez dwójki jest:\n23328\n4\n9\n9\n9\n8\n\n\n\n\n\n2. Obliczamy, ile jest liczb 5-cyfrowych parzystych, w których zapisie jest dokładnie jedna\ndwójka:\na) dwójka występuje na pierwszym miejscu, na drugim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na\ntrzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na piątym\ndowolna z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Zatem liczb parzystych pięciocyfrowych\nz dwójką na pierwszym miejscu jest:\n2916\n4\n9\n9\n9\n\n\n\n\n11\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nb) dwójka występuje na drugim miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki i zera),\nna trzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na\npiątym dowolna z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Zatem liczb parzystych\npięciocyfrowych z dwójką na drugim miejscu jest:\n2592\n4\n9\n9\n8\n\n\n\n\nc) dwójka występuje na trzecim miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki i zera),\nna drugim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na\npiątym dowolna z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Zatem liczb parzystych\npięciocyfrowych z dwójką na trzecim miejscu jest:\n2592\n4\n9\n9\n8\n\n\n\n\nd) dwójka występuje na czwartym miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki\ni zera), na drugim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na trzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki),\nna piątym dowolna z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Zatem liczb parzystych\npięciocyfrowych z dwójką na czwartym miejscu jest:\n2592\n4\n9\n9\n8\n\n\n\n\ne) dwójka na piątym miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki i zera), na drugim\ndowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na trzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym\ndowolna z 9 cyfr (bez dwójki). Zatem liczb parzystych pięciocyfrowych z dwójką na piątym\nmiejscu jest:\n5832\n9\n9\n9\n8\n\n\n\n\nStąd wszystkich liczb pięciocyfrowych z jedną dwójką jest:\n16524\n5832\n2592\n2592\n2592\n2916\n\n\n\n\n\n3. Obliczamy, ile jest liczb 5-cyfrowych parzystych, w których zapisie są dokładnie dwie\ndwójki:\na) jedna dwójka występuje na pierwszym miejscu, druga na drugim, trzecim lub czwartym,\nzatem każdą z pozostałych środkowych dwóch cyfr wybieramy spośród 9 cyfr (bez dwójki)\ni piątą cyfrę spośród z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Tych liczb jest więc:\n972\n4\n9\n9\n3\n\n\n\n\nb) jedna dwójka występuje na pierwszym miejscu, a druga dwójka na piątym miejscu, zatem\nkażdą z pozostałych środkowych trzech cyfr wybieramy spośród 9 cyfr (bez dwójki). Tych\nliczb jest więc:\n729\n9\n9\n9\n\n\n\nc) jedna dwójka występuje na drugim miejscu, a druga dwójka na trzecim lub czwartym\nmiejscu, zatem pierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera) pozostałą środkową\nspośród 9 cyfr (bez dwójki) i piątą cyfrę spośród z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Tych\nliczb jest więc:\n576\n4\n9\n8\n2\n\n\n\n\nd) jedna dwójka występuje na drugim miejscu, a druga dwójka na piątym miejscu, zatem\npierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera), pozostałe dwie środkowe cyfry\nspośród 9 (bez dwójki). Tych liczb jest więc:\n648\n9\n9\n8\n\n\n\ne) jedna dwójka występuje na trzecim miejscu, a druga dwójka na czwartym miejscu, zatem\npierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera), drugą spośród 9 i piątą cyfrę spośród\nz cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n.Tych liczb jest więc:\n288\n4\n9\n8\n\n\n\n12\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nf) jedna dwójka występuje na trzecim lub na czwartym miejscu, a druga dwójka na piątym\nmiejscu, zatem pierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera), drugą spośród 9 (bez\ndwójki) i trzecią lub czwartą cyfrę spośród 9 (bez dwójki). Tych liczb jest więc:\n1296\n9\n9\n8\n2\n\n\n\n\nStąd wszystkich liczb pięciocyfrowych z dwiema dwójkami jest\n4509\n1296\n288\n648\n576\n729\n972\n\n\n\n\n\n\nZatem wszystkich liczb pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co\nnajwyżej dwie dwójki jest:\n44361\n4509\n16524\n23328\n\n\n\nOdpowiedź: Jest 44361 liczb parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie\ndwójki.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZapisanie, że szukamy liczb, w których zapisie występuje zero, jedna lub dwie dwójki\ni obliczenie, ile jest liczb pięciocyfrowych parzystych bez dwójki:\n23328\n4\n9\n9\n9\n8\n\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 3 p.\nObliczenie, ile jest liczb pięciocyfrowych parzystych , w których zapisie jest dokładnie jedna\ndwójka:\n16524\n5832\n2692\n2592\n2592\n2916\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający otrzymuje 2 punkty, gdy pominie jeden przypadek.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.\nObliczenie, ile jest liczb pięciocyfrowych parzystych , w których zapisie są\ndwie dwójki:\n4509\n1296\n288\n648\n576\n729\n972\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający otrzymuje 3 punkty, gdy pominie jeden przypadek.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nObliczenie, ile jest wszystkich liczb, w których zapisie występują co najwyżej\ndwie dwójki:\n44361\n4509\n16524\n23328\n\n\n\n13\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony","solution":"Jest $44361$ liczb parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość\n3\n8\n,\njest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze\n30°. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość\n5\n4\n. Oblicz odległość\nspodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość 8√3, jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze 30°. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość 4√5. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość\n3\n8\n,\njest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze\n30. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość\n5\n4\n. Oblicz odległość\nspodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.\nRozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nKrawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości, zatem spodek wysokości ostrosłupa jest\nśrodkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa i trapez ABCD jest trapezem\nrównoramiennym, gdzie |AD|=|BC|. Przekątna d trapezu będącego podstawą ostrosłupa jest\nprostopadła do ramienia |BC|. Stąd środek O okręgu opisanego na podstawie jest środkiem\ndłuższej podstawy AB trapezu. Zatem ściana boczna ABS jest prostopadła do płaszczyzny\npodstawy.\nZ trójkąta ABC mamy\n8\nBC\nAD\n\n.\nDalej wyznaczamy\n60\nODA \n\ni\nAO\nOD\n\n, czyli trójkąt AOD jest trójkątem\nrównobocznym o boku długości 8.\nZ trójkąta SOD lub AOS mamy\n\n\n2\n2\n28\n4 5\nH \n\n. Stąd\n4\nH \nZ trójkąta SOD otrzymujemy:\n8 5\n5\nOK \n. Krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej\ndługości, zatem spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie\nostrosłupa i trapez ABCD jest trapezem równoramiennym, gdzie |AD|=|BC|. Przekątna d\nA\nB\nC\nD\nS\nO\nK\nH\n30°\n14\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\ntrapezu będącego podstawą ostrosłupa jest prostopadła do ramienia |BC|. Stąd środek O\nokręgu opisanego na podstawie jest środkiem dłuższej podstawy AB trapezu. Zatem ściana\nboczna ABS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.\nZ trójkąta ABC mamy\n8\nBC\nAD\n\n.\nDalej mamy\n60\nODA \n\ni AO\nOD\n\n, czyli trójkąt AOD jest trójkątem równobocznym o\nboku długości 8.\nZ trójkąta SOD lub AOS mamy\n\n\n2\n2\n28\n4 5\nH \n\n. Stąd\n4\nH \nZ trójkąta SOD otrzymujemy:\n8 5\n5\nOK \nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 pkt\nZauważenie, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem krawędzi AB podstawy i ściana\nboczna ABS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie długości ramienia trapezu:\n8\nBC\nAD\n\n.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie wysokości ostrosłupa:\n4\nH \ni poprawnie zinterpretowanie odległości spodka\nwysokości od krawędzi bocznej SD.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nObliczenie długości odcinka OK z błędami rachunkowymi.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie długości odcinka OK:\n8 5\n5\nOK \n15\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony","solution":"$|OK| = \\dfrac{8\\sqrt{5}}{5}$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"15","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nFunkcja f jest określona wzorem\n( )\n(\n)\n2\n2\n6\n2\n5\n5\nm\nm\nf x\nx\nm\nx\nm\nm\ndla każdej liczby\nrzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje\nwartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.\n\nMMA_1R\n\nMMA_1R\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = {m^2+m-6/ m-5}x² - (m-2)x + m-5 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-6)\nFunkcja f jest określona wzorem\n\n\n\n2\n2\n6\n2\n5\n5\nm\nm\nf x\nx\nm\nx\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\ndla każdej liczby\nrzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje\nwartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.\nRozwiązanie\nZałożenie\n5\nm \nGdy\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n, czyli \n\n\n3\n2\n0\nm\nm\n\n\n\n, a więc dla\n3\nm  lub\n2\nm \nfunkcja jest\nliniowa i nie spełnia warunków zadania. Zatem\n5\nm \n,\n3\nm  i\n2\nm \nWówczas funkcja f jest kwadratowa oraz:\n przyjmuje wartość największą, gdy\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n ma dwa różne dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy\n0\n\n,\n ma dwa miejsca zerowe o jednakowych znakach, gdy dodatkowo\n1\n2\n0\nx x\n\n\nRozwiązujemy nierówność\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n, otrzymując kolejno\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n\n3\n2\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n3\n2\n5\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\nZatem\n\n\n\n\n, 3\n2,5\nm\n\nRozwiązujemy nierówność\n0\n\n, otrzymując kolejno\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n6\n2\n4\n5\n0\n5\nm\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n2\n2\n4\n6\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n2\n2\n4\n3\n2\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n4\n3\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n2\n2\n4\n12\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n\n2\n3\n14\n0\nm\nm\n\n\n\n\nZatem\n14\n2\n3\nm\n\n\n\nRozwiązujemy nierówność\n1\n2\n0\nx x\n\n\n. Możemy wykorzystać wzór Viète’a na iloczyn\npierwiastków trójmianu kwadratowego i wtedy nierówność ma postać\n2\n5\n0\n6\n5\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\nRozwiązujemy tę nierówność, otrzymując kolejno\n16\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n\n\n2\n2\n5\n0\n6\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n5\n2\n3\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n\n, 3\n2,5\n5,\nm\n\n\n.\nOtrzymaliśmy zatem\n\n\n\n\n, 3\n2,5\nm\n\ni\n14 ,2\n3\nm\n\n\n\n\n\n\n\ni\n\n\n\n\n\n\n, 3\n2,5\n5,\nm\n\n\n.\nStąd\n14 , 3\n3\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n. Jedyną liczą całkowitą z tego przedziału jest\n4\nm .\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega zapisaniu warunku, przy którym funkcja f jest kwadratowa i ma dwa\nróżne pierwiastki, a następnie rozwiązaniu nierówności\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n6\n2\n4\n5\n0\n5\nm\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n:\n14\n2\n3\nm\n\n\n\nZa poprawne rozwiązanie nierówności\n0\n\n\nzdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze\n0\n\n, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na zapisaniu warunku, przy którym funkcja kwadratowa f przyjmuje\nwartość największą:\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\noraz ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach:\n2\n5\n0\n6\n5\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\nZa tę część rozwiązania zdający może otrzymać 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n- Za rozwiązanie nierówności\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n:\n\n\n\n\n, 3\n2,5\nm\n\nzdający otrzymuje\n2 punkty.\n- Za rozwiązanie nierówności\n1\n2\n0\nx x\n\n\nzdający otrzymuje 2 punkty.\nPrzy czym w tej części:\n1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie wyrażenia\n1\n2\nx x\n\nw postaci\n2\n5\n6\n5\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n2 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności \n\n2\n2\n5\n0\n6\nm\nm\nm\n\n\n\n\n:\n\n\n\n\n\n\n, 3\n2,5\n5,\nm\n\n\n\n17\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu\npierwszego i drugiego oraz podaniu liczby całkowitej spełniającej warunki zadania:\n4\nm .\nZa tę część rozwiązania zdający może otrzymać 1 punkt.\nUwaga\nZa ostatni etap 1 punkt przyznajemy jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona\netap I, rozwiąże nierówność i popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II albo gdy\npopełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże co najmniej jedną nierówność z etapu II i poda\nwszystkie całkowite wartości parametru m, dla których są spełnione warunki zadania.","solution":"$m = -4$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"parametr","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"16","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest\nrówna 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest\nnajwiększa. Oblicz tę objętość.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest\nrówna 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest\nnajwiększa. Oblicz tę objętość.\nPrzykładowe rozwiązanie (I sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nZ warunków zadania wynika, że\n2\nl\nr\n\n\n, skąd\n2\nl\nr\n\n.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AOS otrzymujemy\n2\n2\n2\nAS\nAO\nOS\n\n\n, czyli\n2\n2\n2\nl\nr\nh\n\n\nStąd\n2\n2\nh\nl\nr\n\n\n. Ale\n2\nl\nr\n\n, więc\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\n4\n2 1\nh\nr\nr\nr\nr\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nObjętość stożka jest więc równa\n\n\n2\n2\n2\n4\n1\n1\n2\n2\n2 1\n1\n1\n3\n3\n3\n3\nV\nr h\nr\nr\nr\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nObjętość jest zatem funkcją zmiennej r i jest określona wzorem\nr\nh\nl\nA\nB\nS\nO\n18\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n\n\n\n4\n4\n5\n2\n2\n1\n3\n3\nV r\nr\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\nZ warunków geometrycznych zadania wynika, że 0\n1\nr\n\n, a więc dziedziną funkcji V jest\nprzedział \n\n0,1 .\nRozważmy funkcję\n\n4\n5\nf r\nr\nr\n\n\nokreśloną dla każdej liczby rzeczywistej r.\nPochodna funkcji f jest równa\n\n\n\n3\n4\n3\n4\n5\n4\n5\nf\nr\nr\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\nMiejscami zerowymi pochodnej są\n0\nr \nlub\n4\n5\nr \nPochodna funkcji jest ujemna dla\n\n\n4\n, 0\n,\n5\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, a dodatnia dla\n4\n0, 5\nr\n\n\n\n\n\n\nZatem w przedziale \n4\n5\n0,\nfunkcja V jest rosnąca, a w przedziale\n\n4\n5 ,1 malejąca. W punkcie\n4\n5\nr \nosiąga maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą jej wartością. Wartość ta\njest równa\n2\n4\n2\n4\n4\n2\n16\n1\n32 5\n1\n5\n3\n5\n5\n3\n25\n5\n375\nV\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\na) Pierwszy etap (3 punkty) składa się z trzech części:\n zapisanie wysokości stożka jako funkcji zmiennej r:\n4\n4\nh\nr\n\n\n,\n zapisanie objętości stożka jako funkcji jednej zmiennej:\n\n2\n2\n1\n3\nV r\nr\nr\n\n\n\n określenie dziedziny funkcji: 0\n1\nr\n\n.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nUwaga\nJeśli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu dziedziny albo pominie wyznaczenie dziedziny,\nale funkcja objętości zostanie zapisana prawidłowo, to otrzymuje za tę cześć 2 punkty i może\notrzymać punkty, które odpowiadają kolejnym etapom rozwiązania zadania.\nb) Drugi etap (3 punkty) składa się z trzech części:\n wyznaczenie pochodnej funkcji\n\n4\n5\nf r\nr\nr\n\n\n:\n\n3\n4\n4\n5\nf\nr\nr\nr\n\n\n\n obliczenie miejsc zerowych pochodnej:\n0\nr \nlub\n4\n5\nr \n uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja V posiada wartość\nnajwiększą dla\n4\n5\nr \nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\n19\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nc) Trzeci etap (1 punkt) - końcowe obliczenia.\nObliczenie objętości stożka dla\n4\n5\nr \n:\n4\n32 5\n5\n375\nV\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nPunkty za realizację danego etapu przyznajemy tylko wówczas, gdy zdający rozwiązał\npoprawnie poprzedni etap zadania.\nPrzykładowe rozwiązanie (II sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nZ warunków zadania wynika, że\n2\nl\nr\n\n\n, skąd\n2\nl\nr\n\n.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AOS otrzymujemy\n2\n2\n2\nAS\nAO\nOS\n\n\n, czyli\n2\n2\n2\nl\nr\nh\n\n\nStąd\n2\n2\n2\nr\nl\nh\n\n\n. Ale\n2\nl\nr\n\n, więc\n\n\n2\n2\n2\n2\nr\nr\nh\n\n\n\n,\n2\n2\n2\n4\n4\nr\nr\nr\nh\n\n\n\n\n,\n2\n4\n4\nr\nh\n\n\n,\n2\n1\n1\n4\nr\nh\n\nObjętość stożka jest więc równa\n2\n2\n2\n2\n4\n3\n5\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n3\n3\n4\n3\n2\n16\n3\n2\n16\nV\nr h\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nObjętość jest zatem funkcją zmiennej h i jest określona wzorem\n\n3\n5\n1\n1\n3\n2\n16\nV h\nh\nh\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ warunków geometrycznych zadania wynika, że 0\n2\nh\n\n\n, a więc dziedziną funkcji V jest\nprzedział \n\n0,2 .\nr\nh\nl\nA\nB\nS\nO\n20\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nRozważmy funkcję\n\n3\n5\n1\n1\n2\n16\nf h\nh\nh\nh\n\n\n\nokreśloną dla każdej liczby rzeczywistej h.\nPochodna funkcji f jest równa\n\n2\n4\n3\n5\n1\n2\n16\nf\nh\nh\nh\n\n\n\nMiejscami zerowymi pochodnej są\n2\nh  lub\n2 5\n5\nh \nlub\n2 5\n5\nh \nlub\n2\nh \nPochodna funkcji jest ujemna dla\n2 5\n2 5\n2,\n, 2\n5\n5\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, a dodatnia dla\n\n\n\n\n2 5 2 5\n,\n2\n,\n2,\n5\n5\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem w przedziale \n2\n5\n5\n0,\nfunkcja V jest rosnąca, a w przedziale\n\n2\n5\n5 ,2 malejąca.\nW punkcie\n2 5\n5\nh \nosiąga maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą jej\nwartością. Wartość ta jest równa\n\n3\n5\n1\n1\n3\n2\n16\nV h\nh\nh\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n3\n5\n2 5\n1 2 5\n1\n2 5\n32 5\n1\n5\n3\n2\n5\n16\n5\n375\nV\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\na) Pierwszy etap (3 punkty) składa się z trzech części:\n zapisanie promienia podstawy stożka jako funkcji zmiennej h:\n2\n1\n1\n4\nr\nh\n\n,\n zapisanie objętości stożka jako funkcji jednej zmiennej:\n\n3\n5\n1\n1\n3\n2\n16\nV h\nh\nh\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n określenie dziedziny funkcji: 0\n2\nh\n\n\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nUwaga\nJeśli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu dziedziny albo pominie wyznaczenie dziedziny,\nale funkcja objętości zostanie zapisana prawidłowo, to otrzymuje za tę cześć 2 punkty i może\notrzymać punkty, które odpowiadają kolejnym etapom rozwiązania zadania.\nb) Drugi etap (3 punkty) składa się z trzech części:\n wyznaczenie pochodnej funkcji\n\n3\n5\n1\n1\n2\n16\nf h\nh\nh\nh\n\n\n\n:\n\n2\n4\n3\n5\n1\n2\n16\nf\nh\nh\nh\n\n\n\n21\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n obliczenie miejsc zerowych pochodnej:\n2\nh  lub\n2 5\n5\nh \nlub\n2 5\n5\nh \nlub\n2\nh \n uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja V posiada wartość\nnajwiększą dla\n2 5\n5\nh \nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nc) Trzeci etap (1 punkt) - końcowe obliczenia.\nObliczenie objętości stożka dla\n2 5\n5\nh \n:\n2 5\n32 5\n5\n375\nV\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nPunkty za realizację danego etapu przyznajemy tylko wówczas, gdy zdający rozwiązał\npoprawnie poprzedni etap zadania.","solution":"Wysokość: $h = \\dfrac{4}{5}$ (lub $r = \\dfrac{4}{5}$), Objętość: $V = \\dfrac{32\\sqrt{5}}{375}\\pi$.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-16.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}