{"paper":{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nWskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań\nnierówności 4\n1\n4\nx\n-≤\n-≤\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się\npojęciem przedziału liczbowego, zaznacza\nprzedziały na osi liczbowej (1.8).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDane są liczby\n1\n27\na = -\n,\n1\n4\nlog 64\nb =\n,\n1\n3\nlog 27\nc =\n. Iloczyn abc jest równy\nA.\n9\nB.\n1\n3\nC. 1\n3\nD. 3\nLiczba 2 * log_5 10 - log_5 4 jest równa A. 2, B. log_5 96, C. 2 * log_5 6, D. 5","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\ndefinicję logarytmu i stosuje w obliczeniach\nwzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nKwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4%\nw stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest\npodatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić\nz banku, jest równa\nA.\n81\n4\n1000\n1 100 100\n\n\n⋅\n⋅\n\n\n\n\nB.\n19\n4\n1000\n1 100 100\n\n\n⋅\n⋅\n\n\n\n\nC.\n81\n4\n1000\n1 100 100\n\n\n⋅\n⋅\n\n\n\n\nD.\n19\n4\n1000\n1 100 100\n\n\n⋅\n⋅\n\n\n\n","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje\nobliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk\nz lokat (1.9).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nRówność\n5\n5\n5\n5\n5\nm\nzachodzi dla\nA.\n5\nm =\nB.\n4\nm =\nC.\n1\nm =\nD.\n5\nm = -\n3\nx\n-5\n5\nx\n-3\n5\nx\n-3\n-5\n3\nx\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = 2/5. Wówczas cos alfa jest równy A. 5/2, B. pierwiastek z 21 / 4, C. 3/5, D. (pierwiastek z 21) / 5.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa\nwzorów skróconego mnożenia na (\n)\n2\na\nb\n±\noraz\n2\n2\na\nb\n(2.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nUkład równań\n3\n2\n0,5\n4\nx\ny\nx\ny\n\n\n\nopisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie\nA. zbiór pusty.\nB. dokładnie jeden punkt.\nC. dokładnie dwa różne punkty.\nD. zbiór nieskończony.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nwykorzystuje interpretację geometryczną\nukładu równań pierwszego stopnia z dwiema\nniewiadomymi (3.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nSuma wszystkich pierwiastków równania (\n)(\n)(\n)\n3\n7\n11\n0\nx\nx\nx\njest równa\nA.\n1\nB.\n21\nC.\n1\nD.\n21\nRozwiązaniem równania 2x-4 / 3-x = 4/3 jest liczba A. x=0, B. x=12/5, C. x=2, D. x=12/11","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie\ninformacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta\nz własności iloczynu przy rozwiązywaniu\nrównań typu (\n)(\n)\n1\n7\n0\nx x\nx\n(3.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nRównanie\n1\n1\n1\nx\nx\nx\nA. ma dokładnie jedno rozwiązanie:\n1\nx = .\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie:\n0\nx =\nC. ma dokładnie jedno rozwiązanie:\n1\nx = -.\nD. ma dokładnie dwa rozwiązania:\n0\nx =\n,\n1\nx = .\nRozwiąż równanie 4x^3+4x^2-x-1 = 0.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych, np.\n1\n2\n3\nx\nx\n,\n1\n2\nx\nx\nx\n(3.8).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f.\nZbiorem wartości funkcji f jest\nA. (\n)\n2, 2\nB.\n)\n2, 2\nC.\n2, 2\nD. ( 2,2\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Funkcja h określona jest dla x w <-3,5> wzorem h(x) = f(x) + q, gdzie q jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji h jest liczba x_0 = -1. a) Wyznacz q. b) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji h.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nwłasności funkcji (4.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNa wykresie funkcji liniowej określonej wzorem\n( )\n(\n)1\n3\nf x\nm\nx\n+ leży punkt\n(\n)\n5,\n2\nS\nZatem\nA.\n1\nm = -\nB.\n0\nm =\nC.\n1\nm =\nD.\n2\nm =\nx\ny\n-3\n-2 -1\n5\n0\n-1\n1\n2\n3\n1\n2\n3\n4\n-4\n-2\n-3\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nPunkt M = (1/2,3) należy do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(3-2a)x+2. Wtedy A. a=-1/2, B. a=2, C. a=1/2, D. a=-2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nliniowej na podstawie informacji o funkcji lub\no jej wykresie (4.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja liniowa f określona wzorem\n( )\n2\nf x\nx\nb\nma takie samo miejsce zerowe, jakie ma\nfunkcja liniowa ( )\n3\n4\ng x\nx\n. Stąd wynika, że\nA.\n4\nb =\nB.\n3\n2\nb = -\nC.\n8\n3\nb = -\nD.\n4\n3\nb =\nPunkt K=(-4,4) jest końcem odcinka KL, punkt L leży na osi Ox, a środek S tego odcinka leży na osi Oy. Wynika stąd, że A. S=(0,2), B. S=(-2,0), C. S=(4,0), D. S=(0,4)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie\ninformacji.\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące we wzorze funkcji\nliniowej (4.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja kwadratowa określona jest wzorem\n( )\n2\nf x\nx\nx\nc\n+ . Jeżeli\n( )\n3\n4\nf\n, to\nA.\n(1)\n6\nf\nB.\n(1)\n0\nf\nC.\n(1)\n6\nf\nD.\n(1)\n18\nf\nMiejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem f(x) = -2/3x + 4 jest A. 0, B. 6, C. 4, D. -6","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nkwadratowej na podstawie pewnych\ninformacji o tej funkcji lub o jej wykresie\n(4.9).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nIle liczb całkowitych x spełnia nierówność 2\n4\n7\n14\n3\nx\n<\n<\n?\nA. 14\nB. 15\nC. 16\nD. 17\nZbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność 3/5 - 2x/3 >= x/6 jest przedziałem A. <9/15, +∞), B. (-∞, 18/25>, C. <1/30, +∞), D. (-∞, 9/5>.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje nierówności pierwszego stopnia\nz jedną niewiadomą (3.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nW rosnącym ciągu geometrycznym (\n)\nn\na\n, określonym dla\n1\n≥\nn\n, spełniony jest warunek\n4\n1\n3\na\na\n. Iloraz q tego ciągu jest równy\nA.\n1\n3\nq =\nB.\n3\n1\n3\nq =\nC.\n3 3\nq =\nD.\n3\nq =\nW rosnącym ciągu geometrycznym (a_n), określonym dla n >= 1, spełniony jest warunek a_4 = 3a_1. Iloraz q tego ciągu jest równy A. q = 1/3, B. q = 1 / (pierwiastek 3 stopnia z 3), C. q = pierwiastek 3 stopnia z 3, D. q = 3.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego (5.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nTangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy\nA.\n3\n3\nB.\n5\n4\nC. 1\nD.\n4\n5\nNa rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu y=ax+b. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy A. a = -3/2, B. a=-2/3, C. a=-2/5, D. a=-3/5.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający wykorzystuje\ndefinicje i wyznacza wartości funkcji sinus,\ncosinus i tangens kątów o miarach od 0° do\n180° (6.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nJeżeli 0\n90\nα\n° <\n<\n° oraz tg\n2sin\nα\nα\n, to\nA.\n1\ncos\n2\nα =\nB.\n2\ncos\n2\nα =\nC.\n3\ncos\n2\nα =\nD. cos\n1\nα =\nP = (-4, 5)\nx\ny\n4 5\n0\n-1\n3\nP\nα\n1 2 3\n-5\n-1\n-2\n-3\n-4\n1\n2\n4\n5\n6\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nOkrąg przedstawiony na rysunku ma środek w punkcie O=(3,1) i przechodzi przez punkty S=(0,4) i T=(0,-2). Okrąg ten jest opisany przez równanie A. (x+3)^2 + (y+1)^2 = 18, B. (x-3)^2 + (y+1)^2 = 18, C. (x-3)^2 + (y-1)^2 = 18, D. (x+3)^2 + (y-1)^2 = 18","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nIV. Użycie\ni tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający stosuje proste\nzależności między funkcjami\ntrygonometrycznymi:\n2\n2\nsin\ncos\n1,\nα\nα\nsin\ntg\ncos\nα\nα\nα =\noraz\n(\n)\nsin 90\ncos\nα\nα\n°-\n(6.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nMiara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na\ntym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa\nA. 5°\nB. 10°\nC. 20°\nD. 30°\nW trójkącie równoramiennym ABC spełnione są warunki: |AC| = |BC|, |kat CAB| = 50 stopni. Odcinek BD jest dwusieczną kąta ABC, a odcinek BE jest wysokością opuszczoną z wierzchołka B na bok AC. Miara kąta EBD jest równa A. 10 stopni, B. 12,5 stopni, C. 13,5 stopni, D. 15 stopni.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nIV. Użycie\ni tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje zależności\nmiędzy kątem środkowym i kątem wpisanym\n(7.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nPole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α . Wtedy\nA. 14\n15\nα\n° <\n<\n°\nB. 29\n30\nα\n° <\n<\n°\nC. 60\n61\nα\n° <\n<\n°\nD. 75\n76\nα\n° <\n<\n°\nDany jest okrąg o środku w punkcie O. Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L, a środek O tego okręgu leży na odcinku KM (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma miarę 31 stopni.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności\nfunkcji trygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych, w tym ze\nwzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych\ndwóch bokach i kącie między nimi (7.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nProsta l o równaniu\n2\n3\ny\nm x\n+ jest równoległa do prostej k o równaniu\n(\n)\n4\n4\n3\ny\nm\nx\nZatem\nA.\n2\nm =\nB.\n2\nm = -\nC.\n2\n2 2\nm = --\nD.\n2\n2 2\nm =\nLiczba 2^{4/3} * pierwiastek 3 stopnia z 2^5 jest równa A. 2^{20/3}, B. 2, C. 2^{4/5}, D. 2^3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nProste o równaniach:\n2\n2\n1\ny\nmx\nm\n- oraz\n2\n2\n4\n1\ny\nm x\nm\n+ są prostopadłe dla\nA.\n1\n2\nm = -\nB.\n1\n2\nm =\nC.\n1\nm =\nD.\n2\nm =\nProste o równaniach: y=2mx-m^2-1 oraz y=4m^2x+m^2+1 są prostopadłe dla A. m=-1/2, B. m=1/2, C. m=1, D. m=2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDane są punkty\n(\n)\n2,1\nM\ni\n(\n)\n1, 3\nN\n. Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem\npunktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt\nA.\n3\n2,\n2\nK\n\n\n\n\n\n\nB.\n3\n2, 2\nK\n\n\n= \n\n\n\nC.\n3 , 2\n2\nK\n\n\n= \n\n\n\nD.\n3 ,\n2\n2\nK\n\n\n\n\n\n\nDane są punkty: P=(-2,-2), Q=(3,3). Odległość punktu P od punktu Q jest równa A. 1, B. 5, C. 5 * pierwiastek z 2, D. 2 * pierwiastek z 5.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka i znajduje obrazy niektórych figur\ngeometrycznych w symetrii środkowej\nwzględem początku układu (8.5, 8.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono\nodcinkami (tak jak na rysunku).\nWskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.\nA. HOL\nB. OGL\nC. HLO\nD. OHL\nJ\nI\nF\nH\nG\nE\nK\nL\nO\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie\ninformacji.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje\nw graniastosłupach i ostrosłupach kąty między\nodcinkami i płaszczyznami (9.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPrzekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego\nstożka jest równa\nA. 27\n3\nπ\nB. 9\n3\nπ\nC. 18π\nD. 6π","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający stosuje\ntrygonometrię do obliczeń długości odcinków,\nmiar kątów, pól powierzchni i objętości (9.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nKażda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole\npowierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe\nA.\n2\n8\n3\n3\n3\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\nB.\n28\n3\n⋅\nC.\n28\n6\n3\nD.\n2\n3\n8\n3\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekątna ściany sześcianu ma długość 2. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A. 24, B. 12 * pierwiastek z 2, C. 12, D. 16 * pierwiastek z 2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający stosuje\ntrygonometrię do obliczeń długości odcinków,\nmiar kątów, pól powierzchni i objętości (9.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna zestawu danych:\n2, 4, 7, 8, 9\njest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:\n2, 4, 7, 8, 9, x.\nWynika stąd, że\nA.\n0\nx\nB.\n3\nx\nC.\n5\nx\nD.\n6\nx\nŚrednia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9, x Wynika stąd, że A. x=0, B. x=3, C. x=5, D. x=6.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią ważoną i odchylenie\nstandardowe zestawu danych (10.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona,\na druga - niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech\nwylosowanych kul będą czerwone. Wtedy\nA.\n1\n4\np =\nB.\n3\n8\np =\nC.\n1\n2\np =\nD.\n2\n3\np =\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nW pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców jest równy 4:5. Losujemy jedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe A. 4/5, B. 4/9, C. 1/4, D. 1/9.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa (10.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n)\n2\n)(\n3\n(\n4\n2\n2\n>\nx\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 2x^2-4x >= x-2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n)\n2\n)(\n3\n(\n4\n2\n2\n>\nx\nx\nx\nx\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności\nkwadratowych z jedną niewiadomą (3.5).\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap, wyznaczenie pierwiastków trójmianu, może być realizowany na 2 sposoby:\nI sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nZapisujemy nierówność w postaci\n2\n5\n6\n0\nx\nx\n>\ni znajdujemy pierwiastki trójmianu\n2\n5\n6\nx\nx\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n1\n6\n1\n4\n25\n⋅\n⋅\nΔ\n, stąd\n1\n5 1\n2\n2\nx\noraz\n2\n5 1\n2\n3\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n6\n2\n1\n⋅x\nx\noraz\n5\n2\n1\n+ x\nx\n, stąd\n2\n1 =\nx\noraz\n3\n2 =\nx\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.):\n2\n1 =\nx\n,\n2\n3\nx =\nlub (\n)\n(\n)\n[\n]\n3\n2\n2\nx\nx\nx\nlub (\n)(\n)\n3\n2\nx\nx\nlub\nII sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nWyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego\n6\n5\n2\n-x\nx\ni zapisujemy\nnierówność w postaci, np. (\n)\n2\n5\n1\n2\n4\n0\nx -\n>\n, a następnie\n• przekształcamy nierówność tak, aby jej lewa strona była zapisana w postaci\niloczynowej\n(\n)\n(\n)\n5\n5\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n0\nx\nx\n\n\n\n⋅\n>\n\n\n\n,\n(\n)(\n)\n6\n4\n2\n2\n0\nx\nx\n>\n,\nalbo\n• przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości\nbezwzględnej\n(\n)\n2\n5\n1\n2\n4\nx -\n>\n,\n-1\n1\n2\n3\n4\n-1\n1\n2\n3\ny\n0\nx\n5\n1\n2\n2\nx -\n>\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n,3\n2\n,\nlub\n(\n)\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,3\n2\n,\nx\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n1 =\nx\n,\n3\n2 =\nx\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy\nna\nwykresie\nmiejsca\nzerowe\nfunkcji\n6\n5\n)\n(\n2\nx\nx\nx\nf\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. (\n)(\n)\n3\n2\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zapisze nierówność\n5\n1\n2\n2\nx -\n>\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\nalbo\n• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełni błąd (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.\no popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n1\n2\n5\n2\nx\nx\ni konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no błędnie zapisze nierówność, np.\n5\n1\n2\n2\nx +\n<\ni konsekwentnie do popełnionego\nbłędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n,3\n2\n,\nlub\n(\n)\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,3\n2\n,\nx\nlub (\n2\n<\nx\nlub\n3\n>\nx\n),\nalbo\n• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n2,\n3\nx\nx\n<\n>\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n2\nx - bez stosownego założenia,\nto otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n2\nx -, rozważając dwa przypadki\n2\n0\nx -\n>\noraz\n2\n0\nx -\n<\n, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków, ale nie\nrozważy przypadku\n2\n0\nx -\n, to otrzymuje 1 punkt.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Akceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np.:\n(\n)\n2, -∞.\n2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n2\n1 =\nx\n,\n3\n2 =\nx\ni zapisze, np.\n(\n)\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n,3\n2\n,\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"$x \\in (-\\infty, 2) \\cup (3, \\infty)$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nWykaż, że nierówność 4x^2-8xy+5y^2 >= 0 jest prawdziwa dla x, y w R.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x i dla dowolnej liczby rzeczywistej y prawdziwa\njest nierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów\nskróconego mnożenia na (\n)\n2\na\nb\n±\noraz\n2\n2\na\nb\n(2.1).\nI sposób rozwiązania\nNierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nprzekształcamy w sposób równoważny\n2\n2\n2\n4\n8\n4\n0\ny\nx\nxy\ny\n≥\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\ny\nx\ny\n≥\nTa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, gdyż kwadrat każdej\nliczby jest nieujemny i suma kwadratów liczb nieujemnych również jest nieujemna.\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci równoważnej\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\ny\nx\ny\n≥\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nII sposób rozwiązania\nNierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nmożemy potraktować jak nierówność kwadratową\nz niewiadomą x lub - analogicznie - z niewiadomą y. Wyróżnik trójmianu stojącego po lewej\nstronie nierówności jest równy\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n8\n4 4\n5\n16\n0\ny\ny\ny\nΔ = -\n-⋅⋅\n≤\nStąd i z faktu, że współczynnik przy\n2x trójmianu\n2\n2\n( )\n4\n8\n5\nf x\nx\nxy\ny\njest dodatni\nwynika, że trójmian ten przyjmuje tylko wartości nieujemne. To kończy dowód.\nSchemat oceniania II sposobu\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy wyróżnik trójmianu\n2\n2\n( )\n4\n8\n5\nf x\nx\nxy\ny\n:\n2\n16y\nΔ = -\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wyróżnik trójmianu\n2\n2\n( )\n4\n8\n5\nf x\nx\nxy\ny\n, zapisze, że jest on niedodatni\ni wyciągnie wniosek, że trójmian przyjmuje tylko wartości nieujemne.\nIII sposób rozwiązania\nDla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\n≥\n. Stąd\nwynika, że prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n4\n4\n8\nx\ny\nxy\n≥\n, czyli\n2\n2\n4\n8\n4\n0\nx\nxy\ny\n≥\nZatem, dla dowolnych liczb x, y mamy\n2\n2\n2\n2\n4\n8\n5\n4\n8\n4\n0\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n≥\n≥\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwe są nierówności\n2\n2\n2\n2\n4\n8\n5\n4\n8\n4\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n≥\noraz\n2\n2\n4\n4\n8\nx\ny\nxy\n≥\n(lub\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\n≥\n).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nIV sposób rozwiązania\nGdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, to nierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\njest\nprawdziwa, gdyż suma trzech liczb, z których co najmniej dwie są równe 0, a trzecia nieujemna,\njest nieujemna.\nGdy liczby x, y są przeciwnych znaków, to\n0\nxy <\n, więc\n8\n0\nxy\n>\n. Zatem nierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\njest prawdziwa, gdyż lewa jej strona jest sumą trzech liczb dodatnich.\nPozostaje wykazać prawdziwość nierówności w przypadku, gdy liczby x, y są tego samego\nznaku.\nZauważmy najpierw, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n2\n2\n5\n0\nx\ny\n≥\n, czyli\n2\n2\n4\n4 5\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nWykażemy teraz prawdziwość nierówności\n2\n2\n2\n2\n4\n8\n5\n4\n4 5\n5\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n≥\n,\nrównoważnie\n8\n4 5\nxy\nxy\n≥-\n,\n5\n2\nxy\nxy\n≤\nSkoro x i y są tego samego znaku, to\n0\nxy >\n, więc dzieląc obie strony nierówności przez xy,\notrzymujemy nierówność równoważną\n5\n2\n1≤\n, co jest prawdą. To kończy dowód.\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wykaże prawdziwość nierówności w przypadku, gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest\nrówna 0 oraz w przypadku, gdy liczby x, y są przeciwnych znaków, a w przypadku,\ngdy x, y są tego samego znaku zauważy, że prawdziwa jest nierówność (\n)\n2\n2\n5\n0\nx\ny\n≥\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nUwaga\nGdy zdający sprawdza jedynie prawdziwość nierówności dla konkretnych liczb x i y, to\notrzymuje 0 punktów.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"algebra","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nDany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są\nśrodkami odcinków - odpowiednio - AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że\nBE\nBL\n3\n1\ni\nDE\nDN\n3\n1\n(zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN\ndo pola kwadratu ABCD jest równy\n3\n:\n1\nA\nB\nC\nD\nE\nN\nM\nK\nL\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nDany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są\nśrodkami odcinków - odpowiednio - AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że\nBE\nBL\n3\n1\ni\nDE\nDN\n3\n1\n(zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN\ndo pola kwadratu ABCD jest równy\n3\n:\n1\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nG10. Figury płaskie. Zdający oblicza pola i obwody trójkątów\ni czworokątów. (G10.9).\nI sposób rozwiązania\nPrzekątne w kwadracie ABCD są równe, więc\n2\nAC\nBD\nd\na\nPole kwadratu ABCD jest równe\n2\nABCD\nP\na\n. Czworokąt KLMN składa się z czterech\ntrójkątów prostokątnych przystających do trójkąta KEN. Pole każdego z nich jest równe\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n4\n6\n24\n24\n24\n12\nP\nd\nd\nd\na\na\na\n\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\nZatem pole czworokąta KLMN jest równe\nA\nB\nC\nD\nK\nL\nM\nN\nE\n1\n4 d\n2\n6 d\na\nA\nB\nC\nD\nE\nN\nM\nK\nL\n2\n2\n1\n1\n4 12\n3\nKLMN\nP\na\na\n⋅\nStąd\n2\n2\n1\n3\n1\n3\nKLMN\nABCD\na\nP\nP\na\nII sposób rozwiązania\nPrzekątne w kwadracie ABCD są równe, więc\n2\nAC\nBD\nd\na\nPole kwadratu ABCD jest równe\n2\nABCD\nP\na\n. Czworokąt KLMN składa się z dwóch trójkątów\nprzystających do trójkąta KLN. Pole każdego z nich jest równe\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n4\n1\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n6\n4\n12\n12\n12\n6\nP\nd\nd\nd\na\na\na\n\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\nZatem pole czworokąta KLMN jest równe\n2\n2\n1\n1\n2 6\n3\nKLMN\nP\na\na\n⋅\nStąd\n2\n2\n1\n3\n1\n3\nKLMN\nABCD\na\nP\nP\na\nIII sposób rozwiązania\nPrzekątne w kwadracie ABCD są równe, więc\n2\nAC\nBD\nd\na\nA\nB\nC\nD\nK\nL\nM\nN\nE\na\n1\n4 d\n4\n6 d\nA\nB\nC\nD\nK\nL\nM\nN\nE\na\n1\n2 d\n2\n6 d\nPole kwadratu ABCD jest równe\n2\nABCD\nP\na\n. Czworokąt KLMN składa się z dwóch trójkątów\nprzystających do trójkąta KMN. Pole każdego z nich jest równe\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n6\n12\n12\n12\n6\nP\nd\nd\nd\na\na\na\n\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\nZatem pole czworokąta KLMN jest równe\n2\n2\n1\n1\n2 6\n3\nKLMN\nP\na\na\n⋅\nStąd\n2\n2\n1\n3\n1\n3\nKLMN\nABCD\na\nP\nP\na\nIV sposób rozwiązania\nPonieważ przekątne w kwadracie są równe, więc AE\nED\n. Niech\n6\nAE\nED\nx\nWtedy\nx\nMC\nEM\nKE\nAK\n3\n,\nx\nLB\nDN\n2\noraz\nx\nEL\nNE\n4\nStąd\n6\nKM\nKE\nEM\nx\noraz\n8\nNL\nNE\nEL\nx\nPole kwadratu ABCD jest równe\n2\n72\n12\n12\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nBD\nAC\nPABCD\n⋅\n⋅\n⋅\nPole czworokąta KLMN jest równe\n2\n1\n1 6\n8\n24\n2\n2\nKLMN\nP\nKM\nNL\nx\nx\nx\n⋅\n⋅\n⋅\nStąd\n3\n1\n72\n24\n2\n2\nx\nx\nP\nP\nABCD\nKLMN\nA\nB\nC\nD\nK\nL\nM\nN\nE\n2x\n4x\n3x\n3x\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: KLE, LME, MNE, NKE (\n2\n1\n12\nP\na\n)\nalbo\ngdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: NLM, LNK (\n2\n1\n6\nP\na\n)\nalbo\ngdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: KMN, KLM (\n2\n1\n6\nP\na\n)\nalbo\ngdy wyznaczy pole czworokąta KLMN w zależności od jego przekątnych, np.\n2\n24\n8\n6\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nLN\nKM\nPKLMN\n⋅\n⋅\n⋅\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wykaże, że\n3\n1\nABCD\nKLMN\nP\nP\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu pola kwadratu i pola czworokąta KLMN przyjmuje\nkonkretne wartości liczbowe bez stosownego komentarza i rozwiązuje zadanie do końca,\nto otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu pól trójkątów lub pól czworokątów o prostopadłych\nprzekątnych pomija współczynnik 1\n2 , otrzymując poprawny stosunek pola czworokąta\nKLMN do pola kwadratu ABCD, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający w swoim rozumowaniu wykorzystuje tezę, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej\n( )\n2\n6\n3\nf x\nx\nx\nw przedziale 0, 4 .\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nNajmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność |x + 4,5| >= 6 jest A. x=1, B. x=2, C. x=3, D. x=6.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej\n( )\n2\n6\n3\nf x\nx\nx\nw przedziale 0, 4 .\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość\nnajwiększą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym\n(4.11).\nRozwiązanie\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli o równaniu\n2\n6\n3\ny\nx\nx\n:\n6\n2\n3\nw\nx =\n. Argument\n3\nw\nx =\nnależy do przedziału\n0, 4 , więc najmniejszą wartością\nfunkcji f w przedziale 0, 4 jest\n( )\n3\n6\nf\n= -. Obliczamy wartości funkcji f na końcach\nprzedziału 0, 4 :\n( )\n0\n3\nf\noraz\n( )\n4\n5\nf\nNajwiększą wartością jaką przyjmuje funkcja f w przedziale 0, 4 jest\n( )\n0\n3\nf\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli\n3\nw\nx =\ni stwierdzi, że\n0, 4\nw\nx ∈\n,\nalbo\n• obliczy wartości funkcji f na końcach przedziału 0, 4 :\n( )\n0\n3\nf\noraz\n( )\n4\n5\nf\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji f w przedziale 0, 4 jest równa\n( )\n3\n6\nf\n= -, a największa wartość funkcji w tym przedziale jest równa\n( )\n0\n3\nf\nUwagi\n1. Jeżeli zdający obliczy jedynie trzy wartości funkcji:\n( )\n0\n3\nf\n,\n( )\n3\n6\nf\n= - i\n( )\n4\n5\nf\noraz sformułuje odpowiedź: największa wartość funkcji w przedziale 0, 4 jest równa 3,\na najmniejsza wartość funkcji jest równa 6\n-, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający obliczy tylko współrzędne wierzchołka paraboli\n3\nw\nx =\n,\n( )\n3\n6\nf\n= -, ale nie\nzapisze, że\n0,4\nw\nx ∈\n, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"najmniejsza: $-6$, największa: $3$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"funkcje","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW układzie współrzędnych są dane punkty\n(\n)\n43, 12\nA = -\n,\n(\n)\n50,19\nB =\n. Prosta AB przecina\noś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nDane są punkty M=(3,-5) oraz N=(-1,7). Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie A. y=-3x+4, B. y=3x-4, C. y=-1/3x+4, D. y=3x+4","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nW układzie współrzędnych są dane punkty\n(\n)\n43, 12\nA = -\n,\n(\n)\n50,19\nB =\n. Prosta AB przecina\noś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający wyznacza równanie\nprostej przechodzącej przez dwa dane punkty. (8.1).\nI sposób rozwiązania\nWyznaczamy równanie prostej AB\n1\n7\n3\n3\ny\nx\nlub\n3\n7\n0\nx\ny\nPierwsza współrzędna punktu P jest miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem\n1\n7\n3\n3\ny\nx\nRozwiązujemy zatem równanie\n1\n7\n0\n3\n3\nx +\nStąd\n7\nx = -.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy równanie prostej AB , np. w postaci\n1\n7\n3\n3\ny\nx\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy pierwszą współrzędną punktu P:\n7\nx = -.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu równania prostej AB, popełni błąd rzeczowy, to\notrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej AB, popełniając błędy rachunkowe (np. zapisze\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n19 12\n50\n50\n43\n19\n0\nx\ny\n) i konsekwentnie obliczy pierwszą współrzędną\npunktu P, to otrzymuje 1 punkt.\nII sposób rozwiązania\nNiech\n(\n)\n,0\nP\np\nbędzie punktem przecięcia prostej AB z osią Ox układu współrzędnych,\na punkty C i D będą rzutami prostokątnymi punktów odpowiednio A i B na tę oś.\ny\n0\nx\nB\nP\nA\np\nD\nC\n-43\n-12\n19\n50\nWtedy\n(\n)\n43,0\nC = -\ni\n(\n)\n50,0\nD =\n. Trójkąty PAC i PBD są podobne (oba są prostokątne, a ich\nkąty ostre przy wierzchołku P są równe). Zatem\nPD\nPC\nBD\nAC\n, czyli\n(\n)\n43\n50\n19\n12\np\np\nStąd\n(\n)\n(\n)\n12 50\n19\n43\np\np\n,\n600 12\n19\n817\np\np\n,\n31\n217\np\n,\n7\np = -.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze równanie, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna punktu P, np.:\n(\n)\n43\n50\n19\n12\np\np\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy pierwszą współrzędną punktu P:\n7\np = -.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeżeli zdający obliczy pierwszą współrzędną punktu P, zapisując np.\n7\nx = -, ale popełni błąd\nformułując odpowiedź, np.\n(\n)\n7,0\nP =\n,\n(\n)\n0, 7\nP =\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"$x = -7$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"analityczna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nJeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego\nlicznika, to otrzymamy 4\n7 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1\n2 .\nWyznacz ten ułamek.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nJeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego\nlicznika, to otrzymamy 4\n7 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1\n2 .\nWyznacz ten ułamek.\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nG7. Równania. Zdający za pomocą równań lub układów\nrównań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście\npraktycznym, a także rozwiązuje układy równań stopnia\npierwszego z dwiema niewiadomymi (G7.7, G7.6).\nI sposób rozwiązania\nNiech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego.\nZ treści zadania otrzymujemy układ równań\n1\n4\n2\n1\n7\n2\nx\nx\ny\nx\noraz\n1\n1\n1\n2\nx\ny\n,\n3\n1\n7\n4\n2\n2\nx\ny\nx\n\n\n⋅\n\n\n\n\noraz (\n)\n2\n1\n1\nx\ny\n+ ,\n21\n4\n2\n2 x\ny\nx\noraz 2\n1\nx\ny\nStąd\n(\n)\n17\n4 2\n1\n2 x\nx\n,\n17\n16\n8\nx\nx\n+ ,\n8\nx =\n, więc\n2 8 1\n17\ny =\n⋅+ =\nZatem szukany ułamek to 8\n17 . Jest to ułamek nieskracalny.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n1\n4\n2\n1\n7\n2\nx\nx\ny\nx\ni\n1\n1\n1\n2\nx\ny\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n(\n)\n17\n4 2\n1\n2 x\nx\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy szukany ułamek: 8\n17 .\nII sposób rozwiązania\nNiech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego.\nZ treści zadania otrzymujemy równanie\n1\n2\n1\n2\n4\n7\nx\nx\ny\nx\n,\n3\n2\n1\n2\n4\n7\nx\ny\nx =\n,\n21\n4\n2\n2 x\ny\nx\n,\n17\n4\n2 x\ny\nStąd\n8\n17\nx\ny =\nOtrzymany ułamek jest nieskracalny oraz\n1\n9\n1\n1\n18\n2\nx\ny\nStąd wynika, że 8\n17 to jedyny szukany ułamek.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze równanie z dwiema niewiadomymi:\n1\n2\n1\n2\n4\n7\nx\nx\ny\nx\ni doprowadzi je postaci\n8\n17\nx\ny =\ni na tym zakończy\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze równanie z dwiema niewiadomymi:\n1\n2\n1\n2\n4\n7\nx\nx\ny\nx\n, doprowadzi je postaci\n8\n17\nx\ny =\ni sprawdzi, że ułamek ten spełnia drugi z warunków podanych w treści zadania:\n1\n9\n1\n1\n18\n2\nx\ny\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający od razu poda ułamek\n8\n17 i nie sprawdzi, że\n8 1\n1\n17 1\n2\n, to otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający od razu poda ułamek 8\n17 i sprawdzi, że spełnia on drugi z warunków\npodanych w treści zadania 8 1\n1\n17 1\n2\n, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"$\\dfrac{8}{17}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa\njest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3\n5 . Oblicz\npole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna\ngraniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest\nrówny 3\n5 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości\n(9.6).\nI sposób rozwiązania\nNiech a oznacza długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i niech α będzie kątem\nnachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy (zobacz rysunek).\nPonieważ\n3\ncos\n5\nα =\n, więc kąt α jest ostry oraz\n4\nsin\n5\nα =\n. Stąd wynika, że\n4\ntg\n3\nα =\nZ drugiej strony\n16\ntg\n2\na\nα =\n. Obliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa.\nRozwiązujemy równanie:\n16\n4\n3\n2\na\n, skąd\n6 2\na =\nSzukane pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n6 2\n4 6 2 16\n144\n384 2\n48 3\n8 2\ncP =\n⋅\n⋅\n⋅\nII sposób rozwiązania\nNiech a oznacza długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, α - kąt nachylenia\nprzekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy oraz niech przekątna podstawy\ngraniastosłupa ma długość 3x, a przekątna graniastosłupa 5x (zobacz rysunek).\nα\na\na\n16\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n16\n5\nx\nx\n,\n2\n2\n9\n256\n25\nx\nx\n,\n2\n256\n16x\n,\n2\n16\nx\nStąd\n4\nx =\n. Zatem przekątna podstawy graniastosłupa ma długość 3\n3 4\n12\nx = ⋅\nObliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:\n2\n12\na\n, skąd\n6 2\na =\nSzukane pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n6 2\n4 6 2 16\n144\n384 2\n48 3\n8 2\ncP =\n⋅\n⋅\n⋅\nUwaga\n3\nMożemy również zauważyć, że trójkąt prostokątny o kącie ostrym α takim, że cos\n5\nα =\njest\npodobny do trójkąta pitagorejskiego o bokach długości 3, 4 i 5. Skala tego podobieństwa jest\nrówna\n16\n4\n4\nx =\n. W rezultacie szukane pole\ncP powierzchni całkowitej graniastosłupa jest\nrówne\n2\nm\nx P , gdzie\nm\nP to pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, którego przekątna ma\ndługość 5, a przekątna podstawy długość 3. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa\njest równa 3\n3\n2\n2\n2\n, więc\n(\n)\n2\n3\n3\n2\n2\n2\n2\n4\n2 4\n9\n24 2\nm\nP =\n⋅\n+ ⋅\n⋅\nZatem\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n16 9\n24 2\n48 3 8 2\nc\nm\nP\nP\n⋅\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający:\nzapisze, że\n4\ntg\n3\nα =\nalbo\nzapisze równanie, z którego można obliczyć skalę x podobieństwa trójkąta o bokach\ndługości 3, 4 i 5 do trójkąta o przyprostokątnej długości 16 leżącej naprzeciw kąta α ,\nnp. (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n16\n5\nx\nx\nalbo\n3x\n5x\nα\na\na\n16\n• poda skalę x podobieństwa trójkąta o bokach długości 3, 4 i 5 do trójkąta\no przyprostokątnej długości 16 leżącej naprzeciw kąta α ,\n4\nx =\nalbo\n• zaznaczy na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego\npodstawy\nalbo\n• zapisze, że długość d przekątnej graniastosłupa jest równa 20\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający:\n• obliczy długość e przekątnej podstawy tego graniastosłupa e =12\nalbo\n• zapisze równanie, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy tego\ngraniastosłupa, np.\n(\n)\n2\n2\n2\n5\n2\n16\n2\n3\na\na\n\n\n= \n\n\n\n\n\n(\n)\n2\n2\n2\n16\n2\n20\na\nlub 16\n4\n3\n2\na\nalbo\n• zapisze układ równań, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy tego\ngraniastosłupa, np.\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\n5\n2\n16\n\n\n\n\na\nd\na\nd\ngdzie d oznacza długość przekątnej tego graniastosłupa\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:\n6 2\na =\ni na tym zakończy lub\ndalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:\n(\n)\n48 3\n8 2\ncP =\nUwagi\n1. Akceptujemy sytuację, w której zdający wprowadza do rozwiązania poprawne przybliżenia\ndziesiętne liczb rzeczywistych.\n2. Jeżeli zdający przyjmie miarę kąta nachylenia, która nie wynika z treści zadania (np.\n30\nα =\n°), i w rozwiązaniu z tego korzysta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający błędnie zaznaczy na rysunku podany kąt i korzysta z tego kąta, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający zapisze, że\n3\n5\nsinα =\ni korzysta z tej równości, to za całe rozwiązanie może\notrzymać co najwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający zapisze błędnie, że\n3\ne\na\n, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.","solution":"$48(3+8\\sqrt{2})$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nWśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym\nkiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety\ntramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.\nRodzaj kupionych\nbiletów\nLiczba osób\nulgowe\n76\nnormalne\n41\nUwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana\nspośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego\nułamka.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nWśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym\nkiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety\ntramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.\nRodzaj\nkupionych\nbiletów\nLiczba osób\nulgowe\n76\nnormalne\n41\nUwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana\nspośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego\nułamka.\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa (10.3).\nI sposób rozwiązania\nOznaczmy:\nA - zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która kupiła bilet ulgowy,\nB - zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która kupiła bilet normalny,\nC - zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która nie kupiła żadnego z wymienionych\nbiletów.\nAnkietę przeprowadzono wśród 115 osób, zatem\n115\nΩ\nPonieważ wśród badanych występują osoby, które kupiły bilety obu rodzajów, więc\nB\nA\nB\nA\nB\nA\n∩\n∪\nStąd\n90\n27\n41\n76\n∪B\nA\nZatem\n25\n∪\nΩ\nB\nA\nC\n, więc\n23\n5\n115\n25\n)\n(\nC\nP\nOdp. Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że losowo wybrana spośród\nbadanych osoba nie zakupiła żadnego z wymienionych biletów jest równe 23\n5 .\nII sposób rozwiązania\nOznaczmy:\nC - zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która nie kupiła żadnego biletu.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n115\nΩ\nLiczba wszystkich osób, które kupiły co najmniej jeden bilet jest równa\n90\n14\n27\n49\nZatem\n25\n90\n115\nC\nStąd\n23\n5\n115\n25\n)\n(\nC\nP\nOdp. Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że losowo wybrana spośród\nbadanych osoba nie zakupiła żadnego z wymienionych biletów jest równe 23\n5 .\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający:\n• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n115\nΩ\nalbo\n• obliczy, ile jest wszystkich osób, które kupiły tylko bilety ulgowe: 49\nalbo\n• obliczy, ile jest wszystkich osób, które kupiły tylko bilety normalne: 14\nalbo\n• obliczy, ile jest wszystkich osób, które kupiły co najmniej jeden bilet: 90.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający:\n• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczy, ile jest wszystkich\nosób, które kupiły tylko bilety ulgowe:\n115\nΩ\n, 49\nalbo\n• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczy, ile jest wszystkich\nosób, które kupiły tylko bilety normalne:\n115\nΩ\n, 14\nalbo\n• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczy, ile jest wszystkich\nosób, które kupiły co najmniej jeden bilet:\n115\nΩ\n, 90\nalbo\n• obliczy, ile jest wszystkich osób, które nie kupiły żadnego biletu: 25.\n49\n14\n27\n25\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczy, ile jest wszystkich\nosób, które nie kupiły żadnego biletu:\n115\nΩ\n, 25.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo wylosowania osoby, która nie kupiła żadnego biletu\ni zapisze je w postaci ułamka nieskracalnego: 5\n23 .\nUwagi\n1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma ( )\n1\n>\nC\nP\nlub ( )\n0\n<\nC\nP\n, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający poda tylko wynik końcowy ( )\n5\n23\nP C =\nlub ( )\n25\n115\nP C =\n, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający obliczy\n115\n25\n)\n(\nC\nP\ni nie przedstawi wyniku w postaci ułamka\nnieskracalnego, to otrzymuje 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu\nB\nA ∪\nlub C ,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje\nco najwyżej 3 punkty.\n5. Jeżeli zdający sporządził diagram, na którym zapisał liczby 49, 27, 14 i 25,\ni na tym zakończył, to otrzymuje 2 punkty.\n49\n14\n27\n25","solution":"$\\dfrac{5}{23}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nW nieskończonym ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n1\nn ≥, suma jedenastu\npoczątkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego,\ntrzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy\n1a ,\n3a ,\nka ciągu (\n)\nna\n,\nw podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny (\n)\nnb\n. Oblicz k.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nW ciągu arytmetycznym (a_n) określonym dla n >= 1 dane są a_1=-4 i r=2. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 156? A. 81, B. 80, C. 76, D. 77.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nW nieskończonym ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n1\nn ≥, suma jedenastu\npoczątkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego,\ntrzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy\n1a ,\n3a ,\nka ciągu (\n)\nna\n,\nw podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny (\n)\nnb\n. Oblicz k.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę\nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego stosuje wzór\nna n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego (5.3, 5.4).\nRozwiązanie\nKorzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nrównanie:\n1\n2\n10\n11\n187\n2\na\nr\n⋅\n,\n(\n)\n1\n5\n11\n187\na\nr\n⋅\n,\n1\n5\n17\na\nr\nKorzystamy z informacji o średniej arytmetycznej trzech wyrazów i zapisujemy równanie:\n1\n1\n1\n2\n8\n12\n3\na\na\nr\na\nr\n,\n1\n3\n10\n12\n3\na\nr\n,\n1\n10\n12\n3\na\nr\nZapisujemy układ równań:\n1\n1\n5\n17\n10\n12.\n3\na\nr\na\nr\n\n\nZ pierwszego równania otrzymujemy\n1\n17\n5\na\nr\nOtrzymaną wartość\n1a podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie\nz niewiadomą r:\n10\n17\n5\n12\n3\nr\nr\n,\n3\nr = .\nObliczamy pierwszy wyraz:\n1\n2\na =\nUwaga\nW rozwiązaniu układu równań zdający może najpierw wyznaczyć niewiadomą\n1\n5\n1\n5\n17\na\nr\nOtrzymaną wartość r podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie\nz niewiadomą\n1a :\n1\n1\n10 17\n1\n12\n3\n5\n5\na\na\n\n\n\n\n\n\n,\n1\n1\n170\n10\n12\n15\n15\na\na\n,\n1\n1\n2\n3\n3\na =\n,\n1\n2\na =\nDla\n2\n1 =\na\nmamy\n3\nr\nWyznaczamy pozostałe wyrazy tworzące ciąg geometryczny:\n8\n2\n1\n3\nr\na\na\n,\n(\n)\n(\n)\n1\n1\n2\n1 3\nka\na\nk\nr\nk\n⋅.\nKolejne wyrazy\n1a ,\n3a ,\nka ciągu geometrycznego spełniają warunek:\nka\na\na\n⋅\n1\n2\n3\n, stąd\n(\n)\n28\n2\n2\n1 3\nk\n⋅\n⋅\n\n\n\n,\n32\n3\n1\nk\n-,\n11\nk\nDla\n11\nk\nwyrazy\n1a ,\n3a ,\nka w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp 1 p.\nZdający wykorzysta\n• wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisze równanie\nz dwiema niewiadomymi\n1a i r, np.:\n1\n2\n10\n11\n187\n2\na\nr\n⋅\nlub\n1\n5\n17\na\nr\nalbo\n• średnią arytmetyczną pierwszego, trzeciego oraz dziewiątego wyrazu ciągu (\n)\nna\ni zapisze równanie z dwiema niewiadomymi\n1a i r, np.:\n1\n1\n1\n2\n8\n12\n3\na\na\nr\na\nr\nlub\n1\n10\n12\n3\na\nr\nalbo\n• zależność między pierwszym, trzecim i k-tym wyrazem ciągu (\n)\nna\nwynikającą\nz faktu, że ciąg (\n)\n1\n3\n,\n,\nk\na a a\njest geometryczny i zapisze np.:\nka\na\na\n⋅\n1\n2\n3\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi\n1a i r, np.:\n1\n1\n5\n17\n10\n12\n3\na\nr\na\nr\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający rozwiąże układ równań\n2\n1 =\na\ni\n3\nr\noraz zapisze zależność między pierwszym,\ntrzecim i k-tym wyrazem ciągu (\n)\nna\nwynikającą z faktu, że ciąg (\n)\n1\n3\n,\n,\nk\na a a\njest\ngeometryczny, np.:\nka\na\na\n⋅\n1\n2\n3\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.\nZdający\n• zapisze równanie z niewiadomą k wynikające z faktu, że ciąg (\n)\n1\n3\n,\n,\nk\na a a\njest\ngeometryczny oraz\nka jest k-tym wyrazem ciągu arytmetycznego, np.:\n(\n)\n(\n)\n28\n2 2\n1 3\nk\n⋅\nalbo\n• rozwiąże układ równań z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu obliczy k, o ile otrzymana wartość k jest całkowita dodatnia.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy\n11\nk\nUwagi\n1. Jeżeli zdający od razu poda\n2\n1 =\na\ni\n3\nr\nlub wypisze kolejne wyrazy ciągu\narytmetycznego: 2, 5, 8, 11, …, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki\nzadania i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający od razu poda\n2\n1 =\na\ni\n3\nr\nlub wypisze kolejne wyrazy ciągu\narytmetycznego: 2, 5, 8, 11, …, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki\nzadania i wskaże lub obliczy\n11\nk\n, to otrzymuje 3 punkty.\n3. Jeżeli zdający od razu poda\n2\n1 =\na\ni\n3\nr\nlub wypisze kolejne wyrazy ciągu\narytmetycznego: 2, 5, 8, 11, …, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki\nzadania i zapisze równanie z niewiadomą k i popełni błąd rachunkowy w trakcie jego\nrozwiązywania, to otrzymuje 2 punkty.\n4. Jeżeli zdający od razu przyjmie ciąg arytmetyczny nie spełniający warunków zadania\n(suma 11 początkowych jego wyrazów jest różna od 187 lub średnia pierwszego, trzeciego\ni dziewiątego wyrazu jest różna od 12), to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"$k=11$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"ciagi","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}