{"paper":{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":16,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nNa rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających\nnierówność 2\n8\n10\nx -\n≤\nStąd wynika, że\nA.\n2\nk =\nB.\n4\nk =\nC.\n5\nk =\nD.\n9\nk =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\npojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację\ngeometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory\nopisane za pomocą równań i nierówności typu:\nb\na\nx\n,\nb\na\nx\n>\n,\nb\na\nx\n<\n(R1.1).\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDana jest funkcja f określona wzorem\n2\ndla\n0\n( )\n3\n4 dla\n0\nx\nx\nf x\nx\nx\n≤\n\n= \n>\n\nRównanie\n( )\n1\nf x = ma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie.\nB. dwa rozwiązania.\nC. cztery rozwiązania.\nD. pięć rozwiązań.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje\nrównania i nierówności z wartością\nbezwzględną (R3.9).\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba (\n)\n3\n3\n2\n3 -\njest równa\nA.\n3\n24\n27 -\nB.\n3\n30\n27 -\nC.\n3\n78\n135 -\nD.\n3\n30\n135 -","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa\nwzorów skróconego mnożenia na (\n)\n3\n±\na\nb\noraz\n3\n3\n±\na\nb (R2.1).\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nRównanie 2sin\n3cos\n6\nx\nx\nw przedziale (\n)\n0,2π\nA. nie ma rozwiązań rzeczywistych.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.\nD. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.\nRozwiąż równanie sin^2 2x - 4 * sin^2 x + 1 = 0 w przedziale <0, 2pi>.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności trygonometryczne (R6.6).\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-1)\nOdległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu\n4\n2 +\nx\ny\njest równa\nA.\n5\n5\nB.\n5\n5\n4\nC. 5\n4\nD. 4\nx\nk\n- 1\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległość punktu od prostej\n(R8.4).\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nOblicz granicę\n3\n2\n3\n2\n11\n6\n5\n2\n2\n1\nlim\n6\n1\n5\n4\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n→∞\n\n\n\n\n\n\n. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę\njedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-2)\nOblicz granicę\n3\n2\n3\n2\n11\n6\n5\n2\n2\n1\nlim\n6\n1\n5\n4\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n→∞\n\n\n\n\n\n\n. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę\njedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n5. Ciągi. Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic\nciągów typu 1\nn ,\n2\n1\nn oraz z twierdzeń o działaniach na\ngranicach ciągów (R5.2).\nOdpowiedź\n1\n4\n3","solution":"1 4 3","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nLiczby (\n)1\ni 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej .f Oblicz\n( )\n(\n)\n6\n12\nf\nf\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-2)\nLiczby (\n)\n1\ni 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej .f Oblicz\n( )\n(\n)\n6\n12\nf\nf\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający interpretuje współczynników\nwystępujących we wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nkanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (4.10).\nRozwiązanie (I sposób)\nZapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej\n( )\n(\n)(\n)\n1\n3\nf x\na x\nx\n, gdzie\n0\na ≠\nStąd zaś wynika, że\n( )\n( )\n39\n7\n9\n13\n3\n7\n12\n6\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n= a\na\nf\nf\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wykorzysta postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisze\n( )\n6\n7 3\nf\na\n⋅⋅ lub\n(\n)\n12\n13 9\nf\na\n⋅\n⋅ i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy wartość\n( )\n( )\n39\n7\n12\n6\nf\nf\nRozwiązanie (II sposób)\nZ wzorów Viète’a otrzymujemy\n2\nb\na\noraz\n3\nc\na = -. Stąd\n2\nb\na\noraz\n3\nc\na\n. Wzór\nfunkcji f możemy zapisać w postaci\n( )\n2\n2\n3\nf x\nax\nax\na\n. Obliczamy wartości funkcji dla\nargumentów 6 i 12\n( )\n6\n36\n12\n3\n21\nf\na\na\na\na\noraz\n(\n)\n12\n144\n24\n3\n117\nf\na\na\na\na\nZatem\n( )\n(\n)\n6\n21\n7\n12\n117\n39\nf\na\nf\na\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wykorzysta wzory Viète’a i zapisze\n( )\n6\n36\n12\n3\nf\na\na\na\nlub\n(\n)\n12\n144\n24\n3\nf\na\na\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy wartość\n( )\n( )\n39\n7\n12\n6\nf\nf","solution":"$\\dfrac{7}{39}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność\n4\n2\n2\n3\n0\nx\nx\nx\n>\n\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y różnej od 1 prawdziwa jest równość log_x (xy) * log_y (y/x) = log_y (xy) * log_x (y/x).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność\n4\n2\n2\n3\n0\nx\nx\nx\n>\nV. Rozumowanie\ni argumentacja\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający dodaje, odejmuje, mnoży\ni dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych\nprzykładach) skraca wyrażenia wymierne; używa wzory\nskróconego mnożenia na (\n)\n2\na\nb\n±\n,\n2\n2\na\nb\n. (R2.6, 2.1).\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzekształćmy nierówność równoważnie w następujący sposób\n4\n2\n2\n2\n1\n2\n1 1\n0\nx\nx\nx\nx\n+ + >\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n0\nx\nx\n+ >\nLewa strona tej nierówności jest sumą trzech składników, z których dwa pierwsze są\nnieujemne, a trzeci dodatni, więc suma ta jest dodatnia dla każdej liczby rzeczywistej x.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci, z której lewą stronę łatwo można zapisać w postaci sumy\nskładników nieujemnych:\n4\n2\n2\n2\n1\n2\n1 1\n0\nx\nx\nx\nx\n+ + >\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci: (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n0\nx\nx\n+ >\ni nie uzasadni prawdziwości tej\nnierówności.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzekształćmy nierówność równoważnie w następujący sposób\n4\n2\n2\n2 1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)(\n)\n3\n2\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)(\n)\n3\n2\n2\n1\n2\n2\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n+ >\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n1\n0\nx\nx\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n) (\n)\n2\n2\n1\n2\n1 1\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n1\n1\n0\nx\nx\n+ >\nPonieważ (\n)\n2\n1\n0\nx -\n≥\noraz (\n)\n2\n1\n1\n0\nx +\n+ >\ndla każdej liczby rzeczywistej x, więc iloczyn\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n1\nx\nx\njest nieujemny. Stąd wynika, że lewa strona nierówności jest dodatnia\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci: (\n) (\n)\n2\n2\n1\n2\n2\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\ni nie uzasadni prawdziwości\ntej nierówności.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nRozwiązanie (III sposób)\nRozważmy wielomian\n( )\n4\n2\n2\n3\nf x\nx\nx\nx\nPochodna tego wielomianu jest równa\n( )\n3\n4\n2\n2\nf\nx\nx\nx\n′\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nPonieważ\n( )\n1\n4\n2\n2\n0\nf ′\n, więc wielomian f ′ jest podzielny przez dwumian\n1\nx -.\nWykorzystując schemat Hornera, otrzymujemy\n4\n0\n-2\n-2\n1\n4\n4\n2\n0\nZatem\n( )\n(\n)(\n)\n2\n1\n4\n4\n2\nf\nx\nx\nx\nx\n′\n. Wyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n4\n4\n2\nx\nx\njest\nrówny\n2\n4\n4 4 2\n0\nΔ =\n-⋅⋅\n<\n, współczynnik przy\n2x jest dodatni, więc\n2\n4\n4\n2\n0\nx\nx\n>\ndla każdej\nliczby rzeczywistej x. Wynika stąd, że\n( )\n0\nf\nx\n′\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n1\nx = ,\n( )\n0\nf\nx\n′\n>\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n1\nx > ,\n( )\n0\nf\nx\n′\n<\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n1\nx < .\nTo oznacza, że w punkcie\n1\nx = wielomian f osiąga minimum lokalne, które jest jednocześnie\njego najmniejsza wartością, gdyż w przedziale (\n,1\n-∞\nwielomian f jest funkcją malejącą,\na w przedziale\n)\n1,+∞ rosnącą.\nPonieważ\n( )\n4\n2\n1\n1\n1\n2 1 3\n1\nf\n-⋅+\n= , więc\n( )\n( )\n1\n1\n0\nf x\nf\n≥\n= >\n, czyli\n4\n2\n2\n3\n0\nx\nx\nx\n>\ndla\nkażdej liczby rzeczywistej x. To kończy dowód.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy obliczy pochodną wielomianu\n( )\n4\n2\n2\n3\nf x\nx\nx\nx\n+ , zapisze, że liczba 1 jest\npierwiastkiem pochodnej:\n( )\n3\n4\n2\n2\nf\nx\nx\nx\n′\n,\n( )\n1\n4\n2\n2\n0\nf ′\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pochodną w postaci :\n( )\n(\n)(\n)\n2\n1\n4\n4\n2\nf\nx\nx\nx\nx\n′\ni zbada znak pochodnej, ale nie\nprzeprowadzi rozumowania do końca lub przeprowadzi je z błędem.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":"Dowód w pełnym rozwiązaniu.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nDwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych\npunktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek).\nWykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nS\n\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nDwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych\npunktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek).\nWykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu\n(R7.1).\nRozwiązanie (I sposób)\nOznaczmy\nBAP\nPAD\nα\n\n\noraz\nCBP\nABP\nβ\n\n\nPonieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc\n180\n2\n90\n2\nBCR\nα\nα\n°-\n°-\n\noraz\n180\n2\n90\n2\nADR\nβ\nβ\n°-\n°-\n\nZauważmy, że\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nAQD\nDAQ\nADQ\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n°-\n°-\n°-\n\n\n\noraz\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nBSC\nBCR\nCBP\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n°-\n°-\n°+\n\n\n\nZatem\n(\n) (\n)\n90\n90\n180\nPQR\nPSR\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n°+\n°\n\n\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nS\nα\nα\nβ β\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nS\nSuma wszystkich kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma pozostałych dwóch kątów\nczworokąta PQRS także jest równa 180°. To oznacza, że na czworokącie PQRS można opisać\nokrąg, co kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przyjmie oznaczenia dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub\noznaczy połowy tych kątów) np.:\nBAP\nPAD\nα\n\n\n,\nCBP\nABP\nβ\n\n\noraz zapisze\ndwa pozostałe kąty wewnętrzne tego czworokąta (lub ich połowy) w zależności od α i β :\n90\nBCR\nDCR\nα\n°-\n\n\n,\n90\nCDR\nADR\nβ\n°-\n\n\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy dwa przeciwległe kąty czworokąta PQRS w zależności od α i β :\n90\nAQD\nα\nβ\n° -\n\n,\n90\nBSC\nα\nβ\n° +\n\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest\nrówna 180°.\nRozwiązanie (II sposób)\nOznaczmy\nBAP\nPAD\nα\n\n\noraz\nCBP\nABP\nβ\n\n\nPonieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc\n180\n2\n90\n2\nBCR\nDCR\nα\nα\n°-\n°-\n\n\noraz\n180\n2\n90\n2\nCDR\nADR\nβ\nβ\n°-\n°-\n\n\nZauważmy, że\n(\n)\n(\n)\n180\n180\nSPQ\nAPB\nABP\nBAP\nα\nβ\n°-\n°-\n\n\n\n\noraz\n(\n)\n(\n) (\n)\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nSRQ\nCRD\nDCR\nCDR\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n°-\n°-\n°-\n\n\n\n\nZatem\n(\n)\n180\n180\nSPQ\nSRQ\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n°\n\n\nSuma wszystkich kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma pozostałych dwóch kątów\nczworokąta PQRS także jest równa 180°. To oznacza, że na czworokącie PQRS można opisać\nokrąg, co kończy dowód.\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nα\nα\nβ β\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przyjmie oznaczenia dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub\noznaczy połowy tych kątów) np.:\nBAP\nPAD\nα\n\n\n,\nCBP\nABP\nβ\n\n\noraz zapisze\ndwa pozostałe kąty wewnętrzne tego czworokąta (lub ich połowy) w zależności od α i β :\n90\nBCR\nDCR\nα\n°-\n\n\n,\n90\nCDR\nADR\nβ\n°-\n\n\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy dwa przeciwległe kąty czworokąta PQRS w zależności od α i β :\n(\n)\n180\nSPQ\nα\nβ\n°-\n\n,\nSRQ\nα\nβ\n\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest\nrówna 180°.\nRozwiązanie (III sposób)\nOznaczmy:\nBAP\nDAP\nα\n\n\n,\nCBP\nABP\nβ\n\n\n,\nDCR\nBCR\nγ\n\n\n,\nADR\nCDR\nδ\n\n\nSuma kątów czworokąta ABCD jest równa\n2\n60\nα\nβ\nγ\nδ\n+ 2\n+ 2 + 2\n= 3\n°.\nStąd\n(1)\n180\nα\nβ\nγ\nδ\n°.\nZ bilansu kątów w trójkątach ADQ i BCS otrzymujemy\n(\n)\n180\nAQD\nα\nδ\n°-\n\noraz\n(\n)\n180\nBSC\nβ\nγ\n°-\n\nSuma przeciwległych kątów PQR i PSR czworokąta PQRS jest więc równa\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n180\n180\n360\nPQR\nPSR\nα\nδ\nβ\nγ\nα\nβ\nγ\nδ\n° -\n° -\n° -\n\n\nStąd i z (1) otrzymujemy\n360\n180\n180\nPQR\nPSR\n°-\n° =\n°\n\n\nTo oznacza, że suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 180°.\nZatem na czworokącie PQRS można opisać okrąg. To kończy dowód.\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nS\nα\nα\nβ β\nγ γ\nδ δ\nRozwiązanie (IV sposób)\nOznaczmy:\nBAP\nDAP\nα\n\n\n,\nCBP\nABP\nβ\n\n\n,\nDCR\nBCR\nγ\n\n\n,\nADR\nCDR\nδ\n\n\nSuma kątów czworokąta ABCD jest równa\n2\n60\nα\nβ\nγ\nδ\n+ 2\n+ 2 + 2\n= 3\n°.\nStąd\n(1)\n180\nα\nβ\nγ\nδ\n°.\nZ bilansu kątów w trójkątach ABP i CDR otrzymujemy\n(\n)\n180\nBPA\nα\nβ\n° -\n\noraz\n(\n)\n180\nCRD\nγ\nδ\n° -\n\nKąty BPA i SPQ są wierzchołkowe, podobnie jak kąty CRD i SRQ. Zatem\n(\n)\n180\nSPQ\nα\nβ\n°-\n\noraz\n(\n)\n180\nSRQ\nγ\nδ\n°-\n\nSuma przeciwległych kątów SPQ i SRQ czworokąta PQRS jest więc równa\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n180\n180\n360\nSPQ\nSRQ\nα\nβ\nγ\nδ\nα\nβ\nγ\nδ\n°-\n°-\n°-\n\n\nStąd i z (1) otrzymujemy\n360\n180\n180\nSPQ\nSRQ\n°-\n° =\n°\n\n\nTo oznacza, że suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 180°.\nZatem na czworokącie PQRS można opisać okrąg. To kończy dowód.\nSchemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przyjmie oznaczenia kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub oznaczy połowy tych kątów), np.:\nBAP\nDAP\nα\n\n\n,\nCBP\nABP\nβ\n\n\n,\nDCR\nBCR\nγ\n\n\n,\nADR\nCDR\nδ\n\n\ni zapisze:\n• że ich suma jest równa 360°: 2\n60\nα\nβ\nγ\nδ\n+ 2\n+ 2 + 2\n= 3\n°\nalbo\n• wyznaczy dwa przeciwległe kąty PQR i PSR czworokąta PQRS w zależności od\nα , β ,γ i δ :\n(\n)\n180\nPQR\nα\nδ\n°-\n\n,\n(\n)\n180\nPSR\nβ\nγ\n° -\n\nalbo\n• wyznaczy dwa przeciwległe kąty SPQ i SRQ czworokąta PQRS w zależności od\nα , β ,γ i δ :\n(\n)\n180\nSPQ\nα\nβ\n°-\n\n,\n(\n)\n180\nSRQ\nγ\nδ\n°-\n\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze, że 2\n60\nα\nβ\nγ\nδ\n+ 2\n+ 2 + 2\n= 3\n° oraz\n• wyznaczy dwa przeciwległe kąty PQR i PSR czworokąta PQRS w zależności od\nα , β ,γ i δ :\n(\n)\n180\nPQR\nα\nδ\n°-\n\n,\n(\n)\n180\nPSR\nβ\nγ\n° -\n\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nS\nα\nα\nβ β\nγ γ\nδ δ\nalbo\n• wyznaczy dwa przeciwległe kąty SPQ i SRQ czworokąta PQRS w zależności od\nα , β ,γ i δ :\n(\n)\n180\nSPQ\nα\nβ\n°-\n\n,\n(\n)\n180\nSRQ\nγ\nδ\n°-\n\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest\nrówna 180°.","solution":"Dowód w pełnym rozwiązaniu.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDługości boków czworokąta ABCD są równe:\n2\nAB =\n,\n3\nBC = ,\n4\nCD =\n,\n5\nDA =\nNa czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nO trapezie ABCD wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków AB, BC, CD, AD - w podanej kolejności - tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez ABCD jest rombem.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nDługości boków czworokąta ABCD są równe:\n2\nAB =\n,\n3\nBC = ,\n4\nCD =\n,\n5\nDA =\nNa czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;\nznajduje związki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów\n(R7.1, R7.5).\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia\n2\na\nAB\n,\n3\nb\nBC\n,\n4\nc\nCD\n,\n5\nd\nDA\n, x\nAC\n,\nABC\nα = \njak na rysunku.\nPonieważ na czworokącie ABCD jest opisany okrąg, więc\n180\nCDA\nα\n°-\n\nZ twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta ABC otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2\ncos\nAC\nAB\nBC\nAB\nBC\nα\n-⋅\n⋅\n⋅\n,\n(1)\n2\n2\n2\n2\n3\n2 2 3 cos\nAC\nα\n-⋅⋅⋅\nTeraz ponownie zastosujemy twierdzenie cosinusów, tym razem do trójkąta ACD :\n(\n)\n2\n2\n2\n2\ncos 180\nAC\nCD\nDA\nCD\nDA\nα\n-⋅\n⋅\n⋅\n°-\n,\n(2)\n2\n2\n2\n4\n5\n2 4 5 cos\nAC\nα\n+ ⋅⋅⋅\nPorównujemy prawe strony równań (1) i (2):\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2 2 3 cos\n4\n5\n2 4 5 cos\nα\nα\n-⋅⋅⋅\n+ ⋅⋅⋅\n,\n13 12 cos\n41\n40 cos\nα\nα\n⋅\n⋅\nA\nB\nC\nD\na\nb\nc\nd\nα\nβ\nx\n28\n7\ncos\n52\n13\nα = -\nPodstawiamy otrzymaną wartość do równania (1) i otrzymujemy:\n2\n7\n84\n169\n84\n253\n13 12\n13\n13\n13\n13\n13\nAC\n\n\n⋅-\n\n\n\n\nStąd wynika, że długość przekątnej AC jest równa:\n253\n13\nAC =\nUwaga\nUkład równań (1) i (2) możemy rozwiązać rugując cosα . Wtedy mnożymy obie strony\nrównania (1) przez 10, a obie strony równania (2 ) przez 3 i mamy\n2\n10\n10 4 10 9 120 cos\nx\nα\n⋅+\n⋅-\n⋅\noraz\n2\n3\n3 16\n3 25 120 cos\nx\nα\n= ⋅\n+ ⋅\n⋅\nDodając stronami otrzymane równania mamy\n2\n13\n253\nx =\nStąd\n253\n13\nx\nAC\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze równanie wynikające z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta\nABC albo do trójkąta CDA:\n2\n2\n2\n2\n3\n2 2 3 cos\nx\nα\n-⋅⋅⋅\nalbo\n2\n2\n2\n4\n5\n2 4 5 cos\nx\nβ\n-⋅⋅⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze\n• równanie z jedną niewiadomą, np.:\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2 2 3 cos\n4\n5\n2 4 5 cos 180\nα\nα\n-⋅⋅⋅\n-⋅⋅⋅\n°-\nalbo\n• układ równań w postaci:\n2\n10\n10 4 10 9 120 cos\nx\nα\n⋅+\n⋅-\n⋅\ni\n2\n3\n3 16\n3 25 120 cos\nx\nα\n= ⋅\n+ ⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy cosinus kąta ABC:\n7\ncos\n13\na = -\nalbo\n• zapisze równanie z niewiadomą x, np.:\n2\n13\n253\nx =\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy długość przekątnej AC:\n253\n13\nAC =\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia x\nAC\ny\nBD\njak na rysunku i niech R oznacza promień okręgu\nopisanego na czworokącie ABCD.\nZ twierdzenia Ptolemeusza otrzymujemy równanie\n2 4\n5 3\nxy =\n⋅+ ⋅,\n23\nxy =\nOkrąg opisany na czworokącie ABCD jest jednocześnie okręgiem opisanym na każdym\nz trójkątów ABC, BCD, CDA i ABD. Pole czworokąta ABCD możemy zapisać na dwa\nsposoby\nABCD\nABC\nCDA\nBCD\nABD\nP\nP\nP\nP\nP\nStąd i ze wzoru na pole trójkąta\n4\nabc\nP\nR\notrzymujemy równanie\n2 3\n4 5\n2 5\n3 4\n4\n4\n4\n4\nx\nx\ny\ny\nR\nR\nR\nR\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\n,\n26\n22\nx\ny\n,\n13\n11\ny\nx\nStąd i z równości\n23\nxy =\notrzymujemy\n13\n23\n11\nx\nx\n⋅\n,\n2\n23 11\n13\nx\n⋅\n,\n253\n13\nx =\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze\n• równanie wynikające z twierdzenia Ptolemeusza:\n2 4\n5 3\nxy =\n⋅+ ⋅\nalbo\nA\nB\nC\nD\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n• pole czworokąta ABCD na dwa sposoby i zapisze\nABC\nCDA\nBCD\nABD\nP\nP\nP\nP\nlub\n2 3\n4 5\n2 5\n3 4\n4\n4\n4\n4\nx\nx\ny\ny\nR\nR\nR\nR\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze układ równań z niewiadomymi x i y:\n2 4\n5 3\nxy =\n⋅+ ⋅ oraz 2 3\n4 5\n2 5\n3 4\nx\nx\ny\ny\n⋅⋅+ ⋅⋅\n⋅⋅\n+ ⋅⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n13\n23\n11\nx\nx\n⋅\nlub 11\n23\n13 y y\n⋅\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy długość przekątnej AC:\n253\n13\nx\nAC","solution":"$|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych\ni 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej\ni dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co\nwylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo\nzdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nW pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych\ni 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej\ni dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co\nwylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo\nzdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający korzysta z twierdzenia\no prawdopodobieństwie całkowitym (R10.3).\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia zdarzeń:\nA - zdarzenie polegające na tym, że z drugiej urny wylosujemy dwie kule białe,\n1\nB - zdarzenie polegające na tym, że z pierwszej urny wylosujemy kulę białą.\n2\nB - zdarzenie polegające na tym, że z pierwszej urny wylosujemy kulę czarną.\nWówczas\n1\n2\nB\nB\n∩\n= ∅ oraz\n1\n2\nB\nB\n∪\n= Ω . Następnie\n(\n)\n1\n3\n0\n8\nP B\n>\noraz\n(\n)\n2\n5\n0\n8\nP B\n>\nZatem spełnione są założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Obliczamy\nteraz prawdopodobieństwa warunkowe:\n(\n) ( )\n( )\n1\n10\n2\n12\n2\n15\n22\nP A B\noraz\n(\n)\n( )\n( )\n2\n7\n2\n12\n2\n7\n22\nP A B\nZ twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym otrzymujemy\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n1\n1\n2\n2\n15 3\n7\n5\n45\n35\n80\n5\n22 8\n22 8\n8 22\n8 22\n11\nP A\nP A B\nP B\nP A B\nP B\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający opisze zdarzenia A,\n1\nB i\n2\nB .\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• obliczy prawdopodobieństwa\n(\n)\n1\n3\n8\nP B\noraz\n(\n)\n2\n5\n8\nP B\nalbo\n• obliczy prawdopodobieństwa\n(\n)\n1\n15\n22\nP A B\n,\n(\n)\n2\n7\n22\nP A B\nalbo\n• obliczy prawdopodobieństwa\n(\n)\n1\n3\n8\nP B\noraz\n(\n)\n1\n15\n22\nP A B\nalbo\n• obliczy prawdopodobieństwa\n(\n)\n2\n5\n8\nP B\noraz\n(\n)\n2\n7\n22\nP A B\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwa: (\n)\n1\n3\n8\nP B\n,\n(\n)\n2\n5\n8\nP B\n,\n(\n)\n1\n15\n22\nP A B\n,\n(\n)\n2\n7\n22\nP A B\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo:\n( )\n5\n11\nP A =\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzyjmijmy, że A to zdarzenie polegające na tym, że z drugiej urny wylosujemy dwie kule\nbiałe. Rysujemy drzewo z istotnymi gałęziami\nlub\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n15 3\n7\n5\n45\n35\n80\n5\n22 8\n22 8\n8 22\n8 22\n11\nP A\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nLosowanie kuli z pierwszej urny\nLosowanie pierwszej kuli z drugiej urny\n1\nB\n2\nB\nLosowanie drugiej kuli z drugiej urny\nb\nb\nc\nc\nb\nb\nb\nb\nc\nc\nc\nc\n3\n8\n5\n8\n10\n12\n7\n12\n9\n11\n6\n11\nLosowanie kuli z pierwszej urny\nLosowanie dwóch kul z drugiej urny\n( )\n( )\n7\n2\n12\n2\n( )\n( )\n10\n2\n12\n2\n1\nB\n2\nB\n5\n8\n3\n8\nb b\nb b\nlub\n( )\n3\nP A =\n1\n8\n4\n10\n⋅\n5\n12\n4\n9\n5\n7\n11\n8 12\n⋅\n⋅\n2\n6\n⋅\n1\n45\n35\n80\n5\n11\n16 11\n176\n11\n⋅\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający narysuje drzewo ilustrujące losowanie (na rysunku muszą wystąpić wszystkie istotne\ngałęzie).\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze prawdopodobieństwa przynajmniej na wszystkich istotnych odcinkach\njednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich istotnych gałęziach: 3\n8 , 10\n12 , 9\n11\noraz 5\n8 , 7\n12 , 6\n11 lub 3\n8 ,\n10\n2\n12\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\noraz 5\n8 ,\n7\n2\n12\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo:\n( )\n5\n11\nP A =\nUwaga\nJeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma prawdopodobieństwo ujemne lub większe\nod 1, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"$P(A)=\\dfrac{5}{11}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nFunkcja f określona jest wzorem\n1\n2\n)\n(\n2\n3\nx\nx\nx\nf\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nWyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji\n,f które są równoległe do prostej\no równaniu\n4\ny\nx\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 i zarazem prostopadłych do prostej x + 2y - 6 = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-4)\nFunkcja f określona jest wzorem\n1\n2\n)\n(\n2\n3\nx\nx\nx\nf\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nWyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji\n,f które są równoległe do prostej\no równaniu\n4\ny\nx\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta z geometrycznej\ni fizycznej interpretacji pochodnej (R11.3).\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający\nwyznacza równania prostej, która jest równoległa lub\nprostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej\ni przechodzi przez dany punkt (8.3).\nRozwiązanie\nAby styczne były równoległe do prostej o równaniu\nx\ny\n4\n, ich współczynnik kierunkowy\nmusi być równy 4. Obliczamy pochodną funkcji f:\nx\nx\nx\nf\n4\n3\n)\n('\n2 -\nWspółczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji\nw punkcie styczności. Stąd\n(\n)\n0\n4\nf\nx\n′\n. Wówczas\n2\n0\n0\n3\n4\n4\nx\nx\n,\n2\n0\n0\n3\n4\n4\n0\nx\nx\n,\n64\nΔ =\n,\n0\n2\n3\nx = -\nlub\n0\n2\nx =\nIstnieją zatem dwie styczne do wykresu funkcji f równoległe do prostej o równaniu\n4\ny\nx\nw punktach\n(\n)\n1\n5\n2\n3\n27\n,\nP = -\noraz\n(\n)\n2\n2,1\nP =\n. Styczne mają zatem równania postaci\n(\n)\n5\n2\n27\n3\n4\ny\nx\noraz\n(\n)\n1\n4\n2\ny\nx\n, czyli\n67\n27\n4\ny\nx\noraz\n7\n4 -\nx\ny\nOdp. Równania prostych stycznych mają postać:\n27\n67\n4 +\nx\ny\noraz\n7\n4 -\nx\ny\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• obliczy pochodną funkcji f:\nx\nx\nx\nf\n4\n3\n)\n('\n2 -\nalbo\n• zapisze warunek\n(\n)\n0\n4\nf\nx\n′\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający obliczy pochodną funkcji f:\nx\nx\nx\nf\n4\n3\n)\n('\n2 -\ni zapisze warunek\n(\n)\n0\n4\nf\nx\n′\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający rozwiąże równanie\n2\n0\n0\n3\n4\n4\nx\nx\ni obliczy współrzędne obu punktów styczności:\n1\n2\n5\n,\n3\n27\nP\n\n\n\n\n\n\n,\n(\n)\n2\n2,1\nP =\nUwaga\nJeżeli zdający korzysta ze wzoru\n(\n)\n0\ny\nf\nx\nx\nb\n′\n, gdzie\n(\n)\n(\n)\n0\n0\n0\nb\nf x\nf\nx\nx\n′\n⋅\n, to obliczenie\nwspółczynnika b traktujemy jak obliczenie drugiej współrzędnej punktu styczności.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nWyznaczenie równań stycznych:\n27\n67\n4 +\nx\ny\ni\n7\n4 -\nx\ny\nUwaga\nJeżeli zdający wyznaczy poprawnie współrzędne tylko jednego punktu styczności\ni w konsekwencji wyznaczy poprawnie równanie jednej stycznej, to otrzymuje 3 punkty.","solution":"$y=4x+\\dfrac{67}{27}$ oraz $y=4x-7$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nDany jest trójmian kwadratowy\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n2\n1\n)\n(\n2\nm\nx\nm\nx\nm\nx\nf\n. Wyznacz wszystkie\nwartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\n1x ,\n2x ,\nspełniające warunek\n2\n2\n4\n4\n1\n2\n1\n2\nx\nx\nx\nx\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (m^2-m)x^2-x+1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 takie, że 1 / x_1 + x_2 <= m / 3 <= 1 / x_1 + 1 / x_2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nDany jest trójmian kwadratowy\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n2\n1\n)\n(\n2\nm\nx\nm\nx\nm\nx\nf\n. Wyznacz wszystkie\nwartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\n1x ,\n2x ,\nspełniające warunek\n2\n2\n4\n4\n1\n2\n1\n2\nx\nx\nx\nx\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a\n(R3.1).\nRozwiązanie\nZ treści zadania wynika, że\n0\n1 ≠\nm\n, czyli\n1\nm ≠-.\nTrójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4 (\n1)\n4\n0\nm\nm\nm\nΔ =\n-⋅\n⋅-\n>\n,\n0\n28\n8\n2\n>\nm\nm\n,\n(\n)\n0\n7\n2\n4\n>\nm\nm\nStąd\n(\n) (\n)\n7\n2\n,0\n,\nm∈-∞\n∪\n+∞.\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n7\n2\n,\n1\n1, 0\n,\nD = -∞-\n∪-\n∪\n+ ∞ jest zbiorem wszystkich wartości parametru m, dla których\nfunkcja f jest trójmianem kwadratowym i ma dwa różne pierwiastki.\nWarunek\n4\n2\n4\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nmożemy zapisać w postaci równoważnej\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nStąd\n0\n2\n1\n-x\nx\nlub\n0\n2\n1\n+ x\nx\nlub\n(\n)\n0\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nRówność\n0\n2\n1\n-x\nx\nprzeczy założeniu\n1\n2\nx\nx\n≠\nZe wzoru Viète’a na sumę pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy równanie\n0\n2\n1\n+ x\nx\nzapisać w postaci\n0\n1\n)\n2\n(\n2\nm\nm\n. Stąd\nD\nm\n∉\n= 2\nRównanie\n(\n)\n0\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nmożemy zapisać w postaci równoważnej\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n1\nx\nx\nx x\nZe wzorów Viète’a otrzymujemy\n2\n2(\n2)\n4\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\n\n-⋅\n\n\n\n\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n4\n4\n2\n8\n1\n0\n1\n1\nm\nm\nm\nm\nm\n,\n(\n)(\n) (\n)\n2\n2\n4\n16\n16\n2\n8\n1\n1\n0\nm\nm\nm\nm\nm\n,\n2\n5\n24\n7\n0\nm\nm\nRozwiązaniami tego równania są liczby\n1\n12\n109\n5\nm\nD\n∉\noraz\n2\n12\n109\n5\nm\nD\n∈\nIstnieje zatem jedna wartość parametru\n12\n109\n5\nm\n, dla której trójmian f ma dwa różne\npierwiastki rzeczywiste spełniające warunek\n4\n2\n4\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności\n0\n>\nΔ\n:\n(\n) (\n)\n7\n2\n,0\n,\nm∈-∞\n∪\n+∞.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze\n0\nΔ ≥\n, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na rozwiązaniu równania\n4\n2\n4\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nZa tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie równania w postaci:\n(\n)(\n)\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nlub równoważnej.\n2 punkty zdający otrzymuje za:\nzapisanie równości\n0\n2\n1\n-x\nx\ni stwierdzenie, że przeczy ona założeniu\n1\n2\nx\nx\n≠\nalbo\nrozwiązanie równania\n0\n1\n)\n2\n(\n2\nm\nm\n:\n2\nm =\nalbo\nzapisanie równania\n(\n)\n0\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nw postaci, np.:\n2\n2(\n2)\n4\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\n\n-⋅\n\n\n\n\n3 punkty zdający otrzymuje za:\nrozwiązanie równania\n0\n1\n)\n2\n(\n2\nm\nm\n:\n2\nm =\noraz\nrozwiązanie równania\n2\n2(\n2)\n4\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\n\n-⋅\n\n\n\n\n:\n1\n12\n109\n5\nm\n,\n2\n12\n109\n5\nm\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m:\n12\n109\n5\nm\n. Za ten\netap zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprawnie wykona etapy I i II rozwiązania albo\npoprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu równania z etapu II, albo gdy\npopełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże równanie z etapu II.\nUwagi:\n1. Akceptujemy rozwiązania, w których zdający nie zapisuje założenia\n0\n1 ≠\nm\n, które\nwynika ze sformułowania zadania.\n2. Zdający nie musi rozwiązywać nierówności\n0\n>\nΔ\n, o ile sprawdzi czy dla\n2\nm =\n,\n12\n109\n5\nm\n,\n12\n109\n5\nm\ntrójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.\n3. Jeżeli zdający podzieli obie strony równania\n4\n2\n4\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nprzez\n2\n2\n1\n2\nx\nx\nbez\nstosownego założenia i rozwiąże równanie\n2\n2\n1\n2\n1\nx\nx\n, otrzymując\n12\n109\n5\nm\nlub\n12\n109\n5\nm\n, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, przy czym\n1 punkt może otrzymać za rozwiązanie nierówności\n0\n>\nΔ\n, 1 punkt za zapisanie\nrównania\n2\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nw\npostaci\nrównania\nwymiernego\nz\njedną\nniewiadomą,\nnp.:\n2\n2(\n2)\n4\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\n\n-⋅\n\n\n\n\noraz 1 punkt za wyznaczenie tego rozwiązania\nrównania, które spełnia nierówność\n0\n>\nΔ\n4. Jeżeli\nzdający\nnie\nrozwiązywał\nnierówności\n0\n>\nΔ\n,\nale\nrozwiązał\nrównanie\n2\n2(\n2)\n4\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\n\n-⋅\n\n\n\n\ni sprawdził, dla której z otrzymanych wartości m trójmian ma\npierwiastki rzeczywiste, to otrzymuje 3 punkty.","solution":"$m=\\dfrac{12+\\sqrt{109}}{5}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"parametr","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością\nostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus\nkąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nKrawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS ma długość a. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 2*alfa. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością\nostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus\nkąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości\n(9.6).\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nDługość przekątnej podstawy ostrosłupa jest równa\n2\nAC\na\nTrójkąty ADS i CDS są przystające (oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS\noraz AD\nCD\n), więc krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość.\nZ twierdzenia Pitagorasa\n(\n)\n2\n2\n2\n5\nSA\nSC\na\na\na\nTrójkąt ABS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa\n(\n)\n2\n2\n5\n6\nSB\na\na\na\nOdcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS . Jego długość możemy wyznaczyć\nzapisując np. pole trójkąta ABS na dwa sposoby\nAE\na\na\na\n⋅\n⋅\n6\n2\n1\n5\n2\n1\n, stąd\nCE\na\nAE\n6\n5\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkąta AEC otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n5\n5\n5\n2\n2\ncos\n6\n6\n6\na\na\na\na\nα\n-⋅\nStąd\n1\ncos\n5\nα = -\n. Zatem\n2 6\nsin\n5\nα =\nA\nB\nC\nD\nE\nS\na\n2a\nα\na\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nDługość przekątnej podstawy ostrosłupa jest równa\n2\nAC\nBD\na\nTrójkąty ADS i CDS są przystające (oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS\noraz AD\nCD\n), więc krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość.\nZ twierdzenia Pitagorasa\n(\n)\n2\n2\n2\n5\nSA\nSC\na\na\na\nTrójkąt BDS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\nSB\na\na\na\nOdcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS . Jego długość możemy wyznaczyć\nzapisując np. pole trójkąta ABS na dwa sposoby\nAE\na\na\na\n⋅\n⋅\n6\n2\n1\n5\n2\n1\n, stąd\nCE\na\nAE\n6\n5\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkąta AEC otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n5\n5\n5\n2\n2\ncos\n6\n6\n6\na\na\na\na\nα\n-⋅\nStąd\n1\ncos\n5\nα = -\n. Zatem\n2 6\nsin\n5\nα =\nRozwiązanie (III sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nDługość przekątnej podstawy ostrosłupa jest równa\n2\nAC\nBD\na\nTrójkąty ADS i CDS są przystające (oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS\noraz AD\nCD\n), więc krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość.\nZ twierdzenia Pitagorasa\n(\n)\n2\n2\n2\n5\nSA\nSC\na\na\na\nTrójkąt BDS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\nSB\na\na\na\nA\nB\nC\nD\nE\nS\na\n2a\nα\na\nOdcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS . Jego długość możemy wyznaczyć\nzapisując np. pole trójkąta ABS na dwa sposoby\n1\n1\n5\n6\n2\n2\na a\na\nAE\n⋅\n⋅\n, stąd\n5\n6\nAE\na\nCE\n2\n2\n5\n6\n3\nsin 2\n5\na\na\nα =\nZatem cosinus.\n2\n3\n2\ncos\n1 sin\n1\n2\n2\n5\n5\nα\nα\n3\n2\n2 6\nsin\n2sin\ncos\n2\n2\n2\n5\n5\n5\nα\nα\nα =\n⋅\n⋅\n⋅\nRozwiązanie (IV sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nDługość przekątnej podstawy ostrosłupa jest równa\n2\nAC\nBD\na\nTrójkąty ADS i CDS są przystające (oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS\noraz AD\nCD\n), więc krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość.\nA\nB\nC\nD\nE\nS\na\n2a\nα\na\nO\nA\nB\nC\nD\nE\nS\na\n2a\nα\na\nO\nZ twierdzenia Pitagorasa\n(\n)\n2\n2\n2\n5\nSA\nSC\na\na\na\nTrójkąt BDS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\nSB\na\na\na\nOdcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS . Jego długość możemy wyznaczyć\nzapisując np. pole trójkąta ABS na dwa sposoby\nAE\na\na\na\n⋅\n⋅\n6\n2\n1\n5\n2\n1\n, stąd\nCE\na\nAE\n6\n5\nOdcinek OE jest wysokością trójkąta AEC, więc\n3\n3\nOE\na\nPole trójkąta AEC możemy zapisać na dwa sposoby\n1\n1\nsin\n2\n2\nAE\nCE\nAC\nOE\nα\n⋅\n⋅\n⋅\n,\nczyli\n1\n5\n5\n1\n3\nsin\n2\n2\n6\n6\n2\n3\na\na\na\na\nα\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nStąd\n6 6\n2 6\nsin\n3\n5\n5\nα =\n⋅\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• wyznaczy długości krawędzi bocznych SA, SC i SB ostrosłupa ABCDS:\n5\nSA\nSC\na\n,\n6\nSB\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnienie błędów.\n• zaznaczy poprawnie kąt między ścianami ABS i CBS.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• wyznaczy długość odcinka AE :\n5\n6\nAE\nCE\na\nalbo\n• zapisze jedną z funkcji trygonometrycznych połowy kąta α : np. sin 2\nα = AO\nAE .\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze równanie wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta AEC:\n2\n2\n2\n2\n5\n5\n5\n2\n2\ncos\n6\n6\n6\na\na\na\na\nα\n-⋅\nalbo\n• obliczy sinus połowy kąta α :\n3\nsin 2\n5\nα =\nalbo\n• obliczy wysokość OE trójkąta ACE:\n3\n3\na\nOE =\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy cosinus kąta AEC :\n1\ncos\n5\nα = -\nalbo\n• zapisze równanie, z którego można obliczyć sinα :\n5\n5\n6\n6\n1\n1\n3\nsin\n2\n2\n2\n3\na\na\na\na\nα\n⋅\n⋅\nRozwiązanie pełne 5 p.\nWyznaczenie sinusa kąta AEC :\n2 6\nsin\n5\nα =\nUwaga\nJeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między ścianami bocznymi ABS i BCS, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za wyznaczenie długości krawędzi bocznych.","solution":"$\\sin\\alpha=\\dfrac{2\\sqrt{6}}{5}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nSuma wszystkich czterech współczynników wielomianu\nc\nbx\nax\nx\nx\nW\n2\n3\n)\n(\njest\nrówna 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3.\nOblicz współczynniki a , b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nDany jest wielomian W(x) = x^3 - 3mx^2 + (3m^2-1)x - 9m^2 + 20m + 4. Wykres tego wielomianu, po przesunięciu o wektor u = [-3,0], przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-6)\nSuma wszystkich czterech współczynników wielomianu\nc\nbx\nax\nx\nx\nW\n2\n3\n)\n(\njest\nrówna 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3.\nOblicz współczynniki a , b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę\nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).\n13. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności\niloczynu przy rozwiązywaniu równań typu (\n)(\n)\n1\n7\n0\nx x\nx\n(3.7).\nRozwiązanie (I sposób)\nSuma współczynników wielomianu\nc\nbx\nax\nx\nx\nW\n2\n3\n)\n(\njest równa\n0\n1\nc\nb\na\nNiech p oznacza najmniejszy pierwiastek wielomianu W. Ponieważ pierwiastki wielomianu\ntworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3, więc pozostałe dwa pierwiastki są równe\n3\np\noraz\n6\np\na)\nWielomian możemy więc zapisać w postaci iloczynowej\n(\n)(\n)(\n)\n6\n3\n)\n(\np\nx\np\nx\np\nx\nx\nW\nStąd\n(\n)(\n)\n2\n2\n( )\n3\n3\n6\nW x\nx\npx\nx\npx\np\np\nx\np\n,\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2\n2\n( )\n6\n6\n6\n3\n3\n18\nW x\nx\npx\nx\npx\np x\npx\np x\np\np\npx\np\np\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n2\n3\n2\n( )\n3\n9\n3\n18\n18\n9\n18\nW x\nx\np\nx\np\np\nx\np\np\np\nPorównujemy współczynniki wielomianu, otrzymując układ równań:\n2\n3\n2\n3\n9\n3\n18\n18\n9\n18\na\np\nb\np\np\nc\np\np\np\n\n=\n\n= -\n\nb)\nMożemy zapisać układ równań\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n3\n2\n3\n2\n0\n3\n3\n3\n0\n6\n6\n6\n0\np\nap\nbp\nc\np\na p\nb p\nc\np\na p\nb p\nc\n\n\n\n\n\nStąd po przekształceniach, otrzymujemy układ równań:\n2\n3\n2\n3\n9\n3\n18\n18\n9\n18\na\np\nb\np\np\nc\np\np\np\n\n=\n\n= -\n\nc)\nKorzystając ze wzorów Viète’a\n1\n2\n3\n1\n2\n1\n3\n2\n3\n1\n2\n3\nx\nx\nx\na\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nb\nx\nx\nx\nc\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n⋅\n⋅\n\n, możemy zapisać układ\nrównań, otrzymując kolejno\n(\n)\n(\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n)\n3\n6\n3\n6\n3\n6\n3\n6\np\np\np\na\np\np\np\np\np\np\nb\np\np\np\nc\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n⋅\n⋅\n\n2\n3\n2\n3\n9\n3\n18\n18\n9\n18\na\np\nb\np\np\nc\np\np\np\n\n=\n\n= -\n\nStąd i z równości 1\n0\na\nb\nc\n, otrzymujemy\n(\n) (\n) (\n)\n2\n3\n2\n3\n9\n3\n18\n18\n9\n18\n1\n0\np\np\np\np\np\np\n,\n3\n2\n6\n3\n10\n0\np\np\np\nLiczba 1 jest pierwiastkiem tego równania, więc z twierdzenia Bézouta wynika, że wielomian\n3\n2\n6\n3\n10\np\np\np\njest podzielny przez dwumian\n1\np -.\nWykonujemy dzielenie, stosując np. schemat Hornera.\n1\n6\n3\n-10\n1\n1\n7\n10\n0\nRównanie możemy więc zapisać w postaci (\n)(\n)\n2\n1\n7\n10\n0\np\np\np\nPozostałe rozwiązania równania\n3\n2\n6\n3\n10\n0\np\np\np\nto pierwiastki trójmianu\nkwadratowego\n2\n7\n10\np\np\n, czyli liczby\n5\np = -,\n2\np = -.\nGdy\n1\np = , to wtedy\n12\na = -\n,\n39\nb =\n,\n28\nc = -\nGdy\n5\np = -, to wtedy\n6\na =\n,\n3\nb =\n,\n10\nc = -\nGdy\n2\np = -, to wtedy\n3\na = -,\n6\nb = -,\n8\nc =\nOdpowiedź: Współczynniki a, b, c są równe:\n\n\n\n28\n39\n12\nc\nb\na\nlub\n\n\n\n8\n6\n3\nc\nb\na\nlub\n\n\n\n10\n3\n6\nc\nb\na\nRozwiązanie (II sposób)\nZ równości 1\n0\na\nb\nc\notrzymujemy\n1\nc\na\nb\n-. Wielomian W możemy zapisać\nw postaci\n3\n2\n( )\n1\nW x\nx\nax\nbx\na\nb\n,\n3\n2\n( )\n1\nW x\nx\nax\na\nbx\nb\n,\n(\n)(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n( )\n1\n1\n1\n1\nW x\nx\nx\nx\na x\nb x\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n( )\n1\n1\n1\nW x\nx\nx\na\nx\na\nb\nStąd wynika, że liczba\n1\nx = jest pierwiastkiem wielomianu W.\nDalszą część rozwiązania możemy przeprowadzić na dwa sposoby\na) Pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3, więc\nmamy trzy takie ciągi (\n)\n1,4,7 , (\n)\n2,1,4\n, (\n)\n5, 2,1\n. Wielomian możemy wówczas zapisać\nw postaci iloczynowej, odpowiednio:\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n1\n4\n7\nW x\nx\nx\nx\n,\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n2\n1\n4\nW x\nx\nx\nx\n,\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n5\n2\n1\nW x\nx\nx\nx\nPo doprowadzeniu do postaci uporządkowanej mamy\n( )\n3\n2\n12\n39\n28\nW x\nx\nx\nx\n,\n( )\n3\n2\n3\n6\n8\nW x\nx\nx\nx\n+ ,\n( )\n3\n2\n6\n3\n10\nW x\nx\nx\nx\nWyznaczamy odpowiednio współczynniki wielomianu W:\n(\n12\na = -\n,\n39\nb =\n,\n28\nc = -\n) lub (\n3\na = -,\n6\nb = -,\n8\nc =\n) lub (\n6\na =\n,\n3\nb =\n,\n10\nc = -\n).\nb) Niech\n1x i\n2x oznaczają pierwiastki trójmianu\n(\n)\n2\n( )\n1\n1\nT x\nx\na\nx\na\nb\n+ . Możemy\nzałożyć, że\n1\n2\nx\nx\n≤\n. Pierwiastki wielomianu W tworzą ciąg arytmetyczny, więc z własności\nciągu arytmetycznego otrzymujemy np.:\n(\n1\n4\nx =\n,\n2\n7\nx =\n) lub (\n1\n2\nx = -,\n2\n4\nx =\n) lub (\n1\n5\nx = -,\n2\n2\nx = -)\nKorzystając ze wzorów Viète’a, otrzymujemy trzy układy równań\n(\n)\n4\n7\n1\n4 7\n1\na\na\nb\n⋅\n\nlub\n(\n)\n2\n4\n1\n2 4\n1\na\na\nb\n-⋅\n\nlub\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n1\n5\n2\n1\na\na\nb\n-⋅-\n\n(\n)\n11\n1\n28\n1\na\na\nb\n\n\nlub\n(\n)\n2\n1\n8\n1\na\na\nb\n-=\n\nlub\n(\n)\n7\n1\n10\n1\na\na\nb\n\n\n12\n39\na\nb\n\n=\n\nlub\n3\n6\na\nb\n\n= -\n\nlub\n6\n3\na\nb\n\n=\n\nObliczamy odpowiednio\n1\nc\na\nb\n-:\n\n\n\n28\n39\n12\nc\nb\na\nlub\n\n\n\n8\n6\n3\nc\nb\na\nlub\n\n\n\n10\n3\n6\nc\nb\na\nRozwiązanie (III sposób)\nSuma współczynników wielomianu\nc\nbx\nax\nx\nx\nW\n2\n3\n)\n(\njest równa\n0\n1\nc\nb\na\nZ równości 1\n0\na\nb\nc\nwynika, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W.\nPonieważ pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3, to możemy zapisać\ntrzy ciągi arytmetyczne, których jednym z wyrazów jest liczba 1: (\n)\n1,4,7 , (\n)\n2,1,4\n,\n(\n)\n5, 2,1\nStąd wielomian W możemy więc zapisać w postaci:\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n1\n4\n7\nW x\nx\nx\nx\nlub\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n2\n1\n4\nW x\nx\nx\nx\n,\nlub\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n5\n2\n1\nW x\nx\nx\nx\nPo doprowadzeniu do postaci uporządkowanej mamy\n( )\n3\n2\n12\n39\n28\nW x\nx\nx\nx\nlub\n( )\n3\n2\n3\n6\n8\nW x\nx\nx\nx\n+ , lub\n( )\n3\n2\n6\n3\n10\nW x\nx\nx\nx\nWyznaczamy współczynniki wielomianu W :\n(\n12\na = -\n,\n39\nb =\n,\n28\nc = -\n) lub (\n3\na = -,\n6\nb = -,\n8\nc =\n), lub (\n6\na =\n,\n3\nb =\n,\n10\nc = -\n).\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze wielomian W w postaci iloczynowej, np.:\n(\n)(\n)(\n)\n( )\n3\n6\nW x\nx\np\nx\np\nx\np\n,\ngdzie p jest pierwiastkiem wielomianu\nalbo\n• zapisze układ równań, gdzie p jest pierwiastkiem wielomianu\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n3\n2\n3\n2\n0\n3\n3\n3\n0\n6\n6\n6\n0\np\nap\nbp\nc\np\na p\nb p\nc\np\na p\nb p\nc\n\n\n\n\n\nalbo\n• zapisze układ równań, korzystając ze wzorów Viète’a\n(\n)\n(\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n)\n3\n6\n3\n6\n3\n6\n3\n6\np\np\np\na\np\np\np\np\np\np\nb\np\np\np\nc\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n⋅\n⋅\n\nalbo\n• wyznaczy\n1\nc\na\nb\n- i zapisze wielomian W w postaci\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n( )\n1\n1\n1\nW x\nx\na x\nb x\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze\n• układ równań:\n2\n3\n2\n3\n9\n3\n18\n18\n9\n18\na\np\nb\np\np\nc\np\np\np\n\n=\n\n= -\n\nalbo\n• wielomian W w postaci iloczynu:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n( )\n1\n1\n1\nW x\nx\nx\na\nx\na\nb\nalbo\n• zapisze, że z równości 1\n0\na\nb\nc\nwynika, że liczba 1 jest pierwiastkiem\nwielomianu W\nalbo\n• zapisze układ czterech równań z 4 niewiadomymi, np.\n(\n)\n(\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n)\n3\n6\n3\n6\n3\n6\n3\n6\n1\n0\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n⋅\n⋅\n\n+\n\np\np\np\na\np\np\np\np\np\np\nb\np\np\np\nc\na\nb\nc\nPokonanie zasadniczych trudności 4 p.\nZdający\n• wyznaczy wszystkie rozwiązania równania\n3\n2\n6\n3\n10\n0\np\np\np\n:\n5\n,2\n,1\nalbo\n• zauważy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W i zapisze trzy ciągi\narytmetyczne o różnicy 3, których jednym z wyrazów jest liczba 1:\n(\n)\n1,4,7 , (\n)\n2,1,4\n, (\n)\n5, 2,1\nalbo\n• zauważy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W i zapisze jeden ciąg\narytmetyczny o różnicy 3, w którym jednym z wyrazów jest liczba 1:\nnp.(\n)\n1,4,7 lub (\n)\n2,1,4\n, lub(\n)\n5, 2,1\ni dla tego ciągu obliczy współczynniki a, b, c\nwielomianu, to otrzymuje 4 punkty.\nUwagi:\n• Jeżeli zdający wyznaczy jeden z pierwiastków wielomianu W i wykorzystuje\ninformację, że pierwiastki wielomianu są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego, to otrzymuje 3 punkty.\n• Jeżeli zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.\n3\n2\n6\n3\n10\n0\np\np\np\n,\nto otrzymuje 3 punkty.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają lub\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 p.\nZdający\n• rozwiąże zadanie do końca, popełniając błędy rachunkowe\nalbo\n• zapisze, że z równości 1\n0\na\nb\nc\nwynika, że liczba 1 jest pierwiastkiem\nwielomianu W , zapisze trzy ciągi arytmetyczne o różnicy 3, których jednym\nz wyrazów jest liczba 1: (\n)\n1,4,7 , (\n)\n2,1,4\n, (\n)\n5, 2,1\noraz zapisze, że\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n1\n4\n7\nW x\nx\nx\nx\nlub\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n2\n1\n4\nW x\nx\nx\nx\n,\nlub\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n5\n2\n1\nW x\nx\nx\nx\nalbo\n• wyznaczy współczynniki a, b, c wielomianu tylko dla dwóch ciągów\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający wyznaczy współczynniki wielomianu W: (\n12\na = -\n,\n39\nb =\n,\n28\nc = -\n) lub (\n3\na = -,\n6\nb = -,\n8\nc =\n), lub (\n6\na =\n,\n3\nb =\n,\n10\nc = -\n).","solution":"$a=-12, b=39, c=-28$ lub $a=-3, b=-6, c=8$ lub $a=6, b=3, c=-10$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"wielomiany","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20.\nOblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz\nobjętość tego stożka.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n16.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":"N","answer_text":"Zadanie 16. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20.\nOblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz\nobjętość tego stożka.\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający stosuje pochodne do\nrozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych (R11.6).\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nObjętość stożka wyraża się wzorem\n2\n1\n3\nV\nr h\nπ\n⋅\nPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, którego obwód jest równy 20, więc\n2\n2\n20,\nr\nl\n10,\nr\nl\n10\nl\nr\nStąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n2\n2\n2\nr\nh\nl\n,\n2\n2\n2\nr\nl\nh\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n10\nr\nr\nh\n,\n2\n100\n20\nh\nr\nZatem\n100\n20\nh\nr\nZ geometrycznych warunków zadania otrzymujemy 0\n5\nr\n<\n<\nZapisujemy objętość stożka w zależności od zmiennej r\n( )\n2\n1\n100\n20\n3\nV r\nr\nr\nπ\n⋅\n⋅\n,\nWzór tej funkcji zapiszemy w postaci ( )\n4\n5\n1\n100\n20\n3\nV r\nr\nr\nπ\n⋅\ndla 0\n5\nr\n<\n<\nRozważmy funkcję pomocniczą określoną wzorem\n( )\n4\n5\n100\n20\nf r\nr\nr\ndla 0\n5\nr\n<\n<\nr\nh\nl\nZ faktu, że funkcja\n( )\ng t\nt\njest rosnąca w\n)\n0,+∞ wynika, że funkcje V oraz f są rosnące\n(malejące) w tych samych przedziałach oraz mają ekstrema lokalne (tego samego rodzaju) dla\ntych samych argumentów.\nWyznaczamy wartość największą funkcji f w przedziale (\n)\n0,5 .\nObliczamy pochodną funkcji f:\n( )\n3\n4\n400\n100\nf\nr\nr\nr\n′\nW przedziale (\n)\n0,5 pochodna ma jedno miejsce zerowe\n4\nr =\n. Ponadto\n( )\n0\nf r\n′\n>\ndla\n(\n)\n0,4\nr ∈\n,\n( )\n0\nf r\n′\n<\ndla\n(\n)\n4,5\nr ∈\nWynika stąd, że dla\n4\nx =\nfunkcja f ma maksimum lokalne, które jest jednocześnie\nnajwiększą wartością funkcji V, bo w przedziale (0,4 funkcja f jest rosnąca, a przedziale\n)\n4, 0 funkcja f jest malejąca.\nGdy\n4\nr =\n, to\n100\n20 4\n20\n2 5\nh =\n⋅\n, natomiast objętość stożka jest wówczas równa:\n( )\n2\n1\n32\n5\n4\n4\n100\n20 4\n3\n3\nV\nπ\nπ\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nOdp.: Największą objętość równą 32\n5\n3\nπ\nma stożek o promieniu podstawy 4 i wysokości 2 5 .\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap składa się z trzech części:\n• oznaczenia promienia podstawy stożka, np. r i wyznaczenia wysokości stożka\nw zależności od zmiennej r:\n100\n20\nh\nr\n• zapisania objętości V stożka jako funkcji jednej zmiennej ( )\n2\n1\n100\n20\n3\nV r\nr\nr\nπ\n⋅\n⋅\n,\n• zapisania dziedziny funkcji ( )\n2\n1\n100\n20\n3\nV r\nr\nr\nπ\n⋅\n⋅\n: 0\n5\nr\n<\n<\nZa drugą część tego etapu zdający może otrzymać punkt, o ile pierwszą cześć wykona\nbezbłędnie. Punkt za cześć trzecią otrzymuje niezależnie od realizacji dwóch pierwszy części\ntego etapu.\nDrugi etap składa się z trzech części:\n• wyznaczenia wzoru pochodnej funkcji\n( )\n4\n5\n100\n20\nf r\nr\nr\n:\n( )\n3\n4\n400\n100\nf\nr\nr\nr\n′\n,\n• obliczenia miejsc zerowych pochodnej: 1\n0\nr =\n, 2\n4\nr =\n,\n• zbadania znaku pochodnej funkcji f :\n( )\n0\nf r\n′\n>\ndla\n(\n)\n0,4\nr ∈\n,\n( )\n0\nf r\n′\n<\ndla\n(\n)\n4,5\nr ∈\ni zapisania, że dla\n4\nr =\nfunkcja V osiąga największą wartość.\nUwagi:\n1. Znak pochodnej zdający może zaznaczyć w inny sposób, np. na rysunku szkicując krzywą\nzbliżoną do wykresu pochodnej.\n2. Jeśli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji V lub określi funkcję f na zbiorze szerszym od\ndziedziny funkcji V, to punkt za tę cześć może otrzymać jedynie wtedy, gdy wskazuje jako\nnajwiększą wartość funkcji tylko to maksimum, które funkcja f osiąga dla argumentu\nz dziedziny funkcji V.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nTrzeci etap\nZapisanie, że promień stożka o największej objętości jest równy\n4\nr =\n, wysokość\n20\n2 5\nh =\ni obliczenie największej objętości stożka\n( )\n32\n5\n4\n3\nV\nπ\n. Za realizację tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nObjętość stożka wyraża się wzorem\n2\n1\n3\nV\nr h\nπ\n⋅\nPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, którego obwód jest równy 20, więc\n2\n2\n20,\nr\nl\n10,\nr\nl\n10\nl\nr\nStąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n2\n2\n2\nr\nh\nl\n,\n2\n2\n2\nr\nl\nh\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n10\nr\nr\nh\n,\n2\n100\n20\nh\nr\nZatem\n2\n2\n100\n1\n5\n20\n20\nh\nr\nh\nZ geometrycznych warunków zadania otrzymujemy 0\n10\nh\n<\n<\n. Zapisujemy objętość stożka\nw zależności od zmiennej h\n( )\n2\n2\n1\n1\n5\n3\n20\nV h\nh\nh\nπ \n\n⋅\n\n\n\n\n,\n( )\n2\n4\n3\n5\n1\n1\n1\n1\n1\n25\n25\n3\n2\n400\n3\n2\n400\nV h\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nπ\nπ \n\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\ndla 0\n10\nh\n<\n<\nr\nh\nl\nZauważamy, że wystarczy zbadać funkcję\n( )\n3\n5\n1\n1\n25\n2\n400\nf h\nh\nh\nh\nokreśloną w przedziale\n(\n)\n0,10 . Funkcje V oraz f są rosnące (malejące) w tych samych przedziałach oraz mają\nekstrema lokalne (tego samego rodzaju) dla tych samych argumentów.\nWyznaczamy pochodną funkcji f:\n( )\n2\n4\n3\n1\n25\n2\n80\nf\nh\nh\nh\n′\nNastępnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej:\n2\n4\n3\n1\n25\n0\n2\n80\nh\nh\ni\n2\nt\nh\n2\n1\n3\n25\n0\n80\n2\nt\nt\n(\n)\n2\n3\n9\n5\n1\n2\n80\n4\n4\n4\n25\n1\nΔ = -\n-⋅\n⋅\n1\n2\n3\n3\n2\n2\n1\n1\n80\n80\n1\n1\n20,\n100\n2\n2\nt\nt\n⋅\n⋅\n2\n2\n20 lub\n100\nh\nh\n,\n2 5,\n2 5,\n10,\n10\nh\nh\nh\nh\nJedynym miejscem zerowym pochodnej funkcji f, które należy do przedziału (\n)\n0,10 jest\n2 5\nh =\nPonadto:\n( )\n0\nf\nh\n′\n>\ngdy\n(\n)\n0, 2 5\nh∈\n,\n( )\n0\nf\nh\n′\n<\ngdy\n(\n)\n2 5,10\nh∈\nStąd wynika, że dla\n2 5\nh =\nfunkcja f osiąga maksimum lokalne i jest to jednocześnie\nwartość największa, bo w przedziale (0, 2 5 funkcja f jest rosnąca, a przedziale\n)\n2 5,10\nfunkcja f jest malejąca.\nGdy\n2 5\nh =\n, to\n(\n)\n2\n1\n5\n2 5\n4\n20\nr =\ni objętość stożka jest wówczas równa:\n(\n)\n2\n1\n32\n5\n2 5\n4\n2 5\n3\n3\nV\nπ\nπ\n⋅\n⋅\n⋅\nOdp.: Największą objętość równą 32\n5\n3\nπ\nma stożek, którego promień jest równy 4 ,\na wysokość 2 5 .\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap składa się z trzech części:\n• oznaczenia wysokości stożka, np. h i wyznaczenia promienia podstawy stożka\nw zależności od zmiennej h:\n2\n2\n100\n1\n5\n20\n20\nh\nr\nh\n,\n• zapisania objętości V stożka jako funkcji jednej zmiennej\n( )\n2\n4\n3\n5\n1\n1\n1\n1\n1\n25\n25\n3\n2\n400\n3\n2\n400\nV h\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nπ\nπ \n\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n• zapisania dziedziny funkcji ( )\n3\n5\n1\n1\n25\n3\n2\n400\nV h\nh\nh\nh\nπ \n\n⋅\n\n\n\n\n: 0\n10\nh\n<\n<\nZa drugą część tego etapu zdający może otrzymać punkt, o ile pierwszą część wykona\nbezbłędnie. Punkt za część trzecią otrzymuje niezależnie od realizacji dwóch pierwszy części\ntego etapu.\nDrugi etap składa się z trzech części:\n• wyznaczenia wzoru pochodnej funkcji\n( )\n3\n5\n1\n1\n25\n2\n400\nf h\nh\nh\nh\n:\n( )\n2\n4\n3\n1\n25\n2\n80\nf\nh\nh\nh\n′\n,\n• obliczenia miejsc zerowych pochodnej:\n2 5\nh = -\n,\n2 5\nh =\n,\n10\nh = -\n,\n10\nh =\n,\n• zbadania znaku pochodnej funkcji f :\n( )\n0\nf h\n′\n>\ndla\n(\n)\n0, 2 5\nh∈\n,\n( )\n0\nf h\n′\n<\ndla\n(\n)\n2 5,10\nh∈\ni zapisania, że dla\n2 5\nh =\nfunkcja V osiąga największą wartość.\nUwagi:\n1. Znak pochodnej zdający może zaznaczyć w inny sposób, np. na rysunku szkicując krzywą\nzbliżoną do wykresu pochodnej.\n2. Jeśli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji V lub określi funkcję f na zbiorze szerszym\nod dziedziny funkcji V, to punkt za tę cześć może otrzymać jedynie wtedy, gdy wskazuje\njako największą wartość funkcji tylko to maksimum, które funkcja f osiąga dla argumentu\nz dziedziny funkcji V, przy czym konieczne jest uzasadnienie, że jest to największa wartość\nfunkcji V lub że funkcja V nie przyjmuje wartości dla liczb większych od 10.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nTrzeci etap\nZapisanie, że promień stożka o największej objętości jest równy\n4\nr =\n, wysokość\n20\n2 5\nh =\ni obliczenie największej objętości stożka\n( )\n32\n5\n4\n3\nV\nπ\n. Za realizację tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.","solution":"Największą objętość równą $\\dfrac{32\\pi\\sqrt{5}}{3}$ ma stożek o promieniu podstawy 4 i wysokości $2\\sqrt{5}$.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}