{"paper":{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nCena pewnego towaru wraz z 7-procentowym podatkiem VAT jest równa 34 347 zł. Cena\ntego samego towaru wraz z 23-procentowym podatkiem VAT będzie równa\nA. 37 236 zł\nB. 39 842,52 zł\nC. 39 483 zł\nD. 42 246,81 zł","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie\nprocentu i punktu procentowego\nw obliczeniach (1.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"_Te pytanie nie ma jeszcze świeżego rozwiązania Sonnet (problemy z generacją). Powyżej masz pełne rozwiązanie Claude Opus\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nUpraszczamy każdy składnik:\n\\(2\\sqrt{18} = 2\\sqrt{9 \\cdot 2} = 2 \\cdot 3\\sqrt{2} = 6\\sqrt{2}\\)\n\\(\\sqrt{32} = \\sqrt{16 \\cdot 2} = 4\\sqrt{2}\\)\n\nOdejmujemy:\n\\(6\\sqrt{2} - 4\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}\\)\n\nZapisujemy jako potęgę dwójki:\n\\(2\\sqrt{2} = 2^1 \\cdot 2^{\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{3}{2}}\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Działania na potęgach: \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\), \\(a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(2^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\), a wynik to \\(2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83\\)\n- C. \\(2^{\\frac{5}{2}} = 4\\sqrt{2} \\approx 5{,}66\\) - za dużo\n- D. \\(2^{-\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\approx 0{,}71\\) - za mało","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nNajmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność\n4,5\n6\nx +\n≥\njest\nA.\n1\nx\nB.\n2\nx\nC.\n3\nx =\nD.\n6\nx","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\npojęcie wartości bezwzględnej i jej\ninterpretację geometryczną, zaznacza na osi\nliczbowej zbiory opisane za pomocą równań\ni nierówności typu:\nb\na\nx\n,\nb\na\nx\n>\n,\nb\na\nx\n<\n(1.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 36 600 zł\n\n## Sposób 1 - Wzór na cenę netto z ceny brutto\n\n**Zacznijmy od definicji:**\nCena brutto to cena netto powiększona o podatek VAT:\n\n\\[\\text{cena brutto} = \\text{cena netto} \\cdot \\left(1 + \\frac{\\text{VAT\\%}}{100}\\right)\\]\n\nPrzy stawce 23%:\n\n\\[\\text{cena brutto} = \\text{cena netto} \\cdot 1{,}23\\]\n\n**Mamy cenę brutto, szukamy ceny netto** - dzielimy obie strony przez \\(1{,}23\\):\n\n\\[\\text{cena netto} = \\frac{\\text{cena brutto}}{1{,}23} = \\frac{45\\,018}{1{,}23}\\]\n\nObliczamy:\n\n\\[\\frac{45\\,018}{1{,}23} = \\frac{4\\,501\\,800}{123}\\]\n\n\\[123 \\times 36\\,000 = 4\\,428\\,000\\]\n\\[4\\,501\\,800 - 4\\,428\\,000 = 73\\,800\\]\n\\[123 \\times 600 = 73\\,800\\]\n\n\\[\\frac{4\\,501\\,800}{123} = 36\\,600\\]\n\n**Cena netto samochodu wynosi 36 600 zł.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie przez mnożenie)\n\nJeśli cena netto to \\(36\\,600\\) zł, to podatek VAT wynosi:\n\n\\[36\\,600 \\cdot 0{,}23 = 8\\,418 \\text{ zł}\\]\n\nCena brutto powinna wynosić:\n\n\\[36\\,600 + 8\\,418 = 45\\,018 \\text{ zł}\\]\n\nTo dokładnie tyle, ile podano w zadaniu. **Wynik jest poprawny.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji VAT i podstawowe działania arytmetyczne (dzielenie).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| C - 44 995 zł | Odjęto samą liczbę 23 od ceny brutto: \\(45\\,018 - 23 = 44\\,995\\). Zupełne nieporozumienie - podatek to procent, nie stała kwota. |\n| A (obraz) | Prawdopodobnie obliczono \\(45\\,018 \\times (1 - 0{,}23) = 45\\,018 \\times 0{,}77 \\approx 34\\,664\\) - błąd polegający na odejmowaniu 23% od ceny **brutto** zamiast od netto. |\n| D (obraz) | Prawdopodobnie \\(45\\,018 \\times 1{,}23 \\approx 55\\,372\\) - pomylono kierunek: pomnożono cenę brutto przez \\(1{,}23\\) zamiast podzielić. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odejmowanie 23% od ceny **brutto**: \\(45\\,018 \\times 0{,}23 = 10\\,354\\), a potem \\(45\\,018 - 10\\,354 = 34\\,664\\). To błąd! Cena brutto to już cena netto **powiększona** o VAT, więc \\(23\\%\\) brutto \\(\\neq 23\\%\\) netto.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapamiętaj schemat: \\(\\text{brutto} = \\text{netto} \\times 1{,}23\\), więc \\(\\text{netto} = \\frac{\\text{brutto}}{1{,}23}\\). **Zawsze dzielimy przez \\(1{,}23\\)**, nie mnożymy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta sprawdzalność - cena netto **musi być mniejsza** od ceny brutto. Jeśli wyszło więcej niż 45 018 zł, na pewno jest błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nObliczamy pierwiastek piątego stopnia:\n\\(\\sqrt[5]{-32} = -2\\), bo \\((-2)^5 = -32\\)\n\nDzielimy przez 4:\n\\(\\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Definicja pierwiastka: \\(\\sqrt[n]{a}\\) stopnia \\(n\\) z \\(a\\) to \\(b\\) takie, że \\(b^n = a\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- B. \\(\\frac{1}{2}\\) - brak znaku minus; \\(\\sqrt[5]{-32}\\) jest ujemne\n- C. \\(1\\) - błędne obliczenia\n- D. \\(-1\\) - \\(-1 = \\frac{-4}{4}\\), a nie \\(\\frac{-2}{4}\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n3\n5\n3\n4\n2\n2 ⋅\njest równa\nA.\n20\n3\n2\nB. 2\nC.\n4\n5\n2\nD.\n32","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych oraz stosuje\nprawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych i rzeczywistych (1.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n> **Uwaga:** Odpowiedzi A-D w treści zadania są uszkodzone (błąd ekstrakcji z PDF). Na podstawie treści pytania wyznaczam poprawną odpowiedź merytorycznie - poprawna nierówność to \\(-4 < x < 2\\).\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni odczyt z osi liczbowej\n\nPrzedział otwarty \\((-4, 2)\\) to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są **większe od \\(-4\\)** i **mniejsze od \\(2\\)**.\n\nNawiasy okrągłe \\((\\cdot)\\) oznaczają, że końce **nie należą** do przedziału - stąd nierówności ostre.\n\nZapisujemy to jako jedną nierówność \"podwójną\":\n\\[-4 < x < 2\\]\n\nCo czytamy: **\\(x\\) jest większe od \\(-4\\) i jednocześnie mniejsze od \\(2\\)**.\n\nTo jest dokładnie opis zaznaczonego przedziału.\n\n## Sposób 2 - Alternatywny zapis przez wartość bezwzględną\n\nPrzedział \\((-4, 2)\\) ma:\n- **środek**: \\(\\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\)\n- **promień (połowa długości)**: \\(\\frac{2 - (-4)}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\)\n\nOznacza to, że punkt \\(x\\) należy do przedziału wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległość od środka \\(-1\\) jest **mniejsza niż 3**:\n\n\\[|x - (-1)| < 3 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad |x + 1| < 3\\]\n\n**Weryfikacja:** Rozwijamy korzystając z definicji wartości bezwzględnej (Dział 1, s. 4):\n\\[|x + 1| < 3 \\iff -3 < x + 1 < 3 \\iff -4 < x < 2 \\checkmark\\]\n\nOba zapisy są równoważne i opisują ten sam przedział.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - własność:\n\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]\n(dla przedziału otwartego: z nierównością ostrą \\(<\\)):\n\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, przyjmując \\(a = -1\\), \\(r = 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błędna nierówność | Błąd |\n| A | \\(x \\leq -4\\) lub \\(x \\geq 2\\) | To jest **dopełnienie** przedziału \\(\\langle -4, 2 \\rangle\\) - punkty **poza** zaznaczonym obszarem |\n| C | \\(-4 \\leq x \\leq 2\\) | To opisuje przedział **domknięty** \\(\\langle -4, 2 \\rangle\\) - punkty \\(-4\\) i \\(2\\) **należałyby** do zbioru, a tak nie jest |\n| D | \\(x < -4\\) lub \\(x > 2\\) | To dopełnienie przedziału otwartego - czyli **odwrotność** szukanego zbioru |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nawias okrągły \\((\\cdot)\\) → nierówność **ostra** (\\(<\\)), nawias kwadratowy \\([\\cdot]\\) → nierówność **niestroga** (\\(\\leq\\)). To jeden z najczęstszych błędów na maturze!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((-4, 2)\\) to **nie** punkt \\((-4, 2)\\) na płaszczyźnie - w kontekście osi liczbowej to zbiór liczb, nie para współrzędnych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić przedział z jego **dopełnieniem** - zawsze sprawdź, czy \\(x = 0\\) (punkt środkowy) należy do zaznaczonego obszaru. Tu \\(0 \\in (-4, 2)\\), więc nierówność \\(-4 < 0 < 2\\) musi być spełniona ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nCena brutto = cena netto \\(\\times\\) (1 + stawka VAT)\n\\(45\\,018 = \\text{netto} \\times 1{,}23\\)\n\n\\(\\text{netto} = \\frac{45\\,018}{1{,}23} = 36\\,600 \\text{ zł}\\)\n\n**Sprawdzenie:** \\(36\\,600 \\times 1{,}23 = 45\\,018\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Procent składany / obliczenia procentowe\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. 34 663,86 zł - wynik odjęcia 23% od brutto: \\(45\\,018 \\times 0{,}77\\), co jest błędne\n- C. 44 995 zł - błędne obliczenia\n- D. 55 372,14 zł - wynik dodania 23% do brutto: \\(45\\,018 \\times 1{,}23\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nLiczba\n5\n5\n2log 10\nlog 4\njest równa\nA. 2\nB.\n5\nlog 96\nC.\n5\n2log 6\nD. 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję\nlogarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie krzyżowe (proporcja)\n\nMamy równość:\n\\[\\frac{m}{5-\\sqrt{5}} = \\frac{5+\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n**Mnożymy krzyżowo** (iloczyny \"na krzyż\" są sobie równe):\n\\[5m = (5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5})\\]\n\nPrawa strona to **różnica kwadratów** - wzór \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\):\n\\[(5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 5^2 - (\\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20\\]\n\nMamy więc:\n\\[5m = 20\\]\n\\[\\boxed{m = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Wymnożenie licznika i mianownika (racjonalizacja)\n\nZaczynamy od lewej strony - **rationalizujemy mianownik**, mnożąc przez sprzężenie \\(\\dfrac{5+\\sqrt{5}}{5+\\sqrt{5}}\\):\n\n\\[\\frac{m}{5-\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{5+\\sqrt{5}}{5+\\sqrt{5}} = \\frac{m(5+\\sqrt{5})}{(5-\\sqrt{5})(5+\\sqrt{5})} = \\frac{m(5+\\sqrt{5})}{25 - 5} = \\frac{m(5+\\sqrt{5})}{20}\\]\n\nPrawa strona to \\(\\dfrac{5+\\sqrt{5}}{5}\\).\n\nPrzyrównujemy:\n\\[\\frac{m(5+\\sqrt{5})}{20} = \\frac{5+\\sqrt{5}}{5}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\((5+\\sqrt{5})\\) - wyrażenie to jest niezerowe, więc działanie jest dozwolone:\n\\[\\frac{m}{20} = \\frac{1}{5}\\]\n\\[m = \\frac{20}{5} = \\boxed{4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy go w obu sposobach do obliczenia \\((5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 25 - 5 = 20\\). To klasyczne zastosowanie różnicy kwadratów przy wyrażeniach z pierwiastkami.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**\n\\[(\\sqrt{a})^2 = a \\quad \\text{dla } a \\geq 0\\]\nUżyliśmy przy \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(m = 5\\) | Uczeń \"odczytuje\" \\(m\\) jako liczbę stojącą w liczniku prawej strony, czyli \\(5+\\sqrt{5} \\approx 5\\), i zaokrągla do \\(5\\) - ignoruje całe obliczenie |\n| **C** \\(m = 1\\) | Uczeń błędnie liczy \\((5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 5\\) (zapomina podnieść do kwadratu - liczy \\(5-\\sqrt{5}\\) zamiast \\((\\sqrt{5})^2\\)) i dostaje \\(5m = 5\\), więc \\(m=1\\) |\n| **D** \\(m = -5\\) | Błąd znaku: uczeń liczy \\(25 - \\sqrt{25} = 25 - 5\\) ale z minusem na zewnątrz, lub myli sprzężenie z \\((5 - \\sqrt{5})^2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\), a NIE \\(\\sqrt{5}\\). Bardzo częsty błąd to obliczenie \\((5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 5^2 - \\sqrt{5} = 25 - \\sqrt{5}\\) zamiast \\(25 - 5 = 20\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica kwadratów działa tutaj wprost - \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\) z \\(a=5\\), \\(b=\\sqrt{5}\\). Nie musisz nic wymnażać \"na piechotę\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z proporcją \\(\\dfrac{A}{B} = \\dfrac{C}{D}\\) zawsze sprawdź, czy mianowniki są niezerowe - tutaj \\(5 - \\sqrt{5} \\approx 5 - 2{,}24 \\neq 0\\), więc wszystko gra.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(m\\) przez mnożenie na krzyż\nZ równania:\n\\[\\tfrac{m}{5-\\sqrt{5}} = \\tfrac{5+\\sqrt{5}}{5}\\]\n\\[5m = (5-\\sqrt{5})(5+\\sqrt{5}).\\]\nStosujemy wzór skróconego mnożenia \\((a-b)(a+b) = a^2-b^2\\):\n\\[5m = 25 - 5 = 20\\]\n\\[m = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Usuwanie niewymierności z mianownika lewej strony\nMnożymy licznik i mianownik lewej strony przez \\(5+\\sqrt{5}\\):\n\\[\\tfrac{m}{5-\\sqrt{5}}\\cdot\\tfrac{5+\\sqrt{5}}{5+\\sqrt{5}} = \\tfrac{m(5+\\sqrt{5})}{25-5} = \\tfrac{m(5+\\sqrt{5})}{20}.\\]\nPorównujemy z prawą stroną:\n\\[\\tfrac{m(5+\\sqrt{5})}{20} = \\tfrac{5+\\sqrt{5}}{5}.\\]\nSkracamy \\((5+\\sqrt{5})\\) (różne od 0):\n\\[\\tfrac{m}{20} = \\tfrac{1}{5} \\Rightarrow m = 4.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m=5\\)** - ktoś pomnożył licznik \\(\\cdot\\) licznik, zapomniał o mianowniku.\n- **C. \\(m=1\\)** - ktoś zostawił ułamek \\(\\tfrac{1}{5}\\) jako wynik.\n- **D. \\(m=-5\\)** - ktoś użył wzoru \\((a-b)^2\\) zamiast \\((a-b)(a+b)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego\n\nRozważmy ciąg arytmetyczny: 5 + 5R = zachodzi dla 5 - 5R.\nOznacza to, że 5 + 5R = 5 - 5R.\nPrzenosimy wyrazy z lewej strony na prawą:\n5R + 5R = 5 - 5\n10R = 0\nR = 0\n\nZatem m = 4.\n\n📖 Karta wzorów: s.9: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie równania algebraicznego\n\nRówność m 5 + 5 R = zachodzi dla 5 - 5 R można interpretować jako równość, gdzie m jest pewną liczbą, a 5 i R są elementami ciągu. Zauważmy, że 5 - 5R jest elementem tego samego ciągu, co 5 + 5R. Możemy to zapisać jako:\n\nm * (5) + 5R = 5 - 5R\n\nPrzenosimy wyrazy z R na jedną stronę, a wyrazy stałe na drugą:\n\nm * 5 + 5R + 5R = 5\nm * 5 + 10R = 5\n\nTeraz możemy wyznaczyć R:\n\n10R = 5 - m * 5\nR = (5 - 5m) / 10\n\nPonieważ R jest elementem ciągu, to musi być liczbą. Zatem (5 - 5m) / 10 musi być liczbą. Aby to się stało, 5 - 5m musi być podzielne przez 10. Możemy to zapisać jako:\n\n5 - 5m = 10k (gdzie k jest jakąś liczbą całkowitą)\n\n5(1 - m) = 10k\n1 - m = 2k\nm = 1 - 2k\n\nAby znaleźć wartość m, możemy ustawić k = 0, wtedy m = 1. Sprawdźmy to:\n\n5 + 5(0) = 5\n5 - 5(0) = 5\n\nZatem równość zachodzi, gdy m = 1. Jednak, jeśli m=1, to R=0. Zatem:\n\n5 + 5(0) = 5\n5 - 5(0) = 5\n\nZatem m=1 jest rozwiązaniem. Jednak, jeśli m=4, to R=0. Zatem:\n\n5 + 5(0) = 5\n5 - 5(0) = 5\n\nZatem m=4 jest rozwiązaniem.\n\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(m = 5\\)**: Jeśli m = 5, to równanie staje się 5 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli 25 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = -20, czyli R = -2. Wtedy ciąg to 5, 5*(-2) = -10, -10, -10, -10, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R nie zachodzi, ponieważ 5 + 5*(-2) ≠ 5 - 5*(-2).\n* **C. \\(m = 1\\)**: Jeśli m = 1, to równanie staje się 1 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli 5 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = 0, czyli R = 0. Wtedy ciąg to 5, 5*0 = 0, 0, 0, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R zachodzi, ponieważ 5 + 5*0 = 5 i 5 - 5*0 = 5.\n* **D. \\(m = -5\\)**: Jeśli m = -5, to równanie staje się -5 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli -25 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = 30, czyli R = 3. Wtedy ciąg to 5, 5*3 = 15, 15, 15, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R nie zachodzi, ponieważ 5 + 5*3 ≠ 5 - 5*3.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nZbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność 3\n2\n5\n3\n6\nx\nx\n≥\njest przedziałem\nA.\n9 ,\n15\n\n+∞\nB.\n18\n, 25\n-∞\n\nC.\n1 ,\n30\n\n+∞\nD.\n9\n, 5\n-∞\n","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający dodaje,\nodejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne\n(2.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nUkład dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi opisuje **dokładnie jeden punkt** - punkt przecięcia dwóch prostych.\n\n## Sposób 1 - Metoda podstawiania\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy \\(x\\):\n\n\\[x - y = 3 \\implies x = y + 3\\]\n\nPodstawiamy do drugiego równania:\n\n\\[2(y + 3) + 0{,}5y = 4\\]\n\n\\[2y + 6 + 0{,}5y = 4\\]\n\n\\[2{,}5y = 4 - 6\\]\n\n\\[2{,}5y = -2\\]\n\n\\[y = \\frac{-2}{2{,}5} = \\frac{-2}{\\frac{5}{2}} = -2 \\cdot \\frac{2}{5} = -\\frac{4}{5}\\]\n\nWracamy do wyrażenia na \\(x\\):\n\n\\[x = y + 3 = -\\frac{4}{5} + 3 = -\\frac{4}{5} + \\frac{15}{5} = \\frac{11}{5}\\]\n\n**Wynik:** Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: \\(\\left(\\frac{11}{5},\\ -\\frac{4}{5}\\right)\\).\n\nW układzie współrzędnych to **dokładnie jeden punkt**.\n\n## Sposób 2 - Metoda eliminacji (dodawanie równań)\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} x - y = 3 \\\\ 2x + 0{,}5y = 4 \\end{cases}\\]\n\nMnożymy pierwsze równanie przez \\(0{,}5\\), żeby mieć \\(0{,}5y\\) w obu:\n\n\\[0{,}5 \\cdot (x - y) = 0{,}5 \\cdot 3 \\implies 0{,}5x - 0{,}5y = 1{,}5\\]\n\nDodajemy do drugiego równania stronami:\n\n\\[(0{,}5x - 0{,}5y) + (2x + 0{,}5y) = 1{,}5 + 4\\]\n\n\\[2{,}5x = 5{,}5\\]\n\n\\[x = \\frac{5{,}5}{2{,}5} = \\frac{11}{5}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\n\\[\\frac{11}{5} - y = 3 \\implies y = \\frac{11}{5} - \\frac{15}{5} = -\\frac{4}{5}\\]\n\n**Wynik zgodny:** \\(\\left(\\frac{11}{5},\\ -\\frac{4}{5}\\right)\\) - jeden punkt. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność rozwiązywania układu równań liniowych metodą podstawiania lub eliminacji (podstawa algebry).\n\nWarto jednak pamiętać o **geometrycznej interpretacji**:\n- Każde równanie liniowe \\(ax + by = c\\) to **prosta** na płaszczyźnie.\n- Dwie proste albo się przecinają (1 punkt), albo są równoległe (brak punktów), albo pokrywają się (nieskończenie wiele punktów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń błędnie upraszcza układ i dochodzi do sprzeczności (np. \\(0 = \\text{liczba}\\)), myląc proste równoległe z tym układem - tu proste się przecinają |\n| C | Uczeń myli układ równań z równaniem jednej prostej lub z nierównością - **dwie różne proste** mogą dać co najwyżej **jeden** punkt wspólny, nie dwa |\n| D | Uczeń myli układ z przypadkiem, gdy oba równania opisują **tę samą prostą** (np. drugie równanie byłoby wielokrotnością pierwszego) - tu prosta \\(x - y = 3\\) i prosta \\(2x + 0{,}5y = 4\\) mają różne kierunki |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy proste mają **różny współczynnik kierunkowy** - jeśli tak, muszą się przeciąć w dokładnie jednym punkcie. Tu \\(y = x - 3\\) (kierunkowy \\(a = 1\\)) vs \\(y = -4x + 8\\) (kierunkowy \\(a = -4\\)) - różne, więc wynik to zawsze **B**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(0{,}5y\\) to \\(\\frac{1}{2}y\\) - przy eliminacji łatwo pomylić się mnożąc przez nieodpowiednią liczbę. Przelicz ułamki dziesiętne na zwykłe przed rachunkami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **punkt na płaszczyźnie**, nie o parę liczb. Rozwiązanie \\(\\left(\\frac{11}{5}, -\\frac{4}{5}\\right)\\) to **jeden punkt** - pilnuj, żeby nie liczyć go jako \"dwie wartości = dwa punkty\".\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Porównanie współczynników kierunkowych\nZapisujemy oba równania w postaci \\(y = ax+b\\):\n- \\(x - y = 3 \\Rightarrow y = x - 3\\) (współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 1\\))\n- \\(2x + 0{,}5y = 4 \\Rightarrow 0{,}5y = -2x + 4 \\Rightarrow y = -4x + 8\\) (współczynnik \\(a_2 = -4\\))\n\n\\(a_1 \\ne a_2\\), więc proste przecinają się w **dokładnie jednym punkcie**.\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie układu\nZ pierwszego równania: \\(y = x-3\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[2x + 0{,}5(x-3) = 4\\]\n\\[2{,}5x - 1{,}5 = 4\\]\n\\[2{,}5x = 5{,}5 \\Rightarrow x = 2{,}2, \\quad y = -0{,}8.\\]\nPunkt: \\((2{,}2; -0{,}8)\\) - **dokładnie jeden**.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. zbiór pusty** - proste równoległe, ale różne (mają różne \\(a\\), więc się przecinają).\n- **C. dwa punkty** - dwie proste nie mogą się przecinać w dwóch punktach (chyba że to ta sama prosta, wtedy nieskończenie wielu).\n- **D. zbiór nieskończony** - tylko gdyby równania były proporcjonalne; tu nie są.\n\n**Trik:** dla układu dwóch równań liniowych wystarczy porównać \\(\\tfrac{a_1}{a_2}, \\tfrac{b_1}{b_2}, \\tfrac{c_1}{c_2}\\). Wszystkie równe → ta sama prosta. Tylko dwa równe → równoległe. Nic nie równe → jeden punkt.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda eliminacji\n\n1. **Rozwiązujemy pierwsze równanie** względem *y*:\n\\[x - y = 3 \\implies y = x - 3\\]\n2. **Podstawiamy** wyrażenie na *y* do drugiego równania:\n\\[2x + 0.5y = 4 \\implies 2x + 0.5(x - 3) = 4\\]\n3. **Rozwiązujemy** równanie z jedną niewiadomą (*x*):\n\\[2x + 0.5x - 1.5 = 4 \\implies 2.5x = 5.5 \\implies x = \\frac{5.5}{2.5} = \\frac{55}{25} = \\frac{11}{5} = 2.2\\]\n4. **Obliczamy** *y* z pierwszego równania:\n\\[y = x - 3 = 2.2 - 3 = -0.8\\]\n5. **Sprawdzamy** rozwiązanie w drugim równaniu:\n\\[2(2.2) + 0.5(-0.8) = 4.4 - 0.4 = 4\\]\nRozwiązanie jest poprawne.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna) - Nie użyto bezpośrednio, ale metoda rozwiązywania układu równań jest podstawą.\n\n### Sposób 2: Metoda mnożenia przez współczynniki\n\n1. **Mnożymy** drugie równanie przez 2:\n\\[2(2x + 0.5y) = 2(4) \\implies 4x + y = 8\\]\n2. **Dodajemy** to równanie do pierwszego równania:\n\\[(x - y) + (4x + y) = 3 + 8 \\implies 5x = 11 \\implies x = \\frac{11}{5} = 2.2\\]\n3. **Podstawiamy** *x* do pierwszego równania:\n\\[2.2 - y = 3 \\implies y = 2.2 - 3 = -0.8\\]\n4. **Sprawdzamy** rozwiązanie w drugim równaniu:\n\\[2(2.2) + 0.5(-0.8) = 4.4 - 0.4 = 4\\]\nRozwiązanie jest poprawne.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna) - Nie użyto bezpośrednio, ale metoda rozwiązywania układu równań jest podstawą.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. zbiór pusty:** Rozwiązaliśmy układ równań i otrzymaliśmy konkretne wartości *x* i *y*, więc nie może być to zbiór pusty.\n* **C. dokładnie dwa różne punkty:** Rozwiązaliśmy układ równań i otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, a nie dwa różne.\n* **D. zbiór nieskończony:** Układ równań ma jedno rozwiązanie, a nie nieskończenie wiele.\n\n**Dodatkowe wyjaśnienie:** Układ równań, który ma jedno rozwiązanie, oznacza, że przecinają się w jednym punkcie. Metodą rozwiązywania układów równań jest tutaj podstawianie lub eliminacja. W tym przypadku, eliminacja była najprostsza.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nDziedziną funkcji f określonej wzorem ( )\nx\nx\nx\nx\nf\n4\n4\n2 -\nmoże być zbiór","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający wyznacza\ndziedzinę prostego wyrażenia wymiernego\nz jedną zmienną, w którym w mianowniku\nwystępują tylko wyrażenia dające się\nsprowadzić do iloczynu wielomianów\nliniowych i kwadratowych (2.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nRównanie \\(2x^2 + 11x + 3 = 0\\) **ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.**\n\n## Sposób 1 - Wzory Viète'a (bez liczenia pierwiastków)\n\nZamiast żmudnie liczyć \\(x_1, x_2\\), wystarczy sprawdzić ich **sumę i iloczyn** - to da nam znak obu pierwiastków.\n\nDla równania \\(ax^2 + bx + c = 0\\) wzory Viète'a mówią:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 2\\), \\(b = 11\\), \\(c = 3\\):\n\n**Krok 1 - sprawdź, czy w ogóle istnieją pierwiastki rzeczywiste:**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 121 - 24 = 97 > 0\\]\n\\(\\Delta > 0\\) → **dwa różne pierwiastki rzeczywiste** (odpadają odpowiedzi A i B).\n\n**Krok 2 - suma pierwiastków:**\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{11}{2} = -5{,}5 < 0\\]\nSuma jest **ujemna** - przynajmniej jeden pierwiastek jest ujemny.\n\n**Krok 3 - iloczyn pierwiastków:**\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{3}{2} > 0\\]\nIloczyn jest **dodatni** → obydwa pierwiastki mają **ten sam znak**.\n\n**Krok 4 - wniosek:**\nSkoro oba mają ten sam znak, a ich suma jest ujemna - oba są **ujemne**.\n\n**Odpowiedź: D** - dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie pierwiastków (weryfikacja)\n\nLiczymy \\(x_1, x_2\\) wprost ze wzoru:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-11 \\pm \\sqrt{97}}{4}\\]\n\nSzacujemy \\(\\sqrt{97}\\): ponieważ \\(9^2 = 81\\) i \\(10^2 = 100\\), mamy \\(\\sqrt{97} \\approx 9{,}85\\).\n\n\\[x_1 = \\frac{-11 - 9{,}85}{4} = \\frac{-20{,}85}{4} \\approx -5{,}21\\]\n\\[x_2 = \\frac{-11 + 9{,}85}{4} = \\frac{-1{,}15}{4} \\approx -0{,}29\\]\n\nOba wyniki są ujemne. ✓ **Odpowiedź D potwierdzona.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Kroku 1 do sprawdzenia, czy pierwiastki istnieją.\n\nWzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do ustalenia znaku pierwiastków bez ich obliczania.\n\nWzór na pierwiastki:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Błędne obliczenie delty: np. \\(11^2 = 12\\) lub \\(4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 24\\) a potem błędne odejmowanie, co daje \\(\\Delta < 0\\) |\n| **B** | Wyliczenie \\(\\Delta = 0\\) przez pomylenie wzoru (np. \\(b^2 - 2ac\\) zamiast \\(4ac\\)) |\n| **C** | Przeoczenie znaku: iloczyn \\(x_1 x_2 = \\frac{3}{2} > 0\\) sugeruje \"ta sama znak - pewnie dodatnie\", ale suma \\(x_1 + x_2 = -5{,}5 < 0\\) jednoznacznie wskazuje ujemne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo sprawdzenie iloczynu \\(x_1 x_2 > 0\\) NIE wystarczy - trzeba też sprawdzić sumę! Dodatni iloczyn oznacza jedynie, że oba mają ten sam znak (oba dodatnie LUB oba ujemne).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz liczyć \\(\\sqrt{97}\\) dokładnie - wystarczy wiedzieć, że \\(\\Delta = 97 > 0\\), żeby stwierdzić istnienie dwóch pierwiastków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory Viète'a to świetny skrót na maturze - często pytanie o znak pierwiastków można rozwiązać w 3 liniach, bez żadnych pierwiastków kwadratowych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRównanie \\(2x^2 + 11x + 3 = 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\(\\Delta = 11^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 121 - 24 = 97 > 0\\)\n\nSkoro \\(\\Delta > 0\\), równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.\n\nSprawdzamy znaki rozwiązań za pomocą wzorów Viète'a:\n- Suma: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{11}{2} = -5{,}5 < 0\\)\n- Iloczyn: \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{3}{2} = 1{,}5 > 0\\)\n\nSuma ujemna i iloczyn dodatni oznaczają, że oba rozwiązania są ujemne.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\), wzory Viète'a: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(\\Delta = 97 > 0\\), więc rozwiązania istnieją\n- B. Dwa rozwiązania (\\(\\Delta > 0\\)), nie jedno\n- C. Oba ujemne (suma < 0, iloczyn > 0), nie dodatnie","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nRozwiązaniem równania\n3\n4\n3\n4\n2\nx\nx\njest liczba\nA.\n0\nx\nB.\n12\n5\nx =\nC.\n2\nx =\nD.\n25\n11\nx =\nA. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 0 i od 4.\nB. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od -4 i od 4.\nC. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od -4 i od 0.\nD. wszystkich liczb rzeczywistych.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych, np.\n1\n2\n3\nx\nx\n,\n1\n2\nx\nx\nx\n(3.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n**Wartości, które nie mogą należeć do dziedziny, to \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\).**\n\n## Sposób 1 - Warunek na dziedzinę funkcji wymiernej\n\nFunkcja dana wzorem:\n\\[f(x) = \\frac{x + 4}{x^2 - 1}\\]\n\njest **funkcją wymierną** - ułamek algebraiczny. Jedynym ograniczeniem dziedziny jest to, że **mianownik nie może być równy zeru** (dzielenie przez zero jest niedozwolone).\n\nUstawiamy mianownik równy zero i szukamy wartości do wykluczenia:\n\\[x^2 - 1 = 0\\]\n\\[x^2 = 1\\]\n\\[x = \\sqrt{1} = 1 \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{1} = -1\\]\n\n**Zatem \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\) nie mogą należeć do dziedziny.**\n\nDziedzina funkcji to:\n\\[\\mathcal{D} = \\mathbb{R} \\setminus \\{-1, 1\\}\\]\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja mianownika\n\nZamiast rozwiązywać równanie kwadratowe, rozkładamy mianownik korzystając ze **wzoru skróconego mnożenia**:\n\n\\[x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\\]\n\nMianownik równa się zero, gdy jeden z czynników jest równy zero:\n\\[(x - 1) = 0 \\implies x = 1\\]\n\\[(x + 1) = 0 \\implies x = -1\\]\n\nTen sam wynik - szybciej i bez liczenia delty.\n\n**Weryfikacja:** Sprawdźmy, że licznik \\(x + 4\\) nie powoduje dodatkowych wykluczeń:\n- \\(x = -4\\) daje \\(f(-4) = \\frac{0}{(-4)^2 - 1} = \\frac{0}{15} = 0\\) - wartość **dozwolona** (ułamek może mieć wartość 0)\n\n**Licznik nigdy nie wyklucza wartości z dziedziny** - tylko mianownik ma znaczenie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do faktoryzacji \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\).\n\nEwentualnie w Sposobie 1 wystarczą podstawowe własności funkcji - mianownik ≠ 0 to definicja, nie wzór z karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(x = -4\\) wyklucza się dlatego, że **licznik** \\(x + 4 = 0\\) - ale zerowy licznik daje \\(f(-4) = 0\\), co jest **dozwolone**. Do wykluczenia z dziedziny liczy się tylko **mianownik**. |\n| B | Analogicznie - \\(x = -4\\) z licznika nie stanowi problemu; poprawnie wyznaczono \\(x = 1\\) z mianownika, ale nie znaleziono \\(x = -1\\). |\n| C | \\(x = 0\\) nie wyklucza: \\(f(0) = \\frac{4}{0 - 1} = -4\\) - wartość istnieje. Pominięto \\(x = -1\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy **licznik** równa się zero, ułamek ma wartość \\(0\\) - to jest poprawna liczba! Wykluczamy tylko wartości, dla których **mianownik** = 0.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(x^2 = 1\\) ma **dwa** rozwiązania: \\(x = 1\\) **i** \\(x = -1\\). Łatwo zapomnieć o rozwiązaniu ujemnym i wybrać odpowiedź C zamiast D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 - 1\\) to **różnica kwadratów**, a nie \\((x-1)^2\\). Nie myl: \\((x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\), ale \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\) - stąd dwa różne pierwiastki.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nObliczamy wartości:\n\\(\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\\(\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n\\(\\sin 120° - \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 0\\)\n\nA \\(\\sin 0° = 0\\), więc odpowiedź to C.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wzory redukcyjne: \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\); tablica wartości funkcji trygonometrycznych\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(\\sin 90° = 1 \\neq 0\\)\n- B. \\(\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2} \\neq 0\\)\n- D. \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\neq 0\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem\n4\n3\n2\n)\n(\nx\nx\nf\njest\nA. 0\nB. 6\nC. 4\nD.\n6","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nfunkcji miejsce zerowe oraz sporządza\nwykresy funkcji liniowych (4.b,e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\)\n\n(Zadanie otwarte - wyznaczamy uproszczoną postać wyrażenia.)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika\n\n**Szukamy wspólnego mianownika** dla dwóch ułamków: \\(\\frac{x}{x-1}\\) i \\(\\frac{1}{x}\\).\n\nMianowniki to \\((x-1)\\) oraz \\(x\\), więc wspólny mianownik to \\(x(x-1)\\).\n\nRozszerzamy każdy ułamek:\n\n\\[\\frac{x}{x-1} = \\frac{x \\cdot x}{x(x-1)} = \\frac{x^2}{x(x-1)}\\]\n\n\\[\\frac{1}{x} = \\frac{1 \\cdot (x-1)}{x(x-1)} = \\frac{x-1}{x(x-1)}\\]\n\nTeraz odejmujemy:\n\n\\[\\frac{x^2}{x(x-1)} - \\frac{x-1}{x(x-1)} = \\frac{x^2 - (x-1)}{x(x-1)}\\]\n\n**Uwaga na nawias!** Odejmujemy cały wielomian \\((x-1)\\):\n\n\\[= \\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\]\n\nSprawdzamy, czy licznik \\(x^2 - x + 1\\) daje się dalej rozłożyć. Wyróżnik trójmianu:\n\n\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0\\]\n\nSkoro \\(\\Delta < 0\\), **licznik nie ma pierwiastków rzeczywistych** i nie można go skrócić z mianownikiem.\n\n**Wynik końcowy:**\n\n\\[\\boxed{\\dfrac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości\n\nSprawdzamy poprawność dla \\(x = 2\\):\n\n**Wyrażenie wyjściowe:**\n\\[\\frac{2}{2-1} - \\frac{1}{2} = \\frac{2}{1} - \\frac{1}{2} = 2 - \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Nasz wynik:**\n\\[\\frac{2^2 - 2 + 1}{2(2-1)} = \\frac{4 - 2 + 1}{2 \\cdot 1} = \\frac{3}{2}\\]\n\nWyniki są zgodne - uproszczenie jest poprawne.\n\nSprawdzamy też dla \\(x = -1\\):\n\n**Wyrażenie wyjściowe:**\n\\[\\frac{-1}{-1-1} - \\frac{1}{-1} = \\frac{-1}{-2} + 1 = \\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Nasz wynik:**\n\\[\\frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{(-1)(-1-1)} = \\frac{1 + 1 + 1}{(-1)(-2)} = \\frac{3}{2}\\]\n\nZgadza się.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania na ułamkach algebraicznych (rozszerzanie, sprowadzanie do wspólnego mianownika) oraz znajomość wyróżnika trójmianu kwadratowego do sprawdzenia możliwości skrócenia.\n\nPomocniczo:\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy go do sprawdzenia, że \\(x^2 - x + 1\\) jest nierozkładalny (\\(\\Delta < 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **zgubienie minusa przed nawiasem**: \\(x^2 - (x-1) = x^2 - x + 1\\), a nie \\(x^2 - x - 1\\). Minus przed nawiasem zmienia znak **obu** składników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno skracać \\(\\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\) przez \\(x\\) ani przez \\((x-1)\\) - czynniki z mianownika nie są dzielnikami licznika (sprawdziliśmy przez \\(\\Delta < 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o dziedzinie: wynik \\(\\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\) jest określony dokładnie dla tych samych \\(x\\), co wyrażenie wyjściowe - czyli \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 1\\).\n\n**Odpowiedź: \\(\\frac{3}{2}\\sin 2\\alpha\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nWyciągamy wspólny czynnik:\n\\(3\\sin^3\\alpha\\cos\\alpha + 3\\sin\\alpha\\cos^3\\alpha = 3\\sin\\alpha\\cos\\alpha(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)\\)\n\nStosujemy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\(= 3\\sin\\alpha\\cos\\alpha \\cdot 1 = 3\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\)\n\nStosujemy wzór na sinus podwojonego kąta \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\):\n\\(3\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\frac{3}{2} \\cdot 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\frac{3}{2}\\sin 2\\alpha\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), wzór \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nPunkt\n1 , 3\n2\nM\n\n\n= \n\n\n\nnależy\ndo\nwykresu\nfunkcji\nliniowej\nokreślonej\nwzorem\n(\n)\n( )\n3\n2\n2\nf x\na x\n. Wtedy\nA.\n1\n2\na = -\nB.\n2\na =\nC.\n1\n2\na =\nD.\n2\na = -","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nliniowej (4.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 6\n\n## Sposób 1 - Zamiana podstawy logarytmu\n\nZaczynamy od obliczenia \\(\\log_4 2\\).\n\nZauważamy, że \\(2 = \\sqrt{4} = 4^{\\frac{1}{2}}\\), więc korzystamy z definicji logarytmu:\n\\[\\log_4 2 = \\log_4 4^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nTeraz podstawiamy do wyrażenia:\n\\[8\\log_4 2 + 2 = 8 \\cdot \\frac{1}{2} + 2 = 4 + 2 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez zmianę podstawy na logarytm dziesiętny\n\nKorzystamy z wzoru na zmianę podstawy:\n\\[\\log_4 2 = \\frac{\\log 2}{\\log 4} = \\frac{\\log 2}{\\log 2^2} = \\frac{\\log 2}{2 \\log 2} = \\frac{1}{2}\\]\n\nWynik jak poprzednio:\n\\[8 \\cdot \\frac{1}{2} + 2 = 4 + 2 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu i własność potęgi:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy tego, żeby zapisać \\(\\log_4 2 = \\log_4 4^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\).\n\n**Dział 3 - zmiana podstawy (s. 5-6)**:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do sprowadzenia logarytmu do postaci ułamkowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - 8 | Uczeń przyjął \\(\\log_4 2 = 1\\) (jakby \\(4 = 2\\)), przez co \\(8 \\cdot 1 + 2 = 10\\)… albo pominął dodawanie \\(+2\\) i wynik \\(8 \\cdot 1 = 8\\) |\n| C - 4 | Uczeń obliczył poprawnie \\(8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4\\), ale **zapomniał dodać \\(+2\\)** |\n| D - 3,5 | Uczeń pomylił \\(\\log_4 2\\) z \\(\\log_2 4 = 2\\), więc obliczył \\(\\frac{8}{2} + 2 = 4 + 2\\)… nie, lub inaczej: przyjął \\(8 \\div 4 + \\frac{1}{4} = 2 + 1{,}5\\)? Możliwe też, że zamienił argumenty: \\(\\log_2 4 = 2\\), wtedy \\(\\frac{8}{2} - \\frac{1}{2} = 3{,}5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **zapomnienie o +2** - uczeń liczy logarytm prawidłowo (\\(\\frac{1}{2}\\)), mnoży \\(8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4\\) i wybiera C, nie dokańczając zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_4 2 \\neq \\log_2 4\\)! Kolejność zapisu ma znaczenie: \\(\\log_4 2 = \\frac{1}{2}\\), natomiast \\(\\log_2 4 = 2\\). To dwa różne logarytmy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy podstawa \\(4\\) jest potęgą argumentu \\(2\\) - tu \\(4 = 2^2\\), więc \\(2 = 4^{1/2}\\), co od razu daje wynik bez długich obliczeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nProsta przechodzi przez punkty \\((0, -2)\\) i \\((6, 2)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{2 - (-2)}{6 - 0} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\)\n\nWyraz wolny: prosta przechodzi przez \\((0, -2)\\), więc \\(b = -2\\).\n\nOdpowiedź: \\(a = \\frac{2}{3},\\ b = -2\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- B. \\(a = 3\\) - odwrócony ułamek\n- C. \\(b = 2\\) - prosta przechodzi przez \\((0, -2)\\), nie \\((0, 2)\\)\n- D. \\(a = -3, b = 2\\) - oba współczynniki błędne","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu\ny\nax\nb .\nWspółczynnik kierunkowy tej prostej jest równy\nA.\n3\n2\na = -\nB.\n2\n3\na = -\nC.\n2\n5\na = -\nD.\n3\n5\na = -","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\ninterpretację współczynników we wzorze\nfunkcji liniowej (4.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A. \\(-4\\)\n\nFunkcja \\(f(x) = x^2 + 4x\\) ma najmniejszą wartość równą \\(-4\\).\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka paraboli\n\nMamy funkcję kwadratową \\(f(x) = x^2 + 4x\\), gdzie \\(a = 1\\), \\(b = 4\\), \\(c = 0\\).\n\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana **ramionami w górę** - wierzchołek to **minimum** funkcji.\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy odciętą wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot 1} = -2\\]\n\n**Krok 2:** Wyznaczamy rzędną wierzchołka (czyli najmniejszą wartość):\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nNajpierw wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 0 = 16\\]\n\nZatem:\n\\[q = -\\frac{16}{4 \\cdot 1} = -4\\]\n\n**Najmniejsza wartość funkcji to \\(\\boldsymbol{-4}\\), przyjmowana dla \\(x = -2\\).**\n\n## Sposób 2 - Uzupełnienie do pełnego kwadratu (postać kanoniczna)\n\nPrzekształcamy \\(f(x) = x^2 + 4x\\) do postaci kanonicznej:\n\n\\[f(x) = x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x+2)^2 - 4\\]\n\nPonieważ \\((x+2)^2 \\geq 0\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\), mamy:\n\\[f(x) = (x+2)^2 - 4 \\geq 0 - 4 = -4\\]\n\nRówność zachodzi, gdy \\((x+2)^2 = 0\\), czyli dla \\(x = -2\\).\n\n**Zatem minimum funkcji wynosi \\(\\boldsymbol{-4}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWierzchołek paraboli \\(W = (p, q)\\):\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia rzędnej wierzchołka.\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - uzupełnienie do kwadratu to po prostu ręczne wyznaczenie postaci kanonicznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B. \\(-2\\)** | Uczeń oblicza tylko \\(p = -\\frac{b}{2a} = -2\\) i myśli, że to jest **wartość** minimum - a to tylko **argument** (x-owa współrzędna wierzchołka) |\n| **C. 0** | Uczeń podstawia \\(x = 0\\): \\(f(0) = 0 + 0 = 0\\), ale to tylko wartość w punkcie \\(x=0\\), nie minimum funkcji |\n| **D. 4** | Uczeń liczy \\(\\Delta = 16\\) i podaje \\(\\Delta\\) jako odpowiedź, albo myli znak: zamiast \\(-\\frac{\\Delta}{4a}\\) wpisuje \\(\\frac{\\Delta}{4a} = 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odciętą wierzchołka \\(p = -2\\) łatwo pomylić z rzędną wierzchołka \\(q = -4\\). Pamiętaj: \\(p\\) to **argument** (dla jakiego \\(x\\)), a \\(q\\) to **wartość** (ile wynosi \\(f(x)\\)). Pytanie dotyczy **wartości**, więc szukamy \\(q\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź znak współczynnika \\(a\\)! Gdy \\(a > 0\\) - parabola ma **minimum**. Gdy \\(a < 0\\) - parabola ma **maksimum**. Tu \\(a = 1 > 0\\), więc mówimy o minimum.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W uzupełnieniu do kwadratu uważaj na znak: \\(x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4\\), a **nie** \\((x+2)^2 + 4\\). Dodane \\(+4\\) trzeba od razu odjąć, żeby wyrażenie się nie zmieniło.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nProsta \\(k\\) jest równoległa do \\(y = -3x\\), więc ma ten sam współczynnik kierunkowy \\(a = -3\\).\nPrzechodzi przez \\((0, 6)\\), więc \\(b = 6\\).\n\nRównanie prostej \\(k\\): \\(y = -3x + 6\\)\n\nPunkt przecięcia z osią \\(Ox\\) (\\(y = 0\\)):\n\\(0 = -3x + 6\\)\n\\(3x = 6\\)\n\\(x = 2\\)\n\nPunkt: \\((2, 0)\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Proste równoległe: \\(a_1 = a_2\\); równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\((-12, 0)\\) - \\(y = -3(-12) + 6 = 42 \\neq 0\\)\n- B. \\((-2, 0)\\) - \\(y = -3(-2) + 6 = 12 \\neq 0\\)\n- D. \\((6, 0)\\) - \\(y = -3(6) + 6 = -12 \\neq 0\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nn\na\nokreślonym dla\n1\n≥\nn\ndane są\n4\n1\na\ni\n.2\nr\nKtórym\nwyrazem tego ciągu jest liczba\n?\n156\nA. 81.\nB. 80.\nC. 76.\nD. 77.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego\n(5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[g(x) = 2x - 2\\]\n\n## Sposób 1 - Odczytanie \\(f\\) z wykresu + symetria względem osi \\(OX\\)\n\n**Krok 1: Odczytaj wzór funkcji \\(f\\) z wykresu.**\n\nZ rysunku widzimy, że prosta przechodzi przez punkty \\((0, 2)\\) i \\((1, 0)\\).\n\nObliczamy współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{0 - 2}{1 - 0} = -2\\]\n\nWyraz wolny odczytujemy bezpośrednio: \\(b = 2\\).\n\nZatem:\n\\[f(x) = -2x + 2\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wzór funkcji \\(g\\).**\n\nSymetria wykresu względem poziomej osi \\(OX\\) (prostej \\(y = 0\\)) polega na zastąpieniu każdej wartości \\(y\\) przez \\(-y\\):\n\n\\[g(x) = -f(x)\\]\n\nObliczamy:\n\\[g(x) = -(-2x + 2) = 2x - 2\\]\n\n**Wynik: \\(\\boxed{g(x) = 2x - 2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przez punkty charakterystyczne\n\nOdbicie względem osi \\(OX\\) to przekształcenie: każdy punkt \\((x, y)\\) przechodzi w \\((x, -y)\\).\n\nZ wykresu \\(f\\) odczytujemy dwa charakterystyczne punkty:\n- \\((0,\\, 2)\\) - punkt na osi \\(OY\\)\n- \\((1,\\, 0)\\) - miejsce zerowe\n\nPo odbiciu względem \\(OX\\):\n- \\((0, 2) \\;\\longrightarrow\\; (0, -2)\\)\n- \\((1, 0) \\;\\longrightarrow\\; (1, 0)\\) (punkt na osi \\(OX\\) nie zmienia się!)\n\nTeraz wyznaczamy prostą przechodzącą przez \\((0, -2)\\) i \\((1, 0)\\):\n\\[a = \\frac{0 - (-2)}{1 - 0} = 2, \\qquad b = -2\\]\n\n\\[g(x) = 2x - 2 \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny z metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f\\) z dwóch punktów oraz do zapisu \\(g\\).\n\nW tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - wystarczy odczyt z wykresu i znajomość symetrii względem osi.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(g = -2x - 2\\) | Uczeń myśli, że symetria względem \\(OX\\) zamienia tylko wyraz wolny na \\(-b\\), a nie cały wzór. Zamiast \\(-f(x)\\) pisze tylko \\(f(x)\\) z negowanym \\(b\\). |\n| **C** \\(g = -2x + 2\\) | Uczeń w ogóle nie zmienia \\(f\\) - przepisuje dokładnie wzór \\(f\\). Mylą symetrię z tożsamością. |\n| **D** \\(g = 2x + 2\\) | Uczeń neguje tylko współczynnik kierunkowy (zmienia \\(a\\) na \\(-a\\)), zamiast nenegować cały wzór. Wynik to \\(-(-2)x + 2\\) bez zmiany znaku wyrazu wolnego - błąd w rozwinięciu \\(-f(x)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \\(OX\\) to \\(g(x) = -f(x)\\) - negujemy **cały** wzór, łącznie z wyrazem wolnym. Błąd: negowanie tylko jednego członu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl symetrii względem osi \\(OX\\) z symetrią względem osi \\(OY\\). Odbicie względem \\(OY\\) to \\(g(x) = f(-x)\\), a nie \\(g(x) = -f(x)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe (punkt na osi \\(OX\\)) przy symetrii względem \\(OX\\) **nie zmienia się** - to dobry punkt kontrolny. Jeśli \\(f(1) = 0\\), to \\(g(1)\\) też powinno być \\(0\\). Sprawdź: \\(g(1) = 2(1) - 2 = 0\\) ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRozkładamy równanie na czynniki:\n\\(x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7) = 0\\)\n\nKażdy czynnik przyrównujemy do zera:\n1. \\(x^2 = 0 \\Rightarrow x = 0\\) - wymierne\n2. \\(x + 5 = 0 \\Rightarrow x = -5\\) - wymierne\n3. \\(2x - 3 = 0 \\Rightarrow x = \\frac{3}{2}\\) - wymierne\n4. \\(x^2 - 7 = 0 \\Rightarrow x = \\sqrt{7}\\) lub \\(x = -\\sqrt{7}\\) - **niewymierne**\n\nLiczba rozwiązań niewymiernych: **2** (\\(\\sqrt{7}\\) i \\(-\\sqrt{7}\\))\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wzory skróconego mnożenia: \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. 0 - są dwa rozwiązania niewymierne: \\(\\pm\\sqrt{7}\\)\n- B. 1 - są dwa, nie jedno\n- C. 5 - łączna liczba rozwiązań to 5, ale niewymiernych jest tylko 2","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW rosnącym ciągu geometrycznym (\n)\nn\na\n, określonym dla\n1\n≥\nn\n, spełniony jest warunek\n4\n1\n3\na\na\n. Iloraz q tego ciągu jest równy\nA.\n1\n3\nq =\nB.\n3\n1\n3\nq =\nC.\n3 3\nq =\nD.\n3\nq =\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-1\n8\n7\n6\n0\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n7\n8\n9\n10\nx\nP = (2, 5)\nQ = (5, 3)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego\n(5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (10 000)\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Identyfikujemy parametry ciągu:**\n\nWzór ogólny: \\(a_n = 2n - 1\\)\n\n- Pierwszy wyraz: \\(a_1 = 2 \\cdot 1 - 1 = 1\\)\n- Setny wyraz: \\(a_{100} = 2 \\cdot 100 - 1 = 199\\)\n- Różnica: \\(r = 2\\) (bo \\(a_{n+1} - a_n = 2(n+1)-1-(2n-1) = 2\\))\n\n**Stosujemy wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:**\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\n\\[S_{100} = \\frac{a_1 + a_{100}}{2} \\cdot 100 = \\frac{1 + 199}{2} \\cdot 100 = \\frac{200}{2} \\cdot 100 = 100 \\cdot 100\\]\n\n\\[\\boxed{S_{100} = 10\\ 000}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie do wzoru z różnicą\n\nZamiast wyznaczać \\(a_{100}\\), używamy postaci z różnicą \\(r\\):\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\n\\[S_{100} = \\frac{2 \\cdot 1 + 99 \\cdot 2}{2} \\cdot 100 = \\frac{2 + 198}{2} \\cdot 100 = \\frac{200}{2} \\cdot 100 = 10\\ 000\\]\n\n**Wynik identyczny - odpowiedź C.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę ciągu arytmetycznego:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyliśmy obu postaci - w Sposobie 1 i Sposobie 2. Na karcie znajdziesz też wzór na wyraz ogólny \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), którym wyznaczyliśmy \\(a_{100} = 199\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Skąd się bierze |\n| A - 9900 | Użycie \\(n = 99\\) zamiast \\(n = 100\\) | \\(\\frac{1+199}{2} \\cdot 99 = 9900\\) - pomylono \"100 wyrazów\" z \"do setnego wyrazu wyłącznie\" |\n| B - 9950 | Wzięcie \\(a_{100} = 199\\), ale zapomnienie o \\(a_1\\) | \\(\\frac{199 \\cdot 100}{2} = 9950\\) - jakby zsumowano wyrazy od 0 do 99 zamiast od 1 do 100 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie liczby wyrazów z indeksem ostatniego. \"100 wyrazów\" oznacza \\(n = 100\\) we wzorze - zawsze sprawdź, czy twoje \\(n\\) i \\(a_n\\) są spójne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg \\(a_n = 2n - 1\\) to ciąg nieparzystych liczb naturalnych. Suma \\(n\\) pierwszych liczb nieparzystych wynosi zawsze \\(n^2\\) - zatem \\(S_{100} = 100^2 = 10\\ 000\\). Warto zapamiętać ten fakt jako szybką weryfikację!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed użyciem wzoru zawsze wyznacz \\(a_1\\) i \\(a_{100}\\) z podanego wzoru ogólnego - nie zakładaj, że \\(a_1 = 1\\) bez sprawdzenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nZ opisu wykresu: funkcja ma minimum w okolicy \\(x = 1\\) i rośnie od \\(x = 1\\) do około \\(x = 5\\).\n\nFunkcja jest rosnąca w przedziale \\((1, 5)\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Definicja funkcji rosnącej - odczyt z wykresu\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\((-1, 1)\\) - w tym przedziale funkcja maleje (zbliża się do minimum)\n- C. \\((5, 6)\\) - w tym przedziale funkcja zaczyna maleć\n- D. \\((6, 8)\\) - w tym przedziale funkcja maleje","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nDrabinę o długości 4 metrów oparto o pionowy mur, a jej podstawę umieszczono\nw odległości 1,30 m od tego muru (zobacz rysunek).\nKąt α , pod jakim ustawiono drabinę, spełnia warunek\nA. 0\n30\nα\n° <\n<\n°\nB. 30\n45\nα\n° <\n<\n°\nC. 45\n60\nα\n° <\n<\n°\nD. 60\n90\nα\n° <\n<\n°","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający wykorzystuje\ndefinicję i wyznacza wartości funkcji\ntrygonometrycznych dla kątów ostrych (6.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(q = \\sqrt[3]{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\n**Korzystamy ze wzoru ogólnego** na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3\\]\n\nZ warunku zadania \\(a_4 = 3a_1\\):\n\\[a_1 \\cdot q^3 = 3a_1\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(a_1\\) (zakładamy \\(a_1 \\neq 0\\), co jest konieczne dla ciągu geometrycznego):\n\\[q^3 = 3\\]\n\nWyciągamy pierwiastek sześcienny:\n\\[q = \\sqrt[3]{3}\\]\n\n**Sprawdzamy warunek rosnącości:** \\(\\sqrt[3]{3} \\approx 1{,}44 > 1\\), więc ciąg jest rosnący (dla \\(a_1 > 0\\) iloraz \\(q > 1\\) zapewnia rosnącość). ✓\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nPrzyjmijmy dla prostoty \\(a_1 = 1\\) i \\(q = \\sqrt[3]{3}\\).\n\nObliczamy kolejne wyrazy:\n\\[a_1 = 1\\]\n\\[a_2 = 1 \\cdot \\sqrt[3]{3} = \\sqrt[3]{3}\\]\n\\[a_3 = 1 \\cdot \\left(\\sqrt[3]{3}\\right)^2 = \\sqrt[3]{9}\\]\n\\[a_4 = 1 \\cdot \\left(\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = 3\\]\n\nSprawdzamy warunek \\(a_4 = 3a_1\\):\n\\[a_4 = 3 = 3 \\cdot 1 = 3a_1 \\quad \\checkmark\\]\n\nCiąg \\(1,\\ \\sqrt[3]{3},\\ \\sqrt[3]{9},\\ 3,\\ \\ldots\\) jest rosnący, bo każdy wyraz większy od poprzedniego. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(n = 4\\), by wyrazić \\(a_4\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - pierwiastek jako potęga:\n\\[q^3 = 3 \\implies q = 3^{\\frac{1}{3}} = \\sqrt[3]{3}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(q = \\frac{1}{3}\\) - uczeń bierze \\(a_4 = 3a_1\\) i \"odwraca\", biorąc \\(q = \\frac{1}{3}\\). Ale wtedy \\(q^3 = \\frac{1}{27} \\neq 3\\). Dodatkowo \\(q < 1\\) dałoby ciąg malejący, nie rosnący. |\n| B | \\(q = \\frac{1}{\\sqrt[3]{3}}\\) - uczeń poprawnie rozwiązuje równanie \\(q^3 = \\frac{1}{3}\\) (zły warunek - pomylenie \\(a_4 = 3a_1\\) z \\(a_4 = \\frac{a_1}{3}\\)). Znowu \\(q < 1\\), ciąg malejący. |\n| D | \\(q = 3\\) - uczeń wnioskuje bezpośrednio \"\\(a_4 = 3a_1\\), więc \\(q = 3\\)\", zapominając, że od \\(a_1\\) do \\(a_4\\) są **trzy** kroki mnożenia przez \\(q\\), nie jeden. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Od \\(a_1\\) do \\(a_4\\) mnożymy przez \\(q\\) dokładnie **trzy razy** (bo \\(a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = a_1 \\cdot q^3\\)), nie raz. To najczęstszy błąd - wzięcie \\(q = 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek **rosnący** eliminuje odpowiedzi A i B. Jeśli \\(0 < q < 1\\), ciąg maleje (dla \\(a_1 > 0\\)). Zawsze sprawdzaj ten warunek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{3} = 3^{\\frac{1}{3}}\\) - nie mylić z \\(\\frac{1}{\\sqrt[3]{3}} = 3^{-\\frac{1}{3}}\\), czyli odpowiedzią B!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego\nWzór: \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\). Zatem \\(a_4 = a_1 q^3\\).\n\nZ warunku \\(a_4 = 3a_1\\):\n\\[a_1 q^3 = 3a_1 \\Rightarrow q^3 = 3 \\Rightarrow q = \\sqrt[3]{3}.\\]\n\nPonieważ ciąg jest **rosnący**, musi być \\(q > 1\\) (dla \\(a_1 > 0\\)) lub \\(0 < q < 1\\) (dla \\(a_1 < 0\\)). \\(\\sqrt[3]{3} > 1\\), więc spełnia warunek.\n\n### Sposób 2 - Własność ciągu rosnącego\nCiąg geometryczny rosnący wymaga, aby każdy kolejny wyraz był większy: \\(a_{n+1} > a_n\\). Dla \\(a_1 > 0\\) oznacza to \\(q > 1\\). To wyklucza A (\\(q = \\tfrac{1}{3} < 1\\)) i B (\\(q = \\tfrac{1}{\\sqrt[3]{3}} < 1\\)).\n\nSprawdzamy pozostałe:\n- \\(q = \\sqrt[3]{3}\\): \\(q^3 = 3\\) ✓\n- \\(q = 3\\): \\(q^3 = 27 \\ne 3\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(q=\\tfrac{1}{3}\\)** - ciąg byłby malejący, nie rosnący; ponadto \\(a_4 = a_1/27 \\ne 3a_1\\).\n- **B. \\(q=\\tfrac{1}{\\sqrt[3]{3}}\\)** - malejący ciąg (bo \\(q < 1\\)), a wymagamy rosnącego.\n- **D. \\(q=3\\)** - wtedy \\(a_4 = 27a_1\\), a nie \\(3a_1\\); ktoś pomylił \\(q = a_4/a_1\\) zamiast \\(q^3 = a_4/a_1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Korzystanie z wzoru na r-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\nW rosnącym ciągu geometrycznym, ogólny wzór na n-ty wyraz to: \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\).\nZ treści zadania wiemy, że \\(a_4 = 3a_1\\). Podstawiając \\(n=4\\) do wzoru, otrzymujemy:\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = a_1 \\cdot q^3\\]\nZatem: \\(a_1 \\cdot q^3 = 3a_1\\).\nDzieląc obie strony równania przez \\(a_1\\) (ponieważ \\(a_1 \\neq 0\\)), otrzymujemy:\n\\[q^3 = 3\\]\nAby wyznaczyć \\(q\\), obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia z 3:\n\\[q = \\sqrt[3]{3}\\]\nTo jednak nie pasuje do odpowiedzi. Zatem musimy wrócić do równania \\(a_4 = 3a_1\\) i zauważyć, że w treści zadania podano, że iloraz \\(q\\) jest równy 3. Zatem:\n\\(a_4 = a_1 \\cdot q^3 = a_1 \\cdot 3^3 = 27a_1\\).\nZatem \\(27a_1 = 3a_1\\), co jest sprzeczne. Zatem iloraz nie jest równy 3. Zatem musimy wrócić do pierwotnego równania \\(q^3 = 3\\). To jest błąd w treści zadania.\n\nZ treści zadania wiemy, że \\(a_4 = 3a_1\\). Z wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\(a_4 = a_1 \\cdot q^3\\)\nZatem \\(a_1 \\cdot q^3 = 3a_1\\).\nDzieląc obie strony przez \\(a_1\\) (ponieważ \\(a_1 \\neq 0\\)), otrzymujemy:\n\\(q^3 = 3\\)\nZatem \\(q = \\sqrt[3]{3}\\)\nTo nie pasuje do odpowiedzi. Zatem musimy wrócić do równania \\(a_4 = 3a_1\\) i zauważyć, że w treści zadania podano, że iloraz \\(q\\) jest równy 3. Zatem:\n\\(a_4 = a_1 \\cdot q^3 = a_1 \\cdot 3^3 = 27a_1\\)\nZatem \\(27a_1 = 3a_1\\), co jest sprzeczne. Zatem iloraz nie jest równy 3. Zatem musimy wrócić do pierwiastek trzeciego stopnia z 3:\n\\[q = \\sqrt[3]{3}\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4\n\n### Sposób 2: Korzystanie z warunku na r-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\nWarunek \\(a_4 = 3a_1\\) oznacza, że czwarty wyraz ciągu jest trzy razy większy od pierwszego. W ciągu geometrycznym, \\(a_4 = a_1 \\cdot q^3\\). Zatem:\n\\[a_1 \\cdot q^3 = 3a_1\\]\nDzieląc obie strony przez \\(a_1\\) (ponieważ \\(a_1 \\neq 0\\)), otrzymujemy:\n\\[q^3 = 3\\]\nAby znaleźć \\(q\\), obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia z 3:\n\\[q = \\sqrt[3]{3}\\]\nTo nie pasuje do odpowiedzi. Zatem musimy wrócić do równania \\(q^3 = 3\\). Zatem \\(q = \\sqrt[3]{3}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(q = 3\\)**: Jeśli \\(q = 3\\), to \\(a_4 = a_1 \\cdot 3^3 = 27a_1\\), co nie jest równe \\(3a_1\\).\n* **B. \\(q = 3 3\\)**: To jest niepoprawny zapis.\n* **D. \\(q = 3\\)**: To jest to samo co odpowiedź A.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n2\nsin\n5\nα =\n. Wówczas\nα\ncos\njest równy\nA.\n5\n2\nB.\n21\n4\nC. 3\n5\nD.\n21\n5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający, znając wartość\njednej z funkcji trygonometrycznych,\nwyznacza wartości pozostałych funkcji tego\nsamego kąta ostrego (6.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(2\\sin\\alpha = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Identyfikacja kąta i obliczenie wartości trygonometrycznych\n\n**Krok 1: Sprawdź, który trójkąt to jest.**\n\nMamy boki \\(1, \\sqrt{3}, 2\\). Sprawdzamy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[1^2 + (\\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2\\]\n\n**To trójkąt prostokątny** - przyprostokątne to \\(1\\) i \\(\\sqrt{3}\\), a przeciwprostokątna to \\(2\\).\n\n**Krok 2: Wskaż kąt \\(\\alpha\\).**\n\nKąt \\(\\alpha\\) to **najmniejszy** kąt trójkąta. Mniejszy kąt leży naprzeciwko krótszego boku - a najkrótszy bok to \\(1\\).\n\nZatem \\(\\alpha\\) jest kątem naprzeciwko boku \\(1\\).\n\n**Krok 3: Oblicz \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).**\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna trójkąta}} = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa do } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n(Rozpoznajemy: to trójkąt o kątach \\(30°\\text{-}60°\\text{-}90°\\), więc \\(\\alpha = 30°\\).)\n\n**Krok 4: Oblicz każdą z odpowiedzi.**\n\n\\[A:\\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[B:\\quad \\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\\[C:\\quad 2\\sin\\alpha = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{1}\\]\n\\[D:\\quad \\cos 2\\alpha = \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]\n\nTylko \\(C\\) daje wynik \\(1\\) - czyli całkowitą liczbę równą długości najkrótszego boku. **Odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio przez definicję (bez zapamiętywania kąta)\n\nNie musimy wiedzieć, że \\(\\alpha = 30°\\) - wystarczy definicja.\n\n\\(\\alpha\\) leży przy przyprostokątnej \\(\\sqrt{3}\\), naprzeciwko przyprostokątnej \\(1\\), przy przeciwprostokątnej \\(2\\).\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\nTeraz sprawdzamy odpowiedź C:\n\\[2\\sin\\alpha = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy pozostałe:\n- \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\neq 1\\)\n- \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\neq 1\\)\n- \\(\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^2\\alpha = 1 - 2 \\cdot \\frac{1}{4} = \\frac{1}{2} \\neq 1\\)\n\nJedynie C daje \\(1\\). **Weryfikacja potwierdza: C.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{bok przyległy}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyliśmy w obu sposobach do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do potwierdzenia, że \\(2\\) jest przeciwprostokątną.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Uczeń oblicza \\(\\cos\\alpha\\) zamiast \\(2\\sin\\alpha\\) - myli kąt lub funkcję |\n| B | \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\) | Poprawna wartość \\(\\sin\\alpha\\), ale nie przemnożona przez 2 - czyta odpowiedź bez sprawdzenia czynnika |\n| D | \\(\\cos 2\\alpha = \\frac{1}{2}\\) | To ta sama wartość co \\(\\sin\\alpha\\) - mylenie podwojonego kąta z podstawowym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź twierdzeniem Pitagorasa, który bok jest przeciwprostokątną - tu to \\(2\\), nie \\(\\sqrt{3}\\)! Wiele osób błędnie zakłada, że \\(\\sqrt{3}\\) jest największy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) leży **naprzeciwko** boku \\(1\\) (najkrótszego), więc \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odpowiedzi D - \\(\\cos 2\\alpha\\) to nie to samo co \\(\\cos\\alpha\\). Kąt jest podwojony, co zmienia wartość: \\(\\cos 2\\alpha = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: 15**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nW ciągu arytmetycznym zachodzi własność: jeśli suma indeksów dwóch wyrazów jest taka sama, to sumy tych wyrazów są równe:\n\\(a_i + a_j = a_k + a_l\\) gdy \\(i + j = k + l\\)\n\nJeśli ciąg jest sześciowyrazowy (\\(n = 6\\)), to:\n\\(a_1 + a_6 = 15\\)\n\nPonieważ \\(1 + 6 = 3 + 4 = 7\\), mamy:\n\\(a_3 + a_4 = a_1 + a_6 = 15\\)\n\n**Dowód algebraiczny:**\n\\(a_3 + a_4 = (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) = 2a_1 + 5r\\)\n\\(a_1 + a_6 = a_1 + (a_1 + 5r) = 2a_1 + 5r = 15\\)\n\nZatem \\(a_3 + a_4 = 15\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Ciąg arytmetyczny: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC spełnione są warunki: AC\nBC\n,\n50\nCAB =\n°\n\nOdcinek BD jest dwusieczną kąta ABC, a odcinek BE jest wysokością opuszczoną\nz wierzchołka B na bok AC. Miara kąta EBD jest równa\nA. 10°\nB. 12,5°\nC. 13,5°\nD. 15°\n4 m\n1,30 m\nα\n?\n50°\nA\nD\nE\nC\nB\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie równania przez definicję tangensa\n\nWiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), więc przepiszemy równanie:\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]\n\nPonieważ \\(0^\\circ < \\alpha < 90^\\circ\\), mamy \\(\\sin\\alpha > 0\\) - **można podzielić obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\)** (nie znikają nam rozwiązania):\n\n\\[\\frac{1}{\\cos\\alpha} = 2\\]\n\nStąd wprost:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) ✓, a \\(60° \\in (0°, 90°)\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Użycie jedynki trygonometrycznej\n\nWychodzimy od \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\sin\\alpha\\) i korzystamy z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} - 2\\sin\\alpha = 0\\]\n\n\\[\\sin\\alpha\\left(\\frac{1}{\\cos\\alpha} - 2\\right) = 0\\]\n\nMamy iloczyn równy zero, więc:\n- \\(\\sin\\alpha = 0\\) - niemożliwe, bo \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\), gdzie \\(\\sin\\alpha > 0\\)\n- \\(\\frac{1}{\\cos\\alpha} - 2 = 0\\), czyli \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\) ✓\n\nMożemy też zweryfikować wynik jedynką trygonometryczną:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\implies \\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4} \\implies \\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nSprawdzamy warunek z zadania:\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}}{2}}{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{3}\\]\n\n\\[2\\sin\\alpha = 2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**:\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach do zamiany tangensa na iloraz sinusa i cosinusa - kluczowy krok upraszczający równanie.\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji wyniku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 45°\\) - uczeń wstawia i nie sprawdza, czy równanie zachodzi: \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\), ale \\(2\\sin 45° = \\sqrt{2} \\neq 1\\) |\n| C | \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 30°\\): \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\), ale \\(2\\sin 30° = 1 \\neq \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) - nie spełnia równania |\n| D | \\(\\cos\\alpha = 1\\) oznaczałoby \\(\\alpha = 0°\\), co jest wykluczone przez warunek \\(\\alpha > 0°\\); poza tym \\(\\operatorname{tg}0°\\) i \\(\\sin 0°\\) są oba równe zero - równanie jest trywialnie spełnione, ale \\(\\alpha\\) nie należy do podanego przedziału |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez \\(\\sin\\alpha\\) jest tu bezpieczne, bo wiemy, że \\(\\sin\\alpha \\neq 0\\) (kąt jest ostry). Gdybyśmy nie mieli podanego przedziału, musielibyśmy rozważyć przypadek \\(\\sin\\alpha = 0\\) osobno!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\) (odpowiedź A) z \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\) - to dwa różne kąty: \\(60°\\) vs \\(30°\\). Sprawdź zawsze, która funkcja była szukana.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(\\cos\\alpha = 1\\)) wygląda atrakcyjnie, bo \\(\\frac{1}{\\cos\\alpha} = 2\\) można błędnie przepisać jako \\(\\cos\\alpha = 2\\) (pomylenie odwrotności) - zawsze wykonaj dzielenie poprawnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie \\(\\tan\\) przez \\(\\sin/\\cos\\)\n\\[\\tan\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}.\\]\nZ warunku:\n\\[\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha.\\]\nPonieważ \\(0^\\circ < \\alpha < 90^\\circ\\), mamy \\(\\sin\\alpha \\ne 0\\). Dzielimy obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\\tfrac{1}{\\cos\\alpha} = 2 \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie kąta\n\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 60^\\circ\\). Sprawdzenie:\n- \\(\\tan 60^\\circ = \\sqrt{3}\\)\n- \\(2\\sin 60^\\circ = 2\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3}\\) ✓\n\nRównanie spełnione.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)** (\\(\\alpha = 45^\\circ\\)): \\(\\tan 45^\\circ = 1\\), \\(2\\sin 45^\\circ = \\sqrt{2} \\ne 1\\).\n- **C. \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** (\\(\\alpha = 30^\\circ\\)): \\(\\tan 30^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(2\\sin 30^\\circ = 1 \\ne \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n- **D. \\(\\cos\\alpha = 1\\)** (\\(\\alpha = 0^\\circ\\)): wykluczone założeniem \\(0^\\circ < \\alpha\\).\n\n**Trik:** w równaniach trygonometrycznych zawsze sprawdź, czy nie można skrócić tej samej funkcji po obu stronach.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Geometria i trójkąt prostokątny\n1. **Zacznij od trójkąta prostokątnego:** Mamy trójkąt prostokątny, w którym kąt ostry wynosi α. W tym trójkącie \\(tg\\alpha = \\frac{d}{b}\\), gdzie *d* to przeciwprostokątna, a *b* to przyprostokątna.\n2. **Znamy \\(tg\\alpha = 2\\):** Zatem \\( \\frac{d}{b} = 2 \\), co oznacza, że \\(d = 2b\\).\n3. **Znamy \\(sin\\alpha\\):** Wiemy, że \\(sin\\alpha = \\frac{d}{c}\\), gdzie *c* to przeciwprostokątna. Ponieważ \\(d = 2b\\), to \\(sin\\alpha = \\frac{2b}{c}\\).\n4. **Zastosuj wzór Pitagorasa:** W trójkącie prostokątnym mamy \\(a^2 + b^2 = c^2\\), gdzie *a* i *b* to przyprostokątne, a *c* to przeciwprostokątna.\n5. **Podstaw \\(d = 2b\\):** Zatem \\(a^2 + b^2 = (2b)^2 = 4b^2\\), co daje \\(a^2 = 3b^2\\), a więc \\(a = \\sqrt{3}b\\).\n6. **Oblicz \\(cos\\alpha\\):** Ponieważ \\(tg\\alpha = 2\\), to \\(cos\\alpha = \\frac{1}{tg\\alpha} = \\frac{1}{2}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na \\(sin\\alpha\\) i \\(tg\\alpha\\)\n1. **Znamy \\(tg\\alpha = 2\\):** Zatem \\(sin\\alpha = \\frac{tg\\alpha}{cos\\alpha} = \\frac{2}{cos\\alpha}\\).\n2. **Znamy wzór trygonometryczny:** \\(sin^2\\alpha + cos^2\\alpha = 1\\).\n3. **Podstawiamy:** (\\(\\frac{2}{cos\\alpha}\\))^2 + cos^2\\alpha = 1\\)\n4. **Rozwiązujemy równanie:** \\(\\frac{4}{cos^2\\alpha} + cos^2\\alpha = 1\\)\n5. **Oznaczmy \\(x = cos\\alpha\\):** \\(\\frac{4}{x^2} + x^2 = 1\\)\n6. **Przekształcamy:** \\(4 + x^4 = x^2\\) => \\(x^4 - x^2 + 4 = 0\\)\n7. **Rozwiązujemy równanie kwadratowe:** Możemy to przekształcić do równania kwadratowego względem \\(x^2\\): \\(x^2 = \\frac{1 \\pm \\sqrt{1 - 16}}{2}\\) które nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem musimy zastosować inny sposób.\n8. **Zwróćmy uwagę na wzór:** \\(sin\\alpha = \\frac{2}{cos\\alpha}\\) i \\(tg\\alpha = 2\\). Zatem \\(sin\\alpha = \\frac{2}{cos\\alpha}\\) i \\(cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\). Wtedy \\(sin\\alpha = \\frac{2}{\\frac{1}{2}} = 4\\), co jest sprzeczne z \\(sin^2\\alpha + cos^2\\alpha = 1\\). Musimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. \\(cos\\alpha = -\\frac{1}{2}\\):** To jest błędne, ponieważ \\(tg\\alpha = 2\\) i \\(sin\\alpha\\) musi być dodatnie, co implikuje, że \\(cos\\alpha\\) musi być dodatnie.\n* **C. \\(cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\):** To jest poprawne, ale trzeba wykonać wszystkie kroki, aby to udowodnić.\n* **D. \\(cos\\alpha = 1\\):** To jest błędne, ponieważ \\(tg\\alpha = 2\\), a \\(tg\\alpha\\) nie może być równa 1, ponieważ \\(sin\\alpha\\) musi być niezerowe. Ponadto, \\(cos\\alpha\\) musi być niezerowe.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPrzedstawione na rysunku trójkąty są podobne.\nWówczas\nA.\n13\na =\n,\n17\nb =\nB.\n10\na =\n,\n18\nb =\nC.\n9\na =\n,\n19\nb =\nD.\n11\na =\n,\n13\nb =","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych w zadaniach (7.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: 30°\n\n## Sposób 1 - wzór na pole rombu przez kąt\n\n**Oznaczenia:**\n\nNiech bok kwadratu \\(= a\\). Wtedy:\n- przekątna kwadratu \\(= a\\sqrt{2}\\)\n- bok rombu \\(= a\\sqrt{2}\\) (bo bok rombu = przekątna kwadratu)\n\n**Pole kwadratu:**\n\\[P_k = a^2\\]\n\n**Pole rombu** (ze wzoru dla równoległoboku: pole = iloczyn boków i sinus kąta między nimi):\n\\[P_r = s^2 \\sin\\alpha = (a\\sqrt{2})^2 \\cdot \\sin\\alpha = 2a^2 \\sin\\alpha\\]\n\n**Warunek:** pole rombu = pole kwadratu:\n\\[2a^2 \\sin\\alpha = a^2\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\\[\\alpha = 30°\\]\n\n**Kąt ostry rombu wynosi \\(30°\\).**\n\n## Sposób 2 - przez wysokość rombu\n\nZamiast korzystać od razu ze wzoru z sinusem, wyraźmy tę samą zależność przez **wysokość rombu**.\n\nWysokość rombu \\(h\\) liczymy z definicji pola (pole = podstawa × wysokość):\n\\[h = \\frac{P_r}{s} = \\frac{a^2}{a\\sqrt{2}} = \\frac{a}{\\sqrt{2}} = \\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\]\n\nZ geometrii: wysokość rombu wyraża się przez bok i kąt ostry:\n\\[h = s \\cdot \\sin\\alpha = a\\sqrt{2} \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\nPrzyrównujemy:\n\\[a\\sqrt{2} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\\[\\alpha = 30°\\]\n\nTen sam wynik - **kąt ostry rombu wynosi \\(30°\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku (w tym rombu):\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]\nDla rombu \\(a = b = s\\), więc \\(P = s^2 \\sin\\alpha\\). Użyte w Sposobie 1 i 2 jako podstawa równania.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\n| \\(\\alpha\\) | \\(30°\\) | \\(45°\\) | \\(60°\\) |\n| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{1}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |\n\nOdczytanie \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\Rightarrow \\alpha = 30°\\) - wprost z tablicy.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - przekątna kwadratu:\n\\[d = a\\sqrt{2}\\]\n(wynika z twierdzenia Pitagorasa: \\(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\), więc \\(d = a\\sqrt{2}\\)).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpopularniejszy błąd to przyjęcie, że kąt ostry rombu wynosi \\(45°\\) - bo przekątna kwadratu jest pod kątem \\(45°\\). To zupełnie inna rzecz! Kąt \\(45°\\) to kąt przekątnej ze stroną kwadratu, a nie kąt rombu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wzory - pole rombu to \\(s^2\\sin\\alpha\\), a nie \\(s^2\\cos\\alpha\\). Kosinus pojawia się przy obliczaniu przekątnych, nie pola.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\) pamiętaj, że kąt ostry to zawsze \\(30°\\), nie \\(150°\\) (które też spełnia równanie, ale daje kąt rozwarty, a my szukamy kąta ostrego rombu).\n\n**Odpowiedź: \\(53°\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nDane: Trójkąt \\(ABC\\) równoramienny z \\(|AC| = |BC|\\), punkt \\(D\\) na \\(AB\\) taki, że \\(|BD| = |CD|\\), \\(\\angle ACD = 21°\\).\n\nOznaczmy \\(\\angle A = \\angle B = \\alpha\\) (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego).\n\nW trójkącie \\(BCD\\): \\(|BD| = |CD|\\), więc trójkąt \\(BCD\\) jest równoramienny. Kąty naprzeciw równych boków są równe:\n\\(\\angle BCD = \\angle DBC = \\alpha\\)\n\nW trójkącie \\(ABC\\):\n\\(\\angle ACB = \\angle ACD + \\angle BCD = 21° + \\alpha\\)\n\nSuma kątów trójkąta \\(ABC\\):\n\\(\\alpha + \\alpha + (21° + \\alpha) = 180°\\)\n\\(3\\alpha + 21° = 180°\\)\n\\(3\\alpha = 159°\\)\n\\(\\alpha = 53°\\)\n\nZatem \\(\\angle BCD = \\alpha = 53°\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Suma kątów trójkąta = \\(180°\\); własności trójkąta równoramiennego","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nProste o równaniach:\n2\n2\n1\ny\nmx\nm\n- oraz\n2\n2\n4\n1\ny\nm x\nm\n+ są prostopadłe dla\nA.\n1\n2\nm = -\nB.\n1\n2\nm =\nC.\n1\nm =\nD.\n2\nm =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(R = 2\\sqrt{6}\\)\n\n(Odpowiedź A = 6 jest błędna. Poprawna to \\(2\\sqrt{6}\\) - szczegóły poniżej.)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym\n\n**Krok 1: Wyznaczamy długość boku trójkąta.**\n\nSkoro \\(ABC\\) jest trójkątem **równobocznym**, to każdy bok ma tę samą długość. Możemy wyznaczyć bok korzystając z odcinka \\(AB\\):\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2}\\]\n\n\\[|AB| = \\sqrt{6^2 + (-6)^2} = \\sqrt{36 + 36} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\\]\n\nZatem bok trójkąta równobocznego \\(a = 6\\sqrt{2}\\).\n\n**Krok 2: Stosujemy wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.**\n\nZ karty wzorów (dział 10): dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad R = \\frac{2h}{3}\\]\n\n\\[R = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy \\(a = 6\\sqrt{2}\\):**\n\n\\[R = \\frac{6\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3}}{3} = \\frac{6\\sqrt{6}}{3} = 2\\sqrt{6}\\]\n\n**Wynik: \\(\\boxed{R = 2\\sqrt{6}}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny \\(R = \\frac{abc}{4P}\\)\n\n**Obliczamy pole trójkąta równobocznego:**\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(6\\sqrt{2})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{72\\sqrt{3}}{4} = 18\\sqrt{3}\\]\n\n**Stosujemy ogólny wzór na circumradius:**\n\n\\[R = \\frac{a \\cdot b \\cdot c}{4P} = \\frac{a^3}{4P}\\]\n\n(bo trójkąt równoboczny: \\(a = b = c = 6\\sqrt{2}\\))\n\n\\[R = \\frac{(6\\sqrt{2})^3}{4 \\cdot 18\\sqrt{3}} = \\frac{216\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}}{72\\sqrt{3}} = \\frac{216 \\cdot 2}{72\\sqrt{3}} = \\frac{432}{72\\sqrt{3}} = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}}\\]\n\nPoczekaj - policzmy dokładnie \\((6\\sqrt{2})^3\\):\n\\[(6\\sqrt{2})^3 = 6^3 \\cdot (\\sqrt{2})^3 = 216 \\cdot 2\\sqrt{2} = 432\\sqrt{2}\\]\n\n\\[R = \\frac{432\\sqrt{2}}{4 \\cdot 18\\sqrt{3}} = \\frac{432\\sqrt{2}}{72\\sqrt{3}} = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{6}}{3} = 2\\sqrt{6}\\]\n\nWynik zgodny - \\(R = 2\\sqrt{6} \\approx 4{,}90\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia boku trójkąta.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad R = \\frac{2h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\nTo kluczowy wzór łączący promień okręgu opisanego z bokiem.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 17)** - ogólny wzór na circumradius:\n\\[R = \\frac{abc}{4P}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 jako weryfikację.\n\n## Dlaczego odpowiedź A = 6 jest błędna?\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A = 6** | Uczeń oblicza \\(\\|AB\\| = 6\\sqrt{2}\\), ale potem stosuje błędny wzór \\(R = \\frac{a}{\\sqrt{2}} = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 6\\) - myli wzory trójkąta równobocznego z prostokątnym. Albo po prostu bierze samą składową \\(\\|\\Delta x\\| = 6\\) jako wynik końcowy. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla trójkąta równobocznego \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\), NIE \\(R = \\frac{a}{2}\\) (to byłby promień okręgu wpisanego \\(r\\), i to też nie - \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{h}{3}\\)). Łatwo pomylić \\(R\\) z \\(r\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{36 + 36} \\neq 36 + 36 = 72\\). Pierwiastek NIE rozdziela się na sumę: \\(\\sqrt{a+b} \\neq \\sqrt{a} + \\sqrt{b}\\). Poprawnie: \\(\\sqrt{72} = \\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(C\\) nie jest tu potrzebny do obliczenia \\(R\\)! Skoro trójkąt jest równoboczny, bok \\(a = |AB|\\) wyznacza wszystko. Nie musisz szukać współrzędnych \\(C\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nNierówność trójkąta - suma dwóch dowolnych boków musi być większa od trzeciego. Dla boków 7, 2 i \\(x\\):\n\n1. \\(7 + 2 > x \\Rightarrow x < 9\\)\n2. \\(7 + x > 2\\) - zawsze spełnione dla \\(x > 0\\)\n3. \\(2 + x > 7 \\Rightarrow x > 5\\)\n\nZatem \\(5 < x < 9\\), czyli \\(x \\in \\{6, 7, 8\\}\\) (bo \\(x\\) jest liczbą całkowitą).\n\nSpośród odpowiedzi: \\(x = 6\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Nierówność trójkąta\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(12 > 9\\) - nie spełnia \\(x < 9\\)\n- B. \\(9\\) - nie spełnia \\(x < 9\\) (nierówność ostra)\n- D. \\(3\\) - nie spełnia \\(x > 5\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nDane są punkty\n(\n)\n3,\n5\nM =\noraz\n(\n)\n1, 7\nN = -\n. Prosta przechodząca przez te punkty ma\nrównanie\nA.\n3\n4\ny\nx\nB.\n3\n4\ny\nx\nC.\n1\n4\n3\ny\nx\nD.\n3\n4\ny\nx","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający podaje równanie prostej, mając dane\ndwa jej punkty (8.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (10)\n\n## Sposób 1 - Odległość punktu od prostej równoległej do osi\n\nMamy punkt \\(A = (-2, 4)\\) i dwie proste: \\(x = 3\\) (pionowa) oraz \\(y = -1\\) (pozioma).\n\n**Odległość od prostej \\(x = 3\\):**\n\nProsta \\(x = 3\\) jest pionowa - każdy punkt na niej ma pierwszą współrzędną równą \\(3\\). Odległość punktu \\((-2, 4)\\) od tej prostej to po prostu różnica współrzędnych \\(x\\):\n\n\\[d_1 = |(-2) - 3| = |-5| = 5\\]\n\n**Odległość od prostej \\(y = -1\\):**\n\nProsta \\(y = -1\\) jest pozioma - każdy punkt na niej ma drugą współrzędną równą \\(-1\\). Odległość punktu \\((-2, 4)\\) od tej prostej to różnica współrzędnych \\(y\\):\n\n\\[d_2 = |4 - (-1)| = |5| = 5\\]\n\n**Suma odległości:**\n\n\\[d_1 + d_2 = 5 + 5 = \\mathbf{10}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny na odległość punktu od prostej\n\nZamiast korzystać z geometrycznej intuicji, użyjmy formalnego wzoru na odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\).\n\n**Prosta \\(x = 3\\)**, czyli \\(1 \\cdot x + 0 \\cdot y - 3 = 0\\) → \\(A=1, B=0, C=-3\\):\n\n\\[d_1 = \\frac{|1 \\cdot (-2) + 0 \\cdot 4 + (-3)|}{\\sqrt{1^2 + 0^2}} = \\frac{|-2 - 3|}{1} = \\frac{5}{1} = 5\\]\n\n**Prosta \\(y = -1\\)**, czyli \\(0 \\cdot x + 1 \\cdot y + 1 = 0\\) → \\(A=0, B=1, C=1\\):\n\n\\[d_2 = \\frac{|0 \\cdot (-2) + 1 \\cdot 4 + 1|}{\\sqrt{0^2 + 1^2}} = \\frac{|4 + 1|}{1} = \\frac{5}{1} = 5\\]\n\n\\[d_1 + d_2 = 5 + 5 = \\mathbf{10}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - to dobrze.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia obu odległości. W Sposobie 1 jest to uproszczenie tego wzoru dla prostych osiowych (\\(B=0\\) lub \\(A=0\\)), gdzie mianownik wynosi 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B (9) | Pomylenie znaku przy obliczaniu \\(d_2\\): \\|4 - 1\\| = 3 zamiast \\|4 - (-1)\\| = 5; wtedy \\(5 + 3 + 1 = \\) lub po prostu \\(5 + 4 = 9\\) przez pominięcie modułu |\n| C (8) | Policzenie odległości bez wartości bezwzględnej: \\((-2) - 3 = -5\\), ale wzięcie \\(5\\); dla \\(y\\): \\(4 - (-1)\\) potraktowane jako \\(4 - 1 = 3\\); wtedy \\(5 + 3 = 8\\) |\n| D (7) | Obliczenie \\(d_1 = \\|{-2} - 3\\| = 5\\), ale \\(d_2 = \\|4\\| = 4\\) (zignorowanie \\(y = -1\\)); wtedy \\(5 + 4 - 2 = 7\\) lub \\(3 + 4 = 7\\) przez różne pomyłki ze znakiem |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta \\(y = -1\\) - nie pomyl! Odległość od punktu \\((x_0, 4)\\) do prostej \\(y = -1\\) to \\(|4 - (-1)| = 5\\), a **nie** \\(|4 - 1| = 3\\). Minus przy \\(-1\\) często ginie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość musi być nieujemna - zawsze stosuj wartość bezwzględną. Nie ma znaczenia, po której stronie prostej leży punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla prostych pionowych (\\(x = k\\)) liczy się tylko różnica współrzędnych \\(x\\) - współrzędna \\(y\\) punktu jest tu zupełnie nieistotna i nie wpływa na odległość.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nBoki: \\(a = 20\\), \\(b = 12\\), kąt między nimi \\(\\gamma = 120°\\).\n\nPole trójkąta:\n\\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma = \\frac{1}{2} \\cdot 20 \\cdot 12 \\cdot \\sin 120°\\)\n\n\\(\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n\\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 20 \\cdot 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{240\\sqrt{3}}{4} = 60\\sqrt{3}\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Pole trójkąta \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\); wzory redukcyjne \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- B. \\(120 = \\frac{1}{2} \\cdot 20 \\cdot 12\\) - pominięto \\(\\sin 120°\\)\n- C. \\(60\\sqrt{2}\\) - użyto złej wartości sinusa\n- D. \\(120\\sqrt{3}\\) - brak dzielenia przez 2","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nDane są punkty:\n(\n)\n2,\n2\nP = -\n,\n(\n)\n3, 3\nQ =\n. Odległość punktu P od punktu Q jest równa\nA. 1\nB. 5\nC.\n2\n5\nD.\n5\n2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległości punktów na\npłaszczyźnie kartezjańskiej (8.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(\\alpha = 50°\\))\n\n## Sposób 1 - kąt wpisany i kąt środkowy, trójkąt równoramienny\n\n**Od czego zaczynamy:** Kąt ABC jest kątem wpisanym w okrąg, który opiera się na cięciwie AC. Kąt środkowy ASC opiera się na tym samym łuku AC.\n\n**Krok 1 - wyznacz kąt środkowy ASC.**\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:\n\\[\\angle ASC = 2 \\cdot \\angle ABC = 2 \\cdot 40° = 80°\\]\n\n**Krok 2 - zbadaj trójkąt ASC.**\n\nOdcinki SA i SC są promieniami tego samego okręgu, więc:\n\\[SA = SC = r\\]\n\nTrójkąt ASC jest **równoramienny** z kątem przy wierzchołku \\(S\\) równym \\(80°\\).\n\n**Krok 3 - wyznacz kąty przy podstawie trójkąta ASC.**\n\nSuma kątów w trójkącie wynosi \\(180°\\), a kąty przy podstawie (przy \\(A\\) i przy \\(C\\)) są równe:\n\\[\\angle SAC = \\angle SCA = \\frac{180° - 80°}{2} = \\frac{100°}{2} = 50°\\]\n\n**Krok 4 - zidentyfikuj kąt \\(\\alpha\\).**\n\nKąt \\(\\alpha\\), jaki bok AC tworzy z promieniem CS, to właśnie kąt między odcinkiem CA a odcinkiem CS przy wierzchołku C, czyli:\n\\[\\alpha = \\angle SCA = \\mathbf{50°}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez łuk i kąt\n\n**Idee:** Sprawdzamy wynik inaczej - przez własność stycznej lub kąt między cięciwą a promieniem.\n\nKąt wpisany \\(\\angle ABC = 40°\\) oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}\\) (nie zawierającym B).\n\nMiara łuku \\(\\overset{\\frown}{AC} = 2 \\cdot 40° = 80°\\) (łuk w stopniach = kąt środkowy).\n\nPromień CS jest osią symetrii trójkąta ASC (bo SA = SC). Przecina on podstawę AC w połowie i pod kątem prostym do AC **tylko gdyby** był prostopadły - ale nie musi być.\n\nW trójkącie równoramiennym ASC kąt między ramieniem SC a podstawą AC:\n\\[\\angle SCA = \\frac{180° - \\angle ASC}{2} = \\frac{180° - 80°}{2} = 50°\\]\n\nWynik zgodny: \\(\\alpha = 50°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego w Kroku 1: \\(\\angle ASC = 2 \\cdot \\angle ABC\\).\n\nSuma kątów w trójkącie: \\(\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\) - Krok 3.\n\nTrójkąt równoramienny: kąty przy podstawie są równe - Krok 2 i 3.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(40°\\)) | Uczeń myśli, że kąt \\(\\alpha\\) = kąt ABC, bo \"oba dotyczą punktu C lub boku AC\" - ignoruje, że kąt środkowy = 2 × kąt wpisany |\n| B (\\(45°\\)) | Błędne założenie, że trójkąt ASC jest prostokątny lub że kąt \\(\\alpha = \\frac{90°}{2}\\) |\n| D (\\(60°\\)) | Uczeń oblicza \\(\\angle ASC = 40°\\) (zamiast 80°) i liczy \\(\\frac{180°-40°}{2} = 70°\\), albo miesza i bierze \\(\\frac{120°}{2}\\) - błąd przy zastosowaniu twierdzenia o kącie wpisanym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy = **2 razy** kąt wpisany, NIE odwrotnie. Łatwo pomylić kierunek: kąt ABC = 40° daje kąt ASC = 80°, a nie 20°.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** SA i SC to promienie - trójkąt ASC jest równoramienny! Nie zakładaj, że jest prostokątny ani równoboczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szukany kąt \\(\\alpha\\) to kąt przy wierzchołku **C** w trójkącie ASC, a nie kąt przy A. Oba są równe 50° (bo trójkąt równoramienny), ale upewnij się, że czytasz z rysunku właściwy kąt.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nStożek o promieniu podstawy \\(r\\) i tworzącej \\(l\\). W przekroju osiowym stożka powstaje trójkąt równoramienny. Kąt rozwarcia to kąt przy wierzchołku tego trójkąta.\n\nZ trójkąta prostokątnego (wysokość, promień, tworząca):\n\\(\\sin\\left(\\frac{\\alpha}{2}\\right) = \\frac{r}{l}\\)\n\nDla konfiguracji, w której \\(\\frac{r}{l} = \\frac{1}{2}\\) (np. \\(r = 6\\), \\(l = 12\\) lub \\(r = 3\\), \\(l = 6\\)):\n\\(\\sin\\left(\\frac{\\alpha}{2}\\right) = \\frac{1}{2}\\)\n\\(\\frac{\\alpha}{2} = 30°\\)\n\\(\\alpha = 60°\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Definicja sinusa w trójkącie prostokątnym: \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\); stożek - geometria przestrzenna\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(30°\\) - to połowa kąta rozwarcia, nie cały\n- B. \\(45°\\) - wymagałoby \\(\\sin 22{,}5° = r/l\\)\n- D. \\(90°\\) - wymagałoby \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2} = r/l\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPunkt\n(\n)\n4, 4\nK = -\njest końcem odcinka KL, punkt L leży na osi Ox, a środek S tego odcinka\nleży na osi Oy. Wynika stąd, że\nA.\n(\n)\n2\n,0\nS\nB.\n(\n)\n0\n,2\nS\nC.\n(\n)\n0\n,4\nS\nD.\n(\n)\n4\n,0\nS\nb\nα\nβ\n6\n15\na\n4\n12\nα\nβ\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{10}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów stożka z przekroju osiowego\n\n**Krok 1: Identyfikacja elementów stożka z przekroju.**\n\nPrzekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, w którym:\n- **podstawa** trójkąta = **średnica** podstawy stożka\n- **ramiona** trójkąta = **tworzące** stożka (oznaczamy \\(l\\))\n\nMamy trójkąt o bokach \\(6, 10, 10\\), więc:\n\\[2r = 6 \\implies r = 3\\]\n\\[l = 10\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka.**\n\n\\[P_b = \\pi r l = \\pi \\cdot 3 \\cdot 10 = 30\\pi\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy pole podstawy stożka.**\n\n\\[P_p = \\pi r^2 = \\pi \\cdot 3^2 = 9\\pi\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy stosunek.**\n\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{30\\pi}{9\\pi} = \\frac{30}{9} = \\boxed{\\frac{10}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Ogólny wzór przez \\(r\\) i \\(l\\)\n\nStosunek pola bocznego do pola podstawy można wyrazić ogólnie:\n\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{\\pi r l}{\\pi r^2} = \\frac{l}{r}\\]\n\nTo bardzo prosty wzór - stosunek jest równy ilorazowi tworzącą przez promień podstawy. Wystarczy zatem odczytać \\(r\\) i \\(l\\) z treści:\n\n\\[r = \\frac{6}{2} = 3, \\quad l = 10\\]\n\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{l}{r} = \\frac{10}{3}\\]\n\n**Weryfikacja wysokości** (opcjonalnie, by upewnić się że trójkąt jest poprawny geometrycznie):\n\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2} = \\sqrt{100 - 9} = \\sqrt{91} \\approx 9{,}54\\]\nWysokość jest dodatnia - trójkąt istnieje. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzory na stożek:\n\\[P_b = \\pi r l, \\qquad P_p = \\pi r^2, \\qquad V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\ngdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca, \\(h\\) - wysokość.\n\nUżyliśmy \\(P_b\\) i \\(P_p\\) do obliczenia stosunku.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do weryfikacji (tworząca, promień i wysokość tworzą trójkąt prostokątny).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy to **średnica**, nie promień! Podstawa trójkąta \\(= 2r\\), więc \\(r = 3\\), nie \\(r = 6\\). To najczęstszy błąd - prowadzi do wyniku \\(\\frac{10}{6} = \\frac{5}{3}\\) zamiast \\(\\frac{10}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ramiona trójkąta przekroju = **tworzące** stożka \\(l\\), nie wysokość! Wysokość trzeba dopiero wyznaczyć z Pitagorasa (\\(h = \\sqrt{91}\\)), ale tu w ogóle jej nie potrzebujemy - stosunek \\(\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{l}{r}\\) nie zależy od \\(h\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić pola **bocznego** \\(P_b = \\pi r l\\) z polem **całkowitym** \\(P_c = \\pi r(r + l)\\). Zadanie pyta o stosunek pola bocznego do pola podstawy, nie całkowitego do podstawy.\n\n**Odpowiedź: 24 krawędzie**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nGraniastosłup o podstawie ośmiokąta (graniastosłup ośmiokątny):\n\n- **Wierzchołki:** \\(2 \\times 8 = 16\\)\n- **Krawędzie:** \\(3 \\times 8 = 24\\) (8 krawędzi górnej podstawy + 8 dolnej + 8 krawędzi bocznych)\n- **Ściany:** \\(8 + 2 = 10\\) (8 ścian bocznych + 2 podstawy)\n\nGraniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie **24 krawędzie**.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Własności graniastosłupa - stereometria","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nOkrąg przedstawiony na rysunku ma środek w punkcie\n(\n)\n3,1\nO =\ni przechodzi przez punkty\n(\n)\n0, 4\nS =\ni\n(\n)\n0,\n2\nT =\n. Okrąg ten jest opisany przez równanie","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający posługuje się równaniem okręgu\n(8.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: **\\(64\\sqrt{3}\\)**\n\nWszystkie krawędzie (zarówno podstawy, jak i boczne) mają długość \\(8\\), więc ostrosłup jest **czworościanem foremnym** - wszystkie 4 ściany to trójkąty równoboczne o boku \\(8\\).\n\n## Sposób 1 - wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa\n\n**Obserwacja kluczowa:** \"Każda krawędź\" = boki podstawy = krawędzie boczne = \\(8\\). Podstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(8\\), a każda ściana boczna to również trójkąt równoboczny o boku \\(8\\).\n\n**Krok 1 - pole jednego trójkąta równobocznego o boku \\(a = 8\\):**\n\n\\[P_\\triangle = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{8^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2 - ile ścian ma ostrosłup trójkątny?**\n\nOstrosłup prawidłowy trójkątny ma:\n- \\(1\\) ścianę podstawy (trójkąt równoboczny)\n- \\(3\\) ściany boczne (trójkąty równoramienne - ale tu równoboczne, bo krawędzie boczne = \\(8\\))\n\nŁącznie **4 ściany**, wszystkie identyczne.\n\n**Krok 3 - pole powierzchni całkowitej:**\n\n\\[P_c = 4 \\cdot P_\\triangle = 4 \\cdot 16\\sqrt{3} = \\boxed{64\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - obliczenie przez pole podstawy i ścian bocznych osobno\n\n**Pole podstawy** (trójkąt równoboczny, bok \\(8\\)):\n\\[P_p = \\frac{8^2\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]\n\n**Pole powierzchni bocznej** - każda z 3 ścian bocznych to trójkąt równoboczny o boku \\(8\\) (bo krawędź boczna = krawędź podstawy = \\(8\\)):\n\\[P_b = 3 \\cdot 16\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\]\n\n**Suma:**\n\\[P_c = P_p + P_b = 16\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = 64\\sqrt{3}\\]\n\nWynik zgodny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 17) - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):**\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyto do obliczenia pola każdej z 4 ścian (podstawy i 3 ścian bocznych).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26) - pole powierzchni ostrosłupa:**\n\\[P_c = P_b + P_p\\]\nWzór ogólny na pole całkowite - tutaj \\(P_b = 3 \\cdot 16\\sqrt{3}\\), \\(P_p = 16\\sqrt{3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nPonieważ odpowiedzi są na obrazkach, podaję typowe błędne wyniki i skąd pochodzą:\n\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi błąd |\n| \\(48\\sqrt{3}\\) | Policzono tylko 3 ściany boczne, zapomniano o podstawie |\n| \\(96\\sqrt{3}\\) | Użyto błędnego wzoru \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) z \\(a = 16\\) (podwojono bok) |\n| \\(16\\sqrt{3}\\) | Policzono pole tylko jednej ściany |\n| \\(192\\) | Użyto pola kwadratu \\(8 \\times 8 = 64\\) dla każdej ściany, bez \\(\\sqrt{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Ostrosłup prawidłowy trójkątny\" ma **4 ściany** (1 podstawa + 3 boczne) - nie 3! Łatwo zapomnieć o podstawie i policzyć tylko \\(3 \\cdot 16\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wszystkie krawędzie są równe, wszystkie ściany (łącznie z podstawą) są trójkątami **równobocznymi** - to ułatwia obliczenia, bo jeden wzór wystarczy dla wszystkich ścian.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole trójkąta równobocznego to \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), **nie** \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) (to jest wzór na **wysokość**). Pomylenie tych dwóch wzorów to jeden z najczęstszych błędów!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nOstrosłup czworokątny foremny, w którym wszystkie krawędzie mają długość \\(a\\). Podstawa to kwadrat o boku \\(a\\).\n\nPrzekątna podstawy: \\(d = a\\sqrt{2}\\)\nPołowa przekątnej (odległość od środka do wierzchołka): \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\)\n\nWysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa:\n\\(h^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\right)^2 = a^2\\)\n\\(h^2 = a^2 - \\frac{a^2}{2} = \\frac{a^2}{2}\\)\n\\(h = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\)\n\nKąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy:\n\\(\\tan\\theta = \\frac{h}{\\frac{a\\sqrt{2}}{2}} = \\frac{\\frac{a}{\\sqrt{2}}}{\\frac{a\\sqrt{2}}{2}} = \\frac{a}{\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{2}{a\\sqrt{2}} = \\frac{2}{2} = 1\\)\n\n\\(\\theta = 45°\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Twierdzenie Pitagorasa; definicja tangensa; ostrosłup - stereometria\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(30°\\) - \\(\\tan 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\neq 1\\)\n- C. \\(60°\\) - \\(\\tan 60° = \\sqrt{3} \\neq 1\\)\n- D. \\(75°\\) - \\(\\tan 75° \\approx 3{,}73 \\neq 1\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPrzekątna ściany sześcianu ma długość 2. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest\nrówne\nA. 24\nB.\n2\n12\nC. 12\nD.\n2\n16","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach z zastosowaniem\ntrygonometrii (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (r = 6)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na objętość kuli\n\nZe wzoru na objętość kuli wyznaczamy \\(r\\):\n\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\n\nPodstawiamy \\(V = 288\\pi\\):\n\n\\[288\\pi = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\pi\\):\n\n\\[288 = \\frac{4}{3} r^3\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(\\frac{3}{4}\\):\n\n\\[r^3 = 288 \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{864}{4} = 216\\]\n\nWyciągamy pierwiastek sześcienny:\n\n\\[r = \\sqrt[3]{216} = \\sqrt[3]{6^3} = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy \\(r = 6\\) daje \\(V = 288\\pi\\):\n\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 6^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 216 = \\frac{4 \\cdot 216}{3}\\pi = \\frac{864}{3}\\pi = 288\\pi \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **\\(r = 6\\)** jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość kuli:\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio, przekształcając równanie do postaci \\(r^3 = \\ldots\\) i wyciągając pierwiastek sześcienny.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(r = 18\\) | Pominięcie pierwiastkowania - uczeń liczy \\(r = 216 / 12 = 18\\) lub stosuje błędne przekształcenia algebraiczne |\n| B - \\(r = 9\\) | Przyjęcie \\(r^3 = 729\\) (np. przez błędne wymnożenie: \\(288 \\cdot \\frac{4}{3} = 384\\) i pomylenie z 729), lub wzięcie \\(\\sqrt{81} = 9\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{216}\\) |\n| C - \\(r = 8\\) | Poprawne obliczenie \\(r^3 = 216\\), ale błąd przy pierwiastkowaniu - uczeń myli \\(\\sqrt[3]{216} = 8\\) (bo \\(8^3 = 512 \\neq 216\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\(\\sqrt[3]{216}\\) z \\(\\sqrt[3]{512} = 8\\). Zapamiętaj: \\(6^3 = 216\\), \\(7^3 = 343\\), \\(8^3 = 512\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, żeby przed wyciąganiem pierwiastka pomnożyć przez \\(\\frac{3}{4}\\) (odwrotność \\(\\frac{4}{3}\\)), a NIE podzielić przez \\(\\frac{4}{3}\\) - to jest ten sam krok, ale pomyłka znakiem daje zupełnie inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\pi\\) można od razu skrócić po obu stronach równania - nie musisz nigdy podstawiać \\(\\pi \\approx 3{,}14\\). Kula z \\(\\pi\\) w objętości prawie zawsze daje ładny wynik po skróceniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nWartość dokładna: \\(\\frac{5}{16} = 0{,}3125\\)\nPrzybliżenie: \\(0{,}3\\)\n\nBłąd bezwzględny:\n\\(|0{,}3 - 0{,}3125| = 0{,}0125\\)\n\nBłąd względny:\n\\(\\frac{0{,}0125}{0{,}3125} = 0{,}04 = 4\\%\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Parametry danych statystycznych - błąd względny = \\(\\frac{|\\text{przybliżenie} - \\text{wartość dokładna}|}{\\text{wartość dokładna}} \\cdot 100\\%\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- B. \\(0{,}04\\%\\) - pomylono \\(0{,}04\\) (ułamek) z \\(0{,}04\\%\\)\n- C. \\(2{,}5\\%\\) - błędne obliczenia\n- D. \\(0{,}025\\%\\) - błędne obliczenia","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nKula o promieniu 5 cm i stożek o promieniu podstawy 10 cm mają równe objętości.\nWysokość stożka jest równa\nA. 25\nπ cm\nB. 10 cm\nC. 10\nπ cm\nD. 5 cm","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w bryłach obrotowych\nz zastosowaniem trygonometrii (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (x = 5)\n\n## Sposób 1 - Ustawienie w kolejności i warunek mediany\n\nZbiór danych ma **6 liczb**: \\(\\{2, 3, 5, x, 1, 9\\}\\).\n\nDla parzystej liczby elementów mediana to **średnia arytmetyczna 3. i 4. elementu** po uszeregowaniu rosnącym.\n\nWarunek: \\[\\text{mediana} = \\frac{a_3 + a_4}{2} = 4 \\implies a_3 + a_4 = 8\\]\n\nZnane liczby bez \\(x\\), uszeregowane: \\(1, 2, 3, 5, 9\\).\n\nSprawdzam, gdzie \"wskakuje\" \\(x\\):\n\n| Przedział dla \\(x\\) | Uszeregowanie | \\(a_3 + a_4\\) | Mediana |\n| \\(x \\leq 2\\) | \\(\\ldots, x, 1, 2, 3, 5, 9\\) → \\(1, x, 2, 3, 5, 9\\) lub \\(x, 1, 2, 3, 5, 9\\) | \\(2 + 3 = 5\\) | 2,5 ✗ |\n| \\(2 < x \\leq 3\\) | \\(1, 2, x, 3, 5, 9\\) | \\(x + 3 = 8 \\Rightarrow x = 5\\) - sprzeczność | - ✗ |\n| \\(3 < x < 5\\) | \\(1, 2, 3, x, 5, 9\\) | \\(3 + x = 8 \\Rightarrow x = 5\\) - sprzeczność | - ✗ |\n| \\(x = 5\\) | \\(1, 2, 3, 5, 5, 9\\) | \\(3 + 5 = 8\\) | **4 ✓** |\n| \\(x > 5\\) | \\(1, 2, 3, 5, x, 9\\) lub \\(\\ldots, 9, x\\) | \\(3 + 5 = 8\\) | **4 ✓** |\n\n**\\(x = 5\\) spełnia warunek** → odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi wprost\n\nUszeregowuję zbiór dla każdej opcji i liczę medianę:\n\n**A. \\(x = 2\\):** uszeregowanie: \\(1, 2, 2, 3, 5, 9\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{2 + 3}{2} = 2{,}5 \\neq 4\\]\n\n**B. \\(x = 3\\):** uszeregowanie: \\(1, 2, 3, 3, 5, 9\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 3}{2} = 3 \\neq 4\\]\n\n**C. \\(x = 4\\):** uszeregowanie: \\(1, 2, 3, 4, 5, 9\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5 \\neq 4\\]\n\n**D. \\(x = 5\\):** uszeregowanie: \\(1, 2, 3, 5, 5, 9\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 5}{2} = \\frac{8}{2} = 4 \\checkmark\\]\n\n**Tylko D daje medianę równą 4.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32):**\n> **Mediana** - środkowy wyraz (dla nieparzystej liczby danych) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (dla parzystej liczby danych), po uszeregowaniu rosnącym.\n\nTutaj \\(n = 6\\) (parzyste), więc:\n\\[\\text{Me} = \\frac{a_3 + a_4}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(x=2\\)) | Uczeń nie uszeregował danych i liczył medianę \"na oko\" |\n| B (\\(x=3\\)) | Uczeń wziął środkowy wyraz z 6 elementów tak, jakby to była mediana dla nieparzystej liczby |\n| C (\\(x=4\\)) | Typowy błąd: uczeń myśli, że skoro mediana = 4, to \\(x\\) też musi być 4; po wstawieniu: \\(\\frac{3+4}{2} = 3{,}5 \\neq 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla **parzystej** liczby danych mediana to **średnia** 3. i 4. elementu - nie sam środkowy element! Nie można po prostu \"popatrzeć na środek\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw **uszereguj** dane rosnąco - dopiero potem szukaj mediany. Wstawienie \\(x\\) zmienia pozycje pozostałych elementów!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu mediana = 4 **nie oznacza**, że \\(x = 4\\). To częsty i zgubny skrót myślowy - sprawdź odpowiedź C, by się przekonać.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nŚrednia pierwszego zestawu \\(\\{2, 4, 7, 8, x\\}\\):\n\\(n = \\frac{2 + 4 + 7 + 8 + x}{5} = \\frac{21 + x}{5}\\)\n\nŚrednia drugiego zestawu \\(\\{2, 4, 7, 8, x, 2x\\}\\):\n\\(2n = \\frac{2 + 4 + 7 + 8 + x + 2x}{6} = \\frac{21 + 3x}{6}\\)\n\nZ pierwszego równania: \\(5n = 21 + x\\), czyli \\(n = \\frac{21 + x}{5}\\)\n\nPodstawiamy do drugiego:\n\\(2 \\cdot \\frac{21 + x}{5} = \\frac{21 + 3x}{6}\\)\n\n\\(\\frac{2(21 + x)}{5} = \\frac{21 + 3x}{6}\\)\n\nMnożymy obie strony przez 30:\n\\(12(21 + x) = 5(21 + 3x)\\)\n\\(252 + 12x = 105 + 15x\\)\n\\(147 = 3x\\)\n\\(x = 49\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Średnia arytmetyczna: \\(\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- B. \\(x = 21\\): \\(n = \\frac{42}{5} = 8{,}4\\), \\(2n = 16{,}8\\), średnia drugiego zestawu = \\(\\frac{84}{6} = 14 \\neq 16{,}8\\)\n- C. \\(x = 14\\): \\(n = 7\\), \\(2n = 14\\), średnia drugiego zestawu = \\(\\frac{63}{6} = 10{,}5 \\neq 14\\)\n- D. \\(x = 7\\): \\(n = \\frac{28}{5} = 5{,}6\\), \\(2n = 11{,}2\\), średnia drugiego zestawu = \\(\\frac{42}{6} = 7 \\neq 11{,}2\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna zestawu danych:\n2, 4, 7, 8, 9\njest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:\n2, 4, 7, 8, 9, x.\nWynika stąd, że\nA.\n0\nx\nB.\n3\nx\nC.\n5\nx\nD.\n6\nx","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie standardowe\nzestawu danych (10.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (6)\n\n## Sposób 1 - Systematyczne wyliczenie rozkładów\n\n**Kluczowa obserwacja:** Iloczyn cyfr = 4, więc żadna cyfra nie może być równa \\(0\\) (bo wtedy iloczyn = 0). Wszystkie trzy cyfry należą do zbioru \\(\\{1, 2, 3, \\ldots, 9\\}\\).\n\n**Krok 1 - Jakie cyfry mogą wchodzić w grę?**\n\nIloczyn = \\(4 = 2^2\\). Jeśli jakakolwiek cyfra byłaby \\(3, 5, 6, 7, 8, 9\\) - iloczyn byłby podzielny przez liczbę pierwszą inną niż 2 lub zbyt dużą. Zatem wszystkie trzy cyfry muszą należeć do \\(\\{1, 2, 4\\}\\).\n\n**Krok 2 - Rozkłady liczby 4 na trzy czynniki z \\(\\{1, 2, 4\\}\\):**\n\n| Multiset cyfr | Sprawdzenie |\n| \\(\\{4, 1, 1\\}\\) | \\(4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 4\\) ✓ |\n| \\(\\{2, 2, 1\\}\\) | \\(2 \\cdot 2 \\cdot 1 = 4\\) ✓ |\n\nCzy są inne? \\(\\{2, 2, 2\\}\\) daje \\(8 \\neq 4\\), \\(\\{4, 4, \\ldots\\}\\) daje \\(\\geq 16\\). **Tylko dwa multisets.**\n\n**Krok 3 - Liczba ustawień każdego multisetu:**\n\n- \\(\\{4, 1, 1\\}\\) - dwie cyfry się powtarzają: \\(\\frac{3!}{2!} = 3\\) ustawienia\n\\[411, \\quad 141, \\quad 114\\]\n- \\(\\{2, 2, 1\\}\\) - dwie cyfry się powtarzają: \\(\\frac{3!}{2!} = 3\\) ustawienia\n\\[221, \\quad 212, \\quad 122\\]\n\n**Krok 4 - Czy wszystkie są liczbami trzycyfrowymi?**\n\nTak - pierwsza cyfra jest \\(\\geq 1\\) we wszystkich przypadkach. Żadne \\(0\\) na początku.\n\n\\[\\textbf{Łącznie: } 3 + 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez listę\n\nBezpośrednio wypisujemy **wszystkie** trzycyfrowe liczby z iloczynem cyfr równym 4:\n\n\\[114, \\quad 141, \\quad 411, \\quad 122, \\quad 212, \\quad 221\\]\n\nSprawdzamy każdą:\n- \\(1 \\cdot 1 \\cdot 4 = 4\\) ✓\n- \\(1 \\cdot 4 \\cdot 1 = 4\\) ✓\n- \\(4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 4\\) ✓\n- \\(1 \\cdot 2 \\cdot 2 = 4\\) ✓\n- \\(2 \\cdot 1 \\cdot 2 = 4\\) ✓\n- \\(2 \\cdot 2 \\cdot 1 = 4\\) ✓\n\nRazem **6 liczb** - żadnej więcej nie ma.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy wzorów z karty CKE** - wystarczy kombinatoryka i rozumowanie przez wyliczenie przypadków. Pomocniczo stosujemy wzór na permutacje z powtórzeniami \\(\\frac{n!}{k!}\\) (dział 13, s. 28):\n\n\\[\\frac{3!}{2!} = 3\\]\n\n> Użyliśmy go do policzenia ustawień cyfr w zbiorach \\(\\{4,1,1\\}\\) i \\(\\{2,2,1\\}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (3) | Zliczono tylko jeden multiset, np. tylko \\(\\{4,1,1\\}\\), zapominając o \\(\\{2,2,1\\}\\) |\n| B (4) | Błąd w liczeniu ustawień - np. policzono 1 ustawienie dla multisetu z powtórzeniami zamiast 3 |\n| D (8) | Uwzględniono błędnie przypadek \\(\\{2,2,2\\}\\) (iloczyn = 8!) lub policzono ustawienia bez uwzględnienia powtórzeń (\\(3! = 6\\) zamiast \\(3!/2! = 3\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl iloczynu cyfr z samą liczbą! Szukamy liczb, gdzie **cyfry pomnożone przez siebie** dają 4, nie liczb czterocyfrowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy cyfry się powtarzają (np. \\(1, 1, 4\\)), liczba ustawień to \\(\\frac{3!}{2!} = 3\\), a **nie** \\(3! = 6\\) - dzielenie przez silnię powtórzeń jest kluczowe!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć multiset \\(\\{2, 2, 1\\}\\), skupiając się tylko na liczbie z cyfrą 4. Zawsze szukaj **wszystkich** rozkładów iloczynu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez 6: od 12 do 96.\nWielokrotności 6 dwucyfrowe: \\(12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96\\) - jest ich **15**.\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez 6 i przez 9, czyli podzielne przez \\(\\text{NWW}(6, 9) = 18\\):\n\\(18, 36, 54, 72, 90\\) - jest ich **5**.\n\nLiczby podzielne przez 6 i niepodzielne przez 9:\n\\(15 - 5 = 10\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Kombinatoryka - zliczanie elementów zbioru\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. 6 - za mało, pominięto kilka liczb\n- C. 12 - odjęto za mało wielokrotności 18\n- D. 15 - to wszystkie dwucyfrowe wielokrotności 6 (bez wykluczenia podzielnych przez 9)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nW pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców jest równy 4:5. Losujemy\njedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe\nA.\n4\n5\nB.\n4\n9\nC. 1\n4\nD. 1\n9\nA. (\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n1\n18\nx\ny\nB. (\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n1\n18\nx\ny\nC. (\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n1\n18\nx\ny\nD. (\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n1\n18\nx\ny\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5 6\n-2\n6\n0\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n7 8\nO\nS\nT\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenia\nznane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{1}{12}\\)\n\n## Sposób 1 - Wypisanie sprzyjających zdarzeń\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nRzucamy dwa razy kostką sześcienną. Każdy rzut daje wynik ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\). Wyniki obu rzutów są niezależne, więc:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Szukamy par \\((a, b)\\) takich, że \\(a \\cdot b = 4\\):**\n\nSystematycznie sprawdzamy, jakie liczby z \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\) dają iloczyn 4:\n\n| Pierwsza kostka \\(a\\) | Druga kostka \\(b\\) | Iloczyn \\(a \\cdot b\\) |\n| 1 | 4 | 4 ✓ |\n| 2 | 2 | 4 ✓ |\n| 4 | 1 | 4 ✓ |\n\nLiczba \\(b = 4/a\\) musi być liczbą naturalną z przedziału \\(\\langle 1, 6 \\rangle\\). Sprawdzamy:\n- \\(a = 1\\): \\(b = 4\\) - OK\n- \\(a = 2\\): \\(b = 2\\) - OK\n- \\(a = 3\\): \\(b = \\frac{4}{3}\\) - nie jest liczbą całkowitą ✗\n- \\(a = 4\\): \\(b = 1\\) - OK\n- \\(a = 5\\): \\(b = \\frac{4}{5}\\) - nie jest liczbą całkowitą ✗\n- \\(a = 6\\): \\(b = \\frac{2}{3}\\) - nie jest liczbą całkowitą ✗\n\n**Liczba zdarzeń sprzyjających:** \\(|A| = 3\\)\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{36} = \\boxed{\\frac{1}{12}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na przypadki według dzielników liczby 4\n\nLiczba 4 ma rozkład na czynniki (z uwzględnieniem kolejności i ograniczenia do \\(\\langle 1, 6 \\rangle\\)):\n\n\\[4 = 1 \\cdot 4 = 2 \\cdot 2 = 4 \\cdot 1\\]\n\nKolejność ma znaczenie (para \\((1,4)\\) to inny wynik niż \\((4,1)\\)), więc liczymy pary **uporządkowane**.\n\nDzielniki liczby 4 to: \\(1, 2, 4\\). Sprawdzamy pary:\n- \\(4 = 1 \\cdot 4\\) → pary: \\((1,4)\\) i \\((4,1)\\) - **2 pary**\n- \\(4 = 2 \\cdot 2\\) → para: \\((2,2)\\) - **1 para** (obie kostki dają tę samą wartość, więc tylko jedna para)\n\nŁącznie: \\(2 + 1 = 3\\) pary sprzyjające.\n\n\\[P(A) = \\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) = liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich równie możliwych zdarzeń elementarnych.\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio: \\(|A| = 3\\), \\(|\\Omega| = 36\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie typowo pojawia się jako wielokrotny wybór z pułapkami:\n\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi |\n| \\(\\frac{2}{36} = \\frac{1}{18}\\) | Policzono tylko pary \\((1,4)\\) i \\((2,2)\\), zapominając o \\((4,1)\\) - błąd: nieuwzględnienie kolejności |\n| \\(\\frac{4}{36} = \\frac{1}{9}\\) | Pomyłkowo doliczono \\((2,2)\\) podwójnie albo dodano nieistniejącą parę |\n| \\(\\frac{1}{6}\\) | Mylenie z prawdopodobieństwem wyrzucenia konkretnej liczby na jednej kostce |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\((1, 4)\\) i para \\((4, 1)\\) to **dwa różne zdarzenia** - w pierwszym przypadku jedynka wypadła na pierwszym rzucie, w drugim na drugim. Nie wolno ich liczyć jako jedno!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie sprawdzaj tylko oczywistych par - zawsze sprawdzaj **wszystkie dzielniki** szukanej liczby mieszczące się w przedziale \\(\\langle 1, 6 \\rangle\\). Łatwo pominąć \\((2, 2)\\) gdy szukasz par \"różnych\" wyników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik zawsze wynosi \\(36 = 6^2\\), **nie** \\(12\\) ani \\(21\\). To liczba wszystkich par (z powtórzeniami i z uwzględnieniem kolejności).\n\n**Odpowiedź: 25 losów**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nPoczątkowa szansa na wygraną: \\(\\frac{4}{100} = \\frac{1}{25}\\)\n\nPo wylosowaniu \\(k\\) losów (w tym dokładnie 1 wygrywający) pozostaje:\n- \\(100 - k\\) losów\n- \\(4 - 1 = 3\\) wygrywające\n\nSzansa ma być taka sama jak na początku:\n\\(\\frac{3}{100 - k} = \\frac{1}{25}\\)\n\n\\(100 - k = 75\\)\n\\(k = 25\\)\n\n**Sprawdzenie:** Po wylosowaniu 25 losów zostaje 75 losów, w tym 3 wygrywające: \\(\\frac{3}{75} = \\frac{1}{25}\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Prawdopodobieństwo klasyczne: \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n)\n2\n)(\n3\n(\n4\n2\n2\n>\nx\nx\nx\nx\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami\nskróconego mnożenia (2.a).\nI sposób rozwiązania\nNierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nprzekształcamy w sposób równoważny\n2\n2\n2\n4\n8\n4\n0\ny\nx\nxy\ny\n≥\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\ny\nx\ny\n≥\nTa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, gdyż kwadrat każdej\nliczby jest nieujemny i suma kwadratów liczb nieujemnych również jest nieujemna.\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci równoważnej\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\ny\nx\ny\n≥\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nII sposób rozwiązania\nNierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nmożemy potraktować jak nierówność kwadratową\nz niewiadomą x lub - analogicznie - z niewiadomą y. Wyróżnik trójmianu stojącego po lewej\nstronie nierówności jest równy\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n8\n4 4\n5\n16\n0\ny\ny\ny\nΔ = -\n-⋅⋅\n≤\nStąd i z faktu, że współczynnik przy\n2x trójmianu\n2\n2\n( )\n4\n8\n5\nf x\nx\nxy\ny\njest dodatni\nwynika, że trójmian ten przyjmuje tylko wartości nieujemne. To kończy dowód.\nSchemat oceniania II sposobu\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy wyróżnik trójmianu\n2\n2\n( )\n4\n8\n5\nf x\nx\nxy\ny\n:\n2\n16y\nΔ = -\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wyróżnik trójmianu\n2\n2\n( )\n4\n8\n5\nf x\nx\nxy\ny\n, zapisze, że jest on niedodatni\ni wyciągnie wniosek, że trójmian przyjmuje tylko wartości nieujemne.\nIII sposób rozwiązania\nDla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\n≥\n. Stąd\nwynika, że prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n4\n4\n8\nx\ny\nxy\n≥\n, czyli\n2\n2\n4\n8\n4\n0\nx\nxy\ny\n≥\nZatem, dla dowolnych liczb x, y mamy\n2\n2\n2\n2\n4\n8\n5\n4\n8\n4\n0\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n≥\n≥\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwe są nierówności\n2\n2\n2\n2\n4\n8\n5\n4\n8\n4\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n≥\noraz\n2\n2\n4\n4\n8\nx\ny\nxy\n≥\n(lub\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\n≥\n).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nIV sposób rozwiązania\nGdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, to nierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\njest\nprawdziwa, gdyż suma trzech liczb, z których co najmniej dwie są równe 0, a trzecia nieujemna,\njest nieujemna.\nGdy liczby x, y są przeciwnych znaków, to\n0\nxy <\n, więc\n8\n0\nxy\n>\n. Zatem nierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\njest prawdziwa, gdyż lewa jej strona jest sumą trzech liczb dodatnich.\nPozostaje wykazać prawdziwość nierówności w przypadku, gdy liczby x, y są tego samego\nznaku.\nZauważmy najpierw, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n2\n2\n5\n0\nx\ny\n≥\n, czyli\n2\n2\n4\n4 5\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nWykażemy teraz prawdziwość nierówności\n2\n2\n2\n2\n4\n8\n5\n4\n4 5\n5\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n≥\n,\nrównoważnie\n8\n4 5\nxy\nxy\n≥-\n,\n5\n2\nxy\nxy\n≤\nSkoro x i y są tego samego znaku, to\n0\nxy >\n, więc dzieląc obie strony nierówności przez xy,\notrzymujemy nierówność równoważną\n5\n1\n2\n≤\n, co jest prawdą. To kończy dowód.\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wykaże prawdziwość nierówności w przypadku, gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest\nrówna 0 oraz w przypadku, gdy liczby x, y są przeciwnych znaków, a w przypadku,\ngdy x, y są tego samego znaku zauważy, że prawdziwa jest nierówność (\n)\n2\n2\n5\n0\nx\ny\n≥\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nUwaga\nGdy zdający sprawdza jedynie prawdziwość nierówności dla konkretnych liczb x i y, to\notrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - wyłączenie przed nawias i pierwiastki\n\n**Upraszczamy nierówność** - dzielimy obie strony przez \\(7 > 0\\) (kierunek nierówności się nie zmienia):\n\\[7x^2 - 28 \\leq 0 \\quad \\Longrightarrow \\quad x^2 - 4 \\leq 0\\]\n\n**Rozkładamy lewą stronę** na czynniki (różnica kwadratów):\n\\[x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x-2)(x+2) \\leq 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest **nieujemny** wtedy, gdy oba mają przeciwne znaki (lub jeden jest zerem). Wyznaczamy miejsca zerowe:\n\\[x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2, \\qquad x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\]\n\nSzkic znaku iloczynu:\n\n| Przedział | \\(x+2\\) | \\(x-2\\) | iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-2 \\leq x \\leq 2\\) | \\(+\\) lub \\(0\\) | \\(-\\) lub \\(0\\) | \\(\\leq 0\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\).\n\n**Odpowiedź:** \\[\\boxed{x \\in \\langle -2, 2 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - interpretacja geometryczna (parabola)\n\nRozważamy funkcję \\(f(x) = 7x^2 - 28\\).\n\nJest to parabola otwarta ku górze (\\(a = 7 > 0\\)), więc jest **poniżej osi \\(x\\)** (wartości ujemne lub zero) dokładnie **między swoimi miejscami zerowymi**.\n\nWyznaczamy miejsca zerowe:\n\\[7x^2 - 28 = 0\\]\n\\[7x^2 = 28\\]\n\\[x^2 = 4\\]\n\\[x = \\pm 2\\]\n\nPonieważ parabola jest skierowana ku górze, zachodzi \\(f(x) \\leq 0\\) **między** pierwiastkami - włącznie z końcami (znak \\(\\leq\\)):\n\n\\[x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nTutaj \\(a = 7, b = 0, c = -28\\), więc \\(\\Delta = 0 + 4 \\cdot 7 \\cdot 28 = 784\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 28\\):\n\\[x_{1,2} = \\frac{0 \\pm 28}{14} = \\pm 2\\]\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: \\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu przez \\(7\\) nic się nie zmienia - ale gdyby współczynnik był **ujemny** (np. \\(-7x^2 + 28 \\leq 0\\)), dzielenie przez liczbę ujemną **odwraca znak nierówności**!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(x = -2\\) i \\(x = 2\\) **należą** do rozwiązania, bo nierówność jest niestrykta (\\(\\leq\\), nie \\(<\\)). Należy więc użyć nawiasów kwadratowych \\(\\langle -2, 2 \\rangle\\), nie okrągłych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd - pisanie odpowiedzi jako \\(x \\in (-\\infty, -2\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\), co byłoby rozwiązaniem nierówności **odwrotnej** \\(7x^2 - 28 \\geq 0\\). Pamiętaj: parabola skierowana ku górze przyjmuje wartości \\(\\leq 0\\) **między** pierwiastkami, a \\(\\geq 0\\) **na zewnątrz**.\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in [-2, 2]\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\(7x^2 - 28 \\leq 0\\)\n\n\\(7(x^2 - 4) \\leq 0\\)\n\n\\(x^2 - 4 \\leq 0\\)\n\n\\(x^2 \\leq 4\\)\n\n\\(|x| \\leq 2\\)\n\n\\(-2 \\leq x \\leq 2\\)\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Nierówność z wartością bezwzględną: \\(|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\); wzory skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n2\n4\n2\nx\nx\nx\n≥\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n2\n4\n2\nx\nx\nx\n≥\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci\nsumy przedziałów (3.a).\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów - obliczenie pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego, a następnie wybranie i zapisanie odpowiedniego zbioru rozwiązań.\nPierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:\nI sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nZapisujemy nierówność w postaci\n2\n2\n5\n2\n0\nx\nx\n≥\ni znajdujemy pierwiastki trójmianu\n2\n2\n5\n2\nx\nx\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n25\n4 2 2\n9\nΔ =\n-⋅⋅\ni stąd\n1\n5 3\n1\n4\n2\nx\noraz\n2\n5 3\n4\n2\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n5\n2\nx\nx\noraz\n1\n2\n1\nx\nx\n⋅\n= , stąd\n1\n1\n2\nx =\noraz\n2\n2\nx =\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu, lub zaznaczając je na wykresie\n1\n1\n2\nx =\n,\n2\n2 =\nx\nlub (\n)[\n]\n2\n2\n1\nx\nx\nlub (\n)(\n)\n1\n2\n2\n2\nx\nx\nlub\n-1\n1\n2\n3\n4\n-1\n1\n2\n3\ny\n0\nx\n1\n2\nII sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nWyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego\n2\n2\n5\n2\nx\nx\ni zapisujemy\nnierówność w postaci, np.\n2\n5\n9\n2\n0\n4\n8\nx\n\n\n≥\n\n\n\n\n, a następnie\n• przekształcamy nierówność tak, aby jej lewa strona była zapisana w postaci\niloczynowej\n(\n)\n(\n)\n5\n3\n5\n3\n4\n4\n4\n4\n0\nx\nx\n\n\n\n⋅\n≥\n\n\n\n,\n(\n)(\n)\n1\n4\n2\n2\n0\nx\nx\n≥\n,\nalbo\n• przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości\nbezwzględnej\n(\n)\n2\n5\n9\n4\n16\nx -\n≥\n,\n3\n5\n4\n4\nx -\n≥\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n)\n\n\n\n∞\n∪\n∞\n,2\n2\n1\n,\nlub\n)\n1\n,\n2,\n2\nx\n\n∈-∞\n∪\n+∞\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n1\n2\nx =\n,\n2\n2\nx =\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy\nna\nwykresie\nmiejsca\nzerowe\nfunkcji\n2\n( )\n2\n5\n2\nf x\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.\n(\n)(\n)\n1\n2\n2\n2\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność,\no zapisze nierówność\n5\n3\n4\n4\nx -\n>\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\nalbo\n• realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.\no popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nnierówność,\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n1\n2\n5\n2\nx\nx\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,\no błędnie zapisze nierówność, np.\n5\n1\n2\n2\nx +\n<\ni konsekwentnie do popełnionego\nbłędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\n)\n\n\n\n∞\n∪\n∞\n,2\n2\n1\n,\nlub\n)\n1\n,\n2,\n2\nx\n\n∈-∞\n∪\n+∞\n\nlub (\n1\n2\nx ≤\nlub\n2\nx ≥\n),\nalbo\n• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności\nw postaci:\n1\n2\nx ≤\nlub\n2\nx ≥\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1.\nAkceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n1\n2\nx ≤\ni\n2\nx ≥\n,\n1\n2\nx ≤\noraz\n2\nx ≥\n, itp.\n2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n1\n2\nx =\n,\n2\n2\nx =\ni zapisze, np.\n)\n1\n,\n2,\n2\n\n∞-\n∪\n+∞\n\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\nx\n2\n1\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)\n\nRównanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x_1 = 2\\) i \\(x_2 = -3\\).\n\n## Sposób 1 - grupowanie wyrazów\n\nZauważamy, że wyrazy wielomianu można zgrupować tak, by wyłączyć wspólny czynnik.\n\n**Krok 1: Grupujemy pary wyrazów**\n\n\\[x^4 - 2x^3 + 27x - 54\\]\n\nGrupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:\n\n\\[(x^4 - 2x^3) + (27x - 54)\\]\n\n**Krok 2: Wyłączamy wspólne czynniki z każdej grupy**\n\n\\[x^3(x - 2) + 27(x - 2)\\]\n\nWidzimy, że \\((x - 2)\\) jest czynnikiem wspólnym!\n\n**Krok 3: Wyłączamy \\((x-2)\\)**\n\n\\[(x - 2)(x^3 + 27)\\]\n\n**Krok 4: Rozkładamy \\(x^3 + 27\\) - suma sześcianów**\n\nKorzystamy ze wzoru \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\) z \\(a = x\\), \\(b = 3\\):\n\n\\[x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)\\]\n\n**Krok 5: Pełny rozkład**\n\n\\[(x-2)(x+3)(x^2 - 3x + 9) = 0\\]\n\n**Krok 6: Rozwiązujemy każdy czynnik**\n\n- \\(x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2\\)\n- \\(x + 3 = 0 \\Rightarrow x = -3\\)\n- \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\): obliczamy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0\\]\n\nBrak rozwiązań rzeczywistych z tego czynnika.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)**\n\n## Sposób 2 - metoda pierwiastka wymiernego + schemat Hornera\n\nGdy nie widać od razu grupowania, szukamy pierwiastka wymiernego.\n\n**Krok 1: Szukamy kandydatów na pierwiastki wymierne**\n\nMożliwe pierwiastki wymierne to dzielniki wyrazu wolnego (\\(54\\)):\n\\[\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 9, \\pm 18, \\pm 27, \\pm 54\\]\n\n**Krok 2: Próbujemy \\(x = 2\\)**\n\n\\[2^4 - 2 \\cdot 2^3 + 27 \\cdot 2 - 54 = 16 - 16 + 54 - 54 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Krok 3: Dzielenie przez \\((x-2)\\) - schemat Hornera**\n\nWspółczynniki wielomianu: \\(1, -2, 0, 27, -54\\)\n\n| | \\(1\\) | \\(-2\\) | \\(0\\) | \\(27\\) | \\(-54\\) |\n| \\(\\cdot 2\\) | | \\(2\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(54\\) |\n| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(27\\) | \\(0\\) |\n\nIloraz: \\(x^3 + 0x^2 + 0x + 27 = x^3 + 27\\)\n\nZatem:\n\\[x^4 - 2x^3 + 27x - 54 = (x-2)(x^3 + 27)\\]\n\n**Krok 4: Próbujemy \\(x = -3\\) dla \\(x^3 + 27\\)**\n\n\\[(-3)^3 + 27 = -27 + 27 = 0 \\checkmark\\]\n\nDzielimy \\(x^3 + 27\\) przez \\((x + 3)\\):\n\n| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(27\\) |\n| \\(\\cdot(-3)\\) | | \\(-3\\) | \\(9\\) | \\(-27\\) |\n| | \\(1\\) | \\(-3\\) | \\(9\\) | \\(0\\) |\n\nIloraz: \\(x^2 - 3x + 9\\), wyróżnik \\(\\Delta = 9 - 36 = -27 < 0\\) - brak dalszych pierwiastków rzeczywistych.\n\n**Wynik:**\n\\[(x-2)(x+3)(x^2-3x+9) = 0 \\implies \\boxed{x = 2 \\text{ lub } x = -3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - suma sześcianów:\n\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]\nUżyliśmy tego do rozkładu \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do sprawdzenia, że \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (bo \\(\\Delta < 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu \\(x^3(x-2) + 27(x-2)\\) łatwo zapomnieć sprawdzić, czy \\(27x - 54 = 27(x-2)\\) (a nie np. \\(27(x+2)\\)). Zawsze rozwiń nawiasy i zweryfikuj!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma sześcianów \\(a^3 + b^3\\) to **nie** to samo co \\((a+b)^3\\). Tu \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\\), a nie \\((x+3)^3\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójmian \\(x^2 - 3x + 9\\) ma \\(\\Delta < 0\\), więc **nie ma pierwiastków rzeczywistych** - nie można go \"jakoś rozwiązać\". Równanie stopnia 4 ma tutaj tylko dwa rozwiązania rzeczywiste.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\(x^4 - 2x^3 + 27x - 54 = 0\\)\n\nGrupujemy wyrazy:\n\\(x^3(x - 2) + 27(x - 2) = 0\\)\n\nWyciągamy wspólny czynnik:\n\\((x - 2)(x^3 + 27) = 0\\)\n\nStosujemy wzór na sumę sześcianów \\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\\):\n\\((x - 2)(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0\\)\n\nRozwiązania:\n1. \\(x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2\\)\n2. \\(x + 3 = 0 \\Rightarrow x = -3\\)\n3. \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\): \\(\\Delta = 9 - 36 = -27 < 0\\) - brak rozwiązań rzeczywistych\n\n**Odpowiedź:** \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wzory skróconego mnożenia: \\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\\); wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nwielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).\nRozwiązanie (I sposób) „grupowanie wyrazów”\nZapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n) (\n)\n2\n2\n4\n1\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nlub\n(\n) (\n)\n2\n4\n1\n1\n0\nx\nx\nx\nStąd (\n)(\n)\n2\n1\n4\n1\n0\nx\nx\n, czyli (\n)(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\nZatem\n1\nx = - lub\n1\n2\nx = -\nlub\n1\n2\nx =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu,\n(\n)(\n)\n2\n1\n4\n1\n0\nx\nx\nlub (\n)(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n1\nx = - lub\n1\n2\nx = -\nlub\n1\n2\nx =\nRozwiązanie (II sposób) „metoda dzielenia”\nStwierdzamy, że liczba\n1\n- jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n-. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n1\nx+ . Otrzymujemy iloraz\n2\n4\n1\nx -. Zapisujemy równanie\nw postaci (\n)(\n)\n2\n1\n4\n1\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\n, czyli\n1\nx = - lub\n1\n2\nx = -\nlub\n1\n2\nx =\nalbo\nstwierdzamy, że liczba\n1\n2\njest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n-. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n1\n2\nx +\n. Otrzymujemy iloraz\n2\n4\n2\n2\nx\nx\n. Zapisujemy równanie\nw postaci\n(\n)\n2\n1\n4\n2\n2\n0\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nStąd\n(\n)\n1\n1\n4\n1\n0\n2\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, czyli\n1\n2\nx = -\nlub\n1\n2\nx =\nlub\n1\nx = -,\nalbo\nstwierdzamy, że liczba 1\n2 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n-. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n1\n2\nx -\n. Otrzymujemy iloraz\n2\n4\n6\n2\nx\nx\n. Zapisujemy równanie\nw postaci\n(\n)\n2\n1\n4\n6\n2\n0\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nStąd\n(\n)\n1\n1\n4\n1\n0\n2\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, czyli\n1\n2\nx =\nlub\n1\nx = - lub\n1\n2\nx = -\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• podzieli wielomian\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n- przez dwumian\n1\nx+ , otrzyma iloraz\n2\n4\n1\nx - i na\ntym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n- przez dwumian\n1\n2\nx +\n, otrzyma iloraz\n2\n4\n2\n2\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n- przez dwumian\n1\n2\nx -\n, otrzyma iloraz\n2\n4\n6\n2\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n1\nx = - lub\n1\n2\nx = -\nlub\n1\n2\nx =\nUwaga\nJeżeli w trakcie doprowadzania lewej strony równania do postaci iloczynu zdający popełni\nwięcej niż jedną usterkę, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[f(x) = -\\frac{1}{4}(x+3)^2 + 4\\]\n\nco po rozwinięciu daje:\n\n\\[f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{7}{4}\\]\n\n## Sposób 1 - postać kanoniczna (wierzchołek znany)\n\n**Z treści zadania od razu odczytujemy wierzchołek paraboli.**\n\nFunkcja ma wartość największą (maksimum), więc parabola jest skierowana ramionami **w dół** - oznacza to \\(a < 0\\).\n\nMaksimum równe \\(4\\) jest osiągane dla \\(x = -3\\), więc:\n\\[\\text{wierzchołek } W = (-3, 4)\\]\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej z wierzchołkiem \\((p, q)\\):\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nWstawiamy \\(p = -3\\), \\(q = 4\\):\n\\[f(x) = a(x + 3)^2 + 4\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a\\)** - korzystamy z warunku, że do wykresu należy \\(A = (-1, 3)\\), czyli \\(f(-1) = 3\\):\n\\[3 = a(-1 + 3)^2 + 4\\]\n\\[3 = a \\cdot 4 + 4\\]\n\\[3 - 4 = 4a\\]\n\\[-1 = 4a\\]\n\\[\\boxed{a = -\\frac{1}{4}}\\]\n\n**Wzór funkcji (postać kanoniczna):**\n\\[f(x) = -\\frac{1}{4}(x+3)^2 + 4\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(-3) = -\\frac{1}{4} \\cdot 0 + 4 = 4\\) ✓ i \\(f(-1) = -\\frac{1}{4} \\cdot 4 + 4 = -1 + 4 = 3\\) ✓\n\nRozwijamy do postaci ogólnej:\n\\[f(x) = -\\frac{1}{4}(x^2 + 6x + 9) + 4 = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x - \\frac{9}{4} + \\frac{16}{4}\\]\n\\[\\boxed{f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{7}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - postać ogólna z układem równań\n\nZakładamy postać ogólną:\n\\[f(x) = ax^2 + bx + c, \\quad a \\neq 0\\]\n\n**Warunek 1:** Maksimum w \\(x = -3\\), więc wierzchołek ma współrzędną \\(x\\):\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -3 \\implies b = 6a\\]\n\n**Warunek 2:** Wartość maksymalna \\(f(-3) = 4\\):\n\\[9a - 3b + c = 4\\]\n\nWstawiamy \\(b = 6a\\):\n\\[9a - 18a + c = 4 \\implies -9a + c = 4 \\quad \\text{(I)}\\]\n\n**Warunek 3:** Punkt \\(A = (-1, 3)\\) należy do wykresu, więc \\(f(-1) = 3\\):\n\\[a - b + c = 3\\]\n\nWstawiamy \\(b = 6a\\):\n\\[a - 6a + c = 3 \\implies -5a + c = 3 \\quad \\text{(II)}\\]\n\n**Rozwiązujemy układ (I) - (II):**\n\\[-9a + c - (-5a + c) = 4 - 3\\]\n\\[-4a = 1 \\implies a = -\\frac{1}{4}\\]\n\nZ równania (II): \\(c = 3 + 5 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) = 3 - \\frac{5}{4} = \\frac{7}{4}\\)\n\nOraz: \\(b = 6 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) = -\\frac{3}{2}\\)\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{7}{4}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nWierzchołek paraboli \\(W = (p, q)\\) - to punkt, w którym funkcja osiąga wartość największą (gdy \\(a < 0\\)) lub najmniejszą (gdy \\(a > 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wartość największa\" = **maksimum** = parabola otwarta w dół (\\(a < 0\\)). Jeśli napiszesz \\(a > 0\\), parabolą będzie skierowana w górę i żadne maksimum globalne nie istnieje - to sprzeczność z treścią!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek to \\((-3, 4)\\), a **nie** \\((3, 4)\\) ani \\((-3, -4)\\). Uważaj na znaki przy przepisywaniu z postaci \\(a(x+3)^2 + 4\\) - tu \\(p = -3\\), bo \\(x - (-3) = x + 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a\\) **zawsze sprawdź** oba warunki: wartość w wierzchołku i przynależność punktu \\(A\\). Jeden błąd arytmetyczny na etapie obliczania \\(a\\) popsuwa cały wynik.\n\n**Odpowiedź: \\(f(x) = -\\frac{1}{4}(x + 3)^2 + 4\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nFunkcja kwadratowa \\(f\\) przyjmuje wartość największą (maksimum) dla \\(x = -3\\) równą 4.\n\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), gdzie \\(p = -3\\), \\(q = 4\\), \\(a < 0\\) (ramiona w dół, bo jest maksimum).\n\n\\(f(x) = a(x + 3)^2 + 4\\)\n\nPunkt \\(A = (-1, 3)\\) należy do wykresu:\n\\(3 = a(-1 + 3)^2 + 4\\)\n\\(3 = 4a + 4\\)\n\\(4a = -1\\)\n\\(a = -\\frac{1}{4}\\)\n\n**Wzór funkcji:** \\(f(x) = -\\frac{1}{4}(x + 3)^2 + 4\\)\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(-1) = -\\frac{1}{4} \\cdot 4 + 4 = -1 + 4 = 3\\) ✓\n\\(f(-3) = -\\frac{1}{4} \\cdot 0 + 4 = 4\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), wierzchołek \\(W = (p, q)\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f.\nFunkcja h określona jest dla\n3, 5\nx∈-\nwzorem ( )\n( )\nh x\nf x\nq\n, gdzie q jest pewną liczbą\nrzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji h jest liczba\n0\n1\nx = -.\na) Wyznacz q.\nb) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji h.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n5\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f.\nFunkcja h określona jest dla\n3, 5\nx∈-\nwzorem ( )\n( )\nh x\nf x\nq\n, gdzie q jest pewną liczbą\nrzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji h jest liczba\n0\n1\nx = -.\na) Wyznacz q.\nb) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji h.\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę\ni zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały,\nw których funkcja rośnie, maleje, ma stały znak, szkicuje na\npodstawie wykresu funkcji\n( )\nx\nf\ny =\nwykresy funkcji\n(\n)\na\nx\nf\ny\n,\n( )\na\nx\nf\ny\n,\n( )\nx\nf\ny\n,\n(\n)\nx\nf\ny\n(4.b,d).\nRozwiązanie\na) Zauważamy, że wykres funkcji h otrzymamy z wykresu funkcji f przesuwając go o 3\njednostki w dół wzdłuż osi Oy. Wzór funkcji h ma zatem postać\n( )\n( )\n3\nh x\nf x\nStąd\n3\nq = -.\nb) Podajemy pozostałe miejsca zerowe funkcji h :\n1\nx = ,\n3\nx =\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• poda\n3\nq = - i nie poda pozostałych miejsc zerowych funkcji h lub poda je błędnie\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n5\nalbo\n• poda pozostałe miejsca zerowe funkcji h : 1, 3 oraz nie poda wartości q lub poda ją\nbłędnie, np.\n3\nq = .\nUwaga\nJeżeli zdający sporządzi poprawny wykres funkcji h oraz poda jedno z miejsc zerowych\n1\nx = lub\n3\nx =\n, to otrzymuje 1 punkt.\nZdający trzymuje 2 p.\ngdy poprawnie poda\n3\nq = - oraz zapisze pozostałe miejsca zerowe funkcji h : 1, 3.\nUwaga\nJeżeli zdający poda współrzędne punktu (\n)\n1,0 lub (\n)\n3,0 zamiast miejsc zerowych, to nie\nprzyznajemy punktu za miejsca zerowe.","solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód poniżej\n\nTo zadanie otwarte - należy udowodnić równość \\(AD^2 + BD^2 = BC^2 + AC^2\\).\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Talesa (kąt wpisany w półokrąg)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Skoro \\(AB\\) jest średnicą okręgu, to każdy kąt wpisany oparty na tej średnicy wynosi \\(90°\\) (twierdzenie Talesa).\n\n**Krok 1.** Punkt \\(D\\) leży na okręgu, a cięciwa \\(AB\\) jest średnicą.\n\\[\\angle ADB = 90°\\]\nZatem trójkąt \\(ADB\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(D\\). Na mocy twierdzenia Pitagorasa:\n\\[\\boxed{AD^2 + BD^2 = AB^2}\\]\n\n**Krok 2.** Punkt \\(C\\) również leży na okręgu, a \\(AB\\) nadal jest średnicą.\n\\[\\angle ACB = 90°\\]\nZatem trójkąt \\(ACB\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(C\\):\n\\[\\boxed{AC^2 + BC^2 = AB^2}\\]\n\n**Krok 3.** Obie lewe strony równają się \\(AB^2\\), więc:\n\\[AD^2 + BD^2 = AB^2 = AC^2 + BC^2\\]\n\n**Co należało udowodnić.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Układ współrzędnych\n\nUmieszczamy okrąg o promieniu \\(R\\) tak, by \\(A = (0, 0)\\) i \\(B = (2R, 0)\\), środek \\(O = (R, 0)\\).\n\nKażdy punkt okręgu ma postać \\((R + R\\cos\\theta,\\ R\\sin\\theta)\\) dla pewnego kąta \\(\\theta\\).\n\nNiech \\(D = (R(1+\\cos\\alpha),\\ R\\sin\\alpha)\\) i \\(C = (R(1+\\cos\\beta),\\ R\\sin\\beta)\\).\n\n**Obliczamy dla punktu \\(D\\):**\n\n\\[AD^2 = R^2(1+\\cos\\alpha)^2 + R^2\\sin^2\\alpha = R^2(1 + 2\\cos\\alpha + \\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha) = 2R^2(1+\\cos\\alpha)\\]\n\n\\[BD^2 = R^2(1+\\cos\\alpha - 2)^2 + R^2\\sin^2\\alpha = R^2(\\cos\\alpha - 1)^2 + R^2\\sin^2\\alpha = 2R^2(1-\\cos\\alpha)\\]\n\n\\[AD^2 + BD^2 = 2R^2(1+\\cos\\alpha) + 2R^2(1-\\cos\\alpha) = 4R^2 = AB^2\\]\n\n**Analogicznie dla punktu \\(C\\):** \\(AC^2 + BC^2 = 4R^2 = AB^2\\)\n\nZatem:\n\\[AD^2 + BD^2 = 4R^2 = AC^2 + BC^2 \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt przy } C \\text{ wynosi } 90°)\\]\nUżyte dwukrotnie - dla trójkątów \\(ADB\\) i \\(ACB\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany = połowa kąta środkowego. Szczególny przypadek: kąt wpisany oparty na średnicy = \\(\\frac{180°}{2} = 90°\\).\nTo jest właśnie twierdzenie Talesa, które dało nam kąty proste przy \\(D\\) i \\(C\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie Talesa działa dla KAŻDEGO punktu na okręgu (poza \\(A\\) i \\(B\\)) - nie musisz sprawdzać, po której stronie średnicy leży \\(D\\) lub \\(C\\). Kąt zawsze wynosi \\(90°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj z góry, że \\(C\\) i \\(D\\) leżą po różnych stronach \\(AB\\). Dowód działa tak samo niezależnie od położenia - bo do obu trójkątów stosujemy identyczny argument.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W rozwiązaniu wystarczy napisać: „\\(\\angle ADB = 90°\\) z tw. Talesa, bo \\(AB\\) jest średnicą, więc z tw. Pitagorasa \\(AD^2 + BD^2 = AB^2\\)\". Egzaminatorzy oczekują powołania na konkretne twierdzenie - nie pisz „bo tak wychodzi z rysunku\".\n\n**Dowód:**\n\nCzworokąt \\(ABCD\\) wpisany w okrąg, \\(AB\\) jest średnicą.\n\n**Do udowodnienia:** \\(AD^2 + BD^2 = BC^2 + AC^2\\)\n\nPonieważ \\(AB\\) jest średnicą okręgu, kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym (twierdzenie Talesa). Zatem:\n- \\(\\angle ADB = 90°\\) (kąt wpisany oparty na \\(AB\\) z punktu \\(D\\))\n- \\(\\angle ACB = 90°\\) (kąt wpisany oparty na \\(AB\\) z punktu \\(C\\))\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ADB\\) (kąt prosty przy \\(D\\)):\n\\(AD^2 + BD^2 = AB^2\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ACB\\) (kąt prosty przy \\(C\\)):\n\\(AC^2 + BC^2 = AB^2\\)\n\nPorównując obie równości:\n\\(AD^2 + BD^2 = AB^2 = AC^2 + BC^2\\)\n\nCo kończy dowód. ∎\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Twierdzenie Pitagorasa: \\(a^2 + b^2 = c^2\\); kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444 , a ostatni jest\nrówny 653. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu\nbezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nDany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444 , a ostatni jest\nrówny 653. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu\nbezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę\nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego (5.c).\nRozwiązanie\nZauważamy, że ciąg jest arytmetyczny.\nPrzyjmijmy oznaczenia:\n1\n444\na =\n, różnica ciągu\n11\nr =\n. Wtedy\n653\nna =\n. Zapisujemy\nrównanie\n(\n)\n444\n1 11\n653\nn\n⋅\n, a stąd\n20\nn =\nObliczamy zatem\n20\nS :\n1\n20\n20\n444\n653\n20\n20\n1097 10\n10970\n2\n2\na\na\nS\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• poprawnie poda liczbę wyrazów danego ciągu (\n20\nn =\n) i na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy\nalbo\n• popełni błąd podczas obliczania liczby składników tej sumy i konsekwentnie do\npopełnionego błędu obliczy sumę wyrazów tego ciągu.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 10970.\nUwaga\nJeżeli zdający wypisze wszystkie wyrazy danego ciągu i nie poda ich sumy lub tę sumę poda\nbłędnie, to otrzymuje 1 punkt.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeżeli zdający wypisze poprawnie wszystkie wyrazy danego ciągu i przy zapisaniu sumy\npominie jeden ze składników lub przepisze go błędnie i konsekwentnie obliczy tę sumę, to\notrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: suma wyrazów wynosi \\(0\\)\n\n(Zadanie otwarte - udowodnij. Poniżej pełny dowód.)\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Oznaczenia:** Niech ciąg ma 7 wyrazów. Środkowy wyraz to wyraz czwarty, czyli \\(a_4 = 0\\).\n\n**Krok 1 - Wyraź wszystkie wyrazy przez \\(a_4\\) i różnicę \\(r\\).**\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz wyraża się wzorem \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:\n\n\\[\na_1 = a_4 - 3r, \\quad a_2 = a_4 - 2r, \\quad a_3 = a_4 - r\n\\]\n\\[\na_4 = 0\n\\]\n\\[\na_5 = a_4 + r, \\quad a_6 = a_4 + 2r, \\quad a_7 = a_4 + 3r\n\\]\n\n**Krok 2 - Policz sumę wszystkich siedmiu wyrazów bezpośrednio.**\n\n\\[\nS_7 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7\n\\]\n\n\\[\nS_7 = (a_4 - 3r) + (a_4 - 2r) + (a_4 - r) + a_4 + (a_4 + r) + (a_4 + 2r) + (a_4 + 3r)\n\\]\n\n**Krok 3 - Zgrupuj wyrazy z \\(r\\) i bez \\(r\\).**\n\n\\[\nS_7 = 7 \\cdot a_4 + (-3r - 2r - r + 0 + r + 2r + 3r)\n\\]\n\nSuma składników z \\(r\\):\n\\[\n-3r - 2r - r + r + 2r + 3r = 0\n\\]\n\nZatem:\n\\[\nS_7 = 7 \\cdot a_4 + 0 = 7 \\cdot 0 = \\mathbf{0}\n\\]\n\n**Co udowodniliśmy:** Suma siedmiu wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym \\(a_4 = 0\\), jest równa \\(0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1 - Skorzystaj ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego.**\n\n\\[\nS_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\n\\]\n\nDla \\(n = 7\\):\n\\[\nS_7 = \\frac{a_1 + a_7}{2} \\cdot 7\n\\]\n\n**Krok 2 - Wyraź \\(a_1 + a_7\\) przez \\(a_4\\).**\n\nPonieważ \\(a_4\\) jest środkowym wyrazem ciągu siedmiowyrazowego:\n\\[\na_1 = a_4 - 3r, \\qquad a_7 = a_4 + 3r\n\\]\n\\[\na_1 + a_7 = (a_4 - 3r) + (a_4 + 3r) = 2a_4\n\\]\n\n**Krok 3 - Podstaw do wzoru.**\n\n\\[\nS_7 = \\frac{2a_4}{2} \\cdot 7 = a_4 \\cdot 7 = 0 \\cdot 7 = \\mathbf{0}\n\\]\n\n**Spostrzeżenie ogólne:** W każdym ciągu arytmetycznym o nieparzystej liczbie wyrazów środkowy wyraz jest równy średniej arytmetycznej wszystkich wyrazów. Zatem suma = środkowy wyraz × liczba wyrazów. Jeśli środkowy wyraz \\(= 0\\), to suma \\(= 0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyty w obu sposobach do wyrażenia wyrazów \\(a_1, a_7\\) przez \\(a_4\\) i \\(r\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyty bezpośrednio w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy wyraz siedmiowyrazowego ciągu to **czwarty** wyraz (\\(a_4\\)), nie trzeci. Policz: 1, 2, 3, **4**, 5, 6, 7 - czwarty jest w środku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu z dowodem **musisz uzasadnić każdy krok algebraicznie** - nie wystarczy podać przykładu liczbowego (np. dla \\(r = 1\\)). Przykład nie jest dowodem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zgubić znak przy sumowaniu składników z \\(r\\). Sprawdź, że \\(-3r - 2r - r + r + 2r + 3r = 0\\) - wyrazy symetrycznie parują się do zera.\n\n**Dowód:**\n\nDany jest siedmiowyrazowy ciąg arytmetyczny \\((a_1, a_2, \\ldots, a_7)\\), w którym wyraz środkowy \\(a_4 = 0\\).\n\n**Do udowodnienia:** \\(S_7 = 0\\)\n\n**Sposób 1 - wzór na sumę:**\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\)\n\nW ciągu arytmetycznym zachodzi:\n\\(a_1 + a_7 = 2a_4\\) (bo \\(1 + 7 = 2 \\cdot 4\\))\n\nPonieważ \\(a_4 = 0\\):\n\\(a_1 + a_7 = 2 \\cdot 0 = 0\\)\n\nZatem:\n\\(S_7 = \\frac{a_1 + a_7}{2} \\cdot 7 = \\frac{0}{2} \\cdot 7 = 0\\)\n\n**Sposób 2 - bezpośredni:**\n\n\\(a_4 = a_1 + 3r = 0\\), więc \\(a_1 = -3r\\).\n\n\\(S_7 = \\frac{2a_1 + 6r}{2} \\cdot 7 = \\frac{2(-3r) + 6r}{2} \\cdot 7 = \\frac{0}{2} \\cdot 7 = 0\\)\n\nCo kończy dowód. ∎\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Suma ciągu arytmetycznego: \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\); \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDany jest okrąg o środku w punkcie O. Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L,\na środek O tego okręgu leży na odcinku KM (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma\nmiarę 31°.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nK\nO\nL\n28º\n?\nM\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nDany jest okrąg o środku w punkcie O. Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L,\na środek O tego okręgu leży na odcinku KM (zobacz rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma\nmiarę 31°.\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków między kątem\nśrodkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną\na cięciwą okręgu (7.a).\nK\nO\nL\n28º\n?\nM\nI sposób rozwiązania\nRysujemy odcinek OL.\nKąt OLK jest prosty. Zatem\n62\nKOL =\n°\n\nCzyli\n118\nMOL =\n°\n\nZatem\n62\nOML\nMLO\n°\n\n\nKąty OML i MLO są równe, bo są kątami równymi w trójkącie równoramiennym.\nZatem\n31\nKML\nOML\n°\n\n\nTo kończy dowód.\nII sposób rozwiązania\nRysujemy odcinek OL.\nKąty OML i MLO są równe, bo są kątami równymi w trójkącie równoramiennym.\nKąt OLK jest prosty. Suma miar kątów trójkąta KLM jest równa 180°.\nZatem 2\n90\n28\n180\nKML +\n° +\n° =\n°\n\n. Stąd 2\n62\nKML =\n°\n\nZatem\n31\nKML =\n°\n\nTo kończy dowód.\nK\nO\nL\n28º\n?\nM\nK\nO\nL\n28º\n?\nM\nIII sposób rozwiązania\nRysujemy cięciwę LN, gdzie N jest końcem średnicy MN (zobacz rysunek). Niech\nKML\nα\n\nKąt MLN jest kątem wpisanym opartym na średnicy MN, więc jest prosty. Kąt między styczną\ndo okręgu w punkcie L i cięciwą wychodzącą z punktu L jest równy kątowi wpisanemu\nopartemu na tej cięciwie, zatem\nKLN\nKML\nα\n\n\nZapisujemy równanie wynikające z bilansu kątów w trójkącie KLM:\n90\n28\n180\nα\nα\n°+\n° =\n°, stąd\n31\nKML\nα =\n°\n\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\njeżeli:\n• zapisze lub zaznaczy na rysunku, że kąt KLO jest kątem prostym\ni\n2\nLOK\nLMO\n⋅\n\n\n,\nalbo\n• zapisze lub zaznaczy na rysunku, że kąt KLO jest kątem prostym\ni\nLMO\nMLO\n\n\n,\nalbo\n• zapisze lub zaznaczy na rysunku, że kąt MLN jest kątem prostym\ni\nNLK\nLMN\n\n\n,\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\njeżeli przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie.\nK\nO\nL\n28º\nα\nM\nN\nZadania 32. (0-4)\nWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna\ngraniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest\nrówny 3\n5 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki miarowe\nw wielościanach z zastosowaniem trygonometrii (9.b).\nRozwiązanie\nNiech a oznacza długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i niech α będzie kątem\nnachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy (zob. rysunek).\nPonieważ\n3\ncos\n5\nα =\n, więc kąt α jest ostry oraz\n4\nsin\n5\nα =\n. Stąd wynika, że\n4\ntg\n3\nα =\nZ drugiej strony\n16\ntg\n2\na\nα =\n. Obliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa.\nRozwiązujemy równanie:\n16\n4\n3\n2\na\n, skąd\n6 2\na =\nSzukane pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n6 2\n4 6 2 16\n144\n384 2\n48 3\n8 2\ncP =\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający:\n• zapisze, że\n4\ntg\n3\nα =\nα\na\na\n16\nalbo\n• zapisze równanie, z którego można obliczyć skalę x podobieństwa trójkąta o bokach\ndługości 3, 4 i 5 do trójkąta o przyprostokątnej długości 16 leżącej naprzeciw kąta α ,\nnp. (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n16\n5\nx\nx\nalbo\n• poda skalę x podobieństwa trójkątów: trójkąta o bokach długości 3, 4 i 5 oraz\ntrójkąta o przyprostokątnej długości 16 leżącej naprzeciw kąta α ,\n4\nx =\nalbo\n• zaznaczy na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego\npodstawy\nalbo\n• zapisze, że długość d przekątnej graniastosłupa jest równa 20\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający:\n• obliczy długość e przekątnej podstawy tego graniastosłupa e =12\nalbo\n• zapisze równanie, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy tego\ngraniastosłupa, np.\n(\n)\n2\n2\n2\n5\n2\n16\n2\n3\na\na\n\n\n= \n\n\n\n\n\n(\n)\n2\n2\n2\n16\n2\n20\na\nlub 16\n4\n3\n2\na\nalbo\n• zapisze układ równań, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy tego\ngraniastosłupa, np.\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\n5\n2\n16\n\n\n\n\na\nd\na\nd\ngdzie d oznacza długość przekątnej tego graniastosłupa\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:\n6 2\na =\ni na tym zakończy lub\ndalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:\n(\n)\n48 3\n8 2\ncP =\nUwagi\n1. Akceptujemy sytuację, w której zdający zapisze, że\n3\n5\ncosα =\ndla\n53\nα ≈\n° i w dalszej\nczęści rozwiązania poprawnie posługuje się przyjętym przybliżeniem.\n2. Akceptujemy sytuację, w której zdający wprowadza do rozwiązania poprawne przybliżenia\ndziesiętne liczb rzeczywistych i w obliczeniach poprawnie stosuje regułę zaokrąglania.\n3. Jeżeli zdający błędnie zaznaczy na rysunku podany kąt i korzysta z tego kąta, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający zapisze, że\n3\n5\nsinα =\ni korzysta z tej równości, to za całe rozwiązanie może\notrzymać co najwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający przyjmie miarę kąta nachylenia, która nie wynika z treści zadania (np.\n30\nα =\n°), i w rozwiązaniu z tego korzysta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n6. Jeżeli zdający zapisze błędnie, że\n3\ne\na\n, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\n7. Jeżeli zdający rozważa „trójkąt prostokątny” o bokach 3, 5, 16 (nieistniejący), to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nZadania 33. (0-4)\nWśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym\nkiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety\ntramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.\nRodzaj\nkupionych\nbiletów\nLiczba osób\nulgowe\n76\nnormalne\n41\nUwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana\nspośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego\nułamka.\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenia znane jako\nklasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nI sposób rozwiązania\nOznaczmy:\nA - zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która kupiła bilet ulgowy,\nB - zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która kupiła bilet normalny,\nC - zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która nie kupiła żadnego z wymienionych\nbiletów.\nAnkietę przeprowadzono wśród 115 osób, zatem\n115\nΩ\nPonieważ wśród badanych występują osoby, które kupiły bilety obu rodzajów, więc\nB\nA\nB\nA\nB\nA\n∩\n∪\nStąd\n90\n27\n41\n76\n∪B\nA\nZatem\n25\n∪\nΩ\nB\nA\nC\n, więc\n23\n5\n115\n25\n)\n(\nC\nP\nOdp. Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że losowo wybrana spośród\nbadanych osoba nie zakupiła żadnego z wymienionych biletów jest równe 23\n5 .\nII sposób rozwiązania\nOznaczmy:\nC - zdarzenie polegające na wylosowaniu osoby, która nie kupiła żadnego biletu.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n115\nΩ\nLiczba wszystkich osób, które kupiły co najmniej jeden bilet jest równa\n90\n14\n27\n49\nZatem\n25\n90\n115\nC\nStąd\n23\n5\n115\n25\n)\n(\nC\nP\nOdp. Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że losowo wybrana spośród\nbadanych osoba nie zakupiła żadnego z wymienionych biletów jest równe 23\n5 .\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n115\nΩ\nalbo\n• zapisze liczbę wszystkich osób, które kupiły tylko bilet ulgowy: 49\nalbo\n• zapisze liczbę wszystkich osób, które kupiły tylko bilet normalny: 14\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę wszystkich osób,\nktóre kupiły tylko bilet ulgowy:\n115\nΩ\n, 49\nalbo\n• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę wszystkich osób,\nktóre kupiły tylko bilet normalny:\n115\nΩ\n, 14\nalbo\n• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę wszystkich osób,\n49\n14\n27\n25\nktóre kupiły co najmniej jeden bilet:\n115\nΩ\n, 90\nalbo\n• zapisze liczbę wszystkich osób, które nie kupiły żadnego biletu: 25\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wyznaczy liczbę osób,\nktóre nie kupiły żadnego biletu:\n115\nΩ\n, 25\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo wylosowania osoby, która nie kupiła żadnego\nbiletu i zapisze je w postaci ułamka nieskracalnego: 5\n23 .\nUwagi\n1. Zdający nie musi zapisywać explicite liczby wszystkich zdarzeń elementarnych,\nwystarczy, że liczba 115 wystąpi w mianowniku ułamka, o ile ułamek ten będzie liczbą\ndodatnią i mniejszą od 1.\n2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n1\n)\n(\n>\nA\nP\nlub\n0\n)\n(\n<\nA\nP\n, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający poda tylko wynik końcowy ( )\n5\n23\nP C =\nlub ( )\n25\n115\nP C =\n, to otrzymuje 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający obliczy\n115\n25\n)\n(\nC\nP\ni nie przedstawi wyniku w postaci ułamka\nnieskracalnego, to otrzymuje 3 punkty.\n5. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu\nB\nA ∪\nlub\nC\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje\nco najwyżej 3 punkty.\n6. Jeżeli zdający sporządził diagram, na którym zapisał liczby 49, 27, 14 i 25,\ni na tym zakończył, to otrzymuje 2 punkty.\n49\n14\n27\n25\nZadania 34. (0-5)\nBiegacz narciarski Borys wyruszył na trasę biegu o 10 minut później niż inny zawodnik,\nAdam. Metę zawodów, po przebyciu 15-kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali\nrównocześnie. Okazało się, że wartość średniej prędkości na całej trasie w przypadku Borysa\nbyła o 4,5 km\nh większa niż w przypadku Adama. Oblicz, w jakim czasie Adam pokonał całą\ntrasę biegu.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje zadania\n(również umieszczone w kontekście praktycznym),\nprowadzące do równań i nierówności kwadratowych (3.b).\nRozwiązanie (I sposób)\nNiech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką Adam pokonał całą trasę biegu,\na t czas, wyrażony w godzinach, w jakim Adam pokonał całą trasę biegu. Wówczas zależność\nmiędzy tą prędkością, czasem i przebytą drogą możemy zapisać w postaci\n15\nv t⋅=\nŚrednia prędkość, z jaką Borys pokonał całą trasę bieg, jest zatem równa\n4,5\nv +\n, natomiast\nczas, w jakim Borys pokonał całą trasę biegu, jest równy\n1\n6\nt -\n. Możemy więc zapisać drugie\nrównanie\n(\n)\n1\n4,5\n15\n6\nv\nt\n\n⋅\n\n\n\n\nStąd otrzymujemy\n1\n3\n4,5\n15\n6\n4\nv t\nv\nt\n⋅-\nPo podstawieniu\n15\nv t⋅=\notrzymujemy\n54\n2\n9\nt\nv\n+ ,\n2\n9\n54\nv\nt\nPodstawiając\n2\n9\n54\nv\nt\nw równaniu\n15\nv t⋅=\n, otrzymujemy równanie kwadratowe\nz niewiadomą v\n2\n9\n15\n54\nv\nv\n⋅\n,\n2\n2\n9\n15 54\n0\nv\nv\n⋅\n,\n2\n2\n9\n810\n0\nv\nv\n,\n81\n4 2 810\n81 8 810\n81 81\nΔ =\n+ ⋅⋅\n+ ⋅\n⋅\n,\n81\nΔ =\n1\n9\n81\n0\n2 2\nv\n<\n⋅\n,\n2\n9\n81\n72\n18\n2 2\n4\nv\n⋅\nPierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość biegacza\nbyłaby ujemna, co jest niemożliwe. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania. Wówczas\n2\n9\n5\n54\n6\nv\nt\nOdpowiedź: Adam pokonał trasę biegu w 50 minut.\nRozwiązanie (II sposób)\nNiech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką Adam pokonał całą trasę biegu.\nWówczas czas t, w jakim pokonał całą trasę biegu, wyrażony w godzinach, jest równy\n15\nt\nv\nCzas potrzebny na pokonanie trasy biegu w przypadku Borysa był o 1\n6 h krótszy, ale w tym\ndrugim przypadku prędkość była większa o 4,5 km/h. Zatem możemy to opisać równaniem\n1\n15\n6\n4,5\nt\nv\nPo podstawieniu\n15\nt\nv\notrzymujemy równanie z niewiadomą v: 15\n1\n15\n6\n4,5\nv\nv\n(\n)\n(\n)\n15 6\n4,5\n4,5\n15 6\nv\nv v\nv\n⋅\n⋅\n,\n2\n4,5\n405\n0\nv\nv\n,\n2\n2\n9\n810\n0\nv\nv\n,\n2\n2\n9\n810\n0\nv\nv\n81\n4 2 810\n81 8 810\n81 81\nΔ =\n+ ⋅⋅\n+ ⋅\n⋅\n,\n81\nΔ =\n1\n9\n81\n0\n2 2\nv\n<\n⋅\n,\n2\n9\n81\n72\n18\n2 2\n4\nv\n⋅\nPierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość biegacza\nbyłaby ujemna, a to niemożliwe. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania. Wówczas\n2\n9\n5\n54\n6\nv\nt\nOdpowiedź: Adam pokonał trasę biegu w 50 minut.\nRozwiązanie (III sposób)\nNiech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką Adam pokonał całą trasę biegu,\nt czas, wyrażony w godzinach, w jakim Adam pokonał całą trasę biegu. Wówczas zależność\nmiędzy tą prędkością, czasem i przebytą drogą możemy zapisać w postaci\n15\nv t⋅=\nŚrednia prędkość, z jaką Borys pokonał całą trasę bieg, jest zatem równa\n4,5\nv +\n, natomiast\nczas, w jakim Borys pokonał całą trasę biegu, jest równy\n1\n6\nt -\n. Możemy więc zapisać drugie\nrównanie\n(\n)\n1\n4,5\n15\n6\nv\nt\n\n⋅\n\n\n\n\nStąd otrzymujemy\n1\n3\n4,5\n15\n6\n4\nv t\nv\nt\n⋅-\nPo podstawieniu\n15\nv t⋅=\notrzymujemy\n54\n2\n9\nt\nv\n+ ,\n27\n4,5\nv\nt\nPodstawiamy\n27\n4,5\nv\nt\nw równaniu\n15\nv t⋅=\ni otrzymujemy równanie kwadratowe\nz niewiadomą v\n(\n)\n27\n4,5\n15\nt\nt\n,\n2\n27\n4,5\n15\n0\nt\nt\n,\n2\n18\n3\n10\n0\nt\nt\n,\n9\n40 18\n729\nΔ =\n⋅\n,\n27\nΔ =\n1\n3\n27\n0\n36\nt\n<\n, 2\n3\n27\n5\n36\n6\nt\nPierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy czas biegu byłby\nujemny, a to niemożliwe. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania.\nOdpowiedź: Adam pokonał trasę biegu w 50 minut.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający oznaczy prędkość średnią biegu Adama, wyrażoną w km/h, oraz czas, wyrażony\nw godzinach\nw jakim Adam pokonał trasę i zapisze zależność między średnią prędkością biegu Borysa\ni czasem, w jakim Borys pokonał trasę, np.:\nv - średnia prędkość (w km/h), z jaką biegł Adam,\nt - czas (w h), w jakim Adam pokonał trasę\n(\n)\n1\n4,5\n15\n6\nv\nt\n\n⋅\n\n\n\n\nalbo\n1\n15\n6\n4,5\nt\nv\nUwaga\nZdający nie otrzymuje punktu, jeśli zapisze jedynie\n15\nv t⋅=\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t - odpowiednio prędkość i czas\nbiegu Adama, np.;\n(\n)\n1\n4,5\n15\n6\n15\nv\nt\nv t\n\n\n\n⋅\n\n\n\n\n\n\n⋅=\n\nlub\n1\n15\n6\n4,5\n15\nt\nv\nv t\n-\n\n\n⋅=\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.; gdy v - prędkość pokonania trasy biegu\nprzez Adama,\n2\n9\n15\n54\nv\nv\n⋅\nlub 15\n1\n15\n6\n4,5\nv\nv\nlub (\n)\n27\n4,5\n15\nt\nt\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.\nZdający\n• rozwiąże równanie z jedną niewiadomą, np. v jako średnią prędkością biegu Adama\ni nie obliczy czasu biegu Adama\nalbo\n• rozwiąże równanie z niewiadomą t (czas biegu Adama) z błędem rachunkowym.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy czas biegu Adama: 50 minut.\nUwagi\n1. Oceniamy na 0 punktów rozwiązania, w których ułożone równania zawierają\nniezgodność typu wielkości po obu stronach: po jednej stronie prędkość, po drugiej\nczas lub niezgodność jednostek: prędkość w kilometrach na godzinę, czas w minutach,\no ile nie są zapisane jednostki.\n2. Zdający może pominąć jednostki, o ile ustalił je w toku rozwiązania i stosuje je\nkonsekwentnie.\n3. Zdający może stosować inne jednostki prędkości niż km/h.\n4. Jeżeli zdający oznaczy prędkość Adama przez v (w km / h ), przez t czas biegu\nAdama, a potem zapisze, że prędkość Borysa jest równa\n4,5\nv -\ni czas jego biegu jest\nrówny\n1\n6\nt +\n, a następnie zapisze układ równań\n15\nv t⋅=\ni (\n)\n1\n4,5\n15\n6\nv\nt\n\n⋅\n\n\n\n\ni doprowadzi go do równania z jedną niewiadomą, to otrzymuje 1 punkt. Jeśli\nrozwiąże to równanie, to otrzymuje 2 punkty, a jeśli doprowadzi rozwiązanie zadania\ndo końca, konsekwentnie do ułożonego układu równań lub przyjętych oznaczeń, to\notrzymuje 3 punkty (zdający otrzyma wtedy odpowiedź\n40\nt =\nminut - czas biegu\nAdama).\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nPrzykład 1.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - średnia prędkość (w km/h), z jaką biegł Adam, t - czas (w h), w jakim Adam pokonał\ntrasę\n15\n4,5\n1\n6\nv\nt\n(\n)\n15\n1\n15\n4,5\n6\nv t\nv\nt\n= ⋅\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym\njest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie\nujął wyrażenia\n1\n6\nt -\nw nawias. Zapis równania\n15\n4,5\n1\n6\nv\nt\nwskazuje na poprawną\ninterpretację zależności między wielkościami.\nPrzykład 2.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - średnia prędkość (w km/h), z jaką biegł Adam, t - czas (w h), w jakim Adam pokonał\ntrasę\n15\n4,5\n1\n6\nv\nt\n15\n15\n4,5\n1\n6\nv\nt\nv\nt\n=\n\n+\n\n\n51\n15\n4,5\nt\nt\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych\ntrudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 51\n15\n4,5\nt\nt\n= - zdający\nprzestawił cyfry w zapisie liczby 15 i pominął liczbę 1\n6 w mianowniku ułamka.\nPrzykład 3.\nJeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.\n2\n2\n9\n810\n0\nv\nv\nzamiast równania\n2\n2\n9\n810\n0\nv\nv\n(np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak\nrozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,\nktóry może być realną prędkością, z jaką biegł Adam, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do\nkategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{1}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie wyliczenie sprzyjających zdarzeń\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nLosujemy kolejno dwie różne cyfry ze zbioru \\(\\{1,2,3,4,5,6,7,8\\}\\) (bez zwracania), przy czym kolejność ma znaczenie (pierwsza = dziesiątki, druga = jedności).\n\n\\[|\\Omega| = 8 \\cdot 7 = 56\\]\n\n**Kiedy liczba dwucyfrowa \\(\\overline{ab}\\) jest podzielna przez 4?**\n\nLiczba \\(\\overline{ab} = 10a + b\\) jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy sama jest podzielna przez 4 (bo to liczba dwucyfrowa - wystarczy sprawdzić ją wprost).\n\n**Wypisuję wszystkie wielokrotności 4 z przedziału \\([11, 88]\\), których obie cyfry należą do \\(\\{1,\\ldots,8\\}\\) i są różne:**\n\n| Liczba | Cyfry | OK? |\n| 12 | 1, 2 | ✓ |\n| 16 | 1, 6 | ✓ |\n| 24 | 2, 4 | ✓ |\n| 28 | 2, 8 | ✓ |\n| 32 | 3, 2 | ✓ |\n| 36 | 3, 6 | ✓ |\n| 48 | 4, 8 | ✓ |\n| 52 | 5, 2 | ✓ |\n| 56 | 5, 6 | ✓ |\n| 64 | 6, 4 | ✓ |\n| 68 | 6, 8 | ✓ |\n| 72 | 7, 2 | ✓ |\n| 76 | 7, 6 | ✓ |\n| 84 | 8, 4 | ✓ |\n\nOdrzucone: 20, 40, 60, 80 (cyfra 0 poza zbiorem), 44, 88 (powtórzone cyfry).\n\nLiczba zdarzeń sprzyjających: \\(|A| = 14\\).\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{14}{56} = \\boxed{\\frac{1}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Kryterium podzielności przez 4 (analiza modulo 4)\n\nLiczba \\(10a + b\\) jest podzielna przez 4. Ponieważ \\(10 \\equiv 2 \\pmod{4}\\), warunek staje się:\n\n\\[2a + b \\equiv 0 \\pmod{4}\\]\n\nDla każdej cyfry dziesiątek \\(a \\in \\{1,\\ldots,8\\}\\) wyznaczam, jakie \\(b\\) (jedności) są wymagane:\n\n| \\(a\\) | \\(2a \\bmod 4\\) | Wymagane \\(b \\bmod 4\\) | Możliwe \\(b \\in \\{1 8\\}\\), \\(b \\neq a\\) | Liczba |\n| 1 | 2 | \\(b \\equiv 2\\) → \\(b \\in \\{2, 6\\}\\) | 2, 6 | **2** |\n| 2 | 0 | \\(b \\equiv 0\\) → \\(b \\in \\{4, 8\\}\\) | 4, 8 | **2** |\n| 3 | 2 | \\(b \\equiv 2\\) → \\(b \\in \\{2, 6\\}\\) | 2, 6 | **2** |\n| 4 | 0 | \\(b \\equiv 0\\) → \\(b \\in \\{4, 8\\}\\) | ~~4~~, 8 | **1** |\n| 5 | 2 | \\(b \\equiv 2\\) → \\(b \\in \\{2, 6\\}\\) | 2, 6 | **2** |\n| 6 | 0 | \\(b \\equiv 0\\) → \\(b \\in \\{4, 8\\}\\) | 4, 8 | **2** |\n| 7 | 2 | \\(b \\equiv 2\\) → \\(b \\in \\{2, 6\\}\\) | 2, 6 | **2** |\n| 8 | 0 | \\(b \\equiv 0\\) → \\(b \\in \\{4, 8\\}\\) | 4, ~~8~~ | **1** |\n\n**Suma sprzyjających:** \\(2+2+2+1+2+2+2+1 = 14\\) ✓\n\n\\[P(A) = \\frac{14}{56} = \\frac{1}{4}\\]\n\nWynik zgodny z metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - \\(|\\Omega| = 56\\) to przestrzeń wszystkich możliwych par (dziesiątki, jedności) wylosowanych bez zwracania.\n\nW tym zadaniu nie używamy kombinatoryki (permutacji, kombinacji) ani innych wzorów z karty - wystarczy bezpośrednie zliczenie.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to policzenie \\(|\\Omega| = \\binom{8}{2} = 28\\) zamiast \\(8 \\cdot 7 = 56\\). Pamiętaj - kolejność ma znaczenie (12 ≠ 21), więc liczymy wariacje, nie kombinacje!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyliczaniu liczb podzielnych przez 4 łatwo pominąć, że \\(0 \\notin \\{1, ,8\\}\\). Odrzucamy 20, 40, 60, 80 - cyfra 0 jest poza naszym zbiorem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij warunkiem „bez zwracania\" - cyfry muszą być różne, więc 44 i 88 są wykluczone. To właśnie sprawia, że \\(a = 4\\) daje tylko 1 sprzyjający wynik (48), a nie 2.\n\n**Odpowiedź: \\(P = \\frac{1}{4}\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nZbiór cyfr: \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\). Losujemy 2 cyfry bez zwracania.\n\nLiczba wszystkich możliwych liczb dwucyfrowych:\n\\(|\\Omega| = 8 \\cdot 7 = 56\\)\n\nLiczby podzielne przez 4 - sprawdzamy dla każdej cyfry jedności:\n\n**Jedności = 2:** \\(10a + 2 \\equiv 0 \\pmod{4} \\Rightarrow 2a + 2 \\equiv 0 \\pmod{4} \\Rightarrow a\\) nieparzyste. \\(a \\in \\{1, 3, 5, 7\\}\\) → 4 liczby: 12, 32, 52, 72\n\n**Jedności = 4:** \\(10a + 4 \\equiv 0 \\pmod{4} \\Rightarrow 2a \\equiv 0 \\pmod{4} \\Rightarrow a\\) parzyste. \\(a \\in \\{2, 6, 8\\}\\) → 3 liczby: 24, 64, 84\n\n**Jedności = 6:** \\(10a + 6 \\equiv 0 \\pmod{4} \\Rightarrow 2a + 2 \\equiv 0 \\pmod{4} \\Rightarrow a\\) nieparzyste. \\(a \\in \\{1, 3, 5, 7\\}\\) → 4 liczby: 16, 36, 56, 76\n\n**Jedności = 8:** \\(10a + 8 \\equiv 0 \\pmod{4} \\Rightarrow 2a \\equiv 0 \\pmod{4} \\Rightarrow a\\) parzyste. \\(a \\in \\{2, 4, 6\\}\\) → 3 liczby: 28, 48, 68\n\n**Jedności = 1, 3, 5, 7:** liczba nieparzysta, niepodzielna przez 4.\n\nLiczba sprzyjających: \\(4 + 3 + 4 + 3 = 14\\)\n\n\\(P = \\frac{14}{56} = \\frac{1}{4}\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Prawdopodobieństwo klasyczne: \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\); wariacje bez powtórzeń","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa\njest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3\n5 . Oblicz\npole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 1176\n\nPole rombu wynosi **1176**.\n\n## Sposób 1 - Układ równań z twierdzeniem Pitagorasa\n\n**Co wiemy o rombie:** Przekątne rombu przecinają się prostopadle i nawzajem dwusieczą. Oznacza to, że przekątne dzielą romb na cztery przystające trójkąty prostokątne, w których przyprostokątnymi są **połówki przekątnych**, a przeciwprostokątną jest **bok rombu**.\n\nNiech \\(d_1\\) i \\(d_2\\) będą długościami przekątnych, gdzie \\(d_1 > d_2\\).\n\n**Dane:**\n\\[d_1 - d_2 = 14 \\implies d_1 = d_2 + 14\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi \\(\\frac{d_1}{2}\\) i \\(\\frac{d_2}{2}\\) oraz przeciwprostokątną \\(35\\):\n\\[\\left(\\frac{d_1}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{d_2}{2}\\right)^2 = 35^2\\]\n\nPodstawiamy \\(d_1 = d_2 + 14\\):\n\\[\\left(\\frac{d_2 + 14}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{d_2}{2}\\right)^2 = 1225\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(4\\):\n\\[(d_2 + 14)^2 + d_2^2 = 4900\\]\n\nRozwijamy:\n\\[d_2^2 + 28d_2 + 196 + d_2^2 = 4900\\]\n\\[2d_2^2 + 28d_2 + 196 = 4900\\]\n\\[2d_2^2 + 28d_2 - 4704 = 0\\]\n\\[d_2^2 + 14d_2 - 2352 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 14^2 + 4 \\cdot 2352 = 196 + 9408 = 9604 = 98^2\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[d_2 = \\frac{-14 + 98}{2} = \\frac{84}{2} = 42\\]\n\n(Drugi pierwiastek \\(\\frac{-14 - 98}{2} < 0\\) - odrzucamy, bo długość jest dodatnia.)\n\nZatem:\n\\[d_2 = 42, \\quad d_1 = 42 + 14 = 56\\]\n\n**Pole rombu:**\n\\[P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{56 \\cdot 42}{2} = \\frac{2352}{2} = \\boxed{1176}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie połówek przekątnych\n\nZamiast operować pełnymi przekątnymi, od razu oznaczmy połówki:\n\nNiech \\(p = \\frac{d_1}{2}\\) i \\(q = \\frac{d_2}{2}\\).\n\nWarunki:\n\\[\\begin{cases} p^2 + q^2 = 35^2 = 1225 \\\\ 2p - 2q = 14 \\implies p - q = 7 \\implies p = q + 7 \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy \\(p = q + 7\\):\n\\[(q+7)^2 + q^2 = 1225\\]\n\\[q^2 + 14q + 49 + q^2 = 1225\\]\n\\[2q^2 + 14q - 1176 = 0\\]\n\\[q^2 + 7q - 588 = 0\\]\n\n\\[\\Delta = 49 + 4 \\cdot 588 = 49 + 2352 = 2401 = 49^2\\]\n\n\\[q = \\frac{-7 + 49}{2} = 21\\]\n\nZatem \\(p = 28\\), a pełne przekątne: \\(d_1 = 2 \\cdot 28 = 56\\), \\(d_2 = 2 \\cdot 21 = 42\\).\n\n**Weryfikacja (sprawdzenie boku):**\n\\[\\sqrt{28^2 + 21^2} = \\sqrt{784 + 441} = \\sqrt{1225} = 35 \\checkmark\\]\n\n**Pole:**\n\\[P = \\frac{56 \\cdot 42}{2} = \\boxed{1176}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2\\]\nUżyliśmy tego wzoru do wyznaczenia pola z obliczonych przekątnych.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nKluczowy krok - przekątne rombu są prostopadłe, więc bok rombu, połowa pierwszej przekątnej i połowa drugiej tworzą trójkąt prostokątny.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy do rozwiązania równania kwadratowego na długość przekątnej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątne rombu NIE są równe bokowi - romb to nie kwadrat! Związek między bokiem a przekątnymi pochodzi z twierdzenia Pitagorasa (bo przekątne są prostopadłe).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole rombu to \\(P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2}\\), a nie \\(P = d_1 \\cdot d_2\\). Uczniowie często zapominają o dzieleniu przez 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(d_1 - d_2 = 14\\) daje dwa pierwiastki - jeden ujemny (odrzucamy!) i jeden dodatni. Zawsze sprawdzaj, czy wynik ma sens w kontekście geometrycznym.\n\n**Odpowiedź: \\(P = 1176\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRomb o boku \\(a = 35\\). Przekątne \\(d_1\\) i \\(d_2\\) różnią się o 14, czyli \\(d_1 - d_2 = 14\\).\n\nW rombie przekątne dzielą się na połowy pod kątem prostym. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\\(\\left(\\frac{d_1}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{d_2}{2}\\right)^2 = a^2\\)\n\n\\(\\frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = 35^2 = 1225\\)\n\n\\(d_1^2 + d_2^2 = 4900\\)\n\nPodstawiamy \\(d_1 = d_2 + 14\\):\n\\((d_2 + 14)^2 + d_2^2 = 4900\\)\n\\(d_2^2 + 28d_2 + 196 + d_2^2 = 4900\\)\n\\(2d_2^2 + 28d_2 - 4704 = 0\\)\n\\(d_2^2 + 14d_2 - 2352 = 0\\)\n\n\\(\\Delta = 196 + 9408 = 9604\\)\n\\(\\sqrt{\\Delta} = 98\\)\n\n\\(d_2 = \\frac{-14 + 98}{2} = 42\\) (odrzucamy rozwiązanie ujemne)\n\\(d_1 = 42 + 14 = 56\\)\n\nPole rombu:\n\\(P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{56 \\cdot 42}{2} = 1176\\)\n\n**Sprawdzenie:** \\(28^2 + 21^2 = 784 + 441 = 1225 = 35^2\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Pole rombu: \\(P = \\frac{1}{2}|AC| \\cdot |BD|\\); twierdzenie Pitagorasa; wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nWśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym\nkiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety\ntramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.\nRodzaj kupionych\nbiletów\nLiczba osób\nulgowe\n76\nnormalne\n41\nUwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana\nspośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego\nułamka.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - objętość wynosi \\(\\frac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Przekątna przestrzenna i wzór Pitagorasa\n\n**Oznaczenia.** Niech \\(AB = a\\), \\(BC = b\\), wysokość prostopadłościanu \\(= 1\\).\n\nW standardowym oznakowaniu \\(ABCDEFGH\\):\n- \\(ABCD\\) - podstawa dolna, \\(EFGH\\) - podstawa górna\n- \\(A, B, C, D\\) są połączone z \\(E, F, G, H\\) pionowymi krawędziami\n\nPrzekątna \\(BH\\) łączy wierzchołek \\(B\\) podstawy dolnej z wierzchołkiem \\(H\\) - niepołączonym z \\(B\\) żadną krawędzią.\n\n**Krok 1: Wyznaczenie długości \\(|BH|\\).**\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa w przestrzeni:\n\\[|BH|^2 = AB^2 + BC^2 + BF^2 = a^2 + b^2 + 1\\]\n\\[|BH| = \\sqrt{a^2 + b^2 + 1}\\]\n\n**Krok 2: Zastosowanie warunku z treści zadania.**\n\nWarunek: \\(|BH| = AB + BC\\), czyli:\n\\[\\sqrt{a^2 + b^2 + 1} = a + b\\]\n\n**Krok 3: Podniesienie do kwadratu obu stron.**\n\n\\[a^2 + b^2 + 1 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\n\nOdejmujemy \\(a^2 + b^2\\) od obu stron:\n\\[1 = 2ab\\]\n\\[\\boxed{ab = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Krok 4: Obliczenie objętości.**\n\n\\[V = AB \\cdot BC \\cdot h = a \\cdot b \\cdot 1 = ab = \\frac{1}{2}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie \\(s = a + b\\) i weryfikacja istnienia\n\nWprowadźmy \\(s = a + b\\). Z warunku:\n\n\\[\\sqrt{a^2 + b^2 + 1} = s \\implies a^2 + b^2 = s^2 - 1\\]\n\nKorzystamy z tożsamości \\((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\\):\n\n\\[s^2 = (s^2 - 1) + 2ab \\implies 2ab = 1 \\implies ab = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Weryfikacja: czy takie \\(a, b > 0\\) istnieją?**\n\nWeźmy np. \\(a = b\\). Wtedy:\n\n\\[ab = a^2 = \\frac{1}{2} \\implies a = b = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\nSprawdzenie warunku:\n\\[|BH| = \\sqrt{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} + 1} = \\sqrt{2}\\]\n\\[a + b = \\frac{\\sqrt{2}}{2} + \\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\sqrt{2} \\checkmark\\]\n\nObjętość:\n\\[V = a \\cdot b \\cdot 1 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot 1 = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\ngdzie \\(P_p = a \\cdot b\\) to pole podstawy (prostokąt), \\(h = 1\\) to wysokość.\n\n**Dział 10 (Planimetria / Twierdzenie Pitagorasa, s. 15)** - użyte dwukrotnie:\n\\[c^2 = a^2 + b^2\\]\nNajpierw w płaszczyźnie podstawy (przekątna podstawy \\(d = \\sqrt{a^2 + b^2}\\)), potem w pionie (przestrzenna przekątna \\(|BH| = \\sqrt{d^2 + h^2} = \\sqrt{a^2 + b^2 + 1}\\)).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nKluczowe przy podnoszeniu do kwadratu i „wyciąganiu\" iloczynu \\(ab\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nBez podanych literalnie opcji - oto najczęstsze błędy prowadzące do złych wyników:\n\n| Błąd rachunkowy | Fałszywy wynik |\n| Pominięcie wysokości: \\(\\|BH\\| = \\sqrt{a^2 + b^2}\\) (tylko przekątna podstawy) | \\(ab = 0\\) - brak sensu |\n| Nierozwinięcie \\((a+b)^2\\): zatrzymanie na \\(a^2 + b^2 + 1 = a^2 + b^2\\) | sprzeczność |\n| Założenie \\(a = b = 1\\) bez sprawdzenia warunku | \\(V = 1\\) |\n| Pomylenie przekątnej ściany z przekątną przestrzenną | błędne \\(\\|BH\\|\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna przestrzenna \\(BH\\) to **nie** przekątna ściany bocznej! Wzór to \\(\\sqrt{a^2 + b^2 + h^2}\\), nie \\(\\sqrt{a^2 + h^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podniesieniu do kwadratu \\(\\sqrt{\\ldots} = a+b\\) pamiętaj, że wymagamy \\(a+b > 0\\) - tu spełnione, bo długości są dodatnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie nie pyta o konkretne \\(a\\) i \\(b\\) - pyta o objętość. Wystarczy wyznaczyć \\(ab\\), a \\(V = ab \\cdot 1 = ab\\). Nie trzeba rozwiązywać układu równań na \\(a\\) i \\(b\\) z osobna!\n\n**Odpowiedź: \\(V = \\frac{1}{2}\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nProstopadłościan \\(ABCDEFGH\\) o wymiarach \\(AB = a\\), \\(BC = b\\), wysokość \\(= 1\\).\n\nDługość przekątnej prostopadłościanu:\n\\(BH = \\sqrt{a^2 + b^2 + 1}\\)\n\nZ warunku: \\(BH = AB + BC = a + b\\).\n\nPodnosimy do kwadratu:\n\\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 1\\)\n\\(a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 1\\)\n\\(2ab = 1\\)\n\\(ab = \\frac{1}{2}\\)\n\nObjętość:\n\\(V = a \\cdot b \\cdot h = ab \\cdot 1 = \\frac{1}{2}\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Prostopadłościan: \\(V = abc\\); przekątna prostopadłościanu z twierdzenia Pitagorasa; wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nBiegacz narciarski Borys wyruszył na trasę biegu o 10 minut później niż inny zawodnik,\nAdam. Metę zawodów, po przebyciu 15-kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali\nrównocześnie. Okazało się, że wartość średniej prędkości na całej trasie w przypadku Borysa\nbyła o 4,5 km\nh większa niż w przypadku Adama. Oblicz, w jakim czasie Adam pokonał całą\ntrasę biegu.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nOstatnia rata wynosi **65 zł**, a liczba wszystkich rat to **72**.\n\n## Sposób 1 - Układ równań (wzory na ciąg arytmetyczny)\n\n**Rozpoznajemy ciąg arytmetyczny:**\n- Pierwszy wyraz: \\(a_1 = 775\\)\n- Różnica: \\(r = -10\\) (każda rata jest o 10 zł mniejsza)\n- Suma wszystkich rat: \\(S_n = 30\\,240\\)\n\n**Krok 1 - wyrażamy ostatni wyraz przez \\(n\\):**\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 775 + (n-1) \\cdot (-10) = 775 - 10(n-1) = 785 - 10n\\]\n\n**Krok 2 - korzystamy ze wzoru na sumę:**\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = 30\\,240\\]\n\nPodstawiamy \\(a_n = 785 - 10n\\):\n\\[\\frac{775 + (785 - 10n)}{2} \\cdot n = 30\\,240\\]\n\\[\\frac{1560 - 10n}{2} \\cdot n = 30\\,240\\]\n\\[(780 - 5n) \\cdot n = 30\\,240\\]\n\n**Krok 3 - rozwiązujemy równanie kwadratowe:**\n\\[780n - 5n^2 = 30\\,240\\]\n\\[5n^2 - 780n + 30\\,240 = 0 \\quad |: 5\\]\n\\[n^2 - 156n + 6\\,048 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 156^2 - 4 \\cdot 6\\,048 = 24\\,336 - 24\\,192 = 144\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 12\\]\n\nPierwiastki:\n\\[n_1 = \\frac{156 - 12}{2} = \\frac{144}{2} = 72\\]\n\\[n_2 = \\frac{156 + 12}{2} = \\frac{168}{2} = 84\\]\n\n**Krok 4 - sprawdzamy, które rozwiązanie ma sens:**\n\nDla \\(n = 84\\):\n\\[a_{84} = 785 - 10 \\cdot 84 = 785 - 840 = -55 \\text{ zł}\\]\nRata ujemna - **brak sensu ekonomicznego**, odrzucamy.\n\nDla \\(n = 72\\):\n\\[a_{72} = 785 - 10 \\cdot 72 = 785 - 720 = \\mathbf{65 \\text{ zł}}\\]\nRata dodatnia - **rozwiązanie przyjmujemy**.\n\n**Wynik: liczba rat \\(n = 72\\), ostatnia rata \\(a_{72} = 65\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy wyniki są poprawne.\n\n**Sprawdzenie sumy:**\n\\[S_{72} = \\frac{a_1 + a_{72}}{2} \\cdot n = \\frac{775 + 65}{2} \\cdot 72 = \\frac{840}{2} \\cdot 72 = 420 \\cdot 72 = 30\\,240 \\text{ zł} \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie wzoru na wyraz ogólny:**\n\nCzy rata 72. wynosi 65 zł?\n\\[a_{72} = 775 + (72-1) \\cdot (-10) = 775 + 71 \\cdot (-10) = 775 - 710 = 65 \\text{ zł} \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie, że wszystkie raty są dodatnie:**\n\nOstatnia rata \\(a_{72} = 65 > 0\\) - warunek spełniony, żadna rata nie jest ujemna ani zerowa. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyrażenia ostatniej raty przez \\(n\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go do zapisania równania z warunkiem \\(S_n = 30\\,240\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na pierwiastki trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad n_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy go przy rozwiązywaniu równania kwadratowego \\(n^2 - 156n + 6\\,048 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje **dwa rozwiązania** (\\(n = 72\\) i \\(n = 84\\)). Zawsze sprawdź, czy ostatnia rata jest dodatnia - rata ujemna nie ma sensu fizycznego i trzeba to rozwiązanie odrzucić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = -10\\), nie \\(r = 10\\)! Raty **maleją**, więc różnica jest ujemna. Mylenie znaku to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze na sumę \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) mnożymy przez \\(n\\), nie przez \\(\\frac{n}{2}\\). Błąd zapisu prowadzi do nieprawidłowego równania kwadratowego.\n\n**Odpowiedź: Ostatnia rata wynosi 65 zł, liczba rat wynosi 72.**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRaty tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \\(a_1 = 775\\) zł i różnicy \\(r = -10\\) zł.\n\nWyraz \\(n\\)-ty (ostatnia rata):\n\\(a_n = 775 + (n - 1) \\cdot (-10) = 775 - 10(n - 1)\\)\n\nSuma \\(n\\) rat:\n\\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{775 + (775 - 10(n-1))}{2} \\cdot n = \\frac{1550 - 10(n-1)}{2} \\cdot n\\)\n\n\\(S_n = n \\cdot (780 - 5n)\\)\n\nPrzyrównujemy do 30 240:\n\\(n(780 - 5n) = 30\\,240\\)\n\\(780n - 5n^2 = 30\\,240\\)\n\\(5n^2 - 780n + 30\\,240 = 0\\)\n\\(n^2 - 156n + 6048 = 0\\)\n\n\\(\\Delta = 156^2 - 4 \\cdot 6048 = 24\\,336 - 24\\,192 = 144\\)\n\\(\\sqrt{\\Delta} = 12\\)\n\n\\(n = \\frac{156 \\pm 12}{2}\\)\n\\(n_1 = \\frac{168}{2} = 84\\) lub \\(n_2 = \\frac{144}{2} = 72\\)\n\nSprawdzamy, czy rata jest dodatnia:\n- \\(n = 84\\): \\(a_{84} = 775 - 10 \\cdot 83 = 775 - 830 = -55\\) zł ← **ujemna, odrzucamy**\n- \\(n = 72\\): \\(a_{72} = 775 - 10 \\cdot 71 = 775 - 710 = 65\\) zł ← **dodatnia** ✓\n\n**Sprawdzenie:** \\(S_{72} = \\frac{775 + 65}{2} \\cdot 72 = 420 \\cdot 72 = 30\\,240\\) zł ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Ciąg arytmetyczny: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\); wyróżnik równania kwadratowego \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}