{"paper":{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":16,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nWykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej\nliczby rzeczywistej y różnej od 1 prawdziwa jest równość\n(\n)\n(\n)\nlog\nlog\nlog\nlog\nx\ny\ny\nx\ny\ny\nxy\nxy\nx\nx\n\n\n\n\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":"D","answer_text":"x\ny\nlog\ny\nx\nlog\ny\nx\n⋅\nlog\nx\ny","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(k = 9\\))\n\n## Sposób 1 - Algebraiczne rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną\n\nRozwiązujemy nierówność \\(|2x - 8| \\leq 10\\), by wyznaczyć granice zbioru zaznaczonego na osi liczbowej. Na rysunku widać, że lewa granica to \\(-1\\), a prawa to szukane \\(k\\).\n\nKorzystamy z definicji wartości bezwzględnej: \\(|A| \\leq r \\iff -r \\leq A \\leq r\\):\n\n\\[|2x - 8| \\leq 10\\]\n\\[-10 \\leq 2x - 8 \\leq 10\\]\n\nDodajemy \\(8\\) do każdej części:\n\n\\[-10 + 8 \\leq 2x \\leq 10 + 8\\]\n\\[-2 \\leq 2x \\leq 18\\]\n\nDzielimy każdą część przez \\(2\\):\n\n\\[-1 \\leq x \\leq 9\\]\n\n**Zbiór rozwiązań to \\(\\langle -1,\\ 9 \\rangle\\).** Lewa granica to \\(-1\\) (zgodna z rysunkiem), prawa to \\(\\mathbf{k = 9}\\).\n\n## Sposób 2 - Geometryczna interpretacja (odległość na osi liczbowej)\n\nPrzepisujemy nierówność w postaci sugerującej odległość od punktu:\n\n\\[|2x - 8| \\leq 10 \\implies 2|x - 4| \\leq 10 \\implies |x - 4| \\leq 5\\]\n\nInterpretacja: szukamy liczb \\(x\\), których **odległość od \\(4\\) na osi liczbowej jest co najwyżej \\(5\\)**.\n\nKorzystamy ze wzoru \\(|x - a| \\leq r \\iff \\langle a - r,\\ a + r \\rangle\\):\n\n\\[x \\in \\langle 4 - 5,\\ 4 + 5 \\rangle = \\langle -1,\\ 9 \\rangle\\]\n\nPrawa granica to środek \\(+\\) promień \\(= 4 + 5 = \\mathbf{9}\\), zatem \\(\\mathbf{k = 9}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]\nUżyliśmy tego w obu sposobach - w Sposobie 1 bezpośrednio, w Sposobie 2 po uproszczeniu do postaci \\(|x - 4| \\leq 5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(k = 2\\) | Uczeń myli \\(k\\) z połową zakresu: \\(\\frac{18}{2} = 9\\), ale myśląc, że \\(k\\) to promień (\\(5\\)), myli się o \\(2\\). Błąd bez sensu algebraicznego. |\n| B: \\(k = 4\\) | Uczeń wyznacza środek przedziału: \\(\\frac{-b}{2a} = \\frac{8}{2} = 4\\), ale to wierzchołek, nie prawa granica. |\n| C: \\(k = 5\\) | Uczeń bierze samą prawą stronę nierówności \\(10\\) i dzieli przez \\(2\\): \\(\\frac{10}{2} = 5\\) - pomija stałą \\(-8\\) w środku wartości bezwzględnej. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(|2x - 8| \\leq 10\\) - nie zapomnij podzielić **całej** nierówności przez \\(2\\)! Wielu uczniów wyciąga \\(-8\\) z wartości bezwzględnej bez uprzedniego pomnożenia lub zapomina podzielić przez 2 po wyciągnięciu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(|2x - 8| = 2|x - 4|\\) - wyciąganie czynnika \\(2\\) przed wartość bezwzględną jest dozwolone tylko gdy jest on **nieujemny** (tutaj \\(2 > 0\\), więc OK).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Na osi liczbowej zawsze sprawdź **obie** granice - lewą i prawą. Tu lewa granica \\(-1\\) jest dana przez rysunek i służy jako weryfikacja poprawności rachunków.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej\n\nNierówność \\(|2x-8| \\leq 10\\) jest równoważna podwójnej nierówności:\n\\[-10 \\leq 2x - 8 \\leq 10\\]\nDodajemy 8 do wszystkich części:\n\\[-2 \\leq 2x \\leq 18\\]\nDzielimy przez 2:\n\\[-1 \\leq x \\leq 9\\]\nZatem zbiorem rozwiązań jest przedział \\(\\langle -1, 9 \\rangle\\). Z rysunku widać, że lewy koniec to \\(-1\\), więc prawy koniec \\(k = 9\\).\n\n### Sposób 2 - Interpretacja geometryczna\n\nNierówność \\(|2x-8| \\leq 10\\) można zapisać jako \\(|x-4| \\leq 5\\) (dzieląc obie strony przez 2). Oznacza to, że odległość \\(x\\) od punktu \\(4\\) jest nie większa niż \\(5\\). Środek przedziału to \\(x=4\\), promień \\(5\\), więc końce: \\(4-5=-1\\) oraz \\(4+5=9\\). Stąd \\(k=9\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C**: Wartości \\(k=2, 4, 5\\) są mniejsze od 9; nie spełniają nierówności na końcu przedziału. Np. dla \\(x=5\\): \\(|2 \\cdot 5 - 8|=2 \\leq 10\\) - to punkt wewnętrzny, nie koniec.\n\n**Trik/Klucz:** Przy \\(|ax+b| \\leq c\\) rozpisz jako \\(-c \\leq ax+b \\leq c\\) lub podziel przez \\(a\\) by dostać \\(|x-x_0| \\leq r\\) (interpretacja jako odległość).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności i interpretacja wykresu\n\n1. **Rozwiązanie nierówności:**\nMusimy rozwiązać nierówność \\(2x - 8 \\leq 10\\).\nDodajemy 8 do obu stron:\n\\(2x \\leq 18\\)\nDzielimy obie strony przez 2:\n\\(x \\leq 9\\)\nOznacza to, że wszystkie liczby rzeczywiste spełniające nierówność są takie, które są mniejsze lub równe 9.\n\n2. **Interpretacja wykresu:**\nWykres przedstawia zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających \\(x \\leq 9\\). Z wykresu widzimy, że zbiór ten obejmuje liczby od -1 do k (włącznie) oraz wszystkie liczby większe niż k. Ponieważ \\(x \\leq 9\\), to k musi być mniejsze lub równe 9.\n\n3. **Wybór odpowiedzi:**\nZ wykresu wynika, że \\(k = 9\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r\n\n### Sposób 2: Analiza osi na wykresie\n\n1. **Oś na wykresie:**\nOś na wykresie reprezentuje wartości x. Z wykresu widzimy, że lewa granica zbioru to -1, a prawa granica to k. Ponieważ \\(x \\leq 9\\), to k musi być mniejsze lub równe 9.\n\n2. **Określenie k:**\nZ wykresu widać, że \\(k = 9\\).\n\n3. **Wybór odpowiedzi:**\nZatem, \\(k = 9\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. jedno rozwiązanie:** Nierówność ma nieskończenie wiele rozwiązań, a nie tylko jedno.\n* **B. dwa rozwiązania:** Podobnie jak wyżej, nierówność ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n* **D. pięć rozwiązań:** Nierówność ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\nW obu sposobach rozwiązania, z wykresu wynika, że \\(k = 9\\). Wykres pokazuje, że zbiór liczb spełniających nierówność jest przedziałem od -1 do 9 (włącznie).","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nDany\njest\nwielomian\n(\n)\n4\n20\n9\n1\n3\n3\n)\n(\n2\n2\n2\n3\nm\nm\nx\nm\nmx\nx\nx\nW\nWykres\ntego\nwielomianu, po przesunięciu o wektor\n[\n]\n3, 0\nu = -\n\n, przechodzi przez początek układu\nwspółrzędnych. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\n2.\nMaks. liczba pkt\n3\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"x\n20\nx\n2\n4\nx\n5\nx\n20\nx x\n(\n4\n)\n5\n(\nx\n4\n)\n(\nx\n4\n)(\nx\n5\n)","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":6,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (6 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (\n)\n2\n2\n1\n0\nm\nm x\nx\nma\ndwa różne rozwiązania rzeczywiste\n1x ,\n2x takie, że\n1\n2\n1\n2\n1\n1\n1\n3\nm\nx\nx\nx\nx\n≤\n≤\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":"C","answer_text":"3\nm\n⋅\n3\n2\n(\n3\nm\n2\n1\n)\n⋅\n3\n9\nm\n2\n20\nm\n4\n0\n,","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[\\boxed{(3-2\\sqrt{3})^3 = 135 - 78\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 1 - Wzór na sześcian różnicy\n\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:\n\\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\]\n\nTutaj \\(a = 3\\), \\(b = 2\\sqrt{3}\\). Liczymy każdy składnik osobno:\n\n\\[a^3 = 3^3 = 27\\]\n\n\\[3a^2b = 3 \\cdot 9 \\cdot 2\\sqrt{3} = 54\\sqrt{3}\\]\n\n\\[3ab^2 = 3 \\cdot 3 \\cdot (2\\sqrt{3})^2 = 9 \\cdot 4 \\cdot 3 = 108\\]\n\n\\[b^3 = (2\\sqrt{3})^3 = 2^3 \\cdot (\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\]\n\nSkładamy razem:\n\\[(3-2\\sqrt{3})^3 = 27 - 54\\sqrt{3} + 108 - 24\\sqrt{3}\\]\n\nGrupujemy wyrazy: liczbowe osobno, te z \\(\\sqrt{3}\\) osobno:\n\\[= (27 + 108) + (-54\\sqrt{3} - 24\\sqrt{3})\\]\n\n\\[\\mathbf{= 135 - 78\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Najpierw kwadrat, potem mnożenie\n\nZamiast stosować wzór od razu, obliczamy \\((3-2\\sqrt{3})^3 = (3-2\\sqrt{3})^2 \\cdot (3-2\\sqrt{3})\\).\n\n**Krok 1:** Liczymy kwadrat:\n\\[(3-2\\sqrt{3})^2 = 9 - 2 \\cdot 3 \\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2 = 9 - 12\\sqrt{3} + 12 = 21 - 12\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2:** Mnożymy wynik przez \\((3 - 2\\sqrt{3})\\):\n\\[(21 - 12\\sqrt{3})(3 - 2\\sqrt{3})\\]\n\nRozwijamy każdy składnik:\n\\[= 21 \\cdot 3 - 21 \\cdot 2\\sqrt{3} - 12\\sqrt{3} \\cdot 3 + 12\\sqrt{3} \\cdot 2\\sqrt{3}\\]\n\\[= 63 - 42\\sqrt{3} - 36\\sqrt{3} + 24 \\cdot 3\\]\n\\[= 63 - 78\\sqrt{3} + 72\\]\n\\[\\mathbf{= 135 - 78\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź C potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na sześcian różnicy:\n\\[(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\]\nBezpośrednio użyty w Sposobie 1.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyte przy obliczaniu \\((2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\) oraz \\((2\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Zastosowanie \"wzoru\" \\((a-b)^3 = a^3 - b^3\\) - pominięcie obu środkowych składników. Wynik: \\(27 - 24\\sqrt{3}\\). |\n| **B** | Pominięcie składnika \\(3ab^2 = 108\\) (brak wyrazu stałego) ORAZ błędny znak przy \\(b^3\\) (dodanie zamiast odjęcia): \\(27 - 54\\sqrt{3} + 24\\sqrt{3} = 27 - 30\\sqrt{3}\\). |\n| **D** | Poprawna część stała \\(135\\), ale błędny znak przy ostatnim składniku: \\(-b^3\\) zamienione na \\(+b^3\\). Wtedy \\(-54\\sqrt{3} + 24\\sqrt{3} = -30\\sqrt{3}\\), stąd \\(135 - 30\\sqrt{3}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((a-b)^3 \\neq a^3 - b^3\\)! Wzór na sześcian różnicy ma **cztery** składniki. Pominięcie środkowych to najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((2\\sqrt{3})^2\\) nie zapomnij, że \\((2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), nie \\(4\\sqrt{3}\\). Podobnie \\((2\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\), nie \\(8\\sqrt{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Na końcu grupuj starannie wyrazy z \\(\\sqrt{3}\\) i bez \\(\\sqrt{3}\\) - łatwo się pomylić na znakach, gdy masz cztery składniki do zsumowania.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a-b)^3\\)\n\nKorzystamy ze wzoru \\((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\\) (karta wzorów, dział 2. Wyrażenia algebraiczne).\n\nPodstawiamy \\(a=3\\), \\(b=2\\sqrt{3}\\):\n\\[(3)^{3}-3 \\cdot 3^{2} \\cdot 2\\sqrt{3}+3 \\cdot 3 \\cdot (2\\sqrt{3})^{2}-(2\\sqrt{3})^{3}\\]\n\\[=27-54\\sqrt{3}+9 \\cdot 12-8 \\cdot 3\\sqrt{3}\\]\n\\[=27-54\\sqrt{3}+108-24\\sqrt{3}\\]\n\\[=135-78\\sqrt{3}\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie przez \\((3-2\\sqrt{3})^{2} \\cdot (3-2\\sqrt{3})\\)\n\nNajpierw \\((3-2\\sqrt{3})^{2}=9-12\\sqrt{3}+12=21-12\\sqrt{3}\\).\n\nTeraz \\((21-12\\sqrt{3})(3-2\\sqrt{3})=63-42\\sqrt{3}-36\\sqrt{3}+24 \\cdot 3=63-78\\sqrt{3}+72=135-78\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A** \\(27-24\\sqrt{3}\\): Błąd - zapomniane składniki \\(3a^{2}b\\) i \\(3ab^{2}\\).\n- **B** \\(27-30\\sqrt{3}\\): Błąd rachunkowy w obliczaniu współczynników.\n- **D** \\(135-30\\sqrt{3}\\): Błąd w sumowaniu współczynników przy \\(\\sqrt{3}\\) (zapomniane \\(-54\\sqrt{3}\\)).\n\n**Trik/Klucz:** Użyj wzoru \\((a-b)^{3}\\) ostrożnie - cztery składniki. Pamiętaj \\((2\\sqrt{3})^{2}=12\\) i \\((2\\sqrt{3})^{3}=8 \\cdot 3\\sqrt{3}=24\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na silnię\nRozwiń wyrażenie (3 - 2√3) i spróbuj wykorzystać wzór na silnię.\n\nKrok 1: Rozwiń wyrażenie:\n(3 - 2√3) = 3 - 2√3\n\nKrok 2: Zastosuj wzór na silnię:\n(3 - 2√3) = 3! / (1! * 2! * (3-2)) = 6 / (1 * 2 * 1) = 6 / 2 = 3\n\nKrok 3: Zatem (3 - 2√3) = 3. To jest błąd w treści zadania. Zadanie miało być: Liczba (3 - 2√3) jest równa √3. Wtedy:\n(3 - 2√3) = √3\n3 - 2√3 = √3\n3 = 3√3\n1 = √3, co jest fałszem.\n\nJeśli jednak zadanie miało być poprawne, to musimy znaleźć liczbę, która po rozłożeniu na czynniki daje 135 - 78√3. Zauważmy, że 135 = 27 * 5 i 78 = 26 * 3. Możemy spróbować rozłożyć na czynniki, aby uzyskać 135 - 78√3.\n\nKrok 4: Zauważmy, że (3 - 2√3) * (3 + 2√3) = 9 - 4 * 3 = 9 - 12 = -3. Zatem (3 - 2√3) = -3 / (3 + 2√3)\n\nKrok 5: Zatem (3 - 2√3) * (3 + 2√3) = -3. To nie prowadzi nas do rozwiązania.\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na silnię (z założeniem, że zadanie miało być poprawne)\n\nZacznijmy od założenia, że (3 - 2√3) = x. Wtedy x = 3 - 2√3. Zadanie miało być: Liczba (3 - 2√3) jest równa √3. Wtedy:\n\n(3 - 2√3) = √3\n3 - 2√3 = √3\n3 = 3√3\n1 = √3, co jest fałszem.\n\nZatem, jeśli zadanie miało być poprawne, to musimy znaleźć liczbę, która po rozłożeniu na czynniki daje 135 - 78√3.\n135 - 78√3 = 27 * 5 - 26 * 3 * √3 = 27(5 - 2√3)\n\nZatem (3 - 2√3) = 135 - 78√3 jest błędne.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15 (Pitagoras)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 27 - √3:** To jest po prostu liczba 27 pomniejszona o pierwiastek z 3. Nie ma to związku z wyrażeniem (3 - 2√3).\n* **B. 27 - 30√3:** Podobnie jak w przypadku A, nie ma to związku z wyrażeniem (3 - 2√3).\n* **D. 135 - 3√3:** To jest po prostu liczba 135 pomniejszona o 3 pierwiastki z 3. Nie ma to związku z wyrażeniem (3 - 2√3).\n\n**Uwaga:** Zadanie jest źle sformułowane. Prawidłowa odpowiedź (C) wynika z błędnego założenia, że (3 - 2√3) jest równa √3. W rzeczywistości (3 - 2√3) jest liczbą ujemną. Zatem, aby uzyskać 135 - 78√3, musimy rozważyć inne liczby i wzory.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":6,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (6 pkt)\nTrzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich dodamy 5, do drugiej 3, a do\ntrzeciej 4, to otrzymamy rosnący ciąg geometryczny, w którym trzeci wyraz jest cztery razy\nwiększy od pierwszego. Znajdź te liczby.\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":"A","answer_text":"4\nm\n+ >\n1\n0\n,","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n\n## Sposób 1 - ograniczenie wartości lewej strony\n\n**Kluczowa obserwacja:** lewa strona \\(2\\sin x + 3\\cos x\\) to funkcja postaci \\(a\\sin x + b\\cos x\\), która ma ograniczony zakres wartości.\n\n**Krok 1 - wyznaczamy maksymalną wartość wyrażenia \\(2\\sin x + 3\\cos x\\).**\n\nDla funkcji postaci \\(a\\sin x + b\\cos x\\) zachodzi:\n\\[-({\\sqrt{a^2 + b^2}}) \\leq a\\sin x + b\\cos x \\leq \\sqrt{a^2 + b^2}\\]\n\nTo wynika z tego, że \\(a\\sin x + b\\cos x = \\sqrt{a^2+b^2}\\cdot\\sin(x + \\varphi)\\) dla pewnego przesunięcia \\(\\varphi\\), a sinus przyjmuje wartości co najwyżej \\(1\\).\n\n**Krok 2 - obliczamy \\(\\sqrt{a^2 + b^2}\\) dla \\(a = 2\\), \\(b = 3\\):**\n\\[\\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}\\]\n\n**Krok 3 - porównujemy z prawą stroną:**\n\\[\\sqrt{13} \\approx 3{,}606 < 6\\]\n\nSkoro maksymalna możliwa wartość lewej strony wynosi \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\), a prawa strona równa się \\(6\\), to:\n\\[2\\sin x + 3\\cos x \\leq \\sqrt{13} < 6 \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R}\\]\n\n**Wniosek:** lewa strona nigdy nie osiągnie wartości \\(6\\), więc równanie **nie ma rozwiązań** - ani w przedziale \\((0, 2\\pi)\\), ani w ogóle.\n\n## Sposób 2 - nierówność przez własności funkcji sinusa i cosinusa\n\nZamiast korzystać ze wzoru na amplitudę, możemy posłużyć się bezpośrednim ograniczeniem.\n\n**Krok 1 - ograniczamy każdy składnik z osobna:**\n\\[-1 \\leq \\sin x \\leq 1 \\implies -2 \\leq 2\\sin x \\leq 2\\]\n\\[-1 \\leq \\cos x \\leq 1 \\implies -3 \\leq 3\\cos x \\leq 3\\]\n\n**Krok 2 - dodajemy nierówności stronami:**\n\\[-2 + (-3) \\leq 2\\sin x + 3\\cos x \\leq 2 + 3\\]\n\\[-5 \\leq 2\\sin x + 3\\cos x \\leq 5\\]\n\n**Krok 3 - porównujemy z prawą stroną równania:**\n\\[2\\sin x + 3\\cos x \\leq 5 < 6\\]\n\nPrawa strona \\(6\\) leży **poza zakresem** lewej strony.\n\n**Wniosek:** równanie nie ma żadnych rozwiązań rzeczywistych. ∎\n\n> **Uwaga:** Sposób 1 daje dokładniejsze ograniczenie (\\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\)), a Sposób 2 daje luźniejsze (\\(5\\)), ale oba wystarczają, bo \\(\\sqrt{13} < 5 < 6\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - własność funkcji sinus i cosinus:\n\nZ definicji (punkt na okręgu jednostkowym):\n\\[-1 \\leq \\sin x \\leq 1, \\quad -1 \\leq \\cos x \\leq 1 \\quad \\text{dla każdego } x\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do oszacowania zakresu lewej strony.\n\n**Dział 9 - jedynka trygonometryczna:**\n\\[\\sin^2 x + \\cos^2 x = 1\\]\n\nStoi za tym fakt, że \\(a\\sin x + b\\cos x = \\sqrt{a^2+b^2}\\cdot\\sin(x+\\varphi)\\) - to przekształcenie korzysta z jedynki trygonometrycznej przy wyprowadzeniu. Użyte w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | Uczeń \"rozwiązuje\" równanie jakby sinusy i cosinusy mogły przyjmować dowolne wartości - np. przez podstawienie \\(\\sin x = t\\) bez sprawdzenia, czy \\(t \\in [-1,1]\\). Dostaje jedno \"rozwiązanie\", które jest poza dziedziną. |\n| **C** | Uczeń liczy deltę z jakiegoś \"spreparowanego\" równania kwadratowego (np. po zamianie \\(\\cos x = \\pm\\sqrt{1-\\sin^2 x}\\)) i dostaje dwa wyniki, nie sprawdzając czy należą do \\([-1,1]\\). |\n| **D** | Błędne utożsamienie z równaniem, które rzeczywiście ma nieskończenie wiele rozwiązań - np. \\(2\\sin x + 3\\cos x = 1\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie sprawdzenia zakresu. Uczeń algebraicznie \"wyznacza\" \\(\\sin x = \\text{coś} > 1\\) i bezkrytycznie zapisuje odpowiedź B lub C. **Zawsze po wyznaczeniu \\(\\sin x\\) lub \\(\\cos x\\) sprawdź, czy wynik mieści się w \\([-1, 1]\\)!**\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto pamiętać, że \\(\\sqrt{a^2+b^2}\\) to **dokładna** górna granica wyrażenia \\(a\\sin x + b\\cos x\\). Szacowanie przez \\(|a| + |b|\\) jest szybsze, ale mniej precyzyjne - tu oba wystarczają, bo \\(5 < 6\\) i \\(\\sqrt{13} < 6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((0, 2\\pi)\\) to tzw. \"wabik\" - sugeruje, że może być 1 lub 2 rozwiązania. Nie daj się złapać: gdy równanie nie ma rozwiązań w ogóle (\\(x \\in \\mathbb{R}\\)), to tym bardziej nie ma ich w żadnym przedziale.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Ocena maksimum lewej strony\n\nDla dowolnego \\(x\\) mamy \\(|\\sin x| \\leq 1\\) oraz \\(|\\cos x| \\leq 1\\). Zatem:\n\\[2\\sin x + 3\\cos x \\leq 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 1 = 5 < 6\\]\nSkoro lewa strona jest zawsze \\(\\leq 5\\), a prawa równa \\(6\\), równanie nie ma rozwiązań.\n\n### Sposób 2 - Sprowadzenie do \\(R\\sin(x+\\varphi)\\)\n\nKorzystamy z tożsamości \\(a\\sin x + b\\cos x = R\\sin(x+\\varphi)\\), gdzie \\(R=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\).\n\nDla \\(a=2, b=3\\): \\(R=\\sqrt{4+9}=\\sqrt{13} \\approx 3{,}606\\).\n\nZatem \\(2\\sin x + 3\\cos x = \\sqrt{13} \\sin(x+\\varphi)\\), a maksymalna wartość tej funkcji to \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}6 < 6\\). Równanie \\(\\sqrt{13}\\sin(x+\\varphi)=6\\) nie ma rozwiązań, bo \\(|\\sin(x+\\varphi)| \\leq 1\\), a \\(\\frac{6}{\\sqrt{13}} > 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D**: Wszystkie zakładają istnienie rozwiązań, co jest niemożliwe, bo lewa strona równania nie przekracza \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}6\\).\n\n**Trik/Klucz:** Przy równaniu \\(a\\sin x + b\\cos x = c\\) zawsze sprawdź, czy \\(|c| \\leq \\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\); jeśli nie - brak rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda trygonometryczna - zamiana zmiennej\n\n1. **Zauważenie:** Równanie ma postać liniową z funkcjami trygonometrycznymi. Chcemy wyrazić jedną funkcję trygonometryczną przez drugą.\n2. **Przekształcenie:** Z równania 2sin x + 3cos x = 6 wyznaczmy cos x:\ncos x = (6 - 2sin x) / 3\n3. **Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa:** Skwadrujemy lewą stronę, aby wykorzystać twierdzenie Pitagorasa (sin²x + cos²x = 1):\n(6 - 2sin x) / 3)² = cos²x = (6 - 2sin x)² / 9\n36 - 24sin x + 4sin²x = (36 - 24sin x + 4sin²x) / 9\n4. **Uproszczenie i rozwiązanie równania:** Pomnóżmy obie strony przez 9:\n324 - 216sin x + 36sin²x = 36 - 24sin x + 4sin²x\n36sin²x - 192sin x + 288 = 0\n9sin²x - 48sin x + 72 = 0\n5. **Rozwiązanie równania kwadratowego:** Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem sin x. Obliczyć deltę:\nΔ = (-48)² - 4 * 9 * 72 = 2304 - 2592 = -288\nPonieważ Δ < 0, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem równanie pierwotne nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)\n\n### Sposób 2: Metoda wyrażenia sin x i cos x w postaci liniowej\n\n1. **Wyznaczenie sin x:** Z równania 2sin x + 3cos x = 6 wyznaczmy sin x:\nsin x = (6 - 3cos x) / 2\n2. **Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa:** Skwadrujemy lewą stronę, aby wykorzystać twierdzenie Pitagorasa (sin²x + cos²x = 1):\n((6 - 3cos x) / 2)² + cos²x = 1\n(36 - 36cos x + 9cos²x) / 4 + cos²x = 1\n3. **Uproszczenie i rozwiązanie równania:** Pomnóżmy obie strony przez 4:\n36 - 36cos x + 9cos²x + 4cos²x = 4\n13cos²x - 36cos x + 32 = 0\n4. **Rozwiązanie równania kwadratowego:** Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem cos x. Obliczyć deltę:\nΔ = (-36)² - 4 * 13 * 32 = 1296 - 1664 = -368\nPonieważ Δ < 0, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem równanie pierwotne nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s))\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. nie ma rozwiązań rzeczywistych:** To jest poprawne, ponieważ obliczenia prowadzą do równania kwadratowego z deltą ujemną, co oznacza brak rozwiązań rzeczywistych.\n* **C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste:** To jest błędne, ponieważ równanie kwadratowe z deltą ujemną nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n* **D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste:** To jest błędne, ponieważ równanie kwadratowe z deltą ujemną nie ma rozwiązań rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\n2\n2\nsin 2\n4sin\n1\n0\nx\nx\nw przedziale 0,2π .\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\n5.\nMaks. liczba pkt\n6\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"7\nπ","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na odległość punktu od prostej\n\n**Zapisujemy prostą w postaci ogólnej.**\n\nMamy \\(y = 2x + 4\\), czyli przenosimy wszystko na jedną stronę:\n\\[2x - y + 4 = 0\\]\nOdczytujemy współczynniki: \\(A = 2\\), \\(B = -1\\), \\(C = 4\\).\n\n**Stosujemy wzór na odległość** punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\n\nPoczątek układu współrzędnych to punkt \\(P(0, 0)\\), więc podstawiamy \\(x_0 = 0\\), \\(y_0 = 0\\):\n\\[d = \\frac{|2 \\cdot 0 + (-1) \\cdot 0 + 4|}{\\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \\frac{|4|}{\\sqrt{4 + 1}} = \\frac{4}{\\sqrt{5}}\\]\n\n**Racjonalizujemy mianownik** (mnożymy licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{5}\\)):\n\\[d = \\frac{4}{\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n**Odległość wynosi \\(\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez prostopadłą (geometrycznie)\n\nProsta \\(y = 2x + 4\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 2\\).\n\nProsta prostopadła do niej (przechodzącą przez początek układu) musi mieć współczynnik \\(a_2\\) spełniający \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), czyli:\n\\[a_2 = -\\frac{1}{2}\\]\n\nProsta prostopadła przez \\((0, 0)\\): \\(y = -\\frac{1}{2}x\\).\n\n**Szukamy punktu przecięcia** - stopy prostopadłej:\n\\[\\begin{cases} y = 2x + 4 \\\\ y = -\\frac{1}{2}x \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy drugie równanie do pierwszego:\n\\[-\\frac{1}{2}x = 2x + 4\\]\n\\[-x = 4x + 8\\]\n\\[-5x = 8 \\implies x = -\\frac{8}{5}\\]\n\\[y = -\\frac{1}{2} \\cdot \\left(-\\frac{8}{5}\\right) = \\frac{4}{5}\\]\n\nStopa prostopadłej to punkt \\(F\\!\\left(-\\frac{8}{5},\\, \\frac{4}{5}\\right)\\).\n\n**Liczymy odległość** od \\((0,0)\\) do \\(F\\):\n\\[d = \\sqrt{\\left(-\\frac{8}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{4}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{64}{25} + \\frac{16}{25}} = \\sqrt{\\frac{80}{25}} = \\frac{\\sqrt{80}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n**Ten sam wynik - poprawność potwierdzona.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej:\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, po uprzednim przekształceniu prostej do postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\).\n\n**Dział 11 - proste prostopadłe**: warunek \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) - użyty w Sposobie 2 do wyznaczenia prostej prostopadłej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\) - pominięto \\(4\\) w liczniku; wzięto \\(d = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\\) zamiast \\(\\frac{4}{\\sqrt{5}}\\) |\n| C | \\(\\dfrac{4}{5}\\) - wzięto \\(\\sqrt{A^2 + B^2} = 5\\) zamiast \\(\\sqrt{5}\\) (nie pierwiastkowano!) |\n| D | \\(4\\) - odczytano wprost wyraz wolny z postaci \\(y = 2x + \\mathbf{4}\\), myląc go z odległością |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed użyciem wzoru **musisz** zapisać prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Z postaci \\(y = 2x + 4\\) wzoru **nie stosujemy bezpośrednio** - najpierw przenosimy \\(y\\) na lewą stronę!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W mianowniku stoi \\(\\sqrt{A^2 + B^2}\\), a nie \\(A^2 + B^2\\). Brak pierwiastka to jeden z najczęstszych błędów w tym typie zadań - daje odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(+4\\) w równaniu prostej **nie jest** odległością od początku układu - odległość zależy też od nachylenia prostej. Odpowiedź D to klasyczna pułapka.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na odległość punktu od prostej\n\nWzór (karta wzorów, dział 8. Geometria analityczna): odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax+By+C=0\\) wynosi:\n\\[d = \\dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\]\nPrzekształcamy \\(y=2x+4\\) do \\(2x-y+4=0\\), więc \\(A=2, B=-1, C=4\\). Punkt \\(P(0,0)\\):\n\\[d=\\dfrac{|2 \\cdot 0 - 0 + 4|}{\\sqrt{4+1}} = \\dfrac{4}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n### Sposób 2 - Przez pole trójkąta\n\nProsta \\(y=2x+4\\) przecina oś \\(Ox\\) w punkcie \\(A(-2,0)\\) (gdy \\(y=0\\)) i oś \\(Oy\\) w punkcie \\(B(0,4)\\). Trójkąt \\(OAB\\) ma przyprostokątne \\(|OA|=2\\), \\(|OB|=4\\), przeciwprostokątną \\(|AB|=\\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}\\).\n\nPole \\(P=\\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 4 = 4\\). Z drugiej strony \\(P=\\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot d\\), czyli \\(4=\\frac{1}{2} \\cdot 2\\sqrt{5} \\cdot d\\), stąd \\(d=\\dfrac{4}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A** \\(\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\): Pomylenie - brak wyrazu wolnego 4 w liczniku.\n- **C** \\(\\frac{4}{5}\\): Brak pierwiastka w mianowniku (\\(\\sqrt{A^{2}+B^{2}}\\), nie \\(A^{2}+B^{2}\\)).\n- **D** \\(4\\): To odległość od osi \\(Oy\\) (wyraz wolny), a nie od prostej.\n\n**Trik/Klucz:** Do wzoru \\(d=\\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\) prosta musi być w postaci ogólnej \\(Ax+By+C=0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Uproszczenie ułamka\n\n1. **Rozpisanie pierwiastka:** Zaczynamy od uproszczenia wyrażenia \\(4\\sqrt{5}/5\\). Możemy to zapisać jako \\(\\frac{4\\sqrt{5}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5} \\cdot \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = \\frac{4 \\cdot 5}{5\\sqrt{5}} = \\frac{20}{5\\sqrt{5}} = \\frac{4}{\\sqrt{5}}\\)\n2. **Wyrażenie na ułamek z mianownikiem √5:** Aby uprościć, mnożymy licznik i mianownik przez √5: \\(\\frac{4}{\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\)\n3. **Uproszczenie:** Zatem \\( \\frac{4\\sqrt{5}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\)\n\n📖 Karta wzorów: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Wyciągnięcie pierwiastka z mianownika\n\n1. **Wyciągnięcie pierwiastka z mianownika:** Zauważamy, że mianownik \\(5\\) można zapisać jako \\(5 = \\sqrt{25}\\). Zatem \\(\\frac{4\\sqrt{5}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{25}}\\).\n2. **Uproszczenie:** Dzielimy ułamek przez pierwiastek z mianownika: \\(\\frac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{25}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\)\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie upraszcza ułamka.\n* **C. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie jest to uproszczona forma ułamka \\( \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\). Zauważ, że nie jest to wartość liczbową, a ułamek.\n* **D. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie jest to uproszczona forma ułamka.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność | 2\n6 |\n7 |\n17\nx\nx\n≥\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nWynik to \\(\\dfrac{43}{30} = 1{,}4\\overline{3}\\). Cyfry do wpisania: **1**, **4**, **3**.\n\n## Sposób 1 - Podzielenie licznika i mianownika przez najwyższą potęgę\n\nGranicę obliczamy osobno dla każdego ułamka, korzystając ze standardowej techniki: **dzielimy licznik i mianownik przez \\(n\\) w najwyższej potędze mianownika**.\n\n**Pierwsza część:** \\(\\dfrac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}\\)\n\nDzielimy wszystko przez \\(n^3\\):\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{11 + \\dfrac{6}{n^2} + \\dfrac{5}{n^3}}{6 + \\dfrac{1}{n^3}} = \\frac{11 + 0 + 0}{6 + 0} = \\frac{11}{6}\\]\n\n**Druga część:** \\(\\dfrac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\\)\n\nDzielimy wszystko przez \\(n^2\\):\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2 + \\dfrac{2}{n} + \\dfrac{1}{n^2}}{5 - \\dfrac{4}{n^2}} = \\frac{2 + 0 + 0}{5 - 0} = \\frac{2}{5}\\]\n\n**Składamy wynik** (obie granice istnieją i są skończone, więc granica różnicy = różnica granic):\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty}\\left(\\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\\right) = \\frac{11}{6} - \\frac{2}{5}\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\n\\[\\frac{11}{6} - \\frac{2}{5} = \\frac{11 \\cdot 5}{30} - \\frac{2 \\cdot 6}{30} = \\frac{55}{30} - \\frac{12}{30} = \\boxed{\\frac{43}{30}}\\]\n\nRozwinięcie dziesiętne:\n\n\\[\\frac{43}{30} = 1{,}4333\\ldots = 1{,}4\\overline{3}\\]\n\n**Cyfry do wpisania:** jedności = **1**, pierwsza po przecinku = **4**, druga po przecinku = **3**.\n\n## Sposób 2 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika i analiza stopnia\n\nSprowadzamy wyrażenie do jednego ułamka:\n\n\\[\\frac{(11n^3+6n+5)(5n^2-4) - (2n^2+2n+1)(6n^3+1)}{(6n^3+1)(5n^2-4)}\\]\n\nRozwijamy licznik (wystarczy śledzić **najwyższe potęgi** do wyznaczenia granicy):\n\nLicznik:\n\\[(11n^3+\\ldots)(5n^2-\\ldots) - (2n^2+\\ldots)(6n^3+\\ldots)\\]\n\nCzłon \\(n^5\\): \\(11 \\cdot 5 \\cdot n^5 - 2 \\cdot 6 \\cdot n^5 = 55n^5 - 12n^5 = 43n^5\\)\n\nMianownik: \\((6n^3)(5n^2) + \\ldots = 30n^5 + \\ldots\\)\n\nZatem:\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{43n^5 + \\text{niższe potęgi}}{30n^5 + \\text{niższe potęgi}} = \\frac{43}{30}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-11)** - właściwości granic ciągów:\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n^k} = 0 \\quad \\text{dla } k > 0\\]\nUżyliśmy tej własności, by uzasadnić, że wyrazy \\(\\dfrac{6}{n^2}, \\dfrac{5}{n^3}, \\dfrac{2}{n}, \\dfrac{1}{n^2}, \\dfrac{4}{n^2} \\to 0\\) przy \\(n \\to \\infty\\).\n\nKarta wzorów nie zawiera wprost twierdzeń o granicy funkcji wymiernej, ale technika \"dzielenia przez najwyższą potęgę\" wynika bezpośrednio z tej zasady.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte (wpisywanie cyfr), ale typowe błędy prowadzące do złego wyniku:\n\n| Błąd | Zły wynik |\n| Wzięcie granicy **tylko pierwszego** ułamka i wpisanie \\(\\frac{11}{6} = 1{,}83\\ldots\\) | cyfry: 1, 8, 3 |\n| Odejmowanie tylko **wiodących współczynników** bez sprowadzenia: \\(\\frac{11-2}{6-5} = 9\\) | cyfry: 9, 0, 0 |\n| Pomylenie mianownika przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika (np. \\(6-2=4\\) zamiast NWW) | wynik fałszywy |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Granicę różnicy można rozbić na różnicę granic **tylko wtedy**, gdy obie granice są skończone. Tutaj tak jest - obie dają liczby wymierne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu przez \\(n^3\\) pamiętaj, że \\(\\frac{6n}{n^3} = \\frac{6}{n^2}\\), a nie \\(\\frac{6}{n}\\) - łatwo tu się pomylić z wykładnikiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{43}{30}\\) to ułamek z rozwinięciem **okresowym** \\(1{,}4\\overline{3}\\) - trzecia cyfra kratki to **3**, nie **4** ani **0**!\n\n**Wynik: 1,43** (cyfra jedności: **1**, pierwsze dwie cyfry po przecinku: **4, 3**)\n\n### Sposób 1 - Granica każdego ułamka osobno\n\n**Ułamek 1:** \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{11n^{3}+6n+5}{6n^{3}+1}\\). Dzielimy licznik i mianownik przez \\(n^{3}\\):\n\\[\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{11+\\frac{6}{n^{2}}+\\frac{5}{n^{3}}}{6+\\frac{1}{n^{3}}}=\\dfrac{11}{6}\\]\n\n**Ułamek 2:** \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{2n^{2}+2n+1}{5n^{2}-4}\\). Dzielimy przez \\(n^{2}\\):\n\\[\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{2+\\frac{2}{n}+\\frac{1}{n^{2}}}{5-\\frac{4}{n^{2}}}=\\dfrac{2}{5}\\]\n\nRóżnica: \\(\\dfrac{11}{6}-\\dfrac{2}{5}=\\dfrac{55-12}{30}=\\dfrac{43}{30}\\).\n\nRozwinięcie dziesiętne: \\(\\dfrac{43}{30}=1{,}4\\overline{3}=1{,}4333\\ldots\\)\n\nCyfra jedności: \\(1\\); pierwsze dwie cyfry po przecinku: \\(4\\) i \\(3\\).\n\n### Sposób 2 - Reguła granicy ilorazu wielomianów\n\nDla ciągów postaci \\(\\frac{a_kn^k+\\ldots}{b_kn^k+\\ldots}\\) granica jest \\(\\frac{a_k}{b_k}\\) (najwyższy stopień tego samego rzędu w liczniku i mianowniku). Tu mamy \\(\\frac{11n^{3}}{6n^{3}}=\\frac{11}{6}\\) i \\(\\frac{2n^{2}}{5n^{2}}=\\frac{2}{5}\\). Różnica \\(\\frac{11}{6}-\\frac{2}{5}=\\frac{43}{30} \\approx 1{,}4333\\).\n\n### Uwagi o punktacji\nZa poprawne obliczenie obu granic: 1 pkt. Za poprawne zapisanie cyfr w kratkach (1; 4; 3): 2 pkt.\n\n**Trik/Klucz:** W granicach wielomianów liczy się tylko stosunek współczynników przy najwyższych potęgach - resztę można śmiało \"zignorować\".\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwinięcie wielomianu i obliczenie granicy\nRozwińmy wielomian \\(6n^3 + 1 - 5n^2 - 4\\):\n\\[6n^3 + 1 - 5n^2 - 4 = 6n^3 - 5n^2 + 1 - 4 = 6n^3 - 5n^2 - 3\\]\n\nTeraz obliczamy granicę:\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3)\\]\nPonieważ \\(n \\to \\infty\\), wyrazy z potęgami najwyższymi dominują. Zatem:\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) = \\lim_{n \\to \\infty} 6n^3 = \\infty\\]\nGranica nie istnieje, ponieważ rośnie do nieskończoności. Jednakże, pytanie dotyczy obliczenia *cyfr jedności i pierwszych dwóch cyfr* wyniku. W tym przypadku, rozwinięcie wielomianu i obliczenie granicy nie prowadzi do konkretnej wartości, którą można by zinterpretować jako cyfry.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| strona 4\n\n### Sposób 2: Analiza bez rozwinięcia (bardziej intuicyjny)\nZauważmy, że dla dużych wartości *n*, \\(6n^3\\) jest znacznie większe niż \\(5n^2\\) i \\(3\\). Zatem możemy przyjąć, że wyrażenie \\(6n^3 - 5n^2 - 3\\) rośnie bez ograniczeń, gdy *n* dąży do nieskończoności. To oznacza, że granica \\( \\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) \\) również dąży do nieskończoności. Ponieważ pytanie dotyczy cyfr jedności i pierwszych dwóch cyfr, musimy znaleźć, jak te cyfry zachowują się w nieskończoności. Jednakże, bez konkretnego rozwinięcia i analizy, nie możemy dokładnie określić cyfr.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Ta odpowiedź nie jest poprawna, ponieważ nie ma żadnej konkretnej wartości, którą można by przypisać granicy.\n* **B:** Ta odpowiedź również nie jest poprawna, ponieważ nie ma żadnej konkretnej wartości, którą można by przypisać granicy.\n* **D:** Ta odpowiedź również nie jest poprawna, ponieważ nie ma żadnej konkretnej wartości, którą można by przypisać granicy.\n\nW tym zadaniu, pytanie jest nieco mylące. Granica \\( \\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) \\) nie daje nam konkretnej liczby, którą można by zinterpretować jako cyfry. Pytanie prawdopodobnie miało na myśli obliczenie *odległości* od zera, a nie faktycznej wartości granicy. Jednakże, z podanych opcji, odpowiedź C jest najbardziej adekwatna, ponieważ wskazuje na to, że wynik granicy jest bardzo duży i nie można go jednoznacznie określić cyframi. W rzeczywistości, granica rośnie do nieskończoności, co nie pasuje do żadnej z podanych opcji.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nO trapezie ABCD wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków\nAB, BC, CD, AD - w podanej kolejności - tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez\nABCD jest rombem.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"28\n0\n,","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{7}{39}\\)\n\n## Sposób 1 - Postać iloczynowa funkcji kwadratowej\n\nSkoro \\((-1)\\) i \\(3\\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \\(f\\), możemy ją od razu zapisać w **postaci iloczynowej**:\n\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x-(-1))(x-3) = a(x+1)(x-3)\\]\n\ndla pewnego \\(a \\neq 0\\).\n\n**Obliczamy \\(f(6)\\):**\n\\[f(6) = a(6+1)(6-3) = a \\cdot 7 \\cdot 3 = 21a\\]\n\n**Obliczamy \\(f(12)\\):**\n\\[f(12) = a(12+1)(12-3) = a \\cdot 13 \\cdot 9 = 117a\\]\n\n**Obliczamy iloraz:**\n\\[\\frac{f(6)}{f(12)} = \\frac{21a}{117a} = \\frac{21}{117} = \\frac{7}{39}\\]\n\nWspółczynnik \\(a\\) skraca się - **wynik nie zależy od wartości \\(a\\)!**\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie przez własność ilorazu\n\nZamiast liczyć osobno, od razu pisz iloraz:\n\n\\[\\frac{f(6)}{f(12)} = \\frac{a(6+1)(6-3)}{a(12+1)(12-3)} = \\frac{7 \\cdot 3}{13 \\cdot 9} = \\frac{21}{117} = \\frac{7}{39}\\]\n\n\\(a\\) skraca się natychmiast - nie musisz go znać ani obliczać.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\ngdzie \\(x_1, x_2\\) to miejsca zerowe. Tego wzoru używamy w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięto tylko jeden czynnik: \\(\\frac{6-3}{12-3} = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}\\) - zapomniano o czynniku \\((x+1)\\) |\n| B | Wzięto tylko czynnik \\((x+1)\\): \\(\\frac{6+1}{12+1} = \\frac{7}{13}\\) - zapomniano o czynniku \\((x-3)\\) |\n| C | Pomylono znaki miejsc zerowych i zapisano \\(f(x) = a(x-1)(x+3)\\), co daje inny wynik |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Postać iloczynowa to \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\). Dla miejsca zerowego \\(x_1 = -1\\) piszemy \\((x - (-1)) = (x+1)\\), **nie** \\((x-1)\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać wartości \\(a\\) - przy obliczaniu ilorazu \\(\\frac{f(6)}{f(12)}\\) współczynnik \\(a\\) **zawsze się skróci**. Jeśli próbujesz go wyznaczyć, tracisz czas (i możesz wprowadzić błąd).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o **obu** czynnikach w postaci iloczynowej. Pominięcie jednego z nich to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n**Wynik:** \\(\\dfrac{f(6)}{f(12)}=\\dfrac{35}{143}=\\dfrac{5 \\cdot 7}{11 \\cdot 13}\\)\n\n### Sposób 1 - Postać iloczynowa funkcji kwadratowej\n\nFunkcja kwadratowa o miejscach zerowych \\(x_1=-1\\) i \\(x_2=3\\) ma postać (karta wzorów, dział 4. Funkcje):\n\\[f(x)=a(x+1)(x-3), \\quad a \\neq 0\\]\nObliczamy:\n\\[f(6)=a \\cdot 7 \\cdot 3 = 21a\\]\n\\[f(12)=a \\cdot 13 \\cdot 9 = 117a\\]\nStąd:\n\\[\\dfrac{f(6)}{f(12)}=\\dfrac{21a}{117a}=\\dfrac{21}{117}=\\dfrac{7}{39}\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie z konkretnym \\(a\\)\n\nWeźmy \\(a=1\\): \\(f(x)=(x+1)(x-3)=x^{2}-2x-3\\). Wtedy \\(f(6)=36-12-3=21\\), \\(f(12)=144-24-3=117\\). Stosunek \\(\\dfrac{21}{117}=\\dfrac{7}{39}\\). Parametr \\(a\\) skraca się.\n\n### Uwagi o punktacji\n1 pkt za zapisanie postaci iloczynowej, 2 pkt za poprawne obliczenie stosunku \\(\\dfrac{7}{39}\\).\n\n**Trik/Klucz:** Znając miejsca zerowe, zapisz \\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\) - parametr \\(a\\) skróci się w stosunku \\(\\frac{f(p)}{f(q)}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego\nW zadaniu mamy podane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego: a₆ i a₁₂. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica.\n\nMamy:\n* \\(a_6 = a_1 + 5r\\)\n* \\(a_{12} = a_1 + 11r\\)\n\nWiemy, że \\(a_6 = 2\\) i \\(a_{12} = 2\\). Zatem możemy zapisać równania:\n* \\(a_1 + 5r = 2\\)\n* \\(a_1 + 11r = 2\\)\n\nOdejmując pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy:\n\\(6r = 0\\)\n\\(r = 0\\)\n\nTeraz możemy obliczyć \\(a_1\\):\n\\(a_1 + 5(0) = 2\\)\n\\(a_1 = 2\\)\n\nZatem, szukamy wartości \\(a_{12}\\). Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz:\n\\(a_{12} = a_1 + 11r = 2 + 11(0) = 2\\)\n\nOdpowiedź: D\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego\nMamy podane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego: a₆ i a₁₂. Możemy obliczyć sumę 6 pierwszych wyrazów i 12 pierwszych wyrazów. Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to: \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\).\n\n* \\(S_6 = \\frac{6}{2}(a_1 + a_6) = 3(a_1 + 2)\\)\n* \\(S_{12} = \\frac{12}{2}(a_1 + a_{12}) = 6(a_1 + 2)\\)\n\nWiemy, że \\(a_6 = 2\\) i \\(a_{12} = 2\\). Zatem:\n* \\(S_6 = 3(a_1 + 2)\\)\n* \\(S_{12} = 6(a_1 + 2)\\)\n\nPonieważ \\(a_6 = 2\\), to \\(S_6 = \\frac{6}{2}(a_1 + 2) = 3(a_1 + 2)\\). Zauważmy, że \\(S_6 = \\frac{6}{2}(a_1 + a_6) = 3(a_1 + 2)\\).\nZatem \\(S_6 = 3(a_1 + 2) = 3(a_1 + a_6)\\)\n\nPonieważ \\(a_6 = 2\\), to \\(S_6 = 3(a_1 + 2)\\). Zatem \\(S_6 = 3(a_1 + 2)\\) i \\(S_{12} = 6(a_1 + 2)\\). Zauważmy, że \\(a_6 = 2\\) i \\(a_{12} = 2\\).\n\nZauważmy, że \\(a_6 = a_1 + 5r = 2\\) i \\(a_{12} = a_1 + 11r = 2\\). Zatem \\(a_1 + 5r = a_1 + 11r\\), co implikuje \\(5r = 11r\\), czyli \\(6r = 0\\), a więc \\(r = 0\\). Wtedy \\(a_1 = 2\\). Zatem \\(a_{12} = a_1 + 11r = 2 + 11(0) = 2\\).\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Nieprawidłowe obliczenie a₁ i r, co prowadzi do błędnego wyniku.\n* **B:** Użycie wzoru na sumę wyrazów, ale bez prawidłowego określenia a₁ i r.\n* **C:** Nieprawidłowe zastosowanie wzoru na sumę wyrazów, nie uwzględniając, że a₆ i a₁₂ są danymi.\n* **Błąd w odpowiedziach A, B, C:** Wszystkie te odpowiedzi zakładają, że a₁ i r są różne od zera, co nie jest konieczne do rozwiązania zadania. Kluczem jest zrozumienie, że w tym przypadku różnica między a₆ a a₁₂ wynosi zero.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nNa boku AB trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt D taki, że\n:\n2 : 3\nAD\nDB =\nOblicz tangens kąta ACD .\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"","solution":"## Poprawna odpowiedź: Udowodniono ✓\n\nTo zadanie otwarte - wymagane jest przeprowadzenie pełnego dowodu, nie wybór odpowiedzi.\n\n## Sposób 1 - Rozkład na sumę kwadratów (algebraiczny)\n\n**Cel:** Pokażemy, że wyrażenie można zapisać jako sumę kwadratów plus stałą dodatnią, co natychmiast daje dolne ograniczenie.\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Spróbujmy wydzielić pełny kwadrat od wyrazu \\(x^4\\).\n\nWeźmy \\((x^2 - 1)^2\\) i sprawdźmy, co \"zostaje\":\n\n\\[(x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1\\]\n\nObliczamy różnicę:\n\n\\[x^4 - x^2 - 2x + 3 - (x^4 - 2x^2 + 1) = x^2 - 2x + 2\\]\n\nSprawdzamy, czy \\(x^2 - 2x + 2\\) daje się ładnie rozłożyć - uzupełniamy do pełnego kwadratu:\n\n\\[x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1\\]\n\nZatem mamy **rozkład**:\n\n\\[x^4 - x^2 - 2x + 3 = (x^2-1)^2 + (x-1)^2 + 1\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\n\\[(x^2-1)^2 + (x-1)^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) + (x^2 - 2x + 1) + 1 = x^4 - x^2 - 2x + 3 \\checkmark\\]\n\n**Dowód nierówności:**\n\nPonieważ \\((x^2 - 1)^2 \\geq 0\\) i \\((x-1)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), mamy:\n\n\\[x^4 - x^2 - 2x + 3 = \\underbrace{(x^2-1)^2}_{\\geq\\, 0} + \\underbrace{(x-1)^2}_{\\geq\\, 0} + 1 \\geq 0 + 0 + 1 = 1 > 0\\]\n\n**Zatem \\(x^4 - x^2 - 2x + 3 \\geq 1 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). □**\n\n## Sposób 2 - Metoda pochodnej (wyznaczenie minimum globalnego)\n\nNiech \\(f(x) = x^4 - x^2 - 2x + 3\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy pochodną.**\n\n\\[f'(x) = 4x^3 - 2x - 2 = 2(2x^3 - x - 1)\\]\n\n**Krok 2: Szukamy miejsc zerowych pochodnej.**\n\nPróbujemy \\(x = 1\\): \\(2(1)^3 - 1 - 1 = 0\\) - trafiliśmy! Dzielimy przez \\((x-1)\\):\n\n\\[2x^3 - x - 1 = (x-1)(2x^2 + 2x + 1)\\]\n\nWyróżnik trójmianu \\(2x^2 + 2x + 1\\):\n\n\\[\\Delta = 4 - 8 = -4 < 0\\]\n\nTrójmian \\(2x^2 + 2x + 1\\) nie ma miejsc zerowych, więc **jedynym miejscem zerowym \\(f'(x)\\) jest \\(x = 1\\)**.\n\n**Krok 3: Badamy znak \\(f'(x)\\).**\n\n\\[f'(x) = 2(x-1)\\underbrace{(2x^2 + 2x + 1)}_{> 0 \\text{ zawsze}}\\]\n\n- dla \\(x < 1\\): \\(f'(x) < 0\\) - funkcja maleje\n- dla \\(x > 1\\): \\(f'(x) > 0\\) - funkcja rośnie\n\nZatem \\(x = 1\\) jest **jedynym minimum globalnym** (funkcja dąży do \\(+\\infty\\) dla \\(x \\to \\pm\\infty\\)).\n\n**Krok 4: Obliczamy wartość minimum.**\n\n\\[f(1) = 1^4 - 1^2 - 2 \\cdot 1 + 3 = 1 - 1 - 2 + 3 = 1\\]\n\n**Ponieważ \\(f(1) = 1 > 0\\) i jest to minimum globalne:**\n\n\\[f(x) \\geq f(1) = 1 > 0 \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R} \\quad \\square\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Sposób 1** nie wymaga wzorów z karty - korzystamy wyłącznie z wzorów skróconego mnożenia i własności kwadratów liczb rzeczywistych.\n\n**Sposób 2** korzysta z:\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna potęgi i reguła sumy:\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]\nUżyte przy obliczaniu \\(f'(x) = 4x^3 - 2x - 2\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik do sprawdzenia, że \\(2x^2 + 2x + 1 > 0\\) dla wszystkich \\(x\\):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 8 = -4 < 0 \\implies \\text{trójmian dodatni dla wszystkich } x\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić kilku wartości (np. \\(x = 0, 1, 2\\)) - dowód musi działać dla **każdej** liczby rzeczywistej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowe jest **zweryfikowanie rozkładu** przez rozwinięcie - łatwo popełnić błąd przy wydzielaniu kwadratów. Zawsze sprawdź, czy po rozwinięciu dostajesz z powrotem wyjściowe wyrażenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 samo znalezienie minimum lokalnego nie wystarczy - trzeba argumentować, że jest to **minimum globalne** (co wynika z zachowania funkcji dla \\(x \\to \\pm\\infty\\) i jedyności punktu krytycznego).\n\n### Sposób 1 - Rozkład na sumę kwadratów\n\nPokażemy, że \\(x^{4}-x^{2}-2x+3 = (x^{2}-1)^{2}+(x-1)^{2}+1\\).\n\nRozwijamy prawą stronę:\n\\[(x^{2}-1)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1\\]\n\\[(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1\\]\nSuma: \\(x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}-2x+1+1 = x^{4}-x^{2}-2x+3\\).\n\nKażde z trzech składników: \\((x^{2}-1)^{2} \\geq 0\\), \\((x-1)^{2} \\geq 0\\), \\(1>0\\). Suma jest \\(\\geq 0+0+1=1>0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Rozbicie na dwa przypadki\n\nZapisujemy \\(x^{4}-x^{2}-2x+3 = x^{4}+(x-1)^{2}+2-x^{2}\\). To nie działa wprost, spróbuj inaczej:\n\\[x^{4}-x^{2}-2x+3 = x^{4}-2x^{2}+1+(x^{2}-2x+1)+1 = (x^{2}-1)^{2}+(x-1)^{2}+1 \\geq 1>0\\]\nRówność z zerem by wymagała \\(x^{2}=1\\) i \\(x=1\\) jednocześnie - oba warunki spełnia tylko \\(x=1\\), wtedy \\((x^{2}-1)^{2}+(x-1)^{2}+1=0+0+1=1 \\neq 0\\). Zatem ostra nierówność jest zachowana.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: zapisanie w postaci sumy kwadratów plus stała dodatnia.\n- 2 pkt: poprawne wykazanie nieujemności kwadratów.\n- 3 pkt: zakończenie dowodu z wnioskiem o ostrej nierówności.\n\n**Trik/Klucz:** Dowody nierówności \\(>0\\) - próbuj rozłożyć jako \\((A)^{2}+(B)^{2}+c\\) gdzie \\(c>0\\). Najczęstsze \"cegiełki\": \\((x-1)^{2}\\), \\((x^{2}-1)^{2}\\), \\((x^{2}+x)^{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na pole trójkąta i twierdzenia o cosinusie\n\nRozważmy trójkąt ABC, gdzie |AB|=a, |BC|=b, |AC|=c oraz kąt przy wierzchołku C to γ. Zadanie prosi o obliczenie pola tego trójkąta.\n\nKrok 1: Obliczenie pola trójkąta za pomocą wzoru: P = (1/2) * a * b * sin(γ)\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin(\\gamma)\\]\n📖 Karta wzorów: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, strona 13\n\nKrok 2: Obliczenie długości boku c za pomocą twierdzenia o cosinusie: c² = a² + b² - 2ab * cos(γ)\n\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos(\\gamma)\\]\n📖 Karta wzorów: a²+b²=c², strona 15\n\nKrok 3: Podstawienie wartości do wzoru na pole trójkąta. Ponieważ znamy sin(γ) i możemy obliczyć cos(γ) z twierdzenia o cosinusie, możemy obliczyć pole.\nP = (1/2) * a * b * sin(γ)\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na pole trójkąta opisanego na okręgu\n\nRozważmy trójkąt ABC, gdzie |AB|=a, |BC|=b, |AC|=c oraz kąt przy wierzchołku C to γ. Zadanie prosi o obliczenie pola tego trójkąta.\n\nKrok 1: Obliczenie pola trójkąta za pomocą wzoru: P = (abc) / (4R) gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie.\n\\[P = \\frac{abc}{4R}\\]\n📖 Karta wzorów: P=abc/4R, strona 15\n\nKrok 2: Obliczenie promienia okręgu opisanego na trójkącie za pomocą wzoru: R = a / (2sin(α)) gdzie α to kąt przy wierzchołku A. W tym przypadku α = γ.\n\\[R = \\frac{a}{2\\sin(\\gamma)}\\]\n\nKrok 3: Podstawienie wartości do wzoru na pole trójkąta.\nP = (abc) / (4R) = (abc) / (4 * a / (2sin(γ))) = (abc) / (2a / sin(γ)) = (bc) / (2 * (1/sin(γ))) = (bc) * (sin(γ) / 2)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Odpowiedź A prawdopodobnie zawierałaby obliczenia związane z innymi wzorami (np. wzory na pole trójkąta w zależności od jego wysokości i podstawy, lub wzory na pole trójkąta w zależności od długości jego boków), ale nie prowadzi do poprawnego wyniku.\n* **B:** Odpowiedź B prawdopodobnie zawierałaby obliczenia związane z wzorem Herona, który wymaga znajomości długości wszystkich trzech boków trójkąta.\n* **C:** Odpowiedź C prawdopodobnie zawierałaby obliczenia związane z wzorem na pole trójkąta opisanego na okręgu, ale nie uwzględniałaby poprawnego obliczenia sinusa kąta.\n* **D:** Odpowiedź D jest poprawna, ponieważ daje nam wzór na pole trójkąta w zależności od długości boków i kąta między nimi, co jest najbardziej ogólnym i uniwersalnym rozwiązaniem.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nWyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu\n0\n3\n6\n4\n2\n2\ny\nx\ny\nx\ni zarazem prostopadłych do prostej\n0\n6\n2\ny\nx\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"9\n3\nm\n2\n1","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)\n\nNależy wykazać, że czworokąt \\(PQRS\\) da się wpisać w okrąg, tzn. że jego przeciwległe kąty sumują się do \\(180°\\).\n\n## Sposób 1 - kąty w trójkątach tworzonych przez dwusieczne\n\n**Oznaczenia.** Niech kąty czworokąta \\(ABCD\\) wynoszą:\n\\[\n\\angle DAB = 2\\alpha,\\quad \\angle ABC = 2\\beta,\\quad \\angle BCD = 2\\gamma,\\quad \\angle CDA = 2\\delta.\n\\]\nDwusieczne kolejno dzielą te kąty na połowy.\n\n**Krok 1: Własność czworokąta wpisanego.**\n\nPonieważ \\(ABCD\\) jest wpisany w okrąg, jego przeciwległe kąty są suplementarne:\n\\[\n\\angle DAB + \\angle BCD = 180° \\implies 2\\alpha + 2\\gamma = 180° \\implies \\alpha + \\gamma = 90°,\n\\]\n\\[\n\\angle ABC + \\angle CDA = 180° \\implies 2\\beta + 2\\delta = 180° \\implies \\beta + \\delta = 90°.\n\\]\n\nStąd wynika kluczowa równość:\n\\[\n\\alpha + \\beta + \\gamma + \\delta = 90° + 90° = 180°.\n\\]\n\n**Krok 2: Identyfikacja wierzchołków \\(PQRS\\).**\n\nPunkt \\(P\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(A\\) z dwusieczną kąta \\(B\\),\nPunkt \\(Q\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(B\\) z dwusieczną kąta \\(C\\),\nPunkt \\(R\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(C\\) z dwusieczną kąta \\(D\\),\nPunkt \\(S\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(D\\) z dwusieczną kąta \\(A\\).\n\n**Krok 3: Obliczenie kątów \\(\\angle P\\) i \\(\\angle R\\) w czworokącie \\(PQRS\\).**\n\nRozważmy trójkąt \\(APB\\):\n- Kąt przy \\(A\\) (między bokami \\(AB\\) i dwusieczną) \\(= \\alpha\\)\n- Kąt przy \\(B\\) \\(= \\beta\\)\n\nZ twierdzenia o sumie kątów w trójkącie:\n\\[\n\\angle P = \\angle APB = 180° - \\alpha - \\beta.\n\\]\n\nAnalogicznie w trójkącie \\(CRD\\):\n\\[\n\\angle R = \\angle CRD = 180° - \\gamma - \\delta.\n\\]\n\n**Krok 4: Suma kątów przeciwległych.**\n\n\\[\n\\angle P + \\angle R = (180° - \\alpha - \\beta) + (180° - \\gamma - \\delta)\n= 360° - \\underbrace{(\\alpha + \\beta + \\gamma + \\delta)}_{= 180°}\n= 360° - 180° = \\boxed{180°}.\n\\]\n\nPonieważ suma przeciwległych kątów \\(\\angle P + \\angle R = 180°\\), na czworokącie \\(PQRS\\) **można opisać okrąg**. \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - przez miary łuków\n\n**Oznaczenia łuków.** Niech:\n\\[\n\\text{łuk } AB = a,\\quad \\text{łuk } BC = b,\\quad \\text{łuk } CD = c,\\quad \\text{łuk } DA = d,\n\\]\ngdzie \\(a + b + c + d = 360°\\).\n\n**Kąty czworokąta jako połowy łuków** (kąt wpisany = połowa łuku):\n\nKąt przy wierzchołku \\(A\\) (między cięciwami \\(AB\\) i \\(AD\\)) = połowa łuku \\(BD\\) nie zawierającego \\(A\\):\n\\[\n\\angle DAB = \\frac{b + c}{2} = 2\\alpha \\implies \\alpha = \\frac{b+c}{4}.\n\\]\n\nAnalogicznie:\n\\[\n\\beta = \\frac{c+d}{4},\\quad \\gamma = \\frac{d+a}{4},\\quad \\delta = \\frac{a+b}{4}.\n\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(\\alpha + \\gamma = \\frac{b+c}{4} + \\frac{d+a}{4} = \\frac{a+b+c+d}{4} = \\frac{360°}{4} = 90°\\). ✓\n\n**Kąt przy \\(P\\):**\n\\[\n\\angle P = 180° - \\alpha - \\beta = 180° - \\frac{b+c}{4} - \\frac{c+d}{4} = 180° - \\frac{b+2c+d}{4}.\n\\]\n\n**Kąt przy \\(R\\):**\n\\[\n\\angle R = 180° - \\gamma - \\delta = 180° - \\frac{d+a}{4} - \\frac{a+b}{4} = 180° - \\frac{2a+b+d}{4}.\n\\]\n\n**Suma:**\n\\[\n\\angle P + \\angle R = 360° - \\frac{b+2c+d+2a+b+d}{4} = 360° - \\frac{2(a+b+c+d)}{4} = 360° - \\frac{2 \\cdot 360°}{4} = 360° - 180° = 180°. \\quad \\square\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany w okrąg:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nCzyli: kąt wpisany subtendujący łuk \\(= \\frac{\\text{miara łuku}}{2}\\).\n\nUżyte w **Sposobie 2** do wyznaczenia kątów czworokąta wpisanego przez łuki.\n\n**Dział 10 (s. 20)** - własność czworokąta wpisanego:\n\n\\[\n\\alpha + \\gamma = \\beta + \\delta = 180°\n\\]\n(suma kątów przeciwległych czworokąta wpisanego = 180°).\n\nUżyte w **Sposobie 1** jako punktu startowego - to kluczowa własność okręgu opisanego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"wpisany w okrąg\" jest tu niezbędny - dla ogólnego czworokąta kąty przy \\(A\\) i \\(C\\) nie musiałyby sumować się do \\(180°\\), więc równość \\(\\alpha + \\gamma = 90°\\) mogłaby nie zachodzić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kąty w trójkącie \\(APB\\): kąt przy \\(A\\) to **połowa** kąta \\(\\angle DAB\\) (bo to dwusieczna!), nie cały kąt. Pisz wyraźnie \\(\\alpha = \\frac{\\angle DAB}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W dowodzie wystarczy pokazać, że **jedna para** kątów przeciwległych sumuje się do \\(180°\\) - wystarczy zbadać \\(\\angle P + \\angle R\\). Nie trzeba osobno sprawdzać \\(\\angle Q + \\angle S\\) (choć oczywiście też wychodzi \\(180°\\) z analogicznego rachunku).\n\n### Sposób 1 - Warunek wpisania (suma kątów przeciwległych = 180°)\n\nNa czworokącie da się opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma miar kątów przeciwległych wynosi \\(180^{\\circ}\\) (karta wzorów, dział 7. Planimetria).\n\nOznaczmy kąty wewnętrzne czworokąta \\(ABCD\\) jako \\(2\\alpha, 2\\beta, 2\\gamma, 2\\delta\\), odpowiednio przy wierzchołkach \\(A, B, C, D\\). Ponieważ \\(ABCD\\) jest wpisany w okrąg:\n\\[2\\alpha+2\\gamma=180^{\\circ} \\Rightarrow \\alpha+\\gamma=90^{\\circ}\\]\n\\[2\\beta+2\\delta=180^{\\circ} \\Rightarrow \\beta+\\delta=90^{\\circ}\\]\n\nPunkt \\(P\\) to przecięcie dwusiecznych kątów \\(A\\) i \\(B\\); w trójkącie \\(ABP\\): \\(\\angle APB = 180^{\\circ}-\\alpha-\\beta\\). Analogicznie \\(\\angle CRD = 180^{\\circ}-\\gamma-\\delta\\) (gdzie \\(R\\) to przecięcie dwusiecznych \\(C\\) i \\(D\\)).\n\nKąty czworokąta \\(PQRS\\) przy \\(P\\) i \\(R\\) są wierzchołkami (kąty pionowe lub przeciwległe): \\(\\angle P+\\angle R = (180^{\\circ}-\\alpha-\\beta)+(180^{\\circ}-\\gamma-\\delta)=360^{\\circ}-(\\alpha+\\beta+\\gamma+\\delta)=360^{\\circ}-180^{\\circ}=180^{\\circ}\\).\n\nZatem kąty przeciwległe \\(\\angle P+\\angle R = 180^{\\circ}\\), więc na \\(PQRS\\) można opisać okrąg. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Kąty przy \\(Q\\) i \\(S\\)\n\nAnalogicznie, w trójkątach zawierających dwusieczne pokazuje się \\(\\angle Q+\\angle S=180^{\\circ}\\). Oba warunki dają, że \\(PQRS\\) jest czworokątem wpisanym w okrąg.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: zastosowanie oznaczeń kątów \\(2\\alpha, 2\\beta, 2\\gamma, 2\\delta\\) i wypisanie warunku wpisania \\(ABCD\\).\n- 2 pkt: obliczenie kąta \\(\\angle P\\) (lub \\(\\angle Q\\)) w trójkącie zawierającym dwusieczne.\n- 3 pkt: wykazanie sumy kątów przeciwległych \\(PQRS\\) równej \\(180^{\\circ}\\).\n\n**Trik/Klucz:** Użyj sumy kątów w trójkącie i faktu, że \\(ABCD\\) wpisany daje \\(\\alpha+\\gamma=\\beta+\\delta=90^{\\circ}\\) po połowieniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Własność kątów wpisanych\n\n**Kroki:**\n\n1. **Zrozumienie własności kątów wpisanych:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku. Zatem, kąt ∠SPQ = 1/2 ∠SAD, ∠SRQ = 1/2 ∠SBD, ∠RSP = 1/2 ∠RBD, ∠QSD = 1/2 ∠QAD.\n2. **Analiza czworokąta PQRS:** Zauważmy, że PQRS jest czworokątem, którego wierzchołki leżą na okręgu. Ponieważ P, Q, R, S są punktami przecięcia dwóch prostych z okręgiem, to kąty ∠SPQ, ∠SRQ, ∠RSP, ∠QSD są kątami wpisanymi.\n3. **Wykorzystanie własności kątów wpisanych:** Aby pokazać, że PQRS można opisać okręgiem, musimy sprawdzić, czy suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni. Warto zauważyć, że ∠SPQ + ∠SRQ + ∠RSP + ∠QSD = 4 * (1/2 ∠SAD) = 2∠SAD. Jeśli ∠SAD = 180 stopni, to suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni.\n4. **Wniosek:** Ponieważ PQRS jest czworokątem wpisanym w okrąg, to jego wierzchołki leżą na okręgu. W szczególności, PQRS można opisać okręgiem.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (Używamy tej strony, aby zrozumieć pojęcie kąta wpisanych i środkowego)\n\n### Sposób 2: Własność kątów wpisanych i kąta środkowego\n\n**Kroki:**\n\n1. **Zdefiniujmy:** Niech O będzie środkiem okręgu. Wtedy ∠SOA = α, ∠SBO = β, ∠COA = γ, ∠DOA = δ.\n2. **Zauważmy:** Ponieważ P, Q, R, S leżą na okręgu, to ∠SPQ = (1/2)∠SAD, ∠SRQ = (1/2)∠SBD, ∠RSP = (1/2)∠RBD, ∠QSD = (1/2)∠QAD.\n3. **Zbadajmy kąt środkowy:** Kąt środkowy ∠SOA jest równy 2∠SDA.\n4. **Zbadajmy kąt wpisany:** Kąt wpisany ∠SPA = (1/2)∠SOA = (1/2) * 2∠SDA = ∠SDA.\n5. **Zauważmy:** Kąt ∠SPA = ∠SDA jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku AS. Podobnie, ∠SBA = ∠SDA, ∠RCD = ∠SDA, ∠QDE = ∠SDA.\n6. **Wniosek:** Ponieważ ∠SPA = ∠SDA, ∠SBA = ∠SDA, ∠RCD = ∠SDA, ∠QDE = ∠SDA, to PQRS jest czworokątem, którego wszystkie kąty są równe ∠SDA. Zatem, PQRS jest czworokątem równym, a czworościany równenne jest zawsze wpisane w okrąg.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (Używamy tej strony, aby zrozumieć pojęcie kąta wpisanych i środkowego)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Odpowiedź A sugeruje, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, co jest fałszem. W zadaniu podano, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że jego wierzchołki leżą na okręgu.\n* **C:** Odpowiedź C sugeruje, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, co jest fałszem. W zadaniu podano, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że jego wierzchołki leżą na okręgu.\n* **D:** Odpowiedź D sugeruje, że PQRS może być opisywany przez okrąg, co jest prawdą, ale nie wyjaśnia, dlaczego to jest tak. Sposób, w jaki jest to udowodnione, jest kluczowy.\n\nW obu sposobach, kluczowym elementem jest wykorzystanie własności kątów wpisanych i środkowych.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (6 pkt)\nKrawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS ma długość a. Ściana\nboczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 2α . Ostrosłup ten\nprzecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt\npomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"19\n19\n19","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPoprawna długość przekątnej wynosi \\(AC = \\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\).\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + własność czworokąta wpisanego w okrąg\n\n**Kluczowa własność:** Skoro na czworokącie \\(ABCD\\) opisano okrąg, to \\(ABCD\\) jest **czworokątem cyklicznym** (wpisanym w okrąg). Dla takiego czworokąta suma kątów naprzeciwległych wynosi \\(180°\\):\n\\[\\angle ABC + \\angle CDA = 180°\\]\n\nOznaczmy \\(\\angle ABC = \\beta\\) i \\(\\angle CDA = \\delta\\). Mamy więc \\(\\delta = 180° - \\beta\\), skąd:\n\\[\\cos\\delta = \\cos(180° - \\beta) = -\\cos\\beta\\]\n\n**Krok 1: Twierdzenie cosinusów w △ABC** (boki \\(AB = 2\\), \\(BC = 3\\), kąt \\(\\beta\\) przy \\(B\\)):\n\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos\\beta = 4 + 9 - 12\\cos\\beta = 13 - 12\\cos\\beta\\]\n\n**Krok 2: Twierdzenie cosinusów w △ACD** (boki \\(CD = 4\\), \\(DA = 5\\), kąt \\(\\delta\\) przy \\(D\\)):\n\\[AC^2 = CD^2 + DA^2 - 2 \\cdot CD \\cdot DA \\cdot \\cos\\delta = 16 + 25 - 40\\cos\\delta = 41 + 40\\cos\\beta\\]\n\n**Krok 3: Przyrównuję obie ekspresje na \\(AC^2\\):**\n\\[13 - 12\\cos\\beta = 41 + 40\\cos\\beta\\]\n\\[-28 = 52\\cos\\beta\\]\n\\[\\cos\\beta = -\\frac{28}{52} = -\\frac{7}{13}\\]\n\n**Krok 4: Obliczam \\(AC^2\\):**\n\\[AC^2 = 13 - 12\\cdot\\left(-\\frac{7}{13}\\right) = 13 + \\frac{84}{13} = \\frac{169 + 84}{13} = \\frac{253}{13}\\]\n\n**Weryfikacja drugą ścieżką:**\n\\[AC^2 = 41 + 40\\cdot\\left(-\\frac{7}{13}\\right) = 41 - \\frac{280}{13} = \\frac{533 - 280}{13} = \\frac{253}{13} \\checkmark\\]\n\n\\[\\boxed{AC = \\sqrt{\\frac{253}{13}}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja twierdzeniem Ptolemeusza\n\nDla czworokąta wpisanego w okrąg zachodzi **twierdzenie Ptolemeusza**:\n\\[AC \\cdot BD = AB \\cdot CD + BC \\cdot DA\\]\n\nPrawa strona: \\(2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 5 = 8 + 15 = 23\\), więc \\(AC \\cdot BD = 23\\).\n\nWyznaczam \\(BD\\) analogicznie - tym razem przez kąty \\(\\angle DAB = \\alpha\\) i \\(\\angle BCD = \\gamma = 180° - \\alpha\\):\n\nTrójkąt \\(ABD\\) (boki \\(DA = 5\\), \\(AB = 2\\), kąt \\(\\alpha\\)):\n\\[BD^2 = 25 + 4 - 20\\cos\\alpha = 29 - 20\\cos\\alpha\\]\n\nTrójkąt \\(BCD\\) (boki \\(BC = 3\\), \\(CD = 4\\), kąt \\(\\gamma\\), więc \\(\\cos\\gamma = -\\cos\\alpha\\)):\n\\[BD^2 = 9 + 16 + 24\\cos\\alpha = 25 + 24\\cos\\alpha\\]\n\nPrzyrównuję:\n\\[29 - 20\\cos\\alpha = 25 + 24\\cos\\alpha \\implies \\cos\\alpha = \\frac{4}{44} = \\frac{1}{11}\\]\n\n\\[BD^2 = 25 + \\frac{24}{11} = \\frac{299}{11} \\implies BD = \\sqrt{\\frac{299}{11}}\\]\n\n**Sprawdzam Ptolemeusza:**\n\\[AC \\cdot BD = \\sqrt{\\frac{253}{13}} \\cdot \\sqrt{\\frac{299}{11}} = \\sqrt{\\frac{253 \\cdot 299}{143}}\\]\n\nLiczę: \\(253 \\cdot 299 = 75\\,647\\) oraz \\(\\dfrac{75\\,647}{143} = 529 = 23^2\\)\n\nZatem \\(AC \\cdot BD = 23\\) - **zgodne z twierdzeniem Ptolemeusza** \\(\\checkmark\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nUżyte dwukrotnie: w △\\(ABC\\) i w △\\(ACD\\), aby wyrazić \\(AC^2\\) przez kąty naprzeciwległe.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20)** - własność czworokąta wpisanego w okrąg:\n\\[\\alpha + \\gamma = \\beta + \\delta = 180°\\]\nKluczowa własność - pozwala powiązać dwa różne wyrażenia na \\(AC^2\\) i wyeliminować niewiadomą kąt \\(\\beta\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Błąd | Skutek | Pułapka |\n| Użycie \\(\\cos\\delta = +\\cos\\beta\\) zamiast \\(-\\cos\\beta\\) | Otrzymujemy \\(28\\cos\\beta = -28\\), \\(\\cos\\beta = -1\\) - absurd (\\(\\beta = 180°\\)) | Pomyłka we wzorze redukcyjnym: \\(\\cos(180° - x) = -\\cos x\\), nie \\(+\\cos x\\) |\n| Pominięcie własności czworokąta cyklicznego | Dwa równania z dwiema nieznanymi \\(AC\\) i \\(\\beta\\) - brak jednoznacznego rozwiązania | Bez warunku \\(\\beta + \\delta = 180°\\) zadanie jest niewyznaczalne |\n| Twierdzenie Pitagorasa zamiast cosinusów | Wynik poprawny tylko dla kąta prostego, którego tutaj nie ma | Przekątna \\(AC\\) nie tworzy trójkąta prostokątnego z żadnymi dwoma bokami |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Opisano okrąg na czworokącie\" = okrąg przechodzi przez wszystkie 4 wierzchołki (czworokąt wpisany w okrąg). Nie mylić z okręgiem **wpisanym**, który dotyka boków! Własność \\(\\beta + \\delta = 180°\\) dotyczy wyłącznie czworokąta wpisanego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\cos(180° - x) = -\\cos x\\) - znak minus jest absolutnie kluczowy. Bez niego oba równania na \\(AC^2\\) nie dadzą się rozwiązać lub dadzą wynik sprzeczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W △\\(ABC\\) kąt \\(\\beta\\) to kąt przy wierzchołku \\(B\\), czyli naprzeciwko szukanej przekątnej \\(AC\\). Sprawdź zawsze, czy stosujesz twierdzenie cosinusów z właściwym kątem!\n\n**Wynik:** \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{286}{7}}=\\dfrac{\\sqrt{2002}}{7}\\)\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów i własność czworokąta wpisanego\n\nW czworokącie \\(ABCD\\) wpisanym w okrąg kąty \\(\\angle B\\) i \\(\\angle D\\) są przeciwległe, więc \\(\\angle B+\\angle D=180^{\\circ}\\), czyli \\(\\cos D=-\\cos B\\).\n\nW trójkącie \\(ABC\\) (tw. cosinusów, karta wzorów dział 7):\n\\[|AC|^{2}=|AB|^{2}+|BC|^{2}-2|AB||BC|\\cos B = 4+9-12\\cos B = 13-12\\cos B\\]\n\nW trójkącie \\(ACD\\):\n\\[|AC|^{2}=|CD|^{2}+|DA|^{2}-2|CD||DA|\\cos D = 16+25-40\\cos D = 41-40\\cos D\\]\n\nPonieważ \\(\\cos D=-\\cos B\\):\n\\[13-12\\cos B = 41+40\\cos B\\]\n\\[-52\\cos B = 28\\]\n\\[\\cos B = -\\dfrac{28}{52} = -\\dfrac{7}{13}\\]\n\nZatem:\n\\[|AC|^{2}=13-12 \\cdot \\left(-\\dfrac{7}{13}\\right)=13+\\dfrac{84}{13}=\\dfrac{169+84}{13}=\\dfrac{253}{13}\\]\n\\[|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}=\\dfrac{\\sqrt{253 \\cdot 13}}{13}=\\dfrac{\\sqrt{3289}}{13}\\]\n\nSprawdzenie: \\(\\sqrt{253/13} \\approx \\sqrt{19{,}46} \\approx 4{,}41\\). **Wynik CKE:** \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\).\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie Ptolemeusza\n\nDla czworokąta wpisanego \\(ABCD\\): \\(|AC| \\cdot |BD|=|AB| \\cdot |CD|+|BC| \\cdot |DA|=2 \\cdot 4+3 \\cdot 5=23\\). To daje relację między przekątnymi, ale potrzebna jest druga. Stosując tw. cosinusów w trójkątach \\(ABD\\) i \\(BCD\\) na przekątnej \\(BD\\) (analogicznie jak wyżej), uzyskuje się układ równań z \\(|AC|\\) i \\(|BD|\\). Rozwiązanie: \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\), \\(|BD|=\\dfrac{23}{|AC|}=\\dfrac{23 \\cdot \\sqrt{13}}{\\sqrt{253}}=\\sqrt{\\dfrac{529 \\cdot 13}{253}}=\\sqrt{\\dfrac{6877}{253}}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: zastosowanie tw. cosinusów w obu trójkątach.\n- 2 pkt: wykorzystanie \\(\\cos D = -\\cos B\\).\n- 3 pkt: poprawne obliczenie \\(\\cos B\\).\n- 4 pkt: obliczenie \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\).\n\n**Trik/Klucz:** W czworokącie wpisanym kąty przeciwległe sumują się do \\(180^{\\circ}\\), więc cosinusy są przeciwne. Tw. cosinusów + ta obserwacja = równanie na przekątną.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Twierdzenie Pytagoras w trójkącie prostokątnym\nTen czworokąt jest w rzeczywistości rombem, ponieważ wszystkie jego boki są równe. Możemy obliczyć długość przekątnej AC, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:\n\n\\[AB^2 + BC^2 = AC^2\\]\n\\[2^2 + 3^2 = AC^2\\]\n\\[4 + 9 = AC^2\\]\n\\[AC^2 = 13\\]\n\\[AC = \\sqrt{13}\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia cosinusów\nMożemy również obliczyć długość przekątnej AC, korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC:\n\n\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos(\\angle ABC)\\]\nPonieważ nie znamy kąta ABC, możemy założyć, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że suma jego kątów wynosi 360 stopni. Jednakże, z dostępnych danych, nie możemy bezpośrednio obliczyć kąta ABC. Zatem, korzystając z twierdzenia cosinusów jest to metoda bardziej skomplikowana i mniej bezpośrednia. W tym przypadku, metoda z twierdzeniem Pitagorasa jest znacznie prostsza i bardziej efektywna.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.cosinusów a²=b²+c²-2bc·cosα, strona 15-16\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r - ta sekcja karty wzorów nie jest związana z obliczaniem długości przekątnej.\n* **B:** Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| - ta sekcja karty wzorów dotyczy potęg, a nie obliczania długości przekątnej.\n* **D:** Długości boków: |AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5 - ta sekcja karty wzorów zawiera informacje o długościach boków, ale nie służy do obliczania przekątnej.\n\nW tym przypadku, ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, a boki są równe, najprostszym i najszybszym rozwiązaniem jest zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (3 pkt)\nRozważmy rzut sześcioma kostkami do gry, z których każda ma inny kolor. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że uzyskany wynik rzutu spełnia\nrównocześnie trzy warunki:\ndokładnie na dwóch kostkach otrzymano po jednym oczku;\ndokładnie na trzech kostkach otrzymano po sześć oczek;\nsuma wszystkich otrzymanych liczb oczek jest parzysta.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{5}{11}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym\n\n**Rozkładamy zdarzenie na dwa przypadki** - zależnie od koloru kuli wylosowanej z urny pierwszej.\n\n**Dane wyjściowe:**\n- Urna 1: \\(3\\) białe, \\(5\\) czarnych → łącznie \\(8\\) kul\n- Urna 2: \\(7\\) białych, \\(2\\) czarne → łącznie \\(9\\) kul\n\nPo wylosowaniu kuli z urny 1 i przełożeniu jej + dodaniu jeszcze \\(2\\) kul tego samego koloru - urna 2 zawsze będzie miała \\(9 + 3 = 12\\) kul.\n\n**Przypadek 1: wylosowano białą kulę z urny 1**\n\n\\[P(B_1) = \\frac{3}{8}\\]\n\nUrna 2 po operacji: \\(7 + 1 + 2 = 10\\) białych, \\(2\\) czarne → \\(12\\) kul.\n\n\\[P(\\text{obie białe} \\mid B_1) = \\frac{\\binom{10}{2}}{\\binom{12}{2}} = \\frac{45}{66} = \\frac{15}{22}\\]\n\n**Przypadek 2: wylosowano czarną kulę z urny 1**\n\n\\[P(C_1) = \\frac{5}{8}\\]\n\nUrna 2 po operacji: \\(7\\) białych, \\(2 + 1 + 2 = 5\\) czarnych → \\(12\\) kul.\n\n\\[P(\\text{obie białe} \\mid C_1) = \\frac{\\binom{7}{2}}{\\binom{12}{2}} = \\frac{21}{66} = \\frac{7}{22}\\]\n\n**Zastosowanie twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:**\n\nZdarzenie \\(A\\) = „obie wylosowane kule z urny 2 są białe\":\n\n\\[P(A) = P(B_1) \\cdot P(A \\mid B_1) + P(C_1) \\cdot P(A \\mid C_1)\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{15}{22} + \\frac{5}{8} \\cdot \\frac{7}{22}\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{45}{176} + \\frac{35}{176} = \\frac{80}{176} = \\boxed{\\frac{5}{11}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie zliczanie (ilorazy kombinacyjne krok po kroku)\n\nRozpisujemy wszystkie etapy dokładniej, pilnując jednostek.\n\n**Przestrzeń zdarzeń** jest dwuetapowa - rozbijamy na dwie gałęzie:\n\n**Gałąź 1 (wyciągnięto białą):** \\(P = \\frac{3}{8}\\)\n\nUrna 2 ma \\(10B\\), \\(2C\\), razem \\(12\\). Sposób wyboru \\(2\\) białych:\n\\[\\binom{10}{2} = \\frac{10 \\cdot 9}{2} = 45, \\qquad \\binom{12}{2} = \\frac{12 \\cdot 11}{2} = 66\\]\n\nWkład do sumy:\n\\[\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{45}{66} = \\frac{135}{528}\\]\n\n**Gałąź 2 (wyciągnięto czarną):** \\(P = \\frac{5}{8}\\)\n\nUrna 2 ma \\(7B\\), \\(5C\\), razem \\(12\\). Sposób wyboru \\(2\\) białych:\n\\[\\binom{7}{2} = \\frac{7 \\cdot 6}{2} = 21, \\qquad \\binom{12}{2} = 66\\]\n\nWkład do sumy:\n\\[\\frac{5}{8} \\cdot \\frac{21}{66} = \\frac{105}{528}\\]\n\n**Suma:**\n\\[P(A) = \\frac{135}{528} + \\frac{105}{528} = \\frac{240}{528} = \\frac{5}{11}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)**\n\nTwierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym (gdy zdarzenia \\(B_1, B_2\\) tworzą podział przestrzeni):\n\\[P(A) = P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2)\\]\nUżyte w obu sposobach - to fundament całego rozwiązania.\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte przy obliczaniu \\(P(\\text{obie białe} \\mid \\ldots)\\) - liczyliśmy sprzyjające i wszystkie kombinacje.\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)**\n\nSymbol Newtona:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyte do zliczenia sposobów wylosowania \\(2\\) kul z \\(12\\) (lub \\(10\\), lub \\(7\\)).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Urna 2 rośnie o **3 kule**, nie o 1! Wylosowana kula **zostaje** w urnie 2, a do tego dochodzą jeszcze **2 dodatkowe**. Po przełożeniu mamy zawsze \\(9 + 3 = 12\\) kul w urnie 2 - nie \\(10\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\binom{10}{2}/\\binom{12}{2}\\) łatwo zapomnieć, że losujemy **bez zwracania** (bez kolejności). Nie mnożymy \\(\\frac{10}{12} \\cdot \\frac{9}{11}\\) - choć tu daje ten sam wynik, to wzór kombinacyjny jest czytelniejszy i bezpieczniejszy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy policzyć jednego przypadku (np. tylko gdy wyciągnięto białą). Musimy **zsumować oba przypadki** ważone ich prawdopodobieństwami - bez tego dostaniemy błędny wynik.\n\n**Wynik:** \\(P(A)=\\dfrac{9}{20}\\)\n\n### Sposób 1 - Prawdopodobieństwo całkowite\n\nZdarzenia: \\(B_1\\) - wylosowano białą z urny 1; \\(C_1\\) - wylosowano czarną.\n\\[P(B_1)=\\dfrac{3}{8}, \\quad P(C_1)=\\dfrac{5}{8}\\]\n\n**Przypadek \\(B_1\\):** Do urny 2 dodajemy \\(1+2=3\\) kule białe. Urna 2 ma: \\(7+3=10\\) białych, \\(2\\) czarne, łącznie \\(12\\) kul. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych (bez zwracania):\n\\[P(BB|B_1)=\\dfrac{10}{12} \\cdot \\dfrac{9}{11}=\\dfrac{90}{132}=\\dfrac{15}{22}\\]\nAlternatywnie z \\(\\binom{n}{k}\\): \\(\\dfrac{\\binom{10}{2}}{\\binom{12}{2}}=\\dfrac{45}{66}=\\dfrac{15}{22}\\).\n\n**Przypadek \\(C_1\\):** Do urny 2 dodajemy \\(1+2=3\\) kule czarne. Urna 2 ma: \\(7\\) białych, \\(2+3=5\\) czarnych, łącznie \\(12\\) kul.\n\\[P(BB|C_1)=\\dfrac{\\binom{7}{2}}{\\binom{12}{2}}=\\dfrac{21}{66}=\\dfrac{7}{22}\\]\n\nZ tw. prawdopodobieństwa całkowitego:\n\\[P(BB)=P(B_1)P(BB|B_1)+P(C_1)P(BB|C_1)\\]\n\\[=\\dfrac{3}{8} \\cdot \\dfrac{15}{22}+\\dfrac{5}{8} \\cdot \\dfrac{7}{22}\\]\n\\[=\\dfrac{45}{176}+\\dfrac{35}{176}=\\dfrac{80}{176}=\\dfrac{5}{11}\\]\n\nPonowne sprawdzenie: \\(\\frac{80}{176}=\\frac{10}{22}=\\frac{5}{11}\\). **Wynik:** \\(P=\\dfrac{5}{11}\\).\n\n### Sposób 2 - Drzewo zdarzeń\n\nDrzewo z dwiema gałęziami (biała/czarna z urny 1), każda rozgałęziająca się na wybór dwóch kul z urny 2. Mnożenie prawdopodobieństw wzdłuż gałęzi i sumowanie: identyczny wynik \\(\\dfrac{5}{11}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: poprawne rozróżnienie dwóch przypadków.\n- 2 pkt: obliczenie \\(P(BB|B_1)\\) i \\(P(BB|C_1)\\).\n- 3 pkt: zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.\n- 4 pkt: obliczenie \\(P=\\dfrac{5}{11}\\).\n\n**Trik/Klucz:** Gdy liczba kul się zmienia po pierwszym kroku, zastosuj prawdopodobieństwo całkowite: suma \\(P(\\text{warunek}) \\cdot P(\\text{wynik}|\\text{warunek})\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Metoda prawdopodobieństwa warunkowego\n\n1. **Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania pierwszej białej kuli:** W pierwszej urnie jest 3 białe i 5 czarnych kul, łącznie 8. Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi \\(P(B_1) = \\frac{3}{8}\\).\n2. **Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania drugiej białej kuli, gdy wylosowano już jedną białą kulę:** Po wylosowaniu jednej białej kuli z pierwszej urny, w drugiej urnie mamy 8 kul (7 białych i 2 czarne). Prawdopodobieństwo wylosowania kolejnej białej kuli wynosi \\(P(B_2 | B_1) = \\frac{7}{8}\\).\n3. **Obliczenie całkowitego prawdopodobieństwa:** Prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe, to iloczyn prawdopodobieństw: \\(P(B_1 \\cap B_2) = P(B_1) \\cdot P(B_2 | B_1) = \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{7}{8} = \\frac{21}{64}\\).\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 3\n\n### Sposób 2: Metoda z uwzględnieniem wszystkich możliwych konfiguracji\n\n1. **Obliczenie liczby wszystkich możliwych wyników:** Najpierw losujemy jedną kulę z pierwszej urny. Mamy 8 możliwości. Następnie losujemy jedną kulę z drugiej urny, do której dodajemy kulę z pierwszej urny. W drugiej urnie jest 8 kul, więc mamy 8 możliwości. Zatem liczba wszystkich możliwych wyników to 8 * 8 = 64.\n2. **Obliczenie liczby korzystnych wyników:** Chcemy, aby obie kule były białe.\n* Najpierw losujemy białą kulę z pierwszej urny (3 możliwości).\n* Następnie losujemy białą kulę z drugiej urny (7 możliwości).\n* Zatem liczba korzystnych wyników to 3 * 7 = 21.\n3. **Obliczenie prawdopodobieństwa:** Prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe, to iloraz liczby korzystnych wyników na liczbę wszystkich możliwych wyników: \\(P = \\frac{21}{64}\\).\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 3\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** Ta odpowiedź sugeruje obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli z drugiej urny, co jest nieprawidłowe, ponieważ musimy uwzględnić dodanie kuli do drugiej urny.\n* **C:** Ta odpowiedź nie uwzględnia warunku dodania kuli tego samego koloru do drugiej urny, co jest kluczowe dla zadania.\n* **D:** Ta odpowiedź jest niepoprawna, ponieważ nie uwzględnia warunku dodania kuli tego samego koloru do drugiej urny.\n\n**Krótko o błędach innych odpowiedzi:** Błędy w innych odpowiedziach wynikają z pominięcia warunku dodawania kuli tego samego koloru do drugiej urny, co znacząco wpływa na obliczenie prawdopodobieństwa. Niektóre odpowiedzi nie uwzględniają również poprawnego sposobu obliczania prawdopodobieństwa warunkowego.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Funkcja \\(f\\) określona jest wzorem \\(f(x) = x^{3} - 2x^{2} + 1\\) dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \\(f\\), które są równoległe do prostej o równaniu \\(y = 4x\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWyznaczone styczne to:\n\\[y = 4x - 7 \\quad \\text{oraz} \\quad y = 4x + \\frac{67}{27}\\]\n\n## Sposób 1 - Pochodna i równanie stycznej\n\n**Krok 1: Warunek równoległości**\n\nProsta \\(y = 4x\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = 4\\).\n\nStyczna do wykresu \\(f\\) jest równoległa do tej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy nachylenie stycznej (czyli wartość pochodnej) wynosi \\(4\\):\n\\[f'(x_0) = 4\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy pochodną**\n\n\\[f(x) = x^3 - 2x^2 + 1\\]\n\\[f'(x) = 3x^2 - 4x\\]\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy równanie \\(f'(x) = 4\\)**\n\n\\[3x^2 - 4x = 4\\]\n\\[3x^2 - 4x - 4 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-4) = 16 + 48 = 64\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 8\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\frac{4 + 8}{6} = \\frac{12}{6} = 2\\]\n\\[x_2 = \\frac{4 - 8}{6} = \\frac{-4}{6} = -\\frac{2}{3}\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy punkty styczne**\n\nDla \\(x_1 = 2\\):\n\\[f(2) = 8 - 8 + 1 = 1 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{punkt } (2,\\, 1)\\]\n\nDla \\(x_2 = -\\frac{2}{3}\\):\n\\[f\\!\\left(-\\tfrac{2}{3}\\right) = \\left(-\\tfrac{2}{3}\\right)^3 - 2\\left(-\\tfrac{2}{3}\\right)^2 + 1 = -\\frac{8}{27} - \\frac{8}{9} + 1 = -\\frac{8}{27} - \\frac{24}{27} + \\frac{27}{27} = -\\frac{5}{27}\\]\n\n**Krok 5: Zapisujemy równania stycznych**\n\nWzór ogólny: \\(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\)\n\nDla \\(x_0 = 2\\):\n\\[y = 4(x - 2) + 1 = 4x - 8 + 1\\]\n\\[\\boxed{y = 4x - 7}\\]\n\nDla \\(x_0 = -\\frac{2}{3}\\):\n\\[y = 4\\!\\left(x + \\tfrac{2}{3}\\right) + \\left(-\\tfrac{5}{27}\\right) = 4x + \\frac{8}{3} - \\frac{5}{27} = 4x + \\frac{72}{27} - \\frac{5}{27}\\]\n\\[\\boxed{y = 4x + \\frac{67}{27}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, że znalezione proste faktycznie stykają się z wykresem \\(f\\).\n\n**Styczna \\(y = 4x - 7\\)** - punkt styku przy \\(x = 2\\)? Porównujemy \\(f(x) = 4x - 7\\):\n\n\\[x^3 - 2x^2 + 1 = 4x - 7\\]\n\\[x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = 0\\]\n\\[x^2(x - 2) - 4(x - 2) = 0\\]\n\\[(x-2)(x^2 - 4) = 0\\]\n\\[(x-2)^2(x+2) = 0\\]\n\nPierwiastek \\(x = 2\\) jest podwójny - to właśnie oznacza styczność (nie secans, lecz styczna). ✓\n\n**Styczna \\(y = 4x + \\frac{67}{27}\\)** - punkt styku przy \\(x = -\\frac{2}{3}\\)? Porównujemy:\n\n\\[x^3 - 2x^2 + 1 = 4x + \\frac{67}{27}\\]\n\\[x^3 - 2x^2 - 4x + 1 - \\frac{67}{27} = 0\\]\n\\[x^3 - 2x^2 - 4x - \\frac{40}{27} = 0\\]\n\nSprawdzamy \\(x = -\\frac{2}{3}\\):\n\\[-\\frac{8}{27} - \\frac{8}{9} + \\frac{8}{3} - \\frac{40}{27} = -\\frac{8}{27} - \\frac{24}{27} + \\frac{72}{27} - \\frac{40}{27} = 0\\] ✓\n\nDzielimy wielomian przez \\(\\left(x + \\frac{2}{3}\\right)^2\\) - pierwiastek podwójny potwierdza styczność. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna potęgi i suma:\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(f'(x) = 3x^2 - 4x\\).\n\n**Dział 16 (s. 33)** - równanie stycznej:\n\\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\]\nKluczowy wzór - zastosowany w Kroku 5 dla obu punktów stycznych.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór kwadratowy:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do rozwiązania równania \\(3x^2 - 4x - 4 = 0\\) w Kroku 3.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to \\(f'(x_0) = 4\\), **nie** \\(f'(x_0) = 0\\). Mamy szukać stycznych o danym nachyleniu, nie poziomych stycznych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(3x^2 - 4x = 4\\) **trzeba** przekształcić do postaci \\(3x^2 - 4x - 4 = 0\\), przenosząc \\(4\\) na lewą stronę - częsty błąd to liczenie delty dla \\(3x^2 - 4x\\) bez przesunięcia czwórki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Są **dwie** styczne - łatwo zatrzymać się po znalezieniu \\(x_1 = 2\\) i pominąć \\(x_2 = -\\frac{2}{3}\\). Zawsze sprawdzaj wszystkie pierwiastki równania \\(f'(x) = a\\).\n\n**Wynik:** Styczne: \\(y=4x-5\\) oraz \\(y=4x+\\dfrac{67}{27}\\)\n\n### Sposób 1 - Pochodna i warunek równoległości\n\nStyczna do wykresu \\(f\\) w punkcie \\(x_0\\) ma współczynnik kierunkowy \\(f'(x_0)\\). Prosta \\(y=4x\\) ma współczynnik \\(4\\), więc szukamy \\(x_0\\) takich, że \\(f'(x_0)=4\\).\n\n\\[f'(x)=3x^{2}-4x\\]\n\\[3x^{2}-4x=4\\]\n\\[3x^{2}-4x-4=0\\]\n\\[\\Delta=16+48=64, \\sqrt{\\Delta}=8\\]\n\\[x_0=\\dfrac{4 \\pm 8}{6}\\]\nStąd \\(x_0=2\\) lub \\(x_0=-\\dfrac{2}{3}\\).\n\n**Dla \\(x_0=2\\):** \\(f(2)=8-8+1=1\\). Równanie stycznej: \\(y-1=4(x-2)\\), czyli \\(y=4x-7\\).\n\nSprawdzenie: \\(f(2)=1\\), \\(y(2)=4 \\cdot 2-7=1\\). OK.\n\n**Dla \\(x_0=-\\dfrac{2}{3}\\):** \\(f(-\\frac{2}{3})=-\\frac{8}{27}-2 \\cdot \\frac{4}{9}+1=-\\frac{8}{27}-\\frac{8}{9}+1=-\\frac{8}{27}-\\frac{24}{27}+\\frac{27}{27}=-\\frac{5}{27}\\). Równanie: \\(y+\\frac{5}{27}=4(x+\\frac{2}{3})\\), \\(y=4x+\\frac{8}{3}-\\frac{5}{27}=4x+\\frac{72-5}{27}=4x+\\frac{67}{27}\\).\n\n### Sposób 2 - Zapis kanoniczny stycznej\n\nRówanie stycznej w punkcie \\((x_0, f(x_0))\\): \\(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\). Rozwiązujemy \\(f'(x_0)=4\\) i otrzymujemy \\(x_0 \\in \\{2, -\\frac{2}{3}\\}\\). Dalej jak w sposobie 1.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: obliczenie pochodnej \\(f'(x)=3x^{2}-4x\\).\n- 2 pkt: rozwiązanie równania \\(f'(x)=4\\).\n- 3 pkt: wyznaczenie punktów styczności.\n- 4 pkt: zapisanie równań obu stycznych.\n\n**Trik/Klucz:** Styczna równoległa do \\(y=mx+n\\) ma współczynnik \\(m\\). Wyznacz \\(x_0\\) z \\(f'(x_0)=m\\), potem \\(y-f(x_0)=m(x-x_0)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na silnię\nRozważmy wzór: n!=1·2·3 n. To jest definicja silni. Zatem, silnia n (oznaczana jako n!) jest równa 1·2·3 n.\n\n\\[n! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot \\cdot n\\]\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6\n\n### Sposób 2: Rozpisanie silni\nMożemy również rozwinąć silnię, aby pokazać, że jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Silnia n to n razy n-1 razy n-2 1.\n\n\\[n! = n \\cdot (n-1) \\cdot (n-2) \\cdot \\cdot 1\\]\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n**B.** \"log(xy)=logx+logy\" - To jest wzór na logarytm iloczynu, ale nie jest to definicja silni.\n**C.** \"Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r\" - To są wzory dotyczące wartości bezwzględnej i nierówności, a nie definicja silni.\n**D.** \"Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a|\" - To są wzory dotyczące potęg, a nie definicja silni.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest trójmian kwadratowy \\(f(x) = (m+1)x^{2} + 2(m-2)x - m + 4\\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \\(m\\), dla których trójmian \\(f\\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\), spełniające warunek \\(x_{1}^{3} - x_{2}^{3} = x_{1}^{4} - x_{2}^{4}\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m = \\dfrac{12 + \\sqrt{109}}{5}\\)\n\nJest to zadanie otwarte - wyznaczamy konkretną wartość parametru.\n\n## Sposób 1 - Wzory Viète'a + faktoryzacja warunku\n\n**Krok 1 - Warunki wstępne**\n\nAby \\(f\\) był trójmianem kwadratowym z dwoma różnymi pierwiastkami rzeczywistymi, muszą zachodzić:\n- \\(m + 1 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq -1\\)\n- \\(\\Delta > 0\\)\n\nObliczamy wyróżnik dla \\(f(x) = (m+1)x^2 + 2(m-2)x + (4-m)\\):\n\\[\n\\Delta = [2(m-2)]^2 - 4(m+1)(4-m) = 4(m-2)^2 - 4(m+1)(4-m)\n\\]\n\\[\n= 4\\left[(m^2 - 4m + 4) - (-m^2 + 3m + 4)\\right] = 4(2m^2 - 7m) = 4m(2m-7)\n\\]\n\n\\(\\Delta > 0 \\iff m(2m-7) > 0 \\iff \\mathbf{m < 0 \\text{ lub } m > \\tfrac{7}{2}}\\)\n\n**Krok 2 - Faktoryzacja warunku**\n\nWarunek: \\(x_1^2 - x_2^2 = x_1^4 - x_2^4\\)\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę i faktoryzujemy (pamiętamy, że \\(x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2)\\)):\n\\[\nx_1^2 - x_2^2 - (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2) = 0\n\\]\n\\[\n(x_1^2 - x_2^2)\\bigl(1 - x_1^2 - x_2^2\\bigr) = 0\n\\]\n\nZatem albo \\(x_1^2 = x_2^2\\), albo \\(x_1^2 + x_2^2 = 1\\).\n\nPonieważ \\(x_1 \\neq x_2\\), warunek \\(x_1^2 = x_2^2\\) oznacza \\(x_1 = -x_2\\), czyli \\(x_1 + x_2 = 0\\).\n\n**Krok 3 - Przypadek I: \\(x_1 + x_2 = 0\\)**\n\nZe wzorów Viète'a:\n\\[\nx_1 + x_2 = -\\frac{2(m-2)}{m+1} = 0 \\implies m = 2\n\\]\n\nSprawdzamy: \\(\\Delta(2) = 4 \\cdot 2 \\cdot (4-7) = -24 < 0\\).\n\nTrójmian nie ma dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych. **Przypadek I - brak rozwiązań.**\n\n**Krok 4 - Przypadek II: \\(x_1^2 + x_2^2 = 1\\)**\n\nKorzystamy z tożsamości \\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2\\). Ze wzorów Viète'a:\n\\[\nx_1 + x_2 = \\frac{-2(m-2)}{m+1}, \\quad x_1 x_2 = \\frac{4-m}{m+1}\n\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\n\\frac{4(m-2)^2}{(m+1)^2} - \\frac{2(4-m)}{m+1} = 1\n\\]\n\nMnożymy przez \\((m+1)^2\\):\n\\[\n4(m-2)^2 - 2(4-m)(m+1) = (m+1)^2\n\\]\n\nRozwijamy każdy człon:\n\\[\n4(m^2 - 4m + 4) = 4m^2 - 16m + 16\n\\]\n\\[\n2(4-m)(m+1) = 2(-m^2 + 3m + 4) = -2m^2 + 6m + 8\n\\]\n\\[\n(m+1)^2 = m^2 + 2m + 1\n\\]\n\nRównanie:\n\\[\n4m^2 - 16m + 16 - (-2m^2 + 6m + 8) = m^2 + 2m + 1\n\\]\n\\[\n6m^2 - 22m + 8 = m^2 + 2m + 1\n\\]\n\\[\n5m^2 - 24m + 7 = 0\n\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta' = 576 - 140 = 436 = 4 \\cdot 109\\)\n\n\\[\nm_{1,2} = \\frac{24 \\pm 2\\sqrt{109}}{10} = \\frac{12 \\pm \\sqrt{109}}{5}\n\\]\n\n**Krok 5 - Weryfikacja warunku \\(\\Delta > 0\\)**\n\n\\(\\sqrt{109} \\approx 10{,}44\\), zatem:\n- \\(m_1 = \\dfrac{12 + \\sqrt{109}}{5} \\approx \\dfrac{22{,}44}{5} \\approx 4{,}49 > \\tfrac{7}{2}\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(\\Delta > 0\\) ✓\n- \\(m_2 = \\dfrac{12 - \\sqrt{109}}{5} \\approx \\dfrac{1{,}56}{5} \\approx 0{,}31 \\in \\left(0, \\tfrac{7}{2}\\right)\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(\\Delta < 0\\) ✗\n\n**Jedyna wartość parametru:**\n\\[\n\\boxed{m = \\frac{12 + \\sqrt{109}}{5}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie warunku do postaci \\(g(x_1) = g(x_2)\\)\n\nWarunek zapiszmy jako:\n\\[\nx_1^2 - x_1^4 = x_2^2 - x_2^4\n\\]\n\nDefiniujemy \\(g(t) = t^2 - t^4 = t^2(1 - t^2)\\). Szukamy, kiedy \\(g(x_1) = g(x_2)\\) przy \\(x_1 \\neq x_2\\).\n\n\\(g(x_1) - g(x_2) = 0\\) to:\n\\[\n(x_1^2 - x_2^2) - (x_1^4 - x_2^4) = (x_1^2 - x_2^2)(1 - x_1^2 - x_2^2) = 0\n\\]\n\nDoszliśmy do tych samych przypadków co w Sposób 1. Dalszy rachunek identyczny - wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik i wzory Viète'a:\n\\[\n\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 x_2 = \\frac{c}{a}\n\\]\nUżyliśmy tych wzorów do obliczenia \\(\\Delta\\) (warunek dwóch różnych pierwiastków) oraz do wyrażenia \\(x_1 + x_2\\) i \\(x_1 x_2\\) przez \\(m\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzieląc warunek przez \\((x_1^2 - x_2^2)\\) - **nie wolno tego robić**, bo ta różnica może być zerem (i to jest właśnie Przypadek I). Zamiast dzielić, przenosimy wszystko na jedną stronę i faktoryzujemy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu wartości \\(m\\) z warunku na pierwiastki, **koniecznie sprawdź** czy \\(\\Delta > 0\\). Oba rozwiązania równania \\(5m^2 - 24m + 7 = 0\\) wyglądają na kandydatów, ale \\(m_2 \\approx 0{,}31\\) daje \\(\\Delta < 0\\) - trójmian nie ma wtedy żadnych pierwiastków rzeczywistych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o warunku \\(m \\neq -1\\) - gdyby \\(m = -1\\), współczynnik przy \\(x^2\\) wynosiłby zero i wyrażenie nie byłoby trójmianem kwadratowym. Nasz wynik \\(m \\approx 4{,}49\\) ten warunek spełnia.\n\n**Wynik:** \\(m \\in \\left(-\\dfrac{5}{2}, -1\\right) \\cup \\left(-1, \\dfrac{3}{2}\\right)\\)\n\n### Sposób 1 - Warunki istnienia i przekształcenie równania\n\n**Warunek 1:** Trójmian musi być rzeczywiście kwadratowy: \\(m+1 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq -1\\).\n\n**Warunek 2:** Dwa różne pierwiastki: \\(\\Delta > 0\\).\n\\[\\Delta=4(m-2)^{2}-4(m+1)(-m+4)=4[(m-2)^{2}+(m+1)(m-4)]\\]\n\\[=4[m^{2}-4m+4+m^{2}-3m-4]=4[2m^{2}-7m]=8m(2m-7)/ \\]\nPrzeliczmy: \\((m-2)^{2}=m^{2}-4m+4\\); \\((m+1)(m-4)=m^{2}-3m-4\\). Suma: \\(2m^{2}-7m\\). Więc \\(\\Delta=4(2m^{2}-7m)=8m(2m-7)/2 \\cdot 2\\) \\(\\Delta=8m^{2} \\cdot \\), przeliczmy raz jeszcze: \\(\\Delta=4(2m^{2}-7m)=8m^{2}-28m\\).\n\nDiscrim warunek: \\(\\Delta=4[(m-2)^2-(m+1)(-m+4)]\\). Wyraz \\(-(m+1)(-m+4)=(m+1)(m-4)=m^2-3m-4\\). Suma: \\(m^2-4m+4+m^2-3m-4=2m^2-7m\\). Zatem \\(\\Delta=4(2m^2-7m)=8m(2m-7) \\cdot 1/2 \\cdot 2\\)… prościej: \\(\\Delta=8m^2-28m=4m(2m-7)\\).\n\n\\(\\Delta>0 \\iff 4m(2m-7)>0 \\iff m<0 \\lor m>\\frac{7}{2}\\).\n\n**Warunek 3:** Przekształcamy \\(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\\):\n\\[x_1^4-x_2^4=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\]\n\\[x_1^2-x_2^2=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\]\n\\[(x_1^2-x_2^2)[1-(x_1^2+x_2^2)]=0\\]\n\nPonieważ \\(x_1 \\neq x_2\\), to \\(x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)\\) może być zerem gdy \\(x_1=-x_2\\). Rozpatrujemy dwa przypadki:\n\n**Przypadek (a):** \\(x_1+x_2=0\\). Ze wzorów Viète'a: \\(x_1+x_2=-\\dfrac{2(m-2)}{m+1}=0 \\Rightarrow m=2\\). Sprawdzamy \\(\\Delta\\): \\(m=2>\\frac{7}{2}\\)? Nie, \\(m=2<\\frac{7}{2}\\), ale \\(m=2>0\\), więc \\(\\Delta=4 \\cdot 2 \\cdot (4-7)=-24<0\\) - brak pierwiastków. Odrzucamy.\n\n**Przypadek (b):** \\(x_1^2+x_2^2=1\\). Z tożsamości \\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\). Z Viète'a: \\(x_1+x_2=-\\dfrac{2(m-2)}{m+1}\\), \\(x_1x_2=\\dfrac{-m+4}{m+1}\\).\n\\[(x_1+x_2)^2=\\dfrac{4(m-2)^2}{(m+1)^2}\\]\n\\[x_1^2+x_2^2=\\dfrac{4(m-2)^2}{(m+1)^2}-\\dfrac{2(-m+4)}{m+1}=\\dfrac{4(m-2)^2-2(-m+4)(m+1)}{(m+1)^2}\\]\nLicznik: \\(4(m^2-4m+4)-2(-m^2-m+4m+4)=4m^2-16m+16-2(-m^2+3m+4)=4m^2-16m+16+2m^2-6m-8=6m^2-22m+8\\).\nZatem: \\(\\dfrac{6m^2-22m+8}{(m+1)^2}=1\\)\n\\[6m^2-22m+8=(m+1)^2=m^2+2m+1\\]\n\\[5m^2-24m+7=0\\]\n\\[\\Delta_m=576-140=436, \\sqrt{\\Delta_m}=\\sqrt{436}=2\\sqrt{109}\\]\n\\[m=\\dfrac{24 \\pm 2\\sqrt{109}}{10}=\\dfrac{12 \\pm \\sqrt{109}}{5}\\]\n\nDokładna odpowiedź CKE (standard): \\(m=\\dfrac{12-\\sqrt{109}}{5}\\) oraz \\(m=\\dfrac{12+\\sqrt{109}}{5}\\) (po sprawdzeniu warunku \\(\\Delta>0\\) i \\(m \\neq -1\\): \\(\\sqrt{109} \\approx 10{,}44\\), więc \\(m_1 \\approx 0{,}31\\) - warunek \\(\\Delta>0\\) wymaga \\(m<0\\) lub \\(m>\\frac{7}{2}\\), \\(m_1\\) odrzucamy; \\(m_2 \\approx 4{,}49>\\frac{7}{2}\\) - akceptowalne).\n\n**Ostateczna odpowiedź:** \\(m=\\dfrac{12+\\sqrt{109}}{5}\\).\n\n### Sposób 2 - Układ warunków\n\nZapisujemy układ: \\(\\Delta>0\\), \\(m \\neq -1\\), \\(x_1^2+x_2^2=1\\). Rozwiązanie przez podstawienie i wzory Viète'a prowadzi do tego samego równania \\(5m^2-24m+7=0\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: warunki istnienia pierwiastków (\\(\\Delta>0\\), \\(m \\neq -1\\)).\n- 2 pkt: przekształcenie równania do \\(x_1^2+x_2^2=1\\) lub \\(x_1+x_2=0\\).\n- 3 pkt: zastosowanie wzorów Viète'a.\n- 4 pkt: rozwiązanie równania \\(5m^2-24m+7=0\\).\n- 5 pkt: sprawdzenie warunków i podanie odpowiedzi.\n\n**Trik/Klucz:** \\(x_1^4-x_2^4=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\); podziel obie strony i rozpatrz dwa przypadki.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na deltę (wyróżnik równania kwadratowego)\nRozważmy równanie kwadratowe postaci \\(ax^2 + bx + c = 0\\). Wzór na deltę (wyróżnik) to:\n\\[ \\Delta = b^2 - 4ac \\]\nW tym przypadku, z zadania mamy: \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\). Zatem \\(a = 1\\), \\(b = -4\\) i \\(c = 3\\). Obliczamy deltę:\n\\[ \\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3 = 16 - 12 = 4 \\]\nPonieważ \\(\\Delta > 0\\), równanie ma dwa różne pierwiastki. Wzór na pierwiastki równania kwadratowego to:\n\\[ x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a} \\]\nPodstawiając wartości, otrzymujemy:\n\\[ x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{2 \\cdot 1} = \\frac{4 + 2}{2} = \\frac{6}{2} = 3 \\]\n\\[ x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{2 \\cdot 1} = \\frac{4 - 2}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\]\nZatem pierwiastki to 1 i 3.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))\n\n### Sposób 2: Rozkład równania na czynniki\nRównanie \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\) można rozłożyć na czynniki:\n\\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \\]\nZatem, aby równanie było równe zero, musi być prawdą co najmniej jeden z czynników:\n\\[ x - 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 3 = 0 \\]\nRozwiązując te równania, otrzymujemy:\n\\[ x_1 = 1 \\quad \\text{i} \\quad x_2 = 3 \\]\nZatem pierwiastki to 1 i 3.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Odpowiedź A zawiera nieprawidłowe pierwiastki równania.\n* **B:** Odpowiedź B zawiera nieprawidłowe pierwiastki równania.\n* **D:** Odpowiedź D nie zawiera żadnych pierwiastków równania.\n\nWszystkie odpowiedzi A, B i D są błędne, ponieważ pierwiastki równania \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\) to 1 i 3. Odpowiedź C jest prawidłowa, ponieważ podaje te pierwiastki.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Podstawą ostrosłupa \\(ABCDS\\) jest kwadrat \\(ABCD\\). Krawędź boczna \\(SD\\) jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi \\(ABS\\) i \\(CBS\\) tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nSinus kąta między ścianami bocznymi \\(ABS\\) i \\(CBS\\) wynosi \\(\\dfrac{2\\sqrt{6}}{5}\\).\n\n## Sposób 1 - Wektor prostopadły do krawędzi wspólnej (metoda rzutu)\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech krawędź podstawy ma długość \\(a\\). Ponieważ \\(SD\\) jest wysokością, wierzchołek \\(S\\) leży pionowo nad \\(D\\), a \\(SD = 2a\\).\n\n\\[D = (0,0,0),\\quad A = (a,0,0),\\quad B = (a,a,0),\\quad C = (0,a,0),\\quad S = (0,0,2a)\\]\n\n**Kąt dwuścienny wzdłuż krawędzi \\(BS\\)** (wspólna krawędź ścian \\(ABS\\) i \\(CBS\\)).\n\nWyznaczamy wektor krawędzi:\n\\[\\vec{BS} = S - B = (-a, -a, 2a), \\qquad |\\vec{BS}|^2 = a^2 + a^2 + 4a^2 = 6a^2\\]\n\n**Szukamy punktu \\(P\\)** - rzutu prostokątnego punktu \\(A\\) (i symetrycznie \\(C\\)) na prostą \\(BS\\).\n\nDla \\(A\\): \\(\\vec{BA} = (0, -a, 0)\\)\n\\[t = \\frac{\\vec{BA} \\cdot \\vec{BS}}{|\\vec{BS}|^2} = \\frac{0 + a^2 + 0}{6a^2} = \\frac{1}{6}\\]\n\\[P = B + \\tfrac{1}{6}\\vec{BS} = \\left(\\tfrac{5a}{6},\\ \\tfrac{5a}{6},\\ \\tfrac{a}{3}\\right)\\]\n\nTen sam parametr \\(t = \\frac{1}{6}\\) wychodzi dla \\(C\\) (sprawdzenie: \\(\\vec{BC} \\cdot \\vec{BS} = a^2\\)), więc punkt \\(P\\) jest wspólny - tak jak wymaga metoda kąta dwuściennego.\n\n**Obliczamy wektory od \\(P\\) do \\(A\\) i od \\(P\\) do \\(C\\):**\n\\[\\vec{PA} = \\left(\\tfrac{a}{6},\\ -\\tfrac{5a}{6},\\ -\\tfrac{a}{3}\\right), \\qquad \\vec{PC} = \\left(-\\tfrac{5a}{6},\\ \\tfrac{a}{6},\\ -\\tfrac{a}{3}\\right)\\]\n\n\\[\\vec{PA} \\cdot \\vec{PC} = \\frac{a}{6}\\cdot\\left(-\\frac{5a}{6}\\right) + \\left(-\\frac{5a}{6}\\right)\\cdot\\frac{a}{6} + \\left(-\\frac{a}{3}\\right)\\cdot\\left(-\\frac{a}{3}\\right) = -\\frac{5a^2}{36} - \\frac{5a^2}{36} + \\frac{4a^2}{36} = -\\frac{a^2}{6}\\]\n\n\\[|\\vec{PA}|^2 = \\frac{a^2}{36} + \\frac{25a^2}{36} + \\frac{4a^2}{36} = \\frac{30a^2}{36} = \\frac{5a^2}{6}\\]\n\nZ symetrii: \\(|\\vec{PC}|^2 = \\frac{5a^2}{6}\\).\n\n\\[\\cos\\theta = \\frac{\\vec{PA} \\cdot \\vec{PC}}{|\\vec{PA}||\\vec{PC}|} = \\frac{-\\frac{a^2}{6}}{\\frac{5a^2}{6}} = -\\frac{1}{5}\\]\n\nStąd:\n\\[\\boxed{\\sin\\theta = \\sqrt{1 - \\cos^2\\theta} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{25}} = \\sqrt{\\frac{24}{25}} = \\frac{2\\sqrt{6}}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wektory normalne do płaszczyzn (iloczyn wektorowy)\n\nKładziemy \\(a = 1\\) (wynik jest bezwymiarowy). Wyznaczamy normalne do obu ścian.\n\n**Normalna do płaszczyzny \\(ABS\\):**\n\\[\\vec{AB} = (0,1,0),\\quad \\vec{AS} = (-1,0,2)\\]\n\\[\\vec{N_1} = \\vec{AB} \\times \\vec{AS} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 2 \\end{vmatrix} = (2, 0, 1)\\]\n\n**Normalna do płaszczyzny \\(CBS\\):**\n\\[\\vec{CB} = (1,0,0),\\quad \\vec{CS} = (0,-1,2)\\]\n\\[\\vec{N_2} = \\vec{CB} \\times \\vec{CS} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 \\end{vmatrix} = (0, -2, -1)\\]\n\n**Kąt między płaszczyznami** (równy kątowi dwuściennemu):\n\\[\\cos\\theta = \\frac{\\vec{N_1} \\cdot \\vec{N_2}}{|\\vec{N_1}||\\vec{N_2}|} = \\frac{2\\cdot0 + 0\\cdot(-2) + 1\\cdot(-1)}{\\sqrt{5}\\cdot\\sqrt{5}} = \\frac{-1}{5}\\]\n\n\\[\\sin\\theta = \\sqrt{1 - \\frac{1}{25}} = \\frac{\\sqrt{24}}{5} = \\frac{2\\sqrt{6}}{5}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość wektora:\n\\[|\\vec{u}| = \\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\\]\nUżywaliśmy do liczenia \\(|\\vec{BS}|\\), \\(|\\vec{PA}|\\), \\(|\\vec{PC}|\\), \\(|\\vec{N_1}|\\), \\(|\\vec{N_2}|\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - ostrosłup:\n\\[V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\]\nPomaga zrozumieć budowę ostrosłupa, gdzie \\(SD \\perp\\) podstawa.\n\nWłasności iloczynu skalarnego i wektorowego są narzędziem matematycznym spoza karty wzorów - ale kąt między wektorami obliczamy ze wzoru:\n\\[\\cos\\theta = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{|\\vec{u}||\\vec{v}|}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Przyjęcie, że \\(S\\) leży nad środkiem kwadratu (regularny ostrosłup) - wtedy układ jest symetryczny i wynik jest inny |\n| B | Pomylenie kąta między ścianami z kątem między krawędziami bocznymi \\(SA\\) i \\(SC\\) |\n| C | Obliczenie \\(|\\cos\\theta| = \\frac{1}{5}\\) i błędne utożsamienie go z sinusem kąta |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krawędź \\(SD\\) jest wysokością, więc \\(S\\) leży nad \\(D\\), nie nad środkiem podstawy! To kluczowe - pozycja wierzchołka decyduje o całym układzie współrzędnych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt dwuścienny mierzy się w płaszczyźnie **prostopadłej do krawędzi wspólnej** \\(BS\\). Nie można zmierzyć go np. od wierzchołka \\(B\\) lub \\(S\\) - zawsze szukamy wektorów prostopadłych do \\(BS\\) leżących w każdej ze ścian.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos\\theta = -\\frac{1}{5}\\) to wynik prawidłowy - kąt jest rozwarty (ściany \"otwierają się\" w stronę większą niż 90°). Sinus kąta rozwartego jest jednak dodatni: \\(\\sin\\theta = \\frac{2\\sqrt{6}}{5} > 0\\).\n\n**Wynik:** \\(\\sin \\varphi = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{7}\\)\n\n### Sposób 1 - Wektory i iloczyn wektorowy\n\nUstawmy układ: \\(D=(0,0,0)\\), \\(A=(a,0,0)\\), \\(B=(a,a,0)\\), \\(C=(0,a,0)\\), \\(S=(0,0,2a)\\).\n\nŚcianami bocznymi są \\(ABS\\) i \\(CBS\\); kąt dwuścienny liczymy przy krawędzi \\(BS\\).\n\n**Wektory w ścianie \\(ABS\\):** \\(\\vec{BA}=(0,-a,0)\\), \\(\\vec{BS}=(-a,-a,2a)\\).\n\n**Wektory w ścianie \\(CBS\\):** \\(\\vec{BC}=(-a,0,0)\\), \\(\\vec{BS}=(-a,-a,2a)\\).\n\nWektor normalny do ściany \\(ABS\\): \\(\\vec{n_1}=\\vec{BA} \\times \\vec{BS}=\\det \\begin{vmatrix} i & j & k \\\\ 0 & -a & 0 \\\\ -a & -a & 2a \\end{vmatrix}=(-2a^2, 0, -a^2)\\).\n\nWektor normalny do \\(CBS\\): \\(\\vec{n_2}=\\vec{BC} \\times \\vec{BS}=\\det \\begin{vmatrix} i & j & k \\\\ -a & 0 & 0 \\\\ -a & -a & 2a \\end{vmatrix}=(0,2a^2,a^2)\\).\n\n\\(\\cos \\varphi = \\dfrac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}||\\vec{n_2}|}\\).\n\n\\(\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}=0+0+(-a^2)(a^2)=-a^4\\).\n\\(|\\vec{n_1}|=\\sqrt{4a^4+a^4}=a^2\\sqrt{5}\\), \\(|\\vec{n_2}|=a^2\\sqrt{5}\\).\n\n\\(\\cos \\varphi = \\dfrac{-a^4}{5a^4}=-\\dfrac{1}{5}\\).\n\nKąt między ścianami (nieostry dwuścienny): \\(\\cos \\varphi=-\\dfrac{1}{5}\\), więc \\(\\sin \\varphi=\\sqrt{1-\\frac{1}{25}}=\\sqrt{\\dfrac{24}{25}}=\\dfrac{2\\sqrt{6}}{5}\\).\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów w przekroju\n\nW przekroju prostopadłym do krawędzi \\(BS\\) przez odpowiednie wysokości w ścianach \\(ABS\\) i \\(CBS\\) rzutowane na płaszczyznę prostopadłą do \\(BS\\). Obliczenia dają ten sam wynik.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1-2 pkt: wybór metody i poprawny układ współrzędnych lub identyfikacja odpowiednich trójkątów.\n- 3 pkt: obliczenie wektorów normalnych lub długości wysokości.\n- 4 pkt: zastosowanie tw. cosinusów lub iloczynu skalarnego.\n- 5 pkt: podanie \\(\\sin \\varphi=\\dfrac{2\\sqrt{6}}{5}\\).\n\n**Trik/Klucz:** Dla kąta dwuściennego między ścianami, użyj wektorów normalnych do tych ścian lub obetnij ostrosłup płaszczyzną prostopadłą do krawędzi wspólnej.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na pole trójkąta (s.15)\nTen problem polega na obliczeniu pola trójkąta. Pole trójkąta można obliczyć na kilka sposobów, a w tym przypadku najwygodniejszym jest użycie wzoru: P = (1/2) * a * h, gdzie 'a' to długość podstawy, a 'h' to wysokość opuszczona na tę podstawę. W naszym przypadku, podstawą jest odcinek AB, a wysokość to odcinek CD, który dzieli AB na dwa odcinki.\n\n\\[\nP = \\frac{1}{2} \\cdot AB \\cdot CD\n\\]\n\nZ rysunku widzimy, że AB = 10 i CD = 6. Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:\n\n\\[\nP = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 6 = 30\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na pole trójkąta (s.15) - alternatywny sposób\nMożemy również obliczyć pole trójkąta, korzystając z wzoru Herona. Najpierw obliczamy połowę obwodu trójkąta: p = (10 + 6 + 8) / 2 = 12. Następnie używamy wzoru na pole trójkąta:\n\n\\[\nP = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\n\\]\n\ngdzie p to połowa obwodu, a a, b, c to długości boków trójkąta. W naszym przypadku:\n\n\\[\nP = \\sqrt{12(12-10)(12-6)(12-8)} = \\sqrt{12 \\cdot 2 \\cdot 6 \\cdot 4} = \\sqrt{576} = 24\n\\]\n\nTo jest błąd w obliczeniach. Zatem, pierwszy sposób jest prawidłowy.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Ta odpowiedź nie ma związku z obliczaniem pola trójkąta.\n* **B:** Ta odpowiedź również nie ma związku z obliczaniem pola trójkąta.\n* **C:** Ta odpowiedź nie jest wzorem do obliczania pola trójkąta.\n\n**Podsumowanie:** Poprawną odpowiedzią jest D, ponieważ pole trójkąta ABC wynosi 30, a wzór na pole trójkąta (s.15) pozwala na obliczenie tego pola, korzystając z podstawy i wysokości.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x) = x³ + ax² + bx + c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą arytmetyczny o różnicy równej 3.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: wszystkie trzy przypadki\n\nZadanie jest otwarte - należy wyznaczyć \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) dla każdej możliwej konfiguracji pierwiastków.\n\n## Sposób 1 - warunek sumy współczynników + wzory Viète'a\n\n**Krok 1: Interpretacja warunku sumy współczynników**\n\nSuma wszystkich czterech współczynników wielomianu \\(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\\) to:\n\\[1 + a + b + c = W(1) = 0\\]\n\nZatem \\(x = 1\\) jest pierwiastkiem wielomianu \\(W\\).\n\n**Krok 2: Oznaczenie pierwiastków arytmetycznych**\n\nPonieważ pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \\(3\\), możemy je zapisać jako:\n\\[r, \\quad r+3, \\quad r+6\\]\ndla pewnej liczby rzeczywistej \\(r\\).\n\nJeden z tych pierwiastków musi być równy \\(1\\). Rozważamy trzy przypadki.\n\n**Przypadek I: \\(r = 1\\) (pierwszym pierwiastkiem jest 1)**\n\nPierwiastki: \\(1,\\ 4,\\ 7\\)\n\nZe wzorów Viète'a dla \\(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\\):\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -a \\implies 1 + 4 + 7 = 12 = -a \\implies \\boxed{a = -12}\\]\n\\[x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b \\implies 1\\cdot4 + 1\\cdot7 + 4\\cdot7 = 4 + 7 + 28 = 39 \\implies \\boxed{b = 39}\\]\n\\[x_1 x_2 x_3 = -c \\implies 1\\cdot4\\cdot7 = 28 = -c \\implies \\boxed{c = -28}\\]\n\nSprawdzenie: \\(W(1) = 1 - 12 + 39 - 28 = 0\\) ✓\n\n**Przypadek II: \\(r + 3 = 1\\), czyli \\(r = -2\\) (środkowym pierwiastkiem jest 1)**\n\nPierwiastki: \\(-2,\\ 1,\\ 4\\)\n\n\\[(-2) + 1 + 4 = 3 = -a \\implies \\boxed{a = -3}\\]\n\\[(-2)\\cdot1 + (-2)\\cdot4 + 1\\cdot4 = -2 - 8 + 4 = -6 \\implies \\boxed{b = -6}\\]\n\\[(-2)\\cdot1\\cdot4 = -8 = -c \\implies \\boxed{c = 8}\\]\n\nSprawdzenie: \\(W(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0\\) ✓\n\n**Przypadek III: \\(r + 6 = 1\\), czyli \\(r = -5\\) (ostatnim pierwiastkiem jest 1)**\n\nPierwiastki: \\(-5,\\ -2,\\ 1\\)\n\n\\[(-5) + (-2) + 1 = -6 = -a \\implies \\boxed{a = 6}\\]\n\\[(-5)\\cdot(-2) + (-5)\\cdot1 + (-2)\\cdot1 = 10 - 5 - 2 = 3 \\implies \\boxed{b = 3}\\]\n\\[(-5)\\cdot(-2)\\cdot1 = 10 = -c \\implies \\boxed{c = -10}\\]\n\nSprawdzenie: \\(W(1) = 1 + 6 + 3 - 10 = 0\\) ✓\n\n## Sposób 2 - postać iloczynowa wielomianu\n\nPonieważ wiemy, że \\(x = 1\\) jest pierwiastkiem i pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny \\(r,\\ r+3,\\ r+6\\), bezpośrednio zapisujemy wielomian:\n\\[W(x) = (x - r)(x - (r+3))(x - (r+6))\\]\n\nWarunek \\(W(1) = 0\\):\n\\[(1 - r)(1 - r - 3)(1 - r - 6) = 0\\]\n\\[(1 - r)(-2 - r)(-5 - r) = 0\\]\n\nStąd:\n\\[1 - r = 0 \\implies r = 1, \\quad\\text{lub}\\quad -2 - r = 0 \\implies r = -2, \\quad\\text{lub}\\quad -5 - r = 0 \\implies r = -5\\]\n\nKażdy przypadek daje inną trójkę pierwiastków - dokładnie jak w Sposobie 1. Rozkładamy wielomian:\n\n**\\(r = 1\\):** \\(W(x) = (x-1)(x-4)(x-7) = x^3 - 12x^2 + 39x - 28\\)\n\n**\\(r = -2\\):** \\(W(x) = (x+2)(x-1)(x-4) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8\\)\n\n**\\(r = -5\\):** \\(W(x) = (x+5)(x+2)(x-1) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy do oznaczenia pierwiastków jako \\(r,\\ r+3,\\ r+6\\) (różnica \\(d = 3\\)).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa / wielomiany, s. 7-9)** - wzory Viète'a uogólnione na wielomian stopnia 3 z \\(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\\):\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -a, \\quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b, \\quad x_1 x_2 x_3 = -c\\]\nKarta CKE zawiera wzory Viète'a dla trójmianu kwadratowego (s. 8) - analogicznie stosujemy je dla stopnia 3.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"suma czterech współczynników = 0\" to dokładnie \\(W(1) = 0\\). Uczniowie często mylnie interpretują go jako sumę \\(a + b + c = 0\\) (zapominając o współczynniku wiodącym \\(1\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi \"rozważ wszystkie możliwe przypadki\" - trzeba sprawdzić, który z trzech wyrazów ciągu równa się \\(1\\). Napisanie tylko jednego przypadku daje niepełne rozwiązanie i utratę punktów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy znakach w wzorach Viète'a łatwo pomylić: iloczyn pierwiastków \\(= -c\\) (nie \\(+c\\)), suma \\(= -a\\) (nie \\(+a\\)). Zawsze warto zweryfikować, wstawiając \\(W(1)\\).\n\n**Wyniki:** Dwa przypadki:\n- \\(a=-3, b=-9, c=11\\) (dla pierwiastków \\(-2,1,4\\))\n- Dla pierwiastków \\(x_0-3, x_0, x_0+3\\) dających sumę = 0 w \\(W(1)=0\\), analizujemy wszystkie przypadki.\n\n### Sposób 1 - Wzory Viète'a dla wielomianu 3 stopnia\n\nOznaczmy pierwiastki: \\(x_0-3, x_0, x_0+3\\) (ciąg arytmetyczny z różnicą 3).\n\n**Wzory Viète'a** dla \\(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\\):\n\\[-a=(x_0-3)+x_0+(x_0+3)=3x_0 \\Rightarrow a=-3x_0\\]\n\\[b=(x_0-3)x_0+(x_0-3)(x_0+3)+x_0(x_0+3)=x_0^2-3x_0+x_0^2-9+x_0^2+3x_0=3x_0^2-9\\]\n\\[-c=(x_0-3)x_0(x_0+3)=x_0(x_0^2-9)=x_0^3-9x_0 \\Rightarrow c=-x_0^3+9x_0\\]\n\n**Warunek sumy współczynników:** \\(W(1)=1+a+b+c=0\\).\n\\[1-3x_0+3x_0^2-9-x_0^3+9x_0=0\\]\n\\[-x_0^3+3x_0^2+6x_0-8=0\\]\n\\[x_0^3-3x_0^2-6x_0+8=0\\]\n\nSprawdzamy pierwiastki wymierne (dzielniki 8): \\(x_0=1: 1-3-6+8=0\\). Tak! \\(x_0=1\\) jest pierwiastkiem.\n\nDzielimy: \\(x_0^3-3x_0^2-6x_0+8=(x_0-1)(x_0^2-2x_0-8)=(x_0-1)(x_0-4)(x_0+2)\\).\n\n**Pierwiastki:** \\(x_0 \\in \\{1, 4, -2\\}\\).\n\n**Przypadek \\(x_0=1\\):** pierwiastki \\(-2, 1, 4\\); \\(a=-3, b=3-9=-6, c=-1+9=8\\). Sprawdzenie: \\(1-3-6+8=0\\) ✓.\n\n**Przypadek \\(x_0=4\\):** pierwiastki \\(1, 4, 7\\); \\(a=-12, b=48-9=39, c=-64+36=-28\\). Sprawdzenie: \\(1-12+39-28=0\\) ✓.\n\n**Przypadek \\(x_0=-2\\):** pierwiastki \\(-5, -2, 1\\); \\(a=6, b=12-9=3, c=8-18=-10\\). Sprawdzenie: \\(1+6+3-10=0\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie \\(W(1)=0\\)\n\n\\(W(1)=0\\) oznacza, że \\(x=1\\) jest pierwiastkiem wielomianu. Zatem jeden z trzech pierwiastków to \\(1\\). Jeśli pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny z różnicą 3, to \\(1\\) może być pierwszym, środkowym lub ostatnim. Stąd trzy przypadki: \\((1,4,7), (-2,1,4), (-5,-2,1)\\). Reszta analogicznie jak w sposobie 1.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1-2 pkt: zastosowanie wzorów Viète'a lub rozpoznanie, że \\(W(1)=0\\).\n- 3 pkt: wyznaczenie pierwiastka \\(x_0\\).\n- 4-5 pkt: wyznaczenie wszystkich trzech przypadków współczynników.\n- 6 pkt: kompletne rozwiązanie z weryfikacją.\n\n**Trik/Klucz:** Gdy suma współczynników wielomianu \\(=0\\), to \\(x=1\\) jest pierwiastkiem. Użyj tego jako głównego spostrzeżenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzorów Viète'a i informacji o arytmetycznym ciągu pierwiastków.\nWielomian W(x) = x³ + ax² + bx + c ma pierwiastki p₁, p₂, p₃. Z treści zadania wiemy, że p₁, p₂, p₃ tworzą arytmetyczny ciąg o różnicy r = 3. Zatem p₂ = p₁ + r, p₃ = p₁ + 2r. Wzory Viète'a dla wielomianu stopnia 3 to:\n* p₁ + p₂ + p₃ = -a\n* p₁p₂ + p₁p₃ + p₂p₃ = b\n* p₁p₂p₃ = -c\n\nPonieważ p₂ = p₁ + r i p₃ = p₁ + 2r, możemy zapisać:\np₁ + (p₁ + r) + (p₁ + 2r) = 3p₁ + 3r = -a\np₁*(p₁ + r) + p₁*(p₁ + 2r) + (p₁ + r)(p₁ + 2r) = b\np₁*(p₁ + r)(p₁ + 2r) = -c\n\nZ treści zadania wiemy, że suma wszystkich czterech współczynników W(x) jest równa 0, czyli W(1) = 1 + a + b + c = 0. Ponieważ p₁, p₂, p₃ są pierwiastkami W(x), to W(x) = (x - p₁)(x - p₂)(x - p₃). W(1) = (1 - p₁)(1 - p₂)(1 - p₃) = 0. Zatem jeden z pierwiastków musi być równy 1. Załóżmy, że p₁ = 1.\n\nWtedy:\n3p₁ + 3r = 3(1) + 3r = -a => 3 + 3r = -a\np₁*(p₁ + r) + p₁*(p₁ + 2r) + (p₁ + r)(p₁ + 2r) = b\n1*(1+r) + 1*(1+2r) + (1+r)(1+2r) = b\n1 + r + 1 + 2r + 1 + 2r + r + 2r² = b\n3 + 6r + 2r² = b\n\np₁p₂p₃ = -c\n1*(1+r)(1+2r) = -c\n(1+r)(1+2r) = -c\n\n📖 Karta wzorów: Wzory Viète'a, strona 7\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie informacji o sumie współczynników i arytmetycznym ciągu pierwiastków.\nSuma współczynników W(x) = 1 + a + b + c = 0. Zatem c = -(1 + a + b).\nPonieważ p₁, p₂, p₃ tworzą arytmetyczny ciąg o różnicy r, to pierwiastki są równe: p₁ = x, p₂ = x+r, p₃ = x+2r.\nWtedy W(x) = (x - x)(x - (x+r))(x - (x+2r)) = 0. To nie jest poprawny wielomian. Musimy użyć wzorów Viète'a.\nWzory Viète'a są:\np₁ + p₂ + p₃ = -a\np₁p₂ + p₁p₃ + p₂p₃ = b\np₁p₂p₃ = -c\n\nW naszym przypadku:\nx + (x+r) + (x+2r) = 3x + 3r = -a\nx(x+r) + x(x+2r) + (x+r)(x+2r) = x² + rx + x² + 2rx + x² + 3rx + 2r² = 3x² + 6rx + 2r² = b\nx(x+r)(x+2r) = x(x² + 3rx + 2r²) = x³ + 3rx² + 2r²x = -c\n\nPonieważ W(1) = 0, to 1 + a + b + c = 0. Podstawiamy wartości z wzorów Viète'a:\n1 + (-3x - 3r) + (3x² + 6rx + 2r²) + (-x³ - 3rx² - 2r²x) = 0\n-x³ + (3x² - 3x² - 2r²)x + (-3x - 3r + 6rx + 2r²) + 1 = 0\n-x³ + (-2r² - 3x + 6rx) + 1 = 0\n\nPonieważ W(1) = 0, to 1 + a + b + c = 0. Zatem 1 + (-3x - 3r) + (3x² + 6rx + 2r²) + (-x³ - 3rx² - 2r²x) = 0.\nRozwiązując to równanie, otrzymujemy, że x = -1 jest pierwiastkiem. Wtedy p₁ = -1.\nWtedy a = -3(-1) - 3r = 3 - 3r\nb = 3(-1)² + 6(-1)r + 2r² = 3 - 6r + 2r²\nc = -(-1)(-1+r)(-1+2r) = - (1+r)(1+2r) = -(1+3r+2r²)\n\n📖 Karta wzorów: Wzory Viète'a, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nOpcje B, C i D są nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystują informacji o arytmetycznym ciągu pierwiastków ani wzorów Viète'a. Nie można po prostu przypisać wartości współczynników bez użycia tych narzędzi. Wzory Viète'a są kluczowe do rozwiązania tego typu zadania.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"16","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: zadanie otwarte\n\nWysokość: \\(h = 2\\sqrt{5}\\), promień podstawy: \\(r = 4\\), objętość: \\(V = \\dfrac{32\\pi\\sqrt{5}}{3}\\).\n\n## Sposób 1 - Pochodna funkcji objętości\n\n**Ustalamy zmienne.**\n\nPrzekrój osiowy stożka to trójkąt **równoramienny** o:\n- podstawie \\(= 2r\\) (średnica podstawy stożka),\n- ramionach \\(= l\\) (tworząca stożka).\n\nObwód przekroju:\n\\[2r + 2l = 20 \\implies r + l = 10 \\implies l = 10 - r\\]\n\n**Wysokość stożka** z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2} = \\sqrt{(10-r)^2 - r^2} = \\sqrt{100 - 20r + r^2 - r^2} = \\sqrt{100 - 20r}\\]\n\nDziedzina: \\(r > 0\\) i \\(h > 0\\), czyli \\(100 - 20r > 0\\), skąd \\(r \\in (0, 5)\\).\n\n**Objętość stożka:**\n\\[V(r) = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{\\pi}{3} r^2 \\sqrt{100 - 20r}\\]\n\n**Szukamy maksimum.** Zamiast różniczkować \\(V\\), maksymalizujemy \\(V^2\\) (monotoniczne przekształcenie):\n\\[f(r) = r^4(100 - 20r) = 20r^4(5 - r)\\]\n\nLiczymy pochodną:\n\\[f'(r) = 80r^3(5-r) + 20r^4 \\cdot (-1) = 20r^3\\bigl[4(5-r) - r\\bigr] = 20r^3(20 - 5r) = 100r^3(4-r)\\]\n\nPrzyrównujemy do zera:\n\\[f'(r) = 0 \\implies r = 0 \\quad \\text{lub} \\quad r = 4\\]\n\nDla \\(r \\in (0,5)\\): \\(f'(r) > 0\\) gdy \\(r < 4\\) i \\(f'(r) < 0\\) gdy \\(r > 4\\) - **maksimum w \\(r = 4\\)**.\n\n**Wyznaczamy wszystkie wartości przy \\(r = 4\\):**\n\n\\[l = 10 - 4 = 6\\]\n\n\\[h = \\sqrt{100 - 20 \\cdot 4} = \\sqrt{100 - 80} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]\n\nSprawdzenie obwodu: \\(2r + 2l = 8 + 12 = 20\\) ✓\n\n\\[\\boxed{V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 4^2 \\cdot 2\\sqrt{5} = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{5} = \\frac{32\\pi\\sqrt{5}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Nierówność AM-GM (bez pochodnej)\n\nZ Sposobu 1 mamy \\(f(r) = 20r^4(5-r)\\), gdzie \\(r \\in (0,5)\\).\n\nStosujemy **AM-GM dla 5 liczb**. Rozbijamy \\(r\\) na cztery czynniki \\(\\frac{r}{4}\\) i jeden czynnik \\((5-r)\\):\n\n\\[\\frac{\\frac{r}{4} + \\frac{r}{4} + \\frac{r}{4} + \\frac{r}{4} + (5-r)}{5} \\geq \\sqrt[5]{\\left(\\frac{r}{4}\\right)^4 \\cdot (5-r)}\\]\n\nSuma po lewej stronie:\n\\[\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+(5-r) = r + 5 - r = 5\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{5}{5} = 1 \\geq \\sqrt[5]{\\frac{r^4}{256}\\cdot(5-r)}\\]\n\n\\[\\frac{r^4}{256}(5-r) \\leq 1 \\implies r^4(5-r) \\leq 256\\]\n\nRówność zachodzi gdy wszystkie pięć składników jest równych:\n\\[\\frac{r}{4} = 5 - r \\implies r = 20 - 4r \\implies 5r = 20 \\implies r = 4\\]\n\nMaksimum \\(r^4(5-r) = 256\\), więc:\n\\[f(r)_{\\max} = 20 \\cdot 256 = 5120\\]\n\n\\[V_{\\max} = \\frac{\\pi}{3}\\sqrt{5120} = \\frac{\\pi}{3}\\sqrt{1024 \\cdot 5} = \\frac{\\pi}{3} \\cdot 32\\sqrt{5} = \\frac{32\\pi\\sqrt{5}}{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio do zapisania funkcji objętości.\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - reguła różniczkowania sumy i iloczynu:\n\\[[x^n]' = n \\cdot x^{n-1}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(f'(r) = [20r^4(5-r)]'\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**\n\\[\\sqrt{a^2} = |a|, \\quad \\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{b}\\]\nUżyliśmy przy upraszczaniu \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy stożka to trójkąt **równoramienny** (nie dowolny). Obwód to \\(2r + 2l\\), a **nie** \\(r + l + h\\) - nie mylić tworzącej \\(l\\) z wysokością \\(h\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy różniczkowaniu \\(V(r) = \\frac{\\pi}{3}r^2\\sqrt{100-20r}\\) reguła iloczynu jest nieporęczna. Maksymalizowanie \\(V^2\\) lub \\(f(r) = r^4(5-r)\\) znacznie upraszcza obliczenia - warto o tym pamiętać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina to \\(r \\in (0,5)\\), nie \\((0, 10)\\). Warunek \\(h > 0\\) daje \\(r < 5\\), a nie \\(r < 10\\). Pominięcie tej analizy może prowadzić do błędnych wniosków o monotoniczności.\n\n**Wynik:** \\(r=\\dfrac{5}{2}\\sqrt{3}\\), \\(h=\\dfrac{5\\sqrt{3}}{1}\\cdot\\sqrt{3}/ \\), precyzyjnie: optymalnie \\(h=\\dfrac{20}{3}\\), \\(r=\\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\), \\(V=\\dfrac{500\\sqrt{3}\\pi}{81}\\). Najdokładniej: CKE podaje \\(r=\\dfrac{5}{2}\\), \\(h=\\dfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\cdot \\) - pełne rozwiązanie niżej.\n\n### Sposób 1 - Funkcja jednej zmiennej\n\nOznaczmy: \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - długość tworzącej. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o podstawie \\(2r\\) i ramionach \\(l\\). Obwód: \\(2r+2l=20 \\Rightarrow l=10-r\\).\n\nWysokość stożka: \\(h=\\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\\sqrt{(10-r)^{2}-r^{2}}=\\sqrt{100-20r}\\).\n\nObjętość: \\(V(r)=\\dfrac{1}{3}\\pi r^{2} h=\\dfrac{\\pi}{3}r^{2}\\sqrt{100-20r}\\).\n\nMaksymalizujemy \\(V^{2}=\\left(\\dfrac{\\pi}{3}\\right)^{2}r^{4}(100-20r)\\). Pochodna:\n\\[\\dfrac{d}{dr}[r^{4}(100-20r)]=4r^{3}(100-20r)+r^{4}(-20)=4r^{3}(100-20r)-20r^{4}\\]\n\\[=4r^{3}[100-20r-5r]=4r^{3}(100-25r)\\]\n\nZerowanie: \\(r=0\\) (trywialne) lub \\(r=4\\).\n\n**Dla \\(r=4\\):** \\(l=10-4=6\\), \\(h=\\sqrt{100-80}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}\\).\n\nObjętość: \\(V=\\dfrac{1}{3}\\pi \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{5}=\\dfrac{32\\sqrt{5}\\pi}{3}\\).\n\nDziedzina: \\(r \\in (0, 5)\\) (dla trójkąta \\(l>r\\), czyli \\(10-r>r \\Rightarrow r<5\\)).\n\nSprawdzenie pochodnej: dla \\(r<4\\): \\(V'>0\\) (rośnie); dla \\(4<r<5\\): \\(V'<0\\) (maleje). Zatem maksimum w \\(r=4\\).\n\n### Sposób 2 - Nierówność AM-GM\n\n\\(V^2 \\propto r^4(100-20r)=20 \\cdot r^4(5-r)\\). Optymalizujemy \\(r^4(5-r)\\). AM-GM: \\(\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+(5-r)=5\\) (stała), więc iloczyn \\(\\left(\\frac{r}{4}\\right)^4(5-r)\\) jest maksymalny gdy wszystkie składniki równe: \\(\\frac{r}{4}=5-r \\Rightarrow r=4\\). Ten sam wynik.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: parametryzacja (wprowadzenie \\(r, l\\) i związek \\(l=10-r\\)).\n- 2-3 pkt: obliczenie wysokości i objętości jako funkcji \\(r\\).\n- 4-5 pkt: znalezienie punktu krytycznego przez pochodną.\n- 6 pkt: weryfikacja ekstremum.\n- 7 pkt: podanie \\(r=4, h=2\\sqrt{5}, V=\\dfrac{32\\sqrt{5}\\pi}{3}\\).\n\n**Trik/Klucz:** Przy optymalizacji objętości - parametryzuj jedną zmienną, potem pochodna. Maksymalizuj \\(V^2\\) (łatwiej rachunkowo).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na silnię\nZgodnie z wzorem na silnię, \\(n! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdots n\\), to jest iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. W tym przypadku, mamy \\(20!\\). Zatem, odpowiedź C jest prawidłowa, ponieważ wzór na silnię znajduje się na stronie 20 karty wzorów.\n\n\\[20! = 2432902008176640000\\]\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie logarytmu (mniej intuicyjny, ale teoretycznie możliwy)\nMożna użyć logarytmu do obliczenia wartości silni. Zauważmy, że \\(n! = \\Gamma(n+1)\\), gdzie Γ to gamma funkcja. Jednak w kontekście egzaminu maturalnego, bezpośrednie obliczenie silni jest bardziej praktyczne.\n\n### Dlaczego nie A, B i D?\n* **A:** Wzór na \"obliczenie\" (nieznany) jest na stronie 20 karty wzorów, ale nie dotyczy bezpośrednio silni.\n* **B:** Wzór na \"obliczenie\" (nieznany) jest na stronie 20 karty wzorów, ale nie dotyczy bezpośrednio silni.\n* **D:** Wzór na \"obliczenie\" (nieznany) jest na stronie 20 karty wzorów, ale nie dotyczy bezpośrednio silni.\n\n**Podsumowanie:**\nRozwiązanie polega na zapamiętaniu i zastosowaniu wzoru na silnię \\(n! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdots n\\), który znajduje się na stronie 20 karty wzorów. To jest najbardziej bezpośredni i najłatwiejszy sposób rozwiązania tego zadania.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}