{"paper":{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":33,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nMarek obserwował zwycięski skok Kamila Stocha i oszacował jego długość na 138 m. Oficjalny wynik\nzawodnika to 132,5 m. Jaki błąd względny popełnił Marek (w zaokrągleniu do części tysięcznych)?\nA. 0,040\nB. 0,042\nC. 0,960\nD. 5,500","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie\ninformacji.\n1.7. Liczby rzeczywiste.\nZdający oblicza błąd względny przybliżenia.\nOdpowiedź\nB\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba a jest o 20% mniejsza od liczby b. Jaki procent liczby a stanowi liczba b?\nA. 20%\nB. 80%\nC. 120%\nD. 125%","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1.9. Liczby rzeczywiste.\nZdający wykonuje obliczenia procentowe.\nOdpowiedź\nD\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nIloraz\n6\n3\n6\n3\njest równy\nA. 3\n2 2\nB. 3\n3\nC. 3\n6 2\nD. 9\n2 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia.\n1.3. Liczby rzeczywiste.\nZdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami\ndowolnego stopnia i stosuje prawa działań na\npierwiastkach.\nOdpowiedź\nA\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n3 z 19","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nZbiorem rozwiązań nierówności x\nx\nx\n2\n2\n2\n14\n2 G\nh\nh\nh jest przedział\nA.\n,\n2\n3\n3\nj\nB.\n,\n2\n3\n3\nj\nC.\n,1 3\nD.\n,\n2\n3\n3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia.\n3.3. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia\nz jedną niewiadomą.\nOdpowiedź\nA\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nWskaż zdanie nieprawdziwe.\nA.\n125\n125\n3\n3\nB.\n125\n125\n2 =\nh\nC.\n64\n2\n2\n5\n5\nD. 5\n25\n5\n7\n3\n3 =","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie\ninformacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający:\n3) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego\nstopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach.\n4) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych.\nOdpowiedź\nB\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nPo przesunięciu wykresu funkcji wykładniczej wzdłuż osi Oy układu współrzędnych otrzymano\nwykres przedstawiony na rysunku. Jest to wykres funkcji\n0\nx\ny\n1\n1\nP(2, 3)\nR(0, 2)\nA. f x\nx\n4\n1\n^ h\nB. f x\n2\n1\nx\nh\nh\nC. f x\n3\nx\n2\n1\n1\nh\nh\nD. f x\n2\nx\n1\nh\nh\n\n3 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n\n4 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający:\n14) szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych\npodstaw.\n4) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje\nwykresy funkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, y = -f(x),\ny = f(-x).\nOdpowiedź\nB\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n4 z 19","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nLiczby a i b są dodatnie, b\n1\n!\ni logba = 4. Wyrażenie log\nab\nb\n2\n3\nprzyjmuje wartość\nA. 9\n8\nB. 2\nC. 3\n14\nD. 12","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający:\n6) wykorzystuje definicję logarytmu.\n4) stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych.\nOdpowiedź\nB\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykres funkcji liniowej f(x) = 3x - 2 odbito symetrycznie względem osi Oy. Otrzymano wykres funkcji\nA. g(x) = -3x + 2\nB. g(x) = 3x + 2\nC. g(x) = -3x - 2\nD. g(x) = 3x - 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n4.4. Funkcje.\nZdający na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje\nwykresy funkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, y = -f(x),\ny = f(-x).\nOdpowiedź\nC\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nWskaż oś liczbową, na której przedstawiono zbiór wszystkich wartości p, dla których funkcja liniowa\nf(x) = (8 - p2)x + p jest rosnąca.\nA.\np\n8\nC.\np\n8\n8\nB.\np\n8\n8\nD.\np\n0","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n4.7. Funkcje.\nZdający interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\n3.5. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną\nniewiadomą.\n1.8. Liczby rzeczywiste.\nZdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego,\nzaznacza przedziały na osi liczbowej.\nOdpowiedź\nC\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n5 z 19","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykres funkcji f x\nx\n2\n1\n3\n2\n2\nh\nh\nma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu y = m, jeżeli\nA. m < 2\nB. m = 2\nC. m = 3\nD. m > 3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n4.10. Funkcje.\nZdający interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej,\nw postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).\nOdpowiedź\nA\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nPunkty M = (-2, 0) i N = (2, 4) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Wysokość tego trójkąta jest\nrówna\nA. 4 2\nB. 2 2\nC. 2 6\nD. 8 3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n8.6. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległość dwóch punktów\nna płaszczyźnie kartezjańskiej.\nOdpowiedź\nC\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nWzór ogólny ciągu an\nh określonego dla wszystkich liczb naturalnych n\n1\nH\nma postać\na\nn\nn\nn\nn\n3\n3\n6\n$\n$\n. Wynika stąd, że\nA. a\n243\n3\n11\nB. a\n9\n3 =\nC. a\n243\n3\n6\nD. a\n2\n3 =","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n5.1. Ciągi.\nZdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem\nogólnym.\nOdpowiedź\nB\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nDany jest nieskończony ciąg (an), w którym a1 = 410, a każdy następny wyraz jest dwukrotnie mniejszy\nod poprzedniego. Wtedy wyraz a15 jest równy\nA. 32\nB. 64\nC. 15\n410\nD. 8-4\n\n5 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n\n6 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n5.4. Ciągi.\nZdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu geometrycznego.\nOdpowiedź\nB\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n6 z 19","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono interpretację geometryczną\njednego z niżej zapisanych układów równań.\n0\nx\ny\n1\n1\nWskaż ten układ.\nA.\ny\nx\ny\nx\n2\n1\n2\n2\n1\n1\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nB.\ny\nx\ny\nx\n2\n1\n2\n2\n1\n1\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nC.\ny\nx\ny\nx\n2\n1\n2\n2\n1\n1\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nD. y\nx\ny\nx\n2\n2\n1\n2\n(","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3.2. Równania i nierówności.\nZdający wykorzystuje interpretację geometryczną układu\nrównań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.\n4.7. Funkcje.\nZdający interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nOdpowiedź\nA\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nZależność temperatury w skali Fahrenheita (°F) od temperatury w skali Celsjusza (°C) wyraża się\nwzorem: f\nc\n5\n9\n32\n, gdzie f oznacza temperaturę w skali Fahrenheita, a c - w skali Celsjusza.\n25 maja 2014 r. o godzinie 12 czasu lokalnego temperatura w Warszawie wynosiła 20°C,\na w Nowym Jorku 77°F. O ile stopni temperatura w Nowym Jorku była wyższa od temperatury\nw Warszawie?\nA. o 57°F\nB. o 25°F\nC. o 11°F\nD. o 9°F","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1.2. Liczby rzeczywiste.\nZdający oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych\n(wymiernych).\nOdpowiedź\nD\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nRzucono równocześnie trzema sześciennymi kostkami do gry. Prawdopodobieństwo, że na wszystkich\nkostkach wypadła taka sama liczba oczek, jest równe\nA. 6\n1\nB. 6\n1\n2\nC. 6\n1\n3\nD. 6\n3\n3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii\n10.3. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych\nsytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa.\nOdpowiedź\nB\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nW trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB wpisano okrąg\no promieniu 5. Odległość wierzchołka C od punktu styczności S\nokręgu z ramieniem BC jest równa 12. Wysokość CD tego trójkąta\nma długość\nA\nB\nD\nS\nC\nA. 10\nB. 15\nC. 5\n119\nD. 18\n\n7 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n\n8 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n7.2. Planimetria.\nZdający korzysta z własności stycznej do okręgu.\nOdpowiedź\nD\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n7 z 19\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nWskaż poprawną wartość funkcji trygonometrycznej\nkąta rozwartego a (rysunek obok).\n0\nx\ny\n1\n1\nα\nP(-4, 3)\nA. cos\n5\n4\na =\nB. cos\n5\n4\na =\nC. sin\n4\n3\na =\nD. tg\n4\n3\na =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie\ninformacji.\n6.1. Trygonometria.\nZdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości\nfunkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0°\ndo 180°.\nOdpowiedź\nA\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nNa trójkącie ABC opisano okrąg o środku S i promieniu równym 6.\nKąt wpisany ACB ma miarę 15°. Pole trójkąta ABS jest równe\nA. 9\nB. 9 2\nC. 9 3\nD. 18\nA\nB\nC\nS","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n7. Planimetria. Zdający:\n1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem\nwpisanym.\n4) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych\nw łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru\nna pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach\ni kącie między nimi.\nOdpowiedź\nA\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nIle jest wszystkich naturalnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5, w których cyfra dziesiątek\njest liczbą pierwszą? (Uwaga: 1 nie jest liczbą pierwszą.)\nA. 53\nB. 72\nC. 90\nD. 100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n10.2. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów\nkombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę\ndodawania.\nOdpowiedź\nB\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n8 z 19","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nWszystkie oceny Ani z matematyki to 5, 4, 6, 5, 5 i nieznana ocena x. Średnia arytmetyczna wszystkich\nocen Ani jest większa niż ich mediana. Tą oceną może być\nA. 3\nB. 4\nC. 5\nD. 6","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nIII etap edukacyjny\n9.4. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku\nprawdopodobieństwa.\nZdający wyznacza średnią arytmetyczną i medianę\nzestawu danych.\nIV etap edukacyjny - poziom podstawowy\n10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią ważoną i odchylenie\nstandardowe zestawu danych (także w przypadku danych\nodpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry\ndla danych empirycznych.\nOdpowiedź\nD\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, którego krawędź podstawy ma długość a, pole\npowierzchni bocznej jest 8 razy większe od pola podstawy. Objętość tego graniastosłupa wynosi\nA. 8a3\nB. 2a3\nC. a\n32\n3\nD.\na\n3\n2\n3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nIII etap edukacyjny\n11.2. Bryły.\nZdający oblicza pole powierzchni i objętość\ngraniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli.\nOdpowiedź\nB\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nDany jest stożek, którego tworząca ma długość 4, a kąt rozwarcia wynosi 120°. Pole powierzchni\nbocznej tego stożka jest równe\nA. 8 3 r\nB. 4\n2 3\n3\nr\nh\nC. 8r\nD.\n3\n8 3 r\n\n9 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n\n10 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań 24-33 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający:\n3) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami\noraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt\nrozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą).\n6) stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków,\nmiar kątów, pól powierzchni i objętości.\nOdpowiedź\nA\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n9 z 19\nKlucz oceniania zadań otwartych","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-2)\nWykres funkcji kwadratowej f x\nx\n2\n1\n2\n^ h\nprzesunięto o cztery jednostki w prawo i otrzymano wykres\nfunkcji g(x). Wyznacz zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja g(x) przyjmuje wartości\nwiększe od 2.\nOdpowiedź:\n\n11 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 24. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie\ninformacji.\n4. Funkcje. Zdający:\n7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej\nwzoru.\n3) odczytuje z wykresu własności funkcji.\n4) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy\nfunkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, y = -f(x), y = f(-x).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nRysujemy wykres funkcji\n,\nf x\nx\n2\n1\n2\n^ h\na następnie przesuwamy go\no 4 jednostki w prawo, otrzymując wykres funkcji\ng x\nx\n4\n2\n1\n2\nh\nh\nZ wykresu odczytujemy, że g(x) > 2 dla\n,\n,\nx\n2\n6\n,\n3\n3\n!\nh\nh\n0\nx\ny\n1\n1\nf\ng\nII sposób\nZ informacji o przesunięciu wnioskujemy, że g x\nx 4\n2\n1\n2\nh\nh i zapisujemy nierówność:\nx 4\n2\n2\n1\n>\n2\nh\nx 4\n4\n>\n2\nh\nx2 - 8x + 16 > 4\nx2 - 8x + 12 > 0\n16\nD =\n4\nD =\nx\n2\n8\n4\n2\n1 =\nlub x\n2\n8\n4\n6\n2 =\n,\n,\nx\n2\n6\n,\n3\n3\n!\nh\nh\nSchemat oceniania obu sposobów\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy narysuje wykres funkcji g x\nx 4\n2\n1\n2\nh\nh lub zapisze nierówność\nx 4\n2\n2\n1\n>\n2\nh\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze zbiór rozwiązań:\n,\n,\nx\n2\n6\n,\n3\n3\n!\nh\nh","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-2)\nRozwiąż równanie\nx\nx\nx\n3\n9\n1\n2\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n24\n25\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 25. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3.8. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje proste równania wymierne\nprowadzące do równań liniowych lub kwadratowych.\nalbo\nx 4\n2\n2\n1\n>\n2\nh\nx 4\n4\n>\n2\nh\nx - 4 > 2 lub x - 4 < -2\nx > 6 lub x < 2\n,\n,\nx\n2\n6\n,\n3\n3\n!\nh\nh\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n10 z 19\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZakładamy, że x\n3\n!\ni stosujemy wzór skróconego mnożenia\nx\nx\nx\nx\n3\n3\n3\n1\n^h\nh\n, skracamy\nułamek i otrzymujemy x - 3 = 1 - x, więc x = 2.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy założy, że x\n3\n!\ni uprości równanie do postaci x - 3 = 1 - x.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy rozwiązanie równania: x = 2.\nUwaga\nJeżeli zdający uprości równanie bez założenia x\n3\n!\ni wyznaczy rozwiązanie równania: x = 2, to\notrzymuje 1 punkt.\nII sposób\nZakładamy, że x\n3\n!\ni przekształcamy równanie do postaci x2 - 9 = (1 - x)(x + 3), mnożymy\nwyrażenia w nawiasach i redukujemy wyrazy podobne\nx2 - 9 = -x2 - 2x + 3\n2x2 + 2x - 12 = 0\nx2 + x - 6 = 0\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe\nΔ = 25, x1 = -3, x2 = 2\nPonieważ x1 = -3 nie spełnia założenia, rozwiązaniem równania jest x = 2.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy założy, że x\n3\n!\ni uprości równanie do postaci 2x2 + 2x - 12 = 0.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy rozwiąże równanie kwadratowe, odrzuci rozwiązanie x1 = -3 i zapisze odpowiedź x = 2.\nUwaga\nJeżeli zdający nie napisze założenia x\n3\n!\ni poda odpowiedź x1 = -3, x2 = 2, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"$x = 2$","image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nW pudełku znajduje się 10 piłeczek: 3 białe i 7 czarnych. Z pudełka losujemy kolejno dwie piłeczki bez\nzwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czarne.\nOdpowiedź:\n\n13 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n10.3. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych\nsytuacjach stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n11 z 19\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób (model klasyczny)\nZ reguły mnożenia wyznaczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli\n10 9\n90\n$\nX =\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu 2 czarnych piłeczek. Z reguły mnożenia\nobliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, czyli\nA\n7 6\n42\n$\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe P A\nA\n90\n42\n15\n7\nX\n^ h\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy X = 90 i A = 42 lub też X = 45 i A = 21 (w doświadczeniu losowym nie jest istotna\nkolejność losowania).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo\nP A\n90\n42\n15\n7\n^ h\nUwagi\n1. Jeżeli zdający nie skróci ułamka i poda odpowiedź P A\n90\n42\n^ h\nlub w innej równoważnej postaci,\nto otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia X i A , to otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli z zapisu rozwiązania nie wynika jasno, że zdający rozróżnia pojęcia przestrzeni zdarzeń\nelementarnych oraz zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A (np. pojawi się\njedynie zapis 10 ∙ 9 = 90 albo 7 ∙ 6 = 42 bez żadnego opisu czy powszechnie używanej symboliki),\nto otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający uzyska wynik P(A) > 1, to otrzymuje 0 punktów.\nII sposób (metoda drzewa)\nLosowanie z pudełka kolejno 2 piłeczek bez zwracania możemy zilustrować za pomocą drzewa,\ngdzie b oznacza wylosowanie białej piłeczki, a cz - czarnej piłeczki. Pogrubiona gałąź drzewa\nodpowiada zdarzeniu A polegającemu na wylosowaniu 2 czarnych piłeczek.\nb\nb\nb\ncz\ncz\ncz\n10\n7\n9\n6\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nP A\n10\n7\n9\n6\n15\n7\n$\n^ h\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy narysuje drzewo i poprawnie zaznaczy prawdopodobieństwa przynajmniej na odcinkach\ngałęzi odpowiadającej zdarzeniu A.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo\nP A\n90\n42\n15\n7\n^ h\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n12 z 19\nUwaga\nJeżeli zdający nie narysuje drzewa i zapisze P A\n10\n7\n9\n6\n15\n7\n$\n^ h\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"$P(A) = \\dfrac{7}{15}$","image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nOblicz pole kwadratu, gdy dane są współrzędne dwóch jego wierzchołków (-1, 1) i (2, 1). Rozpatrz\nróżne przypadki.\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n26\n27\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n14 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n8.6. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległość dwóch punktów.\nPrzykładowe rozwiązanie\n0\nx\ny\n1\n1\n(2, 1)\n(-1, 1)\nZaznaczamy dane punkty w układzie współrzędnych i rysujemy odcinek o końcach w tych\npunktach. Oznaczamy długość odcinka przez a, wtedy a = 3.\nZauważamy, że są dwie możliwości - zaznaczony odcinek może być:\n• bokiem kwadratu - wtedy jego pole jest równe P = a2 = 9,\n• przekątną kwadratu - wtedy jego bok wynosi a\n2\n2\n3\ni pole\nP\n2\n9\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie obliczy odległość między danymi punktami oraz pole tylko jednego kwadratu.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie obliczy pola obu kwadratów.","solution":"$P = 9$ lub $P = \\dfrac{9}{2}$","image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nUzasadnij, że funkcja kwadratowa f(x) = 2x2 - 39x + 277 nie ma miejsc zerowych.\n\n15 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.5. Liczby rzeczywiste.\nZdający wykorzystuje podstawowe własności potęg.\n3.4. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną\nniewiadomą.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:\nΔ\n3\n4 2\n27\n3\n8 3\n9 2\n7\n18\n21\n$\n$\n$\nh\nh\nStąd Δ\n3\n1 8 3\n18\n3\n$\nh Ostatecznie Δ\n215 3\n0\n<\n18\n$\nPonieważ Δ < 0, więc funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n13 z 19\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze wyróżnik funkcji kwadratowej w postaci Δ\n3\n8 3\n18\n21\n$\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy doprowadzi wyróżnik do postaci Δ\n215 3\n18\n$\ni zapisze wniosek: ponieważ Δ < 0, więc funkcja\nkwadratowa nie ma miejsc zerowych.\nII sposób\nPonieważ a = 2 > 0, więc parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej f ma ramiona skierowane\ndo góry. Zatem f nie ma miejsc zerowych, gdy druga współrzędna wierzchołka\ny\n0\n>\nw\nObliczamy: x\n4\n3\nw\n9\n,\ny\nf x\n2\n16\n3\n4\n3\n27\n8\n3\n4\n3\n3\nw\nw\n18\n18\n7\n18\n18\n21\n$\nh\nStąd\ny\n3\n8\n1\n4\n1\n3\nw\n18\n3\nj Ostatecznie\n,\ny\n8\n215 3\n0\n>\nw\n18\n$\nwięc funkcja kwadratowa nie ma miejsc\nzerowych.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze drugą współrzędną wierzchołka w postaci y\n8\n3\n3\n3\n4\nw\n18\n18\n21\nlub\ngdy zauważy, że ramiona paraboli są skierowane do góry oraz zapisze wniosek: aby funkcja nie miała\nmiejsc zerowych, musi być spełniony warunek yw > 0 (ale nie obliczy yw).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy y\n3\n8\n215\nw\n18\n$\ni zapisze wniosek: ponieważ parabola będąca wykresem funkcji f\nma ramiona skierowane do góry i yw > 0, więc funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nBartek w czasie wakacji podjął pracę w pizzerii. Pracodawca zaproponował mu następujące warunki\npłacy: za pierwszy dzień pracy 20 zł, a za każdy następny o 3 zł więcej niż za poprzedni. Bartek\nw każdym tygodniu pracuje przez 5 dni. Ile łącznie zarobi po 8 tygodniach pracy?\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n28\n29\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n16 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\n5.3. Ciągi.\nZdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZarobki Bartka za każdy dzień pracy tworzą 40-wyrazowy ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 20 zł\ni r = 3 zł. Wypłata po 8 tygodniach pracy jest równa sumie 40 wyrazów ciągu arytmetycznego.\nZatem\n,\nS\n2\n2 20\n39 3 40\n3140\n40\n$\n$\n$\nwięc po 8 tygodniach pracy Bartek otrzyma 3140 zł.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zauważy, że zarobki za kolejne dni pracy tworzą 40-wyrazowy ciąg arytmetyczny,\nw którym a1 = 20 zł i r = 3 zł.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość sumy S40 = 3140.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n14 z 19","solution":"$3140$ zł","image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW trapezie ABCD, w którym\n,\nAB\nCD\n;;\nprzedłużono ramiona AD i BC tak, aby przecięły się w punkcie E.\nWiadomo, że AB = 8 cm, CD = 2 cm, a pole powstałego trójkąta DCE jest równe 2 cm2. Oblicz pole\ntrapezu ABCD.\nOdpowiedź:\n\n17 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n7.3. Planimetria.\nZdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje\n(także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nA\nB\nC\nD\nE\n8 cm\n2 cm\nTrójkąt ABE jest podobny do trójkąta DCE w skali\nk\nDC\nAB\n4\nZ zależności między polami figur\npodobnych mamy: PABE = k2 · PDCE = 32 cm2, więc PABCD = PABE - PDCE = 30 cm2.\nII sposób\nA\nG\nB\nC\nF\nD\nE\n8 cm\n2 cm\nTrójkąt ABE jest podobny do trójkąta DCE w skali\nk\nDC\nAB\n4\nPole trójkąta DCE jest równe\n2 cm2, więc wysokość EF = 2 cm. Z podobieństwa rozważanych trójkątów otrzymujemy\nEG = k · EF = 8cm, zatem wysokość FG trapezu ABCD jest równa 6 cm. Stąd PABCD = 30 cm2.\nSchemat oceniania obu sposobów\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy stwierdzi, że trójkąt ABE jest podobny do trójkąta DCE w skali k = 4.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy pole trapezu PABCD = 30 cm2.","solution":"$P_{ABCD} = 30$ cm$^2$","image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-4)\nJanek, który chodzi ze średnią prędkością 4\n,\nh\nkm a biega ze średnią prędkością 6\n,\nh\nkm zauważył,\nże biegnąc na popołudniowy trening koszykówki, przybywa na miejsce o 4 minuty wcześniej niż idąc\nnormalnym krokiem. Jak daleko od domu Janka znajduje się hala treningowa?\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n30\n31\nMaks. liczba pkt\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nIII etap edukacyjny\n7.7. Równania.\nZdający za pomocą równań lub układów równań opisuje\ni rozwiązuje zadania osadzone w kontekście\npraktycznym.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n15 z 19\nPrzykładowe rozwiązanie\nZaczynamy od uzgodnienia jednostek: prędkość jest w h\nkm , więc czas 4 min = 15\n1 h. Wprowadzamy\noznaczenia:\ns - odległość hali od domu,\nt - czas pieszej wędrówki do hali,\nt - 15\n1 - czas biegu do hali.\nNa podstawie wzoru s = v · t otrzymujemy układ równań:\ns\nt\ns\nt\n4\n6\n15\n1\nj\nt\nt\n4\n6\n15\n1\nj\nh\nt\n5\n1\n6 @\nZatem odległość hali od domu Janka s = 5\n4 km = 800 m.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nUzgodnienie jednostek, np. czas w godz. lub prędkość w min\nm i wprowadzenie oznaczeń, np.:\ns - odległość hali od domu,\nt - czas pieszej wędrówki do hali,\nt - 15\n1 - czas biegu do hali.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań, np.:\ns\nt\ns\nt\n4\n6\n15\n1\nj\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą, np.:\nt\nt\n4\n6\n15\n1\nj\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie odległości między domem Janka a halą: s = 5\n4 km = 800 m.\nUwaga\nZdający może wprowadzić inne oznaczenia i zapisać równoważny układ równań lub bezpośrednio\nzapisać równanie z jedną niewiadomą, np.\ns\ns\n4\n6\n60\n4","solution":"$s = 800$ m","image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-5)\nPunkty A = (-2, -4), B = (8, 1), C = (4, 4) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego\nABCD (niebędącego równoległobokiem) o podstawach AB oraz CD.\na) Wyznacz równanie prostej, która jest osią symetrii tego trapezu.\nb) Oblicz współrzędne punktu będącego środkiem podstawy CD.\nOdpowiedź:\n\n19 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa\ndane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej).\n5) wyznacza współrzędne środka odcinka.\n3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub\nprostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej\ni przechodzi przez dany punkt.\n4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch\nprostych.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n16 z 19\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\na) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: a\n2\n8\n4\n1\n2\n1\nAB =\noraz współrzędne środka\nodcinka AB:\n,\nS\n2\n2\n8\n2\n4\n1\nj, stąd\n,\nS\n3\n2\n3\nj. Prosta będąca osią symetrii trapezu\nrównoramiennego ABCD jest prostopadła do AB i przechodzi przez punkt S, więc\ny = -2x + b,\nb\n2 3\n2\n3\n- $\n, stąd b\n2\n9\nOś symetrii trapezu ma postać y\nx\n2\n2\n9\nb) Punkt O będący środkiem podstawy CD tego trapezu jest punktem przecięcia osi symetrii\nz podstawą CD. Prosta CD jest równoległa do AB i przechodzi przez punkt C, więc\ny\nx\nb\n2\n1\n,\nb\n4\n4\n2\n1 $\n, stąd b = 2. Prosta CD jest zatem dana równaniem y\nx\n2\n2\n1\nWspółrzędne punktu O obliczymy, rozwiązując układ równań zbudowany z równań prostej CD\ni osi symetrii trapezu ABCD:\ny\nx\ny\nx\n2\n2\n2\n1\n2\n9\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nRozwiązaniem układu jest para\nx\ny\n1\n2\n5\n, czyli\n,\nO\n1 2\n5\nj jest środkiem podstawy CD.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: a\n2\n1\nAB =\nlub współrzędnych punktu\n,\nS\n3\n2\n3\nj - środka podstawy AB.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równania osi symetrii trapezu: y = -2x +\n2\n9\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nWykorzystanie warunku równoległości lub prostopadłości do wyznaczenia równania prostej\nzawierającej podstawę CD: y = 2\n1 x + 2 i zapisanie układu równań\ny\nx\ny\nx\n2\n2\n2\n1\n2\n9\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania 4 pkt\nRozwiązanie zadania do końca z błędem rachunkowym.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu\n,\nO\n1 2\n5\nj - środka podstawy CD trapezu ABCD.\nII sposób\nb) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: a\n2\n8\n4\n1\n2\n1\nAB =\n. Prosta CD jest równoległa\ndo AB i przechodzi przez punkt C, więc y\nx\nb\n2\n1\n,\nb\n4\n4\n2\n1 $\n, stąd b = 2. Prosta CD jest więc\ndana równaniem\ny\nx\n2\n2\n1\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n17 z 19\nNastępnie wyznaczamy współrzędne punktu D. Należy on do prostej CD, więc jego współrzędne\nmożna zapisać w postaci\n,\nD\nd\nd\n2\n2\n1\nj. Trapez ABCD jest równoramienny, zatem zapisujemy\nrównanie: AD\nBC\nd\nd\n2\n2\n4\n4\n8\n4 1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\nh\nj\nh\nh\nObie strony równania są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu:\nd\nd\n2\n2\n4\n25\n2\n1\n2\n2\nh\nj\nStąd po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia i redukcji wyrazów podobnych\notrzymujemy:\nd\nd\n10\n15\n0\n4\n5\n5\n4\n2\n$;\nd2 + 8d + 12 = 0\nΔ = 16, d1 = -6, d2 = -2\nZatem są dwa takie punkty: D1 = (-6, -1) oraz D2 = (-2, 1).\nZauważmy (np. na podstawie rysunku), że D1 nie spełnia\nwarunków zadania, gdyż ABCD1 jest równoległobokiem.\nZe wzoru na środek odcinka wyznaczamy:\n,\n,\nS\n3\n2\n2\n8\n2\n4\n1\n2\n3\nj\nj - środek podstawy AB\noraz\n,\n,\nO\n1\n2\n2\n4\n2\n1\n4\n2\n5\nj\nj - środek podstawy CD2.\n0\nx\ny\n1\n1\nA\nB\nC\nD\nS\nO\nD1\n2\na) Wyznaczamy równanie prostej OS - osi symetrii trapezu ABCD2:\n,\na\n1 3\n2\n2\n5\n2\n3\nOS =\n,b\n2\n2\n5\nwięc\n,\nb\n2\n9\nczyli równanie prostej OS:\ny\nx\n2\n2\n9\n- oś symetrii trapezu.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: a\n2\n1\nAB =\ni wyznaczenie równania prostej CD:\ny\nx\n2\n2\n1\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWykorzystanie własności AD\nBC\ni zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. w postaci\nd\nd\n2\n2\n4\n5\n2\n1\n2\n2\nh\nj\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie współrzędnych punktów D1 = (-6, -1) oraz D2 = (-2, 1) spełniających warunek\nAD\nBC\ni odrzucenie rozwiązania D1.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania 4 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu\n,\nO\n1 2\n5\nj - środka podstawy CD2 trapezu ABCD2\ni poprzestanie na tym lub rozwiązanie do końca z błędami rachunkowymi\n(nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania).\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n18 z 19\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nWyznaczenie równania osi symetrii trapezu:\ny\nx\n2\n2\n9","solution":"$O = \\left(1, \\dfrac{5}{2}\\right)$ oraz $y = -2x + \\dfrac{9}{2}$","image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nW czworościanie foremnym, którego krawędź ma długość a, kąt a jest kątem nachylenia krawędzi\nbocznej do płaszczyzny podstawy. Oblicz wartość wyrażenia cos2(90° - )\na - cos2 .\na\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n32\n33\nMaks. liczba pkt\n5\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n20 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n\nCopyright by Nowa Era Sp. z o.o.\nWYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY\nNr\nzad.\nPunkty\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n24\n25\n26\n27\n28\n29\n30\n31\n32\n33\nKOD\n* nieobowiązkowe\nIMIĘ I NAZWISKO *\nWPISUJE ZDAJĄCY\nKARTA ODPOWIEDZI\nWYPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY\nUprawnienia ucznia do:\ndostosowania kryteriów oceniania.\nnieprzenoszenia zaznaczeń na kartę.\nNr\nzad.\nOdpowiedzi\n1\nA\nB\nC\nD\n2\nA\nB\nC\nD\n3\nA\nB\nC\nD\n4\nA\nB\nC\nD\n5\nA\nB\nC\nD\n6\nA\nB\nC\nD\n7\nA\nB\nC\nC\n8\nA\nB\nC\nD\n0\nA\nB\nC\nD\n10\nA\nB\nC\nD\n11\nA\nB\nC\nD\n12\nA\nB\nC\nD\n13\nA\nB\nC\nD\n14\nA\nB\nC\nD\n15\nA\nB\nC\nD\n16\nA\nB\nC\nD\n17\nA\nB\nC\nD\n18\nA\nB\nC\nD\n19\nA\nB\nC\nD\n20\nA\nB\nC\nD\n21\nA\nB\nC\nD\n22\nA\nB\nC\nD\n23\nA\nB\nC\nD","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n9.2. Stereometria.\nZdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach\nkąt między odcinkami i płaszczyznami (między\nkrawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami).\n6. Trygonometria. Zdający:\n4) stosuje proste zależności między funkcjami\ntrygonometrycznymi: sin\ncos\n1\n2\n2\na\na\n, tg\ncos\nsin\na\na\na\noraz sin\ncos\n90 -a\na\nc\nh\n1) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji\nsinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nx\na\na\nα\nKorzystamy ze wzorów cos(90° - a) = sina oraz sin2a = 1 - cos2a i przekształcamy wyrażenie:\ncos2(90° - a) - cos2a = sin2a - cos2a = 1 - 2 cos2a. Ponieważ cosa = a\nx , więc obliczamy x:\nx = 3\n2 hpodstawy = a\n3\n3 . Stąd cosa =\n,\n3\n3 zatem wartość wyrażenia\ncos2(90° - a) - cos2a = 1 - 2 cos2a =\n3\n1\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nWyznaczenie długości odcinka łączącego wierzchołek podstawy ze spodkiem wysokości:\nx = 3\n2 hpodstawy =\na\n3\n3\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nPrzekształcenie wyrażenia cos2(90° - a) - cos2a do postaci sin2a - cos2a\nUwaga\nJeśli zdający przekształci wyrażenie do postaci sin2a - cos2a i nie obliczy wartości x, to otrzymuje\n1 punkt.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n19 z 19\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nWyznaczenie cosa =\n,\n3\n3 zastosowanie jedynki trygonometrycznej i zapisanie wyrażenia w postaci\n1 - 2 cos2a.\nlub\nWyznaczenie cosa =\n,\n3\n3 skorzystanie z jedynki trygonometrycznej i wyznaczenie sin2a =\n3\n2\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie wartości wyrażenia cos2(90° - a) - cos2a = 1 - 2 cos2a =\n3\n1\nlub\nObliczenie wartości wyrażenia cos2(90° - a) - cos2a = sin2a - cos2a =\n3\n1\nII sposób\nx\na\na\nα\nα - 90o\nH\nWprowadzamy oznaczenia (np. jak na rysunku). Obliczamy x: x = 3\n2 hpodstawy = a\n3\n3 oraz\nz twierdzenia Pitagorasa H:\nH\na\na\n3\n3\n2\n2\n2\nc\nm\n, stąd H\na\n3\n6\n. Z definicji funkcji\ntrygonometrycznych mamy: cosa =\na\nx\n3\n3 , cos(90° - a) =\na\nH\n3\n6 Zatem wartość\nwyrażenia cos2(90° - a) - cos2a =\n3\n6\n3\n3\n3\n1\n2\n2\nc\nc\nm\nm\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nWyznaczenie długości odcinka łączącego wierzchołek podstawy ze spodkiem wysokości:\nx = 3\n2 hpodstawy =\na\n3\n3\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZastosowanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie wysokości czworościanu:\nH\na\n3\n6\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZastosowanie definicji funkcji trygonometrycznych i wyznaczenie: cosa =\na\nx\n3\n3 oraz\ncos(90° - a) =\na\nH\n3\n6\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie wartości wyrażenia: cos2(90° - a) - cos2a =\n3\n6\n3\n3\n3\n1\n2\n2\nc\nc\nm\nm","solution":"$\\dfrac{1}{3}$","image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}