{"paper":{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":18,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nFunkcja f jest określona wzorem f x\nx\nx\nx\n1\n2\n2\n^ h\ndla każdej liczby rzeczywistej x\n1\n!\n. Pochodna\nfunkcji f w punkcie x = 1 jest równa\nA. 2\n1\nB. 4\n3\nC. 4\n5\nD. 3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n11.2. Rachunek różniczkowy.\nZdający oblicza pochodne funkcji wymiernych.\nRozwiązanie\nMamy\nf\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n1\n2\n1\n2\n1\n1\n4\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nl\nl\nl\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nZatem\nf\n1\n1\n1\n4 1 1\n1\n1\n2 1\n1\n4\n5\n2\n2\n$\n$\nl^\nh\nh\nh\nh\nh\nOdpowiedź\nC\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nGranica lim x\nx\nx\n2\n8\nx\n2\n2\n3\njest równa\nA. 0\nB. 4\nC. 3\n16\nD. 3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n11.1. Rachunek różniczkowy.\nZdający oblicza granice funkcji (i granice jednostronne),\nkorzystając z twierdzeń o działaniach na granicach\ni z własności funkcji ciągłych.\n2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na\na\nb 3\n!\nh oraz\na\nb\n3\n3\n!\nRozwiązanie\nlim\nlim\nlim\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n8\n2\n1\n2\n2\n4\n2\n2\n4\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n3\n2\n2\nh\nh\nh\nh\nOdpowiedź\nB\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n3 z 17","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWartość wyrażenia\n16\nlog\n3\n4\n2\n3\n5\nh\njest równa\nA. log52\nB. 2\nC. 5\nD. 16","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nIV etap edukacyjny - poziom podstawowy\n1.4. Liczby rzeczywiste.\nZdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych\ni stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych.\nIV etap edukacyjny - poziom rozszerzony\n1.2. Liczby rzeczywiste.\nZdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi\noraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.\nRozwiązanie\n16\n2\n2\n2\n5\nlog\nlog\nlog\nlog\n3\n4\n2\n3\n3\n4\n4\n2\n3\n2\n1\n5\n5\n5\n5\n2\nh\nh\nOdpowiedź\nC\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nProsta o równaniu y = -2x + 4 tworzy z osią Ox kąt rozwarty a. Wtedy sin2 a przyjmuje wartość\nA.\n5\n2 5\nB. - 2\n1\nC. 5\n4\nD. - 5\n4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nIV etap edukacyjny - poziom podstawowy\n6.1. Trygonometria.\nZdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości\nfunkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0°\ndo 180°.\nIV etap edukacyjny - poziom rozszerzony\n6.5. Trygonometria.\nZdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy\nkątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.\nRozwiązanie\nZauważmy, że proste y = -2x + 4 i y = -2x są równoległe,\nwięc tworzą z osią Ox ten sam kąt rozwarty .\na Z twierdzenia\nPitagorasa mamy:\nOP\n1\n2\n5\n2\n2\nh\n, więc sin\n5\n2\na =\n, cos\n5\n1\na =\nZatem sin\nsin cos\n2\n2\n2\n5\n2\n5\n1\n5\n4\n$\n$\na\na\na\n0\nx\ny\n1\n1\nα\nα\ny\n-2x+4\n-2x\ny\nP(-1, 2)\nOdpowiedź\nD\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n4 z 17","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-1)\nProsta o równaniu x - 2y + 7 = 0 jest styczna do okręgu o środku w punkcie S = (-2, 0). Wskaż\nrównanie tego okręgu.\nA. (x + 2)2 + y2 = 5\nB. (x - 2)2 + y2 = 5\nC. (x + 2)2 + y2 =\n5\nD. x2 + (y + 2)2 = 4\n9\n\n3 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nUzyskana liczba pkt\n\n4 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nZADANIA OTWARTE\nW zadaniach 6-7 zakoduj wynik w kratkach zamieszczonych obok polecenia. W zadaniach 8-18\nrozwiązania zapisz w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n4) oblicza odległość punktu od prostej.\n5) posługuje się równaniem okręgu (x - a)2 + (y - b)2 = r2\noraz opisuje koła za pomocą nierówności.\nRozwiązanie\nPromień okręgu r jest równy odległości środka okręgu S od stycznej:\nr\n5\n1\n2\n2\n7\n5\n5\n2\n2\nh\nRównanie tego okręgu ma postać (x + 2)2 + y2 = 5.\nOdpowiedź\nA\nSchemat punktowania\n1 pkt - za poprawną odpowiedź\n0 pkt - za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi\nKlucz oceniania zadań otwartych","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"6","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nZbadaj, dla jakich wartości parametru a reszta z dzielenia wielomianu\nW(x) = a2x2015 + (8 + a2)x2014 - 7a + 6 przez dwumian x + 1 jest równa co najmniej 4.\nZakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego\nnajwiększej spośród takich liczb a.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3.4. Równania i nierówności.\nZdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia\nwielomianu przez dwumian x - a.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZ twierdzenia o reszcie wynika, że R = W(-1), więc\nW\n1\n4\nH\nh\na2(-1)2015 + (8 + a2)(-1)2014 - 7a + 6 H4\n-a2 + 8 + a2 - 7a + 6 H4\n- 7a H-10\na G 7\n10\nZatem największa wartość parametru a jest równa 7\n10 = 1,42857…\nKodujemy cyfry: 1, 4, 2.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zakoduje cyfry: 1, 4, 2.\nUwaga\nNależy zakodować cyfry otrzymanego wyniku, a nie wyniku przybliżonego, zatem kodujemy cyfry\n1, 4, 2, a nie 1, 4, 3.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n5 z 17","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nOblicz granicę ciągu a\nn\nn\n2\n3\n2\n5\n8\n3\n1\nn\n2\ng\nh\nh . Zakoduj trzy pierwsze cyfry po\nprzecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\n\n5 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n5.2. Ciągi.\nZdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic\nciągów typu n\n1 , n\n1\n2 oraz z twierdzeń o działaniach\nna granicach ciągów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZe wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że\nn\nn\nn\nn\nn\n2\n5\n8\n3\n1\n2\n2\n3\n1\n2\n3\n2\n$\ng\nh\nh\n, więc\na\nn\nn\nn\n2 2\n3\n3\nn\n2\n2\nh\nObliczamy granicę:\n2 2 -\nlim\nlim\n,\nn\nn\nn\nn\nn\n0 375\n3\n1\n2 2\n3\n3\n3\n8\n3\nn\nn\n2\n2\n2\n3\n3\nh\nj\nKodujemy cyfry: 3, 7, 5.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zakoduje cyfry: 3, 7, 5.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"8","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-2)\nCiąg geometryczny (an), określony dla n H1, jest zbieżny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Suma\nwszystkich wyrazów tego ciągu jest 7 razy większa od sumy wszystkich jego wyrazów o numerach\nparzystych. Wyznacz iloraz tego ciągu geometrycznego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n5.3. Ciągi.\nZdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne\ni oblicza ich sumy.\nPrzykładowe rozwiązanie\nCiąg geometryczny jest zbieżny do zera, gdy jego iloraz spełnia warunek q < 1. Wtedy również suma\nwszystkich jego wyrazów, czyli szereg geometryczny, jest zbieżna. Szereg utworzony ze wszystkich\nwyrazów ciągu geometrycznego o numerach parzystych jest również zbieżnym szeregiem\ngeometrycznym o ilorazie qʹ = q2. Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego możemy zapisać\nrówność:\nq\na\nq\na\nq\n7\n1\n1\n1\n2\n1\n$\n$\n. Z założenia, że a1 > 0 (a więc różne od zera) oraz q < 1 (a więc q ≠ 1),\nmożemy obie strony równania podzielić przez a1 i pomnożyć przez q - 1. Otrzymujemy wówczas:\nq\nq\n1\n1\n7\n, czyli 1 + q = 7q. Stąd q = 6\n1 .\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wywnioskuje, że szereg utworzony ze wszystkich wyrazów zbieżnego ciągu geometrycznego\no numerach parzystych jest zbieżnym szeregiem geometrycznym.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zauważy, że qʹ = q2 i obliczy iloraz tego ciągu: q = 6\n1 .\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n6 z 17","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"9","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-2)\nIle jest wszystkich parzystych liczb sześciocyfrowych, do zapisu których użyto cyfr ze zbioru\n{1, 2, 3, 4, 5, 6} i w których cyfra 5 występuje dokładnie trzy razy?\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n6\n7\n8\n9\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n6 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji,\nkombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do\nzliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nTworząc liczby sześciocyfrowe spełniające warunki zadania, musimy uwzględnić to, że:\n- liczba ma być parzysta, zatem cyfrę jedności wybierzemy spośród {2, 4, 6},\n- mają być dokładnie trzy cyfry 5, zatem miejsca dla nich wybierzemy na 3\n5\nj sposobów\n(cyfrą jedności nie może być 5),\n- pozostają jeszcze dwa puste miejsca, na które możemy wybrać po jednej cyfrze ze zbioru\n{1, 2, 3, 4, 6}.\nZatem z reguły mnożenia otrzymujemy:\n!\n!\n!\n3\n3\n5\n5 5\n3 3\n2\n5\n25\n750\n$\n$\n$\n$\n$\n$\nj\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze regułę mnożenia z opisem, np.: 3\n3\n5\n5 5\n$\n$\n$\nj\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy szukaną liczbę: 750.\nUwaga\nJeśli zdający zapisze\n,\n3\n3\n5\n5 5\n750\n$\n$\n$\nj\nto otrzymuje 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nWyznacz zbiór wartości funkcji\nsin\ncos\nf x\nx\nx\n2\n2\n6\n2\nr\nh\nj\nokreślonej dla wszystkich liczb\nrzeczywistych.\n\n7 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n6.5. Trygonometria.\nZdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy\nkątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nKorzystamy ze wzorów sin\ncos\n2 -\nr\na\na\nj\noraz\nsin\nsin\nsin\ncos\n2\n1\n2\n1\n2\na\nb\na\nb\na\nb\nh\nh i przekształcamy wzór funkcji:\nsin\ncos\nsin\nsin\nf x\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n6\n6\n2 -\nr\nr\nr\nh\nj\nj\nj\nsin\ncos\nsin\ncos\n2\n1\n2\n1\nf x\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n6\n2\n6\n2\n3\n6\nr\nr\nr\nr\nr\nr\nh\nj\nj\nj\ncos\nf x\nx\n2\n3\n2\n6\n- r\nh\nj\nwybór cyfry\njedności\nwybór miejsc\ndla trzech 5\nwybór\npozostałych cyfr\nwybór cyfry\njedności\nwybór miejsc\ndla trzech 5\nwybór\npozostałych cyfr\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n7 z 17\nPonieważ\ncos\n1\n1\na\nG\nG\n, więc\ncos\n,\n3\n3\n3\nG\nG\na\nstąd\ncos\n2\n3\n2\n3\n2\n3\nG\nG\na\n, gdzie\nx\n2\n6\n- r\na =\nZatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział:\n,\n2\n3 2\n3\nII sposób\nKorzystamy ze wzorów cos\nsin\n2 -\nr\na\na\nj\noraz\ncos\ncos\ncos\ncos\n2\n1\n2\n1\n2\na\nb\na\nb\na\nb\nh\nh i przekształcamy wzór funkcji:\nsin\ncos\ncos\ncos\nf x\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n6\n2\n6\nr\nr\nr\nh\nj\nj\ncos\ncos\ncos\ncos\n2\n1\n2\n1\nf x\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n6\n2\n6\n6\n6\nr\nr\nr\nr\nr\nr\nh\nj\nj\nj\ncos\nf x\nx\n2\n3\n2\n6 -\nr\nh\nj\nPonieważ\ncos\n1\n1\na\nG\nG\n, więc\ncos\n,\n3\n3\n3\nG\nG\na\nstąd\ncos\n2\n3\n2\n3\n2\n3\nG\nG\na\n, gdzie\n.x\n2\n6 -\nr\na =\nZatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział:\n,\n2\n3 2\n3\nSchemat oceniania obu sposobów\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nZapisanie wzoru funkcji w postaci\nsin\nsin\nf x\nx\nx\n2\n2\n2\n6\n2 -\nr\nr\nh\nj\nj\nalbo\ncos\ncos\nf x\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n6\nr\nr\nh\nj\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZastosowanie wzoru na sumę sinusów i zapisanie wzoru funkcji w postaci\ncos\nf x\nx\n2\n3\n2\n6\n- r\nh\nj albo wzoru na sumę cosinusów i zapisanie wzoru\nfunkcji w postaci\ncos\nf x\nx\n2\n3\n2\n6 -\nr\nh\nj\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nWyznaczenie zbioru wartości:\n,\n2\n3 2\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-3)\nUdowodnij, że jedynym punktem o obu współrzędnych całkowitych, należącym do krzywej\no równaniu\ny\nx\nx\n2\n2\n2\n8\n16\n2\n2\n, jest punkt P = (4, -2).\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n10\n11\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n8 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.2. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe\ni kwadratowe z parametrem.\nIV etap edukacyjny - poziom podstawowy\n2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)2\noraz a2 - b2.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie paraboli:\ny\nx\nx\n2\n8\n16\n2\n2\nh\ny\nx\n2\n2\n4\n2\nh\ny\nx\n2\n2\n4\n2\nh\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n8 z 17\nZauważmy, że dla całkowitych liczb x i y lewa strona jest liczbą całkowitą, a prawa strona jest liczbą\nniewymierną albo zerem w zależności od wartości x. Zatem równość zachodzi wtedy i tylko wtedy,\ngdy (x - 4)2 = 0, stąd x = 4. Wtedy również y + 2 = 0, czyli y = -2. Wynika stąd, że jedynym punktem\no obu współrzędnych całkowitych należącym do paraboli o równaniu y\nx\nx\n2\n8 2\n16 2\n2\n2\njest punkt P = (4, -2).\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nZapisanie równania w postaci\n,\ny\nx\n2\n4\n2\n2\nh\ngdzie x, y ! C.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZapisanie równania w postaci y\nx\n2\n2\n4\n2\nh i zauważenie, że po jego lewej stronie znajduje się\nliczba całkowita, a po prawej - iloczyn liczby niewymiernej i całkowitej.\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nZapisanie wniosku: iloczyn liczby niewymiernej i całkowitej jest równy liczbie całkowitej wtedy\ni tylko wtedy, gdy liczba całkowita jest równa zero, czyli gdy (x - 4)2 = 0, stąd x = 4. Wtedy y + 2 = 0,\nczyli y = -2. Zatem jedynym punktem o obu współrzędnych całkowitych należącym do krzywej jest\nP = (4, -2).\nUwaga\nZdający może przeprowadzić rozumowanie na równaniu w postaci\ny\nx\n2\n4\n2\n2\nh","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"12","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-3)\nW trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB, gdzie\nAB = a oraz\n,\nAC\nBC\nb\npopro­wadzono środkową AD długości x. Wykaż, że\nx\na\nb\n2\n2\n2\n2\n\n9 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n7.5. Planimetria.\nZdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia\ncosinusów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nA\nB\nD\na\nx\nα\nb\nb\nC\n1\n2\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów ADC i ABC i zapisujemy układ równań:\ncos\ncos\nx\nb\nb\na\nb\nb\n2\n2\n4\n5\n2\n2\n2\n2\n2\n2\na\na\nDrugie równanie dzielimy przez 2, a następnie odejmujemy równania stronami.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n9 z 17\nOtrzymujemy:\nx\na\nb\n2\n1\n4\n1\n2\n2\n2\nx\na\nb\n4\n2\n2\n2\n2\n, czyli\nx\na\nb\n2\n2\n2\n2\nII sposób\nA\nB\nD\na\nx\nα\nb\nC\nb\n1\n2\nStosujemy definicję cosinusa w trójkącie prostokątnym i twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD\ni zapisujemy układ równań\ncos\ncos\nx\na\nb\nab\nb\na\n2\n4\n1\n2\n2\n2\na\na\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nPodstawiamy wyznaczony cosinus do drugiego równania i otrzymujemy:\n,\nx\na\nb\na\n4\n2\n2\n2\n2\n2\nstąd\n,\nx\na\nb\n4\n2\n2\n2\n2\nczyli\nx\na\nb\n2\n2\n2\n2\nSchemat oceniania obu sposobów\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nWprowadzenie oznaczeń (np. jak na rysunku) i zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta\nABC lub ADC lub ABD lub użycie definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZapisanie układu równań\ncos\ncos\nx\nb\nb\na\nb\nb\n2\n2\n4\n5\n2\n2\n2\n2\n2\n2\na\na\nalbo\ncos\ncos\nx\na\nb\nab\nb\na\n2\n4\n1\n2\n2\n2\na\na\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nWyprowadzenie z układu równania bez cosinusa, np. x\na\nb\n2\n1\n4\n1\n2\n2\n2\nalbo x\na\nb\na\n4\n2\n2\n2\n2\n2\ni wyznaczenie x:\nx\na\nb\n2\n2\n2\n2\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n10 z 17","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"13","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-3)\nNaszkicuj wykres funkcji\nlog\nf x\nx\n4\n2\n1\nh\nh i zbadaj, dla jakich wartości parametru m równanie\nf(x) = m ma dwa ujemne rozwiązania.\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n12\n13\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n10 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n4. Funkcje. Zdający:\n2) szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych\npodstaw.\n1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje\nwykresy funkcji y\nf x\n^ h , y = c · f(x), y = f(cx).\nIV etap edukacyjny - poziom podstawowy\n4.4. Funkcje.\nZdający na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje\nwykresy funkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, y = - f(x),\ny = f(-x).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWykonujemy kolejne przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej:\nlog\nlog\nlog\ng x\nx\nh x\nx\nf x\nx\n4\n4\n,\nu\nh x\n2\n1\n4 0\n2\n1\n2\n1\nh\nh\nh\nh\nh\nh\n6\n@\n, Df = (-4, ∞)\n0\nx\ny\n1\n1\nNastępnie interpretujemy graficznie równanie z parametrem (rysunek\nobok). Żeby równanie miało dwa ujemne rozwiązania x1 i x2, musi być\nspełniony warunek m ! (0, 2).\n0\nx1\nx2\nx\ny\n1\n1\ny\nm\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nNarysowanie wykresu funkcji\nlog\nf x\nx\n4\n2\n1\nh\nh .\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nNarysowanie w tym samym układzie współrzędnych wykresu y = m i zaznaczenie punktów przecięcia\nobu wykresów.\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nPodanie odpowiedzi: Równanie ma dwa ujemne rozwiązania dla m ! (0, 2).","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-3)\nWyznacz równanie stycznej do wykresu wielomianu f(x) = x3 - 3x2 + x, która jest prostopadła\ndo prostej x - 2y - 6 = 0.\n\n11 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n11.3. Rachunek różniczkowy.\nZdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji\npochodnej.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n11 z 17\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzekształcamy prostą do postaci kierunkowej:\ny\nx\n3\n2\n1\nZ warunku prostopadłości, styczna do\nwykresu wielomianu ma równanie y = -2x + b. Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy\npochodnej wielomianu w punkcie styczności\n:\n,\nP\nx\nf x\n0\n0\nhh\na\nf\nx\n2\n0\nh\nWyznaczamy funkcję pochodną wielomianu: 'f\nx\nx\nx\n3\n6\n1\n2\n^ h\ni zapisujemy równanie:\nx\nx\n3\n6\n1\n2\n0\n2\n0 +\n:\nx\nx\n3\n6\n3\n0\n3\n0\n2\n0 +\nx\n1\n0\n0\n2 =\nh\n,\nx\n1\n0 =\nf x0\nhf(1) = -1, czyli punkt styczności P = (1, -1).\nWyznaczamy równanie stycznej, korzystając ze wzoru\n:\ny\nf x\nf\nx\nx\nx\n0\n0\n0\nh\nh\nh\ny + 1 = -2(x - 1), zatem y = -2x + 1.\nUwaga\nZdający może wyznaczyć równanie stycznej, korzystając z informacji, że punkt P należy do stycznej\no równaniu y = -2x + b.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nWykorzystanie warunku prostopadłości i zapisanie równości:\na\nf x\n2\n0\nl^\nh\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nWyznaczenie funkcji pochodnej: f\nx\nx\nx\n3\n6\n1\n2\nl^ h\ni rozwiązanie równania:\nf\nx\n2\n0 =\nl^\nh\ndla\nx\n1\n0 =\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nObliczenie f(1) = -1 i podanie równania stycznej: y = -2x + 1.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"15","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-3)\nZe zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy bez zwracania trzy cyfry i zapisujemy je w kolejności\nlosowania, tworząc w ten sposób liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby\npodzielnej przez 3, jeżeli wiadomo, że iloczyn pierwszej i drugiej cyfry jest równy 8.\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n14\n15\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n10.2. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie trzywyrazowe ciągi o różnych wyrazach ze zbioru\n{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, czyli wariacje bez powtórzeń.\nWprowadzamy oznaczenia:\nA - utworzono liczbę podzielną przez 3,\nB - iloczyn pierwszej i drugiej cyfry wynosi 8.\nZauważmy, że liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.\nMamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe P A B\nB\nA\nB\nh\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n12 z 17\nZdarzeniu B sprzyjają wariacje postaci: (1, 8, a), (2, 4, b), (4, 2, c), (8, 1, d), gdzie trzeci wyraz\nkażdego z tych ciągów można wybrać na 7 sposobów (wyrazy nie mogą się powtórzyć).\nZatem\nB\n4 7\n$\nZdarzeniu A\nB\nsprzyjają wariacje postaci: (1, 8, a), (2, 4, b), (4, 2, c), (8, 1, d), przy czym\na\n3\n9\ni\nb\n3\n6\ni\nc\n3\n6\ni\nd\n3\n9\nPonieważ suma dwóch pierwszych cyfr w każdym z wymienionych\nprzypadków jest podzielna przez 3, więc\na, b, c, d !{3, 6, 9}. Zatem\nA\nB\n4 3\n$\nStąd\nP A B\nB\nA\nB\n4 7\n4 3\n7\n3\n$\n$\nh\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nWprowadzenie oznaczeń, np.:\nA - utworzono liczbę podzielną przez 3,\nB - iloczyn pierwszej i drugiej cyfry wynosi 8\ni zauważenie, że liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3, oraz że trzeba\nobliczyć prawdopodobieństwo warunkowe\nP A B\nB\nA\nB\nh\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nObliczenie B\n4 7\n$\nlub\nA\nB\n4 3\n$\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nObliczenie prawdopodobieństwa warunkowego\nP A B\n7\n3\nh","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"16","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których wierzchołek paraboli o równaniu\ny = x2 - 2kx + 2k2 - 4k + 4 należy do koła o środku S = (3, 2) i promieniu\n5\n\n13 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n16\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n14 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-6)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nIV etap edukacyjny - poziom podstawowy\n4.12. Funkcje.\nZdający wykorzystuje własności funkcji liniowej\ni kwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych\nw kontekście praktycznym).\nIV etap edukacyjny - poziom rozszerzony\n8.5. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający posługuje się równaniem okręgu\n(x - a)2 + (y - b)2 = r2 oraz opisuje koła za pomocą\nnierówności.\n2.2. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający dzieli wielomiany przez dwumian ax + b.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:\nx\nk\na\nb\nk\n2\n2\n2\nw =\nyw = k2 - 2k2 + 2k2 - 4k + 4 = k2 - 4k + 4\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n13 z 17\nWierzchołek W = (xw, yw) należy do koła, gdy jego współrzędne spełniają nierówność:\n(x - 3)2 + (y - 2)2 ² 5. Podstawiamy współrzędne wierzchołka:\n(k - 3)2 + (k2 - 4k + 4 - 2)2 ² 5\ni porządkujemy nierówność:\nk2 - 6k + 9 + (k2 - 4k + 2)(k2 - 4k + 2) ² 5\nk2 - 6k + 9 + k4 - 8k3 + 20k2 - 16k + 4 - 5 ² 0\nk4 - 8k3 + 21k2 - 22k + 8 ² 0\nRozkładamy wielomian na czynniki, wykorzystując twierdzenie o pierwiastkach całkowitych\nwielomianu o współczynnikach całkowitych i dzielenie przez dwumian. Otrzymujemy np.:\n(k - 1)(k - 2)(k2 - 5k + 4) ² 0\n(k - 1)2(k - 2)(k - 4) ² 0\nPierwiastkami wielomianu są: k1 = 1 (dwukrotny), k2 = 2, k3 = 4.\nSzkicujemy poglądowy wykres i odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:\n0\ny\n1\n-1\n2\n3\n4\nk\nWierzchołek paraboli należy do danego koła dla\n,\nk\n1\n2 4\n,\n! \" ,\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 pkt\nWyznaczenie współrzędnych wierzchołka:\nx\nk\ny\nk\nk\n4\n4\nw\nw\n2\n)\nlub zapisanie nierówności:\n(x - 3)2 + (y - 2)2 ² 5.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie nierówności wynikającej z faktu, że wierzchołek paraboli należy do koła:\n(k - 3)2 + (k2 - 4k + 2)2 ² 5.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt\nZapisanie nierówności w postaci iloczynowej, np.: (k - 1)(k - 2)(k2 - 5k + 4) ² 0\nlub (k - 1)2(k - 2)(k - 4) ² 0.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze nierówność w postaci uporządkowanej: k4 - 8k3 + 21k2 - 22k + 8 ² 0\ni poprzestanie na tym lub dalej popełni błędy rzeczowe, to otrzymuje 3 punkty.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt\nBłąd w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu i konsekwentna odpowiedź albo usterka w rozwiąza-\nniu nierówności („zgubienie” jedynki, niedomknięcie przedziału).\nRozwiązanie pełne 6 pkt\nRozwiązanie nierówności:\n,\nk\n1\n2 4\n,\n! \" ,\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n14 z 17","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"17","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (0-6)\nKwadrat ABCD o boku długości a jest podstawą ostrosłupa ABCDS. Krawędź boczna AS ma\nrównież długość a i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną\nprzechodzącą przez wierzchołek A i prostopadłą do krawędzi CS. Oblicz pole otrzymanego przekroju.\nA\nB\nC\nD\nS\n\n15 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n17\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n16 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (0-6)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n9.2. Stereometria.\nZdający określa, jaką figurą jest dany przekrój\ngraniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.\nIV etap edukacyjny - poziom podstawowy\n7.3. Planimetria.\nZdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje\n(także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nA\na\na\nB\nC\nF\nG\nD\nS\nE\nŚciana ABS jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc SB\na 2\n. Z twierdzenia\nPitagorasa w trójkącie ACS mamy:\n,\nSC\nAC\nAS\na\na\na\n2\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nczyli\nSC\na 3\nZauważmy, że w przekroju otrzymujemy deltoid AEFG, musimy więc wyznaczyć długości jego\nprzekątnych AF oraz EG. Z faktu, że płaszczyzna przekroju jest prostopadła do krawędzi CS\nwynika, że AF jest wysokością trójkąta prostokątnego ACS opuszczoną na przeciwprostokątną.\nKorzystając np. ze wzoru na pole trójkąta, mamy:\nAC\nAS\nSC\nAF\n2\n2\n$\n$\n, stąd\n,\na\na\nAF\n2\n3\n2\n$\nczyli AF\na\n3\n6\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AFS obliczamy:\nSF\nAS\nAF\na\na\na\n3\n6\n9\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nc\nm\n, czyli SF\na\n3\n3\nZauważmy dalej, że prostokątne są trójkąty BCS (np. z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych)\ni FES (bo przekrój jest prostopadły do CS). Ponadto z cechy (kkk) trójkąt BCS jest podobny\ndo trójkąta FES. Prawdziwa jest zatem równość:\n,\nSC\nSE\nSB\nSF\nz której wynika, że\nSE\na\nSB\nSC\nSF\na\na\n3\n3\n2\n3\n$\n$\n, zatem SE\na\n2\n2\nZauważmy jeszcze, że\nEGS\nBDS\n3\n3\nw skali k\nSB\nSE\n2\n1\n, więc EG\nBD\na\n2\n1\n2\n2\nMożemy już obliczyć pole przekroju: P\nAF\nEG\na\na\na\n2\n1\n2\n1\n3\n6\n2\n2\n6\n3\nAEFG\n2\n$\n$\n$\n$\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 pkt\nWprowadzenie oznaczeń (np. jak na rysunku), zauważenie, że przekrojem ostrosłupa jest\ndeltoid AEFG i obliczenie: SB\na 2\n,\nSC\na 3\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n15 z 17\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie przekątnej AF deltoidu AEFG:\nAF\na\n3\n6\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt\nObliczenie SF\na\n3\n3\ni zauważenie, że trójkąt BCS jest prostokątny i podobny do trójkąta FES,\nstąd SE\na\n2\n2\nUwaga\nJeżeli zdający obliczy SF\na\n3\n3\ni poprzestanie na tym lub dalej popełni błędy rzeczowe, to otrzy-\nmuje 3 punkty.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt\nZauważenie, że\nEGS\nBDS\n3\n3\nw skali\n,\nk\nSB\nSE\n2\n1\nstąd EG\na\n2\n2\ni poprzestanie na tym\nlub rozwiązanie do końca z błędem rachunkowym.\nRozwiązanie pełne 6 pkt\nObliczenie pola deltoidu: P\na\n6\n3\nAEFG\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"18","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (0-7)\nCięciwa PQ długości 8 2 podzieliła koło o promieniu 4 3 na dwa odcinki kołowe. W odcinek\nkołowy, który nie zawiera środka koła, wpisujemy trójkąty równoramienne ABC tak, że podstawa AB\njest równoległa do cięciwy PQ, a wierzchołek C jest środkiem tej cięciwy (zobacz rysunek). Wyznacz\ndługości boków tego z trójkątów, który ma największe pole.\nA\nB\nQ\nP\nC\n\n17 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n18\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 18. (0-7)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\n11.6. Rachunek różniczkowy.\nZdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień\noptymalizacyjnych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nA\na\na\nh\nB\nD\nQ\nP\nS\nC\nWprowadzamy oznaczenia np. jak na rysunku. Zauważmy, że\n,\nSP\n4 3\nPC\nPQ\n2\n1\n4 2\n. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie PCS mamy:\n,\nSC\nSP\nPC\n4 3\n4 2\n16\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nh\nwięc\nSC\n4\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DBS mamy:\nSB\nSD\nDB\n2\n2\n2\nh\na\n4 3\n4\n2\n2\n2\nh\nh\na\nh\nh\n32\n8\n2\n2\na\nh\nh\n32\n8\n2\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n16 z 17\nZatem pole trójkąta ABC w zależności od jego wysokości h wyraża się wzorem:\n,\nP\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\n32\n8\n8\n32\nABC\n2\n4\n3\n2\n$\n^ h\ngdzie dziedziną tej funkcji jest zbiór D:\n,\nh\n0 4 3\n4\n! ^\nh\nChcemy obliczyć, dla jakiej wysokości\n,\nh\n0 4 3\n4\n! ^\nh funkcja PABC określona wzorem\nP\nh\nh\nh\nh\n8\n32\nABC\n4\n3\n2\n^ h\nprzyjmuje wartość największą.\nPonieważ funkcja y\nx\njest rosnąca, wystarczy zbadać funkcję\nf h\nh\nh\nh\n8\n32\n4\n3\n2\n^ h\nWyznaczamy pochodną tej funkcji:\n,\n'f h\nh\nh\nh\n4\n24\n64\n3\n2\n^ h\nD\nD =\nl\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej: '\nf h\nh h\nh\n0\n4\n6\n16\n0\n2\n,\nh\nh\nStąd h ! {-8, 0, 2}.\n0\nf (h)\n-2\n-3\n-4\n-8\n2\n4\nh\n4\n- 4\n3\nBadamy znak pochodnej funkcji f w dziedzinie:\n'f h\n^ h > 0 dla h ! (0, 2) oraz 'f h\n^ h < 0 dla h ! (2, 4\n3 - 4).\nZatem funkcja f jest rosnąca w przedziale\n,0 2\ni malejąca w przedziale\n,\n2 4 3\n4\n- h Wynika stąd,\nże dla h = 2 funkcja f przyjmuje wartość największą, więc również pole PABC(h) przyjmuje wartość\nnajwiększą w dziedzinie.\nPozostało nam wyznaczyć długości boków trójkąta ABC o największym polu:\n,\na\nh\nh\n32\n8\n2 3\n2\n,\nAB\na\n2\n4 3\nAC\nBC\n2 3\n2\n4\n2\n2\nh\nOgólny schemat oceniania\nRozwiązanie zadania optymalizacyjnego za pomocą rachunku różniczkowego składa się z trzech\netapów:\n1. Zbudowanie modelu matematycznego (3 punkty).\n2. Zbadanie tego modelu (3 punkty).\n3. Wyciągnięcie wniosków, końcowe obliczenia itp. (1 punkt).\nW pierwszych dwóch etapach można wyróżnić następujące części:\n1. a) wybór zmiennej i wyrażenie za pomocą tej zmiennej wielkości, które będą potrzebne do\nzdefiniowania funkcji,\n1. b) zdefiniowanie funkcji jednej zmiennej,\n1. c) określenie dziedziny tej funkcji,\n2. a) wyznaczenie pochodnej i jej dziedziny,\n2. b) obliczenie miejsc zerowych tej pochodnej,\n2. c) uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja przyjmuje wartość\nnajmniejszą/największą.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n17 z 17\nZa poprawne rozwiązanie każdej z powyższych części zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia\nczęść danego etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nW tym przypadku:\n1. a) Wprowadzenie oznaczeń (np. jak na rysunku), wyznaczenie długości odcinka SC: SC\n4\noraz uzależnienie a od h:\na\nh\nh\n32\n8\n2\n1. b) Zapisanie pola trójkąta ABC jako funkcji zmiennej h: P\nh\nh\nh\nh\n32\n8\nABC\n2 $\n^ h\nlub\nP\nh\nh\nh\nh\n8\n32\nABC\n4\n3\n2\n^ h\n1. c) Zapisanie warunków, jakie musi spełniać wysokość trójkąta ABC: h ! (0, 4\n3 - 4).\n2. a) Zauważenie, że ponieważ funkcja y\nx\njest rosnąca, wystarczy zbadać funkcję\nf h\nh\nh\nh\n8\n32\n4\n3\n2\n^ h\nWyznaczenie pochodnej:\n,\n'f h\nh\nh\nh\n4\n24\n64\n3\n2\n^ h\nD\nD =\nl\n2. b) Obliczenie miejsc zerowych pochodnej: '\n, ,\nf h\nh\n0\n8 0 2\n,\n!\n^ h\n,\n2. c) Zbadanie znaku pochodnej w dziedzinie: 'f h\n^ h > 0 dla h ! (0, 2) oraz 'f h\n^ h < 0 dla\nh ! (2, 4\n3 - 4), określenie monotoniczności funkcji f : w przedziale\n,0 2\nfunkcja f\njest rosnąca i w przedziale\n,2 4 3\n4\n- h jest malejąca. Wynika stąd, że dla h = 2 funkcja f\n(więc również PABC) przyjmuje wartość największą w dziedzinie.\n3.\nWyznaczenie długości boków trójkąta ABC o największym polu:\n,\nAB\na\n2\n4 3\nAC\nBC\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}