{"paper":{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":33,"source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 15 jest przybliżeniem z niedomiarem liczby x. Błąd bezwzględny tego przybliżenia\njest równy 0,24. Liczba x to\nA. 14,76\nB. 14,80\nC. 15,20\nD. 15,24","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1.7. Zdający oblicza błąd bezwzględny przybliżenia.\nPoprawna odpowiedź: D","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nPunkty\n(7,1)\nE \ni\n(9,7)\nF \nto środki boków, odpowiednio AB i BC kwadratu ABCD.\nPrzekątna tego kwadratu ma długość\nA. 4 5\nB. 10\nC. 4 10\nD. 20","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8.6. Zdający oblicza odległość punktów na płaszczyźnie\nkartezjańskiej.\nPoprawna odpowiedź: C","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba\n2\n3\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\njest równa\nA. 4\nB. 9\nC. 3\n3\n3\n\nD. 4\n2 3\n","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2.1 Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na\nkwadrat sumy.\n1.3. Zdający posługuje się obliczeniach pierwiastkami\ndowolnego stopnia i stosuje prawa działań na\npierwiastkach.\nPoprawna odpowiedź: D","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba\n9\n4\n3 jest równa\nA.\n4\n3\n3\n\nB.\n4\n9\n3\n\nC.\n4\n27\n3\n\nD.\n1\n9\n4\n3\n3\n","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1.4. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych\ni stosuje prawa działań na potęgach o wykładniku\nwymiernym.\nPoprawna odpowiedź: B\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23\nOdpowiedź\nD\nC D B C A D D C D\nB\nB\nA\nC\nB\nC\nD\nD\nC\nA\nB\nB\nB\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nFunkcja wykładnicza określona wzorem\n( )\n3x\nf x \nprzyjmuje wartość 6 dla argumentu\nA.\n2\nx \nB.\n3\nlog 2\nx \nC.\n3\nlog 6\nx \nD.\n6\nlog 3\nx ","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4.2. Zdający oblicza ze wzoru wartość funkcji dla\ndanego argumentu.\nPoprawna odpowiedź: C","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nWyrażenie\n2\n16\n(3\n1)\nx\n\n\njest równe\nA. (3\n3 ) (5\n3 )\nx\nx\n\n\n\nB.\n2\n(15\n3 )x\n\nC. (5\n3 ) (5\n3 )\nx\nx\n\n\n\nD.\n2\n15\n9x\n\n\nBRUDNOPIS","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia.\nPoprawna odpowiedź: A","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nWskaż równość prawdziwą.\nA.\n2\n2\n256\n( 256)\n\n\nB.\n3\n3\n256\n( 256)\n\nC.\n2\n( 256)\n256\n\n\nD. 3\n3\n256\n256\n\n","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1.3. Zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami\ndowolnego stopnia.\n1.4. Zdający oblicza potęgi o wykładniku naturalnym.\nPoprawna odpowiedź: D","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nZbiorem rozwiązań nierówności 2\n2\n1\n3\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\njest przedział\nA.\n1\n, 2\n\n\n\n\n\n\n\nB.\n1\n, 14\n\n\n\n\n\n\n\nC.\n1 ,\n14\n\n\n\n\n\n\n\nD. 1 ,\n2\n\n\n\n\n\n\n","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3.3. Zdający rozwiązuje nierówność I stopnia z jedną\nniewiadomą.\nPoprawna odpowiedź: D","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nW klasie jest cztery razy więcej chłopców niż dziewcząt. Ile procent wszystkich uczniów tej\nklasy stanowią dziewczęta?\nA. 4%\nB. 5%\nC. 20%\nD. 25%","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1.9. Zdający wykonuje obliczenia procentowe.\nPoprawna odpowiedź: C","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nReszta z dzielenia liczby 55 przez 8 jest równa\nA. 4\nB. 5\nC. 6\nD. 7","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1.1. Zdający przedstawia liczby rzeczywiste w różnych\npostaciach.\nPoprawna odpowiedź: D\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik\nbędący liczbą pierwszą. Spośród liczb:\n(42),\n(44),\n(45),\n(48)\nf\nf\nf\nf\nnajwiększa to\nA.\n(42)\nf\nB.\n(44)\nf\nC.\n(45)\nf\nD.\n(48)\nf","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4.1. Zdający określa funkcję za pomocą opisu słownego.\n4.2. Zdający oblicza wartość funkcji dla danych\nargumentów i porównuje wyniki.\nPoprawna odpowiedź: B","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nRysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS.\nKątem między krawędzią CS a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa jest kąt\nA. DCS\nB. ACS\nC. OSC\nD. SCB\nA\nB\nC\nD\nS\nO\n\nBRUDNOPIS","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n9.1. Zdający rozpoznaje w ostrosłupach kąty między\nodcinkami.\nPoprawna odpowiedź: B","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku\n(5,7)\nW \n. Wówczas\nprawdziwa jest równość\nA.\n(1)\n(9)\nf\nf\n\nB.\n(1)\n(11)\nf\nf\n\nC.\n(1)\n(13)\nf\nf\n\nD.\n(1)\n(15)\nf\nf\n","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4.12. Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej\ni kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych,\nfizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym).\nPoprawna odpowiedź: A","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nJeżeli kąt  jest ostry i\n3\ntg\n4\n\n, to 2\ncos\n2\ncos\n\n\n\n\nrówna się\nA. -1\nB.\n1\n3\n\nC. 3\n7\nD. 84\n25","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6.4. Zdający stosuje proste zależności między funkcjami\ntrygonometrycznymi do obliczenia wartości wyrażenia.\nPoprawna odpowiedź: C","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nRównanie (2\n1) (\n2)\n(1\n2 ) (\n2)\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\nma dwa rozwiązania. Są to liczby\nA. -2 oraz 1\n2\nB. 0 oraz 1\n2\nC. 1\n2 oraz 2\nD. -2 oraz 2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3.4. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną\nniewiadomą.\nPoprawna odpowiedź: B","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDane jest równanie 3\n4\n5\n0\nx\ny\n\n\n\n. Z którym z poniższych równań tworzy ono układ\nsprzeczny?\nA. 6\n8\n10\n0\nx\ny\n\n\n\nB. 4\n3\n5\n0\nx\ny\n\n\n\nC. 9\n12\n10\n0\nx\ny\n\n\n\nD. 5\n4\n3\n0\nx\ny\n\n\n","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3.2. Zdający rozwiązuje układ równań liniowych.\nPoprawna odpowiedź: C\n5","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nW trójkącie, przedstawionym na rysunku poniżej, sinus kąta ostrego jest równy\nA. 1\n5\nB.\n6\n12\nC. 5\n24\nD. 2 6\n5\n\n1\n5\n\nBRUDNOPIS","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n6.3. Zdający wykorzystuje rysunek i korzystając\nz definicji oblicza wartość funkcji sinus.\nPoprawna odpowiedź: D","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nTworząca stożka ma długość l, a promień jego podstawy jest równy r (zobacz rysunek).\nPowierzchnia boczna tego stożka jest 2 razy większa od pola jego podstawy. Wówczas\nA.\n1\n6\nr\nl\n\nB.\n1\n4\nr\nl\n\nC.\n1\n3\nr\nl\n\nD.\n1\n2\nr\nl\n","answer":"D","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n9.6. Zdający wyznacza związki miarowe w stożku.\nPoprawna odpowiedź: D","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDane są dwa okręgi o promieniach 10 i 15. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek\nwiększego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa\nA. 2,5\nB. 5\nC. 10\nD. 12,5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n7.2. Zdający korzysta z własności położenia dwóch\nokręgów.\nPoprawna odpowiedź: C","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nKażdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu\nz pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków dłoni była równa\nA. 66\nB. 72\nC. 132\nD. 144","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n10.2. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nPoprawna odpowiedź: A","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest\nrówny 3, a ostatni wyraz jest równy 12. Piąty wyraz tego ciągu jest równy\nA.\n4\n3 2\nB. 6\nC. 1\n7 2\nD. 1\n8 7","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n5.4. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego.\nPoprawna odpowiedź: B","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n(\n3)(\n5)\nna\nn\nn\n\n\n\ndla\n1\nn \n. Liczba ujemnych wyrazów\ntego ciągu jest równa\nA. 3\nB. 4\nC. 7\nD. 9","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5.1. Zdający wyznacza wyrazy ujemne ciągu\nokreślonego wzorem ogólnym.\nPoprawna odpowiedź: B\nZadanie23. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n10.3. Zdający oblicza prawdopodobieństwo w prostych\nsytuacjach.\nPoprawna odpowiedź: B\n6\nKlucz oceniania zadań otwartych","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nRzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech pi oznacza\nprawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez i. Wtedy\nA.\n4\n2\n2p\np\n\nB.\n6\n3\n2p\np\n\nC.\n3\n6\n2p\np\n\nD.\n2\n4\n2p\np\n\nl\n\nr\n\nBRUDNOPIS\n\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań 24-33 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-2)\nZbiorem rozwiązań nierówności\n4\n0\nax \n\nz niewiadomą x jest przedział (\n, 2\n\n. Wyznacz a.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 24.(0-2)\nII. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4.7. Zdający interpretuje współczynniki występujące we\nwzorze funkcji liniowej.\nZbiorem rozwiązań nierówności\n4\n0\nax \n\nz niewiadomą x jest przedział \n, 2\n\n. Wyznacz a.\nRozwiązanie I sposób\nRozważmy funkcję liniową\n\n4\nf x\nax\n\n. Znajdziemy wszystkie a takie, by funkcja f\nprzyjmowała wartości nieujemne dla\n\n, 2\nx\n. Obliczamy miejsce zerowe funkcji f:\n4\n0,\n0\n4\n4\nax\na\nax\nx\na\n\n\n\n\n\nStąd\n4\n2\na\n\n\n, zatem\n2\na . Sprawdzamy jeszcze, czy funkcja\n\n2\n4\nf x\nx\n\n\nprzyjmuje\nwartości nieujemne dla\n\n, 2\nx\n. Ponieważ współczynnik a we wzorze funkcji f jest ujemny,\nto funkcja\n\n2\n4\nf x\nx\n\n\nprzyjmuje wartości nieujemne dla liczb mniejszych od miejsca\nzerowego i w miejscu zerowym, czyli dla\n\n, 2\nx\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy miejsce zerowe funkcji f:\n4\nx\na\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy\n2\na .\nRozwiązanie II sposób\nZauważamy, że a ma być taką liczbą, by nierówności\n4\n0\nax \n\noraz\n2\nx \nbyły równoważne.\nPrzekształcamy daną nierówność:\n4\n0\nax \n\n4\nax \n2\n2\nax \n\nStąd\n1\n2\na\n\n, zatem\n2\na .\n7\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zauważy, że nierówności\n4\n0\nax \n\noraz\n2\nx \nmają być równoważne.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy\n2\na .","solution":"$a=-2$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n1)\n5\n4\n1\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n, dla\n1\nx .","answer":null,"answer_text":"Zadanie 25. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3.8. Zdający rozwiązuje równanie wymierne,\nprowadzące do równania kwadratowego.\nRozwiąż równanie \n\n1\n5\n4\n1\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n, dla\n1\nx .\nRozwiązanie\nPrzekształcamy dane równanie do postaci \n\n\n\n\n1\n5\n4\n1\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n, opuszczamy nawiasy\ni redukujemy wyrazy podobne:\n2\n2\n2\n2\n5\n5\n4\n4\n4\n10\n4\n0\n2\n5\n2\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe\n1\n2\n9\n1 ,\n2\n2\nx\nx\n\n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przekształci dane równanie do postaci równania kwadratowego i na tym poprzestanie lub\ndalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze rozwiązania równania\n1\n1\n2\nx \noraz\n2\n2\nx \n8","solution":"$x_{1}=\\dfrac{1}{2}, x_{2}=2$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nKwadrat K1 ma bok długości a. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty K2, K3, K4, … takie,\nże kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz\nrysunek).\nWyznacz pole kwadratu K12.\nK1\nK2\nK3 K4\na","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n5.4. Zdający dobiera strategię do konkretnej sytuacji\ni wykorzystuje wiadomości o ciągu geometrycznym.\nKwadrat K1 ma bok długości a. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty K2, K3, K4, … takie, że\nkolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu, jak na rysunku.\nWyznacz pole kwadratu K12.\nRozwiązanie (I sposób)\nZauważamy, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny \n\nnk\ndla\n1\nn  o pierwszym\nwyrazie\n2\n1k\na\n\noraz ilorazie\n1\n4\nq \n. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego\notrzymujemy\n11\n12\n1\n1\n4\nk\nk \n\n\n\n\n\n\n, stąd pole kwadratu K12 jest równe\n2\n11\n4\na .\nRozwiązanie (II sposób)\nZauważamy, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny \n\nnk\ndla\n1\nn  o pierwszym\nwyrazie\n2\n1k\na\n\noraz ilorazie\n1\n4\nq \n. Wypisujemy kolejne wyrazy ciągu \n\nnk\n:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\na\na\na\na\na\na\na\na\na\na\na\na ,\nzatem\npole\nkwadratu K12 jest równe\n2\n11\n4\na .\nK\nK\nK\nK\na\n9\nSchemat oceniania obu sposobów\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zauważy, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie\n2\n1k\na\n\noraz ilorazie\n1\n4\nq \nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy pole kwadratu K12 :\n2\n11\n4\na .","solution":"$\\dfrac{a^{2}}{4^{11}}$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nW pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do\nwewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).\nWykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie\nwyznaczających go okręgów.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7.2. Uczeń korzysta z własności stycznej do okręgu.\nW pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do\nwewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).\nWykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie\nwyznaczających go okręgów.\nRozwiązanie\nNiech R oznacza promień większego, a r promień mniejszego z okręgów wyznaczających\npierścień.\nWyznaczamy pole pierścienia\n\n\n2\n2\n2\n2\nP\nR\nr\nR\nr\n\n\n\n\n\n\n\n. Zauważamy, że trójkąt, którego\nbokami są promienie okręgów i połowa danej cięciwy jest trójkątem prostokątnym. Mamy\nwięc:\n2\n2\n2\n5\nR\nr\n\n\nskąd\n2\n2\n25\nR\nr\n\n\nPodstawiamy do wzoru na pole pierścienia\n\n\n2\n2\n25\nP\nR\nr\n\n\n\n\n\nZatem pole pierścienia, przy danej długości cięciwy zewnętrznego okręgu stycznej do okręgu\nwewnętrznego, nie zależy od promieni wyznaczających go okręgów.\n10\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze wzór na pole pierścienia kołowego\n2\n2\nP\nR\nr\n\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wykaże, że tezę twierdzenia.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nUzasadnij, że liczba\n12\n13\n14\n4\n4\n4\n\n\njest podzielna przez 42.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nV. Rozumowanie i\nargumentacja.\n1.1.Zdający prowadzi rozumowanie przedstawiające\nliczby rzeczywiste w różnych postaciach.\nUzasadnij, że liczba\n12\n13\n14\n4\n4\n4\n\n\njest podzielna przez 42.\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzekształcamy liczbę zapisaną w postaci sumy do postaci iloczynu liczb całkowitych:\n\n\n12\n13\n14\n12\n12\n11\n11\n4\n4\n4\n4\n1\n4\n16\n21 4\n21 2 2 4\n42 2 4\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPonieważ powyższa liczba\njest wielokrotnością liczby 42, więc dzieli się przez 42.\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzekształcamy liczbę zapisaną w postaci sumy do postaci iloczynu liczb całkowitych:\n\n\n12\n13\n14\n12\n12\n4\n4\n4\n4\n1\n4\n16\n21 4\n\n\n\n\n\n\n\nPonieważ powyższa liczba jest wielokrotnością liczby\n21, więc dzieli się przez 21. Podana liczba jest również wielokrotnością liczby 4, zatem jest\nparzysta. Ostatecznie, jako parzysta i podzielna przez 21 dzieli się przez 42.\nRozwiązanie (III sposób)\nPo podzieleniu liczby\n12\n13\n14\n4\n4\n4\n\n\nprzez\n12\n4 otrzymujemy 1\n4\n16\n21\n\n\n\n, co oznacza, ze\npodana liczba dzieli się przez 21. Podana liczba jest parzysta jako suma liczb parzystych.\nOstatecznie, jako parzysta oraz podzielna przez 21 dzieli się przez 42.\nSchemat oceniania każdego z podanych sposobów\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wykaże podzielność liczby przez 21 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wykaże podzielność liczby przez 42.\n11","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nNa trójkącie o bokach długości\n7 , 8,\n15 opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7.4. Zdający sprawdza na podstawie twierdzenia\nodwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, że trójkąt jest\nprostokątny i oblicza długość promienia opisanego na nim.\nNa trójkącie o bokach długości\n7,\n8,\n15 opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.\nRozwiązanie\nZauważamy, na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, że trójkąt\no takich bokach jest trójkątem prostokątnym: \n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n7\n8\n15\n\n\n. Środek okręgu\nopisanego na trójkącie prostokątnym znajduje się w środku przeciwprostokątnej. Promień\nokręgu opisanego na tym trójkącie jest równy\n15\n2\nR \nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze, że trójkąt o bokach\n7,\n8,\n15 jest prostokątny i na tym poprzestanie lub dalej\npopełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy promień okręgu opisanego na trójkącie (\n15\n2\nR \n)","solution":"$R=\\dfrac{\\sqrt{15}}{2}$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nProste l i k przecinają się w punkcie\n(0, 4)\nA \n. Prosta l wyznacza wraz z dodatnimi\npółosiami układu współrzędnych trójkąt o polu 8, zaś prosta k - trójkąt o polu 10. Oblicz\npole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt A oraz punkty przecięcia prostych l i k\nz osią Ox.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8.4. Zdający korzysta z własności prostej na płaszczyźnie\nkartezjańskiej.\nProste l i k przecinają się w punkcie\n(0, 4)\nA \n. Prosta l wyznacza wraz z dodatnimi\npółosiami układu współrzędnych trójkąt o polu 8, zaś prosta k - trójkąt o polu 10. Oblicz\npole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt A oraz punkty przecięcia prostych l i k\nz osią Ox.\nRozwiązanie I sposób\nZauważamy, że trójkąty wyznaczone przez osie i podane proste są prostokątne. Znajdujemy\ndługości przyprostokatnych zawartych w osi Ox. Niech b i c oznaczają długości boków\n12\ntrójkątów wyznaczonych odpowiednio przez proste l i k. Ze wzoru na pole trójkąta\notrzymujemy: 1 4\n8\n2\nb\n\n\n, stąd\n4\nb \noraz 1 4\n10\n2\nc\n\n\n, stąd\n5\nc \n. Oznaczamy punkty\nprzecięcia prostych l i k z osią Ox odpowiednio B oraz C .\nObliczamy długości odcinków BC oraz OA:\n1,\n4\nBC\nOA\n\n\n. Pole trójkąta ABC jest równe\n1\n2\nP\nBC\nOA\n\n\n, zatem\n1 1 4\n2\n2\nP \n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy długości przyprostokątnych leżących na osi Ox w obu trójkątach: 4, 8\nalbo\npoda współrzędne punktów przecięcia prostych l i k z osią Ox:\n(4, 0)\nB \n,\n(8, 0)\nC \ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy pole trójkąta ABC:\n2\nP \nRozwiązanie II sposób\nZauważamy, że szukane pole trójkąta ABC jest różnicą pól trójkąta ACO oraz ABO.\nStąd\n10 8\n2\nP \n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zauważy i zapisze, że szukane pole trójkąta ABC jest różnicą pól trójkąta ACO oraz\nABO.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy pole trójkąta ABC:\n2\nP \n13","solution":"$P=2$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-4)\nAla jeździ do szkoły rowerem, a Ola skuterem. Obie pokonują tę samą drogę. Ala wyjechała\ndo szkoły o godzinie 7:00 i pokonała całą drogę w ciągu 40 minut. Ola wyjechała 10 minut\npóźniej niż Ala, a pokonanie całej drogi zajęło jej tylko 20 minut. Oblicz, o której godzinie\nOla wyprzedziła Alę.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n3.1. Zdający przyjmuje odpowiednie oznaczenia i układa\nrównanie do zadania w kontekście praktycznym.\nAla jeździ do szkoły rowerem, a Ola skuterem. Obie pokonują tę samą drogę. Ala wyjechała\ndo szkoły o godzinie 7:00 i pokonała całą drogę wciągu 40 minut. Ola wyjechała 10 minut\npóźniej niż Ala, a pokonanie całej drogi zajęło jej tylko 20 minut. Oblicz, o której godzinie\nOla wyprzedziła Alę.\nRozwiązanie (I sposób)\nWprowadzamy oznaczenia: s - droga między domem a szkołą, x - droga przebyta przez\ndziewczynki do momentu spotkania,\nA\nv - średnia prędkość Ali w km/min,\nB\nv - średnia\nprędkość Oli w km/min, t - czas jazdy Ali do momentu spotkania,\n0,\n10\ns\nt\n\n\n. Obie\ndziewczynki do momentu spotkania przebyły taką samą drogę x, Ala ze średnią\nprędkością\n40\nA\ns\nv \nw czasie t, zaś Ola ze średnią prędkością\n20\nB\ns\nv \nw czasie\n10\nt \nPonieważ\nA\nv t\nx\n\ni\n\n\n10\nB\nv\nt\nx\n\n\notrzymujemy\nrównanie\n\n\n10\n40\n20\ns\ns\nt\nt\n\n\nPo podzieleniu przez s obliczamy\n20\nt \n. Ola wyprzedzi Alę o godzinie 7:20.\nRozwiązanie (II sposób)\nWprowadzamy oznaczenia: s - droga między domem a szkołą, x - droga przebyta przez\ndziewczynki do momentu spotkania,\nA\nv - średnia prędkość Ali w km/min,\nB\nv - średnia\nprędkość Oli w km/min, T - czas jazdy Oli do momentu spotkania,\n0,\n0\ns\nT\n\n\n. Obie\ndziewczynki do momentu spotkania przebyły taką samą drogę x, Ala ze średnią\nprędkością\n40\nA\ns\nv \nw czasie\n10\nT \n, zaś Ola ze średnią prędkością\n20\nB\ns\nv \nw czasie T.\nPonieważ\n\n\n10\nA\nv\nT\nx\n\n\ni\nB\nv T\nx\n\notrzymujemy równanie\n\n\n10\n40\n20\ns\ns\nT\nT\n\n\n. Po\npodzieleniu przez s obliczamy\n10\nT \n. Ola wyprzedzi Alę o godzinie 7:20.\n14\nSchemat oceniania obu sposobów rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nPrzyjęcie odpowiednich oznaczeń i zapisanie średnich prędkości jazdy obu dziewczynek:\n40\nA\ns\nv \n,\n20\nB\ns\nv \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie drogi przebytej przez co najmniej jedną dziewczynkę w przyjętym czasie: np.\nA\nv t\nx\n\nlub\n\n\n10\nB\nv\nt\nx\n\n\nlub\n\n\n10\nA\nv\nT\nx\n\n\nlub\nB\nv T\nx\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nUłożenie równania np.\n\n\n10\n40\n20\ns\ns\nt\nt\n\n\nlub\n\n\n10\n40\n20\ns\ns\nT\nT\n\n\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nW I sposobie: Rozwiązanie równania:\n20\nt \ni zapisanie odpowiedzi: Ola wyprzedzi Alę\no godzinie 7:20.\nW II sposobie Rozwiązanie równania\n10\nT \ni zapisanie odpowiedzi: Ola wyprzedzi Alę\no godzinie 7:20.","solution":"7:20","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-5)\nDane są wierzchołki trójkąta ABC:\n(2,2)\nA \n,\n(9, 5)\nB \ni\n(3, 9)\nC \n. Z wierzchołka C\npoprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok AB w punkcie D. Wyznacz\nrównanie prostej przechodzącej przez punkt D i równoległej do boku BC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8.1. Zdający wyznacza równanie prostej.\n8.3. Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej.\n8.4. Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych.\nDane są wierzchołki trójkąta ABC:\n(2, 2)\nA \n,\n(9, 5)\nB \ni\n(3, 9)\nC \n. Z wierzchołka C\npoprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok AB w punkcie D. Wyznacz\nrównanie prostej przechodzącej przez punkt D i równoległej do boku BC.\nRozwiązanie\nWyznaczamy równanie prostej AB. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy\n5\n2\n3\n9\n2\n7\nAB\na\n\n\n\n\n. Prosta AB przechodzi przez punkt\n(2, 2)\nA \nzatem\n3\n7\ny\nx\nb\n\n\n,\n6\n2\n7\nb\n\n\nstąd\n8\n7\nb \nProsta AB ma postać\n3\n8\n7\n7\ny\nx\n\n\nProsta zawierająca wysokość jest prostopadła do AB i przechodzi przez punkt C.\n7\n, 9\n7\n3\ny\nx\nb\nb\n\n\n\n, stąd\n16\nb \n15\nProsta CD ma zatem postać\n7\n16\n3\ny\nx\n\n\nWspółrzędne punktu D znajdujemy rozwiązując układ równań zbudowany z równań prostych\nAB i CD:\n7\n16\n3\n3\n8\n7\n7\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n7\n3\n8\n16\n3\n7\n7\n49\n336\n9\n24\n58\n312\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n156\n29\n100\n29\nx\ny\n\n\n\n\n\n156 100\n,\n29\n29\nD\n\n\n\n\n\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej BC jest równy\n5\n9\n4\n2\n9\n3\n6\n3\nBC\na\n\n\n\n\n\nSzukana prosta ma zatem postać\n2\n3\ny\nx\nb\n\n\ni przechodzi przez punkt D.\n100\n2 156\n29\n3\n29\nb\n\n\n\n, stąd\n1\n7 29\nb \nSzukana prosta ma postać\n2\n1\n7\n3\n29\ny\nx\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nWyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB lub prostej BC:\n3\n7\nAB\na\n\n,\n2\n3\nBC\na\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równań prostych AB i CD:\n7\n16\n3\n3\n8\n7\n7\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n16\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZnalezienie punktu D:\n156 100\n,\n29\n29\nD\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania 4 pkt\nRozwiązanie zadania do końca z błędem rachunkowym w wyznaczeniu punktu D.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZapisanie równania prostej równoległej do BC i przechodzącej przez punkt D:","solution":"$y=-\\dfrac{2}{3}x+7\\dfrac{1}{29}$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nJacek bawi się sześciennymi klockami o krawędzi 2 cm. Zbudował z nich jeden duży sześcian\no krawędzi 8 cm i wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę\ni ułożył z tych klocków drugą bryłę - graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wtedy\nokazało się, że został mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz\nstosunek pola powierzchni całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni\ncałkowitej drugiej bryły i wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.\n\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n9.6. Zdający oblicza pole powierzchni graniastosłupów.\nJacek bawi się sześciennymi klockami o krawędzi 2 cm. Zbudował z nich duży sześcian\no krawędzi 8 cm i wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę\ni ułożył z tych klocków drugą bryłę - graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wtedy\nokazało się, że został mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz\nstosunek pola powierzchni całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni\ncałkowitej drugiej bryły i wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.\nRozwiązanie\nPole powierzchni całkowitej pierwszej budowli (sześcianu) jest równe\n2\n6 8\n384\n\n\ncm2.\nObliczamy, ile klocków ma Jacek:\n3\n8:2\n4, 4\n64\n\n\nJeśli podstawą graniastosłupa byłby kwadrat o boku 2 cm, to Jacek zużyłby wszystkie klocki\ni graniastosłup miałby 128 cm wysokości.\nJeśli podstawą graniastosłupa byłby kwadrat o boku 4 cm, to Jacek również zużyłby\nwszystkie klocki i graniastosłup miałby 32 cm wysokości.\nJeśli podstawą graniastosłupa byłby kwadrat o boku 6 cm, to Jacek zużyłby 3 3 7\n63\n\n\nklocki i graniastosłup miałby 14 cm wysokości.\nZatem druga zbudowana bryła, to prostopadłościan o wymiarach 6\n6 14\n\n\n. Pole powierzchni\ncałkowitej tego prostopadłościanu jest równe\n2\n2 6 6\n4 6 14\n408 cm\n\n\nSzukany stosunek jest równy 384\n16\n408\n17\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZapisanie liczby klocków: 64.\n17\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie, ze szukaną bryłą jest prostopadłościan o wymiarach 6 cm 6 cm 14 cm\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie pola powierzchni całkowitej drugiej bryły:\n2\n408 cm\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZapisanie stosunku pól powierzchni obu brył w postaci ułamka nieskracalnego: 16\n17","solution":"$\\dfrac{16}{17}$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"}]}