{"paper":{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":18,"source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDane są dwie urny z kulami, w każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała\ni 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz\nsymetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną\nkulę z pierwszej urny, natomiast jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę\nz drugiej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe\nA. 1\n15\nB. 2\n5\nC. 7\n15\nD. 3\n5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (1 p.)\nDane są dwie urny z kulami. W każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała\ni 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz syme-\ntryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną kulę\nz pierwszej urny, jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę z drugiej urny.\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe\nA. 1\n15.\nB. 2\n5.\nC. 7\n15.\nD. 3\n5.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n10.3R Uczeń korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.\nRozwiązanie (I sposób)\nRozwiązujemy zadanie metodą drzewa.\nI\nII\nB\nC\nB\nC\n1\n3\n2\n3\n1\n5\n4\n5\n3\n5\n2\n5\nNastępnie obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: 1\n3 · 1\n5 + 2\n3 · 3\n5 = 7\n15.\nOdp.: C.\nRozwiązanie (II sposób)\nNiech U1 i U2 oznaczają odpowiednio zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z pierwszej urny\ni zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z drugiej urny.\nZdarzenia U1 i U2 spełniają warunki:\n1. U1 ∩U2 = ∅,\n2. U1 ∪U2 = Ω,\n3. P (U1) = 2\n6 = 1\n3 > 0,\n4. P (U2) = 4\n6 = 2\n3 > 0.\nRozważmy zdarzenie B polegające na wylosowania kuli białej.\nXII/2\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nPrawdopodobieństwo tego zdarzenia możemy obliczyć, korzystając ze wzoru\nP (B) = P (B|U1)·P (U1)+P (B|U2)·P (U2),\ngdzie prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem, że losujemy z pierwszej\nurny, jest równe P (B|U1) = 1\n5 i prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem,\nże losujemy z drugiej urny, jest równe P (B|U2) = 3\n5 .\nObliczamy P (B) = 1\n5 · 1\n3 + 3\n5 · 2\n3 = 7\n15.\nOdp.: C.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny \n\nna\nokreślony wzorem\n\n\n3\n2\nn\nn\na \ndla\n1,2,3,\nn \nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa\nA.\n1\n2\n1\n\nB.\n2\n2\n1\n\nC.\n2\n2\n1\n\nD.\n3\n2\n1\n","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (1 p.)\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony wzorem\nan =\n3\n√\n2\nn\ndla n = 1,2,3,\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa\nA.\n1\n√\n2-1.\nB.\n√\n2\n√\n2-1.\nC.\n2\n√\n2-1.\nD.\n3\n√\n2-1.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n5.3R Uczeń rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.\nRozwiązanie\nPierwszy wyraz i iloraz tego ciągu są odpowiednio równe: a1 = 3\n√\n2, q = 1\n√\n2.\nPonieważ |q| =\n1\n√\n2\n< 1, więc mamy S = a1\n1-q =\n3\n√\n2\n1-1\n√\n2\n3\n√\n2-1.\nOdp.: D.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba\n3\n665\n92\n152\n3\n27\n3\n1\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\njest równa\nA.\n725\n3\nB.\n1995\n3\nC.\n2015\n3\nD.\n2045\n3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (1 p.)\nLiczba 27665 ·\n3√\n3-92\n1\n3\n152\n3\njest równa\nA. 3725.\nB. 31995.\nC. 32015.\nD. 32045.\nXII/3\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n1.4 Uczeń oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wy-\nkładnikach wymiernych.\nRozwiązanie\nObliczamy, korzystając z działań na potęgach\n27665 ·\n3√\n3-92\n1\n3\n152\n3\n= 33·665 ·(3-92)\n1\n3\n3-152\n3\n= 31995-92\n3 + 152\n3 = 32015.\nOdp.: C.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nOkrąg\n1o ma równanie\n\n\n2\n2\n1\n25\nx\ny\n\n\n\n, a okrąg\n2o ma równanie \n\n2\n2\n1\n9\nx\ny\n\n\n\n. Określ\nwzajemne położenie tych okręgów.\nA. Te okręgi przecinają się w dwóch punktach.\nB. Te okręgi są styczne.\nC. Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg\n1o leży w całości wewnątrz okręgu\n2o .\nD. Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg\n2o leży w całości wewnątrz okręgu\n1o .","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (1 p.)\nDane są dwa okręgi: okrąg o1 o równaniu x2+(y-1)2=25 oraz okrąg o2 o równaniu (x-1)2+y2=9.\nA. Te okręgi przecinają się w dwóch punktach.\nB. Te okręgi są styczne.\nC. Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg o1 leży w całości wewnątrz okręgu o2.\nD. Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg o2 leży w całości wewnątrz okręgu o1.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n8.5R Uczeń posługuje się równaniem okręgu (x-a)2+(y-b)2 =r2 oraz opisuje koła za pomocą\nnierówności.\nRozwiązanie (I sposób)\nSzkicujemy oba okręgi w jednym układzie współrzędnych i stwierdzamy, że drugi okrąg leży\nw całości wewnątrz pierwszego.\nXII/4\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nOdp.: D.\nRozwiązanie (II sposób)\nWyznaczamy środki i promienie okręgów odpowiednio S1 =(0,1) i R=5 oraz S2 =(1,0) i r =3.\nObliczamy |S1S2| =\nq\n(1-0)2 +(0-1)2 =\n√\n2 oraz |R-r| = 5-3 = 2.\nStwierdzamy, że zachodzi warunek |S1S2|<|R-r|, tzn. okręgi są rozłączne wewnętrznie i drugi\nokrąg leży w całości wewnątrz pierwszego.\nOdp.: D.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDla każdego  suma sin\nsin3\n\n\n\njest równa\nA. sin 4.\nB. 2sin 4.\nC. 2sin 2 cos\n\n.\nD. 2sin\ncos2\n\n.\n\nBRUDNOPIS\n\nZADANIA OTWARTE\nW zadaniach 6-9 zakoduj wynik w kratkach zamieszczonych obok polecenia. W zadaniach\n10-18 rozwiązania należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (1 p.)\nSuma sinα+sin3α jest dla każdego α równa\nA. sin4α.\nB. 2sin4α.\nC. 2sin2αcosα.\nD. 2sinαcos2α.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\nWymagania szczegółowe\n6.5R Uczeń stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów.\nRozwiązanie (I sposób)\nKorzystamy ze wzoru sinα+sinβ = 2sin α+β\n2\ncos α-β\n2\nMamy zatem\nsinα+sin3α = sin3α+sinα = 2sin 3α+α\n2\ncos 3α-α\n2\n= 2sin2α·cosα.\nOdp.: C.\nRozwiązanie (II sposób)\nKorzystamy ze wzorów\nsin(α+β) = sinαcosβ +cosαsinβ\noraz\ncos2α = 2cos2 α-1.\nMamy zatem\nsin3α = sin(α+2α) = sinαcos2α+cosαsin2α = sinαcos2α+2sinαcos2 α =\n= sinα(4cos2 α-1).\nXII/5\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nA stąd otrzymujemy:\nsinα+sin3α = sinα+sinα(4cos2 α-1) = sinα(1+4cos2 α-1) =\n= 4sinαcos2 α = 2(2sinαcosα)cosα = 2sin2αcosα.\nOdp.: C.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"6","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nLiczba n jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie\n2\n57\n39\nx\nx\n\n\n\n\nZakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby n .","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (2 p.)\nLiczba n jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie\n2·|x+57| = |x-39|.\nZakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby |n|.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\nWymagania szczegółowe\n3.9R Uczeń rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną o poziomie trudności\nnie wyższym niż:\n|x+1|-2\n= 3, |x+3|+|x-5| > 12.\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzyjrzyjmy się interpretacji geometrycznej rozważanego równania. Na osi liczbowej dane są\ndwa punkty A i B o współrzędnych: A = -57 oraz B = 39. Szukamy takich punktów X, dla\nktórych odległość od punktu B jest dwukrotnie większa od odległości od punktu A. Są dwa\ntakie punkty X. Ponieważ odległość od A do B jest równa 96, więc jeden z nich (nazwijmy go\nX1) leży w odległości 96 na lewo od punktu A, drugi zaś (nazwijmy go X2) leży w odległości\n96\n3 = 32 na prawo od punktu A. Ponieważ -57-96 = -153 oraz -57+32 = -25, więc szukaną\nliczbą n jest n = -153 oraz |n| = 153.\nW karcie odpowiedzi kodujemy cyfry: 1, 5, 3.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zakoduje cyfry: 1, 5, 3.\nRozwiązanie (II sposób) - zapisanie trzech przypadków\nWyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (-∞,-57⟩, (-57,39), ⟨39, +∞).\nRozwiązujemy równania w poszczególnych przedziałach i sprawdzamy, czy otrzymana liczba\nnależy do danego przedziału.\nXII/6\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nx ∈(-∞,-57⟩\nx ∈(-57,39)\nx ∈⟨39, +∞)\n2·(-x-57)=-x+39\n-x = 39+114\nx = -153\n2·(x+57) = -x+39\n3x = 39-114\n3x = -75\nx = -25\n2·(x+57) = x-39\nx = -39-114\nx = -153\nRównanie nie ma roz-\nwiązania w tym prze-\ndziale.\nStąd wynika, że n = -153 oraz |n| = 153.\nZatem kodujemy cyfry: 1, 5, 3.\nAlbo:\nWyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (-∞,-57⟩, (-57,39⟩, (39,+∞).\nZauważamy, że jeżeli w przedziale (-∞,-57⟩istnieje najmniejsza liczba całkowita spełniająca\nto równanie, to jest to szukana liczba n.\nRozwiązujemy dane równanie w przedziale (-∞,-57⟩:\n2·(-x-57) = -x+39,\n-x = 39+114,\nstąd x = -153.\nNajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą to równanie jest liczba n = -153, więc |n| = 153.\nZatem kodujemy cyfry: 1, 5, 3.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zakoduje cyfry: 1, 5, 3.\nRozwiązanie (III sposób) - własności wartości bezwzględnej\nZapisujemy równanie 2·|x+57| = |x-39| w postaci:\n2·(x+57) = -x+39\nlub\n2·(x+57) = x-39\n3x = 39-114\nx = -39-114\n3x = -75\nx = -153\nx = -25\nNajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą to równanie jest liczba n = -153, więc |n| = 153.\nZatem kodujemy cyfry: 1, 5, 3.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zakoduje cyfry: 1, 5, 3.\nXII/7\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego","solution":"153","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nOblicz granicę ciągu\n\n\n\n2\n3\n5\n2\nlim 8\n7\n4\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\nZakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (2 p.)\nOblicz granicę ciągu\nlim\nn→∞\n3n2 -5n+2\n(8n+7)(n+4).\nZakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\nWymagania szczegółowe\n5.2R Uczeń oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1\nn, 1\nn2 oraz z twierdzeń\no działaniach na granicach ciągów.\nRozwiązanie\nTa granica jest równa\nlim\nn→∞\n3n2 -5n+2\n(8n+7)(n+4) = lim\nn→∞\n3-5\nn + 2\nn2\n8+ 7\nn\n1+ 4\nn\n= 3\n8 = 0,375.\nW karcie odpowiedzi należy zatem zakodować cyfry 3, 7, 5.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zakoduje pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy: cyfry\n3, 7, 5.","solution":"375","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"8","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-2)\nDana jest funkcja f określona wzorem\n\n2\n8\n6\nx\nf\nx\nx\n\n\n\ndla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie\n1\n2\nx \nZakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (2 p.)\nDana jest funkcja f określona wzorem\nf (x) = x-8\nx2 +6\ndla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x= 1\n2. Zakoduj\ntrzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\nWymagania szczegółowe\n11.2R Uczeń oblicza pochodne funkcji wymiernych.\nXII/8\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nRozwiązanie\nMamy f ′ (x) = (x-8)′ (x2 +6)-(x-8)(x2 +6)′\n(x2 +6)2\n= x2 +6-2x(x-8)\n(x2 +6)2\n= x2 +6-2x2 +16x\n(x2 +6)2\n= -x2 +16x+6\n(x2 +6)2\nZatem f ′\n1\n2\n= -1\n4 +8+6\n1\n4 +6\n2 =\n55\n4\n25\n4\n2 = 55\n4 · 16\n625 = 44\n125 = 0,352.\nW karcie odpowiedzi należy zakodować cyfry 3, 5, 2.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zakoduje cyfry 3, 5, 2.","solution":"352","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"9","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-2)\nOblicz\n\n\n3 3\n4\n3\n3\n3\nlog\n27\nlog\nlog\n3\n\nZakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego\notrzymanego wyniku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (2 p.)\nOblicz\nlog3\n4√\n27-log3\nlog3\n3q\n3√\n3\nZakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego\nwyniku.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\nWymagania szczegółowe\n1.2R Uczeń stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nRozwiązanie\nlog3\n4√\n27-log3(log3\n3q\n3√\n3) = log3\n27\n1\n4\nlog3 3\n1\n9 = log3\n3\n3\n4\n3-2 = log3 32 3\n4 = 2,75.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy odpowiednio zakoduje cyfry: 2, 7, 5.","solution":"275","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nPunkty\n1\n2\n3\n23\n24\n,\n,\n,\n,\n,\nP P P\nP\nP\n\ndzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest\npunktem przecięcia cięciw\n11\n22\nP P i\n1 16\nPP .\nUdowodnij, że\n16\n11\n60\nP AP \n\n","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (3 p.)\nPunkty P1,P2,P3, ,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest\npunktem przecięcia cięciw P11P22 i P1P16 .\nXII/9\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nP1\nP2\nP3\nP4\nP5\nP6\nP7\nP8\nP9\nP10\nP11\nP12\nP13\nP14\nP15\nP16\nP17\nP18\nP19\nP20\nP21\nP22\nP23\nP24\nA\nUdowodnij, że | <) P16AP11| = 60◦.\nWymagania ogólne\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nWymagania szczegółowe\n7.1 Uczeń stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym.\nRozwiązanie (I sposób)\nNarysujmy cięciwę P1P11.\nP1\nP2\nP3\nP4\nP5\nP6\nP7\nP8\nP9\nP10\nP11\nP12\nP13\nP14\nP15\nP16\nP17\nP18\nP19\nP20\nP21\nP22\nP23\nP24\nA\nKąt wpisany P11P1P16 jest oparty na krótszym łuku P16P11. Łuk ten stanowi 5\n24 okręgu. Zatem\nkąt środkowy oparty na tym łuku ma miarę 5\n24 ·360◦=75◦. Stąd wynika, że kąt wpisany oparty\nna tym łuku ma miarę 37,5◦. Podobnie stwierdzamy, że kąt wpisany P1P11P22 jest oparty na\nłuku stanowiącym 3\n24 okręgu, a więc ma miarę 22,5◦. Stąd wynika, że\n| <) P11AP16| = 180◦-(180◦-22,5◦-37,5◦) = 60◦.\nXII/10\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający obliczy miarę jednego z dwóch kątów wpisanych, opartych na łukach P11P16 lub P1P22:\n| <) P16P1P11| = 37,5◦,\n| <) P1P11P22| = 22,5◦.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający obliczy miary dwóch kątów wpisanych, opartych na łukach P11P16 oraz P1P22:\n| <) P16P1P11| = 37,5◦,\n| <) P1P11P22| = 22,5◦.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający obliczy miarę kąta P11AP16.\nRozwiązanie (II sposób)\nZauważmy najpierw (zobacz rysunek), że jeżeli łuki AD i BC są równe, przy czym punkty C\ni D leżą po tej samej stronie prostej AB, to proste AB i CD są równoległe.\nC\nB\nA\nD\nWynika to wprost z równości kątów BAC i ACD (kąty wpisane oparte na równych łukach).\nPonieważ punkty P1 i P22 oraz P8 i P11 wyznaczają łuki o tej samej długości, więc cięciwa P1P8\njest równoległa do P11P22.\nXII/11\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nP1\nP2\nP3\nP4\nP5\nP6\nP7\nP8\nP9\nP10\nP11\nP12\nP13\nP14\nP15\nP16\nP17\nP18\nP19\nP20\nP21\nP22\nP23\nP24\nA\nKąt wpisany P8P1P16 jest oparty na krótszym z łuków P8P16, który stanowi 8\n24 = 1\n3 okręgu,\nwięc\n| <) P8P1P16| = 1\n3 · 1\n2 ·360◦= 60◦.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający narysuje cięciwę P1P8 i zapisze, że jest ona równoległa do cięciwy P11P22.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający obliczy miarę kąta P11AP16.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n20\n24\n18\n4\n12\n5\nx\nmx\nm\nx\nm\n\n\n\n\n","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (3 p.)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest\nnierówność\n20x2 -24mx+18m2 ­ 4x+12m-5.\nWymagania ogólne\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nWymagania szczegółowe\n3.2R Uczeń rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem.\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzekształcamy daną nierówność w sposób równoważny do postaci:\n20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 ­ 0.\nSposób „trikowy” polega na odpowiednim grupowaniu:\n20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 = (2x-1)2 +(3m-2)2 +(4x-3m)2 .\nXII/12\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nPonieważ (2x-1)2 +(3m-2)2 +(4x-3m)2 ­ 0, więc dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej\nliczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność: 20x2 -24mx+18m2 ­ 4x+12m-5.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający doprowadzi wyrażenie do postaci (2x-1)2 +(3m-2)2 +(4x-3m)2 i na tym poprze-\nstanie lub wyciągnie błędny wniosek, np. taki, że wyrażenie jest dodatnie dla dowolnych liczb\nx i m.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nRozwiązanie (II sposób)\nInny sposób polega na potraktowaniu wyrażenia 20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 jako trój-\nmianu kwadratowego zmiennej x z parametrem m:\n20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 = 20x2 -(24m+4)x+\n18m2 -12m+5\nTrójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 oraz niedodatni wyróżnik dla każdego m:\n∆= (24m+4)2 -4·20·\n18m2 -12m+5\n= -864m2 +1152m-384 = -96(3m-2)2 .\nZatem dla każdego x (i dla każdego m) wartość tego trójmianu jest nieujemna.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający zapisze, że rozważa trójmian kwadratowy i obliczy jego wyróżnik.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający pokaże, że wyróżnik trójmianu 20x2 -(24m+4)x+\n18m2 -12m+5\njest niedodatni\nlub obliczy wyróżnik kwadratowy trójmianu -864m2 +1152m-384.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający zapisze wniosek dotyczący trójmianu 20x2 -(24m+4)x+\n18m2 -12m+5\n:\nTrójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 oraz niedodatni wyróżnik dla każdego m, zatem\ndla każdego x (i dla każdego m) wartość tego trójmianu jest nieujemna.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"12","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-3)\nJanek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną\nz liczb: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo\nkp otrzymania liczby k jest dane wzorem:\n6\n1\n64\nkp\nk\n\n\n\n\nRozważamy dwa zdarzenia:\n zdarzenie A polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru \n\n1, 3, 5 ,\n zdarzenie B polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru \n\n2, 3, 4, 5, 6 .\nOblicz prawdopodobieństwo warunkowe \n\nP A B .\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (3 p.)\nJanek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z liczb:\n0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo pk otrzymania liczby k jest dane wzorem: pk = 1\n64·\n\n6\nk\n\n.\nRozważamy dwa zdarzenia:\nXII/13\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\n• zdarzenie A polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {1, 3, 5},\n• zdarzenie B polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {2, 3, 4, 5, 6}.\nOblicz prawdopodobieństwo warunkowe P (A|B ).\nWymagania ogólne\nIII. Modelowanie matematyczne.\nWymagania szczegółowe\n10.2R Uczeń oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.\nRozwiązanie\nObliczamy:\np0 = 1\n64, p1 = 6\n64, p2 = 15\n64, p3 = 20\n64, p4 = 15\n64, p5 = 6\n64, p6 = 1\n64.\nKorzystamy teraz ze wzoru P (A|B )= P (A∩B)\nP (B)\n. Zdarzenie A∩B polega na wylosowaniu jednej\nz liczb: 3, 5.\nP (A∩B) = p3 +p5 = 26\n64,\nP (B) = p2 +p3 +p4 +p5 +p6 = 57\n64.\nStąd wynika, że P (A|B ) = 26\n64 · 64\n57 = 26\n57 ≈0,45614.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nObliczenie prawdopodobieństw p2, ,p6:\np2 = 15\n64, p3 = 20\n64, p4 = 15\n64, p5 = 6\n64, p6 = 1\n64.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nObliczenie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A∩B lub zdarzenia B:\nP (A∩B) = 26\n64,\nP (B) = 57\n64.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nObliczenie prawdopodobieństwa warunkowego P (A|B ) zdarzenia A pod warunkiem zajścia\nzdarzenia B:\nP (A|B ) = 26\n57 = 0,45614\nUwaga 1. Zdający może tylko obliczyć prawdopodobieństwa p2, p3, ,p6.\nXII/14\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nUwaga 2. Zdający może obliczyć prawdopodobieństwa p0, p1, ,p6 korzystając bezpośrednio\nz definicji symbolu Newtona.","solution":"$\\dfrac{26}{57}$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"13","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-3)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu\n\n\n2\n3\ny\nmx\nm\n\n\n\nma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie\n\n\n0,0\nS \ni promieniu\n3\nr .\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (3 p.)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu y =mx+(2m+3) ma\ndokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie S = (0,0) i promieniu r = 3.\nWymagania ogólne\nIII. Modelowanie matematyczne.\nWymagania szczegółowe\n8.6R Uczeń wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu.\nRozwiązanie (I sposób)\nDla żadnego parametru m prosta o równaniu y = mx+(2m+3) nie jest równoległa do osi Oy.\nWynika stąd, że jeśli taka prosta przecina okrąg, to współrzędne x obu punktów przecięcia są\nróżne. To znaczy, że do stwierdzenia, czy któraś z rozważanych prostych przecina okrąg w dwóch\npunktach, wystarczy stwierdzić, czy równanie\nx2 +(mx+(2m+3))2 = 9\nz niewiadomą x i parametrem m ma dwa rozwiązania. Przekształćmy to równanie:\nx2 +(mx+(2m+3))2 = 9,\nx2 +m2x2 +2m(2m+3)x+(2m+3)2 -9 = 0,\nm2 +1\nx2 +2m(2m+3)x+4m2 +12m = 0.\nPonieważ m2+1̸=0, więc dla każdego m jest to równanie kwadratowe. Ma ono dwa rozwiązania\nwtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest dodatni. Obliczamy zatem ten wyróżnik:\n∆= 4m2 (2m+3)2 -4\nm2 +1\n4m2 +12m\n= 4m\nm(2m+3)2 -4\nm2 +1\n(m+3)\n= 4m\n4m3 +12m2 +9m-4m3 -12m2 -4m-12\n= 4m(5m-12)\nWyróżnik ∆jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy m<0 lub m> 12\n5 . Zatem rozważana prosta\nprzecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy m < 0 lub m > 12\n5 .\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZapisanie równania x2 +(mx+(2m+3))2 = 9.\nXII/15\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nObliczenie wyróżnika równania kwadratowego\nm2 +1\nx2 +2m(2m+3)x+4m2 +12m = 0\ni stwierdzenie, że wyróżnik równania powinien być dodatni: ∆= 4m·(5m-12), ∆> 0.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nProsta y = mx+(2m+3) przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy\nm < 0 lub m > 12\n5 .\nRozwiązanie (II sposób)\nDowolna prosta będzie miała dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem, jeżeli odległość środka\nokręgu od danej prostej będzie mniejsza od promienia okręgu.\nZapisujemy równanie danej prostej w postaci ogólnej: mx-y+(2m+3) = 0.\nWyznaczamy odległość punktu S = (0,0) od danej prostej: d = |2m+3|\n√\nm2 +1.\nOdległość ma być mniejsza od promienia, zatem |2m+3|\n√\nm2 +1 < 3.\nRozwiązujemy nierówność równoważną |2m+3| < 3\n√\nm2 +1.\nObie strony nierówności są nieujemne, więc (2m+3)2 < 9\nm2 +1\n. Stąd -5m2 +12m < 0.\nRozwiązaniem nierówności -5m2 +12m < 0 jest m < 0 lub m > 12\n5 .\nProsta y = mx+(2m+3) przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy\nm < 0 lub m > 12\n5 .\nUwaga\nZdający może rozwiązać nierówność |2m+3|\n√\nm2 +1 < 3 w dwóch przedziałach: m < -3\n2 i m ­ -3\n2.\nOstatecznym rozwiązaniem będzie suma rozwiązań nierówności w każdym z przedziałów.\n1. Jeżeli m < -3\n2 to -2m-3 < 3\n√\nm2 +1. Obie strony nierówności są nieujemne, wobec tego\n(-2m-3)2 < 9\nm2 +1\n. Stąd -5m2 + 12m < 0. Dla m < -3\n2 rozwiązaniem nierówności\n-5m2 +12m < 0 jest m < -3\n2.\n2. Jeżeli m ­ -3\n2 to 2m + 3 < 3\n√\nm2 +1. Obie strony nierówności są nieujemne, wobec te-\ngo (2m+3)2 < 9\nm2 +1\n. Stąd -5m2 +12m < 0. Dla m ­ -3\n2 rozwiązaniem nierówności\n-5m2 +12m < 0 jest -3\n2 ¬ m < 0 i m > 12\n5 .\nXII/16\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nRozwiązaniem nierówności |2m+3|\n√\nm2 +1 < 3 jest zatem suma rozwiązań, czyli m < 0 lub m > 12\n5 .\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nWyznaczenie odległości środka okręgu od danej prostej: d = |2m+3|\n√\nm2 +1\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nPrzekształcenie nierówności wymiernej |2m+3|\n√\nm2 +1 <3 do nierówności kwadratowej -5m2+12m<0\nRozwiązanie pełne 3 p.\nProsta y = mx+(2m+3) przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy\nm < 0 lub m > 12\n5 .","solution":"$m \\in (-\\infty, 0) \\cup \\left(\\dfrac{12}{5}, +\\infty\\right)$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-3)\nDana jest parabola o równaniu\n2\n1\ny\nx\n\n i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3.\nWyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A .\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (3 p.)\nDana jest parabola o równaniu y = x2 +1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3.\nWyznacz równanie stycznej do paraboli w punkcie A.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n11.3R Uczeń korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej.\nRozwiązanie (I sposób)\nStyczna do paraboli o równaniu y = f (x) w punkcie A = (x0,f (x0)) ma równanie postaci\ny = ax+b, gdzie współczynnik kierunkowy a jest równy a = f ′ (x0). W naszym przypadku\nf (x) = x2 +1 oraz x0 = 3.\nMamy zatem f ′ (x) = 2x, skąd dostajemy a = 2·3 = 6. Punkt A ma współrzędne (3,f (3)), czyli\nA = (3,10). Prosta o równaniu y = 6x+b ma przechodzić przez punkt A, a więc 10 = 6·3+b.\nZatem b = -8 i ostatecznie równanie stycznej ma postać y = 6x-8.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nWyznaczenie pochodnej funkcji f (x) = x2 +1: f ′ (x) = 2x.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nObliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: a = f ′(3) = 6.\nXII/17\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nRozwiązanie pełne 3 p.\nWyznaczenie równania stycznej do paraboli y = x2 +1 w punkcie A: y = 6x-8.\nRozwiązanie (II sposób)\nProsta nierównoległa do osi paraboli będzie styczna do tej paraboli, jeżeli ma z parabolą do-\nkładnie jeden punkt wspólny.\nObliczamy współrzędne punktu A: A = (3,10). Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej\nprzez punkt A: y = ax+10-3a.\nTa prosta nie jest równoległa do osi paraboli, więc układ równań\n\n\n\ny = x2 +1\ny = ax+10-3a\nma dokładnie jedno rozwiązanie, jeżeli równanie kwadratowe x2 +1 = ax+10-3a ma jedno\nrozwiązanie.\nPrzekształcamy równanie do postaci x2 -ax+3a-9 = 0.\nObliczamy wyróżnik równania kwadratowego: ∆= a2 -12a + 36. Zatem równanie ma jedno\nrozwiązanie, jeżeli wyróżnik jest równy zeru.\nRozwiązujemy równanie a2-12a+36=0, czyli (a-6)2=0. Jedynym rozwiązaniem tego równania\njest a = 6.\nRównanie prostej stycznej do paraboli y = x2 +1 w punkcie A ma postać y = 6x-8.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZapisanie równania x2 +1 = ax+10-3a.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nObliczenie wyróżnika równania kwadratowego x2-ax+3a-9=0 oraz wyznaczenie wartości a,\ndla której ∆= 0, czyli a = 6.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nWyznaczenie równania stycznej do paraboli y = x2 +1 w punkcie A: y = 6x-8.","solution":"$y = 6x - 8$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"15","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-3)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między\nkrawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę\n45\n\n(zobacz rysunek). Oblicz objętość\ntego ostrosłupa.\n\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (3 p.)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między kra-\nwędzią boczną a krawędzią podstawy ma miarę α > 45◦(zobacz rysunek). Wyznacz objętość\ntego ostrosłupa.\nXII/18\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\na\na\nα\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n9.6 Uczeń stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni\ni objętości.\nRozwiązanie (I sposób) - „najpierw wysokość ściany bocznej”\na\na\nα\nH\nh\nWysokość h ściany bocznej jest równa h= a\n2tgα. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że wysokość\nH ostrosłupa jest równa\nH =\ns\nh2 -\na\n2\n2\n= a\n2 ·\nq\ntg2α-1\nObjętość V tego ostrosłupa jest więc równa\nV = a3\n6 ·\nq\ntg2α-1.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający wyznaczy wysokość h ściany bocznej tego ostrosłupa: h= a\n2tgα i na tym zakończy lub\ndalej popełni błędy.\nXII/19\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający wyznaczy wysokość H tego ostrosłupa: H = a\n2 ·\nq\ntg2α-1 i na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający wyznaczy objętość V tego ostrosłupa V = a3\n6 ·\nq\ntg2α-1.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze objętość ostrosłupa w postaci V = 1\n3a2·\ns a\n2 ·tgα\n2\na\n2\n2\n, to otrzy-\nmuje 3 punkty.\n2. Co bardziej dociekliwi zdający mogą zauważyć, że tg2α-1 = -cos2α\ncos2 α . Wtedy:\n- wysokość H ostrosłupa przyjmuje postać\nH =\na\n2cosα ·\n√\n-cos2α,\n- objętość ostrosłupa przyjmuje postać\nV =\na3\n6cosα ·\n√\n-cos2α.\nRozwiązanie (II sposób) - „najpierw krawędź boczna”\na\na\nα\nH\nb\nDługość b krawędzi bocznej tego ostrosłupa jest równa b =\na\n2cosα. Z twierdzenia Pitagorasa\nwynika, że wysokość H ostrosłupa jest równa\nH =\nv\nu\nu\ntb2 -\na\n√\n2\n2\n!2\ns\na2\n4cos2 α -a2\n2 = a·\n√\n1-2cos2 α\n2cosα\na\n2cosα ·\n√\n-cos2α.\nObjętość V tego ostrosłupa jest więc równa\nV =\na3\n6cosα ·\n√\n-cos2α.\nXII/20\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający wyznaczy długość b krawędzi bocznej tego ostrosłupa: b =\na\n2cosα i na tym zakończy\nlub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający wyznaczy wysokość H tego ostrosłupa: H =\na\n2cosα ·\n√\n-cos2α i na tym zakończy\nlub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający wyznaczy objętość V tego ostrosłupa: V =\na3\n6cosα ·\n√\n-cos2α.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze objętość ostrosłupa w postaci V = 1\n3a2\nv\nu\nu\nt\na\n2cosα\n2\na\n√\n2\n2\n!2\n, to otrzy-\nmuje 3 punkty.\nUwaga do treści zadania\nW każdym ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt α jest większy od 45◦. Ta dodatkowa\ninformacja wpisana w treści zadania ma na celu zwrócenie zdającym uwagi na to, że nie będzie\nsprawdzane badanie warunku rozwiązywalności zadania w zależności od miary kąta α. Uza-\nsadnienie geometryczne tego warunku wymagałoby odrębnego rozumowania. Najprostsze takie\nrozumowanie wygląda następująco:\n| <) ABE|+| <) CBE| > | <) ABC|,\nczyli 2α > 90◦, a więc α > 45◦.\nA\nB\nC\nD\nS\na\na\nα\nα\nTo rozumowanie wykracza poza obecną podstawę programową, gdyż nie ma w niej twierdzenia\no tym, że suma dwóćh kątów płaskich trójścianu jest większa od trzeciego kąta płaskiego.","solution":"$V = \\dfrac{a^3}{6} \\sqrt{\\operatorname{tg}^2\\alpha - 1}$ lub $V = \\dfrac{a^3}{6\\cos\\alpha} \\sqrt{-\\cos 2\\alpha}$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"16","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-6)\nPunkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą\nrówności\n2\nMB\nAM\n\n\noraz\n3\nLC\nAL\n\n. Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL\ni CM. Punkt K jest punktem przecięcia półprostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).\nPole trójkąta ABC jest równe 660. Oblicz pola trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS.\nA\nB\nC\nM\nL\nK\nS\n\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (6 p.)\nPunkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą\nrówności |MB| = 2·|AM| oraz |LC| = 3·|AL|. Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL\ni CM. Punkt K jest punktem przecięcia prostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).\nXII/21\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nA\nB\nC\nK\nL\nM\nS\nPole trójkąta ABC jest równe 660. Oblicz pola trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n7.5R Uczeń znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów\ni twierdzenia cosinusów.\nRozwiązanie (I sposób)\nOznaczmy literami x i y pola trójkątów AMS i ALS, czyli PAMS = x i PALS = y.\nA\nB\nC\nK\nL\nM\nS\nx\n2x\ny\n3y\nTrójkąty AMC i BMC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka C, więc\nPAMC\nPBMC\n= |AM|\n|BM| = 1\n2,\nczyli\nPBMC = 2·PAMC.\nStąd\nPAMC = 1\n3 ·PABC = 1\n3 ·660 = 220.\nPodobnie\nPAMS\nPBMS\n= |AM|\n|BM| = 1\n2,\nczyli\nPBMS = 2·PAMS = 2x.\nTrójkąty ALB i CLB mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B, więc\nPALB\nPCLB\n= |AL|\n|CL| = 1\n3,\nczyli\nPCLB = 3·PALB.\nXII/22\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nStąd\nPALB = 1\n4 ·PABC = 1\n4 ·660 = 165.\nPodobnie\nPALS\nPCLS\n= |AL|\n|CL| = 1\n3,\nczyli\nPCLS = 3·PALS = 3y.\nOtrzymaliśmy więc\nPAMC = PAMS +PALS +PCLS = x+y+3y = x+4y,\nczyli\nx+4y = 220.\nAnalogicznie\nPALB = PAMS +PALS +PBMS = x+y+2x = 3x+y,\nczyli\n3x+y = 165.\nPozostaje rozwiązać układ równań\n\n\n\nx+4y = 220\n3x+y = 165.\nRozwiązaniem tego układu jest x = 40 i y = 45.\nZatem\nPAMS = x = 40,\nPALS = y = 45,\nPBMS = 2x = 80,\nPCLS = 3y = 135.\nUwaga\nMożemy równie łatwo obliczyć pola pozostałych dwóch trójkątów, tj. CKS i BKS.\nA\nB\nC\nK\nL\nM\nS\nx\n2x\ny\n3y\nw\nz\nOznaczając pola tych trójkątów odpowiednio przez w i z oraz zauważając, podobnie jak po-\nprzednio, że\nPBKA\nPCKA\n= PBKS\nPCKS\n,\nczyli\n3x+z\n4y+w = z\nw,\na więc\n120+z\n180+2 = z\nw,\nXII/23\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\notrzymujemy\n120w+zw = 180z +zw,\n2w = 3z.\nWystarczy teraz zauważyć, że PBCS = 660-3x-4y = 660-120-180 = 360, czyli w+z = 360.\nStąd w = 360-z, więc 2(360-z) = 3z, czyli z = 144 i w = 216.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający stwierdzi lub wykorzysta fakt, że stosunek pól dwóch trójkątów o wspólnej wysokości\njest równy stosunkowi długości podstaw, na jakie ta wysokość została opuszczona i zapisze, np.:\nPMBC = 2·PAMC.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• obliczy pole jednego z trójkątów: AMC, BMC, ALB, CLB\nalbo\n• wyznaczy pole trójkąta BMS w zależności od pola trójkąta AMS: PBMS = 2x\nalbo\n• wyznaczy pole trójkąta CLS w zależności od pola trójkąta ALS: PCLS = 3y.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.\nZdający zapisze układ równań pozwalający obliczyć pola trójkątóW AMS i ALS, np. x+4y=220\ni 3x+y = 165.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze tylko jedno równanie z dwiema niewiadomymi, np. x+4y =220, to otrzy-\nmuje 3 punkty.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 p.\nZdający\n• obliczy pole jednego z trójkątów AMS lub ALS: x = 40, y = 45\nalbo\n• obliczy pola wszystkich trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS popełniając błędy rachunkowe.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy pola trójkątów AMS, ALS, BMS i CLS: PAMS = 40, PBMS = 80, PALS = 45,\nPCLS = 135.\nXII/24\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego","solution":"$P_{AMS} = 40$, $P_{ALS} = 45$, $P_{BMS} = 80$, $P_{CLS} = 135$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"17","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (0-6)\nOblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (6 p.)\nOblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n10.1R Uczeń wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtó-\nrzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.\nRozwiązanie\nWszystkie liczby stucyfrowe o sumie cyfr równej 4 możemy podzielić na 7 grup w zależności od\ntego, jakie cyfry występują w zapisie dziesiętnym tych liczb:\nI\nLiczba 4000 000, w której po cyfrze 4 następuje 99 zer: jest 1 taka liczba,\nII\nLiczby postaci 3000 1 000, w których po cyfrze 3 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 1,\nstojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb,\nIII\nLiczby postaci 2000 2 000, w których po cyfrze 2 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 2,\nstojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb,\nIV\nLiczby postaci 1000 3 000, w których po cyfrze 1 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 3,\nstojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb,\nV\nLiczby postaci 2000 1 000 1 000, w których po cyfrze 2 występuje 97 cyfr 0 i dwie\ncyfry 1, stojące na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc: jest\n\n99\n2\n\n= 99·98\n2\n= 99·49 = 4851\ntakich liczb,\nVI\nLiczby postaci 1000 2 000 1 000 lub 1000 1 000 2 000, w których po cyfrze 1 wy-\nstępuje 97 cyfr 0 oraz cyfry 1 i 2 (w dowolnej kolejności), stojące na dwóch miejscach\nwybranych z 99 możliwych miejsc: jest\n2·\n\n99\n2\n\n= 2· 99·98\n2\n= 99·98 = 9702\ntakich liczb,\nVII Liczby postaci 1000 1 000 1 000 1 000, w których po cyfrze 1 występuje 96 cyfr 0\ni trzy cyfry 1, stojące na trzech miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc: jest\n\n99\n3\n\n= 99·98·97\n6\n= 33·49·97 = 156849\ntakich liczb.\nŁącznie zatem mamy 1+3·99+4851+9702+156849 = 171700 takich liczb.\nSchemat oceniania\nW rozwiązaniu można wyróżnić 3 etapy:\nXII/25\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nPierwszy - wstępny:\nzauważenie, że należy rozpatrzyć przypadki i zapisanie, że jest jedna stucyfrowa liczba, której\npierwszą cyfrą jest 4 a po niej następuje 99 zer (grupa I).\nDrugi - składający się z rozważenia czterech przypadków:\n1. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci 3000 1 000, w których po cyfrze 3 występuje\n98 cyfr 0 i jedna cyfra 1 oraz ile jest stucyfrowych liczb postaci 2000 2 000, w których\npo cyfrze 2 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 2 oraz ile jest stucyfrowych liczb postaci\n1000 3 000, w których po cyfrze 1 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 3 (grupy II, III i IV),\n2. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci 2000 1 000 1 000, w których po cyfrze 2\nwystępuje 97 cyfr 0 i dwie cyfry 1 stojące na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych\nmiejsc (grupa V),\n3. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci\n1000 2 000 1 000\noraz\n1000 1 000 2 000,\nw których po cyfrze 1 występuje 97 cyfr 0 oraz cyfry 1 i 2 (w dowolnej kolejności), stojące\nna dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc (grupa VI),\n4. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci 1000 1 000 1 000 1 000, w których po\ncyfrze 1 występuje 96 cyfr 0 i trzy cyfry 1, stojące na trzech miejscach wybranych z 99\nmożliwych miejsc (grupa VII).\nTrzeci - obliczenia końcowe:\nobliczenie, ile jest wszystkich stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nRealizacja pierwszego etapu rozwiązania - zapisanie, że jest jedna stucyfrowa liczba, której\npierwszą cyfrą jest 4 a po niej następuje 99 zer.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 5 p.\nRealizacja drugiego etapu rozwiązania - zdający otrzymuje po jednym punkcie za obliczenie\nile jest stucyfrowych liczb w każdym z wymienionych przypadków, odpowiednio:\n1. 3·99 = 297,\n2.\n99\n2\n!\n= 99·98\n2\n= 99·49 = 4851,\n3. 2\n99\n2\n!\n= 2· 99·98\n2\n= 99·98 = 9702,\n4.\n99\n3\n!\n= 99·98·97\n6\n= 33·49·97 = 156849.\nW tej części rozwiązania zdający może otrzymać od 0 punktów do 4 punktów.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nObliczenie, ile jest wszystkich stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4: jest 171700\ntakich liczb.\nXII/26\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nUwaga\nZadanie można rozwiązać powołując się na nietrudne do udowodnienia twierdzenie, że dla\nk ¬9 istnieje\nn+k-2\nk-1\n!\nliczb n-cyfrowych o sumie cyfr równej k. (Istnieje\nn+k-2\nk-1\n!\nciągów\n(a1, ,an) takich, że a1, ,an są liczbami całkowitymi, a1̸=0, a2, ,an­0 oraz a1+ +an=k).\nW naszym przypadku mamy n = 100 i k = 4:\n\nn+k-2\nk-1\n\n=\n\n102\n3\n\n= 102·101·100\n6\n= 17·101·100 = 171700.","solution":"171700","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"18","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (0-7)\nDany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach\ntego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek).\nNastępnie\nzagięto\nkarton\nwzdłuż\nlinii\nprzerywanych,\ntworząc\nw\nten\nsposób\nprostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku każdego z wyciętych\nkwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę\nmaksymalną objętość.\n\nOdpowiedź:\n\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"Zadanie 18. (7 p.)\nDany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach\ntego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek).\nNastępnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne\npudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której\nobjętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.\nWymagania ogólne\nIII. Modelowanie matematyczne\nWymagania szczegółowe\n11.6R Uczeń stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.\nOgólny schemat oceniania\nRozwiązanie zadania optymalizacyjnego za pomocą rachunku różniczkowego składa się z trzech\netapów:\n1. Zbudowanie modelu matematycznego (3 p.).\n2. Zbadanie tego modelu (3 p.).\n3. Wyciągnięcie wniosków, końcowe obliczenia itp. (1 p.).\nW pierwszych dwóch etapach można wyróżnić następujące części:\nXII/27\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\n1.a) wybór zmiennej i wyrażenie za pomocą tej zmiennej wielkości, które będą potrzebne do\nzdefiniowania funkcji,\n1.b) zdefiniowanie funkcji jednej zmiennej,\n1.c) określenie dziedziny tej funkcji,\n2.a) wyznaczenie pochodnej,\n2.b) obliczenie miejsc zerowych tej pochodnej,\n2.c) uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja posiada wartość najmniej-\nszą/największą.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z powyższych części zdający otrzymuje 1 punkt, o ile po-\nprzednia część danego etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nRozwiązanie (I sposób)\nOznaczmy literą x długość boku kwadratowych naroży. Podstawa pudełka ma wymiary\n(80-2x)×(50-2x).\nWysokość pudełka jest równa x. Zatem objętość wyraża się wzorem\nV = (80-2x)·(50-2x)·x,\nczyli\nV = (4000-160x-100x+4x2)·x = 4x3 -260x2 +4000x = 4(x3 -65x2 +1000x).\nNaszym zadaniem jest obliczenie, dla jakiego x (spełniającego nierówności 0 < x < 25) funkcja\nf określona wzorem\nf(x) = x3 -65x2 +1000x\nprzyjmuje największą wartość. Obliczamy pochodną tej funkcji:\nf ′(x) = 3x2 -130x+1000.\nNastępnie znajdujemy miejsca zerowe tej pochodnej:\n∆= 1302 -12·1000 = 16900-12000 = 4900,\nx1 = 130-70\n6\n= 10,\nx2 = 130+70\n6\n≈33,33.\nPierwiastek x2 nie spełnia nierówności 0 < x2 < 25. Zatem jedynym argumentem podejrzanym\no ekstremum lokalne w rozważanym przedziale jest x1 = 10. Ponieważ\nf ′(x) > 0\ndla x < 10\noraz\nf ′(x) < 0\ndla x > 10,\nwięc w przedziale (0,10⟩funkcja f jest rosnąca i w przedziale ⟨10,25) jest malejąca. Stąd\nwynika, że w punkcie x = 10 funkcja f przyjmuje największą wartość. Szukana objętość jest\nzatem równa\nV = (80-20)·(50-20)·10 = 18000 cm2.\nXII/28\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów, opisanych ogólnie na stronie 27.\n1.a) Oznaczenie literą np. x długości boku kwadratowych naroży, zapisanie długości podstawy\npudełka (80-2x) i szerokości podstawy pudełka (50-2x).\n1.b) Zapisanie objętości jako funkcji zmiennej wysokości pudełka x: V =(80-2x)·(50-2x)·x.\n1.c) Zapisanie warunków, jakie musi spełniać wysokość pudełka: 0 < x < 25.\n2.a) Obliczenie pochodnej wprowadzonej funkcji np. f : f ′(x) = 3x2 -130x+1000.\n2.b) Obliczenie miejsc zerowych: x1 = 10, x2 = 331\n3.\n2.c) Stwierdzenie, że f ′(x) > 0 dla 0 < x < 10 oraz f ′(x) < 0 dla 10 < x < 25, więc w przedziale\n(0, 10⟩funkcja f jest rosnąca i w przedziale ⟨10, 25) jest malejąca. Stąd wynika, że dla\nx = 10 funkcja f przyjmuje największą wartość w dziedzinie (0,25).\n3.\nZapisanie, że długość boku kwadratowych naroży jest równa 10 cm i obliczenie największej\nobjętości: V = (80-20)·(50-20)·10 = 18000 cm3.\nRozwiązanie (II sposób)\nOznaczmy literą x długość podstawy pudełka. Długość boku kwadratowych naroży (więc rów-\nnież wysokość pudełka) jest wtedy równa 80-x\n2\n, zaś szerokość podstawy pudełka: 50-2·80-x\n2\nZatem objętość wyraża się wzorem V = (x-30)· 80-x\n2\n·x, dla 30 < x < 80\nV (x) = 0,5x·(x-30)·(80-x) = 0,5(80x2 -x3 -2400x+30x2) = -1\n2x3 + 110\n2 x2 -1200x.\nObliczamy, dla jakiego argumentu funkcja objętości przyjmuje największą wartość.\nV ′(x) = -3\n2x2 +110x-1200.\nWyznaczamy miejsca zerowe tej pochodnej: ∆= 12100-7200, ∆= 4900, x1 = 110-70\n3\n= 40\n3 ,\nx2 = 110+70\n3\n= 60. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x = 60. Ponieważ V ′(x) > 0 dla\n30 < x < 60 oraz V ′(x) < 0 dla 60 < x < 80, więc w przedziale (30, 60⟩funkcja V jest rosnąca\ni w przedziale ⟨60, 80) jest malejąca. Stąd wynika, że dla x=60 funkcja V przyjmuje największą\nwartość w dziedzinie (30,80) . Długość boku kwadratowych naroży jest równa 80-60\n2\n=10 cm,\nszukana objętość jest równa (60-30)· 80-60\n2\n·60 = 18000 cm3.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów, opisanych ogólnie na stronie 27.\n1.a) Oznaczenie literą np. x długości boku podstawy pudełka, zapisanie szerokości podstawy\npudełka 50-2· 80-x\n2\ni wysokości pudełka 80-x\n2\nXII/29\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\n1.b) Zapisanie objętości jako funkcji zmiennej długości podstawy pudełka x: V =(x-30)·80-x\n2\n·x.\n1.c) Zapisanie warunków, jakie musi spełniać długość podstawy pudełka: 30 < x < 80.\n2.a) Obliczenie pochodnej funkcji V : V ′(x) = -3\n2x2 +110x-1200.\n2.b) Obliczenie miejsc zerowych: x1 = 40\n3 , x2 = 60.\n2.c) Stwierdzenie, że V ′(x)>0 dla 30 0 dla 0 < x < 30 oraz V ′(x) < 0\ndla 30 < x < 50, więc w przedziale (0, 30⟩funkcja V jest rosnąca i w przedziale ⟨30, 50) jest\nmalejąca. Stąd wynika, że dla x = 30 funkcja V przyjmuje największą wartość w dziedzinie\n(0,50). Długość boku kwadratowych naroży jest równa 50-30\n2\n= 10 cm, szukana objętość jest\nrówna\nV = (30+30)· 50-30\n2\n·30 = 18000 cm3.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów, opisanych ogólnie na stronie 27.\n1.a) Oznaczenie literą np. x szerokości podstawy pudełka, zapisanie długości podstawy pudełka\n80-2· 50-x\n2\ni wysokości pudełka 50-x\n2\n1.b) Zapisanie objętości jako funkcji zmiennej długości podstawy pudełka x: V =(x+30)·50-x\n2\n·x.\nXII/30\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\n1.c) Zapisanie warunków, jakie musi spełniać szerokość podstawy pudełka: 0 < x < 50.\n2.a) Obliczenie pochodnej funkcji V : V ′(x) = -3\n2x2 +20x-750.\n2.b) Obliczenie miejsc zerowych: x1 = 20-70\n3\n= -50\n3 , x2 = 20+70\n3\n= 30.\n2.c) Stwierdzenie, że V ′(x) > 0 dla 0