{"paper":{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nNiech\n2\n3\na =\n,\n1\n2\nb =\n. Wtedy wartość wyrażenia a\nb\na b\n⋅\njest równa\nA. 7\n2\nB.\n9\n5\nC.\n7\n18\nD. 3\n2","answer":"A","answer_text":"2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{7}{2}\\)\n\n*(Odpowiedzi A i B w treści zadania są uszkodzone - najprawdopodobniej błąd ekstrakcji PDF. Wyznaczam wynik samodzielnie.)*\n\n## Sposób 1 - Podstawienie i obliczenie wprost\n\nMamy \\(a = \\frac{2}{3}\\), \\(b = \\frac{1}{2}\\). Liczymy licznik i mianownik oddzielnie.\n\n**Licznik:**\n\\[a + b = \\frac{2}{3} + \\frac{1}{2} = \\frac{4}{6} + \\frac{3}{6} = \\frac{7}{6}\\]\n\n**Mianownik:**\n\\[a \\cdot b = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Dzielenie:**\n\\[\\frac{a+b}{a \\cdot b} = \\frac{\\dfrac{7}{6}}{\\dfrac{1}{3}} = \\frac{7}{6} \\cdot \\frac{3}{1} = \\frac{7 \\cdot 3}{6} = \\frac{21}{6} = \\boxed{\\frac{7}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie algebraiczne (tożsamość)\n\nZauważamy, że ułamek \\(\\frac{a+b}{a \\cdot b}\\) można rozłożyć na dwa składniki, dzieląc licznik przez mianownik wyraz po wyrazie:\n\n\\[\\frac{a + b}{a \\cdot b} = \\frac{a}{a \\cdot b} + \\frac{b}{a \\cdot b} = \\frac{1}{b} + \\frac{1}{a}\\]\n\nTeraz podstawiamy:\n\\[\\frac{1}{b} + \\frac{1}{a} = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} + \\frac{1}{\\frac{2}{3}} = 2 + \\frac{3}{2} = \\frac{4}{2} + \\frac{3}{2} = \\frac{7}{2}\\]\n\n**To podejście jest szybsze** - omijamy obliczanie iloczynu \\(a \\cdot b\\) osobno.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania na ułamkach (sprowadzanie do wspólnego mianownika, dzielenie przez ułamek = mnożenie przez odwrotność).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: \\(\\frac{7/6}{1/3} = \\frac{7}{6} \\cdot 3\\), nie \\(\\frac{7}{6} \\cdot \\frac{1}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dodawaniu \\(\\frac{2}{3} + \\frac{1}{2}\\) pamiętaj o wspólnym mianowniku - najczęstszy błąd to dodawanie liczników i mianowników osobno, co daje błędne \\(\\frac{3}{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tożsamość \\(\\frac{a+b}{ab} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b}\\) jest bardzo przydatna - warto ją zapamiętać jako sprytny skrót w tego typu zadaniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\nPodstawiamy \\(a = \\frac{2}{3}\\) i \\(b = 2\\):\n\nLicznik: \\(a - b = \\frac{2}{3} - 2 = \\frac{2 - 6}{3} = -\\frac{4}{3}\\)\n\nMianownik: \\(a + b = \\frac{2}{3} + 2 = \\frac{2 + 6}{3} = \\frac{8}{3}\\)\n\nWartość wyrażenia:\n\\[\\frac{a-b}{a+b} = \\frac{-\\frac{4}{3}}{\\frac{8}{3}} = -\\frac{4}{3} \\cdot \\frac{3}{8} = -\\frac{4}{8} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Wzory CKE**: Działania na ułamkach zwykłych (arytmetyka).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- B. \\(1\\) - wynikałoby to z \\(a - b = a + b\\), co jest niemożliwe dla \\(b \\neq 0\\).\n- C i D - wyniki o wiele za duże co do wartości bezwzględnej; wynikają z błędów rachunkowych.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nCenę pewnego towaru obniżano dwukrotnie, za każdym razem o 20% . Takie dwie obniżki\nceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną obniżką\nA. o 40% .\nB. o 36%.\nC. o 32%.\nD. o 28% .","answer":"B","answer_text":")(\nx\n1\n)\n0\n. Stąd (\n2 2\nx\n3\n)(\n2 2\nx\n3\n)(\nx\n1\n)\n0\n, czyli\nx\n6\nlub\nx\n6\nlub","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (obniżka o 36%)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie współczynników obniżki\n\n**Idea:** Każda obniżka o 20% oznacza, że zostawiamy 80% ceny. Po dwóch takich obniżkach zostaje nam:\n\n\\[0{,}80 \\times 0{,}80 = 0{,}64\\]\n\nceny pierwotnej.\n\n**Skąd to wynika krok po kroku:**\n\nNiech cena początkowa = \\(C\\).\n\nPo pierwszej obniżce o 20%:\n\\[C_1 = C \\cdot \\left(1 - \\frac{20}{100}\\right) = C \\cdot 0{,}80\\]\n\nPo drugiej obniżce o 20% (od nowej ceny \\(C_1\\)):\n\\[C_2 = C_1 \\cdot 0{,}80 = C \\cdot 0{,}80 \\cdot 0{,}80 = C \\cdot 0{,}64\\]\n\nCena końcowa stanowi **64% ceny pierwotnej**, więc obniżka wynosi:\n\\[1 - 0{,}64 = 0{,}36 = 36\\%\\]\n\n**Odpowiedź: dwie obniżki o 20% są równoważne jednej obniżce o 36%.**\n\n## Sposób 2 - Wzór na złożone obniżki (weryfikacja na konkretnej kwocie)\n\nWeźmy cenę \\(C = 100\\) zł (wygodna liczba).\n\n**Po pierwszej obniżce o 20%:**\n\\[100 - 20\\% \\cdot 100 = 100 - 20 = 80 \\text{ zł}\\]\n\n**Po drugiej obniżce o 20% (od 80 zł):**\n\\[80 - 20\\% \\cdot 80 = 80 - 16 = 64 \\text{ zł}\\]\n\nCena spadła ze 100 zł do 64 zł, czyli o:\n\\[100 - 64 = 36 \\text{ zł}\\]\n\nProcentowo:\n\\[\\frac{36}{100} \\cdot 100\\% = 36\\%\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie procentów i działania arytmetyczne. Warto jednak znać ogólny wzór na złożone obniżki:\n\nJeśli cenę obniżamy \\(n\\) razy o \\(p\\%\\), całkowita obniżka wynosi:\n\\[1 - \\left(1 - \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\n\nDla \\(n = 2\\), \\(p = 20\\):\n\\[1 - \\left(\\frac{80}{100}\\right)^2 = 1 - 0{,}64 = 0{,}36 = 36\\%\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | **Dodawanie zamiast mnożenia:** \\(20\\% + 20\\% = 40\\%\\). To błąd - druga obniżka dotyczy już **obniżonej** ceny, nie pierwotnej. |\n| C | Typowy błąd szacunkowy - \"intuicyjnie między 36 a 40\", ale bez obliczeń. Nie odpowiada żadnej prostej pomyłce. |\n| D | Brak uzasadnienia liczbowego - zbyt niska wartość, wynikająca z niepoprawnego rozumowania. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to dodanie dwóch obniżek: \\(20\\% + 20\\% = 40\\%\\). To **nieprawidłowe** - druga obniżka liczy się od już obniżonej ceny, a nie od ceny oryginalnej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obniżki procentowe **nie dodają się**, lecz **mnożą współczynniki.** Ogólnie: dwie obniżki o \\(p\\%\\) każda dają łączną obniżkę mniejszą niż \\(2p\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z procentami zawsze sprawdź, **od czego** liczy się każdy kolejny procent - od ceny pierwotnej czy od aktualnej. Tu każda obniżka to 20% ceny **po poprzedniej obniżce**.\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - zmniejszy się o 4%.\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nPole początkowe: \\(P_0 = 40 \\cdot 100 = 4000 \\text{ cm}^2\\)\n\nPo przekształceniach:\n- Dłuższe boki (100 cm) wydłużamy o 20%: \\(100 \\cdot 1{,}2 = 120 \\text{ cm}\\)\n- Krótsze boki (40 cm) skracamy o 20%: \\(40 \\cdot 0{,}8 = 32 \\text{ cm}\\)\n\nNowe pole: \\(P_1 = 32 \\cdot 120 = 3840 \\text{ cm}^2\\)\n\nZmiana: \\(\\frac{P_1 - P_0}{P_0} = \\frac{3840 - 4000}{4000} = \\frac{-160}{4000} = -0{,}04 = -4\\%\\)\n\n**Uwaga ogólna**: Przy zwiększeniu jednego wymiaru o \\(p\\%\\) i zmniejszeniu drugiego o \\(p\\%\\) pole zmienia się o \\(-\\left(\\frac{p}{100}\\right)^2 \\cdot 100\\%\\). Tutaj: \\(-\\left(\\frac{20}{100}\\right)^2 \\cdot 100\\% = -4\\%\\).\n\n**Wzory CKE**: Procenty, pole prostokąta (Planimetria, s. 20).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. +8% - pomylenie znaku i wartości.\n- B. +4% - pole się zmniejsza, nie zwiększa.\n- C. -8% - za duża zmiana; 8% wynikałoby z podwojenia efektu.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n12\n5\n10\n5\n9\n15\n⋅\njest równa\nA. 25\nB.\n73\nC.\n33\nD. 25\n27","answer":"A","answer_text":"3\n≥\nx y\n2\nxy\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(25\\)\n\n\\(\\dfrac{5^{12}\\cdot 9^{5}}{15^{10}}=\\dfrac{5^{12}\\cdot 3^{10}}{(3\\cdot5)^{10}}=\\dfrac{5^{12}\\cdot 3^{10}}{3^{10}\\cdot 5^{10}}=5^{2}=25\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{1}{5^5}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nZapisujemy jako jedną potęgę:\n\\[\\frac{9^5}{45^5} = \\left(\\frac{9}{45}\\right)^5 = \\left(\\frac{1}{5}\\right)^5 = \\frac{1}{5^5}\\]\n\nAlternatywnie, rozkładamy na czynniki:\n\\[9 = 3^2, \\quad 45 = 3^2 \\cdot 5\\]\n\\[\\frac{9^5}{45^5} = \\frac{(3^2)^5}{(3^2 \\cdot 5)^5} = \\frac{3^{10}}{3^{10} \\cdot 5^5} = \\frac{1}{5^5}\\]\n\n**Wzory CKE**: Potęgi i pierwiastki (s. 4-5): \\(\\left(\\frac{a}{b}\\right)^r = \\frac{a^r}{b^r}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nW rozwinięciu dziesiętnym ułamka 2\n7 na trzydziestym miejscu po przecinku stoi cyfra\nA. 7\nB. 1\nC. 2\nD. 4","answer":"D","answer_text":"1\n3\nr\n2\n3\nr\n. Ciąg (\na a a\n1\n,\n2\n,\n4\n)\n, czyli (\n2,2\nr\n,2\n3\nr\n)\njest geometryczny, więc","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nWskaż największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność\n3\n0\n4\nx -\n<\nA. 5\nB. 6\nC. 7\nD. 8","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nWyrażenie\n2)\n3\n(\n9\n-y\njest równe\nA.\n18\n2 +\n-y\nB.\ny\ny\n6\n2 +\nC.\n2\ny\nD.\n18\n6\n2\ny\ny","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(-y^2 + 6y\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie nawiasu i uproszczenie\n\nMamy do obliczenia: \\(9 - (y-3)^2\\)\n\n**Krok 1:** Rozwijamy \\((y-3)^2\\) wzorem na kwadrat różnicy:\n\\[(y-3)^2 = y^2 - 2 \\cdot y \\cdot 3 + 3^2 = y^2 - 6y + 9\\]\n\n**Krok 2:** Podstawiamy do wyrażenia i rozpisujemy nawias z minusem:\n\\[9 - (y^2 - 6y + 9) = 9 - y^2 + 6y - 9\\]\n\n**Krok 3:** Redukujemy wyrazy wolne (\\(9 - 9 = 0\\)):\n\\[= -y^2 + 6y\\]\n\n**Wynik: \\(-y^2 + 6y\\)**, czyli odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nZauważamy, że \\(9 = 3^2\\), więc możemy zastosować wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\n\\[9 - (y-3)^2 = 3^2 - (y-3)^2\\]\n\nTutaj \\(a = 3\\), \\(b = (y-3)\\):\n\\[(3 - (y-3))\\cdot(3 + (y-3))\\]\n\nUpraszczamy każdy nawias:\n\\[(3 - y + 3)\\cdot(3 + y - 3) = (6 - y)\\cdot y\\]\n\nWymnażamy:\n\\[= 6y - y^2 = -y^2 + 6y\\]\n\n**Wynik: \\(-y^2 + 6y\\)** - ten sam co w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((y-3)^2\\).\n\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - zamiana \\(9 - (y-3)^2\\) na iloczyn.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Pominięcie członu \\(-6y\\) - uczeń liczy \\((y-3)^2 = y^2 - 9\\) zamiast \\(y^2 - 6y + 9\\), dostaje \\(9 - y^2 + 9 = -y^2 + 18\\) |\n| C | Zapomnienie o wyrazie wolnym \\(+9\\) w rozwinięciu i nieuwzględnienie \\(9\\) z przodu - liczy \\((y-3)^2 = y^2\\) i dostaje \\(9 - y^2\\), a potem „upraszcza\" do \\(-y^2\\) |\n| D | Pomylenie znaku przy rozpisywaniu minusa przed nawiasem: uczeń pisze \\(-y^2 + 6y + 9\\) zamiast \\(-y^2 + 6y - 9\\), i nie redukuje z zewnętrznym \\(9\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus przed nawiasem zmienia znaki WSZYSTKICH wyrazów wewnątrz - łatwo zapomnieć o zamianie znaku przy \\(-6y\\) i \\(+9\\). Zawsze rozpisuj: \\(-(y^2 - 6y + 9) = -y^2 + 6y - 9\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((y - 3)^2 \\neq y^2 - 9\\) - to bardzo częsty błąd! Kwadrat różnicy ma trzy wyrazy, nie dwa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrazy wolne \\(+9\\) i \\(-9\\) redukują się do zera - wynik nie ma wyrazu wolnego. Jeśli wyszło Ci coś z samą liczbą (np. \\(+18\\) lub \\(+9\\)), to znak, że coś poszło nie tak z rozwinięciem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - 25\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nRozwijamy \\((a+5)^2\\) ze wzoru skróconego mnożenia:\n\\[(a+5)^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 5 + 25 = a^2 + 10a + 25\\]\n\nObliczamy różnicę:\n\\[(a+5)^2 - (a^2 + 10a) = a^2 + 10a + 25 - a^2 - 10a = 25\\]\n\nWartość \\((a+5)^2\\) jest większa od \\(a^2 + 10a\\) o **25** - niezależnie od wartości \\(a\\).\n\n**Wzory CKE**: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. 50 - błąd: podwojenie stałej 25.\n- B. 10 - wynik zapomnienia o wyrazie \\(25\\), wzięcie tylko \\(2 \\cdot 5\\).\n- C. 5 - wzięcie samej podstawy zamiast kwadratu.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nIloczyn liczb spełniających równanie\n2\n1\n25\n0\n2\n4\nx\n\n\n\n\n\n\njest równy\nA. 6\nB.\n5\nC. 5\nD.\n6\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"33","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(-6\\)\n\nIloczyn liczb spełniających równanie wynosi \\(-6\\).\n\n## Sposób 1 - Pierwiastkowanie obu stron\n\nMamy równanie w postaci kanonicznej - prawa strona to kwadrat liczby, więc możemy pierwiastkować.\n\n\\[\\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2 - \\frac{25}{4} = 0\\]\n\nPrzenosimy \\(\\frac{25}{4}\\) na prawą stronę:\n\n\\[\\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2 = \\frac{25}{4}\\]\n\nPierwiastkujemy obu stron - pamiętamy o \\(\\pm\\):\n\n\\[x - \\frac{1}{2} = \\pm\\frac{5}{2}\\]\n\n**Przypadek 1:**\n\\[x - \\frac{1}{2} = \\frac{5}{2} \\implies x = \\frac{5}{2} + \\frac{1}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\n**Przypadek 2:**\n\\[x - \\frac{1}{2} = -\\frac{5}{2} \\implies x = -\\frac{5}{2} + \\frac{1}{2} = -\\frac{4}{2} = -2\\]\n\nPierwiastki to \\(x_1 = 3\\) i \\(x_2 = -2\\). Iloczyn:\n\n\\[\\boxed{x_1 \\cdot x_2 = 3 \\cdot (-2) = -6}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a (przez postać ogólną)\n\nRozwijamy równanie do postaci ogólnej \\(ax^2 + bx + c = 0\\):\n\n\\[\\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2 - \\frac{25}{4} = 0\\]\n\n\\[x^2 - x + \\frac{1}{4} - \\frac{25}{4} = 0\\]\n\n\\[x^2 - x + \\frac{1 - 25}{4} = 0\\]\n\n\\[x^2 - x - 6 = 0\\]\n\nOdczytujemy: \\(a = 1\\), \\(b = -1\\), \\(c = -6\\).\n\nZe wzoru Viète'a iloczyn pierwiastków to wprost:\n\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = \\frac{-6}{1} = \\mathbf{-6}\\]\n\nNie trzeba nawet liczyć \\(\\Delta\\)!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposob 2, żeby natychmiast odczytać iloczyn pierwiastków bez wyznaczania ich wartości.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - \\(\\sqrt{a^2} = |a|\\), co uzasadnia \\(\\pm\\) przy pierwiastkowaniu w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTypowe błędne odpowiedzi i błędy, które do nich prowadzą:\n\n| Wynik | Błąd |\n| \\(+6\\) | Wzięto \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\) ale zapomniano o znaku: \\(c = -6\\), nie \\(+6\\) |\n| \\(-3\\) | Pomylono sumę z iloczynem: \\(x_1 + x_2 = \\frac{-b}{a} = 1\\) albo błąd przy dodawaniu ułamków w rozwinięciu |\n| \\(+3\\) | Wzięto tylko jeden pierwiastek \\(x_1 = 3\\) i podano go zamiast iloczynu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(\\sqrt{\\frac{25}{4}} = \\frac{5}{2}\\) pamiętaj o **obu znakach** \\(\\pm\\) - to najczęstszy błąd. Bez minusa gubisz jeden pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **iloczyn** pierwiastków, nie o ich **sumę**. To dwie różne rzeczy - nie mylić \\(\\frac{c}{a}\\) z \\(\\frac{-b}{a}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozwijając \\(\\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2\\) łatwo pomylić znak: \\(\\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2 = x^2 - x + \\frac{1}{4}\\), **nie** \\(x^2 + x + \\frac{1}{4}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - rysunek z prostymi przecinającymi się w III ćwiartce.\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nRozwiązujemy układ równań:\n\\[\\begin{cases} x + 3y = -5 \\\\ 3x - 2y = -4 \\end{cases}\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(x = -5 - 3y\\)\n\nPodstawiamy do drugiego:\n\\[3(-5 - 3y) - 2y = -4\\]\n\\[-15 - 9y - 2y = -4\\]\n\\[-11y = 11 \\implies y = -1\\]\n\\[x = -5 - 3(-1) = -5 + 3 = -2\\]\n\nPunkt przecięcia: \\((-2, -1)\\) - leży w **III ćwiartce** (obie współrzędne ujemne).\n\nNachylenia prostych:\n- Prosta 1: \\(y = -\\frac{1}{3}x - \\frac{5}{3}\\), nachylenie \\(-\\frac{1}{3}\\) (łagodnie malejąca)\n- Prosta 2: \\(y = \\frac{3}{2}x + 2\\), nachylenie \\(\\frac{3}{2}\\) (stromo rosnąca)\n\nSzukamy rysunku z dwiema prostymi przecinającymi się w lewej dolnej ćwiartce.\n\n**Wzory CKE**: Geometria analityczna (s. 22-25), równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nWierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y =\n( )\nf x ma współrzędne\n(\n)\n2, 2 . Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji\n( )\n(\n)\n2\ng x\nf x\nma\nwspółrzędne\nA. (\n)\n0, 2\nB. (\n)\n4, 2\nC. (\n)\n2, 0\nD. (\n)\n2, 4","answer":"A","answer_text":"3\n)(\nx\n1\n)\n0\n. Stąd (\n2 2\nx\n3\n)(\n2 2\nx\n3\n)(\nx\n1\n)\n0\n, czyli\nx\nlub\nx\nlub","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((0, 2)\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna i podstawienie\n\nSkoro wierzchołek paraboli \\(f\\) ma współrzędne \\((2, 2)\\), możemy zapisać \\(f\\) w **postaci kanonicznej**:\n\n\\[f(x) = a(x - 2)^2 + 2\\]\n\ndla pewnego \\(a \\neq 0\\). Teraz wyznaczamy \\(g(x)\\):\n\n\\[g(x) = f(x + 2) = a\\bigl((x+2) - 2\\bigr)^2 + 2\\]\n\n\\[g(x) = a(x)^2 + 2 = ax^2 + 2\\]\n\nTo postać kanoniczna \\(g(x) = a(x - 0)^2 + 2\\), więc **wierzchołek paraboli \\(g\\) to \\((0, 2)\\)**.\n\n## Sposób 2 - Reguła przesunięcia wykresu\n\nZastąpienie \\(x\\) przez \\(x + 2\\) w \\(f(x)\\) to **przesunięcie wykresu o 2 jednostki w lewo** (oś pozioma).\n\nDlaczego w lewo? Bo \\(g(x) = f(x+2)\\) - gdy chcemy mieć tę samą wartość co \\(f\\) w punkcie \\(x_0\\), potrzebujemy \\(g(x_0 - 2) = f(x_0)\\). Cały wykres \"wędruje\" w lewo.\n\nWierzchołek \\(f\\): \\((2, 2)\\)\n\nPrzesunięcie o \\(-2\\) wzdłuż osi \\(x\\):\n\\[(2 - 2,\\ 2) = (0, 2)\\]\n\nWspółrzędna \\(y\\) **nie zmienia się** - przesunięcie poziome nie wpływa na wysokość wierzchołka.\n\n**Wynik: \\((0, 2)\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n\nUżyliśmy jej do zapisania \\(f\\) z wierzchołkiem \\((2, 2)\\) jako \\(f(x) = a(x-2)^2 + 2\\), co pozwoliło wprost podstawić \\(x+2\\) i odczytać nowy wierzchołek.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\((4, 2)\\) | Przesunięcie w **prawo** zamiast w lewo - mylenie znaku: \\(f(x+2)\\) to ruch w lewo, nie \\(f(x-2)\\) |\n| **C** \\((2, 0)\\) | Odjęcie 2 od **współrzędnej \\(y\\)** zamiast \\(x\\) - przesunięcie pionowe zamiast poziomego |\n| **D** \\((2, 4)\\) | Dodanie 2 do **współrzędnej \\(y\\)** - przesunięcie pionowe zamiast poziomego |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zamiana \\(x \\to x+2\\) przesuwa wykres w **lewo** (o \\(-2\\)), a nie w prawo! Intuicja często mówi \"dodaję 2, więc przesuwam w prawo\" - to klasyczny błąd. Zapamiętaj: \\(f(x - p)\\) → przesunięcie w prawo o \\(p\\); \\(f(x + p)\\) → przesunięcie w lewo o \\(p\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie poziome zmienia **tylko** pierwszą współrzędną wierzchołka. Współrzędna \\(y\\) (wartość maksimum/minimum) pozostaje bez zmian.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać \\(a\\) ani pełnego wzoru \\(f(x)\\) - wystarczy postać kanoniczna z wierzchołkiem. Zadania tego typu można rozwiązać w 2 liniach, jeśli od razu piszesz \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - 0\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\\[2(x - 2) \\leq 4(x - 1) + 1\\]\n\\[2x - 4 \\leq 4x - 4 + 1\\]\n\\[2x - 4 \\leq 4x - 3\\]\n\\[-4 + 3 \\leq 4x - 2x\\]\n\\[-1 \\leq 2x\\]\n\\[x \\geq -\\frac{1}{2}\\]\n\nNajmniejsza liczba całkowita spełniająca \\(x \\geq -\\frac{1}{2}\\) to \\(x = 0\\).\n\nSprawdzenie: dla \\(x = 0\\): \\(2(0-2) = -4 \\leq 4(0-1)+1 = -3\\). ✓\nDla \\(x = -1\\): \\(2(-3) = -6 \\leq 4(-2)+1 = -7\\)? Nie, \\(-6 > -7\\). ✗\n\n**Wzory CKE**: Nierówności liniowe (algebra).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. \\(-2\\) i B. \\(-1\\) - nie spełniają nierówności (leżą poniżej \\(-\\frac{1}{2}\\)).\n- D. \\(1\\) - spełnia nierówność, ale nie jest najmniejszą liczbą całkowitą.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nMiejsce zerowe funkcji liniowej\n( )\n3\nf x\nx\nm\njest większe od 2 dla każdej liczby m\nspełniającej warunek\nA.\n2\n3\nm < -\nB.\n2\n1\n3\n3\nm\n<\n<\nC. 1\n1\n3\nm\n<\n<\nD.\n1\nm >","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m < -\\frac{2}{3}\\)\n\nMiejsce zerowe funkcji \\(f(x) = x + 3m\\) jest większe od \\(2\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(m < -\\frac{2}{3}\\).\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie miejsca zerowego i rozwiązanie nierówności\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji.**\n\nMiejsce zerowe to wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\):\n\\[x + 3m = 0\\]\n\\[x = -3m\\]\n\n**Krok 2: Stawiamy warunek, że miejsce zerowe jest większe od 2.**\n\n\\[-3m > 2\\]\n\n**Krok 3: Dzielimy obie strony przez \\(-3\\) - pamiętamy o zmianie kierunku nierówności!**\n\n\\[m < \\frac{2}{-3}\\]\n\\[\\boxed{m < -\\frac{2}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - interpretacja graficzna / weryfikacja\n\n**Interpretacja graficzna:**\n\nFunkcja \\(f(x) = x + 3m\\) to prosta o współczynniku kierunkowym \\(a = 1 > 0\\) (rosnąca).\n\nProsta rosnąca przecina oś \\(OX\\) w punkcie \\(x_0 = -3m\\).\n\nChcemy, żeby miejsce zerowe było po **prawej stronie** punktu \\(x = 2\\) na osi:\n\n\\[-3m > 2\\]\n\nCzyli szukamy takich \\(m\\), dla których \\(-3m\\) leży na prawo od \\(2\\) na osi liczbowej.\n\n\\[-3m > 2 \\implies m < -\\frac{2}{3}\\]\n\n**Weryfikacja przykładem:**\n\nWeźmy \\(m = -1\\) (spełnia \\(m < -\\frac{2}{3}\\)):\n\\[f(x) = x + 3 \\cdot (-1) = x - 3 \\implies x_0 = 3 > 2 \\checkmark\\]\n\nWeźmy \\(m = 0\\) (nie spełnia warunku):\n\\[f(x) = x + 0 = x \\implies x_0 = 0 \\not> 2 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji (f(x) = 0) i elementarne rozwiązanie nierówności liniowej.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzieląc nierówność przez liczbę **ujemną** (tu: przez \\(-3\\)), musisz **odwrócić kierunek nierówności**. Najczęstszy błąd: uczeń pisze \\(m > -\\frac{2}{3}\\) zamiast \\(m < -\\frac{2}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić miejsca zerowego z wartością \\(f(0)\\)! Miejsce zerowe to \\(x\\) takie, że \\(f(x) = 0\\), a nie wartość funkcji w zerze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parametr \\(m\\) w wyrażeniu \\(3m\\) to stała - traktuj je jak jeden wyraz przy wyznaczaniu \\(x_0\\). Nie rozbijaj na \\(3 \\cdot m\\) osobno.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nRównianie: \\(x^2(x+1) = x^2 - 8\\)\n\nPrzenosimy na jedną stronę:\n\\[x^2(x+1) - x^2 + 8 = 0\\]\n\\[x^3 + x^2 - x^2 + 8 = 0\\]\n\\[x^3 + 8 = 0\\]\n\\[x^3 = -8\\]\n\\[x = \\sqrt[3]{-8} = -2\\]\n\nSprawdzenie: \\((-2)^2(-2+1) = 4 \\cdot (-1) = -4\\) oraz \\((-2)^2 - 8 = 4 - 8 = -4\\). ✓\n\n**Uwaga**: Można też rozłożyć \\(x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0\\). Wyróżnik \\(x^2 - 2x + 4\\): \\(\\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\\), więc jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest \\(x = -2\\).\n\n**Wzory CKE**: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.\nWskaż wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy\nukładu współrzędnych.\nA.\n(\n)\n4\ny\nf x\nB.\n( )\n4\ny\nf x\nC.\n(\n)\n4\ny\nf x\nD.\n( )\n4\ny\nf x","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n**y = f(x + 4)**\n\n## Sposób 1 - Definicja symetrii względem osi Oy\n\n**Kluczowy fakt:** Wykres funkcji symetryczny do wykresu \\(f\\) względem osi \\(Oy\\) to wykres funkcji \\(y = f(-x)\\).\n\nDlaczego? Bo symetria względem \\(Oy\\) oznacza \"odbicie\" każdego punktu \\((x, y)\\) na punkt \\((-x, y)\\). Formalnie: jeśli punkt \\((a, b)\\) leży na wykresie \\(f\\), to punkt \\((-a, b)\\) leży na wykresie odbicia - a warunek \\(b = f(-(-a)) = f(a)\\) jest spełniony.\n\n**Teraz kluczowe pytanie:** Które z odpowiedzi A-D jest równoważne \\(f(-x)\\) dla podanego wykresu?\n\nZ wykresu odczytujemy, że **charakterystyczny punkt** (np. wierzchołek lub punkt wyróżniony) funkcji \\(f\\) leży w \\(x = 2\\).\n\nPo odbiciu względem \\(Oy\\) ten punkt \"przechodzi\" na \\(x = -2\\).\n\n**Zatem szukamy przekształcenia, które przesuwa wykres \\(f\\) z \\(x = 2\\) do \\(x = -2\\):**\n\n\\[2 \\to -2 \\quad \\text{(przesunięcie o 4 w lewo)}\\]\n\nPrzesunięcie wykresu o 4 jednostki **w lewo** to:\n\\[y = f(x + 4)\\]\n\n**Sprawdzenie:** Jeśli wierzchołek \\(f\\) jest w \\(x_0 = 2\\), to \\(f(x+4)\\) ma wierzchołek gdy \\(x + 4 = 2\\), czyli gdy \\(x = -2\\). ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez konkretny punkt\n\nPrzyjmijmy, że z wykresu odczytujemy np. punkt \\((2,\\, 0)\\) na wykresie \\(f\\) (miejsce zerowe lub wierzchołek w \\(x = 2\\)).\n\nPo symetrii względem \\(Oy\\) ten punkt powinien stać się \\((-2,\\, 0)\\) - punkt na nowym wykresie.\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź dla \\(x = -2\\):\n\n| Odpowiedź | Wzór w \\(x = -2\\) | Wynik | Czy daje \\(f(2) = 0\\)? |\n| A: \\(f(x-4)\\) | \\(f(-2-4) = f(-6)\\) | wartość \\(f\\) w \\(-6\\) | ✗ |\n| B: \\(f(x)-4\\) | \\(f(-2) - 4\\) | przesunięcie pionowe | ✗ |\n| **C: \\(f(x+4)\\)** | \\(f(-2+4) = f(2)\\) | **to samo co \\(f(2) = 0\\)** | **✓** |\n| D: \\(f(x)+4\\) | \\(f(-2) + 4\\) | przesunięcie pionowe | ✗ |\n\nTylko \\(y = f(x+4)\\) w punkcie \\(x = -2\\) daje dokładnie \\(f(2)\\) - zgodnie z symetrią. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Korzystamy z **definicji symetrii osiowej** i przekształceń wykresu funkcji - to wiedza z zakresu funkcji (dział 7, s. 7-9 karty dotyczy funkcji kwadratowej, ale reguły przekształceń są ogólne):\n\n> **Przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(a\\) w lewo:** \\(y = f(x + a)\\)\n> **Przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(a\\) w prawo:** \\(y = f(x - a)\\)\n> **Symetria względem \\(Oy\\):** \\(y = f(-x)\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Przekształcenie | Błąd |\n| A | \\(f(x-4)\\) - przesunięcie **w prawo** o 4 | Właśnie odwrotnie niż trzeba - zamiast odbicia, oddala wykres od \\(Oy\\) w złą stronę |\n| B | \\(f(x) - 4\\) - przesunięcie **w dół** o 4 | To przekształcenie pionowe (oś \\(Oy\\) rządzi poziomem, nie pionem) |\n| D | \\(f(x) + 4\\) - przesunięcie **w górę** o 4 | Analogicznie - zmienia wartości funkcji, nie argument |\n\n**Typowy błąd:** mylenie przesunięcia poziomego z pionowym - B i D kuszą, bo \"4\" jest widoczne na wykresie, ale tam chodzi o przesunięcie w poziomie, nie w pionie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem \\(Oy\\) to \\(f(-x)\\), a nie \\(-f(x)\\)! \\(-f(x)\\) to symetria względem osi \\(Ox\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(f(x+4)\\) przesuwa wykres **w lewo** (nie w prawo!). Wiele osób intuicyjnie myśli odwrotnie - \"+4 w argumencie = w prawo\", co jest błędem. Pamiętaj: jeśli \\(x+4=0\\), to \\(x=-4\\), więc punkt zerowy przesuwa się do \\(-4\\), czyli w lewo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj jeden konkretny punkt z wykresu - to najszybszy sposób weryfikacji w zadaniach z wykresem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(2 - 4\\sqrt{2}\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\n\\[f(x) = \\frac{2x - 8}{x}\\]\n\nPodstawiamy \\(x = \\sqrt{2}\\):\n\\[f(\\sqrt{2}) = \\frac{2\\sqrt{2} - 8}{\\sqrt{2}}\\]\n\nDzielimy każdy składnik licznika:\n\\[= \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} - \\frac{8}{\\sqrt{2}} = 2 - \\frac{8}{\\sqrt{2}}\\]\n\nUsuwamy niewymierność z mianownika:\n\\[\\frac{8}{\\sqrt{2}} = \\frac{8\\sqrt{2}}{2} = 4\\sqrt{2}\\]\n\nOstatecznie:\n\\[f(\\sqrt{2}) = 2 - 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Wzory CKE**: Potęgi i pierwiastki (s. 4-5), usuwanie niewymierności.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- B. \\(1 - 2\\sqrt{2}\\) - błąd w dzieleniu przez \\(\\sqrt{2}\\).\n- C. \\(1 + 2\\sqrt{2}\\) - błędny znak.\n- D. \\(2 + 4\\sqrt{2}\\) - błędny znak przy \\(4\\sqrt{2}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nOsią symetrii wykresu funkcji kwadratowej\n6\n8\n2\n)\n(\n2\nx\nx\nx\nf\njest prosta o równaniu\nA.\n2\ny\nB.\n2\ny\nC.\n2\nx\nD.\n2\nx","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli\n\nMamy funkcję \\(f(x) = -2x^2 - 8x + 6\\), czyli:\n\\[a = -2, \\quad b = -8, \\quad c = 6\\]\n\nOś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = p\\), gdzie:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[p = -\\frac{-8}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{-8}{-4} = -\\frac{8}{4} = -2\\]\n\n**Oś symetrii: \\(x = -2\\)**\n\n## Sposób 2 - Dopełnienie do kwadratu (postać kanoniczna)\n\nWyłączamy \\(a = -2\\) przed nawias z pierwszych dwóch składników:\n\\[f(x) = -2(x^2 + 4x) + 6\\]\n\nDopełniamy do kwadratu - szukamy \\((x + \\ldots)^2\\):\n\\[x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[f(x) = -2\\left[(x+2)^2 - 4\\right] + 6 = -2(x+2)^2 + 8 + 6\\]\n\\[f(x) = -2(x+2)^2 + 14\\]\n\nTo jest **postać kanoniczna** \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie \\(p = -2\\), \\(q = 14\\).\n\nWierzchołek paraboli to \\(W = (-2,\\ 14)\\), więc oś symetrii to prosta **\\(x = -2\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na oś symetrii paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\noraz postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n\nUżyliśmy obu tych wzorów - pierwszy w Sposobie 1, drugi w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak minus w mianowniku! Wzór to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), a nie \\(\\frac{b}{2a}\\). Tu \\(b = -8\\), więc \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{(-8)}{2 \\cdot (-2)}\\) - łatwo zgubić jeden z minusów i wyjdzie \\(x = 2\\) zamiast \\(x = -2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(a\\) z \\(c\\)! Do wzoru na oś symetrii wchodzi tylko \\(a\\) i \\(b\\) - wyraz wolny \\(c = 6\\) jest tu zupełnie nieistotny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to **prosta**, nie liczba - poprawny zapis to \\(x = -2\\), nie samo \\(-2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nDla funkcji kwadratowej \\(f(x) = -2x^2 - 8x + 6\\) oś symetrii przechodzi przez wierzchołek paraboli.\n\nWspółczynniki: \\(a = -2\\), \\(b = -8\\), \\(c = 6\\).\n\nWzór na oś symetrii:\n\\[x = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-8}{2 \\cdot (-2)} = \\frac{8}{-4} = -2\\]\n\nOś symetrii: **\\(x = -2\\)**.\n\n**Wzory CKE**: Funkcja kwadratowa (s. 7-9): wierzchołek paraboli \\(p = -\\frac{b}{2a}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nCiąg (\n)\nna\njest określony dla\n1\nn ≥ wzorem:\n2\n1\nna\nn\n-. Suma jedenastu początkowych\nwyrazów tego ciągu jest równa\nA. 101\nB. 121\nC. 99\nD. 81","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 121\n\nCiąg \\(a_n = 2n - 1\\) to ciąg arytmetyczny liczb nieparzystych. Suma jedenastu pierwszych wyrazów wynosi **121**.\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Zauważamy**, że \\(a_n = 2n - 1\\) to ciąg arytmetyczny, bo różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:\n\\[a_{n+1} - a_n = (2(n+1)-1) - (2n-1) = 2\\]\n\nParametry ciągu:\n\\[a_1 = 2 \\cdot 1 - 1 = 1\\]\n\\[a_{11} = 2 \\cdot 11 - 1 = 21\\]\n\\[r = 2, \\quad n = 11\\]\n\nStosujemy wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\\[S_{11} = \\frac{a_1 + a_{11}}{2} \\cdot 11 = \\frac{1 + 21}{2} \\cdot 11 = \\frac{22}{2} \\cdot 11 = 11 \\cdot 11\\]\n\\[\\boxed{S_{11} = 121}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie i sumowanie\n\nWypisujemy 11 wyrazów ciągu (liczby nieparzyste od 1 do 21):\n\\[1, \\ 3, \\ 5, \\ 7, \\ 9, \\ 11, \\ 13, \\ 15, \\ 17, \\ 19, \\ 21\\]\n\nGrupujemy parami (pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim ):\n\\[(1 + 21) + (3 + 19) + (5 + 17) + (7 + 15) + (9 + 13) + 11\\]\n\\[= 22 + 22 + 22 + 22 + 22 + 11 = 5 \\cdot 22 + 11 = 110 + 11 = 121\\]\n\n**Wynik: \\(S_{11} = 121\\)**\n\n> **Ciekawostka:** Suma \\(n\\) pierwszych liczb nieparzystych zawsze wynosi \\(n^2\\). Tu \\(n = 11\\), więc \\(S_{11} = 11^2 = 121\\). Elegancki wynik!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz i sumę ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyliśmy obu wzorów: pierwszego do wyznaczenia \\(a_{11} = 21\\), drugiego do obliczenia sumy \\(S_{11}\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić liczbę wyrazów - pamiętaj, że \"jedenaście początkowych wyrazów\" to wyrazy \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{11}\\), a **nie** \\(a_0, \\ldots, a_{10}\\). Ciąg zaczyna się od \\(n = 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając \\(a_{11}\\), podstaw \\(n = 11\\) do wzoru: \\(a_{11} = 2 \\cdot 11 - 1 = 21\\), nie \\(2 \\cdot 11 = 22\\) (błąd o 1, bo wzór ma \"minus 1\").\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błędne podstawienie \\(n = 10\\) zamiast \\(n = 11\\) do wzoru na sumę da \\(S_{10} = 100\\) - to suma dziesięciu, nie jedenastu wyrazów.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(S_{11} = 121\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nCiąg: \\(a_n = 2n - 1\\), czyli \\(1, 3, 5, 7, \\ldots\\) - ciąg arytmetyczny z \\(a_1 = 1\\) i różnicą \\(r = 2\\).\n\nObliczamy \\(a_{11} = 2 \\cdot 11 - 1 = 21\\).\n\nSuma 11 wyrazów:\n\\[S_{11} = \\frac{a_1 + a_{11}}{2} \\cdot 11 = \\frac{1 + 21}{2} \\cdot 11 = 11 \\cdot 11 = 121\\]\n\n**Wzory CKE**: Ciąg arytmetyczny (s. 9): \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nn\na\ndla\n1\nn ≥, w którym\n10\n11\na\noraz\n100\n111\na\n. Wtedy\nróżnica r tego ciągu jest równa\nA.\n9\n10\nB.\n100\nC. 10\n9\nD. 100\nP(2,1)\ny = f(x)\nx\ny\n-2\n0\n2\n5\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = \\dfrac{10}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań z wzoru ogólnego\n\nZe wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zapisujemy dwa równania dla danych wyrazów:\n\n\\[a_{10} = a_1 + 9r = 11\\]\n\\[a_{100} = a_1 + 99r = 111\\]\n\n**Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego**, żeby wyeliminować \\(a_1\\):\n\n\\[(a_1 + 99r) - (a_1 + 9r) = 111 - 11\\]\n\n\\[90r = 100\\]\n\n\\[r = \\frac{100}{90} = \\frac{10}{9}\\]\n\n**Wynik: \\(r = \\dfrac{10}{9}\\)**\n\n## Sposób 2 - wzór na różnicę z odległości między wyrazami\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między dowolnymi dwoma wyrazami zależy od ich numerów:\n\n\\[a_m - a_n = (m - n) \\cdot r\\]\n\nPodstawiamy bezpośrednio:\n\n\\[a_{100} - a_{10} = (100 - 10) \\cdot r\\]\n\n\\[111 - 11 = 90r\\]\n\n\\[100 = 90r\\]\n\n\\[\\boxed{r = \\frac{10}{9}}\\]\n\nSzybciej i bez układu równań - jeden krok.\n\n**Weryfikacja:** \\(a_1 = 11 - 9 \\cdot \\frac{10}{9} = 11 - 10 = 1\\), następnie \\(a_{100} = 1 + 99 \\cdot \\frac{10}{9} = 1 + 110 = 111\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1, by zapisać dwa równania dla \\(a_{10}\\) i \\(a_{100}\\).\n\nZ tego wzoru wynika też własność użyta w Sposobie 2:\n\\[a_m - a_n = (m-n) \\cdot r\\]\n(wystarczy odjąć wzory ogólne dla \\(a_m\\) i \\(a_n\\))\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) - indeks to \\((n-1)\\), nie \\(n\\)! Częsty błąd to napisanie \\(a_{10} = a_1 + 10r\\) zamiast \\(a_1 + 9r\\). Wtedy wychodzi \\(r = \\frac{100}{90} = \\frac{10}{9}\\) … ale z innymi wartościami pośrednimi - łatwo stracić punkty przy zadaniach otwartych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{100}{90}\\) należy skrócić do \\(\\frac{10}{9}\\). Pozostawienie niezredukowanego ułamka to błąd formalny na egzaminie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że różnica musi być całkowita! Tu \\(r = \\frac{10}{9} \\approx 1{,}11\\) - ciąg arytmetyczny z ułamkową różnicą jest jak najbardziej poprawny.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(r = \\frac{10}{9}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nW ciągu arytmetycznym \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:\n\n\\[a_{100} - a_{10} = [a_1 + 99r] - [a_1 + 9r] = 90r\\]\n\nPodstawiamy wartości:\n\\[111 - 11 = 90r\\]\n\\[100 = 90r\\]\n\\[r = \\frac{100}{90} = \\frac{10}{9}\\]\n\n**Wzory CKE**: Ciąg arytmetyczny (s. 9): \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nW trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych 2 i 5 cosinus większego z kątów\nostrych jest równy\nA. 5\n2\nB.\n2\n5\nC.\n2\n29\nD.\n5\n29","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{29}} = \\dfrac{2\\sqrt{29}}{29}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym\n\n**Wyznaczamy przeciwprostokątną** ze wzoru Pitagorasa.\n\nNiech przyprostokątne to \\(a = 2\\) i \\(b = 5\\), a przeciwprostokątna to \\(c\\).\n\n\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{2^2 + 5^2} = \\sqrt{4 + 25} = \\sqrt{29}\\]\n\n**Który kąt ostry jest większy?**\n\nWiększy kąt ostry leży naprzeciwko dłuższej przyprostokątnej. Skoro \\(5 > 2\\), to kąt \\(\\alpha\\) naprzeciwko przyprostokątnej \\(b = 5\\) jest **większy**.\n\n**Obliczamy cosinus większego kąta.**\n\nCosinus kąta = \\(\\frac{\\text{przyległa przyprostokątna}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\)\n\nPrzyprostokątna **przylegająca** do kąta \\(\\alpha\\) (czyli ta, która nie jest naprzeciwko niego) to \\(a = 2\\).\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{29}} = \\frac{2}{\\sqrt{29}} \\cdot \\frac{\\sqrt{29}}{\\sqrt{29}} = \\boxed{\\frac{2\\sqrt{29}}{29}}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów (weryfikacja)\n\nW trójkącie prostokątnym kąt \\(\\alpha\\) jest zawarty między bokiem \\(c = \\sqrt{29}\\) (przeciwprostokątna) a bokiem \\(a = 2\\). Znamy wszystkie boki, więc możemy sprawdzić wynik twierdzeniem cosinusów:\n\n\\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\\cos\\alpha\\]\n\nPodstawiamy \\(b = 5\\), \\(a = 2\\), \\(c = \\sqrt{29}\\):\n\n\\[25 = 4 + 29 - 2 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{29} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{29}}\\]\n\\[25 = 33 - 4 \\cdot 2\\]\n\\[25 = 33 - 8 = 25 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte do obliczenia długości przeciwprostokątnej \\(c = \\sqrt{29}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nBezpośrednio zastosowane do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{29}}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który kąt jest **większy**. Większy kąt ostry jest **naprzeciwko dłuższego boku** - tu naprzeciwko 5, nie 2. Cosinus tego kąta to \\(\\frac{2}{\\sqrt{29}}\\), nie \\(\\frac{5}{\\sqrt{29}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cosinus większego kąta ostrego jest **mniejszy** - to ma sens! Im większy kąt ostry (bliższy 90°), tym mniejszy cosinus. Sprawdź: \\(\\frac{2}{\\sqrt{29}} < \\frac{5}{\\sqrt{29}}\\) ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{2}{\\sqrt{29}}\\) i \\(\\frac{2\\sqrt{29}}{29}\\) to **ta sama liczba** - obie formy są poprawne, ale na maturze preferuje się postać z wymiernym mianownikiem: \\(\\dfrac{2\\sqrt{29}}{29}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{2\\sqrt{29}}{29}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nTrójkąt prostokątny o przyprostokątnych 2 i 5.\n\nPrzeciwprostokątna: \\(c = \\sqrt{2^2 + 5^2} = \\sqrt{4 + 25} = \\sqrt{29}\\)\n\nWiększy kąt ostry jest naprzeciwko dłuższej przyprostokątnej (5). Oznaczmy go \\(\\beta\\).\n\nCosinus tego kąta (stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej):\n\\[\\cos\\beta = \\frac{2}{\\sqrt{29}} = \\frac{2\\sqrt{29}}{29}\\]\n\n**Wzory CKE**: Trygonometria (s. 11): \\(\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\), tw. Pitagorasa (s. 15).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nKąt α jest ostry oraz\n0\ncos\n3\nsin\n3\nα\nα\n. Wtedy\nA.\n1\ntg\n3\nα =\nB. tg\n3\nα =\nC. tg\n3\nα =\nD.\n3\ntg\n3\nα =","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(3\\sin\\alpha=\\sqrt{3}\\cos\\alpha\\Rightarrow \\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\). Stąd odpowiedź **D**.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\)** (najbardziej prawdopodobna interpretacja)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nNajbardziej prawdopodobna postać równania (z uwagi na jakość OCR) to:\n\\[3\\sin\\alpha - \\sqrt{3}\\cos\\alpha = 0\\]\n\nPrzenosimy:\n\\[3\\sin\\alpha = \\sqrt{3}\\cos\\alpha\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\) (kąt ostry):\n\\[3\\operatorname{tg}\\alpha = \\sqrt{3}\\]\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nCzyli \\(\\alpha = 30°\\), bo \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n\n**Wzory CKE**: Trygonometria (s. 11-12): \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), tablica wartości funkcji trygonometrycznych.\n\n**Uwaga**: W zależności od dokładnej postaci równania odpowiedź może być inna. Przy równaniu \\(\\sqrt{3}\\sin\\alpha - 3\\cos\\alpha = 0\\) otrzymujemy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\sqrt{3}\\), czyli \\(\\alpha = 60°\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nDłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość\n.2\n2\nPole tego sześciokąta jest równe\nA.\n3\n12\nB. 6 3\nC.\n3\n2\nD.\n3\n3","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(3\\sqrt{3}\\)\n\nDłuższa przekątna sześciokąta foremnego = \\(2a\\), więc \\(2a=2\\sqrt{2}\\Rightarrow a=\\sqrt{2}\\). Pole \\(=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}a^{2}=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\cdot 2=3\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(3\\sqrt{3}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nDłuższa przekątna sześciokąta foremnego (przechodząca przez środek) ma długość \\(2a\\), gdzie \\(a\\) to bok sześciokąta.\n\nZ treści: \\(2a = 2\\sqrt{2}\\), więc \\(a = \\sqrt{2}\\).\n\nPole sześciokąta foremnego o boku \\(a\\) to suma pól 6 trójkątów równobocznych:\n\\[P = 6 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = \\sqrt{2}\\):\n\\[P = \\frac{3 \\cdot (\\sqrt{2})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{3 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n**Wzory CKE**: Planimetria - pole trójkąta równobocznego (s. 16): \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nObwody dwóch trójkątów podobnych, których pola pozostają w stosunku\n4\n:\n1\n, mogą być\nrówne\nA. 9 i 36\nB. 18 i 36\nC. 9 i 144\nD. 18 i 144","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (18 i 36)\n\n## Sposób 1 - Wzór na stosunek pól figur podobnych\n\n**Kluczowa zasada:** Jeśli dwie figury są podobne ze współczynnikiem podobieństwa \\(k\\), to:\n- odpowiednie długości (w tym obwody) mają się jak \\(k : 1\\),\n- pola mają się jak \\(k^2 : 1\\).\n\n**Wyznaczamy współczynnik podobieństwa** ze stosunku pól:\n\nPola są w stosunku \\(1 : 4\\), więc:\n\\[k^2 = \\frac{4}{1} = 4 \\implies k = 2\\]\n\n**Wniosek:** Obwody muszą być w stosunku \\(1 : 2\\).\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n| Odpowiedź | Obwody | Stosunek | Czy = \\(1:2\\)? |\n| A | \\(9\\) i \\(36\\) | \\(9:36 = 1:4\\) | ✗ |\n| **B** | \\(18\\) i \\(36\\) | \\(18:36 = 1:2\\) | **✓** |\n| C | \\(9\\) i \\(144\\) | \\(9:144 = 1:16\\) | ✗ |\n| D | \\(18\\) i \\(144\\) | \\(18:144 = 1:8\\) | ✗ |\n\n**Odpowiedź B: obwody 18 i 36 są w stosunku \\(1:2\\)** - jedynym zgodnym z warunkiem zadania.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez przykładowy trójkąt\n\nSkonstruujemy konkretne trójkąty podobne o polach w stosunku \\(1:4\\) i sprawdzimy, jakie dają obwody.\n\nWeźmy **trójkąt prostokątny o bokach \\(3, 4, 5\\)**:\n\\[P_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 3 \\cdot 4 = 6, \\quad L_1 = 3 + 4 + 5 = 12\\]\n\nPowiększamy go \\(k = 2\\)-krotnie → boki \\(6, 8, 10\\):\n\\[P_2 = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24, \\quad L_2 = 6 + 8 + 10 = 24\\]\n\nStosunek pól: \\(\\frac{P_1}{P_2} = \\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\) ✓\n\nStosunek obwodów: \\(\\frac{L_1}{L_2} = \\frac{12}{24} = \\frac{1}{2}\\) ✓\n\nObwody są w stosunku \\(1:2\\). Sprawdzamy odpowiedź B: \\(18\\) i \\(36\\) to \\(18 \\cdot \\frac{3}{2} = 27\\) ale nie muszą to być właśnie te liczby - **warunek to tylko stosunek \\(1:2\\)**. I właśnie \\(\\frac{18}{36} = \\frac{1}{2}\\) ✓.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20)** - pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\ngdzie \\(k\\) to współczynnik podobieństwa (skala liniowa). To stąd wynika, że jeśli pola są w stosunku \\(1:4\\), to \\(k = 2\\) i obwody są w stosunku \\(1:2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Stosunek obwodów | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(9:36 = 1:4\\) | Uczeń bierze stosunek pól (\\(1:4\\)) zamiast pierwiastka z niego - stosuje go bezpośrednio do obwodów |\n| C | \\(9:144 = 1:16\\) | Uczeń podnosi stosunek do kwadratu zamiast brać pierwiastek: \\(k^2 = 4 \\Rightarrow\\) błędnie \\(k = 16\\) |\n| D | \\(18:144 = 1:8\\) | Miesza się stosunek liniowy i powierzchniowy - np. \\(k = 8\\) bez wyraźnego uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pola figur podobnych są proporcjonalne do **kwadratu** współczynnika podobieństwa. Z pola **nie odczytujesz wprost** stosunku obwodów - musisz **wyciągnąć pierwiastek** ze stosunku pól!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o obwody, które **mogą** być równe - nie musi to być jedyna możliwa para liczb. Wystarczy, że stosunek tych obwodów wynosi \\(1:2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek - pola rosną szybciej (kwadratowo) niż długości. Trójkąt 2 razy większy liniowo ma pole **4 razy większe**, nie 2 razy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - 18 i 36\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nDla figur podobnych stosunek pól wynosi \\(k^2\\), a stosunek obwodów wynosi \\(k\\), gdzie \\(k\\) to skala podobieństwa.\n\nPola w stosunku \\(1:4\\), czyli \\(k^2 = \\frac{1}{4}\\), więc \\(k = \\frac{1}{2}\\).\n\nObwody muszą być w stosunku \\(k = \\frac{1}{2}\\), czyli **jeden obwód jest połową drugiego**.\n\nSprawdzamy opcje:\n- A. \\(9\\) i \\(36\\): stosunek \\(\\frac{9}{36} = \\frac{1}{4}\\) ✗\n- **B.** \\(18\\) i \\(36\\): stosunek \\(\\frac{18}{36} = \\frac{1}{2}\\) ✓\n- C. \\(9\\) i \\(144\\): stosunek \\(\\frac{9}{144} = \\frac{1}{16}\\) ✗\n- D. \\(18\\) i \\(144\\): stosunek \\(\\frac{18}{144} = \\frac{1}{8}\\) ✗\n\n**Wzory CKE**: Planimetria (s. 21): \\(\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\), \\(\\frac{Ob_B}{Ob_A} = k\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nPunkty\n(\n)\n3,2\nA =\ni C są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD, a punkt\n(\n)\n6,5\nO =\njest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Współrzędne punktu C są równe\nA. (\n)\n9,8\nB. (\n)\n15,12\nC.\n1\n1\n4\n,3\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nD. (\n)\n3,3","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C = (9, 8)\n\n## Sposób 1 - Środek przekątnej = środek okręgu opisanego\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** W kwadracie środek okręgu opisanego to punkt przecięcia przekątnych, czyli **środek odcinka AC**.\n\nMamy:\n- \\(A = (3, 2)\\), \\(C = (x_C, y_C)\\)\n- Środek \\(O = (6, 5)\\)\n\nZe wzoru na środek odcinka:\n\\[\\frac{x_A + x_C}{2} = x_O \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{3 + x_C}{2} = 6\\]\n\\[3 + x_C = 12 \\quad \\Rightarrow \\quad x_C = 9\\]\n\n\\[\\frac{y_A + y_C}{2} = y_O \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{2 + y_C}{2} = 5\\]\n\\[2 + y_C = 10 \\quad \\Rightarrow \\quad y_C = 8\\]\n\n**Punkt \\(C = (9, 8)\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez odbudowę kwadratu\n\nOdcinek \\(AC\\) ma wektor kierunkowy:\n\\[\\vec{AC} = [9-3,\\ 8-2] = [6, 6]\\]\n\nDługość przekątnej:\n\\[|AC| = \\sqrt{6^2 + 6^2} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\\]\n\nBok kwadratu: \\(a = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 6\\) ✓ (liczba całkowita - dobry znak)\n\nPrzekątna \\(BD\\) jest prostopadła do \\(AC\\), więc ma kierunek \\([1, -1]\\) (obrót o 90°). Wierzchołki:\n\\[B = O + 3\\cdot[1, -1] = (6+3,\\ 5-3) = (9, 2)\\]\n\\[D = O - 3\\cdot[1, -1] = (6-3,\\ 5+3) = (3, 8)\\]\n\nSprawdzenie boku \\(AB\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(9-3)^2 + (2-2)^2} = \\sqrt{36} = 6\\]\n\nSprawdzenie boku \\(BC\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(9-9)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{36} = 6\\]\n\nKąt \\(ABC\\) - wektory \\(\\vec{BA} = [-6, 0]\\) i \\(\\vec{BC} = [0, 6]\\) są prostopadłe ✓\n\n**Kwadrat \\(ABCD\\): \\(A=(3,2)\\), \\(B=(9,2)\\), \\(C=(9,8)\\), \\(D=(3,8)\\)** - pełna weryfikacja przeszła. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyty bezpośrednio w Sposobie 1 - środek \\(O\\) jest środkiem przekątnej \\(AC\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyty w Sposobie 2 do weryfikacji długości boków.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - mylenie środka okręgu opisanego z wierzchołkiem B lub D. Pamiętaj: \\(O\\) leży na **przekątnej AC**, nie na boku kwadratu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ktoś może wziąć \\(O\\) jako punkt symetrii względem jednego boku, a nie środek przekątnej - to błąd. W kwadracie środek okręgu opisanego = środek obu przekątnych jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź kolejność wierzchołków! \\(A\\) i \\(C\\) są **przeciwległe** (tzn. na tej samej przekątnej), a nie sąsiednie - gdyby były sąsiednie, \\(O\\) byłoby środkiem boku, co jest nonsensem dla kwadratu.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(C = (9, 8)\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nKwadrat ABCD z \\(A = (3, 2)\\) i \\(C\\) naprzeciwko. Punkt \\(O = (6, 5)\\) jest środkiem okręgu opisanego na kwadracie.\n\nŚrodek okręgu opisanego na kwadracie jest punktem przecięcia przekątnych, więc \\(O\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\).\n\nZ wzoru na środek odcinka:\n\\[O = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\; \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]\n\nStąd:\n\\[x_C = 2 \\cdot 6 - 3 = 9\\]\n\\[y_C = 2 \\cdot 5 - 2 = 8\\]\n\n\\[C = (9, 8)\\]\n\n**Wzory CKE**: Geometria analityczna (s. 22): środek odcinka \\(x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}\\), \\(y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nOkrąg opisany równaniem (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\nx\ny\nr\njest styczny do osi Oy. Promień r tego\nokręgu jest równy\nA.\n13\nB.\n5\nC. 3\nD. 2","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C. \\(r = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Odległość środka od osi \\(Oy\\)\n\nOkrąg opisany równaniem \\((x-3)^2 + (y+2)^2 = r^2\\) ma środek \\(S = (3, -2)\\) i promień \\(r\\).\n\n**Warunek styczności do osi \\(Oy\\):** okrąg jest styczny do prostej \\(x = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka od tej prostej jest równa promieniowi.\n\nOdległość punktu \\((3, -2)\\) od osi \\(Oy\\) (czyli od prostej \\(x = 0\\)):\n\\[d = |x_S| = |3| = 3\\]\n\n**Z warunku styczności:**\n\\[r = d = 3\\]\n\n## Sposób 2 - Przez układ równań (punkt styczny)\n\nOś \\(Oy\\) ma równanie \\(x = 0\\). Jeśli okrąg jest styczny do osi \\(Oy\\), to istnieje dokładnie jeden punkt wspólny okręgu z prostą \\(x = 0\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 0\\) do równania okręgu:\n\\[(0-3)^2 + (y+2)^2 = r^2\\]\n\\[9 + (y+2)^2 = r^2\\]\n\\[(y+2)^2 = r^2 - 9\\]\n\nAby prosta była **styczna** (a nie sieczna ani rozłączna), układ musi mieć **dokładnie jedno rozwiązanie**. Oznacza to:\n\\[r^2 - 9 = 0 \\implies r^2 = 9 \\implies r = 3\\]\n\n(Przy \\(r^2 - 9 = 0\\) jedynym rozwiązaniem jest \\(y = -2\\), punkt styczny to \\((0, -2)\\).) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) to środek, \\(r\\) to promień.\n\nUżyte do odczytania środka \\((3, -2)\\) wprost z równania.\n\nWzór na odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\n\nOś \\(Oy\\): \\(x = 0\\), czyli \\(1\\cdot x + 0\\cdot y + 0 = 0\\):\n\\[d = \\frac{|1\\cdot 3 + 0 \\cdot(-2) + 0|}{\\sqrt{1^2 + 0^2}} = \\frac{3}{1} = 3\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(13\\) | Policzono \\(r^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\\) - odległość od **początku układu** zamiast od osi \\(Oy\\) |\n| B. \\(5\\) | Wzięto \\(\\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\\) bez sensu geometrycznego, ale błąd wynikający z mieszania wzorów |\n| D. \\(2\\) | Wzięto \\(|y_S| = |-2| = 2\\) - odległość środka od osi \\(Ox\\) zamiast od \\(Oy\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z równania \\((x-3)^2 + (y+2)^2 = r^2\\) środek to \\((3, -2)\\), **nie** \\((-3, 2)\\)! Znak w równaniu jest zawsze **przeciwny** do współrzędnej środka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość od osi \\(Oy\\) to \\(|x_S|\\), a od osi \\(Ox\\) to \\(|y_S|\\). Mylenie tych osi to najczęstszy błąd w tym zadaniu - odpowiedź D \\((r=2)\\) jest właśnie wynikiem tej pomyłki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(13\\) (odpowiedź A) to \\(r^2\\), nie \\(r\\) - uważaj, żeby nie zapomnieć wyciągnąć pierwiastka, gdyby zadanie wymagało rachunku przez odległość od punktu \\((0,0)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(r = 3\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nOkrąg: \\((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2\\) ma środek \\(S = (3, -2)\\) i promień \\(r\\).\n\nOkrąg jest styczny do osi \\(Oy\\), więc odległość środka od osi \\(Oy\\) jest równa promieniowi:\n\\[r = |x_S| = |3| = 3\\]\n\n**Wzory CKE**: Geometria analityczna (s. 24-25): równanie okręgu \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\), odległość punktu od prostej.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. \\(\\sqrt{13}\\) - to odległość środka od początku układu, nie od osi.\n- B. \\(5\\) - brak uzasadnienia geometrycznego.\n- D. \\(2\\) - to wartość bezwzględna współrzędnej \\(y\\) środka, czyli odległość od osi \\(Ox\\), nie \\(Oy\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nKażda krawędź ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 9 (ostrosłup taki jest\nnazywany czworościanem foremnym). Wysokość tego ostrosłupa jest równa\nA. 3 6\nB. 3 3\nC. 2 6\nD. 3 2\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(H = 3\\sqrt{6}\\)\n\n## Sposób 1 - Przez promień okręgu opisanego na podstawie\n\n**Krok 1: Zidentyfikuj figury.**\n\nCzworościan foremny to ostrosłup, którego podstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a = 9\\), a krawędzie boczne (od wierzchołka do każdego wierzchołka podstawy) też mają długość \\(9\\).\n\nWysokość ostrosłupa pada na **środek okręgu opisanego na podstawie** (bo ostrosłup jest prawidłowy - wierzchołek leży pionowo nad środkiem podstawy).\n\n**Krok 2: Oblicz promień okręgu opisanego na podstawie.**\n\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a = 9\\). Wysokość trójkąta równobocznego:\n\\[h_{\\triangle} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nŚrodek okręgu opisanego leży w \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości trójkąta, więc promień opisany:\n\\[R = \\frac{2}{3} \\cdot h_{\\triangle} = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{9\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Zastosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym: wierzchołek - środek podstawy - narożnik podstawy.**\n\nKrawędź boczna \\(= 9\\), jeden ramię to \\(R = 3\\sqrt{3}\\), szukamy wysokości \\(H\\):\n\\[R^2 + H^2 = a^2\\]\n\\[(3\\sqrt{3})^2 + H^2 = 9^2\\]\n\\[27 + H^2 = 81\\]\n\\[H^2 = 54\\]\n\\[\\boxed{H = \\sqrt{54} = 3\\sqrt{6}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzorem bezpośrednim dla czworościanu foremnego\n\nDla czworościanu foremnego (wszystkie krawędzie równe \\(a\\)) można wyprowadzić wzór ogólny.\n\nZ Sposobu 1 wynika, że zawsze:\n\\[H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \\frac{a^2}{3} = a^2 \\cdot \\frac{2}{3}\\]\n\\[H = a\\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{a\\sqrt{6}}{3}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 9\\):\n\\[H = \\frac{9\\sqrt{6}}{3} = 3\\sqrt{6}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\((3\\sqrt{6})^2 + (3\\sqrt{3})^2 = 54 + 27 = 81 = 9^2\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - własności trójkąta równobocznego:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad R = \\frac{2h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wysokość ostrosłupa prawidłowego: wierzchołek rzutuje się na środek podstawy, więc do obliczenia \\(H\\) stosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[H^2 + R^2 = l^2\\]\ngdzie \\(l\\) to krawędź boczna, \\(R\\) to promień okręgu opisanego na podstawie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić promienia okręgu **opisanego** (\\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\)) z promieniem **wpisanego** (\\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\)). Wierzchołek ostrosłupa prawidłowego leży nad środkiem okręgu **opisanego** na podstawie, nie wpisanego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wysokość trójkąta podstawy z wysokością ostrosłupa - to dwie różne wysokości! Wysokość trójkąta \\(\\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\) służy tylko do wyznaczenia \\(R\\), a potem osobno liczymy \\(H\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{54} = \\sqrt{9 \\cdot 6} = 3\\sqrt{6}\\) - zawsze upraszczaj pierwiastek do postaci \\(a\\sqrt{b}\\), gdzie \\(b\\) nie ma czynnika kwadratowego. Odpowiedź \\(\\sqrt{54}\\) jest poprawna, ale nieuproszczona.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(h = 3\\sqrt{6}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nCzworościan foremny (ostrosłup prawidłowy trójkątny) o krawędzi \\(a = 9\\).\n\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku 9. Środek ciężkości podstawy leży w odległości \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości trójkąta od wierzchołka:\n\nWysokość trójkąta: \\(h_{\\triangle} = \\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\)\n\nOdległość od środka ciężkości do wierzchołka: \\(R = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{9\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa (krawędź boczna, promień, wysokość):\n\\[a^2 = R^2 + h^2\\]\n\\[81 = (3\\sqrt{3})^2 + h^2\\]\n\\[81 = 27 + h^2\\]\n\\[h^2 = 54\\]\n\\[h = \\sqrt{54} = 3\\sqrt{6}\\]\n\n**Wzory CKE**: Trójkąt równoboczny (s. 16): \\(R = \\frac{2h}{3}\\), tw. Pitagorasa (s. 15).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nDane są punkty\n(\n)\n2, 3\nA =\noraz\n(\n)\n6,\n3\nB = -\n. Promień okręgu wpisanego w trójkąt\nrównoboczny ABC jest równy\nA. 20 3\n3\nB.\n40 3\n3\nC. 5 3\n3\nD. 10 3\n3","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = \\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny\n\n**Krok 1: Wyznaczamy długość boku trójkąta równobocznego.**\n\nBok trójkąta to odcinek \\(AB\\). Korzystamy ze wzoru na długość odcinka:\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(-6-2)^2 + (-3-3)^2}\\]\n\\[= \\sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\nZatem bok trójkąta równobocznego wynosi \\(a = 10\\).\n\n**Krok 2: Wyznaczamy wysokość trójkąta równobocznego.**\n\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{10\\sqrt{3}}{2} = 5\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy promień okręgu wpisanego.**\n\nDla trójkąta równobocznego środek okręgu wpisanego dzieli wysokość w stosunku \\(1:2\\) od podstawy:\n\n\\[r = \\frac{h}{3} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{r = \\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}}\\)\n\n## Sposób 2 - Wzór \\(P = p \\cdot r\\) (pole przez półobwód)\n\n**Krok 1: Bok trójkąta** (tak samo jak wyżej) - \\(a = 10\\).\n\n**Krok 2: Pole trójkąta równobocznego.**\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{100\\sqrt{3}}{4} = 25\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Półobwód trójkąta.**\n\n\\[p = \\frac{3a}{2} = \\frac{3 \\cdot 10}{2} = 15\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy \\(r\\) ze wzoru \\(P = p \\cdot r\\).**\n\n\\[r = \\frac{P}{p} = \\frac{25\\sqrt{3}}{15} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy w obu metodach do wyznaczenia \\(a = 10\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 15-16)**:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}, \\qquad R = \\frac{2h}{3}\\]\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nWzór na \\(r = h/3\\) użyty wprost w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria - okrąg wpisany, s. 15)**:\n\\[P = p \\cdot r\\]\ngdzie \\(p\\) to półobwód. Użyliśmy w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To zadanie NIE wymaga wyznaczenia punktu \\(C\\)! Wystarczy znać bok trójkąta - a bok jest dany wprost jako \\(|AB|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(r = \\frac{h}{3}\\) z \\(R = \\frac{2h}{3}\\) - promień okręgu **wpisanego** to \\(\\frac{1}{3}\\) wysokości, a **opisanego** to \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \\(|AB|\\) pamiętaj o znakach: \\((-6-2)^2 = (-8)^2 = 64\\), nie \\(4^2\\)! Upewnij się, że odejmujesz współrzędne w odpowiedniej kolejności (i tak wyjdzie to samo, bo kwadrat niweluje znak).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(\\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nObliczamy długość boku \\(AB\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(2-(-6))^2 + (3-(-3))^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\nTrójkąt równoboczny \\(ABC\\) ma bok \\(a = 10\\).\n\nPromień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:\n\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{10\\sqrt{3}}{6} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nAlternatywnie: \\(r = \\frac{h}{3} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{10\\sqrt{3}}{2} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\)\n\n**Wzory CKE**: Trójkąt równoboczny (s. 16): \\(r = \\frac{h}{3}\\), \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\); odległość między punktami (s. 22).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. \\(\\frac{20\\sqrt{3}}{3}\\) - to 4-krotność prawidłowej wartości.\n- B. \\(\\frac{40\\sqrt{3}}{3}\\) - za duża wartość.\n- D. \\(\\frac{10\\sqrt{3}}{3}\\) - to promień okręgu opisanego \\(R = \\frac{2h}{3}\\), nie wpisanego.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 36, a miara kąta\nnachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równa 30°.\nWysokość tego graniastosłupa jest równa\nA. 3 2\nB. 6 2\nC. 2 6\nD. 3 6","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(2\\sqrt{6}\\)\n\nBok podstawy \\(a=\\sqrt{36}=6\\), przekątna podstawy \\(=a\\sqrt{2}=6\\sqrt{2}\\). Wysokość \\(h=6\\sqrt{2}\\cdot\\mathrm{tg}\\,30^\\circ=6\\sqrt{2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}=2\\sqrt{6}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(h = 2\\sqrt{6}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nGraniastosłup prawidłowy czworokątny (podstawa - kwadrat).\n\nPole podstawy: \\(P_p = 36\\), więc bok \\(a = 6\\).\n\nPrzekątna podstawy: \\(d = a\\sqrt{2} = 6\\sqrt{2}\\)\n\nPrzekątna graniastosłupa łączy przeciwległe wierzchołki. Jej rzut na podstawę to przekątna podstawy \\(d = 6\\sqrt{2}\\).\n\nKąt nachylenia przekątnej do podstawy wynosi \\(30°\\):\n\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{h}{d} = \\frac{h}{6\\sqrt{2}}\\]\n\\[\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{h}{6\\sqrt{2}}\\]\n\\[h = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = 6\\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{6\\sqrt{6}}{3} = 2\\sqrt{6}\\]\n\n**Wzory CKE**: Stereometria - graniastosłup (s. 26), trygonometria (s. 11).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nZe zbioru {\n}\n0, 1, 2, , 15 losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby\npierwszej jest równe\nA.\n7\n16\nB.\n3\n8\nC.\n6\n15\nD.\n7\n15","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{6}{16} = \\frac{3}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - Wypisanie liczb pierwszych i rachunek bezpośredni\n\n**Krok 1: Policz wszystkie możliwe wyniki.**\n\nZbiór \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 15\\}\\) zawiera **16 elementów** (uwaga: liczymy od 0, nie od 1!).\n\n\\[|\\Omega| = 16\\]\n\n**Krok 2: Przypomnij definicję liczby pierwszej.**\n\nLiczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie.\n\n**Krok 3: Wypisz liczby pierwsze ze zbioru.**\n\nSprawdzamy po kolei każdą liczbę:\n\n| Liczba | Pierwsza? | Uzasadnienie |\n| 0 | NIE | \\(0\\) nie jest liczbą pierwszą (ma nieskończenie wiele dzielników) |\n| 1 | NIE | \\(1\\) ma tylko jeden dzielnik - siebie |\n| 2 | **TAK** | dzielniki: 1, 2 |\n| 3 | **TAK** | dzielniki: 1, 3 |\n| 4 | NIE | \\(4 = 2 \\cdot 2\\) |\n| 5 | **TAK** | dzielniki: 1, 5 |\n| 6 | NIE | \\(6 = 2 \\cdot 3\\) |\n| 7 | **TAK** | dzielniki: 1, 7 |\n| 8 | NIE | \\(8 = 2^3\\) |\n| 9 | NIE | \\(9 = 3^2\\) |\n| 10 | NIE | \\(10 = 2 \\cdot 5\\) |\n| 11 | **TAK** | dzielniki: 1, 11 |\n| 12 | NIE | \\(12 = 2^2 \\cdot 3\\) |\n| 13 | **TAK** | dzielniki: 1, 13 |\n| 14 | NIE | \\(14 = 2 \\cdot 7\\) |\n| 15 | NIE | \\(15 = 3 \\cdot 5\\) |\n\nLiczby pierwsze: \\(\\{2, 3, 5, 7, 11, 13\\}\\) - jest ich **6**.\n\n\\[|A| = 6\\]\n\n**Krok 4: Oblicz prawdopodobieństwo.**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{16} = \\boxed{\\frac{3}{8}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez dopełnienie\n\nPoliczmy liczby **niepierwsze** ze zbioru i sprawdzamy, czy suma się zgadza.\n\nLiczby niepierwsze w \\(\\{0, 1, \\ldots, 15\\}\\):\n\\[\\{0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15\\} \\longrightarrow \\text{10 liczb}\\]\n\nSprawdzenie:\n\\[|\\Omega| = |A| + |A'| = 6 + 10 = 16 \\checkmark\\]\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania liczby **niepierwszej**:\n\\[P(A') = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8}\\]\n\nStąd:\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{5}{8} = \\frac{3}{8} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń sprzyjających, a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników.\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.\n\nDodatkowo w Sposobie 2 skorzystaliśmy z własności:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\n(prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego), też z działu 14, s. 29.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nZadanie ma charakter otwarty (brak podanych opcji), ale typowe błędy uczniów to:\n\n| Błędny wynik | Błąd |\n| \\(\\frac{6}{15}\\) | Policzono \\(\\|\\Omega\\| = 15\\) - zapomniano o liczbie 0 (zbiór ma 16 elementów, bo liczymy od 0!) |\n| \\(\\frac{5}{16}\\) | Policzono tylko 5 liczb pierwszych - pominięto liczbę 2 albo 13 |\n| \\(\\frac{7}{16}\\) | Policzono 1 jako liczbę pierwszą (klasyczny błąd!) |\n| \\(\\frac{6}{15}\\) lub \\(\\frac{2}{5}\\) | Zaczęto zliczanie od 1, traktując \\(\\|\\Omega\\| = 15\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba **1 NIE jest liczbą pierwszą** - to jeden z najczęstszych błędów na maturze. Definicja wymaga dokładnie dwóch dzielników, a 1 ma tylko jeden.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 15\\}\\) zawiera **16 elementów**, nie 15 - zero jest pełnoprawnym elementem zbioru i wchodzi do mianownika!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba **2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą** - nie pomijaj jej podczas sprawdzania!\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(\\frac{3}{8}\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nZbiór: \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 15\\}\\) - łącznie 16 elementów.\n\nLiczby pierwsze w tym zbiorze: \\(2, 3, 5, 7, 11, 13\\) - łącznie **6** liczb.\n\n(Uwaga: 0 i 1 nie są liczbami pierwszymi!)\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[P = \\frac{6}{16} = \\frac{3}{8}\\]\n\n**Wzory CKE**: Rachunek prawdopodobieństwa (s. 29): \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. \\(\\frac{7}{16}\\) - prawdopodobnie policzono 1 jako pierwszą.\n- C. \\(\\frac{6}{15}\\) - błędna liczba elementów w zbiorze (pominięto 0).\n- D. \\(\\frac{7}{15}\\) - oba błędy naraz.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nMedianą zestawu danych 9,1, 4, , 7, 9\nx\njest liczba 8. Wtedy x może być równe\nA. 8\nB. 4\nC. 7\nD. 9","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nZestaw danych: \\(9,\\ 1,\\ 4,\\ x,\\ 7,\\ 9\\) - **6 liczb**. Mediana zbioru parzystej liczby danych to **średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości** po posortowaniu.\n\n## Sposób 1 - analiza przypadków według położenia \\(x\\)\n\nStałe liczby zestawu (bez \\(x\\)) po posortowaniu: \\(1,\\ 4,\\ 7,\\ 9,\\ 9\\).\n\nDla 6 liczb mediana \\(= \\frac{a_3 + a_4}{2}\\), gdzie \\(a_3, a_4\\) to 3. i 4. wyraz po posortowaniu.\n\nWarunek: \\(\\frac{a_3 + a_4}{2} = 8\\), czyli \\(a_3 + a_4 = 16\\).\n\nSprawdzamy, gdzie \"wpada\" \\(x\\) w posortowanym ciągu:\n\n| Przedział \\(x\\) | Posortowany zestaw | \\(a_3 + a_4\\) | Mediana |\n| \\(x \\leq 4\\) | \\(\\ldots, 1, \\ldots, 4, 7, 9, 9\\) | \\(4 + 7 = 11\\) | \\(5{,}5 \\neq 8\\) |\n| \\(4 < x < 7\\) | \\(1, 4, x, 7, 9, 9\\) | \\(x + 7\\) | \\(\\neq 8\\) (bo \\(x < 9\\)) |\n| \\(7 \\leq x < 9\\) | \\(1, 4, 7, x, 9, 9\\) | \\(7 + x = 16 \\Rightarrow x = 9\\) | sprzeczność z \\(x < 9\\) |\n| \\(x \\geq 9\\) | \\(1, 4, 7, 9, 9, x\\) lub \\(1, 4, 7, 9, x, 9\\) | \\(7 + 9 = 16\\) | \\(\\mathbf{= 8 ✓}\\) |\n\n**Wniosek:** Mediana = 8 zachodzi dla każdego \\(x \\geq 9\\). Spośród odpowiedzi tylko \\(x = 9\\) spełnia warunek.\n\n**Odpowiedź: D - \\(x = 9\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(x = 9\\):\n\n\\[\\text{Zestaw: } 9,\\ 1,\\ 4,\\ 9,\\ 7,\\ 9\\]\n\nSortujemy rosnąco:\n\n\\[1,\\ 4,\\ 7,\\ \\mathbf{9},\\ 9,\\ 9\\]\n\nMediana \\(= \\frac{7 + 9}{2} = \\frac{16}{2} = \\mathbf{8}\\ ✓\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nDla parzystej liczby danych \\(n\\) mediana to:\n\\[\\text{Me} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\\]\n\ngdzie \\(a_k\\) to \\(k\\)-ty wyraz posortowanego zestawu. Tu \\(n = 6\\), więc mediana \\(= \\frac{a_3 + a_4}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość \\(x\\) | Posortowany zestaw | Mediana | Błąd |\n| A | \\(8\\) | \\(1, 4, 7, \\mathbf{8}, 9, 9\\) | \\(\\frac{7+8}{2} = 7{,}5\\) | Uczeń \"wstawia\" medianę jako \\(x\\), zapominając o uśrednieniu dwóch środkowych |\n| B | \\(4\\) | \\(1, 4, \\mathbf{4}, 7, 9, 9\\) | \\(\\frac{4+7}{2} = 5{,}5\\) | Brak związku z medianą 8 |\n| C | \\(7\\) | \\(1, 4, \\mathbf{7}, 7, 9, 9\\) | \\(\\frac{7+7}{2} = 7\\) | Uczeń myśli, że środkowa liczba zestawu = mediana bez uśredniania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy **parzystej** liczbie danych mediana to **średnia** dwóch środkowych - nie wystarczy znaleźć jedną środkową liczbę. Tu mamy 6 danych, więc zawsze liczymy \\(\\frac{a_3 + a_4}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o **posortowaniu** zestawu przed wyznaczeniem mediany - kolejność podania danych w zadaniu nie ma znaczenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu \\(x = 9\\) to **minimalna** wartość spełniająca warunek - każde \\(x \\geq 9\\) też działa. Uczeń skuszony odpowiedzią A (\\(x = 8\\)) popełnia błąd, bo intuicyjnie \"wkłada medianę jako \\(x\\)\", nie sprawdzając rachunkiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(x = 9\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nZestaw danych: \\(9, 1, 4, x, 7, 9\\) (6 elementów). Mediana to średnia 3. i 4. elementu po uporządkowaniu.\n\nSprawdzamy \\(x = 9\\):\nPo uporządkowaniu: \\(1, 4, 7, 9, 9, 9\\)\nMediana: \\(\\frac{7 + 9}{2} = 8\\) ✓\n\nSprawdzenie pozostałych opcji:\n- A. \\(x = 8\\): \\(1, 4, 7, 8, 9, 9\\) → mediana \\(= \\frac{7+8}{2} = 7{,}5\\) ✗\n- B. \\(x = 4\\): \\(1, 4, 4, 7, 9, 9\\) → mediana \\(= \\frac{4+7}{2} = 5{,}5\\) ✗\n- C. \\(x = 7\\): \\(1, 4, 7, 7, 9, 9\\) → mediana \\(= \\frac{7+7}{2} = 7\\) ✗\n\n**Wzory CKE**: Parametry danych statystycznych (s. 31): mediana dla parzystej liczby danych.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nIle jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr\n1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być\nwykorzystane?\nA. 3\nB. 27\nC. 9\nD. 6\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B. 27\n\n## Sposób 1 - Analiza pierwszej cyfry + zasada mnożenia\n\nSzukamy liczb czterocyfrowych **większych od 3000**, złożonych wyłącznie z cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\).\n\n**Krok 1: Ustalamy, jaka może być pierwsza cyfra.**\n\nLiczba czterocyfrowa ma postać \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a \\in \\{1, 2, 3\\}\\).\n\n- Jeśli \\(a = 1\\) → liczba jest między \\(1111\\) a \\(1333\\) → **mniejsza od 3000** ✗\n- Jeśli \\(a = 2\\) → liczba jest między \\(2111\\) a \\(2333\\) → **mniejsza od 3000** ✗\n- Jeśli \\(a = 3\\) → liczba jest między \\(3111\\) a \\(3333\\) → **każda jest większa od 3000** ✓\n\n**Zatem jedyną możliwością jest \\(a = 3\\).**\n\n(Nota: liczby zaczynające się od 3 to co najmniej \\(3111 > 3000\\), więc **wszystkie** spełniają warunek. Liczby z \\(\\{1,2,3\\}\\) nie mogą zawierać cyfry 0, więc „dokładnie 3000\" nie istnieje - nie musimy wykluczać niczego.)\n\n**Krok 2: Liczymy pozostałe cyfry.**\n\nPozycje \\(b\\), \\(c\\), \\(d\\) - każda może być dowolną cyfrą z \\(\\{1, 2, 3\\}\\):\n\n\\[\n\\underbrace{1}_{a=3} \\times \\underbrace{3}_{b} \\times \\underbrace{3}_{c} \\times \\underbrace{3}_{d} = 3^3 = \\mathbf{27}\n\\]\n\n**Odpowiedź: 27 liczb.**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie wypisanie (weryfikacja)\n\nLiczby mają postać \\(3bcd\\), gdzie \\(b, c, d \\in \\{1, 2, 3\\}\\).\n\nDla każdego \\(b\\) mamy \\(3 \\times 3 = 9\\) kombinacji \\((c, d)\\):\n\n| \\(b=1\\) | \\(b=2\\) | \\(b=3\\) |\n| 3111, 3112, 3113 | 3211, 3212, 3213 | 3311, 3312, 3313 |\n| 3121, 3122, 3123 | 3221, 3222, 3223 | 3321, 3322, 3323 |\n| 3131, 3132, 3133 | 3231, 3232, 3233 | 3331, 3332, 3333 |\n\nKażda kolumna daje **9 liczb**, trzy kolumny razem: \\(3 \\times 9 = \\mathbf{27}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami:\n\\[n^k\\]\nMamy \\(n = 3\\) cyfry do wyboru i \\(k = 3\\) wolne pozycje (po ustaleniu pierwszej cyfry):\n\\[3^3 = 27\\]\nTo jest właśnie wzór użyty w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (3) | Uczeń bierze pod uwagę tylko liczby \\(3111\\), \\(3222\\), \\(3333\\) - czyli myśli, że wszystkie cyfry muszą być **takie same** |\n| C (9) | Uczeń liczy tylko dwie ostatnie cyfry (\\(3^2 = 9\\)), zapominając o **trzeciej pozycji** - liczy \\(\\overline{3b \\cdot d}\\) zamiast \\(\\overline{3bcd}\\) |\n| D (6) | Uczeń zakłada, że cyfry **nie mogą się powtarzać** i liczy permutacje 3 elementów: \\(3! = 6\\) - wbrew treści zadania |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „większe od 3000\" nie oznacza, że pierwsza cyfra musi być **większa** niż 3 - wystarczy \\(a = 3\\), bo \\(3\\underbrace{bcd}_{\\geq 111} > 3000\\) zawsze (cyfry są z \\(\\{1,2,3\\}\\), więc nie ma \\(3000\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Cyfry mogą się powtarzać\" to słowo-klucz - stosujemy wariacje **z** powtórzeniami (\\(3^3\\)), NIE permutacje (\\(3!\\)). Te dwa wzory dają różne wyniki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Nie wszystkie cyfry muszą być wykorzystane\" - ten fragment tylko potwierdza, że powtórzenia są dozwolone. Nie ogranicza nam zbioru cyfr - dalej korzystamy z \\(\\{1, 2, 3\\}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - 27\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nSzukamy liczb czterocyfrowych większych od 3000, złożonych z cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\) (z powtórzeniami).\n\nAby liczba była większa od 3000, pierwsza cyfra musi być \\(\\geq 3\\). Z dostępnych cyfr jedyną możliwością jest **3**.\n\nPierwsza cyfra: 1 możliwość (cyfra 3)\nDruga cyfra: 3 możliwości (1, 2 lub 3)\nTrzecia cyfra: 3 możliwości\nCzwarta cyfra: 3 możliwości\n\nŁącznie: \\(1 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 = 27\\)\n\n**Wzory CKE**: Kombinatoryka (s. 28): reguła mnożenia, wariacje z powtórzeniami \\(n^k\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. 3 - to liczba takich liczb z jedną cyfrą wolną, np. 3XX z jedną opcją.\n- C. 9 - uwzględnia tylko 2 pozycje do wyboru.\n- D. 6 - np. permutacje 3 elementów, ale tu nie o to chodzi.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n8\n8\n3\n3\n0\nx\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n8\n8\n3\n3\n0\nx\nx\nx\nI sposób rozwiązania (metoda grupowania)\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n)\n(\n)\n2\n8\n1\n3\n1\n0\nx\nx\nx\nlub\n(\n)\n2\n2\n8\n3\n8\n3\n0\nx\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n2\n8\n3\n1\n0\nx\nx\n(\n)(\n)(\n)\n2 2\n3\n2 2\n3\n1\n0\nx\nx\nx\nStąd\n6\n4\nx\nlub\n6\n4\nx\nlub\n1\nx\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: (\n)(\n)\n2\n8\n3\n1\nx\nx\n, przy czym postać ta\nmusi być otrzymana w sposób poprawny, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n6\n4\nx\nlub\n6\n4\nx\nlub\n1\nx\nII sposób rozwiązanie (metoda dzielenia)\nStwierdzamy, że liczba 1\n- jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n8\n8\n3\n3\nx\nx\nx\n-. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n1\nx+ . Otrzymujemy iloraz\n2\n8\n3\nx\n. Zapisujemy równanie w postaci\n(\n)(\n)\n2\n8\n3\n1\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n2 2\n3\n2 2\n3\n1\n0\nx\nx\nx\n, czyli\n6\n4\nx\nlub\n6\n4\nx\nlub\n1\nx\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy podzieli wielomian\n3\n2\n8\n8\n3\n3\nx\nx\nx\n- przez dwumian\n1\nx+ , otrzyma iloraz\n2\n8\n3\nx\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n6\n4\nx\nlub\n6\n4\nx\nlub\n1\nx\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nRównanie ma trzy rozwiązania:\n\\[x = -1, \\quad x = \\frac{\\sqrt{6}}{4}, \\quad x = -\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\n**Zauważamy**, że wielomian można podzielić na dwie pary wyrazów, z których każda ma wspólny czynnik.\n\n\\[8x^3 + 8x^2 - 3x - 3 = 0\\]\n\n**Grupujemy** pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:\n\n\\[(8x^3 + 8x^2) + (-3x - 3) = 0\\]\n\n**Wyciągamy wspólny czynnik** z każdej grupy:\n\n\\[8x^2(x + 1) - 3(x + 1) = 0\\]\n\n**Teraz widzimy wspólny czynnik** \\((x+1)\\) - wyciągamy go:\n\n\\[(x + 1)(8x^2 - 3) = 0\\]\n\n**Iloczyn jest równy zero**, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[8x^2 - 3 = 0\\]\n\\[8x^2 = 3\\]\n\\[x^2 = \\frac{3}{8}\\]\n\\[x = \\pm\\sqrt{\\frac{3}{8}} = \\pm\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{8}} = \\pm\\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}} = \\pm\\frac{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{2}}{2 \\cdot 2} = \\pm\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x = -1, \\quad x = \\frac{\\sqrt{6}}{4}, \\quad x = -\\frac{\\sqrt{6}}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych + dzielenie wielomianów\n\nJeśli wielomian o całkowitych współczynnikach ma pierwiastek wymierny \\(\\frac{p}{q}\\) (w postaci nieskracalnej), to \\(p \\mid (-3)\\) i \\(q \\mid 8\\).\n\n**Kandydaci na pierwiastki wymierne:**\n\\[\\pm 1, \\pm 3, \\pm\\frac{1}{2}, \\pm\\frac{3}{2}, \\pm\\frac{1}{4}, \\pm\\frac{3}{4}, \\pm\\frac{1}{8}, \\pm\\frac{3}{8}\\]\n\n**Sprawdzamy \\(x = -1\\):**\n\\[8(-1)^3 + 8(-1)^2 - 3(-1) - 3 = -8 + 8 + 3 - 3 = 0 \\checkmark\\]\n\nZatem \\((x + 1)\\) jest czynnikiem. Wykonujemy **dzielenie wielomianów** (schematem Hornera):\n\n| | 8 | 8 | -3 | -3 |\n| \\(x = -1\\) | | -8 | 0 | 3 |\n| | **8** | **0** | **-3** | **0** |\n\n\\[8x^3 + 8x^2 - 3x - 3 = (x + 1)(8x^2 - 3)\\]\n\nRozwiązujemy \\(8x^2 - 3 = 0\\):\n\\[x^2 = \\frac{3}{8} \\implies x = \\pm\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]\n\n**Weryfikacja wyników - podstawiamy do oryginału:**\n\nDla \\(x = \\frac{\\sqrt{6}}{4}\\): sprawdzamy \\(8x^2 - 3 = 8 \\cdot \\frac{6}{16} - 3 = 3 - 3 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tego do rozwiązania \\(8x^2 - 3 = 0\\) (tu \\(b = 0\\), \\(\\Delta = 36\\), \\(a = 8\\), \\(c = -3\\)):\n\\[x_{1,2} = \\frac{0 \\pm \\sqrt{36}}{16} = \\pm\\frac{6}{16} = \\pm\\frac{3}{8}\\]\n\nUwaga: wygodniej skrócić \\(x^2 = \\frac{3}{8}\\) bezpośrednio, ale wzór na miejsca zerowe też działa.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - upraszczanie pierwiastka:\n\\[\\sqrt{\\frac{3}{8}} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{8}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]\nUżyliśmy własności \\(\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}} = \\sqrt{\\frac{a}{b}}\\) oraz rozszerzenia przez \\(\\sqrt{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Grupowanie działa tylko wtedy, gdy po wyciągnięciu czynnika z każdej pary pojawia się **ten sam dwumian** - tu \\((x+1)\\). Jeśli grupy dają różne nawiasy, trzeba szukać innego podziału.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{\\frac{3}{8}}\\) łatwo zostawić wynik w postaci \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}}\\) - egzaminator może to uznać, ale **wzorcowa postać to \\(\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\)** (bez pierwiastka w mianowniku).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie sześcienne ma **3 pierwiastki** (licząc z krotnością). Nie zatrzymuj się po znalezieniu jednego - po wyciągnięciu \\((x+1)\\) zostaje jeszcze trójmian kwadratowy do rozwiązania!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 4\\) lub \\(x = \\frac{4}{3}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nRównanie: \\(\\frac{2x-4}{x} = \\frac{x}{2x-4}\\), gdzie \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 2\\).\n\nMnożymy na krzyż:\n\\[(2x-4)^2 = x^2\\]\n\nRozkładamy jako różnicę kwadratów:\n\\[(2x-4)^2 - x^2 = 0\\]\n\\[(2x-4-x)(2x-4+x) = 0\\]\n\\[(x-4)(3x-4) = 0\\]\n\nStąd:\n\\[x = 4 \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{4}{3}\\]\n\nSprawdzenie dziedziny: \\(x = 4 \\neq 0, 2\\) ✓ oraz \\(x = \\frac{4}{3} \\neq 0, 2\\) ✓\n\nSprawdzenie \\(x = 4\\): \\(\\frac{4}{4} = \\frac{4}{4}\\), czyli \\(1 = 1\\) ✓\n\nSprawdzenie \\(x = \\frac{4}{3}\\): \\(\\frac{\\frac{8}{3}-4}{\\frac{4}{3}} = \\frac{-\\frac{4}{3}}{\\frac{4}{3}} = -1\\) oraz \\(\\frac{\\frac{4}{3}}{\\frac{8}{3}-4} = \\frac{\\frac{4}{3}}{-\\frac{4}{3}} = -1\\) ✓\n\n**Wzory CKE**: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n5\n45\n0\nx -\n≤\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n5\n45\n0\nx -\n≤\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania:\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n5\n45\nx\n:\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu lub zaznaczając na wykresie\n1\n3\nx\n,\n2\n3\nx\nlub (\n)(\n)\n5\n3\n3\nx\nx\nalbo\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu a następnie stosujemy wzory na pierwiastki:\n(\n)\n2\n0\n4 5\n45\n30\nΔ =\n-⋅⋅-\n,\n1\n0\n30\n3\n10\nx\n,\n2\n0\n30\n3\n10\nx\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: 3\n3\n-≤\n≤\nx\nlub\n3, 3\nlub\n3, 3\n∈-\nx\n, np. odczytując\ngo ze szkicu wykresu funkcji\n( )\n2\n5\n45\nf x\nx\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. (\n)(\n)\n5\n3\n3\nx\nx\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n3\nx\n,\n2\n3\nx\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n( )\n2\n5\n45\nf x\nx\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nalbo\n• realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rachunkowy przy\nobliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do\npopełnionego błędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: 3\n3\n-≤\n≤\nx\nlub\n3, 3\nlub\n3, 3\n∈-\nx\nalbo\n• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci: 3\n3\n-≤\n≤\nx\n-3\n3\nx\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n4\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu\n1\n3\nx\n,\n2\n3\nx\ni zapisze, np.\n3,\n3\n∈-\nx\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n3,\n3\n∈\nx\n, to przyznajemy 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3, 3 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie i wzór na miejsca zerowe\n\n**Krok 1: Uprość nierówność - podziel obie strony przez 5**\n\n\\[5x^2 - 45 \\leq 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x^2 - 9 \\leq 0\\]\n\nDzielimy przez \\(5 > 0\\), więc znak nierówności się **nie zmienia**.\n\n**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu \\(f(x) = x^2 - 9\\)**\n\n\\[x^2 - 9 = 0 \\implies x^2 = 9 \\implies x = -3 \\quad \\text{lub} \\quad x = 3\\]\n\n**Krok 3: Odczytaj znak paraboli**\n\nParabola \\(f(x) = x^2 - 9\\) ma ramiona skierowane **w górę** (współczynnik \\(a = 1 > 0\\)).\n\nZatem parabola jest **pod osią \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)) **między** miejscami zerowymi.\n\n**Krok 4: Wniosek**\n\n\\[x^2 - 9 \\leq 0 \\quad \\Leftrightarrow \\quad x \\in \\langle -3, 3 \\rangle\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów\n\n**Krok 1: Rozłóż lewą stronę na czynniki**\n\n\\[5x^2 - 45 = 5(x^2 - 9) = 5(x-3)(x+3)\\]\n\nUżyliśmy wzoru: \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\), gdzie \\(a = x\\), \\(b = 3\\).\n\n**Krok 2: Przepisz nierówność**\n\n\\[5(x-3)(x+3) \\leq 0\\]\n\nPonieważ \\(5 > 0\\), dzielimy przez \\(5\\):\n\n\\[(x-3)(x+3) \\leq 0\\]\n\n**Krok 3: Analiza znaku iloczynu**\n\nIloczyn dwóch czynników jest \\(\\leq 0\\), gdy czynniki mają **przeciwne znaki** (lub jeden z nich równa się zero):\n\n| Przedział | \\((x+3)\\) | \\((x-3)\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = -3\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |\n| \\(-3 < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -3, 3 \\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x = \\pm 3\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do faktoryzacji \\(x^2 - 9\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dzielisz nierówność przez liczbę **ujemną**, musisz **odwrócić znak** nierówności. Tu dzieliliśmy przez \\(5 > 0\\) - znak pozostaje ten sam. Gdybyś miał \\(-5x^2 + 45 \\leq 0\\), dzielenie przez \\(-5\\) odwróciłoby nierówność!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola z ramionami **w górę** (\\(a > 0\\)) jest ujemna **między** pierwiastkami, a dodatnia **na zewnątrz**. Łatwo to odwrócić - narysuj szkic paraboli, jeśli nie jesteś pewien.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(-3\\) i \\(3\\) należą do rozwiązania, bo nierówność jest **niestroga** (\\(\\leq 0\\)). Pamiętaj o nawiasach **kwadratowych** \\(\\langle -3, 3 \\rangle\\), nie okrągłych!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P = \\frac{1}{8}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nPudełko I: kule 1-6 (cyfra dziesiątek). Pudełko II: kule 1-8 (cyfra jedności).\n\nLiczba wszystkich możliwych wyników: \\(|\\Omega| = 6 \\cdot 8 = 48\\)\n\nLiczba dwucyfrowa ma postać \\(\\overline{ab}\\), gdzie \\(a \\in \\{1, ,6\\}\\), \\(b \\in \\{1, ,8\\}\\).\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez 11: \\(11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99\\).\n\nMożliwe do uzyskania (\\(a \\leq 6\\), \\(b \\leq 8\\)):\n- \\(11\\): \\(a=1, b=1\\) ✓\n- \\(22\\): \\(a=2, b=2\\) ✓\n- \\(33\\): \\(a=3, b=3\\) ✓\n- \\(44\\): \\(a=4, b=4\\) ✓\n- \\(55\\): \\(a=5, b=5\\) ✓\n- \\(66\\): \\(a=6, b=6\\) ✓\n- \\(77\\): \\(a=7\\) - niemożliwe (\\(a \\leq 6\\)) ✗\n- \\(88, 99\\): niemożliwe ✗\n\nZdarzeń sprzyjających: \\(|A| = 6\\)\n\n\\[P = \\frac{6}{48} = \\frac{1}{8}\\]\n\n**Wzory CKE**: Rachunek prawdopodobieństwa (s. 29): \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\), reguła mnożenia.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nZe\nzbioru\nliczb\nnaturalnych\ndwucyfrowych\nlosowo\nwybieramy\njedną\nliczbę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę\npodzielną przez 9 lub podzielną przez 12.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nZe\nzbioru\nliczb\nnaturalnych\ndwucyfrowych\nlosowo\nwybieramy\njedną\nliczbę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną\nprzez 9 lub podzielną przez 12.\nRozwiązanie\nZbiór zdarzeń elementarnych Ω zawiera 90 liczb naturalnych dwucyfrowych. Jest to model\nklasyczny. Wśród tych liczb jest osiem liczb podzielnych przez 9, ale nie przez 12, sześć liczb\npodzielnych przez 12, ale nie przez 9, oraz dwie liczby podzielne zarówno przez 9 jak\ni przez 12. Zatem\n8\n6\n2\n16\nA\n. Stąd\n( )\n16\n8\n90\n45\nP A\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poda\n• liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n90\nΩ =\nalbo\n• liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A:\n16\nA\nalbo\n• wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A :\n12, 18, 24, 27, 36, 45, 48, 54, 60, 63, 72, 81, 84, 90, 96, 99\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że\n( )\n16\n90\nP A\nUwagi\n1. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większa od 1, to zdający otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poda jedynie ( )\n16\n90\nP A\n, to otrzymuje 1 punkt.\n-3\n3\nx\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n5","solution":"## Odpowiedź: \\(P(A)=\\dfrac{8}{45}\\)\n\nLiczb dwucyfrowych jest \\(90\\) (od \\(10\\) do \\(99\\)). Podzielnych przez \\(9\\): \\(10\\) (od \\(18\\) do \\(99\\)). Podzielnych przez \\(12\\): \\(8\\) (od \\(12\\) do \\(96\\)). Podzielnych przez \\(36\\) (przez \\(9\\) i \\(12\\)): \\(2\\) (\\(36,72\\)). Z zasady włączeń-wyłączeń: \\(10+8-2=16\\). \\(P(A)=\\dfrac{16}{90}=\\dfrac{8}{45}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(x \\in [2, 3]\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nNierówność: \\(20x \\geq 4x^2 + 24\\)\n\nPrzenosimy na jedną stronę:\n\\[4x^2 - 20x + 24 \\leq 0\\]\n\nDzielimy przez 4:\n\\[x^2 - 5x + 6 \\leq 0\\]\n\nRozkładamy trójmian:\n\\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\\]\n\nNierówność \\((x-2)(x-3) \\leq 0\\) jest spełniona, gdy \\(x\\) leży **między pierwiastkami**:\n\\[2 \\leq x \\leq 3\\]\n\nOdpowiedź: \\(x \\in [2, 3]\\).\n\n**Wzory CKE**: Funkcja kwadratowa (s. 7-9): miejsca zerowe, postać iloczynowa, nierówności kwadratowe.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i spełnia równość\n1\n7\ntg\ntg\n2\nα\nα\n. Oblicz wartość wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i spełnia równość\n1\n7\ntg\ntg\n2\nα\nα\n. Oblicz wartość wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\nI sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia.\nKorzystając z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym, lewą stronę równości\n1\n7\ntg\ntg\n2\nα\nα\nmożemy zapisać, a następnie przekształcić następująco:\n2\n2\n2\n1\na\na\nb\na\nb\nc\na\nb\nb\na\nab\nab\nb\nZ drugiej strony zauważmy, że szukane wyrażenie sin\ncos\nα\nα\n⋅\njest równe\n2\na b\nab\nc c\nc\n⋅\nPonieważ\n2\n7\n2\nc\nab =\n, więc\n2\n2\n7\nab\nc =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wykorzysta definicje lub własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym,\ndoprowadzi wyrażenie\n1\ntg\ntg\nα\nα\ndo postaci\n2c\nab i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\njest równa 2\n7 .\nII sposób rozwiązania\nPonieważ\n2\n2\n1\nsin\ncos\nsin\ncos\n1\ntg\ntg\ncos\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\n⋅\n⋅\n, więc z równości\n1\n7\nsin\ncos\n2\nα\nα =\n⋅\nwynika, że szukany iloczyn sin\ncos\nα\nα\n⋅\nprzyjmuje wartość 2\n7 .\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze\n2\n2\n1\nsin\ncos\ntg\ntg\nsin\ncos\nα\nα\nα\nα\nα\nα\n⋅\nalbo\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\n1\nsin\ncos\n1\nsin\ncos\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\n⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\na\nb\nc\nα\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n6\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\nrówna się 2\n7 .\nIII sposób rozwiązania\nPonieważ α jest kątem ostrym, więc tg\n0\nα >\ni równość\n1\n7\ntg\ntg\n2\nα\nα\nmożemy zapisać\nw postaci\n2\n7\ntg\ntg\n1\n0\n2\nα\nα\nRównanie powyższe ma dwa rozwiązania:\n7\n33\ntg\n4\nα\n,\n7\n33\ntg\n4\nα\nGdy\n7\n33\ntg\n4\nα\n, to\n4\ncos\n98 14 33\nα =\ni\n7\n33\nsin\n14\nα\n. Wtedy\n(\n)\n(\n)\n16 7\n33\n7\n33\n4\n7\n33\n16\n4\n2\nsin\ncos\n14\n14\n14\n7\n98 14 33\n14 14 7\n33\n98 14 33\nα\nα\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nGdy zaś\n7\n33\ntg\n4\nα\n, to\n4\ncos\n98 14 33\nα =\ni\n7\n33\nsin\n14\nα\n. Wtedy\n(\n)\n(\n)\n16 7\n33\n7\n33\n4\n7\n33\n16\n4\n2\nsin\ncos\n14\n14\n14\n7\n98 14 33\n14 14 7\n33\n98 14 33\nα\nα\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że równanie\n2\n7\ntg\ntg\n1\n0\n2\nα\nα\nma dwa rozwiązania:\n7\n33\ntg\n4\nα\n,\n7\n33\ntg\n4\nα\n, a ponadto w jednym przypadku obliczy wartość cosα i sinα i na tym\nzakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\nrówna się 2\n7 .\nUwaga\nJeżeli zdający obliczy jedną z wartości tgα , np.:\n7\n33\ntg\n4\nα\n, poda jej wartość\nprzybliżoną 0,3139, odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta\n17\nα ≈\n° oraz przybliżone\nwartości sin\n0,2924\nα ≈\n, cos\n0,9563\nα ≈\ni na tej podstawie obliczy przybliżoną wartość\nwyrażenia sin\ncos\n0,2924 0,9563\n0,2762\nα\nα\n⋅\n≈\n⋅\n≈\n, to otrzymuje 1 punkt.\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n7","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\dfrac{2}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana tangensa na sinus i cosinus\n\n**Punkt wyjścia:** Zamieniamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) na \\(\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), aby połączyć szukaną wartość z danym wyrażeniem.\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha + \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha\\):\n\n\\[\\frac{\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]\n\nKluczowy moment - w liczniku mamy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\n\\[\\frac{1}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]\n\nOdwracamy obie strony:\n\n\\[\\boxed{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wyznaczenie \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) z równania kwadratowego\n\nNiech \\(t = \\operatorname{tg}\\alpha\\). Dane równanie to:\n\n\\[t + \\frac{1}{t} = \\frac{7}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(t\\) (skoro \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(t > 0\\)):\n\n\\[t^2 + 1 = \\frac{7t}{2}\\]\n\n\\[2t^2 - 7t + 2 = 0\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta = 49 - 16 = 33\\), więc:\n\\[t = \\frac{7 \\pm \\sqrt{33}}{4}\\]\n\nObie wartości są dodatnie (co zgodne z kątem ostrym). Teraz korzystamy ze wzoru:\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{\\operatorname{tg}\\alpha}{1 + \\operatorname{tg}^2\\alpha} = \\frac{t}{1 + t^2}\\]\n\nZ równania \\(2t^2 - 7t + 2 = 0\\) wyznaczamy \\(t^2 = \\frac{7t - 2}{2}\\), więc:\n\n\\[1 + t^2 = 1 + \\frac{7t-2}{2} = \\frac{7t}{2}\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{t}{\\dfrac{7t}{2}} = \\frac{2}{7}\\]\n\n**Wynik ten sam dla obu wartości \\(t\\)** - eleganckie potwierdzenie!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do uproszczenia licznika ułamka - to serce całego rozwiązania.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta przy zamianie wyrażenia z \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) na sinus i cosinus.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na pierwiastki (w Sposobie 2):\n\\[t_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj wyznaczyć dokładnych wartości \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) osobno - to droga przez mękę. Sztuczka polega na tym, że wyrażenie \\(\\operatorname{tg}\\alpha + \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha}\\) po zamianie na sinus i cosinus daje **dokładnie odwrotność szukanego iloczynu**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów mnoży obie strony przez \\(t\\) i zapomina, że \\(t > 0\\) (kąt ostry) - to trzeba zaznaczyć, by uzasadnić, że oba rozwiązania równania kwadratowego są dopuszczalne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź poprawność wyniku: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\sin 2\\alpha\\), więc \\(\\sin 2\\alpha = \\frac{4}{7} < 1\\) - wartość dozwolona. Gdyby wyszło coś powyżej \\(\\frac{1}{2}\\), byłby błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{7}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nDane: \\(\\operatorname{tg}\\alpha + \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha} = \\frac{7}{2}\\)\n\nPrzepisujemy lewą stronę na sinus i cosinus:\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha}\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[\\frac{1}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]\n\nStąd:\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{7}\\]\n\nSprawdzenie: \\(\\frac{2}{7} \\in (0, \\frac{1}{2}]\\) - poprawne dla kąta ostrego. ✓\n\n**Wzory CKE**: Trygonometria (s. 11-12): \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nUdowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest\nnierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nUdowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n≥\nI sposób rozwiązania\nNierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n≥\nprzekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno\n3\n3\n2\n2\n0\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n,\n(\n) (\n)\n3\n2\n3\n2\n0\nx\nx y\ny\nxy\n≥\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n0\nx\nx\ny\ny\nx\ny\n≥\n,\n(\n)(\n)\n2\n2\n0\nx\ny\nx\ny\n≥\n,\n(\n) (\n)\n2\n0\nx\ny\nx\ny\n≥\n,\nTa nierówność jest prawdziwa, gdyż (\n)\n2\n0\nx\ny\n≥\ndla dowolnych liczb rzeczywistych x i y oraz\n0\nx\ny\n≥\n, gdyż liczby x i y są nieujemne. To kończy dowód.\nII sposób rozwiązania\nNierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n≥\nprzekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno\n3\n3\n2\n2\n0\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n,\n(\n) (\n)\n3\n3\n2\n2\n0\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n,\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n0\nx\ny\nx\nxy\ny\nxy x\ny\n≥\n,\n(\n)(\n)\n2\n2\n0\nx\ny\nx\nxy\ny\nxy\n≥\n,\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n0\nx\ny\nx\nxy\ny\n≥\n,\n(\n)(\n)\n2\n0\nx\ny\nx\ny\n≥\nTa nierówność jest prawdziwa, gdyż (\n)\n2\n0\nx\ny\n≥\ndla dowolnych liczb rzeczywistych x i y oraz\n0\nx\ny\n≥\n, gdyż liczby x i y są nieujemne. To kończy dowód.\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze nierówność w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n0\nx\ny\nx\ny\n≥\nalbo\n• zapisze nierówność w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n2\n0\nx\ny\nx\nxy\ny\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy uzasadni prawdziwość nierówności\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n≥\nUwaga\nJeżeli zdający przejdzie w swoim rozumowaniu z postaci (\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n0\nx\ny\nx\nxy\ny\nxy x\ny\n≥\ndo postaci\n2\n2\n0\n≥\nx\nxy\ny\nxy\nbez zaznaczenia, że skoro x i y są nieujemne, to ich suma też\njest nieujemna, ale dokona dzielenia obu stron nierówności przez\nx\ny i dalej przeprowadzi\npoprawne rozumowanie, to otrzymuje 1 punkt.\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n8","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \\(x, y \\geq 0\\)\n\nZadanie polega na **udowodnieniu** nierówności, czyli pokazaniu, że \\(x^3 + y^3 \\geq x^2y + xy^2\\) zachodzi dla każdych \\(x, y \\geq 0\\).\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do nieujemności wyrażenia\n\n**Idea:** Przenosimy wszystko na jedną stronę i pokazujemy, że różnica jest zawsze \\(\\geq 0\\).\n\n**Krok 1.** Przenosimy prawą stronę na lewą:\n\n\\[x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 \\geq 0\\]\n\n**Krok 2.** Grupujemy wyrazy, żeby wyciągnąć wspólny czynnik:\n\n\\[x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\geq 0\\]\n\n\\[x^2(x - y) - y^2(x - y) \\geq 0\\]\n\n**Krok 3.** Wyciągamy wspólny czynnik \\((x - y)\\):\n\n\\[(x - y)(x^2 - y^2) \\geq 0\\]\n\n**Krok 4.** Rozkładamy \\(x^2 - y^2\\) jako różnicę kwadratów:\n\n\\[(x - y)(x - y)(x + y) \\geq 0\\]\n\n\\[(x - y)^2(x + y) \\geq 0\\]\n\n**Krok 5.** Analizujemy znak:\n\n- \\((x - y)^2 \\geq 0\\) - kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny ✓\n- \\(x + y \\geq 0\\) - bo \\(x \\geq 0\\) i \\(y \\geq 0\\) (założenie zadania) ✓\n\n**Iloczyn dwóch wyrażeń nieujemnych jest nieujemny**, zatem:\n\n\\[(x - y)^2(x + y) \\geq 0\\]\n\nco kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja przez wzór na sumę sześcianów\n\n**Idea:** Wychodzimy od wzoru na \\(x^3 + y^3\\) z karty wzorów i porównujemy z prawą stroną.\n\n**Krok 1.** Przekształcamy prawą stronę - wyciągamy wspólny czynnik \\(xy\\):\n\n\\[x^2y + xy^2 = xy(x + y)\\]\n\n**Krok 2.** Lewą stronę rozkładamy wzorem na sumę sześcianów:\n\n\\[x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\\]\n\n**Krok 3.** Nierówność przyjmuje postać:\n\n\\[(x + y)(x^2 - xy + y^2) \\geq xy(x + y)\\]\n\n**Krok 4.** Rozważamy dwa przypadki:\n\n**Przypadek A:** \\(x + y = 0\\). Ponieważ \\(x, y \\geq 0\\), to \\(x + y = 0 \\iff x = y = 0\\). Wtedy obie strony wynoszą \\(0\\), nierówność zachodzi.\n\n**Przypadek B:** \\(x + y > 0\\). Dzielimy obie strony przez \\(x + y > 0\\) (nierówność nie zmienia kierunku):\n\n\\[x^2 - xy + y^2 \\geq xy\\]\n\n\\[x^2 - 2xy + y^2 \\geq 0\\]\n\n\\[(x - y)^2 \\geq 0\\]\n\nTo zawsze prawda - kwadrat jest nieujemny. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na sumę sześcianów (Sposób 2):\n\\[x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\\]\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów (Sposób 1):\n\\[x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\\]\nUżyta przy rozkładzie \\((x-y)(x^2 - y^2) = (x-y)^2(x+y)\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - kwadrat różnicy (Sposób 2, krok 4):\n\\[(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\\]\nKluczowy wniosek: \\((x-y)^2 \\geq 0\\) dla wszystkich rzeczywistych \\(x, y\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno „podzielić przez \\((x+y)\\)\" bez sprawdzenia, że \\(x+y \\neq 0\\). W zadaniu \\(x, y \\geq 0\\), więc \\(x+y=0\\) tylko gdy \\(x=y=0\\) - ten przypadek trzeba rozpatrzyć osobno (jak w Sposobie 2).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu wyrazów w Sposobie 1 łatwo o błąd znaku. Sprawdź: \\(-x^2y - xy^2 = -y^2(x-y) \\cdot ?\\) - nie, poprawnie: \\(-xy^2 + y^3 = -y^2(x - y)\\). Zawsze weryfikuj grupowanie przez rozwinięcie z powrotem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Założenie \\(x, y \\geq 0\\) jest tu **kluczowe** - jest potrzebne do uzasadnienia, że \\(x + y \\geq 0\\). Bez tego warunku nierówność byłaby fałszywa (np. \\(x = -3, y = 0\\): lewa strona \\(-27\\), prawa strona \\(0\\)).\n\n**Dowód nierówności \\(x^4 + y^4 \\geq x^3y + xy^3\\) dla \\(x, y \\geq 0\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 \\geq 0\\]\n\nGrupujemy:\n\\[x^3(x - y) - y^3(x - y) = (x^3 - y^3)(x - y)\\]\n\nRozkładamy \\(x^3 - y^3\\) ze wzoru skróconego mnożenia:\n\\[x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)\\]\n\nOstatecznie:\n\\[x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 = (x - y)^2(x^2 + xy + y^2)\\]\n\nWystarczy wykazać, że oba czynniki są nieujemne:\n\n1. \\((x - y)^2 \\geq 0\\) - kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny. ✓\n\n2. \\(x^2 + xy + y^2 \\geq 0\\) dla \\(x, y \\geq 0\\) - suma trzech nieujemnych składników (bo \\(x \\geq 0, y \\geq 0\\)). ✓\n\nZatem:\n\\[(x - y)^2(x^2 + xy + y^2) \\geq 0\\]\n\nco oznacza:\n\\[x^4 + y^4 \\geq x^3y + xy^3 \\quad \\text{c.n.d.}\\]\n\nRówność zachodzi, gdy \\(x = y\\) lub \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\).\n\n**Wzory CKE**: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nW prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD.\nWykaż, że pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR oraz PCR.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nB\nA\nC\nD\nP\nR\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nW prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD.\nWykaż, że pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR oraz PCR.\nI sposób rozwiązania\nPrzedłużamy prostą AR oraz bok prostokąta BC. Proste te przecinają się w punkcie M.\nRozpatrujemy trójkąty ADR oraz RCM.\nARD\nCRM\n\n\n(kąty wierzchołkowe), kąty przy wierzchołkach D i C są proste oraz\nDR\nRC\n, stąd na podstawie cechy przystawania trójkątów kbk wnioskujemy, że trójkąt ADR\njest przystający do trójkąta RCM. Z przystawania trójkątów mamy AR\nRM\nPole trójkąta APR jest równe polu trójkąta RPM, ponieważ oba trójkąty mają równe podstawy\n( AR\nRM\n) oraz taką samą wysokość poprowadzoną z wierzchołka P.\nAPR\nRPM\nPCR\nRCM\nP\nP\nP\nP\nΔ\nΔ\nΔ\nΔ\n, a z faktu przystawania trójkątów RCM oraz ADR mamy:\nAPR\nPCR\nADR\nP\nP\nP\nΔ\nΔ\nΔ\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że pole trójkąta APR jest równe polu trójkąta RPM i na tym poprzestanie lub dalej\npopełni błędy\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nB\nA\nC\nD\nP\nR\nB\nA\nC\nD\nP\nR\nM\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n9\nII sposób rozwiązania\nOznaczmy: AD\na\noraz AB\nb\n, stąd\n2\na\nBP\nPC\n,\n2\nb\nCR\nRD\nObliczamy\npola\ntrójkątów\nprostokątnych\nPCR,\nRDA:\n1\n2 2 2\n8\nPCR\nb a\nab\nPΔ\n⋅\n⋅\noraz\n1\n2\n2\n4\nRDA\nb\nab\nP\na\nΔ\n⋅⋅\nzatem\n3\n8\n4\n8\nPCR\nRDA\nab\nab\nab\nP\nP\nΔ\nΔ\nTrójkąt ABP jest prostokątny i jego pole jest równe 1\n2\n2\n4\na\nab\nb⋅\nPole trójkąta APR jest różnicą pola prostokąta ABCD i sumy pól trzech trójkątów prostokątnych\nABP, PCR oraz RDA zatem\n3\n2\n4\n8\n8\nAPR\nab\nab\nab\nP\nab\nΔ\n\n\n⋅\n\n\n\n\nOtrzymaliśmy równość\nAPR\nPCR\nRDA\nP\nP\nP\nΔ\nΔ\nΔ\nIII sposób rozwiązania\nPodzielimy prostokąt ABCD na części, jak na rysunku.\nPole trójkąta APR zapisujemy w następujący sposób:\njest to suma pól trójkątów\n1\n8\nK\nab\n,\n1\n1\n2\n16\nT\nK\nab\noraz pola trójkąta AOR, którego pole jest\nrówne:\n1\n1\n1\n3\n4\n4\n16\n16\nAOR\nP\nab\nT\nab\nab\nab\nZapisujemy sumę:\n1\n1\n3\n3\n8\n16\n16\n8\nAPR\nP\nab\nab\nab\nab\nPole trójkąta ARD jest równe\n1\n2\n4\nK\nab\n. Sumujemy pola trójkąta ARD oraz PCR\ni otrzymujemy:\n1\n1\n3\n4\n8\n8\nARD\nPCR\nP\nP\nab\nab\nab\n, czyli wykazaliśmy, że\nARD\nPCR\nAPR\nP\nP\nP\nUwaga\nZamiast zapisywać pole prostokąta ABCD w zależności od długości boków możemy użyć\ninnego oznaczenia, np. P, wtedy otrzymujemy:\n1\n8\nK\nP\n,\n1\n16\nT\nP\n,\n3\n16\nAOR\nP\nP\ni dalej\nB\nA\nC\nD\nP\nR\na\nb\nB\nA\nC\nD\nP\nR\na\nb\nT\nK\nK\nO\nT\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n10\n1\n1\n3\n3\n8\n16\n16\n8\nAPR\nP\nP\nP\nP\nP\noraz\n1\n1\n3\n4\n8\n8\nARD\nPCR\nP\nP\nP\nP\nP\nSchemat oceniania II i III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że pole trójkąta APR stanowi 3\n8 pola prostokąta ABCD, np. zapisze\n1\n1\n3\n3\n8\n16\n16\n8\nAPR\nP\nab\nab\nab\nab\nlub\n3\n2\n4\n8\n8\nAPR\nab\nab\nab\nP\nab\nΔ\n\n\n⋅\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIV sposób rozwiązania\nPoprowadźmy odcinki PN i RM łączące środki boków prostokąta. Niech S będzie punktem ich\n.przecięcia.\nTrójkąty ADR i RMA są przystające, więc mają równe pola, trójkąty PCR i RSP też są\nprzystające, więc ich pola też są równe, także trójkąty AMO i PSO są przystające, więc ich pola\nteż są równe. Zatem\n(\n)\n(\n)\n(\n)\nADR\nPCR\nAMR\nRSP\nAOR\nAMO\nRSP\nAOR\nPSO\nRSP\nAOR\nPSO\nRSP\nAOR\nOPR\nAPR\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nco należało wykazać.\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy ustali, że trójkąty ADR i RMA są przystające, trójkąty PCR i RSP są przystające oraz\ntrójkąty AMO i PSO są przystające i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":"## Dowód\n\nNiech \\(AB=CD=a\\) oraz \\(BC=AD=b\\). Wtedy \\(P\\) środek \\(BC\\): \\(PC=PB=\\dfrac{b}{2}\\); \\(R\\) środek \\(CD\\): \\(RC=RD=\\dfrac{a}{2}\\).\n\nPola trójkątów prostokątnych: \\(P_{ADR}=\\dfrac12\\cdot AD\\cdot DR=\\dfrac12\\cdot b\\cdot\\dfrac{a}{2}=\\dfrac{ab}{4}\\); \\(P_{PCR}=\\dfrac12\\cdot PC\\cdot CR=\\dfrac12\\cdot\\dfrac{b}{2}\\cdot\\dfrac{a}{2}=\\dfrac{ab}{8}\\); \\(P_{ABP}=\\dfrac12\\cdot AB\\cdot BP=\\dfrac12\\cdot a\\cdot\\dfrac{b}{2}=\\dfrac{ab}{4}\\).\n\nPole prostokąta \\(=ab\\), więc \\(P_{APR}=ab-\\dfrac{ab}{4}-\\dfrac{ab}{8}-\\dfrac{ab}{4}=ab\\left(1-\\dfrac14-\\dfrac18-\\dfrac14\\right)=ab\\cdot\\dfrac{3}{8}=\\dfrac{3ab}{8}\\).\n\nZ drugiej strony \\(P_{ADR}+P_{PCR}=\\dfrac{ab}{4}+\\dfrac{ab}{8}=\\dfrac{3ab}{8}\\). Zatem \\(P_{APR}=P_{ADR}+P_{PCR}\\). \\(\\square\\)\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Dowód, że \\(P_{APR} = P_{ADR} + P_{PCR}\\)**\n\nPrzyjmijmy układ współrzędnych: \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (a, b)\\), \\(D = (0, b)\\).\n\n\\(P\\) - środek boku \\(BC\\): \\(P = (a, \\frac{b}{2})\\)\n\n\\(R\\) - środek boku \\(CD\\): \\(R = (\\frac{a}{2}, b)\\)\n\n**Pole trójkąta APR** (wierzchołki \\(A(0,0)\\), \\(P(a, \\frac{b}{2})\\), \\(R(\\frac{a}{2}, b)\\)):\n\\[P_{APR} = \\frac{1}{2}\\left|x_A(y_P - y_R) + x_P(y_R - y_A) + x_R(y_A - y_P)\\right|\\]\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|0 + a \\cdot b + \\frac{a}{2} \\cdot (-\\frac{b}{2})\\right| = \\frac{1}{2}\\left|ab - \\frac{ab}{4}\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3ab}{4} = \\frac{3ab}{8}\\]\n\n**Pole trójkąta ADR** (wierzchołki \\(A(0,0)\\), \\(D(0,b)\\), \\(R(\\frac{a}{2}, b)\\)):\n\\[P_{ADR} = \\frac{1}{2} \\cdot |AD| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot \\frac{a}{2} = \\frac{ab}{4}\\]\n\n**Pole trójkąta PCR** (wierzchołki \\(P(a, \\frac{b}{2})\\), \\(C(a, b)\\), \\(R(\\frac{a}{2}, b)\\)):\nBoki \\(PC = \\frac{b}{2}\\) i \\(CR = \\frac{a}{2}\\) są kątami prostymi, więc:\n\\[P_{PCR} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{b}{2} \\cdot \\frac{a}{2} = \\frac{ab}{8}\\]\n\n**Sprawdzenie**:\n\\[P_{ADR} + P_{PCR} = \\frac{ab}{4} + \\frac{ab}{8} = \\frac{2ab + ab}{8} = \\frac{3ab}{8} = P_{APR} \\quad \\text{c.n.d.}\\]\n\n**Wzory CKE**: Geometria analityczna (s. 23): pole trójkąta ze współrzędnych.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nn\na\no różnicy\n0\nr ≠\ni pierwszym wyrazie\n1\n2\na =\n. Pierwszy,\ndrugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem\nciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nn\na\no różnicy\n0\nr ≠\ni pierwszym wyrazie\n1\n2\na =\n. Pierwszy, drugi\ni czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\ngeometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.\nI sposób rozwiązania\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n2\n1\n2\na\na\nr\nr\n+ oraz\n4\n1\n3\n2\n3\na\na\nr\nr\n. Ciąg (\n)\n1\n2\n4\n,\n,\na a a\n, czyli (\n)\n2,2\n,2\n3\nr\nr\njest geometryczny, więc\nz własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie\nP\nN\nM\nO\nS\nA\nB\nR\nD\nC\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n11\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\nr\nr\n⋅\n,\n2\n4\n4\n4\n6\nr\nr\nr\n,\n2\n2\n0\nr\nr\n,\n(\n)\n2\n0\nr r -\nStąd\n0\nr =\nlub\n2\nr =\n. Jednak z założenia\n0\nr ≠\n, więc\n2\nr =\n. Ciąg geometryczny ma postać\n(\n)\n(\n)\n2,2\n2,2\n3 2\n2,4,8\n+ ⋅\n. Obliczamy iloraz tego ciągu:\n4\n2\n2\nq =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze wyrazy\n2\na i\n4\na w zależności od r (lub od\n1a i r), np.:\n2\n2\na\nr\n,\n4\n2\n3\na\nr\n(lub\n2\n1\na\na\nr\n,\n4\n1\n3\na\na\nr\n)\nalbo\n• zapisze zależność między wyrazami ciągu geometrycznego, np.:\n2\n1\n4\n2\na a\na\n⋅\n(lub\n2\n2\n4\n2\na\na\n)\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze wyrazy\n2\na i\n4\na w zależności od r (lub od\n1a i r), np.:\n2\n2\na\nr\n,\n4\n2\n3\na\nr\n(lub\n2\n1\na\na\nr\n,\n4\n1\n3\na\na\nr\n) oraz poda zależność między wyrazami ciągu geometrycznego,\nnp.:\n2\n1\n4\n2\na a\na\n⋅\n(lub\n2\n2\n4\n2\na\na\n) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\nr\nr\n⋅\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy iloraz ciągu:\n2\nq\nUwaga\nJeżeli zdający wyznaczy poprawnie\n0\nr =\nlub\n2\nr =\ni nie odrzuci\n0\nr =\ni doprowadzi\nrozwiązanie konsekwentnie do końca, podając dwa ciągi geometryczne i dwie wartości ilorazu,\nto otrzymuje 3 punkty.\nII sposób rozwiązania\nNiech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego (\n)\n1\n2\n4\n,\n,\na a a\n. Zatem\n2\n1\n2\na\na q\nq\ni\n2\n2\n4\n1\n2\na\na q\nq\nLiczby\n1\n2\na =\n,\n2\n2\na\nq\ni\n2\n4\n2\na\nq\nto odpowiednio pierwszy, drugi i czwarty wyraz ciągu\narytmetycznego, więc\n(\n)\n2\n1\n4\n1\n3 a\na\na\na\n,\n(\n)\n2\n3 2\n2\n2\n2\nq\nq\n,\n(\n)\n2\n3\n1\n1\nq\nq\n-,\n(\n)\n(\n)(\n)\n3\n1\n1\n1\nq\nq\nq\nZauważmy, że\n1\nq ≠, bo gdyby\n1\nq = , to ciąg (\n)\nna\nbyłby stały, co jest niemożliwe, bo\n0\nr ≠\nDzieląc obie strony otrzymanego równania przez\n1\nq - mamy\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n12\n3\n1\nq\n+ ,\n2\nq =\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze wyrazy\n2\na i\n4\na w zależności od q (lub od\n1a i q), np.:\n2\n2\na\nq\n,\n2\n4\n2\na\nq\n(lub\n2\n1\na\na q\n,\n2\n4\n1\na\na q\n)\nalbo\n• zapisze zależność między wyrazami ciągu arytmetycznego, np.: (\n)\n2\n1\n4\n1\n3 a\na\na\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze wyrazy\n2\na i\n4\na w zależności od q (lub od\n1a i q), np.:\n2\n2\na\nq\n,\n2\n4\n2\na\nq\n(lub\n2\n1\na\na q\n,\n2\n4\n1\na\na q\n) oraz zapisze zależność między wyrazami ciągu arytmetycznego, np.:\n(\n)\n2\n1\n4\n1\n3 a\na\na\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: (\n)\n2\n3 2\n2\n2\n2\nq\nq\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy iloraz ciągu:\n2\nq","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - iloraz ciągu geometrycznego wynosi \\(q = 2\\)\n\n## Sposób 1 - warunek ciągu geometrycznego (kwadrat środkowego wyrazu)\n\n**Zapisujemy wyrazy ciągu arytmetycznego:**\n\\[a_1 = 2, \\quad a_2 = 2 + r, \\quad a_4 = 2 + 3r\\]\n\nTworzą one (w tej kolejności) ciąg geometryczny, oznaczmy go \\((b_n)\\):\n\\[b_1 = 2, \\quad b_2 = 2 + r, \\quad b_3 = 2 + 3r\\]\n\n**Kluczowy warunek ciągu geometrycznego** - kwadrat wyrazu środkowego = iloczyn sąsiednich:\n\\[b_2^2 = b_1 \\cdot b_3\\]\n\\[(2 + r)^2 = 2 \\cdot (2 + 3r)\\]\n\n**Rozwijamy i upraszczamy:**\n\\[4 + 4r + r^2 = 4 + 6r\\]\n\\[r^2 - 2r = 0\\]\n\\[r(r - 2) = 0\\]\n\nStąd \\(r = 0\\) lub \\(r = 2\\). Ponieważ z założenia \\(r \\neq 0\\), mamy \\(\\mathbf{r = 2}\\).\n\n**Wyrazy ciągu geometrycznego:**\n\\[b_1 = 2, \\quad b_2 = 4, \\quad b_3 = 8\\]\n\n**Iloraz ciągu geometrycznego:**\n\\[\\boxed{q = \\frac{b_2}{b_1} = \\frac{4}{2} = 2}\\]\n\n## Sposób 2 - wyrażenie wprost przez iloraz \\(q\\)\n\nOznaczmy szukany iloraz ciągu geometrycznego jako \\(q\\). Wtedy:\n\\[b_1 = 2, \\quad b_2 = 2q, \\quad b_3 = 2q^2\\]\n\nTe wyrazy to jednocześnie \\(a_1, a_2, a_4\\) ciągu arytmetycznego. Różnica ciągu arytmetycznego jest stała, więc:\n\\[a_2 - a_1 = r \\implies 2q - 2 = r\\]\n\\[a_4 - a_2 = 2r \\implies 2q^2 - 2q = 2r\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(r = 2(q - 1)\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[2q^2 - 2q = 2 \\cdot 2(q-1) = 4(q-1)\\]\n\\[2q^2 - 2q = 4q - 4\\]\n\\[2q^2 - 6q + 4 = 0\\]\n\\[q^2 - 3q + 2 = 0\\]\n\\[(q - 1)(q - 2) = 0\\]\n\nStąd \\(q = 1\\) lub \\(q = 2\\).\n\n- Jeśli \\(q = 1\\), to \\(r = 2(1-1) = 0\\) - **wykluczone**, bo \\(r \\neq 0\\).\n- Jeśli \\(q = 2\\), to \\(r = 2(2-1) = 2\\) - **akceptowalne**.\n\n**\\(q = 2\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: \\(b_2^2 = b_1 \\cdot b_3\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9)** - wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(a_2 = 2 + r\\) i \\(a_4 = 2 + 3r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(r \\neq 0\\) jest kluczowy - bez niego \\(r = 0\\) daje \"ciąg\" stały, który formalnie jest geometryczny z \\(q = 1\\), ale zadanie tego wyklucza. Uczniowie często zapominają sprawdzić ten warunek i podają \\(q = 1\\) jako drugi wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(a_4 = 2 + 3r\\) (nie \\(2 + 4r\\)!). Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) - przy \\(n = 4\\) mamy \\((4-1)r = 3r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 uczeń może zapomnieć sprawdzić, czy oba rozwiązania \\(q = 1\\) i \\(q = 2\\) są dopuszczalne. Zawsze weryfikuj warunki zadania po rozwiązaniu równania!\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(y = -3x + 16\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nWierzchołki: \\(A = (-2, 2)\\), \\(B = (6, -2)\\), \\(C = (10, 6)\\).\n\nSprawdzamy, czy trójkąt jest równoramienmy:\n\\[|AB| = \\sqrt{8^2 + (-4)^2} = \\sqrt{64 + 16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]\n\\[|BC| = \\sqrt{4^2 + 8^2} = \\sqrt{16 + 64} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]\n\\[|AC| = \\sqrt{12^2 + 4^2} = \\sqrt{144 + 16} = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]\n\nPonieważ \\(|AB| = |BC| = 4\\sqrt{5}\\), trójkąt jest **równoramienny** z ramieniem przy wierzchołku \\(B\\).\n\nOś symetrii to **symetralna boku \\(AC\\)** (podstawy trójkąta równoramiennego).\n\nŚrodek \\(AC\\):\n\\[M = \\left(\\frac{-2+10}{2},\\; \\frac{2+6}{2}\\right) = (4, 4)\\]\n\nNachylenie \\(AC\\):\n\\[a_{AC} = \\frac{6-2}{10-(-2)} = \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3}\\]\n\nNachylenie symetralnej (prostopadłej):\n\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -3\\]\n\nRównanie prostej przez \\(M(4,4)\\) o nachyleniu \\(-3\\):\n\\[y - 4 = -3(x - 4)\\]\n\\[y = -3x + 16\\]\n\nSprawdzenie - punkt \\(B = (6, -2)\\) leży na osi: \\(-3(6) + 16 = -2\\) ✓\n\n**Wzory CKE**: Geometria analityczna (s. 22-23): odległość między punktami, proste prostopadłe \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), równanie kierunkowe prostej.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nWyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach\n(\n)\n2, 2\nA = -\n,\n(\n)\n6,\n2\nB =\n,\n(\n)\n10, 6\nC =\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nWyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach\n(\n)\n2, 2\nA = -\n,\n(\n)\n6,\n2\nB =\n,\n(\n)\n10, 6\nC =\nI sposób rozwiązania\nObliczamy długości boków trójkąta ABC:\n4 5\nAB\n,\n4 5\nBC\n,\n4 10\nAC\nZauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym\n4 5\nAB\nBC\n, więc osią symetrii\ntrójkąta ABC jest symetralna odcinka AC. By znaleźć równanie osi symetrii trójkąta\nwyznaczamy współrzędne środka odcinka AC:\n(\n)\n4, 4\nS\nWyznaczamy równanie prostej BS, korzystając ze wzoru na prostą przechodząca przez dwa\npunkty:\n(\n)\n2 4\n6 4\n4\n4\ny\nx\n,\n3\n16\ny\nx\nOdpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać:\n3\n16\ny\nx\nII sposób rozwiązania\nObliczamy długości boków trójkąta ABC:\n4 5\nAB\n,\n4 5\nBC\n,\n4 10\nAC\nZauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym\n4 5\nAB\nBC\n, więc osią symetrii\ntrójkąta ABC jest symetralna odcinka AC.\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n13\nBy znaleźć równanie osi symetrii trójkąta, wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n1\n3\nAC\na\n, a następnie współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do AC:\n1\n3\nAC\na\na = -\nWyznaczamy równanie prostej zawierającej symetralną boku AC i przechodzącej przez\npunkt B:\n(\n)\n2\n3\n6\ny\nx\n,\n3\n16\ny\nx\nOdpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać:\n3\n16\ny\nx\nIII sposób rozwiązania\nObliczamy długości boków trójkąta ABC:\n4 5\nAB\n,\n4 5\nBC\n,\n4 10\nAC\nZauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym\n4 5\nAB\nBC\n, więc osią symetrii\ntrójkąta ABC jest symetralna odcinka AC. Zatem jego osią symetrii jest symetralna boku AC,\nbędąca zbiorem punktów równo oddalonych od obu końców odcinka.\nNiech\n)\n,\n(\ny\nx\nK\nbędzie punktem należącym do symetralnej boku AC. Zatem\nKC\nAK =\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n10\n6\nx\ny\nx\ny\n,\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\n4\n100\n20\n36 12\nx\nx\ny\ny\nx\nx\ny\ny ,\n24\n8\n128\n0\nx\ny\n,\n3\n16\n0\nx\ny\n,\n3\n16\ny\nx\nOdpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać:\n3\n16\ny\nx\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy długości dwóch boków trójkąta ABC:\n4 5\nAB\n,\n4 10\nAC\ni\n4 5\nBC\nalbo\n• obliczy współrzędne środka odcinka AC:\n(\n)\n4, 4\nS\nalbo\n• obliczy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n1\n3\nAC\na\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora AC\nalbo\n• zapisze, że szukaną osią symetrii jest symetralna boku AC\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• obliczy współrzędne środka odcinka AC:\n(\n)\n4, 4\nS\ni współczynnik kierunkowy prostej\nAC:\n1\n3\nAC\na\nalbo\n• uzasadni, że szukaną osią symetrii jest symetralna boku AC\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n14\nUwaga\nPrzyjmujemy, że jako uzasadnienie wystarczy rysunek w układzie współrzędnych.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy współrzędne środka odcinka AC:\n(\n)\n4, 4\nS\noraz współczynnik kierunkowy\nsymetralnej boku AC:\n3\na\nalbo\nobliczy współrzędne środka odcinka AC:\n(\n)\n4, 4\nS\noraz zapisze, że oś symetrii tego\ntrójkąta przechodzi przez punkt B\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora AC oraz zapisze, że oś symetrii tego trójkąta przechodzi\nprzez punkt B i jest prostopadła do wektora AC\nalbo\nzapisze równanie symetralnej boku AC: (\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n10\n6\nx\ny\nx\ny\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy równanie osi symetrii trójkąta ABC:\n3\n16\ny\nx\n(3\n16\n0\nx\ny\n).\nUwaga\nJeżeli zdający nie uzasadni, że osią symetrii trójkąta ABC jest symetralna boku AC (np. nie\nsporządzi rysunku w układzie współrzędnych albo po wyznaczeniu równania symetralnej boku\nAC nie sprawdzi, że punkt B leży na tej symetralnej), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: y = -3x + 16\n\nTrójkąt ma **dokładnie jedną oś symetrii** - jest trójkątem równoramiennym, a oś symetrii to prosta prostopadła do podstawy, przechodząca przez wierzchołek przy ramionach.\n\n## Sposób 1 - Znajdź równoramienny, wyznacz prostą przez wierzchołek i środek podstawy\n\n**Krok 1: Sprawdź długości boków**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(6-(-2))^2 + (-2-2)^2} = \\sqrt{8^2 + (-4)^2} = \\sqrt{64+16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]\n\n\\[|BC| = \\sqrt{(10-6)^2 + (6-(-2))^2} = \\sqrt{4^2 + 8^2} = \\sqrt{16+64} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]\n\n\\[|AC| = \\sqrt{(10-(-2))^2 + (6-2)^2} = \\sqrt{12^2 + 4^2} = \\sqrt{144+16} = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]\n\n**Wniosek:** \\(|AB| = |BC| = 4\\sqrt{5}\\), więc trójkąt jest **równoramienny** z ramionami \\(AB\\) i \\(BC\\) oraz podstawą \\(AC\\). Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek \\(B\\) i środek \\(M\\) odcinka \\(AC\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz środek M odcinka AC**\n\n\\[M = \\left(\\frac{-2+10}{2},\\ \\frac{2+6}{2}\\right) = (4,\\ 4)\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz równanie prostej przez B(6, -2) i M(4, 4)**\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{4-(-2)}{4-6} = \\frac{6}{-2} = -3\\]\n\nRównanie prostej:\n\\[y - (-2) = -3(x - 6)\\]\n\\[y + 2 = -3x + 18\\]\n\\[\\boxed{y = -3x + 16}\\]\n\n## Sposób 2 - Oś symetrii jako symetralną odcinka AC\n\nOś symetrii trójkąta równoramiennego z podstawą \\(AC\\) to **symetralna** odcinka \\(AC\\), czyli zbiór punktów \\((x, y)\\) jednakowo odległych od \\(A\\) i \\(C\\).\n\nWarunek równoodległości:\n\n\\[|PA|^2 = |PC|^2\\]\n\n\\[(x+2)^2 + (y-2)^2 = (x-10)^2 + (y-6)^2\\]\n\nRozwijamy:\n\\[x^2 + 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 20x + 100 + y^2 - 12y + 36\\]\n\nSkracamy \\(x^2\\) i \\(y^2\\):\n\\[4x - 4y + 8 = -20x - 12y + 136\\]\n\n\\[24x + 8y = 128\\]\n\n\\[3x + y = 16\\]\n\n\\[\\boxed{y = -3x + 16}\\]\n\n**Weryfikacja:** Prosta przechodzi przez \\(B(6,-2)\\): \\(3\\cdot6 + (-2) = 18 - 2 = 16\\) ✓ i przez \\(M(4,4)\\): \\(3\\cdot4 + 4 = 16\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyta do obliczenia długości wszystkich trzech boków i wykrycia równoramienności.\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyta do wyznaczenia punktu \\(M\\) - środka podstawy \\(AC\\).\n\nRównanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\), gdzie \\(a = \\operatorname{tg}\\alpha\\)\nUżyte do zapisania równania osi symetrii.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim zaczniesz szukać osi symetrii, SPRAWDŹ czy trójkąt jest równoramienny - ogólny trójkąt scalene nie ma żadnej osi symetrii!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, **który wierzchołek leży na osi**. Oś symetrii przebiega przez wierzchołek należący do **obu ramion** (tu: \\(B\\)), a nie przez wierzchołki podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego pamiętaj o kolejności: \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\), nie odwrotnie - pomylenie mianownika z licznikiem da błędne nachylenie prostej.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(V = \\frac{640\\sqrt{3}}{3}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nPodstawa: prostokąt o bokach w stosunku \\(3:4\\) i polu \\(192\\).\n\nNiech boki to \\(3k\\) i \\(4k\\). Wtedy:\n\\[3k \\cdot 4k = 192 \\implies 12k^2 = 192 \\implies k^2 = 16 \\implies k = 4\\]\n\nBoki: \\(a = 12\\), \\(b = 16\\).\n\nPunkt \\(E\\) - środek prostokąta (przecięcie przekątnych). \\(SE\\) - wysokość ostrosłupa.\n\nDługość połowy przekątnej (odległość \\(E\\) od wierzchołka):\n\\[|EA| = \\frac{1}{2}\\sqrt{a^2 + b^2} = \\frac{1}{2}\\sqrt{144 + 256} = \\frac{1}{2}\\sqrt{400} = 10\\]\n\nKażda krawędź boczna jest nachylona pod kątem \\(30°\\) do podstawy. W trójkącie prostokątnym \\(SEA\\):\n\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{SE}{EA} = \\frac{h}{10}\\]\n\\[h = 10 \\cdot \\operatorname{tg}30° = 10 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{10\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nObjętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 192 \\cdot \\frac{10\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1920\\sqrt{3}}{9} = \\frac{640\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Wzory CKE**: Stereometria - ostrosłup (s. 27): \\(V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\); trygonometria (s. 11): \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona\ndo płaszczyzny podstawy pod kątem\n°\n60 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona do\npłaszczyzny podstawy pod kątem\n°\n60 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nRozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPole jednej ściany bocznej jest równe 10, zatem\n10\n2\n1\nah\nO\nM\na\na\nH\nh\nS\n60°\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n15\nCosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy\n1\n2\ncos60\na\nh\n° =\nStąd\n1\n2\n1\n2\na\nh\n,\n1\n1\n2\n2\nh\na\n,\na\nh =\nPole ściany bocznej jest równe\n10\n2\n1\n2 =\na\n. Zatem długość krawędzi podstawy jest równa\n5\n2\na\n. Obliczamy wysokość bryły, korzystając z tw. Pitagorasa.\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\nH\na\nh\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\nH\nh\na\n,\n5\n20\n2\nH\n,\n15\n2 =\nH\nZatem wysokość ostrosłupa jest równa\n15\nH\nObliczamy objętość ostrosłupa\n3\n15\n20\n15\n20\n3\n1\n3\n1\n3\n1\n2\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nH\na\nH\nP\nV\np\nOdpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa\n20 15\n3\nV =\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\n• Zdający zapisze równanie:\n10\n2\n1\nah\nalbo\n• zdający zapisze zależność:\n1\n2\ncos60\na\nh\n° =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze układ równań:\n1\n2\n1\n2\n10\ncos60\nah\na\nh\n\n\n° =\n\nalbo\n• zapisze równanie\n10\n2\n1\n2 =\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n16\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy lub wysokość ściany bocznej:\n5\n2\n= h\na\ni na\ntym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.\nZdający\n• obliczy wysokość ostrosłupa:\n15\nH\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n• popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu długości krawędzi podstawy lub wysokości\nostrosłupa i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n20 15\n3\nV =","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{20\\sqrt{15}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - przez apotema i kąt nachylenia ściany bocznej\n\n**Oznaczenia:**\n- \\(a\\) - bok podstawy kwadratu\n- \\(h\\) - wysokość ostrosłupa\n- \\(l\\) - apotema boczna (wysokość ściany bocznej = trójkąta równoramiennego)\n- \\(m = \\frac{a}{2}\\) - apotema podstawy (odległość od środka do środka boku)\n\n**Krok 1: Kąt nachylenia ściany bocznej**\n\nKąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt dwuścienny mierzony wzdłuż linii przecięcia tych płaszczyzn (krawędź podstawy). W przekroju prostopadłym do tej krawędzi widzimy trójkąt prostokątny z:\n- podstawą \\(m = \\frac{a}{2}\\)\n- ramieniem pionowym \\(h\\)\n- apotema boczną \\(l\\) jako przeciwprostokątną\n\n\\[\\tan(60°) = \\frac{h}{m} = \\frac{h}{\\frac{a}{2}}\\]\n\n\\[\\sqrt{3} = \\frac{2h}{a} \\implies h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 2: Długość apotemy bocznej \\(l\\)**\n\nZ trójkąta prostokątnego (pitagoras):\n\\[l^2 = h^2 + m^2 = \\frac{3a^2}{4} + \\frac{a^2}{4} = a^2\\]\n\\[l = a\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie \\(a\\) z pola ściany bocznej**\n\nKażda ściana boczna to trójkąt o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l\\):\n\\[P_{\\text{boczna}} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2} = 10\\]\n\n\\[\\boxed{a^2 = 20}\\]\n\n**Krok 4: Wysokość ostrosłupa**\n\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} \\implies h^2 = \\frac{3 \\cdot 20}{4} = 15 \\implies h = \\sqrt{15}\\]\n\n**Krok 5: Objętość**\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 20 \\cdot \\sqrt{15}\\]\n\n\\[\\boxed{V = \\frac{20\\sqrt{15}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - bezpośrednio przez funkcje trygonometryczne (bez wyznaczania \\(h\\) z \\(\\tan\\))\n\n**Kąt nachylenia ściany:** apotema boczna \\(l\\) tworzy kąt 60° z apotema podstawy \\(m = \\frac{a}{2}\\). Zatem:\n\n\\[\\cos(60°) = \\frac{m}{l} = \\frac{\\frac{a}{2}}{l} \\implies \\frac{1}{2} = \\frac{a}{2l} \\implies l = a\\]\n\n**Z pola ściany:**\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot a^2 = 10 \\implies a^2 = 20\\]\n\n**Wysokość z sinusa:**\n\\[\\sin(60°) = \\frac{h}{l} = \\frac{h}{a} \\implies h = a \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{20} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{\\sqrt{60}}{2} = \\sqrt{15}\\]\n\n**Objętość:**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 20 \\cdot \\sqrt{15} = \\frac{20\\sqrt{15}}{3}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy w obu sposobach do wyznaczenia objętości z pola podstawy i wysokości.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\tan(60°) = \\sqrt{3}, \\quad \\sin(60°) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos(60°) = \\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy do powiązania wymiarów ostrosłupa z kątem nachylenia ściany.\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(a\\) z pola ściany bocznej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia ściany bocznej to **kąt dwuścienny** między ścianą a podstawą - mierzymy go wzdłuż apotemy bocznej, NIE wzdłuż krawędzi bocznej (to byłby inny kąt!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym apotema podstawy to \\(\\frac{a}{2}\\), a nie \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\) (to byłoby pół przekątnej kwadratu). Łatwo tu o pomyłkę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{20\\sqrt{15}}{3}\\) zostawiamy w postaci dokładnej - nie przeliczamy na przybliżenie dziesiętne, chyba że zadanie wyraźnie tego wymaga.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(a = -\\frac{1}{4}\\), \\(b = 3\\), \\(c = 0\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\n**Krok 1**: Analiza zbioru rozwiązań.\n\nNierówność \\(f(x) > 0\\) ma zbiór rozwiązań \\((0, 12)\\), więc:\n- Miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 12\\)\n- Parabola skierowana **ramionami w dół** (\\(a < 0\\)), bo \\(f(x) > 0\\) między pierwiastkami\n\n**Krok 2**: Postać iloczynowa.\n\\[f(x) = a(x - 0)(x - 12) = a \\cdot x(x - 12) = a(x^2 - 12x)\\]\n\nZatem: \\(b = -12a\\) oraz \\(c = 0\\) (bo \\(f(0) = 0\\)).\n\n**Krok 3**: Wyznaczenie \\(a\\) z warunku na wartość największą.\n\nWierzchołek paraboli (punkt maksimum, bo \\(a < 0\\)):\n\\[x_w = \\frac{0 + 12}{2} = 6\\]\n\nNajwiększa wartość:\n\\[f(6) = a \\cdot 6 \\cdot (6 - 12) = a \\cdot 6 \\cdot (-6) = -36a\\]\n\nZ warunku \\(f(6) = 9\\):\n\\[-36a = 9 \\implies a = -\\frac{9}{36} = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Krok 4**: Obliczenie \\(b\\) i \\(c\\).\n\\[b = -12a = -12 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) = 3\\]\n\\[c = 0\\]\n\n**Sprawdzenie**: \\(f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 + 3x = -\\frac{1}{4}x(x - 12)\\)\n- \\(f(0) = 0\\) ✓, \\(f(12) = 0\\) ✓\n- \\(f(6) = -\\frac{36}{4} + 18 = -9 + 18 = 9\\) ✓\n- \\(f(x) > 0\\) na \\((0, 12)\\) ✓\n\n**Wzory CKE**: Funkcja kwadratowa (s. 7-9): postać iloczynowa \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\), wierzchołek \\(p = \\frac{x_1+x_2}{2}\\), \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}