{"paper":{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":33,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n6\n7\n6\n7\n6\n42\n⋅\njest równa\nA.\n36\n42\nB.\n7\n42\nC. 6\nD. 1\nLiczba 7^6 ⋅ 6^7 / 42^6 jest równa A. 42^36, B. 42^7, C. 6, D. 1","answer":"C","answer_text":"2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nCenę pewnego towaru podwyższono o 20% , a następnie nową cenę tego towaru\npodwyższono o 30%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną\nim jedną podwyżką\nA. o 50%\nB. o 56%\nC. o 60%\nD. o 66%\nCenę pewnego towaru podwyższono o 20%, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o 30%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką A. 50%, B. 56%, C. 60%, D. 66%.","answer":"B","answer_text":"x\n1\n0\n, (\n2\nx\n1 1\n)(\nx\n)\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba 3 3 3 jest równa\nA.\n6 3\nB.\n4 3\nC.\n3 3\nD.\n3\nLiczba ∛(3√3) jest równa A. pierwiastek 6 stopnia z 3, B. pierwiastek 4 stopnia z 3, C. ∛3, D. √3.","answer":"D","answer_text":"2","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nRóżnica\n2\n2\n50001\n49999\njest równa\nA. 2 000 000\nB. 200 000\nC. 20 000\nD. 4\nRóżnica 50001^2 - 49999^2 jest równa A. 2 000 000, B. 200 000, C. 20 000, D. 4.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nNajmniejsza wartość wyrażenia (\n)(\n)\nx\ny\nx\ny\ndla\n{\n}\n,\n2,3,4\nx y ∈\njest równa\nA. 2\nB. 24\nC. 0\nD.\n12\nNajmniejsza wartość wyrażenia (x-y)(x+y) dla x,y ∈ {2,3,4} jest równa A. 2, B. -24, C. 0, D. -12.","answer":"D","answer_text":"5\n3\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nWartość wyrażenia\n3\n3\n3\n2\nlog\nlog\n2\n9\njest równa\nA.\n1\nB.\n2\nC.\n3\n5\nlog 11\nD.\n3\n31\nlog 18\nWartość wyrażenia log_3 3/2 + log_3 2/9 jest równa A. -1, B -2, C. log_3 5/11, D. log_3 31/18.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nSpośród liczb, które są rozwiązaniami równania (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n8\n4\n16\n0\nx\nx\nx\n, wybrano\nnajwiększą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa\nA. 12\nB. 10\nC. 6\nD. 4\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nSpośród liczb, które są rozwiązaniami równania (x-8)(x^2-4)(x^2+16) = 0 wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa A. 12, B. 10, C. 6, D. 4.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nRozwiązaniem równania\n7\n5\nx\nx\n, gdzie\n0\nx ≠\n, jest liczba należąca do przedziału\nA. (\n)\n, 2\n-∞-\nB.\n)\n2, 1\nC.\n)\n1, 0\nD. (\n)\n0,+ ∞\nRozwiązaniem równania x-7 / x = 5, gdzie x ≠ 0, jest liczba należąca do przedziału A. (-∞,-2); B. <-2,-1); C. <-1,0); D. (0,+∞).","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nFunkcja f określona jest wzorem\n( )\n3\n4\n2\n1\nx\nf x\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy liczba\n(\n)\n2\nf -\njest równa\nA.\n8\n5\nB.\n4 2\n3\nC.\n4 2\n5\nD.\n4\n3\nFunkcja f określona jest wzorem f(x) = 2x^3 / x^4+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy liczba f(-√2) jest równa A. -8/5; B. -4√2/3; C. -4√2/5; D. -4/3.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nDana jest funkcja kwadratowa\n( )\n(\n)(\n)\n2\n5\n11\nf x\nx\nx\n. Wskaż maksymalny przedział,\nw którym funkcja f jest rosnąca.\nA. (\n,3\n-∞\nB. (\n,5\n-∞\nC. (\n,11\n-∞\nD.\n)\n6,+∞\nDana jest funkcja kwadratowa f(x) = -2(x+5)(x-11). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca. A. (-∞,3>; B. (-∞,5>; C. (-∞,11>, D. <6,+∞).","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n(\n)\n6\n16\nna\nn\ndla\n1\nn ≥. Suma dziesięciu początkowych\nwyrazów tego ciągu jest równa\nA.\n54\nB.\n126\nC.\n630\nD.\n270\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 6(n-16) dla n ≥ 1. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. -54; B. -126; C. -630; D. -270.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (\n)\nna\n, w którym\n1\n72\na =\ni\n4\n9\na =\n. Iloraz q tego ciągu jest równy\nA.\n1\n2\nq =\nB.\n1\n6\nq =\nC.\n1\n4\nq =\nD.\n1\n8\nq =\nDany jest ciąg geometryczny (a_n), w którym a_1 = 72 i a_4 = 9. Iloraz q tego ciągu jest równy A. q = 1/2; B. q = 1/6; C. q = 1/4; D. q = 1/8.","answer":"A","answer_text":"(\n48\n5\n)\n36\n5","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nDany jest trapez ABCD, w którym przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC,\nAD\nDC\noraz\n50\nABC =\n°\n\n(zobacz rysunek).\nStąd wynika, że\nA.\n100\nβ =\n°\nB.\n120\nβ =\n°\nC.\n110\nβ =\n°\nD.\n130\nβ =\n°\nB\nC\nD\nA\n50°\nβ\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nDany jest trapez ABCD, w którym przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC, |AD| = |DC| oraz |∠ ABC| = 50° (zobacz rysunek). Stąd wynika, że β = 100°; β = 120°; β = 110°; β = 130°.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nPunkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów\nα i β są odpowiednio równe\nA.\n36 ,\n72\nα\nβ\n°\n°\nB.\n54 ,\n72\nα\nβ\n°\n°\nC.\n36 ,\n108\nα\nβ\n°\n°\nD.\n72 ,\n72\nα\nβ\n°\n°\nPunkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów α i β są odpowiednio równe A. α = 36°, β = 72°; B. α = 54°, β = 72°; C. α = 36°, β = 108°; D. α = 72°, β = 72°.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nSłoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?\nA.\n6\n10\nB.\n7\n10\nC. 10\nD.\n8\n10\nSłoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki? A. 10^6; B. 10^7; C. 10; D. 10^8.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nKażde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami\ntego trójkąta ma miarę 150°. Pole tego trójkąta jest równe\nA. 100\nB. 200\nC. 100 3\nD. 100 2\nKażde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę 150°. Pole tego trójkąta jest równe A. 100, B. 200, C. 100√3, D. 100√2.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nProsta określona wzorem\n1\ny\nax\n+ jest symetralną odcinka AB, gdzie\n(\n)\n3,2\nA = -\ni\n(\n)\n1,4\nB =\n. Wynika stąd, że\nA.\n1\n2\na = -\nB.\n1\n2\na =\nC.\n2\na = -\nD.\n2\na =\n36°\nB\nA\nC\nO\nα\nD\n36°\nβ\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nProsta określona wzorem y=ax+1 jest symetralną odcinka AB, gdzie A=(-3,2) i B=(1,4). Wynika stąd, że A. a = -1/2; a = 1/2; a = -2; a = 2.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nUkład równań\n2\n2\n3\ny\nax\na\nb\ny\nx\n\n\nnie ma rozwiązań dla\nA.\n1\na = - i\n3\nb = -\nB.\n1\na = i\n3\nb =\nC.\n1\na = i\n3\nb = -\nD.\n1\na = - i\n3\nb =\nUkład równań {y=-ax+2a; y=b/3x-2 nie ma rozwiązań dla A. a=-1 i b=-3; B. a=1 i b=3; C. a=1 i b=-3; D. a=-1 i b=3.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDo pewnej liczby a dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego\ndziałania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby a. Zatem\nA.\n27\na =\nB.\n18\na =\nC.\n24\na =\nD.\n36\na =\nDo pewnej liczby a dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby a. Zatem A. a=27; B. a=18; C. a=24; D. a=36.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD . Wszystkie\nściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ASC jest równa\nA. 45°\nB. 30°\nC. 75°\nD. 90°\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ASC jest równa A. 45°; B. 30°; C. 75°; D. 90°.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nRzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania\ndokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy\nA. 0\n0,25\np\n≤\n<\nB. 0,25\n0,4\np\n≤\n≤\nC. 0,4\n0,5\np\n<\n≤\nD.\n0,5\np >\nRzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy A. 0 ≤ p < 0,25; B. 0,25 ≤ p ≤ 0,4; C. 0,4 < p ≤ 0,5; D. p > 0,5.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna czterech liczb:\n1\nx -, 3x, 5\n1\nx + i 7x jest równa 72 . Wynika stąd, że\nA.\n9\nx =\nB.\n10\nx =\nC.\n17\nx =\nD.\n18\nx =\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nŚrednia arytmetyczna czterech liczb: x-1, 3x, 5x+1 i 7x jest równa 72. Wynika stąd, że A. x=9; B. x=10; D. x=17; D. x=18.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nNa rysunku przedstawione są dwie proste równoległe k i l o równaniach y\nax\nb\noraz\ny\nmx\nn\n. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.\nx\ny\n0\n:\nk\ny\na x\nb\n:l\ny\nm x\nn\n1\n1\nZatem\nA.\n0\na m\n⋅\n>\ni\n0\nb n\n⋅\n>\nB.\n0\na m\n⋅\n>\ni\n0\nb n\n⋅\n<\nC.\n0\na m\n⋅\n<\ni\n0\nb n\n⋅\n>\nD.\n0\na m\n⋅\n<\ni\n0\nb n\n⋅\n<\nNa rysunku przedstawione są dwie proste równoległe k i l o równaniach y = ax+b oraz y = mx+n. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. Zatem A. a ⋅ m > 0 i b ⋅ n > 0; B. a ⋅ m > 0 i b ⋅ n < 0; C. a ⋅ m < 0 i b ⋅ n > 0; D. a ⋅ m < 0 i b ⋅ n < 0.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nDane są dwie sumy algebraiczne\n3\n3\n2\nx\nx\noraz\n2\n3\n2\nx\n. Iloczyn tych sum jest równy\nA.\n5\n9\n4\nx\nx\nB.\n6\n3\n2\n9\n6\n6\n4\nx\nx\nx\nx\nC.\n5\n3\n2\n9\n6\n6\n4\nx\nx\nx\nx\nD.\n6\n9\n4\nx\nx\nDane są dwie sumy algebraiczne 3x^3-2x oraz -3x^2-2. Iloczyn tych sum jest równy A. -9x^5+4x; B. -9x^6+6x^3-6x^2+4x; C. -9x^5+6x^3-6x^2+4x; D. -9x^6+4x.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"wielomiany","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPunkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty\nF i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz\nrysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AFD jest równe 4.\nZatem pole trójkąta ABC jest równe\nA. 12\nB. 16\nC. 18\nD. 20\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nPunkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AFD jest równe 4. Zatem pole trójkąta ABC jest równe A. 12; B. 16; C. 18; D. 20.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie 2\n1\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\n, gdzie\n1\nx ≠- i\n0\nx ≠\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż równanie 2x+1 / 2x = 2x+1 / x+1, gdzie x ≠ -1 i x ≠ 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie 2\n1\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\n, gdzie\n1\nx ≠- i\n0\nx ≠\nRozwiązanie\nRównanie ma sens liczbowy dla każdej liczby rzeczywistej\n1\nx ≠- i\n0\nx ≠\nI sposób rozwiązania\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny\n2\n1\n2\n1\n0\n2\n1\nx\nx\nx\nx\n,\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n)1\n2\n(\n2\n)1\n(\n1\n2\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n1 4\n2\n0\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nx x\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n0\n2\n1\nx\nx\nx x\nStąd otrzymujemy równanie kwadratowe\n0\n1\n2\n2\nx\nx\nPonieważ\n9\n1\n)\n2\n(\n4\n12\n⋅\n⋅\nΔ\n, to równanie ma dwa rozwiązania\n1\n1\n2\nx = -\n,\n1\n2 =\nx\nKażda z otrzymanych liczb jest różna od\n1\n- i od 0. Zatem każda z tych liczb jest\nrozwiązaniem naszego równania.\nII sposób rozwiązania\nPrzedstawiamy równanie w postaci równoważnej\n(\n)\n1\n1\n2\n1\n0\n2\n1\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nZ własności iloczynu, otrzymujemy\n2\n1\n0\nx + =\nlub 1\n1\n0\n2\n1\nx\nx\nRozwiązaniem pierwszego z równań jest liczba\n1\n2\nx = -\nZapiszmy równanie\n0\n1\n1\n2\n1\n-x\nx\nw postaci równoważnej\n0\n)1\n(\n2\n2\n)1\n(\nx\nx\nx\nx\n,\n1\n0\n2 (\n1)\nx\nx x\nStąd\n1\nx = .\nKażda z otrzymanych liczb jest różna od\n1\n- i od 0. Zatem każda z tych liczb jest\nrozwiązaniem naszego równania.\nIII sposób rozwiązania\nZ własności proporcji możemy równanie zapisać w postaci równoważnej\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n2\n2\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n2\n1\n1\n2\n0\nx\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n2\n1 1\n0\nx\nx\nStąd\n2\n1\n0\nx + =\nlub 1\n0\nx\n,\n1\n2\nx = -\nlub\n1\nx = .\nKażda z otrzymanych liczb jest różna od\n1\n- i od 0. Zatem każda z tych liczb jest\nrozwiązaniem naszego równania.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze równanie w postaci\n• równania kwadratowego w postaci uporządkowanej lub iloczynowej:\n0\n1\n2\n2\nx\nx\n, (\n)(\n)\n2\n1 1\n0\nx\nx\nalbo\n• alternatywy równań, np.: 2\n1\n0\nx + =\nlub 1\n1\n0\n2\n1\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy rozwiązania równania:\n1\n1\n2\nx = -\n,\n1\n2 =\nx\nUwaga:\nJeżeli zdający podzieli obie strony równania 2\n1\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\ni nie zapisze, że 2\n1\n0\nx + ≠\n, to\nmoże otrzymać co najwyżej 1 punkt.","solution":"$x = -\\dfrac{1}{2}$ lub $x = 1$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nDane są proste o równaniach\n2\n= x\ny\noraz\n3\ny\nx\nb\n, które przecinają się w punkcie\nleżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają\nsię w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nDane są proste o równaniach y=x+2 oraz y=-3x+b, które przecinają się w punkcie leżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nDane są proste o równaniach\n2\n= x\ny\noraz\n3\ny\nx\nb\n, które przecinają się w punkcie\nleżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają\nsię w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox.\nRozwiązanie\nZauważmy, że prosta o równaniu\n2\n= x\ny\nprzecina oś Oy w punkcie (\n)\n2\n,0\n. Zatem\nwspółczynnik b w równaniu\n3\ny\nx\nb\njest równy 2, a więc druga z prostych ma równanie\npostaci\n3\n2\ny\nx\nGeometryczną ilustracją opisanej sytuacji jest trójkąt wskazany na wykresie.\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n1\n2\nx\ny\n0\nC\nB\nA\nPodstawa trójkąta ma długość\n2\n2 3 , a jego wysokość jest równa 2. Zatem pole tego trójkąta\njest równe\n1\n2\n8\n8\n2\n3\n3\nABC\nP\n⋅\n⋅\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze wartość współczynnika b w równaniu prostej\n3\ny\nx\nb\n:\n2\nb =\nalbo\n• prawidłowo narysuje wykresy obu funkcji i zaznaczy punkt (\n)\n2\n,0\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy pole trójkąta: 8\n3 .","solution":"$\\dfrac{8}{3}$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"analityczna","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n3\n3\n2\n2\n4\n4\n2\ny\nx\ny\nx\ny\nx\n≥\n\nMMA_1P\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x^4 + y^4 + x^2 + y^2 ≥ 2(x^3 + y^3).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n3\n3\n2\n2\n4\n4\n2\ny\nx\ny\nx\ny\nx\n≥\nRozwiązanie\nI sposób rozwiązania\nZapiszmy nierówność\n(\n)\n4\n4\n2\n2\n3\n3\n2\nx\ny\nx\ny\nx\ny\n≥\nw postaci równoważnej\n4\n3\n2\n4\n3\n2\n2\n2\n0\nx\nx\nx\ny\ny\ny\n≥\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nx\nx\ny\ny\n≥\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc (\n)\n2\n2\n0\nx\nx\n≥\ni (\n)\n2\n2\n0\ny\ny\n≥\ndla\ndowolnych liczb rzeczywistych x i y. Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, więc\notrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y.\nII sposób rozwiązania\nZapiszmy nierówność\n(\n)\n4\n4\n2\n2\n3\n3\n2\nx\ny\nx\ny\nx\ny\n≥\nw postaci równoważnej\n4\n3\n2\n4\n3\n2\n2\n2\n0\nx\nx\nx\ny\ny\ny\n≥\n,\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n≥\ny\ny\ny\nx\nx\nx\n,\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n≥\ny\ny\nx\nx\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc\n2\n0\nx ≥\n, (\n)\n2\n1\n0\nx -\n≥\n,\n2\n0\ny ≥\ni (\n)\n2\n1\n0\ny -\n≥\ndla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. Iloczyn liczb nieujemnych jest\nnieujemny, więc dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwe są nierówności\n(\n)\n2\n2\n1\n0\nx\nx -\n≥\ni\n(\n)\n2\n2\n1\n0\ny\ny -\n≥\n. Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, więc\notrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze nierówność w postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nx\nx\ny\ny\n≥\ni popełni błędy przy jej\nuzasadnianiu, np. przez zapisanie, że po lewej stronie są składniki dodatnie\nalbo\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n≥\ny\ny\nx\nx\ni popełnia błędy przy jej uzasadnianiu, np. przez zapisanie,\nże po lewej stronie są składniki dodatnie\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze wyrażenie w postaci sumy nieujemnych składników i sformułuje wniosek.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna\nkąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz\nrysunek).\nWykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\n\nMMA_1P\nDany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna\nkąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz\nrysunek).\nWykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.\nRozwiązanie\nI sposób rozwiązania\nPółproste BF i CF to dwusieczne kątów ABC i BCD przy ramieniu BC trapezu ABCD.\nOznaczmy zatem miary tych kątów odpowiednio 2α i 2β jak na rysunku.\nSuma miar kątów trapezu przy jego ramieniu jest równa 180°,więc\n2α\nβ\n+ 2\n=180° ,\n9\nα\nβ\n= 0°.\nSuma miar kątów trójkąta jest równa 180°, więc miara kąta BFC jest równa\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nBFC\nα\nβ\n° -\n°-\n° =\n°\n\nStąd wynika, że\n180\n180\n90\n90\nCFE\nBFC\n° -\n°-\n° =\n°\n\n\nKąt CDE jest prosty, gdyż trapez jest prostokątny, więc suma miar przeciwległych kątów\nCDE i CFE czworokąta CDEF jest równa\n90\n90\n180\nCDE\nCFE\n° +\n° =\n°\n\n\nSuma miar kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma miar dwóch pozostałych kątów\nczworokąta CDEF jest równa\n360\n180\n180\nDCF\nDEF\n° -\n° =\n°\n\n\nZatem\nCDE\nCFE\nDCF\nDEF\n\n\n\n\n, co kończy dowód.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nα\nα\nβ\nβ\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nII sposób rozwiązania\nPółproste BF i CF to dwusieczne kątów ABC i BCD przy ramieniu BC trapezu ABCD.\nOznaczmy zatem miary tych kątów odpowiednio 2α i 2β jak na rysunku.\nProste AB i CD są równoległe, więc naprzemianległe kąty BGC i DCG są równe, czyli\nBGC\nβ\n\nZatem trójkąt BCG jest równoramienny. Stąd i z równości kątów CBF i GBF wynika z kolei,\nże trójkąty BCF i BFG są przystające. Zatem ich kąty przy wierzchołku F są równe. Są to\njednak kąty przyległe, więc są to kąty proste. W rezultacie\n180\n180\n90\n90\nCFE\nBFC\n° -\n°-\n° =\n°\n\n\nDalsza część dowodu przebiega tak, jak w I sposobie.\nSchemat punktowania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy miarę kąta BFC:\n°\n90 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nIII sposób rozwiązania\nPółproste BF i CF to dwusieczne kątów ABC i BCD przy ramieniu BC trapezu ABCD.\nOznaczmy zatem miary tych kątów odpowiednio 2α i 2β jak na rysunku.\nTrójkąt ABE jest prostokątny, więc\n90\nBEA\nα\n°-\n\n. Zatem\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nDEF\nBEA\nα\nα\n° -\n°-\n°-\n°+\n\n\nSuma miar przeciwległych kątów DEF i DCF w czworokącie CDEF jest zatem równa\n(1)\n(\n)\n90\n90\nDEF\nDCF\nα\nβ\nα\nβ\n° +\n°+\n\n\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nα\nα\nβ\nβ\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nα\nα\nβ\nβ\nβ\nKąt CFE jest kątem zewnętrznym trójkąta CBF, więc\nCFE\nα\nβ\n\nKąt EDC jest prosty, gdyż trapez jest prostokątny, więc suma miar przeciwległych kątów\nCDE i CFE czworokąta CDEF jest równa\n90\nCDE\nCFE\nα\nβ\n° +\n\n\nStąd i z (1) otrzymujemy\nDEF\nDCF\nCDE\nCFE\n\n\n\n\n. To kończy dowód.\nSchemat punktowania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy miary kątów przy wierzchołkach E i F czworokąta CDEF w zależności od\nα i β :\n90\nAEB\nα\n°-\n\n,\nCFE\nα\nβ\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-4)\nW trójkącie ABC dane są długości boków\n15\nAB\ni\n12\nAC =\noraz\n4\n5\ncosα =\n, gdzie\nBAC\nα = \n. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że\n2\nBD\nAD\ni\n2\nAE\nCE\n(zobacz rysunek).\nOblicz pole\na) trójkąta ADE.\nb) czworokąta BCED.\nA\nD\nB\nC\nα\nE\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nW trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=15 i |AC|=12 oraz cosα = 4/5, gdzie α = ∠BAC. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD|=2|AD| i |AE|=2|CE| (zobacz rysunek).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-4)\nW trójkącie ABC dane są długości boków\n15\nAB\ni\n12\nAC =\noraz\n4\n5\ncosα =\n, gdzie\nBAC\nα = \n. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że\n2\nBD\nAD\ni\n2\nAE\nCE\n(zobacz rysunek).\nOblicz pole\na) trójkąta ADE.\nb) czworokąta BCED.\nRozwiązanie I sposób\nPonieważ\n2\nBD\nAD\ni\n2\nAE\nCE\noraz\n15\nAB\ni\n12\nAC =\n, więc\n1\n1 15\n5\n3\n3\nAD\nAB\n⋅\noraz\n2\n2 12\n8\n3\n3\nAE\nAC\n⋅\nZ jedynki trygonometrycznej otrzymujemy\n( )\n2\n2\n16\n3\n4\n5\n5\n25\nsin\n1 cos\n1\n1\nα\nα\nZatem pole trójkąta ABC jest równe\n1\n1\n3\nsin\n15 12\n54\n2\n2\n5\nABC\nP\nAB\nAC\nα\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n,\na pole trójkąta ADE jest równe\n1\n1\n3\nsin\n5 8\n12\n2\n2\n5\nADE\nP\nAD\nAE\nα\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅⋅⋅\nA\nD\nB\nC\nα\nE\nZatem pole czworokąta BCDE jest równe\n54 12\n42\nBCDE\nABC\nADE\nP\nP\nP\nRozwiązanie II sposób\nPoprowadźmy wysokość CF trójkąta ABC oraz wysokość EG trójkąta ADE jak na rysunku.\nZ trójkąta prostokątnego AFC otrzymujemy\ncos\nAF\nAC\nα =\n, czyli 4\n5\n12\nAF\nStąd\n48\n5\nAF =\nZ twierdzenia Pitagorasa natomiast\n2\n2\n2\nAC\nAF\nCF\n,\n2\n2\n2\n48\n12\n5\nh\n\n\n\n\n\n\nStąd\n(\n)\n2\n2\n48\n36\n5\n5\n12\nh =\nPole trójkąta ABC jest zatem równe\n1\n1\n36\n15\n54\n2\n2\n5\nABC\nP\nAB h\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nTrójkąty AFC i AGE są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołu A. Zatem\nEG\nAE\nCF\nAC\nPonieważ\n2\nAE\nCE\n, więc\n2\n3\nAE\nAC\n. Otrzymujemy zatem\n2\n3\n36\n5\n2\n3\nAC\np\nAC\nStąd\n2 36\n24\n3\n5\n5\np =\n⋅\n. Skoro\n2\nBD\nAD\ni\n15\nAB\n, to\n1\n1 15\n5\n3\n3\nAD\nAB\n⋅\n. Pole\ntrójkąta ADE jest zatem równe\n1\n1\n24\n5\n12\n2\n2\n5\nADE\nP\nAD\np\n⋅\n⋅\n⋅⋅\nZatem pole czworokąta BCDE jest równe\n54 12\n42\nBCDE\nABC\nADE\nP\nP\nP\nA\nD\nE\nB\nC\nα\nF\nG\nh\np\nUwaga:\nPole trójkąta ADE możemy tez obliczyć inaczej. Poprowadźmy wysokość tego trójkąta\nz wierzchołka D.\nPonieważ\n2\nBD\nAD\ni\n15\nAB\n, więc\n1\n1 15\n5\n3\n3\nAD\nAB\n⋅\nZ trójkąta prostokątnego ADM otrzymujemy\ncos\nAM\nAD\nα =\n, czyli 4\n5\n5\nAM\nStąd\n4\nAM =\n. Zatem z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta\n2\n2\n2\n2\n5\n4\n3\nq\nAD\nAM\nSkoro\n2\nAE\nEC\ni\n12\nAC =\n, to\n2\n2 12\n8\n3\n3\nAE\nAC\n⋅\n. Pole trójkąta ADE jest zatem\nrówne\n1\n1 8 3\n12\n2\n2\nADE\nP\nAE q\n⋅\n⋅\n⋅⋅=\nSchemat punktowania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy sinus kąta BAC:\n3\n5\nsinα =\nalbo\n• długość jednego z odcinków AD, AE:\n5\nAD =\n,\n8\nAE =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający obliczy\n• pole trójkąta ABC:\n54\nABC\nP\nalbo\n• obliczy sinα i długości obu odcinków AD i AE:\n3\n5\nsinα =\n,\n5\nAD =\n,\n8\nAE =\n,\nalbo\n• wysokość trójkąta ADE opuszczoną z wierzchołka E:\n24\n5\np =\n,\nalbo\n• wysokość trójkąta ADE opuszczoną z wierzchołka D:\n3\nq = .\nA\nD\nE\nB\nC\nα\nF\nM\nh\nq\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy pole trójkąta ADE:\n12\nADE\nP\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy pole czworokąta BCDE:\n42\nBCDE\nP\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje zadanie z wykorzystaniem faktu, że rozważany trójkąt jest\nprostokątny i nie przedstawia uzasadnienia tego faktu, to może otrzymać maksymalną liczbę\npunktów za całe rozwiązanie.","solution":"a) $12$, b) $42$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"planimetria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-5)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nn\na\nokreślony dla każdej liczby naturalnej\n1\n≥\nn\n, w którym\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\noraz\n5\n6\n7\n12\n2016\na\na\na\na\n. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę\noraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (\n)\nn\na\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nDany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, w którym a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2016 oraz a_5 + a_6 + a_7 + ... + a_{12} = 2016. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (a_n).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-5)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nn\na\nokreślony dla każdej liczby naturalnej\n1\n≥\nn\n, w którym\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\noraz\n5\n6\n7\n12\n2016\na\na\na\na\n. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę\noraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (\n)\nn\na\nRozwiązanie\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na obliczeniu pierwszego\nwyrazu i różnicy ciągu (\n)\nn\na\n. Drugi etap polega na wyznaczeniu najmniejszego dodatniego\nwyrazu tego ciągu.\nI sposób rozwiązania I etapu\nZ warunków zadania wynika, że\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\ni\n5\n6\n12\n2016\na\na\na\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n(\n) (\n) (\n)\n1\n1\n1\n1\n2\n3\n2016\na\na\nr\na\nr\na\nr\ni (\n) (\n)\n(\n)\n1\n1\n1\n4\n5\n11\n2016\na\nr\na\nr\na\nr\n,\n1\n4\n6\n2016\na\nr\ni\n1\n8\n60\n2016\na\nr\n,\n1\n2\n3\n1008\na\nr\ni\n1\n2\n15\n504\na\nr\nOdejmując stronami równania, otrzymujemy\n12\n504\nr = -\n,\n42\nr = -\nZatem\n(\n)\n1\n2\n3\n42\n1008\na + ⋅-\n, więc\n1\n504\n3 21\n567\na =\n+ ⋅\nII sposób rozwiązania I etapu\nZ warunków zadania wynika, że\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\ni\n5\n6\n12\n2016\na\na\na\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n(\n) (\n) (\n)\n1\n1\n1\n1\n2\n3\n2016\na\na\nr\na\nr\na\nr\n,\n1\n4\n6\n2016\na\nr\n,\n1\n2\n3\n1008\na\nr\nZauważmy, że lewa strona równania\n5\n6\n12\n2016\na\na\na\njest sumą ośmiu wyrazów ciągu\narytmetycznego (\n)\n5\n6\n7\n12\n,\n,\n, ,\na a a\na\no różnicy r. Ze wzoru na sumą n-początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego, otrzymujemy\n5\n12 8\n2016\n2\na\na\n⋅=\n,\n5\n12\n504\na\na\nStąd i ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n1\n1\n4\n11\n504\na\nr\na\nr\n,\n1\n2\n15\n504\na\nr\nPo rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymujemy\n1\n567\na =\ni\n42\nr = -\nIII sposób rozwiązania I etapu\nZ warunków zadania wynika, że\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\ni\n5\n6\n12\n2016\na\na\na\nZauważmy, że sumując te równania stronami, otrzymujemy\n1\n2\n12\n4032\na\na\na\nOtrzymaliśmy w ten sposób układ równań\n4\n2016\nS =\ni\n12\n4032\nS\n,\nktóry, korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,\nmożemy zapisać w postaci\n1\n4 4\n2016\n2\na\na\n⋅\ni\n1\n12 12\n4032\n2\na\na\n⋅\n,\n1\n4\n1008\na\na\ni\n1\n12\n672\na\na\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n(\n)\n1\n1\n3\n1008\na\na\nr\ni\n(\n)\n1\n1\n11\n672\na\na\nr\n,\n1\n2\n3\n1008\na\nr\ni\n1\n2\n11\n672\na\nr\nPo rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymujemy\n1\n567\na =\ni\n42\nr = -\nIV sposób rozwiązania I etapu\nZ warunków zadania wynika, że\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\ni\n5\n6\n12\n2016\na\na\na\nZauważmy, że\n(\n) (\n)\n5\n6\n12\n1\n2\n12\n1\n2\n3\n4\na\na\na\na\na\na\na\na\na\na\n,\nczyli\n5\n6\n12\n12\n4\na\na\na\nS\nS\nOtrzymaliśmy w ten sposób układ równań\n4\n2016\nS =\ni\n12\n4\n2016\nS\nS\n,\nktóry, korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,\nmożemy zapisać w postaci\n1\n4 4\n2016\n2\na\na\n⋅\ni\n1\n12\n1\n4\n12\n4\n2016\n2\n2\na\na\na\na\n⋅\n⋅\n,\n1\n4\n1008\na\na\ni\n1\n12\n1\n4\n6\n6\n2\n2\n2016\na\na\na\na\n1\n4\n1008\na\na\ni\n1\n4\n12\n4\n2\n6\n2016\na\na\na\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n(\n)\n1\n1\n3\n1008\na\na\nr\ni\n(\n)\n(\n)\n1\n1\n1\n4\n2\n3\n6\n11\n2016\na\na\nr\na\nr\n,\n1\n2\n3\n1008\na\nr\ni\n1\n8\n60\n2016\na\nr\n,\n1\n2\n3\n1008\na\nr\ni\n1\n2\n15\n504\na\nr\nPo rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymujemy\n1\n567\na =\ni\n42\nr = -\nRozwiązanie II etapu\nCiąg (\n)\nn\na\njest więc opisany wzorem ogólnym\n(\n)\n567\n(\n1)\n42\n609\n42\nna\nn\nn\n⋅-\ndla\n1\n≥\nn\nWyznaczmy numery wszystkich dodatnich wyrazów ciągu.\n0\nna >\n,\n609\n42\n0\nn\n>\n,\n609\n1\n14\n42\n2\nn <\nPonieważ\n42\n0\nr = -\n<\n, więc ciąg (\n)\nn\na\njest malejący. Wynika stąd, że najmniejszym dodatnim\nwyrazem ciągu jest\n14\n609\n42 14\n21\na\n⋅\nUwaga:\nNajmniejszy dodatni wyraz ciągu (\n)\nn\na\nmożemy też wyznaczyć w inny sposób. Ponieważ\n42\n0\nr = -\n<\n, więc ciąg (\n)\nn\na\njest malejący. Zauważmy, że jednym z wyrazów ciągu (\n)\nn\na\njest\n567 14 42\n21\n⋅\n, a następnym 21\n42\n21\n0\n<\n. Stąd wynika, że najmniejszy dodatni wyraz\nciągu to 21.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zastosuje\n• wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisze jedno\nz równań wynikających z treści zadania:\n1\n4 4\n2016\n2\na\na\n⋅\n,\n1\n4\n6\n2016\na\nr\n,\n5\n12 8\n2016\n2\na\na\n⋅=\n,\n1\n8\n60\n2016\na\nr\n,\n1\n12 12\n4032\n2\na\na\n⋅\nalbo\n• wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i wyznaczy jeden z wyrazów\nna dla\n1\nn >\nw zależności od\n1a i r, np.\n2\n1\na\na\nr\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze, że\n12\n4032\nS\n, to otrzymuje 1 punkt.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze dwa równania wynikające z podanych sum wyrazów ciągu i wyznaczy jeden\nz wyrazów\nna dla\n1\nn > w zależności od\n1a i r, np.:\n1\n4 4\n2016\n2\na\na\n⋅\ni\n5\n12 8\n2016\n2\na\na\n⋅=\ni\n4\n1\n3\na\na\nr\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalający obliczyć\npierwszy wyraz i różnicę ciągu (\n)\nn\na\n, np.:\n1\n1\n3\n4\n2016\n2\na\na\nr\n⋅\ni\n1\n1\n4\n11\n8\n2016\n2\na\nr\na\nr\n⋅=\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy pierwszy wyraz i różnicę ciągu (\n)\nn\na\n:\n1\n567\na =\n,\n42\nr = -\nalbo\n• obliczy pierwszy wyraz, różnicę i najmniejszy dodatni wyraz ciągu (\n)\nn\na\n, popełniając\npo drodze błędy rachunkowe.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (\n)\nn\na\n:\n1\n567\na =\n,\n42\nr = -\n,\n14\n21\na\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie zinterpretuje treść zadania przyjmując, że\n5\n6\n12\na\na\na\njest sumą\n12 początkowych wyrazów ciągu, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający zauważy, że\n5\n6\n12\na\na\na\njest sumą 8 wyrazów ciągu, ale zapisze\nbłędnie, że jest ona równa\n(\n)\n1\n2\n8 1\n2\n8\na\nr\n⋅, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej\n3 punkty.\n3. Jeżeli zdający zapisze, że\n5\n6\n12\na\na\na\njest sumą 7 wyrazów ciągu i konsekwentnie\nzapisze tę sumę w postaci\n(\n)\n5\n2\n7 1\n2\n7\na\nr\n⋅, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej\n3 punkty.","solution":"$a_1 = 567$, $r = -42$, najmniejszy dodatni wyraz to $21$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nDany jest stożek o objętości 8π , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest\nrówny 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nDany jest stożek o objętości 8π, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nDany jest stożek o objętości 8π , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest\nrówny 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.\nRozwiązanie\nNiech r, h i l oznaczają odpowiednio promień podstawy, wysokość i tworzącą danego stożka.\nObjętość stożka jest równa\n2\n1 π\n3\nV\nr h\nStąd\n2\n1\n8π\nπ\n3 r h\n,\n2\n24\nr h =\nZ treści zadania wynika, że\n3\n8\nh\nr =\n, skąd\n3\n8\nh\nr\nOtrzymujemy równanie\n2 3\n24\n8\nr\nr\n⋅\n,\n3\n64\nr =\n,\n4\nr =\nZatem\n3\n3\n8\n2\n4\nh =\n⋅\nl\nr\nh\nA\nB\nS\nO\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BSO otrzymujemy\n2\n2\n2\nr\nh\nl\n,\n( )\n2\n2\n2\n2\n73\n3\n73\n2\n4\n2\n4\nl\nr\nh\nPole powierzchni całkowitej stożka jest równe\n73\nπ\nπ 4\n2 73 π\n2\nbP\nrl\n⋅⋅\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze zależność między wysokością i promieniem podstawy stożka\n• wynikającą z podanego stosunku, np.:\n3\n8\nh\nr =\nalbo\n• wynikającą z podanej objętości:\n2\n24\nr h =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n2 3\n24\n8\nr\nr\n⋅\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy promień podstawy lub wysokość stożka:\n4\nr =\n,\n3\n2\nh =\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy pole powierzchni bocznej danego stożka:\n2 73 π\nbP =","solution":"$2\\sqrt{73}\\pi$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nRejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą\nz taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10%\nwiększa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od\nzakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od\nwtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10\\% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nRejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą\nz taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10%\nwiększa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od\nzakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od\nwtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?\nRozwiązanie\nOznaczmy przez v prędkość, z jaką zwykle leci samolot na tej trasie, przez s oznaczmy\ndługość trasy, gdy samolot znajduje się nad terytorium Austrii, a przez t oznaczmy czas\nprzelotu we wtorek. Zatem prędkość, z jaką samolot leciał we wtorek była równa 1,1v ,\na prędkość, z jaką samolot leciał w czwartek była równa 0,9v . Czas przelotu w czwartek był\nrówny\n12\nt +\nminut. Zatem\n1,1v t\ns\n⋅=\noraz\n(\n)\n0,9\n12\nv\nt\ns\n⋅\nStąd\n(\n)\n1,1\n0,9\n12\nv t\nv\nt\n⋅=\n⋅\n,\n(\n)\n11\n9\n12\nt\nt\n,\n2\n9 12\nt =\n⋅\n,\n9 6\n54\nt =\n⋅\nOdpowiedź: Czas, w jakim samolot przelatywał we wtorek nad Austrią był równy 54 minuty.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze jedno z równań opisujących zależność prędkości i czasu przelotu nad Austrią,\nnp.: 1,1v t\ns\n⋅=\nlub\n(\n)\n0,9\n12\nv\nt\ns\n⋅\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze oba równania pozwalające obliczyć czas przelotu nad Austrią we wtorek lub\nw czwartek, np.:\n(\n)\n1,1\n0,9\n12\nv t\nv\nt\n⋅=\n⋅\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą t, np.:\n(\n)\n11\n9\n12\nt\nt\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy czas przelotu: 54 minuty (lub 0,9 godziny).\nUwaga:\nJeżeli zdający stosuje błędny model, np. przyjmuje, że wzrostowi prędkości o 10%\nodpowiada skrócenie czasu o 10% albo przyjmuje, że wzrostowi prędkości odpowiada\nwydłużenie czasu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"$54$ minuty","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}