{"paper":{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":17,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nFunkcja f określona jest wzorem\n( )\n3\n3\n5\n1\nx\nf x\n- dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem\nwartości funkcji f jest\nA. (\n)\n2,+∞\nB.\n1,3\nC.\n)\n1,\n-+∞\nD. (\n)\n0,+∞\nFunkcja f określona jest wzorem f(x) = |3+5^{3-x}|-1 dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem wartości funkcji f jest A. (2,+∞), B. <1,3>, C. <-1,+∞), D. (0,+∞).","answer":"A","answer_text":"1. Jeżeli zdający rozważy wszystkie przedziały otwarte, tj. (\n)1\n,\n∞\n, (\n)\n1,2 , (\n)\n2,+∞, to\notrzymuje o 1 punkt mniej, niż wynika to z osiągniętego przez niego etapu rozwiązania\nzadania.\n2. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n≥\n⋅\nx\nx\nprzez\n1\nx -, nie\nzakładając, że\n1\n0\nx -\n>\ni konsekwentnie rozwiąże nierówność do końca, to otrzymuje","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nWartość wyrażenia\n2\n2\nsin 75\ncos 75\n°-\n° jest równa\nA.\n1\n2\nB.\n1\n2\nC.\n3\n2\nD.\n3\n2\nWartość wyrażenia sin^2 75° - cos^2 75° jest równa A.-{1\\o2}, B. 1/2, C.-√3/2, D. √3/2.","answer":"D","answer_text":"2 ≥\nx\nZ\ngeometrycznej\ninterpretacji\nwartości\nbezwzględnej,\notrzymujemy\n(\n)\n,1\n3,\nx∈-∞\n∪\n+∞.\nII sposób rozwiązania\nNaszkicujmy w układzie współrzędnych wykresy funkcji\n2\n3\n2\nx\nx\ny\noraz\n1\n= x\ny\n1\n2\n3\n-1\n1\nx\ny\n0\nRozważmy nierówność kolejno w przedziałach (\n)1\n,\n∞\n,\n)\n2\n,1\noraz\n)\n∞\n,2\nGdy\n(\n)1\n,\n∞\n∈\nx\n, to wtedy\n2\n3\n2\n3\n2\n2\nx\nx\nx\nx\noraz\n(\n)1\n1\nx\nx\n, a nierówność\nprzyjmuje postać\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\n,\n0\n1\n2\n2\n≥\n-x\nx\n,\n(\n)\n0\n1\n2 ≥\nx\nNierówność ta jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, zatem każda liczba\n(\n)1\n,\n∞\n∈\nx\njest rozwiązaniem nierówności.\nGdy\n)\n2\n,1\n∈\nx\n, to wtedy\n(\n)\n2\n3\n2\n3\n2\n2\nx\nx\nx\nx\noraz\n1\n1\nx\nx\n, a nierówność\nprzyjmuje postać\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\n,\n2\n2\n1\n0\nx\nx\n+ ≤\n,\n(\n)\n2\n1\n0\nx -\n≤\nNierówność ta jest prawdziwa tylko dla\n1\nx\n. Zatem w przedziale\n)\n2\n,1\ntylko liczba\n1\nx\njest rozwiązaniem nierówności.\nGdy\n)\n∞\n∈\n,2\nx\n, to wtedy\n2\n3\n2\n3\n2\n2\nx\nx\nx\nx\noraz\n1\n1\nx\nx\n, a nierówność\nprzyjmuje postać\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\n,\n0\n3\n4\n2\n≥\n-x\nx\n,\n(\n)(\n)\n0\n3\n1\n≥\nx\nx\n,\n1\n2\n3\n-1\n1\nx\ny\n0\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,3\n1\n,\nx\nZatem w przedziale\n)\n∞\n,2\nrozwiązaniem nierówności jest każda liczba\n)\n3,\nx∈\n+∞.\nW rezultacie rozwiązaniem nierówności\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\njest każda liczba\n(\n)\n,1\n3,\nx∈-∞\n∪\n+∞.\nSchemat punktowania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do całkowitego\nrozwiązania zadania 1 p.\ngdy\n• zapisze, że\n2\n3\n2\n1\n2\n⋅\nx\nx\nx\nx\nalbo\n• zapisze, że nierówność należy rozważyć w każdym z przedziałów (\n)1\n,\n∞\n,\n)\n2\n,1\n,\n)\n∞\n,2\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\ngdy\n• zapisze nierówność w postaci iloczynowej:\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n≥\n⋅\nx\nx\nalbo\n• zapisze poprawnie nierówność w każdym z przedziałów: (\n)1\n,\n∞\n,\n)\n2\n,1\n,\n)\n∞\n,2\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\ngdy\n• zapisze, że nierówność\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\njest równoważna nierówności\n1\n2 ≥\nx\nalbo\n• zapisze poprawnie nierówność w każdym z przedziałów (\n)1\n,\n∞\n,\n)\n2\n,1\n,\n)\n∞\n,2\ni rozwiąże poprawnie tę nierówność w jednym lub dwóch spośród ww. przedziałów.\nRozwiązanie pełne 4 p.\ngdy zapisze rozwiązanie nierówności, np.:\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,3\n1\n,\nx\nUwagi:","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nW trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są:\n6\nAD =\n,\n12\nBC =\n,\n10\nAC =\noraz\nABC\nCAD\n\n\n(zobacz rysunek).\nWówczas długość podstawy AB tego trapezu jest równa\nA.\n18\nAB =\nB.\n20\nAB =\nC.\n22\nAB =\nD.\n24\nAB =\nW trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są: |AD|=6, |BC|=12, |AC|=10 oraz |∠ABC|=|∠CAD| (zobacz rysunek). Wówczas długość podstawy AB tego trapezu jest równa A. |AB|=18, B. |AB|=20, |AB|=22, D. |AB|=24.","answer":"B","answer_text":"3 punkty.\nIII sposób rozwiązania\nPonieważ obie strony nierówności\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\nsą nieujemne, więc podnosząc je do\nkwadratu otrzymujemy nierówność równoważną\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n1\nx\nx\nx\n≥\n,\n4\n3\n2\n2\n6\n13\n12\n4\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n≥\n+ ,\n4\n3\n2\n6\n12\n10\n3\n0\nx\nx\nx\nx\n≥\nZauważmy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu\n( )\n4\n3\n2\n6\n12\n10\n3\nW x\nx\nx\nx\nx\n+ , gdyż\n4\n3\n2\n1\n6 1\n12 1\n10 1 3\n0\n-⋅\n⋅\n⋅+\n. Zatem wielomian W jest podzielny przez dwumian\n1\nx -.\nStosując algorytm Hornera, otrzymujemy\n1\n6\n12\n10\n3\n1\n1\n5\n7\n3\n0\nZatem\n( )\n(\n)(\n)\n3\n2\n1\n5\n7\n3\nW x\nx\nx\nx\nx\n. Liczba 1 jest też pierwiastkiem wielomianu\n( )\n3\n2\n5\n7\n3\nP x\nx\nx\nx\n-, gdyż\n3\n2\n1\n5 1\n7 1 3\n0\n-⋅\n⋅-\n. Dzieląc ten wielomian przez\n1\nx -,\notrzymujemy\n1\n5\n7\n3\n1\n1\n4\n3\n0\nZatem\n( )\n(\n) (\n)\n2\n2\n1\n4\n3\nW x\nx\nx\nx\n. Trójmian kwadratowy\n2\n4\n3\nx\nx\nma dwa pierwiastki\n1\n1\nx = ,\n2\n3\nx =\n, więc\n( )\n(\n) (\n)\n3\n1\n3\nW x\nx\nx\n. Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej x\nprawdziwa jest nierówność (\n)\n2\n1\n0\nx -\n≥\n, więc nierówność\n( )\n0\nW x ≥\njest równoważna\nnierówności kwadratowej\n(\n)(\n)\n1\n3\n0\nx\nx\n≥\n,\nktórej rozwiązaniem jest każda liczba\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,3\n1\n,\nx\nUwaga:\nNierówność (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n1\nx\nx\nx\n≥\nmożemy też przekształcić równoważnie\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n1\n0\nx\nx\nx\n≥\n,\n(\n)(\n)\n2\n2\n3\n2\n1\n3\n2\n1\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n≥\n,\n(\n)(\n)\n2\n2\n4\n3\n2\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n≥\n,\n(\n)(\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\n0\nx\nx\nx\n≥\n,\na dalej tak samo jak w III sposobie rozwiązania.\nSchemat punktowania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do całkowitego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci równoważnej (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n1\nx\nx\nx\n≥\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci równoważnej\n• (\n)(\n)\n3\n2\n1\n5\n7\n3\n0\nx\nx\nx\nx\n≥\nalbo\n• (\n)(\n)\n2\n2\n3\n2\n1\n3\n2\n1\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n≥\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze nierówność w postaci równoważnej (\n) (\n)\n3\n1\n3\n0\nx\nx\n≥\nalbo\n• wyznaczy\nwszystkie\npierwiastki\nwielomianu\n( )\n4\n3\n2\n6\n12\n10\n3\nW x\nx\nx\nx\nx\ni naszkicuje wykres tego wielomianu (lub wykresy odpowiednich czynników tego\nwielomianu).\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności:\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,3\n1\n,\nx\nIV sposób rozwiązania\nNaszkicujmy w układzie współrzędnych wykresy funkcji\n( )\n2\n3\n2\nf\nx\nx\nx\noraz\n( )\n1\ng x\nx\n-, przekształcając odpowiednio parabolę o równaniu\n2\n3\n2\ny\nx\nx\noraz prostą\no równaniu\n1\ny\nx\nPonieważ\n(\n)(\n) (\n)\n2\n2\n3\n1\n2\n4\n3\n2\n1\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n, więc parabola przecina oś Ox w punktach\n(\n)\n1,0 i (\n)\n2,0 , a jej wierzchołkiem jest punkt (\n)\n3\n1\n2\n4\n,-\n1\n2\n3\n1\n2\nx\ny\n0\n1\ny\nx\n2\n3\n2\ny\nx\nx\n1\n2\n3\n1\n2\nx\ny\n0\n1\ny\nx\n2\n3\n2\ny\nx\nx\nRys. 1.\nRys. 2.\nWykresy funkcji f i g przecinają się tylko w dwóch punktach: (\n)\n1,0 , (\n)\n3,2 . Wystarczy\nwykazać, że równanie\n2\n3\n2\n1\nx\nx\nx\nma tylko dwa rozwiązania. Równanie to jest\nrównoważne alternatywie równań\n2\n3\n2\n1\nx\nx\nx\n- lub\n2\n3\n2\n1\nx\nx\nx\n= -+ ,\n2\n4\n3\n0\nx\nx\nlub\n2\n2\n1\n0\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n1\n3\n0\nx\nx\nlub (\n)\n2\n1\n0\nx -\nStąd\n1\nx = lub\n3\nx =\nSchemat punktowania IV sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do całkowitego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający narysuje w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji\n( )\n2\n3\n2\nf\nx\nx\nx\ni ( )\n1\ng x\nx\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający odczyta z rysunku zbiór rozwiązań nierówności\n( )\n( )\nf x\ng x\n≥\n:\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,3\n1\n,\nx\n,\nale nie uzasadni, że wykresy funkcji f i g mają tylko dwa punkty wspólne.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający odczyta z rysunku zbiór rozwiązań nierówności\n( )\n( )\nf x\ng x\n≥\n:\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,3\n1\n,\nx\noraz uzasadni, że wykresy funkcji f i g mają tylko dwa punkty wspólne.\nUwagi:\n1. Akceptujemy przyjęcie bez uzasadnienia, że dla\n2\nx >\nwykresy funkcji f i g przecinają się\nw jednym punkcie (\n)\n3,2 . Wymagamy natomiast uzasadnienia, że dla\n2\nx ≤\nwykresy tych\nfunkcji mają tylko jeden punkt wspólny. Zdający może np. zauważyć, że prosta o równaniu\n1\ny\nx\n- jest styczna do paraboli o równaniu\n2\n3\n2\ny\nx\nx\nw punkcie (\n)\n1,0 tej\nparaboli,\ngdyż\npochodna\nfunkcji kwadratowej\n( )\n2\n3\n2\nh x\nx\nx\njest\nrówna\n( )\n2\n3\nh x\nx\n′\n+ , a punkt (\n)\n1,0 leży na prostej o równaniu\n1\ny\nx\n-, na wykresie funkcji h\noraz\n( )1\n2 1 3\n1\nh′\n= -⋅+\n2. Jeżeli błędnie odczyta odciętą jednego z punktów wspólnych wykresów funkcji f i g i nie\nuzasadni, że wykresy tych funkcji mają tylko dwa punkty przecięcia, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\nZadanie 10. (0-3)\nDany jest ciąg (\n)\nn\na\nokreślony dla każdej liczby całkowitej\n1\n≥\nn\n, w którym\n4\n4\na =\noraz dla\nkażdej liczby\n1\n≥\nn\nprawdziwa jest równość\n4\n1\nn\na\na\nn\nn\n. Oblicz pierwszy wyraz ciągu\n(\n)\nn\na\ni ustal, czy ciąg ten jest malejący.\nRozwiązanie\nPonieważ\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"planimetria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość.\nWynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego\nostrosłupa jest równy\nA.\n3\n3\nB.\n3\n2\nC. 1\n2\nD. 1\n3\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy A. √3/3, B. √3/2, C. 1/2, D. 1/3.","answer":"A","answer_text":"4 =\na\ni\n4\n3\n3\n4\n= a\na\n, więc\n5\n3 =\na\nAnalogicznie\n4\n2\n2\n3\n= a\na\n, więc\n7\n2 =\na\noraz\n4\n1\n1\n2\n= a\na\n, zatem\n10\n1 =\na\nPonieważ\n5\n4\n4\n4\n4\na\na\na\n, więc ciąg ten nie jest malejący.\nUwaga:\nMożemy też zauważyć, że\n4\n1\nn\na\na\nn\nn\n. Różnica ta jest ujemna tylko dla\n4\nn <\n, a więc\ntylko pierwsze cztery wyrazy tego ciągu maleją. Dla\n4\nn =\nróżnica jest równa 0, co oznacza,\nże czwarty i piąty wyraz ciągu jest taki sam. Ciąg ten nie jest zatem malejący.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• obliczy trzeci wyraz ciągu:\n5\n3 =\na\nalbo\n• uzasadni, że ciąg nie jest malejący.\nUwaga:\nZdający nie musi odwoływać się do definicji ciągu malejącego, wystarczy, że zauważy np., że\n5\n4\na\na\nlub zapisze, że dla\n4\nn =\nróżnica\n4\n1\nn\na\na\nn\nn\njest równa 0, albo że dla\n4\nn >\nróżnica jest dodatnia.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy pierwszy wyraz ciągu:\n10\n1 =\na\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy obliczy pierwszy wyraz ciągu\n10\n1 =\na\noraz uzasadni, że ciąg nie jest malejący.\nZadanie 11. (0-3)\nDany jest sześcian ABCDEFGH. Przez wierzchołki A i C oraz środek K krawędzi BF\npoprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną BH w punkcie P (zobacz rysunek).\nWykaż, że\n:\n1:3\nBP\nHP =\nRozwiązanie\nPunkt P leży w płaszczyźnie DBFH i jest punktem przecięcia przekątnej BH z odcinkiem KL,\ngdzie L to środek przekątnej BD ściany ABCD.\nOdcinek KL łączy środki boków BD i BF trójkąta DBF, więc jest równoległy do boku DF.\nTo oznacza, że trójkąt LBK jest podobny do trójkąta DBF w skali 1:2. Zatem\n1\n2\nBP\nBS\nPunkt S to środek przekątnej BH sześcianu, więc\n1 1\n1\n2 2\n4\nBP\nBH\nBH\n⋅\n. Stąd wynika, że\n:\n1:3\nBP\nHP =\n. To kończy dowód.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\nK\nP\nL\nP\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\nK\nS\nUwaga:\nTezę możemy udowodnić też w inny sposób.\nSposób I\nNiech M oznacza punkt przecięcia prostych LK i HF.\nWówczas trójkąty LBK i MFK są przystające, gdyż oba są prostokątne,\nLKB\nMKF\n\n\n(kąty wierzchołkowe) i KB\nKF\n. Stąd wynika, że\n1\n2\nFM\nLB\nDB\nTrójkąty LBP i MHP są podobne (\nLBP\nMHP\n\n\ni\nBLP\nHMP\n\n\n, gdyż są to pary\nkątów naprzemianległych, a proste LB i HM są równoległe). Stąd\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n3\n1\n2\n2\n1\n3\nDB\nDB\nBP\nLB\nHP\nHM\nHF\nFM\nDB\nDB\nTo kończy dowód.\nSposób II\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWtedy\n1\n2\nBK\na\n,\n2\nDB\na\n,\n1\n2\n2\nDB\na\n. Zatem\n2\ntg\n2\n2\nHD\na\nDB\na\nα =\ni\n1\n2\n1\n2\n2\ntg\n2\n2\na\nKB\nLB\na\nβ =\n,\na więc tg\ntg\nα\nβ\n. Stąd wynika, że α\nβ\n, gdyż α i β to katy ostre. Stąd z kolei wynika, że\ntrójkąt LBP jest równoramienny, więc spodek Q wysokości PQ tego trójkąta jest środkiem\nodcinka LB. Zatem\n1\n1\n2\n4\nQB\nLB\nDB\nTrójkąty BPQ i BHD są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołku B), więc\n1\n4\n1\n4\nDB\nBP\nQB\nHB\nDB\nDB\nStąd wynika, że\n:\n1:3\nBP\nHP =\nD\nP\nK\nH\nF\na\nL\nB\n1\n2 a\nα\nβ\nQ\nD\nP\nK\nH\nF\nM\nL\nB\nSposób III\nPoprowadźmy odcinek łączące środki przeciwległych boków prostokąta BFHD.\nPrzecinają się one w punkcie S, który jest środkiem przekątnej BH tego prostokąta. Punkt P\njest natomiast środkiem przekątnej prostokąta BKSL. Stąd wynika, że\n1\n4\nBP\nBH\ni\n3\n4\nHP\nBH\nTo oznacza, że\n:\n1:3\nBP\nHP =\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zauważy, że P jest punktem przecięcia przekątnej BH z odcinkiem KL, gdzie L to środek\nprzekątnej BD.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy\n• zapisze, że trójkąty LBK i DBF są podobne w skali 1: 2\nalbo\n• zapisze, że odcinek KL jest obrazem odcinka FD w jednokładności o środku B i skali 1\n2 ,\nalbo\n• wykaże, że trójkąt LBP jest równoramienny np. wykaże, że\nPBL\nPLB\n\n\n,\nalbo\n• poprowadzi odcinki łączące środek przekątnej BH z punktami K i L\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wykaże, że\n:\n1:3\nBP\nHP =\nS\nD\nP\nK\nH\nF\na\nL\nB\nZadanie 12. (0-4)\nLiczba m jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania\n0\n1\n)1\n(\n2\n2\nx\nk\nx\nk\n, gdzie\n0\n≠\nk\nWyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem\nm\nx\nf\n2\n)\n(\nRozwiązanie\nRównanie\n2\n2\n(\n1)\n1\n0\nk x\nk\nx\nz niewiadomą x ma dwa rozwiązania rzeczywiste\n1x ,\n2x wtedy i tylko wtedy, gdy\n0\nk ≠\ni (\n)\n2\n2\n1\n4\n0\nk\nk\n>\n, a więc dla\n(\n) (\n)\n1\n3\n1,0\n0,\nk ∈-\n∪\n. Suma\nm odwrotności rozwiązań jest określona wtedy, gdy\n1\n2\n0\nx x ≠\n, a więc (ze wzoru Viete’a) gdy\n2\n1\n0\nk\n≠\n. To zachodzi dla każdej wartości\n(\n) (\n)\n1\n3\n1,0\n0,\nk ∈-\n∪\n. Zatem\n(\n)\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n1\n1\nk\nk\nk\nx\nx\nm\nk\nx\nx\nx x\nFunkcja f jest więc określona wzorem\n( )\n(\n)\n( )\n1\n1\n1\n2\n2\nk\nk\nf k\ndla\n(\n) (\n)\n1\n3\n1,0\n0,\nk ∈-\n∪\nWykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji wykładniczej ( ) ( )\n1\n2\nk\ng k =\no wektor\n[\n]\n1,0\nu =\n\n, a następnie biorąc ten fragment otrzymanego wykresu, który odpowiada\nargumentom\n(\n) (\n)\n1\n3\n1,0\n0,\nk ∈-\n∪\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n1\n2\n3\n4\n5\nk\ny\n0\n( )\n1\n2\nk\ny =\n( )\n( )\n1\n1\n2\nk\nf k\n( )\n1\n1\n2\nk\ny\n1\n3\n3 4\nFunkcja h, określona wzorem\n( )\n(\n)\n( )\n1\n1\n1\n2\n2\nk\nk\nh k\njest malejąca,\n(\n) ( )\n1 1\n1\n2\n1\n4\nh\n,\n( ) ( )\n1\n1\n2\n0\n2\nh\n,\n( ) ( )\n1\n3\n1\n2\n3\n3\n1\n1\n3\n2\n2\n4\nh\n, więc zbiorem wartości funkcji f jest\n(\n)\n(\n)\n3 4,2\n2,4\n∪\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający rozwiąże nierówność\n0\nΔ >\n:\n{ }\n1\n1,\n\\ 0\n3\nk\n\n\n∈-\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający wyznaczy sumę odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania w zależności\nod k:\nnp.\n1\n2\n1\n1\n1\nk\nx\nx\nRozwiązanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy wartości funkcji wykładniczej h, określonej wzorem\n( ) ( )\n1\n1\n2\nk\nh k\ndla\nargumentów\n1\n1, 0, 3\n: (\n)\n1\n4\nh -\n( )\n0\n2\nh\n, ( )\n3\n1\n3\n4\nh\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wykorzysta monotoniczność funkcji wykładniczej i wyznaczy zbiór wartości\nfunkcji f: (\n) { }\n3 4,4 \\ 2 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze i rozwiąże warunek\n0\nΔ ≥\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje co\nnajwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie sumę odwrotności różnych rozwiązań danego\nrównania, ale utworzy funkcję wykładniczą o niepopranym wzorze, to za całe rozwiązanie\notrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n3. Jeżeli zdający nie uwzględni warunku\n0\nk ≠\ni wyznaczy zbiór wartości:(\n)\n3 4,4 , to za całe\nrozwiązanie otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający błędnie rozwiąże nierówność\n0\nΔ >\n, ale przy wyznaczaniu zbioru wartości\nfunkcji uwzględni warunek\n0\nk ≠\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje co najwyżej 3 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"stereometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-1)\nGranica\n3\n2\n5\n7\n3\nlim\n1\n2\n3\n4\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n→∞\njest równa\nA. -∞\nB.\n7\n4\nC. 0\nD. +∞\nA\nB\nC\nα\n6\nα\nD\n10\n12\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R\nGranica lim_{n→∞} (-7n^3+3n / 1+2n+3n^2+4n^5) jest równa A. -∞, B. -{7/4}, C. 0, D. +∞.","answer":"C","answer_text":"5. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże nierówność\n0\nΔ >\ni warunek\n0\nk ≠\nuwzględni dopiero\nprzy wyznaczaniu zbioru wartości funkcji f, to może otrzymać maksymalną liczbę\npunktów za całe rozwiązanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny (\n)\nna\nokreślony dla\n1\nn ≥, w którym iloraz jest\nrówny pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz\npierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego\nwyniku.\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) określony dla n≥1, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.","answer":null,"answer_text":"6. Jeżeli zdający niepoprawnie rozwiąże nierówność\n0\nΔ >\ni przy wyznaczaniu zbioru\nwartości funkcji nie uwzględni warunku\n0\nk ≠\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje co\nnajwyżej 2 punkty.","solution":"923","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nDane są zdarzenia losowe\n,\nA B ⊂Ω takie, że\n( )\n2\n7\nP A =\ni\n(\n)\n3\n5\nP A\nB\n∪\n. Oblicz\n(\n)\nP B A ,\ngdzie zdarzenie\nB A oznacza różnicę zdarzeń B i A. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry\npo przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R\nDane są zdarzenia losowe A,B ⊂ Ω takie, że P(A) = 2/7 i P(A∪B) = 3/5. Oblicz P(A/B), gdzie zdarzenie B/A oznacza różnicę zdarzeń B i A. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":null,"answer_text":"7. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy sumę odwrotności dwóch różnych pierwiastków\nrównania w zależności od k, zapisze wzór funkcji f, stosując inną interpretację zmiennej\nniż przedstawiona w powyższym rozwiązaniu, to może otrzymać maksymalną liczbę\npunktów za całe rozwiązanie.","solution":"314","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nWykaż, że dla , , ,\n0\na b c d >\nprawdziwa jest nierówność\na\nb\nc\nd\nac\nbd\n⋅\n≥\n\nMMA_1R\nWykaż, że dla a,b,c,d > 0 prawdziwa jest nierówność √(a+b)⋅√(c+d) ≥ √(ac) + √(bd).","answer":null,"answer_text":"8. Akceptujemy następujące interpretacje.\nI sposób interpretacji\nZa taką odpowiedź zdający powinien otrzymać maksymalną punktację. Jeśli przyjąć, że\nrównanie\n0\n1\n)1\n(\n2\n2\nx\nk\nx\nk\nto równanie z niewiadomą x i parametrem k, gdzie\n0\n≠\nk\n, to\nwtedy funkcja f zmiennej x jest stała i zbiorem jej wartości jest { }\n2m .\nII sposób interpretacji\nJeśli przyjąć, że równanie\n0\n1\n)1\n(\n2\n2\nx\nk\nx\nk\nto równanie z niewiadomą x i parametrem k,\na funkcję f potraktować jako funkcję zmiennej k, to zbiorem wartości funkcji f jest\n(\n)\n(\n)\n3 4,2\n2,4\n∪\n9. Jeśli zdający wyznaczy m w zależności od k (np.\n1\nm\nk\n= -+ ), ale nie zapisze warunku\nistnienia dwóch różnych pierwiastków równania kwadratowego i na tym zakończy, to\notrzymuje 1 punkt.\nZadanie 13. (0-3)\nRozwiąż nierówność (\n)(\n)\n2sin\n3\n2sin\n1\n0\nx\nx\n>\nw przedziale\n(0,2π)\nx∈\nRozwiązanie I sposób ( metoda podstawienia )\nPodstawmy sin x\nt\n= , otrzymamy nierówność (\n)(\n)\n2\n3\n2\n1\n0\nt\nt\n>\nStąd\n1\n3\n,\n,\n2\n2\nt\n\n\n\n\n∈-∞-\n∪\n+∞\n\n\n\n\n\n\n\n\n, czyli\n1\nsin\n2\nx < -\nlub\n3\nsin\n2\nx >\nNierówność\n3\nsin\n2\nx >\njest sprzeczna, zatem rozwiązujemy nierówność\n1\nsin\n2\nx < -\nw przedziale\n(\n)\n0,2π\nx∈\n-1\n1\nx\ny\n6\nπ\n2\nπ\nπ\n3\n2\nπ\n2π\n1\n2\nRozwiązanie:\n7π 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp, ale nie zostały pokonane zasadnicze\ntrudności zadania 1 p.\nZdający poda rozwiązanie nierówności (\n)(\n)\n2\n3\n2\n1\n0\nt\nt\n>\n:\n1\n3\n,\n,\n2\n2\nt\n\n\n\n\n∈-∞-\n∪\n+∞\n\n\n\n\n\n\n\n\ni zapisze go za pomocą alternatywy nierówności\n1\nsin\n2\nx < -\nlub\n3\nsin\n2\nx >\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\n• zauważy, że nierówność\n3\nsin\n2\nx >\njest sprzeczna\nalbo\n• rozwiąże nierówność\n1\nsin\n2\nx < -\n:\n7π 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\nrozwiąże nierówność\n1\nsin\n2\nx < -\n:\n7π 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający zauważy, że nierówność\n3\nsin\n2\nx >\njest sprzeczna i rozwiąże nierówność\n1\nsin\n2\nx < -\n:\n7π 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\nRozwiązanie II sposób „zbiór wartości”\nZdający zauważy, że nierówność 2sin\n3\n0\nx -<\nspełniona jest dla x\nR\n∈\nZatem, aby spełniona była nierówność (\n)(\n)\n2sin\n3\n2sin\n1\n0\nx\nx\n>\nwystarczy rozwiązać\nwarunek 2sin\n1\n0\nx + <\nStąd\n1\nsin\n2\nx < -\n, czyli\n7π 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\nSchemat punktowania\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający:\n• zauważy, że nierówność 2sin\n3\n0\nx -<\nspełniona jest dla x\nR\n∈\nalbo\n• rozwiąże nierówność\n1\nsin\n2\nx < -\n:\n7π 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający zauważy, że nierówność 2sin\n3\n0\nx -<\nspełniona jest dla x\nR\n∈\ni rozwiąże\nnierówność\n1\nsin\n2\nx < -\n:\n7π 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\nZadanie 14. (0-4)\nW trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości\nprzeciwprostokątnej jest równy 1\n2 . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.\nRozwiązanie (I sposób)\nSporządzamy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia.\nBez zmniejszania ogólności rozwiązania możemy założyć, że a\nb\n>\n. Otrzymujemy zatem\nrównanie\n1\n2\na\nb\nc\n,\nktóre jest równoważne równaniu\n1\n2\na\nb\nc\nc\nOznacza to, że\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα\n, a stąd wynika, że\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα\n. Podstawiamy tę\nzależność do tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= i otrzymujemy równanie\n2\n3\n2 cos\ncos\n0\n4\nα\nα\nTo równanie ma dwa rozwiązania:\n1\n7\ncos\n4\nα\n,\n1\n7\ncos\n4\nα\nPonieważ α jest kątem ostrym, więc drugie rozwiązanie należy odrzucić. Pozostaje obliczyć\ncosinus drugiego kąta ostrego. Ale\n90\nβ\nα\n° -\n, więc cos\nsin\nβ\nα\n⋅\na\nb\nc\nβ\nα\nZ równości\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα\notrzymujemy\n1\n7\n1\n1\n7\ncos\nsin\n4\n2\n4\nβ\nα\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny\nna drodze do pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze równość\n1\n2\na\nb\nc\nw postaci\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα\ni na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający podstawi równość\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα\ndo tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= i doprowadzi\notrzymane równanie do postaci uporządkowanego równania kwadratowego, np.\n2\n3\n2 cos\ncos\n0\n4\nα\nα\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze dwa rozwiązania tego równania\n1\n7\ncos\n4\nα\n,\n1\n7\ncos\n4\nα\noraz odrzuci ujemne rozwiązanie tego równania i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy i zapisze cosinusy obu kątów ostrych tego trójkąta:\n1\n7\ncos\n4\nα\n,\n1\n7\ncos\n4\nβ\nRozwiązanie (II sposób)\nSporządzamy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia.\nBez straty ogólności rozwiązania możemy założyć, że a\nb\n>\n. Otrzymujemy zatem równanie\n1\n2\na\nb\nc\n,\nZ tej równości wyznaczamy\n2\nc\na\nb\n. Ponieważ dany trójkąt jest trójkątem prostokątnym,\nwięc stosujemy twierdzenie Pitagorasa i mamy:\n2\n2\n2\n2\nc\nb\nb\nc\n\n\n\n\n\n\n,\nktóre jest równoważne równaniu\n2\n2\n3\n4\n8\n0\nc\nbc\nb\nOtrzymane równanie można potraktować jako równanie kwadratowe z niewiadomą c\ni parametrem b. Wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie równania\n(\n)\n2\n2\n112\n4\n7\nb\nb\nΔ =\n,\njest liczbą dodatnią (\n0\nb >\n), więc istnieją dwa rozwiązania tego równania:\n(\n)\n1\n2\n1\n7\n4\n4\n7\n6\n3\nb\nb\nb\nc\noraz\n(\n)\n2\n2\n1\n7\n4\n4\n7\n6\n3\nb\nb\nb\nc\nPonieważ\n2 0\nc < , więc to rozwiązanie należy odrzucić, bo c jest długością boku w trójkącie.\nObliczamy zatem cosinusy obu kątów ostrych tego trójkąta, stosując definicję funkcji cosinus\nw trójkącie prostokątnym:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n3 1\n7\n3\n1\n7\ncos\n12\n4\n2\n1\n7\n2 1\n7\n3\nb\nb\nc\nb\nα\nPodstawiamy\n(\n)\n2\n1\n7\n3\nb\nc\ndo równości\n2\nc\na\nb\ni otrzymujemy\n(\n)\n4\n7\n3\nb\na\nZatem cosinus drugiego kąta ostrego jest równy:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n4\n7\n3 1\n7\n4\n7\n1\n7\n3\ncos\n12\n4\n2\n1\n7\n2 1\n7\n3\nb\na\nc\nb\nβ\n⋅\na\nb\nc\nβ\nα\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny\nna drodze do pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze równość\n1\n2\na\nb\nc\n, a następnie wyznaczy z niej jedną zmienną np.\n2\nc\na\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający skorzysta z twierdzenia Pitagorasa i doprowadzi równanie\n2\n2\n2\n2\nc\nb\nb\nc\n\n\n\n\n\n\ndo\nrównania kwadratowego z niewiadomą c i parametrem b\n2\n2\n3\n4\n8\n0\nc\nbc\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze dodatnie rozwiązanie tego równania\n(\n)\n1\n2\n1\n7\n3\nb\nc\n, a następnie obliczy\ncosinus kąta α :\n1\n7\ncos\n4\nb\nc\nα\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy i zapisze cosinusy obu kątów ostrych tego trójkąta:\n1\n7\ncos\n4\nα\n,\n1\n7\ncos\n4\nβ\nZadanie 15. (0-4)\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują\ndokładnie trzy cyfry nieparzyste.\nRozwiązanie (I sposób)\nRozpatrujemy dwa przypadki:\na) Jeśli pierwszą cyfrą jest cyfra nieparzysta, którą możemy wybrać na 5 sposobów, to\nz czterech pozostałych miejsc wybieramy dwa, na które wstawiamy cyfry nieparzyste.\nMożemy to zrobić na\n25 sposobów. Na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy\ncyfry parzyste na","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nRozwiąż nierówność |x^2-3x+2| ≥ |x-1|.","answer":null,"answer_text":"9 2 3\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający przeprowadzi pełny dowód.\nUwaga:\nJeżeli zdający przy podnoszeniu prawej strony nierówności do kwadratu otrzymuje wyrażenie\nbd\nac +\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nZadanie 9. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\nI sposób rozwiązania\nZauważmy, że nierówność możemy zapisać w postaci równoważnej kolejno jako:\n1\n2\n1\n≥\n⋅\nx\nx\nx\n,\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n≥\n⋅\nx\nx\nPonieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność\n0\n1 ≥\nx\n, więc\nnierówność\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n≥\n⋅\nx\nx\njest równoważna nierówności\n0\n1\n2\n≥\nx\n, czyli\n1","solution":"$x \\in (-\\infty, 1\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"bezwgledna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nDany jest ciąg (\n)\nn\na\nokreślony dla każdej liczby całkowitej\n1\n≥\nn\n, w którym\n4\n4\na =\noraz dla\nkażdej liczby\n1\n≥\nn\nprawdziwa jest równość\n4\n1\nn\na\na\nn\nn\n. Oblicz pierwszy wyraz ciągu\n(\n)\nn\na\ni ustal, czy ciąg ten jest malejący.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nDany jest ciąg (a_n) określony dla każdej liczby całkowitej n≥1 , w którym a_4=4 oraz dla każdej liczby n≥1 prawdziwa jest równość a_{n+1} = a_n + n - 4. Oblicz pierwszy wyraz ciągu (a_n) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.","answer":null,"answer_text":"10 11 12 13 14 15 16 17\n-10\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\ny\n0\n(\n)\n5\n11\n4\n7\ny\nx\n11\n5\n6\n0\nx\ny\nA\nB\nC\nS\n19\n2\n90\n0\nx\ny\nNiech\n(\n)\n1\n2\n,\nC\nc c\n. Punkt C leży na prostej BC, która jest prostopadła do w prostej o równaniu\n2\n19\n52\n0\nx\ny\n(zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka A tego trójkąta). Prosta\nBC jest prostopadła do prostej o równaniu 2\n19\n52\n0\nx\ny\n, więc wektor BC\n\nma\nwspółrzędne\n[\n]\n2,19\nBC\nk\n⋅\n\noraz\n[\n]\n1\n2\n4,\n7\nBC\nc\nc\n\nZatem\n[\n]\n[\n]\n1\n2\n4,\n7\n2,19\nc\nc\nk\n⋅\n,\n1\n2\n4\n2,\n7\n19\nc\nk\nc\nk\n⋅\n⋅\n,\n1\n2\n2\n4,\n19\n7\nc\nk\nc\nk\nPunkt C ma współrzędne\n(\n)\n2\n4,19\n7\nC\nk\nk\nNiech S będzie środkiem odcinka AB. Ze wzorów na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n7\n4\n2\n7\n3\n9\n,\n,\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nA\nB\nA\nB\nx\nx\ny\ny\nS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nProsta AB ma równanie postaci\n(\n)\n(\n) (\n)\n7\n2\n4\n7\n4\n7\ny\nx\n, czyli\n(\n)\n5\n4\n7\n11\ny\nx\nSymetralna odcinka AB jest prostopadła do prostej o równaniu\n(\n)\n5\n4\n7\n11\ny\nx\ni przechodzi przez punkt S, zatem ma postać\n11\n3\n9\n5\n2\n2\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n,\n11\n6\n5\n5\ny\nx\nZatem\n(\n)\n11\n6\n19\n7\n2\n4\n5\n5\nk\nk\n,\n(\n)\n95\n35\n11 2\n4\n6\nk\nk\n,\n95\n22\n35\n44\n6\n35\nk\nk\n,\n73\n73\nk =\n,\n1\nk = .\nUwaga:\nObliczenia, gdy prosta SC ma postać 11\n5\n6\n0\nx\ny\n(\n)\n(\n)","solution":"$a_1 = 10$, ciąg nie jest malejący","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-3)\nDany jest sześcian ABCDEFGH. Przez wierzchołki A i C oraz środek K krawędzi BF\npoprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną BH w punkcie P (zobacz rysunek).\nWykaż, że\n:\n1:3\nBP\nHP =\nP\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\nK\n\nMMA_1R\nDany jest sześcian ABCDEFGH. Przez wierzchołki A i C oraz środek K krawędzi BF poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną BH w punkcie P (zobacz rysunek).","answer":null,"answer_text":"11 2\n4\n5 19\n7\n6\n0\nk\nk\n,\n22\n44\n95\n35\n6\n0\nk\nk\n,\n73\n73\nk =\n,\n1\nk = .\nStąd punkt C ma współrzędne\n(\n)\n(\n)\n2 1\n4,19 1 7\n6,12\nC =\n⋅+\n⋅-\nSchemat punktowania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze:\n• prosta BC jest prostopadła do prostej o równaniu 2\n19\n52\n0\nx\ny\n, więc wektor BC\n\nma współrzędne\n[\n]\n2,19\nBC\nk\n⋅\n\nalbo\n• współrzędne punktu C , np.:\n(\n)\n1\n2\n,\nC\nc c\noraz współrzędne wektora BC\n\nw postaci, np.\n[\n]\n1\n2\n4,\n7\nBC\nc\nc\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu C w zależności od parametru k,\nnp.\n(\n)\n2\n4,19\n7\nC\nk\nk\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.\nZdający wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: 11\n5\n6\n0\nx\ny\ni wstawi współrzędne\npunktu\n(\n)\n2\n4,19\n7\nC\nk\nk\ndo tego równania.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołka C: (\n)\n6,12\nUwaga:\nZdający może przeprowadzić następujące rozważania.\nPunkt C leży na prostej BC, która jest prostopadła do w prostej o równaniu 2\n19\n52\n0\nx\ny\n(wysokości opuszczonej z wierzchołka A tego trójkąta).\nPunkt C ma współrzędne\n(\n)\n1\n2\n,\nC\nc c\nProsta BC jest prostopadła do prostej o równaniu 2\n19\n52\n0\nx\ny\n, więc wektor BC\n\nmoże\nmieć współrzędne\n[\n]\n2,19\nBC =\n\noraz\n[\n]\n1\n2\n4,\n7\nBC\nc\nc\n\nZatem\n[\n] [\n]\n1\n2\n4,\n7\n2,19\nc\nc\n,\n1\n2\n4\n2,\n7\n19\nc\nc\n,\n1\n2\n6,\n12\nc\nc\nPunkt C może mieć współrzędne\n(\n)\n6,12\nC =\nNastępnie należy sprawdzić jeden z warunków :\na) czy zachodzi równość AC\nBC\n,\nb) czy punkt\n(\n)\n6,12\nC =\nleży na symetralnej podstawy AB.\nSprawdzenie warunku AC\nBC\nObliczamy\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n7\n12\n2\n13\n14\n169\n196\n365\nAC =\noraz\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n4\n12\n7\n2\n19\n4\n361\n365\nBC =\nStąd AC\nBC\ni punkt\n(\n)\n6,12\nC =\n-14 -13 -12 -11 -10 -9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10 11 12 13 14 15 16 17\n-10\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\ny\n0\n(\n)\n5\n11\n4\n7\ny\nx\n11\n5\n6\n0\nx\ny\nA\nB\nC\nS\n19\n2\n90\n0\nx\ny\nSprawdzenie czy punkt\n(\n)\n6,12\nC =\nleży na symetralnej podstawy AB.\nWyznaczamy równanie symetralnej SC.\nNiech S będzie środkiem odcinka AB. Ze wzorów na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n7\n4\n2\n7\n3\n9\n,\n,\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nA\nB\nA\nB\nx\nx\ny\ny\nS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nProsta AB ma równanie postaci\n(\n)\n(\n) (\n)\n7\n2\n4\n7\n4\n7\ny\nx\n, czyli\n(\n)\n5\n4\n7\n11\ny\nx\nSymetralna odcinka AB jest prostopadła do tej i przechodzi przez punkt S, zatem ma postać\n11\n3\n9\n5\n2\n2\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n,\n11\n6\n5\n5\ny\nx\nlub 11\n5\n6\n0\nx\ny\nSprawdzamy, czy współrzędne punktu\n(\n)\n6,12\nC =\nspełniają równanie symetralnej:\n11\n6\n66\n6\n6\n12\n5\n5\n5\ny\n⋅-\n. Zatem wierzchołek C ma współrzędne: (\n)\n6,12 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający tylko poda współrzędne punktu\n(\n)\n6,12\nC =\n, to może otrzymać co najwyżej\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poda współrzędne punktu\n(\n)\n6,12\nC =\ni konsekwentnie sprawdzi czy\nzachodzi równość AC\nBC\n, to może otrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający poda współrzędne punktu\n(\n)\n6,12\nC =\n, wyznaczy równanie symetralnej\npodstawy AB i konsekwentnie sprawdzi, czy punkt C leży na tej symetralnej, to może\notrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie.\nZadanie 17. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2π . Oblicz\npromień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.\nRozwiązanie\nNiech r oraz h oznaczają, odpowiednio, promień i wysokość walca (\n0\nr >\ni\n0\nh >\n). Ponieważ\npole P powierzchni całkowitej tego walca jest określone wzorem\n2\n2π\n2π\nP\nr\nrh\n, więc\notrzymujemy równanie\n2\n2π\n2π\n2π\nr\nrh\n, które jest równoważne równaniu\n2\n1\nr\nrh\n. Z tego\nrównania wyznaczamy wysokość walca,\n2\n1\nr\nh\nr\n. Zauważamy, że nierówność\n0\nh >\njest\nrównoważna nierówności 0\n1\nr\n<\n< . Objętość walca równą\n2\nπ\nV\nr h\nzapisujemy jako\nfunkcję zmiennej r :\n( )\n2\n2\n3\n1\nπ\nπ\nπ\nr\nV\nr\nr\nr\nr\nr\n⋅\n, gdzie 0\n1\nr\n<\n< .\nPochodna tej funkcji jest określona wzorem\n( )\n(\n)\n2\nπ 1 3\nV\nr\nr\ndla 0\n1\nr\n<\n< . Dla\n3\n3\nr =\npochodna funkcji przyjmuje wartość zero. Ponadto, dla\n3\n0\n3\nr\n<\n<\npochodna funkcji\nprzyjmuje wartości dodatnie, zaś dla\n3\n1\n3\nr\n< < wartości dodatnie. Oznacza to, że w punkcie\n3\n3\nr =\nobjętość V tego walca osiąga maksimum lokalne. To maksimum lokalne jest\njednocześnie największą wartością funkcji\n( )\n3\nπ\nπ\nV r\nr\nr\nw przedziale (\n)\n0, 1 , ponieważ dla\n3\n0\n3\nr\n<\n≤\nfunkcja V jest rosnąca, a dla 3\n1\n3\nr\n≤< jest malejąca.\nZatem, przy danym polu powierzchni całkowitej, największą objętość ma walec, którego\npromień podstawy równa się\n3\n3\nr =\n. Jeżeli\n3\n3\nr =\n, to\n2 3\n3\nh =\n. Największa objętość tego\nwalca jest więc równa\n2 3 π\n9\nV =\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\na) Pierwszy etap składa się z trzech części:\n• zapisanie równania\n2\n2π\n2π\n2π\nr\nrh\n,\n• zapisanie objętości danego walca jako funkcji jednej zmiennej, np.\n( )\n2\n2\n3\n1\nπ\nπ\nπ\nr\nV\nr\nr\nr\nr\nr\n⋅\n,\n• zapisanie, że dziedziną funkcji ( )\nV r jest przedział (\n)\n0,1 .\nZa zapisanie poprawnego równania w pierwszej części tego etapu zdający otrzymuje\n1 punkt. Za poprawne zapisanie objętości rozważanego walca w drugiej części tego etapu\nzdający otrzymuje 1 punkt, o ile pierwsza część etapu została zrealizowana bezbłędnie. Punkt\nza trzecią część zdający otrzymuje niezależnie od realizacji dwóch pierwszych części.\nb) Drugi etap składa się z trzech części:\n• zapisanie wzoru pochodnej funkcji ( )\nV r , np.:\n( )\n(\n)\n2\nπ 1\n3\nV\nr\nr\n,\n• zapisanie, że w przedziale (\n)\n0, 1 pochodna funkcji V ma jedno miejsce zerowe\n3\n3\nr =\n,\n• zapisanie, że funkcja\n( )\nV r osiąga w punkcie\n3\n3\nr =\nmaksimum lokalne\ni uzasadnienie, że to maksimum lokalne jest jednocześnie największą wartością tej\nfunkcji.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nc) Trzeci etap:\n1 punkt zdający otrzyma za zapisanie, że dla\n3\n3\nr =\nwalec ma największą objętość równą\n2 3 π\n9\nV =\nUwaga:\nPunkty za realizację danego etapu przyznajemy tylko wówczas, gdy zdający rozwiązał\npoprawnie poprzedni etap zadania.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nLiczba m jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania\n0\n1\n)1\n(\n2\n2\nx\nk\nx\nk\n, gdzie\n0\n≠\nk\nWyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem\nm\nx\nf\n2\n)\n(\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nLiczba m jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania k^2x^2 + (k-1)x + 1 = 0, gdzie k ≠ 0. Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem f(m) = 2^m.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$(\\sqrt[3]{4}, 4) \\setminus \\{2\\}$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":11,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-3)\nRozwiąż nierówność (\n)(\n)\n2sin\n3\n2sin\n1\n0\nx\nx\n>\nw przedziale\n(0,2π)\nx∈\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nRozwiąż nierówność (2*sin x - 3)(2*sin x + 1) > 0 w przedziale x∈(0,2π).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x \\in \\left(\\dfrac{7\\pi}{6}, \\dfrac{11\\pi}{6}\\right)$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"trygonometria","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"14","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-4)\nW trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości\nprzeciwprostokątnej jest równy 1\n2 . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nW trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 1/2. Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"49\n\nx\nc\n\n-⋅\n2\nx\nc\n⋅\n43 1849\nx\nc\n2\n8\nx\nc\n16\n\nx\nc\n\n-⋅\n2\nx\nc\n⋅\n38 1444\n,","solution":"$\\cos\\alpha = \\dfrac{-1+\\sqrt{7}}{4}$, $\\cos\\beta = \\dfrac{1+\\sqrt{7}}{4}$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"15","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-4)\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują\ndokładnie trzy cyfry nieparzyste.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"28750","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"16","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-5)\nPunkty\n(\n)\n7, 2\nA = -\ni\n(\n)\n4, 7\nB =\nsą wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego\nABC, a wysokość opuszczona z wierzchołka A tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu\n2\n19\n52\n0\nx\ny\n. Oblicz współrzędne wierzchołka C.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nPunkty A=(-7,-2) i B=(4,-7) są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego ABC, a wysokość opuszczona z wierzchołka A tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x+19y+52 = 0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$C = (6, 12)$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-16.svg","topics":"analityczna","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"17","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2π . Oblicz\npromień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2π. Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Promień: $r = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}$, Objętość: $V = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{9}\\pi$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-17.svg","topics":"optymalizacja","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}