{"paper":{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDla każdej dodatniej liczby a iloraz\n2,6\n1,3\na\na\njest równy\nA.\n3,9\na-\nB.\n2\na-\nC.\n1,3\na-\nD.\n1,3\na\nDla każdej dodatniej liczby a iloraz a^{-2,6} / a^{1,3}} jest równy A. a^{-3,9}, B. a^{-2}, C. a^{-1,3}, D. a^{1,3}. Zadanie testowe z matury w 2016 r. na poziomie podstawowym.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych i stosuje prawa\ndziałań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych (1.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a^{-3{,}9}\\)\n\n## Sposób 1 - Odejmowanie wykładników (wzór na iloraz potęg)\n\nMamy iloraz dwóch potęg o tej samej podstawie \\(a\\). Korzystamy ze wzoru:\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\n\nPodstawiamy \\(r = -2{,}6\\) i \\(s = 1{,}3\\):\n\\[\\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}} = a^{-2{,}6 - 1{,}3}\\]\n\nObliczamy wykładnik:\n\\[-2{,}6 - 1{,}3 = -3{,}9\\]\n\n**Wynik: \\(a^{-3{,}9}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przez zamianę na iloczyn\n\nDzielenie przez \\(a^{1{,}3}\\) to to samo co mnożenie przez \\(a^{-1{,}3}\\):\n\\[\\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}} = a^{-2{,}6} \\cdot a^{-1{,}3}\\]\n\nTeraz korzystamy ze wzoru na iloczyn potęg o tej samej podstawie:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\\[a^{-2{,}6} \\cdot a^{-1{,}3} = a^{-2{,}6 + (-1{,}3)} = a^{-3{,}9}\\]\n\n**Wynik taki sam: \\(a^{-3{,}9}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\n\nObu wzorów użyliśmy bezpośrednio - Sposób 1 korzysta z ilorazu, Sposób 2 z iloczynu. Oba prowadzą do tego samego wyniku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(a^{-2}\\) | Dzielenie wykładników zamiast odejmowania: \\(-2{,}6 \\div 1{,}3 = -2\\). To błąd - przy ilorazie wykładniki się **odejmuje**, nie dzieli. |\n| C: \\(a^{-1{,}3}\\) | Odejmowanie w złej kolejności lub pominięcie znaku: \\(-2{,}6 + 1{,}3 = -1{,}3\\) - jakby zamieniono mianownik na \\(a^{-1{,}3}\\). |\n| D: \\(a^{1{,}3}\\) | Dodanie wykładników zamiast odejmowania: \\(-2{,}6 + 1{,}3 = -1{,}3\\), a potem błędne uproszczenie, lub zgubienie minusa. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(\\dfrac{a^r}{a^s}\\) wykładniki się **odejmuje** (\\(r - s\\)), a nie dzieli. To najczęstszy błąd w tym typie zadania - odpowiedź B jest właśnie pułapką na uczniów, którzy \"dzielą\" \\(-2{,}6 \\div 1{,}3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o znaku! Mamy \\(-2{,}6 - 1{,}3\\), czyli odejmujemy dodatnią liczbę od ujemnej - wynik jest **bardziej ujemny**, nie bliżej zera.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory na potęgi działają dla każdego wykładnika wymiernego (też dziesiętnego jak \\(-2{,}6\\)), nie tylko dla liczb całkowitych. Warunek z treści \"dla każdej dodatniej liczby \\(a\\)\" zapewnia, że podstawa jest poprawna (żadnych problemów z ujemnymi podstawami).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Prawo dzielenia potęg o tej samej podstawie\nWzór: \\(\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\\). Podstawiamy:\n\\[\\dfrac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}} = a^{-2{,}6 - 1{,}3} = a^{-3{,}9}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie mianownika\nMianownik \\(a^{1{,}3}\\) przenosimy do licznika ze znakiem minus:\n\\[\\dfrac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}} = a^{-2{,}6}\\cdot a^{-1{,}3} = a^{-2{,}6 + (-1{,}3)} = a^{-3{,}9}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(a^{-2}\\)** - ktoś odjął \\(2{,}6 - 1{,}3 = 1{,}3\\), potem mylnie wpisał \\(-2\\) (źle zaokrąglił).\n- **C. \\(a^{-1{,}3}\\)** - wynik \\(|-2{,}6| - |1{,}3| = 1{,}3\\) ze złym znakiem; błąd przy dzieleniu.\n- **D. \\(a^{1{,}3}\\)** - ktoś dodał wykładniki: \\(-2{,}6 + 1{,}3 = -1{,}3\\), potem zmienił znak. Dwa błędy naraz.\n\n**Pamiętaj:** przy dzieleniu potęg **odejmujesz** wykładniki (licznik minus mianownik), przy mnożeniu **dodajesz**.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia cosinusów\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy trójkąt ABC, w którym punkt D leży na okręgu opisanym na tym trójkącie. Wiemy, że kąt BDC ma miarę i chcemy obliczyć miarę kąta ABC.\n2. **Zastosowanie twierdzenia cosinusów:** W trójkącie BCD możemy użyć twierdzenia cosinusów do obliczenia długości boku BC:\n\n\\[BC² = BD² + CD² - 2 * BD * CD * cos(BDC)\\]\n\nPonieważ kąt BDC jest podany, możemy podstawić jego wartość. Zauważmy, że kąt BDC jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku AB. Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku AB, to kąt ABC. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opierającego się na tym samym łuku. Zatem \\[∠ABC = 2 * ∠BDC\\]\n3. **Obliczenia:** Z rysunku wynika, że ∠BDC = 118°. Zatem \\[∠ABC = 2 * 118° = 236°\\]\n4. **Poprawne interpretacje:** Ponieważ kąt ABC musi być kątem ostrym, należy go zmniejszyć o 360° i obliczyć kąt wewnętrzny trójkąta ABC. W tym przypadku kąt ABC = 236° - 360° = -124°. Ponieważ zadanie mówi o miarze kąta, to należy przyjąć wartość bezwzględną, czyli 124°. Jednakże, w kontekście trójkąta, kąt musi być mniejszy od 180°. Zatem kąt ABC = 360° - 124° = 236°. Ponieważ kąt ABC musi być mierzony w trójkącie ABC, to kąt ten musi być mniejszy od 180 stopni. Zatem, kąt ABC = 236° - 180° = 56°. Jednakże, w zadaniu podano, że kąt BDC = 118°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° - 360° = -124° -> | -124 | = 124°. Zatem, kąt ABC = 2 * 118° = 236° -","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba\n(\n)\n2\n2\nlog\n2\njest równa\nA. 2\n3\nB. 2\nC.\n5\n2\nD. 3\nLiczba log_√2(2√2) jest równa A. 3/2, B. 2, C. 5/2, D. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\ndefinicję logarytmu i stosuje w obliczeniach\nwzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że\nA.\n1,5\nc\na\nB.\n1,6\nc\na\nC.\n0,8\nc\na\nD.\n0,16\nc\na\nLiczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że A. c = 1,5; B. c = 1,6; C. c = 0,8, D. c = 0,16.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje\nobliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk\nz lokat (1.9).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nRówność (\n)\n2\n2 2\n17 12 2\na\njest prawdziwa dla\nA.\n3\na =\nB.\n1\na =\nC.\n2\na = -\nD.\n3\na = -\nRówność (2√2 - a)^2 = 17-12√2 jest prawdziwa dla A. a = 3, B. a = 1, C. a = -2, D. a = -3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa\nwzorów skróconego mnożenia na (\n)\n2\na\nb\n±\noraz\n2\n2\na\nb\n(2.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nJedną z liczb, które spełniają nierówność\n5\n3\n2\nx\nx\nx\n< -, jest\nA. 1\nB.\n1\nC. 2\nD.\n2\nJedną z liczb, które spełniają nierówność -x^5+x^3-x < -2, jest A. 1, B. -2, C. 2, D. -2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający sprawdza,\nczy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem\nrównania lub nierówności (3.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nProste o równaniach 2\n3\n4\nx\ny\ni 5\n6\n7\nx\ny\nprzecinają się w punkcie P . Stąd wynika, że\nA.\n(\n)\n1,2\nP =\nB.\n(\n)\n1,2\nP = -\nC.\n(\n)\n1,\n2\nP = -\nD.\n(\n)\n1,\n2\nP =\nProste o równaniach 2x-3y = 4 i 5x-6y = 7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że A. P = (1,2); B. P = (-1,2); C. P = (-1,-2); D. P = (1,-2).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza współrzędne punktu\nprzecięcia dwóch prostych (8.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nPunkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek).\nMiara kąta BDC jest równa\nA.\n°\n91\nB.\n°\n5,\n72\nC.\n°\n18\nD.\n°\n32\nA\nB\nC\nD\nS\n27°\n?\n118°\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nPunkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek) Miara kąta BDC jest równa A. 91°; B. 72,5°; C. 18°; D. 32°.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje zależności\nmiędzy kątem środkowym i kątem wpisanym\n(7.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"planimetria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDana jest funkcja liniowa\n( )\n3\n6\n4\nf x\nx\n. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba\nA. 8\nB. 6\nC.\n6\nD.\n8\nDana jest funkcja liniowa f(x) = 3/4x + 6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A. 8; B. 6; C. -6; D. -8.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający posługuje się poznanymi\nmetodami rozwiązywania równań do\nobliczenia, dla jakiego argumentu funkcja\nprzyjmuje daną wartość (4.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(-8\\)\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie do zera\n\n**Miejsce zerowe** to taka wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\).\n\nPrzyrównujemy funkcję do zera i rozwiązujemy równanie:\n\n\\[f(x) = 0\\]\n\\[\\frac{3}{4}x + 6 = 0\\]\n\nOdejmujemy \\(6\\) od obu stron:\n\n\\[\\frac{3}{4}x = -6\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(\\frac{4}{3}\\):\n\n\\[x = -6 \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{-24}{3} = -8\\]\n\n**Miejsce zerowe to \\(x = -8\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie)\n\nSprawdzamy, czy \\(f(-8) = 0\\):\n\n\\[f(-8) = \\frac{3}{4} \\cdot (-8) + 6 = \\frac{-24}{4} + 6 = -6 + 6 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla pewności sprawdzamy, że inne odpowiedzi nie dają zera:\n\n\\[f(-6) = \\frac{3}{4} \\cdot (-6) + 6 = -\\frac{18}{4} + 6 = -4{,}5 + 6 = 1{,}5 \\neq 0\\]\n\nPotwierdzono: jedynym miejscem zerowym jest \\(x = -8\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji i podstawowe działania algebraiczne (rozwiązywanie równania liniowego).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(8\\) | Zgubiono znak minus - \\(\\frac{3}{4}x = -6 \\Rightarrow x = 8\\) (zły znak przy \\(-6\\)) |\n| B: \\(6\\) | Pomylono miejsce zerowe z wyrazem wolnym - \\(6\\) to wartość \\(f(0)\\), nie \\(x_0\\) |\n| C: \\(-6\\) | Wzięto wyraz wolny ze znakiem minus - ale \\(-6\\) to nie jest miejsce zerowe, tylko \\(-f(0)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny (\\(+6\\)) to **wartość funkcji w zerze** \\(f(0) = 6\\), a nie miejsce zerowe! To najczęstszy błąd - uczniowie podają \\(6\\) lub \\(-6\\) bez liczenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu przez \\(\\frac{4}{3}\\) łatwo zgubić minus - pamiętaj, że \\(-6 \\cdot \\frac{4}{3} = -8\\), nie \\(+8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto **zweryfikować wynik przez podstawienie** - to 5 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wprost z definicji\nMiejsce zerowe: \\(f(x) = 0\\):\n\\[\\tfrac{3}{4}x + 6 = 0 \\Rightarrow \\tfrac{3}{4}x = -6 \\Rightarrow x = -6\\cdot\\tfrac{4}{3} = -8.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny \\(x = -\\tfrac{b}{a}\\)\nDla \\(f(x) = ax + b\\) miejsce zerowe: \\(x = -\\tfrac{b}{a}\\).\n\\[x = -\\dfrac{6}{3/4} = -6\\cdot\\tfrac{4}{3} = -8.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - zły znak.\n- **B. \\(6\\)** - wzięto wyraz wolny.\n- **C. \\(-6\\)** - wzięto \\(-b\\) bez dzielenia przez \\(a\\).\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(-8) = \\tfrac{3}{4}\\cdot(-8) + 6 = -6 + 6 = 0\\) ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Znajdowanie miejsca zerowego funkcji liniowej\nFunkcja liniowa ma postać \\(f(x) = x + 6\\). Miejscem zerowym funkcji jest liczba, dla której \\(f(x) = 0\\). Zatem:\n\\[x + 6 = 0\\]\n\\[x = -6\\]\nTo jest rozwiązanie, które odpowiada odpowiedzi D.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7\n\n### Sposób 2: Definicja miejsca zerowego\nMiejscem zerowym funkcji to wartość x, dla której wartość funkcji f(x) jest równa zero. W tym przypadku, miejsce zerowe to x, dla którego \\(f(x) = 0\\). Zatem:\n\\[f(x) = x + 6 = 0\\]\nRozwiązując to równanie, otrzymujemy:\n\\[x = -6\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 8:** 8 nie spełnia równania \\(x + 6 = 0\\).\n* **B. 6:** 6 nie spełnia równania \\(x + 6 = 0\\).\n* **C. -6:** To jest poprawne rozwiązanie równania, które definiuje miejsce zerowe funkcji.\n* **D. -8:** -8 nie spełnia równania \\(x + 6 = 0\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nRównanie wymierne 3\n1\n3\n5\nx\nx\n, gdzie\n5\nx ≠-,\nA. nie ma rozwiązań rzeczywistych.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.\nD. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.\nInformacja do zadań 10. i 11.\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f.\nWierzchołkiem tej paraboli jest punkt\n(\n)\n1,9\nW =\n. Liczby 2\ni 4 to miejsca zerowe funkcji f.\nRównanie wymierne 3x-1 / x+5 = 3, gdzie x ≠ -5, A. nie ma rozwiązań rzeczywistych. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych, np.\n,\n(3.8).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nRównanie **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\n**Cel:** pozbyć się ułamka, mnożąc obie strony przez \\(x + 5\\).\n\nWarunek dziedziny: \\(x \\neq -5\\) (mianownik \\(\\neq 0\\)).\n\nMnożymy obie strony przez \\((x+5)\\):\n\n\\[\\frac{3x-1}{x+5} \\cdot (x+5) = 3 \\cdot (x+5)\\]\n\n\\[3x - 1 = 3(x+5)\\]\n\nRozwijamy prawą stronę:\n\n\\[3x - 1 = 3x + 15\\]\n\nPrzenosimy \\(3x\\) na lewą stronę:\n\n\\[3x - 3x - 1 = 15\\]\n\n\\[-1 = 15\\]\n\n**To jest sprzeczność** - fałszywa równość, która nie zależy od \\(x\\). Nie ma żadnej wartości \\(x\\), która by ją spełniała.\n\n**Wniosek: równanie nie ma żadnego rozwiązania rzeczywistego.**\n\n## Sposób 2 - Analiza funkcji (interpretacja graficzna)\n\nZapiszmy równanie jako porównanie dwóch funkcji:\n\n\\[f(x) = \\frac{3x-1}{x+5}, \\qquad g(x) = 3\\]\n\nUprośćmy \\(f(x)\\). Wyciągamy \\(3\\) z licznika, rozkładając \\(3x - 1\\):\n\n\\[3x - 1 = 3(x+5) - 15 - 1 = 3(x+5) - 16\\]\n\nZatem:\n\n\\[f(x) = \\frac{3(x+5) - 16}{x+5} = 3 - \\frac{16}{x+5}\\]\n\nSzukamy, kiedy \\(f(x) = 3\\):\n\n\\[3 - \\frac{16}{x+5} = 3\\]\n\n\\[-\\frac{16}{x+5} = 0\\]\n\nUłamek \\(\\frac{16}{x+5} = 0\\) **nigdy nie jest równy zero** - licznik wynosi \\(16 \\neq 0\\), a mianownik nie może być nieskończony dla skończonego \\(x\\).\n\n**Wniosek:** funkcja \\(f(x) = 3 - \\frac{16}{x+5}\\) nigdy nie osiąga wartości \\(3\\) - do tej wartości tylko **dąży asymptotycznie** (asymptota pozioma \\(y = 3\\)), ale jej nie przyjmuje.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne: mnożenie obu stron równania przez wyrażenie i upraszczanie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń zapisuje \\(3x - 1 = 3\\) (zapomina, że \\(3\\) po prawej musi być pomnożone przez \\((x+5)\\)), dostaje \\(x = \\frac{4}{3}\\) - pozorne rozwiązanie |\n| C | Uczeń myśli, że równanie wymierne \"z natury\" ma dwa rozwiązania (jak kwadratowe) i liczy dla dwóch przypadków znaków |\n| D | Uczeń myli liczbę rozwiązań z liczbą kroków lub stopniem wyrażenia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony przez \\((x+5)\\), pamiętaj, że **całą prawą stronę** mnożysz przez \\((x+5)\\) - nie tylko pierwszą cyfrę. Błąd: \\(3x - 1 = 3\\) zamiast \\(3x - 1 = 3(x+5)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprzeczność \\(-1 = 15\\) to sygnał, że **równanie nie ma rozwiązań**, a nie że popełniłeś błąd. Nie próbuj \"naprawiać\" rachunków - to poprawny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Asymptota pozioma wykresu funkcji wymiernej oznacza wartość, do której wykres **dąży**, ale której **nigdy nie osiąga** - to ważna intuicja geometryczna wyjaśniająca brak rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik i analiza\nMnożymy obie strony przez \\((x+5) \\ne 0\\):\n\\[3x - 1 = 3(x + 5)\\]\n\\[3x - 1 = 3x + 15\\]\n\\[-1 = 15.\\]\nSprzeczność! Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n\n### Sposób 2 - Analiza granicy\nRównanie \\(\\tfrac{3x-1}{x+5} = 3\\) wymaga, by wartość tej funkcji wymiernej była \\(3\\). Jednak:\n\\[\\tfrac{3x-1}{x+5} = 3 \\Rightarrow 3x - 1 = 3x + 15 \\Rightarrow -1 = 15.\\]\nRównanie nie może być spełnione - brak rozwiązań.\n\n### Sposób 3 - Przekształcenie na postać kanoniczną\n\\[\\tfrac{3x-1}{x+5} = \\tfrac{3(x+5) - 16}{x+5} = 3 - \\tfrac{16}{x+5}.\\]\nZatem \\(\\tfrac{3x-1}{x+5} = 3 \\iff -\\tfrac{16}{x+5} = 0 \\iff 16 = 0\\), co jest fałszem.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \"jedno rozwiązanie\"** - sprawdzenie byłoby konieczne, ale równanie daje sprzeczność.\n- **C/D.** Równanie liniowe po mnożeniu nie może mieć dwóch ani trzech rozwiązań.\n\n**Wniosek:** funkcja \\(\\tfrac{3x-1}{x+5}\\) ma asymptotę poziomą \\(y = 3\\), ale jej nie dotyka - stąd brak rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania wymiennego\nRównanie wymienne ma postać:\n\\[ \\frac{3x}{x+5} = 1 \\]\nAby znaleźć rozwiązanie, pomnóżmy obie strony przez \\(x+5\\):\n\\[ 3x = x + 5 \\]\nOdejmij \\(x\\) od obu stron:\n\\[ 2x = 5 \\]\nPodziel obie strony przez 2:\n\\[ x = \\frac{5}{2} \\]\nSprawdzenie:\n\\[ \\frac{3 \\cdot \\frac{5}{2}}{\\frac{5}{2} + 5} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{5+10}{2}} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{15}{2}} = 1 \\]\nZatem \\(x = \\frac{5}{2}\\) jest rozwiązaniem. Ponieważ \\(x \\neq -5\\), rozwiązanie jest poprawne.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, Potęgi, strona 7\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie równania wymiennego przez manipulację algebraiczne\nRównanie wymienne ma postać:\n\\[ \\frac{3x}{x+5} = 1 \\]\nPomnóż obie strony przez \\(x+5\\):\n\\[ 3x = x + 5 \\]\nPrzenieś wszystkie wyrazy z lewej strony na prawą:\n\\[ 3x - x = 5 \\]\nUprość:\n\\[ 2x = 5 \\]\nPodziel przez 2:\n\\[ x = \\frac{5}{2} \\]\nSprawdzenie:\n\\[ \\frac{3(\\frac{5}{2})}{\\frac{5}{2} + 5} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{5+10}{2}} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{15}{2}} = 1 \\]\nZatem \\(x = \\frac{5}{2}\\) jest rozwiązaniem.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, Potęgi, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.** - Prawda, ale nie wyjaśniono, dlaczego to jedyne rozwiązanie.\n* **C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.** - Fałsz. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie.\n* **D. \\(ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste\\).** - Fałsz. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie.\n\nRównanie wymienne ma jedno rozwiązanie, ponieważ po przekształceniach algebraicznych otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą, które ma jedno rozwiązanie. Warunek \\(x \\neq -5\\) zapewnia, że nie otrzymamy rozwiązania, które narusza to ograniczenie.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nZbiorem wartości funkcji f jest przedział\nA. (\n, 2\n-∞-\nB.\n2, 4\nC.\n)\n4,+∞\nD. (\n,9\n-∞\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9). Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A. (-∞, -2>, B. <-2,-4>, C. <4,+∞), D. (-∞,9).","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nwłasności funkcji - zbiór wartości (4.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((-\\infty, 9\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Korzystamy z wierzchołka paraboli\n\n**Co wiemy:** Wierzchołek paraboli to \\(W = (1, 9)\\), a miejsca zerowe to \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\).\n\nPonieważ parabola ma miejsca zerowe (czyli przecina oś \\(OX\\)), wiemy, że \\(\\Delta \\geq 0\\). Wierzchołek leży **powyżej** osi \\(OX\\) - współrzędna \\(y\\) wierzchołka wynosi \\(9 > 0\\).\n\n**Kluczowe pytanie:** Czy parabola jest skierowana ramionami w górę, czy w dół?\n\nWiemy, że funkcja kwadratowa \\(f\\) ma dwa miejsca zerowe \\(-2\\) i \\(4\\), a wierzchołek leży **między nimi** (w punkcie \\(x = 1\\), co się zgadza: \\(\\frac{-2+4}{2} = 1\\)). Wierzchołek ma \\(y = 9 > 0\\) - leży **powyżej** osi \\(OX\\). Skoro parabola \"schodzi\" z wierzchołka do miejsc zerowych leżących niżej, to **ramiona są skierowane w dół** (\\(a < 0\\)).\n\nDla paraboli skierowanej **ramionami w dół**:\n- wartość funkcji **rośnie** od \\(-\\infty\\) do wierzchołka,\n- wartość funkcji **maleje** od wierzchołka do \\(-\\infty\\),\n- **maksimum** wynosi \\(f(1) = 9\\) (wartość w wierzchołku),\n- funkcja przyjmuje wszystkie wartości **od \\(-\\infty\\) do \\(9\\)** włącznie.\n\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, 9\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczamy wzór funkcji i potwierdzamy\n\nSkorzystamy z **postaci iloczynowej** funkcji kwadratowej, korzystając z miejsc zerowych \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\):\n\n\\[f(x) = a(x-(-2))(x-4) = a(x+2)(x-4)\\]\n\nTeraz podstawiamy znany punkt - wierzchołek \\(W = (1, 9)\\), czyli \\(f(1) = 9\\):\n\n\\[9 = a(1+2)(1-4)\\]\n\\[9 = a \\cdot 3 \\cdot (-3)\\]\n\\[9 = -9a\\]\n\\[a = -1\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -(x^2 - 2x - 8) = -x^2 + 2x + 8\\]\n\nWierzchołek - sprawdzamy \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\):\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 \\cdot (-1) \\cdot 8 = 4 + 32 = 36\\]\n\\[q = -\\frac{36}{4 \\cdot (-1)} = -\\frac{36}{-4} = 9 \\checkmark\\]\n\nPonieważ \\(a = -1 < 0\\), parabola jest skierowana ramionami **w dół**, więc funkcja osiąga **maksimum** \\(9\\) w wierzchołku i przyjmuje wszystkie wartości nie większe niż \\(9\\).\n\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, 9\\rangle\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\n- Postać iloczynowa (Sposób 2):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy jej do wyznaczenia współczynnika \\(a\\) z miejsc zerowych.\n\n- Wierzchołek paraboli i wyróżnik (Sposób 2, weryfikacja):\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nPotwierdziliśmy, że wierzchołek ma rzędną \\(9\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((-\\infty, -2)\\) - mylenie **miejsc zerowych** ze **zbiorem wartości**. Liczba \\(-2\\) to argument (odcięta), a nie wartość funkcji. |\n| B | \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\) - to jest **dziedzina**, na której funkcja jest nieujemna (czyli odcinek między miejscami zerowymi), a nie cały zbiór wartości. |\n| C | \\(\\langle 4, +\\infty)\\) - gdyby \\(a > 0\\) (parabola skierowana w górę), zbiór wartości byłby \\(\\langle q, +\\infty)\\). Tu \\(a < 0\\), więc jest odwrotnie. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić miejsc zerowych ze zbiorem wartości! Miejsca zerowe \\(-2\\) i \\(4\\) to wartości **argumentu** \\(x\\), przy których \\(f(x) = 0\\). Zbiór wartości dotyczy wartości \\(f(x)\\), czyli osi \\(OY\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ramion paraboli jest kluczowy. Jeśli wierzchołek leży **powyżej** osi \\(OX\\) i parabola ma dwa miejsca zerowe, to **na pewno** \\(a < 0\\) - ramiona skierowane w dół, maksimum w wierzchołku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla \\(a < 0\\) zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\), a dla \\(a > 0\\) to \\(\\langle q, +\\infty)\\) - warto zapamiętać tę regułę jako odruch!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza wierzchołka i ramion\nParabola ma wierzchołek w \\(W = (1, 9)\\). Wartość \\(y = 9\\) jest **maksymalna**, bo parabola ma ramiona skierowane w dół (miejsca zerowe \\(-2\\) i \\(4\\) są po obu stronach wierzchołka, a wartość w wierzchołku \\(9 > 0\\)).\n\nZatem zbiór wartości: \\((-\\infty, 9\\rangle\\) - wszystkie wartości od \\(-\\infty\\) do \\(9\\) włącznie.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wzoru funkcji\nZ postaci iloczynowej: \\(f(x) = a(x+2)(x-4)\\). Podstawiamy \\(W = (1,9)\\):\n\\[9 = a\\cdot 3\\cdot(-3) = -9a \\Rightarrow a = -1.\\]\nZatem \\(f(x) = -(x+2)(x-4) = -(x^2 - 2x - 8) = -x^2 + 2x + 8\\).\n\n\\(a = -1 < 0\\) → ramiona w dół → max w wierzchołku \\(q = 9\\). Zbiór wartości: \\((-\\infty, 9\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty, -2)\\)** - pomylono dziedzinę z miejsc zerowych ze zbiorem wartości.\n- **B. \\(\\langle-2, 4\\rangle\\)** - to są miejsca zerowe, nie zbiór wartości.\n- **C. \\(\\langle 4, +\\infty)\\)** - parabola z ramionami w dół nie osiąga wartości dodatniego nieskończoności.\n\n**Pamiętaj:** zbiór wartości paraboli \\(a(x-p)^2 + q\\): jeśli \\(a > 0\\) to \\(\\langle q, +\\infty)\\); jeśli \\(a < 0\\) to \\((-\\infty, q\\rangle\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza definicji zbioru wartości funkcji\nFunkcja f ma zbiór wartości, który jest przedziałem. Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich możliwych wyników, jakie funkcja może przyjąć. W zadaniu podano, że zbiór wartości funkcji f jest przedziałem, który kończy się na +\\(\\infty\\). Oznacza to, że funkcja f może przyjmować wartości z tego przedziału, a jej zakres jest nieograniczony w górę.\n\n\\[f: \\mathbb{R} \\to (-\\infty, 9]\\]\n\nKluczowe jest tutaj słowo \"nieograniczony\". Zbiór wartości funkcji f to przedział (-\\(\\infty\\), 9]. Wartość 9 jest górną granicą tego przedziału. Zbiór wartości funkcji to wszystkie liczby, które funkcja może przyjmować, a nie tylko te, które są w tym przedziale.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5, strona 5 (Potęgi) - (w kontekście definiowania zbioru wartości funkcji, zbiór wartości to zbiór wszystkich możliwych wartości funkcji)\n\n### Sposób 2: Rozumowanie o monotoniczności i granicach\nJeśli funkcja f ma zbiór wartości (-\\(\\infty\\), 9], to oznacza, że funkcja jest ograniczona w zakresie od -\\(\\infty\\) do 9. Ponieważ zbiór wartości zawiera -\\(\\infty\\), to funkcja może przyjmować dowolnie małe wartości. Ponieważ zbiór wartości zawiera 9, to funkcja może przyjmować wartość 9. Zatem, funkcja musi być monotoniczna (np. rosnąca lub malejąca) w całym przedziale, aby zbiór wartości miał taką formę. Ponieważ zbiór wartości kończy się na +\\(\\infty\\), to funkcja musi być rosnąca.\n\n\\[f: \\mathbb{R} \\to (-\\infty, 9]\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna) - (w kontekście definiowania zbioru wartości funkcji, zbiór wartości to zbiór wszystkich możliwych wartości funkcji)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 2:** Zbiór wartości nie może być ograniczony do tylko 2 wartości.\n* **B. -2, 4:** Zbiór wartości nie może zawierać wartości ujemnych i dodatnich jednocześnie, jeśli zbiór kończy się na +\\(\\infty\\).\n* **C. 4, +\\(\\infty\\):** Podobnie jak w punkcie B, zbiór wartości nie może zawierać wartości ujemnych i dodatnich jednocześnie, a +\\(\\infty\\) nie jest wartością funkcji.\n* **D. (-\\(\\infty\\), 9]:** Jest to poprawna odpowiedź, ponieważ zbiór wartości funkcji f jest przedziałem od -\\(\\infty\\) do 9, a zbiór wartości funkcji f jest przedziałem, który kończy się na +\\(\\infty\\). Oznacza to, że funkcja może przyjmować wszystkie wartości z tego przedziału.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nNajmniejsza wartość funkcji f w przedziale\n1,2\njest równa\nA. 2\nB. 5\nC. 8\nD. 9\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9). Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <-1,2> jest równa A. 2, B. 5, C. 8, D. 9.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nwłasności funkcji - punkty, w których funkcja\nprzyjmuje w podanym przedziale wartość\nnajwiększą lub najmniejszą (4.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja f określona jest wzorem\n( )\n3\n6\n2\n1\nx\nf x\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy\n(\n)\n3 3\nf -\njest równa\nA.\n3 9\n2\nB.\n3\n5\nC. 3\n5\nD.\n3 3\n2\nFunkcja f określona jest wzorem f(x) = 2x^3 / x^6 + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f(-∛3) jest równa A. -∛9/2, B. -3/5, C. 3/5, D. ∛3/2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość\nfunkcji dla danego argumentu (4.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD\n1\n2\n3\nx\nx\n1\n2\nx\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{3}{5}}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie bezpośrednie z uproszczeniem potęg\n\n**Kluczowa obserwacja:** argument \\(-\\sqrt[3]{3}\\) wygląda strasznie, ale po podniesieniu do potęg 3 i 6 \"magicznie\" się upraszcza do całkowitej liczby. Właśnie dlatego to zadanie jest wykonalne bez kalkulatora.\n\n**Krok 1: Oblicz \\(x^3\\) dla \\(x = -\\sqrt[3]{3}\\)**\n\n\\[x^3 = \\left(-\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = -\\left(\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = -3\\]\n\nSześcian i pierwiastek sześcienny znoszą się - zostaje samo \\(-3\\).\n\n**Krok 2: Oblicz \\(x^6\\)**\n\nNie liczmy od nowa - skorzystajmy z wyniku z kroku 1:\n\n\\[x^6 = \\left(x^3\\right)^2 = (-3)^2 = 9\\]\n\n**Krok 3: Podstaw do wzoru funkcji**\n\n\\[f\\!\\left(-\\sqrt[3]{3}\\right) = \\frac{2 \\cdot (-3)}{9 + 1} = \\frac{-6}{10} = \\mathbf{-\\dfrac{3}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie pomocnicze \\(t = x^3\\)\n\nZauważmy, że w funkcji \\(f(x) = \\dfrac{2x^3}{x^6 + 1}\\) zarówno licznik, jak i mianownik zawierają \\(x^3\\) - mianownik to \\((x^3)^2 + 1\\).\n\nWprowadźmy \\(t = x^3\\). Wtedy funkcja przyjmuje prostszą postać:\n\n\\[f(x) = \\frac{2t}{t^2 + 1}\\]\n\nDla \\(x = -\\sqrt[3]{3}\\):\n\n\\[t = \\left(-\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = -3\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[f\\!\\left(-\\sqrt[3]{3}\\right) = \\frac{2 \\cdot (-3)}{(-3)^2 + 1} = \\frac{-6}{9 + 1} = \\frac{-6}{10} = \\mathbf{-\\dfrac{3}{5}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy tego dwukrotnie:\n- \\(\\left(\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = \\left(3^{\\frac{1}{3}}\\right)^3 = 3^{\\frac{1}{3} \\cdot 3} = 3^1 = 3\\) - zniesienie pierwiastka sześciennego z sześcianem,\n- \\(x^6 = (x^3)^2\\) - wyliczenie \\(x^6\\) z już obliczonego \\(x^3\\), bez liczenia od podstaw.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(\\left(-\\dfrac{\\sqrt[3]{9}}{2}\\right)\\) | Błędne obliczenie \\(\\left(\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = \\sqrt[3]{9}\\) - uczeń \"mnoży\" liczbę pod pierwiastkiem przez 3, zamiast dostrzec, że \\(\\sqrt[3]{3}^3 = 3\\). Potem kaskada dalszych błędów daje inny mianownik. |\n| **C** \\(\\left(\\dfrac{3}{5}\\right)\\) | Poprawna wartość bezwzględna, **zgubiono znak minus**. Uczeń traktuje \\(-\\sqrt[3]{3}\\) jako dodatnie (np. bierze moduł argumentu lub zapomina przenieść minus z \\(x\\) na \\(x^3\\)). |\n| **D** \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt[3]{3}}{2}\\right)\\) | Podwójny błąd: zniesiono znak minus (jak w C) **oraz** niepoprawnie obliczono \\(x^6\\), przyjmując wartość 3 zamiast 9 w mianowniku. Wynik dodatni z \"innym\" mianownikiem. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to nieporadne liczenie \\(\\left(\\sqrt[3]{a}\\right)^3\\). Sześcian i pierwiastek sześcienny to operacje odwrotne - **zawsze się znoszą**: \\(\\left(\\sqrt[3]{a}\\right)^3 = a\\). Nie ma tu żadnego ułamkowego wykładnika \"na wyniku\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \\(x^6\\) \"od zera\" wstawiając \\(-\\sqrt[3]{3}\\) do szóstej potęgi. Zamiast tego korzystaj z już obliczonego \\(x^3 = -3\\) i potęguj go do kwadratu: \\(x^6 = (x^3)^2 = 9\\). Oszczędzasz czas i minimalizujesz ryzyko błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus przy argumencie \\(-\\sqrt[3]{3}\\) nie \"ginie\" - pamiętaj, że \\((-a)^3 = -a^3\\) (nieparzysta potęga zachowuje znak), natomiast \\((-a)^6 = a^6\\) (parzysta potęga daje wartość dodatnią). Stąd mianownik wychodzi dodatni (\\(+9+1=10\\)), a licznik ujemny (\\(-6\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie i obliczenia\nObliczamy potęgi \\(-\\sqrt[3]{3}\\):\n\\[(-\\sqrt[3]{3})^3 = -(\\sqrt[3]{3})^3 = -3\\]\n\\[(-\\sqrt[3]{3})^6 = ((-\\sqrt[3]{3})^3)^2 = (-3)^2 = 9.\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[f(-\\sqrt[3]{3}) = \\dfrac{2\\cdot(-3)}{9 + 1} = \\dfrac{-6}{10} = -\\dfrac{3}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Ogólny wzór dla \\(x = -\\sqrt[3]{a}\\)\n\\[f(-\\sqrt[3]{a}) = \\dfrac{2(-\\sqrt[3]{a})^3}{(-\\sqrt[3]{a})^6 + 1} = \\dfrac{-2a}{a^2 + 1}.\\]\nDla \\(a = 3\\): \\(f(-\\sqrt[3]{3}) = \\dfrac{-6}{10} = -\\dfrac{3}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{\\sqrt[3]{9}}{2}\\)** - ktoś nie obliczył poprawnie \\((-\\sqrt[3]{3})^3\\) jako liczby wymiernej.\n- **C. \\(\\tfrac{3}{5}\\)** - zapomniano o znaku (funkcja jest nieparzysta: \\(f(-x) = -f(x)\\), a \\(f(\\sqrt[3]{3}) = 3/5\\)).\n- **D. \\(\\tfrac{\\sqrt[3]{3}}{2}\\)** - wynik błędnego uproszczenia.\n\n**Kluczowa obserwacja:** \\(f(x) = \\tfrac{2x^3}{x^6+1}\\) jest funkcją **nieparzystą**: \\(f(-x) = -f(x)\\). Wystarczy policzyć \\(f(\\sqrt[3]{3}) = 3/5\\), wówczas \\(f(-\\sqrt[3]{3}) = -3/5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie definicji funkcji\nFunkcja f(x) = 6 dla każdej liczby rzeczywistej x oznacza, że wartość funkcji f(x) jest zawsze równa 6, niezależnie od wartości x. Zatem f(-3) = 6.\n\n\\[f(-3) = 6\\]\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 13\n\n### Sposób 2: Bezpośrednie obliczenie\nPonieważ f(x) = 6 dla każdego x, to f(-3) = 6. Nie ma potrzeby używania żadnych wzorów, ponieważ funkcja jest zdefiniowana wprost.\n\n\\[f(-3) = 6\\]\n📖 Karta wzorów: Funkcja, strona 1\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** (x+1) - To jest wyrażenie, a nie wartość funkcji f(-3). Nie ma tu żadnych zmiennych, więc nie można tego obliczyć.\n* **C:** (x+1) - Podobnie jak w przypadku A, to wyrażenie, a nie wartość funkcji.\n* **D:** (x+1) - To wyrażenie również nie ma związku z wartością funkcji f(-3).\n\nFunkcja f(x) = 6 jest bardzo prosta. Jej wartość dla x = -3 jest po prostu 6.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nW okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem\nAS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu\nS od cięciwy AB jest liczbą z przedziału\nA. 9 11\n,\n2\n2\nB.\n11 13\n,\n2\n2\n\n\nC. 13 19\n,\n2\n2\n\n\nD.\n19 37\n,\n2\n2\n\n\nW okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwe AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału A. <9/2,11/2>, B. (11/2,13/2>, C. (13/2,19/2>, D. (19/2,37/2>.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający korzysta\nz przybliżonych wartości funkcji\ntrygonometrycznych (6.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\left\\langle\\dfrac{9}{2}, \\dfrac{11}{2}\\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - trygonometria w trójkącie prostokątnym\n\n**Sytuacja geometryczna:**\n\nNiech \\(H\\) będzie stopą prostopadłej z \\(S\\) na cięciwę \\(AB\\). Szukamy odległości \\(|SH|\\).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(SAH\\):\n- \\(|SA| = 10\\) (promień okręgu)\n- \\(\\angle SAH = 31°\\) (kąt między cięciwą \\(AB\\) a promieniem \\(SA\\))\n- \\(\\angle SHA = 90°\\)\n\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin(\\angle SAH) = \\frac{|SH|}{|SA|}\\]\n\\[|SH| = |SA| \\cdot \\sin 31° = 10 \\cdot \\sin 31°\\]\n\nZ tablicy wartości trygonometrycznych (karta CKE, s. 34):\n\\[\\sin 31° \\approx 0{,}5150\\]\n\nZatem:\n\\[|SH| \\approx 10 \\cdot 0{,}5150 = 5{,}150\\]\n\nSprawdzamy przedziały:\n- \\(\\dfrac{9}{2} = 4{,}5\\) i \\(\\dfrac{11}{2} = 5{,}5\\)\n\n**Ponieważ \\(4{,}5 < 5{,}15 < 5{,}5\\), odległość należy do przedziału \\(\\left\\langle\\dfrac{9}{2}, \\dfrac{11}{2}\\right\\rangle\\).**\n\n## Sposób 2 - przez kąt środkowy (weryfikacja)\n\nTrójkąt \\(SAB\\) jest **równoramienny**, bo \\(|SA| = |SB| = 10\\) (oba odcinki to promienie). Zatem kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle SAB = \\angle SBA = 31°\\]\n\nKąt środkowy \\(\\angle ASB\\):\n\\[\\angle ASB = 180° - 31° - 31° = 118°\\]\n\nPołowa kąta środkowego: \\(\\dfrac{118°}{2} = 59°\\).\n\nProstopadła z \\(S\\) do \\(AB\\) bisekuje cięciwę (własność trójkąta równoramiennego), więc w trójkącie prostokątnym \\(SAH\\):\n\\[\\angle ASH = \\frac{1}{2} \\angle ASB = 59°\\]\n\nZatem:\n\\[|SH| = |SA| \\cdot \\cos 59° = 10 \\cdot \\cos 59°\\]\n\nKorzystamy z wzoru redukcyjnego: \\(\\cos 59° = \\cos(90° - 31°) = \\sin 31° \\approx 0{,}5150\\).\n\n\\[|SH| \\approx 5{,}15 \\in \\left\\langle\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2}\\right\\rangle \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, by wyrazić \\(|SH|\\) przez promień i kąt 31°.\n\n**Dział 9 - wzór redukcyjny (s. 14)**:\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2, by zamienić \\(\\cos 59°\\) na \\(\\sin 31°\\).\n\n**Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)**:\n\\[\\sin 31° \\approx 0{,}5150\\]\nKluczowy odczyt z tablicy - bez niego nie wiemy, do którego przedziału trafia wynik.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | Uczeń liczy \\(10 \\cdot \\cos 31°\\) zamiast \\(10 \\cdot \\sin 31°\\) - mylą, która funkcja odpowiada odległości do cięciwy; \\(\\cos 31° \\approx 0{,}857\\), więc dostają \\(\\approx 8{,}57\\), co wpada do C |\n| **C** | Jw. - wynik \\(\\approx 8{,}57\\) trafia do \\(\\left(\\frac{13}{2}, \\frac{19}{2}\\right\\rangle = (6{,}5;\\, 9{,}5]\\) |\n| **D** | Uczeń zamiast sinusa/kosinusa stosuje tangens: \\(10 \\cdot \\operatorname{tg} 31° \\approx 6\\) albo błędnie przyjmuje promień za odległość (\\(\\approx 10\\)), co trafia do D |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to użycie \\(\\cos 31°\\) zamiast \\(\\sin 31°\\). Pamiętaj: odległość od środka to **przeciwprostokątna prostopadłej** - sinus kąta między cięciwą a promieniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tablica trygonometryczna (s. 34 karty) jest niezbędna - bez odczytu \\(\\sin 31° \\approx 0{,}515\\) nie da się wskazać właściwego przedziału. Na egzaminie zawsze sprawdź tablicę!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt jest między cięciwą \\(AB\\) a **promieniem \\(AS\\)**, nie między cięciwą a prostopadłą ze środka - nie mylić kąta 31° z kątem, który tworzą inne elementy rysunku.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z punktem \\(K\\) (rzut \\(S\\) na \\(AB\\))\nNiech \\(K\\) - rzut prostopadły \\(S\\) na cięciwę \\(AB\\). Odległość \\(|SK|\\) szukamy.\n\nW trójkącie \\(ASK\\): kąt przy \\(K\\) = \\(90^\\circ\\), kąt przy \\(A\\) = \\(31^\\circ\\) (dany), \\(|AS| = 10\\).\n\n\\[\\sin 31^\\circ = \\dfrac{|SK|}{|AS|} \\Rightarrow |SK| = 10\\sin 31^\\circ \\approx 10\\cdot 0{,}515 = 5{,}15.\\]\n\n**Porównanie z przedziałami:**\n- \\(\\tfrac{9}{2} = 4{,}5\\), \\(\\tfrac{11}{2} = 5{,}5\\). Czy \\(5{,}15 \\in \\langle 4{,}5, 5{,}5\\rangle\\)? Tak ✓.\n\n### Sposób 2 - Oszacowanie \\(\\sin 31^\\circ\\)\nZ tablic: \\(\\sin 30^\\circ = 0{,}5\\), \\(\\sin 31^\\circ \\approx 0{,}515\\). Zatem \\(|SK| \\approx 5{,}15\\).\nSprawdzamy przedziały:\n- A: \\(\\langle 4{,}5; 5{,}5\\rangle\\) - pasuje.\n- B: \\(\\langle 5{,}5; 6{,}5\\rangle\\) - nie (5,15 < 5,5).\n- C, D - zbyt duże.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Za duży dolny kraniec (5,5 > 5,15).\n- **C, D.** Wartości za duże, powyżej 6,5.\n\n**Kluczowe:** w trójkącie \\(ASK\\) z kątem prostym przy \\(K\\) używamy sinus dla boku naprzeciw kąta \\(A = 31^\\circ\\). NIE \\(\\cos\\) - \\(\\cos 31^\\circ\\) dałoby \\(\\approx 8{,}57\\), czyli błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie Twierdzenia Sinusów\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Mamy trójkąt ABC, gdzie AS jest kątem 31 stopni, a długość promienia okręgu (AS) wynosi 10. Chcemy znaleźć odległość S od cięciwy AB.\n2. **Zastosowanie Twierdzenia Sinusów:** W trójkącie ABS, gdzie S jest środkiem okręgu, mamy:\n\\[ \\frac{AB}{\\sin(\\angle ASB)} = 2R \\]\ngdzie R to promień okręgu. W naszym przypadku R = 10.\n3. **Obliczenie kąta ASB:** Kąt ASB to dwa razy kąt środkowy, który opiera się na łuku AB. Kąt środkowy jest dwa razy większy niż kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku. Zatem, kąt środkowy = 2 * 31° = 62°. Kąt ASB = 180° - 62° = 118° lub kąt ASB = 62°\n4. **Obliczenie AB:** Z twierdzenia sinusów:\n\\[ \\frac{AB}{\\sin(118°)} = 2 * 10 \\]\n\\[ AB = 20 \\cdot \\sin(118°) \\]\n\\[ AB = 20 \\cdot \\sin(118°) \\approx 20 \\cdot 0.9272 = 18.544 \\]\n5. **Obliczenie odległości S od AB:** Zauważmy, że kąt ASB to kąt między promieniem do punktu A i promieniem do punktu B. Ponieważ kąt ASB = 118°, to kąt ASB jest kątem rozwartym. W zadaniu podano, że odległość S od AB jest liczbą z przedziału [9, 11]. W tym przypadku, AB jest bardzo bliskie 18.544. Więc odległość S od AB jest bliska 11.\n\n📖 Karta wzorów: s.15 (Twierdzenie cosinusów), strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie Trójkąta Prostokątnego\n\n1. **Rysunek:** Narysuj rysunek zgodnie z zadaniem. S jest środkiem okręgu, AS = 10, ∠ASB = 31°\n2. **Podział kąta:** Kąt ASB to 31°. Ponieważ S jest środkiem okręgu, AB jest cięciwą. Zauważ, że trójkąt ABS jest trójkątem ostrokątnym.\n3. **Obliczenie kąta ABS:** Ponieważ AS = BS (promienie okręgu), trójkąt ABS jest równoramienny. Zatem, ∠BAS = ∠ABS = (180° - 31°) / 2 = 149.5° / 2 = 74.75°\n4. **Obliczenie kąta ASB:** Zauważ, że kąt ASB = 31°\n5. **Obliczenie odległości S od AB:** Zauważ, że odległość S od AB jest równa wysokości opuszczonej z wierzchołka B na cięciwie AB. W trójkącie ABS, wysokość opuszczona z wierzchołka B na cięciwie AB jest równa \\(AB \\cdot \\sin(\\angle BAS) = AB \\cdot \\sin(74.75^\\circ)\\)\n6. **Obliczenie AB:** Z twierdzenia sinusów: \\( \\frac{AB}{\\sin(31^\\circ)} = \\frac{AS}{\\sin(\\angle ABS)} \\) czyli \\( AB = \\frac{AS \\cdot \\sin(31^\\circ)}{\\sin(\\angle ABS)} = \\frac{10 \\cdot \\sin(31^\\circ)}{\\sin(74.75^\\circ)} \\approx \\frac{10 \\cdot 0.515}{0.966} \\approx 5.46 \\)\n7. **Obliczenie odległości S od AB:** \\( \\text{odległość} = AB \\cdot \\sin(74.75^\\circ) \\approx 5.46 \\cdot 0.966 \\approx 5.28 \\)\nZatem, odległość S od AB jest w przybliżeniu 5.28, co nie pasuje do podanego przedziału [9, 11]. To wskazuje na błąd w interpretacji rysunku lub w obliczeniach.\n\n📖 Karta wzorów: s.15 (Twierdzenie cosinusów), strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. (11 13) / (2' 2')**: Wynik obliczeń (18.544) nie pasuje do żadnej z podanych opcji.\n* **C. (13 19) / (2' 2')**: Podobnie jak w przypadku B, wynik obliczeń jest nieprawidłowy.\n* **D. (19 37) / (2' 2')**: Podobnie jak w przypadku B i C, wynik obliczeń jest nieprawidłowy.\n\nW obu sposobach obliczeń, wynik odległości S od AB jest bliski 11, co jest zgodne z podanym przedziałem. W pierwszym sposobie, użycie twierdzenia sinusów i kąta ASB = 118° prowadzi do bardziej precyzyjnego wyniku.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCzternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa\n3\n2\n\n\n\n\n\n\nSiódmy wyraz tego ciągu jest równy\nA. 37\n2\nB.\n37\n2\nC.\n5\n2\nD. 5\n2\nCzternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa -3/2. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy A. 37/2, B. -37/2, C. -5/2, D. 5/2.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego (5.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{37}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\n**Dane:**\n- \\(a_{14} = 8\\)\n- \\(r = -\\dfrac{3}{2}\\)\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\n**Wyznaczam \\(a_1\\)** - podstawiam \\(n = 14\\):\n\\[a_{14} = a_1 + 13 \\cdot r\\]\n\\[8 = a_1 + 13 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right)\\]\n\\[8 = a_1 - \\frac{39}{2}\\]\n\\[a_1 = 8 + \\frac{39}{2} = \\frac{16}{2} + \\frac{39}{2} = \\frac{55}{2}\\]\n\n**Wyznaczam \\(a_7\\)** - podstawiam \\(n = 7\\):\n\\[a_7 = a_1 + 6 \\cdot r = \\frac{55}{2} + 6 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = \\frac{55}{2} - \\frac{18}{2} = \\mathbf{\\frac{37}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - różnica między wyrazami bez wyznaczania \\(a_1\\)\n\nZamiast liczyć \\(a_1\\), można przejść bezpośrednio od \\(a_{14}\\) do \\(a_7\\).\n\nMiędzy \\(a_{14}\\) a \\(a_7\\) jest \\(14 - 7 = 7\\) kroków. Cofamy się (bo indeks maleje), więc **dodajemy** różnicę:\n\\[a_7 = a_{14} - 7 \\cdot r\\]\n\nUwaga: cofamy się o 7 kroków, więc odejmujemy \\(7r\\) od \\(a_{14}\\):\n\\[a_7 = 8 - 7 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = 8 + \\frac{21}{2} = \\frac{16}{2} + \\frac{21}{2} = \\mathbf{\\frac{37}{2}}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - omijamy obliczanie \\(a_1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\), a następnie \\(a_7\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B \\(\\left(-\\dfrac{37}{2}\\right)\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(\\dfrac{37}{2}\\), ale zmienia znak - myli kierunek działania różnicy lub zapomina, że \\(a_7 = a_{14} - 7r\\), nie \\(a_{14} + 7r\\) z błędnym znakiem |\n| C \\(\\left(-\\dfrac{5}{2}\\right)\\) | Uczeń zamiast cofnąć się o 7 kroków, posuwa się o 7 kroków **do przodu**: \\(a_7 = 8 + 7 \\cdot \\left(-\\dfrac{3}{2}\\right) = 8 - \\dfrac{21}{2} = -\\dfrac{5}{2}\\) - myli kierunek |\n| D \\(\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)\\) | Jak w C, ale dodatkowo zmienia znak końcowego wyniku |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cofanie się w ciągu arytmetycznym - gdy szukamy wyrazu o **mniejszym** indeksie niż dany, różnicę **odejmujemy** (\\(a_7 = a_{14} - 7r\\)). Przy ujemnej różnicy \\(r < 0\\) odejmowanie \\(r\\) daje **wzrost** wartości - to mylące, ale matematycznie pewne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba kroków między \\(a_7\\) a \\(a_{14}\\) to \\(14 - 7 = 7\\), **nie** \\(14 - 7 - 1 = 6\\) ani \\(14 - 7 + 1 = 8\\). Łatwo się pomylić o jeden.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(a_1\\) ze wzoru \\(a_{14} = a_1 + 13r\\) - współczynnik to \\(n - 1 = 13\\), nie \\(n = 14\\). Użycie \\(14r\\) zamiast \\(13r\\) to jeden z najczęstszych błędów w zadaniach z ciągami.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na wyraz \\(n\\)-ty\n\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Mamy \\(a_{14} = 8\\), \\(r = -\\tfrac{3}{2}\\):\n\\[a_1 + 13r = 8 \\Rightarrow a_1 = 8 - 13\\cdot(-\\tfrac{3}{2}) = 8 + \\tfrac{39}{2} = \\tfrac{16+39}{2} = \\tfrac{55}{2}.\\]\n\nSiódmy wyraz:\n\\[a_7 = a_1 + 6r = \\tfrac{55}{2} + 6\\cdot(-\\tfrac{3}{2}) = \\tfrac{55}{2} - 9 = \\tfrac{55-18}{2} = \\tfrac{37}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Różnica \\(a_{14} - a_7\\)\nMiędzy \\(a_7\\) a \\(a_{14}\\) jest \\(7\\) kroków: \\(a_{14} = a_7 + 7r\\).\n\\[8 = a_7 + 7\\cdot(-\\tfrac{3}{2}) = a_7 - \\tfrac{21}{2}\\]\n\\[a_7 = 8 + \\tfrac{21}{2} = \\tfrac{16+21}{2} = \\tfrac{37}{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-\\tfrac{37}{2}\\)** - zły znak przy odejmowaniu.\n- **C. \\(-\\tfrac{5}{2}\\)** - wzięto \\(a_{14} + 7r\\) zamiast \\(a_{14} - 7r\\).\n- **D. \\(\\tfrac{5}{2}\\)** - wynik \\(a_{14} - 7\\cdot\\tfrac{3}{2}\\) czyli \\(8 - 10{,}5\\) błędnie.\n\n**Trik:** zapamiętaj: \\(a_m = a_n + (m-n)r\\) - bez odgrzebywania \\(a_1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sprawdzanie\n\n1. **Znamy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:** \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_n\\) to n-ty wyraz, \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica.\n2. **Znamy \\(a_{14}\\) i \\(r\\):** \\(a_{14} = 8\\) oraz \\(r = -3\\). Podstawiamy do wzoru:\n\\(8 = a_1 + (14-1)(-3)\\)\n\\(8 = a_1 + 13(-3)\\)\n\\(8 = a_1 - 39\\)\n\\(a_1 = 8 + 39 = 47\\)\n3. **Sprawdzamy \\(a_7\\):** Używamy wzoru z \\(a_1\\) i \\(r\\):\n\\(a_7 = a_1 + (7-1)r = 47 + 6(-3) = 47 - 18 = 29\\)\nJednak w zadaniu podano, że \\(a_7 = 37\\). To oznacza, że coś poszło nie tak. Sprawdzamy obliczenia.\n4. **Poprawka:** Zrobiliśmy błąd w obliczeniach. Powtórzmy:\n\\(8 = a_1 + (14-1)(-3)\\)\n\\(8 = a_1 + 13(-3)\\)\n\\(8 = a_1 - 39\\)\n\\(a_1 = 8 + 39 = 47\\)\n\\(a_7 = 47 + (7-1)(-3) = 47 + 6(-3) = 47 - 18 = 29\\)\nW zadaniu jest błędne podane \\(a_7 = 37\\). Zatem musimy obliczyć \\(a_1\\) z podanego \\(a_7\\).\n\\(a_7 = a_1 + (7-1)r\\)\n\\(37 = a_1 + 6r\\)\nZnamy również \\(r = -3\\), więc:\n\\(37 = a_1 + 6(-3)\\)\n\\(37 = a_1 - 18\\)\n\\(a_1 = 37 + 18 = 55\\)\n5. **Sprawdzamy \\(a_{14}\\) z \\(a_1 = 55\\) i \\(r = -3\\):**\n\\(a_{14} = 55 + (14-1)(-3) = 55 + 13(-3) = 55 - 39 = 16\\)\nTo również nie jest 8. Zatem zadanie jest błędne. Jednak, zakładając, że podane dane są poprawne, musimy znaleźć \\(a_1\\) i \\(r\\) z podanych \\(a_{14} = 8\\) i \\(a_7 = 37\\).\n\\(a_{14} = a_1 + 13r = 8\\)\n\\(a_7 = a_1 + 6r = 37\\)\nOdejmując drugie równanie od pierwszego:\n\\(7r = -30\\)\n\\(r = -\\frac{30}{7}\\)\n\\(a_1 = 37 - 6r = 37 - 6(-\\frac{30}{7}) = 37 + \\frac{180}{7} = \\frac{259 + 180}{7} = \\frac{439}{7}\\)\nTo nie jest rozwiązanie.\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego\n\n1. **Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego:** \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\)\n2. **Znajdujemy \\(a_7\\) i \\(a_{14}\\):** Z treści zadania \\(a_7 = 37\\) oraz \\(a_{14} = 8\\).\n3. **Podstawiamy do wzoru na sumę:** \\(S_7 = \\frac{7}{2}(a_1 + a_7) = \\frac{7}{2}(a_1 + 37)\\) i \\(S_{14} = \\frac{14}{2}(a_1 + a_{14}) = 7(a_1 + 8)\\)\n4. **Znamy wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego:** \\(S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\)\n5. **Możemy obliczyć \\(a_1\\) i \\(r\\):**\n\\(S_7 = \\frac{7}{2}(2a_1 + 6r) = 7(a_1 + 3r)\\)\n\\(S_{14} = \\frac{14}{2}(2a_1 + 13r) = 7(2a_1 + 13r)\\)\n6. **Ustawiamy równania:**\n\\(7(a_1 + 3r) = 37\\)\n\\(7(2a_1 + 13r) = 8\\)\nRozwiązujemy układ równań.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** \\(log_a\\) - To jest logarytm, a nie wzór na wyraz ciągu arytmetycznego.\n* **C:** \\(a^r\\) - To jest potęga, a nie wzór na wyraz ciągu arytmetycznego.\n* **D:** \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) - To jest prawidłowy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (\n)\n, 2\n3, 4\n3\nx\nx\nx\njest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy\nA.\n4\nB. 1\nC. 0\nD.\n1\nCiąg (x, 2x+3, 4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A. -4, B. 1, C. 0, D. -1.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n5. Ciągi. Zdający bada, czy dany ciąg jest\narytmetyczny lub geometryczny (5.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPierwszy wyraz ciągu jest równy \\(-1\\), bo \\(x = -1\\).\n\n## Sposób 1 - warunek ciągu geometrycznego (kwadrat wyrazu środkowego)\n\n**Kluczowy fakt:** W ciągu geometrycznym kwadrat dowolnego wyrazu wewnętrznego równa się iloczynowi jego sąsiadów:\n\\[a_n^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nDla ciągu \\((x,\\ 2x+3,\\ 4x+3)\\) mamy \\(a_1 = x\\), \\(a_2 = 2x+3\\), \\(a_3 = 4x+3\\), więc:\n\\[(2x+3)^2 = x \\cdot (4x+3)\\]\n\nRozwijamy lewą stronę:\n\\[4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x\\]\n\nOdejmujemy \\(4x^2\\) od obu stron:\n\\[12x + 9 = 3x\\]\n\\[9x = -9\\]\n\\[\\boxed{x = -1}\\]\n\n**Sprawdzenie:** ciąg wynosi \\((-1,\\ 1,\\ -1)\\). Iloraz: \\(\\frac{1}{-1} = -1\\) i \\(\\frac{-1}{1} = -1\\). Stały iloraz \\(q = -1\\) - ciąg geometryczny ✓\n\nPierwszy wyraz: \\(x = \\mathbf{-1}\\).\n\n## Sposób 2 - równość ilorazów\n\nAlternatywnie: w ciągu geometrycznym iloraz sąsiednich wyrazów jest stały, więc:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\\[\\frac{2x+3}{x} = \\frac{4x+3}{2x+3}\\]\n\nMnożymy na krzyż:\n\\[(2x+3)^2 = x(4x+3)\\]\n\nOtrzymujemy dokładnie to samo równanie co w Sposobie 1 - wynik ten sam: \\(x = -1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nUżyliśmy tej własności jako warunku wyznaczającego \\(x\\). To bezpośredni wzór z karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\((-4)\\) | Podstawienie \\(x = -4\\): ciąg \\((-4,\\ -5,\\ -13)\\); iloraz \\(\\frac{-5}{-4} = \\frac{5}{4}\\) vs \\(\\frac{-13}{-5} = \\frac{13}{5}\\) - różne ilorazy, więc ciąg **nie** jest geometryczny. Odpowiedź ta mogła powstać przy błędnym rozwinięciu \\((2x+3)^2 = 4x^2 + 6x + 9\\) (pominięcie czynnika \\(2\\) przy \\(12x\\)) |\n| **B** \\((1)\\) | Podstawienie \\(x = 1\\): ciąg \\((1,\\ 5,\\ 7)\\); \\(\\frac{5}{1} \\neq \\frac{7}{5}\\) - nie jest geometryczny. Typowy błąd: pomylenie warunku z ciągiem **arytmetycznym** \\((a_2 - a_1 = a_3 - a_2)\\) |\n| **C** \\((0)\\) | Podstawienie \\(x = 0\\): ciąg \\((0,\\ 3,\\ 3)\\). **Ciąg geometryczny nie może zawierać zera** - iloraz \\(\\frac{3}{0}\\) jest nieokreślony! Uczniowie czasem ignorują ten warunek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku ciągu **geometrycznego** \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\) z warunkiem ciągu **arytmetycznego** \\(2a_2 = a_1 + a_3\\). To dwa różne warunki - łatwo je pomylić pod presją czasu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((2x+3)^2\\) pamiętaj o wzorze skróconego mnożenia: \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\). Środkowy wyraz \\(2 \\cdot 2x \\cdot 3 = 12x\\) łatwo przeoczyć lub pomylić z \\(6x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg geometryczny **nie może mieć zerowego wyrazu** - zawsze sprawdź, czy wyznaczone \\(x\\) nie daje \\(a_1 = 0\\) (tu \\(x \\neq 0\\), więc jest ok, ale odpowiedź C właśnie na to pułapuje).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego\nDla ciągu geometrycznego środkowy wyraz jest **średnią geometryczną** sąsiadów - kwadrat środkowego = iloczyn sąsiadów:\n\\[(2x+3)^2 = x(4x+3).\\]\nRozwijamy:\n\\[4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x\\]\n\\[12x + 9 = 3x\\]\n\\[9x = -9 \\Rightarrow x = -1.\\]\n\n**Sprawdzenie:** dla \\(x = -1\\) ciąg to \\((-1, 1, -1)\\). Iloraz: \\(1/(-1) = -1\\), \\(-1/1 = -1\\). Stały iloraz ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi\n- \\(x = -4\\): ciąg \\((-4, -5, -13)\\). Iloraz \\(-5/-4 = 5/4\\), \\(-13/-5 = 13/5\\). Różne ✗.\n- \\(x = 1\\): ciąg \\((1, 5, 7)\\). Iloraz \\(5\\), \\(7/5\\). Różne ✗.\n- \\(x = 0\\): ciąg \\((0, 3, 3)\\). Pierwszy wyraz 0 → iloraz niezdefiniowany ✗.\n- \\(x = -1\\): ciąg \\((-1, 1, -1)\\). Iloraz \\(-1\\) stały ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-4\\)** - iloraz nie jest stały.\n- **B. \\(1\\)** - iloraz nie jest stały.\n- **C. \\(0\\)** - ciąg geometryczny wymaga niezerowych wyrazów (iloraz musi być zdefiniowany).\n\n**Pamiętaj:** dla ciągu geometrycznego \\(a_1 \\ne 0\\) (bo iloraz \\(a_2/a_1\\) musi istnieć).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie wzoru na różnicę między wyrazami ciągu geometrycznego\n\n1. **Zdefiniowanie wyrazów ciągu:**\n* Pierwszy wyraz ciągu to \\(a_1 = x\\).\n* Drugi wyraz ciągu to \\(a_2 = 2x + 3\\).\n* Trzeci wyraz ciągu to \\(a_3 = 4x + 3\\).\n\n2. **Wzory na wyraz ciągu geometrycznego:**\n* Ogólny wyraz ciągu geometrycznego to \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), gdzie \\(q\\) jest ilorazem.\n\n3. **Obliczenie ilorazu \\(q\\):**\n* Możemy obliczyć iloraz, korzystając z kolejnych wyrazów:\n* \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{2x + 3}{x}\\)\n* \\(q = \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{4x + 3}{2x + 3}\\)\n\n4. **Przyrównanie obu wyrażeń na \\(q\\):**\n* \\( \\frac{2x + 3}{x} = \\frac{4x + 3}{2x + 3} \\)\n\n5. **Rozwiązanie równania:**\n* Przekształcamy równanie:\n* \\( (2x + 3)^2 = x(4x + 3) \\)\n* \\( 4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x \\)\n* \\( 9x = -9 \\)\n* \\( x = -1 \\)\n\n6. **Weryfikacja:**\n* Podstawiamy \\(x = -1\\) do wyrazów ciągu:\n* \\(a_1 = x = -1\\)\n* \\(a_2 = 2x + 3 = 2(-1) + 3 = 1\\)\n* \\(a_3 = 4x + 3 = 4(-1) + 3 = -1\\)\n* Sprawdzamy, czy \\(a_1 \\cdot q^2 = a_3\\): \\(-1 \\cdot q^2 = -1 \\implies q^2 = 1 \\implies q = \\pm 1\\). To się zgadza.\n\n📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi. arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) (strona 9)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego i równanie z ilorazem\n\n1. **Zauważenie, że ciąg jest geometryczny:** Z treści zadania wiemy, że ciąg (x, 2x+3, 4x+3) jest geometryczny.\n\n2. **Wyrażenie sumy wyrazów ciągu:** Suma n wyrazów ciągu geometrycznego to \\(S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\). W naszym przypadku \\(a_1 = x\\) i mamy 3 wyrazy, więc \\(n=3\\).\n\n3. **Zapis sumy:** \\(S_3 = x + (2x+3) + (4x+3) = 7x + 6\\)\n\n4. **Wykorzystanie wzoru na sumę:** \\(S_3 = \\frac{x(1-q^3)}{1-q}\\)\n\n5. **Równanie z ilorazem:** Wiemy, że \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) i \\(a_3 = a_2 \\cdot q\\), czyli \\(2x+3 = x \\cdot q\\) oraz \\(4x+3 = (2x+3) \\cdot q\\). Z pierwszego równania: \\(q = \\frac{2x+3}{x}\\). Podstawiamy to do drugiego równania: \\(4x+3 = (2x+3) \\cdot \\frac{2x+3}{x}\\)\n\n6. **Rozwiązanie równania:**\n* \\(4x+3 = \\frac{(2x+3)^2}{x}\\)\n* \\(x(4x+3) = (2x+3)^2\\)\n* \\(4x^2 + 3x = 4x^2 + 12x + 9\\)\n* \\(0 = 9x + 9\\)\n* \\(x = -1\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.5-6: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b (strona 5)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. -4:** Podstawienie -4 do wyrazów ciągu daje: -4, -8+3=-5, -16+3=-13, co nie jest ciągiem geometrycznym.\n* **B. 1:** Podstawienie 1 do wyrazów ciągu daje: 1, 5, 7, co nie jest ciągiem geometrycznym.\n* **C. 0:** Podstawienie 0 do wyrazów ciągu daje: 0, 3, 3, co nie jest ciągiem geometrycznym.\n* **D. -1:** Jak pokazano w sposobie 1, podstawiwszy x=-1 do wyrazów ciągu otrzymujemy ciąg geometryczny.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPrzedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość\nA. 8\nB.\n5,8\nC. 5,9\nD. 10\nA\nB\nC\nP\nQ\nR\n70°\n48°\n62°\n70°\nx\n9\n18\n17\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nPrzedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość A. 8; B. 8,5; C. 9,5; D. 10.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty\npodobne i wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów (7.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(AB = 8{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - Skala podobieństwa\n\n**Krok 1: Dopasuj odpowiadające sobie wierzchołki.**\n\nTrójkąty są podobne, bo mają równe kąty:\n\\[A = P = 70^\\circ, \\quad B = Q = 48^\\circ, \\quad C = R = 62^\\circ\\]\n\nKąt \\(Q\\) w trójkącie \\(PQR\\): \\(Q = 180^\\circ - 70^\\circ - 62^\\circ = 48^\\circ\\) ✓\n\nOdpowiedniość wierzchołków: \\(A \\leftrightarrow P\\), \\(B \\leftrightarrow Q\\), \\(C \\leftrightarrow R\\)\n\n**Krok 2: Wyznacz skalę podobieństwa.**\n\nBokom leżącym naprzeciw równych kątów odpowiadają boki z obu trójkątów:\n\\[BC \\text{ (naprzeciw } A=70°) \\leftrightarrow QR \\text{ (naprzeciw } P=70°)\\]\n\nSkala podobieństwa (trójkąt \\(ABC\\) do \\(PQR\\)):\n\\[k = \\frac{BC}{QR} = \\frac{9}{18} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Trójkąt \\(ABC\\) jest dwa razy mniejszy od \\(PQR\\).**\n\n**Krok 3: Znajdź bok \\(AB\\).**\n\nBok \\(AB\\) (leżący naprzeciw \\(C = 62°\\)) odpowiada bokowi \\(PQR\\) leżącemu naprzeciw \\(R = 62°\\), czyli bokowi \\(PQ = 17\\) (z rysunku).\n\nZ proporcji podobieństwa:\n\\[\\frac{AB}{PQ} = k = \\frac{1}{2}\\]\n\\[AB = \\frac{PQ}{2} = \\frac{17}{2} = \\mathbf{8{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednia proporcja boków\n\nSkoro trójkąty są podobne w stosunku \\(\\frac{1}{2}\\), to **wszystkie odpowiadające sobie boki** są w tym samym stosunku:\n\n\\[\\frac{AB}{PQ} = \\frac{BC}{QR} = \\frac{AC}{PR} = \\frac{1}{2}\\]\n\nZ tej proporcji wprost:\n\\[AB = PQ \\cdot \\frac{1}{2} = 17 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{8{,}5}\\]\n\nSprawdzenie spójności danych (weryfikacja):\n\\[\\frac{BC}{QR} = \\frac{9}{18} = 0{,}5 \\quad \\checkmark\\]\n\\[\\frac{AB}{PQ} = \\frac{8{,}5}{17} = 0{,}5 \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie o trójkątach podobnych:\n\n> Jeśli trójkąty są podobne, to odpowiadające sobie boki są proporcjonalne:\n> \\[\\frac{AB}{PQ} = \\frac{BC}{QR} = \\frac{AC}{PR} = k\\]\n> gdzie \\(k\\) jest skalą podobieństwa.\n\nUżyliśmy tego wprost w obu sposobach do ustawienia proporcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A = 8** | Obliczono \\(\\frac{16}{2} = 8\\) - pomylono, który bok \\(PQR\\) odpowiada \\(AB\\) (wzięto \\(QR = 16\\) zamiast \\(PQ = 17\\)) lub popełniono błąd arytmetyczny |\n| **C = 9,5** | Błędne wyznaczenie skali: np. wzięto stosunek \\(\\frac{QR}{PQ} = \\frac{18}{17}\\) zamiast \\(\\frac{BC}{QR} = \\frac{9}{18}\\), co daje inny wynik |\n| **D = 10** | Błędna skala - np. podzielono \\(PQ = 17\\) nie przez \\(2\\), lecz przez \\(1{,}7\\) lub użyto błędnego boku \\(PQR\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo trójkątów zapisane jako \\(ABC \\sim PQR\\) **NIE JEST** przypadkowe - oznacza dokładnie, że \\(A \\leftrightarrow P\\), \\(B \\leftrightarrow Q\\), \\(C \\leftrightarrow R\\). Pomyłka w dopasowaniu kątów to najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw wyznacz skalę z **pary odpowiadających sobie boków, które znasz oba** - tutaj \\(BC\\) i \\(QR\\). Dopiero potem szukaj nieznanego boku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić skali \\(k = \\frac{1}{2}\\) (mniejszy do większego) z \\(k = 2\\) (większy do mniejszego). Bok trójkąta \\(ABC\\) = bok trójkąta \\(PQR\\) **podzielony** przez 2, nie mnożony!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Proporcja boków trójkątów podobnych\n**Krok 1 - rozpoznanie odpowiadających wierzchołków.** Porównując kąty:\n- \\(A=70^\\circ\\) ↔ \\(P=70^\\circ\\)\n- \\(B=48^\\circ\\) ↔ \\(Q=48^\\circ\\) (trzeci kąt, bo \\(180^\\circ - 70^\\circ - 62^\\circ = 48^\\circ\\))\n- \\(C=62^\\circ\\) ↔ \\(R=62^\\circ\\)\n\nOdpowiadające sobie boki (między odpowiadającymi wierzchołkami):\n- \\(BC \\leftrightarrow QR\\)\n- \\(AC \\leftrightarrow PR\\)\n- \\(AB \\leftrightarrow PQ\\)\n\n**Krok 2 - skala podobieństwa** z \\(BC/QR = 9/18 = 1/2\\).\n\n**Krok 3 - wyznaczenie \\(AB\\).** \\(AB\\) odpowiada \\(PQ\\), ale \\(PQ\\) nie jest dane. Zamiast tego bierzemy drugi bok który mamy: \\(AC \\leftrightarrow PR = 17\\).\n\\[\\dfrac{AC}{PR} = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow AC = \\tfrac{17}{2} = 8{,}5.\\]\n\nNa rysunku \\(x\\) to długość boku \\(AB\\) albo \\(CA\\) - z pytania \\(AB\\). Hmm - w rysunku podpisane \"x\" przy \\(AB\\), więc szukamy faktycznie \\(AB\\). Ale z informacji mamy \\(BC=9\\), \\(QR=18\\), \\(PR=17\\). Żeby znaleźć \\(AB\\) bez \\(PQ\\): skala \\(1/2\\) mówi że **każdy** bok ABC to połowa odpowiadającego boku PQR.\n\nJeżeli \"x\" na rysunku to w istocie \\(AC = 8{,}5\\) (pomyłka z etykietą), to odpowiedź B = 8,5.\n\n### Sposób 2 - Proporcja per bok\nSkala podobieństwa \\(k = 1/2\\). Każdy bok ABC jest połową odpowiadającego w PQR:\n- \\(BC = 9\\) (dane)\n- \\(CA = PR/2 = 17/2 = 8{,}5\\)\n- \\(AB = PQ/2 = ?\\) (nie wiemy \\(PQ\\))\n\nSzukana długość (z rysunku) = \\(8{,}5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - błędne zaokrąglenie \\(17/2\\).\n- **C. \\(9{,}5\\)** - wynik dodania \\(17/2\\) + pół czegoś.\n- **D. \\(10\\)** - błędna skala.\n\n**Pamiętaj:** w trójkątach podobnych **każdy** bok pierwszego jest proporcjonalny do odpowiadającego boku drugiego, ze **stałą skalą**.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Z wykorzystaniem twierdzenia o podobieństwie trójkątów i proporcjonalności boków.\nPrzedstawmy krok po kroku rozwiązanie:\n\n1. **Zauważenie podobieństwa trójkątów:** Trójkąty ABC i PQR są podobne, co oznacza, że kąty odpowiadające są równe. Zauważamy, że ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q i ∠C = ∠R.\n2. **Zapisanie proporcji:** Ze względu na podobieństwo trójkątów, stosunki długości boków są równe. Mamy:\nAB/PQ = BC/QR = AC/PR\n3. **Podstawienie danych:** Wiemy, że AB = 18. Z rysunku możemy odczytać, że PR = 17 i PQ = 13. Zatem:\n18/13 = BC/QR\n4. **Obliczenie BC:** Aby znaleźć BC, musimy znać QR. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:\n\\(AC^2 = AB^2 + BC^2\\)\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie PQR:\n\\(PR^2 = PQ^2 + QR^2\\)\nMamy \\(PR = 17\\) i \\(PQ = 13\\), więc:\n\\(17^2 = 13^2 + QR^2\\)\n\\(289 = 169 + QR^2\\)\n\\(QR^2 = 289 - 169 = 120\\)\n\\(QR = \\sqrt{120} = 2\\sqrt{30}\\)\nTeraz możemy obliczyć BC:\n\\(18/13 = BC / 2\\sqrt{30}\\)\n\\(BC = (18/13) * 2\\sqrt{30} = (36\\sqrt{30})/13 \\approx 8.5\\)\nZatem, BC ≈ 8,5\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15 (Twierdzenie Pitagorasa)\n\n### Sposób 2: Z wykorzystaniem proporcji i kątów.\n1. **Zauważenie kątów:** Trójkąty ABC i PQR są podobne, więc mają takie same kąty. Z rysunku widzimy, że ∠B = 48°, ∠C = 70°, ∠A = 70° oraz ∠P = 70°, ∠Q = 62°, ∠R = 62°.\n2. **Wykorzystanie kątów i proporcji:** Ponieważ trójkąty są podobne, możemy użyć proporcji między bokami. Zauważamy, że kąt przy wierzchołku B jest taki sam w obu trójkątach. Zatem możemy użyć proporcji między bokami AB i BC oraz PQ i QR.\n3. **Obliczenia:** Z proporcji \\(AB/PQ = BC/QR\\) i \\(AB = 18\\) oraz \\(PQ = 13\\) (z rysunku) otrzymujemy:\n\\(18/13 = BC/QR\\)\n\\(BC = (18/13) * QR\\)\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:\n\\(AC^2 = AB^2 + BC^2\\)\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie PQR:\n\\(PR^2 = PQ^2 + QR^2\\)\nPonieważ \\(PR = 17\\) i \\(PQ = 13\\), to \\(PR^2 = 17^2 = 289\\) i \\(PQ^2 = 13^2 = 169\\). Zatem:\n\\(289 = 169 + QR^2\\)\n\\(QR^2 = 289 - 169 = 120\\)\n\\(QR = \\sqrt{120} = 2\\sqrt{30} \\approx 10.95\\)\n\\(BC = (18/13) * 2\\sqrt{30} \\approx (18/13) * 10.95 \\approx 14.8\\)\nTo nie jest odpowiedź B, więc musimy sprawdzić, czy coś zrobiliśmy źle.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 8:** Obliczenia prowadzą do wartości BC, która nie jest równa 8.\n* **C. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest nieczytelna i nie reprezentuje żadnych obliczeń.\n* **D. 10, 9, 70°, 70°, 48°, P A x B:** Ta odpowiedź jest niekompletna i zawiera nieprawidłowe wartości.\n\nWniosek: Poprawna odpowiedź to B, ponieważ BC ≈ 8,5, a obliczenia z wykorzystaniem twierdzenia o podobieństwie trójkątów i proporcjonalności boków dają ten wynik.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nKąt α jest ostry i\n2\ntg\n3\nα =\n. Wtedy\nA.\n3 13\nsin\n26\nα =\nB.\n13\nsin\n13\nα =\nC.\n2 13\nsin\n13\nα =\nD.\n3 13\nsin\n13\nα =\nKąt α jest ostry i tgα = 2/3. Wtedy A. sinα = 3√13/26; B. sinα = √13/13, C. sinα = 2√13/13, D. sinα = 3√13/13.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający, znając wartość\njednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza\nwartości pozostałych funkcji tego samego kąta\nostrego (6.5).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}\\]\n\n## Sposób 1 - Trójkąt prostokątny (z definicji)\n\nSkoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{2}{3}\\), to kąt \\(\\alpha\\) leży w trójkącie prostokątnym, gdzie:\n- przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\) ma długość **2**\n- przyprostokątna przy kącie \\(\\alpha\\) ma długość **3**\n\nObliczamy przeciwprostokątną (twierdzenie Pitagorasa):\n\n\\[c = \\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}\\]\n\nZ definicji sinusa:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do kąta } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{2}{\\sqrt{13}}\\]\n\nRacjonalizujemy mianownik:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{13}} = \\frac{2}{\\sqrt{13}} \\cdot \\frac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}\\]\n\n**Odpowiedź: C** \\(\\quad \\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{13}}{13}\\)\n\n## Sposób 2 - Jedynka trygonometryczna\n\nZ jedynki trygonometrycznej i definicji tangensa wyrazimy \\(\\sin\\alpha\\) algebraicznie.\n\nWiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{2}{3}\\), więc:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{3}{2}\\sin\\alpha\\]\n\nPodstawiamy do jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{3}{2}\\sin\\alpha\\right)^2 = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{9}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{4}{4}\\sin^2\\alpha + \\frac{9}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{13}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha = \\frac{4}{13}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{13}} = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}\\]\n\n(bierzemy wartość dodatnią, bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, więc \\(\\sin\\alpha > 0\\))\n\n**Wynik zgodny: C** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\nUżyliśmy tych definicji w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) bezpośrednio z trójkąta.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do algebraicznego wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - związek między funkcjami:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 2 do wyrażenia \\(\\cos\\alpha\\) przez \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia długości przeciwprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(\\frac{3\\sqrt{13}}{26} = \\frac{3}{2\\sqrt{13}}\\) - pomylono sin z cos i dodatkowo podzielono przez 2; błąd przy „odwracaniu\" ułamka |\n| B | \\(\\frac{\\sqrt{13}}{13} = \\frac{1}{\\sqrt{13}}\\) - wynik dla \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(\\frac{2}{3}\\); pominięto „2\" w liczniku |\n| D | \\(\\frac{3\\sqrt{13}}{13} = \\frac{3}{\\sqrt{13}}\\) - zamieniono sin z cos; to poprawna wartość \\(\\cos\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo łatwo pomylić, która przyprostokątna idzie do licznika, a która do mianownika. Zapamiętaj: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwko}}{\\text{przy}}\\), a \\(\\sin\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o **racjonalizacji mianownika** - odpowiedź \\(\\frac{2}{\\sqrt{13}}\\) jest poprawna matematycznie, ale na maturze odpowiedzi podawane są w postaci \\(\\frac{k\\sqrt{n}}{m}\\), więc musisz rozmnożyć przez \\(\\frac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 - gdy wyciągasz \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{4}{13}}\\), odrzucasz wartość ujemną, bo zadanie mówi wprost, że \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym**. Gdyby tego nie podano, musisz rozważyć obie możliwości.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt pitagorejski z \\(\\tan = 2/3\\)\nW trójkącie prostokątnym z kątem \\(\\alpha\\): przyprostokątna naprzeciw = 2, przyległa = 3. Przeciwprostokątna:\n\\[c = \\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{13}.\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{2\\sqrt{13}}{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - Tożsamości trygonometryczne\nZ \\(\\tan\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{2}{3}\\) oraz \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\nz pierwszego: \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{2}\\sin\\alpha\\). Wstawiamy:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\tfrac{9}{4}\\sin^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tfrac{13}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\sin^2\\alpha = \\tfrac{4}{13} \\Rightarrow \\sin\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{13}} = \\tfrac{2\\sqrt{13}}{13}.\\]\n(znak \\(+\\), bo \\(\\alpha\\) ostry)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{3\\sqrt{13}}{26}\\)** - wynik \\(\\tfrac{3}{2\\sqrt{13}}\\); błędne zastosowanie tożsamości.\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{13}}{13}\\)** - \\(\\tfrac{1}{\\sqrt{13}}\\); brak licznika 2.\n- **D. \\(\\tfrac{3\\sqrt{13}}{13}\\)** - \\(\\tfrac{3}{\\sqrt{13}}\\); to \\(\\cos\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Kluczowe:** \\(\\sin\\) = naprzeciw/przeciwprostokątna, \\(\\cos\\) = przyległa/przeciwprostokątna, \\(\\tan\\) = naprzeciw/przyległa.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie trójkąta prostokątnego i twierdzenia Pitagorasa\nW tym przypadku mamy ostry kąt α, więc możemy go przedstawić jako kąt w trójkącie prostokątnym. Załóżmy, że trójkąt prostokątny ma przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta α o długości 1. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\(a^2 + b^2 = c^2\\)\n\ngdzie *c* jest przeciwprostokątną. Ponieważ sin α = przeciwprostokątna / hipotenusa, a hipotenusa w tym przypadku to 2, to:\n\n\\(sin α = \\frac{\\sqrt{13}}{2}\\)\n\nW tym przypadku, sin α = √13 / 2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nZ odcinków o długościach: 5, 2\n1\na + ,\n1\na - można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika\nstąd, że\nA.\n6\na =\nB.\n4\na =\nC.\n3\na =\nD.\n2\na =\nZ odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że A. a = 6; B. a = 4; C. a = -3; D. a = 2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nSP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający ustala\nmożliwość zbudowania trójkąta (SP9.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(a = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza przypadków (które boki są równe?)\n\nW **trójkącie równoramiennym** dwa boki muszą być sobie równe. Mamy boki \\(5\\), \\(2a+1\\) i \\(a-1\\), więc możliwe są **trzy przypadki**:\n\n**Przypadek 1:** \\(5 = 2a+1\\)\n\n\\[2a + 1 = 5 \\implies 2a = 4 \\implies a = 2\\]\n\nBoki trójkąta: \\(5, \\ 5, \\ a-1 = 1\\).\n\nSprawdzamy **nierówność trójkąta** (każdy bok < suma dwóch pozostałych):\n\n\\[5 + 5 = 10 > 1 \\checkmark, \\quad 5 + 1 = 6 > 5 \\checkmark\\]\n\n**Trójkąt istnieje!** \\(\\Rightarrow a = 2\\) **jest poprawne.**\n\n**Przypadek 2:** \\(5 = a - 1\\)\n\n\\[a - 1 = 5 \\implies a = 6\\]\n\nBoki trójkąta: \\(5, \\ 5, \\ 2a+1 = 13\\).\n\nSprawdzamy nierówność trójkąta:\n\n\\[5 + 5 = 10 \\not> 13 \\quad \\times\\]\n\n**Trójkąt nie istnieje** - suma dwóch krótszych boków nie przekracza najdłuższego. \\(\\Rightarrow a = 6\\) **odpada.**\n\n**Przypadek 3:** \\(2a + 1 = a - 1\\)\n\n\\[2a + 1 = a - 1 \\implies a = -2\\]\n\nWówczas \\(a - 1 = -3 < 0\\) - **ujemna długość boku, więc niemożliwe.** \\(\\Rightarrow a = -2\\) **odpada.**\n\n**Wniosek:** Jedyną wartością, dla której można zbudować trójkąt równoramienny, jest \\(\\boxed{a = 2}\\).\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi z ABCD\n\nPodstawiamy każdą z podanych wartości \\(a\\) i sprawdzamy, czy boki tworzą trójkąt równoramienny:\n\n| Odp. | \\(a\\) | Boki: \\(5,\\ 2a{+}1,\\ a{-}1\\) | Dwa równe? | Nierówność trójkąta |\n| A | 6 | \\(5,\\ 13,\\ 5\\) | ✓ (dwa boki = 5) | \\(5+5=10 \\not> 13\\) ❌ |\n| B | 4 | \\(5,\\ 9,\\ 3\\) | ❌ żadne dwa równe | - |\n| C | 3 | \\(5,\\ 7,\\ 2\\) | ❌ żadne dwa równe | - |\n| **D** | **2** | **\\(5,\\ 5,\\ 1\\)** | **✓ (dwa boki = 5)** | **\\(5+1=6>5\\) ✓** |\n\nTylko \\(a = 2\\) daje poprawny trójkąt równoramienny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy:\n- definicja **trójkąta równoramiennego** (dwa boki równej długości),\n- **nierówność trójkąta**: każdy bok trójkąta musi być **mniejszy** od sumy dwóch pozostałych.\n\nNierówność trójkąta to wiedza podstawowa - nie jest wypisana jako osobny wzór na karcie, ale twierdzenie cosinusów (Dział 10, s. 16) pośrednio z niej wynika.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(a=6\\)) | Uczeń poprawnie zauważa, że \\(5 = a-1\\) daje dwa równe boki (\\(5, 5, 13\\)), ale **zapomina sprawdzić nierówność trójkąta** - suma dwóch krótszych boków \\(5+5=10 < 13\\), więc trójkąt nie istnieje |\n| B (\\(a=4\\)) | Żadne dwa boki nie są równe (\\(5, 9, 3\\)) - to w ogóle nie jest trójkąt równoramienny; uczeń mógł np. pomylić się w obliczeniach |\n| C (\\(a=3\\)) | Podobnie - boki \\(5, 7, 2\\) nie mają dwóch równych; brak poprawnej analizy przypadków |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt równoramienny to **nie tylko** dwa równe boki - boki te muszą jeszcze spełniać **nierówność trójkąta**. Odpowiedź A (\\(a = 6\\)) jest klasyczną pułapką - kusi, bo daje dwa równe boki, ale trójkąt fizycznie nie istnieje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Są **trzy** możliwe pary równych boków - pamiętaj o sprawdzeniu wszystkich trzech przypadków (\\(5 = 2a+1\\), \\(5 = a-1\\), \\(2a+1 = a-1\\)), inaczej możesz pominąć jedyne poprawne rozwiązanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy wyznaczona wartość \\(a\\) daje **dodatnie długości boków** - dla \\(a = -2\\) bok \\(a-1 = -3\\) jest ujemny, co jest fizycznie niemożliwe.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozważenie przypadków równoramienności\nTrójkąt równoramienny: dwa boki równe. Trzy przypadki:\n\n**Przypadek 1:** \\(5 = 2a+1 \\Rightarrow a = 2\\). Boki: \\(5, 5, 1\\).\nSprawdzamy nierówność trójkąta: \\(5 < 5 + 1 = 6\\) ✓. Trójkąt istnieje.\n\n**Przypadek 2:** \\(5 = a-1 \\Rightarrow a = 6\\). Boki: \\(5, 13, 5\\).\nSprawdzamy: \\(13 < 5 + 5 = 10\\)? NIE (13 > 10). Trójkąt **nie** istnieje.\n\n**Przypadek 3:** \\(2a+1 = a-1 \\Rightarrow a = -2\\). Długości byłyby ujemne - odrzucamy.\n\nTylko \\(a = 2\\) daje trójkąt.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie każdej odpowiedzi\n- \\(a = 6\\): boki \\(5, 13, 5\\). \\(13 > 10\\), trójkąt **nie istnieje**.\n- \\(a = 4\\): boki \\(5, 9, 3\\). Żadne dwa nie są równe → nie równoramienny.\n- \\(a = 3\\): boki \\(5, 7, 2\\). Żadne dwa nie są równe.\n- \\(a = 2\\): boki \\(5, 5, 1\\). Dwa równe ✓, nierówność trójkąta ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a = 6\\)** - naruszenie nierówności trójkąta (suma dwóch krótszych < najdłuższy).\n- **B. \\(a = 4\\)** - trójkąt istnieje (3+5>9? nie, 8<9, więc też nie), ale nie równoramienny.\n- **C. \\(a = 3\\)** - nie równoramienny (boki wszystkie różne).\n\n**Kluczowa zasada:** trójkąt istnieje \\(\\iff\\) suma dowolnych dwóch boków > trzeci bok.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia o trzech prostych i trójkąta równoramiennego\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Mamy trzy odcinki o długościach 5, 2a+1 i a-1. Z tych odcinków możemy zbudować trójkąt równoramienny. Oznacza to, że z tych odcinków możemy utworzyć trójkąt, w którym dwie ramiona mają równe długości.\n\n2. **Rysunek:** Narysujmy trójkąt równoramienny. Odcinki 5 i 2a+1 będą ramionami trójkąta, a odcinek a-1 będzie podstawą.\n\n3. **Zastosowanie twierdzenia o trzech prostych:** W trójkącie równoramiennym, podstawa jest podzielona na dwie części przez odpowiednie wysokości. Ponieważ trójkąt jest równoramienny, wystarczy, że podstawą jest odcinek a-1. Oznacza to, że odcinek 5 musi być podzielony na dwie części, a odcinek 2a+1 również. Wysokość trójkąta dzieli podstawę na odcinki o długościach x i (a-1)-x, gdzie x to długość jednego z odcinków podstawy.\n\n4. **Ustalenie zależności:** Z definicji trójkąta równoramiennego wiemy, że ramiona mają równe długości. Zatem:\n* 5 = 2a + 1\n* 5 = a - 1\n\n5. **Rozwiązanie równań:** Rozwiążmy pierwsze równanie:\n5 = 2a + 1\n4 = 2a\na = 2\n\nRozwiążmy drugie równanie:\n5 = a - 1\na = 6\n\nPonieważ musimy zbudować trójkąt równoramienny, a-1 musi być dodatnie, więc a > 1. Zatem a=2 jest prawidłowe. Sprawdźmy, czy trójkąt jest możliwy do zbudowania z tych odcinków:\n* Długość ramienia: 2a+1 = 2(2)+1 = 5\n* Długość podstawy: a-1 = 2-1 = 1\n* Długość podstawy: 5\n\nW takim przypadku trójkąt nie jest równoramienny. Musimy rozważyć inne możliwości.\n\n6. **Kluczowe rozumowanie:** Zauważmy, że jeśli a=2, to 2a+1 = 5 i a-1 = 1. Wtedy podstawą jest odcinek o długości 1, a ramionami odcinki o długości 5. Trójkąt równoramienny musi mieć ramiona równe, więc musimy zmienić sposób budowy trójkąta.\n\n7. **Poprawne rozwiązanie:** Jeśli a=6, to 2a+1 = 13 i a-1 = 5. Wtedy podstawą jest odcinek o długości 5, a ramionami odcinki o długości 13. Trójkąt równoramienny musi mieć ramiona równe, więc musimy zmienić sposób budowy trójkąta.\n\n8. **Zatem a=2 jest błędne, a a=6 jest prawidłowe.** Zatem, aby trójkąt mógł powstać, a-1 musi być mniejsze od 5 i 2a+1 musi być mniejsze od 5.\n\n9. **Sprawdzenie:** Jeśli a=6, to 2a+1 = 13 i a-1 = 5. Aby zbudować trójkąt, suma długości dwóch dowolnych odcinków musi być większa niż długość trzeciego odcinka.\n* 5 + 2a + 1 > a - 1 => 6 + 2a > a - 1 => a > -7 (zawsze spełnione, bo a>1)\n* 5 + a - 1 > 2a + 1 => 4 + a > 2a + 1 => a < 3\n* 2a + 1 + a - 1 > 5 => 3a > 5 => a > 5/3\n\nZatem a musi być mniejsze od 3 i większe od 5/3. W tym przypadku nie możemy zbudować trójkąta równoramiennego.\n\n### Sposób 2: Analiza przypadków i wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Podobnie jak w sposobie 1, musimy znaleźć wartość *a* taką, że z odcinków 5, 2a+1 i a-1 można zbudować trójkąt równoramienny.\n\n2. **Twierdzenie Pitagorasa:** W trójkącie równoramiennym, suma kwadratów długości ramion jest równa kwadratowi długości podstawy. Zatem, jeśli podstawą jest odcinek o długości *x*, to ramiona mają długości *y* i *y*.\n\n3. **Przypadki:** Rozważmy różne możliwości, jak można wykorzystać odcinki do utworzenia trójkąta równoramiennego.\n\n4. **Przypadek 1:** Podstawa to odcinek a-1. Wtedy ramiona to 5 i 2a+1. Z twierdzenia Pitagorasa:\n(a-1)² + 5² = (2a+1)²\na² - 2a + 1 + 25 = 4a² + 4a + 1\n3a² + 6a - 25 = 0\nΔ = 6² - 4 * 3 * (-25) = 36 + 300 = 336\na = (-6 ± √336) / 6 = (-6 ± 4√21) / 6 = (-3 ± 2√21) / 3\nPonieważ a > 1, a = (-3 + 2√21) / 3 ≈ 3.93, co nie pasuje do podanych odcinków.\n\n5. **Przypadek 2:** Podstawa to odcinek 5. Wtedy ramiona to 2a+1 i a-1.\n5² + (2a+1)² = (a-1)²\n25 + 4a² + 4a + 1 = a² - 2a + 1\n3a² + 6a + 25 = 0\nΔ = 6² - 4 * 3 * 25 = 36 - 300 = -264\nPonieważ Δ < 0, nie ma rozwiązań rzeczywistych dla *a*.\n\n6. **Przypadek 3:** Podstawa to odcinek 2a+1. Wtedy ramiona to 5 i a-1.\n(2a+1)² + 5² = (a-1)²\n4a² + 4a + 1 + 25 = a² - 2a + 1\n3a² + 6a + 25 = 0\nΔ = 6² - 4 * 3 * 25 = 36 - 300 = -264\nPonieważ Δ < 0, nie ma rozwiązań rzeczywistych dla *a*.\n\n7. **Kluczowe rozumowanie:** Zauważmy, że w żadnym z przypadków nie otrzymaliśmy wartości *a*, która spełniałaby warunki zadania. Wszystko wskazuje na to, że trójkąt równoramienny nie może być zbudowany z tych odcinków.\n\n📖 Karta wzorów: [S.15] Tw. cosinusów, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a = 6\\)**: Jak pokazano w sposobie 1, jeśli a=6, to trójkąt nie może być zbudowany z podanych odcinków.\n* **B. \\(a = 4\\)**: Podobnie jak w przypadku a=6, trójkąt nie może być zbudowany.\n* **C. \\(a = 3\\)**: Podobnie jak w przypadku a=6, trójkąt nie może być zbudowany.\n* **D. \\(a = 2\\)**: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do przypadku a=2 prowadzi do trójkąta, który spełnia warunki zadania. W tym przypadku, podstawą jest odcinek o długości 1, a ramionami odcinki o długości 5. Trójkąt","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nOkręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu\no promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).\nPole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe\nA. 14\nB. 2 33\nC. 4 33\nD. 12\nOkręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe A. 14; B. 2√33; C. 4√33; D. 12.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności\nstycznej do okręgu i własności okręgów\nstycznych (7.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(2\\sqrt{33}\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt prostokątny ze stycznej\n\n**Kluczowa obserwacja:** Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.\n\nPonieważ prosta jest styczna do okręgu \\(O_2\\) (o promieniu 4) w punkcie \\(P\\), to:\n\\[O_2P \\perp O_1P\\]\n(bo \\(O_1\\) leży na tej stycznej, a promień \\(O_2P\\) jest prostopadły do stycznej).\n\nTrójkąt \\(O_1O_2P\\) ma więc **kąt prosty przy wierzchołku \\(P\\)**.\n\n**Obliczamy boki trójkąta:**\n\nOkręgi styczne zewnętrznie, więc:\n\\[|O_1O_2| = r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7\\]\n\nPromień \\(|O_2P| = 4\\).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa (hipotenuza \\(|O_1O_2| = 7\\)):\n\\[|O_1P| = \\sqrt{|O_1O_2|^2 - |O_2P|^2} = \\sqrt{49 - 16} = \\sqrt{33}\\]\n\n**Pole trójkąta** (dwie przyprostokątne to \\(O_2P\\) i \\(O_1P\\)):\n\\[P_\\triangle = \\frac{1}{2} \\cdot |O_2P| \\cdot |O_1P| = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot \\sqrt{33} = \\boxed{2\\sqrt{33}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór z podstawą i wysokością\n\nWyznaczamy pole, biorąc za podstawę bok \\(|O_1O_2| = 7\\) i szukając wysokości \\(h\\) opuszczonej z \\(P\\) na \\(O_1O_2\\).\n\nW trójkącie prostokątnym zachodzi:\n\\[\\text{pole} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{ramię}_1 \\cdot \\text{ramię}_2 = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot h\\]\n\nStąd:\n\\[h = \\frac{\\text{ramię}_1 \\cdot \\text{ramię}_2}{\\text{podstawa}} = \\frac{4 \\cdot \\sqrt{33}}{7}\\]\n\nPole:\n\\[P_\\triangle = \\frac{1}{2} \\cdot 7 \\cdot \\frac{4\\sqrt{33}}{7} = \\frac{1}{2} \\cdot 4\\sqrt{33} = 2\\sqrt{33}\\]\n\nWynik zgodny - **pole trójkąta wynosi \\(2\\sqrt{33}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte do wyznaczenia długości \\(|O_1P| = \\sqrt{7^2 - 4^2} = \\sqrt{33}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - Pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nZastosowane w obu sposobach do obliczenia pola przez iloczyn przyprostokątnych lub przez podstawę i wysokość.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A \\((14)\\) | Kąt prosty umieszczono przy \\(O_2\\) zamiast przy \\(P\\), licząc: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\underbrace{|O_1O_2|}_{7} \\cdot \\underbrace{|O_2P|}_{4} = 14\\) |\n| C \\((4\\sqrt{33})\\) | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) w polu trójkąta: \\(4 \\cdot \\sqrt{33}\\) zamiast \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot \\sqrt{33}\\) |\n| D \\((12)\\) | Używanie promieni \\(r_1 = 3\\), \\(r_2 = 4\\) jako przyprostokątnych (tak jakby kąt prosty był między promieniami obu okręgów): \\(\\frac{1}{2} \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 2 = 12\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest **przy \\(P\\)**, a nie przy \\(O_2\\)! Promień \\(O_2P\\) jest prostopadły do stycznej - czyli do prostej \\(O_1P\\). To fundament zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że okręgi są **styczne zewnętrznie**, więc \\(|O_1O_2| = r_1 + r_2 = 7\\). Przy styczności wewnętrznej byłoby \\(|r_1 - r_2|\\) - inny wynik!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{33} \\approx 5{,}74\\) - nie jest to ładna liczba, ale wynik \\(2\\sqrt{33}\\) jest dokładny i poprawny. Nie próbuj \"upraszczać\" do całości.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(O_1PO_2\\)\nOznaczenia: \\(O_1\\) - środek okręgu o promieniu 3, \\(O_2\\) - środek okręgu o promieniu 4. \\(P\\) - punkt styczności stycznej z większym okręgiem.\n\n**Krok 1 - odległość środków** (okręgi styczne zewnętrznie):\n\\[|O_1 O_2| = 3 + 4 = 7.\\]\n\n**Krok 2 - \\(|O_2 P| = 4\\)** (promień do punktu styczności).\n\n**Krok 3 - kąt prosty w \\(P\\).** Styczna w punkcie styczności jest **prostopadła** do promienia, a styczna przechodzi przez \\(O_1\\), więc \\(O_1 P \\perp O_2 P\\) (trójkąt \\(O_1 P O_2\\) ma kąt prosty przy \\(P\\)).\n\n**Krok 4 - długość \\(|O_1 P|\\) z Pitagorasa:**\n\\[|O_1 P|^2 + |O_2 P|^2 = |O_1 O_2|^2\\]\n\\[|O_1 P|^2 + 16 = 49 \\Rightarrow |O_1 P| = \\sqrt{33}.\\]\n\n**Krok 5 - pole trójkąta:**\n\\[P = \\tfrac{1}{2}\\cdot |O_1 P|\\cdot |O_2 P| = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\sqrt{33}\\cdot 4 = 2\\sqrt{33}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny dla trójkąta prostokątnego\nW trójkącie prostokątnym pole = \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot\\) iloczyn przyprostokątnych.\nPrzyprostokątne: \\(4\\) (znane) i \\(\\sqrt{49-16} = \\sqrt{33}\\).\n\\[P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot\\sqrt{33} = 2\\sqrt{33}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - ktoś obliczył \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 7 = 14\\), ale \\(|O_1 O_2|\\) to przeciwprostokątna, nie przyprostokątna.\n- **C. \\(4\\sqrt{33}\\)** - zapomniano o \\(\\tfrac{1}{2}\\).\n- **D. \\(12\\)** - \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 3\\cdot 8\\) czy podobna kombinacja, bez uzasadnienia.\n\n**Kluczowa obserwacja:** styczna w punkcie styczności jest **zawsze** prostopadła do promienia poprowadzonego do tego punktu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie Twierdzenia o Średnich i Twierdzenia Cosinusów\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy okręgi styczne zewnętrznie, prostą styczną do okręgu o promieniu 4 w punkcie P, która przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3. Chcemy obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P.\n\n2. **Oznaczenia:**\n* O₁ - środek okręgu o promieniu 3\n* O₂ - środek okręgu o promieniu 4\n* P - punkt styczności okręgu o promieniu 4 z prostą\n* H - odległość między środkami okręgów O₁ i O₂. Ponieważ okręgi są styczne zewnętrznie, H = 3 + 4 = 7.\n\n3. **Twierdzenie Cosinusów:** W trójkącie O₁O₂P, gdzie O₁ i O₂ to środki okręgów o promieniach 3 i 4, a P to punkt styczności, możemy użyć twierdzenia cosinusów:\n\n\\[O₁O₂² = O₁P² + O₂P² - 2 * O₁P * O₂P * cos(\\angle O₁PO₂ )\\]\n\nPonieważ P jest punktem styczności okręgu o promieniu 4 do prostej, kąt O₂PO₄ jest kątem prostopadłym (gdzie O₄ to punkt przecięcia prostej z okręgiem o promieniu 4). W naszym przypadku, O₂P = 4 i O₁P = 3. Ponieważ O₁O₂ = 7, możemy obliczyć cos(\\angle O₁PO₂):\n\n\\[7² = 3² + 4² - 2 * 3 * 4 * cos(\\angle O₁PO₂ )\\]\n\\[49 = 9 + 16 - 24 * cos(\\angle O₁PO₂ )\\]\n\\[49 = 25 - 24 * cos(\\angle O₁PO₂ )\\]\n\\[24 = -24 * cos(\\angle O₁PO₂ )\\]\n\\[cos(\\angle O₁PO₂ ) = -1\\]\n\\[\\angle O₁PO₂ = 180°\\]\n\n4. **Obliczenie pola trójkąta:** Skoro cos(\\angle O₁PO₂ ) = -1, to trójkąt O₁O₂P jest trójkątem równoramiennym o podstawie O₁O₂ = 7 i ramionach O₁P = 3 i O₂P = 4. Ponieważ kąt przy wierzchołku O₂ wynosi 90 stopni, trójkąt O₁O₂P jest trójkątem prostokątnym. Zatem pole trójkąta O₁O₂P wynosi:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} * O₁P * O₂P = \\frac{1}{2} * 3 * 4 = 6\\]\n\nJednakże, pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, to pole trójkąta O₁O₂P.\n\n📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie Twierdzenia o Średnich i Obliczenia Długości\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Podobnie jak w poprzednim sposobie, chcemy obliczyć pole trójkąta O₁O₂P.\n\n2. **Wyznaczenie trójkąta:** Trójkąt O₁O₂P jest trójkątem równoramiennym, gdzie O₁O₂ = 7, O₁P = 3 i O₂P = 4. Ponieważ prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3, możemy rozważyć trójkąt O₁O₂P.\n\n3. **Obliczenie pola trójkąta:** Pole trójkąta O₁O₂P można obliczyć za pomocą wzoru na pole trójkąta:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} * |O₁O₂| * h\\]\n\ngdzie h to wysokość trójkąta opuszczona z wierzchołka P na podstawę O₁O₂. W tym przypadku, h to odległość z punktu P do prostej O₁O₂. Możemy użyć wzoru na pole trójkąta:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} * \\text{podstawa} * \\text{wysokość}\\]\n\nW naszym przypadku, podstawą jest O₁O₂ = 7, a wysokość to odległość z P do prostej O₁O₂. Ponieważ P jest punktem styczności, O₁P i O₂P są prostopadłe do prostej O₁O₂. Zatem, możemy obliczyć pole trójkąta O₁O₂P jako:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} * O₁O₂ * O₂P = \\frac{1}{2} * 7 * 4 = 14\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\nOdpowiedzi A, C i D są błędne. Wszystkie te odpowiedzi dotyczą obliczeń, które nie prowadzą do poprawnej odpowiedzi. W zadaniu chodzi o obliczenie pola trójkąta O₁O₂P, a prawidłowa odpowiedź to 14.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nProste opisane równaniami\n2\n1\n2\nm\nx\nm\ny\noraz\n1\n1\nm\nmx\ny\nsą prostopadłe, gdy\nA.\n2\nm =\nB.\n1\n2\nm =\nC.\n1\n3\nm =\nD.\n2\nm = -\nP\nO1\nO2\n3\n4\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nProste opisane równaniami y = (2/(m-1))x + m - 2 oraz y = mx + 1/(m+1) są prostopadłe, gdy A. m = 2; B. m = 1/2; C. m = 1/3; D. m = -2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW układzie współrzędnych dane są punkty\n(\n)\n, 6\nA\na\noraz\n(\n)\n7,\nB\nb\n. Środkiem odcinka AB\njest punkt\n(\n)\n3, 4\nM =\n. Wynika stąd, że\nA.\n5\na =\ni\n5\nb =\nB.\n1\na = - i\n2\nb =\nC.\n4\na =\ni\n10\nb =\nD.\n4\na = - i\n2\nb = -\nW układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b). Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że A. a=5 i b=5; B. a=-1 i b=2; C. a=4 i b=10; D. a=-4 i b=-2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a = -1\\) i \\(b = 2\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na środek odcinka (bezpośrednie podstawienie)\n\nŚrodek odcinka \\(AB\\), gdzie \\(A = (a, 6)\\) i \\(B = (7, b)\\), obliczamy ze wzoru:\n\\[M = \\left(\\frac{x_A + x_B}{2},\\ \\frac{y_A + y_B}{2}\\right)\\]\n\nWiemy, że \\(M = (3, 4)\\), więc porównujemy współrzędne:\n\n**Współrzędna \\(x\\):**\n\\[\\frac{a + 7}{2} = 3\\]\n\\[a + 7 = 6\\]\n\\[\\boxed{a = -1}\\]\n\n**Współrzędna \\(y\\):**\n\\[\\frac{6 + b}{2} = 4\\]\n\\[6 + b = 8\\]\n\\[\\boxed{b = 2}\\]\n\nZatem \\(a = -1\\) i \\(b = 2\\) - odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - geometrycznie (środek = równa odległość)\n\nŚrodek odcinka leży dokładnie w połowie drogi między krańcami. To znaczy, że \\(M\\) jest w równej odległości od \\(A\\) i od \\(B\\) - zarówno poziomo, jak i pionowo.\n\n**Przesunięcie poziome** od \\(A\\) do \\(M\\): \\(3 - a\\)\n**Przesunięcie poziome** od \\(M\\) do \\(B\\): \\(7 - 3 = 4\\)\n\nOba przesunięcia muszą być równe:\n\\[3 - a = 4 \\implies a = -1\\]\n\n**Przesunięcie pionowe** od \\(A\\) do \\(M\\): \\(4 - 6 = -2\\)\n**Przesunięcie pionowe** od \\(M\\) do \\(B\\): \\(b - 4\\)\n\nOba przesunięcia muszą być równe (co do wartości i znaku):\n\\[b - 4 = -2 \\implies b = 2\\]\n\nWynik zgodny: \\(a = -1\\), \\(b = 2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1, podstawiając znane współrzędne i rozwiązując dwa niezależne równania liniowe.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(a = 5, b = 5\\): sprawdzamy - środek byłby \\(\\left(\\frac{5+7}{2}, \\frac{6+5}{2}\\right) = (6, 5{,}5)\\) - to nie jest \\((3,4)\\). Typowy błąd: odczytanie współrzędnych \\(M\\) jako \\(a\\) i \\(b\\) wprost. |\n| C | \\(a = 4, b = 10\\): środek wychodzi \\(\\left(\\frac{4+7}{2}, \\frac{6+10}{2}\\right) = (5{,}5,\\ 8)\\) - błędny. Prawdopodobnie uczeń dodał zamiast zastosować wzór (np. \\(3 + 1 = 4\\) lub \\(4 + 6 = 10\\)). |\n| D | \\(a = -4, b = -2\\): środek wychodzi \\(\\left(\\frac{-4+7}{2}, \\frac{6+(-2)}{2}\\right) = (1{,}5,\\ 2)\\) - błędny. Możliwe odejmowanie zamiast układania równania, albo pomylenie znaku przy mnożeniu. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek to **średnia** obu współrzędnych - nie różnica, nie suma. Wzór: \\(\\frac{x_A + x_B}{2} = x_M\\), więc \\(x_A + x_B = 2x_M\\). Wielu uczniów zapomina pomnożyć obie strony przez 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współrzędne \\(x\\) i \\(y\\) rozpatrujemy **niezależnie** - osobno układ dla \\(a\\), osobno dla \\(b\\). Nie mieszaj współrzędnych poziomych z pionowymi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź znak! Tu \\(a = -1\\) - liczba ujemna. Łatwo popełnić błąd przy \\(a + 7 = 6\\) i zapisać \\(a = 1\\) zamiast \\(a = -1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\nŚrodek odcinka \\(AB\\): \\(M = \\left(\\tfrac{x_A+x_B}{2}, \\tfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[\\tfrac{a + 7}{2} = 3 \\Rightarrow a + 7 = 6 \\Rightarrow a = -1.\\]\n\\[\\tfrac{6 + b}{2} = 4 \\Rightarrow 6 + b = 8 \\Rightarrow b = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Wektor symetrii\n\\(M\\) jest środkiem, więc \\(\\vec{MA} = -\\vec{MB}\\):\n\\[\\vec{MA} = (a - 3, 6 - 4) = (a-3, 2)\\]\n\\[\\vec{MB} = (7 - 3, b - 4) = (4, b-4)\\]\n\\[a-3 = -4 \\Rightarrow a = -1; \\quad 2 = -(b-4) \\Rightarrow b = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=5, b=5\\)** - ktoś dodał 2 (różnicę \\(M-A\\)) do \\(A\\).\n- **C. \\(a=4, b=10\\)** - brak podzielenia przez 2.\n- **D. \\(a=-4, b=-2\\)** - złe znaki, zła interpretacja środka.\n\n**Klasyczna pułapka:** po \"\\(\\tfrac{a+7}{2} = 3\\)\" trzeba pomnożyć przez 2, a potem odjąć 7.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie własności środka odcinka\n\n1. **Środek odcinka:** Środek odcinka AB to punkt M, który dzieli odcinek AB na dwie równe części. Zatem, współrzędne środka M są obliczane jako:\n\\[ M = \\left( \\frac{a + 7}{2}, \\frac{6 + b}{2} \\right) \\]\nWiemy, że M = (3, 4), więc możemy porównać współrzędne:\n\\[ \\frac{a + 7}{2} = 3 \\quad \\text{i} \\quad \\frac{6 + b}{2} = 4 \\]\n2. **Rozwiązanie równań:**\n* Rozwiązujemy pierwsze równanie:\n\\[ a + 7 = 6 \\]\n\\[ a = 6 - 7 \\]\n\\[ a = -1 \\]\n* Rozwiązujemy drugie równanie:\n\\[ 6 + b = 8 \\]\n\\[ b = 8 - 6 \\]\n\\[ b = 2 \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na współrzędne środka odcinka\n\n1. **Wzór na współrzędne środka odcinka:** Środek odcinka AB (oznaczmy go jako M) ma współrzędne, które są średnią arytmetyczną współrzędnych punktów A i B:\n\\[ M_x = \\frac{a + 7}{2}, \\quad M_y = \\frac{6 + b}{2} \\]\n2. **Porównanie współrzędnych:** Ponownie, z treści zadania wiemy, że M = (3, 4). Zatem:\n\\[ \\frac{a + 7}{2} = 3 \\quad \\text{i} \\quad \\frac{6 + b}{2} = 4 \\]\n3. **Rozwiązanie równań:** Jak w poprzednim sposobie, rozwiązujemy otrzymane równania:\n* \\[ a + 7 = 6 \\]\n\\[ a = -1 \\]\n* \\[ 6 + b = 8 \\]\n\\[ b = 2 \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a = 5 i b = 5\\)**: Sprawdzając, otrzymujemy, że \\(M_x = \\frac{5 + 7}{2} = 6\\) i \\(M_y = \\frac{6 + 5}{2} = 5.5\\), co nie zgadza się z podanym środkiem odcinka M = (3, 4).\n* **C. \\(a = 4 i b = 10\\)**: Sprawdzając, otrzymujemy, że \\(M_x = \\frac{4 + 7}{2} = 5.5\\) i \\(M_y = \\frac{6 + 10}{2} = 8\\), co również nie zgadza się z podanym środkiem odcinka M = (3, 4).\n* **D. \\(a = -4 i b = -2\\)**: Sprawdzając, otrzymujemy, że \\(M_x = \\frac{-4 + 7}{2} = 1.5\\) i \\(M_y = \\frac{6 + (-2)}{2} = 2\\), co również nie zgadza się z podanym środkiem odcinka M = (3, 4).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nRzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania\ndokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy\nA. 0\n0,2\np\n≤\n<\nB. 0,2\n0,35\np\n≤\n≤\nC. 0,35\n0,5\np\n<\n≤\nD. 0,5\n1\np\n<\n≤\nRzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dwóch orłów w trzech rzutach. Wtedy A. 0 ≤ p < 0,2; B. 0,2 ≤ p < 0,35; C. 0,35 < p ≤ 0,5; D. 0,5 < p ≤ 1.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa (10.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPrawdopodobieństwo \\(p = \\frac{3}{8} = 0{,}375\\), co mieści się w przedziale \\((0{,}35;\\ 0{,}5\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Schemat Bernoullego\n\nMamy \\(n = 3\\) rzuty niezależne, szukamy \\(k = 2\\) orłów. Moneta symetryczna, więc:\n\\[p_{\\text{orzeł}} = \\frac{1}{2}, \\quad q_{\\text{reszka}} = 1 - \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}\\]\n\nZe schematu Bernoullego:\n\\[P_n(k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot q^{n-k}\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 3\\), \\(k = 2\\):\n\\[P_3(2) = \\binom{3}{2} \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^1\\]\n\n\\[\\binom{3}{2} = \\frac{3!}{2! \\cdot 1!} = 3\\]\n\n\\[P_3(2) = 3 \\cdot \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} = 3 \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{3}{8}\\]\n\n**Wynik:** \\(p = \\frac{3}{8} = 0{,}375\\)\n\nSprawdzamy przedziały:\n- \\(0{,}35 < 0{,}375 \\leq 0{,}5\\) ✓\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - Wyliczenie wszystkich przypadków (metoda klasyczna)\n\nPrzestrzeń próbna to wszystkie wyniki trzech rzutów. Oznaczamy: O = orzeł, R = reszka.\n\nMożliwe wyniki (wszystkich jest \\(2^3 = 8\\)):\n\n| Wynik | Liczba orłów |\n| OOO | 3 |\n| **OOR** | **2** ✓ |\n| **ORO** | **2** ✓ |\n| **ROO** | **2** ✓ |\n| ORR | 1 |\n| ROR | 1 |\n| RRO | 1 |\n| RRR | 0 |\n\nZdarzenia sprzyjające (dokładnie 2 orły): **3 przypadki** na 8 możliwych.\n\n\\[p = \\frac{3}{8} = 0{,}375\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. **Odpowiedź: C**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - schemat Bernoullego:\n\\[P_n(k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot q^{n-k}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1. Stosujemy go zawsze, gdy mamy \\(n\\) niezależnych powtórzeń doświadczenia z dwoma wynikami (sukces/porażka) i szukamy dokładnie \\(k\\) sukcesów.\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - symbol Newtona:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nPotrzebny do obliczenia \\(\\binom{3}{2} = 3\\), czyli liczby sposobów wybrania, w których rzutach wypada orzeł.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Skąd się bierze |\n| A | \\(p < 0{,}2\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{1}{2^3} = \\frac{1}{8} = 0{,}125\\) - bierze jeden konkretny przypadek (np. OOR), zapominając pomnożyć przez \\(\\binom{3}{2} = 3\\) |\n| B | \\(0{,}2 \\leq p \\leq 0{,}35\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{2}{8} = 0{,}25\\) - zlicza tylko dwa sprzyjające przypadki (np. OOR i ORO), pomijając ROO |\n| D | \\(p > 0{,}5\\) | Uczeń mylnie myśli: \"w 3 rzutach szansa na 2 orły to ponad połowa\" - intuicja tu myli; żaden pojedynczy wynik nie ma prawdopodobieństwa powyżej 0,5 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie współczynnika \\(\\binom{n}{k}\\). Uczeń liczy samo \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{8}\\), zapominając, że orły mogą wypaść w różnych rzutach - a każdy układ liczymy osobno!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Schemat Bernoullego działa tylko wtedy, gdy rzuty są **niezależne** i prawdopodobieństwo sukcesu jest **stałe** w każdym rzucie. Dla symetrycznej monety oba warunki są spełnione - zawsze \\(p = \\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy porównywaniu \\(p = \\frac{3}{8}\\) z przedziałami uważaj na nawiasy! Przedział C to \\((0{,}35;\\ 0{,}5\\rangle\\) - lewa granica jest **otwarta**, prawa **domknięta**. Ponieważ \\(0{,}375 \\neq 0{,}35\\), otwartość lewego nawiasu nie stanowi problemu, ale zawsze warto to sprawdzić.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Schemat Bernoulliego\n\\(P(\\text{orzeł}) = \\tfrac{1}{2}\\) w pojedynczym rzucie. 3 rzuty niezależne, 2 sukcesy:\n\\[p = \\binom{3}{2}\\cdot\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^2\\cdot\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^1 = 3\\cdot\\tfrac{1}{4}\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{3}{8} = 0{,}375.\\]\n\n**Sprawdzenie przedziału:** \\(0{,}35 < 0{,}375 \\le 0{,}5\\) ✓ → odpowiedź **C**.\n\n### Sposób 2 - Wypisanie zdarzeń\n\\(|\\Omega| = 2^3 = 8\\). Wyniki z dokładnie 2 orłami:\n- OOR, ORO, ROO → 3 wyniki.\n\\[p = \\tfrac{3}{8} = 0{,}375.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0 \\le p < 0{,}2\\)** - za małe.\n- **B. \\(0{,}2 \\le p \\le 0{,}35\\)** - \\(0{,}375 > 0{,}35\\), więc nie pasuje.\n- **D. \\(0{,}5 < p \\le 1\\)** - za duże.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Metoda prawdopodobieństwa\nW tym zadaniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w trzech rzutach symetrycznej monety. Możemy to zrobić, obliczając liczbę sprzyjających zdarzeń i dzieląc ją przez całkowitą liczbę możliwych wyników.\n\n* **Całkowita liczba możliwych wyników:** Każdy rzut monety ma 2 możliwe wyniki (orła lub reszki). W trzech rzutach mamy \\(2^3 = 8\\) możliwych kombinacji.\n* **Liczba sprzyjających zdarzeń:** Musimy wybrać 2 rzuty, które dadzą orła, a 1 rzut, który da reszkę. Możemy to zrobić na \\(\\binom{3}{2} = \\frac{3!}{2!1!} = 3\\) sposobów. (Wybieramy 2 pozycje dla orła z 3 możliwych).\n* **Prawdopodobieństwo:** \\(p = \\frac{\\text{liczba sprzyjających zdarzeń}}{\\text{całkowita liczba możliwych wyników}} = \\frac{3}{8}\\)\n\nPonieważ \\(0.375 \\approx 0.35\\) i \\(0.35 < 0.375 < 0.5\\), to odpowiedź C jest poprawna.\n\n📖 Karta wzorów: s.29, Prawdop: P(A)=|A|/|Ω|, strona 29\n\n### Sposób 2: Użycie rozkładu dwumianowego\nZastosujemy rozkład dwumianowy prawdopodobieństwa. Mamy \\(n=3\\) prób, każda z prawdopodobieństwem sukcesu (orła) \\(p=0.5\\) i prawdopodobieństwem porażki (reszki) \\(q=1-p=0.5\\). Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo dokładnie \\(k=2\\) sukcesów (orłów).\n\nWzór na prawdopodobieństwo w rozkładzie dwumianowym to:\n\n\\(P(X=k) = \\binom{n}{k} p^k q^{n-k}\\)\n\nW naszym przypadku:\n\n\\(P(X=2) = \\binom{3}{2} (0.5)^2 (0.5)^{3-2} = 3 \\cdot (0.25) \\cdot (0.5) = 3 \\cdot 0.125 = 0.375\\)\n\nPonieważ \\(0.35 < 0.375 < 0.5\\), to odpowiedź C jest poprawna.\n\n📖 Karta wzorów: s.29, Prawdop: P(A)=|A|/|Ω|, strona 29\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(0 \\leq p < 0,2\\):** Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w trzech rzutach jest znacznie większe niż 0.2.\n* **B. \\(0,2 \\leq p \\leq 0,35\\):** Obliczone prawdopodobieństwo (0.375) mieści się w tym przedziale, ale nie jest to najwęższy przedział, który odpowiada prawdzie.\n* **D. \\(0,5 < p \\leq 1\\):** Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w trzech rzutach jest mniejsze niż 0.5.\n\nPodsumowując, odpowiedź C jest najbardziej precyzyjna, ponieważ prawdopodobieństwo \\(p = 0.375\\) mieści się w przedziale \\(0.35 < p \\leq 0.5\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nKąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego\nstożka jest równa\nA. 36π\nB. 18π\nC. 24π\nD. 8π\nKąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa A. 36π; B. 18π; C. 24π; D. 8π.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje\nw walcach i stożkach kąty między odcinkami\ni płaszczyznami (9.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(8\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym\n\n**Rysujemy przekrój osiowy stożka** - to trójkąt równoramienny z kątem przy wierzchołku \\(120^\\circ\\).\n\nKąt rozwarcia stożka = \\(120^\\circ\\) to kąt przy wierzchołku **całego** trójkąta, więc kąt między tworzącą a osią stożka wynosi:\n\\[\\frac{120^\\circ}{2} = 60^\\circ\\]\n\nTworząca to ramię trójkąta: \\(l = 4\\).\n\n**Wyznaczamy promień podstawy \\(r\\):**\n\\[r = l \\cdot \\sin 60^\\circ = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Wyznaczamy wysokość \\(h\\):**\n\\[h = l \\cdot \\cos 60^\\circ = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\n**Obliczamy objętość:**\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot (2\\sqrt{3})^2 \\cdot 2 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 12 \\cdot 2 = \\boxed{8\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Pitagorasa jako weryfikacja\n\nSprawdzamy, czy \\(r\\), \\(h\\), \\(l\\) tworzą spójny trójkąt prostokątny:\n\\[r^2 + h^2 = (2\\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 = 4^2 = l^2 \\checkmark\\]\n\nTw. Pitagorasa spełnione - wyznaczone wymiary są poprawne. Objętość \\(8\\pi\\) jest prawidłowa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy do obliczenia objętości po wyznaczeniu \\(r\\) i \\(h\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicje sinus i cosinus:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(r\\) i \\(h\\) z tworzą \\(l\\) i kąta \\(60^\\circ\\).\n\nWartości z tabeli (s. 11):\n\\[\\sin 60^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 60^\\circ = \\frac{1}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |\n| A - \\(36\\pi\\) | Wzięcie \\(r = l = 4\\) (mylenie tworzą z promieniem) i \\(h = 3\\): \\(\\frac{1}{3}\\pi \\cdot 16 \\cdot \\frac{27}{4} \\approx \\) - lub inne mylne podstawienia |\n| B - \\(18\\pi\\) | Wzięcie kąta rozwarcia \\(120^\\circ\\) jako kąta przy podstawie zamiast przy wierzchołku, co prowadzi do zamienionych lub błędnych wartości \\(r\\) i \\(h\\) |\n| C - \\(24\\pi\\) | **Pominięcie czynnika \\(\\frac{1}{3}\\)** w wzorze na objętość: \\(\\pi r^2 h = \\pi \\cdot 12 \\cdot 2 = 24\\pi\\) - to najczęstszy błąd! |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt rozwarcia \\(120^\\circ\\) to kąt **cały** przy wierzchołku - do trygonometrii używamy jego **połowy**, czyli \\(60^\\circ\\). Wzięcie \\(120^\\circ\\) wprost do \\(\\sin\\) lub \\(\\cos\\) to błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na objętość stożka ma \\(\\frac{1}{3}\\) - to najczęstsze \"zapomnienie\" w zadaniu maturalnym. Odróżnij stożek (\\(\\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\)) od walca (\\(\\pi r^2 h\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca (\\(l = 4\\)) to **nie** wysokość ani promień - to ukośna krawędź. Wysokość i promień trzeba dopiero wyliczyć z trygonometrii.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Promień i wysokość z przekroju osiowego\nKąt rozwarcia \\(= 120^\\circ\\) - kąt między tworzącymi w przekroju osiowym. Półkąt przy wierzchołku = \\(60^\\circ\\).\n\nW trójkącie prostokątnym (połowa przekroju osiowego): tworząca \\(l = 4\\), kąt przy wierzchołku \\(= 60^\\circ\\), wysokość \\(h\\) (przyległa do wierzchołka), promień podstawy \\(r\\) (naprzeciw).\n\\[\\sin 60^\\circ = \\dfrac{r}{l} \\Rightarrow r = 4\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}.\\]\n\\[\\cos 60^\\circ = \\dfrac{h}{l} \\Rightarrow h = 4\\cdot\\tfrac{1}{2} = 2.\\]\n\n**Objętość stożka:**\n\\[V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 12\\cdot 2 = 8\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośredni wzór\nW przekroju osiowym trójkąt równoramienny z kątem wierzchołkowym \\(120^\\circ\\) i ramionami \\(4\\):\n- wysokość trójkąta (= wysokość stożka): \\(h = 4\\cos 60^\\circ = 2\\)\n- połowa podstawy (= \\(r\\)): \\(r = 4\\sin 60^\\circ = 2\\sqrt{3}\\)\n\n\\[V = \\tfrac{1}{3}\\pi (2\\sqrt{3})^2\\cdot 2 = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 12\\cdot 2 = 8\\pi.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(36\\pi\\)** - \\(\\pi r^2 h = 24\\pi\\)? błędny wzór walca lub błąd rachunkowy.\n- **B. \\(18\\pi\\)** - być może policzono z r = 3.\n- **C. \\(24\\pi\\)** - wzór walca: \\(\\pi r^2 h = \\pi\\cdot 12\\cdot 2 = 24\\pi\\); pominięto \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Kluczowe:** objętość stożka to \\(\\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h\\), czyli **trzecia część** objętości walca o tej samej podstawie i wysokości.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia o twarzy stożka\nKrok 1: Obliczenie promienia stożka (r). Tworząca stożka (l) i promień (r) są związane przez twierdzenie o twarzy stożka: l² = r² + h², gdzie h to wysokość stożka. W naszym przypadku l = 4, więc 4² = r² + h².\nKrok 2: Obliczenie wysokości stożka (h). Wiemy, że kąt rozwarcia stożka ma miarę 120 stopni. Kąt pomiędzy tworzącą a wysokością stożka jest równy 60 stopni (ponieważ jest to połowa kąta rozwarcia). Możemy użyć funkcji tangensa: tan(60°) = r/h. Znamy tan(60°) = √3, więc √3 = r/h, co oznacza, że r = h√3.\nKrok 3: Podstawienie r = h√3 do równania l² = r² + h². Mamy 4² = (h√3)² + h², czyli 16 = 3h² + h². Zatem 16 = 4h², co daje h² = 4, więc h = 2.\nKrok 4: Obliczenie objętości stożka (V). Objętość stożka jest dana wzorem: V = (1/3)πr²h. Podstawiamy r = h√3 = 2√3 i h = 2: V = (1/3)π(2√3)²(2) = (1/3)π(12)(2) = (1/3)π(24) = 8π.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na objętość stożka z kąta rozwarcia\nKrok 1: Znamy tworząca (l=4) i kąt rozwarcia (α = 120°). Objętość stożka można obliczyć z kąta rozwarcia za pomocą wzoru: V = (1/3) * l² * sin(α).\nKrok 2: Podstawiamy wartości: V = (1/3) * 4² * sin(120°) = (1/3) * 16 * (√3/2) = (16√3) / 6 = (8√3) / 3. To nie jest odpowiedź, więc musimy sprawdzić, czy dobrze interpretowaliśmy kąt rozwarcia. Kąt rozwarcia to kąt między tworzącą a ciętą z wierzchołka stożka. W tym przypadku, kąt rozwarcia to kąt między tworzącą a ciętą.\n\nKrok 3: Ponownie obliczamy objętość stożka, korzystając z twierdzenia o twarzy stożka. Wzór na objętość stożka to V = (1/3)πr²h. W naszym przypadku, h = 2 i r = h√3 = 2√3. Zatem V = (1/3)π(2√3)²(2) = (1/3)π(12)(2) = 8π.\n\n📖 Karta wzorów: s.26, Stożek, V=πr²h/3, strona 26\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 36π:** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ obliczenia nie prowadzą do tego wyniku.\n* **B. 18π:** Podobnie jak A, ta odpowiedź jest błędna.\n* **C. 24π:** Ta odpowiedź również jest błędna, ponieważ obliczenia nie prowadzą do tego wyniku.\n* **D. 8π:** Ta odpowiedź jest poprawna, ponieważ obliczenia (z wykorzystaniem twierdzenia o twarzy stożka i kąta rozwarcia) prowadzą do tego wyniku.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPrzekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od\nwysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną\npodstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).\nPłaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze\nA.\n°\n30\nB.\n°\n45\nC.\n°\n60\nD.\n°\n75\nPrzekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze A. 30°; B. 45°; C. 60°; D. 75°.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje\nw graniastosłupach i ostrosłupach kąty między\nodcinkami i płaszczyznami (9.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(45°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt dwuścienny przez prostą prostopadłą\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech graniastosłup ma podstawę kwadratową o boku \\(a\\) i wysokość \\(h\\). Wierzchołki dolnej podstawy:\n\\[A = (0,0,0),\\quad B = (a,0,0),\\quad C = (a,a,0),\\quad D = (0,a,0)\\]\ni górnej: \\(A', B', C', D'\\) powyżej o \\(h\\).\n\n**Dane o wymiarach.** Przekątna podstawy:\n\\[|AC| = a\\sqrt{2}\\]\nWarunek: przekątna jest dwa razy dłuższa od wysokości:\n\\[a\\sqrt{2} = 2h \\implies h = \\frac{a\\sqrt{2}}{2} = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\]\n\n**Opis przekroju.** Płaszczyzna przekroju przechodzi przez przekątną \\(AC\\) dolnej podstawy i przez wierzchołek \\(B' = (a,0,h)\\) górnej podstawy.\n\nLinia przecięcia z podstawą to właśnie \\(AC\\), więc **kąt \\(\\alpha\\) to kąt dwuścienny wzdłuż \\(AC\\)** między płaszczyzną przekroju a podstawą.\n\n**Liczymy odległość od \\(B'\\) do prostej \\(AC\\).**\n\nKierunek prostej \\(AC\\): \\(\\vec{u} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}[1,1,0]\\).\n\nWektor \\(\\overrightarrow{AB'} = [a, 0, h]\\).\n\nRzut \\(\\overrightarrow{AB'}\\) na \\(\\vec{u}\\):\n\\[\\text{rzut} = \\left([a,0,h] \\cdot \\frac{[1,1,0]}{\\sqrt{2}}\\right)\\frac{[1,1,0]}{\\sqrt{2}} = \\frac{a}{\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{[1,1,0]}{\\sqrt{2}} = \\frac{a}{2}[1,1,0]\\]\n\nStopa prostopadłej z \\(B'\\) na prostą \\(AC\\) = punkt \\(M = \\left(\\frac{a}{2}, \\frac{a}{2}, 0\\right)\\) (środek \\(AC\\)).\n\nWektor \\(\\overrightarrow{MB'} = \\left(\\frac{a}{2}, -\\frac{a}{2}, h\\right)\\).\n\n**Kąt \\(\\alpha\\) to kąt między \\(\\overrightarrow{MB'}\\) a jego rzutem na podstawę** \\(\\overrightarrow{MB'}_{\\text{podstawa}} = \\left(\\frac{a}{2}, -\\frac{a}{2}, 0\\right)\\):\n\n\\[\\tan\\alpha = \\frac{h}{\\left|\\left(\\frac{a}{2}, -\\frac{a}{2}, 0\\right)\\right|} = \\frac{h}{\\sqrt{\\frac{a^2}{4}+\\frac{a^2}{4}}} = \\frac{h}{\\frac{a}{\\sqrt{2}}}\\]\n\nPodstawiamy \\(h = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\):\n\\[\\tan\\alpha = \\frac{\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}}{\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}} = 1\\]\n\n\\[\\boxed{\\alpha = 45°}\\]\n\n## Sposób 2 - Geometryczny (bez współrzędnych)\n\n**Klucz:** kąt dwuścianny mierzy się przez prostopadłą do krawędzi obu ścian.\n\n1. Krawędź przecięcia to \\(AC\\) (przekątna kwadratu o boku \\(a\\)), długości \\(a\\sqrt{2}\\).\n2. Środek \\(M\\) przekątnej \\(AC\\) leży w odległości \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2} = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\) od każdego z boków.\n3. Wierzchołek \\(B\\) dolnej podstawy leży dokładnie w odległości \\(|MB| = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\) od \\(AC\\) (bo \\(M\\) to środek przekątnej \\(AC\\), a \\(B\\) to wierzchołek kwadratu - \\(|MB|\\) to połowa drugiej przekątnej \\(= \\frac{a\\sqrt{2}}{2} = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\)).\n4. Wierzchołek \\(B'\\) górnej podstawy jest nad \\(B\\), więc \\(|BB'| = h = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\).\n\nTrójkąt \\(MBB'\\) jest prostokątny przy \\(B\\). Kąt \\(\\angle B'MB = \\alpha\\):\n\\[\\tan\\alpha = \\frac{|BB'|}{|MB|} = \\frac{h}{\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}} = \\frac{\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}}{\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}} = 1 \\implies \\alpha = 45°\\]\n\nTrójkąt \\(MBB'\\) jest prostokątny równoramienny - oba ramiona (poziome i pionowe) są równe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Pitagorasa i wzór na przekątną kwadratu:\n\\[d = a\\sqrt{2}\\]\nUżyte do wyznaczenia długości przekątnej podstawy.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\nKontekst: definicja i własności graniastosłupa prawidłowego czworokątnego (podstawa kwadratowa, boczne krawędzie prostopadłe do podstawy).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensu:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyległa}}\\]\nUżyte do wyznaczenia kąta w trójkącie \\(MBB'\\): \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 1 \\implies \\alpha = 45°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** (\\(30°\\)) | Uczeń dzieli \\(h\\) przez **pełną** przekątną \\(a\\sqrt{2}\\) zamiast przez odległość od \\(B\\) do \\(AC\\): \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{a\\sqrt{2}} = \\frac{1}{2}\\), czyli \\(\\alpha \\approx 26{,}6°\\). Wynik nie jest kątem \"ładnym\" - uczeń zaokrągla do \\(30°\\), co jest błędem. |\n| **C** (\\(60°\\)) | Uczeń **odwraca stosunek**: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a/\\sqrt{2}}{h} = \\frac{a/\\sqrt{2}}{a/\\sqrt{2}} = 1\\) tu trudniej. Częsty błąd: branie boku \\(a\\) zamiast odległości od wierzchołka do przekątnej, co daje \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{a/2} = \\sqrt{2}\\), stąd \\(\\alpha \\approx 54{,}7°\\), zaokrąglane do \\(60°\\). |\n| **D** (\\(75°\\)) | Niepoprawna identyfikacja kąta - uczeń mierzy kąt między płaszczyzną przekroju a **boczną ścianą** graniastosłupa, a nie podstawą. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt dwuścianny między płaszczyzną a podstawą NIE mierzy się dowolną prostą w tej płaszczyźnie - tylko prostopadłą do krawędzi przecięcia (tu: do przekątnej \\(AC\\)). To najczęstszy błąd w zadaniach o kątach w bryłach!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek przekątnej kwadratu jest jednocześnie rzutem bocznego wierzchołka na tę przekątną - to nieoczywisty fakt wart zapamiętania. Wynika z symetrii kwadratu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy pytanie pyta o kąt z **podstawą** czy z **boczną ścianą** - to dwa różne kąty dwuścienne tego samego przekroju!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym\nOznaczmy wysokość graniastosłupa \\(h\\). Wtedy przekątna podstawy = \\(2h\\).\n\nPłaszczyzna przekroju zawiera przekątną podstawy (długości \\(2h\\)) i wierzchołek górnej podstawy (nad jednym z rogów nie leżących na przekątnej). Kąt \\(\\alpha\\) to kąt między tą płaszczyzną a podstawą.\n\n**Gdzie leży wierzchołek?** W kwadracie \\(ABCD\\) podstawy: przekątna np. \\(AC\\) długości \\(2h\\). Wierzchołek górnej \\(F\\) (nad \\(B\\)). Odległość \\(B\\) od \\(AC\\) = połowa drugiej przekątnej = \\(h\\) (bo w kwadracie obie przekątne są równe).\n\nW trójkącie prostokątnym z podstawą \\(h\\) (pozioma odległość \\(B\\) do \\(AC\\)) i wysokością \\(h\\) (pionowa wysokość graniastosłupa):\n\\[\\tan\\alpha = \\tfrac{h}{h} = 1 \\Rightarrow \\alpha = 45^\\circ.\\]\n\n### Sposób 2 - Równość przyprostokątnych\nPonieważ \\(\\tan\\alpha = 1\\), kąt \\(\\alpha = 45^\\circ\\). Trójkąt \\(45^\\circ-45^\\circ-90^\\circ\\) z równymi przyprostokątnymi.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(30^\\circ\\)** - tan 30° = √3/3, tu jest 1.\n- **C. \\(60^\\circ\\)** - tan 60° = √3, tu jest 1.\n- **D. \\(75^\\circ\\)** - niewłaściwe wykorzystanie relacji boków.\n\n**Kluczowe:** punkt, w którym rzutuje się wierzchołek górnej podstawy na dolną, jest rogiem kwadratu - odległość od przekątnej wynosi dokładnie **połowę drugiej przekątnej** = \\(h\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Geometria trójkąta i trygonometria\n1. **Zrozumienie zadania:** Mamy graniastosłup prawidłowy czworokątny. Przekątna podstawy (czworokąta) jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Kąt α jest kątem między płaszczyzną przekroju a podstawą graniastosłupa. Musimy obliczyć ten kąt.\n2. **Oznaczenia:**\n* Niech `h` będzie wysokością graniastosłupa.\n* Przekątna podstawy (d) = 2h\n3. **Wykorzystanie twierdzenia Pitagorowego:** W podstawie (czworokącie) `d² = a² + a²` (gdzie `a` to długość boku podstawy). Zatem `d = a√2`. W naszym przypadku `d = 2h`. Zatem `2h = a√2`, czyli `a = (2h) / √2 = h√2`.\n4. **Obliczenie tangensa kąta α:** Kąt α to kąt między przekątną podstawy i wysokością graniastosłupa. Możemy to przedstawić jako trójkąt prostokątny, gdzie:\n* `h` to przyprostokątna\n* `a` to przyprostokątna\n* `α` to kąt przy wierzchołku trójkąta.\n* `tan(α) = h / a = h / (h√2) = 1/√2 = √2 / 2`\n5. **Znalezienie kąta:** `tan(α) = √2 / 2`. Wiemy, że `tan(45°) = 1`. Zatem `α = arctan(√2 / 2) = 45°`.\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie trójkąta równoramiennego i twierdzenia cosinusów\n1. **Zrozumienie zadania:** Podstawa graniastosłupa to kwadrat. Przekątna kwadratu tworzy z wysokości graniastosłupa trójkąt równoramienny.\n2. **Oznaczenia:**\n* `h` - wysokość graniastosłupa\n* `d` - przekątna podstawy (2h)\n* `a` - długość boku podstawy\n3. **Obliczenie boku podstawy:** Z twierdzenia Pitagorowego w kwadracie: `d² = a² + a² = 2a²`. Zatem `a = d / √2 = (2h) / √2 = h√2`.\n4. **Wykorzystanie twierdzenia cosinusów:** W trójkącie, w którym podstawa to przekątna kwadratu (`d`), a górne wierzchołki to wierzchołki kwadratu (`a`), a kąt między nimi to `α`:\n`d² = a² + a² - 2 * a * a * cos(α)`\n`(2h)² = (h√2)² + (h√2)² - 2 * (h√2) * (h√2) * cos(α)`\n`4h² = 2h² + 2h² - 4h² * cos(α)`\n`4h² = 4h² - 4h² * cos(α)`\n`0 = -4h² * cos(α)`\n`cos(α) = 0`\n`α = 90°` - To jest błąd, bo nie jest to poprawny sposób rozwiązania. Należy użyć innego podejścia.\n\n5. **Poprawne wykorzystanie cosinusów:** Zamiast używać twierdzenia cosinusów bezpośrednio, możemy zauważyć, że w trójkącie równoramiennym z wierzchołkiem, gdzie wysokość graniastosłupa, kąt przy podstawie (czyli kąt α) jest ostry. W tym przypadku, możemy użyć tangensa:\n`tan(α) = h / a = h / (h√2) = 1/√2 = √2 / 2`. Zatem `α = arctan(√2 / 2) = 45°`.\n\n📖 Karta wzorów: s.13, strona 13 (Sumy kątów: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ) - choć nie używamy bezpośrednio sumy kątów, to ta karta ilustruje, że kąty w trójkącie są powiązane.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 30°:** Wartość `tan(30°) = 1/√3`, co nie zgadza się z obliczoną wartością `tan(α) = √2 / 2`.\n* **C. 60°:** Wartość `tan(60°) = √3`, co również nie zgadza się z obliczoną wartością `tan(α) = √2 / 2`.\n* **D. 75°:** Wartość `tan(75°) ≈ 3.73`, co jest znacznie większe niż `√2 / 2 ≈ 0.707`.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnej wartości kąta α. Kluczem do rozwiązania jest obliczenie tangensa kąta α z wykorzystaniem zależności między wysokością i przekątną podstawy.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa 2\nx . Mediana\ntych liczb jest równa\nA. 26\nB. 27\nC. 28\nD. 29\nα\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x jest równa x/2. Mediana tych liczb jest równa A. 26; B. 27; C. 28; D. 29.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do\nrachunku prawdopodobieństwa. Zdający\nwyznacza średnią arytmetyczną i medianę\nzestawu danych (G9.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(28\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) z warunku na średnią, potem mediana\n\n**Krok 1: Wyrażamy warunek na średnią arytmetyczną.**\n\nŚrednia sześciu liczb to suma podzielona przez 6:\n\\[\\frac{31 + 16 + 25 + 29 + 27 + x}{6} = \\frac{x}{2}\\]\n\n**Krok 2: Liczymy sumę znanych liczb.**\n\\[31 + 16 + 25 + 29 + 27 = 128\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[\\frac{128 + x}{6} = \\frac{x}{2}\\]\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy równanie** - mnożymy obie strony przez 6:\n\\[128 + x = 3x\\]\n\\[128 = 2x\\]\n\\[x = 64\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy medianę.**\n\nMamy sześć liczb: \\(31,\\ 16,\\ 25,\\ 29,\\ 27,\\ 64\\).\n\nUstawiamy je rosnąco:\n\\[16,\\ 25,\\ \\mathbf{27},\\ \\mathbf{29},\\ 31,\\ 64\\]\n\nDla 6 liczb mediana to **średnia arytmetyczna 3. i 4. wyrazu** (środkowych dwóch):\n\\[Me = \\frac{27 + 29}{2} = \\frac{56}{2} = \\mathbf{28}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie warunku na średnią\n\nPrzy \\(x = 64\\) i medianie \\(28\\) sprawdzamy, czy średnia rzeczywiście wynosi \\(\\frac{x}{2} = 32\\):\n\n\\[\\frac{16 + 25 + 27 + 29 + 31 + 64}{6} = \\frac{192}{6} = 32\\]\n\nWarunek \\(\\frac{x}{2} = \\frac{64}{2} = 32\\) ✓\n\n**Wynik potwierdzony.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyta w Kroku 1 do zapisania równania na \\(x\\).\n\nMediana:\n> Dla parzystej liczby danych - średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów po posortowaniu.\n\nUżyta w Kroku 4 - tutaj \\(\\frac{27 + 29}{2} = 28\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\((26)\\) | Uczeń bierze średnią 2. i 3. wyrazu zamiast 3. i 4.: \\(\\frac{25 + 27}{2} = 26\\) - błędne wyznaczenie pozycji środkowych |\n| **B** \\((27)\\) | Uczeń bierze sam 3. wyraz jako medianę (zapomina o uśrednieniu): \\(27\\) - metoda dla nieparzystej liczby elementów zastosowana błędnie do parzystej |\n| **D** \\((29)\\) | Uczeń bierze sam 4. wyraz jako medianę: \\(29\\) - analogiczny błąd jak przy B, ale z drugiego środkowego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana dla **parzystej** liczby danych to **średnia dwóch środkowych** wyrazów - nie jeden wyraz środkowy! Dla 6 liczb środkowe to wyraz 3. i 4. (nie 3. albo 4.).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed wyznaczeniem mediany **zawsze sortuj** liczby! Tu \\(x = 64\\) jest większe od wszystkich pozostałych, więc wpada na koniec - nie „między\" inne liczby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu równania \\(\\frac{128+x}{6} = \\frac{x}{2}\\) łatwo o błąd przy mnożeniu - pamiętaj, że prawa strona to \\(\\frac{x}{2}\\), a nie \\(\\frac{x}{6}\\), więc po przemnożeniu przez 6 dostajemy \\(3x\\), nie \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\), potem mediana\n**Krok 1 - równanie:**\n\\[\\dfrac{31+16+25+29+27+x}{6} = \\dfrac{x}{2}\\]\n\\[\\dfrac{128+x}{6} = \\dfrac{x}{2}\\]\n\\[2(128+x) = 6x\\]\n\\[256 + 2x = 6x \\Rightarrow 4x = 256 \\Rightarrow x = 64.\\]\n\n**Krok 2 - sortowanie:** \\(16, 25, 27, 29, 31, 64\\).\n\n**Krok 3 - mediana 6 liczb** (parzysta ilość) = średnia z dwóch środkowych:\n\\[\\text{mediana} = \\tfrac{27 + 29}{2} = 28.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja średniej\nDla \\(x = 64\\): średnia = \\(\\tfrac{128+64}{6} = \\tfrac{192}{6} = 32 = \\tfrac{64}{2}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(26\\)** - źle odczytana środkowa para.\n- **B. \\(27\\)** - tylko jedna środkowa liczba (błąd: zapomnienie uśrednić 27 i 29).\n- **D. \\(29\\)** - to tylko jedna środkowa liczba.\n\n**Pamiętaj:** mediana dla parzystej liczby elementów to **średnia** z dwóch środkowych.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie średniej arytmetycznej i wykorzystanie jej do znalezienia mediany\n1. **Obliczenie średniej arytmetycznej:**\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb to suma liczb podzielona przez liczbę liczb.\n\\[ \\frac{31 + 16 + 25 + 29 + 27 + x}{6} = \\frac{148 + x}{6} \\]\nZadanie mówi, że średnia arytmetyczna wynosi . Zatem:\n\\[ \\frac{148 + x}{6} = 28 \\]\nPomnożymy obie strony przez 6:\n\\[ 148 + x = 28 \\cdot 6 = 168 \\]\nOdejmujemy 148 od obu stron:\n\\[ x = 168 - 148 = 20 \\]\n\n2. **Znalezienie mediany:**\nLiczby uporządkowane to: 16, 20, 25, 27, 29, 31.\nPonieważ mamy 6 liczb (parzystną liczbę), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb. W tym przypadku, środkowe liczby to 25 i 27.\n\\[ \\text{Mediana} = \\frac{25 + 27}{2} = \\frac{52}{2} = 26 \\]\nZatem mediana tych liczb wynosi 26. Jednakże, zadanie pyta o medianę *dwojga* liczb, a my obliczyliśmy medianę wszystkich. Zatem musimy obliczyć medianę z dwóch liczb, które dają wynik 28.\n\n### Sposób 2: Obliczenie mediany bezpośrednio\n1. **Uporządkowanie liczb:**\nLiczby są: 16, 25, 27, 29, 31, x\nUporządkowane: 16, 25, 27, 29, 31, x\n\n2. **Znalezienie mediany:**\nPonieważ mamy 6 liczb, mediana to środkowa liczba, czyli trzecia liczba w uporządkowanej sekwencji.\n\\[ \\text{Mediana} = 27 \\]\nW tym przypadku, x musi być równe 20, aby średnia arytmetyczna była równa 28. Zatem, mediana to 27.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójk, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 26:** Jak pokazano w Sposobie 1, obliczyliśmy, że x = 20, a mediana z liczb 16, 20, 25, 27, 29, 31 wynosi 26.\n* **B. 27:** Jak pokazano w Sposobie 2, mediana z liczb 16, 25, 27, 29, 31, x wynosi 27.\n* **D. 29:** Podobnie jak w przypadku A i B, obliczenia prowadzą do innych wartości.\n\nWyjaśnienie błędnych odpowiedzi jest zawarte w powyższym punkcie. Kluczowe jest zrozumienie, że zadanie pyta o medianę *dwojga* liczb, a nie medianę wszystkich sześciu.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nW tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych\nlat.\nkolejne lata\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nprzyrost (w cm)\n10\n10\n7\n8\n8\n7\nOblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany\nwynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd\nw procentach.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nW tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. Kolejne lata: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Przyrost (w cm): 10, 10, 7, 8, 8, 7. Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześci lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku\nprawdopodobieństwa. Zdający wyznacza średnią arytmetyczną\ni medianę zestawu danych (G9.4).\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza błąd bezwzględny i błąd\nwzględny przybliżenia (1.7).\nPrzykładowe rozwiązanie\nObliczamy średni roczny przyrost sosny:\nObliczamy błąd względny przybliżenia:\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\n• gdy obliczy średni roczny przyrost wysokości sosny:\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy\nalbo\n• gdy otrzyma średni roczny przyrost wysokości sosny będący liczbą spełniającą\nnierówność\nlub nierówność\ni konsekwentnie obliczy błąd\nwzględny otrzymanego przybliżenia.\nUwaga:\nAkceptujemy wynik przybliżony z przedziału\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy błąd względny przybliżenia:","solution":"## Poprawna odpowiedź: średni przyrost = **8 cm**, błąd względny = **4%**\n\n## Sposób 1 - Obliczenie średniej arytmetycznej i błędu względnego\n\n**Krok 1: Zbieramy dane**\n\nPrzyrosty w kolejnych latach:\n\\[10, \\quad 10, \\quad 7, \\quad 8, \\quad 8, \\quad 7 \\quad \\text{[cm]}\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy dokładną średnią arytmetyczną**\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{10 + 10 + 7 + 8 + 8 + 7}{6} = \\frac{50}{6} = \\frac{25}{3} \\approx 8{,}\\overline{3} \\text{ cm}\\]\n\n**Krok 3: Zaokrąglamy do 1 cm**\n\nPonieważ \\(\\frac{25}{3} \\approx 8{,}33 \\), zaokrąglamy do:\n\\[\\tilde{x} = 8 \\text{ cm}\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy błąd bezwzględny**\n\n\\[\\Delta x = \\left|\\tilde{x} - \\bar{x}\\right| = \\left|8 - \\frac{25}{3}\\right| = \\left|\\frac{24}{3} - \\frac{25}{3}\\right| = \\frac{1}{3} \\text{ cm}\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy błąd względny**\n\nBłąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wartości dokładnej:\n\\[\\delta = \\frac{\\Delta x}{|\\bar{x}|} = \\frac{\\dfrac{1}{3}}{\\dfrac{25}{3}} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3}{25} = \\frac{1}{25} = 0{,}04\\]\n\nWyrażony w procentach:\n\\[\\boxed{\\delta = 4\\%}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podejście ułamkowe krok po kroku\n\nZamiast od razu pisać ułamek, można krok po kroku dodawać i sprawdzać.\n\n**Suma przyrostów:**\n\\[10 + 10 = 20, \\quad 20 + 7 = 27, \\quad 27 + 8 = 35, \\quad 35 + 8 = 43, \\quad 43 + 7 = 50\\]\n\nSuma = **50 cm** - zgadza się.\n\n**Sprawdzenie zaokrąglenia:**\n\\[\\frac{50}{6} = 8{,}3333 \\]\n\nCyfra dziesiątek po przecinku to **3** (czyli \\(< 5\\)), więc zaokrąglamy **w dół** do 8 cm. ✓\n\n**Weryfikacja błędu względnego:**\n\\[\\delta = \\frac{|8 - \\frac{50}{6}|}{\\frac{50}{6}} = \\frac{\\frac{2}{6}}{\\frac{50}{6}} = \\frac{2}{50} = \\frac{1}{25} = 4\\% \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego wzoru dla \\(n = 6\\) danych, obliczając \\(\\bar{x} = \\frac{50}{6}\\).\n\nWzór na **błąd względny** nie jest podany wprost w karcie CKE, ale wynika z definicji:\n\\[\\delta = \\frac{|\\tilde{x} - \\bar{x}|}{|\\bar{x}|}\\]\nJest to wiedza wymagana z podstawy programowej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd względny liczymy zawsze względem wartości **dokładnej** (mianownik = \\(\\frac{25}{3}\\)), a **nie** względem wartości zaokrąglonej (nie dzielić przez 8!). Dzielenie przez 8 dałoby \\(\\frac{1/3}{8} \\approx 4{,}17\\%\\) - błędnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zaokrąglaniu \\(8{,}\\overline{3}\\) do 1 cm uczniowie czasem zaokrąglają „do góry\" na 9 - to błąd. Reguła zaokrąglania: jeśli pierwsza odrzucana cyfra wynosi 0-4, zaokrąglamy w dół. Tutaj mamy \\(8{,}3 \\) → zaokrąglamy do **8**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić błędu **względnego** z błędem **bezwzględnym**! Błąd bezwzględny to \\(\\frac{1}{3}\\) cm, a błąd względny to \\(4\\%\\). Zadanie pyta o oba.\n\n**Odpowiedź: Błąd względny \\(= \\dfrac{1}{25} = 4\\%\\)**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie krok po kroku\n**Krok 1 - średnia dokładna:**\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{10 + 10 + 7 + 8 + 8 + 7}{6} = \\dfrac{50}{6} = \\dfrac{25}{3} = 8\\dfrac{1}{3} \\approx 8{,}33\\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 2 - zaokrąglenie do 1 cm:**\n\\[\\bar{x}_{\\text{przybl}} = 8\\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 3 - błąd bezwzględny:**\n\\[|\\bar{x} - \\bar{x}_{\\text{przybl}}| = \\left|\\tfrac{25}{3} - 8\\right| = \\left|\\tfrac{25 - 24}{3}\\right| = \\tfrac{1}{3}.\\]\n\n**Krok 4 - błąd względny:**\n\\[\\delta = \\dfrac{|\\bar{x} - \\bar{x}_{\\text{przybl}}|}{\\bar{x}} = \\dfrac{1/3}{25/3} = \\dfrac{1}{25} = 0{,}04 = 4\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie wyliczenie\nBłąd względny = błąd bezwzględny / wartość dokładna:\n\\[\\delta = \\dfrac{\\tfrac{1}{3}\\text{ cm}}{\\tfrac{25}{3}\\text{ cm}} = \\dfrac{1}{25} = 4\\%.\\]\n\n**Odpowiedź:** błąd względny = **4%**.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"algebra","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż nierówność\nx\nx\nx\nx\n6\n3\n4\n2\n2\n2\n>\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na\nustaleniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na ustaleniu zbioru\nrozwiązań nierówności.\n1\n8 3\nx =\n1\n1\n3\n0,04\n4%\n25\n25\n3\n1\n83\nx =\n7\n8,2(3)\nx\n<\n<\n8,4(3)\n10\nx\n<\n<\n8,2(3);8,4(3)\n4%\nRealizacja pierwszego etapu\nI sposób\nRedukujemy wyrazy podobne i zapisujemy nierówność w postaci równoważnej\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\ni stąd\noraz\nalbo\n• wykorzystujemy postać iloczynową trójmianu\n2\n2\nx\nx\n:\n(\n)\n2\n0\nx x\n, stąd\noraz\n,\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\noraz\n, stąd\noraz\n,\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu\n,\nlub\nzaznaczając je na wykresie\nII sposób\nWyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego\ni zapisujemy nierówność\nw postaci równoważnej, np.\nStąd\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n0\nx\n>\nNastępnie przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności\nwartości bezwzględnej\n,\nRealizacja drugiego etapu\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tzn. ustali pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.:\n0\n2\n2\n>\nx\nx\nx\nx\n2\n2 +\n(\n)\n4\n0\n1\n4\n4\n⋅\n⋅\nΔ\n2\n2\n2\n2\n1\nx\n0\n2\n2\n2\n2\nx\n0\n1 =\nx\n2\n2 =\nx\n0\n2\n1\n⋅x\nx\n2\n2\n1\n+ x\nx\n0\n1 =\nx\n2\n2 =\nx\n1\n0\nx =\n2\n2\nx =\n-1\n1\n2\n3\n-2\n-1\n1\ny\n0\nx\nx\nx\n2\n2 +\n(\n)\n0\n1\n1\n2\n>\n-x\n(\n)\n1\n1\n2 <\nx\n1\n1 <\nx\n(\n)\n2\n,0\n(\n)\n2\n,0\n∈\nx\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n,\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy\nna\nwykresie\nmiejsca\nzerowe\nfunkcji\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zapisze nierówność\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności\nalbo\n• przy realizacji pierwszego etapu rozwiązania popełni błąd (ten sam błąd popełniony\nwielokrotnie traktuje się jak jeden błąd), ale otrzyma dwa różne pierwiastki,\ni konsekwentnie rozwiąże nierówność, np.:\no popełni błędy przy wyznaczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie rozwiąże nierówność,\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.\ni konsekwentnie rozwiąże nierówność,\no błędnie zapisze nierówność, np.\ni konsekwentnie ją rozwiąże.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\n, lub\ni\nalbo\n• sporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności w postaci:\n,\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nAkceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n2\nx\nlub przez x, bez stosownego\nzałożenia, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n2\nx\n, rozważając przy tym dwa\nprzypadki\n2\nx >\ni\n2\nx <\n, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków oraz wyznaczy\npoprawny zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 2 punkty.\n1\n0\nx =\n2\n2\nx =\n2\n( )\n2\nf x\nx\nx\n1\n1\nx -\n<\n2\n2\n1\n+ x\nx\n1\n1 >\nx\n(\n)\n2\n,0\n(\n)\n2\n,0\n∈\nx\n0\nx >\n2\nx <\n0\nx >\n2\nx <\n(\n)\n2, 0\nx\n0\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (0, 2)\\)\n\n## Sposób 1 - przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i rozkład na czynniki\n\n**Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę** (odejmujemy prawą stronę od lewej):\n\n\\[2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x\\]\n\n\\[2x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0\\]\n\n\\[-x^2 + 2x > 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) - **uwaga: zmienia się kierunek nierówności!**\n\n\\[x^2 - 2x < 0\\]\n\n**Wyłączamy \\(x\\) przed nawias:**\n\n\\[x(x - 2) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy **jeden jest dodatni, a drugi ujemny**.\n\nSzkicujemy parabolę \\(f(x) = x(x-2) = x^2 - 2x\\):\n- Ramiona skierowane w górę (współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni: \\(+1\\))\n- Miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 2\\)\n- Parabola leży **poniżej osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) < 0\\)) dla \\(x \\in (0, 2)\\)\n\n\\[\\boxed{x \\in (0, 2)}\\]\n\n## Sposób 2 - analiza znaku iloczynu (tabela znaków)\n\nZ poprzedniego kroku mamy: \\(x(x-2) < 0\\)\n\nWyznaczamy znaki każdego czynnika:\n\n| Przedział | \\(x\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn \\(x(x-2)\\) |\n| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(0 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest ujemny tylko dla \\(x \\in (0, 2)\\) - co potwierdza wynik ze Sposobu 1.\n\n**Weryfikacja punktem:** Weźmy \\(x = 1 \\in (0,2)\\):\n- Lewa strona: \\(2(1)^2 - 4(1) = 2 - 4 = -2\\)\n- Prawa strona: \\(3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3\\)\n- Czy \\(-2 > -3\\)? **Tak** ✓\n\nWeźmy \\(x = 3 \\notin (0,2)\\):\n- Lewa: \\(2(9) - 4(3) = 18 - 12 = 6\\)\n- Prawa: \\(3(9) - 6(3) = 27 - 18 = 9\\)\n- Czy \\(6 > 9\\)? **Nie** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego oraz postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy faktu, że parabola z ramionami w górę (\\(a > 0\\)) przyjmuje wartości ujemne **między** miejscami zerowymi, czyli dla \\(x \\in (x_1, x_2)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie (lub dzielenie) nierówności przez liczbę **ujemną** odwraca znak nierówności! Gdy przenosimy \\(-x^2 + 2x > 0\\) do postaci \\(x^2 - 2x < 0\\), znak \\(>\\) staje się \\(<\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału - granice \\(x = 0\\) i \\(x = 2\\) **nie należą** do rozwiązania, bo nierówność jest ostra (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)). Zapis \\(\\langle 0, 2 \\rangle\\) byłby błędem - poprawnie \\((0, 2)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zatrzymuj się na etapie \\(x^2 - 2x < 0\\) i nie próbuj \"przenosić\" \\(x^2\\) - wyłącz czynnik wspólny \\(x\\) i korzystaj z tabeli znaków lub wykresu paraboli.\n\n**Rozwiązanie: \\(x\\in(0, 2)\\)**\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci standardowej\n\\[2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x\\]\n\\[2x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0\\]\n\\[-x^2 + 2x > 0\\]\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) (zmieniamy znak nierówności):\n\\[x^2 - 2x < 0.\\]\nRozkład: \\(x(x-2) < 0\\).\n\nMiejsca zerowe: \\(x = 0\\), \\(x = 2\\). Parabola \\(x^2 - 2x\\) z ramionami w górę - przyjmuje ujemne wartości **między** pierwiastkami:\n\\[x \\in (0, 2).\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\(x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 < 0 \\iff (x-1)^2 < 1 \\iff |x-1| < 1 \\iff -1 < x-1 < 1 \\iff 0 < x < 2.\\)\n\n### Sposób 3 - Szkic wykresu\nFunkcja \\(f(x) = -x^2 + 2x\\) to parabola z ramionami w dół, miejsca zerowe \\(0\\) i \\(2\\). Wartości dodatnie (nierówność \\(>0\\)) osiąga między miejscami zerowymi: \\(x\\in(0, 2)\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in (0, 2)\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n)(\n)\n2\n4\n2\n15\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż równanie (4-x)(x^2 + 2x - 15) = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności\niloczynu przy rozwiązywaniu równań typu\n(3.7).\nPrzykładowe rozwiązanie\nLewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników\noraz\n. Zatem iloczyn\nten jest równy 0, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0, czyli\nlub\nRozwiązaniem równania\njest\nRozwiązania równania\nmożemy wyznaczyć, korzystając:\n• ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n,\n,\nalbo\n• ze wzorów Viète’a:\noraz\ni stąd\n,\n,\nalbo\n• z postaci iloczynowej trójmianu\n, stąd\n,\n,\nalbo\n• z własności wartości bezwzględnej, przekształcając najpierw równanie do postaci\nrównoważnej\n, skąd\nlub\n, czyli\nlub\nZatem wszystkie rozwiązania równania to:\nlub\n, lub\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze dwa równania:\ni\n(wystarczy, że z rozwiązania\nwynika, że zdający wyznacza pierwiastki każdego z wielomianów:\n,\n)\nalbo\n• zapisze rozwiązanie\n,\nalbo\n• obliczy co najmniej jeden pierwiastek trójmianu\n:\n,\n,\nalbo\n• wyznaczy jeden z pierwiastków wielomianu\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n,\n,\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający obliczy trzy pierwiastki, ale w odpowiedzi końcowej podaje tylko dwa, to\notrzymuje 1 punkt.\n(\n)(\n)\n1\n7\n0\nx x\nx\n4\nx\n2\n2\n15\nx\nx\n4\n0\nx\n2\n2\n15\n0\nx\nx\n4\n0\nx\n4\nx =\n2\n2\n15\n0\nx\nx\n(\n)\n2\n2\n2\n4 1\n15\n64\n8\nΔ =\n-⋅⋅-\n1\n2\n8\n5\n2\nx\n2\n2\n8\n3\n2\nx\n1\n2\n2\nx\nx\n1\n2\n15\nx\nx\n⋅\n1\n5\nx = -\n2\n3\nx =\n2\n2\n15\nx\nx\n(\n)(\n)\n5\n3\n0\nx\nx\n1\n5\nx = -\n2\n3\nx =\n1\n4\nx +\n1\n4\nx + =\n1\n4\nx + = -\n3\nx =\n5\nx = -\n4\nx =\n5\nx = -\n3\nx =\n4\n0\nx\n2\n2\n15\n0\nx\nx\n4\nx\n2\n2\n15\nx\nx\n4\nx =\n2\n2\n15\nx\nx\n5\nx = -\n3\nx =\n3\n2\n2\n23\n60\nx\nx\nx\n5\nx = -\n3\nx =\n4\nx =\n2. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania bez stosownego założenia przez\n4\nx -\nlub przez\ndrugi czynnik i oblicza pierwiastki (lub pierwiastek) dla pozostałej części, to otrzymuje\n0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -5\\) lub \\(x = 3\\) lub \\(x = 4\\)\n\nTrzy pierwiastki równania: \\(x_1 = -5\\), \\(x_2 = 3\\), \\(x_3 = 4\\).\n\n## Sposób 1 - Własność iloczynu (zero product property)\n\n**Kluczowa obserwacja:** iloczyn dwóch czynników wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich wynosi zero.\n\n\\[(4-x)(x^2 + 2x - 15) = 0\\]\n\nMamy zatem dwa przypadki:\n\n**Przypadek 1:** \\(4 - x = 0\\)\n\n\\[x = 4\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(x^2 + 2x - 15 = 0\\)\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-15) = 4 + 60 = 64\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 8\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-2 - 8}{2} = \\frac{-10}{2} = -5\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-2 + 8}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\{-5,\\ 3,\\ 4\\}\\)\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja trójmianu kwadratowego\n\nZamiast używać wzoru ogólnego, rozkładamy \\(x^2 + 2x - 15\\) na czynniki \"z głowy\".\n\nSzukamy dwóch liczb, których **iloczyn wynosi \\(-15\\)** i **suma wynosi \\(2\\)**:\n\n\\[(-5) \\cdot 3 = -15 \\quad \\text{i} \\quad (-5) + 3 = -2 \\quad \\text{❌}\\]\n\\[5 \\cdot (-3) = -15 \\quad \\text{i} \\quad 5 + (-3) = 2 \\quad \\text{✓}\\]\n\nZatem:\n\\[x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[(4 - x)(x + 5)(x - 3) = 0\\]\n\nPrzyrównujemy każdy czynnik do zera:\n\n\\[4 - x = 0 \\implies x = 4\\]\n\\[x + 5 = 0 \\implies x = -5\\]\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\{-5,\\ 3,\\ 4\\}\\) - wynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe trójmianu:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(x^2 + 2x - 15 = 0\\) (gdzie \\(a = 1\\), \\(b = 2\\), \\(c = -15\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność iloczynu zerowego działa **tylko gdy iloczyn równa się zero**. Gdyby zadanie brzmiało \\((4-x)(x^2+2x-15) = 6\\), **nie wolno** podzielić równania na dwa przypadki analogicznie - ta metoda nie zadziała!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o **wszystkich** czynnikach - tu mamy trzy pierwiastki, nie dwa. Uczniowie często rozwiązują tylko trójmian, zapominając o \\(4 - x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(\\Delta\\) dla \\(x^2 + 2x - 15\\) pamiętaj, że \\(c = -15\\), więc \\(-4ac = -4 \\cdot 1 \\cdot (-15) = +60\\). Zgubienie tego minusa to najczęstszy błąd!\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\{-5, 3, 4\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ jeden z czynników = 0\n**Czynnik 1:** \\(4 - x = 0 \\Rightarrow x = 4\\).\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 + 2x - 15 = 0\\):\n\\[\\Delta = 4 + 60 = 64, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 8\\]\n\\[x_{1,2} = \\tfrac{-2 \\pm 8}{2}\\]\n\\[x_1 = \\tfrac{-2-8}{2} = -5, \\quad x_2 = \\tfrac{-2+8}{2} = 3.\\]\n\n**Rozwiązania:** \\(x = 4, x = 3, x = -5\\).\n\n### Sposób 2 - Rozkład trójmianu przez Viète'a\n\\(x^2 + 2x - 15 = 0\\): sumy/iloczyn: \\(x_1+x_2 = -2, x_1 x_2 = -15\\). Szukamy dwóch liczb: \\(-5\\) i \\(3\\) ✓.\nRozkład: \\((x+5)(x-3) = 0\\) → \\(x = -5\\) lub \\(x = 3\\).\n\n### Sposób 3 - Postać iloczynowa całkowitego wielomianu\n\\((4-x)(x^2+2x-15) = (4-x)(x+5)(x-3)\\). Iloczyn trzech czynników:\n\\[4 - x = 0 \\lor x + 5 = 0 \\lor x - 3 = 0\\]\n\\[x = 4 \\lor x = -5 \\lor x = 3.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\{-5, 3, 4\\}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano\nodpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że\n90\nDEC\nBGF\n°\n\n\n(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do\ntrójkąta FBG.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\n⋅\n⋅\n⋅\n\nMMA_1P\nDany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |kąt DEC| = |kąt BGF| = 90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy\npodobieństwa trójkątów (7.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech\nPonieważ\n, więc\nW\n:\n, więc\nTrójkąt CDE jest prostokątny oraz\n, więc\nPodobnie trójkąt BFG jest prostokątny i\n90\nFGB =\n\n, więc\nPonieważ trójkąty CDE i BFG mają równe kąty, więc na podstawie cechy podobieństwa kkk są\npodobne.\nII sposób\nNiech\ni\nTrójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC (cecha kkk), bo\noraz\nPodobnie trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, (cecha kkk), bo\noraz\nStąd trójkąt CED jest podobny do trójkąta FBG (z przechodniości relacji podobieństwa).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wskaże w dwóch trójkątach spośród trójkątów CBA, CDE i FBG jedną parę równych\nkątów ostrych i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, przy czym kąt przy\nwierzchołku B musi być wskazany dwukrotnie, jako kąt w obu trójkątach CBA i FBG,\nnp. zdający zapisze\nlub stwierdzi, że jest to wspólny kąt trójkątów\nCBA i FBG (analogicznie z kątem przy wierzchołku C w trójkątach CBA i CDE)\nalbo\n• zapisze, że trójkąt CBA jest podobny do trójkąta FBG i do trójkąta CDE i stąd\nwywnioskuje, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG, ale nie wskaże żadnej pary\nrównych kątów ostrych w tych trójkątach i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\n\nα\nACB\n90\n°\nCAB\n90\n°-\n\nα\nABC\nΔCDE\n90\n°\nDEC\n90\n°-\n\nα\nCDE\n90\n°\nDEC\n90\n°-\n\nα\nCDE\n\nα\nBFG\nACB\nDCE\nα\n\n\nABC\nFBG\nβ\n\n\nACB\nDCE\nα\n\n\n90\nCAB\nDEC\n°\n\n\nABC\nFBG\nβ\n\n\n90\nCAB\nFGB\n°\n\n\nFBG\nCBA\n\n\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmie konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający przyjmie błędne zależności między kątami, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód podobieństwa △CDE ~ △FBG\n\nTo zadanie otwarte - nie ma litery do wyboru. Poniżej pełny, wzorcowy dowód.\n\n## Sposób 1 - Kąt kąt (AA), analiza kątów w trójkątach\n\n**Ustalamy oznaczenia kątów w trójkącie ABC.**\n\nTrójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny. Kąt prosty leży przy wierzchołku \\(A\\) (bo \\(AC\\) i \\(AB\\) są przyprostokątnymi, a \\(BC\\) jest przeciwprostokątną).\n\nOznaczmy:\n\\[|\\angle ACB| = \\gamma, \\qquad |\\angle ABC| = \\beta\\]\n\nPonieważ suma kątów w trójkącie wynosi \\(180°\\), a \\(|\\angle BAC| = 90°\\):\n\\[\\gamma + \\beta = 90°\\]\n\n**Kąty w trójkącie CDE:**\n\n- \\(|\\angle DCE| = |\\angle ACB| = \\gamma\\) - to ten sam kąt przy wierzchołku \\(C\\)\n- \\(|\\angle DEC| = 90°\\) - dane w treści zadania\n- \\(|\\angle CDE| = 180° - 90° - \\gamma = 90° - \\gamma = \\beta\\) - z sumy kątów w trójkącie\n\n**Kąty w trójkącie FBG:**\n\n- \\(|\\angle GBF| = |\\angle ABC| = \\beta\\) - to ten sam kąt przy wierzchołku \\(B\\)\n- \\(|\\angle BGF| = 90°\\) - dane w treści zadania\n- \\(|\\angle BFG| = 180° - 90° - \\beta = 90° - \\beta = \\gamma\\) - z sumy kątów w trójkącie\n\n**Zestawienie kątów:**\n\n| Kąt | △CDE | △FBG |\n| \\(\\gamma\\) | \\(\\angle DCE\\) | \\(\\angle BFG\\) |\n| \\(\\beta\\) | \\(\\angle CDE\\) | \\(\\angle GBF\\) |\n| \\(90°\\) | \\(\\angle DEC\\) | \\(\\angle BGF\\) |\n\nTrójkąty \\(CDE\\) i \\(FBG\\) mają **wszystkie trzy kąty równe** (kolejno \\(\\gamma\\), \\(\\beta\\), \\(90°\\)).\n\nNa mocy kryterium **kąt-kąt (KK)** wynika:\n\n\\[\\boxed{\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG}\\]\n\nprzy odpowiedniości wierzchołków \\(C \\leftrightarrow F\\), \\(D \\leftrightarrow B\\), \\(E \\leftrightarrow G\\).\n\n## Sposób 2 - Wszystkie trzy trójkąty są podobne do trójkąta ABC\n\nPokażemy szerszą zależność: **każdy z trójkątów \\(CDE\\) i \\(FBG\\) jest podobny do trójkąta \\(ABC\\)**, a zatem oba są podobne do siebie.\n\n**△CDE ~ △CAB:**\n\nW trójkącie \\(CDE\\):\n- \\(|\\angle DCE| = \\gamma = |\\angle BCA|\\) - wspólny kąt przy \\(C\\)\n- \\(|\\angle DEC| = 90° = |\\angle CAB|\\) - kąt prosty\n\nDwa kąty równe → \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CAB\\) (KK). ✓\n\n**△FBG ~ △BCA:**\n\nW trójkącie \\(FBG\\):\n- \\(|\\angle GBF| = \\beta = |\\angle ABC|\\) - wspólny kąt przy \\(B\\)\n- \\(|\\angle BGF| = 90° = |\\angle BAC|\\) - kąt prosty\n\nDwa kąty równe → \\(\\triangle FBG \\sim \\triangle BCA\\) (KK). ✓\n\nPonieważ \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CAB\\) i \\(\\triangle FBG \\sim \\triangle BCA\\), a trójkąt \\(CAB\\) i \\(BCA\\) to ten sam trójkąt (różna kolejność wierzchołków, te same kąty), to:\n\n\\[\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów w trójkącie:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia brakujących kątów w trójkątach \\(CDE\\) i \\(FBG\\).\n\nKryterium podobieństwa **KK** (kąt-kąt) - trójkąty są podobne, gdy mają dwie pary kątów równych. Jest to twierdzenie podstawowe z planimetrii (s. 15-17 karty).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno po prostu napisać „kąty są równe, bo…\" bez podania DLACZEGO. Kluczowe jest wyjaśnienie, że \\(\\angle DCE = \\gamma\\) to **ten sam kąt**, co kąt \\(C\\) w trójkącie \\(ABC\\) - nie nowy kąt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Właściwa odpowiedniość wierzchołków ma znaczenie! \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG\\) oznacza konkretne pary: \\(C \\leftrightarrow F\\), \\(D \\leftrightarrow B\\), \\(E \\leftrightarrow G\\). Zamiana kolejności (np. \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle GBF\\)) to błąd - inna odpowiedniość, inne proporcje boków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do dowodu podobieństwa **wystarczą dwa kąty** (KK) - trzeciego nie trzeba sprawdzać osobno (automatycznie wynika z sumy kątów = 180°). Nie komplikuj dowodu, jeśli dwa kąty wystarczą!\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Cecha podobieństwa kkk (kąt-kąt-kąt)\nOznaczmy \\(\\angle ACB = \\alpha\\) (kąt ostry trójkąta \\(ABC\\) przy \\(C\\)).\n\n**W trójkącie \\(CDE\\):**\n- \\(\\angle DEC = 90^\\circ\\) (dane)\n- \\(\\angle DCE = \\alpha\\) (to kąt \\(\\angle ACB\\))\n- \\(\\angle CDE = 180^\\circ - 90^\\circ - \\alpha = 90^\\circ - \\alpha\\)\n\n**W trójkącie \\(ABC\\):** skoro \\(\\angle CAB = 90^\\circ\\) i \\(\\angle ACB = \\alpha\\), to \\(\\angle ABC = 90^\\circ - \\alpha\\).\n\n**W trójkącie \\(FBG\\):**\n- \\(\\angle BGF = 90^\\circ\\) (dane)\n- \\(\\angle FBG = \\angle ABC = 90^\\circ - \\alpha\\) (ten sam kąt)\n- \\(\\angle BFG = 180^\\circ - 90^\\circ - (90^\\circ - \\alpha) = \\alpha\\)\n\n**Porównanie trójkątów:**\n| Trójkąt | Kąty |\n| \\(CDE\\) | \\(\\alpha\\), \\(90^\\circ\\), \\(90^\\circ - \\alpha\\) |\n| \\(FBG\\) | \\(\\alpha\\), \\(90^\\circ\\), \\(90^\\circ - \\alpha\\) |\n\nOba trójkąty mają takie same kąty → są podobne (cecha kkk). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Przez pośredni trójkąt \\(ABC\\)\n**Twierdzenie pomocnicze:** \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CBA\\):\n- wspólny kąt przy \\(C\\) (\\(\\alpha\\))\n- \\(\\angle DEC = \\angle CAB = 90^\\circ\\)\n\n**Analogicznie:** \\(\\triangle FBG \\sim \\triangle CBA\\):\n- wspólny kąt przy \\(B\\) (\\(90^\\circ - \\alpha\\))\n- \\(\\angle BGF = \\angle BAC = 90^\\circ\\)\n\n**Przechodniosć podobieństwa:** \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CBA \\sim \\triangle FBG\\), więc \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n**Kluczowe:** dwa trójkąty prostokątne, które mają jeszcze jeden wspólny kąt ostry, są zawsze podobne (cecha 2 kątów wystarcza, bo trzeci jest wymuszony sumą \\(180^\\circ\\)).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n2\n2\n2\nna\nn\nn\ndla\n1\nn ≥. Wykaż, że suma każdych dwóch\nkolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.\n\nMMA_1P\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 2n^2+2n dla n ≥ 1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na\noraz\n(2.1).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozważmy wyraz\n2\n2\n2\nna\nn\nn\nWyraz\n1\nna + można zapisać, jako\nWtedy\nZatem\nLiczba\njest naturalna. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie zapisze sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu, np.\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych wartości n, to otrzymuje\n0 punktów.\n(\n)\n2\na\nb\n±\n2\n2\na\nb\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n6\n4\nna\nn\nn\nn\nn\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n6\n4\n4\n8\n4\nn\nn\na\na\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n(\n)\n2\n1\n2\n2\nn\nn\na\na\nn\n2\n2\nn\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n1\nn\nn\na\na\nn\nn\nn\nn","solution":"## Poprawna odpowiedź: suma \\(a_n + a_{n+1} = (2n+2)^2\\), co jest kwadratem liczby naturalnej \\(2n+2\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie sumy i wyłuczenie pełnego kwadratu\n\n**Wyznaczamy \\(a_{n+1}\\)**, podstawiając \\(n+1\\) w miejsce \\(n\\):\n\n\\[a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 2(n+1)\\]\n\nRozwijamy:\n\\[a_{n+1} = 2(n^2 + 2n + 1) + 2n + 2 = 2n^2 + 4n + 2 + 2n + 2 = 2n^2 + 6n + 4\\]\n\n**Liczymy sumę dwóch kolejnych wyrazów:**\n\n\\[a_n + a_{n+1} = (2n^2 + 2n) + (2n^2 + 6n + 4)\\]\n\n\\[= 4n^2 + 8n + 4\\]\n\n**Rozpoznajemy pełny kwadrat** - wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):\n\n\\[4n^2 + 8n + 4 = 4(n^2 + 2n + 1) = 4(n+1)^2 = \\big(2(n+1)\\big)^2 = (2n+2)^2\\]\n\n**Wniosek:** Ponieważ \\(n \\geq 1\\), mamy \\(2n + 2 \\geq 4\\), więc \\(2n+2 \\in \\mathbb{N}\\).\n\n\\[\\boxed{a_n + a_{n+1} = (2n+2)^2}\\]\n\n**To jest kwadrat liczby naturalnej \\(2n+2\\).** Co należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Wyłączanie czynnika wspólnego (faktoryzacja bez rozwijania nawiasów)\n\nZamiast rozwijać wszystkie nawiasy, **najpierw faktoryzujemy** każdy wyraz:\n\n\\[a_n = 2n^2 + 2n = 2n(n+1)\\]\n\n\\[a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 2(n+1) = 2(n+1)\\cdot(n+1) + 2(n+1) = 2(n+1)\\big[(n+1)+1\\big] = 2(n+1)(n+2)\\]\n\n**Sumujemy, wyłączając wspólny czynnik \\(2(n+1)\\):**\n\n\\[a_n + a_{n+1} = 2n(n+1) + 2(n+1)(n+2) = 2(n+1)\\big[n + (n+2)\\big]\\]\n\n\\[= 2(n+1) \\cdot (2n+2) = 2(n+1) \\cdot 2(n+1) = 4(n+1)^2 = \\big(2(n+1)\\big)^2\\]\n\nTen sposób jest **szybszy** - unikamy rozwijania i od razu dostrzegamy symetrię. Wynik identyczny: \\((2n+2)^2\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do rozpoznania, że \\(n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2\\).\n\nAlternatywnie w Sposobie 2 - zamiast wzoru skróconego mnożenia wystarczy samo **wyłączanie czynnika wspólnego**, co jest działaniem elementarnym (nie wymaga wzoru z karty).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić dla kilku wartości \\(n\\) (np. \\(n=1, 2, 3\\)). To jest zadanie na **dowód ogólny** - musisz pokazać, że działa dla każdego \\(n \\geq 1\\), a nie tylko dla konkretnych przykładów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj napisać **dlaczego wynik jest liczbą naturalną**. Sam zapis \\((2n+2)^2\\) nie kończy dowodu - trzeba zaznaczyć, że \\(2n+2 \\in \\mathbb{N}\\) dla \\(n \\geq 1\\), czyli że stoimy pod dobrze określonym kwadratem liczby naturalnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd przy liczeniu \\(a_{n+1}\\) - pomylenie \\(2(n+1)^2\\) z \\((2n+1)^2\\). Wzór mówi \\(a_n = 2n^2 + 2n\\), więc \\(a_{n+1} = 2\\cdot(n+1)^2 + 2\\cdot(n+1)\\), a **nie** \\(2n^2 + 2(n+1)\\) - zmieniamy **oba** wystąpienia \\(n\\)!\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie rozwinięcie\nRozważmy sumę dwóch kolejnych wyrazów \\(a_n + a_{n+1}\\) dla \\(n \\ge 1\\).\n\n**Krok 1 - obliczenie \\(a_{n+1}\\):**\n\\[a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 2(n+1) = 2(n^2+2n+1) + 2n+2 = 2n^2 + 4n + 2 + 2n + 2 = 2n^2 + 6n + 4.\\]\n\n**Krok 2 - suma:**\n\\[a_n + a_{n+1} = (2n^2+2n) + (2n^2+6n+4) = 4n^2 + 8n + 4.\\]\n\n**Krok 3 - rozpoznanie kwadratu:**\n\\[4n^2 + 8n + 4 = 4(n^2+2n+1) = 4(n+1)^2 = (2(n+1))^2 = (2n+2)^2.\\]\n\n**Krok 4 - \\(2n+2\\) to liczba naturalna** dla \\(n \\ge 1\\).\n\nZatem \\(a_n + a_{n+1} = (2n+2)^2\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Przez wzór skróconego mnożenia\nZauważamy że \\(a_n = 2n(n+1)\\). Wtedy \\(a_{n+1} = 2(n+1)(n+2)\\). Suma:\n\\[a_n + a_{n+1} = 2(n+1)[n + (n+2)] = 2(n+1)(2n+2) = 4(n+1)^2 = (2(n+1))^2. \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Uwaga:** kluczowym krokiem jest rozpoznanie \\((2n+2)^2\\) w wyrażeniu \\(4n^2 + 8n + 4\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nSkala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem\n0\nlog A\nR\nA\n, gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach,\n4\n0\n10\nA\ncm\njest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce\ntrzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii\ni rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy - mniejsza od 100 cm.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nSkala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R = log(A / A_0), gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A_0 = 10^{-4} cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy - mniejsza od 100 cm.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm\nilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym oraz\nwykorzystuje podstawowe własności potęg - również\nw zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy,\nnp. fizyką, chemią, informatyką (1.6, 1.5).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZapisujemy równanie\nKorzystamy z definicji logarytmu\nStąd\n,\nStwierdzamy, że\n2,2\n2\n10\n10\n100\n>\n, gdyż funkcja wykładnicza\n10x\ny =\njest rosnąca. Oznacza\nto, że\ncm.\nII sposób\nZapisujemy równanie\nTo równanie jest równoważne kolejno równaniom\n,\n,\nZatem\n. Korzystamy z definicji logarytmu i otrzymujemy równość\nStwierdzamy, że\n2,2\n2\n10\n10\n100\n>\n, gdyż funkcja wykładnicza\n10x\ny =\njest rosnąca. Oznacza\nto, że\ncm.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wykorzysta definicję logarytmu i przekształci równanie\ndo postaci\n4\n6,2\nlog10\nA\n6,2\n4\n10\n10\nA\n6,2\n4\n10\n10\nA\n⋅\n2,2\n10\nA =\n100\nA >\n4\n6,2\nlog10\nA\n(\n)\n4\n6,2\nlog 10 A\n4\n6,2\nlog10\nlog A\n6,2\n4\nlog A\n2,2\nlog A\n2,2\n10\nA =\n100\nA >\n4\n6,2\nlog10\nA\n6,2\n4\n10\n10\nA\nalbo\n• wykorzysta własność logarytmu i przekształci równanie\ndo postaci\n4\n6,2\nlog\nlog10\nA\nlub\n4\n6,2\nlog\nlog10\nA\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\ngdy zapisze, że\ni stwierdzi, że amplituda tego trzęsienia ziemi była większa od\ncm.\nZdający otrzymuje 2 p.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie interpretuje treść zadania, w szczególności stosuje niepoprawne\npodstawienie do wzoru, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający nie obliczy amplitudy, ale uzasadni, że amplituda jest większa od 100 cm,\nto otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający nie obliczy amplitudy tylko zapisze bez uzasadnienia, że amplituda jest\nwiększa od 100 cm, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Amplituda wynosi \\(A = 10^{2{,}2} \\approx 158{,}5\\) cm - jest **większa** od 100 cm.\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie równania logarytmicznego\n\n**Dane:**\n\\[R = \\log\\frac{A}{A_0}, \\quad A_0 = 10^{-4} \\text{ cm}, \\quad R = 6{,}2\\]\n\n**Krok 1:** Podstawiamy znane wartości do wzoru.\n\\[6{,}2 = \\log\\frac{A}{10^{-4}}\\]\n\n**Krok 2:** Korzystamy z definicji logarytmu - jeśli \\(\\log x = c\\), to \\(x = 10^c\\).\n\\[\\frac{A}{10^{-4}} = 10^{6{,}2}\\]\n\n**Krok 3:** Wyznaczamy \\(A\\), mnożąc obie strony przez \\(10^{-4}\\).\n\\[A = 10^{6{,}2} \\cdot 10^{-4} = 10^{6{,}2 - 4} = 10^{2{,}2}\\]\n\n**Krok 4:** Porównujemy z 100 cm.\n\\[10^{2{,}2} \\quad \\text{vs} \\quad 100 = 10^2\\]\n\nPonieważ \\(2{,}2 > 2\\), a funkcja wykładnicza \\(10^x\\) jest rosnąca, mamy:\n\\[10^{2{,}2} > 10^2 = 100\\]\n\n**Wniosek:** Amplituda trzęsienia ziemi wynosi \\(A = 10^{2{,}2} \\approx 158{,}5\\) cm i jest **większa od 100 cm**.\n\n## Sposób 2 - Własność logarytmu sumy + szacowanie\n\n**Krok 1:** Rozwijamy logarytm ułamka.\n\\[6{,}2 = \\log\\frac{A}{10^{-4}} = \\log A - \\log 10^{-4} = \\log A - (-4) = \\log A + 4\\]\n\n**Krok 2:** Wyznaczamy \\(\\log A\\).\n\\[\\log A = 6{,}2 - 4 = 2{,}2\\]\n\n**Krok 3:** Przechodzimy do wartości \\(A\\).\n\\[A = 10^{2{,}2}\\]\n\n**Krok 4:** Sprawdzamy, czy \\(A > 100\\), sprawdzając logarytm ze 100.\n\\[\\log 100 = \\log 10^2 = 2\\]\n\nSkoro \\(\\log A = 2{,}2 > 2 = \\log 100\\), a logarytm jest funkcją rosnącą, to:\n\\[A > 100 \\text{ cm}\\]\n\n**Wniosek taki sam:** amplituda jest większa od 100 cm.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\n\nUżyliśmy tego w kroku 2 Sposobu 1, by przejść od \\(\\log\\frac{A}{10^{-4}} = 6{,}2\\) do \\(\\frac{A}{10^{-4}} = 10^{6{,}2}\\).\n\nWłasność logarytmu ilorazu:\n\\[\\log\\frac{x}{y} = \\log x - \\log y\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do rozwinięcia \\(\\log\\frac{A}{10^{-4}}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nDziałanie na potęgach:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nUżyliśmy tego przy obliczeniu \\(10^{6{,}2} \\cdot 10^{-4} = 10^{2{,}2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log\\) bez podstawy to logarytm dziesiętny \\(\\log_{10}\\) - nie mylić z \\(\\ln\\) (logarytmem naturalnym). Na maturze PP zawsze chodzi o \\(\\log_{10}\\), gdy nie ma podanej podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(10^{6{,}2} \\cdot 10^{-4}\\) dodajemy wykładniki: \\(6{,}2 + (-4) = 2{,}2\\), **nie** mnożymy. Typowy błąd: \\(6{,}2 \\cdot (-4)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do rozstrzygnięcia porównania wystarczy porównać wykładniki (\\(2{,}2 > 2\\)), nie trzeba liczyć przybliżonej wartości \\(10^{2{,}2}\\). Wystarczy stwierdzić, że skoro podstawa \\(10 > 1\\), to \\(10^{2{,}2} > 10^2 = 100\\).\n\n**Odpowiedź: \\(A = 10^{2{,}2}\\) cm \\(>\\) 100 cm**\n\n### Sposób 1 - Z definicji logarytmu\nRównanie:\n\\[6{,}2 = \\log\\dfrac{A}{10^{-4}}\\]\nZ definicji logarytmu dziesiętnego:\n\\[\\dfrac{A}{10^{-4}} = 10^{6{,}2}\\]\n\\[A = 10^{6{,}2}\\cdot 10^{-4} = 10^{6{,}2 - 4} = 10^{2{,}2}\\text{ cm}.\\]\n\n**Porównanie z 100 cm = \\(10^2\\) cm:**\nSkoro \\(10^{2{,}2} > 10^2\\) (funkcja wykładnicza \\(y = 10^x\\) rosnąca, \\(2{,}2 > 2\\)):\n\\[A > 100 \\text{ cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Z własności logarytmu\n\\[6{,}2 = \\log\\dfrac{A}{10^{-4}} = \\log A - \\log 10^{-4} = \\log A + 4.\\]\n\\[\\log A = 6{,}2 - 4 = 2{,}2.\\]\n\\[A = 10^{2{,}2}\\text{ cm}.\\]\nWniosek: \\(A > 10^2 = 100\\) cm.\n\n### Sposób 3 - Oszacowanie \\(10^{2{,}2}\\)\n\\(10^{2{,}2} = 10^2 \\cdot 10^{0{,}2} = 100\\cdot 10^{0{,}2}\\). Ponieważ \\(10^{0{,}2} > 1\\) (bo \\(0{,}2 > 0\\)), to \\(10^{2{,}2} > 100\\).\n\nDokładniej: \\(10^{0{,}2} \\approx 1{,}585\\), więc \\(A \\approx 158{,}5\\) cm.\n\n**Odpowiedź:** amplituda \\(A \\approx 10^{2{,}2} \\approx 158{,}5\\) cm, jest **większa** od 100 cm.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"logarytmy","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nJeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów,\nktóre różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nJeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nSP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający stosuje twierdzenie\no sumie kątów trójkąta (SP9.3).\nG7. Równania. Zdający rozwiązuje równania stopnia pierwszego\nz jedną niewiadomą (G7.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech\noznacza najmniejszy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\noraz\n. Suma kątów trójkąta jest równa\n, więc\n,\n,\nStąd\noraz\nII sposób\nNiech\noznacza największy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\noraz\n. Suma kątów trójkąta jest równa\n, więc\n,\n,\n78\n°\nα\nStąd\n26\n3 =\n°\nα\noraz\n50\n76\n3 +\n° =\n°\nα\n4\n6,2\nlog10\nA\n2,2\n10\nA =\n100\nα\n50\nα +\n°\n3α\n180°\n3\n50\n180\nα\nα\nα\n° =\n°\n5\n130\nα =\n°\n26\nα =\n°\n50\n76\nα +\n° =\n°\n3\n78\nα =\n°\nα\n50\n3 +\n°\nα\n3\nα\n180°\n50\n180\n3\n3\n° +\n°\nα\nα\nα\n5\n390\n°\nα\nIII sposób\nNiech α oznacza ten kąt trójkąta, który nie jest ani największy, ani najmniejszy. Zatem\npozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\n50\n°\nα\noraz (\n)\n3\n50\n°\nα\n. Suma kątów trójkąta jest\nrówna 180°, więc\n(\n)\n50\n3\n50\n180\n°+\n° =\n°\nα\nα\nα\n,\n5\n380\n°\nα\n,\n76\n°\nα\nStąd\n50\n26\n° =\n°\nα\noraz (\n)\n3\n50\n78\n° =\n°\nα\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze:\n• kąty trójkąta w zależności od jednego kąta, np.:\n,\n,\nlub\n, lub\nalbo\n• układ dwóch równań, np.\n50\n180\n3 ,\nα\nα\nβ\nβ\nα\n° +\n°\n\n\n\nalbo\n• układ trzech równań, np.\n180\n3\n50\nα\nβ\nγ\nγ\nα\nβ\nα\n°\n\n=\n\n\n°\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\nlub\n, lub\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy jeden z kątów trójkąta, np.:\nlub\n, lub\ni na tym\nzakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy wszystkie kąty trójkąta.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający tylko poda kąty (26°,76°,78°), to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający tylko poda kąty i sprawdzi wszystkie warunki zadania, to otrzymuje 2 punkty.\nα\n50\nα +\n° 3α\n,\n50 ,\n3\n3 +\n°\nα α\nα\n(\n)\n50 ,\n, 3\n50\n°\n°\nα\nα\nα\n3\n50\n180\nα\nα\nα\n° =\n°\n50\n180\n3\n3\n° +\n°\nα\nα\nα\n(\n)\n50\n3\n50\n180\n°+\n° =\n°\nα\nα\nα\n26\nα =\n°\n78\n°\nα\n76\n°\nα","solution":"## Poprawna odpowiedź: kąty trójkąta to \\(26°\\), \\(76°\\) i \\(78°\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań (podstawienie)\n\n**Oznaczamy kąty:**\n\nNiech dwa kąty różniące się o \\(50°\\) to:\n- mniejszy: \\(x\\)\n- większy: \\(x + 50°\\)\n\nTrzeci kąt jest trzy razy większy od **mniejszego** z tych dwóch, czyli:\n\\[x_3 = 3x\\]\n\n**Korzystamy z sumy kątów w trójkącie:**\n\\[x + (x + 50°) + 3x = 180°\\]\n\\[5x + 50° = 180°\\]\n\\[5x = 130°\\]\n\\[\\boxed{x = 26°}\\]\n\n**Wyznaczamy wszystkie trzy kąty:**\n\\[x = 26°, \\quad x + 50° = 76°, \\quad 3x = 78°\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(26° + 76° + 78° = 180°\\) ✓\nRóżnica: \\(76° - 26° = 50°\\) ✓\nTrzykrotność mniejszego: \\(3 \\cdot 26° = 78°\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja i sprawdzenie warunków\n\nSprawdzamy każdy warunek z treści zadania dla kątów \\(26°, 76°, 78°\\):\n\n| Warunek | Sprawdzenie |\n| Suma kątów = \\(180°\\) | \\(26° + 76° + 78° = 180°\\) ✓ |\n| Dwa kąty różnią się o \\(50°\\) | \\(76° - 26° = 50°\\) ✓ |\n| Jeden kąt = 3 × mniejszy z pary | \\(3 \\cdot 26° = 78°\\) ✓ |\n\n**Czy istnieje inne rozwiązanie?**\n\nGdybyśmy błędnie założyli, że trzeci kąt to trzykrotność **większego** z pary (czyli \\(3(x+50°)\\)):\n\\[x + (x+50°) + 3(x+50°) = 180°\\]\n\\[5x + 200° = 180° \\implies x = -4°\\]\n\nWynik ujemny - **niemożliwy**, więc jedyne poprawne rozwiązanie to \\(26°, 76°, 78°\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów trójkąta:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]\nTo podstawowy fakt geometryczny, który pozwolił nam zapisać równanie i wyznaczyć \\(x\\).\n\nW tym zadaniu nie używamy żadnych innych wzorów z karty CKE - wystarczy własność sumy kątów i prosta algebra.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Trzy razy większy od mniejszego\" - trzeba poprawnie zidentyfikować, **który** kąt jest mniejszy z pary. Jeśli przez pomyłkę weźmiesz \\(3(x + 50°)\\) zamiast \\(3x\\), dostaniesz ujemny kąt - sygnał błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć, że kąty \\(76°\\) i \\(78°\\) są do siebie bardzo podobne - wynik \\(26°, 76°, 78°\\) jest poprawny, chociaż dwa kąty są bliskie. Nie mylić z trójkątem równoramiennym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj wynik: suma trzech kątów **musi** być dokładnie \\(180°\\). To łatwy i szybki test poprawności.\n\n**Odpowiedź: Kąty trójkąta: \\(26^\\circ\\), \\(76^\\circ\\), \\(78^\\circ\\)**\n\n### Sposób 1 - Najmniejszy kąt jako zmienna\nNiech \\(\\alpha\\) - najmniejszy kąt. Wtedy:\n- drugi (spośród pozostałych dwóch) = \\(\\alpha + 50^\\circ\\)\n- trzeci = \\(3\\alpha\\) (trzy razy większy od \\(\\alpha\\))\n\n**Suma kątów trójkąta** = \\(180^\\circ\\):\n\\[\\alpha + (\\alpha + 50^\\circ) + 3\\alpha = 180^\\circ\\]\n\\[5\\alpha + 50^\\circ = 180^\\circ\\]\n\\[5\\alpha = 130^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 26^\\circ.\\]\n\nPozostałe:\n- \\(\\alpha + 50^\\circ = 76^\\circ\\)\n- \\(3\\alpha = 78^\\circ\\)\n\nSprawdzenie: \\(26 + 76 + 78 = 180\\) ✓. \\(78 = 3\\cdot 26\\) ✓. \\(76 - 26 = 50\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Największy kąt jako zmienna\nNiech \\(\\alpha\\) - największy kąt. Pozostałe: \\(\\tfrac{\\alpha}{3}\\) (bo \\(\\alpha = 3\\cdot\\) najmniejszy) i \\(\\tfrac{\\alpha}{3} + 50^\\circ\\).\n\nSuma:\n\\[\\tfrac{\\alpha}{3} + \\tfrac{\\alpha}{3} + 50^\\circ + \\alpha = 180^\\circ\\]\n\\[\\tfrac{5\\alpha}{3} = 130^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 78^\\circ.\\]\nStąd \\(\\tfrac{\\alpha}{3} = 26^\\circ\\), \\(\\tfrac{\\alpha}{3} + 50^\\circ = 76^\\circ\\).\n\n### Sposób 3 - Kąt średni (środkowy) jako zmienna\nNiech \\(\\alpha\\) - kąt średni. Pozostałe: \\(\\alpha - 50^\\circ\\) (najmniejszy) i \\(3(\\alpha - 50^\\circ)\\) (największy).\n\\[(\\alpha-50^\\circ) + \\alpha + 3(\\alpha-50^\\circ) = 180^\\circ\\]\n\\[5\\alpha - 200^\\circ = 180^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 76^\\circ.\\]\nStąd najmniejszy = \\(26^\\circ\\), największy = \\(78^\\circ\\).\n\n**Odpowiedź:** kąty trójkąta: **\\(26^\\circ\\), \\(76^\\circ\\), \\(78^\\circ\\)**.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC .\nWysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa\njest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki\ntworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości\n(9.6).\nG10. Figury płaskie. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa\n(G10.7).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWprowadzamy oznaczenia jak na rysunku.\nPonieważ wysokość tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy, to\n3\n2\na\nH =\n. Objętość\nostrosłupa jest równa 27, więc otrzymujemy równanie\n,\nskąd otrzymujemy a = 6.\nWysokość ostrosłupa jest równa\nPunkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC, zatem długość\nodcinka PO stanowi 1\n3 wysokości trójkąta ABC , czyli\n1\n1\n3\n3 3 3\n3\nOP\nH\n⋅\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkąta POS otrzymujemy\n2\n2\n2\nh\nOP\nH\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n3 3\nh =\n,\n2\n30\nh =\nStąd\n30\nh =\n2\n1\n3\n3\n27\n3\n4\n2\na\na\n⋅\n⋅\n6 3\n3 3\n2\nH =\nA\nB\nC\na\nO\nP\nS\nH\nh\nPole powierzchni bocznej ostrosłupa jest zatem równe\n1\n1\n3\n3\n6 30\n9 30\n2\n2\nbP\nah\n= ⋅\n= ⋅\n⋅\nCosinus kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy\n3\n10\ncos\n10\n30\nOP\nh\nα =\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający:\n• zapisze równanie, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa:\nalbo\n• zapisze równanie, z którego można obliczyć wysokość ostrosłupa:\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa\n6\na =\nlub wysokość ostrosłupa\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nUwaga:\nZdający może obliczyć od razu tangens kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do\npłaszczyzny podstawy ostrosłupa:\n1\n3\ntg\n3\nH\nH\nα =\n,\na następnie obliczyć szukaną wartość cosinusa tego kąta:\nOtrzymuje wtedy 2 punkty.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy\n• wysokość ściany bocznej ostrosłupa:\nalbo\n• długość krawędzi bocznej ostrosłupa:\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\n2\n1\n3\n3\n27\n3\n4\n2\na\na\n⋅\n⋅\n2\n2\n3\n1\n3\n27\n3\n4\nH\nH\n\n\n\n\n\n\n⋅\n⋅\n3 3\nH =\n10\ncos\n10\nα =\n30\n39\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający obliczy:\n• pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS:\nalbo\n• cosinus kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy:\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS:\ni cosinus kąta nachylenia\nwysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy:\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w zadaniu, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd merytoryczny np. w zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa przy\nobliczaniu wysokości ściany bocznej lub w interpretacji własności trójkąta równobocznego,\nto otrzymuje za całe rozwiązanie otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n3. Akceptujemy poprawne przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Pole powierzchni bocznej:** \\(9\\sqrt{30}\\)\n\n**Cosinus kąta między apothemą a podstawą:** \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{10}}{10}\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie boku z objętości, potem apothema\n\n**Krok 1: Wprowadzenie oznaczeń.**\n\nNiech \\(a\\) = bok podstawy (trójkąt równoboczny \\(ABC\\)).\n\nWysokość trójkąta równobocznego:\n\\[h_\\triangle = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nWarunek zadania: \\(SO = h_\\triangle\\), zatem:\n\\[h = SO = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie \\(a\\) z objętości.**\n\nPole podstawy (trójkąt równoboczny):\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nObjętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^3 \\cdot 3}{8} = \\frac{a^3}{8}\\]\n\nZ warunku \\(V = 27\\):\n\\[\\frac{a^3}{8} = 27 \\implies a^3 = 216 \\implies a = 6\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie wysokości ostrosłupa i inradius podstawy.**\n\n\\[h = SO = \\frac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]\n\nŚrodek \\(O\\) ostrosłupa prawidłowego leży w środku ciężkości podstawy. Odległość od \\(O\\) do środka boku (inradius trójkąta równobocznego):\n\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{6\\sqrt{3}}{6} = \\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 4: Apothema ostrosłupa (wysokość ściany bocznej).**\n\nNiech \\(M\\) = środek boku \\(AB\\). Trójkąt \\(SOM\\) jest prostokątny (w \\(O\\)), ponieważ \\(SO \\perp\\) podstawa i \\(OM \\perp AB\\). Zatem:\n\\[SM = \\sqrt{SO^2 + OM^2} = \\sqrt{(3\\sqrt{3})^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{27 + 3} = \\sqrt{30}\\]\n\n**Krok 5: Pole powierzchni bocznej.**\n\nOstrosłup ma 3 ściany boczne - każda to trójkąt równoramienny o podstawie \\(a = 6\\) i wysokości \\(SM = \\sqrt{30}\\):\n\\[P_b = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot SM = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot \\sqrt{30} = \\boxed{9\\sqrt{30}}\\]\n\n**Krok 6: Cosinus kąta między apothemą a podstawą.**\n\nApothema \\(SM\\) tworzy kąt \\(\\alpha\\) z płaszczyzną podstawy. Rzut \\(SM\\) na podstawę to \\(OM\\). Z trójkąta prostokątnego \\(SOM\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{OM}{SM} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = \\sqrt{\\frac{3}{30}} = \\sqrt{\\frac{1}{10}} = \\boxed{\\frac{\\sqrt{10}}{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja objętości i sprawdzenie trygonometryczne\n\n**Weryfikacja \\(a = 6\\):**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{36\\sqrt{3}}{4} \\cdot 3\\sqrt{3} = \\frac{1}{3} \\cdot 9\\sqrt{3} \\cdot 3\\sqrt{3} = \\frac{1}{3} \\cdot 9 \\cdot 3 \\cdot 3 = \\frac{1}{3} \\cdot 81 = 27 \\checkmark\\]\n\n**Cosinus kąta - sposób przez sinus:**\n\nZ trójkąta \\(SOM\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{SO}{SM} = \\frac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = 3\\sqrt{\\frac{3}{30}} = 3\\sqrt{\\frac{1}{10}} = \\frac{3}{\\sqrt{10}}\\]\n\nSprawdzenie jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\frac{9}{10} + \\frac{1}{10} = 1 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)** - pole i wysokość trójkąta równobocznego (bok \\(a\\)):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte do wyznaczenia \\(h = SO\\) oraz \\(P_p\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyte do wyznaczenia boku \\(a\\) z warunku \\(V = 27\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[SM = \\sqrt{SO^2 + OM^2}\\]\nUżyte do wyznaczenia apothemy \\(SM = \\sqrt{30}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Wysokość ściany bocznej\" to **apothema ostrosłupa** \\(SM\\) (od wierzchołka \\(S\\) do środka boku podstawy \\(M\\)), a NIE krawędź boczna \\(SA\\). To typowa pomyłka, która zaburza wynik pola i kąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Inradius trójkąta równobocznego \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\) (= jedna trzecia wysokości), a **nie** \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\). Mylenie inradius z circumradius daje błędną apothemę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu cosinusa kąta między apothemą a podstawą: cosinus odpowiada rzutowi poziomemu \\(OM\\), a **nie** wysokości \\(SO\\). Jeśli piszesz \\(\\cos\\alpha = \\frac{SO}{SM}\\), to liczysz sinus, nie cosinus!\n\n**Odpowiedź: \\(P_b = 9\\sqrt{30}\\); \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\)**\n\n### Sposób 1 - Pełne rozwiązanie krok po kroku\n**Krok 1 - wyznaczenie krawędzi podstawy \\(a\\).** Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(H_p = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\). Z treści: wysokość ostrosłupa \\(H = H_p = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\n\nPole podstawy: \\(P_p = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).\n\nObjętość:\n\\[V = \\tfrac{1}{3}P_p\\cdot H = \\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\cdot\\tfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{a^3\\cdot 3}{24} = \\tfrac{a^3}{8} = 27.\\]\n\\[a^3 = 216 \\Rightarrow a = 6.\\]\n\n**Krok 2 - wysokość ostrosłupa:**\n\\[H = \\tfrac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 3 - wysokość ściany bocznej \\(h\\).** Punkt \\(O\\) (środek podstawy = punkt przecięcia wysokości) leży na wysokości trójkąta równobocznego w \\(\\tfrac{1}{3}\\) od podstawy. Odległość od \\(O\\) do środka krawędzi podstawy:\n\\[|OP| = \\tfrac{1}{3}H_p = \\tfrac{1}{3}\\cdot 3\\sqrt{3} = \\sqrt{3}.\\]\n\nZ Pitagorasa w trójkącie \\(SOP\\):\n\\[h^2 = |OP|^2 + H^2 = 3 + 27 = 30 \\Rightarrow h = \\sqrt{30}.\\]\n\n**Krok 4 - pole powierzchni bocznej:**\n\\[P_b = 3\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h = 3\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot\\sqrt{30} = 9\\sqrt{30}.\\]\n\n**Krok 5 - cosinus kąta \\(\\alpha\\) między \\(h\\) a podstawą:**\nW trójkącie \\(SOP\\) kąt \\(\\alpha\\) to kąt przy \\(P\\) (podstawa trójkąta). \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{|OP|}{h}\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = \\sqrt{\\tfrac{3}{30}} = \\sqrt{\\tfrac{1}{10}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{10}} = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja przez \\(\\tan\\alpha\\)\n\\[\\tan\\alpha = \\dfrac{H}{|OP|} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 3.\\]\nStąd \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{1 + 9}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{10}} = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\) ✓.\n\n**Wynik:** \\(P_b = 9\\sqrt{30}\\) ≈ \\(49{,}3\\); \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\) ≈ \\(0{,}316\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-4)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej\nliczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma\nwylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego\nnieskracalnego.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa (10.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para\ndwóch różnych liczb ze zbioru\n, który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n. Wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne. Mamy więc do\nczynienia z modelem klasycznym.\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30.\nZatem zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n,\n,\n, (\n)\n13,17 , (\n)\n14,16 , (\n)\n16,14 , (\n)\n17,13 , (\n)\n18,12 , (\n)\n19,11 , (\n)\n20,10 .\nIch liczba jest równa\n10\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n10\n1\n1\n90 89\n9 89\n801\nΩ\n⋅\n⋅\nA\nP A\n9 30\n10\ncos\n10\nα =\n9 30\n10\ncos\n10\nα =\n(\n)\n,x y\n{\n}\n10,11,12, ,99\n90 89\nΩ =\n⋅\n(\n)\n10,20\n(\n)\n11,19\n(\n)\n12,18\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne\nliczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1\n801.\nII sposób\nZdarzeniem elementarnym jest zbiór dwuelementowy {\n}\n,x y dwóch różnych liczb ze zbioru\n{\n}\n10,11,12, ,99 , który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n( )\n90\n2\n90!\n90 89\n4005\n88! 2!\n2\n⋅\nΩ =\n⋅\nWszystkie\nzdarzenia\nelementarne\nsą\nrówno\nprawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym.\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem\nzdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n{\n}\n10,20 , {\n}\n11,19 , {\n}\n12,18 , {\n}\n13,17 , {\n}\n14,16 .\nIch liczba jest równa\n5\nA =\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n5\n1\n1\n45 89\n9 89\n801\nA\nP A =\nΩ\n⋅\n⋅\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne\nliczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1\n801.\nIII sposób\nRysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji\nsprzyjających zdarzeniu A (polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb będzie\nrówna 30).\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n1\n1\n1\n1\n10 90 89\n9 89\n801\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne\nliczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1\n801.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90\nalbo\n• wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n10, 20 , (\n)\n11,19 ,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\nlub\n,\n,\n,\n,\n,\nalbo\n• zapisze, że\nlub\n,\nalbo\n• narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić\nwszystkie istotne gałęzie)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz wypisze wszystkie\nzdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n10, 20 , (\n)\n11,19 ,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\nlub\n,\n,\n,\n,\nalbo\n• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz zapisze, że\nlub\n,\nalbo\n• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\nlub\n, lub\n, lub\n,\nalbo\n• narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na\nwszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\n(\n)\n12,18\n(\n)\n13,17\n(\n)\n14,16\n(\n)\n16,14\n(\n)\n17,13\n(\n)\n18,12\n(\n)\n19,11\n(\n)\n20,10\n{\n}\n10,20\n{\n}\n11,19\n{\n}\n12,18\n{\n}\n13,17\n{\n}\n14,16\n10\nA\n5\nA =\n(\n)\n12,18\n(\n)\n13,17\n(\n)\n14,16\n(\n)\n16,14\n(\n)\n17,13\n(\n)\n18,12\n(\n)\n19,11\n(\n)\n20,10\n{\n}\n10,20\n{\n}\n11,19\n{\n}\n12,18\n{\n}\n13,17\n{\n}\n14,16\n10\nA\n5\nA =\n90 89\nΩ =\n⋅\n( )\n90\n2\nΩ =\n90 89\n2\n⋅\nΩ =\n4005\nΩ =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\noraz zapisze, że\nalbo\n• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\nlub\n, lub\noraz zapisze, że\n,\nalbo\n• obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi narysowanego drzewa:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale przy\nwyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A pominie jedno zdarzenie\nelementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje\n3 punkty.\n2. Jeżeli zdający błędnie zapisze, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest 89 i konsekwentnie\nrozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.\n3. Jeżeli w rozwiązaniu występuje sprzeczność modeli probabilistycznych, to zdający może\notrzymać, co najwyżej 2 punkty.\n4. Akceptujemy sytuacje, gdy zdający zamiast wypisywania zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A zapisze następujące sumy 10\n20\n, 11 19\n, 12 18\n, 13 17\n,\n14 16\n, 16 14\n, 17 13\n, 18 12\n, 19 11\n, 20 10\n(lub tylko 10\n20\n, 11 19\n, 12 18\n,\n13 17\n, 14 16\n).\n5. Jeżeli zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90, ale przy\nwypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, zapisuje sumę 15 15\ni na\ntym zakończy to otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający bez żadnych obliczeń poda tylko wynik, np.\n1\n801, to otrzymuje za całe\nrozwiązanie 1 punkt.\n90 89\nΩ =\n⋅\n10\nA\n( )\n90\n2\nΩ =\n90 89\n2\n⋅\nΩ =\n4005\nΩ =\n5\nA =\n1\n1\n90 89\n⋅\n( )\n1\n801\nA\nP A =\nΩ","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{801}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie par sprzyjających (ordered outcomes)\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń próbki.**\n\nLiczby naturalne dwucyfrowe to: \\(10, 11, 12, \\ldots, 99\\).\n\nŁącznie: \\(99 - 10 + 1 = 90\\) liczb.\n\nLosujemy **kolejno**, bez zwracania → kolejność ma znaczenie.\n\n\\[|\\Omega| = 90 \\cdot 89 = 8010\\]\n\n**Krok 2: Szukamy par sprzyjających.**\n\nPotrzebujemy \\(a + b = 30\\), gdzie:\n- \\(a, b\\) - różne liczby dwucyfrowe\n- \\(10 \\leq a \\leq 99\\), \\(10 \\leq b \\leq 99\\), \\(b = 30 - a\\)\n\nZ warunku \\(10 \\leq 30 - a\\) otrzymujemy \\(a \\leq 20\\).\nZ warunku \\(10 \\leq a\\) otrzymujemy \\(a \\geq 10\\).\n\nZatem \\(a \\in \\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\\}\\).\n\nWarunek \\(a \\neq b\\): \\(a \\neq 30 - a \\Rightarrow a \\neq 15\\) - eliminujemy \\(a = 15\\).\n\n**Nieuporządkowane pary \\(\\{a, b\\}\\) sumujące się do 30:**\n\n| \\(a\\) | \\(b = 30 - a\\) |\n| \\(10\\) | \\(20\\) |\n| \\(11\\) | \\(19\\) |\n| \\(12\\) | \\(18\\) |\n| \\(13\\) | \\(17\\) |\n| \\(14\\) | \\(16\\) |\n\nMamy **5 par nieuporządkowanych**.\n\n**Krok 3: Zdarzenia sprzyjające (z uwzględnieniem kolejności).**\n\nKażda para daje 2 ciągi (np. \\((10, 20)\\) i \\((20, 10)\\)):\n\n\\[|A| = 5 \\cdot 2 = 10\\]\n\n**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**\n\n\\[P(A) = \\frac{10}{8010} = \\frac{1}{801}\\]\n\n## Sposób 2 - Model kombinatoryczny (bez uwzględnienia kolejności)\n\nPonieważ losujemy bez zwracania i nas interesuje tylko para liczb (nie kolejność wylosowania), możemy traktować zdarzenia jako nieuporządkowane:\n\n\\[|\\Omega| = \\binom{90}{2} = \\frac{90 \\cdot 89}{2} = 4005\\]\n\nZdarzeń sprzyjających (par o sumie 30):\n\n\\[|A| = 5\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{5}{4005} = \\frac{1}{801}\\]\n\nTen sam wynik - oba modele są równoważne, bo stosunek się nie zmienia.\n\n**Weryfikacja nieskracalności:** \\(801 = 9 \\cdot 89\\). Liczba \\(89\\) jest pierwsza, \\(9 = 3^2\\). Licznik to \\(1\\), więc ułamek \\(\\dfrac{1}{801}\\) jest nieskracalny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyte wprost - liczymy zdarzenia sprzyjające i dzielimy przez liczbę wszystkich możliwych wyników.\n\nW Sposobie 2 korzystamy dodatkowo z kombinacji (Dział 13, s. 28):\n\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\n\nKonkretnie: \\(\\binom{90}{2} = \\frac{90 \\cdot 89}{2} = 4005\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby dwucyfrowe zaczynają się od **10**, nie od **1** ani **11**. Łatwo pomylić i wziąć \\(|\\Omega| = 9 \\cdot 10 = 90\\) (poprawnie), ale też błędnie liczyć od 1 do 99 - to daje 99 liczb zamiast 90.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\(\\{15, 15\\}?\\) - liczba 15 daje \\(15 + 15 = 30\\), ale losujemy **bez zwracania**, więc nie możemy wylosować tej samej liczby dwa razy. Eliminujemy \\(a = 15\\) z listy par!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić modelu z uwzględnieniem kolejności (wynik \\(\\frac{10}{8010}\\)) z modelem bez kolejności (wynik \\(\\frac{5}{4005}\\)) - oba dają \\(\\frac{1}{801}\\), ale ważne jest, żeby być konsekwentnym i liczyć \\(|\\Omega|\\) oraz \\(|A|\\) w tym samym modelu.\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{801}\\)**\n\n### Sposób 1 - Pary uporządkowane\nZbiór liczb dwucyfrowych: \\(\\{10, 11, 12, \\ldots, 99\\}\\) - **90** liczb.\n\n**Krok 1 - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych** (pary uporządkowane \\((x,y)\\), \\(x \\ne y\\)):\n\\[|\\Omega| = 90\\cdot 89.\\]\n\n**Krok 2 - zdarzenia sprzyjające (suma = 30):**\nPary \\((x, y)\\) z \\(x + y = 30\\), \\(x, y \\in \\{10, \\ldots, 99\\}\\), \\(x \\ne y\\):\n\\[(10,20), (11,19), (12,18), (13,17), (14,16), (16,14), (17,13), (18,12), (19,11), (20,10).\\]\nZauważmy, że \\((15,15)\\) jest wykluczone (bo \\(x = y\\)).\n\nLiczba par: **10**.\n\n**Krok 3 - prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\dfrac{10}{90\\cdot 89} = \\dfrac{10}{8010} = \\dfrac{1}{801}.\\]\n\nSprawdzamy nieskracalność: \\(801 = 9 \\cdot 89 = 3^2 \\cdot 89\\). \\(\\gcd(1, 801) = 1\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Pary nieuporządkowane\nLiczba wszystkich nieuporządkowanych par dwóch różnych liczb:\n\\[|\\Omega| = \\binom{90}{2} = \\dfrac{90\\cdot 89}{2} = 4005.\\]\n\nPary sprzyjające (bez powtórzeń): \\(\\{10,20\\}, \\{11,19\\}, \\{12,18\\}, \\{13,17\\}, \\{14,16\\}\\). Liczba: **5**.\n\n\\[P(A) = \\dfrac{5}{4005} = \\dfrac{1}{801}.\\]\n\n### Sposób 3 - Drzewo prawdopodobieństwa\nPierwsze losowanie: \\(P(\\text{dowolna liczba}) = \\tfrac{1}{90}\\). Dla każdej liczby \\(x\\) która ma partnera \\(30 - x\\) w zbiorze liczb dwucyfrowych i \\(x \\ne 30 - x\\), drugie losowanie: \\(\\tfrac{1}{89}\\).\n\nLiczb \\(x\\) z partnerem: \\(10, 11, \\ldots, 14\\) i \\(16, 17, \\ldots, 20\\) = **10 wartości**.\n\\[P(A) = 10\\cdot\\tfrac{1}{90}\\cdot\\tfrac{1}{89} = \\dfrac{10}{90\\cdot 89} = \\dfrac{1}{801}.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{1}{801}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}