{"paper":{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":16,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nW rozwinięciu wyrażenia (\n)\n3\n2 3\n4\nx\ny\nwspółczynnik przy iloczynie\n2\nxy jest równy\nA.\n3\n32\nB. 48\nC.\n3\n96\nD. 144\nW rozwinięciu wyrażenia (2√3x + 4y)^3 współczynnik przy iloczynie xy^2 jest równy A. 32√3, B. 48, C. 96√3, D. 144.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów\nskróconego mnożenia na (\n)\n3\n±\na\nb\noraz\n3\n3\n±\na\nb\n(R2.1).\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nWielomian\n3\n2\n( )\n6\n3\n5\nW x\nx\nx\nx\np\njest podzielny przez dwumian\n1\nx - dla p równego\nA. 4\nB.\n2\nC. 2\nD.\n4\nWielomian W(x) = 6x^3 + 3x^2 - 5x + p jest podzielny przez dwumian x-1 dla p równego A. 4, B., -2, C. 2, D. -4.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje\ntwierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez\ndwumian x - a (R3.4).\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej\n)\n(x\nf\ny =\n, której\ndziedziną jest zbiór\n(\n)\n(\n)\n, 3\n3,\nD = -∞\n∪\n+ ∞.\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\nx\ny\n0\nRównanie\n( )\nf x\np\nz niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie\nA. w dwóch przypadkach:\n0\np\nlub\n3\np\n. B. w dwóch przypadkach:\n0\np\nlub\n2\np\nC. tylko wtedy, gdy\n3\np =\nD. tylko wtedy, gdy\n2\np =\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej y = f(x), której dziedziną jest zbiór D = (-∞,3) ∪ (3,+∞). Równanie |f(x)| = p z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie A. w dwóch przypadkach: p = 0 lub p = 3. B. w dwóch przypadkach: p = 0 lub p = 2. C. tylko wtedy, gdy p=3. D. tylko wtedy, gdy p=2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający na podstawie wykresu funkcji\ny = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = |f(x)|, y = c·f(x),\ny = f(cx) (R4.1).\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nFunkcja\n( )\n2\n3\n1\n4\nx\nf x\nx\njest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji\njest określona wzorem\nA.\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n12\n4\nx\nx\nf\nx\nx\n′\nB.\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n9\n2\n12\n4\nx\nx\nf\nx\nx\n′\nC.\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n12\n4\nx\nx\nf\nx\nx\n′\nD.\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n9\n2\n12\n4\nx\nx\nf\nx\nx\n′\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R\nFunkcja f(x) = 3x-1 / x^2+4 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem A. f'(x) = -3x^2 + 2x + 12 / (x^2 + 4)^2, B. f'(x) = -9x^2 + 2x - 12 / (x^2 + 4)^2, C. f'(x) = {3x^2 - 2x - 12 \\o (x^2 + 4)^2, D. f'(x) = {9x^2 - 2x + 12 \\o (x^2 + 4)^2.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający oblicza\npochodne funkcji wymiernych (R11.2).\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-1)\nGranica\n(\n)\n3\n2\n6\n4\n8\nlim\n5\n4\n5\nn\npn\nn\nn\n→∞\n. Wynika stąd, że\nA.\n8\np = -\nB.\n4\np =\nC.\n2\np =\nD.\n2\np = -\nGranica lim_{n→∞} (pn^2 + 4n)^3 / 5n^6 - 4 = -8/5. Wynika stąd, że A. p = -8, B. p = 4, C. p = 2, D. p = -2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający oblicza granice\nfunkcji (i granice jednostronne), korzystając\nz twierdzeń o działaniach na granicach i z własności\nfunkcji ciągłych (R11.1).\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nWśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy\nprzedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.\nBadane grupy\nLiczba osób popierających\nbudowę przedszkola\nLiczba osób niepopierających\nbudowy przedszkola\nKobiety\n5140\n1860\nMężczyźni\n2260\n740\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba,\nspośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną.\nZakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego\notrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R\nWśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli. Badane grupy. Liczba osób niepopierających budowę przedszkola. Liczba osób niepopierających budowyw przedszkola. Kobiety: 5140, 2260. Mężczyzni: 2260, 740. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający\noblicza prawdopodobieństwo warunkowe (R10.2).\n753","solution":"753","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nDany jest ciąg geometryczny (\n)\nna\nokreślony wzorem\n1\n2\n371\nn\nna\nx\n\n\n= \n\n\n\ndla\n1\nn ≥. Wszystkie\nwyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której\nnieskończony szereg\n1\n2\n3\na\na\na\njest zbieżny.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nDany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem a_n = (1 / 2x-371)^n dla n ≥ 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a_1 + a_2 + a_3 + ... jest zbieżny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza\nich sumy (R5.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPierwszym wyrazem ciągu (\n)\nna\njest\n1\n1\n2\n371\na\nx\n. Ilorazem tego ciągu jest\n1\n2\n371\nq\nx\nPonieważ wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie, więc szereg jest zbieżny, gdy\n1\n0\n1\n2\n371\nx\n<\n<\n. Zatem\n2\n371\n0\nx -\n>\ni 2\n371\n1\nx -\n> .\nStąd\n2\n372\nx >\n,\n186\nx >\nZatem szukaną liczbą całkowitą jest 187.\nII sposób\nPierwszym wyrazem ciągu (\n)\nna\njest\n1\n1\n2\n371\na\nx\n, ilorazem tego ciągu zaś jest\n1\n2\n371\nq\nx\n. Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:\n1\n1\n2\n371\nx\n<\nRozwiązujemy powyższą nierówność:\n1\n1\n1\n2\n371\nx\n-<\n<\n,\n2\n370\n2\n372\n0\n0\n2\n371\n2\n371\nx\nx\nx\nx\n<\n∧\n<\n,\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n185,5\n185\n185,5\n0\n186\n185,5\n0\nx\nx\nx\nx\nx\n≠\n∧\n>\n∧\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n,185\n186,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞.\nWszystkie wyrazy ciągu (\n)\nna\nsą dodatnie, więc\n(\n)\n186,\nx∈\n+ ∞. Zatem szukaną liczbą całkowitą\njest 187.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze\n1\n2\n371\nq\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg jest zbieżny, tzn.\nliczbę 187, o ile wynik nie został uzyskany w wyniku błędnego rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający bez stosownych obliczeń i bez komentarza zapisuje, że szukaną liczbą jest 187\ni na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"187","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nWykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\n,\nprawdziwa jest nierówność\n2\nx\ny\n≤\n\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x^2 + y^2 = 2, prawdziwa jest nierówność x + y ≤ 2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nDla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest\nrównoważna kolejno nierównościom\n(\n)\n2\n4\nx\ny\n≤\n,\n2\n2\n2\n4\nx\nxy\ny\n≤\n,\n2\n2\n2\n2 2\nx\nxy\ny\n≤\n⋅,\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\nx\ny\n≤\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\nx\ny\n≤\n,\n2\n2\n2\n0\nx\ny\nxy\n≥\n,\n(\n)\n2\n0\nx\ny\n≥\nTa ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. To kończy\ndowód.\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n2\n2\n2\n2 2\nx\nxy\ny\n≤\n⋅ i na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\nx\ny\n≤\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na (\n)\n2\na\nb\n±\noraz\n2\n2\na\nb\n(2.1).\nPrzykładowe rozwiązanie\nII sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\nObie strony nierówności\n2\nx\ny\n≤\nsą dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do\nkwadratu otrzymujmy nierówność równoważną\n2\n2\n2\n4\nx\ny\nxy\n≤\nStąd otrzymujemy 2\n2\n4\nxy\n≤\n, więc\n1\nxy ≤.\nObie strony tej nierówności\n1\nxy ≤ są dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do\nkwadratu otrzymujmy nierówność równoważną\n2\n2\n1\nx y ≤.\nZ założenia\n2\n2\n2\ny\nx\n. Wówczas nierówność\n2\n2\n1\nx y ≤ jest równoważna nierównościom\n(\n)\n2\n2\n2\n1\nx\nx\n≤,\n4\n2\n2\n1\nx\nx\n≤,\n4\n2\n2\n1\n0\nx\nx\n+ ≥\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n0\nx -\n≥\nTa ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x. To kończy dowód.\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n1\nxy ≤ i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą, np. (\n)\n2\n2\n1\nx\nx\n≤ i na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nIII sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\nWykorzystując nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową, otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nx\ny\n≤\nStąd i z równości\n2\n2\n2\nx\ny\nwynika, że\n2\n1\n2\n2\nx\ny\n≤\n= , czyli\n2\nx\ny\n≤\n. To kończy dowód.\nSchemat punktowania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nx\ny\n≤\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową i na tej podstawie\nuzasadni prawdziwość nierówności\n2\nx\ny\n≤\nPrzykładowe rozwiązanie\nIV sposób\nDla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest\nrównoważna kolejno nierównościom\n(\n)\n2\n4\nx\ny\n≤\n,\n2\n2\n2\n4\nx\nxy\ny\n≤\n,\n2\n2\n4\nxy\n≤\n,\n1\nxy ≤,\n2\n2\n1\nx y ≤.\nMożemy przyjąć, że\n2\n1\nx\np\noraz\n2\n1\ny\np\n, gdzie 1\n1\np\n-<\n< . Zatem nierówność\n2\n2\n1\nx y ≤\nprzyjmuje postać (\n)(\n)\n1\n1\n1\np\np\n≤, czyli\n2\n1\n1\np\n≤, co jest prawdą dla każdej liczby\nrzeczywistej p, więc, w szczególności, dla każdej liczby 1\n1\np\n-<\n< . To kończy dowód.\nSchemat punktowania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n1\nxy ≤ i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n2\n2\n1\nx y ≤ oraz przyjmie, że\n2\n1\nx\np\noraz\n2\n1\ny\np\n,\ngdzie 1\n1\np\n-<\n< , i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nV sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\nStąd\n2\n2\n2\n2\n2\nx\nxy\ny\nxy\n,\n(\n)\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\n,\n2\n2\nx\ny\nxy\nDla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność (\n)\n2\n0\nx\ny\n≥\n, a stąd\nkolejno\n2\n2\n2\n0\nx\nxy\ny\n≥\n,\n2\n2\n2xy\nx\ny\n≤\nZatem dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistymi x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nprawdziwa\njest nierówność\n2\n2\nxy ≤\n,\n1\nxy ≤.\nStąd wynika, że\n2\n2\n2\n2 1\n4\n2\nx\ny\nxy\n≤\n+ ⋅=\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania V sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\nrównoważna nierówności\n1\nxy ≤\nalbo\n• zapisze, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nsuma liczb x i y\njest równa\n2\n2\nx\ny\nxy\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\nrównoważna nierówności\n1\nxy ≤ oraz zapisze sumę liczb x i y w postaci\n2\n2\nx\ny\nxy\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nVI sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\n. To\noznacza, że każda para liczb (\n)\n,x y spełniająca to równanie stanowi współrzędne punktu\nleżącego w I ćwiartce układu współrzędnych na okręgu o środku\n(\n)\n0,0\nS =\ni promieniu\n2\nr =\n. Punkt\n(\n)\n1,1\nA =\nleży na tym okręgu, więc prosta o równaniu y\nx\nzawiera średnicę\ntego okręgu. Oznacza to, że prosta prostopadła do niej i przechodząca przez punkt A jest\nstyczna do okręgu. Ma ona równanie\n(\n)\n1\n1\ny\nx\n+ , czyli\n2\nx\ny\n. Ta prosta wyznacza\ndwie półpłaszczyzny, z których jedna opisana jest nierównością\n2\nx\ny\n≤\n. Środek S okręgu\nleży w tej półpłaszczyźnie, gdyż 0\n0\n0\n2\n<\n. Stąd wynika, że w tej półpłaszczyźnie leżą też\nwszystkie punkty okręgu.\n1\n2\n1\n2\nx\ny\n0\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania VI sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że wszystkie punkty\n(\n)\n,\nP\nx y\n, których współrzędne spełniają równanie\n2\n2\n2\nx\ny\n, leżą na okręgu o środku\n(\n)\n0,0\nS =\ni promieniu\n2\nr =\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze, że wszystkie punkty\n(\n)\n,\nP\nx y\n, których współrzędne spełniają równanie\n2\n2\n2\nx\ny\n, leżą na okręgu o środku\n(\n)\n0,0\nS =\ni promieniu\n2\nr =\noraz że każdy punkt\nokręgu leży w półpłaszczyźnie opisanej nierównością\n2\nx\ny\n≤\n, ale nie stwierdzi, że krawędź\ntej półpłaszczyzny jest styczna do okręgu i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze, że wszystkie punkty\n(\n)\n,\nP\nx y\n, których współrzędne spełniają równanie\n2\n2\n2\nx\ny\n, leżą na okręgu o środku\n(\n)\n0,0\nS =\ni promieniu\n2\nr =\noraz że każdy punkt\nokręgu leży w półpłaszczyźnie opisanej nierównością\n2\nx\ny\n≤\n, a także stwierdzi, że prosta\no równaniu\n2\nx\ny\njest styczna do tego okręgu.\nPrzykładowe rozwiązanie\nVII sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\n. Stąd\notrzymujemy\n2\n2\n2\ny\nx\n, więc\n2\n2\ny\nx\ndla 0\n2\nx\n<\n<\n, gdyż\n0\ny >\n. Wówczas\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n2\n2\n2\nx\nx\n≤\n,\n2\n2\n2\nx\nx\n≤\nObie strony tej nierówności są dodatnie, gdyż 0\n2\nx\n<\n<\n, więc, podnosząc obie strony\nnierówności do kwadratu, otrzymujmy nierówność równoważną\n2\n2\n2\n4\n4\nx\nx\nx\n≤\n,\n2\n2\n4\n2\n0\nx\nx\n≥\n,\n2\n2\n1\n0\nx\nx\n+ ≥\n,\n(\n)\n2\n1\n0\nx -\n≥\n,\nktóra jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x. To kończy dowód.\nSchemat punktowania VII sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy z równości\n2\n2\n2\nx\ny\njedną z liczb w zależności od drugiej:\n2\n2\ny\nx\ndla\n0\n2\nx\n<\n<\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą, np.\n2\n2\n2\n2\nx\nx\n≤\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nVIII sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\n. Stąd\notrzymujemy\n2\n2\ny\nx\ndla 0\n2\nx\n<\n<\n, gdyż\n0\ny >\n. Do obu stron równania\n2\n2\n2\nx\ny\ndodajemy 2xy , otrzymując\n2\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\nxy\n,\n(\n)\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\nStąd\n2\n2\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2 2\nx\ny\nxy\nx\nx\nx\nx\nRozważmy funkcję f określoną dla\n0\n2\nx\n<\n<\nwzorem\n( )\n2\n4\n2\n2 2\nf x\nx\nx\nWyznaczymy największą wartość tej funkcji. Ponieważ funkcja\n2\n2\ny\nt\njest rosnąca,\nwięc funkcja f osiąga największą wartość wtedy i tylko wtedy, gdy największą wartość osiąga\nfunkcja g określona dla 0\n2\nx\n<\n<\nwzorem\n( )\n2\n4\n2\ng x\nx\nx\n. Obliczamy pochodną tej\nfunkcji\n( )\n3\n4\n4\ng\nx\nx\nx\n′\ndla 0\n2\nx\n<\n<\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej i badamy jej znak.\nPonieważ\n( )\n(\n)(\n)\n4\n1\n1\ng\nx\nx\nx\nx\n′\noraz\n(\n)\n4\n1\n0\nx\nx\n>\ndla każdego 0\n2\nx\n<\n<\n, więc:\n( )\n0\ng\nx\n′\nwtedy i tylko wtedy, gdy 1\n0\nx\n, czyli\n1\nx = ,\n( )\n0\ng\nx\n′\n>\nwtedy i tylko wtedy, gdy 1\n0\nx\n>\ni 0\n2\nx\n<\n<\n, czyli gdy 0\n1\nx\n<\n< ,\n( )\n0\ng\nx\n′\n<\nwtedy i tylko wtedy, gdy 1\n0\nx\n<\ni 0\n2\nx\n<\n<\n, czyli gdy 1\n2\nx\n<\n<\nZatem w przedziale (0,1 funkcja g jest rosnąca, w przedziale\n)\n1,\n2 jest malejąca,\na w punkcie\n1\nx = przyjmuje maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą\nwartością tej funkcji.\nGdy\n1\nx = , to\n( )\n2\n4\n1\n2\n2 2 1\n1\n4\nf\n⋅\nZatem\n4\n2\nx\ny\n≤\n,\nco kończy dowód.\nSchemat punktowania VIII sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy sumę liczb x i y w zależności od jednej zmiennej, np.\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nx\nx\ndla 0\n2\nx\n<\n<\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy miejsca zerowe pochodnej i zbada jej znak, np.:\n( )\n0\ng\nx\n′\ndla\n1\nx = ,\n( )\n0\ng\nx\n′\n>\ndla 0\n1\nx\n<\n< ,\n( )\n0\ng\nx\n′\n<\ndla 1\n2\nx\n<\n<\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający jako jedyne uzasadnienie prawdziwości nierówności przywołuje\n„nierówność Cauchy’ego” i nie zapisuje tej nierówności ani żadnych wniosków płynących\nz zastosowania tej nierówności, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający, oprócz powołania się na nazwisko Cauchy, zapisze odpowiednią\nnierówność Cauchy’ego, to przedstawione rozwiązanie jest oceniane tak, jak to przewiduje\nschemat.\n3. Jeżeli zdający nie zapisze koniecznego założenia o możliwych wartościach x przy\nwyznaczaniu y w zależności od x, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nDany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD\nw punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S\ntego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.\nWykaż, że MN\nAD\nA\nB\nC\nD\nS\nM\nN\n\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nDany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku. Wykaż, że |MN| = |AD|.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne;\nwykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności\n(R7.4).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPoprowadźmy promienie SE i SF okręgu o środku S do punktów E i F styczności tego okręgu\nodpowiednio z przekątną BD i bokiem AB prostokąta. Niech G będzie rzutem punktu N na\nbok AB, jak na rysunku.\nWówczas SM\nSE\nSF\nMA\nNG\noraz DE\nBN\nTrójkąty DMS i DES są prostokątne, więc z twierdzenia Pitagorasa dla tych trójkątów\notrzymujemy\n2\n2\n2\n2\nDM\nDS\nSM\nDS\nSE\nDE\nOdcinek MN jest równoległy do AB, więc kąty GBN i ENS są równe. Trójkąty BGN i NES są\nprostokątne, więc kąty BNG i NSE także są równe. To z kolei wraz z równością\nSE\nNG\noznacza, że trójkąty BGN i NES są przystające. Zatem BN\nNS\nStąd\nMN\nMS\nSN\nMA\nBN\nMA\nDE\nMA\nDM\nAD\nTo kończy dowód.\nUwaga:\nRówność odcinków DM i DE wynika też bezpośrednio z twierdzenia o odcinkach stycznych.\nA\nB\nC\nD\nS\nM\nN\nE\nG\nF\nr\nr\nr\nr\nα\nα\nII sposób\nPoprowadźmy promienie SE i SF okręgu o środku S do punktów E i F styczności tego okręgu\nodpowiednio z przekątną BD i bokiem AB prostokąta. Połączmy punkty S oraz B, jak na\nrysunku.\nWówczas SM\nSE\nSF\nMA\noraz DE\nBN\nPonieważ MN\nr\nSN\noraz AD\nr\nDM\n, wystarczy wykazać, że DM\nSN\nZ przystawania trójkątów prostokątnych BFS i BES (wspólna przeciwprostokątna i równe\nprzyprostokątne SF\nSE\n) otrzymujemy\nEBS\nFBS\nα\n\n\nOdcinek MN jest równoległy do AB, zatem kąty FBS i NSB są równe, jako kąty\nnaprzemianległe, czyli kąty NSB i SBN także są równe. Wobec powyższego trójkąt BSN jest\nrównoramienny i BN\nNS\noraz BN\nDM\n, a stąd wynika równość DM\nSN\n. To\nkończy dowód.\nIII sposób\nPoprowadźmy promienie okręgu o środku S do punktów E i F styczności tego okręgu\nz bokami BD i AB trójkąta DAB. Niech r oznacza promień tego okręgu, x\nMD\n, y\nSN\ni z\nEN\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że ED\nMD\nx\n. Trójkąty DAB i CBD są\nprzystające, więc NB\nED\nx\n. Czworokąt AFSM jest kwadratem, więc MA\nAF\nr\nPonadto BF\nBE\nx\nz\nTrójkąty DAB i DMN są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołku D). Zatem\nAD\nMD\nDB\nDN\n, czyli 2\nr\nx\nx\nx\nz\nx\nz\nA\nB\nC\nD\nS\nM\nN\nE\nF\nr\nr\nr\nx\nx\ny\nx\nz\nr\nr\nA\nB\nC\nD\nS\nM\nN\nE\nF\nr\nr\nr\nα\nα\nα\nStąd\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\nr\nx\nx\nz\nx\nz x\n,\n2\n2\n2\nrx\nrz\nx\nxz\nx\nxz\n,\n(1)\n2x\nrx\nz\nr\nZ podobieństwa trójkątów MDN i ESN (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołku N) wynika , że\nSE\nMD\nSN\nDN\n, czyli r\nx\ny\nx\nz\nStąd i z (1) otrzymujemy\n(\n)\n2\n2\nx\nrx\nr\nr x\nz\nrx\nr\nrx\nx\nrx\ny\nx\nx\nx\nx\n+ ⋅\nTo oznacza, że AD\nr\nx\nr\ny\nMN\n. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający\npoprowadzi odcinki SE i NG\nalbo\nzapisze równość DM\nDE\n,\nalbo\nzapisze równość DE\nBN\n,\nalbo\nzapisze równość SM\nSE\nMA\nNG\n,\nalbo\nzapisze, że trójkąty BFS i BES są przystające,\nalbo\nzapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów DAB i DMN : AD\nMD\nDB\nDN\n,\nalbo\nzapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów MDN i ESN : SE\nMD\nSN\nDN\n,\nalbo\nzauważy, że odcinek BS jest dwusieczną kąta ABD,\nalbo\n• zapisze, że trójkąt BNS jest równoramienny\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\nzapisze, że trójkąty BGN i NES są przystające\nalbo\nzapisze, że trójkąt BSN jest równoramienny i BN\nDM\n,\nalbo\nzapisze proporcje: 2\nr\nx\nx\nx\nz\nx\nz\ni r\nx\ny\nx\nz\n,\nalbo\nzauważy, że MN\nr\nSN\ni EN\nAB\nAD\n,\nalbo\nzapisze proporcje:\n2\n2\nr\nx\nx\nr\ny\nr\ny\nx\nr\ni r\nx\nz\nr\ny\noraz zapisze równanie\nwynikające z twierdzenia Pitagorasa w jednym z trójkątów BGN i ENS\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający wykaże, że MN\nAD","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nWyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których wykresy funkcji f i g, określonych\nwzorami\n( )\n2\nf x\nx\noraz\n( )\n5\ng x\nax\n, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych\ndodatnich.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nWyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykresy funkcji f i g, określonych wzorami f(x) = x-2 oraz g(x) = 5-ax, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej\ni kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych,\nfizycznych itp. także osadzonych w kontekście praktycznym)\n(4.12).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyznaczymy najpierw współrzędne punktu przecięcia. Przyrównujemy\n( )\nf x i\n( )\ng x ,\na otrzymane równanie zapisujemy w postaci\n(\n)1\n7\na\nx\nPonieważ\n0\nx >\n, więc\n1\n0\na + >\n, czyli\n1\na > -.\nZatem\n7\n5\n2\n( )\n2\n1\n1\na\ny\nf x\na\na\nPonieważ\n0\ny >\n, a ponadto\n1\n0\na + >\n, więc wynika stąd, że 5 2\n0\na\n>\n, skąd otrzymujemy\n5\n2\na <\nŁączymy oba warunki\n0\nx >\ni\n0\ny >\ni zapisujemy odpowiedź: punkt przecięcia wykresów\nfunkcji ma obie współrzędne dodatnie dla\n5\n1\n2\na\n-<\n<\nII sposób\nZilustrujmy w układzie współrzędnych sytuację opisaną w treści zadania.\n-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9 10 11 12 13\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nx\ny\n0\n5\n5\n2\ny\nx\n2\ny\nx\n5\ny\nx\nPonieważ równanie\n5\ny\nax\nopisuje pęk prostych przechodzących przez punkt\no współrzędnych (\n)\n0,5 , więc rysując proste o równaniach\n5\ny\nx\n+ oraz\n5\n5\n2\ny\nx\n(linie\nprzerywane) otrzymujemy graniczne położenia linii prostych należących do tego pęku -\nprosta o równaniu\n5\ny\nx\n+ nie ma żadnego punktu wspólnego z prostą o równaniu\n2\ny\nx\n-,\nnatomiast prosta o równaniu\n5\n5\n2\ny\nx\nma jeden punkt wspólny z prostą o równaniu\n2\ny\nx\n-, jest nim punkt (\n)\n2,0 , którego współrzędne nie spełniają warunku określonego\nw treści tego zadania.\nZapisujemy odpowiedź: Punkty przecięcia wykresów funkcji mają dwie dodatnie\nwspółrzędne wtedy i tylko wtedy, gdy\n5\n1\n2\na\n-<\n<\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający wyznaczy jedną ze współrzędnych punktu przecięcia w zależności od a oraz zapisze:\n7\n1\nx\na\nalbo\n7\n2\n1\ny\na\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• wyznaczy obie współrzędne punktu przecięcia w zależności od a i zapisze:\n7\n1\nx\na\ni\n5\n2\n1\na\ny\na\ndla\n1\na ≠-\nalbo\n• wyznaczy pierwszą współrzędną punktu przecięcia w zależności od a:\n7\n1\nx\na\ni zapisze, że druga współrzędna jest dodatnia, gdy\n2\nx >\n(o ile wynika to\nz przywołanej koniunkcji\n0\n2\nx\nx\n>\n∧\n>\n),\nalbo\n• zapisze, że\n0\nx >\n, gdy\n1\na > - i nie wyznaczy drugiej współrzędnej punktu przecięcia,\nalbo\n• sporządzi ilustrację graficzną jednej pary prostych o równaniach:\n2\ny\nx\n- i\n5\ny\nx\nlub\n2\ny\nx\n- i\n5\n5\n2\ny\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający:\nzapisze, że dla\n1\na > - spełniona jest nierówność\n0\nx >\ni wyznaczy drugą\nwspółrzędną\nalbo\nzapisze, że dla\n5\n1\n2\na\n-<\n<\nspełniona jest nierówność\n0\ny >\ni nie rozważy warunku\n0\nx >\n,\nalbo\n• sporządzi ilustrację graficzną, na której znajdą się proste o równaniach:\n5\ny\nx\n+ i\n5\n5\n2\ny\nx\ni\n2\ny\nx\noraz zapisze przynajmniej jedną poprawną nierówność, którą spełnia współczynnik a,\nalbo\n• sporządzi ilustrację graficzną prostej o równaniu:\n2\ny\nx\n- i pęku prostych\nprzechodzących przez punkt o współrzędnych (0, 5) oraz zapisze przynajmniej jedną\npoprawną nierówność, którą spełnia współczynnik a\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający zapisze, że dla\n5\n1\n2\na\n-<\n<\nobie współrzędne punktu przecięcia są dodatnie.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający podstawia do równania pęku prostych współrzędne punktu (0, 2), otrzymuje\n5\n2\na =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje 1 punkt. Jeśli dodatkowo\npoda, że\n5\n2\na <\n, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający przedstawia rysunek, na którym jest tylko prosta o równaniu\n2\ny\nx\n-,\ni odpowiedź\n5\n1, 2\na\n\n\n∈-\n\n\n\n\nbez żadnych wyjaśnień, to otrzymuje 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"parametr","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n2\n2cos\n3\n0\ncos\nx\nx\n<\nw przedziale 0, 2π .\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nRozwiąż nierówność 2cos x - √3 / cos^2 x < 0 w przedziale (0, 2π).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne oraz posługuje się wykresami funkcji\ntrygonometrycznych (R6.6, R6.4).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ\n2\ncos\n0\nx ≥\ndla każdego x, to nierówność\n2\n2cos\n3\n0\ncos\nx\nx\n<\njest równoważna\nkoniunkcji 2cos\n3\n0\nx -\n<\ni cos\n0\nx ≠\n, czyli\n3\ncos\n2\nx <\ni cos\n0\nx ≠\nZatem\nπ\n11π\n2 π,\n2 π\n6\n6\nx\nk\nk\n\n\n∈\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą, i\nπ\nπ\n2\nx\nm\n≠\n, gdzie m jest\nliczbą całkowitą.\nW przedziale 0,2π rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba\nπ π\nπ 3π\n3π 11π\n,\n,\n,\n6 2\n2\n2\n2\n6\nx\n\n\n\n\n\n\n∈\n∪\n∪\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga:\nNierówności\n3\ncos\n2\nx <\ni cos\n0\nx ≠\nmożemy rozwiązać, np. odczytując odpowiednie\nargumenty funkcji\n( )\ncos\nf\nx\nx\n, dla których przyjmuje ona wartości mniejsze od\n3\n2 i różne\nod zera.\nπ/6\nπ/3\nπ/2\n2π/3\n5π/6\nπ\n7π/6\n4π/3\n3π/2\n5π/3\n11π/6\n2π\n-1\n1\nx\ny\n0\nFunkcja cosinus przyjmuje w przedziale 0,2π wartość\n3\n2 dla dwóch argumentów:\nπ\n6\nx =\n,\n11π\n6\nx =\n. Ma również w tym przedziale dwa miejsca zerowe:\nπ\n2\nx =\n,\n3π\n2\nx =\nZatem zbiorem rozwiązań nierówności\n2\n2cos\n3\n0\ncos\nx\nx\n<\nw przedziale\n0,2π jest suma\nprzedziałów\nπ π\nπ 3π\n3π 11π\n,\n,\n,\n6 2\n2\n2\n2\n6\n\n\n\n\n\n\n∪\n∪\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze, że nierówność\n(\n)\n2\ncos\n2cos\n3\n0\nx\nx -\n<\njest równoważna koniunkcji\n2\ncos\n0\nx ≠\ni 2cos\n3\n0\nx -\n<\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze, że\n2\ncos\n0\nx ≠\ndla\nπ\nπ\n2\nx\nk\n≠\n, gdzie k jest liczbą całkowitą\nalbo\n• zapisze, że\n2\ncos\n0\nx ≠\ndla\nπ\n2\nx ≠\ni\n3π\n2\nx ≠\nlub cos\n0\nx ≠\ndla\nπ\n2\nx ≠\ni\n3π\n2\nx ≠\n,\nalbo\n• rozwiąże nierówność\n3\ncos\n2\nx <\nw zbiorze liczb rzeczywistych:\nπ\n11π\n2 π,\n2 π\n6\n6\nx\nk\nk\n\n\n∈\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\nalbo\n• rozwiąże nierówność\n3\ncos\n2\nx <\nw przedziale 0,2π :\nπ 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze, że\n2\ncos\n0\nx ≠\ndla\nπ\nπ\n2\nx\nk\n≠\n, gdzie k jest liczbą całkowitą oraz rozwiąże\nnierówność\n3\ncos\n2\nx <\nw zbiorze liczb rzeczywistych:\nπ\n11π\n2 π,\n2 π\n6\n6\nx\nk\nk\n\n\n∈\n\n\n\n\n, gdzie k jest\nliczbą całkowitą i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający rozwiąże nierówność\n(\n)\n2\ncos\n2cos\n3\n0\nx\nx -\n<\nw przedziale 0,2π :\nπ π\nπ 3π\n3π 11π\n,\n,\n,\n6 2\n2\n2\n2\n6\nx\n\n\n\n\n\n\n∈\n∪\n∪\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n30 ,90\n90 ,270\n270 ,330\nx∈\n∪\n∪\n\n\n\n\n\n.\nUwagi:\n1. Zdający nie musi podawać rozwiązań ogólnych. Na każdym etapie rozwiązania może\nograniczyć rozumowanie do przedziału 0,2π .\n2. Jeżeli zdający zapisze, że\n2\ncos\n0\nx ≠\ni podaje zbiór rozwiązań nierówności w postaci\nπ 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\nlub\nπ\n11π\n2 π,\n2 π\n6\n6\nx\nk\nk\n\n\n∈\n\n\n\n\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty.\n3. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania cos\n0\nx =\nw przedziale 0,2π lub\nwszystkie rozwiązania równania\n3\ncos\n2\nx =\nw przedziale 0,2π i na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy, to otrzymuje 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający zapisze warunek cos\n0\nx ≠\ni poda tylko\nπ\nπ\n2\nx\nk\n≠\nlub\nπ\n2\nx ≠\ni na tym\nzakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej\n(\n)\n2\ncos\n2cos\n3\n0\nx\nx -\n<\n,\nwykona podstawienie\ncos\nt\nx\n, a następnie rozwiązując nierówność\n2\n3\n0\n2\nt\nt\n\n<\n\n\n\n\n\n\nprzyjmuje, że 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu i konsekwentnie rozwiąże\nnierówność do końca, otrzymując\nπ π\n3π 11π\n,\n,\n6 2\n2\n6\nx\n\n\n\n\n∈\n∪\n\n\n\n\n\n\n\n\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"trygonometria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nDany jest trójmian kwadratowy\n( )\n(\n)\n2\n2\n1\n6\n1\nf x\nx\nm\nx\nm\n+ . Wyznacz wszystkie\nrzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki\n1x ,\n2x\ntego samego znaku, spełniające warunek\n1\n2\n3\nx\nx\n<\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nDany jest trójmian kwadratowy f(x) = x^2 + 2(m+1)x + 6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x_1, x_2 tego samego znaku, spełniające warunek |x_1 - x_2| < 3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-6)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a,\nrozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe\nz parametrem, rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną\nniewiadomą oraz równania i nierówności z wartością bezwzględną\n(R3.1, R3.2, 3.5, R3.9).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie zadania dzielimy na cztery etapy. W pierwszym etapie wyznaczymy wszystkie\nwartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki. W drugim,\nwyznaczymy te wartości parametru m, dla których pierwiastki trójmianu spełniają warunek\n1\n2\n3\nx\nx\n<\n. W trzecim wyznaczamy te wartości parametru m, dla których pierwiastki\n1\n2\n,\nx x\nsą tego samego znaku. W czwartym - końcowym etapie, wyznaczymy wszystkie szukane\nwartości parametru m.\nI etap\nPonieważ trójmian f ma dwa różne pierwiastki, więc wyróżnik Δ tego trójmianu jest dodatni,\nzatem\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n4 1 6\n1\n0\nm\nm\nΔ =\n-⋅⋅\n>\nNierówność\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n4 1 6\n1\n0\nm\nm\n-⋅⋅\n>\nprzekształcamy w sposób równoważny\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n2\n1\n4\n6\n1\n0\nm\nm\nm\n-⋅\n>\n,\n2\n2\n1 6\n1\n0\nm\nm\nm\n->\n,\n2\n4\n0\nm\nm\n>\n,\n(\n)\n4\n0\nm m -\n>\nRozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba\n(\n)\n(\n)\n,0\n4,\nm∈-∞\n∪\n+∞.\nII etap\nI sposób\nNierówność\n1\n2\n3\nx\nx\n<\nmożna zapisać, stosując wzory na pierwiastki trójmianu\nkwadratowego, w postaci\n3\n2\n2\nb\nb\na\na\nΔ\nΔ\n<\n,\n3\na\n-Δ <\n,\n3\n1\n-Δ <\n,\n3\nΔ <\nPonieważ\n0\nΔ >\n, więc\n0\nΔ >\n. Zatem obie strony nierówności są dodatnie. Stąd 0\n9\n< Δ <\nZatem\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n2\n1\n4 6\n1\n9\n0\nm\nm\nm\n<\n,\n2\n4\n16\n9\n0\nm\nm\n<\n,\n1 9\n,\n2 2\nm\n\n\n∈-\n\n\n\n\nII sposób\nObie strony nierówności\n1\n2\n3\nx\nx\n<\nsą dodatnie, więc podnosząc je do kwadratu,\notrzymujemy nierówność równoważną\n(\n)\n2\n1\n2\n9\nx\nx\n<\nTę nierówność możemy z kolei zapisać w postaci\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n4\n9\nx\nx\nx x\n<\nZe wzorów Viète’a otrzymujemy nierówność z niewiadomą m:\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n2\n1\n4 6\n1\n9\n0\nm\nm\nm\n<\n,\n1 9\n,\n2 2\nm\n\n\n∈-\n\n\n\n\nIII etap\nPonieważ pierwiastki\n1x ,\n2x są tego samego znaku, więc\n1\n2\n0\nx\nx\n⋅\n>\n. Ze wzoru Viète’a,\notrzymujemy nierówność\n6\n1\n0\n1\nm + >\n, skąd\n1\n6\nm > -\nIV etap\nWyznaczamy część wspólną zbiorów:\n1 ,\n6\n\n\n+∞\n\n\n\n\n,\n1 9\n,\n2 2\n\n\n\n\n\n\n,\n(\n)\n(\n)\n,0\n4,\n-∞\n∪\n+∞.\nOstatecznie\n1\n9\n,0\n4,\n6\n2\nm\n\n\n\n\n∈-\n∪\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z czterech etapów.\n• Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności\n0\n>\nΔ\n:\n(\n)\n(\n)\n,0\n4,\nm∈-∞\n∪\n+∞.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n• Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności\n1\n2\n3\nx\nx\n<\n. Za tę część rozwiązania\nzdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje, gdy:\n• zapisze nierówność\n1\n2\n3\nx\nx\n<\nw postaci\n3\n-Δ <\nlub\n3\nΔ < , lub(\n)\n2\n1\n2\n9\nx\nx\n<\nalbo\n• zapisze nierówność\n1\n2\n3\nx\nx\n<\nw postaci:\n3\n2\n2\nb\nb\na\na\nΔ\nΔ\n<\n9\nΔ <\nlub\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n4\n9\nx\nx\nx x\n<\n2 punkty zdający otrzymuje, gdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą m, np.\n(\n)\n2\n2\n1\n6\n1\n4\n9\n1\n1\nm\nm\n\n\n-⋅\n<\n\n\n\n\n3 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie tej nierówności:\n1 9\n,\n2 2\nm\n\n\n∈-\n\n\n\n\n• Trzeci etap polega na ustaleniu, dla jakich m pierwiastki trójmianu są tego samego\nznaku.\n1 punkt zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności 6\n1\n0\n1\nm + >\n:\n1 ,\n6\nm\n\n\n∈-\n+∞\n\n\n\n\n• Czwarty etap polega na ustaleniu, dla których wartości parametru m pierwiastki\ntrójmianu spełniają wszystkie warunki zadania. Wyznaczamy część wspólną zbiorów:\n1 ,\n6\n\n\n+∞\n\n\n\n\n,\n1 9\n,\n2 2\n\n\n\n\n\n\ni (\n)\n(\n)\n,0\n4,\n-∞\n∪\n+∞.\nZa ten etap zdający może otrzymać 1 punkt, gdy:\n• poprawnie wykonał przynajmniej dwa etapy spośród I, II i III, a ponadto w każdym\nz etapów otrzymał niepusty i różny od zbioru liczb rzeczywistych (R) zbiór rozwiązań\nalbo\n• poprawnie wykonał etapy I lub III i otrzymał co najmniej 2 punkty za II etap,\na ponadto w każdym z etapów otrzymał niepusty i różny od zbioru liczb\nrzeczywistych (R) zbiór rozwiązań.\nUwaga:\nJeżeli zdający popełni błąd merytoryczny w trakcie rozwiązywania warunku\n3\n-Δ <\nlub\n3\nΔ < , np. podniesie obie strony nierówności do kwadratu i otrzyma Δ > 9, to za II etap\notrzymuje co najwyżej 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nPunkty\n(\n)\n30, 32\nA\ni\n(\n)\n0, 8\nB\nsą sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego\nw okrąg. Prosta o równaniu\n2\n0\nx\ny\njest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera\nprzekątną AC . Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nPunkty A = (30,32) i B=(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2 =0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną $AC$. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.","answer":"A, B, C, D","answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza\nrównanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej\ndanej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt,\noblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych oraz\nwyznacza współrzędne środka odcinka (8.3, 8.4, 8.5).\nPrzykładowe rozwiązanie\nZauważamy, że jeżeli AC jest przekątną czworokąta ABCD, wpisanego w okrąg i prosta\nAC jest osią symetrii tego czworokąta, to ten czworokąt jest deltoidem, a trójkąty ABC\ni ADC są prostokątne. Obliczymy najpierw współrzędne wierzchołka D , który jest obrazem\nwierzchołka B , w symetrii osiowej względem prostej AC . Ponieważ prosta BD jest\nprostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt B , więc jej równanie ma postać\n8\ny\nx\nObliczamy współrzędne środka S przekątnej BD . Ponieważ jest to punkt przecięcia\nprostych AC i BD , więc wystarczy rozwiązać układ równań\n2\n8\ny\nx\ny\nx\n\n= -+\n\nOtrzymujemy stąd\n3\nx =\ni\n5\ny =\n. Zatem punkt S ma współrzędne\n(\n)\n3,5\nS =\n. Współrzędne\npunktu D spełniają zatem równania\n0\n3\n2\nD\nx +\ni\n8\n5\n2\nD\ny +\nStąd wynika, że\n6\nD\nx =\ni\n2\nD\ny =\n, czyli\n(\n)\n6,2\nD =\nObliczymy teraz współrzędne wierzchołka C . Zauważamy, że jest to punkt przecięcia prostej\nAC i prostej CD , która jest prostopadła do prostej AD i przechodzi przez punkt D .\nPonieważ współczynnik kierunkowy prostej AD jest równy 2\n32\n5\n6\n30\n4\n, więc prosta CD ma\nrównanie postaci\n(\n)\n4\n6\n2\n5\ny\nx\nRozwiązujemy układ równań\n(\n)\n2\n4\n6\n2\n5\ny\nx\ny\nx\n\n\ni otrzymujemy\n8\n24\n9\n3\n42\n14\n9\n3\nx\ny\n=\n\n\nZatem\n(\n)\n8 14\n3\n3\n,\nC =\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch części. Pierwsza, to obliczenie współrzędnych\npunktu D , druga, to obliczenie współrzędnych punktu C . Mogą być one wykonane\nniezależnie od siebie, w dowolnej kolejności. Za pierwszą część rozwiązania zdający\notrzymuje 2 punkty, a za drugą 3 punkty.\nSchemat punktowania pierwszej części\n1 punkt przyznajemy zdającemu, który wyznaczy równanie prostej BD :\n8\ny\nx\ni zapisze, że punkt przecięcia prostych AC i BD jest środkiem odcinka BD lub wykorzysta\nten fakt.\n2 punkty przyznajemy zdającemu za obliczenie współrzędnych punktu D :\n(\n)\n6,2\nD =\nSchemat punktowania drugiej części\n1 punkt przyznajemy zdającemu, który zapisze, że trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym\nlub wykorzysta ten fakt.\n2 punkty przyznajemy zdającemu za wyznaczenie równania prostej CD :\n(\n)\n4\n6\n2\n5\ny\nx\n3 punkty przyznajemy zdającemu za obliczenie współrzędnych punktu C :\n(\n)\n8 14\n3\n3,\nC=\nUwaga:\nWspółrzędne punktu C zdający może obliczać inaczej. Poniżej schematy przydziału\n3 punktów za obliczenie współrzędnych wierzchołka C.\n• W przypadku obliczenia w pierwszej kolejności współrzędnych środka okręgu opisanego\nna danym czworokącie, który jest środkiem odcinka AC.\n1 punkt - gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą opisujące zależność\n2\n2\nSA\nSB\n,\n2 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu S,\n3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.\n• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzenia\nPitagorasa w trójkącie ABC.\n1 punkt - gdy zdający zauważy, że trójkąt ABC jest prostokątny, np. zapisze\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n,\n2 punkty - gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z twierdzenia\nPitagorasa w trójkącie ABC,\n3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.\n• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem symetralnej odcinka\nAB i środka okręgu opisanego na czworokącie ABCD.\n1 punkt - gdy zdający zapisze równanie symetralnej odcinka AB,\n2 punkty - gdy zdający wyznaczy współrzędne środka okręgu przechodzącego przez punkty\nA, B, C, D,\n3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.\n• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem kąta pomiędzy\nprostymi AD i AB.\n1 punkt - gdy zdający obliczy tangens kąta DAB,\n2 punkty - gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą z wykorzystaniem\nwspółczynników kierunkowych prostych BC i CD jako tangensów odpowiednich kątów,\n3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.\n• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem iloczynu skalarnego\nwektorów BC i BA (albo, po wyznaczeniu współrzędnych punktu D, wektorów DA i DC).\n1 punkt - gdy zdający zapisze, że wektory BC i BA albo DA i DC są prostopadłe lub\nwyznaczy ich współrzędne,\n2 punkty - gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą wynikające z zerowania się\niloczynu skalarnego wektorów,\n3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.\n• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem równania okręgu\nprzechodzącego przez punkty A, B, D.\n1 punkt - gdy zdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, z którego można\nobliczyć współczynniki w równaniu okręgu,\n2 punkty - gdy zdający wyznaczy równanie okręgu opisanego na trójkącie ABD,\n3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.\n• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzenia\ncosinusów.\n1 punkt - gdy zdający wyznaczy cosinus kąta BAD,\n2 punkty - gdy zdający zastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie BCD i zapisze równanie\nz jedną niewiadomą,\n3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.\n• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzenia\no wysokości w trójkącie prostokątnym ABC (albo, po wyznaczeniu współrzędnych\npunktu D, w trójkącie ACD).\n1 punkt - gdy zdający wyznaczy długości odcinków AS i BS, lub AS i DS, gdzie S jest\nspodkiem wysokości trójkąta należącym do boku AC,\n2 punkty - gdy zdający zastosuje twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym\ni zapisze równanie z jedną niewiadomą,\n3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-3)\nRozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą\nwystępować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy.\nUzasadnij, że takich liczb jest 15 360.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nRozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra $1$ występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15360.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-3)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do\nzliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach\nkombinatorycznych (R10.1).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nMiejsce dla cyfry 1 wybieramy na ( )\n10\n3\nsposobów. Na pozostałych siedmiu miejscach\nrozmieszczamy cyfry 2 lub 3 w dowolnym porządku na\n7\n2 sposobów. Stosujemy regułę\nmnożenia i otrzymujemy\n( )\n7\n10\n3\n2\n120 128\n15360\n⋅\n⋅\nróżnych liczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie\nktórych cyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy.\nII sposób\nRozpatrzymy trzy rozłączne przypadki, w zależności od tego, jaka cyfra została zapisana na\npierwszym miejscu.\n1. Jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra 1, to miejsce dla pozostałych dwóch jedynek\nwybieramy na ( )\n9\n2 sposobów, na pozostałych siedmiu miejscach rozmieszczamy cyfrę 2 lub\ncyfrę 3 w dowolnym porządku na\n7\n2 sposobów. Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy\n( )\n7\n9\n2\n1\n2\n36 128\n4608\n⋅\n⋅\n⋅\nliczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie\ncyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra 1.\n2. jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra 2, to miejsce dla trzech jedynek wybieramy na ( )\n9\n3\nsposobów, na pozostałych sześciu miejscach rozmieszczamy cyfrę 2 lub cyfrę 3 w dowolnym\nporządku na\n6\n2 sposobów. Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy\n( )\n6\n9\n3\n1\n2\n84 64\n5376\n⋅\n⋅\n⋅\nliczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie\ncyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra 2.\n3. (rozumowanie analogiczne jak w p. 2.). Jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra 3, to\nmiejsce dla trzech jedynek wybieramy na ( )\n9\n3 sposobów, na pozostałych sześciu miejscach\nrozmieszczamy cyfrę 2 lub cyfrę 3 w dowolnym porządku na\n6\n2 sposobów.\nStosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy\n( )\n6\n9\n3\n1\n2\n84 64\n5376\n⋅\n⋅\n⋅\nliczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie których\ncyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra 3.\nSumujemy liczby powstałe w każdym z trzech przypadków i otrzymujemy:\n4608\n2 5376\n15360\n+ ⋅\nliczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie których\ncyfra 1 występuje dokładnie trzy razy.\nIII sposób\nRozpatrzymy osiem rozłącznych przypadków, wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu\nliczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie cyfra 1 występuje\ndokładnie trzy razy:\n1. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki i 7 trójek, wtedy takich liczb jest 10!\n120\n3! 7! =\n⋅\n,\n2. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 1 dwójka i 6 trójek, wtedy takich liczb jest\n10!\n840\n3! 6! =\n⋅\n,\n3. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 2 dwójki i 5 trójek, wtedy takich liczb jest\n10!\n2520\n3! 2! 5! =\n⋅\n⋅\n,\n4. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 3 dwójki i 4 trójki, wtedy takich liczb jest\n10!\n4200\n3! 3! 4! =\n⋅\n⋅\n,\n5. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 4 dwójki i 3 trójki, wtedy takich liczb jest\n10!\n4200\n3! 4! 3! =\n⋅\n⋅\n,\n6. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 5 dwójek i 2 trójki, wtedy takich liczb jest\n10!\n2520\n3! 5! 2! =\n⋅\n⋅\n,\n7. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 6 dwójek i 1 trójka, wtedy takich liczb jest\n10!\n840\n3! 6! =\n⋅\n,\n8. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki i 7 dwójek, wtedy takich liczb jest 10!\n120\n3! 7! =\n⋅\nSumujemy liczby otrzymane w każdym przypadku i otrzymujemy:\n(\n)\n2 120 840 2520 4200\n2 7680 15360\n⋅\n= ⋅\nróżnych liczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2 , 3, w zapisie\nktórych cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający zapisze, że:\n• miejsce dla cyfry 1 można wybrać na ( )\n10\n3\nsposobów\nalbo\n• miejsca dla cyfr 2 lub 3 można wybrać na ( )\n10\n7 sposobów,\nalbo\n• cyfry 2 lub 3 można rozmieścić na\n7\n2 sposobów,\nalbo\n• jeżeli cyfra 1 jest na ustalonym (np. pierwszym) miejscu, to pozostałe dwie cyfry 1\nmożna rozmieścić na ( )\n9\n2 sposobów,\nalbo\n• jeżeli na ustalonym miejscu stoi jedna z cyfr 2 lub 3, to trzy cyfry 1 można rozmieścić\nna ( )\n9\n3 sposobów,\nalbo\n• jeżeli cyfry 1 stoją na ustalonych trzech miejscach, to jeśli w liczbie występuje n cyfr\n2, to cyfry 2 i 3 można rozmieścić na ( )\n7\nn sposobów dla przynajmniej jednej\nkonkretnej liczby n,\nalbo\n• jest 8 rozłącznych przypadków wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu liczby\ndziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie cyfra 1 występuje\ndokładnie trzy razy\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\n• zapisze, że liczba rozpatrywanych liczb dziesięciocyfrowych jest równa np. ( )\n7\n10\n3\n2\n⋅\nalbo\n• zapisze, ile jest liczb w każdym z rozpatrywanych przypadków wyczerpujących\nwszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3,\nw których zapisie cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy,\nalbo\n• zapisze osiem rozłącznych przypadków wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu\nliczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie cyfra 1 występuje\ndokładnie trzy razy oraz w przynajmniej jednym przypadku zapisze liczbę takich\nliczb, np. ( )\n10\n3\n1⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający\n• zapisze, że jest ( )\n7\n10\n3\n2\n15360\n⋅\nliczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za\npomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie których cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy\nalbo\n• zsumuje liczby otrzymane w każdym z rozpatrywanych przypadków wyczerpujących\nwszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3,\nw których zapisie cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy i zapisze, że jest ich 15360.\nUwagi:\n1. Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli zdający zapisze liczbę rozpatrywanych liczb\ndziesięciocyfrowych bez użycia symbolu Newtona.\n2. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przedstawia zapisy, dla których brak bezpośredniej\ninterpretacji kombinatorycznej i zapisom tym nie towarzyszą stosowne objaśnienia, to nie\nmoże otrzymać maksymalnej liczby punktów, przy czym za rozwiązanie, zawierające\njedynie zapisy pojedynczych liczb lub symboli Newtona (typu 120, 128, ( )\n10\n7\n), bez\nstosownych objaśnień, zdający otrzymuje 0 punktów, a za rozwiązanie, zawierające\njedynie zapisy działań na liczbach (typu 120 128\n15 360\n⋅\n), bez stosownych objaśnień\nzdający może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający przedstawia rozwiązanie, w którym części zapisanych liczb lub działań na\nliczbach nie towarzyszą stosowne objaśnienia, to za takie rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\n4. Zdający może skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona i zapisać:\n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )\n{\n} ( )\n7\n10\n7\n7\n7\n7\n7\n7\n7\n7\n10\n7\n5\n3\n6\n4\n3\n2\n1\n0\n3\n2\n120 128\n15360\n⋅\n⋅\n⋅","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5,\na kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego\nostrosłupa.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-6)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między ścianami, stosuje trygonometrię do\nobliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni\ni objętości (9.4, 9.6).\nPrzykładowe rozwiązanie\nStrategię rozwiązania zadania można zrealizować na wiele sposobów. Każdy z nich różni się\nzestawem i kolejnością zastosowanych związków między odcinkami w ostrosłupie.\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia jak na rysunku.\nWtedy\n2\n2\na\nOB =\n,\n2\na\nOE =\n,\n60\nBFO =\n°\n\nPonieważ trójkąt BFO jest prostokątny, stąd\nsin 60\nBO\nBF =\n°. Zatem\n2\n2\n2\n6\n2\nsin 60\n2\n3\n3\n3\n2\na\nBO\na\na\nBF =\n⋅\n°\nTrójkąty SEC i BFC są podobne, stąd SE\nBF\nSC\nBC\n, czyli\n6\n3\na\nl\nb\na\n. Zatem\n6\n3\nb\nl =\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych EOS i BOS, skąd\notrzymujemy układ równań:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n6\n2\n3\n2\n2\na\nb\nH\na\nH\nb\n\n\n\n\n\n\n= \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nA\nS\nC\nD\nF\na\nB\nO\nH\nb\nl\nE\nα\n2\n2\n2\n2\n6\n25\n2\n3\n2\n25\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n= \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n25\n4\n3\n25\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n300\n3\n8\n50\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\n2\n2\n75\n100\nb\na\n\n\n\n5 3\n10\nb\na\n=\n=\n\nStąd pole P podstawy ABCD ostrosłupa jest równe\n2\n100\nP\na\n, więc objętość ostrosłupa jest\nrówna:\n1\n500\n100 5\n3\n3\nV =\n⋅\n⋅=\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający\nzastosuje twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SOC\nalbo\nzastosuje twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SOE,\nalbo\nzastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie BFD,\nalbo\nzapisze funkcję trygonometryczną kąta ostrego w trójkącie OBF,\nalbo\nzapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów SEC i BCF,\nalbo\nzapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów SOC i OFC\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze związki, z których można obliczyć długość krawędzi podstawy lub\ndługość przekątnej podstawy ostrosłupa, ale pominie jedno równanie potrzebne do\nzakończenia obliczeń, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 3 p.\nZdający zapisze układ równań, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy lub\ndługość przekątnej podstawy ostrosłupa i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą oznaczającą wielkość, która pozwala obliczyć\npole podstawy ostrosłupa i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający\n• obliczy długość krawędzi podstawy lub długość przekątnej podstawy ostrosłupa\nalbo\n• obliczy długość krawędzi podstawy lub długość przekątnej podstawy ostrosłupa,\npopełniając błędy rachunkowe i konsekwentnie do tego obliczy objętość ostrosłupa.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n500\n3\nV =\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę, np. ostrosłup, którego podstawą nie jest kwadrat albo\nostrosłup, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi, ale przy\nkorzystaniu z własności figur, w których ten kąt nie występuje, wykazuje się innymi\numiejętnościami matematycznymi, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający odczyta wartość sin\nsin60\nBFO =\n°\n\nz tablic i wykona obliczenia na\nprzybliżeniach, to otrzymuje co najwyżej 5 punktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-7)\nParabola o równaniu\n2\n1\n2\n2\ny\nx\nprzecina oś Ox układu współrzędnych w punktach\n(\n)\n2,0\nA = -\ni\n(\n)\n2,0\nB =\n. Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których\ndłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz\nrysunek).\n-2\n-1\n1\n2\n1\n2\nx\ny\n0\nA\nB\nC\nD\nWyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz\nwspółrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n16.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nParabola o równaniu y = 2-{1\\o2}x^2 przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A=(-2,0) i B=(2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek). Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-7)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający stosuje pochodne do\nrozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych (R11.6).\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech\n(\n)\n,\nC\nx y\nbędzie wierzchołkiem trapezu ABCD. Wówczas\n(\n)\n2\n1\n2\n,2\nC\nx\nx\n, gdzie\n0\n2\nx\n<\n<\n. Ponieważ\n4\nAB =\n,\n2\nCD\nx\n, a wysokość trapezu jest równa\n2\n1\n2\n2\nh\nx\n, więc\npole P tego trapezu określone jest wzorem\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n3\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n2\n2\n4\n8\n4\n2\n4\n2\n2\nx\nP x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n⋅\n⋅\ndla każdej liczby rzeczywistej 0\n2\nx\n<\n<\nPochodna funkcji\n( )\n2\n3\n1\n2\n4\n2\nP x\nx\nx\nx\njest równa\n( )\n2\n3\n2\n2\n2\nP\nx\nx\nx\n′\ndla\n(\n)\n0,2\nx∈\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej i badamy jej znak.\nPonieważ\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n3\n3\n16\n3\n4\n4\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n3\n9\n2\n3\n2\nP\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n′\noraz\n(\n)\n3\n2\n0\n2 x\n<\ndla każdego\n(\n)\n0,2\nx∈\n, więc:\n( )\n0\nP x\n′\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n2\n3\nx =\n,\n( )\n0\nP x\n′\n>\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n2\n3\n0\nx -\n<\ni\n(\n)\n0,2\nx∈\n, czyli dla\n(\n)\n2\n3\n0,\nx∈\n,\n( )\n0\nP x\n′\n<\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n2\n3\n0\nx -\n>\ni\n(\n)\n0,2\nx∈\n, czyli dla\n(\n)\n2\n3 ,2\nx∈\nZatem w przedziale (\n2\n3\n0,\nfunkcja P jest rosnąca, w przedziale\n)\n2\n3 ,2 jest malejąca,\na w punkcie\n2\n3\nx =\nosiąga maksimum. Jeżeli\n2\n3\nx =\n, to\n( )\n(\n) (\n)\n2\n16\n2\n1\n2\n2\n3\n2\n3\n3\n9\n,2\n,\nC =\n⋅\nUwaga:\nZdający może zauważyć, że z nierówności dla średniej arytmetycznej i średniej\ngeometrycznej wynika, że dla\n(\n)\n0,2\nx∈\niloczyn\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)(\n)\n(\n)(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n2\n2\n4\n1\n1\n2\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nprzyjmuje największą wartość równą\n( )\n3\n3\n4\n3\n2\n2\n1\n1\n2\n4\n4\n3\nx\nx\nx\n\n=\n⋅\n\n\n\n\n, gdy 2\n1\n2\nx\nx\n, czyli dla\n2\n3\nx =\nTakie rozumowanie zastępuje drugi etap rozwiązania.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\n• Pierwszy etap składa się z trzech części:\na) zapisanie długości podstawy CD i wysokości trapezu ABCD w zależności od\nzmiennej x:\n2\nCD\nx\n,\n2\n1\n2\n2\nh\nx\n,\nb) zapisanie pola trapezu ABCD jako funkcji zmiennej x:\n( )\n(\n)\n2\n1\n2\n4\n2\n2\n2\nx\nP x\nx\n⋅\nlub\n( )\n2\n3\n1\n2\n4\n2\nP x\nx\nx\nx\n,\nc) określenie dziedziny funkcji P: (\n)\n0,2 .\nZa każdą część tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie, przy czym, jeżeli zdający od razu\nzapisze poprawnie pole trapezu w zależności od jednej zmiennej, to otrzymuje punkt za część\na) i punkt za część b).\n• Drugi etap składa się z trzech części:\na) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej\n( )\n2\n3\n1\n2\n4\n2\nf x\nx\nx\nx\n:\n( )\n2\n3\n2\n2\n2\nf\nx\nx\nx\n′\n,\nb) obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji P:\n2\n3\nx =\nlub pochodnej funkcji f :\n2\nx = -,\n2\n3\nx =\n,\nc) zbadanie znaku pochodnej funkcji P i uzasadnienie, że dla\n2\n3\nx =\nfunkcja P osiąga\nwartość największą.\nUwaga:\nZnak pochodnej zdający może zaznaczyć w inny sposób, np. na rysunku szkicując krzywą\nzbliżoną do wykresu pochodnej.\n• Trzeci etap.\nObliczenie współrzędnych wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole\njest największe:\n(\n)\n16\n2\n3\n9\n,\nC =\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze pole trapezu P z pominięciem czynnika 1\n2 , we wzorze na pole\ntrapezu, lub z błędem rachunkowym, to może otrzymać co najwyżej 6 punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze pole trapezu P z błędem rzeczowym, innym niż opisany\nw uwadze 1., to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli dodatkowo\nwyznaczy dziedzinę funkcji P, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający obliczy pochodną funkcji P z błędem rachunkowym i otrzyma jako P′\nfunkcję liniową albo funkcję kwadratową o ujemnym wyróżniku Δ lub o wyróżniku Δ\nrównym 0, to może otrzymać punkty jedynie za I etap rozwiązania.\n4. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy pochodną P′ i współrzędne punktu C, ale nie poda\npoprawnego uzasadnienia, dotyczącego istnienia największej wartości funkcji P dla\nobliczonych współrzędnych, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-16.svg","topics":"optymalizacja","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}