{"paper":{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nDla każdej dodatniej liczby a iloraz\n2,6\n1,3\na\na\njest równy\nA.\n3,9\na-\nB.\n2\na-\nC.\n1,3\na-\nD.\n1,3\na","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych oraz stosuje\nprawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych i rzeczywistych (1.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(37\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą\n\nOznaczamy najmniejszą z pięciu kolejnych liczb całkowitych jako \\(n\\). Kolejne liczby to:\n\\[n, \\quad n+1, \\quad n+2, \\quad n+3, \\quad n+4\\]\n\nIch suma wynosi \\(195\\), więc zapisujemy równanie:\n\\[n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 195\\]\n\nUpraszczamy lewą stronę:\n\\[5n + 10 = 195\\]\n\nOdejmujemy \\(10\\) od obu stron:\n\\[5n = 185\\]\n\nDzielimy przez \\(5\\):\n\\[n = 37\\]\n\n**Najmniejsza liczba to \\(37\\).**\n\nSprawdzenie: \\(37 + 38 + 39 + 40 + 41 = 195\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Przez wartość środkową\n\nPięć kolejnych liczb całkowitych tworzy **ciąg arytmetyczny** o różnicy \\(r = 1\\). Środkowa (trzecia) liczba jest jednocześnie ich średnią arytmetyczną.\n\n\\[\\text{średnia} = \\frac{195}{5} = 39\\]\n\nŚrodkowa liczba to \\(39\\), więc pozostałe to:\n\\[37, \\; 38, \\; \\mathbf{39}, \\; 40, \\; 41\\]\n\n**Najmniejsza to \\(37\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - suma \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nW Sposobie 2 użyliśmy własności, że w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz równa się średniej arytmetycznej wszystkich wyrazów:\n\\[a_3 = \\frac{S_5}{5} = \\frac{a_1 + a_5}{2} = 39\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(38\\) | Uczeń zapisuje \\(5n = 195\\) zamiast \\(5n + 10 = 195\\) - zapomina dodać \\(1+2+3+4\\) |\n| C - \\(39\\) | Uczeń myśli, że suma \\(\\div 5\\) to najmniejsza liczba, a nie środkowa |\n| D - \\(40\\) | Uczeń myli „najmniejszą\" z „największą\" i liczy \\(n - 4\\) zamiast \\(n\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapis \\(n + (n+1) + \\ldots\\) łatwo pomieszać - upewnij się, że masz dokładnie **5** liczb, nie 4 ani 6.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 wynik \\(39\\) to liczba **środkowa** (trzecia), nie najmniejsza! Wielu uczniów tu się myli i od razu zaznacza C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto zrobić szybkie sprawdzenie: \\(37 + 38 + 39 + 40 + 41 = 195\\) - zajmuje 10 sekund i eliminuje ewentualne błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Oznaczenie najmniejszej liczby jako \\(n\\)\nPięć kolejnych liczb to \\(n, n+1, n+2, n+3, n+4\\). Ich suma:\n\\[n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 195.\\]\nStąd \\(5n = 185\\), czyli \\(n = 37\\).\n\n### Sposób 2 - Oznaczenie środkowej liczby jako \\(s\\)\nŚrodkowa (trzecia) liczba to \\(s\\). Pięć kolejnych to \\(s-2, s-1, s, s+1, s+2\\). Suma: \\(5s = 195\\), stąd \\(s = 39\\). Najmniejsza to \\(s - 2 = 37\\).\n\n### Sposób 3 - Przez średnią arytmetyczną\nSuma pięciu kolejnych liczb podzielona przez 5 to środkowa: \\(\\tfrac{195}{5} = 39\\). Najmniejsza: \\(39 - 2 = 37\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(38\\)** - gdyby 38 było najmniejsze, suma: \\(38+39+40+41+42 = 200 \\ne 195\\).\n- **C. \\(39\\)** - to środkowa liczba, nie najmniejsza.\n- **D. \\(40\\)** - suma od 40 daje \\(40+41+42+43+44 = 210\\).\n\n**Trik:** suma \\(n\\) kolejnych liczb = \\(n\\cdot\\) (średnia), a średnia to liczba środkowa.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba\n(\n)\n2\n2\nlog\n2\njest równa\nA. 2\n3\nB. 2\nC.\n5\n2\nD. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję\nlogarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - podwyżka o \\(56\\%\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie na przykładzie liczbowym\n\nPrzyjmijmy, że cena początkowa towaru wynosi \\(100\\) zł. (Wygodna liczba - procenty liczą się łatwo.)\n\n**Krok 1: Pierwsza podwyżka o \\(20\\%\\)**\n\n\\[100 \\cdot 1{,}20 = 120 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2: Druga podwyżka o \\(30\\%\\)** (tym razem z ceny \\(120\\) zł)\n\n\\[120 \\cdot 1{,}30 = 156 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 3: O ile procent wzrosła cena względem ceny początkowej?**\n\n\\[\\frac{156 - 100}{100} \\cdot 100\\% = 56\\%\\]\n\n**Odpowiedź:** Obie podwyżki razem odpowiadają jednej podwyżce o \\(\\mathbf{56\\%}\\).\n\n## Sposób 2 - Metoda algebraiczna (mnożenie współczynników)\n\nNiech cena początkowa wynosi \\(C\\).\n\nPodwyżka o \\(20\\%\\) oznacza pomnożenie przez \\(1{,}20\\). Podwyżka o \\(30\\%\\) oznacza pomnożenie przez \\(1{,}30\\).\n\nCena końcowa:\n\\[C_{\\text{końcowa}} = C \\cdot 1{,}20 \\cdot 1{,}30\\]\n\nObliczamy iloczyn współczynników:\n\\[1{,}20 \\cdot 1{,}30 = \\frac{120}{100} \\cdot \\frac{130}{100} = \\frac{120 \\cdot 130}{10000} = \\frac{15600}{10000} = 1{,}56\\]\n\nZatem:\n\\[C_{\\text{końcowa}} = C \\cdot 1{,}56\\]\n\nWspółczynnik \\(1{,}56\\) oznacza wzrost ceny o \\(\\mathbf{56\\%}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie, że podwyżka o \\(p\\%\\) to pomnożenie przez \\(\\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)\\), a kolejne podwyżki to kolejne mnożenia przez takie współczynniki.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Dodawanie procentów: \\(20\\% + 30\\% = 50\\%\\). To najczęstszy błąd - procenty z różnych podstaw nie dodają się! |\n| C | Przekonanie, że \\(1{,}20 \\cdot 1{,}30 = 1{,}60\\) - błędne mnożenie dziesiętne |\n| D | Policzenie \\(20\\% \\cdot 30\\% = 6\\%\\), a potem \\(50\\% + 6\\% \\cdot 2 = 62\\%\\) lub inne błędne kombinacje |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najgroźniejsza pułapka to dodawanie procentów: \\(20\\% + 30\\% = 50\\%\\). To **błąd** - druga podwyżka naliczana jest od **już podwyższonej** ceny, nie od oryginalnej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ogólna formuła na dwie kolejne podwyżki o \\(p\\%\\) i \\(q\\%\\): łączna podwyżka wynosi \\((1+\\frac{p}{100})(1+\\frac{q}{100}) - 1\\), co daje dodatkowy człon \\(\\frac{p \\cdot q}{10000}\\) ponad prostą sumę \\(p + q\\). Tu: \\(\\frac{20 \\cdot 30}{10000} = \\frac{600}{10000} = 6\\%\\), stąd \\(20\\% + 30\\% + 6\\% = 56\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podwyżka o \\(30\\%\\) z ceny \\(120\\) zł to \\(30\\%\\) z **120**, nie z **100** - wielu uczniów liczy \\(30\\) zł zamiast \\(36\\) zł.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Mnożniki procentowe\nPodwyżka o \\(20\\%\\) to mnożenie przez \\(1{,}2\\); podwyżka o \\(30\\%\\) to mnożenie przez \\(1{,}3\\). Łączny mnożnik:\n\\[1{,}2\\cdot 1{,}3 = 1{,}56.\\]\nOznacza to jedną podwyżkę o \\(56\\%\\).\n\n### Sposób 2 - Konkretna cena\nPrzyjmijmy cenę \\(100\\) zł. Po pierwszej podwyżce: \\(120\\) zł. Po drugiej: \\(120\\cdot 1{,}3 = 156\\) zł. Wzrost z \\(100\\) do \\(156\\) to podwyżka o \\(56\\%\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(50\\%\\)** - ktoś dodał \\(20\\% + 30\\% = 50\\%\\) (typowy błąd).\n- **C. \\(60\\%\\)** - wariant pomyłki.\n- **D. \\(66\\%\\)** - inny nieprawidłowy wynik.\n\n**Pułapka:** procenty **NIE** dodaje się przy składanych podwyżkach - mnoży się mnożniki (współczynniki wzrostu).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że\nA.\n1,5\nc\na\nB.\n1,6\nc\na\nC.\n0,8\nc\na\nD.\n0,16\nc\na","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie\nprocentu i punktu procentowego\nw obliczeniach (1.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana na potęgi ułamkowe\n\nZamieniamy wszystko na potęgi z wykładnikami ułamkowymi, żeby łatwo mnożyć wykładniki.\n\n**Krok 1:** Rozbijamy wyrażenie od środka.\n\\[\\sqrt{3} = 3^{\\frac{1}{2}}\\]\n\\[3\\sqrt{3} = 3 \\cdot 3^{\\frac{1}{2}} = 3^{1 + \\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\]\n\n**Krok 2:** Teraz bierzemy pierwiastek sześcienny z całości.\n\\[\\sqrt[3]{3\\sqrt{3}} = \\sqrt[3]{3^{\\frac{3}{2}}} = \\left(3^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{1}{3}} = 3^{\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3}} = 3^{\\frac{1}{2}}\\]\n\n**Krok 3:** Zamieniamy z powrotem na pierwiastek.\n\\[3^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{3}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\sqrt{3}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do potęgi\n\nSprawdzamy, czy \\(\\left(\\sqrt{3}\\right)^3 = 3\\sqrt{3}\\).\n\n\\[\\left(\\sqrt{3}\\right)^3 = \\left(\\sqrt{3}\\right)^2 \\cdot \\sqrt{3} = 3 \\cdot \\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}\\]\n\nTak! Czyli \\(\\sqrt[3]{3\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\), bo sześcian \\(\\sqrt{3}\\) daje właśnie \\(3\\sqrt{3}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór \\(a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\) - użyliśmy go do zamiany pierwiastków na potęgi ułamkowe.\n\nWzór \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) - użyliśmy w kroku 2, mnożąc wykładniki \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{2}\\).\n\nWzór \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\) - użyliśmy przy łączeniu \\(3^1 \\cdot 3^{\\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\sqrt[6]{3}\\) | Uczeń liczy \\(\\sqrt[3]{\\sqrt{3}} = (3^{\\frac{1}{2}})^{\\frac{1}{3}} = 3^{\\frac{1}{6}}\\), zapominając o czyniku \\(3\\) przed \\(\\sqrt{3}\\) |\n| B \\(\\sqrt[4]{3}\\) | Błędne dodawanie wykładników - np. mylenie \\(\\frac{1}{3} + \\frac{1}{2} = \\frac{5}{6}\\) z \\(\\frac{1}{4}\\) przez niedokładne liczenie |\n| C \\(\\sqrt[3]{3}\\) | Uczeń \"wyjął\" \\(\\sqrt[3]{3}\\) przed nawias, pomijając \\(\\sqrt{3}\\) wewnątrz, lub zgubił jeden z wykładników |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dodawaniu wykładników \\(1 + \\frac{1}{2}\\) wielu uczniów błędnie zapisuje \\(\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{3}{2}\\). Zawsze sprowadzaj do wspólnego mianownika: \\(1 + \\frac{1}{2} = \\frac{2}{2} + \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno \"wyciągać\" pierwiastka sześciennego bezpośrednio z \\(3\\sqrt{3}\\) bez wcześniejszego uproszczenia. Najpierw zamień na jedną potęgę \\(3^{\\frac{3}{2}}\\), a dopiero potem działaj z zewnętrznym pierwiastkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie wykładników \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3}\\) - pamiętaj, że \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{6}\\) ani \\(\\frac{1}{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Przez potęgi wymierne\nZapisujemy pierwiastki jako potęgi:\n\\[3\\sqrt{3} = 3\\cdot 3^{1/2} = 3^{3/2}.\\]\nStąd:\n\\[\\sqrt[3]{3\\sqrt{3}} = \\sqrt[3]{3^{3/2}} = (3^{3/2})^{1/3} = 3^{(3/2)\\cdot(1/3)} = 3^{1/2} = \\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Podnoszenie do sześcianu\nNiech \\(x = \\sqrt[3]{3\\sqrt{3}}\\). Wtedy \\(x^3 = 3\\sqrt{3}\\). Sprawdzamy \\(x = \\sqrt{3}\\):\n\\[(\\sqrt{3})^3 = (\\sqrt{3})^2\\cdot\\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}.\\ \\checkmark\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sqrt[6]{3}\\)** = \\(3^{1/6}\\) - za mała wartość; \\((3^{1/6})^3 = 3^{1/2} \\ne 3\\sqrt{3}\\).\n- **B. \\(\\sqrt[4]{3}\\)** = \\(3^{1/4}\\) - też za mała.\n- **C. \\(\\sqrt[3]{3}\\)** = \\(3^{1/3}\\) - \\((3^{1/3})^3 = 3 \\ne 3\\sqrt{3}\\).\n\n**Trik:** przy zagnieżdżonych pierwiastkach zawsze zamieniaj na potęgi wymierne i mnóż wykładniki.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nRówność (\n)\n2\n2 2\n17 12 2\na\njest prawdziwa dla\nA.\n3\na =\nB.\n1\na =\nC.\n2\na = -\nD.\n3\na = -","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje\nsię wzorami skróconego mnożenia: (a ± b)2\n(2.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(200\\,000\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nZauważamy, że mamy różnicę kwadratów dwóch liczb. Zamiast liczyć potęgi na piechotę (co dałoby ogromne liczby!), używamy wzoru skróconego mnożenia:\n\n\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 50001\\), \\(b = 49999\\):\n\n\\[50001^2 - 49999^2 = (50001 - 49999)(50001 + 49999)\\]\n\n\\[= 2 \\cdot 100000\\]\n\n\\[= \\mathbf{200\\,000}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie symetryczne\n\nMożemy zapisać obie liczby jako odchylenia od liczby środkowej \\(50000\\):\n\n\\[50001 = 50000 + 1, \\quad 49999 = 50000 - 1\\]\n\nOznaczamy \\(n = 50000\\), wtedy:\n\n\\[(n+1)^2 - (n-1)^2\\]\n\nRozwijamy każdy nawias ze wzoru \\((a \\pm b)^2 = a^2 \\pm 2ab + b^2\\):\n\n\\[(n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1)\\]\n\n\\[= n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1\\]\n\n\\[= 4n\\]\n\n\\[= 4 \\cdot 50000 = \\mathbf{200\\,000}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - świetna weryfikacja!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n\\[(a \\pm b)^2 = a^2 \\pm 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 przy rozwijaniu nawiasów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(2\\,000\\,000\\) | Pomyłka o rząd wielkości; np. błędne pomnożenie \\(2 \\cdot 1\\,000\\,000\\) zamiast \\(2 \\cdot 100\\,000\\) |\n| C - \\(20\\,000\\) | Pomyłka o rząd wielkości w drugą stronę; np. przyjęcie \\(a + b = 10\\,000\\) zamiast \\(100\\,000\\) |\n| D - \\(4\\) | Zapomniano o \\((a+b)\\) i wzięto tylko \\((a-b)^2 = 4\\), albo pomylono różnicę kwadratów z kwadratem różnicy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \\(50001^2\\) i \\(49999^2\\) oddzielnie - to ogromne liczby i łatwo o błąd arytmetyczny. Wzór na różnicę kwadratów pozwala ominąć całe to liczenie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić różnicę kwadratów \\(a^2 - b^2\\) z kwadratem różnicy \\((a-b)^2\\). To zupełnie różne wyrażenia - tu mamy \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\), a nie \\((a-b)^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dodawaniu \\(50001 + 49999\\) uważaj na wynik - to \\(100\\,000\\), a nie \\(10\\,000\\). Jeden zero robi różnicę całego rzędu wielkości!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)\n\\[50001^2 - 49999^2 = (50001 - 49999)(50001 + 49999) = 2\\cdot 100000 = 200\\,000.\\]\n\n### Sposób 2 - Z rozwinięcia dwumianów\nNiech \\(a = 50000\\). Wtedy:\n\\[50001^2 = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1,\\]\n\\[49999^2 = (a-1)^2 = a^2 - 2a + 1.\\]\nRóżnica: \\((a^2 + 2a + 1) - (a^2 - 2a + 1) = 4a = 4\\cdot 50000 = 200\\,000\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\,000\\,000\\)** - za duża wartość; błąd w mnożeniu.\n- **C. \\(20\\,000\\)** - za mała.\n- **D. \\(4\\)** - ktoś zrobił \\((a+1)^2 - (a-1)^2\\) dla \\(a=1\\).\n\n**Trik:** ZAWSZE stosuj \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) - to niesamowicie szybki sposób.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nJedną z liczb, które spełniają nierówność\n5\n3\n2\nx\nx\nx\n< -, jest\nA. 1\nB.\n1\nC. 2\nD.\n2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający oblicza\nwartość liczbową wyrażenia wymiernego dla\ndanej wartości zmiennej (2.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(-12\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia + szukanie minimum\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** wyrażenie \\((x-y)(x+y)\\) to wzór skróconego mnożenia:\n\\[(x-y)(x+y) = x^2 - y^2\\]\n\nTeraz zadanie sprowadza się do: znaleźć **najmniejszą wartość** \\(x^2 - y^2\\) dla \\(x, y \\in \\{2, 3, 4\\}\\).\n\nŻeby \\(x^2 - y^2\\) było jak najmniejsze (jak najbardziej ujemne), potrzebujemy:\n- **\\(x^2\\) jak najmniejsze** → \\(x = 2\\), bo \\(2^2 = 4\\)\n- **\\(y^2\\) jak największe** → \\(y = 4\\), bo \\(4^2 = 16\\)\n\nWynik:\n\\[x^2 - y^2 = 4 - 16 = \\mathbf{-12}\\]\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie wszystkich 9 kombinacji (brute force)\n\nZbiór \\(\\{2, 3, 4\\}\\) ma 3 elementy, więc możliwych par \\((x, y)\\) jest \\(3 \\times 3 = 9\\). Policzymy każdą:\n\n| \\(x\\) | \\(y\\) | \\(x^2 - y^2\\) |\n| 2 | 2 | \\(4 - 4 = 0\\) |\n| 2 | 3 | \\(4 - 9 = -5\\) |\n| **2** | **4** | \\(\\mathbf{4 - 16 = -12}\\) ← minimum |\n| 3 | 2 | \\(9 - 4 = 5\\) |\n| 3 | 3 | \\(9 - 9 = 0\\) |\n| 3 | 4 | \\(9 - 16 = -7\\) |\n| 4 | 2 | \\(16 - 4 = 12\\) |\n| 4 | 3 | \\(16 - 9 = 7\\) |\n| 4 | 4 | \\(16 - 16 = 0\\) |\n\nNajmniejsza wartość to \\(-12\\), osiągana dla \\(x = 2, y = 4\\). Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego wzoru \"od prawej do lewej\" - rozpoznaliśmy \\((x-y)(x+y)\\) jako \\(x^2 - y^2\\), co uprościło całe zadanie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(2\\) | Żadna z 9 par nie daje wartości \\(2\\). Prawdopodobnie uczeń pomylił \"najmniejsza wartość wyrażenia\" z \"najmniejsza liczba ze zbioru\" |\n| B - \\(-24\\) | Typowy błąd: uczeń liczy \\(\\min(x-y) \\cdot \\max(x+y)\\) **jako oddzielne minima/maxima**, nie z tej samej pary. \\(\\min(x-y) = 2-4 = -2\\), \\(\\max(x+y) = 4+4 = 8\\), wynik \\(-2 \\cdot 8 = -16\\). Albo jeszcze inny błąd arytmetyczny prowadzący do \\(-24\\) |\n| C - \\(0\\) | Wartość \\(0\\) jest osiągalna (np. \\(x = y = 3\\)), ale to nie jest **najmniejsza** wartość. Uczeń szuka zera zamiast minimum |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie stosuj wzoru skróconego mnożenia \"na odwrót\" - wielu uczniów liczy \\((x-y)(x+y)\\) bezpośrednio, mnożąc nawiasami. To działa, ale tracisz czas. Rozpoznanie \\(x^2 - y^2\\) od razu wskazuje strategię minimalizacji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Aby zminimalizować \\(x^2 - y^2\\), musisz wziąć **tę samą parę** \\((x, y)\\). Nie można brać \\(x = 2\\) z jednej kombinacji i \\(y = 4\\) z innej - obydwie zmienne muszą być z **jednej** pary \\((x, y)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \"najmniejsza\" z \"o wartości bezwzględnej najmniejszej\". Najmniejsza wartość to ta najbardziej ujemna, czyli \\(-12\\), a nie \\(0\\) (które jest bliżej zera).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Uproszczenie i analiza\n\\((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\\). Szukamy minimum dla \\(x, y \\in \\{2, 3, 4\\}\\). Wartość minimalna to minimalne \\(x^2\\) minus maksymalne \\(y^2\\):\n\\[\\min = 2^2 - 4^2 = 4 - 16 = -12.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie wszystkich możliwości\nDla każdej pary \\((x, y)\\):\n- najmniejsze \\(x^2 - y^2\\) gdy \\(x\\) jak najmniejsze, a \\(y\\) jak największe: \\(x=2, y=4\\) → \\(4 - 16 = -12\\).\n- Inne skrajne: \\((2, 3) \\to -5\\), \\((3, 4) \\to -7\\), \\((2, 2) \\to 0\\) itd.\n\nNajmniejsza wartość: \\(-12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - to wartość dodatnia, nie najmniejsza.\n- **B. \\(-24\\)** - za mała; wymagałoby \\(x=0, y=\\sqrt{24}\\) co nie jest w zbiorze.\n- **C. \\(0\\)** - wartość przy \\(x = y\\), ale nie najmniejsza.\n\n**Trik:** w wyrażeniach \\(x^2 - y^2\\) minimum osiąga się dla minimalnego \\(x^2\\) i maksymalnego \\(y^2\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nProste o równaniach 2\n3\n4\nx\ny\ni 5\n6\n7\nx\ny\nprzecinają się w punkcie P . Stąd wynika, że\nA.\n(\n)\n1,2\nP =\nB.\n(\n)\n1,2\nP = -\nC.\n(\n)\n1,\n2\nP = -\nD.\n(\n)\n1,\n2\nP =","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający interpretuje geometrycznie układ\ndwóch równań liniowych z dwiema\nniewiadomymi (8.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(-1\\)\n\n## Sposób 1 - własność logarytmu iloczynu\n\nKluczowa własność: logarytmy o tej samej podstawie możemy **dodać**, zamieniając sumę na logarytm iloczynu:\n\\[\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\]\n\nStosujemy:\n\\[\\log_{3}\\frac{3}{2} + \\log_{3}\\frac{2}{9} = \\log_{3}\\left(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9}\\right)\\]\n\nMnożymy ułamki:\n\\[\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9} = \\frac{3 \\cdot 2}{2 \\cdot 9} = \\frac{6}{18} = \\frac{1}{3}\\]\n\nZatem:\n\\[\\log_{3}\\frac{1}{3} = \\log_{3} 3^{-1} = -1\\]\n\n**Odpowiedź: \\(-1\\)**, czyli opcja A.\n\n## Sposób 2 - rozbicie każdego logarytmu osobno\n\nKażdy logarytm ilorazu rozbijamy wzorem \\(\\log_a\\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y\\):\n\n\\[\\log_{3}\\frac{3}{2} = \\log_{3}3 - \\log_{3}2 = 1 - \\log_{3}2\\]\n\n\\[\\log_{3}\\frac{2}{9} = \\log_{3}2 - \\log_{3}9 = \\log_{3}2 - \\log_{3}3^2 = \\log_{3}2 - 2\\]\n\nDodajemy:\n\\[(1 - \\log_{3}2) + (\\log_{3}2 - 2) = 1 - \\log_{3}2 + \\log_{3}2 - 2 = 1 - 2 = -1\\]\n\nCzłony \\(\\log_{3}2\\) znoszą się wzajemnie - **wynik: \\(-1\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nWłasność logarytmu iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\n\nWłasność logarytmu ilorazu:\n\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\n\nWłasność logarytmu potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\n\nUżyliśmy pierwszej własności w Sposobie 1 (suma → iloczyn), a drugiej i trzeciej w Sposobie 2 (rozbicie ilorazów + \\(\\log_3 3^2 = 2\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B (\\(-2\\)) | Obliczono tylko \\(\\log_3\\frac{2}{9} = -2\\) i zignorowano pierwszy składnik, lub przy dodawaniu logarytmów pomnożono zamiast wymnożyć argumenty: \\(\\frac{3}{2} + \\frac{2}{9} \\approx \\frac{31}{18}\\), a potem błędnie uproszczono do \\(-2\\) |\n| C (\\(\\log_3\\frac{5}{11}\\)) | Błąd polegający na **dodaniu mianowników i liczników** zamiast mnożenia: \\(\\frac{3+2}{2+9} = \\frac{5}{11}\\) - to nie jest własność logarytmów! |\n| D (\\(\\log_3\\frac{31}{18}\\)) | Błąd polegający na **dodaniu ułamków** jako argumentów zamiast ich mnożenia: \\(\\frac{3}{2} + \\frac{2}{9} = \\frac{27}{18} + \\frac{4}{18} = \\frac{31}{18}\\) - to błąd zamiany sumy logarytmów na logarytm sumy |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\), **NIE** \\(\\log_a(x + y)\\). Suma logarytmów to logarytm **iloczynu** - to najczęstszy błąd w tym typie zadań!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\log_3 3^{-1} = -1\\) - potęga wychodzi przed logarytm. Wynik może być liczbą całkowitą nawet gdy argumenty wyglądają skomplikowanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozbijaniu \\(\\log_3\\frac{2}{9}\\) trzeba zauważyć, że \\(9 = 3^2\\), więc \\(\\log_3 9 = 2\\). Nie warto liczyć \\(\\log_3 9\\) \"na czuja\" - sprawdź, czy mianownik/licznik jest potęgą podstawy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Prawo logarytmu sumy\nWzór: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(xy)\\).\n\\[\\log_3\\dfrac{3}{2} + \\log_3\\dfrac{2}{9} = \\log_3\\left(\\dfrac{3}{2}\\cdot\\dfrac{2}{9}\\right) = \\log_3\\dfrac{6}{18} = \\log_3\\dfrac{1}{3} = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozłożenie na części\n\\[\\log_3\\dfrac{3}{2} = \\log_3 3 - \\log_3 2 = 1 - \\log_3 2,\\]\n\\[\\log_3\\dfrac{2}{9} = \\log_3 2 - \\log_3 9 = \\log_3 2 - 2.\\]\nSuma: \\((1 - \\log_3 2) + (\\log_3 2 - 2) = 1 - 2 = -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-2\\)** - ktoś błędnie odjął zamiast dodać, lub wziął \\(\\log_3 9 = 2\\).\n- **C. \\(\\log_3\\tfrac{5}{11}\\)** - ktoś dodał liczniki i mianowniki (typowy błąd).\n- **D. \\(\\log_3\\tfrac{31}{18}\\)** - ktoś dodał ułamki jak \\(\\tfrac{3}{2} + \\tfrac{2}{9} = \\tfrac{31}{18}\\) zamiast mnożyć argumenty.\n\n**Pamiętaj:** dodawanie logarytmów → **mnożenie** argumentów.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nPunkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek).\nMiara kąta BDC jest równa\nA.\n°\n91\nB.\n°\n5,\n72\nC.\n°\n18\nD.\n°\n32\nD\nA\nB\nC\nS\n27°\n?\n118°\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków\nmiędzy kątem środkowym, kątem wpisanym\ni kątem między styczną a cięciwą okręgu\n(7.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(g(x) = 2x + 2\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór analityczny f, potem symetria środkowa\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wzór funkcji \\(f\\).**\n\nMamy \\(f(0) = -2\\) i \\(f(1) = 0\\), czyli funkcja przechodzi przez punkty \\((0, -2)\\) i \\((1, 0)\\).\n\nWyraz wolny to \\(b = -2\\) (bo \\(f(0) = -2\\)).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \\frac{0 - (-2)}{1} = 2\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = 2x - 2\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(g\\) z warunku symetrii względem początku układu.**\n\nSymetria względem początku układu współrzędnych (symetria środkowa ze środkiem \\((0,0)\\)) oznacza: jeśli punkt \\((x, y)\\) leży na wykresie \\(f\\), to punkt \\((-x, -y)\\) leży na wykresie \\(g\\).\n\nNiech \\((u, v)\\) będzie dowolnym punktem na \\(g\\). Wtedy \\((-u, -v)\\) leży na \\(f\\):\n\\[-v = f(-u) = 2(-u) - 2 = -2u - 2\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\):\n\\[v = 2u + 2\\]\n\nZatem: \\(\\boxed{g(x) = 2x + 2}\\)\n\n## Sposób 2 - Symetria punktów na wykresie\n\n**Krok 1: Bierzemy dwa konkretne punkty z wykresu \\(f\\).**\n\n\\((0,\\ -2)\\) i \\((1,\\ 0)\\) (dane wprost z treści).\n\n**Krok 2: Wyznaczamy odpowiadające im punkty na \\(g\\).**\n\nSymetria środkowa: \\((x, y) \\mapsto (-x, -y)\\):\n\n| Punkt na \\(f\\) | Punkt na \\(g\\) |\n| \\((0,\\ -2)\\) | \\((0,\\ 2)\\) |\n| \\((1,\\ 0)\\) | \\((-1,\\ 0)\\) |\n\n**Krok 3: Wyznaczamy prostą \\(g\\) przez punkty \\((0,\\ 2)\\) i \\((-1,\\ 0)\\).**\n\nWyraz wolny: \\(b = 2\\) (bo \\(g(0) = 2\\)).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{2 - 0}{0 - (-1)} = \\frac{2}{1} = 2\\]\n\n\\[g(x) = 2x + 2 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f\\) na podstawie dwóch punktów oraz do odczytania wzoru \\(g\\).\n\nW tym zadaniu nie potrzebujemy bardziej zaawansowanych wzorów - wystarczy definicja symetrii środkowej i wyznaczenie prostej przez dwa punkty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\(g(x) = 2x - 2\\) | Uczeń **nie wykonuje symetrii** - przepisuje \\(f\\) bez zmian. To po prostu \\(f(x)\\) samo w sobie. |\n| **C** \\(g(x) = -2x + 2\\) | Uczeń myli symetrię względem **początku układu** z symetrią względem **osi \\(y\\)**. Symetria względem osi \\(y\\) daje \\(g(x) = f(-x) = 2(-x) - 2 = -2x - 2\\) i jeszcze raz myli znak wyrazu wolnego. |\n| **D** \\(g(x) = -2x - 2\\) | Uczeń stosuje symetrię względem **osi \\(x\\)** zamiast początku: \\(g(x) = -f(x) = -(2x-2) = -2x + 2\\) - też błąd, ale ten wariant to wynik kolejnego błędu w znakach. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem **początku układu** \\(\\neq\\) symetria względem **osi \\(x\\)** lub **osi \\(y\\)**. Symetria środkowa zmienia znak **obu** współrzędnych: \\((x, y) \\to (-x, -y)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że punkt \\((0, -2)\\) przechodzi w \\((0, 2)\\) - zero zmienia znak \\(y\\), ale \\(x\\) zostaje zerem. Wyraz wolny **zmienia znak**!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej **nie zmienia się** przy tej symetrii (bo zarówno \\(x\\) jak i \\(y\\) zmieniają znak, a \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{-\\Delta y}{-\\Delta x}\\) - wartość ta sama). Zmienia się **tylko wyraz wolny**.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór funkcji \\(f\\) i symetria\nFunkcja \\(f\\): punkty \\((0,-2)\\) i \\((1,0)\\). Współczynnik kierunkowy: \\(a = \\tfrac{0-(-2)}{1-0} = 2\\). Wyraz wolny: \\(b = -2\\). Zatem \\(f(x) = 2x - 2\\).\n\nSymetria względem \\((0,0)\\): punkt \\((x,y)\\) przechodzi na \\((-x,-y)\\). Wykres \\(g\\) powstaje przez tę symetrię:\n\\[g(x) = -f(-x) = -(2(-x) - 2) = -(-2x - 2) = 2x + 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez punkty symetryczne\nPunkty wykresu \\(f\\): \\((0,-2)\\) i \\((1,0)\\). Symetryczne: \\((0,2)\\) i \\((-1,0)\\).\nProsta przez \\((0,2)\\) i \\((-1,0)\\): współczynnik kierunkowy \\(\\tfrac{0-2}{-1-0} = 2\\), wyraz wolny 2. Czyli \\(g(x) = 2x + 2\\).\n\n### Sposób 3 - Własność symetrii funkcji\nSymetria prostej \\(y = ax + b\\) względem początku daje \\(y = ax - b\\) nie, jest inaczej: każdy punkt \\((x,y)\\) ma obraz \\((-x,-y)\\). Jeśli \\(y = 2x - 2\\), to po symetrii \\(-y = 2(-x) - 2\\), czyli \\(y = 2x + 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(2x-2\\)** - to sam wzór \\(f\\), bez zmiany.\n- **C. \\(-2x+2\\)** - to symetria względem osi \\(x\\), nie początku.\n- **D. \\(-2x-2\\)** - to symetria względem osi \\(y\\) (po zmianie znaku \\(x\\)).\n\n**Pamiętaj:** symetria względem \\((0,0)\\) zmienia znak i \\(x\\), i \\(y\\); w funkcji liniowej to oznacza zmianę wyrazu wolnego na przeciwny (a nachylenia się nie zmienia).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nDana jest funkcja liniowa\n( )\n3\n6\n4\nf x\nx\n. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba\nA. 8\nB. 6\nC.\n6\nD.\n8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\ninterpretację współczynników we wzorze\nfunkcji liniowej (4.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(-3\\))\n\n## Sposób 1 - wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\nMamy dane:\n- \\(a_1 = 8\\)\n- \\(a_4 = -216\\)\n- Szukamy: iloraz \\(q\\)\n\n**Krok 1.** Zapiszemy wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3\\]\n\\[-216 = 8 \\cdot q^3\\]\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy \\(q^3\\):\n\\[q^3 = \\frac{-216}{8} = -27\\]\n\n**Krok 4.** Wyciągamy pierwiastek sześcienny:\n\\[q = \\sqrt[3]{-27} = -3\\]\n\n**Zatem iloraz ciągu wynosi \\(q = -3\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie wyrazów\n\nSprawdźmy, czy przy \\(q = -3\\) kolejne wyrazy ciągu rzeczywiście dają \\(a_4 = -216\\):\n\n\\[a_1 = 8\\]\n\\[a_2 = 8 \\cdot (-3) = -24\\]\n\\[a_3 = -24 \\cdot (-3) = 72\\]\n\\[a_4 = 72 \\cdot (-3) = -216 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **\\(q = -3\\) jest poprawny**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(n = 4\\), by otrzymać równanie na \\(q\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\left(-\\frac{224}{3}\\right)\\) | Wynik liczenia \\(q = \\frac{a_4 - a_1}{3} = \\frac{-216-8}{3}\\) - uczniowie mylą iloraz z różnicą (jak w ciągu **arytmetycznym**!) |\n| C \\((-9)\\) | Wynik z pomylenia wykładnika: \\(q^2 = \\frac{-216}{8}\\) zamiast \\(q^3\\) - wzięto \\(a_3 = a_1 \\cdot q^2\\) zamiast \\(a_4 = a_1 \\cdot q^3\\) |\n| D \\((-27)\\) | To wartość \\(q^3\\), a nie \\(q\\) - uczeń zapomniał wyciągnąć pierwiastek sześcienny |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wzór na \\(n\\)-ty wyraz - czwarty wyraz to \\(a_1 \\cdot q^{\\mathbf{3}}\\), nie \\(q^4\\)! Wykładnik to zawsze \\(n - 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej **istnieje** i jest ujemny: \\(\\sqrt[3]{-27} = -3\\). To nie jest pierwiastek parzysty, więc ujemna podstawa jest dozwolona.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić ciągu geometrycznego (mnożymy przez iloraz \\(q\\)) z arytmetycznym (dodajemy różnicę \\(r\\)). Przy geometrycznym nie odejmujemy wyrazów!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu geometrycznego\nW ciągu geometrycznym \\(a_{n} = a_{1}\\cdot q^{n-1}\\). Dla \\(n=4\\):\n\\[a_{4} = a_{1}\\cdot q^{3} \\Rightarrow -216 = 8\\cdot q^{3} \\Rightarrow q^{3} = -27 \\Rightarrow q = -3.\\]\n\n### Sposób 2 - Podzielenie równań\n\\[\\dfrac{a_{4}}{a_{1}} = q^{3} \\Rightarrow \\dfrac{-216}{8} = q^{3} \\Rightarrow q^{3} = -27.\\]\nPierwiastek sześcienny z \\(-27\\) to \\(-3\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie kolejnych wyrazów\nPrzy \\(q = -3\\): \\(a_{1} = 8, a_{2} = -24, a_{3} = 72, a_{4} = -216\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{224}{3}\\)** - ktoś obliczył \\((\\text{różnica})/3 = -224/3\\); pomylony z ciągiem arytmetycznym.\n- **C. \\(-9\\)** - pomylone \\(q^{2}\\) z \\(q^{3}\\).\n- **D. \\(-27\\)** - sama wartość \\(q^{3}\\), nie \\(q\\).\n\n**Pamiętaj:** iloraz \\(q = \\sqrt[n-1]{\\tfrac{a_{n}}{a_{1}}}\\). Tutaj pierwiastek sześcienny z \\(\\tfrac{-216}{8}=-27\\) to \\(-3\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nRównanie wymierne 3\n1\n3\n5\nx\nx\n, gdzie\n5\nx ≠-,\nA. nie ma rozwiązań rzeczywistych.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.\nD. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.\nInformacja do zadań 10. i 11.\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f.\nWierzchołkiem tej paraboli jest punkt\n(\n)\n1,9\nW =\n. Liczby 2\ni 4 to miejsca zerowe funkcji f.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych, np.\n1\n2\n3\nx\nx\n,\n1\n2\nx\nx\nx\n(3.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{1}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\nZnamy \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\). Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\).\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy znane \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\frac{16}{25} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{16}{25} = \\frac{9}{25}\\]\n\nPonieważ kąt jest ostry, \\(\\cos\\alpha > 0\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{9}{25}} = \\frac{3}{5}\\]\n\nTeraz obliczamy szukane wyrażenie:\n\\[\\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} - \\frac{3}{5} = \\boxed{\\frac{1}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Interpretacja geometryczna (trójkąt prostokątny)\n\nSkoro \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\), to w trójkącie prostokątnym:\n- przeciwprostokątna = \\(5\\)\n- przyprostokątna naprzeciwko \\(\\alpha\\) = \\(4\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa: druga przyprostokątna = \\(\\sqrt{5^2 - 4^2} = \\sqrt{25 - 16} = \\sqrt{9} = 3\\).\n\nStąd:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\]\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} - \\frac{3}{5} = \\frac{1}{5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) na podstawie \\(\\sin\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń liczy \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\) poprawnie, ale zamiast odejmowania robi **dodawanie**: \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\frac{7}{5}\\) - to nie pasuje do żadnej opcji, więc czasem „ratuje się\" biorąc samo \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\) jako odpowiedź |\n| C | Uczeń oblicza \\((\\sin\\alpha - \\cos\\alpha)^2 = \\frac{1}{25}\\), ale zamiast pierwiastkować - **zapomina o pierwiastku** i podaje \\(\\frac{1}{25}\\) jako wynik i miesza z odpowiedzią D. Albo oblicza \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha = \\frac{16}{25} - \\frac{9}{25} = \\frac{7}{25}\\) i dalej się gubi |\n| D | Uczeń poprawnie liczy \\((\\sin\\alpha - \\cos\\alpha)^2\\): \\[\\left(\\frac{4}{5} - \\frac{3}{5}\\right)^2 = \\left(\\frac{1}{5}\\right)^2 = \\frac{1}{25}\\] ale **zatrzymuje się za wcześnie** - bierze wynik kwadratu zamiast samej różnicy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy kąt jest ostry, rozwarty czy zwykły - to decyduje o **znaku** \\(\\cos\\alpha\\). Dla kąta ostrego \\(\\cos\\alpha > 0\\), dla rozwartego \\(\\cos\\alpha < 0\\). Tu α jest ostry, więc bierzemy \\(+\\frac{3}{5}\\), nie \\(-\\frac{3}{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(\\sin\\alpha - \\cos\\alpha\\) z \\((\\sin\\alpha - \\cos\\alpha)^2\\). Odpowiedź D (\\(\\frac{1}{25}\\)) to właśnie wynik po podniesieniu do kwadratu - klasyczna pułapka maturalna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) daje \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\). Pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka **i sprawdzeniu znaku**!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów)\nWzór: \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\). Obliczamy \\(\\cos\\alpha\\):\n\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\tfrac{16}{25} = \\tfrac{9}{25}.\\]\n\\(\\alpha\\) ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\): \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\).\nStąd \\(\\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\tfrac{4}{5} - \\tfrac{3}{5} = \\tfrac{1}{5}\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt pitagorejski 3-4-5\n\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\) odpowiada trójkątowi prostokątnemu o przyprostokątnych 3 i 4 oraz przeciwprostokątnej 5 (przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\) = 4, przyległa = 3). Więc \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\). Różnica: \\(\\tfrac{4-3}{5} = \\tfrac{1}{5}\\).\n\n### Sposób 3 - Z definicji funkcji trygonometrycznych\nW trójkącie prostokątnym: przeciwna = 4, przyległa = \\(\\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3\\). Więc \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{3}{5}\\)** - to sam \\(\\cos\\alpha\\), nie różnica.\n- **C. \\(\\tfrac{17}{25}\\)** - to \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha\\) w złym zapisie, lub mieszanie.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{25}\\)** - to kwadrat różnicy \\((\\tfrac{1}{5})^{2}\\), niepoprawnie.\n\n**Trik:** przy \\(\\sin = \\tfrac{a}{c}\\), od razu myśl o trójkącie z bokiem \\(b = \\sqrt{c^{2}-a^{2}}\\), wtedy \\(\\cos = \\tfrac{b}{c}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nZbiorem wartości funkcji f jest przedział\nA. (\n, 2\n-∞-\nB.\n2, 4\nC.\n)\n4,+∞\nD. (\n,9\n-∞","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nfunkcji zbiór wartości (4.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n## Sposób 1 - Warunek na brak miejsc zerowych (wyróżnik)\n\nFunkcja kwadratowa **nie ma miejsc zerowych** wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik jest **ujemny**.\n\nDla \\(f(x) = x^2 + 2x + 3a\\) mamy współczynniki:\n\\[a_{\\text{wsp}} = 1, \\quad b = 2, \\quad c = 3a\\]\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4a_{\\text{wsp}} \\cdot c = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3a = 4 - 12a\\]\n\nWarunek braku miejsc zerowych: \\(\\Delta < 0\\)\n\\[4 - 12a < 0\\]\n\\[-12a < -4\\]\n\\[a > \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Zatem \\(a > \\dfrac{1}{3}\\), co odpowiada odpowiedzi D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez postać kanoniczną\n\nPrzepiszemy \\(f(x)\\) do postaci kanonicznej przez uzupełnienie do pełnego kwadratu.\n\n\\[f(x) = x^2 + 2x + 3a = (x+1)^2 - 1 + 3a\\]\n\nWierzchołek paraboli to \\(W = (-1,\\ 3a - 1)\\).\n\nParabola ma ramiona skierowane **ku górze** (bo \\(a_{\\text{wsp}} = 1 > 0\\)), więc **nie ma miejsc zerowych** wtedy i tylko wtedy, gdy cały wykres leży **powyżej osi OX**, czyli wartość minimalna jest dodatnia:\n\n\\[3a - 1 > 0\\]\n\\[3a > 1\\]\n\\[a > \\frac{1}{3}\\]\n\nTen sam wynik - **\\(a > \\dfrac{1}{3}\\)**, odpowiedź D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik trójmianu kwadratowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 - brak miejsc zerowych ⟺ \\(\\Delta < 0\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 - minimalna wartość funkcji to \\(q = 3a - 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń odwraca nierówność \\(\\Delta < 0\\): mylnie zapisuje \\(4 - 12a < 0\\) jako \\(a < \\frac{1}{3}\\), a potem jeszcze raz myli znak - wychodzi \\(a < -1\\). Podwójny błąd daje złudzenie pewności. |\n| B | Uczeń źle identyfikuje współczynnik \\(c\\): bierze \\(c = a\\) zamiast \\(c = 3a\\), przez co liczy \\(\\Delta = 4 - 4a < 0\\) i dostaje \\(a > 1\\), a następnie mylnie odczytuje którąś granicę z listy. |\n| C | Uczeń stosuje warunek **istnienia** miejsc zerowych (\\(\\Delta \\geq 0\\)) zamiast **braku** (\\(\\Delta < 0\\)), a następnie bierze tylko fragment przedziału. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parametr funkcji to \\(a\\), a współczynnik przy \\(x^2\\) też zwyczajowo nazywamy \\(a\\) - tu to dwie **różne** litery! W tym zadaniu współczynnik wiodący wynosi \\(1\\), a \\(a\\) to parametr w wyrazie wolnym \\(3a\\). Nie wstawiaj \\(a\\) ze wzoru \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\) jako parametru z zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Brak miejsc zerowych to \\(\\Delta < 0\\) (ostry znak!). Gdy \\(\\Delta = 0\\) jest **jedno** miejsce zerowe - ten przypadek wyklucza treść zadania (\"ani jednego\"). Nie pomyl z \\(\\Delta \\leq 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną (\\(-12\\)) odwracamy znak nierówności. Tutaj \\(-12a < -4 \\Rightarrow a > \\frac{1}{3}\\) - **nie** \\(a < \\frac{1}{3}\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik trójmianu (karta wzorów)\nFunkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych \\(\\iff \\Delta < 0\\).\nDla \\(f(x) = x^{2} + 2x + 3a\\): \\(a=1, b=2, c=3a\\), więc\n\\[\\Delta = b^{2} - 4ac = 4 - 4\\cdot 1\\cdot 3a = 4 - 12a.\\]\nWarunek: \\(4 - 12a < 0 \\iff 12a > 4 \\iff a > \\tfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[f(x) = (x+1)^{2} - 1 + 3a.\\]\nWierzchołek: \\(y_{w} = 3a - 1\\). Parabola ramionami w górę. Brak miejsc zerowych \\(\\iff y_{w} > 0\\):\n\\[3a - 1 > 0 \\iff a > \\tfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 3 - Rozwiązanie równania\n\\(x^{2} + 2x + 3a = 0 \\iff x = \\tfrac{-2\\pm\\sqrt{4 - 12a}}{2}\\). Pierwiastek rzeczywisty istnieje tylko gdy \\(4 - 12a \\geq 0\\), czyli \\(a \\leq \\tfrac{1}{3}\\). Brak pierwiastków: \\(a > \\tfrac{1}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a<-1\\)** - w tym zakresie \\(\\Delta = 4-12a > 0\\), więc są dwa miejsca zerowe.\n- **B. \\(-1\\leq a<0\\)** - to samo: \\(\\Delta > 0\\).\n- **C. \\(0\\leq a<\\tfrac{1}{3}\\)** - \\(\\Delta > 0\\) (bo \\(a<\\tfrac{1}{3}\\)), więc są miejsca zerowe.\n\n**Pamiętaj:** brak miejsc zerowych \\(\\iff \\Delta < 0\\); jedno miejsce: \\(\\Delta = 0\\); dwa: \\(\\Delta > 0\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nNajmniejsza wartość funkcji f w przedziale\n1,2\njest równa\nA. 2\nB. 5\nC. 8\nD. 9\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wartość\nnajmniejszą i wartość największą funkcji\nkwadratowej w przedziale domkniętym (4.k).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a_2 = 7\\)\n\n## Sposób 1 - różnica kolejnych sum\n\nKażdy wyraz ciągu (poza pierwszym) można wyznaczyć jako różnicę sum:\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\n\nMamy \\(S_n = 2n^2 + n\\), więc:\n\\[S_2 = 2 \\cdot 4 + 2 = 10\\]\n\\[S_1 = 2 \\cdot 1 + 1 = 3\\]\n\nZatem:\n\\[a_2 = S_2 - S_1 = 10 - 3 = \\mathbf{7}\\]\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie wzoru ogólnego \\(a_n\\)\n\nZ wzoru \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) (dla \\(n \\geq 2\\)) wyznaczamy ogólny wzór:\n\\[a_n = (2n^2 + n) - (2(n-1)^2 + (n-1))\\]\n\\[= 2n^2 + n - 2(n^2 - 2n + 1) - n + 1\\]\n\\[= 2n^2 + n - 2n^2 + 4n - 2 - n + 1\\]\n\\[= 4n - 1\\]\n\nSprawdzamy: \\(a_2 = 4 \\cdot 2 - 1 = \\mathbf{7}\\) ✓\n\n**Weryfikacja ciągu arytmetycznego:** różnica \\(r = a_{n+1} - a_n = (4(n+1)-1) - (4n-1) = 4\\), stała - to rzeczywiście ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 4\\).\n\nElementy: \\(a_1 = S_1 = 3\\), \\(a_2 = 7\\), \\(a_3 = 11\\), \\(\\ldots\\) - różnica wynosi 4. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyliśmy odwrotnie - mając \\(S_n\\), odczytaliśmy poszczególne wyrazy przez różnicę \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(3\\) | Uczeń oblicza \\(S_1 = a_1 = 3\\) i myśli, że to jest \\(a_2\\). Myli indeks wyrazu z numerem sumy. |\n| B - \\(6\\) | Uczeń wstawia \\(n = 2\\) do wzoru \\(S_n\\) i uznaje \\(S_2 = 10\\), po czym dzieli przez 2: \\(\\frac{10}{2} = 5\\) lub liczy błędnie \\(S_2 - S_1 = 10 - 4 = 6\\) (zły wynik \\(S_1\\)). |\n| D - \\(10\\) | Uczeń utożsamia \\(a_2\\) z \\(S_2 = 10\\) - bierze sumę dwóch wyrazów zamiast samego drugiego wyrazu. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(S_n\\) to suma **pierwszych** \\(n\\) wyrazów, a **nie** \\(n\\)-ty wyraz! \\(a_2 \\neq S_2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa dla \\(n \\geq 2\\). Pierwszy wyraz liczymy oddzielnie: \\(a_1 = S_1\\). W tym zadaniu: \\(a_1 = S_1 = 3\\), a \\(4 \\cdot 1 - 1 = 3\\) - wzór ogólny akurat pasuje też dla \\(n = 1\\), ale nie zawsze tak jest!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro znamy wzór ogólny \\(a_n = 4n - 1\\), warto sprawdzić, że różnica ciągu jest stała (tutaj \\(r = 4\\)) - to potwierdza, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Różnica sum kolejnych\n\\(a_{2} = S_{2} - S_{1}\\):\n\\[S_{1} = 2\\cdot 1 + 1 = 3, \\quad S_{2} = 2\\cdot 4 + 2 = 10.\\]\n\\[a_{2} = 10 - 3 = 7.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie ciągu\n\\(S_{n} = 2n^{2} + n\\) odpowiada ciągowi arytmetycznemu. Ze wzoru \\(S_{n} = \\tfrac{n(2a_{1}+(n-1)r)}{2}\\):\nporównujemy: \\(2n^{2}+n = \\tfrac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)r) = \\tfrac{2a_{1}n + n^{2}r - nr}{2}\\). \\(n^{2}\\)-współczynnik: \\(\\tfrac{r}{2} = 2\\Rightarrow r=4\\). \\(n\\)-współczynnik: \\(a_{1} - \\tfrac{r}{2} = 1\\Rightarrow a_{1} = 3\\). \\(a_{2} = a_{1}+r = 3+4 = 7\\).\n\n### Sposób 3 - Obliczenie \\(a_{1}\\) i sprawdzenie\n\\(a_{1} = S_{1} = 3\\). \\(S_{2} = a_{1}+a_{2} = 10\\), stąd \\(a_{2} = 7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - to \\(a_{1} = S_{1}\\), nie \\(a_{2}\\).\n- **B. \\(6\\)** - błąd, być może \\(2\\cdot 3\\) lub \\(S_{2}/2\\).\n- **D. \\(10\\)** - to \\(S_{2}\\), suma, nie pojedynczy wyraz.\n\n**Pamiętaj:** \\(a_{n} = S_{n} - S_{n-1}\\) dla \\(n\\geq 2\\), \\(a_{1} = S_{1}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nFunkcja f określona jest wzorem\n( )\n3\n6\n2\n1\nx\nf x\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy\n(\n)\n3 3\nf -\njest równa\nA.\n3 9\n2\nB.\n3\n5\nC. 3\n5\nD.\n3 3\n2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość\nfunkcji dla danego argumentu (4.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie drugiego równania\n\nPatrzymy na oba równania i sprawdzamy, czy jedno jest wielokrotnością drugiego.\n\nPierwsze równanie:\n\\[2x - 3y = 5\\]\n\nDrugie równanie:\n\\[-4x + 6y = -10\\]\n\n**Mnożymy pierwsze równanie przez \\((-2)\\):**\n\\[(-2) \\cdot (2x - 3y) = (-2) \\cdot 5\\]\n\\[-4x + 6y = -10\\]\n\nTo jest **dokładnie drugie równanie!**\n\nOba równania opisują **tę samą prostą** na płaszczyźnie. Każda para \\((x, y)\\) spełniająca pierwsze równanie, spełnia też drugie - i odwrotnie.\n\n**Zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań** - każdy punkt leżący na prostej \\(2x - 3y = 5\\) jest rozwiązaniem.\n\n## Sposób 2 - Metoda wyznacznika (analiza współczynników)\n\nUkład dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:\n\\[\\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\\\ a_2 x + b_2 y = c_2 \\end{cases}\\]\n\nSprawdzamy stosunek współczynników:\n\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{2}{-4} = -\\frac{1}{2}\\]\n\\[\\frac{b_1}{b_2} = \\frac{-3}{6} = -\\frac{1}{2}\\]\n\\[\\frac{c_1}{c_2} = \\frac{5}{-10} = -\\frac{1}{2}\\]\n\nWszystkie trzy stosunki są **równe** \\(\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\):\n\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} = \\frac{c_1}{c_2}\\]\n\nTo oznacza, że równania są **proporcjonalne** - opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n*(Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} \\neq \\frac{c_1}{c_2}\\) - brak rozwiązań. Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} \\neq \\frac{b_1}{b_2}\\) - dokładnie jedno rozwiązanie.)*\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość własności układów równań liniowych i podstawowych działań algebraicznych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń widzi \"inne\" równanie (inne znaki) i myśli, że proste są równoległe - nie sprawdził wyrazów wolnych. Brak rozwiązań zachodzi gdy \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} \\neq \\frac{c_1}{c_2}\\). |\n| B | Uczeń mechanicznie \"dodaje/odejmuje\" równania i nie zauważa, że wynik to \\(0 = 0\\), interpretując to błędnie jako \"znalazł rozwiązanie\". |\n| C | Dwa rozwiązania układ liniowy (proste na płaszczyźnie) **nigdy nie może mieć** - dwie różne proste przecinają się co najwyżej w jednym punkcie lub są równoległe/tożsame. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dodajesz lub odejmujesz równania i wychodzi \\(0 = 0\\) - to sygnał nieskończenie wielu rozwiązań, **nie błąd w obliczeniach!** Wielu uczniów myśli, że coś poszło nie tak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myj się znakami - drugie równanie ma same znaki przeciwne do pierwszego. To nie znaczy, że proste są różne! Sprawdź stosunki wszystkich trzech współczynników (łącznie z wyrazem wolnym).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (dwa rozwiązania) jest zawsze pułapką przy układach liniowych - geometrycznie dwie proste na płaszczyźnie **nie mogą** przeciąć się w dokładnie dwóch punktach.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Porównanie równań\nPomnóżmy pierwsze równanie przez \\(-2\\):\n\\[-2(2x-3y) = -2\\cdot 5 \\Rightarrow -4x + 6y = -10.\\]\nTo jest **dokładnie** drugie równanie. Oba równania są równoważne - opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n### Sposób 2 - Wyznacznik układu\nDla układu \\(\\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\\\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\\end{cases}\\): \\(a_{1}=2, b_{1}=-3, c_{1}=5\\), \\(a_{2}=-4, b_{2}=6, c_{2}=-10\\).\n\\[\\dfrac{a_{1}}{a_{2}} = \\dfrac{2}{-4} = -\\tfrac{1}{2}, \\quad \\dfrac{b_{1}}{b_{2}} = \\dfrac{-3}{6} = -\\tfrac{1}{2}, \\quad \\dfrac{c_{1}}{c_{2}} = \\dfrac{5}{-10} = -\\tfrac{1}{2}.\\]\nWszystkie trzy stosunki równe - **układ nieoznaczony** (nieskończenie wiele rozwiązań).\n\n### Sposób 3 - Interpretacja geometryczna\nOba równania opisują proste na płaszczyźnie. Jeśli równania są proporcjonalne (tak jak tutaj), proste pokrywają się - nieskończenie wiele punktów wspólnych.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. Nie ma rozwiązań** - byłoby tak, gdyby proste były równoległe (ten sam stosunek \\(a\\) i \\(b\\), ale różny stosunek \\(c\\)).\n- **B. Jedno rozwiązanie** - byłoby tak, gdyby \\(\\tfrac{a_{1}}{a_{2}} \\ne \\tfrac{b_{1}}{b_{2}}\\).\n- **C. Dwa rozwiązania** - układ liniowy nie może mieć dokładnie dwóch rozwiązań; tylko 0, 1 lub nieskończenie wiele.\n\n**Pamiętaj:** dwa równania liniowe - jeśli jedno jest wielokrotnością drugiego z tym samym stosunkiem po prawej stronie - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nW okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem\nAS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu\nS od cięciwy AB jest liczbą z przedziału\nA. 9 11\n,\n2\n2\nB.\n11 13\n,\n2\n2\n\n\nC. 13 19\n,\n2\n2\n\n\nD.\n19 37\n,\n2\n2\n\n","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich, także\nz zastosowaniem trygonometrii (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(-2\\)\n\n## Sposób 1 - Krok po kroku (definicja wartości bezwzględnej)\n\n**Liczymy licznik:** wyrażenie pod wartością bezwzględną to \\(3 - 9 = -6\\).\n\nPonieważ \\(-6 < 0\\), wartość bezwzględna zamienia znak na przeciwny:\n\\[|3 - 9| = |-6| = 6\\]\n\n**Liczymy cały ułamek:**\n\\[\\frac{|3-9|}{-3} = \\frac{6}{-3} = -2\\]\n\n**Wynik: \\(-2\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(\\frac{6}{-3} = -2\\):\n\\[-2 \\cdot (-3) = 6 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź **B** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\nUżyliśmy jej, żeby obliczyć \\(|-6| = 6\\) (bo \\(-6 < 0\\), więc bierzemy \\(-(-6) = 6\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(2\\) | Zapomniano o minusie w mianowniku - policzono \\(\\frac{6}{3} = 2\\) zamiast \\(\\frac{6}{-3}\\) |\n| C: \\(0\\) | Błędne obliczenie \\(|3-9|\\) - np. wzięto \\(|3| - |9| = 3 - 9\\) i niepoprawnie uprościło |\n| D: \\(-4\\) | Błąd w obliczeniu \\(3 - 9\\): np. pomylono na \\(-12\\), a potem \\(\\frac{12}{-3} = -4\\) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna dotyczy TYLKO licznika - nie całego ułamka. \\(\\frac{|3-9|}{-3} \\neq \\left|\\frac{3-9}{-3}\\right|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw oblicz wyrażenie wewnątrz \\(|\\ldots|\\), dopiero potem zastosuj definicję. Nie można \"rozdzielać\" wartości bezwzględnej na \\(|3| - |9|\\) - to błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik \\(-3\\) jest ujemny - pamiętaj, że wynik dzielenia dodatniej liczby przez ujemną jest **ujemny**.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie wartości bezwzględnej\n\\(|3-9| = |-6| = 6\\). Stąd:\n\\[\\dfrac{|3-9|}{-3} = \\dfrac{6}{-3} = -2.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku\nLicznik: \\(3-9 = -6\\). Wartość bezwzględna: \\(|-6|=6\\). Podzielenie przez \\(-3\\): \\(\\tfrac{6}{-3} = -2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - ktoś pominął znak mianownika.\n- **C. \\(0\\)** - ktoś mylnie stwierdził \\(|3-9| = 3-9\\) i podzielił przez \\(-3\\): \\(\\tfrac{-6}{-3}=2\\) (ale to też nie 0; być może policzono \\(\\tfrac{3-9}{-3}+ \\)).\n- **D. \\(-4\\)** - błąd rachunkowy, np. \\(\\tfrac{12}{-3}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(|a-b|\\) to zawsze liczba **nieujemna**, a znak wyniku zależy od mianownika.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nCzternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa\n3\n2\n\n\n\n\n\n\nSiódmy wyraz tego ciągu jest równy\nA. 37\n2\nB.\n37\n2\nC.\n5\n2\nD. 5\n2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na\nn-ty wyraz i na sumę n początkowych\nwyrazów ciągu arytmetycznego (5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(y = 2x + 7\\)\n\n## Sposób 1 - Eliminacja parametru\n\nPunkt o współrzędnych \\((m-1,\\ 2m+5)\\) leży na pewnej prostej. Chcemy znaleźć równanie tej prostej, **eliminując parametr \\(m\\)**.\n\nOznaczamy współrzędne punktu:\n\\[x = m - 1, \\qquad y = 2m + 5\\]\n\n**Krok 1.** Z pierwszego równania wyrażamy \\(m\\) przez \\(x\\):\n\\[x = m - 1 \\implies m = x + 1\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(m = x + 1\\) do wyrażenia na \\(y\\):\n\\[y = 2m + 5 = 2(x + 1) + 5 = 2x + 2 + 5\\]\n\n\\[\\boxed{y = 2x + 7}\\]\n\n**Wniosek:** Wszystkie punkty postaci \\((m-1,\\ 2m+5)\\) leżą na prostej \\(y = 2x + 7\\), co odpowiada odpowiedzi **C**.\n\n## Sposób 2 - Podstawienie konkretnych wartości \\(m\\)\n\nMożemy sprawdzić, na której prostej leżą punkty dla kilku konkretnych wartości \\(m\\), a następnie zweryfikować wynik.\n\n**Krok 1.** Wyliczamy dwa punkty:\n\n- \\(m = 0\\): punkt \\((0-1,\\ 2\\cdot0+5) = (-1,\\ 5)\\)\n- \\(m = 1\\): punkt \\((1-1,\\ 2\\cdot1+5) = (0,\\ 7)\\)\n- \\(m = 2\\): punkt \\((2-1,\\ 2\\cdot2+5) = (1,\\ 9)\\)\n\n**Krok 2.** Sprawdzamy, którą z prostych A-D spełniają te punkty.\n\nDla punktu \\((-1, 5)\\):\n- A: \\(2\\cdot(-1)+5 = 3 \\neq 5\\) ✗\n- B: \\(2\\cdot(-1)+6 = 4 \\neq 5\\) ✗\n- C: \\(2\\cdot(-1)+7 = 5\\) ✓\n- D: \\(2\\cdot(-1)+8 = 6 \\neq 5\\) ✗\n\nZostaje tylko **C**. Weryfikujemy na pozostałych punktach:\n- \\((0,\\ 7)\\): \\(2\\cdot0+7 = 7\\) ✓\n- \\((1,\\ 9)\\): \\(2\\cdot1+7 = 9\\) ✓\n\n**Wniosek:** Prosta **C** (\\(y = 2x + 7\\)) przechodzi przez wszystkie sprawdzone punkty.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (nachylenie), \\(b\\) to wyraz wolny (przecięcie z osią \\(OY\\)).\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - po eliminacji parametru \\(m\\) otrzymaliśmy właśnie postać kierunkową prostej.\n\nW tym zadaniu nie używamy bardziej zaawansowanych wzorów z karty - wystarczy algebra i zamiana parametryczna.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Podstawienie \\(m = x\\) zamiast \\(m = x+1\\): \\(y = 2x + 5\\) - pominięcie \\(+1\\) z zamiany |\n| B | Podstawienie \\(m = x+1\\), ale błąd w dodawaniu: \\(2(x+1)+4 = 2x+6\\) (pomylenie \\(+5\\) z \\(+4\\)) |\n| D | Podstawienie \\(m = x+1\\), ale dodanie \\(+6\\) zamiast \\(+5\\): \\(2(x+1)+6 = 2x+8\\) - błąd o 1 w wyrazie wolnym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **nieprawidłowe wyrażenie \\(m\\) przez \\(x\\)**. Z \\(x = m-1\\) wynika \\(m = x+1\\) - pamiętaj, że \\(m\\) jest o **1 większe** niż \\(x\\), nie równe \\(x\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wszystkie odpowiedzi mają ten sam współczynnik kierunkowy \\(2\\) - różnią się tylko wyrazem wolnym. Jeśli wiesz, że nachylenie wynosi \\(2\\), i tak musisz dokładnie wyliczyć wyraz wolny, bo o niego toczy się cała gra.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzenie jednego punktu nie wystarczy do odrzucenia wszystkich złych odpowiedzi - warto sprawdzić co najmniej **dwa różne punkty**, żeby mieć pewność.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyrugowanie \\(m\\)\nNiech \\(x = m-1, y = 2m+5\\). Z pierwszego równania: \\(m = x+1\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[y = 2(x+1)+5 = 2x + 2 + 5 = 2x + 7.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez konkretne wartości \\(m\\)\n- \\(m=0\\): punkt \\((-1, 5)\\). Sprawdzamy \\(y = 2(-1)+7 = 5\\) ✓\n- \\(m=1\\): punkt \\((0, 7)\\). Sprawdzamy \\(y = 2\\cdot 0 + 7 = 7\\) ✓\n- \\(m=2\\): punkt \\((1, 9)\\). Sprawdzamy \\(y = 2\\cdot 1 + 7 = 9\\) ✓\n\n### Sposób 3 - Dwie wartości i prosta\n\\(m=0\\): \\((-1,5)\\). \\(m=1\\): \\((0,7)\\). Współczynnik kierunkowy: \\(\\tfrac{7-5}{0-(-1)} = 2\\). Wyraz wolny: 7. Zatem \\(y = 2x+7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(y = 2x + 5\\)** - dla \\(m=0\\) punkt \\((-1,5)\\): \\(2(-1)+5 = 3 \\ne 5\\) ✗.\n- **B. \\(y = 2x + 6\\)** - podobnie nie pasuje.\n- **D. \\(y = 2x + 8\\)** - dla \\(m=0\\): \\(2(-1)+8 = 6 \\ne 5\\) ✗.\n\n**Pamiętaj:** parametryzacja \\((x(m), y(m))\\) opisuje prostą, jeśli możesz wyrugować parametr liniowo.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nCiąg (\n)\n, 2\n3, 4\n3\nx\nx\nx\njest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy\nA.\n4\nB. 1\nC. 0\nD.\n1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający bada, czy dany\nciąg jest arytmetyczny lub geometryczny\n(5.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt prostokątny w przekroju osiowym\n\n**Przekrój osiowy stożka** to trójkąt równoramienny. Kąt rozwarcia \\(120°\\) to kąt przy wierzchołku (apex) tego trójkąta.\n\nPołówka przekroju osiowego tworzy trójkąt prostokątny z:\n- przeciwprostokątną = tworząca \\(l = 6\\)\n- kątem przy wierzchołku = \\(\\frac{120°}{2} = 60°\\)\n- ramieniem prostopadłym = szukany promień \\(r\\)\n\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin 60° = \\frac{r}{l}\\]\n\\[r = l \\cdot \\sin 60° = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[\\boxed{r = 3\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów na pełnym przekroju osiowym\n\nCały przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o ramionach \\(l = 6\\) i kącie rozwarcia \\(120°\\). Podstawa tego trójkąta to średnica podstawy stożka, czyli \\(2r\\).\n\nZe wzoru cosinusów:\n\\[(2r)^2 = l^2 + l^2 - 2 \\cdot l \\cdot l \\cdot \\cos(120°)\\]\n\\[4r^2 = 36 + 36 - 2 \\cdot 36 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\]\n\\[4r^2 = 72 + 36 = 108\\]\n\\[r^2 = 27\\]\n\\[\\boxed{r = \\sqrt{27} = 3\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym oraz wartość \\(\\sin 60°\\):\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia promienia.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość \\(\\cos 120°\\):\n\\[\\cos 120° = \\cos(180° - 60°) = -\\cos 60° = -\\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 (twierdzenie cosinusów).\n\n**Dział 10 (Planimetria/Twierdzenie cosinusów, s. 15-16)**:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nZastosowane w Sposobie 2 dla trójkąta przekroju osiowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(3\\) | Wzięto \\(\\sin 30°\\) zamiast \\(\\sin 60°\\) - pomylono kąt rozwarcia z połową kąta rozwarcia (\\(120° \\div 2 = 60°\\), nie \\(30°\\)) |\n| B - \\(6\\) | Utożsamiono promień z tworzącą - ktoś \"zapomniał\" o sinusie i wstawił \\(r = l\\) |\n| D - \\(6\\sqrt{3}\\) | Użyto \\(\\tan 60° \\cdot l\\) zamiast \\(\\sin 60° \\cdot l\\), albo wzięto \\(r = l \\cdot \\sqrt{3}\\) bez uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt rozwarcia stożka to **pełny** kąt przy wierzchołku przekroju osiowego. Przy rysowaniu trójkąta prostokątnego (połowy przekroju) kąt przy wierzchołku wynosi **połowę** kąta rozwarcia, czyli \\(60°\\) - nie \\(120°\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca to **nie** wysokość stożka! W trójkącie prostokątnym tworząca jest **przeciwprostokątną**, a promień - ramię prostopadłe. Dlatego stosujemy sinus, nie cosinus.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\) (wartość ujemna!). Przy stosowaniu twierdzenia cosinusów odjęcie ujemnej liczby zamienia się w **dodawanie** - stąd \\(-2 \\cdot 36 \\cdot (-\\frac{1}{2}) = +36\\), co wielu uczniów pomija.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym\nKąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym - \\(120^{\\circ}\\). Kąt między tworzącą a osią (wysokością) to połowa: \\(60^{\\circ}\\).\n\nW trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość, promień \\(r\\) i tworzącą \\(l=6\\):\n\\[\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{r}{l} \\Rightarrow r = l\\cdot \\sin 60^{\\circ} = 6\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Cosinus kąta połowa rozwarcia\n\\(\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{h}{l}\\), gdzie \\(h\\) - wysokość. \\(h = 6\\cdot \\tfrac{1}{2} = 3\\).\nZ twierdzenia Pitagorasa: \\(r^{2} = l^{2} - h^{2} = 36 - 9 = 27\\), więc \\(r = \\sqrt{27} = 3\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 3 - Trójkąt równoboczny\nKąt rozwarcia \\(120^{\\circ}\\) z dwoma tworzącymi \\(l=6\\) tworzy trójkąt równoramienny. Z twierdzenia kosinusów: podstawa \\(d = \\sqrt{l^{2}+l^{2}-2l^{2}\\cos 120^{\\circ}} = \\sqrt{36+36+36} = \\sqrt{108} = 6\\sqrt{3}\\). Promień \\(r = \\tfrac{d}{2} = 3\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - to wysokość stożka \\(h\\), nie promień.\n- **B. \\(6\\)** - to tworząca \\(l\\), nie promień.\n- **D. \\(6\\sqrt{3}\\)** - to średnica, nie promień.\n\n**Pamiętaj:** kąt rozwarcia to cały kąt między tworzącymi; pół kąta (60°) to ten przy osi stożka. \\(r = l\\sin(\\tfrac{\\text{kąt rozwarcia}}{2})\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPrzedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość\nA. 8\nB.\n5,8\nC. 5,9\nD. 10\nA\nB\nC\nP\nQ\nR\n70°\n48°\n62°\n70°\nx\n9\n18\n17\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych w zadaniach (7.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nWartość wyrażenia wynosi \\(4 + \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n## Sposób 1 - podstawienie wartości i rozwinięcie kwadratu\n\n**Krok 1: Wypisz wartości trygonometryczne z karty wzorów.**\n\n\\[\n\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}, \\qquad \\operatorname{tg}45° = 1, \\qquad \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\n**Krok 2: Podstaw do wyrażenia.**\n\n\\[\n(\\operatorname{tg}60° + \\operatorname{tg}45°)^2 - \\sin 60° = (\\sqrt{3} + 1)^2 - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\n**Krok 3: Rozwiń kwadrat sumy wzorem \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).**\n\n\\[\n(\\sqrt{3} + 1)^2 = (\\sqrt{3})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\\sqrt{3}\n\\]\n\n**Krok 4: Odejmij \\(\\sin 60°\\) i uprość.**\n\n\\[\n4 + 2\\sqrt{3} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4 + \\frac{4\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{4 + \\frac{3\\sqrt{3}}{2}}\n\\]\n\nOdpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja numeryczna\n\nPolicz przybliżone wartości:\n- \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3} \\approx 1{,}732\\)\n- \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\)\n- \\(\\sin 60° \\approx 0{,}866\\)\n\n\\[\n(\\sqrt{3} + 1)^2 - \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx (1{,}732 + 1)^2 - 0{,}866 = (2{,}732)^2 - 0{,}866 \\approx 7{,}464 - 0{,}866 \\approx 6{,}598\n\\]\n\nSprawdź odpowiedź D:\n\\[\n4 + \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\approx 4 + \\frac{3 \\cdot 1{,}732}{2} \\approx 4 + 2{,}598 = 6{,}598 \\checkmark\n\\]\n\nZgadza się - odpowiedź **D** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - tabela wartości dla wybranych kątów:\n\n| \\(\\alpha\\) | \\(30°\\) | \\(45°\\) | \\(60°\\) |\n| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{1}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |\n| \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) | \\(1\\) | \\(\\sqrt{3}\\) |\n\nUżyliśmy wartości \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\), \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) i \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[\n(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\n\\]\nUżyliśmy do rozwinięcia \\((\\sqrt{3} + 1)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(\\left(2 - \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | Użycie minusa zamiast plusa: policzono \\((\\operatorname{tg}60° - \\operatorname{tg}45°)^2 - \\sin 60° = (\\sqrt{3}-1)^2 - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4 - 2\\sqrt{3} - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - błędny znak w nawiasie |\n| **B** \\(\\left(2 + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | Mylenie \\(\\operatorname{tg}60°\\) z \\(\\sin 60°\\) - wstawienie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(\\sqrt{3}\\), co daje inną sumę pod kwadratem |\n| **C** \\(\\left(4 - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | **Najczęstszy błąd**: pominięcie wyrazu mieszanego \\(2ab\\) przy rozwijaniu kwadratu - obliczenie \\((\\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4\\) zamiast \\(4 + 2\\sqrt{3}\\), a potem odjęcie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to rozwijanie \\((\\sqrt{3} + 1)^2\\) jako \\(3 + 1 = 4\\) - zapominanie o wyrazie mieszanym \\(2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 1 = 2\\sqrt{3}\\). Kwadrat sumy to **trzy** składniki, nie dwa!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\), a **nie** \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - ta wartość to \\(\\sin 60°\\). Pomylenie tg z sin to klasyczna pułapka przy wartościach kąta 60°.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwinięciu kwadratu masz do czynienia z \\(2\\sqrt{3} - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - pamiętaj, żeby sprowadzić do wspólnego mianownika: \\(\\frac{4\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\). Nie wolno po prostu „odejmować \\(\\sqrt{3}\\)\" bez wyrównania mianowników.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wartości funkcji trygonometrycznych (karta wzorów)\n\\(\\operatorname{tg}60^{\\circ} = \\sqrt{3}\\), \\(\\operatorname{tg}45^{\\circ} = 1\\), \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\[(\\sqrt{3}+1)^{2} - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = (3 + 2\\sqrt{3} + 1) - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 4 + 2\\sqrt{3} - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]\nSprowadzamy \\(2\\sqrt{3}\\) do wspólnego mianownika:\n\\[2\\sqrt{3} - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{4\\sqrt{3} - \\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}.\\]\nWynik: \\(4 + \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku\n\\(\\operatorname{tg}60^{\\circ}+\\operatorname{tg}45^{\\circ} = \\sqrt{3}+1\\). Wzór skróconego mnożenia: \\((\\sqrt{3}+1)^{2} = 3+2\\sqrt{3}+1 = 4+2\\sqrt{3}\\).\nOdjęcie: \\(4 + 2\\sqrt{3} - \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 4 + \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2-\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\)** - ktoś pomylił wzór skróconego mnożenia, zmienił znak.\n- **B. \\(2+\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - brak członu \\(2\\sqrt{3}\\), błąd przy podnoszeniu sumy do kwadratu.\n- **C. \\(4-\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - pominięto \\(2\\sqrt{3}\\) (tylko \\(-\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\) - nigdy nie zapominaj o środkowym wyrazie \\(2ab\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n2\ntg\n3\nα =\n. Wtedy\nA.\n3 13\nsin\n26\nα =\nB.\n13\nsin\n13\nα =\nC.\n2 13\nsin\n13\nα =\nD.\n3 13\nsin\n13\nα =","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający, znając wartość\njednej z funkcji trygonometrycznych,\nwyznacza wartości pozostałych funkcji tego\nsamego kąta ostrego (6.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\pi r^3\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie do wzoru na objętość walca\n\n**Odczytujemy dane z zadania:**\n- promień podstawy: \\(r\\)\n- wysokość jest **dwa razy większa od promienia**: \\(h = 2r\\)\n\n**Wzór na objętość walca:**\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\n**Podstawiamy \\(h = 2r\\):**\n\\[V = \\pi r^2 \\cdot 2r\\]\n\n\\[\\boxed{V = 2\\pi r^3}\\]\n\nOdpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie konkretnej liczby\n\nSprawdzamy dla \\(r = 1\\):\n- \\(h = 2 \\cdot 1 = 2\\)\n- \\(V = \\pi \\cdot 1^2 \\cdot 2 = 2\\pi\\)\n\nTeraz sprawdzamy odpowiedź A dla \\(r = 1\\):\n\\[2\\pi r^3 = 2\\pi \\cdot 1^3 = 2\\pi \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy pozostałe odpowiedzi dla \\(r = 1\\):\n- B: \\(4\\pi \\cdot 1 = 4\\pi \\neq 2\\pi\\)\n- C: \\(\\pi \\cdot 1 \\cdot (1+2) = 3\\pi \\neq 2\\pi\\)\n- D: \\(\\pi \\cdot 1 \\cdot (1-2) = -\\pi \\neq 2\\pi\\)\n\nTylko **A** daje poprawny wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(h = 2r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Pomylono \"dwa razy większa\" z \\(h = 4r\\) lub wzięto \\(V = \\pi r^2 \\cdot 4r\\) - np. przez pomylenie \"dwa razy\" z kwadratem |\n| C | Wstawiono \\(h = 2\\) (stałą liczbę) zamiast \\(h = 2r\\), co daje \\(\\pi r^2(r+2)\\) - błąd w odczytaniu treści |\n| D | Jak wyżej, ale z błędem znaku lub odejmowaniem: \\(\\pi r^2(r-2)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wysokość jest dwa razy większa od promienia\" oznacza \\(h = 2r\\), **nie** \\(h = r + 2\\). Uważaj na takie sformułowania - \"dwa razy większa\" to mnożenie, nie dodawanie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podstawieniu \\(h = 2r\\) do \\(\\pi r^2 h\\) pamiętaj o przemnożeniu: \\(\\pi r^2 \\cdot 2r = 2\\pi r^{2+1} = 2\\pi r^3\\). Łatwo zapomnieć o dodaniu wykładników przy \\(r \\cdot r^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi C i D są skonstruowane tak, by zmylić kogoś, kto wstawi \\(h = 2\\) (bez \\(r\\)). Zawsze sprawdzaj, czy zmienna jest liczbą, czy wyrażeniem zależnym od \\(r\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość walca (karta wzorów)\nWzór: \\(V = \\pi r^{2}\\cdot h\\). Wysokość: \\(h = 2r\\). Zatem:\n\\[V = \\pi r^{2}\\cdot 2r = 2\\pi r^{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez konkretne wartości\nNiech \\(r=1\\). Wtedy \\(h=2\\) i \\(V = \\pi\\cdot 1\\cdot 2 = 2\\pi\\). Sprawdźmy odpowiedzi:\n- A: \\(2\\pi\\cdot 1 = 2\\pi\\) ✓\n- B: \\(4\\pi\\cdot 1 = 4\\pi\\) ✗\n- C: \\(\\pi\\cdot 1\\cdot 3 = 3\\pi\\) ✗\n- D: \\(\\pi\\cdot 1\\cdot(-1) < 0\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(4\\pi r^{3}\\)** - ktoś wziął \\(h=4r\\) zamiast \\(2r\\), lub policzył \\((2r)^{2}\\cdot r\\).\n- **C. \\(\\pi r^{2}(r+2)\\)** - dodał \\(r\\) i \\(2\\) zamiast pomnożyć.\n- **D. \\(\\pi r^{2}(r-2)\\)** - to samo z błędnym znakiem; wynik może być ujemny.\n\n**Pamiętaj:** \\(V_{\\text{walca}} = \\pi r^{2} h\\) - pole podstawy razy wysokość. Przy \\(h=2r\\) powstaje \\(r^{3}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nZ odcinków o długościach: 5, 2\n1\na + ,\n1\na - można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika\nstąd, że\nA.\n6\na =\nB.\n4\na =\nC.\n3\na =\nD.\n2\na =","answer":"D","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(8\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku przez przekątne\n\nPole równoległoboku można wyrazić przez długości przekątnych i kąt między nimi:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2 \\cdot \\sin\\gamma\\]\ngdzie \\(d_1, d_2\\) to długości przekątnych, a \\(\\gamma\\) to kąt między nimi.\n\nPodstawiamy dane: \\(d_1 = 4\\), \\(d_2 = 8\\), \\(\\gamma = 30°\\):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 8 \\cdot \\sin 30°\\]\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 32 \\cdot \\frac{1}{2}\\]\n\\[\\boxed{P = 8}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez pola czterech trójkątów\n\nPrzekątne równoległoboku **przecinają się w połowie** - każda jest podzielona na dwa równe odcinki. Połówki przekątnych mają więc długości \\(\\frac{4}{2} = 2\\) i \\(\\frac{8}{2} = 4\\).\n\nPrzekątne dzielą równoległobok na **4 trójkąty**. Każdy z nich ma dwa boki o długościach \\(2\\) i \\(4\\), z kątem między nimi \\(30°\\) lub \\(150°\\) (kąty suplementarne, ale \\(\\sin 30° = \\sin 150° = \\frac{1}{2}\\)).\n\nPole jednego trójkąta:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 4 \\cdot \\sin 30° = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\nPole całego równoległoboku:\n\\[P = 4 \\cdot P_{\\triangle} = 4 \\cdot 2 = \\boxed{8}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku przez przekątne:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BD| \\cdot \\sin\\gamma\\]\nTo wzór podany wprost na karcie wzorów. Użyliśmy go w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - wartość funkcji trygonometrycznej:\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\nKluczowa wartość z tablicy na karcie, bez której nie wykonamy podstawienia.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta ze wzoru sinusowego:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 dla każdego z czterech trójkątów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(32\\) | Policzono \\(4 \\cdot 8 = 32\\) - zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) i o \\(\\sin 30°\\) |\n| B - \\(16\\) | Użyto wzoru \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 8 = 16\\) - zapomniano pomnożyć przez \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) |\n| C - \\(12\\) | Błąd arytmetyczny lub pomieszanie wzorów (np. odjęcie zamiast mnożenia) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze jest \\(\\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2 \\cdot \\sin\\gamma\\) - bardzo łatwo zapomnieć o \\(\\frac{1}{2}\\) i dostać odpowiedź A zamiast D. Porównaj z polem romboid przez boki: tam też jest \\(\\frac{1}{2}\\) przed przekątnymi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) - to jedna z najważniejszych wartości do zapamiętania. Pomylenie z \\(\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) dałoby wynik \\(8\\sqrt{3}\\), którego w ogóle nie ma wśród odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między przekątnymi może być ostry lub rozwarty (suma = 180°), ale pole jest zawsze liczone przez kąt ostry, bo \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\). Nie musisz sprawdzać, który to kąt - wynik będzie ten sam.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku z przekątnych (karta wzorów)\nPole równoległoboku o przekątnych \\(d_{1}, d_{2}\\) przecinających się pod kątem \\(\\alpha\\):\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot d_{1}\\cdot d_{2}\\cdot \\sin\\alpha.\\]\nPodstawiamy:\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 8\\cdot \\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 32\\cdot \\dfrac{1}{2} = 8.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez cztery trójkąty\nPrzekątne dzielą równoległobok na cztery trójkąty. Po dwa są przystające (równej powierzchni). Każdy ma boki \\(\\tfrac{d_{1}}{2}=2\\) i \\(\\tfrac{d_{2}}{2}=4\\), z kątem \\(30^{\\circ}\\) lub \\(150^{\\circ}\\). Pole jednego: \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 2\\cdot 4\\cdot \\sin 30^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 8\\cdot \\tfrac{1}{2} = 2\\). Cztery trójkąty: \\(4\\cdot 2 = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(32\\)** - iloczyn \\(4\\cdot 8\\) bez \\(\\tfrac{1}{2}\\) i bez \\(\\sin\\).\n- **B. \\(16\\)** - iloczyn \\(4\\cdot 8\\cdot\\tfrac{1}{2}\\), ale bez \\(\\sin 30^{\\circ}\\).\n- **C. \\(12\\)** - błąd rachunkowy, być może \\(4\\cdot 8 / (2+1)\\).\n\n**Pamiętaj:** wzór na pole z przekątnych działa dla każdego czworokąta, którego przekątne przecinają się (np. romb, równoległobok, deltoid) - \\(P = \\tfrac{1}{2}d_{1}d_{2}\\sin\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nOkręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu\no promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).\nPole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe\nA. 14\nB. 2 33\nC. 4 33\nD. 12","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(25°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt między cięciwami + sumy łuków\n\n**Co wiemy na starcie:**\n\n- \\(AB\\) to średnica, więc **łuk \\(AB\\) (półokrąg)** = \\(180°\\)\n- Kąt środkowy \\(\\angle ASC = 110°\\), więc **łuk \\(AC = 110°\\)**\n- Stąd: **łuk \\(CB = 180° - 110° = 70°\\)**\n\n**Krok 1: Znajdź łuk \\(AD\\) z kąta między cięciwami.**\n\nCięciwy \\(AB\\) i \\(CD\\) przecinają się wewnątrz okręgu w punkcie \\(E\\). Kąt między cięciwami równa się połowie sumy łuków naprzeciwległych:\n\n\\[\n\\angle BEC = \\frac{1}{2}(\\overset{\\frown}{BC} + \\overset{\\frown}{AD})\n\\]\n\nWstawiamy dane:\n\\[\n100° = \\frac{1}{2}(70° + \\overset{\\frown}{AD})\n\\]\n\\[\n200° = 70° + \\overset{\\frown}{AD}\n\\]\n\\[\n\\overset{\\frown}{AD} = 130°\n\\]\n\n**Krok 2: Znajdź łuk \\(BD\\).**\n\nSuma wszystkich łuków musi wynosić \\(360°\\):\n\\[\n\\overset{\\frown}{AC} + \\overset{\\frown}{CB} + \\overset{\\frown}{BD} + \\overset{\\frown}{DA} = 360°\n\\]\n\\[\n110° + 70° + \\overset{\\frown}{BD} + 130° = 360°\n\\]\n\\[\n\\overset{\\frown}{BD} = 360° - 310° = 50°\n\\]\n\n**Krok 3: Oblicz kąt wpisany \\(\\angle BAD\\).**\n\nKąt wpisany \\(\\angle BAD\\) ma wierzchołek w \\(A\\) i opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{BD}\\) (łuk niezawierający \\(A\\)):\n\n\\[\n\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{BD} = \\frac{1}{2} \\cdot 50° = \\boxed{25°}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąty wpisane i własność średnicy (weryfikacja)\n\nSprawdźmy inaczej - wyznaczmy miary kątów i zweryfikujmy spójność.\n\n**Kąt wpisany \\(\\angle CBD\\)** opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{CD}\\):\n\\[\n\\overset{\\frown}{CD} = \\overset{\\frown}{CB} + \\overset{\\frown}{BD} = 70° + 50° = 120°\n\\implies \\angle CAD = \\frac{120°}{2} = 60°\n\\]\n\n**Kąt wpisany \\(\\angle BAC\\)** opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{BC} = 70°\\):\n\\[\n\\angle BAC = \\frac{70°}{2} = 35°\n\\]\n\n**Kąt wpisany \\(\\angle ACD\\)** opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{AD} = 130°\\):\n\\[\n\\angle ACD = \\frac{130°}{2} = 65°\n\\]\n\nW trójkącie \\(ACE\\) (gdzie \\(E\\) leży na \\(AB\\)):\n\\[\n\\angle CAE + \\angle ACE + \\angle AEC = 180°\n\\]\n\\[\n35° + 65° + \\angle AEC = 180° \\implies \\angle AEC = 80°\n\\]\n\nKąty \\(\\angle AEC\\) i \\(\\angle BEC\\) są suplementarne:\n\\[\n\\angle BEC = 180° - 80° = 100° \\checkmark\n\\]\n\nZgadza się z danymi - **kąt \\(\\angle BAD = 25°\\) jest poprawny**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt między cięciwami wewnątrz okręgu:\n\\[\n\\angle BEC = \\frac{1}{2}\\left(\\overset{\\frown}{BC} + \\overset{\\frown}{AD}\\right)\n\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia łuku \\(AD\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n\\[\n\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy} = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{\\text{łuk}}\n\\]\nUżyte w Kroku 3 do obliczenia \\(\\angle BAD\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A - \\(15°\\)** | Wzięto łuk \\(BD = 30°\\), bo zapomniano odjąć łuk \\(DA\\) od sumy - błąd w rachunku łuków |\n| **B - \\(20°\\)** | Liczono kąt środkowy \\(\\angle BSD\\) zamiast kąta wpisanego, lub błąd: \\(\\overset{\\frown}{BD} = 40°\\) przez pomyłkę w sumie łuków |\n| **D - \\(30°\\)** | Uznano, że \\(\\angle BEC = \\frac{1}{2}\\overset{\\frown}{BD}\\) (pominięto łuk \\(AC\\) w sumie), co daje \\(\\overset{\\frown}{BD} = 60°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między **cięciwami przecinającymi się wewnątrz** okręgu = **½ sumy** łuków naprzeciwległych - a nie różnicy! Różnicę bierzemy dla kąta między cięciwami przecinającymi się **na zewnątrz**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łuki należy dobrze przypisać do punktów. Porządek punktów na okręgu (A, C, B, D) wyznacza, które łuki są \"naprzeciwległe\" przy punkcie \\(E\\) - to łuki \\(BC\\) i \\(AD\\), bo leżą po przeciwnych stronach obu cięciw.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) nie jest tym samym co \\(\\angle BAC\\) ani \\(\\angle CAD\\) - opiera się na **łuku BD**, nie na łuku BC czy AD!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między cięciwami (karta wzorów)\nGdy dwie cięciwy \\(AB\\) i \\(CD\\) przecinają się wewnątrz okręgu w punkcie \\(E\\), kąt między nimi jest średnią łuków odciętych:\n\\[\\measuredangle BEC = \\dfrac{\\overset{\\frown}{BC} + \\overset{\\frown}{AD}}{2}.\\]\nŁuk \\(\\overset{\\frown}{BC}\\): ponieważ kąt środkowy \\(\\measuredangle ASC = 110^{\\circ}\\), to \\(\\overset{\\frown}{AC} = 110^{\\circ}\\), a więc (AB to średnica, cały łuk od A do B to \\(180^{\\circ}\\)): \\(\\overset{\\frown}{BC} = 180^{\\circ} - 110^{\\circ} = 70^{\\circ}\\).\n\nZ równania: \\(100^{\\circ} = \\tfrac{70^{\\circ} + \\overset{\\frown}{AD}}{2}\\Rightarrow \\overset{\\frown}{AD} = 130^{\\circ}\\).\n\nKąt wpisany \\(\\measuredangle BAD\\) jest oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{BD}\\). \\(\\overset{\\frown}{BD} = 180^{\\circ} - \\overset{\\frown}{AD} = 180^{\\circ} - 130^{\\circ} = 50^{\\circ}\\).\nKąt wpisany to połowa łuku: \\(\\measuredangle BAD = \\tfrac{50^{\\circ}}{2} = 25^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Rozważając trójkąt \\(AED\\)\nW trójkącie \\(AED\\): kąt \\(\\measuredangle AED = 180^{\\circ} - 100^{\\circ} = 80^{\\circ}\\) (sąsiedni do \\(\\measuredangle BEC\\)). Kąt wpisany \\(\\measuredangle ADC\\) oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}=110^{\\circ}\\) ma miarę \\(\\tfrac{110^{\\circ}}{2} = 55^{\\circ}\\).\nW trójkącie \\(AED\\): \\(\\measuredangle DAE + \\measuredangle ADE + \\measuredangle AED = 180^{\\circ}\\), czyli \\(\\measuredangle BAD + 55^{\\circ} + 80^{\\circ} = 180^{\\circ}\\Rightarrow \\measuredangle BAD = 25^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(15^{\\circ}\\)** - błąd rachunkowy przy ustalaniu łuku.\n- **B. \\(20^{\\circ}\\)** - pomyłka w zastosowaniu twierdzenia o łukach.\n- **D. \\(30^{\\circ}\\)** - prawdopodobnie niewłaściwe użycie twierdzenia o kącie wpisanym.\n\n**Pamiętaj:** kąt między dwiema cięciwami przecinającymi się wewnątrz okręgu = średnia odciętych łuków. Kąt wpisany = połowa łuku.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nProste opisane równaniami\n2\n1\n2\nm\nx\nm\ny\noraz\n1\n1\nm\nmx\ny\nsą prostopadłe, gdy\nA.\n2\nm =\nB.\n1\n2\nm =\nC.\n1\n3\nm =\nD.\n2\nm = -\nP\nO1\nO2\n3\n4\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - promień równy \\(5\\)\n\n## Sposób 1 - z definicji styczności zewnętrznej\n\n**Kluczowy fakt:** Dwa okręgi są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość między ich środkami równa się **sumie** ich promieni.\n\nSkoro oba okręgi mają równe promienie \\(r\\), to:\n\\[|S_1 S_2| = r + r = 2r\\]\n\n**Obliczamy odległość między środkami** \\(S_1 = (3, 4)\\) i \\(S_2 = (9, -4)\\):\n\n\\[|S_1 S_2| = \\sqrt{(9-3)^2 + (-4-4)^2}\\]\n\\[= \\sqrt{6^2 + (-8)^2}\\]\n\\[= \\sqrt{36 + 64}\\]\n\\[= \\sqrt{100} = 10\\]\n\n**Wyznaczamy promień:**\n\\[2r = 10 \\implies \\boxed{r = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, że okrąg o promieniu \\(r = 5\\) i środku \\(S_1 = (3,4)\\) oraz okrąg o promieniu \\(5\\) i środku \\(S_2 = (9,-4)\\) rzeczywiście są styczne zewnętrznie.\n\nRównania okręgów:\n\\[(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25\\]\n\\[(x - 9)^2 + (y + 4)^2 = 25\\]\n\nPunkt styku leży na odcinku \\(S_1 S_2\\) w połowie (bo promienie równe), czyli w środku:\n\\[x_T = \\frac{3 + 9}{2} = 6, \\quad y_T = \\frac{4 + (-4)}{2} = 0\\]\n\nSprawdzamy, czy \\(T = (6, 0)\\) leży na pierwszym okręgu:\n\\[(6-3)^2 + (0-4)^2 = 9 + 16 = 25 \\checkmark\\]\n\nNa drugim okręgu:\n\\[(6-9)^2 + (0+4)^2 = 9 + 16 = 25 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(T\\) należy do obu okręgów - **styczność potwierdzona.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go do obliczenia odległości \\(|S_1 S_2|\\) między środkami okręgów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(8\\) | Policzono \\(|S_1 S_2| = 10\\), ale nie podzielono przez 2 (pomylono \\(|S_1 S_2| = r\\) zamiast \\(= 2r\\)); ewentualnie błąd w obliczeniu \\(\\sqrt{36+64}\\approx 8\\) bez dokładnego rachunku |\n| B. \\(6\\) | Wzięto tylko jedną składową różnicy: \\(\\sqrt{6^2} = 6\\) lub pomylono poziomą odległość \\(9-3=6\\) z promieniem |\n| D. \\(\\frac{5}{2}\\) | Podzielono promień przez 2 jeszcze raz - błędna interpretacja wzoru |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Styczność **zewnętrzna** → \\(|S_1 S_2| = r_1 + r_2\\). Styczność **wewnętrzna** → \\(|S_1 S_2| = |r_1 - r_2|\\). Łatwo je pomylić!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sqrt{6^2 + 8^2}\\) - to klasyczna trójka pitagorejska \\(6 : 8 : 10\\). Warto zapamiętać: \\((3,4,5)\\), \\((5,12,13)\\), \\((6,8,10)\\) to najczęstsze trójki na maturze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(|S_1 S_2| = 10\\) to suma promieni, nie pojedynczy promień. Finalny krok \\(r = \\frac{10}{2} = 5\\) jest kluczowy i często pomijany w pośpiechu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odległość środków + styczność zewnętrzna (karta wzorów)\nOdległość między środkami:\n\\[|S_{1}S_{2}| = \\sqrt{(9-3)^{2} + (-4-4)^{2}} = \\sqrt{36+64} = \\sqrt{100} = 10.\\]\nDla okręgów stycznych zewnętrznie \\(|S_{1}S_{2}| = r_{1} + r_{2}\\). Ponieważ \\(r_{1}=r_{2}=r\\): \\(2r = 10\\Rightarrow r = 5\\).\n\n### Sposób 2 - Środek odcinka\nŚrodek \\(S_{1}S_{2}\\): \\(M = \\left(\\tfrac{3+9}{2}, \\tfrac{4+(-4)}{2}\\right) = (6,0)\\). W przypadku styczności zewnętrznej dwóch okręgów o równych promieniach, punkt styczności leży w środku odcinka \\(S_{1}S_{2}\\). Promień = odległość od \\(S_{1}\\) do \\(M\\): \\(\\sqrt{(6-3)^{2}+(0-4)^{2}}=\\sqrt{9+16}=5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - błąd przy obliczeniu odległości.\n- **B. \\(6\\)** - tylko \\(x\\)-owa składowa odległości, bez uwzględnienia \\(y\\).\n- **D. \\(\\tfrac{5}{2}\\)** - ktoś wziął \\(4r = 10\\) zamiast \\(2r = 10\\).\n\n**Pamiętaj:** dla styczności **zewnętrznej** \\(d = r_{1}+r_{2}\\); dla **wewnętrznej** \\(d = |r_{1}-r_{2}|\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nW układzie współrzędnych dane są punkty\n(\n)\n, 6\nA\na\noraz\n(\n)\n7,\nB\nb\n. Środkiem odcinka AB\njest punkt\n(\n)\n3, 4\nM =\n. Wynika stąd, że\nA.\n5\na =\ni\n5\nb =\nB.\n1\na = - i\n2\nb =\nC.\n4\na =\ni\n10\nb =\nD.\n4\na = - i\n2\nb = -","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wektory i wzór na cos kąta między nimi\n\n**Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.**\n\nŚciana boczna to prostokąt o bokach \\(2\\) (bok kwadratu) i \\(h\\) (wysokość). Przekątna tej ściany ma długość \\(3\\), więc:\n\\[2^2 + h^2 = 3^2 \\implies h^2 = 5 \\implies h = \\sqrt{5}\\]\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.**\n\nWierzchołki podstawy dolnej:\n\\[A = (0,0,0),\\quad B = (2,0,0),\\quad D = (0,2,0)\\]\n\nWierzchołki podstawy górnej:\n\\[A' = (0,0,\\sqrt{5}),\\quad B' = (2,0,\\sqrt{5}),\\quad D' = (0,2,\\sqrt{5})\\]\n\n**Identyfikujemy dwie przekątne ścian bocznych wychodzące z wierzchołka \\(A\\).**\n\nZ wierzchołka \\(A\\) wychodzą przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych:\n- Ściana \\(ABB'A'\\): przekątna \\(AB'\\)\n- Ściana \\(ADD'A'\\): przekątna \\(AD'\\)\n\nWektory tych przekątnych:\n\\[\\vec{u} = \\overrightarrow{AB'} = (2, 0, \\sqrt{5}), \\qquad \\vec{v} = \\overrightarrow{AD'} = (0, 2, \\sqrt{5})\\]\n\n**Obliczamy kąt \\(\\alpha\\) między wektorami.**\n\nDługości wektorów (zgodnie z daną długością przekątnej = 3):\n\\[|\\vec{u}| = \\sqrt{4 + 0 + 5} = \\sqrt{9} = 3, \\qquad |\\vec{v}| = \\sqrt{0 + 4 + 5} = \\sqrt{9} = 3\\]\n\nIloczyn skalarny:\n\\[\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 2 \\cdot 0 + 0 \\cdot 2 + \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{5} = 5\\]\n\nCosinus kąta:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{|\\vec{u}||\\vec{v}|} = \\frac{5}{3 \\cdot 3} = \\frac{5}{9}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2}\\) ze wzoru połowicznego.**\n\n\\[\\sin^2\\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\cos\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\dfrac{5}{9}}{2} = \\frac{\\dfrac{4}{9}}{2} = \\frac{2}{9}\\]\n\n\\[\\sin\\frac{\\alpha}{2} = \\sqrt{\\frac{2}{9}} = \\boxed{\\dfrac{\\sqrt{2}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - twierdzenie cosinusów w trójkącie \\(AB'D'\\)\n\nZnamy już \\(h = \\sqrt{5}\\), wierzchołki \\(A=(0,0,0)\\), \\(B'=(2,0,\\sqrt{5})\\), \\(D'=(0,2,\\sqrt{5})\\).\n\n**Obliczamy długość \\(B'D'\\)** (podstawy trójkąta):\n\\[|B'D'| = \\sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2 + (\\sqrt{5}-\\sqrt{5})^2} = \\sqrt{4+4+0} = 2\\sqrt{2}\\]\n\nW trójkącie \\(AB'D'\\) mamy:\n- \\(|AB'| = |AD'| = 3\\) (przekątne ścian bocznych)\n- \\(|B'D'| = 2\\sqrt{2}\\)\n- kąt przy wierzchołku \\(A\\) to szukany \\(\\alpha\\)\n\nZ twierdzenia cosinusów:\n\\[|B'D'|^2 = |AB'|^2 + |AD'|^2 - 2|AB'||AD'|\\cos\\alpha\\]\n\\[8 = 9 + 9 - 18\\cos\\alpha \\implies \\cos\\alpha = \\frac{10}{18} = \\frac{5}{9}\\]\n\nIdentycznie jak w Sposobie 1: \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na pierwiastkach:\n\\[\\sqrt{\\frac{2}{9}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{9}} = \\frac{\\sqrt{2}}{3}\\]\nUżyte przy upraszczaniu wyniku końcowego.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - brak gotowego wzoru na kąt przekątnych, ale korzystamy z własności graniastosłupa prostego, by wyznaczyć wysokość.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = a^2 + h^2\\]\nUżyte do wyznaczenia \\(h = \\sqrt{5}\\) z długości przekątnej ściany bocznej.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wzór połowicznego kąta (wywodzona z jedynki trygonometrycznej):\n\\[\\sin^2\\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\cos\\alpha}{2}\\]\nKluczowy wzór zamieniający \\(\\cos\\alpha\\) na \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\dfrac{2}{3}\\) | Wzięcie \\(\\sin\\alpha\\) zamiast \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2}\\), lub błąd w wzorze połowicznym (pominięcie dzielenia przez 2) |\n| B - \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{3}\\) | Błędnie policzony iloczyn skalarny: np. wzięcie długości podstawy \\(2\\) zamiast \\(\\sqrt{5}\\) jako składowej pionowej, co daje \\(\\cos\\alpha = \\frac{4}{9}\\) → \\(\\sin\\frac{\\alpha}{2} = \\frac{\\sqrt{5}}{3}\\), lub inna pomyłka arytmetyczna |\n| C - \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{7}\\) | Błędnie przyjęta wysokość graniastosłupa (np. \\(h = \\sqrt{7}\\) przez pomylenie \\(d^2 = a^2 + h^2\\) z \\(d^2 = 2a^2 + h^2\\) - użycie przekątnej podstawy zamiast boku) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna ściany **bocznej** to \\(\\sqrt{a^2 + h^2}\\), a **nie** \\(\\sqrt{2a^2 + h^2}\\) - ta druga to przekątna całego graniastosłupa. Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd przy wyznaczaniu \\(h\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z wierzchołka wychodzą przekątne **dwóch sąsiednich** ścian bocznych (nie naprzeciwległych!). Gdyby wziąć naprzeciwległe ściany, kąt byłby zupełnie inny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\sin^2\\dfrac{\\alpha}{2} = \\dfrac{1 - \\cos\\alpha}{2}\\) wymaga, by \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\) był kątem ostrym (co tu zachodzi, bo \\(\\alpha < 180°\\)), więc bierzemy pierwiastek bez znaku minus.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny z przekątnymi (karta wzorów)\nDwie przekątne ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka mają długość \\(3\\). Drugi wierzchołek każdej z nich to po dwóch ścianach sąsiadujących (obydwie leżą na tej samej krawędzi poziomej długości \\(2\\)). Rozważmy wierzchołek w dolnej podstawie, obie przekątne prowadzą do wierzchołków górnej podstawy sąsiednich ścian.\n\nTe dwa górne końce leżą na ścianach sąsiednich, a odległość między nimi to przekątna kwadratu podstawy: \\(2\\sqrt{2}\\).\n\nRozważmy trójkąt równoramienny: dwa ramiona po \\(3\\), podstawa \\(2\\sqrt{2}\\). Opuśćmy wysokość z wierzchołka kąta \\(\\alpha\\) do podstawy - dzieli ją na pół: \\(\\sqrt{2}\\). Wtedy w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\dfrac{\\alpha}{2} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Współrzędne\nUstawmy wierzchołek w \\((0,0,0)\\). Dolny kwadrat: \\((0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0)\\). Górny: to samo przesunięte o wysokość \\(h\\). Przekątne bocznych ścian z punktu \\((0,0,0)\\): do \\((2,0,h)\\) i do \\((0,2,h)\\). Obie mają długość \\(\\sqrt{4+h^{2}}=3\\), więc \\(h^{2}=5\\).\n\nOdległość między \\((2,0,h)\\) i \\((0,2,h)\\) to \\(\\sqrt{4+4} = 2\\sqrt{2}\\). Trójkąt równoramienny z bokami \\(3,3,2\\sqrt{2}\\). Jak wyżej: \\(\\sin\\tfrac{\\alpha}{2}=\\tfrac{\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n### Sposób 3 - Twierdzenie kosinusów\n\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3^{2}+3^{2}-(2\\sqrt{2})^{2}}{2\\cdot 3\\cdot 3} = \\dfrac{9+9-8}{18} = \\dfrac{10}{18} = \\dfrac{5}{9}\\).\nZe wzoru \\(\\sin^{2}\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{1-\\cos\\alpha}{2}\\):\n\\(\\sin^{2}\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{1-\\tfrac{5}{9}}{2} = \\tfrac{\\tfrac{4}{9}}{2} = \\tfrac{2}{9}\\), więc \\(\\sin\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - błędnie wzięto za podstawę \\(4\\) zamiast \\(2\\sqrt{2}\\).\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{7}}{3}\\)** - to \\(\\cos\\tfrac{\\alpha}{2}\\) ze złymi danymi.\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt{7}}{7}\\)** - błąd, złe wyrażenie.\n\n**Trik:** w trójkącie równoramiennym \\(\\sin\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{\\text{pół podstawy}}{\\text{ramię}}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nRzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania\ndokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy\nA. 0\n0,2\np\n≤\n<\nB. 0,2\n0,35\np\n≤\n≤\nC. 0,35\n0,5\np\n<\n≤\nD. 0,5\n1\np\n<\n≤","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje\ntwierdzenie znane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - dwunastokąt\n\n## Sposób 1 - wzory na krawędzie i wierzchołki ostrosłupa\n\n**Kluczowy krok:** Wyraź liczbę krawędzi i wierzchołków przez \\(n\\) - liczbę boków podstawy.\n\nDla ostrosłupa o podstawie będącej \\(n\\)-kątem:\n\n| Element | Liczba |\n| Wierzchołki | \\(n\\) (podstawa) \\(+ 1\\) (wierzchołek) \\(= n + 1\\) |\n| Krawędzie | \\(n\\) (podstawa) \\(+ n\\) (boczne) \\(= 2n\\) |\n\nUkładamy równanie z warunkiem zadania:\n\n\\[\\text{krawędzie} - \\text{wierzchołki} = 11\\]\n\n\\[2n - (n+1) = 11\\]\n\n\\[2n - n - 1 = 11\\]\n\n\\[n - 1 = 11\\]\n\n\\[\\boxed{n = 12}\\]\n\n**Podstawą jest dwunastokąt.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wzór Eulera\n\nWzór Eulera dla wielościanów: \\(W - K + \\acute{S} = 2\\), gdzie \\(W\\) = wierzchołki, \\(K\\) = krawędzie, \\(\\acute{S}\\) = ściany.\n\nDla ostrosłupa o podstawie \\(n\\)-kącie:\n- \\(W = n + 1\\)\n- \\(K = 2n\\)\n- \\(\\acute{S} = n + 1\\) (n ścian bocznych \\(+\\) 1 podstawa)\n\nSprawdzamy wzór Eulera dla \\(n = 12\\):\n\n\\[(12+1) - 2 \\cdot 12 + (12+1) = 13 - 24 + 13 = 2 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy warunek zadania:\n\n\\[K - W = 2 \\cdot 12 - (12+1) = 24 - 13 = 11 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ostrosłupa i przeliczenie jego elementów. Wzór Eulera jest wiedzą spoza karty, ale służy tu tylko do weryfikacji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń liczy \\(K - W = n = 11\\), zapominając o \\(-1\\) przy upraszczaniu: \\(2n - (n+1) = n - 1\\), nie \\(n\\) |\n| B | Uczeń rozwiązuje \\(n - 1 = 11\\) poprawnie, ale liczy błędnie: \\(n = 11\\) zamiast \\(n = 12\\) (błąd arytmetyczny) |\n| D | Uczeń myli liczbę krawędzi podstawy z liczbą wszystkich krawędzi i stosuje \\(K = 3n\\) zamiast \\(2n\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek ostrosłupa to **\\(n + 1\\)**, nie \\(n\\) - nie zapomnij o wierzchołku górnym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krawędzi jest **\\(2n\\)** (n krawędzi podstawy \\(+\\) n krawędzi bocznych), nie \\(3n\\) (ściany boczne mają po 3 boki, ale krawędzie się współdzielą).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(2n - (n+1) = n - 1\\), więc \\(n = 12\\), a nie \\(11\\) - nie zgub tej jedynki!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Relacje w ostrosłupie \\(n\\)-kątnym\nOstrosłup, którego podstawą jest \\(n\\)-kąt, ma:\n- **wierzchołki**: \\(n\\) w podstawie + 1 wierzchołek = \\(n+1\\)\n- **krawędzie**: \\(n\\) w podstawie + \\(n\\) bocznych = \\(2n\\)\n\nRóżnica: \\(2n - (n+1) = n - 1 = 11\\Rightarrow n = 12\\). Podstawą jest **dwunastokąt**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie opcji\n- \\(n=10\\): krawędzie \\(20\\), wierzchołki \\(11\\), różnica \\(9\\) ✗\n- \\(n=11\\): krawędzie \\(22\\), wierzchołki \\(12\\), różnica \\(10\\) ✗\n- \\(n=12\\): krawędzie \\(24\\), wierzchołki \\(13\\), różnica \\(11\\) ✓\n- \\(n=13\\): krawędzie \\(26\\), wierzchołki \\(14\\), różnica \\(12\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. Dziesięciokąt** - daje różnicę \\(9\\).\n- **B. Jedenastokąt** - daje różnicę \\(10\\).\n- **D. Trzynastokąt** - daje różnicę \\(12\\).\n\n**Pamiętaj:** w ostrosłupie \\(n\\)-kątnym: wierzchołki = \\(n+1\\), krawędzie = \\(2n\\), różnica = \\(n-1\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nKąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego\nstożka jest równa\nA. 36π\nB. 18π\nC. 24π\nD. 8π","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w bryłach obrotowych\nz zastosowaniem trygonometrii (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = -51\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie ze średnich\n\n**Oznaczenia:** zestaw wyjściowy to \\(\\{4, 7, 8, x\\}\\) (4 liczby), po dołączeniu \\(2\\) mamy \\(\\{4, 7, 8, x, 2\\}\\) (5 liczb).\n\nZapisujemy obie średnie:\n\n\\[\\bar{a}_1 = \\frac{4 + 7 + 8 + x}{4} = \\frac{19 + x}{4}\\]\n\n\\[\\bar{a}_2 = \\frac{4 + 7 + 8 + x + 2}{5} = \\frac{21 + x}{5}\\]\n\nWarunek zadania - **średnia wzrośnie o 2**, czyli nowa jest o 2 większa od starej:\n\n\\[\\bar{a}_2 = \\bar{a}_1 + 2\\]\n\n\\[\\frac{21 + x}{5} = \\frac{19 + x}{4} + 2\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(20\\) (NWW z \\(4\\) i \\(5\\)):\n\n\\[4(21 + x) = 5(19 + x) + 40\\]\n\n\\[84 + 4x = 95 + 5x + 40\\]\n\n\\[84 + 4x = 135 + 5x\\]\n\n\\[84 - 135 = 5x - 4x\\]\n\n\\[\\boxed{x = -51}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem\n\nSprawdzamy, czy \\(x = -51\\) spełnia warunek zadania.\n\n**Zestaw wyjściowy** \\(\\{4, 7, 8, -51\\}\\):\n\n\\[\\bar{a}_1 = \\frac{4 + 7 + 8 + (-51)}{4} = \\frac{-32}{4} = -8\\]\n\n**Zestaw po dołączeniu 2** - \\(\\{4, 7, 8, -51, 2\\}\\):\n\n\\[\\bar{a}_2 = \\frac{4 + 7 + 8 + (-51) + 2}{5} = \\frac{-30}{5} = -6\\]\n\nRóżnica: \\(-6 - (-8) = 2\\) ✓\n\nWarunek zadania jest spełniony - średnia rzeczywiście wzrosła o \\(2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego wzoru dwukrotnie - dla zestawu 4-elementowego (dzielimy przez \\(4\\)) i 5-elementowego (dzielimy przez \\(5\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** \\((x = -6)\\) | Uczeń może pomylić \\(x\\) z wartością **nowej średniej** \\((-6)\\) - \"skoro nowa średnia to \\(-6\\), to \\(x = -6\\)\" |\n| **C** \\((x = 10)\\) | Błędne ustawienie równania np. \\(\\frac{19+x}{4} = \\frac{21+x}{5} + 2\\) (odwrócone strony - stara \\(=\\) nowa \\(+2\\) zamiast nowa \\(=\\) stara \\(+2\\)) |\n| **D** \\((x = 29)\\) | Błąd znaku: uczeń liczy \\(\\bar{a}_1 = \\bar{a}_2 + 2\\) zamiast \\(\\bar{a}_2 = \\bar{a}_1 + 2\\) - czyli przyjmuje, że stara średnia jest o 2 większa od nowej. Prowadzi do \\(x = 29\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Średnia wzrośnie o 2\" znaczy **nowa = stara + 2**, a nie odwrotnie. Pomylenie kierunku nierówności daje \\(x = 29\\) zamiast \\(x = -51\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nowy zestaw ma **5 elementów** - mianownik to \\(5\\), nie \\(4\\)! Dołączamy \\(2\\) i do sumy, i do liczby wyrazów. Zapomnienie o zmianie mianownika to jeden z najczęstszych błędów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(x = -51\\) wygląda \"za duży\" - uczniowie często odrzucają go jako błąd. Tutaj dodanie bardzo małej liczby (\\(-51\\)) sprawia, że dołączenie \\(2\\) znacząco podnosi średnią. Zawsze warto zweryfikować wynik podstawieniem!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Równanie średnich\nŚrednia z czterech liczb: \\(\\overline{m} = \\dfrac{4+7+8+x}{4} = \\dfrac{19+x}{4}\\).\nPo dodaniu \\(2\\) (pięć liczb): \\(\\overline{m}' = \\dfrac{4+7+8+x+2}{5} = \\dfrac{21+x}{5}\\).\nWarunek: \\(\\overline{m}' = \\overline{m} + 2\\):\n\\[\\dfrac{21+x}{5} = \\dfrac{19+x}{4} + 2.\\]\nMnożymy obustronnie przez 20:\n\\[4(21+x) = 5(19+x) + 40,\\]\n\\[84+4x = 95+5x+40,\\]\n\\[84+4x = 135+5x,\\]\n\\[-51 = x.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(x = -51\\): zestaw \\(4,7,8,-51\\), suma \\(-32\\), średnia \\(-8\\). Po dodaniu \\(2\\): suma \\(-30\\), średnia \\(-6\\). Różnica: \\(-6 - (-8) = 2\\) ✓\n\n### Sposób 3 - Rozumowanie w odwrotną stronę\nŚrednia wzrosła o \\(2\\), dlatego że nowa liczba \\(2\\) jest **dużo powyżej** starej średniej \\(\\overline{m}\\). Dokładnie: różnica między \\(2\\) a starą średnią razy nowa liczba/nowa liczność daje przyrost. \\(\\Delta\\overline{m} = \\tfrac{2 - \\overline{m}}{5} = 2\\Rightarrow \\overline{m} = -8\\). Stara średnia \\(-8\\) daje sumę \\(4\\cdot(-8) = -32 = 19+x\\Rightarrow x = -51\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(x=-6\\)** - to stara średnia w innych rozwiązaniach; błąd przy wyrażaniu.\n- **C. \\(x=10\\)** - ktoś pomylił się w kierunku zmiany średniej.\n- **D. \\(x=29\\)** - błąd rachunkowy, zły znak.\n\n**Pamiętaj:** średnia wzrasta o \\(2\\) po dodaniu liczby **większej** od średniej; skoro dodano \\(2\\), a średnia wzrosła, to stara musiała być bardzo mała.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nPrzekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od\nwysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną\npodstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).\nPłaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze\nA.\n°\n30\nB.\n°\n45\nC.\n°\n60\nD.\n°\n75","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach z zastosowaniem\ntrygonometrii (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(30\\)\n\n## Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny (wzór na \\(n\\)-ty wyraz)\n\nSzukamy liczby dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \\(3\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz pierwszą i ostatnią taką liczbę.**\n\nLiczby dwucyfrowe to liczby od \\(10\\) do \\(99\\).\n\n- Pierwsza liczba dwucyfrowa podzielna przez \\(3\\): \\(12\\) (bo \\(10 \\div 3\\) i \\(11 \\div 3\\) dają resztę, natomiast \\(12 = 3 \\cdot 4\\) ✓)\n- Ostatnia liczba dwucyfrowa podzielna przez \\(3\\): \\(99\\) (bo \\(99 = 3 \\cdot 33\\) ✓, a \\(100\\) jest już trzycyfrowa)\n\n**Krok 2: Rozpoznaj ciąg arytmetyczny.**\n\nLiczby \\(12, 15, 18, 21, \\ldots, 99\\) tworzą **ciąg arytmetyczny** o:\n- pierwszym wyrazie \\(a_1 = 12\\)\n- różnicy \\(r = 3\\)\n- ostatnim wyrazie \\(a_n = 99\\)\n\n**Krok 3: Oblicz liczbę wyrazów.**\n\nZe wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\\[99 = 12 + (n-1) \\cdot 3\\]\n\\[87 = (n-1) \\cdot 3\\]\n\\[n - 1 = 29\\]\n\\[\\boxed{n = 30}\\]\n\nWszystkich takich liczb jest **30**.\n\n## Sposób 2 - Dzielenie zakresów (bez ciągu)\n\nKażda \\(3\\)-ta liczba naturalna jest podzielna przez \\(3\\). Ile wielokrotności \\(3\\) mieści się w zbiorze \\(\\{10, 11, \\ldots, 99\\}\\)?\n\n**Wielokrotności \\(3\\) od \\(1\\) do \\(99\\):**\n\\[\\left\\lfloor \\frac{99}{3} \\right\\rfloor = 33\\]\nSą to: \\(3, 6, 9, \\ldots, 99\\) - łącznie \\(33\\) liczby.\n\n**Wielokrotności \\(3\\) od \\(1\\) do \\(9\\)** (jednocyfrowe):\n\\[\\left\\lfloor \\frac{9}{3} \\right\\rfloor = 3\\]\nSą to: \\(3, 6, 9\\) - łącznie \\(3\\) liczby.\n\n**Wielokrotności \\(3\\) dwucyfrowe:**\n\\[33 - 3 = \\boxed{30}\\]\n\nWynik potwierdzony: **30**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia liczby wyrazów ciągu \\(12, 15, \\ldots, 99\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A. \\(12\\) | Uczeń liczy tylko wielokrotności \\(3\\) w zakresie \\(10\\)-\\(39\\), czyli zatrzymuje się zbyt wcześnie |\n| B. \\(24\\) | Błędne wyznaczenie pierwszego wyrazu: uczeń zaczyna od \\(15\\) zamiast \\(12\\), albo liczy wielokrotności \\(3\\) od \\(12\\) do \\(81\\) - o jeden \"blok\" za mało |\n| C. \\(29\\) | Klasyczny błąd o \\(1\\): uczeń dostaje \\(n - 1 = 29\\) i zapomina dodać \\(1\\) na końcu (błąd \"płotu\" - \\(n\\) odcinków to \\(n+1\\) słupków!) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd o \\(1\\) - najczęstszy błąd w tym typie zadań! Jeśli ze wzoru wychodzi \\(n - 1 = 29\\), to \\(n = 30\\), nie \\(29\\). Sprawdź: pierwsza liczba (\\(12\\)) też jest jedną z szukanych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że liczby dwucyfrowe zaczynają się od \\(10\\), nie od \\(1\\). Nie licz wielokrotności \\(3\\) od początku, bo wliczysz jednocyfrowe \\(3, 6, 9\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybki test poprawności: \\(12 = 3 \\cdot 4\\), \\(99 = 3 \\cdot 33\\). Liczba wielokrotności \\(3\\) od \\(3\\cdot4\\) do \\(3\\cdot33\\) to \\(33 - 4 + 1 = 30\\). ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez \\(3\\): najmniejsza \\(12\\), największa \\(99\\). Różnica \\(r=3\\).\nLiczba wyrazów:\n\\[n = \\dfrac{99-12}{3}+1 = \\dfrac{87}{3}+1 = 29+1 = 30.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez podzielenie\nWszystkich liczb od \\(10\\) do \\(99\\) jest \\(99 - 10 + 1 = 90\\). Dokładnie co trzecia jest podzielna przez \\(3\\): \\(\\tfrac{90}{3} = 30\\).\n\n### Sposób 3 - Liczenie ilorazu\nLiczba podzielna przez \\(3\\) to \\(3k\\). \\(10\\leq 3k\\leq 99\\Leftrightarrow \\tfrac{10}{3}\\leq k\\leq 33\\), czyli \\(k\\in\\{4,5,\\ldots,33\\}\\). Liczba takich \\(k\\): \\(33-4+1=30\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(12\\)** - to najmniejsza dwucyfrowa podzielna przez \\(3\\), a nie ich liczba.\n- **B. \\(24\\)** - błąd rachunkowy.\n- **C. \\(29\\)** - pominięto, że liczymy włącznie obu końców (\\(99\\) też się liczy).\n\n**Pamiętaj:** w ciągu arytmetycznym od \\(a\\) do \\(b\\) z różnicą \\(r\\) jest \\(\\tfrac{b-a}{r}+1\\) wyrazów.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa 2\nx . Mediana\ntych liczb jest równa\nA. 26\nB. 27\nC. 28\nD. 29\nα\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią\nzadania.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie standardowe\ndanych; interpretuje te parametry dla danych\nempirycznych (10.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{24}\\)\n\n## Sposób 1 - Reguła mnożenia prawdopodobieństw (zdarzenia niezależne)\n\nDoświadczenie składa się z **trzech niezależnych rzutów**: moneta 1, moneta 2, kostka.\n\n**Krok 1 - prawdopodobieństwo orła na jednej monecie:**\n\\[P(\\text{orzeł}) = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2 - prawdopodobieństwo orła na drugiej monecie:**\n\\[P(\\text{orzeł}) = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3 - prawdopodobieństwo wypadnięcia 6 na kostce:**\n\\[P(6) = \\frac{1}{6}\\]\n\n**Krok 4 - zdarzenia są niezależne**, więc mnożymy:\n\\[P(\\text{dwa orły i szóstka}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{6} = \\boxed{\\frac{1}{24}}\\]\n\n## Sposób 2 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (zliczanie wyników)\n\n**Krok 1 - policz wszystkie możliwe wyniki doświadczenia.**\n\nKażda moneta daje 2 wyniki, kostka daje 6 wyników:\n\\[|\\Omega| = 2 \\cdot 2 \\cdot 6 = 24\\]\n\n**Krok 2 - policz wyniki sprzyjające.**\n\nSzukamy: orzeł na monecie 1 **i** orzeł na monecie 2 **i** szóstka na kostce.\nTaki wynik jest dokładnie **jeden**: \\((\\text{O}, \\text{O}, 6)\\).\n\\[|A| = 1\\]\n\n**Krok 3 - oblicz prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{1}{24}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia prawdopodobieństwa jako stosunku liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich wyników.\n\n**Dział 14 (s. 29-30)** - niezależność zdarzeń (reguła mnożenia):\nDla zdarzeń niezależnych \\(A\\) i \\(B\\):\n\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]\nUżyte w Sposobie 1 - trzy rzuty są niezależne, więc mnożymy ich prawdopodobieństwa.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A \\(\\frac{1}{48}\\) | Uczeń zakłada, że każda moneta ma 4 możliwe wyniki zamiast 2, lub liczy przestrzeń zdarzeń jako \\(4 \\cdot 2 \\cdot 6 = 48\\) - błędne podwojenie |\n| C \\(\\frac{1}{12}\\) | Uczeń liczy tylko **jedną** monetę zamiast dwóch: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{12}\\) - zapomina o drugiej monecie |\n| D \\(\\frac{1}{3}\\) | Uczeń dodaje prawdopodobieństwa zamiast mnożyć: \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{6} \\approx \\frac{1}{3} \\cdot 2\\) - błędne użycie reguły sumy zamiast iloczynu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla zdarzeń **niezależnych** mnożymy prawdopodobieństwa - nie dodajemy. Reguła sumy działa tylko dla zdarzeń wzajemnie wykluczających się.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie monety to **dwa osobne rzuty** - każdy z prawdopodobieństwem \\(\\frac{1}{2}\\). Nie myśl o tym jako \"jedno zdarzenie rzutu dwiema monetami\" z jednym wspólnym prawdopodobieństwem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy przestrzeń zdarzeń jest dobrze policzona. Tu \\(|\\Omega| = 2 \\cdot 2 \\cdot 6 = 24\\), a nie np. \\(2 + 2 + 6 = 10\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zdarzenia niezależne (karta wzorów)\nTrzy niezależne zdarzenia: orzeł na 1. monecie, orzeł na 2. monecie, 6 oczek na kostce.\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot \\dfrac{1}{2}\\cdot \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{1}{24}.\\]\n\n### Sposób 2 - Model klasyczny\nLiczba wszystkich zdarzeń: \\(2\\cdot 2\\cdot 6 = 24\\). Zdarzenie sprzyjające: \\((O, O, 6)\\) - dokładnie \\(1\\) kombinacja.\n\\[P = \\dfrac{1}{24}.\\]\n\n### Sposób 3 - Drzewo zdarzeń\nZ dwóch monet prawdopodobieństwo \\(OO\\) to \\(\\tfrac{1}{4}\\). Prawdopodobieństwo 6 na kostce: \\(\\tfrac{1}{6}\\). Razem: \\(\\tfrac{1}{4}\\cdot\\tfrac{1}{6}=\\tfrac{1}{24}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{48}\\)** - ktoś pomnożył \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{6}\\) (4 rzuty).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{12}\\)** - wzięto jedną monetę (\\(\\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{6}\\)).\n- **D. \\(\\tfrac{1}{3}\\)** - brak sensu; prawdopodobnie dodano ułamki zamiast pomnożyć.\n\n**Pamiętaj:** dla zdarzeń niezależnych \\(P(A\\cap B) = P(A)\\cdot P(B)\\). Tutaj trzy niezależne rzuty.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n2\n5\n3\n0\nx\nx\n>\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy\nprzedziałów (3.a).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania:\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n2\n5\n3\nx\nx\n• Obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n(\n)\n25\n4\n3\n2\n49\nΔ =\n-⋅-\n⋅\ni stąd\n1\n5\n7\n3\n4\nx\n= - oraz\n2\n5\n7\n1\n4\n2\nx\n,\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n3\n2\nx\nx\n⋅\noraz\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n, stąd\n1\n3\nx = - oraz\n2\n1\n2\nx =\n,\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub zaznaczając je na\nwykresie\n1\n3\nx = -,\n2\n1\n2\nx =\nDrugi etap rozwiązania:\nSzkicujemy parabolę, której ramiona skierowane są ku górze i zaznaczamy na osi Ox miejsca\nzerowe trójmianu.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n1\n, 3\n,\n2\n\n\n-∞-\n∪\n∞\n\n\n\n\nlub\n(\n)\n1\n, 3\n,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n∞\n\n\n\n\n,\nlub (\n3\nx < - lub\n1\n2\nx >\n).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n2\n5\n3\nx\nx\n-:\n1\n3\nx = -,\n2\n1\n2\nx =\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności\nalbo\n• popełni błędy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie\ndo popełnionych błędów rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: (\n) (\n)\n1\n2\n,\n3\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞ lub\n(\n) (\n)\n1\n2\n,\n3\n,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\nlub (\n3\nx < - lub\n1\n2\nx >\n).\nalbo\n• sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, parabola) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n3\nx < -,\n1\n2\nx >\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nUwaga:\nJeśli pierwiastki trójmianu są wyznaczone przy zastosowaniu błędnej metody, to za całe\nrozwiązanie zdający otrzymuje 0 punktów.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nAkceptujemy zapis przedziałów nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej lub\nbłędów\nw\nprzepisaniu,\nnp.:\n(\n)\n(\n)\n1\n2\n,\n3,\n-∞\n∪-\n+ ∞\nlub\n(\n)\n(\n)\n1\n2\n,\n3,\n-∞\n∪\n+ ∞,\nlub\n(\n) (\n)\n1\n2\n, 3\n,\n-∞\n∪\n+ ∞.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -4, \\, \\text{nie}\\rangle\\)\n\nPoczekaj - to zadanie otwarte, wyznaczam zbiór rozwiązań.\n\n**Wynik:** \\(x \\in (-\\infty, -4\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu kwadratowego\n\n**Krok 1: Rozwiń prawą stronę.**\n\n\\[(x-2)(x-8) = x^2 - 10x + 16\\]\n\n**Krok 2: Przenieś wszystko na lewą stronę** (odejmij obie strony od lewej).\n\n\\[3x^2 - 6x \\geq x^2 - 10x + 16\\]\n\\[3x^2 - 6x - x^2 + 10x - 16 \\geq 0\\]\n\\[2x^2 + 4x - 16 \\geq 0\\]\n\n**Krok 3: Uprość - podziel obustronnie przez \\(2 > 0\\)** (znak nierówności się nie zmienia!).\n\n\\[x^2 + 2x - 8 \\geq 0\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.**\n\n\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-8) = 4 + 32 = 36\\]\n\\[x_1 = \\frac{-2 - \\sqrt{36}}{2} = \\frac{-2 - 6}{2} = -4\\]\n\\[x_2 = \\frac{-2 + \\sqrt{36}}{2} = \\frac{-2 + 6}{2} = 2\\]\n\n**Krok 5: Odczytaj rozwiązanie nierówności.**\n\nTrójmian \\(x^2 + 2x - 8\\) ma **ramiona skierowane ku górze** (\\(a = 1 > 0\\)), więc jest **nieujemny poza miejscami zerowymi i w nich**:\n\n\\[x^2 + 2x - 8 \\geq 0 \\iff x \\leq -4 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 2\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -4\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja bezpośrednia\n\nPo uproszczeniu do \\(x^2 + 2x - 8 \\geq 0\\), zamiast liczyć deltę, możemy **rozłożyć na czynniki \"z głowy\"**:\n\nSzukamy dwóch liczb, których iloczyn to \\(-8\\), a suma to \\(2\\). To \\(4\\) i \\(-2\\):\n\n\\[x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\((x+4)(x-2) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8\\) ✓\n\nNierówność \\((x+4)(x-2) \\geq 0\\) jest spełniona, gdy **obydwa czynniki mają ten sam znak** (lub jeden jest zerem):\n\n| Przedział | \\(x+4\\) | \\(x-2\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -4\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = -4\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-4 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 2\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Wynik:** \\(x \\in (-\\infty, -4\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\) - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = -4\\), \\(x_2 = 2\\) trójmianu \\(x^2 + 2x - 8\\).\n\nKluczowa zasada (dział 7): gdy \\(a > 0\\), trójmian kwadratowy jest **nieujemny** dla \\(x \\leq x_1\\) lub \\(x \\geq x_2\\), a **ujemny** między pierwiastkami.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów na lewą stronę łatwo pomylić znaki. Sprawdź każdy wyraz osobno: \\(-(-10x) = +10x\\), \\(-(+16) = -16\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzią jest **suma dwóch przedziałów** - wielu uczniów zapisuje tylko jeden z nich lub błędnie zapisuje przedział środkowy \\(\\langle -4, 2 \\rangle\\) (to byłoby rozwiązanie nierówności **odwrotnej** \\(\\leq 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziałów **wliczamy** do rozwiązania (nierówność niestroga \\(\\geq\\)), więc używamy nawiasów domkniętych \\(\\langle\\rangle\\), nie ostrych \\(()\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x\\in(-\\infty,-4\\rangle \\cup \\langle 2,+\\infty)\\)\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie do postaci \\(ax^{2}+bx+c\\geq 0\\) (karta wzorów)\nRozwijamy prawą stronę:\n\\[(x-2)(x-8) = x^{2} - 10x + 16.\\]\nPrzenosimy wszystko na lewo:\n\\[3x^{2} - 6x - x^{2} + 10x - 16 \\geq 0 \\Rightarrow 2x^{2} + 4x - 16 \\geq 0.\\]\nDzielimy przez \\(2\\):\n\\[x^{2} + 2x - 8 \\geq 0.\\]\nObliczamy wyróżnik: \\(\\Delta = 4 + 32 = 36\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=6\\). Pierwiastki:\n\\[x_{1} = \\dfrac{-2-6}{2} = -4, \\quad x_{2} = \\dfrac{-2+6}{2} = 2.\\]\nWspółczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni, więc parabola otwarta w górę. Nierówność \\(\\geq 0\\) spełniona na zewnątrz pierwiastków:\n\\[x\\leq -4 \\text{ lub } x\\geq 2, \\text{ czyli } x\\in(-\\infty,-4\\rangle \\cup \\langle 2,+\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nZ równania \\(x^{2}+2x-8=0\\): \\(x_{1}+x_{2}=-2\\), \\(x_{1}\\cdot x_{2}=-8\\). Szukamy dwóch liczb: \\(2\\) i \\(-4\\). ✓\n\n### Sposób 3 - Rozkład na iloczyn\n\\(x^{2}+2x-8 = (x+4)(x-2)\\). Nierówność \\((x+4)(x-2)\\geq 0\\) - oba czynniki mają ten sam znak lub są zerami.\n- Obie dodatnie: \\(x\\geq 2\\).\n- Obie ujemne: \\(x\\leq -4\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: obliczenie pierwiastków trójmianu.\n- 2 p.: poprawny zbiór \\((-\\infty,-4\\rangle\\cup\\langle 2,+\\infty)\\).\n- Dzielenie stronami przez \\((x-2)\\) bez rozważenia znaku: **0 pkt.**\n\n**Trik:** po przeniesieniu wszystko na jedną stronę i uproszczeniu przez wspólny czynnik, nierówność kwadratowa z dodatnim współczynnikiem wiodącym jest spełniona **na zewnątrz** pierwiastków.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n3\n2\n6\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nwielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n2\n3\n0\nx\nx\nx\nlub\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n0\nx x\nx\n, stąd (\n)(\n)\n2\n3\n2\n0\nx\nx\nPonieważ wyrażenie\n2\n2\nx +\njest dodatnie, więc\n3\nx = -.\nII sposób\nStwierdzamy, że liczba\n3\n- jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n3\n2\n6\nx\nx\nx\n. Dzielimy ten\nwielomian przez dwumian (\n)\n3\nx +\ni otrzymujemy iloraz (\n)\n2\n2\nx +\n. Mamy więc równanie\npostaci (\n)(\n)\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n, a stąd otrzymujemy\n3\nx = -.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\n• gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynowej, np.: (\n)(\n)\n2\n3\n2\n0\nx\nx\nalbo\n• gdy podzieli wielomian\n3\n2\n3\n2\n6\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n3\nx +\n, otrzyma iloraz\n(\n)\n2\n2\nx +\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy rozwiązanie równania:\n3\nx = -.\n\na\nc\nb\nα","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{14}{23}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań (podstawienie)\n\n**Oznaczamy szukaną licznik i mianownik.**\n\nNiech szukany ułamek to \\(\\dfrac{p}{q}\\), gdzie \\(\\gcd(p, q) = 1\\) (ułamek nieskracalny).\n\n**Warunek 1:** Do licznika dodajemy \\(32\\), mianownik bez zmian → wynik to \\(2\\):\n\n\\[\\frac{p + 32}{q} = 2\\]\n\n**Warunek 2:** Od licznika i mianownika odejmujemy \\(6\\) → wynik to \\(\\dfrac{8}{17}\\):\n\n\\[\\frac{p - 6}{q - 6} = \\frac{8}{17}\\]\n\n**Z warunku 1** wyznaczamy \\(p\\):\n\n\\[p + 32 = 2q \\implies p = 2q - 32\\]\n\n**Podstawiamy do warunku 2:**\n\n\\[\\frac{(2q - 32) - 6}{q - 6} = \\frac{8}{17}\\]\n\n\\[\\frac{2q - 38}{q - 6} = \\frac{8}{17}\\]\n\n**Mnożymy na krzyż:**\n\n\\[17(2q - 38) = 8(q - 6)\\]\n\n\\[34q - 646 = 8q - 48\\]\n\n\\[26q = 598\\]\n\n\\[\\boxed{q = 23}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(p\\):**\n\n\\[p = 2 \\cdot 23 - 32 = 46 - 32 = \\boxed{14}\\]\n\n**Szukany ułamek to \\(\\dfrac{14}{23}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja i sprawdzenie nieskracalności\n\nSprawdzamy oba warunki dla \\(\\dfrac{14}{23}\\):\n\n**Warunek 1:**\n\\[\\frac{14 + 32}{23} = \\frac{46}{23} = 2 \\checkmark\\]\n\n**Warunek 2:**\n\\[\\frac{14 - 6}{23 - 6} = \\frac{8}{17} \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzamy nieskracalność:**\n\n\\(23\\) jest liczbą pierwszą. \\(14 = 2 \\times 7\\), więc \\(\\gcd(14, 23) = 1\\). Ułamek jest nieskracalny. \\(\\checkmark\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność tworzenia i rozwiązywania układu dwóch równań liniowych oraz mnożenia proporcji \"na krzyż\".\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „dodajemy 32 do licznika, mianownik niezmieniony → wynik równy 2\" oznacza, że **cały nowy ułamek** wynosi 2, nie że sam licznik wzrasta do 2. Łatwo tu o błędne równanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy warunku drugim odejmujemy 6 **od obu** - zarówno licznika, jak i mianownika. Błędem jest odjęcie tylko od jednego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie wymaga sprawdzenia nieskracalności wyniku! Gdybyśmy dostali ułamek skracalny, to albo popełniliśmy błąd w obliczeniach, albo zadanie byłoby sprzeczne z założeniem.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\dfrac{14}{23}\\)\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nNiech \\(\\tfrac{x}{y}\\) oznacza szukany ułamek nieskracalny. Z treści:\n\\[\\dfrac{x+32}{y} = 2 \\quad\\text{oraz}\\quad \\dfrac{x-6}{y-6} = \\dfrac{8}{17}.\\]\nZ pierwszego: \\(x + 32 = 2y\\), czyli \\(x = 2y - 32\\).\nZ drugiego: \\(17(x-6) = 8(y-6)\\), czyli \\(17x - 102 = 8y - 48\\), stąd \\(17x - 8y = 54\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 2y - 32\\):\n\\[17(2y-32) - 8y = 54,\\]\n\\[34y - 544 - 8y = 54,\\]\n\\[26y = 598,\\]\n\\[y = 23.\\]\nWtedy \\(x = 2\\cdot 23 - 32 = 14\\). Szukany ułamek: \\(\\dfrac{14}{23}\\). Sprawdzenie: \\(\\gcd(14,23)=1\\) - **nieskracalny** ✓.\n\n### Sposób 2 - Od ułamka \\(\\tfrac{8}{17}\\)\nDodając \\(6\\) do licznika i mianownika \\(\\tfrac{8}{17}\\) otrzymujemy \\(\\tfrac{14}{23}\\). Sprawdzamy: \\(\\tfrac{14+32}{23} = \\tfrac{46}{23} = 2\\) ✓.\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie warunków\nDla \\(\\tfrac{14}{23}\\):\n- Po dodaniu 32 do licznika: \\(\\tfrac{46}{23} = 2\\) ✓\n- Po odjęciu 6 od obu: \\(\\tfrac{8}{17}\\) ✓\n- Nieskracalny (14 i 23 nie mają wspólnych dzielników poza 1) ✓\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: zapisanie układu równań.\n- 2 p.: wyznaczenie ułamka \\(\\tfrac{14}{23}\\) z weryfikacją.\n- Jeżeli obliczysz tylko \\(x = 14\\) i \\(y = 23\\), ale nie zapiszesz ułamka - wg CKE dostajesz **2 pkt.**\n\n**Trik:** zamiast rozwiązywać pełny układ, można wyjść od \\(\\tfrac{8}{17}\\), dodać 6 do obu (\\(\\tfrac{14}{23}\\)) i sprawdzić warunek pierwszy.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i (\n)\n2\n3\nsin\ncos\n2\nα\nα\n. Oblicz wartość wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n3. Trygonometria. Zdający stosuje proste związki między\nfunkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (6.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy wyrażenie (\n)\n2\nsin\ncos\nα\nα\n, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat\nsumy i otrzymujemy\n2\n2\nsin\n2sin\ncos\ncos\nα\nα\nα\nα\nKorzystając z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= , otrzymujemy\n3\n1\n2sin\ncos\n2\nα\nα\n, a stąd\n1\n2sin\ncos\n2\nα\nα =\n, a zatem\n1\nsin\ncos\n4\nα\nα =\nII sposób\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz\nzaznaczamy kąt ostry α taki, że sin\na\nc\nα =\nlub cos\nb\nc\nα =\nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:\n2\n2\n2\nc\na\nb\nPonieważ\n(\n)\n2\n3\nsin\ncos\n2\nα\nα\n,\nwięc\n2\n3\n2\na\nb\nc\nc\n\n\n\n\n\n\n,\nczyli\n2\n2\n2\n2\n3\n2\na\nab\nb\nc\nStąd\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n1\n2\nc\nab\nab\nc\nc\n, zatem\n2\n1\n4\nab\nc\nPonieważ sin\na\nc\nα =\ni cos\nb\nc\nα =\n, to\n2\n1\n4\nab\nc\n. Zatem\n1\nsin\ncos\n4\nα\nα =\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\n• gdy przekształci wyrażenie (\n)\n2\nsin\ncos\nα\nα\ndo postaci\n2\n2\nsin\n2sin\ncos\ncos\nα\nα\nα\nα\nalbo\n• gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym\ntrójkącie kąt α i zapisze sin\na\nc\nα =\n, cos\nb\nc\nα =\noraz\n2\n2\n2\n2\n3\n2\na\nab\nb\nc\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy, że\n1\nsin\ncos\n4\nα\nα =\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie wyznaczy funkcje trygonometryczne do kąta wskazanego\nna rysunku i z tego korzysta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)\n\nNależy wykazać, że przy założeniu \\(abc = 1\\) zachodzi równość:\n\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = ab + ac + bc\\]\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie lewej strony do wspólnego mianownika\n\n**Od czego zaczynamy:** Kluczowa obserwacja - \\(a^{-1} = \\frac{1}{a}\\), więc lewa strona to suma ułamków. Sprowadzamy je do wspólnego mianownika \\(abc\\).\n\n**Krok 1.** Zapisujemy lewą stronę bez potęg ujemnych:\n\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}\\]\n\n**Krok 2.** Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(abc\\):\n\\[\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c} = \\frac{bc}{abc} + \\frac{ac}{abc} + \\frac{ab}{abc} = \\frac{ab + ac + bc}{abc}\\]\n\n**Krok 3.** Korzystamy z założenia \\(abc = 1\\):\n\\[\\frac{ab + ac + bc}{abc} = \\frac{ab + ac + bc}{1} = ab + ac + bc\\]\n\n**Zatem:**\n\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = ab + ac + bc \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie \\(c = \\frac{1}{ab}\\)\n\nPonieważ \\(abc = 1\\) i \\(a, b, c \\neq 0\\), możemy wyrazić \\(c\\) przez \\(a\\) i \\(b\\):\n\\[c = \\frac{1}{ab}\\]\n\n**Obliczamy lewą stronę:**\n\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{\\frac{1}{ab}} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + ab\\]\n\n**Obliczamy prawą stronę:**\n\\[ab + ac + bc = ab + a \\cdot \\frac{1}{ab} + b \\cdot \\frac{1}{ab} = ab + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{a}\\]\n\nObie strony są równe:\n\\[\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + ab = ab + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{a} \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - definicja potęgi o wykładniku ujemnym:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy tego w obu sposobach, zamieniając \\(a^{-1} = \\frac{1}{a}\\), \\(b^{-1} = \\frac{1}{b}\\), \\(c^{-1} = \\frac{1}{c}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(abc = 1\\) gwarantuje, że \\(a, b, c \\neq 0\\) - gdyby któraś z liczb była zerem, iloczyn byłby zerem. Nie trzeba tego sprawdzać osobno, ale warto o tym wspomnieć w dowodzie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd - zakładanie z góry, że równość zachodzi, i „działanie na obu stronach\" jednocześnie. Poprawny dowód startuje **z jednej strony** i przekształca ją do postaci drugiej (lub - jak w Sposobie 2 - oblicza obie strony niezależnie i porównuje).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(a^{-1}\\) z \\((-a)\\) - to nie minus \\(a\\), tylko **odwrotność** liczby \\(a\\), czyli \\(\\frac{1}{a}\\). Ta pomyłka uniemożliwia prawidłowe przekształcenie.\n\n**Zadanie typu \"wykaż\" - dowód**\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika\nLewa strona:\n\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = \\dfrac{1}{a} + \\dfrac{1}{b} + \\dfrac{1}{c} = \\dfrac{bc + ac + ab}{abc}.\\]\nZ warunku \\(abc = 1\\):\n\\[\\dfrac{ab + ac + bc}{abc} = \\dfrac{ab + ac + bc}{1} = ab + ac + bc.\\]\nCo należało wykazać.\n\n### Sposób 2 - Z \\(abc = 1\\) wyznaczamy iloczyny dwóch\n\\[bc = \\dfrac{1}{a}, \\quad ac = \\dfrac{1}{b}, \\quad ab = \\dfrac{1}{c}.\\]\nZatem:\n\\[ab + ac + bc = \\dfrac{1}{c} + \\dfrac{1}{b} + \\dfrac{1}{a} = a^{-1} + b^{-1} + c^{-1}.\\]\nCo należało wykazać.\n\n### Sposób 3 - Pomnożenie obu stron przez \\(abc\\)\nRówność \\(\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}+\\tfrac{1}{c} = ab+ac+bc\\) mnożymy obustronnie przez \\(abc\\):\nLewa strona: \\(bc+ac+ab\\). Prawa: \\(abc(ab+ac+bc) = ab+ac+bc\\) (bo \\(abc=1\\)). Obie strony równe.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: zapisanie lewej strony w postaci \\(\\tfrac{bc+ac+ab}{abc}\\) lub wyznaczenie \\(bc=\\tfrac{1}{a}\\) itp.\n- 2 p.: pełne uzasadnienie.\n- Sprawdzenie na przykładzie (np. \\(a=b=c=1\\)): **0 pkt** - to nie jest dowód ogólny.\n\n**Trik:** w zadaniach \"wykaż\" często warto sprowadzić do wspólnego mianownika - struktura iloczynu \\(abc\\) wprost wchodzi w odpowiedź.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nDany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano\nodpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że\n90\nDEC\nBGF\n°\n\n\n(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do\ntrójkąta FBG.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\n⋅\n⋅\n⋅\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur podobnych\nw zadaniach (7.b).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech\n\nα\nACB\nPonieważ\n90\n°\nCAB\n, więc\n90\n° -\n\nα\nABC\nW ΔCDE :\n90\n°\nDEC\n, więc\n90\n°-\n\nα\nCDE\nTrójkąt CDE jest prostokątny oraz\n90\n°\nDEC\n, więc\n90\n°-\n\nα\nCDE\nPodobnie trójkąt BFG jest prostokątny i\n90\nFGB =\n\n, więc\n\nα\nBFG\nPonieważ trójkąty CDE i BFG mają równe kąty, więc na podstawie cechy podobieństwa kkk\nsą podobne.\nII sposób\nNiech\nACB\nDCE\nα\n\n\ni\nABC\nFBG\nβ\n\n\nTrójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC (cecha kkk), bo\nACB\nDCE\nα\n\n\noraz\n90\nCAB\nDEC\n°\n\n\nPodobnie trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, (cecha kkk), bo\nABC\nFBG\nβ\n\n\noraz\n90\nCAB\nFGB\n°\n\n\nStąd trójkąt CED jest podobny do trójkąta FBG (z przechodniości relacji podobieństwa).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wskaże w dwóch trójkątach spośród trójkątów CBA, CDE i FBG jedną parę równych\nkątów ostrych i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, przy czym kąt przy\nwierzchołku B musi być wskazany dwukrotnie, jako kąt w obu trójkątach CBA i FBG,\nnp. zdający zapisze\nFBG\nCBA\n\n\nlub stwierdzi, że jest to wspólny kąt trójkątów\nCBA i FBG (analogicznie z kątem przy wierzchołku C w trójkątach CBA i CDE)\nalbo\n• zapisze, że trójkąt CBA jest podobny do trójkąta FBG i do trójkąta CDE i stąd\nwywnioskuje, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG, ale nie wskaże żadnej\npary równych kątów ostrych w tych trójkątach\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmie konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający przyjmie błędne zależności między kątami, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(-\\frac{121}{4}\\)\n\nNajmniejsza wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle -6, 6 \\rangle\\) wynosi \\(\\mathbf{-\\frac{121}{4}}\\) i jest przyjmowana w punkcie \\(x = \\frac{11}{2}\\).\n\n## Sposób 1 - Wierzchołek paraboli\n\nMamy \\(f(x) = x^2 - 11x\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -11\\), \\(c = 0\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz odcięte wierzchołka.**\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-11}{2 \\cdot 1} = \\frac{11}{2} = 5{,}5\\]\n\n**Krok 2: Sprawdź, czy wierzchołek leży w przedziale.**\n\nPytamy: czy \\(\\frac{11}{2} \\in \\langle -6,\\, 6 \\rangle\\)?\n\n\\[-6 \\leq \\frac{11}{2} \\leq 6\\]\n\nTak - \\(\\frac{11}{2} = 5{,}5 \\leq 6\\). **Wierzchołek leży w przedziale.**\n\n**Krok 3: Wyznacz wartość funkcji w wierzchołku.**\n\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana ramionami ku górze - wierzchołek to **globalne minimum**. Skoro wierzchołek jest w przedziale, to tam też leży minimum na \\(\\langle -6, 6 \\rangle\\).\n\n\\[q = f\\!\\left(\\frac{11}{2}\\right) = \\left(\\frac{11}{2}\\right)^2 - 11 \\cdot \\frac{11}{2} = \\frac{121}{4} - \\frac{121}{2} = \\frac{121}{4} - \\frac{242}{4} = -\\frac{121}{4}\\]\n\n**Minimalna wartość funkcji:** \\(\\displaystyle f\\!\\left(\\frac{11}{2}\\right) = -\\frac{121}{4}\\)\n\n## Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\nDopełniam do kwadratu, żeby wyrazić \\(f\\) w postaci kanonicznej:\n\n\\[f(x) = x^2 - 11x = \\left(x^2 - 11x + \\frac{121}{4}\\right) - \\frac{121}{4} = \\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 - \\frac{121}{4}\\]\n\nTeraz widać wprost:\n\n- Składnik \\(\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\).\n- Minimum tego wyrażenia wynosi \\(0\\) i jest osiągane gdy \\(x = \\frac{11}{2}\\).\n- Ponieważ \\(\\frac{11}{2} \\in \\langle -6, 6 \\rangle\\), minimum na tym przedziale to:\n\n\\[\\boxed{f\\!\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = 0 - \\frac{121}{4} = -\\frac{121}{4}}\\]\n\n**Kontrola wartości na końcach przedziału** (minimum globalne zawsze porównujemy z krańcami, gdy wierzchołek jest w przedziale):\n\n\\[f(-6) = 36 - 11 \\cdot (-6) = 36 + 66 = 102\\]\n\\[f(6) = 36 - 66 = -30\\]\n\nSprawdzamy: \\(-\\frac{121}{4} = -30{,}25 < -30 < 102\\). Potwierdzamy - minimum to \\(-\\frac{121}{4}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nUżyliśmy obu wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia wierzchołka - czyli punktu, w którym parabola przyjmuje minimum (bo \\(a > 0\\)).\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nZastosowana wprost w Sposobie 2 - dopełnienie do kwadratu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy wierzchołek leży w przedziale! Gdyby \\(p \\notin \\langle -6, 6 \\rangle\\), minimum szukalibyśmy na odpowiednim końcu przedziału - to zupełnie inny przypadek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myL minimum z wartościami na krańcach. Tu \\(f(6) = -30\\) jest większe niż \\(f(5{,}5) = -30{,}25\\) - różnica wydaje się mała, ale zadanie pyta o wartość dokładną, a nie przybliżoną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamek \\(-\\frac{121}{4}\\) łatwo pomylić z \\(-\\frac{11}{2}\\) (odciętą wierzchołka). Jedna to \\(x\\), druga to \\(f(x)\\) - to różne rzeczy!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(f\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = -\\dfrac{121}{4} = -30\\tfrac{1}{4}\\)\n\n### Sposób 1 - Wierzchołek paraboli w przedziale (karta wzorów)\n\\(f(x) = x^{2} - 11x\\), \\(a=1>0\\), parabola ramionami w górę.\nPierwsza współrzędna wierzchołka: \\(x_{w} = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-11}{2\\cdot 1} = \\dfrac{11}{2} = 5{,}5\\).\n\nSprawdzamy: \\(\\tfrac{11}{2}\\in\\langle -6, 6\\rangle\\)? Tak, bo \\(-6\\leq 5{,}5\\leq 6\\). ✓\n\nPonieważ parabola jest ramionami w górę, najmniejsza wartość jest osiągnięta w wierzchołku:\n\\[f\\left(\\dfrac{11}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{11}{2}\\right)^{2} - 11\\cdot \\dfrac{11}{2} = \\dfrac{121}{4} - \\dfrac{242}{4} = -\\dfrac{121}{4} = -30\\dfrac{1}{4}.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[f(x) = \\left(x - \\dfrac{11}{2}\\right)^{2} - \\dfrac{121}{4}.\\]\nNajmniejsza wartość wyrażenia w kwadracie to \\(0\\) (dla \\(x=\\tfrac{11}{2}\\)), więc minimum całej funkcji: \\(-\\tfrac{121}{4}\\).\n\n### Sposób 3 - Pochodna\n\\(f'(x) = 2x - 11 = 0 \\Rightarrow x = 5{,}5\\). W tym punkcie \\(f''(x)=2>0\\), więc to minimum. Wartość: \\(f(5{,}5) = 5{,}5^{2} - 11\\cdot 5{,}5 = 30{,}25 - 60{,}5 = -30{,}25 = -\\tfrac{121}{4}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: obliczenie \\(x_{w} = \\tfrac{11}{2}\\) i stwierdzenie, że należy do przedziału.\n- 2 p.: podanie wartości \\(f\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = -\\tfrac{121}{4}\\).\n- Sprawdzenie tylko wartości na końcach przedziału bez argumentacji: wg CKE można dostać 2 pkt, jeśli wypiszesz wszystkie trzy (\\(f(-6)=102, f(\\tfrac{11}{2})=-30\\tfrac{1}{4}, f(6)=-30\\)) i podasz prawidłową odpowiedź.\n\n**Trik:** zawsze najpierw sprawdź, czy wierzchołek leży w przedziale. Jeśli tak, a parabola jest ramionami w górę, to wierzchołek daje minimum.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n2\n2\n2\nna\nn\nn\ndla\n1\nn ≥. Wykaż, że suma każdych dwóch\nkolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami\nskróconego mnożenia: (a ± b)2 (2.a).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozważmy wyraz\n2\n2\n2\nna\nn\nn\nWyraz\n1\nna + można zapisać, jako\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n6\n4\nna\nn\nn\nn\nn\nWtedy\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n6\n4\n4\n8\n4\nn\nn\na\na\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nZatem\n(\n)\n2\n1\n2\n2\nn\nn\na\na\nn\nLiczba 2\n2\nn\njest naturalna. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie zapisze sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu, np:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n1\nn\nn\na\na\nn\nn\nn\nn\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych wartości n, to otrzymuje\n0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Wykazanie (zadanie otwarte)\n\nDano: \\(|AS| = \\dfrac{5}{6}|AC|\\). Należy wykazać, że \\(P(\\triangle ABS) = 25 \\cdot P(\\triangle DCS)\\).\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (metoda klasyczna)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy stosunek |AS| do |SC|**\n\nSkoro \\(|AS| = \\dfrac{5}{6}|AC|\\) oraz \\(|SC| = |AC| - |AS|\\), to:\n\\[|SC| = |AC| - \\frac{5}{6}|AC| = \\frac{1}{6}|AC|\\]\n\nStąd:\n\\[\\frac{|AS|}{|SC|} = \\frac{\\frac{5}{6}|AC|}{\\frac{1}{6}|AC|} = 5\\]\n\n**Krok 2: Dowodzimy, że trójkąty \\(ABS\\) i \\(CDS\\) są podobne**\n\nPonieważ \\(AB \\parallel CD\\) (podstawy trapezu), proste \\(AB\\) i \\(CD\\) są przecięte przez sieczne \\(AC\\) i \\(BD\\). Zatem:\n\n- \\(\\angle SAB = \\angle SCD\\) - kąty naprzemianległe przy równoległych prostych \\(AB \\parallel CD\\) i siecznej \\(AC\\)\n- \\(\\angle SBA = \\angle SDC\\) - kąty naprzemianległe przy równoległych prostych \\(AB \\parallel CD\\) i siecznej \\(BD\\)\n\nZ warunku **kąt-kąt (KK)** wynika:\n\\[\\triangle ABS \\sim \\triangle CDS\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy współczynnik podobieństwa**\n\nOdpowiadające sobie boki to \\(AS\\) i \\(CS\\), zatem współczynnik podobieństwa:\n\\[k = \\frac{|AS|}{|CS|} = 5\\]\n\n**Krok 4: Stosunek pól trójkątów podobnych**\n\nPola figur podobnych mają się jak **kwadrat współczynnika podobieństwa** (Dział 10, s. 21):\n\\[\\frac{P(\\triangle ABS)}{P(\\triangle CDS)} = k^2 = 5^2 = 25\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{P(\\triangle ABS) = 25 \\cdot P(\\triangle DCS)}\\]\n\nco należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez współrzędne\n\nDobieramy konkretny trapez spełniający warunek i sprawdzamy wynik liczbowo.\n\n**Budujemy trapez:** niech \\(D = (0,0)\\), \\(C = (2,0)\\), \\(A = (-4,6)\\), \\(B = (6,6)\\)\n(wówczas \\(AB \\parallel CD\\), \\(|AB| = 10\\), \\(|CD| = 2\\)).\n\n**Sprawdzamy, gdzie przecinają się przekątne:**\n\nPunkt \\(S\\) leży na \\(AC\\): używamy \\(S = A + t(C - A)\\) dla \\(t = \\dfrac{5}{6}\\):\n\\[S = (-4,6) + \\frac{5}{6}\\cdot(6,-6) = (-4+5,\\; 6-5) = (1,1)\\]\n\nSprawdzamy czy \\(S\\) leży na \\(BD\\): \\(S = B + t(D-B)\\) dla \\(t = \\dfrac{5}{6}\\):\n\\[(6,6) + \\frac{5}{6}(-6,-6) = (1,1) \\checkmark\\]\n\n**Liczymy pola wzorem ze współrzędnych:**\n\n\\[P(\\triangle ABS) = \\frac{1}{2}\\left|\\det\\begin{pmatrix}B_x-A_x & S_x-A_x \\\\ B_y-A_y & S_y-A_y\\end{pmatrix}\\right| = \\frac{1}{2}\\left|\\det\\begin{pmatrix}10 & 5 \\\\ 0 & -5\\end{pmatrix}\\right| = \\frac{1}{2}\\cdot 50 = 25\\]\n\n\\[P(\\triangle DCS) = \\frac{1}{2}\\left|\\det\\begin{pmatrix}-2 & -1 \\\\ 0 & 1\\end{pmatrix}\\right| = \\frac{1}{2}\\cdot 2 = 1\\]\n\nStosunek:\n\\[\\frac{P(\\triangle ABS)}{P(\\triangle DCS)} = \\frac{25}{1} = 25 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - Pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\ngdzie \\(k\\) to współczynnik podobieństwa. Użyliśmy tego w Kroku 4 Sposobu 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Kryterium podobieństwa trójkątów KK (kąt-kąt): dwa trójkąty są podobne, gdy mają dwie pary równych kątów. Użyliśmy tego w Kroku 2.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 24)** - Pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić stosunek \\(|AS|/|AC|\\) z \\(|AS|/|SC|\\). Dane mówią, że \\(|AS| = \\dfrac{5}{6}|AC|\\), więc \\(|SC| = \\dfrac{1}{6}|AC|\\) - współczynnik podobieństwa to \\(\\dfrac{|AS|}{|SC|} = 5\\), **nie** \\(\\dfrac{5}{6}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pola figur podobnych mają się jak \\(k^2\\), a nie \\(k\\). Wynik to \\(5^2 = 25\\), nie \\(5\\). To bardzo częsty błąd na maturze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo \\(\\triangle ABS \\sim \\triangle CDS\\) wymaga **kolejności wierzchołków** - sprawdź, że porównujesz odpowiadające sobie wierzchołki: \\(A \\leftrightarrow C\\), \\(B \\leftrightarrow D\\), \\(S \\leftrightarrow S\\). Odwrotna kolejność dałaby błędny stosunek boków.\n\n**Zadanie typu \"wykaż\" - dowód**\n\n### Sposób 1 - Trójkąty podobne (karta wzorów)\nW trapezie \\(ABCD\\) podstawy \\(AB\\parallel CD\\). Przekątne \\(AC\\) i \\(BD\\) przecinają się w \\(S\\).\n\nTrójkąty \\(ABS\\) i \\(CDS\\) są **podobne** (cecha KKK):\n- \\(\\measuredangle ASB = \\measuredangle CSD\\) (kąty wierzchołkowe),\n- \\(\\measuredangle SAB = \\measuredangle SCD\\) (kąty naprzemianległe przy prostych \\(AB\\parallel CD\\) i siecznej \\(AC\\)),\n- \\(\\measuredangle SBA = \\measuredangle SDC\\) (analogicznie, przy siecznej \\(BD\\)).\n\nZ warunku \\(|AS| = \\tfrac{5}{6}|AC|\\) wynika, że \\(|CS| = \\tfrac{1}{6}|AC|\\). Skala podobieństwa trójkąta \\(ABS\\) do \\(CDS\\):\n\\[k = \\dfrac{|AS|}{|CS|} = \\dfrac{\\tfrac{5}{6}|AC|}{\\tfrac{1}{6}|AC|} = 5.\\]\n\nStosunek pól podobnych figur równa się kwadratowi skali:\n\\[\\dfrac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^{2} = 25.\\]\nZatem \\(P_{ABS} = 25\\cdot P_{CDS}\\). Co należało wykazać.\n\n### Sposób 2 - Wzór na pole z sinusem (karta wzorów)\nKąt \\(\\measuredangle ASB = \\measuredangle CSD = \\varphi\\) (wierzchołkowe). Wzór na pole trójkąta z sinusem:\n\\[P_{ABS} = \\dfrac{1}{2}|AS|\\cdot |BS|\\cdot \\sin\\varphi, \\quad P_{CDS} = \\dfrac{1}{2}|CS|\\cdot |DS|\\cdot \\sin\\varphi.\\]\nZ twierdzenia Talesa (przy \\(AB\\parallel CD\\)): \\(\\dfrac{|AS|}{|CS|} = \\dfrac{|BS|}{|DS|} = 5\\). Zatem:\n\\[\\dfrac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = \\dfrac{|AS|\\cdot |BS|}{|CS|\\cdot |DS|} = 5\\cdot 5 = 25.\\]\n\n### Sposób 3 - Wspólna wysokość\nTrójkąty \\(ABS\\) i \\(CDS\\) mają wspólny kąt (wierzchołkowy) w \\(S\\). Stosunek odpowiadających boków: \\(|AS|:|CS| = 5:1\\) i analogicznie \\(|BS|:|DS| = 5:1\\). Stosunek pól podobnych figur = kwadrat skali = \\(25\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: uzasadnienie podobieństwa trójkątów i skala \\(k=5\\).\n- 2 p.: pełny dowód \\(P_{ABS} = 25\\cdot P_{CDS}\\).\n- Przyjęcie konkretnej długości (\\(|AC|=6\\) itp.): **0 pkt**.\n\n**Trik:** w trapezie przekątne wyznaczają dwie pary trójkątów **podobnych** ze wspólnym wierzchołkiem \\(S\\). Skala wynika bezpośrednio z proporcji odcinków.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nW skończonym ciągu arytmetycznym (\n)\nna\npierwszy wyraz\n1a jest równy 7 oraz ostatni\nwyraz\nna jest równy 89. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 2016.\nOblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego (5.c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWykorzystujemy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nrównanie z niewiadomą n:\n7\n89\n2016\n2\nn\nS\nn\n⋅\nObliczamy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego n:\n42\nn =\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze\nrównanie z niewiadomą n: 7\n89\n2016\n2\nn\n⋅\nalbo\nukład równań z niewiadomymi n i r:\n(\n)\n(\n)\n7\n1\n89\n2 7\n1\n2016\n2\nn\nr\nn\nr n\n\n\n⋅+\n⋅\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego: 42.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(S = 676\\,368\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ostatniego dodatniego wyrazu i wzór na sumę\n\n**Krok 1: Znajdź, które wyrazy są dodatnie.**\n\n\\[a_n > 0 \\implies 2016 - 3n > 0 \\implies 3n < 2016 \\implies n < 672\\]\n\nZatem wyrazy dodatnie to \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{671}\\).\n\n**Krok 2: Sprawdź graniczne wartości.**\n\n\\[a_{671} = 2016 - 3 \\cdot 671 = 2016 - 2013 = 3 > 0 \\checkmark\\]\n\\[a_{672} = 2016 - 3 \\cdot 672 = 2016 - 2016 = 0 \\quad \\text{(nie dodatni!)}\\]\n\nPierwszy wyraz: \\(a_1 = 2016 - 3 = 2013\\). Ostatni dodatni: \\(a_{671} = 3\\).\n\n**Krok 3: Oblicz sumę wzorem na sumę ciągu arytmetycznego.**\n\n\\[S_{671} = \\frac{a_1 + a_{671}}{2} \\cdot 671 = \\frac{2013 + 3}{2} \\cdot 671 = \\frac{2016}{2} \\cdot 671 = 1008 \\cdot 671\\]\n\n\\[\\boxed{S_{671} = 1008 \\cdot 671 = 676\\,368}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór z różnicą \\(r\\)\n\nOdczytaj parametry ciągu z wzoru ogólnego \\(a_n = -3n + 2016\\):\n- pierwszy wyraz: \\(a_1 = 2013\\)\n- różnica: \\(r = -3\\) (współczynnik przy \\(n\\))\n\nZastosuj drugi wariant wzoru na sumę:\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\n\\[S_{671} = \\frac{2 \\cdot 2013 + 670 \\cdot (-3)}{2} \\cdot 671 = \\frac{4026 - 2010}{2} \\cdot 671 = \\frac{2016}{2} \\cdot 671 = 1008 \\cdot 671 = 676\\,368\\]\n\nWynik zgodny - **\\(S = 676\\,368\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny i sumę ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nW Sposobie 1 użyliśmy formy \\(\\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) (średnia skrajnych wyrazów razy liczba wyrazów). W Sposobie 2 użyliśmy formy \\(\\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\) - obie są na karcie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a_{672} = 0\\) - zero **nie jest** wyrazem dodatnim! Łatwo wziąć 672 zamiast 671 wyrazów i uzyskać błędny wynik \\(S_{672} = \\frac{2013 + 0}{2} \\cdot 672 = 676\\,368\\) - tu wynik wychodzi taki sam przez przypadek (bo \\(a_{672} = 0\\)), ale przy podobnych zadaniach z inną granicą błąd jest kosztowny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica ciągu to \\(r = -3\\), bo ciąg jest **malejący** (wyrazy maleją o 3). Wiele osób czyta \\(r = 3\\) i szuka wyrazów „coraz większych\" - w tym ciągu jest odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba wyrazów to \\(671\\), a nie \\(670\\) ani \\(672\\) - pamiętaj, że wyrazy dodatnie to \\(a_1\\) przez \\(a_{671}\\), czyli łącznie \\(671\\) wyrazów (nie \\(671 - 1 = 670\\)!).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(S_{671} = 676\\,368\\)\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta wzorów)\nPierwszy wyraz: \\(a_{1} = 2016 - 3 = 2013\\). Różnica ciągu: z \\(a_{n+1} - a_{n} = -3\\), czyli \\(r = -3\\).\n\nWyraz dodatni: \\(a_{n} > 0\\):\n\\[2016 - 3n > 0 \\Rightarrow n < 672.\\]\nWyrazy dodatnie: \\(n = 1, 2, \\ldots, 671\\). \\(a_{672} = 2016 - 2016 = 0\\) (nie jest dodatni).\n\nOstatni wyraz dodatni: \\(a_{671} = 2016 - 3\\cdot 671 = 2016 - 2013 = 3\\).\n\nSuma:\n\\[S_{671} = \\dfrac{a_{1}+a_{671}}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{2013+3}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{2016}{2}\\cdot 671 = 1008\\cdot 671.\\]\n\\(1008\\cdot 671 = 1008\\cdot 700 - 1008\\cdot 29 = 705\\,600 - 29\\,232 = 676\\,368.\\)\n\n### Sposób 2 - Wzór ze wzoru z różnicą\n\\[S_{n} = \\dfrac{2a_{1} + (n-1)r}{2}\\cdot n.\\]\nDla \\(n=671, a_{1}=2013, r=-3\\):\n\\[S_{671} = \\dfrac{2\\cdot 2013 + 670\\cdot(-3)}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{4026 - 2010}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{2016}{2}\\cdot 671 = 1008\\cdot 671 = 676\\,368.\\]\n\n### Sposób 3 - Przez sumę do 672\nMożna też zauważyć, że \\(a_{672}=0\\), więc \\(S_{672}=S_{671}\\). Obliczając \\(S_{672}\\):\n\\[S_{672} = \\dfrac{2013+0}{2}\\cdot 672 = \\tfrac{2013}{2}\\cdot 672 = 2013\\cdot 336 = 676\\,368.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: obliczenie \\(a_{1}=2013\\) lub \\(r=-3\\), lub zapisanie warunku \\(2016-3n>0\\).\n- 2 p.: obliczenie \\(a_{1}=2013\\) **oraz** \\(r=-3\\) (lub \\(n<672\\)).\n- 3 p.: obliczenie liczby wyrazów dodatnich \\(n=671\\).\n- 4 p.: obliczenie sumy \\(S_{671} = 676\\,368\\).\n\n**Trik:** warto zauważyć, że \\(a_{672}=0\\), więc dodanie go do sumy niczego nie zmienia - można użyć wygodniejszej liczby wyrazów.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nJeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów,\nktóre różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich (7.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech α oznacza najmniejszy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\n50\nα +\n° oraz 3α . Suma kątów trójkąta jest równa 180°, więc\n3\n50\n180\nα\nα\nα\n° =\n°,\n5\n130\nα =\n° ,\n26\nα =\n°.\nStąd\n50\n76\nα +\n° =\n° oraz 3\n78\nα =\n° .\nII sposób\nNiech α oznacza największy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\n50\n3 +\n°\nα\noraz 3\nα .\nSuma kątów trójkąta jest równa 180°, więc\n50\n180\n3\n3\n°+\n°\nα\nα\nα\n,\n5\n390\n°\nα\n,\n78\n°\nα\nStąd\n26\n3 =\n°\nα\noraz\n50\n76\n3 +\n° =\n°\nα\nIII sposób\nNiech α oznacza ten kąt trójkąta, który nie jest ani największy, ani najmniejszy. Zatem\npozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\n50\n°\nα\noraz (\n)\n3\n50\n°\nα\n. Suma kątów trójkąta jest\nrówna 180°, więc\n(\n)\n50\n3\n50\n180\n°+\n° =\n°\nα\nα\nα\n,\n5\n380\n°\nα\n,\n76\n°\nα\nStąd\n50\n26\n° =\n°\nα\noraz (\n)\n3\n50\n78\n° =\n°\nα\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze:\n• kąty trójkąta w zależności od jednego kąta, np.:\nα ,\n50\nα +\n° , 3α lub\n,\n50 ,\n3\n3 +\n°\nα α\nα , lub\n(\n)\n50 ,\n, 3\n50\n°\n°\nα\nα\nα\nalbo\n• układ dwóch równań, np.\n50\n180\n3 ,\nα\nα\nβ\nβ\nα\n°+\n°\n\n\n\nalbo\n• układ trzech równań, np.\n180\n3\n50\nα\nβ\nγ\nγ\nα\nβ\nα\n°\n\n=\n\n\n°\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n3\n50\n180\nα\nα\nα\n° =\n° lub\n50\n180\n3\n3\n°+\n°\nα\nα\nα\n, lub\n(\n)\n50\n3\n50\n180\n° +\n° =\n°\nα\nα\nα\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy jeden z kątów trójkąta, np.:\n26\nα =\n° lub\n78\n°\nα\n, lub\n76\n°\nα\ni na tym\nzakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy wszystkie kąty trójkąta.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający tylko poda kąty (26°,76°,78°), to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający tylko poda kąty i sprawdzi wszystkie warunki zadania, to otrzymuje\n2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B = (7, 4,5) i |AB| = 12,5\n\n*(Zadanie otwarte - \"A\" w kluczu to oznaczenie wersji arkusza, nie opcja wyboru.)*\n\n## Sposób 1 - prosta prostopadła przez C\n\n**Krok 1: Ustalamy, gdzie leży kąt prosty.**\n\nAB to **przeciwprostokątna**, więc kąt prosty leży przy wierzchołku **C**. Oznacza to:\n\\[CB \\perp CA\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy kierunek prostej CA.**\n\n\\[\\vec{CA} = A - C = (-3-2,\\ -3-7) = (-5,\\ -10)\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej CA:\n\\[a_{CA} = \\frac{-10}{-5} = 2\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy kierunek prostej CB (prostopadłej do CA).**\n\nZ warunku prostopadłości \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\):\n\\[a_{CB} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 4: Piszemy równanie prostej CB** (przez C = (2, 7)):\n\\[y - 7 = -\\frac{1}{2}(x - 2)\\]\n\\[y = -\\frac{1}{2}x + 1 + 7 = -\\frac{1}{2}x + 8\\]\n\n**Krok 5: Szukamy punktu B** - przecięcie prostej CB z prostą AB \\(\\left(y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{4}\\right)\\):\n\\[\\frac{3}{4}x - \\frac{3}{4} = -\\frac{1}{2}x + 8\\]\n\\[\\frac{3}{4}x + \\frac{2}{4}x = 8 + \\frac{3}{4}\\]\n\\[\\frac{5}{4}x = \\frac{35}{4}\\]\n\\[x = 7\\]\n\n\\[y = -\\frac{1}{2} \\cdot 7 + 8 = -\\frac{7}{2} + 8 = \\frac{9}{2} = 4{,}5\\]\n\n\\[\\boxed{B = \\left(7,\\ \\frac{9}{2}\\right)}\\]\n\n**Krok 6: Obliczamy długość AB.**\n\n\\(A = (-3,\\ -3)\\), \\(B = \\left(7,\\ \\frac{9}{2}\\right)\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(7-(-3))^2 + \\left(\\frac{9}{2}-(-3)\\right)^2} = \\sqrt{10^2 + \\left(\\frac{15}{2}\\right)^2}\\]\n\\[= \\sqrt{100 + \\frac{225}{4}} = \\sqrt{\\frac{400+225}{4}} = \\sqrt{\\frac{625}{4}} = \\frac{25}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{|AB| = \\frac{25}{2} = 12{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - warunek prostopadłości przez iloczyn skalarny\n\n**Parametryzujemy punkt B** leżący na prostej \\(y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{4}\\):\n\\[B = \\left(t,\\ \\frac{3t-3}{4}\\right)\\]\n\n**Warunek kąta prostego w C** - wektory \\(\\vec{CA}\\) i \\(\\vec{CB}\\) muszą być prostopadłe, czyli ich iloczyn skalarny = 0:\n\\[\\vec{CA} = (-5,\\ -10), \\qquad \\vec{CB} = \\left(t-2,\\ \\frac{3t-3}{4}-7\\right) = \\left(t-2,\\ \\frac{3t-31}{4}\\right)\\]\n\n\\[\\vec{CA} \\cdot \\vec{CB} = (-5)(t-2) + (-10)\\cdot\\frac{3t-31}{4} = 0\\]\n\\[-5(t-2) - \\frac{10(3t-31)}{4} = 0\\quad \\Big/\\cdot 4\\]\n\\[-20(t-2) - 10(3t-31) = 0\\]\n\\[-20t + 40 - 30t + 310 = 0\\]\n\\[-50t + 350 = 0\\]\n\\[t = 7\\]\n\nStąd:\n\\[y_B = \\frac{3 \\cdot 7 - 3}{4} = \\frac{18}{4} = \\frac{9}{2}\\]\n\nWynik identyczny: **B = (7, 4,5)**, \\(|AB| = \\frac{25}{2}\\).\n\n**Weryfikacja kąta prostego:**\n\\[\\vec{CA} = (-5,\\ -10), \\quad \\vec{CB} = (5,\\ -\\frac{5}{2})\\]\n\\[\\vec{CA} \\cdot \\vec{CB} = (-5)(5) + (-10)\\left(-\\frac{5}{2}\\right) = -25 + 25 = 0 \\ \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n- Długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte do obliczenia \\(|AB|\\) w kroku 6.\n\n- Warunek prostopadłości prostych (współczynniki kierunkowe):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyte do wyznaczenia kierunku prostej CB.\n\n- Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\)\nUżyte do zapisania prostej CB.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest **przy C**, nie przy B! \"Przeciwprostokątna\" to najdłuższy bok naprzeciwko kąta prostego - skoro przeciwprostokątna to AB, kąt prosty musi być przy C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\frac{9}{2} - (-3) = \\frac{9}{2} + 3 = \\frac{15}{2}\\), nie \\(\\frac{9}{2} - 3 = \\frac{3}{2}\\). Mylenie znaku w tym miejscu daje błędne \\(|AB|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to **odwrotność ze zmianą znaku**: jeśli \\(a_1 = 2\\), to \\(a_2 = -\\frac{1}{2}\\), a nie \\(-2\\) ani \\(\\frac{1}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(B = \\left(7, 4\\tfrac{1}{2}\\right)\\), \\(|AB| = \\dfrac{25}{2} = 12\\tfrac{1}{2}\\)\n\n### Sposób 1 - Prostopadłość prostych (karta wzorów)\nWspółczynnik kierunkowy \\(AC\\):\n\\[a_{AC} = \\dfrac{7-(-3)}{2-(-3)} = \\dfrac{10}{5} = 2.\\]\nSkoro \\(\\measuredangle ACB = 90^{\\circ}\\) (prosty), to \\(CB\\perp AC\\). Współczynnik \\(a_{CB}\\cdot a_{AC} = -1 \\Rightarrow a_{CB} = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\nProsta \\(CB\\) przez \\(C=(2,7)\\): \\(y - 7 = -\\tfrac{1}{2}(x-2)\\), czyli \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + 8\\).\n\nWspółrzędne \\(B\\) z układu:\n\\[y = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{3}{4}, \\quad y = -\\tfrac{1}{2}x + 8.\\]\n\\[\\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{3}{4} = -\\tfrac{1}{2}x + 8.\\]\nMnożymy przez 4: \\(3x - 3 = -2x + 32 \\Rightarrow 5x = 35 \\Rightarrow x = 7\\).\n\\(y = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 7 + 8 = -3{,}5 + 8 = 4{,}5 = 4\\tfrac{1}{2}\\).\nZatem \\(B = \\left(7, 4\\tfrac{1}{2}\\right)\\).\n\nDługość \\(AB\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(7-(-3))^{2} + (4{,}5-(-3))^{2}} = \\sqrt{100 + 7{,}5^{2}} = \\sqrt{100 + 56{,}25} = \\sqrt{156{,}25} = 12{,}5.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez Pitagorasa i wektory\n\\(|AC| = \\sqrt{5^{2}+10^{2}} = \\sqrt{125} = 5\\sqrt{5}\\). Punkt \\(B\\) leży na \\(y=\\tfrac{3}{4}x-\\tfrac{3}{4}\\), i z warunku prostopadłości \\(\\vec{CA}\\cdot\\vec{CB}=0\\) wyznaczamy \\(B\\), jak w sposobie 1.\n\n### Sposób 3 - Symetralna\n\\(AB\\) to przeciwprostokątna, więc \\(S\\) (środek \\(AB\\)) = środek okręgu opisanego na \\(ABC\\). \\(S\\) jest na symetralnej boku \\(AC\\) oraz na prostej \\(AB\\). Środek \\(AC\\): \\(M=\\left(-\\tfrac{1}{2},2\\right)\\). Symetralna \\(MS\\): \\(y=-\\tfrac{1}{2}x+\\tfrac{7}{4}\\). Z układu z \\(AB\\) dostajemy \\(S=\\left(2,\\tfrac{3}{4}\\right)\\). Z \\(S=\\left(\\tfrac{-3+x_{B}}{2},\\tfrac{-3+y_{B}}{2}\\right)\\) wyznaczamy \\(B=\\left(7,4\\tfrac{1}{2}\\right)\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: wyznaczenie \\(a_{AC}=2\\) lub równania \\(CB\\).\n- 2 p.: wyznaczenie równania \\(CB: y=-\\tfrac{1}{2}x+8\\).\n- 3 p.: obliczenie współrzędnych \\(B=(7,4\\tfrac{1}{2})\\).\n- 4 p.: obliczenie \\(|AB|=12\\tfrac{1}{2}\\).\n- **Błędna interpretacja** (przyjęcie \\(B\\) jako wierzchołka kąta prostego): 0 pkt.\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym wierzchołek kąta prostego to \\(C\\) (bo \\(AB\\) jest przeciwprostokątną); boki \\(CA\\) i \\(CB\\) są prostopadłe.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (5 pkt)\nGrupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy\n960 złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy uczestników wyjazdu. Do grupy\nwyjeżdżających dołączyło w ostatniej chwili dwóch znajomych. Wtedy koszt wyjazdu\nprzypadający na jednego uczestnika zmniejszył się o 16 złotych. Oblicz, ile osób wyjechało\nna biwak.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje zadania (również\numieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do równań\ni nierówności kwadratowych (3.b).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia:\nx - początkowa liczba osób planujących wyjazd, gdzie x jest liczbą naturalną dodatnią;\ny - początkowy koszt wynajęcia busa przypadający na jednego uczestnika biwaku,\n16\ny >\nZapisujemy zależność między ostateczną liczbą osób uczestniczących w wyjeździe,\na ostatecznym jednostkowym kosztem wynajęcia busa, np.: (\n) (\n)\n2\n16\n960\nx\ny\n⋅\nZapisujemy układ równań, np. (\n) (\n)\n960\n2\n16\n960\nx y\nx\ny\n⋅\n\n⋅\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n960\ny\nx\n,\n960\nx\ny\n,\npodstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy\n(\n)\n960\n2\n16\n960\nx\nx\n\n\n⋅\n\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.:\n2\n2\n120\n0\nx\nx\nObliczamy\n2\n4\n480\n22\nΔ =\n,\n1\n2\n22\n12\n2\nx\n, co jest sprzeczne\nz założeniem\n0\nx >\n,\n2\n2\n22\n10\n2\nx\nObliczamy liczbę osób, które wyjechały\nna biwak\n2\n12\nx +\n(\n)\n960\n2\n16\n960\ny\ny\n\n\n⋅\n\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.:\n2\n16\n7680\n0\ny\ny\nObliczamy\n2\n256\n30720\n176\nΔ =\n,\n1\n16 176\n80\n2\ny\n, co jest sprzeczne\nz założeniem\n16\ny >\n,\n2\n16 176\n96\n2\ny\nObliczamy początkową liczbę osób\nplanujących wyjazd\n960\n10\n96\nx =\noraz\nobliczamy liczbę osób, które wyjechały na\nbiwak\n2\n12\nx +\nOdpowiedź: Ostatecznie na biwak wyjechało 12 osób.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZapisanie zależności między ostateczną liczbą osób uczestniczących w wyjeździe,\na jednostkowym kosztem wynajęcia busa, np.: (\n) (\n)\n2\n16\n960\nx\ny\n⋅\n, gdzie x oznacza\npoczątkową liczbę osób planujących wyjazd, a y - jednostkowy początkowy koszt wynajęcia\nbusa.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze układ równań z niewiadomymi x i y - odpowiednio z początkową liczbę osób\nplanujących wyjazd i jednostkowym początkowym kosztem wynajęcia busa:\n(\n) (\n)\n960\n2\n16\n960.\nx y\nx\ny\n⋅\n\n⋅\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający sprowadzi układ równań do równania z jedną niewiadomą, np.:\n(\n)\n960\n2\n16\n960\nx\nx\n\n\n⋅\n\n\n\n\nlub\n(\n)\n960\n2\n16\n960\ny\ny\n\n\n⋅\n\n\n\n\n, lub\n2\n2\n120\n0\nx\nx\n,\nlub\n2\n16\n7680\n0\ny\ny\nUwaga:\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.\nZdający\n• rozwiąże równanie z niewiadomą x z błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku\nalbo\n• rozwiąże równanie z niewiadomą x i nie obliczy liczby osób uczestniczących\nw biwaku,\nalbo\n• rozwiąże równanie z niewiadomą y i nie obliczy liczby osób uczestniczących\nw biwaku,\nalbo\n• obliczy y z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczy liczbę osób\nuczestniczących w biwaku.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku: 12.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający tylko poda rozwiązanie, to może otrzymać maksymalnie 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający założy, że koszt jest liczbą całkowitą, rozpatrzy rozkłady liczby 960 na\niloczyn dwóch czynników, wśród których są rozkłady:\n10 96\n960\n12 80\n960\n⋅\n⋅\ni poda poprawną odpowiedź, to może otrzymać maksymalnie 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający przyjmie x jako liczbę osób, które ostatecznie pojechały na biwak i poda\n2\n14\nx +\n, to może otrzymać maksymalnie 4 punkty.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Jeżeli zdający popełni błąd (np.:\n2\n2\n22\n12\n2\nx\nlub rachunkowy) w wyznaczaniu\npierwiastków równania kwadratowego, przy czym otrzyma przynajmniej jedno\nrozwiązanie naturalne i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać\n5 punktów.\n2. Jeżeli zdający otrzyma poprawne równanie wymierne, a następnie przekształci je\nz błędem do równania kwadratowego i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\nmoże otrzymać 5 punktów, o ile otrzymane równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie\nnaturalne.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = 21\\sqrt{7}\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie boku podstawy z kąta nachylenia i krawędzi bocznej\n\n**Oznaczenia:**\n- \\(a\\) - bok trójkąta równobocznego \\(ABC\\)\n- \\(H\\) - wysokość ostrosłupa\n- \\(O\\) - środek podstawy (który jest też środkiem ciężkości i środkiem okręgu wpisanego)\n- \\(M\\) - środek krawędzi \\(AB\\)\n\n**Krok 1 - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.**\n\nKąt dwuścienny między ścianą boczną \\(SAB\\) a podstawą mierzymy wzdłuż krawędzi \\(AB\\). Prostopadłe do \\(AB\\) w obu płaszczyznach - ze strony podstawy to odcinek \\(MO\\) (apotema podstawy), ze strony ściany to odcinek \\(MS\\) (apotema boczna ostrosłupa).\n\nSzukany kąt to \\(\\angle OMS = 60°\\) (w trójkącie prostokątnym \\(OMS\\), kąt prosty w \\(O\\)).\n\nApotema podstawy (promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \\(a\\)):\n\\[r = \\frac{a}{2\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]\n\nZ trójkąta \\(OMS\\):\n\\[\\operatorname{tg}60° = \\frac{H}{r} \\implies \\sqrt{3} = \\frac{H}{\\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}} \\implies H = \\sqrt{3} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{3a}{6} = \\frac{a}{2}\\]\n\n**Zatem \\(H = \\dfrac{a}{2}\\).**\n\n**Krok 2 - wyznaczenie \\(a\\) z długości krawędzi bocznej.**\n\nKrawędź boczna \\(SC = 7\\). Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym (odległość od środka do wierzchołka):\n\\[R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(SOC\\) (kąt prosty w \\(O\\)):\n\\[SC^2 = H^2 + R^2\\]\n\\[49 = \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\frac{a^2}{4} + \\frac{3a^2}{9} = \\frac{a^2}{4} + \\frac{a^2}{3}\\]\n\\[49 = a^2\\left(\\frac{3}{12} + \\frac{4}{12}\\right) = a^2 \\cdot \\frac{7}{12}\\]\n\\[a^2 = 49 \\cdot \\frac{12}{7} = 84\\]\n\n**Krok 3 - wysokość ostrosłupa.**\n\\[H = \\frac{a}{2} \\implies H^2 = \\frac{a^2}{4} = \\frac{84}{4} = 21 \\implies H = \\sqrt{21}\\]\n\n**Krok 4 - pole podstawy.**\n\\[P_{ABC} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{84\\sqrt{3}}{4} = 21\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 5 - objętość ostrosłupa.**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_{ABC} \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot 21\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{21}\\]\n\\[V = 7\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{21} = 7\\sqrt{63} = 7 \\cdot 3\\sqrt{7}\\]\n\\[\\boxed{V = 21\\sqrt{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie krawędzi bocznej\n\nZe znalezionych wartości \\(a^2 = 84\\), \\(H = \\sqrt{21}\\):\n\n\\[R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}, \\quad R^2 = \\frac{3a^2}{9} = \\frac{a^2}{3} = \\frac{84}{3} = 28\\]\n\nSprawdzamy krawędź boczną:\n\\[SC^2 = H^2 + R^2 = 21 + 28 = 49 \\implies SC = 7 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy kąt nachylenia ściany:\n\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}, \\quad r^2 = \\frac{3 \\cdot 84}{36} = 7 \\implies r = \\sqrt{7}\\]\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle OMS) = \\frac{H}{r} = \\frac{\\sqrt{21}}{\\sqrt{7}} = \\sqrt{3} \\implies \\angle OMS = 60° \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny: \\(V = 21\\sqrt{7}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\quad h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia pola podstawy oraz apotemy \\(r = \\frac{h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\nPodstawowy wzór zastosowany w kroku 5.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\):\nUżyliśmy do powiązania wysokości ostrosłupa z apotema podstawy przez kąt nachylenia ściany.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia ściany bocznej NIE jest kątem między krawędzią boczną \\(SC\\) a podstawą! To kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą - mierzymy go przez apotemy (prostopadle do krawędzi wspólnej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić promień okręgu opisanego \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\) z promieniem wpisanego \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\). Do kąta nachylenia ściany używamy \\(r\\) (apotema podstawy), do długości krawędzi bocznej używamy \\(R\\) (odległość od środka do wierzchołka).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{63} = \\sqrt{9 \\cdot 7} = 3\\sqrt{7}\\) - nie zostawiaj wyniku w formie \\(7\\sqrt{63}\\), zawsze upraszczaj pierwiastek!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(V = 21\\sqrt{7}\\)\n\n### Sposób 1 - Przez wysokość ostrosłupa (karta wzorów)\nOstrosłup prawidłowy: podstawa - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\). Niech \\(O\\) to spodek wysokości (środek okręgu wpisanego/opisanego na podstawie). \\(D\\) - środek krawędzi podstawy (np. \\(BC\\)).\n\nW trójkącie równobocznym:\n\\[|AO| = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{3} \\quad\\text{(promień okręgu opisanego)},\\]\n\\[|OD| = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6} \\quad\\text{(promień okręgu wpisanego)}.\\]\n\nKąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt \\(\\measuredangle SDO = 60^{\\circ}\\):\n\\[\\operatorname{tg} 60^{\\circ} = \\dfrac{H}{|OD|} \\Rightarrow H = |OD|\\cdot \\sqrt{3} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\cdot \\sqrt{3} = \\dfrac{a}{2}.\\]\n\nZ trójkąta \\(AOS\\) (prostokątnego): \\(|AO|^{2} + H^{2} = |AS|^{2}\\):\n\\[\\left(\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\right)^{2} + \\left(\\dfrac{a}{2}\\right)^{2} = 7^{2},\\]\n\\[\\dfrac{a^{2}}{3} + \\dfrac{a^{2}}{4} = 49,\\]\n\\[\\dfrac{4a^{2}+3a^{2}}{12} = 49 \\Rightarrow 7a^{2} = 49\\cdot 12 \\Rightarrow a^{2} = 84 \\Rightarrow a = 2\\sqrt{21}.\\]\n\nWysokość: \\(H = \\tfrac{a}{2} = \\sqrt{21}\\).\nPole podstawy: \\(P = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{84\\sqrt{3}}{4} = 21\\sqrt{3}\\).\nObjętość:\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P\\cdot H = \\dfrac{1}{3}\\cdot 21\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{21} = 7\\sqrt{3\\cdot 21} = 7\\sqrt{63} = 7\\cdot 3\\sqrt{7} = 21\\sqrt{7}.\\]\n\n### Sposób 2 - Oznaczenie \\(|OD|=x\\)\nWysokość ściany bocznej \\(h = 2x\\) (bo \\(\\cos 60^{\\circ} = \\tfrac{|OD|}{h} = \\tfrac{x}{2x}\\)). Wysokość ostrosłupa: \\(H = x\\sqrt{3}\\). Promień opisany na podstawie: \\(|OA|=2x\\) (bo \\(|OA|=2|OD|\\)). Bok \\(a = 2x\\sqrt{3}\\).\n\nZ Pitagorasa w trójkącie \\(AOS\\): \\((2x)^{2}+(x\\sqrt{3})^{2}=7^{2}\\):\n\\(4x^{2}+3x^{2}=49 \\Rightarrow x^{2}=7 \\Rightarrow x=\\sqrt{7}\\).\n\nZatem \\(H=\\sqrt{21}\\), \\(a=2\\sqrt{21}\\), \\(V=21\\sqrt{7}\\) (jak wyżej).\n\n### Sposób 3 - Przybliżenie\n\\(V = 21\\sqrt{7} \\approx 21\\cdot 2{,}6458 \\approx 55{,}56\\). (Wg CKE to dopuszczalna postać.)\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: zaznaczenie kąta nachylenia lub \\(|AO|=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\) lub \\(|OD|=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\).\n- 2 p.: wyznaczenie zależności w zależności od jednej zmiennej (np. \\(H=\\tfrac{a}{2}\\)).\n- 3 p.: pokonanie zasadniczych trudności (wyznaczenie wysokości \\(H\\) w zależności od \\(a\\)).\n- 4 p.: obliczenie \\(H=\\sqrt{21}\\) i \\(a=2\\sqrt{21}\\).\n- 5 p.: obliczenie \\(V=21\\sqrt{7}\\).\n\n**Trik:** w ostrosłupie prawidłowym **trójkątnym**: spodek wysokości to środek okręgu zarówno wpisanego, jak i opisanego na podstawie (bo trójkąt równoboczny). \\(|OA|=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\), \\(|OD|=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej\nliczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma\nwylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego\nnieskracalnego.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów\nkombinatorycznych; stosuje zasadę mnożenia, wykorzystuje\nwłasności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako\nklasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.b,d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para (\n)\n,x y dwóch różnych liczb ze zbioru\n{\n}\n10,11,12, ,99 , który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest\nrówna\n90 89\nΩ =\n⋅\n. Wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne. Mamy więc\ndo czynienia z modelem klasycznym.\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem\nzdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(\n)\n10,20 , (\n)\n11,19 , (\n)\n12,18 , (\n)\n13,17 , (\n)\n14,16 , (\n)\n16,14 , (\n)\n17,13 , (\n)\n18,12 , (\n)\n19,11 , (\n)\n20,10 .\nIch liczba jest równa\n10\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n10\n1\n1\n90 89\n9 89\n801\nΩ\n⋅\n⋅\nA\nP A\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne\nliczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1\n801.\nII sposób\nZdarzeniem elementarnym jest zbiór dwuelementowy {\n}\n,x y dwóch różnych liczb ze zbioru\n{\n}\n10,11,12, ,99 , który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest\nrówna\n( )\n90\n2\n90!\n90 89\n4005\n88! 2!\n2\n⋅\nΩ =\n⋅\n. Wszystkie zdarzenia elementarne są równo\nprawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym.\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem\nzdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n{\n}\n10,20 , {\n}\n11,19 , {\n}\n12,18 , {\n}\n13,17 , {\n}\n14,16 .\nIch liczba jest równa\n5\nA =\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n5\n1\n1\n45 89\n9 89\n801\nA\nP A =\nΩ\n⋅\n⋅\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne\nliczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1\n801.\nIII sposób\nRysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji\nsprzyjających zdarzeniu A (polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb będzie\nrówna 30).\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n1\n1\n1\n1\n10 90 89\n9 89\n801\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne\nliczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1\n801 .\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90\nalbo\nwypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n10,20 , (\n)\n11,19 , (\n)\n12,18 , (\n)\n13,17 , (\n)\n14,16 , (\n)\n16,14 , (\n)\n17,13 , (\n)\n18,12 , (\n)\n19,11 ,\n(\n)\n20,10\nlub {\n}\n10,20 , {\n}\n11,19 , {\n}\n12,18 , {\n}\n13,17 , {\n}\n14,16 ,\nalbo\n• zapisze, że\n10\nA\nlub\n5\nA =\n,\n1\n90\n1\n90\n1\n90\n1\n90\n1\n90\n1\n90\n1\n90\n1\n90\n1\n90\n1\n90\n1\n89\n1\n89\n1\n89\n1\n89\n1\n89\n1\n89\n1\n89\n1\n89\n1\n89\n1\n89\n10\n10\n11\n11\n12\n12\n13\n13\n14\n14\n16\n16\n17\n17\n18\n18\n19\n19\n20\n20\nalbo\n• narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić\nwszystkie istotne gałęzie)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90\noraz wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n10,20 , (\n)\n11,19 , (\n)\n12,18 , (\n)\n13,17 , (\n)\n14,16 , (\n)\n16,14 , (\n)\n17,13 , (\n)\n18,12 , (\n)\n19,11 ,\n(\n)\n20,10\nlub {\n}\n10,20 , {\n}\n11,19 , {\n}\n12,18 , {\n}\n13,17 , {\n}\n14,16\nalbo\n• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz zapisze, że\n10\nA\nlub\n5\nA =\n,\nalbo\n• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n90 89\nΩ =\n⋅\nlub\n( )\n90\n2\nΩ =\n, lub\n90 89\n2\n⋅\nΩ =\n, lub\n4005\nΩ =\n,\nalbo\n• narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na\nwszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n90 89\nΩ =\n⋅\noraz zapisze, że\n10\nA\nalbo\n• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n( )\n90\n2\nΩ =\nlub\n90 89\n2\n⋅\nΩ =\n, lub\n4005\nΩ =\noraz zapisze, że\n5\nA =\n,\nalbo\n• obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi narysowanego drzewa:\n1\n1\n90 89\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n1\n801\nA\nP A =\nΩ\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale\nprzy wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A pominie jedno zdarzenie\nelementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje\n3 punkty.\n2. Jeżeli zdający błędnie zapisze, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest 89 i konsekwentnie\nrozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.\n3. Jeżeli w rozwiązaniu występuje sprzeczność modeli probabilistycznych, to zdający może\notrzymać, co najwyżej 2 punkty.\n4. Akceptujemy sytuacje, gdy zdający zamiast wypisywania zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A zapisze następujące sumy 10\n20\n, 11 19\n, 12 18\n, 13 17\n,\n14 16\n, 16 14\n, 17 13\n, 18 12\n, 19 11\n, 20 10\n(lub tylko 10\n20\n, 11 19\n, 12 18\n,\n13 17\n, 14 16\n).\n5. Jeżeli zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90, ale przy\nwypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, zapisuje sumę 15 15\ni na\ntym zakończy to otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający bez żadnych obliczeń poda tylko wynik, np.\n1\n801 , to otrzymuje za całe\nrozwiązanie 1 punkt.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{4}{21}\\)\n\n## Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\n\n**Krok 1: Policz przestrzeń zdarzeń elementarnych**\n\nLosujemy **2 różne liczby** ze zbioru 7-elementowego, kolejność nie ma znaczenia (para \\(\\{1, 5\\}\\) to to samo co \\(\\{5, 1\\}\\)), więc:\n\n\\[|\\Omega| = \\binom{7}{2} = \\frac{7 \\cdot 6}{2} = 21\\]\n\n**Krok 2: Policz zdarzenia sprzyjające**\n\nChcemy, żeby **większa z dwóch wylosowanych liczb wynosiła dokładnie 5**.\n\nTo znaczy:\n- jedna z liczb to **5** (bo musi być ta większa),\n- druga liczba musi być **mniejsza od 5**, czyli należeć do \\(\\{1, 2, 3, 4\\}\\).\n\nMożliwe pary: \\(\\{1, 5\\},\\ \\{2, 5\\},\\ \\{3, 5\\},\\ \\{4, 5\\}\\)\n\n\\[|A| = 4\\]\n\n**Krok 3: Oblicz prawdopodobieństwo**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{21}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie wypisanie przestrzeni (weryfikacja)\n\nWypisujemy **wszystkie** \\(\\binom{7}{2} = 21\\) par i sprawdzamy, w których większa wynosi 5.\n\nPary zawierające 5:\n\\[\\{1,5\\},\\ \\{2,5\\},\\ \\{3,5\\},\\ \\{4,5\\},\\ \\{5,6\\},\\ \\{5,7\\}\\]\n\nW parach \\(\\{5,6\\}\\) i \\(\\{5,7\\}\\) liczba 5 **nie jest większa** (bo 6 > 5 i 7 > 5) - te nie należą do zdarzenia \\(A\\).\n\nZdarzenia sprzyjające to tylko:\n\\[\\{1,5\\},\\ \\{2,5\\},\\ \\{3,5\\},\\ \\{4,5\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 4 \\text{ pary}\\]\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{4}{21}}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - kombinacje:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyliśmy tego do policzenia liczby wszystkich możliwych par: \\(\\binom{7}{2} = 21\\).\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nPodstawowy wzór użyty w Kroku 3.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku \"większa wynosi 5\" z \"5 jest wylosowana\". Parę \\(\\{5, 6\\}\\) też zawiera 5 - ale tu **5 nie jest większa**! Takie pary nie należą do zdarzenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie bez zwracania i bez kolejności → używamy kombinacji \\(\\binom{n}{k}\\), nie wariacji. Para \\(\\{2, 5\\}\\) to jeden wynik, nie dwa!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwy błąd to wzięcie \\(|\\Omega| = 7 \\cdot 6 = 42\\) (z uwzględnieniem kolejności). Wtedy licznik to \\(4 \\cdot 2 = 8\\) (bo \\(\\{5,1\\}\\) i \\(\\{1,5\\}\\) to różne wyniki) - i też wychodzi \\(\\frac{8}{42} = \\frac{4}{21}\\). Ale bezpieczniej od razu użyć kombinacji, żeby uniknąć pomyłki.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{4}{21}\\)\n\n### Sposób 1 - Model klasyczny (podzbiory dwuelementowe) (karta wzorów)\nLiczymy wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru 7-elementowego:\n\\[|\\Omega| = \\binom{7}{2} = \\dfrac{7!}{2!\\cdot 5!} = \\dfrac{7\\cdot 6}{2} = 21.\\]\n\nZdarzenie sprzyjające \\(A\\) = \"5 jest większą z wylosowanych\" oznacza, że drugą wylosowaną liczbę wybieramy spośród \\(\\{1, 2, 3, 4\\}\\):\n\\[A = \\{\\{1,5\\}, \\{2,5\\}, \\{3,5\\}, \\{4,5\\}\\}, \\quad |A| = 4.\\]\n\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{4}{21}.\\]\n\n### Sposób 2 - Uporządkowane pary\nRozważamy uporządkowane pary \\((a,b)\\), \\(a\\ne b\\). \\(|\\Omega|=7\\cdot 6=42\\).\nZdarzenie \\(A\\): większa z dwóch to 5, czyli druga liczba \\(\\in\\{1,2,3,4\\}\\). Dla każdego z czterech elementów \\(\\{1,2,3,4\\}\\) są **dwa** porządki: \\((1,5), (5,1)\\), itd. Razem: \\(4\\cdot 2 = 8\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{8}{42} = \\dfrac{4}{21}.\\]\n\n### Sposób 3 - Drzewo prawdopodobieństw\nPierwsza liczba losuje się z prawdopodobieństwem \\(\\tfrac{1}{7}\\). Przypadki:\n- Wylosowano 1-4 (4 przypadki): druga musi być 5, prawdopodobieństwo drugiej \\(\\tfrac{1}{6}\\). Razem: \\(4\\cdot \\tfrac{1}{7}\\cdot \\tfrac{1}{6} = \\tfrac{4}{42}\\).\n- Wylosowano 5: druga musi być \\(\\in\\{1,2,3,4\\}\\) (4 opcje), prawdopodobieństwo \\(\\tfrac{4}{6}\\). Razem: \\(\\tfrac{1}{7}\\cdot \\tfrac{4}{6} = \\tfrac{4}{42}\\).\n\nSuma: \\(\\tfrac{4+4}{42} = \\tfrac{8}{42} = \\tfrac{4}{21}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: obliczenie \\(|\\Omega|=21\\) (lub \\(42\\)) lub \\(|A|=4\\) (lub \\(8\\)).\n- 2 p.: wyznaczenie \\(P(A)=\\tfrac{4}{21}\\).\n- Wynik \\(>1\\) lub \\(<0\\): **0 pkt** za całe zadanie.\n- Podanie tylko \\(P(A) = \\tfrac{8}{42}\\) bez uproszczenia: **1 pkt**.\n\n**Trik:** zdarzenie \"większą jest liczba \\(k\\)\" to liczba podzbiorów \\(\\{a, k\\}\\), gdzie \\(a < k\\). Dla \\(k=5\\) w zbiorze \\(\\{1,\\ldots,7\\}\\) mamy \\(4\\) takie zbiory, więc prawdopodobieństwo \\(\\tfrac{4}{\\binom{7}{2}} = \\tfrac{4}{21}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}