{"paper":{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nNiech\n4\nlog7\na\nWyznacz\n49\nlog\n2\nw zależności od a.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje wzór na logarytm potęgi\ni wzór na zamianę podstawy logarytmu (R1.b).\nPrzykładowe rozwiązanie\nStosujemy wzory na zamianę podstaw logarytmu zapisujemy liczbę\n49\nlog\n2\nw postaci\n2\nlog\n49\nlog\n49\nlog\n7\n7\n2\ni wykonujemy kolejne przekształcenia:\n2\nlog\n2\n49\nlog\n7\n2\nZauważamy, że jeżeli\n7\nlog 4\na\nto\n(\n)\n4\n7\n7\n7\nlog 4\nlog\n2\n4log\n2\na\nZatem\n4\n2\nlog 7\na\nStąd wynika, że\na\na\n8\n4\n2\n49\nlog\n2\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający:\nzastosuje twierdzenie o zamianie podstawy logarytmu, na przykład zapisze szukaną\nliczbę w postaci:\n2\n7\n2\nlog\n49\nlog\n2\nlub\n2\n7\n4\nlog\n49\nlog 2\nalbo\nwyznaczy liczbę\n2\nlog7\nw zależności od a:\n4\n2\nlog 7\na\nlub liczbę\n7\nlog 2\nw zależności od a:\n7\nlog 2\n2\na\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zastosuje twierdzenie o zamianie podstawy logarytmu, na przykład zapisze szukaną\nliczbę w postaci:\n2\n7\n2\nlog\n49\nlog\n2\nlub\n2\n7\n4\nlog\n49\nlog 2\noraz wyznaczy liczbę\n2\nlog7\nw zależności od a:\n4\n2\nlog 7\na\nlub liczbę\n7\nlog 2 w zależności od a:\n7\nlog 2\n2\na\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający wyznaczy liczbę\n2\nlog\n49 : 8\na .\nZadanie 2. (0-5)\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWielomian\n( )\nn\nx\nmx\nx\nx\nW\n22\n2\n2\n3\njest podzielny przez dwumiany\n3\nx\ni\n4\nx\n, zatem\n(\n)\n( )\n\n\n\n0\n4\n0\n3\nW\nW\nRozwiązujemy układ równań:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n0\n4\n22\n4\n4\n2\n0\n3\n22\n3\n3\n2\n2\n3\n2\n3\nn\nm\nn\nm\n(\n)\n\n\n\n⋅\n⋅\n0\n88\n16\n64\n2\n0\n66\n9\n27\n2\nn\nm\nn\nm\n\n\n\n40\n16\n12\n9\nn\nm\nn\nm\n\n\n\n24\n4\nn\nm\nZatem wielomian W ma postać\n( )\n24\n22\n4\n2\n2\n3\nx\nx\nx\nx\nW\nRozwiązujemy nierówność\n0\n24\n22\n4\n2\n2\n3\n≥\nx\nx\nx\nPo podzieleniu wielomianu W przez dwumian\n3\nx\notrzymujemy iloraz\n2\n2\n10\n8\nx\nx\n, który\ndzielimy przez dwumian\n4\nx\ni otrzymujemy iloraz 2\n2\nx -\n. W rezultacie wielomian W\nmożemy zapisać w postaci\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n4\n1\n3\n2\nx\nx\nx\nx\nW\n. Pierwiastkami wielomianu W są\nliczby:\n3\n-, 1, 4 .\nSzkicujemy wykres wielomianu W, z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności.\nIV. Użycie i\ntworzenie strategii.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nWielomian\n( )\nn\nx\nmx\nx\nx\nW\n22\n2\n2\n3\njest podzielny przez każdy z dwumianów\n3\nx\ni\n4\nx\n. Oblicz wartości współczynników n i m oraz rozwiąż nierówność\n( )\n0\nW x ≥\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający wykonuje dzielenie\nwielomianu przez dwumian x - a, stosuje twierdzenie\no reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x - a (R2.b).","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\n0\n3\nsin\n3\ncos\n2\n2\nx\nx\nw przedziale\n0,2π\n<\n>.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności wielomianowe (R3.c).\n- 3\n1\n4\nx\nZatem rozwiązaniem nierówności\n0\n12\n11\n2\n2\n3\n≥\nx\nx\nx\njest każda liczba rzeczywista\n)\n∞\n∪\n∈\n,4\n1\n,3\nx\nII sposób\nWielomian\n( )\nn\nx\nmx\nx\nx\nW\n22\n2\n2\n3\njest podzielny przez dwumiany\n3\nx\ni\n4\nx\n, więc\njest podzielny przez wielomian\n12\n2\n-x\nx\nWykonujemy dzielenie (\n) (\n)\n3\n2\n2\n2\n22\n:\n12\nx\nmx\nx\nn\nx\nx\n, otrzymujemy iloraz 2\n2\nx\nm\noraz resztę (\n)\n4\n12\n24\nm x\nm\nn\nWobec wspomnianej wyżej podzielności mamy (\n)\n4\n12\n24\n0\nm x\nm\nn\ndla każdego\nx\nR\n∈\nOznacza to, że spełniony musi być układ równań:\n4\n0\n12\n24\n0,\nm\nm\nn\n\n\n\nskąd otrzymamy\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (6 pkt)\nCiąg (\n)\n, 4, ,\na\nb c jest arytmetyczny, a ciąg (\n)\n,\n, 4\na a\nb\nc\njest geometryczny. Oblicz a, b i c.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"4. Jeżeli zdający poda jako całe rozwiązanie: ciąg arytmetyczny: 2, 4, 6, 8, a ciąg\ngeometryczny: 2, 8, 32, to otrzymuje 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (6 pkt)\nW trapezie równoramiennym ABCD, w którym\nAB CD , dane są\n84\nAB =\n,\n36\nCD =\n,\n40\nBC\nAD\n. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABP, gdzie P jest punktem\nprzecięcia przekątnych tego trapezu.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"5. Jeżeli zdający poda jako całe rozwiązanie: ciąg arytmetyczny: 2, 4, 6, 8, albo 4, 4, 4, 4, to\notrzymuje 2 punkty.\nZadanie 5. (0-6)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu oraz\nznajduje związki miarowe w figurach płaskich,\ntakże z zastosowaniem trygonometrii (R7.a, 7.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWprowadzamy oznaczenia:\n2 ,\nFAP\nFG\nr\nα\n\nW trapezie równoramiennym ABCD mamy:\n84\n36\n60\n2\n2\nAB\nCD\nAE\noraz\n84\n36\n24\n2\n2\nAB\nCD\nBE\nStosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BEC, obliczamy wysokość CE trapezu\n2\n2\n1600\n576\n32\nCE\nBC\nBE\nW trójkącie AEC mamy\n32\n8\ntg2\n60\n15\nα =\nKorzystając ze wzoru na tangens podwojonego kąta, obliczamy kolejno:\n2\n2tg\n8\n1\ntg\n15\nα\nα =\n,\n2\n15tg\n4\n4tg\nα\nα\n,\n2\n4tg\n15tg\n4\n0\nα\nα\n,\n289\nΔ =\n,\n15+17\n1\ntg\n8\n4\nα\nP\nE\nD\nC\nB\nA\nα\nr\nα\nF\nG\nUjemne rozwiązanie odrzucamy, bo α jest kątem ostrym.\nObliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABP:\n1\ntg\n42\n10,5\n4\nr\nAF\nα\n⋅\n⋅\nII sposób\nW trapezie równoramiennym ABCD mamy:\n84\n36\n60\n2\n2\nAB\nCD\nAE\noraz\n84\n36\n24\n2\n2\nAB\nCD\nBE\nPonadto\n42\nAF\nFB\nStosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BEC obliczamy wysokość CE trapezu\n2\n2\n1600\n576\n32\nCE\nBC\nBE\nKorzystając z podobieństwa trójkątów AFP i AEC, obliczamy wysokość PF trójkąta ABP.\nMamy\nPF\nCE\nAF\nAE\n,\nstąd","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (6 pkt)\nPunkty\n(\n)1\n,1\nA\ni\n(\n)\n2\n,6\nB\nsą wierzchołkami trójkąta ABC. Wysokości trójkąta ABC\nprzecinają się w punkcie\n(\n)\n3\n,3\nM\n. Oblicz pole tego trójkąta.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":"P","answer_text":"6. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne (R6.e).\nPrzykładowe rozwiązanie\nKorzystając z „jedynki trygonometrycznej”, sprowadzamy równanie\n0\n3\nsin\n3\ncos\n2\n2\nx\nx\ndo równania z jedną funkcją trygonometryczną:\n0\n3\nsin\n3\n)\nsin\n1(\n2\n2\nx\nx\n,\n0\n1\nsin\n3\nsin\n2\n2\nx\nx\nWprowadzamy niewiadomą pomocniczą, np.\nt\nx =\nsin\n,\n1, 1\nt ∈-\nOtrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą t :\n0\n1\n3\n2 2\n+ t\nt\nRozwiązaniem równania są liczby\n1\n1\nt\n,\n2\n1\n2\nt\nPowracając do podstawienia, otrzymujemy:\n1\nsin\nx\nlub\n1\nsin\n2\nx = -\n, a stąd dane równanie\nw przedziale 0,2π ma rozwiązania:\n3\n2\nx\nπ\nlub\n7\n6\nx\nπ\nlub\n11\n6\nx\nπ\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający przekształci równanie\n0\n3\nsin\n3\ncos\n2\n2\nx\nx\ndo równania z jedną funkcją\ntrygonometryczną np.\n0\n1\nsin\n3\nsin\n2\n2\nx\nx\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający rozwiąże równanie kwadratowe\n0\n1\nsin\n3\nsin\n2\n2\nx\nx\n:\n1\nsin\nx\nlub\n1\nsin\n2\nx = -\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający rozwiąże równanie\n1\nsin\nx\n:\nπ\nπ\nk\nx\n2\n2\n3\nlub równanie\n1\nsin\n2\nx = -\n:\n7\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n11\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający rozwiąże oba równania:\n1\nsin\nx\noraz\n1\nsin\n2\nx = -\nuwzględniając podany przedział:\n3\n2\nx\nπ\nlub\n7\n6\nx\nπ\nlub\n11\n6\nx\nπ\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiąże równanie kwadratowe z błędem, ale otrzyma dwa różne pierwiastki\nnależące do przedziału\n1\n,1\ni rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający rozwiąże równanie kwadratowe z błędem, ale otrzyma dwa różne pierwiastki\ni tylko jeden z nich należy do przedziału\n1\n,1\ni rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca,\nto za całe rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 4. (0-6)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny\nlub geometryczny, stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę\nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone w kontekście\npraktycznym. (5.b,c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nOznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Jeżeli drugi wyraz tego ciągu jest równy 4,\nto\n4\na\nr\n-,\n4\nb\nr\ni\n4\n2\nc\nr\nPrzy tych oznaczeniach, ciąg geometryczny (\n)\n,\n, 4\na a\nb\nc\nmożemy zapisać następująco\n(\n)\n4\n, 8,16\n8\nr\nr\n. Stąd otrzymujemy równanie\n(\n)(\n)\n64\n4\n16\n8\nr\nr\nPo uporządkowaniu otrzymujemy równanie\n(\n)\n8\n2\n0\nr r -\n. Rozwiązaniami tego równania są\nliczby\n0\nr =\noraz\n2\nr =\nDla\n0\nr =\notrzymujemy\n4\na\nb\nc\nDla\n2\nr =\notrzymujemy\n2\na =\n,\n6\nb =\n,\n8\nc = .\nUwaga:\nW rozwiązaniu można zapisać pierwszy i czwarty wyraz ciągu w zależności od trzeciego\nwyrazu ciągu arytmetycznego.\nJeżeli\n8\na\nb\noraz\n2\n4\nc\nb\n, to ciąg geometryczny ma postać (\n)\n8\n, 8, 2\n4\nb\nb\nWykorzystując własność ciągu geometrycznego, możemy zapisać równanie\n(\n)(\n)\n64\n8\n8\n16\nb\nb\nRozwiązaniami tego równania są liczby\n4\nb =\noraz\n6\nb =\nGdy\n4\nb =\n, to\n4\na =\ni\n4\nc =\nGdy\n6\nb =\n, to\n2\na =\ni\n8\nc = .\nMożemy też zapisać trzeci i czwarty wyraz ciągu w zależności od pierwszego wyrazu ciągu\narytmetycznego.\nJeżeli\n8\nb\na\noraz\n12\n2\nc\na\n, to ciąg geometryczny ma postać (\n)\n, 8, 48 8\na\na\nWykorzystując własność ciągu geometrycznego, możemy zapisać równanie\n(\n)\n64\n48\n8\na\na\nRozwiązaniami tego równania są liczby\n2\na =\noraz\n4\na =\nGdy\n2\na =\n, to\n6\nb =\ni\n8\nc = .\nGdy\n4\na =\n, to\n4\nb =\ni\n4\nc =\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i wprowadzi oznaczenia, np.:\n4\na\nr\n-,\n4\nb\nr\ni\n4\n2\nc\nr\nlub\n8\na\nb\noraz\n2\n4\nc\nb\n,\nlub\n8\nb\na\noraz\n12\n2\nc\na\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze wyrazy ciągu geometrycznego z użyciem jednej niewiadomej, np.:\n(\n)\n4\n, 8,16\n8\nr\nr\nlub (\n)\n8\n, 8, 2\n4\nb\nb\n, lub (\n)\n, 8, 48 8\na\na\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający wykorzysta własności ciągu geometrycznego i zapisze równanie z jedną niewiadomą,\nnp.:\n(\n)(\n)\n64\n4\n16\n8\nr\nr\nlub\n(\n)(\n)\n64\n8\n8\n16\nb\nb\n, lub\n(\n)\n64\n48\n8\na\na\nPokonanie zasadniczych trudności zadania i dodatkowy postęp na drodze do pełnego\nrozwiązania 4 p.\nZdający obliczy różnicę ciągu arytmetycznego w przynajmniej jednym przypadku lub\nwyznaczy jedną z liczb spośród a, b, c i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie do końca z błędami rachunkowymi, które nie przekreślają poprawności\nrozwiązania 5 p.\nZdający obliczy ,a b i c\n• tylko w jednym przypadku\n4\na\nr\n-,\n4\nb\nr\ni\n4\n2\nc\nr\nalbo\n• w dwóch przypadkach z błędami rachunkowymi.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy a, b, c w obu przypadkach:\n4\na\nb\nc\nlub\n2\na =\n,\n6\nb =\n,\n8\nc = .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający tylko poda odpowiedź:\n4\na\nb\nc\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poda:\n4\na\nb\nc\nlub\n2\na =\n,\n6\nb =\n,\n8\nc = i sprawdzi, że odpowiednie\nciągi spełniają warunki zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający poda jako całe rozwiązanie: ciąg arytmetyczny: 2, 4, 6, 8, to otrzymuje\n1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (3 pkt)\nReszta z dzielenia liczby naturalnej a przez 6 jest równa 1. Reszta z dzielenia liczby\nnaturalnej b przez 6 jest równa 5. Uzasadnij, że liczba\n2\n2\na\nb\njest podzielna przez 24.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich, także z zastosowaniem trygonometrii (7.c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, niech ponadto\nSr oznacza promień okręgu o środku\nw punkcie S i średnicy AB.\nWtedy\n(\n)\nLB\nAK\nAB\n= 2\noraz\nAB\nAS\nrS\n2\n1\ni\nSr\nAB\nKS\n2\n1\n4\n1\nTrójkąt KLM jest trójkątem równoramiennym, którego podstawą jest odcinek KL. Punkt S jest\nśrodkiem odcinka KL.\nZatem punkty K, S, M są wierzchołkami trójkąta prostokątnego, w którym\n2\n2\n2\nKM\nMS\nKS\nprzy czym\n1\n2\nS\nMS\nAB\nr\nr\nr\noraz\n1\n1\n4\n2\nS\nKM\nAB\nr\nr\nr\n,\nStąd mamy kolejno:\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n2\nS\nS\nS\nr\nr\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n4\n4\nS\nS\nS\nS\nS\nr\nr\nr\nr\nr\nr\nr\nr\nr\n⋅+\n⋅+\n,\n2\n3\nS\nS\nr\nr\nr\n⋅.\nPo wykorzystaniu zależności 1\n2\nS\nAB\nr\notrzymujemy:\n3\n1\n1\n2\nr\nAB\nZatem\n1\n6\nr\nAB\n, co kończy dowód.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający zauważy, że trójkąt KSM jest trójkątem prostokątnym i zapisze długości boków tego\ntrójkąta\nw zależności od długości odcinka AB:\n1\n4\nKS\nAB\n,\n1\n2\nMS\nAB\nr\n-,\n1\n4\nKM\nAB\nr\nalbo\nw zależności od promienia\nSr :\n1\n2\nS\nKS\nr\n,\nS\nMS\nr\nr\n-,\n1\n2\nS\nKM\nr\nr\noraz 1\n2\nS\nAB\nr\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta KSM,\nnp.\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n2\nS\nS\nS\nr\nr\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\ni przekształci do postaci umożliwiającej wyznaczenie szukanej zależności np.\n2\n3\nS\nS\nr\nr\nr\n⋅.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający wykaże, że\n1\n6\nr\nAB\nZadanie 10. (0-5)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (6 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5,\na kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego\nostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający podaje\nrównanie prostej, mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt\ni współczynnik a w równaniu kierunkowym, bada równoległość\ni prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych,\ninterpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi (8.b, c, d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyznaczamy równanie prostej AB , korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej\nprzez dwa punkty: (\n)(\n) (\n)(\n)\n0\n1\n1\n2\n1\n6\n1\nx\ny\n(\n) (\n)\n0\n1\n1\n5\nx\ny\n,\n(\n)\n1\n1\n5\nx\ny\nZatem prosta AB ma równanie\n5\n4\n5\n1\nx\ny\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt M:\n18\n5 +\nx\ny\nWyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty\n(\n)1\n,1\nA\ni\n(\n)\n3\n,3\nM\n:\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n0\n1\n1\n3\n1\n3\n1\nx\ny\n,\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n2\nx\ny\nZatem prosta AM ma równanie\nx\ny =\nWspółczynnik kierunkowy prostej BC jest równy\n1\n2\na\ni do prostej należy punkt B, więc\nrównanie prostej ma postać\n8\nx\ny\nPunkt\n(\n)\ny\nx\nC\n,\njest punktem wspólnym prostych CM i BC , więc jego współrzędne\nwyznaczamy, rozwiązując układ równań\n\n\n\n8\n18\n5\nx\ny\nx\ny\nZatem punkt C ma współrzędne\n\n\n\n\n\n\n2\n11\n,\n2\n5\nWyznaczamy pole trójkąta ABC . Można to zrobić różnymi metodami.\nI metoda wyznaczania pola trójkąta ABC\nObliczamy długość odcinka AB :\n(\n)\n(\n)\n26\n1\n2\n1\n6\n2\n2\nAB\nWyznaczamy odległość h punktu C od prostej AB .\n26\n21\n5\n1\n4\n2\n11\n5\n2\n5\n2\n2\n⋅\nh\nWyznaczamy pole trójkąta ABC :\n5,\n10\n2\n21\n26\n21\n26\n2\n1\n2\n1\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nh\nAB\nP\nOdp.: Pole trójkąta ABC jest równe\n5,\n10\nP\nII metoda wyznaczania pola trójkąta ABC\nWyznaczamy pole trójkąta ABC , korzystając ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach\nw punktach\n(\n)1\n,1\nA\ni\n(\n)\n2\n,6\nB\ni\n\n\n\n\n\n\n2\n11\n,\n2\n5\nC\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n(\n)\n(\n)\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1\n2\n5\n1\n2\n1\n2\n11\n1\n6\n2\n1\n2\n1\nA\nC\nA\nB\nA\nC\nA\nB\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\nP\n,\n5,\n10\n5,1\n5,\n22\n2\n1\nP\nOdp.: Pole trójkąta ABC jest równe\n5,\n10\nP\nIII metoda wyznaczania pola trójkąta ABC\nWyznaczamy współrzędne wektorów AB i AC :\n[\n]1\n,5\nAB\ni\n\n\n\n\n2\n9\n,\n2\n3\nAC\nWyznaczamy pole trójkąta ABC , korzystając ze wzoru\n(\n)\n(\n)\n5,\n10\n5,1\n5,\n22\n2\n1\n5,4\n5,1\n1\n5\n2\n1\n,\n2\n1\nAC\nAB\nd\nP\nOdp.: Pole trójkąta ABC jest równe\n5,\n10\nP\nII sposób\nWyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty\n(\n)1\n,1\nA\ni\n(\n)\n3\n,3\nM\n:\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n0\n1\n1\n3\n1\n3\n1\nx\ny\n,\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n2\nx\ny\nZatem prosta AM ma równanie\nx\ny =\nWyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty\n(\n)\n2\n,6\nB\ni\n(\n)\n3\n,3\nM\n:\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n0\n6\n2\n3\n6\n3\n2\nx\ny\n,\n(\n) (\n)\n0\n6\n2\n3\nx\ny\nZatem prosta BM ma równanie\n4\n3\n1\nx\ny\nWyznaczamy równania prostych, zawierających boki AC i BC trójkąta, które są prostopadłe\nodpowiednio do prostych: BM i AM .\nWspółczynnik kierunkowy prostej AC jest równy\n3\n1 =\na\ni do prostej należy punkt A, więc\nrównanie prostej ma postać\n2\n3 -\n= x\ny\nWspółczynnik kierunkowy prostej BC jest równy\n1\n2\na\ni do prostej należy punkt B, więc\nrównanie prostej ma postać\n8\nx\ny\nPunkt\n(\n)\ny\nx\nC\n,\njest punktem wspólnym prostych AC i BC , więc jego współrzędne\nwyznaczamy, rozwiązując układ równań\n\n\n\n8\n2\n3\nx\ny\nx\ny\n8\n2\n3\nx\nx\n,\n5,2\nx\n,\n5,5\ny\nZatem punkt C ma współrzędne\n\n\n\n\n\n\n2\n11\n,\n2\n5\nWyznaczamy pole trójkąta ABC jak w I sposobie rozwiązania.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• wyznaczy równanie prostej AB :\n5\n4\n5\n1\nx\ny\nalbo\nwyznaczy równanie prostej AM :\nx\ny =\n,\nalbo\nwyznaczy równanie prostej BM :\n4\n3\n1\nx\ny\n,\nalbo\n• obliczy długość odcinka AB:\n26\nAB\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• wyznaczy równania prostych AB :\n5\n4\n5\n1\nx\ny\ni AM :\nx\ny =\nalbo\n• wyznaczy równania prostych AM :\nx\ny =\ni BM :\n4\n3\n1\nx\ny\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp i w którym przedstawiono początek\nrozumowania prowadzącego do pokonania zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający wyznaczy równania prostych zawierających boki AC i BC i na tym zakończy lub\ndalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu\n\n\n\n\n\n\n2\n11\n,\n2\n5\nC\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 p.\nZdający\n• wyznaczy odległość h punktu C od prostej AB :\n26\n21\nh\ni na tym zakończy\nalbo\n• popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do\nkońca.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający wyznaczy pole trójkąta ABC :\n5,\n10\nP\nUwagi:\n1. Jeśli zdający wyznaczy równania prostych zawierających boki AC i BC i na tym\npoprzestanie, to otrzymuje 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający obliczy długość AB i wyznaczy równanie prostej AB, to otrzymuje\n2 punkty.\nZadanie 7. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na (\n)\n2\na\nb\n±\noraz\n2\n2\na\nb\n(2.1).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPonieważ liczba a przy dzieleniu przez 6 daje resztę 1, więc\n6\n1\na\nk\n+ , gdzie k jest liczbą\ncałkowitą nieujemną.\nPonieważ liczba b przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5, więc\n6\n5\nb\nl\n+ , gdzie l jest liczbą\ncałkowitą nieujemną.\nWtedy\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n1\n6\n5\n6\n6\n6\n6\n6\n4\n12\n1 3\n3\n2\na\nb\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nWykazaliśmy, że liczba\n2\n2\na\nb\njest podzielna przez 12. Należy jeszcze wykazać, że\nprzynajmniej jedna z liczb\n1\nk\nl\n+ + lub 3\n3\n2\nk\nl\njest podzielna przez 2.\nJeśli liczby całkowite k i l są jednakowej parzystości, to liczba k\nl\n- jest parzysta oraz liczba\n(\n)\n3\n3\n2\n3\n2\nk\nl\nk\nl\njest parzysta, jako różnica dwóch liczb parzystych.\nJeśli liczby całkowite k i l są różnej parzystości, to liczba\n1\nk\nl\n+ + jest parzysta, jako suma\ndwóch liczb nieparzystych i jednej parzystej. To kończy dowód.\nII sposób\nPonieważ liczba a przy dzieleniu przez 6 daje resztę 1, więc\n6\n1\na\nk\n+ , gdzie k jest liczbą\ncałkowitą nieujemną.\nPonieważ liczba b przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5, więc\n6\n1\nb\nl\n-, gdzie l jest liczbą\ncałkowitą nieujemną.\nWtedy\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n1\n6\n1\n6\n6\n6\n6\n2\n12\n3\n3\n1\na\nb\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nWykazaliśmy, że liczba\n2\n2\na\nb\njest podzielna przez 12. Należy jeszcze wykazać, że\nprzynajmniej jedna z liczb k\nl\n+ lub 3\n3\n1\nk\nl\n+ jest podzielna przez 2.\nJeśli liczby całkowite k i l są jednakowej parzystości, to liczba k\nl\n+ jest parzysta.\nJeśli liczby całkowite k i l są różnej parzystości, to liczba k\nl\n- jest nieparzysta, więc liczba\n(\n)\n3\n3\n1\n3\n1\nk\nl\nk\nl\n+ jest parzysta. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający zapisze liczbę\n2\n2\na\nb\nw postaci\n(\n)(\n)\n12\n1 3\n3\n2\nk\nl\nk\nl\nlub w postaci\n(\n)(\n)\n12\n3\n3\n1\nk\nl\nk\nl\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\n• uzasadni parzystość jednej z liczb\n1\nk\nl\n+ + lub 3\n3\n2\nk\nl\nw jednym z przypadków\nw zależności od parzystości liczb k i l\nalbo\n• uzasadni parzystość jednej z liczb k\nl\n+ lub 3\n3\n1\nk\nl\n+ w jednym z przypadków\nw zależności od parzystości liczb k i l.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający uzasadni podzielność liczby\n2\n2\na\nb\nprzez 24.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozważa tylko szczególne przypadki, np. przyjmie\n6\n1\na\nk\n+ oraz\n6\n5\nb\nk\ni wyznaczy\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n1\n6\n5\n24\n2\n1\na\nb\nk\nk\nk\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (3 pkt)\nDany jest okrąg o średnicy AB i środku S oraz dwa okręgi o średnicach AS i BS. Okrąg\no środku M i promieniu r ma z każdym z danych okręgów dokładnie jeden punkt wspólny\n(zobacz rysunek). Wykaż, że\n1\n6\nr\nAB\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"n\n12","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nW urnie znajduje się 20 kul: 9 białych, 9 czerwonych i 2 zielone. Z tej urny losujemy bez\nzwracania 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że co najmniej\ndwie z wylosowanych kul są tego samego koloru.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów\nw sytuacjach kombinatorycznych oraz wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna\ndefinicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw\nzdarzeń (R10, 10.d).\nPrzykładowe rozwiązanie\nObliczymy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:\n(\n)\n20\n3\n1140\nΩ =\nZdarzenie A polega na tym, że co najmniej dwie z wylosowanych kul są tego samego koloru.\nUstalamy moc zdarzenia A:\n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (\n) ( ) ( ) ( ) ( )\n9\n11\n9\n11\n2\n18\n9\n11\n9\n11\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n3\n0\n3\n0\n978\nA =\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nObliczamy\nszukane\nprawdopodobieństwo,\nkorzystając\nz\nklasycznej\ndefinicji\nprawdopodobieństwa:\n( )\n489\n163\n570\n190\nA\nP A =\nΩ\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:\n(\n)\n20\n3\nΩ =\nalbo\n• zapisze moc zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A lub zdarzeniu\nprzeciwnemu do A:\n( ) ( )\n( ) ( ) ( ) ( )\n9\n11\n2\n18\n9\n11\n2\n1\n2\n1\n3\n0\n2\n2\nA =\n⋅\n⋅+\n⋅\n⋅\n⋅ lub\n( ) ( ) ( )\n9\n1\n2\n1\n1\n1\nA =\n⋅\n⋅\n,\nalbo\n• narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić\nwszystkie istotne gałęzie dla danego zdarzenia A lub dla zdarzenia do niego\nprzeciwnego A').\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:\n(\n)\n20\n3\nΩ =\ni moc zbioru\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A lub zdarzeniu przeciwnemu do A:\n( ) ( )\n( ) ( ) ( ) ( )\n9\n11\n2\n18\n9\n11\n2\n1\n2\n1\n3\n0\n2\n2\nA =\n⋅\n⋅+\n⋅\n⋅\n⋅ lub\n( ) ( ) ( )\n9\n1\n2\n1\n1\n1\nA =\n⋅\n⋅\n• narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na\nwszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:\n1140\nΩ\ni moc zbioru\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A lub zdarzeniu przeciwnemu do A:\n978\nA\nlub\n162\nA\nalbo\n• obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi: np. 9\n9\n2\n20 19 18\n⋅\n⋅\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.\nZdający\n• obliczy\nprawdopodobieństwo\nzdarzenia\nprzeciwnego\ndo\nzdarzenia\nA:\n9\n9\n2\n81\n6","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (3 pkt)\nRozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą\nwystępować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy.\nUzasadnij, że takich liczb jest 15 360.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}