{"paper":{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":16,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"1","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nSuma wszystkich rozwiązań równania x\n4\n2\n3\n= jest równa\nA. 8\nB. 9\nC. 12\nD. 16","answer":"A","answer_text":"1. Jeżeli zdający nie zapisze założenia x\nk\n2\nr\nr\nY\ni w rezultacie poda rozwiązania: x\nk 4\nr\n, gdzie\nk jest liczbą całkowitą (lub w innej równoważnej postaci), to otrzymuje 3 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"2","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nCiąg (an) jest zdefiniowany rekurencyjnie:\na\na\na\nn\n4\n2\n2\n1\ndla\nn\nn\n1\n1\nH\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nWskaż wzór ogólny ciągu (bn), w którym b\na\na\nn\nn\nn\n2\n+ dla n\n1\nH .\nA. b\n2\nn\nn\n3\nh\nB. b\n2\nn\nn\n4\nC. b\n3 2\nn\nn\n2\n3\n$\nD. b\n4\n2\nn\nn\n2\n$\nh","answer":"C","answer_text":"2. Jeżeli zdający przekształci równanie do postaci sinx cos3x + sinx cosx = 0, a następnie\npodzieli je obustronnie przez sinx bez założenia, że sinx ≠ 0 i poprawnie rozwiąże równanie\ncos3x + cosx = 0, to otrzymuje 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"3","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nJedyny pierwiastek rzeczywisty wielomianu w x\nx\nc\nx\ncx\n2\n5\n5\n3\n2\nh\nh\no współczynnikach\ncałkowitych jest liczbą pierwszą. Zatem parametr c jest równy\nA. 19\nB. 4\nC. -1\nD. -4","answer":"D","answer_text":"3. Jeżeli zdający przekształci równanie do postaci sinx cos3x + sinx cosx = 0, a następnie podzieli\nje obustronnie przez sinx z założeniem, że sinx ! 0, poprawnie rozwiąże równanie\ncos3x + cosx = 0, ale nie uwzględni założenia x\nk\n2\nr\nr\nY\noraz nie rozpatrzy przypadku\nsinx =0, to otrzymuje 2 punkty.\n4. Jeżeli zdający przekształci równanie do postaci sinx cos3x + sinx cosx = 0, a następnie\npodzieli je obustronnie przez sinx z założeniem, że sin x ≠ 0, poprawnie rozwiąże równanie\ncos3x + cosx = 0, uwzględniając założenie x\nk\n2\nr\nr\nY\n, ale nie rozpatrzy przypadku sinx = 0, to\notrzymuje 3 punkty.\n5. Jeżeli zdający poda tylko kilka rozwiązań równania (np. z przedziału G0, 2rH lub nie uwzględni ich\nokresowego powtarzania się), to otrzymuje 1 punkt.\n9 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nZadanie 11. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"4","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczby x, y, z są dodatnie i różne od 1 oraz\ny\n3\n1\nlogx\ni\nz\n4\n1\nlogy\n3\n. Wskaż wartość wyrażenia\nx\nlogz\n4\nA. 18\nB. 1\nC. 2\n1\nD. 5\n1","answer":"C","answer_text":"4 pola kwadratu poprzedniego.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy obliczy pole obszaru zaznaczonego kolorem czarnym P\nP\nP\nP\nP\n81\n1\n2\n3\n4\nf\nII sposób\nPrzyjmijmy oznaczenie: Pn - pole n-tego czarnego sześciokąta. Wtedy\nP\nP\n3 13\n3\n2 3 13\n65\nA B C C B A\n1\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n$\nh\nj\nZauważmy, że każdy następny sześciokąt czarnego koloru jest podobny do poprzedniego w skali\nk\n9\n4\n, więc ich pola tworzą nieskończony ciąg geometryczny o ilorazie q\n9\n4\n81\n16\n2\nj\n. Zatem pole\nobszaru zaznaczonego kolorem czarnym możemy obliczyć następująco: P = P1 + P2 + P3 + P4 + \nJest to szereg geometryczny zbieżny, w którym a1 = P1 = 65 oraz q\n81\n16\nZatem\nq\nP\nP\n1\n1\n81\n16\n65\n81\n1\n3 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy obliczy pole pierwszego czarnego sześciokąta P1 = 65 i zauważy, że pole każdego następnego\nczarnego sześciokąta stanowi 81","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"5","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-1)\nIle różnych funkcji można utworzyć na zbiorze X = {-2, -1,  3,  4} o wartościach ze zbioru\nY = {5,  6,  7,  8,  9,  10}?\nA. 2880\nB. 1296\nC. 360\nD. 24\n\n3 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nUzyskana liczba pkt\n\n4 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nW zadaniu 6. zakoduj wynik w kratkach zamieszczonych pod poleceniem.\nW zadaniach 7-18 rozwiązania zapisz w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.","answer":"B","answer_text":"5 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n1 pkt\nZdający przekształci wyrażenie\ncos\nsin\n3\n3\n2\ntg\ntg\na\na\na\na\ni wyznaczy odcinek\nsin\ncos\nCA\na 2\n3\n$\na\na\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający zastosuje twierdzenie Pitagorasa lub definicję sinusa oraz wzory na cosinus sumy kątów,\nsinus i cosinus podwojonego kąta i zapisze np. równość\nsin\nsin\nsin\nAD\na\n2\n1\n2\n2\n2\n2\na\na\na\nlub\nsin\ncos\ncos\nAD\na 2\n3\n$\na\na\na\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający przekształci wyrażenie do postaci\nsin\nsin\nAD\na\n2\n1\n4\n2\na\na\nh.\nZadanie 9. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"6","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nOblicz wartość parametru k, dla której granica\nk\nn\nk n\nkn\nn\n2\n1\n2\nlim\n!\n!\n!\n!\nn\n\"3^\nh\nh\nh jest równa 9.\nW poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry rozwinięcia dziesiętnego\notrzymanego wyniku.\n\n5 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"6. Trygonometria. Zdający:\n5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę\nsinusów i cosinusów kątów;\n6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu\n,\n,\n,\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\ncos\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n2\n2\n1\n1\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nW równaniu mamy funkcję tangens, zakładamy więc, że x\nk\n2\nr\nr\nY\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nNastępnie przekształcamy równanie:\nsin cos\ncos\nsin\ncos\nx\nx\nx\nx\nx\n3\n0\n2\nsin x (cos 3x + cos x) = 0\nStosujemy wzór na sumę cosinusów i zapisujemy równanie w postaci:\n2 sin x . cos 2x . cos x = 0\n7 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nJest ono równoważne alternatywie równań:\nsin x = 0 lub cos 2x = 0 lub\ncos x = 0\nx = kr\nx\nk\n2\n2\nr\nr\nx\nk\n2\nr\nr\n- sprzeczne z założeniem\nx\nk\n4\n2\nr\nr\nZatem wszystkie liczby rzeczywiste x również możemy zapisać w postaci x\nkr\nlub x\nk\n4\n2\nr\nr\n,\ngdzie k jest liczbą całkowitą.\nAlternatywne rozwiązanie równania sinx (cos3x + cosx) = 0:\nsinx = 0 lub cos3x + cosx = 0\ncos 3x = -cosx = cos (x + r), więc albo 3x = x + r + 2kr dla pewnej liczby całkowitej k, albo\n3x = -(x + r) + 2kr dla pewnej liczby całkowitej k, co prowadzi do wyniku otrzymanego powyżej.\nII sposób\nW równaniu mamy funkcję tangens, zakładamy więc, że x\nk\n2\nr\nr\nY\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nPrzekształcamy równanie do postaci:\nsinx cos3x + sinx cosx = 0\nKorzystamy ze wzoru sin\ncos\nsin\nsin\n2\n1\na\na\na\nb\na\nb\nh\nhh i zapisujemy równanie:\nsin\nsin\nsin\nx\nx\nx\n2\n1\n4\n2\n2\n1\n2\n0\nhh\nsin 4x - sin 2x + sin 2x = 0\nOtrzymujemy równanie: sin4x = 0, czyli 4x = kr, skąd x\nk 4\nr\n. Wśród uzyskanych rozwiązań\nznajdują się te, które nie spełniają założenia, zatem ostatecznie x\nk 4\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą\ni k ≠ 2 + 4n dla n d C.\nIII sposób\nZakładamy, że x\nk\n2\nr\nr\nY\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nPrzekształcamy równanie do postaci:\nsinxcos3x + sinxcosx = 0\nZauważmy, że\ncos\ncos\ncos\ncos\nsin\nsin\ncos\ncos\nsin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nh\ncos\ncos\nsin\nx\nx\nx\n3\n1\n4\n2\nh\nPo podstawieniu do równania otrzymujemy:\nsin cos\nsin\nsin cos\nx\nx\nx\nx\nx\n1\n4\n0\n2\nh\nsin cos\nsin\nx\nx\nx\n1\n4\n1\n0\n2\nh","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nNa rysunku przedstawiono fragment nieskończonego ciągu na przemian czarnych i białych kwadratów\no wspólnym wierzchołku D. Kwadrat A1B1C1D koloru czarnego ma bok długości 3 13. Długość boku\nkażdego następnego kwadratu stanowi 3\n2 długości boku kwadratu poprzedniego. Oblicz pole obszaru\nzaznaczonego kolorem czarnym w nieskończonym ciągu tych kwadratów.\nA1\nB1\nA2\nD\nA3\nA4\nC1\nC2\nC3\nC4\nitd.\nitd.\nB2\nB3\nB4\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n6\n7\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n6 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":5,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nW trójkącie prostokątnym ABC, w którym bok AB jest przeciwprostokątną, na boku BC obrano\npunkt D taki, że\nDAB\nCAD\n2\nB\nB\n. Długość odcinka BD jest równa a, a kąt CAD ma miarę a.\nWykaż, że AD\na\n2\n1\n4\nsin\nsin2\na\na\nh.\n\n7 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n8\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n8 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"8 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nsin x = 0 lub cos x = 0 lub\nsinx\n2\n1\n2 =\nx = kr\nx\nk\n2\nr\nr\n1\n2\n3\n444444 444444\nsinx\n2\n2\nlub sinx\n2\n2\nsprzeczne z zał.\nx\nk\n4\n2\nr\nr\nZatem wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie możemy zapisać w postaci x = kr lub\nx\nk\n4\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nSchemat oceniania trzech sposobów\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający zapisze założenie, że x\nk\n2\nr\nr\nY\ni przekształci równanie do postaci sin x cos 3x + sin x cos x = 0\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający przekształci równanie do postaci\n• sin\ncos\ncos\nx\nx\nx\n2\n2\n0\n$\n$\n= i rozwiąże je: sin x = 0 lub cos x\n2\n0\n= lub cos x = 0\nalbo\n• sin 4x = 0\nalbo\n• sin x cos x (2 - 4 sin2 x ) = 0 i rozwiąże je: sin x = 0 lub cos x = 0 lub sin2 x = 2\n1\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający poda rozwiązania otrzymanych prostych równań: x\nk 4\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą (lub\nw innej równoważnej postaci).\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający uwzględni założenie i zapisze wszystkie rozwiązania równania:\nx = kr lub x\nk\n4\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nUwagi","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"9","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nWykaż, że wielomian f x\nx\nx\n3\n5\n3\n10\n6\n^ h\nnie ma pierwiastków rzeczywistych.\n\n9 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"9\nj\n81\n. Zatem pole","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie sin cos\ncos\nx\nx\nx\nx\n3\n0\ntg\n2\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n9\n10\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n10 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"10 5\n5\n4\n4 5\n, więc pole trapezu:\nP\na\nb\nh\n2\n1\n5 5 4 5\n100\nABCD\n$\n$\nh\nSchemat oceniania trzech sposobów\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający:\n• zastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie ABS:\ncos\nAB\n10\n10\n2 10\n180°\n2\n2\n2\n2\n$\n$\na\nh\nalbo\n• zastosuje wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczy sin 2\n5\n5\na =\nA\nS\nB\nD\nF\nE\nC\nc\nc\nh\nr\nα\n2\nα\n15 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nalbo\n• zastosuje własność czworokąta opisanego na okręgu i zapisze równość 2b + 2x = 2c lub wyznaczy\nwysokość trapezu w zależności od długości ramienia h\nc\n5\n4\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający:\n• obliczy długość dolnej podstawy: AB\n8 5\nlub wysokość trapezu: h\n4 5\nalbo\n• zapisze równość b\nc\n5\n2\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający:\n• obliczy długość dolnej podstawy: AB\n8 5\nlub wysokość trapezu: h\n4 5\nalbo\n• zapisze obie równości: b\nc\n5\n2\ni h\nc\n5\n4\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. błędy rachunkowe)\n4 pkt\nZdający:\n• obliczy długość ramienia trapezu: c\n5 5\ni sumę długości jego podstaw:\nAB\nCD\nc\n2\n10 5\nalbo\n• obliczy długość górnej postawy trapezu: CD\n2 5\ni poprzestanie na tym lub rozwiąże zadanie do końca z błędem rachunkowym (nawet na\nwcześniejszych etapach rozwiązania).\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający wyznaczy pole trapezu: PABCD = 100.\nZadanie 14. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7.3. Planimetria.\nZdający znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych\nw jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.).\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n5) posługuje się równaniem okręgu\na\nx\ny\nb\nr\n2\n2\n2\nh\nh\noraz\nopisuje koła za pomocą nierówności;\n7) oblicza współrzędne oraz długość wektora, dodaje i odejmuje\nwektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie\ndziałania na wektorach.\nPOZIOM PODSTAWOWY\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n6) oblicza odległość dwóch punktów.\n16 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPunkt A' = (a, b) leży na prostej x + 2y + 10 = 0, więc a + 2b + 10 = 0,\nstąd a = -2b - 10, zatem współrzędne punktu A' = (-2b - 10, b).\nZ definicji jednokładności:\nk\nOA\nOA\n$\nl\n,\n,\nb\nb\nk\n2\n10\n3\n2 3\n$\n6\n6\n@\n@\nZ równości wektorów otrzymujemy układ równań:\nb\nk\nb\nk\n2\n10\n2\n3\n3\nktórego rozwiązaniem jest para k\nb\n2\n3\nZatem skala jednokładności k = -2 oraz A' = (-4,-3).\nZ definicji jednokładności wyznaczamy teraz współrzędne punktu B' = (b1, b2):\nk\nOB\nOB\n$\nl\n,\n,\nb b\n3\n2\n4 1\n1\n2\n$\n6\n6\n@\n@\nb\nb\n8\n1\n1\n2\n(\nB' = (8, 1)\nZe wzoru na współrzędne środka odcinka ustalamy współrzędne środka okręgu, którego średnicą jest\nodcinek A'B': S'= (2, -1) oraz ze wzoru na odległość dwóch punktów obliczamy promień tego okręgu:\nr\nS B\n8\n2\n1\n1\n40\n2\n2\nh\nh\n, więc równanie tego okręgu: x\ny\n2\n1\n40\n2\n2\nh\nh\nx\ny","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nFunkcja f określona jest wzorem f x\nx\nx\n1\n3\n^ h\ndla każdej liczby rzeczywistej x\n1\n=Y . Wyznacz równania\ntych stycznych do wykresu funkcji f, które tworzą z osią Ox kąt 45°.\n\n11 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n11\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"11 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nZadanie 12. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji\ni wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych\nsytuacjach kombinatorycznych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru {1, 2, 3, …, n}, czyli\nkombinacje. Zatem liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego jest równa:\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n1\n!\n!\n!\n!\n!\n$\n$\n$\n$\n$\nX =\na\nk\nh\nh\nh\nh\nh\nNiech A oznacza zdarzenie, że wylosowano dwie liczby różniące się co najmniej o trzy. Łatwiej wskazać\nwyniki, które nie sprzyjają zdarzeniu A, dlatego rozważamy zdarzenie przeciwne:\nA' - wylosowano dwie liczby różniące się o mniej niż trzy.\nZdarzenie A' jest sumą dwóch wykluczających się zdarzeń:\nB1 - wylosowano dwie liczby różniące się o jeden;\nB2 - wylosowano dwie liczby różniące się o dwa.\nZauważmy, że B1 = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, …, {n - 1, n}}, więc |B1 | = n - 1,\nB2 = {{1, 3},{2, 4},{3, 5},…,{n - 2,n}}, więc |B2 | = n - 2.\nZatem |A'| = |B1| + |B2| = 2n - 3, czyli z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:\nP A\nA\nn n\nn\n1\n2 2\n3\nX\nl\nl\nh\nh\nh\nSkoro P A\n12\n7\n^ h\n, to P A\nP A\n1\n12\n5\nl\nh\nh\nUkładamy równanie:\nn\nn\nn\n4\n6\n12\n5\n2 -\nn\nn\nn\n5\n5\n48\n72\n2 -\nn\nn\n5\n53\n72\n0\n2 -\nktóre spełniają dwie liczby: n\n5\n8\n1 =\n, n2 = 9. Liczba n\n5\n8\n1 =\nnie jest liczbą całkowitą, zatem dla n = 9\nprawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb, które różnią się co najmniej o trzy, jest równe 12\n7 .\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający:\n• zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych\nn\n2\nX = a k\nalbo\n• opisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A'.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający poda liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A': |A'| = 2n - 3.\n12 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych\nn\nn\nn\n2\n2\n1\n$\nX =\na\nk\nh i zapisze\nprawdopodobieństwo P A\nA\nn n\nn\n1\n2 2\n3\nX\nl\nl\nh\nh\nh.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający rozwiąże równanie n\nn\nn\n4\n6\n12\n5\n2 -\n, odrzuci rozwiązanie sprzeczne z warunkami zadania\ni poda odpowiedź: n = 9.\nZadanie 13. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający:\n1) stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg\ni czworokąty opisane na okręgu;\n5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem\ntwierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.\nPOZIOM PODSTAWOWY\n7.4. Planimetria.\nZdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta\nostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nDane:\n|AS| = |BS| = 10\ncosa = 5\n3\nŚrodek okręgu wpisanego w wielokąt jest punktem przecięcia dwusiecznych jego kątów wewnętrznych,\nstąd |BSAB| = 2\n1 |BDAB| = 2\na . Ponadto trójkąt ABS jest równoramienny, więc |BASB| = 180° - a.\nZ twierdzenia cosinusów w trójkącie ABS otrzymujemy:\n|AB|2 = 102 + 102 - 2 . 102 . cos(180° - a)\ncos\nAB\n200\n200\n200\n200 5\n3\n320\n2\n$\n$\na\nAB\n8 5\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AES obliczamy promień okręgu wpisanego w trapez:\nr\n10\n4 5\n20\n2 5\n2\n2\nh\n, więc wysokość trapezu h\n4 5\nZ jedynki trygonometrycznej sin\ncos\n1\n25\n16\n2\n2\na\na\n, czyli sin\n5\n4\na =\nW trójkącie prostokątnym AFD:\n,\nsin\nc\nh\na =\nstąd c\n4 5\n4\n5\n5 5\n$\nW ten trapez można wpisać okrąg, więc AB\nCD\nc\n2\n10 5\n, zatem pole trapezu:\nP\nAB\nCD\nh\n2\n1\n5 5 4 5\n100\nABCD\n$\n$\nh\nA\nS\nB\nD\nF\nE\nC\nc\nc\nh\nr\nα\n2\nα\n13 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nII sposób\nDane:\n|AS| = |BS| = 10\ncosa = 5\n3\nŚrodek okręgu wpisanego w wielokąt jest punktem przecięcia dwusiecznych jego kątów wewnętrznych,\nstąd |BSAB| = 2\n1 |BDAB| = 2\na .\nZe wzoru na cosinus podwojonego kąta otrzymujemy:\ncos\nsin\n1\n2\n2\n2\na\na\nsin\n5\n3\n1\n2\n2\n2 a\nsin 2\n5\n5\na =\nW trójkącie prostokątnym AES:\nsin\nr\n2\n10\na =\nr\n5\n5\n10\nStąd r\n2 5\n, więc wysokość trapezu h\n4 5\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AES:\nAE\n10\n2 5\n4 5\n2\n2\n2\nh\n, więc AB\n8 5\nZ jedynki trygonometrycznej sin\ncos\n1\n25\n16\n2\n2\na\na\n, czyli sin\n5\n4\na =\n, stąd\n3\n4\ntga =\nW trójkącie prostokątnym AFD:\nAF\nh\ntga =\nAF\nh\n3\n4 =\nAF\n3 5\nZ własności trapezu równoramiennego:\nCD\nAB\nAF\n2\n8 5\n6 5\n2 5\n$\nZatem pole trapezu:\nP\nAB\nCD\nh\n2\n1\n5 5 4 5\n100\nABCD\n$\n$\nh\nA\nS\nB\nD\nF\nE\nC\nc\nc\nh\nr\nα\n2\nα\n14 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nIII sposób\nDane:\n|AS| = |BS| = 10\ncosa = 5\n3\nPrzyjmijmy oznaczenia: |AB| = a, |CD| = b, |AD| = |BC| = c, |DF| = h, |AF| = x.\nW trójkącie prostokątnym AFD:\ncos\nc\nx\na =\nx\nc\n5\n3\nW ten trapez można wpisać okrąg, więc:\na + b = 2c\n2b + 2x = 2c\nb\nc\nc\n5\n3\nb\nc\n5\n2\nStąd AE\nx\nb\nc\n2\n1\n5\n4\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AFD:\nh\nc\nx\nc\nc\nc\n5\n3\n5\n4\n2\n2\n2\n2\nj\nStąd\nES\nh\nc\n2\n1\n5\n2\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AES:\nAE\nES\nAS\n2\n2\n2\nc\nc\n5\n4\n5\n2\n100\n2\n2\nj\nj\nc\n5 5\nPonadto\n,\na\nb\nc\nh\nc\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nDoświadczenie losowe polega na tym, że losujemy jednocześnie dwie liczby ze zbioru {1, 2, 3, …, n},\ngdzie n H 2. Wyznacz te wartości n, dla których prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb\nróżniących się od siebie co najmniej o trzy jest równe 12\n7 .\n\n13 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n12\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n14 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nW trapez równoramienny ABCD, w którym AB || CD, wpisano okrąg o środku S. Odległość\npunktu S od końców dłuższej podstawy AB jest równa 10, a cosinus kąta ostrego tego trapezu jest\nrówny 5\n3 . Oblicz pole tego trapezu.\n\n15 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n13\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n16 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":14,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-5)\nOdcinek A'B' jest obrazem odcinka o końcach A = (2, 6) oraz B = (-4, 4) w jednokładności o środku\nO = (0, 3) i skali k =Y 0. Punkt A', który jest obrazem punktu A w tej jednokładności, leży na prostej\no równaniu x + 2y + 10 = 0. Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek A'B'.\n\n17 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n14\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":16,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"15","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nProsta o równaniu y = (a - 3)x + a + 4 przecina parabolę o równaniu y\nx\nax\na\n2\n1\n2\n8\n2\nw dwóch punktach o pierwszych współrzędnych x1, x2. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla\nktórych współrzędne x1, x2 spełniają nierówność x\nx\nx x\n9\n1\n3\n2\n3\n1\n2\nG\n\n19 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n15\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n20 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":18,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"16","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-7)\nOstrosłup ABCS o podstawie ABC, będącej trójkątem równobocznym, i wysokości SD, gdzie D jest\nśrodkiem odcinka AB, przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek).\nPunkty E, F, G są punktami wspólnymi płaszczyzny przekroju i krawędzi bocznych ostrosłupa.\nPunkty E', F', G' leżą na podstawie ABC i odcinki EE', FF', GG' są do niej prostopadłe. Wiedząc,\nże |AB| = 12 i |SD| = 16, oblicz, w jakiej odległości od płaszczyzny podstawy należy poprowadzić\nprzekrój ostrosłupa, aby graniastosłup E'F'G'EFG miał największą objętość.\nB\nS\nC\nG\nG\nE\nF\nA\nD\nE\nF\n\n21 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n16\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\n22 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"16 pola poprzedniego.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy obliczy pole obszaru zaznaczonego kolorem czarnym P = 81.\nZadanie 8. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}