{"paper":{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nSuma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa 195. Najmniejszą z tych liczb jest\nA. 37\nB. 38\nC. 39\nD. 40\nSuma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa 195. Najmniejszą z tych liczb jest A. 37, B. 38, C. 39, D. 40.","answer":"A","answer_text":"1. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n4\nx ≤- i\n2\nx ≥\n,\n4\nx ≤- oraz\n2\nx ≥\nitp.\n2. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n2\nx - bez stosownego założenia,\nto otrzymuje 0 punktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nButy, które kosztowały 220 złotych, przeceniono i sprzedano za 176 złotych. O ile procent\nobniżono cenę butów?\nA. 80\nB. 20\nC. 22\nD. 44\nButy, które kosztowały 220 złotych, przeceniono i sprzedano za 176 złotych. O ile procent obniżono cenę butów? A. 80, B. 20, C. 22, D. 44.","answer":"B","answer_text":"2 6\n2\n2\nx\noraz\n2\n2 6\n2\n4\nx\nalbo\no stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n8\nx\nx\n⋅\n= - oraz\n1\n2\n2\nx\nx\n= -, stąd\n1\n2\nx =\noraz\n2\n4\nx = -\nalbo\n• przekształcamy nierówność do postaci (\n)(\n)\n2\n2\n8\n0\nx\nx\n≥\n, skąd bezpośrednio\nodczytujemy pierwiastki:\n1\n2\nx =\n,\n2\n4\nx = -,\nalbo\n• przekształcamy nierówność do postaci równoważnej\n1\n3\nx +\n≥\n, korzystając\nz własności wartości bezwzględnej, i odczytujemy te wartości x, dla których\n1\n3\nx +\n:\n4\nx = -,\n2\nx =\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n, 4\n2,\n-∞-\n∪\n+ ∞ lub\n(\n)\n, 4\n2,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności\nalbo\n• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełni błąd (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.\no popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n1\n2\n1\nx\nx\ni konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no błędnie zapisze nierówność z wartością bezwzględną, np.\n1\n3\nx -\n≥\ni konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n, 4\n2,\n-∞-\n∪\n+ ∞ lub\n(\n)\n, 4\n2,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\nlub (\n4\nx ≤- lub\n2\nx ≥\n)\nalbo\n• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n4,\n2\nx\nx\n≤-\n≥\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nUwagi","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba\n5\n4\n4\n4\n5\n20\n⋅\njest równa\nA.\n4\n4\nB.\n16\n20\nC.\n5\n20\nD. 4\nLiczba 4^5⋅5^4 / 20^4 jest równa A. 4^4, B. 20^16, C. 20^5, D. 4","answer":"D","answer_text":"3. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n2\nx -, rozważając dwa przypadki\n2\n0\nx -\n>\noraz\n2\n0\nx -\n<\n, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków, ale nie\nrozważy przypadku\n2\n0\nx -\n, to otrzymuje 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba\n3\n6\nlog 729\nlog 36 jest równa\nA.\n6\nlog 693\nB. 3\nC.\n1\n2\n81\nlog\n4\nD. 4\nLiczba log_3 729 / log_6 36 jest równa A. log_6 693, B. 3, C. log_1/2 81/4, D. 4.","answer":"B","answer_text":"4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n2\nx =\n,\n2\n4\nx = - i błędnie zapisze\nodpowiedź, np. (\n)\n, 2\n2,\n-∞-\n∪\n+ ∞, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nAkceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej,\nnp. (\n)\n,2\n4,\n-∞\n∪-\n+ ∞,\n)\n4,\n-∞∪(\n,2\n+∞\nZadania 27. (0-2)\nJeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy\nniezmieniony, to otrzymamy liczbę 2 . Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego\nułamka odejmiemy 6 , to otrzymamy liczbę 8\n17 . Wyznacz ten ułamek.\nRozwiązanie (I sposób)\nNiech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego.\nZ treści zadania otrzymujemy układ równań\n32\n2\nx\ny\noraz\n6\n8\n6\n17\nx\ny\n,\n2\n32\ny\nx\noraz\n(\n)\n(\n)\n17\n6\n8\n6\nx\ny\n,\n2\n32\ny\nx\noraz 17\n102\n8\n48\nx\ny\nStąd\n17\n54\n4\n128\nx\nx\n,\n13\n182\nx =\n,\n14\nx =\n,\nwięc 2\n14\n32\n46\ny =\n. Zatem\n23\ny =\nSzukany ułamek to 14\n23 . Jest to ułamek nieskracalny.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n32\n2\nx\ny\ni\n6\n8\n6\n17\nx\ny\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy szukany ułamek: 14\n23 .\nUwaga\nJeżeli zdający obliczy licznik\n14\nx =\ni mianownik\n23\ny =\nszukanego ułamka, ale nie zapisze\ntego ułamka, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie (II sposób)\nDodając do licznika i do mianownika ułamka 8\n17 liczbę 6, otrzymujemy ułamek 14\n23 . Jest to\nułamek nieskracalny, a gdy do jego licznika dodamy liczbę 32, to otrzymujemy","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nNajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność\n7\n0\n5\nx +\n>\njest\nA.\n14\nB.\n13\nC. 13\nD. 14\nNajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x/5 + √7 > 0 jest A. -14, B. -13, C. 13, D. 14","answer":"B","answer_text":"5  \n\n\n6\n7\nWówczas\n2\n7\n7\n42\nΩ =\ni\n8\nA =\n. Zatem\n( )\n8\n4\n42\n21\nP A =\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n7 6\n42\nΩ = ⋅=\n(lub\n( )\n7\n2\n21\nΩ =\n)\nalbo\n• obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzenia A:\n8\nA =\n(lub\n4\nA =\n).\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n8\n4\n42\n21\nP A =\nUwagi\n1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A > lub\n( )\n0\nP A <\n, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd przy zliczaniu w tabeli par, spełniających warunki zadania\ni konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje\n1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko\n( )\n8\n42\nP A =\n, to otrzymuje 1 punkt.\nRozwiązanie (III sposób)\nNiech A oznacza zdarzenie - większa z wylosowanych liczb jest równa 5. Narysujmy drzewo\nzawierające tylko istotne gałęzie\nPrawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe\n( )\n8\n1\n1\n1 1\n1 1\n1 1\n1\n1\n4\n7\n7\n7\n7\n7\n6\n6\n6\n6\n6\n42\n21\n4\nP A\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy narysuje pełne drzewo oraz przynajmniej na jednej gałęzi zapisze poprawne\nprawdopodobieństwo i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n4\n21\nP A =\nUwagi\n1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A > lub\n( )\n0\nP A <\n, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n1\n7\n6\n3\n2\n1\n4\n5\n7\n5\n5\n1\n5\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n5\n2\n3\n4\n2. Jeśli zdający dodaje prawdopodobieństwa na gałęziach drzewa, to za całe rozwiązanie\notrzymuje 1 punkt (pod warunkiem, że prawdopodobieństwa na gałęziach drzewa są\nzapisane prawidłowo).\n3. Jeżeli zdający popełni błąd:\n• przy przepisywaniu prawdopodobieństw z gałęzi drzewa\nlub\n• w zapisaniu prawdopodobieństwa na jednej gałęzi drzewa,\nlub\n• nie zaznaczy jednej istotnej gałęzi drzewa\ni konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje\n1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nFunkcja kwadratowa jest określona wzorem\n( )\n(\n)(\n)\n1\n9\nf x\nx\nx\n. Wynika stąd, że\nfunkcja f jest rosnąca w przedziale\nA.\n)\n5,+∞\nB. (\n, 5\n-∞\nC. (\n,\n5\n-∞-\nD.\n)\n5,\n+∞\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nFunkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = (x-1)(x-9). Wynika stąd, że funkcja f jest rosnąca w przedziale A. <5,+∞), B. (-∞,5>, C. (-∞,-5>, D. <-5,∞).","answer":"A","answer_text":", wynika równość\nCS\n6\nAC\n. Skala podobieństwa trójkąta ABS do","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f, przy czym\n( )\n0\n2\nf\ni\n( )\n1\n0\nf\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n0\nWykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu\nwspółrzędnych. Funkcja g jest określona wzorem\nA.\n( )\n2\n2\ng x\nx\nB.\n( )\n2\n2\ng x\nx\nC.\n( )\n2\n2\ng x\nx\nD.\n( )\n2\n2\ng x\nx\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f, przy czym f(0)=-2 i f(1)=0. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu współrzędnych. Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=2x+2, B. g(x)=2x-2, C. g(x)=-2x+2, D. g(x)=-2x-2.","answer":"A","answer_text":"7 3\n2 3\n2\nAC\na\nProsta CB jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt\n(\n)\n2,7\nC =\n, więc ma\nrównanie postaci\n(\n)\n1\n2\n2\n7\ny\nx\n, czyli\n1\n2\n8\ny\nx\nWspółrzędne punktu B obliczymy rozwiązując układ równań\n3\n3\n4\n4\ny\nx\ni\n1\n2\n8\ny\nx\n. Stąd\notrzymujemy\n3\n3\n1\n4\n4\n2\n8\nx\nx\n+ ,\n3\n3\n2\n32\nx\nx\n,\n5\n35\nx =\n7\nx =\noraz\n1\n1\n2\n2\n7\n8\n4\ny = -\n⋅+\nZatem\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\nSposób b)\nWektory CA\n\ni CB\n\nsą prostopadłe. Współrzędne wektora CA\n\nsą równe\n[\n] [\n]\n3\n2, 3\n7\n5, 10\nCA = --\n\nPunkt B leży na prostej AB, więc jego współrzędne możemy zapisać w postaci\n(\n)\n3\n3\n4\n4\n,\nB\nx\nx\n. Zatem współrzędne wektora CB\n\nsą równe\n3\n4\n31\n4\n2,\nCB\nx\nx\n\n\n\n\n\nZ warunku prostopadłości wektorów CA\n\ni CB\n\notrzymujemy\n0\nCA CB =\n\n\n,\n[\n]\n3\n4\n31\n4\n5, 10\n2,\n0\nx\nx\n\n\n\n\n\n,\n(\n)\n(\n)\n3\n31\n4\n4\n5\n2\n10\n0\nx\nx\n,\n(\n)\n(\n)\n3\n31\n4\n4\n2\n2\n0\nx\nx\n,\n5\n35\n2\n2\n0\nx -\n,\n5\n35\nx =\n,\n7\nx =\nZatem\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\nSposób c)\nPunkt B leży na prostej AB, więc jego współrzędne możemy zapisać w postaci\n(\n)\n3\n3\n4\n4\n,\nB\nx\nx\n. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC otrzymujemy\n2\n2\n2\nAB\nAC\nBC\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n3\n3\n4\n4\n4\n4\n3\n3\n2\n3\n7\n3\n2\n7\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n9\n3\n31\n4\n4\n4\n4\n3\n5\n10\n2\nx\nx\nx\nx\n,\n2\n2\n2\n2\n9\n54\n81\n9\n186\n961\n16\n16\n16\n16\n16\n16\n6\n9\n125\n4\n4\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n,\n7\nx =\nZatem\n(\n) (\n)\n3\n3\n1\n4\n4\n2\n7,\n7\n7,4\nB =\n⋅-\nDługość odcinka AB jest równa\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n400 225\n625\n25\n1\n1\n2\n2\n4\n4\n2\n7\n3\n4\n3\n100\n7\n12\nAB\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n2\nAC\na\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora\n[\n]\n5, 10\nCA = -\n\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora CB\n\nw zależności od jednej zmiennej,\nnp:\n3\n31\n4\n4\n2,\nCB\nx\nx\n\n\n\n\n\n,\nalbo\n• zastosuje twierdzenie Pitagorasa i zapisze\n2\n2\n2\nAB\nAC\nBC\noraz uzależni\nwspółrzędne punktu B od tej samej zmiennej: np.:\n(\n)\n3\n3\n4\n4\n,\nB\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający wyznaczy\n• równanie prostej BC:\n1\n2\n8\ny\nx\nalbo\n• równanie z jedną niewiadomą wynikające z warunku prostopadłości wektorów\npozwalające obliczyć współrzędne punktu B: np. [\n]\n3\n31\n4\n4\n5, 10\n2,\n0\nx\nx\n\n\n\n\n\n(lub\nukład równań [\n] [\n]\n5, 10\n2,\n7\n0\nx\ny\n\ni\n3\n3\n4\n4\ny\nx\n),\nalbo\n• równanie z jedną niewiadomą wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n3\n3\n4\n4\n4\n4\n3\n3\n2\n3\n7\n3\n2\n7\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub układ równań z dwiema niewiadomymi\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n4\n4\n3\n3\n2\n3\n7\n3\n2\n7\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołka B:\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\ni na tym zakończy lub dalej popełni\nbłędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołka B oraz długość odcinka AB:\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\n,\n25\n1\n2\n2\n12\nAB =\nRozwiązanie (II sposób)\nTrójkąt ABC jest prostokątny, więc środek S okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem\nprzeciwprostokątnej AB. Jednocześnie leży on na symetralnej boku AC. Wyznaczamy\nnajpierw równanie symetralnej boku AC. Jest to prosta prostopadła do prostej AC i przechodzi\nprzez środek M odcinka AC. Ponieważ\n(\n)\n3, 3\nA = -\ni\n(\n)\n2,7\nC =\n, więc punkt M ma\nwspółrzędne:\n(\n) (\n)\n3 2\n3 7\n1\n2\n2\n2\n,\n,2\nM\n,\na współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy\n7 3\n2 3\n2\nAC\na\n, więc prosta AC ma\nrównanie postaci\n(\n)\n2\n3\n3\ny\nx\n-, czyli\n2\n3\ny\nx\nWspółczynnik kierunkowy symetralnej MS boku AC jest zatem równy\n1\n2\nMS\na\n,\na symetralna MS ma równanie postaci\n(\n)\n1\n1\n2\n2\n2\ny\nx\n,\n7\n1\n2\n4\ny\nx\nWspółrzędne środka S okręgu opisanego trójkącie ABC obliczymy, rozwiązując układ równań\n3\n3\n4\n4\ny\nx\ni\n7\n1\n2\n4\ny\nx\nStąd\n3\n3\n7\n1\n4\n4\n2\n4\nx\nx\n,\n3\n3\n2\n7\nx\nx\n,\n5\n10\nx =\n2\nx =\noraz\n7\n3\n1\n2\n4\n4\n2\ny = -\n⋅+\nZatem\n(\n)\n3\n4\n2,\nS =\nPonieważ S jest środkiem boku AB, to\n(\n) (\n)\n3\n3\n2\n2\n3\n4\n,\n2,\nB\nB\nx\ny\nS\nStąd\n3\n2\n2\nB\nx\ni\n3\n2\n3\n4\nB\ny\n3\n4\nBx\ni\n3\n2\n3\nB\ny\n7\nBx =\ni\n1\n2\n4\nB\ny =\nZatem\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\nDługość odcinka AB jest równa\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n400 225\n625\n25\n1\n1\n2\n2\n4\n4\n2\n7\n3\n4\n3\n100\n7\n12\nAB\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający wyznaczy\n• współczynnik kierunkowy prostej AC:\n2\nAC\na\nalbo\n• wyznaczy współrzędne środka M odcinka AC:\n(\n)\n1\n2 ,2\nM = -\ni zapisze, że środek\nokręgu opisanego na trójkącie ABC to punkt przecięcia symetralnej boku AC\ni prostej AB.\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający wyznaczy współrzędne środka S okręgu opisanego trójkącie ABC:\n(\n)\n3\n4\n2,\nS =\ni na\ntym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy współrzędne wierzchołka B i nie obliczy długości boku AB:\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\nalbo\n• obliczy długość boku AB i nie obliczy współrzędnych wierzchołka B:\n1\n1\n4\n2\n2\n2 6\n12\nAB\nAS\n⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołka B oraz długość odcinka AB:\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\n,\n25\n1\n2\n2\n12\nAB =\nUwaga\nJeżeli zdający błędnie zinterpretuje treść zadania, przyjmując, że wierzchołkiem kąta prostego\ntrójkąta ABC jest B, to otrzymuje 0 punktów.\nZadanie 33. (0-5)\nTrójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana\nboczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, a krawędź boczna ma\ndługość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nRozwiązanie I sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPodstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości a, ostrosłup jest\nprawidłowy, więc spodek O wysokości SO tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego\ni opisanego na podstawie ostrosłupa.\nA\nB\nC\nS\n60°\nh\nH\nO\na\n7\nD\nA\nB\nC\nS\nZatem\n3\n3\na\nAO =\noraz\n3\n6\na\nOD =\nŚciana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, stąd otrzymujemy\ntg60\nH\nOD =\n°,\n3\n3\n6\nH\na\n,\n3\n3\n6\na\nH =\n⋅\n,\n2\na\nH =\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, otrzymujemy\n2\n2\n2\nAO\nOS\nAS\n,\n2\n2\n2\n3\n7\n3\n2\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n2\n49\n3\n4\na\na\n,\n2\n7\n49 12\na =\n⋅\n,\n2\n7 12\na =\n⋅\n,\n2 21\na =\nZatem\n21\nH =\nObjętość ostrosłupa jest więc równa\n(\n)\n2\n2\n2 21\n3\n1\n3\n4 21 3\n21\n21\n21 7\n3\n4\n12\n12\na\nV\nH\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa\nalbo\n• zapisze, że długość odcinka AO:\n3\n3\na\nAO =\n, gdzie a oznacza długość krawędzi\npodstawy ostrosłupa,\nalbo\n• zapisze, że długość odcinka OD:\n3\n6\na\nOD =\n, gdzie a oznacza długość krawędzi\npodstawy ostrosłupa\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający wyznaczy w zależności od jednej zmiennej, np. a - długości krawędzi podstawy\n• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz\ndługość odcinka AO:\n3\n3\na\nAO =\nalbo\n• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz\ndługość odcinka OD:\n3\n6\na\nOD =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający wyznaczy wysokość ostrosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. a - długości\nkrawędzi podstawy:\n2\na\nH =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (lub\nbezpośrednio pole podstawy ostrosłupa):\n21\nH =\n,\n2 21\na =\ni na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nPierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy\n(\n)\n216\n. Iloraz tego ciągu jest równy\nA.\n224\n3\nB.\n3\nC.\n9\nD.\n27\nPierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (-216). Iloraz tego ciągu jest równy A. -224/3, B. -3, C. -9, D. -27.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nKąt α jest ostry i\n4\nsin\n5\nα =\n. Wtedy wartość wyrażenia sin\ncos\nα\nα jest równa\nA. 1\n5\nB.\n3\n5\nC. 17\n25\nD.\n1\n25\nKąt α jest ostry i sin α = 4/5. Wtedy wartość wyrażenia sinα - cosα jest równa A. 1/5, B. 3/5, C. 17/25D. 1/25.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nJeśli funkcja kwadratowa\n( )\n2\n2\n3\nf x\nx\nx\na\nnie ma ani jednego miejsca zerowego, to\nliczba a spełnia warunek\nA.\n1\na < -\nB.\n1\n0\na\n-≤\n<\nC.\n1\n0\n3\na\n≤\n<\nD.\n1\n3\na >\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nJeśli funkcja kwadratowa f(x) = x^2+2x+3a nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba „a” spełnia warunek A. a<-1, B. -1 ≤ a <0, C. 0 ≤ a < 1/3, D. a > 1/3.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDla każdej liczby całkowitej dodatniej n suma n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego (\n)\nna\njest określona wzorem\nn\nn\nSn\n2\n2\n. Wtedy wyraz\n2a jest równy\nA. 3\nB. 6\nC. 7\nD. 10\nDla każdej liczby całkowitej dodatniej n suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) jest określona wzorem S_n=2n^2+n. Wtedy wyraz a_2 jest równy A. 3, B. 6, C. 7, D. 10.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nUkład równań\n2\n3\n5\n4\n6\n10\nx\ny\nx\ny\n\n-\n\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma nieskończenie wiele rozwiązań.\nUkład równań {2x-3y=5; -4x+6y=-10; A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nLiczba 3 9\n3\njest równa\nA. 2\nB.\n2\nC. 0\nD.\n4\nLiczba |3-9|/-3 jest równa A. 2, B. -2, C. 0, D. -4.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"bezwgledna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nNa której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych (\n)\n1,2\n5\nm\nm\n, gdzie\nm jest dowolną liczbą rzeczywistą?\nA.\n2\n5\ny\nx\nB.\n2\n6\ny\nx\nC.\n2\n7\ny\nx\nD.\n2\n8\ny\nx\nNa której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych (m-1,2m+5), gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą? A. y=2x+5, B. y=2x+6, C. y=2x+7, D. y=2x+8.","answer":"C","answer_text":"14 32\n46\n23\n23\n2\n. Zatem szukany ułamek to 14\n23 .\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy doda do licznika i do mianownika ułamka 8\n17 liczbę 6, zapisze, że szukanym ułamkiem\njest 14\n23 i nie zapisze, że 14 32\n46\n23\n23\n2\n, a więc, że spełnia on drugi z warunków podanych\nw treści zadania.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy doda do licznika i do mianownika ułamka 8\n17 liczbę 6, zapisze, że szukanym ułamkiem\njest 14","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nKąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 6 . Promień\npodstawy stożka jest równy\nA. 3\nB. 6\nC. 3 3\nD. 6 3\nKąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 6. Promień podstawy stożka jest równy A. 3, B. 6 C. 3√3, D. 6√3.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nWartość wyrażenia (\n)\n2\ntg60\ntg45\nsin 60\n°+\n°\n° jest równa\nA.\n3 3\n2\n2\nB.\n3\n2\n2\nC.\n3\n4\n2\nD.\n3 3\n4\n2\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nWartość wyrażenia (tg60° + tg45°)^2 - sin60° jest równa 2 - 3√3/2; B. 2 + √3/2; C. 4 - √3/2; D. 4 + 3√3/2;","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDany jest walec, w którym promień podstawy jest równy r, a wysokość walca jest od tego\npromienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa\nA.\n3\n2πr\nB.\n3\n4πr\nC.\n(\n)\n2\nπ\n2\nr\nr +\nD.\n(\n)\n2\nπ\n2\nr\nr -\nDany jest walec, w którym promień podstawy jest równy r, a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa A. 2πr^3; B. 4πr^3; C. πr^2(r+2); D. πr^2(r-2).","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nPrzekątne równoległoboku mają długości 4 i 8, a kąt między tymi przekątnymi ma miarę\n°\n30 .\nPole tego równoległoboku jest równe\nA. 32\nB. 16\nC. 12\nD. 8\nPrzekątne równoległoboku mają długości 4 i 8, a kąt między tymi przekątnymi ma miarę 30°. Pole tego równoległoboku jest równe A. 32, B. 16, C. 12, D. 8.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Cięciwa CD przecina średnicę AB tego okręgu\nw punkcie E tak, że\n100\nBEC =\n°\n\n. Kąt środkowy ASC ma miarę 110°(zobacz rysunek).\nKąt wpisany BAD ma miarę\nA. 15°\nB. 20°\nC. 25°\nD. 30°\nPunkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Cięciwa CD przecina średnicę AB tego okręgu w punkcie E tak, że ∠ BEC| = 100°. Kąt środkowy ASC ma miarę 110° (zobacz rysunek).","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nOkręgi o środkach\n(\n)\n4\n,3\n1 =\nS\noraz\n(\n)\n4\n,9\n2\nS\ni równych promieniach są styczne\nzewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy\nA. 8\nB. 6\nC. 5\nD. 5\n2\nC\nE\nA\nB\nS\nD\n?\n110°\n100°\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nOkręgi o środkach S_1 = (3,4) oraz S_2 = (9,-4) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy A. 8, B. 6, C. 5, D. 5/2.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPodstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2,\na przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian\nbocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę α .\nWtedy wartość sin 2\nα jest równa\nA. 2\n3\nB.\n7\n3\nC.\n7\n7\nD.\n2\n3\nPodstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę α. Wtedy wartość sin α/2 jest równa A. 2/3, B. √7/3, C. √7/7, D. √2/3.","answer":"D","answer_text":"21 7\nV =\nUwaga\nZdający nie musi zaznaczać kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, o ile\nz rozwiązania wynika, że poprawnie interpretuje ten kąt.\nRozwiązanie II sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nTrójkąt DOS jest prostokątny, w którym jeden kąt ostry ma miarę 60°. Wysokość SD ściany\nbocznej oznaczmy przez 2x . Zatem\n3\nH\nSO\nx\noraz OD\nx\nA\nB\nC\nS\n60°\n2x\n3\nx\nO\na\n7\nD\n2x\nx\nPodstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości a, ostrosłup jest\nprawidłowy, więc spodek O wysokości SO tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego\ni opisanego na podstawie ostrosłupa. Zatem\n2\nAO\nx\noraz\n2\n3\na\nx\nDla trójkąta AOS zapisujemy twierdzenie Pitagorasa i obliczamy x:\n2\n2\n2\nAO\nOS\nAS\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\n7\nx\nx\n,\n2\n2\n4\n3\n49\nx\nx\n,\n2\n7\n49\nx =\n,\n7\nx =\nZatem\n7\n3\n21\nH =\n⋅\noraz\n2\n3\n2 21\na\nx\nObjętość ostrosłupa jest więc równa\n(\n)\n2\n2\n2 21\n3\n1\n3\n4 21 3\n21\n21\n21 7\n3\n4\n12\n12\na\nV\nH\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nUwaga\nZdający może podać wynik w postaci\n55,56\nV ≈\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa\nalbo\n• zapisze zależność między długościami odcinków OA i OD, np. OD\nx\n,\n2\nOA\nx\n,\ngdzie x - pół wysokości ściany bocznej,\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający wyznaczy w zależności od jednej zmiennej, np. x - pół wysokości ściany bocznej,\n• wysokość ostrosłupa SO:\n3\nSO\nH\nx\nalbo\n• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz\nzapisze zależność między długościami odcinków OA i OD, np. OD\nx\n,\n2\nOA\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający wyznaczy długość a krawędzi podstawy ostrosłupa w zależności od x:\n2\n3\na\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (lub\nbezpośrednio pole podstawy ostrosłupa):\n21\nH =\n,\n2 21\na =\ni na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n21 7\nV =\nUwaga\nZdający nie musi zaznaczać kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, o ile\nz rozwiązania wynika, że poprawnie interpretuje ten kąt.\nZadanie 34. (0-2)\nZe zbioru siedmiu liczb naturalnych {\n}\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 losujemy dwie różne liczby. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb\nbędzie liczba 5.\nRozwiązanie (I sposób)\nNiech zdarzeniami elementarnymi będą uporządkowane pary (\n)\n,a b liczb z podanego zbioru,\ntakie że a\nb\n≠\n. Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n7 6\n42\nΩ = ⋅=\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch liczb, z których większą jest\nliczba 5.\nZdarzeniu A sprzyja osiem zdarzeń elementarnych\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n}\n1, 5 , 2, 5 , 3, 5 , 4, 5 , 5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , 5, 4\nA=\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n8\n4\n42\n21\nP A =\nRozwiązanie (II sposób)\nNiech zdarzeniami elementarnymi będą dwuelementowe podzbiory {\n}\n,a b liczb z podanego\nzbioru. Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n( )\n7\n2\n21\nΩ =\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch liczb, z których większą jest\nliczba 5.\nZdarzenia A sprzyjają cztery zdarzenia elementarne\n{\n} {\n} {\n} {\n}\n{\n}\n1, 5 , 2, 5 , 3, 5 , 4, 5\nA=\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:\n( )\n4\n21\nP A =\nUwaga\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu\nA możemy też zapisać w tabeli.\nSymbol  użyty w tabeli oznacza zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A.\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n\n2\n\n3\n\n4\n","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nRóżnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa 11. Podstawą tego\nostrosłupa jest\nA. dziesięciokąt.\nB. jedenastokąt.\nC. dwunastokąt.\nD. trzynastokąt.\nRóżnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa 11. Podstawą tego ostrosłupa jest A. dziesięciokąt. B. jedenastokąt. C. dwunastokąt. D. trzynastokąt.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nJeżeli do zestawu czterech danych: 4, 7, 8, x dołączymy liczbę 2, to średnia arytmetyczna\nwzrośnie o 2. Zatem\nA.\n51\nx\nB.\n6\nx\nC.\n10\nx\nD.\n29\nx\nJeżeli do zestawu czterech danych: 4, 7, 8, x dołączymy liczbę 2, to średnia arytmetyczna wzrośnie o 2. Zatem A. x=-51, B. x=-6, C. x=10, D. x=29.","answer":"A","answer_text":"23 oraz sprawdzi, że 14 32\n46\n23\n23\n2\nZadanie 28. (0-2)\nWykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek\n1\nabc = , to\n1\n1\n1\na\nb\nc\nab\nac\nbc .\nRozwiązanie\nZauważmy, że\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n= bc\nac\nab\na\nb\nc\na\nb\nc\nabc\nWykorzystujemy warunek\n1\nabc = i otrzymujemy zależność\n1\nbc\nac\nab\nbc\nac\nab\nbc\nac\nab\nabc\n,\nco kończy dowód.\nUwaga\nTezę możemy też uzasadnić w inny sposób:\n1) Korzystamy z równości\n1\nabc =\n1\n1\n1\n1\n1\n1\na\na\nb\nc\na\nb\nc\nbc\na\na b\nc\nb\nab c\nc\nbc\nac\nab\n2) Z równości\n1\nabc = otrzymujemy:\n1\nbc\na\n,\n1\nac\nb\n,\n1\nab\nc\n. Zatem\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nbc\nac\nab\na\nb\nc\na\nb\nc\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wykorzysta definicję potęgi o wykładniku 1\n- i zapisze lewą stronę podanej równości\nw postaci\n1\n1\n1\nbc\nac\nab\na\nb\nc\nabc\nlub\n1\n1\n1\nabc\nabc\nabc\na\nb\nc\na\nb\nc\nalbo\n• wykorzysta definicję potęgi o wykładniku 1\n-, pomnoży obie strony podanej równości\nprzez iloczyn abc i zapisze równość w postaci równoważnej\n1\n1\n1\nabc\nabc\nabc\nab abc\nac abc\nbc abc\na\nb\nc\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n,\nalbo\n• wykorzysta założenie\n1\nabc = , wyznaczając stąd iloczyny:\n1\nab\nc\n,\n1\nac\nb\n,\n1\nbc\na\noraz zapisze prawą stronę podanej równości w postaci\n1\n1\n1\nab\nac\nbc\nc\nb\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy poda pełne uzasadnienie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość wzoru jedynie w wybranych przypadkach, to otrzymuje","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nIle jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?\nA. 12\nB. 24\nC. 29\nD. 30\nIle jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12, B. 24, C. 29, D. 30","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nDoświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną\nkostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są\ndwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe\nA.\n1\n48\nB.\n1\n24\nC.\n1\n12\nD. 1\n3\nα\n2\n3\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nDoświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce,jest równe A. 1/48, B. 1/24, C. 1/12, D. 1/3.","answer":"B","answer_text":"CDS\n, co należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n6\n(\n2)(\n8)\nx\nx\nx\nx\n≥\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 3x^2-6x ≥ (x-2)(x-8).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x \\\\in (-\\\\infty, -4\\\\rangle \\\\cup \\\\langle 2, +\\\\infty)$","image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nJeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy\nniezmieniony, to otrzymamy liczbę 2 . Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego\nułamka odejmiemy 6 , to otrzymamy liczbę 8\n17 . Wyznacz ten ułamek.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nJeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę 2. Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy 6, to otrzymamy liczbę 8/17. Wyznacz ten ułamek.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\\\dfrac{14}{23}$","image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek\n1\nabc = , to\n1\n1\n1\na\nb\nc\nab\nac\nbc\n\nMMA_1P\nWykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek abc = 1, to a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = ab + ac + bc.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nFunkcja kwadratowa jest określona wzorem\n( )\n2\n11\nf x\nx\nx\n. Oblicz najmniejszą wartość\nfunkcji f w przedziale\n6, 6\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nFunkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = x^2 - 11x. Oblicz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale <-6,6>.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$-30\\\\dfrac{1}{4}$","image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"funkcje","page_from":15,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S.\nWykaż, że jeżeli\n5\n6\nAS\nAC\n, to pole trójkąta ABS jest 25 razy większe od pola trójkąta DCS.\n\nMMA_1P\nW trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S. Wykaż, że jeżeli |AS| = 5/6|AC|, to pole trójkąta ABS jest 25 razy większe od pola trójkąta DCS.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-4)\nCiąg arytmetyczny (\n)\nna\nokreślony jest wzorem\n2016\n3\nna\nn\n, dla\n1\nn ≥. Oblicz sumę\nwszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nCiąg arytmetyczny (a_n) określony jest wzorem a_n = 2016-3n, dla n≥1. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$676368$","image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":17,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nNa rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC:\n(\n)\n3, 3\nA = -\ni\n(\n)\n2,7\nC =\noraz prosta o równaniu\n3\n3\n4\n4\ny\nx\n, zawierająca przeciwprostokątną AB tego\ntrójkąta.\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\ny\n0\nx\nA\nC\nOblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nNa rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC: A=(-3,-3) i C=(2,7) oraz prosta o równaniu y=3/4x-3/4, zawierająca przeciwprostokątną $AB$ tego trójkąta. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB.","answer":"A","answer_text":null,"solution":"$B=\\\\left(7, 4\\\\dfrac{1}{2}\\\\right)$, $|AB|=12\\\\dfrac{1}{2}$","image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"analityczna","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-5)\nTrójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana\nboczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, a krawędź boczna ma\ndługość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nA\nB\nC\nS\n7\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nTrójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, a krawędź boczna ma długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$21\\\\sqrt{7}$","image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nZe zbioru siedmiu liczb naturalnych {\n}\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 losujemy dwie różne liczby. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb\nbędzie liczba 5.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nZe zbioru siedmiu liczb naturalnych {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba 5.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\\\dfrac{4}{21}$","image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":22,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}