{"paper":{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n8\n2\n5 16-\n⋅\njest równa\nA.\n8\n5\n2\n\n\n\n\n\n\nB.\n5\n2\nC.\n8\n10\nD. 10\nLiczba 5^8⋅16^(-2) jest równa A. (5/2)^8, B. 5/2, C. 10^8, D. 10.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych i stosuje prawa\ndziałań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych (1.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie potęgi ujemnej i uproszczenie\n\n**Od czego zaczynamy:** Mamy \\(5^8 \\cdot 16^{-2}\\). Chcemy to uprościć, korzystając z własności potęg.\n\n**Krok 1:** Potęga ujemna - zamieniamy \\(16^{-2}\\) na ułamek:\n\\[16^{-2} = \\frac{1}{16^2} = \\frac{1}{256}\\]\n\n**Krok 2:** Rozpisujemy \\(16\\) jako potęgę dwójki:\n\\[16 = 2^4\\]\nZatem:\n\\[16^2 = (2^4)^2 = 2^8\\]\n\n**Krok 3:** Podstawiamy:\n\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = 5^8 \\cdot \\frac{1}{2^8} = \\frac{5^8}{2^8}\\]\n\n**Krok 4:** Korzystamy z własności \\(\\dfrac{a^r}{b^r} = \\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^r\\):\n\\[\\frac{5^8}{2^8} = \\left(\\frac{5}{2}\\right)^8\\]\n\n**Wynik: \\(\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8\\)** ✓\n\n## Sposób 2 - Przez sprowadzenie \\(16^{-2}\\) bezpośrednio\n\n**Krok 1:** Zapisujemy \\(16 = 2^4\\) od razu przy wykładniku ujemnym:\n\\[16^{-2} = (2^4)^{-2} = 2^{4 \\cdot (-2)} = 2^{-8}\\]\n\n**Krok 2:** Łączymy:\n\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = 5^8 \\cdot 2^{-8}\\]\n\n**Krok 3:** Korzystamy z własności \\(a^r \\cdot b^r = (a \\cdot b)^r\\) - ale tutaj mamy \\(2^{-8}\\), czyli \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^8\\):\n\\[5^8 \\cdot 2^{-8} = 5^8 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^8 = \\left(5 \\cdot \\frac{1}{2}\\right)^8 = \\left(\\frac{5}{2}\\right)^8\\]\n\nTen sam wynik. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n1. Potęga o wykładniku ujemnym:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy przy przekształcaniu \\(16^{-2}\\) i \\(2^{-8}\\).\n\n2. Potęga potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy przy \\((2^4)^{-2} = 2^{-8}\\) oraz \\((2^4)^2 = 2^8\\).\n\n3. Iloraz potęg o tej samej podstawie i iloczyn potęg o tym samym wykładniku:\n\\[\\frac{a^r}{b^r} = \\left(\\frac{a}{b}\\right)^r, \\quad (a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy przy łączeniu \\(\\dfrac{5^8}{2^8} = \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Ktoś liczy \\(\\frac{5}{2}\\) bez wykładnika - zapomina, że cała podstawa \\(\\frac{5}{2}\\) jest podniesiona do potęgi 8 |\n| C | Ktoś myśli \\(5 \\cdot 2 = 10\\) i podnosi do 8, ignorując, że \\(16^{-2}\\) to \\(2^{-8}\\), a nie \\(2^{+1}\\) |\n| D | Ktoś \"upraszcza\" wynik do samego \\(10\\) bez żadnego wykładnika - skrajne pominięcie potęgowania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(16^{-2} \\neq -16^2\\). Wykładnik ujemny to **odwrotność**, nie negacja - \\(16^{-2} = \\frac{1}{16^2}\\), nie \\(-256\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\((2^4)^{-2}\\) pamiętaj o mnożeniu wykładników: \\(4 \\cdot (-2) = -8\\), nie \\(4 - 2 = 2\\). To bardzo częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(10^8\\)) byłaby poprawna dla \\(5^8 \\cdot 2^8\\), ale tu mamy \\(2^{-8}\\) - odwrotność! Znak wykładnika zmienia wszystko.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Zamiana \\(16\\) na potęgę \\(2\\)\n\\(16 = 2^4\\), więc:\n\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = 5^8 \\cdot (2^4)^{-2} = 5^8 \\cdot 2^{-8} = \\dfrac{5^8}{2^8} = \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(\\left(\\tfrac{a}{b}\\right)^n = \\tfrac{a^n}{b^n}\\)\n\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = \\dfrac{5^8}{16^2} = \\dfrac{5^8}{256} = \\dfrac{5^8}{2^8} = \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{5}{2}\\)** - ktoś pomylił \\(5^8/2^8\\) z \\(5/2\\) (opuścił wykładnik).\n- **C. \\(10^8\\)** - mylne przekształcenie \\(5\\cdot 2 = 10\\) (tu jest iloraz, nie iloczyn).\n- **D. \\(10\\)** - dwa błędy jednocześnie.\n\n**Kluczowe:** pamiętaj, że \\(a^{-n} = \\tfrac{1}{a^n}\\) - ujemny wykładnik **nie** oznacza ujemnej wartości.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na potęgi\n\nRozważmy wyrażenie 58 * 16⁻²:\n\n1. **Rozpisujemy potęgę:** 16⁻² = (2⁴)⁻² = 2⁻⁸.\n2. **Zapisujemy wyrażenie:** 58 * 2⁻⁸.\n3. **Przekształcamy do postaci:** 58 * 2⁻⁸ = 58 * (1/2⁸) = 58/256.\n4. **Upraszczamy ułamek:** 58/256 = 29/128.\n5. **Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 5:** To nieprawda.\n6. **Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 108:** To nieprawda.\n7. **Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 58:** To nieprawda.\n\nZatem, 58 * 16⁻² = 29/128. W zadaniu podano, że wynik jest równy 8. Zatem, coś poszło nie tak. Zatem, musimy sprawdzić, czy w zadaniu jest błąd.\n\nSprawdzając zadanie, widzimy, że powinno być 58 * 16⁻² = 58/(16²) = 58/256 = 29/128. Zatem, zadanie jest błędne. W zadaniu powinno być 58 * 16⁻² = 8. Zatem, musimy to obliczyć inaczej.\n\n1. **Zapisujemy wyrażenie:** 58 * 16⁻² = 58 * (1/16²) = 58/256\n2. **Upraszczamy:** 58/256 = 29/128\n3. **Sprawdzamy, czy 29/128 = 8:** To nieprawda.\n\nZatem, zadanie jest błędne.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie logarytmu\n\n1. **Zapisujemy wyrażenie:** 58 * 16⁻²\n2. **Zastosowanie logarytmu o podstawie 10:**\nlog(58 * 16⁻²) = log(58) + log(16⁻²)\n= log(58) - 2 * log(16)\n3. **Obliczamy:** log(58) ≈ 1.7709 i log(16) = 1.2041\n= 1.7709 - 2 * 1.2041 = 1.7709 - 2.4082 = -0.6373\n4. **Równanie:** -0.6373 = 8 (to jest błąd w zadaniu, powinno być równa -0.6373)\n5. **Zatem, zadanie jest błędne.**\n\n📖 Karta wzorów: s.6: Silnia n!=1·2 n, strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. 5:** 5 nie jest wynikiem obliczeń.\n* **C. 108:** 108 nie jest wynikiem obliczeń.\n* **D. (na zdjęciu):** (na zdjęciu) to nie jest poprawna odpowiedź.\n\nZadanie jest błędne, ponieważ wynik 58 * 16⁻² = 29/128 ≠ 8. Prawidłowy wynik z obliczeń to -0.6373.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba\n3\n3 54\n2\njest równa\nA.\n3 52\nB. 3\nC.\n3\n2 2\nD. 2\nLiczba ∛54 - ∛2jest równa A. ∛52, B. 3, C. ∛2, D. 2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje\nsię w obliczeniach pierwiastkami dowolnego\nstopnia i stosuje prawa działań na\npierwiastkach (1.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\sqrt[3]{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wyłączenie przed pierwiastek\n\n**Kluczowy pomysł:** wyciągamy wspólny czynnik \\(\\sqrt[3]{2}\\) przed nawias.\n\nZaczynamy od rozkładu \\(\\sqrt[3]{54}\\). Szukamy, jak wyrazić 54 przez 2:\n\n\\[54 = 27 \\cdot 2\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\sqrt[3]{54} = \\sqrt[3]{27 \\cdot 2} = \\sqrt[3]{27} \\cdot \\sqrt[3]{2} = 3\\sqrt[3]{2}\\]\n\nTeraz podstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2} = 3\\sqrt[3]{2} - \\sqrt[3]{2}\\]\n\nWyłączamy \\(\\sqrt[3]{2}\\) przed nawias:\n\n\\[= \\sqrt[3]{2}\\,(3 - 1) = \\mathbf{2\\sqrt[3]{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja numeryczna\n\nSprawdzamy, że \\(2\\sqrt[3]{2}\\) to naprawdę wartość wyrażenia.\n\n\\[\\sqrt[3]{2} \\approx 1{,}2599\\]\n\nLewa strona:\n\n\\[\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2} \\approx 3{,}7798 - 1{,}2599 = 2{,}5199\\]\n\nPrawa strona:\n\n\\[2\\sqrt[3]{2} \\approx 2 \\cdot 1{,}2599 = 2{,}5198\\]\n\nZgadza się ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność pierwiastka z iloczynu:\n\n\\[\\sqrt[n]{a \\cdot b} = \\sqrt[n]{a} \\cdot \\sqrt[n]{b}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, rozkładając \\(\\sqrt[3]{54} = \\sqrt[3]{27 \\cdot 2} = \\sqrt[3]{27} \\cdot \\sqrt[3]{2}\\).\n\nDodatkowo skorzystaliśmy z faktu, że \\(\\sqrt[3]{27} = 3\\), bo \\(3^3 = 27\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\sqrt[3]{52}\\) | Odjęto liczby pod pierwiastkiem: \\(\\sqrt[3]{54-2} = \\sqrt[3]{52}\\). **Pierwiastki NIE odejmują się tak!** \\(\\sqrt[3]{a} - \\sqrt[3]{b} \\neq \\sqrt[3]{a-b}\\) |\n| B - \\(3\\) | Pomylono \\(\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2}\\) z \\(\\frac{\\sqrt[3]{54}}{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt[3]{27} = 3\\). To byłoby dzielenie, nie odejmowanie |\n| D - \\(2\\) | Prawidłowy współczynnik \\(2\\) wyciągnięty, ale zgubiono czynnik \\(\\sqrt[3]{2}\\). Błąd: wpisano sam wynik \\((3-1) = 2\\) bez przemnożenia przez \\(\\sqrt[3]{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastki NIE odejmują się \"pod spodem\" - \\(\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2} \\neq \\sqrt[3]{52}\\). Ta pułapka jest ustawiona specjalnie jako odpowiedź A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Żeby dodawać/odejmować wyrażenia z pierwiastkami, muszą mieć **ten sam czynnik pod pierwiastkiem** - dopiero wtedy wyłączamy go i działamy na współczynnikach. Tu kluczem było rozbicie 54 = 27 · 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto zapamiętać sześciany liczb: \\(1^3=1\\), \\(2^3=8\\), \\(3^3=27\\), \\(4^3=64\\), \\(5^3=125\\) - to przyspiesza rozkład liczby pod pierwiastkiem sześciennym.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozkład \\(54\\) na czynniki\n\\(54 = 27 \\cdot 2\\), a \\(27 = 3^3\\):\n\\[\\sqrt[3]{54} = \\sqrt[3]{27\\cdot 2} = \\sqrt[3]{27}\\cdot\\sqrt[3]{2} = 3\\sqrt[3]{2}.\\]\nZatem:\n\\[\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2} = 3\\sqrt[3]{2} - \\sqrt[3]{2} = 2\\sqrt[3]{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyłączanie wspólnego czynnika\n\\[\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2} = \\sqrt[3]{2}(\\sqrt[3]{27} - 1) = \\sqrt[3]{2}\\cdot(3-1) = 2\\sqrt[3]{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sqrt[3]{52}\\)** - błąd: \\(\\sqrt[3]{a} - \\sqrt[3]{b} \\ne \\sqrt[3]{a-b}\\). To ZŁE prawo.\n- **B. \\(3\\)** - ktoś obliczył \\(\\sqrt[3]{54} \\approx 3{,}78\\), odjął \\(\\sqrt[3]{2}\\approx 1{,}26\\), zaokrąglił.\n- **D. \\(2\\)** - pominięto pierwiastek sześcienny z 2.\n\n**Pułapka:** pierwiastek **nie jest** liniowy - można wyciągnąć wspólny czynnik tylko gdy obie liczby pod pierwiastkiem są jednakowego typu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie logarytmu o podstawie 2\n\n1. **Zapisanie wyrażenia:** Chcemy obliczyć \\( \\log_2(25) \\). Możemy to zapisać jako \\( \\log_2(5^2) \\).\n2. **Zastosowanie własności logarytmów:** Korzystając z własności logarytmów, możemy wyeksponować 5: \\( \\log_2(5^2) = 2 \\log_2(5) \\).\n3. **Ostateczny wynik:** Zatem \\( \\log_2(25) = 2 \\log_2(5) \\). Wybór odpowiedzi C jest więc poprawny.\n\n\\[ \\log_2(25) = \\log_2(5^2) = 2 \\log_2(5) \\]\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, log(xy)=logx+logy, log(x^r)=r·logx, strona 13\n\n### Sposób 2: Użycie silni i wzoru na logarytm silni\n\n1. **Zapisanie silni:** \\( \\log_2(25) = \\log_2(5!) \\)\n2. **Zastosowanie wzoru na logarytm silni:** Wzór na logarytm silni to \\( \\log_2(n!) = \\sum_{k=1}^{n} \\log_2(k) \\). W naszym przypadku \\( \\log_2(5!) = \\log_2(1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5) \\)\n3. **Obliczenie sumy logarytmów:** \\( \\log_2(5!) = \\log_2(1) + \\log_2(2) + \\log_2(3) + \\log_2(4) + \\log_2(5) \\)\n4. **Wartości logarytmów:** \\( \\log_2(1) = 0, \\log_2(2) = 1, \\log_2(4) = 2, \\log_2(5) \\) jest liczbą rzeczywistą, którą musimy obliczyć. Możemy to zrobić, używając definicji logarytmu: \\( 2^{\\log_2(5)} = 5 \\).\n5. **Ostateczny wynik:** \\( \\log_2(5!) = 0 + 1 + \\log_2(3) + 2 + \\log_2(5) = 3 + \\log_2(3) + \\log_2(5) = 3 + \\log_2(15) \\). Ponieważ \\( \\log_2(25) = 2 \\log_2(5) \\), to \\( \\log_2(5) = \\frac{1}{2} \\log_2(25) \\). Wybór odpowiedzi C jest więc poprawny.\n\n\\[ \\log_2(25) = \\log_2(5!) = \\log_2(1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5) = \\log_2(1) + \\log_2(2) + \\log_2(3) + \\log_2(4) + \\log_2(5) = 0 + 1 + \\log_2(3) + 2 + \\log_2(5) = 3 + \\log_2(3) + \\log_2(5) \\]\n\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. log2 25:** To jest po prostu logarytm z 25, a nie logarytm z 5!\n* **B. log2 5:** To jest część wyniku, ale nie jest to wynik końcowy.\n* **D. log2 25:** Podobnie jak A, to jest logarytm z 25, a nie z 5!.\n\nPodsumowując, sposób 1 jest prostszy i bardziej bezpośredni, a sposób 2 pokazuje, jak użyć silni i logarytmów do rozwiązania tego zadania. W obu przypadkach odpowiedź C jest prawidłowa.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba\n5\nlog\n2\n3\nlog\n2\n2\n2\njest równa\nA.\n2\n9\nlog 25\nB.\n2\n3\nlog 5\nC.\n2\n9\nlog 5\nD.\n2\n6\nlog 25\nLiczba 2⋅log_2 3 - 2⋅log_2 5 jest równa A. log_2 9/25, B. \\log_2 3/5, C. log_2 9/5, D. log_2 6/25.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\ndefinicję logarytmu i stosuje w obliczeniach\nwzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku\ndo liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt\nliczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?\nA. 4050\nB. 1782\nC. 7425\nD. 7128\nLiczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120 i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku? A. 4050, B. 1782, C. 7425, D. 7128","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje\nobliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk\nz lokat (1.9).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(4050\\)\n\n## Sposób 1 - równanie z niewiadomą\n\n**Oznaczamy:** niech \\(x\\) = liczba zwierząt 31 grudnia 2011 r.\n\nLiczba wzrosła o \\(120\\%\\), czyli przybyło \\(\\frac{120}{100} \\cdot x = 1{,}2x\\) osobników.\n\n**Obecna liczba = stan wyjściowy + przyrost:**\n\\[x + 1{,}2x = 8910\\]\n\\[2{,}2x = 8910\\]\n\\[x = \\frac{8910}{2{,}2} = \\frac{8910}{\\frac{11}{5}} = 8910 \\cdot \\frac{5}{11} = \\frac{44550}{11} = \\mathbf{4050}\\]\n\nPopulacja liczyła **\\(4050\\)** zwierząt.\n\n## Sposób 2 - myślenie procentowe (przez 100%)\n\nWzrost o \\(120\\%\\) oznacza, że obecna liczba stanowi \\(100\\% + 120\\% = 220\\%\\) liczby wyjściowej.\n\n\\[220\\% \\cdot x = 8910\\]\n\\[\\frac{220}{100} \\cdot x = 8910\\]\n\\[x = \\frac{8910 \\cdot 100}{220} = \\frac{891000}{220} = \\mathbf{4050}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(4050 \\cdot 2{,}2 = 4050 \\cdot 2 + 4050 \\cdot 0{,}2 = 8100 + 810 = 8910\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(1782\\) | Policzono \\(8910 \\cdot \\frac{20}{100} = 1782\\), czyli \\(20\\%\\) z aktualnej liczby - kompletnie błędna interpretacja |\n| C: \\(7425\\) | Odjęto \\(120\\%\\) z \\(8910\\): \\(8910 \\cdot \\frac{100}{120} = 7425\\) - błąd w kierunku działania, jakby populacja zmalała |\n| D: \\(7128\\) | Policzono \\(8910 \\cdot 0{,}8 = 7128\\), odjęto \\(20\\%\\) zamiast uwzględnić wzrost o \\(120\\%\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzrost o \\(120\\%\\) to **NIE TO SAMO** co wzrost do \\(120\\%\\). Wzrost **do** \\(120\\%\\) oznaczałby \\(x \\cdot 1{,}2 = 8910\\), wzrost **o** \\(120\\%\\) oznacza \\(x \\cdot (1 + 1{,}2) = x \\cdot 2{,}2 = 8910\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno liczyć \\(\\frac{8910}{1{,}2}\\) - to błąd C. Dzielenie przez \\(1{,}2\\) dawałoby wynik, gdyby populacja wzrosła **do** \\(120\\%\\), a nie **o** \\(120\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzrost o \\(100\\%\\) = podwojenie. Wzrost o \\(120\\%\\) = ponad podwojenie (mnożnik \\(2{,}2\\)). Jeśli wynik jest większy niż połowa aktualnej liczby - to dobry znak, że liczymy dobrze.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Równanie procentowe\nWzrost o \\(120\\%\\) oznacza, że nowa wartość to \\(100\\% + 120\\% = 220\\%\\) starej:\n\\[2{,}2x = 8910 \\Rightarrow x = \\dfrac{8910}{2{,}2} = 4050.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład kroku\n\\(100\\%\\) (stara) + \\(120\\%\\) wzrostu = \\(220\\%\\) (nowa). Zatem \\(1\\%\\) starej wartości = \\(\\tfrac{8910}{220} = 40{,}5\\), a \\(100\\%\\) = \\(4050\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(1782\\)** - \\(8910\\cdot 0{,}2 = 1782\\) (obliczono \\(20\\%\\) zamiast szukanej wartości).\n- **C. \\(7425\\)** - \\(8910\\cdot 0{,}833\\) lub podobne błędne obliczenie.\n- **D. \\(7128\\)** - \\(8910\\cdot 0{,}8 = 7128\\) (odjęto \\(20\\%\\) zamiast dzielić przez \\(2{,}2\\)).\n\n**Częsta pułapka:** wzrost o \\(120\\%\\) to mnożenie przez \\(2{,}2\\) (nowa wartość = \\(x + 1{,}2x\\)), **nie** przez \\(1{,}2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie procentów i równania\n1. **Zrozumienie zadania:** Zaczynamy z liczbą zwierząt w 2011 roku, która jest bazą. Następnie, wzrost o 120% oznacza, że liczba zwierząt wzrosła o 120% tej bazy. Ostateczna liczba to suma bazy i wzrostu.\n2. **Obliczenie wzrostu:** 120% z liczby zwierząt w 2011 roku to 1,20 * liczba zwierząt w 2011 roku.\n3. **Obliczenie liczby zwierząt w 2011 roku:** Oznaczmy liczbę zwierząt w 2011 roku jako *x*. Zatem, ostateczna liczba to *x* + 1,20*x = 2,20*x. Wiemy, że 2,20*x = 8910.\n4. **Rozwiązanie równania:** Dzielimy obie strony równania przez 2,20:\n\\(x = \\frac{8910}{2,20} = \\frac{89100}{22} = 4050\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.10 - Ciągi, wzór na procent składany: Kₙ=K₀·(1+p/100)ⁿ, strona 10\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na wzrost o 120%\n1. **Zrozumienie zadania:** Znamy ostateczną liczbę zwierząt (8910) i procent wzrostu (120%). Chcemy znaleźć liczbę zwierząt w 2011 roku.\n2. **Zastosowanie wzoru:** Jeśli wzrost o 120% daje 8910, to możemy to zapisać jako:\n\\(x \\cdot (1 + 1,20) = 8910\\)\n\\(x \\cdot 2,20 = 8910\\)\n3. **Rozwiązanie równania:** Dzielimy obie strony przez 2,20:\n\\(x = \\frac{8910}{2,20} = 4050\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.10 - Ciągi, wzór na procent składany: Kₙ=K₀·(1+p/100)ⁿ, strona 10\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 1782:** Ta odpowiedź nie jest poprawna, ponieważ nie spełnia ona warunków zadania.\n* **C. 7425:** Ta odpowiedź również jest błędna, ponieważ nie jest zgodna z obliczeniami dotyczącymi wzrostu o 120%.\n* **D. 7128:** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ nie prowadzi do poprawnej liczby zwierząt po wzroście o 120%.\n\nZadanie polega na obliczeniu wartości początkowej populacji, wiedząc, że po wzroście o 120% liczba wynosi 8910. Użycie procentów i odpowiedniego wzoru pozwala na rozwiązanie tego problemu.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nRówność (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nx\njest\nA. prawdziwa dla\n2\nx = -\nB. prawdziwa dla\n2\nx =\nC. prawdziwa dla\n1\nx = -.\nD. fałszywa dla każdej liczby x.\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRówność (x√2 - 2)^2 = (2 + √2)^2 A. prawdziwa dla x=-√2; B. prawdziwa dla x=√2; C. prawdziwa dla x=-1. D. fałszywa dla każdej liczby x.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania kwadratowe z jedną\nniewiadomą (3.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRówność jest prawdziwa dla \\(x = -1\\).\n\n## Sposób 1 - Wyłuskanie pierwiastków równania\n\nJeśli \\(A^2 = B^2\\), to \\(A = B\\) lub \\(A = -B\\). Właśnie to tu stosujemy.\n\nMamy:\n\\[(x\\sqrt{2} - 2)^2 = (2 + \\sqrt{2})^2\\]\n\nBierzemy pierwiastek (z obu stron - pamiętamy o obu przypadkach):\n\n**Przypadek 1:**\n\\[x\\sqrt{2} - 2 = 2 + \\sqrt{2}\\]\n\\[x\\sqrt{2} = 4 + \\sqrt{2}\\]\n\\[x = \\frac{4 + \\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = \\frac{4}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} + 1 = 2\\sqrt{2} + 1\\]\n\n**Przypadek 2:**\n\\[x\\sqrt{2} - 2 = -(2 + \\sqrt{2})\\]\n\\[x\\sqrt{2} - 2 = -2 - \\sqrt{2}\\]\n\\[x\\sqrt{2} = -\\sqrt{2}\\]\n\\[\\boxed{x = -1}\\]\n\nRozwiązania: \\(x = -1\\) lub \\(x = 2\\sqrt{2} + 1\\).\n\nSpośród odpowiedzi A, B, C, D - jedynym rozwiązaniem pokrywającym się z opcjami jest \\(x = -1\\), czyli **odpowiedź C**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie \\(x = -1\\)\n\nPodstawiamy \\(x = -1\\) do lewej strony:\n\\[((-1) \\cdot \\sqrt{2} - 2)^2 = (-\\sqrt{2} - 2)^2 = (\\sqrt{2} + 2)^2 = (2 + \\sqrt{2})^2\\]\n\nPrawa strona to dokładnie \\((2 + \\sqrt{2})^2\\), więc **obie strony są równe** - równość jest prawdziwa. ✓\n\nSprawdzamy pozostałe odpowiedzi dla pewności:\n\n- \\(x = -\\sqrt{2}\\): \\((-\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} - 2)^2 = (-2 - 2)^2 = 16\\), a prawa strona \\((2+\\sqrt{2})^2 = 6 + 4\\sqrt{2} \\approx 11{,}66\\). Nierówne. ✗\n- \\(x = \\sqrt{2}\\): \\((\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} - 2)^2 = (2-2)^2 = 0 \\neq (2+\\sqrt{2})^2\\). ✗\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\n\nUżyty pośrednio przy rozpoznaniu, że \\(A^2 = B^2 \\iff A = B\\) lub \\(A = -B\\) (wynika z \\(A^2 - B^2 = 0\\), czyli \\((A-B)(A+B) = 0\\)).\n\nW tym zadaniu kluczowe jest samo **przekształcenie równania \\(A^2 = B^2\\)** bez rozwijania kwadratów - to najprostsze podejście.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(x\\sqrt{2} - 2\\) dla \\(x = -\\sqrt{2}\\): dostaje \\(-2-2 = -4\\), a \\((-4)^2 = 16 \\neq (2+\\sqrt{2})^2\\). Błąd może wynikać z pomieszania znaków lub niepoprawnego pierwiastkowania. |\n| B | Podstawienie \\(x = \\sqrt{2}\\) daje \\((\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} - 2)^2 = (2-2)^2 = 0\\). Uczeń mógł błędnie upraszczać \\(x\\sqrt{2} = 2\\), nie sprawdzając czy prawa strona też wynosi 0. |\n| D | Błąd wynika z nieumiejętności rozwiązania równania \\(A^2 = B^2\\) - uczeń być może próbował rozwinąć kwadraty i zgubił się w obliczeniach, zamiast skorzystać z prostszej metody. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(A^2 = B^2\\) ZAWSZE są **dwa przypadki**: \\(A = B\\) lub \\(A = -B\\). Pominięcie drugiego przypadku to najczęstszy błąd - tu właśnie z niego wychodzi rozwiązanie \\(x = -1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie ma potrzeby rozwijać \\((2 + \\sqrt{2})^2\\) - to niepotrzebne rachunki. Równanie \\(A^2 = B^2\\) rozwiązujemy bez rozwijania, zaoszczędzamy czas i unikamy błędów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-\\sqrt{2} - 2)^2 = (\\sqrt{2} + 2)^2\\) - kwadrat jest dodatni niezależnie od znaku - więc podstawienie \\(x = -1\\) od razu \"widać\" jako kandydat, bo zmieniamy znak w nawiasie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozwinięcie obu stron\n**Prawa strona:** \\((2+\\sqrt{2})^2 = 4 + 4\\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\\sqrt{2}\\).\n\n**Lewa strona:** \\((x\\sqrt{2}-2)^2 = 2x^2 - 4x\\sqrt{2} + 4\\).\n\nZatem \\(2x^2 - 4x\\sqrt{2} + 4 = 6 + 4\\sqrt{2}\\), czyli \\(2x^2 - 4x\\sqrt{2} = 2 + 4\\sqrt{2}\\).\n\nSprawdzamy dla \\(x = -1\\): \\(2 - 4(-1)\\sqrt{2} = 2 + 4\\sqrt{2}\\) ✓\n\n### Sposób 2 - Wykorzystanie \\((x\\sqrt{2}-2)^2 = (2+\\sqrt{2})^2\\)\n\\(|x\\sqrt{2} - 2| = |2 + \\sqrt{2}|\\)\n\n**Przypadek 1:** \\(x\\sqrt{2} - 2 = 2 + \\sqrt{2} \\Rightarrow x\\sqrt{2} = 4 + \\sqrt{2} \\Rightarrow x = \\tfrac{4+\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2} + 1\\) - żadna z opcji.\n\n**Przypadek 2:** \\(x\\sqrt{2} - 2 = -(2+\\sqrt{2}) \\Rightarrow x\\sqrt{2} = -\\sqrt{2} \\Rightarrow x = -1\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x = -\\sqrt{2}\\):** \\((-2-2)^2 = 16 \\ne 6+4\\sqrt{2} \\approx 11{,}66\\).\n- **B. \\(x = \\sqrt{2}\\):** \\((2-2)^2 = 0 \\ne 6+4\\sqrt{2}\\).\n- **D. Fałszywa zawsze** - pokazaliśmy, że \\(x = -1\\) działa.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania\nRozważmy równanie: x² - 2 = 2 + 2.\nNajpierw uprośćmy lewą stronę:\nx² - 2 = x²\nNastępnie przeniesiemy wyrazy na prawą stronę:\nx² - 2 = 2 + 2\nx² - 2 = 4\nDodajmy 2 do obu stron:\nx² = 4 + 2\nx² = 6\nTeraz wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z obu stron:\nx = ±√6\nPonieważ w treści zadania podano, że x² - 2 = 2 + 2, a nie x² - 2 = 2 + 2, to musimy sprawdzić, czy x = √6 i x = -√6 spełniają to równanie.\nW zadaniu podano, że x² - 2 = 2 + 2, więc x² = 6.\nZatem x = √6 lub x = -√6.\nZatem x = -1 nie jest rozwiązaniem.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 5\n\\[x^2=6\\]\n\n### Sposób 2: Podstawienie wartości x\nPodstawmy x = -1 do równania x² - 2 = 2 + 2:\n(-1)² - 2 = 2 + 2\n1 - 2 = 4\n-1 = 4\nTo jest fałsz, więc x = -1 nie jest rozwiązaniem.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7\n\\[(a±b)²=a²±2ab+b²\\]\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (prawdziwa dla x = 2):** Sprawdzając x = 2, otrzymujemy: 2² - 2 = 4 - 2 = 2, a 2 + 2 = 4. 2 ≠ 4, więc równość nie jest prawdziwa.\n* **B. (prawdziwa dla x = -1):** Sprawdzając x = -1, otrzymujemy: (-1)² - 2 = 1 - 2 = -1, a 2 + 2 = 4. -1 ≠ 4, więc równość nie jest prawdziwa.\n* **D. fałszywa dla każdej liczby x:** To byłoby prawda, gdyby równanie nigdy nie było spełnione, co nie jest prawdą (x = √6 lub x = -√6).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDo zbioru rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n4\n1\n2\n0\nx\nx\n>\nnie należy liczba\nA.\n3\nB.\n1\nC. 1\nD. 3\nDo zbioru rozwiązań nierówności (x^4+1)(2-x) > 0 nie należy liczba A. -3, B. -1, C. 1, D. 3.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający sprawdza,\nczy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem\nrównania lub nierówności (3.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nLiczba \\(3\\) **nie należy** do zbioru rozwiązań, bo \\(3 \\geq 2\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza znaku czynników\n\nNierówność do rozwiązania:\n\\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0\\]\n\n**Krok 1: Zbadaj znak pierwszego czynnika \\(x^4 + 1\\).**\n\nDla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) zachodzi \\(x^4 \\geq 0\\), więc:\n\\[x^4 + 1 \\geq 1 > 0\\]\n\n**Wniosek: czynnik \\(x^4 + 1\\) jest zawsze dodatni - nigdy nie zmienia znaku!**\n\n**Krok 2: Uprość nierówność.**\n\nSkoro \\(x^4 + 1 > 0\\) zawsze, możemy podzielić obie strony przez ten czynnik (bez zmiany znaku nierówności):\n\\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0 \\iff 2 - x > 0\\]\n\n**Krok 3: Rozwiąż uproszczoną nierówność.**\n\\[2 - x > 0 \\implies x < 2\\]\n\nZbiór rozwiązań: \\(x \\in (-\\infty, 2)\\)\n\n**Sprawdzenie odpowiedzi:**\n- \\(-3 < 2\\) ✓ należy\n- \\(-1 < 2\\) ✓ należy\n- \\(1 < 2\\) ✓ należy\n- \\(3 \\geq 2\\) ✗ **nie należy** → **odpowiedź D**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź bezpośrednio w nierówności \\((x^4 + 1)(2 - x) > 0\\):\n\n**A: \\(x = -3\\)**\n\\[((-3)^4 + 1)(2 - (-3)) = (81 + 1) \\cdot 5 = 82 \\cdot 5 = 410 > 0\\] ✓ należy\n\n**B: \\(x = -1\\)**\n\\[((-1)^4 + 1)(2 - (-1)) = (1 + 1) \\cdot 3 = 2 \\cdot 3 = 6 > 0\\] ✓ należy\n\n**C: \\(x = 1\\)**\n\\[((1)^4 + 1)(2 - 1) = (1 + 1) \\cdot 1 = 2 > 0\\] ✓ należy\n\n**D: \\(x = 3\\)**\n\\[((3)^4 + 1)(2 - 3) = (81 + 1) \\cdot (-1) = 82 \\cdot (-1) = -82 < 0\\] ✗ **nie należy**\n\n**Odpowiedź D** potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność potęg: \\(x^4 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (Dział 2, Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) oraz podstawowe operacje na nierównościach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Liczba | Błąd prowadzący do błędnego wyboru |\n| A | \\(-3\\) | Uczeń myli się przy obliczaniu \\((-3)^4\\) (pomyłka ze znakiem) i sądzi, że wynik jest ujemny |\n| B | \\(-1\\) | Uczeń nie rozumie, że \\((-1)^4 = 1 > 0\\), i błędnie ocenia znak czynnika |\n| C | \\(1\\) | Uczeń błędnie sądzi, że \\(x^4 + 1\\) może być \\(0\\) lub ujemne dla \\(x = 1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największa pułapka to nierozpoznanie, że \\(x^4 + 1 > 0\\) **zawsze**. Uczeń, który próbuje rozwiązać nierówność metodą tabelki znaków, może błędnie uwzględniać miejsca zerowe pierwszego czynnika - a one nie istnieją!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla parzystych wykładników (\\(x^2, x^4, x^6, \\ldots\\)) wynik jest zawsze nieujemny. \\(x^4 + 1 \\geq 1\\) - nie ma żadnego \\(x\\), dla którego ten czynnik jest \\(\\leq 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"nie należy\" z \"należy\" - pytanie jest sformułowane negatywnie! Szukamy liczby, dla której nierówność **NIE jest spełniona**, czyli \\(x \\geq 2\\). Spośród odpowiedzi tylko \\(3 \\geq 2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza znaku czynników\nZauważamy: \\(x^4 \\ge 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(x^4 + 1 \\ge 1 > 0\\) **zawsze**.\n\nZatem znak iloczynu zależy wyłącznie od znaku \\(2 - x\\):\n\\[(x^4+1)(2-x) > 0 \\iff 2-x > 0 \\iff x < 2.\\]\n\nZbiór rozwiązań: \\(x \\in (-\\infty, 2)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie każdej liczby\n- \\(x = -3\\): \\((81+1)(2-(-3)) = 82\\cdot 5 = 410 > 0\\) ✓ należy\n- \\(x = -1\\): \\((1+1)(2+1) = 2\\cdot 3 = 6 > 0\\) ✓ należy\n- \\(x = 1\\): \\((1+1)(2-1) = 2\\cdot 1 = 2 > 0\\) ✓ należy\n- \\(x = 3\\): \\((81+1)(2-3) = 82\\cdot(-1) = -82 < 0\\) ✗ **nie należy**\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C.** Wszystkie są mniejsze od 2, więc spełniają nierówność.\n\n**Kluczowe:** wyrażenia typu \\(x^{\\text{parz}} + c\\) (dla \\(c > 0\\)) są zawsze dodatnie - znak iloczynu zależy tylko od drugiego czynnika.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności za pomocą znaków przed nawiasami\n\n1. **Rozkładamy nierówność:**\n\\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0\\]\n\n2. **Analizujemy znaki:** Aby nierówność była spełniona, iloczyn musi być dodatni. Oznacza to, że oba czynniki muszą być dodatnie lub oba czynniki muszą być ujemne.\n\n* **Przypadek 1: Oba czynniki są dodatnie**\n\\[x^4 + 1 > 0 \\quad \\text{i} \\quad 2 - x > 0\\]\nPonieważ \\(x^4 + 1\\) zawsze jest większe od zera (dla każdego x rzeczywistego), to ten przypadek jest zawsze spełniony.\n\\[2 - x > 0 \\Rightarrow x < 2\\]\n\n* **Przypadek 2: Oba czynniki są ujemne**\n\\[x^4 + 1 < 0 \\quad \\text{i} \\quad 2 - x < 0\\]\nPonieważ \\(x^4 + 1\\) zawsze jest większe od zera, to ten przypadek nigdy nie może być spełniony.\n\n3. **Zatem, rozwiązaniem nierówności jest:**\n\\[x < 2\\]\n\n4. **Sprawdzamy, czy liczba 3 spełnia warunek:**\n\\[3 < 2\\] - to jest fałsz.\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie nierówności za pomocą punktów przecięcia z osią x\n\n1. **Znajdujemy pierwiastki:**\n\\[(x^4 + 1)(2 - x) = 0\\]\nRozwiązujemy:\n* \\(x^4 + 1 = 0\\) => \\(x^4 = -1\\). Nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ \\(x^4\\) zawsze jest nieujemne.\n* \\(2 - x = 0\\) => \\(x = 2\\)\n\n2. **Tworzymy przedział:**\nPonieważ \\(x^4 + 1\\) nigdy nie jest równe 0 dla liczb rzeczywistych, to istotny jest tylko czynnik \\(2 - x\\).\n\n3. **Analizujemy znaki:**\n* Dla \\(x < 2\\), \\(2 - x > 0\\)\n* Dla \\(x > 2\\), \\(2 - x < 0\\)\n\n4. **Zatem, nierówność jest spełniona, gdy:**\n\\[x < 2\\]\n\n5. **Sprawdzamy, czy liczba 3 spełnia warunek:**\n\\[3 < 2\\] - to jest fałsz.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. -3:** \\-3 < 2 jest prawdą, więc -3 należy do zbioru rozwiązań.\n* **B. -1:** \\-1 < 2 jest prawdą, więc -1 należy do zbioru rozwiązań.\n* **C. 1:** 1 < 2 jest prawdą, więc 1 należy do zbioru rozwiązań.\n* **D. 3:** 3 < 2 jest fałszem, więc 3 nie należy do zbioru rozwiązań. To jest poprawna odpowiedź.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności\n2\n3\n4\nx\n≥\nA.\nB.\nC.\nD.\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 2-3x ≥ 4. A., B., C. D.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje nierówności pierwszego stopnia\nz jedną niewiadomą (3.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPółprosta od \\(-\\dfrac{2}{3}\\) z **pełnym kółkiem**, w **lewo**.\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne nierówności\n\nRozwiązujemy nierówność \\(2 - 3x \\geq 4\\) krok po kroku.\n\n**Krok 1:** Przenosimy \\(2\\) na prawą stronę:\n\\[\n-3x \\geq 4 - 2\n\\]\n\\[\n-3x \\geq 2\n\\]\n\n**Krok 2:** Dzielimy obie strony przez \\(-3\\).\n\n> ⚠️ **UWAGA: dzielimy przez liczbę ujemną - odwracamy znak nierówności!**\n\n\\[\nx \\leq \\frac{2}{-3}\n\\]\n\\[\nx \\leq -\\frac{2}{3}\n\\]\n\n**Krok 3:** Zapisujemy zbiór rozwiązań:\n\\[\nx \\in \\left\\langle -\\infty,\\ -\\frac{2}{3} \\right\\rangle\n\\]\n\nTo jest półprosta na osi liczbowej **w lewo** od \\(-\\dfrac{2}{3}\\), z **pełnym kółkiem** (bo \\(x = -\\dfrac{2}{3}\\) spełnia nierówność - mamy \\(\\geq\\), nie \\(>\\)).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku (podstawienie)\n\nSprawdzamy kilka wartości, żeby potwierdzić odpowiedź D.\n\n**Sprawdzenie punktu \\(x = -\\dfrac{2}{3}\\)** (granica - powinien należeć):\n\\[\n2 - 3 \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right) = 2 + 2 = 4 \\geq 4 \\quad \\checkmark\n\\]\nNależy → **pełne kółko**. ✓\n\n**Sprawdzenie punktu \\(x = -1\\)** (lewo od granicy - powinien należeć):\n\\[\n2 - 3 \\cdot (-1) = 2 + 3 = 5 \\geq 4 \\quad \\checkmark\n\\]\nNależy. ✓\n\n**Sprawdzenie punktu \\(x = 0\\)** (prawo od granicy - nie powinien należeć):\n\\[\n2 - 3 \\cdot 0 = 2 \\geq 4 \\quad \\text{FAŁSZ} \\quad \\times\n\\]\nNie należy. ✓\n\nWszystkie trzy sprawdzenia potwierdzają: **odpowiedź D** - półprosta w lewo od \\(-\\dfrac{2}{3}\\) z pełnym kółkiem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość zasad przekształcania nierówności liniowych (działania na liczbach rzeczywistych). Jedyna zasada kluczowa to:\n\n> **Przy mnożeniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną - zmieniamy kierunek znaku nierówności.**\n\nTa zasada nie jest wymieniona expressis verbis w karcie wzorów - trzeba ją znać z definicji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Zapomniano o odwróceniu znaku przy dzieleniu przez \\(-3\\) **i** wzięto złą stronę osi (prawo zamiast lewo) oraz złą wartość (\\(\\tfrac{2}{3}\\) zamiast \\(-\\tfrac{2}{3}\\)) |\n| B | Prawidłowa wartość \\(\\tfrac{2}{3}\\), ale puste kółko sugeruje nierówność ostrą \\(>\\), a mamy \\(\\geq\\); poza tym półprosta w złą stronę |\n| C | Poprawna strona (lewo) i poprawna wartość \\(-\\tfrac{2}{3}\\), ale **puste kółko** - błąd! Mamy \\(\\geq\\), więc punkt graniczny należy do zbioru → kółko powinno być pełne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **nieodwrócenie znaku nierówności** przy dzieleniu przez \\(-3\\). Uczniowie piszą \\(x \\geq -\\dfrac{2}{3}\\) zamiast \\(x \\leq -\\dfrac{2}{3}\\) i wybierają półprostą w prawo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pełne kółko (\\(\\bullet\\)) oznacza, że punkt **należy** do zbioru - używamy go przy \\(\\leq\\) lub \\(\\geq\\). Puste kółko (\\(\\circ\\)) - przy \\(<\\) lub \\(>\\). Odpowiedź C ma poprawną wartość i kierunek, ale błędne kółko - to klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(-\\dfrac{2}{3}\\) to liczba **ujemna** - łatwo zgubić znak minusa przy przenoszeniu wyrazów. Zawsze sprawdź: czy to ma sens? Dla \\(x = -\\dfrac{2}{3}\\) wyrażenie \\(2 - 3x = 4\\) - tak, brzeg działa.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności\n\\(2 - 3x \\ge 4\\)\n\\(-3x \\ge 2\\)\nDzielimy przez \\(-3\\) (**zmiana znaku nierówności**):\n\\[x \\le -\\dfrac{2}{3}.\\]\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\left(-\\infty, -\\tfrac{2}{3}\\right\\rangle\\) - półprosta idąca **w lewo** od \\(-\\tfrac{2}{3}\\), z **zamkniętym** końcem (bo \\(\\le\\)).\n\n### Sposób 2 - Podstawienie punktu testowego\nDla \\(x = 0\\): \\(2 - 0 = 2 \\ge 4\\)? NIE. Zatem \\(0\\) **nie należy** do zbioru rozwiązań. To wyklucza A, B.\n\nPozostają C i D (obie idą w lewo). Różnica: C ma puste kółko (ostry), D - pełne (słaby).\nSprawdzamy \\(x = -\\tfrac{2}{3}\\): \\(2 - 3\\cdot(-\\tfrac{2}{3}) = 2 + 2 = 4 \\ge 4\\) ✓. Punkt **należy**.\n\nZamknięte kółko → odpowiedź **D**.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B.** Półprosta skierowana w prawo - niepoprawna (dla \\(x=0\\) nie zachodzi).\n- **C.** Dobra strona, ale otwarte kółko (ostry znak) - tutaj jest słaba nierówność.\n\n**Pamiętaj:** przy dzieleniu przez liczbę ujemną **odwracamy** znak nierówności.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Interpretacja \"miary\" jako długości\n\nWłóż ręce, to dłoń jest prawdziwą miarą. To zdanie sugeruje, że długość palców (lub całej dłoni) jest miarą, którą możemy użyć do określania wielkości. Zatem odpowiedź D, która odnosi się do \"silnia\" (n!) jest najbardziej adekwatna, ponieważ silnia jest używana do obliczania kombinacji i permutacji, a w kontekście tego zdania, można to interpretować jako \"wielkość\" w sensie liczby elementów.\n\n\\[\nn! = n \\cdot (n-1) \\cdot (n-2) \\cdots 2 \\cdot 1\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 7\n\n### Sposób 2: Użycie silni jako reprezentacji liczby elementów\n\nZadanie jest zagadkowe i nie wymaga bezpośredniego zastosowania wzoru na silnię. Zamiast tego, silnię interpretujemy jako liczbę możliwości, które mamy, np. liczba sposobów ułożenia n elementów. W tym przypadku, \"dłoń\" (która ma pewną liczbę palców) jest miarą, a silnia reprezentuje liczbę możliwych permutacji tych palców. Odpowiedź D jest najbardziej intuicyjna w tym kontekście.\n\n\\[\nn! = n \\cdot (n-1) \\cdot (n-2) \\cdots 2 \\cdot 1\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. A 2/3 x:** To jest po prostu liczba, która nie ma związku z miarą długości dłoni.\n* **B. B 2/3 x:** Podobnie jak A, to nie ma związku z dłonią.\n* **C. C 2/3 x:** To również nie jest miara, a jedynie liczba.\n\nZadanie jest celowo enigmatyczne i testuje umiejętność interpretacji. Silnia w tym kontekście jest używana jako symboliczna reprezentacja \"wielkości\" lub liczby możliwości.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nRównanie (\n)(\n)\n2\n2\n4\n4\n0\nx x\nx\nz niewiadomą x\nA. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.\nB. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.\nC. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.\nD. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.\nRównanie x(x^2-4)(x^2+4) = 0 z niewiadomą x A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczby rzeczywistych. B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta\nz własności iloczynu przy rozwiązywaniu\nrównań typu x(x + 1)(x - 7) = 0 (3.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRównanie ma **dokładnie trzy rozwiązania** w zbiorze liczb rzeczywistych.\n\n## Sposób 1 - Iloczyn czynników\n\nKorzystamy z faktu, że **iloczyn czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników równa się zero**.\n\nMamy trzy czynniki:\n\n\\[x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\\]\n\nRozpatrujemy każdy czynnik osobno:\n\n**Czynnik 1:** \\(x = 0\\)\n\n\\[x = 0 \\checkmark\\]\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 4 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 4\\]\n\\[x = \\sqrt{4} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{4}\\]\n\\[x = 2 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2 \\checkmark\\]\n\n**Czynnik 3:** \\(x^2 + 4 = 0\\)\n\n\\[x^2 = -4\\]\n\nKwadrat liczby rzeczywistej jest **zawsze nieujemny**, więc \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Zatem \\(x^2 = -4\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych. ✗\n\n**Zbiór rozwiązań:**\n\n\\[x \\in \\{-2, \\; 0, \\; 2\\}\\]\n\nMamy dokładnie **3 rozwiązania** rzeczywiste.\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki i wzory skróconego mnożenia\n\nZauważamy, że \\(x^2 - 4\\) możemy rozłożyć korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:\n\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\nZatem:\n\n\\[x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\n\\[x(x-2)(x+2)(x^2+4) = 0\\]\n\nTeraz mamy **cztery czynniki liniowe lub kwadratowe**. Przyrównujemy każdy do zera:\n\n| Czynnik | Równanie | Rozwiązania |\n| \\(x\\) | \\(x = 0\\) | \\(x = 0\\) |\n| \\(x - 2\\) | \\(x - 2 = 0\\) | \\(x = 2\\) |\n| \\(x + 2\\) | \\(x + 2 = 0\\) | \\(x = -2\\) |\n| \\(x^2 + 4\\) | \\(x^2 = -4\\) | brak (w \\(\\mathbb{R}\\)) |\n\nWynik pokrywa się z poprzednim: **dokładnie 3 rozwiązania rzeczywiste**: \\(x \\in \\{-2, 0, 2\\}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do rozkładu \\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\).\n\nW pozostałej części zadania nie potrzeba szczególnych wzorów z karty - wystarczy znajomość własności liczb rzeczywistych (\\(x^2 \\geq 0\\)) oraz zasada, że iloczyn równa się zero ⟺ jeden z czynników równa się zero.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń błędnie zakłada, że \\(x^2 + 4 = 0\\) blokuje wszystkie rozwiązania, albo myli się przy calnościowym rozkładzie |\n| B | Uczeń rozwiązuje tylko \\(x^2 - 4 = 0\\) i dostaje \\(x = \\pm 2\\), zapominając o czynniku \\(x = 0\\) |\n| D | Uczeń liczy łączny stopień wielomianu (5. stopień!) i zakłada, że musi być 5 rozwiązań rzeczywistych - **błąd**: wielomian 5. stopnia może mieć od 1 do 5 rozwiązań rzeczywistych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielomian stopnia \\(n\\) ma **co najwyżej** \\(n\\) pierwiastków rzeczywistych - nie dokładnie \\(n\\). Część pierwiastków może być zespolona (tu: \\(x^2 + 4 = 0\\) daje dwa pierwiastki zespolone \\(x = \\pm 2i\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o czynniku \\(x\\) - uczeń skupia się na rozkładzie \\(x^2 - 4\\) i pomija najprostsze rozwiązanie \\(x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 + 4 \\geq 4 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) - ten czynnik nigdy nie będzie zerem, więc **nie wnosi żadnego rozwiązania rzeczywistego**.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ co najmniej jeden czynnik = 0\nTrzy czynniki: \\(x\\), \\(x^2 - 4\\), \\(x^2 + 4\\).\n\n**Czynnik 1:** \\(x = 0\\) → rozwiązanie: \\(x = 0\\).\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 4 = 0 \\Rightarrow x = \\pm 2\\) - dwa rozwiązania.\n**Czynnik 3:** \\(x^2 + 4 = 0 \\Rightarrow x^2 = -4\\) - **brak** rozwiązań rzeczywistych (kwadrat nie jest ujemny).\n\nŁącznie: \\(x \\in \\{-2, 0, 2\\}\\) - **3 rozwiązania rzeczywiste**.\n\n### Sposób 2 - Rozkład iloczynowy\n\\[x(x-2)(x+2)(x^2+4) = 0.\\]\nCzynniki liniowe dają pierwiastki \\(0, 2, -2\\). Czynnik \\(x^2+4\\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. Brak rozwiązań** - zaniedbanie pierwszego czynnika.\n- **B. Dwa** - pominięcie \\(x = 0\\) lub pominięcie drugiego pierwiastka z \\(x^2 = 4\\).\n- **D. Pięć** - ktoś błędnie uznał \\(x^2 + 4 = 0\\) za mające dwa pierwiastki.\n\n**Pamiętaj:** \\(x^2 + c\\) (dla \\(c > 0\\)) **nigdy** nie zeruje się w liczbach rzeczywistych.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania przez rozkład na czynniki\nRozważmy równanie:\n\\[x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\\]\nRozkładamy na czynniki:\n\\[x(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0\\]\nAby równanie było spełnione, przynajmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem:\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 2 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 + 4 = 0\\]\nRozwiązujemy te równania:\n* \\(x = 0\\)\n* \\(x = 2\\)\n* \\(x = -2\\)\n* \\(x^2 = -4\\) => \\(x = \\pm \\sqrt{-4} = \\pm 2i\\) (rozwiązania zespolone, nie liczone w zbiorze liczb rzeczywistych)\n\nZatem, w zbiorze liczb rzeczywistych mamy 4 rozwiązania: \\(x = 0\\), \\(x = 2\\), \\(x = -2\\). W zadaniu pytano o liczbę rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, a więc odpowiedź to 4, co jest równoważne 3 w kolejności.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego\nRównanie \\(x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\\) można zapisać jako:\n\\[x(x^4 - 16) = 0\\]\n\\[x^5 - 16x = 0\\]\n\\[x(x^4 - 16) = 0\\]\nRozwiązujemy równanie \\(x^4 - 16 = 0\\), co daje \\(x^4 = 16\\). Zatem \\(x = \\pm 2\\) (pierwiastki rzeczywiste) oraz \\(x = \\pm 2i\\) (pierwiastki zespolone).\nPonieważ nas interesują rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, to \\(x = 2\\) i \\(x = -2\\) są rozwiązaniami. Dodatkowo, \\(x = 0\\) jest rozwiązaniem z pierwszego kroku.\n\n📖 Karta wzorów: s.7-9, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.** Jest 3 rozwiązania rzeczywiste (0, 2, -2).\n* **B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.** Jest 4 rozwiązania rzeczywiste (0, 2, -2).\n* **D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.** Jest 4 rozwiązania rzeczywiste (0, 2, -2).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej\n( )\n(\n)\n3\n1\n12\nf x\nx\njest liczba\nA.\n3\n4\nB.\n2 3\n1\nC. 4 3\n1\nD.\n3\n12\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=√3(x+1)-12 jest liczba A. √3-4, B. -2√3+1, C. 4√3-1, D. -√3+12.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość\nfunkcji dla danego argumentu. Posługuje się\npoznanymi metodami rozwiązywania równań\ndo obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja\nprzyjmuje daną wartość (4.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\sqrt{3} - 1\\)\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie do zera i rozwiązanie równania\n\nMiejsce zerowe funkcji to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\).\n\nPrzyrównujemy:\n\\[f(x) = 0\\]\n\\[\\sqrt{3}(x+1) - 12 = 0\\]\n\nPrzenosimy \\(-12\\) na drugą stronę:\n\\[\\sqrt{3}(x+1) = 12\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\):\n\\[x + 1 = \\frac{12}{\\sqrt{3}}\\]\n\nRacjonalizujemy mianownik (mnożymy licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{3}\\)):\n\\[x + 1 = \\frac{12}{\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\frac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\]\n\nOdejmujemy 1 od obu stron:\n\\[x = 4\\sqrt{3} - 1\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 4\\sqrt{3} - 1\\) rzeczywiście zeruje funkcję:\n\n\\[f(4\\sqrt{3} - 1) = \\sqrt{3}\\bigl((4\\sqrt{3} - 1) + 1\\bigr) - 12\\]\n\\[= \\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} - 12\\]\n\\[= 4 \\cdot 3 - 12\\]\n\\[= 12 - 12 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Wynik potwierdzony.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (to \\(x\\) taki, że \\(f(x)=0\\)) i podstawowe działania algebraiczne (racjonalizacja mianownika: mnożenie przez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | \\(\\sqrt{3} - 4\\) - wynik z błędną kolejnością: uczeń liczy \\(\\frac{\\sqrt{3}}{12} \\cdot \\) lub odejmuje zamiast dzielić, kończąc na \\(\\sqrt{3} - 4\\) przez pomieszanie kroków |\n| B | \\(-2\\sqrt{3} + 1\\) - błąd znaku: uczeń przenosi \\(+1\\) na drugą stronę ze złym znakiem, otrzymując \\(x + 1 = -4\\sqrt{3}\\), a stąd \\(x = -4\\sqrt{3} - 1\\) lub miesza kolejność operacji; ta odpowiedź pojawia się przy błędnym podzieleniu \\(-12\\) przez \\(\\sqrt{3} \\cdot 6\\) |\n| D | \\(-\\sqrt{3} + 12\\) - uczeń **nie dzieli przez \\(\\sqrt{3}\\)**, tylko \"odrywa\" \\(\\sqrt{3}\\) i liczy \\(x + 1 = 12 - \\sqrt{3}\\), zapominając że \\(\\sqrt{3}\\) mnoży całe wyrażenie \\((x+1)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Racjonalizacja mianownika - \\(\\frac{12}{\\sqrt{3}}\\) NIE upraszcza się do \\(\\frac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\) przez \"usunięcie pierwiastka\", lecz przez mnożenie licznika **i** mianownika przez \\(\\sqrt{3}\\). Nie wolno skrócić samego \\(\\sqrt{3}\\) bez tego kroku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kolejność: najpierw **dodajemy/odejmujemy** stałą (tu: \\(+12\\)), **potem** dzielimy przez współczynnik przy \\((x+1)\\). Odwrotna kolejność też da wynik, ale ryzyko błędu rośnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\), nie \\(\\sqrt{3}\\) - to klasyczna pułapka przy upraszczaniu wyrażeń z pierwiastkami.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie \\(f(x) = 0\\)\n\\[\\sqrt{3}(x+1) - 12 = 0\\]\n\\[\\sqrt{3}(x+1) = 12\\]\n\\[x + 1 = \\dfrac{12}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\]\n\\[x = 4\\sqrt{3} - 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Usuwanie niewymierności od razu\nMnożymy mianownik \\(\\sqrt{3}\\) przez \\(\\sqrt{3}/\\sqrt{3}\\):\n\\[x+1 = \\dfrac{12}{\\sqrt{3}} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\]\n\\[x = 4\\sqrt{3} - 1.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sqrt{3} - 4\\)** - ktoś podzielił \\(12\\) przez \\(\\sqrt{3}\\) i otrzymał zły wynik, potem pomylił znak.\n- **B. \\(-2\\sqrt{3}+1\\)** - błędne podzielenie lub zły znak.\n- **D. \\(-\\sqrt{3}+12\\)** - nie wyznaczono miejsca zerowego poprawnie; to być może część procesu.\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(4\\sqrt{3}-1) = \\sqrt{3}\\cdot 4\\sqrt{3} - 12 = 12 - 12 = 0\\) ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na pierwiastek kwadratowy i rozwiązanie równania\n1. **Rozpoznanie funkcji:** Funkcja f(x) = 3(x + 1) - 12 jest funkcją liniową. Miejscem zerowym funkcji jest wartość x, dla której f(x) = 0.\n2. **Rozwiązanie równania:**\n* 3(x + 1) - 12 = 0\n* 3x + 3 - 12 = 0\n* 3x - 9 = 0\n* 3x = 9\n* x = 3\n3. **Podanie odpowiedzi:** Zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba 3.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 3\n\n### Sposób 2: Rozwinięcie wyrażenia i uproszczenie\n1. **Rozwinięcie wyrażenia:**\n* 3(x + 1) - 12 = 3x + 3 - 12 = 3x - 9\n2. **Rozwiązanie równania:**\n* 3x - 9 = 0\n* 3x = 9\n* x = 3\n3. **Podanie odpowiedzi:** Zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba 3.\n\n📖 Karta wzorów: Silnia, strona 1 (w kontekście obliczania pierwiastka z 81)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(3 - 4\\)**: Jest to po prostu wynik odejmowania liczb, a nie rozwiązanie równania.\n* **B. \\(-2\\sqrt{3} + 1\\)**: Jest to wyrażenie algebraiczne, które nie jest miejscem zerowym funkcji.\n* **D. \\(- 3 +12\\)**: Jest to po prostu wynik dodawania liczb, a nie rozwiązanie równania.\n\n**Dodatkowe wyjaśnienie:**\n\nZadanie polega na znalezieniu wartości x, dla której wartość funkcji f(x) jest równa zero. Funkcja f(x) = 3(x + 1) - 12 to funkcja liniowa. Aby znaleźć miejsce zerowe, należy ustawić f(x) = 0 i rozwiązać to równanie. W tym przypadku, po uproszczeniu, otrzymujemy 3x - 9 = 0, a rozwiązaniem jest x = 3. Ważne jest, aby pamiętać o kolejności operacji i prawidłowym rozwiązywaniu równań liniowych.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej\n( )\n2\nf x\nax\nbx\nc\n,\nktórej miejsca zerowe to: 3\n- i 1.\nWspółczynnik c we wzorze funkcji f jest równy\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax^2+bx+c, której miejsca zerowe A. 1, B. 2, C. 3, D. 4.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące we wzorze funkcji\nkwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci\nogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje)\n(4.10).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (c = 3)\n\n## Sposób 1 - Postać iloczynowa + wyznaczenie a\n\nZnamy miejsca zerowe: \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 1\\), więc możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej:\n\\[f(x) = a(x + 3)(x - 1)\\]\n\nAby znaleźć \\(a\\), podstawiamy wierzchołek \\(W = (-1, 4)\\), czyli \\(f(-1) = 4\\):\n\\[f(-1) = a(-1 + 3)(-1 - 1) = a \\cdot 2 \\cdot (-2) = -4a\\]\n\\[-4a = 4 \\implies \\boxed{a = -1}\\]\n\nTeraz rozwijamy:\n\\[f(x) = -(x+3)(x-1) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3\\]\n\nOdczytujemy: \\(a = -1\\), \\(b = -2\\), **\\(c = 3\\)**.\n\n## Sposób 2 - Właściwość: c = f(0)\n\nWspółczynnik wolny \\(c\\) to nic innego jak **wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\)**, czyli punkt przecięcia paraboli z osią \\(OY\\).\n\nKorzystamy z postaci iloczynowej (jak wyżej, już z wyznaczonym \\(a = -1\\)):\n\\[c = f(0) = -(0+3)(0-1) = -3 \\cdot (-1) = 3\\]\n\nAlternatywnie, ze wzorów Viète'a: \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\), skąd:\n\\[(-3) \\cdot 1 = \\frac{c}{-1} \\implies -3 = -c \\implies c = 3\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa i wzory Viète'a:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\nWzory Viète'a użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(c\\) bez rozwijania nawiasów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(c = 1\\)) | Pomyłka: wzięcie \\(x_2 = 1\\) jako wartości \\(c\\) bez żadnych obliczeń |\n| B (\\(c = 2\\)) | Wyznaczenie \\(-b\\) zamiast \\(c\\); tutaj \\(b = -2\\), więc \\(-b = 2\\) - zamiana współczynników |\n| D (\\(c = 4\\)) | Wzięcie \\(q = 4\\) (rzędna wierzchołka) jako wartości \\(c\\) - \\(c \\neq q\\) w ogólności! |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(c = f(0)\\), nie \\(f(-3)\\) ani \\(f(1)\\)! Współczynnik wolny to wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt na osi \\(OY\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzędna wierzchołka \\(q = 4\\) to **nie** jest \\(c\\). Wierzchołek jest wewnątrz paraboli, nie na osi \\(OY\\) - mylenie \\(q\\) z \\(c\\) to klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyznaczając \\(a\\) z wierzchołka, sprawdź znak - tutaj parabola jest skierowana ramionami **w dół** (wierzchołek to maksimum), więc \\(a < 0\\). Wzięcie \\(a = 1\\) dałoby błędne \\(c\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Postać iloczynowa i odczytanie \\(c\\)\nZ miejsc zerowych: \\(f(x) = a(x+3)(x-1)\\). Wykorzystujemy wierzchołek \\(W=(-1, 4)\\):\n\\[4 = a(-1+3)(-1-1) = a\\cdot 2\\cdot(-2) = -4a \\Rightarrow a = -1.\\]\nRozwijamy:\n\\[f(x) = -(x+3)(x-1) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3.\\]\nWspółczynnik \\(c = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Obliczenie \\(f(0)\\)\nWspółczynnik \\(c\\) to **wyraz wolny**, czyli \\(f(0)\\). Wykorzystując wyliczone \\(a = -1\\):\n\\[f(0) = -(0+3)(0-1) = -3\\cdot(-1) = 3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\)** - pominięto znak \\(-\\) przy \\(a\\), lub liczono \\(a\\cdot x_1\\cdot x_2\\) z innym znakiem.\n- **B. \\(2\\)** - częściowe obliczenie, zaniedbano część.\n- **D. \\(4\\)** - to \\(y_W\\) (wierzchołek), nie \\(c\\).\n\n**Kluczowa własność:** \\(f(0) = c\\) - wyraz wolny to wartość funkcji w zerze.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Znajdowanie współczynników a i b z miejsc zerowych\n1. **Znamy miejsca zerowe:** f(x) ma pierwiastki -3 i 1. To oznacza, że f(-3) = 0 i f(1) = 0.\n2. **Wzór funkcji kwadratowej:** f(x) = ax² + bx + c\n3. **Korzystamy z miejsc zerowych:** Ponieważ -3 i 1 są pierwiastkami, możemy zapisać f(x) jako: f(x) = a(x - (-3))(x - 1) = a(x + 3)(x - 1)\n4. **Wyznaczamy c:** Wiedząc, że f(1) = 0, podstawiamy x = 1 do wzoru:\nf(1) = a(1 + 3)(1 - 1) = 0\na(4)(0) = 0\n0 = 0 (To nie daje nam informacji o a, ale potwierdza, że 1 jest pierwiastkiem).\n5. **Wyznaczamy c:** Zauważmy, że na rysunku, wartość funkcji f(x) w punkcie x=1 wynosi 0. Ponieważ f(x) = a(x+3)(x-1), to dla x=1, f(1) = a(1+3)(1-1) = 0. Z rysunku wiemy, że wartość funkcji w x=-1 wynosi 4, więc musimy znaleźć a.\n6. **Wyznaczamy a:** Z rysunku widać, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-1, 4). Wzór na wierzchołek paraboli to: x_w = -b/(2a). Ponieważ wierzchołek znajduje się w x = -1, mamy: -1 = -b/(2a) => b = 2a\n7. **Wyznaczamy c:** Wzór funkcji to f(x) = a(x+3)(x-1) = a(x² + 2x - 3). Zatem c = -3a. Wiedząc, że wierzchołek ma wartość 4, możemy obliczyć c: 4 = a(-1+3)(-1-1) = a(2)(-2) = -4a. Zatem a = -1.\n8. **Obliczamy c:** c = -3a = -3 * (-1) = 3.\n\n📖 Karta wzorów: S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wierzchołka paraboli i miejsc zerowych\n1. **Wierzchołek:** Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie W(-1, 4). To oznacza, że wartość x w wierzchołku wynosi -1, a wartość y w wierzchołku wynosi 4.\n2. **Wzór na wierzchołek paraboli:** Wzór na współrzędne wierzchołka paraboli f(x) = a(x - x_w)² + y_w to x_w = -b/(2a) i y_w = f(x_w).\n3. **Obliczamy a:** Znamy y_w = 4 i x_w = -1. Podstawiamy do wzoru f(x) = a(x + 1)² + 4. Ponieważ f(-3) = 0, podstawiamy x = -3:\n0 = a(-3 + 1)² + 4\n0 = a(-2)² + 4\n0 = 4a + 4\n-4 = 4a\na = -1\n4. **Obliczamy c:** Teraz mamy f(x) = -1(x + 1)² + 4 = -1(x² + 2x + 1) + 4 = -x² - 2x - 1 + 4 = -x² - 2x + 3. Zatem c = 3.\n\n📖 Karta wzorów: S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 1:** To nieprawda, ponieważ wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-1, 4), a wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4, co nie jest równe 1.\n* **B. 2:** Podobnie jak w przypadku A, wartość funkcji w wierzchołku nie jest równa 2.\n* **D. 4:** Wierzchołek paraboli nie znajduje się w punkcie (-1, 4), a wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4, co nie jest równe 4.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem\n( )\nx\nf x\na\n. Punkt\n(\n)\n1, 2\nA =\nnależy do tego wykresu funkcji.\nPodstawa a potęgi jest równa\nA.\n1\n2\nB.\n1\n2\nC.\n2\nD. 2\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji wykładniczej f określonej wzorem f(x)=a^x. Punkt A=(1,2) należy do tego wykresu funkcji. A. -1/2, B. 1/2, C. -2, D. 2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający szkicuje wykresy funkcji\nwykładniczych dla różnych podstaw (4.14).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPodstawa \\(a\\) potęgi jest równa **\\(2\\)**.\n\n## Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji\n\nWiemy, że punkt \\(A = (1, 2)\\) należy do wykresu funkcji \\(f(x) = a^x\\).\n\n**Podstawiamy współrzędne punktu \\(A\\) do wzoru funkcji:**\n\n\\[f(1) = a^1\\]\n\nSkoro punkt \\(A = (1, 2)\\) leży na wykresie, to \\(f(1) = 2\\), czyli:\n\n\\[a^1 = 2\\]\n\n\\[a = 2\\]\n\n**Zatem podstawa potęgi wynosi \\(a = 2\\).**\n\nMożemy też sprawdzić, że \\(a = 2 > 0\\) i \\(a \\neq 1\\), więc jest to poprawna podstawa funkcji wykładniczej.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja i odczyt z wykresu\n\nSkoro \\(a = 2\\), to wzór funkcji to \\(f(x) = 2^x\\).\n\nSprawdzamy kilka wartości, by upewnić się, że wykres wygląda sensownie:\n\n\\[f(0) = 2^0 = 1 \\quad \\Rightarrow \\quad (0, 1) \\text{ należy do wykresu}\\]\n\n\\[f(1) = 2^1 = 2 \\quad \\Rightarrow \\quad (1, 2) \\text{ - zgadza się z punktem } A\\]\n\n\\[f(-1) = 2^{-1} = \\frac{1}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad \\left(-1, \\frac{1}{2}\\right) \\text{ należy do wykresu}\\]\n\nWykres funkcji \\(f(x) = 2^x\\) jest rosnący (bo \\(a = 2 > 1\\)), przechodzi przez \\((0, 1)\\) i rośnie szybko dla \\(x > 0\\). To zgadza się z typowym wyglądem wykresu funkcji wykładniczej o podstawie \\(a > 1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **definicja funkcji wykładniczej** i podstawienie. Warto jednak pamiętać o własnościach potęg z **Działu 2 (s. 4-5)**:\n\n\\[a^1 = a\\]\n\nTo właśnie ten fakt (każda liczba do potęgi 1 równa się tej liczbie) jest kluczem do rozwiązania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(-\\frac{1}{2}\\) | Podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia (\\(a > 0\\)), więc \\(a = -\\frac{1}{2}\\) jest **niemożliwe** - taki wzór nie definiuje funkcji wykładniczej |\n| B: \\(\\frac{1}{2}\\) | Gdyby \\(a = \\frac{1}{2}\\), to \\(f(1) = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^1 = \\frac{1}{2} \\neq 2\\) - punkt \\((1, 2)\\) nie leżałby na wykresie |\n| C: \\(-2\\) | Podobnie jak w A - podstawa ujemna jest **niedozwolona** w definicji funkcji wykładniczej (\\(a > 0, a \\neq 1\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podstawa funkcji wykładniczej \\(f(x) = a^x\\) musi spełniać \\(a > 0\\) i \\(a \\neq 1\\). Odpowiedzi A i C (ujemne) można od razu wyeliminować - nie trzeba liczyć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(f(x) = a^x\\) z \\(f(x) = x^a\\) (potęgową). Tu **podstawa jest stała**, a **wykładnik jest zmienną**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B (\\(\\frac{1}{2}\\)) to typowy \"mylący\" wybór - bo \\(\\frac{1}{2}\\) i \\(2\\) są odwrotnościami. Funkcja \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^x\\) jest malejąca i daje wartość \\(\\frac{1}{2}\\) dla \\(x=1\\), nie \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie punktu\nJeśli \\(A = (1, 2)\\) leży na wykresie \\(f(x) = a^x\\), to \\(f(1) = 2\\):\n\\[a^1 = 2 \\Rightarrow a = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Ogólna własność funkcji wykładniczej\nDla funkcji wykładniczej \\(f(x) = a^x\\) wartość \\(f(1) = a\\). Bezpośredni odczyt z wykresu: dla \\(x = 1\\) jest \\(y = 2\\), więc \\(a = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C** (wartości ujemne) - funkcja wykładnicza wymaga \\(a > 0\\) (inaczej \\(a^{1/2}\\) byłoby niezdefiniowane dla liczb rzeczywistych).\n- **B. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - wykres funkcji \\(y = (1/2)^x\\) byłby **malejący** (tu jest rosnący). Ponadto \\((1/2)^1 = 1/2 \\ne 2\\).\n\n**Zapamiętaj:** wykres \\(a^x\\) dla \\(a > 1\\) rośnie, dla \\(0 < a < 1\\) maleje. Wartość \\(f(1) = a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresu i wzoru funkcji\n\n1. **Zrozumienie wykresu:** Wykres funkcji wykładniczej \\(f(x) = a^x\\) przechodzi przez punkt A = (1, 2). Oznacza to, że gdy x = 1, to f(x) = 2.\n2. **Wykorzystanie wzoru:** Wiemy, że \\(f(x) = a^x\\). Podstawiamy współrzędne punktu A do wzoru: \\(2 = a^1\\), czyli \\(a = 2\\).\n3. **Sprawdzenie:** Wzór funkcji to \\(f(x) = 2^x\\). Sprawdzamy, czy ten wzór pasuje do wykresu.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji funkcji wykładniczej i punktu\n\n1. **Definicja funkcji wykładniczej:** Funkcja wykładnicza ma postać \\(f(x) = a^x\\), gdzie \\(a\\) jest podstawą wykładnika.\n2. **Punkt A:** Punkt A = (1, 2) oznacza, że \\(f(1) = 2\\).\n3. **Obliczenie a:** Zatem \\(a^1 = 2\\), co daje \\(a = 2\\).\n\n📖 Karta wzorów: **Pole trójkąta** (strona 6), Wartość bezwzględna |x|, nierówności |x-a|≤r\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (1/2):** Jeśli \\(a = 1/2\\), to \\(f(x) = (1/2)^x\\). Wtedy \\(f(1) = (1/2)^1 = 1/2\\), co nie zgadza się z danym punktem A = (1, 2).\n* **B. (1/2):** Podobnie jak w przypadku A, jeśli \\(a = 1/2\\), to \\(f(x) = (1/2)^x\\), a \\(f(1) = 1/2\\).\n* **C. -2:** Jeśli \\(a = -2\\), to \\(f(x) = (-2)^x\\). Funkcja wykładnicza z ujemną podstawą nie jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x, a dodatkowo \\(f(1) = (-2)^1 = -2\\), co nie zgadza się z danym punktem A = (1, 2).\n* **D. 2:** Jak pokazaliśmy, jeśli \\(a = 2\\), to \\(f(x) = 2^x\\), a \\(f(1) = 2^1 = 2\\), co zgadza się z punktem A = (1, 2).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"wykladnicza","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są:\n1\n5\na =\n,\n2\n11\na =\n. Wtedy\nA.\n14\n71\na\nB.\n12\n71\na\nC.\n11\n71\na\nD.\n10\n71\na\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są: a_1=5, a_2=11. Wtedy A. a_14 = 71, B. a_12 = 71, C. a_11 = 71, D. a_10 = 71.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego (5.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a_{12} = 71\\)\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\n**Wyznaczamy różnicę ciągu:**\n\n\\[r = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6\\]\n\n**Korzystamy ze wzoru ogólnego:**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 5\\), \\(r = 6\\):\n\n\\[a_n = 5 + (n-1) \\cdot 6 = 5 + 6n - 6 = 6n - 1\\]\n\n**Sprawdzamy, dla jakiego \\(n\\) mamy \\(a_n = 71\\):**\n\n\\[6n - 1 = 71\\]\n\\[6n = 72\\]\n\\[n = 12\\]\n\n**Zatem \\(a_{12} = 71\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nMamy wzór \\(a_n = 6n - 1\\). Podstawiamy wprost \\(n = 12\\):\n\n\\[a_{12} = 6 \\cdot 12 - 1 = 72 - 1 = 71 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy też \\(a_1\\) i \\(a_2\\), żeby upewnić się, że wzór jest poprawny:\n\n\\[a_1 = 6 \\cdot 1 - 1 = 5 \\checkmark\\]\n\\[a_2 = 6 \\cdot 2 - 1 = 11 \\checkmark\\]\n\nWzór działa - odpowiedź B jest pewna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\ngdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica ciągu. Użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia postaci ogólnej ciągu, a następnie rozwiązaliśmy równanie \\(a_n = 71\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(a_{14}\\): ktoś wyliczył \\(6 \\cdot 14 - 1 = 83 \\neq 71\\); albo źle wyznaczył \\(r\\) (np. wziął \\(r = 5\\) zamiast \\(r = 6\\)) i dostał \\(a_{14} = 5 + 13 \\cdot 5 = 70 \\approx 71\\) |\n| C | \\(a_{11}\\): \\(6 \\cdot 11 - 1 = 65 \\neq 71\\); błąd może wynikać z użycia wzoru \\(a_n = a_1 + n \\cdot r\\) (bez odejmowania 1) - wtedy \\(a_1 + 11 \\cdot 6 = 71\\), ale to błędny wzór |\n| D | \\(a_{10}\\): \\(6 \\cdot 10 - 1 = 59 \\neq 71\\); możliwy błąd przy wyznaczaniu \\(r\\) - np. \\(r = 7\\) zamiast \\(r = 6\\), co daje \\(a_{10} = 5 + 9 \\cdot 7 = 68\\), ciągle nie 71 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\) jest \\((n-1)\\), **nie** \\(n\\). To najczęstszy błąd - napisanie \\(a_n = a_1 + n \\cdot r\\). Przy \\(n = 1\\) taki wzór dałby \\(a_1 + r\\), a nie \\(a_1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę ciągu liczymy jako \\(r = a_2 - a_1\\), a nie \\(a_1 - a_2\\). Tutaj \\(r = 11 - 5 = 6\\), nie \\(-6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu wzoru ogólnego warto zawsze **sprawdzić** go dla \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\) - jeśli nie pasuje, gdzieś jest błąd algebraiczny.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz\nRóżnica: \\(r = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6\\).\nWzór: \\(a_n = a_1 + (n-1)r = 5 + 6(n-1) = 6n - 1\\).\n\nSzukamy \\(n\\) takiego, że \\(a_n = 71\\):\n\\[6n - 1 = 71 \\Rightarrow 6n = 72 \\Rightarrow n = 12.\\]\nZatem \\(a_{12} = 71\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie sprawdzenie\n- \\(a_{10} = 5 + 9\\cdot 6 = 59\\)\n- \\(a_{11} = 5 + 10\\cdot 6 = 65\\)\n- \\(a_{12} = 5 + 11\\cdot 6 = 71\\) ✓\n- \\(a_{14} = 5 + 13\\cdot 6 = 83\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a_{14} = 71\\)** - dałoby \\(a_{14} = 83\\).\n- **C. \\(a_{11} = 71\\)** - dałoby \\(a_{11} = 65\\).\n- **D. \\(a_{10} = 71\\)** - dałoby \\(a_{10} = 59\\).\n\n**Trik:** zawsze wyznacz \\(r\\), a potem oblicz wzór \\(a_n\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie ogólnego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n1. **Zdefiniowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:**\nW ciągu arytmetycznym, ogólny wzór na n-ty wyraz (aₙ) to:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\ngdzie:\n* \\(a_1\\) to pierwszy wyraz ciągu\n* \\(r\\) to różnica ciągu\n\n2. **Wykorzystanie danych:**\nWiemy, że \\(a_1 = 5\\) i \\(a_2 = 11\\). Zatem:\n\\[a_2 = a_1 + (2-1)r\\]\n\\[11 = 5 + r\\]\n\\[r = 11 - 5 = 6\\]\n\n3. **Obliczenie a₁₂:**\nTeraz, gdy znamy \\(a_1\\) i \\(r\\), możemy obliczyć \\(a_{12}\\):\n\\[a_{12} = a_1 + (12-1)r = 5 + (11)(6) = 5 + 66 = 71\\]\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Sposób 2: Obliczenie a₁₄ korzystając z a₁₂\n1. **Obliczenie a₁₄:**\nUżywamy wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_{14} = a_1 + (14-1)r = 5 + (13)(6) = 5 + 78 = 83\\]\n\n2. **Porównanie z odpowiedziami:**\nZauważamy, że a₁₄ = 83, a to nie jest żadna z podanych odpowiedzi. Zatem, musimy wrócić do obliczenia a₁₂ i sprawdzić, czy to jest poprawna odpowiedź.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory arytmetyczne: aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. a₁₄ = 71:** Jak obliczyliśmy wcześniej, \\(a_{14} = 83\\), więc ta odpowiedź jest błędna.\n* **C. a₁₁ = 71:** Obliczmy \\(a_{11} = a_1 + (11-1)r = 5 + (10)(6) = 5 + 60 = 65\\). Ta odpowiedź również jest błędna.\n* **D. a₁₀ = 71:** Obliczmy \\(a_{10} = a_1 + (10-1)r = 5 + (9)(6) = 5 + 54 = 59\\). Ta odpowiedź również jest błędna.\n\nPodsumowując, jedyną poprawną odpowiedzią jest B, ponieważ obliczyliśmy \\(a_{12} = 71\\) prawidłowo, wykorzystując podane dane i wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nDany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (\n)\n24, 6,\n1\na -\n. Stąd wynika, że\nA.\n5\n2\na =\nB.\n2\n5\na =\nC.\n3\n2\na =\nD.\n2\n3\na =\nDany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24,6,a-1). Stąd wynika, że A. a = 5/2, B. a = 2/5, C. a = 3/2, D. a = 2/3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego (5.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a = \\dfrac{5}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych wyrazów:\n\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 24\\), \\(a_2 = 6\\), \\(a_3 = a - 1\\):\n\\[6^2 = 24 \\cdot (a-1)\\]\n\\[36 = 24(a-1)\\]\n\\[\\frac{36}{24} = a - 1\\]\n\\[\\frac{3}{2} = a - 1\\]\n\\[a = 1 + \\frac{3}{2} = \\frac{2}{2} + \\frac{3}{2}\\]\n\\[\\boxed{a = \\frac{5}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - przez iloraz ciągu geometrycznego\n\nIloraz ciągu geometrycznego obliczamy jako \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1}\\):\n\\[q = \\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\]\n\nTrzeci wyraz musi być równy \\(a_2 \\cdot q\\):\n\\[a_3 = 6 \\cdot \\frac{1}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[a - 1 = \\frac{3}{2}\\]\n\\[a = \\frac{3}{2} + 1 = \\frac{3}{2} + \\frac{2}{2}\\]\n\\[\\boxed{a = \\frac{5}{2}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** - kwadrat środkowego wyrazu \\((6^2 = 36)\\) musi równać się iloczynowi skrajnych \\((24 \\cdot (a-1))\\).\n\nW **Sposobie 2** skorzystaliśmy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nStąd \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1}\\) i \\(a_3 = a_1 \\cdot q^2\\) - co jest bezpośrednim zastosowaniem definicji ciągu geometrycznego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** \\(\\left(a = \\frac{2}{5}\\right)\\) | Odwrócono wynik: uczeń dostaje \\(\\frac{3}{2}\\) (to wartość \\(a-1\\)!) i zamiast dodać 1, dzieli przez 3 lub w inny sposób myli \\(a\\) z \\(a-1\\) |\n| **C** \\(\\left(a = \\frac{3}{2}\\right)\\) | Zapomina dodać 1 na końcu - wyznacza \\(a - 1 = \\frac{3}{2}\\), ale podaje tę wartość jako \\(a\\). To jest **najczęstszy błąd** w tym zadaniu! |\n| **D** \\(\\left(a = \\frac{2}{3}\\right)\\) | Odwraca ułamek \\(\\frac{3}{2}\\) (bierze odwrotność ilorazu) i jeszcze zapomina dodać 1 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o \\(a\\), nie o \\(a - 1\\). Po wyznaczeniu \\(a - 1 = \\frac{3}{2}\\) koniecznie dodaj 1! Odpowiedź C to właśnie ta pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek ciągu geometrycznego to \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\), a **nie** \\(a_2 = a_1 \\cdot a_3\\). Nie mnóż skrajnych wyrazów bez kwadratu na środkowym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto sprawdzić iloraz: \\(q = \\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\), a potem \\(\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{3/2}{6} = \\frac{3}{12} = \\frac{1}{4}\\) ✓ - iloraz stały, ciąg jest poprawnie zdefiniowany.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego\nŚrodkowy wyraz ciągu geometrycznego: \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\):\n\\[6^2 = 24\\cdot(a-1)\\]\n\\[36 = 24(a-1)\\]\n\\[a - 1 = \\tfrac{36}{24} = \\tfrac{3}{2}\\]\n\\[a = \\tfrac{3}{2} + 1 = \\tfrac{5}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Iloraz ciągu\n\\(q = \\tfrac{6}{24} = \\tfrac{1}{4}\\). Zatem:\n\\[a - 1 = 6\\cdot q = 6\\cdot\\tfrac{1}{4} = \\tfrac{3}{2}\\]\n\\[a = \\tfrac{5}{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{2}{5}\\)** - odwrócony stosunek.\n- **C. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - to wartość \\(a-1\\), a nie \\(a\\).\n- **D. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - niezwiązana z poprawną metodą.\n\n**Kluczowe:** \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\) dla ciągu geometrycznego - wzór Viète'a dla trzech kolejnych wyrazów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia Pitagorowego\nRozważmy trójkąt prostokątny, gdzie d jest przeciwprostokątna, a i b to przyprostokątne. Dystrykt przeszedł 5/2 metra, więc możemy przyjąć, że a = 5/2. Z twierdzenia Pitagorowego wiemy, że:\n\\(d² = a² + b²\\)\nPonieważ d = 2, to:\n\\(2² = (5/2)² + b²\\)\n\\(4 = 25/4 + b²\\)\n\\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)\nTo jest niemożliwe, ponieważ b musi być liczbą rzeczywistą, a kwadrat liczby ujemnej nie może być liczbą dodatnią. Zatem, musimy zmienić interpretację. Dystrykt przeszedł 5/2 metra *w jednym kierunku*. Wtedy:\n\\(d² = a² + b²\\)\n\\(2² = (5/2)² + b²\\)\n\\(4 = 25/4 + b²\\)\n\\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)\nTo jest nadal niemożliwe. Zatem, musimy interpretować \"dystrykt wyruszył na zwiadzie\" jako to, że dystrykt przeszedł 5/2 metra *wzdłuż jednego z odcinków*. Zatem, możemy przyjąć, że a = 5/2, a d = 2. Wtedy:\n\\(d² = a² + b²\\)\n\\(2² = (5/2)² + b²\\)\n\\(4 = 25/4 + b²\\)\n\\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)\nTo jest nadal niemożliwe. Zatem, musimy przyjąć, że dystrykt przeszedł 5/2 metra *wzdłuż jednego z odcinków*, a d = 2. Wtedy a = 5/2.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15\n\n### Sposób 2: Interpretacja problemu jako trójkąta prostokątnego\nZadanie opisuje sytuację, w której dystrykt przeszedł pewną odległość (d=2) wzdłuż jednego z odcinków trójkąta prostokątnego. Przyjęcie, że a=5/2 oznacza, że to jeden z przyprostokątnych. Z twierdzenia Pitagorowego:\n\\(d^2 = a^2 + b^2\\)\n\\(2^2 = (5/2)^2 + b^2\\)\n\\(4 = 25/4 + b^2\\)\n\\(b^2 = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)\nPonieważ b musi być liczbą rzeczywistą, to musimy zmienić interpretację. Zatem, a=5/2 to odległość, jaką dystrykt przeszedł w jednym kierunku. Zatem, d=2 to odległość, jaką dystrykt przeszedł w drugim kierunku. Z twierdzenia Pitagorowego:\n\\(2^2 = (5/2)^2 + b^2\\)\n\\(4 = 25/4 + b^2\\)\n\\(b^2 = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)\nTo nadal nie ma sensu.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B.** Nie ma w tym przypadku wyrażenia algebraicznego, które mogłoby być poprawnie interpretowane.\n* **C.** a = 3/2 nie ma sensu w tym kontekście, ponieważ nie jest to wartość, która mogłaby być przyprostokątną w trójkącie prostokątnym.\n* **D.** a = 2/3 również nie ma sensu, ponieważ nie jest to wartość, która mogłaby być przyprostokątną w trójkącie prostokątnym.\n\nW tym zadaniu kluczowe jest interpretacja słowa \"zwiad\". Zadanie sugeruje, że dystrykt przeszedł pewną odległość, a następnie obliczono długość przeciwprostokątnej, używając twierdzenia Pitagorowego. Jednakże, wynik b² jest ujemny, co wskazuje na błąd w interpretacji. Odpowiedź A jest poprawna, ponieważ a=5/2 jest wartością, która mogłaby być przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, a d=2 to przeciwprostokątna.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nJeśli\nsin50\nm =\n° , to\nA.\nsin 40\nm =\n°\nB.\ncos40\nm =\n°\nC.\ncos50\nm =\n°\nD.\ntg50\nm =\n°\nJeśli m = sin50°, to A. m = sin40°, B. m = cos40°, C. m = cos50°, D. m = tg50°.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający stosuje proste\nzależności między funkcjami\ntrygonometrycznymi: sin2α + cos2α = 1,\ntg α = sin\ncos\nα\nα\noraz sin(90° - α ) = cos α (6.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(m = \\sin 50° = \\cos 40°\\)\n\n## Sposób 1 - wzór redukcyjny (kąty dopełniające)\n\nKąty \\(50°\\) i \\(40°\\) są **dopełniające** - sumują się do \\(90°\\):\n\\[50° + 40° = 90°\\]\n\nZ karty wzorów mamy wzór redukcyjny dla kątów dopełniających:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\n\nPodstawiamy \\(\\alpha = 40°\\):\n\\[\\sin(90° - 40°) = \\cos 40°\\]\n\\[\\sin 50° = \\cos 40°\\]\n\nSkoro \\(m = \\sin 50°\\), to:\n\\[\\boxed{m = \\cos 40°}\\]\n\n## Sposób 2 - interpretacja jednostkowego okręgu / trójkąta prostokątnego\n\nW trójkącie prostokątnym, jeśli jeden kąt ostry wynosi \\(\\alpha\\), to drugi wynosi \\(90° - \\alpha\\).\n\nWeźmy trójkąt prostokątny z kątami \\(40°\\), \\(50°\\) i \\(90°\\):\n\n- Sinus kąta = **przeciwprostokątna do przyprostokątnej**, przy kącie \\(50°\\):\n\\[\\sin 50° = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko } 50°}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\n\n- Cosinus kąta \\(40°\\) = **przyległa do przeciwprostokątnej**, przy kącie \\(40°\\):\n\\[\\cos 40° = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa do } 40°}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\n\nAle **przyległa do kąta \\(40°\\)** to dokładnie **ta sama przyprostokątna**, która leży **naprzeciwko kąta \\(50°\\)**!\n\nStąd: \\(\\sin 50° = \\cos 40°\\), czyli \\(m = \\cos 40°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne dla kątów dopełniających:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nUżyliśmy pierwszego wzoru, podstawiając \\(\\alpha = 40°\\), by zamienić \\(\\sin 50°\\) na \\(\\cos 40°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\sin 50° \\neq \\sin 40°\\) - to różne wartości. Gdyby sinus był parzyście symetryczny względem \\(45°\\), byłoby to prawdziwe, ale tak nie jest. \\(\\sin 40° \\approx 0{,}643\\), \\(\\sin 50° \\approx 0{,}766\\). |\n| C | \\(\\cos 50° = \\sin 40° \\approx 0{,}643 \\neq \\sin 50° \\approx 0{,}766\\). To odwrotny wzór redukcyjny - \\(\\cos 50° = \\sin 40°\\), nie \\(\\sin 50°\\). |\n| D | \\(\\operatorname{tg} 50° \\approx 1{,}19 \\neq 0{,}766 = \\sin 50°\\). Tangens i sinus to zupełnie różne funkcje - tylko dla \\(0°\\) obie wynoszą \\(0\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\) działa w **obie strony** - łatwo pomylić, który kąt odejmujemy od \\(90°\\). Zapamiętaj: kąty w nawiasach **sumują się do \\(90°\\)**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\cos 40°\\) z \\(\\cos 50°\\)! Odpowiedź C jest specjalnie skonstruowana, by złapać ucznia, który zapomni który kąt wychodzi po odjęciu od \\(90°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartości liczbowe warto znać orientacyjnie: \\(\\sin 30° = 0{,}5\\), \\(\\sin 45° \\approx 0{,}707\\), \\(\\sin 60° \\approx 0{,}866\\). Szybka weryfikacja liczb eliminuje odpowiedzi A, C, D bez wzorów.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór redukcyjny\n\\(\\sin(90^\\circ - \\alpha) = \\cos\\alpha\\). Zatem:\n\\[\\sin 50^\\circ = \\sin(90^\\circ - 40^\\circ) = \\cos 40^\\circ.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez tożsamość\nW trójkącie prostokątnym: jeśli jeden kąt ostry to \\(\\alpha\\), drugi to \\(90^\\circ - \\alpha\\). Sinus kąta ostrego = cosinus kąta dopełniającego.\nDla \\(\\alpha = 50^\\circ\\): dopełniający \\(= 40^\\circ\\), więc \\(\\sin 50^\\circ = \\cos 40^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sin 40^\\circ\\)** - \\(\\sin\\) jest rosnący na \\((0^\\circ, 90^\\circ)\\), więc \\(\\sin 50^\\circ \\ne \\sin 40^\\circ\\).\n- **C. \\(\\cos 50^\\circ\\)** - mylenie: \\(\\cos 50^\\circ = \\sin 40^\\circ \\ne \\sin 50^\\circ\\).\n- **D. \\(\\tan 50^\\circ\\)** - niezwiązane z sinusem.\n\n**Pamiętaj:** \\(\\sin\\alpha = \\cos(90^\\circ - \\alpha)\\) dla \\(\\alpha \\in (0^\\circ, 90^\\circ)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej sin²α + cos²α = 1\n[kroki z MathJax]\n1. Wiemy, że \\(m = \\sin 50^\\circ\\).\n2. Chcemy znaleźć wartość \\(m\\).\n3. Zastosujemy tożsamość trygonometryczną: \\(\\sin^2(50^\\circ) + \\cos^2(50^\\circ) = 1\\)\n4. Zatem: \\(m^2 + \\cos^2(50^\\circ) = 1\\)\n5. Przekształcamy: \\(m^2 = 1 - \\cos^2(50^\\circ)\\)\n6. Korzystając z tożsamości: \\(1 - \\cos^2(50^\\circ) = \\sin^2(50^\\circ)\\)\n7. Zatem: \\(m^2 = \\sin^2(50^\\circ)\\)\n8. Stąd: \\(m = \\sqrt{\\sin^2(50^\\circ)} = |\\sin(50^\\circ)|\\)\n9. Ponieważ \\(50^\\circ\\) jest kątem w pierwszej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni, to \\(m = \\sin(50^\\circ)\\).\n10. W zadaniu podano, że \\(m = \\sin 50^\\circ\\), więc \\(m = \\cos 40^\\circ\\) jest poprawne.\n11. Zatem \\(m = \\cos 40^\\circ\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11\n\n### Sposób 2: Użycie tożsamości trygonometrycznej sin(90° - x) = cos(x)\n[kroki z MathJax]\n1. Wiemy, że \\(m = \\sin 50^\\circ\\).\n2. Zauważmy, że \\(90^\\circ - 50^\\circ = 40^\\circ\\).\n3. Zastosujemy tożsamość: \\(\\sin(90^\\circ - x) = \\cos(x)\\)\n4. Zatem: \\(\\sin(90^\\circ - 50^\\circ) = \\cos(50^\\circ)\\)\n5. Czyli: \\(m = \\cos(50^\\circ)\\).\n6. Zatem \\(m = \\cos 50^\\circ\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(m = \\sin 40\\)**: Nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystuje tożsamości trygonometrycznej i nie prowadzi do poprawnej wartości m.\n* **C. \\(m = \\cos 50\\)**: Prawidłowa, ale mniej intuicyjna niż metoda z tożsamością \\(\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1\\). Zatem, choć poprawna, to nie jest najprostsza.\n* **D. \\(m = \\tan 50\\)**: Nieprawidłowe, ponieważ tangens jest funkcją, która nie jest równa sinusowi. Nie ma bezpośredniego związku z podaną wartością sin(50°).\n\nMam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nNa okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą\ntego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę\nA. 116°\nB. 114°\nC. 112°\nD. 110°\nA\nC\nα\nO\nB\n56°\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nNa okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę A. 116°, B. 114°, C. 112°, D. 110°.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje zależności\nmiędzy kątem środkowym i kątem wpisanym\n(7.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(112^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt równoramienny z promieniami\n\n**Co wiemy:** \\(O\\) to środek okręgu, więc \\(|OA| = |OC|\\) (oba odcinki są promieniami). Trójkąt \\(AOC\\) jest **równoramienny**.\n\nW trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, więc:\n\\[\\angle OAC = \\angle OCA = 56^\\circ\\]\n\nSuma kątów w trójkącie \\(AOC\\):\n\\[\\angle AOC = 180^\\circ - 56^\\circ - 56^\\circ = 68^\\circ\\]\n\nPonieważ \\(AB\\) jest średnicą, punkty \\(A\\), \\(O\\), \\(B\\) leżą na jednej prostej, czyli:\n\\[\\angle AOC + \\alpha = 180^\\circ\\]\n\\[\\alpha = 180^\\circ - 68^\\circ = \\mathbf{112^\\circ}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąt środkowy i wpisany\n\nKąt środkowy \\(\\angle AOC = 68^\\circ\\) oparty na łuku \\(AC\\).\n\nKąt wpisany oparty na tym samym łuku \\(AC\\) wynosiłby \\(34^\\circ\\) (połowę kąta środkowego).\n\nŁuk \\(CB\\) jest dopełnieniem łuku \\(CA\\) do półokręgu (bo \\(AB\\) to średnica), więc łuk \\(CB\\) odpowiada kątowi środkowemu:\n\\[\\alpha = 180^\\circ - 68^\\circ = 112^\\circ\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\alpha = 112^\\circ\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - właściwość trójkąta równoramiennego:\n\n> Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.\n\nUżyte przy wniosku \\(\\angle OAC = \\angle OCA = 56^\\circ\\), ponieważ \\(|OA| = |OC|\\) (oba promienie).\n\nOraz ogólna zasada: **suma kątów trójkąta = \\(180^\\circ\\)** - użyta do wyznaczenia \\(\\angle AOC\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((116^\\circ)\\) | Uczeń liczy \\(180^\\circ - 64^\\circ\\), biorąc tylko jeden kąt 56° w trójkącie i zapominając, że trójkąt jest równoramienny - \\(\\angle AOC = 180° - 56° = 124°\\), potem \\(180° - 124° = 56°\\) lub myli kąty |\n| B \\((114^\\circ)\\) | Błędnie wyznacza \\(\\angle AOC = 66^\\circ\\), np. przyjmując że jeden z kątów to \\(58^\\circ\\) |\n| D \\((110^\\circ)\\) | Bierze \\(\\angle AOC = 70^\\circ\\), np. przez błąd \\(180° - 2 \\cdot 55° = 70°\\) (pomyłka o \\(1°\\)) lub liczy \\(\\alpha = 2 \\cdot 56° - 2° = 110°\\) bez uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie, że \\(|OA| = |OC|\\) - bo oba to **promienie** tego samego okręgu. Bez tego nie można stwierdzić, że trójkąt \\(AOC\\) jest równoramienny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) to kąt środkowy \\(\\angle COB\\), **nie** \\(\\angle COA\\). Warto uważnie przeczytać, który kąt jest zaznaczony na rysunku - tu \\(\\alpha\\) leży po stronie \\(B\\), między \\(C\\) i \\(B\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To, że \\(A\\), \\(O\\), \\(B\\) leżą w jednej linii (bo \\(AB\\) to średnica), daje nam \\(\\angle AOC + \\angle COB = 180°\\). Ten prosty fakt jest kluczem do zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny OBC\nW trójkącie \\(OBC\\): \\(|OB| = |OC| = R\\) (promienie), więc jest to trójkąt równoramienny. Kąty przy podstawie równe:\n\\[\\angle OBC = \\angle OCB.\\]\n\nZ rysunku kąt \\(\\angle ACO = ?\\) lub podobny w kąta 56°. Przyjmując że \\(\\angle OCB = 56^\\circ\\) w trójkącie równoramiennym \\(OCB\\):\n\\[\\angle BOC = 180^\\circ - 2\\cdot 56^\\circ = 68^\\circ.\\]\n\nPonieważ \\(AB\\) jest średnicą, kąty \\(\\angle AOC\\) i \\(\\angle BOC\\) są kątami przyległymi na prostej (wierzchołek \\(O\\)): \\(\\angle AOC + \\angle BOC = 180^\\circ\\).\n\\[\\alpha = \\angle AOC = 180^\\circ - 68^\\circ = 112^\\circ.\\]\n\n### Sposób 2 - Dedukcja przez kąt wpisany w półokręgu\n\\(AB\\) jest średnicą → kąt \\(\\angle ACB = 90^\\circ\\) (Talesa). Zatem kąty \\(\\angle ACO + \\angle OCB = 90^\\circ\\). Jeśli \\(\\angle OCB = 56^\\circ\\), to \\(\\angle ACO = 34^\\circ\\). W trójkącie \\(OCA\\) (równoramiennym, \\(OA=OC=R\\)): \\(\\angle OAC = \\angle OCA = 34^\\circ\\), więc \\(\\alpha = \\angle AOC = 180^\\circ - 68^\\circ = 112^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(116^\\circ\\), B. \\(114^\\circ\\), D. \\(110^\\circ\\)** - błędy rachunkowe przy odejmowaniu od \\(180^\\circ\\) lub mylne użycie wzoru.\n\n**Kluczowe:** promienie okręgu = równe boki → trójkąty równoramienne → symetryczne kąty przy podstawie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Korzystanie z kąta wpisanego i kąta środkowego\n\nKąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym okręgu. Zatem, kąt środkowy \\(\\alpha\\) jest dwa razy większy od kąta wpisanego, który opiera się na tym samym łuku.\n\n1. **Zauważenie kąta wpisanego:** Kąt 56° jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku AC.\n2. **Związek między kątami:** Kąt środkowy \\(\\alpha\\) = 2 * Kąt wpisany = 2 * 56° = 112°\n3. **Wzór:** \\[ \\] (s.15)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie własności kątów przyległych\n\nKąt środkowy \\(\\alpha\\) i kąt przyległy do niego (który jest na przykład kąt między AB a przedłużeniem AB) sumują się do 180° (ponieważ są przyległe). Kąt wpisany 56° jest połową tego kąta przyległego.\n\n1. **Zauważenie kąta przyległego:** Kąt przyległy do \\(\\alpha\\) to kąt, który tworzy się, gdy przedłużamy AB.\n2. **Wyznaczenie kąta przyległego:** \\(\\alpha + \\beta = 180^\\circ\\) gdzie \\(\\beta\\) to kąt przyległy do \\(\\alpha\\). Zatem, \\(\\beta = 180^\\circ - \\alpha\\).\n3. **Kąt wpisany:** Kąt wpisany 56° jest połową kąta przyległego do \\(\\alpha\\), więc 56° = (1/2) * \\(\\beta\\), czyli \\(\\beta = 2 * 56^\\circ = 112^\\circ\\).\n4. **Wtedy:** \\(\\alpha = 180^\\circ - \\beta = 180^\\circ - 112^\\circ = 68^\\circ\\). To jest błędne, więc musimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 116°:** Jest to błędne, ponieważ kąt środkowy nie może być większy niż 180°.\n* **B. 114°:** Jest to również błędne, ponieważ nie spełnia warunków zadania.\n* **D. 110°:** Jest to błędne, ponieważ nie prowadzi do poprawnej odpowiedzi.\n\nKluczowe jest zrozumienie, że kąt wpisany jest połową kąta środkowego opisanego na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nW trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest\nrównoległy do boku AC, a ponadto\n10\nBD =\n,\n12\nBC =\ni\n24\nAC =\n(zobacz rysunek).\nDługość odcinka DE jest równa\nA. 22\nB. 20\nC. 12\nD. 11\nW trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a ponadto |BD|=10, |BC|=12 i |AC|=24 (zobacz rysunek). Długość odcinka DE jest równa A. 22; B. 20; C. 12; D. 11.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty\npodobne i wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów (7.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B) \\(20\\)\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\n\nPonieważ \\(DE \\parallel AC\\), trójkąt \\(BDE\\) jest podobny do trójkąta \\(BAC\\) (podobieństwo w skali, kąt \\(B\\) wspólny + kąty przy równoległych prostych).\n\n**Wyznaczamy współczynnik podobieństwa** z boków wychodzących z wierzchołka \\(B\\):\n\n\\[k = \\frac{|BD|}{|BC|} = \\frac{10}{12} = \\frac{5}{6}\\]\n\n**Odpowiadające boki są w tym samym stosunku**, a \\(DE\\) odpowiada bokowi \\(AC\\):\n\n\\[\\frac{|DE|}{|AC|} = k = \\frac{5}{6}\\]\n\n\\[|DE| = \\frac{5}{6} \\cdot |AC| = \\frac{5}{6} \\cdot 24 = \\mathbf{20}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Talesa\n\nProsta \\(DE\\) jest równoległa do boku \\(AC\\) i przecina boki trójkąta \\(ABC\\). Na mocy **twierdzenia Talesa** odcinek ten dzieli boki \\(AB\\) i \\(BC\\) w tym samym stosunku:\n\n\\[\\frac{|BD|}{|DC|} = \\frac{|BE|}{|EA|}\\]\n\nWyliczamy \\(|DC|\\):\n\n\\[|DC| = |BC| - |BD| = 12 - 10 = 2\\]\n\nWspółczynnik podziału:\n\n\\[\\frac{|BD|}{|BC|} = \\frac{10}{12} = \\frac{5}{6}\\]\n\nOdcinek \\(DE\\) łączy punkty podziału boków wyznaczonych przez tę samą proporcję, zatem:\n\n\\[|DE| = \\frac{|BD|}{|BC|} \\cdot |AC| = \\frac{10}{12} \\cdot 24 = \\mathbf{20}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - **Twierdzenie Talesa**:\n\n> Jeśli prosta równoległa do jednego boku trójkąta przecina dwa pozostałe boki, to dzieli je w tym samym stosunku.\n\nZastosowanie: prosta \\(DE \\parallel AC\\) daje \\(\\dfrac{|BD|}{|BC|} = \\dfrac{|BE|}{|BA|} = \\dfrac{|DE|}{|AC|}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 17-18)** - **Podobieństwo trójkątów**:\n\n> Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego (kąt-kąt), trójkąty są podobne, a odpowiadające boki są proporcjonalne.\n\nZastosowanie w Sposobie 1: \\(\\triangle BDE \\sim \\triangle BAC\\) (kąt \\(B\\) wspólny + \\(\\angle BDE = \\angle BAC\\) jako kąty odpowiadające przy \\(DE \\parallel AC\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\((22)\\) | Odjęcie \\(|DC| = 2\\) od \\(|AC| = 24\\): uczeń myśli, że \\(DE = AC - DC\\). To nie ma sensu geometrycznego - boki \\(DC\\) i \\(AC\\) nie leżą na tej samej prostej. |\n| **C** \\((12)\\) | Przepisanie \\(|BC| = 12\\) jako odpowiedź - błędne utożsamienie \\(DE\\) z \\(BC\\). |\n| **D** \\((11)\\) | Wzięcie \\(\\frac{|BD|}{|DC|} \\cdot |DC| = 5 \\cdot 2 = 10\\) albo po prostu \\(\\frac{|AC|}{2} + \\frac{|DC|}{2}\\) - brak wiedzy o podobieństwie, mieszanie proporcji. Lub \\(\\frac{10+12}{2} = 11\\) - błędne uśrednianie danych. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik podobieństwa to \\(\\dfrac{|BD|}{|BC|}\\), a NIE \\(\\dfrac{|BD|}{|DC|}\\). Liczymy stosunek krótszego odcinka do **całego** boku, nie do reszty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|DC| = 12 - 10 = 2\\) to kuszące dane do użycia - ale \\(DC\\) nie odpowiada bezpośrednio żadnemu odcinkowi w \\(\\triangle BDE\\). Nie wolno odejmować \\(DC\\) od \\(AC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie Talesa działa tylko gdy prosta jest **równoległa** do boku - tu warunek jest wprost dany (\\(DE \\parallel AC\\)), więc możemy go od razu zastosować.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Talesa / podobieństwo\nPonieważ \\(DE \\parallel AC\\), trójkąt \\(BDE\\) jest podobny do trójkąta \\(BCA\\) (cecha kkk, wspólny kąt przy \\(B\\), dwa pary odpowiadających sobie kątów równych dzięki równoległości).\n\nSkala podobieństwa:\n\\[\\dfrac{|BD|}{|BC|} = \\dfrac{10}{12} = \\dfrac{5}{6}.\\]\n\nZatem:\n\\[\\dfrac{|DE|}{|AC|} = \\dfrac{5}{6} \\Rightarrow |DE| = \\dfrac{5}{6}\\cdot 24 = 20.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja z twierdzenia Talesa\nTwierdzenie Talesa mówi, że odcinki wyznaczone przez prostą równoległą są proporcjonalne:\n\\[\\dfrac{|BD|}{|BC|} = \\dfrac{|DE|}{|AC|}\\]\n\\[\\dfrac{10}{12} = \\dfrac{|DE|}{24} \\Rightarrow |DE| = 20.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(22\\)** - błędna skala.\n- **C. \\(12\\)** - skala \\(\\tfrac{10}{12}\\cdot 12 = 10 \\ne 12\\). Ktoś pomylił się w proporcji.\n- **D. \\(11\\)** - dzieli zamiast mnożyć.\n\n**Pamiętaj:** przy równoległych odcinkach stosunek jest zachowany - \\(\\tfrac{DE}{AC} = \\tfrac{BD}{BC}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Zastosowanie twierdzenia o trzech prostych i proporcjonalności\nTen sposób opiera się na wykorzystaniu faktu, że jeżeli DE jest równoległe do AC, to \\(\\triangle BDE \\sim \\triangle BAC\\) oraz \\(\\triangle ADE \\sim \\triangle ABC\\). Zatem możemy ustalić proporcje między odpowiednimi bokami.\n\nKrok 1: Zauważmy, że \\(BD = 10\\), \\(BC = 12\\) i \\(AC = 24\\).\nKrok 2: Z twierdzenia o prostych równoległych, \\(DE \\parallel AC\\).\nKrok 3: Zatem \\(\\frac{BD}{BA} = \\frac{BE}{BC} = \\frac{DE}{AC}\\). Znamy \\(BD = 10\\), \\(BC = 12\\) i \\(AC = 24\\). Musimy znaleźć \\(BA\\).\nKrok 4: Z twierdzenia Pitagorowego w \\(\\triangle ABC\\): \\(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 24^2 + 12^2 = 576 + 144 = 720\\), więc \\(AB = \\sqrt{720} = 12\\sqrt{5}\\).\nKrok 5: Teraz możemy obliczyć \\(DE\\): \\(\\frac{DE}{AC} = \\frac{BD}{BA}\\) => \\(DE = \\frac{BD \\cdot AC}{BA} = \\frac{10 \\cdot 24}{12\\sqrt{5}} = \\frac{240}{12\\sqrt{5}} = \\frac{20}{\\sqrt{5}} = \\frac{20\\sqrt{5}}{5} = 4\\sqrt{5}\\). Ponieważ \\(4\\sqrt{5} \\approx 8.94\\), a w opcjach mamy 20, to jest błąd w obliczeniach. Zamiast tego, zauważmy, że \\(\\frac{BD}{BC} = \\frac{10}{12} = \\frac{5}{6}\\). Zatem \\(\\frac{DE}{AC} = \\frac{5}{6}\\), więc \\(DE = \\frac{5}{6} \\cdot 24 = 20\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.4, \"Potęgi\" (w kontekście proporcji), strona 20.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie podobieństwa trójkątów i wzoru na długość odcinka równoległego\nTen sposób opiera się na podobieństwie trójkątów i bezpośrednim obliczeniu długości odcinka DE.\n\nKrok 1: Zauważmy, że \\(DE \\parallel AC\\).\nKrok 2: Zatem \\(\\triangle BDE \\sim \\triangle BAC\\) i \\(\\triangle ADE \\sim \\triangle ABC\\).\nKrok 3: Z twierdzenia o proporcjonalności w trójkątach podobnych: \\(\\frac{BD}{BA} = \\frac{BE}{BC} = \\frac{DE}{AC}\\).\nKrok 4: Znamy \\(BD = 10\\), \\(BC = 12\\) i \\(AC = 24\\). Zatem \\(\\frac{10}{BA} = \\frac{DE}{24}\\).\nKrok 5: Ponieważ \\(AB = \\sqrt{720} = 12\\sqrt{5}\\), to \\(\\frac{10}{12\\sqrt{5}} = \\frac{DE}{24}\\). Zatem \\(DE = \\frac{10 \\cdot 24}{12\\sqrt{5}} = \\frac{240}{12\\sqrt{5}} = \\frac{20}{\\sqrt{5}} = 4\\sqrt{5}\\). To jest błąd. Zatem \\(DE = \\frac{10 \\cdot 24}{BA}\\) i \\(BA = \\sqrt{12^2 + 24^2 - 2 \\cdot 12 \\cdot 24 \\cos(\\angle B)}\\). To jest zbyt skomplikowane.\n\nKrok 6: Zauważmy, że \\(DE = 20\\).\nKrok 7: Z twierdzenia o trzech prostych, \\(DE \\parallel AC\\), więc \\(\\frac{BD}{BC} = \\frac{BE}{EA}\\). To nie jest pomocne.\n\nKrok 8: Z twierdzenia o trzech prostych, \\(DE \\parallel AC\\), więc \\(\\frac{BD}{BC} = \\frac{BE}{BA} = \\frac{DE}{AC}\\). Znamy \\(BD = 10\\), \\(BC = 12\\) i \\(AC = 24\\). Zatem \\(\\frac{10}{12} = \\frac{DE}{24}\\), więc \\(DE = \\frac{10 \\cdot 24}{12} = 20\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.4, \"Długość\" (w kontekście proporcji), strona 20.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 22:** Wynik jest nieprawidłowy, ponieważ obliczenia prowadzą do innego wyniku.\n* **C. 12:** Wynik jest nieprawidłowy, ponieważ obliczenia prowadzą do innego wyniku.\n* **D. 11:** Wynik jest nieprawidłowy, ponieważ obliczenia prowadzą do innego wyniku.\n\nW obu sposobach, poprawna odpowiedź to 20. W pierwszym sposobie, z powodu błędnego obliczenia proporcji, wynik jest inny. W drugim sposobie, z powodu błędnego obliczenia proporcji, wynik jest inny. Jednakże, zastosowanie twierdzenia o trzech prostych i proporcjonalności prowadzi do poprawnego wyniku.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nObwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy\nA.\n3\n3\n2\na\n\n\n\n\n\n\n\n\nB.\n2\n2\n2\na\n\n\n\n\n\n\n\n\nC. (\n)\n3\n3 a\nD. (\n)\n2\n2 a\nB\nA\nC\nD\nE\n10\n24\n2\nA\nC\nB\n30°\n\na\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nObwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy A. (3+√3/2)a, B. (2+√2/2)a, C. (3+√3)a, D. (2+√2)a.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności\nfunkcji trygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych, w tym ze\nwzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych\ndwóch bokach i kącie między nimi (7.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\((3 + \\sqrt{3})a\\)\n\n## Sposób 1 - trygonometria w trójkącie prostokątnym\n\n**Dane z zadania:**\n- Kąt przy \\(B\\) jest prostym, więc \\(\\angle B = 90°\\)\n- Kąt przy \\(A\\) wynosi \\(30°\\)\n- Bok \\(BC = a\\) (przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(A\\))\n\nSkoro suma kątów trójkąta wynosi \\(180°\\), kąt przy \\(C\\):\n\\[\\angle C = 180° - 90° - 30° = 60°\\]\n\n**Szukamy boku \\(AB\\) (drugiej przyprostokątnej):**\n\nZ definicji tangensa kąta \\(A\\):\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{BC}{AB} = \\frac{a}{AB}\\]\n\n\\[AB = \\frac{a}{\\operatorname{tg} 30°} = \\frac{a}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\frac{3a}{\\sqrt{3}} = \\frac{3a \\cdot \\sqrt{3}}{3} = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Szukamy przeciwprostokątnej \\(AC\\):**\n\nZ definicji sinusa kąta \\(A\\):\n\\[\\sin 30° = \\frac{BC}{AC} = \\frac{a}{AC}\\]\n\n\\[AC = \\frac{a}{\\sin 30°} = \\frac{a}{\\frac{1}{2}} = 2a\\]\n\n**Obliczamy obwód:**\n\\[L = BC + AB + AC = a + a\\sqrt{3} + 2a = (3 + \\sqrt{3})\\,a\\]\n\n**Odpowiedź: \\((3 + \\sqrt{3})\\,a\\)**\n\n## Sposób 2 - przez twierdzenie Pitagorasa (weryfikacja)\n\nMamy \\(AB = a\\sqrt{3}\\) i \\(BC = a\\). Sprawdzamy, czy \\(AC = 2a\\) zgadza się z twierdzeniem Pitagorasa:\n\n\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = (a\\sqrt{3})^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2\\]\n\n\\[AC = \\sqrt{4a^2} = 2a \\checkmark\\]\n\nZgadza się - zatem obwód:\n\\[L = a\\sqrt{3} + a + 2a = (3 + \\sqrt{3})\\,a \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta \\(30°\\):\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia długości \\(AB\\) i \\(AC\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do weryfikacji wyznaczonej przeciwprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Użycie \\(\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) - pomylenie wartości tg z sin lub błąd przy upraszczaniu ułamka |\n| B | Mylenie kąta \\(30°\\) z \\(45°\\) - użycie \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) i \\(\\operatorname{tg} 45° = 1\\), co daje trójkąt prostokątny równoramienny |\n| D | Tak samo jak B - praca z kątem \\(45°\\) zamiast \\(30°\\), ale z uproszczonym wynikiem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \\(\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\), NIE \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) to wartość \\(\\cos 30°\\) - bardzo częsta pomyłka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczając \\(\\frac{a}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}}\\) pamiętaj, że dzielenie przez ułamek = mnożenie przez odwrotność: \\(\\frac{a}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = a \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\frac{3a}{\\sqrt{3}} = a\\sqrt{3}\\). Racjonalizacja mianownika jest tu kluczowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, KTÓRY kąt jest przy KTÓRYM wierzchołku. Tu \\(BC = a\\) to bok **naprzeciwko** kąta \\(A = 30°\\), co wyznacza, który bok jest w liczniku tangensa.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt 30-60-90\nW trójkącie prostokątnym z kątami \\(30^\\circ, 60^\\circ, 90^\\circ\\): przyprostokątne są w stosunku \\(1 : \\sqrt{3}\\), a przeciwprostokątna to \\(2\\) razy krótsza przyprostokątna.\n\nBok \\(BC = a\\) jest naprzeciw kąta \\(30^\\circ\\) (przy \\(A\\)) → to **krótsza** przyprostokątna.\n\n**Dłuższa przyprostokątna \\(|AB|\\)** (naprzeciw \\(60^\\circ\\)): \\(|AB| = a\\sqrt{3}\\).\n**Przeciwprostokątna \\(|AC|\\)** (naprzeciw \\(90^\\circ\\)): \\(|AC| = 2a\\).\n\n**Obwód:** \\(a + a\\sqrt{3} + 2a = (3 + \\sqrt{3})a\\).\n\n### Sposób 2 - Trygonometria\n\\(\\tan 30^\\circ = \\dfrac{|BC|}{|AB|} \\Rightarrow \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{a}{|AB|} \\Rightarrow |AB| = a\\sqrt{3}\\).\n\\(\\sin 30^\\circ = \\dfrac{|BC|}{|AC|} \\Rightarrow \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{a}{|AC|} \\Rightarrow |AC| = 2a\\).\n\nObwód: \\(a + a\\sqrt{3} + 2a = (3+\\sqrt{3})a\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((3+\\tfrac{\\sqrt{3}}{2})a\\)** - błędny \\(|AB|\\), użyto \\(\\cos 30^\\circ\\) na złym boku.\n- **B, D** (z \\(\\sqrt{2}\\)) - dotyczyłoby trójkąta 45-45-90, nie 30-60-90.\n\n**Trik:** zawsze identyfikuj który bok jest naprzeciw którego kąta w trójkątach specjalnych.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie funkcji trygonometrycznej sinusa i trójkąta prostokątnego\nW trójkącie ABC, gdzie kąt przy wierzchołku C wynosi 30 stopni, a BC = a, AC = a, to trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym przy wierzchołku C. Kąt przy wierzchołku A wynosi 90 stopni. Zatem, kąt przy wierzchołku B wynosi 60 stopni. W trójkącie prostokątnym, sinus kąta ostrości jest równy stosunkowi przeciwległej strony do przeciwprostycznej. W tym przypadku, sin(30°) = BC/AB, czyli sin(30°) = a/AB. Wiadomo, że sin(30°) = 1/2. Zatem:\n1/2 = a/AB\nAB = 2a\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\nAC² + BC² = AB²\na² + a² = (2a)²\n2a² = 4a²\n4a² - 2a² = 0\n2a² = 0\na = 0 (To jest błąd, ponieważ a musi być różną od zera)\n\nZatem, musimy obliczyć obwód trójkąta. Obwód = a + a + 2a = 4a. Zatem, obwód trójkąta ABC wynosi \\(3+√3\\)a.\n\n📖 Karta wzorów: Pole trójkąta: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) strona 15\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych\nPonieważ mamy trójkąt prostokątny, możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa:\nAC² + BC² = AB²\na² + a² = AB²\n2a² = AB²\nAB = √(2a²) = a√2\n\nTeraz, możemy użyć funkcji trygonometrycznej sinusa dla kąta 30 stopni:\nsin(30°) = BC / AB\n(1/2) = a / (a√2)\n1/2 = 1/√2\n√2 = 2\nTo jest sprzeczność, więc musimy ponownie przeanalizować podejście.\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\nAC² + BC² = AB²\na² + a² = AB²\n2a² = AB²\nAB = a√2\n\nObwód trójkąta ABC = a + a + a√2 = (2 + √2)a.\nW tym przypadku, to nie jest poprawna odpowiedź.\n\nZ twierdzenia cosinusów:\nc² = a² + b² - 2ab cos γ\nc² = a² + a² - 2a*a cos 30°\nc² = 2a² - 2a² * √3/2\nc² = 2a² - a²√3\nc² = a²(2 - √3)\nc = a√(2 - √3)\n\nObwód = a + a + a√(2 - √3) = a(2 + √(2 - √3))\n\nTo również nie jest poprawna odpowiedź.\n\nWracając do trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć długość AB, używając funkcji trygonometrycznej cosinus.\ncos(30°) = BC/AB\ncos(30°) = a/AB\nAB = a/cos(30°) = a/(√3/2) = 2a/√3\n\nObwód trójkąta ABC = a + a + 2a/√3 = a(2 + 2/√3) = a(2 + 2√3/3) = a(2 + 2√3/3) = a(2 + 2√3/3)\nTo również nie jest poprawna odpowiedź.\n\nWracając do podstawowych definicji:\nsin(30°) = 1/2\ncos(30°) = √3/2\na/AB = 1/2 => AB = 2a\na/AB = √3/2 => AB = 2a/√3\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\na² + a² = (2a/√3)²\n2a² = 4a²/3\n6a² = 4a²\n2a² = 0\na = 0 (To jest błąd, ponieważ a musi być różną od zera)\n\nZatem, prawidłowa odpowiedź to C.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. (3 + √3)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.\nB. (2 + √2)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.\nD. (2 + √2)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.\n\nWszystkie odpowiedzi są błędne, ponieważ nie uwzględniają trójkąta prostokątnego i kąta 30 stopni. Prawidłowa odpowiedź C wynika z zastosowania twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych w kontekście trójkąta prostokątnego.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nNa rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt\n(\n)\n2, 3\nA =\ni przez\npoczątek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prostej do osi Ox.\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n0\nα\nk\nA\nZatem\nA.\n2\ntg\n3\nα = -\nB.\n3\ntg\n2\nα = -\nC.\n2\ntg\n3\nα =\nD.\n3\ntg\n2\nα =\nNa rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt A = (2,-3) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prostej do osi Ox. A. tgα = -2/3; B. tgα = -3/2, C. tgα = 2/3; tgα = 3/2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający wykorzystuje\ndefinicje i wyznacza wartości funkcji sinus,\ncosinus i tangens kątów o miarach od 0° do\n180° (6.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = -\\frac{3}{2}\\]\n\n## Sposób 1 - Ze współczynnika kierunkowego prostej\n\nProsta przechodzi przez punkt \\(A = (2, -3)\\) i przez początek układu \\(O = (0, 0)\\).\n\nWzór na współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty:\n\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]\n\nPodstawiamy \\(O = (0, 0)\\) i \\(A = (2, -3)\\):\n\\[a = \\frac{-3 - 0}{2 - 0} = \\frac{-3}{2} = -\\frac{3}{2}\\]\n\nKluczowa zależność: **współczynnik kierunkowy prostej \\(a = \\operatorname{tg}\\alpha\\)**, gdzie \\(\\alpha\\) to kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\).\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = a = -\\frac{3}{2}\\]\n\n**Odpowiedź: B**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z definicji tangensa kąta\n\nZ rysunku odczytujemy, że kąt \\(\\alpha\\) jest kątem zawartym między prostą \\(k\\) a dodatnim kierunkiem osi \\(Ox\\).\n\nProsta opada (idzie z lewego górnego do prawego dolnego), więc \\(\\alpha\\) jest kątem **rozwartym** - tangensa jest **ujemna**. Eliminujemy od razu odpowiedzi C i D.\n\nMożemy myśleć o tym graficznie: przemieszczając się wzdłuż prostej o \\(\\Delta x = 2\\) w prawo, \"opadamy\" o \\(\\Delta y = 3\\) w dół.\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{zmiana } y}{\\text{zmiana } x} = \\frac{-3}{2} = -\\frac{3}{2}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej i współczynnik kierunkowy:\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nUżyliśmy tej zależności: współczynnik \\(a\\) obliczony ze wzoru na iloraz przyrostów jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \\(Ox\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Odwrócony ułamek: obliczono \\(\\frac{2}{3}\\) zamiast \\(\\frac{3}{2}\\), i wzięto minus - błąd w obliczeniu \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) (zamiana licznika z mianownikiem) |\n| C | Wzięto \\(\\frac{2}{3}\\) bez uwzględnienia znaku minusowego - zapomniano, że prosta opada |\n| D | Obliczono \\(\\frac{\\Delta x}{\\Delta y} = \\frac{2}{-3}\\) i wzięto wartość bezwzględną - podwójny błąd: odwrócony ułamek i zgubiony znak |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), **nie** \\(\\frac{\\Delta x}{\\Delta y}\\). Licznik to zmiana \\(y\\), mianownik to zmiana \\(x\\) - tak jak w równaniu prostej \\(y = ax + b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak tangensa zależy od kierunku prostej. Prosta **opadająca** (z lewej do prawej idzie w dół) ma **ujemny** współczynnik kierunkowy, więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha < 0\\). Jeśli prosta rośnie - \\(\\operatorname{tg}\\alpha > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) jest zawsze mierzony od **dodatniego** kierunku osi \\(Ox\\) do prostej, **przeciwnie do ruchu wskazówek zegara**. Dla prostej opadającej \\(\\alpha \\in (90°, 180°)\\), gdzie tangensa jest ujemna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy prostej przez \\((0,0)\\) i punkt\nProsta przez \\((0, 0)\\) i \\(A = (2, -3)\\) ma współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\dfrac{-3 - 0}{2 - 0} = -\\dfrac{3}{2}.\\]\nTangens kąta nachylenia do osi \\(Ox\\) to właśnie \\(a\\):\n\\[\\tan\\alpha = -\\dfrac{3}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Definicja przez współrzędne punktu\nDla prostej przechodzącej przez początek i punkt \\(A = (x, y)\\):\n\\[\\tan\\alpha = \\dfrac{y}{x} = \\dfrac{-3}{2} = -\\dfrac{3}{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{2}{3}\\)** - zamieniono miejsca \\(x\\) i \\(y\\) w stosunku.\n- **C. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - zły znak + zamiana.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - zły znak (powinien być minus).\n\n**Zapamiętaj:** \\(\\tan\\alpha\\) = stosunek \\(\\tfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\); znak decyduje czy prosta maleje (ujemny) czy rośnie (dodatni).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie tangensa nachylenia prostej\n1. **Znajdź współrzędne punktu podcięciowego:** Punkt podcięciowy to punkt przecięcia prostej z osią x. Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych i punkt A=(2, -3), to prosta jest po prostu linia prosta przechodząca przez te punkty.\n2. **Oblicz tangens nachylenia:** Tangens nachylenia prostej przechodzącej przez dwa punkty (x₁, y₁) i (x₂, y₂) jest równy:\n\\[tg\\alpha = \\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}\\]\nW naszym przypadku: (x₁, y₁) = (2, -3) oraz (x₂, y₂) = (0, 0) (punkt podcięciowy osi x). Zatem:\n\\[tg\\alpha = \\frac{0 - (-3)}{0 - 2} = \\frac{3}{-2} = -\\frac{3}{2}\\]\n\n📖 Karta wzorów: **s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, sin30°=1/2, cos60°=1/2, sin45°=√2/2** (Strona 11)\n\n### Sposób 2: Obliczenie tangensa nachylenia z punktu A\n1. **Zdefiniuj współrzędne:** Punkt A ma współrzędne (2, -3).\n2. **Oblicz tangens nachylenia:** Tangens nachylenia prostej przechodzącej przez punkt (x₁, y₁) i oś x (czyli punkt, w którym prosta przecina oś x) jest równy:\n\\[tg\\alpha = \\frac{y₁}{x₁} = \\frac{-3}{2}\\]\n\n📖 Karta wzorów: **s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, sin30°=1/2, cos60°=1/2, sin45°=√2/2** (Strona 11)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(tg\\alpha = -\\)**: To jest nieprecyzyjne. Musimy podać konkretną wartość tangensa.\n* **C. \\(tg\\alpha =\\)**: Podobnie jak w A, to nie jest pełna odpowiedź.\n* **D. \\(tg\\alpha =\\)**: Podobnie jak w A i C, to nie jest pełna odpowiedź.\n\nW obu sposobach obliczyliśmy tangens nachylenia prostej do osi x, przechodzącej przez punkt A=(2, -3) i początek układu współrzędnych. Dlatego odpowiedź B jest prawidłowa.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nNa płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym\nw punkcie\n(\n)\n2,4\nA = -\n. Prosta k jest określona równaniem\n1\n7\n4\n2\ny\nx\n. Zatem prostą l\nopisuje równanie\nA.\n1\n7\n4\n2\ny\nx\nB.\n1\n7\n4\n2\ny\nx\nC.\n4\n12\ny\nx\nD.\n4\n12\ny\nx\nNa płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym w punkcie A = (-2,4). Prosta k jest określona równaniem y = -1/4x + 7/2. Zatem prostą l opisuje równanie A. y = 1/4x + 7/2; B. y = -1/4x-7/2; C. y = 4x-12; D. y = 4x+12.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(y = 4x + 12\\)\n\n## Sposób 1 - warunek prostopadłości prostych\n\n**Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy prostej \\(k\\).**\n\nProsta \\(k\\): \\(y = -\\dfrac{1}{4}x + \\dfrac{7}{2}\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:\n\\[a_k = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\).**\n\nDwie proste są prostopadłe, gdy:\n\\[a_k \\cdot a_l = -1\\]\n\nZatem:\n\\[-\\frac{1}{4} \\cdot a_l = -1\\]\n\\[a_l = -1 \\cdot \\left(-4\\right) = 4\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz wyraz wolny prostej \\(l\\).**\n\nProsta \\(l\\) przechodzi przez punkt \\(A = (-2, 4)\\) i ma współczynnik \\(a_l = 4\\):\n\\[y = 4x + b\\]\n\nPodstawiamy \\(x = -2\\), \\(y = 4\\):\n\\[4 = 4 \\cdot (-2) + b\\]\n\\[4 = -8 + b\\]\n\\[b = 12\\]\n\n**Wynik:** \\[\\boxed{y = 4x + 12}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie punktu i prostopadłości\n\nSprawdzamy odpowiedź D: \\(y = 4x + 12\\).\n\n**Czy prosta \\(l\\) przechodzi przez \\(A = (-2, 4)\\)?**\n\\[4 \\cdot (-2) + 12 = -8 + 12 = 4 \\checkmark\\]\n\n**Czy proste są prostopadłe?**\n\\[a_k \\cdot a_l = \\left(-\\frac{1}{4}\\right) \\cdot 4 = -1 \\checkmark\\]\n\nOba warunki spełnione - odpowiedź D jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej \\(l\\).\n\nOraz równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy - użyliśmy go do zapisania równania prostej \\(l\\) i wyznaczenia wyrazu wolnego \\(b\\) z warunku przechodzenia przez punkt \\(A\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Zmieniono znak współczynnika kierunkowego na \\(+\\frac{1}{4}\\) zamiast wziąć odwrotność i zmienić znak - prosta \\(l\\) miałaby \\(a_l = \\frac{1}{4}\\), a wtedy \\(\\frac{1}{4} \\cdot (-\\frac{1}{4}) = -\\frac{1}{16} \\neq -1\\), więc proste nie byłyby prostopadłe |\n| B | Zostawiono ten sam współczynnik kierunkowy co \\(k\\) (\\(-\\frac{1}{4}\\)) - proste byłyby równoległe, nie prostopadłe; do tego zmieniono znak wyrazu wolnego |\n| C | Poprawnie wyznaczono \\(a_l = 4\\), ale błędnie policzono wyraz wolny - prawdopodobnie podstawiono \\(x = 4\\) zamiast \\(y = 4\\), albo pomylono współrzędne punktu \\(A\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), NIE \\(a_2 = -a_1\\). Prosta prostopadła do \\(y = -\\frac{1}{4}x + \\ldots\\) ma współczynnik \\(4\\), a nie \\(\\frac{1}{4}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(A = (-2, 4)\\) - łatwo pomylić kolejność: \\(x = -2\\), \\(y = 4\\). Przy podstawianiu do \\(y = 4x + b\\) wstawiamy \\(x = -2\\) i \\(y = 4\\), nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a_l\\) zawsze sprawdź, czy punkt \\(A\\) leży na prostej \\(l\\) - to 10-sekundowa weryfikacja, która uchroni przed głupim błędem rachunkowym.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości + punkt\nWspółczynnik kierunkowy \\(k\\): \\(a_k = -\\tfrac{1}{4}\\).\nWspółczynnik prostopadłej: \\(a_l = -\\dfrac{1}{a_k} = -\\dfrac{1}{-1/4} = 4\\).\n\nProsta \\(l\\) przechodzi przez \\(A = (-2, 4)\\):\n\\[y - 4 = 4(x - (-2))\\]\n\\[y = 4x + 8 + 4 = 4x + 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi\nKażda opcja ma współczynnik kierunkowy:\n- A: \\(\\tfrac{1}{4}\\) - \\(a_k\\cdot a_l = -\\tfrac{1}{16}\\) ≠ -1 → nie prostopadłe\n- B: \\(-\\tfrac{1}{4}\\) - ta sama co k, więc równoległe (lub identyczne)\n- C: \\(4\\) - \\(a_k\\cdot a_l = -1\\) ✓ prostopadłe; sprawdzamy punkt \\(A = (-2, 4)\\): \\(4\\cdot(-2) - 12 = -20\\ne 4\\) ✗\n- D: \\(4\\) - prostopadłe; sprawdzamy: \\(4\\cdot(-2) + 12 = 4\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Nie prostopadłe.\n- **B.** Równoległe (ta sama skala).\n- **C.** Prostopadłe, ale nie przechodzi przez \\(A\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na kierunek i odległość między prostymi\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy dwie proste, k i l, które przecinają się w punkcie A. Prosta k jest dana równaniem y = -x + i musimy znaleźć równanie prostej l. Wiadomo, że proste przecinają się pod kątem prostym.\n\n2. **Współczynniki kierunkowe:** Prosta k ma równanie y = -x + , więc jej współczynnik kierunkowy to m₁ = -1. Ponieważ proste przecinają się pod kątem prostym, współczynnik kierunkowy prostej l (m₂) jest odwrotnością m₁: m₂ = -1/m₁ = -1/(-1) = 1.\n\n3. **Współrzędna punktu przecięcia:** Punkt przecięcia prostych to A = (-2, 4).\n\n4. **Równanie prostej l:** Prosta l ma współczynnik kierunkowy m₂ = 1 i przechodzi przez punkt A = (-2, 4). Używamy wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: y - y₁ = m₂(x - x₁), gdzie (x₁, y₁) = (-2, 4) i m₂ = 1.\nZatem: y - 4 = 1(x - (-2))\ny - 4 = x + 2\ny = x + 6\n\n5. **Porównanie z odpowiedziami:** Zauważamy, że równanie z kroku 4 (y = x + 6) jest identyczne z odpowiedzją B. W zadaniu pytano o równanie prostej l, a otrzymaliśmy równanie prostej l.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na odległość między punktem a prostą i wzoru na kierunek prostej\n\n1. **Wzór na odległość punktu od prostej:** Odległość (d) punktu A(-2, 4) od prostej k (y = -x + ) jest równa zeru, ponieważ proste przecinają się w punkcie A. Wzór na odległość punktu od prostej:\nd = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)\ngdzie prosta k ma równanie Ax + By + C = 0. Przekształcamy równanie prostej k: x + y - 4 = 0. Zatem A = 1, B = 1, C = -4, x₀ = -2, y₀ = 4.\nd = |1*(-2) + 1*(4) - 4| / √(1² + 1²) = | -2 + 4 - 4 | / √2 = |-2| / √2 = 2/√2 = √2\n\n2. **Wzór na kierunek prostej przecinającej punkt pod kątem prostym:** Prosta l przecina prostą k pod kątem prostym w punkcie A. Współczynnik kierunkowy prostej l (m₂) jest równy -1/m₁, gdzie m₁ to współczynnik kierunkowy prostej k. W naszym przypadku m₁ = -1, więc m₂ = 1.\n\n3. **Równanie prostej l:** Prosta l ma współczynnik kierunkowy m₂ = 1 i przechodzi przez punkt A = (-2, 4). Używamy wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: y - y₁ = m₂(x - x₁), gdzie (x₁, y₁) = (-2, 4) i m₂ = 1.\nZatem: y - 4 = 1(x - (-2))\ny - 4 = x + 2\ny = x + 6\n\n4. **Porównanie z odpowiedziami:** Zauważamy, że równanie z kroku 4 (y = x + 6) jest identyczne z odpowiedzją B.\n\n📖 Karta wzorów: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. y = -x + :** To jest równanie prostej k, a nie prostej l.\n* **C. y = 4x - 12:** To równanie prostej nie ma nic wspólnego z danymi w zadaniu.\n* **B. y = -x + 6:** To jest prawidłowe równanie prostej l.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają warunków zadania (przecinają się pod kątem prostym w punkcie A i mają podane równania).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDany jest okrąg o środku\n(\n)\n2,3\nS =\ni promieniu\n5\nr =\n. Który z podanych punktów leży na\ntym okręgu?\nA.\n(\n)\n1,7\nA = -\nB.\n(\n)\n2, 3\nB =\nC.\n(\n)\n3,2\nC =\nD.\n(\n)\n5,3\nD =\nDany jest okrąg o środku S=(2,3) i promieniu r=5. Który z podanych punktów leży na tym okręgu? A. A=(-1,7; B. B=(2,-3); C. C=(3,2); D. D=(5,3).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległość dwóch punktów\n(8.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - punkt \\(A = (-1, 7)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprawdzenie odległości od środka\n\nPunkt leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jego **odległość od środka okręgu równa się promieniowi**.\n\nSprawdzamy każdy punkt. Używamy wzoru na odległość między dwoma punktami:\n\\[d = \\sqrt{(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2}\\]\n\nŚrodek to \\(S = (2, 3)\\), promień \\(r = 5\\).\n\n**Punkt A = (-1, 7):**\n\\[d = \\sqrt{(-1-2)^2 + (7-3)^2} = \\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\n\\(d = 5 = r\\) ✓ - **punkt A leży na okręgu!**\n\nDla porządku sprawdzamy pozostałe:\n\n**Punkt B = (2, -3):**\n\\[d = \\sqrt{(2-2)^2 + (-3-3)^2} = \\sqrt{0 + 36} = 6 \\neq 5\\]\n\n**Punkt C = (3, 2):**\n\\[d = \\sqrt{(3-2)^2 + (2-3)^2} = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2} \\neq 5\\]\n\n**Punkt D = (5, 3):**\n\\[d = \\sqrt{(5-2)^2 + (3-3)^2} = \\sqrt{9 + 0} = 3 \\neq 5\\]\n\n**Odpowiedź: A**\n\n## Sposób 2 - Podstawienie do równania okręgu\n\nRównanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nDla naszego okręgu:\n\\[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\\]\n\nPunkt leży **na okręgu**, jeśli po podstawieniu jego współrzędnych dostaniemy równanie **prawdziwe** (lewa strona = 25).\n\n| Punkt | Podstawienie | Wynik |\n| \\(A(-1,7)\\) | \\((-1-2)^2 + (7-3)^2 = 9 + 16\\) | \\(= 25\\) ✓ |\n| \\(B(2,-3)\\) | \\((2-2)^2 + (-3-3)^2 = 0 + 36\\) | \\(= 36 \\neq 25\\) |\n| \\(C(3,2)\\) | \\((3-2)^2 + (2-3)^2 = 1 + 1\\) | \\(= 2 \\neq 25\\) |\n| \\(D(5,3)\\) | \\((5-2)^2 + (3-3)^2 = 9 + 0\\) | \\(= 9 \\neq 25\\) |\n\nTylko punkt \\(A\\) spełnia równanie okręgu. **Odpowiedź: A**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\nRównanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\) (postać kanoniczna):\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 2 - podstawiając współrzędne punktów i sprawdzając, czy lewa strona daje \\(r^2 = 25\\).\n\nWzór na długość odcinka (odległość między punktami):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 1 - licząc odległość każdego punktu od środka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd | Obliczenie prowadzące do błędu |\n| B | Mylenie znaku - punkt \\((2, -3)\\) wygląda \"symetrycznie\" do środka \\((2, 3)\\), ale leży **wewnątrz** okręgu dopiero po sprawdzeniu: \\(d = 6 \\neq 5\\) | \\(\\sqrt{0 + 36} = 6\\) |\n| C | Zamiana kolejności współrzędnych - punkt \\((3, 2)\\) to \"odwrócony\" środek \\((2, 3)\\); \\(d = \\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\), leży **blisko środka** | \\(\\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\\) |\n| D | Mylenie odcięcia punktu z promieniem - \\(D = (5, 3)\\) ma \\(x = 5\\), co kojarzy się z \\(r = 5\\), ale odległość od środka to tylko \\(3\\) | \\(\\sqrt{9 + 0} = 3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy, żeby jedna współrzędna punktu różniła się od środka o \\(r\\). Np. punkt \\(D = (5, 3)\\) jest oddalony od \\(S\\) tylko o \\(3\\) w poziomie - a obie współrzędne muszą \"składać się\" na odległość \\(5\\) (twierdzenie Pitagorasa!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kwadracie promienia - porównujesz \\((x-a)^2 + (y-b)^2\\) z \\(r^2 = 25\\), nie z \\(r = 5\\). Wielu uczniów porównuje z \\(5\\) zamiast \\(25\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt leżący **wewnątrz** okręgu daje \\((x-a)^2 + (y-b)^2 < r^2\\), a **na zewnątrz** - \\(> r^2\\). To przydaje się w zadaniach o położeniu punktu względem okręgu.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Sprawdzenie odległości od \\(S\\)\nPunkt leży na okręgu \\(\\iff\\) jego odległość od środka = promień.\n\n- \\(A = (-1, 7)\\): \\(d_A = \\sqrt{(-1-2)^2 + (7-3)^2} = \\sqrt{9+16} = \\sqrt{25} = 5\\) ✓\n- \\(B = (2, -3)\\): \\(d_B = \\sqrt{0 + 36} = 6\\) ✗\n- \\(C = (3, 2)\\): \\(d_C = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\\) ✗\n- \\(D = (5, 3)\\): \\(d_D = \\sqrt{9 + 0} = 3\\) ✗\n\nTylko **A** ma odległość równą \\(5 = r\\).\n\n### Sposób 2 - Równanie okręgu\n\\((x-2)^2 + (y-3)^2 = 25\\).\n- \\(A\\): \\((-3)^2 + 4^2 = 9+16 = 25\\) ✓\n- \\(B\\): \\(0 + 36 = 36 \\ne 25\\) ✗\n- \\(C\\): \\(1 + 1 = 2 \\ne 25\\) ✗\n- \\(D\\): \\(9 + 0 = 9 \\ne 25\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nPozostałe punkty nie spełniają równania okręgu - są albo **w** nim (odległość mniejsza od r), albo **poza** nim.\n\n**Standardowy trik (3-4-5):** \\(\\sqrt{3^2+4^2} = 5\\) - typowy trójkąt pitagorejski.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie odległości punktu od środka okręgu\nAby sprawdzić, czy punkt leży na okręgu, musimy obliczyć odległość między tym punktem a środkiem okręgu i porównać ją z promieniem okręgu.\n\n1. **Zidentyfikuj współrzędne:** Punkt A ma współrzędne (-1, 7), a środek okręgu S ma współrzędne (2, 3).\n2. **Użyj wzoru na odległość:** Odległość między dwoma punktami (x₁, y₁) i (x₂, y₂) w układzie współrzędnych kartezjańskim jest obliczana za pomocą wzoru:\n\\[d = \\sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}\\]\n3. **Oblicz odległość AS:**\n\\[AS = \\sqrt{(2 - (-1))² + (3 - 7)²} = \\sqrt{(2 + 1)² + (3 - 7)²} = \\sqrt{3² + (-4)²} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n4. **Porównaj z promieniem:** Promień okręgu r = 5. Ponieważ AS = 5, punkt A leży na okręgu.\n\n📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona s.22\n\n### Sposób 2: Użycie równania okręgu\nOkrąg o środku S(2,3) i promieniu r=5 ma równanie:\n\\[(x-2)² + (y-3)² = 5² = 25\\]\nPodstawiamy współrzędne punktu A(-1, 7) do równania okręgu:\n\\[(-1 - 2)² + (7 - 3)² = (-3)² + (4)² = 9 + 16 = 25\\]\nPonieważ równanie jest spełnione, punkt A leży na okręgu.\n\n📖 Karta wzorów: s.18, Wycinek: P=πr², strona s.18\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. (2, -3):** Obliczając odległość punktu (2, -3) od środka (2, 3), otrzymujemy: \\[\\sqrt{(2-2)² + (-3-3)²} = \\sqrt{0 + (-6)²} = \\sqrt{36} = 6\\] Co jest różne od promienia 5, więc punkt B nie leży na okręgu.\n* **C. (3, 2):** Obliczając odległość punktu (3, 2) od środka (2, 3), otrzymujemy: \\[\\sqrt{(3-2)² + (2-3)²} = \\sqrt{1² + (-1)²} = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\\] Co jest różne od promienia 5, więc punkt C nie leży na okręgu.\n* **D. (7, 3):** Obliczając odległość punktu (7, 3) od środka (2, 3), otrzymujemy: \\[\\sqrt{(7-2)² + (3-3)²} = \\sqrt{5² + 0} = \\sqrt{25} = 5\\] Co jest równe promieniowi 5, więc punkt D *może* leżeć na okręgu, ale w tym przypadku, jak pokazano w sposobie 1, punkt A jest prawidłową odpowiedzią.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym\nwysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź\npodstawy tego graniastosłupa jest równa\nA.\n10\nB. 3 10\nC.\n42\nD. 3 42\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nPole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa A. √10; B. 3√10; C. √42; D. 3√42.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni\ni objętość graniastosłupa prostego (G11.2).\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania kwadratowe z jedną\nniewiadomą (3.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie i równanie algebraiczne\n\n**Oznaczamy:** krawędź podstawy = \\(a\\), wysokość = \\(h\\).\n\nZ treści zadania: \\(h = 3a\\).\n\nGraniastosłup prawidłowy czworokątny = graniastosłup o podstawie **kwadratu** o boku \\(a\\).\n\nPole powierzchni całkowitej:\n\\[P_c = 2 \\cdot P_\\text{podstawy} + P_\\text{boczna}\\]\n\n- Pole jednej podstawy (kwadrat): \\(P_p = a^2\\)\n- Obwód podstawy: \\(4a\\)\n- Pole powierzchni bocznej: \\(P_b = \\text{obwód} \\cdot h = 4a \\cdot 3a = 12a^2\\)\n\nZatem:\n\\[P_c = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\]\n\nPrzyrównujemy do \\(140\\):\n\\[14a^2 = 140\\]\n\\[a^2 = 10\\]\n\\[\\boxed{a = \\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(a = \\sqrt{10}\\) i \\(h = 3\\sqrt{10}\\) dają \\(P_c = 140\\):\n\n- Pole jednej podstawy: \\((\\sqrt{10})^2 = 10\\)\n- Dwie podstawy: \\(2 \\cdot 10 = 20\\)\n- Pole boczne: \\(4 \\cdot \\sqrt{10} \\cdot 3\\sqrt{10} = 12 \\cdot 10 = 120\\)\n- Suma: \\(20 + 120 = 140\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:\n\\[P_c = P_b + 2P_p, \\quad P_b = O_b \\cdot h\\]\ngdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy, \\(h\\) to wysokość graniastosłupa. Użyliśmy tego bezpośrednio do zbudowania równania na \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\(3\\sqrt{10}\\) | Poprawnie wyznaczono \\(a = \\sqrt{10}\\), ale podano **wysokość** \\(h = 3a = 3\\sqrt{10}\\) zamiast krawędzi podstawy |\n| **C** \\(\\sqrt{42}\\) | Odwrócono zależność: przyjęto \\(a = 3h\\) (krawędź 3 razy dłuższa od wysokości) zamiast \\(h = 3a\\) - wtedy \\(P_c = 2a^2 + 4a \\cdot \\frac{a}{3} = \\frac{10a^2}{3} = 140\\), skąd \\(a^2 = 42\\) |\n| **D** \\(3\\sqrt{42}\\) | Ten sam błąd co w C (odwrócona zależność), ale dodatkowo podano **wysokość** \\(h = 3 \\cdot \\sqrt{42}\\) zamiast krawędzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wysokość 3 razy dłuższa od krawędzi\" oznacza \\(h = 3a\\), **nie** \\(a = 3h\\)! To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni bocznej graniastosłupa to \\(O_b \\cdot h\\), gdzie \\(O_b = 4a\\) (obwód kwadratu). Łatwo zapomnieć o czynniku \\(4\\) i użyć samego \\(a\\) zamiast \\(4a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a^2 = 10\\) upewnij się, że podajesz **krawędź podstawy** \\(a = \\sqrt{10}\\), a nie wysokość \\(h = 3\\sqrt{10}\\) - zadanie pyta o krawędź, nie o wysokość!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole powierzchni\nOznaczmy krawędź podstawy (kwadrat) \\(a\\) i wysokość \\(h = 3a\\).\n\nPole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:\n\\[P_c = 2a^2 + 4ah = 2a^2 + 4a\\cdot 3a = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2.\\]\n\nZ warunku \\(P_c = 140\\):\n\\[14a^2 = 140 \\Rightarrow a^2 = 10 \\Rightarrow a = \\sqrt{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nPodstawiamy do wzoru \\(P_c = 14a^2\\):\n- A: \\(a = \\sqrt{10}\\), \\(P_c = 14\\cdot 10 = 140\\) ✓\n- B: \\(a = 3\\sqrt{10}\\), \\(P_c = 14\\cdot 90 = 1260\\) ✗\n- C: \\(a = \\sqrt{42}\\), \\(P_c = 14\\cdot 42 = 588\\) ✗\n- D: \\(a = 3\\sqrt{42}\\), \\(P_c = 14\\cdot 9\\cdot 42 = 5292\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, D** - zbyt duża wartość \\(a\\).\n- **C** - inne złe założenie.\n\n**Kluczowe:** pole powierzchni całkowitej = 2 podstawy + 4 ściany boczne (dla prawidłowego czworokątnego).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni graniastosłupa i rozwiązanie równania\n1. **Obliczenie pola powierzchni podstawy:** Graniastosłup jest czworokątny, więc jego podstawy to kwadraty. Krawędź podstawy, oznaczmy ją przez *a*, ma długość 140. Pole podstawy to \\(a^2 = 140^2 = 19600\\).\n2. **Obliczenie pola powierzchni bocznej:** Wysokość graniastosłupa to 3 razy krawędź podstawy, czyli \\(h = 3 \\cdot 140 = 420\\). Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to \\(P_b = P_{podst} \\cdot 4 = 19600 \\cdot 4 = 78400\\).\n3. **Obliczenie całkowitej powierzchni:** Całkowita powierzchnia graniastosłupa to suma pola powierzchni podstaw i pola powierzchni bocznej: \\(P_{całkowita} = P_{podst} + P_b = 19600 + 78400 = 98000\\).\n4. **Rozwiązanie równania:** Pole powierzchni całkowitej jest dane wzorem \\(P_{całkowita} = 2a^2 + 4ah\\), gdzie *a* to krawędź podstawy, a *h* to wysokość. Zatem \\(98000 = 2a^2 + 4ah\\). Podstawiamy \\(h = 3a\\): \\(98000 = 2a^2 + 4a(3a) = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\). Dzielimy przez 14: \\(a^2 = \\frac{98000}{14} = 7000\\). Zatem \\(a = \\sqrt{7000} = \\sqrt{100 \\cdot 70} = 10\\sqrt{70}\\). To jest błędne. Powinno być a=√7000.\n\nW tym przypadku, podano, że pole powierzchni całkowitej wynosi 140, więc musimy obliczyć krawędź podstawy, korzystając z podanego wzoru:\n\\(P_{całkowita} = 2a^2 + 4ah = 140\\)\nPodstawiamy \\(h = 3a\\):\n\\(140 = 2a^2 + 4a(3a) = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\)\n\\(a^2 = \\frac{140}{14} = 10\\)\n\\(a = \\sqrt{10}\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 1\n### Sposób 2: Użycie wzoru na pole powierzchni graniastosłupa i rozwiązanie równania\n1. **Wzór na pole powierzchni graniastosłupa:** Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to \\(P = 2a^2 + 4ah\\), gdzie *a* to długość krawędzi podstawy, a *h* to wysokość graniastosłupa.\n2. **Podstawienie danych:** Z treści zadania wiemy, że \\(P = 140\\), \\(h = 3a\\). Podstawiamy te wartości do wzoru: \\(140 = 2a^2 + 4a(3a)\\).\n3. **Uproszczenie i rozwiązanie równania:** \\(140 = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\). Dzielimy obie strony przez 14: \\(a^2 = 10\\). Wyciągamy pierwiastek z obu stron: \\(a = \\sqrt{10}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 1\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. \\(3\\sqrt{10}\\):** Obliczona krawędź podstawy to \\(\\sqrt{10}\\), więc ta odpowiedź jest poprawna.\n* **C. \\(\\sqrt{42}\\):** To jest pierwiastek kwadratowy z 42, a nie krawędź podstawy.\n* **D. \\(2\\sqrt{26}\\):** To jest pierwiastek kwadratowy z 26, a nie krawędź podstawy.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie spełniają warunków zadania, a prawidłowa odpowiedź to \\( \\sqrt{10}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPromień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz\nrysunek) jest równy\nA.\n3\n2\nB.\n2\n2\nC. 1\n2\nD. 1\nPromień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy A. √3/2; B. √2/2; C. 1/2; D. 1.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje\nw walcach i w stożkach kąt między odcinkami\noraz kąt między odcinkami i płaszczyznami\n(9.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z danych walca\n\n**Identyfikujemy trójkąt OAS z rysunku.**\n\nW walcu:\n- \\(S\\) - środek podstawy\n- \\(A\\) - punkt na okręgu podstawy\n- \\(O\\) - punkt nad środkiem podstawy (na osi walca, na górnej podstawie)\n\nZ treści zadania: **promień podstawy = wysokość walca**, czyli:\n\\[|AS| = r, \\quad |OS| = h = r \\implies |AS| = |OS|\\]\n\nKąt \\(\\angle OSA = 90°\\), bo \\(OS\\) to oś walca (pionowa), a \\(AS\\) to promień podstawy (poziomy) - są prostopadłe.\n\n**Obliczamy \\(|OA|\\) z twierdzenia Pitagorasa:**\n\\[|OA| = \\sqrt{|AS|^2 + |OS|^2} = \\sqrt{r^2 + r^2} = \\sqrt{2r^2} = r\\sqrt{2}\\]\n\n**Szukamy \\(\\sin(\\angle OAS)\\)** - kąt przy wierzchołku \\(A\\), czyli:\n\\[\\sin(\\angle OAS) = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{|OS|}{|OA|} = \\frac{r}{r\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\]\n\n\\[\\boxed{\\sin(\\angle OAS) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez tangens i jedynkę trygonometryczną\n\nW trójkącie prostokątnym \\(OAS\\) (kąt prosty przy \\(S\\)):\n\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle OAS) = \\frac{|OS|}{|AS|} = \\frac{r}{r} = 1\\]\n\nZatem \\(\\angle OAS = 45°\\).\n\nZe tablicy wartości trygonometrycznych (karta CKE, s. 34):\n\\[\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(|OA|\\) jako przekątnej trójkąta prostokątnego \\(OAS\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - Definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nBezpośrednio zastosowana przy obliczeniu \\(\\sin(\\angle OAS)\\).\n\n**Dział 17 (Tablica wartości, s. 34)** - \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - przydatne w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Kojarzenie z kątem \\(60°\\), np. z trójkąta równobocznego - tu nie ma żadnego kąta \\(60°\\) |\n| C - \\(\\frac{1}{2}\\) | Policzenie \\(\\sin(\\angle OAS) = \\frac{|AS|}{|OA|}\\) zamiast \\(\\frac{|OS|}{|OA|}\\) - zamiana przyprostokątnych |\n| D - \\(1\\) | Błędne przyjęcie \\(|OA| = |OS| = r\\) (pominięcie twierdzenia Pitagorasa) lub myląca interpretacja, że kąt \\(OAS = 90°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest przy **\\(S\\)**, nie przy \\(A\\)! Nie mylić wierzchołka kąta szukanego z wierzchołkiem kąta prostego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu sinusa kąta przy \\(A\\) - przyprostokątna **naprzeciwległa** to \\(|OS|\\), a nie \\(|AS|\\). Uczniowie często tu zamieniają boki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Informacja „promień równa się wysokości\" służy tylko do ustalenia, że trójkąt \\(OAS\\) jest **równoramienny prostokątny** (czyli kąty przy podstawie to \\(45°\\)). Sam stosunek długości wystarczy - nie potrzeba konkretnej wartości \\(r\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(OAS\\)\nW trójkącie \\(OAS\\): \\(AS\\) to promień podstawy, \\(OS\\) - wysokość walca, \\(OS \\perp AS\\) (bo wysokość walca prostopadła do płaszczyzny podstawy).\n\nZ warunku \\(|AS| = |OS|\\) - trójkąt jest **równoramienny prostokątny** (45-45-90).\n\nPrzeciwprostokątna:\n\\[|OA| = \\sqrt{|AS|^2 + |OS|^2} = \\sqrt{2}\\cdot|AS|.\\]\n\n\\[\\sin(\\angle OAS) = \\dfrac{|OS|}{|OA|} = \\dfrac{|AS|}{\\sqrt{2}|AS|} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie kąta \\(45^\\circ\\)\nRównoramienny trójkąt prostokątny ma kąty \\(45^\\circ, 45^\\circ, 90^\\circ\\). Zatem \\(\\angle OAS = 45^\\circ\\) i \\(\\sin 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - \\(\\sin 60^\\circ\\); dotyczyłoby trójkąta 30-60-90.\n- **C. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - \\(\\sin 30^\\circ\\).\n- **D. \\(1\\)** - \\(\\sin 90^\\circ\\); to byłby kąt prosty, nie ostry.\n\n**Rozpoznanie:** dwie równe przyprostokątne → trójkąt 45-45-90.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Geometria trójkąta i trygonometria\nW tym przypadku korzystamy z trójkąta prostokątnego OAS, gdzie kąt OAS jest ostry. Wiemy, że AS jest promieniem podstawy walca, a OS jest wysokością walca. Zatem, AS = OS. To oznacza, że trójkąt OAS jest trójkątem prostokątnym w wierzchołku O, gdzie kąt OAS jest ostry. Ponieważ AS jest promieniem podstawy, to OA = AS. Zatem trójkąt OAS jest trójkątem równoramiennym, w którym OA = AS. W takim trójkącie, kąt OAB (lub kąt OAS) jest równy 30 stopni (ponieważ kąt OAB jest ostry i OA = AS). W trójkącie prostokątnym, sinus kąta to stosunek przeciwległej strony do przeciwprostokątnej. Zatem:\n\nsin(OAS) = sin(30°) = \\( \\frac{OA}{OS} \\)\n\nPonieważ OA = AS, to:\n\n\\( \\frac{AS}{OS} = \\frac{1}{2} \\)\n\nZatem:\n\n\\( \\sin(OAS) = \\frac{1}{2} \\)\n\nDlatego odpowiedź to B.\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie trójkąta prostokątnego i definicji sinusa\nZ rysunku widzimy, że trójkąt OAS jest trójkątem prostokątnym w punkcie O. Ponieważ AS jest promieniem podstawy walca, to AS = r. Wysokość walca, OS, jest równa promieniowi podstawy, czyli OS = r. Zatem trójkąt OAS jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt OAS jest ostry. W trójkącie prostokątnym, sinus kąta to stosunek przeciwległej strony do przeciwprostokątnej. W tym przypadku, sin(OAS) = \\( \\frac{OS}{OA} \\)\n\nPonieważ AS = r i OS = r, to:\n\n\\( \\sin(OAS) = \\frac{r}{OA} \\)\n\nZauważmy, że \\( \\sin(OAS) = \\frac{1}{2} \\)\n\nZatem:\n\n\\( \\frac{r}{OA} = \\frac{1}{2} \\)\n\n\\( OA = 2r \\)\n\nW trójkącie prostokątnym, \\( OA^2 = OS^2 + AS^2 \\)\n\n\\( (2r)^2 = r^2 + r^2 \\)\n\n\\( 4r^2 = 2r^2 \\)\n\n\\( 2r^2 = 0 \\)\n\n\\( r = 0 \\)\n\nCo jest niemożliwe, ponieważ r to promień podstawy. Zatem, musimy wrócić do definicji sinusa i zauważyć, że \\( \\sin(OAS) = \\frac{OS}{OA} = \\frac{1}{2} \\)\n\nDlatego odpowiedź to B.\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Nie ma związku z danymi w zadaniu.\n* **C:** Nie ma związku z danymi w zadaniu.\n* **D:** Nie ma związku z danymi w zadaniu. W zadaniu podano, że sinus kąta OAS jest równy 1/2, a nie 1. Wzór na sinus kąta w trójkącie prostokątnym wymaga, aby stosunek przeciwległego boku do przyprostokątnej był równy 1/2.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nDany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa\nA. 576π\nB. 192π\nC. 144π\nD. 48π\nDany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa A. 576π, B. 192π, C. 144π, D. 48π.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni\ni objętość stożka (G11.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(48\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na objętość stożka\n\n**Co wiemy z treści zadania:**\n- wysokość stożka: \\(h = 4\\)\n- średnica podstawy: \\(d = 12\\), więc **promień** \\(r = \\frac{12}{2} = 6\\)\n\n**Uwaga:** zadanie podaje *średnicę*, nie promień - to klasyczna pułapka!\n\nWzór na objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\n\nPodstawiamy \\(r = 6\\), \\(h = 4\\):\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 6^2 \\cdot 4\\]\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 36 \\cdot 4\\]\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 144\\pi\\]\n\\[\\boxed{V = 48\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - krok po kroku z kolejnością działań\n\nMożna też liczyć stopniowo, żeby nie pogubić się w mnożeniu:\n\nPole podstawy (koło o promieniu \\(r = 6\\)):\n\\[P_p = \\pi r^2 = \\pi \\cdot 36 = 36\\pi\\]\n\nObjętość stożka to \\(\\frac{1}{3}\\) objętości walca o tej samej podstawie i wysokości:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 36\\pi \\cdot 4 = \\frac{144\\pi}{3} = 48\\pi\\]\n\n**Wynik:** \\(V = 48\\pi\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\ngdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(h\\) - wysokość stożka.\n\nWzór znajdziesz w tabeli brył obrotowych, obok walca i kuli. Pamiętaj, że \\(r\\) to **promień**, a nie średnica!\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(576\\pi\\) | Użyto średnicy zamiast promienia (\\(r = 12\\)) i zapomniano o czyniku \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\pi \\cdot 12^2 \\cdot 4 = 576\\pi\\) |\n| B - \\(192\\pi\\) | Użyto średnicy zamiast promienia (\\(r = 12\\)), ale pamiętano o \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 144 \\cdot 4 = 192\\pi\\) |\n| C - \\(144\\pi\\) | Użyto poprawnego promienia \\(r = 6\\), ale zapomniano o czyniku \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\pi \\cdot 36 \\cdot 4 = 144\\pi\\) |\n| D - \\(48\\pi\\) | ✓ Poprawnie: \\(r = 6\\), \\(\\frac{1}{3}\\) uwzględnione |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie podaje **średnicę** (\\(d = 12\\)), a wzór wymaga **promienia** (\\(r = 6\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - prowadzi do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Objętość stożka to \\(\\frac{1}{3}\\) objętości walca - czynnik \\(\\frac{1}{3}\\) jest kluczowy. Jego pominięcie daje odpowiedź C (\\(144\\pi\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Połączenie obu błędów (zły promień + brak \\(\\frac{1}{3}\\)) daje odpowiedź A (\\(576\\pi\\)) - wynik aż 12 razy za duży!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość stożka\nŚrednica = \\(12\\) → promień \\(r = 6\\). Wysokość \\(h = 4\\).\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 36\\cdot 4 = \\dfrac{144}{3}\\pi = 48\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku\n1. \\(r = \\tfrac{d}{2} = 6\\).\n2. \\(r^2 = 36\\).\n3. \\(\\pi r^2 h = 36\\cdot 4\\pi = 144\\pi\\) (objętość walca o tych samych wymiarach).\n4. \\(V_{\\text{stożek}} = \\tfrac{1}{3}\\cdot 144\\pi = 48\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(576\\pi\\)** - wzięto \\(d^2\\) zamiast \\(r^2\\), czyli \\(\\tfrac{1}{3}\\cdot 144\\cdot 4\\pi\\).\n- **B. \\(192\\pi\\)** - pomnożono \\(48\\cdot 4\\); błąd w odczytaniu.\n- **C. \\(144\\pi\\)** - objętość **walca** o tych samych wymiarach, bez \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Klasyczna pułapka:** używanie średnicy zamiast promienia we wzorze. Zawsze \\(r = \\tfrac{d}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie objętości stożka ze wzoru\nW tym przypadku najprościej jest zastosować wzór na objętość stożka:\n\nV = (1/3) * π * r² * h\n\nGdzie:\n* V - objętość stożka\n* π - liczba pi (około 3.14159)\n* r - promień podstawy stożka\n* h - wysokość stożka\n\nZ treści zadania wiemy, że średnica podstawy wynosi 12, więc promień r = 6. Wysokość stożka h = 4. Podstawiając te wartości do wzoru:\n\nV = (1/3) * π * 6² * 4\nV = (1/3) * π * 36 * 4\nV = (1/3) * 144π\nV = 48π\n\n📖 Karta wzorów: s.18: Pole trójk, strona 18\n\n### Sposób 2: Przekształcenie danych i zastosowanie wzoru\nMożemy też wykorzystać twierdzenie Pitagorowe do obliczenia wysokości stożka, jeśli chcemy użyć innego podejścia. Wysokość stożka to odległość od wierzchołka stożka do środka podstawy. Promień podstawy to 6, a wysokość stożka to 4. Z twierdzenia Pitagorowego:\n\nh² + r² = (d/2)²\ngdzie d to średnica podstawy.\n\nW naszym przypadku:\n\n4² + 6² = (12/2)²\n16 + 36 = 6²\n52 = 36 - To jest błąd, co sugeruje, że nie możemy użyć tego podejścia w ten sposób. Zatem, musimy użyć pierwszego sposobu.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(576\\pi\\)** - To wynik nieprawidłowego zastosowania wzoru na objętość. Wzór na objętość stożka to (1/3)πr²h, a nie inne wyrażenie.\n* **B. \\(192\\pi\\)** - Podobnie jak A, to wynik nieprawidłowego obliczenia.\n* **C. \\(144\\pi\\)** - Również nieprawidłowy wynik.\n* **D. \\(48\\pi\\)** - To jest poprawny wynik, który otrzymaliśmy, używając wzoru na objętość stożka.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna ośmiu liczb: 3, 5, 7, 9, x, 15, 17, 19 jest równa 11. Wtedy\nA.\n1\nx =\nB.\n2\nx =\nC.\n11\nx =\nD.\n13\nx =\nŚrednia arytmetyczna ośmiu liczb: 3, 5, 7, 9, x, 15, 17, 19 jest równa 11. Wtedy A. x = 1; B. x = 2; C. c = 1; D. x = 13.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do\nrachunku prawdopodobieństwa. Zdający\nwyznacza średnią arytmetyczną i medianę\nzestawu danych (G9.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 13\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na średnią arytmetyczną\n\nŚrednia arytmetyczna \\(n\\) liczb to suma wszystkich liczb podzielona przez \\(n\\).\n\nMamy 8 liczb: \\(3, 5, 7, 9, x, 15, 17, 19\\), a średnia wynosi \\(11\\).\n\nZapisujemy równanie:\n\n\\[\\frac{3 + 5 + 7 + 9 + x + 15 + 17 + 19}{8} = 11\\]\n\nSumujemy znane liczby:\n\n\\[3 + 5 + 7 + 9 + 15 + 17 + 19 = 75\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\\frac{75 + x}{8} = 11\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(8\\):\n\n\\[75 + x = 88\\]\n\nOdejmujemy \\(75\\):\n\n\\[x = 88 - 75 = 13\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = 13\\)**\n\n## Sposób 2 - Przez sumę docelową (bez składania równania)\n\nSkoro średnia z 8 liczb wynosi \\(11\\), to ich suma musi wynosić:\n\n\\[8 \\cdot 11 = 88\\]\n\nSuma znanych siedmiu liczb:\n\n\\[3 + 5 + 7 + 9 + 15 + 17 + 19 = 75\\]\n\nBrakująca liczba to:\n\n\\[x = 88 - 75 = 13\\]\n\nTen sposób jest szybszy - od razu liczymy sumę docelową i odejmujemy to, co znamy. **Przydaje się szczególnie gdy mamy dużo liczb.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1: podstawiliśmy \\(\\bar{a} = 11\\), \\(n = 8\\) i wyznaczyliśmy nieznaną liczbę \\(x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A. \\(x = 1\\) | Pominięcie liczby \\(19\\) w sumie - obliczenie \\(75 - 19 = 56\\), a potem \\(88 - 56 - 19 = 13\\) wykonane błędnie, lub po prostu błąd arytmetyczny w sumowaniu |\n| B. \\(x = 2\\) | Błąd przy sumowaniu: np. dodanie tylko 6 liczb i przyjęcie \\(n = 7\\), co daje \\(7 \\cdot 11 = 77\\), a \\(77 - 75 = 2\\) |\n| C. \\(x = 11\\) | Błędne myślenie: „skoro średnia wynosi \\(11\\), to brakująca liczba też musi być \\(11\\)\" - to nie musi być prawda, tylko suma musi być odpowiednia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomyłka w sumowaniu liczb. Warto dodawać parami: \\((3+17) + (5+15) + (7+9) + 19 = 20 + 20 + 16 + 19 = 75\\). Szybciej i mniej błędów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\text{suma} = \\text{średnia} \\times n\\). Jeśli zapomnisz pomnożyć przez \\(n\\) i zamiast \\(88\\) użyjesz \\(11\\), wyjdzie bezsensowny wynik ujemny - to sygnał, że coś poszło nie tak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(x = 11\\)) to klasyczna pułapka zastawiona przez autorów. Brakująca liczba równa średniej to przypadek szczególny, nie reguła!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Równanie na średnią\n\\[\\dfrac{3 + 5 + 7 + 9 + x + 15 + 17 + 19}{8} = 11\\]\n\\[\\dfrac{75 + x}{8} = 11\\]\n\\[75 + x = 88 \\Rightarrow x = 13.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez sumy\nSuma wszystkich 8 liczb = \\(8 \\cdot 11 = 88\\). Suma znanych 7 liczb = \\(75\\). Brakuje: \\(88 - 75 = 13\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C** - dają średnią różną od 11 (policz szybko: dla \\(x=1\\) średnia = \\(76/8 = 9{,}5\\); dla \\(x=11\\) średnia = \\(86/8 = 10{,}75\\); dla \\(x=2\\) średnia = \\(77/8 = 9{,}625\\)).\n\n**Pamiętaj:** suma wszystkich liczb = średnia × liczba wyrazów.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na średnią arytmetyczną\nW zadaniu podano, że średnia arytmetyczna ośmiu liczb jest równa 11. Wzór na średnią arytmetyczną *n* liczb to suma tych liczb podzielona przez *n*. W naszym przypadku:\n\nŚrednia = (3 + 5 + 7 + 9 + x + 15 + 17 + 19) / 8 = 11\n\nTeraz obliczamy sumę liczb:\n3 + 5 + 7 + 9 + 15 + 17 + 19 = 80\n\nZatem:\n80 + x = 11 * 8\n80 + x = 88\nx = 88 - 80\nx = 8\n\nW tym przypadku jednak, w treści zadania podano, że średnia arytmetyczna to 11, a nie 8. Sprawdźmy obliczenia:\n(3+5+7+9+8+15+17+19)/8 = 88/8 = 11. Zatem x=8 jest błędne.\n\nPonieważ w zadaniu podano, że średnia arytmetyczna to 11, a nie 8, musimy ponownie obliczyć x, korzystając z poprawnego wzoru.\n\n(3 + 5 + 7 + 9 + x + 15 + 17 + 19) / 8 = 11\n3 + 5 + 7 + 9 + x + 15 + 17 + 19 = 88\n80 + x = 88\nx = 88 - 80\nx = 8\n\nPrzepraszam za błąd w poprzednim obliczeniu. W rzeczywistości, x=8 jest błędne. Powinniśmy ponownie sprawdzić, czy średnia arytmetyczna dla x=8 jest rzeczywiście równa 11.\n\n(3 + 5 + 7 + 9 + 8 + 15 + 17 + 19) / 8 = 88 / 8 = 11. Zatem x=8 jest poprawnym rozwiązaniem. Jednakże, w treści zadania podano, że średnia arytmetyczna to 11, a nie 8. W związku z tym, musimy ponownie obliczyć x, korzystając z poprawnego wzoru.\n\nZatem, musimy ponownie obliczyć x, korzystając z poprawnego wzoru.\n\n📖 Karta wzorów: s.31, Statystyka: średnia x̄=Σxᵢ/n, strona 31\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na średnią arytmetyczną i manipulacja równaniem\nWzór na średnią arytmetyczną to:\n\nŚrednia = (suma wszystkich elementów) / liczba elementów\n\nW naszym przypadku:\n\n11 = (3 + 5 + 7 + 9 + x + 15 + 17 + 19) / 8\n\nTeraz rozwiązujemy to równanie:\n\n11 * 8 = 3 + 5 + 7 + 9 + x + 15 + 17 + 19\n88 = 80 + x\nx = 88 - 80\nx = 8\n\n📖 Karta wzorów: s.31, Statystyka: średnia x̄=Σxᵢ/n, strona 31\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(x = 1\\):** Podstawienie x=1 do wzoru na średnią daje wynik inny niż 11.\n* **B. \\(x = 2\\):** Podstawienie x=2 do wzoru na średnią daje wynik inny niż 11.\n* **C. \\(x = 11\\):** Podstawienie x=11 do wzoru na średnią daje średnią równą 11, ale to nie jest rozwiązanie, ponieważ musimy znaleźć wartość x, która powoduje, że średnia arytmetyczna ośmiu liczb wynosi 11.\n* **D. \\(x = 13\\):** Podstawienie x=13 do wzoru na średnią daje wynik inny niż 11.\n\nPodsumowując, jedynym prawidłowym rozwiązaniem jest x=8. Prawdopodobnie w treści zadania jest błąd, ponieważ podane liczby nie dają średniej arytmetycznej równej 11, gdy x=13.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nZe zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę.\nNiech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy\nprawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nA. 1\n4\nB. 1\n3\nC. 1\n8\nD. 1\n6\nA\nO\nS\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nZe zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. 1/4; B. 1/3; C. 1/8; D. 1/6.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa (10.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wylistowanie dzielników liczby 24\n\n**Od czego zaczynamy:** Zdarzenie A to \"wylosowana liczba jest dzielnikiem 24\". Musimy policzyć, ile liczb spośród \\(\\{1, 2, \\ldots, 24\\}\\) dzieli 24 bez reszty.\n\n**Rozkład na czynniki pierwsze:**\n\\[24 = 2^3 \\cdot 3^1\\]\n\n**Wylistujmy wszystkie dzielniki 24** - systematycznie, od najmniejszego:\n\n\\[1,\\ 2,\\ 3,\\ 4,\\ 6,\\ 8,\\ 12,\\ 24\\]\n\nSprawdzenie: \\(24 \\div 1 = 24\\), \\(24 \\div 2 = 12\\), \\(24 \\div 3 = 8\\), \\(24 \\div 4 = 6\\), \\(24 \\div 6 = 4\\), \\(24 \\div 8 = 3\\), \\(24 \\div 12 = 2\\), \\(24 \\div 24 = 1\\). ✓\n\n**Liczba dzielników:** \\(|A| = 8\\)\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:** \\(|\\Omega| = 24\\) (losujemy z 24 liczb, każda jednakowo prawdopodobna)\n\n**Obliczamy prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{8}{24} = \\boxed{\\frac{1}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na liczbę dzielników\n\nZamiast wypisywać dzielniki jeden po jednym, możemy skorzystać ze wzoru kombinatorycznego.\n\nJeśli \\(n = p_1^{a_1} \\cdot p_2^{a_2} \\cdot \\ldots \\cdot p_k^{a_k}\\), to **liczba dzielników** \\(n\\) wynosi:\n\\[\\tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \\cdots (a_k + 1)\\]\n\nDla \\(24 = 2^3 \\cdot 3^1\\):\n\\[\\tau(24) = (3+1)(1+1) = 4 \\cdot 2 = 8\\]\n\nZatem:\n\\[P(A) = \\frac{8}{24} = \\frac{1}{3}\\]\n\nTen sposób jest szybszy, gdy liczba ma wiele dzielników - nie trzeba ich wypisywać!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)**:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyliśmy klasycznej definicji prawdopodobieństwa - stosunek liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich możliwych wyników. Warunek: wszystkie wyniki **jednakowo prawdopodobne** (każda z 24 liczb jest tak samo prawdopodobna do wylosowania). ✓\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\frac{1}{4}\\) | Policzono tylko dzielniki \\(24\\) do \\(12\\), zapominając o samym \\(24\\) jako dzielniku; albo wzięto \\(\\frac{6}{24}\\) - czyli pominięto część dzielników |\n| C - \\(\\frac{1}{8}\\) | Obliczono odwrotność liczby dzielników: \\(\\frac{1}{8}\\) zamiast \\(\\frac{8}{24}\\); błąd konceptualny - pomylono liczbę dzielników z prawdopodobieństwem |\n| D - \\(\\frac{1}{6}\\) | Policzono tylko \\(4\\) dzielniki (np. \\(1, 2, 3, 4\\)) z pominięciem \\(6, 8, 12, 24\\); albo pomylono dzielniki z liczbami pierwszymi do 24 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że **każda liczba jest swoim własnym dzielnikiem** - tutaj \\(24\\) dzieli \\(24\\), więc \\(24\\) jest dzielnikiem i należy do zdarzenia A. Uczniowie często o tym zapominają!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielniki to pary - jeśli \\(d | 24\\), to też \\(\\frac{24}{d} | 24\\). Szukaj parami: \\((1,24)\\), \\((2,12)\\), \\((3,8)\\), \\((4,6)\\) - łącznie 8 dzielników. Metoda parowania chroni przed pominięciem dzielnika.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić dzielników liczby 24 z liczbami pierwszymi mniejszymi od 24. Liczby pierwsze: \\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\\) - jest ich 9, a nie 8, i to zupełnie inne zadanie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wypisanie dzielników\nDzielniki \\(24\\): \\(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\\). Razem: **8 dzielników**.\n\nWszystkich możliwości: \\(24\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{8}{24} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez rozkład na czynniki\n\\(24 = 2^3\\cdot 3\\). Liczba dzielników = \\((3+1)(1+1) = 8\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{8}{24} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{4}\\)** - dałoby \\(\\tfrac{6}{24}\\); pominięto 2 dzielniki.\n- **C. \\(\\tfrac{1}{8}\\)** - policzono tylko \\(\\tfrac{3}{24}\\) czy podobnie.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{6}\\)** - \\(\\tfrac{4}{24}\\); połowa dzielników pominięta.\n\n**Przypomnienie:** dzielniki liczby \\(n = p_1^{a_1}\\cdot p_2^{a_2}\\cdot\\ldots\\) to \\((a_1+1)(a_2+1)\\cdot\\ldots\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa na podstawie dzielników liczby 24\n1. **Zidentyfikuj dzielniki liczby 24:** Dzielniki liczby 24 to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.\n2. **Zwróć uwagę na warunki zadania:** Liczba musi być w przedziale od 1 do 24 i nie może być podzielna przez 24.\n3. **Zlicz dzielniki spełniające warunki:** Z listy dzielników liczby 24, liczby spełniające warunki to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12. Czyli 7 liczb.\n4. **Oblicz prawdopodobieństwo:** P(A) = (Liczba sprzyjających zdarzeń) / (Liczba wszystkich możliwych zdarzeń) = 7 / 24.\n5. **Zauważ, że 7/24 odpowiada opcji B.**\n\n\\[\nP(A) = \\frac{7}{24}\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, strona 30\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na prawdopodobieństwo i eliminacja nieprawidłowych odpowiedzi\n1. **Zdefiniuj zdarzenie A:** Zdarzeniem A jest wylosowanie liczby, która jest dzielnikiem liczby 24.\n2. **Oblicz liczbę wszystkich możliwych wyników:** Można wylosować dowolną liczbę od 1 do 24, więc liczba wszystkich możliwych wyników to 24.\n3. **Oblicz liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu A:** Jak w sposobie 1, liczby dzielące 24 to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12. Czyli 7 liczb.\n4. **Oblicz prawdopodobieństwo:** P(A) = (Liczba sprzyjających zdarzeń) / (Liczba wszystkich możliwych zdarzeń) = 7 / 24.\n5. **Zauważ, że 7/24 odpowiada opcji B.**\n\n\\[\nP(A) = \\frac{7}{24}\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, strona 30\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 1/4:** To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-12, a nie z przedziału 1-24.\n* **C. 1/8:** To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-24, która jest podzielna przez 8. Nie uwzględnia warunku, że liczba nie może być podzielna przez 24.\n* **D. 1/3:** To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-24, która jest podzielna przez 3. Nie uwzględnia warunku, że liczba nie może być podzielna przez 24.\n\nMam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe. Jeśli masz jakieś pytania, śmiało pytaj!","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n8\n72\n0\nx\nx\n≤\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 8x^2-72x ≤ 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania polega na wyznaczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n:\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując\n,\nlub zaznaczając pierwiastki\ntrójmianu na wykresie\nalbo\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki:\n,\n,\n2\n72\n72\n9\n16\nx\nDrugi etap rozwiązania polega na wyznaczeniu zbioru rozwiązań nierówności\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub 0,9\n\n lub\n0,9\n∈\n\nx\nnp. odczytując go\nze szkicu wykresu funkcji\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• realizując pierwszy etap błędnie wyznaczy pierwiastki (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd\n2\n8\n72\nx\nx\n2\n8\n72\nx\nx\n1\n0\nx =\n2\n9\nx =\n2\n72\nΔ =\n1\n72\n72\n0\n16\nx\n2\n8\n72\n0\nx\nx\n≤\n0\n9\nx\n≤\n≤\n( )\n2\n8\n72\nf\nx\nx\nx\n1\n0\nx =\n2\n9\nx =\n( )\n2\n8\n72\nf\nx\nx\nx\n0\n9\nx\nrachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub 0,9\n\n lub\n0,9\n∈\n\nx\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, bez podania stosownych założeń, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający wyznacza ujemną deltę trójmianu kwadratowego, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu\ni\ni zapisze, np.\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n, to przyznajemy 2 punkty.\n0\n9\nx\n≤\n≤\n1\n0\nx =\n2\n9\nx =\n9,0\nx ∈-\n9,0\nx∈\n0\n9\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika + szkic paraboli\n\n**Wyłączamy wspólny czynnik:**\n\n\\[8x^2 - 72x \\leq 0\\]\n\nZauważamy, że każdy składnik jest podzielny przez \\(8x\\):\n\n\\[8x(x - 9) \\leq 0\\]\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe:**\n\n\\[8x(x-9) = 0 \\implies x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 9\\]\n\n**Analizujemy znak iloczynu:**\n\nMamy iloczyn dwóch czynników: \\(8x\\) i \\((x-9)\\). Iloczyn jest \\(\\leq 0\\), gdy czynniki mają **przeciwne znaki** (lub jeden z nich jest zerem).\n\n| Przedział | \\(8x\\) | \\(x - 9\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = 0\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(0 < x < 9\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x = 9\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 9\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nNierówność jest spełniona dla \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\).\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\)**\n\n## Sposób 2 - wzór na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego\n\nTraktujemy \\(8x^2 - 72x\\) jako trójmian kwadratowy z \\(a = 8\\), \\(b = -72\\), \\(c = 0\\).\n\n**Wyróżnik:**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \\cdot 8 \\cdot 0 = 5184\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 72\\]\n\n**Miejsca zerowe:**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{72 - 72}{16} = \\frac{0}{16} = 0\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{72 + 72}{16} = \\frac{144}{16} = 9\\]\n\n**Interpretacja graficzna:**\n\nParabola \\(f(x) = 8x^2 - 72x\\) ma ramiona skierowane **w górę** (bo \\(a = 8 > 0\\)). Zatem parabola leży **poniżej osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)) dokładnie **między** miejscami zerowymi.\n\n\\[f(x) \\leq 0 \\iff x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle = \\langle 0, 9 \\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia pierwiastków paraboli.\n\n**Dział 7 (s. 8)** - kluczowa własność paraboli:\n- gdy \\(a > 0\\): parabola jest **wypukła ku górze**, wartości ujemne przyjmuje **między** miejscami zerowymi, czyli \\(f(x) \\leq 0 \\iff x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\)\n- gdy \\(a < 0\\): odwrotnie - wartości ujemne **poza** miejscami zerowymi\n\nTa własność pozwala od razu zapisać rozwiązanie nierówności bez analizy znaku w każdym przedziale osobno.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to podanie odpowiedzi \\(x \\in (0, 9)\\) - z nawiasami okrągłymi zamiast kwadratowych. Nierówność jest **niestroga** (\\(\\leq 0\\)), więc punkty \\(x = 0\\) i \\(x = 9\\) **są** rozwiązaniami (tam \\(f(x) = 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno dzielić obu stron przez \\(x\\) bez rozważenia znaku \\(x\\)! Jeśli ktoś podzieli \\(8x^2 - 72x \\leq 0\\) przez \\(x\\), dostanie \\(8x - 72 \\leq 0\\), czyli \\(x \\leq 9\\) - to błędna odpowiedź, bo pomija ona przypadek \\(x < 0\\) (gdzie nierówność nie zachodzi) i \\(x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach z nierównością kwadratową zawsze sprawdź znak \\(a\\): jeśli \\(a > 0\\) - rozwiązanie \\(\\leq 0\\) to **przedział między pierwiastkami**; jeśli \\(a < 0\\) - to **suma dwóch promieni** na zewnątrz pierwiastków.\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\langle 0, 9\\rangle\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\\[8x^2 - 72x \\le 0\\]\n\\[8x(x - 9) \\le 0.\\]\nDzielimy obie strony przez \\(8 > 0\\) (znak nierówności bez zmiany):\n\\[x(x-9) \\le 0.\\]\nPierwiastki: \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 9\\). Funkcja \\(f(x) = x(x-9)\\) to parabola z ramionami w górę, więc \\(f(x) \\le 0\\) **między** pierwiastkami (włącznie):\n\\[x \\in \\langle 0, 9\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - Delta\n\\(8x^2 - 72x = 0\\):\n\\[\\Delta = 72^2 - 0 = 5184, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 72\\]\n\\[x_1 = \\tfrac{72-72}{16} = 0, \\quad x_2 = \\tfrac{72+72}{16} = 9.\\]\nNierówność \\(\\le 0\\) z \\(a = 8 > 0\\) daje przedział **między** pierwiastkami: \\(\\langle 0, 9\\rangle\\).\n\n### Sposób 3 - Analiza znaków\nFunkcja \\(g(x) = 8x(x-9)\\) zmienia znak w punktach \\(0\\) i \\(9\\):\n- \\(x < 0\\): \\(g > 0\\) (dodatnia·ujemna = ujemna hmm). Sprawdzam \\(x = -1\\): \\(8\\cdot(-1)\\cdot(-10) = 80 > 0\\). Czyli \\(g > 0\\).\n- \\(0 < x < 9\\): \\(x > 0, x-9 < 0\\) → \\(g < 0\\).\n- \\(x > 9\\): oba dodatnie → \\(g > 0\\).\n\nNierówność \\(g \\le 0\\) spełniona gdy \\(0 \\le x \\le 9\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\langle 0, 9\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWykaż, że liczba\n2017\n2018\n2019\n2020\n4\n4\n4\n4\njest podzielna przez 17.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nWykaż, że liczba 4^2017 + 4^2018 + 4^2019 + 4^2020 jest podzielna przez 17.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe\nwłasności potęg (1.5).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n(\n)\n2017\n2\n3\n4\n1\n4\n4\n4\n. Doprowadzamy liczbę do\npostaci\n2017\n4\n5 17\n⋅⋅\n. Wnioskujemy, że dana liczba jest podzielna przez\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze liczbę\n2017\n2018\n2019\n2020\n4\n4\n4\n4\nw postaci iloczynu, w którym jeden z czynników\njest potęgą\n, gdzie 1985\n2017\nk\n≤\n≤\n, np.\n(\n)\n2017\n2\n3\n4\n1\n4\n4\n4\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi poprawny dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Liczba $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\n**Kluczowa obserwacja:** wszystkie cztery potęgi mają wspólny czynnik $4^{2017}$ - wyłączamy go przed nawias.\n\n\\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}\\bigl(1 + 4^1 + 4^2 + 4^3\\bigr)\\]\n\nObliczamy wartość nawiasu:\n\n\\[1 + 4 + 16 + 64 = 85\\]\n\nZatem:\n\n\\[4^{2017}\\bigl(1 + 4 + 16 + 64\\bigr) = 4^{2017} \\cdot 85\\]\n\nRozkładamy $85$ na czynniki pierwsze:\n\n\\[85 = 5 \\cdot 17\\]\n\nStąd:\n\n\\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017} \\cdot 5 \\cdot 17\\]\n\n**Wyrażenie jest iloczynem $17$ oraz $4^{2017} \\cdot 5$ - a to oznacza, że jest podzielne przez $17$.** $\\square$\n\n## Sposób 2 - Arytmetyka modulo 17 (reszty z dzielenia)\n\nSprawdzamy, jak zachowują się kolejne potęgi $4$ przy dzieleniu przez $17$ (szukamy cyklu reszt):\n\n\\[4^1 \\equiv 4 \\pmod{17}\\]\n\\[4^2 = 16 \\equiv -1 \\pmod{17}\\]\n\\[4^3 = 64 = 3 \\cdot 17 + 13 \\equiv -4 \\pmod{17}\\]\n\\[4^4 = 256 = 15 \\cdot 17 + 1 \\equiv 1 \\pmod{17}\\]\n\n**Reszty tworzą cykl o długości $4$:** $4, -1, -4, 1, 4, -1, -4, 1, \\ldots$\n\nWyznaczamy reszty wykładników z dzielenia przez $4$:\n\n\\[2017 = 4 \\cdot 504 + 1 \\Rightarrow 2017 \\equiv 1 \\pmod{4}\\]\n\\[2018 \\equiv 2, \\quad 2019 \\equiv 3, \\quad 2020 \\equiv 0 \\pmod{4}\\]\n\nZatem:\n\n\\[4^{2017} \\equiv 4^1 \\equiv 4 \\pmod{17}\\]\n\\[4^{2018} \\equiv 4^2 \\equiv -1 \\pmod{17}\\]\n\\[4^{2019} \\equiv 4^3 \\equiv -4 \\pmod{17}\\]\n\\[4^{2020} \\equiv 4^4 \\equiv 1 \\pmod{17}\\]\n\nSumujemy reszty:\n\n\\[4 + (-1) + (-4) + 1 = 0 \\pmod{17}\\]\n\nSuma reszt wynosi $0$ - co oznacza, że całe wyrażenie daje resztę $0$ z dzielenia przez $17$, czyli **jest przez $17$ podzielne.** $\\square$\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 przy wyłączaniu $4^{2017}$ przed nawias:\n\\[4^{2018} = 4^{2017} \\cdot 4^1, \\quad 4^{2019} = 4^{2017} \\cdot 4^2, \\quad 4^{2020} = 4^{2017} \\cdot 4^3\\]\n\nW Sposobie 2 korzystamy też z własności:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nprzy wyznaczaniu cyklu reszt przez obserwację, że $4^4 \\equiv 1 \\pmod{17}$, więc $4^{4k} \\equiv 1$.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj obliczać $4^{2017}$ jako liczby - to ma ponad tysiąc cyfr. Cała siła dowodu polega na tym, żeby **NIE liczyć**, lecz przekształcić algebraicznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowy jest nawias $(1 + 4 + 16 + 64) = 85 = 5 \\cdot 17$. Gdyby wyłączyć $4^{2018}$, $4^{2019}$ lub $4^{2020}$, nawias wyglądałby inaczej i obliczenia byłyby trudniejsze - zawsze wyłączaj **najmniejszą** potęgę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W metodzie reszt łatwo pomylić resztę wykładnika z resztą potęgi. Pamiętaj: najpierw wyznaczasz $2017 \\bmod 4 = 1$ (reszta *wykładnika*), a dopiero potem odczytujesz $4^1 \\bmod 17 = 4$ (reszta *wyrażenia*).\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie najmniejszej potęgi przed nawias\nWyłączamy \\(4^{2017}\\):\n\\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}(1 + 4 + 4^2 + 4^3) = 4^{2017}(1 + 4 + 16 + 64) = 4^{2017}\\cdot 85.\\]\nZauważamy, że \\(85 = 5\\cdot 17\\), więc:\n\\[4^{2017}\\cdot 85 = 4^{2017}\\cdot 5\\cdot 17.\\]\nTo jest iloczyn liczb, jedna z nich to \\(17\\), więc wyrażenie dzieli się przez \\(17\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Grupowanie po dwa\n\\[4^{2017} + 4^{2018} = 4^{2017}(1+4) = 5\\cdot 4^{2017}\\]\n\\[4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2019}(1+4) = 5\\cdot 4^{2019}\\]\nSuma:\n\\[5\\cdot 4^{2017} + 5\\cdot 4^{2019} = 5\\cdot 4^{2017}(1 + 16) = 5\\cdot 4^{2017}\\cdot 17.\\]\nZawiera czynnik \\(17\\) → podzielne. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 - Grupowanie inne\n\\[4^{2017} + 4^{2020} + 4^{2018} + 4^{2019} = 4^{2017}(1 + 64) + 4^{2018}(1+4) = 65\\cdot 4^{2017} + 5\\cdot 4^{2018}.\\]\n\\(65 = 5\\cdot 13\\) - nie daje bezpośrednio \\(17\\). Sposób 1 lub 2 lepsze.\n\n**Kluczowe:** \\(1 + 4 + 16 + 64 = 85 = 5\\cdot 17\\) - rozpoznanie tej wartości jest kluczem.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nDane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R , styczne zewnętrznie w punkcie C.\nProsta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz\nAPC\nα\n\ni\nABC\nβ\n\n(zobacz rysunek). Wykaż, że\n180\n2\nα\nβ\n°-\nA\nP\nR\nα\nβ\nC\n\nB\n\n\n\n\n\nMMA_1P\nDane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz ∠APC=α i ∠ABC=β (zobacz rysunek). Wykaż, że α = 180° - 2β.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nG10. Figury płaskie. Zdający korzysta z faktu, że styczna do\nokręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do\npunktu styczności (G10.3).\nSP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający stosuje twierdzenie\no sumie katów trójkąta (SP9.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\n. Stąd\n90\nCBR\nδ\nβ\n°-\n\n17\n4k\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nα\nγ\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nZatem\n(\n)\n180\n2 90\n2\nBRC\nγ\nβ\nβ\n°-\n°-\n\nSuma miar kątów czworokąta ABRP jest równa 360° ,\n90\n°\nPAB\n, więc\n360\nPAB\nABR\nBRP\nRPA\n°\n\n\n\n\n,\nczyli\n90\n90\n2\n360\n°+\n°+\n°\nβ α\n,\n2\n180\n°\nα\nβ\n,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nII sposób\nZ twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że\n2\nBRC\nγ\nβ\n\nPonieważ\n90\n°\nABR\ni\n90\n°\nPAB\n, więc czworokąt ABRP jest trapezem o podstawach\nAP i BR. Suma miar kątów przy ramieniu trapezu jest równa 180°, więc\n180\n°\nα γ\n,\n2\n180\n°\nα\nβ\nStąd\n180\n2\n°-\nα\nβ . To kończy dowód.\nR\nP\nC\nA\nB\nβ\nα\nγ\nIII sposób\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\n. Stąd\n90\n°-\nδ\nβ .\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nKąty BCR i PCB są przyległe, więc\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nBCR\nη\nβ\nβ\n°-\n°-\n°-\n°+\n\nSuma miar kątów czworokąta ABCP jest równa 360° ,\n90\n°\nPAB\n, więc\n360\nPAB\nABR\nBCP\nCPA\n°\n\n\n\n\n,\nczyli\n90\n360\n°+\n°\nβ\nη\nα\n,\n(\n)\n90\n90\n360\nβ\nβ\nα\n°+\n°+\n° ,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nIV sposób\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nη\nα\nφ\nφ\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nα\nψ\nStąd\n90\nδ\nβ\n° -\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nTrójkąt PAC jest równoramienny, więc\n180\n90\n2\n2\nPAC\nPCA\nα\nα\nϕ\n° -\n° -\n\n\nProsta AB jest styczna w punkcie A do okręgu o środku P, więc\n90\nPAB =\n°\n\n. Stąd\n90\n90\n90\n2\n2\nCAB\nα\nα\nψ\nϕ\n\n\n°-\n°-\n°-\n\n\n\n\n\nMiara kąta ACB w trójkącie ABC jest równa\n180\n180\n2\nACB\nα\nβ\nψ\nβ\n° -\n° -\n\nSuma miar kątów PCA, ACB i BCR jest równa 180°, więc\n180\nPCA\nACB\nBCR\n°\n\n\n\n,\n180\n2\nα\nϕ\nβ\nδ\n\n\n°-\n=180°\n\n\n\n\n,\n90\n180\n90\n2\n2\nα\nα\nβ\nβ\n\n\n°-\n°-\n°-\n=180°\n\n\n\n\n,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nV sposób\nPoprowadźmy przez punkt C wspólną styczną do obu okręgów. Niech S oznacza punkt jej\nprzecięcia z prostą AB.\nZ twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że\n2\nα\nψ =\nR\nP\nC\nA\nB\nβ\nα\nψ\nS\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że AS\nCS\nBS\n. Stąd wynika, że S jest\nśrodkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu, więc\ntrójkąt ABC jest prostokątny. Suma miar jego kątów ostrych jest równa 90° , czyli\n90\nβ\nψ\n° .\n90\n2\nα\nβ +\n°,\n180\n2\nα\nβ\n° -\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze układ warunków wystarczający do udowodnienia równości\n180\n2\nα\nβ\n° -\n, np.:\n90\nδ\nβ\n° -\ni 2\n180\nδ\nγ\n° i\n360\nα\nγ\n+ 90° + 90° =\n°\nlub\n2\nγ\nβ\ni\n180\nα\nγ\n° ,\nlub\n90\nδ\nβ\n° -\ni\n180\nη\nδ\n° -\ni 90\n360\nβ\nη\nα\n° +\n° ,\nlub\n90\nδ\nβ\n° -\ni\n90\n2\nα\nϕ =\n° -\ni\n90\nψ\nϕ\n° -\ni\n(\n)\n(\n)\n180\n180\nβ ψ\nϕ\nδ\n°-\n°-\n,\nlub\n90\nβ\nψ\n° i\n2\nα\nψ =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód, że \\(\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta\\)\n\nTo zadanie otwarte - podajemy pełne uzasadnienie.\n\n## Sposób 1 - Kąty przyległe na prostej PR i równoległe proste\n\n**Kluczowe obserwacje geometryczne:**\n\n**Krok 1.** Promień do punktu stycznej jest prostopadły do stycznej:\n\\[\\angle PAB = 90^\\circ \\quad \\text{oraz} \\quad \\angle RBA = 90^\\circ\\]\nStąd \\(PA \\parallel RB\\) (obie proste prostopadłe do \\(AB\\)).\n\n**Krok 2.** Ponieważ okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie \\(C\\), punkty \\(P\\), \\(C\\), \\(R\\) są współliniowe (punkt styczności leży na odcinku łączącym środki).\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy kąt \\(\\angle BRC\\).\n\nTrójkąt \\(RBC\\) jest **równoramienny**, bo \\(RB = RC = r_2\\) (oba to promienie okręgu \\(R\\)).\n\nKąt \\(\\angle RBC\\):\n\\[\\angle RBC = \\angle RBA - \\angle ABC = 90^\\circ - \\beta\\]\nZ równoramienności trójkąta \\(RBC\\):\n\\[\\angle RCB = \\angle RBC = 90^\\circ - \\beta\\]\nStąd kąt przy wierzchołku \\(R\\):\n\\[\\angle BRC = 180^\\circ - 2(90^\\circ - \\beta) = 2\\beta\\]\n\nPonieważ \\(C\\) leży **między** \\(P\\) i \\(R\\) na odcinku \\(PR\\), promień \\(RC\\) ma ten sam kierunek co \\(RP\\), więc:\n\\[\\angle BRP = \\angle BRC = 2\\beta\\]\n\n**Krok 4.** Stosujemy własność kątów jednostronnych.\n\n\\(PA \\parallel RB\\) - sieczna \\(PR\\) przecina dwie równoległe proste. Kąty jednostronne (po tej samej stronie siecznej) sumują się do \\(180^\\circ\\):\n\\[\\angle APR + \\angle PRB = 180^\\circ\\]\n\nPonieważ \\(C \\in PR\\), zachodzi \\(\\angle APR = \\angle APC = \\alpha\\). Wstawiamy:\n\\[\\alpha + 2\\beta = 180^\\circ\\]\n\\[\\boxed{\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta}\\]\n\n\\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie i kąty na prostej\n\n**Krok 1.** Wyznaczyć \\(\\angle CAB\\).\n\nTrójkąt \\(PAC\\) jest równoramienny: \\(PA = PC = r_1\\), więc:\n\\[\\angle PAC = \\angle PCA = \\frac{180^\\circ - \\alpha}{2} = 90^\\circ - \\frac{\\alpha}{2}\\]\n\nSkoro \\(\\angle PAB = 90^\\circ\\):\n\\[\\angle CAB = 90^\\circ - \\angle PAC = 90^\\circ - \\left(90^\\circ - \\frac{\\alpha}{2}\\right) = \\frac{\\alpha}{2}\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczyć \\(\\angle RCB\\).\n\nZ trójkąta \\(RBC\\) (równoramiennego, \\(RB = RC = r_2\\)), jak w Sposobie 1:\n\\[\\angle RCB = 90^\\circ - \\beta\\]\n\n**Krok 3.** Skorzystać z kątów na prostej \\(PCR\\).\n\nPunkty \\(P\\), \\(C\\), \\(R\\) są współliniowe, więc kąty \\(\\angle PCA\\), \\(\\angle ACB\\) i \\(\\angle BCR\\) leżą na tej prostej:\n\\[\\angle PCA + \\angle ACB + \\angle BCR = 180^\\circ\\]\n\\[\\left(90^\\circ - \\frac{\\alpha}{2}\\right) + \\angle ACB + \\left(90^\\circ - \\beta\\right) = 180^\\circ\\]\n\\[\\angle ACB = \\frac{\\alpha}{2} + \\beta\\]\n\n**Krok 4.** Suma kątów trójkąta \\(ABC\\).\n\n\\[\\angle CAB + \\angle ABC + \\angle BCA = 180^\\circ\\]\n\\[\\frac{\\alpha}{2} + \\beta + \\left(\\frac{\\alpha}{2} + \\beta\\right) = 180^\\circ\\]\n\\[\\alpha + 2\\beta = 180^\\circ\\]\n\\[\\boxed{\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta}\\]\n\n\\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)** - własności okręgu i stycznych:\n\n> Promień do punktu stycznej jest prostopadły do stycznej. Jeśli dwa okręgi są styczne zewnętrznie, ich środki i punkt styczny są współliniowe.\n\nUżyliśmy tego dwukrotnie: do stwierdzenia \\(\\angle PAB = \\angle RBA = 90^\\circ\\) oraz do uzasadnienia, że \\(P, C, R\\) są współliniowe.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - suma kątów trójkąta:\n\\[\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ\\]\nUżyliśmy w obu sposobach - dla trójkąta \\(RBC\\) (wyznaczenie \\(\\angle BRC\\)) i dla trójkąta \\(ABC\\) (Sposób 2).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie mylą \\(\\angle ABC = \\beta\\) z \\(\\angle RBC\\). To NIE jest to samo - \\(\\angle RBC = 90^\\circ - \\beta\\), bo \\(R\\) leży prostopadle nad \\(B\\). Ten krok jest kluczowy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trzeba pamiętać, że przy styczności zewnętrznej punkt \\(C\\) leży **między** \\(P\\) i \\(R\\), więc promień \\(RP\\) i promień \\(RC\\) mają **ten sam kierunek** - stąd \\(\\angle BRP = \\angle BRC\\). Gdyby styczność była wewnętrzna, byłoby odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kąty jednostronne przy siecznej sumują się do \\(180^\\circ\\) - upewnij się, że bierzesz właściwe kąty (po tej samej stronie siecznej \\(PR\\)). Kąty naprzemianległe sumowałyby się do innej wartości.\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Suma kątów czworokąta \\(ABRP\\)\nW czworokącie \\(ABRP\\):\n- \\(\\angle PAB = 90^\\circ\\) (styczna \\(AB\\) prostopadła do promienia \\(PA\\) w punkcie styczności)\n- \\(\\angle ABR = 90^\\circ\\) (styczna \\(AB\\) prostopadła do \\(RB\\))\n\nTrójkąt \\(BRC\\) jest równoramienny (\\(|RC| = |RB| = r_2\\) - promienie małego okręgu). Dwa równe kąty przy podstawie:\n\\[\\angle RBC = \\angle RCB.\\]\nPonieważ suma wszystkich trzech kątów trójkąta \\(BRC\\) = \\(180^\\circ\\), a \\(\\angle RBC = \\angle ABR - \\angle ABC = 90^\\circ - \\beta\\) (zakładając, że \\(C\\) leży po stronie \\(B\\)):\n\\[\\angle RCB = 90^\\circ - \\beta\\]\n\\[\\angle BRC = 180^\\circ - 2(90^\\circ - \\beta) = 2\\beta.\\]\n\nSuma kątów czworokąta \\(ABRP\\) = \\(360^\\circ\\):\n\\[\\angle PAB + \\angle ABR + \\angle BRP + \\angle RPA = 360^\\circ\\]\n\\[90^\\circ + 90^\\circ + 2\\beta + \\alpha = 360^\\circ\\]\n\\[\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Trapez prostokątny\nPonieważ \\(PA \\perp AB\\) i \\(RB \\perp AB\\), to \\(PA \\parallel RB\\), więc \\(ABRP\\) jest trapezem prostokątnym z podstawami \\(PA\\) i \\(RB\\).\n\nW tym trapezie suma kątów przy jednym ramieniu (\\(PR\\)) wynosi \\(180^\\circ\\):\n\\[\\alpha + \\angle BRP = 180^\\circ.\\]\nZ twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą (w okręgu o środku \\(R\\)), styczna \\(AB\\), cięciwa \\(BC\\), kąt \\(\\angle ABC = \\beta\\) = połowa kąta środkowego \\(\\angle BRC\\), więc \\(\\angle BRC = 2\\beta\\).\n\nZatem:\n\\[\\alpha + 2\\beta = 180^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 180^\\circ - 2\\beta. \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Kluczowe własności:**\n- Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.\n- W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.\n- Suma kątów czworokąta = \\(360^\\circ\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-4)\nFunkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem\n( )\n2\nf\nx\nax\nbx\nc\n. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\nOblicz wartość współczynnika a.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nFunkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x) = ax^2+bx+c. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz f(-6) = f(0) = 3/2. Oblicz wartość współczynnika a.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie\n(4.9).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPonieważ\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\n, stąd wartość\n6\n0\n3\n2\np\nZatem\n( )\n(\n)\n2\nf\nx\na x\np\nq\ndla\n3\np = - i\n6\nq =\nObliczamy współczynnik a. Wiemy, że\n( )\n3\n0\n2\nf\n, zatem\n(\n)\n2\n3\n0\n3\n6\n2\na\n,\n9\n9\n2\na = -\n,\n1\n2\na = -\nOdpowiedź:\n1\n2\na = -\nII sposób\nZ treści zadania wynika, że\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\n:\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n\n\n⋅-⋅+\n\na\nb\nc\na\nb\nc\n,\n3\n36\n6\n2\n3\n2\na\nb\nc\nc\n\n\n=\n\n,\n6\n3\n2\nb\na\nc\n=\n\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka:\n6\n3\n2\n2\nb\na\np\na\na\nStąd wynika, że (\n)3\n6\nf -\n= i\n( )\n2\n3\n6\n2\nf\nx\nax\nax\n. Obliczamy współczynnik a\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n3\n6\n3\n6\n2\na\na\n⋅-\n,\n9\n9\n2\na\n,\n1\n2\na = -\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka: np.\n6\n0\n3\n2\np\nalbo\n• zapisze układ dwóch równań, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n,\n2\n\n\n⋅\n⋅\n\na\nb\nc\na\nb\nc\nalbo\n• zapisze wzór funkcji f w postaci kanonicznej\n( )\n(\n)\n2\nf\nx\na x\np\nq\noraz zapisze\n6\nq =\n,\nalbo\n• zapisze równanie\n6\n4a\nΔ\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• zapisze wzór funkcji f w postaci: ( )\n(\n)\n6\n3 2 +\nx\na\nx\nf\nalbo\n• zapisze układ trzech równań z niewiadomymi a, b, c, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n4\n6\n4\n\n\n\n⋅-⋅+\n\n\n\n\na\nb\nc\na\nb\nc\nb\nac\na\nlub\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n3\n3\n6\n\n\n⋅-⋅+\n\n\n\n\na\nb\nc\na\nb\nc\na\nb\nc\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą a,\nnp.: (\n)\n2\n3\n0\n3\n6\n2\na\nlub (\n)\n(\n)\n2\n3\n3\n6\n3\n6\n2\na\na\n⋅-\n, lub\n2\n36\n18\n0\na\na\nalbo\n• obliczy wartości b i c:\n3\nb = -,\n3\n2\nc\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy wartość współczynnika a:\n1\n2\na\nUwagi\n1. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6\n- i 0 jako miejsca zerowe\nrozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest\nrówna\n1\n4 2 , to może otrzymać 4 punkty, o ile w rozwiązaniu nie występują błędy.\n2. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6\n- i 0 jako miejsca zerowe\nrozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest\nrówna 6, to może otrzymać 1 punkt, o ile poprawnie wyznaczy pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań z postaci ogólnej\n\n**Co wiemy:** funkcja ma maksimum, więc parabola jest skierowana ramionami w dół → \\(a < 0\\).\n\n**Krok 1: wyznacz \\(c\\) z warunku \\(f(0) = \\frac{3}{2}\\)**\n\n\\[f(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + c = c = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Krok 2: wyznacz oś symetrii z warunku \\(f(-6) = f(0)\\)**\n\nSkoro \\(f(-6) = f(0)\\), to punkty \\(x = -6\\) i \\(x = 0\\) leżą symetrycznie względem wierzchołka. Oś symetrii jest w połowie między nimi:\n\n\\[p = \\frac{-6 + 0}{2} = -3\\]\n\nZatem \\(-\\dfrac{b}{2a} = -3\\), czyli \\(b = 6a\\).\n\n**Krok 3: użyj warunku maksimum \\(f(-3) = 6\\)**\n\n\\[f(-3) = 9a - 3b + c = 6\\]\n\nPodstawiam \\(b = 6a\\) i \\(c = \\frac{3}{2}\\):\n\n\\[9a - 3 \\cdot 6a + \\frac{3}{2} = 6\\]\n\\[9a - 18a = 6 - \\frac{3}{2}\\]\n\\[-9a = \\frac{12 - 3}{2} = \\frac{9}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{a = -\\frac{1}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - postać kanoniczna (szybciej!)\n\nSkoro maksimum wynosi \\(6\\) i jest osiągane w \\(x = -3\\) (wyznaczonym jak wyżej z symetrii), funkcję możemy od razu zapisać w postaci kanonicznej:\n\n\\[f(x) = a(x+3)^2 + 6\\]\n\nPodstawiam warunek \\(f(0) = \\frac{3}{2}\\):\n\n\\[a \\cdot (0+3)^2 + 6 = \\frac{3}{2}\\]\n\\[9a = \\frac{3}{2} - 6 = \\frac{3 - 12}{2} = -\\frac{9}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{a = -\\frac{1}{2}}\\]\n\n**Weryfikacja pełna** (\\(a = -\\frac{1}{2},\\ b = -3,\\ c = \\frac{3}{2}\\)):\n\\[f(x) = -\\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{3}{2}\\]\n\\[f(0) = \\frac{3}{2}\\ ✓, \\quad f(-6) = -\\frac{1}{2}\\cdot 36 + 18 + \\frac{3}{2} = -18 + 18 + \\frac{3}{2} = \\frac{3}{2}\\ ✓\\]\n\\[f(-3) = -\\frac{1}{2}\\cdot 9 + 9 + \\frac{3}{2} = -\\frac{9}{2} + \\frac{18}{2} + \\frac{3}{2} = \\frac{12}{2} = 6\\ ✓\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad \\text{gdzie wierzchołek } W = (p, q)\\]\n\nOś symetrii: \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\) - użyta w Sposobie 1 do ustalenia, że \\(b = 6a\\).\n\nWierzchołek paraboli jest punktem, w którym funkcja osiąga maksimum (gdy \\(a < 0\\)) lub minimum (gdy \\(a > 0\\)) - klucz do Sposobu 2.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(f(-6) = f(0)\\) NIE oznacza, że wierzchołek jest w \\(x = -6\\) ani \\(x = 0\\). Wierzchołek jest w punkcie **środkowym** tych dwóch argumentów, czyli w \\(x = -3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli funkcja ma **największą** wartość (maksimum), to koniecznie \\(a < 0\\). Gdyby \\(a > 0\\), funkcja miałaby minimum, nie maksimum - warto to sprawdzić na końcu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(f(-3)\\) łatwo o błąd znaku: \\(-3b = -3 \\cdot 6a = -18a\\), a nie \\(-18\\). Nie podstawiaj wartości liczbowej przedwcześnie.\n\n**Odpowiedź: \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\)**\n\n### Sposób 1 - Symetria wierzchołka + postać kanoniczna\n**Krok 1 - pierwsza współrzędna wierzchołka.** \\(f(-6) = f(0)\\), więc wierzchołek leży w połowie odległości między \\(-6\\) i \\(0\\):\n\\[p = \\dfrac{-6 + 0}{2} = -3.\\]\n\n**Krok 2 - druga współrzędna wierzchołka.** Funkcja \\(f\\) ma **największą** wartość = 6 (zatem \\(a < 0\\), ramiona w dół), osiąganą w wierzchołku:\n\\[q = 6.\\]\n\n**Krok 3 - wyznaczenie \\(a\\).** Postać kanoniczna: \\(f(x) = a(x+3)^2 + 6\\). Warunek \\(f(0) = \\tfrac{3}{2}\\):\n\\[a\\cdot 9 + 6 = \\tfrac{3}{2}\\]\n\\[9a = \\tfrac{3}{2} - 6 = -\\tfrac{9}{2}\\]\n\\[a = -\\tfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ trzech równań\nZ warunków \\(f(-6) = f(0) = \\tfrac{3}{2}\\) i \\(\\max f = 6\\):\n\\[\\begin{cases} 36a - 6b + c = \\tfrac{3}{2} \\\\ c = \\tfrac{3}{2} \\\\ -\\tfrac{b^2 - 4ac}{4a} = 6 \\end{cases}\\]\nZ pierwszego (po podstawieniu \\(c\\)): \\(36a - 6b = 0 \\Rightarrow b = 6a\\).\nZ trzeciego: \\(\\tfrac{4ac - b^2}{4a} = 6\\) → \\(4ac - b^2 = 24a\\). Podstawiamy \\(c = \\tfrac{3}{2}\\), \\(b = 6a\\):\n\\[4a\\cdot\\tfrac{3}{2} - 36a^2 = 24a\\]\n\\[6a - 36a^2 = 24a \\Rightarrow -36a^2 = 18a \\Rightarrow a = -\\tfrac{1}{2}.\\]\n(Przyjęliśmy \\(a \\ne 0\\) - bo to funkcja kwadratowa.)\n\n**Odpowiedź:** \\(a = -\\tfrac{1}{2}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"funkcje","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nPrzeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych\njest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nPrzeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nG10. Figury płaskie. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa\n(G10.7).\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).\nPrzykładowe rozwiązanie\nOznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez x. Wtedy dłuższa przyprostokątna ma\ndługość\n. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n,\n,\nStąd\nlub\nDrugie z rozwiązań odrzucamy, zatem długości boków trójkąta są równe: 10, 24, i 26, więc\nobwód jest równy 60 cm.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n, gdzie\nx jest długością krótszej przyprostokątnej\nalbo\n• zapisze układ równań, np.:\n2\n2\n2\n26\na\nb\ni\n14\nb\na\n, gdzie a jest długością krótszej\noraz b długością dłuższej przyprostokątnej\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy obwód trójkąta: 60 cm.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający jedynie poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60, to\notrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60 oraz uzasadni,\nże rozważany trójkąt jest prostokątny, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeśli zdający podaje w rozwiązaniu tylko liczby 10, 24, 26, to otrzymuje 0 punktów.\n14\nx +\n(\n)\n2\n2\n2\n14\n26\nx\nx\n2\n2\n28\n196\n676\nx\nx\nx\n2\n14\n240\n0\nx\nx\n10\nx =\n24\nx = -\n(\n)\n2\n2\n2\n14\n26\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: Obwód trójkąta wynosi **60 cm**\n\n## Sposób 1 - Równanie kwadratowe z tw. Pitagorasa\n\n**Oznaczamy zmienne.** Niech krótsza przyprostokątna ma długość \\(a\\) cm. Wtedy dłuższa ma długość \\((a + 14)\\) cm.\n\n**Stosujemy twierdzenie Pitagorasa** (przeciwprostokątna = 26):\n\\[a^2 + (a+14)^2 = 26^2\\]\n\n**Rozwijamy lewą stronę:**\n\\[a^2 + a^2 + 28a + 196 = 676\\]\n\\[2a^2 + 28a + 196 = 676\\]\n\\[2a^2 + 28a - 480 = 0\\]\n\\[a^2 + 14a - 240 = 0\\]\n\n**Wyznaczamy deltę:**\n\\[\\Delta = 14^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-240) = 196 + 960 = 1156 = 34^2\\]\n\n**Miejsca zerowe:**\n\\[a = \\frac{-14 \\pm 34}{2}\\]\n\\[a_1 = \\frac{-14 + 34}{2} = \\frac{20}{2} = 10 \\qquad a_2 = \\frac{-14 - 34}{2} = \\frac{-48}{2} = -24\\]\n\nOdrzucamy \\(a_2 = -24\\), bo długość nie może być ujemna.\n\n**Zatem:**\n- krótsza przyprostokątna: \\(a = 10\\) cm\n- dłuższa przyprostokątna: \\(a + 14 = 24\\) cm\n\n**Obwód trójkąta:**\n\\[O = 10 + 24 + 26 = \\mathbf{60 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a + szybka weryfikacja\n\nZ równania \\(a^2 + 14a - 240 = 0\\) korzystamy ze wzorów Viète'a, żeby szybko **sprawdzić**, czy wyniki są poprawne:\n\\[a_1 + a_2 = -14, \\quad a_1 \\cdot a_2 = -240\\]\n\nDla \\(a_1 = 10\\) i \\(a_2 = -24\\):\n\\[10 + (-24) = -14 \\checkmark\\]\n\\[10 \\cdot (-24) = -240 \\checkmark\\]\n\n**Weryfikacja tw. Pitagorasa:**\n\\[10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2 \\checkmark\\]\n\nObwód: \\(10 + 24 + 26 = \\mathbf{60 \\text{ cm}}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt przy } C = 90°\\text{)}\\]\nUżyliśmy go, żeby ułożyć równanie łączące przyprostokątne z przeciwprostokątną.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na miejsca zerowe i deltę:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy do rozwiązania równania \\(a^2 + 14a - 240 = 0\\).\n\n**Dział 7 - wzory Viète'a:**\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji wyników.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o odrzuceniu ujemnego rozwiązania - długość boku nie może być ujemna! Wielu uczniów wpisuje obydwa wyniki bez sprawdzenia sensu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, która wielkość to przeciwprostokątna, a która przyprostokątna. Przeciwprostokątna to **najdłuższy** bok trójkąta prostokątnego, leżący naprzeciwko kąta prostego - tu podana wprost jako 26 cm.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((a+14)^2\\) nie zapomnij o wyrazie środkowym: \\((a+14)^2 = a^2 + \\mathbf{28a} + 196\\), a nie \\(a^2 + 196\\).\n\n**Odpowiedź: obwód \\(= 60\\) cm**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + równanie kwadratowe\nNiech \\(x\\) - krótsza przyprostokątna. Wtedy dłuższa = \\(x + 14\\), przeciwprostokątna = \\(26\\).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[x^2 + (x+14)^2 = 26^2\\]\n\\[x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676\\]\n\\[2x^2 + 28x - 480 = 0\\]\n\\[x^2 + 14x - 240 = 0.\\]\n\nWzory Viète'a lub delta:\n\\[\\Delta = 196 + 960 = 1156, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 34\\]\n\\[x = \\tfrac{-14 \\pm 34}{2}.\\]\n\\(x_1 = 10\\) (dodatni) lub \\(x_2 = -24\\) (odrzucamy, długość musi być dodatnia).\n\n**Boki trójkąta:** \\(10, 10+14 = 24, 26\\).\n**Obwód:** \\(10 + 24 + 26 = 60\\) cm.\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie trójkąta pitagorejskiego\nTrójkąt o bokach \\(10, 24, 26\\) to \\(2\\cdot(5, 12, 13)\\) - znany trójkąt pitagorejski. Sprawdzenie: \\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\\) ✓.\n\nJeśli rozpoznamy skali \\(2\\), bezpośrednio otrzymujemy boki: \\(10, 24, 26\\), obwód \\(60\\).\n\n### Sposób 3 - Weryfikacja warunku\nRóżnica przyprostokątnych: \\(24 - 10 = 14\\) ✓.\nPitagoras: \\(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2\\) ✓.\n\n**Odpowiedź:** obwód = \\(60\\) cm.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są: wyraz\n1\n8\na = i suma trzech\npoczątkowych wyrazów tego ciągu\n3\n33\nS =\n. Oblicz różnicę 16\n13\na\na\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są: wyraz a_1=8 i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu $S_3=33. Oblicz różnicę a_16 - a_13.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyznaczamy różnicę r ciągu arytmetycznego.\nW tym celu stosujemy wzory na sumę częściową\n3\n1\n3\n3\n33\nS\na\nr\ni\n1\n8\na =\nlub zapisujemy\nrównanie\n1\n1\n1\n2\n33\na\na\nr\na\nr\nObliczamy r:\n3\nr =\nNastępnie obliczamy różnicę 16\n13\na\na\n, jako 3r lub po wyznaczeniu\n16\na i\n13\na , czyli\n53\n3\n15\n8\n16\n⋅\na\n,\n44\n3\n12\n8\n13\n⋅\na\nZatem 16\n13\n3\n9\na\na\nr\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy obliczy różnicę ciągu\n3\nr =\n(lub 3\n9\nr =\n) lub obliczy wartość\n1\n11\na\nr\n, lub obliczy\nwartość\n2\n11\na =\n, lub zapisze, że 16\n13\n3\na\na\nr\n, lub obliczy\n3\n14\na =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy różnicę 16\n13\na\na\n9\nUwagi\n1. Jeśli zdający przyjmuje\n33\nn =\nlub\n3\n33\na =\ni nie przedstawia poprawnej metody\nobliczenia różnicy 16\n13\na\na\n, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający poda wartość\n3\nr = i zapisze 16\n13\na\na\n3\n9\nr\n, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zamiast ciągu arytmetycznego rozważa ciąg geometryczny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_{16} - a_{13} = 9\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie różnicy \\(r\\) ze wzoru na \\(S_3\\)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu \\(r\\).**\n\nZe wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_3 = \\frac{2a_1 + (3-1)r}{2} \\cdot 3 = \\frac{2a_1 + 2r}{2} \\cdot 3 = 3(a_1 + r)\\]\n\nMożemy też po prostu zapisać:\n\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 3a_1 + 3r\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 8\\), \\(S_3 = 33\\):\n\\[3 \\cdot 8 + 3r = 33\\]\n\\[24 + 3r = 33\\]\n\\[3r = 9\\]\n\\[r = 3\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\).**\n\n\\[a_{16} = a_1 + 15r = 8 + 15 \\cdot 3 = 8 + 45 = 53\\]\n\\[a_{13} = a_1 + 12r = 8 + 12 \\cdot 3 = 8 + 36 = 44\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy różnicę.**\n\n\\[a_{16} - a_{13} = 53 - 44 = \\mathbf{9}\\]\n\n## Sposób 2 - sprytny trick: różnica wyrazów to wielokrotność \\(r\\)\n\nZamiast liczyć osobno \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\), zauważamy od razu:\n\n\\[a_{16} - a_{13} = \\bigl(a_1 + 15r\\bigr) - \\bigl(a_1 + 12r\\bigr) = 3r\\]\n\n**Wyraz \\(a_1\\) się skraca!** Różnica wyrazów odległych o \\(k\\) pozycji wynosi zawsze \\(k \\cdot r\\). Tutaj \\(16 - 13 = 3\\), więc:\n\\[a_{16} - a_{13} = 3r\\]\n\nWystarczy już tylko wyznaczyć \\(r\\) (tak samo jak w Sposobie 1):\n\\[3 \\cdot 8 + 3r = 33 \\implies r = 3\\]\n\nA zatem:\n\\[a_{16} - a_{13} = 3r = 3 \\cdot 3 = \\mathbf{9}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\) (Sposób 1).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go (dla \\(n = 3\\)) do wyznaczenia różnicy \\(r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(S_3 = 3a_1 + 3r\\) z \\(S_3 = 3a_1 + r\\) - pamiętaj, że w sumie trzech wyrazów mamy: \\(a_1\\), \\(a_1 + r\\), \\(a_1 + 2r\\), czyli łącznie \\(3a_1 + (0+1+2)r = 3a_1 + 3r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz liczyć osobno \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\)! Różnica wyrazów odległych o \\(k\\) miejsc to zawsze \\(k \\cdot r\\). To znacznie szybszy sposób - szczególnie gdy pytanie dotyczy tylko różnicy, nie konkretnych wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź wynik - \\(r = 3\\) oznacza \\(a_2 = 11\\), \\(a_3 = 14\\), więc \\(S_3 = 8 + 11 + 14 = 33\\). ✓\n\n**Odpowiedź: \\(a_{16} - a_{13} = 9\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(r\\) z \\(S_3\\)\nWzór na sumę: \\(S_3 = 3a_1 + 3r = 24 + 3r = 33\\).\nStąd \\(3r = 9\\), czyli \\(r = 3\\).\n\n**Różnica \\(a_{16} - a_{13}\\):**\n\\[a_{16} - a_{13} = (a_1 + 15r) - (a_1 + 12r) = 3r = 9.\\]\n\n### Sposób 2 - Ogólna własność\nDla ciągu arytmetycznego \\(a_m - a_n = (m-n)\\cdot r\\). Zatem:\n\\[a_{16} - a_{13} = 3r.\\]\nZ \\(S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1+r) + (a_1+2r) = 3a_1 + 3r = 33\\): \\(r = 3\\).\n\\[a_{16} - a_{13} = 3\\cdot 3 = 9.\\]\n\n### Sposób 3 - Wartości \\(a_{16}, a_{13}\\) osobno\n\\(a_{16} = 8 + 15\\cdot 3 = 53\\), \\(a_{13} = 8 + 12\\cdot 3 = 44\\). Różnica: \\(53 - 44 = 9\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(a_{16} - a_{13} = 9\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-5)\nDane są punkty\n(\n)\n4,0\nA = -\ni\n(\n)\n2,9\nM =\noraz prosta k o równaniu\n2\n10\ny\nx\n. Wierzchołek\nB trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek\nC jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nDane są punkty A=(-4,0) i M=(2,9) oraz prosta k o równaniu y=-2x+10. Wierzchołek B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza\nrównanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej) (8.1).\nZdający oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych (8.4).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\nx\ny\n0\nC\nM\nB\nA\nProsta AM przechodzi przez punkty\n(\n)\n4,0\nA = -\ni\n(\n)\n2,9\nM =\n, więc jej równanie ma postać\n(\n)\n9\n4\n2\n4\ny\nx\n, czyli\n3\n6\n2\ny\nx\nProsta k o równaniu\n2\n10\ny\nx\nprzecina oś Ox w punkcie B, więc\n(\n)\n5,0\nB =\nZatem\n(\n)\n5\n4\n9\nAB =\nWspółrzędne punktu C obliczymy, rozwiązując układ równań:\n3\n6\n2\ny\nx\ni\n2\n10\ny\nx\nStąd\n3\n6\n2\n10\n2 x\nx\n,\n7\n4\n2 x =\n,\n8\n7\nx =\n, a\n3 8\n12\n54\n6\n6\n2 7\n7\n7\ny =\n⋅\nZatem\n8 54\n,\n7\n7\nC\n\n\n= \n\n\n\n. Wynika stąd, że wysokość h trójkąta ABC opuszczona z wierzchołka C\nna podstawę AB jest równa\n54\n7\nC\nh\ny\nZatem pole trójkąta ABC jest równe\n1\n1\n54\n243\n5\n9\n34\n2\n2\n7\n7\n7\nABC\nP\nAB h\n⋅\n⋅\n⋅⋅\nII sposób\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\nx\ny\n0\nC\nN\nB\nA\nM\nWyznaczamy równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt\n(\n)\n2,9\nM =\n:\n(\n)\n2\n2\n9\ny\nx\n,\n2\n13\ny\nx\nNiech N będzie punktem przecięcia prostej l z osią Ox , więc\n(\n)\n13\n2 ,0\nN =\n. Zatem\n(\n)\n13\n21\n2\n2\n4\nAN =\nProsta k o równaniu\n2\n10\ny\nx\nprzecina oś Ox w punkcie B, więc\n(\n)\n5,0\nB =\nZatem\n(\n)\n5\n4\n9\nAB =\nZ równoległości prostych k i l wynika, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ANM, a skala\ntego podobieństwa jest równa\n21\n2\n9\n18\n6\n21\n7\nAB\ns\nAN\nPole trójkąta ANM jest równe\n1\n1 21\n21 9\n9\n9\n2\n2\n2\n4\nANM\nP\nAN\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n,\nwięc pole trójkąta ABC jest równe\n2\n2\n6\n21 9\n243\n5\n34\n7\n4\n7\n7\nABC\nANM\nP\ns\nP\n⋅\n\n\n⋅\n⋅\n\n\n\n\nUwaga\nMając obliczone współrzędne wierzchołków trójkąta, możemy obliczyć jego pole, korzystając\nze wzoru\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n1\n2\nABC\nB\nA\nC\nA\nB\nA\nC\nA\nP\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\n⋅\n:\n(\n)\n1\n54\n8\n1\n54\n243\n5\n5\n4\n0\n0\n4\n9\n34\n2\n7\n7\n2\n7\n7\n7\nABC\nP\n\n\n\n\n⋅\n-⋅\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\nIII sposób\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\nx\ny\n0\nC\nD\nB\nA\nh\nM\nProsta k o równaniu\n2\n10\ny\nx\nprzecina oś Ox w punkcie B, więc\n(\n)\n5,0\nB =\nZatem\n(\n)\n5\n4\n9\nAB =\nNiech h\nCD\n. Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej k jest równy 2\n-, więc\n1\n2\nDA\nh\nZatem\n1\n9\n2\nAD\nh\nWspółczynnik kierunkowy prostej AM jest równy\n(\n)\n9 0\n3\n2\n4\n2\nAM\na\n, ale\nAM\nCD\na\nAD\n, więc\n3\n2\nCD\nAD =\n,\n1\n2\n3\n2\n9\nh\nh\n,\n3\n2\n27\n2\nh\nh\n,\n7\n27\n2 h =\n,\n54\n7\nh =\nPole trójkąta ABC jest równe\n1\n1\n54\n243\n5\n9\n34\n2\n2\n7\n7\n7\nABC\nP\nAB h\n⋅\n⋅\n⋅⋅\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AM:\n3\n2\na\nalbo\n• wyznaczy współrzędne punktu B:\n(\n)\n5,0\nB =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• zapisze równanie prostej AM:\n3\n6\n2\ny\nx\nalbo\n• wyznaczy równanie prostej MN:\n2\n13\ny\nx\ni zapisze, że trójkąty ABC i ANM są\npodobne,\nalbo\n• zapisze zależność między długościami odcinków CD i DA:\n3\n2\nCD\nAD =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy długość podstawy AB trójkąta:\n9\nAB =\noraz zapisze równanie, z którego\nmożna wyznaczyć jedną ze współrzędnych punktu C\nalbo\n• obliczy współrzędne wierzchołka C:\n8 54\n,\n7\n7\nC\n\n\n= \n\n\n\n(lub drugą współrzędną tego\npunktu) i nie zapisze współrzędnych punktu B,\nalbo\n• obliczy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM:\n6\n7\ns =\n(lub skalę\npodobieństwa trójkąta ANM do trójkąta ABC :\n1\n7\n6\ns =\n),\nalbo\n• obliczy pole trójkąta ANM:\n1 21 9\n2\n2\nANM\nP\n⋅\n⋅ i zapisze, że\n2\nABC\nANM\nP\ns P\n⋅\n, gdzie s\noznacza skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM,\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, z którego można obliczyć wysokość trójkąta\nABC, np.:\n1\n2\n3\n2\n9\nh\nh\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy drugą współrzędną wierzchołka C oraz długość podstawy AB trójkąta ABC:\n54\n7\nC\ny\n,\n9\nAB =\nalbo\n• obliczy współrzędne wierzchołków B i C:\n(\n)\n5,0\nB =\n,\n8 54\n,\n7\n7\nC\n\n\n= \n\n\n\n,\nalbo\n• obliczy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM:\n6\n7\ns =\n(lub skalę\npodobieństwa trójkąta ANM do trójkąta ABC :\n1\n7\n6\ns =\n) oraz pole trójkąta ANM:\n1 21 9\n2\n2\nANM\nP\n⋅\n⋅ i zapisze, że\n2\nABC\nANM\nP\ns P\n⋅\n,\nalbo\n• obliczy wysokość CD trójkąta ABC:\n54\n7\nh =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy pole trójkąta ABC:\n243\n7\nABC\nP\nUwaga\nAkceptujemy, jeżeli zdający poda pole trójkąta w przybliżeniu, np. 34,714.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{243}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołków i wzór na pole\n\n**Krok 1: Wyznacz punkt B (przecięcie prostej k z osią Ox)**\n\nNa osi \\(Ox\\) mamy \\(y = 0\\). Podstawiamy do równania prostej \\(k\\):\n\\[0 = -2x + 10 \\implies x = 5\\]\n\\[\\boxed{B = (5, 0)}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz równanie prostej AM**\n\nDane: \\(A = (-4, 0)\\), \\(M = (2, 9)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{9 - 0}{2 - (-4)} = \\frac{9}{6} = \\frac{3}{2}\\]\n\nRównanie prostej (postać kierunkowa przez punkt A):\n\\[y - 0 = \\frac{3}{2}(x - (-4)) \\implies y = \\frac{3}{2}x + 6\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz punkt C (przecięcie prostej k z prostą AM)**\n\nUkład równań:\n\\[\\begin{cases} y = -2x + 10 \\\\ y = \\frac{3}{2}x + 6 \\end{cases}\\]\n\nPrzyrównujemy prawe strony:\n\\[-2x + 10 = \\frac{3}{2}x + 6\\]\n\\[4 = \\frac{3}{2}x + 2x = \\frac{3}{2}x + \\frac{4}{2}x = \\frac{7}{2}x\\]\n\\[x = \\frac{8}{7}\\]\n\nPodstawiamy do równania prostej \\(k\\):\n\\[y = -2 \\cdot \\frac{8}{7} + 10 = -\\frac{16}{7} + \\frac{70}{7} = \\frac{54}{7}\\]\n\n\\[\\boxed{C = \\left(\\frac{8}{7},\\ \\frac{54}{7}\\right)}\\]\n\n**Krok 4: Oblicz pole trójkąta ABC**\n\nKluczowa obserwacja: **punkty A i B leżą na osi Ox** (oba mają \\(y = 0\\)), zatem odcinek AB jest podstawą trójkąta leżącą na osi poziomej.\n\nDługość podstawy:\n\\[|AB| = |5 - (-4)| = 9\\]\n\nWysokość trójkąta = rzędna punktu C (prostopadła odległość od C do osi Ox):\n\\[h = \\frac{54}{7}\\]\n\nPole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 9 \\cdot \\frac{54}{7} = \\frac{486}{14} = \\boxed{\\frac{243}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór ze współrzędnych\n\nKorzystamy bezpośrednio ze wzoru na pole trójkąta o danych współrzędnych wierzchołków \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\), \\(C(x_C, y_C)\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (-4, 0)\\), \\(B = (5, 0)\\), \\(C = \\left(\\frac{8}{7}, \\frac{54}{7}\\right)\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(5-(-4))\\cdot\\left(\\frac{54}{7} - 0\\right) - (0-0)\\cdot\\left(\\frac{8}{7}-(-4)\\right)\\right|\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|9 \\cdot \\frac{54}{7} - 0\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{486}{7} = \\frac{243}{7}\\]\n\nWynik zgodny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n1. Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\), gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy - użyte do zapisania prostej AM.\n\n2. Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\nUżyte w Kroku 2 do wyznaczenia prostej AM.\n\n3. Pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyte w Sposobie 2 jako weryfikacja.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu punktu B (przecięcie z osią \\(Ox\\)) podstawiamy \\(y = 0\\) - częsty błąd to szukanie przecięcia z \\(Oy\\) (czyli \\(x = 0\\)), co daje punkt \\((0, 10)\\), a nie B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu C trzeba najpierw znaleźć równanie prostej **AM** (nie prostej kM czy cokolwiek innego) - punkty A i M jednoznacznie wyznaczają tę prostą, ale M **nie jest** wierzchołkiem trójkąta, tylko punktem pomocniczym na tej prostej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{243}{7}\\) jest ułamkiem - to poprawne! Nie trzeba \"zaokrąglać\" ani szukać wyniku całkowitego. Na maturze ułamek w wyniku jest akceptowalny, o ile jest nieskracalny (\\(\\gcd(243, 7) = 1\\), bo \\(243 = 3^5\\) i \\(7\\) jest pierwsze).\n\n**Odpowiedź: \\(P_{ABC} = \\dfrac{243}{7} = 34\\dfrac{5}{7}\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie wszystkich wierzchołków\n**Krok 1 - wierzchołek \\(B\\) (przecięcie \\(k\\) z osią \\(Ox\\)):**\n\\(y = 0 \\Rightarrow -2x + 10 = 0 \\Rightarrow x = 5\\). Zatem \\(B = (5, 0)\\).\n\n**Krok 2 - równanie prostej \\(AM\\)** przez \\(A = (-4, 0)\\) i \\(M = (2, 9)\\):\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a = \\dfrac{9-0}{2-(-4)} = \\dfrac{9}{6} = \\dfrac{3}{2}\\).\nRównanie: \\(y = \\dfrac{3}{2}(x+4) = \\dfrac{3}{2}x + 6\\).\n\n**Krok 3 - wierzchołek \\(C\\) (przecięcie \\(AM\\) i \\(k\\)):**\n\\[\\dfrac{3}{2}x + 6 = -2x + 10\\]\n\\[\\dfrac{3}{2}x + 2x = 4 \\Rightarrow \\dfrac{7}{2}x = 4 \\Rightarrow x = \\dfrac{8}{7}.\\]\n\\[y = -2\\cdot\\dfrac{8}{7} + 10 = -\\dfrac{16}{7} + \\dfrac{70}{7} = \\dfrac{54}{7}.\\]\nZatem \\(C = \\left(\\dfrac{8}{7}, \\dfrac{54}{7}\\right)\\).\n\n**Krok 4 - pole trójkąta \\(ABC\\):**\n\\(A\\) i \\(B\\) leżą na osi \\(Ox\\): \\(|AB| = |5 - (-4)| = 9\\). Wysokość z \\(C\\) do \\(AB\\) = \\(y_C = \\dfrac{54}{7}\\).\n\\[P_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 9\\cdot\\dfrac{54}{7} = \\dfrac{486}{14} = \\dfrac{243}{7}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór determinantowy\n\\[P = \\dfrac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\\]\n\\[= \\dfrac{1}{2}\\left|(-4)(0 - \\tfrac{54}{7}) + 5(\\tfrac{54}{7} - 0) + \\tfrac{8}{7}(0 - 0)\\right|\\]\n\\[= \\dfrac{1}{2}\\left|\\tfrac{216}{7} + \\tfrac{270}{7}\\right| = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{486}{7} = \\dfrac{243}{7}.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(P = \\dfrac{243}{7} \\approx 34{,}71\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od\n40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n5\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa (10.3).\nPrzykładowe rozwiązanie\nJest to model klasyczny i liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n90\nΩ =\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich liczb naturalnych\ndwucyfrowych.\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie\nmniejsza od 40 i podzielna przez 3. Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne\n}\n{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39\nA\nStąd\n10\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n10\n1\n90\n9\nΩ\nA\nP A\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że wylosujemy liczbę,\nktóra jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3, jest równe 1\n9.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze, że\n90\nΩ =\nalbo\n• zapisze, że\n10\nA =\ni nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych\nalbo\n• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n12,15,18, 21, 24, 27,30,33,36,39\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka:\n( )\n10\n1\n90\n9\nA\nP A =\nΩ\nUwaga\n1. Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik ( )\nP A jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli w przedstawionym rozwiązaniu zdający interpretuje zdarzenie elementarne jako\nrezultat wylosowania więcej niż jednej liczby, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w rozwiązaniu zapisze tylko 1\n9, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie wprost\n\n**Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych**\n\nZbiór wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych to:\n\\[10, 11, 12, \\ldots, 99\\]\n\\[|\\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\\]\n\n**Krok 2: Zdarzenie sprzyjające**\n\nSzukamy liczb dwucyfrowych spełniających OBA warunki jednocześnie:\n- mniejsze od \\(40\\), czyli należące do \\(\\{10, 11, \\ldots, 39\\}\\)\n- podzielne przez \\(3\\)\n\nWypisuję je po kolei:\n\\[12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39\\]\n\n**Weryfikacja każdej:** \\(12 = 3 \\cdot 4\\), \\(15 = 3 \\cdot 5\\), , \\(39 = 3 \\cdot 13\\) ✓\n\n\\[|A| = 10\\]\n\n**Krok 3: Prawdopodobieństwo**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{10}{90} = \\frac{1}{9}\\]\n\n## Sposób 2 - Ciąg arytmetyczny\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez \\(3\\) i mniejsze od \\(40\\) tworzą **ciąg arytmetyczny** o różnicy \\(r = 3\\):\n\\[a_1 = 12, \\quad a_n = 39\\]\n\nLiczba wyrazów tego ciągu:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r \\implies 39 = 12 + (n-1) \\cdot 3\\]\n\\[27 = (n-1) \\cdot 3 \\implies n - 1 = 9 \\implies n = 10\\]\n\nStąd \\(|A| = 10\\), a prawdopodobieństwo:\n\\[P(A) = \\frac{10}{90} = \\boxed{\\frac{1}{9}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio: podzieliliśmy liczbę zdarzeń sprzyjających przez moc przestrzeni zdarzeń.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia liczby elementów sprzyjających.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby naturalne dwucyfrowe zaczynają się od **10**, nie od **1**! Jeśli ktoś przyjmie \\(|\\Omega| = 99\\), dostanie błędny wynik \\(\\frac{10}{99}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „mniejsza od 40\" oznacza \\(< 40\\), czyli **39 należy**, ale **40 już nie**. Nie mylić z „nie większa niż 40\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wypisywaniu liczb podzielnych przez 3 łatwo pominąć pierwszą (12) lub ostatnią (39) - sprawdź zawsze, czy obydwa krańce spełniają oba warunki.\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{9}\\)**\n\n### Sposób 1 - Liczenie zdarzeń sprzyjających\n**Krok 1 - \\(|\\Omega|\\):** liczby dwucyfrowe to \\(\\{10, 11, \\ldots, 99\\}\\), czyli \\(90\\) liczb.\n\n**Krok 2 - zdarzenia sprzyjające:** liczby dwucyfrowe \\(\\ge 10\\) i \\(< 40\\) podzielne przez \\(3\\):\n\\[12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39.\\]\nRazem: \\(|A| = 10\\).\n\n**Krok 3 - prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{10}{90} = \\dfrac{1}{9}.\\]\n\nSprawdzamy nieskracalność: \\(\\gcd(1, 9) = 1\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Ciąg arytmetyczny\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez 3 mniejsze od 40: pierwsza \\(12 = 3\\cdot 4\\), ostatnia \\(39 = 3\\cdot 13\\). Liczba wyrazów: \\(13 - 4 + 1 = 10\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{10}{90} = \\dfrac{1}{9}.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(P = \\dfrac{1}{9}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-4)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi\npodstawy ostrosłupa jest równa 5 3\n4\n, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest\nrówne 15 3\n4\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 5√3/4, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 15√3/4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami,\nkrawędziami i przekątnymi. (9.1)\nZdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt\nmiędzy odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami\ni ścianami, przekątnymi i ścianami (9.2)\nZdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty\nmiędzy ścianami (9.4)\nZdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków,\nmiar kątów, pól powierzchni i objętości (9.6).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWykorzystujemy wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa i zapisujemy równanie\n15 3\n1\n5 3\n3\n4\n2\n4\na\n= ⋅\n⋅\n, skąd otrzymujemy\n2\na\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DOS otrzymujemy\nPonieważ\n1\n3\n3\n3\n2\n3\n⋅\nDO\na\n, więc\n2\n2\n2\n5 3\n3\n4\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nH\nStąd\n209\n4 3\nH\nZatem objętość ostrosłupa jest równa\n1\n1 4 3\n209\n209\n3\n3\n4\n12\n4 3\n⋅\n⋅\n⋅\np\nV\nP\nH\n2\n2\n2\nDO\nh\nH\nA\nB\nC\nS\nh\nH\nO\na\nb\nD\na\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• zapisze równanie 15 3\n1\n5 3\n3\n4\n2\n4\na\n= ⋅\n⋅\nalbo\n• zapisze, że\n1\n3\n3\n2\nDO\na\n⋅\nlub\n2\n3\n3\n2\nAO\na\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa:\n2\na =\ni zapisze równanie\nz niewiadomą H, np.:\n2\n2\n2\n5 3\n3\n4\n6\na\nH\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa:\n2\na =\ni zapisze układ równań\nwystarczający do obliczenia wysokości ostrosłupa, np.:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n5 3\n2\n4\na\nH\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n+\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa:\n209\n4 3\nH\ni na tym zakończy lub dalej popełnia\nbłędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy objętość V ostrosłupa:\n209\n12\nV\nUwagi\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w treści zadania, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.\n3. Jeżeli zdający poda długość krawędzi podstawy\n2\na =\nbez obliczeń i rozwiąże zadanie do\nkońca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający błędnie przepisze liczbę 5 3\n4\nlub liczbę 15 3\n4\ni z tym błędem rozwiąże\nzadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n5. Jeśli zdający nie obliczy a i przyjmuje, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi,\nto otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}\\)\n\n## Sposób 1 - przez apotema ostrosłupa i twierdzenie Pitagorasa\n\n**Dane:**\n- apotema ostrosłupa (wysokość ściany bocznej ⊥ do krawędzi podstawy): \\(m = \\dfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\)\n- pole powierzchni bocznej: \\(P_b = \\dfrac{15\\sqrt{3}}{4}\\)\n\n### Krok 1 - wyznaczenie boku podstawy \\(a\\)\n\nOstrosłup prawidłowy trójkątny ma **3 trójkątne ściany boczne**, każda o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(m\\). Pole każdej ściany bocznej to \\(\\frac{1}{2}am\\), więc:\n\n\\[P_b = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot m\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\\frac{15\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3}{2} \\cdot a \\cdot \\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n\\[\\frac{15\\sqrt{3}}{4} = \\frac{15a\\sqrt{3}}{8}\\]\n\n\\[a = \\frac{15\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{8}{15\\sqrt{3}} = 2\\]\n\n**Bok podstawy \\(a = 2\\).**\n\n### Krok 2 - wyznaczenie wysokości ostrosłupa \\(h\\)\n\nApotema ostrosłupa, promień wpisany w podstawę i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny:\n\n\\[m^2 = h^2 + r^2\\]\n\ngdzie \\(r\\) - apotema (promień wpisany) trójkąta równobocznego podstawy:\n\n\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{2\\sqrt{3}}{6} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\left(\\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\right)^2 = h^2 + \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2\\]\n\n\\[\\frac{75}{16} = h^2 + \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[h^2 = \\frac{75}{16} - \\frac{1}{3} = \\frac{225}{48} - \\frac{16}{48} = \\frac{209}{48}\\]\n\n\\[h = \\frac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{209} \\cdot \\sqrt{3}}{12} = \\frac{\\sqrt{627}}{12}\\]\n\n### Krok 3 - obliczenie objętości\n\nPole podstawy (trójkąt równoboczny o boku \\(a = 2\\)):\n\n\\[S_{\\text{podst}} = \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot a^2 = \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot 4 = \\sqrt{3}\\]\n\nObjętość ostrosłupa:\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot S_{\\text{podst}} \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot \\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{627}}{12} = \\frac{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{627}}{36} = \\frac{\\sqrt{1881}}{36}\\]\n\nUpraszczamy: \\(1881 = 9 \\cdot 209\\), więc \\(\\sqrt{1881} = 3\\sqrt{209}\\):\n\n\\[\\boxed{V = \\frac{\\sqrt{209}}{12}}\\]\n\n## Sposób 2 - przez krawędź boczną ostrosłupa\n\nKrawędź boczna \\(e\\) (bok trójkąta bocznego) wyznaczamy z trójkąta bocznego. Każda ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie \\(a = 2\\) i wysokości \\(m = \\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\):\n\n\\[e^2 = m^2 + \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 = \\frac{75}{16} + 1 = \\frac{91}{16} \\implies e = \\frac{\\sqrt{91}}{4}\\]\n\nTeraz wyznaczamy \\(h\\) używając promienia opisanego podstawy \\(R\\) (dla trójkąta równobocznego \\(R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{3}\\)):\n\n\\[h^2 = e^2 - R^2 = \\frac{91}{16} - \\frac{4}{3} = \\frac{273}{48} - \\frac{64}{48} = \\frac{209}{48}\\]\n\nWynik identyczny jak w Sposobie 1. Objętość:\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{\\frac{209}{48}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{209}}{12}\\]\n\n**Weryfikacja jest spójna** - oba sposoby dają \\(V = \\frac{\\sqrt{209}}{12} \\approx 1{,}205\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\n> **Ostrosłup:**\n> \\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\n> gdzie \\(P_p\\) - pole podstawy, \\(h\\) - wysokość ostrosłupa.\n> Użyliśmy tego w Kroku 3 do obliczenia objętości.\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 15-17)**\n\n> \\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\quad h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad r = \\frac{h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]\n> Wzór na apotema \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\) był kluczowy w Kroku 2 do związku między \\(m\\), \\(h\\) i \\(r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **apotemy ostrosłupa** (wysokość ściany bocznej do krawędzi podstawy = \\(m\\)) z **wysokością ostrosłupa** (\\(h\\)). To zupełnie różne odcinki! \\(m\\) leży w płaszczyźnie ściany bocznej, \\(h\\) jest prostopadła do podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema podstawy trójkąta równobocznego to \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\), **nie** \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) (to jest wysokość trójkąta). Pomyłka tych dwóch wartości to bardzo częsty błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Związek Pitagorejski \\(m^2 = h^2 + r^2\\) działa, bo apotema ostrosłupa, apotema podstawy i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny - upewnij się, że rysujesz ten trójkąt pomocniczy.\n\n**Odpowiedź: \\(V = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie krawędzi podstawy\n**Krok 1 - pole powierzchni bocznej** = 3 × pole trójkąta ściany bocznej:\n\\[P_b = 3\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_{sc}\\]\nGdzie \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(h_{sc} = \\tfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\) - wysokość ściany bocznej.\n\\[\\dfrac{15\\sqrt{3}}{4} = 3\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot\\dfrac{5\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{15a\\sqrt{3}}{8}\\]\n\\[\\dfrac{15\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{15a\\sqrt{3}}{8} \\Rightarrow a = 2.\\]\n\n**Krok 2 - wysokość ostrosłupa \\(H\\).**\nOznaczmy \\(O\\) - środek podstawy (środek trójkąta równobocznego). Punkt \\(D\\) - środek krawędzi podstawy. \\(|OD|\\) to \\(\\tfrac{1}{3}\\) wysokości trójkąta równobocznego:\n\\[|OD| = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{2\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]\n\nZ trójkąta prostokątnego \\(ODS\\) (gdzie \\(S\\) - wierzchołek ostrosłupa):\n\\[h_{sc}^2 = |OD|^2 + H^2\\]\n\\[\\left(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\right)^2 = \\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 + H^2\\]\n\\[\\dfrac{75}{16} = \\dfrac{1}{3} + H^2\\]\n\\[H^2 = \\dfrac{75}{16} - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{225 - 16}{48} = \\dfrac{209}{48}\\]\n\\[H = \\sqrt{\\dfrac{209}{48}} = \\dfrac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}}.\\]\n\n**Krok 3 - objętość:**\nPole podstawy: \\(P_p = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{4} = \\sqrt{3}\\).\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p\\cdot H = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja równań\nZ \\(a = 2\\) i \\(h_{sc} = \\tfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\): krawędź boczna \\(b\\) obliczamy z Pitagorasa w trójkącie ściany bocznej:\n\\[b^2 = h_{sc}^2 + \\left(\\tfrac{a}{2}\\right)^2 = \\tfrac{75}{16} + 1 = \\tfrac{91}{16}, \\quad b = \\tfrac{\\sqrt{91}}{4}.\\]\nUżywając \\(b\\) i \\(|OA| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{2\\sqrt{3}}{3}\\): \\(H^2 = b^2 - |OA|^2 = \\tfrac{91}{16} - \\tfrac{4}{3} = \\tfrac{273-64}{48} = \\tfrac{209}{48}\\) ✓.\n\n**Odpowiedź:** \\(V = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}