{"paper":{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba (\n)\n2\n2\n3\n2\n3\njest równa\nA. 2\nB. 4\nC.\n3\nD. 2 3\nLiczba (√(2-√3) - √(2+√3))^2 jest równaj A. 2, B. 4, C. √3, D. 2√3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów\nskróconego mnożenia na (a ±b)2 oraz a2 - b2 (2.1).\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się\nw obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia\ni stosuje prawa działań na pierwiastkach (1.3).\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nNieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem\n(\n)(\n)\n2\n3\n2\n10\n2\n3\n2\n3\nn\nn\nn\nn\na\nn\nn\ndla\n1\nn ≥.\nWtedy\nA.\n1\nlim\n2\nn\nn\na\n→∞\nB. lim\n0\nn\nn\na\n→∞\nC. lim\nn\nn\na\n→∞\n= -∞\nD.\n3\nlim\n2\nn\nn\na\n→∞\nNieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem a_n = (n^2-10n)(2-3n) / 2n^3 + n^2 + 3 dla n≥1. Wtedy A . lim_{n→∞} a_n = 1/2, B. lim_{n→∞} a_n = 0, C. lim_{n→∞} a_n = -\\infty, D. lim_{n→∞} a_n = -3/2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n5. Ciągi. Zdający oblicza granice ciągów, korzystając\nz granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz z twierdzeń\no działaniach na granicach ciągów; (R5.2).\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nOdcinek CD jest wysokością trójkąta ABC, w którym\n1\n2\nAD\nCD\nBC\n(zobacz rysunek).\nOkrąg o środku C i promieniu CD jest styczny do prostej AB. Okrąg ten przecina boki\nAC i BC trójkąta odpowiednio w punktach K i L.\nZaznaczony na rysunku kąt α wpisany w okrąg jest równy\nA. 37,5°\nB. 45°\nC. 52,5°\nD. 60°\nOdcinek CD jest wysokością trójkąta ABC, w którym |AD|=|CD|=1/2|BC| (zobacz rysunek). Okrąg o środku C i promieniu CD jest styczny do prostej AB. Okrąg ten przecina boki AC i BC trójkąta odopwiednio w punktach K i L. Zaznaczony na rysunku kąt α wpisany w okrąg jest równy A. 37,5°, B. 45°, C. 52,5°, D. 60°.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje zależności między\nkątem środkowym i kątem wpisanym; (7.1).\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"planimetria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDane są punkt\n(\n)\n4,7\nB = -\ni wektor\n[\n]\n3,5\nu = -\n\n. Punkt A, taki, że\n3\nAB\nu\n\n, ma współrzędne\nA.\n(\n)\n5, 8\nA =\nB.\n(\n)\n13,22\nA = -\nC.\n(\n)\n9, 15\nA =\nD.\n(\n)\n12,24\nA =\nD\nA\nC\nα\nB\nM\nK\nL\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R\nDane są punkty B=(-4,7) i wektor u=[-3,5]. Punkt A, taki że AB = -3u, ma współrzędne A. A=(5,-8), B. A=(-13,22), C. A=(9,-15), D. A=(22,24).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający\noblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje\ni odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę.\nInterpretuje geometrycznie działania na wektorach\n(R8.7).\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nReszta z dzielenia wielomianu\n3\n2\n3\n4\n( )\n2\nW x\nx\nx\nax\nprzez dwumian\n2\nx - jest równa 1.\nOblicz wartość współczynnika a.\nW poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego\notrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nReszta z dzielenia wielomianu W(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 3/4 przez dwumian x-2 jest równa 1. Oblicz wartość współczynnika a. W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje\ntwierdzenie o reszcie z dzielenia\nwielomianu przez dwumian x - a (R3.4).\n125","solution":"125","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nFunkcja f jest określona wzorem\n( )\n2\n1\n1\nx\nf\nx\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz\nrównanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie\n(\n)\n1, 0\nP =\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = x-1 / x^2+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P=(1,0).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający oblicza pochodne funkcji\nwymiernych oraz korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji\npochodnej (R11.2, R11.3).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPochodna funkcji f jest równa\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1 2\n1\n2\n1\n1\n1\n′\nx\nx x\nx\nx\nf\nx\nx\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nWspółczynnik kierunkowy szukanej stycznej jest równy:\n( )\n2\n1\n1\n4\n2\n′\nf\n,\nzatem równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie\n(\n)\n1, 0\nP =\nma postać:\n(\n)\n1\n1\n0\n2\ny\nx\n,\n1\n1\n2\n2\ny\nx\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy pochodną funkcji f:\nnp.\n( )\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1 2\n1\n1\nx\nx x\nf\nx\nx\n′\nlub\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n1\nx\nx\nf\nx\nx\n′\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy\n( )\n1\n1\n2\n′\nf\n, poprawnie interpretuje tę liczbę jako współczynnik kierunkowy\nstycznej i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie\n(\n)\n1, 0\nP =\n:\n1\n1\n2\n2\ny\nx\nUwaga\nJeżeli zdający wyznacza błędnie pochodną funkcji, np.:\n( )\n(\n)\n2\n2\n1 2\n1\n1\nx\nx x\nf\nx\nx\n′\ni konsekwentnie do popełnionego błędu wyznaczy równanie stycznej, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"$y = \\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{1}{2}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nUdowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nUdowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność. x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 > 0","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na (a ±b)2 oraz a2 - b2 (2.1).\nZdający dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia\nwymierne (R2.6).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy nierówność równoważnie:\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n2\n4\n2\n0\nx y\nxy\nx\nxy\ny\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\nxy\ny\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\ny\n>\nPonieważ x\ny\n≠\n, więc (\n)\n2\n0\nx\ny\n>\n. Zatem lewa strona tej nierówności jest sumą liczby\nnieujemnej (\n)\n2\n2\nxy -\noraz liczby dodatniej (\n)\n2\n2 x\ny\n, a więc jest dodatnia.\nTo kończy dowód.\nII sposób\nZapiszmy nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nw postaci równoważnej\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n0\n⋅+\n>\ny\nx\ny x\ny\nPonieważ\n2\n2\n0\n>\ny\ndla każdej liczby rzeczywistej y, więc możemy potraktować tę\nnierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x i parametrem y (lub z niewiadomą y\ni parametrem x). Wystarczy więc wykazać, że wyróżnik trójmianu kwadratowego\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n⋅+\ny\nx\ny x\ny\nzmiennej x jest ujemny.\n(\n)\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nΔ\n8\n4\n2\n2\n4\n64\n8\n2\n-⋅\n⋅\ny\ny\ny\ny\ny\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n2\n4\n2\n2\n8 8\n4\n4\n8\n4\n4\n8\n2\ny\ny\ny\ny\ny\ny\nDla każdej liczby rzeczywistej y, takiej, że\n2\n2\n≠\ny\nwyróżnik jest ujemy. Gdy\n2\n2\ny\n, to\nwówczas nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nma postać\n2\n4\n8 2\n8\n0\n>\nx\nx\nlub\n2\n4\n8 2\n8\n0\n>\nx\nx\n2\n2 2\n2\n0\n>\nx\nx\nlub\n2\n2 2\n2\n0\n>\nx\nx\n,\n(\n)\n2\n2\n0\n>\nx\nlub (\n)\n2\n2\n0\n>\nx\nPonieważ z założenia wynika, że\n≠\nx\ny , więc\n2\n2\n≠\nx\n, a to oznacza, że każda z otrzymanych\nnierówności jest prawdziwa.\nTo kończy dowód.\nIII sposób\nRozpatrzmy nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nw trzech przypadkach.\nI. Gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, np. gdy\n0\nx\n. Wtedy nierówność\nprzyjmuje postać\n2\n2\n4\n0\n>\ny\nTa nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej y.\nII. Gdy żadna z liczb x, y nie jest równa 0 i gdy\n0\n<\nxy\n. Wtedy po lewej stronie nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nwszystkie składniki są dodatnie, więc nierówność jest\nprawdziwa.\nIII. Gdy żadna z liczb x, y nie jest równa 0 i gdy\n0\n>\nxy\n. Wtedy, dzieląc obie strony\nnierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nprzez xy , otrzymujemy nierówność równoważną\n4\n2\n2\n8\n0\n>\nx\ny\nxy\ny\nx\nxy\n,\n4\n2\n8\n0\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\n,\n4\n4\n2\n2\n0\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\n,\n2\n2\n2\n2\n0\n\n\n\n\n\n\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\nPonieważ z założenia\n≠\nx\ny , więc\n1\n≠\nx\ny\n, zatem\n≠\nx\ny\ny\nx\n, co oznacza, że\n2\n0\n\n\n\n\n>\n\n\n\n\nx\ny\ny\nx\nStąd i z tego, że\n2\n2\n0\n\n\n\n\n≥\n\n\n\n\nxy\nxy\nwynika prawdziwość otrzymanej nierówności.\nTo kończy dowód.\nIV sposób\nI. Gdy\n0\nxy ≤\n, to wtedy po lewej stronie nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\ncztery\npierwsze składniki są nieujemne, piąty jest dodatni, więc nierówność jest prawdziwa.\nII. Gdy\n0\nxy >\n, wtedy z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla liczb\ndodatnich\n2\n2\nx y ,\n2\n2x ,\n2\n2y i 4 otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\n4\n2\n2\n4\n2\n2\n4\n16\n2\n4\nx y\nx\ny\nx y\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n⋅\n⋅\n⋅\n,\nskąd\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n8\nx y\nx\ny\nxy\n≥\nRówność miałaby miejsce tylko wtedy, gdyby\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\nx y\nx\ny\n, a więc gdyby\n2\n2\nx\ny\n,\nco wobec nierówności\n0\nxy >\noznaczałoby x\ny\n, co jest sprzeczne z założeniem. Zatem\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n8\nx y\nx\ny\nxy\n>\n,\nczyli\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania\nI sposób rozwiązania\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\ny\n>\ni na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie, uwzględniające założenie, że x\ny\n≠\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci (\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n0\n⋅+\n>\ny\nx\ny x\ny\n, obliczy wyróżnik\ntrójmianu kwadratowego (\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n⋅+\ny\nx\ny x\ny\n, np.:\n(\n)\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\nΔ\n8\n4\n2\n2\n4\ny\ny\ny\n-⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający uzasadni, że wyróżnik\n(\n)\n2\n2\nΔ\n8\n2\ny\njest niedodatni dla każdej liczby rzeczywistej\ny, ale nie rozpatrzy przypadku, gdy\n2\n2\ny\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający wykaże prawdziwość nierówności w I i w II przypadku i na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci\n4\n2\n8\n0\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\nw przypadku, gdy\n0\n>\nxy\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIV sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający wykaże prawdziwość nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nw I przypadku\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający uzasadni, że gdy\n0\nxy >\n, to prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n4\nx y\nx\ny\nxy\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nW trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz\nABC\nβ\n\n. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E.\nWykaż, że długość odcinka BE jest równa\n2\ncos 2\nac\na\nc\nβ\n⋅\n\nMMA_1R\nW trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz |∠ABC| = β. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E. Wykaż, że długość odcinka BE jest równa 2ac⋅cosβ/2 / a+c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym\nze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach\ni kącie między nimi. (7.4).\nZdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne wykorzystuje\n(także w kontekstach praktycznych) ich własności. (R7.4).\nZdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.\n(R7.5).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPole trójkąta ABC jest równe\n1\nsin\n2\n⋅⋅\nβ\nABC\nP\na c\nPola trójkątów ABE i CBE są równe\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nABE\nP\nd c\noraz\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nCBE\nP\nd a\nSuma pól trójkątów ABE i CBE jest równa polu trójkąta ABC, zatem\n1\n1\n1\nsin\nsin\nsin\n2\n2\n2\n2\n2\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\nβ\nβ\nβ\na c\nd c\nd a\nA\nB\nC\nE\na\nc\nd\n2\nβ\n2\nβ\nStąd\n(\n)\n2sin\ncos\nsin\n2\n2\n2\n⋅⋅\n⋅\n⋅\nβ\nβ\nβ\na c\nd\na\nc\n(\n)\n2\ncos 2\n⋅\n⋅\nβ\nac\nd\na\nc ,\n2\ncos 2\n⋅\nβ\nac\nd\na\nc\nTo kończy dowód.\nII sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nZ twierdzenia o dwusiecznej otrzymujemy\nCE\nCB\nAE\nAB , czyli\ny\na\nx\nc .\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABE i CBE otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\ncos 2\nx\nc\nd\ncd\nβ\noraz\n2\n2\n2\n2\ncos 2\ny\na\nd\nad\nβ\nZatem\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n2\ncos\na\nd\nad\na\ny\nc\nx\nc\nd\ncd\nβ\nβ\nStąd otrzymujemy\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n2\ncos\na\nc\nd\ncd\nc\na\nd\nad\nβ\nβ\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n2\ncos\na c\na d\na cd\na c\nc d\nac d\nβ\nβ\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n2\ncos\na d\nc d\na cd\nac d\nβ\nβ\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\ncos\na\nc\nd\na\nc ac\nβ\nGdy a\nc\n, wówczas trójkąt ABC jest równoramienny, więc trójkąty ABE i CBE są\nprostokątne i przystające. Wtedy\n2\ncos\nd\nc\nβ =\n, skąd\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\ncos\ncos\n2\nc\nac\nd\nc\nc\na\nc\nβ\nβ\nβ\nGdy zaś a\nc\n≠\n, to (\n)(\n)\n0\na\nc\na\nc\n≠\n, czyli\n2\n2\n0\na\nc\n≠\n, więc\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\ncos\na\nc\nac\nd\nac\na\nc\na\nc\nβ\nβ\nTo kończy dowód.\nA\nB\nC\nE\na\nc\nd\n2\nβ\n2\nβ\nx\ny\nIII sposób\nPoprowadźmy wysokości CG i EF trójkątów ABC i ABE. Ponieważ trójkąt ABC jest\nostrokątny, więc spodki F i G tych wysokości leżą na boku AB trójkąta ABC. Pozostałe\noznaczenia przyjmijmy jak na rysunku.\nZ twierdzenia o dwusiecznej otrzymujemy\nCE\nCB\nAE\nAB , czyli\ny\na\nx\nc .\nZ trójkątów BEF i BCG otrzymujemy\nsin 2\nβ\np\nd\noraz\nsin\nβ\nh\na\nStąd\nsin 2\nβ\np\nd\noraz\nsin\nβ\nh\na\nTrójkąty AFE i AGC są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołku A. Zatem\nEF\nCG\nAE\nAC , czyli\np\nh\nx\nx\ny .\nStąd i z poprzednio otrzymanych równości otrzymujemy kolejno\nsin\nsin\n2 =\nβ\nβ\nd\na\nx\nx\ny ,\n2sin\ncos\n2\n2\nsin 2\n1\na\nd\ny\nx\nβ\nβ\nβ\n⋅\n,\n2\ncos\n2\ncos\n2\n2\n1\n⋅\n⋅\nβ\nβ\na\nac\nd\na\na\nc\nc\nTo kończy dowód.\nA\nB\nC\nE\na\nc\nd\n2\nβ\n2\nβ\nF\nG\np\nh\nx\ny\nSchemat punktowania\nI sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający\n• zapisze pola każdego z trójkątów ABC, ABE i CBE w zależności od długości a, c, d\ni kąta β :\n1\nsin\n2\n⋅⋅\nβ\nABC\nP\na c\n,\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nABE\nP\nd c\n,\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nCBE\nP\nd a\nalbo\n• zapisze, że pole trójkąta ABC jest sumą pól trójkątów ABE i CBE oraz zapisze jedno\nz tych pól:\n1\nsin\n2\n⋅⋅\nβ\nABC\nP\na c\nlub\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nABE\nP\nd c\nlub\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nCBE\nP\nd a\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze zależność między polem trójkąta ABC i polami trójkątów ABE i CBE\nw postaci, w której występują jedynie wielkości a, c, d i β , np.:\n1\n1\n1\nsin\nsin\nsin\n2\n2\n2\n2\n2\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\nβ\nβ\nβ\na c\nd c\nd a\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający zapisze zależności między wielkościami x, y, d, a i c oraz kątem β :\ny\na\nx\nc ,\n2\n2\n2\n2\ncos 2\nx\nc\nd\ncd\nβ\n,\n2\n2\n2\n2\ncos 2\ny\na\nd\nad\nβ\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze równanie, np.:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n2\ncos\na\nd\nad\na\nc\nc\nd\ncd\nβ\nβ\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający nie rozważy sytuacji gdy a\nc\n, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający zapisze\n• zależność między wielkościami x, y, a i c oraz zależności między wielkościami p, h i a\noraz kątem β :\ny\na\nx\nc ,\nsin 2\nβ\np\nd\n,\nsin\nβ\nh\na\nalbo\n• zależność między wielkościami x, y, a i c oraz zależności między wielkościami\np, h, x i y oraz kątem β :\ny\na\nx\nc ,\np\nh\nx\nx\ny ,\nalbo\n• zależność między wielkościami p, h i a oraz kątem β oraz zależność między\nwielkościami x, y, a i c:\nsin 2\nβ\np\nd\n,\nsin\nβ\nh\na\n,\ny\na\nx\nc\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze wystarczającą liczbę zależności między wielkościami x, y, a, c, p i h oraz\nkątem β , pozwalającą wyznaczyć d w zależności od wielkości a, c i kąta β , np.:\ny\na\nx\nc ,\nsin\nsin\n2 =\nβ\nβ\nd\na\nx\nx\ny\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze jedynie 3 razy twierdzenie cosinusów, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nW czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę\ntak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna π ,\nrównoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości\nrównej 8\n27 objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka S\nkuli od płaszczyzny π , tj. długość najkrótszego spośród odcinków SP, gdzie P jest punktem\npłaszczyzny π .\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nW czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna π, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej 8/27 objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka S kuli od płaszczyzny π, tj. długość najkrótszego spośród odcinków SP, gdzie P jest punktem płaszczyzny π.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój\ngraniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną. (R9.2).\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne;\nwykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności\n(R7.4).\nG10. Figury płaskie. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa (G10.7).\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech K będzie środkiem odcinka BC, a M i O spodkami wysokości trójkąta AKD\nopuszczonymi z wierzchołków A i D. Płaszczyzny AKD i ABC są prostopadłe, bo prosta BC\njest prostopadła do płaszczyzny AKD.\nNiech T będzie punktem wspólnym wysokości AM i DO. Odległości punktu T od prostych AK\ni DK są równe, bo AK\nDK\n. Są to też odległości punktu T od płaszczyzn ABC i BCD. Ten\nsam punkt T otrzymamy rozpatrując trójkąt LCD, gdzie L jest środkiem odcinka AB lub\ntrójkąt ŁBD, gdzie Ł jest środkiem odcinka AC. Wynika stąd, że odległość punktu T od każdej\nściany czworościanu ABCD jest taka sama. Wobec tego S\nT\nNiech H oznacza wysokość czworościanu, h wysokość ściany czworościanu, a R - promień\nkuli, o której mowa w treści zadania. Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku.\nWyznaczymy wysokość H czworościanu.\nOdcinki AK i DK to wysokości przystających trójkątów równobocznych ABC i BCD o boku\ndługości 6, więc\n6 3\n3 3\n2\nAK\nDK\nSpodek O wysokości DO czworościanu jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, więc\n1\n3\n3\nKO\nAK\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DOK otrzymujemy\n2\n2\n2\nDO\nKO\nDK\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n3 3\nH\nStąd\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3 3\n3\nH\n,\n2 6\nH\nWyznaczamy odległość d środka S kuli od płaszczyzny π .\nA\nC\nB\nD\nS\nM\nO\nK\nR\nH\nR\n6\n6\n6\nL\nI sposób\nNiech P będzie punktem, w którym wysokość DO przebija płaszczyznę π. Ponieważ\npłaszczyzna π jest równoległa do płaszczyzny ściany ABC, więc czworościan odcięty tą\npłaszczyzną od czworościanu ABCD jest podobny do czworościanu ABCD, a skala tego\npodobieństwa jest równa 3 8\n2\n27\n3\n. Wynika stąd, że płaszczyzna π przecina wysokość DK\nściany bocznej BCD w takim punkcie\n′\nM , że\n2\n3\n′ =\nDM\nDK .\nTo oznacza\n′ =\nM\nM .\nTrójkąty DOK, DPM, MPS są podobne, ponieważ para trójkątów prostokątnych DOK, DPM\nma jeden kąt ostry wspólny oraz para trójkątów prostokątnych DPM, MPS ma jeden kąt ostry\nwspólny. Zatem\nStąd\nDP\nDO\nMP\nMP\nOK\nPS\n, czyli\n2\n3\n3\nH\nMP\nH\nMP\nd\nStąd\n2\n3\n3\nMP =\noraz\n2\n3\n2 6\n3\n3\nd\nZatem\n6\n6\nd\nA\nπ\nD\nM\nO\nK\nH\nR\nP\nd\nS R\nII sposób\nObliczymy najpierw promień R kuli.\nTrójkąty DOK i DMS są podobne, ponieważ są prostokątne i mają jeden kąt ostry wspólny.\nZatem\nSM\nKO\nDS\nDK . Stąd\n1\n1\n3\n3\nh\nR\nH\nR\nh\n,\n3R\nH\nR\n,\n4R\nH\n1\n4\nR\nH\nPonieważ\n2 6\nH\n, więc\n2 6\n6\n4\n2\nR =\nPłaszczyzna π odcina czworościan podobny do czworościanu ABCD w skali 2\n3 , więc\n2\n3\nDP\nH\n, skąd\n1\n1\n2\n2 6\n6\n3\n3\n3\nOP\nH\n⋅\nOdległość punktu S od płaszczyzny π jest więc równa\n1\n2 6\n6\n6\n3\n3\n2\n6\nd\nH\nR\nUwaga\nMożemy najpierw wyznaczyć wielkości R i OP w zależności od H, potem wyznaczyć\nszukaną odległość d w zależności od H, a następnie obliczyć H i w rezultacie d:\n1\n4\nR\nH\n,\n1\n3\nOP\nH\n,\nwięc\n6\n1\n1\n1\n1\n3\n4\n12\n12\n6\n2 6\nd\nH\nH\nH\n⋅\nA\nπ\nD\nM\nO\nK\nH\nR\nP\nd\nS R\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający:\n• obliczy wysokość czworościanu ABCD:\n2 6\nH\nalbo\n• obliczy skalę s podobieństwa czworościanu odciętego płaszczyzną π od czworościanu\nABCD do czworościanu ABCD:\n2\n3\ns\n,\nalbo\n• zapisze zależność między promieniem R kuli, wysokością H czworościanu ABCD\ni wysokością h ściany czworościanu, np.:\n1\n3 h\nR\nH\nR\nh\n,\nalbo\n• zapisze zależność między R, objętością V czworościanu ABCD polem\ncP powierzchni\ncałkowitej czworościanu ABCD, np.:\n3\nc\nV\nR\nP\n,\nalbo\n• poprawnie interpretuje wielkość d, np. pisząc d\nH\nPD\nR\nlub zaznaczając d na\nrysunku\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający:\n• obliczy wysokość H czworościanu ABCD oraz skalę s podobieństwa czworościanu\nodciętego płaszczyzną π od czworościanu ABCD do czworościanu ABCD:\n2 6\nH\n,\n2\n3\ns\nalbo\n• obliczy wysokość H czworościanu ABCD oraz obliczy promień R kuli:\n2 6\nH\n,\n6\n2\nR =\n,\nalbo\n• obliczy skalę s podobieństwa czworościanu odciętego płaszczyzną π od czworościanu\nABCD do czworościanu ABCD oraz promień R kuli :\n2\n3\ns\n,\n6\n2\nR =\n,\nalbo\n• obliczy skalę s podobieństwa czworościanu odciętego płaszczyzną π od czworościanu\nABCD do czworościanu ABCD oraz wyznaczy promień R kuli w zależności od H :\n2\n3\ns\n,\n1\n4\nR\nH\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający:\n• obliczy wysokość H czworościanu ABCD, wysokość czworościanu odciętego\npłaszczyzną π od czworościanu ABCD do czworościanu ABCD oraz promień R kuli:\n2 6\nH\n,\n4\n6\n3\nDP =\n,\n6\n2\nR =\n,\nalbo\n• wyznaczy szukaną odległość d w zależności od wysokości H czworościanu ABCD,\nnp.:\n1\n1\n3\n4\nd\nH\nH\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy odległość punktu S od płaszczyzny π:\n6\n6\nd","solution":"$d = \\dfrac{\\sqrt{6}}{6}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"stereometria","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie cos2\n3cos\n2\nx\nx\nw przedziale 0, 2π .\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nRozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne oraz posługuje się wykresami funkcji\ntrygonometrycznych (R6.6, R6.4).\nPrzykładowe rozwiązania\nRównanie można przekształcić równoważnie do postaci:\n2\n2cos\n3cos\n1\n0\nx\nx\nPodstawiamy\ncos\nt\nx , przy czym\n1,1\n∈-\nt\nRozwiązujemy równanie kwadratowe:\n2\n2\n3\n1\n0\nt\nt\n9\n8\n1,\n1\nΔ =\nΔ = ,\n1\n3 1\n1\n4\nt\n,\n2\n3 1\n1\n4\n2\nt\nWyznaczamy wartości x w przedziale 0, 2π :\ncos\n1\nx\nlub\n1\ncos\n2\nx\n,\nπ\nx\nlub\n2π\n3\nx\n, lub\n4π\n3\nx\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze podane równanie w postaci, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna tego samego argumentu, np.\n2\n2cos\n1 3cos\n2\nx\nx\ni na tym zakończy\nlub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze, że równanie\n2\n2cos\n3cos\n1\n0\nx\nx\nma dwa rozwiązania\ncos\n1\nx\nlub\n1\ncos\n2\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• rozwiąże jedno z równań cos\n1\nx\nlub\n1\ncos\n2\nx\nw przedziale 0, 2π\nalbo\n• wyznaczy wszystkie rozwiązania równań cos\n1\nx\ni\n1\ncos\n2\nx\nw zbiorze R\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy wszystkie rozwiązania równania w podanym przedziale:\nπ\nx\nlub\n2π\n3\nx\n, lub\n4π\n3\nx\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełnił błąd przy rozwiązywaniu równania kwadratowego i otrzymał\nrównanie sprzeczne lub równanie, którego wszystkie rozwiązania są spoza przedziału\n1,1\n,\nto może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający popełnił błąd przy rozwiązywaniu równania kwadratowego i otrzymał\nrównanie, które ma tylko jedno rozwiązanie z przedziału\n1,1\n, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający popełnił błąd przy rozwiązywaniu równania kwadratowego i otrzymał\nrównanie, które ma dwa rozwiązania z przedziału\n1,1\n, przy czym co najmniej jedno z nich\njest z przedziału (\n)\n1,1\n, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający poda liczby\n2π\n4π\n3\n3\nπ,\n,\njako rozwiązanie, ale bez stosownego uzasadnienia, to\notrzymuje 0 punktów. Jeżeli poda te 3 liczby jako rozwiązanie, z uzasadnieniem, np.\nsprawdzeniem spełniania przez te liczby równości lub odpowiednią ilustracją, to otrzymuje\n1 punkt.","solution":"$x \\in \\left\\{ \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi, \\dfrac{4\\pi}{3} \\right\\}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8.\nLosujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy\npiłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy\nzapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn\ntrzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nW pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez $4$. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do\nzliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach\nkombinatorycznych (R10.1).\nPrzykładowe rozwiązanie\nJest to model klasyczny. Za każdym razem mamy 8 możliwości wyciągnięcia jednej piłeczki.\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem wszystkich ciągów trójwyrazowych\no wyrazach ze zbioru liczb całkowitych od 1 do 8. Zatem\n8 8 8\n512\nΩ = ⋅⋅=\nNiech A oznacza zdarzenie zapisania takich trzech liczb, że ich iloczyn dzieli się przez 4.\nWtedy możliwe są 3 przypadki.\nI. Wszystkie zapisane liczby są parzyste.\nII. Dwie z zapisanych liczb są parzyste, a jedna z zapisanych jest nieparzysta.\nIII. Dwie z zapisanych liczb są nieparzyste, a jedna z zapisanych jest podzielna przez 4.\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych w każdym z tych przypadków.\nI. 4 4 4\n64\n⋅⋅\nII. 4 4 4 3\n192\n⋅⋅⋅=\nIII. 4 4 2 3\n96\n⋅⋅⋅=\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że iloczyn trzech\nzapisanych liczb jest podzielny przez 4:\n( )\n64 192\n96\n352\n11\n512\n512\n16\nP A\nUwaga\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A możemy też wyznaczyć po uprzednim obliczeniu\nprawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego A’. Jeżeli iloczyn trzech zapisanych liczb nie\ndzieli się przez 4, to oznacza, że zachodzi jeden z poniższych przypadków.\nI. Wszystkie zapisane liczby są nieparzyste.\nII. Dwie z zapisanych liczb są nieparzyste, a jedna z zapisanych jest równa 2 lub 6.\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych w każdym z tych przypadków.\nI. 4 4 4\n64\n⋅⋅\nII.\n96\n3\n2\n4\n4\n⋅\n⋅\n⋅\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że iloczyn trzech\nzapisanych liczb nie jest podzielny przez 4: ( )\n16\n5\n512\n160\n512\n96\n64\n′\nA\nP\nZatem ( )\n16\n11\n16\n5\n1\nA\nP\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy\n8 8 8\nΩ = ⋅⋅\nalbo\n• wypisze wszystkie możliwe, ale rozłączne, przypadki, w których wystąpi zdarzenie A\nlub zdarzenie A′,\nalbo\n• wypisze wszystkie możliwe przypadki, w których wystąpi zdarzenie A (lub A′) i poda\ntaką metodę zliczania zdarzeń elementarnych sprzyjających A (lub A′), która wyklucza\npowtórzenie tego samego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• obliczy A (lub A′ ), stosując poprawną metodę, ale z błędem rachunkowym,\nalbo\n• narysuje drzewo z wyróżnionymi wszystkimi gałęziami odpowiadającymi zdarzeniu A\n(albo A′),\nalbo\n• narysuje niepełne drzewo (może wystąpić brak istotnych gałęzi odpowiadających\nzdarzeniu A lub A′), ale na wszystkich odcinkach co najmniej jednej gałęzi zapisze\nprawdopodobieństwa, np. 1 1 1\n2 4 4\n⋅\n⋅\n, przy czym najwyżej na jednym z trzech odcinków\nprawdopodobieństwo może być równe 1\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• obliczy\n8 8 8\nΩ = ⋅⋅ i wypisze wszystkie możliwe, ale rozłączne, przypadki, w których\nwystąpi zdarzenie A lub zdarzenie A′\nalbo\n• obliczy\n8 8 8\nΩ = ⋅⋅ i wypisze wszystkie możliwe przypadki, w których wystąpi\nzdarzenie A (lub A′) i poda taką metodę zliczania zdarzeń elementarnych sprzyjających\nA (lub A′), która wyklucza powtórzenie tego samego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• obliczy\n8 8 8\nΩ = ⋅⋅ i obliczy liczbę zdarzeń elementarnych w dwóch spośród\nprzypadków: a) zapisano 3 liczby parzyste, b) zapisano 2 liczby parzyste i jedną\nnieparzystą, c) zapisano dwie liczby nieparzyste i jedną podzielną przez 4,\nalbo\n• obliczy\n352\nA\nlub\n160\n′\nA\n,\nalbo\n• narysuje drzewo z wyróżnionymi wszystkimi gałęziami odpowiadającymi zdarzeniu A\n(albo\nA′) i na wszystkich odcinkach co najmniej jednej gałęzi zapisze\nprawdopodobieństwa, np. 1 1 1\n2 4 4\n⋅\n⋅\n, przy czym najwyżej na jednym z trzech odcinków\nprawdopodobieństwo może być równe 1,\nalbo\n• narysuje drzewo z wyróżnionymi wszystkimi gałęziami odpowiadającymi dwóm\nspośród przypadków: a) zapisano 3 liczby parzyste, b) zapisano 2 liczby parzyste i jedną\nnieparzystą, c) zapisano dwie liczby nieparzyste i jedną podzielną przez 4 i oblicza\nprawdopodobieństwo zgodnie z „metodą drzewkową”\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy\n8 8 8\nΩ = ⋅⋅ i\n352\nA\n(lub\n160\n′\nA\n)\nalbo\n• narysuje poprawne drzewo oraz zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A (albo A′)\nzgodnie z „metodą drzewkową”\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo:\n( )\n352\n11\n512\n16\nP A =","solution":"$\\dfrac{11}{16}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie\n(\n)(\n)\n2\n4\n6\n2\n3\n3\n0\nx\nmx\nm\nm\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste\n1x i\n2x , przy czym\n1\n2\n<\nx\nx , spełniające warunek\n(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n4\n4\n1\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x^2 - 6mx + (2m+3)(m-3) = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 i x_2, przy czym x_1 < x_2, spełniające warunek (4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a (R3.1).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZapisujemy układ warunków\n(\n)\n2\n1\n2\n0\n4\n4\n1\n0\nΔ >\n\n-<\n\nx\nx\nRozwiązujemy nierówność\n0\nΔ >\n, czyli\n(\n)\n2\n2\n36\n16 2\n3\n9\n0\nm\nm\nm\n>\n. Po uporządkowaniu\notrzymujemy nierówność\n(\n)\n2\n4\n6\n0\nm +\n>\n, której rozwiązaniem są wszystkie liczby\nrzeczywiste oprócz\n6\nm = -.\nDrugą nierówność przekształcamy równoważnie i otrzymujemy kolejno:\n(\n)\n2\n1\n2\n16\n1\n0\n-<\nx\nx\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n2\n2\n16\n2\n1\n0\n-<\nx\nx x\nx\n,\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n16\n4\n1\n0\n\n\n-<\n\n\nx\nx\nx x\nStosujemy wzory Viete'a i otrzymujemy:\n2\n2\n36\n2\n3\n9\n16\n4\n1\n0\n16\n4\n\n\n-⋅\n-<\n\n\n\n\nm\nm\nm\nPrzekształcamy nierówność równoważnie otrzymujemy kolejno:\n2\n2\n36\n32\n48\n143\n0\n<\nm\nm\nm\n,\n2\n4\n48\n143\n0\n<\nm\nm\nRozwiązujemy tę nierówność.\n2\n2304\n2288\n4\nΔ =\n1\n48\n4\n13\n8\n2\nm\n,\n2\n48\n4\n11\n8\n2\nm\n,\n13\n11\n,\n2\n2\n\n\n∈-\n\n\n\n\nm\nWyznaczamy część wspólną obu warunków:\n13\n11\n, 6\n6,\n2\n2\n\n\n\n\n∈-\n∪-\n\n\n\n\n\n\n\n\nm\nII sposób\nRozwiązujemy nierówność\n0\nΔ >\n, czyli\n(\n)\n2\n2\n36\n16 2\n3\n9\n0\nm\nm\nm\n>\n. Po uporządkowaniu\notrzymujemy nierówność\n(\n)\n2\n4\n6\n0\nm +\n>\n, której rozwiązaniem są wszystkie liczby\nrzeczywiste oprócz\n6\nm = -.\nObliczamy pierwiastki równania, z zachowaniem warunku\n1\n2\n<\nx\nx :\n1\n6\n2\n6\n3\n6\n8\n4\nm\nm\nm\nm\nx\n,\n2\n6\n2\n6\n3\n6\n8\n4\nm\nm\nm\nm\nx\nObliczamy wartość wyrażenia\n1\n2\n4\n4\nx\nx w zależności od m:\n1\n2\n2\n6\n4\n4\n4\n2\n6\n4\n⋅\nm\nx\nx\nm\nZapisujemy nierówność z treści zadania z wykorzystaniem wyznaczonych rozwiązań\nrównania i przekształcamy ją równoważnie, otrzymując kolejno:\n(\n)(\n)\n2\n6\n1\n2\n6\n1\n0\n<\nm\nm\n,\n(\n)\n2\n1\n4\n6\n0\n\n\n<\n\n\nm\n,\n2\n4\n48\n143\n0\n<\nm\nm\nDalsza część rozwiązania przebiega podobnie jak w I sposobie rozwiązania,\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności\n0\nΔ >\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nJeżeli zdający rozwiąże nierówność\n0\nΔ ≥\ni nie odrzuci przypadku\n0\nΔ =\n, to za ten etap\notrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na znalezieniu wartości m, dla których spełniona jest nierówność:\n(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n4\n4\n1\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\nZa tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty.\nPoniżej podział punktów za drugi etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 punkt gdy:\n• zapisze\nnierówność\n(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n4\n4\n1\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\nw\npostaci\nrównoważnej\nzawierającej\njedynie\nsumę\ni\niloczyn\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n(\n)(\n)\n2\n4\n6\n2\n3\n3\nx\nmx\nm\nm\n, np.:\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n16\n4\n1\n0\n\n\n-<\n\n\nx\nx\nx x\nlub\n• obliczy pierwiastki trójmianu:\n1\n6\n2\n6\n3\n6\n8\n4\nm\nm\nm\nm\nx\n,\n2\n6\n2\n6\n3\n6\n8\n4\nm\nm\nm\nm\nx\nZdający otrzymuje 2 punkty gdy:\n• zapisze nierówność (\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n4\n4\n1\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\nw postaci nierówności równoważnej\nz jedną niewiadomą np.:\n2\n2\n36\n2\n3\n9\n16\n4\n1\n0\n16\n4\n\n\n-⋅\n-<\n\n\n\n\nm\nm\nm\nlub\n2\n4\n48\n143\n0\n<\nm\nm\nlub (\n)(\n)\n2\n6\n1\n2\n6\n1\n0\n<\nm\nm\nZdający otrzymuje 3 punkty gdy:\n• poprawnie rozwiąże nierówność:\n13\n11\n,\n2\n2\n\n\n∈-\n\n\n\n\nm\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności z etapów\nI i II oraz podaniu odpowiedzi:\n13\n11\n, 6\n6,\n2\n2\n\n\n\n\n∈-\n∪-\n\n\n\n\n\n\n\n\nm\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi\n1. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako\nzbioru rozwiązań nierówności przyznajemy 0 punktów za III etap.\n2. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru\nrozwiązań z I etapu przyznajemy 0 punktów za III etap.\n3. W przypadku rozwiązania z błędami, nieprzekreślającymi poprawności rozumowania, za\nostatni etap przyznajemy 1 punkt jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etap I\ni popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II lub gdy popełnia błędy w etapie I\ni dobrze rozwiąże etap II (uwaga 3. ma zastosowanie, gdy nie zachodzą przypadki 1. i 2.).\n4. Jeżeli zdający w wyniku błędów otrzyma w II etapie nierówność z niewiadomą m stopnia\ndrugiego z ujemnym wyróżnikiem lub nierówność liniową, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty.\n5. W przypadku, gdy zdający przyjmuje błędnie\n(\n)\n2\n6\nm\nΔ =\ni konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca może otrzymać maksymalnie 3 punkty.","solution":"$m \\in \\left(-\\dfrac{13}{2}, -6\\right) \\cup \\left(-6, -\\dfrac{11}{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nWyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty\n(\n)\n5, 3\nA = -\ni\n(\n)\n0, 6\nB =\n, którego\nśrodek leży na prostej o równaniu\n3\n1\n0\nx\ny\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(-5,3) i B=(0,6), którego środek leży na prostej o równaniu x-3y+1=0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje\nsię równaniem okręgu (x - a)2 + (y - b)2 = r2 oraz opisuje koła za\npomocą nierówności, wyznacza współrzędne środka odcinka,\nwyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła\ndo prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany\npunkt, oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych\noraz oblicza odległość dwóch punktów (R8.5, 8.5, 8.3, 8.4, 8.6).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nŚrodek S szukanego okręgu jest punktem przecięcia prostej\n3\n1\n0\nx\ny\noraz symetralnej\nodcinka AB.\nWyznaczmy współrzędne środka D odcina AB:\n5\n0 3\n6\n5 9\n,\n,\n2\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nD\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B:\n6\n3\n3\n0\n5\n5\nAB\na\nZ warunku prostopadłości prostych wyznaczamy współczynnik kierunkowy symetralnej\nodcinka AB:\n5\n3\na\n. Wyznaczamy równanie symetralnej odcinka AB:\n5\n3\ny\nx\nb.\nPrzechodzi ona przez punkt\n5 9\n,\n2 2\n\n\n\n\n\n\nD\n, stąd otrzymujemy 9\n5\n5\n2\n3\n2\n\n\n⋅-\n\n\n\n\nb. Zatem\n1\n3\nb\n. Wobec tego symetralną odcinka AB jest prosta\n5\n1\n3\n3\ny\nx\nObliczamy współrzędne punktu S, rozwiązując układ równań\n3\n1\n0\n5\n1.\n3\n3\n\n\nx\ny\ny\nx\nŚrodkiem\nokręgu jest\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\nWyznaczamy promień okręgu r obliczając np.:\n2\n2\n8\n17\n5\n3\n3\n\n\n\n\n\n\nAS\nWyznaczamy równanie okręgu o środku w punkcie\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\ni promieniu\n17\n3\nr\n:\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nII sposób\nŚrodkiem okręgu jest punkt S, który leży na prostej\n3\n1\n0\nx\ny\n. Zatem\n(\n)\n3\n1,\nS\ny\ny\nPonieważ\n2\n2\nAS\nBS\n, więc możemy zapisać równanie (\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n5\n3\n6\nx\ny\nx\ny\nRozwiązujemy zatem układ równań\n10\n6\n2\nx\ny\ni\n3\n1\nx\ny\n= -,\notrzymując współrzędne punktu S\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\nNastępnie obliczamy kwadrat długości promienia\n2\n2\nSB\nr\n2\n2\n17\n289\n3\n9\nr\n\n\n\n\n\n\nZatem równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r ma postać\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nIII sposób\nPrzyjmijmy, że punkt\n(\n)\nb\na\nS\n,\njest środkiem szukanego okręgu. Ponieważ punkt ten leży\nna prostej\n3\n1\n0\nx\ny\n, więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej. Stąd\n3\n1\n0\na\nb\nOkrąg przechodzi przez punkty\n(\n)\n5, 3\nA = -\ni\n(\n)\n0, 6\nB =\n, zatem\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n3\n6\n--\n\n\na\nb\nr\na\nb\nr\nStąd otrzymujemy zależność między a i b: 5\n3\n1\n0\na\nb\nZ układu równań\n3\n1\n0\n5\n3\n1\n0\n\n\n\na\nb\na\nb\nobliczamy współrzędne środka okręgu\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\n. Wyznaczone współrzędne podstawiamy\ndo jednego z równań układu z niewiadomą r i obliczamy kwadrat promienia okręgu:\n2\n289\n9\nr\nZatem szukane równanie okręgu ma postać:\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nSchematy punktowania\nI sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• wyznaczy współrzędne środka odcinka AB:\n5 9\n,\n2 2\n\n\n\n\n\n\nD\nalbo\n• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej zawierającej odcinek AB:\n3\n5\nAB\na\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze równanie symetralnej odcinka AB:\n5\n1\n3\n3\ny\nx\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności 3 .p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu S:\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\ni na tym zakończy lub dalej popełnia\nbłędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy promień okręgu (lub kwadrat promienia okręgu):\n17\n3\nr\ni na tym\nzakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający wyznaczy równanie okręgu:\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze współrzędne punktu S w zależności od jednej zmiennej, np.:\n(\n)\n3\n1,\nS\ny\ny\nalbo\n• zapisze równość\n2\n2\nAS\nBS\n(lub\nAS\nBS ) lub równoważne równanie\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n5\n3\n6\nx\ny\nx\ny\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze układ równań\n10\n6\n2\nx\ny\ni\n3\n1\nx\ny\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności 3 p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu S:\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nWyznaczy kwadrat promienia okręgu (lub promień okręgu):\n2\n289\n9\nr =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający wyznaczy równanie okręgu:\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze układ równań: (\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n3\n6\n--\n\n\na\nb\nr\na\nb\nr\nalbo\n• zauważy, że współrzędne środka okręgu spełniają równanie:\n3\n1\n0\na\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze układ równań:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n3\n6\n--\n\n\na\nb\nr\na\nb\nr\ni zauważy, że współrzędne\nśrodka okręgu spełniają równanie\n3\n1\n0\na\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności 3 p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu S:\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\ni na tym zakończy lub dalej popełnia\nbłędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nWyznaczy promień okręgu (lub kwadrat promienia okręgu):\n17\n3\nr\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający wyznaczy równanie okręgu:\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nUwaga\nJeżeli zdający oblicza współrzędne punktu P przecięcia danej prostej z osią Oy, oblicza\nodległość PB, zapisuje równanie okręgu i na tym poprzestaje, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"$x^2 + \\left(y - \\dfrac{1}{3}\\right)^2 = \\dfrac{289}{9}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nLiczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\narytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (\n)\n2, , 2\n1\na\nb\nc\njest geometryczny.\nWyznacz liczby a, b, c.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nLiczby a,b,c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a-2,b,2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę\nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz stosuje wzór\nna\nn-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego. (5.3, 5.4)\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje układy równań,\nprowadzące do równań kwadratowych; (R3.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nOznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Skoro suma wyrazów ciągu arytmetycznego\njest równa 27, to\n27\nb\nr\nb\nb\nr\n, a stąd\n9\nb =\n. Wówczas ciąg geometryczny\n(\n)\n7\n,9, 2\n19\nr\nr\nspełnia warunek\n(\n) (\n)\n81\n7\n2\n19\nr\nr\n⋅\n. Równanie to ma dwa rozwiązania\n4\nr =\ni\n13\n2\nr = -\nW pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny (\n)\n5,9,13 , a w drugim przypadku\nciąg arytmetyczny 31\n5\n,9,\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nII sposób\nLiczby a, b, c są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego,\nzatem\n2\na\nc\nb\n. Suma liczb a, b, c równa 27, stąd\n27\na\nb\nc\n. Ciąg (\n)\n2, , 2\n1\na\nb\nc\njest\ngeometryczny, zatem\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\nZapisujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:\n(\n) (\n)\n2\n2\n27\n2\n2\n1\na\nc\nb\na\nb\nc\nb\na\nc\n\n\n+\n\n\n⋅\n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n2\na\nc\nb\n, podstawiamy do drugiego równania\ni otrzymujemy\n9\nb =\nDo trzeciego równania podstawiamy\n9\nb =\ni\n2\na\nb\nc\n- i otrzymujemy równanie kwadratowe:\n2\n2\n31\n65\n0\nc\nc\n. Równanie to ma dwa rozwiązania:\n5\n2\nc =\noraz\n13\nc =\n. W pierwszym\nprzypadku otrzymujemy:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\na w drugim przypadku otrzymujemy:\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nIII sposób\nNiech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego, natomiast\n2\na -\npierwszy wyraz tego ciągu.\nWtedy\n(\n)\n2\nb\na\nq\ni\n(\n)\n2\n2\n1\n2\nc\na\nq\n. Z ostatniej zależności otrzymujemy\n(\n)\n2\n2\n1\n2\na\nq\nc\nPonieważ suma liczb a, b , c jest równa 27, więc możemy zapisać równość\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n27\n2\na\nq\na\na\nq\nZ własności ciągu arytmetycznego wynika równanie\n2\na\nc\nb\n,\nktóre możemy zapisać w postaci\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n4\na\na\nq\na\nq\nOtrzymaliśmy zatem układ równań z niewiadomymi a i q:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n55\na\na\nq\na\nq\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n2\n2\n2\n1\na\nq\na\na\nq\nTen układ jest równoważny układowi\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n51\na\na\nq\na\nq\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n2\n2\n3\na\na\nq\na\nq\nPo wyłączeniu czynnika (\n)\n2\na -\nkażde z równań przyjmuje postać\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n51\na\nq\nq\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n4\n3\na\nq\nq\nZatem\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3 2\n2\n51\n2\n4\nq\nq\nq\nq\n,\nskąd otrzymujemy równanie kwadratowe\n2\n3\n11\n6\n0\nq\nq\nTo równanie ma dwa rozwiązania\n3\nq = ,\n2\n3\nq =\nJeśli\n3\nq = , to\n5\na =\n,\n9\nb =\ni\n13\nc =\n. Jeżeli natomiast\n2\n3\nq =\n, to\n31\n2\na =\n,\n9\nb =\ni\n5\n2\nc =\nSchemat punktowania\nI sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający uzależni wartości dwie spośród liczb a, b, c od trzeciej z liczb i od różnicy r ciągu\narytmetycznego, np.: a\nb\nr\n- i c\nb\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze równania wynikające z własności ciągu arytmetycznego i z własności ciągu\ngeometrycznego, np.: a\nb\nr\n-, c\nb\nr\n+ ,\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z własności ciągu\ngeometrycznego, np.:\n(\n)(\n)\n81\n7\n2\n19\nr\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków i na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\noraz\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze jedno z równań:\n2\na\nc\nb\n,\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:\n(\n) (\n)\n2\n2\n27\n2\n2\n1\na\nc\nb\na\nb\nc\nb\na\nc\n\n\n+\n\n\n⋅\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n2\n2\n31\n16\n81\nc\nc\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków i na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\noraz\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo całkowitego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od jednej z liczb\ni ilorazu ciągu geometrycznego, np.\n2\na -\n,\n(\n)\n2\nb\na\nq\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n2\na\nq\nc\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n27\n2\na\nq\na\na\nq\ni (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n4\na\na\nq\na\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3 2\n2\n51\n2\n4\nq\nq\nq\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a , b i c w jednym z możliwych przypadków i na tym zakończy\nlub dalej popełnia błędy.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający zapisze dwa zestawy liczb spełniające warunki zadania:\n5\na =\n,\n9\nb =\ni\n13\nc =\noraz\n31\n2\na =\n,\n9\nb =\ni\n5\n2\nc =\nUwagi (do wszystkich schematów punktowania)\n1. Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu\ngeometrycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający odgadnie jeden zestaw liczb a, b, c, także ze sprawdzeniem warunków\nzadania, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"$(5, 9, 13)$ lub $\\left(\\dfrac{31}{2}, 9, \\dfrac{5}{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysokość\ni promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą\nobjętość.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający stosuje pochodne do\nrozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych (R11.6).\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech r oraz h oznaczają, odpowiednio, promień podstawy walca i wysokość walca. Pole P\npowierzchni całkowitej tego walca jest równe\n2\n2\n2\nπ\nπ\nP\nr\nrh . Stąd\n2\n2\n2\nπ\nπ\nP\nr\nh\nr\nObjętość walca\n2\n= π\nV\nr h zapisujemy jako funkcję zmiennej r :\n( )\n2\n3\n2\n2\n2\n2\n2\nπ\nπ\nπ\nπ\nP\nr\nPr\nr\nV r\nr\nr\n, gdzie\n2\n0 <\n<\nπ\nP\nr\nPochodna funkcji V jest określona wzorem\n( )\n(\n)\n2\n1\n2\n6\n′\n-π\nV\nr\nP\nr\ndla\n2\n0 <\n<\nπ\nP\nr\nWyznaczamy miejsca zerowe i badamy znak pochodnej\n( )\n0\n′\nV\nr\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n6\nπ\nP\nr\n,\n( )\n0\n′\n>\nV\nr\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n6\n0 <\n<\nπ\nP\nr\n,\n( )\n0\n′\n<\nV\nr\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n6\n2\n<\n<\nπ\nπ\nP\nP\nr\nWynika stąd, że w przedziale (\n6\n0\nπ\nP\n,\nfunkcja V jest rosnąca, a w przedziale\n)\n6\n2\nπ\nπ\nP\nP\n,\njest malejąca. Zatem (\n)\n6π\nP\nV\njest największą wartością tej funkcji. Wartość ta jest równa\n(\n)\n(\n)\n3\n6\n6\n6\n2\n2\n3\n6\n⋅\n⋅\n⋅\nπ\nπ\nπ\nπ\nπ\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nV\nGdy\n6\nπ\nP\nr\n, to wtedy\n2\n2\n3\n2\n2\nπ\nπ\nπ\nP\nP\nr\nh\nr\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\na) Pierwszy etap składa się z trzech części:\n• wyznaczenie wysokością walca w zależności od promienia podstawy walca:\n2\n2\n2\nπ\nπ\nP\nr\nh\nr\n,\n• wyznaczenie objętości walca jako funkcji jednej zmiennej r, ( )\n2\nπ\n2\n3r\nr\nP\nr\nV\n,\n• wyznaczenie dziedziny funkcji V :\n(\n)\n2\n0\nπ\nV\nP\nD\n,\nZa poprawne wykonanie każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt.\nb) Drugi etap składa się z trzech części:\n• wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej\n( )\n3\n2\n⋅-π\nP\nf r\nr\nr :\n( )\n2\n2\n3\n′\n-π\nP\nf\nr\nr ,\n• obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji V:\n6\nπ\nP\nr\nlub obliczenie miejsc\nzerowych pochodnej funkcji f:\n6\nπ\nP\nr\n,\n6\nπ\nP\nr\n• zbadanie znaku pochodnej funkcji V i uzasadnienie, że dla\n6\nπ\nP\nr\nfunkcja V osiąga\nnajwiększą wartość.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nc) Trzeci etap.\nObliczenie największej objętości walca i wysokości walca o największej objętości:\n3\n6\n⋅\nπ\nP\nP\nV\n,\n2\n3\nπ\nP\nh\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zapisze objętość walca z błędem rzeczowym, to może otrzymać co najwyżej\n1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli dodatkowo poprawnie wyznaczy dziedzinę funkcji V, to\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający obliczy pochodną funkcji f lub V z błędem rachunkowym i otrzyma funkcję\nliniową albo funkcję kwadratową o ujemnym wyróżniku o wyróżniku równym 0, to może\notrzymać punkty jedynie za pierwszy etap rozwiązania.\n3. Jeśli zdający rozwiązuje zadanie dla stożka, to otrzymuje 0 punktów, nawet jeśli\nrozwiązanie tego innego zadania jest poprawne.\n4. Za rozwiązanie z konkretną wartością liczbową w miejsce P zdający otrzymuje\n0 punktów.","solution":"$V = \\dfrac{P}{3}\\sqrt{\\dfrac{P}{6\\pi}}$, $h = \\sqrt{\\dfrac{2P}{3\\pi}}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}