{"paper":{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nLiczba\n8\n2\n5 16-\n⋅\njest równa\nA.\n8\n5\n2\n\n\n\n\n\n\nB.\n5\n2\nC.\n8\n10\nD. 10","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych oraz stosuje\nprawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych i rzeczywistych (1.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (4)\n\n## Sposób 1 - Od środka na zewnątrz (kolejność działań)\n\nWyrażenie \\(\\big||9-2|-|4-7|\\big|\\) ma zagnieżdżone wartości bezwzględne - zaczynamy od **najbardziej wewnętrznych** nawiasów.\n\n**Krok 1:** Oblicz wyrażenia wewnątrz każdej wartości bezwzględnej:\n\\[9 - 2 = 7 \\qquad 4 - 7 = -3\\]\n\n**Krok 2:** Zastosuj wartość bezwzględną do każdego z nich:\n\\[|9 - 2| = |7| = 7 \\qquad |4 - 7| = |-3| = 3\\]\n\n**Krok 3:** Odejmij wyniki:\n\\[|9-2| - |4-7| = 7 - 3 = 4\\]\n\n**Krok 4:** Zastosuj zewnętrzną wartość bezwzględną:\n\\[\\big|7 - 3\\big| = |4| = \\mathbf{4}\\]\n\n**Wynik: \\(4\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład z definicji\n\nSprawdzamy, że na każdym etapie stosujemy definicję poprawnie: \\(|x| = x\\) gdy \\(x \\geq 0\\), oraz \\(|x| = -x\\) gdy \\(x < 0\\).\n\n- \\(9 - 2 = 7 > 0\\), więc \\(|7| = 7\\) ✓\n- \\(4 - 7 = -3 < 0\\), więc \\(|-3| = -(-3) = 3\\) ✓\n- \\(7 - 3 = 4 > 0\\), więc \\(|4| = 4\\) ✓\n\nWynik potwierdza: \\(\\big||9-2|-|4-7|\\big| = 4\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\n\nUżyliśmy jej w Kroku 2 (do \\(|-3| = 3\\)) i w Kroku 4 (do \\(|4| = 4\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B (\\(10\\)) | Dodano zamiast odjąć: \\(7 + 3 = 10\\) - pominięto znak minus między wartościami bezwzględnymi |\n| C (\\(-10\\)) | Jak wyżej, a dodatkowo zignorowano zewnętrzną wartość bezwzględną: \\(-(7+3) = -10\\) |\n| D (\\(-4\\)) | Poprawnie obliczono \\(7 - 3 = 4\\), ale **zignorowano zewnętrzną** \\(|\\cdot|\\) i przyjęto \\(-4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna **zawsze daje wynik nieujemny** - odpowiedzi C i D (\\(-10\\), \\(-4\\)) można od razu odrzucić, bo \\(|\\ldots| \\geq 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zagnieżdżone wartości bezwzględne rozwijamy **od środka na zewnątrz** - najpierw liczymy to, co jest najgłębiej w nawiasach, dopiero potem zewnętrzną \\(|\\cdot|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|4 - 7| \\neq |4| - |7|\\) - wartość bezwzględna różnicy to **nie** różnica wartości bezwzględnych! Zawsze najpierw licz różnicę, potem bierz \\(|\\cdot|\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie krok po kroku\nLiczymy wnętrza wartości bezwzględnych:\n- \\(|9-2| = |7| = 7\\),\n- \\(|4-7| = |-3| = 3\\).\n\nZatem:\n\\[\\big||9-2|-|4-7|\\big| = |7 - 3| = |4| = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Pamiętaj: \\(|a|\\) jest zawsze nieujemne\nSkoro wynik jest wartością bezwzględną, musi być \\(\\geq 0\\). Wyklucza to od razu C i D.\nObliczamy różnicę \\(7-3 = 4\\) - odpowiedź A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(10\\)** - błąd: zsumowano \\(7+3\\) zamiast odjąć.\n- **C. \\(-10\\)** - błąd jak w B + zaniedbanie zewnętrznej wartości bezwzględnej.\n- **D. \\(-4\\)** - pominięto zewnętrzną wartość bezwzględną (wynik musi być \\(\\geq 0\\)).\n\n**Trik:** zewnętrzny moduł **zawsze** daje liczbę nieujemną - błyskawicznie odrzuć odpowiedzi ujemne.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba\n3\n3 54\n2\njest równa\nA.\n3 52\nB. 3\nC.\n3\n2 2\nD. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający planuje\ni wykonuje obliczenia na liczbach\nrzeczywistych; w szczególności oblicza\npierwiastki, w tym pierwiastki\nnieparzystego stopnia z liczb ujemnych (1.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(b = 45\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań\n\n**Zapisujemy warunki zadania jako układ równań.**\n\nMamy dwie liczby \\(a, b > 0\\) takie, że:\n\\[a \\cdot b = 1350\\]\n\\[15\\% \\cdot a = 10\\% \\cdot b\\]\n\nDrugie równanie przekształcamy:\n\\[\\frac{15}{100} \\cdot a = \\frac{10}{100} \\cdot b\\]\n\\[15a = 10b\\]\n\\[\\frac{a}{b} = \\frac{10}{15} = \\frac{2}{3}\\]\n\nZatem \\(a = \\frac{2}{3}b\\). Podstawiamy do pierwszego równania:\n\\[\\frac{2}{3}b \\cdot b = 1350\\]\n\\[\\frac{2}{3}b^2 = 1350\\]\n\\[b^2 = 1350 \\cdot \\frac{3}{2} = 2025\\]\n\\[b = \\sqrt{2025} = \\mathbf{45}\\]\n\n(Bierzemy pierwiastek dodatni, bo \\(b > 0\\).)\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie a wprost z proporcji, potem iloczynu\n\nZ warunku \\(15a = 10b\\) wyznaczamy \\(a\\):\n\\[a = \\frac{10b}{15} = \\frac{2b}{3}\\]\n\nPodstawiamy do \\(a \\cdot b = 1350\\):\n\\[\\frac{2b}{3} \\cdot b = 1350\\]\n\nTo samo co w Sposobie 1. Alternatywnie - możemy sprawdzić odpowiedź C przez **weryfikację**:\n\nJeśli \\(b = 45\\), to:\n\\[a = \\frac{1350}{45} = 30\\]\n\nSprawdzamy warunek procentowy:\n\\[15\\% \\cdot 30 = 0{,}15 \\cdot 30 = 4{,}5\\]\n\\[10\\% \\cdot 45 = 0{,}10 \\cdot 45 = 4{,}5\\]\n\n**Zgadza się - \\(15\\%\\) z \\(30\\) rzeczywiście równa się \\(10\\%\\) z \\(45\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne oraz zamiana procentów na ułamki dziesiętne/zwykłe.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(9\\) | Wzięcie pierwiastka ze złej liczby lub pomylenie \\(a\\) z \\(b\\) i wyliczenie \\(\\sqrt{81}\\) |\n| B. \\(18\\) | Pomylenie proporcji - przyjęcie \\(\\frac{a}{b} = \\frac{15}{10} = \\frac{3}{2}\\) zamiast \\(\\frac{2}{3}\\), co daje \\(b^2 = 900\\), \\(b = 30\\), a potem zgadywanie |\n| D. \\(50\\) | Błąd przy upraszczaniu proporcji lub przestawienie: policzono \\(a = 45\\) zamiast \\(b = 45\\), a potem \\(b = \\frac{1350}{45} = 30\\), ale zaokrąglono do 50 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zamiana procentów na ułamki - \\(15\\% = \\frac{15}{100}\\), \\(10\\% = \\frac{10}{100}\\). Przy upraszczaniu \\(\\frac{15}{100} \\cdot a = \\frac{10}{100} \\cdot b\\) można od razu pomnożyć obie strony przez 100 i dostać \\(15a = 10b\\). Nie zapomnij podzielić obu stron przez 5: \\(3a = 2b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z równania \\(3a = 2b\\) wynika \\(a = \\frac{2}{3}b\\), NIE \\(a = \\frac{3}{2}b\\). To najczęstszy błąd - odwrócenie proporcji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{2025} = 45\\), bo \\(45^2 = 2025\\). Warto sprawdzić: \\(40^2 = 1600\\), \\(50^2 = 2500\\), więc szukamy między nimi. \\(45^2 = (40+5)^2 = 1600 + 400 + 25 = 2025\\). ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nZ warunku \\(0{,}15a = 0{,}1b\\) mamy \\(a = \\dfrac{0{,}1}{0{,}15}b = \\dfrac{2}{3}b\\).\n\nPodstawiamy do \\(ab = 1350\\):\n\\[\\dfrac{2}{3}b\\cdot b = 1350 \\Rightarrow \\dfrac{2}{3}b^2 = 1350 \\Rightarrow b^2 = 2025 \\Rightarrow b = 45\\] (dodatnia).\n\n### Sposób 2 - Stosunki\n\\(\\dfrac{a}{b} = \\dfrac{10}{15} = \\dfrac{2}{3}\\), więc \\(a : b = 2 : 3\\). Przyjmijmy \\(a = 2k\\), \\(b = 3k\\). Wtedy \\(ab = 6k^2 = 1350\\), czyli \\(k^2 = 225\\), \\(k = 15\\). Zatem \\(b = 3\\cdot 15 = 45\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(9\\)** - wtedy \\(a = 6\\), \\(ab = 54 \\ne 1350\\).\n- **B. \\(18\\)** - wtedy \\(a = 12\\), \\(ab = 216 \\ne 1350\\).\n- **D. \\(50\\)** - wtedy \\(a = \\tfrac{100}{3}\\), \\(ab \\approx 1667\\).\n\n**Trik:** gdy \\(p\\%\\) jednej liczby = \\(q\\%\\) drugiej, to \\(a:b = q:p\\) (uwaga na zamianę!).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n5\nlog\n2\n3\nlog\n2\n2\n2\njest równa\nA.\n2\n9\nlog 25\nB.\n2\n3\nlog 5\nC.\n2\n9\nlog 5\nD.\n2\n6\nlog 25","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję\nlogarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(4^{49}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika i przeliczenie na potęgi czwórki\n\n**Krok 1: Wyłącz wspólny czynnik**\n\nMamy cztery identyczne składniki, więc:\n\\[16^{24} + 16^{24} + 16^{24} + 16^{24} = 4 \\cdot 16^{24}\\]\n\n**Krok 2: Zamień 16 na potęgę czwórki**\n\nZauważamy, że \\(16 = 4^2\\), więc:\n\\[16^{24} = \\left(4^2\\right)^{24} = 4^{2 \\cdot 24} = 4^{48}\\]\n\n**Krok 3: Wróć do całego wyrażenia**\n\n\\[4 \\cdot 16^{24} = 4^1 \\cdot 4^{48} = 4^{1+48} = \\boxed{4^{49}}\\]\n\n## Sposób 2 - Sprowadzenie wszystkiego od razu do podstawy 4\n\nZamiast wyłączać czynnik, od razu zastępujemy każdą liczbę potęgą czwórki.\n\nSkoro \\(4 = 4^1\\) i \\(16 = 4^2\\), to:\n\\[16^{24} + 16^{24} + 16^{24} + 16^{24} = 4^{48} + 4^{48} + 4^{48} + 4^{48}\\]\n\nTeraz wyłączamy \\(4^{48}\\):\n\\[= 4^{48}\\left(1 + 1 + 1 + 1\\right) = 4^{48} \\cdot 4 = 4^{48} \\cdot 4^1 = 4^{49}\\]\n\nWynik ten sam: **\\(4^{49}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nUżywamy dwóch reguł działań na potęgach:\n\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n> Zastosowanie: \\(\\left(4^2\\right)^{24} = 4^{48}\\)\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n> Zastosowanie: \\(4^1 \\cdot 4^{48} = 4^{49}\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** \\(4^{24}\\) | Uczeń pisze \\(16^{24} = 4^{24}\\), ignorując że \\(16 = 4^{\\mathbf{2}}\\), nie \\(4^1\\). Gubi się wykładnik przy zamianie podstawy. |\n| **B** \\(4^{25}\\) | Uczeń poprawnie widzi 4 składniki → \\(4 \\cdot 16^{24}\\), ale błędnie liczy \\(16^{24} = 4^{24}\\) (brak potęgowania wykładnika przez 2). Dostaje \\(4^1 \\cdot 4^{24} = 4^{25}\\). |\n| **C** \\(4^{48}\\) | Uczeń poprawnie przelicza \\(16^{24} = 4^{48}\\), ale **zapomina** o przemnożeniu przez 4 (sumę czterech wyrazów traktuje jak jeden wyraz). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie \\(16^{24}\\) na potęgę czwórki musisz pomnożyć wykładniki: \\(\\left(4^2\\right)^{24} = 4^{48}\\), a NIE \\(4^{24}\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cztery takie same składniki to mnożenie przez 4, nie przez 24 ani przez inne liczby. \\(4 = 4^1\\) - to też potęga czwórki, która zwiększa wykładnik o 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dodajesz jednakowe potęgi \\(n \\cdot a^k = a^1 \\cdot a^k = a^{k+1}\\) **tylko gdy** \\(n = a\\). Tu akurat \\(n = 4\\) i podstawa też jest 4 - korzystamy z \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Zapis jako iloczyn\n\\[4\\cdot 16^{24} = 4^1 \\cdot (4^2)^{24} = 4^1 \\cdot 4^{48} = 4^{49}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zamiana \\(16 = 4^2\\) od razu\n\\(16^{24} = (4^2)^{24} = 4^{48}\\). Sumujemy cztery takie składniki:\n\\[4\\cdot 4^{48} = 4^{49}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4^{24}\\)** - całkowicie błędne (mała potęga).\n- **B. \\(4^{25}\\)** - ktoś obliczył \\(4\\cdot 4^{24} = 4^{25}\\), zapominając że \\(16 = 4^2\\), nie \\(4\\).\n- **C. \\(4^{48}\\)** - pominięto mnożenie przez 4 (czyli suma czterech równych składników).\n\n**Pamiętaj:** \\(n\\cdot a^k \\ne a^{nk}\\). Tu stosujemy \\(4\\cdot 4^{48} = 4^{1+48} = 4^{49}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nLiczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku\ndo liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt\nliczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?\nA. 4050\nB. 1782\nC. 7425\nD. 7128","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie\nprocentu i punktu procentowego\nw obliczeniach (1.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nLiczba \\(\\log_3 27 - \\log_3 1\\) jest równa **\\(3\\)**.\n\n## Sposób 1 - Obliczenie z definicji logarytmu\n\n**Krok 1: Oblicz \\(\\log_3 27\\)**\n\nPytamy: *do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(27\\)?*\n\n\\[3^? = 27 = 3^3 \\implies \\log_3 27 = 3\\]\n\n**Krok 2: Oblicz \\(\\log_3 1\\)**\n\nPytamy: *do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(1\\)?*\n\n\\[3^? = 1 = 3^0 \\implies \\log_3 1 = 0\\]\n\n**Krok 3: Odejmij**\n\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = \\mathbf{3}\\]\n\n## Sposób 2 - Własność logarytmu ilorazu\n\nZamiast liczyć oba logarytmy osobno, możemy skorzystać ze wzoru na logarytm ilorazu:\n\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\frac{27}{1} = \\log_3 27\\]\n\nTeraz obliczamy jeden logarytm:\n\n\\[\\log_3 27 = \\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3 = 3 \\cdot 1 = \\mathbf{3}\\]\n\n(skorzystaliśmy ze wzoru \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\) oraz \\(\\log_3 3 = 1\\))\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia \\(\\log_3 27 = 3\\) i \\(\\log_3 1 = 0\\).\n\nWłasność logarytmu potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do uproszczenia \\(\\log_3 3^3 = 3\\).\n\nWłasność logarytmu ilorazu:\n\\[\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do połączenia różnicy logarytmów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_3 27 - \\log_3 27\\) zamiast \\(\\log_3 27 - \\log_3 1\\), albo błędnie myśli, że \\(\\log_3 1 = 1\\) i \\(\\log_3 27 - 1\\) daje \\(0\\) przez jakiś skrót myślowy |\n| B (\\(1\\)) | Uczeń myli \\(\\log_3 1 = 1\\) (zamiast \\(0\\)) i liczy \\(3 - 2 = 1\\) lub \\(3 - 1 = 1\\) myląc \\(\\log_3 27 = 2\\) |\n| C (\\(2\\)) | Podwójny błąd: \\(\\log_3 27 = 2\\) (pomylono z \\(\\log_3 9\\)) i \\(\\log_3 1 = 0\\), co daje \\(2 - 0 = 2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 1 = 0\\) zawsze - niezależnie od podstawy! Każda liczba w potędze \\(0\\) daje \\(1\\), więc \\(\\log_a 1 = 0\\) dla każdego \\(a > 0, a \\neq 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\log_3 27\\) z \\(\\log_3 9\\). Sprawdź: \\(3^2 = 9\\), \\(3^3 = 27\\) - tu odpowiedź to \\(3\\), nie \\(2\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 3 = 1\\) (nie \\(3\\)!) - logarytm z podstawy do niej samej zawsze wynosi \\(1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie każdego logarytmu\n\\(\\log_3 27 = 3\\) (bo \\(3^3 = 27\\)), a \\(\\log_a 1 = 0\\) dla dowolnej podstawy.\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Własność \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\tfrac{x}{y}\\)\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\tfrac{27}{1} = \\log_3 27 = 3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - ktoś myślał, że \\(\\log_3 27 = 1\\) i \\(\\log_3 1 = 1\\) (błąd).\n- **B. \\(1\\)** - pomyłka w obliczeniu \\(\\log_3 27\\).\n- **C. \\(2\\)** - ktoś obliczył \\(\\log_3 27 = 2\\) (błąd: \\(3^2 = 9\\), nie \\(27\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\log_a 1 = 0\\) dla **każdej** podstawy \\(a > 0\\), \\(a \\ne 1\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nRówność (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nx\njest\nA. prawdziwa dla\n2\nx\nB. prawdziwa dla\n2\nx =\nC. prawdziwa dla\n1\nx = -.\nD. fałszywa dla każdej liczby x.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania i nierówności\nkwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci\nsumy przedziałów (3.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[(x^3-3)(x^3+1)\\]\n\n## Sposób 1 - Podstawienie \\(t = x^3\\)\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(x^6 - 2x^3 - 3\\) zawiera tylko potęgi \\(x^6 = (x^3)^2\\) i \\(x^3\\). To klasyczny sygnał do podstawienia.\n\nPodstawiamy \\(t = x^3\\):\n\n\\[x^6 - 2x^3 - 3 = t^2 - 2t - 3\\]\n\nTeraz mamy zwykły trójmian kwadratowy względem \\(t\\). Szukamy dwóch liczb, których **suma** wynosi \\(-2\\), a **iloczyn** wynosi \\(-3\\).\n\nTakie liczby to \\(-3\\) i \\(+1\\), bo:\n\\[(-3) + 1 = -2 \\quad \\text{i} \\quad (-3) \\cdot 1 = -3\\]\n\nZatem:\n\\[t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1)\\]\n\nWracamy do \\(x\\) - zamieniamy \\(t\\) z powrotem na \\(x^3\\):\n\n\\[\\boxed{(x^3 - 3)(x^3 + 1)}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyróżnik trójmianu kwadratowego\n\nTraktujemy \\(t^2 - 2t - 3\\) jako trójmian kwadratowy \\(at^2 + bt + c\\) z \\(a=1, b=-2, c=-3\\).\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 4 + 12 = 16\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[t_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 - 4}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\\[t_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 + 4}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\nPostać iloczynowa trójmianu (współczynnik \\(a = 1\\)):\n\\[t^2 - 2t - 3 = 1 \\cdot (t - t_1)(t - t_2) = (t - (-1))(t - 3) = (t+1)(t-3)\\]\n\nPodstawiamy \\(t = x^3\\):\n\\[(x^3 + 1)(x^3 - 3) = (x^3 - 3)(x^3 + 1)\\]\n\n**Wynik ten sam: odpowiedź B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa i miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do rozłożenia trójmianu \\(t^2 - 2t - 3\\) na czynniki.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wyrażenie | Błąd |\n| A | \\((x^3+1)(x^2-3)\\) | Stopnie czynników nie zgadzają się: \\((x^3+1)(x^2-3)\\) daje wyraz \\(x^5\\), a w wyniku mnożenia nie może wyjść \\(x^6 - 2x^3 - 3\\) (brak \\(x^5\\) OK, ale \\(x^2 \\cdot x^3 = x^5\\) się pojawia). Sprawdzenie: \\(x^3 \\cdot x^2 - 3x^3 + x^2 - 3 = x^5 - 3x^3 + x^2 - 3\\) - to nie jest nasze wyrażenie. |\n| C | \\((x^2+3)(x^4-1)\\) | Mnożenie: \\(x^6 - x^2 + 3x^4 - 3 = x^6 + 3x^4 - x^2 - 3\\). Pojawia się \\(x^4\\) i \\(x^2\\), których nie ma w oryginale. |\n| D | \\((x^4+1)(x^2-3)\\) | Mnożenie: \\(x^6 - 3x^4 + x^2 - 3\\). Znowu pojawiają się \\(x^4\\) i \\(x^2\\) - błąd. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^6 = (x^3)^2\\), NIE \\((x^2)^3\\) w sensie podstawienia - tutaj kluczowe jest zobaczenie \\(x^3\\) jako jednej zmiennej, bo wtedy wykładniki to 2 i 1, nie 3 i 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozłożeniu na czynniki zawsze sprawdź stopnie! Odpowiedzi A, C, D mają czynniki różnych stopni - ich iloczyn dałby wyrazy pośrednie (np. \\(x^5\\), \\(x^4\\)), których nie ma w \\(x^6 - 2x^3 - 3\\). To szybki sposób na eliminację dystraktorów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy powrocie z podstawienia pamiętaj: \\(t_1 = -1\\) daje czynnik \\((t - (-1)) = (t+1) = (x^3+1)\\), a nie \\((x^3-1)\\). Pomylenie znaku to klasyczny błąd!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie \\(t = x^3\\)\nWyrażenie \\(x^6 - 2x^3 - 3 = (x^3)^2 - 2x^3 - 3 = t^2 - 2t - 3\\). Rozkładamy trójmian kwadratowy:\n\\(t^2 - 2t - 3 = (t-3)(t+1)\\).\nWracamy: \\((x^3 - 3)(x^3 + 1)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wzorem Viète'a\nSzukamy dwóch liczb, których suma to \\(2\\) a iloczyn \\(-3\\): to \\(3\\) i \\(-1\\). Zatem \\(t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t - (-1)) = (t-3)(t+1)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((x^3+1)(x^2-3)\\)** - wykładnik \\(x^2\\) daje po rozwinięciu \\(x^5\\), a nie \\(x^6\\).\n- **C. \\((x^2+3)(x^4-1)\\)** - rozwija się do \\(x^6 + 3x^4 - x^2 - 3\\), co jest różne od \\(x^6 - 2x^3 - 3\\).\n- **D. \\((x^4+1)(x^2-3)\\)** - rozwinięcie daje \\(x^6 + x^2 - 3x^4 - 3\\), nie to wyrażenie.\n\n**Trik:** gdy widzisz wykładnik \\(2n\\) i \\(n\\), podstaw \\(t = x^n\\) i rozwiąż jako trójmian kwadratowy.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nDo zbioru rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n4\n1\n2\n0\nx\nx\n>\nnie należy liczba\nA.\n3\nB.\n1\nC. 1\nD. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający oblicza\nwartość liczbową wyrażenia wymiernego dla\ndanej wartości zmiennej (2.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - przedział \\(\\langle 9, 11 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności podwójnej\n\nMamy nierówność podwójną:\n\\[11 \\leqslant 2x - 7 \\leqslant 15\\]\n\nRozwiązujemy ją, wykonując **te same działania na wszystkich trzech częściach** jednocześnie.\n\n**Krok 1:** Dodaj \\(7\\) do każdej części:\n\\[11 + 7 \\leqslant 2x - 7 + 7 \\leqslant 15 + 7\\]\n\\[18 \\leqslant 2x \\leqslant 22\\]\n\n**Krok 2:** Podziel każdą część przez \\(2\\):\n\\[\\frac{18}{2} \\leqslant \\frac{2x}{2} \\leqslant \\frac{22}{2}\\]\n\\[9 \\leqslant x \\leqslant 11\\]\n\n**Wynik:** \\(x \\in \\langle 9, 11 \\rangle\\)\n\nTo domknięty przedział, bo obie nierówności są nieostre (\\(\\leqslant\\)). Odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Rozwiązanie przez dwie osobne nierówności\n\nNierówność podwójną można rozbić na dwa warunki jednocześnie:\n\n**Warunek 1:** \\(11 \\leqslant 2x - 7\\)\n\\[11 + 7 \\leqslant 2x \\implies 18 \\leqslant 2x \\implies x \\geqslant 9\\]\n\n**Warunek 2:** \\(2x - 7 \\leqslant 15\\)\n\\[2x \\leqslant 15 + 7 \\implies 2x \\leqslant 22 \\implies x \\leqslant 11\\]\n\nOba warunki muszą być spełnione **jednocześnie** (iloczyn zbiorów):\n\\[x \\geqslant 9 \\quad \\text{i} \\quad x \\leqslant 11 \\implies x \\in \\langle 9, 11 \\rangle\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowych przekształceń nierówności (dodawanie tej samej liczby do obu stron, dzielenie przez liczbę dodatnią).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wyniki \\(-11\\) i \\(-9\\) - uczeń **odjął** 7 zamiast dodać (lub popełnił błąd znaku) |\n| B | Wyniki \\(9\\) i \\(11\\) prawidłowe, ale zaznaczono **dopełnienie** przedziału (dwa ramiona) zamiast przedziału domkniętego - mylenie rozwiązania nierówności z wartością bezwzględną |\n| C | Wyniki \\(-11\\) i \\(-9\\) - błąd znaku jak w A, dodatkowo jeszcze wybór przedziału zamiast półprostych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności podwójnej musisz wykonywać **dokładnie to samo działanie na wszystkich trzech częściach** - lewej, środkowej i prawej. Nie wolno np. dodać do jednej części a pominąć innej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówności nieostre (\\(\\leqslant\\)) oznaczają **przedział domknięty** - końce przedziału należą do zbioru rozwiązań. Na rysunku to zaznaczone **wypełnionymi kropkami**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B ma te same liczby (\\(9\\) i \\(11\\)), ale przedstawia **dwie półproste** - to byłoby rozwiązanie nierówności \\(|x - 10| \\geqslant 1\\), a nie naszej nierówności podwójnej. Nie daj się zmylić znajomymi liczbami!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie podwójnej nierówności\nDodajemy \\(7\\) do wszystkich trzech stron, a potem dzielimy przez \\(2\\):\n\\[11 \\leqslant 2x - 7 \\leqslant 15 \\;\\big/ +7\\]\n\\[18 \\leqslant 2x \\leqslant 22 \\;\\big/ :2\\]\n\\[9 \\leqslant x \\leqslant 11.\\]\nZbiór rozwiązań: \\(\\langle 9, 11\\rangle\\) - przedział domknięty (pełne kropki) - **rysunek D**.\n\n### Sposób 2 - Rozbicie na dwie nierówności\n1) \\(2x - 7 \\geqslant 11 \\Rightarrow 2x \\geqslant 18 \\Rightarrow x \\geqslant 9.\\)\n\n2) \\(2x - 7 \\leqslant 15 \\Rightarrow 2x \\leqslant 22 \\Rightarrow x \\leqslant 11.\\)\n\nCzęść wspólna: \\(9 \\leqslant x \\leqslant 11\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty,-11\\rangle \\cup \\langle -9,+\\infty)\\)** - pomylono kierunki nierówności i znak (czytanie \"poza\" zamiast \"pomiędzy\").\n- **B. \\((-\\infty,9\\rangle \\cup \\langle 11,+\\infty)\\)** - dobre liczby graniczne, ale odwrócony zbiór (\\(\\vee\\) zamiast \\(\\wedge\\)).\n- **C. \\(\\langle -11,-9\\rangle\\)** - pomylono znaki przy dodawaniu \\(7\\) (odjęto zamiast dodać).\n\n**Trik:** Podwójna nierówność \\(A \\leqslant f(x) \\leqslant B\\) to zawsze **przedział**, nie dwie półproste.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności\n2\n3\n4\nx\n≥\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się\npojęciem osi liczbowej i przedziału\nliczbowego; zaznacza przedziały na osi\nliczbowej (1.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n## Sposób 1 - Tłumaczenie treści na język matematyki\n\nZadanie prosi, żebyśmy **przetłumaczyli** opis słowny na układ równań. Robimy to zdanie po zdaniu.\n\n**Zdanie 1:** \"Obwód prostokąta o bokach \\(a\\) i \\(b\\) jest równy 60.\"\n\nWzór na obwód prostokąta to \\(2(a + b)\\), więc:\n\\[2(a + b) = 60\\]\n\n**Zdanie 2:** \"Jeden z boków jest o 10 dłuższy od drugiego.\"\n\n\"Bок \\(b\\) jest o 10 dłuższy od boku \\(a\\)\" oznacza, że do \\(a\\) dokładamy 10 i dostajemy \\(b\\):\n\\[a + 10 = b\\]\n\n**Razem:** dostajemy układ:\n\\[\\begin{cases} 2(a+b) = 60 \\\\ a + 10 = b \\end{cases}\\]\n\nTo dokładnie **odpowiedź A**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: czy układ A daje sensowne wyniki?\n\nSprawdźmy, że układ A prowadzi do poprawnego rozwiązania.\n\nZ drugiego równania: \\(b = a + 10\\). Podstawiamy do pierwszego:\n\\[2(a + a + 10) = 60\\]\n\\[2(2a + 10) = 60\\]\n\\[4a + 20 = 60\\]\n\\[4a = 40\\]\n\\[a = 10\\]\n\nStąd \\(b = 10 + 10 = 20\\).\n\n**Sprawdzenie:** obwód \\(= 2(10 + 20) = 2 \\cdot 30 = 60\\) ✓, bок \\(b\\) jest o \\(10\\) dłuższy od \\(a\\) ✓\n\nUkład A działa poprawnie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja obwodu prostokąta (\\(L = 2(a+b)\\)) i umiejętność zapisu zależności słownej jako równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Pierwsze równanie to \\(2a + b = 60\\) - błędny wzór na obwód (zapomniano pomnożyć \\(b\\) przez 2). Drugie równanie \\(10b = a\\) nie ma sensu w tym kontekście. |\n| C | Pierwsze równanie to \\(2ab = 60\\) - zamiast obwodu wyliczono **pole** (i to jeszcze niepoprawnie, bo pole to \\(ab\\), nie \\(2ab\\)). |\n| D | Pierwsze równanie poprawne, ale drugie \\(10a = b\\) oznacza, że jeden bok jest **dziesięciokrotnie** dłuższy od drugiego - a nie o 10 dłuższy. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"O 10 dłuższy\" to \\(b = a + 10\\), a nie \\(b = 10a\\). To dodawanie, nie mnożenie! Odpowiedź D kusi, bo wygląda podobnie do A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwód prostokąta to \\(2(a+b)\\), nie \\(a + b\\), nie \\(2a + b\\), nie \\(2ab\\). Każdy bok liczymy dwa razy, bo prostokąt ma **dwie pary** równoległych boków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tego typu zadaniach nie musisz rozwiązywać układu - pytanie dotyczy tylko **zapisu**. Czytaj treść zdanie po zdaniu i przekładaj na równania.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Zapisanie warunków z treści zadania\nObwód prostokąta (karta wzorów): \\(Ob = 2(a+b)\\). Warunek: \\(2(a+b) = 60\\).\n\nJeden bok o 10 dłuższy od drugiego: bok \\(b\\) jest większy, więc \\(b = a + 10\\), czyli \\(a + 10 = b\\).\n\n\\[\\begin{cases} 2(a+b) = 60 \\\\ a + 10 = b \\end{cases}\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja rozwiązania układu\nZ A: \\(a + b = 30\\) i \\(b = a+10\\), więc \\(a + a + 10 = 30 \\Rightarrow a = 10, b = 20\\).\n\nSprawdzenie: obwód \\(= 2(10+20) = 60\\) ✓; różnica \\(20-10=10\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(2a + b = 60\\) nie jest wzorem na obwód prostokąta; \\(10b = a\\) oznaczałoby \"jeden bok 10 razy większy\".\n- **C.** \\(2ab = 60\\) to nie obwód - wygląda jak pole podwojone. \\(a-b=10\\) też OK, ale pierwsze równanie psuje całość.\n- **D.** Obwód OK, ale \\(10a = b\\) oznacza \"dziesięciokrotność\", nie \"o 10 większy\".\n\n**Trik:** \"O 10 dłuższy\" = **dodawanie** (\\(+10\\)), a nie mnożenie przez \\(10\\). Zawsze tłumacz słowa na dokładny znak działania.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nRównanie (\n)(\n)\n2\n2\n4\n4\n0\nx x\nx\nz niewiadomą x\nA. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.\nB. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.\nC. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.\nD. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania wielomianowe metodą\nrozkładu na czynniki (3.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\langle -5, -2)\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\nMamy równanie:\n\\[\\frac{x+1}{x+2} = 3, \\quad x \\neq -2\\]\n\n**Krok 1:** Mnożymy obie strony przez \\((x+2)\\) (wiemy, że \\(x+2 \\neq 0\\), więc możemy to zrobić):\n\\[(x+1) = 3(x+2)\\]\n\n**Krok 2:** Rozwijamy prawą stronę:\n\\[x + 1 = 3x + 6\\]\n\n**Krok 3:** Przenosimy \\(x\\) na prawą, liczby na lewą:\n\\[1 - 6 = 3x - x\\]\n\\[-5 = 2x\\]\n\n**Krok 4:** Dzielimy przez 2:\n\\[x = -\\frac{5}{2} = -2{,}5\\]\n\n**Sprawdzamy założenie:** \\(x = -2{,}5 \\neq -2\\) ✓\n\n**Teraz ustalamy, do którego przedziału należy \\(x = -2{,}5\\):**\n\n\\[-2{,}5 \\in \\langle -5, -2)\\], bo \\(-5 \\leq -2{,}5 < -2\\) ✓\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nMamy wynik \\(x = -2{,}5\\). Sprawdzamy, czy spełnia oryginalne równanie:\n\n\\[\\frac{(-2{,}5)+1}{(-2{,}5)+2} = \\frac{-1{,}5}{-0{,}5} = \\frac{-\\frac{3}{2}}{-\\frac{1}{2}} = 3 \\checkmark\\]\n\nWynik jest poprawny. Szybko eliminujemy też pozostałe przedziały:\n\n- \\((-2, 1)\\): zawierałby np. \\(x = 0\\) - ale \\(-2{,}5 \\notin (-2,1)\\)\n- \\(\\langle 1, +\\infty)\\): zawiera liczby \\(\\geq 1\\) - ale \\(-2{,}5 < 1\\)\n- \\((-\\infty, -5)\\): zawierałby liczby \\(< -5\\) - ale \\(-2{,}5 > -5\\)\n\nJedyny przedział, do którego należy \\(-2{,}5\\), to \\(\\langle -5, -2)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia algebraiczne równania (mnożenie przez mianownik, redukcja wyrazów podobnych).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń popełnia błąd znaku: np. liczy \\(1 - 6 = 5\\) zamiast \\(-5\\), dostaje \\(x = 2{,}5\\), co wpada w \\((-2,1)\\) ale nawet wtedy \\(2{,}5 \\notin (-2,1)\\) - to błąd w kilku miejscach naraz |\n| B | Uczeń myli znak i wychodzi mu \\(x = 2{,}5\\) lub \\(x = 5\\), co sugeruje odpowiedź B |\n| C | Uczeń nie dzieli przez 2 na końcu: zostaje przy \\(-5 = 2x\\) i przyjmuje \\(x = -5\\), czyli myśli, że wynik to \\(-5\\). Ale \\(-5 \\notin (-\\infty, -5)\\), bo przedział jest otwarty! Albo myli mianownik z licznikiem i wychodzi mu coś \\(< -5\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno po prostu \"skrócić\" ułamka - trzeba wymnożyć przez mianownik. Wiele uczniów przenosi \\(x+2\\) w złe miejsce i pisze \\(x+1 = \\frac{3}{x+2}\\) - to błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź założenie \\(x \\neq -2\\) po wyznaczeniu rozwiązania. Gdyby wyszło \\(x = -2\\), równanie nie miałoby rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(x = -2{,}5\\) trzeba jeszcze sprawdzić, do którego z podanych przedziałów należy ta liczba. To ostatni krok, który uczniowie często pomijają i wybierają odpowiedź na wyczucie!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik\nSkoro \\(x \\neq -2\\), możemy pomnożyć obustronnie przez \\(x+2\\):\n\\[x + 1 = 3(x+2),\\]\n\\[x + 1 = 3x + 6,\\]\n\\[-5 = 2x,\\]\n\\[x = -\\dfrac{5}{2} = -2{,}5.\\]\nSprawdzenie: \\(-2{,}5\\) należy do przedziału \\(\\langle -5, -2)\\) (bo \\(-5 \\leqslant -2{,}5 < -2\\)).\n\n### Sposób 2 - Zapis ułamkowy i przekształcenie\n\\[\\dfrac{x+1}{x+2} = \\dfrac{(x+2) - 1}{x+2} = 1 - \\dfrac{1}{x+2} = 3.\\]\n\\[\\dfrac{1}{x+2} = -2 \\Rightarrow x+2 = -\\dfrac{1}{2} \\Rightarrow x = -\\dfrac{5}{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-2,1)\\)** - \\(-2{,}5 \\notin (-2,1)\\); za duże przedziały.\n- **B. \\(\\langle 1,+\\infty)\\)** - dla \\(x>0\\) ułamek \\(\\tfrac{x+1}{x+2}<1\\), nie może być \\(= 3\\).\n- **C. \\((-\\infty,-5)\\)** - \\(-2{,}5 > -5\\), więc nie należy do tego przedziału.\n\n**Trik:** Dla \\(x > -2\\) (drugi mianownik dodatni) licznik musiałby być \\(3\\)-krotnie większy od mianownika, ale licznik jest zawsze mniejszy o \\(1\\) - wynik musi być ujemny.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej\n( )\n(\n)\n3\n1\n12\nf x\nx\njest liczba\nA.\n3\n4\nB.\n2 3\n1\nC. 4 3\n1\nD.\n3\n12\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje Zdający wykorzystuje interpretację\nwspółczynników we wzorze funkcji liniowej\n(4.g).\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający planuje\ni wykonuje obliczenia na liczbach\nrzeczywistych (1.a)\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(41\\dfrac{2}{3}\\) metra\n\n## Sposób 1 - Stosunek jako jednostka\n\n**Od czego zaczynamy:** Stosunek \\(3:4:5\\) oznacza, że możemy podzielić linę na \\(3+4+5 = 12\\) równych \"porcji\". Każda porcja ma tę samą długość.\n\n**Ile wynosi jedna porcja?**\n\n\\[1 \\text{ porcja} = \\frac{100}{12} = \\frac{25}{3} \\text{ m}\\]\n\n**Trzy części mają zatem długości:**\n\n\\[d_1 = 3 \\cdot \\frac{25}{3} = 25 \\text{ m}\\]\n\n\\[d_2 = 4 \\cdot \\frac{25}{3} = \\frac{100}{3} = 33\\frac{1}{3} \\text{ m}\\]\n\n\\[d_3 = 5 \\cdot \\frac{25}{3} = \\frac{125}{3} = 41\\frac{2}{3} \\text{ m}\\]\n\n**Najdłuższa część odpowiada największej liczbie we stosunku (5), więc:**\n\n\\[\\boxed{d_3 = 41\\tfrac{2}{3} \\text{ m}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań\n\nOznaczamy długości trzech części jako \\(3x\\), \\(4x\\), \\(5x\\) (gdzie \\(x > 0\\) to długość jednej \"jednostki stosunku\"). Warunek na sumę:\n\n\\[3x + 4x + 5x = 100\\]\n\n\\[12x = 100\\]\n\n\\[x = \\frac{100}{12} = \\frac{25}{3}\\]\n\nNajdłuższa część:\n\n\\[5x = 5 \\cdot \\frac{25}{3} = \\frac{125}{3} = 41\\frac{2}{3} \\text{ m}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(25 + 33\\tfrac{1}{3} + 41\\tfrac{2}{3} = 25 + 33{,}333 + 41{,}666 = 100\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja stosunku i podstawowe działania na ułamkach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(33\\frac{1}{3}\\) m | To długość **środkowej** (drugiej) części odpowiadającej liczbie 4 we stosunku, nie najdłuższej |\n| C - \\(60\\) m | Błąd: uczeń liczy \\(\\frac{5}{5+3+4} \\cdot 100\\) poprawnie, ale myli mianownik - np. sumuje tylko dwie liczby zamiast trzech, albo bierze \\(\\frac{5}{8} \\cdot 100\\) (ignorując część o długości \\(3x\\)) |\n| D - \\(25\\) m | To długość **najkrótszej** części (odpowiadającej liczbie 3 we stosunku); uczeń dobrze oblicza jednostkę \\(\\frac{25}{3}\\), ale bierze \\(3 \\cdot \\frac{25}{3}\\) zamiast \\(5 \\cdot \\frac{25}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(3:4:5\\) NIE oznacza, że części mają długości 3 m, 4 m, 5 m - to tylko proporcja. Zawsze musisz wyznaczyć \"jednostkę\" i przeskalować do rzeczywistej sumy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że mianownik to suma WSZYSTKICH liczb ze stosunku: \\(3+4+5=12\\), nie \\(3+5=8\\) ani inna kombinacja.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{125}{3}\\) to ułamek - przelicz go na liczbę mieszaną: \\(\\frac{125}{3} = 41\\frac{2}{3}\\). Nieprzeliczony ułamek może być trudny do porównania z odpowiedziami w teście.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Proporcja i wspólny mnożnik\nNiech części będą \\(3k, 4k, 5k\\). Suma: \\(3k+4k+5k = 12k = 100\\), stąd \\(k = \\tfrac{100}{12} = \\tfrac{25}{3}\\).\n\nNajdłuższa część: \\(5k = 5\\cdot \\tfrac{25}{3} = \\tfrac{125}{3} = 41\\tfrac{2}{3}\\) m.\n\n### Sposób 2 - Procentowy udział\nSuma \"kawałków stosunku\" = \\(3+4+5 = 12\\) części. Najdłuższa to \\(5\\) z \\(12\\):\n\\[\\dfrac{5}{12} \\cdot 100 = \\dfrac{500}{12} = \\dfrac{125}{3} = 41\\dfrac{2}{3}\\text{ m}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(33\\tfrac{1}{3}\\)** - to środkowa część (\\(4k = \\tfrac{100}{3}\\)), nie najdłuższa.\n- **C. \\(60\\)** - wzięto \\(5+4+3 = 12\\), \\(\\tfrac{5}{12}\\cdot 100\\)?? Błędny rachunek, ale bliski \\(50\\); raczej \\(100 - 40 = 60\\) po pomyłce.\n- **D. \\(25\\)** - to \\(k\\cdot 3\\) uznano za wynik lub po prostu \\(100/4\\).\n\n**Trik:** Stosunek \\(a:b:c\\) - zawsze wprowadź wspólny mnożnik \\(k\\) i rozwiązuj równanie sumy.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej\n( )\n2\nf x\nax\nbx\nc\n,\no miejscach zerowych: 3\n- i 1.\nWspółczynnik c we wzorze funkcji f jest równy\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nkwadratowej (4.i).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n**b < 0, c > 0**\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: punkt na osi OY i wierzchołek\n\nZ rysunku odczytujemy dwa fakty:\n\n**Fakt 1: Parabola przecina oś OY powyżej początku układu.**\n\nWartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = 0^2 + b \\cdot 0 + c = c\\]\n\nSkoro wykres przecina oś OY powyżej \\((0, 0)\\), to \\(f(0) > 0\\), czyli:\n\\[\\boxed{c > 0}\\]\n\n**Fakt 2: Wierzchołek paraboli leży w IV ćwiartce (x > 0, y < 0).**\n\nOś symetrii paraboli wyznacza x-współrzędną wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{b}{2 \\cdot 1} = -\\frac{b}{2}\\]\n\nSkoro wierzchołek jest po prawej stronie osi OY, to \\(p > 0\\):\n\\[-\\frac{b}{2} > 0 \\implies b < 0\\]\n\n\\[\\boxed{b < 0}\\]\n\n**Wniosek:** \\(b < 0\\) i \\(c > 0\\) - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Analiza przez miejsca zerowe i wzory Viète'a\n\nZ wykresu wynika, że:\n- \\(f(0) = c > 0\\) (parabola jest powyżej osi OX w punkcie \\(x = 0\\))\n- Wierzchołek leży poniżej osi OX (\\(y_W < 0\\))\n\nSkoro parabola otwiera się ku górze, jest dodatnia przy \\(x = 0\\), a w wierzchołku jest ujemna - **musi przecinać oś OX w dwóch punktach**, obydwu po prawej stronie osi OY (bo przy \\(x = 0\\) jest jeszcze dodatnia, a minimum jest na prawo od OY).\n\nOznacza to, że oba pierwiastki \\(x_1, x_2 > 0\\).\n\nStosujemy wzory Viète'a (dla \\(f(x) = x^2 + bx + c\\), czyli \\(a = 1\\)):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -b\\]\n\nSkoro \\(x_1 > 0\\) i \\(x_2 > 0\\), to suma jest dodatnia:\n\\[-b > 0 \\implies b < 0\\]\n\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = c\\]\n\nSkoro \\(x_1 > 0\\) i \\(x_2 > 0\\), to iloczyn jest dodatni:\n\\[c > 0\\]\n\nWynik: \\(b < 0\\), \\(c > 0\\) - odpowiedź **A**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia znaku \\(b\\) z położenia wierzchołka.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia znaków \\(b\\) i \\(c\\) przez analizę pierwiastków.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | Uczeń poprawnie widzi \\(b < 0\\), ale myli kierunek przecięcia osi OY - zakłada, że wierzchołek w IV ćwiartce oznacza \\(c < 0\\). Tymczasem \\(c = f(0)\\) to wartość wykresu przy \\(x = 0\\), niezależna od wierzchołka. |\n| **C** | Uczeń myli stronę osi symetrii - widzi wierzchołek po prawej stronie i błędnie wnioskuje \\(b > 0\\). Wzór \\(p = -b/2\\): jeśli \\(p > 0\\), to \\(b\\) musi być ujemne. |\n| **D** | Podwójny błąd - uczeń odwraca znak zarówno \\(b\\) (błąd osi symetrii), jak i \\(c\\) (błędny odczyt przecięcia z OY). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na oś symetrii to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\). Wierzchołek po **prawej** stronie (\\(p > 0\\)) oznacza \\(b < 0\\) - minus przed ułamkiem! Uczniowie nagminnie zapominają o tym minusie i wnioskują odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \\(c\\) to **zawsze** \\(f(0)\\) - dosłownie miejsce, gdzie parabola przecina oś OY. Nie mylić z y-współrzędną wierzchołka! Wierzchołek może być w IV ćwiartce (\\(y_W < 0\\)), a jednocześnie \\(c = f(0) > 0\\) - i właśnie taka sytuacja jest na tym rysunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze dwa fakty osobno: (1) gdzie parabola przecina OY → to daje znak \\(c\\); (2) po której stronie OY jest wierzchołek → to daje znak \\(b\\). Nie mylić tych dwóch informacji ze sobą.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Analiza wykresu (miejsca zerowe dodatnie)\nZ rysunku: parabola ma ramiona do góry (\\(a=1>0\\)), oba miejsca zerowe \\(x_{1}, x_{2}\\) są **dodatnie** (na prawo od 0).\n\n**Współczynnik \\(c\\) = wartość \\(f(0)\\):** z rysunku parabola przecina oś \\(OY\\) powyżej \\(0\\) (wraca w górę przed dotknięciem osi). Czyli \\(c > 0\\).\n\nMożna to potwierdzić wzorami Viete'a (karta wzorów): \\(c = x_{1}\\cdot x_{2}\\). Oba dodatnie, więc \\(c > 0\\).\n\n**Współczynnik \\(b\\):** \\(-\\tfrac{b}{2a} = x_{w} > 0\\) (wierzchołek na prawo od osi \\(OY\\)). Z \\(a=1\\): \\(-\\tfrac{b}{2}>0 \\Rightarrow b<0\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viete'a\n\\[x_{1}+x_{2} = -\\dfrac{b}{a} = -b, \\quad x_{1}\\cdot x_{2} = \\dfrac{c}{a} = c.\\]\nOba pierwiastki dodatnie, więc:\n- suma \\(x_{1}+x_{2} > 0 \\Rightarrow -b > 0 \\Rightarrow b < 0\\);\n- iloczyn \\(x_{1}\\cdot x_{2} > 0 \\Rightarrow c > 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(c<0\\)** - oznaczałoby, że parabola przecina oś \\(OY\\) poniżej \\(0\\), czyli jeden pierwiastek ujemny (nie zgadza się z rysunkiem).\n- **C. \\(b>0\\)** - wtedy wierzchołek byłby w lewej półpłaszczyźnie (\\(x_{w}<0\\)).\n- **D.** - sprzeczne z rysunkiem w obu warunkach.\n\n**Trik:** \\(c = f(0)\\) - zawsze sprawdzaj, gdzie wykres przecina oś \\(OY\\). Znak \\(b\\) zależy od położenia wierzchołka.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem\n( )\nx\nf x\na\n. Punkt\n(\n)\n1, 2\nA =\nnależy do tego wykresu funkcji.\nPodstawa a potęgi jest równa\nA.\n1\n2\nB.\n1\n2\nC.\n2\nD. 2\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający sporządza wykresy\nfunkcji wykładniczych dla różnych podstaw\ni rozwiązuje zadania umieszczone\nw kontekście praktycznym (4.n).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(n = 12\\))\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: wyznaczamy różnicę ciągu.**\n\nZ definicji ciągu arytmetycznego:\n\\[r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7\\]\n\n**Krok 2: zapisujemy wzór ogólny.**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 2 + (n-1) \\cdot 7\\]\n\n**Krok 3: szukamy \\(n\\) takiego, że \\(a_n = 79\\).**\n\n\\[2 + (n-1) \\cdot 7 = 79\\]\n\\[(n-1) \\cdot 7 = 77\\]\n\\[n - 1 = 11\\]\n\\[\\boxed{n = 12}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja i podejście \"zliczanie kroków\"\n\n**Weryfikacja:** Sprawdzamy, czy \\(a_{12} = 79\\):\n\\[a_{12} = 2 + (12-1) \\cdot 7 = 2 + 11 \\cdot 7 = 2 + 77 = 79 \\checkmark\\]\n\n**Alternatywnie - zliczanie kroków:**\n\nPytamy: ile razy musimy dodać \\(r = 7\\), żeby dojść od \\(a_1 = 2\\) do \\(79\\)?\n\n\\[79 - 2 = 77, \\qquad \\frac{77}{7} = 11 \\text{ kroków}\\]\n\nKażdy krok to jeden następny wyraz - **11 kroków od pierwszego wyrazu** oznacza wyraz **12.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\ngdzie \\(a_1\\) - pierwszy wyraz, \\(r\\) - różnica ciągu.\n\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(n\\) po podstawieniu \\(a_n = 79\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(n=10\\)) | Policzono \\(\\frac{79}{7} \\approx 11\\) i zaokrąglono w dół, ignorując \\(a_1 = 2\\) |\n| B (\\(n=11\\)) | Poprawnie wyliczono 11 kroków, ale utożsamiono liczbę kroków z numerem wyrazu (o 1 za mało) |\n| D (\\(n=13\\)) | Podobny błąd co w B - o 1 za dużo, np. pomyłka w przekształceniu \\(n - 1 = 11 \\Rightarrow n = 12\\) zapisana jako \\(n = 13\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba kroków ≠ numer wyrazu! Żeby dojść do \\(a_n\\), wykonujemy \\(n-1\\) dodań różnicy - nie \\(n\\). To najpopularniejszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę wyznaczaj zawsze jako \\(r = a_2 - a_1\\), nie \\(a_1 - a_2\\). Pomylenie kolejności zmienia znak i cały wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto zweryfikować wynik - podstaw obliczone \\(n\\) do wzoru i sprawdź, czy dostaniesz \\(79\\). Zajmuje 10 sekund i eliminuje głupie błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz (karta wzorów: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\))\nRóżnica ciągu: \\(r = a_{2} - a_{1} = 9 - 2 = 7\\).\n\nPodstawiamy do wzoru:\n\\[a_{n} = 2 + (n-1)\\cdot 7 = 79,\\]\n\\[(n-1)\\cdot 7 = 77,\\]\n\\[n - 1 = 11,\\]\n\\[n = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Liczenie wyrazów\nCiąg: \\(2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79\\). \\(79\\) jest \\(12\\)-tym wyrazem.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(n=10\\):** \\(a_{10} = 2 + 9\\cdot 7 = 65\\), nie \\(79\\).\n- **B. \\(n=11\\):** \\(a_{11} = 2 + 10\\cdot 7 = 72\\).\n- **D. \\(n=13\\):** \\(a_{13} = 2 + 12\\cdot 7 = 86\\).\n\n**Trik:** We wzorze \\(a_{n} = a_{1}+(n-1)r\\) uważaj na \\((n-1)\\), nie \\(n\\) - to najczęstsza pułapka.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są:\n1\n5\na =\n,\n2\n11\na =\n. Wtedy\nA.\n14\n71\na\nB.\n12\n71\na\nC.\n11\n71\na =\nD.\n10\n71\na","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone\nw kontekście praktycznym (5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(x = 6\\)\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat dowolnego wyrazu środkowego równa się iloczynowi jego sąsiadów:\n\\[a_n^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nDla naszego ciągu \\((81,\\ 3x,\\ 4)\\) środkowym wyrazem jest \\(3x\\), a jego sąsiadami są \\(81\\) i \\(4\\). Zatem:\n\\[(3x)^2 = 81 \\cdot 4\\]\n\\[9x^2 = 324\\]\n\\[x^2 = 36\\]\n\\[x = 6 \\quad \\text{lub} \\quad x = -6\\]\n\nPonieważ wyrazy ciągu mają być **dodatnie**, sprawdzamy:\n- \\(x = 6\\): wyrazy to \\(81, 18, 4\\) - wszystkie dodatnie ✓\n- \\(x = -6\\): wyraz \\(3x = -18 < 0\\) - odpada ✗\n\n**Zatem \\(x = 6\\).**\n\n## Sposób 2 - ze stałego ilorazu\n\nW ciągu geometrycznym iloraz \\(q\\) jest stały, czyli:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{3x}{81} = \\frac{4}{3x}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(81 \\cdot 3x\\) (zakładamy \\(x \\neq 0\\)):\n\\[(3x)^2 = 81 \\cdot 4\\]\n\\[9x^2 = 324\\]\n\\[x^2 = 36\\]\n\\[x = 6 \\quad (\\text{bo wyrazy dodatnie})\\]\n\n**Weryfikacja:** Dla \\(x = 6\\) ciąg to \\((81, 18, 4)\\). Iloraz:\n\\[q = \\frac{18}{81} = \\frac{2}{9}, \\qquad \\frac{4}{18} = \\frac{2}{9} \\checkmark\\]\n\nIloraz stały - to rzeczywiście ciąg geometryczny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(x = 18\\): uczeń może pomylić się i wziąć \\(3x = 54\\), sprawdzając np. \\(81 - 54 = 27\\), \\(54 - 4 = 50\\) (myślenie arytmetyczne zamiast geometrycznego). Albo po prostu zgaduje środek jako \\(\\frac{81+4}{2} \\approx 42\\). |\n| C | \\(x = \\frac{85}{6}\\): uczeń obliczył \\(3x = 81 + 4 = 85\\), czyli wzięł **średnią arytmetyczną** zamiast geometrycznej - klasyczne mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym. |\n| D | \\(x = \\frac{6}{85}\\): to odwrotność odpowiedzi C - wynik pomylenia i dodatkowego odwrócenia ułamka. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „wyrazy dodatnie\" eliminuje \\(x = -6\\). Bez tego warunku równanie \\(x^2 = 36\\) daje dwa rozwiązania - zawsze sprawdzaj, czy wszystkie wyrazy spełniają założenia zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy wyraz ciągu geometrycznego to **średnia geometryczna** sąsiadów (\\(\\sqrt{a \\cdot b}\\)), NIE arytmetyczna (\\(\\frac{a+b}{2}\\)). To najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz ciągu to \\(3x\\), nie \\(x\\) - łatwo zapomnieć i rozwiązywać \\(x^2 = 324\\) zamiast \\((3x)^2 = 324\\), otrzymując błędnie \\(x = 18\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność średniej geometrycznej (karta wzorów)\nW ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów: \\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\):\n\\[(3x)^{2} = 81 \\cdot 4,\\]\n\\[9x^{2} = 324,\\]\n\\[x^{2} = 36,\\]\n\\[x = 6\\text{ lub } x = -6.\\]\n\nPonieważ ciąg ma wyrazy dodatnie, musi być \\(3x > 0\\), więc \\(x = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Iloraz ciągu geometrycznego\n\\(q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{a_{3}}{a_{2}}\\), czyli \\(\\dfrac{3x}{81} = \\dfrac{4}{3x}\\).\n\n\\(9x^{2} = 81\\cdot 4 = 324 \\Rightarrow x^{2} = 36 \\Rightarrow x = 6\\) (dodatnie).\n\nSprawdzenie: ciąg \\((81, 18, 4)\\), iloraz \\(= \\tfrac{18}{81} = \\tfrac{2}{9}\\), a \\(\\tfrac{4}{18} = \\tfrac{2}{9}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x=18\\)** - wtedy środkowy wyraz \\(3x = 54\\), ale \\(54^{2} = 2916 \\ne 324\\).\n- **C. \\(x=\\tfrac{85}{6}\\)** - pomyłka z ciągiem arytmetycznym: \\(3x = \\tfrac{81+4}{2} = \\tfrac{85}{2}\\) daje \\(x = \\tfrac{85}{6}\\).\n- **D. \\(x=\\tfrac{6}{85}\\)** - odwrotność błędu z C.\n\n**Trik:** Środkowy wyraz ciągu geometrycznego = pierwiastek z iloczynu sąsiadów (średnia geometryczna).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nDany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (\n)\n24, 6,\n1\na -\n. Stąd wynika, że\nA.\n5\n2\na =\nB.\n2\n5\na =\nC.\n3\n2\na =\nD.\n2\n3\na =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone\nw kontekście praktycznym (5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna\n\nZ **jedynki trygonometrycznej** wiemy, że dla każdego kąta:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy dane \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\):\n\n\\[\\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{4 \\cdot 6}{49} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{24}{49} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{24}{49} = \\frac{49}{49} - \\frac{24}{49} = \\frac{25}{49}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{25}{49}} = \\pm\\frac{5}{7}\\]\n\nPonieważ kąt \\(\\alpha\\) jest **ostry** (należy do I ćwiartki), cosinus jest dodatni:\n\n\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{5}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez trójkąt prostokątny\n\nWyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym kąt \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym.\n\nZ definicji \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna kateta}}{\\text{przyprostokątna}} = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\).\n\nPrzyjmujemy: **przeciwległą kateta** \\(= 2\\sqrt{6}\\), **przeciwprostokątna** \\(= 7\\).\n\nObliczamy przyległą kateta z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[b^2 = 7^2 - (2\\sqrt{6})^2 = 49 - 24 = 25\\]\n\n\\[b = 5\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c} = \\frac{5}{7}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) ze znajomości \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń obliczył \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{24}{49}\\) i zapomniał go odjąć od 1 - wziął \\(\\sin^2\\alpha\\) za wynik końcowy |\n| C | Uczeń poprawnie obliczył \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{25}{49}\\), ale zapomniał wyciągnąć pierwiastka - podał \\(\\cos^2\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) |\n| D | Uczeń pomylył wzór - być może \"wziął pierwiastek\" z \\(\\sin\\alpha\\) lub pomylił działania na ułamkach z pierwiastkami |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl \\(\\cos\\alpha\\) z \\(\\cos^2\\alpha\\)! Odpowiedź C to właśnie \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{25}{49}\\) - pułapka dla tych, którzy zapomną wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj znak cosinus! Gdyby kąt był rozwarty (II ćwiartka), cosinus byłby ujemny. Tu mamy kąt **ostry**, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\left(\\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2\\) pamiętaj, że podniesiesz do kwadratu CAŁY licznik: \\((2\\sqrt{6})^2 = 4 \\cdot 6 = 24\\), nie \\(2 \\cdot 6 = 12\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów: \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\))\n\\[\\sin^{2}\\alpha = \\left(\\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^{2} = \\dfrac{4\\cdot 6}{49} = \\dfrac{24}{49}.\\]\n\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{24}{49} = \\dfrac{49-24}{49} = \\dfrac{25}{49}.\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\dfrac{25}{49}} = \\pm\\dfrac{5}{7}.\\]\nKąt \\(\\alpha\\) jest ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\): \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\n\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\text{przyprost. przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\tfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\).\n\nZ tw. Pitagorasa: \\(b^{2} = 7^{2} - (2\\sqrt{6})^{2} = 49 - 24 = 25\\), czyli \\(b = 5\\).\n\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{b}{7} = \\dfrac{5}{7}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{24}{49}\\)** - to \\(\\sin^{2}\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\).\n- **C. \\(\\tfrac{25}{49}\\)** - to \\(\\cos^{2}\\alpha\\), zapomniany pierwiastek.\n- **D. \\(\\tfrac{5\\sqrt{6}}{7}\\)** - mylne \"zamienienie\" licznika (\\(2\\sqrt{6}\\) na \\(5\\sqrt{6}\\)) bez rachunku.\n\n**Trik:** Jedynka trygonometryczna + kąt ostry (znak \\(+\\)) - zadanie standardowe.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nJeśli\nsin50\nm =\n° , to\nA.\nsin 40\nm =\n°\nB.\ncos 40\nm =\n°\nC.\ncos50\nm =\n°\nD.\ntg50\nm =\n°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający stosuje proste\nzwiązki między funkcjami\ntrygonometrycznymi kąta ostrego (6.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(78°\\)\n\n## Sposób 1 - przez miary łuków\n\nKluczowe obserwacje:\n- Kąt środkowy **równa się** mierze łuku, który subtenduje.\n- Kąt wpisany **równa się połowie** miary łuku, który subtenduje.\n\n**Krok 1.** Kąt \\(BOC = 40°\\) to kąt środkowy - odpowiada mu łuk \\(BC\\) o mierze \\(40°\\).\n\n**Krok 2.** Kąt wpisany \\(ABC = 121°\\) subtenduje łuk \\(AC\\) **nie zawierający** punktu \\(B\\).\n\nZatem łuk \\(AC\\) niezawierający \\(B\\):\n\\[\\text{łuk}_{AC} = 2 \\cdot \\angle ABC = 2 \\cdot 121° = 242°\\]\n\n**Krok 3.** Pełne koło to \\(360°\\), więc łuk \\(AC\\) **zawierający** \\(B\\) (czyli łuk \\(AB\\) + łuk \\(BC\\)) wynosi:\n\\[360° - 242° = 118°\\]\n\n**Krok 4.** Łuk \\(AB\\) = łuk zawierający \\(B\\) minus łuk \\(BC\\):\n\\[\\text{łuk}_{AB} = 118° - 40° = 78°\\]\n\n**Krok 5.** Kąt środkowy \\(AOB\\) = miara łuku \\(AB\\):\n\n\\[\\boxed{\\angle AOB = 78°}\\]\n\n## Sposób 2 - przez kąt środkowy \\(AOC\\)\n\n**Krok 1.** Kąt wpisany \\(ABC = 121°\\) subtenduje łuk \\(AC\\) nie zawierający \\(B\\), któremu odpowiada **wklęsły (refleks)** kąt środkowy \\(AOC\\):\n\\[\\angle AOC_{\\text{refleks}} = 2 \\cdot 121° = 242°\\]\n\n**Krok 2.** Kąt wypukły \\(AOC\\) (ten „normalny\", po stronie bez \\(B\\)):\n\\[\\angle AOC = 360° - 242° = 118°\\]\n\n**Krok 3.** Punkt \\(B\\) leży na mniejszym łuku \\(AC\\), więc ramiona \\(OA\\) i \\(OC\\) obejmują \\(OB\\):\n\\[\\angle AOC = \\angle AOB + \\angle BOC\\]\n\\[118° = \\angle AOB + 40°\\]\n\n\\[\\boxed{\\angle AOB = 78°}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego, gdy oba subtendują ten sam łuk.\n> \\[\\angle_{\\text{środkowy}} = 2 \\cdot \\angle_{\\text{wpisany}}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach: kąt \\(ABC = 121°\\) → łuk \\(AC\\) niezawierający \\(B\\) = \\(242°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wynik | Typowy błąd |\n| A | \\(59°\\) | Wzięto dopełnienie kąta wpisanego: \\(180° - 121° = 59°\\), zapominając o mnożeniu ×2 przy przejściu na łuk |\n| B | \\(50°\\) | Odjęto \\(40°\\) od błędnie policzonego \\(\\angle AOC\\), np. wyliczono łuk \\(AC = 90°\\) i odjęto \\(40°\\) |\n| C | \\(81°\\) | Wprost odjęto dane kąty: \\(121° - 40° = 81°\\) - bez żadnego twierdzenia o kącie wpisanym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany \\(> 90°\\) oznacza, że subtenduje **łuk większy niż półokrąg** (łuk \\(> 180°\\)). Środek \\(O\\) leży **na zewnątrz** kąta \\(ABC\\). Łatwo tu pomylić, który łuk subtenduje kąt wpisany.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu \\(121°\\) to **refleksowy** kąt \\(242°\\) (czyli „ta większa część\" wokół środka). Dopiero jego dopełnienie \\(360° - 242° = 118°\\) to zwykły kąt \\(AOC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno po prostu dodawać ani odejmować podanych kątów (\\(121°\\) i \\(40°\\)) bez użycia twierdzenia o kącie wpisanym - to dwa różne typy kątów (wpisany i środkowy)!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Trójkąty równoramienne i suma kątów w czworokącie\nZ rysunku: punkt \\(B\\) leży na okręgu między \\(A\\) a \\(C\\) (na dłuższym łuku).\n\nTrójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny (\\(|OB|=|OC|=r\\)), \\(\\sphericalangle BOC = 40^{\\circ}\\):\n\\[\\sphericalangle OBC = \\sphericalangle OCB = \\dfrac{180^{\\circ} - 40^{\\circ}}{2} = 70^{\\circ}.\\]\n\nZnamy \\(\\sphericalangle ABC = 121^{\\circ}\\), więc \\(\\sphericalangle ABO = 121^{\\circ} - 70^{\\circ} = 51^{\\circ}\\).\n\nTrójkąt \\(OAB\\) równoramienny: \\(\\sphericalangle OAB = \\sphericalangle OBA = 51^{\\circ}\\).\n\\[\\sphericalangle AOB = 180^{\\circ} - 2\\cdot 51^{\\circ} = 180^{\\circ} - 102^{\\circ} = 78^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym (karta wzorów)\nDla okręgu: kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nKąt \\(ABC\\) (wpisany) \\(= 121^{\\circ}\\) jest oparty na łuku \\(AC\\) **nie zawierającym** \\(B\\). Kąt środkowy oparty na tym samym łuku = \\(2\\cdot 121^{\\circ} = 242^{\\circ}\\) (refleksyjny).\n\nKąt środkowy \\(AOC\\) (niewypukły kąt na łuku \\(AC\\) zawierającym \\(B\\)) = \\(360^{\\circ} - 242^{\\circ} = 118^{\\circ}\\).\n\n\\(\\sphericalangle AOC = \\sphericalangle AOB + \\sphericalangle BOC\\) (bo \\(B\\) leży na łuku \\(AC\\) tego kąta):\n\\[\\sphericalangle AOB = 118^{\\circ} - 40^{\\circ} = 78^{\\circ}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(59^{\\circ}\\)** - \\(180^{\\circ}-121^{\\circ} = 59\\) (kąty uzupełniające na prostej, nieprawidłowe podejście).\n- **B. \\(50^{\\circ}\\)** - \\(121^{\\circ}-71^{\\circ}\\) lub inny błąd rachunkowy.\n- **C. \\(81^{\\circ}\\)** - \\(121-40=81\\) (proste odejmowanie bez analizy).\n\n**Trik:** Zawsze rysuj promienie od środka i szukaj trójkątów równoramiennych - mają dwa równe kąty.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nNa okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą\ntego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę\nA. 116°\nB. 114°\nC. 112°\nD. 110°\nA\nC\nα\nO\nB\n56°\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków\nmiędzy kątem środkowym, kątem wpisanym\ni kątem między styczną a cięciwą okręgu\n(7.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(|CE| = 8\\)\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\n\n**Zauważamy:** Ponieważ \\(DE \\parallel AB\\), trójkąt \\(CDE\\) jest podobny do trójkąta \\(CAB\\) (AA: kąt \\(C\\) wspólny + kąty odpowiadające przy prostych równoległych są równe).\n\nWyznaczamy współczynnik podobieństwa:\n\\[k = \\frac{|DE|}{|AB|} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]\n\nZ podobieństwa wynika proporcja boków:\n\\[\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{2}{3}\\]\n\nZapisujemy \\(|CA| = |CE| + |AE| = |CE| + 4\\) i podstawiamy:\n\\[\\frac{|CE|}{|CE| + 4} = \\frac{2}{3}\\]\n\nRozwiązujemy równanie:\n\\[3 \\cdot |CE| = 2 \\cdot (|CE| + 4)\\]\n\\[3|CE| = 2|CE| + 8\\]\n\\[\\boxed{|CE| = 8}\\]\n\n## Sposób 2 - Stosunek odcinków z Twierdzenia Talesa\n\nSkoro \\(DE \\parallel AB\\) i \\(\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{2}{3}\\), to \\(\\frac{|AE|}{|CA|} = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\).\n\nCzyli odcinki \\(CE\\) i \\(AE\\) mają się do siebie jak \\(2:1\\):\n\\[\\frac{|CE|}{|AE|} = \\frac{2}{1}\\]\n\n**Stąd bezpośrednio:**\n\\[|CE| = 2 \\cdot |AE| = 2 \\cdot 4 = \\boxed{8}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(|CA| = 8 + 4 = 12\\), \\(\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{8}{12} = \\frac{2}{3} = \\frac{|DE|}{|AB|} = \\frac{4}{6}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa:**\n\nJeśli \\(DE \\parallel AB\\) w trójkącie \\(CAB\\), to:\n\\[\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{|CD|}{|CB|} = \\frac{|DE|}{|AB|}\\]\n\nZ tego wprost wynika podobieństwo trójkątów \\(CDE \\sim CAB\\) z współczynnikiem \\(k = \\frac{|DE|}{|AB|}\\). Użyliśmy tego w obu sposobach do ustawienia proporcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |\n| A. \\(\\frac{16}{3}\\) | Uczeń błędnie przyjmuje \\(\\|CA\\| = \\|AE\\| + \\|DE\\| = 4 + 4 = 8\\) (myli odcinek \\(DE\\) z odcinkiem na prostej \\(CA\\)), a następnie liczy \\(\\|CE\\| = 8 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{16}{3}\\) |\n| B. \\(\\frac{8}{3}\\) | Uczeń myli stosunek i pisze \\(\\frac{\\|CE\\|}{\\|AE\\|} = \\frac{\\|DE\\|}{\\|AB\\|} = \\frac{2}{3}\\), stąd \\(\\|CE\\| = \\frac{2}{3} \\cdot 4 = \\frac{8}{3}\\) (zamiast \\(\\frac{\\|CE\\|}{\\|CA\\|} = \\frac{2}{3}\\)) |\n| D. \\(6\\) | Uczeń odwraca stosunek: \\(\\frac{\\|CE\\|}{\\|AE\\|} = \\frac{\\|AB\\|}{\\|DE\\|} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\), stąd \\(\\|CE\\| = \\frac{3}{2} \\cdot 4 = 6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proporcja z Twierdzenia Talesa łączy \\(|CE|\\) z **całym** \\(|CA|\\), a nie z samym \\(|AE|\\). Najczęstszy błąd to pisanie \\(\\frac{|CE|}{|AE|} = \\frac{|DE|}{|AB|}\\) zamiast \\(\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{|DE|}{|AB|}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo dotyczy trójkątów \\(CDE\\) i \\(CAB\\) (wierzchołek \\(C\\) jest wspólny - wychodzi \"od góry\"). Nie ma tu podobieństwa trójkąta \\(CDE\\) do trójkąta np. \\(EAB\\) czy \\(DBE\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kuszące jest myślenie, że skoro \\(|AE| = |DE| = 4\\), to odcinek \\(AED\\) jest równoramienny i trzeba coś liczyć z trójkątem. To nie pomaga - wystarczy sam stosunek podobieństwa z \\(DE \\parallel AB\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (karta wzorów)\nPonieważ \\(DE \\parallel AB\\), trójkąt \\(CDE\\) jest podobny do trójkąta \\(CBA\\) (cecha kkk).\n\nStosunek podobieństwa: \\(\\dfrac{DE}{AB} = \\dfrac{4}{6} = \\dfrac{2}{3}\\).\n\nZ proporcji odcinków: \\(\\dfrac{CE}{CA} = \\dfrac{2}{3}\\).\n\nOznaczmy \\(CE = x\\). Wtedy \\(CA = CE + EA = x + 4\\). Równanie:\n\\[\\dfrac{x}{x+4} = \\dfrac{2}{3} \\Rightarrow 3x = 2x + 8 \\Rightarrow x = 8.\\]\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie Talesa\n\\(DE \\parallel AB\\) + prosta \\(CA\\) (i \\(CB\\)) przecina obie równoległe:\n\\[\\dfrac{CE}{EA} = \\dfrac{CD}{DB},\\]\na stosunek podobieństwa daje \\(\\dfrac{CE+EA}{EA}\\cdot DE = AB\\), czyli \\(\\dfrac{CE+4}{4}\\cdot 4 = 6\\)\n\nLepiej: \\(\\dfrac{CE}{CE+EA} = \\dfrac{DE}{AB} = \\dfrac{4}{6}\\), stąd \\(6CE = 4(CE+4) \\Rightarrow 2CE = 16 \\Rightarrow CE = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{16}{3}\\)** - gdyby użyć błędnej proporcji \\(\\tfrac{CE}{EA} = \\tfrac{4}{6}\\): \\(CE = \\tfrac{4\\cdot 4}{?}\\)? Pomyłka proporcyjna.\n- **B. \\(\\tfrac{8}{3}\\)** - podobna pomyłka ze stosunkiem.\n- **D. \\(6\\)** - brano długość \\(AB\\) zamiast liczyć.\n\n**Trik:** Rysuj trójkąty obok siebie z zaznaczonymi \"odpowiednimi\" bokami - unikniesz pomyłek w proporcji.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nW trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest\nrównoległy do boku AC, a ponadto\n10\nBD =\n,\n12\nBC =\ni\n24\nAC =\n(zobacz rysunek).\nDługość odcinka DE jest równa\nA. 22\nB. 20\nC. 12\nD. 11","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych w zadaniach,\nw tym umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\sqrt{6}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta równobocznego\n\n**Wiemy, że** pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) wyraża się wzorem:\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n**Podstawiamy** dane pole \\(P = 6\\sqrt{3}\\):\n\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Dzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\)** (skracamy):\n\\[\\frac{a^2}{4} = 6\\]\n\n**Mnożymy przez 4:**\n\\[a^2 = 24\\]\n\n**Wyciągamy pierwiastek** (bok musi być dodatni):\n\\[a = \\sqrt{24} = \\sqrt{4 \\cdot 6} = 2\\sqrt{6}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a = 2\\sqrt{6}\\)** ✓\n\n## Sposób 2 - Ze wzoru ogólnego na pole (podstawa × wysokość)\n\nWysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) wyraża się wzorem:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nDochodzimy do tego samego wyrażenia, więc dalej jak w Sposobie 1. Wynik: \\(a = 2\\sqrt{6}\\).\n\n**Weryfikacja:** podstawiamy \\(a = 2\\sqrt{6}\\) do wzoru na pole:\n\\[P = \\frac{(2\\sqrt{6})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{4 \\cdot 6 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{24\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - Trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy wzoru na pole bezpośrednio do wyznaczenia boku.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - upraszczanie pierwiastka:\n\\[\\sqrt{24} = \\sqrt{4 \\cdot 6} = 2\\sqrt{6}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(3\\sqrt{2}\\) | Policzono \\(a^2 = 18\\) zamiast \\(24\\) - np. pominięto \\(\\sqrt{3}\\) w mianowniku przy skracaniu |\n| B - \\(2\\sqrt{3}\\) | Pomylono wzory: użyto \\(P = \\frac{a^2}{4}\\) bez czynnika \\(\\sqrt{3}\\), co daje \\(a^2 = 24\\sqrt{3}\\), a następnie błędne upraszczanie |\n| D - \\(6\\sqrt{2}\\) | Błąd przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{24}\\) mylnie zapisano jako \\(6\\sqrt{2}\\) (zapomniano wyciągnąć \\(\\sqrt{4} = 2\\), wzięto \\(\\sqrt{36}\\) zamiast \\(\\sqrt{4}\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wzoru na pole trójkąta równobocznego z trójkątem prostokątnym - wzór \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) dotyczy **tylko** trójkąta **równobocznego**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{24}\\) - zawsze szukaj **największego** czynnika będącego pełnym kwadratem: \\(24 = 4 \\cdot 6\\), więc \\(\\sqrt{24} = 2\\sqrt{6}\\). Błędem jest zatrzymanie się na \\(\\sqrt{4 \\cdot 6}\\) bez wyciągnięcia \\(2\\) przed pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po skróceniu \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3}\\) dziel przez \\(\\sqrt{3}\\) na początku - to najprostszy krok. Nie mnóż od razu przez 4, bo łatwo o błąd rachunkowy z \\(\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta równobocznego (karta wzorów: \\(P = \\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\))\n\\[\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3} \\;\\big/ \\cdot 4\\]\n\\[a^{2}\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3} \\;\\big/ :\\sqrt{3}\\]\n\\[a^{2} = 24 \\Rightarrow a = \\sqrt{24} = 2\\sqrt{6}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a = 2\\sqrt{6}\\): \\(a^{2} = 24\\), \\(P = \\tfrac{24\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3}\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\sqrt{2}\\):** \\(a^{2} = 18\\), \\(P = \\tfrac{18\\sqrt{3}}{4} = 4{,}5\\sqrt{3} \\ne 6\\sqrt{3}\\).\n- **B. \\(2\\sqrt{3}\\):** \\(a^{2} = 12\\), \\(P = 3\\sqrt{3}\\).\n- **D. \\(6\\sqrt{2}\\):** \\(a^{2} = 72\\), \\(P = 18\\sqrt{3}\\).\n\n**Trik:** Upraszczaj pierwiastek: \\(\\sqrt{24} = \\sqrt{4\\cdot 6} = 2\\sqrt{6}\\), a nie \\(2\\sqrt{3}\\) lub \\(3\\sqrt{2}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nObwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy\nA.\n3\n3\n2\na\n\n\n\n\n\n\n\n\nB.\n2\n2\n2\na\n\n\n\n\n\n\n\n\nC. (\n)\n3\n3 a\nD. (\n)\n2\n2 a\nB\nA\nC\nD\nE\n10\n24\n2\nA\nC\nB\n30°\n\na\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich, także\nz zastosowaniem trygonometrii, również\nw zadaniach umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(58\\)\n\n## Sposób 1 - Długość boku ze wzoru na odległość\n\nW kwadracie wszystkie boki są równe, więc wystarczy znaleźć długość jednego boku - na przykład \\(BC\\).\n\nZnamy: \\(B = (-2, 4)\\), \\(C = (5, 1)\\).\n\n**Krok 1.** Obliczamy odległość \\(|BC|\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \\sqrt{(5-(-2))^2 + (1-4)^2}\\]\n\\[|BC| = \\sqrt{7^2 + (-3)^2} = \\sqrt{49 + 9} = \\sqrt{58}\\]\n\n**Krok 2.** Pole kwadratu o boku \\(a = \\sqrt{58}\\):\n\\[P = a^2 = \\left(\\sqrt{58}\\right)^2 = \\mathbf{58}\\]\n\n## Sposób 2 - Wektor boku i wyznaczenie wszystkich wierzchołków\n\nZamiast korzystać bezpośrednio ze wzoru, skonstruujmy cały kwadrat i zweryfikujemy wynik wzorem Shoelace'a.\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy wektor \\(\\overrightarrow{BC}\\):\n\\[\\overrightarrow{BC} = [5 - (-2),\\ 1 - 4] = [7,\\ -3]\\]\n\n**Krok 2.** Obracamy \\(\\overrightarrow{BC}\\) o \\(90°\\) (daje bok prostopadły, czyli \\(\\overrightarrow{AB}\\)):\n\nObrót o \\(90°\\) w lewo: \\([a, b] \\mapsto [-b, a]\\), czyli \\([7, -3] \\mapsto [3, 7]\\).\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy brakujące wierzchołki:\n\\[A = B - \\overrightarrow{AB} = (-2 - 3,\\ 4 - 7) = (-5,\\ -3)\\]\n\\[D = C - \\overrightarrow{AB} = (5 - 3,\\ 1 - 7) = (2,\\ -6)\\]\n\n**Krok 4.** Sprawdzamy pole wzorem Shoelace'a dla \\(A(-5,-3)\\), \\(B(-2,4)\\), \\(C(5,1)\\), \\(D(2,-6)\\):\n\\[P = \\frac{1}{2}|x_A(y_B - y_D) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_D - y_B) + x_D(y_A - y_C)|\\]\n\\[= \\frac{1}{2}|(-5)(4-(-6)) + (-2)(1-(-3)) + 5(-6-4) + 2(-3-1)|\\]\n\\[= \\frac{1}{2}|(-5)(10) + (-2)(4) + 5(-10) + 2(-4)|\\]\n\\[= \\frac{1}{2}|-50 - 8 - 50 - 8| = \\frac{1}{2} \\cdot 116 = \\mathbf{58}\\]\n\nWynik zgodny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(|BC|\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wektor:\n\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do skonstruowania prostopadłego boku kwadratu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(29\\) | Myślenie, że \\(BC\\) to **przekątna** kwadratu, a nie bok. Dla kwadratu o przekątnej \\(d\\): \\(P = \\frac{d^2}{2} = \\frac{58}{2} = 29\\). Błąd: zadanie mówi „sąsiednie wierzchołki\" - to bok, nie przekątna! |\n| B - \\(40\\) | Obliczanie \\((x_C - x_B)^2 - (y_C - y_B)^2 = 49 - 9 = 40\\) zamiast **sumy** kwadratów różnic współrzędnych. Pomylono \\(+\\) z \\(-\\) we wzorze na odległość. |\n| D - \\(74\\) | Użycie surowych współrzędnych \\(x_C^2 + y_C^2 = 25 + 1 = 26\\) albo \\(x_B^2 + y_B^2 = 4 + 16 = 20\\) i ich dodanie. Błąd: we wzorze na odległość bierzemy **różnice** współrzędnych, nie same współrzędne. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Sąsiednie wierzchołki\" = bok kwadratu. Gdyby dane były wierzchołki leżące naprzeciwko siebie (np. \\(A\\) i \\(C\\)), to \\(AC\\) byłoby przekątną i pole wynosiłoby \\(\\frac{|AC|^2}{2}\\) - zupełnie inny wynik!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pola kwadratu **nie trzeba** liczyć przez \\(P = a \\cdot a\\) po wcześniejszym obliczeniu \\(\\sqrt{58}\\). Wystarczy zauważyć, że \\(P = a^2 = |BC|^2\\), i od razu podać \\(49 + 9 = 58\\). Pierwiastkowanie jest niepotrzebne - oszczędza czas i eliminuje błędy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obrót wektora o \\(90°\\) to prosta sztuczka - zamień współrzędne miejscami i zmień jeden znak: \\([a, b] \\to [-b, a]\\). Przydaje się przy wyznaczaniu prostopadłych boków figur na płaszczyźnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kwadrat długości boku = pole (karta wzorów: \\(|BC|^{2} = (x_{C}-x_{B})^{2} + (y_{C}-y_{B})^{2}\\))\nSąsiedni wierzchołki: \\(BC\\) jest bokiem kwadratu. Pole = \\(|BC|^{2}\\):\n\\[|BC|^{2} = (5-(-2))^{2} + (1-4)^{2} = 7^{2} + (-3)^{2} = 49 + 9 = 58.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczamy \\(|BC|\\) i potem kwadrat\n\\(|BC| = \\sqrt{58}\\), więc \\(P = (\\sqrt{58})^{2} = 58\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(29\\)** - to \\(\\tfrac{58}{2}\\), jakby brano połowę przekątnej jako bok.\n- **B. \\(40\\)** - przypadkowo zbliżone, błąd rachunkowy.\n- **D. \\(74\\)** - być może \\(\\tfrac{5^{2}+7^{2}}{?}\\); nie jest \\(|BC|^{2}\\).\n\n**Trik:** Wzór na odległość od razu podaje \\(d^{2}\\) - a pole kwadratu to \\(d^{2}\\). Pominąć etap pierwiastkowania!","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiona jest prosta k o równaniu\ny\nax , przechodząca przez punkt\n(\n)\n2, 3\nA =\ni przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia\ntej prostej do osi Ox.\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n0\nα\nk\nA\nZatem\nA.\n2\n3\na\nB.\n3\n2\na\nC.\n2\n3\na\nD.\n3\n2\na","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\ninterpretację współczynników we wzorze\nfunkcji liniowej (4.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sphericalangle SAO\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny\n\n**Klucz: kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.**\n\nSzukamy kąta nachylenia krawędzi \\(SA\\) do płaszczyzny podstawy \\(ABCD\\).\n\n**Krok 1 - Rzut prostokątny punktu \\(S\\) na płaszczyznę podstawy.**\n\nOstrosłup jest **prawidłowy** - znaczy, że wierzchołek \\(S\\) leży dokładnie nad środkiem podstawy. Środek podstawy kwadratu \\(ABCD\\) to punkt \\(O\\).\n\nZatem rzutem prostokątnym \\(S\\) na płaszczyznę \\(ABCD\\) jest punkt **\\(O\\)**.\n\n**Krok 2 - Rzut prostokątny krawędzi \\(SA\\) na płaszczyznę podstawy.**\n\nRzut prostokątny odcinka \\(SA\\) na płaszczyznę \\(ABCD\\) to odcinek łączący:\n- rzut punktu \\(S\\) → \\(O\\)\n- rzut punktu \\(A\\) → \\(A\\) (bo \\(A\\) leży w płaszczyźnie podstawy)\n\nZatem rzutem krawędzi \\(SA\\) na płaszczyznę \\(ABCD\\) jest odcinek \\(\\boldsymbol{OA}\\).\n\n**Krok 3 - Kąt nachylenia.**\n\nKąt nachylenia prostej \\(SA\\) do płaszczyzny \\(ABCD\\) to kąt między prostą \\(SA\\) a jej rzutem \\(OA\\), czyli kąt przy wierzchołku \\(A\\) w trójkącie \\(SAO\\):\n\n\\[\\boxed{\\sphericalangle SAO}\\]\n\nTo jest **kąt \\(A\\)**.\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie przez warunek prostopadłości\n\nAby kąt nachylenia prostej \\(SA\\) do płaszczyzny \\(ABCD\\) był kątem danego trójkąta, jeden z boków tego trójkąta musi być **prostopadle do płaszczyzny podstawy** (lub leżeć w tej płaszczyźnie), a kąt musi być zawarty między odcinkiem \\(SA\\) a jego rzutem.\n\nSprawdźmy trójkąt \\(SAO\\):\n- \\(SO \\perp\\) płaszczyzna \\(ABCD\\) - bo \\(O\\) to środek kwadratu, a ostrosłup prawidłowy ma wysokość prostopadłą do podstawy. Zatem \\(SO\\) jest **wysokością** ostrosłupa.\n- \\(OA\\) leży w płaszczyźnie podstawy.\n- Kąt \\(\\sphericalangle SAO\\) to kąt przy \\(A\\) - między krawędzią boczną \\(SA\\) a odcinkiem \\(OA\\) (rzutem \\(SA\\) na podstawę).\n\nMamy trójkąt prostokątny \\(SOA\\) z kątem prostym przy \\(O\\). Kąt nachylenia \\(SA\\) do podstawy to właśnie kąt przy \\(A\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}(\\sphericalangle SAO) = \\frac{|SO|}{|OA|}\\]\n\nco potwierdza, że \\(\\sphericalangle SAO\\) jest kątem między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pojęcia bryły i ich elementy (wysokość ostrosłupa). Kluczowe jest to, że w ostrosłupie prawidłowym wysokość \\(SO \\perp\\) podstawa, co pozwala wyznaczyć rzut prostokątny.\n\nW tym zadaniu nie stosujemy konkretnych wzorów obliczeniowych z karty - wystarczy znajomość **definicji kąta nachylenia prostej do płaszczyzny** (rzut prostokątny) oraz własności ostrosłupa prawidłowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Kąt | Błąd |\n| B | \\(\\sphericalangle SAB\\) | To kąt między krawędzią boczną \\(SA\\) a krawędzią podstawy \\(AB\\) - nie jest to kąt między \\(SA\\) a jej rzutem na płaszczyznę, bo \\(AB\\) nie jest rzutem \\(SA\\) na podstawę |\n| C | \\(\\sphericalangle SOA\\) | To **ten sam trójkąt** \\(SOA\\), ale kąt przy \\(O\\) - jest to kąt **prosty** (\\(90°\\)), bo \\(SO \\perp\\) podstawa. Nie jest to kąt nachylenia |\n| D | \\(\\sphericalangle ASB\\) | To kąt przy wierzchołku \\(S\\) w trójkącie \\(ASB\\) - kąt między dwiema krawędziami bocznymi, nie między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między prostą a jej **rzutem prostokątnym** na tę płaszczyznę - NIE kąt między prostą a dowolną inną prostą leżącą w płaszczyźnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\sphericalangle SAO\\) (kąt przy \\(A\\)) z \\(\\sphericalangle SOA\\) (kąt przy \\(O\\)). Kąt przy \\(O\\) to kąt prosty - \\(SO \\perp OA\\) - więc to nie jest kąt nachylenia, tylko warunek, który pozwala zdefiniować rzut.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W ostrosłupie prawidłowym środek podstawy \\(O\\) to rzut wierzchołka \\(S\\) - to wynika z symetrii. W ostrosłupie **nieprawidłowym** rzut \\(S\\) może być w innym punkcie i wtedy kąt nachylenia wyznaczylibyśmy inaczej.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny\nKąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.\n\nPunkt \\(O\\) jest spodkiem wysokości ostrosłupa prawidłowego (środek podstawy). Rzut \\(S\\) na podstawę to \\(O\\). Więc rzut \\(SA\\) na podstawę to odcinek \\(OA\\).\n\nKąt między \\(SA\\) a \\(OA\\), wychodzący z punktu \\(A\\) (końca krawędzi leżącego w podstawie), to \\(\\sphericalangle SAO\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\nSzukamy kąta o wierzchołku w punkcie podstawy (\\(A\\)), między krawędzią \\(SA\\) a jej rzutem \\(AO\\).\n- \\(\\sphericalangle SAO\\) - właściwy! ✓\n- \\(\\sphericalangle SAB\\) - kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy (to NIE to samo).\n- \\(\\sphericalangle SOA\\) - wierzchołek w \\(O\\), kąt prosty (\\(90^{\\circ}\\)) między wysokością \\(SO\\) a podstawą.\n- \\(\\sphericalangle ASB\\) - kąt w wierzchołku \\(S\\), nie jest kątem nachylenia.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Kąt \\(\\sphericalangle SAB\\) leży między krawędzią boczną a krawędzią **podstawy**, nie jej rzutem (to nie to samo).\n- **C.** Kąt \\(\\sphericalangle SOA = 90^{\\circ}\\) - zawsze prosty, bo \\(SO\\) to wysokość.\n- **D.** Kąt \\(\\sphericalangle ASB\\) to kąt płaski ściany bocznej \\(ASB\\), nie nachylenia.\n\n**Trik:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny = kąt między prostą a jej **rzutem** w płaszczyźnie. Wierzchołek kąta leży tam, gdzie prosta \"wchodzi\" w płaszczyznę.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nNa płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym\nw punkcie\n(\n)\n2,4\nA = -\n. Prosta k jest określona równaniem\n1\n7\n4\n2\ny\nx\n. Zatem prostą l\nopisuje równanie\nA.\n1\n7\n4\n2\ny\nx\nB.\n1\n7\n4\n2\ny\nx\nC.\n4\n12\ny\nx\nD.\n4\n12\ny\nx","answer":"D","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(21\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na graniastosłup n-kątny\n\nGraniastosłup zbudowany jest na podstawie będącej wielokątem \\(n\\)-kątnym. Kluczowe wzory:\n\n- Wierzchołki: \\(2n\\) (po \\(n\\) w każdej podstawie)\n- Krawędzie: \\(3n\\) (\\(n\\) w dolnej podstawie + \\(n\\) w górnej + \\(n\\) bocznych)\n- Ściany: \\(n + 2\\)\n\n**Krok 1.** Mamy \\(14\\) wierzchołków, więc:\n\\[2n = 14 \\implies n = 7\\]\nTo graniastosłup **siedmiokątny**.\n\n**Krok 2.** Liczba krawędzi:\n\\[k = 3n = 3 \\cdot 7 = \\mathbf{21}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór Eulera (weryfikacja)\n\nWzór Eulera dla wielościanów: \\(V - E + F = 2\\), gdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.\n\nDla graniastosłupa siedmiokątnego:\n- \\(V = 14\\)\n- \\(F = 7 + 2 = 9\\) (7 ścian bocznych + 2 podstawy)\n- \\(E = ?\\)\n\nPodstawiamy do wzoru Eulera:\n\\[14 - E + 9 = 2\\]\n\\[23 - E = 2\\]\n\\[E = 21 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość budowy graniastosłupa i ewentualnie wzoru Eulera (który nie jest na karcie, ale jest standardową wiedzą geometryczną).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((14)\\) | Uczeń podaje liczbę wierzchołków zamiast krawędzi - myli pojęcia |\n| C \\((28)\\) | Uczeń liczy \\(2n = 2 \\cdot 14 = 28\\), zapominając że \\(14\\) to już liczba wierzchołków, a nie \\(n\\) |\n| D \\((26)\\) | Uczeń liczy \\(n + 2 = 7 + 2 = 9\\) ścian i myli je z krawędziami, lub stosuje błędny wzór \\(2n + n - 2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup \\(n\\)-kątny ma \\(2n\\) wierzchołków - jeśli zadanie mówi \"14 wierzchołków\", to \\(n = 7\\), a NIE \\(n = 14\\). Bardzo częsty błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić liczby wierzchołków, krawędzi i ścian. Zapamiętaj: **krawędzie = \\(3n\\)**, bo każdy wielokąt \\(n\\)-kątny ma \\(n\\) boków, a bocznych krawędzi (łączących podstawy) też jest \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) działa dla każdego wielościanu wypukłego - to świetne narzędzie do sprawdzenia wyniku, gdy nie jesteś pewien wzoru na krawędzie.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zliczanie wierzchołków i krawędzi\nW graniastosłupie \\(n\\)-bocznym są:\n- \\(2n\\) wierzchołków (\\(n\\) na górnej podstawie + \\(n\\) na dolnej),\n- \\(3n\\) krawędzi (\\(n\\) krawędzi górnej podstawy + \\(n\\) krawędzi dolnej podstawy + \\(n\\) krawędzi bocznych).\n\nZ warunku: \\(2n = 14 \\Rightarrow n = 7\\) (graniastosłup siedmiokątny).\n\nLiczba krawędzi: \\(3n = 3\\cdot 7 = 21\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Eulera (karta wzorów): \\(W - K + S = 2\\)\n\\(W=14\\), graniastosłup \\(n\\)-kątny ma \\(S = n+2\\) ścian. Dla \\(n=7\\): \\(S = 9\\).\n\n\\[14 - K + 9 = 2 \\Rightarrow K = 21.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - liczba wierzchołków, nie krawędzi.\n- **C. \\(28\\)** - \\(2\\cdot 14\\), bez logiki.\n- **D. \\(26\\)** - pomyłka z innym wielościanem.\n\n**Trik:** Pamiętaj: graniastosłup \\(n\\)-boczny ma \\(2n\\) wierzchołków, \\(3n\\) krawędzi, \\(n+2\\) ścian. To zawsze pomaga.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nDany jest okrąg o środku\n(\n)\n2,3\nS =\ni promieniu\n5\nr =\n. Który z podanych punktów leży na\ntym okręgu?\nA.\n(\n)\n1,7\nA = -\nB.\n(\n)\n2, 3\nB =\nC.\n(\n)\n3,2\nC =\nD.\n(\n)\n5,3\nD =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległości punktów na\npłaszczyźnie kartezjańskiej (8.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nProsta \\(k\\) ma równanie \\(x - 4 = 0\\), czyli \\(x = 4\\).\n\n## Sposób 1 - definicja prostej prostopadłej do osi \\(Ox\\)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** oś \\(Ox\\) jest pozioma. Prosta **prostopadła** do osi \\(Ox\\) musi być **pionowa**.\n\nKażda pionowa prosta ma równanie postaci:\n\\[x = \\text{stała}\\]\n\nSkoro prosta \\(k\\) przechodzi przez punkt \\(A = (4, -4)\\), to jej współrzędna \\(x\\) wynosi zawsze \\(4\\), niezależnie od wartości \\(y\\).\n\n**Zatem:**\n\\[x = 4 \\quad \\text{czyli} \\quad x - 4 = 0\\]\n\nTo jest odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu\n\nSprawdzamy, czy punkt \\(A = (4, -4)\\) spełnia równanie \\(x - 4 = 0\\):\n\\[4 - 4 = 0 \\quad \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy też, czy prosta \\(x = 4\\) jest pionowa (prostopadła do \\(Ox\\)):\n- Prosta \\(x = 4\\) nie ma skończonego współczynnika kierunkowego - jest pionowa.\n- Oś \\(Ox\\) jest pozioma (współczynnik kierunkowy \\(= 0\\)).\n- Prosta pionowa jest zawsze prostopadła do prostej poziomej. \\(\\checkmark\\)\n\nWynik potwierdzony: **\\(x - 4 = 0\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nProsta pionowa (\\(x = \\text{stała}\\)) **nie** ma postaci kierunkowej - współczynnik kierunkowy nie istnieje (tangens kąta prostego jest nieokreślony). Zapisujemy ją jako równanie ogólne:\n\\[Ax + By + C = 0 \\quad \\text{z } B = 0\\]\nczyli \\(x - 4 = 0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Równanie | Błąd |\n| B | \\(x - y = 0\\), czyli \\(y = x\\) | To prosta skośna (pod kątem 45°), przechodzi przez \\((0,0)\\), nie przez \\(A = (4,-4)\\). Nie jest prostopadła do \\(Ox\\). |\n| C | \\(y + 4 = 0\\), czyli \\(y = -4\\) | To prosta **pozioma** - równoległa do \\(Ox\\), a nie prostopadła. Uczeń myli „prostopadła do \\(Ox\\)\" z „przechodzi przez \\(y = -4\\)\". |\n| D | \\(x + y = 0\\), czyli \\(y = -x\\) | To prosta skośna (pod kątem 135°), przechodzi przez \\((0,0)\\), nie przez \\(A = (4,-4)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wybór odpowiedzi **C** - uczeń widzi \\(-4\\) w punkcie \\(A\\) i zapisuje \\(y = -4\\). To prosta **równoległa** do \\(Ox\\), a nie prostopadła!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta prostopadła do \\(Ox\\) (poziomej) to prosta **pionowa**, a prosta prostopadła do \\(Oy\\) (pionowej) to prosta **pozioma**. Łatwo te dwie rzeczy pomylić - warto narysować szkic.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pionowa prosta \\(x = 4\\) nie ma postaci \\(y = ax + b\\) - nie da się jej zapisać ze współczynnikiem kierunkowym. Jej jedyną poprawną formą jest \\(x = \\text{stała}\\) lub \\(x - \\text{stała} = 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Prosta prostopadła do osi \\(Ox\\)\nProsta prostopadła do osi poziomej (\\(Ox\\)) jest **pionowa**, ma równanie \\(x = \\text{const}\\).\n\nProsta przechodzi przez \\(A = (4, -4)\\), więc \\(x = 4\\), czyli \\(x - 4 = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktu\nDla każdej odpowiedzi sprawdzamy, czy punkt \\(A=(4,-4)\\) spełnia równanie:\n- A: \\(4 - 4 = 0\\) ✓ oraz prosta jest pionowa ✓\n- B: \\(4 - (-4) = 8 \\ne 0\\) ✗\n- C: \\(-4 + 4 = 0\\) ✓ ale to prosta pozioma (\\(y = -4\\)), równoległa do \\(Ox\\), nie prostopadła.\n- D: \\(4 + (-4) = 0\\) ✓ ale to prosta \\(y = -x\\), nachylona pod \\(135^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(x-y=0\\)** - prosta \\(y=x\\), nachylona pod \\(45^{\\circ}\\), nie prostopadła do \\(Ox\\).\n- **C. \\(y+4=0\\)** - prosta pozioma \\(y=-4\\); **równoległa** do \\(Ox\\) (nie prostopadła).\n- **D. \\(x+y=0\\)** - prosta \\(y=-x\\), pod \\(135^{\\circ}\\).\n\n**Trik:** Pionowa prosta to zawsze \\(x = a\\) (pomija ją wzór \\(y = ax+b\\) - nie ma stąd \\(y\\)!).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym\nwysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź\npodstawy tego graniastosłupa jest równa\nA.\n10\nB. 3 10\nC.\n42\nD. 3 42\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[y = \\frac{\\sqrt{3}}{3}x - \\sqrt{3}\\]\n\n## Sposób 1 - Nachylenie prostej przez kąt (wzór z tangensem)\n\n**Kluczowy fakt:** Współczynnik kierunkowy prostej \\(a\\) w równaniu \\(y = ax + b\\) jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \\(Ox\\).\n\n\\[a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nMamy \\(\\alpha = 30°\\), więc:\n\n\\[a = \\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sin 30°}{\\cos 30°} = \\frac{\\dfrac{1}{2}}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nProsta przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -\\sqrt{3})\\), więc wyraz wolny:\n\n\\[b = -\\sqrt{3}\\]\n\n**Równanie prostej:**\n\n\\[\\boxed{y = \\frac{\\sqrt{3}}{3}x - \\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu\n\nSprawdzamy, czy prosta z odpowiedzi A faktycznie przechodzi przez punkt \\((0, -\\sqrt{3})\\) i ma właściwy kąt nachylenia.\n\n**Krok 1 - sprawdzenie punktu \\((0, -\\sqrt{3})\\):**\n\n\\[y = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot 0 - \\sqrt{3} = -\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\n**Krok 2 - znalezienie drugiego punktu i sprawdzenie kąta.**\n\nWeźmy \\(x = \\sqrt{3}\\):\n\n\\[y = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot \\sqrt{3} - \\sqrt{3} = \\frac{3}{3} - \\sqrt{3} = 1 - \\sqrt{3}\\]\n\nProsta przechodzi przez \\(A = (0, -\\sqrt{3})\\) i \\(B = (\\sqrt{3},\\ 1-\\sqrt{3})\\).\n\nTangent kąta nachylenia:\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{(1-\\sqrt{3}) - (-\\sqrt{3})}{\\sqrt{3} - 0} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nA \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) ✓ - wynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nWspółczynnik kierunkowy \\(a\\) to tangens kąta nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) - dokładnie tego użyliśmy w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych dla \\(30°\\):\n\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\nBez znajomości tej wartości nie da się wyznaczyć współczynnika kierunkowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Poprawny współczynnik kierunkowy \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\), ale **zły znak wyrazu wolnego** - wzięto \\(+\\sqrt{3}\\) zamiast \\(-\\sqrt{3}\\); prosta przechodziłaby przez \\((0, +\\sqrt{3})\\) |\n| C | **Zły współczynnik kierunkowy** - wzięto \\(\\frac{1}{2} = \\sin 30°\\) zamiast \\(\\operatorname{tg}30°\\); pomylono sinus z tangensem |\n| D | **Podwójny błąd** - zarówno zły współczynnik kierunkowy \\(\\frac{1}{2}\\) (sinus zamiast tangens), jak i zły znak wyrazu wolnego \\(+\\sqrt{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej odpowiada **tangensowi**, nie sinusowi ani kosinusowi! Odpowiedzi C i D to właśnie ta pułapka - \\(\\frac{1}{2} = \\sin 30°\\), a nie \\(\\operatorname{tg}30°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\((0, -\\sqrt{3})\\) leży **poniżej** zera, więc wyraz wolny jest ujemny: \\(b = -\\sqrt{3}\\). Odpowiedzi B i D mają \\(b = +\\sqrt{3}\\) - to częsty błąd przy odczytywaniu wykresu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) - obie formy są równe, ale CKE zapisuje w formie z \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) (bez pierwiastka w mianowniku). Zawsze **racjonalizuj mianownik** w odpowiedzi!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy jako tangens kąta nachylenia\nW równaniu \\(y = ax + b\\):\n- \\(a = \\operatorname{tg}(\\text{kąt nachylenia}) = \\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) (karta wzorów),\n- \\(b = \\) rzędna punktu przecięcia z osią \\(Oy\\) = \\(-\\sqrt{3}\\).\n\n\\[y = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}x - \\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wartości \\(\\operatorname{tg}\\) standardowych kątów\nKąty znane: \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = 1\\), \\(\\operatorname{tg} 60^{\\circ} = \\sqrt{3}\\).\n\nWyraz wolny \\(= -\\sqrt{3}\\) (bo przecina \\(Oy\\) poniżej zera).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(+\\sqrt{3}\\)** - zły znak wyrazu wolnego (\\(+\\) zamiast \\(-\\)).\n- **C. \\(a=\\tfrac{1}{2}\\)** - to \\(\\sin 30^{\\circ}\\), nie tangens.\n- **D.** - podwójny błąd (oba współczynniki złe).\n\n**Trik:** Zapamiętaj: \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} \\cdot \\operatorname{tg} 60^{\\circ} = 1\\). \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPromień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz\nrysunek) jest równy\nA. 1\n2\nB.\n2\n2\nC.\n3\n2\nD. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w bryłach obrotowych\nz zastosowaniem trygonometrii (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(18\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - ze wzoru na objętość stożka\n\n**Dane:** wysokość \\(h = 6\\), tworząca \\(l = 3\\sqrt{5}\\).\n\nNajpierw wyznaczamy promień podstawy. Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny (z kątem prostym przy środku podstawy), więc z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[l^2 = r^2 + h^2\\]\n\n\\[(3\\sqrt{5})^2 = r^2 + 6^2\\]\n\n\\[45 = r^2 + 36\\]\n\n\\[r^2 = 9\\]\n\n\\[r = 3\\]\n\nTeraz liczymy objętość stożka:\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = \\frac{1}{3} \\cdot 54\\pi = \\mathbf{18\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie tworzacej\n\nMamy wynik \\(r = 3\\), \\(h = 6\\). Sprawdzamy, czy tworząca faktycznie wynosi \\(3\\sqrt{5}\\):\n\n\\[l = \\sqrt{r^2 + h^2} = \\sqrt{9 + 36} = \\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = 3\\sqrt{5} \\checkmark\\]\n\nZgadza się - dane są spójne, a obliczony promień jest poprawny. Objętość wynosi \\(\\mathbf{18\\pi}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy go w ostatnim kroku po wyznaczeniu promienia.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia promienia podstawy z wysokości i tworzacej stożka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(r^2 = 9\\), ale wzięto \\(r = 9\\) zamiast \\(r^2 = 9\\), czyli \\(V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 9 \\cdot 4\\) - różne pomyłki w rachunkach dające \\(36\\pi\\) |\n| C | Zapomniano o \\(\\frac{1}{3}\\) w wzorze na objętość: \\(\\pi r^2 h = \\pi \\cdot 9 \\cdot 12 = 108\\pi\\) (lub błędne \\(h\\)) |\n| D | Zapomniano o \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = 54\\pi\\) - typowa pułapka! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie o \\(\\frac{1}{3}\\) w wzorze na objętość stożka. Odpowiedź D (\\(54\\pi\\)) to dokładnie wynik bez tej jednej trójki - łatwo wpaść!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca \\(l\\) to **nie** to samo co wysokość \\(h\\). Tworząca jest zawsze **dłuższa** niż wysokość. Upewnij się, że do wzoru \\(V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\) wstawiasz \\(h = 6\\), a nie \\(l = 3\\sqrt{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((3\\sqrt{5})^2 = 9 \\cdot 5 = 45\\), nie \\(3 \\cdot 5 = 15\\) ani \\(9\\sqrt{5}\\). Pamiętaj, że potęga działa na cały iloczyn: \\((ab)^2 = a^2 b^2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Pitagoras + wzór na objętość (karta wzorów: \\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^{2}H\\))\nW stożku: \\(l^{2} = r^{2} + H^{2}\\), gdzie \\(l\\) - tworząca, \\(H\\) - wysokość, \\(r\\) - promień:\n\\[(3\\sqrt{5})^{2} = r^{2} + 6^{2},\\]\n\\[45 = r^{2} + 36 \\Rightarrow r^{2} = 9 \\Rightarrow r = 3.\\]\n\nObjętość:\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi \\cdot 3^{2} \\cdot 6 = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 9\\cdot 6 = 18\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie bez wyznaczania \\(r\\) osobno\nZauważ, że \\(r^{2} = l^{2} - H^{2} = 45 - 36 = 9\\), więc \\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = 18\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(36\\pi\\)** - bez mnożnika \\(\\tfrac{1}{3}\\) (pomylono z walcem: \\(V_\\text{walca} = \\pi r^{2} H = 54\\pi\\))? Lub \\(\\pi r^{2} + \\). Ktoś mógł wziąć \\(r=2\\).\n- **C. \\(108\\pi\\)** - \\(\\pi r^{2} H \\cdot 2\\) lub użyto tworzącej zamiast wysokości.\n- **D. \\(54\\pi\\)** - \\(\\pi r^{2} H\\) (wzór na walec, nie stożek).\n\n**Trik:** Stożek = \\(\\tfrac{1}{3}\\) walca o tej samej podstawie i wysokości. Zapomnij \\(\\tfrac{1}{3}\\) = błąd.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nDany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa\nA. 576π\nB. 192π\nC. 144π\nD. 48π","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w bryłach obrotowych (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - mediana wynosi \\(9\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem mediana\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) z warunku na średnią arytmetyczną.**\n\nZestaw ma \\(8\\) elementów: \\(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\\).\n\nWzór na średnią:\n\\[\\bar{a} = \\frac{x + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14}{8} = 9\\]\n\nSumujemy znane wyrazy:\n\\[2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{x + 56}{8} = 9\\]\n\\[x + 56 = 72\\]\n\\[\\boxed{x = 16}\\]\n\n**Krok 2: Układamy dane w porządku rosnącym.**\n\nPełny zestaw po wstawieniu \\(x = 16\\):\n\\[2,\\ 4,\\ 6,\\ 8,\\ 10,\\ 12,\\ 14,\\ 16\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy medianę.**\n\nMamy \\(n = 8\\) elementów (parzysta liczba). Mediana to **średnia arytmetyczna 4. i 5. wyrazu** w uszeregowanym ciągu:\n\n\\[\\text{mediana} = \\frac{a_4 + a_5}{2} = \\frac{8 + 10}{2} = \\frac{18}{2} = \\boxed{9}\\]\n\n## Sposób 2 - Obserwacja symetryczna (bez liczenia \\(x\\))\n\nZauważamy, że znane wyrazy \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\\) tworzą **ciąg arytmetyczny** o środku \\(\\frac{2+14}{2} = 8\\).\n\nŚrednia całego zestawu wynosi \\(9 > 8\\), więc nieznany wyraz \\(x\\) musi być **większy niż 14** (przesuwa środek ciężkości w górę).\n\nStąd po ułożeniu: \\(2, 4, 6, 8, \\underbrace{10, 12, 14, x}_{x > 14}\\)\n\nMediana to średnia 4. i 5. wyrazu, czyli \\(\\frac{8 + 10}{2} = 9\\). ✓\n\n(Wartość \\(x\\) nie wpływa na medianę, o ile \\(x > 10\\) - a tak jest, bo \\(x = 16\\).)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyta w Kroku 1 do wyznaczenia \\(x\\).\n\nMediana: środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub **średnia dwóch środkowych wyrazów** dla parzystego \\(n\\).\nUżyta w Kroku 3 - mamy \\(n = 8\\), więc bierzemy \\(\\frac{a_4 + a_5}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A: \\(8\\)** | Uczeń oblicza medianę z oryginalnego zestawu **przed** wstawieniem \\(x\\), czyli z \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\\) (7 elementów) - mediana to \\(8\\). Zapomina, że \\(x\\) też należy do zestawu. |\n| **C: \\(10\\)** | Uczeń błędnie uznaje 5. wyraz \\((10)\\) za medianę, zamiast uśredniać 4. i 5. Albo liczy medianę z samych parzystych indeksów. |\n| **D: \\(16\\)** | Uczeń utożsamia \\(x = 16\\) (obliczona wartość) z medianą - myli dwie różne statystyki. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana wymaga **posortowania** danych - zanim policzysz środkowy wyraz, upewnij się, że wstawiłeś \\(x\\) i uszeregowałeś cały zestaw rosnąco.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy **parzystej** liczbie elementów mediana to **średnia dwóch środkowych** - nie jeden środkowy wyraz. Dla \\(n = 8\\) są to wyrazy na pozycjach 4. i 5.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Średnia \\(\\neq\\) mediana. Tu obie wychodzą \\(9\\), ale to zbieżność - nie zakładaj, że zawsze będą równe!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem mediana\nŚrednia \\(= \\dfrac{\\text{suma}}{\\text{ilość}} = 9\\). Zestaw ma 8 elementów:\n\\[\\dfrac{x + 2+4+6+8+10+12+14}{8} = 9.\\]\n\\[x + 56 = 72 \\Rightarrow x = 16.\\]\n\nPosortowany zestaw: \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\\).\n\nMediana (8 elementów - parzysta liczba): średnia dwóch środkowych (4. i 5.):\n\\[\\text{mediana} = \\dfrac{8+10}{2} = 9.\\]\n\n### Sposób 2 - Odczytanie wyniku\n4-ty wyraz = \\(8\\), 5-ty = \\(10\\), mediana = \\((8+10)/2 = 9\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - to 4-ty wyraz (nie mediana dla parzystej liczby elementów).\n- **C. \\(10\\)** - to 5-ty wyraz.\n- **D. \\(16\\)** - to wartość \\(x\\) (po wyznaczeniu), nie mediana.\n\n**Trik:** Dla \\(n\\) parzystego, mediana = średnia dwóch środkowych wyrazów z **posortowanego** zestawu.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna ośmiu liczb: 3, 5, 7, 9, x, 15, 17, 19 jest równa 11. Wtedy\nA.\n1\nx =\nB.\n2\nx =\nC.\n11\nx =\nD.\n13\nx =","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie standardowe\ndanych; interpretuje te parametry dla danych\nempirycznych (10.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(1017\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie przez zakres\n\nCzterocyfrowe liczby naturalne to liczby od \\(1000\\) do \\(9999\\).\n\nSzukamy tych, które są **mniejsze niż \\(2017\\)**, czyli z przedziału:\n\\[\\langle 1000, 2016 \\rangle\\]\n\nIle liczb całkowitych jest w tym przedziale zamkniętym?\n\n\\[\\text{ilość} = 2016 - 1000 + 1 = \\mathbf{1017}\\]\n\n> **Dlaczego \\(+1\\)?** Gdy liczymy liczby całkowite od \\(a\\) do \\(b\\) włącznie, wzór to zawsze \\(b - a + 1\\). Bez tego \\(+1\\) „tracimy\" pierwszy wyraz.\n\n## Sposób 2 - Podział na przypadki\n\nCzterocyfrowe liczby mniejsze niż \\(2017\\) dzielimy na dwie grupy:\n\n**Grupa 1:** Liczby od \\(1000\\) do \\(1999\\) (zaczynające się od cyfry \\(1\\))\n\nTych liczb jest dokładnie:\n\\[1999 - 1000 + 1 = 1000\\]\n\n**Grupa 2:** Liczby od \\(2000\\) do \\(2016\\) (zaczynające się od \\(2\\), ale mniejsze niż \\(2017\\))\n\nTych liczb jest:\n\\[2016 - 2000 + 1 = 17\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[1000 + 17 = \\mathbf{1017}\\]\n\nWynik ten sam - **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość zliczania liczb całkowitych w przedziale:\n\\[\\text{ilość} = b - a + 1\\]\nTo elementarna zasada kombinatoryczna, nie wymagająca karty wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(2016\\) | Uczeń liczy od \\(1\\) do \\(2016\\) (wszystkie liczby naturalne mniejsze niż \\(2017\\)), zapominając o warunku **czterocyfrowa** - od \\(1000\\) |\n| B. \\(2017\\) | Podobnie jak A, ale dodatkowo myli „mniejsze niż \\(2017\\)\" z „mniejsze lub równe \\(2017\\)\" |\n| C. \\(1016\\) | Poprawna metoda, ale błąd \\(\\pm 1\\): wynik \\(2016 - 1000 = 1016\\) bez dodania \\(+1\\) - klasyczny błąd ogrodnika (fence-post error) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Mniejsze niż 2017\" NIE obejmuje samej liczby \\(2017\\). Ostatnia liczba w przedziale to \\(2016\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zliczaniu liczb całkowitych w przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\) zawsze pamiętaj o \\(+1\\): wzór to \\(b - a + 1\\), nie \\(b - a\\). Błąd o \\(\\pm 1\\) (off-by-one) to najczęstszy błąd w kombinatoryce.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „czterocyfrowe\" (od \\(1000\\)) z „wszystkie naturalne\" (od \\(1\\)). Odpowiedź A to klasyczna pułapka dla nieuważnych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Zakres liczb i zliczanie\nLiczby czterocyfrowe to \\(1000, 1001, \\ldots, 9999\\). Mniejsze niż \\(2017\\) to \\(1000, 1001, \\ldots, 2016\\).\n\nLiczba elementów: \\(2016 - 1000 + 1 = 1017\\).\n\n### Sposób 2 - Zasada \"+1\" dla przedziałów dyskretnych\nOd \\(a\\) do \\(b\\) włącznie mamy \\(b - a + 1\\) liczb naturalnych. Tutaj \\(a=1000\\), \\(b=2016\\) (pamiętajmy: \"mniejsze niż \\(2017\\)\" = \\(\\leqslant 2016\\)).\n\n\\[\\text{ilość} = 2016 - 1000 + 1 = 1017.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2016\\)** - ktoś policzył od \\(1\\) do \\(2016\\) (wszystkie liczby, nie tylko czterocyfrowe).\n- **B. \\(2017\\)** - po prostu sama liczba \\(2017\\) (błąd konceptualny).\n- **C. \\(1016\\)** - zapomniano o \\(+1\\) (\\(2016 - 1000 = 1016\\)).\n\n**Trik:** Pułapka \"\\(+1\\)\" - zawsze licz **obie krańcowe** wartości! Np. od 1 do 5 to 5 liczb, nie 4.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nZe zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę.\nNiech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy\nprawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nA. 1\n4\nB. 1\n3\nC. 1\n8\nD. 1\n6\nA\nO\nS\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie\nznane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(n = 12\\)\n\n## Sposób 1 - równanie z definicji prawdopodobieństwa\n\nLosujemy jedną kulę z pudełka. Wszystkich kul jest \\(6 + n\\), kul białych jest \\(6\\).\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{wszystkie kule}} = \\frac{6}{6 + n}\\]\n\nWiemy, że to prawdopodobieństwo wynosi \\(\\frac{1}{3}\\), więc:\n\\[\\frac{6}{6 + n} = \\frac{1}{3}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(3(6 + n)\\):\n\\[6 \\cdot 3 = 1 \\cdot (6 + n)\\]\n\\[18 = 6 + n\\]\n\\[\\boxed{n = 12}\\]\n\n**Odpowiedź D jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - rozumowanie przez proporcje\n\nPrawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{3}\\) oznacza, że **co trzecia kula jest biała**, czyli kule białe stanowią \\(\\frac{1}{3}\\) wszystkich kul.\n\nSkoro kul białych jest \\(6\\), a jest ich \\(\\frac{1}{3}\\) całości, to wszystkich kul jest:\n\\[6 = \\frac{1}{3} \\cdot \\text{(wszystkie kule)} \\implies \\text{wszystkie kule} = 6 \\cdot 3 = 18\\]\n\nKul czarnych:\n\\[n = 18 - 6 = \\mathbf{12}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru ustawiając \\(\\frac{6}{6+n} = \\frac{1}{3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((n=9)\\) | Ustawienie \\(\\frac{6}{n} = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(\\frac{6}{6+n} = \\frac{1}{3}\\) - zapomnienie, że mianownik to **wszystkie** kule, nie tylko czarne |\n| B \\((n=2)\\) | Pomylenie - zamiast \\(\\frac{6}{6+n}\\) policzono \\(\\frac{n}{6+n} = \\frac{1}{3}\\), czyli jakby szukano prawdopodobieństwa wylosowania kuli **czarnej** |\n| C \\((n=18)\\) | Wzięcie całkowitej liczby kul (\\(18\\)) jako odpowiedź, bez odjęcia kul białych |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik we wzorze na prawdopodobieństwo to **wszystkie** kule, czyli \\(6 + n\\), a nie samo \\(n\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu liczby **wszystkich** kul (tu: 18) pamiętaj odjąć kule białe - wynik \\(n = 18\\) to pułapka zastawiona przez odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź wynik: przy \\(n = 12\\) mamy \\(\\frac{6}{6+12} = \\frac{6}{18} = \\frac{1}{3}\\) ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa klasycznego (karta wzorów: \\(P(A) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|}\\))\nLiczba kul białych: \\(|A| = 6\\). Liczba wszystkich kul: \\(|\\Omega| = 6 + n\\).\n\n\\[P(\\text{biała}) = \\dfrac{6}{6+n} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\\[3\\cdot 6 = 1\\cdot (6+n) \\Rightarrow 18 = 6+n \\Rightarrow n = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja \"1 na 3\"\nSkoro prawdopodobieństwo białej = \\(\\tfrac{1}{3}\\), to białe to \\(\\tfrac{1}{3}\\) wszystkich kul. Wszystkich jest \\(3\\cdot 6 = 18\\). Czarnych: \\(18 - 6 = 12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(n=9\\)** - wtedy wszystkich \\(15\\), \\(P = \\tfrac{6}{15} = \\tfrac{2}{5}\\).\n- **B. \\(n=2\\)** - wtedy wszystkich \\(8\\), \\(P = \\tfrac{6}{8} = \\tfrac{3}{4}\\).\n- **C. \\(n=18\\)** - wtedy wszystkich \\(24\\), \\(P = \\tfrac{6}{24} = \\tfrac{1}{4}\\).\n\n**Trik:** \\(P = \\tfrac{1}{3}\\) oznacza: na każde \\(1\\) sukces przypada \\(2\\) porażki. Białych = 6, więc czarnych = \\(2\\cdot 6 = 12\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n8\n72\n0\nx\nx\n≤\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy\nprzedziałów (3.a).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania polega na wyznaczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n:\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując\n,\nlub zaznaczając pierwiastki\ntrójmianu na wykresie\nalbo\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki:\n,\n,\n2\n72\n72\n9\n16\nx\nDrugi etap rozwiązania polega na wyznaczeniu zbioru rozwiązań nierówności\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub 0,9\n\n lub\n0,9\n∈\n\nx\nnp. odczytując go\nze szkicu wykresu funkcji\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• realizując pierwszy etap błędnie wyznaczy pierwiastki (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd\n2\n8\n72\nx\nx\n2\n8\n72\nx\nx\n1\n0\nx =\n2\n9\nx =\n2\n72\nΔ =\n1\n72\n72\n0\n16\nx\n2\n8\n72\n0\nx\nx\n≤\n0\n9\nx\n≤\n≤\n( )\n2\n8\n72\nf\nx\nx\nx\n1\n0\nx =\n2\n9\nx =\n( )\n2\n8\n72\nf\nx\nx\nx\n0\n9\nx\nrachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub 0,9\n\n lub\n0,9\n∈\n\nx\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, bez podania stosownych założeń, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający wyznacza ujemną deltę trójmianu kwadratowego, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu\ni\ni zapisze, np.\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n, to przyznajemy 2 punkty.\n0\n9\nx\n≤\n≤\n1\n0\nx =\n2\n9\nx =\n9,0\nx ∈-\n9,0\nx∈\n0\n9\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -2,\\ \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Wyróżnik i odczyt z paraboli\n\n**Krok 1: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu**\n\nMamy \\(f(x) = 2x^2 + x - 6\\). Rozwiązujemy równanie \\(2x^2 + x - 6 = 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-6) = 1 + 48 = 49\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 7\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-1 - 7}{4} = \\frac{-8}{4} = -2\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-1 + 7}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Krok 2: Odczytaj znak funkcji**\n\nWspółczynnik \\(a = 2 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami ku górze** (uśmiech).\n\nTaka parabola przyjmuje wartości **ujemne lub zerowe** między pierwiastkami:\n\n\\[f(x) \\leq 0 \\iff x \\in \\langle x_1,\\, x_2 \\rangle\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x \\in \\left\\langle -2,\\, \\frac{3}{2} \\right\\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (postać iloczynowa)\n\n**Krok 1: Rozłóż trójmian na czynniki**\n\nSkoro znamy miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = \\frac{3}{2}\\), zapisujemy:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - (-2))\\left(x - \\frac{3}{2}\\right)\\]\n\\[f(x) = 2(x + 2)\\left(x - \\frac{3}{2}\\right)\\]\n\nWygodniej: mnożymy \\(2 \\cdot \\left(x - \\frac{3}{2}\\right) = (2x - 3)\\), więc:\n\\[f(x) = (x + 2)(2x - 3)\\]\n\n**Krok 2: Rozwiąż nierówność iloczynową**\n\nNierówność staje się:\n\\[(x + 2)(2x - 3) \\leq 0\\]\n\nPierwiastki: \\(x = -2\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\). Analizujemy znaki czynników:\n\n| Przedział | \\(x + 2\\) | \\(2x - 3\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-2 < x < \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest \\(\\leq 0\\) (ujemny lub zero) dla \\(x \\in \\left\\langle -2,\\, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i pierwiastki trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia miejsc zerowych \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = \\frac{3}{2}\\).\n\nPostać iloczynowa (dla \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do rozkładu na czynniki i tablicy znaków.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedziały **zamykamy** - \\(\\langle -2, \\frac{3}{2} \\rangle\\), bo nierówność jest \\(\\leq 0\\) (nieostre). Uczniowie często wpisują przedział otwarty \\((-2, \\frac{3}{2})\\), tracąc punkty końcowe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a > 0\\) (parabola „uśmiechnięta\"), trójmian jest \\(\\leq 0\\) **między** pierwiastkami, a \\(\\geq 0\\) **na zewnątrz**. Przy \\(a < 0\\) jest odwrotnie - łatwo tu o pomyłkę!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamek \\(\\frac{3}{2}\\) jako wynik - nie zaokrąglaj do \\(1{,}5\\) bez potrzeby; w odpowiedzi na egzaminie postać ułamkowa jest zawsze preferowana.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x \\in \\left\\langle -2, \\dfrac{3}{2}\\right\\rangle\\), czyli \\(-2 \\leqslant x \\leqslant \\dfrac{3}{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Delta i wzory na pierwiastki (karta wzorów)\nTrójmian \\(2x^{2} + x - 6\\): \\(a=2\\), \\(b=1\\), \\(c=-6\\).\n\\[\\Delta = b^{2} - 4ac = 1 - 4\\cdot 2\\cdot (-6) = 1 + 48 = 49, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 7.\\]\n\\[x_{1} = \\dfrac{-1-7}{4} = -2, \\quad x_{2} = \\dfrac{-1+7}{4} = \\dfrac{3}{2}.\\]\n\nPonieważ \\(a = 2 > 0\\), parabola ma ramiona w górę; \\(f(x) \\leqslant 0\\) między pierwiastkami (włącznie).\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left\\langle -2, \\dfrac{3}{2}\\right\\rangle.}\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\\(2x^{2} + x - 6 = (2x-3)(x+2)\\) (sprawdzenie: \\(2x^{2}+4x-3x-6 = 2x^{2}+x-6\\) ✓).\n\nNierówność: \\((2x-3)(x+2) \\leqslant 0\\). Iloczyn niedodatni = czynniki różnych znaków (lub jeden \\(= 0\\)):\n- \\(x+2 \\geqslant 0\\) i \\(2x-3 \\leqslant 0\\): \\(-2 \\leqslant x \\leqslant \\tfrac{3}{2}\\);\n- \\(x+2 \\leqslant 0\\) i \\(2x-3 \\geqslant 0\\): sprzeczne.\n\nRozwiązanie: \\(\\left\\langle -2, \\tfrac{3}{2}\\right\\rangle\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - wyznaczenie pierwiastków trójmianu (\\(x_{1}=-2\\), \\(x_{2}=\\tfrac{3}{2}\\)), nawet jeśli zbiór zapisano błędnie.\n- **2 pkt** - poprawny zbiór rozwiązań lub poprawny rysunek na osi z zaznaczonymi końcami.\n- **0 pkt** - jeśli \\(\\Delta < 0\\) lub pierwiastki niezwiązane z trójmianem.\n\n**Trik:** Nierówność kwadratowa - dwa kroki: 1) pierwiastki, 2) znak \\(a\\) decyduje, czy zbiór jest \"wewnątrz\" czy \"na zewnątrz\" pierwiastków.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nWykaż, że liczba\n2017\n2018\n2019\n2020\n4\n4\n4\n4\njest podzielna przez 17.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach\nwymiernych oraz stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych i rzeczywistych (1.g).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n(\n)\n2017\n2\n3\n4\n1\n4\n4\n4\n. Doprowadzamy liczbę do\npostaci\n2017\n4\n5 17\n⋅⋅\n. Wnioskujemy, że dana liczba jest podzielna przez\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze liczbę\n2017\n2018\n2019\n2020\n4\n4\n4\n4\nw postaci iloczynu, w którym jeden z czynników\njest potęgą\n, gdzie 1985\n2017\nk\n≤\n≤\n, np.\n(\n)\n2017\n2\n3\n4\n1\n4\n4\n4\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi poprawny dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x = \\sqrt{6}, \\quad x = -\\sqrt{6}, \\quad x = -\\frac{2}{3}\\]\n\n## Sposób 1 - własność iloczynu\n\nKorzystamy z kluczowej zasady: **iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero**.\n\nRównanie \\((x^2 - 6)(3x + 2) = 0\\) jest już w postaci iloczynowej, więc od razu stawiamy dwa przypadki:\n\n**Przypadek 1:** \\(x^2 - 6 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 6\\]\n\\[x = \\sqrt{6} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{6}\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(3x + 2 = 0\\)\n\n\\[3x = -2\\]\n\\[x = -\\frac{2}{3}\\]\n\n**Odpowiedź:** Równanie ma trzy rozwiązania:\n\\[x_1 = -\\sqrt{6}, \\quad x_2 = -\\frac{2}{3}, \\quad x_3 = \\sqrt{6}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każde rozwiązanie, podstawiając do oryginalnego równania \\((x^2 - 6)(3x + 2) = 0\\).\n\n**Sprawdzenie \\(x = \\sqrt{6}\\):**\n\\[\\left((\\sqrt{6})^2 - 6\\right)(3\\sqrt{6} + 2) = (6 - 6)(3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\cdot (3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie \\(x = -\\sqrt{6}\\):**\n\\[\\left((-\\sqrt{6})^2 - 6\\right)(3 \\cdot (-\\sqrt{6}) + 2) = (6 - 6)(-3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\cdot (-3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie \\(x = -\\frac{2}{3}\\):**\n\\[\\left(\\left(-\\frac{2}{3}\\right)^2 - 6\\right)\\left(3 \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right) + 2\\right) = \\left(\\frac{4}{9} - 6\\right)(- 2 + 2) = \\left(-\\frac{50}{9}\\right) \\cdot 0 = 0 \\checkmark\\]\n\nWszystkie trzy rozwiązania są poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\nDla czynnika \\(x^2 - 6 = 0\\) korzystamy ze szczególnego przypadku: \\(a = 1, b = 0, c = -6\\), więc:\n\\[\\Delta = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-6) = 24\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{0 \\pm \\sqrt{24}}{2} = \\pm\\frac{2\\sqrt{6}}{2} = \\pm\\sqrt{6}\\]\n\nMożna też użyć prostszego wzoru bezpośrednio z definicji: \\(x^2 = 6 \\Rightarrow x = \\pm\\sqrt{6}\\).\n\nW tym zadaniu nie ma potrzeby stosowania pełnego wzoru na \\(\\Delta\\) - wystarczy własność iloczynu i proste równania liniowe/kwadratowe.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie rozwijaj iloczynu! To najczęstszy błąd - uczniowie mnożą nawiasy i dostają wielomian stopnia 3, który jest dużo trudniejszy do rozwiązania. Iloczyn już gotowy → od razu zeruj każdy czynnik osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(x^2 = 6\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(x = \\sqrt{6}\\) i \\(x = -\\sqrt{6}\\). Pominięcie rozwiązania ujemnego to bardzo częsty błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{6}\\) zostawiamy w postaci dokładnej - nie zaokrąglamy do \\(2{,}449 \\), chyba że zadanie wyraźnie tego wymaga.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -\\sqrt{6}\\) lub \\(x = \\sqrt{6}\\) lub \\(x = -\\dfrac{2}{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Iloczyn równy zero (karta wzorów)\nIloczyn jest równy 0, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy 0:\n\\[x^{2} - 6 = 0 \\quad\\text{lub}\\quad 3x + 2 = 0.\\]\n\n**Pierwsze równanie:** \\(x^{2} = 6 \\Rightarrow x = \\sqrt{6}\\) lub \\(x = -\\sqrt{6}\\).\n\n**Drugie równanie:** \\(3x = -2 \\Rightarrow x = -\\dfrac{2}{3}\\).\n\nWszystkie rozwiązania: \\(x \\in \\left\\{-\\sqrt{6}, -\\dfrac{2}{3}, \\sqrt{6}\\right\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór skróconego mnożenia\n\\(x^{2} - 6 = (x-\\sqrt{6})(x+\\sqrt{6})\\).\n\nRównanie: \\((x-\\sqrt{6})(x+\\sqrt{6})(3x+2) = 0\\), stąd trzy rozwiązania:\n\\[x = \\sqrt{6}, \\quad x = -\\sqrt{6}, \\quad x = -\\dfrac{2}{3}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie dwóch równań \\(x^{2}-6=0\\) lub \\(3x+2=0\\), albo rozwiązanie jednego z nich (\\(x=-\\tfrac{2}{3}\\) albo dwa pierwiastki \\(x^{2}-6\\)).\n- **2 pkt** - poprawne wyznaczenie **wszystkich trzech** rozwiązań: \\(x = -\\tfrac{2}{3}\\) lub \\(x = \\sqrt{6}\\) lub \\(x = -\\sqrt{6}\\).\n- **Uwaga**: jeśli zamiast \"\\(=\\)\" piszesz \"\\(\\neq\\)\" - możesz otrzymać 1 pkt.\n\n**Trik:** \\(x^{2} = 6\\) ma **dwa** pierwiastki (dodatni i ujemny) - nie zapomnij o znaku \\(-\\sqrt{6}\\)!","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nDane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C.\nProsta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz\nAPC\nα\n\ni\nABC\nβ\n\n(zobacz rysunek). Wykaż, że\n180\n2\nα\nβ\n°-\nA\nP\nR\nα\nβ\nC\n\nB\n\n\n\n\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również\nw zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym (7.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\n. Stąd\n90\nCBR\nδ\nβ\n°-\n\n17\n4k\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nα\nγ\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nZatem\n(\n)\n180\n2 90\n2\nBRC\nγ\nβ\nβ\n°-\n°-\n\nSuma miar kątów czworokąta ABRP jest równa 360°,\n90\n°\nPAB\n, więc\n360\nPAB\nABR\nBRP\nRPA\n°\n\n\n\n\n,\nczyli\n90\n90\n2\n360\n°+\n°+\n°\nβ α\n,\n2\n180\n°\nα\nβ\n,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nII sposób\nZ twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że\n2\nBRC\nγ\nβ\n\nPonieważ\n90\n°\nABR\ni\n90\n°\nPAB\n, więc czworokąt ABRP jest trapezem o podstawach\nAP i BR. Suma miar kątów przy ramieniu trapezu jest równa 180°, więc\n180\n°\nα γ\n,\n2\n180\n°\nα\nβ\nStąd\n180\n2\n°-\nα\nβ . To kończy dowód.\nR\nP\nC\nA\nB\nβ\nα\nγ\nIII sposób\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\n. Stąd\n90\n°-\nδ\nβ .\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nKąty BCR i PCB są przyległe, więc\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nBCR\nη\nβ\nβ\n°-\n°-\n°-\n°+\n\nSuma miar kątów czworokąta ABCP jest równa 360°,\n90\n°\nPAB\n, więc\n360\nPAB\nABR\nBCP\nCPA\n°\n\n\n\n\n,\nczyli\n90\n360\n°+\n°\nβ\nη\nα\n,\n(\n)\n90\n90\n360\nβ\nβ\nα\n°+\n°+\n° ,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nIV sposób\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nη\nα\nφ\nφ\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nα\nψ\nStąd\n90\n°-\nδ\nβ .\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nTrójkąt PAC jest równoramienny, więc\n180\n90\n2\n2\nPAC\nPCA\nα\nα\nϕ\n° -\n° -\n\n\nProsta AB jest styczna w punkcie A do okręgu o środku P, więc\n90\nPAB =\n°\n\n. Stąd\n90\n90\n90\n2\n2\nCAB\nα\nα\nψ\nϕ\n\n\n°-\n°-\n°-\n\n\n\n\n\nMiara kąta ACB w trójkącie ABC jest równa\n180\n180\n2\n° -\n° -\nACB\nα\nβ\nψ\nβ\nSuma miar kątów PCA, ACB i BCR jest równa 180°, więc\n180\nPCA\nACB\nBCR\n°\n\n\n\n,\n180\n2\nα\nϕ\nβ\nδ\n\n\n°-\n=180°\n\n\n\n\n,\n90\n180\n90\n2\n2\nα\nα\nβ\nβ\n\n\n°-\n°-\n°-\n=180°\n\n\n\n\n,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nV sposób\nPoprowadźmy przez punkt C wspólną styczną do obu okręgów. Niech S oznacza punkt jej\nprzecięcia z prostą AB.\nZ twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że\n2\nα\nψ =\nR\nP\nC\nA\nB\nβ\nα\nψ\nS\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że AS\nCS\nBS\n. Stąd wynika, że S jest\nśrodkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu, więc\ntrójkąt ABC jest prostokątny. Suma miar jego kątów ostrych jest równa 90° , czyli\n90\nβ\nψ\n° .\n90\n2\nα\nβ +\n°,\n180\n2\nα\nβ\n° -\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze układ warunków wystarczający do udowodnienia równości\n180\n2\nα\nβ\n° -\n, np.:\n90\nδ\nβ\n° -\ni 2\n180\nδ\nγ\n° i\n360\nα\nγ\n+ 90° + 90° =\n°\nlub\n2\nγ\nβ\ni\n180\nα\nγ\n° ,\nlub\n90\nδ\nβ\n° -\ni\n180\nη\nδ\n° -\ni 90\n360\nβ\nη\nα\n° +\n° ,\nlub\n90\nδ\nβ\n° -\ni\n90\n2\nα\nϕ =\n° -\ni\n90\nψ\nϕ\n° -\ni\n(\n)\n(\n)\n180\n180\nβ ψ\nϕ\nδ\n°-\n°-\n,\nlub\n90\nβ\nψ\n° i\n2\nα\nψ =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla każdego \\(x > 0\\)\n\nMinimum wyrażenia \\(4x + \\dfrac{1}{x}\\) wynosi **4** i jest osiągane dla \\(x = \\dfrac{1}{2}\\). Dowód poniżej.\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne (sprowadzenie do kwadratu)\n\n**Cel:** Pokazać, że \\(4x + \\dfrac{1}{x} \\geqslant 4\\), czyli że lewa strona minus prawa jest nieujemna.\n\n**Krok 1.** Przenieś wszystko na lewą stronę:\n\\[4x + \\frac{1}{x} - 4 \\geqslant 0\\]\n\n**Krok 2.** Ponieważ \\(x > 0\\), możemy pomnożyć obie strony przez \\(x\\) - **nierówność nie zmienia kierunku** (mnożymy przez liczbę dodatnią):\n\\[4x^2 + 1 - 4x \\geqslant 0\\]\n\\[4x^2 - 4x + 1 \\geqslant 0\\]\n\n**Krok 3.** Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia:\n\\[(2x)^2 - 2 \\cdot 2x \\cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{(2x-1)^2 \\geqslant 0}\\]\n\n**Wniosek:** Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zatem nierówność \\((2x-1)^2 \\geqslant 0\\) zachodzi dla **każdego** \\(x \\in \\mathbb{R}\\), a w szczególności dla każdego \\(x > 0\\).\n\nKażdy krok był równoważny (przemnożyliśmy przez \\(x > 0\\)), więc teza jest udowodniona. **Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(2x - 1 = 0\\), czyli \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).**\n\n## Sposób 2 - Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM)\n\n**Wzór AM-GM:** Dla dowolnych \\(a, b > 0\\):\n\\[\\frac{a + b}{2} \\geqslant \\sqrt{ab} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad a + b \\geqslant 2\\sqrt{ab}\\]\n\n**Zastosowanie:** Potraktuj \\(a = 4x\\) i \\(b = \\dfrac{1}{x}\\) (oba dodatnie, bo \\(x > 0\\)):\n\\[4x + \\frac{1}{x} \\geqslant 2\\sqrt{4x \\cdot \\frac{1}{x}}\\]\n\nOblicz wyrażenie pod pierwiastkiem:\n\\[4x \\cdot \\frac{1}{x} = 4\\]\n\\[2\\sqrt{4} = 2 \\cdot 2 = 4\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{4x + \\frac{1}{x} \\geqslant 4}\\]\n\n**Wniosek:** Teza udowodniona. Równość w AM-GM zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a = b\\), czyli \\(4x = \\dfrac{1}{x}\\), skąd \\(4x^2 = 1\\), \\(x = \\dfrac{1}{2}\\) - co się zgadza z wynikiem Sposobu 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Sposób 1** nie korzysta bezpośrednio z karty wzorów - opiera się na wzorze skróconego mnożenia, który możesz znaleźć w:\n\n> **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n> \\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n> Użyliśmy tego do rozpoznania, że \\(4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2\\).\n\n**Sposób 2** korzysta z nierówności AM-GM. Ta nierówność **nie jest wprost zapisana** na karcie CKE jako gotowy wzór, ale jest powszechnie znana i akceptowana na maturze jako twierdzenie.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony nierówności przez \\(x\\), musisz **wiedzieć, że \\(x > 0\\)**. Gdyby \\(x < 0\\), kierunek nierówności by się odwrócił! Treść zadania daje warunek \\(x > 0\\) - zawsze go sprawdź przed mnożeniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowe jest, że rozumowanie jest **równoważne** - każdy krok \"działa w obie strony\". Nie możesz zacząć od założenia, że teza jest prawdziwa i z niej coś wyprowadzać - to błąd logiczny (*petitio principii*). Prawidłowo: zaczynamy od \\(4x + \\frac{1}{x} - 4 \\geqslant 0\\) i **przekształcamy** do oczywistej prawdy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 musisz pamiętać, że AM-GM stosujemy tylko dla **liczb nieujemnych**. Tu \\(4x > 0\\) i \\(\\frac{1}{x} > 0\\), więc wszystko gra - ale to trzeba zaznaczyć w rozwiązaniu!\n\n**Poprawna odpowiedź:** Nierówność jest spełniona dla każdego \\(x>0\\); równość zachodzi dla \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie do kwadratu wyrażenia\nZakładamy \\(x > 0\\). Nierówność \\(4x + \\dfrac{1}{x} \\geqslant 4\\) mnożymy przez \\(x > 0\\) (znak nierówności bez zmian):\n\\[4x^{2} + 1 \\geqslant 4x,\\]\n\\[4x^{2} - 4x + 1 \\geqslant 0,\\]\n\\[(2x - 1)^{2} \\geqslant 0.\\]\n\nTo jest prawda zawsze (kwadrat liczby rzeczywistej) - nawet \\(=0\\) dla \\(x = \\tfrac{1}{2}\\). To kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Średnia arytmetyczna vs geometryczna (AM-GM)\nDla dodatnich \\(a,b\\): \\(\\dfrac{a+b}{2} \\geqslant \\sqrt{ab}\\) (równość \\(\\Leftrightarrow a=b\\)).\n\nZ \\(a = 4x > 0\\), \\(b = \\dfrac{1}{x} > 0\\):\n\\[\\dfrac{4x + \\tfrac{1}{x}}{2} \\geqslant \\sqrt{4x\\cdot \\tfrac{1}{x}} = \\sqrt{4} = 2.\\]\n\\[4x + \\dfrac{1}{x} \\geqslant 4. \\blacksquare\\]\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - przekształcenie nierówności do \\((2x-1)^{2}\\geqslant 0\\) lub równoważnej (np. obliczenie \\(\\Delta = 0\\) dla trójmianu \\(4x^{2}-4x+1\\)).\n- **2 pkt** - pełne, poprawne rozumowanie.\n- **0 pkt** - sprawdzenie tylko dla konkretnych wartości (tzw. \"przykład\" nie jest dowodem).\n\n**Trik:** W dowodach nierówności szukaj postaci \\((\\text{wyrażenie})^{2} \\geqslant 0\\) - to kanon i zawsze działa.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (4 pkt)\nFunkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem\n( )\n2\nf\nx\nax\nbx\nc\n. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\nOblicz wartość współczynnika a.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej (4.i).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPonieważ\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\n, stąd wartość\n6\n0\n3\n2\np\nZatem\n( )\n(\n)\n2\nf\nx\na x\np\nq\ndla\n3\np = - i\n6\nq =\nObliczamy współczynnik a. Wiemy, że\n( )\n3\n0\n2\nf\n, zatem\n(\n)\n2\n3\n0\n3\n6\n2\na\n,\n9\n9\n2\na = -\n,\n1\n2\na = -\nOdpowiedź:\n1\n2\na = -\nII sposób\nZ treści zadania wynika, że\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\n:\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n\n\n⋅-\n⋅+\n\na\nb\nc\na\nb\nc\n,\n3\n36\n6\n2\n3\n2\na\nb\nc\nc\n\n\n=\n\n,\n6\n3\n2\nb\na\nc\n=\n\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka:\n6\n3\n2\n2\nb\na\np\na\na\nStąd wynika, że (\n)3\n6\nf -\n= i\n( )\n2\n3\n6\n2\nf\nx\nax\nax\n. Obliczamy współczynnik a\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n3\n6\n3\n6\n2\na\na\n⋅-\n,\n9\n9\n2\na\n,\n1\n2\na = -\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka: np.\n6\n0\n3\n2\np\nalbo\n• zapisze układ dwóch równań, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n,\n2\n\n\n⋅\n⋅\n\na\nb\nc\na\nb\nc\nalbo\n• zapisze wzór funkcji f w postaci kanonicznej\n( )\n(\n)\n2\nf\nx\na x\np\nq\noraz zapisze\n6\nq =\n,\nalbo\n• zapisze równanie\n6\n4a\nΔ\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• zapisze wzór funkcji f w postaci: ( )\n(\n)\n6\n3 2 +\nx\na\nx\nf\nalbo\n• zapisze układ trzech równań z niewiadomymi a, b, c, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n4\n6\n4\n\n\n\n⋅-⋅+\n\n\n\n\na\nb\nc\na\nb\nc\nb\nac\na\nlub\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n3\n3\n6\n\n\n⋅-⋅+\n\n\n\n\na\nb\nc\na\nb\nc\na\nb\nc\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą a,\nnp.: (\n)\n2\n3\n0\n3\n6\n2\na\nlub (\n)\n(\n)\n2\n3\n3\n6\n3\n6\n2\na\na\n⋅-\n, lub\n2\n36\n18\n0\na\na\nalbo\n• obliczy wartości b i c:\n3\nb = -,\n3\n2\nc\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy wartość współczynnika a:\n1\n2\na\nUwagi\n1. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6\n- i 0 jako miejsca zerowe\nrozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli\njest równa\n1\n4 2 , to może otrzymać 4 punkty, o ile w rozwiązaniu nie występują błędy.\n2. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6\n- i 0 jako miejsca zerowe\nrozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli\njest równa 6, to może otrzymać 1 punkt, o ile poprawnie wyznaczy pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Wykazano, że \\(|AD| : |DB| = 3 : 1\\)\n\n*(Zadanie otwarte - dowód)*\n\n## Sposób 1 - Trygonometria (tangensa w dwóch trójkątach)\n\n**Ustalamy kąty.** W trójkącie \\(ABC\\) mamy:\n\\[|\\sphericalangle ACB| = 90°, \\quad |\\sphericalangle ABC| = 60°\\]\n\\[\\Rightarrow \\quad |\\sphericalangle BAC| = 180° - 90° - 60° = 30°\\]\n\n**Wysokość \\(CD\\) tworzy dwa trójkąty prostokątne.**\n\nPonieważ \\(CD \\perp AB\\), oba trójkąty \\(ACD\\) i \\(BCD\\) mają kąt prosty przy \\(D\\).\n\nW trójkącie \\(ACD\\):\n- \\(|\\sphericalangle DAC| = 30°\\) (ten sam kąt co w trójkącie \\(ABC\\))\n- \\(|\\sphericalangle ADC| = 90°\\)\n\nStosując tangens:\n\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{|CD|}{|AD|} \\quad \\Rightarrow \\quad |CD| = |AD| \\cdot \\operatorname{tg}(30°) = |AD| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nW trójkącie \\(BCD\\):\n- \\(|\\sphericalangle DBC| = 60°\\) (ten sam kąt co w trójkącie \\(ABC\\))\n- \\(|\\sphericalangle BDC| = 90°\\)\n\nStosując tangens:\n\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\frac{|CD|}{|DB|} \\quad \\Rightarrow \\quad |CD| = |DB| \\cdot \\operatorname{tg}(60°) = |DB| \\cdot \\sqrt{3}\\]\n\n**Przyrównujemy obydwa wyrażenia na \\(|CD|\\):**\n\\[|AD| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3} = |DB| \\cdot \\sqrt{3}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\):\n\\[\\frac{|AD|}{3} = |DB|\\]\n\\[\\boxed{|AD| = 3 \\cdot |DB|}\\]\n\nZatem \\(|AD| : |DB| = 3 : 1\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów\n\n**Kluczowy fakt:** Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne do siebie nawzajem i do trójkąta wyjściowego.\n\nKonkretnie:\n\\[\\triangle ACD \\sim \\triangle ACB \\quad \\text{(wspólny kąt A, oba prostokątne)}\\]\n\\[\\triangle BCD \\sim \\triangle BCA \\quad \\text{(wspólny kąt B, oba prostokątne)}\\]\n\n**Z pierwszego podobieństwa** (\\(\\triangle ACD \\sim \\triangle ACB\\), kąt A wspólny):\n\\[\\frac{|AD|}{|AC|} = \\frac{|AC|}{|AB|} \\quad \\Rightarrow \\quad |AD| = \\frac{|AC|^2}{|AB|}\\]\n\n**Z drugiego podobieństwa** (\\(\\triangle BCD \\sim \\triangle BCA\\), kąt B wspólny):\n\\[\\frac{|DB|}{|BC|} = \\frac{|BC|}{|AB|} \\quad \\Rightarrow \\quad |DB| = \\frac{|BC|^2}{|AB|}\\]\n\n**Stosunek:**\n\\[\\frac{|AD|}{|DB|} = \\frac{|AC|^2}{|BC|^2} = \\left(\\frac{|AC|}{|BC|}\\right)^2\\]\n\nW trójkącie \\(ABC\\) z kątem prostym przy \\(C\\) i kątem \\(60°\\) przy \\(B\\):\n\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\frac{|AC|}{|BC|} = \\sqrt{3}\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{|AD|}{|DB|} = (\\sqrt{3})^2 = 3\\]\n\n\\[\\boxed{|AD| : |DB| = 3 : 1} \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Weryfikacja liczbowa:** Przyjmijmy \\(|AB| = 4\\). Wtedy:\n- \\(|AC| = 4 \\cdot \\sin 60° = 2\\sqrt{3}\\)\n- \\(|BC| = 4 \\cdot \\sin 30° = 2\\)\n- \\(|AD| = \\frac{(2\\sqrt{3})^2}{4} = \\frac{12}{4} = 3\\)\n- \\(|DB| = \\frac{2^2}{4} = \\frac{4}{4} = 1\\)\n\nStosunek \\(3 : 1\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - tangens kąta ostrego:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległy}}{\\text{przyległy}}\\]\nUżyty w Sposobie 1 do wyrażenia \\(|CD|\\) przez \\(|AD|\\) i \\(|DB|\\).\n\nWartości z tablicy (s. 11, tabela):\n\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\qquad \\operatorname{tg}(60°) = \\sqrt{3}\\]\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 15-21)** - w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi \\(90°\\), co pozwoliło ustalić, że \\(|\\sphericalangle BAC| = 30°\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, które kąty przechodzą do trójkątów \\(ACD\\) i \\(BCD\\). Pamiętaj: kąt przy \\(A\\) (czyli \\(30°\\)) trafia do trójkąta \\(ACD\\), a kąt przy \\(B\\) (czyli \\(60°\\)) trafia do trójkąta \\(BCD\\) - bo punkt \\(D\\) leży na boku \\(AB\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdyby kąt przy \\(B\\) wynosił \\(30°\\) (zamiana kątów), stosunek byłby odwrócony: \\(|AD| : |DB| = 1 : 3\\). Sprawdź zawsze, przy którym wierzchołku jest dany kąt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach na dowód nie wystarczy powiedzieć „widać z rysunku\". Trzeba jawnie użyć podobieństwa lub trygonometrii i pokazać równość krok po kroku.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(|AD| : |DB| = 3 : 1\\).\n\n### Sposób 1 - Własność \\(30^{\\circ}-60^{\\circ}-90^{\\circ}\\)\nW trójkącie \\(ABC\\): \\(\\sphericalangle C = 90^{\\circ}\\), \\(\\sphericalangle B = 60^{\\circ}\\), więc \\(\\sphericalangle A = 30^{\\circ}\\).\n\nWłasność: w trójkącie o kątach \\(30^{\\circ},60^{\\circ},90^{\\circ}\\) bok leżący naprzeciw \\(30^{\\circ}\\) to połowa przeciwprostokątnej:\n\\[|BC| = \\dfrac{1}{2}|AB|.\\]\n\nW trójkącie \\(CDB\\): \\(\\sphericalangle CDB = 90^{\\circ}\\) (wysokość), \\(\\sphericalangle DBC = 60^{\\circ}\\), więc \\(\\sphericalangle BCD = 30^{\\circ}\\). Przeciwprostokątna to \\(BC\\):\n\\[|DB| = \\dfrac{1}{2}|BC| = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{2}|AB| = \\dfrac{1}{4}|AB|.\\]\n\nStąd \\(|AD| = |AB| - |DB| = \\dfrac{3}{4}|AB|\\), więc\n\\[\\dfrac{|AD|}{|DB|} = \\dfrac{\\tfrac{3}{4}|AB|}{\\tfrac{1}{4}|AB|} = 3. \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Funkcje trygonometryczne (karta wzorów: \\(\\operatorname{tg}30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\operatorname{tg}60^{\\circ}=\\sqrt{3}\\))\nW \\(ACD\\): \\(\\operatorname{tg}30^{\\circ} = \\dfrac{|CD|}{|AD|}\\), więc \\(|CD| = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}|AD|\\).\n\nW \\(BCD\\): \\(\\operatorname{tg}60^{\\circ} = \\dfrac{|CD|}{|DB|}\\), więc \\(|CD| = \\sqrt{3}|DB|\\).\n\nPorównanie: \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}|AD| = \\sqrt{3}|DB| \\Rightarrow \\dfrac{|AD|}{|DB|} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = 3. \\blacksquare\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zauważenie kluczowej zależności (np. \\(|BC|=\\tfrac{1}{2}|AB|\\) i \\(|DB|=\\tfrac{1}{2}|BC|\\), lub odpowiednia równość z tangensów).\n- **2 pkt** - pełne rozumowanie zakończone wnioskiem.\n- **0 pkt** - tylko sprawdzenie na konkretnych liczbach (bez argumentu ogólnego).\n\n**Trik:** Kąty \\(30°,60°,90°\\) - dwa trójkąty podobne, stosunek podobieństwa \\(\\sqrt{3}\\), stosunek pól lub odpowiednich odcinków \\(3:1\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nPrzeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych\njest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich (7.c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nOznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez x. Wtedy dłuższa przyprostokątna ma\ndługość\n. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n,\n,\nStąd\nlub\nDrugie z rozwiązań odrzucamy, zatem długości boków trójkąta są równe: 10, 24, i 26, więc\nobwód jest równy 60 cm.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n, gdzie x jest\ndługością krótszej przyprostokątnej\nalbo\n• zapisze układ równań, np.:\n2\n2\n2\n26\na\nb\ni\n14\nb\na\n, gdzie a jest długością krótszej oraz\nb długością dłuższej przyprostokątnej\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy obwód trójkąta: 60 cm.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający jedynie poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60, to\notrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60 oraz uzasadni, że\nrozważany trójkąt jest prostokątny, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeśli zdający podaje w rozwiązaniu tylko liczby 10, 24, 26, to otrzymuje 0 punktów.\n14\nx +\n(\n)\n2\n2\n2\n14\n26\nx\nx\n2\n2\n28\n196\n676\nx\nx\nx\n2\n14\n240\n0\nx\nx\n10\nx =\n24\nx = -\n(\n)\n2\n2\n2\n14\n26\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(P(A) = \\frac{12}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - Systematyczne wyliczenie par sprzyjających\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nLosujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru \\(\\{1, 2, 4, 5, 10\\}\\), więc każda para \\((a, b)\\) to jedno zdarzenie elementarne:\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]\n\n**Szukamy par \\((a, b)\\), dla których \\(\\frac{a}{b} \\in \\mathbb{Z}\\), czyli \\(b \\mid a\\) (b dzieli a).**\n\nAnalizuję każdą możliwą pierwszą liczbę \\(a\\):\n\n| Pierwsza liczba \\(a\\) | Które \\(b \\in \\{1,2,4,5,10\\}\\)$ dzielą \\(a\\)? | Sprzyjające pary |\n| \\(a = 1\\) | tylko \\(b = 1\\): \\(\\frac{1}{1}=1\\) | \\((1,1)\\) - **1 para** |\n| \\(a = 2\\) | \\(b = 1\\): \\(\\frac{2}{1}=2\\); \\(b = 2\\): \\(\\frac{2}{2}=1\\) | \\((2,1),(2,2)\\) - **2 pary** |\n| \\(a = 4\\) | \\(b=1\\): \\(\\frac{4}{1}=4\\); \\(b=2\\): \\(\\frac{4}{2}=2\\); \\(b=4\\): \\(\\frac{4}{4}=1\\) | \\((4,1),(4,2),(4,4)\\) - **3 pary** |\n| \\(a = 5\\) | \\(b=1\\): \\(\\frac{5}{1}=5\\); \\(b=5\\): \\(\\frac{5}{5}=1\\) | \\((5,1),(5,5)\\) - **2 pary** |\n| \\(a = 10\\) | \\(b=1\\): \\(\\frac{10}{1}=10\\); \\(b=2\\): \\(\\frac{10}{2}=5\\); \\(b=5\\): \\(\\frac{10}{5}=2\\); \\(b=10\\): \\(\\frac{10}{10}=1\\) | \\((10,1),(10,2),(10,5),(10,10)\\) - **4 pary** |\n\n**Łączna liczba sprzyjających zdarzeń:**\n\\[|A| = 1 + 2 + 3 + 2 + 4 = 12\\]\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{12}{25}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez uzupełnienie (zdarzenie przeciwne)\n\nŁatwiej czasem policzyć, kiedy iloraz **nie jest** liczbą całkowitą, i odjąć od 1.\n\nSprawdzam pary, dla których \\(\\frac{a}{b} \\notin \\mathbb{Z}\\):\n\n- \\(a=1\\): \\(b \\in \\{2,4,5,10\\}\\) - **4 pary** nie całkowite\n- \\(a=2\\): \\(b \\in \\{4,5,10\\}\\) - **3 pary**\n- \\(a=4\\): \\(b \\in \\{5,10\\}\\) - **2 pary**\n- \\(a=5\\): \\(b \\in \\{2,4,10\\}\\) - **3 pary**\n- \\(a=10\\): \\(b \\in \\{4\\}\\) - **1 para** (bo \\(\\frac{10}{4} = 2{,}5\\))\n\n\\[|A'| = 4 + 3 + 2 + 3 + 1 = 13\\]\n\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{13}{25} = \\frac{12}{25}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) to moc przestrzeni zdarzeń elementarnych.\n\nWzór uzupełnienia:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2, licząc zdarzenie przeciwne.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie **ze zwracaniem** oznacza, że ta sama liczba może się pojawić dwa razy - para \\((2,2)\\) jest możliwa! Dlatego \\(|\\Omega| = 25\\), nie \\(20\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz \\(\\frac{a}{b}\\) musi być liczbą **całkowitą** - nie wystarczy, że jest liczbą wymierną. Para \\((2,4)\\) daje \\(\\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\), co **nie jest** liczbą całkowitą. Typowy błąd: zliczenie par, gdzie iloraz jest po prostu \"ładny\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność ma znaczenie - para \\((2,4)\\) i \\((4,2)\\) to **dwa różne** zdarzenia elementarne. \\(\\frac{4}{2}=2\\) ✓ sprzyjające, ale \\(\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}\\) ✗ nie sprzyjające.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{12}{25} = 0{,}48\\).\n\n### Sposób 1 - Metoda klasyczna (karta wzorów: \\(P(A) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|}\\))\nLosujemy parę \\((x, y)\\) ze zwracaniem ze zbioru 5-elementowego. \\(|\\Omega| = 5\\cdot 5 = 25\\).\n\nSzukamy par, gdzie \\(\\dfrac{x}{y} \\in \\mathbb{Z}\\), czyli \\(y\\) dzieli \\(x\\):\n\nSystematycznie wypisujemy:\n- \\(x=1\\): tylko \\(y=1\\) → \\((1,1)\\).\n- \\(x=2\\): \\(y=1,2\\) → \\((2,1),(2,2)\\).\n- \\(x=4\\): \\(y=1,2,4\\) → \\((4,1),(4,2),(4,4)\\).\n- \\(x=5\\): \\(y=1,5\\) → \\((5,1),(5,5)\\).\n- \\(x=10\\): \\(y=1,2,5,10\\) → \\((10,1),(10,2),(10,5),(10,10)\\).\n\nRazem: \\(1+2+3+2+4 = 12\\) par.\n\n\\[P(A) = \\dfrac{12}{25} = 0{,}48.\\]\n\n### Sposób 2 - Tabela 5\\(\\times\\)5\nZaznaczamy w tabeli pary, dla których \\(\\tfrac{x}{y}\\) jest całkowite. Naliczamy 12 takich pól z 25. \\(P(A) = \\tfrac{12}{25}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - wyznaczenie \\(|\\Omega| = 25\\) LUB poprawne wypisanie wszystkich sprzyjających par.\n- **2 pkt** - obliczenie \\(P(A) = \\tfrac{12}{25} = 0{,}48\\).\n- **Uwagi:** (1) wynik \\(\\tfrac{7}{20}\\) (losowanie bez zwracania) - **1 pkt**. (2) Zmiana kolejności par (pisanie \\((1,2)\\) zamiast \\((2,1)\\)) - **2 pkt**.\n\n**Trik:** \"Iloraz całkowity\" = mianownik dzieli licznik. Systematycznie: dla każdego \\(x\\) wypisz jego dzielniki ze zbioru.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są: wyraz\n1\n8\na = i suma trzech\npoczątkowych wyrazów tego ciągu\n3\n33\nS =\n. Oblicz różnicę 16\n13\na\na\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone w kontekście\npraktycznym (5.c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyznaczamy różnicę r ciągu arytmetycznego.\nW tym celu stosujemy wzory na sumę częściową\n3\n1\n3\n3\n33\nS\na\nr\ni\n1\n8\na =\nlub zapisujemy\nrównanie\n1\n1\n1\n2\n33\na\na\nr\na\nr\nObliczamy r:\n3\nr =\nNastępnie obliczamy różnicę 16\n13\na\na\n, jako 3r lub po wyznaczeniu\n16\na i\n13\na , czyli\n53\n3\n15\n8\n16\n⋅\na\n,\n44\n3\n12\n8\n13\n⋅\na\nZatem 16\n13\n3\n9\na\na\nr\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy obliczy różnicę ciągu\n3\nr =\n(lub 3\n9\nr =\n) lub obliczy wartość\n1\n11\na\nr\n, lub obliczy\nwartość\n2\n11\na =\n, lub zapisze, że 16\n13\n3\na\na\nr\n, lub obliczy\n3\n14\na =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy różnicę 16\n13\na\na\n9\nUwagi\n1. Jeśli zdający przyjmuje\n33\nn =\nlub\n3\n33\na =\ni nie przedstawia poprawnej metody\nobliczenia różnicy 16\n13\na\na\n, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający poda wartość\n3\nr =\ni zapisze 16\n13\na\na\n3\n9\nr\n, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zamiast ciągu arytmetycznego rozważa ciąg geometryczny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: 50\n\n## Sposób 1 - Kluczowa właściwość ciągu arytmetycznego (symetria)\n\n**Obserwacja:** w ciągu arytmetycznym, jeśli dwa indeksy dają tę samą sumę, to odpowiadające wyrazy mają tę samą sumę.\n\nSprawdźmy sumy indeksów:\n\n\\[21 + 30 = 51, \\qquad 24 + 27 = 51, \\qquad 25 + 26 = 51\\]\n\nWszystkie pary mają tę samą sumę indeksów! Korzystamy z ogólnego wzoru \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):\n\n\\[a_{21} + a_{30} = (a_1 + 20r) + (a_1 + 29r) = 2a_1 + 49r\\]\n\\[a_{24} + a_{27} = (a_1 + 23r) + (a_1 + 26r) = 2a_1 + 49r\\]\n\\[a_{25} + a_{26} = (a_1 + 24r) + (a_1 + 25r) = 2a_1 + 49r\\]\n\n**Wszystkie trzy dwójki mają tę samą sumę**, oznaczmy ją \\(S\\).\n\nZatem:\n\\[a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = (a_{21} + a_{30}) + (a_{24} + a_{27}) = S + S = 2S = 100\\]\n\n\\[\\boxed{S = a_{25} + a_{26} = 50}\\]\n\n## Sposób 2 - Algebraicznie, przez wyraz środkowy\n\nW ciągu arytmetycznym możemy wyrazić każdy wyraz przez **wyraz środkowy** układu. Zauważamy, że indeksy \\(21, 24, 27, 30\\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Ich środek to:\n\n\\[\\frac{21 + 30}{2} = 25{,}5\\]\n\nCzyli \"środkiem\" czterech wyrazów jest punkt pomiędzy \\(a_{25}\\) a \\(a_{26}\\). Zapiszmy każdy wyraz przez \\(a_{25}\\) i \\(a_{26}\\) (korzystając z różnicy \\(r\\)):\n\n\\[a_{21} = a_{25} - 4r, \\qquad a_{30} = a_{26} + 4r\\]\n\\[a_{24} = a_{25} - r, \\qquad a_{27} = a_{26} + r\\]\n\nSumujemy:\n\\[a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30}\\]\n\\[= (a_{25} - 4r) + (a_{25} - r) + (a_{26} + r) + (a_{26} + 4r)\\]\n\\[= 2a_{25} + 2a_{26} + (-4r - r + r + 4r)\\]\n\\[= 2(a_{25} + a_{26}) + 0 = 100\\]\n\n\\[\\boxed{a_{25} + a_{26} = 50}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do rozpisania poszczególnych wyrazów w Sposobie 2.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność \"średniej arytmetycznej\":\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nTo jest szczególny przypadek ogólniejszej zasady: jeśli \\(i + j = k + l\\), to \\(a_i + a_j = a_k + a_l\\). Tej własności użyliśmy w Sposobie 1.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać \\(a_1\\) ani \\(r\\) - zadanie jest rozwiązywalne bez nich. Jeśli próbujesz wyznaczyć oba te parametry oddzielnie, to błędna droga (masz jedno równanie z dwiema niewiadomymi).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe spostrzeżenie to: \\(21 + 30 = 24 + 27 = 25 + 26 = 51\\). Jeśli tego nie zauważysz, rozwiązanie algebraiczne (Sposób 2) zawsze działa - różnice \\(r\\) znoszą się symetrycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić sumę czterech wyrazów z sumą pary - wynik \\(2S = 100\\) daje \\(S = 50\\), nie \\(S = 100\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_{25} + a_{26} = 50\\).\n\n### Sposób 1 - Zapis każdego wyrazu względem \\(a_{25}, a_{26}\\) (karta wzorów: \\(a_{n} = a_{k} + (n-k)r\\))\nWyrażamy podane wyrazy poprzez \\(a_{25}\\) i \\(a_{26}\\) (różnica ciągu \\(= r\\)):\n- \\(a_{21} = a_{25} - 4r\\),\n- \\(a_{24} = a_{25} - r\\) (lub \\(a_{26} - 2r\\)),\n- \\(a_{27} = a_{26} + r\\),\n- \\(a_{30} = a_{26} + 4r\\).\n\nSuma:\n\\[a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30} = (a_{25}-4r)+(a_{25}-r)+(a_{26}+r)+(a_{26}+4r) = 2a_{25}+2a_{26} = 2(a_{25}+a_{26}).\\]\n\nZatem \\(2(a_{25}+a_{26}) = 100\\), czyli \\(\\boxed{a_{25}+a_{26}=50}\\).\n\n### Sposób 2 - Symetria indeksów\nZauważmy, że pary indeksów są \"symetryczne\" względem środka \\(\\tfrac{25+26}{2}=25{,}5\\):\n- \\(21\\) i \\(30\\): suma indeksów \\(= 51\\);\n- \\(24\\) i \\(27\\): suma indeksów \\(= 51\\);\n- \\(25\\) i \\(26\\): suma indeksów \\(= 51\\).\n\nW ciągu arytmetycznym: jeśli \\(m+n = p+q\\), to \\(a_{m}+a_{n} = a_{p}+a_{q}\\).\n\nStąd \\(a_{21}+a_{30} = a_{24}+a_{27} = a_{25}+a_{26}\\). Suma wszystkich czterech \\(=2(a_{25}+a_{26})=100\\) → \\(a_{25}+a_{26}=50\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapis równości w postaci równoważnej (np. \\(a_{25}+a_{26}+a_{25}+a_{26}=100\\) lub \\(4a_{1}+98r=100\\)).\n- **2 pkt** - pełne rozwiązanie: \\(a_{25}+a_{26}=50\\).\n- **0 pkt** - jeśli zapisano tylko \\(a_{25}+a_{26}=50\\) bez uzasadnienia; pomyłka z ciągiem geometrycznym.\n\n**Trik:** W ciągu arytmetycznym wyrazy o symetrycznych indeksach mają stałą sumę - to klucz do \"sprytnych\" zadań.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nDane są punkty\n(\n)\n4,0\nA = -\ni\n(\n)\n2,9\nM =\noraz prosta k o równaniu\n2\n10\ny\nx\n. Wierzchołek\nB trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek\nC jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający podaje\nrównanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b,\nmając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a\nw równaniu kierunkowym oraz interpretuje geometrycznie układ\ndwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (8.b, 8.d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\nx\ny\n0\nC\nM\nB\nA\nProsta AM przechodzi przez punkty\n(\n)\n4,0\nA = -\ni\n(\n)\n2,9\nM =\n, więc jej równanie ma postać\n(\n)\n9\n4\n2\n4\ny\nx\n, czyli\n3\n6\n2\ny\nx\nProsta k o równaniu\n2\n10\ny\nx\nprzecina oś Ox w punkcie B, więc\n(\n)\n5,0\nB =\nZatem\n(\n)\n5\n4\n9\nAB =\nWspółrzędne punktu C obliczymy, rozwiązując układ równań:\n3\n6\n2\ny\nx\ni\n2\n10\ny\nx\nStąd\n3\n6\n2\n10\n2 x\nx\n,\n7\n4\n2 x =\n,\n8\n7\nx =\n, a\n3 8\n12\n54\n6\n6\n2 7\n7\n7\ny =\n⋅\nZatem\n8 54\n,\n7\n7\nC\n\n\n= \n\n\n\n. Wynika stąd, że wysokość h trójkąta ABC opuszczona z wierzchołka C\nna podstawę AB jest równa\n54\n7\nC\nh\ny\nZatem pole trójkąta ABC jest równe\n1\n1\n54\n243\n5\n9\n34\n2\n2\n7\n7\n7\nABC\nP\nAB h\n⋅\n⋅\n⋅⋅\nII sposób\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\nx\ny\n0\nC\nN\nB\nA\nM\nWyznaczamy równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt\n(\n)\n2,9\nM =\n:\n(\n)\n2\n2\n9\ny\nx\n,\n2\n13\ny\nx\nNiech N będzie punktem przecięcia prostej l z osią Ox , więc\n(\n)\n13\n2 ,0\nN =\n. Zatem\n(\n)\n13\n21\n2\n2\n4\nAN =\nProsta k o równaniu\n2\n10\ny\nx\nprzecina oś Ox w punkcie B, więc\n(\n)\n5,0\nB =\nZatem\n(\n)\n5\n4\n9\nAB =\nZ równoległości prostych k i l wynika, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ANM, a skala\ntego podobieństwa jest równa\n21\n2\n9\n18\n6\n21\n7\nAB\ns\nAN\nPole trójkąta ANM jest równe\n1\n1 21\n21 9\n9\n9\n2\n2\n2\n4\nANM\nP\nAN\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n,\nwięc pole trójkąta ABC jest równe\n2\n2\n6\n21 9\n243\n5\n34\n7\n4\n7\n7\nABC\nANM\nP\ns\nP\n⋅\n\n\n⋅\n⋅\n\n\n\n\nUwaga\nMając obliczone współrzędne wierzchołków trójkąta, możemy obliczyć jego pole, korzystając\nze wzoru\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n1\n2\nABC\nB\nA\nC\nA\nB\nA\nC\nA\nP\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\n⋅\n:\n(\n)\n1\n54\n8\n1\n54\n243\n5\n5\n4\n0\n0\n4\n9\n34\n2\n7\n7\n2\n7\n7\n7\nABC\nP\n\n\n\n\n⋅\n-⋅\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\nIII sposób\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\nx\ny\n0\nC\nD\nB\nA\nh\nM\nProsta k o równaniu\n2\n10\ny\nx\nprzecina oś Ox w punkcie B, więc\n(\n)\n5,0\nB =\nZatem\n(\n)\n5\n4\n9\nAB =\nNiech h\nCD\n. Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej k jest równy 2\n-, więc\n1\n2\nDA\nh\nZatem\n1\n9\n2\nAD\nh\nWspółczynnik kierunkowy prostej AM jest równy\n(\n)\n9 0\n3\n2\n4\n2\nAM\na\n, ale\nAM\nCD\na\nAD\n, więc\n3\n2\nCD\nAD =\n,\n1\n2\n3\n2\n9\nh\nh\n,\n3\n2\n27\n2\nh\nh\n,\n7\n27\n2 h =\n,\n54\n7\nh =\nPole trójkąta ABC jest równe\n1\n1\n54\n243\n5\n9\n34\n2\n2\n7\n7\n7\nABC\nP\nAB h\n⋅\n⋅\n⋅⋅\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AM:\n3\n2\na\nalbo\n• wyznaczy współrzędne punktu B:\n(\n)\n5,0\nB =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• zapisze równanie prostej AM:\n3\n6\n2\ny\nx\nalbo\n• wyznaczy równanie prostej MN:\n2\n13\ny\nx\ni zapisze, że trójkąty ABC i ANM są\npodobne,\nalbo\n• zapisze zależność między długościami odcinków CD i DA:\n3\n2\nCD\nAD =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy długość podstawy AB trójkąta:\n9\nAB =\noraz zapisze równanie, z którego można\nwyznaczyć jedną ze współrzędnych punktu C\nalbo\n• obliczy współrzędne wierzchołka C:\n8 54\n,\n7\n7\nC\n\n\n= \n\n\n\n(lub drugą współrzędną tego punktu)\ni nie zapisze współrzędnych punktu B,\nalbo\n• obliczy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM:\n6\n7\ns =\n(lub skalę\npodobieństwa trójkąta ANM do trójkąta ABC :\n1\n7\n6\ns =\n),\nalbo\n• obliczy pole trójkąta ANM:\n1 21 9\n2\n2\nANM\nP\n⋅\n⋅ i zapisze, że\n2\nABC\nANM\nP\ns P\n⋅\n, gdzie s oznacza\nskalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM,\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, z którego można obliczyć wysokość trójkąta ABC,\nnp.:\n1\n2\n3\n2\n9\nh\nh\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy drugą współrzędną wierzchołka C oraz długość podstawy AB trójkąta ABC:\n54\n7\nC\ny\n,\n9\nAB =\nalbo\n• obliczy współrzędne wierzchołków B i C:\n(\n)\n5,0\nB =\n,\n8 54\n,\n7\n7\nC\n\n\n= \n\n\n\n,\nalbo\n• obliczy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM:\n6\n7\ns =\n(lub skalę\npodobieństwa trójkąta ANM do trójkąta ABC :\n1\n7\n6\ns =\n) oraz pole trójkąta ANM:\n1 21 9\n2\n2\nANM\nP\n⋅\n⋅ i zapisze, że\n2\nABC\nANM\nP\ns P\n⋅\n,\nalbo\n• obliczy wysokość CD trójkąta ABC:\n54\n7\nh =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy pole trójkąta ABC:\n243\n7\nABC\nP\nUwaga\nAkceptujemy, jeżeli zdający poda pole trójkąta w przybliżeniu, np. 34,714.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(-\\dfrac{16}{3}\\)\n\nNajmniejsza wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{16}{3}}\\).\n\n## Sposób 1 - postać iloczynowa\n\n**Od czego zaczynamy:** Znamy oba miejsca zerowe, więc możemy od razu zapisać funkcję w postaci iloczynowej.\n\nPostać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x - (-2))(x - 6) = a(x + 2)(x - 6)\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a\\)** - korzystamy z warunku, że wykres przechodzi przez \\(A = (1, -5)\\), czyli \\(f(1) = -5\\):\n\\[f(1) = a(1 + 2)(1 - 6) = a \\cdot 3 \\cdot (-5) = -15a\\]\n\\[-15a = -5\\]\n\\[a = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Piszemy ostateczną postać funkcji:**\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 2)(x - 6)\\]\n\nPonieważ \\(a = \\frac{1}{3} > 0\\), parabola jest skierowana ramionami ku górze - **funkcja ma minimum** (najniższy punkt to wierzchołek).\n\n**Wyznaczamy wierzchołek:** Oś symetrii paraboli przebiega w połowie odległości między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-2 + 6}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Najmniejsza wartość funkcji:**\n\\[f(2) = \\frac{1}{3}(2 + 2)(2 - 6) = \\frac{1}{3} \\cdot 4 \\cdot (-4) = \\frac{-16}{3}\\]\n\n**Wynik: Najmniejsza wartość funkcji \\(f\\) to \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{16}{3}}\\).**\n\n## Sposób 2 - postać ogólna i wzór na wierzchołek\n\nRozwijamy postać iloczynową (z wyznaczonym wcześniej \\(a = \\frac{1}{3}\\)):\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 2)(x - 6) = \\frac{1}{3}(x^2 - 4x - 12) = \\frac{1}{3}x^2 - \\frac{4}{3}x - 4\\]\n\nMamy więc: \\(a = \\frac{1}{3}\\), \\(b = -\\frac{4}{3}\\), \\(c = -4\\).\n\n**Wyznaczamy wierzchołek wzorem:**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-\\frac{4}{3}}{2 \\cdot \\frac{1}{3}} = \\frac{\\frac{4}{3}}{\\frac{2}{3}} = \\frac{4}{3} \\cdot \\frac{3}{2} = 2\\]\n\n**Obliczamy \\(\\Delta\\):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = \\left(-\\frac{4}{3}\\right)^2 - 4 \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot (-4) = \\frac{16}{9} + \\frac{16}{3} = \\frac{16}{9} + \\frac{48}{9} = \\frac{64}{9}\\]\n\n**Minimalna wartość (rzędna wierzchołka):**\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{\\frac{64}{9}}{4 \\cdot \\frac{1}{3}} = -\\frac{\\frac{64}{9}}{\\frac{4}{3}} = -\\frac{64}{9} \\cdot \\frac{3}{4} = -\\frac{192}{36} = -\\frac{16}{3}\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{16}{3}}\\).** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\n1. **Postać iloczynowa** (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 - znając miejsca zerowe, od razu zapisaliśmy funkcję.\n\n2. **Wierzchołek paraboli:**\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia minimalnej wartości funkcji.\n\n3. **Wyróżnik:**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 przy wyznaczaniu rzędnej wierzchołka.\n\n4. **Wzory Viète'a** (pomocniczo do zrozumienia struktury zadania):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to założenie \\(a = 1\\) bez wyznaczenia go z punktu \\(A\\). Zawsze musisz skorzystać z dodatkowego warunku (tu: punkt \\(A\\)), żeby wyznaczyć \\(a\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy parabola ma dwa miejsca zerowe, oś symetrii (i wierzchołek) leżą **dokładnie w połowie** między nimi. Wzór \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\) jest tu najszybszy - nie trzeba liczyć \\(\\Delta\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minimalna wartość funkcji to **wartość \\(f(p)\\)**, czyli rzędna wierzchołka \\(q\\) - nie mylić z odciętą wierzchołka \\(p\\)! Tu \\(p = 2\\) (gdzie jest minimum), a \\(q = -\\frac{16}{3}\\) (jak małe jest to minimum).\n\n**Poprawna odpowiedź:** najmniejsza wartość funkcji \\(= -\\dfrac{16}{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Postać iloczynowa i wyznaczenie \\(a\\)\nZnamy miejsca zerowe, więc \\(f(x) = a(x-x_{1})(x-x_{2}) = a(x+2)(x-6)\\).\n\nPodstawiamy punkt \\(A=(1,-5)\\):\n\\[-5 = a(1+2)(1-6) = a\\cdot 3\\cdot(-5) = -15a \\Rightarrow a = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\nFunkcja: \\(f(x) = \\dfrac{1}{3}(x+2)(x-6)\\).\n\nNajmniejsza wartość (karta wzorów): osiągana w wierzchołku, \\(x_{0} = \\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} = \\dfrac{-2+6}{2} = 2\\).\n\n\\[f(2) = \\dfrac{1}{3}(2+2)(2-6) = \\dfrac{1}{3}\\cdot 4\\cdot (-4) = -\\dfrac{16}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna i rozwiązanie układu\nUkład trzech równań:\n\\[a(-2)^{2} + b(-2) + c = 0 \\Rightarrow 4a - 2b + c = 0,\\]\n\\[a\\cdot 36 + 6b + c = 0,\\]\n\\[a + b + c = -5.\\]\n\nOdejmując pierwsze od drugiego: \\(32a + 8b = 0 \\Rightarrow b = -4a\\).\n\nZ pierwszego: \\(c = -4a + 2b = -4a - 8a = -12a\\).\n\nPodstawiając do trzeciego: \\(a + (-4a) + (-12a) = -5 \\Rightarrow -15a = -5 \\Rightarrow a = \\tfrac{1}{3}\\), \\(b = -\\tfrac{4}{3}\\), \\(c = -4\\).\n\nWierzchołek: \\(x_{0} = -\\tfrac{b}{2a} = -\\tfrac{-4/3}{2/3} = 2\\).\n\n\\[f(2) = \\tfrac{1}{3}\\cdot 4 - \\tfrac{4}{3}\\cdot 2 - 4 = \\tfrac{4}{3} - \\tfrac{8}{3} - 4 = -\\tfrac{4}{3} - 4 = -\\tfrac{16}{3}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - np. zapis \\(f(x) = a(x-6)(x+2)\\) lub wyznaczenie \\(p=2\\) lub układ 3 równań.\n- **2 pkt** - wyznaczenie \\(a = \\tfrac{1}{3}\\) lub pełnych współczynników \\(a,b,c\\).\n- **3 pkt** - wszystkie współczynniki + pierwsza współrzędna wierzchołka.\n- **4 pkt** - końcowa wartość \\(f_\\text{min} = -\\tfrac{16}{3}\\).\n\n**Trik:** Postać iloczynowa \\(f(x) = a(x-x_{1})(x-x_{2})\\) jest najkrótszą drogą, gdy znasz miejsca zerowe.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (2 pkt)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od\n40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n5\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna\ndefinicja prawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń. (10.d).\nPrzykładowe rozwiązanie\nJest to model klasyczny i liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n90\nΩ =\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych.\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie\nmniejsza od 40 i podzielna przez 3. Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne\n}\n{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39\nA\nStąd\n10\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n10\n1\n90\n9\nΩ\nA\nP A\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że wylosujemy liczbę,\nktóra jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3, jest równe 1\n9.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze, że\n90\nΩ =\nalbo\n• zapisze, że\n10\nA =\ni nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych\nalbo\n• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n12,15,18, 21, 24, 27,30,33,36,39\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka:\n( )\n10\n1\n90\n9\nA\nP A =\nΩ\nUwaga\n1. Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik ( )\nP A jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli w przedstawionym rozwiązaniu zdający interpretuje zdarzenie elementarne jako\nrezultat wylosowania więcej niż jednej liczby, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w rozwiązaniu zapisze tylko 1\n9, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nZadanie otwarte obliczeniowe. Wynik końcowy:\n\n\\[A = \\left(\\frac{25}{3},\\ 0\\right), \\quad B = \\left(0,\\ \\frac{25}{4}\\right), \\quad |AB| = \\frac{125}{12}\\]\n\n## Sposób 1 - Warunki prostopadłości i współliniowości\n\n**Oznaczenia.** Niech \\(A = (a, 0)\\) gdzie \\(a > 0\\) oraz \\(B = (0, b)\\) gdzie \\(b > 0\\). Kąt prosty jest w wierzchołku \\(C = (0, 0)\\), bo nogi leżą wzdłuż osi.\n\n**Krok 1 - warunek \\(CD \\perp AB\\).**\n\nWektor \\(\\overrightarrow{CD} = (3, 4)\\) (od \\(C=(0,0)\\) do \\(D=(3,4)\\)).\n\nWektor \\(\\overrightarrow{AB} = (-a, b)\\).\n\nDla prostopadłości iloczyn skalarny musi być równy zero:\n\\[\\overrightarrow{CD} \\cdot \\overrightarrow{AB} = 0 \\implies 3 \\cdot (-a) + 4 \\cdot b = 0 \\implies -3a + 4b = 0\\]\n\n\\[\\boxed{3a = 4b} \\quad \\text{(I)}\\]\n\n**Krok 2 - warunek \\(D \\in AB\\).**\n\nRównanie prostej \\(AB\\) (odcinkowe):\n\\[\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1\\]\n\nPodstawiamy \\(D = (3, 4)\\):\n\\[\\frac{3}{a} + \\frac{4}{b} = 1 \\quad \\text{(II)}\\]\n\n**Krok 3 - rozwiązanie układu.**\n\nZ równania (I): \\(a = \\frac{4b}{3}\\). Podstawiamy do (II):\n\n\\[\\frac{3}{\\frac{4b}{3}} + \\frac{4}{b} = 1 \\implies \\frac{9}{4b} + \\frac{4}{b} = 1 \\implies \\frac{9}{4b} + \\frac{16}{4b} = 1 \\implies \\frac{25}{4b} = 1\\]\n\n\\[b = \\frac{25}{4}\\]\n\n\\[a = \\frac{4}{3} \\cdot \\frac{25}{4} = \\frac{25}{3}\\]\n\n**Krok 4 - długość przeciwprostokątnej.**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{25}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{25}{4}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{625}{9} + \\frac{625}{16}} = 25\\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{1}{16}}\\]\n\n\\[= 25\\sqrt{\\frac{16 + 9}{144}} = 25\\sqrt{\\frac{25}{144}} = 25 \\cdot \\frac{5}{12} = \\frac{125}{12}\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\mathbf{A = \\left(\\frac{25}{3},\\ 0\\right), \\quad B = \\left(0,\\ \\frac{25}{4}\\right), \\quad |AB| = \\frac{125}{12}}\\]\n\n## Sposób 2 - Parametryzacja prostej AB przez punkt D\n\nTo elegantszy sposób - od razu konstruujemy prostą \\(AB\\) i szukamy przecięć z osiami.\n\n**Krok 1 - kierunek prostej AB.**\n\nProsta \\(AB\\) jest prostopadła do wysokości \\(CD\\). Wektor \\(\\overrightarrow{CD} = (3, 4)\\), więc wektor kierunkowy \\(AB\\) jest prostopadły do \\((3,4)\\):\n\n\\[\\vec{v}_{AB} = (4, -3)\\]\n\n(obrócony o 90°: zamieniamy współrzędne i zmieniamy znak jednej z nich)\n\n**Krok 2 - równanie parametryczne prostej AB.**\n\nProsta \\(AB\\) przechodzi przez \\(D = (3, 4)\\) z kierunkiem \\((4, -3)\\):\n\\[\\begin{cases} x = 3 + 4t \\\\ y = 4 - 3t \\end{cases}\\]\n\n**Krok 3 - wyznaczenie A (przecięcie z osią Ox, \\(y = 0\\)).**\n\n\\[4 - 3t = 0 \\implies t = \\frac{4}{3}\\]\n\n\\[x_A = 3 + 4 \\cdot \\frac{4}{3} = 3 + \\frac{16}{3} = \\frac{9 + 16}{3} = \\frac{25}{3}\\]\n\n\\[\\mathbf{A = \\left(\\frac{25}{3},\\ 0\\right)}\\]\n\n**Krok 4 - wyznaczenie B (przecięcie z osią Oy, \\(x = 0\\)).**\n\n\\[3 + 4t = 0 \\implies t = -\\frac{3}{4}\\]\n\n\\[y_B = 4 - 3 \\cdot \\left(-\\frac{3}{4}\\right) = 4 + \\frac{9}{4} = \\frac{16 + 9}{4} = \\frac{25}{4}\\]\n\n\\[\\mathbf{B = \\left(0,\\ \\frac{25}{4}\\right)}\\]\n\n**Krok 5 - weryfikacja i długość AB.**\n\nSprawdzam, czy \\(CD \\perp AB\\):\n\\[\\overrightarrow{CD} \\cdot \\vec{v}_{AB} = (3)(4) + (4)(-3) = 12 - 12 = 0\\ ✓\\]\n\n\\[|AB| = \\sqrt{\\left(\\frac{25}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{25}{4}\\right)^2} = \\frac{125}{12}\\ ✓\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte w Kroku 4 obu sposobów do obliczenia długości przeciwprostokątnej.\n\nWarunek prostopadłości prostych (przez iloczyn skalarny wektorów kierunkowych):\n\\[\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\iff \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0\\]\nUżyte w Sposobie 1 (Krok 1) do zapisania warunku \\(CD \\perp AB\\).\n\nRównanie prostej przez dwa punkty (odcinkowe):\n\\[\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1\\]\nUżyte w Sposobie 1 (Krok 2) do zapisu równania \\(AB\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta AB jest prostopadła do wysokości CD - nie do odcinka CD! Wektor kierunkowy AB to **obrót** wektora \\((3,4)\\) o 90°, czyli \\((4,-3)\\), **nie** \\((-4,3)\\) (obie wersje są poprawne, bo to ta sama prosta).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(|AB|\\) łatwo zapomnieć wyciągnąć \\(25\\) przed pierwiastek. \\(\\sqrt{\\frac{625}{9} + \\frac{625}{16}} = 25\\sqrt{\\frac{1}{9}+\\frac{1}{16}}\\) - ten krok bardzo upraszcza rachunki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest **w \\(C\\)**, bo nogi leżą wzdłuż osi układu (CA na osi Ox, CB na osi Oy). Nie mylić z kątem prostym przy \\(D\\) - kąt przy \\(D\\) jest prostý tylko dlatego, że \\(D\\) jest podstawą wysokości.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(A = \\left(\\dfrac{25}{3}, 0\\right)\\), \\(B = \\left(0, \\dfrac{25}{4}\\right)\\), \\(|AB| = \\dfrac{125}{12} = 10\\dfrac{5}{12}\\).\n\n### Sposób 1 - Równanie prostej \\(AB\\) prostopadłej do \\(CD\\)\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(CD\\) (karta wzorów):\n\\[a_{CD} = \\dfrac{y_{D}-y_{C}}{x_{D}-x_{C}} = \\dfrac{4}{3}.\\]\n\nProsta \\(AB\\) prostopadła do \\(CD\\): \\(a_{AB} = -\\dfrac{1}{a_{CD}} = -\\dfrac{3}{4}\\).\n\nProsta \\(AB\\) przechodzi przez \\(D=(3,4)\\):\n\\[y = -\\dfrac{3}{4}(x-3) + 4 = -\\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{25}{4}.\\]\n\n**Punkt \\(B\\) (na osi \\(Oy\\), \\(x=0\\)):** \\(y = \\dfrac{25}{4}\\), czyli \\(B = \\left(0, \\dfrac{25}{4}\\right)\\).\n\n**Punkt \\(A\\) (na osi \\(Ox\\), \\(y=0\\)):** \\(0 = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{25}{4} \\Rightarrow x = \\dfrac{25}{3}\\), czyli \\(A = \\left(\\dfrac{25}{3}, 0\\right)\\).\n\n**Długość \\(AB\\):**\n\\[|AB| = \\sqrt{\\left(\\dfrac{25}{3}\\right)^{2} + \\left(\\dfrac{25}{4}\\right)^{2}} = \\sqrt{\\dfrac{625}{9} + \\dfrac{625}{16}} = \\sqrt{625\\cdot\\dfrac{16+9}{144}} = \\sqrt{625\\cdot\\dfrac{25}{144}} = \\dfrac{25\\cdot 5}{12} = \\dfrac{125}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 - Własności wysokości trójkąta prostokątnego\n\\(|CD| = \\sqrt{9+16} = 5\\). Z twierdzenia Pitagorasa w \\(\\triangle ACD\\) i \\(\\triangle BCD\\):\n\\[|AD|^{2} + 25 = |AC|^{2}, \\quad |BD|^{2} + 25 = |BC|^{2}.\\]\n\nAlbo (sprytniej): wysokość \\(CD\\) prostokąta \\(ABC\\) spełnia \\(|AD|\\cdot |DB| = |CD|^{2} = 25\\), i dalej liczymy przez trygonometrię.\n\nKońcowy wynik: \\(|AB| = \\tfrac{125}{12}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - obliczenie \\(a_{CD} = \\tfrac{4}{3}\\).\n- **2 pkt** - zapis równania prostej \\(AB\\): \\(y = -\\tfrac{3}{4}(x-3)+4\\).\n- **3 pkt** - wyznaczenie obu wierzchołków \\(A, B\\).\n- **4 pkt** - obliczenie \\(|AB| = \\tfrac{125}{12} = 10\\tfrac{5}{12}\\).\n\n**Trik:** Wysokość z kąta prostego jest **prostopadła** do przeciwprostokątnej - to zamienia problem geometryczny w algebrę wektorów.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi\npodstawy ostrosłupa jest równa\n4\n3\n5\n, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest\nrówne 15 3\n4\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki miarowe\nw wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem\ntrygonometrii (9.b).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWykorzystujemy wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa i zapisujemy równanie\n15 3\n1\n5 3\n3\n4\n2\n4\na\n= ⋅\n⋅\n, skąd otrzymujemy\n2\na\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DOS otrzymujemy\nPonieważ\n1\n3\n3\n3\n2\n3\n⋅\nDO\na\n, więc\n2\n2\n2\n5 3\n3\n4\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nH\nStąd\n209\n4 3\nH\nZatem objętość ostrosłupa jest równa\n1\n1 4 3\n209\n209\n3\n3\n4\n12\n4 3\n⋅\n⋅\n⋅\np\nV\nP\nH\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze równanie 15 3\n1\n5 3\n3\n4\n2\n4\na\n= ⋅\n⋅\nalbo\n2\n2\n2\nDO\nh\nH\nA\nB\nC\nS\nh\nH\nO\na\nb\nD\na\n• zapisze, że\n1\n3\n3\n2\nDO\na\n⋅\nlub\n2\n3\n3\n2\nAO\na\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa:\n2\na =\ni zapisze równanie\nz niewiadomą H, np.:\n2\n2\n2\n5 3\n3\n4\n6\na\nH\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa:\n2\na =\ni zapisze układ równań\nwystarczający do obliczenia wysokości ostrosłupa, np.:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n5 3\n2\n4\na\nH\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n+\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa:\n209\n4 3\nH\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy objętość V ostrosłupa:\n209\n12\nV\nUwagi\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w treści zadania, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.\n3. Jeżeli zdający poda długość krawędzi podstawy\n2\na =\nbez obliczeń i rozwiąże zadanie do\nkońca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający błędnie przepisze liczbę 5 3\n4\nlub liczbę 15 3\n4\ni z tym błędem rozwiąże\nzadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n5. Jeśli zdający nie obliczy a i przyjmuje, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi,\nto otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: **160**\n\nHmm, zanim napiszę - policzę dokładnie. To zadanie otwarte, obliczmy objętość krok po kroku.\n\n## Sposób 1 - Właściwość okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym\n\n**Krok 1: Wyznacz wymiary podstawy.**\n\nW trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy C środek okręgu opisanego leży na środku przeciwprostokątnej AB. Zatem:\n\\[SC = SA = SB = R\\]\ngdzie \\(R\\) to promień okręgu opisanego.\n\nSkoro \\(|SC| = 5\\), to \\(R = 5\\), a zatem:\n\\[|AB| = 2R = 10\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz długości przyprostokątnych.**\n\nZe stosunku \\(|AC| : |BC| = 4 : 3\\) przyjmijmy \\(|AC| = 4k\\), \\(|BC| = 3k\\).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2\\]\n\\[(4k)^2 + (3k)^2 = 10^2\\]\n\\[16k^2 + 9k^2 = 100\\]\n\\[25k^2 = 100 \\implies k^2 = 4 \\implies k = 2\\]\n\nZatem:\n\\[|AC| = 8, \\quad |BC| = 6\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz wysokość graniastosłupa ze ściany bocznej BEFC.**\n\nŚciana BEFC to prostokąt, którego podstawą jest krawędź \\(BC\\), a wysokością jest wysokość graniastosłupa \\(h\\). Zatem:\n\\[P_{BEFC} = |BC| \\cdot h = 6h = 48\\]\n\\[\\boxed{h = 8}\\]\n\n**Krok 4: Pole podstawy trójkąta ABC.**\n\n\\[P_{ABC} = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BC| = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 6 = 24\\]\n\n**Krok 5: Objętość graniastosłupa.**\n\n\\[V = P_{ABC} \\cdot h = 24 \\cdot 8 = \\boxed{192}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie spójności danych\n\nSprawdzamy, czy wyznaczone dane są ze sobą spójne:\n\n- \\(|AB| = \\sqrt{8^2 + 6^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\) ✓\n- Środek S okręgu opisanego = środek AB, więc \\(|SC|\\) to odległość od środka AB do C.\n\nWspółrzędnie: \\(A = (0,8)\\), \\(B = (6, 0)\\), \\(C = (0, 0)\\).\n\n\\[S = \\left(\\frac{0+6}{2}, \\frac{8+0}{2}\\right) = (3, 4)\\]\n\\[|SC| = \\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \\sqrt{9+16} = \\sqrt{25} = 5 \\checkmark\\]\n\nPole ściany BEFC:\n\\[P_{BEFC} = |BC| \\cdot h = 6 \\cdot 8 = 48 \\checkmark\\]\n\nObjętość:\n\\[V = 24 \\cdot 8 = \\mathbf{192}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Kroku 2 do wyznaczenia \\(k\\) z przeciwprostokątnej \\(|AB| = 10\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nDla trójkąta prostokątnego: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BC|\\). Użyte w Kroku 4.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - własność okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:\n> Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej, a promień \\(R = \\frac{c}{2}\\).\n\nKluczowy fakt użyty w Kroku 1: \\(|SC| = R = 5 \\Rightarrow |AB| = 10\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość graniastosłupa:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\nUżyte w Kroku 5.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najważniejszy krok to rozpoznanie, że S (środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym) leży dokładnie w środku przeciwprostokątnej. Bez tego faktu nie wyznaczymy AB = 10. Wielu uczniów szuka S innymi metodami i się gubi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ściana BEFC to ściana boczna przy krawędzi BC (długość 6), nie przy AC (długość 8). Pomylenie tych krawędzi daje \\(h = 6\\) zamiast \\(h = 8\\) i błędną objętość 144.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(4:3\\) to stosunek długości, nie pól. Łatwo wpaść w pułapkę i przyjąć \\(|AC| = 4\\), \\(|BC| = 3\\) bez przemnożenia przez \\(k\\) - wtedy \\(|AB| = 5 \\neq 10\\) i wszystko się sypie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(V = 192\\).\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku (karta wzorów: \\(V = P_{p} \\cdot H\\))\n**Krok 1. Długość przeciwprostokątnej \\(AB\\).**\n\nW trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej, a promień = połowa przeciwprostokątnej:\n\\[|SC| = |SA| = |SB| = 5 \\Rightarrow |AB| = 2\\cdot 5 = 10.\\]\n\n**Krok 2. Długości przyprostokątnych.**\n\nNiech \\(|AC| = 4x\\), \\(|BC| = 3x\\) (stosunek \\(4:3\\)). Z tw. Pitagorasa:\n\\[(4x)^{2} + (3x)^{2} = 10^{2},\\]\n\\[16x^{2} + 9x^{2} = 100,\\]\n\\[25x^{2} = 100 \\Rightarrow x = 2.\\]\n\nZatem \\(|AC| = 8\\), \\(|BC| = 6\\).\n\n**Krok 3. Wysokość graniastosłupa \\(H = |BE|\\) z pola ściany \\(BEFC\\).**\n\nŚciana \\(BEFC\\) to prostokąt o bokach \\(|BC| = 6\\) i \\(|BE| = H\\):\n\\[6 \\cdot H = 48 \\Rightarrow H = 8.\\]\n\n**Krok 4. Pole podstawy i objętość.**\n\nPole trójkąta \\(ABC\\): \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot |AC|\\cdot |BC| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 8\\cdot 6 = 24\\).\n\n\\[V = P\\cdot H = 24\\cdot 8 = \\boxed{192.}\\]\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie trójki pitagorejskiej \\((6,8,10)\\)\nSkoro \\(|AB|=10\\) i stosunek przyprostokątnych \\(4:3\\), natychmiast rozpoznajemy trójkę \\((6,8,10) = 2\\cdot (3,4,5)\\). Dalej identycznie: \\(H=8\\), \\(P=24\\), \\(V=192\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - obliczenie \\(|AB| = 10\\) LUB zapis \\(|AC| = 4x\\), \\(|BC| = 3x\\).\n- **2 pkt** - zapis równania \\((3x)^{2}+(4x)^{2}=10^{2}\\) lub układu.\n- **3 pkt** - obliczenie wszystkich boków trójkąta \\(ABC\\).\n- **4 pkt** - obliczenie wysokości graniastosłupa \\(H=8\\).\n- **5 pkt** - końcowa objętość \\(V = 192\\).\n\n**Trik:** Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym = środek przeciwprostokątnej. Trójka \\((3,4,5)\\) (i jej wielokrotności) zawsze warto mieć w głowie.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}