{"paper":{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"1.\nJeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym\nzakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi\nprzedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n2\n13\nW x\nx\nax\nx\nb\n+ . Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego\nwielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu\n( )\nW x przez (\n)\n2\nx +\njest równa 20. Oblicz\nwspółczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu\n( )\nW x .\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"2.\nJeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych\nprzedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub\nnie wyznaczy części wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami\ni kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 3 p.\nZdający\npoprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników\nz poszczególnymi przedziałami tylko dla dwóch przedziałów (spośród trzech wskazanych\nw I sposobie rozwiązania), popełni błąd w trzecim i konsekwentnie doprowadzi\nrozwiązanie do końca\nalbo\nzdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części\nwspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch\nprzypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku oraz stwierdzi, że przypadek:\n1\n0\nx -<\ni\n5\n0\nx -\n≥\njest niemożliwy i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający zapisze odpowiedź:\n(\n,3\nx∈-∞\nUwaga\nWe wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności\nnieostre (przedziały obustronnie domknięte). Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności\nostre (przedziały otwarte), to przyznajemy za całe zadanie o 1 punkt mniej, niż gdyby\nwyróżnił wszystkie przedziały poprawnie.\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający wyróżni na osi liczbowej przedziały: (\n)\n,1\n-∞\n,\n)\n1,5 ,\n)\n5,+∞.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np.:\ndla\n(\n)\n,1\nx∈-∞\nmamy\n( )\n2\n6\nf x\nx\n+ ,\ndla\n)\n1,5\nx∈\nmamy\n( )\n4\nf x =\n,\ndla\n)\n5,\nx∈\n+∞ mamy\n( )\n2\n6\nf x\nx\nlub\n( )\n(\n)\n)\n)\n2\n6\ndla\n,1\n4\ndla\n1,5\n2\n6\ndla\n5,\nx\nx\nf x\nx\nx\nx\n-\n∈-∞\n\n∈\n\n\n∈\n+∞\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu\n10\n2\ny\nx\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający zapisze odpowiedź:\n(\n,3\nx∈-∞\nZadanie 2. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający wykonuje\ndzielenie wielomianu przez dwumian x-a; stosuje\ntwierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez\ndwumian x-a (R2.b).\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje\nrównania i nierówności wielomianowe (R3.c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nKorzystając z warunków zadania zapisujemy układ równań\n( )\n(\n)\n3\n0\n2\n20\nW\nW\n\n\n, czyli 54\n9\n39\n0\n16\n4\n26\n20\na\nb\na\nb\n\n-\n\nZ układu równań obliczamy a i b\n9\n15\n4\n10\na\nb\na\nb\n\n\n\n, 9\n10\n4\n15\n10\n4\na\na\nb\na\n\n=\n\n,\n5\n30\na\nb\n\n=\n\nDla\n5,\n30\na\nb\notrzymujemy\n( )\n3\n2\n2\n5\n13\n30\nW x\nx\nx\nx\nObliczamy pozostałe pierwiastki wielomianu wykonując np. dzielenie wielomianu\n( )\nW x\nprzez (\n)\n3\nx -\n:\n( )\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n5\n3\n2\n10\n2\n3\n2\n2\nW x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nPozostałymi pierwiastkami wielomianu\n( )\nW x są liczby 2 oraz\n5\n2\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania\nzadania 1 p.\nZdający zapisze jedno z równań:\n54\n9\n39\n0\na\nb\nalbo 16\n4\n26\n20\na\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nUwaga\nWystarczy, że zdający zapisze\n( )\n(\n)\n3\n0\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie\n(\n)(\n)\n2\n4\n6\n2\n3\n3\n0\nx\nmx\nm\nm\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste\n1x i\n2x , przy czym\n1\n2\nx\nx\n<\n, spełniające warunek\n(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n4\n4\n1\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania\ni nierówności z wartością bezwzględną (R3.e).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów)\nWyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (\n)\n,1\n-∞\n,\n)\n1,5 ,\n)\n5,+∞.\nRozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy\nczęść wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności.\n(\n)\n,1\nx∈-∞\n)\n1,5\nx∈\n)\n5,\nx∈\n+∞\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n6\n10\n≤\nW tym przypadku\nrozwiązaniem nierówności\njest\n1\nx <\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n2\n6\nx ≤\n3\nx ≤\nW tym przypadku\nrozwiązaniem nierówności\njest 1\n3\nx\n≤\n≤\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n4\n16\nx ≤\n4\nx ≤\nW tym przypadku nierówność\nnie ma rozwiązania.\nSumując otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: (\n,3\n-∞\nOdpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest (\n,3\n-∞\nII sposób (zapisanie czterech przypadków)\nZapisujemy cztery przypadki:\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-≥\n\n-\n≥\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-≥\n\n-\n<\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-<\n\n-\n≥\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-<\n\n-\n<\n\nW każdym z nich rozwiązujemy nierówność bądź układ nierówności\nSumując otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: (\n,3\n-∞\n1\n0\n5\n0\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n-≥\n\n-\n≥\n\n-+\n≤\n\n1\n5\n4\n16\nx\nx\nx\n≥\n\n≥\n\n\n≤\n\n1\n5\n4\nx\nx\nx\n≥\n\n≥\n\n≤\n\nBrak rozwiązań\n1\n0\n5\n0\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n-≥\n\n-\n<\n\n--\n≤\n\n1\n5\n2\n6\nx\nx\nx\n≥\n\n<\n\n\n≤\n\n1\n5\n3\nx\nx\nx\n≥\n\n<\n\n≤\n\nRozw.: 1\n3\nx\n≤\n≤\n1\n0\n5\n0\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n-<\n\n-\n≥\n\n-+ +\n≤\n\n1\n5\n2\n14\nx\nx\nx\n<\n\n≥\n\n\n≤\n\n1\n5\n7\nx\nx\nx\n<\n\n≥\n\n≤\n\nBrak rozwiązań\n1\n0\n5\n0\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n-<\n\n-\n<\n\n-+ -\n≤\n\n1\n5\n6\n10\nx\nx\n<\n\n<\n\n≤\n\nRozw.:\n1\nx <\nIII sposób (rozwiązanie graficzne)\nRysujemy wykresy funkcji\n( )\n1\n5|\nf x\nx\nx\ni ( )\n10\n2\ng x\nx\nWyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (\n)\n,1\n-∞\n,\n)\n1,5 ,\n)\n5,+∞.\nZapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np.\n( )\n(\n)\n)\n)\n2\n6\ndla\n,1\n4\ndla\n1,5\n2\n6\ndla\n5,\nx\nx\nf x\nx\nx\nx\n-\n∈-∞\n\n∈\n\n\n∈\n+∞\n\nRysujemy wykresy funkcji f i g:\nOdczytujemy odciętą punktu przecięcia wykresów funkcji f i g:\n3\nx =\nSprawdzamy, czy spełniają one równanie\n1\n5| 10\n2\nx\nx\nx\n≤\n, a następnie podajemy te\nwszystkie argumenty, dla których\n( )\n( )\nf\nx\ng x\n≤\n:\n(\n,3\nx∈-∞\nUwaga\nZdający powinien zauważyć, że wykres funkcji f oraz wykres funkcji g dla\n(\n,1\nx∈-∞\nsą\nrównoległe.\n6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-2\n2\n4\n6\n8\n10\n12\n14\n16\nx\ny\n( )\nf x\n( )\ng x\nSchemat punktowania\nI i II sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający\nwyróżni na osi liczbowej przedziały (\n)\n,1\n-∞\n,\n)\n1,5 ,\n)\n5,+∞.\nalbo\nzapisze cztery przypadki:\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-≥\n\n-\n≥\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-≥\n\n-\n<\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-<\n\n-\n≥\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-<\n\n-\n<\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nUwaga\nJeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy 0 punktów.\nPodobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\nzapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np.:\ndla\n(\n)\n,1\nx∈-∞\nmamy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n,\ndla\n)\n1,5\nx∈\nmamy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n,\ndla\n)\n5,\nx∈\n+∞ mamy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\nalbo\nzapisze nierówności w poszczególnych przypadkach, np.:\ngdy\n1\n0\nx -≥\ni\n5\n0\nx -\n≥\n, to wtedy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n,\ngdy\n1\n0\nx -≥\ni\n5\n0\nx -\n<\n, to wtedy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n,\ngdy\n1\n0\nx -<\ni\n5\n0\nx -\n≥\n, to wtedy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n(lub stwierdzi, że ten\nprzypadek jest niemożliwy),\ngdy\n1\n0\nx -<\ni\n5\n0\nx -\n<\n, to wtedy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nUwagi","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (6 pkt)\nLiczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\narytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (\n)\n2, , 2\n1\na\nb\nc\njest geometryczny.\nWyznacz liczby a, b, c.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"4. Jeżeli zdający w wyniku błędów otrzyma w II etapie nierówność z niewiadomą m stopnia\ndrugiego z ujemnym wyróżnikiem lub nierówność liniową, to może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (3 pkt)\nUdowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"5. W przypadku, gdy zdający przyjmuje błędnie\n(\n)\n2\n6\nm\nΔ =\ni konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\nZadanie 4. (0-6)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym\n(5.c).\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje układy równań,\nprowadzące do równań kwadratowych (3.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nOznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Skoro suma wyrazów ciągu arytmetycznego\njest równa 27, to\n27\nb\nr\nb\nb\nr\n, a stąd\n9\nb =\n. Wówczas ciąg geometryczny\n(\n)\n7\n,9, 2\n19\nr\nr\nspełnia warunek\n(\n) (\n)\n81\n7\n2\n19\nr\nr\n⋅\n. Równanie to ma dwa rozwiązania\n4\nr =\ni\n13\n2\nr = -\nW pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny (\n)\n5,9,13 , a w drugim przypadku\nciąg arytmetyczny 31\n5\n,9,\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nII sposób\nLiczby a, b, c są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego,\nzatem\n2\na\nc\nb\n. Suma liczb a, b, c równa 27, stąd\n27\na\nb\nc\n. Ciąg (\n)\n2, , 2\n1\na\nb\nc\njest\ngeometryczny, zatem\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\nZapisujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:\n(\n) (\n)\n2\n2\n27\n2\n2\n1\na\nc\nb\na\nb\nc\nb\na\nc\n\n\n+\n\n\n⋅\n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n2\na\nc\nb\n, podstawiamy do drugiego równania\ni otrzymujemy\n9\nb =\nDo trzeciego równania podstawiamy\n9\nb =\ni\n2\na\nb\nc\n- i otrzymujemy równanie kwadratowe:\n2\n2\n31\n65\n0\nc\nc\n. Równanie to ma dwa rozwiązania:\n5\n2\nc =\noraz\n13\nc =\n. W pierwszym\nprzypadku otrzymujemy:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\na w drugim przypadku otrzymujemy:\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nIII sposób\nNiech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego, natomiast\n2\na -\npierwszy wyraz tego ciągu.\nWtedy\n(\n)\n2\nb\na\nq\ni\n(\n)\n2\n2\n1\n2\nc\na\nq\n. Z ostatniej zależności otrzymujemy\n(\n)\n2\n2\n1\n2\na\nq\nc\nPonieważ suma liczb a, b , c jest równa 27, więc możemy zapisać równość\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n27\n2\na\nq\na\na\nq\nZ własności ciągu arytmetycznego wynika równanie\n2\na\nc\nb\n,\nktóre możemy zapisać w postaci\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n4\na\na\nq\na\nq\nOtrzymaliśmy zatem układ równań z niewiadomymi a i q:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n55\na\na\nq\na\nq\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n2\n2\n2\n1\na\nq\na\na\nq\nTen układ jest równoważny układowi\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n51\na\na\nq\na\nq\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n2\n2\n3\na\na\nq\na\nq\nPo wyłączeniu czynnika (\n)\n2\na -\nkażde z równań przyjmuje postać\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n51\na\nq\nq\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n4\n3\na\nq\nq\nZatem\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3 2\n2\n51\n2\n4\nq\nq\nq\nq\n,\nskąd otrzymujemy równanie kwadratowe\n2\n3\n11\n6\n0\nq\nq\nTo równanie ma dwa rozwiązania\n3\nq = ,\n2\n3\nq =\nJeśli\n3\nq = , to\n5\na =\n,\n9\nb =\ni\n13\nc =\n. Jeżeli natomiast\n2\n3\nq =\n, to\n31\n2\na =\n,\n9\nb =\ni\n5\n2\nc =\nSchemat punktowania\nI sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający uzależni wartości dwie spośród liczb a, b, c od trzeciej z liczb i od różnicy r ciągu\narytmetycznego, np.: a\nb\nr\n- i c\nb\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze równania wynikające z własności ciągu arytmetycznego i z własności ciągu\ngeometrycznego, np.: a\nb\nr\n-, c\nb\nr\n+ ,\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z własności ciągu\ngeometrycznego, np.:\n(\n)(\n)\n81\n7\n2\n19\nr\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\noraz\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze jedno z równań:\n2\na\nc\nb\n,\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:\n(\n) (\n)\n2\n2\n27\n2\n2\n1\na\nc\nb\na\nb\nc\nb\na\nc\n\n\n+\n\n\n⋅\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n2\n2\n31\n16\n81\nc\nc\ni na tym\nzakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\noraz\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od jednej z liczb\ni ilorazu ciągu geometrycznego, np.\n2\na -\n,\n(\n)\n2\nb\na\nq\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n2\na\nq\nc\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n27\n2\na\nq\na\na\nq\ni (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n4\na\na\nq\na\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3 2\n2\n51\n2\n4\nq\nq\nq\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a , b i c w jednym z możliwych przypadków.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający zapisze dwa zestawy liczb spełniające warunki zadania:\n5\na =\n,\n9\nb =\ni\n13\nc =\noraz\n31\n2\na =\n,\n9\nb =\ni\n5\n2\nc =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu\ngeometrycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający odgadnie jeden zestaw liczb a, b, c, także ze sprawdzeniem warunków\nzadania, to otrzymuje 0 punktów.\nZadanie 5. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami\nskróconego mnożenia: (a ± b)2, (a ± b)3, a2 - b2, a3 ± b3 oraz dodaje,\nodejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne (2.a, 2.f).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy nierówność równoważnie:\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n2\n4\n2\n0\nx y\nxy\nx\nxy\ny\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\nxy\ny\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\ny\n>\nPonieważ x\ny\n≠\n, więc (\n)\n2\n0\nx\ny\n>\n. Zatem lewa strona tej nierówności jest sumą liczby\nnieujemnej (\n)\n2\n2\nxy -\noraz liczby dodatniej (\n)\n2\n2 x\ny\n, a więc jest dodatnia.\nTo kończy dowód.\nII sposób\nZapiszmy nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nw postaci równoważnej\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n0\n⋅+\n>\ny\nx\ny x\ny\nPonieważ\n2\n2\n0\n>\ny\ndla każdej liczby rzeczywistej y, więc możemy potraktować tę\nnierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x i parametrem y (lub z niewiadomą y\ni parametrem x). Wystarczy więc wykazać, że wyróżnik trójmianu kwadratowego\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n⋅+\ny\nx\ny x\ny\nzmiennej x jest ujemny.\n(\n)\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nΔ\n8\n4\n2\n2\n4\n64\n8\n2\n-⋅\n⋅\ny\ny\ny\ny\ny\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n2\n4\n2\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nW trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz\nABC\nβ\n\n. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E.\nWykaż, że długość odcinka BE jest równa\n2\ncos 2\nac\na\nc\nβ\n⋅\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"2\nx ≤\n6\n4\nx ≤\n16","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nOblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast\nwystępują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa 30.\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"7. Planimetria. Zdający stosuje własności figur podobnych\ni jednokładnych w zadaniach, także umieszczonych w kontekście\npraktycznym oraz znajduje związki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów (R7.c,\nR7.d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPole trójkąta ABC jest równe\n1\nsin\n2\n⋅⋅\nβ\nABC\nP\na c\nPola trójkątów ABE i CBE są równe\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nABE\nP\nd c\noraz\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nCBE\nP\nd a\nSuma pól trójkątów ABE i CBE jest równa polu trójkąta ABC, zatem\n1\n1\n1\nsin\nsin\nsin\n2\n2\n2\n2\n2\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\nβ\nβ\nβ\na c\nd c\nd a\nA\nB\nC\nE\na\nc\nd\n2\nβ\n2\nβ\nStąd\n(\n)\n2sin\ncos\nsin\n2\n2\n2\n⋅⋅\n⋅\n⋅\nβ\nβ\nβ\na c\nd\na\nc\n,\n(\n)\n2\ncos 2\n⋅\n⋅\nβ\nac\nd\na\nc ,\n2\ncos 2\n⋅\nβ\nac\nd\na\nc\nTo kończy dowód.\nII sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nZ twierdzenia o dwusiecznej otrzymujemy\nCE\nCB\nAE\nAB , czyli\ny\na\nx\nc .\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABE i CBE otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\ncos 2\nx\nc\nd\ncd\nβ\noraz\n2\n2\n2\n2\ncos 2\ny\na\nd\nad\nβ\nZatem\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n2\ncos\na\nd\nad\na\ny\nc\nx\nc\nd\ncd\nβ\nβ\nStąd otrzymujemy\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n2\ncos\na\nc\nd\ncd\nc\na\nd\nad\nβ\nβ\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n2\ncos\na c\na d\na cd\na c\nc d\nac d\nβ\nβ\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n2\ncos\na d\nc d\na cd\nac d\nβ\nβ\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\ncos\na\nc\nd\na\nc ac\nβ\nA\nB\nC\nE\na\nc\nd\n2\nβ\n2\nβ\nx\ny\nGdy a\nc\n, wówczas trójkąt ABC jest równoramienny, więc trójkąty ABE i CBE są\nprostokątne i przystające. Wtedy\n2\ncos\nd\nc\nβ =\n, skąd\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\ncos\ncos\n2\nc\nac\nd\nc\nc\na\nc\nβ\nβ\nβ\nGdy zaś a\nc\n≠\n, to (\n)(\n)\n0\na\nc\na\nc\n≠\n, czyli\n2\n2\n0\na\nc\n≠\n, więc\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\ncos\na\nc\nac\nd\nac\na\nc\na\nc\nβ\nβ\nTo kończy dowód.\nIII sposób\nPoprowadźmy wysokości CG i EF trójkątów ABC i ABE. Ponieważ trójkąt ABC jest\nostrokątny, więc spodki F i G tych wysokości leżą na boku AB trójkąta ABC. Pozostałe\noznaczenia przyjmijmy jak na rysunku.\nZ twierdzenia o dwusiecznej otrzymujemy\nCE\nCB\nAE\nAB , czyli\ny\na\nx\nc .\nZ trójkątów BEF i BCG otrzymujemy\nsin 2\nβ\np\nd\noraz\nsin\nβ\nh\na\nStąd\nsin 2\nβ\np\nd\noraz\nsin\nβ\nh\na\nTrójkąty AFE i AGC są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołku A. Zatem\nEF\nCG\nAE\nAC , czyli\np\nh\nx\nx\ny .\nA\nB\nC\nE\na\nc\nd\n2\nβ\n2\nβ\nF\nG\np\nh\nx\ny\nStąd i z poprzednio otrzymanych równości otrzymujemy kolejno\nsin\nsin\n2 =\nβ\nβ\nd\na\nx\nx\ny ,\n2sin\ncos\n2\n2\nsin 2\n1\na\nd\ny\nx\nβ\nβ\nβ\n⋅\n,\n2\ncos\n2\ncos\n2\n2\n1\n⋅\n⋅\nβ\nβ\na\nac\nd\na\na\nc\nc\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania\nI sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający\n• zapisze pola każdego z trójkątów ABC, ABE i CBE w zależności od długości a, c, d i kąta\nβ :\n1\nsin\n2\n⋅⋅\nβ\nABC\nP\na c\n,\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nABE\nP\nd c\n,\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nCBE\nP\nd a\nalbo\n• zapisze, że pole trójkąta ABC jest sumą pól trójkątów ABE i CBE oraz zapisze jedno\nz tych pól:\n1\nsin\n2\n⋅⋅\nβ\nABC\nP\na c\nlub\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nABE\nP\nd c\nlub\n1\nsin\n2\n2\n⋅⋅\nβ\nCBE\nP\nd a\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze zależność między polem trójkąta ABC i polami trójkątów ABE i CBE\nw postaci, w której występują jedynie wielkości a, c, d i β , np.:\n1\n1\n1\nsin\nsin\nsin\n2\n2\n2\n2\n2\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\nβ\nβ\nβ\na c\nd c\nd a\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający zapisze zależności między wielkościami x, y, d, a i c oraz kątem β :\ny\na\nx\nc ,\n2\n2\n2\n2\ncos 2\nx\nc\nd\ncd\nβ\n,\n2\n2\n2\n2\ncos 2\ny\na\nd\nad\nβ\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze równanie, np.:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n2\ncos\na\nd\nad\na\nc\nc\nd\ncd\nβ\nβ\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający nie rozważy sytuacji gdy a\nc\n, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający zapisze\n• zależność między wielkościami x, y, a i c oraz zależności między wielkościami p, h i a\noraz kątem β :\ny\na\nx\nc ,\nsin 2\nβ\np\nd\n,\nsin\nβ\nh\na\nalbo\n• zależność między wielkościami x, y, a i c oraz zależności między wielkościami\np, h, x i y oraz kątem β :\ny\na\nx\nc ,\np\nh\nx\nx\ny\nalbo\n• zależność między wielkościami p, h i a oraz kątem β oraz zależność między\nwielkościami x, y, a i c:\nsin 2\nβ\np\nd\n,\nsin\nβ\nh\na\n,\ny\na\nx\nc .\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze wystarczającą liczbę zależności między wielkościami x, y, a, c, p i h oraz\nkątem β , pozwalającą wyznaczyć d w zależności od wielkości a, c i kąta β , np.:\ny\na\nx\nc ,\nsin\nsin\n2 =\nβ\nβ\nd\na\nx\nx\ny .\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZadanie 7. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów\nw sytuacjach kombinatorycznych (R10).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWybieramy miejsce dla dziewiątek. Jest 6\n15\n2\n=\n\n\ntakich miejsc.\nSzóstka może wystąpić na jednym z pozostałych 4 miejsc.\nNa pozostałych trzech miejscach mają wystąpić trzy cyfry, których suma ma być\nrówna30\n2 9\n6\n6\n-⋅-\nMamy następujące możliwości:\n1, 2, 3 i na trzech miejscach te cyfry możemy ustawić na 3!\n6\nsposobów,\n1, 1, 4 i na trzech miejscach te cyfry możemy ustawić na 3\n1\n3\n2\n1\n=\n\n\nsposoby,\n2, 2, 2 i na trzech miejscach te cyfry możemy ustawić na 3\n1\n3\n=\n\n\nsposób.\nŁącznie, pozostałe trzy cyfry na pozostałych trzech miejscach, możemy ustawić na 10\nsposobów.\nStosując regułę mnożenia zapisujemy, że liczba liczb opisanych w treści zadania jest równa","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (3 pkt)\nW dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku: 2 kule białe\ni 3 kule czerwone, a w drugim pudełku: 1 kulę białą i 4 kule czerwone. Z pierwszego pudełka\nlosujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie\nlosujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli\nbiałej z drugiego pudełka.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\n8.\nMaks. liczba pkt\n4\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"8 8\n4\n4\n8\n4\n4\n8\n2\ny\ny\ny\ny\ny\ny\nDla każdej liczby rzeczywistej y, takiej, że\n2\n2\n≠\ny\nwyróżnik jest ujemy. Gdy\n2\n2\ny\n, to\nwówczas nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nma postać\n2\n4\n8 2\n8\n0\n>\nx\nx\nlub\n2\n4\n8 2\n8\n0\n>\nx\nx\n2\n2 2\n2\n0\n>\nx\nx\nlub\n2\n2 2\n2\n0\n>\nx\nx\n,\n(\n)\n2\n2\n0\n>\nx\nlub (\n)\n2\n2\n0\n>\nx\nPonieważ z założenia wynika, że\n≠\nx\ny , więc\n2\n2\n≠\nx\n, a to oznacza, że każda z otrzymanych\nnierówności jest prawdziwa.\nTo kończy dowód.\nIII sposób\nRozpatrzmy nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nw trzech przypadkach.\nI. Gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, np. gdy\n0\nx\n. Wtedy nierówność\nprzyjmuje postać\n2\n2\n4\n0\n>\ny\nTa nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej y.\nII. Gdy żadna z liczb x, y nie jest równa 0 i gdy\n0\n<\nxy\n. Wtedy po lewej stronie nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nwszystkie składniki są dodatnie, więc nierówność jest\nprawdziwa.\nIII. Gdy żadna z liczb x, y nie jest równa 0 i gdy\n0\n>\nxy\n. Wtedy, dzieląc obie strony\nnierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nprzez xy , otrzymujemy nierówność równoważną\n4\n2\n2\n8\n0\n>\nx\ny\nxy\ny\nx\nxy\n,\n4\n2\n8\n0\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\n,\n4\n4\n2\n2\n0\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\n,\n2\n2\n2\n2\n0\n\n\n\n\n\n\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\nPonieważ z założenia\n≠\nx\ny , więc\n1\n≠\nx\ny\n, zatem\n≠\nx\ny\ny\nx\n, co oznacza, że\n2\n0\n\n\n\n\n>\n\n\n\n\nx\ny\ny\nx\nStąd i z tego, że\n2\n2\n0\n\n\n\n\n≥\n\n\n\n\nxy\nxy\nwynika prawdziwość otrzymanej nierówności.\nTo kończy dowód.\nIV sposób\nI. Gdy\n0\nxy ≤\n, to wtedy po lewej stronie nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\ncztery\npierwsze składniki są nieujemne, piąty jest dodatni, więc nierówność jest prawdziwa.\nII. Gdy\n0\nxy >\n, wtedy z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla liczb\ndodatnich\n2\n2\nx y ,\n2\n2x ,\n2\n2y i 4 otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\n4\n2\n2\n4\n2\n2\n4\n16\n2\n4\nx y\nx\ny\nx y\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n⋅\n⋅\n⋅\n,\nskąd\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n8\nx y\nx\ny\nxy\n≥\nRówność miałaby miejsce tylko wtedy, gdyby\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\nx y\nx\ny\n, a więc gdyby\n2\n2\nx\ny\n,\nco wobec nierówności\n0\nxy >\noznaczałoby x\ny\n, co jest sprzeczne z założeniem . Zatem\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n8\nx y\nx\ny\nxy\n>\n,\nczyli\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania\nI sposób rozwiązania\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\ny\n>\ni na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie, uwzględniające założenie, że x\ny\n≠\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci (\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n0\n⋅+\n>\ny\nx\ny x\ny\ni obliczy wyróżnik\ntrójmianu kwadratowego (\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n⋅+\ny\nx\ny x\ny\n, np.:\n(\n)\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\nΔ\n8\n4\n2\n2\n4\ny\ny\ny\n-⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający uzasadni, że wyróżnik\n(\n)\n2\n2\nΔ\n8\n2\ny\njest niedodatni dla każdej liczby\nrzeczywistej y, ale nie rozpatrzy przypadku, gdy\n2\n2\ny\ni na tym zakończy lub dalej popełnia\nbłędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający wykaże prawdziwość nierówności w I i w II przypadku i na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci\n4\n2\n8\n0\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\nw przypadku, gdy\n0\n>\nxy\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIV sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający wykaże prawdziwość nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nw I przypadku i na\ntym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający uzasadni, że gdy\n0\nxy >\n, to prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n4\nx y\nx\ny\nxy\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZadanie 6. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (6 pkt)\nW trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień\nokręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień\nokręgu opisanego na tym trójkącie.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"b\n15\n, 9\n\na\n10\n4\na\n15\n\na\n5","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (6 pkt)\nPrzekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka\ntworzą z jego podstawą kąty o miarach 3\nπ i α . Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest\nrówny 4\n6 . Wyznacz miarę kąta α .\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna\ndefinicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw\nzdarzeń (10.d).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRysujemy drzewo odzwierciedlające etapy doświadczenia.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A (wylosowanie kuli białej z drugiego pudełka) jest więc\nrówne\n( )\n30\n7\n30\n3\n30\n4\n6\n1\n5\n3\n6\n2\n5\n2\n⋅\n⋅\nA\nP\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1p.\nZdający narysuje drzewo wraz z opisem prawdopodobieństw na pierwszym etapie\ndoświadczenia i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający narysuje drzewo wraz z opisem prawdopodobieństw na wszystkich istotnych\ngałęziach i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nC\nB\nB\nB\nC\nC\n5\n2\n5\n3\n6\n2\n6\n4\n6\n1\n6\n5\nE\nD\nC\nB\nA\nS\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka: 30\n7 .\nUwaga\nJeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n1\n)\n(\n>\nA\nP\nlub\n0\n)\n(\n<\nA\nP\n, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nZadanie 9. (0-6)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje własności figur podobnych\ni jednokładnych w zadaniach, także umieszczonych w kontekście\npraktycznym (R7.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nOznaczmy przez S środek okręgu wpisanego w trójkąt, wysokość\n36\nCE =\noraz promień\nokręgu wpisanego\n10\nES\nDS\nZ twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka DC:\n2\n2\n24\nDC\nCS\nDS\nTrójkąty AEC i SDC są podobne. Obydwa są prostokątne i mają jeden kąt wspólny.\nOtrzymujemy równanie 36\n24\n10\nAE =\n. Stąd\n15\nAE =\n. Z twierdzenia o odcinkach stycznych\nwiemy, że\n15\nAD\nAE\n. Długości boków tego trójkąta są zatem równe:\n30\nAB =\n,\n39\nAC\nBC\nNastępnie obliczmy pole trójkąta.\n1\n1 30 36\n540\n2\n2\nP\nAB\nCE\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nPromień okręgu opisanego na trójkącie obliczymy korzystając ze wzoru\n4\nAB\nBC\nCA\nP\nR\n⋅\n⋅\n⋅\n:","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nWyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty\n(\n)\n5, 3\nA = -\ni\n(\n)\n0, 6\nB =\n, którego\nśrodek leży na prostej o równaniu\n3\n1\n0\nx\ny\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}