{"paper":{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":17,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"1","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDane są liczby\nlog\na\n5\n3\n,\nlog\nb\n7\n5\n,\nlog\nc\n3\n7\n. Iloczyn abc jest równy\nA. 1\nB. 3\nC. 5\nD. 7","answer":"A","answer_text":"1 dla k\n1\n2 i zapisze, że suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa\nS\nk\nk\n1\n1\n1\na\nk\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy zdający poda rozwiązanie k\n5\nZadanie 10. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający:\n5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę\nsinusów i cosinusów kątów;\n6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu\nsin x\n2\n2\n1\n, sin\ncos\nx\nx\n1\n2 +\n= , sin\ncos\nx\nx\n1\n= , cos x\n2\n2\n1\n1\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZauważmy, że cos\ncos\ncos\ncos\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n5\n7\n3\n. Zatem równanie możemy zapisać w postaci\nrównoważnej cos\ncos\ncos\nx\nx\nx\n7\n3\n7\n2\n1\n, czyli cos x\n2\n1\n3 =\nStąd otrzymujemy\nx\nk\n3\n3\n2\nr\nr\nlub x\nk\n3\n3\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\nczyli\nx\nk\n9\n3\n2\nr\nr\nlub x\nk\n9\n3\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nZatem w przedziale\n,0 r mamy następujące rozwiązania tego równania: x\n9\nr\n, x\n9\n5r\n, x\n9\n7r\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający zapisze, że cos\ncos\ncos\ncos\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n5\n7\n3\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający zapisze równanie w postaci równoważnej cos x\n2\n1\n3 =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x\n2\n1\n3 =\nw zbiorze liczb rzeczywistych:\nx\nk\n2\n9\n3\nr\nr\nlub x\nk\n2\n9\n3\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x\n2\n1\n3 =\nw przedziale\n,0 r : x\n9\nr\n, x\n9\n5r\n,\nx\n9\n7r\n5 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nII sposób\nZauważmy, że\ncos\ncos\ncos\ncos\nsin\nsin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n7\n5\n2\n5\n2\n5\n2\nh\n. Zatem równanie możemy zapisać\nw postaci równoważnej\ncos\ncos\ncos\ncos\nsin\nsin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n5\n5\n2\n2\n1\n2\n5\n2\nStąd\ncos\ncos\nsin\nsin\nx\nx\nx\nx\n5\n5\n2\n2\n1\n2\nZe wzoru na cosinus różnicy kątów otrzymujemy\ncos\nx\nx\n5\n2\n2\n1\nh\n,\nczyli\ncos x\n3\n2\n1\nStąd otrzymujemy\nx\nk\n3\n3\n2\nr\nr\nlub x\nk\n3\n3\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\nczyli\nx\nk\n9\n3\n2\nr\nr\nlub x\nk\n9\n3\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nZatem w przedziale\n,0 r mamy następujące rozwiązania tego równania: x\n9\nr\n, x\n9\n5r\n, x\n9\n7r\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający zapisze równanie w postaci cos\ncos\nsin\nsin\nx\nx\nx\nx\n5\n2\n2\n1\n5\n2\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający zapisze równanie w postaci równoważnej cos x\n3\n2\n1\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x\n3\n2\n1\nw zbiorze liczb rzeczywistych:\nx\nk\n9\n3\n2\nr\nr\nlub x\nk\n9\n3\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x\n3\n2\n1\nw przedziale\n,0 r : x\n9\nr\n, x\n9\n5r\n,\nx\n9\n7r\nZadanie 11. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n3.2. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe\nz parametrem.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:\n(\n(\n))\n(\n)\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\n4\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"2","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nCiąg (an) jest określony następująco: a\n2\n3\n1\n100\nj\noraz a\na\n3\n2\nn\nn\n1\n$\nj\ndla n\n1\nH . Wówczas\nA. a\n1\n99 =\nB. a\n1\n100 =\nC. a\n1\n101 =\nD. a\n1\n102 =","answer":"C","answer_text":"2 , co wynika z założenia, więc q\n1\n1 . To znaczy, że istnieje skończona suma wszystkich\nwyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) i jest równa S\nk\nk\nk\n1\n1\n1\n2\na\nk\nOtrzymujemy równanie k\n5\n2 = , którego jedynym rozwiązaniem większym od 1 jest liczba 5.\n4 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy sprawdzi, że q\n1","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"3","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nRównanie x\nx\nx\n0\n5\n3\nA. nie ma rozwiązań rzeczywistych.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nC. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.\nD. ma dokładnie pięć rozwiązań rzeczywistych.","answer":"B","answer_text":"3 5\n!^\nh.\nZatem funkcja V jest w przedziale\n,0 3\nrosnąca, a w przedziale\n,3 5h malejąca. Wynika stąd, że dla\nx=3 funkcja V ma maksimum lokalne, które jest jednocześnie jej największą wartością.\nGdy x=3, to wtedy x+3=6 oraz h=10-2x=4. Objętość prostopadłościanu jest wtedy równa\n( )\nV\n3\n3 6 4\n72\nmax\n$\n$\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap składa się z trzech części:\na) wprowadzenie oznaczeń, np. x, x+3, h, oraz zapisanie równania wynikającego z warunków\nzadania: 2x+h=10,\nb) zapisanie objętości prostopadłościanu jako funkcji zmiennej x:\nV(x)=x(x+3)(10-2x)=-2x3+4x2+30x,\nc) określenie dziedziny funkcji V:\nx\n0\n5\n1\n1 .\nZa każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie, przy czym jeśli zdający od razu zapisze\nobjętość prostopadłościanu w zależności od zmiennej x, to otrzymuje punkt za część a) i punkt za\nczęść b).\nDrugi etap składa się z trzech części:\na) wyznaczenie pochodnej funkcji V: '\nV x\nx\nx\n6\n8\n30\n2\n^ h\n,\nb) obliczenie miejsca zerowego pochodnej: x=3,\nc) wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji V i uzasadnienie, że dla x = 3 funkcja V osiąga\nnajwiększą wartość.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część\netapu została zrealizowana bezbłędnie.\nTrzeci etap.\nObliczenie objętości prostopadłościanu o największej objętości: V\n72\nmax =\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n18 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"4","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nWartość wyrażenia cos\n2\n15\n1\n°\n2\n- jest równa\nA.\n2\n3\nB.\n2\n1\nC. 2\n2\nD. 2\n3","answer":"D","answer_text":"4 1\n4\n4\n3\n16\n16\n4\n16\n16\n12\n16\n0\n>\n2\n2\n2\n2\n$\n$\nD = -\n6 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nZatem dla każdej wartości parametru m funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe:\nx\nm\nm\nm\n2 1\n4\n2\n4\n2\n4\n2\n2\n1\n1\n$\nhh\n, x\nm\nm\nm\n2 1\n4\n2\n4\n2\n4\n6\n2\n3\n2\n$\nhh\nWarunek x1+x2 = |x1-x2| możemy więc zapisać w następujący sposób:\n(2m-1)+(2m+3) = |(2m-1)-(2m+3)|, przy czym x\nx\n0\n1\n2 H\n, czyli m\n2\n1\nH-\n4m+2=|2m-1-2m-3|,\n4m+2=|-4|,\n4m+2=4,\nm\n2\n1\nUwaga\nMiejsca zerowe funkcji kwadratowej f(x)=x2-(4m+2) x+4m2+4m-3 możemy też wyznaczyć,\nprzekształcając ją do postaci iloczynowej:\nf(x)=x2-2(2m +1)x+(2m+1)2-4,\nf(x)=(x-(2m+1))2-4,\nf(x)=(x-2m-1-2)(x-2m-1+2),\nf(x)=(x-2m-3)(x-2m+1), więc\nx1 =2m+3, x2 =2m-1.\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego i stwierdzi, że dla każdej wartości parametru m\nistnieją dwa różne miejsca zerowe funkcji f.\nRozwiązanie, w którym jest istotnym postęp\n2 pkt\nZdający wyznaczy miejsca zerowe w zależności od parametru m: x=2m+3, x=2m-1.\nPokonanie zasadniczych trudności\n3 pkt\nZdający zapisze warunek 2m+3+2m-1=|2m+3-(2m-1)|\nlub 2m+3+2m-1=|2m-1-(2m+3)|\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający rozwiąże równanie i zapisze wynik m\n2\n1\nII sposób\nFunkcja kwadratowa f ma dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik trójmianu\nx2-(4m+2)x+4m2+4m-3 jest dodatni. Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru m spełniona\njest nierówność\n0\n>\nD\n:\n(\n(\n))\n(\n)\nm\nm\nm\n4\n2\n4 1\n4\n4\n3\n0\n>\n2\n2\n$\n$\n,\n16m2+16m + 4-16m2-16m+12 > 0,\n16 > 0,\nco jest prawdą dla każdej rzeczywistej wartości parametru m.\nZapiszemy teraz warunek x1+x2 = |x1-x2|, korzystając z wzorów Viète’a:\nm\nx\nx\n1\n4\n2\n1\n2\nh\n7 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPonieważ |x1 - x2| H 0, więc aby zachodziła równość, musi być spełniony warunek:\nm\n1\n4\n2\n0\nH\nh\n,\nczyli m\n4\n2\n0\nH\nZatem m\n2\n1\nH-\nPonieważ dla m\n2\n1\nH-\nprawdziwa jest nierówność x1+x2 H 0, więc można bez utraty równoważności\npodnieść obie strony równania x1+x2=|x1-x2| do kwadratu:\nx\nx\nx\nx\n1\n2\n2\n1\n2\n2\nh\nh ,\nx\nx x\nx\nx\nx x\nx\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n,\nx x\n4\n0\n1\n2 = ,\nx x\n0\n1\n2 = .\nZe wzorów Viète’a otrzymujemy:\nm\nm\n1\n4\n4\n3\n0\n2 +\n= ,\n4m2+4m-3=0,\n4m2+4m+1-4=0,\n(2m+1)2-4=0,\n(2m+1- 2)(2m+1+2)=0,\n(2m -1)(2m+ 3)=0,\n2m-1=0 lub 2m+3=0,\nm= 2\n1 lub m=\n2\n3\nTylko pierwsza z tych liczb spełnia warunek m\n2\n1\nH-\n. Zatem tylko dla m\n2\n1\nspełnione są warunki\nzadania.\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego i stwierdzi, że dla każdej wartości parametru m\nistnieją dwa różne miejsca zerowe funkcji f.\nRozwiązanie, w którym jest istotnym postęp\n2 pkt\nZdający zapisze warunek x\nx\nx\nx\n1\n2\n1\n2\nw postaci równoważnej: x\nx\n0\n1\n2 H\ni x\nx\nx\nx\n1\n2\n2\n1\n2\n2\nh\nh .\nPokonanie zasadniczych trudności\n3 pkt\nZdający\nskorzysta dwukrotnie ze wzorów Viète’a, zapisze nierówność\nm\n1\n4\n2\n0\nH\nh\noraz równanie\nm\nm\n1\n4\n4\n3\n0\n2 +\n= , a następnie każde z nich rozwiąże (nierówność: m\n2\n1\nH-\n, równanie: m\n2\n1\nlub m\n2\n3\n).\nalbo\nskorzysta dwukrotnie ze wzorów Viète’a, zapisze nierówność\nm\n1\n4\n2\n0\nH\nh\noraz równanie\nm\nm\n1\n4\n4\n3\n0\n2 +\n= , a następnie napisze, że rozwiązaniem jest część wspólna rozwiązania\nnierówności i rozwiązania równania.\n8 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający poda wynik m\n2\n1\nIII sposób\nPrzypuśćmy, że istnieje taka wartość parametru m, dla której funkcja\nf(x)=x2-(4m+2) x+4m2+4m-3 ma dwa różne miejsca zerowe x1, x2 spełniające warunek\nx1+x2=|x1-x2|.\nPo podniesieniu obu stron tej równości do kwadratu otrzymujemy:\n(x1+x2)2=(x1-x2)2,\nx\nx x\nx\nx\nx x\nx\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n,\n4x1x2=0,\nx1x2=0.\nZe wzorów Viète’a otrzymujemy:\nm\nm\n1\n4\n4\n3\n0\n2 +\n= ,\n4m2+4m-3=0,\n4m2+4m+1-4=0,\n(2m+1)2-4=0,\n(2m+1- 2)(2m +1+2)=0,\n(2m -1)(2m + 3)=0,\n2m-1=0 lub 2m+3=0,\nm= 2\n1 lub m=\n2\n3\nPozostaje teraz tylko sprawdzić, czy dla wyznaczonych wartości parametru m spełnione są warunki zadania.\nGdy m = 2\n1 , to:\n( )\nf x\nx\nx\n4 2\n1\n2\n4\n2\n1\n4 2\n1\n3\n2\n2\n$\n$\n$\nj\nj\n, więc\nf(x)=x(x-4).\nZatem istnieją dwa różne miejsca zerowe: x1=0, x2=4. Spełniają one warunek x1 + x2= |x1 - x2|, gdyż\n0+4=|0-4|.\nGdy m =\n2\n3\n, to:\n( )\nf x\nx\nx\n4\n2\n3\n2\n4\n2\n3\n4\n2\n3\n3\n2\n$\n$\n$\nj\nj\nj\nj\n, więc\nf x\nx x\n4\nh\nh.\nZatem funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe: x1=0, x2=-4. Nie spełniają one jednak warunku\nx1 + x2= |x1 - x2|, gdyż 0\n4\n4\n0\n4\n4\n!\nh\nh\nZatem jest tylko jedna wartość parametru, m = 2\n1 , dla której spełnione są warunki zadania.\nSchemat punktowania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający stwierdzi, że jednym z miejsc zerowych funkcji f jest 0.\n9 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRozwiązanie, w którym jest istotnym postęp\n2 pkt\nZdający zapisze równanie wynikające ze wzoru Viète’a na x1 ∙ x2: m\nm\n1\n4\n4\n3\n0\n2 +\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający rozwiąże równanie m\nm\n1\n4\n4\n3\n0\n2 +\n= (m\n2\n1\nlub m\n2\n3\n).\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający sprawdzi oba przypadki rozwiązania równania i wyciągnie poprawne wnioski, że m\n2\n1\nspełnia warunek podany w zadaniu, a m\n2\n3\nnie spełnia tego warunku.\nZadanie 12. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nPOZIOM PODSTAWOWY\n2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)2 oraz a2 - b2\n(przeprowadza dowód algebraiczny).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcając nierówność w sposób równoważny, otrzymujemy:\nx\nxy\ny\nx\nxz\nz\ny\nzy\nz\nx\ny\nz\nxy\nxz\nyz\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nH\n,\nx\ny\nx\nz\ny\nz\nx\ny\nx\ny z\nz\n2\n0\n2\n2\n2\n2\n2 H\nh\nh\nh\nh\nh\n,\nx\ny\nx\nz\ny\nz\nx\ny\nz\n0\n2\n2\n2\n2 H\nh\nh\nh\nh\nTa nierówność jest prawdziwa, ponieważ jej lewa strona jest sumą czterech liczb nieujemnych, więc\njest nieujemna.\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n1 pkt\nZdający zapisze nierówność w postaci\nx\nxy\ny\nx\nxz\nz\ny\nzy\nz\nx\ny\nz\nxy\nxz\nyz\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nH\nalbo\nx\ny\nx\nz\ny\nz\nz\nx\ny\nxy\nxz\nyz\n0\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nH\nh\nh\nh\nalbo\nx\ny\nx\nz\ny\nz\nx\ny\nx\ny z\nz\n2\n0\n2\n2\n2\n2\n2 H\nh\nh\nh\nh\nh\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający zapisze nierówność w postaci\nx\ny\nx\nz\ny\nz\nx\ny\nz\n0\n2\n2\n2\n2 H\nh\nh\nh\nh\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nII sposób\nNierówność możemy zapisać w postaci równoważnej\n(\n)\nx\ny\nz x\ny\nz\nyz\n3\n4\n3\n3\n4\n0\n2\n2\n2\nH\nMożemy ją potraktować jak nierówność kwadratową z jedną niewiadomą x.\n10 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPonieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, więc wystarczy wykazać, że wyróżnik trójmianu stojącego\npo lewej stronie nierówności jest niedodatni.\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n(\n)\n)\n,\ny\nz\ny\nz\nyz\ny\nyz\nz\ny\ny\nyz\nz\nz\ny\ny\nz\nz\n16\n12 3\n3\n4\n4 5\n4\n5\n4 3\n2\n4\n2\n3\n4 3\n2\n3\n0\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2 G\nD =\ngdyż\n(\n)\ny\ny\nz\nz\n3\n2\n3\n0\n2\n2\n2 H\ndla dowolnych liczb rzeczywistych y, z.\nUwaga\nPrawdziwość nierówności\n0\nx G\nD\n, czyli\n(\n)\ny\nyz\nz\n4 5\n4\n5\n0\n2\n2 G\n, a więc y\nyz\nz\n5\n4\n5\n0\n2\n2 H\n, możemy\nwykazać też w inny sposób, np. zapisując ją w postaci równoważnej (\n)\ny\nz\ny\nz\n2\n4\n0\n2\n2\n2 H\n, której\nprawdziwość jest oczywista. Możemy też potraktować tę nierówność jak nierówność kwadratową\nz niewiadomą y. Wówczas\n(\n)z\nz\nz\n4\n4 5 5\n84\n0\ny\n2\n2\n2\n$\n$\nG\nD =\ndla każdej liczby rzeczywistej z. To, wraz\nz dodatnim znakiem współczynnika przy y2, oznacza prawdziwość tej nierówności.\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n1 pkt\nZdający uporządkuje wyrażenie jako trójmian kwadratowy np. zmiennej x:\n(\n)\nx\ny\nz x\ny\nz\nyz\n3\n4\n3\n3\n4\n0\n2\n2\n2\nH\ni obliczy wyróżnik tego trójmianu:\n(\n)\ny\nyz\nz\n4 5\n4\n5\nx\n2\n2\nD =-\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający uzasadni, że nierówność\n(\n)\ny\nyz\nz\n4 5\n4\n5\n0\n2\n2 G\njest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej\ny i każdej liczby rzeczywistej z poprzez\nzapisanie jej w postaci równoważnej (\n)\ny\nz\ny\nz\n2\n4\n0\n2\n2\n2 H\nalbo\nobliczenie wyróżnika\n(\n)z\nz\nz\n4\n4 5 5\n84\ny\n2\n2\n2\n$\n$\nD =\ntrójmianu y\nyz\nz\n5\n4\n5\n2\n2\ni stwierdzenie,\nże jest on niedodatni dla każdej liczby rzeczywistej z.\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZadanie 13. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10.2. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.\nPrzykładowe rozwiązanie\nA - zdarzenie polega na tym, że suma wyrzuconych oczek na wszystkich kostkach będzie parzysta\nB - zdarzenie polega na tym, że dokładnie na jednej kostce wypadnie 6 oczek\nZ definicji prawdopodobieństwa warunkowego\nP A B\nP B\nP A\nB\nB\nA\nB\nB\nA\nB\nX\nX\nh\nh\nh\nWystarczy więc obliczyć tylko A\nB\noraz B .\nObliczmy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu B.\nSześć oczek mogło wypaść na pierwszej, drugiej albo na trzeciej kostce, a na pozostałych dowolna\nliczba oczek oprócz sześciu. Mamy zatem: B\n3 5 5\n75\n$\n$\nmożliwości.\n11 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nObliczmy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A\nB\nNa dokładnie jednej kostce wypadło sześć oczek, więc na dwóch pozostałych muszą wypaść dwie\nparzyste (różne od sześciu) albo dwie nieparzyste liczby oczek.\nW pierwszym przypadku mamy 3 ∙ 2 ∙ 2 = 12 możliwości, a w drugim 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.\nWięc A\nB\n39\n12\n27\nZatem\n)\nP A B\n75\n39\n25\n13\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający\nobliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n63\nX =\nalbo\nopisze obie sytuacje, w których na jednej kostce wypadnie 6 oczek i suma oczek będzie parzysta.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający obliczy\nprawdopodobieństwo zdarzenia A\nB\n+ lub tylko A\nB\nalbo\nprawdopodobieństwo zdarzenia B lub tylko B .\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A\nB\n+ (lub tylko A\nB\n) oraz prawdopodobieństwo\nzdarzenia B (lub tylko B ).\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający obliczy prawdopodobieństwo warunkowe\n)\nP A B\n:\n)\nP A B\n75\n39\n25\n13\nZadanie 14. (0-4)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"5","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-1)\nOkrąg o środku\n,\nS\n1 2\nh jest styczny do prostej o równaniu x\ny\n3\n4\n5\n0\n= . Promień tego okręgu\njest równy\nA. 1\nB. 2\nC. 4\nD.16\nBRUDNOPIS\n\n3 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nUzyskana liczba pkt\n\n4 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nW zadaniu 6. zakoduj wynik w kratkach zamieszczonych pod poleceniem.\nW zadaniach 7.-17. rozwiązania zapisz w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"6","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nLiczby a i b spełniają warunki a\nb\n6\n= i a b\n2\n$\n= . Oblicz wartość wyrażenia a\nb\n3\n3\nWpisz w poniższe kratki kolejno: cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.\n\n5 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"7","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nOblicz lim\nn\nn\nn\n2\n2\n6\n3\n1\n2\n2\n2\nn\n\" 3 ^\nh\nh\nh .\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n6\n7\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n6 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":"B, C, D","answer_text":"7. Planimetria. Zdający:\n1) stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg\ni czworokąty opisane na okręgu;\n5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem\ntwierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nβ\nA\np\n24\n20\n15\n7\nB\nC\nD δ\n12 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPonieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, to\n180°\nb\nd\n- . Z twierdzenia cosinusów dla\ntrójkątów ACD i ABC otrzymujemy\ncos\np\n7\n15\n2 7 15\n2\n2\n2\n$\n$\n$\nd\noraz\n(\n)\ncos\np\n24\n20\n2 24 20\n180°\n2\n2\n2\n$\n$\n$\nd\nDrugą z tych równości możemy zapisać, korzystając ze wzoru redukcyjnego, w postaci\ncos\np\n24\n20\n2 24 20\n2\n2\n2\n$\n$\n$\nd\nPo pomnożeniu obu stron pierwszego równania przez 32, drugiego równania przez 7 i dodaniu\nstronami otrzymanych równań, otrzymujemy równanie\n39p2 = 15 600.\nStąd p = 20.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n1 pkt\nZdający wykorzysta twierdzenie o sumie przeciwległych kątów czworokąta wpisanego w okrąg.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający zapisze dwa równania wynikające z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABC i ACD:\ncos\np\n2\n7\n15\n7 15\n2\n2\n2\n$\n$\n$\nd\noraz\n(\n)\ncos\np\n24\n20\n2 24 20\n180°\n2\n2\n2\n$\n$\n$\nd\nRozwiązanie prawie pełne\n3 pkt\nZdający zapisze równanie, w którym jedyną niewiadomą jest długość przekątnej AC.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający wyznaczy długość przekątnej AC: p = 20.\nZadanie 15. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nPOZIOM PODSTAWOWY\n8.5. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza współrzędne środka odcinka.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nObliczmy współrzędne środka P odcinka MN:\n,\n,\nP\n2\n2\n9 3\n8\n10 1\n5\nj\nh.\nA\nB\nC\nD\nM\nN\nP\nS\n0\n-4\n-3\n-2\n-1\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9 10 11 12 13\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\nx\ny\n13 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOznaczmy współrzędne punktu\n,\nx\ny\nC\nC\nC\nh. Punkt S jest środkiem odcinka AC, więc\n,\nS\nx\ny\n2\n2\nC\nC\n= a\nk.\nPunkt P jest środkiem odcinka SC, więc\nx\nx\n2\n2\n9\nC\nC\n= oraz\ny\ny\n2\n2\n3\nC\nC\nStąd C = (12, 4).\nPunkt N jest środkiem odcinka CD, więc x\n2\n12\n10\nD +\noraz y\n2\n4\n5\nD +\n= . Stąd D = (8, 6).\nPunkt M jest środkiem odcinka CB, więc x\n2\n12\n8\nB +\n= oraz y\n2\n4\n1\nB +\n= . Stąd B = (4, -2).\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający\nzapisze, że środek P odcinka MN jest środkiem odcinka SC, gdzie S jest środkiem symetrii\nrównoległoboku ABCD\nalbo\nobliczy współrzędne środka P odcinka MN: P = (9, 3).\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający zapisze, że środek P odcinka MN jest środkiem odcinka SC, gdzie S jest środkiem symetrii\nrównoległoboku ABCD, oraz obliczy współrzędne środka P odcinka MN: P = (9, 3).\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający obliczy współrzędne wierzchołka C: C = (12, 4).\nRozwiązanie prawie pełne\n4 pkt\nZdający obliczy\nwspółrzędne wierzchołków B, C i D, popełniając w trakcie rozwiązania błąd rachunkowy\nalbo\ndwa z trzech szukanych wierzchołków równoległoboku.\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający obliczy współrzędne wierzchołków B, C, D: B = (4, -2), C = (12, 4), D = (8, 6).\nII sposób\nWspółrzędne punktów B, C i D możemy wyznaczyć, rozwiązując układ równań:\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\ny\ny\ny\ny\ny\ny\ny\n2\n8\n2\n10\n2\n1\n2\n5\nB\nC\nC\nD\nB\nD\nC\nB\nC\nC\nD\nB\nD\nC\nZ\n[\n]]]]]]]]]]]]]]]\n]]]]]]]]]]]]]]]","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"8","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-2)\nDana jest funkcja kwadratowa f x\nx\n120\n2\n^ h\n. Oblicz największą wartość funkcji kwadratowej g\nokreślonej wzorem g x\nf x\n2\n4\n6\n$\nh\nh\nOdpowiedź:\n\n7 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"9","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-2)\nW nieskończonym ciągu geometrycznym an\nh dane są: a\nk\n1 = , a\nk\n1\n2 =\n- , gdzie k\n1\n2 .\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 5. Oblicz k.\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n8\n9\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n8 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":7,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie cos\ncos\ncos\nx\nx\nx\n2\n2\n5\n7\n2\n1\nw przedziale\n,0 r .\n\n9 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n10\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n10 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa\nf x\nx\nm\nx\nm\nm\n4\n2\n4\n4\n3\n2\n2\nh\nh\nma dwa różne miejsca zerowe x1 i x2 spełniające warunek x\nx\nx\nx\n1\n2\n1\n2\n\n11 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n11\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-3)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y i z prawdziwa jest nierówność:\nx\ny\nz\nxy\nxz\nyz\n3\n3\n3\n4\n4\n4\n0\n2\n2\n2\nH\n\n13 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"27\n39","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-4)\nRzucamy trzema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo\nwarunkowe P(A|B), gdzie A to zdarzenie polegające na tym, że suma wyrzuconych oczek na wszystkich\nkostkach będzie parzysta, a B to zdarzenie, w którym dokładnie na jednej kostce wypadnie 6 oczek.\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n12\n13\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n14 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":13,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-4)\nCzworokąt ABCD o bokach długości |AB| = 24, |BC| = 20, |CD| = 15 i |AD| = 7 wpisano w okrąg.\nOblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.\n\n15 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n14\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n16 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":"B, C, D","answer_text":"14 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRozwiązaniami tego układu są:\nxB = 4\nxC = 12\nxD = 8\nyB = -2\nyC = 4\nyD = 6\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający zapisze\nrównanie x\nx\n2\n8\nB\nC\n= lub x\nx\n2\n10\nC\nD\nlub y\ny\n2\n1\nB\nC\n= lub y\ny\n2\n5\nC\nD\n= , czyli wykorzysta\nfakt, że punkty M i N są środkami odcinków BC i CD\nalbo\nzapisze równanie x\nx\nx\nB\nD\nC\nlub y\ny\ny\nB\nD\nC\n, czyli wykorzysta fakt, że\nC\nAC\nAB\nB\nAB\nAD\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający zapisze równanie x\nx\n2\n8\nB\nC\n= lub x\nx\n2\n10\nC\nD\nlub y\ny\n2\n1\nB\nC\n= lub y\ny\n2\n5\nC\nD\n= , czyli\nwykorzysta fakt, że punkty M i N są środkami odcinków BC i CD, oraz zapisze równanie x\nx\nx\nB\nD\nC\nlub y\ny\ny\nB\nD\nC\n, czyli wykorzysta fakt, że\nC\nAC\nAB\nB\nAB\nAD\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający zapisze wszystkie równania potrzebne do wyznaczenia współrzędnych\npunktów B, C i D, np.\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\ny\ny\ny\ny\ny\ny\ny\n2\n8\n2\n10\n2\n1\n2\n5\nB\nC\nC\nD\nB\nD\nC\nB\nC\nC\nD\nB\nD\nC\nZ\n[\n]]]]]]]]]]]]]]]\n]]]]]]]]]]]]]]]\nRozwiązanie prawie pełne\n4 pkt\nZdający obliczy współrzędne wierzchołków B, C i D, popełniając w trakcie rozwiązania błąd\nrachunkowy.\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający obliczy współrzędne wierzchołków B, C, D: B = (4, -2), C = (12, 4), D = (8, 6).","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"15","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-5)\nPunkt A = (0, 0) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Punkt M = (8, 1) jest środkiem\nboku BC, a punkt N = (10, 5) - środkiem boku CD tego równoległoboku. Oblicz współrzędne\nwierzchołków: B, C i D.\n\n17 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n15\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"15 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nZadanie 16. (0-6)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"16","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-6)\nKrawędź sześcianu ABCDEFGH ma długość 12. Na krawędziach AB i BC wybrano takie punkty X i Y,\nże |BX|=|BY|=8. Przekrój tego sześcianu płaszczyzną XYH jest pięciokątem HWXYZ (rysunek niżej).\nA\nW\nX\nY\nZ\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\nOblicz obwód tego pięciokąta.\n\n19 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n16\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n20 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":18,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"17","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie prostopadłościany spełniające jednocześnie dwa warunki:\nsuma długości wszystkich krawędzi jest równa 52,\npodstawą jest prostokąt o bokach x i x + 3.\nZapisz objętość takiego prostopadłościanu jako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji\ni oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest największa.\nOblicz tę objętość.\n\n21 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n17\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\n22 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":20,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}