{"paper":{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDla\n2\n1\n2\nx =\n+ oraz\n2\n1\ny =\n- wartość wyrażenia\n2\n2\n2\nx\nxy\ny\njest równa\nA. 4\nB. 1\nC.\n2\nD.\n1\n2\nDla x = √2/2 + 1 oraz y=√2-1 wartość wyrażenia x^2 - 2xy + y^2 jest równa A. 4, B. 1, C. √2, D. 1/√2.","answer":"A","answer_text":"1 =\nx\noraz\n2\n1\n2\nx\nalbo\nwyłączamy czynnik (\n)\nx\n1\nprzed nawias i zapisujemy lewą stronę nierówności w\npostaci\niloczynowej (\n)(\n)\n1\n2\n1\n0\nx\nx\n<\n, a następnie zapisujemy alternatywę dwóch układów\nnierówności\n1\n0\n2\n1\n0\nx\nx\n>\n\n\n+ <\n\nlub 1\n0\n2\n1\n0\nx\nx\n<\n\n\n+ >\n\ni równoważnie\n1\n1\n2\nx\nx\n<\n< -\n\nlub\n1\n1\n2\nx\nx\n>\n> -\n\nalbo\nzapisujemy lewą stronę nierówności w postaci\n2\n2\n1\n0\nx\nx\n+ <\nobliczamy wyróżnik\ntego trójmianu:\n(\n)\n9\n1\n2\n4\n1\n⋅\n⋅\nΔ\ni stąd\n1\n4\n3\n1\n1\nx\noraz\n2\n1\n4\n3\n1\n2\nx\nalbo\npodajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu\n1\n1 =\nx\n,\n2\n1\n2\nx\nlub\nzaznaczając je na wykresie.\nRealizacja drugiego etapu\nZapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:\n(\n)\n∞\n∪\n\n\n\n\n\n\n∞\n,1\n2\n1\n,\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n1 =\nx\n,\n2\n1\n2\nx\ni na tym\nzakończy\nlub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• zapisze alternatywę dwóch układów nierówności\n1\n1\n2\nx\nx\n<\n< -\n\nlub\n1\n1\n2\nx\nx\n>\n> -\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy,\nalbo\n• zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n(\n) (\n)\nx\nx\nx\nx\nf\n1\n1\n2\n)\n(\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nalbo\n• realizując pierwszy etap popełni błąd (ten sam błąd popełniony wielokrotnie\ntraktujemy jak jeden błąd), ale otrzyma dwa różne pierwiastki trójmianu\nkwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• zapisze zbiór rozwiązań nierówności:\n(\n)\n∞\n∪\n\n\n\n\n\n\n∞\n,1\n2\n1\n,\nlub\n(\n)\n1\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n,\nlub\n2\n1\n<\nx\nlub\n1\n>\nx\nalbo\n• sporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności w postaci:\n2\n1\n<\nx\n,\n1\n>\nx\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nZadanie 27. (0-2)\nWykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem\n( )\n2\nf\nx\nx\nbx\nc\n+ jest parabola, na\nktórej leży punkt\n(\n)\n0, 5\nA =\n. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu\n7\nx =\n. Oblicz\nwartości współczynników b i c.\nRozwiązanie (I sposób)\nPonieważ prosta o równaniu\n7\nx =\njest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f,\nwięc pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa 7, czyli\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\n7\n2\nb\na\n,\n7\n2\nb\nStąd\n14\nb = -\nWykres funkcji przechodzi przez punkt\n(\n)\n0, 5\nA =\n, więc wyraz wolny c we wzorze funkcji\njest równy\n5\nc = -.\nOdpowiedź. Wartości współczynników b i c są równe:\n14\nb = -\n,\n5\nc = -.\nRozwiązanie (II sposób)\nPonieważ prosta o równaniu\n7\nx =\njest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f,\nwięc wzór funkcji możemy zapisać w postaci kanonicznej\n( )\n(\n)\n2\n7\nf x\nx\nq\nPunkt\n(\n)\n0, 5\nA =\nleży na tym wykresie, wiec\n( )\n0\n5\nf\n= -, czyli\n(\n)\n2\n5\n0\n7\nq\n,\n5\n49\nq\n,\n54\nq = -\nZatem\n( )\n(\n)\n2\n7\n54\nf x\nx\n. Przekształcając tę postać kanoniczną do postaci ogólnej,\notrzymujemy\n( )\n2\n14\n49\n54\nf x\nx\nx\n,\n( )\n2\n14\n5\nf x\nx\nx\nOdpowiedź. Wartości współczynników b i c są równe:\n14\nb = -\n,\n5\nc = -.\nRozwiązanie (III sposób)\nPonieważ prosta o równaniu\n7\nx =\njest osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f,\nwięc jeśli punkt\n(\n)\n0, 5\nA =\nleży na tej paraboli, to jego obraz w symetrii osiowej względem\ntej prostej również leży na tej paraboli. Obrazem punktu\n(\n)\n0, 5\nA =\nw tej symetrii jest punkt\n(\n)\n14, 5\nA′ =\nZatem\n( )\n0\n5\nf\n= - i\n(\n)\n14\n5\nf\n= -, czyli\n2\n2\n0\n0\n5\n14\n14\n5\nb\nc\nb\nc\n\n⋅\n\n⋅\n\n,\n2\n5\n14\n14\n5\n5\nc\nb\n\n\n,\n2\n5\n14\n14\nc\nb\n\n\n,\n5\n14\nc\nb\n\n= -\n\nOdpowiedź. Wartości współczynników b i c są równe:\n14\nb = -\n,\n5\nc = -.\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• obliczy wartość współczynnika b:\n14\nb = -\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nalbo\n• obliczy lub poda wartość współczynnika c:\n5\nc = -\nalbo\n• zapisze układ równań z niewiadomymi b i c:\n2\n0\n0\n5\nb\nc\n⋅\n= - i\n2\n14\n14\n5\nb\nc\n+ ⋅\nalbo\n• zapisze wzór funkcji f w postaci\n( )\n(\n)\n2\n7\nf x\nx\nq\noraz równanie\n(\n)\n2\n5\n0\n7\nq\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy wartości współczynników b i c:\n14\nb = -\n,\n5\nc = -.\nZadanie 28. (0-2)\nWykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8\njest równa 6.\nRozwiązanie\nNiech n ,\n1\nn + ,\n2\nn +\n,\n3\nn + będą czterema kolejnymi liczbami naturalnymi. Sumujemy\nkwadraty tych liczb i odpowiednio tę sumę porządkujemy:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n3\n4\n12\n14\n4\n12\n8\n6\n4\n3\n2\n6\n4\n1\n2\n6\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nOczywiście liczba postaci (\n)(\n)\n4\n1\n2\nn\nn\njest podzielna przez 4 . Ponadto\n1\nn + i\n2\nn +\nto\ndwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich jest parzysta. Zatem iloczyn (\n)(\n)\n4\n1\n2\nn\nn\njest podzielny przez 4 i przez 2, czyli jest podzielny przez 8. Stąd wynika, że liczba\n(\n)(\n)\n4\n1\n2\n6\nn\nn\nprzy dzieleniu przez 8 daje resztę równą 6. To kończy dowód.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze sumę kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych w postaci:\n(\n)\n2\n4\n3\n2\n6\nn\nn\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość twierdzenia dla sumy kwadratów konkretnych czterech\nliczb naturalnych, to otrzymuje 0 punktów.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nZadanie 29. (0-2)\nDany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że\nDE\nEC\n2\n, a na boku AB wybrano taki punkt F, że BF\nDE\n. Niech P oznacza punkt\nprzecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są\nprzystające.\nRozwiązanie (I sposób) „cecha kąt-bok-kąt przystawania”\nDorysowujemy odcinek FG , taki że punkt G jest środkiem odcinka EC . Ponieważ\nDE\nEC\n2\n, więc otrzymujemy równość DE\nEG\nGC\nα\n\nA\nF\nE\nD\nC\nP\nB\nα\nα\nG\nA\nF\nE\nD\nC\nP\nB\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nZatem GC\nFB\n, a skoro\n90\nGCB\nFBC\n°\n\n\n, więc\n90\nFGC =\n°\n\n, skąd wynika, że\ntrójkąt FEG jest prostokątny.\nPonieważ\nAD\nFG\n,\n90\nADE\nFGE\n°\n\n\ni\nDE\nEG\n, więc z cechy bkb\nwnioskujemy, że trójkąty AED i FEG są przystające. Niech\nDAE\nα\n\n. Wtedy\nz przystawania tych trójkątów wnosimy, że\nEFG\nα\n\n. Ponieważ odcinki PC i FG są\nrównoległe, więc\nFPB\nEFG\nα\n\n\n(kąty odpowiadające).\nPonieważ\nFPB\nEFG\nα\n\n\nDE\nBF =\n,\n90\nPBF\nADE\n° =\n\n\noraz , zatem na mocy\ncechy kbk trójkąty AED i PFB są przystające.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy uzasadni, że trójkąty AED i FEG są trójkątami przystającymi i na tym zakończy\nlub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\nUwaga:\nJeżeli zdający wprowadza do zadania dodatkowe założenia niewynikające z treści tego\nzadania\ni korzysta z tych założeń, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nRozwiązanie (II sposób) - „przechodniość przystawania”\nDorysowujemy odcinek FG , taki, że punkt G jest środkiem odcinka EC . Ponieważ\nDE\nEC\n2\n, więc otrzymujemy równość DE\nEG\nGC\nZatem GC\nFB\n, a skoro\n90\nGCB\nFBC\n°\n\n\n, więc\n90\nFGC =\n°\n\n, skąd wynika, że\ntrójkąt FEG jest prostokątny.\nα\n\nA\nF\nE\nD\nC\nP\nB\nα\nα\nG\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nPonieważ\nAD\nFG\n,\n90\nADE\nFGE\n°\n\n\ni\nDE\nEG\n, więc z cechy bkb\nwnioskujemy, że trójkąty AED i FEG są przystające.\nNiech\nDAE\nα\n\n. Zatem\nEFG\nα\n\n. Ponieważ FG\nPC\n\n, więc\nFPB\nEFG\nα\n\n\nTrójkąty EFG i FPB są trójkątami przystającymi na mocy cechy kbk , gdyż są to trójkąty\nprostokątne, mają jeden kąt ostry równej miary oraz\nEG\nBF =\n. Skoro trójkąt AED jest\nprzystający do trójkąta FEG , a trójkąt FEG jest przystający do trójkąta PFB, więc\nz przechodniości relacji przystawania wynika, że trójkąty AED i PBF są przystające.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy uzasadni, że trójkąty AED i FEG są trójkątami przystającymi i na tym zakończy\nlub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\nUwaga:\nJeżeli zdający wprowadza do zadania dodatkowe założenia niewynikające z treści tego\nzadania\ni korzysta z tych założeń, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nRozwiązanie (III sposób) - „podobieństwo trójkątów”\nTrójkąty PBF i PCE są podobne na podstawie cechy kkk , bo są to trójkąty prostokątne\ni kąt FPB jest wspólnym kątem obu tych trójkątów.\nSkala podobieństwa tych trójkątów jest równa 2 , gdyż z treści zadania wiadomo, że\nBF\nDE\noraz\nDE\nEC\n2\n. Wynika stąd, że\n2\nCP\nBP\n, a zatem PB\nBC\nAD\nPonieważ zachodzą równości\nPB\nAD\n,\n90\nPBF\nADE\n° =\n\n\n, BF\nDE\n,\nwięc trójkąty AED i PBF są przystające na mocy cechy bkb przystawania trójkątów.\nTo kończy dowód.\nA\nF\nE\nD\nC\nP\nB\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy uzasadni, że trójkąty PBF i PCE są trójkątami podobnymi i skala podobieństwa tych\ntrójkątów\njest równa 2 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\nUwaga:\nJeżeli zdający wprowadza do zadania dodatkowe założenia niewynikające z treści tego\nzadania\ni korzysta z tych założeń, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZadanie 30. (0-2)\nKątα jest ostry i sin\ncos\n2\nα\nα\n. Oblicz wartość wyrażenia\n1\ntg\ntg\nα\nα .\nRozwiązanie I sposób\nRównanie sin\ncos\n2\nα\nα\npodnosimy obustronnie do kwadratu\n2\n2\nsin\ncos\n2sin\ncos\n2\nα\nα\nα\nα\n, a następnie korzystając z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\notrzymujemy 1 2sin\ncos\n2\nα\nα\n, zatem\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nNastępnie korzystamy ze związku między funkcjami tego samego kąta\nsin\ntg\ncos\nα\nα\nα\ni przekształcamy wyrażenie\n1\ntg\ntg\nα\nα\n:\n2\n2\n1\nsin\ncos\nsin\ncos\n1\n1\ntg\n2\n1\ntg\ncos\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\n2\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• przekształci wyrażenie\n1\ntg\ntg\nα\nα\ndo postaci\nα\nα cos\nsin\n1\nalbo\n• wyznaczy wartość wyrażenia\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n1\ntg\ntg\nα\nα\n: 2.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nRozwiązanie II sposób\nZ równania sin\ncos\n2\nα\nα\nwyznaczamy jedną z funkcji trygonometrycznych w\nzależności od drugiej, np. sinus kąta w zależności od cosinusa kąta: sin\n2\ncos\nα\nα\nNastępnie korzystając z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= otrzymujemy:\n(\n)\n2\n2\n2\ncos\ncos\n1\nα\nα\n= , stąd otrzymujemy równanie kwadratowe\n2\n2cos\n2 2 cos\n1\n0\nα\nα\nRównanie można zapisać w postaci (\n)\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDane są liczby:\n1\n4\n4\n2\n1\nlog 8,\nlog 8,\nlog 2\na\nb\nc\n. Liczby te spełniają warunek\nA. a\nb\nc\n>\n>\nB. b\na\nc\n>\n>\nC. c\nb\na\n>\n>\nD. b\nc\na\n>\n>\nDane są liczby: a = log_{1/2} 8, b = log_4 8, c = log_4 1/2. Liczby te spełniają warunek A. a > b > c, B. b > a > c, C. c > b > a, D. b > c > a.","answer":"D","answer_text":"2 cos\n1\n0\nα -\n,\nzatem rozwiązaniem tego równania jest\n2\ncos\n2\nα =\nStąd\n2\nsin\n2\nα =\nNastępnie korzystamy ze związku między funkcjami tego samego kąta\nsin\ntg\ncos\nα\nα\nα\ni przekształcamy wyrażenie\n1\ntg\ntg\nα\nα\nOtrzymujemy\n2\n2\n1\nsin\ncos\n2\n2\ntg\n2\ntg\ncos\nsin\n2\n2\n2\n2\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• przekształci wyrażenie\n1\ntg\ntg\nα\nα\ndo postaci sin\ncos\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\n,\nalbo\n• wyznaczy wartość\n2\ncos\n2\nα =\ni\n2\nsin\n2\nα =\n,\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n1\ntg\ntg\nα\nα : 2.\nZadanie 31. (0-2)\nRzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy\nliczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba\nuzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.\nRozwiązanie (I sposób)\nZbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia losowego zawiera wszystkie ciągi\nczteroelementowe, postaci (\n)\n1\n2\n3\n4\n, , ,\nr r r r\n, w których ir oznacza wyrzucenie orła (O) albo\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nwyrzucenie reszki (R) w i-tym rzucie , dla\n1, 2, 3, 4\ni =\n. Jest to model klasyczny i liczba\nwszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n42\n16\nΩ =\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że w tych czterech rzutach wypadnie więcej\norłów niż reszek. Oznacza to, że otrzymamy cztery orły albo trzy orły i jedną reszkę.\nZdarzeniu A sprzyja zatem 5 zdarzeń elementarnych:\n(\n)\n, , ,\nO O O R , (\n)\n, , ,\nO O R O (\n)\n, , ,\nO R O O , (\n)\n, , ,\nR O O O , (\n)\n,\n,\nO,O O O .\nSzukane prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest więc równe:\n( )\n5\n16\nA\nP A\nΩ\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nzapisze, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest równa\n42\n16\nalbo\nwypisze poprawnie 5 zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe 5","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWskaż liczbę spełniającą nierówność (\n)(\n)(\n)\n0\n4\n3\n4\n>\nx\nx\nx\nA. 5\nB. 16\nC.\n4\nD.\n2\nWskaż liczbę spełniającą nierówność (4-x)(x+3)(x+4) > 0. A. 5, B. 16, C. -4, D. -2.","answer":"D","answer_text":"3. Jeżeli zdający przyjmuje, że podany kąt jest kątem nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do\npłaszczyzny jego podstawy, otrzymując\n12\na =\noraz\n20\nh =\ni obliczy pole powierzchni\nbocznej\n1\n4\n2 24 20\n960\n2\nbP\nah\n⋅\n⋅\n⋅\n, to za takie rozwiązanie może otrzymać\nmaksymalnie 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nPo dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili\nobniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer\nkosztował\nA. 2200 złotych.\nB. 2300 złotych.\nC. 2400 złotych.\nD. 3000 złotych.\nPo dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował A. 2200$ złotych. B. 2300 złotych. C. 2400 złotych. D. 3000 złotych.","answer":"C","answer_text":"4. Jeżeli zdający przyjmuje, że powierzchnia boczna tego ostrosłupa jest trójkątem\nrównobocznym, to za takie rozwiązanie może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nNa rysunku przedstawiony jest przedział ( 10,k\n, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma\nwszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21.\nStąd wynika, że\nA.\n9\nk =\nB.\n11\nk =\nC.\n21\nk =\nD.\n31\nk =\nx\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nNa rysunku przedstawiony jest przedział (-10,k>, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. A. k=9, B. k=11, C. k=21, D. k=31","answer":"B","answer_text":"5. Jeżeli zdający zapisuje błędną zależność wynikającą z definicji cosinusa danego kąta, to za\ncałe rozwiązanie może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\n6. Jeżeli zdający popełnia błędy nieprzekreślające poprawności rozumowania, np.: błędy\nrachunkowe, błędy w przepisywaniu, itp. i doprowadza rozwiązanie konsekwentnie do\nkońca, to może otrzymać maksymalnie 4 punkty.\nZadanie 33. (0-4)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna , określonym dla liczb naturalnych\n1\nn ≥\n, wyraz szósty jest\nliczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego\nciągu jest równa\n10\n15\n4\nS\n. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.\nRozwiązanie (I sposób)\nOznaczmy rozpatrywany ciąg arytmetyczny przez (\n)\nna\n, gdzie\n1\nn ≥, a różnicę tego ciągu\nprzez r .\nZapisujemy zależność między wyrazami piątym i szóstym:\n5\n6\n2a\na =\n. Stąd\n(\n)\nr\na\nr\na\n4\n2\n5\n1\n1\n, czyli\nr\na\n3\n1\nZapisujemy kolejną zależność\n1\n10\n10\n15\n10\n2\n4\na\na\nS\n⋅\n,\na stąd\n(\n)\n1\n15\n5 2\n9\n4\na\nr\n, czyli\n1\n3\n2\n9\n4\na\nr\nZapisujemy równanie z jedną niewiadomą,\n(\n)\n3\n2\n3\n9\n4\nr\nr\n⋅-\n, skąd otrzymujemy\n1\n4\nr =\nOstatecznie więc\n1\n4\nr =\ni\n1\n3\n4\na = -\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze równanie z dwiema niewiadomymi\n1a i r , np.\n(\n)\nr\na\nr\na\n4\n2\n5\n1\n1\nlub\n1\n2\n9\n15\n10\n2\n4\na\nr\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi\n1a i r ,\nnp.\n(\n)\nr\na\nr\na\n4\n2\n5\n1\n1\ni\n1\n2\n9\n15\n10\n2\n4\na\nr\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą np.\n(\n)\n3\n2\n3\n9\n4\nr\nr\n⋅-\ni na tym zakończy lub\ndalej popełni błędy.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy i zapisze, że\n1\n4\nr =\ni\n1\n3\n4\na = -\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błędy nieprzekreślające poprawności rozumowania, np.: błędy\nrachunkowe, błędy w przepisywaniu, itp. i doprowadza rozwiązanie konsekwentnie do końca,\nto może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\nRozwiązanie (II sposób)\nOznaczmy rozpatrywany ciąg arytmetyczny przez (\n)\nna\n, gdzie\n1\nn ≥, a różnicę tego ciągu\nprzez r .\nZapisujemy zależność między wyrazami piątym i szóstym:\n5\n6\n2a\na =\n. Stąd\n5\n5\n2\na\nr\na\n, czyli\n5a\nr\nZauważamy, że\n1\n5\n4\na\na\nr\noraz\n10\n5\n5\na\na\nr\ni zapisujemy kolejną zależność\n1\n10\n5\n5\n10\n4\n5\n15\n10\n10\n2\n2\n4\na\na\na\nr\na\nr\nS\n⋅\n⋅\nPo uwzględnieniu zależności\n5a\nr\n, mamy\n3\n6\n15\n10\n2\n4\nr\nr\n⋅\n, czyli\n1\n4\nr =\nStąd wynika, że\n1\n5\n1\n3\n4\n4\n3\n3 4\n4\na\na\nr\nr\nr\nr\n= -⋅\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze równanie z dwiema niewiadomymi\n5a i r , np.\n5\n5\n2\na\nr\na\nlub równanie\n5\n5\n4\n5\n15\n10\n2\n4\na\nr\na\nr\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi\n5a i r ,\nnp.\n5\n5\n2\na\nr\na\ni równanie\n5\n5\n4\n5\n15\n10\n2\n4\na\nr\na\nr\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą np.\n3\n6\n15\n10\n2\n4\nr\nr\n⋅\nlub\n5\n5\n5\n3\n2\n2\n4\na\na\na\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy i zapisze, że\n1\n4\nr =\ni\n1\n3\n4\na = -\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błędy nieprzekreślające poprawności rozumowania, np.: błędy\nrachunkowe, błędy w przepisywaniu, itp. i doprowadza rozwiązanie konsekwentnie do końca,\nto może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\nZadanie 34. (0-4)\nPunkty\n(\n)\n1,1\nA = -\ni\n(\n)\n1,9\nC =\nsą wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym\nAC\nBC\n. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu\n3\n1\n2\n2\ny\nx\n. Oblicz\nwspółrzędne wierzchołka B tego trójkąta.\nRozwiązanie (I sposób)\nProsta przechodząca przez punkt\n(\n)\n1,9\nC =\ni prostopadła do prostej AB zawiera wysokość CD\ntrójkąta ABC. Współczynnik kierunkowy\nCD\na\ntej prostej jest równy\n1\n2\n1\n1\n2\nCD\nAB\na\na\nZatem prosta CD ma równanie postaci\n(\n)\n2\n1\n9\ny\nx\n,\n2\n11\ny\nx\nObliczmy współrzędne spodka D wysokości CD, rozwiązując układ równań\n3\n1\n2\n2\ny\nx\noraz\n2\n11\ny\nx\nStąd otrzymujemy\n3\n1\n2\n11\n2\n2\nx\nx\n,\n5\n19\n2\n2\nx =\n,\n19\n5\nx =\nZatem\n19\n17\n5\n5\n2\n11\ny = -⋅\n, więc\n(\n)\n(\n)\n19 17\n5\n5\n4\n2\n,\n3\n,3\n3,8; 3,4\n5\n5\nD\n\n\n\n\n\n\nPonieważ trójkąt ABC jest równoramienny i AC\nBC\n, więc punkt D jest środkiem\npodstawy AB tego trójkąta. Ze wzorów na współrzędne środka odcinka otrzymujemy\n2\nA\nB\nD\nx\nx\nx\noraz\n2\nA\nB\nD\ny\ny\ny\n,\n1\n19\n2\n5\nB\nx\noraz 1\n17\n2\n5\nB\ny\n,\n43\n3\n5\n5\n8\nB\nx =\noraz\n29\n4\n5\n5\n5\nB\ny =\nZatem\n(\n) (\n)","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nRównanie\n0\n1\n2\n1\nx\nx\nA. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.\nB. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.\nC. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nD. nie ma rozwiązań.\nRównanie x - 1 / 2x+1 = 0 A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. B. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. D. nie ma rozwiązań.","answer":"A","answer_text":"6 2\n20\nh +\n, stąd\n2 82\nh =\n. Obliczamy wreszcie pole powierzchni bocznej ostrosłupa:\n1\n4\n48 164\n96 41\n2\nbP\nah\n⋅\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w I sposobie rozwiązania. Obliczamy długości dwóch\nboków trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej b oraz przyprostokątnych długości 16\noraz x. Tym razem obliczymy sinus kąta α ,\n4\nsin\n5\nα =\n, a następnie zapisujemy zależność\n4\n16\n5\nb\n, z której otrzymujemy\n20\nb =\n. Następnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa,\nzapisujemy równanie\n2\n2\n2\n16\n20\nx +\n, a stąd\n12\nx =\n. Teraz obliczamy długość krawędzi\npodstawy ostrosłupa:\n2\n24\na\n, stąd\n12 2\na =\n. Korzystając ponownie\nz twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej:\n(\n)\n2\n2\n2\n6 2\n20\nh +\n, stąd\n2 82\nh =\n. Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa\n1\n4\n48 164\n96 41\n2\nbP\nah\n⋅\nRozwiązanie (III sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w I sposobie rozwiązania. Najpierw obliczymy\ndługość boku x trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej b oraz przyprostokątnych\ndługości x i 16. Korzystamy z faktu, że\n3\ncos\n5\nα =\ni obliczamy najpierw sinus, a następnie\ntangens kąta α ,\n4\ntg\n3\nα =\n. Teraz zapisujemy zależność\n16\ntg\nH\nx\nx\nα =\n, z której wynika, że\n16\n4\n3\nx =\n, czyli\n12\nx =\n. Następnie z równości\n2\n24\na\nobliczamy długość krawędzi podstawy\n12 2\na =\n. Wreszcie z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa:\n2\n2\n2\n2 \n\n\n\n\n\na\nH\nh\ni stąd\n2 82\nh =\n. Szukane pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest zatem\nrówne\n1\n4\n48 164\n96 41\n2\nbP\nah\n⋅\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający:\n• zapisze równość wynikającą z treści zadania oraz z definicji cosinusa kąta ostrego, np.\n3\n5\nx\nb =\nalbo\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\n• zapisze równość wynikającą z treści zadania oraz twierdzenia Pitagorasa\n2\n2\n2\n16\nx\nb\n,\nalbo\n• obliczy sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego\nostrosłupa,\n4\n5\nsinα =\nalbo\n• obliczy tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego\nostrosłupa,\n4\n3\ntgα =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą:\n2\n2\n2\n3\n16\n5 b\nb\n\n+\n\n\n\n\nalbo\n4\n16\n5\nb\nalbo\n16\n4\n3\nx =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa\n12 2\na =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający obliczy wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa\n2 82\nh =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy i zapisze, że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe\n1\n4\n48 164\n96 41\n2\nbP\nah\n⋅\nUwagi:\n1. Akceptujemy poprawnie zastosowane zaokrąglenia liczb rzeczywistych.\n2. Jeżeli zdający założy, że\n3\nx =\noraz\n5\nb =\ni doprowadzi rozwiązanie do końca otrzymując\n1\n4\n2 3 2\n7\n6 14\n2\nbP\nah\n⋅\n⋅\n⋅\n,\nto za całe rozwiązanie otrzymuje 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nLiczbę\n1111\n224 można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego.\nDwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest\nA. 2\nB. 0\nC. 1\nD. 6\nLiczbę 224/1111 można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest A. 2, B. 0, C. 1, D. 6.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nLiczba\n10\n20\n20\n20\n4\n2\n4\n2\n8\n⋅\n⋅\njest równa\nA. 0\nB.\n2\n220 -\nC.\n19\n2\nD.\n10\n2\n4 -\nLiczba 8^20 - 2 ⋅ 4^20 / 2^20 ⋅ 4^10 jest równa A. 0, B. 2^20 - 2, C. 2^19, D. 4 - 2^10.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"wykladnicza","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nFunkcja f jest określona wzorem\n( )\n(\n) (\n)\n1\n2\n2\n2\n3\nf\nx\nx\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej\n2\nx ≠-. Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa\nA.\n8\nB.\n1\n2\nC. 1\n2\nD. 8\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = -2(x+2)^(-1)(x-3)^2 dla każdej liczby rzeczywistej x≠-2. Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa A. -8, B. -1/2, C. 1/2, D. 8.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nNajwiększą wartością funkcji\n(\n)\n4\n2\n2 +\nx\ny\nw przedziale 3, 5 jest\nA. 4\nB. 3\nC. 0\nD. 5\nNajwiększą wartością funkcji y = -(x-2)^2 + 4 w przedziale <3,5> jest A. 4, B. 3, C. 0, D. 5.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja liniowa\n( ) (\n)\n2\n1\n1\nf\nx\nm\nx\nm\n- nie ma miejsc zerowych dla\nA.\n1\nm =\nB.\n0\nm =\nC.\n1\nm = -\nD.\n2\nm = -\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nFunkcja liniowa f(x) = (1-m^2)x + m-1 nie ma miejsc zerowych dla A. m=1, B. m=0, C. m=-1, D. m=-2.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nNa jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej\nwzorem\n(\n)(\n)\n( )\n1 3\nf x\nx\nx\n. Wskaż ten rysunek.\nA.\nB.\nC.\nD.\nNa jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x) = -(x-1)(3-x). Wskaż ten rysunek.","answer":"D","answer_text":"12 2\na =\n. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej:\n(\n)\n2\n2\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nWszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (\n)\nna\nokreślonego dla\n1\nn ≥ są dodatnie i\n2\n3\n3\n2\na\na\nStąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy\nA.\n2\n3\nq =\nB.\n3\n2\nq =\nC.\n6\nq =\nD.\n5\nq =\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nWszystkie wyrazy ciągu geometrycznego a_n określonego dla n ≥ 1 są dodatnie i 3a_2 = 2a_3. Stąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy A. q = 2/3, B. q = 3/2, C. q = 6, D. q = 5.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nna\nokreślony wzorem\n1\n2\n16\nna\nn\n⋅ dla każdej liczby\ncałkowitej\n1\nn ≥. Różnica r tego ciągu jest równa\nA.\n16\nr = -\nB.\n1\n2\nr = -\nC.\n1\n32\nr = -\nD.\n1\n2\n15\nr =\nDany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony wzorem a_n = 16 - 1/2\\c n dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1. Różnica r tego ciągu jest równa A. r = 16, B. r = -1/2, C. r = -1/32, D. r = 15 1/2.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nLiczba 1\ntg40\n° jest\nA. ujemna.\nB. dodatnia, ale mniejsza od 0,1.\nC. większa od 0,1, ale mniejsza od 0,5.\nD. większa od 0,5.\nLiczba 1 - tg40° jest A. ujemna. B. dodatnia, ale mniejsza od 0,1. C. większa od 0,1, ale mniejsza od 0,5. D. większa od 0,5.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nOdcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C,\ntaki, że\nBC\nOB =\n(zobacz rysunek).\nPole trójkąta AOC jest równe\nA.\n2\n2\n1 r\nB.\n2\n4\n1 r\nC.\n2\n4 r\nπ\nD.\n2\n4\n3 r\nOdcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że |OB| = |BC| (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe A. 1/2 r^2, B. 1/4 r^2, C. π/4 r^2, D. √3/4 r^2.","answer":"D","answer_text":"16 .\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie zapisze wynik\n( )\nP A jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nRozwiązanie (II sposób) „metoda drzewka”\nRysujemy czteroetapowe drzewko ilustrujące dane doświadczenie.\nO\nWynik I rzutu\nWynik II rzutu\nO\nO\nR\nR\nR\nWynik III rzutu\nO\nR\nO\nO\nO\nR\nR\nR\nWynik IV rzutu\nO\nO\nO\nO\nO\nO\nO\nR\nR\nR\nR\nR\nR\nR\nR\nO\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że w tych czterech rzutach wypadnie więcej\norłów niż reszek. Zaznaczamy (linia pogrubiona) wszystkie gałęzie, które dotyczą szukanego\nzdarzenia, czyli ciągów:\n(\n)\n,\n,\nO,O O O , (\n)\n, , ,\nO O O R , (\n)\n, , ,\nO O R O (\n)\n, ,\n,\nO R O O , (\n)\n, , ,\nR O O O .\nZatem szukane prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe:\n( )\n5\n1 1 1 1\n2 2 2 2\n16\n5\nP A = ⋅⋅⋅⋅\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy narysuje drzewko tego doświadczenia (wystarczy istotnych 5 gałęzi) oraz przynajmniej\nwzdłuż jednej gałęzi wpisze poprawnie prawdopodobieństwa i na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe 5\n16 .\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie zapisze wynik\n( )\nP A jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZadanie 32. (0-5)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości\n16\nH =\n. Cosinus kąta nachylenia\nkrawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 3\n5 . Oblicz pole\npowierzchni bocznej tego ostrosłupa.\nRozwiązanie (I sposób)\nSporządzamy pomocniczy rysunek i wprowadzamy niezbędne oznaczenia.\nObliczymy długości dwóch boków trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej b oraz\nprzyprostokątnych długości 16 i x. Zapisujemy w tym celu układ równań:\n2\n2\n2\n16\nx\nb\ni\n3\ncos\n5\nx\nb\nα =\na\nH\nx\nb\nα\n\n2\na\n2\na\nh\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nNastępnie zapisujemy równanie z jedną niewiadomą, np.\n2\n2\n2\n3\n16\n5 b\nb\n\n+\n\n\n\n\n, skąd wynika, że\n20\nb =\nA zatem\n12\nx =\n. Teraz obliczamy długość krawędzi podstawy ostrosłupa:\n2\n12\n2\na\n, stąd","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nOkrąg o środku\n(\n)1\n,2\n1 =\nS\ni promieniu r oraz okrąg o środku\n(\n)\n5\n,5\n2 =\nS\ni promieniu 4 są\nstyczne zewnętrznie. Wtedy\nA.\n1\nr\nB.\n2\nr\nC.\n3\nr\nD.\n4\nr\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nOkrąg o średnicy S_1=(2,1) i promieniu r oraz okrąg o środku S_2=(5,5) i promieniu 4 są styczne zewnętrznie. Wtedy A. r = 1, B. r = 2, C. r = 3, D. r = 4.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDługości boków trapezu równoramiennego są równe 12, 13, 2, 13.\nWysokość h tego trapezu jest równa\nA. 5\nB. 8\nC. 10\nD. 12\nDługości boków trapezu równoramiennego są równe 12, 13, 2, 13. Wysokość h trapezu jest równa A. 5, B. 8, C. 10, D. 12.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nMiary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku\n4\n:\n3\n:\n3\n:\n2\n. Wynika stąd, że\nnajmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę\nA.\nB.\nC.\nD.\nMiara kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku 2:3:3:4. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę A. 60°, B. 50°, C. 40°, D. 30°.","answer":"A","answer_text":"11\n17\n, więc\nD\n(\n19 17\n,\n)\n\n3\n4\n,3\n2\n\n(\n3,8; 3,4\n)","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca\njest równa\nπ\n27\n. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy\nA. 9\nB. 6\nC. 3\nD. 2\nDany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa 27\\pi. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy A. 9, B. 6, C. 3, D. 2.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nStożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu mają równe objętości.\nTangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy\nA. 4\n3\nB. 12\nC.\n17\nD. 4\nStożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy A. 4/3; B. 12; C. √17; D. 4.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nWśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek\nprzeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.\nŚrednia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa\nA. 0,5\nB. 1\nC. 2\nD. 2,5\n°\n60\n°\n50\n°\n40\n°\n30\nLiczba książek\n0\n1\n2\n3\n4\n5\nLiczba osób\n23\n14\n28\n17\n11\n7\nh\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nWśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa A. 0,5; B. 1; C. 2; D. 2,5.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nGdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego\nwierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa\njest równa\nA. 9\nB. 7\nC. 6\nD. 5\nGdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa A. 9, B. 7, C. 6, D. 5.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nLiczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują\ncyfry 0 i 2, jest równa\nA. 8 8 8 3\n⋅⋅⋅\nB. 8 7 6 3\n⋅⋅⋅\nC. 8 10 10 4\n⋅\n⋅\n⋅\nD. 9 8 7 4\n⋅⋅⋅\nLiczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa A. 8⋅8⋅8⋅3; B. 8⋅7⋅6⋅3; C. 8⋅10⋅10⋅4; D. 9⋅8⋅7⋅4.","answer":"A","answer_text":"24 12\n5\n5\n,\nAD\n\n\n= \n\n\ni\n19\n17\n5\n5\n,\nB\nB\nDB\nx\ny\n\n\n\n\n\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołka B:\n(\n)\n3\n4\n5\n5\n8 ,5\nB =","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną\nkulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy\nw czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe\nA.\n1\n16\nB.\n3\n8\nC. 1\n4\nD. 3\n4\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nW pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe A. 1/16; B. 3/8; C. 1/4; D. 3/4.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n(\n)\n2\n1\n1\n0\n<\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 2x(1-x)+1-x < 0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem\n( )\n2\nf\nx\nx\nbx\nc\n+ jest parabola, na\nktórej leży punkt\n(\n)\n0, 5\nA =\n. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu\n7\nx =\n. Oblicz\nwartości współczynników b i c.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nWykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x^2+bx+c jest parabola, na której leży punkt A=(0,-5). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=7. Oblicz wartości współczynników b i c.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$b=-14, c=-5$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"funkcje","page_from":15,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8\njest równa 6.\n\nMMA_1P\nWykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":16,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że\nDE\nEC\n2\n, a na boku AB wybrano taki punkt F, że BF\nDE\n. Niech P oznacza punkt\nprzecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są\nprzystające.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nF\nE\nD\nC\nP\nB\n\nMMA_1P\nDany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że |EC| = 2|DE|, a na boku AB wybrano taki punkt F, że |BF| = |DE|. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są przystające.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":17,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nKątα jest ostry i sin\ncos\n2\nα\nα\n. Oblicz wartość wyrażenia\n1\ntg\ntg\nα\nα .\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nKąt α jest ostry i sinα + cosα = √2. Oblicz wartość wyrażenia tgα + 1/tgα.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$2$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"trygonometria","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nRzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy\nliczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba\nuzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\dfrac{5}{16}$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":19,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-5)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości\n16\nH =\n. Cosinus kąta nachylenia\nkrawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 3\n5 . Oblicz pole\npowierzchni bocznej tego ostrosłupa.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=16. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$96\\sqrt{41}$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna , określonym dla liczb naturalnych\n1\nn ≥\n, wyraz szósty jest\nliczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego\nciągu jest równa\n10\n15\n4\nS\n. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla liczb naturalnych n ≥ 1 , wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S_{10} = 15/4. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$r=\\dfrac{1}{4}, a_1=-\\dfrac{3}{4}$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"ciagi","page_from":22,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-4)\nPunkty\n(\n)\n1,1\nA = -\ni\n(\n)\n1,9\nC =\nsą wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym\nAC\nBC\n. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu\n3\n1\n2\n2\ny\nx\n. Oblicz\nwspółrzędne wierzchołka B tego trójkąta.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nPunkty A=(-1,1) i C=(1,9) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y = 1/2x + 3/2. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$B=\\left(8\\dfrac{3}{5}, 5\\dfrac{4}{5}\\right)$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"analityczna","page_from":24,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}