{"paper":{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nNiech\n4\nlog\n3\nlog\n2\nlog\n3\n2\n2\n⋅\n⋅\nL\n. Wtedy\nA.\n1\nL\nB.\n2\nL =\nC.\n3\nL =\nD.\n4\nL =\nNiech L = log_√2 2 ⋅ log_2 √3 ⋅ log_√3 4. Wtedy A. L=1; B. L=2; C. L=3; D. L=4.","answer":"D","answer_text":"4\n. Stąd\nq\n1 =\n2\n, zatem\nq\n3\nlub\nq\n1\n. Ostatnie wynik nie spełnia warunków","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nOkrąg o równaniu (\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n7\n625\nx\ny\njest styczny do okręgu o środku\n(\n)\n12,5\nS =\ni promieniu r. Wynika stąd, że\nA.\n5\nr =\nB.\n15\nr =\nC.\n10\nr =\nD.\n20\nr =\nOkrąg o równaniu (x-3)^2 + (y+7)^2 = 625 jest styczny do okręgu o środku S=(12,5) i promieniu r. Wynika stąd, że A. r=5; B. r=15; C. r=10; D. r=20.","answer":"C","answer_text":"możemy zapisać w postaci","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba (\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n2\n2\njest równa\nA. 1\nB.\n1\nC. 3\n2 2\nD. 2 2\n1\nLiczba √((1-√2)^2) + √((2-√2)^2) jest równa A. 1; B. -1; C. 3-2√2; D. 2√2+1.","answer":"A","answer_text":"9\n)\n23\n,","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nSpośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.\nA.\n3\n4\n5\n2\nx +\n<\nB.\n4\n3\n5\n2\nx +\n<\nC.\n3\n5\n4\n2\nx +\n<\nD.\n4\n5\n3\n2\nx +\n<\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R\nSpośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite. A. |3/4x + 5| < 2; B. |4/3x + 5| < 2; C. |3/5x + 4| < 2; D. |4/5x + 3| < 2.","answer":"B","answer_text":"y\n3\nx\n25","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nOblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji\n( )\n2\n1\nx\nf x\nx\n-, określonej dla\nkażdej liczby rzeczywistej\n1\nx ≠, poprowadzonej w punkcie\n(\n)\n36\n5\n6,\nA =\ntego wykresu.\nW poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku skończonego\nrozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nOblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x) = x^2 / x-1, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1, poprowadzonej w punkcie A = (6, 36/5) tego wykresu. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"0 9 6","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nW trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC. Wykaż, że prawdziwa jest\nrówność\n2\n2\nBC\nAC\nAB\nAC\n⋅\n\nMMA_1R\nW trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC. Wykaż, że prawdziwa jest równość |BC|^2 - |AC|^2 = |AB|⋅|AC|.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nUdowodnij, że dla dowolnego kąta\n(\n)\nπ\n2\n0,\nα ∈\nprawdziwa jest nierówność\n(\n)\n(\n)\nπ\nπ\n1\n12\n12\n4\nsin\ncos\nα\nα\n⋅\n<\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nUdowodnij, że dla dowolnego kąta α ∈ (0,π/2) prawdziwa jest nierówność sin(π/2 - α)⋅cos(π/2 + α) < 1/4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"trygonometria","page_from":5,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nWykaż, że równanie\nma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste\n(\n)\n8\n2\n4\n2\n1\nx\nx\nx\nx\n1\nx =\n\nMMA_1R\nWykaż, że równanie x^8 + x^2 = 2(x^4 + x - 1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x=1.","answer":null,"answer_text":"2","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują tylko cyfry ze zbioru {\n}\n0,1, 3, 5, 7, 9 , losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo\nzdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 3.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru {0,1,3,5,7,9}, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 3.","answer":null,"answer_text":"3","solution":"$P(A) = \\dfrac{11}{699840}$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDany jest rosnący ciąg geometryczny (\n)\n2\n,\n,\na aq aq\n, którego wszystkie wyrazy i iloraz są\nliczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to\notrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ciągu.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nDany jest rosnący ciąg geometryczny (a, aq, aq^2), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ciągu.","answer":"D","answer_text":"2\nx\n≥\n2\nx\n. Stąd otrzymujemy\n0\n<\nx\n≤\n5\n2\n, czyli\nD =\nV\n(\n0,\n5\n2","solution":"$aq = 3$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nDany jest nieskończony ciąg okręgów (\n)\nno\no równaniach\n2\n2\n11\n2\nn\nx\ny\n,\n1\nn ≥. Niech Pk\nbędzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem\n2\n1\nk\no\n- i wewnętrznym okręgiem\n2 .\nk\no\nOblicz sumę pól wszystkich pierścieni Pk, gdzie\n1\nk ≥.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nDany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x^2 + y^2 = 2^{11-n}, n≥1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o_{2k-1} i wewnętrznym okręgiem o_{2k}. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P_k, gdzie k≥1.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$S = \\dfrac{2^{11}\\pi}{3}$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":9,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nTrapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu. Ramię BC ma długość\n10, a ramię AD jest wysokością trapezu. Podstawa AB jest 2 razy dłuższa od podstawy CD.\nOblicz pole tego trapezu.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nTrapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu. Ramię BC ma długość 10, a ramię AD jest wysokością trapezu. Podstawa AB jest 2 razy dłuższa od podstawy CD. Oblicz pole tego trapezu.","answer":null,"answer_text":"12\ncos\nα\nsin\n12\nsin\nα\ncos\nα\ncos\n12\nsin\nα\ncos\nα\nsin\n12\ncos\n12\nsin\nα\n<\n4\n,","solution":"$P_{ABCD} = 72$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nWierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC leżą na osi Oy układu współrzędnych. Okrąg\nwpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB, BC i CA w punktach - odpowiednio -\n(\n)\n0,10 ,\nP =\n(\n)\n8, 6\nQ =\ni\n(\n)\n9,13\nR =\n. Oblicz współrzędne wierzchołków A, B i C tego trójkąta.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC leżą na osi Oy układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB, BC i CA w punktach - odpowiednio - P=(0,10), Q=(8,6) i R=(9,13). Oblicz współrzędne wierzchołków A, B i C tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$A = (0, 0)$, $B = (0, 25)$, $C = (12, 9)$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n(\n)(\n)\n2\n3\n1\n2\n1\n0\nx\nmx\nm\nm\nma dwa różne rozwiązania\n1x ,\n2x spełniające warunki:\n1\n2\n0\nx\nx\n⋅\n≠\noraz\n1\n2\n1\n1\n2\n0\n3\nx\nx\n<\n≤\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2 - 3mx + (m+1)(2m-1) = 0 ma dwa różne rozwiązania x_1, x_2 spełniające warunki: x_1 ⋅ x_2 ≠ 0 oraz 0 < 1/x_1 + 1/x_2 ≤ 2/3.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$m \\in \\left\\langle -\\dfrac{1}{4}, 0\\right) \\cup (2, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"parametr","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku,\nwykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie\nkwadratu o boku długości x. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.\na) Wyznacz objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x.\nb) Wyznacz dziedzinę funkcji V.\nc) Oblicz tę wartość x, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy\nfunkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.\nx\nx\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku. a) Wyznacz objętość $V$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x. b) Wyznacz dziedzinę funkcji V. c) Oblicz tę wartość x, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$V_{max} = 175\\dfrac{67}{243}$ dla $x = \\dfrac{22}{9}$","image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}