{"paper":{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n4\nlog\n6\nlog\n2\n3\n3\njest równa\nA. 4\nB. 2\nC.\n2\nlog\n2\n3\nD.\n8\nlog3\nLiczba 2log_3 6 - log_3 4 jest równa A. 4, B. 2, C. 2log_3 2, D. log_3 8.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\ndefinicję logarytmu i stosuje w obliczeniach\nwzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (2)\n\n## Sposób 1 - Własności logarytmów krok po kroku\n\nUpraszczamy wyrażenie \\(2\\log_3 6 - \\log_3 4\\) korzystając ze wzorów na logarytm potęgi i różnicy.\n\n**Krok 1:** Używamy wzoru \\(r \\cdot \\log_a x = \\log_a x^r\\), żeby \"wciągnąć\" współczynnik 2 do środka:\n\\[2\\log_3 6 = \\log_3 6^2 = \\log_3 36\\]\n\n**Krok 2:** Teraz mamy różnicę dwóch logarytmów o tej samej podstawie. Używamy wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\):\n\\[\\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9\\]\n\n**Krok 3:** Obliczamy \\(\\log_3 9\\). Pytamy się: \"3 do jakiej potęgi daje 9?\"\n\\[3^2 = 9 \\implies \\log_3 9 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(\\log_3 9 = \\mathbf{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Rozłożenie 6 na czynniki\n\nZamiast od razu wciągać dwójkę, rozkładamy logarytm sumy na składniki.\n\n**Krok 1:** Rozkładamy \\(\\log_3 6 = \\log_3(2 \\cdot 3) = \\log_3 2 + \\log_3 3 = \\log_3 2 + 1\\)\n\n**Krok 2:** Podstawiamy do wyrażenia:\n\\[2\\log_3 6 - \\log_3 4 = 2(\\log_3 2 + 1) - \\log_3 4\\]\n\\[= 2\\log_3 2 + 2 - \\log_3 4\\]\n\n**Krok 3:** Upraszczamy \\(\\log_3 4 = \\log_3 2^2 = 2\\log_3 2\\):\n\\[= 2\\log_3 2 + 2 - 2\\log_3 2\\]\n\\[= 2\\]\n\n**Wynik: \\(\\mathbf{2}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nUżyliśmy trzech własności logarytmów:\n\n1. Logarytm potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 (krok 1) i Sposobie 2 (krok 3) - \"wciąganie\" lub \"wyciąganie\" współczynnika.\n\n2. Logarytm ilorazu:\n\\[\\log_a \\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 (krok 2) - scalenie różnicy w jeden logarytm.\n\n3. Logarytm iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 (krok 1) - rozkład \\(\\log_3 6\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (4) | Uczeń liczy \\(2 \\cdot \\log_3 6 - \\log_3 4\\) błędnie jako \\(\\log_3(2 \\cdot 6 - 4) = \\log_3 8\\) albo myli \\(\\log_3 81 = 4\\) po innych pomyłkach rachunkowych |\n| C (\\(2\\log_3 2\\)) | Uczeń poprawnie dochodzi do \\(2\\log_3 2 + 2 - 2\\log_3 2\\), ale **zapomina uprościć** i zostawia \\(2\\log_3 2\\) zamiast obliczyć, że człony z \\(\\log_3 2\\) się zerują - zostaje samo \\(2\\) |\n| D (\\(\\log_3 8\\)) | Uczeń stosuje wzór \\(\\log x - \\log y = \\log(x-y)\\) zamiast \\(\\log\\frac{x}{y}\\), albo błędnie liczy \\(\\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3(36-4) = \\log_3 32\\) lub po prostu myli działania na logarytmach z działaniami na liczbach |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm różnicy to **NIE** różnica logarytmów! \\(\\log_a(x - y) \\neq \\log_a x - \\log_a y\\). Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik przed logarytmem \\(r \\cdot \\log_a x\\) wchodzi do środka jako **wykładnik**: \\(\\log_a x^r\\). Nie mnożymy przez argument, tylko potęgujemy argument!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po zastosowaniu wzorów zawsze sprawdź, czy nie możesz wyliczyć konkretnej wartości. \\(\\log_3 9 = 2\\) bo \\(3^2 = 9\\) - nie zostawiaj logarytmu, jeśli możesz go policzyć!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własności logarytmu (potęga + różnica)\nKorzystamy z dwóch wzorów z karty wzorów (Dział 1, s. 4):\n\\[n\\log_a x = \\log_a x^n, \\qquad \\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\tfrac{x}{y}\\]\nWtedy:\n\\[2\\log_3 6 - \\log_3 4 = \\log_3 6^2 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\tfrac{36}{4} = \\log_3 9 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie \\(\\log_3 6\\)\n\\[2\\log_3 6 = 2\\log_3(2\\cdot 3) = 2(\\log_3 2 + \\log_3 3) = 2\\log_3 2 + 2\\]\n\\[\\log_3 4 = \\log_3 2^2 = 2\\log_3 2\\]\n\\[2\\log_3 6 - \\log_3 4 = 2\\log_3 2 + 2 - 2\\log_3 2 = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 4** - wynik \\(2\\cdot\\log_3 6 \\cdot (-\\log_3 4)\\) jako mnożenie; błędne zastosowanie praw logarytmów.\n- **C. \\(2\\log_3 2\\)** - pułapka: ktoś zapisał \\(\\log_3\\tfrac{6^2}{4\\cdot 3}\\) albo pomylił 2 wyłączone z logarytmu.\n- **D. \\(\\log_3 8\\)** - ktoś pomylił \\(2\\log_3 6 = \\log_3 12\\), a potem \\(\\log_3 12 - \\log_3 4 = \\log_3 3 = 1\\), ale zapisał 8.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie logarytmu o podstawie 3\nRozwińmy wyrażenie \\(2 \\log_3 6 - \\log_3 4\\). Zgodnie z właściwością logarytmów, możemy to przekształcić na:\n\\[ \\log_3 6^2 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 \\]\nTeraz, używając właściwości logarytmów, możemy zredukować logarytm z ilorazu do logarytmu różnicy:\n\\[ \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9 \\]\nWiemy, że \\(9 = 3^2\\), więc:\n\\[ \\log_3 3^2 = 2 \\]\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log_a(b)=c \\leftrightarrow a^c=b\\), strona 6\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na logarytm iloczynu i ilorazu\nRozwińmy wyrażenie \\(2 \\log_3 6 - \\log_3 4\\). Zgodnie z właściwością logarytmów, możemy to przekształcić na:\n\\[ 2 \\log_3 6 - \\log_3 4 = \\log_3 6^2 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 \\]\nZgodnie z właściwością logarytmów, logarytm iloczynu można zapisać jako sumę logarytmów:\n\\[ \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 (6 \\cdot 6) - \\log_3 4 = \\log_3 (6 \\cdot 6) - \\log_3 4 \\]\nZnowu, używając właściwości logarytmów, możemy zredukować logarytm z ilorazu do logarytmu różnicy:\n\\[ \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9 \\]\nWiemy, że \\(9 = 3^2\\), więc:\n\\[ \\log_3 3^2 = 2 \\]\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log(xy)=logx+logy\\), strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 4:** Wynik nie jest równy 4.\n* **C. 2log₃ 2:** To jest nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystuje właściwości logarytmów w celu uproszczenia wyrażenia.\n* **D. (na zdjęciu - nie podano)** Ta odpowiedź nie jest podana na zdjęciu.\n\nPodsumowując, prawidłową odpowiedzią jest 2, ponieważ \\(2 \\log_3 6 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9 = \\log_3 3^2 = 2\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba 3\n3\n7\n81\n3\n56\n⋅\njest równa\nA.\n3\n2\nB.\n3\n3\n2 21\nC. 3\n2\nD. 9\n4\nLiczba ∛(7/3) ⋅ ∛(81/56) jest równa A. √3/2, B. 3/2∛21, C. 3/2, D. 9/4.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje\nsię w obliczeniach pierwiastkami dowolnego\nstopnia i stosuje prawa działań na\npierwiastkach (1.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDane są liczby\n12\n3,6 10\na\n⋅\noraz\n20\n2,4 10\nb\n⋅\n. Wtedy iloraz a\nb jest równy\nA.\n32\n8,64 10-\n⋅\nB.\n8\n1,5 10-\n⋅\nC.\n8\n1,5 10\n⋅\nD.\n32\n8,64 10\n⋅\nDane są liczby a = 3,6⋅10^(-12) oraz b = 2,4⋅10^(-20). Wtedy iloraz a/b jest równy A. 8,64⋅10^(-32), B. 1,5⋅10^(-8), C. 1,5⋅10^8, D. 8,64⋅10^32.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych i stosuje prawa\ndziałań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych (1.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nCena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował\nA. 865,00 zł\nB. 850,15 zł\nC. 1000,00 zł\nD. 977,50 zł\nCena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł, B. 850,15 zł, C. 1000,00 zł, D. 977,50 zł.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje\nobliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk\nz lokat (1.9).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - 1000,00 zł\n\n## Sposób 1 - równanie z jedną niewiadomą\n\nOznaczmy cenę roweru przed obniżką jako \\(x\\).\n\nObniżka o 15% oznacza, że zapłaciliśmy **85% ceny pierwotnej** (bo \\(100\\% - 15\\% = 85\\%\\)).\n\nZapisujemy równanie:\n\\[x \\cdot 85\\% = 850\\]\n\\[x \\cdot \\frac{85}{100} = 850\\]\n\\[x = 850 \\cdot \\frac{100}{85}\\]\n\\[x = 850 \\cdot \\frac{20}{17}\\]\n\\[x = \\frac{17000}{17} = \\mathbf{1000 \\text{ zł}}\\]\n\n**Cena przed obniżką wynosiła 1000 zł.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (sprawdzenie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy 15% zniżka od 1000 zł daje 850 zł:\n\n\\[15\\% \\cdot 1000 = \\frac{15}{100} \\cdot 1000 = 150 \\text{ zł}\\]\n\nCena po obniżce:\n\\[1000 - 150 = 850 \\text{ zł} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź C jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne (obliczanie procentu danej liczby, układanie prostego równania).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - 865,00 zł | Dodanie 15 do 850 zamiast obliczenia ceny bazowej: \\(850 + 15 = 865\\). Całkowity bezsens - obniżka o 15 zł to nie 15%. |\n| B - 850,15 zł | Dodanie 0,15 do 850: \\(850 + 0{,}15 = 850{,}15\\). Mylenie procenta z ułamkiem dziesiętnym. |\n| D - 977,50 zł | **Najczęstszy błąd!** Dodanie 15% od ceny PO obniżce: \\(850 + 15\\% \\cdot 850 = 850 + 127{,}5 = 977{,}5\\). Uczeń liczy procent od złej podstawy - od ceny obniżonej, a nie pierwotnej. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największa pułapka to odpowiedź D. Wielu uczniów myśli „cena wzrosła o 15%, więc dodaję 15% do 850 zł\". To błąd - 15% przed obniżką to **inna kwota** niż 15% po obniżce. Podstawa procentu jest różna!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cena po obniżce to **85%** ceny pierwotnej, **nie** 115%. Obniżka zmniejsza cenę, więc dzielimy przez 0,85 (lub mnożymy przez \\(\\frac{100}{85}\\)), a nie przez 1,15.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź wynik - weź odpowiedź i oblicz, ile to 15% od tej kwoty. Jeśli wynik po odjęciu daje 850, masz rację.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Równanie na cenę początkową\nNiech \\(x\\) - cena przed obniżką. Obniżka 15% oznacza, że zostaje \\(85\\%\\) ceny:\n\\[0{,}85x = 850 \\;\\Longrightarrow\\; x = \\tfrac{850}{0{,}85} = 1000.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja\n\\(850\\) zł to \\(85\\%\\) ceny początkowej, więc \\(1\\%\\) to \\(\\tfrac{850}{85} = 10\\) zł, a \\(100\\%\\) to \\(1000\\) zł.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 865 zł** - ktoś dodał 15 zł do 850 zł (zamiast 15%).\n- **B. 850,15 zł** - ktoś zinterpretował \"15%\" jako \"15 groszy\".\n- **D. 977,50 zł** - obliczono \\(850 + 15\\% \\cdot 850 = 850 + 127{,}50 = 977{,}50\\). Klasyczna pułapka! Dodanie 15% od **obniżonej** ceny daje inny wynik niż cena początkowa, bo \\(15\\%\\) z 850 to nie to samo, co \\(15\\%\\) z \\(x\\).\n\n**Sprawdzenie:** \\(1000 - 15\\%\\cdot 1000 = 1000 - 150 = 850\\) zł ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie ceny przed obniżką\n1. **Zrozumienie problemu:** Wiemy, że cena po obniżce (850 zł) stanowi 85% ceny początkowej. Musimy więc obliczyć 100% ceny początkowej.\n2. **Ustawienie równania:** Niech x to cena przed obniżką. Zgodnie z treścią zadania:\n\\(x - 0.15x = 850\\)\n\\(0.85x = 850\\)\n3. **Rozwiązanie równania:** Dzielimy obie strony przez 0.85:\n\\(x = \\frac{850}{0.85} = 1000\\)\nZatem cena przed obniżką wynosi 1000 zł.\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 5\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie proporcji\n1. **Zrozumienie problemu:** Obniżka o 15% oznacza, że 85% ceny początkowej to 850 zł.\n2. **Ustawienie proporcji:**\n\\(\\frac{850}{x} = \\frac{85}{100}\\) (gdzie x to cena początkowa)\n3. **Rozwiązanie proporcji:** Przekształcamy proporcję:\n\\(85x = 850 \\cdot 100\\)\n\\(85x = 85000\\)\n\\(x = \\frac{85000}{85} = 1000\\)\nZatem cena przed obniżką wynosi 1000 zł.\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 5\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 865,00 zł:** Jeśli cena początkowa wynosiłaby 865 zł, to po obniżce o 15% (865 * 0.15 = 129,75) cena wyniosłaby 865 - 129.75 = 735.25 zł, co nie zgadza się z podaną ceną po obniżce (850 zł).\n* **B. 850,15 zł:** Podobnie jak w przypadku A, obliczenie obniżki (850,15 * 0.15 = 127,52) dałoby cenę przed obniżką 850,15 - 127.52 = 722.63 zł, co nie zgadza się z podaną ceną po obniżce.\n* **D. 977,50 zł:** Obliczenie obniżki (977.50 * 0.15 = 146.63) dałoby cenę przed obniżką 977.50 - 146.63 = 830.87 zł, co również nie zgadza się z podaną ceną po obniżce.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2\n1\n2\n3\nx\n>\njest przedział\nA.\n1\n, 6\n\n\n-∞\n\n\n\n\nB.\n2\n, 3\n\n\n-∞\n\n\n\n\nC.\n1 ,\n6\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\nD.\n2 ,\n3\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1-2x/2 > 1/3 jest przedział A. (-∞,1/6), B. (-∞,2/3), C. (1/6, +\\infty), D. (2/3,+∞).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje nierówności pierwszego stopnia\nz jedną niewiadomą (3.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nZbiorem rozwiązań jest przedział \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\).\n\n## Sposób 1 - Mnożenie przez NWW mianowników\n\nMianowniki to \\(2\\) i \\(3\\), więc NWW = \\(6\\). Mnożymy obie strony przez \\(6 > 0\\) - **znak nierówności się nie zmienia**.\n\n\\[\\frac{1-2x}{2} > \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[6 \\cdot \\frac{1-2x}{2} > 6 \\cdot \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[3(1-2x) > 2\\]\n\n\\[3 - 6x > 2\\]\n\n\\[-6x > 2 - 3\\]\n\n\\[-6x > -1\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(-6 < 0\\) - **znak nierówności się odwraca!**\n\n\\[x < \\frac{-1}{-6}\\]\n\n\\[x < \\frac{1}{6}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\)**\n\n## Sposób 2 - Przenoszenie wyrazów (bez mnożenia przez NWW)\n\nPrzenosimy \\(\\dfrac{1}{3}\\) na lewą stronę:\n\n\\[\\frac{1-2x}{2} - \\frac{1}{3} > 0\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika \\(6\\):\n\n\\[\\frac{3(1-2x)}{6} - \\frac{2}{6} > 0\\]\n\n\\[\\frac{3 - 6x - 2}{6} > 0\\]\n\n\\[\\frac{1 - 6x}{6} > 0\\]\n\nPonieważ \\(6 > 0\\), dzielimy przez \\(6\\) bez zmiany znaku:\n\n\\[1 - 6x > 0\\]\n\n\\[-6x > -1\\]\n\n\\[x < \\frac{1}{6}\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą elementarne własności nierówności (mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak). To materiał z algebry podstawowej, nieujęty w karcie wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Obliczono \\(\\dfrac{1-2x}{2} > \\dfrac{1}{3}\\) i otrzymano \\(x < \\dfrac{2}{3}\\) - błąd przy upraszczaniu: zapomniano pomnożyć \\(\\dfrac{1}{3}\\) przez \\(3\\) (wzięto \\(1-2x > \\dfrac{2}{3}\\) zamiast \\(3(1-2x) > 2\\)) |\n| C | Poprawnie wyznaczono \\(\\left|\\dfrac{1}{6}\\right|\\), ale zapomniano odwrócić znak przy dzieleniu przez \\(-6\\) - uczeń wziął \\(x > \\dfrac{1}{6}\\) zamiast \\(x < \\dfrac{1}{6}\\) |\n| D | Połączono oba błędy: zła wartość graniczna \\(\\dfrac{2}{3}\\) i nieodwrócony znak nierówności |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy **dzielisz lub mnożysz nierówność przez liczbę ujemną**, musisz **odwrócić znak** (\\(>\\) staje się \\(<\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - podział przez \\(-6\\) zmienia kierunek nierówności!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc przez NWW, pamiętaj pomnożyć **obie strony w całości** - w tym zadaniu lewą stronę przez \\(6\\) (skraca się z \\(2\\), zostaje \\(3\\)), a prawą przez \\(6\\) (skraca się z \\(3\\), zostaje \\(2\\)). Błędem jest wzięcie samej liczby przed \\(x\\) bez reszty ułamka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(x < \\dfrac{1}{6}\\) zapisujemy jako przedział **otwarty** \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\) - bez nawiasu kwadratowego, bo \\(x = \\dfrac{1}{6}\\) nie spełnia nierówności ostrej.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Mnożenie przez wspólny mianownik\nMnożymy obie strony przez \\(6\\) (liczba dodatnia, znak nierówności bez zmiany):\n\\[\\tfrac{1-2x}{2} > \\tfrac{1}{3} \\;\\Big|\\cdot 6\\]\n\\[3(1-2x) > 2\\]\n\\[3 - 6x > 2\\]\n\\[-6x > -1\\]\nDzielimy przez \\(-6\\) (liczba ujemna - **zmiana znaku nierówności**):\n\\[x < \\tfrac{1}{6}.\\]\nZatem \\(x\\in\\left(-\\infty,\\tfrac{1}{6}\\right)\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawienie kontrolne\n- \\(x = 0\\): \\(\\tfrac{1}{2} > \\tfrac{1}{3}\\) ✓ - zatem 0 należy do zbioru, co eliminuje C i D.\n- \\(x = 1\\): \\(\\tfrac{-1}{2} > \\tfrac{1}{3}\\) ✗ - więc 1 nie należy.\n- \\(x = \\tfrac{1}{2}\\): \\(\\tfrac{0}{2} = 0 > \\tfrac{1}{3}\\) ✗.\n- \\(x = \\tfrac{1}{6}\\): \\(\\tfrac{1-1/3}{2} = \\tfrac{1}{3} > \\tfrac{1}{3}\\) ✗ (znak ostry).\n\nZbiór: \\(\\left(-\\infty, \\tfrac{1}{6}\\right)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Ktoś pomylił stronę znaku przy mnożeniu mianowników lub mylnie ocenił \\(x\\).\n- **C.** Ktoś zapomniał zmienić znak nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną (pułapka!).\n- **D.** Dwa błędy: zły punkt graniczny + zła strona przedziału.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności za pomocą własności iloczynów\nRozważmy nierówność: \\(1 - 2x > 1 - \\frac{1}{3}\\)\nPrzenosimy wyrazy na lewą stronę:\n\\(1 - 2x - 1 + \\frac{1}{3} > 0\\)\n\\(-2x + \\frac{1}{3} > 0\\)\nPrzenosimy \\(2x\\) na prawą stronę:\n\\(\\frac{1}{3} - 2x > 0\\)\nPrzenosimy \\(2x\\) na lewą stronę:\n\\(\\frac{1}{3} > 2x\\)\nDzielimy obie strony przez 2:\n\\(x < \\frac{1}{6}\\)\nZatem rozwiązaniem jest przedział \\(\\left(-\\infty, \\frac{1}{6}\\right)\\).\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, nierówności, strona 13\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie nierówności za pomocą przekształceń algebraicznych\nRozważmy nierówność: \\(1 - 2x > 1 - \\frac{1}{3}\\)\nZ prawej strony mamy: \\(1 - \\frac{1}{3} = \\frac{3}{3} - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\)\nZatem nierówność to: \\(1 - 2x > \\frac{2}{3}\\)\nOdejmujemy 1 od obu stron:\n\\(-2x > \\frac{2}{3} - 1\\)\n\\(-2x > \\frac{2}{3} - \\frac{3}{3}\\)\n\\(-2x > -\\frac{1}{3}\\)\nDzielimy obie strony przez -2 (pamiętając o zmianie znaku nierówności):\n\\(x < \\frac{-\\frac{1}{3}}{-2}\\)\n\\(x < \\frac{1}{6}\\)\nZatem rozwiązaniem jest przedział \\(\\left(-\\infty, \\frac{1}{6}\\right)\\).\n\n📖 Karta wzorów: Nierówności, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B.** \\(-\\infty, \\frac{2}{3}\\) - To rozwiązanie dla nierówności \\(1 - 2x < \\frac{2}{3}\\), a nie \\(1 - 2x > \\frac{2}{3}\\).\n* **C.** \\(\\frac{1}{6}, +\\infty\\) - To rozwiązanie dla nierówności \\(1 - 2x < \\frac{1}{6}\\), a nie \\(1 - 2x > \\frac{1}{6}\\). Ponadto, \\(\\frac{1}{6} + \\infty\\) nie ma sensu w kontekście przedziału.\n* **D.** \\(-\\infty, 0\\) - To rozwiązanie dla nierówności \\(1 - 2x < 0\\), a nie \\(1 - 2x > 0\\). Ponadto, \\(0\\) nie jest przedziałem.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nFunkcja kwadratowa jest określona wzorem\n. Liczby\n1x ,\n2x są\nróżnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem\nA.\n1\n2\n8\nx\nx\nB.\n1\n2\n2\nx\nx\nC.\n1\n2\n2\nx\nx\nD.\n1\n2\n8\nx\nx\n( )\n(\n)(\n)\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nFunkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = -2(x+3)(x-5). Liczby x_1, x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem A. x_1 + x_2 = -8, B. x_1 + x_2 = -2, C. x_1 + x_2 = 2, D. x_1 + x_2 = 8.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące we wzorze funkcji\nkwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci\nogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje)\n(4.10).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(x_1 + x_2 = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni odczyt miejsc zerowych z postaci iloczynowej\n\nFunkcja jest dana w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = -2(x+3)(x-5)\\]\n\nMiejsca zerowe to rozwiązania równania \\(f(x) = 0\\):\n\\[-2(x+3)(x-5) = 0\\]\n\nIloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\\[x + 3 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_1 = -3\\]\n\\[x - 5 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = 5\\]\n\nZatem:\n\\[x_1 + x_2 = -3 + 5 = \\mathbf{2}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\nRozwijamy postać iloczynową do postaci ogólnej:\n\\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15)\\]\n\\[f(x) = -2x^2 + 4x + 30\\]\n\nMamy więc \\(a = -2\\), \\(b = 4\\), \\(c = 30\\).\n\nZe wzorów Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{4}{-2} = \\mathbf{2}\\]\n\nWynik ten sam - **\\(x_1 + x_2 = 2\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia sumy miejsc zerowych bez liczenia pierwiastków.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nW Sposobie 1 skorzystaliśmy z faktu, że czynniki liniowe bezpośrednio dają miejsca zerowe.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(x_1 + x_2 = -8\\) - uczeń dodał pierwiastki ze znakiem: \\((-3) + (-5) = -8\\), traktując \\((x+3)(x-5)\\) jakby obie liczby to były \\(-3\\) i \\(-5\\) |\n| B | \\(x_1 + x_2 = -2\\) - uczeń pomylił sumę z różnicą: \\(3 - 5 = -2\\), czyli wziął wartości z nawiasów nie zmieniając znaków |\n| D | \\(x_1 + x_2 = 8\\) - uczeń policzył \\(3 + 5 = 8\\), ignorując znaki przy wyznaczaniu miejsc zerowych z nawiasów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \\((x + 3)\\) wynika miejsce zerowe \\(x_1 = \\mathbf{-3}\\), nie \\(+3\\)! Musisz rozwiązać \\(x + 3 = 0\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(-2\\) z przodu **nie wpływa na miejsca zerowe** - iloczyn jest zerem niezależnie od tego, przez co go mnożymy (o ile mnożnik jest niezerowy). Nie wstawiaj go do obliczeń sumy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosując wzory Viète'a, pamiętaj odczytać \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) z **pełnej postaci ogólnej** - tutaj \\(a = -2\\), nie \\(a = 2\\). Pomyłka znaku przy \\(a\\) zmieni wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczytanie miejsc zerowych z postaci iloczynowej\nFunkcja dana jest w postaci iloczynowej \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\). Z porównania:\n\\[-2(x+3)(x-5) = -2(x-(-3))(x-5)\\]\nwidać, że \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 5\\). Suma:\n\\[x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzór Viète'a\n\\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 2x - 15) = -2x^2 + 4x + 30.\\]\nWzór Viète'a: \\(x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{4}{-2} = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-8\\)** - ktoś odczytał miejsca zerowe jako \\(-3\\) i \\(-5\\) (błąd znaku w drugim nawiasie, \\((x-5)\\) to \\(x=5\\), nie \\(x=-5\\)).\n- **B. \\(-2\\)** - jeden znak pomylony: \\(3-5 = -2\\); czyli oba miejsca wzięte z nawiasów bez zmiany znaku.\n- **D. 8** - oba znaki pomylone: \\(3+5=8\\), gdyby miejsca wzięto jako \\(3\\) i \\(5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczanie pierwiastków równania kwadratowego\n1. **Zapisanie równania:** Funkcja f(x) jest określona wzorem f(x) = -2(x + 3)(x - 5). Pierwiastki funkcji kwadratowej to wartości x, dla których f(x) = 0. Zatem musimy rozwiązać równanie:\n-2(x + 3)(x - 5) = 0\n2. **Rozwiązanie równania:** Aby iloczyn był równy zero, co najmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem:\n* x + 3 = 0 => x₁ = -3\n* x - 5 = 0 => x₂ = 5\n3. **Sprawdzenie odpowiedzi:** Szukamy, które z podanych odpowiedzi dają sumę x₁ + x₂ = -8. W naszym przypadku x₁ + x₂ = -3 + 5 = 2. Zatem odpowiedź C jest poprawna.\n\n📖 Karta wzorów: **Wzory skrócone** 7, strona **7** (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę pierwiastków równania kwadratowego\n1. **Wzór na pierwiastki:** Dla równania kwadratowego w postaci ax² + bx + c = 0, suma pierwiastków (x₁ + x₂) wynosi -b/a.\n2. **Identyfikacja współczynników:** W naszym przypadku f(x) = -2(x + 3)(x - 5) = -2(x² - 5x + 3x - 15) = -2(x² - 2x - 15) = -2x² + 4x + 30. Zatem a = -2, b = 4, c = 30.\n3. **Obliczenie sumy:** x₁ + x₂ = -b/a = -4/(-2) = 2. Ponownie, otrzymujemy 2, co potwierdza, że odpowiedź C jest prawidłowa.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. x₁ + x₂ = -8:** Obliczona suma pierwiastków (2) jest inna niż podana w odpowiedzi A (-8).\n* **B. x₁ + x₂ = -2:** Obliczona suma pierwiastków (2) jest inna niż podana w odpowiedzi B (-2).\n* **C. x₁ + x₂ = 2:** Obliczona suma pierwiastków (2) jest równa podanej w odpowiedzi C (2).\n\n**Krótkie wyjaśnienie, dlaczego inne odpowiedzi są błędne:** Sposób, w jaki obliczamy sumę pierwiastków równania kwadratowego, jest poprawny i zgodny z wzorem na sumę pierwiastków. W naszym przypadku, -b/a = -4/(-2) = 2, a nie inne wartości.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nRównanie\n0\n4\n2\n2\n2\nx\nx\nx\nA. ma trzy rozwiązania: x = -2 , x = 0 , x = 2\nB. ma dwa rozwiązania: x = 0 , x = -2\nC. ma dwa rozwiązania: x = -2 , x = 2\nD. ma jedno rozwiązanie: x = 0\nRównanie x^2+2x / x^2-4 = 0 A. ma trzy rozwiązania: x=-2, x=0, x=2; B.ma dwa rozwiązania: x=0, x=-2; C. ma dwa rozwiązania: x=-2, x=2; D. ma jedno rozwiązanie: x=0.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych (3.8).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 0\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza dziedziny i licznika\n\n**Kluczowa zasada:** ułamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0 i mianownik ≠ 0**.\n\n**Krok 1: Wyznacz dziedzinę (kiedy mianownik ≠ 0).**\n\n\\[x^2 - 4 \\neq 0\\]\n\\[(x-2)(x+2) \\neq 0\\]\n\\[x \\neq 2 \\quad \\text{i} \\quad x \\neq -2\\]\n\n**Krok 2: Rozwiąż licznik = 0.**\n\n\\[x^2 + 2x = 0\\]\n\\[x(x + 2) = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]\n\n**Krok 3: Odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.**\n\n- \\(x = 0\\) - sprawdzamy: \\(0 \\neq 2\\) i \\(0 \\neq -2\\) ✓ - **zostaje**\n- \\(x = -2\\) - sprawdzamy: \\(-2 = -2\\) - to wykluczone z dziedziny ✗ - **odrzucamy**\n\n**Wynik: równanie ma jedno rozwiązanie \\(x = 0\\).**\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia + weryfikacja\n\n**Krok 1: Faktoryzuj licznik i mianownik.**\n\n\\[\\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} = \\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}\\]\n\n**Krok 2: Skróć wspólny czynnik \\((x+2)\\)**, pamiętając, że skrócenie jest dozwolone tylko gdy \\(x + 2 \\neq 0\\), czyli \\(x \\neq -2\\).\n\n\\[\\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \\frac{x}{x-2}, \\quad x \\neq -2, \\quad x \\neq 2\\]\n\n**Krok 3: Rozwiąż \\(\\frac{x}{x-2} = 0\\).**\n\nUłamek = 0, gdy licznik = 0 i mianownik ≠ 0:\n\\[x = 0, \\quad x - 2 \\neq 0 \\implies x \\neq 2\\]\n\n\\(x = 0\\) spełnia warunek. ✓\n\n**Weryfikacja** - podstawiamy \\(x = 0\\) do oryginalnego równania:\n\\[\\frac{0^2 + 2 \\cdot 0}{0^2 - 4} = \\frac{0}{-4} = 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą:\n- wzory skróconego mnożenia (Dział 6, s. 7): \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) - do rozłożenia mianownika \\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\),\n- oraz podstawowa własność ułamka algebraicznego (dziedzina, warunek = 0).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń „rozwiązuje\" licznik i mianownik osobno, bierze wszystkie miejsca zerowe obu: \\(x = 0, -2\\) z licznika i \\(x = \\pm 2\\) z mianownika - błędne rozumowanie |\n| B | Uczeń poprawnie rozwiązuje licznik (\\(x = 0\\) i \\(x = -2\\)), ale **nie sprawdza dziedziny** i akceptuje \\(x = -2\\), nie zauważając, że zeruje też mianownik |\n| C | Uczeń myli równanie ułamkowe z iloczynem i bierze miejsca zerowe **mianownika** zamiast licznika |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x = -2\\) zeruje **jednocześnie** licznik i mianownik - to nie jest rozwiązanie! W tym punkcie wyrażenie jest **niezdefiniowane** (nie istnieje), a nie równe zero.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skracanie \\((x+2)\\) w liczniku i mianowniku jest kuszące, ale pamiętaj - wolno to zrobić tylko po wcześniejszym zaznaczeniu warunku \\(x \\neq -2\\). Bez tego zapisu możesz stracić punkt na maturze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw wyznaczaj dziedzinę, potem szukaj rozwiązań - nigdy odwrotnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Dziedzina + zerowanie licznika\n**Krok 1.** Dziedzina: mianownik \\(\\ne 0\\), czyli \\(x^2-4\\ne 0 \\iff x\\ne \\pm 2\\).\n\n**Krok 2.** Ułamek = 0 gdy licznik = 0:\n\\[x^2 + 2x = 0 \\iff x(x+2) = 0 \\iff x=0 \\text{ lub } x=-2.\\]\n\n**Krok 3.** Sprawdzenie dziedziny: \\(x=-2\\) **wyklucza się** (mianownik zeruje się), \\(x=0\\) jest OK.\n\nZostaje jedno rozwiązanie: \\(x=0\\).\n\n### Sposób 2 - Skracanie ułamka\n\\[\\tfrac{x^2+2x}{x^2-4} = \\tfrac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \\tfrac{x}{x-2}, \\qquad x\\ne -2, x\\ne 2.\\]\nRównanie \\(\\tfrac{x}{x-2}=0\\) daje \\(x=0\\) (mianownik dla \\(x=0\\) jest \\(-2\\ne 0\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Ktoś wymienił miejsca zerowe licznika i mianownika, zapomniał o dziedzinie.\n- **B.** Policzył zera licznika \\(x(x+2)=0\\), ale nie sprawdził dziedziny (\\(x=-2\\) jest wykluczone).\n- **C.** Podał zera mianownika zamiast licznika - odwrócenie pojęć.\n\n**Pułapka:** łatwo zapomnieć, że \\(x=-2\\) musi być odrzucone, bo równocześnie zeruje mianownik.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania kwadratowego\nRozwiążemy równanie \\(x^2 + 2x = 0\\) za pomocą metody rozkładu na czynniki.\n\nKrok 1: Wyciągamy x przed nawias:\n\\[x(x + 2) = 0\\]\n\nKrok 2: Zgodnie z własnością, iloczyn dwóch czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem:\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 2 = 0\\]\n\nKrok 3: Rozwiązujemy oba równania:\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]\n\nZatem równanie ma dwa rozwiązania: \\(x = 0\\) i \\(x = -2\\). W zadaniu podano, że ma *dwa* rozwiązania. W oryginalnym równaniu, \\(x^2 + 2x = 0\\) zmieniło się na \\(x^2 - 4 = 0\\). Zatem musimy rozwiązać równanie \\(x^2 - 4 = 0\\).\n\nKrok 4: Rozwiązujemy równanie \\(x^2 - 4 = 0\\). Można to zrobić na kilka sposobów:\n* **Metoda pierwiastkowa:**\n\\[x^2 = 4\\]\n\\[x = \\pm \\sqrt{4}\\]\n\\[x = \\pm 2\\]\n* **Rozkład na czynniki:**\n\\[(x - 2)(x + 2) = 0\\]\n\\[x - 2 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 2 = 0\\]\n\\[x = 2 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]\n\nZatem równanie \\(x^2 - 4 = 0\\) ma dwa rozwiązania: \\(x = 2\\) i \\(x = -2\\).\n\n📖 Karta wzorów: [s.7], strona [7] (Wzory skrócone: a²-b²=(a-b)(a+b))\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie równania kwadratowego za pomocą wzoru na pierwiastki\nRozwiążemy równanie \\(x^2 - 4 = 0\\) za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.\n\nKrok 1: Zapisujemy wzór na pierwiastki równania kwadratowego:\n\\[x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]\n\nKrok 2: Porównujemy nasze równanie \\(x^2 - 4 = 0\\) z ogólnym wzorem \\(ax^2 + bx + c = 0\\). Mamy:\n* \\(a = 1\\)\n* \\(b = 0\\)\n* \\(c = -4\\)\n\nKrok 3: Wstawiamy wartości do wzoru na pierwiastki:\n\\[x = \\frac{-0 \\pm \\sqrt{0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-4)}}{2 \\cdot 1}\\]\n\\[x = \\frac{\\pm \\sqrt{16}}{2}\\]\n\\[x = \\frac{\\pm 4}{2}\\]\n\\[x = \\pm 2\\]\n\nZatem równanie \\(x^2 - 4 = 0\\) ma dwa rozwiązania: \\(x = 2\\) i \\(x = -2\\).\n\n📖 Karta wzorów: [s.7], strona [7] (Wzory skrócone: a²-b²=(a-b)(a+b)) oraz [s.7-9], strona [9] (Wzory na pierwiastki równania kwadratowego)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(ma trzy rozwiązania: x = - 2 , x = 0 , x = 2\\)** - Równanie ma tylko dwa rozwiązania, a nie trzy.\n* **B. \\(ma dwa rozwiązania: x = 0 , x = - 2\\)** - Równanie ma dwa rozwiązania, ale nie są to 0 i -2.\n* **C. \\(ma dwa rozwiązania: x = - 2 , x = 2\\)** - Równanie ma dwa rozwiązania, ale nie są to -2 i 2.\n* **D. \\(ma jedno rozwiązanie: x = 0\\)** - Równanie ma dwa rozwiązania, a nie jedno.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nFunkcja liniowa\nf określona jest wzorem\n1\n3\n1\n)\n(\nx\nx\nf\n, dla wszystkich liczb\nrzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.\nA. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n\n\n\n\n\n\n3\n1\n,0\nP\nB. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n(\n)1\n,0 -\nP\nC. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n\n\n\n\n\n\n3\n1\n,0\nP\nD. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n(\n)1\n,0 -\nP\nFunkcja liniowa f określona jest wzorem f(x) = 1/3x-1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3). B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1). C. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3). D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1).","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące we wzorze funkcji\nliniowej (4.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nFunkcja \\(f\\) jest **rosnąca** i jej wykres przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\(P = (0, -1)\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt współczynników ze wzoru\n\nWzór funkcji liniowej ma postać ogólną:\n\\[f(x) = ax + b\\]\n\ngdzie \\(a\\) to **współczynnik kierunkowy** (decyduje o rosnącości/malejącości), a \\(b\\) to **wyraz wolny** (punkt przecięcia z osią \\(Oy\\)).\n\nMamy:\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}x - 1\\]\n\n**Krok 1: Odczytaj \\(a\\) i \\(b\\).**\n\n\\[a = \\frac{1}{3}, \\qquad b = -1\\]\n\n**Krok 2: Określ monotoniczność.**\n\nPonieważ \\(a = \\frac{1}{3} > 0\\), funkcja jest **rosnąca**.\n\n**Krok 3: Wyznacz punkt przecięcia z osią \\(Oy\\).**\n\nOś \\(Oy\\) przecinamy dla \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = \\frac{1}{3} \\cdot 0 - 1 = -1\\]\n\nZatem punkt przecięcia to \\(P = (0, -1)\\).\n\n**Wniosek:** Funkcja jest rosnąca, przecina \\(Oy\\) w \\((0, -1)\\) → **odpowiedź D**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie dwóch punktów\n\nSprawdzamy rosnącość, licząc wartości w dwóch punktach:\n\n\\[f(0) = \\frac{1}{3} \\cdot 0 - 1 = -1\\]\n\n\\[f(3) = \\frac{1}{3} \\cdot 3 - 1 = 1 - 1 = 0\\]\n\nSkoro \\(0 < 3\\) i \\(f(0) = -1 < 0 = f(3)\\), to **gdy \\(x\\) rośnie, \\(f(x)\\) też rośnie** - funkcja jest rosnąca. ✓\n\nPunkt przecięcia z \\(Oy\\): to wprost \\(f(0) = -1\\), czyli \\(P = (0, -1)\\). ✓\n\nWynik zgodny z odpowiedzią D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i odczyt współczynników \\(a\\), \\(b\\) ze wzoru \\(f(x) = ax + b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Dwa błędy naraz: uznano, że \\(a < 0\\) (malejąca) **oraz** pomylono \\(a = \\frac{1}{3}\\) z wyrazem wolnym, biorąc \\(\\frac{1}{3}\\) jako punkt przecięcia z \\(Oy\\) |\n| B | Poprawny punkt przecięcia z \\(Oy\\), ale błędna monotoniczność - uznano \\(\\frac{1}{3} < 0\\), co jest nieprawdą |\n| C | Poprawna monotoniczność (rosnąca), ale błędny punkt - wzięto \\(a = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(b = -1\\) jako przecięcie z \\(Oy\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) to \\((0, b)\\), gdzie \\(b\\) to wyraz **wolny** - czyli liczba stojąca samotnie, bez \\(x\\). Tu \\(b = -1\\), nie \\(\\frac{1}{3}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** O rosnącości/malejącości decyduje znak współczynnika \\(a\\) (przy \\(x\\)). Jeśli \\(a > 0\\) - rosnąca, jeśli \\(a < 0\\) - malejąca. Ułamek \\(\\frac{1}{3}\\) jest dodatni, więc funkcja rośnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(a\\) z \\(b\\) - szczególnie gdy wzór wygląda jak \\(\\frac{1}{3}x - 1\\) i obie liczby są \"widoczne\". Zawsze pytaj: \"która stoi przy \\(x\\), a która nie?\"\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Dwie własności z postaci \\(f(x) = ax+b\\)\nDla \\(f(x) = \\tfrac{1}{3}x - 1\\): \\(a=\\tfrac{1}{3}\\), \\(b=-1\\).\n\n**Monotoniczność:** \\(a = \\tfrac{1}{3} > 0\\), więc funkcja jest **rosnąca**.\n\n**Punkt przecięcia z osią \\(Oy\\):** podstawiamy \\(x=0\\):\n\\[f(0) = \\tfrac{1}{3}\\cdot 0 - 1 = -1.\\]\nZatem \\(P = (0, -1)\\).\n\n### Sposób 2 - Szybkie odrzucanie\nZ postaci \\(ax+b\\) wyraz wolny to \\(b=-1\\), więc wykres przecina \\(Oy\\) w \\(y=-1\\). To od razu wyklucza A i C. Spośród B, D wybieramy według monotoniczności: \\(a>0 \\Rightarrow\\) rosnąca \\(\\Rightarrow\\) D.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Dwa błędy: \"malejąca\" (bo \\(a>0\\), więc rosnąca) oraz \\(y=\\tfrac{1}{3}\\) zamiast \\(-1\\) - ktoś wziął współczynnik kierunkowy jako wyraz wolny.\n- **B.** Dobry punkt przecięcia, ale błędna monotoniczność.\n- **C.** Dobra monotoniczność, ale zły punkt przecięcia.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie wartości funkcji dla konkretnego x\n1. **Znamy wzór funkcji:** \\(f(x) = x - 1\\)\n2. **Wstawiamy x = 3:** \\(f(3) = 3 - 1 = 2\\)\n3. **Sprawdzamy, czy wynik zgadza się z podaną odpowiedzią:** Wybór D (2) jest prawidłowy.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji funkcji liniowej\n1. **Funkcja liniowa ma postać:** \\(f(x) = ax + b\\), gdzie a i b są stałymi.\n2. **Znamy f(x) = x - 1, więc:** a = 1 i b = -1.\n3. **Sprawdzamy, czy wartość f(3) zgadza się z podaną odpowiedzią:** \\(f(3) = 1 * 3 + (-1) = 2\\), czyli f(3) = 2. Wybór D (2) jest prawidłowy.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** \\(f(3) = 3 - 1 = 2\\) - To jest poprawne, ale odpowiedź D jest bardziej precyzyjna.\n* **B:** \\(f(3) = - (3 - 1) = -2\\) - To jest błędne, ponieważ funkcja jest zdefiniowana jako \\(f(x) = x - 1\\).\n* **C:** \\(f(0) = 0 - 1 = -1\\) - To jest błędne, ponieważ zadanie mówi, że funkcja jest zdefiniowana dla *wszystkich* liczb rzeczywistych x, a nie tylko dla x=0. Wartość funkcji w punkcie 0 nie ma znaczenia w tym przypadku.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykresem funkcji kwadratowej\n( )\n2\n6\n3\nf x\nx\nx\njest parabola, której wierzchołkiem jest\npunkt o współrzędnych\nA. (\n)\n6,\n3\nB. (\n)\n6, 69\nC. (\n)\n3,\n12\nD. (\n)\n6,\n3\nWykres funkcji kwadratowej f(x) = x^2-6x-3 jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A. (-6,-3); B (-6,69); D. (3,-12); C. (6,-3).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający szkicuje wykres funkcji\nkwadratowej, korzystając z jej wzoru (4.8).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - punkt \\((3, -12)\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na wierzchołek paraboli\n\nDla funkcji kwadratowej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) wierzchołek to punkt \\(W = (p, q)\\), gdzie:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nW naszym zadaniu: \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), \\(c = -3\\).\n\n**Obliczamy \\(p\\):**\n\\[p = -\\frac{-6}{2 \\cdot 1} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\n**Obliczamy \\(q\\)** - najprościej podstawiając \\(x = p = 3\\) do wzoru funkcji:\n\\[q = f(3) = 3^2 - 6 \\cdot 3 - 3 = 9 - 18 - 3 = -12\\]\n\n**Wierzchołek: \\(W = (3, -12)\\)** → odpowiedź **C**.\n\n## Sposób 2 - uzupełnianie do pełnego kwadratu (postać kanoniczna)\n\nPrzekształcamy \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\) do postaci kanonicznej \\(a(x-p)^2 + q\\):\n\n\\[f(x) = x^2 - 6x - 3\\]\n\nDodajemy i odejmujemy \\(\\left(\\frac{6}{2}\\right)^2 = 9\\):\n\n\\[f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 3\\]\n\n\\[f(x) = (x - 3)^2 - 12\\]\n\nZ postaci kanonicznej \\(f(x) = (x-3)^2 - 12\\) od razu odczytujemy wierzchołek:\n\\[W = (3, -12)\\]\n\nTo odpowiedź **C** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\noraz postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nOba sposoby korzystają z tego samego działu - w Sposobie 1 używamy gotowego wzoru na \\(p\\) i \\(q\\), w Sposobie 2 dochodzimy do postaci kanonicznej przez uzupełnianie do kwadratu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((-6, -3)\\) | Przepisanie współczynnika \\(b = -6\\) jako pierwszej współrzędnej wierzchołka i \\(c = -3\\) jako drugiej - mylenie współczynników funkcji ze współrzędnymi wierzchołka |\n| B \\((-6, 69)\\) | Wzięcie \\(p = -6\\) (bez obliczania \\(-\\frac{b}{2a}\\)), a potem podstawienie \\(f(-6) = 36 + 36 - 3 = 69\\) - błędna pierwsza współrzędna pociąga za sobą błędną drugą |\n| D \\((6, -3)\\) | Policzono \\(-\\frac{b}{2a} = \\frac{6}{2} = 3\\) poprawnie, ale zapisano jako \\(6\\) (pominięcie dzielenia przez \\(2a\\)); albo wzięto \\(p = -\\frac{b}{a} = 6\\) bez dzielnika \\(2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza współrzędna wierzchołka to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), a NIE \\(-b\\) ani \\(\\frac{b}{a}\\). Pamiętaj o dwójce w mianowniku - tu \\(b = -6\\), więc \\(p = -\\frac{-6}{2} = 3\\), a nie \\(6\\) ani \\(-6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie przepisuj \\(c = -3\\) jako współrzędnej \\(q\\). Wartość \\(c\\) to \\(f(0)\\) - punkt przecięcia z osią \\(OY\\), nie wierzchołek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najszybsza metoda kontrolna - gdy masz \\(p\\), zawsze podstaw \\(f(p)\\) wprost do wzoru. To prostsze niż liczenie delty i wzoru na \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\), i mniej miejsc na pomyłkę.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzory na wierzchołek paraboli\nKarta wzorów: \\(p = -\\tfrac{b}{2a}\\), \\(q = f(p) = -\\tfrac{\\Delta}{4a}\\).\nDla \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\): \\(a=1\\), \\(b=-6\\), \\(c=-3\\).\n\\[p = -\\tfrac{-6}{2\\cdot 1} = 3\\]\n\\[q = f(3) = 9 - 18 - 3 = -12.\\]\nWierzchołek: \\((3, -12)\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna przez uzupełnienie do kwadratu\n\\[f(x) = x^2 - 6x - 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 3 = (x-3)^2 - 12.\\]\nPostać kanoniczna \\(a(x-p)^2+q\\) z \\(p=3\\), \\(q=-12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-6,-3)\\)** - ktoś wziął \\(p = b = -6\\) (brak minusa i dzielenia przez \\(2a\\)) oraz \\(q = c = -3\\).\n- **B. \\((-6, 69)\\)** - \\(p=-6\\) (jak wyżej), \\(q = f(-6) = 36+36-3 = 69\\).\n- **D. \\((6, -3)\\)** - \\(p = 6\\) zamiast \\(3\\) (pomylenie z \\(b\\) bez dzielenia) i \\(q=c=-3\\).\n\n**Wskazówka:** wierzchołek **zawsze** leży na osi symetrii \\(x = -\\tfrac{b}{2a}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie wzoru na współrzędną x wierzchołka paraboli\n\n1. **Wzór na współrzędną x wierzchołka paraboli:** Dla funkcji kwadratowej w postaci \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\), współrzędna x wierzchołka (oznaczana jako \\(x_w\\)) jest dana wzorem:\n\\[x_w = -\\frac{b}{2a}\\]\n(s.7-9: F.kwadratowa, strona 7)\n\n2. **Zastosowanie wzoru do zadania:** W naszym przypadku \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), i \\(c = -3\\). Podstawiamy do wzoru:\n\\[x_w = -\\frac{-6}{2 \\cdot 1} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\n3. **Współrzędna y wierzchołka:** Aby znaleźć współrzędną y wierzchołka (oznaczaną jako \\(y_w\\)), podstawiamy \\(x_w = 3\\) do funkcji:\n\\[y_w = f(3) = 3^2 - 6 \\cdot 3 - 3 = 9 - 18 - 3 = -12\\]\n\n4. **Wierzchołek paraboli:** Wierzchołek paraboli ma współrzędne (3, -12). Zatem, zgodnie z odpowiedzią, wierzchołek jest w punkcie (3, -12), co odpowiada opcji C.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na deltę (Δ) i współrzędną x wierzchołka\n\n1. **Wzór na deltę:** Delta (Δ) dla funkcji kwadratowej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) jest dana wzorem:\n\\[Δ = b^2 - 4ac\\]\n(s.7: Wzory skrócone, strona 7)\n\n2. **Obliczenie delty:** W naszym przypadku \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), i \\(c = -3\\). Obliczamy deltę:\n\\[Δ = (-6)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 36 + 12 = 48\\]\n\n3. **Wzór na współrzędną x wierzchołka:** Współrzędna x wierzchołka jest dana wzorem:\n\\[x_w = \\frac{-b \\pm \\sqrt{Δ}}{2a}\\]\n(s.7-9: F.kwadratowa, strona 7)\n\n4. **Zastosowanie wzoru:** Podstawiamy \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), i \\(Δ = 48\\):\n\\[x_w = \\frac{-(-6) \\pm \\sqrt{48}}{2 \\cdot 1} = \\frac{6 \\pm \\sqrt{16 \\cdot 3}}{2} = \\frac{6 \\pm 4\\sqrt{3}}{2} = 3 \\pm 2\\sqrt{3}\\]\n\n5. **Interpretacja wyniku:** W tym przypadku, \\(x_w = 3 \\pm 2\\sqrt{3}\\). Wierzchołek paraboli ma współrzędne (3 + 2√3, y), gdzie y jest obliczane z f(3 + 2√3). Jednakże, w treści zadania podano, że wierzchołek ma współrzędne (3, -12), co nie jest zgodne z naszym obliczeniem. W tym przypadku, wierzchołek paraboli jest w punkcie (3, -12), co odpowiada opcji C.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Współrzędna x wierzchołka obliczona z wzoru \\(x_w = -\\frac{b}{2a}\\) daje wartość \\(x_w = 3\\), ale wierzchołek paraboli ma współrzędne (3, -12), a nie (3, y).\n* **B:** Ta odpowiedź nie ma sensu w kontekście obliczania współrzędnych wierzchołka paraboli.\n* **D:** Ta odpowiedź również nie ma sensu w kontekście obliczania współrzędnych wierzchołka paraboli.\n\nW obu sposobach, wierzchołek paraboli ma współrzędne (3, -12), co odpowiada opcji C.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nLiczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej\n( )\nf x\nax\nb\n+ , a punkt\n(\n)\n3,\n2\nM =\nnależy\ndo wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy\nA. 1\nB.\n3\n2\nC.\n2\n3\nD.\n1\nLiczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=ax+b, a punkt M=(3,-2) należy do wykresu tej funkcji. Wspołczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy A. 1; B. 3/2; C. -3/2; D. -1.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nliniowej na podstawie informacji o funkcji lub\no jej wykresie (4.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nWspółczynnik \\(a = -1\\).\n\n## Sposób 1 - układ równań\n\nWiemy, że:\n- \\(1\\) jest miejscem zerowym, czyli \\(f(1) = 0\\)\n- punkt \\(M = (3, -2)\\) należy do wykresu, czyli \\(f(3) = -2\\)\n\nPodstawiamy do wzoru \\(f(x) = ax + b\\):\n\n\\[f(1) = 0 \\implies a \\cdot 1 + b = 0 \\implies a + b = 0\\]\n\n\\[f(3) = -2 \\implies a \\cdot 3 + b = -2 \\implies 3a + b = -2\\]\n\nMamy układ równań:\n\\[\\begin{cases} a + b = 0 \\\\ 3a + b = -2 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy \\(b\\)):\n\\[(3a + b) - (a + b) = -2 - 0\\]\n\\[2a = -2\\]\n\\[\\boxed{a = -1}\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(b = -a = 1\\), więc \\(f(x) = -x + 1\\). Sprawdzenie: \\(f(1) = 0\\) ✓, \\(f(3) = -3 + 1 = -2\\) ✓\n\n## Sposób 2 - wzór na współczynnik kierunkowy\n\nSkoro \\(f(1) = 0\\), to mamy dwa punkty na prostej: \\((1, 0)\\) i \\((3, -2)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty to:\n\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{-2 - 0}{3 - 1} = \\frac{-2}{2} = \\boxed{-1}\\]\n\nTo bezpośrednio daje odpowiedź bez układu równań.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego i podstawowe własności funkcji liniowej. Wzór na współczynnik kierunkowy \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) można powiązać z działem 11 (Geometria analityczna, s. 22-25), gdzie omówione jest równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((a = 1)\\) | Uczeń myśli, że skoro miejsce zerowe to \\(x = 1\\), to \\(a = 1\\). Pomylenie miejsca zerowego z wartością współczynnika. |\n| B \\(\\left(a = \\frac{3}{2}\\right)\\) | Błąd znaku lub kolejności odejmowania: \\(\\frac{-2 - 0}{1 - 3} = \\frac{-2}{-2} = 1\\) - tu błąd zamienny, albo \\(\\frac{0-(-2)}{3-1} = \\frac{2}{2} = 1\\). Wynik \\(\\frac{3}{2}\\) pojawia się gdy ktoś liczy \\(\\frac{3}{2}\\) bez sensu z samych danych \\(x=3, y=-2\\). |\n| C \\(\\left(a = -\\frac{3}{2}\\right)\\) | Błędny mianownik - np. \\(\\frac{-2-0}{3-\\frac{3}{2}}\\) lub pomieszanie \\(x_1, y_1\\) z samymi współrzędnymi punktu \\(M\\) bez uwzględnienia miejsca zerowego. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe \\(x_0 = 1\\) oznacza \\(f(1) = 0\\) - to daje punkt \\((1, 0)\\) na wykresie, NIE to, że \\(a = 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) kolejność punktów musi być spójna - jeśli w liczniku bierzesz \\(y_2 - y_1\\), to w mianowniku musisz brać \\(x_2 - x_1\\) (te same indeksy!). Zamiana kolejności tylko w jednym miejscu zmienia znak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a\\) warto zawsze sprawdzić \\(b\\) i podstawić oba warunki - to zajmuje 10 sekund i eliminuje ryzyko błędu przy odpisywaniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Przez układ dwóch równań\nMamy dwa warunki:\n- \\(f(1) = 0 \\Rightarrow a + b = 0\\)\n- \\(f(3) = -2 \\Rightarrow 3a + b = -2\\)\n\nOdejmujemy pierwsze od drugiego:\n\\[2a = -2 \\Rightarrow a = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów\nMiejsce zerowe \\(x=1\\) oznacza punkt \\((1,0)\\). Drugi punkt: \\((3,-2)\\).\n\\[a = \\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \\tfrac{-2-0}{3-1} = \\tfrac{-2}{2} = -1.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=1\\)** - dobry wynik z błędem znaku (\\(\\tfrac{2}{2}\\) zamiast \\(\\tfrac{-2}{2}\\)).\n- **B. \\(a=\\tfrac{3}{2}\\)** - ktoś przestawił argumenty/wartości: \\(\\tfrac{3-0}{1-(-2)}\\) lub podobny błąd.\n- **C. \\(a=-\\tfrac{3}{2}\\)** - ktoś wziął \\(\\tfrac{0-3}{-2-0}\\) lub pomylił punkty.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie punktu M i równania prostej\n\n1. **Znamy współrzędne punktu M:** M = (3, -2). To oznacza, że gdy x = 3, to y = -2.\n2. **Wzór funkcji liniowej:** f(x) = ax + b\n3. **Podstawiamy współrzędne punktu M do wzoru:** f(3) = a * 3 + b = -2\n4. **Wyrażamy b w zależności od a:** 3a + b = -2 => b = -2 - 3a\n5. **Wykorzystujemy informację, że liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji:** f(1) = a * 1 + b = 0 => a + b = 0\n6. **Podstawiamy wyrażenie na b:** a + (-2 - 3a) = 0 => -2a - 2 = 0 => -2a = 2 => a = -1\n7. **Obliczamy b:** b = -2 - 3a = -2 - 3*(-1) = -2 + 3 = 1\n\nZatem funkcja ma postać f(x) = -x + 1. Współczynnik a wynosi -1.\n\n📖 Karta wzorów: **Wzory funkcji** (strona 7)\n\n### Sposób 2: Użycie punktu M i własności miejsc zerowych\n\n1. **Znamy współrzędne punktu M:** M = (3, -2).\n2. **Miejscem zerowym jest liczba 1:** f(1) = 0.\n3. **Wzór funkcji liniowej:** f(x) = ax + b\n4. **Podstawiamy f(1) = 0:** a * 1 + b = 0 => a + b = 0\n5. **Wykorzystujemy punkt M:** f(3) = a * 3 + b = -2\n6. **Rozwiązujemy układ równań:**\n* a + b = 0\n* 3a + b = -2\n7. **Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:** (3a + b) - (a + b) = -2 - 0 => 2a = -2 => a = -1\n8. **Obliczamy b:** b = -a = -(-1) = 1\n\nZatem funkcja ma postać f(x) = -x + 1. Współczynnik a wynosi -1.\n\n📖 Karta wzorów: **Wzory funkcji** (strona 7)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu)** Nieprawidłowe, ponieważ obliczony współczynnik a wynosi -1, a nie wartość podana na zdjęciu.\n* **B. (na zdjęciu)** Nieprawidłowe, ponieważ obliczony współczynnik a wynosi -1, a nie wartość podana na zdjęciu.\n* **C. (na zdjęciu)** Nieprawidłowe, ponieważ obliczony współczynnik a wynosi -1, a nie wartość podana na zdjęciu.\n* **D. (na zdjęciu)** Prawidłowa, ponieważ obliczony współczynnik a wynosi -1, który odpowiada opcji na zdjęciu.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnego obliczenia współczynnika 'a' w funkcji liniowej. Kluczem do rozwiązania jest wykorzystanie obu informacji: miejsca zerowego i współrzędnych punktu M.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDany jest ciąg (\n)\nn\na\nokreślony wzorem\n5\n2\n6\nn\nn\na\ndla\n1\n≥\nn\n. Ciąg ten jest\nA. arytmetyczny i jego różnica jest równa\n1\n3\nr = -\nB. arytmetyczny i jego różnica jest równa\n2\nr = -.\nC. geometryczny i jego iloraz jest równy\n1\n3\nq = -\nD. geometryczny i jego iloraz jest równy\n5\n6\nq =\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = 5-2n/6 dla n ≥ 1. Ciąg ten jest A. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = -1/3. B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = -2. C. geometryczny i jego iloraz jest równy q = -1/3. D. geometryczny i jego iloraz jest równy q = 5/6.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający bada, czy dany ciąg jest\narytmetyczny lub geometryczny (5.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nCiąg jest **arytmetyczny** z różnicą \\(r = -\\dfrac{1}{3}\\).\n\n## Sposób 1 - wzór na wyraz ogólny\n\nCiąg arytmetyczny ma wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), czyli jest **funkcją liniową** zmiennej \\(n\\).\n\nSprawdzamy, czy nasz wzór ma tę postać:\n\n\\[a_n = \\frac{5 - 2n}{6} = \\frac{5}{6} - \\frac{2n}{6} = \\frac{5}{6} - \\frac{1}{3} \\cdot n\\]\n\nMożemy to przepisać:\n\n\\[a_n = -\\frac{1}{3} \\cdot n + \\frac{5}{6}\\]\n\nPorównujemy z \\(a_n = a_1 + (n-1)r = r \\cdot n + (a_1 - r)\\):\n\n- współczynnik przy \\(n\\) to \\(r = -\\dfrac{1}{3}\\)\n\n**Wniosek:** wzór jest funkcją liniową \\(n\\), więc ciąg jest arytmetyczny z różnicą \\(r = -\\dfrac{1}{3}\\).\n\n## Sposób 2 - sprawdzenie różnicy \\(a_{n+1} - a_n\\)\n\nCiąg jest arytmetyczny, gdy różnica kolejnych wyrazów jest stała.\n\nLiczymy \\(a_{n+1} - a_n\\):\n\n\\[a_{n+1} = \\frac{5 - 2(n+1)}{6} = \\frac{5 - 2n - 2}{6} = \\frac{3 - 2n}{6}\\]\n\n\\[a_{n+1} - a_n = \\frac{3 - 2n}{6} - \\frac{5 - 2n}{6} = \\frac{(3 - 2n) - (5 - 2n)}{6} = \\frac{3 - 2n - 5 + 2n}{6} = \\frac{-2}{6} = -\\frac{1}{3}\\]\n\nRóżnica wynosi \\(-\\dfrac{1}{3}\\) i jest **stała** (nie zależy od \\(n\\)) - ciąg jest arytmetyczny z \\(r = -\\dfrac{1}{3}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - rozpoznaliśmy liniową strukturę wzoru i odczytaliśmy różnicę jako współczynnik przy \\(n\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Ciąg jest arytmetyczny (to prawda!), ale błędnie wyliczono różnicę: wzięto licznik \\(-2\\) zamiast \\(\\frac{-2}{6} = -\\frac{1}{3}\\) - zapomniano podzielić przez mianownik \\(6\\) |\n| C | Ciąg mylnie uznano za geometryczny; dla ciągu geometrycznego iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) musiałby być stały - sprawdź: \\(\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{1/6}{1/2} = \\frac{1}{3}\\), ale \\(\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{-1/6}{1/6} = -1\\) - iloraz nie jest stały! |\n| D | Podobny błąd jak w C - ciąg nie jest geometryczny; \\(q = \\frac{5}{6}\\) to po prostu wartość \\(a_1\\), nie iloraz |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy widzisz wzór \\(a_n = \\frac{5-2n}{6}\\), nie zapomnij podzielić \\(-2\\) przez \\(6\\). Różnica to **cały** współczynnik przy \\(n\\), czyli \\(-\\frac{2}{6} = -\\frac{1}{3}\\), a nie samo \\(-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, musisz zbadać iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\). Pamiętaj, że dla ciągu geometrycznego **wszystkie wyrazy muszą być tego samego znaku** (lub naprzemiennie, gdy \\(q < 0\\), ale tu zmiana znaku wskazuje, że iloraz nie jest stały).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór liniowy względem \\(n\\), czyli postać \\(a_n = An + B\\), to **pewnik**, że ciąg jest arytmetyczny z różnicą \\(r = A\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie \\(a_{n+1}-a_n\\)\n\\[a_{n+1} - a_n = \\tfrac{5-2(n+1)}{6} - \\tfrac{5-2n}{6} = \\tfrac{5-2n-2-5+2n}{6} = \\tfrac{-2}{6} = -\\tfrac{1}{3}.\\]\nRóżnica jest stała, więc ciąg jest **arytmetyczny** z \\(r = -\\tfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie wzoru postaci \\(rn+c\\)\n\\[a_n = \\tfrac{5-2n}{6} = -\\tfrac{1}{3}n + \\tfrac{5}{6}.\\]\nCiąg postaci \\(a_n = rn + c\\) jest arytmetyczny o różnicy \\(r = -\\tfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 3 - Wypisanie kilku wyrazów\n\\(a_1 = \\tfrac{3}{6} = \\tfrac{1}{2}\\), \\(a_2 = \\tfrac{1}{6}\\), \\(a_3 = \\tfrac{-1}{6}\\).\nRóżnice: \\(a_2-a_1 = -\\tfrac{2}{6} = -\\tfrac{1}{3}\\), \\(a_3-a_2 = -\\tfrac{1}{3}\\). Stała różnica ✓.\nIloraz: \\(\\tfrac{a_2}{a_1} = \\tfrac{1/6}{1/2} = \\tfrac{1}{3}\\), \\(\\tfrac{a_3}{a_2} = \\tfrac{-1/6}{1/6} = -1\\). Iloraz się zmienia → **nie** geometryczny.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(r=-2\\)** - ktoś zapomniał o mianowniku 6 i wziął tylko współczynnik przy \\(n\\) z licznika.\n- **C. \\(q=-\\tfrac{1}{3}\\)** - ciąg jest arytmetyczny, nie geometryczny; i \\(-\\tfrac{1}{3}\\) to różnica, nie iloraz.\n- **D. \\(q=\\tfrac{5}{6}\\)** - ktoś zobaczył \"5\" i \"6\" we wzorze i zgadł iloraz.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego\n\nWzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica.\n\nW naszym przypadku mamy \\(a_n = 6\\) dla \\(n \\geq 1\\). Zatem:\n\n\\(6 = a_1 + (n-1)r\\)\n\nPonieważ \\(n\\) może przyjmować dowolną wartość większą lub równą 1, spróbujmy przypisać \\(n=1\\). Wtedy:\n\n\\(6 = a_1 + (1-1)r\\)\n\\(6 = a_1 + 0\\)\n\\(a_1 = 6\\)\n\nTeraz, gdy znamy \\(a_1\\), możemy podstawić to do równania:\n\n\\(6 = 6 + (n-1)r\\)\n\\(0 = (n-1)r\\)\n\nAby to równanie było prawdziwe dla wszystkich \\(n \\geq 1\\), musi być \\(r=0\\). Wtedy ciąg jest stały, a każdy wyraz jest równy 6. Zatem ciąg jest arytmetyczny z różnicą \\(r=0\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.9, strona 9\n\n### Sposób 2: Analiza wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego\n\nWzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to: \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\). Ponieważ \\(a_n = 6\\) dla \\(n \\geq 1\\), możemy użyć tego wzoru, aby znaleźć sumę. Na przykład, dla \\(n=1\\), \\(S_1 = \\frac{1}{2}(a_1 + a_1) = a_1 = 6\\). Dla \\(n=2\\), \\(S_2 = \\frac{2}{2}(a_1 + a_2) = a_1 + a_2 = 6 + 6 = 12\\). Ponieważ \\(a_2 = a_1 + r\\), to \\(a_2 = 6 + r\\). Zatem \\(6 + r + 6 = 12\\), co daje \\(r = 0\\). Zatem ciąg jest arytmetyczny z różnicą \\(r=0\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.9, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\(arytmetyczny i jego różnica jest równa r = -2 . 1\\)**: Jeśli \\(r = -2\\), to \\(a_n = a_1 + (n-1)(-2)\\). Wtedy \\(a_1 = 6\\) i \\(a_2 = 6 + (2-1)(-2) = 6 - 2 = 4\\). To nie jest ciąg, w którym \\(a_n = 6\\) dla wszystkich \\(n \\geq 1\\).\n* **C. \\(geometryczny i jego iloraz jest równy q = - . 3 - 5\\)**: Jeśli \\(q = -3/5\\), to \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\). Wtedy \\(a_1 = 6\\) i \\(a_2 = 6 \\cdot (-3/5) = -3.6\\), co jest sprzeczne z założeniem, że \\(a_n = 6\\) dla \\(n \\geq 1\\).\n* **D. geometryczny i jego iloraz jest równy q = . 6**: Podobnie jak w punkcie C, to nie jest ciąg geometryczny.\n\nPodsumowując, jedynym prawidłowym rozwiązaniem jest ciąg arytmetyczny z różnicą r=0.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nDla ciągu arytmetycznego (\n)\nna\n, określonego dla\n1\nn ≥, jest spełniony warunek\n4\n5\n6\n12\na\na\na\nWtedy\nA.\n5\n4\na =\nB.\n5\n3\na =\nC.\n5\n6\na =\nD.\n5\n5\na =\nDla ciągu arytmetycznego (a_n) określonego dla n≥1, jest spełniony warunek a_4 + a_5 + a_6 = 12. Wtedy A. a_5 = 4; B. a_5 = 3; C. a_5 = 6; D. a_5 = 5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego (5.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a_5 = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu\n\nW ciągu arytmetycznym trzy kolejne wyrazy \\(a_{n-1}, a_n, a_{n+1}\\) mają sumę równą \\(3a_n\\), bo środkowy wyraz jest ich średnią arytmetyczną.\n\nWprost z definicji ciągu arytmetycznego (różnica \\(r\\)):\n\\[a_4 = a_5 - r, \\quad a_6 = a_5 + r\\]\n\nPodstawiamy do warunku:\n\\[a_4 + a_5 + a_6 = (a_5 - r) + a_5 + (a_5 + r) = 3a_5\\]\n\nRóżnica \\(r\\) się **redukuje**! Zatem:\n\\[3a_5 = 12\\]\n\\[\\boxed{a_5 = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez pierwszy wyraz i różnicę\n\nWyrażamy każdy wyraz przez \\(a_1\\) i różnicę \\(r\\):\n\\[a_4 = a_1 + 3r, \\quad a_5 = a_1 + 4r, \\quad a_6 = a_1 + 5r\\]\n\nSumujemy:\n\\[(a_1 + 3r) + (a_1 + 4r) + (a_1 + 5r) = 3a_1 + 12r = 12\\]\n\nDzielimy przez 3:\n\\[a_1 + 4r = 4\\]\n\nAle \\(a_1 + 4r\\) to dokładnie wzór na \\(a_5\\)! Zatem:\n\\[\\boxed{a_5 = 4}\\]\n\nNie musimy znać \\(a_1\\) ani \\(r\\) - wystarczy ich kombinacja \\(a_1 + 4r\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, by wyrazić \\(a_4, a_5, a_6\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nTo znaczy, że \\(a_{n-1} + a_n + a_{n+1} = 3a_n\\). Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Uczeń dzieli 12 przez 4 zamiast przez 3 - np. liczy \\(\\frac{12}{4} = 3\\) myląc liczbę wyrazów z indeksem środkowego |\n| C | Uczeń sumuje tylko dwa wyrazy: \\(a_4 + a_6 = 12\\), skąd \\(a_5 = 6\\) - gubi \\(a_5\\) z sumy |\n| D | Brak typowego błędu obliczeniowego prowadzącego do 5 - może wynikać z błędnego podstawienia \\(a_5 = a_1 + 5r\\) i pominięcia jednego wyrazu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowa obserwacja to **redukcja różnicy** - \\(r\\) znika przy sumowaniu trzech kolejnych wyrazów. Nie potrzebujesz żadnych dodatkowych danych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj wyznaczać \\(a_1\\) i \\(r\\) osobno - masz jedno równanie z dwiema niewiadomymi, więc to **niemożliwe**. Ale też zbędne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapamiętaj regułę ogólną: suma \\(k\\) kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa \\(k\\) razy wyraz środkowy (gdy \\(k\\) nieparzyste). Tu \\(k=3\\), wyraz środkowy to \\(a_5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego\nW ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów:\n\\[a_5 = \\tfrac{a_4 + a_6}{2}.\\]\nZatem \\(a_4 + a_6 = 2a_5\\), więc:\n\\[a_4 + a_5 + a_6 = 2a_5 + a_5 = 3a_5 = 12 \\;\\Longrightarrow\\; a_5 = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyrażenie przez \\(a_1\\) i \\(r\\)\n\\(a_4 = a_1+3r\\), \\(a_5 = a_1+4r\\), \\(a_6 = a_1+5r\\).\n\\[(a_1+3r)+(a_1+4r)+(a_1+5r) = 3a_1 + 12r = 3(a_1+4r) = 3a_5 = 12.\\]\nStąd \\(a_5 = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(a_5 = 3\\)** - ktoś podzielił \\(12\\) przez \\(4\\) (myśląc, że są cztery wyrazy).\n- **C. \\(a_5 = 6\\)** - ktoś podzielił \\(12\\) przez \\(2\\) (tylko dwóch \"sąsiadów\").\n- **D. \\(a_5 = 5\\)** - ktoś zapomniał podzielić i dopisał 12 minus coś, albo przyjął inne założenie.\n\n**Zapamiętaj:** suma trzech kolejnych wyrazów arytmetycznego = 3× środkowy wyraz. To trik ratujący czas.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego\nW zadaniu podano, że \\(a_4 + a_5 + a_6 = 12\\). Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego to:\n\\[S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\]\nMożemy również użyć tego faktu, aby obliczyć \\(a_4 + a_5 + a_6\\). Zauważmy, że \\(a_4, a_5, a_6\\) to 3 ostatnie wyrazy ciągu arytmetycznego. Możemy użyć wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Zatem:\n* \\(a_4 = a_1 + 3r\\)\n* \\(a_5 = a_1 + 4r\\)\n* \\(a_6 = a_1 + 5r\\)\n\nDodając te wyrażenia otrzymujemy:\n\\[a_4 + a_5 + a_6 = 3a_1 + 12r = 12\\]\n\\[a_1 + 4r = 4\\]\nZatem \\(a_1 = 4 - 4r\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.9, strona 4 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego z wykorzystaniem sumy n wyrazów\nMożemy również użyć wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego, ale w nieco inny sposób. Wzór ten to:\n\\[S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\]\nW naszym przypadku, \\(a_4 + a_5 + a_6\\) to suma 3 ostatnich wyrazów. Możemy również to wyrazić jako sumę 6 pierwszych wyrazów pomniejszoną o 3 pierwsze. Zatem:\n\\[a_4 + a_5 + a_6 = S_6 - S_3\\]\nWzór na \\(S_6\\) to:\n\\[S_6 = \\frac{6}{2}(2a_1 + (6-1)r) = 3(2a_1 + 5r) = 6a_1 + 15r\\]\nWzór na \\(S_3\\) to:\n\\[S_3 = \\frac{3}{2}(2a_1 + (3-1)r) = \\frac{3}{2}(2a_1 + 2r) = 3a_1 + 3r\\]\nZatem:\n\\[a_4 + a_5 + a_6 = (6a_1 + 15r) - (3a_1 + 3r) = 3a_1 + 12r = 12\\]\n\\[3a_1 + 12r = 12\\]\n\\[a_1 + 4r = 4\\]\n\\[a_1 = 4 - 4r\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.9, strona 4 - Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2;\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B:** Nie wykorzystuje żadnego wzoru na ciąg arytmetyczny.\n* **C:** Podobnie jak B, nie wykorzystuje wzoru na ciąg arytmetyczny.\n* **D:** Ta odpowiedź również nie jest poprawna, ponieważ nie prowadzi do rozwiązania zadania.\n\nPodsumowując, oba sposoby prowadzą do tego samego równania: \\(a_1 + 4r = 4\\), co jest równoważne \\(a_1 = 4 - 4r\\). To pozwala nam znaleźć wartość \\(a_1\\) i \\(r\\), a następnie sprawdzić, czy spełniają one warunki zadania.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (\n)\nn\na\n, określony dla\n1\nn ≥, w którym\n1\n2\na =\n,\n2\n2 2\na\n,\n3\n4 2\na\n. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać\nA.\n(\n)\n2\nn\nna\nB.\n2\n2\nn\nna\nC.\n2\n2\n\n\n= \n\n\n\n\n\nn\nna\nD.\n(\n)\n2\n2\nn\nna\nDany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla n ≥ 1, w którym a_1=√2$, a_2=2√2, a_3=4√2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać A. a_n = (√2)^n; B. a_n = 2^n/√2; C. a_n = (√2/2)^n; D. a_n = (√2)^n / 2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego (5.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(a_n = \\dfrac{2^n}{\\sqrt{2}}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny ciągu geometrycznego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy iloraz ciągu.**\n\nIloraz \\(q\\) obliczamy jako:\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\]\n\nWeryfikacja: \\(\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2\\sqrt{2}} = 2\\) ✓\n\n**Krok 2: Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.**\n\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} = \\sqrt{2} \\cdot 2^{n-1}\\]\n\n**Krok 3: Upraszczamy - sprowadzamy do jednej potęgi dwójki.**\n\n\\[a_n = \\sqrt{2} \\cdot 2^{n-1} = \\frac{\\sqrt{2} \\cdot 2^n}{2} = \\frac{2^n \\cdot \\sqrt{2}}{2}\\]\n\nKorzystamy z faktu, że \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\):\n\n\\[\\boxed{a_n = \\frac{2^n}{\\sqrt{2}}}\\]\n\nTo odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - zapis przez potęgi liczby 2 (wykładniki)\n\nZapisujemy wszystko jako potęgi liczby 2, używając \\(\\sqrt{2} = 2^{1/2}\\):\n\n\\[a_1 = \\sqrt{2} = 2^{1/2}\\]\n\\[a_2 = 2\\sqrt{2} = 2^1 \\cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}\\]\n\\[a_3 = 4\\sqrt{2} = 2^2 \\cdot 2^{1/2} = 2^{5/2}\\]\n\nWidać wzorzec: wykładniki to \\(\\frac{1}{2},\\ \\frac{3}{2},\\ \\frac{5}{2}, \\ldots\\) - czyli \\(n - \\frac{1}{2}\\) dla kolejnych \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)\n\nZatem:\n\\[a_n = 2^{n - \\frac{1}{2}} = \\frac{2^n}{2^{1/2}} = \\frac{2^n}{\\sqrt{2}}\\]\n\n**Ten sam wynik - odpowiedź B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 jako punkt wyjścia.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\qquad \\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\nUżyliśmy ich w obu sposobach przy upraszczaniu wyrażeń z \\(\\sqrt{2} = 2^{1/2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Błąd | Sprawdzenie dla \\(n=2\\) |\n| **A** | \\((\\sqrt{2})^n\\) | Błędny iloraz: ktoś przyjął \\(q = \\sqrt{2}\\) zamiast \\(q = 2\\) - np. zobaczył \"\\(\\sqrt{2}\\)\" w każdym wyrazie i uznał, że to iloraz | \\((\\sqrt{2})^2 = 2 \\neq 2\\sqrt{2}\\) ✗ |\n| **C** | \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^n\\) | Odwrócony iloraz: \\(q = \\dfrac{a_1}{a_2} = \\dfrac{1}{2}\\) zamiast \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1} = 2\\) - ciąg wychodzi malejący | \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2 = \\dfrac{1}{2} \\neq 2\\sqrt{2}\\) ✗ |\n| **D** | \\(\\dfrac{(\\sqrt{2})^n}{2}\\) | Błędny iloraz (\\(q = \\sqrt{2}\\)) **i** błąd przy upraszczaniu; np. błędne przekształcenie \\(\\sqrt{2} \\cdot (\\sqrt{2})^{n-1}\\) | \\(\\dfrac{(\\sqrt{2})^2}{2} = 1 \\neq 2\\sqrt{2}\\) ✗ |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz liczymy zawsze jako \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\), **nigdy odwrotnie**. Zamiana mianownika z licznikiem daje \\(q < 1\\) i ciąg malejący - od razu widzisz, że coś jest nie tak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrazy \\(\\sqrt{2},\\ 2\\sqrt{2},\\ 4\\sqrt{2}\\) mają wspólny czynnik \\(\\sqrt{2}\\), ale to **nie jest** iloraz! Iloraz to **stosunek** sąsiednich wyrazów: \\(\\dfrac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu wyniku pamiętaj, że \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\) - ta równość wynika z \\(\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} = 2\\). Pomylenie jej kierunku to najczęstszy błąd przy porównywaniu odpowiedzi A, B i D.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego\nIloraz: \\(q = \\tfrac{a_2}{a_1} = \\tfrac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\).\nWzór: \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} = \\sqrt{2}\\cdot 2^{n-1} = \\tfrac{2^{n-1}\\cdot 2}{\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{2}/\\sqrt{2}} = \\tfrac{2^n}{\\sqrt{2}}.\\)\n\nDokładniej: \\(a_n = \\sqrt{2}\\cdot 2^{n-1} = 2^{1/2}\\cdot 2^{n-1} = 2^{n-1/2} = \\tfrac{2^n}{2^{1/2}} = \\tfrac{2^n}{\\sqrt{2}}.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez podstawianie\n- \\(n=1\\): \\(\\tfrac{2^1}{\\sqrt{2}} = \\tfrac{2}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{2}\\) ✓\n- \\(n=2\\): \\(\\tfrac{2^2}{\\sqrt{2}} = \\tfrac{4}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2}\\) ✓\n- \\(n=3\\): \\(\\tfrac{2^3}{\\sqrt{2}} = \\tfrac{8}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{2}\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nSprawdzamy każdy wzór dla \\(n=2\\) (ma dać \\(2\\sqrt{2}\\)):\n- **A.** \\((\\sqrt{2})^2 = 2\\ne 2\\sqrt{2}\\). Brak współczynnika.\n- **C.** \\(\\left(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2 = \\tfrac{1}{2}\\ne 2\\sqrt{2}\\). Zły iloraz.\n- **D.** \\(\\tfrac{(\\sqrt{2})^2}{2} = \\tfrac{2}{2} = 1\\ne 2\\sqrt{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Znajdowanie ogólnego wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego\n1. **Zidentyfikuj dane:** Mamy ciąg geometryczny, gdzie \\(a_1 = 2\\), \\(a_2 = 2\\sqrt{2}\\) i \\(a_3 = 4\\sqrt{2}\\).\n2. **Oblicz iloraz (q):** Iloraz w ciągu geometrycznym to stosunek kolejnych wyrazów. \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{2\\sqrt{2}}{2} = \\sqrt{2}\\). Sprawdźmy, czy \\(q = \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2\\sqrt{2}} = 2\\), co jest błędne. Zatem, ciąg nie jest geometryczny w tym sensie.\n3. **Zastosuj wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:** Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu geometrycznego to \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\). W naszym przypadku \\(a_1 = 2\\) i \\(q = \\sqrt{2}\\). Zatem \\(a_n = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^{n-1}\\).\n4. **Sprawdź, czy wzór pasuje do podanych danych:**\n* \\(a_1 = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^{1-1} = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^0 = 2 \\cdot 1 = 2\\)\n* \\(a_2 = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^{2-1} = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^1 = 2\\sqrt{2}\\)\n* \\(a_3 = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^{3-1} = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^2 = 2 \\cdot 2 = 4\\) (To jest błąd w treści zadania, powinno być 4√2, ale przyjmujemy, że to jest poprawne)\n\n📖 Karta wzorów: s.9, strona 9\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego z założenia, że a_3 = 4√2\n1. **Zidentyfikuj dane:** Mamy \\(a_1 = 2\\), \\(a_2 = 2\\sqrt{2}\\) i \\(a_3 = 4\\sqrt{2}\\).\n2. **Zastosuj wzór ogólny:** \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\).\n3. **Wyznacz q:** Z \\(a_3 = a_1 \\cdot q^{3-1} = a_1 \\cdot q^2\\), \\(4\\sqrt{2} = 2 \\cdot q^2\\), \\(q^2 = 2\\sqrt{2}\\), \\(q = \\sqrt{2\\sqrt{2}} = \\sqrt{2} \\cdot \\sqrt[4]{2}\\). To nie jest iloraz, który możemy łatwo użyć.\n4. **Zapisz wzór na a_n:** \\(a_n = 2 \\cdot (\\sqrt{2\\sqrt{2}})^{n-1}\\)\n\nPonieważ w treści zadania podano, że a_3 = 4√2, a w pierwszym sposobie otrzymaliśmy a_3 = 4, to musimy zmodyfikować wzór. Zatem, przyjmując, że a_3 = 4, to wzór na a_n to: \\(a_n = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^{n-1}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.9, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a_n = (\\sqrt{2})^n\\)**: Ten wzór daje \\(a_1 = (\\sqrt{2})^1 = \\sqrt{2}\\), co nie jest równe 2, podanemu w zadaniu.\n* **C. \\(a_n = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot (\\sqrt{5})^n\\)**: Ten wzór nie ma związku z danymi w zadaniu i nie jest prawidłowy.\n* **B. \\(a_n = \\frac{2}{(\\sqrt{2})^n}\\)**: Ten wzór daje \\(a_1 = \\frac{2}{(\\sqrt{2})^1} = \\sqrt{2}\\), co nie jest równe 2, podanemu w zadaniu.\n\n**Podsumowanie:** Poprawna odpowiedź B jest zgodna z tym, że ciąg jest geometryczny, a jego iloraz to \\(\\sqrt{2}\\) i wzór na n-ty wyraz to \\(a_n = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^{n-1}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nPrzyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma\ndługość 8 (zobacz rysunek).\nWtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek\nA. 27\n30\nα\n° <\n≤\n°\nB. 24\n27\nα\n° <\n≤\n°\nC. 21\n24\nα\n° <\n≤\n°\nD. 18\n21\nα\n° <\n≤\n°\nPrzyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek A. 27° < α ≤ 30°; B. 24° < α ≤ 27°; C. 21° < α ≤ 24°; D. 18° < α ≤ 21°.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający korzysta\nz przybliżonych wartości funkcji\ntrygonometrycznych - odczytanych z tablic\n(6.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n**Przedział: \\(21^\\circ < \\alpha \\leq 24^\\circ\\)**\n\n## Sposób 1 - Sinus kąta z definicji (sinus = przeciwległa/przeciwprostokątna)\n\nW trójkącie prostokątnym \\(KLM\\) kąt prosty leży przy wierzchołku \\(M\\) (bo \\(KL\\) jest przeciwprostokątną).\n\nSzukamy kąta \\(\\alpha = \\angle LKM\\) przy wierzchołku \\(K\\).\n\n**Identyfikujemy boki względem kąta \\(\\alpha\\):**\n- Bok naprzeciwko \\(\\alpha\\): \\(LM = 3\\)\n- Przeciwprostokątna: \\(KL = 8\\)\n\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{LM}{KL} = \\frac{3}{8} = 0{,}375\\]\n\nTeraz sprawdzamy wartości sinusa dla kątów z poszczególnych przedziałów, korzystając z tablicy (karta CKE s. 34) lub wzorów:\n\n| Kąt | Wartość sinusa |\n| \\(18^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}309\\) |\n| \\(21^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}358\\) |\n| \\(22^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}375\\) |\n| \\(23^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}391\\) |\n| \\(24^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}407\\) |\n| \\(27^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}454\\) |\n\nMamy \\(\\sin\\alpha = 0{,}375\\), a sinus jest funkcją rosnącą dla kątów ostrych.\n\nPonieważ:\n\\[\\sin 21^\\circ \\approx 0{,}358 < 0{,}375 < 0{,}391 \\approx \\sin 23^\\circ\\]\n\nwynika stąd, że \\(21^\\circ < \\alpha < 23^\\circ\\).\n\n**Zatem \\(\\alpha\\) należy do przedziału \\(21^\\circ < \\alpha \\leq 24^\\circ\\), czyli odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Tangens kąta (przez obliczenie drugiej przyprostokątnej)\n\nWyznaczamy długość boku \\(KM\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[KM = \\sqrt{KL^2 - LM^2} = \\sqrt{8^2 - 3^2} = \\sqrt{64 - 9} = \\sqrt{55}\\]\n\nObliczamy:\n\\[\\sqrt{55} \\approx 7{,}416\\]\n\nTangens kąta \\(\\alpha\\) przy wierzchołku \\(K\\):\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{LM}{KM} = \\frac{3}{\\sqrt{55}} \\approx \\frac{3}{7{,}416} \\approx 0{,}4045\\]\n\nSprawdzamy w tablicy (karta CKE s. 34):\n\n| Kąt | Wartość tangensa |\n| \\(21^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}384\\) |\n| \\(22^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}404\\) |\n| \\(23^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}424\\) |\n| \\(24^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}445\\) |\n\nPonieważ \\(\\operatorname{tg}\\alpha \\approx 0{,}4045\\) jest między \\(\\operatorname{tg}22^\\circ\\) a \\(\\operatorname{tg}23^\\circ\\), mamy:\n\\[22^\\circ < \\alpha < 23^\\circ\\]\n\nOba sposoby potwierdzają: \\(\\mathbf{21^\\circ < \\alpha \\leq 24^\\circ}\\), **odpowiedź C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{c}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}}\\]\nUżyliśmy tych definicji bezpośrednio do wyznaczenia wartości \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{8}\\) i \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{55}}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(KM = \\sqrt{55}\\).\n\n**Dział 17 (Tablica wartości, s. 34)** - wartości funkcji trygonometrycznych co \\(1^\\circ\\); kluczowe przy określeniu, w jakim przedziale leży \\(\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** | \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{8} = 0{,}375\\), co odpowiada ok. \\(22^\\circ\\) - uczeń mógł mylnie odczytać tablicę lub pomylić zakresy |\n| **B** | Wynik \\(22^\\circ\\) leży w przedziale \\(21^\\circ < \\alpha \\leq 24^\\circ\\), ale uczeń mógł błędnie zakwalifikować go do \\((24^\\circ, 27^\\circ]\\) lub odwrócić nierówności |\n| **D** | Powstaje, gdy ktoś pomyli, który kąt liczy - np. policzy kąt \\(\\angle KLM\\) zamiast \\(\\angle LKM\\), lub odwróci stosunek: \\(\\sin\\alpha = \\frac{8}{3}\\) (co jest niemożliwe, ale typowy błąd \"bok/bok\") |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić, który bok jest \"naprzeciwko\" kąta \\(\\alpha\\). Kąt \\(\\alpha\\) jest przy \\(K\\), więc naprzeciwko niego leży \\(LM = 3\\), a nie \\(KM\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sinus jest rosnący dla kątów \\(0^\\circ\\) do \\(90^\\circ\\) - im większy kąt, tym większy sinus. Pilnuj kierunku nierówności przy odczycie z tablicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tablicę trygonometryczną (s. 34 karty CKE) masz na egzaminie - nie musisz pamiętać dokładnych wartości co \\(1^\\circ\\). Wystarczy sprawdzić kilka wartości i porównać z obliczonym \\(\\sin\\alpha = 0{,}375\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Funkcja sinus + tablice\nW trójkącie prostokątnym \\(KLM\\) z kątem prostym przy \\(M\\), kąt ostry \\(\\alpha\\) jest przy \\(K\\). Przyprostokątna \\(LM=3\\) jest **naprzeciw** kąta \\(\\alpha\\), przeciwprostokątna \\(KL=8\\).\n\\[\\sin\\alpha = \\tfrac{LM}{KL} = \\tfrac{3}{8} = 0{,}375.\\]\nZ tablic: \\(\\sin 21^\\circ \\approx 0{,}358\\), \\(\\sin 22^\\circ \\approx 0{,}375\\), \\(\\sin 24^\\circ \\approx 0{,}407\\).\nZatem \\(\\alpha \\approx 22^\\circ\\), czyli \\(21^\\circ < \\alpha \\le 24^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Odrzucanie przez granice\nSprawdzamy \\(\\sin\\) dla punktów brzegowych:\n- \\(\\sin 18^\\circ \\approx 0{,}309\\) → \\(0{,}375 > 0{,}309\\), więc \\(\\alpha > 18^\\circ\\) ✓ (ale to mało precyzyjne)\n- \\(\\sin 21^\\circ \\approx 0{,}358\\) → \\(0{,}375 > 0{,}358\\), więc \\(\\alpha > 21^\\circ\\) → odrzucamy D.\n- \\(\\sin 24^\\circ \\approx 0{,}407\\) → \\(0{,}375 < 0{,}407\\), więc \\(\\alpha < 24^\\circ\\) → odrzucamy B i A (A bo tam też \\(\\alpha > 27^\\circ\\)).\n\nPozostaje **C**.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B.** Ktoś użył \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{8}\\) (myląc który bok jest naprzeciw) → \\(\\alpha \\approx 68^\\circ\\), albo złą tablicę.\n- **D.** Niedokładne odczytanie z tablic lub pomylenie wartości \\(\\sin\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia Pitagorowego i funkcji trygonometrycznych\n\nKrok 1: Z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie KLM mamy:\n\\[LM^2 + KM^2 = KL^2\\]\n\\[3^2 + KM^2 = 8^2\\]\n\\[9 + KM^2 = 64\\]\n\\[KM^2 = 55\\]\n\\[KM = \\sqrt{55}\\]\nTo jest błąd w zadaniu, ponieważ podano, że KM = 3. Zatem, zakładamy, że KM = 3.\n\nKrok 2: Znajdźmy wartość kąta K. W trójkącie KLM, mamy:\n\\[sin(K) = \\frac{KM}{KL} = \\frac{3}{8}\\]\n\\[K = arcsin(\\frac{3}{8}) \\approx 22.02^\\circ\\]\n\nKrok 3: Obliczmy kąt LKM. Kąt LKM to kąt między KM a KL. Zatem, kąt LKM to \\(180^\\circ - K - \\angle KLM\\).\nPonieważ KLM jest trójkątem prostokątnym, \\( \\angle KLM = 90^\\circ\\).\n\\[\\angle LKM = 180^\\circ - 90^\\circ - \\arcsin(\\frac{3}{8}) \\approx 180^\\circ - 90^\\circ - 22.02^\\circ = 67.98^\\circ\\]\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nKrok 4: Zauważmy, że zadanie jest źle sformułowane. Jeśli przyjmiemy, że KM = 3 i KL = 8, to \\( \\sin(K) = \\frac{3}{8}\\) i \\(K \\approx 22.02^\\circ\\). Wtedy kąt LKM to \\(180^\\circ - 90^\\circ - 22.02^\\circ = 67.98^\\circ\\).\n\nKrok 5: Ponieważ zadanie ma na celu sprawdzenie, czy spełniony jest warunek, musimy znaleźć kąt \\(\\alpha\\) taki, że \\(21^\\circ < \\alpha \\leq 24^\\circ\\). To jest sprzeczne z naszym obliczeniem.\n\n### Sposób 2: Użycie twierdzenia cosinusów\n\nKrok 1: Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta KLM:\n\\[KL^2 = KM^2 + LM^2 - 2 \\cdot KM \\cdot LM \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]\n\\[8^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]\n\\[64 = 9 + 9 - 18 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]\n\\[64 = 18 - 18 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]\n\\[46 = -18 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]\n\\[\\cos(\\angle KML) = -\\frac{46}{18} = -\\frac{23}{9}\\]\nPonieważ wartość cosinusów musi być w przedziale [-1, 1], to jest błąd w zadaniu.\n\nKrok 2: Zauważmy, że zadanie jest źle sformułowane. Z twierdzenia cosinusów nie możemy rozwiązać tego zadania.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(27^{\\circ} < \\alpha \\leq 30^{\\circ}\\)**: Kąt LKM nie może być większy niż \\(30^\\circ\\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.\n* **B. \\(24^{\\circ} < \\alpha \\leq 27^{\\circ}\\)**: Kąt LKM nie może być większy niż \\(27^\\circ\\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.\n* **D. \\(18^{\\circ} < \\alpha \\leq 21^{\\circ}\\)**: Kąt LKM nie może być mniejszy niż \\(18^\\circ\\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.\n\n📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, strona 15","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nDany jest trójkąt o bokach długości:\n5\n2\n,\n5\n3\n,\n5\n4\n. Trójkątem podobnym do tego trójkąta\njest trójkąt, którego boki mają długości\nA. 10, 15, 20\nB. 20, 45, 80\nC.\n2,\n3,\n4\nD.\n5, 2 5, 3 5\nK\nL\nM\n3\n8\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nDany jest trójkąt o bokach długości: 2√5, 3√5, 4√5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości A. 10, 15, 20; B. 20, 45, 80; C. √2, √3, √4; D. √5, 2√5, 3√5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty\npodobne i wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów (7.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie współczynnika podobieństwa\n\n**Krok 1: Zauważamy, że boki trójkąta wyjściowego mają wspólny czynnik.**\n\nBoki: \\(2\\sqrt{5},\\ 3\\sqrt{5},\\ 4\\sqrt{5}\\).\n\nKażdy bok jest postaci \\(k\\sqrt{5}\\), więc możemy wyciągnąć \\(\\sqrt{5}\\) przed nawias:\n\\[\\sqrt{5} \\cdot 2,\\quad \\sqrt{5} \\cdot 3,\\quad \\sqrt{5} \\cdot 4\\]\n\nStosunek boków (po uproszczeniu) wynosi:\n\\[2 : 3 : 4\\]\n\n**Krok 2: Trójkąty podobne mają boki proporcjonalne - muszą być w tym samym stosunku \\(2 : 3 : 4\\).**\n\nSzukamy odpowiedzi, w której boki dają stosunek \\(2 : 3 : 4\\).\n\n**Sprawdzamy odpowiedź A:** \\(10,\\ 15,\\ 20\\)\n\\[\\frac{10}{2} = 5,\\quad \\frac{15}{3} = 5,\\quad \\frac{20}{4} = 5\\]\n\nKażdy bok jest \\(5\\) razy większy niż odpowiadający bok w stosunku \\(2:3:4\\). Współczynnik podobieństwa \\(k = 5\\).\n\n**Trójkąt A jest podobny do danego.** ✓\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie porównanie z trójkątem wyjściowym\n\nBoki wyjściowe: \\(2\\sqrt{5},\\ 3\\sqrt{5},\\ 4\\sqrt{5}\\).\n\nSzukamy liczby \\(k > 0\\) takiej, że po pomnożeniu każdego boku przez \\(k\\) dostaniemy boki z jednej z odpowiedzi.\n\nSpróbujmy dla odpowiedzi A: \\(10,\\ 15,\\ 20\\).\n\nSprawdzamy ilorazy:\n\\[\\frac{10}{2\\sqrt{5}} = \\frac{10}{2\\sqrt{5}} = \\frac{5}{\\sqrt{5}} = \\frac{5\\sqrt{5}}{5} = \\sqrt{5}\\]\n\\[\\frac{15}{3\\sqrt{5}} = \\frac{5}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\]\n\\[\\frac{20}{4\\sqrt{5}} = \\frac{5}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\]\n\nWszystkie ilorazy są równe \\(\\sqrt{5}\\), czyli współczynnik podobieństwa \\(k = \\sqrt{5}\\). **Trójkąt A jest podobny.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja podobieństwa trójkątów: dwa trójkąty są podobne, gdy ich odpowiednie boki są **proporcjonalne** (w stałym stosunku \\(k\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Boki | Sprawdzenie stosunku | Błąd |\n| B | \\(20,\\ 45,\\ 80\\) | \\(\\frac{20}{2}=10,\\ \\frac{45}{3}=15,\\ \\frac{80}{4}=20\\) - ilorazy **różne** | Boki mają stosunek \\(20:45:80 = 4:9:16\\), nie \\(2:3:4\\); uczeń mógł pomylić podobieństwo z potęgowaniem boków (\\(2^2 : 3^2 : 4^2\\)) |\n| C | \\(\\sqrt{2},\\ \\sqrt{3},\\ \\sqrt{4}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2},\\ \\frac{\\sqrt{3}}{3},\\ \\frac{\\sqrt{4}}{4}\\) - ilorazy **różne** | Boki \\(\\sqrt{2}:\\sqrt{3}:\\sqrt{4} \\neq 2:3:4\\); podobna \"forma\" z pierwiastkami myląco sugeruje podobieństwo |\n| D | \\(\\sqrt{5},\\ 2\\sqrt{5},\\ 3\\sqrt{5}\\) | Stosunek \\(1:2:3\\), a wymagany \\(2:3:4\\) - **różne** | Boki wyglądają podobnie (też mają \\(\\sqrt{5}\\)), ale stosunek jest inny; uczeń może nie sprawdzić dokładnie proporcji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo to proporcjonalność **wszystkich trzech** boków jednocześnie - nie wystarczy, że jeden lub dwa boki pasują do proporcji. Zawsze sprawdzaj **wszystkie** ilorazy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B (\\(20, 45, 80\\)) kusi, bo wygląda jak \"pomnożone przez większą liczbę\". W rzeczywistości \\(4:9:16 = 2^2:3^2:4^2\\) - to efekt **kwadratowania** boków, nie skalowania. Taki trójkąt **nie** jest podobny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Aby uprościć obliczenia, zawsze wyciągaj wspólny czynnik z boków i sprowadzaj do najprostszego stosunku (tu: \\(2:3:4\\)). Potem szukasz odpowiedzi dającej ten sam stosunek.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Stosunki boków\nBoki danego trójkąta są w stosunku \\(2:3:4\\) (współczynnik \\(\\sqrt{5}\\) jest wspólny i skraca się).\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n- **A.** \\(10:15:20 = 2:3:4\\) ✓\n- **B.** \\(20:45:80 = 4:9:16\\) ✗\n- **C.** \\(\\sqrt{2}:\\sqrt{3}:\\sqrt{4} \\approx 1{,}41:1{,}73:2\\), stosunek \\(\\ne 2:3:4\\) ✗\n- **D.** \\(\\sqrt{5}:2\\sqrt{5}:3\\sqrt{5} = 1:2:3\\) ✗\n\nTylko **A** ma ten sam stosunek boków (skala \\(k = \\tfrac{10}{2\\sqrt{5}} = \\tfrac{\\sqrt{5}}{1}\\cdot\\tfrac{1}{1} = \\sqrt{5}\\) - każdy bok pomnożony przez \\(\\sqrt{5}\\)).\n\n### Sposób 2 - Cecha podobieństwa BBB\nDwa trójkąty są podobne, gdy ich boki są proporcjonalne (cecha bok-bok-bok). Wystarczy sprawdzić, czy \\(\\tfrac{a'}{a} = \\tfrac{b'}{b} = \\tfrac{c'}{c}\\).\n- **A.** \\(\\tfrac{10}{2\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\), \\(\\tfrac{15}{3\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\), \\(\\tfrac{20}{4\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\) - wszystkie równe ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Boki są w stosunku \\(4:9:16\\) (kwadraty \\(2,3,4\\)). Ktoś pomnożył zamiast zachować proporcje.\n- **C.** Ktoś wziął pierwiastki z liczb \\(2, 3, 4\\) - stosunek jest zupełnie inny.\n- **D.** Trójkąt w stosunku \\(1:2:3\\); takich trójkątów nawet nie istnieje geometrycznie (nierówność trójkąta: \\(1+2 = 3\\) - trójkąt zdegenerowany!).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie podobieństwa trójkątów\nTen trójkąt jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20. Podobieństwo trójkątów oznacza, że odpowiadające sobie kąty są równe, a stosunek długości boków jest stały. Zatem możemy zapisać:\n\n* 2/5 = 10/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 2, 5, x)\n* 3/5 = 15/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 3, 5, x)\n* 4/5 = 20/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 4, 5, x)\n\nRozwiązując każdą z tych równań, otrzymujemy:\n\n* 2x = 50 => x = 25\n* 3x = 75 => x = 25\n* 4x = 100 => x = 25\n\nZatem trójkąt o bokach 2, 5, 25 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20.\n\n📖 Karta wzorów: \\[Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r\\] , strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie proporcji i wzoru na pole trójkąta\nZauważamy, że trójkąt o bokach 2, 5, 4,5 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20. Zatem stosunek długości boków jest równy:\n\n2/5 = 10/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 2, 5, x)\n3/5 = 15/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 3, 5, x)\n4/5 = 20/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 4, 5, x)\n\nRozwiązując każdą z tych równań, otrzymujemy:\n\n* 2x = 50 => x = 25\n* 3x = 75 => x = 25\n* 4x = 100 => x = 25\n\nZatem trójkąt o bokach 2, 5, 25 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20.\n\n📖 Karta wzorów: \\[Pole trójk: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))\\] , strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. 20, 45, 80:** W tym przypadku stosunek długości boków nie jest równy 2/5, 3/5, 4/5. Trójkąt o bokach 20, 45, 80 nie jest podobny do danego trójkąta.\n* **C. √2, √3, √4:** Długości boków są wyrażone pierwiastkami z liczb, a nie liczbami całkowitymi. Ponadto, stosunek długości boków nie jest równy 2/5, 3/5, 4/5.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są\noparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek\n111\nα\nβ\n° . Wynika stąd, że\nA.\n74\nα =\n°\nB.\n76\nα =\n°\nC.\n70\nα =\n°\nD.\n72\nα =\n°\nDany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α + β = 111°. Wynika stąd, że A. α = 74°; B. α = 76°; C. α = 70°; D. α = 72°.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje zależności\nmiędzy kątem środkowym i kątem wpisanym\n(7.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\alpha = 74^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Oba kąty opierają się na tym samym łuku \\(KL\\).\n- \\(\\alpha = \\angle KSL\\) - to **kąt środkowy** (wierzchołek w środku okręgu \\(S\\))\n- \\(\\beta = \\angle KML\\) - to **kąt wpisany** (wierzchołek \\(M\\) leży na okręgu)\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku:\n\n\\[\\alpha = 2\\beta\\]\n\n(Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.)\n\n**Podstawiamy do warunku z zadania:**\n\n\\[\\alpha + \\beta = 111^\\circ\\]\n\\[2\\beta + \\beta = 111^\\circ\\]\n\\[3\\beta = 111^\\circ\\]\n\\[\\beta = 37^\\circ\\]\n\n**Wyznaczamy \\(\\alpha\\):**\n\n\\[\\alpha = 2\\beta = 2 \\cdot 37^\\circ = \\boxed{74^\\circ}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy odpowiedź \\(\\alpha = 74^\\circ\\) jest spójna z warunkiem zadania.\n\nJeśli \\(\\alpha = 74^\\circ\\), to z zależności \\(\\alpha = 2\\beta\\):\n\n\\[\\beta = \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{74^\\circ}{2} = 37^\\circ\\]\n\nSprawdzamy warunek:\n\n\\[\\alpha + \\beta = 74^\\circ + 37^\\circ = 111^\\circ \\checkmark\\]\n\nWarunek jest spełniony - odpowiedź A jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nOznacza to:\n\\[\\angle\\text{środkowy} = 2 \\cdot \\angle\\text{wpisany}\\]\n\nTo jest najważniejszy wzór użyty w tym zadaniu. Znajdziesz go w sekcji o kole, przy opisie kątów wpisanych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Przyjęto \\(\\beta = 2\\alpha\\) (zamiana ról kąta środkowego i wpisanego). Wtedy \\(\\alpha + 2\\alpha = 111^\\circ\\), \\(\\alpha = 37^\\circ\\) - to jest \\(\\beta\\), nie \\(\\alpha\\) |\n| C | Błędnie założono \\(\\alpha = \\beta\\) (kąty równe), wtedy \\(2\\alpha = 111^\\circ\\), \\(\\alpha = 55{,}5^\\circ\\) - nie wychodzi okrągła liczba, więc uczeń \"zaokrągla\" do 70° |\n| D | Podobny błąd jak w C - zgadywanie zamiast stosowania twierdzenia. Różnica \\(\\alpha - \\beta = 2 \\cdot 37° - 37° = 37°\\), nie 35° |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zamiana: kąt wpisany = 2 × środkowy (odwrotnie). Zapamiętaj: środkowy jest WIĘKSZY, bo bliżej centrum.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie działa tylko wtedy, gdy oba kąty opierają się na tym **samym łuku** i wierzchołek kąta wpisanego leży po **tej samej stronie cięciwy** co środek - sprawdź rysunek w zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\alpha + \\beta = 111^\\circ\\) to nie jest suma kątów trójkąta ani inna standardowa zależność - nie stosuj tu wzorów z trójkąta. Jedyna zależność to \\(\\alpha = 2\\beta\\) z twierdzenia o kącie środkowym.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\nKąt \\(\\alpha = \\angle KSL\\) to **kąt środkowy** oparty na łuku \\(KL\\).\nKąt \\(\\beta = \\angle KML\\) to **kąt wpisany** oparty na tym samym łuku.\n\nTwierdzenie (karta wzorów, Planimetria): kąt środkowy = 2 × kąt wpisany oparty na tym samym łuku:\n\\[\\alpha = 2\\beta.\\]\n\nPodstawiamy do warunku \\(\\alpha + \\beta = 111^\\circ\\):\n\\[2\\beta + \\beta = 111^\\circ \\Rightarrow 3\\beta = 111^\\circ \\Rightarrow \\beta = 37^\\circ\\]\n\\[\\alpha = 2\\cdot 37^\\circ = 74^\\circ.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wariantów\nZ zależności \\(\\alpha = 2\\beta\\) mamy \\(\\alpha + \\tfrac{\\alpha}{2} = 111^\\circ\\), czyli \\(\\tfrac{3\\alpha}{2} = 111^\\circ\\), stąd \\(\\alpha = 74^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(76^\\circ\\)** - ktoś źle obliczył \\(\\tfrac{2}{3}\\cdot 111^\\circ\\) - trochę w górę.\n- **C. \\(70^\\circ\\)** - ktoś podzielił \\(111^\\circ - 35^\\circ\\) z niepoprawnym \\(\\beta\\).\n- **D. \\(72^\\circ\\)** - jeśli ktoś przyjmie \\(\\alpha = \\beta\\) i podzieli \\(111:2 \\approx 55{,}5\\) trudno zrekonstruować, ale to błąd pomijający relację \\(\\alpha = 2\\beta\\).\n\n**Kluczowa zasada:** kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest **dwukrotnie większy** od kąta wpisanego.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie kątów wpisanych i środkowych\n\n1. **Zrozumienie relacji między kątami:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku.\n2. **Kąt KSL:** Kąt KSL jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku KL. Zatem, ⱼKSL = 1/2 * (kąt środkowy oparty na tym samym łuku, np. kąt SOK)\n3. **Kąt KML:** Kąt KML jest kątem wpisanym opartym na łuku KL. Zatem, ⱼKML = 1/2 * (kąt środkowy oparty na tym samym łuku, np. kąt MOL)\n4. **Wyznaczenie miary kąta środkowego:** Mamy \\( \\alpha + \\beta = 111^{\\circ} \\). Ponieważ \\( \\alpha \\) i \\( \\beta \\) to miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, to kąt środkowy oparty na tym samym łuku musi mieć miarę \\( \\alpha + \\beta = 111^{\\circ} \\).\n5. **Wyznaczenie miary kąta KSL:** Kąt KSL to kąt wpisany, który jest połową kąta środkowego. Zatem \\( \\alpha = \\frac{1}{2} * 111^{\\circ} = 55.5^{\\circ} \\).\n6. **Wyznaczenie miary kąta KML:** Podobnie, \\( \\beta = \\frac{1}{2} * 111^{\\circ} = 55.5^{\\circ} \\).\n7. **Wybór odpowiedzi:** Zatem, \\( \\alpha = 55.5^{\\circ} \\), a \\( \\beta = 55.5^{\\circ} \\)\n\n📖 Karta wzorów: s.13, strona 13 (Relacja między kątami wpisanymi i środkowymi)\n\n### Sposób 2: Użycie własności kątów przyległych\n\n1. **Zrozumienie własności kątów przyległych:** Kąty przyległe sumują się do 180 stopni.\n2. **Wyznaczenie kąta KSM:** Kąt KSM jest przyległy do kąta KSL, więc \\( \\angle KSM = 180^{\\circ} - \\alpha \\).\n3. **Wyznaczenie kąta LSM:** Kąt LSM jest przyległy do kąta KML, więc \\( \\angle LSM = 180^{\\circ} - \\beta \\).\n4. **Wyznaczenie kąta KLM:** Kąt KLM to kąt wpisany oparty na łuku KL.\n5. **Wyznaczenie kąta SML:** Kąt SML to kąt wpisany oparty na łuku KL.\n6. **Wyznaczenie kąta KSM i LSM:** Mamy \\( \\alpha + \\beta = 111^{\\circ} \\). Zatem \\( \\angle KSM = 180^{\\circ} - 111^{\\circ} = 69^{\\circ} \\) oraz \\( \\angle LSM = 180^{\\circ} - 111^{\\circ} = 69^{\\circ} \\).\n7. **Wyznaczenie miary kąta KSL:** Kąt KSL to kąt wpisany, który jest połową kąta środkowego. Zatem \\( \\alpha = 69^{\\circ} \\).\n8. **Wyznaczenie miary kąta KML:** Podobnie, \\( \\beta = 69^{\\circ} \\).\n9. **Wybór odpowiedzi:** Zatem, \\( \\alpha = 69^{\\circ} \\), a \\( \\beta = 69^{\\circ} \\)\n\n📖 Karta wzorów: s.13, strona 13 (Relacja między kątami wpisanych i środkowymi)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\(\\alpha = 76^{\\circ}\\):** Wynika to z błędnego obliczenia kątów środkowych.\n* **C. \\(\\alpha = 70^{\\circ}\\):** Wynika to z błędnego obliczenia kątów środkowych.\n* **D. \\(\\alpha = 72^{\\circ}\\):** Wynika to z błędnego obliczenia kątów środkowych.\n\nW obu sposobach, kąt środkowy oparty na łuku KL ma miarę 111 stopni, a kąty wpisane KSL i KML mają miary 55.5 stopni każda. Odpowiedź A jest poprawna, ponieważ miary kątów wpisanych i środkowych są równoważne.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL\na\n, MN\nb\n,\na > b . Kąt KLM ma miarę\n°\n60 . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa\nA.\nb\na -\nB.\n(\n)\nb\na -\n2\nC.\nb\na\n2\n1\nD.\n2\nb\na +\nDany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości |KL| = a, |MN| = b, a > b. Kąt KLM ma miarę 60°. Długość ramienia LM tego trapezu jest równa A. a-b; B. 2(a-b); C. a + 1/2b; D. a+b/2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności\nfunkcji trygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych (7.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(2(a-b)\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z rzutu na podstawę\n\n**Rysunek sytuacyjny.** Trapez prostokątny KLMN: podstawa \\(KL = a\\) (dolna), \\(MN = b\\) (górna), kąt prosty przy \\(N\\) (ramię \\(KN \\perp KL\\)). Szukamy długości ramienia \\(LM\\).\n\n**Krok 1 - opuszczamy prostopadłą z M na KL.**\n\nNiech \\(P\\) będzie stopą prostopadłej z \\(M\\) na prostą \\(KL\\). Ponieważ \\(MN \\parallel KL\\) i \\(|MN| = b\\), punkt \\(P\\) leży między \\(K\\) a \\(L\\), w odległości \\(b\\) od \\(K\\). Stąd:\n\n\\[|LP| = |KL| - |KP| = a - b\\]\n\n**Krok 2 - kąt w trójkącie prostokątnym LPM.**\n\nTrójkąt \\(LPM\\) jest prostokątny (kąt prosty przy \\(P\\), bo \\(MP \\perp KL\\)). Kąt przy \\(L\\) to właśnie \\(\\angle KLM = 60°\\) (K, P, L są współliniowe - P leży między K a L, więc kierunek do P i do K jest ten sam).\n\n\\[\n\\cos 60° = \\frac{|LP|}{|LM|} = \\frac{a-b}{|LM|}\n\\]\n\n**Krok 3 - wyznaczamy \\(|LM|\\).**\n\n\\[\n\\frac{1}{2} = \\frac{a-b}{|LM|}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{|LM| = 2(a-b)}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wysokość trapezu\n\nSprawdzamy spójność: wyznaczamy wysokość \\(h\\) i kontrolujemy, czy układ jest geometrycznie poprawny.\n\nZ trójkąta prostokątnego \\(LPM\\), kąt przy \\(P = 90°\\), kąt przy \\(L = 60°\\):\n\n\\[\nh = |MP| = |LM| \\cdot \\sin 60° = 2(a-b) \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = (a-b)\\sqrt{3}\n\\]\n\nSprawdzenie twierdzeniem Pitagorasa:\n\n\\[\n|LM|^2 = |LP|^2 + |MP|^2 = (a-b)^2 + 3(a-b)^2 = 4(a-b)^2\n\\]\n\n\\[\n|LM| = 2(a-b) \\checkmark\n\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **B** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\n\nW naszym przypadku: \\(\\cos 60° = \\frac{a-b}{|LM|}\\), co dało nam \\(|LM| = \\frac{a-b}{\\cos 60°} = \\frac{a-b}{\\frac{1}{2}} = 2(a-b)\\).\n\nTablica wartości (s. 14): \\(\\cos 60° = \\dfrac{1}{2}\\) - wartość kluczowa w tym zadaniu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | \\(a - b\\) - policzono \\(\\|LP\\|\\) (rzut na podstawę), ale zapomniano podzielić przez \\(\\cos 60°\\); wzięto rzut zamiast ramienia |\n| C | \\(a + \\frac{1}{2}b\\) - błędne dodawanie zamiast odejmowania; mylenie długości podstaw |\n| D | \\(\\frac{a+b}{2}\\) - stosowanie wzoru na medianę trapezu zamiast trygonometrii; mediana trapezu nie ma tu związku z \\(|LM|\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle KLM = 60°\\) to kąt między **podstawą** a **ramieniem**, nie kąt wewnętrzny trapezu przy górnej podstawie! W trapezach prostokątnych łatwo się pomylić, który kąt jest \"przy której podstawie\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trapezach prostokątnych kąty przy dłuższej podstawie sumują się z kątami przy krótszej do \\(180°\\) po każdej stronie - przy nodze prostopadłej (tu \\(KN\\)) mamy \\(90°\\), a kąt \\(\\angle KLM = 60°\\), więc kąt \\(\\angle NML = 180° - 60° = 120°\\). Nie mylić tych kątów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos 60° = \\dfrac{1}{2}\\), a **nie** \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)! Ten błąd (zamiana \\(\\sin 60°\\) z \\(\\cos 60°\\)) jest jednym z najczęstszych na maturze - dałby \\(|LM| = \\dfrac{2(a-b)}{\\sqrt{3}}\\), czyli odpowiedź spoza listy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z rzutu M na KL\nW trapezie prostokątnym KLMN ramię NK jest prostopadłe do podstaw KL i MN. Rzutuję M na KL, oznaczam rzut jako \\(P\\). Wtedy:\n- \\(|KP| = |MN| = b\\) (bo NM i KP są równe jako \"prostokąt\" NMPK)\n- \\(|PL| = a - b\\)\n- \\(|MP|\\) to wysokość trapezu, prostopadła do KL.\n\nTrójkąt \\(MPL\\) jest prostokątny (kąt prosty przy \\(P\\)), z kątem \\(60^\\circ\\) przy \\(L\\).\n\\[\\cos 60^\\circ = \\tfrac{|PL|}{|ML|} \\Rightarrow \\tfrac{1}{2} = \\tfrac{a-b}{|ML|} \\Rightarrow |ML| = 2(a-b).\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt o kątach 30-60-90\nW trójkącie \\(MPL\\) kąty to \\(90^\\circ\\), \\(60^\\circ\\), \\(30^\\circ\\). Stosunek boków:\n- naprzeciw \\(30^\\circ\\) → \\(|PL| = a-b\\) (bok krótszy, leży przy kącie \\(60^\\circ\\))\n- naprzeciw \\(60^\\circ\\) → wysokość \\(= (a-b)\\sqrt{3}\\)\n- naprzeciw \\(90^\\circ\\) → \\(|ML| = 2(a-b)\\) (przeciwprostokątna, dwa razy bok naprzeciw \\(30^\\circ\\))\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a-b\\)** - to rzut \\(|PL|\\), **nie** długość ramienia. Ktoś zignorował kąt \\(60^\\circ\\).\n- **C. \\(a + \\tfrac{1}{2}b\\)** - wzór nie ma sensu geometrycznego dla tej figury.\n- **D. \\(\\tfrac{a+b}{2}\\)** - to długość linii środkowej trapezu, nie ramienia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia sinusów i funkcji trygonometrycznych\n\n1. **Zauważenie kąta:** Mamy kąt \\(KLM = 60^\\circ\\).\n2. **Twierdzenie sinusów:** W trójkącie \\(KLM\\) mamy:\n\\[ \\frac{LM}{\\sin(\\angle KLM)} = \\frac{KL}{\\sin(\\angle LMN)} \\]\nZatem:\n\\[ \\frac{b}{\\sin(60^\\circ)} = \\frac{a}{\\sin(\\angle LMN)} \\]\n\\[ \\sin(\\angle LMN) = \\frac{a \\cdot \\sin(60^\\circ)}{b} = \\frac{a \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}}{b} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2b} \\]\n3. **Trójkąt \\(KLM\\):** Ponieważ \\(KLMN\\) jest trapezem prostokątnym, \\(KL\\) jest podstawą, a \\(MN\\) jest drugą podstawą. Kąt \\(KLM\\) jest ostry, więc trójkąt \\(KLM\\) jest trójkątem ostrokątnym.\n4. **Wyznaczenie kąta LMN:**\n\\[ \\angle LMN = \\arcsin\\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{2b}\\right) \\]\n5. **Wyznaczenie kąta KMN:**\n\\[ \\angle KMN = 180^\\circ - 60^\\circ - \\arcsin\\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{2b}\\right) \\]\n6. **Wyznaczenie długości MN:**\nPonieważ trapez jest prostokątny, \\( \\angle K = 90^\\circ \\). Zatem \\( \\angle KLM = 60^\\circ \\) i \\( \\angle LMN = 30^\\circ \\).\nWtedy \\( \\sin(\\angle LMN) = \\sin(30^\\circ) = \\frac{1}{2} \\).\nZatem:\n\\[ \\frac{a}{\\sin(30^\\circ)} = \\frac{b}{\\sin(60^\\circ)} \\]\n\\[ \\frac{a}{1/2} = \\frac{b}{\\sqrt{3}/2} \\]\n\\[ 2a = \\frac{2b}{\\sqrt{3}} \\]\n\\[ a = \\frac{b}{\\sqrt{3}} \\]\n\\[ a \\approx 0.577b \\]\nZ treści zadania \\( a > b \\), więc to się zgadza.\n\n📖 Karta wzorów: s.15 (Pitagoras), strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie twierdzenia Pitagorowego i wzoru na pole trapezu\n\n1. **Twierdzenie Pitagorowe w trójkącie \\(KLM\\):** Ponieważ \\(KL\\) jest podstawą i \\( \\angle K = 90^\\circ \\), mamy:\n\\[ LM^2 = KL^2 + KM^2 \\]\n\\[ b^2 = a^2 + KM^2 \\]\n\\[ KM^2 = b^2 - a^2 \\]\n\\[ KM = \\sqrt{b^2 - a^2} \\]\n2. **Wzór na pole trapezu:** Pole trapezu \\(KLMN\\) jest dane wzorem:\n\\[ P = \\frac{1}{2}(KL + MN) \\cdot KM \\]\n\\[ P = \\frac{1}{2}(a + b) \\cdot \\sqrt{b^2 - a^2} \\]\n3. **Obliczenie pola:** Z treści zadania mamy \\( KL = a \\) i \\( MN = b \\), a \\( a > b \\). Wstawiając to do wzoru na pole, otrzymujemy:\n\\[ P = \\frac{1}{2}(a + b) \\cdot \\sqrt{b^2 - a^2} \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15 (Pitagoras), strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Odpowiedź ta nie uwzględnia kąta \\(60^\\circ\\) i nie wykorzystuje informacji o tym, że trapez jest prostokątny.\n* **C:** Odpowiedź ta nie wykorzystuje żadnych wzorów geometrycznych i nie daje konkretnej wartości dla długości ramienia.\n* **D:** Odpowiedź ta nie jest poprawna, ponieważ nie uwzględnia kąta \\(60^\\circ\\) i nie wykorzystuje informacji o tym, że trapez jest prostokątny.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nPunkt\n(\n)\n2, 2\nK =\njest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM\nLM\nOdcinek MN jest wysokością trójkąta i\n(\n)\n4, 3\nN =\n. Zatem\nA.\n(\n)\n5, 3\nL =\nB.\n(\n)\n6, 4\nL =\nC.\n(\n)\n3, 5\nL =\nD.\n(\n)\n4, 6\nL =\nPunkt K=(2,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym |KM|=|LM|. Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N=(4,3). Zatem A. L=(5,3); B. L=(6,4); C. L=(3,5); D. L=(4,6).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.5).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(L = (6, 4)\\)\n\n## Sposób 1 - Środek odcinka (własność trójkąta równoramiennego)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** W trójkącie \\(KLM\\) mamy \\(|KM| = |LM|\\), czyli ramiona wychodzą z \\(M\\). Podstawą trójkąta jest odcinek \\(KL\\). Punkt \\(N\\) to stopa wysokości opuszczonej z \\(M\\) na podstawę \\(KL\\).\n\n**Dlaczego \\(N\\) jest środkiem \\(KL\\)?** Wysokość z wierzchołka \\(M\\) w trójkącie równoramiennym pada prostopadle na podstawę i **bisekuje ją** - to klasyczna własność symetrii. Zatem:\n\n\\[N = \\text{środek } KL \\implies N = \\left(\\frac{x_K + x_L}{2},\\ \\frac{y_K + y_L}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy \\(K = (2, 2)\\) i \\(N = (4, 3)\\):\n\n\\[\\frac{2 + x_L}{2} = 4 \\implies x_L = 6\\]\n\n\\[\\frac{2 + y_L}{2} = 3 \\implies y_L = 4\\]\n\n**Zatem \\(L = (6, 4)\\).**\n\n## Sposób 2 - Odbicie punktu \\(K\\) względem \\(N\\)\n\nSkoro \\(N\\) jest środkiem \\(KL\\), to \\(L\\) jest **symetrycznym obrazem \\(K\\) względem \\(N\\)**. Wektor przesunięcia z \\(K\\) do \\(N\\):\n\n\\[\\vec{KN} = [4-2,\\ 3-2] = [2,\\ 1]\\]\n\nPunkt \\(L\\) leży dokładnie tyle samo „dalej\" za \\(N\\):\n\n\\[L = N + \\vec{KN} = (4+2,\\ 3+1) = (6,\\ 4)\\]\n\n**Weryfikacja:** Środek odcinka \\(KL\\):\n\\[\\left(\\frac{2+6}{2},\\ \\frac{2+4}{2}\\right) = (4,\\ 3) = N\\ \\checkmark\\]\n\nWysokość \\(MN\\) jest prostopadła do \\(KL\\). Kierunek \\(KL\\): \\([4, 2]\\), nachylenie \\(\\frac{1}{2}\\). Nachylenie \\(MN\\) musi być \\(-2\\). To jest spełnione dla dowolnego punktu \\(M\\) na prostej \\(y = -2x + 11\\) przechodzącej przez \\(N\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - wiedząc, że \\(N\\) jest środkiem \\(KL\\), wyznaczamy \\(L\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\((5,3)\\) | Błędne zastosowanie wzoru na środek: np. \\(x_L = N_x + \\frac{N_x - K_x}{2} = 4 + 1 = 5\\) zamiast \\(2N_x - K_x = 6\\). Uczeń dodaje tylko połowę odległości zamiast całej. |\n| **C** \\((3,5)\\) | Zamiana osi - obliczono prawidłowo, ale zamieniono współrzędne \\(x\\) i \\(y\\) miejscami: \\((6, 4) \\to (4, 6)\\) albo błędna interpretacja, że \\(K\\) odbijamy względem punktu z zamienionymi składowymi. |\n| **D** \\((4,6)\\) | Zamiana składowych wektora przesunięcia: uczeń liczy \\(\\vec{KN} = [2, 1]\\), ale stosuje go jako \\([1, 2]\\), więc \\(L = (4+0, 2+4) = (4, 6)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, które boki są równe - tu \\(|KM| = |LM|\\), więc to \\(M\\) jest wierzchołkiem między ramionami, a podstawą jest \\(KL\\). Gdyby zamiast tego \\(|KL| = |KM|\\), sytuacja byłaby zupełnie inna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek odcinka rozwiązujemy w odwrotnym kierunku - znamy środek \\(N\\) i jeden koniec \\(K\\), szukamy drugiego końca \\(L\\). Tu używamy: \\(x_L = 2x_N - x_K\\), nie \\(x_N = \\frac{x_K + x_L}{2}\\) (choć to ten sam wzór, tylko przestawiony).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość w trójkącie równoramiennym bisekuje podstawę tylko gdy wysokość jest opuszczona z wierzchołka między ramionami (tu \\(M\\)). Nie należy tej własności stosować do innych wierzchołków.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wysokość = środkowa w trójkącie równoramiennym\nW trójkącie równoramiennym z \\(|KM| = |LM|\\) wysokość z wierzchołka \\(M\\) jest równocześnie **środkową** do boku \\(KL\\). Zatem \\(N\\) jest środkiem odcinka \\(KL\\):\n\\[N = \\left(\\tfrac{x_K+x_L}{2}, \\tfrac{y_K+y_L}{2}\\right).\\]\nPodstawiamy:\n\\[\\tfrac{2+x_L}{2} = 4 \\Rightarrow x_L = 6\\]\n\\[\\tfrac{2+y_L}{2} = 3 \\Rightarrow y_L = 4\\]\nStąd \\(L = (6, 4)\\).\n\n### Sposób 2 - Wektor KN i jego podwojenie\n\\(L\\) jest symetryczny do \\(K\\) względem \\(N\\). Wektor \\(\\vec{KN} = N - K = (4-2, 3-2) = (2, 1)\\).\n\\(L = N + \\vec{KN} = (4+2, 3+1) = (6, 4)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((5,3)\\)** - ktoś dodał tylko różnicę \\(x\\)-ową, zapomniał podwoić.\n- **C. \\((3,5)\\)** - zamiana współrzędnych \\(x\\) i \\(y\\).\n- **D. \\((4,6)\\)** - ktoś podstawił \\(N\\) jako \\(L\\) lub zamienił osie.\n\n**Kluczowe:** w trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka symetrii jest też osią symetrii, środkową i dwusieczną - wszystko naraz.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie Twierdzenia o Występnym Wzroście i Twierdzenia Pitagorowego\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Mamy trójkąt równoramienny KLM, gdzie KM = LM. MN jest wysokością opuszczoną z wierzchołka M na podstawę KL. Wiemy, że KM = LM i |KM| = |LM| = 6. Mamy również współrzędne punktu N (4, 3).\n\n2. **Znalezienie współrzędnych punktu L:** Ponieważ MN jest wysokością, to MN jest prostopadła do KL. Punkt N dzieli KL na odcinki takie, że |KN| = |LN|. Ponieważ |KM| = 6, a K = (2, 2) i N = (4, 3), obliczmy długość KN:\n\\[KN = \\sqrt{(4-2)^2 + (3-2)^2} = \\sqrt{2^2 + 1^2} = \\sqrt{5}\\]\nZatem |LN| = \\(\\sqrt{5}\\). Ponieważ L leży na prostej KL, a N jest punktem na KL, to współrzędne L są takie, że |LN| = \\(\\sqrt{5}\\). Zauważmy, że L leży na prostej łączącej K i N. Możemy znaleźć współrzędne L, korzystając z twierdzenia o trzech prostych. L leży na prostej KL i na prostej łączącej K i N. Współrzędne L to (6, 4).\n\n3. **Zastosowanie Twierdzenia o Występnym Wzroście:** Ponieważ MN jest wysokością trójkąta równoramiennego, to MN dzieli KL na odcinki takie, że |KN| = |LN|. Zatem, |KN| = \\(\\sqrt{5}\\) i |LN| = \\(\\sqrt{5}\\).\n\n4. **Zastosowanie Twierdzenia Pitagorowego:** W trójkącie MKL, MN jest wysokością, a KL jest podstawą. Możemy obliczyć długość KM:\n\\[KM^2 = KL^2 + LM^2 - 2 * KL * LM * cos(\\angle KLM)\\]\nPonieważ KM = LM, to:\n\\[KM^2 = KL^2 + KM^2 - 2 * KL * KM * cos(\\angle KLM)\\]\n\\[0 = KL^2 - 2 * KL * KM * cos(\\angle KLM)\\]\n\\[2 * KL * KM * cos(\\angle KLM) = KL^2\\]\n\\[cos(\\angle KLM) = \\frac{2 * KL}{KL * KM} = \\frac{2}{KM}\\]\n\n5. **Wzory z karty wzorów:**\n* Twierdzenie Pitagorowe: \\(a² + b² = c²\\), strona 15\n* Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie Odległości i Współrzędnych\n\n1. **Znalezienie współrzędnych punktu L:** Znamy współrzędne K(2, 2) i N(4, 3). Wiemy, że |KN| = \\(\\sqrt{5}\\). Ponieważ KL jest podstawą trójkąta równoramiennego, a N jest jej środkiem, to współrzędne L będą takie, że |LN| = \\(\\sqrt{5}\\). Zauważmy, że L leży na prostej łączącej K i N. Możemy znaleźć współrzędne L, korzystając z twierdzenia o trzech prostych. L leży na prostej KL i na prostej łączącej K i N. Współrzędne L to (6, 4).\n\n2. **Sprawdzenie warunków trójkąta równoramiennego:** Sprawdźmy, czy trójkąt KLM jest równoramienny, tzn. czy KM = LM. Obliczamy odległości KM i LM:\n\\[KM = \\sqrt{(6-2)^2 + (4-2)^2} = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{16+4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]\n\\[LM = \\sqrt{(6-2)^2 + (4-2)^2} = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{16+4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]\nZatem KM = LM, co potwierdza, że trójkąt KLM jest trójkątem równoramiennym.\n\n3. **Wzory z karty wzorów:**\n* Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. L = (5, 3):** Sprawdźmy, czy |KN| = \\(\\sqrt{(5-2)^2 + (3-2)^2} = \\sqrt{3^2 + 1^2} = \\sqrt{10}\\), co nie jest równe \\(\\sqrt{5}\\).\n* **C. L = (3, 5):** Sprawdźmy, czy |KN| = \\(\\sqrt{(3-2)^2 + (5-2)^2} = \\sqrt{1^2 + 3^2} = \\sqrt{10}\\), co nie jest równe \\(\\sqrt{5}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nProste o równaniach\n(\n)\n2\n3\ny\nm\nx\n+ oraz\n(\n)\n2\n1\n3\ny\nm\nx\n- są równoległe, gdy\nA.\n2\nm =\nB.\n3\nm =\nC.\n0\nm =\nD.\n1\nm =\nS\nK\nL\nM\nL\nK\nM\nN\na\nb\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nProste o równaniach y = (m+2)x + 3 oraz y = (2m-1)x-3 są równoległe, gdy A. m=2; B. m=3; C. m=0; D. m=1.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (m = 3)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równe współczynniki kierunkowe)\n\nDwie proste w postaci \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.\n\nWspółczynniki kierunkowe obu prostych:\n- Prosta 1: \\(y = (m+2)x + 3\\) → współczynnik kierunkowy \\(a_1 = m+2\\)\n- Prosta 2: \\(y = (2m-1)x - 3\\) → współczynnik kierunkowy \\(a_2 = 2m-1\\)\n\n**Warunek równoległości:**\n\\[a_1 = a_2\\]\n\\[m + 2 = 2m - 1\\]\n\\[2 + 1 = 2m - m\\]\n\\[3 = m\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame** (bo tożsame to nie równoległe!):\n\nDla \\(m = 3\\): wyraz wolny pierwszej prostej to \\(3\\), drugiej to \\(-3\\). Ponieważ \\(3 \\neq -3\\), proste są **równoległe, ale nie tożsame**. ✓\n\n**Odpowiedź: \\(m = 3\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem\n\nDla \\(m = 3\\) obie proste mają postać:\n\\[y = (3+2)x + 3 = 5x + 3\\]\n\\[y = (2\\cdot3-1)x - 3 = 5x - 3\\]\n\nObie mają współczynnik kierunkowy \\(5\\), ale różne wyrazy wolne (\\(3\\) i \\(-3\\)).\n\nDla pewności sprawdzamy, że przy żadnej innej odpowiedzi warunek nie jest spełniony:\n\n| \\(m\\) | \\(a_1 = m+2\\) | \\(a_2 = 2m-1\\) | Równoległe? |\n| \\(m=2\\) | \\(4\\) | \\(3\\) | ✗ |\n| **\\(m=3\\)** | **\\(5\\)** | **\\(5\\)** | **✓** |\n| \\(m=0\\) | \\(2\\) | \\(-1\\) | ✗ |\n| \\(m=1\\) | \\(3\\) | \\(1\\) | ✗ |\n\nJedyna poprawna odpowiedź to \\(m = 3\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\\[y = a_1 x + b_1 \\parallel y = a_2 x + b_2 \\iff a_1 = a_2 \\text{ i } b_1 \\neq b_2\\]\n\nUżyliśmy tego warunku, żeby postawić równanie \\(m+2 = 2m-1\\) i go rozwiązać.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(m=2\\)) | Może wynikać z pomylenia wzoru: ktoś przyrównał \\(m\\) z \\(m+2\\) (bez stałej) - błędne ustawienie równania |\n| C (\\(m=0\\)) | Może wynikać z przyrównania wyrazów wolnych zamiast współczynników kierunkowych: \\(3 + (-3) = 0\\) - ale to nie jest warunek równoległości! |\n| D (\\(m=1\\)) | Może wynikać z błędu rachunkowego: np. \\(m+2 = 2m-1 \\Rightarrow 2 = m-1 \\Rightarrow m = 3\\) zapisano jako \\(m=1\\) przez odejmowanie zamiast dodawania |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proste równoległe to NIE to samo co proste tożsame (identyczne). Zawsze sprawdź, czy wyrazy wolne są różne - gdy \\(b_1 = b_2\\) przy równych współczynnikach kierunkowych, proste nakładają się na siebie i nie są równoległe w sensie geometrycznym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić warunek równoległości z warunkiem prostopadłości. Równoległość: \\(a_1 = a_2\\). Prostopadłość: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\). To dwa różne warunki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(m+2 = 2m-1\\) rozwiązuj ostrożnie - przenosząc \\(m\\) na jedną stronę, a liczby na drugą. Częsty błąd: zgubienie znaku przy przeniesieniu \\(-1\\) na lewą stronę.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nProste \\(y = a_1x + b_1\\) i \\(y = a_2x + b_2\\) są równoległe \\(\\iff a_1 = a_2\\) oraz \\(b_1 \\ne b_2\\) (inaczej to ta sama prosta).\n\\[m + 2 = 2m - 1\\]\n\\[3 = m\\]\nSprawdzamy wyrazy wolne: \\(b_1 = 3\\), \\(b_2 = -3\\) - różne, więc proste są **różne i równoległe** ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie wariantów\nDla każdego \\(m\\) liczymy współczynniki kierunkowe:\n- \\(m=2\\): \\(a_1 = 4\\), \\(a_2 = 3\\) - nie równe.\n- \\(m=3\\): \\(a_1 = 5\\), \\(a_2 = 5\\) ✓\n- \\(m=0\\): \\(a_1 = 2\\), \\(a_2 = -1\\) - nie.\n- \\(m=1\\): \\(a_1 = 3\\), \\(a_2 = 1\\) - nie.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m=2\\)** - ktoś pomylił równoległość z czymś innym albo źle rozwiązał równanie.\n- **C. \\(m=0\\)** - ktoś przyjął, że wyrazy wolne mają być zerowe lub nic niestosownego.\n- **D. \\(m=1\\)** - typowy błąd rachunkowy: \\(m+2 = 2m-1 \\Rightarrow m = 1\\) zamiast \\(m=3\\).\n\n**Uwaga:** gdyby wyrazy wolne były równe, proste byłyby identyczne, nie równoległe. W tym zadaniu \\(3\\ne -3\\), więc warunek rozdzielności jest automatycznie spełniony.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Porównanie współczynników pionowych\nAby dwie proste były równoległe, muszą mieć ten sam współczynnik pionowy (współczynnik przy x) oraz tę samą wyraz wolny (stałą).\n\n1. **Zapisanie równań w postaci kierunkowej:**\nRównanie prostej y = (m + 2)x + 3 można zapisać jako y = mx + 2x + 3.\nRównanie prostej y = (2m - 1)x - 3 można zapisać jako y = 2mx - x - 3.\n\n2. **Porównanie współczynników pionowych:**\nWspółczynnik pionowy pierwszej prostej to m + 2.\nWspółczynnik pionowy drugiej prostej to 2m - 1.\nDla równoległości, m + 2 = 2m - 1.\n\n3. **Rozwiązanie równania:**\nm + 2 = 2m - 1\n2 + 1 = 2m - m\n3 = m\n\n4. **Sprawdzenie wyrazu wolnego:**\nWyraz wolny pierwszej prostej to 3.\nWyraz wolny drugiej prostej to -3.\nWspółczynnik pionowy musi być równy, a wyraz wolny musi być równy, aby proste były równoległe. W tym przypadku m=3, więc proste są równoległe.\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 1\n\n### Sposób 2: Użycie warunku równoległości\nDwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b jest równy a.\n\n1. **Zapisanie równań w postaci ogólnej:**\ny = (m + 2)x + 3 => y = mx + 2x + 3\ny = (2m - 1)x - 3 => y = 2mx - x - 3\n\n2. **Porównanie współczynników:**\nWspółczynnik przy x w obu równaniach to m+2 oraz 2m-1.\nDla równoległości, m+2 = 2m-1.\n\n3. **Rozwiązanie równania:**\nm+2 = 2m-1\nm = 3\n\n4. **Weryfikacja:**\nProste są równoległe, gdy m=3.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Ta odpowiedź sugeruje porównanie wyrazów wolnych, co jest błędne. Równoległe proste muszą mieć ten sam współczynnik pionowy.\n* **C:** Ta odpowiedź używa m=0, co jest nieprawidłowe. Współczynnik pionowy zależy od wartości m.\n* **D:** Ta odpowiedź nie zawiera żadnego uzasadnienia i jest bezsensowna.\n\n**Uwaga:** W tym zadaniu kluczowe jest zrozumienie, że równoległe proste mają ten sam współczynnik pionowy (współczynnik przy x). Wyraz wolny może być różny.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPodstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest\nkrawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).\nKąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek\nA.\n°\n= 45\nα\nB.\n°\n<\n<\n°\n60\n45\nα\nC.\n°\n> 60\nα\nD.\n°\n= 60\nα\nPodstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek A. α = 45°; B. 45° < α < 60°; C. α > 60°; D. α = 60°.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje\nw graniastosłupach i ostrosłupach kąty między\nodcinkami (np. krawędziami, krawędziami\ni przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów\n(9.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\alpha = 60°\\)\n\n## Sposób 1 - Wektory i iloczyn skalarny\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Skoro \\(NS\\) jest wysokością ostrosłupa, oznacza to, że \\(NS \\perp\\) płaszczyzna podstawy i \\(N\\) jest rzutem wierzchołka \\(S\\) na podstawę.\n\nPrzyjmijmy:\n\\[N = (0, 0, 0), \\quad K = (4, 0, 0), \\quad L = (4, 4, 0), \\quad M = (0, 4, 0)\\]\n\\[S = (0, 0, 4) \\quad \\text{(bo } |NS| = 4 \\text{ i } NS \\perp \\text{ podstawa)}\\]\n\n**Obliczamy wektory** \\(\\overrightarrow{SK}\\) i \\(\\overrightarrow{SM}\\):\n\\[\\overrightarrow{SK} = K - S = (4, 0, 0) - (0, 0, 4) = [4, 0, -4]\\]\n\\[\\overrightarrow{SM} = M - S = (0, 4, 0) - (0, 0, 4) = [0, 4, -4]\\]\n\n**Iloczyn skalarny:**\n\\[\\overrightarrow{SK} \\cdot \\overrightarrow{SM} = 4 \\cdot 0 + 0 \\cdot 4 + (-4)(-4) = 16\\]\n\n**Długości wektorów:**\n\\[|\\overrightarrow{SK}| = \\sqrt{4^2 + 0^2 + (-4)^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\]\n\\[|\\overrightarrow{SM}| = \\sqrt{0^2 + 4^2 + (-4)^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Kąt między krawędziami:**\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\overrightarrow{SK} \\cdot \\overrightarrow{SM}}{|\\overrightarrow{SK}| \\cdot |\\overrightarrow{SM}|} = \\frac{16}{4\\sqrt{2} \\cdot 4\\sqrt{2}} = \\frac{16}{32} = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{2} \\implies \\boxed{\\alpha = 60°}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt KSM i twierdzenie cosinusów (a właściwie: trójkąt równoboczny!)\n\nObliczamy długości wszystkich trzech boków trójkąta \\(KSM\\):\n\n**Krawędź \\(KS\\):**\n\\[|KS| = \\sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2 + (0-4)^2} = \\sqrt{16 + 16} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Krawędź \\(MS\\):**\n\\[|MS| = \\sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-4)^2} = \\sqrt{16 + 16} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Przekątna \\(KM\\)** (przekątna kwadratu o boku \\(4\\)):\n\\[|KM| = 4\\sqrt{2}\\]\n\nWszystkie trzy boki trójkąta \\(KSM\\) mają tę samą długość \\(4\\sqrt{2}\\) - **trójkąt \\(KSM\\) jest równoboczny!**\n\nW trójkącie równobocznym każdy kąt wynosi \\(60°\\), więc:\n\\[\\boxed{\\alpha = 60°}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nRozszerzone do 3D jako \\(|AB| = \\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\\) - użyte do obliczenia \\(|KS|\\), \\(|MS|\\), \\(|KM|\\).\n\n**Dział 11 - wektor i iloczyn skalarny (s. 22-25)**:\n\\[\\vec{u} = [u_1, u_2], \\quad |\\vec{u}| = \\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\\]\nIloczyn skalarny i wzór na kąt między wektorami - zastosowane w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie cosinusów (pomocniczo, do weryfikacji):\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nDla trójkąta równobocznego wprost wynika \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(\\alpha = 45°\\) | Uczeń myli kąt \\(\\alpha\\) z kątem, jaki \\(KS\\) tworzy z podstawą, lub błędnie oblicza \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - np. biorąc zły iloczyn skalarny |\n| **B** \\(45° < \\alpha < 60°\\) | Wynik oszacowania bez dokładnego rachunku - intuicja \"kąt jest między 45° a 60°\", ale dokładna wartość właśnie wynosi \\(60°\\) |\n| **C** \\(\\alpha > 60°\\) | Błąd przy obliczaniu długości \\(KM\\) - np. wzięcie \\(|KM| = 4\\) zamiast \\(4\\sqrt{2}\\), co zaburza proporcje trójkąta |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo \"wysokością jest krawędź \\(NS\\)\" oznacza, że \\(NS \\perp\\) podstawa - rzut \\(S\\) na podstawę to właśnie wierzchołek \\(N\\). Nie jest to ostrosłup \"symetryczny\" (prawidłowy)! To kluczowe przy ustawianiu współrzędnych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna kwadratu o boku \\(4\\) wynosi \\(4\\sqrt{2}\\), nie \\(4\\). To właśnie sprawia, że trójkąt \\(KSM\\) jest równoboczny - piękny wynik zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między krawędziami \\(KS\\) i \\(MS\\) to kąt przy wierzchołku \\(S\\) w trójkącie \\(KSM\\), nie przy \\(K\\) ani \\(M\\). Przy wektorowym podejściu oba wektory muszą wychodzić z tego samego punktu - stąd \\(\\overrightarrow{SK}\\) i \\(\\overrightarrow{SM}\\), a nie odwrotnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt KMS jest równoboczny\nObliczmy długości trzech krawędzi trójkąta \\(KMS\\):\n\n**\\(|KM|\\)** - przekątna kwadratu o boku \\(4\\):\n\\[|KM| = 4\\sqrt{2}.\\]\n\n**\\(|KS|\\)** - w trójkącie \\(KNS\\) prostokątnym przy \\(N\\): \\(|KN|=4\\), \\(|NS|=4\\):\n\\[|KS| = \\sqrt{16 + 16} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}.\\]\n\n**\\(|MS|\\)** - w trójkącie \\(MNS\\) prostokątnym przy \\(N\\): \\(|MN|=4\\), \\(|NS|=4\\):\n\\[|MS| = \\sqrt{16 + 16} = 4\\sqrt{2}.\\]\n\nWszystkie trzy boki równe \\(4\\sqrt{2}\\) → trójkąt \\(KMS\\) jest **równoboczny**, więc \\(\\alpha = 60^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Układ współrzędnych\nPrzyjmujemy \\(N = (0,0,0)\\), \\(K = (4,0,0)\\), \\(L = (4,4,0)\\), \\(M = (0,4,0)\\), \\(S = (0,0,4)\\).\n\\[\\vec{SK} = (4, 0, -4), \\quad \\vec{SM} = (0, 4, -4)\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\tfrac{\\vec{SK}\\circ\\vec{SM}}{|\\vec{SK}||\\vec{SM}|} = \\tfrac{0+0+16}{\\sqrt{32}\\cdot\\sqrt{32}} = \\tfrac{16}{32} = \\tfrac{1}{2}.\\]\n\\(\\alpha = 60^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(45^\\circ\\)** - ktoś pomyślał o kącie między krawędzią a podstawą.\n- **B. \\(45 < \\alpha < 60\\)** - zgadywanie bez obliczeń.\n- **C. \\(\\alpha > 60\\)** - intuicja \"szerokiego rozwarcia\" bez policzenia.\n\n**Trik:** zawsze szukaj równoboczności lub podobnych konfiguracji - w bryłach osiowo symetrycznych często się pojawiają.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia cosinusów\n\nKrok 1: Zbuduj trójkąt KS M. Wiemy, że KLMN to kwadrat o boku 4, a NS to krawędź o długości 4. Wysokość ostrosłupa to NS, więc wysokość ostrosłupa jest równa 4. Zatem KN = LM = 4. Ponadto, KS i MS to krawędzie ostrosłupa.\n\nKrok 2: Zastosuj twierdzenie cosinusów do trójkąta KS M:\n\\[KM^2 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]\n\nKrok 3: Znajdź długość KM. KM to przekątna kwadratu KLMN, więc KM = 4√2.\n\nKrok 4: Podstaw wartości do twierdzenia cosinusów:\n\\[(4\\sqrt{2})^2 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]\n\\[32 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]\n\nKrok 5: Zauważ, że w ostrosłupie KLMN, kąt przy wierzchołku S jest równy 90 stopni. Wysokość ostrosłupa NS jest wysokością ostrości. Wysokość ostrości tworzy trójkąt prostokątny z każdym z wierzchołków podstawy. Zatem, KS i MS są krawędziami ostrosłupa. Ponieważ NS jest wysokością ostrości, to NS jest wysokością trójkąta KS M. Ponadto, NS = 4.\n\nKrok 6: Zauważ, że w trójkącie NSK, NS = 4 i NK = 4. Zatem trójkąt NSK jest trójkątem równoramiennym prostokątnym, gdzie kąt przy wierzchołku K wynosi 90 stopni. Zatem kąt NSK jest równy 90 stopni. Analogicznie, w trójkącie NSM, NS = 4 i NM = 4. Zatem trójkąt NSM jest trójkątem równoramiennym prostokątnym, gdzie kąt przy wierzchołku M wynosi 90 stopni. Zatem kąt NSM jest równy 90 stopni.\n\nKrok 7: Ponieważ NSK i NSM są trójkątami prostokątnymi, to kąt α jest kątem między krawędziami KS i MS. Zauważ, że kąt przy wierzchołku S jest kątem α. W trójkącie KS M, mamy:\n\\[32 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]\nPonieważ KS i MS są krawędziami ostrosłupa, to KS = MS. Zatem:\n\\[32 = 2KS^2 - 2KS^2 \\cdot \\cos(\\alpha)\\]\n\\[32 = 2KS^2(1 - \\cos(\\alpha))\\]\n\\[16 = KS^2(1 - \\cos(\\alpha))\\]\n\nKrok 8: W trójkącie NSK, NS = 4 i NK = 4, a kąt NSK = 90 stopni. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[NS^2 + NK^2 = SK^2\\]\n\\[4^2 + 4^2 = SK^2\\]\n\\[16 + 16 = SK^2\\]\n\\[SK^2 = 32\\]\n\\[SK = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\]\n\nPonieważ KS = MS, to KS = MS = $4\\sqrt{2}$. Zatem:\n\\[16 = (4\\sqrt{2})^2(1 - \\cos(\\alpha))\\]\n\\[16 = 32(1 - \\cos(\\alpha))\\]\n\\[\\frac{16}{32} = 1 - \\cos(\\alpha)\\]\n\\[\\frac{1}{2} = 1 - \\cos(\\alpha)\\]\n\\[\\cos(\\alpha) = \\frac{1}{2}\\]\n\\[\\alpha = 60^{\\circ}\\]\n\n📖 Karta wzorów: Twierdzenie cosinusów (strona 15)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie symetrii i kątów prostych\n\nKrok 1: Zauważ, że ostrosłup KLMN jest symetryczny względem osi przechodzącej przez środek kwadratu KLMN i wierzchołek S. Ponieważ NS jest wysokością ostrosłupa, to NS jest wysokością ostrości. Wysokość ostrości dzieli kwadrat KLMN na dwie połowy.\n\nKrok 2: Zauważ, że trójkąt NSK jest trójkątem prostokątnym, gdzie NS = 4 i NK = 4. Zatem SK = $\\sqrt{4^2 + 4^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}$.\n\nKrok 3: Podobnie, trójkąt NSM jest trójkątem prostokątnym, gdzie NS = 4 i NM = 4. Zatem SM = $\\sqrt{4^2 + 4^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}$.\n\nKrok 4: Ponieważ KS = SM = $4\\sqrt{2}$, a NS = 4, to trójkąty KS N i SM N są trójkątami równoramiennymi prostokątnymi. Kąt α jest kątem między krawędziami KS i MS. Zauważ, że kąt α jest równy 60 stopni.\n\nKrok 5: Zauważ, że kąt między krawędziami KS i MS jest równy 60 stopni. Zatem $\\alpha = 60^{\\circ}$.\n\n📖 Karta wzorów: Twierdzenie cosinusów (strona 15)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. $\\alpha = 45^{\\circ}$**: Nieprawda. Obliczenia prowadzą do $\\alpha = 60^{\\circ}$.\n* **B. $45^{\\circ} < \\alpha < 60^{\\circ}$**: Nieprawda. Obliczenia prowadzą do $\\alpha = 60^{\\circ}$.\n* **C. $\\alpha > 60^{\\circ}$**: Nieprawda. Obliczenia prowadzą do $\\alpha = 60^{\\circ}$.\n* **E. $\\alpha = 60^{\\circ}$**: Prawda. Użycie twierdzenia cosinusów i analizy geometryczna prowadzi do wniosku, że kąt α wynosi 60 stopni.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPodstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna\ntego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy\n°\n45 (zobacz rysunek).\nWysokość graniastosłupa jest równa\nA. 5\nB.\n2\n3\nC.\n2\n5\nD. 5 3\n3\nPodstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa A. 5; B. 3√2; C. 5√2; D. 5√3/3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje\nw graniastosłupach i ostrosłupach kąt między\nodcinkami i płaszczyznami (między\nkrawędziami i ścianami, przekątnymi\ni ścianami), oblicza miary tych kątów (9.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - wysokość wynosi \\(5\\)\n\n## Sposób 1 - Przekątna podstawy + tangens kąta\n\n**Krok 1: Wyznaczamy przekątną podstawy.**\n\nPodstawą jest prostokąt o bokach \\(3\\) i \\(4\\). Przekątna podstawy (oznaczmy ją \\(d\\)):\n\\[d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\n**Krok 2: Analizujemy przekątną graniastosłupa.**\n\nPrzekątna graniastosłupa (nazwijmy ją \\(e\\)) biegnie od dolnego narożnika do górnego, naprzeciwległego. Tworzy ona trójkąt prostokątny z:\n- ramię poziome = przekątna podstawy \\(d = 5\\)\n- ramię pionowe = wysokość \\(h\\)\n- kąt \\(\\alpha = 45°\\) między przekątną a **podstawą** (tzn. między \\(e\\) a \\(d\\))\n\n**Krok 3: Korzystamy z tangensa.**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d}\\]\n\\[\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{5}\\]\n\\[1 = \\frac{h}{5}\\]\n\\[\\boxed{h = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez długość przekątnej przestrzennej\n\nSkoro \\(h = 5\\) i \\(d = 5\\), obliczamy długość przekątnej graniastosłupa:\n\\[e = \\sqrt{d^2 + h^2} = \\sqrt{5^2 + 5^2} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]\n\nSprawdzamy kąt:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{d}{e} = \\frac{5}{5\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\nStąd \\(\\alpha = 45°\\) - **zgadza się z warunkiem zadania.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n> Własność graniastosłupa prostego: przekątna przestrzenna tworzy trójkąt prostokątny z przekątną podstawy i wysokością bryły.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia przekątnej prostokąta \\(d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - tangens kąta:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\frac{h}{d}\\]\nWartość \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) - dostępna wprost w tabeli wartości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\(3\\sqrt{2}\\) | Zamiast przekątnej prostokąta \\(\\sqrt{3^2+4^2}=5\\) użyto błędnie \\(\\sqrt{3^2+3^2}=3\\sqrt{2}\\) (jakby podstawa była kwadratem \\(3\\times3\\)). Potem \\(\\operatorname{tg}45°=1\\) daje \\(h = 3\\sqrt{2}\\). |\n| **C** \\(5\\sqrt{2}\\) | Wynik \\(5\\sqrt{2}\\) to **długość przekątnej przestrzennej** \\(e\\), nie wysokość! Uczeń myli przekątną bryły z szukaną wysokością. |\n| **D** \\(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\) | Pomylono kąt \\(45°\\) z \\(30°\\). Dla \\(\\alpha=30°\\) mamy \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\), skąd \\(h = \\frac{5}{\\sqrt{3}} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) tworzy przekątna **przestrzenna** z **podstawą** - to znaczy z przekątną podstawy, nie z bokiem prostokąta! Nie bierz samego boku \\(3\\) ani \\(4\\) jako \"podstawy\" trójkąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(3\\)-\\(4\\)-\\(5\\) to słynna trójka pitagorejska - warto ją rozpoznać od razu. Bez kalkulatora: \\(\\sqrt{9+16}=\\sqrt{25}=5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) wysokość musi być **równa** przekątnej podstawy. To szybki sposób na sprawdzenie: jeśli \\(h \\neq 5\\), coś poszło nie tak.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Przekątna podstawy + trójkąt prostokątny\n**Krok 1.** Przekątna prostokąta o bokach \\(3\\) i \\(4\\):\n\\[d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25} = 5.\\]\n\n**Krok 2.** Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy \\(d\\) i wysokość \\(H\\) tworzą trójkąt prostokątny (kąt prosty między wysokością a podstawą). Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą wynosi \\(45^\\circ\\):\n\\[\\tan 45^\\circ = \\tfrac{H}{d} \\Rightarrow 1 = \\tfrac{H}{5} \\Rightarrow H = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt 45-45-90\nTrójkąt prostokątny z kątem \\(45^\\circ\\) to trójkąt równoramienny prostokątny. Przyprostokątne są równe: \\(H = d = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(3\\sqrt{2}\\)** - ktoś pomylił bok z przekątną (\\(3\\sqrt{2}\\) to przekątna kwadratu o boku 3).\n- **C. \\(5\\sqrt{2}\\)** - to długość **przekątnej graniastosłupa**, a nie wysokości.\n- **D. \\(\\tfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\)** - tak jakby kąt wynosił \\(30^\\circ\\); błędne użycie \\(\\tan 30^\\circ = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}}\\).\n\n**Kluczowe:** kąt między przekątną bryły a podstawą to kąt ostry w trójkącie prostokątnym wyznaczonym przez przekątną podstawy i wysokość.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie przekątnej i wysokości graniastosłupa\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy prostokątny graniastosłup, w którym kąt między przekątną a podstawą wynosi 45 stopni. Musimy obliczyć wysokość graniastosłupa.\n2. **Obliczenie przekątnej podstawy:** Z twierdzenia Pitagorowego dla prostokąta o bokach 3 i 4, przekątna podstawy (d) wynosi:\n\\[d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n3. **Wykorzystanie kąta 45 stopni:** Kąt między przekątną (d) a podstawą (d) jest równy 45 stopni. To oznacza, że trójkąt utworzony przez przekątną, wysokość (h) i połowę przekątnej podstawy jest prostokątny z dwoma kątami po 45 stopni. Zatem, wysokość jest równa połowie przekątnej podstawy:\n\\[h = \\frac{d}{2} = \\frac{5}{2} = 2.5\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 3 - Twierdzenie Pitagorowe\n\n### Sposób 2: Użycie trygonometrii\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy prostokątny trójkąt, w którym kąt między przekątną a podstawą wynosi 45 stopni. Możemy użyć trygonometrii do obliczenia wysokości.\n2. **Wykorzystanie funkcji tangens:** W trójkącie, gdzie przekątna to hipotenusa, a kąt między przekątną a podstawą to 45 stopni, tangens tego kąta jest równy stosunkowi przeciwległej strony (wysokości) do przyprostokątnej (przekątnej podstawy).\n\\[tan(45^\\circ) = \\frac{h}{d} = \\frac{h}{5}\\]\n3. **Obliczenie wysokości:** Wiemy, że tan(45°) = 1, więc:\n\\[1 = \\frac{h}{5} \\implies h = 5\\]\n**UWAGA:** W tym rozwiązaniu popełniono błąd. Kąt 45 stopni jest mierzony z przeciwległego boku podstawy, a nie z przekątnej. Poprawna interpretacja kąta i zastosowanie tangensa prowadzi do poprawnego wyniku.\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 - tgα=sinα/cosα\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** Wysokość graniastosłupa nie jest równa 3.\n* **C:** Wysokość graniastosłupa nie jest równa 4.\n* **D:** Wysokość graniastosłupa nie jest równa 5.\n\nWysokość graniastosłupa jest równa 2.5. W pierwszym sposobie, obliczyliśmy przekątną podstawy, a następnie wykorzystując kąt 45 stopni i twierdzenie Pitagorowe, obliczyliśmy wysokość.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r\ni jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.\nObjętość tej bryły jest równa\nA.\n3\n5 π\n3 r\nB.\n3\n4 π\n3 r\nC.\n3\n2 π\n3 r\nD.\n3\n1 π\n3 r\nr\nr\nr\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nNa rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa A. 5/3πr^3; B. 4/3πr^3; C. 2/3πr^3; D. 1/3πr^3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni\ni objętość walca, stożka, kuli (G11.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{5}{3}\\pi r^3\\)\n\n## Sposób 1 - Suma objętości walca i półkuli\n\nBryła składa się z dwóch części: walca i półkuli. Obliczamy objętość każdej z nich osobno, a następnie dodajemy.\n\n**Dane:** wszystkie trzy wymiary są równe \\(r\\):\n- promień podstawy walca = \\(r\\)\n- wysokość walca = \\(r\\)\n- promień półkuli = \\(r\\)\n\n**Objętość walca:**\n\\[V_{\\text{walca}} = \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3\\]\n\n**Objętość półkuli** (to połowa objętości kuli o promieniu \\(r\\)):\n\\[V_{\\text{półkuli}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{3}\\pi r^3 = \\frac{2}{3}\\pi r^3\\]\n\n**Objętość całej bryły:**\n\\[V = V_{\\text{walca}} + V_{\\text{półkuli}} = \\pi r^3 + \\frac{2}{3}\\pi r^3\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\\[V = \\frac{3}{3}\\pi r^3 + \\frac{2}{3}\\pi r^3 = \\boxed{\\frac{5}{3}\\pi r^3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości\n\nPodstawiamy \\(r = 1\\), żeby sprawdzić, czy wynik daje \\(\\dfrac{5}{3}\\pi\\).\n\n**Walec** (\\(r=1\\), \\(h=1\\)):\n\\[V_{\\text{walca}} = \\pi \\cdot 1^2 \\cdot 1 = \\pi\\]\n\n**Półkula** (\\(r=1\\)):\n\\[V_{\\text{półkuli}} = \\frac{2}{3}\\pi \\cdot 1^3 = \\frac{2}{3}\\pi\\]\n\n**Suma:**\n\\[V = \\pi + \\frac{2}{3}\\pi = \\frac{3}{3}\\pi + \\frac{2}{3}\\pi = \\frac{5}{3}\\pi\\]\n\nDla \\(r=1\\) wynik wynosi \\(\\frac{5}{3}\\pi\\), co przy podstawieniu do odpowiedzi A daje \\(\\frac{5}{3}\\pi \\cdot 1^3 = \\frac{5}{3}\\pi\\). ✓\n\nŻadna inna odpowiedź nie pasuje: B daje \\(\\frac{4}{3}\\pi\\), C daje \\(\\frac{2}{3}\\pi\\), D daje \\(\\frac{1}{3}\\pi\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\nObjętość walca:\n\\[V_{\\text{walca}} = \\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy z \\(h = r\\), co dało \\(\\pi r^3\\).\n\nObjętość kuli:\n\\[V_{\\text{kuli}} = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\nObjętość półkuli to połowa tej wartości: \\(\\dfrac{2}{3}\\pi r^3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B \\(\\left(\\frac{4}{3}\\pi r^3\\right)\\) | Uczeń dodaje objętość walca \\(\\pi r^3\\) i pełnej kuli \\(\\frac{4}{3}\\pi r^3\\) zamiast **półkuli** - zapomina podzielić przez 2 |\n| C \\(\\left(\\frac{2}{3}\\pi r^3\\right)\\) | Uczeń liczy tylko objętość półkuli, zapominając o walcu |\n| D \\(\\left(\\frac{1}{3}\\pi r^3\\right)\\) | Uczeń stosuje wzór na objętość **stożka** \\(\\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\) zamiast walca, i pomija półkulę lub myli bryły |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Półkula to **połowa kuli** - objętość wynosi \\(\\dfrac{2}{3}\\pi r^3\\), nie \\(\\dfrac{4}{3}\\pi r^3\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu wszystkie trzy wymiary (\\(r\\) walca, \\(h\\) walca, \\(r\\) półkuli) są **takie same i równe \\(r\\)**. Warto to wyraźnie zapisać na początku rozwiązania, żeby nie pogubić się w obliczeniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bryła jest **złożona** - nie ma wzoru na jej objętość wprost. Zawsze rozkładaj takie bryły na znane składowe i sumuj ich objętości.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Sumowanie objętości\nWzory z karty wzorów (Stereometria, bryły obrotowe):\n- Walec: \\(V_w = \\pi r^2 H\\)\n- Kula: \\(V_k = \\tfrac{4}{3}\\pi r^3\\), więc półkula: \\(V_{pk} = \\tfrac{2}{3}\\pi r^3\\)\n\nDla tej bryły \\(H = r\\) (wysokość walca = promień):\n\\[V_w = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3\\]\n\\[V_{\\text{bryły}} = V_w + V_{pk} = \\pi r^3 + \\tfrac{2}{3}\\pi r^3 = \\tfrac{3}{3}\\pi r^3 + \\tfrac{2}{3}\\pi r^3 = \\tfrac{5}{3}\\pi r^3.\\]\n\n### Sposób 2 - Wspólny mianownik od razu\n\\[V = \\pi r^3\\left(1 + \\tfrac{2}{3}\\right) = \\pi r^3\\cdot\\tfrac{5}{3} = \\tfrac{5}{3}\\pi r^3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{4}{3}\\pi r^3\\)** - to objętość całej **kuli**, bez walca i tylko pełna kula.\n- **C. \\(\\tfrac{2}{3}\\pi r^3\\)** - to objętość samej **półkuli**, bez walca.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{3}\\pi r^3\\)** - to objętość **stożka** o wysokości \\(r\\); pomyłka w rozpoznaniu bryły lub wzoru.\n\n**Pułapka:** walec ma objętość \\(\\pi r^2 H\\) (nie \\(\\tfrac{1}{3}\\pi r^2 H\\) - to stożek!).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie objętości walca i półkuli, a następnie ich sumy.\n\\[\n\\text{Objętość walca} = \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3\n\\]\n\\[\n\\text{Objętość półkuli} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{3} \\pi r^3 = \\frac{2}{3} \\pi r^3\n\\]\n\\[\n\\text{Objętość bryły} = \\pi r^3 + \\frac{2}{3} \\pi r^3 = \\frac{3}{3} \\pi r^3 + \\frac{2}{3} \\pi r^3 = \\frac{5}{3} \\pi r^3\n\\]\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na objętość bryły składającej się z walca i półkuli.\nBryła składa się z walca o promieniu *r* i wysokości *r* oraz półkuli o promieniu *r*.\nObjętość walca to \\( \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3 \\).\nObjętość półkuli to \\( \\frac{2}{3} \\pi r^3 \\).\nCałkowita objętość to \\( \\pi r^3 + \\frac{2}{3} \\pi r^3 = \\frac{5}{3} \\pi r^3 \\).\n📖 Karta wzorów: Wzory: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. \\(\\frac{4}{3} \\pi r^3\\)**: Ta odpowiedź wynikałaby z obliczenia objętości pełnego walca o promieniu *r* i wysokości *r* (czyli \\( \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3 \\)) i dodania do niej objętości półkuli o promieniu *r* (czyli \\( \\frac{2}{3} \\pi r^3 \\)). Ale to nie uwzględnia, że walec ma wysokość *r*, a półkula ma promień *r*.\n* **C. \\(\\frac{2}{3} \\pi r^3\\)**: Ta odpowiedź to tylko objętość półkuli, a nie cała bryły.\n* **D. \\(\\frac{1}{3} \\pi r^3\\)**: Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie odzwierciedla sumy objętości walca i półkuli.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW zestawie\nliczb\nliczb\n2, 2, 2,\n, 2,4, 4, 4,\n, 4\nm\nm\n jest 2m liczb (\n1)\nm ≥\n, w tym m liczb 2 i m liczb 4.\nOdchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe\nA. 2\nB. 1\nC.\n1\n2\nD.\n2\nW zestawie 2,2,2,...,2,4,4,4,...,4. jest 2m liczb (m≥1), w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe A. 2; B. 1; C. 1/√2; D. √2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią ważoną i odchylenie\nstandardowe zestawu danych (także\nw przypadku danych odpowiednio\npogrupowanych), interpretuje te parametry dla\ndanych empirycznych (10.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nOdchylenie standardowe tego zestawu wynosi \\(\\mathbf{1}\\).\n\n## Sposób 1 - Definicja odchylenia standardowego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy średnią arytmetyczną.**\n\nW zestawie mamy \\(m\\) liczb równych \\(2\\) oraz \\(m\\) liczb równych \\(4\\), łącznie \\(2m\\) liczb:\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{m \\cdot 2 + m \\cdot 4}{2m} = \\frac{2m + 4m}{2m} = \\frac{6m}{2m} = 3\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy odchylenia każdej liczby od średniej.**\n\n- Każda dwójka: \\(2 - 3 = -1\\), więc \\((2 - 3)^2 = 1\\)\n- Każda czwórka: \\(4 - 3 = 1\\), więc \\((4 - 3)^2 = 1\\)\n\n**Krok 3: Liczymy wariancję.**\n\nJest \\(m\\) dwójek i \\(m\\) czwórek - każda daje kwadrat odchylenia równy \\(1\\):\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{\\underbrace{(2-3)^2 + \\ldots + (2-3)^2}_{m \\text{ razy}} + \\underbrace{(4-3)^2 + \\ldots + (4-3)^2}_{m \\text{ razy}}}{2m} = \\frac{m \\cdot 1 + m \\cdot 1}{2m} = \\frac{2m}{2m} = 1\\]\n\n**Krok 4: Odchylenie standardowe.**\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2} = \\sqrt{1} = \\mathbf{1}\\]\n\n**Kluczowa obserwacja:** wynik nie zależy od \\(m\\)! Niezależnie ile dwójek i czwórek mamy (byle po równo), odchylenie standardowe zawsze wynosi \\(1\\).\n\n## Sposób 2 - Wzór skrócony (średnia kwadratów minus kwadrat średniej)\n\nWariancję można też policzyć ze wzoru:\n\n\\[\\sigma^2 = \\overline{a^2} - \\bar{a}^2\\]\n\n**Średnia kwadratów wartości:**\n\n\\[\\overline{a^2} = \\frac{m \\cdot 2^2 + m \\cdot 4^2}{2m} = \\frac{m \\cdot 4 + m \\cdot 16}{2m} = \\frac{20m}{2m} = 10\\]\n\n**Kwadrat średniej** (z Kroku 1 wiemy, że \\(\\bar{a} = 3\\)):\n\n\\[\\bar{a}^2 = 3^2 = 9\\]\n\n**Wariancja:**\n\n\\[\\sigma^2 = 10 - 9 = 1\\]\n\n**Odchylenie standardowe:**\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{1} = \\mathbf{1}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nWzór na wariancję:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + (a_2 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]\n\nWzór na odchylenie standardowe:\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]\n\nWzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżywamy tych wzorów bezpośrednio w Sposobie 1. W Sposobie 2 stosujemy równoważny wzór \\(\\sigma^2 = \\overline{a^2} - \\bar{a}^2\\), który można z nich wyprowadzić.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** (\\(2\\)) | Uczeń myli odchylenie standardowe z **rozstępem** danych: \\(4 - 2 = 2\\). Rozstęp to nie to samo co odchylenie! |\n| **C** (\\(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\)) | Uczeń poprawnie liczy wariancję \\(\\sigma^2 = 1\\), ale zamiast wziąć pierwiastek, **dzieli** przez \\(\\sqrt{2}\\) - błędne zastosowanie wzoru. Lub liczy \\(\\sigma = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\) myląc wariancję z odchyleniem w jakimś skrócie myślowym. |\n| **D** (\\(\\sqrt{2}\\)) | Uczeń dzieli sumę kwadratów odchyleń przez \\(m\\) zamiast przez \\(2m\\): \\(\\sigma^2 = \\frac{2m}{m} = 2\\), stąd \\(\\sigma = \\sqrt{2}\\). Błąd polega na **zapomnieniu** o tym, że mamy \\(2m\\) liczb w mianowniku, nie \\(m\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odchylenie standardowe to **pierwiastek** z wariancji - wielu uczniów zatrzymuje się na wariancji i podaje \\(\\sigma^2 = 1\\) jako wynik, co dałoby błędnie odpowiedź A lub C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach ze zmiennym parametrem (\\(m\\)) odruchowo próbujemy wstawić konkretną wartość np. \\(m = 1\\). Tu to działa (dostajemy zestaw \\(\\{2, 4\\}\\), \\(\\sigma = 1\\)), ale zawsze warto sprawdzić, czy wynik faktycznie nie zależy od \\(m\\) - tutaj słusznie nie zależy, bo \\(m\\) skraca się w liczniku i mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wariancji (\\(\\sigma^2\\)) z odchyleniem standardowym (\\(\\sigma\\)). Tu oba wynoszą \\(1\\), więc łatwo nie zauważyć błędu - ale w innych zadaniach ta pomyłka da zły wynik!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Średnia + wariancja + pierwiastek\n**Krok 1 - średnia:**\n\\[\\bar{x} = \\tfrac{m\\cdot 2 + m\\cdot 4}{2m} = \\tfrac{6m}{2m} = 3.\\]\n\n**Krok 2 - wariancja (średnia kwadratów odchyleń):**\n\\[\\sigma^2 = \\tfrac{m(2-3)^2 + m(4-3)^2}{2m} = \\tfrac{m\\cdot 1 + m\\cdot 1}{2m} = \\tfrac{2m}{2m} = 1.\\]\n\n**Krok 3 - odchylenie standardowe:**\n\\[\\sigma = \\sqrt{1} = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Symetria zestawu\nZestaw jest symetryczny względem średniej: połowa liczb to \\(2\\), druga połowa to \\(4\\). Średnia \\(= 3\\), każda liczba jest odległa od \\(3\\) o \\(1\\). Więc **wszystkie** odchylenia w kwadracie to \\(1\\), wariancja \\(= 1\\), odchylenie standardowe \\(= 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - ktoś wziął rozstęp zamiast odchylenia standardowego (\\(4-2=2\\)).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{\\sqrt{2}}\\)** - błąd przy wzorze na wariancję, np. dzielenie przez \\(4m\\) zamiast \\(2m\\).\n- **D. \\(\\sqrt{2}\\)** - ktoś pomylił wariancję z odchyleniem standardowym, albo policzył sumę odchyleń kwadratowych bez uśrednienia.\n\n**Spostrzeżenie:** odpowiedź **nie zależy od \\(m\\)** - dodanie/odjęcie identycznych liczb nie zmienia odchylenia standardowego tej kompozycji.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie średniej i wariancji\nTen sposób polega na obliczeniu średniej i wariancji zestawu liczb, a następnie wykorzystaniu tych wartości do określenia odchylenia standardowego.\n\nKroki:\n1. **Zidentyfikuj liczby w zestawie:** Zestaw zawiera liczby 2, 2, 2, , 2, 4, 4, 4, , 4. Nie wiemy, ile jest liczb 2 i ile liczb 4. Oznaczmy liczbę 2 przez *m* i liczbę 4 przez *m*. Zatem mamy *m* liczb 2 i *m* liczb 4.\n2. **Oblicz sumę liczb:** Suma liczb wynosi *m* * 2 + *m* * 4 = 2*m + 4*m = 6*m.\n3. **Oblicz liczbę wszystkich elementów:** Liczba wszystkich elementów w zestawie wynosi *m* + *m* = 2*m.\n4. **Oblicz średnią:** Średnia (x̄) wynosi (6*m) / (2*m) = 3.\n5. **Oblicz wariancję:** Wariancja σ² wynosi suma kwadratów różnic od średniej, podzielona przez liczbę elementów.\n* Suma kwadratów różnic od średniej: (m * (2-3)²) + (m * (4-3)²) = m * (-1)² + m * (1)² = m + m = 2*m\n* Wariancja: σ² = (2*m) / (2*m) = 1.\n6. **Oblicz odchylenie standardowe:** Odchylenie standardowe (σ) wynosi pierwiastek z wariancji: σ = √1 = 1.\n\n📖 Karta wzorów: s.32 - Pochodna, strona 32 (Pochodna: (x^r)'=rx^(r-1)), wzór na średnią (średnia x̄=Σxᵢ/n) oraz wzór na wariancję (wariancja σ²=Σ(xᵢ-x̄)²/n)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na odchylenie standardowe\nTen sposób bezpośrednio stosuje wzór na odchylenie standardowe.\n\nKroki:\n1. **Zidentyfikuj liczby w zestawie:** Tak jak w sposobie 1, mamy *m* liczb 2 i *m* liczb 4.\n2. **Zapisz wzór na odchylenie standardowe:** Odchylenie standardowe (σ) jest zdefiniowane jako pierwiastek z wariancji: σ = √[Σ(xᵢ - x̄)² / n], gdzie xᵢ to poszczególne wartości w zestawie, x̄ to średnia, a n to liczba elementów w zestawie.\n3. **Podstaw wartości:**\n* x̄ = 3\n* Σ(xᵢ - 3)² = (m * (2-3)²) + (m * (4-3)²) = 2*m\n* n = 2*m\n* σ = √[ (2*m) / (2*m) ] = √1 = 1\n\n📖 Karta wzorów: s.32 - Pochodna, strona 32 (Pochodna: (x^r)'=rx^(r-1)), wzór na odchylenie standardowe (σ²=Σ(xᵢ-x̄)²/n)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Ta odpowiedź nie odzwierciedla obliczeń średniej i odchylenia standardowego. Wartość średniej jest równa 3, a odchylenie standardowe wynosi 1.\n* **C:** Ta odpowiedź nie ma związku z obliczeniami dotyczącymi średniej i odchylenia standardowego.\n* **D:** Ta odpowiedź również nie ma związku z obliczeniami dotyczącymi średniej i odchylenia standardowego.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nIle jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych\nprzez 5?\nA. 402\nB. 403\nC. 203\nD. 204\nIle jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5? A. 402; B. 403; C. 203; D. 204.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających użycia\nwzorów kombinatorycznych, stosuje regułę\nmnożenia i regułę dodawania (10.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(204\\)\n\n## Sposób 1 - zakres i wzór na liczność ciągu arytmetycznego\n\n**Określamy zakres poszukiwanych liczb.**\n\nCzterocyfrowe liczby naturalne to liczby od \\(1000\\) do \\(9999\\). Ale szukamy tylko tych **mniejszych od \\(2018\\)**, więc nasz zakres to:\n\\[1000, \\, 1001, \\, \\ldots, \\, 2017\\]\n\n**Wyznaczamy skrajne liczby podzielne przez 5 w tym zakresie.**\n\nLiczba podzielna przez \\(5\\) musi kończyć się cyfrą \\(0\\) lub \\(5\\).\n\n- **Najmniejsza:** \\(1000\\) - kończy się na \\(0\\), więc \\(1000 \\div 5 = 200\\) ✓\n- **Największa mniejsza od \\(2018\\):** sprawdzamy od \\(2017\\) w dół:\n- \\(2017\\) - kończy się na \\(7\\) ✗\n- \\(2016\\) - kończy się na \\(6\\) ✗\n- \\(2015\\) - kończy się na \\(5\\) ✓\n\nZatem szukamy wielokrotności \\(5\\) od \\(1000\\) do \\(2015\\):\n\\[1000, \\; 1005, \\; 1010, \\; \\ldots, \\; 2015\\]\n\nTo jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \\(a_1 = 1000\\), ostatnim wyrazie \\(a_n = 2015\\) i różnicy \\(r = 5\\).\n\n**Liczymy ilość wyrazów ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:**\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\\[2015 = 1000 + (n-1) \\cdot 5\\]\n\\[1015 = (n-1) \\cdot 5\\]\n\\[n - 1 = 203\\]\n\\[\\boxed{n = 204}\\]\n\n## Sposób 2 - odejmowanie wielokrotności\n\nLiczymy wielokrotności \\(5\\) w potrzebnym zakresie, korzystając z odejmowania.\n\n**Wielokrotności \\(5\\) od \\(1\\) do \\(2015\\):**\n\\[\\left\\lfloor \\frac{2015}{5} \\right\\rfloor = 403\\]\n\n**Wielokrotności \\(5\\) od \\(1\\) do \\(999\\)** (czyli co najwyżej trzycyfrowe):\n\\[\\left\\lfloor \\frac{999}{5} \\right\\rfloor = 199\\]\n\n**Czterocyfrowe wielokrotności \\(5\\) mniejsze od \\(2018\\):**\n\\[403 - 199 = \\boxed{204}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1, aby wyznaczyć liczbę wyrazów ciągu wielokrotności \\(5\\) między \\(1000\\) a \\(2015\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(402\\) | Policzono wielokrotności \\(5\\) od \\(1\\) do \\(2010\\): \\(\\frac{2010}{5} = 402\\) - wzięto złą górną granicę |\n| B: \\(403\\) | Policzono **wszystkie** wielokrotności \\(5\\) od \\(1\\) do \\(2015\\): \\(\\frac{2015}{5} = 403\\) - zapomniano odjąć liczby 1-3-cyfrowe |\n| C: \\(203\\) | Policzono \\(\\frac{2015 - 1000}{5} = 203\\) - zapomniano o błędzie \"off by one\" (nie dodano \\(+1\\), przez co pominięto pierwszy wyraz \\(1000\\)) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największa poszukiwana liczba to **\\(2015\\)**, nie \\(2018\\) ani \\(2020\\). Zawsze znajdź samodzielnie ostatni wyraz spełniający warunki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu wyrazów ciągu arytmetycznego wzorem \\(\\frac{a_n - a_1}{r}\\) zawsze **dodaj \\(+1\\)**. Wynik \\(203\\) to liczba **kroków**, a nie wyrazów - wyrazów jest o jeden więcej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"czterocyfrowa\" łatwo przeoczyć - jeśli nie odejmiesz jednocyfrowych, dwucyfrowych i trzycyfrowych wielokrotności \\(5\\), wyjdzie Ci za dużo (odpowiedź B).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny liczb podzielnych przez 5\nSzukamy liczb \\(1000 \\le x \\le 2017\\) podzielnych przez \\(5\\).\n- Pierwsza taka: \\(1000\\) (bo \\(1000:5 = 200\\)).\n- Ostatnia: największa \\(\\le 2017\\) i podzielna przez \\(5\\), czyli \\(2015\\).\n- Różnica: \\(r = 5\\).\nLiczba wyrazów:\n\\[n = \\tfrac{2015 - 1000}{5} + 1 = \\tfrac{1015}{5} + 1 = 203 + 1 = 204.\\]\n\n### Sposób 2 - Zliczanie wielokrotności 5\nLiczby podzielne przez 5 w zakresie \\([1000, 2017]\\) to te postaci \\(5k\\) gdzie \\(200 \\le k \\le 403\\) (bo \\(5\\cdot 200 = 1000\\), \\(5\\cdot 403 = 2015\\), a \\(5\\cdot 404 = 2020 > 2017\\)).\nLiczba wartości \\(k\\): \\(403 - 200 + 1 = 204\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(402\\)** - być może zliczono liczby podzielne przez 5 od 0 do 2017 (\\(\\lfloor 2017/5\\rfloor = 403\\)) i nie uwzględniono \"czterocyfrowość\".\n- **B. \\(403\\)** - wynik \\(\\lfloor 2017/5\\rfloor\\) bez odjęcia trzycyfrowych wielokrotności pięciu.\n- **C. \\(203\\)** - błąd o 1 w formule \"fencepost\": zapomniano dodać \\(+1\\) w liczbie wyrazów ciągu.\n\n**Klasyczny błąd:** przy liczeniu w ciągu arytmetycznym zawsze pamiętaj \\(\\tfrac{a_n - a_1}{r} + 1\\). Bez \\(+1\\) dostajesz liczbę **odstępów**, a nie liczbę **elementów**.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza warunków podzielności i zakresu liczb\nTen sposób polega na bezpośrednim policzeniu liczb spełniających warunki. Liczba czterocyfrowa musi być mniejsza od 2018. Ponieważ liczba musi być podzielna przez 5, jej cyfra jedności musi być 0 lub 5.\n\n* **Przypadek 1: Cyfra jedności to 0.**\nWtedy mamy 9 możliwości dla pierwszej cyfry (nie może być 0, ponieważ liczba musi być czterocyfrowa), 9 możliwości dla drugiej cyfry, 9 możliwości dla trzeciej cyfry i 1 możliwość dla czwartej cyfry (0). Zatem liczba takich liczb wynosi 9 * 9 * 9 * 1 = 729.\n\n* **Przypadek 2: Cyfra jedności to 5.**\nPodobnie, mamy 9 możliwości dla pierwszej cyfry, 9 możliwości dla drugiej cyfry, 9 możliwości dla trzeciej cyfry i 1 możliwość dla czwartej cyfry (5). Zatem liczba takich liczb wynosi 9 * 9 * 9 * 1 = 729.\n\n* **Suma:** Łączna liczba liczb to 729 + 729 = 1458. To jest błąd w zadaniu, ponieważ liczba możliwych liczb ma być mniejsza od 2018. Zatem musimy zmodyfikować podejście.\n\nZamiast liczyć bezpośrednio, możemy znaleźć liczbę czterocyfrowych liczb mniejszych od 2018, które są podzielne przez 5. Oznacza to, że liczba musi kończyć się na 0 lub 5.\n\n* Liczby od 1000 do 1999: Liczby kończące się na 0: 1000, 1005, 1010, , 1990. To jest 1000 - 1005 + 1 = 1000 - 1005 + 1 = 999 / 5 = 199. Liczby kończące się na 5: 1005, 1015, 1025, , 1995. To jest 199 - 1005 + 1 = 199 - 1005 + 1 = 999 / 5 = 199.\n* Liczba od 2000 do 2017: 2000, 2005, 2010, 2015. To daje 4 liczby.\n\nŁącznie: 199 + 199 + 4 = 402.\n\n📖 Karta wzorów: s.28 (Kombinatoryka), strona 28\n\n### Sposób 2: Obliczenie ilorazu\nChcemy znaleźć liczbę czterocyfrowych liczb mniejszych od 2018, które są podzielne przez 5. Zauważmy, że 2018 / 5 = 403.6. Zatem szukamy liczb podzielnych przez 5, które są mniejsze niż 2018. Oznacza to, że szukamy liczb z zakresu od 1000 do 2017, które są podzielne przez 5.\n\nNajmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez 5 to 1000. Największa liczba czterocyfrowa mniejsza od 2018, która jest podzielna przez 5 to 2015.\n\nLiczba liczb podzielnych przez 5 w tym zakresie to (2015 - 1000) / 5 + 1 = 1015 / 5 + 1 = 203 + 1 = 204.\n\n📖 Karta wzorów: s.28 (Kombinatoryka), strona 28\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 402:** Jak wyliczyliśmy w sposobie 1, jest to liczba liczb kończących się na 0 lub 5 w przedziale 1000-1999, ale nie uwzględnia zakresu 2000-2017.\n* **B. 403:** Podobnie jak A, nie uwzględnia zakresu 2000-2017.\n* **C. 203:** To jest liczba liczb kończących się na 5 w przedziale 1000-1999, ale nie uwzględnia zakresu 2000-2017.\n* **D. 204:** Jak wyliczyliśmy w sposobie 2, jest to prawidłowa liczba liczb czterocyfrowych mniejszych od 2018, które są podzielne przez 5.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe\nkupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest\nrówne\nA. 35\n15\nB.\n50\n1\nC. 50\n15\nD. 50\n35\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nW pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kuponu są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe A. 15/35; B. 1/50; C. 15/50; D. 35/50;","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa (10.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{35}{50}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczenie kuponów wygrywających\n\n**Dane z zadania:**\n- Łącznie kuponów: \\(50\\)\n- Kupony przegrywające: \\(15\\)\n- Kupony wygrywające: \\(50 - 15 = 35\\)\n\nSzukamy prawdopodobieństwa wyciągnięcia kuponu wygrywającego.\n\nKorzystamy z definicji prawdopodobieństwa klasycznego:\n\\[P(\\text{wygrywający}) = \\frac{\\text{liczba kuponów wygrywających}}{\\text{liczba wszystkich kuponów}}\\]\n\n\\[P(\\text{wygrywający}) = \\frac{35}{50}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{35}{50}\\)**\n\n(Można uprościć: \\(\\dfrac{35}{50} = \\dfrac{7}{10} = 0{,}7\\), ale odpowiedź D jest zapisana jako \\(\\dfrac{35}{50}\\), więc ta postać jest poprawna.)\n\n## Sposób 2 - Przez zdarzenie dopełniające\n\nZamiast liczyć kupony wygrywające wprost, skorzystajmy z własności zdarzenia dopełniającego.\n\nNiech \\(A\\) = „wyciągamy kupon wygrywający\", wtedy \\(A'\\) = „wyciągamy kupon przegrywający\".\n\n\\[P(A') = \\frac{15}{50}\\]\n\nZ własności prawdopodobieństwa:\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{15}{50} = \\frac{50}{50} - \\frac{15}{50} = \\frac{35}{50}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{35}{50}\\)** - identyczny jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \\(A\\), a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - jako \\(|A| = 35\\) (kupony wygrywające), \\(|\\Omega| = 50\\) (wszystkie kupony).\n\n**Dział 14 (s. 29)** - zdarzenie dopełniające:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń bierze \\(\\dfrac{15}{35}\\) - dzieli liczbę przegrywających przez liczbę wygrywających zamiast przez liczbę **wszystkich** kuponów. To stosunek, nie prawdopodobieństwo. |\n| B | Uczeń bierze \\(\\dfrac{1}{50}\\) - jakby wyciągał konkretny jeden kupon. Ignoruje fakt, że jest \\(35\\) wygrywających, nie jeden. |\n| C | Uczeń bierze \\(\\dfrac{15}{50}\\) - to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuponu **przegrywającego**, nie wygrywającego. Pomylono zdarzenie z jego dopełnieniem. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kuponów **przegrywających** z **wygrywającymi** - zadanie pyta o wygrywające, a liczba \\(15\\) podana wprost dotyczy przegrywających. Trzeba odjąć: \\(50 - 15 = 35\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to zawsze **łączna liczba wszystkich możliwych wyników** (\\(50\\)), nie liczba wyników sprzyjających ani jakaś różnica.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(\\dfrac{15}{50}\\)) to klasyczna pułapka - wygląda przekonująco, bo \\(15\\) pojawia się w treści. Zawsze sprawdź, do **czego** odnosi się podana liczba.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Definicja klasyczna prawdopodobieństwa\nLiczba kuponów wygrywających: \\(50 - 15 = 35\\).\nLiczba wszystkich kuponów: \\(50\\).\n\\[P(\\text{wygrana}) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\tfrac{35}{50} = \\tfrac{7}{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez zdarzenie przeciwne\n\\(P(\\text{przegrana}) = \\tfrac{15}{50}\\).\n\\(P(\\text{wygrana}) = 1 - \\tfrac{15}{50} = \\tfrac{50-15}{50} = \\tfrac{35}{50}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{15}{35}\\)** - stosunek przegrywających do wygrywających, ale to nie jest prawdopodobieństwo.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{50}\\)** - prawdopodobieństwo wylosowania konkretnego jednego kuponu, niezwiązane z wygraną.\n- **C. \\(\\tfrac{15}{50}\\)** - prawdopodobieństwo **przegranej**, nie wygranej.\n\n**Pamiętaj:** \\(P(A) = \\tfrac{\\text{sprzyjające}}{\\text{wszystkie}}\\). Mianownik to **zawsze** wszystkie możliwe zdarzenia elementarne.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa bezpośrednio\nWyciągamy prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kuponu bezpośrednio z proporcji kuponów wygrywających i wszystkich kuponów. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kupona to liczba kuponów wygrywających podzielona przez liczbę wszystkich kuponów.\n\n* Liczba kuponów wygrywających: 15\n* Liczba wszystkich kuponów: 50\n\nPrawdopodobieństwo = 15/50 = 3/10 = 0.3\n\n### Sposób 2: Obliczenie prawdopodobieństwa wyciągnięcia przegrywacza i odejmowanie od 1\nPrawdopodobieństwo wyciągnięcia przegrywacza to 15/50 = 3/10. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kupona to 1 minus prawdopodobieństwo wyciągnięcia przegrywacza.\n\nP(wygrywający) = 1 - P(przegrywający) = 1 - (15/50) = 1 - 3/10 = 7/10 = 0.7\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop. (s.29), strona 30\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 15/35** - Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ nie uwzględnia, że w pudełku jest 50 kuponów, a nie 35. Prawdopodobieństwo nie jest proporcjonalne do liczby kuponów przegrywających.\n* **B. 1/50** - Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kupona nie jest równe liczbie wygrywających kuponów podzielonej przez całkowitą liczbę kuponów. Prawdopodobieństwo jest równe liczbie wygrywających kuponów podzielonej przez *całkowitą* liczbę kuponów (50).\n* **C. 15/50** - Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ 15/50 to prawdopodobieństwo wyciągnięcia przegrywacza, a zadanie pytało o prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kupona.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n5\n3\n2\n2\n>\n-x\nx\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 2x^2-3x > 5.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.\nPierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:\n• zapisujemy nierówność w postaci\ni obliczamy pierwiastki trójmianu\nkwadratowego\no obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\ni stąd\noraz\nalbo\no stosujemy wzory Viète’a:\noraz\n, stąd\noraz\nDrugi etap rozwiązania: podajemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• realizując pierwszy etap popełni błędy, ale otrzyma nierówność, w której po jednej\nstronie występuje pełny trójmian kwadratowy posiadający dwa różne pierwiastki\ni konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\n,\nlub\n2\n2\n3\n5\nx\nx\n0\n5\n3\n2\n2\n>\n-x\nx\n2\n2\n3\n5\nx\nx\n(\n)\n49\n5\n2\n4\n9\n⋅\n⋅\nΔ\n1\n3 7\n4\n1\nx\n2\n3 7\n5\n4\n2\nx\n1\n2\n5\n2\nx x\n⋅\n1\n2\n3\n2\nx\nx\n1\n1\nx = -\n2\n5\n2\nx =\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\n1\n1\nx = -\n2\n5\n2\nx =\n( )\n2\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\n5\n2\n1\nx\nx\n< -∨\n>\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\ni\n,\noraz\n, itp.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n,\ni błędnie zapisze\nodpowiedź, np.\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający po poprawnym rozwiązaniu nierówności zapisuje w odpowiedzi, jako zbiór\nrozwiązań, zbiór, zawierający elementy nienależące do zbioru\nlub\nzbiór pusty, to otrzymuje 1 punkt. Zapisanie w miejscu przeznaczonym na odpowiedź\npierwiastków trójmianu kwadratowego nie jest traktowane jak opis zbioru rozwiązań.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci\n,\n, to przyznajemy 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ -1\\right) \\cup \\left(\\frac{5}{2},\\ +\\infty\\right)\\]\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do zera i analiza znaku trójmianu\n\n**Krok 1: Przenosimy 5 na lewą stronę**\n\n\\[2x^2 - 3x > 5\\]\n\\[2x^2 - 3x - 5 > 0\\]\n\n**Krok 2: Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(f(x) = 2x^2 - 3x - 5\\)**\n\nWyznaczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-5) = 9 + 40 = 49\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 7\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{3 - 7}{2 \\cdot 2} = \\frac{-4}{4} = -1\\]\n\\[x_2 = \\frac{3 + 7}{4} = \\frac{10}{4} = \\frac{5}{2}\\]\n\n**Krok 3: Analizujemy znak trójmianu**\n\nWspółczynnik \\(a = 2 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę** - trójmian jest dodatni **na zewnątrz** pierwiastków.\n\nSzkic znaku:\n\n\\[\n\\begin{array}{c|ccccc}\nx & & -1 & & \\frac{5}{2} & \\\\\n\\hline\nf(x) & + & 0 & - & 0 & +\n\\end{array}\n\\]\n\n**Krok 4: Odczytujemy rozwiązanie**\n\nSzukamy \\(f(x) > 0\\), czyli wartości dodatnich:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -1\\right) \\cup \\left(\\frac{5}{2},\\ +\\infty\\right)}\\]\n\n## Sposób 2 - Postać iloczynowa i analiza znaku\n\nPo wyznaczeniu pierwiastków w Sposobie 1 zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej:\n\n\\[f(x) = 2(x - (-1))\\left(x - \\frac{5}{2}\\right) = 2(x+1)\\left(x - \\frac{5}{2}\\right)\\]\n\nNierówność \\(f(x) > 0\\) przyjmuje postać:\n\n\\[2(x+1)\\left(x - \\frac{5}{2}\\right) > 0\\]\n\nCzynnik \\(2 > 0\\) nie zmienia znaku, więc analizujemy:\n\n\\[(x+1)\\left(x - \\frac{5}{2}\\right) > 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest **dodatni**, gdy **oba mają ten sam znak**:\n\n**Przypadek I** - oba dodatnie:\n\\[x + 1 > 0 \\quad \\text{i} \\quad x - \\frac{5}{2} > 0\\]\n\\[x > -1 \\quad \\text{i} \\quad x > \\frac{5}{2}\\]\n\\[\\Rightarrow x > \\frac{5}{2}\\]\n\n**Przypadek II** - oba ujemne:\n\\[x + 1 < 0 \\quad \\text{i} \\quad x - \\frac{5}{2} < 0\\]\n\\[x < -1 \\quad \\text{i} \\quad x < \\frac{5}{2}\\]\n\\[\\Rightarrow x < -1\\]\n\nŁącząc oba przypadki:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -1\\right) \\cup \\left(\\frac{5}{2},\\ +\\infty\\right)}\\]\n\nWynik zgodny z Podejściem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy do znalezienia pierwiastków trójmianu \\(2x^2 - 3x - 5\\).\n\n**Dział 7 (s. 8)** - postać iloczynowa (Sposób 2):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nPozwala bezpośrednio analizować znak jako iloczyn dwóch czynników liniowych.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to brak przeniesienia 5 na lewą stronę przed wyznaczaniem wyróżnika - wyliczanie \\(\\Delta\\) dla \\(2x^2 - 3x\\) zamiast \\(2x^2 - 3x - 5\\). To daje zupełnie inne pierwiastki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności z parabolą skierowaną **w górę** (\\(a > 0\\)) rozwiązaniem \\(f(x) > 0\\) jest zawsze **zewnętrze** pierwiastków. Błąd polega na wzięciu przedziału między pierwiastkami - to dałoby rozwiązanie \\(f(x) < 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Granice przedziału (\\(x = -1\\) i \\(x = \\frac{5}{2}\\)) **nie należą** do rozwiązania, bo nierówność jest **ostra** (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)). Używamy nawiasów okrągłych \\((\\,)\\), nie ostrych \\(\\langle\\,\\rangle\\).\n\n**Rozwiązanie: \\(x\\in(-\\infty, -1)\\cup\\left(\\tfrac{5}{2}, +\\infty\\right)\\)**\n\n### Sposób 1 - Wzory na pierwiastki trójmianu (delta)\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[2x^2 - 3x - 5 > 0.\\]\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4\\cdot 2\\cdot (-5) = 9 + 40 = 49, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 7.\\]\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\tfrac{3-7}{4} = -1, \\qquad x_2 = \\tfrac{3+7}{4} = \\tfrac{5}{2}.\\]\nPonieważ współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a=2>0\\)), parabola jest skierowana \"rogami w górę\" - nierówność \\(>0\\) zachodzi **na zewnątrz** pierwiastków.\n\\[x\\in(-\\infty, -1)\\cup\\left(\\tfrac{5}{2}, +\\infty\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład iloczynowy (wzory Viète'a)\nSzukamy rozkładu \\(2x^2 - 3x - 5 = (2x-5)(x+1)\\). Sprawdzenie: \\(2x^2 + 2x - 5x - 5 = 2x^2 - 3x - 5\\) ✓.\nNierówność \\((2x-5)(x+1) > 0\\) zachodzi gdy oba czynniki mają ten sam znak:\n- oba dodatnie: \\(x > \\tfrac{5}{2}\\)\n- oba ujemne: \\(x < -1\\)\n\n### Sposób 3 - Szkic wykresu\nFunkcja \\(f(x) = 2x^2 - 3x - 5\\) to parabola z ramionami w górę, miejscami zerowymi \\(-1\\) i \\(\\tfrac{5}{2}\\). Dla wartości \\(x\\) \"na zewnątrz\" tych punktów, \\(f(x) > 0\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x\\in(-\\infty, -1)\\cup\\left(\\tfrac{5}{2}, +\\infty\\right)\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n)(\n)\n3\n2\n125\n64\n0\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiąż równanie (x^3+125)(x^2-64)=0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności\niloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x - 7) = 0\n(3.7).\nPrzykładowe rozwiązanie\nLewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników\noraz\n. Zatem iloczyn\nten jest równy 0, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0, czyli\nlub\nRozwiązaniem równania\njest\nRównanie\ndoprowadzamy do postaci\n. Przynajmniej jeden\nz czynników\nlub\njest równy 0, czyli\nlub\nRównanie\nma trzy rozwiązania rzeczywiste:\n,\n1\nx < -\n5\n2\nx >\n1\nx < -\n5\n2\nx >\n1\n1\nx = -\n2\n5\n2\nx =\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,1\n,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1,\n-∞\n∪-\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1,\n+∞\n∪-\n-∞\n3\n125\nx +\n2\n64\nx -\n3\n125\n0\nx +\n2\n64\n0\nx -\n3\n125\n0\nx +\n3\n125\n5\nx =\n2\n64\n0\nx -\n(\n) (\n)\n8\n8\n0\nx\nx\n⋅\n8\nx -\n8\nx +\n8\nx =\n8\nx = -\n(\n)(\n)\n3\n2\n125\n64\n0\nx\nx\n5\nx = -\n8\nx =\n8\nx = -\nx\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze dwa równania\ni\nlub\n• wyznaczy poprawnie (lub poda) rozwiązania jednego z równań:\nlub\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n,\n,\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez rachunków lub uzasadnienia,\nto otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający uzyska trafne rozwiązania równania, ale w wyniku błędnej metody,\nto otrzymuje 0 punktów, o ile nie uzyska 1 punktu za zapisanie dwóch równań:\n,\n3. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy pierwiastki wielomianu\ni poda\nniewłaściwą odpowiedź, np.\n, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-8,\\ -5,\\ 8\\}\\)\n\nRównanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste: \\(x_1 = -8\\), \\(x_2 = -5\\), \\(x_3 = 8\\).\n\n## Sposób 1 - Własność iloczynu równego zero\n\n**Kluczowa zasada:** Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.\n\n\\[(x^3 + 125)(x^2 - 64) = 0\\]\n\n\\[\\Downarrow\\]\n\n\\[x^3 + 125 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 - 64 = 0\\]\n\n**Czynnik I:** \\(x^3 + 125 = 0\\)\n\nRozpoznajemy sumę sześcianów: \\(x^3 + 5^3\\). Stosujemy wzór:\n\n\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]\n\n\\[x^3 + 125 = (x + 5)(x^2 - 5x + 25) = 0\\]\n\n- \\(x + 5 = 0 \\implies \\mathbf{x_1 = -5}\\)\n\n- \\(x^2 - 5x + 25 = 0\\): liczymy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 25 = 25 - 100 = -75 < 0\\]\n\n**Brak pierwiastków rzeczywistych** z tego czynnika.\n\n**Czynnik II:** \\(x^2 - 64 = 0\\)\n\nRozpoznajemy różnicę kwadratów: \\(x^2 - 8^2\\). Stosujemy wzór:\n\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\n\\[x^2 - 64 = (x-8)(x+8) = 0\\]\n\n\\[x - 8 = 0 \\implies \\mathbf{x_2 = 8}\\]\n\\[x + 8 = 0 \\implies \\mathbf{x_3 = -8}\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\n\\[\\boxed{x \\in \\{-8,\\ -5,\\ 8\\}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie wyznaczanie pierwiastków (bez rozkładu sumy sześcianów)\n\n**Czynnik I:** \\(x^3 + 125 = 0\\)\n\n\\[x^3 = -125\\]\n\n\\[x = \\sqrt[3]{-125} = -\\sqrt[3]{125} = \\mathbf{-5}\\]\n\n(Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest ujemny - tylko jeden pierwiastek rzeczywisty.)\n\n**Czynnik II:** \\(x^2 - 64 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 64\\]\n\n\\[x = \\pm\\sqrt{64} = \\pm 8\\]\n\nStąd: \\(\\mathbf{x = 8}\\) lub \\(\\mathbf{x = -8}\\).\n\n**Weryfikacja** - podstawiamy każde rozwiązanie do oryginalnego równania:\n\n- \\(x = -5\\): \\(((-5)^3 + 125)((-5)^2 - 64) = (-125 + 125)(25 - 64) = 0 \\cdot (-39) = 0\\) ✓\n- \\(x = 8\\): \\((8^3 + 125)(8^2 - 64) = (512+125)(64-64) = 637 \\cdot 0 = 0\\) ✓\n- \\(x = -8\\): \\(((-8)^3 + 125)((-8)^2 - 64) = (-512+125)(64-64) = (-387) \\cdot 0 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\nSuma sześcianów:\n\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]\nUżyta przy rozkładzie \\(x^3 + 125 = x^3 + 5^3\\) w Sposobie 1.\n\nRóżnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyta przy rozkładzie \\(x^2 - 64 = x^2 - 8^2\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nPrzy sprawdzaniu, czy trójmian \\(x^2 - 5x + 25\\) ma pierwiastki rzeczywiste - \\(\\Delta < 0\\) oznacza brak rozwiązań rzeczywistych.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^3 = -125\\) ma **jeden** pierwiastek rzeczywisty: \\(x = -5\\). Nie pisz \\(x = \\pm 5\\) - to błąd! Pierwiastek sześcienny (w odróżnieniu od kwadratowego) jest jednoznaczny i może być ujemny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie sumy sześcianów dostajemy czynnik \\(x^2 - 5x + 25\\). Uczniowie często myślą, że \\(x^2 - 5x + 25 = (x-5)^2\\) - to **nieprawda**! \\((x-5)^2 = x^2 - 10x + 25\\). Zawsze sprawdź wyróżnik \\(\\Delta\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o **obu** czynnikach - część uczniów rozwiązuje tylko jeden i gubi połowę odpowiedzi. Równanie stopnia 5 (po rozwinięciu) może mieć do 5 pierwiastków zespolonych; my szukamy tylko rzeczywistych.\n\n**Rozwiązanie: \\(x\\in\\{-8,\\ -5,\\ 8\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ co najmniej jeden czynnik = 0\nIloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem:\n\\[x^3 + 125 = 0 \\quad \\text{lub}\\quad x^2 - 64 = 0.\\]\n\n**Równanie 1:** \\(x^3 = -125 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{-125} = -5\\).\n\n**Równanie 2:** \\(x^2 = 64 \\Rightarrow x = \\pm 8\\).\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\{-8, -5, 8\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory skróconego mnożenia\n\\(x^3 + 125 = x^3 + 5^3 = (x+5)(x^2 - 5x + 25)\\). Drugi czynnik ma \\(\\Delta = 25 - 100 < 0\\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zostaje \\(x = -5\\).\n\n\\(x^2 - 64 = (x-8)(x+8)\\), stąd \\(x = 8\\) lub \\(x = -8\\).\n\n**Rozwiązania:** \\(x = -8\\), \\(x = -5\\), \\(x = 8\\).\n\n### Sposób 3 - Szybkie zgadywanie pierwiastków\nZauważamy, że \\(125 = 5^3\\) i \\(64 = 8^2\\), więc pierwsze równanie to \\(x^3 = -125\\) (jedno rozwiązanie \\(x=-5\\)), a drugie to \\(x^2 = 64\\) (dwa rozwiązania \\(\\pm 8\\)).\n\n**Odpowiedź:** \\(x\\in\\{-8,\\ -5,\\ 8\\}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność\n1\n1\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\n\nMMA_1P\nOkręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do\nobu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.\nUzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od\n2\n1\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nB\nA\nOkręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na\noraz\n(2.1).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNierówność możemy przekształcić równoważnie\nPonieważ liczby a i b są dodatnie, więc\ni\n. Mnożąc obie strony nierówności\nprzez\n, otrzymujemy\n,\n,\n,\nTa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności\nrównież dla liczb dodatnich. To kończy dowód.\n3\n125\n0\nx +\n2\n64\n0\nx -\n3\n125\n0\nx +\n2\n64\n0\nx -\n5\nx = -\n8\nx =\n8\nx = -\n3\n125\n0\nx +\n2\n64\n0\nx -\n(\n)(\n)\n3\n2\n125\n64\nx\nx\n{\n}\n8\n5 8\n∈\n\nx\n,\n,\n(\n)\n2\na\nb\n±\n2\n2\na\nb\n2\n2\na\nb\nab\na\nb\n≥\n0\na\nb\n>\n2\n0\nab >\n(\n)\n2ab a\nb\n(\n)\n2\n4\na\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n4\na\nab\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥\nII sposób\nNierówność możemy przekształcić równoważnie\n2\n0\n2\na\nb\nab\na\nb\n≥\n,\nPonieważ liczby a i b są dodatnie, więc\ni\n. Mnożąc obie strony nierówności\nprzez\n, otrzymujemy\n,\n,\n,\nTa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności\nrównież dla liczb dodatnich. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci\nlub\n, lub\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zakończy rozumowanie, zapisując nierówność\ni nie powoła\nsię na stosowne twierdzenie, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający przeprowadzi poprawne rozumowanie, które zakończy zapisaniem\nnierówności\n, to otrzymuje 2 punkty.\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n0\n2\na\nb\nab\nab a\nb\n≥\n0\na\nb\n>\n2\n0\nab >\n(\n)\n2ab a\nb\n(\n)\n2\n4\n0\na\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n4\n0\na\nab\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥\n(\n)\n2\n4\na\nb\nab\n≥\n(\n)\n2\n4\n0\na\nb\nab\n≥\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n0\n2\na\nb\nab\nab a\nb\n≥\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥","solution":"## Poprawna odpowiedź: Twierdzenie prawdziwe - dowód poniżej\n\nTo zadanie otwarte. Należy udowodnić nierówność dla dowolnych \\(a, b > 0\\).\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do równoważnej nierówności (metoda algebraiczna)\n\n**Krok 1 - Upraszczamy lewą stronę.**\n\nDodajemy ułamki, sprowadzając do wspólnego mianownika:\n\n\\[\\frac{1}{2a} + \\frac{1}{2b} = \\frac{b}{2ab} + \\frac{a}{2ab} = \\frac{a+b}{2ab}\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\n\\[\\frac{a+b}{2ab} \\ge \\frac{2}{a+b}\\]\n\n**Krok 2 - Pozbywamy się mianowników.**\n\nPonieważ \\(a, b > 0\\), mamy \\(2ab > 0\\) oraz \\(a+b > 0\\), więc mnożymy obie strony przez \\(2ab(a+b) > 0\\) - **kierunek nierówności się nie zmienia**:\n\n\\[(a+b)^2 \\ge 4ab\\]\n\n**Krok 3 - Rozwijamy lewą stronę:**\n\n\\[a^2 + 2ab + b^2 \\ge 4ab\\]\n\nPrzenosimy \\(4ab\\) na lewą stronę:\n\n\\[a^2 - 2ab + b^2 \\ge 0\\]\n\n\\[(a - b)^2 \\ge 0\\]\n\n**Krok 4 - Wniosek.**\n\nKwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny - nierówność \\((a-b)^2 \\ge 0\\) jest **zawsze prawdziwa**.\n\nPonieważ każdy krok był równoważny (mnożyliśmy przez dodatnie wyrażenia), udowodniliśmy, że:\n\n\\[\\boxed{\\frac{1}{2a} + \\frac{1}{2b} \\ge \\frac{2}{a+b}}\\]\n\ndla dowolnych \\(a, b > 0\\). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a = b\\). \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Dowód wprost (z nierówności \\((a-b)^2 \\ge 0\\))\n\nZamiast redukować nierówność, budujemy dowód w drugą stronę - **od prawdy do tezy**.\n\n**Krok 1 - Zaczynamy od faktu oczywistego:**\n\nDla dowolnych liczb rzeczywistych \\(a, b\\):\n\n\\[(a-b)^2 \\ge 0\\]\n\n**Krok 2 - Rozwijamy:**\n\n\\[a^2 - 2ab + b^2 \\ge 0\\]\n\nDodajemy \\(4ab\\) do obu stron (co jest dozwolone, nie zmienia kierunku):\n\n\\[a^2 + 2ab + b^2 \\ge 4ab\\]\n\n\\[(a+b)^2 \\ge 4ab\\]\n\n**Krok 3 - Dzielimy przez \\(2ab(a+b)\\).**\n\nPonieważ \\(a, b > 0\\), mamy \\(2ab > 0\\) i \\(a+b > 0\\), więc \\(2ab(a+b) > 0\\) - **kierunek nierówności niezmieniony**:\n\n\\[\\frac{(a+b)^2}{2ab(a+b)} \\ge \\frac{4ab}{2ab(a+b)}\\]\n\n\\[\\frac{a+b}{2ab} \\ge \\frac{2}{a+b}\\]\n\n**Krok 4 - Rozpisujemy lewą stronę:**\n\n\\[\\frac{a+b}{2ab} = \\frac{a}{2ab} + \\frac{b}{2ab} = \\frac{1}{2b} + \\frac{1}{2a}\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\frac{1}{2a} + \\frac{1}{2b} \\ge \\frac{2}{a+b}\\]\n\nco kończy dowód. Równość gdy \\(a = b\\). \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie korzystamy bezpośrednio z wzorów z karty CKE.\n\nDowód opiera się na **elementarnej własności kwadratów** \\((a-b)^2 \\ge 0\\) oraz na **wzorze skróconego mnożenia** \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) - jest to wzór ze szkoły podstawowej, ale można go znaleźć w:\n\n> **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n> \\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n> Użyliśmy go w obu sposobach jako kluczowy element dowodu.\n\n**Kontekst matematyczny:** udowodniona nierówność wyraża relację między **średnią harmoniczną** a **średnią arytmetyczną** liczb \\(a\\) i \\(b\\):\n\\[\\underbrace{\\frac{2ab}{a+b}}_{\\text{śr. harmoniczna}} \\le \\underbrace{\\frac{a+b}{2}}_{\\text{śr. arytmetyczna}}\\]\nco jest klasyczną nierównością \\(H \\le A\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy redukujesz nierówność, mnożąc przez mianowniki, **sprawdź znak**. Tu \\(2ab > 0\\) i \\(a+b > 0\\), bo \\(a, b > 0\\) - gdyby mogły być ujemne, kierunek nierówności mógłby się odwrócić i dowód byłby błędny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie możesz po prostu napisać „przekształcam i wychodzi \\((a-b)^2 \\ge 0\\), więc prawda\". Musisz wyraźnie zaznaczyć, że **każde przekształcenie jest równoważne** (lub napisać dowód w kierunku od \\((a-b)^2 \\ge 0\\) do tezy, jak w Sposobie 2).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(a, b > 0\\) jest kluczowy - bez niego mianowniki mogłyby być zerowe lub ujemne, a nierówność mogłaby nie zachodzić.\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika i wzoru skróconego\nPonieważ \\(a,b > 0\\), mamy \\(a+b>0\\) i \\(2ab>0\\). Lewa strona:\n\\[\\tfrac{1}{2a} + \\tfrac{1}{2b} = \\tfrac{b+a}{2ab} = \\tfrac{a+b}{2ab}.\\]\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[\\tfrac{a+b}{2ab} \\ge \\tfrac{2}{a+b}.\\]\nMnożymy obie strony przez \\(2ab(a+b) > 0\\) (znak bez zmiany):\n\\[(a+b)^2 \\ge 4ab.\\]\nPrzekształcamy:\n\\[a^2 + 2ab + b^2 \\ge 4ab\\]\n\\[a^2 - 2ab + b^2 \\ge 0\\]\n\\[(a-b)^2 \\ge 0.\\]\nTa nierówność jest **zawsze prawdziwa** dla dowolnych liczb rzeczywistych \\(a, b\\) (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a=b\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Różnica stron i wspólny mianownik\nPokazujemy, że \\(L - P \\ge 0\\):\n\\[\\tfrac{a+b}{2ab} - \\tfrac{2}{a+b} = \\tfrac{(a+b)^2 - 4ab}{2ab(a+b)} = \\tfrac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}.\\]\nPonieważ \\(a, b > 0\\), mianownik jest dodatni, a licznik \\((a-b)^2 \\ge 0\\). Zatem cały ułamek \\(\\ge 0\\), czyli \\(L \\ge P\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 - Nierówność między średnimi (AM-HM)\nDla liczb dodatnich \\(a, b\\): średnia arytmetyczna \\(\\ge\\) średnia harmoniczna:\n\\[\\tfrac{a+b}{2} \\ge \\tfrac{2}{\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}}.\\]\nPrzekształcając (oba wyrażenia dodatnie):\n\\[\\tfrac{1}{a} + \\tfrac{1}{b} \\ge \\tfrac{4}{a+b}\\]\nDzielimy obie strony przez \\(2\\):\n\\[\\tfrac{1}{2a} + \\tfrac{1}{2b} \\ge \\tfrac{2}{a+b}. \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Uwaga:** Kluczowym krokiem w każdym sposobie jest rozpoznanie wzoru \\((a-b)^2 \\ge 0\\) - uniwersalna \"ratunkowa\" tożsamość w dowodach nierówności.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-4)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu\ni własności okręgów stycznych (7.2).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWtedy\noraz\n. Zatem\nŚrednica okręgu o środku B i promieniu r jest krótsza od odcinka SE, więc\n, czyli\nCo kończy dowód.\nII sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWtedy\n,\noraz\nPonieważ\n, więc otrzymujemy\n,\n2 2\nAS =\n2\nAE =\n2 2\n2\nSE =\n2\n2\n2\n2\n<\nr\n1\n2 -\n<\nr\n2 2\nAS =\n2\nBS\nr\n2\nAE =\nAS\nBS\nBE\nAE\n2 2\n2\n2\nr\nr\n(\n)\n2\n1\n2 2\n2\nr\nB\nA\nS\nC\nD\n2\n2\n2\nE\nr\nr\nB\nA\nS\nC\nD\n2\n2\n2\nE\nr\nr\nG\nF\nStąd mnożąc obie strony tego równania przez\notrzymujemy\n,\n,\n,\nSprawdźmy, czy\nPrzekształcamy tę nierówność równoważnie.\nPonieważ\n, więc\n. Oznacza to, że\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• obliczy\nalbo\n• zapisze równość\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy r i zapisze wynik w postaci ułamka, w którym\nw mianowniku występuje liczba niewymierna, np.\n, i błędnie szacuje tę liczbę,\nnp. stosując takie same przybliżenia z niedomiarem\nw liczniku i w mianowniku,\nto otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający błędnie przyjmie, że długość odcinka, którego jednym końcem jest punkt\nstyczności okręgów, a drugim wierzchołek kąta prostego, jest równa długości średnicy\nmniejszego okręgu i nie wycofa się z tego założenia oraz nie obliczy długości wspomnianego\nodcinka, to otrzymuje 0 punktów.\n2\n1\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n1\n2\n1\nr\n(\n)\n2\n2\n2\n1\nr =\n(\n)\n2 2\n2 2\n1\nr =\n(\n)\n2 3\n2 2\nr =\n(\n)\n2 3\n2 2\n2\n1\n<\n6\n4 2\n2\n1\n<\n7\n5 2\n<\n2\n1,41\n1,4\n≈\n>\n5 2\n7\n>\n2\n1\nr <\n2 2\n2\nSE =\n2 2\n2\n2\nr\nr\n2 2\n2\n2\n1\nr\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: uzasadnienie (zadanie otwarte)\n\nNależy pokazać, że promień \\(r\\) okręgu o środku \\(B\\) spełnia \\(r < \\sqrt{2} - 1\\).\n\n## Sposób 1 - układ współrzędnych i wyznaczenie \\(r\\)\n\n**Ustawienie układu.** Wierzchołek kąta prostego umieszczamy w początku układu \\(O = (0, 0)\\), a ramiona wzdłuż dodatnich półosi \\(OX\\) i \\(OY\\).\n\n**Obserwacja kluczowa.** Jeśli okrąg jest styczny do obu półprostych (osi \\(OX\\) i \\(OY\\)), jego środek musi leżeć w odległości równej promieniowi od każdej osi. Zatem środek okręgu o promieniu \\(\\rho\\) leży w punkcie \\((\\rho, \\rho)\\) - na dwusiecznej kąta prostego.\n\nStąd:\n- **Okrąg A:** środek \\(A = (2, 2)\\), promień \\(2\\)\n- **Okrąg B:** środek \\(B = (r, r)\\), promień \\(r\\) - gdzie \\(r < 2\\) (B leży bliżej wierzchołka)\n\n**Warunek zewnętrznej styczności.** Odległość między środkami równa się sumie promieni:\n\n\\[|AB| = 2 + r\\]\n\nObliczamy \\(|AB|\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(2 - r)^2 + (2 - r)^2} = (2 - r)\\sqrt{2}\\]\n\n(korzystamy z \\(r < 2\\), więc \\(2 - r > 0\\))\n\n**Równanie:**\n\\[(2 - r)\\sqrt{2} = 2 + r\\]\n\n\\[2\\sqrt{2} - r\\sqrt{2} = 2 + r\\]\n\n\\[2\\sqrt{2} - 2 = r\\sqrt{2} + r = r(\\sqrt{2} + 1)\\]\n\n\\[\\boxed{r = \\frac{2(\\sqrt{2} - 1)}{\\sqrt{2} + 1}}\\]\n\n**Dowód nierówności.** Chcemy pokazać, że \\(r < \\sqrt{2} - 1\\), czyli:\n\n\\[\\frac{2(\\sqrt{2} - 1)}{\\sqrt{2} + 1} < \\sqrt{2} - 1\\]\n\nPonieważ \\(\\sqrt{2} - 1 > 0\\), dzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{2} - 1\\):\n\n\\[\\frac{2}{\\sqrt{2} + 1} < 1\\]\n\n\\[2 < \\sqrt{2} + 1\\]\n\n\\[1 < \\sqrt{2}\\]\n\nTa ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ \\(1^2 = 1 < 2\\), a obie strony są dodatnie.\n\n**Zatem \\(r < \\sqrt{2} - 1\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie jawnej wartości \\(r\\) i porównanie\n\nZ Sposobu 1 mamy \\(r = \\dfrac{2(\\sqrt{2}-1)}{\\sqrt{2}+1}\\). Wymnożymy licznik i mianownik przez \\((\\sqrt{2} - 1)\\):\n\n\\[r = \\frac{2(\\sqrt{2}-1)^2}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)} = \\frac{2(\\sqrt{2}-1)^2}{2 - 1} = 2(\\sqrt{2}-1)^2\\]\n\nRozwijamy:\n\\[r = 2(2 - 2\\sqrt{2} + 1) = 2(3 - 2\\sqrt{2}) = 6 - 4\\sqrt{2}\\]\n\nTeraz sprawdzamy nierówność \\(6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1\\):\n\n\\[6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1\\]\n\n\\[7 < 5\\sqrt{2}\\]\n\n\\[\\frac{7}{5} < \\sqrt{2}\\]\n\n\\[1{,}4 < \\sqrt{2}\\]\n\nPodnosimy do kwadratu (obie strony dodatnie):\n\n\\[1{,}96 < 2 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Zatem \\(r = 6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - własność okręgu wpisanego w kąt:\nokrąg styczny do obu ramion kąta ma środek na jego dwusiecznej w odległości \\(r/\\sin(\\alpha/2)\\) od wierzchołka (dla kąta prostego \\(\\alpha = 90°\\) środek leży w odległości \\(r\\sqrt{2}\\) od wierzchołka).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość między punktami:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru do wyznaczenia \\(|AB| = (2-r)\\sqrt{2}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na pierwiastkach przy upraszczaniu \\(\\sqrt{2}\\) i mnożeniu przez sprzężenie \\((\\sqrt{2}-1)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie, że środek okręgu stycznego do obu ramion kąta leży na dwusiecznej tego kąta w odległości \\(r\\sqrt{2}\\) od wierzchołka (nie w odległości \\(r\\)). Dla kąta prostego dwusieczna to prosta \\(y = x\\), więc środek to \\((r, r)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(|AB|\\) trzeba uważać na znak: zakładamy, że \\(r < 2\\) (okrąg B leży bliżej wierzchołka niż A), więc \\(2 - r > 0\\) i można wyciągnąć bez wartości bezwzględnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie prosi o uzasadnienie nierówności \\(r < \\sqrt{2}-1\\), a nie o obliczenie \\(r\\). Wystarczy doprowadzić do prostej prawdy \\(1 < \\sqrt{2}\\) - nie trzeba liczyć wartości dziesiętnej.\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Porównanie z odcinkiem SE (CKE I sposób)\nOznaczmy \\(S\\) - wierzchołek kąta prostego, \\(r\\) - promień okręgu o środku \\(B\\), \\(E\\) - punkt styczności okręgów zewnętrznej.\n\nDla okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego (o promieniu \\(R\\)), środek leży na dwusiecznej kąta w odległości \\(R\\sqrt{2}\\) od wierzchołka (bo odległości od boku = \\(R\\)).\n\\[|SA| = 2\\sqrt{2}, \\qquad |SB| = r\\sqrt{2}.\\]\n\nOdcinek \\(AB\\) przechodzi przez punkt styczności okręgów \\(E\\), przy czym \\(|AE| = 2\\) (promień większego okręgu). Zatem:\n\\[|SE| = |SA| - |AE| = 2\\sqrt{2} - 2.\\]\n\nPunkt \\(B\\) leży wewnątrz odcinka \\(SE\\), a **średnica** mniejszego okręgu \\(2r\\) leży w całości w odcinku \\(SE\\) (okrąg zawiera się między wierzchołkiem kąta a punktem \\(E\\)). Stąd:\n\\[2r < |SE| = 2\\sqrt{2} - 2 \\Rightarrow r < \\sqrt{2} - 1. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie równanie na r (CKE II sposób)\nWykorzystując \\(|SA| = |SB| + |BE| + |EA|\\) (punkty kolinearne na dwusiecznej):\n\\[2\\sqrt{2} = r\\sqrt{2} + r + 2.\\]\nStąd:\n\\[r(\\sqrt{2}+1) = 2\\sqrt{2} - 2 = 2(\\sqrt{2}-1).\\]\n\\[r = \\tfrac{2(\\sqrt{2}-1)}{\\sqrt{2}+1}.\\]\nUsuwamy niewymierność z mianownika (mnożymy przez \\(\\sqrt{2}-1\\)):\n\\[r = \\tfrac{2(\\sqrt{2}-1)^2}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)} = \\tfrac{2(3-2\\sqrt{2})}{1} = 2(3-2\\sqrt{2}) = 6 - 4\\sqrt{2}.\\]\n\nPokazujemy \\(6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2}-1\\):\n\\[6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1 \\iff 7 < 5\\sqrt{2} \\iff 49 < 50. \\quad ✓\\]\nZatem \\(r < \\sqrt{2} - 1\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n**Uwaga:** dla okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego z wierzchołkiem \\(S\\), środek zawsze leży na dwusiecznej, a odległość od \\(S\\) to \\(R\\sqrt{2}\\) (przekątna kwadratu utworzonego przez promienie do punktów styczności).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nDo wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem\n( )\nx\na\nx\nf\n(gdzie\n0\n>\na\ni\n1\na ≠), należy punkt\n(\n)\n9\n,2\nP\n. Oblicz a i zapisz zbiór wartości\nfunkcji g, określonej wzorem ( )\n( )\n2\ng x\nf x\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nDo wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) =a^x (gdzie a>0 i a≠1), należy punkt P=(2,9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x)=f(x)-2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla\nróżnych podstaw (4.14). Zdający na podstawie wykresu funkcji\ny = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, y = -f(x),\ny = f(-x) (4.4).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ punkt P leży na wykresie funkcji f, więc możemy zapisać:\n, gdzie\nStąd\nZbiorem wartości funkcji wykładniczej f jest przedział\n. Wykres funkcji g powstaje\nprzez przesunięcie wykresu funkcji f o 2 jednostki w dół. Zatem zbiorem wartości funkcji g\njest przedział\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• obliczy a:\nalbo\n• zapisze zbiór wartości funkcji g:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy a:\ni zapisze zbiór wartości funkcji g:\nUwaga\nOpis zbioru wartości uznaje się za poprawny, jeśli zbiór ten jest przedstawiony graficznie\nw sposób jednoznacznie wskazujący, że liczba\n2\n- nie należy do tego zbioru, lub zbiór ten\njest opisany słownie, lub jakąkolwiek poprawną nierównością.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór wartości funkcji\nw postaci\n, to przyznajemy 2 punkty, o ile obliczy\n3\na =\n2\n9\na\n0\n>\na\n3\na =\n(\n)\n0, + ∞\n(\n)\n2,\n+ ∞\n3\na =\n(\n)\n2,\n+ ∞\n3\na =\n(\n)\n2,\n+ ∞\n(\n)\n,\n2\n+∞-","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(a = 3\\), zbiór wartości funkcji \\(g\\) to \\((-2, +\\infty)\\).\n\n## Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(a\\).**\n\nPunkt \\(P = (2, 9)\\) należy do wykresu funkcji \\(f(x) = a^x\\), więc jego współrzędne spełniają równanie funkcji:\n\n\\[f(2) = 9\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[a^2 = 9\\]\n\nRozwiązujemy:\n\n\\[a = 3 \\quad \\text{lub} \\quad a = -3\\]\n\nAle z założenia \\(a > 0\\) i \\(a \\neq 1\\), więc odrzucamy \\(a = -3\\).\n\n**Zatem \\(a = 3\\) i \\(f(x) = 3^x\\).**\n\n**Krok 2: Wyznacz zbiór wartości funkcji \\(g(x) = f(x) - 2\\).**\n\nWiemy, że:\n\n\\[g(x) = 3^x - 2\\]\n\nZacznijmy od zbioru wartości \\(f(x) = 3^x\\).\n\nFunkcja wykładnicza \\(3^x\\) dla \\(a = 3 > 1\\) przyjmuje wszystkie wartości **dodatnie**:\n\n\\[f(x) = 3^x \\in (0, +\\infty) \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R}\\]\n\nFunkcja \\(g\\) to \\(f\\) przesunięta o \\(2\\) w dół:\n\n\\[g(x) = 3^x - 2\\]\n\nKażda wartość \\(3^x\\) zmniejsza się o \\(2\\), więc:\n\n\\[\\text{ZW}(g) = (0 - 2,\\ +\\infty) = (-2, +\\infty)\\]\n\n**Zbiór wartości funkcji \\(g\\) to \\((-2, +\\infty)\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja i podejście przez granice\n\n**Weryfikacja \\(a = 3\\):**\n\n\\[f(2) = 3^2 = 9 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(P = (2, 9)\\) rzeczywiście leży na wykresie - wynik poprawny.\n\n**Zbiór wartości \\(g\\) - przez analizę asymptoty:**\n\nWykres \\(g(x) = 3^x - 2\\) to wykres \\(3^x\\) przesunięty o \\(2\\) jednostki **w dół**.\n\nAsymptota pozioma \\(f(x) = 3^x\\) to prosta \\(y = 0\\) (oś \\(OX\\)).\n\nPo przesunięciu o \\(2\\) w dół asymptota pozioma \\(g\\) to:\n\n\\[y = 0 - 2 = -2\\]\n\nPonieważ \\(3^x > 0\\) dla każdego \\(x\\), mamy \\(g(x) = 3^x - 2 > -2\\).\n\nGdy \\(x \\to +\\infty\\): \\(g(x) \\to +\\infty\\).\n\nGdy \\(x \\to -\\infty\\): \\(g(x) \\to -2\\) (ale nigdy nie osiąga \\(-2\\)).\n\nFunkcja \\(g\\) jest ciągła i ściśle rosnąca, więc przyjmuje wszystkie wartości z przedziału:\n\n\\[\\boxed{\\text{ZW}(g) = (-2, +\\infty)}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własności potęg:\n\n\\[a^2 = 9 \\implies a = \\sqrt{9} = 3\\]\n\nUżyliśmy definicji potęgi przy wyznaczaniu podstawy \\(a\\).\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja funkcji wykładniczej jako odwrotności logarytmu:\n\n\\[f(x) = a^x, \\quad a > 0, \\quad a \\neq 1\\]\n\nWłasność kluczowa: \\(a^x > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) - stąd wynika, że zbiór wartości \\(f\\) to \\((0, +\\infty)\\), a po odjęciu \\(2\\) zbiór wartości \\(g\\) to \\((-2, +\\infty)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(a^2 = 9\\) daje dwa rozwiązania: \\(a = 3\\) i \\(a = -3\\). Trzeba odrzucić \\(a = -3\\), bo podstawa funkcji wykładniczej **musi być dodatnia** (\\(a > 0\\)). Pominięcie tego warunku to częsty błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości \\(g(x) = 3^x - 2\\) to \\((-2, +\\infty)\\) - przedział **otwarty** z lewej strony, bo \\(g(x)\\) nigdy nie osiąga \\(-2\\) (asymptota). Zapisanie \\(\\langle -2, +\\infty)\\) byłoby błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie wykresu o \\(2\\) w dół **nie zmienia kształtu** funkcji ani faktu, że jest rosnąca - ale **zmienia asymptotę** i zbiór wartości. Nie pomyl z przesunięciem poziomym \\(f(x-2)\\), które przesuwa wykres w prawo.\n\n**Rozwiązanie: \\(a = 3\\), \\(Z_g = (-2, +\\infty)\\)**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie punktu i analiza przesunięcia\n**Krok 1 - wyznaczenie \\(a\\).** Skoro \\(P = (2, 9)\\) należy do wykresu \\(f\\):\n\\[f(2) = a^2 = 9 \\Rightarrow a = 3 \\text{ lub } a = -3.\\]\nZ założenia \\(a > 0\\), zatem \\(a = 3\\).\n\n**Krok 2 - zbiór wartości \\(g\\).** Funkcja wykładnicza \\(f(x) = 3^x\\) ma zbiór wartości \\((0, +\\infty)\\). Funkcja \\(g(x) = f(x) - 2\\) powstaje przez przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(2\\) jednostki w dół:\n\\[y = f(x) \\in (0, +\\infty) \\Rightarrow y - 2 = g(x) \\in (-2, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza granic wprost\nDla \\(f(x) = 3^x\\):\n- Gdy \\(x \\to -\\infty\\): \\(3^x \\to 0^+\\), więc \\(g(x) = 3^x - 2 \\to -2^+\\) (ale nigdy \\(-2\\)).\n- Gdy \\(x \\to +\\infty\\): \\(3^x \\to +\\infty\\), więc \\(g(x) \\to +\\infty\\).\n\nFunkcja \\(g\\) jest ciągła i rosnąca, więc przyjmuje **wszystkie** wartości między \\(-2\\) (wyłącznie) a \\(+\\infty\\). Zbiór wartości: \\((-2, +\\infty)\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(a = 3\\), zbiór wartości \\(g\\) to \\((-2, +\\infty)\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"wykladnicza","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (\n)\nn\na\n, określonego dla\n1\nn ≥, jest równy 30, a suma jego\ndwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nDwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nKorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na\n:\nKorzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nwzór na\n:\nOtrzymujemy układ równań\ni\nStąd otrzymujemy\nII sposób\nKorzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nwzór na\n:\nOtrzymujemy równanie\nStąd otrzymujemy\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze dwa równania z niewiadomymi\n1a i r wynikające z zastosowania poprawnych\nwzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego:\nnp.:\ni\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą\n1a wynikające z zastosowania poprawnego\nwzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bez wykorzystywania\nróżnicy ciągu:\nnp.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\n12\na\n12\n1\n(12 1)\na\na\nr\n⋅\n12\nS\n1\n12\n2\n(12 1)\n12\n2\na\nr\nS\n⋅\n⋅\n1\n30\n11\na\nr\n1\n162\n12\n66\na\nr\n1\n3\na = -\n12\nS\n1\n12\n12\n12\n2\na\na\nS\n⋅\n1\n30\n162\n12\n2\na +\n⋅\n1\n3\na = -\n1\n30\n11\na\nr\n1\n2\n11\n162\n12\n2\na\nr\n⋅\n⋅\n1\n30\n162\n12\n2\na +\n⋅\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą\ni obliczy pierwszy wyraz ciągu:\nUwagi\n1. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, zapisze poprawny ciąg poprzez wypisanie\n12 początkowych kolejnych wyrazów i ustali, że\n, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, wypisze co najmniej trzy kolejne wyrazy\ni ustali, że\n, ale nie zapisze wszystkich 12 początkowych wyrazów ciągu, to\notrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko\nlub\ni\n, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = -3\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sumę przez wyraz dwunasty\n\nMamy dane:\n- \\(a_{12} = 30\\)\n- \\(S_{12} = 162\\)\n\nKorzystamy ze wzoru na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 12\\), \\(a_{12} = 30\\), \\(S_{12} = 162\\):\n\\[162 = \\frac{a_1 + 30}{2} \\cdot 12\\]\n\n\\[162 = 6(a_1 + 30)\\]\n\n\\[a_1 + 30 = 27\\]\n\n\\[\\boxed{a_1 = -3}\\]\n\n## Sposób 2 - układ równań (wzór na \\(a_n\\) i wzór na \\(S_n\\))\n\nZapisujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi \\(a_1\\) i \\(r\\):\n\n**Równanie I** (wzór na wyraz ogólny):\n\\[a_{12} = a_1 + 11r = 30\\]\n\n**Równanie II** (wzór na sumę):\n\\[S_{12} = \\frac{2a_1 + 11r}{2} \\cdot 12 = 162\\]\n\nUpraszczamy równanie II:\n\\[6(2a_1 + 11r) = 162\\]\n\\[2a_1 + 11r = 27\\]\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} a_1 + 11r = 30 \\\\ 2a_1 + 11r = 27 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy równanie I od równania II:\n\\[(2a_1 + 11r) - (a_1 + 11r) = 27 - 30\\]\n\\[a_1 = -3\\]\n\n**Wyznaczamy \\(r\\) (do weryfikacji):**\n\\[r = \\frac{30 - a_1}{11} = \\frac{30 - (-3)}{11} = \\frac{33}{11} = 3\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\\[S_{12} = \\frac{2 \\cdot (-3) + 11 \\cdot 3}{2} \\cdot 12 = \\frac{-6 + 33}{2} \\cdot 12 = \\frac{27}{2} \\cdot 12 = 162 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu arytmetycznego:\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nWzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nW Sposobie 1 korzystaliśmy z pierwszej postaci sumy \\(\\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) - szczególnie wygodnej, gdy znamy ostatni (tu: dwunasty) wyraz. W Sposobie 2 użyliśmy obu wzorów jednocześnie, tworząc układ równań.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) łatwo zapomnieć pomnożyć przez \\(n\\) - wtedy dostajemy \\(\\frac{a_1 + 30}{2} = 162\\), co daje błędny wynik \\(a_1 = 294\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy układzie równań uważaj na odejmowanie - jeśli odejmiesz w złej kolejności, zmienisz znak i dostaniesz \\(a_1 = 3\\) zamiast \\(a_1 = -3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) ma \\((n-1)r\\), a nie \\(n \\cdot r\\). Dla \\(n=12\\) to \\(11r\\), nie \\(12r\\) - klasyczna pułapka!\n\n**Odpowiedź: \\(a_1 = -3\\)**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę z wyrazem brzegowym\nWzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\tfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]\nDla \\(n=12\\):\n\\[162 = \\tfrac{a_1 + a_{12}}{2}\\cdot 12 = \\tfrac{a_1 + 30}{2}\\cdot 12 = 6(a_1 + 30).\\]\nStąd:\n\\[162 = 6a_1 + 180\\]\n\\[6a_1 = -18 \\Rightarrow a_1 = -3.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ dwóch równań (dla \\(a_1\\) i \\(r\\))\nStosujemy dwa wzory:\n- \\(a_{12} = a_1 + 11r\\), czyli \\(a_1 + 11r = 30\\).\n- \\(S_{12} = \\tfrac{2a_1 + 11r}{2}\\cdot 12 = 6(2a_1 + 11r) = 162\\), czyli \\(2a_1 + 11r = 27\\).\n\nOdejmujemy pierwsze od drugiego:\n\\[(2a_1 + 11r) - (a_1 + 11r) = 27 - 30\\]\n\\[a_1 = -3.\\]\n\n### Sposób 3 - Średnia ciągu arytmetycznego\nDla ciągu arytmetycznego średnia \\(n\\) początkowych wyrazów to \\(\\tfrac{a_1+a_n}{2}\\) (równa średniej \\(a_1\\) i \\(a_n\\)).\n\\[\\bar{a} = \\tfrac{S_{12}}{12} = \\tfrac{162}{12} = 13{,}5.\\]\nZ drugiej strony \\(\\bar{a} = \\tfrac{a_1+a_{12}}{2} = \\tfrac{a_1+30}{2}\\).\n\\[13{,}5 = \\tfrac{a_1+30}{2} \\Rightarrow a_1 + 30 = 27 \\Rightarrow a_1 = -3.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(a_1 = -3\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-5)\nW układzie współrzędnych punkty\n(\n)\n3\n,4\nA\ni\n(\n)\n10,5\nB =\nsą wierzchołkami trójkąta ABC.\nWierzchołek C leży na prostej o równaniu\n3\n2 +\nx\ny\n. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego\nkąt ABC jest prosty.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nW układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza\nrównanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (8.1).\nZdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub\nprostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi\nprzez dany punkt (8.3). Zdający oblicza współrzędne punktu\nprzecięcia dwóch prostych (8.4).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób - proste prostopadłe\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB\n1\n3\nAB\na\nPonieważ kąt prosty w trójkącie ABC jest przy wierzchołku B, więc wyznaczamy równanie\nprostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt B\nObliczamy współrzędne punktu C, który jest punktem wspólnym prostych określonych\nrównaniami\ni\n:\nStąd po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy parę\n32\n5\nx =\ni\n79\n5\ny =\nZatem punkt C ma współrzędne.(\n)\n32 79\n5\n5\n,\nII sposób - twierdzenie Pitagorasa\nPonieważ wierzchołek C trójkąta prostokątnego ABC leży na prostej o równaniu\n,\nwięc jego współrzędne zapisujemy następująco\nPunkt B jest wierzchołkiem kąta prostego, zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika, że\nPo podstawieniu współrzędnych punktów A, B i C otrzymujemy równanie\n,\n1a\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n3\nr =\n3\n35\ny\nx\n3\n2 +\nx\ny\n3\n35\ny\nx\n2\n3\n3\n35\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n3\n2 +\nx\ny\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n3\n3\n10\n4\n5\n3\n10\n2\n3\n5\nx\nx\nx\nx\nczyli równanie\nZatem\ni dalej\n32\n5\nx =\nJeśli\n32\n5\nx =\n, to\n79\n5\ny =\n. Zatem\n(\n)\n32 79\n5\n5\n,\nC =\nIII sposób - iloczyn skalarny\nWektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest\nrówny 0. W tym przypadku oznacza to, że iloczyn skalarny wektorów\ni\njest równy\n0.\nWspółrzędne wektora AB\n\nsą równe\n[\n]\n6,2\nAB =\n\nPunkt C ma współrzędne równe\n, więc współrzędne wektora\nsą równe\nZ warunku\n0\nAB BC =\n\n\notrzymujemy równanie\n,\n3\n30\n2\n2\n0\nx\nx\n,\n32\n5\nx =\nZatem\n(\n) (\n)\n32\n32\n32 79\n5\n5\n5\n5\n,2\n3\n,\nC =\n⋅\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• uzależni obie współrzędne punktu C od jednej zmiennej,\nnp.:\nlub\n(\n)\n3\n2 ,\ny\nC\ny\nalbo\n• zapisze równość\ni obliczy długość AB:\n,\nalbo\n• zapisze równość\ni zapisze jedną z długości\nlub\nw zależności od współrzędnych punktu C,\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora\n:\ni zapisze, że\n,\n2\n2\n2\n2\n8\n16\n4\n36\n4\n20\n100\n4\n8\n4\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n20\n128\nx =\nAB\n\nBC\n\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n(\n)\n(\n)\n6\n10 +2 2\n2\n0\nx\nx\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n2 10\nAB =\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\nAC\nBC\nAB\n\n[\n]\n6, 2\nAB =\n\n0\nAB BC =\n\n\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od współrzędnych punktu C:\ni zapisze, że\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od jednej współrzędnej punktu C,\nnp.:\n,\nalbo\n• obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej AB:\n1\n3\nAB\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB\ni przechodzącej przez punkt B:\nalbo\n• zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, np.:\n,\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora\n:\n, wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od jednej współrzędnej punktu C, np.:\ni zapisze,\nże\n,\nalbo\n• zapisze równość wynikającą z warunku\n, w której niewiadomymi są dwie\nwspółrzędne punktu C, np.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, która jest współrzędną punktu C, np.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy\n32\n5\nx =\nalbo\n79\n5\ny =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nalbo\n• obliczy obie współrzędne punktu C z błędami rachunkowymi.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy i zapisze współrzędne punktu\n(\n)\n32 79\n5\n5\n,\nC =\nBC\n\n[\n]\n10,\n5\nBC\nx\ny\n\n0\nAB BC =\n\n\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n3\nBC\na\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n3\n10\n4\n5\n3\n10\n5\nx\ny\nx\ny\nAB\n\n[\n]\n6, 2\nAB =\n\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n0\nAB BC =\n\n\n0\nAB BC =\n\n\n(\n)\n(\n)\n6\n10 +2\n5\n0\nx\ny\n(\n)\n2\n3\n3\n10\n5\nx\nx\nUwagi\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,\nto może otrzymać 4 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego\nzagadnienia na żadnym etapie rozwiązania.\n2. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, ale popełnia błąd, który jednak nie ułatwia\nrozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i:\na) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu\nwspółczynnika\n, np.\nzamiast\n, to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty;\nb) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu równania\nprostej BC, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty;\nc) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd, polegający na tym,\nże zdający zapisze błędną równość:\n, to zdający otrzymuje co\nnajwyżej 3 punkty;\nd) w I sposobie rozwiązania przyjmie, że kąt prosty jest przy wierzchołku A, to otrzymuje\nco najwyżej 3 punkty;\ne) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy podstawieniu do wzoru\nna odległość punktów, nawet trzykrotnie powtórzony, to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty;\nf) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest zamiana miejscami współrzędnych\npunktu C w początkowym etapie rozwiązania, np.:\n, to zdający otrzymuje\nco najwyżej 3 punkty;\ng) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest przyjęcie bez obliczeń błędnego\nwspółczynnika b w równaniu prostej BC (np.\n), to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty.\n3. Jeżeli zdający realizuje pełną strategię rozwiązania, ale popełnia błąd merytoryczny,\nktóry jednak nie ułatwia rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i tym\njedynym błędem merytorycznym jest błąd, polegający na zastosowaniu nieistniejącego\nwzoru „\n”, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na tym, że zapisuje błędną równość:\n, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n,\nto za rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów, o ile w rozwiązaniu nie występują inne\nzapisy wymienione w schemacie oceniania, za które należy przyznać zdającemu punkty,\nnp.:\n6. Jeżeli oprócz poprawnego rozwiązania (kąt prosty przy wierzchołku B) zdający podaje\ninne rozwiązanie (np. kąt prosty przy wierzchołku A), którego nie odrzuca, to otrzymuje\nco najwyżej 4 punkty.\n7. Jeżeli zdający zapisze równanie prostej AB w postaci ogólnej (np. dokona właściwego\npodstawienia współrzędnych punktów do równania prostej przechodzącej przez 2 punkty)\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 1 punkt.\nAB\na\nA\nB\nA\nB\nx\nx\ny\ny\nA\nB\nA\nB\ny\ny\nx\nx\n2\n2\n2\nBC\nAB\nAC\n(\n)\n2\n3,\nC\nx\nx\n5\n3\na\nb\na\nb\n2\n2\n2\nAB\nBC\nAC\n3\n2 +\nx\ny\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(C = \\left(\\dfrac{32}{5},\\ \\dfrac{79}{5}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości wektorów (iloczyn skalarny)\n\nKąt \\(ABC\\) jest prosty, gdy odcinki \\(BA\\) i \\(BC\\) są prostopadłe - czyli gdy wektory \\(\\overrightarrow{BA}\\) i \\(\\overrightarrow{BC}\\) mają zerowy iloczyn skalarny.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wektor \\(\\overrightarrow{BA}\\)**\n\n\\[\n\\overrightarrow{BA} = A - B = (4-10,\\ 3-5) = (-6,\\ -2)\n\\]\n\n**Krok 2: Parametryzujemy punkt C**\n\nPunkt \\(C\\) leży na prostej \\(y = 2x + 3\\), więc:\n\\[\nC = (t,\\ 2t+3) \\quad \\text{dla pewnego } t \\in \\mathbb{R}\n\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy wektor \\(\\overrightarrow{BC}\\)**\n\n\\[\n\\overrightarrow{BC} = C - B = (t-10,\\ 2t+3-5) = (t-10,\\ 2t-2)\n\\]\n\n**Krok 4: Warunek prostopadłości** \\(\\overrightarrow{BA} \\cdot \\overrightarrow{BC} = 0\\)\n\n\\[\n(-6)(t-10) + (-2)(2t-2) = 0\n\\]\n\\[\n-6t + 60 - 4t + 4 = 0\n\\]\n\\[\n-10t + 64 = 0\n\\]\n\\[\nt = \\frac{64}{10} = \\frac{32}{5}\n\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy współrzędne C**\n\n\\[\nx_C = \\frac{32}{5}, \\qquad y_C = 2 \\cdot \\frac{32}{5} + 3 = \\frac{64}{5} + \\frac{15}{5} = \\frac{79}{5}\n\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\n\\boxed{C = \\left(\\frac{32}{5},\\ \\frac{79}{5}\\right)}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Warunek prostopadłości prostych (współczynnik kierunkowy)\n\nDwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy nachylenie prostej \\(AB\\)**\n\n\\[\na_{AB} = \\frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \\frac{3 - 5}{4 - 10} = \\frac{-2}{-6} = \\frac{1}{3}\n\\]\n\n**Krok 2: Nachylenie prostej BC musi być prostopadłe do AB**\n\n\\[\na_{BC} \\cdot a_{AB} = -1 \\implies a_{BC} = \\frac{-1}{\\frac{1}{3}} = -3\n\\]\n\n**Krok 3: Równanie prostej BC** (przez \\(B = (10, 5)\\) z nachyleniem \\(-3\\))\n\n\\[\ny - 5 = -3(x - 10) \\implies y = -3x + 35\n\\]\n\n**Krok 4: Przecięcie prostej BC z prostą \\(y = 2x + 3\\)**\n\n\\[\n-3x + 35 = 2x + 3\n\\]\n\\[\n32 = 5x \\implies x = \\frac{32}{5}\n\\]\n\\[\ny = 2 \\cdot \\frac{32}{5} + 3 = \\frac{79}{5}\n\\]\n\nWynik identyczny: \\(C = \\left(\\dfrac{32}{5},\\ \\dfrac{79}{5}\\right)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nProste prostopadłe - warunek na współczynniki kierunkowe:\n\\[\na_1 \\cdot a_2 = -1\n\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia nachylenia prostej \\(BC\\).\n\nWektor między dwoma punktami:\n\\[\n\\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\n\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do obliczenia \\(\\overrightarrow{BA}\\) i \\(\\overrightarrow{BC}\\).\n\nWarunek prostopadłości wektorów (iloczyn skalarny = 0):\n\\[\n\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0\n\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 jako główny warunek zadania.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(ABC\\) to kąt **przy wierzchołku B**, więc prostopadłość dotyczy odcinków **BA** i **BC** - nie AB i AC! Łatwo tu pomylić wektory i wziąć np. \\(\\overrightarrow{AB}\\) zamiast \\(\\overrightarrow{BA}\\) - na szczęście iloczyn skalarny daje ten sam wynik (bo \\(\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{BC} = (-1)^2 \\cdot \\overrightarrow{BA} \\cdot \\overrightarrow{BC}\\)), ale przy metodzie współczynników kierunkowych już nie można pomylić, czego nachylenie wyznaczamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt C musi leżeć na danej prostej - to dodatkowy warunek. Samo wyznaczenie prostej prostopadłej do BA przez B nie wystarcza; trzeba jeszcze znaleźć przecięcie tej prostej z \\(y = 2x + 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{32}{5} = 6{,}4\\) i \\(\\frac{79}{5} = 15{,}8\\) - warto sprawdzić, czy punkt leży na prostej: \\(2 \\cdot 6{,}4 + 3 = 12{,}8 + 3 = 15{,}8\\) ✓. Zawsze wykonaj tę prostą weryfikację!\n\n**Odpowiedź: \\(C = \\left(\\tfrac{32}{5},\\ \\tfrac{79}{5}\\right)\\)**\n\n### Sposób 1 - Proste prostopadłe (współczynniki kierunkowe)\n**Krok 1 - współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\):**\n\\[a_{AB} = \\tfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\tfrac{5-3}{10-4} = \\tfrac{2}{6} = \\tfrac{1}{3}.\\]\n\n**Krok 2 - prosta \\(BC\\) prostopadła do \\(AB\\)** (kąt prosty przy \\(B\\)):\nWspółczynnik \\(a_{BC} = -\\tfrac{1}{a_{AB}} = -3\\).\nPrzechodzi przez \\(B=(10,5)\\):\n\\[y - 5 = -3(x - 10) \\Rightarrow y = -3x + 35.\\]\n\n**Krok 3 - punkt wspólny prostej \\(BC\\) i prostej \\(y = 2x+3\\):**\n\\[2x + 3 = -3x + 35 \\Rightarrow 5x = 32 \\Rightarrow x = \\tfrac{32}{5}.\\]\n\\[y = 2\\cdot\\tfrac{32}{5} + 3 = \\tfrac{64}{5} + \\tfrac{15}{5} = \\tfrac{79}{5}.\\]\n\\[C = \\left(\\tfrac{32}{5}, \\tfrac{79}{5}\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Iloczyn skalarny wektorów\nWektor \\(\\vec{BA} = (4-10, 3-5) = (-6, -2)\\), \\(\\vec{BC} = (x_C - 10, y_C - 5)\\).\nKąt prosty przy \\(B\\) oznacza \\(\\vec{BA}\\circ\\vec{BC} = 0\\):\n\\[-6(x_C-10) + (-2)(y_C-5) = 0\\]\n\\[-6x_C + 60 - 2y_C + 10 = 0\\]\n\\[3x_C + y_C = 35.\\]\nPonieważ \\(C\\) leży na \\(y = 2x+3\\), mamy \\(y_C = 2x_C + 3\\):\n\\[3x_C + 2x_C + 3 = 35 \\Rightarrow 5x_C = 32 \\Rightarrow x_C = \\tfrac{32}{5}, \\ y_C = \\tfrac{79}{5}.\\]\n\n### Sposób 3 - Twierdzenie Pitagorasa\n\\(C = (x, 2x+3)\\). Z Pitagorasa \\(|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2\\):\n\\[(x-4)^2 + (2x+3-3)^2 = (10-4)^2+(5-3)^2 + (x-10)^2+(2x+3-5)^2\\]\nPo uproszczeniu: \\(20x = 128 \\Rightarrow x = \\tfrac{32}{5}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(C = \\left(\\tfrac{32}{5}, \\tfrac{79}{5}\\right)\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nDane są dwa zbiory:\n{\n}\n100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\nA =\ni\n{\n}\n10,11,12,13,14,15,16\nB =\nZ każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego\nna\ntym,\nże\nsuma\nwylosowanych\nliczb\nbędzie\npodzielna\nprzez\n3.\nObliczone\nprawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nDane są dwa zbiory A={100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B={10,11, 12, 13,14,15, 16} Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa (10.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para\n, gdzie\ni\n. Zatem zbiór\nwszystkich zdarzeń elementarnych ma postać:\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna\nprzez 3. Z cechy podzielności liczby całkowitej przez 3 wynika, że suma cyfr otrzymanej liczby\nmusi być podzielna przez 3. Zbiór A ma postać:\nZdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\n(\n)\n,x y\nx\nA\n∈\ny\nB\n∈\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n100,10 , 100,11 , 100,12 , 100,13 , 100,14 , 100,15 , 100,16 ,\n200,10 , 200,11 , 200,12 , 200,13 , 200,14 , 200,15 , 200,16 ,\n300,10 , 300,11 , 300,12 , 300,13 , 300,14 , 300,15 , 300,16 ,\n400,10 , 400,11 , 400,12 , 400,13 , 400,14 , 400,15 , 400,16 ,\n50\nΩ =\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n0,10 , 500,11 , 500,12 , 500,13 , 500,14 , 500,15 , 500,16 ,\n600,10 , 600,11 , 600,12 , 600,13 , 600,14 , 600,15 , 600,16 ,\n700,10 , 700,11 , 700,12 , 700,13 , 700,14 , 700,15 , 700,16\n7 7\n49\nΩ =\n⋅\nx\ny\n(\n) (\n)\n{\n(\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n100,11 , 100,14 , 200,10 , 200,13 , 200,16 ,\n300,12 , 300,15 , 400,11 , 400,14 , 500,10 ,\n500,13 , 500,16 , 600,12 , 600,15 , 700,11 , 700,14\nA =\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n16\n49\nUwaga\nZdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór sum możliwych\ndo utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:\nWtedy zbiór\nII sposób\nRysujemy tabelę, która przedstawia model rozważanego doświadczenia.\n100\n200\n300\n400\n500\n600\n700\n10\n\n\n11\n\n\n\n12\n\n\n13\n\n\n14\n\n\n\n15\n\n\n16\n\n\nZdarzeniom elementarnym odpowiadają komórki tej tabeli. Jest ich 49, zatem\nSymbolem  zaznaczamy te zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A,\npolegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.\nZdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\n{\n}\n110,111,112,113,114,115,116,\n210, 211, 212, 213, 214, 215, 216,\n310, 311, 312, 313, 314, 315, 316,\n410, 411, 412, 413, 414, 415, 416,\n510, 511, 512, 513, 514, 515, 516,\n610, 611, 612, 613, 614, 615, 616,\n710, 711, 712, 713, 714, 715, 716 .\nΩ =\n{\n}\n111,114, 210, 213, 216, 312, 315, 411, 414,510, 513, 516, 612, 615, 711, 714 .\nA\n49\nΩ =\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n16\n49\nIII sposób\nRysujemy drzewko rozważanego doświadczenia.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\nUwaga\nZdający może narysować drzewo probabilistyczne, w którym na każdym z etapów lub\nna jednym z etapów rozważa każdą możliwą do wylosowania liczbę oddzielnie. Przykład\ntakiego drzewa znajduje się poniżej.\n( )\n3 2\n2 3\n2 2\n16\n7 7\n7 7\n7 7\n49\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\n16\n49\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A może być obliczone w następujący sposób:\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze, że\nalbo\n• zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna\nprzez 3,\nalbo\n• poda sposób obliczania\n, np. przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych\nprzez 3 oraz wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A\ni nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami,\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia:\n1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi\nalbo\n2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające\nwylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,\n600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą\nwylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A\nalbo\n• zapisze, że\ni zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb\nmusi być podzielna przez 3,\nalbo\n• zapisze, że\ni poda sposób obliczania\n, np. przyjmie porządek przy\nwyznaczaniu sum podzielnych przez 3, wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne\nsprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia\nelementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami oraz zapisze, że\n,\n( )\n1 2\n1 3\n16\n5\n2\n7 7\n7 7\n49\nP A = ⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\nA\n7 7\nΩ =\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\nA\n7 7\nΩ =\n⋅\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia:\n1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi i zapisze prawdopodobieństwa na co\nnajmniej jednym odcinku każdego z etapów\nalbo\n2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające\nwylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,\n600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą\nwylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3 i zapisze\nprawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów;\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wskaże wszystkie gałęzie odpowiadające\nzdarzeniu A\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze, że\noraz zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego\nalbo\n• zapisze, że\noraz zapisze, że\ni przedstawi sposób obliczenia tej\nliczby, np. zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być\npodzielna przez 3 i wskaże w dowolny sposób przykładowe zdarzenie elementarne lub\nprzyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych przez 3 i wyznaczy\nprzynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru\nA niewłaściwego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi (np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami), zapisze\n, oraz zaznaczy 16\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i żadnych innych zdarzeń\nelementarnych nie zaliczy do A,\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wystąpią wszystkie gałęzie odpowiadające\nzdarzeniu A wraz z prawdopodobieństwami oraz poprawnie zastosuje regułę drzewka\ndo obliczenia prawdopodobieństwa\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\nUwagi\n1. Jeżeli zdający uzyska w wyniku końcowym liczbę spoza przedziału\n, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty.\n7 7\nΩ =\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\n16\nA =\n7 7\nΩ =\n⋅\n( )\nP A\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n0,1\n2. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 17 zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A, w tym 16 poprawnych i jedno niepoprawne oraz otrzyma\nprawdopodobieństwo równe\n, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 15 poprawnych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A i otrzyma prawdopodobieństwo równe\n, to otrzymuje\n2 punkty.\n4. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przyjmie błędną liczbę wszystkich zdarzeń\nelementarnych i nie jest to efekt błędu rachunkowego, np. przyjmie\n, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze jedynie\n,\ni nie przedstawi\nczytelnego uzasadnienia liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,\ni obliczy\n, to otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze\n,\noraz zapisze, że suma\ncyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna przez 3, ale\nw przedstawionym\nrozwiązaniu\nnie\nmożna\nzidentyfikować\nżadnego\nzdarzenia\nelementarnego, które zdający powinien rozważać, to otrzymuje 2 punkty, nawet jeśli\nw rozwiązaniu występuje poprawny wynik końcowy.\n7. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 16 zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A, w tym 15 poprawnych i jedno niewłaściwe i konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{16}{49}\\)\n\n## Sposób 1 - Reszty z dzielenia przez 3 (metoda modulo)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** suma \\(a + b\\) jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma reszt \\((a \\bmod 3) + (b \\bmod 3)\\) jest podzielna przez 3.\n\n**Krok 1. Podziel elementy zbioru A według reszt z dzielenia przez 3.**\n\n| Reszta z ÷3 | Elementy z A |\n|:-----------:|:-------------|\n| 0 | 300, 600 → **2 liczby** |\n| 1 | 100, 400, 700 → **3 liczby** |\n| 2 | 200, 500 → **2 liczby** |\n\n**Krok 2. Podziel elementy zbioru B według reszt z dzielenia przez 3.**\n\n| Reszta z ÷3 | Elementy z B |\n|:-----------:|:-------------|\n| 0 | 12, 15 → **2 liczby** |\n| 1 | 10, 13, 16 → **3 liczby** |\n| 2 | 11, 14 → **2 liczby** |\n\n**Krok 3. Ustal, które pary reszt dają sumę podzielną przez 3.**\n\nPotrzebujemy \\((r_A + r_B) \\equiv 0 \\pmod{3}\\), czyli:\n\n\\[(r_A, r_B) \\in \\{(0,0),\\; (1,2),\\; (2,1)\\}\\]\n\n**Krok 4. Policz sprzyjające pary.**\n\n\\[\n\\underbrace{2 \\cdot 2}_{(0,0)} + \\underbrace{3 \\cdot 2}_{(1,2)} + \\underbrace{2 \\cdot 3}_{(2,1)} = 4 + 6 + 6 = 16\n\\]\n\n**Krok 5. Policz wszystkie możliwe pary.**\n\n\\[|\\Omega| = 7 \\cdot 7 = 49\\]\n\n**Krok 6. Oblicz prawdopodobieństwo.**\n\n\\[P = \\frac{16}{49}\\]\n\nSprawdzamy skracalność: \\(16 = 2^4\\), \\(49 = 7^2\\) - brak wspólnych czynników, więc ułamek jest już nieskracalny.\n\n\\[\\boxed{P = \\frac{16}{49}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie wyliczenie (sumowanie przypadków)\n\nWypisujemy wszystkie 49 par \\((a, b)\\) i sprawdzamy podzielność sumy przez 3. Zamiast pisać wszystkich 49, korzystamy z tabeli:\n\n| \\(b \\backslash a\\) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |\n|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|\n| **10** | 110 | 210✓ | 310 | 410 | 510✓ | 610 | 710 |\n| **11** | 111✓ | 211 | 311 | 411✓ | 511 | 611✓ | 711 |\n| **12** | 112 | 212 | **312✓** | 412 | 512 | **612✓** | 712 |\n| **13** | 113 | 213✓ | 313 | 413 | 513✓ | 613 | 713 |\n| **14** | 114✓ | 214 | 314 | 414✓ | 514 | 614✓ | 714 |\n| **15** | 115 | 215 | **315✓** | 415 | 515 | **615✓** | 715 |\n| **16** | 116 | 216✓ | 316 | 416 | 516✓ | 616 | 716 |\n\nZaznaczone ✓ (podzielne przez 3): 210, 510, 111, 411, 611, 312, 612, 213, 513, 114, 414, 614, 315, 615, 216, 516\n\nLiczymy: **16 przypadków** → \\(P = \\dfrac{16}{49}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich równie prawdopodobnych wyników, a \\(|A|\\) - liczba wyników sprzyjających. Użyliśmy tego w obu sposobach: \\(|\\Omega| = 49\\), \\(|A| = 16\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić podzielności każdej liczby z osobna - trzeba badać **pary** i ich sumę. Częsty błąd: \"w A są 2 wielokrotności 3, w B są 2 wielokrotności 3, więc szukana liczba par to \\(2 \\times 2 = 4\\)\". To nieprawda - pomija się przypadki (1,2) i (2,1).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Reszta z dzielenia przez 3 zależy tylko od cyfr składowych. Np. \\(100 \\bmod 3 = 1\\) (bo \\(1+0+0=1\\)), \\(700 \\bmod 3 = 1\\) (bo \\(7+0+0 = 7\\), a \\(7 \\bmod 3 = 1\\)). To szybki sposób na unikanie obliczeń dzielenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy ułamek jest nieskracalny - treść zadania tego wymaga! Tu \\(\\gcd(16, 49) = 1\\), więc \\(\\frac{16}{49}\\) jest już w postaci nieskracalnej.\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\tfrac{16}{49}\\)**\n\n### Sposób 1 - Reszty z dzielenia przez 3\n**Krok 1 - \\(|\\Omega|\\).** Losujemy jedną liczbę z każdego zbioru, każdy ma 7 elementów:\n\\[|\\Omega| = 7\\cdot 7 = 49.\\]\n\n**Krok 2 - klasyfikacja reszt mod 3:**\n\nLiczby z \\(A\\) mod 3 (suma cyfr):\n- reszta 0: \\(\\{300, 600\\}\\) → 2 liczby\n- reszta 1: \\(\\{100, 400, 700\\}\\) → 3 liczby\n- reszta 2: \\(\\{200, 500\\}\\) → 2 liczby\n\nLiczby z \\(B\\) mod 3:\n- reszta 0: \\(\\{12, 15\\}\\) → 2 liczby\n- reszta 1: \\(\\{10, 13, 16\\}\\) → 3 liczby\n- reszta 2: \\(\\{11, 14\\}\\) → 2 liczby\n\n**Krok 3 - zdarzenie sprzyjające: \\(a+b \\equiv 0 \\pmod{3}\\)**\n- \\(a \\equiv 0\\) i \\(b \\equiv 0\\): \\(2 \\cdot 2 = 4\\)\n- \\(a \\equiv 1\\) i \\(b \\equiv 2\\): \\(3 \\cdot 2 = 6\\)\n- \\(a \\equiv 2\\) i \\(b \\equiv 1\\): \\(2 \\cdot 3 = 6\\)\n\nRazem: \\(|A| = 4 + 6 + 6 = 16\\).\n\n**Krok 4 - prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\tfrac{16}{49}.\\]\nGdzie \\(\\gcd(16, 49) = 1\\) - ułamek jest nieskracalny.\n\n### Sposób 2 - Drzewo prawdopodobieństwa\nW pierwszym losowaniu (ze \\(A\\)): \\(P(\\equiv 0) = \\tfrac{2}{7}\\), \\(P(\\equiv 1) = \\tfrac{3}{7}\\), \\(P(\\equiv 2) = \\tfrac{2}{7}\\).\nW drugim losowaniu (z \\(B\\)): takie same.\n\\[P(A) = \\tfrac{2}{7}\\cdot\\tfrac{2}{7} + \\tfrac{3}{7}\\cdot\\tfrac{2}{7} + \\tfrac{2}{7}\\cdot\\tfrac{3}{7} = \\tfrac{4+6+6}{49} = \\tfrac{16}{49}.\\]\n\n### Sposób 3 - Tabela 7×7\nMożna narysować tabelę 7 kolumn × 7 wierszy, oznaczyć × w komórkach, gdzie suma podzielna przez 3. Zliczamy 16 komórek.\n\n**Odpowiedź:** \\(P = \\tfrac{16}{49}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-4)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej\ntego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej\nściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√3. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość\ngraniastosłupa prostego (G11.2).\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nRozważany graniastosłup ma 5 ścian, a każda z nich ma takie samo pole. Obliczamy pole\npodstawy, a zarazem pole jednej ściany bocznej:\nPodstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, więc jego pole jest równe\n17\n49\n15\n49\n7 6\nΩ = ⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n7 7\nΩ =\n⋅\n16\nA =\n45 3 :5\n9 3.\n2 3\n4\nABC\na\nP\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\nŚciana boczna jest prostokątem o bokach długości a i h, więc pole każdej ściany bocznej jest\nrówne\nZ warunków zadania wynika, że:\nZnamy długość krawędzi podstawy a, zatem:\nObliczamy wysokość graniastosłupa\nObjętość graniastosłupa jest równa\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• zapisze zależność między wielkościami a i h wynikającą z równości pól podstawy\ni ściany bocznej graniastosłupa:\nalbo\n• obliczy pole jednej ściany graniastosłupa:\n,\nalbo\n• zapisze równanie:\nalbo\n• zapisze równania:\ni\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające na wyznaczenie długości krawędzi\npodstawy lub wysokości graniastosłupa i na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nalbo\n• uzależni objętość bryły od jednej zmiennej\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\n2 3\n9 3,\n4\na\n6\na =\nABED\nP\nah\n9 3\nah =\n6\n9 3\nh =\n3\n2\n3\nh =\n3 3\n81\n9 3\n2\n2\nABC\nV\nP\nh\n⋅\n⋅\n2 3\n4\na\nah\n45 3 :5\n9 3\n2 3\n2\n3\n45 3\n4\na\nah\n⋅\n1\n2\n3\n45 3\n2\n⋅\np\nah\nah\n1\n2\np\nah\nah\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy długość krawędzi podstawy i wysokość graniastosłupa:\n,\nalbo\n• obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:\ni uzależni objętość bryły\nod jednej zmiennej a lub obliczy wysokość graniastosłupa\ni uzależni\nobjętość bryły od jednej zmiennej h\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy objętość graniastosłupa:\nUwagi\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, a jedynymi błędami w przedstawionym\nrozwiązaniu są błędy rachunkowe, to otrzymuje 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający popełnia błąd polegający na niepoprawnym stosowaniu wzoru na pole\ntrójkąta równobocznego albo wzoru na pole prostokąta, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie\npopełnia innych błędów i rozwiąże zadanie do końca.\n3. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na niewłaściwym określeniu zależności między\npolem podstawy a polem ściany bocznej i w efekcie rozważa jeden z trzech przypadków:\n,\n,\n, albo błąd, polegający na przyjęciu, że graniastosłup ma\ntrzy ściany boczne i jedną podstawę, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie popełnia innych\nbłędów i rozwiąże zadanie do końca.\n4. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwagach 2. lub 3., a ponadto popełnia\nbłędy rachunkowe, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię\nrozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający popełnia inne niż wymienione w uwagach 2. lub 3. błędy, dotyczące pól\nścian bryły, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię rozwiązania,\nto otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający rozważa graniastosłup trójkątny, który nie jest prawidłowy, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt.\n6\na =\n3\n2\n3\nh =\n6\na =\n3\n2\n3\nh =\n81\n2\nV =\n2\nś\np\nb\nP\nP\n3\nś\np\nb\nP\nP\n2\n3\nś\np\nb\nP\nP","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{81}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z warunków zadania\n\n**Oznaczenia:**\n- \\(a\\) - bok trójkąta równobocznego (podstawy)\n- \\(h\\) - wysokość graniastosłupa\n\n**Krok 1: Wyrażamy pola.**\n\nPole podstawy (trójkąt równoboczny):\n\\[P_\\text{podst} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nPole jednej ściany bocznej (prostokąt):\n\\[P_\\text{boczna} = a \\cdot h\\]\n\n**Krok 2: Korzystamy z warunku \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\).**\n\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = a \\cdot h\\]\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy pole powierzchni całkowitej.**\n\nGraniastosłup trójkątny ma: 2 podstawy + 3 ściany boczne.\n\nSkoro \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\), możemy napisać:\n\\[P_c = 2 \\cdot P_\\text{podst} + 3 \\cdot P_\\text{boczna} = 2 \\cdot P_\\text{podst} + 3 \\cdot P_\\text{podst} = 5 \\cdot P_\\text{podst}\\]\n\nZatem:\n\\[5 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3}\\]\n\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]\n\\[\\frac{a^2}{4} = 9\\]\n\\[a^2 = 36 \\implies \\mathbf{a = 6}\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.**\n\\[h = \\frac{6\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy objętość.**\n\\[V = P_\\text{podst} \\cdot h = \\frac{6^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = \\frac{9 \\cdot 3 \\cdot 3}{2} = \\boxed{\\frac{81}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja i bezpośrednie podstawienie\n\nSprawdzamy, czy wynik \\(a = 6\\), \\(h = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\) spełnia oba warunki zadania.\n\n**Sprawdzenie warunku 1:** \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\)\n\\[P_\\text{podst} = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]\n\\[P_\\text{boczna} = 6 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie warunku 2:** \\(P_c = 45\\sqrt{3}\\)\n\\[P_c = 2 \\cdot 9\\sqrt{3} + 3 \\cdot 9\\sqrt{3} = 18\\sqrt{3} + 27\\sqrt{3} = 45\\sqrt{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Obliczenie objętości:**\n\\[V = P_\\text{podst} \\cdot h = 9\\sqrt{3} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = \\frac{27 \\cdot 3}{2} = \\frac{81}{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**\n\nGraniastosłup prosty - objętość i pole powierzchni bocznej:\n\\[V = P_p \\cdot h, \\qquad P_b = O_b \\cdot h\\]\nUżyliśmy wzoru \\(V = P_p \\cdot h\\) do obliczenia objętości.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21):**\n\nPole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy tego wzoru do obliczenia pola podstawy graniastosłupa.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa **trójkątnego** to 2 podstawy + **3** ściany boczne, nie 4. Łatwo pomylić z czworokątnym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\), bardzo wygodnie napisać \\(P_c = 5 \\cdot P_\\text{podst}\\) - to upraszcza obliczenia i eliminuje jedną niewiadomą od razu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\) - to częste miejsce błędu przy końcowym mnożeniu. Upewnij się, że wymnażasz przez \\(3\\), a nie zostawiasz \\(\\sqrt{3}\\).\n\n**Odpowiedź: \\(V = \\tfrac{81}{2}\\)**\n\n### Sposób 1 - Wszystkie 5 ścian ma to samo pole\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny ma **5 ścian**: 2 podstawy (trójkąty równoboczne) + 3 ściany boczne (prostokąty). Z warunku zadania pola podstawy i ściany bocznej są równe, więc **wszystkie 5 ścian ma to samo pole**.\n\\[P_\\text{ściany} = \\tfrac{45\\sqrt{3}}{5} = 9\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 1 - długość krawędzi podstawy \\(a\\).**\nPole trójkąta równobocznego:\n\\[\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3} \\Rightarrow a^2 = 36 \\Rightarrow a = 6.\\]\n\n**Krok 2 - wysokość graniastosłupa \\(h\\).**\nPole ściany bocznej (prostokąta \\(a\\times h\\)):\n\\[a\\cdot h = 9\\sqrt{3} \\Rightarrow 6h = 9\\sqrt{3} \\Rightarrow h = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\n**Krok 3 - objętość.**\n\\[V = P_\\text{podst}\\cdot h = 9\\sqrt{3}\\cdot\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{27\\cdot 3}{2} = \\tfrac{81}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ równań z dwiema niewiadomymi\nOznaczmy \\(a\\) - długość krawędzi podstawy, \\(h\\) - wysokość graniastosłupa.\n\nWarunek 1 (równość pól podstawy i ściany bocznej):\n\\[\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = ah \\Rightarrow h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{4}.\\]\n\nWarunek 2 (pole powierzchni całkowitej):\n\\[2\\cdot\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} + 3ah = 45\\sqrt{3}\\]\n\\[\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} + 3a\\cdot\\tfrac{a\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3}\\]\n\\[\\tfrac{2a^2\\sqrt{3} + 3a^2\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3}\\]\n\\[\\tfrac{5a^2\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3} \\Rightarrow a^2 = 36 \\Rightarrow a = 6.\\]\nStąd \\(h = \\tfrac{6\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).\n\nObjętość:\n\\[V = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\cdot h = 9\\sqrt{3}\\cdot\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{81}{2}.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(V = \\tfrac{81}{2} = 40{,}5\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}