{"paper":{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDane są liczby:\n2\n4 8\na\n,\n4 8\n2\n1\nb\n,\n4 8\nc\n,\n4 8\n2\nd\noraz\n1\n4\n2\nk\n. Prawdziwa jest równość\nA.\na\nk =\nB.\nb\nk =\nC.\nc\nk =\nD.\nd\nk =\nDane są liczby: a = (4√8)/2, b = 1/2(4√8), c = 4√8, d = 2/(4√8) oraz k = 2^(-(1/4)). Prawdziwa jest równość A. k=a, B. k=b, C. k=c, D. k=d.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych i stosuje prawa\ndziałań na potęgach o wykładnikach wymiernych\n(1.4).\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nRównanie\n2\n2\nx\nx\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma dokładnie cztery rozwiązania.\nRównanie ||x|-2| = |x|+2 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma dokładnie cztery rozwiązania.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\npojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację\ngeometryczną (R1.1).\nALBO\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje\nrównania i nierówności z wartością bezwzględną\n(R3.9).\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWartość wyrażenia\n5\n20\n1\n2log 10\nlog\n5\njest równa\nA.\n1\nB. 0\nC. 1\nD. 2\nWartość wyrażenia 2⋅log_5 10 - 1 / log_{20} 5 jest równa A. -1; B. 0; C. 1; D. 2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje\nw obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz\nwzór na zamianę podstawy logarytmu (R1.2).\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nGranica\n2\n3\n2\nlim\n5\n6\nx\nx\nx\nx\n→\njest równa\nA. -∞\nB.\n1\nC. 0\nD. +∞\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R\nGranica lim_{x→3^-} -x+2 / x^2-5x+6 jest równa A. -∞; B. -1; C. 0; D. +∞.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający oblicza\ngranice funkcji (i granice jednostronne),\nkorzystając z twierdzeń o działaniach na\ngranicach i z własności funkcji ciągłych (R11.1 ).\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nPunkt\n(\n)\n5,3\nA = -\njest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem\n( )\nd\nx\nax\nx\nf\n7 , gdy x\nd\n≠-. Oblicz iloraz a\nd .\nW poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku\nnieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nPunkt A=(-5,3) jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem f(x) = ax+7 / x+d, gdy x≠-d. Oblicz iloraz d/a. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający oblicza\ngranice funkcji (i granice jednostronne),\nkorzystając z twierdzeń o działaniach na\ngranicach i z własności funkcji ciągłych (R11.1 ).\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nwłasności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości)\n(4.2).\n166\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"166","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nStyczna do paraboli o równaniu\n1\n3\n2 -\nx\ny\nw punkcie\n(\n)\n0\n0, y\nx\nP =\njest nachylona do osi Ox\npod kątem\n°\n30 . Oblicz współrzędne punktu P.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nStyczna do paraboli o równaniu y = √3 x^2 - 1 w punkcie P=(x_0,y_0) jest nachylona do osi Ox pod kątem 30°. Oblicz współrzędne punktu P.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta\nz geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej\n(R11.3 ).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nRozważmy funkcję kwadratową f określoną wzorem\n( )\n2\n3\n1\nf\nx\nx\nWspółczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie\n(\n)\n0\n0, y\nx\nP =\nnachylonej do osi Ox pod kątem\n°\n30 jest równy tg30\n3\n3\n° =\ni jest równocześnie wartością\npochodnej funkcji f w punkcie\n0x .\nWyznaczamy pochodną funkcji f:\n( )\n2 3\nf ' x\nx\nWspółrzędna 0x punktu styczności spełnia więc równanie\n0\n2 3\n3\n3\nx =\nStąd\n0\n1\n6\nx =\nWartość funkcji f dla argumentu\n0\n1\n6\nx =\njest równa\n(\n)\n( )\n2\n0\n3\n1\n3 36\n1\n6\n36\nf x\nZatem punkt P ma współrzędne:\n0\n1\n6\nx =\n,\n0\n3 36\n36\ny =\nII sposób\nStyczna do paraboli nachylona do osi Ox pod kątem\n°\n30 ma współczynnik kierunkowy\nrówny tg30\n3\n3\n° =\n, więc jej równanie jest postaci\n3\n3\ny\nx\nb\nPunkt P to jedyny punkt wspólny paraboli i tej stycznej, więc układ równań\n2\n3\n1\ny\nx\ni\n3\n3\ny\nx\nb\n+ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy równanie\n2\n3\n1\n3\n3\nx\nx\nb\n+ , czyli\n2\n3\n1\n0\n3\n3\nx\nx\nb\nma jedno rozwiązanie, którym jest\n0\n1\n2 3\n6\n3\n3\nx =\nJest to pierwsza współrzędna punktu P. Druga współrzędna tego punktu jest więc równa\n( )\n2\n0\n3\n1\n3 36\n1\n6\n36\ny =\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• zapisze, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy tg30\n3\n3\n° =\nlub równanie\nstycznej:\n3\n3\ny\nx\nb\nalbo\n• wyznaczy pochodną funkcji f:\n( )\n2 3\nf ' x\nx\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\n• zapisze równanie:\n0\n2 3\n3\n3\nx =\nalbo\n• zapisze równanie:\n2\n3\n1\n0\n3\n3\nx\nx\nb\ni stwierdzi, że ma ono dokładnie jedno\nrozwiązanie, np. zapisze\n0\nΔ =\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu P:\n0\n1\n6\nx =\n,\n0\n3 36\n36\ny =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający błędnie wyznaczy pochodną funkcji, ale poprawnie wyznaczy współczynnik\nkierunkowy stycznej, to jeśli nawet konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, otrzymuje\n1 punkt.\n2. Jeżeli zdający przyjmie, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy tg30°, ale\nprzypisuje tej wielkości błędną wartość liczbową, np. zapisze\n3\na =\nlub\ntg\n1\n2\na\nα\nitp., i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, bez żadnego\ninnego błędu, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający błędnie zinterpretuje współczynnik kierunkowy stycznej do paraboli, np.\nzapisze\n1\n2\na =\nlub\nsin\na\nα\nitp., i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie\ndo końca to otrzymuje 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający błędnie przyjmie, że kąt nachylenia stycznej do osi Ox jest równy 150°,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca lub rozpatruje dwie\nstyczne o kątach nachylenia 30° i 150° do osi Ox, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania zadania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,\nto może otrzymać 2 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozwiązania na żadnym\netapie.","solution":"$x_0 = \\dfrac{1}{6}$, $y_0 = \\dfrac{\\sqrt{3}-36}{36}$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nTrójkąt ABC jest ostrokątny oraz AC\nBC\n>\n. Dwusieczna\nC\nd kąta ACB przecina bok AB\nw punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej\nA\nd\nkąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej\nC\nd kąta\nACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej\nB\nd kąta\nABC (zobacz rysunek).\nUdowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nTrójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna d_C kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_A kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_C kąta ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_B kąta ABC (zobacz rysunek). Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia\ncharakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg\ni czworokąty opisane na okręgu (R7.1).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób - bilans kątów\nOznaczmy miary kątów trójkąta ABC odpowiednio przez\nγ\nβ\nα\n2\n,\n2\n,\n2\n, a punkt wspólny\ndwusiecznej\nA\nd i odcinka KL przez P, dwusiecznej\nC\nd i odcinka LM przez R oraz\ndwusiecznej\nB\nd i odcinka MN przez Q.\nWówczas\n°\n180\n2\n2\n2\nγ\nβ\nα\n, stąd\n°\n90\nγ\nβ\nα\n. Wtedy\nKAP\nα\n\n, zatem\n90\nAKP\nα\n° -\n\ni\n(\n)\n180\n90\n90\nLKN\nα\nα\n°-\n° -\n° +\n\noraz\n90\nCMR\nγ\n° -\n\noraz\n90\nBMQ\nβ\n° -\n\n,\nzatem\n(\n) (\n)\n180\n90\n90\nLMN\nγ\nβ\nβ\nγ\n°-\n°-\n°-\n\nSuma kątów LKN i LMN jest więc równa\n(\n) (\n)\n90\n90\n180\nLKN\nLMN\nα\nβ\nγ\nα\nβ\nγ\n° +\n° =\n°\n\n\nTo oznacza, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.\nA\nB\nC\nK\nM\nL\nN\nP\nR\nQ\nII sposób - symetralne\nRozważmy trójkąt KLM. Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna\nA\nd jest\nsymetralną boku KL. Analogicznie dwusieczna\nC\nd jest symetralną boku LM. Symetralne\nboków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na\ntym trójkącie - oznaczmy go przez O. Czyli punkt wspólny dwusiecznych\nA\nd i\nC\nd\n(symetralnych boków trójkąta KLM) jest środkiem okręgu, którego promieniem jest\nw szczególności odcinek OL.\nPodobnie rozważmy trójkąt LMN . Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna\nC\nd\njest symetralną boku LM . Analogicznie dwusieczna\nB\nd jest symetralną boku MN . Punkt\nwspólny tych dwusiecznych (symetralnych) jest tym samym punktem, o którym była mowa\nwyżej i jest oczywiście środkiem okręgu opisanego na trójkącie LMN. Zatem musi to być ten\nsam okrąg. Wszystkie wierzchołki czworokąta KNML leżą na tym okręgu. To kończy dowód.\nA\nB\nC\nK\nM\nL\nN\nP\nR\nQ\nO\nIII sposób - równość promieni\nOznaczmy przez O punkt przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta ABC, punkt wspólny\ndwusiecznej\nA\nd i odcinka KL przez P, dwusiecznej\nC\nd i odcinka LM przez R oraz\ndwusiecznej\nB\nd i odcinka MN przez Q.\nZ definicji symetrii osiowej i z treści zadania wynika, że KP\nLP\noraz KL\nAO\n⊥\n. Oznacza\nto, że trójkąty OPK i OPL są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną OP oraz pozostałe\nprzyprostokątne są równej długości. Są to więc trójkąty przystające (na mocy cechy bkb\nprzystawania trójkątów). Stąd wynika, że\nOK\nOL =\n. Analogicznie trójkąty ORL i ORM są\nprzystające oraz trójkąty OQM i OQN są przystające, a w konsekwencji OL\nOM\noraz\nOM\nON\n. Zatem punkt O jest więc równooddalony od wszystkich wierzchołków\nczworokąta KNML, a to oznacza, że na tym czworokącie można opisać okrąg.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający\n• wyznaczy miarę jednego z kątów czworokąta KNML w zależności od miar kątów\ntrójkąta ABC, np.:\n90\nLKN\nα\n° +\n\nalbo\n• zapisze, że prosta zawierająca dwusieczną kąta trójkąta ABC jest symetralną jednego\nz odcinków KL, LM, MN\nalbo\n• zapisze jedną lub dwie równości spośród:\nOK\nOL =\n, OL\nOM\n, OM\nON\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nA\nB\nC\nK\nM\nL\nN\nO\nR\nP\nQ\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\n• wyznaczy miary dwóch przeciwległych kątów czworokąta KNML w zależności od\nmiar kątów trójkąta ABC, np.:\n90\nLKN\nα\n° +\n\ni\nLMN\nβ\nγ\n\nalbo\n• zapisze, że punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta ABC jest środkiem okręgu\nopisanego na trójkącie KLM lub na trójkącie LMN, lub że jest punktem przecięcia\nsymetralnych trzech boków czworokąta KNML\nalbo\n• zapisze i uzasadni jedną lub dwie równości spośród:\nOK\nOL =\n, OL\nOM\n,\nOM\nON\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze wszystkie równości\nOK\nOL =\n, OL\nOM\n, OM\nON\ni stąd wyciągnie wniosek, że punkt O jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie\nKNML, ale nie uzasadni żadnej z tych równości (lub uzasadnienie nie będzie pełne),\nto otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przeprowadza dowód z wykorzystaniem bilansu kątów i korzysta z równości\nkątów w trójkątach równoramiennych, to może otrzymać 3 punkty także w przypadku,\ngdy bez stosownego komentarza korzysta z faktu, że trójkąty są równoramienne.\n2. Jeżeli zdający\n• uzależni wszystkie kąty trójkąta ABC oraz jeden z kątów czworokąta KNML\nalbo\n• uzależni jeden z kątów LKN, KNM i jeden z kątów KLM, NML\nod kątów α = AKL = ALK, β = BML = BLM i γ = CLM = CML, to otrzymuje\n1 punkt.\n3. Jeżeli zdający\n• wyznaczy 2 przeciwległe kąty czworokąta KNML w zależności od α, β, γ i wykaże, że\nα + β + γ = 180º\nalbo\n• wyznaczy wszystkie kąty czworokąta KNML i obliczy sumę dwóch przeciwległych\nkątów czworokąta KNML,\nto otrzymuje 2 punkty.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba\n3\n3\nkm\nm\nk\njest podzielna przez 6.\n\nMMA_1R\nUdowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k^3m - km^3 jest podzielna przez 6.","answer":"A, B, C, D","answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający rozkłada wielomian\nna czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub\nwyłączając wspólny czynnik przed nawias (R2.3).\nSP2. Działania na liczbach naturalnych. Zdający\nrozpoznaje liczby naturalne podzielne przez 2, 3\n(SP2.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZauważmy, że\n(\n)\n(\n)(\n)\nm\nk\nm\nk\nkm\nm\nk\nkm\nkm\nm\nk\n2\n2\n3\n3\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów:\n• uzasadnienie podzielności przez 2;\n• uzasadnienie podzielności przez 3.\nPodzielność przez 2.\nGdy którakolwiek z liczb k, m jest parzysta, to iloczyn\n(\n)\n2\n2\nm\nk\nkm\njest parzysty, a gdy obie\nliczby k, m są nieparzyste, to ich suma k\nm\njest liczbą parzystą, więc iloczyn\n(\n)(\n)\nkm k\nm\nk\nm\njest podzielny przez 2.\nPodzielność przez 3. (I sposób)\nDowód przeprowadzimy w czterech rozłącznych sytuacjach: A, B, C, D.\nA. Którakolwiek z liczb k, m jest podzielna przez 3\nWtedy iloczyn\n(\n)\n2\n2\nm\nk\nkm\njest podzielny przez 3.\nB. Obie liczby k, m przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1\nWtedy liczba\nm\nk -\njest podzielna przez 3, więc iloczyn\n(\n)(\n)\nkm k\nm\nk\nm\njest\npodzielny przez 3.\nC. Obie liczby k, m przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2\nWtedy liczba\nm\nk -\njest podzielna przez 3, więc iloczyn\n(\n)(\n)\nkm k\nm\nk\nm\njest\npodzielny przez 3.\nD. Jedna z liczb k, m przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a druga przy dzieleniu przez 3\ndaje resztę 2\nWtedy liczba\nm\nk +\njest podzielna przez 3, więc iloczyn\n(\n)(\n)\nkm k\nm\nk\nm\njest\npodzielny przez 3.\nPodzielność przez 3. (II sposób)\nDowód przeprowadzimy w dwóch rozłącznych sytuacjach: E, F.\nE. Którakolwiek z liczb k, m jest podzielna przez 3.\nWtedy iloczyn\n(\n)\n2\n2\nm\nk\nkm\njest podzielny przez 3.\nF. Żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 3.\nWtedy kwadrat każdej z nich przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, więc różnica\n2\n2\nk\nm\njest podzielna przez 3.\nWykazaliśmy zatem, że liczba\n3\n3\nk m\nkm\njest podzielna przez 2 i przez 3, więc jest podzielna\nprzez\n3\n2 ⋅\n, czyli przez 6. To kończy dowód.\nII sposób\nZauważmy, że\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n3\n3\n2\n2\n2\n2\n1 1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nk m\nkm\nkm k\nm\nkm k\nkm m\nkm k\nk\nkm m\nm\nIloczyn (\n)(\n)\n1\n1\nk k\nk\nto iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc dokładnie jedna\nz nich jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest podzielna przez 2, więc iloczyn jest\npodzielny przez 2 i przez 3, a więc jest podzielny przez 6. Analogicznie iloczyn\n(\n)(\n)\n1\n1\nm m\nm\njest podzielny przez 6. Różnica dwóch liczb podzielnych przez 6 jest\npodzielna przez 6. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\njeśli\n• uzasadni podzielność przez 2\nalbo\n• uzasadni podzielność przez 3 w dwóch przypadkach spośród A, B, C, D,\nalbo\n• uzasadni podzielność przez 3 w przypadku F.\nZdający otrzymuje 2 p.\njeśli\n• uzasadni podzielność przez 2 i uzasadni podzielność przez 3 w dwóch przypadkach\nspośród A, B, C, D\nalbo\n• uzasadni podzielność przez 2 i uzasadni podzielność przez 3 w przypadku F,\nalbo\n• uzasadni podzielność przez 3,\nalbo\n• zapisze liczbę\n3\n3\nk m\nkm\nw postaci\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n1\n1\n1\n1\nkm k\nk\nkm m\nm\nZdający otrzymuje 3 p.\nprzeprowadzi pełne rozumowanie uzasadniające podzielność przez 6.\nUwagi\n1. Akceptujemy sytuację, w której zdający stwierdza bez uzasadnienia, że iloczyn trzech\nkolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6 oraz różnica liczb podzielnych\nprzez 6 jest podzielna przez 6.\n2. Jeżeli zdający rozważa reszty z dzielenia liczb k i m przez 6 i udowodni podzielność\nprzez 6 w jednym z poniższych 5 przypadków:\n- dokładnie jedna z liczb k, m jest podzielna przez 6 lub obie liczby k, m dają przy\ndzieleniu przez 6 tę samą resztę;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie iloczynu liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie sumy liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie sumy i iloczynu liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie różnicy i iloczynu liczb k, m,\nto otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający rozważa reszty z dzielenia liczb k i m przez 6 i udowodni podzielność\nprzez 6 w trzech z poniższych 5 przypadków:\n- dokładnie jedna z liczb k, m jest podzielna przez 6 lub obie liczby k, m dają przy\ndzieleniu przez 6 tę samą resztę;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie iloczynu liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie sumy liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie sumy i iloczynu liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie różnicy i iloczynu liczb k, m,\nto otrzymuje 2 punkty.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nZ liczb ośmioelementowego zbioru\n{\n}\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\nZ =\ntworzymy ośmiowyrazowy ciąg,\nktórego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na\ntym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik\nprzedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nZ liczb ośmioelementowego zbioru Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający\nwykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji,\nwariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania\nobiektów w bardziej złożonych sytuacjach\nkombinatorycznych (R10.1). Zdający oblicza\nprawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując\nklasyczną definicję prawdopodobieństwa (10.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZdarzeniami elementarnymi są permutacje (bez powtórzeń) zbioru ośmioelementowego\n{\n}\n1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 .\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n8!\nΩ =\nNiech A będzie zdarzeniem, polegającym na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są\nsąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Ustalmy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A.\nI metoda\nW zbiorze Z jest 5 liczb nieparzystych, więc możemy je ustawić w ciąg na 5! sposobów.\nOtrzymamy wtedy sytuację:\n_(1)_ n _(2)_ n _(3)_ n _(4)_ n _(5)_ n_(6)_\nPierwszą z pozostałych liczb (parzystych) zbioru Z możemy ustawić na jednym z sześciu\nmiejsc _(1)_ - _(6)_, drugą na jednym z pozostałych pięciu, a trzecią na jednym z pozostałych\nczterech.\nZatem\n5! 6 5 4\nA =\n⋅⋅⋅.\nII metoda\nW zbiorze Z jest 5 liczb nieparzystych, więc możemy je ustawić w ciąg na 5! sposobów.\nOtrzymamy wtedy sytuację:\n_(1)_ n _(2)_ n _(3)_ n _(4)_ n _(5)_ n_(6)_\nTrzy pozostałe liczby (parzyste) ze zbioru Z musimy ustawić na wybranych trzech miejscach\nspośród sześciu miejsc _(1)_ - _(6) Te trzy miejsca możemy wybrać na ( )\n6\n3 sposobów. Na\ntych trzech ustalonych miejscach możemy trzy liczby parzyste ze zbioru Z ustawić na 3!\nsposobów.\nZatem\n( )\n6\n3\n5!\n3!\nA =\n⋅\n⋅\nIII metoda (ustalenie kolejności parzystych, a następnie ustalenie pozycji parzystych)\nW zbiorze Z mamy 3 liczby parzyste: 2, 4, 6. Możemy ustawić je w kolejności na 3!\n6\nsposobów. Jedną z takich możliwości jest kolejność: 2, 4, 6.\nWypiszmy wszystkie przypadki ustawienia tych trzech liczb w kolejności 2, 4, 6 w ciągu\n8-wyrazowym:\n(a) 2 na pierwszym miejscu\n2 - 4 - 6 - - -, 2 - 4 - - 6 - -, 2 - 4 - - - 6 -, 2 - 4 - - - - 6, 2 - - 4 - 6 - -,\n2 - - 4 - - 6 -, 2 - - 4 - - - 6, 2 - - - 4 - 6 -, 2 - - - 4 - - 6, 2 - - - - 4 - 6,\n(b) 2 na drugim miejscu\n- 2 - 4 - 6 - -, - 2 - 4 - - 6 -, - 2 - 4 - - - 6, - 2 - - 4 - 6 -, - 2 - - 4 - - 6,\n- 2 - - - 4 - 6,\n(c) 2 na trzecim miejscu\n- - 2 - 4 - 6 -, - - 2 - 4 - - 6, - - 2 - - 4 - 6,\n(d) 2 na czwartym miejscu\n- - - 2 - 4 - 6.\nŁącznie mamy 20 przypadków ustawienia w ciągu 8-wyrazowym trzech liczb parzystych\n- 2, 4, 6 - w kolejności 2, 4, 6.\nPonieważ mamy 6 możliwości ustalenia kolejności dla trzech liczb 2, 4, 6, więc liczby\nparzyste ze zbioru Z możemy ustawić na 6 20\n⋅\nsposobów.\nDo ustawionych liczb parzystych na wolne miejsca ustawiamy liczby nieparzyste, a możemy\nto zrobić na 5! sposobów.\nZatem\n6 20 5!\nA =\n⋅\n⋅\nIV metoda (ustalenie pozycji parzystych)\nWypiszmy wszystkie przypadki wyboru trzech miejsc, spośród ośmiu, dla liczb parzystych,\nz uwzględnieniem warunku, że żadne dwie parzyste nie sąsiadują ze sobą.\n(a) pierwsza liczba parzysta na pierwszym miejscu\np - p - p - - -, p - p - - p - -, p - p - - - p -, p - p - - - - p, p - - p - p - -,\np - - p - - p -, p - - p - - - p, p - - - p - p -, p - - - p - - p, p - - - - p - p,\n(b) pierwsza liczba parzysta na drugim miejscu\n- p - p - p - -, - p - p - - p -, - p - p - - - p, - p - - p - p -, - p - - p - - p,\n- p - - - p - p,\n(c) pierwsza liczba parzysta na trzecim miejscu\n- - p - p - p -, - - p - p - - p, - - p - - p - p,\n(d) pierwsza liczba parzysta na czwartym miejscu\n- - - p - p - p.\nŁącznie mamy 20 przypadków ustalenia w ciągu 8-wyrazowym pozycji liczb parzystych.\nZatem\n20 3! 5!\nA =\n⋅\n⋅\nUwaga! Te same przypadki wyboru uzyskamy, wypisując wszystkie ustawienia liczb\nparzystych i nieparzystych przy założeniu, że rozpoczynamy najpierw od liczby parzystej (10\nprzypadków), a następnie od nieparzystej (kolejne 10 przypadków). Ponadto należy pamiętać,\nże przedstawione tu przypadki ustawień liczb parzystych (a tym samym i nieparzystych)\nmogą być przedstawione jako gałęzie drzewa probabilistycznego z 20 gałęziami.\nV metoda (przerwy między parzystymi)\nTrzy liczby parzyste musimy rozdzielić pięcioma nieparzystymi, przy czym nieparzyste\nmożemy umieszczać także przed wszystkimi parzystymi lub po wszystkich parzystych.\nMamy zatem 4 usytuowania dla liczb nieparzystych.\nWypiszmy najpierw przypadki uwzględniające liczbę pozycji dla liczb nieparzystych\nw poszczególnych usytuowaniach (cyfra oznacza liczbę miejsc zajętych przez liczby\nnieparzyste, litera p oznacza liczbę parzystą).\n0-p-1-p-1-p-3, 0-p-1-p-2-p-2, 0-p-1-p-3-p-1, 0-p-1-p-4-p-0, 0-p-2-p-1-p-2, 0-p-2-p-2-p-1,\n0-p-2-p-3-p-0, 0-p-3-p-1-p-1, 0-p-3-p-2-p-0, 0-p-4-p-1-p-0, 1-p-1-p-1-p-1, 1-p-1-p-2-p-1,\n1-p-1-p-3-p-0, 1-p-2-p-1-p-1, 1-p-2-p-2-p-0, 1-p-3-p-1-p-0, 2-p-1-p-1-p-1, 2-p-1-p-2-p-0,\n2-p-2-p-1-p-0, 3-p-1-p-1-p-0\nŁącznie mamy 20 takich przypadków.\nZatem\n20 3! 5!\nA =\n⋅⋅\nObliczamy prawdopodobieństwo:\n( )\n20 3! 5!\n10\n5\n8!\n28\n14\nP A\n⋅⋅\nII sposób (zdarzenie przeciwne)\nZdarzeniami elementarnymi są permutacje (bez powtórzeń) zbioru ośmioelementowego\n{\n}\n1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 .\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n8!\nΩ =\nNiech A będzie zdarzeniem, polegającym na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są\nsąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu.\nZdarzeniem przeciwnym\njest otrzymanie w wyniku permutacji zbioru Z ciągu, w którym\nliczby parzyste są sąsiednimi wyrazami ciągu, tzn.\nI: wszystkie trzy liczby parzyste będą kolejnymi wyrazami ciągu\nalbo\nII. dwie liczby parzyste będą kolejnymi wyrazami ciągu, a trzecia liczba parzysta nie będzie\nsąsiadować z żadną z nich.\nW sytuacji I miejsca dla liczb parzystych wybieramy na 6 sposobów, ustawiamy na tych\nmiejscach liczby parzyste na 3! sposobów, a pozostałe liczby ustawiamy na pięciu miejscach\nna 5! sposobów.\nW sytuacji II. dla sąsiadujących liczb parzystych wybieramy miejsca na 7 sposobów:\nm1 i m2, m2 i m3, m3 i m4, m4 i m5, m5 i m6, m6 i m7, m7 i m8.\nMiejsce dla trzeciej parzystej liczby możemy wybrać: na 5 sposobów wtedy, gdy parzyste\nliczby sąsiadują na miejscach m1 i m2 albo na miejscach m7 i m8 oraz na 4 sposoby w każdej\nz pozostałych możliwości.\nLiczby parzyste możemy rozstawić na wybranych miejscach na 3! sposobów, a pozostałe\nliczby ustawiamy na pięciu miejscach na 5! sposobów.\nWszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu\njest:\n6 3! 5! 2 5 3! 5! 5 4 3! 5!\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n⋅\n+ ⋅⋅\n⋅\nA′\nA′\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n(\n)\n36 3! 5!\n36 6\n36\n20\n5\n1\n1\n1\n1\n8!\n6 7 8\n56\n56\n14\nP A\nP A\n⋅⋅\n⋅\n′\n⋅⋅\nUwaga! Zdający może wypisywać przypadki, w których wystąpią zdarzenia elementarne\nsprzyjające zdarzeniu\n, stosując metody analogiczne do metod III, IV, V z I sposobu\nrozwiązania, i uwzględnić 36 rozłącznych przypadków.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze\n8!\nΩ =\nalbo\n• wypisze przynajmniej 11 różnych przypadków spośród 20, gdy rozpatruje zdarzenie A\nalbo\n• wypisze przynajmniej 19 różnych przypadków spośród 36, gdy rozpatruje zdarzenie A′,\nalbo\n• zapisze, że jest ( )\n6\n3 lub 6 5 4\n⋅⋅\nprzypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A (lub\n6\n2 5\n5 4\n⋅+ ⋅ przypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A′),\nalbo\n• zapisze iloczyn 3! 5!\n⋅\nlub w inny sposób zaznaczy uwzględnienie iloczynu 3! 5!\n⋅\n,\nwynikającego z permutacji liczb parzystych i liczb nieparzystych na wybranych dla nich\nmiejscach,\nalbo\n• narysuje drzewo z wyróżnionymi co najmniej 11 różnymi istotnymi gałęziami\nodpowiadającymi zdarzeniu A (albo z wyróżnionymi co najmniej 19 różnymi istotnymi\ngałęziami odpowiadającymi zdarzeniu\n),\nalbo\n• narysuje niepełne drzewo (może wystąpić brak istotnych gałęzi odpowiadających\nzdarzeniu A lub\n), ale na wszystkich odcinkach co najmniej jednej gałęzi zapisze\nprawdopodobieństwa, przy czym gałąź ta musi uwzględniać jeden z przypadków:\nwylosowano 3 parzyste liczby lub wylosowano 7 liczb\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze\n8!\nΩ =\ni wypisze przynajmniej 11 różnych przypadków spośród 20, gdy\nrozpatruje zdarzenie A,\nalbo\n• zapisze\n8!\nΩ =\ni wypisze przynajmniej 19 różnych przypadków spośród 36, gdy\nrozpatruje zdarzenie A′,\nalbo\n• zapisze\n8!\nΩ =\ni zapisze, że jest ( )\n6\n3 lub 6 5 4\n⋅⋅\nprzypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A\n(lub 6\n2 5\n5 4\n⋅+\n⋅ przypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A′),\nA′\nA′\nA′\nalbo\n• zapisze\n( )\n6\n3\n3! 5!\nA =\n⋅⋅\nlub\n6 5 4 5!\nA =\n⋅⋅⋅\nlub\n20 3! 5!\nA =\n⋅\n⋅\nlub\n(\n)\n6\n2 5\n5 4\n3! 5!\nA′ =\n⋅+ ⋅\n⋅⋅\nlub\n36 3! 5!\n′ =\n⋅\n⋅\nA\n,\nalbo\n• narysuje drzewo z wyróżnionymi co najmniej 11 różnymi istotnymi gałęziami\nodpowiadającymi zdarzeniu A (albo z wyróżnionymi co najmniej 19 różnymi istotnymi\ngałęziami odpowiadającymi zdarzeniu\n) i na wszystkich odcinkach co najmniej jednej\ngałęzi zapisze prawdopodobieństwa, przy czym gałąź ta musi uwzględniać jeden\nz przypadków: wylosowano 3 parzyste liczby lub wylosowano 7 liczb\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze\n8!\nΩ =\ni zapisze\n( )\n6\n3\n3! 5!\nA =\n⋅⋅\nlub\n6 5 4 5!\nA =\n⋅⋅⋅\nlub\n20 3! 5!\nA =\n⋅\n⋅\nlub\n(\n)\n6\n2 5\n5 4\n3! 5!\nA′ =\n⋅+ ⋅\n⋅\n⋅\nlub\n36 3! 5!\n′ =\n⋅\n⋅\nA\nalbo\n• zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A (albo\n) zgodnie z „metodą drzewkową”.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo:\n( )\n5\n14\nP A =\nUwagi\n1. Możemy też rozpatrywać model probabilistyczny, w którym zdarzeniem elementarnym\njest 3 elementowy podzbiór zbioru 8 elementowego (nie uwzględniamy wówczas\nkolejności ustawienia liczb nieparzystych ani kolejności ustawienia liczb parzystych,\na jedynie pozycje zajmowane przez te liczby). Wtedy\n( )\n8\n3\n56\nΩ =\n,\n( )\n6\n3\n20\nA =\n,\n( )\n5\n14\nP A =\n2. Jeżeli zdający błędnie założy, że podany w treści zadania ośmioelementowy zbiór Z\nzawiera 4 liczby parzyste i 4 liczby nieparzyste (np. założy, że zbiór Z zawiera liczbę\n8 zamiast 9) i rozwiąże zadanie do końca, otrzymując\n( )\n5 4!4!\n1\n8!\n14\nP A\n⋅⋅\n, to otrzymuje\n2 punkty. Zdający otrzymuje w tej sytuacji 1 punkt tylko za zapisanie\n8!\nΩ =\n3. Jeżeli zdający błędnie założy, że podany w treści zadania zbiór Z jest 9-elementowy\n(i zawiera 4 liczby parzyste i 5 liczby nieparzystych) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, to otrzymuje 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający zapisze |Ω|=8! oraz rozpatrując zdarzenie A′ rozważy trzy sytuacje:\nI. wszystkie trzy liczby parzyste są kolejnymi wyrazami ciągu;\nII. dwie liczby parzyste są dwoma skrajnymi (pierwszym i drugim lub siódmym\ni ósmym) wyrazami ciągu, a trzecia liczba parzysta nie sąsiaduje bezpośrednio z żadną\nz nich;\nIII. dwie liczby parzyste są dwoma kolejnymi, ale nie skrajnymi wyrazami ciągu,\na trzecia parzysta nie sąsiaduje bezpośrednio z żadną z nich\noraz zapisze sposób zliczania tych ciągów w każdej z tych trzech sytuacji, uwzględniający\npermutacje liczb parzystych i liczb nieparzystych i jednoczenie gwarantujący to, że żaden\nciąg nie zostanie policzony wielokrotnie;\na ponadto nie ustali poprawnej liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A′, to otrzymuje 2 punkty.\nA′\nA′\n5. Jeżeli zdający rozważa zdarzenie A i wypisuje przynajmniej 12 przypadków, ale jeden\nz nich zapisuje dwukrotnie, to otrzymuje przynajmniej 1 punkt. Dotyczy to także sytuacji\nwypisania 21 przypadków.","solution":"$\\dfrac{5}{14}$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nObjętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru\n(\n)\n2\n2\n1\n3\nV\nH r\nrR\nR\nπ\n, gdzie r i R są promieniami podstaw (r\nR\n<\n), a H jest wysokością\nbryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość 840π , a\n6\nr =\n. Oblicz\ncosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nObjętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru V = 1/3π\\piH(r^2 + rR + R^2), gdzie r i R są promieniami podstaw (r.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n6. Trygonometria. Zdający stosuje wzory na sinus\ni cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów kątów (R6.5). Zdający rozwiązuje\nrównania i nierówności trygonometryczne (R6.6).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny\nsin 6\ncos3\n2sin 3\n1\nx\nx\nx\n+ ,\n2sin 3 cos3\ncos3\n2sin 3\n1\nx\nx\nx\nx\n+ ,\n(\n)\ncos3\n2sin3\n1\n2sin3\n1\nx\nx\nx\n+ ,\n(\n)(\n)\n2sin3\n1\ncos3\n1\n0\nx\nx\n,\n1\n2\nsin3x = -\nlub cos3\n1\nx = .\nStąd\n7\n3\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n11\n3\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub 3\n2\nx\nkπ\n, k - liczba całkowita.\nZatem\n7\n2\n18\n3\nk\nx\nπ\nπ\nlub\n11\n2\n18\n3\nk\nx\nπ\nπ\nlub\n2\n3\nk\nx\nπ\nW przedziale 0,π mamy następujące rozwiązania równania:\n7\n18\nx\nπ\n,\n11\n18\nx\nπ\n,\n0\nx =\n,\n2\n3\nx\nπ\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zastosuje wzór na sinus kąta podwojonego i zapisze równanie w postaci\n2sin 3 cos3\ncos3\n2sin 3\n1\nx\nx\nx\nx\n+ , i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze dwa równania\n1\nsin3\n2\nx = -\n, cos3\n1\nx = .\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze wszystkie rozwiązania równań\n1\nsin3\n2\nx = -\noraz cos3\n1\nx = w zbiorze liczb\nrzeczywistych\n7\n2\n18\n3\nk\nx\nπ\nπ\nlub\n11\n2\n18\n3\nk\nx\nπ\nπ\nlub\n2\n3\nk\nx\nπ\nalbo\n• zapisze dwa równania\n1\nsin3\n2\nx = -\noraz cos3\n1\nx = i jedno z nich rozwiąże\nw przedziale 0,π\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający zapisze wszystkie rozwiązania równania w przedziale 0,π :\n7\n18\nx\nπ\n,\n11\n18\nx\nπ\n,\n0\nx =\n,\n2\n3\nx\nπ\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poprawnie stosuje wzór na sinus kąta podwojonego, zapisze tylko jedno\nz równań cos3\n1\nx = ,\n1\n2\nsin3x = -\n, to otrzymuje\n1 punkt, jeśli rozwiąże to równanie w R;\n2 punkty, jeśli rozwiąże to równanie w 0,π .\n2. Jeżeli zdający poprawnie stosuje wzór na sinus kąta podwojonego i poprawnie zapisze\nrównanie równoważne w postaci, w której z jednej strony występuje iloczyn, a z drugiej zero,\nale w wyniku błędów zapisuje jedno równanie lub dwa równania z niewłaściwym znakiem\nprzy stałej, to otrzymuje:\n3 punkty, o ile konsekwentnie rozwiąże obydwa równania w przedziale 0,π ;\n2 punkty, o ile konsekwentnie rozwiąże dwa równania w R lub konsekwentnie rozwiąże\njedno równanie w 0,π ;\n1 punkt, o ile konsekwentnie rozwiąże jedno równanie w R.\n4. Jeżeli zdający wyznacza rozwiązania równań cos\n1\nα = oraz\n1\n2\nsinα = -\n, gdzie\n3x\nα =\n,\nw przedziale 0,3π i na tym poprzestaje lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje co\nnajwyżej 3 punkty.\n5. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu rozwiązań równań cos3\n1\nx = oraz\n1\n2\nsin3x = -\nzapisuje\npoprawnie serię rozwiązań pierwszego z nich (z cos) oraz jedną serię rozwiązań drugiego\n(z sin), a następnie konsekwentnie wyznacza przynajmniej 4 rozwiązania równania z treści\nzadania w przedziale 0,π , to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.","solution":"$x = \\dfrac{7\\pi}{18}$, $x = \\dfrac{11\\pi}{18}$, $x = 0$, $x = \\dfrac{2\\pi}{3}$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n0\nx\nm\nx\nm\nma\ndwa rozwiązania rzeczywiste\n1x i\n2x (\n1\n2\nx\nx\n≠\n), spełniające warunek\n3\n3\n1\n2\n1\n2\n7\nx\nx\nx x\n> -\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2+(m+1)x-m^2+1 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x_1 i x_2 (x_1≠x_2), spełniające warunek x_1^3 + x_2^3 > -7x_1x_2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-6)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory\nViète’a (R3.1).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRównanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n4 1\n1\n0\nm\nm\nΔ =\n-⋅⋅-\n>\n2\n5\n2\n3\n0\nm\nm\n>\n1\n1\nm = -,\n2\n3\n5\nm =\nStąd\n(\n) (\n)\n3\n5\n,\n1\n,\nm∈-∞-\n∪\n+ ∞\nWarunek\nmożemy zapisać w postaci równoważnej\n(\n)(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n2\n2\n1\n2\n7\nx\nx\nx\nx x\nx\nx x\n> -\n,\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n3\n7\nx\nx\nx\nx\nx x\nx x\n> -\nZe wzorów Viète’a na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy tę\nnierówność zapisać w postaci:\n(\n) (\n)\n2\n3\n7\nb\nb\nc\nc\na\na\na\na\n\n\n> -\n\n\n\n\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n3\n1\n7\n1\nm\nm\nm\nm\n> -\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n3\n2\n2\n1\n3\n1\n1\n7\n1\nm\nm\nm\nm\n> -\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n3\n2\n2\n1\n3\n1\n1\n7\n1\n0\nm\nm\nm\nm\n>\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n3\n1\n7\n1\n0\nm\nm\nm\nm\n>\n(\n)(\n)\n2\n2\n1\n2\n1 3\n3\n7\n7\n0\nm\nm\nm\nm\nm\n>\n(\n)(\n)\n2\n1\n4\n9\n9\n0\nm\nm\nm\n>\n1\n3\nm = - lub\n2\n3\n4\nm =\nlub\n3\n1\nm = -.\n(\n) (\n)\n3\n4\n3\n1\nm\n,\n,\n∈-∞-\n∪-\nWyznaczamy część wspólną zbiorów (\n) (\n)\n3\n5\n1\n,\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞ i (\n) (\n)\n3\n4\n3\n1\n,\n,\n-∞-\n∪-\nOdpowiedź\n(\n) (\n)\n3 3\n5 4\n3\nm\n,\n,\n∈-∞-\n∪\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności\n:\n(\n) (\n)\n3\n5\n,\n1\n,\nm∈-∞-\n∪\n+ ∞\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze\n, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na rozwiązaniu nierówności\nZa tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierówności w postaci:\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n3\n7\nx\nx\nx\nx\nx x\nx x\n> -\nlub równoważnej.\n2 punkty zdający otrzymuje za doprowadzenie do nierówności ze zmienną m, np.\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n3\n1\n7\n1\nm\nm\nm\nm\n> -\n3 punkty zdający otrzymuje za wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n3\n1\n7\n1\nm\nm\nm\nm\n,\nczyli wielomianu\n3\n2\n4\n13\n9\nm\nm\n+ : 3\n-, 1\n-, 3\n4\n3\n3\n1\n2\n1\n2\n7\nx\nx\nx x\n> -\n0\n>\nΔ\n0\nΔ ≥\n3\n3\n1\n2\n1\n2\n7\nx\nx\nx x\n> -\n4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie powyższej nierówności.\n(\n) (\n)\n3\n4\n3\n1\nm\n,\n,\n∈-∞-\n∪-\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m z uwzględnieniem\nwszystkich warunków.\n(\n) (\n)\n3 3\n5 4\n3\nm\n,\n,\n∈-∞-\n∪\nUwagi\n1. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako\nzbioru rozwiązań nierówności przyznajemy 0 punktów za III etap.\n2. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru\nrozwiązań z I etapu lub otrzymania w I etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem\nzbioru rozwiązań z II etapu, przyznajemy 0 punktów za III etap.\n3. O ile nie zachodzą przypadki z uwag 1. i 2. i zdający poprawnie wykona etap I\noraz popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II, albo gdy popełnia błędy\nw etapie I i otrzyma co najmniej 1 punkt za etap II, to za III etap może otrzymać 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania stosuje nieistniejącą zależność: „suma sześcianów =\nsześcian sumy”, prowadzącą do uproszczenia badanego problemu, lub zdający stosuje inny\nbłędny wzór, prowadzący do uproszczenia badanego problemu, ale otrzyma nierówność\nwielomianową stopnia trzeciego, uzyska trzy miejsca zerowe i poprawnie rozwiązuje\notrzymaną nierówność, to za II etap otrzymuje 1 punkt (za rozwiązanie nierówności).\n5. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania otrzyma poprawną nierówność wielomianową\nstopnia 3. i popełnia błędy rachunkowe w jej rozwiązaniu, to może otrzymać 3 punkty za\nII etap, o ile wyznaczy 3 różne miejsca zerowe wielomianu z tej nierówności\ni konsekwentnie rozwiąże nierówność do końca, zaś w każdym innym przypadku\notrzymuje 2 punkty za ten etap.\n6. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa nierówność wielomianową stopnia\nwiększego niż 3. lub niepoprawną nierówność stopnia 3. i wyznacza miejsca zerowe\nw liczbie właściwej dla stopnia wielomianu i otrzymuje przynajmniej 3 miejsca zerowe, to\notrzymuje co najwyżej 3 punkty za II etap, o ile konsekwentnie rozwiąże nierówność.\nJeżeli wielomian w tej nierówności nie ma trzech różnych miejsc zerowych, to zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty za ten etap.\n7. Jeżeli zdający przy rozwiązywaniu otrzymanej w II etapie nierówności stopnia co\nnajmniej 3. popełnia błąd, polegający na niepoprawnym grupowaniu wyrazów, np.\nz nierówności\n3\n2\n4\n13\n9\n0\nm\nm\n>\nuzyska (\n)(\n)\n2\n4\n13\n9\n0\nm\nm\n>\n, to nie otrzymuje\npunktów za części II.3 i II.4.","solution":"$m \\in \\left(-\\infty, -3\\right) \\cup \\left(\\dfrac{3}{5}, \\dfrac{3}{4}\\right)$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-4)\nWyrazy ciągu geometrycznego (\n)\nn\na\n, określonego dla\n1\nn ≥, spełniają układ równań\n\n\n\n168\n84\n7\n4\n6\n3\na\na\na\na\nWyznacz liczbę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma\nn\nS jest równa 32769.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyrazy ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n≥1, spełniają układ równań {a_3 + a_6 = -84; a_4 + a_7 = 168; Wyznacz liczbę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma S_n jest równa 32769.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę\nn początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4).\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech\n1\na będzie pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego, zaś q jego ilorazem.\nZ treści zadania otrzymujemy układ równań:\n\n\n\n168\n84\n6\n1\n3\n1\n5\n1\n2\n1\nq\na\nq\na\nq\na\nq\na\n(\n)\n(\n)\n\n\n\n168\n1\n84\n1\n3\n3\n1\n3\n2\n1\nq\nq\na\nq\nq\na\nDzieląc stronami te równania, co możemy zrobić, gdyż gdyby którakolwiek z liczb\n1a , q ,\n3\n1\nq\nbyła równa 0, to otrzymalibyśmy sprzeczność, otrzymujemy\n2\nq = -.\nZatem\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n1\n2\n1\n2\n84\na\n,\n1\n28\n84\na\n⋅\n,\n1\n3\na =\nOtrzymaliśmy ciąg geometryczny (\n)\nna\n, w którym:\n\n\n\n2\n3\n1\nq\na\nWykorzystując wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,\ndoprowadzamy do równania postaci\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n1\n32769\n2 1\nn\nPrzekształcając to równanie, otrzymujemy (\n)\n32768\n2\nn\n. Ponieważ (\n)\n(\n)\n15\n2\n2\nn\n, więc\n15\nn\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze\n• układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n\n\n\n168\n84\n6\n1\n3\n1\n5\n1\n2\n1\nq\na\nq\na\nq\na\nq\na\nalbo\n• układ równań z niewiadomymi q,\n3a ,\n6a , np.:\n(\n)\n3\n6\n3\n6\n84\n168\na\na\nq a\na\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą\n1a lub q\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności 3 p.\nZdający rozwiąże układ równań:\n\n\n\n2\n3\n1\nq\na\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy szukaną liczbę n:\n15\nn\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przedstawi poprawną strategię poszukiwania liczby n, ale otrzyma błędne\nwartości\n1a lub q, takie że po podstawieniu do wzoru na\nnS otrzymuje równanie, którego\nrozwiązanie nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty, za\nrealizację rozwiązania do etapu: istotny postęp.\n2. Jeżeli zdający zapisze\n2\nq = - bez rozwiązania układu lub stosownego uzasadnienia, to\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający korzysta przy wyznaczaniu n z zapisanej przez siebie zależności\n\"- (-2)n = 2n\" bez stosownego komentarza, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.","solution":"$n = 15$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nPunkt\n(\n)\n7,\n1\nA =\njest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC\nBC\nObie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma\nrównanie\n. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.\n2\n2\n10\nx\ny\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nPunkt A=(7,-1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x^2+y^2=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający\nposługuje się równaniem okręgu (x - a)2 + (y - b)2 = r2\noraz opisuje koła za pomocą nierówności, wyznacza\nwspółrzędne środka odcinka, wyznacza równanie\nprostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej\ndanej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany\npunkt, oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch\nprostych, wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu\noraz oblicza odległość punktu od prostej (R8.5, 8.5, 8.3,\n8.4, R8.6, R8.4).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób - analitycznie - styczne AC i AB\nProste AC i AB przechodzą przez punkt\n(\n)\n7\n1\nA\n,\n, żadna z nich nie jest prostopadła do osi\nOx układu współrzędnych, więc mają równania postaci\n(\n)\n7\n1\ny\na x\n-,\n7\n1\n0\nax\ny\na\nObie te proste są styczne do okręgu, zatem ich odległości od środka okręgu są równe\npromieniowi okręgu. Stąd otrzymujemy równanie\n2\n7\n1\n10\n1\na\na\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n7\n1\n10\n1\na\na\n,\n2\n2\n49\n14\n1\n10\n10\na\na\na\n2\n39\n14\n9\n0\na\na\n14 40\n9\n78\n13\na\nlub\n14 40\n1\n78\n3\na\nSzukane styczne mają więc równania:\n9\n50\n13\n13\ny\nx\n,\n10\n1\n3\n3\ny\nx\n. Tylko druga z tych\nprostych przechodzi przez trzecią ćwiartkę układu współrzędnych, więc prosta AC ma\nrównanie\n10\n1\n3\n3\ny\nx\n, a prosta AB ma równanie\n9\n50\n13\n13\ny\nx\nTrójkąt ABC jest równoramienny, a jego ramionami są boki AC i BC. Zatem wierzchołek C\nleży na przecięciu prostej AC i symetralnej l boku AB. Prosta l jest prostopadła do prostej AB\ni przechodzi przez punkt\n(\n)\n0 0\nS\n,\n. Zatem współczynnik kierunkowy prostej l jest równy\n13\n9\nla =\n. Stąd l ma równanie postaci\n13\n9\ny\nx\nWspółrzędne wierzchołka C obliczymy, rozwiązując układ równań\n10\n1\n3\n3\ny\nx\ni\n13\n9\ny\nx\nStąd otrzymujemy równanie\n10\n13\n1\n3\n3\n9\nx\nx\n,\n10\n30\n9\n9\nx = -\n3\nx = -,\nwięc\n(\n)\n13\n13\n9\n3\n3\ny =\n⋅-\n, czyli\n(\n)\n13\n3\n3,\nC = -\nObliczamy współrzędne punktu D styczności prostej AB z danym okręgiem. Jest to punkt\nprzecięcia prostej l z prostą AB. Wystarczy więc rozwiązać układ równań\n9\n50\n13\n13\ny\nx\ni\n13\n9\ny\nx\nStąd otrzymujemy równanie\n9\n50\n13\n13\n13\n9\nx\nx\n,\n250\n50\n117\n13\nx =\n9\n5\nx =\n,\nwięc\n13 9\n13\n5\n5\n9\ny =\n⋅\n, czyli\n(\n)\n9 13\n5\n5\n,\nD =\nPunkt D jest środkiem odcinka AB, więc\n(\n)\n1\n7\n2\n2\n,\nB\nB\ny\nx\nD\nZatem\n7\n9\n5\n2\nBx\ni\n1\n13\n5\n2\nBy\n,\n17\n5\nB\nx = -\ni\n31\n5\nB\ny =\nZatem\n(\n)\n17 31\n5\n5\n,\nB = -\nII sposób - syntetycznie - długości odcinków CE i CS\nPromień okręgu jest równy\n. Długość odcinka SA jest równa\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASE otrzymujemy\n,\n,\n,\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy\nTrójkąty CES i CDA są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołku C. Stąd wynika\noraz\n,\noraz\n,\noraz\n,\noraz\nStąd\n,\n, więc\nUwaga\nDługości m i n możemy też obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów ACD\ni CSE. Otrzymujemy wtedy\noraz\n,\n10\nr =\n(\n)\n2\n2\n7\n1\n50\n5 2\nSA =\n2\n2\n2\nSA\nSE\nEA\n2\n50\n10\nEA\n2\n40\nEA =\n40\n2 10\nEA =\n2 10\nDA\nEA\nCE\nCD\nSE\nDA\nCS\nCA\nSE\nDA\n10\n10\n2 10\nm\nn +\n2 10\n10\n2 10\nn\nm +\n2\n10\nm\nn\n2\n10\nn\nm\n2\n10\nn\nm\n(\n)\n2 2\n10\n10\nm\nm\n4\n2 10\n10\nm\nm\n4\n3 10\nm =\n5\n4\n3\n3\n2\n10\n10\n10\nn =\n⋅\n2\n2\n2\nCA\nCD\nDA\n2\n2\n2\nCS\nCE\nSE\noraz\n,\noraz\n,\noraz\n,\noraz\n,\noraz\n,\noraz\n,\noraz\nZatem długość ramienia AC trójkąta ABC jest równa\nNiech\n. Ponieważ\ni\n, więc\ni\n,\ni\nPierwsze równanie możemy zapisać w postaci\nStąd i z drugiego równania otrzymujemy\n,\n,\nStąd i z pierwszego równania mamy\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\nlub\nGdy\n, to\n, a gdy\n, to\nPonieważ obie współrzędne punktu C są ujemne, więc\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2 10\n10\n2 10\nm\nn\n(\n)\n2\n2\n2\n10\nn\nm\n2\n2\n4\n10\n40\n2\n10\n10\n40\nm\nm\nn\nn\n2\n2\n10\nn\nm\n4\n10\n2\n10\n20\nm\nn\n2\n2\n10\nn\nm\n2\n10\nm\nn\n(\n)\n2\n2\n2\n10\n10\nm\nm\n2\n10\nm\nn\n2\n2\n4\n4\n10\n10\n10\nm\nm\nm\n2\n10\nm\nn\n4\n3 10\nm =\n5\n3 10\nn =\n4\n3 10\nm =\n10\n4\n3\n3\n2 10\n10\n2 10\n10\nAC\nCE\nEA\nm\n(\n)\n,\nC\nx y\n10\n3\n10\nAC =\n5\n3 10\nCS =\n2\n1000\n9\nAC\n2\n250\n9\nCS\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1000\n9\n7\n1\nx\ny\n2\n2\n250\n9\nx\ny\n2\n2\n1000\n9\n14\n2\n50\nx\ny\nx\ny\n250\n1000\n9\n9\n14\n2\n50\nx\ny\n50\n3\n7\n0\nx\ny\n150\n9\n7\ny\nx\n(\n)\n2\n2\n50\n250\n3\n9\n7\nx\nx\n2\n2\n700\n2500\n250\n3\n9\n9\n49\n0\nx\nx\nx\n2\n700\n2250\n3\n9\n50\n0\nx\nx\n2\n14\n3\n5\n0\nx\nx\n2\n3\n14\n15\n0\nx\nx\n2\n3\n9\n5\n15\n0\nx\nx\nx\n(\n)\n(\n)\n3\n3\n5\n3\n0\nx x\nx\nx\n(\n)(\n)\n3\n3\n5\n0\nx\nx\n3\nx = -\n5\n3\nx = -\n3\nx = -\n(\n)\n50\n13\n3\n3\n7\n3\ny =\n⋅-\n5\n3\nx = -\n(\n)\n5\n50\n3\n3\n7\n5\ny =\n⋅-\n(\n)\n13\n3\n3,\nC = -\nNiech\n(\n)\nB\nx,y\n. Ponieważ\n10\n3\n10\nBC\nAC\ni\n2 2 10\n4 10\nAB =\n⋅\n, więc\n2\n1000\n9\nBC\ni\n2\n160\nAB\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n13\n1000\n3\n9\n3\nx\ny\ni (\n)\n(\n)\n2\n2\n7\n1\n160\nx\ny\n,\n2\n2\n26\n250\n3\n3\n6\n0\nx\ny\nx\ny\ni\n2\n2\n14\n2\n110\n0\nx\ny\nx\ny\nStąd\n1\n4\n3\n3\n0\nx\ny\ni\n2\n2\n14\n2\n110\n0\nx\ny\nx\ny\n,\n3\n4\ny\nx\ni\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n4\n14\n2\n3\n4\n110\n0\nx\nx\nx\nx\nDrugie równanie możemy zapisać w postaci\n2\n10\n4\n102\n0\nx\nx\n,\n2\n5\n2\n51\n0\nx\nx\n,\n(\n)\n2\nΔ\n2\n4 5\n51\n1024\n-⋅⋅-\n,\nΔ\n32\n,\n2 32\n17\n5\n10\nx\nlub\n2 32\n10\n3\nx\n,\nGdy\n17\n5\nx = -\n, to\n(\n)\n17\n31\n5\n5\n3\n4\ny = -⋅-\n, a gdy\n3\nx =\n, to\n3 3\n4\n13\ny = -⋅-\nPonieważ punkt B nie leży w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, więc\n(\n)\n17 31\n5\n5\nB\n,\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający:\na) obliczy długości odcinków stycznych poprowadzonych z punktu A:\n2 10\nAD\nAE\nalbo\nb) obliczy współrzędne środka M odcinka AS oraz długość odcinka AS,\ngdzie\n(\n)\n0,0\nS =\n:\n(\n)\n,\n7\n1\n2\n2\nM =\n,\n5 2\nAS =\n,\nalbo\nc) obliczy sinus kąta SAE : sin\n5\n5\nα =\n,\nalbo\nd) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:\n7\n1\ny\nax\na\n-,\nalbo\ne) zapisze, że trójkąt ADC jest podobny do trójkąta SEC ,\nf) obliczy długość tylko jednego z odcinków AD lub AE:\n2 10\nAD\nAE\noraz\nzapisze tę długość w zależności od współrzędnych punktu D (lub E) lub obliczy\ntangens kąta SAE lub SAD: tg\n1\n2\nα =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym istotny postęp 2 p.\nZdający:\nA) obliczy\n2 10\nAD =\noraz zapisze układ równań (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n7\n1\n40\n10\nx\ny\nx\ny\n\n\n\nalbo\nB) obliczy\n2 10\nAD\nAE\noraz zapisze układ równań z niewiadomymi m\nCE\ni\nn\nCS\n:\n10\n10\n2 10\nn\nm =\ni\n10\n10\n2 10\nm\nn =\n• (\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2 10\n10\n2 10\nm\nn\ni\n(\n)\n2\n2\n2\n10\nn\nm\nalbo\nC) obliczy\n2 10\nAD =\n, obliczy tangens kąta SAE : tg\n1\n2\nα =\noraz obliczy\nwspółczynnik kierunkowy prostej AS (\n)\n1\n7\nAS\na\nalbo\nD) obliczy współrzędne środka\n(\n)\n,\n7\n1\n2\n2\nM =\n, długość odcinka\n5 2\nAS =\noraz zapisze\nukład równań (\n)\n(\n)\n2\n2\n7\n25\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n10\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\nalbo\nE) obliczy sinus kąta SAE :\n5\n5\nsinα =\n, tangens tego kąta: tg\n1\n2\nα =\noraz współczynnik\nkierunkowy prostej AS (\n)\n1\n7\nAS\na\nalbo\nF) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:\n7\n1\ny\nax\na\n- oraz\nrównanie z niewiadomą a:\n2\n10\n7\n1\n1\na\na\nalbo\nG) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:\n7\n1\ny\nax\na\n- oraz\nukładu równań\n2\n2\n10\nx\ny\ni\n7\n1\ny\nax\na\n- wraz z warunkiem istnienia jednego\nrozwiązania tego układu\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający:\nI obliczy współrzędne punktów styczności D i E :\n(\n)\n,\n9 13\n5 5\nD =\n,\n(\n)\n1,\n3\nE =\nalbo\nII zapisze równania prostych AC i AB:\n10\n1\n3\n3\ny\nx\n,\n9\n50\n13\n13\ny\nx\nalbo\nIII obliczy długości odcinków CE i CS:\n10\n4\n3\nm\nCE\n,\n10\n4\n3\nn\nCS\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy współrzędne wierzchołka B:\n(\n)\n,\n17 31\n5\n5\nB = -\nalbo\n• obliczy współrzędne wierzchołka C:\n(\n)\n3, 13\n3\nC = --\nUwaga\nJeżeli zdający\n• obliczy współrzędne wierzchołka B:\n(\n)\n,\n17 31\n5\n5\nB = -\noraz zapisze układ równań\nz niewiadomymi x, y - współrzędnymi wierzchołka C, np.:\ni\nalbo\n• obliczy współrzędne wierzchołka C:\n(\n)\n3, 13\n3\nC = --\noraz zapisze układ równań\nz niewiadomymi x, y - współrzędnymi wierzchołka B, np.:\n7\n9\n5\n2\nx\ni\n1\n13\n5\n2\ny\nalbo\n• obliczy współrzędne obu wierzchołków B i C, popełniając w trakcie rozwiązania\nbłędy rachunkowe\nto otrzymuje 5 punktów.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołków B i C:\n(\n)\n,\n17 31\n5\n5\nB = -\n,\n(\n)\n3, 13\n3\nC = --\nUwagi\n1. Jeżeli zdający pominie informację o ujemnych współrzędnych punktu C i tym samym\nzamieni miejscami proste AC i AB, to może otrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie,\no ile nie popełni innych błędów.\n2. Jeżeli zdający błędnie przyjmuje, że podstawą trójkąta jest inny bok niż AB, to może\notrzymać co najwyżej 5 punktów.\n3. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe, to\nmoże otrzymać 5 punktów, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozwiązania zadania\nna żadnym etapie.\n4. Jeżeli zdający zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi, którymi są\nwspółrzędne punktu B lub C, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający odczytuje z rysunku współrzędne punktu E, a następnie wyznacza\nrównanie stycznej AE i na tym poprzestaje, to może otrzymać 1 punkt.\n3\n10\n0\nx\ny\n13\n9\n0\nx\ny","solution":"$B = \\left(-\\dfrac{17}{5}, \\dfrac{31}{5}\\right)$, $C = \\left(-3, -\\dfrac{13}{3}\\right)$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające\nwarunek: suma długości dłuższej podstawy a i wysokości trapezu jest równa 2.\na) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.\nb) Wykaż, że obwód L takiego trapezu, jako funkcja długości a dłuższej podstawy trapezu,\nwyraża się wzorem ( )\n2\n4\n8\n8\na\na\nL a\na\nc) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest\nnajmniejszy.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy $a$ i wysokości trapezu jest równa 2. a) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których istnieje trapez o podanych własnościach. b) Wykaż, że obwód L takiego trapezu, jako funkcja długości a dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem L(a) = 4a^2 - 8a + 8 / a. c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe\nw figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia\nsinusów i twierdzenia cosinusów. (R7.5).\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający stosuje pochodne\ndo rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych\n(R11.6).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWyznaczmy dziedzinę funkcji L. Z warunków zadania wynika, że\n, więc\nStąd\n. Jeśli\n1\na = , to czworokąt jest kwadratem. Ponadto\n. Jeśli\n2\na =\n, to\n0\nh =\ni zamiast trapezu mamy do czynienia z odcinkiem o długości 2.\nRozważany trapez istnieje jedynie dla\n(\n)\n1,2\na∈\nZ warunków zadania otrzymujemy\n, skąd\n2\nh\na\nPonieważ w trapez można wpisać okrąg, więc\nObwód L trapezu jest więc równy\nTrapez jest równoramienny, więc odcinki AE i FB mają tę samą długość równą\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCF otrzymujemy\n,\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n4\n4\n2\n4\na\nab\nb\na\nab\nb\nh\n,\n2\nh\nab\n,\n(\n)\n2\n2\na\nab\n,\na\nh\n>\n2\na\na\n>\n1\na >\n2\na <\n2\na\nh\n2\na\nb\nc\n(\n)\n2\n2\nL\na\nb\nc\na\nb\n2\na\nb\np\n2\n2\n2\np\nh\nc\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\na\nb\na\na\nZatem\n(\n)\n2\n2\n4\n4\n2\n4\n4\n2\n2\n2\n2\na\na\na\na\nL\na\nb\nc\na\nb\na\na\na\n\n\n⋅\n\n\n\n\n,\nczyli\n( )\n2\n4\n8\n8\na\na\nL a\na\ndla\nPochodna funkcji L jest równa\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n2\n8\n8\n4\n8\n8 1\n4\n8\na\na\na\na\na\na\na\nL a\na\na\na\n⋅\n⋅\n′\ndla\nPonieważ dla każdego\nprawdziwa jest nierówność (\n)\n2\n4\n2\n0\na\na\n>\n, więc\n,\n,\nOznacza to, że w przedziale\nfunkcja L jest malejąca, w przedziale\njest\nrosnąca, a w punkcie\nosiąga minimum lokalne, które jest zarazem jej najmniejszą\nwartością.\nTangens kąta ostrego trapezu o najmniejszym obwodzie jest równy\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2 4\n4\n2\n2 2\n2\n2\ntg\n2 1\na b\na\na\na\na\na a\nh\na\nABC\np\na\na\n\n,\nwięc dla\n2\na =\nwartość tangensa jest równa\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2 2\ntg\n1\n2\n2 2\n2 1\n2\nABC\n\n,\nco oznacza, że\n45\nABC =\n°\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Ocenianie II etapu jest niezależne od wyniku\nuzyskanego za I etap.\nI. Pierwszy etap, który oceniamy na 3 punkty, składa się z trzech części:\nI.1) wyznaczenie wszystkich wartości a, dla których istnieje trapez o podanych\nwłasnościach, czyli dziedziny funkcji L:\n(\n)\n1,2\nL\nD =\n(Za wyznaczenie dziedziny uznaje się też zapisanie dwóch nierówności: 2\n0\n>\na\n,\n2\na\na\n>\n).\nI.2) zapisanie poprawnej zależności między wielkościami a i b, np.:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\na b\na b\na\nlub\n2\n4\n4\na\na\nb\na\n(\n)\n1,2\na∈\n(\n)\n1,2\na∈\n(\n)\n1,2\na∈\n( )\n(\n)\n0\n2\n0\n1,2\n2\nL a\na\na\na\n′\n⇔\n∧\n∈\n⇔\n( )\n(\n)\n(\n)\n0\n2\n0\n1,2\n2,2\nL a\na\na\na\n′\n>\n⇔\n>\n∧\n∈\n⇔\n∈\n( )\n(\n)\n(\n)\n0\n2\n0\n1,2\n1,\n2\nL a\na\na\na\n′\n<\n⇔\n<\n∧\n∈\n⇔\n∈\n(1, 2\n)\n2,2\n2\na =\nI.3) wykazanie, że obwód L trapezu, jako funkcja zmiennej a, wyraża się wzorem:\n( )\n2\n4\n8\n8\na\na\nL a\na\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nII. Drugi etap (3 punkty) składa się z trzech części:\nII.1) wyznaczenie pochodnej funkcji\n( )\n2\n4\n8\n8\na\na\nf a\na\n:\n( )\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n8\n8\n4\n8\n8 1\na\na\na\na\nf\na\na\n⋅-\n⋅\n′\nlub\n( )\n2\n2\n4\n8\na\nf\na\na\n′\nII.2) obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji f :\n2\na = -\nlub\n2\na =\nII.3) uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja L posiada wartość\nnajmniejszą dla\n2\na =\nIII. Trzeci etap (1 punkt) - obliczenie tangensa kąta ostrego trapezu o najmniejszym polu:\ntg\n1\nABC =\n\nUwagi\n1. Za poprawne uzasadnienie, że funkcja L posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej\nwartości a, przy której pochodna się zeruje można uznać sytuacje, gdy zdający:\n- opisuje, słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek), monotoniczność funkcji L;\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości a funkcja L ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość.\nJeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co najwyżej\n2 punkty.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje, że dziedziną funkcji L jest przedział (\n)\n0,+∞ lub nie wyznaczy tej\ndziedziny, to nie otrzymuje punktów za realizację części II.3.\n3. Jeżeli zdający przyjmuje, że dziedziną funkcji L jest przedział (\n)\n0,2 lub zapisze warunki:\n2\n0\n>\na\ni\n0\na >\n, to może otrzymać 1 punkt za realizację części II.3., o ile uzasadni istnienie\nnajmniejszej wartości funkcji.\n4. Jeżeli zdający przyjmuje, że dziedziną funkcji L jest przedział (\n)\n1,+∞ lub zapisze warunki:\na\nh\n>\ni\n0\nh >\n, lub zapisze warunek\n2\na\na\n>\n, to może otrzymać 1 punkt za realizację części\nII.3., o ile uzasadni istnienie najmniejszej wartości funkcji.\n5. Jeżeli zdający przyjmuje, że dziedziną funkcji L jest przedział\n)\n1,2 , to za realizację etapu\nI.1 otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający w wyniku błędów nie wyznaczy poprawnie długości dłużej podstawy\ntrapezu o najmniejszym obwodzie, ale dla wyznaczonej wartości a obliczy tangens kąta\nostrego trapezu, to może otrzymać 1 punkt za III etap.\n7. Jeżeli zdający bada inną funkcję zmiennej a niż postaci ( )\n2\n4\n8\n8\na\na\na\ng a\nk\n⋅\n, gdzie\n0\nk ≠\n,\nto nie otrzymuje punktów za II i III etap rozwiązania.\n8. Jeżeli z zapisu rozwiązania wynika, że zdający stosuje poprawny wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji i dalej popełnia błędy, ale otrzymana w rozwiązaniu pochodna ma dwa różne miejsca\nzerowe, to zdający może otrzymać w II etapie punkty za konsekwentną realizację części II.2)\ni II.3). Jeżeli z zapisu rozwiązania nie wynika, że zdający stosuje poprawny wzór na\npochodną ilorazu funkcji i zdający popełnia błędy przy obliczaniu pochodnej, ale otrzymuje\nwzór na pochodną, w którym w liczniku jest wielomian stopnia 2, a w mianowniku a2, to\nmoże w II etapie otrzymać jedynie punkt za konsekwentną realizację części II.3.","solution":"$\\text{tg}|\\sphericalangle ABC| = 1$ (co oznacza, że $|\\sphericalangle ABC| = 45^\\circ$)","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}