{"paper":{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nLiczba\n4\nlog\n6\nlog\n2\n3\n3\njest równa\nA. 4\nB. 2\nC.\n2\nlog\n2\n3\nD.\n8\nlog3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję\nlogarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 18 162 zł\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ceny pierwotnej, potem obniżonej\n\n**Oznaczamy cenę pierwotną** (przed obniżką) jako \\(C\\).\n\nWiemy, że \\(10\\%\\) tej ceny wynosi \\(2\\,018\\) zł, czyli:\n\\[10\\% \\cdot C = 2\\,018\\]\n\\[\\frac{10}{100} \\cdot C = 2\\,018\\]\n\\[0{,}1 \\cdot C = 2\\,018\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(0{,}1\\):\n\\[C = \\frac{2\\,018}{0{,}1} = 20\\,180 \\text{ zł}\\]\n\nCena **po obniżce** to cena pierwotna minus kwota obniżki:\n\\[C_{\\text{po}} = 20\\,180 - 2\\,018 = \\mathbf{18\\,162 \\text{ zł}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio przez procenty\n\nSkoro cena spadła o \\(10\\%\\), to po obniżce stanowi \\(90\\%\\) ceny pierwotnej.\n\nCena pierwotna: \\(C = 20\\,180\\) zł (jak wyżej).\n\n\\[C_{\\text{po}} = 90\\% \\cdot C = 0{,}9 \\cdot 20\\,180 = \\mathbf{18\\,162 \\text{ zł}}\\]\n\nWynik zgodny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: 20 180 zł | Uczeń policzył cenę **przed** obniżką zamiast **po** - pominął odjęcie kwoty 2 018 zł |\n| C: 2 108 zł | Uczeń dodał \\(2\\,018 + 90 = 2\\,108\\) - kompletne nieporozumienie |\n| D: 2 028 zł | Uczeń dodał \\(2\\,018 + 10 = 2\\,028\\) - pomylenie kwoty obniżki z ceną po obniżce |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na wyniku \\(20\\,180\\) zł - to cena **pierwotna**, a zadanie pyta o cenę **po obniżce**. Zawsze doczytaj, o co dokładnie pyta zadanie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie obliczaj \\(10\\%\\) z \\(2\\,018\\) - to błąd kołowy! Wartość \\(2\\,018\\) zł **jest już** tą kwotą \\(10\\%\\), nie podstawą do dalszego procentowania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Schemat działania: *kwota obniżki = \\(p\\% \\cdot C_{\\text{przed}}\\)* → wyznacz \\(C_{\\text{przed}}\\) → odejmij kwotę obniżki, by dostać \\(C_{\\text{po}}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie ceny wyjściowej\nObniżka 10% odpowiada kwocie 2 018 zł. Zatem cena przed obniżką \\(x\\) spełnia:\n\\[0{,}10\\cdot x = 2018 \\;\\Longrightarrow\\; x = 20180 \\text{ zł}.\\]\nCena po obniżce:\n\\[20180 - 2018 = 18162 \\text{ zł}.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja procentowa\n\\(10\\%\\) ceny = 2018 zł, więc \\(90\\%\\) (cena po obniżce) = \\(9\\cdot 2018 = 18162\\) zł.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 20 180 zł** - to cena przed obniżką, nie po.\n- **C. 2 108 zł** - pomylenie: traktowanie 2018 zł jako ceny wyjściowej.\n- **D. 2 028 zł** - błąd rachunkowy (2018 + 10 zamiast poprawnej operacji).\n\n**Trik:** \"Zmniejszyła się o X zł\" oznacza, że X zł to 10% ceny - szybko liczymy \\(X \\cdot 9\\) aby uzyskać 90%.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba 3\n3\n7\n81\n3\n56\n⋅\njest równa\nA.\n3\n2\nB.\n3\n3\n2 21\nC. 3\n2\nD. 9\n4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający planuje\ni wykonuje obliczenia na liczbach\nrzeczywistych; w szczególności oblicza\npierwiastki (1.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2^{\\frac{1}{6}}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi\n\nKluczowa zasada: **każdy pierwiastek to potęga o wykładniku wymiernym**.\n\nZaczynamy od środka - zamieniamy \\(\\sqrt[3]{2}\\) na potęgę:\n\\[\\sqrt[3]{2} = 2^{\\frac{1}{3}}\\]\n\nTeraz bierzemy pierwiastek kwadratowy z tego wyrażenia:\n\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt{2^{\\frac{1}{3}}} = \\left(2^{\\frac{1}{3}}\\right)^{\\frac{1}{2}}\\]\n\nKorzystamy ze wzoru \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) - mnożymy wykładniki:\n\\[\\left(2^{\\frac{1}{3}}\\right)^{\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{1}{6}}\\]\n\n**Wynik: \\(2^{\\frac{1}{6}}\\)**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednia zamiana pierwiastka wielokrotnego\n\nMożna zapisać cały wyrażenie od razu jako jeden pierwiastek.\n\n\\(\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}\\) oznacza: bierzemy pierwiastek kwadratowy z pierwiastka sześciennego z 2.\n\nOgólna zasada: \\(\\sqrt[m]{\\sqrt[n]{a}} = \\sqrt[m \\cdot n]{a}\\), bo:\n\\[\\sqrt[m]{\\sqrt[n]{a}} = \\left(a^{\\frac{1}{n}}\\right)^{\\frac{1}{m}} = a^{\\frac{1}{m \\cdot n}}\\]\n\nStosujemy ją bezpośrednio:\n\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt[2 \\cdot 3]{2} = \\sqrt[6]{2} = 2^{\\frac{1}{6}}\\]\n\n**Wynik: \\(2^{\\frac{1}{6}}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na pierwiastek jako potęgę:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}, \\quad \\text{czyli w szczególności} \\quad \\sqrt[n]{a} = a^{\\frac{1}{n}}\\]\n\nWzór na potęgę potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\nOba wzory były kluczowe w Sposobie 1 - zamieniamy pierwiastki na potęgi, a następnie mnożymy wykładniki.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(2^{\\frac{1}{5}}\\) | Dodawanie wykładników zamiast mnożenia: \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} = \\frac{5}{6}\\) albo mylne myślenie \"2 + 3 = 5, więc \\(\\frac{1}{5}\\)\" |\n| C - \\(2^{\\frac{1}{3}}\\) | Zignorowanie zewnętrznego pierwiastka kwadratowego - wzięcie tylko \\(\\sqrt[3]{2}\\) |\n| D - \\(2^{\\frac{2}{3}}\\) | Pomylenie kierunku: zamiast \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{2}\\) policzono \\(\\frac{1}{3} \\cdot 2\\) lub \\(\\frac{2}{3}\\) bez żadnego uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **dodawanie wykładników** zamiast ich mnożenia. Przy potędze potęgi MNOŻYMY: \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\). Dodajemy wykładniki tylko przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie: \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność pierwiastków ma znaczenie! \\(\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}\\) to: najpierw sześcian, potem kwadrat - czytamy od środka na zewnątrz. Wynik to \\(\\sqrt[6]{2}\\), bo \\(2 \\times 3 = 6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto sprawdzić intuicyjnie - \\(2^{\\frac{1}{6}}\\) jest bliskie 1 (bo wykładnik bardzo mały), a \\(\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}\\) to wielokrotne pierwiastkowanie 2, więc wynik rzeczywiście powinien być liczbą tylko nieznacznie większą od 1. To szybka weryfikacja sensu odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi ułamkowe\nZe wzoru \\(\\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\\) (karta wzorów, Dział 1):\n\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt{2^{1/3}} = \\left(2^{1/3}\\right)^{1/2} = 2^{\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{1}{6}}.\\]\n\n### Sposób 2 - Pierwiastek z pierwiastka\nKorzystamy ze wzoru \\(\\sqrt[m]{\\sqrt[n]{a}} = \\sqrt[mn]{a}\\):\n\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt[2\\cdot 3]{2} = \\sqrt[6]{2} = 2^{1/6}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(2^{1/5}\\)** - ktoś dodał stopnie pierwiastków (2+3=5) zamiast mnożyć.\n- **C. \\(2^{1/3}\\)** - ktoś pominął zewnętrzny pierwiastek kwadratowy.\n- **D. \\(2^{2/3}\\)** - błąd w interpretacji wykładnika (\\(\\tfrac{2}{3}\\) sugeruje potęgę, nie pierwiastek).\n\n**Trik:** Pierwiastek w pierwiastku = iloczyn stopni w mianowniku wykładnika.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nDane są liczby\n12\n3,6 10\na\n⋅\noraz\n20\n2,4 10\nb\n⋅\n. Wtedy iloraz a\nb jest równy\nA.\n32\n8,64 10-\n⋅\nB.\n8\n1,5 10-\n⋅\nC.\n8\n1,5 10\n⋅\nD.\n32\n8,64 10\n⋅","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych oraz stosuje\nprawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych i rzeczywistych (1.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(3 \\cdot 10^{-10}\\)\n\n## Sposób 1 - Dzielenie w notacji naukowej (osobno ułamek, osobno potęga)\n\nDzielimy ułamek z separacją na część liczbową i część potęgową:\n\n\\[\n\\frac{x}{y} = \\frac{4{,}5 \\cdot 10^{-8}}{1{,}5 \\cdot 10^{2}}\n\\]\n\n**Krok 1 - dzielimy części liczbowe:**\n\\[\n\\frac{4{,}5}{1{,}5} = 3\n\\]\n\n**Krok 2 - dzielimy potęgi dziesiątki** (odejmujemy wykładniki):\n\\[\n\\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2} = 10^{-10}\n\\]\n\n**Krok 3 - składamy wynik:**\n\\[\n\\frac{x}{y} = 3 \\cdot 10^{-10}\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\boxed{3 \\cdot 10^{-10}}\\)**\n\n## Sposób 2 - Zamiana na dziesiętne i weryfikacja\n\nSprawdzimy, że wynik ma sens, przeliczając przez potęgi.\n\n\\[\nx = 4{,}5 \\cdot 10^{-8} = 0{,}000\\,000\\,045\n\\]\n\\[\ny = 1{,}5 \\cdot 10^{2} = 150\n\\]\n\\[\n\\frac{x}{y} = \\frac{0{,}000\\,000\\,045}{150} = 0{,}000\\,000\\,000\\,3 = 3 \\cdot 10^{-10}\n\\]\n\nZgadza się z odpowiedzią A. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[\n\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\n\\]\nUżyliśmy tego w Kroku 2: \\(\\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2} = 10^{-10}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Odejmowanie wykładników: \\(-8 - 2 = -6\\) - **błąd znaku**, bo dodano zamiast odjąć: \\(-8 + 2 = -6\\) zamiast \\(-8 - 2 = -10\\) |\n| C | Zamiast dzielić \\(\\frac{4{,}5}{1{,}5} = 3\\), uczeń dodał: \\(\\frac{4{,}5 + 1{,}5}{2} = 3\\) albo błędnie dzielił \\(4{,}5 \\div 1{,}5\\) i wyszło \\(6{,}75\\), biorąc zamiast tego \\(4{,}5 \\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\) |\n| D | Dwa błędy naraz: zły wynik dzielenia (\\(4{,}5 \\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\) zamiast \\(\\div\\)) **oraz** zły wykładnik \\(-6\\) zamiast \\(-10\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu potęg **odejmujemy** wykładnik mianownika od wykładnika licznika: \\(\\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2}\\). Nie piszemy \\(-8 + 2 = -6\\)! Odejmujemy \\(+2\\), co daje \\(-10\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie \\(\\frac{4{,}5}{1{,}5}\\) łatwo pomylić z mnożeniem \\(4{,}5 \\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\) - odpowiedzi C i D to właśnie ta pułapka. Sprawdź: \\(1{,}5 \\cdot 3 = 4{,}5\\) ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Notacja naukowa to zawsze iloczyn - dzielimy **osobno** część liczbową i **osobno** potęgę dziesiątki. Nie mieszaj tych dwóch obliczeń!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Dzielenie potęg o tej samej podstawie\n\\[\\tfrac{x}{y} = \\tfrac{4{,}5\\cdot 10^{-8}}{1{,}5\\cdot 10^{2}} = \\tfrac{4{,}5}{1{,}5}\\cdot 10^{-8-2} = 3\\cdot 10^{-10}.\\]\nKorzystamy ze wzoru \\(\\tfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}\\).\n\n### Sposób 2 - Osobne obliczenia\nMantysa: \\(\\tfrac{4{,}5}{1{,}5} = 3\\). Wykładnik: \\(-8 - 2 = -10\\). Wynik: \\(3\\cdot 10^{-10}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(3\\cdot 10^{-6}\\)** - błąd znaku wykładnika: \\(-8 + 2 = -6\\) (dodanie zamiast odjęcia).\n- **C. \\(6{,}75\\cdot 10^{-10}\\)** - pomnożenie mantys zamiast dzielenia (\\(4{,}5\\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\)).\n- **D. \\(6{,}75\\cdot 10^{-6}\\)** - podwójny błąd: mnożenie mantys i dodawanie wykładników.\n\n**Trik:** Przy dzieleniu w notacji wykładniczej: mantysy dzielimy, wykładniki odejmujemy.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nCena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed tą obniżką rower ten kosztował\nA. 865,00 zł\nB. 850,15 zł\nC. 1000,00 zł\nD. 977,50 zł","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie\nprocentu i punktu procentowego w\nobliczeniach (1.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nLiczba \\(\\log_{4} 96 - \\log_{4} 6 = 2\\)\n\n## Sposób 1 - własność logarytmu ilorazu\n\nKorzystamy z wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\):\n\n\\[\\log_{4} 96 - \\log_{4} 6 = \\log_{4} \\frac{96}{6} = \\log_{4} 16\\]\n\nTeraz obliczamy \\(\\log_{4} 16\\). Pytamy: **do jakiej potęgi podnieść 4, żeby dostać 16?**\n\n\\[4^x = 16 \\implies 4^x = 4^2 \\implies x = 2\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\log_{4} 16 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(2\\)**\n\n## Sposób 2 - zamiana na potęgi dwójki\n\nZapiszmy wszystko w postaci potęg liczby 2:\n\\[96 = 2^5 \\cdot 3, \\quad 6 = 2 \\cdot 3, \\quad 4 = 2^2\\]\n\n\\[\\log_{4} 96 - \\log_{4} 6 = \\log_{2^2}(2^5 \\cdot 3) - \\log_{2^2}(2 \\cdot 3)\\]\n\nKorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy: \\(\\log_{a^k} b = \\frac{1}{k}\\log_a b\\):\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\log_2(2^5 \\cdot 3) - \\frac{1}{2}\\log_2(2 \\cdot 3)\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\bigl(\\log_2(2^5 \\cdot 3) - \\log_2(2 \\cdot 3)\\bigr)\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2} \\cdot \\log_2 \\frac{2^5 \\cdot 3}{2 \\cdot 3} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_2 \\frac{2^5}{2}\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2} \\cdot \\log_2 2^4 = \\frac{1}{2} \\cdot 4 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(2\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność różnicy logarytmów:\n\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, by zamienić \\(\\log_4 96 - \\log_4 6\\) na \\(\\log_4 \\frac{96}{6}\\).\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia \\(\\log_4 16 = 2\\), bo \\(4^2 = 16\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Odjęto argumenty zamiast podzielić: \\(\\log_4 96 - \\log_4 6 \\neq \\log_4(96 - 6) = \\log_4 90\\). To klasyczna pomyłka - przy odejmowaniu logarytmów **dzielimy** argumenty, nie odejmujemy! |\n| B | Pomylono podstawę logarytmu - wynik to liczba 2, ale ktoś mógł wziąć \\(\\log_6 96\\) myśląc o stosunku liczb |\n| C | Błąd o 2 w górę - np. policzono \\(\\log_4 96 - \\log_4 6 = \\log_4(96 \\cdot 6)\\) (dodawanie zamiast odejmowania) i wyszło \\(\\log_4 576 = \\log_4 4^4 \\approx \\ldots\\) - albo po prostu zgadywano |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**, NIE różnicy: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\). Odruch \"odejmuję liczby pod logiem\" to najczęstszy błąd na maturze!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Żeby skorzystać ze wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y\\), obie podstawy muszą być **takie same**. Tu obie to \\(4\\) - wszystko gra. Gdyby podstawy były różne, trzeba by najpierw zmienić podstawę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\log_4 16\\) warto sprawdzić: \\(4^1 = 4\\), \\(4^2 = 16\\), \\(4^3 = 64\\). Nie trzeba żadnych wzorów - to szybki rachunek pamięciowy.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Różnica logarytmów\nZe wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\tfrac{x}{y}\\) (karta wzorów, Dział 1):\n\\[\\log_4 96 - \\log_4 6 = \\log_4 \\tfrac{96}{6} = \\log_4 16 = \\log_4 4^2 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie logarytmu\n\\(\\log_4 96 = \\log_4(16\\cdot 6) = \\log_4 16 + \\log_4 6 = 2 + \\log_4 6\\). Wtedy:\n\\[\\log_4 96 - \\log_4 6 = 2 + \\log_4 6 - \\log_4 6 = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\log_4 90\\)** - ktoś odjął liczby \\(96 - 6 = 90\\) zamiast użyć własności logarytmu.\n- **B. \\(\\log_6 96\\)** - pomylenie zasad: podstawy nie zmieniamy przy odejmowaniu.\n- **C. 4** - ktoś obliczył \\(\\log_4 4^4\\) = 4 (błąd rachunkowy na \\(\\log_4 16\\)).\n\n**Trik:** Różnica logarytmów o tej samej podstawie = logarytm ilorazu.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2\n1\n2\n3\nx\n>\njest przedział\nA.\n1\n, 6\n\n\n-∞\n\n\n\n\nB.\n2\n, 3\n\n\n-∞\n\n\n\n\nC.\n1 ,\n6\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\nD.\n2 ,\n3\n\n\n+∞\n\n\n\n","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający dodaje,\nodejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne\n(2.f).\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się\npojęciem osi liczbowej i przedziału\nliczbowego; zaznacza przedziały na osi\nliczbowej (1.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(a = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie lewej strony i porównanie\n\nRozwijamy lewą stronę korzystając ze wzoru \\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\):\n\n\\[(a + 2\\sqrt{3})^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2\\]\n\n\\[= a^2 + 4a\\sqrt{3} + 4 \\cdot 3\\]\n\n\\[= a^2 + 12 + 4a\\sqrt{3}\\]\n\nPrawa strona to \\(13 + 4\\sqrt{3}\\). Przyrównujemy obie strony:\n\n\\[a^2 + 12 + 4a\\sqrt{3} = 13 + 4\\sqrt{3}\\]\n\n**Porównujemy wyrazy \"racjonalne\" i \"przy \\(\\sqrt{3}\\)\" osobno** (lewa i prawa strona muszą zgadzać się w obu składnikach):\n\n**Wyraz przy \\(\\sqrt{3}\\):**\n\\[4a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\implies a = 1\\]\n\n**Wyraz wolny (sprawdzenie):**\n\\[a^2 + 12 = 13 \\implies a^2 = 1 \\implies a = \\pm 1\\]\n\nOba warunki spełnia \\(\\boxed{a = 1}\\) (dla \\(a = -1\\) wyraz przy \\(\\sqrt{3}\\) daje \\(-4\\sqrt{3} \\neq 4\\sqrt{3}\\)).\n\n## Sposób 2 - Podstawienie i weryfikacja\n\nPodstawiamy każdą odpowiedź i sprawdzamy, czy równość zachodzi.\n\n**Sprawdzamy \\(a = 1\\):**\n\\[(1 + 2\\sqrt{3})^2 = 1 + 4\\sqrt{3} + 12 = 13 + 4\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\nLewa strona równa prawej - odpowiedź B jest poprawna.\n\nDla pewności sprawdzamy \\(a = 0\\) (odpowiedź C):\n\\[(0 + 2\\sqrt{3})^2 = 12 \\neq 13 + 4\\sqrt{3}\\]\n\nNierówne - eliminujemy.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((a + 2\\sqrt{3})^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń \"widzi\" \\(13\\) pod pierwiastkiem i pisze \\(a = \\sqrt{13}\\), nie rozwijając kwadratu |\n| C | Uczeń ignoruje wyraz wolny i sprawdza tylko, czy \\((2\\sqrt{3})^2 = 12\\), \"blisko 13\" - błąd szacowania |\n| D | Uczeń sumuje \\(\\sqrt{13} + 1\\) myśląc, że da to efekt sumy pod kwadratem - błędna intuicja |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((a + 2\\sqrt{3})^2\\) pamiętaj, że \\((2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), a **nie** \\(2 \\cdot 3 = 6\\). Potęgowanie dotyczy całego wyrażenia \\(2\\sqrt{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Porównując wyrazy po obu stronach, traktuj część \"bez \\(\\sqrt{3}\\)\" i część \"z \\(\\sqrt{3}\\)\" jako niezależne - to tak jak porównywanie części rzeczywistej i urojonej. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź \\(a = -1\\) spełnia warunek na wyraz wolny (\\((-1)^2 + 12 = 13\\)), ale już **nie** spełnia warunku na wyraz przy \\(\\sqrt{3}\\) - to klasyczna pułapka, gdy sprawdzamy tylko jeden warunek.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\nZe wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) (karta wzorów, Dział 1):\n\\[(a + 2\\sqrt{3})^2 = a^2 + 2\\cdot a\\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2 = a^2 + 4a\\sqrt{3} + 12.\\]\nPorównując z \\(13 + 4\\sqrt{3}\\):\n- część wymierna: \\(a^2 + 12 = 13 \\Rightarrow a^2 = 1\\)\n- część niewymierna: \\(4a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\Rightarrow a = 1\\).\nOba warunki spełnia \\(a = 1\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(a = 1\\): \\((1 + 2\\sqrt{3})^2 = 1 + 4\\sqrt{3} + 12 = 13 + 4\\sqrt{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a = \\sqrt{13}\\)** - ktoś wziął pierwiastek z części wymiernej 13, zapominając o 12 z \\((2\\sqrt{3})^2\\).\n- **C. \\(a = 0\\)** - daje \\((2\\sqrt{3})^2 = 12 \\neq 13 + 4\\sqrt{3}\\).\n- **D. \\(a = \\sqrt{13} + 1\\)** - daje kwadrat z członem \\(2\\sqrt{13}\\), który nie pasuje.\n\n**Trik:** Porównujemy osobno części wymierne i niewymierne.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nFunkcja kwadratowa określona jest wzorem\n. Liczby\n1x ,\n2\nx są\nróżnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem\nA.\n8\n2\n1\n+ x\nx\nB.\n2\n2\n1\n+ x\nx\nC.\n2\n2\n1\n+ x\nx\nD.\n8\n2\n1\n+ x\nx\n( )\n(\n)(\n)\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n4. Funkcje. Zdający wyznacza miejsca zerowe\nfunkcji kwadratowej (4.j).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\begin{cases} y = 2x - 4 \\\\ y = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2} \\end{cases}\\]\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: punkt przecięcia + nachylenie prostych\n\n**Krok 1: Znajdź punkt przecięcia prostych z wykresu.**\n\nZ rysunku odczytujemy, że obie proste przecinają się w punkcie \\((3, 2)\\).\n\nSprawdzamy, które układy mają rozwiązanie \\(x = 3, y = 2\\):\n\n**Układ A:**\n\\[y = -2 \\cdot 3 + 8 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = -\\tfrac{3}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{13}{2} = -\\tfrac{9}{2}+\\tfrac{13}{2} = 2 \\checkmark\\]\n\n**Układ B:**\n\\[y = 2 \\cdot 3 - 4 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{7}{2} = -\\tfrac{3}{2}+\\tfrac{7}{2} = 2 \\checkmark\\]\n\n**Układ C:**\n\\[y = 3 - 1 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = \\tfrac{1}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{1}{2} = 2 \\checkmark\\]\n\n**Układ D:**\n\\[y = 3 \\cdot 3 - 7 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = -\\tfrac{2}{3}\\cdot 3 + 4 = 2 \\checkmark\\]\n\n**Wniosek:** Wszystkie cztery układy mają ten sam punkt przecięcia \\((3, 2)\\). Punkt przecięcia nie rozstrzyga - musimy przeanalizować nachylenie i położenie prostych.\n\n**Krok 2: Odczytaj znaki współczynników kierunkowych (nachylenie prostych).**\n\nZ wykresu widać, że:\n- **jedna prosta biegnie w górę** (z lewej dolnej do prawej górnej) → dodatni współczynnik kierunkowy\n- **druga prosta biegnie w dół** (z lewej górnej do prawej dolnej) → ujemny współczynnik kierunkowy\n\nEliminujemy układy, w których **obie** proste mają ten sam znak nachylenia:\n\n| Układ | Współczynniki kierunkowe | Ocena |\n| A | \\(-2\\) i \\(-\\tfrac{3}{2}\\) | Obie proste opadają - **niezgodne z wykresem** ❌ |\n| B | \\(2\\) i \\(-\\tfrac{1}{2}\\) | Jedna rośnie, druga opada ✓ |\n| C | \\(1\\) i \\(\\tfrac{1}{2}\\) | Obie proste rosną - **niezgodne z wykresem** ❌ |\n| D | \\(3\\) i \\(-\\tfrac{2}{3}\\) | Jedna rośnie, druga opada ✓ |\n\n**Pozostały układy B i D.**\n\n**Krok 3: Porównaj kąt między prostymi (prostopadłość).**\n\nSprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych:\n\n**Układ B:**\n\\[2 \\cdot \\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = -1\\]\nIloczyn równy \\(-1\\) oznacza, że proste są **prostopadłe** - kąt między nimi wynosi \\(90°\\).\n\n**Układ D:**\n\\[3 \\cdot \\left(-\\tfrac{2}{3}\\right) = -2 \\neq -1\\]\nProste **nie są prostopadłe**.\n\nZ wykresu widać, że proste przecinają się pod kątem prostym (lub bardzo bliskim \\(90°\\)).\n\n**Zatem poprawna odpowiedź to B.**\n\n## Sposób 2 - Odczyt miejsc przecięcia z osiami\n\nSkoro wiemy, że mamy sprawdzić tylko układy B i D, odczytujemy z wykresu, gdzie proste przecinają oś \\(OX\\) i \\(OY\\).\n\n**Układ B:**\n- Prosta \\(y = 2x - 4\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = 2\\) (bo \\(2x - 4 = 0 \\Rightarrow x = 2\\)), przecina \\(OY\\) w \\(y = -4\\)\n- Prosta \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2}\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = 7\\), przecina \\(OY\\) w \\(y = 3{,}5\\)\n\n**Układ D:**\n- Prosta \\(y = 3x - 7\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = \\tfrac{7}{3} \\approx 2{,}33\\), przecina \\(OY\\) w \\(y = -7\\)\n- Prosta \\(y = -\\tfrac{2}{3}x + 4\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = 6\\), przecina \\(OY\\) w \\(y = 4\\)\n\nZ wykresu odczytujemy:\n- Prosta rosnąca przecina \\(OY\\) gdzieś około \\(y = -4\\) (a nie \\(y = -7\\))\n- Prosta rosnąca przecina \\(OX\\) w \\(x = 2\\) (a nie w \\(x \\approx 2{,}33\\))\n\nOba odczyty wskazują na **układ B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia prostej do osi \\(OX\\)).\n\nKryterium prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy go w Kroku 3 do rozróżnienia układów B i D.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń sprawdza tylko punkt przecięcia \\((3,2)\\) - układ A go spełnia, ale **obie proste mają ujemne nachylenie**, co jest niezgodne z wykresem |\n| C | Podobnie - punkt \\((3,2)\\) się zgadza, ale **obie proste rosną** (nachylenie dodatnie), wykres pokazuje proste o różnych znakach nachylenia |\n| D | Najtrudniejszy błąd: proste mają właściwe znaki nachylenia, ale uczeń nie sprawdza dokładniej ani kąta, ani przecięć z osiami |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo sprawdzenie punktu przecięcia nie wystarczy - w tym zadaniu **wszystkie cztery układy** mają rozwiązanie \\(x=3, y=2\\). Musisz przeanalizować kształt wykresu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczytywaniu nachylenia prostej z wykresu zwracaj uwagę na **znaki** (rośnie/maleje) i przybliżoną **stromość** - prosta o współczynniku \\(a = 2\\) jest wyraźnie mniej stroma niż \\(a = 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość prostych (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)) to bardzo przydatny test - jeśli na wykresie proste wyraźnie przecinają się pod kątem prostym, szukaj układu spełniającego ten warunek.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt współczynników z wykresu\nNa wykresie jedna prosta rosnąca (stromo) przechodzi przez \\((2,0)\\) i \\((3,2)\\) - to daje \\(a = 2\\) i punkt przecięcia osi \\(Oy\\) w \\(-4\\). Czyli: \\(y = 2x - 4\\). Druga prosta maleje i przecina oś \\(Oy\\) w \\(\\tfrac{7}{2}\\), ma współczynnik \\(-\\tfrac{1}{2}\\). Odpowiedź: B.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktu przecięcia\nZ wykresu widzimy, że proste przecinają się w okolicy punktu \\((3, 2)\\). Sprawdzamy B: \\(y = 2\\cdot 3 - 4 = 2\\) ✓, \\(y = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{7}{2} = -\\tfrac{3}{2}+\\tfrac{7}{2} = 2\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Obie proste malejące, ale na wykresie jedna rosnąca.\n- **C.** Obie proste rosnące, niezgodne z wykresem.\n- **D.** Sprawdzenie: proste przecinają się w punkcie \\((3, 2)\\): \\(3\\cdot 3 - 7 = 2\\) ✓, \\(-\\tfrac{2}{3}\\cdot 3 + 4 = 2\\) ✓ - punkt pasuje, ale współczynnik kierunkowy \\(3\\) jest zbyt stromy wobec obrazu.\n\n**Trik:** Identyfikuj po znaku współczynnika kierunkowego (monotoniczność) i punkcie przecięcia z osią Oy.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nRównanie\n0\n4\n2\n2\n2\nx\nx\nx\nA. ma trzy rozwiązania:\n2\nx\n,\n0\nx\n,\n2\nx\nB. ma dwa rozwiązania:\n0\nx\n,\n2\nx\nC. ma dwa rozwiązania:\n2\nx\n,\n2\nx\nD. ma jedno rozwiązanie:\n0\nx","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych (3.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (cyfra 6)\n\n## Sposób 1 - dzielenie pisemne i wyznaczenie okresu\n\n**Wykonujemy dzielenie 224 ÷ 1111:**\n\n\\[224{,}0000 \\div 1111\\]\n\nKolejne kroki:\n\n\\[2240 \\div 1111 = 2, \\quad \\text{reszta } 2240 - 2222 = 18\\]\n\\[180 \\div 1111 = 0, \\quad \\text{reszta } 180\\]\n\\[1800 \\div 1111 = 1, \\quad \\text{reszta } 1800 - 1111 = 689\\]\n\\[6890 \\div 1111 = 6, \\quad \\text{reszta } 6890 - 6666 = 224\\]\n\n**Reszta 224 = licznik wyjściowy → cykl się powtarza!**\n\nZatem:\n\\[\\frac{224}{1111} = 0{,}\\overline{2016} = 0{,}2016\\ 2016\\ 2016\\ \\ldots\\]\n\nOkres wynosi **4** i powtarza się blok cyfr: \\(2, 0, 1, 6\\).\n\n**Wyznaczamy 20. cyfrę:**\n\\[20 \\div 4 = 5, \\quad \\text{reszta } 0\\]\n\nReszta \\(0\\) oznacza, że 20. cyfra to **ostatnia cyfra bloku** (pozycja 4 w cyklu).\n\nBlok: \\(\\underbrace{2}_{1}, \\underbrace{0}_{2}, \\underbrace{1}_{3}, \\underbrace{6}_{4}\\)\n\n**Dwudziesta cyfra po przecinku to \\(6\\).**\n\n## Sposób 2 - zamiana na ułamek o mianowniku złożonym z dziewiątek\n\nKażdy ułamek o mianowniku złożonym z samych dziewiątek daje rozwinięcie dziesiętne powtarzające blok z licznika:\n\\[\\frac{\\overline{abcd}}{9999} = 0{,}\\overline{abcd}\\]\n\nSprowadzamy \\(\\dfrac{224}{1111}\\) do takiej postaci. Zauważamy, że:\n\\[1111 \\times 9 = 9999\\]\n\nZatem mnożymy licznik i mianownik przez 9:\n\\[\\frac{224}{1111} = \\frac{224 \\times 9}{1111 \\times 9} = \\frac{2016}{9999}\\]\n\nSkoro mianownik to 9999 (cztery dziewiątki), to:\n\\[\\frac{2016}{9999} = 0{,}\\overline{2016}\\]\n\nOkres ma długość 4, blok to \\(2016\\).\n\nPozycja 20: \\(20 = 4 \\cdot 5\\), więc wypada na końcu 5. pełnego cyklu → **ostatnia cyfra bloku = 6.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wykonania dzielenia pisemnego i rozpoznanie, że \\(\\dfrac{p}{q}\\) z mianownikiem złożonym z jedynek/dziewiątek daje ułamek okresowy z przewidywalnym blokiem.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (2) | Uczeń bierze 1. cyfrę okresu zamiast właściwej pozycji - \\(20 \\mod 4 = 0\\) (nie 1!) |\n| B (0) | Uczeń liczy \\(20 \\mod 4 = 0\\) i błędnie interpretuje resztę 0 jako pozycję 2. (cyfrę 0) |\n| C (1) | Uczeń myli resztę 0 z pozycją 3. w bloku lub błędnie liczy \\(20 \\div 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(20 \\div 4\\) daje resztę \\(0\\), to NIE bierzemy cyfry na pozycji 0 - to znaczy, że 20. cyfra **wyczerpuje dokładnie** cały blok, więc bierzemy **ostatnią** cyfrę okresu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przelicz \\(224 \\times 9 = 2016\\) dokładnie - łatwo tu o błąd arytmetyczny, który sprawi, że cały blok będzie zły.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Długość okresu musi być sprawdzona dzieleniem lub przez mianownik - tu 1111 (cztery jedynki) daje okres długości 4, bo \\(1111 \\times 9 = 9999\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Okres dzielenia\nWykonujemy dzielenie \\(224 : 1111\\):\n\\[\\tfrac{224}{1111} = 0{,}2016\\, 2016\\, 2016\\ldots = 0{,}(2016).\\]\nOkres ma długość 4: cyfry **2, 0, 1, 6**.\nCyfra 20-ta po przecinku: \\(20 = 4 \\cdot 5\\), więc to ostatnia cyfra 5. okresu, czyli cyfra **6**.\n\n### Sposób 2 - Numerowanie cyfr\nCyfry: 1-a=2, 2-a=0, 3-a=1, 4-a=6, 5-a=2, 6-a=0, 7-a=1, 8-a=6,\nOgólnie cyfra \\(n\\)-ta zależy od \\(n \\bmod 4\\):\n- \\(n \\equiv 1\\): 2\n- \\(n \\equiv 2\\): 0\n- \\(n \\equiv 3\\): 1\n- \\(n \\equiv 0\\): 6\n\n\\(20 \\bmod 4 = 0\\), więc cyfra 20-ta to **6**.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 2** - to byłaby cyfra na pozycji \\(1, 5, 9, 13, 17, 21\\).\n- **B. 0** - pozycje \\(2, 6, 10, 14, 18, 22\\).\n- **C. 1** - pozycje \\(3, 7, 11, 15, 19, 23\\).\n\n**Trik:** Rozwiniecie \\(\\tfrac{k}{1111}\\) zawsze ma okres długości 4 (bo \\(1111 \\cdot 9 = 9999 = 10^{4} - 1\\)).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nFunkcja liniowa\nf określona jest wzorem\n1\n3\n1\n)\n(\nx\nx\nf\n, dla wszystkich liczb\nrzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.\nA. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n\n\n\n\n\n\n3\n1\n,0\nP\nB. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n(\n)1\n,0 -\nP\nC. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n\n\n\n\n\n\n3\n1\n,0\nP\nD. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n(\n)1\n,0 -\nP","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający sporządza wykresy\nfunkcji liniowych (4.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - punkt wspólny ma współrzędne \\((0, 1)\\)\n\n## Sposób 1 - algebraiczne wyznaczenie punktu wspólnego\n\nPunkt wspólny wykresów \\(f\\) i \\(g\\) spełnia równanie \\(f(x) = g(x)\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz wzór funkcji \\(g\\).**\n\n\\[g(x) = f(-x) = 3^{-x}\\]\n\n**Krok 2: Przyrównaj funkcje.**\n\n\\[f(x) = g(x)\\]\n\\[3^x = 3^{-x}\\]\n\n**Krok 3: Rozwiąż równanie wykładnicze.**\n\nPodstawy są jednakowe (\\(3\\)), więc wykładniki muszą być równe:\n\\[x = -x\\]\n\\[2x = 0\\]\n\\[x = 0\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz współrzędną \\(y\\).**\n\n\\[y = f(0) = 3^0 = 1\\]\n\n**Punkt wspólny to \\((0, 1)\\).**\n\n## Sposób 2 - rozumowanie z definicji funkcji symetrycznej\n\nFunkcja \\(g(x) = f(-x)\\) to **odbicie wykresu \\(f\\) symetrycznie względem osi \\(OY\\)**.\n\nJeśli wykres funkcji \\(f\\) przecina się z jej lustrzanym odbiciem, to punkt wspólny musi leżeć **dokładnie na osi symetrii** - czyli na osi \\(OY\\), gdzie \\(x = 0\\).\n\nSprawdzamy wartość obu funkcji dla \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = 3^0 = 1\\]\n\\[g(0) = 3^{-0} = 3^0 = 1\\]\n\nObie funkcje przechodzą przez punkt \\((0, 1)\\). **Punkt wspólny to \\((0, 1)\\)** - co potwierdza odpowiedź C.\n\n> Wniosek ogólny: **każda funkcja wykładnicza \\(a^x\\)** (dla \\(a > 0\\)), niezależnie od podstawy, przecina swoje lustrzane odbicie \\(a^{-x}\\) zawsze w punkcie \\((0, 1)\\), bo \\(a^0 = 1\\) dla każdego \\(a > 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność:\n\\[a^0 = 1\\]\nUżyliśmy tego, obliczając \\(3^0 = 1\\) - czyli współrzędną \\(y\\) punktu wspólnego.\n\n**Dział 3 (Logarytmy / funkcje wykładnicze, s. 5-6)** - zasada:\n\\[a^x = a^y \\iff x = y \\quad (\\text{dla } a > 0,\\ a \\neq 1)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, by z równania \\(3^x = 3^{-x}\\) wyciągnąć \\(x = -x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń może myśleć, że funkcje wykładnicza i jej odbicie nigdy się nie przecinają. Tymczasem przecinają się zawsze - w punkcie \\((0,1)\\). |\n| B | Współrzędne \\((1, 0)\\) to błąd - funkcja \\(3^x\\) nigdy nie przyjmuje wartości \\(0\\) (wykładnicza zawsze \\(> 0\\)), więc żaden punkt wykresu nie leży na osi \\(OX\\). |\n| D | Punkt \\((0, 0)\\) oznaczałby \\(3^0 = 0\\), co jest fałszywe (\\(3^0 = 1\\)). Być może uczeń myli z funkcją liniową przechodzącą przez początek układu. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(x) = f(-x)\\) to **nie** to samo co \\(g(x) = -f(x)\\)! Zapis \\(f(-x)\\) oznacza podstawienie \\(-x\\) w miejsce \\(x\\) (symetria względem \\(OY\\)), a nie zmianę znaku wartości funkcji (symetria względem \\(OX\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja wykładnicza \\(a^x\\) (dla \\(a > 0\\)) **nigdy nie osiąga wartości \\(0\\) ani ujemnych** - jej dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste, ale zbiór wartości to \\((0, +\\infty)\\). Punkt przecięcia z osią \\(OX\\) nie istnieje!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a^0 = 1\\) dla każdej dopuszczalnej podstawy \\(a > 0,\\ a \\neq 1\\). To sprawia, że wszystkie funkcje postaci \\(a^x\\) przecinają oś \\(OY\\) w tym samym punkcie \\((0, 1)\\) - niezależnie od \\(a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie równania \\(f(x) = g(x)\\)\n\\(g(x) = f(-x) = 3^{-x}\\). Szukamy \\(x\\) takiego, że \\(3^x = 3^{-x}\\):\n\\[x = -x \\;\\Longrightarrow\\; 2x = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x = 0.\\]\nWartość: \\(f(0) = 3^0 = 1\\). Punkt wspólny: \\((0, 1)\\).\n\n### Sposób 2 - Symetria wykresów\nWykresy \\(y = 3^x\\) i \\(y = 3^{-x} = \\left(\\tfrac{1}{3}\\right)^x\\) są symetryczne względem osi \\(Oy\\). Przecinają się dokładnie na osi \\(Oy\\), w punkcie \\((0, 1)\\) - bo każda funkcja wykładnicza \\(a^x\\) z \\(a>0\\) przechodzi przez \\((0,1)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Wykresy przecinają się (na osi Oy), więc punkt wspólny istnieje.\n- **B. \\((1,0)\\)** - \\(3^1 = 3 \\neq 0\\). Funkcja wykładnicza nie przyjmuje zera.\n- **D. \\((0,0)\\)** - \\(3^0 = 1 \\neq 0\\).\n\n**Trik:** Każda funkcja wykładnicza \\(a^x\\) (z \\(a>0,\\ a\\neq 1\\)) przechodzi przez \\((0, 1)\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nWykresem funkcji kwadratowej\n( )\n2\n6\n3\nf\nx\nx\nx\njest parabola, której wierzchołkiem jest\npunkt o współrzędnych\nA. (\n)\n6,\n3\nB. (\n)\n6, 69\nC. (\n)\n3,\n12\nD. (\n)\n6,\n3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający sporządza wykresy\nfunkcji kwadratowych (4.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(b = -\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie punktu do równania prostej\n\nPunkt \\((1, \\sqrt{3})\\) leży na wykresie funkcji, więc jego współrzędne **spełniają równanie** \\(y = 2\\sqrt{3}\\,x + b\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 1\\) i \\(y = \\sqrt{3}\\):\n\n\\[\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} \\cdot 1 + b\\]\n\n\\[\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} + b\\]\n\nPrzenosimy \\(2\\sqrt{3}\\) na lewą stronę:\n\n\\[b = \\sqrt{3} - 2\\sqrt{3}\\]\n\n\\[\\boxed{b = -\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie do gotowego wzoru)\n\nSprawdzamy, czy przy \\(b = -\\sqrt{3}\\) punkt \\((1, \\sqrt{3})\\) rzeczywiście leży na prostej \\(y = 2\\sqrt{3}\\,x - \\sqrt{3}\\).\n\nDla \\(x = 1\\):\n\n\\[y = 2\\sqrt{3} \\cdot 1 - \\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} - \\sqrt{3} = \\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się z podaną współrzędną - **potwierdzamy, że \\(b = -\\sqrt{3}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja równania kierunkowego prostej \\(y = ax + b\\) i podstawowe działania na liczbach.\n\nPomocniczo można sięgnąć do:\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\nJeśli punkt \\((x_0, y_0)\\) leży na prostej, to \\(y_0 = ax_0 + b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(b = 7\\)) | Dodanie \\(2\\sqrt{3} + \\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}\\) zamiast odejmowania, a potem błędne policzenie \\(3\\sqrt{3} \\approx 5.2\\) i zaokrąglenie do 7 - podwójny błąd |\n| B (\\(b = 3\\sqrt{3}\\)) | Dodanie zamiast odejmowania: \\(b = \\sqrt{3} + 2\\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}\\) - pomylenie znaku przy przenoszeniu |\n| C (\\(b = -5\\)) | Błędne policzenie \\(\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} \\approx 1.73 - 3.46 \\approx -1.73\\) i zamiana na \"okrągłe\" \\(-5\\) - niedbałe przybliżenie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie znaku przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę. Zamiast \\(b = \\sqrt{3} - 2\\sqrt{3}\\) uczniowie piszą \\(b = \\sqrt{3} + 2\\sqrt{3}\\) - i wychodzi odpowiedź B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} = (1-2)\\sqrt{3} = -1 \\cdot \\sqrt{3} = -\\sqrt{3}\\). Warto wyciągać \\(\\sqrt{3}\\) przed nawias - unikasz błędów na surowych ułamkach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zamieniaj \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}73\\) na wartość dziesiętną przed końcem - obliczenia na surowych wyrażeniach z \\(\\sqrt{3}\\) są dokładniejsze i szybsze.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie współrzędnych\nSkoro punkt \\((1, \\sqrt{3})\\) leży na wykresie \\(y = 2\\sqrt{3}\\,x + b\\):\n\\[\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}\\cdot 1 + b \\;\\Longrightarrow\\; b = \\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} = -\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Różnica\nWspółczynnik przy \\(x\\) równa się \\(2\\sqrt{3}\\), dla \\(x=1\\) iloczyn = \\(2\\sqrt{3}\\). Aby \\(y = \\sqrt{3}\\), od \\(2\\sqrt{3}\\) odejmujemy \\(\\sqrt{3}\\), co daje \\(b = -\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 7** - nie spełnia równania: \\(2\\sqrt{3} + 7 \\neq \\sqrt{3}\\).\n- **B. \\(3\\sqrt{3}\\)** - daje \\(2\\sqrt{3} + 3\\sqrt{3} = 5\\sqrt{3} \\neq \\sqrt{3}\\).\n- **C. \\(-5\\)** - daje \\(2\\sqrt{3} - 5 \\neq \\sqrt{3}\\) (niewspółmierne).\n\n**Trik:** Zawsze podstaw współrzędne punktu i rozwiąż względem nieznanej.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nLiczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej\n( )\nf\nx\nax\nb\n, a punkt\n(\n)\n3,\n2\nM =\nnależy\ndo wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy\nA. 1\nB.\n3\n2\nC.\n2\n3\nD.\n1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nliniowej (4.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((1, -12)\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na wierzchołek paraboli\n\nMamy funkcję \\(f(x) = x^2 - 2x - 11\\), czyli \\(a = 1\\), \\(b = -2\\), \\(c = -11\\).\n\n**Wyznaczamy współrzędną \\(p\\) (odcięta wierzchołka):**\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-2}{2 \\cdot 1} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Wyznaczamy współrzędną \\(q\\) (rzędna wierzchołka):**\n\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nNajpierw liczymy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-11) = 4 + 44 = 48\\]\n\nZatem:\n\n\\[q = -\\frac{48}{4 \\cdot 1} = -\\frac{48}{4} = -12\\]\n\n**Wierzchołek paraboli to \\(W = (1, -12)\\).**\n\n## Sposób 2 - przekształcenie do postaci kanonicznej\n\nDoprowadzamy \\(f(x) = x^2 - 2x - 11\\) do postaci \\(a(x-p)^2 + q\\) przez uzupełnienie do pełnego kwadratu.\n\nWydzielamy kwadrat z pierwszych dwóch wyrazów:\n\n\\[f(x) = (x^2 - 2x) - 11\\]\n\nUzupełniamy do pełnego kwadratu - do wyrażenia w nawiasie brakuje wyrazu \\(+1\\), więc dodajemy i odejmujemy \\(1\\):\n\n\\[f(x) = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 11\\]\n\n\\[f(x) = (x - 1)^2 - 12\\]\n\nTo jest postać kanoniczna \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie:\n- \\(p = 1\\) - odcięta wierzchołka\n- \\(q = -12\\) - rzędna wierzchołka\n\n**Wierzchołek: \\(W = (1, -12)\\). ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 bezpośrednio do wyznaczenia współrzędnych wierzchołka.\n\n**Dział 7 (s. 8)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 przy uzupełnianiu do pełnego kwadratu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wzięto \\(p = -\\frac{b}{a} = -(-2) = 2\\), a potem pomylono znak - zapisano \\(-2\\) zamiast \\(2\\). Lub wzięto \\(p = b = -2\\) wprost bez wzoru. |\n| B | Odcięta \\(-2\\) - jak wyżej (błędna). Rzędna \\(-12\\) - ta część jest poprawna, ale przy błędnej odciętej. |\n| C | Odcięta \\(1\\) - poprawna! Rzędna obliczona błędnie: prawdopodobnie policzono \\(f(1) = 1 - 2 - 11 = -12\\) i zapisano \\(-8\\) przez arytmetyczny błąd (np. \\(1 - 2 - 11 = -8\\) - pominięto \\(c = -11\\) i dodano tylko \\(-8\\)). Lub wyliczono \\(q = c = -11\\) i pomylono z \\(-8\\). |\n| D | **Poprawna.** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na \\(p\\) to \\(-\\frac{b}{2a}\\) - pamiętaj o minusie przed ułamkiem! Przy \\(b = -2\\) łatwo zgubić podwójny minus: \\(-\\frac{-2}{2} = +1\\), nie \\(-1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzędna wierzchołka \\(q \\neq f(0)\\) i \\(q \\neq c\\)! Żeby policzyć \\(q\\), podstaw \\(x = p\\) do wzoru funkcji: \\(f(1) = 1 - 2 - 11 = -12\\). To szybka alternatywa dla wzoru \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\) i dobra weryfikacja.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy uzupełnianiu do pełnego kwadratu (Sposób 2) - jeśli dodajesz \\(+1\\) w nawiasie, musisz też odjąć \\(-1\\) na zewnątrz, żeby nie zmienić wartości funkcji. Ten krok jest najczęstszym źródłem błędów rachunkowych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na wierzchołek\nDla \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) wierzchołek \\(W = (p, q)\\), gdzie \\(p = -\\tfrac{b}{2a}\\), \\(q = f(p)\\) (karta wzorów, Dział 4). Tu \\(a=1,\\ b=-2,\\ c=-11\\):\n\\[p = -\\tfrac{-2}{2\\cdot 1} = 1.\\]\n\\[q = f(1) = 1 - 2 - 11 = -12.\\]\nWierzchołek: \\((1, -12)\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[f(x) = x^2 - 2x - 11 = (x-1)^2 - 1 - 11 = (x-1)^2 - 12.\\]\nStąd wierzchołek w \\((1, -12)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-2, -3)\\)** - pomylenie znaków w \\(p = -\\tfrac{b}{2a}\\).\n- **B. \\((-2, -12)\\)** - zły znak \\(p\\), dobra wartość \\(q\\).\n- **C. \\((1, -8)\\)** - dobry \\(p\\), ale błąd rachunkowy przy \\(q\\).\n\n**Trik:** Zawsze sprawdź: dobry \\(p\\) daje minimum \\(q = f(p)\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nDany jest ciąg (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n5\n2\n6\nn\nn\na\ndla\n1\n≥\nn\n. Ciąg ten jest\nA. arytmetyczny i jego różnica jest równa\n1\n3\nr = -\nB. arytmetyczny i jego różnica jest równa\n2\nr = -.\nC. geometryczny i jego iloraz jest równy\n1\n3\nq = -\nD. geometryczny i jego iloraz jest równy\n5\n6\nq =\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający bada, czy dany\nciąg jest arytmetyczny lub geometryczny\n(5.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(x_1 + x_2 = 11\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni odczyt z postaci iloczynowej\n\nFunkcja jest dana w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = -3(x-2)(x-9)\\]\n\nMiejsca zerowe to wartości \\(x\\), dla których \\(f(x) = 0\\):\n\\[-3(x-2)(x-9) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników wynosi zero:\n\\[x - 2 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_1 = 2\\]\n\\[x - 9 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = 9\\]\n\nZatem:\n\\[x_1 + x_2 = 2 + 9 = \\mathbf{11}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\nRozpisujemy funkcję do **postaci ogólnej** \\(ax^2 + bx + c\\):\n\\[f(x) = -3(x-2)(x-9) = -3(x^2 - 11x + 18)\\]\n\\[f(x) = -3x^2 + 33x - 54\\]\n\nMamy więc: \\(a = -3\\), \\(b = 33\\), \\(c = -54\\).\n\nZe wzorów Viète'a suma miejsc zerowych wynosi:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{33}{-3} = \\mathbf{11}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nBezpośrednio widać miejsca zerowe \\(x_1\\) i \\(x_2\\) - skorzystaliśmy z tego w Sposobie 1.\n\nWzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nZastosowane w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Policzono \\(-(2+9) = -11\\), błędnie dodając minus ze współczynnika \\(-3\\) do sumy pierwiastków |\n| C | Policzono \\(x_1 \\cdot x_2 = 2 \\cdot 9 = 18\\), a następnie pomnożono przez \\(-3\\): wynik \\(-54\\) lub pomylono sumę z \\(-\\frac{b}{a}\\) licząc \\(-\\frac{33}{-1}\\) zamiast \\(-\\frac{33}{-3}\\) - albo wzięto samo \\(b = 33\\) bez znaku |\n| D | Wzięto \\(-b = -33\\) zamiast \\(-\\frac{b}{a} = -\\frac{33}{-3} = 11\\), czyli zapomniano podzielić przez \\(a\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(-3\\) przed nawiasami **nie wpływa na miejsca zerowe** - przyrównujemy do zera tylko nawiasy \\((x-2)\\) i \\((x-9)\\). Czynnik stały nigdy nie wyzeruje wyrażenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 - przy wzorze Viète'a pamiętaj o znaku: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), a nie \\(\\frac{b}{a}\\). Tu \\(b = 33\\) i \\(a = -3\\), więc wynik to \\(-\\frac{33}{-3} = +11\\), nie \\(-11\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl sumy miejsc zerowych \\((x_1 + x_2)\\) z iloczynem \\((x_1 \\cdot x_2)\\). Iloczyn wynosiłby \\(\\frac{c}{a} = \\frac{-54}{-3} = 18\\), co nie jest żadną z oferowanych odpowiedzi - to właśnie mylenie tych dwóch wzorów Viète'a jest częstym błędem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z postaci iloczynowej\nZ postaci iloczynowej \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\) odczytujemy miejsca zerowe: \\(x_1 = 2,\\ x_2 = 9\\). Zatem:\n\\[x_1 + x_2 = 2 + 9 = 11.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nPo rozwinięciu: \\(f(x) = -3(x^2 - 11x + 18) = -3x^2 + 33x - 54\\). Ze wzoru Viète'a \\(x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{33}{-3} = 11\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-11\\)** - zły znak (prawdopodobnie błąd przy ekstrakcji z \\((x-2)(x-9)\\)).\n- **C. 33** - to \\(-\\tfrac{b}{a}\\) z niepoprawnym znakiem \\(a\\) (pomylenie).\n- **D. \\(-33\\)** - podwójny błąd znaku.\n\n**Trik:** Postać iloczynowa \\(a(x-x_1)(x-x_2)\\) bezpośrednio ujawnia miejsca zerowe.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nDla ciągu arytmetycznego (\n)\nn\na\n, określonego dla\n1\nn ≥, jest spełniony warunek\n4\n5\n6\n12\na\na\na\nWtedy\nA.\n5\n4\na =\nB.\n5\n3\na =\nC.\n5\n6\na =\nD.\n5\n5\na =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego\n(5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (wartość 3)\n\n## Sposób 1 - Analiza funkcji na przedziale (postać kanoniczna)\n\nFunkcja \\(y = -(x-2)^2 + 4\\) jest w **postaci kanonicznej** \\(y = a(x-p)^2 + q\\), gdzie:\n- \\(a = -1 < 0\\) → parabola skierowana **ramionami w dół**\n- wierzchołek: \\(W = (2, 4)\\) - to globalny **maksimum** funkcji\n\n**Kluczowa obserwacja:** wierzchołek \\(x = 2\\) leży **poza** przedziałem \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) - jest po jego lewej stronie.\n\nPonieważ parabola otwarta w dół ma oś symetrii w \\(x = 2\\), a cały przedział \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) leży po prawej stronie osi - funkcja jest na tym przedziale **malejąca**.\n\n> Wniosek: na przedziale \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) największa wartość jest w **lewym krańcu**, czyli w \\(x = 3\\).\n\nObliczamy:\n\\[y(3) = -(3-2)^2 + 4 = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = \\mathbf{3}\\]\n\nDla kontroli sprawdzamy prawy kraniec:\n\\[y(5) = -(5-2)^2 + 4 = -9 + 4 = -5\\]\n\n**Największa wartość funkcji na \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) wynosi \\(3\\).**\n\n## Sposób 2 - Tabela wartości + argument z monotoniczności\n\nObliczamy wartości funkcji w kilku punktach przedziału:\n\n| \\(x\\) | \\(y = -(x-2)^2 + 4\\) |\n| \\(3\\) | \\(-(1)^2 + 4 = 3\\) |\n| \\(4\\) | \\(-(2)^2 + 4 = 0\\) |\n| \\(5\\) | \\(-(3)^2 + 4 = -5\\) |\n\nWartości maleją: \\(3 > 0 > -5\\). Maksimum na przedziale to \\(\\mathbf{3}\\), osiągane dla \\(x = 3\\).\n\nDlaczego funkcja maleje? Pochodna:\n\\[y' = -2(x-2)\\]\nDla \\(x \\in \\langle 3, 5 \\rangle\\) mamy \\(x - 2 > 0\\), więc \\(y' < 0\\) - funkcja jest **ściśle malejąca** na tym przedziale.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n- Użyliśmy do odczytania wierzchołka \\(W = (2, 4)\\) i współczynnika \\(a = -1\\) (parabola skierowana w dół).\n- Wiedząc, że wierzchołek leży poza przedziałem i parabola maleje na prawo od osi symetrii, znaleźliśmy maksimum w lewym krańcu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń oblicza \\(y(4) = -(4-2)^2 + 4 = 0\\) i bierze tę wartość jako wynik, nie szukając maksimum |\n| B (\\(5\\)) | Uczeń myli wartość \\(x\\) (prawy kraniec przedziału) z wartością funkcji \\(y\\) |\n| C (\\(4\\)) | Uczeń podaje wartość w wierzchołku \\(W = (2, 4)\\), ale wierzchołek \\(x = 2\\) **leży poza przedziałem** \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\)! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek paraboli to maksimum/minimum **globalne**, ale pytanie dotyczy **przedziału** - najpierw sprawdź, czy wierzchołek w ogóle do niego należy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wierzchołek leży poza przedziałem, ekstremalną wartość osiągamy w jednym z **krańców** - zawsze sprawdź oba.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla \\(a < 0\\) parabola jest skierowana w dół i maleje po prawej stronie osi symetrii - im dalej od wierzchołka w prawo, tym wartości funkcji **mniejsze**.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza paraboli\nWierzchołek paraboli to \\((2, 4)\\), ramiona skierowane w dół (bo \\(a = -1 < 0\\)). Ponieważ \\(2 \\notin \\langle 3, 5\\rangle\\), i funkcja maleje dla \\(x > 2\\), maksimum na przedziale osiągane jest w lewym końcu: \\(x = 3\\):\n\\[y(3) = -(3-2)^2 + 4 = -1 + 4 = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie końców przedziału\n- \\(y(3) = -(1)^2 + 4 = 3\\)\n- \\(y(5) = -(3)^2 + 4 = -5\\)\nMonotoniczność malejąca → maksimum w \\(x=3\\), wartość 3.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 0** - to nie wartość z tego przedziału.\n- **B. 5** - za duża, przekracza max funkcji \\((=4)\\).\n- **C. 4** - globalne maksimum funkcji (wierzchołek), ale wierzchołek nie należy do przedziału \\(\\langle 3,5\\rangle\\).\n\n**Trik:** Gdy wierzchołek poza przedziałem, maksimum leży w jednym z końców.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nDany jest ciąg geometryczny (\n)\nn\na\n, określony dla\n1\nn ≥, w którym\n1\n2\na =\n,\n2\n2 2\na\n,\n3\n4 2\na\n. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać\nA.\n(\n)\n2\nn\nna\nB.\n2\n2\nn\nna\nC.\n2\n2\n\n\n= \n\n\n\n\n\nn\nna\nD.\n(\n)\n2\n2\nn\nn\na","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego\n(5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a_4 = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu\n\nW ciągu arytmetycznym suma trzech kolejnych wyrazów równa się trzykrotności **środkowego** wyrazu. Dlaczego? Bo wyrazy \"po bokach\" są symetrycznie odległe od środkowego:\n\n\\[a_3 = a_4 - r, \\quad a_5 = a_4 + r\\]\n\nZatem:\n\n\\[a_3 + a_4 + a_5 = (a_4 - r) + a_4 + (a_4 + r)\\]\n\n\\[= 3a_4\\]\n\nZ warunku zadania:\n\n\\[3a_4 = 15\\]\n\n\\[\\boxed{a_4 = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wzór ogólny\n\nWyrażamy każdy wyraz przez \\(a_1\\) i różnicę \\(r\\):\n\n\\[a_3 = a_1 + 2r, \\quad a_4 = a_1 + 3r, \\quad a_5 = a_1 + 4r\\]\n\nSumujemy:\n\n\\[(a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) + (a_1 + 4r) = 15\\]\n\n\\[3a_1 + 9r = 15\\]\n\n\\[a_1 + 3r = 5\\]\n\nAle \\(a_1 + 3r = a_4\\), więc:\n\n\\[\\boxed{a_4 = 5}\\]\n\nTen sposób nie wymaga znania konkretnych wartości \\(a_1\\) ani \\(r\\) - wystarczy sama suma.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do zapisania wyrazów \\(a_3, a_4, a_5\\).\n\nKluczowa własność (wynikająca wprost z definicji, ale warta zapamiętania):\n\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\n\nczyli środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów - to właśnie wykorzystaliśmy w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(a_4 = 6\\) | Pomylono liczbę wyrazów: podzielono 15 przez 2 (liczba \"skrajnych\" wyrazów) zamiast przez 3 |\n| C: \\(a_4 = 3\\) | Przyjęto \\(a_3 + a_4 + a_5 = 15\\) i błędnie obliczono \\(a_4 = \\frac{15}{5}\\) (podzielono przez indeksy) |\n| D: \\(a_4 = 4\\) | Przyjęto bez uzasadnienia \\(a_3 = a_4 = a_5 = 4\\) lub pomylono indeksy (np. wzięto \\(a_4 = a_3 + 1\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma **trzech** kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego to zawsze \\(3 \\cdot a_{\\text{środkowy}}\\). Nie \"suma skrajnych plus środkowy\" - zapamiętaj: środkowy \"niesie\" całą trójkę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z warunku \\(a_3 + a_4 + a_5 = 15\\) można wyznaczyć tylko \\(a_4\\) - nie znamy \\(a_1\\) ani \\(r\\) oddzielnie. To nie błąd w zadaniu, to celowy zamysł: jedna równanie, jedna niewiadoma.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić tej własności z sumą \\(S_n\\) z karty wzorów. Tutaj nie liczymy sumy całego ciągu, tylko trzech konkretnych wyrazów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów. Stąd \\(a_3 + a_5 = 2a_4\\), więc:\n\\[a_3 + a_4 + a_5 = 2a_4 + a_4 = 3a_4 = 15 \\;\\Longrightarrow\\; a_4 = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny\n\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Zatem:\n\\[a_3 + a_4 + a_5 = (a_1+2r) + (a_1+3r) + (a_1+4r) = 3a_1 + 9r = 3(a_1 + 3r) = 3a_4 = 15.\\]\nStąd \\(a_4 = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. 6** - \\(3\\cdot 6 = 18 \\neq 15\\).\n- **C. 3** - \\(3\\cdot 3 = 9 \\neq 15\\).\n- **D. 4** - \\(3\\cdot 4 = 12 \\neq 15\\).\n\n**Trik:** Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego = \\(3 \\times\\) środkowy wyraz.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nPrzyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma\ndługość 8 (zobacz rysunek).\nWówczas miara α kąta ostrego LMK tego trójkąta spełnia warunek\nA. 27\n30\nα\n° <\n≤\n°\nB. 24\n27\nα\n° <\n≤\n°\nC. 21\n24\nα\n° <\n≤\n°\nD. 18\n21\nα\n° <\n≤\n°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający wykorzystuje\ndefinicje i wyznacza wartości funkcji\ntrygonometrycznych dla kątów ostrych (6.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (x = 4)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych wyrazów:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nMamy ciąg \\((x,\\; x+4,\\; 16)\\), więc:\n\\[(x+4)^2 = x \\cdot 16\\]\n\nRozwijamy lewą stronę:\n\\[x^2 + 8x + 16 = 16x\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[x^2 + 8x + 16 - 16x = 0\\]\n\\[x^2 - 8x + 16 = 0\\]\n\nRozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):\n\\[(x - 4)^2 = 0\\]\n\\[\\mathbf{x = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez iloraz ciągu\n\nW ciągu geometrycznym stosunek każdego wyrazu do poprzedniego jest stały (równy ilorazowi \\(q\\)):\n\\[\\frac{x+4}{x} = \\frac{16}{x+4}\\]\n\nPrzemnażamy na krzyż:\n\\[(x+4)^2 = 16x\\]\n\nOtrzymujemy tę samą równanie co w Sposobie 1, więc \\(x = 4\\).\n\n**Sprawdzenie:** Podstawiamy \\(x = 4\\):\n\\[(4,\\; 8,\\; 16)\\]\n\nIloraz: \\(\\frac{8}{4} = 2\\) i \\(\\frac{16}{8} = 2\\) ✓ - rzeczywiście ciąg geometryczny o ilorazie \\(q = 2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 jako główne narzędzie do ustawienia równania.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nRozpoznanie tego wzoru pozwoliło od razu zapisać \\(x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2\\) i natychmiast odczytać wynik.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. 8 | Uczeń sprawdza ciąg \\((8, 12, 16)\\) - różnice są stałe (\\(+4\\)), ale to **ciąg arytmetyczny**, nie geometryczny. Pomylenie arytmetycznego z geometrycznym. |\n| C. 2 | Uczeń wstawia \\(x = 2\\) i sprawdza \\((2, 6, 16)\\) - ilorazy \\(3\\) i \\(\\frac{8}{3}\\) są różne, ciąg nie jest geometryczny. Typowy błąd z niepoprawnym rozwiązaniem równania kwadratowego. |\n| D. 0 | Uczeń bierze \\(x = 0\\) - ciąg \\((0, 4, 16)\\) nie jest geometryczny, bo \\(\\frac{4}{0}\\) jest niezdefiniowane (nie można dzielić przez zero). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myląć ciągu geometrycznego z arytmetycznym! Odpowiedź A (\\(x=8\\)) daje ciąg \\((8,12,16)\\) o stałej różnicy \\(4\\) - to ciąg **arytmetyczny**. W geometrycznym warunek to stały **iloraz**, nie różnica.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego musi być **niezerowy** - dlatego \\(x = 0\\) od razu odpada, zanim zaczniemy liczyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\((x+4)^2 = 16x\\) to równanie kwadratowe - może mieć dwa rozwiązania. Zawsze sprawdź oba pod kątem dziedziny (czy żaden wyraz ciągu nie jest zerem).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich:\n\\[(x+4)^2 = x\\cdot 16\\]\n\\[x^2 + 8x + 16 = 16x\\]\n\\[x^2 - 8x + 16 = 0\\]\n\\[(x-4)^2 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x = 4.\\]\nSprawdzenie: ciąg \\((4, 8, 16)\\) ma iloraz \\(q = 2\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- Dla \\(x = 4\\): \\((4, 8, 16)\\), iloraz \\(8/4 = 2\\), \\(16/8 = 2\\) - ciąg geometryczny ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 8** - \\((8, 12, 16)\\): \\(12/8 = 1{,}5\\), \\(16/12 \\approx 1{,}33\\) - różne.\n- **C. 2** - \\((2, 6, 16)\\): \\(6/2 = 3\\), \\(16/6 \\neq 3\\) - różne.\n- **D. 0** - \\((0, 4, 16)\\): \\(x = 0\\) powoduje zerowy pierwszy wyraz - ciąg geometryczny musi mieć wszystkie wyrazy niezerowe.\n\n**Trik:** W ciągu geometrycznym \\(a, b, c\\): \\(b^2 = a\\cdot c\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nDany jest trójkąt o bokach długości:\n5\n2\n,\n5\n3\n,\n5\n4\n. Trójkątem podobnym do tego trójkąta\njest trójkąt, którego boki mają długości\nA. 10, 15, 20\nB. 20, 45, 80\nC.\n2,\n3,\n4\nD.\n5, 2 5, 3 5\nK\nL\nM\n3\n8\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych w zadaniach,\nw tym umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\alpha \\in (30°, 40°)\\)\n\n## Sposób 1 - Sinus z definicji i porównanie z wartościami tablicowymi\n\n**Co wiemy?** Mamy trójkąt prostokątny, w którym:\n- przeciwprostokątna \\(c = 3\\)\n- przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\) wynosi \\(\\sqrt{3}\\)\n\n**Krok 1.** Stosujemy definicję sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Krok 2.** Upraszczamy:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\approx \\frac{1{,}732}{3} \\approx 0{,}577\\]\n\n**Krok 3.** Porównujemy z wartościami tablicowymi:\n\n\\[\\sin 30° = 0{,}5\\]\n\\[\\sin 40° \\approx 0{,}643\\]\n\nPonieważ \\(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\\), mamy:\n\n\\[30° < \\alpha < 40°\\]\n\n**Zatem \\(\\alpha \\in (30°, 40°)\\).** ✓\n\n## Sposób 2 - Tangens (po wyznaczeniu drugiej przyprostokątnej)\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy drugą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\implies (\\sqrt{3})^2 + b^2 = 3^2\\]\n\\[3 + b^2 = 9 \\implies b^2 = 6 \\implies b = \\sqrt{6}\\]\n\n**Krok 2.** Obliczamy tangens kąta \\(\\alpha\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{6}} = \\sqrt{\\frac{3}{6}} = \\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0{,}707\\]\n\n**Krok 3.** Porównujemy z tablicą:\n\n\\[\\operatorname{tg} 35° \\approx 0{,}700\\]\n\\[\\operatorname{tg} 36° \\approx 0{,}727\\]\n\nPonieważ \\(\\operatorname{tg} 35° < 0{,}707 < \\operatorname{tg} 36°\\), mamy \\(35° < \\alpha < 36°\\), co leży w przedziale \\((30°, 40°)\\). ✓\n\nOba sposoby dają ten sam wniosek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]\ngdzie \\(a\\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\), \\(c\\) - przeciwprostokątna. Użyliśmy tego w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej.\n\n**Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)** - odczytanie wartości \\(\\sin\\) i \\(\\operatorname{tg}\\) dla kątów \\(30°, 40°, 35°, 36°\\) w celu ustalenia przedziału.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(\\alpha = 60°\\)) | Uczeń myli \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) z \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - gdyby przyprostokątna wynosiła \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\), wtedy faktycznie \\(\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) i \\(\\alpha = 60°\\) |\n| B (\\(\\alpha \\in (40°, 60°)\\)) | Błędne obliczenie \\(\\sin\\alpha\\); uczeń może zaokrąglić \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\approx 0{,}58\\) do \\(0{,}6\\) i sądzić, że to powyżej \\(\\sin 40°\\) - tymczasem \\(\\sin 40° \\approx 0{,}643 > 0{,}58\\) |\n| D (\\(\\alpha = 30°\\)) | Uczeń zapamiętał, że \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) i skojarzył to z liczbą \\(\\sqrt{3}\\) w liczniku; ale \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2} \\neq \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\approx 0{,}577\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) to **nie to samo** co \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Pierwsza wartość to \\(\\approx 0{,}577\\), druga to \\(\\approx 0{,}866\\). Nie skracaj pochopnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30°\\) daje \\(\\sin 30° = 0{,}5\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\). Sprawdź tabelę na s. 34 karty wzorów - nie polegaj na pamięci.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli zadanie pyta o **przedział**, to nie wystarczy sprawdzić wartości na krańcach - musisz upewnić się, że Twoja wartość leży **ściśle wewnątrz** tego przedziału (tu: \\(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\\), co potwierdza \\((30°, 40°)\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja sinusa\nZ definicji sinusa (karta wzorów, Dział 8):\n\\[\\sin\\alpha = \\tfrac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}} \\approx 0{,}577.\\]\nZ tablic: \\(\\sin 30^{\\circ} = 0{,}5\\), \\(\\sin 40^{\\circ} \\approx 0{,}643\\). Ponieważ \\(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\\), więc \\(\\alpha \\in (30^{\\circ}, 40^{\\circ})\\).\n\n### Sposób 2 - Porównanie z wartościami specjalnymi\n\\(\\sin 30^{\\circ} = \\tfrac{1}{2} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}}\\), czyli \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} > \\tfrac{1}{2}\\), bo \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} \\approx 0{,}577 > 0{,}5\\). Zatem \\(\\alpha > 30^{\\circ}\\). Z drugiej strony \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 0{,}866 > 0{,}577\\), więc \\(\\alpha < 60^{\\circ}\\). Precyzyjniej: \\(\\alpha \\approx 35^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 60°** - \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), ale \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n- **B. \\((40°, 60°)\\)** - \\(\\sin 40^{\\circ} \\approx 0{,}643 > 0{,}577\\), więc \\(\\alpha < 40^{\\circ}\\).\n- **D. 30°** - \\(\\sin 30^{\\circ} = 0{,}5 \\neq 0{,}577\\).\n\n**Trik:** \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}} \\approx 0{,}577\\) - zapamiętaj przybliżenie.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nDany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są\noparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β , spełniają warunek\n111\nα\nβ\n°. Wynika stąd, że\nA.\n74\nα =\n°\nB.\n76\nα =\n°\nC.\n70\nα =\n°\nD.\n72\nα =\n°","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków\nmiędzy kątem środkowym, kątem wpisanym\ni kątem między styczną a cięciwą okręgu\n(7.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{16}{15}\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie sin i tg ze wzorów trygonometrycznych\n\n**Krok 1: Wyznaczymy \\(\\sin\\alpha\\)** z jedynki trygonometrycznej.\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{3}{5}\\right)^2 = 1 - \\frac{9}{25} = \\frac{16}{25}\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\]\n\n(Bierzemy wartość dodatnią, bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, więc \\(\\sin\\alpha > 0\\).)\n\n**Krok 2: Wyznaczymy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{4}{5}}{\\frac{3}{5}} = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{5}{3} = \\frac{4}{3}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy iloczyn.**\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{4}{3} = \\boxed{\\frac{16}{15}}\\]\n\n## Sposób 2 - trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)\n\nSkoro \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\), to w trójkącie prostokątnym:\n- przyprostokątna przyległa do kąta \\(\\alpha\\): \\(b = 3\\)\n- przeciwprostokątna: \\(c = 5\\)\n- druga przyprostokątna (z Pitagorasa): \\(a = \\sqrt{5^2 - 3^2} = \\sqrt{16} = 4\\)\n\nStąd bezpośrednio:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c} = \\frac{4}{5}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{4}{3}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{16}{15}\\]\n\nWynik ten sam - **odpowiedź A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).\n\nDefinicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta do wyznaczenia \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) ze znanych \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).\n\nDefinicje z trójkąta prostokątnego (Sposób 2):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\qquad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej wartości |\n| B | Odwrócono ułamek: \\(\\frac{15}{16}\\) zamiast \\(\\frac{16}{15}\\) - np. pomylono licznik z mianownikiem przy obliczaniu \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) |\n| C | Policzono \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{12}{25}\\) albo wzięto \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{5}\\) (odwrócono role boków) |\n| D | Błędne uproszczenie: \\(\\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}\\) nie wynika z żadnego sensownego rachunku - może efekt dodawania zamiast mnożenia lub wzięcia \\(\\cos\\alpha \\cdot \\frac{2}{4}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej otrzymujesz \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{16}{25}\\), a więc \\(\\sin\\alpha = \\pm\\frac{4}{5}\\). Pamiętaj - skoro \\(\\alpha\\) jest **kątem ostrym** (mieści się w I ćwiartce), wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie. Wybierasz \\(+\\frac{4}{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), a **nie** \\(\\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\). To odwrotność to \\(\\operatorname{ctg}\\alpha\\). Pomylenie tych dwóch prowadzi prosto do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{16}{15} > 1\\) nie powinien Cię niepokoić - \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) i iloczyn \\(\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha\\) mogą być większe od 1, w przeciwieństwie do samego \\(\\sin\\alpha\\) czy \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\nZe wzoru \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) (karta wzorów, Dział 8):\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\tfrac{9}{25} = \\tfrac{16}{25} \\;\\Longrightarrow\\; \\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}.\\]\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{4/5}{3/5} = \\tfrac{4}{3}.\\]\n\\[\\sin\\alpha\\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\cdot \\tfrac{4}{3} = \\tfrac{16}{15}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nZ \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\) rozumiemy przyprostokątną przyległą = 3, przeciwprostokątną = 5. Pitagoras: druga przyprostokątna = \\(\\sqrt{25-9} = 4\\). Stąd \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{4}{3}\\), iloczyn = \\(\\tfrac{16}{15}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{15}{16}\\)** - odwrotność poprawnej odpowiedzi.\n- **C. \\(\\tfrac{8}{15}\\)** - \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\), \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\), ale iloczyn \\(\\sin\\alpha\\cdot\\cos\\alpha = \\tfrac{12}{25}\\) ani to.\n- **D. \\(\\tfrac{6}{20}\\)** - nieprawdziwy wynik z pomieszanymi wartościami.\n\n**Trik:** Trójka \\(3\\)-\\(4\\)-\\(5\\) jest klasycznym pitagorejskim rozwiązaniem.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nDany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL\na\n, MN\nb\n,\na > b . Kąt KLM ma miarę\n°\n60 . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa\nA.\nb\na -\nB.\n(\n)\nb\na -\n2\nC.\nb\na\n2\n1\nD.\n2\nb\na +","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich, także\nz zastosowaniem trygonometrii, również\nw zadaniach umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\beta = 38°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\n\n**Kluczowa obserwacja:** Kąt \\(\\alpha = \\angle KSL\\) to **kąt środkowy** (wierzchołek w środku okręgu S), a kąt \\(\\beta = \\angle KML\\) to **kąt wpisany** (wierzchołek M leży na okręgu). Oba kąty są oparte na tym samym łuku \\(KL\\).\n\nZ twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym:\n\n\\[\\alpha = 2\\beta\\]\n\n*(kąt środkowy = dwa razy kąt wpisany oparty na tym samym łuku)*\n\nPodstawiamy do warunku z zadania \\(\\alpha + \\beta = 114°\\):\n\n\\[2\\beta + \\beta = 114°\\]\n\n\\[3\\beta = 114°\\]\n\n\\[\\boxed{\\beta = 38°}\\]\n\nSprawdzenie: \\(\\alpha = 2 \\cdot 38° = 76°\\), zatem \\(\\alpha + \\beta = 76° + 38° = 114°\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(\\beta = 38°\\) spełnia oba warunki zadania:\n\n1. **Warunek z zadania:** \\(\\alpha + \\beta = 114°\\), co daje \\(\\alpha = 114° - 38° = 76°\\)\n\n2. **Warunek geometryczny** (kąt środkowy = 2 · kąt wpisany):\n\\[\\frac{\\alpha}{\\beta} = \\frac{76°}{38°} = 2 \\checkmark\\]\n\nOba warunki są spełnione - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym:\n\n> Kąt wpisany w okrąg równa się połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy}\\]\n\nczyli:\n\n\\[\\beta = \\frac{\\alpha}{2} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\alpha = 2\\beta\\]\n\nUżyliśmy tego wprost, by wyrazić \\(\\alpha\\) przez \\(\\beta\\) i rozwiązać układ.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(\\beta = 19°\\) | Przyjęto \\(\\alpha = 4\\beta\\) zamiast \\(\\alpha = 2\\beta\\) (podwójny błąd skali) |\n| **C** \\(\\beta = 57°\\) | Przyjęto \\(\\alpha = \\beta\\) (kąty równe zamiast środkowy = 2 · wpisany), wtedy \\(2\\beta = 114°\\), \\(\\beta = 57°\\) |\n| **D** \\(\\beta = 76°\\) | Zamiana ról - uczeń wyznaczył \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\beta\\), albo przyjął \\(\\beta = \\frac{2}{3} \\cdot 114°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „kąt wpisany = połowa środkowego\" działa tylko, gdy **oba kąty są oparte na tym samym łuku** - tu oba oparte na łuku \\(KL\\), więc jest OK.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który kąt jest środkowy, a który wpisany. Zapamiętaj: środkowy ma wierzchołek w **środku** okręgu (punkt S), wpisany ma wierzchołek **na okręgu** (punkt M).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o \\(\\beta\\) (kąt wpisany), a wielu uczniów błędnie podaje \\(\\alpha = 76°\\) jako odpowiedź - to wartość kąta środkowego, nie żądanego \\(\\beta\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\nKąt środkowy \\(\\alpha = \\angle KSL\\) i kąt wpisany \\(\\beta = \\angle KML\\) oparte są na tym samym łuku \\(KL\\). Z twierdzenia (karta wzorów, Dział 7):\n\\[\\alpha = 2\\beta.\\]\nZ warunku: \\(\\alpha + \\beta = 114^{\\circ}\\). Podstawiamy:\n\\[2\\beta + \\beta = 114^{\\circ} \\;\\Longrightarrow\\; 3\\beta = 114^{\\circ} \\;\\Longrightarrow\\; \\beta = 38^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie \\(\\alpha = 76^{\\circ}\\)\nSprawdzenie: \\(\\alpha = 2\\cdot 38^{\\circ} = 76^{\\circ}\\). Suma: \\(76^{\\circ} + 38^{\\circ} = 114^{\\circ}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 19°** - ktoś podzielił 114° przez 6 zamiast przez 3.\n- **C. 57°** - to połowa 114° (błędne: zamiana ról \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\)).\n- **D. 76°** - to \\(\\alpha\\), nie \\(\\beta\\).\n\n**Trik:** Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nŚrednicą okręgu jest odcinek KL, gdzie\n(\n)\n6 8\nK\n,\n,\n(\n)\n6\n8\nL\n,\n. Równanie tego okręgu ma\npostać\nA.\n2\n2\n200\nx\ny\nB.\n2\n2\n100\nx\ny\nC.\n2\n2\n400\nx\ny\nD.\n2\n2\n300\nx\ny","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający posługuje się równaniem okręgu\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\nx\na\ny\nb\nr\n(8.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(130°\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań z właściwości równoległoboku\n\n**Kluczowa właściwość:** W równoległoboku sąsiednie kąty wewnętrzne są suplementarne, czyli sumują się do \\(180°\\).\n\nOznaczmy kąt ostry jako \\(\\alpha\\), kąt rozwarty jako \\(\\beta\\).\n\nWarunek 1 - kąty suplementarne:\n\\[\\alpha + \\beta = 180°\\]\n\nWarunek 2 - różnica kątów równa \\(80°\\):\n\\[\\beta - \\alpha = 80°\\]\n\nDodajemy oba równania stronami:\n\\[2\\beta = 260°\\]\n\\[\\beta = 130°\\]\n\n**Kąt rozwarty wynosi \\(130°\\).**\n\n(Sprawdzenie: \\(\\alpha = 180° - 130° = 50°\\), różnica: \\(130° - 50° = 80°\\) ✓)\n\n## Sposób 2 - rozumowanie wprost\n\nSkoro sąsiednie kąty sumują się do \\(180°\\), a jeden jest większy od drugiego o \\(80°\\), to kąt rozwarty jest o połowę tej różnicy większy od prostego \\(90°\\):\n\n\\[\\beta = 90° + \\frac{80°}{2} = 90° + 40° = 130°\\]\n\n**Dlaczego to działa?** Gdyby oba kąty były równe, każdy wynosiłby \\(90°\\). Skoro jeden jest większy o \\(80°\\), to \"dokładamy\" połowę tej różnicy do górnego i odejmujemy połowę od dolnego:\n\\[\\beta = 90° + 40° = 130°, \\quad \\alpha = 90° - 40° = 50°\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - własność równoległoboku:\n\n> Kąty sąsiednie w równoległoboku są suplementarne: \\(\\alpha + \\beta = 180°\\)\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach jako podstawowego warunku układu.\n\nW tym zadaniu nie potrzebujemy innych wzorów z karty - wystarczy znajomość definicji kątów wewnętrznych równoległoboku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(120°\\) | Uczeń przyjął, że różnica = \\(60°\\) (pomylił z trójkątem równobocznym) lub odjął \\(80°\\) od \\(180°\\) i wziął środek: \\(\\frac{180°+80°}{2}\\) po błędnym przestawieniu |\n| B - \\(125°\\) | Obliczenie \\(\\frac{180°+80°}{2} = 130°\\) wykonane poprawnie, ale błąd arytmetyczny: \\(260 \\div 2 = 125\\) (pomylono \\(260\\) z \\(250\\)) |\n| D - \\(135°\\) | Uczeń zastosował sumę kątów \\(360°\\) zamiast \\(180°\\): \\(\\frac{360°}{2} + 40° = 180° + 40°\\) - błędna podstawa |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąty **sąsiednie** (nie naprzeciwległe!) sumują się do \\(180°\\). Kąty naprzeciwległe w równoległoboku są **równe** - to częste źródło pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o kąt **rozwarty** (większy od \\(90°\\)). Po obliczeniu obu kątów (\\(50°\\) i \\(130°\\)) upewnij się, że wybierasz właściwy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(\\beta - \\alpha = 80°\\) - uważaj na kolejność odejmowania. Zawsze odejmuj mniejszy od większego, żeby różnica była dodatnia.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nNiech \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) to sąsiednie kąty, \\(\\alpha > \\beta\\). W równoległoboku \\(\\alpha + \\beta = 180^{\\circ}\\) (kąty jednostronne) i dane \\(\\alpha - \\beta = 80^{\\circ}\\):\n\\[\\begin{cases} \\alpha + \\beta = 180^{\\circ} \\\\ \\alpha - \\beta = 80^{\\circ} \\end{cases}\\]\nDodając: \\(2\\alpha = 260^{\\circ}\\), stąd \\(\\alpha = 130^{\\circ}\\), \\(\\beta = 50^{\\circ}\\). Kąt rozwarty to \\(\\alpha = 130^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie rozumowanie\nSuma = 180°, różnica = 80°, więc większy kąt = \\(\\tfrac{180+80}{2} = 130^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 120°** - dałoby różnicę 60°, nie 80°.\n- **B. 125°** - różnica 70°, nie 80°.\n- **D. 135°** - różnica 90°, nie 80°.\n\n**Trik:** W równoległoboku sąsiednie kąty sumują się do 180°. Z sumy i różnicy wyznaczamy bezpośrednio.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nProste o równaniach\n(\n)\n2\n3\ny\nm\nx\n+ oraz\n(\n)\n2\n1\n3\ny\nm\nx\nsą równoległe, gdy\nA.\n2\nm =\nB.\n3\nm =\nC.\n0\nm =\nD.\n1\nm =\nS\nK\nL\nM\nL\nK\nM\nN\na\nb\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(9\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta\n\n**Znamy:** dwa boki \\(a = 4\\), \\(b = 9\\) oraz kąt między nimi \\(\\gamma = 60°\\).\n\nStosujemy wzór:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\sin 60°\\]\n\nZ tablicy wartości: \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), więc:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 36 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} = \\mathbf{9\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokość trójkąta\n\nTraktujemy bok \\(b = 9\\) jako podstawę. Wyznaczamy wysokość opuszczoną na ten bok z wierzchołka naprzeciwległego.\n\nBok \\(a = 4\\) tworzy kąt \\(60°\\) z bokiem \\(b = 9\\). Wysokość \\(h\\) to:\n\\[h = a \\cdot \\sin\\gamma = 4 \\cdot \\sin 60° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nTeraz liczymy pole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość} = \\frac{1}{2} \\cdot 9 \\cdot 2\\sqrt{3} = \\frac{18\\sqrt{3}}{2} = \\mathbf{9\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\nDokładnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartość sinusa kąta \\(60°\\):\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nKluczowe do podstawienia - bez tej wartości nie da się dokończyć obliczeń.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(18\\) | Zapomniano o mnożniku \\(\\frac{1}{2}\\) w wzorze na pole: liczono \\(4 \\cdot 9 \\cdot \\sin 60°\\) zamiast \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\sin 60°\\). Wyszło \\(18\\sqrt{3}\\), a potem błędnie uproszczono \\(\\sqrt{3} \\approx 1\\). |\n| B - \\(9\\) | Wstawiono \\(\\sin 60° = 1\\) (czyli wzięto kąt \\(90°\\) zamiast \\(60°\\)) i policzono \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot 1 = 18\\) albo zgubiono jeden czynnik. |\n| C - \\(18\\sqrt{3}\\) | Zapomniano o \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze: \\(4 \\cdot 9 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 18\\sqrt{3}\\). To bardzo typowy błąd - opuszczenie czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) ze wzoru na pole. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\). Efekt: wynik dwa razy za duży - czyli odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że wzór działa tylko gdy \\(\\gamma\\) to kąt **między** podanymi bokami \\(a\\) i \\(b\\), nie dowolny kąt trójkąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{2}\\) (to jest \\(\\sin 30°\\)). Pomylenie tych dwóch wartości to klasyczna wpadka na maturze.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole z dwóch boków i kąta\nZe wzoru \\(P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) (karta wzorów, Dział 9):\n\\[P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 9\\cdot \\sin 60^{\\circ} = 18\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wysokość trójkąta\nWysokość opuszczona na bok długości 9 z drugiej strony kąta 60° to \\(h = 4\\sin 60^{\\circ} = 2\\sqrt{3}\\). Pole:\n\\[P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 9\\cdot 2\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 18** - ktoś pomylił \\(\\sin 60^{\\circ}\\) z 1 lub zapomniał o \\(\\tfrac{1}{2}\\).\n- **B. 9** - zapomnienie o \\(\\sin 60^{\\circ}\\), dodatkowo błąd.\n- **C. \\(18\\sqrt{3}\\)** - pominięcie współczynnika \\(\\tfrac{1}{2}\\).\n\n**Trik:** Wzór \\(P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) działa, gdy \\(a, b\\) to boki przy kącie \\(\\gamma\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPodstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest\nkrawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).\nKąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek\nA.\n°\n= 45\nα\nB.\n°\n<\n<\n°\n60\n45\nα\nC.\n°\n> 60\nα\nD.\n°\n= 60\nα","answer":"D","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wskazuje i oblicza\nkąty między ścianami wielościanu, między\nścianami i odcinkami oraz między odcinkami\ntakimi jak krawędzie, przekątne, wysokości\n(9.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(m = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości: równe współczynniki kierunkowe\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne** (bo inaczej byłyby tą samą prostą).\n\nMamy:\n\\[y = (3m - 4)x + 2 \\qquad \\text{(prosta } l_1\\text{)}\\]\n\\[y = (12 - m)x + 3m \\qquad \\text{(prosta } l_2\\text{)}\\]\n\n**Krok 1 - przyrównaj współczynniki kierunkowe:**\n\\[3m - 4 = 12 - m\\]\n\n**Krok 2 - przenieś wyrazy z \\(m\\) na lewą stronę:**\n\\[3m + m = 12 + 4\\]\n\\[4m = 16\\]\n\\[\\boxed{m = 4}\\]\n\n**Krok 3 - sprawdź, czy proste nie są identyczne** (czyli czy wyrazy wolne różne):\n\nDla \\(m = 4\\):\n- Prosta \\(l_1\\): \\(y = (12-4)x + 2 = 8x + 2\\)\n- Prosta \\(l_2\\): \\(y = (12-4)x + 3 \\cdot 4 = 8x + 12\\)\n\nWyrazy wolne: \\(2 \\neq 12\\) ✓ - proste są rzeczywiście równoległe, nie identyczne.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie do warunków\n\nSprawdzamy każdą z odpowiedzi, wstawiając do obu wzorów i porównując współczynniki:\n\n| Wartość \\(m\\) | Współczynnik \\(l_1\\): \\(3m-4\\) | Współczynnik \\(l_2\\): \\(12-m\\) | Równe? |\n| \\(m = 4\\) | \\(3(4)-4 = 8\\) | \\(12-4 = 8\\) | ✓ **TAK** |\n| \\(m = 3\\) | \\(3(3)-4 = 5\\) | \\(12-3 = 9\\) | ✗ NIE |\n| \\(m = -4\\) | \\(3(-4)-4 = -16\\) | \\(12-(-4) = 16\\) | ✗ NIE |\n| \\(m = -3\\) | \\(3(-3)-4 = -13\\) | \\(12-(-3) = 15\\) | ✗ NIE |\n\nTylko \\(m = 4\\) spełnia warunek. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n\\[\\text{Proste } y = a_1x + b_1 \\text{ i } y = a_2x + b_2 \\text{ są równoległe} \\iff a_1 = a_2 \\text{ i } b_1 \\neq b_2\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównując współczynniki przy \\(x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** \\((m=3)\\) | Brak systematycznego rozwiązywania równania - uczeń \"zgaduje\" \\(m\\) z liczb widocznych w treści (\\(12 = 4 \\cdot 3\\)) albo błędnie upraszcza równanie |\n| **C** \\((m=-4)\\) | Mylenie warunku równoległości z warunkiem **prostopadłości** \\((a_1 \\cdot a_2 = -1)\\), co daje \\((3m-4)(12-m) = -1\\) - zupełnie inne równanie |\n| **D** \\((m=-3)\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu \\(m\\) na lewą stronę: uczeń pisze \\(3m - m = 12 - 4\\) zamiast \\(3m + m = 12 + 4\\), co daje \\(2m = 8 \\Rightarrow m = 4\\) lub inne błędy pośrednie prowadzące do ujemnego wyniku |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to \\(a_1 = a_2\\) **ORAZ** \\(b_1 \\neq b_2\\). Jeśli pominiesz drugi warunek, możesz dostać wartość \\(m\\), dla której proste są **identyczne** (pokrywają się), a nie równoległe. Zawsze sprawdzaj wyrazy wolne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu \\(-m\\) na lewą stronę pamiętaj o zmianie znaku: \\(3m - 4 = 12 - m \\Rightarrow 3m \\mathbf{+} m = 12 \\mathbf{+} 4\\). Najczęstszy błąd to napisanie \\(3m - m = 12 - 4\\), co daje \\(2m = 8, m = 4\\) - przypadkowo taki sam wynik! Ale przy innych liczbach ten błąd dałby błędną odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z prostopadłością (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)). To dwa różne warunki!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nProste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (karta wzorów, Dział 6):\n\\[3m - 4 = 12 - m\\]\n\\[4m = 16\\]\n\\[m = 4.\\]\nSprawdzenie: dla \\(m=4\\) współczynnik = \\(12 - 4 = 8 = 3\\cdot 4 - 4\\) ✓. Dodatkowo sprawdzamy, że nie są tożsame: \\(2 \\neq 12\\), więc równoległe (nie pokrywają się).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(m=4\\): prosta 1 ma współczynnik \\(3\\cdot 4 - 4 = 8\\); prosta 2 ma współczynnik \\(12-4 = 8\\). Równe ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(m = 3\\)** - \\(3\\cdot 3 - 4 = 5\\), \\(12-3 = 9\\); różne.\n- **C. \\(m = -4\\)** - \\(3\\cdot(-4)-4 = -16\\), \\(12-(-4) = 16\\); różne.\n- **D. \\(m = -3\\)** - \\(-13\\) vs \\(15\\); różne.\n\n**Trik:** Równoległość = równe współczynniki kierunkowe (i różne wyrazy wolne).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nPodstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna\ntego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy\n°\n45 (zobacz rysunek).\nWysokość graniastosłupa jest równa\nA. 5\nB.\n2\n3\nC.\n2\n5\nD. 5 3\n3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wskazuje i oblicza\nkąty między ścianami wielościanu, między\nścianami i odcinkami oraz między odcinkami\ntakimi jak krawędzie, przekątne, wysokości\n(9.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(10\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie punktu B ze wzoru na środek odcinka\n\n**Znamy:** \\(A = (-3, 2)\\), \\(M = (4, 1)\\) - środek \\(AB\\). Szukamy najpierw \\(B\\), potem \\(|AB|\\).\n\nZe wzoru na środek odcinka:\n\\[x_M = \\frac{x_A + x_B}{2} \\qquad y_M = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nWyznaczamy \\(x_B\\):\n\\[4 = \\frac{-3 + x_B}{2} \\implies 8 = -3 + x_B \\implies x_B = 11\\]\n\nWyznaczamy \\(y_B\\):\n\\[1 = \\frac{2 + y_B}{2} \\implies 2 = 2 + y_B \\implies y_B = 0\\]\n\nZatem \\(B = (11, 0)\\).\n\nTeraz liczymy długość \\(|AB|\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(11-(-3))^2 + (0-2)^2}\\]\n\\[= \\sqrt{14^2 + (-2)^2} = \\sqrt{196 + 4} = \\sqrt{200} = \\sqrt{100 \\cdot 2} = \\mathbf{10\\sqrt{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez długość \\(|AM|\\) i podwojenie\n\nSkoro \\(M\\) jest **środkiem** odcinka \\(AB\\), to:\n\\[|AB| = 2 \\cdot |AM|\\]\n\nLiczymy odległość \\(|AM|\\):\n\\[|AM| = \\sqrt{(4-(-3))^2 + (1-2)^2} = \\sqrt{7^2 + (-1)^2} = \\sqrt{49 + 1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]\n\nStąd:\n\\[|AB| = 2 \\cdot 5\\sqrt{2} = \\mathbf{10\\sqrt{2}}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - nie trzeba wyznaczać współrzędnych \\(B\\)!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka o końcach \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\nŚrodek odcinka \\(AB\\):\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nW Sposobie 1 użyliśmy obu wzorów: najpierw wzoru na środek (do wyznaczenia \\(B\\)), potem wzoru na długość. W Sposobie 2 wystarczył tylko wzór na długość (do wyznaczenia \\(|AM|\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((2\\sqrt{5})\\) | Policzono \\(\\|AM\\|\\) ze zamienionymi składnikami: \\(\\sqrt{(1-(-3))^2+(4-2)^2} = \\sqrt{16+4} = 2\\sqrt{5}\\) - błąd zamiany \\(\\Delta x\\) z \\(\\Delta y\\) |\n| B \\((4\\sqrt{5})\\) | Jak wyżej - popełniono błąd w \\(\\|AM\\|\\) (wynik \\(2\\sqrt{5}\\)), a potem poprawnie podwojono; błąd w liczeniu \\(\\|AM\\|\\), nie w procedurze |\n| C \\((5\\sqrt{2})\\) | Obliczono \\(\\|AM\\| = \\sqrt{49+1} = 5\\sqrt{2}\\) poprawnie, ale **zapomniano podwoić** - podano długość połowy odcinka zamiast całego |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie, że środek dzieli odcinek na **dwie równe części**, więc \\(|AB| = 2 \\cdot |AM|\\). Samo obliczenie \\(|AM|\\) (czyli \\(5\\sqrt{2}\\)) to odpowiedź C - klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(B\\) ze wzoru na środek - mnożymy obie strony przez 2 przed przeniesieniem \\(x_A\\) na drugą stronę. Łatwo o błąd przy ujemnych współrzędnych: \\(8 = -3 + x_B \\implies x_B = 11\\), nie \\(x_B = 5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 (podwojenie \\(|AM|\\)) jest szybszy i zmniejsza ryzyko błędu arytmetycznego, bo pracujemy z mniejszymi liczbami (\\(7^2 + 1^2\\) zamiast \\(14^2 + 2^2\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie punktu B\nZe wzoru na współrzędne środka: \\(M = \\left(\\tfrac{x_A+x_B}{2}, \\tfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\). Stąd \\(x_B = 2\\cdot 4 - (-3) = 11\\), \\(y_B = 2\\cdot 1 - 2 = 0\\), czyli \\(B = (11, 0)\\).\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(11-(-3))^2 + (0-2)^2} = \\sqrt{196 + 4} = \\sqrt{200} = 10\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Podwojenie odległości AM\n\\[|AM| = \\sqrt{(4-(-3))^2 + (1-2)^2} = \\sqrt{49+1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}.\\]\nPonieważ \\(M\\) jest środkiem, \\(|AB| = 2|AM| = 10\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\sqrt{5}\\)** - ktoś pomylił składowe przy obliczaniu długości.\n- **B. \\(4\\sqrt{5}\\)** - błąd rachunkowy (np. \\(\\sqrt{80}\\) zamiast \\(\\sqrt{200}\\)).\n- **C. \\(5\\sqrt{2}\\)** - to długość \\(|AM|\\), nie \\(|AB|\\).\n\n**Trik:** Środek odcinka = średnia arytmetyczna współrzędnych końców.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r\ni jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.\nObjętość tej bryły jest równa\nA.\n3\n5 π\n3 r\nB.\n3\n4 π\n3 r\nC.\n3\n2 π\n3 r\nD.\n3\n1 π\n3 r\nr\nr\nr\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach i bryłach\nobrotowych (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n## Sposób 1 - wektory i iloczyn skalarny\n\nNiech sześcian ma bok długości \\(a = 1\\). Umieszczamy go w układzie współrzędnych:\n\n\\[A = (0,0,0), \\quad B = (1,0,0), \\quad B' = (1,0,1), \\quad C' = (1,1,1)\\]\n\n**Przekątna przestrzenna** sześcianu: od \\(A\\) do \\(C'\\):\n\\[\\vec{u} = \\overrightarrow{AC'} = [1,1,1], \\qquad |\\vec{u}| = \\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \\sqrt{3}\\]\n\n**Przekątna ściany bocznej**: na ścianie \\(ABB'A'\\) przekątna od \\(A\\) do \\(B'\\):\n\\[\\vec{v} = \\overrightarrow{AB'} = [1,0,1], \\qquad |\\vec{v}| = \\sqrt{1^2+0^2+1^2} = \\sqrt{2}\\]\n\nKąt \\(\\alpha\\) między tymi wektorami:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{|\\vec{u}||\\vec{v}|} = \\frac{1\\cdot1 + 1\\cdot0 + 1\\cdot1}{\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{2}} = \\frac{2}{\\sqrt{6}} = \\frac{\\sqrt{6}}{3}\\]\n\nStąd:\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{6}{9} = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - geometryczny (trójkąt prostokątny)\n\nWeźmy trzy punkty: \\(A = (0,0,0)\\), \\(B' = (1,0,1)\\), \\(C' = (1,1,1)\\).\n\nObliczamy boki trójkąta \\(AB'C'\\):\n\\[|AB'| = \\sqrt{2}, \\qquad |B'C'| = \\sqrt{0+1+0} = 1, \\qquad |AC'| = \\sqrt{3}\\]\n\nSprawdzamy, czy twierdzenie Pitagorasa zachodzi:\n\\[|AB'|^2 + |B'C'|^2 = 2 + 1 = 3 = |AC'|^2 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Trójkąt \\(AB'C'\\) jest prostokątny - kąt prosty przy \\(B'\\)!**\n\nKąt \\(\\alpha\\) to kąt przy wierzchołku \\(A\\) (między przekątną przestrzenną \\(AC'\\) a przekątną ściany \\(AB'\\)). W trójkącie prostokątnym z prostym kątem przy \\(B'\\):\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{|B'C'|}{|AC'|} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - przekątna przestrzenna i przekątna ściany prostopadłościanu/sześcianu wynikają z twierdzenia Pitagorasa stosowanego dwukrotnie.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja sinusa w trójkącie:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nużywana w Sposobie 2.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - iloczyn skalarny do wyznaczenia kąta między wektorami (Sposób 1) oraz długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(\\dfrac{\\sqrt{6}}{3}\\) | To jest \\(\\cos\\alpha\\), a nie \\(\\sin\\alpha\\) - uczeń wyznaczył kąt poprawnie, ale wziął zły stosunek |\n| B | \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) | Uczeń mylnie uznaje, że kąt to \\(45°\\), licząc kąt między dwiema przekątnymi ścian w 2D zamiast w 3D |\n| C | \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Odpowiada \\(\\alpha = 60°\\) - uczeń mógł policzyć kąt między przekątną przestrzenną a **krawędzią** sześcianu (\\(\\cos = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\), \\(\\sin = \\sqrt{\\frac{2}{3}} \\approx 0{,}816\\)) lub pomieszać działania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\) pojawia się w obliczeniach jako \\(\\cos\\alpha\\) - jeśli go widzisz, sprawdź, czy nie pomyliłeś sinusa z cosinusem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna **ściany** sześcianu to \\(a\\sqrt{2}\\), a przekątna **przestrzenna** to \\(a\\sqrt{3}\\). Mylenie tych dwóch to najczęstszy błąd w zadaniach o sześcianie - wypisz je na początku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 kluczowe jest rozpoznanie, że trójkąt \\(AB'C'\\) jest **prostokątny przy \\(B'\\)**. Warto to zawsze sprawdzić wzorem Pitagorasa przed użyciem definicji sinusa.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny w sześcianie\nNiech krawędź sześcianu = \\(a\\). Przekątna ściany bocznej = \\(a\\sqrt{2}\\), przekątna sześcianu = \\(a\\sqrt{3}\\). W trójkącie prostokątnym utworzonym przez przekątną sześcianu, przekątną ściany bocznej i krawędzią (która jest prostopadła do ściany i ma długość \\(a\\)):\n- przeciwprostokątna = \\(a\\sqrt{3}\\) (przekątna sześcianu)\n- przyprostokątna naprzeciw kąta \\(\\alpha\\) = \\(a\\) (krawędź)\n\\[\\sin\\alpha = \\tfrac{a}{a\\sqrt{3}} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez cosinus i dopełnienie\n\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{a\\sqrt{2}}{a\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{6}}{3}\\). Wtedy:\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{1 - \\tfrac{6}{9}} = \\sqrt{\\tfrac{3}{9}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{\\sqrt{6}}{3}\\)** - to \\(\\cos\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\).\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)** - \\(\\sin 45^{\\circ}\\); ale \\(\\alpha \\neq 45^{\\circ}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - \\(\\sin 60^{\\circ}\\); niewłaściwe dopasowanie.\n\n**Trik:** Zidentyfikuj trójkąt prostokątny: przekątna sześcianu, przekątna ściany, krawędź.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nW zestawie\nliczb\nliczb\n2, 2, 2,\n, 2,4, 4, 4,\n, 4\nm\nm\n jest 2m liczb (\n1)\nm ≥\n, w tym m liczb 2 i m liczb 4.\nOdchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe\nA. 2\nB. 1\nC.\n1\n2\nD.\n2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie standardowe\ndanych; interpretuje te parametry dla danych\nempirycznych (10.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(100\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów walca z przekroju osiowego\n\n**Przekrój osiowy walca** to prostokąt, którego:\n- szerokość = **średnica podstawy** = \\(2r\\)\n- wysokość = **wysokość walca** = \\(h\\)\n\nSkoro przekrój jest **kwadratem**, to:\n\\[2r = h\\]\n\n**Wyznaczamy bok kwadratu z przekątnej:**\n\nPrzekątna kwadratu o boku \\(a\\) wynosi \\(a\\sqrt{2}\\), więc:\n\\[a\\sqrt{2} = 10\\sqrt{2}\\]\n\\[a = 10\\]\n\n**Odczytujemy wymiary walca:**\n\\[2r = 10 \\implies r = 5\\]\n\\[h = 10\\]\n\n**Obliczamy pole powierzchni bocznej walca:**\n\\[P_b = 2\\pi r h = 2\\pi \\cdot 5 \\cdot 10 = \\mathbf{100\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez przekątną bezpośrednio\n\nSkoro kwadrat ma bok \\(a = 10\\), to \\(r = \\frac{a}{2} = 5\\) i \\(h = a = 10\\).\n\nMożemy też zapisać \\(r\\) wprost przez przekątną \\(d = 10\\sqrt{2}\\):\n\\[a = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{10\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 10\\]\n\nDalej identycznie: \\(P_b = 2\\pi \\cdot 5 \\cdot 10 = 100\\pi\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej walca:\n\\[P_b = 2\\pi r h\\]\nUżyliśmy tego wzoru po wyznaczeniu \\(r\\) i \\(h\\) z warunków zadania.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - przekątna kwadratu o boku \\(a\\):\n\\[d = a\\sqrt{2}\\]\n(szczególny przypadek twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego równoramiennego)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(50\\pi\\) | Wzięto \\(P_b = \\pi r h\\) zamiast \\(2\\pi r h\\) (zapomniano o czynniku 2) |\n| C - \\(200\\pi\\) | Wzięto \\(r = 10\\) (utożsamiono bok kwadratu ze średnicą, a nie promieniem) |\n| D - \\(250\\pi\\) | Policzono pole powierzchni **całkowitej** \\(P_c = 2\\pi r(r+h)\\) zamiast bocznej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bok kwadratu to **średnica** \\(2r\\), nie promień! Stąd \\(r = \\frac{a}{2} = 5\\). Pomylenie promienia ze średnicą to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy to prostokąt - nie mylić z **przekrojem równoległym do podstawy** (który jest kołem). Osiowy = przez oś walca.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z przekątnej \\(d = 10\\sqrt{2}\\) wynika bok \\(a = 10\\), **nie** \\(a = 10\\sqrt{2}\\). Nie pomijaj dzielenia przez \\(\\sqrt{2}\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wymiary walca\nPrzekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach \\(2r\\) (średnica) i \\(H\\) (wysokość). Ponieważ jest kwadratem: \\(2r = H\\). Przekątna kwadratu = \\(\\text{bok}\\cdot\\sqrt{2}\\), więc:\n\\[2r\\cdot\\sqrt{2} = 10\\sqrt{2} \\;\\Longrightarrow\\; 2r = 10 \\;\\Longrightarrow\\; r = 5,\\ H = 10.\\]\nPole powierzchni bocznej walca (karta wzorów, Dział 11):\n\\[P_b = 2\\pi r H = 2\\pi\\cdot 5\\cdot 10 = 100\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Pole rozwinięcia\nPowierzchnia boczna walca po rozwinięciu to prostokąt o bokach \\(2\\pi r\\) i \\(H\\). Ponieważ \\(2r = H = 10\\):\n\\[P_b = 2\\pi\\cdot 5\\cdot 10 = 100\\pi.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(50\\pi\\)** - brak podwojenia promienia (\\(\\pi r H\\) zamiast \\(2\\pi r H\\)).\n- **C. \\(200\\pi\\)** - \\(r = 10\\) zamiast 5 (pomylono bok z przekątną).\n- **D. \\(250\\pi\\)** - niewłaściwe wymiary.\n\n**Trik:** Przekątna kwadratu = bok × \\(\\sqrt{2}\\), więc bok = \\(\\tfrac{\\text{przek.}}{\\sqrt{2}}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nIle jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych\nprzez 5?\nA. 402\nB. 403\nC. 203\nD. 204","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających użycia\nwzorów kombinatorycznych; stosuje zasadę\nmnożenia (10.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - mediana wynosi **4**\n\n## Sposób 1 - Wypisanie danych i znalezienie środkowego wyrazu\n\n**Krok 1: Ile ocen łącznie?**\n\nSumujemy liczby ocen:\n\\[2 + 3 + 5 + 5 + 1 = 16\\]\n\nMamy łącznie \\(16\\) ocen.\n\n**Krok 2: Który wyraz jest medianą?**\n\nDla parzystej liczby danych mediana to **średnia arytmetyczna 8. i 9. wyrazu** (po uszeregowaniu).\n\n**Krok 3: Uszereguj dane rosnąco i policz pozycje**\n\n| Pozycja | Ocena |\n| 1-1 | 2 (jest 1 taka ocena) |\n| 2-6 | 3 (jest 5 takich ocen) |\n| 7-11 | 4 (jest 5 takich ocen) |\n| 12-14 | 5 (są 3 takie oceny) |\n| 15-16 | 6 (są 2 takie oceny) |\n\n**Krok 4: Odczytaj 8. i 9. wyraz**\n\n- 8. wyraz: ocena **4** (bo pozycje 7-11 to czwórki)\n- 9. wyraz: ocena **4** (j.w.)\n\n**Krok 5: Oblicz medianę**\n\\[\\text{mediana} = \\frac{4 + 4}{2} = \\mathbf{4}\\]\n\n## Sposób 2 - Zliczanie \"od lewej\" bez wypisywania tabeli\n\nSzukamy, gdzie kumulatywna liczba ocen przekracza \\(\\frac{16}{2} = 8\\).\n\n| Ocena | Liczba | Skumulowana liczba |\n| 2 | 1 | 1 |\n| 3 | 5 | 6 |\n| **4** | **5** | **11** |\n| 5 | 3 | 14 |\n| 6 | 2 | 16 |\n\nPo ocenach \\(2\\) i \\(3\\) mamy łącznie **6** wyrazów - to za mało (potrzebujemy 8. i 9.).\nCzwórki zajmują pozycje od 7. do 11. - zarówno 8. jak i 9. wyraz to **4**.\n\n\\[\\text{mediana} = \\frac{4 + 4}{2} = \\mathbf{4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32):**\n\n> **Mediana:** środkowy wyraz ciągu uporządkowanego (gdy \\(n\\) nieparzyste) lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (gdy \\(n\\) parzyste):\n> \\[\\text{mediana} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\\]\n\nTutaj \\(n = 16\\) (parzyste), więc liczymy średnią 8. i 9. wyrazu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(3\\) | Uczeń liczy medianę jako ocenę najczęściej powtarzającą się wśród niższych, albo myli medianę z modą na dolnym przedziale danych |\n| B - \\(3{,}5\\) | Uczeń bierze średnią z oceny 3 i 4, zakładając błędnie, że środkowe wyrazy to \"3 i 4\" (nie zlicza pozycji dokładnie) |\n| D - \\(4{,}5\\) | Uczeń bierze średnią z 4 i 5, np. przyjmuje, że 8. wyraz to 4, a 9. to 5 (błąd w liczeniu skumulowanych pozycji) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dane w tabeli NIE są jeszcze uszeregowane jako lista - najpierw trzeba odczytać, ile razy każda wartość się pojawia, i zliczać pozycje od najmniejszej do największej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie danych (\\(n = 16\\)) mediana to **średnia dwóch środkowych wyrazów** (8. i 9.), a nie jeden wyraz. Tutaj oba są równe 4, więc wynik wychodzi \"gładko\" - ale nie zawsze tak jest!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić mediany z **modą** (najczęstszą wartością - tu byłyby 3 i 4 remis) ani ze **średnią arytmetyczną**. To trzy różne parametry statystyczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wypisanie danych i znalezienie środka\nLiczba wszystkich ocen: \\(2+3+5+5+1 = 16\\). Uporządkowane dane (rosnąco):\n\\[2, \\underbrace{3,3,3,3,3}_{5}, \\underbrace{4,4,4,4,4}_{5}, \\underbrace{5,5,5}_{3}, \\underbrace{6,6}_{2}\\]\nDla 16 elementów mediana = średnia z elementów 8. i 9. Element 8: licząc 1+5 = 6, dalej 7,8,9,10,11 to czwórki → element 8. to 4. Element 9. to również 4. Mediana = \\(\\tfrac{4+4}{2} = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Pozycja mediany\nDla parzystej liczby (16) mediana = średnia 8. i 9. elementu. Skumulowana częstość: ocena 2: [1], oceny 3: [2-6], oceny 4: [7-11]. Pozycje 8 i 9 to oceny 4. Mediana = 4.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 3** - to jedna z najczęstszych ocen, ale nie mediana.\n- **B. 3,5** - wynikałoby, gdyby środkowe oceny były 3 i 4; tu obie są 4.\n- **D. 4,5** - błędne przesunięcie pozycji.\n\n**Trik:** Dla parzystej liczby danych mediana = średnia dwóch środkowych wyrazów.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nW pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe\nkupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest\nrówne\nA. 35\n15\nB.\n50\n1\nC. 50\n15\nD. 50\n35\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie\nznane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{14}{29}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa klasycznego\n\n**Wyznaczamy liczbę dziewcząt w grupie:**\n\nW grupie jest 29 uczniów, w tym 15 chłopców, więc dziewcząt jest:\n\\[29 - 15 = 14\\]\n\n**Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo klasyczne:**\n\nPrzestrzeń zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\) to wszystkie osoby w grupie - jest ich \\(|\\Omega| = 29\\).\n\nZdarzenie \\(A\\) = „wylosowano dziewczynę\" - liczba sprzyjających wyników: \\(|A| = 14\\).\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{14}{29}\\]\n\n**Zatem \\(P(A) = \\dfrac{14}{29}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez zdarzenie przeciwne\n\nSkoro każda wylosowana osoba jest albo dziewczyną, albo chłopcem:\n\\[P(\\text{dziewczyna}) + P(\\text{chłopiec}) = 1\\]\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania chłopca:\n\\[P(\\text{chłopiec}) = \\frac{15}{29}\\]\n\nZatem prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny:\n\\[P(\\text{dziewczyna}) = 1 - \\frac{15}{29} = \\frac{29}{29} - \\frac{15}{29} = \\frac{14}{29}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1: \\(|A| = 14\\) (dziewczęta), \\(|\\Omega| = 29\\) (wszyscy uczniowie).\n\nOraz własność zdarzenia przeciwnego:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2, traktując „chłopiec\" jako zdarzenie przeciwne do „dziewczyna\".\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(\\dfrac{14}{15}\\) | Uczeń dzieli liczbę dziewcząt (14) przez liczbę chłopców (15) - mylnie porównuje dwie grupy między sobą zamiast do całości |\n| B: \\(\\dfrac{1}{14}\\) | Uczeń bierze odwrotność liczby dziewcząt - kompletne nieporozumienie wzoru |\n| D: \\(\\dfrac{15}{29}\\) | Uczeń liczy prawdopodobieństwo wylosowania **chłopca**, nie dziewczyny - zamienia zdarzenia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw oblicz liczbę dziewcząt! \\(29 - 15 = 14\\), a nie 15. Zadanie podaje wprost liczbę chłopców, nie dziewcząt - to celowa pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to **całkowita** liczba osób w grupie (29), nie liczba dziewcząt ani chłopców. Prawdopodobieństwo zawsze liczymy względem całej przestrzeni zdarzeń.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(\\frac{15}{29}\\)) to poprawna odpowiedź na inne pytanie - „ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania chłopca\". Na egzaminie czytaj pytanie do końca!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa klasycznego\nLiczba dziewcząt: \\(29 - 15 = 14\\). Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych: 29.\n\\[P(\\text{dziewczyna}) = \\tfrac{\\text{liczba dziewcząt}}{\\text{liczba wszystkich}} = \\tfrac{14}{29}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zdarzenie przeciwne\n\\(P(\\text{chłopak}) = \\tfrac{15}{29}\\), więc \\(P(\\text{dziewczyna}) = 1 - \\tfrac{15}{29} = \\tfrac{14}{29}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{14}{15}\\)** - to stosunek dziewcząt do chłopców, nie do wszystkich.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{14}\\)** - nieprawidłowe użycie liczb.\n- **D. \\(\\tfrac{15}{29}\\)** - prawdopodobieństwo wylosowania chłopca.\n\n**Trik:** \\(P = \\tfrac{\\text{sprzyjające}}{\\text{wszystkie}}\\); zawsze licznik do liczebności całej przestrzeni.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n5\n3\n2\n2\n>\n-x\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy\nprzedziałów (3.a).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.\nPierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:\n• zapisujemy nierówność w postaci\ni obliczamy pierwiastki trójmianu\nkwadratowego\no obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\ni stąd\noraz\nalbo\no stosujemy wzory Viète’a:\noraz\n, stąd\noraz\nDrugi etap rozwiązania: podajemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• realizując pierwszy etap popełni błędy, ale otrzyma nierówność, w której po jednej\nstronie występuje pełny trójmian kwadratowy posiadający dwa różne pierwiastki\ni konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\n,\nlub\n2\n2\n3\n5\nx\nx\n0\n5\n3\n2\n2\n>\n-x\nx\n2\n2\n3\n5\nx\nx\n(\n)\n49\n5\n2\n4\n9\n⋅\n⋅\nΔ\n1\n3 7\n4\n1\nx\n2\n3 7\n5\n4\n2\nx\n1\n2\n5\n2\nx x\n⋅\n1\n2\n3\n2\nx\nx\n1\n1\nx = -\n2\n5\n2\nx =\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\n1\n1\nx = -\n2\n5\n2\nx =\n( )\n2\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\n5\n2\n1\nx\nx\n< -∨\n>\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\ni\n,\noraz\n, itp.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n,\ni błędnie zapisze\nodpowiedź, np.\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający po poprawnym rozwiązaniu nierówności zapisuje w odpowiedzi, jako zbiór\nrozwiązań, zbiór, zawierający elementy nienależące do zbioru\nlub\nzbiór pusty, to otrzymuje 1 punkt. Zapisanie w miejscu przeznaczonym na odpowiedź\npierwiastków trójmianu kwadratowego nie jest traktowane jak opis zbioru rozwiązań.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci\n,\n, to przyznajemy 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-8, 2)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pierwiastki (delta)\n\n**Szukamy miejsc zerowych** trójmianu \\(f(x) = x^2 + 6x - 16\\).\n\nWyznaczamy deltę:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-16) = 36 + 64 = 100\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 - \\sqrt{100}}{2} = \\frac{-6 - 10}{2} = \\frac{-16}{2} = -8\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 + 10}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Postać iloczynowa:** \\(f(x) = (x+8)(x-2)\\)\n\nTeraz analizujemy znak. Parabola otwarta w górę (\\(a = 1 > 0\\)), więc:\n- dla \\(x < -8\\): \\(f(x) > 0\\)\n- dla \\(x \\in (-8, 2)\\): \\(f(x) < 0\\) ✓\n- dla \\(x > 2\\): \\(f(x) > 0\\)\n\n**Nierówność \\(f(x) < 0\\) zachodzi dla \\(x \\in (-8, 2)\\).**\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez delty)\n\nSzukamy dwóch liczb, których **iloczyn** to \\(-16\\), a **suma** to \\(6\\).\n\nPróbujemy: \\(8 \\cdot (-2) = -16\\) oraz \\(8 + (-2) = 6\\) ✓\n\nZatem:\n\\[x^2 + 6x - 16 = (x + 8)(x - 2)\\]\n\nNierówność staje się:\n\\[(x+8)(x-2) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy **mają przeciwne znaki**:\n\n| Czynnik | \\(x < -8\\) | \\(-8 < x < 2\\) | \\(x > 2\\) |\n| \\(x+8\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| \\(x-2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| Iloczyn | \\(+\\) | \\(-\\) ✓ | \\(+\\) |\n\n**Iloczyn ujemny dla \\(x \\in (-8, 2)\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = -8\\), \\(x_2 = 2\\).\n\nKluczowa własność z karty: parabola \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) z \\(a > 0\\) przyjmuje wartości **ujemne między miejscami zerowymi**.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\\(<\\)), więc końce przedziału są **wykluczone** - zapisujemy \\((-8, 2)\\), nie \\(\\langle -8, 2 \\rangle\\). Gdyby było \\(\\leq 0\\), dopiero wtedy domykamy nawias.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwarta w górę (\\(a > 0\\)) ma wartości ujemne **między** pierwiastkami - łatwo pomylić i wziąć dopełnienie \\((-\\infty, -8) \\cup (2, +\\infty)\\), co jest odpowiedzią dla nierówności \\(> 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie na czynniki sprawdź sumę i iloczyn - tu suma wynosi \\(+6\\) (nie \\(-6\\)), więc większa liczba musi być dodatnia: \\(+8\\) i \\(-2\\), nie \\(-8\\) i \\(+2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-8, 2)\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków przez deltę (karta wzorów, Dział 4)\nTrójmian \\(x^2 + 6x - 16\\) ma \\(a=1,\\ b=6,\\ c=-16\\):\n\\[\\Delta = 6^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-16) = 36 + 64 = 100,\\quad \\sqrt{\\Delta} = 10.\\]\n\\[x_1 = \\tfrac{-6-10}{2} = -8,\\qquad x_2 = \\tfrac{-6+10}{2} = 2.\\]\nPonieważ \\(a > 0\\), parabola jest wypukła w górę. Nierówność \\(< 0\\) spełniona między pierwiastkami:\n\\[x \\in (-8, 2).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nSzukamy dwóch liczb, których suma = \\(-6\\) i iloczyn = \\(-16\\). To \\(-8\\) i \\(2\\). Zatem \\(x^2 + 6x - 16 = (x+8)(x-2) < 0\\). Iloczyn ujemny, gdy czynniki mają przeciwne znaki: \\(-8 < x < 2\\).\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** poprawne wyznaczenie pierwiastków \\(x_1 = -8,\\ x_2 = 2\\) i na tym zakończenie LUB błędnie zapisany zbiór rozwiązań.\n- **2 pkt:** poprawne podanie zbioru rozwiązań w postaci \\((-8, 2)\\) lub \\(x \\in (-8, 2)\\), lub \\(x > -8 \\wedge x < 2\\), lub graficznie z poprawnie zaznaczonymi końcami.\n- **2 pkt:** nawet w przypadku popełnienia błędu porządku: np. \\(x \\in (2, -8)\\) (uwzględnione w kryteriach CKE).\n\n**Trik:** Dla \\(ax^2+bx+c < 0\\) z \\(a>0\\) zbiór rozwiązań to \\((x_1, x_2)\\) - OTWARTY (znak ostry).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n7\n4\n28\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nwielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n4\n7\n0\nx\nx\nx\nlub (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n7\n4\n0\nx x\nx\nStąd (\n)(\n)\n2\n4\n7\n0\nx\nx\n, czyli (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n7\n0\nx\nx\nx\nZatem\n2\nx =\nlub\n2\nx = -, lub\n7\nx =\n1\nx < -\n5\n2\nx >\n1\nx < -\n5\n2\nx >\n1\n1\nx = -\n2\n5\n2\nx =\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,1\n,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1,\n-∞\n∪-\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1,\n+∞\n∪-\n-∞\nx\nII sposób\nStwierdzamy, że liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n7\nx-. Otrzymujemy iloraz\n2\n4\nx -\n. Zapisujemy równanie w\npostaci (\n)(\n)\n2\n7\n4\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n7\n2\n2\n0\nx\nx\nx\n, czyli\n2\nx =\nlub\n2\nx = -, lub\n7\nx =\nUwaga\nZdający może ustalić, że pierwiastkiem wielomianu jest:\n- liczba 2 i zapisać równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n5\n14\n0\nx\nx\nx\n;\n- liczba 2\n- i zapisać równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n9\n14\n0\nx\nx\nx\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n7\nx-, otrzyma iloraz\n2\n4\nx -\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n2\nx-, otrzyma iloraz\n2\n5\n14\nx\nx\n,\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n2\nx+\n, otrzyma iloraz\n2\n9\n14\nx\nx\n,\nalbo\n• zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu:\n(\n)(\n)\n2\n4\n7\n0\nx\nx\nlub (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n7\n0\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n2\nx =\n,\n2\nx = -,\n7\nx =\nUwaga\nJeżeli zdający w trakcie doprowadzania lewej strony równania do postaci iloczynu popełni\nwięcej niż jedną usterkę, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-3, -4, 4\\}\\)\n\nRównanie ma trzy pierwiastki: \\(x = -3\\), \\(x = -4\\), \\(x = 4\\).\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki + zerowanie iloczynów\n\nIloczyn dwóch czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden z nich jest zerem**. Rozwiązujemy więc dwa równania osobno.\n\n**Czynnik 1:** \\(x^3 + 27 = 0\\)\n\nRozpoznajemy sumę sześcianów: \\(27 = 3^3\\), więc:\n\n\\[x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0\\]\n\nStąd:\n- \\(x + 3 = 0 \\implies x = -3\\)\n- \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\)\n\nSprawdzamy deltę dla \\(x^2 - 3x + 9\\):\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0\\]\n\nDelta ujemna - **brak pierwiastków rzeczywistych** z tego czynnika.\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 16 = 0\\)\n\nRozpoznajemy różnicę kwadratów: \\(16 = 4^2\\), więc:\n\n\\[x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4) = 0\\]\n\nStąd:\n- \\(x - 4 = 0 \\implies x = 4\\)\n- \\(x + 4 = 0 \\implies x = -4\\)\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -3\\) lub \\(x = -4\\) lub \\(x = 4\\)\n\n## Sposób 2 - Rozwiązanie bez rozkładu na czynniki (wprost z definicji)\n\nMożna też rozwiązać oba składowe równania bez wzorów skróconego mnożenia.\n\n**Czynnik 1:** \\(x^3 + 27 = 0\\)\n\\[x^3 = -27\\]\n\\[x = \\sqrt[3]{-27} = -3\\]\n\n(W zbiorze liczb rzeczywistych sześcian ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty - ujemny dla ujemnej liczby.)\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 16 = 0\\)\n\\[x^2 = 16\\]\n\\[x = \\pm\\sqrt{16} = \\pm 4\\]\n\n**Weryfikacja** - podstawiamy do oryginalnego równania:\n- \\(x = -3\\): \\(((-3)^3 + 27)((-3)^2 - 16) = (-27+27)(9-16) = 0 \\cdot (-7) = 0\\) ✓\n- \\(x = 4\\): \\((64+27)(16-16) = 91 \\cdot 0 = 0\\) ✓\n- \\(x = -4\\): \\((-64+27)(16-16) = (-37) \\cdot 0 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\nSuma sześcianów:\n\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]\nUżyliśmy do rozłożenia \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\\).\n\nRóżnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy do rozłożenia \\(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do sprawdzenia, że \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta = -27 < 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj o czynniku \\(x^2 - 3x + 9\\)! Po rozłożeniu \\(x^3 + 27\\) dostajemy **dwa** czynniki. Trzeba sprawdzić deltę drugiego - tu \\(\\Delta < 0\\), więc nie daje pierwiastków rzeczywistych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^3 = -27\\) ma **dokładnie jeden** pierwiastek rzeczywisty: \\(x = -3\\). To nie to samo co \\(x^2 = 27\\), gdzie mamy \\(\\pm\\sqrt{27}\\). Funkcja \\(f(x) = x^3\\) jest ściśle rosnąca, więc każda wartość ma tylko jeden pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć \\(x = -4\\). Pamiętaj: \\(x^2 = 16\\) daje **dwa** rozwiązania: \\(x = 4\\) i \\(x = -4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 4\\), lub \\(x = -4\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn równy zero\nIloczyn dwóch czynników = 0, gdy przynajmniej jeden z nich = 0:\n- \\(x^3 + 27 = 0 \\Rightarrow x^3 = -27 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{-27} = -3.\\)\n- \\(x^2 - 16 = 0 \\Rightarrow (x-4)(x+4) = 0 \\Rightarrow x = 4 \\lor x = -4.\\)\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\{-4, -3, 4\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę sześcianów\nZ karty wzorów: \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\). Tu:\n\\[x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9).\\]\nDrugi czynnik \\(x^2 - 3x + 9\\) ma \\(\\Delta = 9 - 36 < 0\\), brak pierwiastków rzeczywistych. Stąd \\(x^3 + 27 = 0\\) tylko dla \\(x = -3\\). Dalej jak wyżej.\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** zapisanie dwóch równań \\(x^3 + 27 = 0\\) i \\(x^2 - 16 = 0\\), LUB wyznaczenie rozwiązań jednego z równań.\n- **2 pkt:** wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \\(x = -3\\) lub \\(x = 4\\), lub \\(x = -4\\). Podanie samej odpowiedzi bez obliczeń również daje 2 pkt.\n\n**Trik:** Iloczyn = 0 ⟺ co najmniej jeden czynnik = 0 (twierdzenie o iloczynie).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność\n1\n1\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami\nskróconego mnożenia (2.a).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNierówność możemy przekształcić równoważnie\n2\n2\na\nb\nab\na\nb\n≥\nPonieważ liczby a i b są dodatnie, więc\ni\n. Mnożąc obie strony nierówności\nprzez\n, otrzymujemy\n,\n,\n,\nTa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności\nrównież dla liczb dodatnich. To kończy dowód.\nII sposób\nNierówność możemy przekształcić równoważnie\n2\n0\n2\na\nb\nab\na\nb\n≥\n,\nPonieważ liczby a i b są dodatnie, więc\ni\n. Mnożąc obie strony nierówności\nprzez\n, otrzymujemy\n,\n,\n,\nTa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności\nrównież dla liczb dodatnich. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci\nlub\n, lub\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zakończy rozumowanie, zapisując nierówność\ni nie powoła\nsię na stosowne twierdzenie, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający przeprowadzi poprawne rozumowanie, które zakończy zapisaniem\nnierówności\n, to otrzymuje 2 punkty.\n0\na\nb\n>\n2\n0\nab >\n(\n)\n2ab a\nb\n(\n)\n2\n4\na\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n4\na\nab\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n0\n2\na\nb\nab\nab a\nb\n≥\n0\na\nb\n>\n2\n0\nab >\n(\n)\n2ab a\nb\n(\n)\n2\n4\n0\na\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n4\n0\na\nab\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥\n(\n)\n2\n4\na\nb\nab\n≥\n(\n)\n2\n4\n0\na\nb\nab\n≥\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n0\n2\na\nb\nab\nab a\nb\n≥\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥","solution":"## Poprawna odpowiedź: Wykazujemy, że \\(AB = BF\\), skąd punkt \\(B\\) jest środkiem \\(AF\\).\n\n## Sposób 1 - Przystające trójkąty (ABS)\n\n**Cel:** pokazać, że \\(AB = BF\\).\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** punkty \\(B\\), \\(E\\), \\(F\\), \\(D\\), \\(C\\) tworzą dwie figury, w których możemy znaleźć przystające trójkąty.\n\n**Krok 1 - kąty wierzchołkowe przy \\(E\\).**\n\nOdcinki \\(BC\\) i \\(DF\\) przecinają się w punkcie \\(E\\). Kąty wierzchołkowe są równe:\n\\[\\angle BEF = \\angle CED\\]\n\n**Krok 2 - boki przy \\(E\\).**\n\nPunkt \\(E\\) jest środkiem \\(BC\\), a więc:\n\\[BE = CE\\]\n\n**Krok 3 - kąty naprzemianległe.**\n\nW równoległoboku \\(ABCD\\) mamy \\(AB \\parallel DC\\). Prosta \\(DF\\) jest ich sieczną. Kąty naprzemianległe (po przeciwnych stronach siecznej, między równoległymi) są równe:\n\\[\\angle EFB = \\angle EDC\\]\n\n*(Uzasadnienie: wektory \\(\\overrightarrow{FE}\\) i \\(\\overrightarrow{DC}\\) wskazują przeciwne kierunki do \\(\\overrightarrow{FD}\\) i \\(\\overrightarrow{CD}\\) - kąt między sieczną a prostą \\(AB\\) przy \\(F\\) jest równy kątowi między sieczną a prostą \\(DC\\) przy \\(D\\).)*\n\n**Krok 4 - przystające trójkąty.**\n\nW trójkątach \\(BEF\\) i \\(CED\\) zachodzą:\n- \\(\\angle BEF = \\angle CED\\) (kąty wierzchołkowe)\n- \\(BE = CE\\) (E - środek \\(BC\\))\n- \\(\\angle EFB = \\angle EDC\\) (kąty naprzemianległe)\n\nZ twierdzenia **ABS** (kąt-bok-kąt):\n\\[\\triangle BEF \\cong \\triangle CED\\]\n\n**Krok 5 - wniosek.**\n\nZ przystawania wynika, że odpowiadające sobie boki są równe:\n\\[BF = CD\\]\n\nPonieważ \\(ABCD\\) jest równoległobokiem:\n\\[CD = AB\\]\n\nZatem:\n\\[BF = AB\\]\n\nPunkt \\(B\\) leży na odcinku \\(AF\\) (między \\(A\\) i \\(F\\)) i spełnia \\(AB = BF\\), więc **\\(B\\) jest środkiem odcinka \\(AF\\)**. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Wektory (metoda analityczna)\n\nPrzyjmujemy \\(A\\) za początek układu. Niech \\(\\vec{b} = \\overrightarrow{AB}\\) i \\(\\vec{d} = \\overrightarrow{AD}\\) - wektory liniowo niezależne.\n\nWyznaczamy położenia wszystkich punktów:\n\\[A = \\vec{0},\\quad B = \\vec{b},\\quad C = \\vec{b} + \\vec{d},\\quad D = \\vec{d}\\]\n\\[E = \\text{środek } BC = \\frac{B + C}{2} = \\vec{b} + \\frac{1}{2}\\vec{d}\\]\n\n**Parametryzacja prostej \\(DE\\):**\n\\[\\vec{r}(t) = D + t\\cdot\\overrightarrow{DE} = \\vec{d} + t\\left(\\vec{b} + \\frac{1}{2}\\vec{d} - \\vec{d}\\right) = \\vec{d} + t\\left(\\vec{b} - \\frac{1}{2}\\vec{d}\\right)\\]\n\n**Parametryzacja prostej \\(AB\\)** (przedłużenie):\n\\[\\vec{r}(s) = s\\vec{b}\\]\n\n**Punkt przecięcia \\(F\\)** - przyrównujemy:\n\\[\\vec{d} + t\\vec{b} - \\frac{t}{2}\\vec{d} = s\\vec{b}\\]\n\\[\\vec{d}\\left(1 - \\frac{t}{2}\\right) = \\vec{b}(s - t)\\]\n\nPonieważ \\(\\vec{b}\\) i \\(\\vec{d}\\) są liniowo niezależne, oba współczynniki muszą być zerowe:\n\\[1 - \\frac{t}{2} = 0 \\implies \\boxed{t = 2}\\]\n\\[s - t = 0 \\implies s = 2\\]\n\nZatem:\n\\[F = s\\vec{b} = 2\\vec{b}\\]\n\n**Sprawdzenie środka:**\n\\[\\overrightarrow{AB} = \\vec{b}, \\qquad \\overrightarrow{BF} = F - B = 2\\vec{b} - \\vec{b} = \\vec{b}\\]\n\nPonieważ \\(\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{BF}\\), punkty \\(A\\), \\(B\\), \\(F\\) są współliniowe i \\(AB = BF\\), więc **\\(B\\) jest środkiem odcinka \\(AF\\)**. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa i własności kątów:**\n\nTwierdzenie o kątach naprzemianległych przy prostych równoległych:\n\\[\\text{Jeśli } AB \\parallel DC \\text{ i sieczna tnie obie proste, to kąty naprzemianległe są równe.}\\]\n\nUżyte w Sposobie 1 (krok 3) do wykazania \\(\\angle EFB = \\angle EDC\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - Wektory:**\n\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A], \\qquad |\\vec{AB}| = \\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\\]\n\nUżyte w Sposobie 2 do parametrycznego opisu prostych i wyznaczenia punktu \\(F\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj pochopnie, że \\(\\triangle BEF \\cong \\triangle CED\\) tylko dlatego, że \\(E\\) jest środkiem - musisz uzasadnić co najmniej dwa kąty. Same dwa boki (SSS lub SAS) tu nie działają bez dodatkowej informacji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąty naprzemianległe zachodzą tylko dla prostych **równoległych** - zawsze powołaj się na właściwość równoległoboku \\(AB \\parallel DC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W rozwiązaniu wektorowym kluczowe jest to, że \\(\\vec{b}\\) i \\(\\vec{d}\\) są **liniowo niezależne** (bo \\(ABCD\\) jest równoległobokiem, a nie degeneruje do odcinka). Bez tego nie możemy „rozdzielić\" współczynników przy \\(\\vec{b}\\) i \\(\\vec{d}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: dowód, \\(|AB| = |BF|\\), czyli \\(B\\) jest środkiem \\(AF\\).**\n\n### Sposób 1 - Przystawanie trójkątów (cecha kąt-bok-kąt)\nRozpatrujemy trójkąty \\(BFE\\) i \\(CDE\\):\n1. \\(|BE| = |EC|\\) - bo \\(E\\) jest środkiem \\(BC\\).\n2. \\(\\angle BEF = \\angle CED\\) - kąty wierzchołkowe.\n3. \\(\\angle FBE = \\angle DCE\\) - kąty naprzemianległe przy prostych równoległych \\(AF \\parallel CD\\) (bo \\(AB \\parallel CD\\) w równoległoboku).\n\nZ cechy \\(kbk\\) (kąt-bok-kąt) trójkąty \\(BFE\\) i \\(CDE\\) są przystające. Stąd \\(|BF| = |CD|\\). Ponieważ \\(ABCD\\) to równoległobok, \\(|AB| = |CD|\\). Wniosek: \\(|AB| = |BF|\\), czyli \\(B\\) jest środkiem odcinka \\(AF\\). ∎\n\n### Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów\nTrójkąty \\(AFD\\) i \\(BFE\\) są podobne (wspólny kąt przy \\(F\\), kąty \\(\\angle DAF = \\angle EBF\\) jako odpowiadające dla równoległych \\(AD \\parallel BE\\)). Z podobieństwa: \\(\\tfrac{|AD|}{|BE|} = \\tfrac{|AF|}{|BF|}\\). Ponieważ \\(|BE| = \\tfrac{1}{2}|BC| = \\tfrac{1}{2}|AD|\\), mamy \\(\\tfrac{|AD|}{\\tfrac{1}{2}|AD|} = 2 = \\tfrac{|AF|}{|BF|}\\). Stąd \\(|AF| = 2|BF|\\), czyli \\(|AB| = |BF|\\). ∎\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** zapisanie lub wykorzystanie przystawania trójkątów \\(BFE\\) i \\(CDE\\); LUB zauważenie podobieństwa \\(AFD \\sim BFE\\) i zapisanie proporcji.\n- **2 pkt:** przeprowadzenie pełnego, poprawnego rozumowania prowadzącego do wniosku \\(|AB| = |BF|\\).\n\n**Trik:** W zadaniach typu „wykaż, że punkt to środek\" szukamy pary trójkątów przystających, w których szukane odcinki są sobie równe.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nOkręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu\nramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.\nUzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od\n2\n1\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nB\nA\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-4)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w\nzadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym (7.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWtedy\noraz\n. Zatem\nŚrednica okręgu o środku B i promieniu r jest krótsza od odcinka SE, więc\n, czyli\nCo kończy dowód.\nII sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWtedy\n,\noraz\nPonieważ\n, więc otrzymujemy\n,\n2 2\nAS =\n2\nAE =\n2 2\n2\nSE =\n2\n2\n2\n2\n<\nr\n1\n2 -\n<\nr\n2 2\nAS =\n2\nBS\nr\n2\nAE =\nAS\nBS\nBE\nAE\n2 2\n2\n2\nr\nr\n(\n)\n2\n1\n2 2\n2\nr\nB\nA\nS\nC\nD\n2\n2\n2\nE\nr\nr\nB\nA\nS\nC\nD\n2\n2\n2\nE\nr\nr\nG\nF\nStąd mnożąc obie strony tego równania przez\notrzymujemy\n,\n,\n,\nSprawdźmy, czy\nPrzekształcamy tę nierówność równoważnie.\nPonieważ\n, więc\n. Oznacza to, że\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• obliczy\nalbo\n• zapisze równość\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy r i zapisze wynik w postaci ułamka, w którym\nw mianowniku występuje liczba niewymierna, np.\n, i błędnie szacuje tę liczbę,\nnp. stosując takie same przybliżenia z niedomiarem\nw liczniku i w mianowniku,\nto otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający błędnie przyjmie, że długość odcinka, którego jednym końcem jest punkt\nstyczności okręgów, a drugim wierzchołek kąta prostego, jest równa długości średnicy\nmniejszego okręgu i nie wycofa się z tego założenia oraz nie obliczy długości wspomnianego\nodcinka, to otrzymuje 0 punktów.\n2\n1\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n1\n2\n1\nr\n(\n)\n2\n2\n2\n1\nr =\n(\n)\n2 2\n2 2\n1\nr =\n(\n)\n2 3\n2 2\nr =\n(\n)\n2 3\n2 2\n2\n1\n<\n6\n4 2\n2\n1\n<\n7\n5 2\n<\n2\n1,41\n1,4\n≈\n>\n5 2\n7\n>\n2\n1\nr <\n2 2\n2\nSE =\n2 2\n2\n2\nr\nr\n2 2\n2\n2\n1\nr\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich $a, b > 0$, z równością gdy $a = b$.\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie i nierówność AM-GM\n\n**Rozwijamy lewą stronę:**\n\n\\[\n(a+b)\\left(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b}\\right) = \\frac{a+b}{a} + \\frac{a+b}{b} = 1 + \\frac{b}{a} + \\frac{a}{b} + 1 = 2 + \\frac{a}{b} + \\frac{b}{a}\n\\]\n\n**Teraz wystarczy pokazać, że:**\n\n\\[\n\\frac{a}{b} + \\frac{b}{a} \\geq 2\n\\]\n\nStosujemy nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM):\n\n\\[\n\\frac{a}{b} + \\frac{b}{a} \\geq 2\\sqrt{\\frac{a}{b} \\cdot \\frac{b}{a}} = 2\\sqrt{1} = 2\n\\]\n\n(AM-GM mówi: dla liczb nieujemnych $p + q \\geq 2\\sqrt{pq}$, tutaj $p = \\frac{a}{b}$, $q = \\frac{b}{a}$, oba dodatnie bo $a, b > 0$)\n\n**Łącząc oba kroki:**\n\n\\[\n(a+b)\\left(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b}\\right) = 2 + \\frac{a}{b} + \\frac{b}{a} \\geq 2 + 2 = 4\n\\]\n\n**Równość zachodzi gdy $\\frac{a}{b} = \\frac{b}{a}$, czyli gdy $a = b$.**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie do $(a-b)^2 \\geq 0$\n\nZamiast stosować AM-GM, cofamy się do czysto algebraicznego argumentu.\n\n**Upraszczamy wspólny mianownik:**\n\n\\[\n(a+b)\\left(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b}\\right) = (a+b) \\cdot \\frac{a+b}{ab} = \\frac{(a+b)^2}{ab}\n\\]\n\n**Nierówność do udowodnienia przyjmuje postać:**\n\n\\[\n\\frac{(a+b)^2}{ab} \\geq 4\n\\]\n\nPonieważ $a, b > 0$, mamy $ab > 0$, więc możemy pomnożyć obie strony przez $ab$ (bez zmiany kierunku nierówności):\n\n\\[\n(a+b)^2 \\geq 4ab\n\\]\n\n**Rozwijamy lewą stronę:**\n\n\\[\na^2 + 2ab + b^2 \\geq 4ab\n\\]\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[\na^2 - 2ab + b^2 \\geq 0\n\\]\n\n\\[\n(a - b)^2 \\geq 0\n\\]\n\n**Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny** - nierówność zachodzi dla wszystkich $a, b \\in \\mathbb{R}$, a w szczególności dla $a, b > 0$.\n\nRówność $(a-b)^2 = 0$ zachodzi dokładnie gdy $a = b > 0$. $\\blacksquare$\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, rozkładając wyrażenie $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \\geq 0$.\n\nNierówność AM-GM ($p + q \\geq 2\\sqrt{pq}$) **nie widnieje wprost** w karcie wzorów CKE, ale jest standardowym faktem, który można wyprowadzić z $({\\sqrt{p}} - \\sqrt{q})^2 \\geq 0$.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno mnożyć przez $ab$ bez zaznaczenia, że $ab > 0$ (bo $a, b > 0$). Gdyby $ab < 0$, kierunek nierówności by się odwrócił.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dowód przez przykłady (np. „sprawdziłem dla $a=1, b=2$\") **nie jest dowodem**. Trzeba pokazać, że nierówność zachodzi dla **wszystkich** $a, b > 0$.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 krok AM-GM wymaga uzasadnienia - sam cytat wzoru to za mało na pełne punkty. Warto dodać, że $\\frac{a}{b} > 0$ i $\\frac{b}{a} > 0$, więc zastosowanie AM-GM jest uprawnione.\n\n**Poprawna odpowiedź: dowód nierówności \\((a+b)(\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}) \\geq 4\\) dla \\(a, b > 0\\).**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie równoważne do \\((a-b)^2 \\geq 0\\)\nRozwijamy iloczyn:\n\\[(a+b)\\left(\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}\\right) = 1 + \\tfrac{a}{b} + \\tfrac{b}{a} + 1 = 2 + \\tfrac{a^2+b^2}{ab}.\\]\nNierówność \\(\\geq 4\\) jest równoważna:\n\\[\\tfrac{a^2+b^2}{ab} \\geq 2 \\iff a^2 + b^2 \\geq 2ab \\iff (a-b)^2 \\geq 0.\\]\nOstatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych. Ponieważ wszystkie przekształcenia są równoważne (przy \\(a, b > 0\\) nie zmieniają znaku), pierwotna nierówność zachodzi. Równość tylko dla \\(a = b\\). ∎\n\n### Sposób 2 - Nierówność między średnimi (AM-GM)\nDla dodatnich \\(a, b\\) zachodzi średnia arytmetyczna \\(\\geq\\) geometryczna:\n\\[a + b \\geq 2\\sqrt{ab}, \\qquad \\tfrac{1}{a} + \\tfrac{1}{b} \\geq 2\\sqrt{\\tfrac{1}{ab}} = \\tfrac{2}{\\sqrt{ab}}.\\]\nMnożąc stronami (obie strony dodatnie):\n\\[(a+b)\\left(\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}\\right) \\geq 2\\sqrt{ab}\\cdot \\tfrac{2}{\\sqrt{ab}} = 4. \\; \\blacksquare\\]\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** przekształcenie do postaci, w której występują jedynie \\(a^2, b^2\\) i \\(ab\\), np. \\(\\tfrac{a^2+b^2}{ab} \\geq 2\\) lub \\(a^2 + b^2 \\geq 2ab\\).\n- **2 pkt:** pełne rozumowanie zakończone \\((a-b)^2 \\geq 0\\) lub użyciem nierówności między średnimi z uzasadnieniem.\n\n**Trik:** Klucz: \\(a^2 + b^2 \\geq 2ab\\) wynika z \\((a-b)^2 \\geq 0\\) - ta nierówność jest fundamentem wielu dowodów.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDo wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem\n( )\nx\na\nx\nf\n(gdzie\n0\n>\na\ni\n1\na ≠), należy punkt\n(\n)\n9\n,2\nP\n. Oblicz a i zapisz zbiór wartości\nfunkcji g, określonej wzorem ( )\n( )\n2\ng x\nf\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający sporządza wykresy funkcji wykładniczych\ndla różnych podstaw i rozwiązuje zadania umieszczone\nw kontekście praktycznym (4.n). Zdający potrafi na podstawie\nwykresu funkcji y = f(x) naszkicować wykresy funkcji y = f(x + a),\ny = f(x) + a, y = -f(x), y = f(-x) (4.d).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ punkt P leży na wykresie funkcji f, więc możemy zapisać:\n, gdzie\nStąd\nZbiorem wartości funkcji wykładniczej f jest przedział\n. Wykres funkcji g powstaje\nprzez przesunięcie wykresu funkcji f o 2 jednostki w dół. Zatem zbiorem wartości funkcji g\njest przedział\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• obliczy a:\nalbo\n• zapisze zbiór wartości funkcji g:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy a:\ni zapisze zbiór wartości funkcji g:\nUwaga\nOpis zbioru wartości uznaje się za poprawny, jeśli zbiór ten jest przedstawiony graficznie\nw sposób jednoznacznie wskazujący, że liczba\n2\n- nie należy do tego zbioru, lub zbiór ten\njest opisany słownie, lub jakąkolwiek poprawną nierównością.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór wartości funkcji\nw postaci\n, to przyznajemy 2 punkty, o ile obliczy\n3\na = .\n2\n9\na\n0\n>\na\n3\na =\n(\n)\n0, + ∞\n(\n)\n2,\n+ ∞\n3\na =\n(\n)\n2,\n+ ∞\n3\na =\n(\n)\n2,\n+ ∞\n(\n)\n,\n2\n+∞-","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = -2\\), różnica \\(r = \\frac{9}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzorów na wyraz i sumę\n\n**Zapisujemy, co wiemy:**\n\nDany ciąg arytmetyczny \\((a_n)\\) spełnia:\n- \\(a_9 = 34\\)\n- \\(S_8 = 110\\)\n\n**Krok 1 - Pierwsze równanie (z wzoru na wyraz ogólny):**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nDla \\(n = 9\\):\n\\[a_1 + 8r = 34 \\tag{1}\\]\n\n**Krok 2 - Drugie równanie (z wzoru na sumę):**\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nDla \\(n = 8\\):\n\\[S_8 = \\frac{2a_1 + 7r}{2} \\cdot 8 = 4(2a_1 + 7r) = 110\\]\n\n\\[2a_1 + 7r = \\frac{110}{4} = \\frac{55}{2} \\tag{2}\\]\n\n**Krok 3 - Rozwiązujemy układ:**\n\nZ równania \\((1)\\): \\(a_1 = 34 - 8r\\)\n\nPodstawiamy do \\((2)\\):\n\\[2(34 - 8r) + 7r = \\frac{55}{2}\\]\n\\[68 - 16r + 7r = \\frac{55}{2}\\]\n\\[68 - 9r = \\frac{55}{2}\\]\n\\[9r = 68 - \\frac{55}{2} = \\frac{136 - 55}{2} = \\frac{81}{2}\\]\n\\[r = \\frac{81}{2 \\cdot 9} = \\frac{9}{2}\\]\n\nStąd:\n\\[a_1 = 34 - 8 \\cdot \\frac{9}{2} = 34 - 36 = -2\\]\n\n**Wynik: \\(a_1 = -2\\), \\(r = \\frac{9}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę przez \\(a_1\\) i \\(a_8\\), z użyciem \\(a_9\\)\n\n**Inny punkt wyjścia - suma jako średnia pierwszego i ostatniego:**\n\n\\[S_8 = \\frac{a_1 + a_8}{2} \\cdot 8 = 4(a_1 + a_8) = 110\\]\n\\[a_1 + a_8 = \\frac{110}{4} = \\frac{55}{2} \\tag{A}\\]\n\nJednocześnie:\n\\[a_9 = a_8 + r = 34 \\implies a_8 = 34 - r \\tag{B}\\]\n\\[a_8 = a_1 + 7r \\tag{C}\\]\n\nZ \\((A)\\) i \\((C)\\):\n\\[a_1 + (a_1 + 7r) = \\frac{55}{2} \\implies 2a_1 + 7r = \\frac{55}{2}\\]\n\nTo jest dokładnie to samo równanie \\((2)\\) co w Sposobie 1 - dalej postępujemy identycznie i otrzymujemy ten sam wynik.\n\n**Weryfikacja wyników:**\n\\[a_9 = -2 + 8 \\cdot \\frac{9}{2} = -2 + 36 = 34 \\checkmark\\]\n\\[S_8 = 4\\!\\left(2 \\cdot (-2) + 7 \\cdot \\frac{9}{2}\\right) = 4\\!\\left(-4 + \\frac{63}{2}\\right) = 4 \\cdot \\frac{55}{2} = 110 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - dwa wzory kluczowe dla tego zadania:\n\n**Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:**\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go, by zapisać warunek \\(a_9 = 34\\) jako równanie z dwiema niewiadomymi.\n\n**Wzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:**\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go, by zapisać warunek \\(S_8 = 110\\) i uzyskać drugie równanie układu.\n\nAlternatywna postać sumy (Sposób 2) - również na karcie:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) dla \\(n = 9\\) mamy \\(\\mathbf{(9-1) = 8}\\), nie \\(9\\). Częsty błąd to napisanie \\(a_1 + 9r = 34\\), co daje zły wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma \\(S_8\\) to suma **ośmiu** wyrazów: \\(a_1, a_2, \\ldots, a_8\\). Ostatni wyraz sumy to \\(a_8\\), nie \\(a_9\\)! Pomylenie tego skutkuje równaniem \\(2a_1 + 8r = \\frac{55}{2}\\), które jest błędne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = \\frac{9}{2} = 4{,}5\\) - ciąg arytmetyczny może mieć różnicę ułamkową. Nie ma wymogu, by \\(r\\) było liczbą całkowitą.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = -2\\), \\(r = 4{,}5\\)**\n\n### Sposób 1 - Układ dwóch równań z wzorów CKE\nZ karty wzorów (Dział 3): \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) oraz \\(S_n = \\tfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\\cdot n\\). Stąd:\n\\[a_9 = a_1 + 8r = 34\\]\n\\[S_8 = \\tfrac{2a_1 + 7r}{2}\\cdot 8 = 4(2a_1 + 7r) = 110.\\]\nUpraszczamy drugie równanie: \\(2a_1 + 7r = \\tfrac{110}{4} = 27{,}5\\), czyli \\(8a_1 + 28r = 110\\).\nZ pierwszego równania: \\(a_1 = 34 - 8r\\). Podstawiamy:\n\\[8(34 - 8r) + 28r = 110\\]\n\\[272 - 64r + 28r = 110\\]\n\\[-36r = -162\\]\n\\[r = 4{,}5.\\]\n\\[a_1 = 34 - 8\\cdot 4{,}5 = 34 - 36 = -2.\\]\n\n### Sposób 2 - Korzystanie ze średniej\n\\(S_8 = 8\\cdot \\tfrac{a_1 + a_8}{2} = 4(a_1 + a_8) = 110\\), stąd \\(a_1 + a_8 = 27{,}5\\). Wiemy \\(a_8 = a_9 - r = 34 - r\\). Oraz \\(a_1 = a_9 - 8r = 34 - 8r\\). Wtedy:\n\\[(34 - 8r) + (34 - r) = 27{,}5\\]\n\\[68 - 9r = 27{,}5\\]\n\\[r = 4{,}5, \\quad a_1 = -2.\\]\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** zapisanie dwóch równań z dwiema niewiadomymi \\(a_1\\) i \\(r\\), np. \\(34 = a_1 + 8r\\) oraz \\(110 = \\tfrac{2a_1+7r}{2}\\cdot 8\\).\n- **2 pkt:** obliczenie \\(a_1 = -2\\) i \\(r = 4{,}5\\).\n\n**Trik:** Dla ciągu arytmetycznego: dwa warunki = układ dwóch równań liniowych. \\(S_n\\) można też wyrazić jako \\(n\\cdot \\tfrac{a_1+a_n}{2}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (\n)\nn\na\n, określonego dla\n1\nn ≥, jest równy 30, a suma jego\ndwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone w kontekście\npraktycznym (5.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nKorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na\n:\nKorzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nwzór na\n:\nOtrzymujemy układ równań\ni\nStąd otrzymujemy\nII sposób\nKorzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nwzór na\n:\nOtrzymujemy równanie\nStąd otrzymujemy\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze dwa równania z niewiadomymi\n1a i r wynikające z zastosowania poprawnych\nwzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego:\nnp.:\ni\n12\na\n12\n1\n(12 1)\na\na\nr\n⋅\n12\nS\n1\n12\n2\n(12 1)\n12\n2\na\nr\nS\n⋅\n⋅\n1\n30\n11\na\nr\n1\n162\n12\n66\na\nr\n1\n3\na = -\n12\nS\n1\n12\n12\n12\n2\na\na\nS\n⋅\n1\n30\n162\n12\n2\na +\n⋅\n1\n3\na = -\n1\n30\n11\na\nr\n1\n2\n11\n162\n12\n2\na\nr\n⋅\n⋅\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą\n1a wynikające z zastosowania poprawnego\nwzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bez wykorzystywania\nróżnicy ciągu:\nnp.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą\ni obliczy pierwszy wyraz ciągu:\nUwagi\n1. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, zapisze poprawny ciąg poprzez wypisanie\n12 początkowych kolejnych wyrazów i ustali, że\n, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, wypisze co najmniej trzy kolejne wyrazy\ni ustali, że\n, ale nie zapisze wszystkich 12 początkowych wyrazów ciągu, to\notrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko\nlub\ni\n, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nRównanie prostej \\(BD\\) to \\(y = \\frac{1}{3}x\\).\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie środka i wzór prostej\n\n**Krok 1: Wyznaczamy punkt \\(D\\) - środek boku \\(AC\\).**\n\n\\(A = (2, 4)\\), \\(C = (4, -2)\\), więc:\n\n\\[D = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\ \\frac{y_A + y_C}{2}\\right) = \\left(\\frac{2+4}{2},\\ \\frac{4+(-2)}{2}\\right) = (3,\\ 1)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \\(BD\\).**\n\n\\(B = (0, 0)\\), \\(D = (3, 1)\\):\n\n\\[a = \\frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \\frac{1 - 0}{3 - 0} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 3: Piszemy równanie prostej.**\n\nProsta przechodzi przez \\(B = (0, 0)\\), więc wyraz wolny \\(b = 0\\):\n\n\\[\\boxed{y = \\frac{1}{3}x}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy oba punkty \\(B\\) i \\(D\\) leżą na prostej \\(y = \\frac{1}{3}x\\):\n\n- Dla \\(B = (0, 0)\\): \\(\\frac{1}{3} \\cdot 0 = 0\\) ✓\n- Dla \\(D = (3, 1)\\): \\(\\frac{1}{3} \\cdot 3 = 1\\) ✓\n\nOba punkty spełniają równanie, więc wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia punktu \\(D\\).\n\nRównanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]\nUżyliśmy do znalezienia równania prostej przez dwa punkty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Obliczenie nachylenia jako \\(\\frac{x_D - x_B}{y_D - y_B} = \\frac{3}{1} = 3\\) - zamiana licznika z mianownikiem, wynik \\(y = 3x\\) |\n| B | Wzięcie środka \\(BD\\) zamiast środka \\(AC\\) jako punkt \\(D\\), co daje błędny punkt i błędne nachylenie |\n| C | Poprawne nachylenie \\(\\frac{1}{3}\\), ale błędne wyznaczenie wyrazu wolnego \\(b\\) - pominięcie faktu, że prosta przechodzi przez początek układu \\(B=(0,0)\\), co daje \\(b=0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek odcinka \\(AC\\) to NIE jest punkt \\(A\\) ani \\(C\\) - trzeba go wyliczyć ze wzoru na środek. Wielu uczniów pomija ten krok i wylicza prostą przez \\(B\\) i \\(A\\) lub \\(B\\) i \\(C\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu nachylenia prostej \\(a = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), pamiętaj: różnica \\(y\\) w liczniku, różnica \\(x\\) w mianowniku - nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy prosta przechodzi przez \\(B = (0, 0)\\), wyraz wolny \\(b = 0\\) automatycznie. Sprawdź to zawsze przez podstawienie - to zajmuje 5 sekund i eliminuje głupi błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(y = \\dfrac{1}{3}x\\)**\n\n### Sposób 1 - Środek odcinka i równanie prostej przez dwa punkty\nWspółrzędne środka \\(D\\) boku \\(AC\\) (karta wzorów, Dział 6):\n\\[D = \\left(\\tfrac{2+4}{2}, \\tfrac{4+(-2)}{2}\\right) = (3, 1).\\]\nProsta \\(BD\\) przechodzi przez \\(B = (0,0)\\) i \\(D = (3,1)\\). Ponieważ przechodzi przez początek układu, ma postać \\(y = ax\\):\n\\[a = \\tfrac{1 - 0}{3 - 0} = \\tfrac{1}{3}.\\]\nRównanie: \\(y = \\tfrac{1}{3}x\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na prostą przez dwa punkty\nWzór: \\((y-y_1)(x_2-x_1) - (y_2-y_1)(x-x_1) = 0\\). Dla \\(B=(0,0), D=(3,1)\\):\n\\[(y-0)(3-0) - (1-0)(x-0) = 0\\]\n\\[3y - x = 0 \\iff y = \\tfrac{1}{3}x.\\]\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** wyznaczenie współrzędnych środka \\(D = (3, 1)\\), LUB zaznaczenie wierzchołków \\(ABC\\) i podanie współczynnika kierunkowego prostej \\(AC: -3\\).\n- **2 pkt:** wyznaczenie równania prostej \\(BD: y = \\tfrac{1}{3}x\\).\n\n**Trik:** Gdy prosta przechodzi przez \\((0,0)\\), ma postać \\(y = ax\\) - wystarczy jeden punkt, by wyznaczyć \\(a\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nW układzie współrzędnych punkty\n(\n)\n3\n,4\nA\ni\n(\n)\n10 5\nB\n,\nsą wierzchołkami trójkąta ABC.\nWierzchołek C leży na prostej o równaniu\n3\n2 +\nx\ny\n. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego\nkąt ABC jest prosty.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający podaje\nrównanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b ,\nmając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a\nw równaniu kierunkowym (8.b). Zdający interpretuje\ngeometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema\nniewiadomymi (8.d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób - proste prostopadłe\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB\n1\n3\nAB\na\nPonieważ kąt prosty w trójkącie ABC jest przy wierzchołku B, więc wyznaczamy równanie\nprostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt B\nObliczamy współrzędne punktu C, który jest punktem wspólnym prostych określonych\nrównaniami\ni\n:\nStąd po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy parę\n32\n5\nx =\ni\n79\n5\ny =\nZatem punkt C ma współrzędne.(\n)\n32 79\n5\n5\n,\n1\n30\n162\n12\n2\na +\n⋅\n1a\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n3\nr =\n3\n35\ny\nx\n3\n2 +\nx\ny\n3\n35\ny\nx\n2\n3\n3\n35\ny\nx\ny\nx\n\n\n\nII sposób - twierdzenie Pitagorasa\nPonieważ wierzchołek C trójkąta prostokątnego ABC leży na prostej o równaniu\n,\nwięc jego współrzędne zapisujemy następująco\nPunkt B jest wierzchołkiem kąta prostego, zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika, że\nPo podstawieniu współrzędnych punktów A, B i C otrzymujemy równanie\n,\nczyli równanie\nZatem\ni dalej\n32\n5\nx =\nJeśli\n32\n5\nx =\n, to\n79\n5\ny =\n. Zatem\n(\n)\n32 79\n5\n5\n,\nC =\nIII sposób - iloczyn skalarny\nWektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest\nrówny 0. W tym przypadku oznacza to, że iloczyn skalarny wektorów\ni\njest równy\n0.\nWspółrzędne wektora AB\n\nsą równe\n[\n]\n6,2\nAB =\n\nPunkt C ma współrzędne równe\n, więc współrzędne wektora\nsą równe\nZ warunku\n0\nAB BC =\n\n\notrzymujemy równanie\n,\n3\n30\n2\n2\n0\nx\nx\n,\n32\n5\nx =\nZatem\n(\n) (\n)\n32\n32\n32 79\n5\n5\n5\n5\n,2\n3\n,\nC =\n⋅\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• uzależni obie współrzędne punktu C od jednej zmiennej,\nnp.:\nlub\n(\n)\n3\n2 ,\ny\nC\ny\nalbo\n• zapisze równość\ni obliczy długość AB:\n,\nalbo\n• zapisze równość\ni zapisze jedną z długości\nlub\nw zależności od współrzędnych punktu C,\n3\n2 +\nx\ny\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n3\n3\n10\n4\n5\n3\n10\n2\n3\n5\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n8\n16\n4\n36\n4\n20\n100\n4\n8\n4\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n20\n128\nx =\nAB\n\nBC\n\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n(\n)\n(\n)\n6\n10 +2 2\n2\n0\nx\nx\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n2 10\nAB =\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\nAC\nBC\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora\n:\ni zapisze, że\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od współrzędnych punktu C:\ni zapisze, że\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od jednej współrzędnej punktu C,\nnp.:\n,\nalbo\n• obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej AB:\n1\n3\nAB\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB\ni przechodzącej przez punkt B:\nalbo\n• zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, np.:\n,\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora\n:\n, wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od jednej współrzędnej punktu C, np.:\ni zapisze,\nże\n,\nalbo\n• zapisze równość wynikającą z warunku\n, w której niewiadomymi są dwie\nwspółrzędne punktu C, np.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, która jest współrzędną punktu C, np.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy\n32\n5\nx =\nalbo\n79\n5\ny =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nalbo\n• obliczy obie współrzędne punktu C z błędami rachunkowymi.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy i zapisze współrzędne punktu\n(\n)\n32 79\n5\n5\n,\nC =\nAB\n\n[\n]\n6, 2\nAB =\n\n0\nAB BC =\n\n\nBC\n\n[\n]\n10,\n5\nBC\nx\ny\n\n0\nAB BC =\n\n\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n3\nBC\na\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n3\n10\n4\n5\n3\n10\n5\nx\ny\nx\ny\nAB\n\n[\n]\n6, 2\nAB =\n\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n0\nAB BC =\n\n\n0\nAB BC =\n\n\n(\n)\n(\n)\n6\n10 +2\n5\n0\nx\ny\n(\n)\n2\n3\n3\n10\n5\nx\nx\nUwagi\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,\nto może otrzymać 4 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego\nzagadnienia na żadnym etapie rozwiązania.\n2. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, ale popełnia błąd, który jednak nie ułatwia\nrozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i:\na) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu\nwspółczynnika\n, np.\nzamiast\n, to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty;\nb) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu równania\nprostej BC, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty;\nc) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd, polegający na tym,\nże zdający zapisze błędną równość:\n, to zdający otrzymuje co\nnajwyżej 3 punkty;\nd) w I sposobie rozwiązania przyjmie, że kąt prosty jest przy wierzchołku A, to otrzymuje\nco najwyżej 3 punkty;\ne) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy podstawieniu do wzoru\nna odległość punktów, nawet trzykrotnie powtórzony, to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty;\nf) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest zamiana miejscami współrzędnych\npunktu C w początkowym etapie rozwiązania, np.:\n, to zdający otrzymuje\nco najwyżej 3 punkty;\ng) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest przyjęcie bez obliczeń błędnego\nwspółczynnika b w równaniu prostej BC (np.\n), to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty.\n3. Jeżeli zdający realizuje pełną strategię rozwiązania, ale popełnia błąd merytoryczny,\nktóry jednak nie ułatwia rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i tym\njedynym błędem merytorycznym jest błąd, polegający na zastosowaniu nieistniejącego\nwzoru „\n”, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na tym, że zapisuje błędną równość:\n, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n,\nto za rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów, o ile w rozwiązaniu nie występują inne\nzapisy wymienione w schemacie oceniania, za które należy przyznać zdającemu punkty,\nnp.:\n6. Jeżeli oprócz poprawnego rozwiązania (kąt prosty przy wierzchołku B) zdający podaje\ninne rozwiązanie (np. kąt prosty przy wierzchołku A), którego nie odrzuca, to otrzymuje\nco najwyżej 4 punkty.\n7. Jeżeli zdający zapisze równanie prostej AB w postaci ogólnej (np. dokona właściwego\npodstawienia współrzędnych punktów do równania prostej przechodzącej przez 2 punkty)\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 1 punkt.\nAB\na\nA\nB\nA\nB\nx\nx\ny\ny\nA\nB\nA\nB\ny\ny\nx\nx\n2\n2\n2\nBC\nAB\nAC\n(\n)\n2\n3,\nC\nx\nx\n5\n3\na\nb\na\nb\n2\n2\n2\nAB\nBC\nAC\n3\n2 +\nx\ny\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nCosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \\(\\dfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\).\n\n## Sposób 1 - przez apotemę ściany i wysokość ostrosłupa\n\n**Krok 1: Dane o podstawie.**\n\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\).\n\n\\[P_{\\text{podstawy}} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nPromień okręgu wpisanego w podstawę (apotema podstawy, czyli odległość od środka do środka krawędzi):\n\\[r = \\frac{a}{2\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]\n\nPromień okręgu opisanego na podstawie (odległość od środka do wierzchołka):\n\\[R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczam apotemy ścian bocznych z warunku na pola.**\n\nPole powierzchni bocznej to suma pól 3 trójkątów równoramiennych. Każdy ma podstawę \\(a\\) i wysokość \\(l\\) (apotema ściany bocznej):\n\\[P_{\\text{boczna}} = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{3al}{2}\\]\n\nWarunek z treści:\n\\[P_{\\text{boczna}} = 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}}\\]\n\\[\\frac{3al}{2} = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[3l = a\\sqrt{3}\\]\n\\[l = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczam wysokość ostrosłupa \\(H\\).**\n\nW ostrosłupie prawidłowym: apotema ściany, wysokość ostrosłupa i apotema podstawy tworzą trójkąt prostokątny:\n\\[l^2 = H^2 + r^2\\]\n\\[\\frac{a^2}{3} = H^2 + \\frac{a^2 \\cdot 3}{36} = H^2 + \\frac{a^2}{12}\\]\n\\[H^2 = \\frac{a^2}{3} - \\frac{a^2}{12} = \\frac{4a^2}{12} - \\frac{a^2}{12} = \\frac{3a^2}{12} = \\frac{a^2}{4}\\]\n\\[H = \\frac{a}{2}\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczam długość krawędzi bocznej \\(SA\\).**\n\nKrawędź boczna \\(SA\\) łączy wierzchołek \\(S\\) z wierzchołkiem \\(A\\). Rzut \\(S\\) na podstawę to środek \\(O\\) (odległy od \\(A\\) o \\(R\\)):\n\\[SA^2 = H^2 + R^2 = \\frac{a^2}{4} + \\frac{a^2}{3} = \\frac{3a^2}{12} + \\frac{4a^2}{12} = \\frac{7a^2}{12}\\]\n\\[SA = a\\sqrt{\\frac{7}{12}} = \\frac{a\\sqrt{7}}{2\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{21}}{6}\\]\n\n**Krok 5: Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.**\n\nKrawędź \\(SA\\) tworzy z jej rzutem \\(OA\\) (rzut na podstawę) kąt \\(\\varphi\\). Rzut krawędzi bocznej to odcinek \\(OA = R\\):\n\n\\[\\cos\\varphi = \\frac{OA}{SA} = \\frac{R}{SA} = \\frac{\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}}{\\dfrac{a\\sqrt{21}}{6}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} \\cdot \\frac{6}{a\\sqrt{21}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{21}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{7}} = \\frac{2}{\\sqrt{7}}\\]\n\n\\[\\boxed{\\cos\\varphi = \\frac{2}{\\sqrt{7}} = \\frac{2\\sqrt{7}}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sinus kąta\n\nSprawdzam wynik, obliczając \\(\\sin\\varphi\\) i kontrolując jedynkę trygonometryczną.\n\n\\[\\sin\\varphi = \\frac{H}{SA} = \\frac{\\dfrac{a}{2}}{\\dfrac{a\\sqrt{21}}{6}} = \\frac{a}{2} \\cdot \\frac{6}{a\\sqrt{21}} = \\frac{3}{\\sqrt{21}} = \\frac{3\\sqrt{21}}{21} = \\frac{\\sqrt{21}}{7}\\]\n\nSprawdzam:\n\\[\\sin^2\\varphi + \\cos^2\\varphi = \\frac{21}{49} + \\frac{28}{49} = \\frac{49}{49} = 1 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony: \\(\\cos\\varphi = \\dfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta równobocznego:\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte w Kroku 1 do obliczenia pola podstawy.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej graniastosłupa i ostrosłupa, pole podstawy, zależności w ostrosłupie prawidłowym.\nUżyte w Kroku 2 do warunku na pola.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja cosinusa jako przyległa/przeciwprostokątna:\n\\[\\cos\\varphi = \\frac{\\text{rzut krawędzi na podstawę}}{\\text{długość krawędzi}} = \\frac{R}{SA}\\]\nUżyte w Kroku 5.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\):\nUżyte do wyznaczenia \\(H\\) z \\(l, r\\) oraz do wyznaczenia \\(SA\\) z \\(H, R\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Wzięcie kąta między **apotomą ściany** a podstawą zamiast kąta krawędzi bocznej - czyli \\(\\cos\\varphi = r/l\\) zamiast \\(R/SA\\) |\n| C | Pomylenie promienia wpisanego \\(r\\) z promieniem opisanym \\(R\\) przy obliczaniu rzutu krawędzi bocznej |\n| D | Liczenie \\(\\sin\\varphi\\) zamiast \\(\\cos\\varphi\\), czyli \\(H/SA\\) zamiast \\(R/SA\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krawędź boczna \\(SA\\) rzutuje się na odcinek \\(OA\\) (od środka do **wierzchołka** podstawy), a nie na apotomę podstawy (do **środka krawędzi**). To częsty błąd - używa się \\(r\\) zamiast \\(R\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema ściany bocznej \\(l\\) to **nie jest** krawędź boczna \\(SA\\) - to wysokość trójkątnej ściany bocznej, potrzebna do liczenia pola bocznego, ale nie bezpośrednio kąta krawędzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „pole boczne jest 2 razy większe od pola podstawy\" to \\(P_b = 2P_p\\), **nie** \\(P_b + P_p = 2P_p\\). Czytaj uważnie, bo pułapka jest banalna!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczne rozumowanie CKE\nOznaczenia: \\(h_b\\) - wysokość ściany bocznej, \\(\\alpha\\) - kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, \\(E\\) - środek krawędzi \\(BC\\), \\(O\\) - środek podstawy.\n\n**Krok 1.** Pole podstawy (trójkąt równoboczny): \\(P_p = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Pole powierzchni bocznej: \\(P_b = 3\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_b\\). Z warunku \\(P_b = 2P_p\\):\n\\[\\tfrac{3}{2}a h_b = 2\\cdot \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[h_b = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}.\\]\n\n**Krok 2.** Dla trójkąta równobocznego \\(ABC\\): \\(|AE| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\), \\(|AO| = \\tfrac{2}{3}|AE| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\).\n\n**Krok 3.** Z Pitagorasa w trójkącie \\(BES\\) (gdzie \\(|BE| = \\tfrac{a}{2}\\), \\(|ES| = h_b\\)):\n\\[|SB|^2 = \\left(\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 + \\left(\\tfrac{a}{2}\\right)^2 = \\tfrac{a^2}{3} + \\tfrac{a^2}{4} = \\tfrac{7a^2}{12}\\]\n\\[|SB| = \\tfrac{a\\sqrt{7}}{2\\sqrt{3}} = \\tfrac{a\\sqrt{21}}{6}.\\]\n\n**Krok 4.** W trójkącie \\(AOS\\) (prostokątnym w \\(O\\), kąt \\(\\alpha\\) przy \\(A\\)):\n\\[\\cos\\alpha = \\tfrac{|AO|}{|AS|} = \\tfrac{\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}}{\\tfrac{a\\sqrt{21}}{6}} = \\tfrac{6\\sqrt{3}}{3\\sqrt{21}} = \\tfrac{2}{\\sqrt{7}} = \\tfrac{2\\sqrt{7}}{7}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie wysokości ostrosłupa\nWysokość ostrosłupa \\(SO\\) z Pitagorasa w \\(\\triangle OES\\): \\(|SO|^2 = h_b^2 - |EO|^2\\), gdzie \\(|EO| = \\tfrac{1}{3}|AE| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\). Wtedy:\n\\[|SO|^2 = \\tfrac{a^2}{3} - \\tfrac{a^2}{12} = \\tfrac{a^2}{4} \\Rightarrow |SO| = \\tfrac{a}{2}.\\]\nZatem \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{|SO|}{|AO|} = \\tfrac{a/2}{a\\sqrt{3}/3} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\). Z jedynki trygonometrycznej: \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\). Jeśli \\(\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), to \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cos\\alpha\\):\n\\[\\tfrac{3}{4}\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tfrac{7}{4}\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos^2\\alpha = \\tfrac{4}{7}\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{7}} = \\tfrac{2\\sqrt{7}}{7}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** zaznaczenie kąta \\(\\alpha\\) lub wyznaczenie długości odcinka \\(AO\\) / \\(EO\\) / zapisanie równania z \\(h_b\\).\n- **2 pkt:** wyznaczenie \\(h_b = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\).\n- **3 pkt:** wyznaczenie \\(|AS| = \\tfrac{a\\sqrt{21}}{6}\\) lub \\(|SO| = \\tfrac{a}{2}\\).\n- **4 pkt:** obliczenie \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{7}}\\) lub \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n- **5 pkt:** obliczenie \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\).\n\n**Trik:** W ostrosłupie prawidłowym kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy = kąt w trójkącie prostokątnym \\(AOS\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nDane są dwa zbiory:\n{\n}\n100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\nA =\ni\n{\n}\n10,11,12,13,14,15,16\nB =\nZ każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na\ntym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo\nzapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna\ndefinicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw\nzdarzeń (10.d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para\n, gdzie\ni\n. Zatem zbiór\nwszystkich zdarzeń elementarnych ma postać:\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna\nprzez 3. Z cechy podzielności liczby całkowitej przez 3 wynika, że suma cyfr otrzymanej liczby\nmusi być podzielna przez 3. Zbiór A ma postać:\nZdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\n(\n)\n,x y\nx\nA\n∈\ny\nB\n∈\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n100,10 , 100,11 , 100,12 , 100,13 , 100,14 , 100,15 , 100,16 ,\n200,10 , 200,11 , 200,12 , 200,13 , 200,14 , 200,15 , 200,16 ,\n300,10 , 300,11 , 300,12 , 300,13 , 300,14 , 300,15 , 300,16 ,\n400,10 , 400,11 , 400,12 , 400,13 , 400,14 , 400,15 , 400,16 ,\n50\nΩ =\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n0,10 , 500,11 , 500,12 , 500,13 , 500,14 , 500,15 , 500,16 ,\n600,10 , 600,11 , 600,12 , 600,13 , 600,14 , 600,15 , 600,16 ,\n700,10 , 700,11 , 700,12 , 700,13 , 700,14 , 700,15 , 700,16\n7 7\n49\nΩ =\n⋅\nx\ny\n(\n) (\n)\n{\n(\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n100,11 , 100,14 , 200,10 , 200,13 , 200,16 ,\n300,12 , 300,15 , 400,11 , 400,14 , 500,10 ,\n500,13 , 500,16 , 600,12 , 600,15 , 700,11 , 700,14\nA =\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n16\n49\nUwaga\nZdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór sum możliwych\ndo utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:\nWtedy zbiór\nII sposób\nRysujemy tabelę, która przedstawia model rozważanego doświadczenia.\n100\n200\n300\n400\n500\n600\n700\n10\n\n\n11\n\n\n\n12\n\n\n13\n\n\n14\n\n\n\n15\n\n\n16\n\n\nZdarzeniom elementarnym odpowiadają komórki tej tabeli. Jest ich 49, zatem\nSymbolem  zaznaczamy te zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A,\npolegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.\nZdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\n{\n}\n110,111,112,113,114,115,116,\n210, 211, 212, 213, 214, 215, 216,\n310, 311, 312, 313, 314, 315, 316,\n410, 411, 412, 413, 414, 415, 416,\n510, 511, 512, 513, 514, 515, 516,\n610, 611, 612, 613, 614, 615, 616,\n710, 711, 712, 713, 714, 715, 716 .\nΩ =\n{\n}\n111,114, 210, 213, 216, 312, 315, 411, 414,510, 513, 516, 612, 615, 711, 714 .\nA\n49\nΩ =\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n16\n49\nIII sposób\nRysujemy drzewko rozważanego doświadczenia.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\nUwaga\nZdający może narysować drzewo probabilistyczne, w którym na każdym z etapów lub\nna jednym z etapów rozważa każdą możliwą do wylosowania liczbę oddzielnie. Przykład\ntakiego drzewa znajduje się poniżej.\n( )\n3 2\n2 3\n2 2\n16\n7 7\n7 7\n7 7\n49\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\n16\n49\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A może być obliczone w następujący sposób:\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze, że\nalbo\n• zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna\nprzez 3,\nalbo\n• poda sposób obliczania\n, np. przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych\nprzez 3 oraz wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A\ni nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami,\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia:\n1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi\nalbo\n2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające\nwylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,\n600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą\nwylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A\nalbo\n• zapisze, że\ni zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb\nmusi być podzielna przez 3,\nalbo\n• zapisze, że\ni poda sposób obliczania\n, np. przyjmie porządek przy\nwyznaczaniu sum podzielnych przez 3, wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne\nsprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia\nelementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami oraz zapisze, że\n,\n( )\n1 2\n1 3\n16\n5\n2\n7 7\n7 7\n49\nP A = ⋅\n⋅\n+ ⋅\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\nA\n7 7\nΩ =\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\nA\n7 7\nΩ =\n⋅\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia:\n1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi i zapisze prawdopodobieństwa na co\nnajmniej jednym odcinku każdego z etapów\nalbo\n2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające\nwylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,\n600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą\nwylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3 i zapisze\nprawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów;\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wskaże wszystkie gałęzie odpowiadające\nzdarzeniu A\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze, że\noraz zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego\nalbo\n• zapisze, że\noraz zapisze, że\ni przedstawi sposób obliczenia tej\nliczby, np. zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być\npodzielna przez 3 i wskaże w dowolny sposób przykładowe zdarzenie elementarne lub\nprzyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych przez 3 i wyznaczy\nprzynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru\nA niewłaściwego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi (np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami), zapisze\n, oraz zaznaczy 16\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i żadnych innych zdarzeń\nelementarnych nie zaliczy do A,\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wystąpią wszystkie gałęzie odpowiadające\nzdarzeniu A wraz z prawdopodobieństwami oraz poprawnie zastosuje regułę drzewka\ndo obliczenia prawdopodobieństwa\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\nUwagi\n1. Jeżeli zdający uzyska w wyniku końcowym liczbę spoza przedziału\n, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty.\n7 7\nΩ =\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\n16\nA =\n7 7\nΩ =\n⋅\n( )\nP A\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n0,1\n2. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 17 zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A, w tym 16 poprawnych i jedno niepoprawne oraz otrzyma\nprawdopodobieństwo równe\n, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 15 poprawnych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A i otrzyma prawdopodobieństwo równe\n, to otrzymuje\n2 punkty.\n4. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przyjmie błędną liczbę wszystkich zdarzeń\nelementarnych i nie jest to efekt błędu rachunkowego, np. przyjmie\n, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze jedynie\n,\ni nie przedstawi\nczytelnego uzasadnienia liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,\ni obliczy\n, to otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze\n,\noraz zapisze, że suma\ncyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna przez 3, ale\nw przedstawionym\nrozwiązaniu\nnie\nmożna\nzidentyfikować\nżadnego\nzdarzenia\nelementarnego, które zdający powinien rozważać, to otrzymuje 2 punkty, nawet jeśli\nw rozwiązaniu występuje poprawny wynik końcowy.\n7. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 16 zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A, w tym 15 poprawnych i jedno niewłaściwe i konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nPrawdopodobieństwo wynosi \\(\\frac{1}{8}\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza warunków i zliczanie par (a, b)\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nLosujemy niezależnie \\(a\\) z \\(A = \\{-3, -2, -1, 1, 2, 3\\}\\) i \\(b\\) z \\(B = \\{-1, 0, 1, 2\\}\\).\n\nLiczba wszystkich możliwych par \\((a, b)\\):\n\\[|\\Omega| = |A| \\cdot |B| = 6 \\cdot 4 = 24\\]\n\n**Warunek 1 - funkcja jest rosnąca:**\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) jest rosnąca \\(\\iff a > 0\\).\n\nZ \\(A\\): wartości dodatnie to \\(\\{1, 2, 3\\}\\) - **3 możliwe wartości** \\(a\\).\n\n**Warunek 2 - funkcja ma dodatnie miejsce zerowe:**\n\nMiejsce zerowe: \\(f(x_0) = 0 \\implies ax_0 + b = 0 \\implies x_0 = -\\frac{b}{a}\\)\n\nChcemy \\(x_0 > 0\\), czyli:\n\\[-\\frac{b}{a} > 0\\]\n\nSkoro już wiemy, że \\(a > 0\\) (warunek 1), wystarczy:\n\\[-b > 0 \\implies b < 0\\]\n\nZ \\(B = \\{-1, 0, 1, 2\\}\\): wartości ujemne to wyłącznie \\(\\{-1\\}\\) - **1 możliwa wartość** \\(b\\).\n\n> Uwaga: gdy \\(b = 0\\), zero funkcji jest w \\(x_0 = 0\\) - nie jest dodatnie!\n\n**Liczba sprzyjających par:**\n\\[|A_{\\text{spr}}| = 3 \\cdot 1 = 3\\]\n\nKonkretne pary: \\((1, -1),\\ (2, -1),\\ (3, -1)\\).\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[\\boxed{P = \\frac{3}{24} = \\frac{1}{8}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wypisanie wszystkich sprzyjających przypadków\n\nWypisujemy WSZYSTKIE pary \\((a, b)\\), które spełniają oba warunki:\n\n| Para \\((a, b)\\) | Funkcja | Rosnąca? | Zero \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) | Dodatnie? |\n| \\((1, -1)\\) | \\(f(x) = x - 1\\) | TAK | \\(x_0 = 1\\) | ✅ |\n| \\((2, -1)\\) | \\(f(x) = 2x - 1\\) | TAK | \\(x_0 = \\frac{1}{2}\\) | ✅ |\n| \\((3, -1)\\) | \\(f(x) = 3x - 1\\) | TAK | \\(x_0 = \\frac{1}{3}\\) | ✅ |\n\nTylko **3 pary** spełniają oba warunki spośród 24.\n\n\\[P = \\frac{3}{24} = \\frac{1}{8}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✅\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(P = \\frac{3}{24}\\) - liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich równie prawdopodobnych zdarzeń elementarnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Zaliczono \\(b = 0\\) jako dające dodatnie zero (\\(x_0 = 0\\) nie jest dodatnie!) → \\(\\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\) |\n| C | Policzono tylko warunek rosnącości bez warunku na zero → \\(\\frac{12}{24} = \\frac{1}{2}\\) |\n| D | Wzięto \\(|A| \\cdot |B| = 6 \\cdot 4 = 24\\) poprawnie, ale do sprzyjających doliczono ujemne \\(a\\) z ujemnym \\(b\\) (zapominając, że \\(a < 0\\) daje funkcję malejącą) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x_0 = 0\\) to **nie** jest dodatnie miejsce zerowe! Wyraz wolny \\(b = 0\\) daje zero dokładnie w \\(x = 0\\), co nie spełnia warunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(a < 0\\) i \\(b < 0\\) zero wynosi \\(x_0 = -\\frac{b}{a} = \\frac{|b|}{|a|} > 0\\) - jest dodatnie! Ale funkcja jest wtedy **malejąca**, więc ten przypadek odpada.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że oba warunki muszą być spełnione **jednocześnie** - to iloczyn logiczny, nie suma. Nie dodajemy przypadków sprzyjających każdemu warunkowi osobno, tylko szukamy ich wspólnej części.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(Z) = \\dfrac{1}{8}\\)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczne zliczenie\n**Przestrzeń zdarzeń.** Para uporządkowana \\((a, b)\\), gdzie \\(a \\in A\\) i \\(b \\in B\\). Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych:\n\\[|\\Omega| = |A|\\cdot|B| = 6\\cdot 4 = 24.\\]\n\n**Warunki na zdarzenie \\(Z\\):**\n1. Funkcja \\(f(x) = ax + b\\) jest **rosnąca** \\(\\iff a > 0\\). Z \\(A\\): \\(a \\in \\{1, 2, 3\\}\\).\n2. Funkcja ma **dodatnie miejsce zerowe**. Miejsce zerowe: \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\). Warunek \\(x_0 > 0\\) wymaga, by \\(-\\tfrac{b}{a} > 0\\), a skoro \\(a > 0\\), to \\(b < 0\\). Z \\(B\\): \\(b = -1\\).\n\nZdarzenia sprzyjające: \\(Z = \\{(1,-1), (2,-1), (3,-1)\\}\\), \\(|Z| = 3\\).\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(Z) = \\tfrac{|Z|}{|\\Omega|} = \\tfrac{3}{24} = \\tfrac{1}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Reguła mnożenia\n\\(P(a > 0) = \\tfrac{3}{6} = \\tfrac{1}{2}\\) (trzy z sześciu wartości \\(a\\)). \\(P(b = -1) = \\tfrac{1}{4}\\). Losowania są niezależne:\n\\[P(Z) = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{4} = \\tfrac{1}{8}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** obliczenie \\(|\\Omega| = 24\\), LUB zapisanie \\(a \\in \\{1,2,3\\}\\), LUB zapisanie \\(b = -1\\).\n- **2 pkt:** obliczenie \\(|\\Omega| = 24\\) i zapisanie \\(a \\in \\{1,2,3\\}\\); LUB zapisanie \\(a \\in \\{1,2,3\\}\\) oraz \\(b = -1\\).\n- **3 pkt:** wyznaczenie zbioru \\(Z = \\{(1,-1),(2,-1),(3,-1)\\}\\) i \\(|\\Omega| = 24\\); LUB zapisanie \\(|Z| = 3\\), \\(a \\in \\{1,2,3\\}, b=-1\\).\n- **4 pkt:** pełne obliczenie: \\(P(Z) = \\tfrac{1}{8}\\).\n\n**Trik:** Warunek \\(-\\tfrac{b}{a} > 0\\) przy \\(a > 0\\) sprowadza się do \\(b < 0\\). Warunki na \\(a\\) i \\(b\\) są niezależne.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej\ntego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej\nściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki miarowe\nw wielościanach (9.b).\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności kwadratowe (3.a).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nRozważany graniastosłup ma 5 ścian, a każda z nich ma takie samo pole. Obliczamy pole\npodstawy, a zarazem pole jednej ściany bocznej:\nPodstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, więc jego pole jest równe\n17\n49\n15\n49\n7 6\nΩ = ⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n7 7\nΩ =\n⋅\n16\nA =\n45 3 :5\n9 3.\n2 3\n4\nABC\na\nP\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\nŚciana boczna jest prostokątem o bokach długości a i h, więc pole każdej ściany bocznej jest\nrówne\nZ warunków zadania wynika, że:\nZnamy długość krawędzi podstawy a, zatem:\nObliczamy wysokość graniastosłupa\nObjętość graniastosłupa jest równa\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• zapisze zależność między wielkościami a i h wynikającą z równości pól podstawy\ni ściany bocznej graniastosłupa:\nalbo\n• obliczy pole jednej ściany graniastosłupa:\n,\nalbo\n• zapisze równanie:\nalbo\n• zapisze równania:\ni\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające na wyznaczenie długości krawędzi\npodstawy lub wysokości graniastosłupa i na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nalbo\n• uzależni objętość bryły od jednej zmiennej\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\n2 3\n9 3,\n4\na\n6\na =\nABED\nP\nah\n9 3\nah =\n6\n9 3\nh =\n3\n2\n3\nh =\n3 3\n81\n9 3\n2\n2\nABC\nV\nP\nh\n⋅\n⋅\n2 3\n4\na\nah\n45 3 :5\n9 3\n2 3\n2\n3\n45 3\n4\na\nah\n⋅\n1\n2\n3\n45 3\n2\n⋅\np\nah\nah\n1\n2\np\nah\nah\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy długość krawędzi podstawy i wysokość graniastosłupa:\n,\nalbo\n• obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:\ni uzależni objętość bryły\nod jednej zmiennej a lub obliczy wysokość graniastosłupa\ni uzależni\nobjętość bryły od jednej zmiennej h\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy objętość graniastosłupa:\nUwagi\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, a jedynymi błędami w przedstawionym\nrozwiązaniu są błędy rachunkowe, to otrzymuje 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający popełnia błąd polegający na niepoprawnym stosowaniu wzoru na pole\ntrójkąta równobocznego albo wzoru na pole prostokąta, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie\npopełnia innych błędów i rozwiąże zadanie do końca.\n3. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na niewłaściwym określeniu zależności między\npolem podstawy a polem ściany bocznej i w efekcie rozważa jeden z trzech przypadków:\n,\n,\n, albo błąd, polegający na przyjęciu, że graniastosłup ma\ntrzy ściany boczne i jedną podstawę, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie popełnia innych\nbłędów i rozwiąże zadanie do końca.\n4. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwagach 2. lub 3., a ponadto popełnia\nbłędy rachunkowe, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię\nrozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający popełnia inne niż wymienione w uwagach 2. lub 3. błędy, dotyczące pól\nścian bryły, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię rozwiązania,\nto otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający rozważa graniastosłup trójkątny, który nie jest prawidłowy, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt.\n6\na =\n3\n2\n3\nh =\n6\na =\n3\n2\n3\nh =\n81\n2\nV =\n2\nś\np\nb\nP\nP\n3\nś\np\nb\nP\nP\n2\n3\nś\np\nb\nP\nP","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - pole trójkąta \\(ACB = 30\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny\n\n**Ustawiamy dane.** Kąt prosty jest przy wierzchołku \\(C\\), więc:\n- \\(AC = b = 5\\) (jedna przyprostokątna)\n- \\(BC = a = ?\\) (druga przyprostokątna)\n- \\(AB = c = ?\\) (przeciwprostokątna)\n- \\(r = 2\\) (promień okręgu wpisanego)\n\n**Korzystamy ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:**\n\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(r = 2\\), \\(b = 5\\):\n\n\\[2 = \\frac{a + 5 - c}{2}\\]\n\n\\[4 = a + 5 - c\\]\n\n\\[c = a + 1\\]\n\n**Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:**\n\n\\[c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 25\\]\n\nPodstawiamy \\(c = a + 1\\):\n\n\\[(a+1)^2 = a^2 + 25\\]\n\n\\[a^2 + 2a + 1 = a^2 + 25\\]\n\n\\[2a = 24\\]\n\n\\[\\mathbf{a = 12}\\]\n\nA zatem \\(BC = 12\\), \\(c = AB = 13\\).\n\n**Obliczamy pole:**\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 5 = \\boxed{30}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór \\(P = r \\cdot p\\) (pole przez promień i półobwód)\n\n**Istnieje elegancki wzór** wiążący pole trójkąta, promień okręgu wpisanego i półobwód:\n\n\\[P = r \\cdot p, \\quad \\text{gdzie } p = \\frac{a + b + c}{2}\\]\n\nZ Metody 1 wiemy, że \\(a = 12\\), \\(b = 5\\), \\(c = 13\\).\n\nObliczamy półobwód:\n\n\\[p = \\frac{12 + 5 + 13}{2} = \\frac{30}{2} = 15\\]\n\nPole:\n\n\\[P = r \\cdot p = 2 \\cdot 15 = \\mathbf{30}\\]\n\nWynik zgodny - **pole trójkąta \\(ACB = 30\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - dla trójkąta prostokątnego:\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, by powiązać promień wpisanego okręgu z bokami trójkąta.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - wzór ogólny na pole przez promień okręgu wpisanego:\n\\[P = p \\cdot r, \\quad p = \\frac{a+b+c}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia długości drugiej przyprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Pomylenie wzoru: wzięcie \\(r = \\frac{a - b + c}{2}\\) zamiast \\(\\frac{a+b-c}{2}\\) - błędny znak przy \\(c\\) |\n| C | Przyjęcie \\(r = \\frac{a + b - c}{2}\\), ale podstawienie \\(r\\) po obu stronach bez przeniesienia - błąd algebraiczny przy rozwiązywaniu układu |\n| D | Policzenie pola jako \\(\\frac{1}{2} \\cdot c \\cdot b\\) (z przeciwprostokątną zamiast drugą przyprostokątną) - \\(\\frac{1}{2} \\cdot 13 \\cdot 5 = 32{,}5\\), a potem zaokrąglenie do 35 |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(r = \\frac{a+b-c}{2}\\) dotyczy **tylko trójkąta prostokątnego** - nie stosuj go do innych trójkątów! W ogólnym przypadku używaj \\(P = r \\cdot p\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który bok jest przeciwprostokątną. Pamiętaj: kąt prosty jest przy \\(C\\), więc **przeciwprostokątna to \\(AB\\)**, a \\(AC\\) i \\(BC\\) to przyprostokątne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a = 12\\) sprawdź Pitagorasa: \\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\\) ✓ - to słynna trójka pitagorejska \\((5, 12, 13)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P_{ACB} = 30\\)**\n\n### Sposób 1 - Dwa wzory na pole\nOznaczenia: \\(|AC| = 5\\), \\(|CB| = a\\) (druga przyprostokątna), \\(|AB| = c\\) (przeciwprostokątna), \\(r = 2\\).\n\nPole trójkąta na dwa sposoby:\n\\[P_{ACB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot |AC|\\cdot |CB| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot a = \\tfrac{5a}{2}.\\]\n\\[P_{ACB} = p\\cdot r = \\tfrac{|AC|+|CB|+|AB|}{2}\\cdot r = \\tfrac{5+a+c}{2}\\cdot 2 = 5+a+c.\\]\n\nStąd równanie:\n\\[\\tfrac{5a}{2} = 5 + a + c \\;\\Longrightarrow\\; c = \\tfrac{5a}{2} - a - 5 = \\tfrac{3a}{2} - 5.\\]\n\nZ Pitagorasa: \\(5^2 + a^2 = c^2\\):\n\\[25 + a^2 = \\left(\\tfrac{3a}{2} - 5\\right)^2 = \\tfrac{9a^2}{4} - 15a + 25\\]\n\\[a^2 = \\tfrac{9a^2}{4} - 15a\\]\n\\[\\tfrac{5a^2}{4} = 15a\\]\n\\[a = 12 \\quad (a \\neq 0).\\]\n\nPole: \\(P_{ACB} = \\tfrac{5\\cdot 12}{2} = 30.\\)\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(r = \\tfrac{a+b-c}{2}\\) dla trójkąta prostokątnego\nDla trójkąta prostokątnego: \\(r = \\tfrac{|AC|+|CB|-|AB|}{2}\\) (promień okręgu wpisanego). Stąd:\n\\[2 = \\tfrac{5 + a - c}{2} \\Rightarrow c = a + 1.\\]\nPitagoras: \\(25 + a^2 = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1\\), więc \\(2a = 24\\), \\(a = 12\\). Pole = \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 12 = 30.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** zapisanie zależności między długościami boków, np. \\(5^2 + a^2 = c^2\\) lub \\(a + c + 5 = \\tfrac{5}{2}a\\), lub \\(2 = \\tfrac{5+a-c}{2}\\).\n- **2 pkt:** zapisanie układu dwóch równań pozwalającego wyznaczyć długość przyprostokątnej \\(BC\\).\n- **3 pkt:** zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. \\(5^2+a^2 = (\\tfrac{3}{2}a-5)^2\\) lub \\((a+1)^2 = a^2 + 5^2\\).\n- **4 pkt:** obliczenie pola \\(P_{ACB} = 30\\).\n\n**Trik:** Dla trójkąta prostokątnego \\(r = \\tfrac{a+b-c}{2}\\) (przyprostokątne \\(a, b\\), przeciwprostokątna \\(c\\)) - prościej niż liczenie półobwodu.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}