{"paper":{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"1","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba b jest przybliżeniem liczby a\n4\n25\n. Błąd względny tego przybliżenia jest równy 4%. Wskaż\nbłąd bezwzględny tego przybliżenia.\nA. 0,04\nB. 0,25\nC. 0,64\nD. 2,5","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1.7. Liczby rzeczywiste.\nZdający oblicza błąd bezwzględny i błąd względny\nprzybliżenia.\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"2","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba odwrotna do 3\n2 2\njest równa\nA. 3\n2 2\nB. 2 2\n3\nC. 3 2\n2\nD. 2\n3 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1.3. Liczby rzeczywiste.\nZdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami\ndowolnego stopnia i stosuje prawa działań na\npierwiastkach.\n2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na a\nb\n2\n!\nh\noraz a\nb\n2\n2\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"3","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDla każdej dodatniej liczby x wyrażenie x\nx x ,\n2\n1 5\n$\njest równe\nA. x 0 75\n,\nB. x 0 5,\nC. x0 5, .\nD. x4 5, .","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1.4. Liczby rzeczywiste.\nZdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych\ni stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych.\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"4","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nJeśli\nlog\np\n2\n3\n, to liczba log 36\n3\njest równa\nA. 4p.\nB. 18p.\nC. 2p + 2.\nD. 2p + 3.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1.6. Liczby rzeczywiste.\nZdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje\nw obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm\nilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym.\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"5","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nTabela przedstawia skalę podatkową obowiązującą w 2015 r.\nPodstawa obliczenia podatku w złotych\nPodatek wynosi\nponad\ndo\n85 528\n18% minus kwota zmniejszająca podatek 556 zł 02 gr\n85 528\n14 839 zł 02 gr + 32% nadwyżki ponad 85 528 zł\nPodstawa obliczenia podatku jest równa k, gdzie k\n85528\n1\nzł. Wskaż wysokość należnego podatku.\nA.\n,\n,\nk\n0 18\n556 02\nh zł\nB.\n,\n,\nk\n0 18 556 02\n$\nh zł\nC.\n,\n,\nk\n0 82\n556 02\nh zł\nD.\n,\n,\nk\n14 839 02\n0 32\n85528\n$\nh\n6\n@ zł","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1.9. Liczby rzeczywiste.\nZdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza\npodatki, zysk z lokat (również złożonych na procent\nskładany i na okres krótszy niż rok)\nA\n2 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"6","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nWskaż liczbę spełniającą nierówność:\nx\nx\nx\n2\n9\n3\n3\n2\n1\nh\nh\nh.\nA. -10\nB. 0\nC. 1\nD. 10","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na a\nb\n2\n!\nh\noraz a\nb\n2\n2\n3. Równania i nierówności. Zdający:\n1) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest\nrozwiązaniem równania lub nierówności;\n3) rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą.\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"7","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nRównanie x x\nx\n3\n1\n8\n0\n2\n3\n^h\nh\nma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nB. dwa rozwiązania rzeczywiste.\nC. trzy rozwiązania rzeczywiste.\nD. cztery rozwiązania rzeczywiste.\n\n3 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\n4 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający:\n6) korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania\nrównań typu x\n8\n3 =- ;\n7) korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu\nrównań typu x x\nx\n1\n7\n0\n^h\nh\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"8","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDo wykresu funkcji liniowej f należą punkty (4, 0) i (0, 2) oraz punkt\nA. (12, -2).\nB. (12, -4).\nC. (-12, 28).\nD. (-12, -10).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie\ninformacji.\n4. Funkcje. Zdający:\n2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego\nargumentu […];\n6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie\ninformacji o funkcji lub o jej wykresie.\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"9","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f.\nFunkcja f przyjmuje największą wartość dla x równego\nA. -3.\nB. 0.\nC. 3.\nD. 4.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4.3. Funkcje.\nZdający odczytuje z wykresu własności funkcji\n(dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne\nprzedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały\nznak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym\nprzedziale wartość największą lub najmniejszą).\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"10","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nLiczba -2 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f x\nx\nx\nc\n2\n1\n2\n^ h\n. Oblicz c.\nA. 4\nB. 2\nC. 0\nD. -2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający:\n2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego\nargumentu. Posługuje się poznanymi metodami\nrozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego\nargumentu funkcja przyjmuje daną wartość;\n9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie\npewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.\nA\n3 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"11","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nWskaż wzór funkcji kwadratowej f, której najmniejsza wartość jest równa 2.\nA. f x\nx\n2\n2\n2\nh\nh\nB. f x\nx\n2\n2\n2\nh\nh\nC. f x\nx\n2\n1\n2\n2\nh\nh\nD. f x\nx\n2\n2\n2\n2\nh\nh","answer":"C","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4.10. Funkcje.\nZdający interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej,\nw postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nDane są cztery ciągi określone wzorami ogólnymi dla n\n1\nH . Który z nich jest ciągiem arytmetycznym?\nA. a\nn\n2\nn =\nB. a\nn\nn\n2\nC. a\n2\nn\nn\nD. a\nn\n2\nn =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n5.2. Ciągi.\nZdający bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub\ngeometryczny.\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"13","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCzwarty wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich stanowi 0,64 drugiego wyrazu tego\nciągu. Wskaż iloraz tego ciągu.\nA. 5\n3\nB. 3\n5\nC. 5\n4\nD. 4\n5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5.4. Ciągi.\nZdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu geometrycznego.\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nWartość cos120° jest równa\nA.\n2\n3\nB.\n2\n1\nC. 2\n1 .\nD. 2\n3 .\nx\ny\n0\n1\n2\n3\n-2 -1\n-3\n2\n3\n4\n5\n1\n-1\n\n5 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\n6 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie\ninformacji.\n6.1. Trygonometria.\nZdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości\nfunkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0°\ndo 180°.\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nDla pewnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość 4cosα = 1. Miara kąta α jest\nA. mniejsza od 30°.\nB. równa 30°.\nC. równa 45°.\nD. większa od 60°.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6.3. Trygonometria.\nZdający oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja\ntrygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę\ndokładną albo - korzystając z tablic lub kalkulatora -\nprzybliżoną).\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"16","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPunkty A = (-1, 4) i B = (1, -2) są sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD o polu równym 30.\nSinus kąta ostrego tego rombu jest równy\nA. 4\n3 .\nB. 4\n7 .\nC. 2\n3 .\nD. 6\n5 .","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7.4. Planimetria.\nZdający korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta\nostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między\nnimi.\n8.6. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległość dwóch punktów.\nA\n4 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"17","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nPunkty A, B, C, D są położone na okręgu o środku S tak, jak przedstawiono na rysunku. Odcinek AC\njest średnicą tego okręgu. Wskaż miarę kąta BCA.\nA. 18°\nB. 36°\nC. 54°\nD. 72°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIV. Użycie\ni tworzenie strategii.\n7.1. Planimetria.\nZdający stosuje zależności między kątem środkowym\ni kątem wpisanym.\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"18","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nZ punktu P poprowadzono dwie styczne do okręgu w punktach A i B (zobacz rysunek). Promień\nokręgu ma długość 5, a odległość punktu P od środka S tego okręgu jest równa 13. Ile wynosi pole\ndeltoidu PBSA?\nA. 30\nB. 60\nC. 64\nD. 65","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nIV. Użycie\ni tworzenie strategii.\n7.2. Planimetria.\nZdający korzysta z własności stycznej do okręgu\ni własności okręgów stycznych.\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"19","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nJeśli prosta o równaniu x\ny\na\n2\n1\n0\n= przechodzi przez punkt\n,\nP\n1\n2\nh, to a jest równe\nA. -2.\nB. 0.\nC. 2.\nD. 4.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8.4. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie\ninformacji o funkcji lub o jej wykresie.\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"20","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nWspółczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o równaniu x\ny\n2\n3\n5\n0\n= jest równy\nA. -2.\nB.\n2\n1\nC. 2\n3 .\nD. 2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8.2. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość prostych na\npodstawie ich równań kierunkowych\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"21","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW walec o przekroju będącym kwadratem wpisano kulę. Jaki jest stosunek pola powierzchni kuli do\npola powierzchni całkowitej walca?\nA. 2\n1\nB. 3\n2\nC. 1\nD. 2\nS\n?\nD\nA\nB\n36o\nS\nA\nB\nP\n\n7 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\n8 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie\ninformacji.\nGIMNAZJUM\n11.2. Bryły.\nZdający oblicza pole powierzchni i objętość\ngraniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli.\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"22","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nKrawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest\nrówna 1. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez\nkrawędź podstawy i tworzącą z tą podstawą kąt 60° (zobacz rysunek).\nOblicz pole otrzymanego przekroju.\nA. 1\nB.\n3\n2 3\nC. 3\nD. 2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie\ninformacji.\n9. Stereometria. Zdający:\n4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty\nmiędzy ścianami;\n5) określa, jaką figurą jest dany przekrój\nprostopadłościanu płaszczyzną.\nD\n5 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"23","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nDo wazonu w kształcie odwróconego stożka nalano tyle wody, aby sięgnęła do połowy jego wysokości\n(patrz rysunek). Jaka część objętości wazonu nie została napełniona?\nA. 2\n1\nB. 8\n5\nC. 4\n3\nD. 8\n7","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nGIMNAZJUM\n11.2. Bryły.\nZdający oblicza pole powierzchni i objętość\ngraniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka,\nkuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście\npraktycznym).\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"24","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW pojemniku znajdują się kule białe, czarne i czerwone. Kul białych jest cztery razy więcej niż kul\nczarnych, a prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe 2\n1 . Losujemy jedną kulę.\nIle wynosi prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?\nA. 10\n1\nB. 3\n1\nC. 2\n1\nD. 5\n2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10.3. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych\nsytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa.\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"25","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nNa dwa tygodnie przed egzaminem maturalnym uczniom klas trzecich pewnego liceum zadano\npytanie: „Ile godzin dziennie poświęcasz nauce?”. Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie\nkołowym.\nWskaż średnią liczbę godzin przeznaczonych\nprzez uczniów tej szkoły na naukę.\nA. 4,5\nB. 4,9\nC. 5\nD. 5,2\nH\nH\n2\n1\n5%\n10%\n30%\n4 h\n5 h\n6 h\n8 h 3 h\n30%\n25%\n\n9 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\n10 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią ważoną i odchylenie\nstandardowe zestawu danych (także w przypadku danych\nodpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry\ndla danych empirycznych.\nGIMNAZJUM\n9.1. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku\nprawdopodobieństwa.\nZdający interpretuje dane przedstawione za pomocą\ntabel, diagramów słupkowych i kołowych, wykresów.\nB\n6 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"26","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność: x x\nx\nx\n4\n2\n1\n4\nG\nh\nh\nh.\nOdpowiedź:\n\n11 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność: x x\nx\nx\n4\n2\n1\n4\nG\nh\nh\nh.\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3.5. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.\nPrzykładowe rozwiązania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na ustaleniu\npierwiastków trójmianu kwadratowego, drugi - na ustaleniu zbioru rozwiązań nierówności.\nRealizacja pierwszego etapu\nSposób I\nPrzenosimy składniki na jedną stronę nierówności\nx\nx\nx x\n2\n1\n4\n4\n0\nH\nh\nh\nh\ni wyłączamy wspólny czynnik poza nawias, zapisując nierówność w postaci iloczynowej.\nx\nx\nx\n4\n2\n1\n0\nH\n^h\nh\nx\nx\n4\n1\n0\nH\n^h\nh\nPierwiastkami trójmianu kwadratowego x\nx\n4\n1\n^h\nh są liczby\n1\nx1 =- , x\n4\n2 = .\nSposób II\nWymnażamy obie strony nierówności:\nx\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n8\n4\n2\n2\nG\ni redukujemy wyrazy podobne, zapisując nierówność w postaci równoważnej:\nx\nx\n3\n4\n0\n2\nH\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x\nx\n3\n4\n2 -\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego:\n3\n4 1\n4\n25\n2\n$\n$\nT =\nh\nh\n, stąd\n1\nx\n2\n3\n5\n1 =\n=- , x\n2\n3\n5\n4\n2 =\nalbo\nstosujemy wzory Viète’a:\nx\nx\n4\n1\n2\n$\n=- oraz x\nx\n3\n1\n2\n= , stąd x\n1\n1 =- oraz x\n4\n2 = ,\nalbo\npodajemy je bezpośrednio, zapisując pierwiastki trójmianu\n1\nx1 =- , x\n4\n2 = (podajemy uzasadnienie, np. f\nf\n1\n4\n0\nh\nh\n)\nlub zaznaczając je na wykresie.\nx\ny\n0\n1\n2\n3\n4 5\n-2-1\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-5\n-4\n-6\n7 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nRealizacja drugiego etapu\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n1\nx G- lub x\n4\nH .\nAlternatywnie:\n,\n,\nx\n1\n4\n,\n3\n3\n!\nh\nh.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy:\nprawidłowo wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n1\nx1 =- , x\n4\n2 = i na tym poprzestanie\nlub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\nrealizując pierwszy etap, popełni błąd, ale otrzyma dwa różne pierwiastki i konsekwentnie\nrozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy:\npoda zbiór rozwiązań nierówności:\n,\n,\nx\n1\n4\n,\n3\n3\n! -\nh\nh albo w postaci:\n1\nx G- lub x\n4\nH\nalbo\nsporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n1\nx G- lub x\n4\nH ,\nalbo\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami\nprzedziałów.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x\n4\n- bez stosownego założenia lub rozważy\ntylko jedno założenie: x\n4\n2 albo x\n4\n1 , to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x\n4\n- i rozważy jedno z założeń: x\n4\n2 ,\nx\n4\n1 oraz sprawdzi warunek x\n4\n= , rozwiąże nierówność w każdym z dwóch przypadków oraz\nkonsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x\n4\n- i rozważy dwa założenia: x\n4\n2 , x\n4\n1\noraz sprawdzi warunek x\n4\n= , rozwiąże nierówność w każdym z trzech przypadków i poprawnie\nwyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"$x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 4, \\infty)$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"27","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nCiąg an\nh jest określony wzorem a\nn\nn\n2\n1\n4\n5\nn =\ndla n\n1\nH . Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy 2 2\n1.\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n26\n27\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nCiąg an\nh jest określony wzorem a\nn\nn\n2\n1\n4\n5\nn =\ndla n\n1\nH . Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy 2 2\n1 .\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n3.8. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań\nliniowych lub kwadratowych.\n5.1. Ciągi.\nZdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.\n4\nx\n-1\n8 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nCiąg an\nh ma wyraz a\n2 2\n1\nn =\nwtedy, gdy rozwiązaniem równania n\nn\n2\n1\n4\n5\n2 2\n1\njest liczba naturalna\ndodatnia.\nn\nn\n2\n1\n4\n5\n2\n5\nn\nn\n10\n5\n8\n10\nn\n2\n5\nLiczba n\n2\n5\nnie jest liczbą naturalną, więc w tym ciągu nie istnieje wyraz równy 2 2\n1 .\nSposób II\nObliczamy kolejne wyrazy ciągu an\nh: a\n3\n1 = , a\n5\n13\n2 5\n3\n2 2\n1\n2\n2\n, a\n7\n17\n2 7\n3\n2 2\n1\n3\n1\n. Wystarczy\nzatem uzasadnić, że ciąg an\nh jest malejący.\na\na\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n2\n1\n1\n4\n1\n5\n2\n1\n4\n5\n2\n3\n2\n1\n4\n9\n2\n1\n4\n5\n2\n3\nn\nn\n1 -\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nMnożymy wyrażenia w nawiasach, redukujemy wyrazy podobne i ostatecznie otrzymujemy\n6\na\na\nn\nn\n2\n3\n2\n1\n0\nn\nn\n1\n1\n^h\nh\ndla n\nN\n!\n+, więc ciąg an\nh jest malejący:\nCiąg an\nh jest malejący, a\n2 5\n3\n2 2\n1\n2\n2\n, a a\n2 7\n3\n2 2\n1\n3\n1\n, więc w tym ciągu nie istnieje wyraz równy 2 2\n1.\nSposób III\nWzór na wyraz ciągu można przekształcić w następujący sposób:\na\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n2\n1\n4\n5\n2\n1\n4\n2\n3\n2\n1\n2 2\n1\n3\n2\n2\n1\n3\nn =\nh\nh\nZ powyższego zapisu widać, że ciąg (an) jest ciągiem malejącym. I dalej jak wyżej.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy:\npoprawnie wyznaczy rozwiązanie równania wymiernego: n\n2\n5\nalbo\nuzasadni, że ciąg an\nh jest malejący.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że w ciągu an\nh nie istnieje wyraz równy 2 2\n1 .\nUwagi\n1. Jeżeli zdający jedynie wyznaczy wyrazy a\n3\n1 = , a\n2 5\n3\n2 2\n1\n2\n2\n, a\n2 7\n3\n2 2\n1\n3\n1\ni stąd wywnioskuje,\nże w ciągu an\nh nie istnieje wyraz równy 2 2\n1 , to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający wyznaczy wyrazy a\n3\n1 = , a\n2 5\n3\n2 2\n1\n2\n2\n, a\n2 7\n3\n2 2\n1\n3\n1\ni badając monotoniczność\nciągu popełni błędy rachunkowe, ale przeprowadzi poprawne rozumowanie prowadzące do wniosku,\nże wyraz równy 2 2\n1 nie istnieje, to otrzymuje 1 punkt.\n9 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":"W tym ciągu nie istnieje wyraz równy $2\\dfrac{1}{2}$.","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"28","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nUdowodnij, że nierówność x\nx\n3\n4 2\n1\n2\n2\n4 H\nh\njest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.\n\n13 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n28\n29\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nUdowodnij, że nierówność x\nx\n3\n4 2\n1\n2\n2\n4 H\nh\njest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na a\nb\n2\n!\nh oraz a\nb\n2\n2\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób I\nNiech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Chcemy wykazać, że x\nx\n3\n4 2\n1\n2\n2\n4 H\nh\nPrzekształcamy tezę do postaci równoważnej.\nx\nx\nx\n6\n9\n2\n9\n0\n4\n2\n4\nH\nx\nx\n2\n6\n2\n9\n0\n4\n2\nH\nx\nx\n4\n12\n9\n0\n4\n2\nH\nx\n2\n3\n0\n2\n2 H\nh\nOtrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x, bo kwadrat każdej liczby\nrzeczywistej jest nieujemny. Zatem równoważna jej teza też jest prawdziwa. To kończy dowód.\nSposób II\nDo tezy podstawiamy t\nx2\ni otrzymujemy nierówność kwadratową\nt\nt\n3\n4 2\n1\n2\n2 H\nh\nt\nt\n4\n12\n9\n0\n2\nH\nTrójmian kwadratowy t\nt\n4\n12\n9\n2 -\n+ najmniejszą wartość przyjmuje dla t\na\nb\n2\n(a > 0).\nDla\n,5\nt\n8\n12\n1\nwartość trójmianu wynosi 0.\nPonieważ najmniejsza wartość trójmianu wynosi 0, zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej x, a tym samym jest prawdziwa teza twierdzenia.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy zapisze nierówność w postaci równoważnej\nx\n2\n3\n0\n2\n2 H\nh\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełni błędy\nalbo\nzapisze nierówność jako nierówność kwadratową (po podstawieniu t\nx2\n) i obliczy wyróżnik\ntrójmianu kwadratowego lub poda współrzędne wierzchołka paraboli.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\n10 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":"Dowód w pełnym rozwiązaniu.","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"29","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDla pewnej liczby rzeczywistej x liczby: 1 - x, 2 - 3x, 10 + 2x są trzema początkowymi wyrazami\nnieskończonego ciągu arytmetycznego an\nh, określonego dla n\n1\nH . Wyznacz x oraz oblicz sumę\ndziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.\nOdpowiedź:\n\n14 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nDla pewnej liczby rzeczywistej x liczby\nx\n1 - ,\nx\n2\n3\n,\nx\n10\n2\nsą trzema początkowymi wyrazami\nnieskończonego ciągu arytmetycznego an\nh, określonego dla n\n1\nH . Wyznacz x oraz oblicz sumę\ndziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n5.3. Ciągi.\nZdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego.\nPrzykładowe rozwiązanie\nKorzystamy z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nrównanie.\nx\nx\nx\n2\n1\n10\n2\n2\n3\nx\nx\n11\n4\n6\n1\nx =-\nStąd a\n2\n1 = , a\n5\n2 = , a\n8\n3 = , Różnica tego ciągu r = 3.\nMożemy skorzystać ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.\nS\na\n2\n5\n8\n2\n2 2\n9 3 10\n155\n10\n10\n$\n$\n$\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy obliczy pierwszy wyraz ciągu: a\n2\n1 = oraz jego różnicę: r = 3 i na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy\nalbo\nwyznaczy wyraz pierwszy oraz różnicę z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu obliczy sumę dziesięciu początkowych wyrazów otrzymanego ciągu.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy obliczy sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu: S\n155\n10 =\nUwaga\nJeżeli zdający stosuje własności ciągu geometrycznego zamiast własności ciągu arytmetycznego, to za\ncałe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n11 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":"$x = -1$, $S_{10} = 155$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"30","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nOsią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f x\nax\nbx\n3\n2\n^ h\n, gdzie a\n0\n! , jest\nprosta o równaniu\n2\nx =- . Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y\nx\n2\n. Wyznacz\nwzór funkcji f w postaci ogólnej lub kanonicznej.\nOdpowiedź:\n\n15 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n30\n31\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nOsią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f x\nax\nbx\n3\n2\n^ h\n, gdzie a\n0\n! , jest\nprosta o równaniu\n2\nx =- . Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu\nx\n2\ny =-\n. Wyznacz\nwzór funkcji f w postaci ogólnej bądź kanonicznej.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający:\n9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych\ninformacji o tej funkcji lub o jej wykresie;\n10) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji\nkwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci\niloczynowej (o ile istnieje).\nPrzykładowe rozwiązania\nProsta o równaniu\n2\nx =- jest osią symetrii paraboli, więc pierwszą współrzędną jej wierzchołka\nW(p, q) jest\n2\np =- . Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y\nx\n2\n, więc drugą\nwspółrzędną wierzchołka jest q\n2\n2\n4\n= . Stąd wierzchołkiem paraboli jest punkt\n,\nW\n2 4\nh.\nSzukamy wzoru funkcji kwadratowej w postaci ogólnej:\nf x\nax\nbx\n3\n2\n^ h\nbądź w postaci kanonicznej:\nf x\na x\n2\n4\n2\nh\nh\nSposób I\nZauważmy, że f\na\nb\n0\n0\n0\n3\n3\n2\n$\n$\n^ h\n, więc do paraboli należy punkt P = (0, 3). Wstawiamy\nwspółrzędne punktu P do wzoru funkcji f.\na\n3\n0\n2\n4\n2\nh\n1\na\n4 =-\na\n4\n1\nWzór funkcji w postaci kanonicznej ma postać:\nf x\nx\n4\n1\n2\n4\n2\nh\nh\nSposób II\nTworzymy układ równań.\nb\n2\n2\n(\n)\na\nf\n2\n4\nb\na\na\nb\n4\n2\n2\n3\n4\n2\n$\n$\nh\nh\n(\nStąd:\na\na\n4\n8\n1\na\n4\n1\nb = 4a,\n1\nb =- .\nZatem\nf x\nx\nx\n4\n1\n3\n2\n^ h\n12 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nSposób III\nTworzymy układ równań.\nb\n2\nT\na\na\n2\n4\n4\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nb\na\na\nb\nac\n4\n4\n4\n4\n2\nStąd po podstawieniu otrzymujemy równanie:\na\na\na\n4\n16\n12\n4\n2 +\na\na\na\n4\n4\n4\n3\n4\nh\na\n4\n3\n4\na\n4\n1\nb = 4a,\n1\nb =- .\nZatem\nf x\nx\nx\n4\n1\n3\n2\n^ h\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy wyznaczy współrzędne wierzchołka paraboli\n2\np =- , q = 4 i na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy zapisze wzór funkcji w postaci kanonicznej f x\nx\n2\n4\n4\n1\n2\nh\nh\nlub ogólnej f x\nx\nx\n4\n1\n3\n2\n^ h","solution":"$f(x) = -\\dfrac{1}{4}(x + 2)^2 + 4$ lub $f(x) = -\\dfrac{1}{4}x^2 - x + 3$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"31","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-3)\nNa ściankach symetrycznej dwunastościennej kostki do gry zapisano liczby\n1, 2, 3, …, 12 (jak na rysunku). Rzucamy tą kostką trzy razy i zapisujemy\nwyrzucone liczby w kolejności otrzymywania, tworząc ciąg trójwyrazowy.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzymy w ten sposób ciąg\ngeometryczny o ilorazie całkowitym.\nUwaga. Ciąg stały jest ciągiem geometrycznym.\nOdpowiedź:\n7\n8\n10\n11\n12\n9\n\n16 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-3)\nNa ściankach symetrycznej dwunastościennej kostki do gry zapisano liczby 1, 2, 3, …, 12 (jak na\nrysunku). Rzucamy tą kostką trzy razy i zapisujemy wyrzucone liczby w kolejności otrzymywania,\ntworząc ciąg trójwyrazowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzymy w ten sposób ciąg\ngeometryczny o ilorazie całkowitym.\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne\n10.3. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach stosując\nklasyczną definicję prawdopodobieństwa.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZdarzeniem elementarnym jest każdy trójwyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru {1, 2, 3, , 12}.\nWszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem\nklasycznym. Z reguły mnożenia wynika, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n12\n1728\n3\nX =\n13 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy ciąg geometryczny o ilorazie\ncałkowitym. Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A pogrupujmy w zależności od ilorazu\nciągu geometrycznego.\nIloraz ciągu\nCiągi\nLiczba ciągów\nq\n1\n(1, 1, 1), (2, 2, 2), , (12, 12, 12)\n12\nq\n2\n(1, 2, 4), (2, 4, 8), (3, 6, 12)\n3\nq\n3\n(1, 3, 9)\n1\nStąd liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A\n16\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe P A\nA\n12 12 12\n16\n108\n1\n$\n$\nX\n^ h\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający:\nzapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n12\n1728\n3\nX =\nalbo\nwypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4),\n(5, 5, 5), (6, 6, 6), (7, 7, 7), (8, 8, 8), (9, 9, 9), (10, 10, 10), (11, 11, 11), (12, 12, 12), (1, 2, 4), (2, 4, 8),\n(3, 6, 12) (1, 3, 9)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n12\n1728\n3\nX =\noraz zapisze, że A\n16\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego:\nP A\n108\n1\n^ h\nUwaga\nJeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale\nprzy wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A pominie jedno zdarzenie elementarne\nlub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.\n14 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":"$P(A) = \\dfrac{1}{108}$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"32","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-3)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości 2 3 krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 45°.\nOblicz objętość tego ostrosłupa.\n\n17 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n32\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-3)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości 2 3 krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 45°.\nOblicz objętość tego ostrosłupa.\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n9.2. Stereometria.\nZdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między\nodcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami,\nprzekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów.\nGIMNAZJUM\n11.2. Bryły.\nZdający oblicza pole powierzchni i objętość\ngraniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli.\nPrzykładowe rozwiązania\nWprowadzamy oznaczenia na rysunku.\nPodstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny ABC, punkt S jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa.\nKąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy 45°, zatem możemy zauważyć, że\ntrójkąty prostokątne SBD, SAD, SCD są równoramienne. Można też skorzystać z własności funkcji\ntrygonometrycznych w trójkącie prostokątnym i obliczyć długość odcinków AS\nBS\nCS\nx\n45\n2 3\ntg\nc =\nx\n1\n2 3\nAS\nBS\nCS\n2 3\nAby obliczyć pole podstawy, potrzebna jest długość boku trójkąta lub wysokość trójkąta ABC.\nWiadomo, że AS to 3\n2 wysokości trójkąta ABC. Obliczamy wysokość trójkąta ABC.\nh\n3\n2\n2 3\nh\n3 3\nWyznaczmy długość krawędzi podstawy ostrosłupa ABCD, korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta\nrównobocznego ABC.\nh\na\n2\n3\na\n3 3\n2\n3\na = 6\nA\nB\nC\nS\nD\n45\n15 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nObliczamy pole podstawy ostrosłupa. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.\nP\na\n4\n3\n2\nP\n4\n36 3\n9 3\nNa koniec obliczamy objętość ostrosłupa.\nV\nP\nH\n3\n1\n3\n1 9 3 2 3\n18\np $\n$\n$\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający obliczy długość odcinka AS lub BS lub CS i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający obliczy wysokość podstawy ostrosłupa 3 3\nh oraz długość boku tej podstawy (6).\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający obliczy objętość ostrosłupa ABCD (18).","solution":"$V = 18$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"33","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nW trapezie prostokątnym ABCD o podstawach AB i CD przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC,\ndłuższa podstawa AB ma długość 9, a sinus kąta CAD jest równy 3\n3 . Oblicz pole tego trapezu.\nA\nB\nD\nC\n\n19 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n33\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n20 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nW trapezie prostokątnym ABCD o podstawach AB i CD przekątna AC jest prostopadła do ramienia\nBC, dłuższa podstawa AB ma długość 9, a sinus kąta CAD jest równy 3\n3 . Oblicz pole tego trapezu.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7.4. Planimetria.\nZdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych.\nGIMNAZJUM\n10. Figury płaskie. Zdający:\n7) stosuje twierdzenie Pitagorasa;\n9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWprowadzamy oznaczenia na rysunku.\nα\nβ\nα\nA\nB\nD\nC\n16 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nZauważmy, że\n90c\na\nb\n- , więc sin\nsin\ncos\n90c\na\nb\nb\nh\n. Stąd w trójkącie ABC:\ncos\nAB\nAC\nb =\nAC\n3\n3\n9\nAC\n3 3\nNastępnie w trójkącie ACD:\nsin\nAC\nCD\na =\nCD\n3\n3\n3 3\nCD\n3\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACD:\nAD\n3\n3 3\n2\n2\n2\nh\nAD\n3 2\nPole trapezu ABCD wynosi więc:\nP\n2\n1 9\n3\n3 2\n18 2\nABCD\n$\nh\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający:\nzapisze, że sin\ncos\na\nb\nalbo\nzauważy, że trójkąty ABC i ACD są podobne, więc\nABC\nB\nCAD\nB\na\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający obliczy długość przekątnej AC: AC\n3 3\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający wyznaczy długości przyprostokątnych w trójkącie ACD: CD\n3\n= , AD\n3 2\ni na tym\nzakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający obliczy pole trapezu: P\n18 2\nABCD =\n17 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":"$P_{ABCD} = 18\\sqrt{2}$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"34","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nW trójkącie ABC wierzchołek A ma współrzędne (1, 6), wierzchołek B leży na osi Oy, a\nACB\n90\nB\n°.\nProsta o równaniu y\nx\n2\n1\n2\n1\njest równoległa do boku BC i przecina każdy z boków AB i AC\nw połowie. Wyznacz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.\n\n21 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n34\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n22 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nCopyright by Nowa Era Sp. z o.o.\nWYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY\nNr\nzad.\nPunkty\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n26\n27\n28\n29\n30\n31\n32\n33\n34\nKOD\n* nieobowiązkowe\nIMIĘ I NAZWISKO *\nWPISUJE ZDAJĄCY\nKARTA ODPOWIEDZI\nWYPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY\nUprawnienia ucznia do:\ndostosowania kryteriów oceniania.\nnieprzenoszenia zaznaczeń na kartę.\nNr\nzad.\nOdpowiedzi\n1\nA\nB\nC\nD\n2\nA\nB\nC\nD\n3\nA\nB\nC\nD\n4\nA\nB\nC\nD\n5\nA\nB\nC\nD\n6\nA\nB\nC\nD\n7\nA\nB\nC\nC\n8\nA\nB\nC\nD\n9\nA\nB\nC\nD\n10\nA\nB\nC\nD\n11\nA\nB\nC\nD\n12\nA\nB\nC\nD\n13\nA\nB\nC\nD\n14\nA\nB\nC\nD\n15\nA\nB\nC\nD\n16\nA\nB\nC\nD\n17\nA\nB\nC\nD\n18\nA\nB\nC\nD\n19\nA\nB\nC\nD\n20\nA\nB\nC\nD\n21\nA\nB\nC\nD\n22\nA\nB\nC\nD\n23\nA\nB\nC\nD\n24\nA\nB\nC\nD\n25\nA\nB\nC\nD","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nW trójkącie ABC wierzchołek A ma współrzędne (1, 6), wierzchołek B leży na osi Oy, a\nACB\nB\n90c\nProsta o równaniu y\nx\n2\n1\n2\n1\njest równoległa do boku BC i przecina każdy z boków AB i AC\nw połowie. Wyznacz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła\ndo prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany\npunkt;\n4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych;\n5) wyznacza współrzędne środka odcinka.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPunkty M i N są odpowiednio środkami odcinków AB oraz AC. Z warunku prostopadłości wyznaczamy\nrównanie prostej AN:\nx\nb\n2 +\ny =-\n. Podstawiając współrzędne punktu A = (1, 6) otrzymujemy\nrównanie\nb\n2 1\n$\n6 =-\nb = 8\nZatem równanie prostej AN ma postać:\nx\n2\n8\ny =-\nNastępnie obliczamy współrzędne punktu N. Jest to punkt wspólny prostych AN i MN, rozwiązujemy\nzatem układ równań:\nx\n2\n8\ny\nx\ny\n2\n1\n2\n1\nStosując metodę podstawiania, otrzymujemy równanie:\nx\n2\n8\nx\n2\n1\n2\n1\nx\n2\n5\n2\n15\nx = 3\nWstawiamy wyznaczoną wartość x np. do pierwszego równania układu:\ny\n2\n1 3\n2\n1\n2\n$\nRozwiązaniem układu jest para liczb x\ny\n3\n2\n(\n, stąd punkt N = (3, 2).\nx\ny\n0\n2\n1\n-1\n-2\n3\n4\n5\n6\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n2\n3\n4\n5\n6\nA=(1, 6)\nC\nB\nM\nN\n18 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nKorzystając ze wzoru na środek odcinka, wyznaczamy współrzędne wierzchołka\n,\nC\nc c\n1\n2\nh.\nc\nc\n2\n1\n3\n2\n6\n2\n1\n2\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\n2\nc\nc\n5\n1\n2\n(\nZatem\n,\nC\n5\n2\nh.\nWierzchołek B trójkąta jest punktem przecięcia prostej BC z osią Oy, wystarczy zatem wyznaczyć jej\nrównanie.\nProste MN i BC są równoległe, stąd równanie prostej BC: y\nx\nb\n2\n1\n+ . Podstawiając współrzędne\npunktu\n,\nC\n5\n2\nh otrzymujemy równanie:\nb\n2\n2\n5\nb\n2\n9\nZatem równanie prostej BC ma postać y\nx\n2\n1\n2\n9\n. Wynika stąd, że\n,\nB\n0\n4 2\n1\nj.\nOdpowiedź:\n,\nB\n0\n4 2\n1\nj,\n,\nC\n5\n2\nh.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający wyznaczy równanie prostej AN:\nx\n2\n8\ny =-\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający obliczy współrzędne punktu\n,\nN\n3 2\nh i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający wyznaczy współrzędne punktu\n,\nC\n5\n2\nh i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania\n4 pkt\nZdający zapisze równanie prostej BC: y\nx\n2\n1\n2\n9\ni poprzestanie na tym lub rozwiąże zadanie do\nkońca z błędami rachunkowymi (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania).\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający obliczy współrzędne obu punktów:\n4\n,\nB\n0\n2\n1\nj,\n,\nC\n5\n2\nh.\n19 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":"$B = \\left(0, -4\\dfrac{1}{2}\\right)$, $C = (5, -2)$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}