{"paper":{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"1","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nRównanie x\na\n2\n3\n2\n1\n2\nh\nz niewiadomą x ma dokładnie trzy rozwiązania tylko wtedy, gdy\nA. a = -2.\nB. a = 0.\nC. a = 1.\nD. a = 3.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR4.1. Funkcje.\nZdający na podstawie wykresu funkcji y\nf x\n= ^ h szkicuje\nwykresy funkcji y\nf x\n^ h , y\nc f x\n$\n^ h, y\nf cx\nh.\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"2","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nWskaż przedział, w którym wielomian f x\nx\nx\nx\n6\n9\n3\n2\n^ h\njest funkcją malejącą.\nA.\n,1 3\nB.\n,0 4\nC.\n, 0\n3\nh\nD.\n,3\n1\nh","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR11.4. Rachunek różniczkowy.\nZdający korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia\nprzedziałów monotoniczności funkcji.\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"3","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nNieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem a\nn\nn n\n2\n1\n3\n1\nn\n3\n2\nh\nh dla n\n1\nH . Wtedy\nA. lima\n3\nn\nn =\n\" 3\nB. lima\n2\n3\nn\nn =\n\" 3\nC. lima\n4\n3\nn\nn =\n\" 3\nD. lima\n8\n3\nn\nn =\n\" 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR5.2. Ciągi.\nZdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów\ntypu n\n1 , n\n1\n2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach\nciągów.\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"4","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nFunkcja f, której dziedziną jest zbiór\n,2 3\nh, jest określona wzorem:\nf x\nx\nx\nx\n2\n4\n8\n2\n^ h\nWartość funkcji f jest równa 8 dla argumentu\nA. 7\n16 .\nB. 4.\nC. 4\n4 2\nD. 10 3\n2 .","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR5.3. Ciągi.\nZdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza\nich sumy.\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"5","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-1)\nWskaż równanie okręgu, którego obrazem w przesunięciu o wektor\n,\nu\n3\n2\n6\n@ jest okrąg\no równaniu: x\ny\nx\ny\n2\n2\n2\n0\n2\n2\nA. x\ny\n4\n3\n4\n2\n2\nh\nh\nB. x\ny\n2\n1\n2\n2\n2\nh\nh\nC. x\ny\n3\n2\n2\n2\n2\nh\nh\nD. x\ny\n2\n1\n4\n2\n2\nh\nh","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR8.5. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający posługuje się równaniem okręgu\nx\na\nx\nb\nr\n2\n2\n2\nh\nh\noraz opisuje koła za pomocą\nnierówności.\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"6","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nW trójkącie ostrokątnym ABC  sin\nBAC\n5\n4\nB\n, a sin\nABC\n3\n2 2\nB\n. Oblicz cos\nACB\nB\nW poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego\notrzymanego wyniku.\n\n3 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n2\nUzyskana liczba pkt\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\n4 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-2)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający:\nP4) stosuje proste zależności między funkcjami\ntrygonometrycznymi: sin\ncos\n1\n2\n2\na\na\n= ,\ncos\nsin\ntga\na\na\noraz sin\nos\nc\n90\na\na\nc\nh\n;\nR5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów,\nsumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.\n554\nUwaga. Ocenie podlega tylko odpowiedź zakodowana.\n2 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"7","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nW czworokącie ABCD dane są: AC\n5\n= , \nBAD\nBCD\nB\nB\n90c\n,  sin\nABC\n3\n5\nB\nOblicz długość przekątnej BD tego czworokąta.\nOdpowiedź:\n\n5 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nW czworokącie ABCD dane są: AC\n5\n= ,\nBAD\nBCD\nB\nB\n90c\n, sin\nABC\n3\n5\nB\nOblicz długość przekątnej BD tego czworokąta.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nR7. Planimetria. Zdający:\n1) stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg\ni czworokąty opisane na okręgu;\n5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem\ntwierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nWprowadzamy oznaczenia na rysunku.\nPonieważ\nDAB\nDCB\nB\nB\n180c\n, więc na tym czworokącie można opisać okrąg, a przekątna BD\nczworokąta jest jednocześnie średnicą tego okręgu (kąt wpisany prosty jest oparty na średnicy).\nZ twierdzenia sinusów w trójkącie ABC otrzymujemy:\nsin\nAC\nBD\na =\n,\nBD\n3\n5\n5\nStąd BD\n3 5\nSposób II\nWprowadzamy oznaczenia na rysunku.\nDAC\nB\n90c\nb\n- oraz\nADC\nB\n360\n2 90\n180\n$\nc\nc\nc\na\na\nA\nD\nC\nB\n5\nα\nA\nD\nC\nB\n5\nα\nβ\n3 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nStosujemy twierdzenie sinusów w trójkątach ABC i ACD.\nsin\nsin\nBC\n5\nb\na\nsin\nBC\n3 5\nb\nsin\nsin\nCD\n90\n180\n5\nc\nc\nb\na\nh\nh\ncos\nCD\n3 5\nb\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCD otrzymujemy:\nBD\nBC\nCD\n2\n2\n2\n,\nsin\ncos\nBD\n3 5\n3 5\n2\n2\n2\nb\nb\nh\nh ,\nsin\ncos\nBD\n45\n2\n2\n2\nb\nb\nh,\nBD\n45\n3 5\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy sporządzi poprawny rysunek.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy sporządzi rysunek i:\nzauważy, że na czworokącie można opisać okrąg, a przekątna BD jest średnicą tego okręgu\nalbo\nuzależni długości odcinków BC i CD od funkcji trygonometrycznych kąta β:\nsin\nBC\n3 5\nb\n,\ncos\nCD\n3 5\nb\n,\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje\n3 pkt\ngdy obliczy długość przekątnej: BD\n3 5","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"8","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n12\n9\n0\n4\n3\n2\nH\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n7\n8\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n6 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n12\n9\n0\n4\n3\n2\nH\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nP2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na a\nb\n2\n!\nh oraz a\nb\n2\n2\nR3.7. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nLewa strona nierówności jest wielomianem W x\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n12\n9\n4\n3\n2\n^ h\no współczynnikach\ncałkowitych. Szukamy pierwiastków tego wielomianu wśród dzielników liczby 9.\nW\n1\n1\n4\n2\n12\n9\n0\nh\nWykonujemy dzielenie wielomianu W przez dwumian x\n1\n+ i otrzymujemy P x\nx\nx\nx\n5\n3\n9\n3\n2\n^ h\nTeraz szukamy pierwiastków wielomianu P(x) wśród dzielników liczby 9.\nP\n1\n1\n5\n3\n9\n0\nh\nWykonujemy dzielenie wielomianu P przez dwumian x\n1\n+ i otrzymujemy Q x\nx\nx\n6\n9\n2\n^ h\n4 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nKorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia i zapisujemy Q x\nx\n3\n2\nh\nh .\nA zatem W x\nx\nx\n1\n3\n2\n2\nh\nh\nh .\nDla każdej liczby x\nR\n!\nprawdziwe są nierówności x\n1\n0\n2 H\nh\ni x\n3\n0\n2 H\nh\n, a więc prawdziwa jest\nteż nierówność x\nx\n1\n3\n0\n2\n2 H\nh\nh\n, co należało udowodnić.\nSposób II\nPrzekształcamy lewą stronę nierówności, stosując wzory skróconego mnożenia i metodę grupowania\nwyrazów.\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n12\n9\n2\n1\n4\n16\n4\n8\n1\n4\n2\n2\n4\n2\n1\n1\n4\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n4\n8\n1\n6\n9\n1\n3\n4\n3\n2\n4\n2\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nDla każdej liczby x\nR\n!\nprawdziwa jest nierówność x\nx\n1\n3\n0\n2\n2 H\nh\nh\n, bo kwadrat dowolnej liczby\nrzeczywistej jest nieujemny, czego należało dowieść.\nSposób III\nRozważmy funkcję f x\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n12\n9\n4\n3\n2\n^ h\nWielomian jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych,\na\nlim\nlim\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n1\n4\n2\n12\n9\nx\nx\n4\n2\n3\n4\n3\n!\n!\n3\n3\nf^\na\nh\nk\n,\nwięc wystarczy wykazać, że najmniejsza wartość wielomianu f jest dodatnia.\nWyznaczamy funkcję pochodną:\n'f\nx\nx\nx\nx\n4\n12\n4\n12\n3\n2\n^ h\n,\ni obliczamy jej miejsca zerowe.\n'f\nx\nx\nx\nx\n0\n4\n12\n4\n12\n0\n3\n2\n^ h\nx\nx\nx\n4\n3\n4\n3\n0\n2\nh\nh\nx\nx\nx\n4\n1\n1\n3\n0\nh\nh\nh\nx\n1\n= lub\n1\nx =- lub x\n3\nSzkicujemy wykres znaku pochodnej.\nFunkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów (\n,\n1\n3\nH\noraz\n,1 3 i rosnąca w każdym\nz przedziałów\n,1 1\noraz\n,3 3h, więc wartość najmniejszą przyjmuje w jednym z minimów\nlokalnych, czyli dla x\n1\n=- lub x\n3\n(\n)\nf\n1\n4\n2\n12\n9\n0\n1 =\nf 3\n81\n4 27\n18\n36\n9\n0\n$\n^ h\nWartość najmniejsza funkcji f jest równa 0, zatem f x\n0\nH\n^ h\ndla x\nR\n!\n, co kończy dowód.\nx\n1\n3\n--- -1\nf (x)\n5 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy znajdzie przynajmniej 2 pierwiastki wielomianu stopnia czwartego i zapisze ten wielomian\nw postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego\nalbo\ngdy grupę składników: x\nx\n2\n1\n4\n2\n+ zapisze w postaci: x\nx\n1\n1\n2\n2\nh\nh lub grupę składników:\nx\nx\n4\n12\n8\n3\n+ rozłoży na czynniki, np. do postaci:\nx\nx\nx\n4\n2\n2\n1\n2\n^h\nh\nalbo\ngdy wyznaczy funkcję pochodną: 'f\nx\nx\nx\nx\n4\n12\n4\n12\n3\n2\n^ h\ni obliczy jej miejsca zerowe:\n, ,\nx\n1 1 3\n! -\n,\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy zapisze nierówność w postaci x\nx\n1\n3\n0\n2\n2 H\nh\nh\nalbo\ngdy zbada znak pochodnej i ustali argumenty, dla których wielomian może osiągnąć wartość\nnajmniejszą\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje\n3 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"9","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nCiąg an\nh jest określony wzorem:\nlog\nlog\nlog\nlog\na\nn\nn\nn\nn\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nn\n2\n3\n4\n2018\nh\nh\nh\nh\n dla n\n1\nH .\nUzasadnij, że wzór ciągu an\nh można zapisać w postaci\nlog\na\nn\n1\n!\nn\n2018\nh i oblicz wartość wyrażenia\na\na\na\na\n1\n2\n3\n2017\n\n7 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nCiąg an\nh jest określony wzorem:\nlog\nlog\nlog\nlog\na\nn\nn\nn\nn\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nn\n2\n3\n4\n2018\nh\nh\nh\nh\ndla n\n1\nH . Uzasadnij, że wzór ciągu an\nh można zapisać w postaci:\nlog\na\nn\n1\n!\nn\n2018\nh i oblicz wartość\nwyrażenia:\na\na\na\na\n1\n2\n3\n2017\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający:\nP6) wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory\nna logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym.\nR2) stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na\nzamianę podstawy logarytmu.\nP5.1.Ciągi.\nZdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZe wzoru na zmianę podstawy logarytmu wynika, że log\nlog\nb\na\n1\na\nb\n. Zatem wzór ciągu:\nlog\nlog\nlog\na\nn\nn\nn\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nn\n2\n3\n2018\nh\nh\nh\nmożna zapisać w postaci:\nlog\nlog\nlog\na\n2\n3\n2018\n1\nn\nn\nn\nn\n1\n1\n1\n6 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPo zastosowaniu wzoru na sumę logarytmów otrzymujemy:\nlog\na\n2 3 4\n2018\n1\nn\nn\n1\n$\n$\n$\n$\nh,\n!\nlog\na\n2018\n1\nn\nn\n1\n,\nlog\na\nn\n1\n!\nn\n2018\nh.\nTeraz można obliczyć wartość sumy.\n!\nlog\nlog\nlog\nlog\nlog\nlog\na\na\na\na\n2\n3\n4\n2018\n2 3 4\n2018\n2018\n1\n!\n!\n!\n!\n!\n!\n1\n2\n3\n2017\n2018\n2018\n2018\n2018\n2018\n2018\n$\n$\n$\n$\nh\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n1 pkt\nZdający zapisze wzór ciągu w postaci:\nlog\nlog\nlog\na\n2\n3\n2018\n1\nn\nn\nn\nn\n1\n1\n1\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający zapisze wzór ciągu w postaci:\nlog\na\nn\n1\n!\nn\n2018\nh\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający obliczy wartość wyrażenia\na\na\na\na\n1\n1\n2\n3\n2017","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie:\nsin\ncos\nx\nx\n2\n1\n2\n2 -\n= . Oblicz sumę\nwszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału\n,0 32r .\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n9\n10\nMaks. liczba pkt\n3\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n8 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie:\nsin\ncos\nx\nx\n2\n2\n1\n2\n. Oblicz sumę\nwszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału\n,0 32r .\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nR6.6. Trygonometria.\nZdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne.\nP5.3. Ciągi.\nZdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych\nwyrazów ciągu arytmetycznego.\nPrzykładowe rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów: pierwszy to ustalenie rozwiązań równania\ntrygonometrycznego, a drugi - wyznaczenie sumy wszystkich rozwiązań równania należących do\nprzedziału\n,0 32r .\nRealizacja pierwszego etapu\nSposób I\nKorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie.\nsin\ncos\nsin\nsin\nsin\nsin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n4\n2\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nsinx\n2\n2\nlub sinx\n2\n2\n7 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSzkicujemy wykres funkcji sinus, by wyznaczyć wszystkie rozwiązania ostatniej alternatywy.\nZatem wszystkie rozwiązania równania możemy zapisać w postaci: x\nk\n4\n2\n$\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą\ncałkowitą.\nSposób II\nKorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie.\nsin\ncos\ncos\nsin\ncos\ncos\ncos\ncos\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nk\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n2\n0\n2\n2\n2\n2\nr\nr\nStąd x\nk\n4\n2\n$\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nRealizacja drugiego etapu\nSpośród rozwiązań równania należących do przedziału\n,0 32r wybieramy najmniejsze - jest to\nx\n4\n0\nr\n(dla k = 0). Ponieważ każde dwa sąsiednie rozwiązania równania różnią się o 2\nr , więc dla\nkolejnych liczb naturalnych k tworzą one rosnący ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz a\n4\n1\nr\n,\na różnica r\n2\nr\n. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:\na\nn\nn\n4\n1\n2\n2\n4\nn\n$\nr\nr\nr\nr\nh\nWyznaczamy liczbę wyrazów tego ciągu znajdujących się w przedziale\n,0 32r\na\n32\nn G\nr\nn\n2\n4\n32\nG\nr\nr\nr\nPo przekształceniu nierówności otrzymujemy warunek:\n,\nn\n64 5\nG\n,\nwięc\n, , , ,\nn\n1 2 3\n64\n! \"\n,.\nZatem 64 początkowe wyrazy ciągu an\nh należą do przedziału\n,0 32r . Obliczamy ich sumę.\nS\n2\n2 4\n63 2\n64\n1024\n64\n$\n$\n$\nr\nr\nr\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający przekształci równanie do postaci:\nsinx\n2\n2\nlub sinx\n2\n2\nalbo\ncos x\n2\n0\nx\ny\nπ\n2π\n0\n1\n-1\n4\nπ\n4\nπ\n2\nπ\n2\nπ\n4\n3π\n4\n3π\n4\n5π\n2\n3π\n4\n7π\n4\n9π\n8 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n3 pkt\nZdający poda rozwiązania równania, np. w postaci: x\nk\n4\n2\n$\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n4 pkt\nZdający obliczy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego należących do przedziału\n,0 32r : n\n64\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający obliczy sumę wszystkich rozwiązań równania trygonometrycznego należących do przedziału\n,0 32r : S\n1024\n64\nr\nUwagi\n1. Jeżeli zdający w wyniku przekształceń zapisze tylko jedno z równań sinx\n2\n2\nalbo sinx\n2\n2\n,\npoda poprawne rozwiązania tego równania i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje\n1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poda poprawnie rozwiązania tylko jednego z równań: sinx\n2\n2\nlub sinx\n2\n2\nalbo zapisze równość x\nk\n2\n2\nr\nr\ni stąd błędnie wyznaczy rozwiązania równania, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający rozwiąże tylko jedno z równań sinx\n2\n2\n, sinx\n2\n2\nalbo z każdego\nz wymienionych równań poda tylko jedną serię wyników i konsekwentnie - stosując własności ciągu\narytmetycznego - obliczy sumę wszystkich rozwiązań należących do przedziału\n,0 32r , to otrzymuje\n3 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nUrna zawiera 5 kul ponumerowanych od 1 do 5. Losowano z niej osiem razy ze zwracaniem po jednej\nkuli i zapisywano wylosowane numery kolejno, od strony lewej do prawej. Zapisane cyfry utworzyły\nliczbę ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w doświadczeniu otrzymamy liczbę\nparzystą, w której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.\nWynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\n\n9 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n11\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n10 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nUrna zawiera 5 kul ponumerowanych od 1 do 5. Losowano z niej osiem razy ze zwracaniem po jednej\nkuli i zapisywano wylosowane numery kolejno, od strony lewej do prawej. Zapisane cyfry utworzyły\nliczbę ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w doświadczeniu otrzymamy liczbę\nparzystą, w której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.\nWynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nR10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji,\nwariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej\nzłożonych sytuacjach kombinatorycznych .\nPrzykładowe rozwiązania\nWszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, jest to zatem model klasyczny.\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. W pierwszym wyznaczymy liczbę wszystkich\nmożliwych wyników doświadczenia losowego, czyli X . W drugim etapie obliczymy, na ile\nsposobów w doświadczeniu losowym można otrzymać liczbę parzystą, w której zapisie dziesiętnym\nznajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka, czyli A . W trzecim etapie wyznaczymy\nprawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A.\nRealizacja pierwszego etapu\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie ośmiowyrazowe ciągi o wyrazach ze zbioru\n{1, 2, 3, 4, 5}, czyli wariacje z powtórzeniami. Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia\nlosowego jest zatem równa:\n58\nX =\n9 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRealizacja drugiego etapu\nNiech A oznacza zdarzenie, że utworzymy ośmiocyfrową liczbę parzystą, w której zapisie dziesiętnym\nwystąpią dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.\nSposób I\nNajpierw obliczymy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema\ntrójkami, przy czym cyfry wybieramy ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}.\nNależy uwzględnić następujące warunki:\nliczba ma być parzysta, zatem cyfrę jedności wybieramy spośród {2, 4},\nmają być dokładnie trzy cyfry 3, zatem miejsca dla nich wybieramy na 3\n7\nj sposobów (bo ostatnie\nmiejsce jest już zajęte),\npozostają cztery wolne miejsca, na które możemy wstawić po jednej cyfrze ze zbioru {1, 2, 4, 5}.\nKorzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy:\n!\n!\n!\n2\n3\n7\n4\n2 3\n4\n7\n256\n17 920\n4\n$\n$\n$\n$\n$\nj\nNastępnie obliczymy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema\ntrójkami i bez cyfry 5.\n!\n!\n!\n2\n3\n7\n3\n2 3\n4\n7\n81\n5670\n4\n$\n$\n$\n$\n$\nj\nWszystkich ośmiocyfrowych liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy\ntrójki i co najmniej jedna piątka, jest:\nA\n17 920\n5670\n12 250\nSposób II\nZbiór wyników sprzyjających zdarzeniu A można podzielić na zdarzenia wykluczające się,\nuwzględniając liczbę piątek w zapisie dziesiętnym liczby ośmiocyfrowej:\n1. z dokładnie jedną cyfrą 5: 2\n3\n7\n4 3\n7560\n3\n$\n$\n$\nj\n2. z dokładnie dwiema cyframi 5:\n2\n3\n7\n2\n4\n3\n3780\n2\n$\n$\n$\nj\nj\n3. z dokładnie trzema cyframi 5:\n2\n3\n7\n3\n4\n3\n840\n$\n$\n$\nj\nj\n4. z dokładnie czterema cyframi 5:\n2\n3\n7\n70\n$\nj\nRazem: 7560\n3780\n840\n70\n12 250\nZatem A\n12 250\nRealizacja trzeciego etapu\nJest to model klasyczny, więc:\nP A\nA\n5\n12250\n5\n98\n3125\n98\n8\n5\nX\n^ h\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nEtap pierwszy to ustalenie liczby wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego:\n58\nX =\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nwybór cyfry\njedności\nwybór miejsc\ndla trzech 3\nwybór\npozostałych cyfr\nwybór cyfry\njedności\nwybór miejsc\ndla trzech 3\nwybór\npozostałych cyfr\n(bez 5 i 3)\n10 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nEtap drugi to obliczenie, na ile sposobów w doświadczeniu losowym można otrzymać liczbę parzystą,\nw której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.\nZa tę część rozwiązania zdający może otrzymać 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n2 punkty zdający otrzymuje wtedy, gdy:\nobliczy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema trójkami,\no cyfrach ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}: 17 920\nalbo\nobliczy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema trójkami i bez\ncyfry 5: 5670\nalbo\npoprawnie rozważy przynajmniej jeden przypadek uwzględniający liczbę piątek w zapisie\ndziesiętnym liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema trójkami, o cyfrach ze zbioru\n{1, 2, 3, 4, 5}: z 1 piątką - 7560, z 2 piątkami - 3780, z 3 piątkami - 840, z 4 piątkami - 70.\n3 punkty zdający otrzymuje wtedy, gdy obliczy liczbę wszystkich wyników sprzyjających zdarzeniu A:\nA\n12 250\nEtap trzeci to obliczenie prawdopodobieństwa i zapisanie wyniku w postaci ułamka zwykłego\nnieskracalnego: P A\n5\n12250\n3125\n98\n8\n^ h\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nZa ostatni etap 1 punkt może zostać przyznany również wtedy, gdy zdający popełni błąd rachunkowy\nw pierwszym lub drugim etapie i konsekwentnie obliczy P A\n^ h, pod warunkiem, że otrzyma wartość\nz przedziału (0, 1).\nŁącznie za poprawne rozwiązanie całego zadania (podanie odpowiedzi) zdający otrzymuje 5 punktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nW ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równoramiennym o ramionach AC i BC długości 4\ni kącie między nimi 30°. Punkt E - środek krawędzi AB - jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa,\na krawędź boczna CS tworzy z podstawą kąt 60°. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez\nkrawędź AB i mającą z przeciwległą krawędzią boczną CS wspólny punkt D (jak na rysunku). Oblicz\npole otrzymanego przekroju, wiedząc, że z podstawą ostrosłupa tworzy on kąt 75°. Podaj dokładny\nwynik obliczeń.\nA\nE\nB\nC\nS\nD\n\n11 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n12\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nW ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równoramiennym o ramionach AC i BC\ndługości 4 i kącie między nimi 30°. Punkt E - środek krawędzi AB - jest spodkiem wysokości\ntego ostrosłupa, a krawędź boczna CS tworzy z podstawą kąt 60°. Ostrosłup przecięto płaszczyzną\nprzechodzącą przez krawędź AB i mającą z przeciwległą krawędzią boczną CS wspólny punkt D\n(jak na rysunku). Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że tworzy on z podstawą ostrosłupa\nkąt 75°. Podaj dokładny wynik obliczeń.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający:\nP2) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między\nodcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami,\nprzekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów;\nP4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między\nścianami;\nR2) określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub\nostrosłupa płaszczyzną;\nR7.5. Planimetria.\nZdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.\n11 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPrzykładowe rozwiązanie\nWprowadzamy oznaczenia na rysunku. Zauważmy, że w trójkącie EDC miara kata EDC jest równa 45°.\nObliczamy długość krawędzi AB, stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC.\ncos\nAB\nAB\nAB\n2 4\n2 4\n30\n16 2\n3\n4 2\n3\n2\n2\n2\n2\n$\n$\n$\nc\nh\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie EBC i wyznaczamy wysokość EC.\nEC\nEC\nEC\nEC\n4\n2 2\n3\n16\n8\n4 3\n4 2\n3\n2 2\n3\n2\n2\n2\n2\n2\nh\ni\nOdcinek ED jest wysokością przekroju ABD. Jego długość obliczymy, stosując twierdzenie sinusów\nw trójkącie ECD.\nsin\nsin\nED\nEC\nED\nED\n60\n45\n2\n2\n2 2\n3\n2\n3\n2\n3\n6\n$\n$\nc\nc\nPole przekroju ABD jest zatem równe:\nP\n2\n1 4 2\n3\n2\n3\n6\nABD\n$\n$\n$\nT\n,\nP\n2 6\n4\n3\nABD\n$\nT\n,\nP\n2 6\nABD =\nT\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający obliczy miarę kąta EDC równą 45°.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający obliczy długość krawędzi AB\n4 2\n3\nalbo wysokość podstawy ostrosłupa:\nEC\n2 2\n3\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nA\nE\nB\nC\nS\nD\n75\n45\n60\n12 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający\nobliczy długość krawędzi AB\n4 2\n3\ni wysokość podstawy ostrosłupa: EC\n2 2\n3\nalbo\nobliczy wysokość podstawy ostrosłupa: EC\n2 2\n3\ni wysokość przekroju ABD:\nED\n2\n3\n6\n$\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne\n4 pkt\nZdający obliczy długości odcinków: AB (krawędź podstawy ostrosłupa), EC (wysokość podstawy\nostrosłupa) i ED (wysokość trójkąta ABD, będącego przekrojem ostrosłupa)\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający obliczy pole przekroju ostrosłupa: P\n2 6\nABD =\nT\nUwagi\n1. Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę, np. ostrosłup prawidłowy trójkątny albo ostrosłup, którego\nściany boczne są trójkątami równobocznymi, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy lub kąt nachylenia\npłaszczyzny przekroju do podstawy, ale przy korzystaniu z własności figur, w których te kąty nie\nwystępują, wykazuje się innymi umiejętnościami matematycznymi, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający odczyta przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych z tablic i wykona\nobliczenia na przybliżeniach, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-6)\nFunkcja kwadratowa f x\nm\nx\nm\nx\nm\n2\n1\n2\n1\n1\n2\nh\nh\nh\nma dwa różne miejsca zerowe x1, x2.\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi\nnie więcej niż 4.\n\n13 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n13\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n14 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-6)\nFunkcja kwadratowa f x\nm\nx\nm\nx\nm\n2\n1\n2\n1\n1\n2\nh\nh\nh\nma dwa różne miejsca zerowe x1, x2.\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi\nnie więcej niż 4.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nR1.1. Liczby rzeczywiste.\nZdający wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację\ngeometryczną.\nR3. Równania i nierówności. Zdający:\n2) rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe\nz parametrem;\n8) rozwiązuje proste nierówności wymierne.\nPrzykładowe rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. W pierwszym wyznaczymy wszystkie wartości\nparametru m, dla których funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe. W drugim etapie wyznaczymy\nte wartości parametru m, dla których odległość między dwoma miejscami zerowymi funkcji jest równa\nco najwyżej 4. W trzecim etapie wyznaczymy wszystkie wartości parametru m spełniające warunki\nzadania.\n13 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRealizacja pierwszego etapu\nFunkcja f jest trójmianem kwadratowym, gdy m\n2\n1\n0\n!\n, czyli m\n2\n1\n!\nFunkcja f ma dwa miejsca zerowe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni.\nm\nm\nm\n4\n1\n4 2\n1\n1\n0\n4\n2\n2\nh\nh\nh\nm\nm\nm\nm\nm\n2\n1\n2\n2\n1\n0\n2\n2\n2\nm\nm\n5\n0\n2\n2\nm m\n5\n0\n2\nh\nZatem dla\n,\nm\n0 5\n2\n1\n! ^\nh $\n. funkcja f jest trójmianem kwadratowym i ma dwa różne miejsca zerowe.\nRealizacja drugiego etapu\nZ geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej wynika, że odległość między dwoma miejscami\nzerowymi funkcji jest równa wartości bezwzględnej ich różnicy. Należy zatem rozważyć warunek\nx\nx\n4\n1\n2 G\nSposób I\nKorzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego.\na\nb\na\nb\n2\n2\n4\nT\nT G\na\n4\nT G\nObie strony nierówności są dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do kwadratu,\notrzymujemy nierówność równoważną:\na\n16\n2T G\n,\nm\nm\nm\n2\n1\n4\n5\n16\n2\n2\nG\nh\nh\n, gdzie m\n2\n1\n!\nWyrażenie\nm\n4\n2\n1\n2\nh jest dodatnie, więc mnożąc obie strony ostatniej nierówności przez\nm\n4\n2\n1\n2\nh ,\notrzymujemy nierówność równoważną.\n,\n,\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\n5\n4 2\n1\n4 4\n4\n1\n5\n0\n17\n21\n4\n0\n17\n4\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n,\n3\n3\nG\nH\nH\n!\nh\nh\nj\nSposób II\nObie strony nierówności x\nx\n4\n1\n2 G\nsą dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do\nkwadratu, otrzymujmy nierówność równoważną.\nx\nx\nx\nx\nx x\n16\n4\n16\n1\n2\n2\n1\n2\n2\n1\n2\nG\nG\nh\nh\nm\n5\n0\n2\n1\n14 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nStosujemy wzory Viète’a.\nm\nm\nm\nm\n2\n1\n2\n1\n4 2\n1\n1\n16\n2\n$\nG\nc ^\nh m\n, gdzie m\n2\n1\n!\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\n2\n1\n4\n2\n1\n2\n1\n4\n1\n2\n1\n2\n1\n16 2\n1\n0\n4\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n$\nG\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nPo uproszczeniu otrzymujemy nierówność.\nm\nm\n17\n21\n4\n0\n2\nH\n,\n,\nm\n17\n4\n1\n,\n3\n3\n! -\nj\nRealizacja trzeciego etapu\nWyznaczamy iloczyn zbiorów otrzymanych w etapach pierwszym i drugim.\nZatem odległość między miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f jest równa co najwyżej 4, gdy\n,\n,\nm\n0 17\n4\n1 5\n,\n! `\nj.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nEtap pierwszy to ustalenie, dla jakich wartości parametru m funkcja f jest trójmianem kwadratowym\ni ma dwa miejsca zerowe: a\n0\n!  i\n0\nT 2 dla\n,\nm\n0 5\n2\n1\n! ^\nh $\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nUwaga\nJeżeli zdający nie rozważy warunku a\n0\n! lub zapisze\n0\nT H , to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nEtap drugi to rozwiązanie nierówności x\nx\n4\n1\n2 G\n. Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierówności w postaci a\n16\n2T G\nlub x\nx\nx x\n4\n16\n1\n2\n2\n1\n2 G\nh\n2 punkty zdający otrzymuje za zapisanie nierówności z jedną niewiadomą m, np. w postaci\nm\nm\nm\n2\n1\n4\n5\n16\n2\n2\nG\nh\nh\nlub\nm\nm\nm\nm\n2\n1\n2\n1\n4 2\n1\n1\n16\n2\n$\nG\nc ^\nh m\n3 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności:\n,\n,\nm\n17\n4\n1\n,\n3\n3\n! -\nj.\nEtap trzeci to wyznaczenie części wspólnej rozwiązań warunków z etapów pierwszego i drugiego:\n,\n,\nm\n0 17\n4\n1 5\n,\n! `\nj.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nZa ostatni etap 1 punkt może zostać przyznany tylko wtedy, gdy zdający poprawnie wykona\nprzynajmniej jeden z etapów (pierwszy lub drugi), a ponadto w obu etapach otrzyma zbiory niepuste\ni różne od zbioru liczb rzeczywistych oraz konsekwentnie wyznaczy iloczyn tych zbiorów.\nŁącznie za poprawne rozwiązanie całego zadania (podanie odpowiedzi) zdający otrzymuje 6 punktów.\n3\n4\n5\n1\n2\n0\n2\n1\n17\n4\n15 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nWyznacz równania wszystkich wspólnych stycznych do paraboli o równaniu y\nx\n2\n1\n2\ni okręgu\no równaniu x\ny\n2\n5\n2\n2\n2\nj\n\n15 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n14\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n16 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWyznacz równania wszystkich wspólnych stycznych do paraboli o równaniu y\nx\n2\n1\n2\ni do okręgu\no równaniu x\ny\n2\n5\n2\n2\n2\nj\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nP7.2. Planimetria.\nZdający korzysta z własności stycznej do okręgu.\nR8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n4) oblicza odległość punktu od prostej;\n5) posługuje się równaniem okręgu x\na\ny\nb\nr\n2\n2\n2\nh\nh\nR11.3. Rachunek różniczkowy.\nZdający korzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej.\nPrzykładowe rozwiązania\nPunkt\n,\nP\np\np\n2\n1\n2\nj jest dowolnym punktem należącym do paraboli o równaniu y\nx\n2\n1\n2\nZaczynamy od wyznaczenia równania stycznej do tej paraboli w punkcie P w zależności od wartości\nparametru p\nR\n!\n. W tym celu obliczamy pochodną funkcji f x\nx\n2\n1\n2\n^ h\n:\n'f\nx\nx\n^ h\nWspółczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji w punkcie\nstyczności. Stąd\na\nf\np\np\n^ h\n. Styczna do paraboli w punkcie P wyraża się zatem równaniem postaci:\ny\np\np x\np\n2\n1\n2\nh,\ny\npx\np\n2\n1\n2\nNastępnie tak dobieramy wartość parametru p, aby prosta o równaniu y\npx\np\n2\n1\n2\nbyła styczna do\nokręgu o środku\n,\nS\n0\n2\n5\nj i promieniu r\n2\nSposób I\nProsta jest styczna do okręgu wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest równa promieniowi\nokręgu.\nPrzekształcamy równanie prostej: y\npx\np\n2\n1\n2\ndo postaci ogólnej:\npx\ny\np\n2\n1\n0\n2\n2\n$\npx\ny\np\n2\n2\n0\n2\ni układamy równanie, stosując wzór na odległość punktu od prostej.\np\np\n2\n2\n5\n2\n2\n2\n2\nh\nh\np\np\n5\n8\n8\n2\n2\nObie strony równania są nieujemne, więc podnosząc je do kwadratu, otrzymujemy równanie\nrównoważne.\np\np\np\n25\n10\n8\n8\n2\n4\n2\np\np\n18\n17\n0\n4\n2\nPodstawiamy p\nt\n2 = , gdzie t\n0\nH , i otrzymujemy równanie: t\nt\n18\n17\n0\n2 -\n= , które spełniają dwie\nliczby: t\n1\n1 = , t\n17\n2 =\n. Więc:\np\n1\n2 = lub p\n17\n2 =\n,\n, ,\n,\np\n1 1\n17\n17\n!\n,.\n16 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nParabola i okrąg mają zatem cztery wspólne styczne. Są to proste o równaniach:\ny\nx\n2\n1\n, y\nx\n2\n1\n, y\nx\n17\n2\n17\n, y\nx\n17\n2\n17\nSposób II\nProsta jest styczna do okręgu wtedy, gdy ma z nim dokładnie jeden punkt wspólny. Należy tak dobrać\nparametr p, by układ równań:\ny\npx\np\nx\ny\n2\n1\n2\n5\n2\n2\n2\n2\nj\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nmiał dokładnie jedno rozwiązanie.\nRozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.\nx\npx\np\n2\n1\n2\n5\n2\n2\n2\n2\nj\nx\np x\np\np x\npx\np\n4\n1\n4\n25\n5\n2\n5\n2\n0\n2\n2\n2\n4\n3\n2\np\nx\np\np\nx\np\np\n1\n5\n4\n1\n2\n5\n4\n17\n0\n2\n2\n3\n4\n2\nh\nh\nUkład równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (tzn. prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny\nz okręgiem) wtedy, gdy wyróżnik otrzymanego równania kwadratowego jest równy zero.\n0\nT =\np\np\np\np\np\n5\n4 1\n4\n1\n2\n5\n4\n17\n0\n3 2\n2\n4\n2\nh\nh\nj\np\np\np\np\np\np\n25\n10\n1\n10\n17\n0\n2\n4\n6\n2\n4\n2\n^h\nh\nPo wykonaniu mnożenia i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równanie:\np\np\n18\n17\n0\n4\n2 +\n= , które spełniają liczby:\n, ,\n,\np\n1 1\n17\n17\n!\n,.\nParabola i okrąg mają zatem cztery wspólne styczne. Są to proste o równaniach:\ny\nx\n2\n1\n, y\nx\n2\n1\n, y\nx\n17\n2\n17\n, y\nx\n17\n2\n17\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający zapisze współrzędne punktu leżącego na paraboli w zależności od jednej zmiennej,\nnp.\n,\nP\np\np\n2\n1\n2\nj oraz wyznaczy pochodną funkcji f x\nx\n2\n1\n2\n^ h\n: 'f\nx\nx\n^ h\ni na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający wyznaczy funkcję pochodną: 'f\nx\nx\n^ h\ni poda współczynnik kierunkowy stycznej do paraboli\nw zależności od pierwszej współrzędnej punktu styczności, np.\na\nf\np\np\n^ h\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający wyznaczy równanie stycznej do paraboli w zależności od pierwszej współrzędnej punktu\nstyczności: y\npx\np\n2\n1\n2\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. błędy rachunkowe)\n4 pkt\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą wynikające z warunku styczności prostej do okręgu,\nnp.\np\np\n2\n2\n5\n2\n2\n2\n2\nh\nh\nlub\np\np\np\np\np\n5\n4 1\n4\n1\n2\n5\n4\n17\n0\n3 2\n2\n4\n2\nh\nh\nj\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\n17 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRozwiązanie prawie pełne\n5 pkt\nZdający poda rozwiązania równania:\n, ,\n,\np\n1 1\n17\n17\n!\n, i poprzestanie na tym lub rozwiąże\nzadanie do końca z błędem rachunkowym (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania), ale otrzyma\ncztery styczne.\nRozwiązanie pełne\n6 pkt\nZdający poda równania wspólnych stycznych paraboli i okręgu: y\nx\n2\n1\n, y\nx\n2\n1\n,\ny\nx\n17\n2\n17\n, y\nx\n17\n2\n17","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nProsta o równaniu y\na x\na\n3\n2\nprzecina hiperbolę o równaniu y\nx\n4\nw dwóch punktach, A i B.\nWyraź długość odcinka AB w zależności od wartości parametru a\n0\n1 . Wyznacz równanie prostej,\nktóra przecina opisaną w zadaniu hiperbolę tak, aby długość odcinka AB była najmniejsza.\n\n17 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n15\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nProsta o równaniu: y\na x\na\n3\n2\nprzecina hiperbolę o równaniu: y\nx\n4\nw dwóch punktach, A i B.\nWyraź długość odcinka AB w zależności od wartości parametru a\n0\n1 . Wyznacz równanie prostej,\nktóra przecina opisaną hiperbolę tak, że długość odcinka AB jest najmniejsza.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nR11.6. Rachunek różniczkowy.\nZdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień\noptymalizacyjnych.\nR3.3. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje układy równań prowadzące do równań\nkwadratowych.\nP8.6. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległość dwóch punktów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyznaczamy współrzędne punktów wspólnych prostej i hiperboli. W tym celu rozwiązujemy układ\nrównań.\ny\na x\na\ny\nx\n3\n4\n2\n, gdzie x\n0\n! i a\n0\n1\na x\na\nx\n3\n4\n2 +\na x\nax\n3\n4\n0\n2\n2 +\na\na\na\n3\n4\n4\n25\n2\n2\n$\n$\nT =\nh\nh\na\na\n5\n5\nT =\n, bo a\n0\n1\nx\na\ny\na\n1\n4\n1\n1\n, x\na\ny\na\n4\n2\n2\nProsta i hiperbola mają zatem dwa punkty wspólne:\n,\nA\na\na\n1 4\nj,\n,\nB\na\na\n4\nj.\nObliczamy długość odcinka AB.\nAB\na\na\na\na\n1\n4\n4\n2\n2\nj\nh\nAB\na\na\n5\n1\n2\n4\n$\n, gdzie\n,\na\n0\n3\n! -\nh\nRozważmy funkcję pomocniczą określoną wzorem f a\na\na\n1\n2\n4\n^ h\n,\n,\nD\n0\nf\n3\nh.\nFunkcja g x\nx\n^ h\njest rosnąca w przedziale\n,0 3h z czego wynika, że funkcje AB i f mają takie\nsame przedziały monotoniczności, a ekstrema lokalne (tego samego rodzaju) przyjmują dla tych\nsamych argumentów.\n18 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWyznaczamy pochodną funkcji f.\n'f\na\na\na\na\na\n4\n2\n1\n4\n5\n4\nh\nh\n'f\na\na\na\na\n2\n2\n4\n5\n^ h\n,\n,\nD\nD\n0\n'f\nf\n3\nh\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej.\n'f\na\na\na\n0\n2\n2\n0\n5\n^ h\na a\na\na\n2\n1\n1\n1\n0\n2\nh\nh\nh\na\n0\n1 = , a\n1\n2 = ,\n1\na3 =-\n,\na a\nDf\n1\n2 g\nBadamy znak pochodnej w dziedzinie. Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni, wystarczy\nzbadać znak licznika.\n'f\na\n0\n1\n^ h\ndla\n,\na\n1\n3\n! -\nh oraz 'f\na\n0\n2\n^ h\ndla\n,\na\n1 0\n! -\nh.\nZatem funkcja f jest malejąca w przedziale\n,\n1\n3\ni rosnąca w przedziale\n,1 0\nh. Wynika stąd,\nże dla\n1\na =- funkcja f osiąga wartość najmniejszą, więc i długość odcinka AB jest najmniejsza, gdy\n1\na =- .\nSzukana prosta jest więc określona równaniem: y\nx\n3\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nEtap pierwszy to:\na) zapisanie układu równań:\ny\na x\na\ny\nx\n3\n4\n2\noraz wyprowadzenie z niego równania z jedną\nniewiadomą i parametrem a, np. a x\na\nx\n3\n4\n2 +\n;\nb) wyznaczenie współrzędnych punktów wspólnych prostej i hiperboli w zależności od wartości\nparametru a\n0\n1 , np.\n,\nA\na\na\n1 4\nj,\n,\nB\na\na\n4\nj;\nc) zapisanie długości odcinka AB jako funkcji zmiennej a: AB\na\na\n5\n1\n2\n4\n$\n, gdzie\n,\na\n0\n3\n! -\nh.\nZdający otrzymuje po 1 punkt za realizację każdej z części tego etapu.\nEtap drugi to:\na) wyznaczenie pochodnej funkcji wymiernej f a\na\na\n1\n2\n4\n^ h\n: 'f\na\na\na\na\n2\n2\n4\n5\n^ h\n;\nb) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: a\n0\n1 = , a\n1\n2 = ,\n1\na3 =- ;\nc) uzasadnienie, że funkcja f osiąga wartość najmniejszą dla\n1\na =- .\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\na\n1\n------ -1\n0\n19 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nUwaga\nW uzasadnieniu przyjmowania wartości najmniejszej nie wystarcza stwierdzenie, że skoro pochodna\nzmienia znak „z - na +”, to dla\n1\na =- funkcja f osiąga minimum. Uzasadnienie uznajemy za\npoprawne, jeżeli ze znaku pochodnej zdający określi przebieg funkcji w dziedzinie (np. poda przedziały\nmonotoniczności, zbuduje tabelę przebiegu zmienności lub naszkicuje wykres) i stąd wywnioskuje\nfakt, że funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla\n1\na =- .\nEtap trzeci to wyznaczenie równania prostej, która przecina hiperbolę o równaniu y\nx\n4\ntak, że\ndługość odcinka AB jest najmniejsza: y\nx\n3\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zapisze długość odcinka AB w zależności od zmiennej a, popełniając błąd rachunkowy,\nktóry nie ułatwia znacząco dalszych obliczeń, to może otrzymać co najwyżej 6 punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze długość odcinka AB w zależności od zmiennej a, popełniając błąd merytoryczny,\ni otrzyma zupełnie inną funkcję (np. wielomian), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty (za etap I).\n20 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}