{"paper":{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nRozwiązaniem równania (\n) (\n)\n2\n2\n2\n3\n9\n0\n1\nx\nx\nx\nx\n⋅\nnie jest liczba\nA.\n3\nB.\n1\nC. 1\nD. 3\nRozwiązanie zadania. Rozwiązaniem równania (x^2-2x-3)⋅(x^2-9) / x-1 = 0 nie jest liczba A. -3 B. -1 C. 1 D. 3.","answer":"C","answer_text":"2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba\n3\n3\nlog 27\nlog\n27\njest równa\nA.\n1\n2\nB. 2\nC.\n2\nD. 1\n2\nRozwiązanie zadania. Liczba log_3 27 / log_3 √27 jest równa A. -1/2 B. 2 C. -2 D. 1/2","answer":"B","answer_text":"(\n1,\n+∞, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\n)","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nJedną z liczb spełniających nierówność\njest\nA.\nB. 0\nC. 3\nD.\n5\nRozwiązanie zadania. Jedną z liczb spełniających nierówność (x-6)⋅(x-2)^2⋅(x+4)⋅(x+10) > 0 jest A. -5 B. 0 C. 3 D. 5","answer":"A","answer_text":"8\nx\n-, zapisując (\n3\nx\n3\n)(\n3\nx\n1\n)\nlub (\n3\nx\n3\n)(\nx\n1\n3\n)\ni rozwiąże równanie","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba dodatnia\njest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka\nzmniejszymy o\n, a jego mianownik zwiększymy o\n, to otrzymamy liczbę\ntaką, że\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Liczba dodatnia a jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%, a jego mianownik zwiększymy o 50%, to otrzymamy liczbę b taką, że A. b=1/4a B. b=1/3a C. b=1/2a D. b=2/3a","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem\n, gdzie a to pewna liczba\nrzeczywista, ma miejsce zerowe równe\n. Stąd wynika, że\nA.\nB.\nC.\nD.\n(\n) (\n) (\n) (\n)\n2\n6\n2\n4\n10\n0\nx\nx\nx\nx\n⋅\n⋅\n⋅\n>\n5\na\n50%\n50%\nb\n1\n4\nb\na\n1\n3\nb\na\n1\n2\nb\na\n2\n3\nb\na\n(\n)\n( )\n1\n11\nf x\na\nx\n3\n4\nx =\n41\n3\na = -\n41\n3\na =\n47\n3\na = -\n47\n3\na =\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(a+1)x+11, gdzie a to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe x = 3/4. Stąd wynika, że A. a=-41/3 B. a=41/3 C. a=-47/3 D. a=47/3","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nFunkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem\nTa funkcja jest rosnąca dla każdej liczby m spełniającej warunek\nA.\n1\n5\nm >\nB.\nC.\nD.\n1\n5\nm <\nRozwiązanie zadania. Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = (m√5-1)x+3. Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby m spełniającej warunek A. m > 1/√5 B. m > 1-√5 C. m < √5-1 D. m < 1/√5","answer":"A","answer_text":"d\n5\nx\n30\ni zapisze pole podstawy","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nUkład równań\nma nieskończenie wiele rozwiązań dla\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Układ równań {2x-y=2 x+my=1 ma nieskończenie wiele rozwiązań dla A. m=-1 B. m=1 C. m=1/2 D. m=-1/2","answer":"D","answer_text":"(\n1,\n+∞, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\n)","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nRysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty\n(\n)\n2, 1\nB =\ni\n(\n)\n4, 1\nC =\nnależą do wykresu funkcji.\nRównanie\nma\nA. dokładnie jedno rozwiązanie.\nB. dokładnie dwa rozwiązania.\nC. dokładnie trzy rozwiązania.\nD. nieskończenie wiele rozwiązań.\n( ) (\n)\n5 1\n3\nf x\nm\nx\n1\n5\nm > -\n5\n1\nm <\n2\n2\n1\nx\ny\nx\nmy\n\n+\n\n1\nm = -\n1\nm =\n1\n2\nm =\n1\n2\nm = -\n( )\n1\nf x = -\nx\ny\n-3\n-2 -1\n5\n0\n-1\n1\n2\n3\n1\n2\n3\n4\n-4\n-2\n-3\nB\nC\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty B=(2,-1) i C=(4,1) należą do wykresu funkcji. Równanie f(x)=1 ma A. dokładnie jedno rozwiązanie. B. dokładnie dwa rozwiązania. C dokładnie trzy rozwiązania. D. nieskończenie wiele rozwiązań.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nDany jest rosnący ciąg arytmetyczny\n, określony dla liczb naturalnych\n1\nn ≥, o wyrazach\ndodatnich. Jeśli\n2\n9\n4\nk\na\na\na\na\n, to k jest równe\nA. 8\nB. 7\nC. 6\nD. 5\nRozwiązanie zadania. Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla liczb naturalnych x≥1, o wyrazach dodatnich. Jeśli a_2+a_9 = a_4+a_k, to k jest równe A. 8 B. 7 C. 6 D. 5","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nW ciągu (\n)\nna\nokreślonym dla każdej liczby\n1\nn ≥ jest spełniony warunek\nWtedy\nA.\n5\n54\na = -\nB.\n5\n27\na = -\nC.\n5\n27\na =\nD.\n5\n54\na =\nRozwiązanie zadania. W ciągu (a_n) określonym dla każdej liczby n≥1 jest spełniony warunek a_{n+3} = -2⋅3^{n+1}. Wtedy A. a_5=-54 B. a_5=-27 C. a_5=27 D. a_5=54","answer":"A","answer_text":"a\nn\n)\njest równy","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (\n)\n(\n)(\n)\n2\n3\n2\n2\n3\n2\n3\nx\nx\nx\njest po uproszczeniu\nrówne\nA.\n2\n5\n12\n5\nx\nx\nB.\n2\n5\n13\nx -\nC.\n2\n5\n12\n13\nx\nx\nD.\n2\n5\n5\nx +\nRozwiązanie zadania. Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (3x-2)^2-(2x-3)(2x+3) jest po uproszczeniu równe A. 5x^2-12x-5 B. 5x^2-13 C. 5x^2-12x+13 D. 5x^2+5","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nKąt\n(\n)\n0 , 180\nα ∈\n°\n° oraz wiadomo, że\n3\nsin\ncos\n8\nα\nα\n⋅\n. Wartość wyrażenia (\n)\n2\ncos\nsin\n2\nα\nα\njest równa\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Kąt α ∈ (0°,180°) oraz wiadomo, że sinα ⋅ cosα = -3/8. Wartość wyrażenia (cosα - sinα)² + 2 jest równa A. 15/4 B. 9/4 C. 27/8 D. 21/8","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nWartość wyrażenia\n2\n2\n2\n2sin 18\nsin 72\ncos 18\n°+\n°+\n° jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 4\n(\n)\nn\na\n1\n3\n3\n2\n⋅\nn\nn\na\n15\n4\n9\n4\n27\n8\n21\n8\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\n?\n70°\n25°\nRozwiązanie zadania. Wartość wyrażenia 2sin²18° + sin²72° + cos²18° = 2 jest równa A. 0 B. 1 C. 2 D. 4","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nPunkty B, C i D leżą na okręgu o środku S i promieniu r . Punkt A jest punktem wspólnym\nprostych BC i SD, a odcinki\ni\nsą równej długości. Miara kąta BCS jest równa\n(zobacz rysunek). Wtedy\nA.\n12\nα =\n°\nB.\n17\nα =\n°\nC.\n22\nα =\n°\nD.\n34\nα =\n°\nRozwiązanie zadania. Punkty B, C i D leżą na okręgu o środku S i promieniu r. Punkt A jest punktem wspólnym prostych BC i SD, a odcinki AB i SC są równej długości. Miara kąta BCS jest równa 34° (zobacz rysunek). Wtedy A. α=12° B. α=17° C. α=22° D. α=34°.","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nPole trójkąta ABC o wierzchołkach\n(\n)\n0, 0\nA =\n,\n(\n)\n4, 2\nB =\n,\n(\n)\n2, 6\nC =\njest równe\nA. 5\nB. 10\nC. 15\nD. 20\nRozwiązanie zadania. Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A=(0,0), B=(4,2), C=(2,6) jest równe A. 5 B. 10 C. 15 D. 20","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nNa okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że\n,\n. Cięciwa AC przecina promień OB (zobacz rysunek). Wtedy miara\nOBC\n\njest\nrówna\nA.\n25\nα =\n°\nB.\n60\nα =\n°\nC.\n70\nα =\n°\nD.\n85\nα =\n°\nRozwiązanie zadania. Na okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że |∠ AOB| = 70°, |∠ OAC| = 25°. Cięciwa AC przecina promień OB (zobacz rysunek). Wtedy miara ∠ OBC jest równa A. α=25° B. α=60° C. α=70° D. α=85°","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nW układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek AB o końcach w punktach\n,\n(\n)\n11,12\nB =\n. Punkt S leży wewnątrz odcinka AB oraz\n. Wówczas\nA.\n(\n)\n8, 6\nS =\nB.\n(\n)\n9, 8\nS =\nC.\n(\n)\n10,10\nS =\nD.\n(\n)\n13,16\nS =\nAB\nSC\n34°\n70\nAOB =\n°\n\n25\nOAC =\n°\n\n(\n)\n7,4\nA =\n3\nAS\nBS\n= ⋅\nS\nD\nC\nO\nA\nB\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek AB o końcach w punktach A=(7,4), B=(11,12). Punkt S leży wewnątrz odcinka AB oraz |AS|=3⋅|BS|. Wówczas A. S=(8,6) B. S=(9,8) C. S=(10,10) D. S=(13,16).","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nSuma odległości punktu\nod prostych o równaniach\ni\njest równa\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Suma odległości punktu A=(-4,2) od prostych o równaniach x=4 i y=-4 jest równa A. 14 B. 12 C. 10 D. 8","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nSuma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej\ntego sześcianu jest równe\nA. 48 cm2\nB. 64 cm2\nC. 384 cm2\nD. 512 cm2\nRozwiązanie zadania. Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A. 48 cm² B. 64 cm² C. 384 cm² D. 512 cm².","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym\n. Kąt między ramionami tego\ntrójkąta ma miarę 44°. Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka A przecina bok BC tego\ntrójkąta w punkcie D. Kąt\nma miarę\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC|. Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę 44°. Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka A przecina bok BC tego trójkąta w punkcie D. Kąt ADC ma miarę A. 78° B. 34° C. 68° D. 102°","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nLiczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest\nA. 60\nB. 45\nC. 30\nD. 15","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPodstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Krawędź boczna DS jest\nprostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek).\nPole ściany BCS tego ostrosłupa jest równe\nA. 20\nB. 10\nC. 16\nD. 12\n(\n)\n4, 2\nA = -\n4\nx =\n4\ny = -\n14\n12\n10\n8\nAC\nBC\nADC\n78°\n34°\n68°\n102°\nA\nB\nC\nD\nS\n4\n3\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Krawędź boczna DS jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek). Pole ściany BCS tego ostrosłupa jest równe A. 20 B. 10 C. 16 D. 12","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nDany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się\nw punkcie P (zobacz rysunek).\nTangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy\nA.\n2\n2\nB.\n1\n2\nC. 1\nD.\n2\nRozwiązanie zadania. Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Tangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy A. √2/2 B. 1/2 C. 1 D. √2","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPrzekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości\n. Objętość tego walca jest\nzatem równa\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 12. Objętość tego walca jest zatem równa A. 36π√2 B. 108π√2 C. 54π D. 108π","answer":"B","answer_text":"b =\n3\n4 24\n⋅\n18","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nZe zbioru kolejnych liczb naturalnych {\n}\n20, 21, 22,\n, 39, 40\n\nlosujemy jedną liczbę.\nPrawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe\nA.\n1\n4\nB.\n2\n7\nC.\n6\n19\nD.\n3\n10\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n12\n36\n2\nπ\n108\n2\nπ\n54π\n108π\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\nP\n\nMMA_1P\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {20,21,22,...,39,40} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe A. 1/4 B. 2/7 C. 6/19 D. 3/10","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\nOdpowiedź:\n(\n)\n7\n2\n7\n2\nx\nx\nx\n>\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność x(7x+2) > 7x+2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nI etap rozwiązania (obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego)\n• zapisujemy nierówność w postaci\n2\n7\n5\n2\n0\nx\nx\n>\ni obliczamy pierwiastki trójmianu\n2\n7\n5\n2\nx\nx\n; obliczamy wyróżnik tego trójmianu\n25\n4 7 2\n25\n56\n81\nΔ =\n+ ⋅⋅\ni stąd\n1\n5\n9\n2\n14\n7\nx\noraz\n2\n5\n9\n1\n14\nx\nalbo\n• zapisujemy nierówność w postaci (\n) (\n)\n7\n2\n7\n2\n0\nx\nx\nx\n>\ni po wyłączeniu wspólnego\nczynnika przed nawias otrzymujemy postać iloczynową\n(\n)(\n)\n7\n2\n1\n0\nx\nx\n>\n,\nz której wynika, że pierwiastkami trójmianu kwadratowego (\n)(\n)\n7\n2\n1\nx\nx\nsą liczby\n1\n2\n7\nx = -\noraz\n2\n1\nx = .\nII etap rozwiązania (zapisanie zbioru rozwiązań nierówności)\nZapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n2\n7\n,\n1,\n-∞-\n∪\n+∞ lub\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n,\n1,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\no\nobliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n2\n7\nx = -\n,\n2\n1\nx = ,\no\nzaznaczy miejsca zerowe na wykresie funkcji\n2\n( )\n7\n5\n2\nf x\nx\nx\n,\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu\nkwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego błędu\nzapisze zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• zapisze zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n2\n7\n,\n1,\n-∞-\n∪\n+∞ lub\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n,\n1,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n7\n2\n7\n2\nx\nx\nx\n>\n4\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,\nto oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n2\n7\nx < -\ni\n1\nx > ,\n2\n7\nx < -\noraz\n1\nx > , itp.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n2\n7\nx = -\n,\n2\n1\nx = i zapisze\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n,\n1,\nx∈-∞\n∪\n+∞, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez 7\n2\nx +\nbez podania odpowiednich\nzałożeń, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez 7\n2\nx +\n, poda odpowiednie założenia\nale rozpatrzy poprawnie tylko jeden z przypadków, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (\n) (\n)\n2\n7\n,1\n,\n-∞\n∪-\n+∞, (\n) (\n)\n2\n7\n,1\n,\n+∞\n∪-\n-∞, to przyznajemy 2 punkty.\n5","solution":"$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{2}{7}\\right) \\cup (1, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek:\nOdpowiedź:\n2\n3\n8\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek: 3x²-8x+3 / x-3 = x-3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek:\nRozwiązanie\nRównanie\nma sens tylko wtedy, gdy\n3\nx ≠\n. Wtedy\n3\n0\nx -\n≠\n. Mnożąc\nobie strony równania przez\n3\nx - otrzymujemy równanie równoważne\n,\n2\n6\n0\nx\nx\nWyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n6\nx\nx\njest równy\n. Zatem\n1 5\n2\n2\nx\n= - lub\n1 5\n3\n2\nx\nTylko liczba\n2\nx = - spełnia warunek\n3\nx ≠\n, więc jest jedynym rozwiązaniem równania.\nUwaga\nRównanie\nmożemy też zapisać w postaci równoważnej\n(\n)(\n)\n3\n3\n1\n3\n3\nx\nx\nx\nx\nZatem dla\n3\nx ≠\njest ono równoważne równaniu\n3\n1\n3\nx\nx\n-,\n2\n4\nx = -\n2\nx = -.\nZatem rozwiązaniem równania jest\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• obliczy pierwiastki trójmianu\n2\n6\nx\nx\n:\noraz\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,\nalbo\n• zapisze równanie w postaci: (\n)(\n)\n3\n3\n1\n3\n3\nx\nx\nx\nx\nlub (\n)(\n)\n1\n3\n3\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze, że jedynym rozwiązaniem równania jest\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd przy zapisie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego\n2\n3\n8\n3\nx\nx\n-, zapisując (\n)(\n)\n3\n3\n1\nx\nx\nlub (\n)(\n)\n1\n3\n3\n3\nx\nx\ni rozwiąże równanie\nkonsekwentnie do końca, to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający przy zapisie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego\n2\n3\n8\n3\nx\nx\npominie współczynnik liczbowy 3, zapisując (\n)(\n)\n1\n3\n3\nx\nx\n, to otrzymuje 0 punktów.\n2\n3\n8\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n2\n3\n8\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n(\n)\n2\n2\n3\n8\n3\n3\nx\nx\nx\n(\n)\n1\n4\n6\n25\nΔ = -\n⋅-\n2\n3\n8\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n2\nx = -\n1\n2\nx = -\n2\n3\nx =\n2\nx = -\n6\n3. Jeżeli zdający popełni błąd przy zapisie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego\n2\n3\n8\n3\nx\nx\n- i otrzyma iloczyn czynników liniowych, w którym nie występuje czynnik\n3\nx -, to otrzymuje 0 punktów.\n7","solution":"$x = -2$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nDany jest trójkąt\n. Punkt\njest środkiem boku\ntego trójkąta (zobacz rysunek).\nWykaż, że odległości punktów\ni\nod prostej\nsą równe.\nABC\nS\nAB\nA\nB\nCS\nB\nC\nS\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt ABC. Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nDany jest trójkąt\n. Punkt\njest środkiem boku\ntego trójkąta (zobacz rysunek).\nWykaż, że odległości punktów\ni\nod prostej\nsą równe.\nRozwiązanie\nI sposób (własność środkowej trójkąta)\nOdcinek CS jest środkową trójkąta ABC, więc z własności środkowej trójkąta wynika, że pola\ntrójkątów ASC i BSC są równe. Trójkąty te mają wspólny bok CS, więc wysokości tych\ntrójkątów opuszczone na prostą CS są równe, czyli odległości punktów A i B od prostej CS są\nrówne. To kończy dowód.\nUwaga\nRówność pól trójkątów ASC i BSC wynika wprost z faktu, że podstawy AS i BS tych trójkątów\nmają równe długości, a wysokość opuszczona z wierzchołka C na prostą AB jest wspólną\nwysokością tych trójkątów. Możemy też zauważyć, że kąty ASC i BSC są przyległe, więc jeśli\nASC\nϕ\n\n, to\n180\nBSC\nϕ\n°-\n\n. Wtedy otrzymujemy\n(\n)\n1\n1\n2\n2\nsin 180\nsin\nASC\nBSC\nP\nAS\nCS\nBS\nCS\nP\nϕ\nϕ\n⋅\n⋅\n⋅\n° -\n⋅\n⋅\n⋅\nII sposób (przystawanie trójkątów)\nPoprowadźmy przez punkty A i B proste prostopadłe do prostej CS, a punkty przecięcia tych\nprostych z prostą CS oznaczamy odpowiednio A′ i B′ jak na rysunku.\nZauważamy, że:\nA SA\nB SB\n′\n′\n\n\n, jako kąty wierzchołkowe,\nAS\nSB\n, bo punkt S jest środkiem boku AB,\nABC\nS\nAB\nA\nB\nCS\n8\nSAA\nSBB\n′\n′\n\n\n, gdyż są to kąty naprzemianległe i proste AA′ i BB′są równoległe.\nZatem, na podstawie cechy kbk przystawania trójkątów wnioskujemy, ze trójkąty SAA′\ni SAA′ są przystające. Stąd wynika, że AA\nBB\n′\n′\n, co kończy dowód.\nIII sposób (funkcje trygonometryczne)\nPoprowadźmy przez punkty A i B proste prostopadłe do prostej CS, a punkty przecięcia tych\nprostych z prostą CS oznaczamy odpowiednio A′ i B′ jak na rysunku.\nPonieważ proste AA′ i BB′są równoległe, więc kąty odpowiadające A AS\n′\ni B BS\n′\nsą równe.\nOznaczmy miarę tych katów przez α . Z definicji sinusa otrzymujemy\nsin\nAA\nBB\nAS\nBS\nα\n′\n′\nStąd i z równości AS\nSB\nwynika, że AA\nBB\n′\n′\n, co kończy dowód.\nIV sposób (twierdzenie Talesa)\nPoprowadźmy przez punkty A i B proste prostopadłe do prostej CS, a punkty przecięcia tych\nprostych z prostą CS oznaczamy odpowiednio A′ i B′ jak na rysunku.\nPonieważ proste AA′ i BB′są równoległe, więc z twierdzenia Talesa wynika, że\nA S\nB S\nAS\nBS\n′\n′\nStąd i z równości AS\nSB\nwynika, że A S\nB S\n′\n′\n. Z tych dwóch równości oraz\nz równości\nA SA\nB SB\n′\n′\n\n\nkątów wierzchołkowych wynika (cecha bkb przystawania\ntrójkątów), że trójkąty SAA′ i SAA′ są przystające. Stąd wynika, że AA\nBB\n′\n′\n, co kończy\ndowód.\nUwaga\nPo wykazaniu równości AS\nSB\ni A S\nB S\n′\n′\nmożemy też wykorzystać twierdzenie\nPitagorasa dla trójkątów prostokątnych SAA′ i SAA′. Wtedy otrzymujemy\n9\n2\n2\n2\n2\nAA\nAS\nA S\nBS\nB S\nBB\n′\n′\n′\n′\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\nZdający\n• zapisze, że trójkąty ASC i BSC mają równe pola\nalbo\n• zapisze, że\nA SA\nB SB\n′\n′\n\n\n, AS\nSB\noraz uzasadni, że\nSAA\nSBB\n′\n′\n\n\nalbo\n• uzasadni, że A S\nB S\n′\n′\nalbo\n• zapisze\nA AS\nB BS\n′\n′\n\n\noraz jedną z równości sin\nAA\nAS\nα\n′\nlub sin\nBB\nBS\nα\n′\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający przyjmuje, że trójkąt ABC jest równoramienny lub prostokątny, to otrzymuje\n0 punktów.\n10","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby\ni dla każdej liczby\nprawdziwa jest nierówność\n0\na >\n0\nb >\n1\n1\n4\na\nb\na\nb\n≥\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdej liczby a>0 i dla każdej liczby b>0 prawdziwa jest nierówność 1/a + 1/b ≥ 4/a+b.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby\n0\na >\ni dla każdej liczby\n0\nb > prawdziwa jest nierówność\n1\n1\n4\na\nb\na\nb\n≥\nRozwiązanie (I sposób)\nPonieważ z założenia\n0\na >\n,\n0\nb > czyli także\n0\na\nb\n>\n, więc obie strony nierówności\nmożemy pomnożyć przez\n(\n)\na b a b\n⋅⋅\n, otrzymując nierówność równoważną\n(\n)\n(\n)\n4\nb a b\na a b\nab\n≥\nPo otwarciu nawiasów, redukcji wyrazów podobnych i uporządkowaniu otrzymujemy\nnierówność\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\n, czyli (\n)\n2\n0\na b\n≥\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc dowód został\nzakończony.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy doprowadzi podaną nierówność do postaci\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\nRozwiązanie (II sposób)\nZ założenia\n0\na >\ni\n0\nb > , więc\n0\na\nb\n>\n. Zatem obie strony nierówności możemy pomnożyć\nprzez a b\n+ , otrzymując nierówność równoważną\n4\na\nb\na\nb\na\nb\n≥\nLewą stronę zapisujemy w równoważnej postaci\n1\n1\n4\nb\na\na\nb\n+ ≥\nZatem\n2\nb\na\na\nb\n≥\n,\nco kończy dowód, bo suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest równa co najmniej 2.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy doprowadzi podaną nierówność do postaci\n2\nb\na\na\nb\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\n11\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza jedynie prawdziwość nierówności dla konkretnych liczb a i b , to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nRozwiązanie (III sposób)\nZ nierówności między średnią harmoniczną i średnią arytmetyczną otrzymujemy\n1\n1\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\nMnożąc obie strony tej nierówności przez (\n)\n1\n1\n2 a\nb\na\nb\notrzymujemy\n1\n1\n4\na\nb\na\nb\n≥\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze prawdziwą nierówność\n1\n1\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\n12","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"algebra","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW ciągu geometrycznym przez\nn\nS oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla\nliczb naturalnych\n1\nn ≥. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego:\n2\n1 =\nS\ni\n12\n2 =\nS\nWyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. W ciągu geometrycznym przez S_n oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych n≥1. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: S_1=2 i S_2=12. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nW ciągu geometrycznym przez\noznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla\nliczb naturalnych\n. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego:\ni\nWyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.\nPrzykładowe rozwiązania\nNiech (\n)\nn\na\nbędzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q, takim, że\n1\n2\nS =\ni\n2\n12\nS =\nRówności te możemy zapisać w postaci\n1\n2\na =\noraz\n1\n2\n12\na\na\nStąd\n2\n10\na =\n. Wobec tego iloraz ciągu (\n)\nn\na\njest równy\n2\n1\n10\n5\n2\na\nq\na\n,\nnatomiast piąty wyraz tego ciągu jest równy\n4\n4\n5\n1\n2 5\n1250\na\na q\n⋅\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• poprawnie wyznaczy iloraz\n5\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nalbo\n• popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu\n2\na i konsekwentnie z tym błędem\nrozwiąże zadanie do końca.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy iloraz i piąty wyraz ciągu:\n5\nq\ni\n1250\n5 =\na\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zapisze od razu pięć pierwszych wyrazów ciągu (\n)\nn\na\n: 2, 10, 50, 250, 1250\ni zapisze, że iloraz ciągu jest równy 5, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający zapisze od razu pięć pierwszych wyrazów ciągu (\n)\nn\na\n: 2, 10, 50, 250, 1250,\nale nie zapisze, że iloraz ciągu jest równy 5, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający traktuje iloraz\n1\n2\na\na jak iloraz rozważanego w zadaniu ciągu geometrycznego,\nto może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający traktuje iloraz\n2\n1\nS\nS jak iloraz ciągu geometrycznego, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający rozpatruje ciąg arytmetyczny zamiast ciągu geometrycznego, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nn\nS\n1\nn ≥\n2\n1 =\nS\n12\n2 =\nS\n13","solution":"$q = 5$ i $a_5 = 1250$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"ciagi","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.\nRozwiązanie (I sposób)\nZdarzeniami elementarnymi są trzywyrazowe ciągi, których wyrazami są liczby należące do\nzbioru\n. Mamy do czynienia z modelem klasycznym. Zatem liczba wszystkich\nzdarzeń elementarnych jest równa\nNiech\noznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy sumę oczek równą\n. Sumę\ntaką uzyskamy tylko wtedy, gdy wypadną dwie szóstki i jedna czwórka albo dwie piątki\ni jedna szóstka. Zatem zdarzeniu A sprzyja następujących 6 zdarzeń elementarnych:\n(\n)\n4,6,6 , (\n)\n6,4,6 , (\n)\n6,6,4 , (\n)\n5,5,6 , (\n)\n5,6,5 , (\n)\n6,5,5 .\nZatem\n, więc prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n6\n1\n216\n36\nP A =\nRozwiązanie (II sposób) „metoda drzewa”\nNiech\noznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy sumę oczek równą\n. Sumę\ntaką uzyskamy tylko wtedy, gdy wypadną dwie szóstki i jedna czwórka albo dwie piątki\ni jedna szóstka. Rysujemy drzewo zawierające tylko istotne gałęzie.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n1 1 1\n1\n6 6 6\n36\n6\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\nalbo\n• narysuje drzewo ilustrujące trzyetapowe doświadczenie losowe i zapisze na co najmniej\njednym odcinku drzewa na każdym etapie doświadczenia prawdopodobieństwo 1\n6\n{\n}\n1,2,3,4,5,6\n36\n216\nΩ =\nA\n16\n6\nA =\nA\n16\n36\n216\nΩ =\n14\nalbo\n• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n4,6,6 , (\n)\n6,4,6 , (\n)\n6,6,4 , (\n)\n5,5,6 , (\n)\n5,6,5 , (\n)\n6,5,5\nalbo\n• zapisze, że\ni nie wypisze przy tym błędnych trójek liczb\nalbo\n• narysuje drzewo zawierające tylko istotne gałęzie, ale wszystkie albo zawierające\njeszcze inne gałęzie, przy czym wyróżni wszystkie istotne gałęzie\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że\n( )\n6\n1\n216\n36\nP A =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A i wypisze o jedną trójką za mało lub o jedną za dużo, ale nie wypisze żadnej\nniewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to\notrzymuje 1 punkt.\n2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nlub\n( )\n0\nP A\nP A\n>\n<\n, to otrzymuje\nza całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu\nw działaniach na ułamkach.\n3. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne, w którym zaznacza, że rozważanemu\nzdarzeniu sprzyjają sytuacje, w których w pierwszym etapie doświadczenia uzyskano wynik\nrzutu 4, 5 lub 6, ale pominie jedną z gałęzi odpowiadających sytuacjom sprzyjającym\nrozważanemu zdarzeniu, to może otrzymać 1 punkt, jeśli doprowadzi rozumowanie do\nkońca.\n4. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n1\n( )\n36\nP A =\n, to otrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n6\nA =\n,\n216\nΩ =\n,\n6\n( )\n216\nP A =\n, to otrzymuje 2 punkty.\n6. Ponieważ\n, więc akceptujemy poprawne zaokrąglenia liczby\n, o ile\nzaokrąglenie jest wzięte z dokładnością co najmniej 0,01.\n6\nA =\n( )\n1\n0,02(7)\n36\nP A =\n1\n36\n15","solution":"$\\dfrac{1}{36}$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego\nprostokąta jest równy\n. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest\nwysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60° . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n3 : 4\nA\nB\nC\nD\nS\nO\n\nMMA_1P\nOdpowiedź\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy 3:4. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego\nprostokąta jest równy\n. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest\nwysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nRozwiązanie\nNiech a i b oznaczają długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa, H - wysokość ostrosłupa.\nZapisujemy zatem układ równań z niewiadomymi a i b\n432\na b\n⋅\ni\n3\n4\nba =\nZ drugiego równania otrzymujemy\n3\n4\nb\na\n. Stąd i z pierwszego równania otrzymujemy\nrównanie z jedną niewiadomą\n2\n3\n4\n432\na =\n,\n2\n576\na =\n,\nwięc\n24\na =\n. Zatem\n3\n4 24\n18\nb =\n⋅\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC otrzymujemy\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n,\n2\n2\n2\n24\n18\nd\nStąd\n2\n2\n24\n18\n576\n324\n900\n30\nd =\nPonieważ kąt nachylenia każdej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego\npodstawy jest równy 60°, więc trójkąt ACS jest równoboczny. Zatem wysokość ostrosłupa\njest równa wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 30. Zatem\n15 3\nH =\nObjętość ostrosłupa jest więc równa\n1\n3 432 15 3\n2160 3\nV =\n⋅\n⋅\n3 : 4\n60°\nA\nB\nC\nD\nS\nO\n16\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny\nna drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• zapisze jedną z zależności pomiędzy a i b:\n432\na b\n⋅\nlub\n3\n4\nba =\nalbo\n• zapisze długości sąsiednich krawędzi podstawy ostrosłupa w zależności od jednej\nzmiennej, np. 3x, 4x\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze układ równań z niewiadomymi a i b:\n432\na b\n⋅\ni\n3\n4\nba =\nalbo\n• zapisze oraz rozwiąże równanie 3\n4\n432\nx\nx\n⋅\n:\n6\nx =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa oraz obliczy długość d\nprzekątnej podstawy tego ostrosłupa:\n24\na =\n,\n18\nb =\n,\n30\nd =\nalbo\n• obliczy\n6\nx =\n, długość przekątnej podstawy\n5\n30\nd\nx\ni zapisze pole podstawy\nostrosłupa w zależności od x:\n2\n12\nABCD\nP\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa:\n15 3\nH =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n1\n3 432 15 3\n2160 3\nV =\n⋅\n⋅\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe albo błędy w przepisywaniu, które nie przekreślają\npoprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to maksymalnie\nmoże otrzymać 4 punkty.\n2. Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa i rozwiąże zadanie do\nkońca, to maksymalnie może otrzymać 4 punkty.\n3. Jeśli zdający rozpatruje inny kąt (np. 45°) niż opisany w treści zadania, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający błędnie zastosuje definicje funkcji trygonometrycznych do obliczenia\nwysokości ostrosłupa, to maksymalnie może otrzymać 3 punkty.\n5. Akceptujemy poprawne przybliżenia wielkości H i V.\n6. Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa i na tym poprzestanie,\nto otrzymuje 1 punkt.\n7. Jeżeli zdający zakłada, że długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa są równe 3oraz 4\ni z tym założeniem rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 0 punktów.\n17","solution":"$V = 2160\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nLiczby rzeczywiste x i z spełniają warunek\n. Wyznacz takie wartości x i z, dla których\nwyrażenie\nprzyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.\n2\n1\nx\nz\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nA\nC\nB\nRozwiązanie zadania. Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x+z=1. Wyznacz takie wartości x i z, dla których wyrażenie x² + y² + 7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nLiczby rzeczywiste x i z spełniają warunek\n. Wyznacz takie wartości x i z, dla których\nwyrażenie\nprzyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.\nRozwiązanie\nZ równości 2\n1\nx\nz\n= wyznaczamy jedną ze zmiennych w zależności od drugiej, np.:\n1 2\nz\nx\nWtedy wyrażenie\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\nmożemy zapisać w postaci\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n7\n1\n2\nx\nx\nx\nx\nPo otwarciu nawiasów i wykonaniu redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n1 4\n4\n7\n14\n9\n3\n1\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nRozważmy funkcję kwadratową f określoną dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem\n( )\n2\n9\n3\n1\nf x\nx\nx\nWykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do dołu. Pierwsza współrzędna\nwierzchołka paraboli jest równa\n3\n1\n18\n6\np\n, natomiast druga,\n5\n4\nq =\n. Oznacza to, że dla\n1\n6\nx =\nfunkcja f osiąga największą wartość równą 5\n4 .\nGdy\n1\n6\nx =\n, to\n2\n3\nz =\nZatem dla\n1\n6\nx =\ni\n2\n3\nz =\nwyrażenie\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\nosiąga największą wartość równą 5\n4 .\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny\nna drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze wyrażenie\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\nw zależności od jednej zmiennej:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n7\n1\n2\nx\nx\nx\nx\n, (\n)\n(\n)\n2\n2\n7\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n2\nz\nz\nz z\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze wyrażenie\nw postaci ogólnej trójmianu kwadratowego jednej\nzmiennej:\n2\n9\n3\n1\nx\nx\n+ lub\n2\n9\n1\n4\n4\n3\nz\nz\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy obie współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji\nkwadratowej\n( )\n2\n9\n3\n1\nf x\nx\nx\n+ :\n1\n6\nfp =\n,\n5\n4\nfq =\nalbo\n( )\n2\n9\n1\n4\n4\n3\ng z\nz\nz\n:\n2\n3\ng\np =\n,\n5\n4\ng\nq =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający poprawnie zinterpretuje obie współrzędne wierzchołka paraboli i zapisze,\nże dla\n1\n6\nx =\ni\n2\n3\nz =\nwyrażenie\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\nosiąga największą wartość równą 5\n4 .\n2\n1\nx\nz\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\n18\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe albo błędy w przepisywaniu, które nie przekreślają\npoprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać\nco najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający zapisuje jedynie odpowiedź: dla\n1\n6\nx =\ni\n2\n3\nz =\nwyrażenie\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\nosiąga\nnajwiększą wartość równą 5\n4 , to otrzymuje 0 punktów.\n19","solution":"Wartość $\\dfrac{5}{4}$ dla $x=\\dfrac{1}{6}$, $z=\\dfrac{2}{3}$.","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"optymalizacja","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-4)\nDany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym\nACB\n\nma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że\n10\nBC =\ni\n10 7\nAB =\n(zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC.\n10 7\n10\n120°\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ∠ACB ma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że |BC|=10 i |AB|=10√7 (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nDany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym\nma miarę\n. Ponadto wiadomo, że\ni\n(zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC.\nRozwiązanie\nI sposób (trójkąt 30-60-90)\nPoprowadźmy wysokość BD trójkąta ABC i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWtedy kąt BCD jest przyległy do kąta ACB. Zatem\n180\n120\n60\nBCD =\n°-\n° =\n°\n\n. To oznacza,\nże trójkąt prostokątny BCD jest połową trójkąta równobocznego. Stąd wynika, że\n1\n2\nCD\nBC\noraz\n3\nBD\nCD\n,\nczyli\n10\n5\n1\n2\nx =\n⋅\noraz\n5 3\nbh =\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABD otrzymujemy\n2\n2\n2\nAB\nAD\nBD\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\nb\nx\nb\nh\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\n5\n5 3\nb\n,\n(\n)\n2\n5\n700\n75\nb\n,\n(\n)\n2\n5\n625\nb\nStąd\n5\n25\nb\n,\n20\nb =\nOdpowiedź. Długość boku AC trójkąta ABC jest równa 20.\nUwaga do I sposobu rozwiązania\nAnalogiczne rozwiązanie otrzymamy, prowadząc wysokość z wierzchołka A. Przyjmijmy\noznaczenia jak na rysunku.\nACB\n\n120°\n10\nBC =\n10 7\nAB =\n20\nWtedy kąt ACF jest przyległy do kąta ACB. Zatem\n180\n120\n60\nACF =\n°-\n° =\n°\n\n. To oznacza,\nże trójkąt prostokątny ACF jest połową trójkąta równobocznego.\nStąd wynika, że\n1\n2\nCF\nAC\noraz\n3\nAF\nCF\n, czyli\n1\n2\nz\nb\noraz\n3\n2\nah\nb\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABF otrzymujemy\n2\n2\n2\nAB\nAF\nBF\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\n10\na\nz\nh\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\n10\n3\n2\n2\nb\nb\n,\n2\n2\n700\n100 10\n3\n1\n4\n4\nb\nb\nb\n,\n2\n10\n600\n0\nb\nb\n,\n(\n)(\n)\n20\n30\n0\nb\nb\nStąd\n20\nb =\nlub\n30\nb = -\nDługość boku nie może być ujemna, więc\n20\nb =\nOdpowiedź. Długość boku AC trójkąta ABC jest równa 20.\nII sposób (twierdzenie cosinusów)\nNiech b oznacza długość boku AC trójkąta ABC.\nZ twierdzenia cosinusów otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\ncos120\nAB\nAC\nBC\nAC\nBC\n⋅\n⋅\n⋅\n° ,\n21\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\n10\n2 10\ncos120\nb\nb\n-⋅\n⋅⋅\n° ,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n10 7\n10\n2 10\nb\nb\n-⋅\n⋅⋅-\n2\n700\n10\n100\nb\nb\n,\n2\n10\n600\n0\nb\nb\n,\n(\n)(\n)\n20\n30\n0\nb\nb\n,\n20\nb =\nlub\n30\nb = -\nZatem\n20\nb =\n, gdyż długość odcinka nie może być liczbą ujemną.\nOdpowiedź. Długość boku AC trójkąta ABC jest równa 20.\nIII sposób (pole trójkąta i twierdzenie Pitagorasa)\nPoprowadźmy wysokość CE trójkąta ABC i niech b\nAC\n,\nch\nCE\n, y\nBE\nPole trójkąta ABC jest równe\n3\n5 3\n1\n1\n2\n2\n2\n2\nsin120\n10\nABC\nP\nAC\nBC\nb\nb\n⋅\n⋅\n⋅\n° =\n⋅⋅\n⋅\nZ drugiej strony to samo pole jest równe\n1\n1\n2\n2 10 7\n5 7\nABC\nc\nc\nc\nP\nAB h\nh\nh\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nZatem\n5 3\n2\n5 7\nch\nb\n⋅\n,\n(1)\n3\n2 7\nch\nb\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów AEC i BEC otrzymujemy\n2\n2\n2\nAC\nAE\nCE\noraz\n2\n2\n2\nBC\nBE\nCE\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\nc\nb\ny\nh\noraz\n2\n2\n2\n10\nc\ny\nh\n,\n2\n2\n2\n700\n20 7\nc\nb\ny\ny\nh\noraz\n2\n2\n2\n10\nc\ny\nh\n,\nStąd\n2\n700\n20 7\n100\nb\ny\noraz\n2\n2\n100\nc\ny\nh\n,\n2\n800\n20 7\nb\ny\noraz\n2\n2\n100\nc\ny\nh\nStąd z i równania (1) otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą\n22\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n800\n20 7\n2 7\n100\nb\nb\n,\n4\n2\n2\n1\n4\n1600\n3\n100\n2800\n7\n7\n28\nb\nb\nb\n,\n4\n2\n1300\n360000\n0\nb\nb\n,\n(\n)(\n)\n2\n2\n400\n900\n0\nb\nb\n,\n(\n)(\n)(\n)(\n)\n20\n20\n30\n30\n0\nb\nb\nb\nb\nPonieważ\n0\nb >\n, więc\n20\nb =\nlub\n30\nb =\n. Najdłuższy bok trójkąta ABC to bok AB, więc b nie\nmoże być równe 30.\nOdpowiedź. Długość boku AC trójkąta ABC jest równa 20.\nIV sposób (pole trójkąta i wzór Herona)\nNiech b\nAC\nPole trójkąta ABC jest równe\n3\n5 3\n1\n1\n2\n2\n2\n2\nsin120\n10\nABC\nP\nAC\nBC\nb\nb\n⋅\n⋅\n⋅\n° =\n⋅⋅\n⋅\nZ drugiej strony ze wzoru Herona możemy to samo pole zapisać w postaci\n(\n)(\n)(\n)\n10\n10 7\nABC\nP\np p\np\np\nb\n,\ngdzie\n10 10 7\n2\nb\np\n. Otrzymujemy więc równanie\n5 3\n2\n10\n10 7\n10 10 7\n10 10 7\n10\n10 7\n2\n2\n2\n2\nb\nb\nb\nb\nb\n⋅\n⋅\n⋅\n,\n(\n)\n2\n5 3\n2\n10 10 7\n10 10 7\n10 10 7\n10 10 7\n2\n2\n2\n2\nb\nb\nb\nb\nb\n⋅\n⋅\n⋅\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\n100 20 7\n600\n75\n4\n4\n4\nb\nb\nb\nb\n⋅\n,\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n20 7\n600\n20 7\n600\n300\nb\nb\nb\nb\nb\n,\n4\n2\n2\n1600\n360000\n300\nb\nb\nb\n,\n4\n2\n1300\n360000\nb\nb\n(\n)(\n)\n2\n2\n400\n900\n0\nb\nb\n,\n(\n)(\n)(\n)(\n)\n20\n20\n30\n30\n0\nb\nb\nb\nb\n23\nPonieważ\n0\nb >\n, więc\n20\nb =\nlub\n30\nb =\n. Najdłuższy bok trójkąta ABC to bok AB, więc b nie\nmoże być równe 30.\nOdpowiedź. Długość boku AC trójkąta ABC jest równa 20.\nV sposób (twierdzenia Stewarta)\nNiech b\nAC\n. Narysujmy na zewnątrz trójkąta ABC trójkąt równoboczny ACM, a przez\nwierzchołek B poprowadźmy prostą równoległą do prostej AC do przecięcia z prostą AM\nw punkcie N, jak na rysunku.\nWtedy trójkąt BMN jest równoboczny, a jego bok ma długość\n10\nb+\n. Z twierdzenia Stewarta\notrzymujemy\n(\n)\n2\n2\n2\nBM\nAN\nBN\nAM\nMN\nAB\nAM\nAN\n⋅\n⋅\n⋅\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10\n10\n10\n10\n10 7\n10\nb\nb\nb\nb\nb\n⋅\n⋅\n+ ⋅\n,\n(\n)\n(\n)\n10 10\n10\n700\n10\nb\nb\nb\nb\n⋅\n⋅\n,\n2\n20\n100\n700\n10\nb\nb\nb\n,\n2\n10\n600\n0\nb\nb\n,\n(\n)(\n)\n20\n30\n0\nb\nb\n,\n20\nb =\nlub\n30\nb = -\nZatem\n20\nb =\n, gdyż długość odcinka nie może być liczbą ujemną.\nOdpowiedź. Długość boku AC trójkąta ABC jest równa 20.\nSchemat oceniania I, II, III, IV i V sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zauważy, że kąt zewnętrzny trójkąta ABC przy wierzchołu C ma miarę 60°\n24\nalbo\n• poprowadzi wysokość BD lub wysokość AF trójkąta ABC\nalbo\n• zapisze równość wynikająca z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC:\n2\n2\n2\n2\ncos120\nAB\nAC\nBC\nAC\nBC\n-⋅\n⋅\n⋅\n°\nalbo\n• zapisze układ równań pozwalający otrzymać równanie z jedną niewiadomą b, np.:\n5 3\n2\n5 7\nch\nb\n⋅\ni\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\nc\nb\ny\nh\ni\n2\n2\n2\n10\nc\ny\nh\nlub\n10\n10 7\n10\n10 7\n10 10 7\n10 10 7\n2\n2\n2\n2\nABC\nb\nb\nb\nb\nP\n⋅\n⋅\n⋅\ni\n5 3\n2\nABC\nP\nb\nalbo\n• narysuje trójkąt równoboczny AMN\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• obliczy długości przyprostokątnych trójkąta BCD:\n5\nCD =\ni\n5 3\nBD =\nalbo\n• wyznaczy długości odcinków AF i CF w zależności od b:\n3\n2\nAF\nb\n,\n2\nCF\nb\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą b w postaci:\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\n10\n2 10\ncos120\nb\nb\n-⋅\n⋅⋅\n°\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą b w postaci:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n800\n20 7\n2 7\n100\nb\nb\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą b w postaci:\n5 3\n2\n10\n10 7\n10 10 7\n10 10 7\n10\n10 7\n2\n2\n2\n2\nb\nb\nb\nb\nb\n⋅\n⋅\n⋅\nalbo\n• zapisze równanie wynikające z twierdzenia Stewarta dla trójkąta AMN:\n(\n)\n(\n)\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10\n10\n10\n10\n10 7\n10\nb\nb\nb\nb\nb\n⋅\n⋅\n+ ⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\n25\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze równanie stopnia drugiego z jedną niewiadomą b, np.:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\n5\n5 3\nb\n, (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n10 7\n10\n2 10\nb\nb\n-⋅\n⋅⋅-\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10 7\n10\n3\n2\n2\nb\nb\n, (\n)\n(\n)\n10 10\n10\n700\n10\nb\nb\nb\nb\n⋅\n⋅\nalbo\n• zapisze równanie stopnia wyższego niż 2 z jedną niewiadomą b w postaci, w której po\njednej stronie równania jest 0, a po drugiej iloczyn wielomianów, z których każdy jest\nstopnia co najwyżej drugiego, np.: (\n)(\n)\n2\n2\n400\n900\n0\nb\nb\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy długość boku AC trójkąta ABC:\n20\nAC =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej\n3 punkty.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd polegający na pominięciu współczynnika 1\n2 we wzorze na pole\ntrójkąta i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co\nnajwyżej 3 punkty.\n3. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i jedynym błędem, który jednak nie ułatwia\nrozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania, jest błąd polegający na niepoprawnym\nzastosowaniu\na) zależności między długościami boków w trójkącie 30-60-90,\nb) twierdzenia Pitagorasa,\nc) definicji funkcji trygonometrycznych,\nd) wzoru redukcyjnego,\ne) wzoru na pole trójkąta z sinusem kąta między bokami\nf) wzoru Herona na pole trójkąta\ng) twierdzenia cosinusów,\nh) twierdzenia Stewarta,\ni) wzoru skróconego mnożenia, np. na kwadrat sumy lub różnicy, np.: (\n)\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n, albo\nniepoprawnym obliczeniu pierwiastka z sumy lub różnicy, np.\n2\n2\na\nb\na\nb\n,\nto za całe rozwiązanie zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n4. Jeżeli zdający przyjmuje, że trójkąt ABC jest równoramienny lub przyjmuje, że któryś z kątów\nostrych trójkąta ABC jest równy 30°, 45°, 60°, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający jedynie zapisze\n20\nAC =\n, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"20","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"planimetria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}