{"paper":{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nParametr m dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania\n(\n)\n2\n2\n4\n3\n2\nm\nx\nm\nm\n⋅\nz niewiadomą x. Wynika stąd, że\nA.\n2\nm = -\nB.\n1\nm =\nC.\n2\nm =\nD.\n4\nm =\nParametr m dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania (4-m^2)⋅x = m^2-3m+2 z niewiadomą x. Wynika stąd, że A. m=-2 B. m=1 C. m=2 D. m=4","answer":"C","answer_text":"2\n<\n2\nx\n2\n, więc wystarczy, żeby spełniona była nierówność\n2\n0\n, czyli\nm >\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"parametr","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDane są trzy niewspółliniowe punkty:\n(\n)\n1,1\nA =\n,\n(\n)\n6, 3\nB =\n,\n(\n)\n4, 5\nC =\n. Ile jest wszystkich\npunktów D takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach A, B, C, D jest\nrównoległobokiem?\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD.\n4\nDane są trzy niewspółliniowe punkty: A=(1,1), B=(6,3), C=(4,5). Ile jest wszystkich punktów D takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach A, B, C, D jest równoległobokiem? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4","answer":"C","answer_text":")\n2\n10404\n2601","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWiadomo, że wielomian\n120\n146\n499\n383\n133\n15\n2\n3\n4\n5\nx\nx\nx\nx\nx\nma w zbiorze\n{\n}\n7 6 8 9\n5 7 5\n6 ,\n,\n,\ndokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba\nA.\n6\n5\nB.\n7\n6\nC.\n8\n7\nD.\n9\n5\nWiadomo, że wielomian 15x^5 - 133x^4 + 383x³ - 499x² + 146x + 120 ma w zbiorze {7/6, 6/5, 8/7, 9/5} dokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba A. 6/5 B. 7/6 C. 8/7 D. 9/5","answer":"A","answer_text":"oraz\nV =\n1 36 3 2 6\n⋅\n⋅\n18 2","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nNieskończony ciąg geometryczny\njest określony w następujący sposób:\noraz\ndla\n. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa\nA.\nB.\nC.\nD.\n(\n)\nna\n1\n3\n5\na =\n1\n2\n3\nn\nn\na\na\n⋅\n1\nn ≥\n5\n3\n10\n9\n9\n10\n9\n5\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R\nNieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony w następujący sposób: a_1=3/5 oraz a_{n+1} = 2/3⋅a_n dla n≥1. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa A. 5/3 B. 10/9 C. 9/10 D. 9/5","answer":"D","answer_text":"-⋅⋅\n4 4\n(\nm\n2\nm\n2\n)\n4 16\nm\n16\nm\n2\n16\nm\n2\n16\nm\n32\n36\n>\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"ciagi","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nW urnie znajduje się 16 kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest 10 kul\nbiałych i 6 kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania. Oblicz\nprawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.\nWpisz w poniższe kratki - od lewej do prawej - trzy kolejne cyfry po przecinku skończonego\nrozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\n\nMMA_1R\nW urnie znajduje się 16 kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest 10 kul białych i 6 kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych. Wpisz w poniższe kratki - od lewej do prawej - trzy kolejne cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. [rysunek]","answer":null,"answer_text":"k\n4\nk\n3\n2\nk\n2\nk\n1\n)\njest podzielny przez 16.","solution":"375","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nOblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr\nw zapisie dziesiętnym jest równy 28.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nOblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy 28.","answer":"B","answer_text":"3\nx\nB\n30\n45","solution":"147","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nDana jest funkcja f określona wzorem\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nOblicz wartość\npochodnej tej funkcji dla argumentu 10.\nOdpowiedź:\n( )\n2\n2\n25\n9\n2\nx\nf x\nx\n(\n)\n10\nf ′\n\nMMA_1R\nC\nA\nB\nD\nE\nDana jest funkcja f określona wzorem f(x)=25x^2-9/x^2+2 dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz wartość f'(10) pochodnej tej funkcji dla argumentu 10.","answer":null,"answer_text":"⋅=\n1\n7 15 1\n⋅\n⋅=\n105","solution":"$\\dfrac{295}{2601} \\approx 0,113417$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nDwusieczne kątów BAD i BCD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E,\nprzy czym punkty B i E leżą po przeciwnych stronach prostej AC (zobacz rysunek).\nWykaż, że\n2\n360\nABC\nADC\nAEC\n+ ⋅\n°\n\n\n\n\nMMA_1R\nDwusieczne kątów BAD i BCD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E, przy czym punkty B i E leżą po przeciwnych stronach prostej AC (zobacz rysunek). [rysunek] Wykaż, że |∠ABC| - |∠ADC| + 2⋅|∠AEC| = 360°.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":7,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie\njest podzielne\nprzez 16.\n19\n3\n4\n5\nn\nn\nn\n\nMMA_1R\nUdowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie n^5-3n^4-n+19 jest podzielne przez 16.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":8,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nMiara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o °\n2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego\n(\n)\n2\nn\n- kąta foremnego. Oblicz n.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nMiara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego jest o 2° mniejsza od miary kąta wewnętrznego (n+2)-kąta foremnego. Oblicz n.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$n = 18$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"planimetria","page_from":9,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-6)\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 6.\nNa krawędziach bocznych BS i CS wybrano punkty, odpowiednio D i E, takie że\noraz\n(zobacz rysunek). Płaszczyzna ADE jest prostopadła do płaszczyzny ściany\nbocznej BCS ostrosłupa.\nOblicz objętość tego ostrosłupa.\nBD\nCE\n4\nDE =\nA\nB\nC\nS\nD\nE\n6\n6\n4\n6\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 6. Na krawędziach bocznych BS i CS wybrano punkty, odpowiednio D i E, takie że |BD|=|CE| oraz |DE|=4 (zobacz rysunek). Płaszczyzna ADE jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej BCS ostrosłupa. [rysunek] Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"2,\n+∞ oznacza zbiór rozwiązań nierówności\n)\nx\n1\n( )\nm >\n0\n;","solution":"$V = 18\\sqrt{2}$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\nma dwa różne dodatnie rozwiązania\n,\nspełniające nierówność\n(\n)\n2\n2\n4\n2\n4\n2\n0\nx\nm x\nm\nm\n1x\n2x\n2\n2\n1\n2\n17\n4\nx\nx\n≤\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x² + (2-4m)x + m^2-m-2 = 0 ma dwa różne dodatnie rozwiązania x_1, x_2 spełniające nierówność x_1² + x_2² ≤ 17/4.","answer":"B","answer_text":"30\n3\nx\nB\n30\n45","solution":"$m \\in (2, 3]$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-6)\nPunkt\njest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 90. Przekątna BD zawiera się\nw prostej l o równaniu\n. Wyznacz długość boku tego rombu.\n(\n)\n2,6\nA = -\n2\n5\n0\nx\ny\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nPunkt A=(-2,6) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 90. Przekątna BD zawiera się w prostej l o równaniu 2x-y-5=0. Wyznacz długość boku tego rombu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$3\\sqrt{10}$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"14","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-4)\nRozwiąż równanie 4sin7 cos2\n2sin9\n1\nx\nx\nx\n- w przedziale 0,π .\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nRozwiąż równanie 4sin7xcos2x = 2sin9x-1 w przedziale <0,π>.","answer":null,"answer_text":"SS =\n2\n10\n,\nS S\n1\n2\n12\n,\nP =\n24 6","solution":"$x \\in \\left\\{ \\dfrac{7\\pi}{30}, \\dfrac{11\\pi}{30}, \\dfrac{19\\pi}{30}, \\dfrac{23\\pi}{30} \\right\\}$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nDany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku\ni promieniu x oraz drugi o środku\ni promieniu\n, o których wiadomo, że spełniają\njednocześnie następujące warunki:\n rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;\n obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S\ni promieniu 18;\n punkty: S,\n,\nnie leżą na jednej prostej.\nPole trójkąta o bokach a, b, c można obliczyć ze wzoru Herona\n(\n)(\n)(\n)\nP\np p\na\np\nb\np\nc\n,\ngdzie p - jest połową obwodu trójkąta.\nZapisz pole trójkąta\njako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz\ndługości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to\nnajwiększe pole.\n1S\n2\nS\n2x\n1S\n2\nS\n1\n2\nSS S\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nDany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S_1 i promieniu x oraz drugi o środku S_2 i promieniu 2x, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki: • rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie; • obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 18; • punkty: S, S_1, S_2 nie leżą na jednej prostej. Pole trójkąta o bokach a,b,c można obliczyć ze wzoru Herona P=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}, gdzie p - jest połową obwodu trójkąta. Zapisz pole trójkąta SS_1S_2 jako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.","answer":null,"answer_text":"60\n45\nlub 15\nBx -\n60\n45","solution":"$|S_1S| = 14$, $|S_2S| = 10$, $|S_1S_2| = 12$, $P = 24\\sqrt{6}$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}