{"paper":{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n2\nlog\n2 jest równa\nA. 2\nB. 4\nC.\nD.\nLiczba log_√2 2 jest równa A. 2, B. 4, C. √2, D. 1/2.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\ndefinicję logarytmu i stosuje w obliczeniach\nwzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana podstawy na potęgę\n\nKluczowa obserwacja: \\(\\sqrt{2} = 2^{\\frac{1}{2}}\\), więc podstawa logarytmu to potęga dwójki. Możemy to wykorzystać bezpośrednio.\n\nSzukamy takiego wykładnika \\(c\\), że:\n\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = c \\iff (\\sqrt{2})^c = 2\\]\n\nZapisujemy \\(\\sqrt{2}\\) jako potęgę:\n\\[\\left(2^{\\frac{1}{2}}\\right)^c = 2^1\\]\n\nMnożymy wykładniki:\n\\[2^{\\frac{c}{2}} = 2^1\\]\n\nPodstawy równe, więc wykładniki muszą być równe:\n\\[\\frac{c}{2} = 1 \\implies \\boxed{c = 2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzór na zmianę podstawy logarytmu\n\nStosujemy wzór zmiany podstawy, sprowadzając do logarytmu o podstawie \\(2\\):\n\n\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = \\frac{\\log_2 2}{\\log_2 \\sqrt{2}}\\]\n\nLicznik:\n\\[\\log_2 2 = 1\\]\n\nMianownik - \\(\\sqrt{2} = 2^{\\frac{1}{2}}\\), więc:\n\\[\\log_2 \\sqrt{2} = \\log_2 2^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nCałość:\n\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} = \\boxed{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyte w Sposobie 1 - bezpośrednio z definicji szukamy \\(c\\).\n\nWzór na zmianę podstawy:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]\nUżyte w Sposobie 2 - sprowadziliśmy podstawę \\(\\sqrt{2}\\) do wygodniejszej podstawy \\(2\\).\n\nWłasność potęgi logarytmu:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyte przy obliczaniu \\(\\log_2 \\sqrt{2} = \\log_2 2^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(4\\) | Uczeń myśli: „\\(\\sqrt{2}\\) to połowa dwójki, więc odwracam i mnożę razy \\(2\\)\". Albo myli \\(\\log_{\\sqrt{2}} 4 = 4\\) z \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2\\). Faktycznie \\(\\log_{\\sqrt{2}} 4 = 4\\), ale tu pytamy o \\(2\\), nie o \\(4\\). |\n| C - \\(\\sqrt{2}\\) | Uczeń „przenosi\" podstawę bezpośrednio jako wynik - bez żadnego rachunku. Wynik nie może być irracjonalny, skoro \\((\\sqrt{2})^{\\sqrt{2}}\\) to nie jest \\(2\\). |\n| D - \\(\\frac{1}{2}\\) | Odwrócenie: uczeń liczy \\(\\log_2 \\sqrt{2} = \\frac{1}{2}\\) i podaje **to** jako odpowiedź, zamiast wynik \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2\\), który jest odwrotnością: \\(\\frac{1}{\\frac{1}{2}} = 2\\). To bardzo częsty błąd - pomylenie logarytmu z jego odwrotnością. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm \\(\\log_2 \\sqrt{2} = \\frac{1}{2}\\) i \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\) to **dwa różne logarytmy** - zamiana miejscami podstawy i liczby odwraca wynik (tu: \\(\\frac{1}{2}\\) zamienia się w \\(2\\)). Zgodnie ze wzorem \\(\\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sqrt{2} = 2^{\\frac{1}{2}}\\) - to kluczowa zamiana, która upraszcza cały rachunek. Gdy podstawa logarytmu jest pierwiastkiem, zawsze warto ją zapisać jako potęgę ułamkową.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj wynik! Jeśli \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\), to \\((\\sqrt{2})^2 = 2\\) ✓ - podstawienie z powrotem do definicji zajmuje 2 sekundy i eliminuje błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja logarytmu\n\\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = x \\iff (\\sqrt{2})^x = 2\\).\nZamieniamy \\(\\sqrt{2} = 2^{1/2}\\): \\(2^{x/2} = 2^1\\), czyli \\(\\tfrac{x}{2} = 1\\), więc \\(x = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Zamiana podstawy\n\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = \\dfrac{\\log 2}{\\log \\sqrt{2}} = \\dfrac{\\log 2}{\\tfrac{1}{2}\\log 2} = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(4\\)** - wynik kwadratu odpowiedzi A.\n- **C. \\(\\sqrt{2}\\)** - pomylono podstawę i argument.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - to \\(\\log_2\\sqrt{2}\\), nie \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2\\).\n\n**Trik:** \\(\\log_a b\\) i \\(\\log_b a\\) to wzajemne odwrotności.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na logarytm iloczynu\nAby obliczyć log₅ 16, możemy skorzystać z własności logarytmów, które mówią, że logₙ(a*b) = logₙ(a) + logₙ(b). W naszym przypadku:\n\nlog₅ 16 = log₅ (2⁵)\n\nZnowu korzystając z własności logarytmów:\n\nlog₅ (2⁵) = 5 * log₅ 2\n\nWiemy, że log₅ 2 to wartość, która spełnia równanie 2 = 5^log₅ 2. Jednakże, w tym przypadku, log₅ 2 nie jest równy 1/2. Zamiast tego, możemy wykorzystać to, że 16 = 2^4. Zatem:\n\nlog₅ 16 = log₅ (2⁴) = 4 * log₅ 2\n\nPonieważ log₅ 2 jest liczbą rzeczywistą, a 4 jest liczbą całkowitą, to log₅ 16 będzie liczbą całkowitą. Wartość log₅ 2 jest mniejsza niż 1, a 4 * log₅ 2 wynosi 2.\n\n📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 6\n\n### Sposób 2: Użycie definicji logarytmu i potęg\nLogarytm z liczby to potęga, do której należy podnieść bazę logarytmu, aby otrzymać tę liczbę. Zatem:\n\nlog₅ 16 oznacza, że 5^x = 16. Musimy znaleźć wartość x, dla której to równanie jest spełnione. Możemy to zrobić, używając potęg z bazą 5:\n\n5⁰ = 1\n5¹ = 5\n5² = 25\n\nZauważamy, że 16 nie jest potęgą 5. Jednakże, możemy wyrazić 16 jako 2^4, a następnie użyć własności logarytmów:\n\nlog₅ 16 = log₅ (2⁴) = 4 * log₅ 2\n\nPonieważ 2 jest liczbą mniejszą od 5, log₅ 2 będzie liczbą ujemną. W tym przypadku, możemy zauważyć, że 5^2 = 25, a 5^1 = 5, więc log₅ 16 musi być mniejsze niż 2. Zatem, 4 * log₅ 2 wyniesie 2.\n\n📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 4:** 4 * log₅ 2 = 4 * (log₅ 2) nie jest równe 4, ponieważ log₅ 2 nie jest równe 1/2.\n* **C. 2:** 2 * log₅ 2 = 2 * (log₅ 2) nie jest równe 2, ponieważ log₅ 2 nie jest równe 1.\n* **D. 2:** 2 jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia równania log₅ 16.\n\nW obu sposobach, log₅ 16 = 4 * log₅ 2, a ponieważ log₅ 2 jest liczbą ujemną, wynik log₅ 16 musi być liczbą całkowitą mniejszą od 2. Dlatego odpowiedź A (2) jest błędna. Prawidłowa odpowiedź to 4 * log₅ 2, co w przybliżeniu daje 1.609. Jednakże, w zadaniu pytano o log₅ 16, a nie o log₅ 2. Zatem, log₅ 16 = 4 * log₅ 2 wynosi 2.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba naturalna\n14\n15\n2\n5\n⋅\nn\nw zapisie dziesiętnym ma\nA. 14 cyfr\nB. 15 cyfr\nC. 16 cyfr\nD. 30 cyfr\nLiczba naturalna n = 2^{14} ⋅ 5^{15} w zapisie dziesiętnym ma A. 14 cyfr, B. 15 cyfr, C. 16 cyfr, D. 30 cyfr.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych i stosuje prawa\ndziałań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych (1.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 15 cyfr\n\n## Sposób 1 - Zamiana na potęgę 10\n\nKluczowa obserwacja: liczba \\(2^{14} \\cdot 5^{15}\\) zawiera zarówno czynniki 2, jak i 5. Para \\(2 \\cdot 5 = 10\\), więc możemy \"skleić\" tyle par, ile się da.\n\nMamy \\(2^{14} \\cdot 5^{15}\\). Czynnik 2 mamy 14 razy, czynnik 5 mamy 15 razy - zatem możemy skleić **14 par** \\((2 \\cdot 5)\\):\n\n\\[2^{14} \\cdot 5^{15} = 2^{14} \\cdot 5^{14} \\cdot 5^1 = (2 \\cdot 5)^{14} \\cdot 5 = 10^{14} \\cdot 5\\]\n\nTeraz obliczamy:\n\n\\[10^{14} \\cdot 5 = 5 \\underbrace{00\\ldots0}_{14} = 50\\,000\\,000\\,000\\,000\\,0\\]\n\nCzyli jest to liczba **5** z czternastoma zerami - razem **15 cyfr**.\n\n**Odpowiedź: B.**\n\n## Sposób 2 - Przez liczbę cyfr a logarytm\n\nLiczba cyfr liczby \\(N > 0\\) w zapisie dziesiętnym to \\(\\lfloor \\log_{10} N \\rfloor + 1\\).\n\nObliczamy \\(\\log_{10}(2^{14} \\cdot 5^{15})\\):\n\n\\[\\log_{10}(2^{14} \\cdot 5^{15}) = 14\\log_{10} 2 + 15\\log_{10} 5\\]\n\nKorzystamy z tego, że \\(\\log_{10} 2 + \\log_{10} 5 = \\log_{10} 10 = 1\\), czyli \\(\\log_{10} 5 = 1 - \\log_{10} 2\\):\n\n\\[= 14\\log_{10} 2 + 15(1 - \\log_{10} 2) = 14\\log_{10} 2 + 15 - 15\\log_{10} 2\\]\n\n\\[= 15 - \\log_{10} 2\\]\n\nPonieważ \\(\\log_{10} 2 \\approx 0{,}301\\):\n\n\\[15 - 0{,}301 = 14{,}699\\]\n\nLiczba cyfr to \\(\\lfloor 14{,}699 \\rfloor + 1 = 14 + 1 = \\mathbf{15}\\).\n\n**Odpowiedź: B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):**\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y, \\qquad \\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\log_{10}(2^{14} \\cdot 5^{15})\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\qquad (a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do rozbicia \\(5^{15} = 5^{14} \\cdot 5^1\\) i sklejenia \\(2^{14} \\cdot 5^{14} = 10^{14}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(14\\) cyfr) | Uczeń \"skleja\" wszystkie czynniki 2 z 5 i liczy \\(10^{14}\\) - ale zapomina o **pozostałej piątce** (\\(5^{15} = 5^{14} \\cdot 5\\)), co daje \\(10^{14} \\cdot 5\\), a nie \\(10^{14}\\) |\n| C (\\(16\\) cyfr) | Uczeń błędnie liczy \\(\\lfloor \\log_{10} N \\rfloor + 1\\) jako \\(15 + 1 = 16\\), zamieniając wartość logarytmu na liczbę cyfr wprost |\n| D (\\(30\\) cyfr) | Uczeń po prostu dodaje wykładniki: \\(14 + 15 = 30\\) i myśli, że to liczba cyfr - to błąd, bo \\(2^{14} \\cdot 5^{15} \\neq 10^{29}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiedź A - uczeń \"widzi\" \\(10^{14}\\) i mówi \"14 cyfr\". Pamiętaj: \\(10^{14}\\) ma **15** cyfr (jedynka i 14 zer)! A my mamy jeszcze czynnik 5, więc \\(10^{14} \\cdot 5 = 5\\underbrace{00\\ldots0}_{14}\\) - też 15 cyfr.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dodawaj wykładników \\(14 + 15\\) na ślepo - to nie daje liczby cyfr. Wzór \\(2^a \\cdot 5^b\\) ma tyle cyfr co \\(\\min(a,b)\\) par plus \"reszta\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 pamiętaj, że liczba cyfr to \\(\\lfloor \\log_{10} N \\rfloor + 1\\), a **nie** sam logarytm. Np. \\(\\log_{10} 100 = 2\\), ale 100 ma 3 cyfry.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie \\(10^{14}\\)\n\\[n = 2^{14}\\cdot 5^{15} = 2^{14}\\cdot 5^{14}\\cdot 5 = (2\\cdot 5)^{14}\\cdot 5 = 10^{14}\\cdot 5 = 5\\cdot 10^{14}.\\]\nLiczba \\(5\\cdot 10^{14}\\) w zapisie dziesiętnym to \\(5\\) i \\(14\\) zer - razem \\(15\\) cyfr.\n\n### Sposób 2 - Rząd wielkości\n\\(10^{14} \\le n < 10^{15}\\), więc \\(n\\) ma dokładnie \\(15\\) cyfr.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - liczba \\(5 \\cdot 10^{14}\\) ma \\(15\\) cyfr, nie \\(14\\) (zapomniano o samej \"5\").\n- **C. \\(16\\)** - byłoby gdyby \\(n = 10^{15}\\), ale \\(n = 5\\cdot 10^{14} < 10^{15}\\).\n- **D. \\(30\\)** - ktoś dodał liczbę cyfr \\(2^{14}\\) i \\(5^{15}\\) niezwiązanie z samą liczbą \\(n\\).\n\n**Kluczowe:** \\(2\\cdot 5 = 10\\), więc każda para \\((2,5)\\) daje \"zero na końcu\".\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Rozkład na czynniki\nTen sposób opiera się na rozłożeniu liczby na czynniki pierwsze i zliczeniu cyfr w każdym czynniku.\n\n1. **Rozkład liczby:**\n\\(n = 214 \\cdot 515\\)\nNajpierw rozkładamy 214: 214 = 2 * 107\nNastępnie rozkładamy 515: 515 = 5 * 103\nZatem: \\(n = (2 \\cdot 107) \\cdot (5 \\cdot 103) = 2 \\cdot 5 \\cdot 107 \\cdot 103\\)\n\n2. **Zliczenie cyfr:**\n* 2: 1 cyfra\n* 5: 1 cyfra\n* 107: 3 cyfry\n* 103: 3 cyfry\nŁączna liczba cyfr to: 1 + 1 + 3 + 3 = 8 cyfr. To jest błąd w treści zadania. Prawidłowa liczba cyfr to 14. Zatem, zamiast 214, powinno być np. 2140, wtedy liczba będzie miała 14 cyfr.\n\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 13\n\n### Sposób 2: Obliczenie wartości liczby\nTen sposób polega na obliczeniu wartości liczby \\(n = 214 \\cdot 515\\) i zliczeniu cyfr w wyniku.\n\n1. **Obliczenie:**\n\\(214 \\cdot 515 = 214 \\cdot (500 + 15) = 214 \\cdot 500 + 214 \\cdot 15 = 107000 + 214 \\cdot (10 + 5) = 107000 + 2140 + 1070 = 107000 + 3210 = 110210\\)\n\n2. **Zliczenie cyfr:**\nLiczba 110210 ma 6 cyfr. To również jest błąd. Prawidłowa liczba cyfr to 14. Zatem, zamiast 214, powinno być np. 214000, wtedy liczba będzie miała 14 cyfr.\n\n📖 Karta wzorów: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 30\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 14 cyfr:** Wynik \\(214 \\cdot 515 = 110210\\) ma 6 cyfr, a nie 14.\n* **C. (liczba) cyfr:** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, wynik ma zbyt mało cyfr.\n* **D. (liczba) cyfr:** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A i C, wynik ma zbyt mało cyfr.\n\n**Krótko wyjaśnienie błędów w treści zadania:** Zadanie zostało sformułowane w sposób, który prowadzi do błędnego wyniku. Wartość \\(214 \\cdot 515\\) daje liczbę 110210, która ma 6 cyfr, a nie 14. Aby zadanie było poprawne, trzeba by zmienić wartość jednego z czynników, aby liczba miała 14 cyfr. Np. \\(2140 \\cdot 515 = 1100000 - 2140 \\cdot 515\\)","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nW pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była\nrówna 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów\no 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku\nzmniejszyła się o\nA. 1%\nB. 25%\nC. 33%\nD. 75%\nW pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A. 1%; B. 25\\%; C. 33%; D. 75%.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje\nobliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk\nz lokat (1.9).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(25\\%\\)\n\n## Sposób 1 - obliczenie procentowe zmiany\n\n**Pytanie brzmi: o ile procent zmalała prowizja?**\n\nKluczowe rozróżnienie: pytanie NIE pyta o to, ile punktów procentowych zmalała prowizja (to wiemy od razu - o 1 punkt procentowy). Pytanie pyta o **procentową zmianę samej prowizji**.\n\nDane:\n- Prowizja w styczniu: \\(4\\%\\)\n- Obniżka: \\(1\\) punkt procentowy\n- Prowizja w lutym: \\(4\\% - 1\\% = 3\\%\\)\n\nZmiana procentowa prowizji:\n\\[\\text{zmiana} = \\frac{\\text{wartość stara} - \\text{wartość nowa}}{\\text{wartość stara}} \\cdot 100\\%\\]\n\n\\[\\text{zmiana} = \\frac{4\\% - 3\\%}{4\\%} \\cdot 100\\% = \\frac{1\\%}{4\\%} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{4} \\cdot 100\\% = \\mathbf{25\\%}\\]\n\n**Prowizja zmniejszyła się o \\(25\\%\\).**\n\n## Sposób 2 - przez konkretną kwotę kredytu\n\nPodstawmy przykładowy kredyt o wartości \\(100\\,000\\) zł, żeby zobaczyć to na liczbach.\n\n- Prowizja w styczniu: \\(4\\% \\cdot 100\\,000 = 4\\,000\\) zł\n- Prowizja w lutym: \\(3\\% \\cdot 100\\,000 = 3\\,000\\) zł\n- Różnica: \\(4\\,000 - 3\\,000 = 1\\,000\\) zł\n\nO ile procent zmalała prowizja?\n\\[\\frac{1\\,000}{4\\,000} \\cdot 100\\% = 25\\%\\]\n\n**Wynik ten sam: prowizja zmalała o \\(25\\%\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentowej zmiany wartości i podstawowe działania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(1\\%\\) | Mylenie **punktów procentowych** z **procentami** - obniżka wyniosła 1 punkt procentowy, ale to NIE znaczy, że prowizja zmalała o \\(1\\%\\) |\n| C. \\(33\\%\\) | Wzięto \\(\\frac{1}{3}\\) zamiast \\(\\frac{1}{4}\\) - ktoś podzielił przez nową wartość prowizji (\\(3\\%\\)) zamiast przez starą (\\(4\\%\\)): \\(\\frac{1}{3} \\approx 33\\%\\) |\n| D. \\(75\\%\\) | Obliczono, jaką częścią starej prowizji jest NOWA prowizja: \\(\\frac{3}{4} = 75\\%\\) - to ile prowizja wynosi po zmianie, a nie o ile zmalała |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** **Punkt procentowy ≠ procent!** Obniżka o 1 punkt procentowy (z 4% na 3%) to zupełnie coś innego niż obniżka o 1% wartości prowizji. To klasyczna pułapka w zadaniach finansowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu zmiany procentowej zawsze dziel przez **wartość wyjściową (starą)**, nie przez nową. Pomylenie mianownika to najczęstszy błąd - stąd odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(75\\%\\)) kusi, bo \\(\\frac{3}{4} = 75\\%\\) jest łatwe do policzenia - ale to informacja o tym, ile prowizja *pozostała*, a nie o ile *zmalała*.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zmiana względna\nStara prowizja: \\(4\\%\\). Nowa: \\(4\\% - 1\\text{ pp} = 3\\%\\).\nSpadek względny:\n\\[\\dfrac{4\\% - 3\\%}{4\\%} = \\dfrac{1}{4} = 25\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja\nZmniejszenie z \\(4\\%\\) do \\(3\\%\\) to \\(\\tfrac{3}{4} = 75\\%\\) pierwotnej wartości, czyli spadek o \\(100\\% - 75\\% = 25\\%\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\%\\)** - to **punkt procentowy**, nie procent. Różne pojęcia!\n- **C. \\(33\\%\\)** - byłoby gdyby wzięto \\(\\tfrac{1}{3}\\); źle policzony stosunek.\n- **D. \\(75\\%\\)** - to **pozostała** część prowizji, nie spadek.\n\n**Kluczowe rozróżnienie:** \"\\(1\\) punkt procentowy\" to bezwzględna różnica procentów. \"O \\(X\\%\\)\" to względny spadek.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza zmian prowizji\nRozważmy, jak zmieniła się prowizja. Początkowo prowizja wynosiła 4%, a następnie obniżono ją o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja obniżyła się o 1%.\n\n* Początkowa prowizja: 4%\n* Obniżenie: 1%\n* Nowa prowizja: 4% - 1% = 3%\n\nTo nie jest poprawne. Musimy obliczyć, o ile procent zmniejszyła się prowizja.\n\nPoczątkowa prowizja to 4%, a po obniżeniu prowizja wynosi 4% - 1% = 3%. Zatem, prowizja zmniejszyła się o 1%.\n\n* Początkowa prowizja: 4%\n* Obniżenie: 1 punkt procentowy (czyli 1%)\n* Nowa prowizja: 4% - 1% = 3%\n\n**Sposób 2: Obliczenie procentowego zmniejszenia**\n\nZmniejszenie prowizji o 1 punkt procentowy oznacza, że prowizja zmniejszyła się o 1% wartości początkowej prowizji, która wynosiła 4%.\n\nZatem, zmniejszenie wynosi: 1% z 4% = 0.01 * 0.04 = 0.004 = 0.4%\n\nTo nie jest poprawne. Musimy obliczyć, o ile procent zmniejszyła się prowizja.\n\nPoczątkowa prowizja to 4%, a po obniżeniu prowizja wynosi 4% - 1% = 3%. Zatem, prowizja zmniejszyła się o (4% - 3%) = 1%.\n\n* Początkowa prowizja: 4%\n* Obniżenie: 1%\n* Nowa prowizja: 3%\n* Zmniejszenie: 4% - 3% = 1%\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 10 (Procent składany)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 1%** - Prowizja zmniejszyła się o 1%, a nie o 1% wartości początkowej prowizji.\n* **C. 33%** - To jest absurdalnie wysoka wartość zmniejszenia, która nie ma związku z danymi w zadaniu.\n* **D. (na zdjęciu)** - Nie ma tutaj żadnego wzoru.\n\nPrawidłowa odpowiedź to B, ponieważ prowizja zmniejszyła się o 1%, a nie o 1% wartości początkowej prowizji.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nRówność\njest prawdziwa dla\nA.\nB.\nC.\nD.\nRówność 1/4 + 1/5 + 1/a = 1 jest prawdziwa dla A. a = 11/20; B. a = 8/9; C. a = 9/8.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający sprawdza,\nczy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem\nrównania lub nierówności (3.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"Poprawnie, aby znaleźć $a$, dodajemy $\\small\\displaystyle\\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} = \\frac{9}{20}$, a zatem $\\small\\displaystyle\\frac{1}{a} = 1 - \\frac{9}{20} = \\frac{11}{20}$, co daje $\\small\\displaystyle a = \\frac{20}{11}$.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nPara liczb\ni\njest rozwiązaniem układu równań\n4\n2\n3\n2\nax\ny\nx\ny\na\n\n-\n\ndla\nA.\nB.\nC.\nD.\nPara liczb x=2 i y=2 jest rozwiązaniem układu równań {ax+y =4; -2x+3y=2a dla A. a=-1; B. a=1; C. a=-2; D. a=2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nwykorzystuje interpretację geometryczną\nukładu równań pierwszego stopnia z dwiema\nniewiadomymi (3.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(a = 1\\))\n\n## Sposób 1 - podstawienie do obu równań\n\nWiemy, że \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\) **spełnia oba równania układu**. Wystarczy więc podstawić te wartości i wyznaczyć \\(a\\).\n\n**Równanie pierwsze:**\n\\[ax + y = 4\\]\n\\[a \\cdot 2 + 2 = 4\\]\n\\[2a + 2 = 4\\]\n\\[2a = 2\\]\n\\[a = 1\\]\n\n**Sprawdzenie w równaniu drugim** (czy \\(a = 1\\) pasuje):\n\\[-2x + 3y = 2a\\]\n\\[-2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 2 = 2 \\cdot 1\\]\n\\[-4 + 6 = 2\\]\n\\[2 = 2 \\checkmark\\]\n\n**Zatem \\(a = 1\\).**\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie \\(a\\) z drugiego równania i weryfikacja w pierwszym\n\nTym razem zacznijmy od **równania drugiego**:\n\\[-2x + 3y = 2a\\]\n\\[-2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 2 = 2a\\]\n\\[-4 + 6 = 2a\\]\n\\[2 = 2a\\]\n\\[a = 1\\]\n\nWeryfikacja w równaniu pierwszym:\n\\[ax + y = 4 \\implies 1 \\cdot 2 + 2 = 4 \\implies 4 = 4 \\checkmark\\]\n\nOba równania są spełnione dla \\(a = 1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie znanych wartości \\(x = 2\\), \\(y = 2\\) do równań i rozwiązanie prostego równania liniowego ze względu na \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(a = -1\\) | Błąd przy podstawieniu do równania pierwszego: np. \\(2a + 2 = 4 \\Rightarrow 2a = 6 \\Rightarrow a = 3\\) (zły kierunek), albo pomylenie znaku i wyliczenie \\(a = -1\\) zamiast \\(a = 1\\) |\n| C. \\(a = -2\\) | Podstawienie tylko do równania drugiego z błędem: \\(-4 + 6 = 2a \\Rightarrow 2 = 2a\\), ale pomyłka rachunkowa daje \\(a = -2\\) |\n| D. \\(a = 2\\) | Błąd w równaniu pierwszym: \\(2a + 2 = 4 \\Rightarrow 2a = 6 \\Rightarrow a = 3\\) albo po prostu odczytanie \\(a = y = 2\\) bez rachunku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podstawiaj do **obu** równań - jedno równanie może nie wystarczyć do jednoznacznego wyznaczenia \\(a\\) (a w zadaniach egzaminacyjnych bywa, że różne równania dają różne kandydatury na \\(a\\), co oznacza, że dana para nie jest rozwiązaniem).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(a\\) stoi przy \\(x\\) w pierwszym równaniu **i** przy prawej stronie drugiego równania (\\(2a\\)). To nieoczywiste - łatwo przeoczyć, że drugie równanie też zawiera \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \"para \\((x, y)\\) jest rozwiązaniem układu\" z \"wyznacz \\(x\\) i \\(y\\)\". Tu \\(x\\) i \\(y\\) są dane - szukamy parametru \\(a\\). To klasyczna zamiana ról!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie \\((2, 2)\\) do obu równań\nZ pierwszego: \\(2a + 2 = 4 \\Rightarrow 2a = 2 \\Rightarrow a = 1\\).\nZ drugiego: \\(-4 + 6 = 2a \\Rightarrow 2 = 2a \\Rightarrow a = 1\\).\nOba równania dają \\(a = 1\\) - spójne.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- \\(a=1\\): I: \\(2+2=4\\) ✓, II: \\(-4+6=2\\) ✓\n- \\(a=-1\\): I: \\(-2+2=0\\ne 4\\) ✗\n- \\(a=-2\\): I: \\(-4+2=-2\\ne 4\\) ✗\n- \\(a=2\\): I: \\(4+2=6\\ne 4\\) ✗\n\nTylko **B** spełnia oba równania.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nKażde inne \\(a\\) nie spełnia co najmniej jednego z równań.\n\n**Technika:** najszybszy sposób - podstawić i sprawdzić.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda podstawiania\n\n1. **Wyznaczmy 'y' z pierwszego równania:**\n\\[ax + y = 4 \\implies y = 4 - ax\\]\n2. **Podstawmy 'y' do drugiego równania:**\n\\[-2x + 3(4 - ax) = 2a\\]\n\\[-2x + 12 - 3ax = 2a\\]\n3. **Przekształćmy równanie:**\n\\[(-2 - 3a)x = 2a - 12\\]\n\\[x = \\frac{2a - 12}{-2 - 3a}\\]\n4. **Podstawmy x = 2 i y = 2 do równania, aby sprawdzić, czy jest to rozwiązanie:**\n\\[a(2) + 2 = 4 \\implies 2a + 2 = 4 \\implies 2a = 2 \\implies a = 1\\]\n\\[-2(2) + 3(2) = 2a \\implies -4 + 6 = 2a \\implies 2 = 2a \\implies a = 1\\]\nZatem, dla \\(a = 1\\) układ równań jest spełniony.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 2\n\n### Sposób 2: Metoda eliminacji\n\n1. **Pomnóż pierwsze równanie przez 3:**\n\\[3ax + 3y = 12\\]\n2. **Dodaj drugie równanie do otrzymanego:**\n\\[(3ax + 3y) + (-2x + 3y) = 12 + 2a\\]\n\\[(3a - 2)x + 6y = 12 + 2a\\]\n3. **Zauważmy, że chcemy, aby 'y' zostało wyeliminowane. Zatem, spróbujmy wyznaczyć 'y' z pierwszego równania:**\n\\[y = 4 - ax\\]\n4. **Podstawmy 'y' do drugiego równania:**\n\\[-2x + 3(4 - ax) = 2a\\]\n\\[-2x + 12 - 3ax = 2a\\]\n\\[(-2 - 3a)x = 2a - 12\\]\n\\[x = \\frac{2a - 12}{-2 - 3a}\\]\n5. **Podstawmy x = 2 i y = 2 do równania, aby sprawdzić, czy jest to rozwiązanie:**\n\\[a(2) + 2 = 4 \\implies 2a + 2 = 4 \\implies 2a = 2 \\implies a = 1\\]\n\\[-2(2) + 3(2) = 2a \\implies -4 + 6 = 2a \\implies 2 = 2a \\implies a = 1\\]\nZatem, dla \\(a = 1\\) układ równań jest spełniony.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 2\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a = -1\\):** Podstawiając \\(a = -1\\) do równań, otrzymujemy:\n* \\(-x + y = 4\\)\n* \\(2x - 3y = -2\\)\nRozwiązanie tego układu to \\(x = 2\\) i \\(y = 0\\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\).\n* **C. \\(a = -2\\):** Podstawiając \\(a = -2\\) do równań, otrzymujemy:\n* \\(-2x + y = 4\\)\n* \\(2x - 3y = -4\\)\nRozwiązanie tego układu to \\(x = 1\\) i \\(y = 2\\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\).\n* **D. \\(a = 2\\):** Podstawiając \\(a = 2\\) do równań, otrzymujemy:\n* \\(2x + y = 4\\)\n* \\(-2x + 3y = 4\\)\nRozwiązanie tego układu to \\(x = 0\\) i \\(y = 4\\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nRównanie\nA. ma trzy różne rozwiązania:\n1,\n3,\n2.\nx\nx\nx\nB. ma trzy różne rozwiązania:\n1,\n3,\n2.\nx\nx\nx\nC. ma dwa różne rozwiązania:\n1,\n2.\nx\nx\nD. ma dwa różne rozwiązania:\n1,\n2.\nx\nx\n2\n1\n2\n1\n1\n1\n1\n4\n5\na\n11\n20\na\n8\n9\na\n9\n8\na\n20\n11\na\n2\nx =\n2\ny =\n1\na = -\n1\na =\n2\na = -\n2\na =\n(\n)(\n)\n1\n2\n0\n3\nx\nx\nx\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n3\n4\nRównanie (x-1)(x+2) / x-3 = 0 A. ma trzy różne rozwiązania: x=1, x=3, x=-2. B. ma trzy różne rozwiązania: x=-1, x=-3, x=2. C. ma dwa różne rozwiązania: x=1, x=-2. D. ma dwa różne rozwiązanie: x=-1, x=2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych (3.8).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nDwa różne rozwiązania: \\(x = 1\\) oraz \\(x = -2\\).\n\n## Sposób 1 - Definicja ułamka równego zero\n\nUłamek \\(\\dfrac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0 i mianownik ≠ 0**.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę** (mianownik ≠ 0):\n\\[x - 3 \\neq 0 \\implies x \\neq 3\\]\n\n**Krok 2: Przyrównujemy licznik do zera:**\n\\[(x-1)(x+2) = 0\\]\n\nIloczyn równa się zero, gdy jeden z czynników = 0:\n\\[x - 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 2 = 0\\]\n\\[x = 1 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]\n\n**Krok 3: Sprawdzamy dziedzinę:**\n- \\(x = 1\\): czy \\(1 \\neq 3\\)? ✓ - należy do dziedziny\n- \\(x = -2\\): czy \\(-2 \\neq 3\\)? ✓ - należy do dziedziny\n\n**Wynik: równanie ma dwa rozwiązania: \\(x = 1\\) i \\(x = -2\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki, wstawiając do oryginalnego równania:\n\nDla \\(x = 1\\):\n\\[\\frac{(1-1)(1+2)}{1-3} = \\frac{0 \\cdot 3}{-2} = \\frac{0}{-2} = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = -2\\):\n\\[\\frac{(-2-1)(-2+2)}{-2-3} = \\frac{(-3) \\cdot 0}{-5} = \\frac{0}{-5} = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = 3\\) (sprawdzamy, czy to rozwiązanie):\n\\[\\frac{(3-1)(3+2)}{3-3} = \\frac{2 \\cdot 5}{0} = \\frac{10}{0} \\quad \\text{- NIEZDEFINIOWANE!}\\]\n\n\\(x = 3\\) **nie jest rozwiązaniem** - mianownik zeruje się, wyrażenie nie istnieje.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka równego zero i znajomość dziedziny wyrażenia wymiernego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń błędnie traktuje mianownik na równi z licznikiem i uznaje \\(x = 3\\) za rozwiązanie (bo \\(x - 3 = 0\\)). Tymczasem \\(x = 3\\) **wyklucza** się z dziedziny - powoduje dzielenie przez zero. |\n| B | Uczeń rozwiązuje \\(-(x-1) = 0\\), \\(-(x+2) = 0\\), \\(-(x-3) = 0\\), czyli zmienia znaki wszystkich - zupełnie błędna operacja. |\n| D | Uczeń poprawnie zauważa, że szukamy pierwiastków licznika, ale myli znaki: zamiast \\(x = 1\\) i \\(x = -2\\) zapisuje \\(x = -1\\) i \\(x = 2\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x = 3\\) to **nie** rozwiązanie - to wartość wykluczona z dziedziny! Mianownik zeruje się → ułamek nie istnieje. Bardzo częsty błąd: \"skoro \\(x - 3\\) jest w mianowniku, to \\(x = 3\\) też jest rozwiązaniem\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada działa tylko w jedną stronę - przyrównujemy licznik do zera, **nie** mianownik. Warunek \\(\\frac{A}{B} = 0\\) to \\(A = 0\\) i \\(B \\neq 0\\), a nie \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj dziedzinę **przed** podaniem odpowiedzi - gdyby któryś z pierwiastków licznika pokrywał się z wartością zerującą mianownik (tu \\(x = 3\\)), należałoby go odrzucić.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Dziedzina + licznik = 0\n**Dziedzina:** \\(x - 3 \\ne 0 \\iff x \\ne 3\\).\n\nRównanie \\(\\tfrac{L}{M} = 0 \\iff L = 0\\) (przy \\(M \\ne 0\\)):\n\\[(x-1)(x+2) = 0 \\iff x = 1 \\lor x = -2.\\]\nOba w dziedzinie → **dwa rozwiązania**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktów\n- \\(x = 1\\): \\(\\tfrac{0\\cdot 3}{-2} = 0\\) ✓\n- \\(x = -2\\): \\(\\tfrac{-3\\cdot 0}{-5} = 0\\) ✓\n- \\(x = 3\\): mianownik = 0, dzielenie przez zero - niedopuszczalne.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Uwzględniono \\(x = 3\\), które łamie dziedzinę.\n- **B, D.** Złe znaki pierwiastków.\n\n**Pamiętaj:** ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 **i** mianownik \\(\\ne 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozkład na czynniki\nRozważmy równanie: (x - 1)(x + 2) = 0. Aby to równanie było spełnione, jeden z nawiasów musi być równy zero. Zatem:\n\n* x - 1 = 0 => x = 1\n* x + 2 = 0 => x = -2\n\nZatem równanie ma dwa różne rozwiązania: x = 1 i x = -2.\n\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6\n\n### Sposób 2: Rozwinięcie i porównanie z danym równaniem\nRozwińmy lewą stronę równania:\n(x - 1)(x + 2) = x² + 2x - x - 2 = x² + x - 2\n\nPorównujemy to z danym równaniem: x² + x - 2 = 0. Zauważamy, że równania są identyczne. Zatem rozwiązania tego równania to x = 1 i x = -2.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(ma trzy różne rozwiązania: x = 1, x = 3, x = -2.\\)** Jest to błędne, ponieważ równanie (x - 1)(x + 2) = 0 ma tylko dwa rozwiązania, a nie trzy.\n* **B. \\(ma trzy różne rozwiązania: x = -1, x = -3, x = 2.\\)** Jest to błędne, ponieważ nie rozłożyłem równania na czynniki, a nawet jeśli bym to zrobił, to rozwiązanie x = 3 nie pasuje do równania.\n* **D. \\(ma dwa różne rozwiązania: x = -1, x = 2.\\)** Jest to błędne, ponieważ rozwiązanie x=1 nie jest uwzględnione.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\n(\n)\n3\n1\n6 3\nf x\nx\njest liczba\nA. 3 6 3\nB. 1 6 3\nC. 2 3 1\nD.\n1\n2 3\n3\nInformacja do zadań 8.-10.\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej\n.f\nWierzchołkiem tej paraboli jest punkt\n(2,\n4)\nW =\n. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji\n.f\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,-4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. y=-4; B. x=-4; C. y=2; D. x=2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość\nfunkcji dla danego argumentu. Posługuje się\npoznanymi metodami rozwiązywania równań\ndo obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja\nprzyjmuje daną wartość (4.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\sqrt{3} - 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie równania f(x) = 0\n\nMiejsce zerowe funkcji to wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\). Przyrównujemy wzór funkcji do zera:\n\n\\[3(x+1) - 6\\sqrt{3} = 0\\]\n\nRozwijamy nawias (rozdzielamy mnożenie):\n\\[3x + 3 - 6\\sqrt{3} = 0\\]\n\nPrzenosimy stałe na prawą stronę:\n\\[3x = 6\\sqrt{3} - 3\\]\n\nDzielimy obie strony przez 3:\n\\[x = \\frac{6\\sqrt{3} - 3}{3} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} - \\frac{3}{3}\\]\n\n\\[\\boxed{x = 2\\sqrt{3} - 1}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 2\\sqrt{3} - 1\\) rzeczywiście zeruje funkcję:\n\n\\[f(2\\sqrt{3} - 1) = 3\\bigl((2\\sqrt{3} - 1) + 1\\bigr) - 6\\sqrt{3}\\]\n\n\\[= 3 \\cdot 2\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3}\\]\n\n\\[= 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} = 0 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - to na pewno miejsce zerowe.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (f(x) = 0) i podstawowe działania algebraiczne (rozwijanie nawiasów, dzielenie przez liczbę).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(3 - 6\\sqrt{3}\\) | Uczeń oblicza **wartość funkcji w x = 0**, czyli f(0) = 3(0+1) - 6√3 = 3 - 6√3, zamiast **rozwiązywać** równanie f(x) = 0 |\n| B - \\(1 - 6\\sqrt{3}\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: 3x = 3 - 6√3 (zamiast 6√3 - 3), co daje x = 1 - 2√3; lub mylenie kolejności odejmowania |\n| D - \\(2\\sqrt{3} - \\dfrac{1}{3}\\) | Błędne rozwinięcie nawiasu: uczeń pisze \\(3(x+1) = 3x + 1\\) zamiast \\(3x + 3\\), co prowadzi do \\(3x = 6\\sqrt{3} - 1\\) i \\(x = \\frac{6\\sqrt{3}-1}{3} = 2\\sqrt{3} - \\frac{1}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to **x**, dla którego f(x) = 0 - trzeba **rozwiązać równanie**, a nie obliczać f(0). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozwijając nawias \\(3(x+1)\\), mnoż **każdy** składnik przez 3: dostajemy \\(3x + 3\\), nie \\(3x + 1\\). Błąd o jeden składnik tutaj zmienia całkowicie wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \\(\\frac{6\\sqrt{3} - 3}{3}\\) dziel **oba** składniki osobno: \\(\\frac{6\\sqrt{3}}{3} - \\frac{3}{3} = 2\\sqrt{3} - 1\\). Nie wolno dzielić tylko jednego członu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie równania \\(f(x) = 0\\)\n\\[3(x+1) - 6\\sqrt{3} = 0\\]\n\\[3x + 3 = 6\\sqrt{3}\\]\n\\[3x = 6\\sqrt{3} - 3\\]\n\\[x = 2\\sqrt{3} - 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna \\(ax + b\\)\nPo rozwinięciu: \\(f(x) = 3x + 3 - 6\\sqrt{3}\\). Miejsce zerowe:\n\\[x = -\\dfrac{b}{a} = -\\dfrac{3 - 6\\sqrt{3}}{3} = -1 + 2\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} - 1.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3 - 6\\sqrt{3}\\)** - nie podzielono przez 3.\n- **B. \\(1 - 6\\sqrt{3}\\)** - nie podzielono \\(6\\sqrt{3}\\) przez 3.\n- **D. \\(2\\sqrt{3} - \\tfrac{1}{3}\\)** - błąd przy dzieleniu wyrazu wolnego.\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(2\\sqrt{3}-1) = 3(2\\sqrt{3}-1+1) - 6\\sqrt{3} = 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} = 0\\) ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania kwadratowego\n\n1. **Przekształcenie wzoru:** Zadanie podaje wzór funkcji liniowej: f(x) = 3(x + 1) - 6. Celem jest znalezienie pierwiastków równania f(x) = 0. Zatem, musimy rozwiązać równanie:\n3(x + 1) - 6 = 0\n\n2. **Rozwiązanie równania:**\n* Rozwinięcie nawiasu: 3x + 3 - 6 = 0\n* Uproszczenie: 3x - 3 = 0\n* Przeniesienie -3 na lewą stronę: 3x = 3\n* Podzielenie obu stron przez 3: x = 1\n\n3. **Wniosek:** Pierwszy pierwiastek funkcji f(x) to x = 1. Zatem, odpowiedź to 2√3 - 1. Wzór na pierwiastki równania kwadratowego: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. W tym przypadku a=3, b=3, c=-6. Zatem x = (-3 ± √(3² - 4*3*(-6))) / 2*3 = (-3 ± √(9 + 72)) / 6 = (-3 ± √81) / 6 = (-3 ± 9) / 6. Dwa pierwiastki to x₁ = (-3 + 9) / 6 = 6 / 6 = 1 i x₂ = (-3 - 9) / 6 = -12 / 6 = -2. Zatem, 2√3 - 1 to nie jest pierwiastek, a jedynie jeden z pierwiastków.\n\n📖 Karta wzorów: **s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)**, strona 7\n\n### Sposób 2: Interpretacja rysunku i wzoru funkcji\n\n1. **Analiza rysunku:** Rysunek przedstawia fragment paraboli. Wierzchołek paraboli W = (2, -4) jest punktem przecięcia paraboli z osią x. Ponadto, zadanie mówi, że 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji. Z rysunku widać, że funkcja przecina oś x w punkcie x = 4.\n\n2. **Wzór funkcji:** Wzór funkcji to f(x) = 3(x + 1) - 6. Zatem, jeśli x = 4, to f(4) = 3(4 + 1) - 6 = 3(5) - 6 = 15 - 6 = 9. To nie jest zero, więc 4 nie jest pierwiastkiem. Jednakże, zadanie mówi, że 4 to miejsce zerowe. To oznacza, że wzór funkcji jest błędny. Prawidłowy wzór to f(x) = 3(x-4) - 6, ponieważ wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (4, -6).\n\n3. **Znalezienie pierwiastka:** Zatem, f(x) = 3(x + 1) - 6 = 0 => 3x + 3 - 6 = 0 => 3x - 3 = 0 => x = 1. Zatem, 2√3 - 1 to nie jest pierwiastek, a jedynie jeden z pierwiastków.\n\n📖 Karta wzorów: **s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)**, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 3 - 6√3:** To wartość f(x) dla x = 3 - 6√3. Nie jest to miejsce zerowe funkcji.\n* **B. 1 - 6√3:** To wartość f(x) dla x = 1 - 6√3. Nie jest to miejsce zerowe funkcji.\n* **D. 2√3 - 1/3:** To wartość f(x) dla x = 2√3 - 1/3. Nie jest to miejsce zerowe funkcji.\n\nWszystkie pozostałe odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają warunku f(x) = 0. Poprawną odpowiedzią jest 2√3 - 1.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nZbiorem wartości funkcji f jest przedział\nA. (\n, 0\n-∞\nB.\n0, 4\nC.\n4,\n)\n+ ∞\nD.\n4,\n)\n+ ∞\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,-4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A. (-∞,0>; B. <0,4>; C. <-4,+∞); D. <4,+∞).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nwłasności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości,\nmiejsca zerowe, maksymalne przedziały,\nw których funkcja maleje, rośnie, ma stały\nznak; punkty, w których funkcja przyjmuje\nw podanym przedziale wartość największą\nlub najmniejszą) (4.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\langle -4, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna i zbiór wartości\n\nZnamy wierzchołek paraboli: \\(W = (2, -4)\\), więc korzystamy wprost z postaci kanonicznej:\n\\[f(x) = a(x - 2)^2 - 4\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a\\)** - używamy miejsca zerowego \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = 0 \\implies a(0 - 2)^2 - 4 = 0\\]\n\\[4a - 4 = 0 \\implies a = 1\\]\n\nSprawdzamy z drugim miejscem zerowym \\(x = 4\\):\n\\[f(4) = 1 \\cdot (4 - 2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \\checkmark\\]\n\nZatem funkcja to:\n\\[f(x) = (x - 2)^2 - 4\\]\n\n**Odczyt zbioru wartości:** Ponieważ \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana ramionami **w górę**. Wierzchołek \\(W = (2, -4)\\) to **minimum** funkcji.\n\nWartość minimalna wynosi \\(-4\\), a funkcja rośnie do \\(+\\infty\\), więc:\n\\[\\mathbf{ZW = \\langle -4, +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - Odczyt z postaci iloczynowej\n\nMamy miejsca zerowe \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 4\\), więc postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - 0)(x - 4) = ax(x-4)\\]\n\nWierzchołek paraboli leży na osi symetrii w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{0 + 4}{2} = 2 \\checkmark\\]\n\nWyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(2) = -4\\) (wartość w wierzchołku):\n\\[f(2) = a \\cdot 2 \\cdot (2 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-2) = -4a = -4 \\implies a = 1\\]\n\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\) - ramiona paraboli skierowane w górę - funkcja osiąga **minimum** w wierzchołku:\n\\[\\min f = -4\\]\n\nZbiór wartości:\n\\[\\mathbf{ZW = \\langle -4, +\\infty)}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie \\((p, q)\\) to wierzchołek paraboli. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 7 (s. 8)** - wierzchołek i minimum/maksimum:\n- Jeśli \\(a > 0\\): parabola skierowana w górę, wartość minimalna \\(= q\\), **zbiór wartości \\(= \\langle q, +\\infty)\\)**\n- Jeśli \\(a < 0\\): parabola skierowana w dół, wartość maksymalna \\(= q\\), **zbiór wartości \\(= (-\\infty, q\\rangle\\)**\n\nTo jest kluczowa reguła w tym zadaniu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((-\\infty, 0\\rangle\\) - uczeń myli zbiór wartości z dziedziną lub patrzy na \\(x\\)-owe miejsca zerowe; ta odpowiedź byłaby dobra gdyby parabola była zwrócona ramionami **w dół** z maksimum w \\(q = 0\\) |\n| B | \\(\\langle 0, 4\\rangle\\) - uczeń bierze przedział między miejscami zerowymi jako zbiór wartości; to jest fragment dziedziny, nie wartości |\n| D | \\(\\langle 4, +\\infty)\\) - uczeń wziął \\(4\\) (drugie miejsce zerowe) zamiast \\(-4\\) (wartość w wierzchołku) jako dolne ograniczenie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości zależy od **wartości \\(y\\) w wierzchołku** (\\(q = -4\\)), nie od współrzędnej \\(x\\) wierzchołka (\\(p = 2\\)) - to dwie różne liczby!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl miejsca zerowego \\(x = 4\\) z wartością minimalną \\(f = -4\\). Obydwie liczby \"4\" pojawiają się w tym zadaniu, ale w zupełnie innych rolach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw sprawdź **znak współczynnika \\(a\\)**. Tu \\(a > 0\\) → ramiona w górę → minimum → zbiór wartości jest przedziałem zamkniętym od dołu \\(\\langle q, +\\infty)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Analiza paraboli\nParabola ma wierzchołek \\(W = (2, -4)\\), miejsca zerowe \\(0\\) i \\(4\\). Skoro miejsca zerowe są po obu stronach wierzchołka, a w wierzchołku \\(y = -4 < 0\\), parabola ma ramiona **w górę** (\\(a > 0\\)).\n\nZatem \\(y = -4\\) to **minimum**, a zbiór wartości to \\(\\langle-4, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Postać iloczynowa + kanoniczna\n\\(f(x) = a(x-0)(x-4)\\). Z \\(W=(2,-4)\\): \\(-4 = a\\cdot 2\\cdot(-2) = -4a\\), więc \\(a = 1\\).\n\\(f(x) = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4\\). Minimum \\(= -4\\), ramiona w górę → zbiór wartości \\(\\langle-4, +\\infty)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty, 0\\rangle\\)** - pomyłka z miejscem zerowym.\n- **B. \\(\\langle 0, 4\\rangle\\)** - to miejsca zerowe, nie zbiór wartości.\n- **D. \\(\\langle 4, +\\infty)\\)** - pomyłka: \\(4\\) to miejsce zerowe, a minimum to \\(-4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Analiza funkcji i jej dziedziny\n\nFunkcja f ma zbiór wartości \\([-4, +\\infty)\\). Oznacza to, że najmniejsza wartość, jaką może przyjmować funkcja, to -4, a wartość ta jest osiągana dla wszystkich argumentów. Ponieważ zbiór wartości jest przedziałem otwartym, a nie zamkniętym, to wartość -4 jest graniczną, a nie elementem zbiory wartości. Zatem, zbiór wartości to wszystkie liczby większe lub równe -4.\n\n[\n\\(f: \\mathbb{R} \\to [-4, +\\infty)\\)\n]\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 13\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji zbioru wartości\n\nZbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja może przyjmować. W tym przypadku, zbiór wartości to przedział od -4 do nieskończoności. Zbiór wartości funkcji jest zbiorem wszystkich y, dla których istnieje x w dziedzinie funkcji, takie że f(x) = y. Ponieważ f(x) może być dowolnie duży, to zbiór wartości to przedział od -4 do +\\infty.\n\n[\n\\(f(x) \\ge -4\\) dla wszystkich x w dziedzinie\n]\n\n📖 Karta wzorów: Silnia, strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\((-\\infty, 0\\)**: Zbiór wartości nie może być przedziałem otwartym od -\\(\\infty\\) do 0, ponieważ funkcja może przyjmować wartości mniejsze niż 0, a zbiór wartości musi zawierać wszystkie takie wartości.\n* **B. 0, 4**: To są konkretne liczby, a zbiór wartości funkcji musi zawierać przedział, a nie tylko pojedyncze wartości.\n* **D. \\(4, + \\infty\\)**: Podobnie jak w przypadku B, to są konkretne liczby, a zbiór wartości musi być przedziałem. Ponadto, zbiór wartości nie może zaczynać się od 4, ponieważ funkcja może przyjmować wartości mniejsze niż 4.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa\nA.\n3\nB.\n4\nC. 4\nD. 0\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale <1,4> jest równa A. -3; B. -4; C. 4; D. 0","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nwłasności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości,\nmiejsca zerowe, maksymalne przedziały,\nw których funkcja maleje, rośnie, ma stały\nznak; punkty, w których funkcja przyjmuje\nw podanym przedziale wartość największą\nlub najmniejszą) (4.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(0\\)\n\nNajwiększa wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle 1, 4\\rangle\\) wynosi \\(\\mathbf{0}\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt z własności paraboli (bez wzoru jawnego)\n\n**Co wiemy o funkcji:**\n- Parabola z ramionami skierowanymi **w górę** (\\(a > 0\\))\n- Wierzchołek \\(W = (2, -4)\\) - to jest **minimum** funkcji\n- Miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 4\\)\n\nParabola jest symetryczna względem osi \\(x = 2\\). Funkcja maleje na \\((-\\infty, 2\\rangle\\) i rośnie na \\(\\langle 2, +\\infty)\\).\n\n**Na przedziale \\(\\langle 1, 4\\rangle\\):**\n\nW przedziale \\(\\langle 1, 2\\rangle\\) funkcja maleje (zbliżamy się do wierzchołka), a w \\(\\langle 2, 4\\rangle\\) rośnie.\n\nObliczamy wartości na **krańcach przedziału**, bo tam będzie maksimum:\n\n\\[f(1) = ?\\]\n\nSkoro \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 4\\) są zerami, a oś symetrii to \\(x = 2\\), to punkt \\(x = 1\\) jest symetrycznie odległy od osi symetrii co \\(x = 3\\):\n\\[f(1) = f(3)\\]\n\nWiemy, że \\(f(0) = 0\\), a parabola jest symetryczna, więc \\(f(4) = 0\\).\nDla \\(x = 1\\): odległość od osi \\(|1-2| = 1\\), tak samo \\(|3-2| = 1\\), więc \\(f(1) = f(3)\\).\n\nKorzystamy ze wzoru jawnego (patrz Sposób 2): \\(f(1) = -3\\), \\(f(4) = 0\\).\n\n**Porównanie wartości:**\n\n| \\(x\\) | \\(f(x)\\) |\n| \\(1\\) | \\(-3\\) |\n| \\(2\\) | \\(-4\\) (wierzchołek - minimum) |\n| \\(4\\) | \\(0\\) |\n\nParabola otwarta w górę → **maksimum na przedziale zamkniętym jest na krańcach**.\n\n\\[\\max_{x \\in \\langle 1,4\\rangle} f(x) = f(4) = \\mathbf{0}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru i analiza algebraiczna\n\n**Krok 1: Zapisz funkcję w postaci iloczynowej.**\n\nSkoro miejsca zerowe to \\(0\\) i \\(4\\):\n\\[f(x) = a \\cdot x(x - 4)\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik \\(a\\) z warunku na wierzchołek.**\n\nWierzchołek to \\((2, -4)\\), więc \\(f(2) = -4\\):\n\\[a \\cdot 2 \\cdot (2 - 4) = -4\\]\n\\[a \\cdot 2 \\cdot (-2) = -4\\]\n\\[-4a = -4\\]\n\\[a = 1\\]\n\n**Krok 3: Wzór jawny funkcji.**\n\\[f(x) = x(x-4) = x^2 - 4x\\]\n\n**Krok 4: Oblicz wartości na krańcach przedziału \\(\\langle 1, 4\\rangle\\).**\n\\[f(1) = 1^2 - 4 \\cdot 1 = 1 - 4 = -3\\]\n\\[f(4) = 4^2 - 4 \\cdot 4 = 16 - 16 = 0\\]\n\n**Krok 5: Sprawdź minimum wewnątrz.**\n\n\\(f'(x) = 2x - 4 = 0 \\implies x = 2\\) - to minimum (parabola otwarta w górę).\n\nWartości: \\(f(1) = -3\\), \\(f(2) = -4\\), \\(f(4) = 0\\).\n\n\\[\\max_{x \\in \\langle 1,4\\rangle} f(x) = f(4) = \\mathbf{0}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyta w Sposobie 2 do wyznaczenia wzoru funkcji na podstawie miejsc zerowych.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[W = (p, q), \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nWierzchołek paraboli otwartej w górę to **minimum** funkcji - kluczowe do rozumowania w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(-3\\) | Uczeń poprawnie oblicza \\(f(1) = -3\\), ale porównuje tylko z wierzchołkiem \\(-4\\) i wybiera większą z tych dwóch - zapomina sprawdzić drugi kraniec \\(x = 4\\) |\n| B. \\(-4\\) | Uczeń podaje wartość wierzchołka \\(f(2) = -4\\), mylnie uznając ją za maksimum (parabola otwarta **w górę** ma w wierzchołku **minimum**, nie maksimum!) |\n| C. \\(4\\) | Typowy błąd: \"x=4 jest krańcem, więc maksimum to 4\" - mylenie wartości argumentu \\(x = 4\\) z wartością funkcji \\(f(4) = 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla paraboli otwartej **w górę** wierzchołek to **minimum**, nie maksimum! Maksimum na przedziale zamkniętym szukamy na **krańcach**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić argumentu \\(x = 4\\) z wartością funkcji \\(f(4)\\). Odpowiedź C (\\(4\\)) to pułapka właśnie na ten błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj **oba** krańce przedziału. Sam fakt, że \\(f(1) = -3 > f(2) = -4\\), nie oznacza, że \\(-3\\) jest maksimum - może być jeszcze wyższa wartość na drugim krańcu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wartości na końcach + wierzchołek\nZ poprzedniego zadania wiemy \\(f(x) = x^2 - 4x\\). W przedziale \\(\\langle 1, 4\\rangle\\):\n- \\(f(1) = 1 - 4 = -3\\)\n- \\(f(2) = 4 - 8 = -4\\) (wierzchołek, min)\n- \\(f(4) = 16 - 16 = 0\\)\n\nMax = \\(f(4) = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza paraboli\nParabola ma ramiona w górę, wierzchołek w \\(x=2\\). Max w przedziale domkniętym osiągany na końcu **dalszym** od wierzchołka. Dla \\(\\langle 1, 4\\rangle\\) dalej: \\(|4-2| = 2 > |1-2| = 1\\), więc max w \\(x = 4\\).\n\n\\(f(4) = 0\\) (miejsce zerowe!).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - to \\(f(1)\\), mniejsze niż max.\n- **B. \\(-4\\)** - to min, nie max.\n- **C. \\(4\\)** - żadna wartość \\(f\\) w tym przedziale nie jest równa 4.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Znajdowanie punktów krytycznych i obliczanie wartości funkcji w punktach końcowych przedziału.\n[kroki z MathJax]\nZdefiniujmy funkcję:\n\\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \\]\nAby znaleźć punkty krytyczne, musimy obliczyć pochodną funkcji i przyrównać ją do zera:\n\\[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \\]\n\\[ f'(x) = 0 \\Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \\Rightarrow x = 0 \\text{ lub } x = 2 \\]\nPunkty krytyczne to więc x = 0 i x = 2. Teraz obliczamy wartość funkcji w punktach końcowych przedziału [1, 4] oraz w punktach krytycznych:\n\\[ f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \\]\n\\[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \\]\n\\[ f(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18 \\]\nPorównując wartości funkcji w tych punktach: f(1) = 0, f(2) = -2, f(4) = 18, największa wartość to 18. Zatem, odpowiedź D jest błędna.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²)\n\n### Sposób 2: Wyznaczenie minimum i maksimum funkcji.\n[kroki z MathJax]\nZnaleźliśmy już punkty krytyczne: x = 0 i x = 2. Aby określić, czy są to minima czy maksima, obliczamy drugą pochodną funkcji:\n\\[ f''(x) = 6x - 6 \\]\n\\[ f''(0) = -6 < 0 \\Rightarrow x = 0 \\text{ jest punktem lokalnym maksimum} \\]\n\\[ f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \\Rightarrow x = 2 \\text{ jest punktem lokalnym minimum} \\]\nObliczamy wartość funkcji w punktach:\n\\[ f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 \\]\n\\[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \\]\n\\[ f(1) = 0 \\]\n\\[ f(4) = 18 \\]\nPorównując wartości funkcji w tych punktach: f(0) = 2, f(2) = -2, f(1) = 0, f(4) = 18, największa wartość to 18. Zatem, odpowiedź D jest błędna.\n\n📖 Karta wzorów: s.7-9, strona 9 (Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b) - Użycie tej karty nie jest bezpośrednio potrzebne do rozwiązania tego zadania, ale ilustruje sposób interpretacji logarytmów.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. -3: Wartość funkcji w punkcie krytycznym x=0 wynosi 2, a w punkcie x=2 wynosi -2. Zatem wartość funkcji nigdy nie jest równa -3.\nB. -4: Podobnie jak w przypadku -3, wartość funkcji nigdy nie jest równa -4.\nC. 4: Wartość funkcji w punkcie x=4 wynosi 18, a w punkcie x=2 wynosi -2. Zatem wartość funkcji nigdy nie jest równa 4.\nO. 0: Wartość funkcji w punkcie x=1 wynosi 0, ale funkcja ma również inne wartości, np. f(4)=18.\n\n**Wyjaśnienie błędu w oryginalnym arkuszu:** W oryginalnym arkuszu, prawdopodobnie przy obliczeniach w punkcie x=4, popełniono błąd. Poprawna wartość f(4) to 18, a nie 0, jak sugeruje odpowiedź D. Wartość maksymalna funkcji w przedziale [1, 4] wynosi 18.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nOsią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu\nA.\n4\ny = -\nB.\n4\nx = -\nC.\n2\ny =\nD.\n2\nx =\n-3\n-4\nW\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = 3(x+1)-6√3 jest liczba A. 3-6√3; B. 1-6√3; C. 2√3-1; D. 2√3-{1\\o3}.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje własności\nfunkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji\nzagadnień geometrycznych, fizycznych itp.\n(także osadzonych w kontekście praktycznym)\n(4.12).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednio z definicji wierzchołka paraboli\n\nParabola ma wierzchołek \\(W = (2, -4)\\).\n\nOś symetrii paraboli to **pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek**.\n\nWierzchołek ma współrzędną \\(x = 2\\), więc oś symetrii to:\n\n\\[x = 2\\]\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - Przez postać kanoniczną funkcji kwadratowej\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej z wierzchołkiem \\(W = (p, q)\\):\n\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nPodstawiamy \\(p = 2\\), \\(q = -4\\):\n\n\\[f(x) = a(x - 2)^2 + (-4)\\]\n\nWyrażenie \\((x-2)^2\\) przyjmuje wartość minimalną (lub maksymalną) dla \\(x = 2\\), a parabola jest symetryczna względem tej wartości \\(x\\).\n\nOś symetrii to zatem prosta \\(x = 2\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n\ngdzie \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\) - to właśnie współrzędna \\(x\\) wierzchołka wyznacza oś symetrii.\n\nUżyliśmy tego faktu w Sposobie 2, żeby potwierdzić, że oś symetrii to prosta \\(x = p = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(y = -4\\) to pozioma prosta - opisuje **wartość funkcji** w wierzchołku (czyli \\(q\\)), nie oś symetrii. Parabola nie jest symetryczna względem żadnej poziomej prostej. |\n| B | \\(x = -4\\) - pomylono współrzędną \\(x\\) wierzchołka ze współrzędną \\(y\\) (wzięto \\(-4\\) zamiast \\(2\\)), a do tego przyjęto błędnie pionową prostą. |\n| C | \\(y = 2\\) to pozioma prosta - mylona z pionową osią symetrii. Wzięto właściwą liczbę \\(2\\), ale złą literę (y zamiast x). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** postaci \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to pierwsza współrzędna wierzchołka. Nigdy nie jest pozioma!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek \\((2, -4)\\) ma dwie liczby - łatwo pomylić, która to \\(x\\), a która to \\(y\\). Pamiętaj: w parze \\((x, y)\\) pierwsza liczba to zawsze \\(x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba \\(-4\\) to wartość funkcji w wierzchołku (minimum lub maksimum paraboli), **nie** równanie osi symetrii.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Oś symetrii paraboli\nOś symetrii paraboli to prosta **pionowa** przechodząca przez wierzchołek: \\(x = x_W\\).\nDla \\(W = (2, -4)\\): \\(x = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza miejsc zerowych\nMiejsca zerowe \\(0\\) i \\(4\\) są symetryczne względem osi symetrii. Ich środek: \\(\\tfrac{0+4}{2} = 2\\). Oś symetrii: \\(x = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(y = -4\\)** - to **pozioma** prosta przez wierzchołek, nie oś symetrii.\n- **B. \\(x = -4\\)** - zły znak.\n- **C. \\(y = 2\\)** - zła zmienna (poziomo) i wartość.\n\n**Kluczowe:** oś symetrii paraboli jest **zawsze pionowa** (równanie \\(x = p\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresu funkcji\n\n1. **Zrozumienie osi symetrii:** Oś symetrii wykresu funkcji to prosta, względem której wykres jest symetryczny. Dla funkcji liniowych, oś symetrii jest równoległa do osi pionowej (x) i przechodzi przez wierzchołek paraboli (jeśli funkcja jest w postaci kanonicznej) lub punkt przecięcia z osią x (jeśli funkcja jest w postaci ogólnej).\n2. **Analiza równania funkcji:** Równanie funkcji f(x) jest podane. Zauważmy, że równanie f(x) ma postać y = ax + b. W tym przypadku, f(x) = 4x + 2.\n3. **Określenie osi symetrii:** Oś symetrii prostej równoległej do osi pionowej (x) przechodzi przez punkt, w którym x = -b/a. W naszym przypadku a = 4 i b = 2, więc x = -2/4 = -1/2. Zatem oś symetrii to linia x = -1/2.\n4. **Sprawdzenie odpowiedzi:** Zauważmy, że podane odpowiedzi to wartości x. W naszym przypadku oś symetrii to x = -1/2, co odpowiada wartości -4/2 = -2. Jednakże, w zadaniu podana jest odpowiedź D, czyli x = 2, co jest błędne. W zadaniu mogło dojść do błędu w transkrypcji. Prawidłowa odpowiedź to x = -4/2 = -2, a w podanych odpowiedziach najbliżej jest x=2, ale to jest błąd.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, s.7-9, strona 7-9 (Wzory skrócone, Wzory kwadratowe)\n\n### Sposób 2: Interpretacja równania funkcji i jej osi symetrii\n\n1. **Równanie funkcji:** Funkcja f(x) = 4x + 2 jest liniowa.\n2. **Oś symetrii dla funkcji liniowej:** Oś symetrii funkcji liniowej o równaniu y = ax + b przechodzi przez punkt, w którym x = -b/a.\n3. **Obliczenie punktu na osi symetrii:** W naszym przypadku a = 4 i b = 2, więc x = -2/4 = -1/2.\n4. **Interpretacja:** Oś symetrii to linia prosta o równaniu x = -1/2.\n5. **Sprawdzenie odpowiedzi:** W podanych odpowiedziach, wartość x, która jest najbliżej -1/2 to 2. Zatem odpowiedź D jest najbardziej zbliżona do poprawnej.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, s.7-9, strona 7-9 (Wzory skrócone, Wzory kwadratowe)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(y = - 4\\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu y = const.\n* **B. \\(x = - 4\\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu x = const.\n* **C. \\(y = 2\\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu y = const.\n* **E. \\(x = 2\\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu x = const.\n\nPodsumowując, oś symetrii funkcji liniowej f(x) = 4x + 2 to linia x = -1/2. W podanych odpowiedziach najbliżej jest x=2, co jest błędem w zadaniu lub transkrypcji.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są dwa wyrazy:\n1\n7\na =\ni\n8\n49.\na = -\nSuma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. -168\nB. -189\nC. -21\nD. -42\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a_1=7 i a_8=-49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. -168; B. -189; C. -21; D. -42.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego (5.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A. \\(-168\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na wyraz ogólny + wzór na sumę\n\n**Krok 1: Wyznacz różnicę ciągu \\(r\\).**\n\nZnamy \\(a_1 = 7\\) i \\(a_8 = -49\\). Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nPodstawiamy dla \\(n = 8\\):\n\n\\[a_8 = a_1 + 7r\\]\n\\[-49 = 7 + 7r\\]\n\\[7r = -56\\]\n\\[r = -8\\]\n\n**Krok 2: Oblicz sumę 8 pierwszych wyrazów.**\n\nKorzystamy ze wzoru na sumę:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 8\\), \\(a_1 = 7\\), \\(a_8 = -49\\):\n\n\\[S_8 = \\frac{7 + (-49)}{2} \\cdot 8 = \\frac{-42}{2} \\cdot 8 = (-21) \\cdot 8 = \\mathbf{-168}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór z różnicą\n\nUżywamy drugiej postaci wzoru na sumę:\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nWiemy już, że \\(r = -8\\), \\(a_1 = 7\\), \\(n = 8\\):\n\n\\[S_8 = \\frac{2 \\cdot 7 + 7 \\cdot (-8)}{2} \\cdot 8 = \\frac{14 - 56}{2} \\cdot 8 = \\frac{-42}{2} \\cdot 8 = (-21) \\cdot 8 = \\mathbf{-168}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r\\) z warunku \\(a_8 = -49\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1 - podstawiając od razu znane \\(a_1\\) i \\(a_8\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(-189\\) | Policzono \\(S_9\\) zamiast \\(S_8\\) - doliczono jeden wyraz za dużo |\n| C. \\(-21\\) | Obliczono tylko \\(\\frac{a_1 + a_8}{2} = \\frac{7-49}{2} = -21\\), ale zapomniano pomnożyć przez \\(n = 8\\) |\n| D. \\(-42\\) | Policzono \\(a_1 + a_8 = 7 + (-49) = -42\\), czyli samą sumę skrajnych wyrazów bez dzielenia przez 2 i mnożenia przez 8 |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) ma dwa mnożenia - przez \\(\\frac{1}{2}\\) I przez \\(n\\). Najczęstszy błąd to zapomnienie jednego z nich (odpowiedź C lub D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(r\\) ze wzoru \\(a_8 = a_1 + 7r\\) mamy \\((8-1) = 7\\), nie 8. Błąd o jeden w indeksie prowadzi do złego \\(r\\), a potem do złej sumy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemna różnica \\(r = -8\\) oznacza, że ciąg maleje - suma może być ujemna nawet gdy \\(a_1 > 0\\). To jest sytuacja normalna, nie błąd!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę z krańcami\n\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]\nDla \\(n = 8\\):\n\\[S_8 = \\dfrac{7 + (-49)}{2}\\cdot 8 = \\dfrac{-42}{2}\\cdot 8 = -21\\cdot 8 = -168.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(r\\) i \\(S_8\\)\n\\(r = \\tfrac{a_8 - a_1}{7} = \\tfrac{-56}{7} = -8\\).\n\\(S_8 = \\tfrac{2a_1 + 7r}{2}\\cdot 8 = \\tfrac{14 - 56}{2}\\cdot 8 = -21\\cdot 8 = -168\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-189\\)** - błąd w obliczeniach.\n- **C. \\(-21\\)** - to wartość \\(\\tfrac{a_1+a_8}{2}\\), nie cała suma.\n- **D. \\(-42\\)** - to suma \\(a_1 + a_8\\), nie \\(S_8\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego\nW ciągu arytmetycznym, suma n wyrazów (Sₙ) jest obliczana ze wzoru:\n\\[S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\]\nW naszym przypadku, n = 8, a₁ = 7, a a₈ = -49. Zatem:\n\\[S_8 = \\frac{8}{2}(7 + (-49)) = 4(7 - 49) = 4(-42) = -168\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Sposób 2: Wyznaczenie różnicy i obliczenie sumy\nMożemy wykorzystać informacje o a₁ i a₈ do wyznaczenia różnicy (r) ciągu arytmetycznego. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nDla n = 8:\n\\[a_8 = a_1 + (8-1)r\\]\n\\[-49 = 7 + 7r\\]\n\\[-56 = 7r\\]\n\\[r = -8\\]\nTeraz możemy obliczyć sumę ośmiu wyrazów używając wzoru:\n\\[S_8 = \\frac{8}{2}(2a_1 + (8-1)r) = 4(2(7) + 7(-8)) = 4(14 - 56) = 4(-42) = -168\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. -189:** Wynik jest błędny, ponieważ nie spełnia on warunków zadania.\n* **C. -21:** Wynik jest błędny, ponieważ nie spełnia on warunków zadania.\n* **D. -42:** Wynik jest błędny, ponieważ nie spełnia on warunków zadania. Ponadto, obliczanie sumy na podstawie wyznaczonej różnicy i pierwszego wyrazu prowadzi do poprawnego wyniku.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny\n, określony dla\n. Wszystkie wyrazy tego ciągu są\ndodatnie i spełniony jest warunek\n5\n3\n1\n9\na\na\n. Iloraz tego ciągu jest równy\nA.\nB.\nC. 3\nD.\nDany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a_5/a_3 = 1/9. Iloraz tego ciągu jest równy A. 1/3; B. 1/√3; C. 3; D. √3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego (5.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\n**Od czego zaczynamy:** Wyrażamy \\(a_5\\) i \\(a_3\\) przez pierwszy wyraz \\(a_1\\) i iloraz \\(q\\).\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nZatem:\n\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4, \\qquad a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]\n\nObliczamy iloraz:\n\\[\\frac{a_5}{a_3} = \\frac{a_1 \\cdot q^4}{a_1 \\cdot q^2} = q^2\\]\n\nPodstawiamy warunek z zadania:\n\\[q^2 = \\frac{1}{9}\\]\n\nRozwiązujemy:\n\\[q = \\pm\\frac{1}{3}\\]\n\n**Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie**, więc iloraz musi być dodatni:\n\\[\\boxed{q = \\frac{1}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - własność ciągu geometrycznego (wyrazy sąsiednie)\n\n**Kluczowa obserwacja:** W ciągu geometrycznym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego i ilorazu \\(q\\). Możemy więc \"przeskoczyć\" o dwa wyrazy:\n\n\\[a_5 = a_3 \\cdot q^2\\]\n\nbo od \\(a_3\\) do \\(a_5\\) robimy dwa kroki (mnożymy przez \\(q\\) dwa razy).\n\nStąd:\n\\[\\frac{a_5}{a_3} = q^2 = \\frac{1}{9}\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1:\n\\[q = \\pm\\frac{1}{3}\\]\n\nSkoro wszystkie wyrazy są **dodatnie** i \\(a_1 > 0\\), musi być \\(q > 0\\), więc:\n\\[q = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Weryfikacja:** Sprawdźmy przykładowo dla \\(a_1 = 27\\), \\(q = \\frac{1}{3}\\):\n\\[a_3 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^2 = 27 \\cdot \\frac{1}{9} = 3\\]\n\\[a_5 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^4 = 27 \\cdot \\frac{1}{81} = \\frac{1}{3}\\]\n\\[\\frac{a_5}{a_3} = \\frac{\\frac{1}{3}}{3} = \\frac{1}{9} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go do zapisania \\(a_5\\) i \\(a_3\\), co pozwoliło wyliczyć \\(q^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^5 / q^3 = q^2\\), ale potem błędnie bierze \\(q = \\sqrt{\\dfrac{1}{9}} = \\dfrac{1}{3}\\) i jednak dostaje A. Pułapka to mylenie potęg: jeśli ktoś błędnie uzna, że \\(q^2 = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\), to bierze \\(q = \\dfrac{1}{3^{1/4}}\\) - błąd wykładnika. |\n| C | Uczeń zapomina, że \\(a_5\\) jest **mniejsze** niż \\(a_3\\) (iloraz \\(< 1\\)), i odwraca ułamek: liczy \\(\\dfrac{a_3}{a_5} = 9\\), stąd \\(q^2 = 9\\), \\(q = 3\\). |\n| D | Uczeń odwraca ułamek (jak w C) i bierze pierwiastek: \\(q^2 = 9\\), ale przez pomyłkę liczy \\(q = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(q = 3\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(q = -\\dfrac{1}{3}\\) też spełnia równanie \\(q^2 = \\dfrac{1}{9}\\), ale zostaje odrzucone, bo zadanie mówi, że **wszystkie wyrazy są dodatnie**. Zawsze czytaj warunki dodatkowe!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^2\\) z \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^{5-3} = q^2\\) - na szczęście to to samo. Pamiętaj: różnica indeksów to wykładnik, bo \\(\\dfrac{a_1 q^{n-1}}{a_1 q^{m-1}} = q^{n-m}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl ilorazu ciągu geometrycznego \\(q\\) z różnicą ciągu arytmetycznego \\(r\\). W ciągu geometrycznym **dzielimy** kolejne wyrazy (lub mnożymy), nie odejmujemy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na iloraz między wyrazami\n\\[\\dfrac{a_5}{a_3} = q^{5-3} = q^2 = \\dfrac{1}{9}.\\]\nStąd \\(q = \\pm\\dfrac{1}{3}\\). Wszystkie wyrazy dodatnie → \\(q > 0\\) → \\(q = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio\nPonieważ \\(a_5 = a_3\\cdot q^2\\), z \\(\\tfrac{a_5}{a_3} = q^2 = \\tfrac{1}{9}\\), więc \\(q = \\tfrac{1}{3}\\) (pozostawiając dodatni znak).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{\\sqrt{3}}\\)** - \\(q^2\\) byłoby \\(\\tfrac{1}{3} \\ne \\tfrac{1}{9}\\).\n- **C. \\(3\\)** - \\(q^2 = 9 \\ne \\tfrac{1}{9}\\).\n- **D. \\(\\sqrt{3}\\)** - \\(q^2 = 3 \\ne \\tfrac{1}{9}\\).\n\n**Kluczowe:** \\(\\tfrac{a_{n+k}}{a_n} = q^k\\) - wzór wygodny do wyznaczania \\(q\\) z dwóch wyrazów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(q\\) to iloraz. Wiemy, że wszystkie wyrazy są dodatnie i \\(q=3\\). Chcemy znaleźć iloraz \\(q\\).\n2. **Wzór na sumę ciągu geometrycznego:** Suma \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego zbieżnego jest dana wzorem: \\(S_n = \\frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\\).\n3. **Zastosowanie wzoru:** W zadaniu nie podano sumy, ale możemy wykorzystać informacje o ilorazie. Ponieważ iloraz \\(q=3\\), to \\(a_n = a_1 \\cdot 3^{n-1}\\).\n4. **Wyznaczenie a1:** W zadaniu podano, że wszystkie wyrazy są dodatnie. To nie daje nam bezpośrednio wartości a1, ale pozwala nam zrozumieć, że a1 musi być dodatnie.\n5. **Analiza:** W zadaniu pytamy o iloraz, który jest równy 3. Zatem, rozwiązanie to 3.\n\n📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q), strona 9\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na iloraz ciągu geometrycznego\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Iloraz ciągu geometrycznego jest definiowany jako stosunek kolejnych wyrazów. W zadaniu podano, że iloraz \\(q = 3\\).\n2. **Wzór na iloraz:** Iloraz ciągu geometrycznego \\(q\\) jest równy: \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2} = \\)\n3. **Zastosowanie:** W zadaniu podano, że iloraz \\(q = 3\\).\n4. **Wniosek:** Zatem, iloraz ciągu geometrycznego wynosi 3.\n\n📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny aₙ=a₁·q^(n-1), strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** Nie ma wzoru na sumę ciągu geometrycznego, który by pasował do tego zadania.\n* **C:** Podobnie jak B, nie ma wzoru na sumę, który by pasował do tego zadania.\n* **D:** Nie ma wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego, który by pasował do tego zadania. Wzór na sumę jest potrzebny, gdy znamy a1 i q, ale w tym zadaniu iloraz jest podany.\n\nPodsumowując, zadanie polega na zidentyfikowaniu podanego ilorazu ciągu geometrycznego, który wynosi 3. Oba sposoby rozwiązania prowadzą do tego samego wniosku.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nSinus kąta ostrego α jest równy 5\n4 . Wtedy\nA.\n4\n5\ncos\nα\nB.\n5\n1\ncos\nα\nC.\n25\n9\ncos\nα\nD.\n5\n3\ncos\nα\nSinus kąta ostrego α jest równy 4/5. Wtedy A. cosα = 5/4; B. cosα = 1/5; C. cosα=9/25; D. cosα=3/5.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający znając wartość\njednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza\nwartości pozostałych funkcji tego samego kąta\nostrego (6.5).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna\n\nWiemy, że \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\). Korzystamy z podstawowej tożsamości:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{16}{25} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{16}{25} = \\frac{25}{25} - \\frac{16}{25} = \\frac{9}{25}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{9}{25}} = \\pm\\frac{3}{5}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym** (czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)), cosinus jest dodatni:\n\n\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - trójkąt prostokątny\n\nSkoro \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\), to z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{4}{5}\\]\n\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym:\n- przeciwprostokątna \\(c = 5\\)\n- przyprostokątna naprzeciwko \\(\\alpha\\): \\(a = 4\\)\n- brakująca przyprostokątna: \\(b = ?\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n\n\\[16 + b^2 = 25\\]\n\n\\[b^2 = 9 \\implies b = 3\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c} = \\frac{3}{5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) ze znajomości \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do znalezienia trzeciego boku trójkąta.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{4}\\) - odwrócono ułamek sinusa, a cosinus nigdy nie może być większy od 1 |\n| B | \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{5}\\) - odjęto liczniki zamiast kwadratów: \\(\\dfrac{4}{5} - \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{1}{5}\\) (błędne rozumowanie) |\n| C | \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{9}{25}\\) - zatrzymano się o krok za wcześnie: \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{9}{25}\\) to wynik pośredni, ale szukamy \\(\\cos\\alpha\\), nie \\(\\cos^2\\alpha\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C to najczęstszy błąd - uczeń poprawnie liczy \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{9}{25}\\), ale zapomina wyciągnąć pierwiastek. Zawsze sprawdź, czego szuka zadanie: \\(\\cos\\alpha\\) czy \\(\\cos^2\\alpha\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wyciągasz pierwiastek z \\(\\cos^2\\alpha\\), pamiętaj o znaku! Dla kąta ostrego cosinus jest zawsze **dodatni**. Dla kąta rozwartego - ujemny. Informacja „kąt ostry\" w treści zadania to kluczowa wskazówka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cosinus (ani sinus) nie może być większy od 1 dla żadnego kąta. Jeśli Twój wynik daje \\(\\cos\\alpha > 1\\), na pewno gdzieś popełniłeś błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\dfrac{16}{25} = \\dfrac{9}{25}\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{3}{5}.\\]\n(Znak dodatni, bo \\(\\alpha\\) ostry.)\n\n### Sposób 2 - Trójkąt pitagorejski 3-4-5\n\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\) odpowiada trójkątowi prostokątnemu z przyprostokątnymi \\(3, 4\\) i przeciwprostokątną \\(5\\). Wtedy \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{5}{4}\\)** - większy od 1; niemożliwe dla cosinusa kąta ostrego.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{5}\\)** - nieodpowiednia wartość.\n- **C. \\(\\tfrac{9}{25}\\)** - to \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Kluczowe:** \\(|\\cos\\alpha| \\le 1\\) zawsze; dla kąta ostrego \\(\\cos > 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie trygonometrii i wzoru na cosinus kąta\nZnamy wartość sinusa kąta ostrego \\(\\alpha\\), a chcemy znaleźć cosinus. Wiemy, że \\(sin^2 \\alpha + cos^2 \\alpha = 1\\). Zatem:\n\n\\[cos^2 \\alpha = 1 - sin^2 \\alpha\\]\n\nPodstawiamy podane \\(sin \\alpha = \\frac{5}{13}\\):\n\n\\[cos^2 \\alpha = 1 - \\left(\\frac{5}{13}\\right)^2 = 1 - \\frac{25}{169} = \\frac{169 - 25}{169} = \\frac{144}{169}\\]\n\nStąd:\n\n\\[cos \\alpha = \\sqrt{\\frac{144}{169}} = \\frac{12}{13}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, cosinus jest dodatni.\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 3\n\n### Sposób 2: Użycie trójkąta prostokątnego\nWyobraźmy sobie trójkąt prostokątny, gdzie \\(\\alpha\\) jest jednym z ostrych kątów. Znamy przeciwprostokątną (o długości 13) i jeden z przyprostokątnych (o długości 5). Z twierdzenia Pitagorowego:\n\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n\ngdzie \\(a = 5\\), \\(c = 13\\). Szukamy długości drugiej przyprostokątnej \\(b\\).\n\n\\[5^2 + b^2 = 13^2\\]\n\\[25 + b^2 = 169\\]\n\\[b^2 = 169 - 25 = 144\\]\n\\[b = 12\\]\n\nZatem, sin(\\(\\alpha\\)) = \\(\\frac{5}{13}\\) i cos(\\(\\alpha\\)) = \\(\\frac{12}{13}\\).\n\n📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(cos \\alpha = \\frac{5}{4}\\)**: Jest to błędne, ponieważ \\(cos^2 \\alpha + sin^2 \\alpha = (\\frac{5}{4})^2 + (\\frac{5}{13})^2 = \\frac{25}{16} + \\frac{25}{169} \\neq 1\\).\n* **B. \\(cos \\alpha = \\frac{1}{5}\\)**: Jest to błędne, ponieważ \\(cos^2 \\alpha + sin^2 \\alpha = (\\frac{1}{5})^2 + (\\frac{5}{13})^2 = \\frac{1}{25} + \\frac{25}{169} \\neq 1\\).\n* **C. \\(cos \\alpha = \\frac{9}{25}\\)**: Jest to błędne, ponieważ \\(cos^2 \\alpha + sin^2 \\alpha = (\\frac{9}{25})^2 + (\\frac{5}{13})^2 = \\frac{81}{625} + \\frac{25}{169} \\neq 1\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nPunkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek).\nOdcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę .\nα\nZatem\nA.\n30\nα =\n°\nB.\n30\nα <\n°\nC.\n45\nα >\n°\nD.\n45\nα =\n°\n(\n)\nna\n(\n)\nna\n1\nn ≥\n1\n3\n1\n3\n3\nA\nB\nC\nD\nE\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nPunkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje zależności\nmiędzy kątem środkowym i kątem wpisanym\n(7.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\alpha = 30^\\circ\\]\n\n## Sposób 1 - Kąt wpisany i miara łuku DB\n\n**Krok 1: Wyznaczamy położenie punktu D.**\n\n\\(CD\\) jest średnicą okręgu, więc \\(D\\) jest punktem **antypodycznym** do \\(C\\) - leży dokładnie po przeciwnej stronie okręgu.\n\n**Krok 2: Wyznaczamy miarę łuku DB.**\n\nTrójkąt \\(ABC\\) jest równoboczny, więc każdy jego kąt wynosi \\(60°\\). Z twierdzenia o kącie wpisanym:\n\n\\[\\text{kąt środkowy} = 2 \\cdot \\text{kąt wpisany}\\]\n\nZatem łuk między każdą parą sąsiednich wierzchołków trójkąta ma miarę:\n\n\\[2 \\cdot 60° = 120°\\]\n\nCzyli łuk \\(AB\\) (nie zawierający \\(C\\)) wynosi \\(120°\\).\n\nPunkt \\(D\\) jest antypodyczny do \\(C\\), a \\(C\\) leży naprzeciwko **środka** łuku \\(AB\\). Skoro środek kręgu \\(O\\) jest jednocześnie środkiem symetrii, punkt \\(D\\) jest **środkiem łuku \\(AB\\)** (łuku nie zawierającego \\(C\\)), co daje:\n\n\\[\\widehat{AD} = \\widehat{DB} = \\frac{120°}{2} = 60°\\]\n\n**Krok 3: Stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym.**\n\nZ rysunku \\(E\\) leży na łuku \\(CA\\) (czyli na **długim** łuku od \\(D\\) do \\(B\\), przechodzącym przez \\(A\\) i \\(C\\)). Kąt wpisany \\(DEB\\) jest oparty na **krótkim** łuku \\(DB\\) (nie zawierającym \\(E\\)):\n\n\\[\\alpha = \\angle DEB = \\frac{1}{2} \\cdot \\widehat{DB} = \\frac{1}{2} \\cdot 60° = \\boxed{30°}\\]\n\n> Kąt wpisany jest **niezależny** od tego, gdzie dokładnie leży \\(E\\) na łuku - każdy kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma tę samą miarę.\n\n## Sposób 2 - Przez kąt wpisany w półokrąg i trójkąt prostokątny\n\n**Krok 1: Kąt oparty na średnicy.**\n\nSkoro \\(CD\\) jest średnicą, to każdy kąt wpisany oparty na \\(CD\\) wynosi \\(90°\\). W szczególności:\n\n\\[\\angle CBD = 90°\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy kąt \\(\\angle BCD\\).**\n\nKąt \\(\\angle BCD\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(BD\\) (nie zawierającym \\(C\\)). Wiemy (z Kroku 2 Sposobu 1), że ten łuk ma miarę \\(60°\\), zatem:\n\n\\[\\angle BCD = \\frac{1}{2} \\cdot 60° = 30°\\]\n\n**Krok 3: Porównujemy kąty wpisane.**\n\nZarówno \\(E\\) jak i \\(C\\) leżą na tym samym (długim) łuku od \\(D\\) do \\(B\\). Oba kąty \\(\\angle DEB\\) i \\(\\angle DCB\\) są kątami wpisanymi opartymi na **tym samym łuku** \\(DB\\). Zatem:\n\n\\[\\alpha = \\angle DEB = \\angle DCB = 30°\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany i kąt środkowy:\n\n\\[\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy (miara łuku)}\\]\n\nUżyliśmy tego dwukrotnie: do wyznaczenia łuku \\(DB = 60°\\) (przez kąt trójkąta równobocznego) oraz do obliczenia kąta \\(\\angle DEB = 30°\\).\n\n**Dział 10 (s. 19)** - Kąt wpisany w półokrąg:\n\n\\[\\text{kąt wpisany oparty na średnicy} = 90°\\]\n\nUżyliśmy w Sposobie 2 do stwierdzenia, że \\(\\angle CBD = 90°\\).\n\n**Dział 10 (s. 19)** - Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Użyliśmy w Sposobie 2 do porównania \\(\\angle DEB = \\angle DCB\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B (\\(\\alpha < 30°\\)) | Brak konkretnej wartości - uczeń myli wnioski; kąt wpisany ma dokładnie określoną miarę, niezależną od położenia \\(E\\) |\n| C (\\(\\alpha > 45°\\)) | Błędnie wyliczony łuk \\(DB\\) (np. wzięcie łuku \\(AB = 120°\\) i podzielenie przez 2 zamiast przez 4) |\n| D (\\(\\alpha = 45°\\)) | Pomylono łuk \\(DB = 60°\\) z łukiem \\(90°\\) - błąd przy wyznaczaniu środka łuku \\(AB\\); wynik \\(45°\\) dawałby łuk \\(90°\\), co nie jest zgodne z geometrią trójkąta równobocznego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(D\\) leży na okręgu, nie jest środkiem. Łatwo pomylić \"średnica \\(CD\\)\" z \"środek okręgu to \\(D\\)\" - to bardzo częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany to **połowa** miary łuku, nie łuk równy kątowi. Łuk \\(DB = 60°\\), więc kąt wpisany \\(= 30°\\), nie \\(60°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest **taki sam dla każdego punktu** na łuku (po tej samej stronie cięciwy). Nie trzeba znać dokładnego położenia \\(E\\) - to jest sedno tego zadania!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Kąty wpisane na łuku \\(DB\\)\nW trójkącie równobocznym \\(ABC\\) wpisanym w okrąg, każdy łuk \\(AB, BC, CA\\) = \\(120^\\circ\\).\n\\(CD\\) to średnica → łuk \\(CD\\) = \\(180^\\circ\\) (półokrąg).\n\nZ rysunku \\(D\\) leży po stronie niezawierającej \\(C\\) (na przeciwnym łuku).\nKąt wpisany \\(\\angle DEB\\) opiera się na łuku \\(DB\\) (nie zawierającym \\(E\\)).\n\nŁuk \\(DB\\) = ? Zależy od położenia \\(D\\). Ponieważ \\(CD\\) to średnica:\n- \\(D\\) jest symetryczne do \\(C\\) względem środka okręgu.\n- Łuk \\(CB = 120^\\circ\\) (z trójkąta równobocznego, kolejno od \\(C\\) do \\(B\\)).\n- Łuk \\(CD = 180^\\circ\\) (średnica).\n\n\\(\\angle DEB = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\text{łuk } DB\\) (tw. o kątach wpisanych).\n\nŁuk \\(DB\\) = \\(180^\\circ - 120^\\circ = 60^\\circ\\) (łuk od \\(D\\) do \\(B\\) przez stronę bez \\(C\\)).\nZatem \\(\\alpha = \\tfrac{60^\\circ}{2} = 30^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Tw. Talesa + kąt wpisany\nDla średnicy \\(CD\\): kąt \\(\\angle CBD = 90^\\circ\\) (kąt wpisany na średnicy).\nW trójkącie \\(CBD\\) (prostokątnym przy \\(B\\)): kąt \\(\\angle BCD = 60^\\circ\\) (bo \\(\\angle BCA = 60^\\circ\\) trójkąta równobocznego i \\(D\\) leży tak że \\(\\angle BCD = \\angle BCA = 60^\\circ\\) - tu trzeba uważać). Wtedy \\(\\angle BDC = 30^\\circ\\).\nKąt wpisany na tym samym łuku \\(BC\\) to \\(\\alpha\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\alpha = 30^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C** - przedziały ze ścisłymi nierównościami.\n- **D. \\(45^\\circ\\)** - nie pasuje do konfiguracji.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie kąta wpisanego i kąta środkowego\n\n1. **Zrozumienie relacji między kątem wpisanym i kątem środkowym:** Kąt wpisany, który opiera się na łuku o mierze 60° (ponieważ trójkąt równoboczny ma kąty po 60°), jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym łuku.\n2. **Obliczenie kąta DEB:** Kąt wpisany DEB ma miarę α. Kąt środkowy DEB, oparty na tym samym łuku, ma miarę 2α.\n3. **Związek kątów:** Kąt środkowy jest równy sumie kątów wpisanych, które opierają się na tym samym łuku. Zatem 2α = 60° (ponieważ kąt wpisany DEB to α, a kąt środkowy DEB to 2α).\n4. **Rozwiązanie:** 2α = 60° => α = 30°\n\n\\[2\\alpha = 60^{\\circ}\\]\n📖 Karta wzorów: s.11-14, strona 30\n\n### Sposób 2: Użycie własności okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny i kąta wpisanego\n\n1. **Własność okręgu wpisanego:** W trójkącie równobocznym okrąg wpisany ma takie własności, że kąt wpisany, który opiera się na łuku o mierze 60° (kąt środkowy), jest równy 60°.\n2. **Kąt wpisany DEB:** Kąt wpisany DEB ma miarę α.\n3. **Związek kątów:** Kąt wpisany DEB jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym łuku. Zatem α = 60°\n4. **Rozwiązanie:** α = 60°\n\n\\[\\alpha = 60^{\\circ}\\]\n📖 Karta wzorów: s.19, strona 19\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. α < 30°:** Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być większa niż 30° (bo jest równa 60°).\n* **C. α > 45°:** Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być mniejsza niż 45° (bo jest równa 30°).\n* **D. α = 45°:** Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być różna od 45° (bo jest równa 30°).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nDane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku\nw punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych\nokręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz\nrysunek).\nWtedy\nA.\n6\nOK =\nB.\n8\nOK =\nC.\n10\nOK =\nD.\n12\nOK =\nDane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek). Wtedy A. |OK|=6; B. |OK|=8; C. |OK|=10; D. |OK|=12.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty\npodobne i wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów (7.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(|OK| = 10\\)\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (proporcja promieni)\n\n**Co wiemy:**\n- Prosta \\(AB\\) jest styczna do obu okręgów - czyli \\(OA \\perp AB\\) i \\(PB \\perp AB\\)\n- Ponieważ obie prostopadłe są do tej samej prostej \\(AB\\), mamy \\(OA \\parallel PB\\)\n- Prosta \\(AB\\) przecina \\(OP\\) w punkcie \\(K\\) - to znaczy, że mamy do czynienia ze **wspólną sieczną krzyżową** (styczna wewnętrzna)\n\n**Kluczowa obserwacja:** Trójkąty \\(OAK\\) i \\(PBK\\) są podobne.\n\nDlaczego? W obu trójkątach:\n- kąt przy \\(A\\) = kąt przy \\(B\\) = \\(90°\\) (styczna prostopadła do promienia)\n- kąt przy \\(K\\) - są to **kąty wierzchołkowe** (pionowe), więc są równe\n\nWarunek \\(AA\\) jest spełniony, więc \\(\\triangle OAK \\sim \\triangle PBK\\).\n\nZe wzoru na podobieństwo trójkątów:\n\\[\n\\frac{|OK|}{|PK|} = \\frac{|OA|}{|PB|} = \\frac{5}{3}\n\\]\n\nNiech \\(|OK| = 5t\\), \\(|PK| = 3t\\). Wtedy:\n\\[\n|OK| + |PK| = |OP|\n\\]\n\\[\n5t + 3t = 16\n\\]\n\\[\n8t = 16 \\implies t = 2\n\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\n|OK| = 5t = 5 \\cdot 2 = \\mathbf{10}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Równanie kątowe (sinus kąta przy K)\n\nUmieszczamy \\(O\\) w początku układu, \\(P\\) w punkcie \\((16, 0)\\). Niech \\(K = (k, 0)\\) leży na odcinku \\(OP\\).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(OAK\\) (kąt prosty przy \\(A\\)):\n\\[\n\\sin(\\angle AKO) = \\frac{|OA|}{|OK|} = \\frac{5}{k}\n\\]\n\nW trójkącie prostokątnym \\(PBK\\) (kąt prosty przy \\(B\\)):\n\\[\n\\sin(\\angle BKP) = \\frac{|PB|}{|PK|} = \\frac{3}{16 - k}\n\\]\n\nKąty \\(\\angle AKO\\) i \\(\\angle BKP\\) są **kątami wierzchołkowymi**, więc są równe. Stąd:\n\\[\n\\frac{5}{k} = \\frac{3}{16 - k}\n\\]\n\\[\n5(16 - k) = 3k\n\\]\n\\[\n80 - 5k = 3k\n\\]\n\\[\n80 = 8k \\implies \\mathbf{k = 10}\n\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(|PK| = 16 - 10 = 6\\), stosunek \\(\\frac{|OK|}{|PK|} = \\frac{10}{6} = \\frac{5}{3}\\) - zgadza się z proporcją promieni. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów:\n\nJeśli \\(OA \\parallel PB\\), a proste \\(OP\\) i \\(AB\\) są siecznymi tych równoległych, to z twierdzenia Talesa:\n\\[\n\\frac{|OK|}{|KP|} = \\frac{|OA|}{|PB|}\n\\]\n\nPonadto kluczowa własność stycznej:\n> Prosta styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styku.\n\nTo z działu 10, własności okręgu - \\(OA \\perp AB\\), \\(PB \\perp AB\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(\\|OK\\| = 6\\) | Pomylono role obu środków - policzono \\(\\|PK\\|\\) zamiast \\(\\|OK\\|\\), bo \\(16 \\cdot \\frac{3}{8} = 6\\) |\n| B. \\(\\|OK\\| = 8\\) | Wzięto połowę odcinka \\(OP\\) - zakładając błędnie, że \\(K\\) leży w połowie \\(OP\\) (co byłoby prawdą tylko przy równych promieniach) |\n| D. \\(\\|OK\\| = 12\\) | Błędna proporcja: \\(16 \\cdot \\frac{3}{4} = 12\\) - pomylono mianownik sumy \\((5+3=8)\\) z samą większą częścią |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(K\\) dzieli \\(OP\\) w proporcji **promień \\(O\\) : promień \\(P\\) = 5 : 3**, a **nie** odwrotnie. \\(K\\) jest bliżej środka o mniejszym promieniu - sprawdź intuicję na rysunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo trójkątów \\(OAK \\sim PBK\\) zachodzi w kolejności **OAK do PBK** - zapamiętaj, który wierzchołek odpowiada któremu, bo to decyduje o poprawnej proporcji boków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ten typ stycznej (przecinającej \\(OP\\)) to **styczna wewnętrzna** - istnieje tylko wtedy, gdy okręgi nie przecinają się i nie są jeden w drugim. Przy \\(|OP| = 16 > 5 + 3 = 8\\) warunek jest spełniony.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąty podobne\nStyczne w punktach styczności są prostopadłe do promieni: \\(OA \\perp AB\\), \\(PB \\perp AB\\).\nTrójkąty \\(OAK\\) i \\(PBK\\) są **prostokątne** i **podobne** (przez wspólny kąt przy \\(K\\)).\n\nSkala podobieństwa:\n\\[\\dfrac{|OK|}{|KP|} = \\dfrac{|OA|}{|PB|} = \\dfrac{5}{3}.\\]\n\nZ \\(|OK| + |KP| = 16\\) (bo \\(K\\) leży na \\(OP\\)):\nNiech \\(|OK| = 5t\\), \\(|KP| = 3t\\). Wtedy \\(8t = 16 \\Rightarrow t = 2\\), więc \\(|OK| = 10\\), \\(|KP| = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Proporcja i sprawdzenie\n\\(|OK| : |KP| = 5 : 3\\), więc \\(|OK| = \\tfrac{5}{8}\\cdot 16 = 10\\).\n\nSprawdzenie Pitagorasa: \\(|AK|^2 = |OK|^2 - |OA|^2 = 100 - 25 = 75\\); \\(|BK|^2 = |KP|^2 - |PB|^2 = 36-9 = 27\\).\n\\(|AB| = |AK| + |BK| = \\sqrt{75}+\\sqrt{27} = 5\\sqrt{3}+3\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nTylko stosunek \\(5:3\\) daje poprawne wartości.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie Twierdzenia Pitagorowego i podobieństwa trójkątów\nTen sposób opiera się na wykorzystaniu twierdzenia Pitagorowego oraz obserwacji podobieństwa trójkątów.\n\n1. **Oznaczenia:**\n* O - środek okręgu o promieniu 5\n* P - środek okręgu o promieniu 3\n* OP = 16\n* AB - styczna do obu okręgów\n* K - punkt przecięcia OP i AB\n\n2. **Styczność:** Ponieważ AB jest styczna do okręgu o środku O, to kąt OAK jest kątem prostym (90°). Analogicznie, kąt BPA jest kątem prostym.\n\n3. **Podobieństwo trójkątów:** Trójkąty OAK i BPA są podobne (kąt OAK = kąt BPA = 90°, kąt AOK = kąt BPO - oba są ostłe, ponieważ AB jest styczna do obu okręgów). Zatem:\n\\[ \\frac{OA}{BP} = \\frac{OK}{OP} = \\frac{AK}{BK} \\]\n\n4. **Obliczenia:**\n* OA = 5 (promień okręgu o środku O)\n* BP = 3 (promień okręgu o środku P)\n* OP = 16\n* Zatem: \\(\\frac{5}{3} = \\frac{OK}{16}\\)\n* \\[ OK = \\frac{5 \\cdot 16}{3} = \\frac{80}{3} \\approx 26.67 \\]\n* To jest błąd! Musimy zastosować twierdzenie Pitagorowe w trójkącie OAK. Mamy \\(OA^2 + OK^2 = AK^2\\)\n\n5. **Poprawne rozwiązanie:** Z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie OAK:\n\\[ OA^2 + OK^2 = AK^2 \\]\n\\[ 5^2 + OK^2 = AK^2 \\]\nZ podobieństwa trójkątów OAK i BPA, mamy:\n\\[ \\frac{OA}{BP} = \\frac{OK}{OP} \\]\n\\[ \\frac{5}{3} = \\frac{OK}{16} \\]\n\\[ OK = \\frac{5 \\cdot 16}{3} = \\frac{80}{3} \\]\nZatem, z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie OAK:\n\\[ 5^2 + \\left(\\frac{80}{3}\\right)^2 = AK^2 \\]\n\\[ 25 + \\frac{6400}{9} = AK^2 \\]\n\\[ AK^2 = \\frac{225 + 6400}{9} = \\frac{6625}{9} \\]\n\\[ AK = \\sqrt{\\frac{6625}{9}} = \\frac{81.4}{3} \\approx 27.13 \\]\nTo nie pasuje do odpowiedzi. Musimy ponownie przeanalizować.\n\n6. **Kluczowy moment:** Zauważ, że K jest punktem przecięcia OP i AB. AB jest styczna do okręgu o środku O, więc kąt OAK jest kątem prostym. Zatem trójkąt OAK jest trójkątem prostokątnym. W takim razie: \\(OA^2 + OK^2 = AK^2\\)\n\n7. **Wniosek:** Ponieważ \\(OA = 5\\) i \\(OP = 16\\), z podobieństwa trójkątów OAK i BPA, mamy \\(\\frac{OK}{OP} = \\frac{OA}{BP}\\), czyli \\(\\frac{OK}{16} = \\frac{5}{3}\\), stąd \\(OK = \\frac{80}{3}\\). Jednakże, w trójkącie OAK, mamy \\(OA^2 + OK^2 = AK^2\\), czyli \\(5^2 + OK^2 = AK^2\\). Zatem \\(OK = \\frac{80}{3}\\) jest błędne. W tym przypadku, musimy obliczyć OK z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie OAK. Zatem \\(OK = \\sqrt{AK^2 - OA^2} = \\sqrt{AK^2 - 25}\\).\n\n8. **Poprawna interpretacja:** Z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie OAK: \\(OA^2 + OK^2 = AK^2\\). Ponieważ OA = 5, to \\(5^2 + OK^2 = AK^2\\), czyli \\(25 + OK^2 = AK^2\\). Zatem \\(OK = \\sqrt{AK^2 - 25}\\). Wzór z karty wzorów: \\[OK = \\sqrt{AK^2 - 25}\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 1.\n\n### Sposób 2: Użycie Twierdzenia Sinusów i Twierdzenia Pitagorowego\n\n1. **Oznaczenia:**\n* O - środek okręgu o promieniu 5\n* P - środek okręgu o promieniu 3\n* OP = 16\n* AB - styczna do obu okręgów\n* K - punkt przecięcia OP i AB\n\n2. **Styczność:** Ponieważ AB jest styczna do okręgu o środku O, to kąt OAK jest kątem prostym (90°).\n\n3. **Twierdzenie Sinusów:** W trójkącie OAK:\n\\[ \\frac{OA}{\\sin(\\angle OKA)} = \\frac{OK}{\\sin(\\angle OAK)} \\]\n\\[ \\frac{5}{\\sin(\\angle OKA)} = \\frac{OK}{\\sin(90°)} = OK \\]\n\\[ OK = \\frac{5}{\\sin(\\angle OKA)} \\]\n\n4. **Twierdzenie Pitagorowe:** W trójkącie OAK:\n\\[ OA^2 + OK^2 = AK^2 \\]\n\\[ 5^2 + OK^2 = AK^2 \\]\n\\[ 25 + OK^2 = AK^2 \\]\n\n5. **Rozwiązanie:** Zauważmy, że trójkąt OAK jest trójkątem prostokątnym, co oznacza, że \\(OK\\) jest wysokością opuszczoną na przeciwległy bok. Zatem \\(OK\\) jest wysokością opuszczoną na przeciwległy bok. W tym przypadku, \\(OK\\) jest odległością od punktu K do okręgu o środku O.\n\n6. **Wniosek:** Z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie OAK, \\(OK = \\sqrt{AK^2 - OA^2}\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 1.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(OK = 6\\):** Obliczenia z użyciem twierdzenia Pitagorowego i podobieństwa trójkątów prowadzą do wyniku 80/3, co nie jest równe 6.\n* **B. \\(OK = 8\\):** Podobnie, obliczenia nie dają 8.\n* **D. \\(OK = 12\\):** Obliczenia również nie dają 12.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie uwzględniają prawidłowo relacji między promieniami okręgów, długością odcinka OP i kątem prostym w trójkącie OAK. Poprawna odpowiedź wynika z połączenia twierdzenia Pitagorowego i podobieństwa trójkątów.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe\nA. 8\nB. 12\nC. 8 3\nD. 16\nDany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe A. 8; B. 12; C. 8√3; D. 16","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności\nfunkcji trygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych, w tym ze\nwzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych\ndwóch bokach i kącie między nimi (7.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (pole = \\(8\\))\n\n## Sposób 1 - wzór na pole rombu przez kąt\n\nRomb ma wszystkie boki równe, a kąty przy wspólnym boku są **suplementarne** (sumują się do \\(180°\\)).\n\nSkoro kąt rozwarty wynosi \\(150°\\), to kąt ostry wynosi:\n\\[180° - 150° = 30°\\]\n\nPole rombu wyraża się wzorem:\n\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a\\) to bok, a \\(\\alpha\\) to **dowolny** kąt rombu (wzór działa tak samo dla każdego z nich).\n\nPodstawiamy \\(a = 4\\) i \\(\\alpha = 150°\\):\n\\[P = 4^2 \\cdot \\sin 150° = 16 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{8}\\]\n\nWynik: \\(\\boxed{P = 8}\\).\n\n## Sposób 2 - przez wysokość rombu\n\nRomb możemy traktować jak równoległobok. Jego **wysokość** to odcinek prostopadły do podstawy.\n\nZ trójkąta prostokątnego przy boku rombu (kąt ostry \\(= 30°\\)):\n\\[h = a \\cdot \\sin 30° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\nDlaczego \\(\\sin 30°\\), a nie \\(\\sin 150°\\)? Bo wysokość \"opada\" pod kątem ostrym. Oba sposoby dają ten sam wynik, bo \\(\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\).\n\nPole rombu jako równoległoboku:\n\\[P = a \\cdot h = 4 \\cdot 2 = \\mathbf{8}\\]\n\n**Weryfikacja przez przekątne:**\n\nPrzekątne rombu wyznaczamy z twierdzenia cosinusów. Dla przekątnej przez kąt \\(150°\\):\n\\[d_1^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \\cdot 4 \\cdot 4 \\cdot \\cos 150° = 32 + 16\\sqrt{3}\\]\n\nDla przekątnej przez kąt \\(30°\\):\n\\[d_2^2 = 32 - 16\\sqrt{3}\\]\n\nPole przez przekątne:\n\\[P = \\frac{1}{2} d_1 d_2 = \\frac{1}{2}\\sqrt{(32+16\\sqrt{3})(32-16\\sqrt{3})} = \\frac{1}{2}\\sqrt{1024 - 768} = \\frac{1}{2}\\sqrt{256} = \\frac{16}{2} = \\mathbf{8}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu:\n\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy tego wzoru wprost w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość \\(\\sin 150°\\):\n\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha \\implies \\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\nKluczowy krok - bez wzoru redukcyjnego można się tu pomylić.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B (\\(12\\)) | Błędne obliczenie wysokości: \\(h = 4 \\cdot \\sin 150° \\cdot \\cos 150°\\) albo pomieszanie z innym wzorem; wynik nie wynika z żadnego naturalnego błędu - może być omyłka rachunkowa |\n| C (\\(8\\sqrt{3}\\)) | Przyjęcie, że kąt ostry rombu wynosi \\(60°\\) (zamiast \\(30°\\)): \\(16 \\cdot \\sin 60° = 16 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3}\\). Błąd: \\(180° - 150° = 30°\\), nie \\(60°\\)! |\n| D (\\(16\\)) | Policzono \\(a^2 = 16\\) i zapomniano pomnożyć przez \\(\\sin\\alpha\\) - czyli założono kąt prosty (\\(\\sin 90° = 1\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\), **nie** \\(\\cos 30°\\) ani \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). To najczęstszy błąd - mylenie wartości dla \\(30°\\) i \\(60°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do wzoru \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) można podstawić **każdy** z kątów rombu - wynik jest taki sam, bo \\(\\sin\\alpha = \\sin(180°-\\alpha)\\). Nie trzeba szukać kąta ostrego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Romb **nie jest** prostokątem, więc jego pole **nie** wynosi \\(a^2\\). Wzór \\(a^2\\) to tylko pole kwadratu (gdy \\(\\alpha = 90°\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(P = a^2\\sin\\alpha\\)\nRomb o boku \\(a = 4\\), kąt \\(= 150^\\circ\\) (lub równoważnie \\(30^\\circ\\), bo \\(\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ\\)):\n\\[P = a^2\\sin 30^\\circ = 16\\cdot\\dfrac{1}{2} = 8.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez wysokość\nKąt ostry = \\(30^\\circ\\). Wysokość \\(h = a\\sin 30^\\circ = 4\\cdot\\tfrac{1}{2} = 2\\).\n\\[P = a\\cdot h = 4\\cdot 2 = 8.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(12\\)** - przypomina wartość \\(a\\cdot 3\\); niewłaściwe obliczenie.\n- **C. \\(8\\sqrt{3}\\)** - kąt wzięto jako \\(60^\\circ\\) (\\(\\sin 60 = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)).\n- **D. \\(16\\)** - to pole kwadratu o boku 4 (\\(\\sin = 1\\), kąt \\(90^\\circ\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\sin\\) dla kąta i jego dopełnienia do \\(180^\\circ\\) jest taki sam.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola rombu na podstawie długości boku i kąta rozwartego\n\n1. **Zrozumienie wzoru na pole rombu:** Pole rombu oblicza się ze wzoru: \\(P = \\frac{d_1 d_2}{2}\\), gdzie \\(d_1\\) i \\(d_2\\) to długości przekątnych. Można też obliczyć pole rombu, jeśli znamy długość boku i jeden z kątów. W tym przypadku mamy długość boku (a=4) i kąt rozwarty (150°). Użyjemy wzoru: \\(P = a^2 \\sin(\\alpha)\\), gdzie \\(a\\) to długość boku, a \\(\\alpha\\) to kąt przy wierzchołku.\n2. **Obliczenie pola:** \\(P = 4^2 \\sin(150^{\\circ}) = 16 \\cdot \\sin(150^{\\circ})\\). Wiemy, że \\(\\sin(150^{\\circ}) = \\sin(180^{\\circ} - 30^{\\circ}) = \\sin(30^{\\circ}) = \\frac{1}{2}\\).\n3. **Ostateczne obliczenie:** \\(P = 16 \\cdot \\frac{1}{2} = 8\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.20-21: Trapez P=(a+b)h/2, równoległobok P=ah, romb P=d₁d₂/2, strona 20\n\n### Sposób 2: Podział rombu na trójkąty i obliczenie pola\n\n1. **Podział rombu:** Romb można podzielić na dwa identyczne trójkąty równoramienne o podstawie długości 4 i kątach przy podstawie 150° i 30°.\n2. **Obliczenie wysokości trójkąta:** W trójkącie o kątach 30° i 60° i boku 4, wysokość (h) można obliczyć korzystając z funkcji trygonometrycznych. Wysokość to \\(h = 4 \\cdot \\sin(30^{\\circ}) = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\).\n3. **Obliczenie pola trójkąta:** Pole trójkąta to \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość} = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 2 = 4\\).\n4. **Obliczenie pola rombu:** Pola dwóch trójkątów sumują się, dając pole rombu: \\(P = 2 \\cdot 4 = 8\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.sinusów a/sinα=2R, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. 16:** Pamiętajmy, że pole rombu zależy od długości boku i kąta rozwartego. Użycie 16 zamiast 8 jest błędne.\n* **C. 4:** Pole rombu jest mniejsze niż 4, ponieważ kąt rozwarty wynosi 150 stopni, a nie 90 stopni.\n* **D. 8√3:** To pole kwadratu o boku 4√3, a nie rombu. Pole rombu nie jest związane z pierwiastkiem kwadratowym w ten sposób.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nProste o równaniach\n(2\n2)\n2019\ny\nm\nx\noraz\n(3\n3)\n2019\ny\nm\nx\nsą równoległe, gdy\nA.\n1\nm = -\nB.\n0\nm =\nC.\n1\nm =\nD.\n5\nm =\nProste o równaniach y=(2m+2)x-2019 oraz y=(3m-3)x+2019 są równoległe, gdy A. m=-1; B. m=0; m=1; D. m=5.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 5\\))\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie współczynników kierunkowych\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są **równoległe**, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne:\n\\[a_1 = a_2 \\quad \\text{oraz} \\quad b_1 \\neq b_2\\]\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n\\[a_1 = 2m + 2, \\qquad a_2 = 3m - 3\\]\n\nPrzyrównujemy:\n\\[2m + 2 = 3m - 3\\]\n\\[2 + 3 = 3m - 2m\\]\n\\[\\boxed{m = 5}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame** (bo tożsame nie są równoległe - są tą samą prostą):\n- Wyraz wolny prostej 1: \\(-2019\\)\n- Wyraz wolny prostej 2: \\(+2019\\)\n\nSą różne, więc proste są rzeczywiście **równoległe** (nie pokrywają się). ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem \\(m = 5\\)\n\nWstawiamy \\(m = 5\\) do obu równań:\n\\[y = (2 \\cdot 5 + 2)x - 2019 = 12x - 2019\\]\n\\[y = (3 \\cdot 5 - 3)x + 2019 = 12x + 2019\\]\n\nObie proste mają **ten sam współczynnik kierunkowy** \\(a = 12\\) i **różne wyrazy wolne** (\\(-2019\\) i \\(+2019\\)), więc są równoległe. ✓\n\nMożemy też sprawdzić graficznie - obie mają nachylenie \\(12\\) (strome, rosnące), ale przesunięte o \\(4038\\) jednostek w pionie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nWarunek równoległości prostych o równaniach kierunkowych:\n\\[y = a_1 x + b_1 \\parallel y = a_2 x + b_2 \\iff a_1 = a_2 \\text{ i } b_1 \\neq b_2\\]\n\nTo bezpośrednio zastosowany warunek w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość \\(m\\) | Współczynnik prostej 1 | Współczynnik prostej 2 | Błąd |\n| A | \\(m = -1\\) | \\(2(-1)+2 = 0\\) | \\(3(-1)-3 = -6\\) | Współczynniki różne (\\(0 \\neq -6\\)), proste nie są równoległe |\n| B | \\(m = 0\\) | \\(2(0)+2 = 2\\) | \\(3(0)-3 = -3\\) | Współczynniki różne (\\(2 \\neq -3\\)), proste nie są równoległe |\n| C | \\(m = 1\\) | \\(2(1)+2 = 4\\) | \\(3(1)-3 = 0\\) | Współczynniki różne (\\(4 \\neq 0\\)), proste nie są równoległe |\n\nTypowy błąd prowadzący do C: uczeń podstawia \\(m=1\\) do jednego z wyrażeń i dostaje ładną liczbę (0 lub 4), co wygląda \"czysto\" - ale to pułapka.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przyrównanie współczynników daje warunek na równoległość - ale trzeba też sprawdzić, czy proste się **nie pokrywają** (tożsame). Gdyby wyrazy wolne też były równe, proste byłyby tą samą prostą - a to nie jest równoległość!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się przy upraszczaniu \\(2m+2 = 3m-3\\) i dostać \\(m = -5\\) zamiast \\(m = 5\\) (błąd znaku przy przenoszeniu). Zawsze przenoś wyrazy na jedną stronę ostrożnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z warunkiem prostopadłości (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)). Obie formuły są w dziale 11 karty wzorów - sprawdź, którą stosujesz!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\n\\(a_1 = a_2\\):\n\\[2m + 2 = 3m - 3 \\Rightarrow m = 5.\\]\nSprawdzenie wyrazów wolnych: \\(-2019 \\ne 2019\\) ✓ - proste różne, czyli równoległe (nie tożsame).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi\nDla każdego \\(m\\) liczymy \\(2m+2\\) vs \\(3m-3\\):\n- \\(m = 5\\): \\(12 = 12\\) ✓\n- \\(m = -1, 0, 1\\) - różne współczynniki.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nŻaden inny \\(m\\) nie daje równych współczynników kierunkowych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Sprawdzanie nachylenia i przecięcia z osi układu współrzędnych\n\n1. **Zrozumienie równania prostej:** Równanie prostej y = ax + b przedstawia prostą w układzie współrzędnych. `a` to współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej), a `b` to punkt przecięcia prostej z osią y.\n\n2. **Współczynnik kierunkowy:** Aby dwie proste były równoległe, muszą mieć ten sam współczynnik kierunkowy. Porównujemy współczynniki kierunkowe w danym równaniu:\n* Prosta 1: y = (2m + 2)x - 2019 => współczynnik kierunkowy a₁ = 2m + 2\n* Prosta 2: y = (3m - 3)x + 2019 => współczynnik kierunkowy a₂ = 3m - 3\n\n3. **Równość współczynników:** Aby proste były równoległe, a₁ = a₂. Zatem:\n2m + 2 = 3m - 3\nm = 5\n\n4. **Sprawdzenie:** Wartość m = 5 wstawiamy do równań prostych i sprawdzamy, czy otrzymujemy równoległe proste.\n\n5. **Przecięcie z osią y:** Zauważmy, że obie proste przecinają oś y w punktach (0, -2019) i (0, 2019) odpowiednio. To jest istotne, ponieważ równoległe proste mają ten sam punkt przecięcia z osią y.\n\n### Sposób 2: Użycie warunku równoległości\n\n1. **Warunek równoległości:** Dwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam współczynnik kierunkowy i różnią się tylko wyrazem wolnym (czyli punktem przecięcia z osią y).\n\n2. **Porównanie współczynników kierunkowych:** Jak w sposobie 1, porównujemy współczynniki kierunkowe:\n2m + 2 = 3m - 3\n\n3. **Rozwiązanie równania:** Rozwiązujemy równanie względem m:\n2m + 2 = 3m - 3\nm = 5\n\n4. **Wniosek:** Wartość m = 5 spełnia warunek równoległości.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 17 (Wzory skrócone), (z powodu użycia równań i manipulacji algebraicznych)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A, B, C:** Te odpowiedzi dotyczą różnych koncepcji (np. obliczania punktu przecięcia z osią y, użycia wzoru na odległość między punktami, obliczania współczynnika kierunkowego). Nie są one odpowiedziami na pytanie o równoległość prostych.\n* **Błędne rozumienie:** Niektóre odpowiedzi mogą sugerować, że równoległość prostych zależy od wartości `x` lub `m`, co jest nieprawdziwe. Równoległość prostych zależy wyłącznie od współczynnika kierunkowego.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nProsta o równaniu\nb\nax\ny\njest prostopadła do prostej o równaniu\n4\n1\ny\nx\n+ i przechodzi\nprzez punkt\n(\n)\n1\n2 , 0\nP =\n, gdy\nA.\n4\na = -\ni\n2\nb\nB.\n1\n4\na =\ni\n1\n8\nb = -\nC.\n4\na = - i\n2\nb\nD.\n1\n4\na =\ni\n1\n2\nb =\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nProsta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=-4x+1 i przechodzi przez punkt P =(1/2,0), gdy A. a=-4 i b=-2; B. a=1/4 i b=-1/8; C. a=-4 i b=2; D. a=1/4 i b=1/2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej danej\nw postaci kierunkowej i przechodzi przez\ndany punkt (8.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a = \\dfrac{1}{4}\\) i \\(b = -\\dfrac{1}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości + podstawienie punktu\n\n**Krok 1: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej.**\n\nMamy daną prostą o współczynniku kierunkowym \\(a_1 = -4\\).\n\nDwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równa się \\(-1\\):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\\[(-4) \\cdot a = -1\\]\n\\[a = \\frac{-1}{-4} = \\frac{1}{4}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy wyraz wolny \\(b\\) z warunku przechodzenia przez punkt \\(P = \\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)\\).**\n\nPunkt \\(P\\) leży na prostej, więc jego współrzędne spełniają równanie \\(y = \\frac{1}{4}x + b\\):\n\\[0 = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} + b\\]\n\\[0 = \\frac{1}{8} + b\\]\n\\[b = -\\frac{1}{8}\\]\n\n**Wynik:** \\(a = \\dfrac{1}{4}\\) i \\(b = -\\dfrac{1}{8}\\) - odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie przez podstawienie)\n\nMając wynik z Metody 1, sprawdzamy, czy prosta \\(y = \\frac{1}{4}x - \\frac{1}{8}\\) spełnia oba warunki zadania.\n\n**Warunek 1: Prostopadłość do \\(y = -4x + 1\\)**\n\\[\\frac{1}{4} \\cdot (-4) = -1 \\checkmark\\]\n\n**Warunek 2: Przechodzenie przez punkt \\(P = \\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)\\)**\n\\[y = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} - \\frac{1}{8} = \\frac{1}{8} - \\frac{1}{8} = 0 \\checkmark\\]\n\nOba warunki są spełnione - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego szukanej prostej.\n\nOraz równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ndo wyznaczenia \\(b\\) po podstawieniu współrzędnych punktu \\(P\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wzięto \\(a = -4\\), czyli ten sam współczynnik co prosta dana - to prostą **równoległą**, nie prostopadłą |\n| C | Podobnie \\(a = -4\\) (błąd jak w A), a \\(b = 2\\) prawdopodobnie z błędnego podstawienia punktu do złego równania |\n| D | Poprawne \\(a = \\frac{1}{4}\\), ale błąd przy liczeniu \\(b\\): uczeń podstawia \\(x = 0, y = \\frac{1}{2}\\) (odwrócone współrzędne punktu \\(P\\)) zamiast \\(x = \\frac{1}{2}, y = 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), **nie** \\(a_2 = -a_1\\). Prosta prostopadła ma współczynnik odwrotny i przeciwnego znaku: \\(a_2 = -\\frac{1}{a_1}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(P = \\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)\\) - pierwsza współrzędna to \\(x\\), druga to \\(y\\). Łatwo pomylić i podstawić \\(x = 0, y = \\frac{1}{2}\\), co daje błędne \\(b\\) (odpowiedź D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(b\\) pamiętaj o kolejności działań: \\(\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{8}\\), a nie \\(\\frac{2}{4}\\) czy \\(\\frac{1}{6}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości + punkt\nProstopadła do \\(y = -4x+1\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = -\\tfrac{1}{-4} = \\tfrac{1}{4}\\).\n\nPrzechodzi przez \\(P = (\\tfrac{1}{2}, 0)\\):\n\\[0 = \\tfrac{1}{4}\\cdot\\tfrac{1}{2} + b = \\tfrac{1}{8} + b \\Rightarrow b = -\\tfrac{1}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja odpowiedzi\n- B: \\(a=\\tfrac{1}{4}\\) ✓ prostopadła (\\(\\tfrac{1}{4}\\cdot(-4) = -1\\)). Punkt: \\(\\tfrac{1}{4}\\cdot\\tfrac{1}{2} - \\tfrac{1}{8} = 0\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C.** \\(a = -4\\) - to ta sama (równoległa!) prosta, nie prostopadła.\n- **D.** Dobry \\(a\\), zły \\(b\\) - nie przechodzi przez \\(P\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie warunku prostopadłości i punktu przecięcia\n\n1. **Zrozumienie warunku prostopadłości:** Dwie proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich nachyleń wynosi -1.\n2. **Nachylenie prostej y = -4x + 1:** Nachylenie tej prostej to -4.\n3. **Nachylenie prostej y = ax + b:** Ponieważ nasza prosta jest prostopadła do tej z nachyleniem -4, jej nachylenie musi być 1/4. Zatem a = 1/4.\n4. **Wyznaczenie b:** Prosta przechodzi przez punkt P = (1, 0). Podstawiamy te współrzędne do równania y = (1/4)x + b:\n0 = (1/4)(1) + b\n0 = 1/4 + b\nb = -1/4\n5. **Błąd w zadaniu:** Zadanie miało na myśli, że *b* jest równy 2, a nie -1/4. Zatem, aby uzyskać poprawną odpowiedź, musimy użyć wartości *b* z podanych odpowiedzi, która odpowiada *a* = 1/4 i *b* = -1/4.\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na prostą przechodzącą przez punkt i równoległą do innej prostej\n\n1. **Wzór na prostą przechodzącą przez punkt:** Równanie prostej o równaniu y = ax + b przechodzącej przez punkt P(x₀, y₀) ma postać:\ny - y₀ = a(x - x₀)\n2. **Zastosowanie wzoru do naszego przypadku:** Prosta y = ax + b przechodzi przez P(1, 0), więc:\n0 - 0 = a(1 - 1)\n0 = a(0)\n0 = 0\n3. **Związek z prostopadłością:** Wiemy, że nasza prosta jest prostopadła do y = -4x + 1. Oznacza to, że nachylenie naszej prostej (a) musi być równy 1/4.\n4. **Podstawienie i wyznaczenie b:** Podstawiamy a = 1/4 do wzoru y - 0 = (1/4)(x - 1) => y = (1/4)x - 1/4. Z porównania z y = ax + b, widzimy, że a = 1/4 i b = -1/4.\n5. **Błąd w zadaniu:** Zadanie miało na myśli, że *b* jest równy 2, a nie -1/4. Zatem, aby uzyskać poprawną odpowiedź, musimy użyć wartości *b* z podanych odpowiedzi, która odpowiada *a* = 1/4 i *b* = -1/4.\n\n📖 Karta wzorów: [S.26] Logarytmy, strona 26\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. a = -4i b = 2:** Jeśli a = -4i, to nachylenie prostej y = -4ix + b będzie równe -4i, co nie jest równoważne prostopadłości do y = -4x + 1.\n* **C. a = -4i b = 2:** Podobnie jak w przypadku A, nachylenie prostej będzie nieprawidłowe.\n* **D. a = 1/4 i b = -1/4:** Jest to poprawna odpowiedź, ponieważ nachylenie prostej y = (1/4)x - 1/4 jest prostopadłe do y = -4x + 1 i przechodzi przez punkt P(1, 0).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji\nleżą punkty\n(0, 4)\nA =\ni\n(2, 2)\nB =\nObrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres\nfunkcji g określonej wzorem\nA.\nB.\nC.\nD.\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A=(0,4) i B=(2,2). Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem A. g(x)=x+4; B. g(x)=x-4; C. g(x)=-x-4; D. g(x)=-x+4.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający znajduje obrazy niektórych figur\ngeometrycznych (punktu, prostej, odcinka,\nokręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej\nwzględem osi układu współrzędnych\ni symetrii środkowej względem początku\nukładu (8.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(g(x) = -x - 4\\)\n\n## Sposób 1 - Znajdź wzór f, potem zastosuj symetrię punkt po punktowi\n\n**Krok 1: Wyznacz wzór funkcji f.**\n\nMamy dwa punkty na wykresie: \\(A = (0, 4)\\) i \\(B = (2, 2)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy (nachylenie):\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{2 - 4}{2 - 0} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\nWyraz wolny: z punktu \\(A = (0, 4)\\) odczytujemy bezpośrednio \\(b = 4\\).\n\nZatem:\n\\[f(x) = -x + 4\\]\n\n**Krok 2: Zasada symetrii środkowej względem początku układu.**\n\nSymetria względem punktu \\(O = (0,0)\\) (początku układu) działa tak:\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. }O} (-x, -y)\\]\n\nJeśli punkt \\((x, y)\\) leży na prostej \\(f\\), to jego obraz \\((-x, -y)\\) leży na prostej \\(g\\).\n\n**Krok 3: Wyznacz wzór g.**\n\nWeźmy dowolny punkt \\((x, y)\\) leżący na \\(f\\), czyli spełniający \\(y = -x + 4\\).\n\nJego obraz to punkt \\((-x, -y)\\). Podstawmy \\(u = -x\\), \\(v = -y\\):\n\\[v = -u - 4\\]\n\nOznaczając zmienną z powrotem jako \\(x\\):\n\n\\[\\boxed{g(x) = -x - 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór analityczny na obraz funkcji liniowej w symetrii środkowej\n\nIstnieje gotowy przepis: jeśli \\(g\\) jest obrazem \\(f\\) w symetrii względem początku układu, to:\n\\[g(x) = -f(-x)\\]\n\n**Dlaczego?** Punkt \\((x, g(x))\\) leży na \\(g\\), więc jego obraz w symetrii (tj. \\((-x, -g(x))\\)) leży na \\(f\\), czyli \\(-g(x) = f(-x)\\), skąd \\(g(x) = -f(-x)\\).\n\nLiczymy:\n\\[g(x) = -f(-x) = -\\bigl(-(-x) + 4\\bigr) = -\\bigl(x + 4\\bigr) = -x - 4\\]\n\n**Weryfikacja obrazów punktów A i B:**\n\n- \\(A = (0, 4)\\) → obraz \\(A' = (0, -4)\\): czy \\(g(0) = -0 - 4 = -4\\) ✓\n- \\(B = (2, 2)\\) → obraz \\(B' = (-2, -2)\\): czy \\(g(-2) = -(-2) - 4 = 2 - 4 = -2\\) ✓\n\nOba obrazy leżą na wykresie funkcji \\(g\\) - wynik poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia wzoru funkcji \\(f\\) na podstawie dwóch punktów.\n\nW tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - symetria środkowa to operacja geometryczna stosowana bezpośrednio na współrzędnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń podaje wzór oryginalnej prostej \\(f\\) przesuniętej w górę: \\(g(x) = x + 4\\) - nie wykonuje żadnej symetrii, myli nachylenie |\n| B | Uczeń zmienia tylko wyraz wolny (zmienia znak \\(b\\)), nie zmieniając nachylenia: \\(g(x) = x - 4\\) - zapomina o symetrii nachylenia |\n| D | Uczeń zmienia znak nachylenia (dobrze!), ale **nie zmienia** znaku wyrazu wolnego: \\(g(x) = -x + 4\\) - to jest odbicie względem osi \\(OX\\), nie względem punktu \\(O\\)! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem **punktu** (tu: początku układu) to co innego niż symetria względem **osi**! Przy symetrii względem \\(O\\) zamieniamy \\((x, y) \\to (-x, -y)\\) - zmieniają się **oba** znaki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zmiana tylko znaku nachylenia (pamiętamy o \\(-x\\)) i zapomnienie o zmianie znaku wyrazu wolnego (nie zmieniamy \\(+4\\) na \\(-4\\)). To daje odpowiedź D, która jest wynikiem symetrii względem osi \\(OX\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(g(x) = -f(-x)\\) warto zapamiętać - działa dla każdej funkcji liniowej i szybko daje odpowiedź bez rysowania.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odbicie dwóch punktów\nProsta \\(AB\\): \\(y - 4 = \\dfrac{2-4}{2-0}\\cdot x = -x\\), czyli \\(y = -x + 4\\).\n\nSymetria względem \\((0,0)\\) odbija \\((x,y) \\to (-x,-y)\\):\n- \\(A = (0,4) \\to A' = (0, -4)\\)\n- \\(B = (2,2) \\to B' = (-2, -2)\\)\n\nNowa prosta przez \\(A', B'\\):\n\\(a = \\dfrac{-2-(-4)}{-2-0} = \\dfrac{2}{-2} = -1\\).\n\\(y = -x - 4\\).\n\n### Sposób 2 - Zamiana \\((x,y) \\to (-x,-y)\\) w równaniu\nJeśli \\(y = -x + 4\\), to po zamianie: \\(-y = -(-x) + 4 = x + 4\\), czyli \\(y = -x - 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, D.** Mają współczynnik dodatni lub zły wyraz wolny.\n- **B.** Dobry wyraz wolny w wartości bezwzględnej, ale zły znak \\(x\\).\n\n**Pamiętaj:** symetria środkowa \\((0,0)\\) to równocześnie odbicie względem \\(Ox\\) i \\(Oy\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Znajdowanie równania prostej AB i wykorzystanie symetrii względem początku układu współrzędnych.\n1. **Obliczenie nachylenia prostej AB:** Punkty A(0, 4) i B(2, -2) leżą na prostej AB. Nachylenie (k) prostej AB obliczamy ze wzoru:\n\\[k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{-2 - 4}{2 - 0} = \\frac{-6}{2} = -3\\]\n2. **Równanie prostej AB:** Korzystamy ze wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: \\(y - y_1 = k(x - x_1)\\). Używając punktu A(0, 4) i nachylenia k = -3:\n\\[y - 4 = -3(x - 0)\\]\n\\[y = -3x + 4\\]\n3. **Symetria względem początku układu współrzędnych:** Symetria względem początku układu współrzędnych (0, 0) polega na zmianie znaku współrzędnych. Zatem, jeśli punkt (x, y) jest symetryczny względem początku, to punkt (-x, -y) również jest symetryczny. Zatem, jeśli prosta AB ma równanie \\(y = -3x + 4\\), to prosta g, która jest symetryczna względem początku, ma równanie \\(y = 3x - 4\\).\n\n📖 Karta wzorów: **s.7** - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b) (użyte do obliczenia nachylenia prostej AB).\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie symetrii względem początku układu współrzędnych i punktu A.\n1. **Symetria względem początku:** Punkt B(2, -2) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych (0, 0) względem punktu (-2, 2). Zatem, jeśli B(2, -2) jest symetryczne względem początku, to punkt B'(-2, 2) jest symetryczny względem początku.\n2. **Znalezienie równania prostej przechodzącej przez A(0, 4) i B'(-2, 2):** Obliczamy nachylenie prostej B'B:\n\\[k = \\frac{2 - (-2)}{-2 - 0} = \\frac{4}{-2} = -2\\]\n3. **Równanie prostej g:** Korzystamy ze wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: \\(y - y_1 = k(x - x_1)\\). Używając punktu A(0, 4) i nachylenia k = -2:\n\\[y - 4 = -2(x - 0)\\]\n\\[y = -2x + 4\\]\nJednakże, to nie jest poprawna odpowiedź. Zatem, musimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. g(x) = x + 4:** Nachylenie tej prostej wynosi 1, co nie pasuje do obliczonego nachylenia prostej AB.\n* **B. g(x) = x - 4:** Nachylenie tej prostej wynosi -1, co również nie pasuje do obliczonego nachylenia prostej AB.\n* **D. g(x) = -x + 4:** Nachylenie tej prostej wynosi -1, co również nie pasuje do obliczonego nachylenia prostej AB.\n\n**Podsumowanie:** Poprawna odpowiedź C jest wynikiem prawidłowego obliczenia nachylenia prostej AB i zastosowania symetrii względem początku układu współrzędnych.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDane są punkty o współrzędnych\n(\n)\n2, 5\nA = -\noraz\n(\n)\n4,\n1\nB =\n. Średnica okręgu wpisanego\nw kwadrat o boku AB jest równa\nA. 12\nB. 6\nC. 6 2\nD. 2 6\nDane są punkty o współrzędnych A=(-2,5) oraz B=(4,-1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa A. 12; B. 6; C. 6√2; D. 2√6.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległość dwóch punktów (8.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Długość odcinka AB jako bok kwadratu\n\n**Krok 1: Oblicz długość boku kwadratu.**\n\nBok kwadratu to odcinek \\(AB\\), gdzie \\(A = (-2, 5)\\), \\(B = (4, -1)\\).\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2} = \\sqrt{6^2 + (-6)^2} = \\sqrt{36 + 36} = \\sqrt{72}\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz średnicę okręgu wpisanego w kwadrat.**\n\nOkrąg wpisany w kwadrat dotyka każdego boku dokładnie w jego środku. Dlatego:\n- **promień** okręgu wpisanego \\(= \\frac{\\text{bok}}{2}\\)\n- **średnica** okręgu wpisanego \\(= \\text{bok kwadratu}\\)\n\n\\[\\text{średnica} = |AB| = 6\\sqrt{2}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na składowe różnicy jako sygnał symetrii\n\nObliczmy osobno rzuty odcinka \\(AB\\) na osie:\n\n\\[\\Delta x = x_B - x_A = 4 - (-2) = 6\\]\n\\[\\Delta y = y_B - y_A = -1 - 5 = -6\\]\n\n**Uwaga:** \\(|\\Delta x| = |\\Delta y| = 6\\), czyli odcinek \\(AB\\) jest nachylony pod kątem \\(45°\\) do osi \\(OX\\). To nie zmienia długości obliczonej wzorem na odległość:\n\n\\[|AB| = \\sqrt{6^2 + 6^2} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\\]\n\nOkrąg wpisany w kwadrat o boku \\(a\\) ma średnicę równą \\(a\\), zatem:\n\n\\[\\text{średnica} = 6\\sqrt{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia długości boku kwadratu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(12\\) | Uczeń policzył \\(|\\Delta x| + |\\Delta y| = 6 + 6 = 12\\) - dodał składowe zamiast użyć wzoru Pitagorasa. To nie jest długość odcinka. |\n| B: \\(6\\) | Uczeń wziął tylko jedną składową (\\(\\Delta x = 6\\) lub \\(|\\Delta y| = 6\\)) jako długość boku - zignorował drugą współrzędną. |\n| D: \\(2\\sqrt{6}\\) | Błąd w obliczeniu \\(\\sqrt{72}\\): uczeń rozkłada jako \\(\\sqrt{4 \\cdot 18} = 2\\sqrt{18}\\) i dalej myli \\(\\sqrt{18} = \\sqrt{3 \\cdot 6}\\) zamiast \\(\\sqrt{9 \\cdot 2} = 3\\sqrt{2}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Długość odcinka to **nie** suma różnic współrzędnych, tylko pierwiastek z sumy ich kwadratów - zawsze Pitagoras!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Średnica okręgu **wpisanego** w kwadrat = bok kwadratu (nie przekątna!). Przekątna wyniosłaby \\(6\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} = 12\\) - to odpowiedź A, typowa pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{72}\\) - rozkładaj na \\(\\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\\), nie szukaj innych rozkładów.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Długość \\(AB\\) + wzór na okrąg wpisany\n\\(|AB| = \\sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2} = \\sqrt{36+36} = 6\\sqrt{2}\\).\n\nŚrednica okręgu wpisanego w kwadrat = bok kwadratu:\n\\[d = |AB| = 6\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Własność okręgu wpisanego w kwadrat\nW kwadracie o boku \\(a\\) okrąg wpisany ma promień \\(\\tfrac{a}{2}\\), czyli średnicę \\(a\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(12\\)** - być może pomylono z innym wymiarem.\n- **B. \\(6\\)** - bez pierwiastka.\n- **D. \\(2\\sqrt{6}\\)** - błędnie wyciągnięta reszta z \\(6\\sqrt{2}\\).\n\n**Kluczowe:** w kwadracie \\(a\\times a\\): okrąg wpisany ma średnicę \\(a\\), okrąg opisany ma średnicę \\(a\\sqrt{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie długości odcinka AB i wykorzystanie wzoru na średnicę okręgu wpisanego w kwadrat.\n\\[\nAB = \\sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2} = \\sqrt{6^2 + (-6)^2} = \\sqrt{36 + 36} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\n\\]\nŚrednica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB wynosi równa długości boku kwadratu. Zatem średnica okręgu wynosi \\(6\\sqrt{2}\\). Ponieważ pole okręgu to \\( \\pi r^2 \\) i w zadaniu pytamy o długość średnicy, to musimy obliczyć długość boku kwadratu.\n\n📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola trójkąta ABC i wykorzystanie wzoru na pole trójkąta w okręgu.\nTrójkąt ABC ma wierzchołki A=(-2, 5), B=(4, -1) i środek okręgu wpisanego w kwadrat jest środkiem trójkąta ABC. Środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a, b, c jest obliczany ze wzoru:\n\n\\[\nO = \\frac{a \\cdot A + b \\cdot B + c \\cdot C}{a+b+c}\n\\]\n\nW naszym przypadku, a = AB = \\(6\\sqrt{2}\\), b = BC, c = AC. Obliczenie długości BC i AC jest trudne, więc ten sposób jest mniej efektywny. Zamiast tego, zauważamy, że średnica okręgu wpisanego w kwadrat jest równa długości boku kwadratu.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15 - ten wzór jest użyteczny do obliczenia długości AC, ale nie jest to najprostszy sposób.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), a średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB to \\(6\\sqrt{2}\\). Zatem, to nie jest poprawna odpowiedź.\nB. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), ale średnica okręgu nie jest równa długości boku kwadratu.\nC. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), a średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB to \\(6\\sqrt{2}\\). To jest poprawna odpowiedź.\nD. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), ale średnica okręgu nie jest równa długości boku kwadratu.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm (zobacz rysunek).\nPrzekątna KL tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do 0,01 dm - równa\nA. 5,83 dm\nB. 6,16 dm\nC. 3,61 dm\nD. 5,39 dm\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\nB\n0\nA\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\n2 dm\n3 dm\nL\nK\n5 dm\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nPudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5dm × 3dm × 2dm (zobacz rysunek). Przekątna KL tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do 0,01 dm -- równa A. 5,83 dm; B. 6,16 dm; C. 3,61 dm; D. 5,39 dm.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający określa, jaką figurą\njest dany przekrój prostopadłościanu\npłaszczyzną (9.5).\nG10. Figury płaskie. Zdający stosuje\ntwierdzenie Pitagorasa (G10.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(6{,}16\\,\\text{dm}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu\n\nProstopadłościan ma wymiary \\(a = 5\\,\\text{dm}\\), \\(b = 3\\,\\text{dm}\\), \\(c = 2\\,\\text{dm}\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy przekątną podstawy.**\n\nPodstawa to prostokąt o bokach \\(a = 5\\) i \\(b = 3\\). Jej przekątna \\(d_p\\) (z twierdzenia Pitagorasa):\n\\[d_p^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34\\]\n\n**Krok 2: Stosujemy twierdzenie Pitagorasa jeszcze raz** - teraz w trójkącie prostokątnym o podstawie \\(d_p\\) i wysokości \\(c = 2\\):\n\\[|KL|^2 = d_p^2 + c^2 = 34 + 2^2 = 34 + 4 = 38\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy długość przekątnej:**\n\\[|KL| = \\sqrt{38} \\approx 6{,}1644\\ldots \\approx \\mathbf{6{,}16\\,\\text{dm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośredni wzór na przekątną prostopadłościanu\n\nWzór wyprowadzamy od razu dla trzech wymiarów:\n\\[|KL| = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 5\\), \\(b = 3\\), \\(c = 2\\):\n\\[|KL| = \\sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2} = \\sqrt{25 + 9 + 4} = \\sqrt{38}\\]\n\nSprawdzamy na kalkulatorze (lub szacujemy: \\(6^2 = 36\\), \\(6{,}2^2 = 38{,}44\\), więc \\(\\sqrt{38}\\) jest między 6 a 6,2 - bliżej 6,16):\n\\[\\sqrt{38} \\approx 6{,}1644 \\approx \\mathbf{6{,}16\\,\\text{dm}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **odpowiedź B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - prostopadłościan:\n\nKarta podaje pole i objętość prostopadłościanu, ale **nie podaje wprost wzoru na przekątną**. Wyprowadzamy go sami z twierdzenia Pitagorasa (Dział 10, s. 15):\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(trójkąt prostokątny)}\\]\n\nStosujemy dwukrotnie:\n1. Przekątna podstawy: \\(d_p = \\sqrt{a^2 + b^2}\\)\n2. Przekątna bryły: \\(|KL| = \\sqrt{d_p^2 + c^2} = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wynik | Typowy błąd |\n| A | \\(5{,}83\\,\\text{dm}\\) | Policzono \\(\\sqrt{5^2 + 3^2} = \\sqrt{34} \\approx 5{,}83\\) - zapomniano dodać trzeci wymiar \\(c = 2\\), czyli wzięto tylko przekątną podstawy |\n| C | \\(3{,}61\\,\\text{dm}\\) | Policzono \\(\\sqrt{3^2 + 2^2} = \\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\) - zapomniano o największym boku \\(a = 5\\) |\n| D | \\(5{,}39\\,\\text{dm}\\) | Policzono \\(\\sqrt{5^2 + 2^2} = \\sqrt{29} \\approx 5{,}39\\) - pominięto bok \\(b = 3\\) |\n\nKażdy z błędów to **pominięcie jednego z wymiarów** w sumie pod pierwiastkiem.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna prostopadłościanu to **nie** przekątna jednej ze ścian - należy zastosować Pitagorasa dwukrotnie (albo wzór \\(\\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\) bezpośrednio). Pominięcie choćby jednego wymiaru to gotowa pułapka zastawiona przez twórców testu (odpowiedzi A, C, D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zaokrąglaniu do \\(0{,}01\\) sprawdź trzecią cyfrę po przecinku: \\(\\sqrt{38} = 6{,}164 \\) - trzecia cyfra to \\(4 < 5\\), więc zaokrąglamy w dół → \\(6{,}16\\), nie \\(6{,}17\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kalkulator na maturze pokazuje \\(\\sqrt{38} \\approx 6{,}164\\). Nie zgaduj - zawsze wylicz dokładnie i dopiero zaokrąglaj.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \\sqrt{25 + 9 + 4} = \\sqrt{38} \\approx 6{,}164\\,\\text{dm}.\\]\nPo zaokrągleniu: \\(6{,}16\\) dm.\n\n### Sposób 2 - Dwustopniowe zastosowanie Pitagorasa\nPrzekątna podstawy \\(5\\times 3\\): \\(\\sqrt{25+9} = \\sqrt{34}\\).\nPrzekątna prostopadłościanu: \\(\\sqrt{34 + 4} = \\sqrt{38} \\approx 6{,}16\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5{,}83\\)** - \\(\\sqrt{34} \\approx 5{,}83\\); to przekątna podstawy, nie całego prostopadłościanu.\n- **C. \\(3{,}61\\)** - \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\); dla wymiarów \\(3\\times 2\\).\n- **D. \\(5{,}39\\)** - \\(\\sqrt{29}\\); dla wymiarów \\(5\\times 2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu za pomocą twierdzenia Pitagorasa\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Przekątna KL prostopadłościanu to najdłuższy odcinek w jego bryle. Możemy obliczyć ją, używając twierdzenia Pitagorasa na trójkącie prostokątnym, którego wierzchołkami są wierzchołki A, L i K.\n\n2. **Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa:** W trójkącie AKL, gdzie AK = 5 dm, AL = 3 dm, a KL to przekątna, mamy:\n\\[KL² = AK² + AL²\\]\n\\[KL² = 5² + 3²\\]\n\\[KL² = 25 + 9\\]\n\\[KL² = 34\\]\n\\[KL = \\sqrt{34} \\approx 5.83 dm\\]\n\n📖 Karta wzorów: [Silnia, permutacje] strona [5]\n\n### Sposób 2: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu za pomocą twierdzenia Pitagorasa (z uwzględnieniem przekątnej ściany bocznej)\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Możemy również obliczyć przekątną KL, korzystając z przekątnej ściany bocznej, którą oznaczmy jako PL.\n\n2. **Obliczenie długości przekątnej ściany bocznej (PL):** Używamy twierdzenia Pitagorasa na trójkącie prostokątnym P-L-K, gdzie PK = 2 dm, PL = √(3⁴ + 5²) = √(9 + 25) = √34, a KL to przekątna prostopadłościanu.\n\\[PL² = PK² + KL²\\]\n\\[PL² = 2² + 34\\]\n\\[PL = √(2² + 34) = √(4+34) = √38\\]\n\\[KL = √(34)\\]\n\\[KL = √(34) \\approx 5.83 dm\\]\n\n📖 Karta wzorów: [Silnia, permutacje] strona [5]\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 5,83 dm:** Obliczenia w Sposobie 1 dają wynik około 5,83 dm, co jest zgodne z naszymi obliczeniami.\n* **C. 3,61 dm:** To wynik jest zbyt mały, ponieważ nie uwzględnia pełnych wymiarów prostopadłościanu.\n* **D. 5,39 dm:** To również wynik jest zbyt mały, ponieważ nie uwzględnia pełnych wymiarów prostopadłościanu.\n\n**Podsumowanie:** Oba sposoby prowadzą do tej samej prawidłowej odpowiedzi, która jest 5,83 dm (z dokładnością do 0,01 dm).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPromień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu\npowierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa\nA. 8\nB. 4\nC. 16\nD. 12\nPromień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa A. 8; B. 4; C. 16; D. 12.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni\ni objętość walca, stożka, kuli (G11.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - tworząca stożka równa \\(12\\)\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie pól powierzchni\n\n**Dane:** promień kuli \\(r = 4\\), promień podstawy stożka \\(r = 4\\), tworząca stożka \\(l = ?\\)\n\n**Krok 1: Pole powierzchni kuli**\n\n\\[P_{\\text{kuli}} = 4\\pi r^2 = 4\\pi \\cdot 4^2 = 64\\pi\\]\n\n**Krok 2: Pole powierzchni całkowitej stożka**\n\nPole całkowite stożka to suma pola bocznego i pola podstawy (koła):\n\n\\[P_{\\text{stożka}} = \\pi r l + \\pi r^2 = \\pi r(r + l)\\]\n\nPodstawiamy \\(r = 4\\):\n\n\\[P_{\\text{stożka}} = \\pi \\cdot 4 \\cdot (4 + l) = 4\\pi(4 + l)\\]\n\n**Krok 3: Przyrównujemy pola**\n\n\\[64\\pi = 4\\pi(4 + l)\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(4\\pi\\):\n\n\\[16 = 4 + l\\]\n\n\\[\\boxed{l = 12}\\]\n\n**Odpowiedź: D - tworząca stożka wynosi \\(12\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(l = 12\\) pola rzeczywiście są równe.\n\nPole kuli:\n\\[P_{\\text{kuli}} = 4\\pi \\cdot 4^2 = 64\\pi\\]\n\nPole całkowite stożka (boczne + podstawa):\n\\[P_{\\text{boczne}} = \\pi \\cdot 4 \\cdot 12 = 48\\pi\\]\n\\[P_{\\text{podstawa}} = \\pi \\cdot 4^2 = 16\\pi\\]\n\\[P_{\\text{stożka}} = 48\\pi + 16\\pi = 64\\pi \\checkmark\\]\n\nPola są równe - wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\n- Pole powierzchni kuli:\n\\[P_{\\text{kuli}} = 4\\pi r^2\\]\nUżyte w Kroku 1 do obliczenia pola powierzchni kuli o promieniu \\(4\\).\n\n- Pole powierzchni całkowitej stożka:\n\\[P_c = \\pi r(r + l)\\]\ngdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca (długość boczna stożka).\nUżyte w Kroku 2.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - Pole koła \\(P = \\pi r^2\\) (podstawa stożka).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(8\\) | Pominięcie pola podstawy stożka: policzono tylko pole boczne \\(\\pi r l = 64\\pi\\), stąd \\(l = \\frac{64\\pi}{4\\pi} = 16\\) albo błędne uproszczenie prowadzi do \\(l = 8\\) |\n| B - \\(4\\) | Mylne założenie, że tworząca równa się promieniowi, bez żadnych obliczeń |\n| C - \\(16\\) | Pominięcie pola podstawy stożka: \\(\\pi r l = 64\\pi\\), stąd \\(4\\pi l = 64\\pi\\), czyli \\(l = 16\\) - to klasyczny błąd, zapomnienie o \\(\\pi r^2\\) w polu całkowitym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole **całkowite** stożka to \\(\\pi r(r + l)\\) - zawiera zarówno pole boczne (\\(\\pi r l\\)) jak i pole podstawy (\\(\\pi r^2\\)). Odpowiedź C (\\(16\\)) to wynik pominięcia podstawy - to najczęstszy błąd w tym zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **tworzącej** \\(l\\) z **wysokością** stożka \\(h\\). Tworząca to bok stożka (odcinek łączący wierzchołek z krawędzią podstawy), nie prostopada wysokość. W tym zadaniu pytamy o tworzącą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole kuli to \\(4\\pi r^2\\) - cztery razy pole koła. Częsty błąd to użycie \\(2\\pi r^2\\) (czyli pola półkuli) lub \\(\\pi r^2\\) (pola koła).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Porównanie wzorów na pola\nPole kuli: \\(P_k = 4\\pi r^2 = 4\\pi\\cdot 16 = 64\\pi\\).\nPole stożka: \\(P_s = \\pi r^2 + \\pi r l = 16\\pi + 4\\pi l\\).\n\nRównanie \\(P_k = P_s\\):\n\\[64\\pi = 16\\pi + 4\\pi l\\]\n\\[48 = 4l \\Rightarrow l = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyłączenie \\(4\\pi\\)\n\\(4\\pi(16) = 4\\pi(4 + l) \\Rightarrow 16 = 4 + l \\Rightarrow l = 12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - wartość \\(2r\\), niezwiązana bezpośrednio.\n- **B. \\(4\\)** - równa promieniowi.\n- **C. \\(16\\)** - pominięto pole podstawy stożka.\n\n**Pamiętaj:** pole całkowite stożka = pole podstawy + pole boczne = \\(\\pi r^2 + \\pi r l\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Geometria stożka i kuli\n\n1. **Związek pól:** Pole powierzchni kuli \\(P_k = 4\\pi r^2\\) oraz pole powierzchni całkowitej stożka \\(P_s = \\pi R l\\), gdzie \\(R\\) to promień podstawy stożka, a \\(l\\) to tworząca stożka. Z treści zadania wiemy, że \\(r = R = 4\\). Zatem \\(P_k = 4\\pi (4^2) = 64\\pi\\) i \\(P_s = \\pi (4) l\\). Aby pola były równe, musimy mieć \\(64\\pi = 4\\pi l\\), co daje \\(l = 16\\).\n\n2. **Użycie Twierdzenia Pitagorowego:** W trójkącie z wierzchołkiem stożka, gdzie podstawa to okrąg o promieniu \\(R\\) i tworząca to \\(l\\), mamy \\(R^2 + h^2 = l^2\\), gdzie \\(h\\) to wysokość stożka. W naszym przypadku \\(R = 4\\) i \\(l = 16\\), więc \\(4^2 + h^2 = 16^2\\), czyli \\(16 + h^2 = 256\\), stąd \\(h^2 = 240\\) i \\(h = \\sqrt{240} = 4\\sqrt{15}\\).\n\n3. **Obliczenie A:** Długość tworzącej stożka to \\(A = l = 16\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Twierdzenie Pitagorowe, strona 15\n\n### Sposób 2: Związek objętości kuli i stożka\n\n1. **Objętość kuli:** Objętość kuli \\(V_k = \\frac{4}{3} \\pi r^3 = \\frac{4}{3} \\pi (4^3) = \\frac{4}{3} \\pi (64) = \\frac{256\\pi}{3}\\).\n\n2. **Objętość stożka:** Objętość stożka \\(V_s = \\frac{1}{3} \\pi R^2 h = \\frac{1}{3} \\pi (4^2) (4\\sqrt{15}) = \\frac{1}{3} \\pi (16)(4\\sqrt{15}) = \\frac{64\\pi\\sqrt{15}}{3}\\).\n\n3. **Równość objętości:** Aby pole powierzchni kuli było równe polu powierzchni całkowitej stożka, musimy sprawdzić, czy objętości są równe. Zauważmy, że \\(V_k = \\frac{256\\pi}{3}\\) i \\(V_s = \\frac{64\\pi\\sqrt{15}}{3}\\). Aby \\(V_k = V_s\\), musimy mieć \\(256\\pi = 64\\pi\\sqrt{15}\\), co daje \\(256 = 64\\sqrt{15}\\), czyli \\(4 = \\sqrt{15}\\), co jest fałszem. To sugeruje, że pole powierzchni kuli i stożka musi być równe, a nie objętości. Jednakże, z treści zadania wiemy, że pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Zatem musimy wrócić do obliczenia długości tworzącej stożka.\n\n4. **Ponowne obliczenie długości tworzącej:** Z poprzedniego kroku wiemy, że \\(l = 16\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Twierdzenie Pitagorowe, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** Wybór tego wyniku nie jest uzasadniony żadnym obliczeniem.\n* **C:** Podobnie jak B, nie ma uzasadnienia.\n* **A:** Wybór tego wyniku nie jest uzasadniony żadnym obliczeniem.\n\n**Podsumowanie:** Poprawna odpowiedź to D, ponieważ obliczyliśmy długość tworzącej stożka (l) na podstawie równości pól powierzchni kuli i stożka. Użyliśmy twierdzenia Pitagorowego, aby znaleźć wysokość stożka, a następnie obliczyliśmy długość tworzącej.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nMediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem\nA.\n7\na =\nB.\n12\na =\nC.\n14\na =\nD.\n20\na =\nMediana zestawu sześciu danych liczb: 4,8,21,a,16,25, jest równa 14. Zatem A. a=7; B. a=12; C. a=14; D. a=20.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do\nrachunku prawdopodobieństwa. Zdający\nwyznacza średnią arytmetyczną i medianę\nzestawu danych (G9.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(a = 12\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja mediany i układanie nierówności\n\n**Mediana** zbioru sześciu danych to średnia arytmetyczna **trzeciej i czwartej** wartości po posortowaniu rosnącym.\n\nMamy dane: \\(4, 8, 21, a, 16, 25\\) i szukamy \\(a\\) takiego, żeby mediana wynosiła \\(14\\).\n\n**Krok 1:** Zastanówmy się, gdzie \\(a\\) trafi po posortowaniu.\n\nZnane wartości (bez \\(a\\)): \\(4, 8, 16, 21, 25\\). Liczba \\(a\\) musi wpaść gdzieś w tym ciągu.\n\n**Krok 2:** Skoro mediana \\(= 14\\), czyli średnia 3. i 4. wartości wynosi \\(14\\), to:\n\\[\\frac{x_3 + x_4}{2} = 14 \\implies x_3 + x_4 = 28\\]\n\n**Krok 3:** Sprawdzamy, przy jakim umiejscowieniu \\(a\\) suma 3. i 4. wyrazu wynosi 28.\n\nJeśli \\(8 \\leq a \\leq 16\\), posortowany ciąg wygląda tak: \\(4, 8, a, 16, 21, 25\\).\n\nWtedy \\(x_3 = a\\), \\(x_4 = 16\\), więc:\n\\[a + 16 = 28 \\implies a = 12\\]\n\n**Krok 4:** Sprawdzamy, czy \\(a = 12\\) spełnia założenie \\(8 \\leq a \\leq 16\\):\n\\[8 \\leq 12 \\leq 16 \\checkmark\\]\n\nPosortowany ciąg: \\(4, 8, \\mathbf{12}, \\mathbf{16}, 21, 25\\)\n\nMediana \\(= \\frac{12 + 16}{2} = \\frac{28}{2} = \\mathbf{14}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Próba wszystkich odpowiedzi (podstawianie)\n\nMożna szybko sprawdzić każdą z odpowiedzi:\n\n**A.** \\(a = 7\\): posortowany ciąg: \\(4, 7, 8, 16, 21, 25\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{8 + 16}{2} = \\frac{24}{2} = 12 \\neq 14\\]\n\n**B.** \\(a = 12\\): posortowany ciąg: \\(4, 8, 12, 16, 21, 25\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{12 + 16}{2} = \\frac{28}{2} = 14 \\checkmark\\]\n\nJuż znamy odpowiedź, ale dla porządku:\n\n**C.** \\(a = 14\\): posortowany ciąg: \\(4, 8, 14, 16, 21, 25\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{14 + 16}{2} = \\frac{30}{2} = 15 \\neq 14\\]\n\n**D.** \\(a = 20\\): posortowany ciąg: \\(4, 8, 16, 20, 21, 25\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{16 + 20}{2} = \\frac{36}{2} = 18 \\neq 14\\]\n\n**Jedyna poprawna odpowiedź to B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana: środkowy wyraz (nieparzyste \\(n\\)) lub **średnia dwóch środkowych** wyrazów (parzyste \\(n\\))\n\nMamy \\(n = 6\\) (parzyste), więc mediana to:\n\\[\\text{Me} = \\frac{x_3 + x_4}{2}\\]\ngdzie \\(x_3, x_4\\) to 3. i 4. wyraz po posortowaniu rosnąco.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(a = 7\\) trafia przed 8, więc ciąg to \\(4,7,8,16,21,25\\) - mediana wychodzi \\(\\frac{8+16}{2} = 12\\), a nie 14. Uczeń mógł błędnie założyć miejsce \\(a\\) w ciągu. |\n| C | \\(a = 14\\) to sama wartość mediany - intuicja podpowiada \"skoro mediana = 14, to a = 14\", ale to pułapka. Mediana \\(= \\frac{14+16}{2} = 15\\). |\n| D | \\(a = 20\\) trafia między 16 a 21, ciąg: \\(4,8,16,20,21,25\\) - mediana \\(= \\frac{16+20}{2} = 18\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla parzystej liczby danych mediana to **średnia dwóch środkowych** - nie jeden środkowy wyraz! Dla 6 liczb bierzemy 3. i 4. wyraz po posortowaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim wyznaczysz 3. i 4. wyraz, musisz uwzględnić, **gdzie w posortowanym ciągu trafi \\(a\\)**. Różne zakresy \\(a\\) dają różne ciągi - sprawdź, czy Twoje założenie jest spójne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myśl, że \"jeśli mediana = 14, to \\(a\\) musi być równe 14\". Mediana zależy od 3. i 4. wyrazu - \\(a\\) może wpaść na inne miejsce w ciągu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Mediana sześciu liczb\nMediana 6 liczb (parzystej ilości) = średnia dwóch środkowych po posortowaniu.\n\nSortujemy bez \\(a\\): \\(4, 8, 16, 21, 25\\). Wstawiamy \\(a\\) w odpowiednie miejsce:\n- Jeśli \\(a \\le 8\\): sortowanie \\((a, 4, 8, 16, 21, 25)\\) (gdzie \\(a\\) idzie na początek lub drugą pozycję). Środkowe to 8 i 16 - mediana \\(= 12\\).\n- Jeśli \\(8 < a < 16\\): sortowanie \\((4, 8, a, 16, 21, 25)\\). Środkowe: \\(a\\) i \\(16\\) - mediana \\(= \\tfrac{a+16}{2}\\).\n- Jeśli \\(a \\ge 16\\): środkowe 8 i 16 sortowanie \\((4, 8, 16, a, 21, 25)\\). Środkowe: 16 i \\(a\\)? Nie, zawsze środkowe to 3. i 4. miejsce. Dla \\(a=20\\): \\((4,8,16,20,21,25)\\), środkowe \\(16, 20\\), mediana \\(18\\).\n\nWarunek mediana \\(=14\\):\n- \\(\\tfrac{a+16}{2} = 14 \\Rightarrow a = 12\\) ✓ (i \\(8<12<16\\), pasuje).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- \\(a=12\\): \\((4,8,12,16,21,25)\\), mediana \\(= \\tfrac{12+16}{2} = 14\\) ✓\n- \\(a=7\\): \\((4,7,8,16,21,25)\\), mediana \\(= \\tfrac{8+16}{2} = 12\\) ✗\n- \\(a=14\\): mediana = \\(\\tfrac{14+16}{2} = 15\\) ✗\n- \\(a=20\\): mediana = \\(\\tfrac{16+20}{2} = 18\\) ✗\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Uporządkowanie danych i znalezienie mediany\n1. **Uporządkowanie danych:** Zaczynamy od posortowania podanych liczb w kolejności rosnącej: 4, 8, 16, 21, 25, a.\n2. **Definicja mediany:** Mediana zestawu danych to wartość środkowa, czyli wartość, która dzieli zbiór danych na dwie równe części. W przypadku parzystej liczby elementów (w tym przypadku 6), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości.\n3. **Identyfikacja środkowych wartości:** W posortowanym zbiorze liczby 4, 8, 16, 21, 25, a, środkowymi wartościami są 16 i 21.\n4. **Obliczenie mediany:** Mediana = (16 + 21) / 2 = 37 / 2 = 18.5.\n5. **Błąd:** W zadaniu podano, że mediana wynosi 14. Zatem, liczba \"a\" musi być taka, aby mediana wynosiła 14. Zatem, (16 + a) / 2 = 14, 16 + a = 28, a = 12.\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na medianę\n1. **Zrozumienie definicji mediany:** Mediana to wartość środkowa w posortowanym zbiorze danych.\n2. **Zbiór danych:** 4, 8, 21, a, 16, 25\n3. **Posortowanie:** 4, 8, 16, 21, 25, a\n4. **Obliczenie mediany:** Ponieważ mamy 6 elementów, mediana to element na pozycji (6+1)/2 = 3.5. Ponieważ nie możemy mieć ułamkowej mediany, musimy wziąć dwa środkowe elementy, czyli 16 i 21.\n5. **Równanie:** (16 + 21) / 2 = 14\n6. **Rozwiązanie:** 37 / 2 = 18.5. Zatem, liczba \"a\" musi być taka, aby mediana wynosiła 14. Zatem, (16 + a) / 2 = 14, 16 + a = 28, a = 12.\n\n📖 Karta wzorów: s.32, strona 32 - Statystyka: mediana\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź przedstawia wzór na wartość bezwzględną, który nie jest potrzebny do rozwiązania tego zadania.\n* **C. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź przedstawia wzór na logarytm, który również nie jest potrzebny do rozwiązania tego zadania.\n* **D. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź przedstawia wzór na kombinacje, który nie jest potrzebny do rozwiązania tego zadania.\n\nW obu sposobach, aby mediana wynosiła 14, liczba \"a\" musi być równa 12. Zatem, poprawna odpowiedź to B.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nWszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest\nA. 12\nB. 36\nC. 162\nD. 243\nWszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest A. 12; B. 36; C. 162; 243.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających użycia\nwzorów kombinatorycznych, stosuje regułę\nmnożenia i regułę dodawania (10.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - **162**\n\n## Sposób 1 - zliczanie wyboru cyfr na każdej pozycji\n\nSzukamy liczb **pięciocyfrowych**, w których **każda cyfra należy do zbioru \\(\\{0, 2, 5\\}\\)**.\n\nKluczowe ograniczenie: **liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od 0** (bo byłaby co najwyżej czterocyfrowa).\n\nAnalizujemy pozycje od lewej:\n\n| Pozycja | Dostępne cyfry | Liczba wyborów |\n| 1. (pierwsza) | \\(2\\) lub \\(5\\) (nie \\(0\\)!) | \\(2\\) |\n| 2. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |\n| 3. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |\n| 4. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |\n| 5. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |\n\nWybory są **niezależne**, więc mnożymy:\n\n\\[N = 2 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 = 2 \\cdot 3^4 = 2 \\cdot 81 = \\mathbf{162}\\]\n\n## Sposób 2 - wszystkie ciągi minus te z zerem na początku\n\nPoliczmy **wszystkie** 5-elementowe ciągi z cyfr \\(\\{0, 2, 5\\}\\) (bez ograniczenia na pierwszą cyfrę):\n\n\\[\\text{Wszystkich ciągów: } 3^5 = 243\\]\n\nTeraz odejmujemy ciągi **zaczynające się od 0** - wówczas pierwsze miejsce jest ustalone (cyfra \\(0\\)), a pozostałe 4 miejsca mają po 3 wybory:\n\n\\[\\text{Ciągów z 0 na początku: } 1 \\cdot 3^4 = 81\\]\n\nZatem liczb pięciocyfrowych:\n\n\\[N = 243 - 81 = \\mathbf{162}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami:\n\n\\[\\text{Liczba ciągów } k\\text{-elementowych z } n\\text{-elementowego zbioru} = n^k\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2: \\(3^5 = 243\\) i \\(3^4 = 81\\). W Sposobie 1 zastosowaliśmy **regułę mnożenia** (każda pozycja niezależna od pozostałych).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** (\\(12\\)) | Przyjęcie, że cyfry **nie mogą się powtarzać** - wtedy dla 5-cyfrowej liczby zabrakłoby cyfr (mamy tylko 3 różne), co prowadzi do bezsensownego liczenia; albo pomylenie z liczbami **trzy**cyfrowymi: \\(2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\) |\n| **B** (\\(36\\)) | Błędne wykluczenie zera **z drugiej pozycji** też (jakby dwie pierwsze cyfry nie mogły być \\(0\\)): \\(2 \\cdot 2 \\cdot 3^2 = 36\\) |\n| **D** (\\(243\\)) | Policzenie \\(3^5 = 243\\) - **zapomniano**, że liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od \\(0\\). To wynik dla ciągów, nie dla liczb! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza cyfra liczby pięciocyfrowej **nigdy nie może być zerem** - to najczęstszy błąd w zadaniach o liczeniu liczb wielocyfrowych. Sprawdź zawsze, czy zero jest dozwolone na pierwszej pozycji!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Cyfry \\(0, 2, 5\\) **występują**\" nie oznacza, że każda musi wystąpić - oznacza jedynie, że każda cyfra w liczbie musi należeć do tego zbioru. Powtórzenia są jak najbardziej dozwolone (np. \\(22225\\) jest poprawne).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **kombinacji** z **wariacjami z powtórzeniami** - tutaj kolejność cyfr ma znaczenie (\\(25000 \\neq 52000\\)), więc liczymy wariacje, nie kombinacje.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba pięciocyfrowa: pierwsza cyfra \\(\\ne 0\\) (bo wtedy byłaby czterocyfrowa).\n- **Pierwsza cyfra:** \\(\\{2, 5\\}\\) → 2 możliwości.\n- **Pozostałe 4 cyfry:** \\(\\{0, 2, 5\\}\\) → 3 możliwości każda.\n\nŁącznie: \\(2\\cdot 3^4 = 2\\cdot 81 = 162\\).\n\n### Sposób 2 - Wszystkie ciągi \\(-\\) zaczynające się od 0\n- Wszystkie ciągi 5-cyfrowe z \\(\\{0,2,5\\}\\): \\(3^5 = 243\\).\n- Zaczynające się od 0 (= czterocyfrowe z dodanym 0 na początku): \\(3^4 = 81\\).\n- Pięciocyfrowe: \\(243 - 81 = 162\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(12\\)** - za mało; być może permutacje.\n- **B. \\(36\\)** - niewłaściwe liczenie.\n- **D. \\(243\\)** - wszystkie ciągi 5-elementowe, bez warunku pięciocyfrowości.\n\n**Pułapka:** pierwsza cyfra liczby wielocyfrowej **musi** być różna od zera.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Metoda liczenia kombinatorycznego\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Musimy policzyć liczbę pięciocyfrowych liczb, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, i 5. Każda cyfra może pojawić się dowolną ilość razy, ale pierwsze cyfra nie może być zerem.\n\n2. **Analiza możliwości dla każdej pozycji:**\n* Pierwsza cyfra: Może być 2 lub 5 (2 możliwości).\n* Pozostałe 4 cyfry: Każda z cyfr 0, 2, i 5 może pojawić się dowolną liczbę razy. Zatem dla każdej z tych 4 pozycji mamy 3 możliwości wyboru cyfry.\n\n3. **Obliczenie:** Liczba możliwych liczb pięciocyfrowych to: 2 * 3<sup>4</sup> = 2 * 81 = 162.\n\n📖 Karta wzorów: Kombinatoryka: (n nad k), strona 28\n\n### Sposób 2: Rozważenie przypadków dla każdej cyfry\n\n1. **Przypadek 1: Wszystkie cyfry to 2 i 5.**\nWtedy mamy 2 możliwości dla pierwszej cyfry (2 lub 5), a dla pozostałych 4 cyfr tylko 1 możliwość (2 lub 5). Liczba takich liczb to 2<sup>5</sup> = 32.\n\n2. **Przypadek 2: Występuje zero razy cyfra 2 i zero razy cyfra 5.**\nWtedy mamy tylko cyfrę 0. To nie spełnia warunku, że występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5.\n\n3. **Przypadek 3: Występuje 1 cyfra 2 i 0 cyfr 5.**\nWtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 2. Pozostałe 3 pozycje muszą być wypełnione zerami. Liczba takich liczb to 4.\n\n4. **Przypadek 4: Występuje 0 cyfr 2 i 1 cyfr 5.**\nWtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 5. Liczba takich liczb to 4.\n\n5. **Przypadek 5: Występuje 2 cyfry 2 i 0 cyfr 5.**\nWtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 2. Wybieramy 2 pozycje z 4, czyli \\( \\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2!2!} = 6 \\)\nLiczba takich liczb to 6.\n\n6. **Przypadek 6: Występuje 0 cyfr 2 i 2 cyfry 5.**\nWtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 5. Wybieramy 2 pozycje z 4, czyli \\( \\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2!2!} = 6 \\)\nLiczba takich liczb to 6.\n\n7. **Suma:** 32 + 4 + 4 + 6 + 6 = 52. To jest błędne. Musimy to zrobić inaczej.\n\n8. **Poprawne rozwiązanie:** Zauważmy, że każda z 5 pozycji może przyjąć jedną z 3 wartości: 0, 2, lub 5. Zatem liczba wszystkich możliwych liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5, wynosi \\(3^5 = 243\\). Jednakże, pierwsza cyfra nie może być zerem. Jeśli pierwsza cyfra to 0, to pozostałe 4 cyfry mogą przyjmować dowolne wartości z zbioru {0, 2, 5}. Zatem liczba takich liczb, w których pierwsza cyfra to 0, wynosi \\(3^4 = 81\\). Oznacza to, że liczba pięciocyfrowych liczb, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5, wynosi \\(3^5 - 3^4 = 243 - 81 = 162\\).\n\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A i B:** Te odpowiedzi sugerują użycie silni lub kombinacji, które nie są odpowiednie do tego problemu. Problem dotyczy liczenia liczb, a nie liczenia kombinacji.\n* **D:** Ta odpowiedź sugeruje użycie wzoru na permutacje, co nie jest konieczne i prowadzi do niepotrzebnego skomplikowania. W tym przypadku liczymy liczbę wystąpień cyfr, a nie permutacje.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone.\nPrawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną\nkulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest\nrówne\nA. 1\n8\nB. 1\n5\nC.\n1\n40\nD.\n1\n35\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nW pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe A. 1/8; B. 1/5; C. 1/40; D. 1/35.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa (10.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB\nZadania otwarte\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{1}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - Prawdopodobieństwo klasyczne (zliczanie)\n\n**Krok 1: Ustal przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nW pudełku jest łącznie \\(40\\) kul, a każda ma jednakowe prawdopodobieństwo wylosowania. Zatem:\n\\[|\\Omega| = 40\\]\n\n**Krok 2: Policz kule czerwone.**\n\nSkoro kul białych jest \\(35\\), to kul czerwonych jest:\n\\[40 - 35 = 5\\]\n\n**Krok 3: Zastosuj wzór na prawdopodobieństwo klasyczne.**\n\nZdarzenie \\(A\\) = „wylosowanie kuli czerwonej\", \\(|A| = 5\\):\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{5}{40} = \\frac{1}{8}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{8}\\)**\n\n## Sposób 2 - Frakcja bezpośrednia (intuicyjnie)\n\nZamiast liczyć kule czerwone osobno, od razu myślimy o proporcji:\n\n- Kule czerwone stanowią \\(\\dfrac{5}{40}\\) wszystkich kul.\n- Upraszczamy ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez \\(5\\):\n\\[\\frac{5}{40} = \\frac{5 \\div 5}{40 \\div 5} = \\frac{1}{8}\\]\n\nWeryfikacja: \\(\\dfrac{1}{8} \\cdot 40 = 5\\) - zgadza się z liczbą kul czerwonych. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nWzór stosujemy w Sposobie 1: \\(|\\Omega| = 40\\) (wszystkie kule), \\(|A| = 5\\) (kule czerwone).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B - \\(\\dfrac{1}{5}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{5}{25}\\) lub myli „5 kul czerwonych spośród białych\" z \\(\\dfrac{1}{5}\\); albo błędnie zakłada 25 kul w mianowniku zamiast 40 |\n| C - \\(\\dfrac{1}{40}\\) | Uczeń bierze \\(\\dfrac{1}{40}\\) - prawdopodobieństwo wylosowania **konkretnej jednej** kuli, zapominając, że czerwonych jest 5, nie 1 |\n| D - \\(\\dfrac{1}{35}\\) | Uczeń wstawia w mianownik liczbę kul białych (\\(35\\)) zamiast łącznej liczby kul (\\(40\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń zdarzeń \\(\\Omega\\) to WSZYSTKIE kule w pudełku (\\(40\\)), nie tylko kule danego koloru. Mianownik zawsze = łączna liczba kul.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw oblicz liczbę kul czerwonych: \\(40 - 35 = 5\\). Treść podaje bezpośrednio tylko liczbę kul białych - to częsta pułapka, która sprawia, że uczniowie pomijają ten krok i wstawiają \\(35\\) lub \\(1\\) w licznik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(\\dfrac{1}{40}\\)) to prawdopodobieństwo wylosowania **jednej konkretnej** kuli (np. kuli nr 7). Zadanie pyta o dowolną kulę **czerwoną** - a jest ich 5, więc mnożymy przez 5.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja klasyczna\nKul czerwonych: \\(40 - 35 = 5\\).\n\\[P(\\text{czerwona}) = \\dfrac{5}{40} = \\dfrac{1}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zdarzenie przeciwne\n\\(P(\\text{biała}) = \\tfrac{35}{40} = \\tfrac{7}{8}\\).\n\\(P(\\text{czerwona}) = 1 - \\tfrac{7}{8} = \\tfrac{1}{8}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{5}\\)** - być może policzono \\(\\tfrac{8}{40}\\) błędnie.\n- **C. \\(\\tfrac{1}{40}\\)** - prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej jednej kuli.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{35}\\)** - obrócona proporcja.\n\n**Zasada:** \\(P = \\tfrac{\\text{sprzyjające}}{\\text{wszystkie}} = \\tfrac{5}{40} = \\tfrac{1}{8}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania czerwonej kuli\n1. **Obliczamy całkowitą liczbę kul:** Pudełko zawiera 40 kul.\n2. **Obliczamy liczbę czerwonych kul:** Jest ich 40 - 35 = 5.\n3. **Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli:** Prawdopodobieństwo to liczba sprzyjających zdarzeń podzielona przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. W tym przypadku, liczba sprzyjających zdarzeń to 5 (czerwone kule), a liczba wszystkich możliwych zdarzeń to 40 (wszystkie kule). Zatem:\nP(czerwona kula) = 5/40 = 1/8\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 1\n\n### Sposób 2: Użycie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego\n1. **Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli:** Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli to 35/40 = 7/8.\n2. **Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli:** Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli to 1 - P(biała kula) = 1 - 7/8 = 1/8.\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 1\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 1/5:** To prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli, gdyby wszystkie kule były białe. W naszym przypadku mamy 35 białych i 5 czerwonych, więc 1/5 jest błędne.\n* **C. 1/40:** To prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej kuli z 40. Chcemy prawdopodobieństwa wylosowania *czerwonej* kuli, a nie konkretnej kuli z puli.\n* **D. 35/40:** To prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli, a nie czerwonej.\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli jest zatem 1/8.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n)(\n)\n3\n2\n8\n4\n5\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż równanie (x^3-8)(x^2-4x-5) = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności\niloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x - 7) = 0\n(3.7).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n2\nx\n,\n1\nx\noraz\n5\nx\n, o ile nie zastosuje\nniepoprawnej metody.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze dwa równania\n3\n8\n0\nx\ni\n2\n4\n5\n0\nx\nx\nlub z zapisu wynika, że rozwiązuje\nte równania\nalbo\n• wyznaczy poprawnie lub poda rozwiązania jednego z równań:\n3\n8\n0\nx\nlub\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający jedynie poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisanych rachunków\nlub uzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów,\nznajdzie trzy rozwiązania:\n1, 2, 5\n, ale nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania,\nto otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli na etapie przyrównywania czynników do zera jedynym błędem zdającego jest błąd\nprzy rozkładzie wielomianu\n3\n8\nx\n, to zdający może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nIloczyn (\n)(\n)\n3\n2\n8\n4\n5\n0\nx\nx\nx\njest równy 0, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy 0.\nZatem\n3\n8\n0\nx\nlub\n2\n4\n5\n0\nx\nx\nRównanie\n3\n8\n0\nx\nma jedno rozwiązanie\n2\nx\nRównanie\n2\n4\n5\n0\nx\nx\ndoprowadzamy do postaci iloczynowej (\n) (\n)\n1\n5\n0\n⋅\nx\nx\nPrzynajmniej jeden z czynników (\n)1\nx\nlub (\n)\n5\nx\njest równy 0, czyli\n1\nx\nlub\n5\nx\nZatem rozwiązaniami równania\nsą liczby:\n2\nx\n,\n1\nx\noraz\n5\nx\n2\n4\n5\n0\nx\nx\n(\n)(\n)\n3\n2\n8\n4\n5\n0\nx\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-1,\\ 2,\\ 5\\}\\)\n\nRównanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste: \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 2\\), \\(x_3 = 5\\).\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki + zerowanie każdego nawiasu\n\nIloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden czynnik jest równy zero**. Mamy więc dwa przypadki do rozwiązania niezależnie.\n\n**Przypadek A: \\(x^3 - 8 = 0\\)**\n\nKorzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów (Dział 6, wzory skróconego mnożenia):\n\\[x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\\]\n\nStąd:\n\\[(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0\\]\n\n- Z \\(x - 2 = 0\\) dostajemy \\(\\boxed{x = 2}\\).\n\n- Sprawdzamy \\(x^2 + 2x + 4 = 0\\):\n\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0\\]\n**Brak rozwiązań rzeczywistych.**\n\n**Przypadek B: \\(x^2 - 4x - 5 = 0\\)**\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-5) = 16 + 20 = 36\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_{1,2} = \\frac{4 \\pm \\sqrt{36}}{2} = \\frac{4 \\pm 6}{2}\\]\n\\[x_1 = \\frac{4 - 6}{2} = \\frac{-2}{2} = -1, \\qquad x_2 = \\frac{4 + 6}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\nStąd \\(\\boxed{x = -1}\\) lub \\(\\boxed{x = 5}\\).\n\n**Wszystkie rozwiązania równania:**\n\\[\\boxed{x = -1, \\quad x = 2, \\quad x = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład trójmianu na iloraz przez próbne pierwiastki\n\n**Dla czynnika \\(x^2 - 4x - 5\\):** zamiast delty, możemy próbować rozłożyć na dwa nawiasy \\((x - p)(x - q)\\), gdzie \\(p + q = 4\\) i \\(p \\cdot q = -5\\) (wzory Viète'a).\n\nSzukamy dwóch liczb, których suma to \\(4\\), a iloczyn to \\(-5\\). Próbujemy:\n\\[5 + (-1) = 4 \\quad \\checkmark, \\qquad 5 \\cdot (-1) = -5 \\quad \\checkmark\\]\n\nZatem:\n\\[x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)\\]\n\nZ \\((x-5)(x+1) = 0\\) bezpośrednio odczytujemy: \\(x = 5\\) lub \\(x = -1\\). Szybciej niż liczenie delty!\n\n**Weryfikacja wszystkich wyników** - podstawiamy do oryginalnego równania:\n\n| \\(x\\) | \\(x^3 - 8\\) | \\(x^2 - 4x - 5\\) | Iloczyn |\n| \\(-1\\) | \\(-9\\) | \\(1+4-5 = 0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(2\\) | \\(0\\) | \\(4-8-5 = -9\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(5\\) | \\(117\\) | \\(25-20-5=0\\) | \\(0\\) ✓ |\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica sześcianów:\n\\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\\]\nUżyliśmy tego do rozkładu \\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy do rozwiązania \\(x^2 - 4x - 5 = 0\\) (Sposób 1) i do sprawdzenia braku rozwiązań \\(x^2 + 2x + 4 = 0\\).\n\n**Dział 7 (s. 9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do inteligentnego rozkładu trójmianu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^3 - 8 = 0\\) to NIE JEST \\(x^3 = 8 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{8} = 2\\) - to tylko jedno z możliwych podejść (które tu działa, bo szukamy rozwiązań rzeczywistych). Zawsze warto rozłożyć na czynniki i sprawdzić, czy drugi czynnik nie daje dodatkowych rozwiązań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozłożeniu \\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\\) wielu uczniów „zapomina\" sprawdzić drugi czynnik \\(x^2 + 2x + 4\\). Tu \\(\\Delta < 0\\), więc brak pierwiastków rzeczywistych - ale zawsze trzeba to sprawdzić!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli w iloczynie otrzymasz \\(x = 2\\) zarówno z jednego, jak i z drugiego nawiasu, zapisujesz go **tylko raz** jako pierwiastek - nie dubluj rozwiązań.\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\{-1, 2, 5\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0\n**Czynnik 1:** \\(x^3 - 8 = 0 \\Rightarrow x^3 = 8 \\Rightarrow x = 2\\).\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 4x - 5 = 0\\):\n\\(\\Delta = 16 + 20 = 36\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 6\\).\n\\(x_{1,2} = \\tfrac{4 \\pm 6}{2}\\), czyli \\(x_1 = -1\\) lub \\(x_2 = 5\\).\n\nRozwiązania: \\(x \\in \\{-1, 2, 5\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Rozkład iloczynowy\n\\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\\). Drugi czynnik ma \\(\\Delta = 4-16 < 0\\), brak rozwiązań rzeczywistych.\n\\(x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)\\).\nOstatecznie: \\(x = 2, x = 5, x = -1\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\{-1, 2, 5\\}\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n16\n16\n0\nx\nx\n>\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 3x^2-16x+16 > 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\n-∞\n∪\n+ ∞ lub\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞, lub\n4\n3\n4\nx\nx\n<\n∨\n>\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n4\n3\nx =\noraz\n2\n4\nx =\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności;\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem\n( )\n2\n3\n16\n16\nf x\nx\nx\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności\n• popełni\nbłędy\nprzy\nwyznaczaniu\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n2\n3\n16\n16\nx\nx\n, ale otrzyma dwa różne pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,\nto oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n4\n3\nx <\ni\n4\nx >\n,\n4\n3\nx <\noraz\n4\nx >\n, itp.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n4\n3\nx =\n,\n2\n4\nx =\ni błędnie zapisze\nodpowiedź, np.\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\nx\n4\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (\n)\n(\n)\n4\n3\n, 4\n,\n-∞\n∪\n+ ∞, (\n)\n(\n)\n4\n3\n, 4\n,\n+∞\n∪\n-∞, to przyznajemy 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:\n2\n3\n16\n16\nx\nx\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej:\n2\n3\n16\n16\n0\nx\nx\n>\nPierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:\n• obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n3\n16\n16\nx\nx\no obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n2\n2\n16 16\n4 3 16\n4 16\n2\n4\nΔ =\n⋅\n-⋅⋅\n⋅\n⋅\ni stąd\n1\n16 8\n4\n6\n3\nx\noraz\n2\n16 8\n6\n4\nx\nalbo\no stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n16\n3\nx\nx\n⋅\noraz\n1\n2\n16\n3\nx\nx\n, stąd\n1\n4\n3\nx =\noraz\n2\n4\nx =\nDrugi etap rozwiązania.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\n-∞\n∪\n+ ∞ lub\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ \\frac{4}{3}\\right) \\cup \\left(4,\\ +\\infty\\right)\\]\n\nczyli \\(x < \\frac{4}{3}\\) lub \\(x > 4\\).\n\n## Sposób 1 - Wyróżnik i analiza znaku trójmianu\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu \\(3x^2 - 16x + 16\\).**\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 16 = 256 - 192 = 64\\]\n\nPonieważ \\(\\Delta = 64 > 0\\), trójmian ma **dwa różne pierwiastki rzeczywiste**:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{16 - \\sqrt{64}}{2 \\cdot 3} = \\frac{16 - 8}{6} = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{16 + 8}{6} = \\frac{24}{6} = 4\\]\n\n**Krok 2: Ustalamy kształt paraboli.**\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) to \\(a = 3 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę** (kształt ∪).\n\n**Krok 3: Odczytujemy znak trójmianu.**\n\nTrójmian kwadratowy z \\(a > 0\\) jest:\n- **ujemny** (poniżej osi \\(OX\\)) dla \\(x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\)\n- **dodatni** (powyżej osi \\(OX\\)) dla \\(x < x_1\\) lub \\(x > x_2\\)\n\nSzukamy \\(3x^2 - 16x + 16 > 0\\), czyli kiedy trójmian jest **dodatni**:\n\n\\[\\boxed{x < \\frac{4}{3} \\quad \\text{lub} \\quad x > 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (postać iloczynowa)\n\nSkoro znamy pierwiastki \\(x_1 = \\frac{4}{3}\\) i \\(x_2 = 4\\), możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej:\n\\[3x^2 - 16x + 16 = 3\\left(x - \\frac{4}{3}\\right)(x - 4)\\]\n\n**Sprawdzenie rozkładu:**\n\\[3\\left(x - \\frac{4}{3}\\right)(x - 4) = 3\\left(x^2 - 4x - \\frac{4}{3}x + \\frac{16}{3}\\right) = 3\\left(x^2 - \\frac{16}{3}x + \\frac{16}{3}\\right) = 3x^2 - 16x + 16 \\checkmark\\]\n\n**Rozwiązujemy nierówność:**\n\\[3\\underbrace{\\left(x - \\frac{4}{3}\\right)}_{A}\\underbrace{(x - 4)}_{B} > 0\\]\n\nStały czynnik \\(3 > 0\\) nie zmienia znaku nierówności. Badamy znaki czynników \\(A\\) i \\(B\\):\n\n| Przedział | \\(A = x - \\frac{4}{3}\\) | \\(B = x - 4\\) | Iloczyn \\(A \\cdot B\\) |\n| \\(x < \\frac{4}{3}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(\\frac{4}{3} < x < 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Wynik:** \\(x \\in \\left(-\\infty, \\frac{4}{3}\\right) \\cup \\left(4, +\\infty\\right)\\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = \\frac{4}{3}\\), \\(x_2 = 4\\).\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyte w Sposobie 2 do rozkładu trójmianu i analizy znaku.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a > 0\\), trójmian jest **większy od zera NA ZEWNĄTRZ** pierwiastków (nie między nimi). Uczniowie często mylą kierunek i podają \\(\\frac{4}{3} < x < 4\\) - to jest odpowiedź do nierówności \\(< 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\\(> 0\\)), więc punkty \\(x = \\frac{4}{3}\\) i \\(x = 4\\) **nie należą** do rozwiązania. Gdyby było \\(\\geq 0\\), bralibyśmy przedziały domknięte.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\Delta\\) pamiętaj, że \\(b = -16\\), więc \\(b^2 = (-16)^2 = 256\\), nie \\(-256\\). Błąd znaku tu jest bardzo częsty!\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{4}{3}\\right) \\cup (4, +\\infty)\\)**\n\n### Sposób 1 - Delta\n\\(\\Delta = 256 - 192 = 64\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 8\\).\n\\[x_{1,2} = \\dfrac{16 \\pm 8}{6}, \\quad x_1 = \\dfrac{4}{3}, \\quad x_2 = 4.\\]\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) dodatni (\\(3 > 0\\)) → parabola ramiona w górę. Nierówność \\(>0\\) zachodzi **poza** pierwiastkami:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, \\tfrac{4}{3}\\right) \\cup (4, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\\(x_1 x_2 = \\tfrac{16}{3}\\), \\(x_1 + x_2 = \\tfrac{16}{3}\\). Dobieramy: \\(x_1 = \\tfrac{4}{3}\\), \\(x_2 = 4\\) ✓.\n\n**Odpowiedź:** \\(x < \\tfrac{4}{3}\\) lub \\(x > 4\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\n\nMMA_1P\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a^2 - 2ab + 3b^2 ≥ 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na\noraz\n(2.1).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze nierówność w postaci, zawierającej po jednej stronie 0, a po drugiej sumę\nwyrażeń algebraicznych, będących wielokrotnościami kwadratów liczb lub\nstanowiących jedną stronę wzoru skróconego mnożenia, którego druga strona jest\nkwadratem, np.:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\na\na\nab\nb\nb\n≥\nalbo\n• zapisze oszacowanie\n2\n2\n2\n2\n3\n2\n3\n2\na\nab\nb\na\nab\nb\n≥\n,\nalbo\n• obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,\nwystępującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0, i stwierdzi,\nże jest on niedodatni,\nalbo\n• rozważa dwa przypadki: w pierwszym stwierdza, że gdy\n0\nab ≤\n, to nierówność jest\nprawdziwa, a drugim doprowadza nierówność do postaci\n2\n3\na\nb\nb\na\n≥\n,\nalbo\n• rozważa dwa przypadki: w jednym dzieli stronami nierówność przez\n2\nb lub przez\n2\na ,\na w drugim przyjmuje, że a lub b jest równe 0, oraz w przypadku, w którym dzieli\nstronami nierówność i obliczy wyróżnik otrzymanego trójmianu kwadratowego,\nalbo\n• zapisze, że prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\n2\n0\na\nb\n≥\noraz zapisze, że prawdziwa jest\nnierówność (\n)\n2\n0\na\nb\n≥\ni przedstawi tę nierówność w postaci równoważnej\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\n,\nalbo\n• wskaże, że przeprowadza dowód nie wprost, zapisze nierówność\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n<\noraz zapisze jeden z dwóch poniższych komentarzy:\no nierówność (\n)\n2\n0\na\nb\n<\njest nieprawdziwa;\no nierówność (\n)\n2\n0\na\nb\n≥\njest prawdziwa oraz nierówność\n2\n2\n2\n2\n0\na\nb\n<\njest\nnieprawdziwa\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\n(\n)\n2\na\nb\n±\n2\n2\na\nb\nUwagi\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zakończy rozumowanie, zapisując nierówność\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n≥\na\na\nb\nb\nlub\n2\n2\n1\n8\n0\n3\n9\n\n\n≥\n\n\n\n\na\nb\nb\ni nie przedstawi komentarza uzasadniającego przyjmowanie wyłącznie\nnieujemnych wartości przez wyrażenie zapisane po lewej stronie nierówności, to otrzymuje\n1 punkt.\n3. Jeżeli zdający w IV sposobie rozwiązania pominie przypadek\n0\nb =\nlub\n0\na =\n, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający w V sposobie rozwiązania pominie przypadek\n0\nab ≤\n, to za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać co najwyżej 1 punkt, o ile wykaże prawdziwość nierówności w przypadku\n0\nab >\n5. Jeżeli zdający po uzasadnieniu prawdziwości nierówności\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\nzapisze\nnierówność\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\ni na tym zakończy, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n≥\na\na\nab\nb\nb\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n≥\na\na\nb\nb\nLewa strona nierówności jest sumą trzech liczb nieujemnych:\n2\n2a - jako wielokrotność\nkwadratu liczby, (\n)\n2\na\nb\n- jako kwadrat liczby,\n2\n2b - jako wielokrotność kwadratu liczby.\nZatem z lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, czyli\nnierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.\nTo kończy dowód.\nUwaga\nCałe rozumowanie można zapisać w postaci\n,\nco jest prawdą dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b.\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2\n3\n2\n0\na\nab\nb\na\nab\nb\na\nb\n≥\n≥\nII sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:\n,\n2\n2\n2\n0\n3\n≥\na\nab\nb\n,\n2\n2\n2\n1\n1\n0\n3\n9\n\n\n≥\n\n\n\n\na\nb\nb\nb\n,\n2\n2\n1\n8\n0\n3\n9\n\n\n≥\n\n\n\n\na\nb\nb\nLewa strona nierówności jest sumą dwóch liczb nieujemnych:\n2\n1\n3\n\n\n\n\n\n\na\nb\n- jako kwadrat liczby,\n2\n8\n9 b - jako wielokrotność kwadratu liczby.\nZatem z lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, czyli\nnierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.\nTo kończy dowód.\nIII sposób\nWyrażenie z lewej strony jest trójmianem kwadratowym dla zmiennej a, z parametrem b.\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego:\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4 3 3\n4\n36\n32\nΔ = -\n-⋅⋅\nb\nb\nb\nb\nb .\nObliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest niedodatni dla dowolnej liczby rzeczywistej b.\nZatem trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków lub ma jeden pierwiastek rzeczywisty. Przy\nnajwyższej potędze trójmianu kwadratowego stoi liczba dodatnia 3, zatem lewa strona\nnierówności przyjmuje wartości nieujemne dla dowolnej zmiennej rzeczywistej a. Oznacza to,\nże nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.\nTo kończy dowód.\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\nIV sposób\nRozważmy dwa przypadki.\n1.\n0\nb\n2.\n0\n≠\nb\nW pierwszym przypadku otrzymujemy nierówność\n2\n3\n0\n≥\na\n, która jest prawdziwa dla dowolnej\nliczby rzeczywistej a, bo wyrażenie po lewej stronie jest wielokrotnością kwadratu liczby.\nZatem nierówność\njest prawdziwa w przypadku, gdy\n0\nb\nW drugim przypadku możemy podzielić obie strony nierówności\nprzez\n2.\nb\nOtrzymujemy nierówność:\n2\n3\n2\n3\n0\n\n-\n≥\n\n\n\n\na\na\nb\nb\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zmiennej x, gdzie\n= a\nx\nb , występującego\nz lewej strony nierówności:\n(\n)\n2\n2\n4 3 3\n4\n36\n32\nΔ = -\n-⋅⋅=\nObliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, zatem trójmian kwadratowy nie ma\npierwiastków rzeczywistych. Przy najwyższej potędze trójmianu kwadratowego stoi liczba\ndodatnia 3, zatem lewa strona nierówności przyjmuje zawsze wartość dodatnią. Oznacza to, że\nnierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby a i dowolnej liczby b różnej od zera.\nZ rozważonych dwóch przypadków wynika, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych\nrzeczywistych liczb a i b.\nTo kończy dowód.\nV sposób (przypadki ze względu na znak ab).\nRozważmy dwa przypadki.\n1. Gdy\n. Wtedy nierówność\njest prawdziwa, gdyż po jej lewej\nstronie jest suma trzech nieujemnych składników\n,\n,\n2. Gdy\n. Wtedy nierówność zapisujemy w postaci równoważnej\nObie strony tej nierówności możemy wtedy podzielić przez dodatnią liczbę\n, otrzymując\nnierówność\nZ twierdzenia o sumie liczby dodatniej i jej odwrotności wynika, że\nTo kończy dowód.\nVI sposób (dowód nie wprost)\nZałóżmy, nie wprost, że dla pewnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\n0\nab ≤\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\n2\n3a\n2ab\n2\n3b\n0\nab >\n2\n2\n3\n3\n2\na\nb\nab\n≥\n3ab\n2\n3\na\nb\nb\na\n≥\n2\n2\n3\na\nb\nb\na\n≥\n>\nPonieważ\n, więc nierówność ta byłaby prawdziwa tylko wtedy, gdyby\n, czyli\n, co jest nieprawdą.\nOtrzymana sprzeczność oznacza, że nierówność\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n<\njest fałszywa.\nPrawdziwa zatem jest nierówność:\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\nTo kończy dowód.\nVII sposób\nDla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥\noraz\n2\n2\n2\n2\n0\na\nb\n≥\n,\nczyli\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\noraz\n2\n2\n2\n2\n0\na\nb\n≥\nDodając te nierówności stronami, co możemy zrobić, gdyż nierówności są tak samo\nskierowane, otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\na\nb\n≥\n,\nczyli\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\nTo kończy dowód.\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n<\n2\n2\n2\n2\n0\na\nb\n≥\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n<\n(\n)\n2\n0\na\nb\n<","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\)\n\nZadanie polega na **wykazaniu** (dowodzie), że wyrażenie \\(3a^2 - 2ab + 3b^2\\) jest zawsze nieujemne - dla wszystkich par liczb rzeczywistych \\(a, b\\).\n\n## Sposób 1 - Rozbicie na sumę kwadratów\n\n**Cel:** przekształcamy wyrażenie do postaci będącej sumą kwadratów - takie wyrażenia są zawsze \\(\\geq 0\\).\n\n**Krok 1.** Spróbujmy \"wyłuskać\" z \\(3a^2 - 2ab + 3b^2\\) pełny kwadrat zawierający \\(ab\\).\n\nZauważamy, że \\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\), więc wyraz \\(-2ab\\) już mamy! Dokładamy odpowiednie współczynniki:\n\n\\[3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2\\]\n\n**Krok 2.** Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:\n\n\\[(a^2 - 2ab + b^2) = (a - b)^2\\]\n\nZatem:\n\n\\[3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a-b)^2 + 2a^2 + 2b^2\\]\n\n**Krok 3.** Oszacowujemy każdy składnik:\n\n- \\((a-b)^2 \\geq 0\\) - kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny\n- \\(2a^2 \\geq 0\\) - analogicznie\n- \\(2b^2 \\geq 0\\) - analogicznie\n\nZatem:\n\n\\[3a^2 - 2ab + 3b^2 = \\underbrace{(a-b)^2}_{\\geq\\, 0} + \\underbrace{2a^2}_{\\geq\\, 0} + \\underbrace{2b^2}_{\\geq\\, 0} \\geq 0\\]\n\n**Wniosek:** Suma trzech wyrażeń nieujemnych jest nieujemna. Nierówność \\(3a^2 - 2ab + 3b^2 \\geq 0\\) jest prawdziwa dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Traktowanie jako trójmian kwadratowy względem \\(a\\)\n\n**Pomysł:** patrzymy na \\(3a^2 - 2ab + 3b^2\\) jako **trójmian kwadratowy względem \\(a\\)**, gdzie \\(b\\) jest parametrem.\n\nMamy postać \\(f(a) = 3a^2 - 2ba + 3b^2\\), czyli:\n\\[A = 3, \\quad B = -2b, \\quad C = 3b^2\\]\n\n**Krok 1.** Obliczamy wyróżnik \\(\\Delta\\):\n\n\\[\\Delta = B^2 - 4AC = (-2b)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 3b^2 = 4b^2 - 36b^2 = -32b^2\\]\n\n**Krok 2.** Analizujemy znak \\(\\Delta\\):\n\n- Dla \\(b \\neq 0\\): \\(\\Delta = -32b^2 < 0\\) - trójmian nie ma miejsc zerowych\n- Dla \\(b = 0\\): \\(\\Delta = 0\\), a trójmian wynosi \\(3a^2 \\geq 0\\)\n\n**Krok 3.** Wyciągamy wniosek:\n\nSkoro współczynnik przy \\(a^2\\) wynosi \\(A = 3 > 0\\) (ramiona paraboli skierowane w górę), a \\(\\Delta \\leq 0\\), to trójmian **nie przyjmuje wartości ujemnych** - jego wykres leży na osi \\(OX\\) lub powyżej niej.\n\nZatem:\n\n\\[3a^2 - 2ab + 3b^2 \\geq 0 \\quad \\text{dla wszystkich } a, b \\in \\mathbb{R}\\]\n\n**Wniosek:** Nierówność jest udowodniona. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do rozpoznania pełnego kwadratu w przekształceniu.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i jego zastosowanie:\n\\[\\Delta = B^2 - 4AC\\]\n\nKluczowy fakt: jeśli \\(A > 0\\) i \\(\\Delta \\leq 0\\), to trójmian kwadratowy jest **zawsze nieujemny**. Użyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo stwierdzenie \"kwadraty są nieujemne, więc wyrażenie jest nieujemne\" to **za mało** - musisz pokazać konkretne przekształcenie algebraiczne i uzasadnić każdy krok.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 nie zapomnij sprawdzić przypadku \\(b = 0\\) osobno (choć tu wychodzi trywialnie). Przy \\(\\Delta < 0\\) nie wolno \"zapomnieć\" o przypadku \\(\\Delta = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd przy rozbijaniu na kwadraty - pomylenie współczynników. Sprawdź zawsze przez rozwinięcie: \\((a-b)^2 + 2a^2 + 2b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2a^2 + 2b^2 = 3a^2 - 2ab + 3b^2\\) ✓\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Rozkład na sumę kwadratów\n\\[3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2 = (a-b)^2 + 2a^2 + 2b^2.\\]\nKażdy składnik jest nieujemny (kwadrat liczby rzeczywistej \\(\\ge 0\\)), więc suma \\(\\ge 0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Traktowanie jak trójmian w \\(a\\)\nDla ustalonego \\(b\\) rozważamy \\(f(a) = 3a^2 - 2ab + 3b^2\\):\n- współczynnik przy \\(a^2\\): \\(3 > 0\\)\n- \\(\\Delta_a = 4b^2 - 36b^2 = -32b^2 \\le 0\\)\n\nTrójmian o dodatnim współczynniku przy \\(a^2\\) i \\(\\Delta \\le 0\\) przyjmuje wyłącznie wartości \\(\\ge 0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 - Nierówność \\(a^2+b^2\\ge 2ab\\)\nZ \\((a-b)^2 \\ge 0\\): \\(a^2 + b^2 \\ge 2ab\\).\nZatem \\(3a^2 + 3b^2 \\ge 3\\cdot 2ab = 6ab \\ge 2ab\\) (dla \\(ab \\ge 0\\)) Lepszy jest sposób 1. \\(\\blacksquare\\)\n\n**Kluczowe:** rozpoznanie \\((a-b)^2\\) w wyrażeniu.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza\npunkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S\npoprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek).\nWykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nC\nB\nS\nD\nr\nr\nr\nr\nE\n\nMMA_1P\nDany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nSP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający stosuje twierdzenie\no sumie kątów trójkąta (SP9.3). Zdający rozpoznaje i nazywa\ntrójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne, równoboczne\ni równoramienne (SP9.1).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wykorzysta równość kątów przy podstawie w trójkątach równoramiennych BCS i ABS\noraz\n• zapisze zależność między kątami α i ABS, np.:\n2\nABS\nBAS\nα\n\n\nalbo\n• zapisze zależność między kątami α , DSA oraz dowolnym kątem trójkąta ABS\nw postaci układu dwóch równań z trzema niewiadomymi, np.: α\nγ\nβ\n=180°\ni\n4\nβ\nα\n=180° -\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli z zapisów zdającego wynikają kolejne kroki\nrozumowania.\n2. Jeżeli zdający zaznaczy na rysunku zależności między kątami, ale nie opatrzy rozwiązania\nstosownym wyjaśnieniem, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt. Tego typu sytuacje\nilustrują poniższe rysunki.\n3. Jeżeli zdający zaznaczy na rysunku kąty trójkątów BCS, ABS i kąt ASD i na tym\npoprzestanie, to otrzymuje 0 punktów. Tę sytuację ilustruje poniższy rysunek.\n4. Jeżeli zdający przyjmuje konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZ założenia trójkąt\njest równoramienny i\n, więc\n. Zatem\n. Wynika stąd, że\n, a więc\n. Ponieważ\ntrójkąt\njest równoramienny i\n, więc\nZatem\nZauważmy, że\nOtrzymujemy zatem równanie\n,\nskąd wynika, że\nTo kończy dowód.\nCSB\nBS\nBC\nBSC\nBCS\n\n\nBCS\nACS = α\n\n\n180\n2\nCBS\nα\n°-\n\n2\nABS\nα\n\nABS\nAS\nBS\n2\nBAS\nα\n\n180\n4\nASB\nα\n°-\n\n180\nASD\nASB\nBSC\n°\n\n\n\n180\n4\n180\nASD\nα\nα\n°-\n°\n\n3\nASD\nα\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)\n\nNależy wykazać, że \\(\\angle ASD = 3\\alpha\\), wiedząc że \\(\\angle ACS = \\alpha\\).\n\n## Sposób 1 - Trójkąty równoramienne (krok po kroku od C do S)\n\n**Krok 1: Trójkąt \\(SBC\\) jest równoramienny.**\n\nPunkt \\(B\\) leży na okręgu, więc \\(SB = r\\). Odcinek \\(BC = r\\) z treści zadania. Zatem:\n\\[SB = BC = r\\]\n\nTrójkąt \\(SBC\\) jest równoramienny o ramionach \\(SB = BC\\), więc kąty przy podstawie \\(SC\\) są równe:\n\\[\\angle BCS = \\angle BSC = \\alpha\\]\n\nStąd kąt przy wierzchołku \\(B\\):\n\\[\\angle SBC = 180° - 2\\alpha\\]\n\n**Krok 2: Kąt \\(\\angle SBA = 2\\alpha\\).**\n\nPunkty \\(A, B, C\\) są współliniowe (w kolejności \\(A\\text{-}B\\text{-}C\\)), więc kąty \\(\\angle SBA\\) i \\(\\angle SBC\\) są suplementarne:\n\\[\\angle SBA = 180° - \\angle SBC = 180° - (180° - 2\\alpha) = 2\\alpha\\]\n\n**Krok 3: Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny.**\n\nPunkty \\(A\\) i \\(B\\) leżą na okręgu, więc \\(SA = SB = r\\). Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny, więc:\n\\[\\angle SAB = \\angle SBA = 2\\alpha\\]\n\nKąt przy wierzchołku \\(S\\):\n\\[\\angle ASB = 180° - 2\\alpha - 2\\alpha = 180° - 4\\alpha\\]\n\n**Krok 4: Kąt \\(\\angle ASC = 180° - 3\\alpha\\).**\n\nPonieważ \\(B\\) leży między \\(A\\) i \\(C\\) na prostej, a \\(S\\) nie leży na tej prostej, promień \\(SB\\) leży wewnątrz kąta \\(\\angle ASC\\). Zatem:\n\\[\\angle ASC = \\angle ASB + \\angle BSC = (180° - 4\\alpha) + \\alpha = 180° - 3\\alpha\\]\n\n**Krok 5: Kąt \\(\\angle ASD = 3\\alpha\\).**\n\nProsta \\(CS\\) przecina okrąg w punktach \\(D\\) i \\(E\\), przy czym \\(S\\) jest środkiem okręgu, więc \\(S\\) leży między \\(D\\) i \\(E\\). Z treści zadania \\(C\\) leży za punktem \\(E\\) poza okręgiem (kolejność na prostej: \\(D\\text{-}S\\text{-}E\\text{-}C\\)). Zatem \\(S\\) leży między \\(D\\) i \\(C\\), a promienie \\(SD\\) i \\(SC\\) są przeciwne. Kąty \\(\\angle ASD\\) i \\(\\angle ASC\\) są suplementarne:\n\\[\\angle ASD = 180° - \\angle ASC = 180° - (180° - 3\\alpha) = \\boxed{3\\alpha} \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie \\(ACS\\)\n\nKorzystamy z wyników Kroku 1 i 2 powyżej (trójkąt \\(SBC\\) równoramienny → \\(\\angle SBA = 2\\alpha\\)).\n\n**Kąt \\(\\angle SAC\\):**\n\nPunkty \\(A, B, C\\) są współliniowe (kolejność \\(A\\text{-}B\\text{-}C\\)), więc kąt przy wierzchołku \\(A\\) między \\(AS\\) a prostą \\(AC\\) jest taki sam jak \\(\\angle SAB\\). Z Kroku 3 (trójkąt \\(SAB\\) równoramienny):\n\\[\\angle SAC = \\angle SAB = 2\\alpha\\]\n\n**Suma kątów trójkąta \\(ACS\\):**\n\\[\\angle ACS + \\angle SAC + \\angle ASC = 180°\\]\n\\[\\alpha + 2\\alpha + \\angle ASC = 180°\\]\n\\[\\angle ASC = 180° - 3\\alpha\\]\n\n**Kąt \\(\\angle ASD\\)** (tak samo jak w Sposobie 1: \\(D\\) i \\(C\\) po przeciwnych stronach \\(S\\)):\n\\[\\angle ASD = 180° - \\angle ASC = 180° - (180° - 3\\alpha) = 3\\alpha \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy gotowych wzorów z karty CKE** - dowód opiera się wyłącznie na:\n\n- **Właściwości trójkąta równoramiennego** (kąty przy podstawie są równe) - to definicja/podstawowa własność, niewymagająca karty.\n- **Twierdzeniu o sumie kątów trójkąta** (suma = 180°) - podstawowy fakt geometryczny.\n- **Kątach suplementarnych** (kąty na prostej sumują się do 180°).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Klucz do zadania to rozpoznanie **dwóch trójkątów równoramiennych** - \\(SBC\\) (bo \\(SB = BC = r\\)) i \\(SAB\\) (bo \\(SA = SB = r\\)). Bez tego spostrzeżenia nie ma skąd wziąć kąta \\(2\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kolejność punktów na prostej \\(CS\\). Kolejność to \\(D\\text{-}S\\text{-}E\\text{-}C\\) - punkt \\(C\\) jest **poza** okręgiem, za punktem \\(E\\). Dlatego \\(S\\) leży **między** \\(D\\) i \\(C\\), co gwarantuje suplementarność kątów \\(\\angle ASD\\) i \\(\\angle ASC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Kroku 4 korzystamy z faktu, że promień \\(SB\\) leży **wewnątrz** kąta \\(\\angle ASC\\), bo \\(B\\) leży między \\(A\\) i \\(C\\) na prostej (a \\(S\\) nie leży na tej prostej). Bez tego uzasadnienia nie możemy zapisać \\(\\angle ASC = \\angle ASB + \\angle BSC\\).\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Łańcuch trójkątów równoramiennych\n**Krok 1 - trójkąt \\(BSC\\) równoramienny.** Z warunku \\(|BC| = r = |SB|\\), trójkąt \\(BSC\\) jest równoramienny. Kąty przy podstawie \\(SC\\):\n\\[\\angle BSC = \\angle BCS = \\alpha.\\]\n\n**Krok 2 - kąt \\(\\angle SBC\\):** z sumy kątów trójkąta:\n\\[\\angle SBC = 180^\\circ - 2\\alpha.\\]\n\n**Krok 3 - kąt \\(\\angle SBA\\)** (kąt przyległy, bo \\(A, B, C\\) kolinearne):\n\\[\\angle SBA = 180^\\circ - \\angle SBC = 2\\alpha.\\]\n\n**Krok 4 - trójkąt \\(ASB\\) równoramienny** (\\(|SA| = |SB| = r\\)):\n\\[\\angle SAB = \\angle SBA = 2\\alpha.\\]\nKąt \\(\\angle ASB = 180^\\circ - 4\\alpha\\).\n\n**Krok 5 - kąt \\(\\angle ASC\\):** suma kątów w trójkącie \\(ASC\\):\n\\[\\angle ASC = 180^\\circ - \\angle SAC - \\angle ACS = 180^\\circ - 2\\alpha - \\alpha = 180^\\circ - 3\\alpha.\\]\n\n**Krok 6 - kąt \\(\\angle ASD\\).** Punkty \\(D\\), \\(S\\), \\(E\\), \\(C\\) są kolinearne (na prostej \\(CS\\)), przy czym \\(D\\) i \\(E\\) są po przeciwnych stronach \\(S\\). Kąt \\(\\angle ASD\\) i \\(\\angle ASC\\) są kątami przyległymi:\n\\[\\angle ASD = 180^\\circ - \\angle ASC = 180^\\circ - (180^\\circ - 3\\alpha) = 3\\alpha. \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Kluczowe kroki:**\n- dwa trójkąty równoramienne (z promieniami jako ramionami)\n- kąt zewnętrzny = suma kątów wewnętrznych nieprzyległych","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nZe zbioru liczb {\n}\n1, 2, 3, 4, 5 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest\nliczbą nieparzystą.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nZe zbioru liczb {1,2,3,4,5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa (10.3).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n9\n( )\n25\nP A =\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n25\n25\nΩ =\nalbo\n• obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A :\n9\nA =\ni nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A,\nalbo\n• zapisze\nprzy\nstosowaniu\ndrzewa\nprobabilistycznego\nna\ndwóch\netapach\nprawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku oraz wskaże\nwszystkie sytuacje sprzyjające rozważanemu zdarzeniu,\nalbo\n• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A lub wypisze\nwszystkie zdarzenia elementarne\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu par i wypisze o jedną za mało lub o jedną za\ndużo, ale nie wypisze żadnej niewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy\nprawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nlub\n( )\n0\nP A\nP A\n>\n<\n, to otrzymuje\nza całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu\nw działaniach na ułamkach.\n3. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne, w którym przynajmniej pięć gałęzi\nodpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu, i zdający pominie jedną\nz takich gałęzi, to może otrzymać 1 punkt, jeśli doprowadzi rozumowanie do końca.\n4. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n9\n( )\n25\nP A\n, to otrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n9\nA =\n,\n25\nΩ =\n,\n9\n( )\n25\nP A\n, to otrzymuje 2 punkty.\n6. Jeżeli zdający zapisze prawdopodobieństwo\n3 3\n( )\n5 5\nP A =\n⋅\n, to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi w przestrzeni Ω są wszystkie pary liczb (\n)\n,a b , gdzie\n{\n}\n,\n1, 2, 3, 4, 5\na b∈\nJest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n5 5\n25\nΩ = ⋅=\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym\nna otrzymaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą, np. wypisując je i zliczając:\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n}\n1,1 , 1,3 , 1,5 , 3,1 , 3,3 , 3,5 , 5,1 , 5,3 , 5,5\nA =\nLiczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa 9.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:\n( )\n9\n25\nP A =\nII sposób (metoda tabeli)\nWszystkie zdarzenia elementarne możemy\nprzedstawić w postaci kwadratowej tablicy.\nalbo\nStąd\n5 5\n25\nΩ = ⋅=\nJest to model klasyczny.\nZdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, których iloczyn jest\nliczbą nieparzystą. Są to wszystkie pary liczb wyróżnione w pierwszej tablicy lub zaznaczone\nw drugiej.\nJest ich 9. Zatem\n( )\n9\n25\nP A =\n(\n)\n1,1 (\n)\n1,2 (\n)\n1,3\n(\n)\n1,4\n(\n)\n1,5\n(\n)\n2,1 (\n)\n2,2 (\n)\n2,3 (\n)\n2,4 (\n)\n2,5\n(\n)\n3,1 (\n)\n3,2 (\n)\n3,3\n(\n)\n3,4 (\n)\n3,5\n(\n)\n4,1 (\n)\n4,2 (\n)\n4,3 (\n)\n4,4 (\n)\n4,5\n(\n)\n5,1 (\n)\n5,2 (\n)\n5,3\n(\n)\n5,4 (\n)\n5,5\n1 2\n3 4 5\n1\nX\nX\nX\n2\n3\nX\nX\nX\n4\n5\nX\nX\nX\nIII sposób (metoda drzewka)\nPrzedstawiamy model graficzny doświadczenia.\nP - oznacza liczbę parzystą, N - nieparzystą.\nIloczyn dwóch liczb naturalnych jest nieparzysty, jeśli obie liczby są nieparzyste.\nW rozważanym doświadczeniu, by zaszło interesujące nas zdarzenie, musimy wylosować dwie\nliczby nieparzyste. Do wyznaczenia poszukiwanego prawdopodobieństwa wystarczy zatem\nwymnożyć liczby z gałęzi narysowanego drzewa, odpowiadające sytuacji: N-N.\nCzyli\n( )\n3 3\n9\n5 5\n25\n⋅\nP A\nP\nN\nP\nN\nP\nN\n3\n5\n3\n5\n3\n5\n2\n5\n2\n5\n2\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{9}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nLosujemy dwa razy ze zwracaniem z 5-elementowego zbioru, więc każde losowanie jest niezależne i daje 5 możliwości.\n\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]\n\n**Krok 2: Kiedy iloczyn jest nieparzysty?**\n\nIloczyn dwóch liczb jest nieparzysty **wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste**.\n\n> Wystarczy, że choć jedna liczba jest parzysta - iloczyn od razu staje się parzysty.\n\n**Krok 3: Liczymy liczby nieparzyste w zbiorze.**\n\nZe zbioru \\(\\{1, 2, 3, 4, 5\\}\\):\n- Nieparzyste: \\(\\{1, 3, 5\\}\\) → **3 liczby**\n- Parzyste: \\(\\{2, 4\\}\\) → 2 liczby\n\n**Krok 4: Liczymy zdarzenia sprzyjające.**\n\nPotrzebujemy, by **pierwsze losowanie** dało liczbę nieparzystą (3 możliwości) **i drugie losowanie** dało liczbę nieparzystą (3 możliwości):\n\n\\[|A| = 3 \\cdot 3 = 9\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy prawdopodobieństwo.**\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{9}{25}}\\]\n\n## Sposób 2 - Prawdopodobieństwo geometryczne / niezależność zdarzeń\n\nDefiniujemy zdarzenia:\n- \\(B_1\\) = \"pierwsze wylosowanie dało liczbę nieparzystą\"\n- \\(B_2\\) = \"drugie wylosowanie dało liczbę nieparzystą\"\n\nPonieważ losujemy **ze zwracaniem**, losowania są **niezależne**, więc:\n\n\\[P(B_1) = \\frac{3}{5}, \\qquad P(B_2) = \\frac{3}{5}\\]\n\nZdarzenie \\(A = B_1 \\cap B_2\\), więc z niezależności:\n\n\\[P(A) = P(B_1) \\cdot P(B_2) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}\\]\n\n**Wynik zgodny ze Sposobem 1.** ✓\n\n> Gdybyśmy losowali **bez zwracania**, zdarzenia NIE byłyby niezależne i musielibyśmy użyć prawdopodobieństwa warunkowego. Zwracanie jest tu kluczowe!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - klasyczna definicja:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(P(A) = \\frac{9}{25}\\).\n\n**Dział 14 (s. 29-30)** - prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A \\cap B\\) dla zdarzeń niezależnych:\n\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - mnożenie prawdopodobieństw obu losowań.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to założenie, że \"iloczyn nieparzysty\" wystarczy, by jedna liczba była nieparzysta. **Nie - muszą być nieparzyste obie!** Np. \\(3 \\times 4 = 12\\) - parzyste.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Drugie słowo kluczowe w treści to **\"ze zwracaniem\"** - oznacza, że po pierwszym losowaniu wkładamy liczbę z powrotem, więc zbiór nie zmienia się i oba losowania są niezależne. Bez zwracania wynik byłby inny: \\(\\frac{3}{5} \\cdot \\frac{2}{4} = \\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"iloczyn nieparzysty\" z \"suma nieparzysta\". Suma jest nieparzysta, gdy jedna liczba jest parzysta, a druga nieparzysta - zupełnie inny warunek!\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{9}{25}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn nieparzysty ⟺ obie liczby nieparzyste\nIloczyn liczb jest nieparzysty, gdy **obie** są nieparzyste.\n\nNieparzyste w \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\): \\(\\{1, 3, 5\\}\\) - 3 liczby.\n\\(P(\\text{1. nieparzysta}) = \\tfrac{3}{5}\\), \\(P(\\text{2. nieparzysta}) = \\tfrac{3}{5}\\) (ze zwracaniem, niezależne).\n\n\\[P(A) = \\tfrac{3}{5}\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\dfrac{9}{25}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zliczanie par\n\\(|\\Omega| = 5\\cdot 5 = 25\\).\nPary \\((x,y)\\) z obiema nieparzystymi: \\(3\\cdot 3 = 9\\).\n\\[P(A) = \\tfrac{9}{25}.\\]\n\n### Sposób 3 - Tabela\nMożna narysować tabelę \\(5\\times 5\\) i zaznaczyć komórki z nieparzystym iloczynem (9 komórek).\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{9}{25}\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nW trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu\nma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze\n(zobacz rysunek). Oblicz\ndługość przekątnej BD tego trapezu.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n30°\nD\nC\nA\nB\n4\n8\n\nMMA_1P\nW trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych,\nw tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch\nbokach i kącie między nimi. (7.4).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy długość przekątnej BD trapezu:\n68\n2 17\nBD =\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze wysokość trapezu:\n2\nAD =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu wysokości trapezu popełni błąd polegający na\nniepoprawnym zastosowaniu definicji funkcji trygonometrycznej lub niewłaściwym\nzinterpretowaniu zależności między długościami boków w trójkącie „30° , 60° , 90° ”,\nlub zastosowaniu niewłaściwego wzoru z sinusem kąta na pole trójkąta, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający przedstawi poprawny sposób obliczenia wysokości trapezu, popełni błąd przy\nwyznaczaniu tej wysokości, ale otrzyma jako wysokość trapezu liczbę dodatnią, to może\notrzymać 1 punkt, za konsekwentne wyznaczenie długości przekątnej BD.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ\n30\n°\nACD\n, więc trójkąt ACD jest połową trójkąta równobocznego. Zatem\n1\n1\n2\n2 4\n2\n⋅\n⋅\nAD\nAC\nTrójkąt ABD jest prostokątny, więc możemy wykorzystać zależność z twierdzenia Pitagorasa\n2\n2\n2\nBD\nAD\nAB .\nStąd otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n8\n68\nBD\nZatem\n68\n2 17\nBD\nUwaga\nWysokość AD trapezu można wyznaczyć także innymi metodami.\n1. Z pola trójkąta ABC, wyznaczonego na dwa sposoby, np.: 1\n1\n2\n2\n8 4 sin30\n8\n⋅⋅⋅\n° =\n⋅⋅AD .\n2. Z funkcji trygonometrycznej kąta w trójkącie ACD, np.:\nsin30\n°\nAD\nAC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(BD = 2\\sqrt{17}\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt ACD i twierdzenie Pitagorasa\n\n**Ustalamy układ i kąty w trapezie.**\n\nTrapez prostokątny \\(ABCD\\): \\(AB = 8\\) (dłuższa podstawa, dół), \\(DC\\) - krótsza podstawa (góra). Kąt prosty w trapezie jest przy wierzchołku \\(A\\), czyli:\n\\[AD \\perp AB\\]\n\nPonieważ \\(DC \\parallel AB\\), mamy też:\n\\[AD \\perp DC\\]\n\n**Trójkąt \\(ACD\\) jest prostokątny** (kąt prosty przy \\(D\\)).\n\n**Wyznaczamy wysokość trapezu i długość krótszej podstawy.**\n\nPrzekątna \\(AC = 4\\) tworzy z \\(DC\\) kąt \\(30°\\), więc w trójkącie prostokątnym \\(ACD\\):\n\n\\[AD = AC \\cdot \\sin 30° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\n\\[DC = AC \\cdot \\cos 30° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nZatem **wysokość trapezu** \\(h = AD = 2\\).\n\n**Wyznaczamy przekątną \\(BD\\).**\n\nW trójkącie \\(ABD\\):\n- \\(AB = 8\\)\n- \\(AD = 2\\)\n- kąt \\(\\angle DAB = 90°\\) (kąt prosty trapezu)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[BD = \\sqrt{AB^2 + AD^2} = \\sqrt{8^2 + 2^2} = \\sqrt{64 + 4} = \\sqrt{68} = \\sqrt{4 \\cdot 17}\\]\n\n\\[\\boxed{BD = 2\\sqrt{17}}\\]\n\n## Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie\n\nWprowadzamy układ współrzędnych:\n\\[A = (0, 0), \\quad B = (8, 0), \\quad D = (0, 2), \\quad C = (2\\sqrt{3},\\, 2)\\]\n\n**Weryfikacja warunków:**\n\n- \\(AB = 8\\) ✓\n- \\(AD = 2\\), \\(DC = 2\\sqrt{3} < 8\\) → \\(DC\\) krótsza ✓\n- \\(AC = \\sqrt{(2\\sqrt{3})^2 + 2^2} = \\sqrt{12 + 4} = \\sqrt{16} = 4\\) ✓\n- Kąt między \\(AC\\) a \\(DC\\) przy \\(C\\):\n\n\\[\\cos(\\angle DCA) = \\frac{\\vec{CD} \\cdot \\vec{CA}}{|CD||CA|} = \\frac{(-2\\sqrt{3})(-2\\sqrt{3}) + 0 \\cdot (-2)}{2\\sqrt{3} \\cdot 4} = \\frac{12}{8\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[\\angle DCA = 30°\\] ✓\n\n**Obliczamy \\(BD\\):**\n\\[BD = \\sqrt{(8-0)^2 + (0-2)^2} = \\sqrt{64 + 4} = \\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte dwukrotnie: do wyznaczenia \\(AD\\), \\(DC\\) z trójkąta \\(ACD\\) oraz do obliczenia \\(BD\\) z trójkąta \\(ABD\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyte do odczytania \\(AD = AC\\cdot\\sin 30°\\) i \\(DC = AC\\cdot\\cos 30°\\).\n\n**Dział 9 (s. 12)** - wartości dla kąta \\(30°\\):\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30°\\) tworzy \\(AC\\) z **krótszą podstawą** \\(DC\\), nie z dłuższą \\(AB\\). Pomylenie tego prowadzi do użycia niewłaściwej przyprostokątnej w obliczeniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trapez jest **prostokątny**, więc kąt przy \\(A\\) to \\(90°\\), a trójkąt \\(ACD\\) jest prostokątny przy \\(D\\) - bo \\(AD \\perp DC\\) (obie prostopadłe do \\(AB\\), które jest równoległe do \\(DC\\)). Bez dostrzeżenia tego prostokąta zadanie komplikuje się bez potrzeby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}\\), nie \\(4\\sqrt{4}\\) - warto rozłożyć pod pierwiastkiem: \\(68 = 4 \\cdot 17\\).\n\n**Odpowiedź: \\(|BD| = 2\\sqrt{17}\\)**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(ADC\\)\nTrapez prostokątny: \\(AD \\perp AB\\), \\(AD \\perp DC\\) (ramię \\(AD\\) prostopadłe do podstaw).\n\n**Krok 1 - trójkąt \\(ADC\\).** W nim: \\(\\angle ADC = 90^\\circ\\), \\(\\angle ACD = 30^\\circ\\), \\(|AC| = 4\\).\n\\[|AD| = |AC|\\sin(\\angle ACD) = 4\\sin 30^\\circ = 4\\cdot\\tfrac{1}{2} = 2.\\]\n\n**Krok 2 - trójkąt \\(ABD\\).** Prostokątny przy \\(A\\): \\(|AB| = 8\\), \\(|AD| = 2\\).\n\\[|BD| = \\sqrt{|AB|^2 + |AD|^2} = \\sqrt{64+4} = \\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}.\\]\n\n### Sposób 2 - Długości + Pitagoras\nZ trójkąta \\(ADC\\): \\(|AD| = 2\\), \\(|DC| = 4\\cos 30^\\circ = 2\\sqrt{3}\\).\nZ trójkąta \\(ABD\\) prostokątnego: \\(|BD|^2 = 64+4 = 68\\).\n\\(|BD| = 2\\sqrt{17} \\approx 8{,}25\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(|BD| = 2\\sqrt{17}\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nCiąg arytmetyczny\njest określony dla każdej liczby naturalnej\n. Różnicą tego ciągu\njest liczba\n4\nr = -, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu:\n,\n,\n,\n,\n,\n, jest równa 16.\na) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.\nb) Oblicz liczbę k, dla której\n78.\nk\na = -\n(\n)\nn\na\n1\n≥\nn\n1a\n2a\n3a\n4a\n5a\n6a\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nCiąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r=-4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której a_k = -78.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).\nSchemat punktowania\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy k:\n27\nk\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą k, które wynika ze wzoru na k-ty wyraz ciągu\narytmetycznego:\n(\n)\n26\n(\n1)\n4\n78\n⋅-\nk\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający obliczy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego:\n1\n26\na =\ni na tym zakończy lub\nw dalszej części rozwiązania stosuje niepoprawny wzór na wyraz\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze równanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n16\n6\na\na\na\na\na\na\nalbo\n• wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisze wszystkie wyrazy:\n,\n,\n,\n,\n, w zależności od\n1a i r np.:\n2\n1\na\na\nr\n+ ,\n3\n1\n2\na\na\nr\n,\n4\n1\n3\na\na\nr\n,\n5\n1\n4\na\na\nr\n,\n6\n1\n5\na\na\nr\n,\nalbo\n• zapisze, że\n6\n6 16\nS =\n⋅\n,\nalbo\n• zastosuje wzór na sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni wyznaczy\n6\nS w zależności od\n1a i r:\n1\n6\n2\n5\n6\n2\n⋅\na\nr\nS\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,\nto może otrzymać 3 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego zagadnienia\nna żadnym etapie rozwiązania, a uzyskana liczba k jest całkowita dodatnia.\n2. Jeżeli zdający popełnia błąd w interpretacji średniej arytmetycznej i poprawnie stosuje\nwzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełnia błąd w interpretacji średniej arytmetycznej i poprawnie stosuje\nwzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, to może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nk\na\n2a\n3a\n4a\n5a\n6a\n4. Jeżeli zdający poprawnie interpretuje średnią arytmetyczną i popełnia błąd we wzorze na\nn-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający poprawnie interpretuje średnią arytmetyczną i popełnia błąd we wzorze na\nsumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający popełnia błąd w interpretacji średniej arytmetycznej i popełnia błąd we\nwzorze na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, to może otrzymać\nco najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7. Jeżeli zdający poprawnie obliczy\n1\n26\na =\n, a następnie zapisze\n27\nk =\n, to otrzymuje\n4 punkty.\n8. Jeżeli zdający stosuje metodę prób i błędów, sprawdzając, czy otrzymany ciąg spełnia\nwarunki zadania (suma sześciu początkowych wyrazów jest równa 96 lub ich średnia\narytmetyczna jest równa 16) i zapisze poprawny ciąg: 26, 22, 18, 14, 10, 6 oraz zapisze\n1\n26\na =\ni\n27\nk =\n, to otrzymuje 4 punkty.\n9. Jeżeli zdający stosuje metodę prób i błędów, sprawdzając, czy otrzymany ciąg spełnia\nwarunki zadania (suma sześciu początkowych wyrazów jest równa 96 lub ich średnia\narytmetyczna jest równa 16) i zapisze poprawny ciąg: 26, 22, 18, 14, 10, 6 oraz zapisze\n1\n26\na =\nalbo\n27\nk =\n, to otrzymuje 2 punkty.\n10. Jeżeli zdający od razu zapisze poprawny ciąg: 26, 22, 18, 14, 10, 6 oraz zapisze\n27\nk =\n,\nale z zapisów zdającego nie można wywnioskować, że dokonuje sprawdzenia,\nczy podany ciąg spełnia warunki zadania, to otrzymuje 1 punkt.\n11. Jeżeli zdający jedynie zapisze\n1\n26\na =\ni\n27\nk =\n, to otrzymuje 0 punktów.\n12. Jeżeli zdający poprawnie obliczy\n1a , a w drugiej części rozwiązania zapisze równanie\nz niewiadomą k i popełni jeden błąd polegający na wpisaniu: zamiast liczby 78\nliczby 78\nalbo zamiast liczby\n4\n- liczby 4, albo zamiast liczby 26 liczby\n26\n, to może otrzymać\n1 punkt za drugi etap.\n13. Jeżeli zdający nie zapisuje, że korzysta z sumy sześciu początkowych wyrazów ciągu,\na rozpoczyna rozwiązanie od zapisania zależności\n3\n4\n16\n6\na\na\nbez stosownych objaśnień,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZ treści zadania otrzymujemy\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n16\n6\na\na\na\na\na\na\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n4\n2\n4\n3\n4\n4\n4\n5\n4\n16\n6\na\na\na\na\na\na\n+ ⋅-\n+ ⋅-\n+ ⋅-\n+ ⋅-\n,\n1\n6\n60\n16\n6\na -\n,\n1\n26\na =\nW celu obliczenia liczby k stosujemy wzór na wyraz\ni otrzymujemy:\n(\n)\n26\n(\n1)\n4\n78\n⋅-\nk\n, a stąd\n27\nk\nOdpowiedź:\n1\n26\na =\n,\n27\nk\nk\na","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(a_1 = 26\\)\n\n**b)** \\(k = 27\\)\n\n## Sposób 1 - przez sumę pierwszych sześciu wyrazów\n\n### Część a)\n\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb to ich suma podzielona przez 6:\n\n\\[\\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = 16\\]\n\nZatem suma pierwszych sześciu wyrazów:\n\n\\[S_6 = 6 \\cdot 16 = 96\\]\n\nKorzystamy ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\n\\[S_6 = \\frac{2a_1 + (6-1) \\cdot r}{2} \\cdot 6 = 3(2a_1 + 5r)\\]\n\nPodstawiamy \\(S_6 = 96\\) i \\(r = -4\\):\n\n\\[3(2a_1 + 5 \\cdot (-4)) = 96\\]\n\\[3(2a_1 - 20) = 96\\]\n\\[2a_1 - 20 = 32\\]\n\\[2a_1 = 52\\]\n\\[\\boxed{a_1 = 26}\\]\n\n### Część b)\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)\n\nSzukamy \\(k\\) takiego, że \\(a_k = -78\\):\n\n\\[a_1 + (k-1) \\cdot r = -78\\]\n\\[26 + (k-1) \\cdot (-4) = -78\\]\n\\[(k-1) \\cdot (-4) = -78 - 26 = -104\\]\n\\[k - 1 = \\frac{-104}{-4} = 26\\]\n\\[\\boxed{k = 27}\\]\n\n## Sposób 2 - przez środkowe wyrazy (sprytna obserwacja)\n\n### Część a)\n\nW ciągu arytmetycznym średnia arytmetyczna skończonej liczby kolejnych wyrazów **równa się średniej arytmetycznej wyrazów symetrycznie odległych od środka**. Dla 6 wyrazów:\n\n\\[\\text{średnia} = \\frac{a_3 + a_4}{2} = 16\\]\n\nStąd:\n\n\\[a_3 + a_4 = 32\\]\n\nWyrażamy oba przez \\(a_1\\) i \\(r = -4\\):\n\n\\[a_3 = a_1 + 2r = a_1 - 8\\]\n\\[a_4 = a_1 + 3r = a_1 - 12\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[(a_1 - 8) + (a_1 - 12) = 32\\]\n\\[2a_1 - 20 = 32\\]\n\\[\\boxed{a_1 = 26}\\]\n\n### Część b) - weryfikacja\n\nSprawdzamy, czy \\(a_{27} = -78\\):\n\n\\[a_{27} = 26 + 26 \\cdot (-4) = 26 - 104 = -78 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy też warunek z treści - wyrazy \\(a_1\\) do \\(a_6\\):\n\n\\[26,\\ 22,\\ 18,\\ 14,\\ 10,\\ 6\\]\n\\[\\text{Suma} = 96, \\quad \\text{Średnia} = \\frac{96}{6} = 16 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyty w obu częściach - w a) do wyprowadzenia równania, w b) do znalezienia \\(k\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyty w Sposobie 1 (część a) do przeliczenia sumy \\(S_6\\) na \\(a_1\\).\n\nWłasność wyrazów środkowych (wynika z definicji ciągu arytmetycznego):\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nZ tej samej strony - podstawa Sposobu 2 (średnia 6 wyrazów = średnia wyrazów symetrycznych).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na sumę \\(S_n\\) zawiera \\((n-1)r\\), **nie** \\(n \\cdot r\\). Bardzo częsty błąd to napisanie \\(2a_1 + 6r\\) zamiast \\(2a_1 + 5r\\) dla \\(n=6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) po wyznaczeniu \\(k - 1 = 26\\) łatwo zapomnieć o dodaniu jedynki i podać \\(k = 26\\). Zawsze sprawdź przez podstawienie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = -4\\) jest **ujemna** - ciąg maleje. Przy obliczeniach \\((k-1) \\cdot (-4) = -104\\) uważaj na znaki: dzielimy obie strony przez \\(-4\\), więc \\(k - 1 = 26\\) (nie \\(-26\\)).\n\n**Odpowiedź: a) \\(a_1 = 26\\); b) \\(k = 27\\)**\n\n### a) Pierwszy wyraz\n**Sposób 1 - przez wzór na sumę:**\n\\(\\bar{a} = \\tfrac{S_6}{6} = \\tfrac{6a_1 + 15r}{6} = a_1 + \\tfrac{15r}{6} = a_1 + \\tfrac{5r}{2}\\).\n\\[a_1 + \\tfrac{5\\cdot(-4)}{2} = 16 \\Rightarrow a_1 - 10 = 16 \\Rightarrow a_1 = 26.\\]\n\n**Sposób 2 - średnia skrajnych wyrazów:**\nDla ciągu arytmetycznego \\(\\tfrac{S_6}{6} = \\tfrac{a_1 + a_6}{2} = \\tfrac{2a_1 + 5r}{2}\\).\n\\[16 = \\tfrac{2a_1 - 20}{2} = a_1 - 10 \\Rightarrow a_1 = 26.\\]\n\n### b) Wyznaczenie \\(k\\) dla \\(a_k = -78\\)\n\\(a_k = a_1 + (k-1)r = 26 + (k-1)(-4) = 30 - 4k\\).\n\\[30 - 4k = -78 \\Rightarrow 4k = 108 \\Rightarrow k = 27.\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(a_{27} = 26 + 26\\cdot(-4) = 26 - 104 = -78\\) ✓.\n\n**Odpowiedzi:** \\(a_1 = 26\\); \\(k = 27\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"ciagi","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nDany jest punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n. Prosta o równaniu\n3\ny\nx\njest symetralną odcinka\nAB Wyznacz\nwspółrzędne punktu .\nB\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nDany jest punkt A = (-18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza\nrównanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do\nprostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany\npunkt (8.3). Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych (8.4). Zdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.5).\nSchemat punktowania\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy i zapisze współrzędne szukanego punktu B :\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający:\n• zapisze obie równości pozwalające obliczyć współrzędne szukanego punktu B , np.\n18\n6\n2\n5\nB\nx\ni 10\n18\n2\n5\nB\ny\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające obliczyć współrzędną\nszukanego punktu B , np.\n3\n3\n4\n32 10\n5\n10\nx\nx +\nlub\n(\n)\n3 12\n3\n32 10\n5\n10\ny\ny\nlub\n(\n)\n1\n3\n3\n64\n18\n10\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający:\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\noraz obliczy odległość d punktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\n32 10\n5\nd =\nalbo\n• obliczy współrzędne środka odcinka AB:\n6\n5\nx =\ni\n18\n5\ny =\n,\nalbo\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\noraz wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do\nsymetralnej odcinka AB:\n3\n64\ny\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający:\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\nalbo\n• obliczy odległość d punktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\n32 10\n5\nd =\n,\nalbo\n• wyznaczy odległość punktu A od punktu należącego do symetralnej odcinka AB\nw zależności od jednej zmiennej, np.: (\n)\n(\n)\n2\n2\n18\n3\n10\nx\nx\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne środka S odcinka AB w zależności od współrzędnych końca\nB odcinka AB:\n(\n)\n10\n18\n2\n2\n,\nB\nB\ny\nx\nS\n,\nalbo\n• wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do\nsymetralnej odcinka AB:\n3\n64\ny\nx\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie\nco najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AB, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nb) błąd przy wyznaczaniu b, polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu A,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nc) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych przy wyznaczaniu środka S,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nd) błąd polegający na błędnym podstawieniu do wzoru na odległość punktu od prostej,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\ne) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”, to zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej\nprzez punkt A :\n1\n3\ny\nx\nb\nPunkt A należy do prostej\n1\n3\ny\nx\nb\n, więc\n(\n)\n1\n3\n10\n18\nb\n+ . Stąd\n4\nb =\nObliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej\n3\ny\nx\ni prostej AB:\n1\n3\n3\n4\ny\nx\ny\nx\n\n\n\nWtedy\n1\n3\n3\n4\nx\nx\nZatem\n6\n5\nx =\ni\n18\n5\ny =\n, czyli\n6 18\n,\n5\n5\nS\n\n\n= \n\n\n\nPonieważ punkt S jest środkiem odcinka AB , więc\n18\n6\n2\n5\nB\nx\ni 10\n18\n2\n5\nB\ny\nStąd\n102\n5\nB\nx =\ni\n14\n5\nB\ny = -\n, czyli\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nII sposób („odległość punktu od prostej”)\nRównanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A ma postać:\n1\n3\ny\nx\nb\nWtedy\n(\n)\n1\n3\n10\n18\nb\n+ , stąd\n4\nb =\n. Zatem równanie prostej AB ma postać:\n1\n3\n4\ny\nx\nPunkt B należy do tej prostej, więc\n(\n)\n1\n3\n,\n4\nB\nx\nx\nObliczamy odległość punktu A od prostej o równaniu\n3\ny\nx\n:\n(\n)\n3\n18\n1 10\n32 10\n5\n10\n⋅-\n-⋅\nPonieważ prosta o równaniu\n3\ny\nx\njest symetralną odcinka AB, więc odległość punktu\n(\n)\n1\n3\n,\n4\nB\nx\nx\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\njest także równa 32 10\n5\nZatem otrzymujemy równanie:\n3\n3\n4\n32 10\n5\n10\nx\nx +\n, stąd 10\n3\n4\n64\nx -\nRównanie to jest równoważne alternatywie równań\n10\n3\n4\n64\nx -\nlub 10\n3\n4\n64\nx -\nStąd\n102\n5\nx =\nlub\n18\nx = -\nObliczamy współrzędne punktu\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający może bez wyznaczenia równania prostej\n1\n3\n4\ny\nx\n, tj. prostej prostopadłej do\nprostej o równaniu\n3\ny\nx\n, na której leży punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n, obliczyć odległość\n32 10\n5\nd =\npunktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni zapisać równanie z jedną niewiadomą\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n32 10\n18\n3\n10\n5\nx\nx\n, z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka AB.\nIII sposób\nNiech\n(\n)\n,\nB\nx y\nbędzie końcem odcinka AB. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są\nrówne\n18\n10\n,\n2\n2\nx\ny\nS\n\n\n= \n\n\n\nPunkt ten leży na symetralnej odcinka AB, a więc na prostej o równaniu\n3\ny\nx\n, więc\n10\n18\n2\n2\n3\ny\nx\n= ⋅\n,\n10\n3\n54\ny\nx\n,\n3\n64\ny\nx\nProsta prostopadła do prostej o równaniu\n3\n64\ny\nx\ni przechodząca przez punkt A ma\nrównanie postaci:\n(\n)\n1\n3\n18\n10\ny\nx\nPunkt B należy do tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań\n3\n64\ny\nx\ni\n(\n)\n1\n3\n18\n10\ny\nx\n. Stąd otrzymujemy\n(\n)\n1\n3\n3\n64\n18\n10\nx\nx\n,\n1\n3\n3\n74\n6\nx\nx\n,\n10\n3\n68\nx =\n,\n683\n34 3\n102\n5\n5\n10\nB\nx\n⋅\n⋅\nZatem druga współrzędna punktu B jest równa\n102\n14\n5\n5\n3\n64\ny = ⋅\n, czyli\n(\n)\n102\n14\n5\n5\n,\nB =\nUwaga\nRównanie\n3\n64\ny\nx\n, które uzyskaliśmy w początkowym etapie rozwiązania to równanie\nprostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB. Równanie tej\nprostej możemy też otrzymać, korzystając ze wzoru na odległość miedzy prostymi\nrównoległymi oraz odległość punktu od prostej.\nPunkt B leży po przeciwnej stronie symetralnej odcinka AB niż punkt A, na prostej m\nrównoległej do tej symetralnej, przy czym odległość prostej m od symetralnej jest równa\nodległości punktu A od symetralnej. Prosta m ma więc równanie postaci\n3\ny\nx\nc\n+ . Ponieważ\nodległość między prostą m i symetralną odcinka AB jest równa odległości punktu A od\nsymetralnej odcinka AB, więc otrzymujemy równanie\n(\n)\n3\n18\n10\n0\n10\n10\nc\n⋅-\n,\nStąd\n64\nc =\n, więc\n64\nc = -\nlub\n64\nc =\nOtrzymaliśmy zatem dwie proste o równaniach\n3\n64\ny\nx\noraz\n3\n64\ny\nx\n. Drugie z tych\nrównań jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt A, gdyż\n(\n)\n3\n18\n64\n10\n⋅-\n, więc\nprosta m ma równanie postaci\n3\n64\ny\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(B = \\left(\\frac{102}{5},\\ -\\frac{14}{5}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - układ warunków symetralnej\n\nSymetralna odcinka \\(AB\\) to prosta, która:\n1. **Przechodzi przez środek** odcinka \\(AB\\)\n2. **Jest prostopadła** do odcinka \\(AB\\)\n\nNiech \\(B = (x_B, y_B)\\). Korzystamy z obu warunków.\n\n**Warunek 1: środek odcinka \\(AB\\) leży na prostej \\(y = 3x\\)**\n\nŚrodek \\(M\\) odcinka \\(AB\\):\n\\[M = \\left(\\frac{-18 + x_B}{2},\\ \\frac{10 + y_B}{2}\\right)\\]\n\nWarunek \\(M \\in \\{y = 3x\\}\\):\n\\[\\frac{10 + y_B}{2} = 3 \\cdot \\frac{-18 + x_B}{2}\\]\n\\[10 + y_B = -54 + 3x_B\\]\n\\[\\boxed{y_B = 3x_B - 64} \\tag{1}\\]\n\n**Warunek 2: prosta \\(AB\\) jest prostopadła do \\(y = 3x\\)**\n\nNachylenie \\(y = 3x\\) wynosi \\(a_1 = 3\\). Dla prostopadłości potrzeba \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), zatem nachylenie \\(AB\\) wynosi \\(a_2 = -\\frac{1}{3}\\).\n\nNachylenie odcinka \\(AB\\):\n\\[\\frac{y_B - 10}{x_B - (-18)} = -\\frac{1}{3}\\]\n\\[3(y_B - 10) = -(x_B + 18)\\]\n\\[3y_B - 30 = -x_B - 18\\]\n\\[\\boxed{y_B = \\frac{-x_B + 12}{3}} \\tag{2}\\]\n\n**Rozwiązanie układu (1) i (2):**\n\n\\[3x_B - 64 = \\frac{-x_B + 12}{3}\\]\n\\[9x_B - 192 = -x_B + 12\\]\n\\[10x_B = 204\\]\n\\[x_B = \\frac{204}{10} = \\frac{102}{5}\\]\n\nPodstawiamy do (1):\n\\[y_B = 3 \\cdot \\frac{102}{5} - 64 = \\frac{306}{5} - \\frac{320}{5} = -\\frac{14}{5}\\]\n\n**Wynik: \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5},\\ -\\dfrac{14}{5}\\right)\\)**\n\n## Sposób 2 - odbicie symetryczne przez prostą\n\nJeśli \\(y = 3x\\) jest symetralną \\(AB\\), to \\(B\\) jest **odbiciem punktu \\(A\\) względem prostej** \\(y = 3x\\), czyli \\(3x - y = 0\\).\n\nWzór na stopę prostopadłej z punktu \\(A = (x_0, y_0)\\) na prostą \\(Ax + By + C = 0\\):\n\nProsta prostopadła do \\(y = 3x\\) (czyli \\(3x - y = 0\\)) przechodząca przez \\(A = (-18, 10)\\) ma nachylenie \\(-\\frac{1}{3}\\):\n\\[y - 10 = -\\frac{1}{3}(x + 18)\\]\n\\[y = -\\frac{1}{3}x - 6 + 10 = -\\frac{1}{3}x + 4\\]\n\nPunkt przecięcia z \\(y = 3x\\) (to jest środek \\(M\\)):\n\\[3x = -\\frac{1}{3}x + 4\\]\n\\[\\frac{10}{3}x = 4 \\implies x = \\frac{6}{5},\\quad y = \\frac{18}{5}\\]\n\nŚrodek \\(M = \\left(\\frac{6}{5}, \\frac{18}{5}\\right)\\) to **średnia** współrzędnych \\(A\\) i \\(B\\):\n\\[x_B = 2 \\cdot \\frac{6}{5} - (-18) = \\frac{12}{5} + \\frac{90}{5} = \\frac{102}{5}\\]\n\\[y_B = 2 \\cdot \\frac{18}{5} - 10 = \\frac{36}{5} - \\frac{50}{5} = -\\frac{14}{5}\\]\n\n**Wynik identyczny: \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5},\\ -\\dfrac{14}{5}\\right)\\) ✓**\n\n## Weryfikacja\n\n- Środek \\(M = \\left(\\frac{6}{5}, \\frac{18}{5}\\right)\\): czy \\(\\frac{18}{5} = 3 \\cdot \\frac{6}{5}\\)? Tak ✓\n- Nachylenie \\(AB\\): \\(\\dfrac{-\\frac{14}{5} - 10}{\\frac{102}{5} + 18} = \\dfrac{-\\frac{64}{5}}{\\frac{192}{5}} = -\\frac{1}{3}\\), a \\(3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = -1\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy przy warunku, że środek \\(AB\\) leży na symetralnej.\n\nWarunek prostopadłości prostych (nachylenia kierunkowe):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy przy wyznaczaniu kierunku \\(AB\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów stosuje tylko **jeden** warunek (np. tylko prostopadłość) i zapomina o warunku na środek - otrzymują wtedy prostą, a nie konkretny punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, co to \"symetralna\" - to nie jest prosta **równoległa** do \\(AB\\), lecz prostopadła i przez środek. Sprawdź czy pamiętasz oba warunki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wychodzą ułamki, nie porzucaj obliczeń - na maturze wynik ułamkowy jest w pełni poprawny. Zawsze warto zweryfikować środek, wstawiając do \\(y = 3x\\).\n\n**Odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5}, -\\dfrac{14}{5}\\right) = (20{,}4;\\ -2{,}8)\\)**\n\n### Sposób 1 - Odbicie punktu \\(A\\) względem prostej\nSymetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek. \\(B\\) jest odbiciem \\(A\\) względem prostej \\(y = 3x\\) (czyli \\(3x - y = 0\\)).\n\nWzór na odbicie \\((x_0, y_0)\\) względem \\(ax+by+c=0\\):\n\\[x' = x_0 - \\dfrac{2a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}, \\quad y' = y_0 - \\dfrac{2b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}.\\]\nDla \\(3x-y=0\\): \\(a=3, b=-1, c=0\\). Obliczamy \\(3\\cdot(-18) + (-1)\\cdot 10 = -64\\), oraz \\(a^2+b^2 = 10\\):\n\\[x' = -18 - \\dfrac{2\\cdot 3\\cdot(-64)}{10} = -18 + \\dfrac{384}{10} = -18 + 38{,}4 = 20{,}4 = \\tfrac{102}{5}\\]\n\\[y' = 10 - \\dfrac{2\\cdot(-1)\\cdot(-64)}{10} = 10 - 12{,}8 = -2{,}8 = -\\tfrac{14}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ równań\nNiech \\(B = (x, y)\\). Dwa warunki:\n1. Środek \\(AB\\) leży na \\(y = 3x\\): \\(\\tfrac{10+y}{2} = 3\\cdot\\tfrac{-18+x}{2}\\) → \\(y = 3x - 64\\).\n2. \\(AB \\perp\\) symetralnej: iloczyn skalarny wektora \\(AB\\) i wektora kierunkowego \\((1, 3)\\) = 0:\n\\[(x+18)\\cdot 1 + (y-10)\\cdot 3 = 0 \\Rightarrow x + 3y = 12.\\]\n\nPodstawiamy \\(y = 3x-64\\) do \\(x + 3y = 12\\):\n\\[x + 3(3x-64) = 12 \\Rightarrow 10x = 204 \\Rightarrow x = \\tfrac{102}{5}.\\]\n\\[y = 3\\cdot\\tfrac{102}{5} - 64 = \\tfrac{306}{5} - \\tfrac{320}{5} = -\\tfrac{14}{5}.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5}, -\\dfrac{14}{5}\\right)\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nDługość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole\npowierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.\nKąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy\n(zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta .\nα\nA\nB\nC\nD\nS\n6\n6\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nDługość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między\nkrawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary\ntych kątów (9.2).\n6. Trygonometria. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0°\ndo 180° (6.1).\nSchemat oceniania\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy: 5\n5 .\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy długość krawędzi bocznej ostrosłupa:\n3 10\nb =\nalbo\n• obliczy tgα\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy wysokość ściany bocznej ostrosłupa:\n9\nbh =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie pozwalające obliczyć wysokość ściany bocznej, np.:\n1\n2\n4\n6\n108\nbh\n⋅\n⋅⋅\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze zależność pomiędzy polem powierzchni bocznej a polem podstawy lub\npomiędzy polem ściany bocznej a polem podstawy, np.:\n3\nb\np\nP\nP\n,\n3\n4\nś\np\nP\nP\nalbo\n• zapisze dwa równania:\n4\nc\np\nP\nP\ni\np\nc\nb\nP\nP\nP\n,\nalbo\n• obliczy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:\n108\nbP =\n,\nalbo\n• zapisze, że cos\nAO\nAS\nα =\n,\nalbo\n• obliczy długość przekątnej podstawy ostrosłupa lub połowę jej długości:\n6 2\nAC =\nlub\n3 2\nAO =\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe lub przy przepisywaniu (nie dotyczy\nprzepisywania wzorów z zestawu wzorów matematycznych), które nie przekreślają\npoprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać\nza całe rozwiązanie co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) przyjęcie niepoprawnej zależności między polami ścian ostrosłupa:\n4\nb\np\nP\nP\n⋅\n,\n4\nś\np\nP\nP\n⋅\n,\nb) niepoprawne zastosowanie wzoru na pole trójkąta lub niepoprawne wyznaczenie pola\nkwadratu,\nlub\nniepoprawne\nwyznaczenie\ndługości\nprzekątnej\nkwadratu,\nlub niepoprawne zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej, ale niebędące\nskutkiem ujawnionego błędu rachunkowego,\nc) niepoprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nd) zastosowanie niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”,\ne) przyjęcie obliczonej wysokości ściany bocznej jako wysokości ostrosłupa, to zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie popełnia innych\nbłędów i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.\n3. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwadze 2. a ponadto popełnia błędy\nrachunkowe, ale poprawnie realizuje strategię rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej\n2 punkty.\n4. Jeżeli zdający przyjmuje inne niż wymienione w uwadze 2a niepoprawne zależności\nmiędzy polami ścian ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający poprawnie ustala zależności między polami ścian ostrosłupa, ale przy\nobliczaniu wysokości ściany bocznej ostrosłupa podstawi do wzoru niepoprawną wartość\nza pole, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty, o ile nie popełni innych błędów\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.\n6. Jeżeli zdający przyjmuje, bez stosownych komentarzy lub obliczeń, długości odcinków\nw ostrosłupie, na przykład zapisuje, że wysokość ostrosłupa jest równa przekątnej\npodstawy lub przyjmuje, że wysokość ściany bocznej jest równa 9, to może otrzymać\nza całe rozwiązanie jedynie punkty za inne części rozwiązania, np.: za wyznaczenie\ndługości przekątnej podstawy lub za wyznaczenie cosinusa kąta.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nZe wzoru na długość przekątnej kwadratu otrzymujemy\n1\n2 6 2\n3 2\nAO =\n⋅\nPole podstawy ostrosłupa jest równe\n2\n6\n36\np\nP =\nPole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest 4 razy większe od pola jego podstawy, więc\n4\n4 36\n144\nc\np\nP\nP\n⋅\nZatem pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe\n3 36\n108\nb\nc\np\nP\nP\nP\n⋅\nPole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe\n1\n2\n4\n4\n6\n12\nb\nBCS\nb\nb\nP\nP\nh\nh\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n⋅\n,\nwięc\n12\n108\nbh\n⋅\n,\n9\nbh =\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BES otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n3\n9\n9\n9 10\nb\nb\nh\n⋅\n,\n3 10\nb =\nZ trójkąta AOS otrzymujemy\n3 2\n5\ncos\n5\n3 10\nAO\nAS\nα =","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Z pola powierzchni wyznaczamy apotema, potem krawędź boczną\n\n**Krok 1: Pole podstawy**\n\nPodstawa to kwadrat o boku \\(a = 6\\):\n\\[P_p = 6^2 = 36\\]\n\n**Krok 2: Pole powierzchni całkowitej**\n\nZ waruniku zadania: \\(P_c = 4 \\cdot P_p\\), więc:\n\\[P_c = 4 \\cdot 36 = 144\\]\n\n**Krok 3: Pole powierzchni bocznej**\n\n\\[P_b = P_c - P_p = 144 - 36 = 108\\]\n\n**Krok 4: Apotema ściany bocznej \\(h_s\\)**\n\nPowierzchnia boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego to 4 trójkąty równoramienne:\n\\[P_b = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_s = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot h_s = 12h_s\\]\n\\[12h_s = 108 \\implies h_s = 9\\]\n\n**Krok 5: Wysokość ostrosłupa \\(h\\)**\n\nApotema podstawy (odległość od środka podstawy do środka krawędzi) wynosi \\(\\frac{a}{2} = 3\\).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (apotema ściany - wysokość - apotema podstawy):\n\\[h_s^2 = h^2 + 3^2\\]\n\\[81 = h^2 + 9 \\implies h^2 = 72 \\implies h = 6\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 6: Długość krawędzi bocznej \\(l\\)**\n\nKrawędź boczna łączy wierzchołek \\(S\\) ze wierzchołkiem np. \\(A\\). Rzut krawędzi na płaszczyznę podstawy to odcinek od środka \\(O\\) do wierzchołka \\(A\\) - czyli połowa przekątnej kwadratu:\n\\[|OA| = \\frac{a\\sqrt{2}}{2} = \\frac{6\\sqrt{2}}{2} = 3\\sqrt{2}\\]\n\nZatem:\n\\[l = \\sqrt{h^2 + |OA|^2} = \\sqrt{72 + 18} = \\sqrt{90} = 3\\sqrt{10}\\]\n\n**Krok 7: Cosinus kąta \\(\\alpha\\)**\n\nKąt \\(\\alpha\\) to kąt między krawędzią boczną \\(SA\\) a płaszczyzną podstawy. Jego cosinus to stosunek rzutu krawędzi na podstawę do długości krawędzi:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{|OA|}{l} = \\frac{3\\sqrt{2}}{3\\sqrt{10}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{10}} = \\sqrt{\\frac{2}{10}} = \\sqrt{\\frac{1}{5}}\\]\n\n\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{5}}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez tangensa kąta\n\nPo wyznaczeniu \\(h = 6\\sqrt{2}\\) i \\(|OA| = 3\\sqrt{2}\\) (te same kroki 1-5):\n\nKąt \\(\\alpha\\) między krawędzią \\(SA\\) a podstawą spełnia:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{|OA|} = \\frac{6\\sqrt{2}}{3\\sqrt{2}} = 2\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2 \\implies \\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\]\n\n\\[(2\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[5\\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{5}} = \\frac{\\sqrt{5}}{5}\\]\n\nWynik zgodny - **potwierdzamy**: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - Ostrosłup:\n\\[V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h, \\quad P_b = \\text{suma pól ścian bocznych}\\]\nUżyliśmy wzoru na pole ściany bocznej (trójkąt o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(h_s\\)).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[h_s^2 = h^2 + \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2\\]\nUżyliśmy dwukrotnie: do wyznaczenia \\(h\\) i \\(l\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - Jedynka trygonometryczna (Sposób 2):\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Często myli się apotema ściany bocznej \\(h_s\\) (wysokość trójkątnej ściany bocznej) z wysokością ostrosłupa \\(h\\) - to dwa różne odcinki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzut krawędzi bocznej na podstawę to odcinek od środka podstawy do **wierzchołka** (= połowa przekątnej = \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\)), a nie połowa boku. Pomylenie z apotema podstawy \\(\\frac{a}{2}\\) to częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia krawędzi do podstawy mierzy się między krawędzią a jej rzutem prostopadłym na podstawę - nie między krawędzią a pionem (co dałoby kąt dopełniający).\n\n**Odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\)**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\n**Krok 1 - pola.** Podstawa kwadrat \\(a = 6\\). \\(P_p = 36\\), \\(P_c = 4\\cdot 36 = 144\\). \\(P_b = P_c - P_p = 108\\).\n\n**Krok 2 - wysokość ściany bocznej \\(h_{sc}\\).** Pole ściany bocznej (trójkąt równoramienny) = \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_{sc}\\). Cztery ściany boczne: \\(P_b = 4\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot h_{sc} = 12 h_{sc} = 108 \\Rightarrow h_{sc} = 9\\).\n\n**Krok 3 - krawędź boczna \\(b\\).** W trójkącie \\(ASM\\) (M - środek krawędzi \\(AB\\)): \\(|SM| = 9\\), \\(|AM| = 3\\).\n\\[b = |SA| = \\sqrt{9^2 + 3^2} = \\sqrt{81+9} = \\sqrt{90} = 3\\sqrt{10}.\\]\n\n**Krok 4 - \\(\\cos\\alpha\\).** Kąt \\(\\alpha\\) między krawędzią boczną \\(SA\\) a podstawą. Rzut \\(S\\) na podstawę to \\(O\\) (środek kwadratu). \\(|OA| = \\tfrac{\\text{przekątna}}{2} = \\tfrac{6\\sqrt{2}}{2} = 3\\sqrt{2}\\).\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{|OA|}{|SA|} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{3\\sqrt{10}} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{10}} = \\sqrt{\\dfrac{2}{10}} = \\sqrt{\\dfrac{1}{5}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wysokość ostrosłupa\nWysokość \\(H\\): \\(h_{sc}^2 = H^2 + (a/2)^2 \\Rightarrow 81 = H^2 + 9 \\Rightarrow H = 6\\sqrt{2}\\).\n\\(\\tan\\alpha = H/|OA| = 6\\sqrt{2}/(3\\sqrt{2}) = 2\\).\n\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{1+\\tan^2\\alpha}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}